"'WN . ''W LehMch der Geometrik für Lehrerbildungsttnstalten. Von U Fron; Kitter von Umiti. Mit 227 in den Text eingedruckten Holzschnitten. Mren. Druck und vertag von Carl Gerotd's Lohn. 1878. 161604 Inhalt. Seite Einleitung.1 Erster Theil. Die Planimetrie. Erster Abschnitt. Gerade Linien und Winkel. 1. Richtung und Länge der Geraden.3 2. Winkel.5 3. Parallele Linien.10 Constructions-Aufgaben.14 Zweiter Abschnitt. Bon den geradlinigen Figuren im Allgemeinen. 1. Das Dreieck.15 2. Das Viereck.20 3. Das Vieleck.21 Dritter Abschnitt. Congruenz der geradlinigen Figuren. 1. Congruenz der Dreiecke. 23 2. Congruenz der Vielecke.26 3. Anwendung der Congruenzsätze.26 Constructions-Aufgaben.33 Vierter Abschnitt. Flächeninhalt der geradlinigen Figuren. Bestimmung des Flächeninhaltes und Gleichheit der Flächen.38 Rechnungsaufgaben. 41 Constructions-Aufgaben.43 Muster Abschnitt. Aehnlichkeit der geradlinigen Figuren. 1. Geometrische Verhältnisse und Proportionen.48 2. Aehnlichkeit der Dreiecke.5t 3. Aehnlichkeit der Vielecke.54 4. Anwendung der Aehnlichkeitssätze.55 5. Flächenverhältnisse der geradlinigen Figuren . 58 Rechnungsaufgaben... ... 60 Constructions-Aufgaben .- - 62 Sechster Abschnitt. Der Kreis. 1. Der Kreis und der Punkt.66 2. Der Kreis und die Gerade.67 3. Der Kreis und der Winkel. 70 4. Zwei Kreise.72 5. Der Kreis und das Vieleck. M 6. Proportionen am Kreise.79 7. Kreismessung. ... 82 Rechnungsaufgaben. 87 Constructions-Aufgaben.89 Siebenter Abschnitt. Die Ellipse, Hyperbel und Parabel. 1. Die Ellipse.93 2. Die Hyperbel.98 3. Die Parabel.161 Constructions-Aufgaben. 103 Zweiter Thcil. Die Stereometrie. Erster Abschnitt. Gerade Linien und Ebenen im Raume. S-,t- 1. Lage der Geraden gegen eine Ebene.108 2. Lage der Ebenen gegen einander.m 3. Körperliche Ecken. 113 Geometrische Darstellung der Punkte, Linien und ebenen Gebilde des Raumes. 116 Zweiter Abschnitt. Von den Körpern im Allgemeinen. 1. Ebenflächige Körper.119 n) Das Prisma.119 b) Die Pyramide.120 o) Regelmäßige Körper.122 2. Krummflächige Körper.123 a) Der Cylinder.123 b) Ter Kegel . . ..124 e) Die Kugel. 126 Dritter Abschnitt. Grüßende st immuug der Körper. 1. Oberfläche und Cubikinhalt der Prismen. 128 2. Oberfläche und Cubikinhalt einer Pyramide und eines Pyramidenstumpfes. 132 3. Oberfläche und Cubikinhalt eines Cylinders.135 4. Oberfläche und Cubikinhalt eines Kegels und eines Kegelstumpfes . . . 136 5. Oberfläche und Cubikinhalt einer Kugel.137 Rechnungsaufgaben.139 Geometrische Darstellung der Körper.143 Dritter Theit. Grrmdzüge der ebenen Trigonometrie. Erster Abschnitt. Die Goniometrie. 1. Darstellung der Winkelfunctionen am rechtwinkligen Dreiecke..... 149 2. Darstellung der Winkelsunctionen durch Linien am Kreise und Begriffs¬ erweiterung derselben.151 3. Relationen zwischen den Winkelfunctionen desselben Winkels.155 4. Relationen zwischen den Functionen verschiedener Winkel...... 157 5. Functionen zusammengesetzter Winkel.158 6. Trigonometrische Tafeln.162 Zweiter Abschnitt. Die ebene Trigonometrie. I. Auflösung der ebenen Dreiecke.168 1. Rechtwinklige Dreiecke.168 2. Schiefwinklige Dreiecke.111 I1. Anwendungen der ebenen Trigonometrie -.118 A n h a n g. Einiges über die Aufnahme von Grundstücken. I. Messen der Strecken aus dem Felde.182 II. Messen der Winkel aus dem Felde.165 III. Aufnahme von Grundstücken.186 Einleitung Z. I. Ein von allen Seiten begrenzter Theil des Raumes wird ein Körper genannt. Die Grenzen eines Körpers heißen Flächen, die Grenzen einer Fläche Linien, die Grenzen einer Linie Punkte. Punkte, Linien, Flächen und Körper nennt man Raumgebilde. Ein Körper hat drei Ausdehnungen: Länge, Breite und Höhe (Tiefe, Dicke); eine Fläche hat nur zwei Ausdehnungen: Länge und Breite; eine Linie hat nur eine Ausdehnung: die Länge. Körper, Flächen und Linien werden, da sie Ausdehnung besitzen, auch Raumgrößen genannt. Der Punkt hat keine Ausdehnung und ist daher auch keine Raumgröße. Die Raumgebilde können durch Bewegung erzeugt werden. Bewegt sich ein Punkt, so ist der von ihm zurückgelegte Weg eine Linie. Wenn sich eine Linie, jedoch nicht in sich selbst, bewegt, so durchläuft sie eine Fläche. Bewegt sich eine Fläche, jedoch nicht in sich selbst, so ent¬ steht ein Körper. Z. 2. Eine Linie, welche durch zwei Punkte bestimmt ist, heißt eine gerade Linie, auch blos Gerade. Sie wird erzeugt, wenn sich der eine Punkt in unveränderter Richtung nach dem andern Punkte hin sortbewegt. Die beständige Richtung, in welcher sich der Punkt bewegt, heißt auch die Richtung der durch die Bewegung erzeugten Geraden. Eine Linie, welche aus geraden Linien zusammengesetzt ist, aber selbst nicht gerade ist, wird eine gebrochene Linie genannt. Eine Linie, von der kein Theil gerade ist, heißt krumm. Sie wird erzeugt, wenn ein sich bewegender Punkt fortwährend die Richtung seiner Bewegung ändert. Eine Fläche, welche durch drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, bestimmt ist, heißt eine ebene Fläche oder eine Ebene. Sie hat die Eigenschaft, daß jede Gerade, welche zwei Punkte der Ebene ver¬ bindet, ganz in die Ebene hineinfällt. Eine Fläche, von der kein Theil eben ist, Heißt krumm. Jede begrenzte Fläche wird eine Figur genannt. Eine ebene Figur ist entweder geradlinig oder krummlinig, je nachdem sie von geraden M o r n ik, Geometrie sür LehreibilduugSanstolten. 1 2 oder krummen Linien begrenzt wird. Die Grenzlinien einer Figur heißen Seiten derselben; die Gesammtheit aller Seiten bildet den Umfang der Figur. Ein Körper, welcher von lauter Ebenen begrenzt wird, heißt eben¬ flächig (eckig); ein Körper, welcher nicht von lauter ebenen Flächen begrenzt wird, heißt krummflächig (rund). Z. 3. Eine Größe messen heißt angeben, wie vielmal eine als Einheit angenommene Größe derselben Art in ihr enthalten ist. Die Zahl, welche dieses angibt, heißt die Maßzahl der Größe. Jede Raumgröße kann nur durch eine gleichartige Raumgröße gemessen werden, also eine Linie nur durch eine Linie, eine Fläche nur durch eine Fläche, ein Körper nur durch einen Körper. Die Größe einer begrenzten Linie heißt deren Länge, die Größe einer begrenzten Fläche deren Flächeninhalt, die Größe eines Körpers besten Cubikinhalt oder Volumen. H. 4. Die Wissenschaft von den Raumgebilden, insofern an ihnen die Eigenschaften des Raumes betrachtet werden, heißt Geometrie. Sie zerfällt in zwei Haupttheile: die Planimetrie und die Stereometrie. Die Planimetrie oder ebene Geometrie handelt von jenen Raumgebilden, welche in einer und derselben Ebene liegen; die Stereo¬ mer rie beschäftigt sich dagegen mit jenen Raumgebilden, die nicht in einer einzigen Ebene liegen, sondern sich auch noch außerhalb derselben ausdehnen. tz. 5. Die Geometrie behandelt ihren Stoff in Erklärungen, Grundsätzen, Lehrsätzen und Aufgaben. Eine Erklärung ist die Angabe der wesentlichen Merkmale eines Begriffes. Im weiteren Sinne versteht man darunter die Angabe alles dessen, was bei einer folgenden Entwicklung zu Grunde gelegt wird. Ein Grundsatz (Axiom) ist ein Satz, dessen Wahrheit als von selbst einleuchtend vorausgesetzt wird. Die allgemeinen mathematischen Grundsätze, die in der Arithmetik (Z. 7) angeführt wurden, kommen auch in der Geometrie zur Anwendung. Ein geometrischer Lehrsatz ist ein Satz, welcher eine geome¬ trische Wahrheit ausspricht, deren Richtigkeit nicht an und für sich ein¬ leuchtet, sondern erst bewiesen werden muß. Seine Theile sind: die Vor¬ aussetzung, welche die Bedingungen enthält, unter welchen der Satz gelten soll; die Behauptung, welche die unter der gegebenen Voraus¬ setzung stattfindende Wahrheit aus spricht; und der Beweis, daß die Behauptung aus der Voraussetzung mit Nothwendigkeit folgt. Der Beweis ist entweder direct oder indirect. Bei dem directen Beweise werden die Gründe, aus denen die Wahrheit des Satzes hervorgeht, un¬ mittelbar angegeben; der indirecte Beweis zeigt, daß das Gegentheil der Behauptung unmöglich ist. 3 Unter der Umkehrung eines Lehrsatzes versteht man einen Satz, welcher die Voraussetzung des ersten als Behauptung, und die Behauptung des ersten als Voraussetzung enthält. Wenn ein Lehrsatz wahr ist, so ist nicht immer auch dessen Umkehrung wahr; sie muß besonders be¬ wiesen werden. Sätze, welche unmittelbar oder durch einfache Schlüsse aus den vorhergehenden Lehrsätzen abgeleitet werden können, heißen Folgesätze oder Zusätze. Eine geometrische Aufgabe spricht die Forderung aus, ein geometrisches Gebilde darzustellen, welches gegebenen Bedingungen ent¬ spricht. Jede Aufgabe erfordert eine Auflösung, d. i. die Angabe des Verfahrens, wodurch die in der Aufgabe verlangte Construction (Zeichnung) ausgeführt wird. Außer den geometrischen Constructionsaufgaben gibt es auch geo¬ metrische Rechnungsaufgaben, d. i. Aufgaben, welche sich auf die Berechnung der Raumgrößen mit Hilfe der Zahlen beziehen. Erster Theil. Die Planimetrie Erster Zö schnitt. Gerade Linien und Winket. 1. Richtung und Länge der Geraden. Z. tz. Durch einen Punkt lassen sich unzählig viele gerade Linien in allen möglichen Richtungen ziehen. Ist noch ein zweiter Punkt gegeben, so wird es unter allen früheren Richtungen der Geraden eine einzige geben, in welcher die Gerade durch beide Punkte geht. Durch zwei Punkte ist eine gerade Linie vollkommen bestimmt. Zwei Gerade, welche zwei Punkte gemeinschaftlich haben, fallen zusammen und bilden eine einzige Gerade. Zwei von einander verschiedene Gerade können nur einen gemein¬ schaftlichen Punkt haben. Man sagt: sie schneiden sich in diesem Punkte, und nennt den gemeinschaftlichen Punkt ihren Durchschnittspunkt. Z. 7. Die unbegrenzte Gerade wird durch jeden in ihr liegenden Punkt in zwei Theile getheilt, deren jeder sich nur nach einer Richtung unbegrenzt ausdehnt. Eine durch einen Punkt halb begrenzte Gerade heißt Stral. Eine durch zwei Punkte ganz begrenzte Gerade heißt Strecke; die beiden Grenzpunkte nennt man ihre Endpunkte. Die Strecke zwischen zwei Punkten bestimmt die Entfernung oder den Ab stand derselben. Ein Stral wird durch den Grenzpunkt und einen zweiten in ihm liegenden Punkt, eine Strecke durch ihre Endpunkte bezeichnet. Unbegrenzte oder halb begrenzte Linien lassen sich nur der Richtung nach, Strecken der Richtung und der Länge nach mit einander vergleichen. 8- 8. Um zwei Strecken bezüglich ihrer Länge mit einander zu vergleichen, lege man dieselben so auf einander, daß der eine Endpunkt und die Richtungen derselben zusammenfallen. Wenn dann auch die anderen zwei Endpunkte zusammenfallen, die Strecken sich also decken, so sind diese einander gleich; fallen aber die anderen zwei Endpunkte nicht zusammen, so sind die Strecken ungleich, und zwar ist die- 5 jenige die kleinere, deren zweiter Endpunkt zwischen den Endpunkten der anderen Strecke liegt. ß. S. Um eine gegebene Strecke zu messen, untersucht man, wie vielmal eine andere als Längeneinheit angenommene Strecke in der¬ selben enthalten ist- Die Zahl, welche dieses angibt, ist die Maß zahl der Geraden. Die Einheit des Längenmaßes ist in den meisten europäischen Staaten das Meter. Ein Meter (">) wird in 10 Deci¬ meter (^) a 10 Centimeter (°°>) L 10 Millimeter ein- getheilt. 1000 Meter sind ein Kilometer (^), 10000 Nieter sind ein Myriameter C""). ^.0 —80^-ä.8. ß. 10. Verlängert man (Fig. 1) die Strecke ^c8 um die Strecke 80, so ist die erhaltene Strecke LO die Summe der beiden Strecken und 80; also ^.8-s-80 —^.0. l->-1 Trägt man auf eine Strecke ^0 eine kleinere L Strecke 8 0 von 0 bis 8 auf, so ist die übrig¬ bleibende Strecke ^8 die Differenz der beiden Strecken ^0 und 8 0; also Wie werden zwei gegebene Strecken n) addirt, b) subtrahirt? 2. Winkel. §. n. Gehen in einer Ebene von einem Punkte aus zwei Stralen, so heißt die Größe der Drehung, welche der eine Stral in dieser Ebene um den gemeinschaftlichen Punkt machen muß, um in die Richtung des zweiten Strales zu gelangen, der Winkel der beiden Stralen. Die zwei Stralen, welche den Winkel bilden, heißen seine Schenkel; den gemeinschaftlichen Punkt, von dem sie ausgehen, nennt man den Scheitel oder die Spitze des Winkels. Die zwischen den Schenkeln liegende ebene Drehung als vollbracht betrachtet wird, heißt die Einen Winkel bezeichnet man entweder mit einem einzigen Buchstaben, den man zwischen die Schenkel setzt, oder mit dem Buchstaben am Scheitel, oder mit drei Buchstaben, von denen einer am Scheitel und zwei an den Schenkeln stehen und der am Scheitel stehende immer in die Mitte gesetzt wird. In Fig. 2 sind 0^. und 08 die Schenkel, O der Scheitel des Winkels, und dieser selbst heißt entweder der Winkel w, oder der Winkel 0, oder der Winkel ^08 oder 80^. 8. IS. Um zwei Winkel in Bezug auf ihre Größe zu vergleichen, lege man ihre Winkelflächen so auf einander, daß der Scheitel und ein Fläche, worin die Winkelfläche. Fig. 2. 6 Schenkel des einen Winkels auf den Scheitel und einen Schenkel des anderen zu liegen kommen. Fallen dann auch die zweiten Schenkel der Richtung nach zusammen, so sind die beiden Winkel gleich; fallen aber die zweiten Schenkel nicht zusammen, so sind die zwei Winkel ungleich, und zwar ist derjenige kleiner, dessen zweiter Schenkel zwischen die Schenkel des anderen Winkels fällt. Umgekehrt: Wenn zwei Winkel gleich sind, so können sie mit ihren Winkelflächen so auf einander gelegt werden, daß, wenn die Scheitel und ein Paar Schenkel derselben zusammenfallen, auch die anderen zwei Schenkel zusammenfallen. Z. 13. Dreht man in dem Winkel ^OL (Fig. 3) den Schenkel OL von 0^ weg um den Winkel LOO, so daß er in die Richtung 00 kommt, so ist der neu entstehende Winkel ^00 die Summe der beiden Winkel ^OL und LOO; also F'S-3' L.OL > LOO ^.00. Dreht man dagegen in dem Winkel 0 0 den Schenkel / /2? 0 0 gegen OX um den kleineren Winkel LOO, so / / daß er in die Richtung O L kommt, so ist der übrig - // bleibende Winkel ^.OL die Differenz der Winkel ^00 und LOO; also 0 r ^OO-LOO-^OL. Wie werden zwei Winkel n) addirt, i>) subtrahirt? ß. 14. Dreht sich ein Stral um seinen Grenzpunkt in einer Ebene herum, so nimmt er nach und nach alle Richtungen an, welche in der Ebene von diesem Punkte aus möglich sind, und bildet daher mit seiner anfänglichen Richtung alle um jenen Punkt möglichen Winkel. 1. Legt der bewegliche Stral den vierten Theil einer voll¬ ständigen Umdrehung zurück, so heißt der dadurch erzeugte Winkel ein rechter Winkel. Alle rechten Winkel sind einander gleich. Der rechte Winkel wird gewöhnlich mit dem Buchstaben L bezeichnet. 4 Ein Winkel, zu dessen Entstehung weniger als eine Vierteldrehung erforderlich ist, heißt ein spitzer, L und ein Winkel, zu dessen Erzeugung mehr als eine / Viertel-, aber weniger als die halbe Umdrehung er- / fordert wird, ein stumpfer Winkel. Ein spitzer Winkel ist demnach kleiner, ein stumpfer größer als 0 ein rechter; beide werden auch schiefe Winkel genannt. Hat (Fig. 4) der Stral 0^, wenn er in die Lage OL gelangt ist, den vierten Theil einer vollen Umdrehung zurückgelegt, so ist ^.0 L ein rechter, ^.00 ein spitzer und ^.OO ein stumpfer Winkel. Zwei Winkel, welche sich zu einem Rechten ergänzen, heißen Com- plementwinkel, wie z. B. ^.00 und OOL. 2. Menn der bewegliche Stral eine halbe Umdrehung gemacht hat, so kommt er in eine Richtung, welche seiner anfänglichen Richtung 7 entgegengesetzt ist. Der Winkel, welcher durch diese Drehung erzeugt wird, dessen Schenkel daher entgegengesetzt in einer geraden Linie liegen, heißt ein gestreckter Winkel. Ein gestreckter Winkel ist gleich zwei Rechten. Alle gestreckten Winkel sind einander gleich. Fig. 5. Ein Winkel, der kleiner als ein gestreckter ist, heißt ein h o h ler, und ein Winkel, der größer i als ein gestreckter ist» ein erhabener Winkel. In Fig. 5 ist ^.OL ein gestreckter, ^.00 ein hohler, L.OV ein erhabener Winkel. Jedem I hohlen Winkel zweier Stralen entspricht immer v/V auch ein erhabener Winkel derselben; wenn jedoch / nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird, / ist unter dem Winkel zweier Stralen stets der -v hohle Winkel zu verstehen. Zwei Winkel, welche sich zu zwei Rechten oder zu einem gestreckten Winkel ergänzen, heißen Supplementwinkel, wiez. B. ^.00 und 60L. 3. Nach einer ganzen Umdrehung gelangt der bewegliche Stral wieder in seine ursprüngliche Lage. Der Winkel, der durch diese Drehung entsteht, heißt ein voller Winkel. Seine Schenkel fallen zusammen. Ein voller Winkel ist gleich zwei gestreckten Winkeln oder vier Rechten. Z. 15. Um einen Winkel zu messen, nimmt man irgend einen bekannten Winkel als Einheit an und untersucht, wie vielmal derselbe in dem gegebenen Winkel enthalten ist. Die Einheit des Winkelmaßes ist der Grad (°), d. i. der 360ste Theil eines vollen Winkels. Ein Grad wird in 60 Minuten ('), eine Minute in 60 Secunden (") eingetheilt. Wie viel Grade hat s) ein voller, t>) ein erhabener, o) ein gestreckter, ck) ein rechter, o) ein spitzer, t) ein stumpfer Winkel? Das einfachste Mittel der Winkelmessung bietet die Kreislinie. Z. lü. Dreht sich eine Strecke O^. (Fig. 6) um den Punkt O in derselben Ebene herum, bis sie wieder in ihre ursprüngliche Lage kommt, so beschreibt während dieser Drehung der Punkt X eine krumme Linie XL6I)^, welche Kreislinie oder Kreis heißt. g Die Kreislinie ist demnach eine Linie, deren alle Punkte von einem innerhalb liegenden Punkte -. » gleich weit abstehen. Dieser Punkt heißt der / Xx Mittelpunkt oder das Centrum, und jede / X vom Mittelpunkte nach der Kreislinie gezogene X HX—Strecke, wie O^., 08, ein Halbmesser ( / / (rnäius) des Kreises. V / / Eine Strecke LL, welche zwei Punkte der x/ Kreislinie verbindet, heißt Sehne. Geht die —" Sehne durch den Mittelpunkt, wie ^.0, so heißt sie ein Durchmesser des Kreises. 8 Jeder Theil der Kreislinie, wie^Llk, heißt ein Bogen (arous), und die ganze Kreislinie der Umfang oder die Peripherie des Kreises. Die Hälfte des Umfanges heißt insbesondere ein Halbkreis, der vierte Theil desselben ein Quadrant. Ein Winkel ^08, dessen Scheitel im Mittelpunkte des Kreises liegt, dessen Schenkel also Halbmesser sind, heißt ein Centriwinkel. Aus den voranstehenden Erklärungen folgt: a) Alle Halbmesser eines Kreises sind einander gleich. b) Zeder Durchmesser eines Kreises ist doppelt so groß als ein Halb¬ messer. o) Alle Durchmesser eines Kreises sind einander gleich. Z. 17. Lehrsatz. Zu gleichen Centriwinkeln eines Kreises gehören gleiche Sehnen und gleiche Bogen. - Bo raus s. Es sei 0 (Fig. 7) der Mittel- o'g ' Punkt des Kreises und Winkel ^e08 — 60V. § Behaupt. Sehne ^8 — 6O und v Bogen 8 0 v. Beweis. Legt man den Winkel 00V so / auf den Winkel 1^08, daß die Halbmesser 00 I 0^-und Ov auf die Halbmesser 0^ und 0 8 zu / liegen kommen, was wegen der Gleichheit der X / beiden Winkel möglich ist, so müssen wegen der _Gleichheit der Halbmesser auch die Punkte 0 und v auf die Punkte X und 8 fallen; folglich ist die Sehne ^8 Ov. Fallen aber die Sehnen L8 und Ov auf einander, so müssen sich auch die Bogen ^8 und Ov decken, weil sonst nicht alle Punkte derselben vom Mittelpunkte gleich weit entfernt wären; also ist auch Bogen ^.8 — Ov. tz. 18. Um einen Kreisbogen zu messen, nimmt man irgend einen bekannten Bogen desselben Kreises als Einheit an und untersucht, wie vielmal derselbe in dem gegebenen Bogen enthalten ist. Die Einheit des Bogenmaßes ist ein Bogengrad (°), d. i. der 360ste Theil des ganzen Kreisumfanges. Einen Bogengrad theilt man in 60 Bogenminuten 0, eine Bogenminute in 60 Bogen- secunden (") ein. Wird der volle Centriwinkel eines Kreises in 360 gleiche Theile, Winkelgrade, getheilt, so wird durch die Schenkel nach Z. 17 auch der Umfang des Kreises in 360 gleiche Bogen, deren jeder ein Bogengrad ist, getheilt. Zu einem Winkelgrade gehört also auch ein Bogengrad; ebenso zu einer Winkelminute eine Bogenminute, zu einer Winkelsecunde eine Bogensecunde. Hiernach drückt die Zahl der Grade, Minuten und Secunden eines Kreisbogens zugleich die Zahl der Grade, Minuten und Secunden des zugehörigen Centriwinkels aus. In diesem Sinne sagt man: Der Kreisbogen ist das Maß des zugehörigen Centriwinkels. 9 Aus der Messung der Winkel durch Kreisbogen beruht der Gebrauch des Transporteurs. Wie wird ein gezeichneter Winkel mit Hilfe des Transporteurs gemessen? Wie wird ein in Graden gegebener Winkel mit Hilfe des Transporteur- gezeichnet? Z. IS. Zwei Winkel, welche denselben Scheitel und einen gemein¬ schaftlichen Schenkel haben, und deren andere Schenkel auf entgegengesetzten Seiten des gemeinschaftlichen Scheitels in einer geraden Linie liegen, heißen Nebenwinkel; z. B. (Fig. 8) ^08 und 800, ebenso 7^.00 und VOO. Fig- 8. Lehrsatz. Die Summe zweier Neben¬ winkel ist gleich zwei Rechten. Denn sie bilden zusammen einen gestreckten Winkel. Wie groß ist der Nebenwinkel eines Winkels von L L) 58°, b) 110°, e) 97°, ä) 82° 35', s) 136° 12', f) 73° 8' 43"? Folgesätze. s) Sind zwei Nebenwinkel gleich, so ist jeder von ihnen ein rechter; sind zwei Nebenwinkel ungleich, so ist der eine ein spitzer, der andere ein stumpfer Winkel. b) Die Summe aller Winkel, welche auf einer Seite einer geraden Linie liegen und einen gemeinschaftlichen in ihr liegenden Scheitel haben, ist gleich zwei Rechten. Denn alle diese Winkel betragen zusammen einen gestreckten Winkel, o) Die Summe aller Winkel, welche in einer Ebene um einen Punkt herum liegen, ist gleich vier Rechten. Denn verlängert man einen beliebigen Schenkel eines dieser Winkel über den Scheitel hinaus, so betragen die Winkel auf jeder Seite dieses verlängerten Schenkels 2 8, folglich alle Winkel zu beiden Seiten des¬ selben 4 8. Z. 2V. Bildet eine Gerade mit einer andern rechte Winkel, so heißen die beiden Geraden senkrecht, sonst schief auf einander. So ist (Fig. 8) 80 senkrecht auf ^.0, VO schief auf 7^0, wenn der Winkel 7^08 — 008 — 8 ist. Daß 80 auf 7^.0 senkrecht steht, wird angezeigt: 80 ^0. H. 21. Zwei Winkel, bei denen die Schenkel des einen die Ver¬ längerungen der Schenkel des andern über den Scheitel sind, heißen Scheitelwinkel, wie a und o, oder i> und ä (Fig. 9). Lehrsatz. Je zwei Scheitelwinkel sind einander gleich. Voraus s. s und e sind Scheitelwinkel. Behaupt, a — o. 10 Beweis, a -j- k — 2K als Nebenwinkel, 8 -j- o — 2 k „ ,, also a -s- 3 — b -j- e, und wenn man beiderseits la wegnimmt, a — o. Eben so kann man beweisen, daß b — 6 ist. 3. Parallele Linien. Z. 22. Werden zwei gerade Linien von einer dritten geschnitten, so entstehen an den beiden Durchschnittspunkten acht Winkel. Die vier Winkel, welche zwischen den geschnittenen Geraden liegen, heißen innere, die anderen vier äußere Winkel. In Fig. 10 sind ^8 und 6V die geschnittenen Geraden, kk die schneidende Gerade; o, ä, na, n sind innere, a, d, o, p sind äußere Winkel. Fig- io. äußerer und ein innerer Winkel auf derselben Seite der Schneidenden und an verschie¬ denen Scheiteln heißen Gegenwinkel; wie n und m, b und n, c und o, 6 und x. Zwei äußere oder auch innere Winkel auf den entgegengesetzten Seiten der Schneidenden und an verschiedenen Scheiteln werden Wechselwinkel genannt; wie u und p, la und o, o und n, ä und na. Zwei äußere oder zwei innere Winkel aus derselben Seite der Schneidenden und an verschie¬ denen Scheiteln heißen Anwinkel; wie a und o, la und p>, o und na, ä und n. H. 23. Lehrsätze. 1. Wenn beim Durchschnitte zweier Ge¬ raden durch ein e dritte irgend zwei Gegenwinkel gleich sind, so sind n) auch je zwei andere Gegenwinkel gleich, b) je zwei Wechselwinkel gleich und o) je zwei Anwinkel Sup¬ plementwinkel. (Fig. 11.) Voranss. a — rn. Erste Behaupt, la — n, a — o, ä — p. Beweis, n -s- la — 2R als Nebenwinkel, na -s- n — 2 k als Nebenwinkel, a -j- k — na Z- n, a — in nach der Voraussetzung, folglich b — n. Eben so wird bewiesen, daß Seite liegenden Theil 086^ bringen, daß 68 auf 86, 68 in die Richtung 86 und 8V in die Richtung 6^. fällt. Würden nun die Geraden ^8 und Ov auf der einen Seite von 88 in einem Punkte Zusammentreffen, so müßte diesem Durchschnittspunkte auch einer auf der anderen Seite ent¬ sprechen; dann hätten aber ^.8 und 6 V zwei Punkte gemeinschaftlich, was der Grundvorstellung der geraden Linien widerspricht. Die Geraden ^8 und 6V können also nicht Zusammentreffen; folglich muß L8 Ov sein. Da (Z. 23) zwei Wechselwinkel auch gleich sind, wenn zwei Gegen¬ winkel einander gleich, oder wenn zwei Anwinkel Supplementwinkel sind, so ist der obige Lehrsatz vollständig bewiesen. 2. Werden zwei parallele Gerade von einer dritten Geraden geschnitten, so sind a) je zwei Wechselwinkel gleich, i>) je zwei Gegenwinkel gleich, und o) je zwei Anwinkel Supplementwinkel. (Umkehrung des Lehrsatzes 1.) « Man braucht hier nur zu zeigen, daß unter der gegebenen Vor¬ aussetzung zwei Wechselwinkel gleich sind, indem dann nach Z. 23 auch die übrigen Behauptungen zutreffen. Fig- Boraus s. ^.8 Ov (Fig. 14). D/ Behaupt. W. 868 086. . Beweis. Wenn 868 nicht ^086, so -L ist 868 > 086 oder 868 > 086. Wäre / >7»- 8 68 >086, so ziehe man die Gerade LI 8 so / durch 6, daß 868 — 086 wird; dann wäre LI 8 Ov, was nicht möglich ist, da nach der Voraussetzung 8 0 v ist und durch einen Punkt 6 zu einer Geraden nur eine Parallele gezogen 13 werden kann. Ebenso läßt sich zeigen, daß 868 nicht kleiner als 086 sein könne. Es muß also 86 8 — 686 sein. Zwei Parallele und 60 werden von der Geraden LI? in den Punkten 6 und 8 so geschnitten, daß der Winkel L8L s) 57°, b) 81° 49', e) 123° 8' 3S" beträgt; wie groß ist in jedem Falle jeder der übrigen an den Durchschnittspunkten entstehenden Winkel? Z. re. Wenn zwei Gerade in einer Ebene nicht parallel sind, so heißen sie nach der Seite ihres Durchschnittes hin convergirend, nach der anderen Seite hin divergirend. Lehrsatz. Werden zwei Gerade von einer dritten so ge¬ schnitten, daß die Summe der inneren Anwinkel auf einer Seite der Schneidenden kleiner ist als zwei Rechte, so con- vergiren die beiden G eraden nach dieser Seite hin. (Fig. 14.) Vorauss. 868 -s- 688 <28. Vorauss. ^8 88 und 08 88. Behaupt. ^.8 ß 08. Beweis. Da ^8 88, istm—8; da OD-s. 88, ist auch n —8; folglich ist m n, 'daher ^8^08 (Z. 25, 1). Behaupt. Die Geraden LI 8 und 6V convergiren nach rechts. Beweis. Es sei die Gerade ^.68^08 gezogen; dann ist 868 -s- 688 2 8 (Z. 25), und weil 868 -s- 688<28 (nach der Vorauss.), so ist auch 368 >8 68. Es fällt also 68 zwischen 68 und 88; folglich convergiren die Geraden LI8 und 08 nach rechts. 8- 27. Lehrsätze. 1. Stehen zwei Gerade auf einer dritten senkrecht, so sind sie parallel (Fig. 15). Fig. 15. .4 2. Steht von zweiParallelen die eine au feiner Geraden senkrecht, so steht auch die andere auf ihr senkrecht. (Umkehrung von 1.) Vorauss. ^8^08 und ^.8 88. Behaupt. 68 88. Beweis. Weil H.8^68, so ist w — v (8-25, 2); da ^3 88, ist m --- 8; folglich ist auch n --- 8, d. i. 08 88. 3. Von einem Punkte außerhalb einer Geraden kann zu dieser nur eine Senkrechte gezogen werden. Jndireter Beweis. Ließen sich von dem gegebenen Punkte zu der gegebenen Geraden mehrere Senkrechte ziehen, so müßten sie nach 1. einander parallel sein, was nicht möglich ist, da sie einen gemein¬ schaftlichen Punkt hätten. 14 4. In einem Punkte einer Geraden kann auf diese nur eine Senkrechte errichtet werden. Beweis wie zu 3. Z. 28. Ist (Fig. 16) VL und I! ^.0, so sind rn und a zwei Winkel, deren parallele Schenkel nach derselben Seite gerichtet sind; sie sind einander gleich, weil beide dem gemein¬ schaftlichen Gegenwinkel x gleich sind; also m — u. Die Schenkel der Winkel v und a sind auch paarweise parallel, es sind jedoch nur zwei parallele Schenkel nach derselben Seite, die beiden andern aber nach entgegengesetzten Seiten gerichtet; da n -s- m — 2 R ist und statt w auch der Winkel n gesetzt werden kann, so ist auch n -s- a — 2 k. Daraus folgt: Zwei Winkel, d er en Schenkel paarweise parallel sind, sind u) einander gleich, wenn beide Paare der Schenkel nach derselben Seite gerichtet sind; dagegen b) Supplement¬ winkel, wenn zwei Schenkel nach ders elben Seite, die beiden anderen aber nach entgegengesetzten Seiten gerichtet sind. Z. 29. Es sei (Fig. 17) v L _s. 8 und v I' .1^ ^.0. Man drehe die Schenkel VD und VI^ des Winkels KOD' als eine feste Verbin¬ dung um den Scheitel I) um einen rechten Winkel, so daß sie in die Lage O und v k" kommen. In I haben nun die Winkel und L^O paarweise parallele und nach den¬ selben Seiten gerichtete Schen- - kel; also ist Winkel L?I> -- — folglich auch Winkel LVI? — H^.6. In II sind auch die Schenkel der Winkel L'I)^ und II (' paarweise parallel, jedoch ein Paar nach derselben, das andere Paar nach entgegengesetzten Seiten gerichtet; also ist folglich auch Winkel — 2R. Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise auf einander senkrecht stehen, sind entweder einander gleich oder Supple¬ mentwinkel. Wann findet die erste und wann die zweite Beziehung statt? Fig. 16. §7) 77 Constructioris-Aufgaben. 1. In einem Punkte (Fig. 18) an eine Gerade Zu verzeichnen, welcher einem gegebenen Winkel gleich ist. 15 M einen Kreisbogen, welcher den von aus beschriebenen Bogen in 8' schneidet. Zieht man nun durch und 8 die Gerade 6', so ist L'H/O der verlangte Winkel. Beweis durch Deckung. 2. Durch einen Punkt 6l außerhalb einer Geraden 01) mit dieser eine Parallele zu ziehen. Auflösung. 1. Man ziehe (Fig. 13) durch 6 eine Gerade, welche die 08 in 11 schneidet, und construire in O an der 68 den Winkel 86L — 888; der zweite Schenkel 6 L des construirten Winkels ist die gesuchte Parallele (K. 25, 1). Auflösung. Man beschreibe aus mit einem beliebigen Halb¬ messer einen Kreisbogen, welcher die Schenkel des gegebenen Winkels Fig. i8. in LI und 8 schneidet; mit dem- selben Halbmesserbeschreibe man auch aus einen Bogen, welcher die ^/8 in Lk durch¬ schneidet; endlich beschreibe man mit dem Abstande der Punkte LI und 8 als Halbmesser aus Auflösung 2. Man beschreibe (Fig. 19) aus 6 mit einem hinreichend großen Halbmesser den Bogen Ll 8, aus LI mit demselben Halbmesser den Bogen 6?, endlich aus LI mit der Sehne 8 k als Halbmesser einen Bogen, welcher den Bogen LI8 in tz schneidet; die durch 6 und H gezogene Gerade ist die ge¬ suchte Parallele. Denn nach der Auflösung der I. Aufgabe ist u — d, und daher Otz08 (Z. 25, 1). F>g. 19. Zweiter Abschnitt. Von den geradlinigen Figuren im Allgemeinen. 1. Das Dreieck. §. 3«. Eine von drei Strecken begrenzte ebene Figur wird ein Dreieck genannt. 16 Fig. 20. Bei jedem Dreiecke hat man auf sechs Be¬ standstücke Rücksicht zu nehmen, auf drei Seiten und auf drei Winkel. Jede Seite, z. B. ^8 (Fig. 20) hat zwei anliegende Winkel X und 8, und einen gegenüberliegenden 0; jeder Winkel, z. B. wird von zwei Seiten ^.8 und ^0 eingeschlossen, die dritte 8 0 liegt ihm gegenüber. §. 31. Lehrsatz. Die Summe aller Winkel eines Drei¬ eckes ist gleich zwei Rechten. b'S- 21' Beweis. Zieht man durch 0 (Fig. 21) Ä...... e vL !, ^8, so ist n, 1 ^ch 8. 25, 2; / X daher n-j-d-j-o — m-j-n-j-o; / V nun ist ra-j-rl-j-L—2 R (§. 19, Folges.k), folglich muß auch a-f-b-f-L — 28 sein. Folgesätze. a) Die Summe zweier Winkel ist kleiner als zwei Rechte; ein Dreieck kann daher nur einen rechten, sowie auch nur einen stumpfen Winkel enthalten, und die beiden anderen müssen spitze Winkel sein. b) Sind zwei Winkel eines Dreieckes zwei Winkeln eines andern Dreieckes gleich, so müssen auch die dritten Winkel in beiden Drei¬ ecken gleich sein. In einem Dreiecke sind zwei Winkel 1) a m 68°. 2) a — 35° 57", 3) a 55° 39' 25» st --- 73°; st — 102° 18'; st — 81° 17' 46"; wie groß ist der dritte Winkel 7 ? 8- 32. Mit Rücksicht auf die Winkel werden die Dreiecke in spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige eingetheilt (Fig. 22). Fig. 22. O8J ein stumpfwinkliges Dreieck. Ein Dreieck heißt spitz¬ winklig, wenn alle drei Win¬ kel spitz sind; rechtwinklig, wenn darin ein rechter; stumpf¬ winklig, wenn darin ein stumpfer Winkel vorkommt. ^.80 ist ein spitzwinkliges, VDD ein rechtwinkliges und In einem rechtwinkligen Dreiecke heißt die Seite DI?, welche dem rechten Winkel gegenüber liegt, die Hypotenuse: die beiden Seiten OD und OD, welche den rechten Winkel bilden, werden die Katheten genannt. Das spitz- und das stumpfwinklige Dreieck bezeichnet man mit dem gemeinschaftlichen Namen schiefwinklige Dreiecke. 17 8- 33. Verlängert man in einem Dreiecke eine Seile, so heißt der Winkel, welcher von dieser Verlängerung mit der anstoßenden Seite ge¬ bildet wird, ein Außenwinkel des Dreieckes; z. B. 6 LV (Fig. 23) ist ein Außenwinkel des Dreieckes ^80. 23. Lehrsatz. Jeder Außenwinkel L eines Dreieckes istgleich der Summe der beiden inneren ihm nicht an- / X liegenden Winkel. ,/ X Beweis. Es ist m-s- d — 2 R, -X?.-XXü-ferner u-s- b-j-o — 2L; daher auch m-s-b — a>l>->-o, oder wenn man beiderseits den Winkel d wegnimmt, m — a -s- e- Folgesatz. Jeder Außenwinkel eines Dreieckes ist größer als ein innerer ihm nicht anliegender Winkel. Wie groß ist die Summe aller drei Außenwinkel eines Dreieckes? Hwei innere Winkel eines Dreieckes sind s) 43° und 71°, b) 59° 27- 45" und 102° 8' 52"; wie groß ist der gegenüberliegende Außenwinkel? In einem rechtwinkligen Dreiecke ist der eine Außenwinkel an der Hypotenuse rc) 98°) b) 124° 31-, e) 145" 28- 50"; wie groß ist der zweite Außenwinkel an der Hypotenuse? Z. 34. In Hinsicht der Seiten werden die Dreiecke in u n- gleichseitige, gleichschenklige und gleichseitige eingetheilt (Fig. 24). Fig. 24. Seiten gleich sind, heißt gleichseitig, Ein Dreieck, in welchem jede Seite von jeder anderen ver¬ schieden ist, heißt ungleich¬ seitig, wie ^.80; ein Drei¬ eck, in welchem zwei Seiten gleich sind, heißt gleich¬ schenklig, wie vv^; ein Dreieck, in welchem alle drei wie VVI. Im gleichschenkligen Dreiecke nennt man die beiden gleichen Seiten vv und LV die Schenkel, die dritte Seite vv die Grundlinie, und den dieser gegenüberliegenden Eckpunkt L die Spitze oder den Scheitel. Z. 35. Beziehungen zwischen denSeiten eines Drei¬ eckes und den ihnen gegenüberliegenden Winkeln. 