i
i
“428-Kranjc-naslov” — 2009/6/10 — 10:05 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 7 (1979/1980)
Številka 2
Strani 81–82
Marko Kranjc:
NEKI GEOMETRIJSKI RAZMISLEK V ŠTIRIDIMEN-
ZIONALNEM PROSTORU
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/7/428-Kranjc.pdf
c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NEKI GEOMETRIJSKI RAZMISLEK VšTIRIDIMENZIONALNEM PROSTORU
če je K kvadrat brez roba
(-1,1) x (-1 ,1) (slo 1)
in če ga v tridimenzionalnem
prostoru zvijemo tako, da sam
sebe seka, bodo sečišča vedno
loki, nikoli ne sa mo posamez-
ne točke (sl. 2).
t
I
- 1 I
- 1
u
Naš namen pa je premisliti ,
ka ko lahko v štiridimenzional
nem prostoru zvijemo kvadrat
K tako, da se bo sekal veni
sami točki.
V štiridimenzionalnem prosto-
ru lahko vsako točko zapišemo
s štirimi koordinatami, na
primer: (x, y,z, t). To točko
si lahko mislimo kot točko
(x, y,z) v tridimenzionalnem
prostoru v "času" t : torej si
predstavljamo štiridimenzio-
nalni prostor kot prostor, ki
ga dobimo, če translatiramo
tridimenzionalni prostor
vzdol ž četrte smeri . Tako 1ah
ko opišemo lego zvitega kvad-
rata K v štiridimenzionalnem
prostoru tako, da povemo, ka~
šni so preseki s tridimenzio-
nalnim prostorom v vsakem "č~
su". Tudi kvadrat K si lahko
Ir - - - -
I
I
I
I
-I,
t
u
51. 1
51. 2
51. 3
predstavljamo kot sled, ki jo
opiše daljica (-1,1), če jo translatiramo v ravnini vzdolž dr~
ge koordinate (sl. 3).
81
z
z
/-:
Sl . 4: Ta ko obliko ima na pr imer
kr iv u l ja
L (u ) (2u( 1 - 2/ (1 + 4u 2 )) ,
2/ (1 + 4u 2) , O) .
lJ
lJ
Sl . 5 : Krivu lj a z ena č bo
Lt(u ) = (2u(1 - 21 (1 + 4u 2 ) ) ,
2/(1 + 4u 2 ) , 2tu ) je že take ob l i-
ke. To se v id i, če razmaknemo kri-
vu lj o L iz sl ike 3 . Tor ej l eži teme
v rav n i n i z = O , si cer pa tr e tja
koord i na t a ras te a l i pada hkra t i z
u - to re j j e pr oporci ona ln a parame-
t ru u . Če vzamemo za pr oporci ona1 -
nostni faktor t , dobi mo Lt .
č e se druga koordinata t ve -
ča, na j se sli ka v tr id i menzl
ona lnem prostoru (h krati , ko
"čas " enako hitro t e če kot t )
zvez no razmika kot kaže sli -
ka 5 , s ic e r pa v obrat no
smer .
Zato l ahko K posta v i mo v šti -
ri dime nziona ln i prostor ta ko,
da pos t avim o da l j ico
(-l,l ) x { t} ,-I < t < v
tr idimenziona ln i pr ostor v
"času " t . To storimo t a kol e:
da ljica ( -1 , 1) x {O } na j le-
ži v t r i d i men z i onal nem prost2
r u v "ča su " O ta ko, da se e n-
kra t s eka ( slo 4 ).
S tem smo poved ali, kako le ži
v š t i r i di me nz i ona l nem prost o-
r u vsa ka dalji ca ( -1,1) x {t J
(ko " čas" mineva, vidimo, ka -
ko se sp r eminjajo pr e s e ki kv~
d r a t a ) , zato poznamo tudi le-
go vs e ga zvit e ga kvad rat a K.
Oč itn o j e se či š č e en o s amo ,
in si cer v " ča su" O. J asno j e
t ud i , da je kvadrat lepo zvit ,
t. j. da ni n i kj er " z m e č k an " .
DODATE K: Bra lc u z ve cJ l m znan jem ne bo težko pr eds t av i t i ta
kvadrat z enačbami. Točka ( u , t ) pr e i de , ko kvadra t z vijemo, na
primer v t o č k o s koor di nat am i
( 2u (1 - 2/ (1 + 4u 2 ) ), 2 / ( 1 + 4u 2 ) , 2u t , t )
Mar k o Kranj c
82