i i “Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 65 — #1 i i i i i i Algorithms to Live by Brian Christian in Tom Griffiths, Algorithms to Live by, The Com- puter Science of Human Decisions, Picador, Henry Holt and Com- pany, New York 2017, 351 str. Prvi avtor je pisec poljudnoznanstvene literature (in tudi pesnik) z izobrazbo iz računalnǐstva in filozofije. Je tudi go- stujoči strokovnjak na kalifornijski uni- verzi v Berkeleyju. Drugi avtor je profe- sor psihologije in kognitivne znanosti na omenjeni univerzi. Vodi Računalnǐski la- boratorij za področje kognitivne znanosti. V knjigi ne boste našli matematič- nih formul. Računalnǐski algoritmi so deloma razloženi, a na zelo poljuden na- čin. Poudarek pa je predvsem na ko- mentiranju teh algoritmov in povezavi z vsakdanjim življenjem ter odločanjem in organiziranjem na raznih nivojih družbe. Navedena je zgodovina algoritmov in na kratko so predstavljeni njihovi avtorji. Knjiga je lepo napisana in snovi je ogromno. Prvo poglavje nosi naslov Optimalna zaustavitev in je eno od najbolj dostopnih in zanimivih. Ko je astronomu in matematiku Johannesu Ke- plerju leta 1611 umrla prva žena, je iskal novo in v izbor vzel enajst žensk. Četrta mu je bila privlačna, ker je bila visoka in atletske postave. Vendar je iskal naprej in naslednja, Susanna Reuttinger mu je bila zelo všeč, ker je bila mila in prijazna, marljiva in naklonjena Keplerjevim otrokom iz pr- vega zakona. Vendar je Kepler obiskal za vsak primer na hitro še preostale kandidatke. Na koncu se je vrnil k Suzani, ki je sprejela njegovo dvorjenje. Zakon je bil srečen in imela sta še šest otrok. Večkrat Keplerjeva metoda ne deluje dobro, ker že obravnavane priložnosti niso več na voljo. Kot pravi slovenski pregovor: Priložnost zamujena ne vrne se nobena. V tem primeru nima smisla pregledovati do konca, približno v skladu z rekom: Kdor preveč (i)zbira, zbirk dobi, se pravi, dobi tisto, česar drugi niso hoteli vzeti. Mate- matiki in računalnikarji so analizirali, kdaj se splača zaustaviti iskanje pri raznih pogojih. Odločitev za prvo ponudbo večinoma ni pametna, razen če Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 65 i i “Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 66 — #2 i i i i i i Nove knjige obstaja objektiven kriterij, po katerem je očitno odlična. To razloži, zakaj recimo brezposelni pogosto ne želijo vzeti prve službe, ki je na voljo. Knjiga vsebuje veliko informacij o reševanju tovrstnih problemov. Donald Shoup je profesor urbanega načrtovanja na znani kalifornijski univerzi UCLA. Znan je po raziskavah parkiranja. Njegov najpreprosteǰsi recept je, da naj bo cena vsaj tako visoka, da je zmeraj na voljo kako mesto. Še bolje, zasedenost naj ne presega kakih 85 %. Sicer namreč vozniki izgu- bljajo čas s kroženjem in povzročajo zastoje in onesnaženje. San Francisco je po njegovih nasvetih uvedel cene parkiranja, ki rastejo s povpraševanjem. V knjigi so še poglavja o raziskovanju in izkorǐsčanju, sortiranju, pred- pomnilnikih, časovnem načrtovanju opravil, Bayesovem pravilu v statistiki. V poglavju o pretiranem prilagajanju podatkom imamo neko statistiko o zadovoljstvu z življenjem po n letih, preteklih od poroke (n = 1, 2, . . . , 10). Številska mera za zadovoljstvo v tej statistiki rahlo niha: dol – gor – dol – gor, z vrednostmi med približno 7,8 in 7,4. Podatke (deset točk) lahko aproksimiramo z rahlo padajočo linearno funkcijo časa t, merjenega v letih. Knjiga kaže tudi aproksimacijo s kvadratno funkcijo, čeprav se matematik za kaj takega ne bi odločil. Nazadnje knjiga skozi deset točk napelje in- terpolacijski polinom devete stopnje, ki daje povsem noro ekstrapolacijo za vrednosti t > 11. Že pri t = 11 naj bi zadovoljstvo padlo na vrednost pod 6! Zanimivo je, če podatkom dodamo nekoliko šuma. Simuliranih je deset takih različnih motenj. Na linearno aproksimacijo to vpliva minimalno. Pri kvadratni aproksimaciji se ekstrapolacije za t > 12 lahko že bolj in bolj raz- hajajo. Pri interpolacijskem polinomu devete stopnje pa šum lahko povzroči močne nihaje na intervalu 1 < t < 10. Že tako čudno ekstrapolacijo pa vrže povsem iz tira. Tako naj bi pri t = 11 v treh primerih (od desetih naključno izbranih malih motenj začetnih podatkov) zadovoljstvo poskočilo na več kot 9, v štirih pa padlo na manj kot 6! Interpolacija s polinomi visokih stopenj je torej slabo pogojena. Kljub nekoliko nenavadni uporabljeni terminologiji so ti grafi v knjigi res zanimivi in odlična ilustracija nesmisla pretiranega pri- lagajanja podatkom. Menda je v ZDA v napovedovanju razširjenosti zadnje epidemije nekdo uporabil i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) n stavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi eleme ti, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kom resijo, nekako za f ktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v n činu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno imajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkc j »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 kubični i i “Legisa-vesti” — 2017/6 30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanim vi del), se zadov ljili s pribl žki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natanč o rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantiziran matrika mnog ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko sti ne za f ktor pribl žno 7. Matriki, v kateri je v čina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantiziran matrika je torej praviloma r zprše a. V fotoap ratu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsim elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni žjo kompresijo, neka o za f ktor 2. Pr malih tipalih z diagonalo pod 8 bo kvantizacijska ma rika v načinu fine imela elemente r cimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko naz j z istoležnim elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkim prehodi med svetlim in temnim deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG sti ka- nje računsko nezahtev n, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trav , krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj sti nejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težav , vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa l hko kombinacija neka ov stnega zoom objektiva in eprilagodljivega sti kanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni ajbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo f rmat PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omog ča sti kanje v različnih ka ov stih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostok dni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpit h rǐsejo grafe nkcij »po t čkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mog če velik razred funkcij po lnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 37 izrek, i ga ni težko dokaz ti: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in aj bo njena Fourie ova transformi- ranka f̂ enak 0 zunaj intervala [−L, ], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 model, ki je dal optimistične napovedi po želji oblasti. Sledi poglavje o relaksacijskih metodah, s katerimi se lotevamo problema trgovskega potnika in podobnih nalog, pri katerih optimalna rešitev zah- teva preveč računanja. Mimogrede, relaksacijo že dolgo poznajo fiziki, ki uporabljajo izraz i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej pravil m razpršena. V fotoaparatu z velikim senz rjem (APS-C ipd.) nastavit v na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikost recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pr malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo vantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prost kodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 zanemarimo i i “Legisa-vesti” — 2017 6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zad voljili s pr bližki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več n ta čno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizir na matrika mn go ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko tisne z faktor pr bližno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, r čemo razpršena matrika. Kvantizir na matrika je torej praviloma raz ršen . V f to p ratu z velikim senz rjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pome nižjo kompresijo, ne ako z fakt r 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela element recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko n zaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadr ta. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG tiska- n je računsko nezaht ven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so tr va, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj tisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi tež va, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija ne ak vostnega zoom objektiva i neprilagodljivega tiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi i najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljaj format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Om goča tiskanje v različnih ak vostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prost kodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo gra e funkcij »p točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je m goče velik razred funkcij polnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 73 izre , ki ga ni težko dok zati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ en ka 0 zunaj intervala [− , L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 . . . 66 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 i i “Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 67 — #3 i i i i i i Algorithms to Live by Poglavje Slučajnost razloži med drugim, kako se številnih težkih proble- mov lahko lotimo z metodo Monte Carlo. Zanimiv pa je tudi vpliv slučajnosti na raziskovanje. Italijanski mikro- biolog Salvador Luria, ki je pred fašizmom pobegnil v ZDA, je leta 1943 opazoval kolega na igralnem avtomatu. Sam se je ukvarjal z vprašanjem, kako bakterije razvijejo odpornost proti bakteriofagom. Ali so, kot je sam verjel, zaradi slučajnih mutacij – kot so slučajni izidi hazardiranja – neka- tere bakterije bolj odporne na te viruse? Takrat še dejavni lamarkisti so imeli drugačne teorije. Zamislil si je poskus, ki sta ga izvedla s kolegom Maxom Delbrückom. Ločeno sta vzgajala več linij iste vrste bakterij in jih po več generacijah, ko so se genetsko že malce razlikovale, izpostavila bakteriofagom. Izkazalo se je, da je bil delež odpornih bakterij v različnih linijah različen. Slučajne mutacije in naravna selekcija uspešnih mutacij so torej tisto, kar privede do odpornosti. Slučajnost v tej zgodbi je dvojna: k odkritju je pomagalo slučajno opazovanje hazardiranja. Oba mikrobiologa sta dobila, skupaj z Alfredom Hersheyjem, leta 1969 Nobelovo nagrado za fiziologijo ali medicino. Mimogrede, bakteriofagi zdaj postajajo spet zanimivi zaradi odpornosti bakterij na antibiotike. Bakteri- ofagi so izredno specializirani, posamezna vrsta navadno deluje le proti eni vrsti bakterij. V poglavju o mrežah imamo razložen eksponentni umik, ki igra veliko vlogo pri konfliktih v komunikacijskih in računalnǐskih omrežjih. Če recimo računalnik ne more doseči določene strani na medmrežju, večinoma ne bo poskušal znova v enakih časovnih razmikih. Prvič bo poskusil po času t, ob neuspehu čez 2t, ob ponovnem neuspehu čez 4t . . . Tako ne preobre- menjujemo po nepotrebnem omrežja, saj je morda strežnik na drugi strani izpadel in traja dalj časa, da začne spet delovati. Tudi pri vnašanju gesla nekateri sistemi delujejo podobno in tako onemogočajo dolgo poskušanje ne- pooblaščenih. Pozabljivemu lastniku pa omogočijo, da najde geslo, ki ga je, upajmo, zabeležil na varnem mestu. Knjiga pravi, da tako lahko ravnamo tudi v odnosih s težavnimi prijatelji, ki ne pridejo na povabilo. S tem si prihranimo precej razočaranj, vendar ohranimo možnost ponovnega stika. Na Havajih so uvedli podoben sistem za pogojno izpuščene kriminalce, odvisne od droge. Kazni za kršitve so vnaprej jasne, takoǰsnje in eksponen- tno naraščajo. Najprej dan zapora čez vikend, pri ponovitvi dva dni čez vikend . . . Datumi testov za prisotnost mamil so slučajni. Na Havajih je Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 67 i i “Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 68 — #4 i i i i i i Nove knjige to imelo zelo dobre rezultate – veliko bolǰse od stare prakse dolgotrajnega gledanja skozi prste in nato drastičnih zapornih kazni. Knjiga povleče tudi vzporednice med računalnǐskim komuniciranjem in lingvistiko. Pisca pravita, da so sredi dvajsetega stoletja v lingvistiki pre- vladovale teorije Noama Chomskega, ki so predpostavljale popoln, slovnično pravilen govor v celih stavkih. V šestdesetih in sedemdesetih letih so lingvisti ugotovili, da je to večinoma daleč od dejanskega stanja. Tudi