1. Gleichen Seiten eines Dreieckes liegen gleiche Winkel gegenüber (Fig. 25). Vorauss. ^0 80. Behaupt. 8 — Beweis. Man stelle sich das Dreieck I noch einmal, jedoch um¬ gewendet, vor, wie in II, und lege das Dreieck II so auf I, daß 0 auf Moönil, Geometrie für Lehrerbildungsanstalten. 2 18 0 und die Seiten 08 und O/V des Dreieckes II längs der Seiten 0^ und 08 des Dreiecks I zu liegen kommen, was möglich ist, weil die Fig. 25. Winkel 0 in beiden Dreiecken gleich sind. Dann müssen wegen 80 — ^0 auch die Punkte 8 und L. des Dreieckes II in die Punkte und 8 des Dreickes I, und somit die Seite 8 /V des ersteren auf die Seite ^.8 des letzteren fallen; es deckt also der Winkel 8 des Dreieckes II den Winkel des Dreieckes I; folglich - 8. Folgesätze. a) In einem gleichschenkligen Dreiecke sind die Winkel an der Grund¬ linie einander gleich. Durch einen Winkel eines gleichschenkligen Dreieckes sind alle bestimmt. d) Der Außenwinkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes ist doppelt so groß als jeder Winkel an der Grundlinie (Z. 33). «) In einem gleichseitigen Dreiecke sind alle drei Winkel einander gleich, und daher jeder 60". 2. In jedem Dreiecke liegt der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber (Fig. 26). Voraus s. 80>^0. Behaupt. W. 8^0 >^.80. Beweis. Man mache O I) — 0 und ziehe die Strecke H.V. Dann ist dem gleichschenkligen Dreiecke O^D der Winkel O^.0 —^VO; aber Winkel 8^0 > V^O; folglich auch Winkel 8^.0 >^.86. Nun ist ^.86 ein Außenwinkel des Dreieckes 8 8 und daher größer als der innere entgegengesetzte Winkel 8 0; somit muß um so mehr Winkel 8^.0 > ^.80 sein. 3. In jedem Dreiecke liegen gleichen Winkeln gleiche Seiten gegenüber (Fig. 25). Vorauss. — 8. Behaupt. 86 — ^.0. Beweis. Wäre 80 nicht — ^.0, so müßte 80 ^.0 sein. Allein dann wäre nach dem vorhergehenden Satze auch 8, was der Voraussetzung — 8 widerspricht. Es muß daher 80 — ^0 sein. 4. In jedem Dreiecke liegt dem größeren Winkel auch die größere Seite gegenüber. Es sei (Fig. 26) der Winkel 8^.0 > ^80. Gesetzt, es sei nicht 8 0 > 0, so müßte 8 0 — ^.0 oder 8 0 < ^0 sein. Aus der ersten Annahme würde folgen, daß 8^.0 — ^.80 ist; aus der zweiten, daß 8^.0-c ^.80 ist; beides widerstreitet der Voraussetzung 8^0 > H.80. Es muß daher 80 > t^O sein. F'g- 26. 19 Folgesätze. a) Im rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse größer als jede Kathete. k) Im stumpfwinkligen Dreiecke ist die dem stumpfen Winkel gegen¬ überstehende Seite die größte. Der Winkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes ist a (62" 36'); wie groß ist jeder Winkel an der Grundlinie? In einem gleichschenkligen Dreiecke ist ein Winkel an der Grundlinie ß (49° 27' 28"); wie groß ist der Winkel am Scheitel? Wie groß ist jeder Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen recht- winkligen Dreieckes? Wie groß sind die Winkel in einem gleichschenkligen Dreiecke, wenn der Winkel am Scheitel s) eben so groß, b) doppelt so groß, e) halb so groß als einer der Winkel an der Grundlinie ist? 8- 3S. Verbindet man einen beliebigen Punkt eines Halbkreises mit den Endpunkten seines Durchmessers durch zwei Sehnen, so bilden diese einen rechten Winkel. Fig- 27. Vorauss. Es sei 0 (Fig. 27) der Mittel- _ X punkt und ^8 der Durchmesser eines Halbkreises. ^^X Behaupt. Winkel ^.08 — 8. / x" / x. Beweis. Man ziehe 06; dann ist 0^ — / X —00 — 08, daher (nach ß. 35, 1) m — X 0 ö n — 8; folglich m -s- n — ^08 — ^-s-8. Daraus folgt 2 ^08 L -F 8 -F ^08 ^28, und ^.08 8. Z. 37. Beziehungen zwischen den Seiten eines Dreieckes. 1. In jedem Dreiecke ist die Summe je zweier Seiten größer als die dritte Seite. Fig. 28. Es sei ^80 (Fig. 28) ein Dreieck, dessen größte Seite L. 8 ist. Denkt man sich 01) X _ ^8, /X, so ist (nach Z. 35, 4. Folges. a) /x 0 > 0, und / X 80>80, daher /—1-0 -j- 8 0 > 4- 8V, oder ^0-P80>^8. Daß ^.8 -s-LO > ^0 und ^.8 -s- ^.0 > 80 ist, folgt un¬ mittelbar aus der Voraussetzung. 2. In jedem Dreiecke ist die Differenz je zweier Seiten kleiner als die dritte Seite (Fig. 28). Nach dem vorhergehenden Satze ist ^8 <^04-80 und 80 <^.84-^0, folglich auch L.8 - ^0 < 80, ^.8 — 80 < ^0 und 80 — ^.0 < ^.8. Z. 38. Wird von einem Punkte außerhalb einer Geraden zu dieser eine senkrechte oder eine schiefe Gerade gezogen, so heißt ihr Durchschnitt mit der gegebenen Geraden der Fußpunkt der anderen Geraden. 2» 20 Lehrsatz. Zieht man von einem Punkte außerhalb einer Geraden zu dieser eine senkrechte und mehrere schiefe Strecken, so ist 1. die Senkrechte die kürzeste unter allen Strecken; 2. zwei schiefe Strecken, deren Fußpunkte auf der ge¬ gebenen Geraden von dem Fußpunkte der Senkrechten gleich weit abstehen, sind einander gleich; und 3. von zwei schiefen Strecken, deren Fußpunkte auf der Geraden von dem Fußpunkte der Senkrechten ungleiche Entfernungen haben, ist die entferntere die größere. Fig. 29. <7 1. Ist (Fig. 29) 08 Z, ^8, so ist in den rechtwinkligen Dreiecken 088, 088, 086 die Kathete 08 kürzer als jede der Hypotenusen 08, 08, 06. 2. Ist 08 -4.8 und 88 86, so muß, wenn man das/^086 so auf das /X 088 legt, daß 6 8 auf 0 8 und 8 0 längs der 8 8 0 F F' zu liegen kommt, wegen der Gleichheit der Winkel 08 8 und 688 und wegen der Gleichheit der Strecken 86 und 88 der Punkt 6 auf 8, also auch 06 auf 08 fallen; folglich ist 08 — 06. 3. Ist 08 j ^8, so ist in dem rechtwinkligen Dreieck />,088 der Winkel 088 spitz, daher sein Nebenwinkel 088 stumpf, und somit im stumpfwinkligen /V 088 die Seite 08 > 08. Folgesatz. Von einem Punkte außerhalb einer Geraden können zu dieser immer zwei, aber auch nur zwei gleich lange schiefe Strecken gezogen werden. Zusatz. Unter der Entfernung oder dem Ab stände eines Punktes von einer Geraden versteht man die kürzeste Linie zwischen beiden, also die von dem Punkte zu der Geraden gezogene Senkrechte. 8- 3S. Nimmt man irgend eine Seite t^8 eines Dreieckes als Grundlinie an, so heißt die Senkrechte 08, welche von dem gegen¬ überliegenden Eckpunkte auf diese Seite gefällt wird, die zugehörige Höhe des Dreieckes. Die Lage der Höhe eines Dreieckes hängt von den Winkeln an der Grundlinie ab. Wann fällt die Höhe s) innerhalb des Dreieckes, b) in eine Seite, c) außer¬ halb des Dreieckes? Fig. 30. 2. Das Viereck. 8- Eine von vier Strecken begrenzte ebene Figur heißt ein Viereck. Die Strecke ^0 (Fig. 30), welche zwei gegen¬ überstehende Eckpunkte des Viereckes verbindet, heißt eine Diagonale. Ein Viereck hat vier Seiten, vier Winkel und zwei Diagonalen. 21 Z. 41. Mit Rücksicht auf die gegenseitige Lage der Seiten werden die Vierecke in Trapezoide, Trapeze und Parallelo¬ gramme eingetheilt (Fig. 31). Fig. 3l- Ein Trapezoid —-v —-. .-ist ein Viereck, in welchem X / n ) /m / Eeine Seite mit einer / X / X / andern parallel ist, wie I. Ein Trapez ist ein Viereck, in welchem nur zwei gegenübersteheude Seiten parallel, die andern zwei Seiten aber nicht parallel sind, wie II. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in welchem je zwei gegenüberstehende Seiten parallel sind, wie III. Z. 42. Lehrsatz. Die Summe aller Winkel eines Vier¬ eckes ist gleich vier Rechten. Beweis. Theilt man (Fig. 30) das Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke, so beträgt die Winkelsumme in jedem derselben zwei Rechte, also in beiden zusammen vier Rechte. Z. 43. Lehrsatz. In einem Parallelogramm sind je zwei gegenüberliegende Winkel gleich. Beweis. Je zwei an einer Seite liegende Winkel sind nach 25, 2 gleich zwei Rechten, daher je zwei gegenüberliegende Winkel gleich. Da in einem Parallelogramme je zwei gegenüberliegende Winkel einander gleich und je zwei an einer Seite liegende Winkel Supplement¬ winkel sind, so folgt: u) Ist in einem Parallelogramme ein Winkel ein rechter, so sind es auch die anderen. i>) Ist ein Winkel des Parallelogramms ein schiefer, so sind es auck die anderen. Man unterscheidet daher rechtwinklige und schiefwinklige Parallelogramme. In einem Parallelogramme ist ein Winkel ») 59° 37', b) Il>2° 18' 45"; wie groß ist jeder der drei anderen Winkel? Z. 44. Nimmt man in einem Parallelogramme irgend eine Seite als Grundlinie an, so heißt die Senkrechte, welche von einem belie¬ bigen Punkte der gegenüberstehenden Seite auf die Grundlinie gefällt wird, die zugehörige Höhe des Parallelogramms. In einem rechtwinkli¬ gen Parallelogramme betrachtet man von zwei zusammentreffenden Seiten die eine als Grundlinie und die andere als Höhe. Unter der Höhe eines Trapezes versteht man die Senkrechte, welche von einem Punkte der einen parallelen Linie auf die andere paral¬ lele Seite gezogen wird. 3. Das Vieleck. Z. 45. Jede von mehreren Strecken begrenzte ebene Figur heißt ein Vieleck oder Polygon. 22 Ein Vieleck hat so viele Seiten als Winkel, und eben so viele Eck¬ punkte. Die Winkel können hohl oder erhaben sein. Eine Strecke, welche zwei nicht unmittelbar auf einander folgende Eckpunkte des Vieleckes verbindet, heißt eine Diagonale. Die Anzahl der Diagonalen, welche von einem Eckpunkte eines Vieleckes gezogen werden können, ist um 3 kleiner, als das Vieleck Seiten hat. Jedes Vieleck läßt sich durch Diagonalen, die von einem Eckpunkte aus gezogen werden, in Dreiecke zerlegen, deren Zahl um 2 kleiner ist, als das Vieleck Seiten hat. ß. 46. Mit Rücksicht aus die Anzahl der Seiten unterscheidet man dreiseitige Vielecke oder Dreiecke, vierseitige oder Vierecke, fünfseitige oder Fünfecke, . . . useitige oder nEcke. Hinsichtlich der Größe der Seiten und Winkel werden die Vielecke in gleichseitige und ungleichseitige, in gleichwinklige und ungleichwinklige Vielecke eingetheilt. Ein gleichseitiges und gleichwinkliges Vieleck heißt regelmäßig, jedes andere Vieleck unregelmäßig. §. 47. Lehrsatz. Die Summe aller Winkel eines Vieleckes beträgt so vielmal zweiRechte, als das Vieleck Seiten hat, weniger vier Rechte. Fig- 32. CZ sei das Vieleck 6V . . . (Fig. 32) isj ein n-Eck. Nimmt man innerhalb desselben einen X Punkt 0 so an, daß die Geraden, welche man von / demselben zu allen Eckpunkten zieht, in das Vieleck > fallen, so entstehen n Dreiecke; die Summe ihrer ). / V Winkel ist 2nk, die Summe der Winkel um O x herum 4R, somit die Summe aller Winkel des 8 b Vieleckes 2nk— 4K. Aus diesem Satze folgt: a) Die Summe der Winkel eines Dreieckes ist 2 k — 180°, „ Viereckes „ 4K-- 360°, „ Fünfeckes „ 6K — 540°, „ Sechseckes „8K — 720° u. s. w. ir) Jeder Winkel eines regelmäßigen n-Eckes beträgt 2K — ; daher der Winkel eines regelmäßigen Dreieckes 180° — ^°— 60°, „ „ „ „ Viereckes 180° — ° -- 90°, „ „ „ „ Fünfeckes 180° — E ° ^ 108°, „ ,, ,, „ Sechseckes 180° — ^ ° ^- 120° u. s. w. 23 Dritter Köschnitt. Congruenz der geradlinigen Figuren. 1. Kongruenz der Dreiecke. 8- 48. Zwei Raumgebilde, welche sich nur durch- den Ort, au dem sie sich befinden, von einander unterscheiden, heißen congruent. Zwei congruente Raumgebilde können so auf einander gelegt werden, daß sie sich decken, d. h. daß alle Punkte des einen Raumgebildes mit den entsprechenden Punkten des andern zusammenfallen. Umgekehrt: Können zwei Raumgebilde zur Deckung gebracht werden, so sind sie congruent. 8- 4S. Damit sich zwei Dreiecke, wenn sie auf einander gelegt werden, decken können, müssen in denselben alle sechs Bestandstücke, nämlich alle drei Seiten und alle drei Winkel, paarweise gleich sein. Daraus folgt: In congruenten Dreiecken sind die Seiten, welche den gleichen Winkeln gegenüberliegen, einander gleich, und ebenso sind die Winkel, welche den gleichen Seiten gegen¬ überliegen, einander gleich. Da die Seiten und Winkel eines Dreieckes von einander nicht unabhängig sind, so genügen oft schon drei Stücke, um aus ihrer Ueber- einstimmung in zwei Dreiecken auf deren Congruenz schließen zu können. Die Fälle, in denen dieses stattfindet, sind in den folgenden vier Lehr¬ sätzen über die Congruenz der Dreiecke enthalten: Z. Lll. I. Congruenzsah. Zwei Dreiecke sind congruent, wenn in denselben eine Seite und die beiden anliegenden Winkel paarweise gleich sind (Fig. 33). Fig. 33. V o r a uss. Seite L L — LH <7 Winkel und L — L'. /X /X Behaupt.^.LO L/L^tP. / X /X Beweis. Man lege das^/L'O /X /X so auf ^cL6, daß die Punkte und L' - V / X auf die Punkte und L fallen, was ck-X h-X, möglich ist, weil -XL — ^L' ist. Weil L der Winkel ist, so muß ^0'längs 0 fallen; ebenso muß Wegen L — L' die Seite L' 6' längs 8 0 zu liegen kommen. Wenn aber die Strecken und L^CL längs den Strecken ^.OundLO Men, so muß auch der Durchschnittspunkt 0' der ersteren auf den Durchschnittspunkt 0 der letzteren fallen. Die beiden Dreiecke L.L6 und L/L'(X decken sich also, über einander gelegt, vollkommen, folglich sind sie congruent. Folgesatz. Zwei Dreiecke sind congruent, wenn in denselben eine Seite, ein anliegender und der gegenüberliegende Winkel paarweise gleich sind. (tz. 31, Folges. b.) 24 Z. 51. (II. Congruenzsatz.) Zwei Dreiecke sind congruent, wenn in denselben zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel paarweise gleich sind (Fig. 33). Borans. Es sei ^0 — ^.'0', 80 — 8'0' und 0 — (X Behaupt. ^^.80 M ^'8'0'. Beweis. Man lege das Dreieck ^.'8'0' so auf das Dreieck ^80, daß 6' auf 6, O'X' in die Richtung 0^ und 0'8' in die Rich¬ tung 08 fällt, was möglich ist, da nach der Voraussetzung die Winkel 6' und 6 gleich sind; wegen H.0 — 0' muß auch der Punkt auf und wegen 80 — 8'0' der Punkt 8' auf 8, also die Seite H.' 8' auf ^8 fallen; folglich ist ^^.80L^'8'0'. Folgesatz. Zwei rechtwinklige Dreiecke sind congruent, wenn in denselben beide Katheten paarweise gleich sind. ß. 52. (III. Congruenzsatz.) Zwei Dreiecke sind congruent, wenn in denselben zwei Seiten mit dem der größeren dieser Seiten gegenüberliegenden Winkel paarweise gleich sind (Fig- 34). Vorauss. L.0 — ^.'0', 80 — 8' 0', ferner ^0 > 80, somit auch ^.'0' > 8'0', endlich W. 8 - 8'. Behaupt, ^ä.80^^'8'0'. Beweis. Man lege das Dreieck H.'8'O' so auf das Dreieck ^80, daß 8' aus 8, 0' auf 0 und 8'^' in die Rich¬ tung 8^. fällt, was wegen der Gleichheit der Seiten 8 0 und 8' 0' und wegen Fig. 34. der Gleichheit der Winkel 8 und 8' möglich ist. Dann muß auch auf fallen. Denn fiele der Punkt H.' nicht aus so müßte er entweder auf einen Punkt innerhalb der Seite 8, etwa auf oder aus einen Punkt ihrer Verlängerung, etwa auf zu liegen kommen. Würde auf fallen, so wäre, wenn man ^."0 zieht, /X, ^"80 L ^'8'0' (§. 51), daher ^."0 — ^.'0' — ^0, somit das Dreieck ^.^."0 gleich¬ schenklig, es müßten also in demselben die Winkel ^^."0 und ^"^0 spitz sein; dann wäre der Winkel 8^"0 stumpf, und folglich 80 > O (Z. 35, 4. 5), somit auch 80 > ^0, was der Voraussetzung widerspricht. Ebenso würde sich ein Widerspruch ergeben, wenn auf F.'" fiele. Der Punkt H.' muß also auf fallen; dann aber ist /X ^8 0 ^^'8' 0'. Folgesatz. Zwei rechtwinklige Dreiecke sind congruent, wenn in den¬ selben die HhPoteuuse und eine Kathete paarweise gleich sind. (ß. 35, 4. a.) Zusatz. Die Schlußfolgerungen des obigen Beweises stützen sich auf die vorausgesetzte Bedingung, daß der Winkel, in welchem beide Dreiecke übereinstimmen, der größeren der zwei übereinstimmenden Seiten 25 gegenüber liegt. Ist diese Bedingung nicht vorhanden, so können auch nicht jene Schlüsse gemacht werden. Wenn daher in zwei Dreiecken zwei Seiten mit dem kleineren diesen Sei¬ ten gegenüberliegenden Winkel wechsel¬ seitig gleich sind, so ist es nicht gestattet, auf die Congruenz der Dreiecke zu schließen. Wirk¬ lich haben die Dreiecke ^80 und ^4'80 (Fig. 35) die Seite ^4 0 — ^4' 0, 8 0 — 8 0, wo -40 — ^'0<80 ist, und den Winkel 8 — 8, und doch sind sie nicht congruent, da das /X ^'80 nur ein Theil des ^80 ist. Z. 53. (IV. Congrucnzsatz.) Zwei Dreiecke sind congruent, wenn in denselben alle drei Seiten paarweise gleich sind (Fig. 36). Voraus s. ^48 ^4'8', -40 -4' 0' und 8 0 8'6'. Behaupt. ^480 M ^4'8'0'. Fig- 86. Beweis. Man lege c" das Dreieck ^4'8'0' so an /x das Dreieck L80, daß sich / die zwei größten Seiten -4' 8' , / x und V 8 decken und daß der -—Xg' Punkt 0' auf die entgegen¬ gesetzte Seite von ^.8 nach 0" fällt. Dann sind nach der Voraussetzung die Drei¬ ecke 4.0 0" nnd 8 0 0" gleichschenklig, also sind die Winkel an der Grundlinie gleich, x — u — ?; folglich ist auch x -j- u — -j- s, oder -4 08 — -40" 8 — L'0'8'. Ist aber -408 -- ^4'0'8', so ist (nach Z. 51) ZX -^-LOW -4'8'0'. Z. 54. Aus den bewiesenen Congruenzsätzen folgt, daß alle Drei¬ ecke mit drei gegebenen Stücken, aus deren Uebereinstimmung in zwei Dreiecke man auf die Congruenz dieser letzteren schließen kann, nur Wie¬ derholungen desselben Dreieckes sind, oder, daß sich aus jenen drei Stücken nur ein einziges Dreieck construiren läßt. Ein Dreieck ist demnach vollkommen bestimmt: 1. durch eine Seite mit zwei Winkeln; 2. durch zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel; 3. durch zwei Seiten mit dem der größeren dieser Seiten gegen¬ überliegenden Winkel; 4. durch alle drei Seiten. Unter den Bestimmungsstücken eines Dreieckes muß sich immer wenigstens eine Seite befinden. 26 3. Anwendung der Congruenzsätze. Sätze von den Dreiecken. Z. 56. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten paarweise gleich, die von ihnen eingeschlossenen Winkel aber ungleich, so sind auch die dritten Seiten ungleich, und zwar ist die- Fig. 38. j e n i g e d i e größere, welche dem größeren Winkel gegenüberliegt (Fig. 38). Vorauss. ^.0 — ^0', 80 -- 8'0' und Winkel ' ^08>^0'8". Behaupt. ^8>^/8'. 2. Congruenz der BiKecke. H. 55. Damit zwei Vielecke zur Deckung gebracht werden, also congruent sein können, müssen in denselben alle Seiten und alle Winkel in derselben Ordnung gleich sein. Lehrsätze. 1. Zwei congruente Vielecke werden durch übereinstimmend gezogene Diagonalen in congruente Drei¬ ecke zerlegt. Es seien die Vielecke ^80888 und ^8'0'V'L^ (Fig. 37) congruent, so müssen sie o's' übereinander gelegt, sich voll¬ kommen decken. Dann fallen auch die gleichliegenden Eck¬ punkte der beiden Vielecke, folglich auch die überein¬ stimmend gezogenen Diago¬ nalen zusammen; mithin decken sich die dadurch ge¬ bildeten Dreiecke. 2. Umgekehrt. Zwei Vielecke sind congruent, wenn sie auf übereinstimmende Weise aus gleich vielen congruenten Dreiecken zusammengesetzt sind. Es sei (Fig. 37) ^.80 ^8'0", /X ^08 ^'0"I>, /X ^88 ^.'8'8', /X ^88 M ^8'8st so muß ^.80888^^.-8 0'8'8-8' sein. Legt man das Vieleck ^.-8'0'v-8'8' so aufdasVieleck L.80888, daß die congruenten Dreiecke ^'80' und ^80 zusammenfallen, so werden sich auch die Dreiecke ^.'0'8' und ^.08 decken, folglich auch die Dreiecke ^.'8'8' und ^88, also auch 8'8'und 8 8. Es decken sich also die beiden Vielecke selbst. Wann sind ->) zwei Parallelogramme, b) zwei regelmäßige Vielecke congruent? 27 Beweis. Man mache den Winkel ^.08 —^'0'8' und die Strecke 68" — 0'18, wobei der Punkt 8" außerhalb des Dreieckes 7^86 falle. Dann ist, wenn man ^.8" und 88" zieht, ^.8"0 ^.'8'0' (Z. 51), also ^8" — ^-8'. Wegen 80 --- 8"0 ist nun W. 08"8—088", also 08"8>>^88", und um so mehr ^8"8 > ^88"; folglich ist (nach §. 35, 4) ^8 > L.8", somit auch l^8 > ^'8'. Hier wurde angenommen, daß der Punkt ö" außerhalb des Dreieckes ^.6 6 falle. Derselbe kann auch in die Seite oder innerhalb des Dreieckes L8 6 zu liegen kommen. Wie stellt sich der Beweis in diesen beiden Fällen? 8- 57. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten paarweise gleich, die dritten Seiten aber ungleich, so sind auch die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel ungleich, und zwar ist derjenige der größere, welcher der größeren Seite gegenüberliegt. Es sei (Fig. 38) ^0 ^.'0', 80 8' 0' und 7^.8 ^.'8'; zu beweisen ist, daß 1408 > 14'0'8' sein muß. Wäre ^.08 — i4'0'8', so müßte (nach Z. 51) auch i48 —14'8' sein; wäre l408<^.'0'8', so müßte (nach §.56) auch 148<14'8' sein. Beides widerspricht der Voraussetzung; folglich muß 14 0 8 >14'0'8' sein. ß. 58. Haben zwei gleichschenklige Dreiecke dieselbe Grundlinie, und verbindet man ihre Scheitel durch eine Gerade, so halbirt diese 1) die Winkel an den Scheiteln, 2) die gemeinschaftliche Grundlinie, und 3) sie steht auf der Grundlinie senkrecht (Fig. 39). ^2'39. Borauss. i40 8 0, l40' 80'. 1. Behauptung, u — d, o — Z, Beweis.^74OO'L8OO' (Z. 53), daher u — 1>, o — ä. 2. und 3. Behauptung. 14O--8O, OO.s.148. Beweis. 1400 ^ 800 (§. 51); folglich 140 — 80, und in — u oder 00^148. §. 58. Verbindet man in einem gleichschenkligen Drei¬ ecke die Mitte der Grundlinie mit dem Scheitel durch eine Gerade, so steht diese auf der Grundlinie senkrecht und halbirt den Winkel am Scheitel (Fig. 40). Vorauss. 140^80, 740^80. Behaupt. 0D _s_ ^48 und x — ) Sind in einem Parallelogramme zwei zusammentreffende Seiten gleich, so find es auch die anderen. o) Sind in einem Parallelogramme zwei zusammentreffende Seiten ungleich, so sind es auch die anderen. 30 Man unterscheidet daher gleichseitige und ungleichseitige Parallelogramme. Nimmt man sowohl auf die Seiten als auch auf die Winkel (Z. 43) Rücksicht, so ergeben sich vier Arten von Parallelogrammen: Fig. 45. 1. das schiefwinklige und ungleichseitige Parallelogramm oder das Rhomboid (Fig. 45, I); 2. das schiefwinklige und gleichseitige oder der Rhombus (Fig. 45, II); 3. das rechtwinklige und ungleichseitige oder das Rechteck (Fig. 45, III); 4. das rechtwinklige und gleichseitige oder das Qu'ad rat (Fig. 45, IV). Z. 6L. Umkehrungen des Lehrsatzes in Z. 61. 1. Sind in einem Vierecke die gegenüberstehenden Seiten gleich, so ist dasselbe ein Parallelogramm. Es sei in dem Vierecke ^80O (Fig. 44) 1^8 — OO und ^v 80. Dann ist L8V M 0V8 (Z. 53), also sind die Wechselwinkel ^.kv und LOO, ebenso ^evk und 08V gleich, wor¬ aus ^.8 VO und L.V 80 folgt. 2. Sind in einem Vierecke zwei gegenüberstehende Seiten gleich und parallel, so ist dasselbe ein Parallelo¬ gramm. In dem Vierecke ^80v (Fig. 44) sei ^8 VO und L8 !s VO Dann ist /X H.KO OOL (K. 51), also sind die Wechselwinkel H.V8 und 08V gleich, woraus ^.V^KO folgt. Folgesatz. Sind zwei Punkte einer Geraden von einer anderen Geraden auf derselben Seite gleich weit entfernt, so sind die beiden Geraden parallel. ß. 63. I. Jede Diagonale theilt das Parallelogramm in zwei congruente Dreiecke. (Beweis in Z. 61.) Fig. 48. 2. Die Diagonalen eines jeden Parallelogrammes halbiren einander. Es sei ^80v (Fig. 46) ein Parallelo¬ gramm, also ^.8 1)0 und ^.v 80. Dann ist Z^OKMOOV (8. 50), woraus ^.0 — 00 und KO — v 0 folgt. 3. DieDiagonalen eines Rechteckes sind einander gleich. 31 Die rechtwinkligen Dreiecke ^4.80 und L^v (Fig. 47) sind congruent, daher 14 0 — L v. 4. Die Diagonalen eines Rhombus stehen senkrecht aus einander. (Fig. 48.) Denn 8vl4 und LV 6 sind gleichschenklige Dreiecke und daher 14 0 Z. LV (8- 58.) 5. Die Diagonalen eines Quadrates sind einander gleich und stehen senkrecht ck auf einander. Beweis wie zu 3 und 4. Zusatz. Die Sätze 2, 3, 4 und 5 gelten auch in ihren Umkehrungen. Sähe von den Trapezen. 8- 64. 1. Zieht man in einem Trapeze durch die Mitte einer der nicht parallelen Seiten eine Parallele mit den zwei Parallelseiten, so wird dadurch auch die andere der nichtparallelen Seiten halbirt. i (Fig. 49) 148 ß VO, ferner ^N^VLI 148HVO. Zieht man durch N die und verlängert OO bis v, so ist VVL1, daher LN^VN; aber und VN ^08, mithin auch 8 8---08. itz. Dieser Satz läßt sich umkehren. Der d indirect geführt. Die Strecke N8 heißt die Mittellinie des Trapezes. 2. Die Mittellinie des Trapezes ist gleich der halben Summe der beiden parallelen Seiten derselben. Es sei (Fig. 49) 14 8 H Ov, ferner 14N — VN und N8 II ^.8. Zieht man durch N die VV II 80 und verlängert Ov bis v, so ist /X 14V81 VVN, daher 14V — Ov. Ferner ist N8 — 8V — ^.L — 14V und A8 Ov VO Z- VV, folglich 2 N8 i48 Z- VO, und N8 -- Frg. 49. 1V Ess und 818 I vv ÜLO /X 14VLI VN^LI Zus Beweis wr Sätze vo» den Parallelen im Dreiecke. F'g' ^0- Z. f,z. i. Zieht man in einem Dreiecke 6 durch die Mitte einer Seite eine Parallele ./"x mit einer zweiten Seite, so wird dadurch die dritte Seite halbirt (Fig. 50). / x Voraus s. 14N^ 081, N8H148. 4' D Ä Behaupt. 88 — 08. Beweis. Zieht man N?H08, so ist /X, 8818 ^N08 (8- 51), daher 818 08; allein 818 88, folglich 88 08. 32 2. Zieht man durch die Mitten zweier Seiten eines Dreieckes eine Gerade, so ist diese mit der dritten Seite parallel. Es seien 21 und kl (Fig. 50) die Mitten der Seiten ^.0 und 80. Schneidet die durch 21 mit ^.8 parallel gezogene Gerade die Seite 8 0 in irgend einem Punkte 28, so muß (nach 1.) 828 — 028, also der Punkt 28 mit 2? identisch, d. i. 2121 >1 ^8 sein. 3. Wird in einem Dreiecke eine Seite in mehrere gleiche Theile ge- theilt und durch jeden Theilungspunkt eine Parallele mit einer zweiten Seite gezogen, so wird dadurch auch die dritte Seite in eben so viele gleiche Theile getheilt. (Fig. 51). Vorauss. 021 — 210 — OH — H8 - 8L. und 2121 ü 0? » Hk ü 88 ü ^.8. Behaupt. 021 — 218 — 88 - 88 — 88. Beweis. 021 — 218 (nach 1.), und 218 — 88 — 88 — 88 (nach 64, 1). Sätze von den regelmäßigen Vielecken. 8- 66. Halbirt man in einem regelmäßigen Vielecke zwei auf einander folgende Winkel, so ist der Durchschnitts¬ punkt der Halbirungslinien a) von allen Eckpunkten des Vieleckes, d) von allen Seiten des Vieleckes gleich weit ent¬ fernt (Fig. 52). Vorauss. ^.8 — 80 — 00 - 08 — .. . W. — 8 — 0 — 0 — ... Halbirt man die Winkel L. und 8, so daß u — 6, o—ä wird, verbindet den Durch¬ schnittspunkt 0 der Halbirungslinien (8- 26) mit allen übrigen Eckpunkten und fällt aus ihm Senkrechte auf alle Vielecksseiten, so ist Behaupt. a) H.0 — 80 — 00 — 00 — . . . d) SenkrechteOO-08-05—OL—... Beweis, a) ^^08^800 (8- 51), daher ^.0 — 00 und b — e. Wegen — 0 und 6 — ist daher auch s — —1, folglich /X 800 M 000, somit 80—00 und ä — Z. Eben so kann man beweisen, daß />,000 — 008, also 00 — 80 u. s. w. ist. Da nun im ^.08 wegen d — o die Seite 80 — ^0 ist, so hat man ^0 — 80-00 — 00-80 — ... Fig. 51. 33 d) Da die Dreiecke ^08 und LOO gleichschenklig sind, so ist (nach §. 59, 2) 86 und 88 daher 86 88 und ^>,860^880 (Z. 51), folglich 06 — 08. Auf dieselbe Art kann man beweisen, daß 08 — 03, 03 — 08, . . . ist. Der Punkt 0 heißt der Mittelpunkt des regelmäßigen Vieleckes. Folgesatz. Verbindet man den Mittelpunkt eines regel¬ mäßigen Vieleckes mit allen Eckpunkten durch Strecken, so werden dadurch alle Vieleckswinkel halbirt, und das regel¬ mäßige Vieleck selbst wird in so viele congruente gleich¬ schenklige Dreiecke zerlegt, als es Seiten hat. Ziehe vom Mittelpunkte eines regelmäßigen u-Eckes zu allen Eckpunkten Strecken; wie groß ist s) der Winkel am Scheitel; b> der Winkel an der Grund¬ linie in jedem der dadurch gebildeten gleichschenkligen Dreiecke? Berechne diese Winkel insbesondere °) für das gleichseitige Dreieck; b) für das Quadrat; e) „ „ regelmäßige Fünfeck; ä) „ „ regelmäßige Sechseck; e) ,> „ ,, Zehneck; Y „ „ . Zwölfeck. In welchem regelmäßigen Vielecke ist der Winkel am Scheitel der gleich¬ schenkligen Dreiecke, in welche es vom Mittelpunkte aus getheilt werden kann, ») eben so groß, b) doppelt so groß, o) halb so groß als jeder Winkel an der Grundlinie? Constructions-Aufgaben. 1. Eine gegebene Strecke ^8 (Fig. 53) zu halbiren. Man beschreibe aus den Endpunkten und 8 nach oben und unten mit demselben Halbmesser Kreisbogen, welche sich in den Punkten 0 und 8 schneiden; die durch diese Punkte gezogene Gerade halbirt die Strecke ^8 im Punkte 8. Der Beweis folgt unmittelbar aus Z. 58. Fig. 53. Fig. 54. 2. Einen gegebenen Winkel 8^.0 (Fig. 54) zu halbiren. Man mache LN — ^8 und beschreibe aus den Endpunkten N und 8 mit demselben Halbmesser Kreisbogen, die sich in 8 schneiden; Moönik, Geometrie für Lehrerbildungsanstalten. 3 34 zieht man dann durch die Punkte L und O die Gerade LV, so halbirt diese den Winkel LLO. Die Richtigkeit der Auflösung ergibt sich aus ß. 58. Fig. ss. 3. Von einem Punkte 6 (Fig. 55) außerhalb einer Geraden LL auf diese eine Senkrechte zu ziehen. Man beschreibe aus 6 einen Kreis¬ bogen , welcher die Gerade L8 in zwei Punkten N und durchschneidet; aus diesen Punkten beschreibe man wieder mit dem¬ selben Halbmesser Kreisbogen, welche sich in I) schneiden; verbindet man dann 6 und I) durch die Gerade Ov, so ist diese die verlangte Senkrechte. Der Beweis folgt aus Z. 58. 4. In einem gegebenen Punkte L (Fig. 56) einer Ge¬ raden 80 auf diese eine Senk¬ rechte zu errichten. Man mache L N — L beschreibe aus den Punkten N und X mit dem¬ selben Halbmesser Kreisbogen, welche 6 sich in O schneiden, und ziehe LV. Daß LV NN ist, folgt aus Z. 59, 1. 5. Im Endpunkte L (Fig. 57) einer Geraden L8 auf diese eine Senkrechte zu errichten. Man beschreibe aus einem nicht in der LL liegenden Punkte 0 mit dem Halbmesser OL einen Kreis, welcher die LV in O schneidet; zieht man dann den Durchmesser VON und die Gerade LV, so ist diese die gesuchte Senkrechte. Denn nach §. 36 ist W. DLL — k. Auf der Lösung der drei letzten Aufgaben beruhen auch folgende Constructionen: a) Einen Winkel 1) von 90", 2) von 45° zu construiren. b) Einen Winkel 1) von 60°, 2) von 30°, 3) von 15° zu construiren (Fig. 57). o) Einen rechten Winkel in drei gleiche Theile zu theilen. 6. Eine gegebene Strecke in mehrere gleiche Theile zu theilen. Man ziehe (Fig. 51) durch einen Endpunkt der gegebenen Strecke eine beliebige zweite Gerade, trage auf dieser so viele unter einander i. S7. 35 gleiche Theile auf, als Theile verlangt werden, verbinde den letzten Thei- lungspunkt mit dem zweiten Endpunkte der gegebenen Strecke durch eine Gerade und ziehe mit dieser auch durch die übrigen Punkte Parallele, so wird dadurch die gegebene Strecke in die verlangte Anzahl gleicher Theile getheilt (Z. 65, 3). 7. Ein Dreieck zu construiren, wenn eine Seite o und die beiden anliegenden Winkel « und gegeben sind. (Fig. 58). Fig 58. Man ziehe eine Strecke XL,/ H.L, welche der gegebenen X Seite o gleich ist, trage an der /X L in den Punkten und L ——- / X die Winkel « und /S auf und x / X verlängere die freien Schenkel X X / derselben bis zum Durchschnitts- punkte 0; dann ist L 0 das verlangte Dreieck. Unter welcher Bedingung ist die Auflösung dieser Aufgabe nur möglich? (Z. 3I,s.) Besondere Fälle dieser Aufgabe sind: u) Ein rechtwinkliges Dreieck zu construiren, wenn gegeben sind 1. die Hypotenuse und ein anliegender Winkel; 2. eine Kathete und ein spitzer Winkel. b) Ein gleichseitiges Dreieck zu construiren, wenn seine Höhe gegeben ist. o) Ein gleichschenkliges Dreieck zu construiren, wenn gegeben sind: 1. Die Grundlinie und ein Winkel; 2. ein Schenkel und ein Winkel. Fig. 59. 8. EinDreieckzuconstruiren, . _ » wenn zwei Seiten t> und o mit dem eingeschlossenen Winkel « - - -/ ( gegeben sind (Fig. 59). ( Man construire in einen Winkel, / X' > welcher dem gegebenen Winkel « gleich X ist, schneide von seinen Schenkeln die Stücke und X6 ab, welche den gegebenen Seiten 5 und o gleich sind, und ziehe die Strecke L O. Besondere Fälle: a) Ein rechtwinkliges Dreieck zu construiren, wenn die beiden Katheten gegeben sind. b) Ein gleichschenkliges Dreieck zu construiren, wenn die Grundlinie und die Höhe gegeben sind. 9. Ein Dreieck zu construiren, wenn zwei Seiten a. und b mit dem vergrößeren Seite s gegenüberliegenden Winkel « gegeben sind (Fig. 60). 