Fizika v šoli 19 (2013) 1
11
MATEMATIČNO MODELIRANJE
GIBANJA TELES POD VPLIVOM 
GRAVITACIJSKE SILE
Vladimir Grubelnik
Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Univerza v Mariboru
Povzetek: V prispevku obravnavamo matematično modeliranje gibanja teles pod 
vplivom gravitacijske sile. Zapišemo matematični model in izvedemo numerično si-
mulacijo za različne primere. Obravnavamo poseben primer gibanja v homogenem 
gravitacijskem polju, gibanje teles okoli fiksne točke in gibanje teles okoli skupnega 
težišča.
Abstract: In the paper, mathematical modelling of bodies influenced by the gra-
vitational force is discussed. The mathematical model is formulated and the numeri-
cal simulation is performed for different examples. The case of the motion of a body 
in homogeneous gravitational field, the motion of bodies around the fixed point, and 
the motion of bodies around the common center of mass is described.
UVOD
Obravnavo gibanja teles pod vplivom gravitacijske sile lahko zasledimo na različnih 
stopnjah izobraževanja. S pojmom gravitacijske sile se učenci srečajo že v osnovni šoli 
pri pouku fizike [1]. Pri enakomerno pospešenem gibanju obravnavajo tudi prosti pad, kot 
posledico delovanja teže [2]. V srednji šoli to nadgradijo z vodoravnim metom in krožen-
jem nebesnih teles v gravitacijskem polju [3].
V nadaljevanju se bomo osredotočili na posamezne primere gibanja teles pod vplivom 
gravitacijske sile, kjer bomo izpostavili tire teles pri treh različnih pogojih. Obravnavali bomo 
gibanje teles v homogenem gravitacijskem polju, kjer je tir gibanja parabola oziroma pre-
mica [3,4], gibanje nebesnih teles okoli fiksne točke, kjer je tir gibanja ustrezna stožnica 
(krožnica, elipsa, parabola, hiperbola) [4,5], in gibanje teles okoli skupnega težišča. 
Omenjeni primeri so sicer analitično rešljivi, vendar za obravnavo na področju izob-
raževanja v osnovni in srednji šoli običajno prezahtevni. V nadaljevanju se bomo zato 
osredotočili na možnost obravnave omenjenih primerov z vidika numeričnega reševanja 
diferenčnih enačb. Na podlagi gravitacijske sile in II. Newtonovega zakona [3] bomo zapi-
sali osnovni matematični model, ki ga bomo v nadaljevanju v okviru posameznih primerov 
ustrezno dopolnili.
Fizika v šoli 19 (2013) 1
12
Numerično simulacijo bomo izvedli z uporabo preproste Eulerjeve metode [6], kjer 
diferencialne enačbe zapišemo v diferenčni obliki. Diferencial dx/dt nadomestimo z 
  x/  t=(x(t+  t)-x(t))/ t , kjer vrednosti količine x(t) računamo po časovnih korakih   t. 
Pri tem si pomagamo s tabelarično orientiranimi računalniškimi programi, kot je Microsoft 
Excel [7], oziroma z grafično orientiranimi računalniškimi programi [8, 9], ki na pregleden 
in enostaven način omogočajo izgradnjo in simulacijo dinamičnih sistemov. 
MATEMATIČNI MODEL
Zapisati želimo osnovni matematični model, ki bo opisoval gibanje dveh teles pod 
vplivom gravitacijske sile. Zaradi enostavnosti se bomo omejili na gibanje v ravnini. Veli-
kost gravitacijske sile, s katero se privlačita telesi z masama m
1
 in m
2
, je [3]: 
(1)
pri čemer je r razdalja med težiščema teles in G gravitacijska konstanta, katere vrednost 
je G=6,67 ⋅ 10
-11
m
3
/kgs
2
. Zaradi delovanja gravitacijske sile F
g
, ki deluje na telo z maso 
m
1,
 in sile -F
g
, ki deluje na telo z maso m
2
 (slika 1), se telesi gibljeta s pospeškoma 
a
1
=F
g
/m
1
 in a
2
=-F
g
/m
2
. Za prvo (i=1) in drugo (i=2) telo lahko iz pospeška a
i
 in hitrosti 
v
i
, ki sta definirana kot: 
 a
i
=dv
i
/dt, v
i
=dr
i
/dt, 
(2a, b)
izračunamo tir gibanja r
i
(t). 