računalnǐski strokovnjaki, ki se ukvarjajo s pretvarjanjem govora v pisno obliko, imajo probleme z nedokončanimi stavki. Pogovor je zapletena stvar in bistvena je interakcija med osebama (ose- bami). Za govorca so zelo pomembni odzivi poslušalca (morda samo i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ja i i “Legisa-vesti” — 2017/6/3 — 9:01 page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na origi lni sl ki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno reko struirati. Na tipični sl k ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo azpršena matrika. Kvantizirana matrika je orej praviloma razpršena. V fotoapara u z velikim s nzorjem (APS-C ipd.) nastavitev n fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matri o z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 d 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekak za faktor 2. Pri malih tipalih z di gonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela element recimo od 1 d 15, saj ustrezne optike običajno n maj zelo d br ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko n zaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matri e in opravim inverzno transf rm cijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike naˇega kvadr ta. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in te n mi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, iter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno p drobnostmi, k t so trava, krzno. Bolǰse kamer t ko sliko prepoznajo in bistve o manj stisnejo, se pravi uporabijo d ugo kvan- tizacijsko matriko ko sicer. (Slika z ogromno šu a je tudi t žava, v ndar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kam rah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljive a stiskanja trav ik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike p ofesionalci raje uporabljaj format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dob r za k mpresijo zvoka je tu i prostokodni f rmat (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizac j Nekateri študenti na izpitih r šejo gr fe funkcij »po točkah«. Večinoma se t ne obnese. Vendar pa je mogoč velik razr d funkcij popolnoma rek nstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 iz ek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 , i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), e zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika m ogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je veči a leme tov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena mat ik . Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine im la elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimaj zelo d bre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi van- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi pr hodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem e pojavi p i slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere ta sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo van- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi tež va, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodl iveg stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najb lǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesion lci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večin ma s to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova trans ormi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 hm i i “Legisa-v sti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije n originaln sliki (večinoma ezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in orig ala ne moremo več natanč o rekonstruirati. N tipični sliki ma kvantizir a m trika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem elu. Zgoraj omen ena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je v č na elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizir a m trika je tore pravilom razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsi i elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 d 15, saj ustrezne optik bičajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnoži o matriko nazaj z istoležnimi ele enti kv - tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. obimo pr - bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehki i prehodi med svetlimi in temnimi deli slik to deluje sijajno. Alg ritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hit r in robusten. Manǰsi problem se pojavi ri slikah z ogromno podr bnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prep znajo in bistveno ma j stisnejo, e pravi uporabijo drug kv n- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteres rani za podrobno eprodukcijo.) Pri poceni kamer pa lahko kombinacija ekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja tr vnik spremeni v z leno plu dro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal podl gi JPEG priljubljeni, za zdaj še p tenti ni format MP3. Omogoča stisk nje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in dig talizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in j bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ en ka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 , i i “L gisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del inform cije na or ginalni sliki (veči oma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekateri drugih podatkov i origi la e moremo več atančno rekons ruir ti. Na tipični slik im kv tizir na matrika mnogo ničel, predvs m v d snem spo njem delu. Zgora omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kat r j več na el mentov ničelnih, preostali pa imajo pos bn strukture, rečemo razpršen matr k . Kv tizirana matrika je torej r viloma razpršena. V fotoaparatu z v likim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z b stv no anǰsim elementi, velikosti recimo od 1 do 6. T p eni nižjo kompr sijo, nekako za faktor 2. Pr m ih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijsk matrika v načinu fin imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezn ptike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomn žimo matriko nazaj istoležn mi eleme t kvan- tizac jske matrike in opravimo inverzno transformacijo k CT. Dobimo pri- bliže prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temn mi d li slike to deluje sijajn . Algoritem z JPEG stiska- nje je računsko nezahtev n, hiter in robusten. Manǰsi problem se ojavi pri slikah z ogromn p drobnostmi, kot s trava, krzno. Bolǰse kamere