3* 36 Fig. 60. Man construire in einen Winkel, welcher dem gegebenen X Winkel « gleich ist, mache den " / X, einen Schenkel X 6 gleich der _ / X kleineren Seite b, beschreibe aus ö / X 6 mit der größeren Seite a als /« X_ X/ Halbmesser einen Bogen, welcher den zweiten Schenkel in 8 schneidet, und ziehe 80. Besondere Fälle: a) Ein rechtwinkliges Dreieck zu construiren, wenn die Hypotenuse und eine Kathete gegeben sind. b) Ein gleichschenkliges Dreieck zu construiren, wenn ein Schenkel und die Höhe gegeben find. 10. Ein Dreieck zu construiren, wenn seine drei Seiten a, b und o gegeben sind (Fig. 61). Fig. 61. Man ziehe die Strecke ^.8 — cr, beschreibe aus mit dem Halbmesser d und aus 8 mit dem Halbmesser a Kreis¬ bogen, welche sich in 6 schneiden; zieht man ^.0 und 80, so erhält man das verlangte Dreieck. Da sich die beiden Kreisbogen auch im Punkte 0' schneiden, so erhält man noch ein zweites Dreieck ^80, welches jedoch mit ^80 congruent ist. Unter welcher Bedingung ist die Auflösung dieser Aufgabe nur möglich? (Z. 37,1.) Besondere Fälle: n) Ein gleichseitiges Dreieck zu construiren, wenn seine Seite ge¬ geben ist. b) Ein gleichschenkliges Dreieck zu construiren, wenn die Grundlinie und ein Schenkel gegeben sind. 11. Ueber einer gegebenen Strecke ^8 (Fig. 62) als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck zu construiren. Fig. 62. Man halbire ^8 in 0, beschreibe aus 0 mit dem Halbmesser OX einen Halbkreis und o' verbinde einen beliebigen Punkt 6 desselben mit und 8 durch Sehnen; dann ist Winkel // X^x>» und dessen Höhe 3 s-» beträgt. Den hier bewiesenen Lehrsatz pflegt man kürzer so auszudrücken: Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist gleich dem Pro¬ ducts aus der Grundlinie und der Höhe. Dieser abgekürzten Ausdrucksweise werden wir uns auch in dem Folgenden bedienen. Wenn daher von Producten der Linien geredet werden wird, sind darunter immer nur die Maß zahlen derselben zu verstehen. Z. 7«. Da jedes Quadrat als ein Rechteck betrachtet werden kann, in welchem die Grundlinie der Höhe gleich ist, so ergibt sich aus Z. 69 folgender Satz: Der Flächeninhalt eines Quadrates ist gleich der zweiten Potenz seiner Seite. Ist f der Flächeninhalt eines Quadrates und 8 die Maßzahl seiner Seite, so ist s — 8.8 — 8^. Daher kommt es, daß man auch in der Arithmetik die zweite Potenz einer Zahl das Quadrat derselben nennt. Z. 71. Jedes schiefwinklige Parallelogramm ist einem Rechtecke flächengleich, das mit ihm gleiche Grundlinie und gleiche Höhe hat. Zieht man (Fig. 66) von den Eckpunkten und 8 des schiefwinkligen Parallelogramms ^.LOD zu der Seite OO die Senkrechten L und LI?, so erhält man das Rechteck H.L8L, welches mit dem Parallelogramme ^L6V gleiche Grundlinie und gleiche Höhe hat. Die rechtwink¬ ligen Dreiecke 886 und sind congruent; addirt man jedes derselben zu dem Trapeze /V L L I), so müssen auch die Summen gleich sein, d. i. Parallelogramm L 8 0 8 — Rechteck L 8 8 8. Folgesätze. u) Der Flächeninhalt eines jeden Parallelogramms ist gleich dem Products aus der Grundlinie und der Höhe. d) Zwei Parallelogramme, welche gleiche Grundlinie und gleiche Höhe haben, sind flächengleich. K. 72. Ein Dreieck ist die Hälfte eines Parallelo¬ gramms, welches mit ihm gleiche Grund¬ linie und gleiche Höhe hat. Zieht man durch die Punkte 8 und 6 (Fig. 67) des Dreieckes ^.80 mit den gegen¬ überstehenden Seiten Parallele, welche sich in D schneiden, so entsteht ein Parallelogramm ^.880, ^80 gleiche Grundlinie und Höhe hat und von welchem dieses Dreieck die Hälfte ist. Fig. 66. Flg- 67. das mit dem Dreiecke 40 Folgesätze. a) Der Flächeninhalt eines Dreieckes istgleich demhalben Produkte aus der Grundlinie und der Höhe. d) Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes ist gleich dem halben Produkte aus den beiden Katheten. o) Dreiecke von gleicher Grundlinie und gleicher Höhe sind flächengleich. Z. 73. Jedes Trapez ist einem Parallelogramme flä chen- gleich, das mit ihm gleiche Höhe hat, und dessen Grund¬ linie gleich ist der Mittellinie, d. i. der halben Summe der parallelen Seiten des Trapezes. Ns- 68 Halbirt man (Fig. 68) eine der nicht parallelen „ Seiten des Trapezes, in LI, und zieht durch "v 7N eine Gerade LI? LO, welche die Seite in V L und die verlängerte Seite 6O in L schneidet, F«-—so ist /X ^LN VLN. Es ist daher auch / z ) ^.LN -s- LL6ON LLN-s- L86VN, ^4 -oder Trapez — Parallelogramm L86L. Die Höhe des Parallelogramms LUOL ist nun die Höhe des Trapezes, und die Grundlinie desselben ist LL NN ^4, Z). Folgesatz. Der Flächeninhalt eines Trapezes ist gleich dem Produkte aus der halben Summe der parallelen Seiten und der Höhe, oder gleich dem Produkte aus der Mittellinie und der Höhe. Z. 74. D er Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes ist gleich dem Produkte aus dem Umfange desselben und demhalben Abstande des Mittelpunktes von einer Seite. Es seien s, r und I bezüglich die Maßzahlen einer Seite, der vom Mittelpunkte auf einer Seite gefällten Senkrechten und des Flächen¬ inhaltes eines regelmäßigen n-Eckes. Zieht man vom Mittelpunkte zu allen Eckpunkten gerade Linien, so zerfällt dadurch das n-Eck (nach Z. 66, Folges.) in re kongruente Dreiecke. Der Flächeninhalt eines solchen Drei¬ eckes ist daher wo ns die Maßzahl des Umfanges des Vieleckes ist. 8- 75. Der Flächeninhalt eines unregelmäßigen Viel¬ eckes wird auf eine der folgenden Arten bestimmt: a) Man zerlege das gegebene Vieleck durch Diagonalen in Dreiecke und berechne den Flächeninhalt eines jeden derselben; die Summe der Dreiecksflächen gibt den Flächeninhalt des Vieleckes. 41 d) Man ziehe durch zwei Eckpunkte des gegebenen Vieleckes eine Dia¬ gonale und fälle darauf von allen übrigen Eckpunkten Senkrechte, wodurch das Vieleck in Dreiecke und Trapeze zerfällt; werden die Flächen derselben einzeln berechnet und entsprechend verbunden, so erhält man den Flächeninhalt des gegebenen Vieleckes. Z. 76. Pythagoräischer Lehrsatz. In jedem rechtwinkligen Dreiecke ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten. Fig- 6S. Es sei das Dreieck 8^6 (Fig. 69) in rechtwinklig. Zu beweisen ist, daß das über 86 beschriebene Quadrat der Summe aus den Qua¬ draten über H.8 und ^6 gleich ist, was wir so schreiben wollen: Hj86^s^8 ^-^6. Beschreibt man über der Hypotenuse 86 das Quadrat 86OL, fällt von den Punkten D und O auf ^.8 die Senkrechten Oil? und O6l, und von den Punkten 6 und O auf OO die Senkrechten 6II und L.I, so sind die rechtwinkligen Dreiecke 8^.6, L68, L4O und VO6, welche wir folgeweise durch s, b, o und ä bezeichnen wollen, congruent (ZK. 28, 29 und 50). Addirt man nun zu dem Fünfecke 8 6O3O einmal die Dreiecke c- und <1, dann aber die Dreiecke u und b, so müssen die Summen gleich sein; also 86O3O -j- o -s- ä 86O3L -s- u b, oder 86OL - O5L6 -s- ^6OO. Nun ist86OO — Hj86; ferner ist, wie man leicht ersieht, O4O6 üj^8 und ^.6OO Hj^.6. Man hat daher sD86^IIIL8-j-^^6. Folgesatz. In jedem rechtwinkligen Dreiecke ist das Qua¬ drat über der einen Kathete gleich dem Quadrate über der Hypotenuse, vermindert um das Quadrat über der andern Kathete. Denn aus sZ 86 ^.8 Z- H) ^6 folgt üs^.8 sZ86 — sD^.6, und (D^.6 - ^j86 — ^^8. Rechnungsaufgaben. 1. Die Seite eines Quadrates ist u) 42°°, 6) 0'835^, o) I" 4^ wie groß ist der Flächeninhalt? 2. Der Umfang eines Quadrates ist 23^ 2^°°; wie groß ist der Flächeninhalt? 42 3. Man will in einem quadratförmigen Garten, dessen Seite 58--- 5^--- ist, ringsherum einen Weg machen, der eine Breite von 1" 2^--- haben soll; welchen Flächenraum- wird dieser Weg einnehmen? 4. Die zusammentreffenden Seiten eines Rechteckes sind a und st, der Flächeninhalt ist k; aus zweien dieser Größen die dritte zu be¬ stimmen. k , t Gegeben sind: 1) u — 3--- 4^---, st —2---5^---; 2) k — 5 - 7---, 3) a — 5--- 2->--> 8°-->, 1 54 - 72^---; 21 üs--- 56^»---. 5. Jemand vertauscht einen Acker, welcher 746sH°- 20 s^--- Flächen¬ inhalt hat, gegen einen andern von gleichem Inhalte, welcher 18--- 2^--- breit ist; wie lang muß dieser Acker sein? 6. Wie breit muß ein Rechteck von 2--- 14--- 8----- Länge sein, damit es einem Quadrate, dessen Seite 5--- M--- beträgt, flächengleich sei? 7. In einem Dreiecke ist u die Grundlinie, st die Höhe und 1 der Flächeninhalt; aus zweien dieser Größen die dritte zu bestimmen. Gegeben sind: 1) a 3-5°°, 2) st -- 5-6-°, 3) a 5°- 3--°-, st ^3 2---; 1'^40'32^---; k20^---67^m. 8. In einem rechtwinkligen Dreiecke sind die Katheten 29--- A--- und 18-° 44-->; wie groß ist der Flächeninhalt? 9. In einem Rhombus sind ä und ä* die beiden Diagonalen; wie groß ist der Flächeninhalt 1? 63, 4). 10. Eine Tischplatte von 12^--- Länge und 9^--- Breite enthält in der Mitte als Verzierung einen Rhombus, dessen Diagonalen 44--- und 3^--- sind; um wie viel ist die Tischfläche größer als der Inhalt dieses Rhombus? 11. In einem Trapeze sind s und st die beiden parallelen Seiten, st ist die Höhe nnd 1 der Flächeninhalt; aus dreien dieser Größen die vierte zu bestimmen. 2k L q-b - 2k . , 2k ——st; st —-v- ü - u k^^^.st; st^ Gegeben sind: 1) a — Zm 2--° 8-----, 2) st — 2--- 7^--- 2°---, st — 4--- 5-°---; g, — 5'5---, st 4-4---, k 18'81 üs-°; 3) a-- 12-8---, st— 6-4---, k — 124-8^---. 43 12. Der Flächeninhalt eines Trapezes ist 13'8 jD°-, die Höhe 4" und die Differenz der beiden Parallelseiten 2'1"; wie groß ist jede der letzteren? 13. Ein Walmdach soll mit Blech gedeckt werden. Die obere Länge des Daches (Firstlänge) beträgt 25°" 40, die untere 30 2'''°, die Dach¬ breite 7"° O°, der Abstand des Firstes von der Transe 8"> 2""" und die Walmhöhe 8" 40. Wie viele Blechtafeln braucht man zur Deckung dieses Daches, wenn eine solche Tafel 3^-° lang und 2 7^ breit ist; und wie hoch kommt das ganze Blech zu stehen, wenn eine Blechtafel 25 kr. kostet und man für Falze und Verschnitt 5^ hinzurechnet? Zwei Dachflächen sind Trapeze, die beiden anderen Dreiecke. 14. In einem regelmäßigen Achtecke, dessen Seite 1'4-° ist, be¬ trägt der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite 1'69°"; wie groß ist der Flächeninhalt? 15. In dem Vielecke LLLOL^Ol (Fig. 70) ist 39-°, LL 42-5-°, 6V -- 31-5°-, 39-5-°, La — 11-6-°, 6 6 -- 19-7-°, L 6 — 12-1-°, Ld -- 35 4-°, I'k — 16-4°-; wie groß ist der Flächeninhalt des Vieleckes? 16. In dem Vielecke (Fig. 71) ist Li— 9-1°-, ill — 29-2-°, lad 22-1°-, l) A — 6'1°-, — 19-2-°, ol — 16'4°-, kä -- 21-8-°, 3L — 41-6°-; wie groß ist der Vieleckes? 4i 63 4°-, Hst 17-1-°, Lb -- 60 5-°, -- 12-1°-, 6c- 57'2°-, b-k --- 52-3-°, vä — 46-°, Flächeninhalt des Constructions-Aufgaben. (Verwandlung und Theilung geradliniger Figuren.) Eine Figur in eine andere verwandeln heißt, eine andere Figur construiren, welche mit der gegebenen flächengleich, jedoch nicht con- gruent ist. 44 1. Ein ungleichseitiges Dreieck ^480 (Fig. 72) in ein gleichschenkliges zu verwandeln, das mit ihm gleiche Grund- Man halbire die Seite ^8 in O, ziehe 1)8 ^48 und aus 0 die 08>!^.8; ver¬ bindet man den Durchschnittspunkt 8 mit und 8, so ist )4 8 8 das verlangte gleichschenklige Dreieck. / _ 1 _Die Richtigkeit der Lösung erhellet aus S Z. 72,Folges. o und§.58,4. 2. Ein gegebenes Dreieck ^.80 (Fig. 73) in ein anderes zu verwan¬ deln, das einen gegebenen Winkel « enthält. Man construire den Winkel 84.1) — « und ziehe Or>i>4 8; zieht man noch D8, so ist ^48 D das verlangte Dreieck (Z. 72, Folges. e). 3. Ein schiefwinkliges Dreieck in ein rechtwinkliges zu verwandeln. Die Auflösung wie bei der Aufgabe 2., in welcher jedoch « als rechter Winkel angenommen werden muß. 4. Ein gegebenes Dreieck 4.80 (Fig. 74) in ein anderes zu verwandeln, das eine gegebene Grundlinie a hat. Man mache 41) — a, ziehe 1)6 und damit parallel die 8 8, welche die verlängerte 40 in 8 trifft; 4,4)8 ist nun das ver¬ langte Dreieck. Denn es ist zx^ov ^40v, /X 0V8 0V8, also / XX. ^401) X 0V8 -s- 0V8, L oder 41)8---480. linie hat. Fig. 72. c>. Fig. 73. 5. Ein Dreieck (Fig. 75) in ein anderes zu verwandeln, Fig. 75. das eine gegebene Höhe hat. Man errichte 41) — 4 senkrecht auf 48, ziehe 1)8^48, dann die 88, und damit parallel die 08. Verbindet man nun 8 und 8 durch eine Strecke, so ist /X 488 — 480. Der Beweis wird so wie bei der Auf¬ gabe 4 geführt. 45 Fig. 76. so ist ^Lv -s- 8VL -j- ^8LV 08V -s-08L -s- ^8LV, oder Rechteck tX8VL^/X^-L0. 7. Ein Trapez t^80v (Fig. 68) in ein Parallelogramm zu verwandeln. Die Auflösung wurde in Z. 73 angeführt. 8. Ein Rechteck ^.80v (Fig. 77) in ein Quadrat zu verwandeln. Fig. 77. 6. Ein gegebenes Dreieck ^.80 (Fig- 76) in ein Rechteckzu verwandeln, das mit ihm gleiche Grundlinie hat. Man halbire die Seiten ^.0 und 80 in v und L, ziehe durch diese Punkte eine Gerade, und errichte in und 8 die Senk¬ rechten ^.L und 8V, so ist -X8VL das ge¬ suchte Rechteck. Denn zieht man OH ! VL, ^^.LO^O8V, - 08V, Trap. ^.8 LV — ^8LV, also Man verlängere die kleinere Seite ^8 bis L, so daß ^.L — ^.O wird , beschreibe über H.L aus der Mitte 0 einen Kreisbogen, welcher die verlängerte Seite 08 in L trifft. Zieht man L und beschreibt dann darüber das Quadrat L.L08, so ist dieses dem gegebenen Rechtecke flächengleich. Beweis. Da der Winkel ^.LL — k ist (Z. 36), so ist LLV eine gerade Linie. Zieht man nun 8L und VL, so ist nach Z. 72 /X ^.8L — Quadrat ^LV8, Lt^v Rechteck L80V. Nun ist /X^.8L^LtXV, daher auch Quadrat ^LV8 Rechteck ^80v. Fig. 78. 9. Ein Vieleck H.80V (Fig. 78) in ein anderes zu verwandeln, welches eine Seite weniger hat Man schneide durch eine Diagonale OL von dem gegebenen Vielecke ein Dreieck OVL ab, lege durch v mit OL eine Parallele VL, welche die verlängerte Seite ^.L in L schneidet, und ziehe OL; dann ist das Vieleck-4.80VL — Vieleck ^.80L, weil beide aus gleichen Theilen bestehen. 46 Zusatz. Durch wiederholtes Verfahren läßt sich hiernach jedes Vieleck in ein Dreieck verwandeln; und da sich jedes Dreieck nach Auf¬ gabe 6 in ein Rechteck und dieses nach Aufgabe 8 in ein Quadrat ver¬ wandeln läßt, so kann auch jedes Vieleck in ein Quadrat verwandelt werden. 10. Ein Quadrat zu eonstruiren, welches gleich ist der Summe zweier gegebener Quadrate. Man construire ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten gleich sind den Seiten der gegebenen Quadrate; die Hypotenuse dieses Drei¬ eckes ist die Seite des verlangten Quadrates (Z. 76). Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens kann man auch ein Dreieck eonstruiren, das a) der Summe mehrerer gegebener Quadrate gleich ist, k) dreimal, viermal, fünfmal so groß ist als ein gegebenes Quadrat. 11. Ein Quadrat zu eonstruiren, welches gleich ist der Differenz zweier gegebener Quadrate. Man construire ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse gleich der Seite des größeren, und dessen eine Kathete gleich der Seite des kleineren Quadrates ist; dann ist die zweite Kathete die Seite des ver¬ langten Quadrates (§. 76, Folgest). 12. Ein Dreieck durch gerade Linien, welche durch einen Eckpunkt gehen, in mehrere gleiche Theile zu theilen- Man theile die dem Eckpunkte gegenüberliegende Seite in die ver¬ langte Anzahl gleicher Theile und verbinde die Theilungspunkte mit jenem Eckpunkte durch Strecken (H. 72, Folgest v). Man halbire die ^8 in 8, ziehe 68 und 6 V, und 88^86; dann ist zx 888^^.886^ ^86. Denn^K^I) 886 (8. 72, Folgest o). /X 888 ^888 13. Ein Dreieck ^.86 (Fig. 79) von einem in einer Seite liegenden Punkte I) aus in zwei gleiche Theile zu theilen. Fig. 79. ZXLV8 868 ^86, daher auch ^886 — ^.86. Auf ähnliche Art kann auch die allgemeine Aufgabe, ein Dreieck von einem in einer Seite liegenden Punkte aus in eine beliebige Anzahl gleicher Theile zu theilen, gelöst werden. 14. Ein Dreieck in drei gleiche Theile so zu theilen, daß die Theilungslinien von den Eckpunkten ausgehen und in einem gemeinschaftlichen Punkte innerhalb des Dreieckes Zusammentreffen. 47 Man theile (Fig. 80) eine Seite ^8 in den Punkten I) und 8 in drei gleiche Theile, ziehe 88 ß H.0 und 88 ß 80; die vom Durchschnittspunkte 8 aus gezogenen Strecken ^st.8, 88 und 08 sind die verlangten Theilungs- linien. Zieht man die Hilfslinien 08 und 08, so ist /X ^08^^08 und /X 808 — 8 08; daher muß auch /X ^88 — 808 sein. Nun sind die Dreiecke L.08, 808, 808 unter einander gleich, folglich müssen auch die Dreiecke ^.08, ^.88, 808 gleich sein. 15. Ein Dreieck in vier congruente Dreiecke zu theilen. Man verbinde die Halbirungspunkte der drei Seiten durch Strecken. 16. Ein Parallelogramm durch Gerade, welche einer Seite parallel sind, in ei ne beliebige Anzahl gleicher Th ei le zu theilen. Man theile die dieser Seite anliegenden Gegenseiten in die ver¬ langte Anzahl gleicher Theile und verbinde die gegenüberstehenden Thei- lungspunkte durch Strecken (Z. 71, Folgest st). 17. Ein Parallelogramm-X808 (Fig. 81) von einem in einer Seite liegenden Punkte 8 aus in eine bestimmte An¬ zahl, z. B. in drei gleiche Theile zu theilen. Fig. 81. Man verbinde die Halbirungspunkte 8 und 6 der Gegenseiten, in welchen der gegebene Punkt nicht liegt, durch die Strecke 8 6, theile diese in drei gleiche Theile, und ziehe durch 8 und die Theilungspunkte 8 und 4 die Strecken 888 und 8 st 8,; dann ist Trap. H.888 — /X 888 — Trap. 8808 --z^808. Der Beweis ergibt sich aus den ZK. 73 und 72. 18. Ein Viereck LL08 (Fig. 82) von einem Eckpunkte 8 aus in zwei gleiche Theile zu theilen. Man ziehe die beiden Diagonalen ^.0 und 88, und durch die Mitte 8 der ersteren die Strecke 88ß88, so ist, wenn man noch 8 mit 8 verbindet, die Strecke 88 die Halbirungslinie des Viereckes. 48 Beweis. Zieht man V8 und 8L, so ist V8 8 1)8 8 (§. 72, Feiges, e) -- H.8V, also Viereck ^.8 80 --- ^.LLV. Nun ist ^.881)^^^801), also auch 7^.8 81) — ^4808. 19. Ein Trapez ^.808 (Fig. 83) von einem Eckp unkt e I) aus in zwei gleiche Theile zu theilen. Fig. 83. Man trage die kleinere Parallel- seite 08 auf der größeren ^.8 von bis 8 auf, halbire 88 in 8 und ziehe die Strecke 88; das gegebene Trapez wird dadurch in zwei Theile getheilt, welche flächengleich sind (ZZ. 72 und 73). Punkte 8 aus in zwei gleiche Man halbire die beiden parallelen Seiten in k' und 6-, mache 80 — 88 und ziehe die Strecke 88; die Trapeze ^.888 und 8808 sind, wie aus §. 73 folgt, flächengleich, und LH ist somit die gesuchte Halbirungslinie des gegebenen Trapezes. 20. Ein Trapez ^.808 (Fig. 84) von einem in einer der Parallelseiten liegenden Theile zu theilen. Fig. 84. // L' Jünfter Abschnitt. Ähnlichkeit der geradlinigen Figuren. 1. Geometrische Verhältnisse und Proportionen. Z. 77. Eine Raumgröße, welche sich auf einer anderen gleich¬ artigen Raumgröße mehrmal auftragen läßt, ohne daß ein Rest übrig bleibt, heißt ein Maß derselben. Ist eine Raumgröße N sowohl ein Maß der Raumgröße Ä als auch der Raumgröße 8, so heißt sie ein gemeinschaftliches Maß von und 8. 49 L halten, als es Um ein gemeinschaftliches Maß zweier Strecken zu er¬ trage man die kleinere Strecke auf die größere so vielmal auf, angeht. 01- s - i—i— a) Ist die kleinere Strecke Ov (Fig. 85,1) in der größeren mehr¬ mal, z. B- 3mal, enthalten, so daß kein Rest übrig bleibt, so ist 01) selbst ein gemeinschaftliches Maß zwischen ^8 und Ov. i>) Läßt sich aber die kleinere Strecke auf der andern nicht genau auf¬ tragen, ist z. B. die Strecke Ov (Fig. 85, II) in der iV8 3mal ent¬ halten, und es bleibt noch ein Rest 08 übrig, so trage man den Rest 0 6 auf 01) so oft auf, als es angeht; es sei 06 in 01) 3mal enthalten, und es bleibe noch die Strecke 01) übrig. Diesen Rest wird man wieder auf den nächst vorhergehenden 08 auftragen, in welchem er genau 6mal enthalten sei. Man hat dann 08 60V Ov 3 08 4- Ov ur- 190V, ^.8 3 0V 4- 08 63 0V. Die Strecken ^8 und Ov haben demnach das gemeinschaftliche Maß Ov, und zwar ist dieses in der ^8 63mal, in der Ov 19mal enthalten. Analog ist das Verfahren, um das gemeinschaftliche Maß zweier Bogen desselben Kreises, zweier Winkel, zweier Flächen oder Körper zu finden. Z. 78. Da bei dem im Z. 77 angeführten Verfahren der jedesmal gebliebene Rest zwar kleiner als der vorhergehende sein muß, demselben jedoch keine Grenze, unter die er nicht kommen könnte, vorgezeichnet ist, so ist es möglich, daß das wiederholte Aufträgen der Reste ohne Ende fortgesetzt wird, ohne daß man je auf einen Rest kommt, welcher ein Maß des vorhergehenden wäre. In diesem Falle haben die beiden ge¬ gebenen Größen kein gemeinschaftliches Maß. Zwei Größen, welche ein gemeinschaftliches Maß haben, heißen commensurabel; zwei Größen, die kein gemeinschaftliches Maß haben, inkommensurabel. Z. 79. Die Vergleichung zweier gleichartiger Größen, um zu be¬ stimmen, wie oft die zweite in der ersten enthalten ist, heißt ein V er¬ hält niß. Von den beiden Größen heißt die erste das Vorderglied, die zweite das Hinterglied des Verhältnisses. Das Vsrhältniß der Größen und 8 wird durch : 8 oder angezeigt. Die Zahl, welche angibt, wie oft das Hinterglied in dem Vordergliede enthalten ist, ist Močnik, Geometrie für Lehrerbildungsanstalten. 4 I —!- Fig. 85. II. 50 der Quotient des Verhältnisses. Zwei Verhältnisse sind einander gleich, wenn sie denselben Quotienten haben. Das Verhältniß zweier Raumgrößen ist gleich dem Verhältnisse ihrer Maßzahlen, d. i. der unbenannten Zahlen, durch welche die beiden Raumgrößen in Beziehung auf dasselbe Maß ausgedrückt sind. So ist in Fig. 85, II ^.8 : Ov 63^6 : 19^1) 63 :19. Z. 8«. Ist das Verhältniß zweier Größen gleich dem Verhältnisse zweier anderer Größen, so nennt man die Gleichstellung der beiden Ver¬ hältnisse eine Proportion. Sind die Verhältnisse : 8 und 6 :1) einander gleich, so ist 7!r:8 —O:v eine Proportion; und O sind die äußeren, 8 und 6 die inneren Glieder der Proportion. Eine Proportion, in welcher die beiden inneren Glieder gleich sind, heißt eine stetige Proportion; z. B. ^:8 —8:0; das mittlere Glied wird die mittlere geometrische Proportionale zwischen den beiden äußeren Gliedern, und das vierte Glied die dritte stetige Proportionale zu dem ersten und mittleren Gliede genannt. Ist eine Strecke H.6 in einem Punkte 8 so getheilt, daß die Proportion ^0:^.8 —L8:8O stattfindet, so heißt die Strecke im Punkte 8 nach stetiger Proportion, oder im mittleren und äußeren Verhältnisse getheilt. Wenn zwei Arten von Größen so von einander abhängen, daß das Verhältniß zwischen je zwei Größen der einen Art gleich ist dem Ver¬ hältnisse der beiden zugehörigen Größen der anderen Art, in derselben Ordnung genommen, so sagt man: die beiden Arten von Größen stehen in geradem Verhältnisse, oder sie sind gerade pro- portionirt. Hängen dagegen zwei Arten von Größen so von einander ab, daß das Verhältniß zwischen je zwei Größen der einen Art gleich ist dem Verhältnisse der zwei zugehörigen Größen der anderen Art, aber in umgekehrter Ordnung genommen, so sagt man: die beiden Arten von Größen stehen in verkehrtem Verhältnisse, oder sie sind verkehrt proportionirt. ß. 81. Da nach dem im Z. 77 angegebenen Verfahren zur Auf¬ suchung des gemeinschaftlichen Maßes zweier Raumgrößen für den Fall, daß diese incommensurabel sind, der nach dem wiederholten Aufträgen übrigbleibende Rest nach und nach kleiner wird, als jede noch so kleine Größe derselben Art, so kann man ihn endlich vernachlässigen und dann den letzten aufgetragenen Rest als gemeinschaftliches Maß der beiden Größen annehmen. Man erhält dadurch ein angenähertes Verhältniß der zwei incommensurablen Größen, dessen Unterschied von dem wahren Ver¬ hältnisse jedoch um so kleiner wird, je kleiner man das Maß annimmt, und bei fortgesetzter Verkleinerung des Maßes kleiner gemacht werden kann, als jede noch so kleine angebbare Größe. Hieraus folgt: Sind zwei gleichartige Größen für den Fall, daß sie commen- surabel sind, zwei anderen gleichartigen Größen, welche 51 mit den ersteren immerzugleich zu oder abnehmen, propor- tionirt, so sind sie denselben auch dann proportionirt, wenn jene ersteren Größen incommensurabel sind. Wir können uns daher bei den nachfolgenden Vergleichungen der Raumgrößen auf den Fall beschränken, daß diese commensurabel sind. 2. Aehnlichkeit der Dreiecke. Z. 82. Sätze über die proportionale Theilung der Sei¬ ten eines Dreieckes. 1. Zieht man in einem Dreiecke mit einer Seite eine Parallele, so werden durch dieselbe die b eiden anderen Seiten proportionirt geschnitten (Fig. 86). Vorauss. vv H^L. Behaupt. Ov : VH. Ov : V8, OH. : VH -- OL : VL, OH. : Ov OL : Ov. Beweis. Es sei OLl ein gemeinschaft¬ liches Maß der Strecken Ov und VH, und zwar Ov — m. ON, VH. — v . OHl; dann ist O v : v H. — m: n. Theilt man nun die Ov in m und die VH. in n gleiche Theile und zieht durch jeden Theilungspunkt eine Parallele mit H.8, so wird dadurch (Z. 65, 2) auch OL in ur -s- n gleiche Theile getheilt, von denen m auf OV und n aus VL kommen; es ist also OV : VL — in : n. Aus dieser und der früheren Proportion folgt: Ov : VH. OL : VL. Aus der Proportion OV:VH — OV:VL ergibt sich auch die Richtigkeit der zweiten und dritten der oben aufgestellten Proportionen. Man hat (OV-j-VH.) :VH.^ (Ov -s- VL) :LL oder OH.:VH^ OL:V8 und (OVZ-VH):OV — (OL-s- VL) :0V oder O^:OV---OL-OV. 2. Werden zwei Seiten eines Dreieckes von einer Ge¬ raden proportionirt geschnitten, so ist dieselbe mit der des Dreieckes parallel. (Umkehrung des Lehr- Es sei (Fig. 87) OH.: Ov —OL:OL. Würde die durch v parallel mit ^L gezogene Gerade nicht durch v gehen, sondern die OL in einem anderen Punkte v schneiden, so wäre (nach 1.) OH. : Ov - OL : Ov. Dann aber muß mit Rücksicht auf die Voraussetzung Ov — Ov d. h. der Punkt v mit v identisch sein. Folglich ist vv ü H.L. Fig. 86. dritten Seite satzes 1.) Fig. 87. 4* 52 3. Halbirt man einen Winkel eines Dreieckes, so wird durch die Halbirungslinie die gegenüberstehende Seite in zwei Abschnitte getheilt, welche den ihnen anliegenden Seiten des Dreieckes proportionirt sind. Fig. 88. Boranss. Es sei im Dreiecke K ^.80 (Fig. 88) der Winkel 6 durch die X n „ (7 Gerade 08 halbirt, so daß w — n wird. Behaupt. ^8:88^^0:80. '.Beweis. Man verlängere 80 und N X ziehe durch mit 80 eine Parallele, -welche die Verlängerung der 80 in 8 schneidet. Es ist nun in — als Wechsel¬ winkel, n — x als Gegenwinkel, und wegen in — n auch — p, folg¬ lich 80 — ^0. In dem Dreiecke ^88 ist 08 ß 8L., daher findet die Proportion ^.8 : 1)8 — 80 : 80 statt, woraus, wenn ^0 statt 80 gefetzt wird, die Proportion ^.8 :88 — ^0:80 folgt. Fig. 89. in einem Dreiecke mit einer Seite eine Pa¬ rallele, so ist das gegebene Dreieck dem durch die Parallele abgeschnittenen Dreiecke ähnlich. Vorauss. 88j^8 (Fig. 90). Behaupt. ^80 880. Beweis. Der W. 0 — 0, die Winkel und 8 sind ihren Gegenwinkeln 088 und 088 gleich;sernerist 0:80 — 80 — 80 (Z. 82, 1). Es bleibt noch zu beweisen übrig, daß auch ^.8:88 K. 8Z. Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn in denselben die gleichliegenden Seiten proportionirt und die von ihnen gebildeten Winkel paarweise gleich sind. Die gleichliegenden Seiten zweier ähnlicher Drei¬ ecke heißen homologe Seiten. Das Zeichen der Aehnlichkeit ist Ist (Fig. 89) in den Dreiecken -^80 und ^'8'0', Winkel 8 8", 0 0' und ^8:L.'8'^^0:^.'0'^80: 8'0', so ist ZX^.80 L'8'0'. Aus dieser Erklärung ergibt sich, daß zur Aehnlichkeit zweier Dreiecke sechs Bedingungen erforderlich sind: die Gleichheit dreier Paare von Winkeln, und die Gleichheit der Verhältnisse zwischen je zwei Paaren der Seiten. Da jedoch diese Bedingungen nicht unab¬ hängig von einander sind, so kann man häufig schon aus dem Zutreffen nur zweier Bedingungen auf die Aehnlichkeit der beiden Dreiecke schließen. Die Möglichkeit ähnlicher Dreiecke ergibt sich aus folgendem Lehrsätze: Zieht man Fig. 90. 53 — 80 : 80 ist. Zu diesem Ende ziehe man 88 OA; dann ist nach (8. 82, 1) A8:A8-^80:80; aber A8^V8, daher auch A8:V8 80:80, und folglich /X ALO 880. Z. 84. (I. Achnlichkeilssatz.) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn in denselben zwei Winkel paar weise gleich sind (Fig. 91). Fig- si. Vorauss. A A' und 0 0'. 6 6' Behaupt. ^X A80-o A'8'0'. Beweis. Man mache OD — O'A' und ziehe 88 » A8, so ist Winkel 088 — A A', daher^DLO L A'8'O' (§. 50). Nun ist ^XA80 -^880 (Z. 83), mithin auch /X A^O cv> A'8'0'. Folgesatz. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn alle drei Seiten Paarweise parallel sind oder auf einander senkrecht stehen. (KZ. 28 u. 29). Z. 85. (II. Aehnlichkeitssatz.) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn in denselben zwei Seiten des einen zweien Seiten des anderen proportionirt und die von diesen Seiten ein¬ geschlossenen Winkel gleich sind (Fig. 91). Vorauss. AO : A'O' 86 : 8'0' und 6 0'. Behaupt. /X A80 -^> A'8'0'. Beweis. Man mache 08 — O'A' und ziehe 88 ^A8, so ist AO:08 — 80 08, oder AO : A'O' 80 : 08. Allein nach der Voraussetzung ist AO: A'O' — 80 : 8'0'; folglich 08 — 8'0' und daher /X 880LA'8'0' (K. 51); nun ist ^X A80 880, also auch A80 A'8'0'. ß. 86. (III. Aehnlichkeitssatz.) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn in denselben zwei Seiten des einen zweien Seiten des anderen proportionirt und die den größeren dieser Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich sind (Fig. 91). Vorauss. AO : A-0' 80 : 8'0', ferner 80 > AO, also auch 8'0' > A'O', und W. A — A'. Behaupt. /X ARO A'8'0'. Beweis. Man mache 08 — O'A' und ziehe 88 A8; dann ist AO : 08 80 : 08, oder AO : A'O' ^ 80:08. Nach der Voraussetzung ist aber AO : A'O' — 80 : 8'0'; folglich 08 — 8'0', und daher, weil W. 0 88 A - A' ist, /X A'8'O' (Z. 52); nun ist /X A80 cv> 880, also auch /X A80 oo A'8'0'. §. 87. (IV. Aehnlichkeitssatz.) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn die drei Seiten des einen den drei Seiten des anderen prohortionirt sind (Fig. 91). Vorauss. AO : A'O' -- A8 : A'8' und A0:A'0'^80 : 8'0'. Behaupt. ^X A60 A'8'0'. 54 Beweis. Man mache Ov — 0'^ und ziehe V L l, ^.8'dann ist VXO:OV — ^.8 : VL und ^0 : Ov — 80:0L, oder ^0 : ^0' ^.8 : VL und ^0 : L.' 0'^ 80 : OL. Vergleicht man diese zwei Proportionen mit den in der Voraus¬ setzung enthaltenen, so folgt vv — X/I8 und OL — 8'0', mithin ^0VL^^8'0" (ß. 53); nun ist ^LO OVV, also auch /X ^.80 -x- ^'8'0X 3. Achnlichkeit der Vielecke. K. 88. Zwei Vielecke heißen ähnlich, wenn in denselben die gleichiiegenden Seiten proportionirt und die von ihnen gebildeten Winkel paarweise gleich sind. Auch hier werden die gleichliegenden Seiten homo¬ loge Seiten genannt. Folgesatz. Zwei regelmäßigeVielecke von gleicher Seiten¬ anzahl sind ähnlich. Z. 8S. Lehrsätze. 1. Zwei ähnliche Vielecke werden durch gleichliegende Diagonalen in gleich viele ähnliche Dreiecke zerlegt. V o r a u s s. Es sei (Fig. 92) Vieleck ^80VLV .v>^8'0'v'v'VX Behaupt. / ZX^LOc»^L'OX /X ^.Ov -v> ^-(818 l / / X u. s. w. l / / Beweis. Daß60 / ->-^8'0'ist, folgtunmittelbar U ^8' aus der Achnlichkeit der Vielecke nach Z. 85. Hieraus folgt dann, daß W. ^08 — ^/0'8' und ^.8 : L/8^ — 0 : -X'O' — Ov : O'v" ist. Weil nun nach der Voraussetzung W. 80V ^8'018 ist, so ist auch 8 0V-^08^8^0'v--^.-0'8' oder W. ^.Ov — ^/018; hieraus aber, in Verbindung mit der vor¬ hergehenden Proportion, ergibt sich, daß /X O v — L/O I8 ist (ß. 85). Ebenso folgt die Achnlichkeit eines jeden nächstfolgenden Paares der Dreiecke aus der Achnlichkeit des vorhergehenden Paares und aus der Achnlichkeit der Vielecke selbst. 2. Umgekehrt: Zwei Vielecke sind ähnlich, wenn sie sich auf übereinstimmende Weise in gleich viele ähnliche Drei¬ ecke zerlegen lassen. Beweis. Aus der Voraussetzung läßt sich die Gleichheit der gleich¬ liegenden Winkel der Vielecke und die Proportionalität der gleichliegenden Seiten leicht nachweisen. 55 die Vielecke ^80O Es sei 8-^: 8 a — 88 : 8b — 80 : 8v.. . dann sind die Drei¬ ecke 8^8 und 8ab, 880 und 8ba, 8OD und 8oä,... ähnlich, daher ^.8:ab — 8O:bo, weil beide Verhältnisse dem Verhältnisse 88: 8 b gleich sind. Ebenso folgt 80. bo — OO : oä... In den Vielecken X80V.. und abeä.. sind also die gleichliegenden Seiten proportionirt. Weil ferner ^8 ab, 80 bo, OO eä,.. ist, so sind auch die Winkel und a, 8 und b, 0 und o,.. paarweise gleich. Die beiden Vielecke sind demnach ähnlich. Zwei ähnliche Vielecke können durch entsprechende Verschiebung immer in eine solche Lage gebracht werden, daß von ihren Umfangs¬ punkten die von einem Punkte 8 ausgehenden Stralen proportionirt geschnitten werden. Diese Lage zweier ähnlicher Vielecke nennt man die perspectivische Lage; der Punkt 8 heißt der Aehnlichkeitspunkt der ähnlichen Vielecke. Folgesatz. In zwei ähnlichen Vielecken verhalten sich je zwei gleichliegende Diagonalen wie zwei gleichliegende Seiten. Z. 9V. In ähnlichen Vielecken verhalten sich die Um¬ fänge wie zwei homologe Seiten. Denn ist (Fig. 92) ^8 : ^'8' — 80 : 8'0' -- Ov : O'O' . so ist auch (^8-^8O^OV^-..): (^.'8'Z-8'0'^-0 v'-s-..)^8:^'8'. Z. SI. Werden die von einem Punkte 8 (Fig. 93) gezo¬ genen Stralen in den Punkten und a, 8 und b, 0 und o^. .. proportionirt geschnitten, so sind und abock.. ähnlieh. 4. Anwendung der Aehnlichkeitssiitze. Z. 92 In ähnlichen Dreiecken sind die Höhen den Grundlinien proportionirt, wenn man zu den letzteren zwei homologe Seiten annimmt. 56 das /X, ^.8 0 ^.'8'0', und man nehme die homologen Seiten ^.8 und ^8^ als die Grundlinien, 61) und O'O' als die Höhen der beiden Dreiecke an; zu beweisen hat man, daß OvrO'v'^ ^.8:^8' ist. — Die / x ,/_Dreiecke ^.Ov und ^.'O'v' haben zwei / X 7) " ö Winkel paarweise gleich, sind daher ähnlich; / mithin findet die Proportion H L OV:O'V'^0:^0' Es sei (Fig. 94) Fig. 94. o Lt' statt. Weil nach der Annahme ^80 H/8'0', so ist auch ^8 : ^'8'— ^0.-^0'. Aus den beiden Proportionen folgt dann 00 : O'v' ^8:^8X Z. SZ. Zieht man in einem rechtwinkligen Dreiecke vom Scheitel des rechten Winkels eine Senkrechte auf die Hypo¬ tenuse, so ist a) jede Kathete die mittlere geometrische Pro¬ portionale zwischen der ganzen Hypotenuse und dem jener Kathete anliegenden Abschnitte der Hppotenuse, b) die Senkrechte ist die mittlere geometrische Proportionale zwischen den beiden Abschnitten der Hypotenuse. Fig- 95. Es sei (Fjg. 95) der Winkel ^08 ein rechter und 01) 4. ^8. In den Dreiecken ^.80 und ^.OO ist der Winkel ^.08 ^v 0 --r L, es / ist daher auch der dritte Winkel 8 — m und das -^^80 ^.Ov. Ebenso ist ^.80 80V; und folglich auch^)XOV 80V. a) Da /X^.80 ^.Ov ist, so folgt ^8:^.0 ^0:^.v; da /X^80->-80v, so ist auch ^.8 :80--80 : 8V. k) Da^L.OV -v- 80V ist, so folgt ^v:0v^0v:8V. Z. S4. Ist (Fig. 95) H.0 — a, 80 i>, ^8 o, ^.v p, 8 v — 9, wo a, K, e, x und 9 die Maßzahlen der bezüglichen Strecken bedeuten, so ergibt sich aus den in Z. 93 unter s,) aufgestellten Pro¬ portionen o:a — a:x, 0 : 6 — 5 : 9, daher op — 09 — 6^. Addirt man diese letzten Gleichungen, so erhält man op -s- 09 — a? -s- i>2. Allein es ist ep -fi 69 — 0 (p -s- 9) — c. 0 — 0^; daber 0- -j- In jedem rechtwinkligen Dreiecke ist also das Quadrat der Maßzahl der Hypotenuse gleich der Summe aus den Quadraten der Maßzahlen der beiden Katheten. Dies ist der arithmetische Ausdruck für den Pythagoräischen Lehrsatz, dessen Richtigkeit im geometrischen Sinne wir schon in §. 76 bewiesen haben. Mit Hilfe dieses Satzes kann man, wenn zwei Seiten eines recht¬ winkligen Dreieckes bekannt sind, durch Rechnung die dritte Seite finden. 57 1. Sind die beiden Katheten bekannt, so erhebt man jede Kathete zum Quadrate, addirt die Quadrate, diese Summe gibt das Quadrat der Hypotenuse; um die Hypotenuse selbst zu erhalten, braucht man nur aus jener Summe die Quadratwurzel auszuziehen. Ist z. B. die eine Kathete 36°-», die andere 160°-», so hat man 36° — 1296 160° 25600 Hypotenuse - s/ 26896 164°-». 2. Sind die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, so erhebe man beide zum Quadrate, subtrahire vom Quadrate der Hypotenuse das Quadrat der bekannten Kathete, der Rest gibt das Quadrat der anderen noch unbekannten Kathete; will man diese Kathete selbst finden, so darf man nur aus jenem Reste die Quadratwurzel ausziehen. Es sei z. B. die Hypotenuse 2-» 8°-», eine Kathete 8^-»; wie groß ist die zweite Kathete? 