Z namenom numeričnega reševanja diferencialnih enačb (2a in 2b) z uporabo pre-
proste Eulerjeve metode (dx/dt= x / t =(x(t+ t )-x(t))/ t ,[6]) zapišimo enačbe po po-
sameznih komponentah v diferenčni obliki:
v
x,i
(t+ t )=v
x,i
(t)+a
x,i
(t) ⋅  t, (3a)
v
y,i
(t+ t )=v
y,i
(t)+a
y,i
(t) ⋅  t. (3b)
x
i
(t+ t )=x
i
(t)+v
x,i
(t) ⋅  t, (3c)
y
i
(t+ t )=y
i
(t)+v
y,i
(t) ⋅  t, (3d)
kjer je pospešek gibajočega se telesa po posameznih koordinatah (a
x,i
, a
y,i
) posledica 
delovanja gravitacijske sile na prvo (i=1) in drugo (i=2) telo (glej sliko 1):
 (4a, b)
 
(4c, d)
 (5)
  
Fizika v šoli 19 (2013) 1
13
Slika 1: Prikaz gravitacijske sile med telesoma z masama m
1
 in m
2 
, katerih težišči sta 
oddaljeni za r .
S tem prevedemo sistem diferencialnih enačb (2a, b) na sistem preprostih algebraj-
skih enačb (3a–3d), ki ob upoštevanju enačb (4a–4d) ter ustreznih začetnih pogojev 
x
1
(0), y
1
(0), v
x,1
(0), v
y,1
(0), x
2
(0), y
2
(0), v
x,2
(0), v
y,2
(0) določajo hitrost in lego gibajočih se 
teles v nekem trenutku. Pri tem velja omeniti, da se telesi z masama m
1
 in m
2
 gibljeta okoli 
skupnega težišča [4]. 
Simulacijo enačb (3a–3d) si lahko časovno skrajšamo s pomočjo računalnika. Uporabi-
mo lahko tabelarično orientirane računalniške programe, kot je Microsoft Excel, ki z vnosom 
enačb omogoča izračun posameznih vrednosti po časovnih korakih ( t ) v obliki tabele.
GIBANJE TELES V HOMOGENEM GRAVITACIJSKEM POLJU
Najprej si oglejmo najpreprostejši primer, kjer sta masa in velikost prvega telesa 
precej večji od drugega (m
1
>>m
2
). Ob upoštevanju, da njuno skupno težišče miruje, je 
gibanje prvega telesa zanemarljivo. Predpostavimo še, da so premiki drugega telesa za-
nemarljivi v primerjavi z razsežnostjo prvega telesa. V tem primeru lahko predpostavimo, 
da se drugo telo giblje v homogenem gravitacijskem polju prvega telesa:
 (6)
Z zgoraj omenjenimi predpostavkami se sistem diferenčnih enačb (3a–3d) reducira 
le na drugo telo, enačbi (4c, d) pa lahko zapišemo kot:
a
x,2
=0, a
y,2
=–g. (7a, b)
Na sliki 2 so prikazani rezultati simulacije (enačbe 3a–3d) za različne začetne 
pogoje in pospešek g=9,81 m/s
2
. Na sliki lahko vidimo, da je tir gibanja parabola, kar 
poznamo že iz analitične rešitve, zapisane v parametrični obliki [4]:
Fizika v šoli 19 (2013) 1
14
x = v
0 
cos(ϕ
0
)t, y = v
0 
sin(ϕ
0
)t – gt
2
/2. (8a, b)
Slika 2: Rezultati simulacije (3a–3d) z računalniškim programom Microsoft Excel [7] za 
m
1
>>m
2
 indane parametre: x
0,2
=0, y
0,2
=0, v
0x,2
=v
0
cos(ϕ
0
), v
0y,2
=v
0
sin(ϕ
0
), ϕ
0
=45°, a
x,2
=0, 
a
y,2
= –9,81 m/s. a) v
0
=5 m/s, b) v
0
=10 m/s, c) v
0
=15 m/s, d) v
0
=20 m/s.