tako slik prepoznajo in bi veno manj sti nejo, se pravi uporabij drugo kvan- izacijsko matriko kot sice . (Slika z ogro no šuma je tudi težava, venda pa tu nismo za nteresirani za p obn rep odukcijo.) Pri poceni k mer h pa l hko kombi acija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stisk nja travnik sprem ni v zele o plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcij grafičnih p drob o ti. Za manǰse risbe in grafike p of sionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je stal n podlagi JPEG priljublj ni, za zd j še p ten irani format MP3. Omogoč stiskanje v različnih kakovostih. Z lo dob r za kompresijo zv ka je tudi p ostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje n digitalizacija Nekateri študenti na izpitih ǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij p polnoma rekonstru- irati iz jihovih vrednosti na d skretn množic točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvez a in aj bo njena Fou ierova transformi- ranka f̂ enak 0 zunaj intervala [− , L], kjer je L > 0. Pot m je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 aha “Legisa-vesti” 2017/6/3 9:01 page 70 3 Zanimivosti vrgli s o del infor acije na originalni sliki (večino a nezani ivi del), se zadovoljili s pr bližki nekater drugih podatkov in originala ne ore v č natančno ekonstruirati. a tipični sl i i a kvantizirana atrika nogo ničel, predvs desne spodnje delu. Zgoraj o enjena atrika bi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. atriki, v kateri je v či a le entov ničelnih, preostali pa ni ajo posebne trukture, reče o r zpršen at ik . vantizirana trika je tore pravilo a razpršena. fotoaparatu z veliki senzorj ( PS-C ipd.) nastavitev n fino (an- gl ško fine) da kvantizacijsko atriko z b stveno a ǰsi i ele enti, v likosti reci o od 1 d 6. T po eni nižjo ko pr sijo, nek o za faktor 2. Pri alih tipalih z diag nalo pod 8 bo kvantizacijska atrika v načinu fine i la ele ent reci o od 1 d 15, saj ustrezne optike bičajno ni ajo zel d bre ločljivosti. Pr dekodiranju po noži o atriko nazaj istol žni i ele enti kvan- tizacijske atrike in opra i o inverzno tra sf acijo k CT. obi o pri- bližek prvotne slike našega kvadr ta. a slika z ehki i prehod e svetli i in te i deli slike to d luje sija no. lgorite za JPE stiska- nje je računsko n zahteven, hiter in robusten. a ǰsi proble se pojavi pri slikah z gro no p drobnos i, kot so t ava, krzno. Bolǰse ka re tako sliko prepoznajo i bistveno a stis ejo, se ravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko atriko kot sicer. (Slika z gro no šu a je tudi tež v , vendar pa tu nis o zainteresirani za p drobno repr dukcijo.) Pr poceni ka erah pa lahko ko binacija nekakovostnega zoo objektiva n neprilagodljiveg stiskanja travnik spre eni v zeleno p undro. JPE tudi ni najbolǰsi za re- pr dukcijo grafičnih p drobnosti. Za anǰse risbe in grafike prof si nalci raje uporabljajo for at P . Za zvok je nastal na podlagi JPE priljubljeni, za zdaj še patentirani for at P3. ogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za ko presijo zvoka je tudi prostokodni f r at ( gg) orbis. zorčenje in digitalizacija ekateri študent na izpitih ǐs jo grafe funkcij »po točkah«. ečino a s to n obnese. ndar pa je ogoče velik razred funkcij popolno a eko stru- irati iz njihovih vrednosti na d skretni nožici t ck. knjigi [3] najde o na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. aj bo f ∈ L2(R) zvezna in j bo njena Fourier va t ansfo i- ra ka f̂ en k 0 zunaj intervala [ L,L], kjer je L 0. Pote je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ) in mimik obraza. Temu se prilagaja k munikacij . Rač al- nǐs a omrežja pr v ta por čajo p šiljatelju, ali so poslani paketi podatk v prispeli. Če pa pripove ujemo zanimivo zgodbo in poslušalec začne gledati v telefon, bosta naša zgodba in še posebej njen zaključek postala klavrna. Vsi, ki smo kdaj predavali, vemo, da nezainteresiranost poslušalcev ubija voljo in poslabša kakovost prezentacije. (To seveda manj prizadene tiste, ki samo berejo ali projicirajo svoje zapiske.) Zadnje poglavje je Teorija iger. Zanimivo je, da centralizirano optimi- ranje avtomobilskega prometa ni bistveno bolǰse od običajne anarhije, ko vsak želi priti čim prej na cilj in se ne ozira na druge. Prihranek na času naj bi bil največ 25 %. Lepo je razložen v anglosaških debatah pogosto uporabljen izraz žaloi- gra na gmajni, angleško tragedy of the commons. Z njim je leta 1968 ekolog Garrett Hardin opisal stanje, ko skupni pašnik uporablja več kmetov. Vsak bi moral pasti le toliko živali, da bi ostalo dovolj trave za preostale. Člove- ška narava pa je taka, da pogosto posameznik pase več živali, kot bi smel. Kršenje pravil igre opravičuje z: i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰ imi lementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonal pod 8 mm bo kvantiz cijska matrik v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj strezne optike obič jno nimaj zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pr vi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko k t s cer. (Sli z ogromno šuma je tudi teža , vendar pa tu nismo zainteresirani za podr bno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti a izpitih rǐsejo gr fe f nkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Meni pomeni veliko, za vsakega drugega udeleženca pa je nastali primanjkljaj majhen. i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i Za imivo ti vrgli smo del informacije na o iginalni sli i (večin ma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatko in originala ne m rem vec natančno r konstruirati. Na tipični sliki ima kv ntizir na matrika mn g ničel, predv em v desnem s od je delu. Zgoraj omenjena matrika Q bi- aj o sliko stisne z faktor približ o 7. Matriki, kateri je v či elementov ničelnih, preostali pa nima o posebne st ukture, rečemo razp še a matrika. Kvantizirana matrika je torej aviloma razpršen . V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nast vitev n fino (an- gleško fine) da kva tizacijsko matriko z bistve o manǰsimi elementi, velikosti rec mo od 1 do 6. To po ni nižjo k presijo, nekako za faktor 2. Pr mal h tipalih z diag nalo pod 8 mm bo kva tizacijska matrika v n činu fine im la e emente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločlj vosti. Pri dekodiranju omnožimo matriko azaj z ist ležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo DCT. D bimo pri- bližek prvotne slike naˇega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in