2-08° 4-3264 0-8° -- 0-64 zweite Kathete — s/ Z 6864 — 1-92-». Praktische Anwendungen der Achnlichkeitssätze. a) Die Länge einerStrecke zu bestimmen, wenn sichdieselbe wegen eines zwischen ihren Endpunkten befindlichen Hindernisses nicht unmittelbar messen läßt. M«, gg. Für diese Aufgabe ist bereits unter den Anwendungen der Congruenzsätze eine Auflösung angegeben worden, die jedoch nicht ausführbar ist, wenn der Boden keine Verlängerung der Strecken LO und 8 6 gestattet. In diesem Falle messe man ebenfalls (Fig. 96) die Strecken OL und 0 8, trage aber dann nur einen be¬ stimmten, z. B. den 4ten Theil der er- haltenen Länge OL von 0 bis L-, und ebenso den 4ten Theil der 08 von 6 bis 8- auf. Mißt man nun die Entfernung ä/8-, so ist diese wegen der Aehnlichkeit der Drei¬ ecke 0L.-8- und 0L8 der 4te Theil der gesuchten Entfernung LS. b) Die Länge einer Strecke zu bestimmen, wenn man nur zu einem Endpunkte derselben gelangen kann. Man wähle zuerst einen dritten Stand¬ punkt 0 (Fig. 97), von dem man zu einem der beiden Punkte L und 8 hin messen kann, messe wirklich zu dem zugänglichen Punkte Ä. hin, und trage von der gefundenen Länge z. B. den 4ten Theil von 6 bis L' auf. In L' wird ein Winkel 0L-8- abgesteckt, welcher so groß ist als der Winkel 0L8, und in dessen Schenkel A8' der¬ jenige Punkt 8' bestimmt, welcher zugleich in der 08 liegt. Mißt man dann die Entfernung ^'8-, so darf man nur dieselbe mit 4 multipliciren, um die verlangte Länge ^8 zu finden. Fig. 97. 58 e) Die Länge einer Strecke zu bestimmen, die an ihren beiden End¬ punkten unzugänglich ist. Es sei z. B. die Entfernung der beiden Bäume L und L (Fig. 98), welche sich jenseits eines Flusses befinden, zu bestimmen. Man wähle zwei solche Standpunkte 6 und v, daß man zwischen ihnen unmittelbar messen, und von ihnen aus nach den beiden gegebenen Punkten L und 8 sehen kann. Man messe die Stand¬ linie Ov, und trage daraus von 0 aus z. B. ihren 4ten Theil bis V' aus. In dem Punkte O' steckt man einen Winkel OV'L/ aus, welcher dem Winkel 00^4 gleich ist, und geht auf dem Schenkel v L4 so weit fort, bis man in die Richtung OL nach L' kommt. Ebenso steckt man in l> einen Winkel 0k>8' ab, welcher eben so groß ist als der Winkel 0V8, und geht ans dem Schenkel so weit, bis man in die Richtung 08 nach L' kommt. Endlich messe man und multiplicire die erhaltene Länge mit 4, so hat man den gesuchten Abstand LL. Der Z. 243 enthält unter 4., S. und 6. die trigonometrische Lösung der voransiehenden drei Aufgaben. 5- Fliichenverhiiltnisse der geradlinigen Figuren. Z. 95. Bezeichnen H und cs die Flächeninhalte, 8 und s die bezüg¬ lichen Seiten zweier Quadrate, so ist nach Z. 70 H — 8? und y — s**, daher : cs — 8^: d. h. Die Flächeninhalte zweier Quadrate verhalten sich wie die zweiten Potenzen ihrer Seiten. H. 96. 1. Sind k und x, oder O und ä die Flächeninhalte zweier Parallelogramme oder zweier Dreiecke, welche bezüglich die Grundlinien 8 und K und die Höhen 8 und haben, so ist nach W. 71 und 72 ? — O . 8, p . ll, und v—daher k: — d . 8 : A . ll, und 8: cl — 6.8 : A . d. h. Die Flächeninhalte zwei er Parallelogramme oder Drei¬ ecke verhalten sich wie die Producte aus ihren Grundlinien und Höhen. 2. Für 8 — gehen die obigen Proportionen über in ? : p — 8 : und D : ci — 6l: Z; d. h. Die Flächeninhalte zweier Parallelogramme oder Drei¬ ecke von gleicher Höhe verhalten sich wie ihre Grundlinien. 59 3. Für (A — § folgt eben so k : p — H : k, und 8 : ck — 8 : Ii; d. h. Die Flächeninhalte zweier Parallelogramme oder Dre i- ecke von gleicher Grundlinie verhalten sich wie ihre Höhen. Z. S7. Die Fläch en inhalte zweier Dreiecke, welche einen gleichen Winkel haben, verhalten sich so wie die Producte aus den Maßzahlen der Seiten, die den gleichen Winkel Es seien in den Dreiecken 1X8O und 880 (Fig. 99) die Maßzahlen der Seiten ^0 und 80, 08 und 08, welche den Winkel 0 ein¬ schließen, Ll und 8, m und n. Zieht man 8 8, so ist nach Z. 96, 2 /X ^8 0:880 1X0: 08^8: m und /X 880:880 80 : 08 8 : n, woraus durch Multiplication ^^.80:880--N.8:m.n folgt. tz. S8. Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate der Maßzahlen ihrer homologen Seiten. Es sei (Fig. 89) /X -^0 ^.'8'0', ferner seien a, b, o die Maßzahlen der Seiten 8 0, 1X0, 1X8 und u', k>', «' die Maßzahlen der Seiten 8'0', IX' 0', 1X'8'; dann ist s, : a' — b : t>' — o : o', daher auch : d'° - : e'X Man braucht daher nur zu beweisen, daß /XlX80:lX'8'0'^ ist. Da der Winkel 0 — 0' ist, so hat man nach ß. 97 /X ä.80 : lX'8'0' — a.k : u'.7>'. Nun ist u: s,' — u : u', b : 6' — u : u', daher u. b : a' . 6' — : a'X folglich /X L 0 : 8' 0' --- : u'X tz. SS. Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Vielecke Verhalten sich wie die Quadrate der Maßzahlen ihrer homologen Seiten. Es seien (Fig. 92) ^X.80888 und IX' 8'0'8'8'8' zwei ähn¬ liche Vielecke und a und a' die Maßzahlen zweier gleichliegender Seiten derselben. Zerlegt man die Vielecke durch Diagonalen aus ^X und IX' in ähnliche Dreiecke, so ist nach Z. 98 />1X80 : iX'8'0' : u'-, /X 1X08 : iX'0'8'-- g? : u'°, ZXä.88:^'8'8' a«: u'°, u. s. w. einschließen. Fig- 99. 60 daher auch (1486 -j-HOV HOL -s-..): (^^8'6'-j-^0'v' -s- I4'v^'-j-..) L-: n/-, oder 148088^: ^'8'0'O'L^' --- : a'°. Wird daher eine in der Wirklichkeit aufgenommene Figur im ver¬ jüngten Maße gezeichnet, so daß jede Seite nur .. der wirk¬ lich gemessenen Länge beträgt, so ist der Flächeninhalt der gezeichneten Ngur des Flächeninhaltes der ähnlichen, in der Wirklich¬ keit aufgenommenen Figur. Rechnungsaufgaben. 1. Auf einem Katastralplane beträgt eine Strecke 5'75^"; wie groß ist die natürliche Länge derselben, a) wenn 1°" der Zeichnung zu 3» angenommen wird, b) wenn sich die Maße des Planes zu den natürlichen Längenmaßen wie 1 : 2500 verhalten? 2. Welche Länge wird eine Strecke, welche in der Wirklichkeit 648" mißt, in der Zeichnung erhalten, wenn die Längenmaße im Ver¬ hältnisse 1 : 7500 der natürlichen Größe gezeichnet werden sollen? 3. In einem Bauplane, in welchem 4°" des gewählten Maßstabes 3" vorstellen sollen, beträgt der Flächeninhalt des Grundrisses 5^" 20^j°"; Mw groß ist die wirkliche Baufläche? 4. Der Schatten eines Thurmes ist 62" lang, während gleichzeitig die Schattenlänge eines 1" hohen verticalen Stabes 1'6" beträgt; wie hoch ist der Thurm? 5. In einem rechtwinkligen Dreiecke sind die Katheten a) 35", j,) o) 5'342", 12"; 1"4^"; 3'405"; Wie groß ist die Hypotenuse? 6. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse s.) 125", b) 3" 4^" 8°", o) 5'925", die eine Kathete a) 35", k) 2" 2^" 9°", o) 3'0912"; wie groß ist die andere Kathete? 7. Wie lang muß eine Leiter sein, um bis an das obere Ende einer 4'3" hohen Mauer zu reichen, wenn sie unten 2'6" von der Mauer absteht? 8. Die Seite eines Quadrates ist u) 1'3", b) 37'5^", o) 2'903"; wie groß ist dessen Diagonale? 9. Die Diagonale eines Quadrates beträgt a) 28°", b) 1'048", o) 2" 1^" 2°"; wie groß ist dessen Flächeninhalt? 10. Die Seiten eines Rechteckes sind 3" 4^" 5°" und 2" 1^" 8°"; wie groß ist die Diagonale? 11. In einem Rechtecke beträgt eine Seite 14^", die Diagonale 2i'4äm; Mw groß ist dessen Flächeninhalt? 61 12. In einem gleichseitigen Dreiecke ist s. die Seite, k die Höhe und k der Flächeninhalt; aus einer dieser Größen die zwei anderen zu berechnen. k -- -z- 1/3, u ,/3, a - 2 k^^^3; 1^^f/3; L 1/sts/ 3. Gegeben sind: u) a — 2-° 5^-° 9«-°; k) Ii — 1-35-°; o) st — 364 H^-°. 13. Es sei in einem gleichschenkligen Dreiecke a die Grundlinie, b ein Schenkel, Ii die Höhe und 1 der Flächeninhalt. a) Gegeben ist a — 124°-°, 6 — 165°-°; zu suchen ii und st. b) „ „ u^3-5--°-, k>^5'4^; „ „ b „ st. o) „ „ 8 -2'34-°, st — 3'76fZ-°; „ „ K „ b. ä) „ „si^7-8-°, . k^32^-°; „ „ a „ d. 14. In einem Dreiecke sind die drei Seiten gegeben; man berechne die zu einer Seite gehörige Höhe und den Flächeninhalt. Fig. Ivo. Es sei in dem Dreiecke 0 (Fig. 100) die Seite R0 — a, ^.0 — 6, — o, die Höhe 61) — k und die Strecke — x, daher LO — e — x. Zur Bestimmung von x hat man nach Z. 94 aus dem /X, ^.1)6 .. I/ — 1^ — x°, „ „ ^LV6 .. L-^u--(c--x)-; daher ist i/ — x^ — a" — (o—x)^, woraus man erhält: b° 4- 0- — 2« ' Da nun — i? — x^ — (b -st x) . (6 — x) ist, so ergibt sich, wenn man für x den eben gefundenen Werth substituirt, - 2 d e 4- 4- 2 b e — d- — e° 4^ - 2 e ' 2 e (b 4- «st — 8° — (d — o)° 2e ' 2« — (i> -st o -st ») (b 4- e — ») (L 4" d — e) (s. — d si- «) 4 folglich Ii — ^(b -st o si- n) (b -st o— ») (u -st b — e) (a— h -st e)- 62 Drückt man den halben Umfang des Dreieckes durch s aus, setzt also 3,-s-b-s-o —2s, so erhält man, wenn von dieser Gleichung folgeweise 2a, 2b, 2o subtrahirt wird, b -s- 6 — a 2 (8 ab a — b -s- o — 2 (8 — b), a-s-b — o— 2(8 — v); folglich ist b — s (8 — a) (8 — b) (8 — o). Bezeichnet man den Flächeninhalt des Dreieckes ^.86 durch i, so ist k — ; mithin b — 1^8 (8 — a) (8 — b) (8 — o). Wie wird diese Formel mit Worten ausgedrückt? 15. In einem Dreiecke ist a) a — 35", b) u — 28'2", b--46", b —37-5", o — 53"; v — 40'5"; Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreieckes? 6) s, — 2"5^"7°", b — 3" 1^" 1°", 6 — 1" 8^" 4°"; Constructions-Aufgabe». 1. Zu drei gegeben en Strecken die vierte Proportionale zu finden. Ns- Man construire einen « willkürlichen Winkel 8^.6 . x- (Fig. 101), mache —ö- 6 u, 68 b, o X 7, 8 — 6, ziehe 6 b' und S damit parallel die 86, so ist 86 die vierte Proportionale zu a, b, 6. Wären hier statt der Strecken a und b ihre Maß zahlen na und u gegeben, so müßte man auf X6 ra, auf 68 u gleiche Theile auftragen und weiter wie vorhin verfahren. 2. Zu zwei gegebenen Strecken s, und b die dritte stetige Proportionale zu construiren. Fig- 102. Auflös. 1. Nach Aufg. 1, indem man 5- dort 6 — b setzt. Auflös. 2. Man ziehe (Fig. 102) 66^X8, // X mache ^.6 — a, 6 6 — b, ziehe ferner X 0 und // x > senkrecht darauf 68 bis zur Verlängerung der 5-n-6 i dann ist ^6 : 66 6 6 : 6 8 (Z. 94, b), oder a : b — b : 6 8, folglich 6 8 die dritte stetige Proportionale zu a und b. Auf lös. 3. Ist u > b, so kann man folgende einfachere Con- struction anwenden: Man mache ^8 —a, beschreibe über X8 als 63 Durchmesser einen Halbkreis und aus mit dem Halbmesser b einen Bogen, welcher jenen Kreis in 0 schneidet; dann ist-1.8 : L.0 — H.0: (Z. 36 und 94, a), oder g, : d — b : O. 3. Zu zwei gegebenen Strecken a und 6 die mittlere geometrische Proportionale zu construiren. Auflös. 1. Man mache (Fig. 102) a, 1)8 -- b, be¬ schreibe über -^.8 einen Halbkreis und errichte in I) die 1)0 ,1 6, so ist 1)0 die mittlere geometrische Proportionale zwischen und 1)8 (ß. 36 und 94, b). Auf lös. 2. Man mache ^8 gleich der größeren Strecke a, und L 0 — 6, beschreibe über -V8 einen Halbkreis und ziehe 00 Z. ^8; dann ist die Sehne ^0 die gesuchte mittlere Proportionale zu a und 6 (ß. 36 und 94, a). 4. Mehrere Strecken nach einem gegebenen Verhält¬ nisse zu verkleinern oder zu vergrößern. Fig 103. Um die gegebenen Strecken 0^.,08, 06 (Fig. 103) z. B. in dem Verhältnisse 4 : 3 zu ver¬ kleinern, ziehe man eine Gerade 8 tz, trage von 8 aus 3, und ebenso von 8 aus 4 gleiche Theile auf; in den Endpunkten 8 und 8 errichte man die Senkrechten 88 und8V, trage auf die entferntere Senkrechte 8 V die gegebenen Strecken von 8 bis 86 6' auf, und ziehe durch den Punkt 8 und die Punkte 8', 0' gerade Linien, welche die nähere Senkrechte in den Punkten -0', 8", 0" treffen; die Geraden 8-0', 88", 80" sind dann die gesuchten verhältnißmäßig verkleinerten Strecken. Wären die gegebenen Strecken in dem Verhältnisse 3 :4 zu ver¬ größern, so würde man sie auf die nähere Senkrechte 8 8 auftragen; auf der Senkrechten 8V erhielte man dann die verhältnißmäßig ver¬ größerten Strecken. 5. Eine gegebene Strecke in mehrere Theile zutheilen, welche in gegebenen Verhältnissen zu einander stehen. Fig. iot. Es sei z. B. die Strecke ^.8 (Fig. 104) in Theile zu theilen, welche sich zu einander verhalten wie na : n : p (2:3: 6). Man ziehe durch eine willkürliche Gerade X X, trage darauf von bis 0 na, von 0 bis 0 n, von 0 bis 8 p unterein¬ ander gleiche Theile auf, und ziehe 88. Zieht man nun 08 00 88, so ist X8 : 80 : 08 — na : n : p. 64 6. EineStrecke mittelst Transver saleninn — p.r (20 — 4.5) gleiche Theile zu theilen. Fig- los. Man theile die Strecke LL LV durch Gerade und zieht durch und O die Transversalen ^8 gäbe gelöst. (Fig. 105) in p (4) gleiche Theile; in und L errichte man auf XL Senkrechte, trage darauf r (5) gleiche Theile auf, ziehe durch die letzten Theilungspunkte die Gerade O v, und theile auch diese in x (4) gleiche Theile. Verbindet man dann die gleich¬ vielten Theilungspunkte der X6 und X und 8, v und ll, v und L, 6- , L4, VL, vv, so ist die Auf- Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke Xa 6 und X 0II hat man nämlich ad : 68 Xa: X6, aber Xa — X6, also auch ad - 68; nun ist 68 — XL, somit ad — XL. Eben so folgt, daß vä -^XL, sk^-?-XL,...,6l^^^XL, 6m ^^-^^L,...ist. ?r ' pr ' ' xr ' pr ' ' 7. Einen tausendtheiligen Transversal-Maßstab zu construiren. Fig- 106. Man trage auf einen Stral XX (Fig. 106) 10 gleiche Theile XL, L6, 6V,.... auf, deren jeder 100 Längeneinheiten vorstellen soll, so daß auf die ganze Linie 1000 Einheiten kommen. In den End¬ punkten errichte man zwei Senkrechte, trage darauf wieder 10 beliebig große, jedoch gleiche Theile auf, und ziehe durch die letzten Theilungs¬ punkte eine Strecke, welche der zuerst gezogenen Geraden parallel und gleich sein muß, und welche ebenfalls in 10 gleiche Theile getheilt wird. Sodann ziehe man durch die gegenüberstehenden Theilungspunkte Strecken, welche alle entweder auf XX senkrecht stehen oder mit XX parallel sind. 65 Um nun einen Theil XL wieder in 10 gleiche Theile zu theilen, braucht man nur in irgend einer Abteilung eine Diagonale 6 200 zu ziehen. Es ist dann ui» der 10. Theil von der Strecke zwischen 200 und 300, folglich auch von XL; eben so enthält oä 2 solche Theile, sck 3 Theile u. s. w. Diese Theile trägt man nun sowohl auf XL als Lc> auf, zieht dann durch o und L, sowie durch je zwei folgende Theilungspunkte Transversalen und schreibt an die Theilungspunkte die Zahlen so hin, wie man sie an der Figur sieht. Die ganze Strecke XX enthält 1000 Theile; XL ist der 10. Theil davon und enthält somit 100 Theile; Liß' ist der 10. Theil von XL, enthält demnach 10 solche Theile; p 1 endlich ist der 10. Theil von LL, enthält also einen solchen Theil, wie deren auf die ganze Linie 1000 kommen, p 1 ist also der lOOOste Theil derselben; y2 enthält zwei solche Theile u. s. w. Stellt z. B. XL ein Decimeter vor, so ist LL ein Centimeter, x l ein Millimeter des verjüngten Decimalmaßes. Wie kann man mit Hilfe eines Transversal-Maßstabes n) eine auf dem Papiere aufgetragene Strecke messen; b) eine Gerade von gegebener Länge auf dem Papiere auftragen; e) eine gegebene Strecke in mehrere gleiche Theile theilen; ä) das Verhältniß zweier Strecken finden? 8. Ueber einer gegebenen Strecke X'L' (Fig. 107) ein Dreieck zu zeichnen, welches mit einem gegebenen Dreiecke ») Man trage in X' einen Winkel L'X'6' — LXO und in L' einen Winkel XXL'O —XL 0 auf; ihre Schenkel schneiden sich in 6" und es ist XXL'6' das verlangte Dreieck. i>) Man suche zu XO und LO die nach dem Verhältnisse XL : XXL' geänderten Strecken (Aufg. 4), be¬ schreibe mit der ersten aus X/ und mit der anderen aus L' einen Kreis¬ bogen; den Durchschnitt 0' der beiden Kreisbogen verbinde man mit X' und L' durch Strecken, so ist /X X'L'6' ^X XL 6. 9. Ueber einer gegebenen Strecke X'L' ein Vieleck zu beschreiben, welches einem gegebenen Vielecke ähnlich ist. Diese Aufgabe läßt mehrere Auflösungsarten zu, worunter folgende die einfachsten sein dürften: u) Man zerlegt das gegebene Vieleck XL0OLL (Fig. 108) mittelst Diagonalen in Dreiecke, beschreibt über XL' ein dem Dreiecke XL6 ähnliches Dreieck X'L'6', über XXL' ein dem Dreiecke XOO ähnliches Dreieck X'6'v', überX'O' das Dreieck X'O'L', M o ö n ik, Geometrie für Lehrerbildungsanstalten. 5 XLL ähnlich ist. Fig. 107. 66 welches mit ähnlich ist, und über das Dreieck ähnlich mit L.'8' O'v' ist dann das verlangte Vieleck. Fig- 108. b) Man ziehe von (Fig. 109) aus zu allen Eckpunkten Diagonalen, mache ^8' und ziehe NN ü 86, s, Ov, 8 <2 ü VL, so ist das Vieleck H.80VL Construirt man nun über H/8^ ein Vieleck ^8'O^V"^, welches mit con- gruent ist, so ist dasselbe das verlangte Vieleck. Fig. 109. Die Punkte ?, H könnte man auch dadurch finden, daß man die Strecken ^0, in dem Verhältnisse ^8 : L'8' verkleinert und die so verjüngten Strecken von bis 1^, k, aufträgt. Sechster Abschnitt. Der Kreis. 1. Der Kreis und der Punkt. Z. Ivv. Die Kreislinie (tz. 16) ist eine krumme Linie, deren alle Punkte von einem innerhalb liegenden Punkte, dem Mittelpunkte, denselben Abstandhaben Dieser Abstand ist der Halbmess er des Kreises. 67 Ein Punkt, dessen Abstand vom Mittelpunkte des Kreises größer ist als der Halbmesser, liegt außerhalb des Kreises; ein Punkt, dessen Abstand vom Mittelpunkte kleiner ist als der Halbmesser, innerhalb des Kreises. K. IVI. Durch drei Punkte 7^, 8, 0 (Fig. 110), welche nicht in einer geraden Linie liegen, ist ein Kreis voll¬ kommen bestimmt. Fig- no. Zieht man die Strecken ^.8 und 1^0, halbirt —^7 dieselben in O und L, und errichtet auf sie die / Senkrechten Öl' und 00, so müssen sich diese in / ) X einem Punkte 0 schneiden. Zieht man daun 0^., i ; 08 und 00, so ist (nach 8- 38, 2) OL 08, i ( / und ebenso 08 —00, also auch O — 08 —00. )_Die Punkte 8, 0 haben also gleichen Abstand v von 0 und es muß daher ein aus 0 mit dem Halb- — Messer O^. beschriebener Kreis durch die Punkte 8, 0 gehen. Da sich die Senkrechten 1)1? und O O in einem einzigen Punkte schneiden können, so gibt es nur einen Kreis, welcher durch die Punkte 8, 0 geht. 2. Der Kreis und die Gerade. 8- IV2. Eine Gerade hat mit einem Kreise entweder n) keinen, oder b) einen, oder 6) zwei Punkte gemeinschaft¬ lich, je nachdem ihr Abstand vom Mittelpunkte desKreises größer, oder eben so groß, oder kleiner ist als der Halb¬ messer. Fig. in. Beweis. s,) Ist (Fig. 111,1) die Senkrechte 00 vom Mittelpunkte des Kreises auf die Gerade ^8 größer als der Halbmesser, so liegt schon der Fußpunkt 0 der Senkrechten außerhalb des Kreises, um so mehr also jeder andere Punkt O der Geraden ^8, da 00 > 00 ist. b) Äst (Fig- 111, II) die Senkrechte 00 von O auf ^.8 gleich dem Halbmesser des Kreises, so liegt ihr Fußpunkt 0 auf der Peri- 5* 68 pherie des Kreises; jeder andere Punkt O der Geraden aber muß, da Ov >06 ist, außerhalb des Kreises liegen. o) Ist endlich (Fig. 111, III) die Senkrechte 00 von 0 auf H.8 kleiner als der Halbmesser, so liegt ihr Fußpunkt 0 innerhalb des Kreises. Da nun der Kreis eine geschlossene Figur ist, so muß eine durch einen innerhalb desselben liegenden Punkt 0 gehende Ge¬ rade bei gehöriger Verlängerung die Peripherie schneiden; es ge¬ schehe dies im Punkte D. Dem Halbmesser 01) entspricht dann auch auf der andern Seite der Senkrechten eine, aber auch nur eine gleiche schiefe Strecke 06 (ß. 38, Folgest). 6 6 ist also auch ein Halbmesser des Kreises und somit 6 ein zweiter Punkt, welcher der Kreislinie und der H.L gemeinschaftlich ist. Z. 103. Eine Gerade H.L (Fig. 111, II), welche mit einer Kreis¬ linie nur einen Punkt 0 gemeinschaftlich hat, so daß alle anderen Punkte derselben außerhalb dieser krummen Linie liegen, heißt eine Berührungslinie oder Tangente derselben; der Punkt, den die Tangente mit der Kreislinie gemeinschaftlich hat, wird der Berüh¬ rungspunkt genannt. Eine Gerade 8 (Fig. 111, III), welche mit einer Kreislinie zwei Punkte I) und 6 gemeinschaftlich hat, heißt eine Secante der¬ selben. Das zwischen diesen beiden Punkten liegende Stück 06 der Secante ist eine Sehne (ß. 16). Ein Theil der Kreisfläche, der von einer Sehne und dem dazu gehörigen Bogen begrenzt wird, heißt ein Kreisabschnitt oder Segment. Ein Theil der Kreisfläche, der von zwei Halbmessern und dem dazu gehörigen Bogen begrenzt wird, heißt ein Kreisausschnitt oder Sector. Sätze von den Sehnen des Kreises. §. IV4. Aus den Sätzen 1., 2. und 4. in §. 59 und aus Z. 17 ergeben sich unmittelbar die nachfolgenden drei Lehrsätze: 1. Die Strecke aus dem Mittelpunkte des Kreises nach der Mitte einer Sehne steht senkrecht auf der Sehne und halbirt den zugehörigen Bogen. 2. Die Senkrechte aus dem Mittelpunkte eines Kreises auf die Sehne halbirt diese und den zugehörigen Bogen. 3. Die Gerade, welche in der Mitte einer Sehne auf diese senkrecht errichtet wird, geht durch den Mittelpunkt des Kreises. Fig. ns. §. IV5. 1. Gleiche Sehnen eines Kreises haben gleichen Abstand vom / Mittelpunkte. ,/ Jst(Fig. 112) LL-Ov und OL^^L, Sst X 06^00, so ist, wenn man OH. und 00 l zieht, 0^060; mithin ist OL — 06. XV / X// 2- Zwei Sehnen eines Kreises, X welche gleichen Abstand vom Mittel- - punkte haben, sind einander gleich. 69 Es sei (Fig. 112) 0L 0L. Dann ist /X OLO, daher 1XL — 6k", folglich auch ^L — OO. 3. Von zwei ungleichen Sehnen eines Kreises hat die größere einen kleineren Abstand vom Mittelpunkte. Nach 1. ist es erlaubt, die Sehnen so an¬ zunehmen, daß sie einen Endpunkt gemeinschaft¬ lich haben. Ist nun (Fig. 113) -XL>^.O, -XL und OL -1 -XO, so ist, wenn man OL zieht, in dem Dreiecke -XLL der Winkel b > a (ß. 35, 2), daher ä < o und folglich OVOL sein, was gegen die Voraus¬ setzung ist. Folgesatz. Der Durchmesser ist die größte Sehne des Kreises. Er theilt die Peripherie des Kreises in zwei gleiche Theile. Fig. 113. Abstand hat. Sätze von den Tangenten des Kreises. Z. IV6. 1. Die Gerade, welche im Endpunkte eines Halb¬ messers auf diesen senkrecht steht, ist eine Tangente des Kreises. Folgt unmittelbar aus Z. 102, b. 2. Der Halbmesser eines Kreises nach dem Berührungspunkte steht senkrecht auf der Tangente. 3. Die Senkrechte aus dem Mittelpunkte eines Kreises auf die Tangente geht durch den Berührungspunkt. 4. Die auf der Tangente eines Kreises im Berührungspunkte errich¬ tete Senkrechte geht durch den Mittelpunkt des Kreises. Die Beweise für die drei Umkehrungen 2., 3. und 4. werden indirect geführt. Folgesatz. Durch einen Punkt der Kreislinie kann an diesen nur eine Tangente gezogen werden. Fig. 114. Z. 107. Die von einem Punkte außerhalb eines Kreises an diesen gezogenen Tangenten sind einander gleich. Es seien (Fig. 114) -XO und L O Tangenten des Kreises 0, also -X6U_0^X und L O -s. 0 L. Verbindet man den Durch¬ schnittspunkt 0 der beiden Tangenten mit 70 dem Mittelpunkte des Kreises durch die Strecke OO, so ist />0^6 MOLO, mithin ^0--L0. Die Sehne ^L, welche die Berührungspunkte des Kreises und der Tangenten 0 und L 0 verbindet, heißt Berührungssehne in Bezug auf den Punkt 0. Folgesatz. Die Gerade vom Durchschnittspunkte zweier Tangenten eines Kreises nach dem Mittelpunkte desselben halbirt u) den von den beiden Tangenten gebildeten, sowie den von den beiden Halbmessern ein¬ geschlossenen Winkel, i>) sie halbirt den Bogen und die Berührungssehne und steht e) auf dieser Sehne senkrecht. 3- Der Kreis und der Winkel. Z. Itt8. Ein Winkel, dessen Scheitel auf der Peripherie des Kreises liegt, und dessen Schenkel Sehnen dieses Kreises sind, heißt ein Pe- Fig. ii.->. ripheriewinkel, z. B. XOL (Fig. 115). O Man sagt: Der Peripheriewinkel H.0L steht aufdemBogen H.OL, welcher zwischen den End- V V > Punkten seiner Schenkel liegt; und: der Peripherie- ( X winkel ^.OL liegt in dem Abschnitte ^.LOLL, ! XX in welchem sein Scheitel und seine Schenkel liegen. X /X Ein Peripheriewinkel, dessen Schenkel durch '.- die Endpunkte eines Durchmessers gehen, wird ein Winkel im Halbkreise genannt, wie LLO. Z. ISS. Ein Peripheriewinkel ist gleich dem halben Centriwinkel auf demselben Bogen. Vorauss. W. 7?iOL nnd ^OL (Fig. 116) stehen auf demselben Bogen L. Behaupt. W. ^.OL Fig. 116. Im Beweise sind drei Fälle zu unterscheiden: I. Wenn der Mittelpunkt des Kreises in einem Schenkel des Pe- ripheriewiukels liegt. 71 OL ist ein äußerer Winkel des Dreieckes LOO, daher ^OL — OOL -s- OLO; aber der Winkel OLO — OOL, weil das LOO gleichschenklig ist, somit ist der Mittelpunktswinkel I^OL — OOL OOL---2 LOL; daher LOL II. Wenn der Mittelpunkt innerhalb der Schenkel des Peripherie¬ winkels liegt. Man ziehe den Durchmesser 01), so ist nach I. der Winkel LOO --2 LOO, und LOO ^2 LOO, daher auch LOO >LOO 2 (LOO-F LOO), oder LOL ^2 LOL; mithinLOL^^?. III. Wenn der Mittelpunkt außerhalb der Schenkel des Peripherie¬ winkels liegt. Zieht man den Durchmesser OO, so ist nach I. der Winkel LOO - 2 LOO, und LOO 2 LOO; somit LOO — LOO 2 (LOO —LOO), oder LOL ^2 LOL; mithin LOL Folgesätze: a) Peripheriewinkel, welche auf demselben Bogen eines Kreises aufstehen, sind einander gleich. Denn sie sind sämmtlich gleich dem halben Centriwinkel auf demselben Bogen. d) Zu gleichen Peripheriewinkeln gehören in demselben Kreise auch gleiche Bogen (Umkehrung von u). v) Der Winkel im Halbkreise ist ein rechter. Denn der auf demselben Bogen.stehende Centriwinkel ist ein ge¬ streckter. (Folgt auch aus Z. 36.) Z. 110. Der Winkel, den eine Tangente des Kreises mit einer durch den Berührungspunkt gehenden Sehne bildet, ist gleich dem Peripheriewinkel im entgegengesetzten Kreisab schnitte. Fig. lir. Vorauss. LO F. LOL (Fig. 117). Behaupt, u) W. KLO — LLO, b) W. OLO — LLO. Beweis, a) Es ist LLO-j-OLL - k, und im rechtwinkligen L O L auch LLO-s-OLL — R, daher LLO -s-OLL —LLO -s-OLL, mithin LLO —LLO. d) Es ist OLO - OLL - R, ferner LLO — OLL — LLL — L, oder weil OLL-OLL (ß. 112, Folges. a) ist, LLO-OLL-L; daher OLO — OLL — LLO — OLL, mithin OLO — LLO. 72 4. Zwei Kreise. Z. IN. Zwei Kreise, welche denselben Mittelpunkt haben, heißen concentrisch, wie die Kreise in Fig. 118. Zwei concentrische Kreis¬ linien haben keinen Punkt mit einander gemeinschaftlich. Fig. ii8. Die Fläche, welche von den Peripherien zweier concentrischer Kreise begrenzt wird, heißt ein Kreis- ring, und ein Theil derselben, wie a^Lb, ein / Ringausschnitt. Den Unterschied der beiden j / Halbmesser nennt man die Breite des Ringes oder X Ringausschnittes. Zwei Kreisbogen oder Kreisausschnitte, welche zu gleichen Centriwinkeln gehören, heißen homolog; z. B. die Bogen ab und oder die Kreisausschnitte aOb und ^.OL. ß. 112. Zwei Kreise, welche verschiedene Mittelpunkte haben, nennt man excentrisch, und die Gerade, welche diese Mittelpunkte verbindet, die Centrale derselben. Zwei excentrische Kreislinien haben entweder keinen, oder einen oder zwei Punkte mit einander gemeinschaftlich. Drei Punkte können zwei Kreise nicht miteinander gemeinschaftlich haben, weil sie sonst nach H. 101 ganz zusammenfielen. Haben zwei Kreise nur einen Punkt gemeinschaftlich, so sagt man: dieKreise berühren sich, und zwar von außen, wenn sie sonst außer¬ halb einander liegen, wie in Fig. 120; von innen, wenn sonst der eine Kreis innerhalb des andern liegt, wie in Fig. 122. Haben zwei Kreise zwei Punkte gemeinschaftlich, so sagt man, daß sie sich in diesen Punkten schneiden, wie in Fig. 121. Z. II3. DieLage eines KreisesinBezug auf einen andern Kreis hängt von der Größe ihrer Centrale und ihrer Halbmesser ab. Lehrsätze. 1. Ist die Centrale zweier Kreise größer als die Summe ihrer Halbmesser, so liegt jeder der beiden Kreise ganz außerhalb des andern (Fig. 119). As- "o. Es seien 0 und 0' die Mittel- '""x , punkte, r und r' die Halbmesser / > _X zweier Kreise und 00' > r -s- r'. / "X s V ,,- ) Schneidet der Kreis 0' die Centrale A 00' in so ist O'H.' — r', daher X v nach der Voraussetzung 00' > r -j- 0'^.', und 00' — 0'^.' > r, oder 0^.'>r; es liegt also der Punkts' außerhalb des Kreises 0. Dasselbe gilt auch von jedem andern Punkte I) des Kreises 0'; denn es ist Ov > 00' — O'v (Z. 37, 2), oder Ov > 00' — O'^.', d. i. ov > 0^.', und daher um so mehr ov > r; I) liegt also außerhalb des Kreises O. 73 2. Ist die Centrale zweier Kreise gleich der Summe ihrer Halbmesser, so berühren sich die beiden Kreise von außen. (Fig. 120.) Fig. 120. Es seien 0 und 0' die Mittelpunkte, r und r' die Halbmesser zweier Kreise und 00' — r -s- r'. Schneidet der Kreis 0' die Centrale 00' in 71', ist also 0'^. — r, so ist nach der Vorauss. 00' — r -s- 0'71, also 00' — 0'^1 — r, oder OX — r; folglich liegt der Punkt 71 auf beiden Kreis¬ linien. Dagegen liegt jeder andere Punkt I) des Kreises 0' außerhalb des Kreises 0; denn es ist 0 0 > 0 0' — 0' 0, oder 00 > 00' — 0'71, d. i. 00 > 071. Die Kreise 0 und 0' haben also nur den Punkt 71 gemeinschaftlich, während sie sonst ganz außerhalb einander liegen, d. i. sie berühren sich von außen. 3. Jstdie Centrale zweierKreise kleiner als dieSumme, und größer als die Differenz ihrer Halbmesser, so schneiden sich die Kreise in zwei Punkten. (Fig. 121.) Fig. 121. Es seien 0 und 0' die Mittelpunkte _ _ zweier Kreise, r und r' ihr Halbmesser, und 00'< r-s-r'und zugleich 00'>r—r'. / // V X Unter dieser Voraussetzung lassen sich über j I der Centrale 00' mit den Halbmessern r l x ( / und r' die congruenten Dreiecke 0 0'8 V Xx // / Etz 0 0'8' construiren, so daß 0 8 — 0 8' x ^ und 0' 8 — 0' 8' ist. D ie Punkte 8 und 8' sind dann beiden Kreisen gemeinschaftlich, d. i. die Kreise schneiden sich in diesen zwei Punkten. 4. Ist die Centrale zweier Kreise gleich der Differenz ihrer Halbmesser, so berühren sich die beiden Kreise von innen. (Fig. 122.) Es seien 0 und 0' die Mittelpunkte, r und r' die Halbmesser zweier Kreise und 0 0' — r — r'. Trägt man von 0 aus aus die Ver¬ längerung der Centrale 0 0' den Halbmesser 0 7l — r auf, so muß, da 0 0' — 0 tl — r', also 0 tl — 00' — 0' 71 — r' ist, der Punkt 71 beiden Kreisen gemeinschaftlich sein. Jeder andere Punkt 0 des Kreises 0' muß aber außer¬ halb des Kreises O'liegen, da 00<00'-s-0'0, oder 00 < 00' -s- 0'^., also 00 < 0^. ist. Die Kreise berühren sich also im Punkte 71 von innen. 74 5. Ist die Centrale zweier Kreise kleiner als die Differenz ihrer Halbmesser, so liegt der eine Kreis ganz innerhalb des andern (Fig. 123). Der Beweis wird auf ähnliche Weise wie zu dem Lehrsätze 1 geführt. Es seien r und die Längen der Halbmesser und v die Länge der Centrale zweier Kreise; welche Lagen gegen einander haben die beiden Kreise für folgende Werthe dieser Größen? s) r — 5, r' — 3, e — 8 ; b) r — 7, — 4, c — 2 ; o) r — 6, r" — 2, c — 10; ä) r — 8, r' — 3, e — 6 ; e) r — 9, r" — 5 en: 4; k) r — 6, r- — 6, e — 8; x) r — 10, r' — 3, e — 7; b) r — 5, r' — S, o — 10; l) r — 12, r^ — 7, o — 9; k) r — 9, r' — 2, e — S. 8- 114. Folgcsähe. ii) Die Centrale zweier sich berührender Kreise geht durch den Berüh¬ rungspunkt. (Folgt aus den Beweisen zu Z. 113, 2 und 4.) d) Die durch den Berührungspunkt zweier Kreise an den einen ge¬ zogene Tangente ist zugleich eine Tangente des andern. (Fig. 120 und 122.) e- Die Centrale zweier sich schneidender Kreise steht auf der gemein¬ schaftlichen Sehne senkrecht, und halbirt diese Sehne, sowie die zu¬ gehörigen Centriwinkel beider Kreise (Fig. 121). ß. >15. Zieht man in zwei Kreisen durch die Endpunkte je zweier paralleler Halbmesser gerade Linien, so schneiden sich diese alle in einem Punkte aus der Verlängerung der Centrale, wenn die parallelen Halbmesser nach derselben Seite gerichtet sind, dagegen in einem Punkte der Cen¬ trale selbst, wenn die parallelen Halbmesser nach entgegen¬ gesetzten Seiten gerichtet sind. Fig. 124. Es sei (Fig. 124) OLI mit OlE parallel und nach derselben Seite gerichtet, mit pa¬ rallel, aber entgegenge¬ setzt gerichtet. Zieht man die Geraden und so ergibt sich, da ist, 0^:0^^ON:0'NundOH.:(O^ —(>^)^0N: (OiVI—(>N); ferner, da 30 LI c» 30^17' ist 03:0'3 ^ON:O^ und 03: (03^0'3) --0N: (ON-s-O'N). 75 Man erhält also, wenn man ON — r, ON — — r' und die Centrale 0 O — o setzt, o L. : o — r : (r — r') und 0 I : o — r : (r -s- r'), und aus diesen Proportionen O^^-^-undOll^ r — r' r-j-r* Da sich auch für jede andere Lage der parallelen Halbmesser stets dieselben Werthe für 0^ und 0.1 ergeben, so folgt, daß sich in alle Geraden, welche die Endpunkte je zweier in demselben Sinne paralleler Halbmesser verbinden, und in alle Geraden, welche durch die Endpunkte je zweier im entgegengesetzten Sinne paralleler Halbmesser gehen, durch¬ schneiden. Die Punkte und F sind die Aehnlichkeitspunkte der beiden Kreise, und zwar der äußere, der innere Aehnlichkeitspnnkt. Jede durch einen Aehnlichkeitspunkt gezogene Gerade heißt ein Aehn- lichkeitsstral, und zwar ein äußerer oder ein innerer, je nach¬ dem sie durch den äußeren oder inneren Aehnlichkeitspunkt geht. Z. 116. Hat ein Aehnlichkeitsstral zweier Kreise mit der Peripherie des einen Kreises einen Punkt gemeinschaft¬ lich, so hat er auch mit der Peripherie des anderen Kreises einen Punkt gemeinschaftlich. Es habe (Fig. 124) der äußere Aehnlichkeitsstral mit der Kreislinie 0 den Punkt N gemeinschaftlich. Man ziehe ON und damit ON in demselben Sinne parallel. Die Gerade NN geht dann (nach 8- 115) durch den Punkt X; die Punkte N, N, liegen also in einer geraden Linie, d. h. die ^.N hat auch mit der Kreislinie 0' einen Punkt N gemeinschaftlich. Ebenso wird der Beweis für einen inneren Aehnlichkeitsstral -IN geführt. Folgesätze. u) Hat ein Aehnlichkeitsstral mit der einen Kreislinie zwei Punkte gemeinschaftlich, so hat er auch mit der andern zwei Punkte ge¬ meinschaftlich, d. i. er ist eine gemeinschaftliche Secante der beiden Kreise. b) Hat ein Aehnlichkeitsstral mit der einen Kreislinie nur einen Punkt gemeinschaftlich, so hat er auch mit der andern nur einen Punkt ge¬ meinschaftlich, d. h. er ist eine gemeinschaftliche Tangente beider Kreise, und zwar eine äußere oder innere, je nachdem der Aehn¬ lichkeitsstral ein äußerer oder innerer ist. o) Hat ein Aehnlichkeitsstral mit der einen Kreislinie keinen Punkt gemeinschaftlich, so hat er auch mit der zweiten keinen Punkt gemein¬ schaftlich, d. h. er liegt ganz außerhalb der beiden Kreise. 