GIBANJE TELES OKOLI FIKSNE TOČKE
Kadar je eno telo precej masivnejše od drugega, se njuno skupno težišče nahaja v 
središču masivnejšega telesa, kar pomeni, da lahko gibanje masivnejšega telesa zane-
marimo in obravnavamo gibanje lažjega telesa okoli fiksne točke. 
Kot primer takšnega gibanja si bomo ogledali gibanje satelitov okoli Zemlje [3,4] v 
primeru, da je masa m
2 
satelita zanemarljiva v primerjavi z maso Zemlje (m
1
=6
.
10
24
 kg). Na 
satelit, ki kroži okoli Zemlje, deluje radialni pospešek (a
r
), ki je enak gravitacijskemu pos-
pešku. Na površju Zemlje je ta g
0
 = 9,81 m/s
2
. Ob upoštevanju, da je radialni pospešek 
a
r
 = v
2
/r
0
, kjer je v hitrost satelita in r
0
 polmer Zemlje (r
0
=6378 km [10]), dobimo hitrost, 
ki bi jo moral imeti satelit, če bi krožil okoli Zemlje tik nad njenim površjem. To hitrost 
imenujemo prva kozmična hitrost in je dana z enačbo [3, 4, 11]: v
I
 = √g
0
r
0 
= 7,9 km/s.
Ko satelite izstrelimo v krožne tirnice na določeno oddaljenost od površja Zemlje 
(h), je zahtevana krožilna hitrost satelitov, zaradi zmanjšanja gravitacijskega pospe-
ška, manjša od prve kozmične hitrosti. Ob upoštevanju, da se gravitacijski pospešek 
g=g
0
(r
0
/r
0
+h))
2
 [4] z oddaljenostjo zmanjšuje, je tako imenovana krožilna hitrost satelita 
na določeni višini [11]:
v
k
 = v
I
√r
0
/(r
0
+h). (9)
Če ima satelit hitrost, ki je večja od krožilne hitrosti, se giblje po eliptičnem tiru, pri 
čemer je Zemlja v gorišču elipse [5, 11].
Če hitrost satelita še povečujemo, lahko pobegne privlačnosti Zemlje. Hitrost, pri kateri 
telo pobegne privlačnosti Zemlje na določeni višini h, imenujemo parabolična hitrost [1 1]: 
v
p
 = v
II
√r
0
/(r
0
+h), (10)
Fizika v šoli 19 (2013) 1
15
kjer je v
II
 = √2g
0
r
0
 druga kozmična hitrost [3, 4, 1 1], ki jo mora imeti telo na površju Zem-
lje, da pobegne njeni privlačnosti. Telo, ki ima na določeni razdalji od Zemlje parabolično 
hitrost, se ne giblje več po elipsi, ampak po paraboli ter s tem pobegne privlačnosti Ze-
mlje. Telo, ki ima večjo hitrost od parabolične, pa se giblje po hiperboli [5, 11].
Omenjeni hitrosti (enačba 9 in 10) lahko relativno enostavno izpeljemo s srednje-
šolskim znanjem fizike [3], medtem ko izpeljava posameznih tirov (krožnica, elipsa, para-
bola, hiperbola, [5]) običajno presega matematično znanje v srednji šoli. V nadaljevanju 
bomo zato predstavili tire gibanja z numerično simulacijo matematičnega modela (enačbe 
3a–3d), kjer bomo ob predpostavki, da je m
1
>>m
2
, enačbe gibanja reducirali le na drugo 
telo.
Kot primer numeričnega izračuna gibanja satelita okoli Zemlje vzemimo satelit, ki 
ga postavimo na višino h nad površjem in ga usmerimo z določeno hitrostjo pravokot-
no glede na radialno smer. Začetne pogoje v tem primeru definiramo kot: x
2
(0)=0 m, 
y
2
(0)=r
0
+h, v
y,2
(0)=0 m/s, medtem ko v
x,2
(0)=v
0
 poljubno spreminjamo. Numerični rezul-
tati, ki jih dobimo s pomočjo diferenčnih enačb (3a–3d), so grafično prikazani na sliki 3.