r busten. Ma ǰsi pr bl m se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sl ko prepoznaj i bistveno m j stis ej , se pravi por bijo drugo kvan- tizacijsko m triko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi t žav , vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobn reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija ekakovos nega zo m objek iva i eprilagodljiv ga stiskan a travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje up rabljajo form t PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG pr ljubljeni, za zdaj še patentir ni format MP3. Omogoča stiskanje v azličnih kakovostih. elo dober za kompresijo zvoka je tudi pr stokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti n izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne ob ese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- ira i iz njihovih vrednos i na is retn množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Če v čina premǐsljuje tako, je pašnik kmalu neuporaben. Knjiga trdi, da je glav i razl g za to, da si številni Američani ne vzamejo dopusta ali le nekaj dni na leto, ta, da želijo pokazati lojalnost podjetju in tako napredovati ali vsaj ne izgubiti službe. Če večina premǐsljuje tako, so tudi preostali praktično prisiljeni, da skoparijo z dopustom. In to kljub statistikam, ki kažejo, da dva ali trije tedni dopusta letno pomenijo bolǰse zdravje in dalǰse življenje. Podobno je s pridobivanjem in porabo fosilnih goriv. Pomaga lahko le zavezujoč dogovor ali sprememba pravil. 68 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 i i “Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 69 — #5 i i i i i i Algorithms to Live by Navedimo še primer (ki ni iz knjige), ko je sprememba pravil skupaj z inovativnimi idejami odpravila posledice i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri š udenti na izpitih rǐsejo grafe funk ij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 žaloigre na gmaj i i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrg i smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirat . Na tipični sliki ima kv ntizi ana atrika mnogo ničel, pre vsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj o enjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, reostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kv ntizi ana mat ika je torej p viloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev a fino (an- gleško fine) d kvantiz cijsko matriko z bistveno manǰsimi el men , velikosti recimo od 1 d 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih t palih z diagonalo pod 8 mm bo kvantiz cijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj us rezne optike obič jno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju p nož mo matriko nazaj z istol žnim elementi kvan- tiz cijske mat ike in opravim inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlim in t mnimi deli s ike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter i robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj tisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tiz cijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi tež va, vendar pa tu ismo z interesirani za podrobno reprodukcij .) Pri poceni kamerah pa lahko kombin cija nekakov stnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja t avnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi n n jbolǰsi za re- produk ijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je udi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funk ij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ e ka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem j f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Pretirana paša in pos k st v Sahelu savano marsikje spremeni a v polpuščavo s po- sameznimi grmički. Avstralski agronom Tony Rinaudo je opazil, da ti gr- mički poganjajo iz korenin že pred leti ali celo desetletji posekanih dreves. V zameno za hrano, potrebno zaradi katastrofalne suše, so domači lastniki zemljǐsč po njegovih navodilih zredčili grmičke na le nekaj vej, ki so jih potem varovali in le izrezovali odvečne poganjke. Ključna je bila tudi spre- memba pravil. Prepovedali so staro prakso, da si lahko posekal pri sosedu, če je zmanjkalo na tvojem. V nekaj letih so zrasla lepa drevesca. Ko je potreba po hrani izginila, so sicer številni svoja debla takoj požagali. Bolj daljnovidni, sprva v manǰsini, pa so drevesa ohranjali in vzgajali nova, ker so v njihovi bližini bolje uspevale tudi druge poljedelske kulture. Neško- dljivo obrezovanje drevesa da neprimerno več krme za živali, kot bi sekanje grmička, iz katerega je zraslo drevo. Sčasoma je dobra praksa dobivala vse več posnemovalcev. Rinaudo je iz Avstralije prinesel tudi akacije z užitnimi stroki, ki so se dobro obnesle. Tako so samo v državi Niger pogozdili 50 tisoč kvadratnih kilometrov, se pravi več kot za dve Sloveniji. Mimogrede, francoski pisatelj Jean Giono je leta 1953 napisal čudovito knjižico Mož, ki je sadil drevesa. Opisuje samotarskega pastirja, ki s po- gozdovanjem spremeni pokrajino. Prevedena je bila v številne jezike, tudi v slovenščino. Mnogi so prǐsli v Francijo, celo z drugega konca sveta zaradi te resnično zelo prepričljivo napisane zgodbe – in bili strašno razočarani ter večkrat jezni, ker je izmǐsljena. Gornja afrǐska zgodba pa je resnična in mnogo mnogo večja, a še zda- leč ni deležna take popularnosti. Je pa Rinaudo leta 2018 za svoje več desetletno delo dobil The Right Livelihood Award. Ta nagrada je nastala po neuspešnem poskusu, da bi Nobelovo nagrado za ekonomijo dopolnili z nagrado za varstvo okolja in trajnostne rešitve. V spletni trgovini Amazon Marketplace včasih najdemo noro visoke cene drugih ponudnikov za kak artikel, ki ni več v redni prodaji. Knjiga razloži, da je to navadno posledica računalnǐskih algoritmov. V enem primeru je program nekega ponudnika avtomatično postavil ceno, ki je bila 99,8 od- stotka cene drugega ponudnika. Program drugega pa je nato ceno nastavil na 127 odstotkov cene prvega. Očitno je ponudnik poznal algoritem prvega in vedel, da lahko tako tudi konkurentovo ceno potisne v vǐsave. Verjetno je tudi upal, da ima prvi ponudnik na zalogi samo en kos. Kaj se zgodi po Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 69 i i “Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 70 — #6 i i i i i i Nove knjige več ponovitvah teh algoritmov, če ne prvi ne drugi nimata vgrajene kake varovalke, si ni težko