76 s. Der Kreis und das Vieleck- Z. 117. Ein Vieleck, dessen Eckpunkte in dem Umfange eines Kreises liegen, dessen Seiten also Sehnen des Kreises sind, heißt dem Kreise eingeschrieben; der Kreis ist dann dem Vielecke umgeschrieben. Ein Vieleck, dessen Seiten Tangenten des Kreises sind, heißt dem Kreise umgeschrieben; der Kreis ist dann dem Vielecke einge¬ schrieben. Ein dem Kreise eingeschriebenes Vieleck nennt mau auch ein Sehnen¬ vieleck, ein dem Kreise umgeschriebenes Vieleck ein Tangentenvieleck. Z. 118. Jedem Dreiecke läßt sich a) ein Kreis um¬ schreiben, b) ein Kreis einschreiben. Beweis, a) Die Mittellothe eines Dreieckes (Fig. 41) schneiden sich in einem Punkte 0, welcher von den drei Eckpunkten denselben Ab¬ stand 0L hat (Z. 60, 1). Beschreibt man daher aus 0 mit dem Halb¬ messer O^. einen Kreis, so geht er durch alle Eckpunkte des Dreieckes. l>) Die Winkelhalbirungslinien eines Dreieckes (Fig. 42) schneiden sich in einem Punkte 0, welcher von den drei Seiten denselben Abstand 01) hat (Z. 60, 2). Beschreibt man daher aus 0 mit dem Halbmesser 01) einen Kreis, so berührt er alle drei Seiten des Dreieckes. Z. IIS. 1. In jedem Sehnenvierecke sind die Summen der gegenüberliegenden Winkel einander gleich, und zwar ist jede Summe gleich zwei Rechten. Fig- 125. Man ziehe (Fig. 125) die Diagonalen H.0 und LV; dann ist der Winkel x> — r, c, — s (Z. 109, Folges. a). In dem Dreiecke H.LV ist nun — 2L, daher ist auch rn-j-n-j-P-j-H — 2R, oder H. -s- 0 — 2 L. Da die Summe aller Winkel eines Viereckes gleich ist 4 L, so muß auch L -s- v — 2 L, also H. O L v sein. 2. Umgekehrt. Ist in einem Vierecke die Summe je zweier gegenüberliegender Winkel gleich zwei Rechten, so ist das¬ selbe ein Sehnenviereck. Fig. 126. Es sei (Fig. 126) W. H.-f-LOV^2R, daher auch L-s-HVO — 2L. Jndirecter Beweis. Man lege durch die drei Punkte H, L, 0 einen Kreis, welcher nach Z. 101 immer möglich ist. Würde nun dieser Kreis nicht anch durch den vierten Eckpunkt v gehen, so müßte er die Seite H. v oder deren Verlängerung in einem Punkte V' schneiden und es wäre daun, wenn man 77 6 v' zieht, 8-I-LV'O — 28 (nach 1.), allein 8 -s- LV 0 — 28 (nach der Vorauss.) daher W. LO'O -- LV6, was gegen Z. 33, Folgest ist. Folgesatz. Um jedes Quadrat oder Rechteck läßt sich ein Kreis beschreiben. §. I2V. In jedem Tangentenvierecke sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich (Fig. 127). Fig- 127. Nach §. 110 ist LL LV, 8V LV, Ov --- Ov, vv^vv; daher durch Addition L8 -j- Ov 80 LV. 2. Umgekehrt. Sind in einem Vier¬ ecke die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich, so ist dasselbe ein Tan¬ gentenviereck. Es sei (Fig. 127) L8 -j- Ov 8 0 -j- LV. Beweis indirect. Würde ein die drei Seiten L8, 80 und LV in den Punkten L, v und v berührender Kreis nicht auch die vierte Seite Ov berühren, so sei von v eine den Kreis in V' berührende Gerade O0' gezogen; dann wäre L8 -s- Ov — 80' -st LV (nach 1.), nach der Voraussetzung ist aber L 8 -st Ov — (80' -st 00') -st LV; durch Subtraktion erhielte man also Ov — O'v — 00', was jedoch nach Z. 37, 2 unmöglich ist. Folgesatz. In jedes Quadrat und in jeden Rhombus läßt sich ein Kreis beschreiben. 8- 121. 1. Jedem regelmäßigen Vielecke läßt sich ein Kreis a) umschreiben, K) einschreiben. Dieser Satz folgt unmittelbar aus dem im Z. 66 bewiesenen Lehrsätze. Zusatz. Der Mittelpunkt eines regelmäßigen Vieleckes ist zugleich der Mittelpunkt des um- und eingeschriebenen Kreises. 2. Ist die Peripherie eines Kreises in mehrere gleiche Theile getheilt, so bilden a) die Sehnen zwischen je zwei benachbarten Theilungspunkten ein eingeschriebenes, und d) die Tangenten durch je zwei benachbarte Theilungspunkte ein umgeschriebenes regelmäßiges Vieleck. Es sei (Fig. 128) der Bogen L8 — 80 — Ov —... a.) Zieht man die Sehnen L8, 8 0, Ov,..., so sind in dem Vielecke L80V... die Seiten L8, 80, Ov,... gleich (8.17, 2), ferner 78 die Winkel 8, 6, 8... gleich (ß. 109, Folgest a); folglich ist das Vieleck ^808... regelmäßig. Fig. 128. b) Zieht man durch 8, 0, 8... Tangenten an den Kreis, welche sich in den Punkten O, 8, I, L... schneiden, so sind wegen der Gleichheit der Seiten ^.8, 8 0, 08... und wegen der Gleichheit der ihnen anliegen¬ den Winkel (Z. 110) die Dreiecke ^.08, 880, 048,... congruent und gleich¬ schenklig; mithin sind die Summen je zweier Schenkel gleich, also 08^84^48^... Aus der Congruenz der obigen Dreiecke folgt auch die Gleichheit der Winkel O, 8, .1...; folglich ist das Vieleck 0848... regelmäßig. Z. 122. Die Seite des einem Kreise eingeschriebenen Fig. 129. regelmäßigen Sechseckes ist gleich dem Halbmesser des Kreises (Fig. 129). Es sei das Sechseck ^80888 regelmäßig. // X / XX Der Winkel eines regelmäßigen Sechseckes ist gleich XX — 120°, also ist — 8 — 120° und X) / X //^ m —n —60°, daher muß auch x — 60°, und daher XX_ XX' das Dreieck 80 gleichseitig sein; folglich ist —XF ^8^0^. Z. 123. Aus dem Halbmesser eines Kreises und der Seite eines ihm eingeschriebenen regelmäßigen Vieleckes kann die Seite eines demselben Kreise umgeschriebenen regelmäßigen Vieleckes von gleicher Seitenzahl bestimmt Es sei (Fig. 130) der Halb¬ messer des Kreises und L8 — s» die Seite des eingeschriebenen regelmäßigen n-Eckes, so ist, wenn 08 Z, L8, und 08 Tangente in 8 ist, 08 — 8n die Seite des umgeschriebenen regel¬ mäßigen n-Eckes. Da dann ZXODOcxoH.80 ist, so folgt 08:^.8 08:08, oder werd en. Fig. 130. 0 8, :8v —r: — X, daher 8« — — . Z. B. Für das eingeschriebene regelmäßige Sechseck ist, wenn der Halbmesser r — 1 gesetzt wird, auch — 1. Dann erhält man für das umgeschriebene regelmäßige Sechseck b° s?3 154^005. 79 8. 124. Aus dem Halbmesser eines Kreises und der Seite eines ihm eingeschriebenen regelmäßigen Vieleckes kann die Seite eines demselben Kreise eingeschriebenen Fig. 131. regelmäßigen Vieleckes von doppelter Seitenzahl bestimmt werden. Es sei (Fig. 131) 0^. —r und — 8„, so ist, wenn man 0V zieht, die Sehne die Seite des einge¬ schriebenen regelmäßigen 2u-Eckes. Man hat nun -j- VV2; aber L. und 4 Z. B. Für r — 1 ist 8g — 1; daher 0'51763818. Fig. 13Ü. ^.OL -- w.^ON ^.OL : 00V — na : n. 6. Proportionen am Kreise. Z. 125. 1. In demselben Kreise verhalten sich die Kreis¬ bogen wie die zugehörigen Centriwinkel. Es sei (Fig. 132) ein gemeinschaft¬ liches Maß der Bogen und Ov, und zwar Bogen — na.^Ll, Bogen 6V — n.^.U; somit Bogen : Bogen Ov — na: n. Denkt man sich zu jedem Theilungspunkte der beiden Kreisbogen Halbmesser gezogen, so wird dadurch der Centriwinkel ^OL in na und 00V in n Theile getheilt, deren jeder dem Winkel ^.0 LI gleich ist (8- 17, 2); man hat daher Winkel Winkel 60V n.^ON, folglich Winkel 80 Aus diesen beiden Proportionen folgt Bog. ^8 : Bog. Ov --- W. L.08 : W. 00V. 2. In demselben Kreise verhalten sich die Kreisaus¬ schnitte wie die zugehörigen Centriwinkel. Der Beweis ist dem vorigen ähnlich. Folgesätze. u) Ein Bogen verhält sich zur ganzen Peripherie, wie der zu dem Bogen gehörige Centriwinkel zu 360". i>) Ein Kreisausschnitt verhält sich zur ganzen Kreisfläche, wie der zu¬ gehörige Centriwinkel zu 360°. Z. 126. Homologe Kreisbogen verhalten sich wie die Peripherien, und homologe Kreisausschnitte wie die Flächen¬ inhalte der zugehörigen ganzen Kreise. (Fig. 118.) Heißen 8 und v die Peripherien, 8 und 1 die Flächeninhalte zweier Kreise, deren Halbmesser 0-1 und 0a sind, und sind ^8 und al> zwei Bogen, welche in diesen Kreisen zu dem Centriwinkel « gehören, so hat man nach ß. 125, Folgest u) Bogen ^8 : 8 — «°: 360°, und Bogen ul) : p — «° : 360°, daher Bogen ^.8:8 — Bogen ul>: x, oder Bogen ^8 : Bogen ad — 8 : x. Ebenso erhält man mit Beiziehung von Z. 125, Folgest l>) auch die Proportion Ausschnitt ^.08 : Ausschnitt uOb — 8 : f. 8- 127. Zieht man von einem Punkte eines Halbkreises Sehnen zu den Endpunkten des Durchmessers und eine Senkrechte auf diesen, so ist 1. jede Sehne die mittlere geometrische Proportionale zwischen dem ganzen Durch¬ messer und dem jener Sehne anliegenden Abschnitte des Durchmessers; 2. die Senkrechte ist die mittlere geome¬ trische Proportionale zwischen den beiden Abschnitten des Durchmessers. Folgt aus Z. 109, Folges. o in Verbindung mit Z. 93. Schneiden sich zwei Sehnen eines Kreises innerhalb desselben, so stehen ihre Ab¬ schnitte in verkehrtem Verhältnisse. Schneiden sich (Fig. 133) die Sehnen 88 und 8'8' im Punkte LI, und zieht man die Strecken 88' und 8'8, so ist W. 8 -- 8' und W. 8' 8 (Z. 109, Folges. u), daher ^N88' N8'8, und folglich N8 : N8' N8' : N8. 2. Gehen von einem Punkte außerhalb eines Kreises zu diesem zwei Secanten, so stehen sie mit ihren äußeren Abschnitten in verkehrtem Verhältnisse. tz. >28. 1. Fig. 133. 81 Fig. 134. s eckes. Zieht man i40 und 00, so ist 1400 — 36°, und daher in dem gleichschenkligen Dreiecke -400 jeder von den beiden Winkeln -400 und 0-40 gleich 72°, also ist der Winkel 1400 — 2i4OO. Halbirt man nun den Winkel -400, so daß m — n — x wird, so ist das /^1400 ^80, daher i40 : 140 - 140 : 148 , Es seien (Fig. 134) N8 und LI 8' zwei Secanten, welche den Kreis bezüglich in den Punkten 8, 8 und 8', L' schneiden. Zieht man die Strecken 88- und 8-8, so ist /X LI88- N8-8, und daher N8:N8'^Ll8-:N8. 3. Gehen von einem Punkte aus eine Secante und eineTan- so ist die Tangente die mittlere nale zwischen der ganzen Secante Es seien (Fig. 135) 8 und 8 die Durchschnitts¬ punkte der Secante N8 mit dem Kreise, und T der Berührungspunkt der Tangente ND mit demselben Kreise. Zieht man die Strecken 84? und 81, so ist Winkel N84" -- LH8 (Z. 110), daher Ll81 c» N4'8, und folglich N8 : NI -- UD : N8. Z. 12N. Die Seite des einem Kreise ein¬ geschriebenen regelmäßigen Zehneckes ist gleich dem größeren Abschnitte des nach stetiger Proportion getheilten Halbmessers. Es sei der Bogen 14 0 (Fig. 136) der zehnte Theil der Peripherie, also die Sehne 140 die Seite des eingeschriebenen regelmäßigen Zehn- Fig. 136. eckes. Zieht man i40 und 00, so ist -4.00 — 36°, oder weil 140 80 80 ist, auch 140 : 80 -rrn 80 :148; folglich ist die Zehnecksseite -40 gleich dem größeren Abschnitte 80 des nach stetiger Proportion getheilten Halbmessers -40 (Z. 80). Z. I3V. In regelmäßigen Vielecken von gleicher Seiten¬ anzahl verhalten sich Fig. 137. ») die Umfänge wie die Halbmesser der diesen Vielecken ein¬ geschriebenen oder umge¬ schriebenen Kreise, und 1>) die Flächeninhalte wie die zweiten Potenzen die¬ ser Halbmesser. Es seien (Fig. 137) 148008 und 14-80-0-8- zwei regelmäßige Vielecke von gleicher Seitenanzahl, a und a- M oö n iI, Geometrie siir Lehrerbildungsanstalten. 6 gente an einen Kreis, geometrische) Proportio und ihrem ächßeren Abschnitte. Fig. 135. 82 ihre Seiten, u und n' ihre Umfänge, k und 8 ihre Flächeninhalte, r und r' die Halbmesser der ihnen eingeschriebenen, 8 und 8' die Halbmesser der ihnen umgeschriebenen Kreise. a) Da die beiden regelmäßigen Vielecke gleich viele Seiten haben, so sind sie ähnlich (§. 88, Folgest); daher ist nach H. 90 u : 18 —s.:»' Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke A^80 und ^8^0^ folgt aber A.8 : ^8' — 08 : 0'8' (Z. 92), oder n : a' — r : r'; und A.8 : A.'8' — 0A.: O'A^', „ 8.:»'^8:8'; folglich ist auch u : n' — r : r' — 8 : 8'. b) Nach 8. 99 ist k: ? — s? : z.«, allein L- : a'- : r'° 8- : 8", folglich auch k : k' : r'« 8°: 8^. 7. Kreismessung. Z. 131 Jede Sehne eines Kreises ist kleiner als der zugehörige Bogen. Fig. iss. Es sei 0 (Fig. 138) b die Mitte eines Kreisbogens A.08, dessen Sehne A8 CX. ist. Zieht man A 0 und 8 0, s" P A8 < ^0 -s- 80. -4^—-—.— -- L Sind ferner 8 und 0 be¬ züglich die Mitten der Bogen A.80 und 880, und zieht man A.8, 08, 08, 88, so ist A.0 < A8 -s- 08, 80 < 08 -j- 88, daher AO -s- 80 kleiner als die gebrochene Linie A.8088 und um so mehr A.8 < A.8088. Fährt man auf diese Weise mit dem Halbiren der Bogen fort und zieht immer durch je zwei auf ein¬ ander folgende Punkte Sehnen, so wird die dadurch entstehende gebrochene Linie um so größer, je mehrere Punkte sie mit dem Kreis¬ bogen gemeinschaftlich hat; in je mehreren Punkten aber beide Linien zusammenfallen, um so mehr müssen sie sich einander nähern. Hieraus folgt, daß jede solche gebrochene Linie kleiner als der Kreisbogen sein I müsse, da dieselbe, wenn sie eben so groß oder größer als der Bogen wäre, bei fortwährender Zunahme sich diesem nicht nur nicht nähern, sondern von ihm um so mehr entfernen würde, in je mehreren Punkten beide Linien zusammenfallen. Es ist demnach um so mehr die Sehne A^8 < Bogen A.08. 2. Die Summe der von einem Punkte an einen Kreis gezogenen Tangenten ist größer als der von den Berüh¬ rungspunkten begrenzte Bogen. 83 Es seien L und LF (Fig. 139) die von k' an einen Kreis gezogenen Tangenten, /VOL sei der von den Berührungspunkten begrenzte Kreisbogen und 0 dessen Mitte. Zieht man durch 0 eine Tangente Oll an den Bogen, so ist, da O^ -s- ^ll> Oll, auch -s- LL" größer als die gebrochene Linie ^OllL. Sind ferner I) und L die Mitten der Bogen /V 6 und 80 und zieht man durch D und L Tangmten an den Bogen, so wird /VOIIL > ^.FLLNL und um so mehr ^.8° -s- LF > ^VFllLNL. Wenn man auf diese Art die Hal- birung der Bogen fortsetzt und durch die Halbirungspunkte Tangenten an den Bogen zieht, so wird die von diesen gebildete gebrochene Linie desto kleiner, je mehrere Punkte sie mit dem Bogen gemeinschaftlich hat, sich aber auch dem Bogen um so mehr nähern, in je mehreren Punkten beide Linien zusammenfallen. Es muß daher jede solche gebrochene Linie größer als der Kreisbogen sein, da dieselbe, wenn sie eben so groß oder- kleiner als der Bogen wäre, bei fortwährendem Abnehmen durch die Vermehrung der Berührungspunkte sich diesem nicht nähern, sondern von ihm entfernen würde. Es ist somit ^VL -s- LL > Bogen /VOL. Folgesätze. s.) Der Umfang eines jeden einem Kreise eingeschriebenen regel» mäßigen Vieleckes ist kleiner, der Umfang eines jeden einem Kreise umgeschriebenen regelmäßigen Vieleckes ist größer als die Peripherie des Kreises. b) Die Umfänge der eingeschriebenen und umgeschriebenen regelmäßigen Vielecke können durch fortgesetzte Verdopplung ihrer Seitenzahl der Peripherie des Kreises beliebig nahe gebracht werden, so daß die Unterschiede kleiner werden, als jede noch so kleine angebbare Größe; d. h. der Kreis kann als die Grenze angesehen werden, welcher sich ein demselben ein- oder umgeschriebenes regelmäßiges Vieleck bei fortgesetzter Vermehrung seiner Seitenzahl ohne Ende nähert. In diesem Sinne kann man sagen: Der Kreis ist ein regelmäßiges Vieleck von unend¬ lich vielen Seiten. Alle Sätze über regelmäßige Vielecke, welche ohne Rücksicht auf die Seitenzahl derselben abgeleitet sind, gelten daher auch für den Kreis. 6* 84 Z. ISS. Die Peripherien zweier Kreise verhalten sich wie die Halbmesser oder wie die Durchmesser derselben. Folgt aus Z. 131, Folges. d) in Verbindung mit §. 130, a). Folgesätze. ») Bezeichnen p und k die Peripherien zweier Kreise, deren Halbmesser r und R, deren Durchmesser ä und v sind, so ist p : k — r : k — ä : I). Daraus erhält man x : ä : v, d. h. das Verhältniß der Peripherie zum Durchmesser ist in allen Kreisen ein constantes. Dieses constante Verhältniß wird durch die Zahl « bezeichnet, so daß -r ist. d) Aus dem letzten Ausdrucke folgt: p — ci ?r oder p — 2 r «, d. h. die Peripherie eines Kreises ist gleich dem Pro¬ dukte aus dem Durchmesser und der Zahl -r. o) Für ä — 1 ist x — ir. Die Zahl «c kann daher auch als die Ma߬ zahl für die Peripherie eines Kreises, dessen Durchmesser 1 ist, betrachtet werden. ä) Ist K die Länge eines Kreisbogens, der zu dem Centralwinkel « gehört, sc hat man nach Z. 125, Folges. s.) i) : 2 rrr — « : 360; daher ist 6 -- ß. ISS. Bestimmung der Zahl n. Um die Zahl », d. i. die Peripherie eines Kreises zu bestimmen, dessen Durchmesser — 1 ist, gehe man von dem diesem Kreise einge¬ schriebenen regelmäßigen Sechsecke aus, dessen Seite 8g — r — ist, berechne aus ihr nach Z. 124 die Seite 8,2 des eingeschriebenen regel¬ mäßigen Zwölfeckes, aus dieser wieder aus gleiche Weise die Seite des 24-Eckes u. s. w. Durch Multiplication der einzelnen Seiten mit der zugehörigen Anzahl derselben erhält man die Umfänge Ug, 11,2, . der Vielecke, also eine Reihe von Zahlen, welche alle kleiner sind als die gesuchte Peripherie, von denen aber jede folgende derselben näher liegt als die vorhergehende. Man berechne ferner aus den Seiten 8g, 8,2, 824- - nach §. 123 die Seiten 8„ 8^, 824.. der umgeschriebenen regelmäßigen Vielecke von bezüglich gleicher Seitenanzahl, und aus diesen Seiten dann ebenfalls die Umfänge Ilg, 11,2, Ilzr-- der letzteren Vielecke; diese Um¬ fänge bilden eine zweite Reihe von Zahlen, von denen jede größer als die gesuchte Peripherie ist, jede folgende aber derselben näher liegt als die vorhergehende. 85 Auf diese Weise kann man die Zahl -r nach und nach zwischen zwei Zahlen u§ und u,„ und 11,2-- immer enger einschließen und so dieselbe näherungsweise mit beliebiger Genauigkeit berechnen. Die Resultate dieser Rechnung bis zum regelmäßigen 3072 - Ecke enthält die folgende Tabelle: Die Umfänge des ein- und des umgeschriebenen regelmäßigen 3072-Eckes unterscheiden sich demnach erst in der sechsten Decimalstelle; da nun die Peripherie n des Kreises zwischen den beiden Umfängen liegt, so muß der gemeinschaftliche Theil obiger Zahlen die Peripherie n selbst ausdrücken; somit ist n 3-14159.. Nach dem eben angegebenen Verfahren kann die Zahl sr, welche irrational ist, mit jeder beliebigen Genauigkeit entwickelt werden. Auf zehn Decimalen hat man 3'14159 26536. Archimedes fand für « den Werth 3^, Metius Ludolf van Ceulen berechnete -r auf 35 Decimalen; nach ihm wird w auch die Ludolfische Zahl genannt. Z. 134. Der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich dem Produkte aus der Peripherie und dem halben Halbmesser. Folgt aus §. 131, Folgest b) in Verbindung mit Z. 74. Folgesätze. s) Bezeichnet man durch 1 und p bezüglich den Flächeninhalt und die Peripherie eines Kreises, dessen Halbmesser r ist, so ist -z. Da nun p — 2r-r ist, so erhält man d. h. der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich dem Producte aus dem Quadrate des Halbmessers und der Zahl ir. 86 b) Drücken F, und 5 die Flächeninhalte zweier Kreise aus, deren Halb¬ messer R und r sind, so hat man und 1 — r°«, daher k' : k : r°, d. h. die Flächeninhalte zweier Kreise verhalten sich wie die Quadrate ihrer Halbmesser. o) Beschreibt man über den Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes als Durchmesser Kreise, so ist der Kreis über der Hypotenuse gleich der Summe der beiden Kreise über den Katheten (Z. 94). H. 135. Der Flächeninhalt eines Kreisausschnittes ist gleich demProducte ausdem im Längenmaße ausgedrückten Bogen und dem halben Halbmesser. Bezeichnet k den Flächeninhalt eines Kreisausschnittes, der für den Halbmesser r dem Centriwinkel « entspricht, so hat man k: r'-r : 360 (ß. 125, 2), daher 1 oder, da — i> die Länge des zu dem Centriwinkel « gehörigen Bogens bezeichnet (Z. 132, Folgest ä) Zusatz. Der Flächeninhalt eines Kreisabschnittes ist, je nachdem derselbe kleiner oder größer als der Halbkreis ist, gleich der Differenz oder der Summe aus der Fläche des zugehörigen Kreisaus¬ schnittes und der Dreiecksfläche, welche von der Sehne und den beiden Halbmessern begrenzt wird. 8- l3K. Der Flächeninhalt eines Kreisringes ist gleich dem Producte aus der halben Summe der beiden Kreis¬ umfänge und der Breite des Ringes. Bezeichnet man durch 1 den Flächeninhalt des Kreisringes, durch k und k den Halbmesser und die Peripherie des größeren, durch r und p den Halbmesser und die Peripherie des kleineren der zwei concentrischen Kreise, so ist k --- K-« — r-n (k- — r'--) n -- (R Z- r) (k - r) -r . (k — r). 2. Der Flächeninhalt eines Ringausschnittes ist gleich dem Producte aus der halben Summe der beiden im Längen¬ maße ausgedrückten Bogen und der Breite des Ringaus¬ schnittes. Der Beweis ist dem vorigen analog. 87 Rechnungsaufgaben. 1. In einem Kreise ist r der Halbmesser, b eine Sehne und ä ihr Abstand vom Mittelpunkte; aus zweien dieser Größen die dritte zu be¬ stimmen. r -- b -- 2 ^r«- ä°; ä --- - Beispiele. a) b — 3'4°°, tr) r — 156°-, o) r — 7«-° 2°-°, ä —2'5-°; 84-°; 5-4^8°°-. 2. In einem Kreise ist r der Halbmesser, ä der Durchmesser, p die Peripherie, k der Flächeninhalt; aus einer dieser Größen die anderen zu berechnen. ä^2r, r^, r- / 2 2sr 7r p — 2r?r, p — ä«, ä — , ä — 2 k r°7r; k — ; k — P 2 f/k^. Beispiele. ») r — 5-2°-; b) ä — 8-5>>°-; e) 2-° 5^--- 8°°>; ä) k — 349^-°. 3. Die Halbmesser zweier Kreise sind 2°--- 4°--- und 3^-° 2°°-; wie groß ist der Durchmesser eines Kreises, welcher der Summe jener beiden Kreise gleich ist? 4. Die Peripherie eines Kreises ist 27-35°-°, die eines andern Kreises 12'78°-°; wie groß ist die Peripherie eines Kreises, dessen Fläche der Differenz jener Kreise gleich ist? 5. Ein Kreis hat mit einem Quadrate, das 4°-° zur Seite hat, gleichen Umfang; wie verhalten sich ihre Flächeninhalte? 6. In einem Kreise, dessen Halbmesser r ist, gehört zu einem Centriwinkel « ein Bogen von der Länge b; aus zweien dieser Größen die dritte zu bestimmen. , rocir 180 b 180 b b — —— - ; r — — ". 180 - r n « w Beispiele. a) r — 8->-°, b) r — 2^-° 7°-°, v) « — 48°, « — 135°; t> — 2^-° 28-°°-; 5 — 4^-° 26-°°-. 7. Wie lang ist für den Halbmesser — 1 ein Bogen a) von 1°, b) von 1-, <-) von 1"? 8. Die Länge eines Kreisbogens ist dem Durchmesser gleich; wie groß ist der zugehörige Winkel? 9. Die Stadt Graz hat eine geographische Breite von 47° 4-; wie viel Kilometer ist sie vom Aequator entfernt, wenn man den Meridian als einen Kreis von 6371 -56 Kilom. Halbmesser annimmt? 88 zu¬ suchen z» 14. b, r, r, r, a) d) v) b) Y e, zu 10. Eine Eisenbahn soll im Bogen eines Kreises vom Halbmesser — 1000°° aus einer Richtung in eine andere, die mit der ersteren einen Winkel von 45° macht, übergeführt werden; wie lang ist der Kreisbogen zwischen den Punkten, für welche jene Richtungen zwei Tangenten bilden? 11. In einem Kreise sei r der Halbmesser, « ein Centriwinkel, Flächeninhalt des k; k; i>; a; „ b, a. dessen Halb- p — 11'56-°; 1 1-836!H-°; e — 0'24-°; k 5-793111^; l 8-038ÜI^; ZLlll „ a - 35°, „ « - 75°, „ d 0 698-°, „ r — 4^-°, b die Länge des zugehörigen Bogens und 1 der gehörigen Kreisausschnittes; a) gegeben ist i- — d) o) ä) b) — Häm 8^^ 3-12-°,' — 0-75-°, 7-134»-°^ — 2'376---, — einen kreisrunden Grasplatz, welcher 28---46- hat, geht ein Weg von 1-° 4^-° Breite; welche Fläche nimmt dieser Weg ein. 15. Auf einer Zielscheibe sind eine weiße und vier schwarze Ring¬ flächen; der äußere weiße Ring ist 32°-°, jeder schwarze 5°-° breit; die Mitte der Scheibe bildet einen Kreis von 1^-° Durchmesser. Wie groß ist n) die ganze Zielscheibe, 6) die mittlere Kreisfläche, o) jeder Kreisring? 16. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Ringausschnittes, dessen Bogen 0'5-° und 0-4-° zu Halbmessern haben und zu einem Centri¬ winkel von 48° gehören? kk lk .. _ , . 12. Wie groß ist die Fläche eines Kreisabschnittes, Messer 3'2-°, und dessen Sehne dem Halbmesser gleich ist? 13. Die Halbmesser zweier concentrischer Kreise sind k und r, ihre Peripherien k und x, die Breite des von ihnen gebildeten Ringes der Flächeninhalt desselben k; aus zweien dieser Größen die übrigen berechnen. Beispiele Gegeben k R r k p v Um « 38°; b 2-61-°; k -- 10^-°; k --- 0-349sH°-; l 20'096^-° zu suchen k, p, e, k. i-, k, o, 1. k, k, p, e. R, r, p, R, r-, k, o. k, i-, k, x. im Umfange 17. Aus dem Halbmesser eines Kreises die Seite des ein- und umgeschriebenen gleichseitigen Dreieckes zu berechnen. Fig. 140. Ist (Fig. 140) die Seite eines dem Kreise, dessen Halbmesser 06 — r ist, einge- ^x"XXx . schriebenen Dreieckes, und der Durchmesser 6D / / X > L, so ist v die Seite des eingeschriebenen / / regelmäßigen Sechseckes und daher gleich r. In / 6 X dem rechtwinkligen Dreiecke OLV ist dann x/__X-' ^.02 ---- 01)2 — LI)2 oder s/ — 4— r?, woraus D 8g — rj/3 folgt. 89 Für das umgeschriebene gleichseitige Dreieck ergibt sich nach 123 18. Aus dem Halbmesser r eines Kreises die Seiten und 84 des ein- und umgeschriebenen Quadrates zu bestimmen. 84 — rs/^; 84 — 2r. 19. Der Halbmesser eines Kreises ist 35°°>; um wie viel sind Umfang und Inhalt dieses Kreises bezüglich größer als Umfang und Inhalt a) des eingeschriebenen Quadrates, b) des eingeschriebenen regel¬ mäßigen Sechseckes? — um wie viel sind sie kleiner als Umfang und Inhalt, e) des umgeschriebenen Quadrates, ä) des umgeschriebenen regel¬ mäßigen Sechseckes? 20. Der Halbmesser eines Kreises ist 1; bestimme die Seite und den Flächeninhalt des eingeschriebenen regelmäßigen a) Achteckes, b) Sechs¬ zehneckes. (K. 124.) 8z — j/2 — s/ 2 , 8,g ^/2 — 1/2 -j s/2 ^--21/2. Constructions-Aufgaben. 1. Den Mittelpunkt eines Kreises oder Kreisbogens zu finden. Man zieht zwei nicht parallele Sehnen und verfährt dann nach 8- 101. 2. Durch einen innerhalb eines Kreises gegebenen Punkt die kleinste Sehne zu ziehen. Man ziehe durch den gegebenen Punkt einen Halbmesser und eine auf diesen senkrechte Sehne; diese ist die verlangte kleinste Sehne, da jede andere durch den gegebenen Punkt gehende Sehne vom Mittelpunkte eine kleinere Entfernung hat. (Z. 105, 4.) 3. Ueber einer gegebenen Strecke als Sehne einen Kreisabschnitt zu beschreiben, in welchem alle Peripherie¬ winkel einem gegebenen Winkel gleich sind. Fig. 141. Es sei H.8 (Fig. 141) die gegebene Strecke und 8H0 der gegebene Winkel. Man errichte auf H8 in der Mitte D die Senkrechte DO, ziehe auch HO ^HO und beschreibe aus dem Durchschnitts¬ punkte O als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 0^. — 08 einen Kreis. Dann ist H 88 der Kreis¬ abschnitt, in welchem jeder Peripheriewinkel H88 dem gegebenen Winkel 8H0 gleich ist. (H. 110.) 90 4. Durch einen gegebenen Punkt auf der Peripherie eines Kreises an diesen zwei Tangenten zu ziehen. Man ziehe zu dem gegebenen Punkte einen Halbmesser und auf diesen durch denselben Punkt eine Senkrechte. (Z- 106, 1). 5. Durch einen gegebenen Punkt außerhalb eines Kreises an diesen zwei Tangenten zu ziehen. Ist 0 (Fig. 114) der gegebene Punkt und 0 der Mittelpunkt des Kreises, so ziehe man 6 0, beschreibe über dieser Strecke als Durch¬ messer einen Kreis, welcher den gegebenen in den Punkten und 8 schneidet; dieGeraden 0.4. und 08 sind die gesuchten Tangenten (Z. 107.) 6. Den äußeren und den inneren Aehnlichkeitspunkt zweier Kreise zu finden. Man ziehe in den beiden Kreisen zwei parallele und nach derselben Seite gerichtete Halbmesser und durch ihre Endpunkte eine Gerade; ihr Durchschnittspunkt mit der verlängerten Centrale ist der äußere Aehnlich¬ keitspunkt der zwei Kreise (K. 115). Sodann verlängere man den Halb¬ messer in dem einen Kreise nach der entgegengesetzten Richtung bis zur Peripherie, ziehe durch den Endpunkt dieses neuen Halbmessers und durch den Endpunkt des Halbmessers in dem anderen Kreise eine Gerade; ihr Durchschnittspunkt mit der Centrale ist der innere Aehnlichkeitspunkt beider Kreise. 7. An zwei gegebene Kreise eine gemeinschaftliche Tan¬ gente zu ziehen. Man bestimme den äußeren und den inneren Aehnlichkeitspunkt der Kreise, ziehe aus denselben Tangenten an den einen Kreis (Aufg. 5), so sind diese zugleich Tangenten des zweiten Kreises. (Z. 116, Folgest d.) Man erhält zwei äußere und zwei innere Tangenten. 8. Einen Kreisbogen zu halbiren. Man beschreibe aus den Endpunkten mit demselben Halbmesser zwei Kreisbogen und ziehe von ihrem Durchschnittspunkte zu dem gege¬ benen Kreismittelpunkte eine Gerade, so halbirt diese den Kreisbogen. 9. Die Peripherie eines Kreises in zwei gleiche Theile zu theilen. Durch fortgesetzte Halbirung erhält man 4, 8,... gleiche Theile. 10. Die Peripherie eines Kreises in sechs gleiche Theile , zu theilen. Man trage den Halbmesser als Sehne in der Peripherie herum. (8- 122.) Wenn man zwei solche Bogen für einen einzigen betrachtet, so ist die Peripherie in 3 gleiche Theile getheilt. Durch Halbirung erhält man 12, 24,.. gleiche Theile. 11. Eine gegebene Strecke nach stetiger Proportion (im mittleren und äußeren Verhältnisse) zu theilen. 91 Man ziehe (Fig. 142) 1^0 -^8, mache L0 —^^8, be¬ schreibe aus 6 mit dem Halbmesser 0^ einen Kreis, und ziehe durch Fig. 142. 8 und 0 eine Secante, welche den Kreis in zwei Punkten I) und k' schneidet; macht man - nun 88 — 8V, so ist ^48 im Punkte 8 > nach stetiger Proportion getheilt. ' j Denn88:^8^^8:8V (8-128, 3), daher auch V ^8 : (88-^8) 8V: (^8 — 8V). K S Nun ist 88 — ä.8 88 - V8 - 8V^ 88, L.8 — 8V — 1^.8 — 88 — ^.8; mithin ^8:88 88: ^8. 12. Die Peripherie eines Kreises in zehn gleiche Theile zu theilen. Man theile den Halbmesser nach stetiger Proportion (Aufg. 11) und trage den größeren Abschnitt als Sehne im Kreise herum. (8- 129.) Nimmt man zwei solche Theile für einen einzigen, so ist die Peripherie in 5 gleiche Theile getheilt. Durch Halbirung erhält man 20, 40,.. gleiche Theile. Um ein gegebenes Dreieck einen Kreis zu beschreiben. (8. 118, u.) In ein gegebenes Dreieck einen Kreis zu beschreiben. (8- 118, b.) Einem gegebenen Kreise s.) ein gleichseitiges Dreieck, ein regelmäßiges Sechseck, Zwölfeck,.. 5) ein Quadrat, ein regelmäßiges Achteck, Sechszehneck,.. v) ein regelmäßiges Fünfeck, Zehneck,.. ein- und umzuschreiben. Die Auflösung geschieht mit Hilfe der Aufgaben 9, 10 und 12 nach 8- 121, 2. 13. Einen Kreis zu beschreiben, welcher a) der Summe, d) der Differenz zweier gegebener Kreise gleich ist. Durch Construction eines rechtwinkligen Dreieckes mit Rücksicht auf 8- 134, Folges. o. 14. Beschreibe mit den Halbmessern 3°°° und 2°" zwei Kreise, die sich a) von außen, b) von innen berühren. (8- 114, u.) 15. Mit den Halbmessern m, n, x (Fig. 143) drei Kreise zu beschreiben, welche sich gegenseitig von außen berühren. 92 Man verzeichne mit den Seiten — m -s-u, ^.0—m -s- x und ö 0 — Q -s- p ein Drei¬ eck ^LO, beschreibe aus mit dem Halbmesser na, aus L mit u, und aus 0 mit p Kreise, so werden diese die verlangte Eigenschaft haben. Wie wird die Auflösung ge¬ schehen, wenn alle drei Kreise gleiche Halbmesser haben? 16. Aus einem gegebenen Mittelpunkte einen Kreis zu beschreiben, welcher eine gegebene Gerade berührt. Man ziehe von dem gegebenen Punkte auf die Gerade eine Senk¬ rechte und beschreibe mit dieser als Halbmesser einen Kreis. (H. 106, 3.) 17. Aus einem gegebenen Mittelpunkte einen Kreis zu beschreiben, welcher einen gegebenen Kreis berührt. (8- 114, a.) 18. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu be¬ schreiben, welcher durch einen gegebenen Punkt geht und einen gegebenen Kreis berührt. zu construiren, welcher durch einen gegebenen Punkt geht und eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte berührt. Ist (Fig. 144) die gegebene Gerade, 0 der gegebene Punkt in derselben und v der gegebene Punkt außerhalb dieser Geraden, so liegt der Mittelpunkt O des gesuchten Kreises in der auf H.L in 0 errichteten Senkrechten (ß. 109, 4) und in der Senkrechten, welche auf 01) in ihrer Mitte L errichtet wird. (ß. 59, 4.) Damit der Kreis durch den gegebenen Punkt gehe, muß sein Mittel¬ punkt in der Kreislinie liegen, welche aus diesem Punkte mit dem ge¬ gebenen Halbmesser beschrieben wird; damit der Kreis den gegebenen Kreis berühre, muß sein Mittelpunkt in dem concentrischen Kreise liegen, dessen Halbmesser gleich ist der Summe (oder Differenz) der beiden ge¬ gebenen Halbmesser (Z. 113, 2 oder 4). Der Mittelpunkt des verlangten Kreises liegt also in dem Durchschnitte jener beiden Kreislinien. Hiernach ist die Construction leicht auszuführen. 19. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu be¬ schreiben, welcher a) durch zwei gegebene Punkte geht; b) durch einen gegebenen Punkt geht und eine gegebene Gerade berührt (8-106, 2 und 8- 61, Folgest u); o) zwei gegebene Gerade berührt; ä) eine gegebene Gerade und einen gegebenen Kreis berührt; s) zwei gegebene Kreise berührt. 20. Einen Kreis 93 21. Einen Kreis zu beschreiben, welcher durch einen gegebenen Punkt geht und einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte berührt. (8- 114, a und 8- 59, 4.) 22. Einen Kreis zu beschreiben, welcher zwei gegebene Gerade, und zwar die eine in einem gegebenen Punkte berührt, (ß. 106, 4.) Siebenter Abschnitt. Die Ellipse, Hyperbel und Parabel. Die Ellipse. ß. 137. Die Ellipse ist eine krumme Linie, in welcher die Summe der Entfernungen eines jeden Punktes von zwei gegebenen Punkten constant ist. Sind (Fig. 145) -V und 8 die zwei gegebenen Punkte, so ist für die Punkte A, k,... der Ellipse HN -j- 8Ll — H.N -s- M —... Die zwei gegebenen Punkte H und 8 heißen die Brenn¬ punkte der Ellipse; die Entfer¬ nungen eines Punktes N von den beiden Brennpunkten, nämlich die Strecken HN und 8N, werden Leit st raten jenes Punktes genannt. Die Strecke O v, welche durch die beiden Brennpunkte geht, heißt die große Axe. Die Endpunkte 0 und v derselben heißen die Sch eitel, und der Halbirungspunkt O der Mittelpunkt der Ellipse. Die Strecke LV, welche im Mittelpunkte 0 auf die große Axe senkrecht steht, heißt die kleine Axe der Ellipse. 1. Da HD 80 — HD -s- 8O oder 2 HO -s- Hk 2 KV -s- Hk sein muß, so ist auch 2H.0 — 28V und H.0 — 8V; d. h. die Scheitel der Ellipse sind von den Brennpunkten derselben gleichweit entfernt. Daraus folgt, daß auch der Mittelpunkt der Ellipse von den beiden Brennpunkten derselben gleich¬ weit entfernt ist. Die Entfernung eines Brennpunktes der Ellipse von dem Mittel¬ punkte derselben heißt die Excentricität der Ellipse. Äe kleiner die Excentricität ist, desto mehr nähert sich die Ellipse einem Kreise. 94 2. Da /M LU — Lv -j- LV und LV — LO ist, so ist auch LU-s-LU-^LO-j-LV, oder LU LU — Ov; d. h. die Summe der zwei Leitstraleu eines jeden Punktes der Ellipse ist der großen Axe derselben gleich. Ist die Summe der Abstände eines Punktes von den zwei Brenn¬ punkten einer Ellipse größer oder kleiner als die große Axe, so liegt jener Punkt bezüglich außerhalb oder innerhalb der Ellipse. 