Slika 3: Rezultati simulacije (enačbe 3a–3d) z računalniškim programom Berkeley 
Madonna [8] prikazujejo tire gibanja satelita pri različnih začetnih hitrostih. x(0)=0, 
y(0)=r
0
+h=6728 km, v
x
(0)=v
0
, v
y
(0)=0, a) v
0
=v
k
=7,69 km/s, b) v
k
<v
0
=9,21 km/s<v
p
, 
c) v
k
<v
0
=9,76 km/s<v
p
, d) v
0
=v
p
=10,88 km/s, e) v
p
<v
0
=13,65 km/s.
Iz slike 3 je razvidno, da je tir gibanja krožnica (tir a), ko je hitrost satelita na višini h 
enaka krožilni hitrosti v
k
 (enačba 9). Tir gibanja postane elipsa z Zemljo v gorišču (tir b in 
c), ko je hitrost satelita na določeni višini večja od krožilne hitrosti v
k
 in manjša od parabo-
lične hitrosti v
p
 [5]. V primeru, da je hitrost satelita enaka parabolični hitrosti v
p
 (enačba 
10), je tir gibanja parabola [5] (tir d) in satelit pobegne privlačnosti Zemlje. Pri hitrosti večji 
od v
p
 pa postane tir gibanja hiperbola [5], česar sicer iz krivulje na sliki 3 (tir e) ni mogoče 
natančno razbrati. 
Fizika v šoli 19 (2013) 1
16
Z istim matematičnim modelom ter drugimi parametri in začetnimi pogoji bi lahko 
proučevali tudi tire planetov in kometov okoli Sonca ter gibanje lun okoli planetov. 
GIBANJE TELES OKOLI SKUPNEGA TEŽIŠČA
Oglejmo si še primere, kjer ne moremo predpostaviti, da eno telo miruje, ampak 
moramo upoštevati gibanje teles okoli skupnega težišča. Kot prvi primer omenimo gi-
banje dveh zvezd, ki se gravitacijsko privlačita. Kot drugi primer obravnavajmo Zemljo in 
Luno. Če želimo za opazovalca na Zemlji opisati gibanje Lune okoli Zemlje, lahko gibanje 
težišča Zemlje okoli skupnega težišča med Zemljo in Luno zanemarimo. Kadar želimo 
pojasniti, zakaj se plima in oseka ponovita dvakrat dnevno, pa moramo upoštevati tudi 
gibanje težišča Zemlje okoli skupnega težišča [4]. Podobno kot za Zemljo velja tudi za 
druge planete, okoli katerih krožijo lune.
V nadaljevanju si nekoliko podrobneje oglejmo Jupiter, okoli katerega krožijo številne 
lune [12]. Pri obravnavi gibanja lun okoli Jupitra lahko gibanje njegovega težišča zanema-
rimo. Če pa nas zanima gibanje Jupitrovega težišča zaradi gibanja lun, moramo obrav-
navati matematični model za gibanje teles okoli skupnega težišča. Če upoštevamo štiri 
največje Jupitrove lune (Io, Evropa, Ganimed in Kalisto) [12] in zanemarimo gravitacijsko 
silo med njimi, imamo opravka z reševanjem sistema 20-tih diferenčnih enačb (3a–3d; 
i=1–5). Zaradi zelo majhnih ekscentričnosti tirov posameznih lun [12] lahko privzamemo, 
da se lune gibljejo po krožnicah s polmerom r s hitrostjo v
0,i
=2πr
i
/t
0,1
, kjer je t
0,i
 obhodni 
čas posamezne lune. Konstante in začetni pogoji, ki jih vstavimo v model, so predstavljeni 
v tabeli 1 [12].
Tabela 1: Štiri največje Jupitrove lune.
masa
m (kg)
polmer kroženja
r (m)
obhodni čas
t
0
 (s)
hitrost kroženja
v
0
 (m/s)
Io 8,93
.
10
22
4,22
.
10
8
1,53
.
10
5
1,73
.
10
4
Evropa 4,80
.
10
22
6,71
.
10
8
3,07
.
10
5
1,37
.
10
4
Ganimed 14,8
.
10
22
10,7
.
10
8
6,18
.
10
5
1,09
.
10
4
Kalisto 10,8
.
10
22
18,8
.
10
8
14,4
.
10
5
0,82
.