predstavljati. Eksponentna rast je zelo hitra. V da- nem primeru je cena starega učbenika razvojne biologije zrasla na dobrih 23 milijonov dolarjev (plus 3,99 dolarja za poštnino). Velike anomalije lahko nastanejo tudi pri dražbah in so zato neizčrpna tema nekaterih televizijskih serij. Knjiga dela reklamo za sistem, ki ga je uvedel ekonomist William Vic- krey, dobitnik Nobelove nagrade. Udeleženci dražbe oddajo zaprte ponudbe. Zmaga tisti, ki je ponudil največ. Plačati pa mora toliko, kot je bila druga najvǐsja ponudba. To naj bi pomagalo k bolj realnim cenam. Knjiga pravi, da je ugibanje o namerah drugih in ustrezno izbiranje strategije zelo naporno in večkrat vodi k plazu slabih odločitev. To se recimo kaže v nastanku in poku finančnih balonov. Številni investitorji so namreč pripravljeni plačati za delnice malo manj, kot ocenjujejo, da bodo v bližnji prihodnosti pripravljeni plačati drugi na borzi. Realna vrednost podjetij je večkrat v drugem planu ali pa sploh ni upoštevana. Množično špekuliranje se včasih izkaže kot kolektivna zabloda. (Eden izmed najhuǰsih primerov katastrofalnih odzivov na domnevne namere in nato poteze nasprotnika je nenadzorovana eskalacija, ki je privedla do prve svetovne vojne.) Na koncu imamo nekaj zaključkov. Določene optimizacije so pretežke celo za računalnike. Zato bodimo zadovoljni z i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela eleme te recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri stude ti na izpitih rǐsej grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 d volj dobrimi i i “Legi a-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na orig naln sliki (večinoma ezanimivi d l), se zadovoljili s približ i nekate ih drugih podatkov n origi ala ne remo več atančn rekonstruirati. Na t pičn sliki ima kvantizirana m trika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnj m delu. Zg raj omenjena m trika Q obi- čajn liko stisne za faktor približno 7. Matri i, v kateri je večina lementov ičelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena m trika. Kvantizirana m trika j to ej praviloma razpršena. V foto paratu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fi o (an- gleško fine) da kv ntizacijsko matriko z bistveno manǰsimi lement , vel kosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nek ko za faktor 2. Pr malih tipalih z di gonalo pod 8 mm bo kv ntizacijska m trik v nači u fine imela lemente recimo od do 15, aj ustrez e optike običajno nimaj zelo dobre ločlj vosti. Pri ekodiranju pomn žimo matriko nazaj z istoležnimi lementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. D bimo pri- bližek prvotne slike našeg kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je raču sko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi probl m se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, ko so trava, krzn . Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je udi težava, vendar pa tu nismo zainteresir ni za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni k merah pa lahko kombinacija nekakovostnega z om objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse r sbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še pate tirani format MP3. Omogoča stiska je v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvo a je udi prost kodni format (Ogg) Vorbis. Vzorče je in digitalizacija Neka eri študenti na izp tih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskret i množi i točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zu aj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 rešitvami. Knjiga pravi, da si ne želimo pre eč premǐsljevanja. Pisca st ž lela in- tervjuje z mnogimi str kov jaki in ugotovila, da laže prideta do jih, če začneta z vprašanjem: i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večino a nezani ivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, reče o razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistven manǰsimi element , v likost recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako z faktor 2. Pri m lih tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacij k m trika v n činu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne o tike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehki i prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plu dro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni for at (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Ali imate čas naslednji torek med 12. in 13. uro i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del infor c je na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se za ovoljil s približki kate ih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. N tipični sliki i a kvantizirana matrika mnogo ničel, p edvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sli o stisne za faktor približno 7. Matriki, kateri je večina elementov ničelnih, pre stali pa nimajo poseb e strukture, rečemo razpršena matrika. Kv ntizirana atri a je t rej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti r cimo od 1 d 6. To pomeni ižjo kompresijo, nekako za f ktor 2. Pri malih tip lih z di go lo p d 8 mm bo kvantizacijska atrika ačinu fine imela element recimo d 1 d 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodira ju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tiz cijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne sli e našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temni i deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je raču sko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, t so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko triko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stisk nja travnik spremeni v zeleno plu dro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcij gr fič ih pod b osti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci r je uporabljajo f rmat PNG. Za zvok je nast l na odlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za ko presijo zvoka je tudi prostokodni form t (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo g afe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mog če velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. N j bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 , kot z i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimiv del), se zadovoljili s približki nekate ih drugih podatkov n originala ne m rem več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizira a atrika nogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor ibližno 7. Matriki, v kateri je v čina elem ntov ničelnih, preostali pa imajo posebne strukture, rečemo razpršena m trika. Kvantizirana matrika je torej p viloma razprš a. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) n stavi ev na fin (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsi i le enti, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo k mpresijo, neka o za faktor 2. Pri alih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v nači u fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elem nti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pr - bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi d svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG tiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robuste . Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi up rabijo drugo kvan- tizacijsko matriko ko sicer. (Slika z og omno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni a erah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in nepril godljivega stiskanja travnik spremen v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike rofesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljublje i, za zdaj še patentirani format MP3. Om goča stiskanje v razl čnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti a izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mog če velik razred funkcij popolnoma rek nstru- irati iz njihovih vrednosti na dis retni m ožici točk. V knjigi [ ] najd mo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Kdaj n slednji teden bi imeli čas? i i “Legisa-vesti” 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del formacije na origin lni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s p ibližki nekate h drugih pod t v in originala ne m remo več nat nčno rekonstruirati. Na tipični slik ima kvantizir na atrika mnogo n čel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj om njena matrika Q obi- čajno sliko stisne za fakt r približno 7. Mat iki, v k teri je večina lementov n čelnih, preo ali pa nim jo posebne strukture, rečemo razpršen matrika. Kvantizirana matrika je t ej praviloma raz ršena. V fotoaparatu z vel ki sen orje (APS-C ipd.) n sta itev na fino (an- gleško fine) da kvantiz c jsko matriko z bist no manǰsimi elementi, velikosti r cimo od 1 do 6. T omeni nižjo ompres jo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijsk m trik v načinu fine i la elemente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pom ožimo atr k naz z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravim inverzno t ansf r ac jo k DCT. Dobimo pri- bliže prvo ne s ke našega kvadra a. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi i temnimi deli slike d luje sij jno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteve , hi er in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z gromno podrob ost i, k t so trava, krzno. Bolǰse k ere tak sliko prepoznajo n bistveno manj stisnejo, se pravi upor bijo drugo kvan- t zacijsko matr k kot icer. (Slik z ogro n šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo z interesirani za podr bn reprodukcijo.) Pri p ceni k merah p lahko kombinac ja n akovostnega zoom objektiva in nepril godljivega st skanja travnik spremen v zele o plundro. JPEG tudi ni najbolǰs za re- produkc jo grafičnih podrob osti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporablj jo format PNG. Za zvok je nastal na podl gi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v azličnih kovost h. Zelo ober za kompresijo zvoka je tudi prostokod i format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekat ri štud nti na izpitih rǐsejo graf »po točkah«. Ve inoma se to ne obn se. Vendar pa je mogoče vel k razred funkcij p pol oma reko stru- irati njihov h vrednosti na dis retni množici točk. V knjigi [3] n jdemo na str. 373 i rek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fouri ova transformi- rank f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Bodim i i “Legisa-vesti” — 2017/6/3 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti rgli s d l i f rmacije na rigin lni sliki (večin ma nezanimivi del), se zadovoljili s pr bliž i ne aterih drugih podatkov in or ginala ne ore o več nat čno rekon truir ti. N p čni sliki ima kvantizirana matrika mnogo čel, redvsem v desnem sp dnjem delu. Zg raj menjena m trika Q obi- čajno sl ko stisne za faktor približno 7. M ri i, v kateri je večina elementov ičelnih, pr ostal pa imajo posebn strukture, rečemo azpršena matrika. Kvantizirana matrik je torej pravilo a razpršena. V fotoaparatu z velikim s nzorjem (APS-C pd.) nastavitev na fino (an- glesk fine) da kvantiz c jsko matriko z bis veno anǰ mi el menti, velik sti recimo od 1 do 6. To p en ižjo ko pr sijo, nekako za f ktor 2. Pri malih tipalih z diag nalo p d 8 m bo kva tiz cijska matrika v nač nu fine ela elemente reci o d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno ni ajo zelo dobre ločljivos i. Pri dekod ranju pomnožim matr ko nazaj z is oležnimi elementi kvan- tiz cijske atrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotn slik našega kvadrata. Na slikah z mehkimi p ehodi med svet imi in temnim deli slik to d luje s jajno. Algoritem z JPEG stiska- nje je računsko ne ahteven, hiter in robust n. Manǰsi problem se pojavi pri sli h z ogr no pod obn stmi, kot so trava, krzn . Bolǰse kamere tako sliko pre zn in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko m trik kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zai te si ani z pod obn reprodukcijo.) Pri poceni kam rah pa ahko kombinacija nekakovostn ga zoom bjektiva in neprilagodljivega stiskanja trav ik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi n najbolǰsi za re- rodukcijo grafičnih podr bnosti. Za manǰse r sbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za z ok je astal na p dlagi JPEG pril ubljeni, za zdaj še pa entirani format MP3. Omo ča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kom re ijo zvoka je udi prostokodni format (Ogg) Vo bis. V orčenje in digitalizacija Neka eri štude ti na izpitih rǐsej grafe fu kcij »po točkah«. Večin ma se to ne obn se. V dar pa je mogoče velik razred fu kcij popoln ma reko stru- ira i iz njihovih vred ost na diskret i množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. N j bo ∈ L2(R) zv zna in n j bo njena Fourierova transformi- ra ka f̂ enaka 0 zunaj interv la [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 gnitivno prijaz i i i “Legisa-vesti” — 2017/6/ 