3. Die Dreiecke LOL und LOL sind congruent, daher LL — KL; aber LL -s- LL — Ov, oder 2LL — Ov, daher LL — ^Ov; d. h. die Entfernung eines Endpunktes der kleinen Axe der Ellipse von einem Brennpunkte ist der halben großen Axe gleich. Da ferner LOL LOL, so ist OL —OL; d. h. der Mittelpunkt der Ellipse ist zugleich der Halbirungspunkt der kleinen Axe derselben. Bezeichnet s, die halbe große, d die halbe kleine Axe und o die Excentricität der Ellipse, so erhält man aus dem rechtwinkligen Dreiecke LOL, worin LL — a, OL — b, LO — s ist, nach dem Pythagoräischen Lehrsätze a- b- 6-, daher a i, — s'', a b°. Die kleine Axe der Ellipse sei 1°>, die Excentricität 3^-°; wie groß ist die halbe große Axe? Die Excentricität einer Ellipse ist 0'34-°, die große Axe 1-3v>; wie groß ist die kleine Axe? Ein Gärtner hat eine Ellipse zu construiren, deren Axen 588« und 45a wird /, für v>i> wird x imaginär. Zieht man daher mit der Ordinatenaxe in den Abständen -st a and — u, mit der Abscissenaxe aber in den Abständen -st b und — b parallele Gerade, welche ein Rechteck bilden, so wird die ganze Ellipse innerhalb dieses Rechteckes enthalten sein. Daraus folgt, daß die Ellipse eine ge¬ schlossene krumme Linie ist. 3. Je kleiner die Excentricität ist, desto weniger ist a von b unter¬ schieden, desto mehr nähert sich die Ellipse dem Kreise; für a — i> geht die Ellipse in den Kreis über. Ihre Gleichung nimmt in diesem Falle folgende Form an: X? -st — g.2 Diese Gleichung, welche zwischen den Coordinaten x und eines jeden Punktes der Kreislinie stattfindet, heißt die Gleichung des Kreises. 8- I4l Beschreibt man über der großen Axe einer Ellipse als Durchmesser einen Kreis, so verhalten sich die derselben Abscisse entsprechenden Ordinaten des Kreises und der Ellipse wie die halbe große zur halb en kleinen Axe. 8'S- 147. Setzt man (Fig. 147) 0 ?—x, Al?— und 17? so ist für den Punkt 17 des Kreises x? -st — ast für den Punkt Ll der Ellipse st^x? -sts?z^ — s?i>2, daher A —— xst — x-, und folglich A : — L : b. 97 §. I4S. Der Flächeninhalt einer Ellipse ist gleich dem Products aus den beiden Halbaxen undwer Zahl re. Sind (Fig. 147) UL und LLL' die Ordinate» der Ellipse, NL und ILL^ die Ordinalen des über OO beschriebenen Kreises, welche zu den Abscissen OL und 0?" gehören, und zieht man LLtz und NM Parallel mit der Axe LV, so ist UMM<^ : NMLL. — UM": N"L" — ir : a (Z. 96, 3). Denkt man sich nun die Ordinaten NL und N"L" unendlich nahe an einander, so können die Dreiecke UU'H und NN"R als unendlich klein vernachlässigt und folglich die Rechtecke U'L"LH undN"k"LR als Elemente der Ellipse und des Kreises betrachtet werden. Stellt man sich die Ellipse und den Kreis aus lauter solchen Elementen bestehend vor, so verhält sich jedes Element der Ellipse zu dem ent¬ sprechenden Elemente des Kreises und somit auch die Summe aller Elemente der Ellipse zur Summe aller Kreiselemente, wie b : a. Letztere Summe ist die Kreisfläche, folglich — a? n, erstere Summe die Fläche der Ellipse; heißt diese 1, so hat man k: s? rr --- b : a, woraus abn folgt. In einer Ellipse ist 1) -i — 12-r-, 2) -t — S--> 7 LL, somit auch ^N -s- KN > LL, oder, da KL LU -F UL LU -f- ^U LV ist, 1XN -j- LN > LV; der Punkt N liegt also außerhalb der Ellipse. Da dieses von jedem Punkte der Geraden UL, den einzigen Punkt U ausgenommen, bewiesen werden kann, so folgt, daß LU die Ellipse im Punkte U berührt. Folgesatz. Jede Tangente der Ellipse bildet mit den Leitstralen des Berührungspunktes gleiche Winkel. Denn Winkel ^UL---LUL, aber LUL---LUN, also auch ^UL -- LUN. MoSnik, Geometrie für Lehrerbildungsanstalten. 7 98 Dieser Satz erklärt folgende Erscheinungen, welche auf dem Reflexions¬ gesetze beruhen. Von einer elliptischen Spiegelfläche werden die von einem Brennpunkte auffallenden Licht-, Wärme- oder Schallstralen so reflectirt, daß sie sich im anderen Brennpunkte vereinigen. Erregt man in einem elliptisch geformten Gefäße, worin sich eine Flüssigkeit befindet, in dem einen Brennpunkte eine Wellenbewegung, so treffen die reflectirten Wellen im anderen Brennpunkte zusammen. 2. Die Hyperbel. ß. 144. Die Hyperbel ist eine krumme Linie, in welcher die Differenz der Entfernungen eines jeden Punktes von zwei gegebenen Punkten constant ist. iq. 149. Sind (Fig. 149) und L die gegebenen zwei Punkte, so ist für die Punkte L4,1^,... der Hyperbel LÄ — Die Punkte und L heißen die Brenn¬ punkte der Ellipse, die Strecken ^.Ll und L N Leitstralen des Punktes N. Die Strecke Ov, deren Verlängerung durch die Brennpunkte geht, nennt man die Hauptaxe, die End¬ punkte 0 und v der¬ selben die Scheitel, und den Halbirungspunkt 0 den Mittelpunkt der Hyperbel. 1. Da ^v — LV 80 — L.O, oder ^0 4- Ov — 8V LV-i-OV —^.0 und daher 2 ^0 -s- Ov 2 LV -s- Ov sein muß, so ist auch 2^,0 — 2 LV, und ^0 — LV; d. h. dieScheitel der Hyperbel sind von den Brennpunkten derselben gleich¬ weit entfernt. Daraus folgt, daß auch der Mittelpunkt der Hyperbel von den beiden Brennpunkten derselben gleich¬ weit entfernt ist. Die Entfernung eines Brennpunktes der Hyperbel vom Mittel¬ punkte heißt die Excentricität der Hyperbel. 2. Da — LN — ^v — LV und L v — 0 ist, so ist auch LLl-^v — ^0, oder —LLl^-OV; d. h. die Differenz der zwei Leitstralen eines jeden Punktes der Hyperbel ist der Hauptaxe derselben gleich. 99 Ist die Differenz der Abstände eines Punktes von den zwei Brenn¬ punkten einer Hyperbel kleiner oder größer als die Hauptaxe, so liegt jener Punkt bezüglich außerhalb oder innerhalb der Hyperbel. 3. Beschreibt man aus den Scheiteln 0 und O der Hyperbel mit der Excentriciiät ^.0 Kreisbogen, die sich in L und I' durchschneiden, und zieht die Gerade Li?, so muß diese, weil die Dreiecke OLL und OVL gleichschenklig sind, durch den Mittelpunkt 0 gehen und auf der Hauptaxe 61) senkrecht stehen. Die Strecke LL heißt die Nebenaxe der Hyperbel. Da /X 00L L OOL, so ist OL OL; d. h. der Mittel¬ punkt der Hyperbel ist zugleich der Halbirungspunkt der Nebenaxe derselben. Bezeichnet a die halbe Hauptaxe, b die halbe Nebenaxe und s die Excentricität der Hyperbel, so ist in dem rechtwinkligen Dreiecke 60 L OL -- e, 60 --- a, OL d, daher -st k«, und s — -st t>^, a — — b°, b — 6^ — ast Die Hauptaxe einer Hyperbel ist 04-», die Nebenaxe 0'5»°,- wie groß ist die Excentricität? Die Excentricität einer Hyperbel ist 5-124-», die Hauptaxe 3-854-»; wie groß ist die Nebenaxe? Die Excentricität einer Hyperbel ist Zi---9°w, die Nebenaxe 24-» S»-»; wie groß ist die Hauptaxe? Beschreibt man aus dem Mittelpunkte 0 mit der Excentricität 0^. als Halbmesser einen Kreis und zieht in demselben durch die Scheitel 6 und I) die auf -iLL senkrechten Sehne n 6-(8 und UL', so ist 60 60' LL -- LL'^^e?- Die durch die Punkte O und L', dann L und 6' gezogenen Geraden O L' und L 6', welche zugleich durch den Mittelpunkt 0 gehen müssen, heißen die Assymptoten der Hyperbel. Z. 145. Bestimmung der Leitstralen einer Hyperbel. Es sei (Fig. 149) der Mittelpunkt 0 der Hyperbel zugleich der Anfangspunkt der Coordinaten und die Hauptaxe die Absciffenaxe. Ist nun LI irgend ein Punkt der Hyperbel, also LN — LN — 2a und sind 0? — x und Llk die Coordinaten dieses Punktes, so erhält man auf gleiche Weise, wie für die Ellipse in Z. 139, Z. 146. Gleichung der Hyperbel. Man erhält, wie für die Ellipse (Z. 140), (s? — s^) x? -st (r? — 6^). Da jedoch hier ist, so ergibt sich — k-st up Y2, oder bx« — g?),- als die Gleichung der Hyperbel. 7* 100 Folgerungen. 1. Wird die Gleichung der Hyperbel nach / aufgelöst, so erhält man So lange x a angenommen, so erhält man für zwei gleiche aber entgegen¬ gesetzte Werthe; die Abscifsenaxe halbirt daher alle auf ihr senkrechten Sehnen der Hyperbel. 2. Löst man die Gleichung der Hyberbel nach x auf, so ergibt sich x — 8: b». woraus folgt, daß zu jedem Werthe von zwei gleiche und entgegengesetzte Abscissen gehören; die Hyperbel erstreckt sich also in congruenten Aesten zu beiden Seiten der Ordinakenaxe. 3. Da x und jeden noch so großen Werth aunehmen können, so folgt, daß die Hyperbel nicht so, wie der Kreis oder die Ellipse, in sich selbst znrückkehrt, sondern daß sich ihre Aeste in's Unendliche ausdehnen. 4. Fällt man von einem Punkte Li (Fig. 149) einer Assymptote 69 6 auf die Hauptaxe eine Senkrechte Lik, welche die Hyperbel in N schneidet, so ist kk:Ok —80:00 oder Li?:x —b:a, daher Lik -.x und Lik« -'.x«. a a? Da nun Nk^— (x« — jst, so folgt Lik« _ Nk- y- oder (Lik -s- Ak) (Lik - Nk) b-, daher Lik - Nk LiN -- Wennxgrößer wird,nehmen auch Lik und Nkzu; mit dem Wachsen von kk -s- Nk nimmt aber, da i? unveränderlich ist, der Abstand LiLl ab; dieser wird daher unendlich klein, wenn x unendlich wächst, d. h. die Hyperbel nähert sich immer mehr und mehr der Assymptole 6k 8, ohne sie je zu erreichen. Dasselbe gilt von der Assymptote 6l86 5. Für n — d geht die Gleichung der Hyperbel über in x^ —- In diesem Falle wird die Hyperbel eine gleichseitige genannt. 8- l<7. Eine Gerade, welche den von den Leitstralen eines Punktes gebildeten Winkel halbirt, ist eine Tangente der Hyperbel. Wird (Fig. 150) der Winkel ^N6 durch die Gerade Lik halbirt, macht man kN — kN und zieht die Gerade kk, so ist L N k k N k, daher kk — kk und Nk ^Lk. Ist nun Li irgend ein von N ver¬ schiedener Punkt der Nk und zieht man ^.Li, LLi und k.ik, so ist 101 LXL L LXL, daher Lis — Lis. Es ist daher auck HX —LX^XX—LX: aber ^X - LX < ^.L, somit auch L.X — Lis < ^.L, oder, da ^L — ^L.LI— LLI Ll — LLI - o o ist, L.X — LX < OO, d. i. der Punkt is liegt außerhalb der Hyperbel. Da dasselbe auch von jedem anderen Punkte der L LI, den einzigen Punkt Ll aus¬ genommen , bewiesen werden kann, so ist L LI eine Tangente der Hyperbel. Folgesatz. Jede Tangente der Hyperbel bildet mit den Leitstralen des Berührungspunktes gleiche Winkel. Auf diesen Satz gründet sich die optische Erscheinung, daß von einem hyperbolisch geschliffenen Hohlspiegel Lichtstralen, die von einem Brennpunkte ausgehen, so reflectirt werden, als ob sie vom anderen Brennpunkte herkämen. 3. Die Parabel. Z. 148. Die Parabel ist eine krumme Linie, in welcher jeder Punkt von einem gegebenen Punkte ebenso weit entfernt ist als von einer Wenn (Fig. 151) ^.L die gegebene Gerade, und 0 der gegebene Pnnkt ist, so ist die Linie LlLOLX eine Parabel, wenn für jeden Punkt LI NO — Litz ist, wo Litz J, L.L angenommen wird. Die gegebene Gerade ^L heißt die Leit¬ linie, der gegebene Punkt 6 der Brennpunkt der Parabel. Die Strecke LIO, welche man von einem Punkte LI der Parabel zum Brennpunkte zieht, wird der Leitstral jenes Punktes genannt. Die Gerade OX, welche durch den Brennpunkt senkrecht auf die Leitlinie gezogen wird, heißt die Achse, und der Punkt O, in welchem die Achse von der Parabel geschnitten wird, der Scheitel der Parabel. Ist die Entfernung eines Punktes von dem Brennpunkte größer oder kleiner als dessen Entfernung von der Leitlinie, so liegt er bezüglich außerhalb oder innerhalb der Parabel. Da 00 —Ov ist, so folgt: Die Parabel schneidet ihre Axe in der Mitte zwischen dem B ren np unkteundder Leitlinie. gegebenen Geraden. Fig. 151. 102 Zieht man durch den Brennpunkt eine auf die Axe senkrechte Sehne Liß', so sind ihre Endpunkte L und L, da sie von der Leitlinie gleichen Abstand haben, auch vom Brennpunkte gleich weit entfernt. Die Sehne LL heißt der Parameter der Parabel. Drückt man den Para¬ meter durch 2x aus, so ist 0L — OL — p und 00 — OO — K. I4S. Bestimmung eines Leitstrals der Parabel. Nimmt man (Fig. 151) den Scheitel O der Parabel als Anfangs¬ punkt der Coordinaten und OOX als die Abscisfenaxe an und sind für einen beliebigen Punkt N der Parabel x — OUund — Nk die Coordinaten, so hat man ON --- Ntz vk Ok Ov, also ON -- x -j- H. I5V Gleichung der Parabel. Aus dem rechtwinkligen Dreiecke AkO (Fig. 151) erhält man Ak- -- ON- - 0?2, oder -f- — ^x — woraus sich 2xx als die Gleichung der Parabel ergibt. Folgerungen. I. Aus — 2px folgt 2px. Zu jedem positiven Werthe von x gehören demnach zwei gleiche, aber entgegengesetzte Or- dinaten; die Parabel dehnt sich also zu beiden Seiten der Abscisfenaxe in zwei congruenten Aesten aus, und zwar in's Unendliche, da x und v jede beliebige Größe erreichen können. 2. Für ein negatives x wird imaginär; negativen Abscissen ent¬ sprechen daher keine Punkte der Parabel. 3. Aus — 2px folgt 2p : : x, d. h. die Ordinate eines jeden Punktes der Parabel ist die mittlere Propor¬ tionale zwischen dem Parameter und der Abscisse des Punktes. Z. 151. Die Abscissen der Punkte einer Parabel ver¬ halten sich wie die Quadrate der zugehörigen Ordinaten. Sind x' und x" die Abscissen, und die zugehörigen Ordi¬ naten zweier Punkte einer Parabel, deren Parameter 2 p ist, so hat man 2xx" — und 2px" — x"2, daher xO x" — . Z. I5L. Eine Gerade, welche den Nebenwinkel des von dem Leitstrale eines Punktes und der durch diesen Punkt zur Axe Parallelen gebildeten Winkels halbirt, ist eine Tangente der Parabel. 103 Fig. 1S2. Es sei (Fig. 152) N8 jj ox und AH die Verlängerung der L18. Halbirt man den Winkel ONH durch die Gerade UT, so hat diese mit der Parabel nur den Punkt N gemeinschaftlich. Denn zieht man OH, so ist /X 0L18 HUX, daher OX — Hx und NX OH. Nimmt man nun in der NI irgend einen außer N liegenden Punkt X an und zieht OX, HX und Xlis^Z, so ist /X OXX HXX, daher OX - HX; aber HX > XR, also auch OX > Xk, d. h. der Punkt X liegt außerhalb der Parabel. Dasselbe kann vonjedem Punkte der NI', den einzigen Punkt U ausgenommen, bewiesen werden; also ist NT eine Tangente der Parabel. Folgesätze. 1. Jede Tangente einer Parabel halbirt den Winkel, den der Leitstral des Berührungspunktes mit der durch diesen Punkt zur Axe parallelen Geraden bildet. Denn Winkel OND^HNT; aber HND 8ÄIX, also auch OND^8NX. Auf diesem Satze beruht die Anwendung parabolischer Hohlspiegel. Fallen nämlich Licht-, Wärme- oder Schallstralen parallel mit der Axe auf den Spiegel auf, so vereinigen sie sich nach der Reflexion im Brenn¬ punkte. Umgekehrt: Die vom Brennpunkte ausgehenden Stralen werden von dem Spiegel parallel mit der Axe reflectirt. 2. Der Fußpunkt einer Tangente der Parabel in der Axe und der Berührungspunkt sind von dem Brennpunkte gleich weit entfernt. Denn Winkel OND — 8NX; aber 8NX --- 0?N, also auch OND — ODN, daher in dem Dreiecke OND die Seite OD-ON. Constructions - Aufgaben. 1. Wenn die große Axe und die beiden Brennpunkte einer Ellipse gegeben sind, beliebig viele Punkte derselben zu bestimmen. a) Es seien (Fig. 145) und 8 die Brennpunkte und O die Mitte ihres Abstandes. Macht man 06 — 01) gleich der halben großen Axe, so sind 0 und I) die Scheitel der Ellipse. Beschreibt man mit der halben großen Axe 00 als Halbmesser aus und 8 Kreisbogen, so geben ihre Durchschnitte 8 und X die Endpunkte der kleinen Axe. 104 Nimmt man ferner zwischen L. und O einen beliebigen Punkt V an, beschreibt aus jedem Brennpunkte mit dem Halbmesser OV, dann ebenso mit dem Halbmesser v V nach oben und unten Kreis¬ bogen, so sind die vier Durchschnittspunkte LI, Li, H, 8 Punkte der Ellipse, weil für jeden derselben der eine Leitstral — OV, der andere — OV, also ihre Summe — OV -j- OV, d. i. der großen Axe gleich ist. Auf diese Art können, wenn man zwischen und 0 verschiedene andere Punkte annimmt, beliebig viele Punkte der Ellipse bestimmt werden. Verbindet man diese durch eine stetig gekrümmte Linie, so erhält man die verlangte Ellipse, und zwar um so genauer, je mehrere Punkte derselben bestimmt wurden. b) Eine zweite Auflösung beruht auf Z. 141. Durch die große Axe und die beiden Brennpunkte einer Ellipse ist auch die kleine Axe gegeben. Beschreibt man nun über der großen Axe als Durchmesser einen Kreis, zieht in diesem beliebig viele Ordinaten, verkürzt sie in dem Verhältnisse der großen zur kleinen Axe und trägt sodann diese verkürzten Ordinaten auf die Kreis- ordinaten auf, so sind ihre Endpunkte eben so viele Punkte der Ellipse. e) Mechanische Construction der Ellipse. Man befestige in dem Brennpunkte zwei Stifte, lege um die¬ selben einen an den Enden zusammengebundenen Faden, dessen Länge gleich ist der großen Axe vermehrt um den Abstand der Brenn¬ punkte. Spannt man sodann den Faden mittelst eines Zeichenstistes und führt diesen um die Brennpunkte so herum, daß der Faden immer straff gespannt bleibt, so beschreibt der Zeichenstift während dieser Bewegung eine Ellipse. 2. Durch einen Punkt LI (Fig. 148) der Ellipse an diese eine Tangente zu ziehen. Verlängert man den Leitstral 8Ll über Ll hinaus, so darf man, um die Lage der Tangente LH zu erhalten, (nach Z. 143, Folgest) nur den Winkel -LLlO halbiren. Man macht daher LlO — LlX und be¬ schreibt aus L und mit demselben Halbmesser Kreisbogen, welche sich in Ll schneiden; die durch Li und Ll gezogene Gerade LlLlD ist die ver¬ langte Tangente. 3. Wenn die Hauptaxe und die beiden Brennpunkte der Hyperbel gegeben sind, beliebig viele Punkte derselben zu bestimmen. a) Es seien (Fig. 149) V und 8 die beiden Brennpunkte. Man ver¬ binde dieselben durch die Strecke L. 8, halbire diese in O, und trage von 0 aus bis 0 und O die halbe Länge der gegebenen Hauptaxe auf; 61) ist nun die Hauptaxe der Hyperbel, 6 und O sind ihre Scheitel. Nun nehme man in der Geraden 8X irgend einen Punkt V an, und beschreibe mit dem Halbmesser OV aus den beiden Brennpunkten nach oben und unten Bogen, hierauf eben so mit dem 105 Halbmesser v V, so werden die Durchschnittspunkte LI, Ls, H, R dieser Bogen in der Hyperbel liegen; denn es ist für jeden der¬ selben der eine Leitstral gleich O V, der andere gleich I) V, also ihr Unterschied gleich OV —VV —0V. Nimmt man in der Geraden 8X verschiedene andere Punkte an und verfährt auf die eben angegebene Weise, so kann man dadurch beliebig viele Punkte erhalten, welche, durch eine stetige Linie verbunden, die verlangte Hyperbel geben. d) Mechanische Construction. Fig. 153. Man befestige (Fig. 153) in dem einen Brennpunkte X die eine Kantenecke eines Lineals H.I-, und an dessen anderer Ecke 8 das Ende eines Fadens, dessen Länge 1 um die Hauptaxe Ov kleiner ist als die Länge des Lineals, so daß man hat: — k— Ov. Das andere Ende des Fadens wird im zweiten Brennpunkte 8 be¬ festigt. Dreht man nun das Lineal um die Kantenecke und spannt dabei den Faden mittelst eines Zeichenstiftes LI an das Lineal straff an, so beschreibt der Stift einen Theil der Hyperbel; denn es ist für jede Lage von LI XLI —8LI^(^.LI-4Ll8) —(8Ll^LI8)-^D- k^OV. Auf gleiche Weise können durch die Drehung des Lineals und die Bewegung des Stiftes auch die übrigen Theile der Hyperbel beschrieben werden. 4. Durch einen Punkt Ll (Fig. 150) der Hyperbel an diese eine Tangente zu ziehen. Man ziehe die Leitstralen XLl und 8 LI und halbire den Winkel 1LLI8; die Halbirungslinie Lik' ist die verlangte Tangente. (Z> 147.) 5. Wenn der Brennpunkt und die Leitlinie einer Pa¬ rabel gegeben sind, beliebig viele Punkte derselben zu be¬ stimmen. a) Es sei (Fig. 151) ^.8 die Leitlinie, und 0 der Brennpunkt. Man ziehe vom Brennpunkte auf die Leitlinie eine Senkrechte 01), und 106 verlängere diese über den Brennpunkt hinaus. Halbirt man nun , den Abstand 61) im Punkte 0, so ist 0 der Scheitel, und OX die Axe der Parabel. Nimmt man in der großen Axe irgend einen Punkt 8 an, errichtet in diesem auf die Axe eine Senkrechte, mißt den Abstand dieser Senkrechten von der Leitlinie, d. i. die Strecke kV und beschreibt damit aus dem Brennpunkte nach oben und unten Bogen, welche jene Senkrechte in den Punkten LI und X durchschneiden; so sind Ä und X Punkte der Parabel, weil sie von der Leitlinie eben so weit abstehen, als vom Brennpunkte. Wenn man auf diese Weise sehr viele Senkrechte auf der großen Axe er¬ richtet und sie gehörig durchschneidet, so erhält man beliebig viele Punkte der Parabel. Liegen diese sehr nahe an einander, so gibt ihre Verbindung mit einem freien Zuge die verlangte Parabel. d) Mechanische Construction. Man nehme ein bei I) rechtwinkliges hölzernes Dreieck OO4' (Fig. 154), und einen Faden von der Länge OL, befestige das eine Fig. 154. Ende des Fadens im Brennpunkte 0 und das andere in X. Dann läßt man das Dreieck mit der Kathete VX längs der Leit- linie 8 fortgleiten und führt zugleich den Zeichenstist LI längs der Kathete OX so fort, daß dabei der Faden immer straff ge- F spannt bleibt. Der Stift LI beschreibt dadurch den oberen Ast der Parabel; denn es wird / bei jeder Lage des Dreieckes die Faden- , länge OLI dem abgewickelten Stücke OLI X der Kante OX gleich sein, d. h. es wird in jeder Lage der Punkt LI vom Brenn- punkte eben so weit abstehen als von der - Leitlinie. Um den unteren Ast der Parabel zu erhalten, dreht man das Dreieck so um, daß die Kante O X in die Richtung O8 fällt, und verfährt dann wie vorhin. Ns- 155- g. Wenn der Sch eitel und der Parameter einer Parabel gegeben sind, beliebig viele Punkte derselbenzubestimmen. Die Auflösung beruht auf Z. 150, 3 und Z. 127, 2. Es sei ^8 (Fig. 155) der Parameter, L. der Scheitel und iLX die Axe der Parabel. Man nehme beliebige Abs cissen LO, ... an und beschreibe über 8?" 8?',... als Durchmesser Kreise, welche die in auf ^8 errichtete Senkrechte in den Punkten 8, und 8, 8' und 8',.... 107 schneiden. Zieht man nun durch diese Punkte Parallele zur Axe, so werden diese die in k, ?',... auf die Axe errichteten Senkrechten in den Punkten Nund 17, N' und 17'... schneiden; diese sind dann Punkte der Parabel. 7. Durch einen Punkt N (Fig. 152) der Parabel an diese eine Tangente zu ziehen. a) Man halbire den Winkel ONH, indem man aus 6 und H mit demselben Halbmesser Kreisbogen beschreibt, welche sich in 8 schneiden und ziehe die Gerade 8N; diese ist die verlangte Tan¬ gente. (§. 152.) b) Man beschreibe aus dem Brennpunkte 6 mit dem Leitstrale 011 als Halbmesser einen Kreisbogen, welcher die verlängerte Axe in T schneidet und ziehe TN. (ß. 152, Folges. 2.) Zweiter Theil. Die Stereometrie Erster Abschnitt. Gerade Linien und Ebenen im Raume. 153. Durch zwei Punkte wird eine Gerade vollkommen be¬ stimmt, d. h. es läßt sich durch zwei Punkte eine einzige gerade Linie ziehen. Legt man nun durch diese Gerade eine Ebene, so kann man dieselbe rings um die Gerade herumdrehen, wodurch sie unzählig viele verschiedene Lagen einnimmt. Durch zwei Punkte oder durch eine gerade Linie ist demnach eine Ebene nicht bestimmt. Nimmt man aber außer der Geraden noch einen dritten Punkt an, so wird es unter jenen unzählig vielen Lagen, welche die Ebene während ihrer Umdrehung an¬ nehmen kann, eine einzige geben, in welcher die Ebene durch die gerade Linie und den außer ihr liegenden Punkt geht. Durch eine Gerade und einen außer ihr liegenden Punkt, oder durch drei nicht in einer geraden Linie liegende Punkte kann demnach eine einzige Ebene gelegt werden. Eine Ebene ist ferner vollkommen bestimmt: 1. durch zwei sich schneidende gerade Linien, 2. durch zwei parallele Linien. Z. 154. Zwei Gerade im Raume können eine dreifache Lage gegen einander haben; entweder sind sie parallel, oder sie schneiden sich in einem Punkte, oder es ist keines von beiden der Fall, die Linien gehen nämlich an einander vorbei. In den zwei ersten Fällen liegen die beiden Geraden in einerlei Ebene, im dritten Falle lassen sie sich nicht in einer und derselben Ebene vorstellen. 1. Lage der Geraden gegen eine Ebene. Z. 155. Eine Gerade, welche nicht in einer Ebene liegt, kann diese Ebene nur in einem Punkte treffen. 109 Denn träfe die Gerade die Ebene noch in einem zweiten Punkte, so müßte sie ganz in die Ebene fallen. (Z. 3.) Der Punkt, in welchem eine Gerade eine Ebene schneidet, heißt der Fuß punkt dieser Geraden in der Ebene. Z. Isk. Eine Gerade des Raumes kann gegen eine Ebene in einer dreifachen Lage gedacht werden: entweder fällt die Gerade ganz in die Ebene; oder es schneidet die hinreichend verlängerte Gerade die Ebene in einem Punkte, sie ist gegen die Ebene geneigt; oder es trifft die unbegrenzt verlängerte Gerade mit der beliebig erweiterten Ebene nie zusammen, die Gerade ist mit der Ebene parallel. Eine gegen eine Ebene geneigte Gerade kann auf derselben senk¬ recht oder schief aufstehen. Eine Gerade heißt auf einer Ebene senk¬ recht, wenn sie auf jeder Geraden, welche durch ihren Fußpunkt in dieser Ebene gezogen wird, senkrecht steht; sonst heißt sie auf der Ebene schief. Z. 157. Steht eine Gerade aus zwei Geraden, welche durch ihren Fußpunkt in einer Ebene gezogen werden, senk¬ recht, so steht sie auch auf jeder anderen durch ihren Fu߬ punkt in dieser Ebene gezogenen Geraden, folglich auf der Ebene selbst senkrecht. Beweis. Es seien (Fig. 156) OH. und 08 zwei Gerade in der Ebene 8 8, und LIO -I. OH., LIO 0 8; ferner sei 00 eine dritte in dieser Ebene durch O willkürlich gezogene Gerade. Man verlängere die Gerade LIO bis LI, so daß die aus der entgegengesetzten Seite der Ebene 8 8 liegende Verlängerung OLi — 0 LI ist, und ziehe H 6 , welche die 0 0 in 0 schneidet, fern er LI H und Li H; dann ist/X,LIOH.^LiOH, folglich LI H — UH. Zieht man LI8 und LIL, so ist ebenso /L LIO8 LIO8, daher LI8 — LI 8. Dann aber sind die Dreiecke LIH8 und LiH.8 congruent, daher W. LIH8 —LiH8. Zieht man endlich noch LIO und LIO, so ist auch LIHO LIHO, daher LIO —Li0. Das^OLILi ist also gleichschenklig, daher 00^ LILI (Z. 59, 1), oder LIO 00; folglich auch LIO Ebene 88. Folgesätze. a) Von einem Punkte außerhalb einer Ebene kann auf diese nur eine Senkrechte gezogen werden. t>) In einem Punkte einer Ebene kann auf diese nur eine Senkrechte errichtet werden. o) Die Senkrechte ist die kürzeste unter allen Strecken, die von einem Punkte außerhalb einer Ebene zu dieser gezogen werden können; sie gibt daher die Entfernung dieses Punktes von der Ebene an. Fig. iss. 110 ß. 158. 1. Steht von zwei parallelen Geraden die eine auf einer Ebene senkrecht, so steht auch die andere auf der¬ selben senkrecht. Es sei (Fig. 157) ^8^01) und Ebene 8.8. Da ^.8 und OO in einer Ebene liegen, welche die Ebene 88 in der Geraden 8V schneidet, so ist wegen ^.8^88 auch 08 88 (8- 27, 2). Zieht man F.8, ferner in der Ebene 8 8 die 8 8 8 8 und macht 8 8 — 8, so ist/^F.88^888, daher^D —88; dann ist /X 88^., daher Winkel F.88 — 88^ — 8, d. i. 88Z ^.8, folglich 88 senkrecht auf der Ebene ^88 und somit auch auf der in dieser Ebene liegenden 61). Die 08 ist daher senkrecht auf 88 und 88, folglich auch auf der Ebene 88. 2. Stehen zwei Gerade auf einer Ebene senkrecht, so Fig. 157. sind sie parallel. Ware nicht die eine Senkrechte mit der andern parallel, so müßte sich durch ihren Fußpunkt -eine andere mit der zweiten parallele Gerade ziehen lassen; diese aber wäre nach 1. auf der Ebene senkrecht, was nicht möglich ist, weil in einem Punkte auf eine Ebene nur eine Senk¬ rechte errichtet werden kann. Folgesatz. Alle Senkrechten von verschiedenen Punkten einer Ge¬ raden auf eine Ebene liegen in einer einzigen Ebene, daher alle ihre Fußpunkte in einer einzigen Geraden. Z. 159. 1. Zwei Gerade, deren jede einer dritten Ge¬ raden im Raume parallel ist, sind unter einander parallel. Denkt man sich nämlich eine Ebene construirt, aus welcher die dritte Gerade senkrecht steht, so müssen nach Z. 158, 1 auch die beiden ersten Geraden auf dieser Ebene senkrecht stehen, folglich nach Z. 158, 2 unter einander parallel sein. 2. Zwei Winkel im Raume, deren Schenkel paarweise parallel sind, sinda) gleich, wenn beide Paare der Schenkel in demselben, oder beide im entgegengesetzten Sinne paral¬ lel sind; dagegen d) Supplementwinkel,wenn zwei Schenkel in demselben, die beiden anderen aber im entgegengesetzten Sinne parallel sind. Beweis, u) Es sei (Fig. 158) ^.0 L'^." und 80 8'8". Macht mau L.0 —L.'O', und 80 — 8'0', und zieht die Geraden X^.', 8 8', 0 0', 7^8 und X'8', so ist dann gleich und parallel mit 00', ferner 8 8' gleich und parallel mit 00' (Z. 62, 2), mithin auch ^.L.' gleich und parallel mit 8 8' (Z. 159.1); folglich ist auch ^.8-^'8' (Z. 62,2). Dann aber ist^X ^08 L.'0'8', daher Winkel 08 —^.'0'8'. 111 Wegen W. ^O'L'^^"O'L" ist auch W. ^OL L"O'L". d) Nach a) ist ^.OL — ^O^LO aber ^O^L' -j-^." O'L' — 2K, folglich auch ^OL-^"O'L'^2K. Z. 166. Wenn man von dem Endpunkte einer Strecke, welche auf einer Ebene schief steht, auf diese eine Senkrechte zieht, so heißt die Strecke zwischen den Fußpunkten der Senkrechten und der gegebenen Strecke die Projektion dieser Strecke auf die Ebene. Ist (Fig. 159) LO Z. Ebene K8, so ist H.0 die Projection der ^.L auf die Ebene K8. Der Winkel einer Geraden mit ihrer Projection auf eine Ebene ist der kleinste von allen Winkeln, welche diese Gerade mit den durch ihren Fußpunkt in der Ebene ge¬ zogenen Geraden bildet. Fig. 159. Es sei LOZ. Ebene K8, also ^0 F die Projection der Geraden auf die Ebene /7! K8. Zieht man durch in der Ebene K8 /' / irgend eine andere Gerade ^v, macht ^v — ^0 und zieht noch Ov und LV, so ist / ^<-" --/7- <7 / L 0 < L v (§. 38, 1). In den Dreiecken / / L^.0 und L ^.v ist dann auch der Winkel -- 'F L^O cL^V. (Z. 57.) Der Winkel, welchen eine Gerade mit ihrer Projection auf eine Ebene bildet, wird als das Maß der Neigung der Geraden gegen die Ebene angenommen und heißt der Neigungswinkel derselben. Z. 161. Ist eine gerade Linie mit einer in einer Ebene liegenden Geraden parallel, so ist sie mit der Ebene selbst Parallel. Fig. 16V. Ist (Fig. 160) ^Lü Ov, so läßt sich durch die beiden Geraden eine Ebene l^LOV legen. Sollte nun die Gerade ^6 die Ebene R8 in einem Punkte 0 schneiden, so müßte derselbe sowohl in der Ebene L8 als auch in der Ebene t^LOV, somit in ihrer Durchfchnittslinie Ov liegen. Dieses ist aber unmöglich, da ^.Lü Ov; es muß also ^L Ebene K8 sein. 2. Lage der Ebenen gegen einander. ß. 162. Wenn sich zwei Ebenen schneiden, so ist ihr Durchschnitt eine gerade Linie. Wäre die Durchschnittslinie nicht gerade, so müßte es in derselben drei Punkte geben, die nicht in gerader Linie liegen. Dann müßten die drei Punkte in beiden Ebenen liegen, und daher diese gegen die Voraus¬ setzung eine einzige Ebene bilden. 112 Z. 163. Zwei Ebenen können gegen einander in einer dreifachen Lage gedacht werden: entweder fallen die zwei Ebenen ganz zusammen, oder schneiden sich die hinreichend erweiterten Ebenen in einer geraden Linie, sie sind gegen einander geneigt; oder es treffen die beiden Ebenen, so weit man sie auch erweitern mag, nie zusammen, sie sind parallel. Z. 164. Wenn sich zwei Ebenen schneiden, so heißt die Größe der Drehung, welche die eine Ebene um die gemeinschaftliche Durch- schnittslinie machen muß, um in die Lage der anderen Ebene zu gelangen, der Flächenwinkel oder Keil der beiden Ebenen; die gemeiuschaftliche Durchschnittslinie der Ebenen nennt man die Kante und die beiden Ebenen selbst die Seitenflächen des Flächenwinkels. F'g- i6i. In Fjg. 161 sind L.L die Kante, und ^.1? die Seitenflächen des von den Ebenen H.O und / ^.1? gebildeten Flächenwinkels. Man bezeichnet diesen Winkel durch 1) / / Errichtet man in einem beliebigen Punkte 0 der Kante auf diese in den beiden Seitenflächen / die Senkrechten 0 Lil und O N, so heißt der von diesen / Senkrechten gebildeteWinkelLlOi§ der Neigungs- winkel der beiden Seitenflächen. Je nachdem der Neigungswinkel zweier Ebenen ein rechter oder ein schiefer ist, heißen dieselben senkrecht oder schief auf einander stehend. Da zu gleichen Flächenwinkeln auch gleiche Neigungswinkel und umgekehrt gehören, so nimmt man die Größe des Neigungswinkels der Seitenflächen eines Flächenwinkels als Maß für die Größe des Flächen¬ winkels an. 8- 165. Steht eine Gerade senkrecht aus einer Ebene, so steht auch jede durch dieGerade gelegteEbene senkrecht auf jener Ebene. Fig. 162. Es sei (Fig. 162) 6 Ebene R8 und durch die Ebene ^6O gelegt. Zieht man in der Ebene R8 aus die Durchschnittslinie 61) beider Ebenen die Senkrechte LL, so ist, da auch LL OO, Winkel der Neigungs¬ winkel der beiden Ebenen; allein — R, weil Z, R8; folglich Ebene ^6O I. Ebene R8. Z. 166. 1. Werden zwei parallele Ebenen von einer dritten geschnitten, so sind die Durchschnittslinien parallel. Denn würden die Durchschnittslinien verlängert sich in einem Punkte schneiden, so müßte dieser in jeder der beiden Ebenen liegen, was nach der Voraussetzung unmöglich ist. 113 2. Parallele Strecken zwischen parallelen Ebenen sind einander gleich. Der Beweis folgt aus 1. und §. 61. Folgesatz. Alle Senkrechten zwischen zwei parallelen Ebenen sind gleich. Die constante Länge einer solchen Senkrechten gibt den Abstand der beiden Ebenen an. Z. 167. 1. Steht eine Gerade auf zwei Ebenen senk¬ recht, so sind diese parallel. Fig- 163. Es sei (Fig. 163) und D, LL-I R8, so muß ^.RjjL8 sein. /.-1_Würden sich die beiden Ebenen schneiden, / so müßten die Senkrechte und die ' Verbindungsstrecken ihrer Fußpunkte mit " irgend einem Punkte 0 des Durchschnittes .5/ beider Ebenen ein Dreieck ^VLO bilden, / worin zwei rechte Winkel vorkämen, was nicht möglich ist. 2. Steht eine Gerade auf einer von zwei parallelen Ebenen senkrecht, so steht sie auch auf der anderen Ebene senkrecht. (Fig. 163.) Es sei L8 und -s. ^.k. Würde auf L8 schief aufliegen, also z. B. der Winkel ein schiefer sein, so müßten in der Ebene die Geraden ^0 und LO verlängert sich treffen, so¬ mit die Ebenen und L 8 erweitert sich schneiden, was gegen die Voraussetzung ist. Z. 168. 1. Sind zwei Ebenen einer dritten parallel, so sind sie auch unter einander parallel. Denn errichtet man auf die dritte Ebene eine Senkrechte, so muß diese (tz. 167, 2) auch auf den beiden ersteren Ebenen, senkrecht stehen, folglich sind diese (ß. 167, 1) einander parallel. 2. Durch einen Punkt außerhalb einer Ebene kann nur eine mit dieser parallele Ebene gelegt werden. Folgt indirect aus 1. 