10
4
Za začetno stanje predpostavimo, da so vsa telesa (Jupiter, i=1; lune (tabela 1), 
i=2–5) na osi x, pri čemer se lune gibljejo v smeri osi y, Jupiter pa v nasprotni smeri. Ob 
predpostavki, da težišče sistema ostaja na mestu v izhodišču koordinatnega sistema, 
mora biti začetni položaj Jupitra z maso m
1
=1,9
.
10
27
 kg [13]:
 
(11)
Fizika v šoli 19 (2013) 1
17
in njegova začetna hitrost:
 (12)
Na sliki 4 lahko vidimo rezultate simulacije, ki prikazuje gibanje težišča Jupitra za-
radi gibanja lun. Težišče opleta v območju s polmerom, ki je več kot 300-krat manjši 
od polmera Jupitra (ta znaša 7,15
.
10
7
 m [13]). S povečevanjem časa vidimo, da gre za 
neperiodično gibanje, ki je značilno za kaotične sisteme. Če bi želeli ugotoviti, ali gre v 
tem primeru res za kaotično gibanje, bi morali uporabiti druge metode, kar pa presega 
obseg tega prispevka.
Slika 4: Rezultati simulacije (enačbe 3a–3d, 
i=1–5) z računalniškim programom Berke-
ley Madonna [8] prikazujejo gibanje težišča 
Jupitra za različne čase. a) t=0,5 ⋅ 10
7
 s. 
b) t=2 ⋅ 10
7
 s. c) t=5 ⋅ 10
7
 s.
ZAKLJUČEK
V prispevku smo prikazali primer matematičnega modeliranja gibanja teles pod vplivom 
gravitacijske sile. Z zapisom diferencialnih enačb v diferenčni obliki in s simulacijo modela 
pri različnih pogojih smo pokazali, da je mogoče na ta način obravnavati različne primere 
tudi na nivoju srednješolskega izobraževanja. Dobljene tire gibanj lahko v nekaterih primerih 
primerjamo z znanimi analitičnimi rezultati, katerih izpeljava je z vidika matematičnega znanja 
v srednji šoli običajno prezahtevna. Na podoben način bi lahko obravnavali tudi gibanje teles 
pod vplivom drugih sil. Kot primer omenimo silo upora, ki jo v želji po analitični rešitvi običaj-
no zanemarimo ter s tem žal velikokrat povzročimo prevelik razkorak med teorijo in prakso.
Fizika v šoli 19 (2013) 1
18
VIRI:
[1]  A. Demšar, Zakaj se dogaja? Sile in energija 8, Založba Rokus Klett, Ljubljana 
2009, st. 31–53.
[2]  A. Demšar, Zakaj se dogaja? Gibanje in elektrika 9, Založba Rokus Klett, Ljub-
ljana 2010, st. 22–25.
[3]  R. Kladnik, Fizika za srednješolce 1 – Gibanje, sila, snov, DZS, Ljubljana 1994, 
st. 111–113 .
[4]  R. Kladnik, Visokošolska fizika 1. del – Mehanski in toplotni pojavi, DZS, Ljub-
ljana 1991. 
[5]  T. W. B. Kibble, F. H. Berkshire,Classicalmechanics, Longman, Harlow 1996.
[6]   Z. Bohte, Numerične metode, DMFA, Ljubljana 1987 .
[7]  Microsoft Corporation, Microsoft Excel, http://office.microsoft.com
[8]  R. Macea in G. Oster, Berkeley Madonna, UniversityofCalifornia at Berkeley. Povze-
to 29.11.2010 s strani: http://www.berkeleymadonna.com
[9]  W. Hupfeld, Dynasys. Povzeto 20.4.2013 s strani: http://www.hupfeld-software.de
[10]  Polmer Zemlje. Povzeto 20.4.2013 s strani: http://sl.wikipedia.org.
[11]  F. Avsec, M. Prosen, Astronomija za 4. razred gimnazije, DMFA, Ljubljana 1993.  
[12]  Jupitrovi naravni sateliti. Povzeto 20.4.2013 s strani: http://sl.wikipedia.org/wiki/
Jupitrovi_naravni_sateliti
[13] Jupiter. Povzeto 20.4.2013 s strani: http://sl.wikipedia.org/wiki/Jupiter.