0 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vr li sm del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi d l), se zadovolj li s pribl žki nek erih drugih p datkov in originala ne moremo več nat nčn rek nstruir ti. N tipični sliki ima kv ntizi a a atrika mnogo ni l, pre v em v d sn m spodnj m delu. Zgoraj o enjena matrika Q obi- čaj sliko s isne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je veči a elemen ov ničel ih, eostali pa ni ajo osebne st u ture, rečemo razpršena matrika. Kv ntizi an mat ik j torej pr viloma razpršena. V f to paratu z velikim se zorjem (APS C ipd.) a tavitev na fino (an- gleš fine) k an z cij ko matriko z bistven manǰsim el menti, velikosti re m od 1 d 6. T omeni nižjo k mpr sijo, nek ko za faktor 2. Pri malih tipalih z diagon l pod 8 mm bo kva ti cijska matr k v načinu fin imela elemente recimo od 1 do 15, saj us rezne optike obič no nimajo zelo dobre ločljivosti. P i dekod ranju pom oži o atriko nazaj z isto žnim elementi kvan- tiz cijs e mat ike in opr vim inverzno transform cijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvot e slike n š ga kvad at . Na slikah z mehki i prehodi med svetlim in temnimi del slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje j rač nsk nezahteve , hiter r busten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z g mno podrobn st i, kot so trava, krzno. B lǰse kamere tako sliko prep znajo in bis v no manj tisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot cer. (Slika z ogr mno šuma e tudi težava, vendar pa tu nismo z interesira i z podrobno reprodukcij .) Pri poceni kamerah pa lahko k bi c ja nekako ostnega zoom objektiva in neprilagodlj vega stiska ja t avnik sp emeni v zelen plund o. JPEG tudi ni n jbolǰsi za re- p oduk ij grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporablja o form t PNG. Za zvo je na al na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresi o zv ka je udi prostokodni f rm t (Ogg) rbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekat ri študenti na izpiti rǐsejo grafe funk ij »po točkah«. Večinoma se o e obnese. Venda pa e mog če v li raz ed funkcij popolnoma rekonstru- irati z njihovih vrednosti na d skretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: I k 1. Naj bo f ∈ L2(R) z ezna i naj bo n na Fourierova transf rmi- ranka f̂ ka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem j f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 in ne ovzročajmo sta j, v kat ri morajo drugi ugibati o naših žel ah in na- m rah. Vljudno povejmo, kaj bi si sami želeli. Za skup i izlet ali druže je predlagajmo le nekaj možnosti. Morda to ni i i “Legisa-vest ” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli s o del infor acije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne more o več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj o enjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa imajo p sebne strukture, reče o razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej pravilo razpršena. V f toaparatu z velikim senzo e (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko m triko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti r cimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diago alo pod 8 bo kvantizacijska matrika v načinu fine i ela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike o ičajno nimajo zelo do re ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogro no podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v z le o plun ro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih p drobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci r je porabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubl ni, za zdaj še patentirani format MP3. O ogoča stisk nje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka j udi prostokodni format (Og ) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija N kateri študenti n izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transfor i- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 fino vedenje i i “Leg a-vest ” — 2017 6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezani ivi del), se zad voljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več n ta čno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizir na matrika n go ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko tisne z faktor približ 7. Matriki, v kateri je večina ele entov ničelnih, preost li pa nimajo posebne strukture, r čemo razpršena matrika. Kvantizir na matrik je torej praviloma razpršena. V f t p ratu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) d kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi eleme t , velikosti reci o od 1 do 6. To pome nižjo kompresijo, ne ako z faktor 2. Pri malih tipalih z diag n lo p d 8 mm bo vantizacijsk matrika v načinu fi e imel element recimo od 1 d 15, saj ustrez e optike običaj ni ajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnoži o matriko n zaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravi o inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadr ta. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG tiska- n je računsko nezaht ven, hiter in robusten. Manǰsi proble se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so tr va, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj tisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi tež va, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija ne ak vostnega zoom objektiva i neprilagodljivega tisk nj travnik spreme i v zele o plu dro. JPEG tudi i najbolǰsi za re- pr dukcij grafičnih podrobnosti. Za manǰse ris e in grafike profesi nalci raje u orabljaj format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Om goča tiska je v različnih ak vostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi pros kodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo gra e fu kcij »p točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je m goče velik razred funkcij polnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 73 izre , ki ga ni težko dok zati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ en ka 0 zunaj intervala [− , L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 , je pa za v lažje i bolj produktivno. Navedli sm le nekaj bolj dostopnih i ma j tehničnih zgodb te vsebinsk bogate knjige. Samo besedilo se konča na strani 262. Nato imamo še obsežne Opombe z referencami in bibiliografijo. Peter Legǐsa 70 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2