3. Körperliche Ecken. ß. I6S. Drei oder mehrere Ebenen, deren Durchschnittslinien durch einen und denselben Punkt gehen, schließen einen nach einer Seite hin unbegrenzten Raum ein, welcher eine körperliche E cke, auch blos Ecke genannt wird. Der Punkt, in welchem die Durchschnittslinien der Ebenen Zu¬ sammentreffen, heißt der Scheitel; die Durchschnittslinien selbst nennt man die Kanten; die Winkel je zweier auf einander folgender Kanten die Kantenwinkel und ihre Ebenen die Seitenflächen; endlich die Močnik, ^Geometrie für Lehrerbildungsanstalten. 8 114 Neigungswinkel je zweier benachbarter Seitenflächen die Flächenwinkel der Ecke. Ist (Fig. 164) 8 der Scheitel der Ecke und sind 8^, 8 8, 86 deren Kanten, so bezeichnet man die Ecke durch 8^.80. Jede Ecke wird einerseits durch den Scheitel und die Seitenflächen begrenzt, andererseits aber ist sie völlig unbegrenzt. Eine Ecke theilt also den Raum in zwei theilbegrenzte Räume und es gehört daher zu jeder Ecke immer noch eine zweite, deren Flächen¬ winkel nach dem andern theilbegrenzten Raume hin liegen. Man nennt die ein e die A u ß e n e ck e der andern. Hier sollen nur solche Ecken betrachtet werden, deren Kanten- und Flächenwinkel hohl sind. Eine Ecke hat so viele Kantenwinkel und so viele Seitenflächen als Kanten. Nach der Anzahl derselben unterscheidet man drei-, vier-, fünf-, . . . nseitige Ecken. Wenn man alle Kanten einer Ecke über den Scheitel hinaus ver¬ längert, so heißt die Ecke, welche die Verlängerungen zu Kanten hat, die Sch eitel ecke der ersteren. §. I7V. Zwei Ecken heißen congruent, wenn sie sich so in ein¬ ander legen lassen, daß sich alle ihre Kanten und Seitenflächen decken. Sollen zwei Ecken zur Deckung gebracht werden können, so müssen in denselben nicht nur alle Kantenwinkel und Flächenwinkel paarweise gleich sein, sondern diese auch in demselben Sinne (von rechts nach links, von vorne nach hinten, von unten nach oben) auf einander folgen. Fig. 165. Die Ecke 8^80 (Fig. 165) und ihre Scheitelecke 8'^.'8'0' haben paarweise gleiche Kantenwinkel und gleiche Flächenwinkel; sie Fig. 164. 115 können jedoch, da die Bestandstücke im entgegengesetzten Sinne auf ein¬ ander folgen, im Allgemeinen nicht zur Deckung gebracht werden. Denn legt man (Fig. 165, I) den Kantenwinkel L'8O' so auf den ihm gleichen Kantenwinkel ^80, daß 8^' auf 8^, 80' auf 80 fällt, so kommen die Kanten 88' und 88 auf entgegengesetzten Seiten der Ebene 8^.0 zu liegen; es kann also auf diese Art eine Deckung nicht stattfinden. Legt man aber (Fig. 165, II) die gleichen Kantenwinkel ^.'80' und ^.80 so aufeinander, daß 8^.' auf 80 und 80' auf 8^ fällt, so kommen die Kanten 88' und 88 zwar auf derselben Seite der Ebene 8^.0, jedoch neben einander zu liegen; es können daher die Ecken auch in dieser Lage nicht zur Deckung gebracht werden, wenn nicht zufällig die Flächenwinkel 8 (1^8)0 und (0 8) 8, folglich auch 8'(^'8)0' und ^.'(0'8)8' einander gleich sind. Zwei Ecken, in denen alle Seiten und Winkel gleich sind, jedoch im entgegengesetzten Sinne aufeinander folgen, heißen symme¬ trisch-gleich. Folgesatz. Jede Ecke ist ihrer Scheitelecke symmetrisch-gleich. Z. 171. In jeder dreiseitigen Ecke ist die Summe zweier Kantenwinkel größer als der dritte. Beweis. Sind alle drei Kantenwinkel gleich, so ist die Richtig¬ keit des Satzes von selbst einleuchtend; sind sie ungleich, so braucht man nur zu beweisen, daß die Summe der beiden kleineren größer ist als der größte. Ist ^80 (Fig. 166) der größte Kantenwinkel, so ziehe man in Fiq. 166. der Ebene ^80 die Gerade 81) so, daß ^.8V » — ^.88 wird, mache 8V — 88 und lege durch . 8 und v eine beliebige die Kanten 8^. und 80 XX, in und 0 schneidende Ebene. Dann ist /X ^8V / ^.88, also ^.v — H.8. Da nun 80>^.0 / ! - L8 oder80>^.0 —UV, d. i.80>0v / ! s X ist, so folgt aus der Vergleichung der Dreiecke 880 und 80V nach 8- 57, daß der Winkel / 880 > 08V ist; mithin ist auch ^.88-^880 >^.8v-s-O8v, d. i. H.88-s-880>^.80. 8- 172. In jeder Ecke ist die Summe aller Kanten¬ winkel kleiner als vier Rechte. Beweis. Schneidet man die Kanten einer useitigen Ecke durch eine Ebene, so erhält man n Seitendreiecke, deren Winkel zusammen 2u8, und als Durchschnittssigur ein n-Eck, dessen Winkel 2u8 —48 betragen. Jeder Eckpunkt des n-Eckes ist der Scheitel einer dreiseitigen Ecke. Bezeichnet man nun die Summe aller Kantenwinkel am Scheitel der gegebenen Ecke durch 8 und die Summe der Winkel an den Grund¬ linien der Dreiecke durch 8', so ist 8-s-8'^2u8, 8'>2u8 —48 K 171), daher, wenn man die zweite Ungleichung von der ersten Gleichung subtrahirt, 8 < 48. 8* 116 Geometrische Darstellung der Punkte, Linien und ebenen Gebilde des Raumes. 1. Zieht man von einem Punkte (Fig. 167) im Raume eine Senkrechte auf die Ebene NN, so heißt der Fußpunkt dieser Senkrechten die Projection des Punktes auf die Ebene, und die Ebene selbst die Projectionsebene. Liegt der gegebene Punkt in der Projectionsebene, so fällt er mit seiner Projection zusammen. Fig. 167. Unter der Projection einer Strecke (H. 160) auf eine Ebene versteht man die Strecke zwischen den Projektionen ihrer Endpunkte auf diese Ebene. Ist die Pro¬ jection des Punktes und 8" die Projection des Punktes 8 auf die Ebene NN so ist die Strecke L/8^ die Projection der Strecke ^.8 auf diese Ebene. Ist eine Strecke zur Projectionsebene parallel (wie in I), so ist ihre Projection mit der Strecke gleich lang. Ist eine Strecke gegen die Projectionsebene schief (II), so ist ihre Projection kleiner als die Strecke. Ist eine Strecke auf der Projectionsebene senkrecht (III), so ist ihre Projection ein Punkt. Nimm in der Senkrechten beliebige Punkte an. Welches ist ihre gemein¬ schaftliche Projection auf die Ebene N U? Kann man aus der Projection eines Punktes auf eine Ebene auf dessen Lage im Raume schließen? Ziehe verschiedene Strecken, deren Endpunkte in den Senkrechten und L' 8 liegen, und bestimme ihre Projection auf die Ebene dl dl. Kann man aus der Projection einer Strecke auf die Ebene auf die Lage der Strecke im Raume und auf ihre Länge schließen? Fig. 168. 2. Unter der Projection eines geradlinigen Gebildes auf eine Ebene versteht man das Gebilde, welches erhalten wird, wenn man die Projektionen der Eckpunkte des gegebenen Gebildes auf diese Ebene durch Strecken verbindet. In Fig. 168 stellt L'8'O'O' die Projection des Quadrates 8 61) auf die Ebene NN dar. 117 Die Projektion eines Quadrates ist ein gleich großes Quadrat (I), oder ein flächenkleineres Parallelogramm (II), oder eine Strecke (III), je nachdem die Ebene des Quadrates mit der Projektionsebene parallel, oder gegen die Projektionsebene schief, oder auf der Projektionsebene senkrecht ist. Ist ein ebenes Gebilde krummlinig, so ist auch seine Projektion auf eine Ebene im Allgemeinen krummlinig, und nur dann eine Strecke, wenn das Gebilde auf der Projektionsebene senkrecht steht. Was für ein Gebilde ist die Projeclion eines Kreises, wenn die Ebene des Kreises ») mit der Projectionsebene parallel, b) gegen die Projectionsebene schief, e) auf der Projectionsebene senkrecht ist? 3. Sind mehrere Gerade auf einer Ebene senkrecht, so haben alle Gebilde, deren entsprechende Punkte in denselben Senkrechten liegen, die¬ selbe Projektion auf diese Ebene. Daraus folgt, daß man aus der Projektion eines Gebildes auf eine Ebene weder auf die Lage noch auf die Größe desselben schließen kann. Um nun Gebilde geometrisch so darzustellen, daß man aus der Darstellung selbst ihre Lage im Raume und ihre Ausdehnungen entweder unmittelbar entnehmen oder durch einfache Constructionen finden kann, projicirt man dieselben auf zwei sich senkrecht schneidende Ebenen, von denen die eine horizontal, die andere vertikal ist. Die Projektion auf die horizontale Ebene heißt die Horizont al-Projektion oder der Grundriß, die Projektion auf die vertikale Ebene die Vertical- Projection oder der Aufriß. Die Durchschnittslinie der horizontalen und der vertikalen Projectionsebene heißt ihre Axe. Fig. 163. Es seien (Fig. 169) XXH die horizontale, ^XV die vertikale Projectionsebene, X ihre Achse und a ein darzustellender Punkt des Raumes. Fällt man von n die Senkrechte an' auf die Horizontalebene, so ist ihr Fußpunkt s/ der Grundriß des Punktes a; fällt man von n die Senkrechte an" auf die Verticalebene, so ist ihr Fußpunkt a" der Aufriß des Punktes n. Legt man durch die beiden Senkrechten na' und an" eine Ebene, welche die Axe ^X in dem Punkte in senkrecht schneidet, so erscheinen 118 die Projektionen a' und a" als die gegenüberliegenden Eckpunkte des Rechteckes aa'iaa". Ist b' der Grundriß und b" der Aufriß eines zweiten Punktes b im Raume, so ist die Strecke s/b' der Grundriß und die Strecke a"b" der Aufriß der Strecke ad des Raumes. Durch den Grundriß und den Aufriß wird eine Strecke der Lage und der Größe nach vollkommen bestimmt. Durch die Construction des Rechteckes a'ma" a erhält man die Lage des Punktes a, durch die Con¬ struction des Rechteckes d'ud"d die Lage des Punktes d und durch Verbindung beider die Lage und Länge der Strecke ad. Was für Projektionen gibt eine Strecke im Raume, wenn dieselbe s) mit der vertikalen, b) mit der horizontalen, e) mit beiden Projektions- Ebenen parallel ist; ä) auf der vertikalen, e) auf der horizontalen Projections- Ebene senkrecht steht; k) in der vertikalen, §) in der horizontalen Projections- Ebene liegt? Zeichne Grund- und Aufriß einer 45-»M langen Strecke, welche zur horizon¬ talen und vertikalen Projektionsebene parallel, und von der ersteren von der letzteren 33mm entfernt ist.^ Da bei Zeichnungen die beiden Projektionen auf ein und dasselbe Papierblatt, also auf eine einzige Ebene zu stehen kommen, so denkt man sich (Fig. 169, I) die horizontale Projections-Ebene um die Axe H.X um 90° gedreht, so daß sie in die Erweiterung der verticalen Projections- Ebene fällt. Bei dieser Darstellungsweise erscheint dann der Grundriß unterhalb, der Aufriß oberhalb der Axe (Fig. 169,11). Auch sieht man, daß dabei die beiden Projectionen eines jeden Punktes immer in einer auf der Axe senkrechten geraden Linie liegen, welcher Umstand die Constructionen wesentlich erleichtert. 4. Ein ebenes Gebilde des Raumes wird auf den Projections- ebenen dargestellt, indem man die Projectionen seiner Grenzlinien bestimmt. Ist die Ebene des Gebildes mit der horizontalen Projektionsebene parallel, so ist der Grundriß mit dem Gebilde congruent, und der Aufriß eine Strecke. Ist die Ebene des Gebildes mit der verticalen Projektions¬ ebene parallel, so ist der Grundriß eine Strecke, und der Aufriß mit dem Gebilde congruent. Von einem Kreise ist !>) der Grundriß ein Kreis, der Aufriß eine Strecke; K) der Grundriß eine Strecke, der Aufriß ein Kreis; v) Grundriß und Aufriß sind Strecken; ä) der Grundriß ist eine Strecke, der Aufriß eine Ellipse; s) der Grundriß eine Ellipse, der Aufriß eine Strecke; k) Grundriß und Aufriß sind Ellipsen. Welche Lage gegen die Projektionsebenen hat der Kreis in jedem dieser Fälle? Zeichne Grund- und Aufriß eines Quadrates mit der Seite S3mm, das im Abstande 38mm mit der Horizontalebene parallel, und dessen eine Seite im Abstande SOwm mit der Verticalebene parallel ist. 119 Zweiter Abschnitt. Von den Körpern im Allgemeinen. 1. Ebenfliichige Körper oder Polyeder. I7Z. Ein Körper, welcher von lauter Ebenen begrenzt wird, heißt ein ebenflächiger Körper oder ein Polyeder. Zur Begrenzung eines Polyeders sind wenigstens vier Ebenen erforderlich. Die ein¬ zelnen Grenzebenen heißen die Flächen des Polyeders und bilden dessen Oberfläche; die Durchschnittslinien der Flächen heißen die Kanten und die an den Endpunkten der Kanten liegenden, von den zugehörigen Flächen gebildeten Ecken die Ecken des Polyeders. 174. Zwei Körper heißen kongruent, wenn sie sich so in einander legen lassen, daß sich alle ihre Grenzflächen decken. Sollen zwei Körper zur Deckung gebracht werden können, so müssen sämmtliche Bestandtheile (Kanten, Flächen, Flächenwinkel und Ecken) in beiden paarweise gleich sein und in demselben Sinne auf ein¬ ander folgen. Folgen die paarweise gleichen Bestandtheile in zwei Körpern im entgegengesetzten Sinne aus einander, so können diese im allge¬ meinen nicht zur Deckung gebracht werden; die Körper heißen dann symmetrisch-gleich. Zwei Körper, deren Grenzflächen nach der Ordnung ähnlich und deren entsprechend liegende Flächenwinkel paarweise gleich sind, heißen ähnlich, wenn die ähnlichen Flächen und gleichen Flächenwinkel in dem¬ selben Sinne, und symmetrisch-ähnlich, wenn diese Bestandtheile im entgegengesetzten Sinne auf einander folgen. a) Das Prisma. Z. 175. Ein von drei oder mehreren Ebenen, deren Durchschnitts¬ linien einander parallel sind, umschlossener, nach zwei Seiten hin unbe¬ grenzter Raum heißt ein prismatischer Raum. Wird ein prismatischer Raum durch zwei parallele, alle Kanten desselben treffende Ebenen geschnitten, so heißt das dadurch abgegrenzte Fig. 170. Polyeder ein Prisma. Die zwei Parallelen Schnitt- flächen nennt man die Grundflächen, die übrigen Grenzflächen die S e it e n fläch e n, die Durchschnitte " - der letzteren mit einander die Seitenkanten, und —/-^7' die mit den Grundflächen die Grund kanten des / 7 , / Prisma. Der Abstand der beiden Grundflächen heißt / / / / / die Höhe des Prisma. / / D / / Der Körper (Fig. 170) / „./---"x / ist ein Prisma, wenn die Ebene Ex.' / / und wenn ist. 120 Folgesätze. 1. Die beiden Grundflächen eines Prisma sind congruente Vielecke. Denn die gleichliegenden Seiten der Grundflächen sind als Parallele zwischen Parallelen gleich, und die gleichliegenden Winkel haben parallele Schenkel, sind also auch gleich. 2. Alle Seitenflächen des Prisma sind Parallelogramme. 3. Alle Seitenkanten des Prisma sind einander gleich. Eine Ebene, welche durch zwei nicht unmittelbar auf einander folgende Seitenkanten gelegt wird, heißt ein Diagonal schnitt des Prisma. Z. 176. Mit Rücksicht auf die Anzahl der Seitenkanten unter¬ scheidet man drei-, vier- oder mehrseitige Prismen. Mit Rücksicht auf die Lage der Seitenkanten gegen die Grundflächen heißt ein Prisma senkrecht oder schief, je nachdem die Seitenkanten auf den Grund¬ flächen senkrecht oder schief stehen. Ein Prisma, dessen Grundflächen Parallelogramme sind, heißt Parallelepiped. Ein senkrechtes Parallelepiped, dessen Grundflächen Rechtecke sind, heißt ein rechtwinkliges Parallelepiped. Ein recht¬ winkliges Parallelepiped, dessen alle Kanten gleich sind, wird ein Cubus oder Würfel genannt; jede Kante heißt auch eine Seite des Würfels. Jedes Parallelepiped wird von sechs Parallelogrammen, ein rechtwinkliges Parallelepiped von sechs Rechtecken, ein Würfel von sechs Quadraten begrenzt. 8- 177- 1- Wird ein Prisma durch eine mit der Grund¬ fläche parallele Ebene geschnitten, so ist die Schnittfläche msi.t der Grundfläche congruent. 2. Jeder Diagonalschnitt eines vielseitigen Prisma ist ein Parallelogramm. Die Beweise dieser zwei Sätze beruhen auf Z. 166, 1. Folgesatz. Jedes vielseitige Prisma läßt sich durch Diagonalschnitte in dreiseitige Prismen von der Höhe des ganzen Prisma zerlegen. d) Die Pyramide. 8- 178. Ein von den Seitenflächen einer Ecke umschlossener, nach einer Seite hin unbegrenzter Raum heißt ein pyramidaler Raum. Wird ein pyramidaler Raum durch eine alle Kanten desselben treffende Ebene geschnitten, so heißt das dadurch abgegrenzte Polyeder eine Pyramide. Die Schnittfläche heißt die Grundfläche, die anderen Grenzflächen heißen die Seitenflächen, ihre Durchschnitte mit einander die Seitenkanten, und mit der Grundfläche die Grund¬ kanten der Pyramide. Den gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt der Seitenkanten nennt man den Scheitel oder die Spitze, und den Ab¬ stand der Spitze von der Grundfläche die Höhe der Pyramide. 121 Fig. 171. , Der Körper 8^. LOV (Fig. 171) ist eine Pyramide. Die Seitenflächen einer Pyramide sind Dreiecke. Eine Ebene, welche durch zwei nicht unmittelbar auf einander folgende Seitenkanten gelegt wird, heißt ein Diagonalschnitt der Pyramide. Z. I7S. Mit Rücksicht auf die Anzahl der Seiten der Grundfläche theilt man die Pyramiden in drei-, vier- und mehrseitige ein. Das einfachste Polyeder ist die dreiseitige Pyramide; sie wird von vier Dreiecken begrenzt und heißt daher auch das Tetraeder. Äst die Grundfläche einer Pyramide ein regelmäßiges Vieleck und fällt der Fußpunkt der Höhe in den Mittelpunkt der Grundfläche, so heißt die Pyramide eine senkrechte. Die Seitenflächen einer senkrechten Pyramide sind gleichschenklige kongruente Dreiecke. Der Abstand der Spitze von der Grundkante eines solchen Dreieckes heißt die Seiten¬ höhe der senkrechten Pyramide. §. 18«. 1. Wird eine Pyramide durch eine mit der Grundfläche parallele Ebene geschnitten, so ist a) die Schnittfläche der Grundfläche ähnlich, und b) die Flächen¬ inhalte beider verhalten sich wie die zweiten Potenzen ihr er Abstände von der Spitze der Pyramide. Beweis. Es sei (Fig.172) aboäs ^LOVV. a) Da (nach Z. 166, 1) abjl^L, bojjLO, oä Ov, .. ist, so ist W. s — b — L, 6 — 0, ... Ferner ist wegen a b ^L (nach Z. 86) ab:^.L —8b:8L, und wegen bo^LO auch bo:LO^ 8b : 8L, daher ab:^.L — bo:LO. Ebenso wird bewiesen, daß bo : LO — oä: Ov, u. s. w. ist. Folg¬ lich ist abeäs ^LOOL. b) Jst8LHLOVV,alsoauch8p^,aboä6 und legt man durch 8 L eine Ebene, welche die beiden Vielecke in den Geraden ax und schneide ap !! ^.k, daher ab :^.L — 8a : 8^ — 8p : 8L. Nun ist sboäsr^LOVV — ab° : ^L° G. 99), folglich auch aboäs:^LOVV — 8p? : 8L^. Wird eine Pyramide durch eine mit der Grundfläche parallele Ebene geschnitten, so heißt der zwischen den beiden parallelen Flächen liegende Theil der Pyramide ein Pyramidenstumpf, der zwischen der Schnittfläche und der Spitze liegende Theil aber die Ergänzungs¬ pyramide des Stumpfes. Der Pyramidenstumpf wird von zwei paral¬ lelen und ähnlichen Vielecken als Grundflächen und so vielen Trapezen als Seitenflächen begrenzt, als jedes der Vielecke Seiten hat; er ist, wie die Pyramide selbst, senkrecht oder schief. Der Abstand der beiden Grundflächen heißt die Höhe des Pyramidenstumpfes. 122 2. Jeder durch die Spitze und die Grundfläche einer Pyramide geführte ebene Schnitt ist ein Dreieck. Die Richtigkeit dieses Satzes ist von selbst einleuchtend. Folgesatz. Jede vielseitige Pyramide läßt sich durch Diagonal¬ schnitte in dreiseitige Pyramiden von der Höhe der ganzen Pyramide zerlegen. o) Regelmäßige Körper. §. 181. Ein Körper heißt regelmäßig, wenn alle Grenzflächen desselben congruente regelmäßige Vielecke sind und congruente Ecken bilden. Es gibt nur fünf regelmäßige Körper. Beweis. Jede Ecke eines regelmäßigen Körpers wird von wenig¬ stens drei Winkeln einer regelmäßigen Figur gebildet; die Summe dieser Winkel muß kleiner als 360° sein (Z. 172). Der Winkel eines regelmäßigen (gleichseitigen) Dreieckes beträgt 60"; von solchen Winkeln können drei, vier oder auch fünf eine Ecke bilden; aus sechs oder mehr als sechs solchen Winkeln aber kann keine Ecke entstehen, da ihre Summe 360° oder mehr als 360° beträgt. Von gleichseitigen Dreiecken können daher nur drei regelmäßige Körper begrenzt werden, nämlich das Tetraeder, das Oktaeder und das Ikosaeder. Fig. 173. l ii. m. Das regelmäßige Tetraeder (Fig.173,1) wird von 4 gleichseitigen Dreiecken begrenzt, von denen je drei in einer Ecke zusammentreffen; es hat 4 Ecken und 6 Kanten. Das regelmäßige Oktaeder (Fig. 173, II) wird von 8 gleichseitigen Dreiecken eingeschlossen, von denen je vier eine Ecke bilden; es hat 6 solche Ecken und 12 Kanten. Das regelmäßige Ikosaeder (Fig. 173, III) wird von 20 gleich¬ seitigen Dreiecken begrenzt, von denen je fünf in einer Ecke zusammen¬ stoßen; es hat 12 Ecken und 30 Kanten. Der Winkel eines regelmäßigen Viereckes (Quadrates) ist ein rechter; von solchen Winkeln können nur drei in einer Ecke zusammen- 123 Fig. 174. treffen; aus vier oder mehr als vier rechten Winkeln kann keine Ecke gebildet werden. Es gibt daher einen einzigen von Quadraten begrenzten regelmäßigen Körper; er heißt Hexaeder (Cubus, Würfel). Das Hexaeder (Fig. 174) hat 6 Quadrate zu Seitenflächen, 8 drei¬ seitige Ecken und 12 Kanten. Der Winkel eines regelmäßigen Fünfeckes be¬ trägt 108°; von solchen Winkeln können nur drei eine Ecke bilden. Es gibt daher einen einzigen von regelmäßigen Fünfecken Fig. i7s. begrenzten regelmäßigen Körper; dieser heißt das Dode¬ kaeder (Fig. 175) und hat 12 Seitenflächen, 20 drei¬ seitige Ecken und 30 Kanten. Im regelmäßigen Sechsecke ist jeder Winkel 120°. Von solchen Winkeln kann keine Ecke gebildet werden, da schon drei solche Winkel zusammen 360" betragen. Ebenso wenig kann aus den Winkeln eines regelmäßigen Vieleckes von mehr als sechs Seiten eine Ecke entstehen. Es kann also nur fünf regelmäßige Körper geben. 2. Krummfliichige Körper. Z. 182. Körper, welche ganz oder theilweise von gekrümmten Flächen begrenzt werden, heißen krummflächige Körper. Bei den¬ jenigen krummflächigen Körpern, deren eine oder mehrere Grenzflächen Ebenen sind, werden diese als Grundflächen betrachtet, da man sich die Körper darüber aufgerichtet vorstellen kann; die gekrümmte Fläche heißt dann der Mantel. a) Der Cylindcr. Z. 183. Bewegt sich eine Gerade nach und nach durch alle Punkte einer Kreislinie so, daß sie dabei stets einer die Ebene dieser Kreislinie in ihrem Mittelpunkte schneidenden festen Geraden parallel bleibt, so be¬ schreibt sie eine gekrümmte Fläche, welche man eine cylindrische Fläche nennt. Die gegebene Kreislinie heißt die Leitlinie und die durch ihren Mittelpunkt gehende feste Gerade die Axe der cylindrischen Fläche. Fig. i76. Jeder mit der Ebene der Leitlinie parallel gelegte Schnitt einer cylindrischen / i / Fläche ist eine Kreislinie, welche mit der Leitlinie gleichen Halbmesser hat. / Es sei der Kreis ^80 (Fig. 176) die Leit- / 7 /^7 linie der cylindrischen Fläche, und eine mit diesem / / Kreise parallele Ebene ^'8'0' schneide die Axe 00' in 0'. Ist 8' ein willkürlicher Punkt der Durch- schnittsfigur, so ist, wenn man durch 8' und 00' ^0 / eine Ebene legt, welche die cylindrische Fläche in der ' Geraden 8 8'schneidet, 00' 68' und 0'8' 08; 124 daher ist 00'8'8 em Parallelogramm, und folglich 0'8' — 08. Es ist also die Entfernung eines jeden Punktes der Schnittfigur von 0' dem Halbmesser der Leitlinie gleich, d. h. der Schnitt ist eine mit der Leitlinie congruente Kreislinie. Z. 184. Wird eine cylindrische Fläche durch zwei mit der Ebene der Leitlinie parallele Ebenen geschnitten, so heißt der von diesen und der cylindrischen Fläche begrenzte Körper ein Cylinder. Die zwei ebenen Schnittflächen sind congruente Kreise (8- 183) und heißen die Grundflächen; die sie begrenzende cylindrische Fläche nennt man den Mantel des Cylinders. Die Strecke, welche die Mittelpunkte beider Kreise verbindet, heißt die Axe, und jede Durchschnittslinie des Mantels mit einer durch die Axe gelegten Ebene eine Seitenlinie oder Seite des Cylinders. Alle Seiten des Cylinders sind parallel und einander gleich. Der Abstand der beiden Grundflächen wird die Höhe des Cy¬ linders genannt. Steht die Axe auf den Grundflächen senkrecht, so heißt der Cylin¬ der ein senkrechter, sonst ein schiefer. Einen senkrechten Cylinder kann man sich auch durch Drehung eines Rechteckes um eine Seite als Axe entstanden denken. In einem senkrechten Cylinder stellt die Axe zu¬ gleich die Höhe vor. Ein senkrechter Cylinder, dessen Seite dem Durch¬ messer der Grundfläche gleich ist, wird gleichseitig genannt. Z. 185. 1. Wird ein Cylinder durch eine mit der Grund¬ fläche parallele Ebene geschnitten, so ist die Schnittfläche ein mit der Grundfläche congruenter Kreis. Folgt aus dem Lehrsätze in 8- 183. 2. Jeder Axenschnitt eines Cy lind ers ist ein Parallelo¬ gramm. Denn in dem erhaltenen Vierecke sind die Durchschnittslinien der Ebene mit der Mantelfläche als Seiten des Cylinders parallel und gleich. Wird ein senkrechter Cylinder durch eine Ebene geschnitten, welche weder zur Grundfläche noch zur Axe parallel ist, so ist der Schnitt eine Ellipse. > d) Der Kegel. 8- 186. Bewegt sich eine Gerade nach und nach durch alle Punkte einer Kreislinie so, daß sie dabei stets durch einen festen Punkt außer¬ halb der Ebene dieser Kreislinie geht, so beschreibt sie eine gekrümmte Fläche, die man eine konische Fläche nennt. Die gegebene Kreis¬ linie heißt die Leitlinie und der gegebene feste Punkt der Scheitel oder die Spitze der konischen Fläche. Ein Körper, welcher von einer konischen Fläche und der Ebene ihrer Leitlinie begrenzt wird, heißt ein Kegel. Die Kreisebene heißt die Grundfläche, die sie begrenzende konische Fläche wird der Mantel des Kegels genannt. Die Strecke, welche die Spitze und den Mittel¬ punkt der Grundfläche verbindet, heißt die Axe, und jede Strecke, in welcher der Mantel von einer durch die Axe gelegten Ebene geschnitten 125 wird, eine Seitenlinie oder Seite des Kegels. Den Abstand der Spitze von der Grundfläche des Kegels nennt man die Höhe desselben. Steht die Axe auf der Grundfläche senkrecht, so heißt der Kegel ein senkrechter, sonst ein schiefer. Einen senkrechten Kegel kann man sich durch Drehung eines rechtwinkligen Dreieckes um eine seiner Katheten als Axe entstanden denken. In einem senkrechten Kegel sind alle Seiten einander gleich, und die Axe stellt zugleich die Höhe vor. Ein senkrechter Kegel, dessen Seite dem Durchmesser der Grundfläche gleich ist, heißt gleichseitig. Z. 187. 1. Wird ein Kegel durch eine mit der Grund¬ fläche parallele Ebene geschnitten, so ist a) die Schnitt¬ fläche ein Kreis, und es verhalten sich b) die Schnittfläche und die Grundfläche wie die zweiten Potenzen ihrer Ab¬ stände von der Spitze des Kegels. Beweis. Es sei (Fig. 177) die Ebene nmb Fig. 177. a) Zieht man die Axe 80, welche die Schnittfläche umk in o schneidet, und legt durch 80 und einen willkürlichen Punkt m der Schnittfigur eine Ebene, welche die konische Fläche in der Geraden 8mN schneidet, so ist om ON; daher hat man ow : ON — 8o : 80. Ebenso ist oa:O^.—8o:8O, und folglich oua: OLl — o u: O^, woraus, wegen ON — OL., auch oin — o» folgt. Es sind also alle Punkte im Umfange des Schnittes von o gleich weit entfernt, mithin ist die Schnittfläche ein Kreis. k) Ist 8? -s. ^LlL, also auch 8x _s_ amd, und legt man durch 80k eine Ebene, welche die beiden Kreise in Ok und ox schneidet, so ist op^Ok, daher ao : ^.0 — 8o : 80 8x : 8k. Nun ist umb ^.0° (ß. 134, Folgesatz b), folglich auch umd-LNk 8k?:8k°. Wird ein Kegel durch eine mit der Grundfläche parallele Ebene geschnitten, so heißt der zwischen der Grundfläche und der Schnittfläche legende Theil des Kegels ein Kegelstumpf, der zwischen der Schnitt- läche und der Spitze liegende Theil aber der Ergänzungskegel des Stumpfes. Der Kegelstumps wird von zwei parallelen ungleichen Kreisen alsGrundflächen und der zwischen ihnen enthaltenen konischen Mantel¬ fläche begrenzt, und ist, wie der Kegel selbst, senkrecht oder schief. Der Abstand der beiden Grundflächen heißt die Höhe des Kegelstumpfes. 2. Jeder Axenschnitt des Kegels ist ein Dreieck. Denn jede durch die Axe gelegte Ebene schneidet die Grundfläche in einem Durchmesser und die Mantelfläche in zwei geraden Linien. 126 Wird ein senkrechter Cylinder von einer Ebene geschnitten, welche weder mit der Grundfläche parallel ist noch durch die Axe geht, so ist die Schnittfigur: «) eine Ellipse, wenn die Schnittebene alle Seiten des Kegels oder deren Ver¬ längerungen trifft; b) eine Parabel, wenn die Schnittebene mit einer Seite des Kegels parallel ist; o) eine Hyperbel, wenn die Schnittebene nicht alle Seiten oder Verlängerungen derselben trifft und auch zu keiner Seite parallel ist. Die Ellipse, Parabel und Hyperbel heißen deshalb auch Kegelschnitts¬ linien. o) Die Kugel. Z. 188. Dreht sich ein Halbkreis um seinen Durchmesser so weit herum, bis er wieder in seine ursprüngliche Lage kommt, so beschreibt derselbe eine gekrümmte Fläche, welche Kugelfläche genannt wird. Der von der Kugelfläche begrenzte Körper heißt die Kugel. Jeder Punkt der Kugelfläche ist von dem Mittelpunkte des erzeu¬ genden Kreises gleich weit entfernt; dieser Punkt heißt darum der Mit¬ telpunkt der Kugel. Eine Strecke, welche vom Mittelpunkte bis zur Kugelfläche gezogen wird, heißt ein Halbmesser; eine Strecke, welche durch den Mittelpunkt geht und zwei Punkte der Kugeloberfläche ver¬ bindet, ein Durchmesser der Kugel. Alle Halbmesser einer Kugel sind einander gleich; eben so alle Durchmesser. 8- I8S. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Fig- 178. Es sei ^Nk (Fig. 178) ein ebener Kugel- schnitt. Fällt man vom Kugelmittelpunkte O eine Senkrechte 0 k auf den Schnitt, zieht von k nach ^^7.— 4. dem Umfange des Schnittes die beliebigen Strecken / ) k^ und kN, ferner noch die Halbmesser 0^ ! und ON, so sind die rechtwinkligen Dreiecke / OkH. und OkN congruent, daher k^ — kN. V / Daraus folgt, daß alle Umfangspunkte des X" Schnittes von k gleichen Abstand haben, daß --also der Schnitt ein Kreis ist. Der Kreis ^.Nk wird ein Kugelkreis genannt. Zwischen dem Halbmesser 0^.-8, der Kugel, dem Halbmesser kA — r des Kugelkreises und dem Abstand Ok — ä des letzteren vom Mittelpunkte der Kugel besteht die Gleichung r" — — ä^. Daraus folgt: a) Zwei Kugelkreise, welche gleichen Abstand vom Mittelpunkte haben, sind einander gleich. b) Von zwei Kugelkreisen, welche ungleiche Abstände vom Mittelpunkte haben, ist derjenige der größere, welcher vom Mittelpunkte den kleineren Abstand hat. e) Unter allen Kugelkreisen ist ein durch den Mittelpunkt der Kugel gehender am größten. Ein solcher Kreis heißt darum auch geradezu ein größter Kugelkreis; sein Halbmesser ist dem Halbmesser der Kugel gleich. 127 tz. IS«. Denkt man sich eine Kugelfläche durch Drehung eines Halbkreises um seinen Durchmesser entstehend, so nimmt der Halbkreis nach und nach die Lagen aller durch die Endpunkte jenes Durchmessers gehenden größten Halbkreise der Kugel an; ebenso beschreibt jeder Punkt des sich drehenden Halbkreises einen größeren oder kleineren Kugelkreis, und zwar der Halbirungspunkt des Halbkreises einen größten Kugelkreis. Jener Durchmesser heißt in Beziehung auf dieses System von Kreisen die Axe, ihre Endpunkte heißen die Pole, die durch die Pole gehenden Halbkreise die Meridiane, die von den einzelnen Punkten des bewegten Halbkreises beschriebenen Kugelkreise, deren Ebenen sämmtlich auf der Axe senkrecht stehen und daher mit einander parallel sind, Parallel¬ kreise; der durch die Mitten der Meridiane gehende größte Parallel¬ kreis heißt insbesondere der Aequator. Die Ebenen der Meridiane stehen senkrecht auf der Ebene des Aequators und auf den Ebenen der Parallelkreise desselben Systems von Kreisen. Die Bogen aller Meridiane von demselben Pol bis zu dem¬ selben Parallelkreise sind gleich; insbesondere beträgt jeder Bogen eines Meridians von einem Pol bis zum Aequator 90°. Z. ISI. Die beiden Theile, in welche die Kugel durch einen Kugel¬ kreis getheilt wird, heißen Kugelabschnitte oder Kugelsegmente, und die dazu gehörigen Theile der Kugelflächen Kugelmützen oder Calotten. Der Kreis ist die Grundfläche der beiden Kugelsegmente und der Kugelmützen. Der von der Mütze und ihrer Grundfläche be¬ grenzte Theil des auf sie senkrechten Durchmessers der Kugel ist die Höhe des Kugelsegments und der Kugelmütze. Für einen größten Kugel- Fig. 179. kreis sind die beiden Segmente congruent. Der zwischen zwei parallelen Kugelkreisen liegende Theil der Kugel heißt eine Kugelschicht, und der dazu gehörige Theil der Kugelfläche eine Kugelzone. Der Abstand der beiden Kreise ist die Höhe der Kugelschicht und der Zone. Dreht sich der Ausschnitt eines größten Kugelkreises um einen seiner Halbmesser, so heißt der dadurch beschriebene Körper ein Kugel¬ ausschnitt oder Kugelsector. Derselbe besteht aus einem Kugel¬ segment und einem Kegel, dessen Spitze der Kugelmittelpunkt und dessen Grundfläche die Grundfläche des Kugelsegments ist. 192. Der Neigungswinkel der Ebenen zweier größter Kugelkreise heißt der sphärische Winkel der beiden Kreise. Die Schenkel eines sphärischen Winkels sind die Bogen der zwei größten Kreise, und der Scheitel ihr Durch¬ schnittspunkt. Das Maß eines sphärischen Winkels ist der Bogen eines größten Kugelkreises, welcher jene zwei Punkte der Schenkel verbindet, die vom Scheitel um 90° abstehen. Ist nämlich (Fig. 179) ^.6 90° und L.O 90°, so ist 00^, ^0 und VO^^O, und somit 128 60V der Neigungswinkel der beiden größten Kreise ^6L und ^.vv, oder ihr sphärischer Winkel. Legt man nun durch die beiden Punkte 6 und v einen größten Kreis, so ist der Bogen 0 V das Maß fin¬ den Winkel 00V, und folglich auch für den sphärischen Winkel O^v. So wird z. B. der Stundenwinkel oder der Längenunterschied durch den Bogen deS Aequators zwischen zwei Meridianen gemessen. Fig. 180. Z. IS3. Ein Theil der Kugelfläche, welcher von drei Bogen größter Kugelkreise begrenzt wird, /! X Xx, X heißt ein sphärisches Dreieck, wie ^.66 Mg. 180). Die Kreisbogen L.L, ^.0 und LO -1t-—X—-Io werden die Seiten, und die sphärischen Winkel und L^.0 die Winkel des V XX / sphärischen Dreiecks genannt. Die Größe der Seiten V XX wird stets im Bogenmaße angegeben. Dritter Abschnitt. Größenbestimmung -er Körper. 8- IS4. Bei der Ausmessung der Körper kommt die Bestimmung der Oberfläche und des Cubikinhaltes derselben in Betracht. Die Oberfläche eines Körpers erhält man, indem man alle Grenzflächen berechnet und die erhaltenen Flächeninhalte derselben addirt. Um den Cubikinhalt oder das Volumen eines Körpers, d. i. die Größe des von seinen Grenzflächen eingeschlossenen Raumes zu be¬ stimmen, nimmt man irgend einen bekannten Körper als Einheit an und untersucht, wie ost derselbe in dem gegebenen Körper enthalten ist. Als Einheit des Körpermaßes wird ein Cubus angenommen, dessen Kante der Längeneinheit gleich ist und der für das Metermaß be¬ züglich ein Cubikmeter, ein Cubikdecimeter,.. heißt. 1 Cab.*" — 1000 CubX s. 1000 Cub.°°> ü 1000 Cub.°"°. Als Hohlmaß heißt das Cubikdecimeter Liter; 100 Liter — 1 Hektoliter. Zwei Körper, welche gleichen Cubikinhalt haben, heißen inhalts¬ gleich. 1. Oberfläche und Cubikinhalt der Prismen. Z. IS5. 1. Die Oberfläche o eines Prisma wird erhalten, wenn man die Seitenflächen als Parallelogramme bestimmt und zu der dadurch erhaltenen Seitenoberfläche s den doppelten Flächeninhalt b der Grundfläche addirt; also o — s X 2b. 129 2. Die Seitenoberfläche eines senkrechten Prisma ist gleich dem Producte aus dem Umfange der Grundfläche und der Hohe. Denn die Seitenflächen find Rechtecke, deren gemeinschaftliche Höhe die Höhe des Prisma ist. 8- 196. Die Zahl der in einem rechtwinkligen Paral- lelepiped enthaltenen Cubikeinheiten ist gleich dem Pro¬ ducte aus den Maßzahlen dreier in einer Ecke zusammen¬ stoßender Kanten. Fig. 181. Es sei in dem rechtwinkligen Paralle- lepiped (Fig. 181) die Längeneinheit w in der Kante »mal, in der Kante bmal und in der Kante bmal ent¬ halten. Dann enthält die Grundfläche ab mal das Quadrat über ru d. i. ab Flächeneinheiten; es läßt sich also auf derselben der Cubus mit der Kante m, d. i. die Cubik- einheit, ab mal nebeneinander legen und eine solche Parallelschichte von ab Cubikeinheiten kann nach der Höhe ^6 bmal aufgetragen werden. Bezeichnet man daher die Zahl der in dem rechtwinkligen Parallelepiped enthaltenen Cubikeinheiten durch v, so ist v — a.b.b. Z. B. Für a — 4">, b — 2°>, b — Z" ist v — 4.2.3 — 24 Cub.°°. Bestimme auf gleiche Weise durch entsprechende Construction den Cubikinhalt eines rechtwinkligen Parallelepipeds von Länge, 3z" Breite und 3z" Höhe. Der obige Lehrsatz wird kürzer so ausgedrückt: De rCubikinhalt ein es rechtwinkligen Parallelepipeds ist gleich dem Producte aus drei zusammenstoßenden Kanten (Länge, Breite und Höhe). Heißt § der Flächeninhalt der Grundfläche des rechtwinkligen Parallelepipeds so ist (nach Z. 69) § — a.b, daher v — A.b, d. h. der Cubikinhalt eines rechtwinkligen Parallelepipeds ist gleich dem Producte aus der Grundfläche und der Höhe. Hier und weiterhin sind, wenn von Product en aus Flächen und Linien geredet wird, immer nur die Maßzahlen derselben zu verstehen. Z. 197. Ein Cubus ist ein rechtwinkliges Parallelepiped von gleicher Länge, Breite und Höhe; der Cubikinhalt eines Cubus ist also gleich der dritten Potenz einer Seite. Daher kommt es, daß man auch in der Arithmetik die dritte Potenz einer Zahl den Cubus derselben nennt. Moönik, Geometrie sür Lehrerbildungsanstalten. g 130 Sind V und v die Cubikinhalte zweier Würfel, deren Seiten 8 und s heißen, so hat man V — 8' und v — s^, daher V: v 8» : s»; d. h. die Cubikinhalte zweier Würfel verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer Seiten. Z. IS8. Jedes Parallelepiped ist einem rechtwinkligen Parallelepiped inhaltsgleich, das mit ihm gleiche Grund¬ fläche und gleiche Höhe hat. Beweis. 1. Jedes Parallelepiped H.LOVLk'dll (Fig. 182), dessen alle Seitenflächen auf der Grundfläche schief aufstehen, kann man zunächst in ein inhaltsgleiches Parallelepiped ^L0I)3L8Ll verwandeln, das mit ihm dieselbe Grundfläche und gleiche Höhe hat, worin aber zwei gegenüberliegende Seitenflächen auf der Grundfläche senkrecht sind. Man errichte auf der Grundfläche in den Kanten und O I), in welchen dieselbe von zwei gegenüberliegenden schiefen Seitenflächen geschnitten wird, zu ihr zwei senkrechte Ebenen, und erweitere die übrigen Flächen des gege¬ benen Parallelepipeds so weit, daß sie mit den zwei senk¬ recht errichteten ein Paralle¬ lepiped einschließen; dann sind die beiden Parallele- pipede inhaltsgleich. Denn die dreiseitigen Prismen und O68O8LI sind congruent, da sie nach der Ordnung in allen Kanten und in allen Kanten- und Flächen¬ winkeln paarweise übereinstimmen; nimmt man nun jedes dieser Prismen von dem Körper ^.LOVLI'I-LI weg, so müssen auch die Reste, d. i. die beiden Parallelepipede, gleich sein. 2. Auf gleiche Weise kann jedes Parallel¬ epiped /r 6 6 v.1L8 LI, in welchem zwei gegen¬ überliegende Seitenflächen auf der Grundfläche senkrecht, die beiden anderen auf ihr schief stehen, in ein inhaltsgleiches senkrechtes Parallelepiped ^86OXOk<^ über derselben Grundfläche und von gleicher Höhe verwandelt werden. 3. Endlich läßt sich jedes senkrechte Parallel¬ epiped (Fig. 183), dessen Grund¬ fläche nicht rechtwinklig ist, in ein inhaltsgleiches rechtwinkliges Parallelepiped Lk. 8 X O P II von gleicher Grundfläche und gleicher Höhe ver¬ wandeln. Man lege durch die Kanten ^.X und F,g. 183. 131 80 Ebenen, welche auf der Ebene OOHk senkrecht stehen; dann erhält man ein rechtwinkliges Parallelepiped, welches mit dem ge¬ gebenen senkrechten gleiche Grundfläche und dieselbe Höhe hat. Beide Parallelepipede sind inhaltsgleich; denn die zwei dreiseitigen Prismen OSSHS und 808OSS, welche dieselben nicht gemeinschaftlich haben, sind congruent. Folgesätze. s) Der Cubikinhalt eines jeden Parallelepipeds ist gleich dem Producte aus der Grundfläche und der Höhe. b) Zwei Parallelepipede, welche gleiche Grundfläche und gleiche Höhe haben, sind inhaltsgleich. Z. ISS. Jedes Parallelepiped wird durch den Diagonal¬ schnitt in zwei inhaltsgleiche dreiseitige Prismen getheilt. 1. Ist das Parallelepiped ein senkrechtes, so sind die beiden Prismen, in welche dasselbe durch den Diagonaldurchschnitt getheilt wird, congruent. 2. Ist das Parallelepiped ^0 (Fig. 184) ein schiefes, so lege man durch die Punkte und S zwei Ebenen, welche auf den Kanten des Parallelepipedes 6 senkrecht stehen; dann ist der Körper ^.SSNSSO? ein senkrechtes Parallelepiped, das durch den Diagonalschnitt ^.SOS in zwei inhaltsgleiche Prismen SUS08 und SS SSO ge¬ theilt wird. Fig. 184. Da OH — Uk — ^S ist, so muß auch OS —vk^Nk-vk oder OO — UV sein; ebenso folgt OS — O6. Denkt / man sich nun den Körper SO OSS so auf / / den Körper ^SUOO gelegt, daß die con- / / / gruentenDreiecke SOS und XSU zusammen- / / / / fallen, so muß auch 8S in die Richtung Q/- / v v / UO, und wegen 8S — UO der Punkt S / auf O fallen; eben so folgt, daß der Punkt 6 auf 0 zu liegen kommen müsse; es ist daher der Körper SOkSO^F.SUDO. Setzt man zu beiden den Körper ^OOSOS dazu, so müssen auch die Summen gleich sein, also Prisma ^OOSOS — ^.SUSOk. Ebenso kann man beweisen, daß das Prisma ^80SSO — SS SSO ist. Da nun die Prismen ^SUSOSund^SSSSO gleich sind, so sind auch die Prismen OOSOS und L.80SSO gleich. Folgesatz. Jedes dreiseitige Prisma ist die Hälfte eines Parallel¬ epipeds von gleicher Grundfläche und gleicher HiHe. §. SS«. Der Cubikinhalt eines jeden Prisma ist gleich dem Producte aus der Grundfläche und der Höhe. 1. Für ein dreiseitiges Prisma folgt die Richtigkeit des Satzes aus Z. 199, Folges. und ß. 196. 132 2. Ist das Prisma ein mehrseitiges, so kann es durch Dia¬ gonalschnitte in dreiseitige Prismen zerlegt werden, welche mit dem ge¬ gebenen Prisma die Höhe gemeinschaftlich haben und deren Grundflächen die Grundfläche des mehrseitigen Prisma zur Summe geben. Folglich ist auch der Cubikinhalt eines mehrseitigen Prisma gleich dem Producte aus der Grundfläche und der Höhe. Folgesätze. a) Zwei Prismen, welche gleiche Grundfläche und gleiche Höhe haben, sind inhaltsgleich. b) Die Cubikinhalte zweier Prismen von gleicher Grundfläche ver¬ halten sich wie ihre Höhen. o) Die Cubikinhalte zweier Prismen von gleicher Höhe verhalten sich wie ihre Grundflächen. ä) Die Cubikinhalte je zweier Prismen verhalten sich wie die Pro¬ ducte aus ihren Grundflächen und Höhen. 2. Oberfläche und Cubikinhalt einer Pyramide und eines Pyramiden¬ stumpfes. Z. 2V1. 1. Um die Oberfläche o einer Pyramide zu er¬ halten, berechnet man zuerst die Seitenflächen als Dreiecke, ihre Summe gibt die Seitenoberfläche s; dazu addirt man noch den Flächeninhalt b der Grundfläche; also o — s Z- b. 2. Die Seitenoberfläche einer senkrechten Pyramide ist gleich dem Producte aus dem Umfange der Grundfläche und der halben Seitenhöhe. Denn die Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke, deren gemein¬ schaftliche Höhe die Seitenhöhe der Pyramide ist. Z. 202. Zwei Pyramiden, welche gleiche Grundflächen und gleiche Höhe haben, sind inhaltsgleich. Fig. iss. Beweis. Es seien (Fig. 185) die Grundflächen L.L0 und H/L'O der beiden Xs//s Pyramiden 8H.0L und si// X, 8' O' L', gleich und in der- X 1 selben Ebene, und die Scheitel i /s s 8 und 8' in einer mit dieser parallelen Ebene gelegen. r Theilt man in beiden Pyra- miden die Höhen in gleich X i /X viele unter einander gleiche X)/X^ Th eile und legt durch die Theilungspunkte mit den 133 Grundflächen parallele Ebenen, so sind je zwei in gleicher Höhe geführte Schnittflächen, z. B. 1)88 und 8'8'8', flächengleich. Denn ist ll die gemeinschaftliche Höhe der Pyramiden und ä der Abstand der Schnittflächen 888 und 8'8'8' vom Scheitel, so ist nacb Z. 183, 1 888 : ^.80 ä-: und 8'8'8' : -^'8'0' daher 888: ^86 8'8'8': ^'8'0'; aber ^80 ^.'8'0', daher auch 888 8'8'8'. Construirt man nun zu jedem zwischen zwei solchen Schnitten lie¬ genden Stücke der Pyramiden ein äußeres und ein inneres Prisma, deren erstes die untere, deren zweites die obere Grundfläche des Phramiden- stückes zur Grundfläche hat, wie zu ^80888 die Prismen ^.80881 und ^8ik888, so sind (ß. 200, Folges. a) je zwei gleichliegende äußere Prismen, und eben so je zwei gleichliegende innere Prismen gleich. Es wird daher auch die Summe aller äußeren und eben so die Summe aller inneren Prismen in beiden Pyramiden gleich sein. Heißt nun die erstere und 3 die letztere Summe, 8 der Inhalt der Pyramide 8^.80 und 8' der Inhalt der Pyramide 8'^.'8'0', so ist immer > 8 > 3 und > 8' > 3. Subtrahirt man die Ausdrücke 8 < und 8" > 3, so erhält man 8 — 8' < — 3. Die Differenz — 3 ist nun, da jedes äußere Prisma dem nächst unteren inneren Prisma gleich ist, gleich dem untersten äußeren Prisma, das p heißen mag; daher hat man 8 - 8' < x. Denkt man sich die Anzahl der gleichen Theile der Pyramide ohne Ende zunehmend, so wird p unendlich abnehmen. So klein aber auch p werden mag, so ist die unveränderliche Differenz 8 — 8' stets noch kleiner, was nur sein kann, wenn 8 — 8' — o, d. i. wenn 8 — 8' ist. Z. 203. Jedes dreiseitige Prisma kann in dreiinhalts¬ gleiche dreiseitige Pyramiden zerlegt werden. Fig. 186. Beweis. Legt man (Fig. 186) durch die Punkte 8 und 6 des dreiseitigen Prisma ^80888 eine Ebene, so zerfällt dadurch das / / Prisma in zwei Pyramiden, eine dreiseitige 8^80 / X /7^ und eine vierseitige 8L088. Wird ferner in dieser / /X /) / 'vierseitigen Pyramide durch die Punkte 6, 8 und II / / X '> / eine Ebene gelegt, so theilt sie jene Pyramide in die i/ j X, zwei dreiseitigen Pyramiden 8 X 01) und 8088. Die beiden Pyramiden 8^.08 und 8088 sind nach H. 200 einander gleich. Betrachtet man in der Pyramide 8 61) 8 den Punkt 0 als Scheitel und 888 als Grundfläche, so folgt aus §. 202, daß diese Pyramide auch der Pyramide 8X80 gleich ist. 134 Die drei Pyramiden 8^.86, und L6O^, in welche das dreiseitige Prisma zerlegt wird, sind also inhaltsgleich. Folgesatz. Jede dreiseitige Pyramide ist der dritte Theil eines drei¬ seitigen Prisma von gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. 8. L04. Der Cubikinhalt einer Pyramide ist gleich dem Producte aus der Grundfläche und dem dritten Theile der Höhe. 1. Für eine dreiseitige Pyramide ergibt sich die Richtigkeit dieses Satzes aus ß. 203, Folges. und Z. 200. 2. Ist die Pyramide eine mehrseitige, so läßt sie sich durch Diagonalschnitte in dreiseitige Pyramiden zerlegen, welche alle mit der mehrseitigen gleiche Höhe haben, und deren Grundflächen zusammen der Grundfläche der mehrseitigen Pyramide gleich sind. Somit ist auch der Cubikinhalt einer mehrseitigen Pyramide gleich dem Producte aus der Grundfläche und dem dritten Theile der Höhe. Z. 2VS. 1. Die Oberfläche o eines Pyramidenstumpfes wird erhalten, wenn man die Summe 8 aller Seitenflächen, welche Tra¬ peze sind, bestimmt und die beiden Grundflächen 8 und d dazu addirt; also o — 8 -s- 8 -s- b. 2. Die Seitenoberfläche eines senkrechten Pyramiden» stumpfes ist gleich dem Producte aus dem Umfange des mittleren Durchschnittes und der Seitenhöhe. Halbirt man eine Seitenkante und legt durch den Halbirungspunkt eine mit der Grundfläche parallele Ebene, so halbirt dieselbe auch die übrigen Seitenkanten und man erhält als den mittleren Durchschnitt ein regelmäßiges Vieleck, dessen Seiten die Mittellinien der kongruenten Seitentrapeze bilden. Der weitere Beweis beruht aus ß. 73, Folges. Fig- 187. H. 2vtz. Der Cubikinhalt eines Pyra- 8 midenstumpses ist gleich dem Producte der Summe der beiden Grundflächen und ihrer mittleren geometrischen Propor- a/t X'-Xä tionale mit dem dritten Theile der Höhe. Wird der Pyramidenstumpf ^80vuboä / (Fig- 187) zur ganzen Pyramide ergänzt, so ist der )" Cubikinhalt desselben X V^Pyr. 8^80v-Pyr. 8abvä. L —V Bezeichnen nun 8 und b die Grundflächen " ^80D und uboä, die Höhe pk und x die noch unbekannte Höhe 8p, so hat man Pyr. 8^861) Pyr. 8udoä^^; daher V (8 135 Zur Bestimmung von x hat man die Proportion: L : b --- (k -stx)-: x- (§. 180, 1) oder st/L : f/b (k -st x) : x. Daraus folgt — f/d) : f/i> — d : x, und x — Durch Substitution dieses Werthes erhält man v - ? (L - b> - -i- -i- >/b> --(k > r/Lb 4- 3. Oberfläche und Cubikinhalt eines Cylinders. Z. 2V7. Da man den Kreis, welcher die Grundfläche eines Cy¬ linders bildet, als ein regelmäßiges Vieleck von unendlich vielen Seiten ansehen kann (Z. 131, Folgest b), so kann auch ein Cylinder als ein Prisma, dessen Grundflächen regelmäßige Vielecke von unendlich vielen Seiten sind, betrachtet werden. Die Lehrsätze, deren Richtigkeit für Prismen von beliebiger Seitenanzahl bewiesen wur¬ den, gelten daher auch für die Cylinder. Die Mantelfläche eines senk recht en Cylinders ist gl eich dem Products aus dem Umfange der Grundfläche und der Höhe. Folgt aus dem analogen Satze für Prismen in Z. 195, 2. Die ganze Oberfläche eines senkrechten Cylinders wird erhalten, wenn man zu der Mantelfläche den doppelten Flächeninhalt der Grundfläche addirt. Bezeichnet r den Halbmesser der Grundfläche und st die Höhe eines senkrechten Cylinders, so ist die Mantelfläche — 2rst?r, die Grundfläche — r°n, daher die Gesammtoberfläche o — 2rstn -st 2r°n — 2rw (st -st r). Im gleichseitigen Cylinder ist st — 2r, daher o — 6r°/r. Zusatz. Die Mantelfläche eines senkrechten Cylinders läßt sich auf eine Ebene als ein Rechteck abwickeln, welches mit dem Cylinder gleiche Höhe hat, und dessen Grundlinie dem Umfange des Grundkreises des Cylinders gleich ist. Z. 2«b. Der Cubikinhalt eines Cylinders ist gleich dem Produkte aus der Grundfläche und der Höhe. Folgt aus dem Satze für Prismen in Z. 200. Ist r der Halbmesser der Grundfläche und st die Höhe des Cy¬ linders, so ist dessen Cubikinhalt v — i^st-r. Für den gleichseitigen Cylinder hat man st — 2r, daher r> — 2 r^ n. 136 4. Oberfläche und Kubikinhalt eines Kegels und eines Kegelstumpfes. Z. 2VS. Ein Kegel kann als ein Cylinder, dessen Grund¬ fläche ein regelmäßiges Vieleck vonunendlich vielenSeiten ist, betrachtet werden. Aus §.201, 2 folgt daher: Die Mantelfläche eines senkrechten Kegels ist gleich dem Producte aus dem Umfange der Grundfläche und der Höhe. Die Gesammtoberfläche eines senkrechten Kegels wird erhalten, indem man zu der Mantelfläche den Flächeninhalt der Grund¬ fläche addirt. Ist r der Halbmesser der Grundfläche und s die Seite eines senk¬ rechten Kegels, so ist die Mantelfläche — 2rn.^ — rsn, die Grund¬ fläche — daher die ganze Oberfläche o — rssr -s- i-2-r — rrr (s -s- r). Für den gleichseitigen Kegel hat man 8 — 2r, daher o — 3r?7r. ß. 2IV. Der Cubikinhalt eines Kegels ist gleich dem Producte aus d er Grundfläche und dem dritten Theile der Höhe. Folgt aus dem analogen Satze für die Pyramide in Z. 204. Ist r der Halbmesser der Grundfläche und ii die Höhe des Kegels, so hat man Ist der Kegel ein senkrechter und 8 eine Seite desselben, so ist b — 8^ — r", daher Ic — ^8' — r^. Für den gleichseitigen Kegel hat man 8 — 2r, folglich k — ^/3. Z. 211. Die Mantelfläche eines senkrechten Kegel¬ stumpfes ist gleich dem Producte aus dem Umfange des mittleren Durchschnittes und der Seite. Dieser Satz folgt, wenn man die Grundflächen des Kegelstumpfes als regelmäßige Vielecke von unendlich vielen Seiten ansieht, unmittel¬ bar aus Z. 205, 2. Sind k und i- die Halbmesser der Grundflächen des Kegelstumpfes, so ist der Halbmesser und daher (k -s- r) n der Umfang des mittleren Durchschnittes; folglich ist, wenn man die Seite durch 8 be¬ zeichnet, die Mantelfläche w — (ki. -s- r) 8N. 137 Die Gesammtoberfläche eines senkrechten Kegelstumpfes wird erhalten, wenn man zu der Mantelfläche die Flächeninhalte der beiden Grundflächen addirt; es ist also die Gesammtoberfläche o — (U -s- r) ssr -s- -s- r^n. 8- 212. Der Cubikinhalt des Kegelstumpfes ist gleich dem Products der Summe der beiden Grundflächen und ihrer mittleren geometrischen Proportionale mit dem dritten Theile der Höhe. Folgt aus Z. 206. Bezeichnen U und r die Halbmesser der beiden Grundflächen und d die Höhe des Kegelstumpfes, so ist der Cubikinhalt v — (U?n -j- Rrrr -s- r^n) . 5. Oberfläche und Cubikinhalt einer Kugel. Z. 213. Wird in einem Halbkreise ^OL (Fig. 188) eine Sehne 61) gezogen und dieselbe sammt dem Halbkreise um den Durchmesser ^.8 gedreht, so beschreibt der Halbkreis eine Kugelfläche und die Sehne die Mantelfläche eines Kegelstumpfes, welcher der Kugel einge¬ schrieben heißt. Die Mantelfläche eines der Kugel eingeschriebenen Kegelstumpfes ist gleich dem Products aus dem Umfange eines Kreises, dessen Halbmesser der Ab- / stand seiner Seite vom Mittelpunkte der Kugel ist, und seiner Höhe. Beweis. Zieht man (Fig. 188) 06 4, 08, 7r . 2r. Zusätze. 1. Aus o — 2rn.2r folgt auch o — 4r^, d. h. die Oberfläche einer Kugel ist gleich dem vierfachen Flächeninhalte eines größten Kugelkreises. 2. Heißen O und o die Oberflächen zweier Kugeln, deren Halb¬ messer k und r sind, so hat man O — 4Il"?r und o — 4r^, daher 0 : c> — U? : r«; d. h. die Oberflächen zweier Kugeln verhalten sich wie die Quadrate ihrer Halbmesser. 3. Aus dem Beweise zu dem obigen Lehrsätze ergibt sich: Eine Kugelmütze oder eine Kugelzone ist gleich dem Producte aus dem Umfange eines größten Kugelkreises und ihrer Höhe. Z. 2IL. Der Cubikinhalt einer Kugel ist gleich dem Producte aus der Oberfläche und dem dritten Theile des Halbmessers. Beweis. Denkt man sich durch den Mittelpunkt der Kugel un¬ zählig viele Ebenen gelegt, so wird durch dieselben die Kugel in unendlich viele Pyramidenförmige Körper zerlegt, deren Scheitel im Mittelpunkte und deren Grundfläche in der Oberfläche der Kugel liegen, und die sich um so mehr Pyramiden nähern, je kleiner ihre Grundflächen sind. Für eine solche, zu einer unendlich kleinen Grundfläche gehörige Pyramide kann man den Halbmesser der Kugel als Höhe annehmen. Den Cubik¬ inhalt aller dieser Pyramiden, d. i. den Cubikinhalt der Kugel, findet man daher, indem man die Summe aller Grundflächen, d. i. die Kugel¬ oberfläche, mit dem dritten Theile der gemeinschaftlichen Höhe, d. i. des Halbmessers der Kugel, multiplicirt. 139 Bezeichnet r den Halbmesser, o die Oberfläche nnd v den Cubik- inhalt einer Kugel, so ist v — o. aber o — 4r^ir, daher v — 4r^^ . Zusätze. 1. Heißen V und v die Inhalte zweier Kugeln, deren Halbmesser L und r sind, so hat man V — und v — daher V : V --- : r», d. h. die Cubikinhalte zweier Kugeln Verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer Halbmesser. 2. Der Cubikinhalt eines Kugelsectors ist gleich dem Producte aus seiner Kugelmütze und dem dritten Theile des Halbmessers der Kugel. 3. Der Cubikinhalt eines Kugelsegmentes ist, je nach¬ dem dieses kleiner oder größer als die Halbkugel ist, gleich der Diffe¬ renz oder der Summe der Inhalte des entsprechenden Kugelsectors und eines Kegels, dessen Grundfläche die Grundfläche des Segmentes, und dessen Höhe der Abstand dieser Grundfläche von dem Kugelmittel¬ punkte ist. 4. Der Cubikinhalt einer Kugelschicht wird als die Dif¬ ferenz der Inhalte zweier Kugelsegmente berechnet. Rechnungsaufgaben. O. In einem Würfel ist u die Seite, o die Oberfläche, v der Cubikinhalt; aus einer dieser Größen die beiden anderen zu berechnen. Gegeben sind: 1) a —1"4^"; 3)o —lOsü"; 5) v—29791 Cub.°"; 2) L — 1 - 375"; 4) o -- 50 sl?" 80'86 s^°"; 6) v --12'326391 Cub.". 2. In einem rechtwinkligen Parallelepiped sind a, 5, o die Kanten, o die Oberfläche und v der Cubikinhalt; aus dreien dieser Größen die übrigen zu bestimmen. Gegeben sind: 1)» —2'4", 2)a —7'5^", 5 — 2-75", 5 — 3-6''", o^1-85"; 0^4272^"; 3) 5^3-5»"; o — Z-Z«-»; V — 41 CubZ". 3. Eine 3560" lange und 6" breite Straße soll mit Kies 1'2^' hoch beschüttet werden; wieviel Cub." Kies braucht man dazu und wie viel Fuhren sind nöthig, wenn der Wagenkasten 1 - 6" lang, 7^" breit und 5''" tief ist? 4. In einem Prisma beträgt a) die Grundfläche 2 Hs''" 25 die Höhe l''" 2°"; 5) „ „ 3'795^", „ „ 7-2am; wie groß ist der Cubikinhalt? 140 5. Die Grundfläche eines Prisma beträgt 31'78^, der Cubik- inhalt 1'57311 Cub.^; wie groß ist die Höhe? 6. Beim Bau einer Eisenbahn wird die aus einem Einschnitt, welcher 165^ lang, oben 22°> und unten breit, und 6'4'° tief ist, gewonnene Erdmasse auf ein 25 Ar enthaltendes Grundstück gleichmäßig vertheilt; um wie viel wird letzteres dadurch erhöht? ^7. Die Höhe eines senkrechten Prisma ist k, die Grundfläche des¬ selben ein regelmäßiges Sechseck, dessen Seite a ist; bestimme a) die Oberfläche, d) den Cubikinhalt des Prisma. 8. In einer senkrechten Pyramide ist die Grundfläche ein Qua¬ drat von 1-°3^ Seitenlänge; wie groß ist die Oberfläche der Pyramide, wenn deren Seitenhöhe 1^ 8^'° beträgt? 9. Ein Thurmdach hat die Form einer senkrechten vierseitigen Pyramide von 9'6°> Umfang der Grundfläche und 10'2"> Seitenhöhe; wie viel Blech sind zur Eindeckung erforderlich, wenn für Ver¬ schnitt und Falze 6 hinzugerechnet werden? 10. In einer dreiseitigen Pyramide beträgt die Höhe 5" 48'3°", und jede Seite der Grundfläche 2'° 80'4°"; wie groß ist der Cubik¬ inhalt ? 11. Wie viel wiegt eine dreiseitige, 8^ hohe Pyramide aus Gu߬ eisen, wenn jede Seite der Grundfläche 2'8^ beträgt, und wenn 1 Cub?" Gußeisen 7'2 Kilogramm wiegt? 12. Die Seite der Grundfläche einer senkrechten sechsseitigen Py¬ ramide ist 4'4^, die Höhe der Pyramide ist 6'3^; wie groß ist die Seite eines Würfels, welcher der Pyramide an Inhalt gleich kommt? 13. In einem senkrechten Pyramidenstumpf ist die Höhe 5^, die Grundflächen sind gleichseitige Dreiecke, deren Seiten bezüglich 1'6^ und 1'2^ betragen; wie groß ist a) die Oberfläche, 5) der Cubikinhalt? 14. Wie viel wiegt ein Pyramidenstumpf aus Marmor, dessen Grundflächen Quadrate von 1'2°° und 1^ Seitenlange sind und 1'5^ von einander abstehen? (1 Cub?-° Marmor wiegt 2'72Kilogr.) 15. Bestimme a) die Oberfläche, d) den Cubikinhalt eines regel¬ mäßigen Tetraeders, dessen Seite a ist. 16. Die Seite eines regelmäßigen Oktaeders beträgt 1'2^; wie groß ist a) die Oberfläche, b) der Cubikinhalt desselben? 17. Ein Würfel und ein regelmäßiges Ikosaeder haben die gleiche Seite a; wie verhalten sich ihre Oberflächen? 18. In einem senkrechten Cy lind er ist r der Halbmesser der Grundfläche, ti die Höhe, ru die Mantelfläche, v der Cubikinhalt; be¬ rechne aus je zweien dieser Größen die beiden anderen. 141 Gegeben sind: 1) r---1'57-°, fl--1'29-°; 2) fl — 1'5-°, m 1-1386sZ-°; 3) r —1-85°-, v — 37'268 Cub.-°; 4) m---20^-°, v —20Cub?-°. 19. Wie gestalten sich die allgemeinen Auflösungen in 18. für 5 —2r, d. i. für den gleichseitigen Cylinder? 20. Wie verhält sich in einem gleichseitigen Cylinder die Mantel¬ fläche zur ganzen Oberfläche? 21. Ein cyliudrisches Gefäß faßt 36 Liter; wie viel faßt ein Ge¬ fäß, dessen Ausdehnungen doppelt so groß sind? 22. Ein cylindrisches Gefäß hält 50 Liter Getreide und ist 399'3-°-° hoch; wie groß ist der Durchmesser seiner Grundfläche? 23. In einen chlindrischen Wasserbehälter von 6-i-° Durchmesser wird ein Gefäß von 2 Liter Inhalt 25mal geleert; wie hoch wird das Wasser in jenem Behälter stehen? 24. Das Ciment für 1 Liter — 1 Cub?-° des Flüssigkeitsmaßes hat die Form eines Cylinders, dessen Höhe das Doppelte des Durch¬ messers beträgt; wie groß sind die Dimensionen dieses Cimentes in Millimeter? 25. Die Länge eines Fasses beträgt 1-° 3-i-°, der Durchmesser am Boden 8'i-°, der Durchmesser an der Spundfläche 1-°; wie viel Liter hält das Faß? Ein Faß wird gewöhnlich als ein Cylinder berechnet, dessen Höhe gleich ist der Länge des Fasses, und dessen Grundfläche den dritten Theil aus dem doppelten Spund- und dem einfachen Bodendurchmesser zum Durchmesser hat. 26. Den Cubikinhalt einer Eh linderröhre aus den beiden Halb¬ messern k und r und der Höhe 5 zu berechnen. 27. Aus dem Cubikinhalte v einer Cylinderröhre, der Höhe !i und dem größeren Halbmesser R die Dicke ck zu finden. 28. Zu einer Wasserleitung braucht man in einer Länge von 840-° Röhren von Blei, welche 16°-° dick sind, und deren Weite im Lichten 8°-° beträgt, wie viel kostet das Blei, wenn 1 Cub?-° desselben 11'35 Kilogr. wiegt und das Kilogr. Blei mit 40 kr. bezahlt wird? 29. In einem senkrechten Kegel ist r der Halbmesser der Grund¬ fläche, k die Höhe, s die Seite, m die Mantelfläche, v der Cubikinhalt; aus je zweien dieser Größen die übrigen zu bestimmen. Gegeben sind: 1. r — 3-5-1'°, s, — 8-4''-»; 2. r — 0-8-°, s — 1'25-°; 3. r — 1-76-°, m — 13'56^-°; 4. r --- 4-21-1-°, v — 1137'85 Cub?-°; 5. 3'5»-°, v 55'894 Cub.°>'°; 6. im- 17'593^-°, v 7'697 Cub?-°. 30- Wie gestalten sich die Auflösungen in 29. für s — 2r, d. i. für den gleichseitigen Kegel? 142 31. Wie groß ist s) die Oberfläche, d) der Cubikinhalt eines gleichseitigen Kegels, dessen Seite 2^ 2°" ist? 32. Ein Kegel von Messing, welcher 1'62^" hoch ist, wiegt 3'56076 Kilogr.; wie groß ist der Durchmesser der Grundfläche, wenn 1 Cub.^ Messing 8'4 Kilogr. wiegt? 33. Die Durchmesser der Grundflächen eines senkrechten Kegel¬ stumpfes sind 2'4^ und 1'M", die Seite beträgt 3'02^"; wie groß ist s.) die Mantelfläche, b) der Cubikinhalt des Kegelstumpfes? 34. In einem senkrechten Kegelstumpfe sind die Umfänge der Grundflächen 1'36" und 0'94", die Höhe 1"; wie groß ist a) die Oberfläche, d) der Cubikinhalt desselben? 35. Wie viel Cubikmeter enthält ein runder abgestumpfter Baum¬ stamm von 7" Länge, wenn die größere Querschnittsfläche 0'76" und die kleinere 0'5*° im Durchmesser hat? 36. Das Ciment für 1 Deciliter des Hohlmaßes für trockene Gegenstände hat die Form eines Kegelstumpses, dessen oberer Durch¬ messer gleich ist dem Durchmesser eines inhaltsgleichen gleichseitigen Ch- linders, und dessen unterer Durchmesser des oberen beträgt; welche Dimensionen in Millimeter ergeben sich hieraus? 37. In einer Kugel ist r der Halbmesser, o die Oberfläche, v der Inhalt; suche aus jeder dieser Größen die beiden anderen. Gegeben sind: 4>r^-1 5"; 3) o-572'555Hs°-°; 5) v^lOOCub.«"; 2) r -- 1"2'^4«"; 4) o --- 22'1671 6) v 5'712 Cub". 38. Wie groß ist u) die Oberfläche, d) der Cubikinhalt unserer Erde, wenn man diese als eine Kugel betrachtet, deren Halbmesser 859'0909 geogr. Meilen beträgt? — 3'141592). 39. Der Durchmesser eines Erdglobus ist 4^"; wie verhält sich dessen Oberfläche zur Oberfläche der Erde? (1 geogr, Meile — 0'550629 40. Wie groß müßte der Durchmesser eines Erdglobus ange¬ nommen werden, auf welchem 1 s^" als 1 sD"" erscheinen soll? 41. Der äußere Durchmesser einer Hohlkugel ist 3'^" und der innere 2'9^"; wie groß ist ihr Cubikinhalt? 42. Ein gerader Kegel hat 0'8" Höhe und eine Basis von 0'3" Halbmesser; wie groß muß der Durchmesser einer Kugel sein, deren Oberfläche gleich ist der Mantelfläche jenes Kegels? 43. Ein chlindrischer Dampfkessel mit zwei halbkugelförmigen End¬ stücken ist 1" weit und 4" lang, so daß die Länge des Chlinders 3" beträgt; wie groß ist s.) die Oberfläche, d) der Inhalt des Kessels? 44. In einen gleichseitigen Cylinder von 1^" Halbmesser werden eine Kugel und ein senkrechter Kegel eingeschrieben; wie verhalten sich die Cubikinhalte des Kegels, der Kugel und des Chlinders zu einander? 143 45. Um eine Kugel von 1^ Halbmesser werden ein gleichseitiger Cylinder und ein gleichseitiger Kegel beschrieben; wie Verhalten sich s) die Oberflächen, b) die Inhalte dieser drei Körper.? Geometrische Darstellung der Körper. Unter der Projection eines Körpers auf eine Ebene versteht man das Gebilde, welches erhalten wird, wenn man die Linien und Flächen des Körpers auf diese Ebene projicirt. Zeichnet man die Projectionen eines Körpers auf eine horizontale und aus eine verticale Ebene, d. i. seinen Grundriß und Aufriß, so sind durch diese die Flächen und Linien bestimmt, von denen der Kubikinhalt des Körpers abhängt. Der Grundriß und der Aufriß eines Körpers enthalten demnach die geometrische Darstellung seines Cubik- inhaltes. Um die Oberfläche eines Körpers geometrisch darzustellen, construirt man alle Grenzflächen desselben zusammenhängend in einer einzigen Ebene. Eine solche Zeichnung heißt das Netz des Körpers. Die Körpernetze dienen nicht blos zur Bestimmung der Oberstäche, sondern auch, indem man sie gehörig ausschneidet und zusammenfitgt, zur Anfertigung von Modellen der Körper. 1. Das Prisma. Fig. 189 stellt in I den Grundriß, in II den Aufriß, in HI das Netz eines senkrechten fünfseitigen Prisma dar, dessen Grundfläche auf der Horizontalebene ruht, und von welchem eine Seitenfläche mit der Verticalebene parallel ist. Fig. 189. Der Grundriß ist mit der Grundfläche des Prisma congruent und stellt daher die Größe der Grundfläche dar, der Aufriß gibt die Höhe des Körpers. 144 Gib aus dem Grund- und Aufrisse s) die sichtbaren, b) die gedeckten Eck¬ punkte des Prisma an. Gib aus den zwei Projectionen die Kanten des Prisma an, welche ») als sichtbare Strecken, b) als Punkte, o) als gedeckte Strecken erscheinen. Gib die Flächen des Prisma an, welche a) als sichtbare Flächen, b) als Strecken, °) als gedeckte Flächen erscheinen. Dasselbe wird in Beziehung auf die Projectionen der später folgenden Körper anzugeben sein. Um das Netz des Prisma zu erhalten, ziehe man die Parallelo¬ gramme (Rechtecke), welche die Seitenoberfläche bilden, so neben einander, daß je zwei eine gemeinschaftliche Seite haben, und construire dann über und unter einem dieser Parallelogramme die Grundflächen. 2. Die Pyramide. Fig. 190 stellt in I den Grundriß, in II den Aufriß, in III das Netz einer auf der Horizontalebene aufgestellten vierseitigen senk¬ rechten Pyramide dar. Der Grundriß gibt die Grundfläche, der Aufriß die Höhe der Pyramide. Jede Seitenkante o ä kann als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes dargestellt werden, dessen Katheten der Grundriß c/ä' dieser Kante und die Höhe der Pyramide ist. Das Netz einer Pyramide erhält man, wenn man zuerst die Seitendreiecke nebeneinander so construirt, daß sie den Scheitel gemein¬ schaftlich haben, und an eines dieser Dreiecke unten die Grundfläche anlegt. Wie construirt man das Netz eines senkrechten Pyramidenstumpfes? 3. Die regelmäßigen Körper. a) Das Tetraeder (der Vierflächner). Fig. 191 I ist der Grundriß, II der Aufriß, III das Netz eines Tetraeders. 145 'H 5) Das Hexaeder (der Sechsflächner, Würfel, Cubus). io Fig. 192 I stellt den Grundriß, II den Aufriß, III das Netz eines Hexaeders dar. Das Netz des Würfels erhält man, wenn man die vier Quadrate, welche die Seitenoberfläche bilden, neben einander zeichnet und dann an den entgegengesetzten Seiten eines dieser Quadrate noch zwei Quadrate construirt. o) Das Oktaeder (der Achtflächner). Bei diesem und den folgenden regelmäßigen Körpern beschränken Mq i93 wir uns auf die Construction der Netze. Das Netz eines Oktaeders (Fig. 193) wird erhalten, wenn man mit der Kante des Oktaeders zuerst das Netz eines Tetraeders zeichnet und dann an dieses ein zweites mit ihm congruentes Netz so anlegt, daß beide Netze eine Seite gemeinschaft¬ lich haben. M o c nil, Geometrie siir Lehrerbildungsanstalten. Um das Netz eines Tetraeders zu erhalten, construire man mit der Kante des Tetraeders ein gleichseitiges Dreieck, und sodann über jeder Seite wieder ein gleichseitiges Dreieck. Fig 191. 146 Fig. ISS. ä) Das Dodekaeder (der Zwölfflächner). Fig 1S4. Um das Netz des Dodeka¬ eders (Fig. 194) zu construiren, zeichne man mit der Kante des Dodekaeders ein regelmäßiges Fünfeck, beschreibe über den Seiten desselben wieder regelmäßige Fünf¬ ecke (wobei man sich mit Vortheil der Verlängerung der Diagonalen bedient), und lege an dieses Netz ein zweites mit ihm kongruentes so an, daß beide in einer Seite zu¬ sammenstoßen. s) Das Ikosaeder (der Zwanzigflächner). Das Netz eines Ikosaeders (Fig. 195) erhält man, wenn man auf eine Gerade die Kante des Ikosaeders 5mal aufträgt, über diesen Strecken nach oben und unten gleichseitige Dreiecke construirt, dann alle Scheitel auf einer Seite durch eine Strecke verbindet, und längs derselben, nachdem sie ver¬ längert wird, wieder gleichseitige Dreiecke verzeichnet, so daß ihrer auf jeder Seite fünf erscheinen. 4. Der Cylinder. Fig. 196 stellt in I den Grundriß, in II den Aufriß, in III das Netz eines senkrechten Chlinders dar. Fig. 196. Der Grundriß gibt die Grundfläche, der Aufriß die Höhe des Chlinders an. 147 Was für Gebilde sind der Grundriß und der Aufriß eines CylinderS, der mit seiner Mantelfläche auf der Horizontalebene ruht, und dessen Achse mit der Verticalebene parallel ist? Denkt, man sich die Mantelfläche eines senkrechten CylinderS vom Cylinder trennbar (z. B. als Papierhülle) und nach der Richtung einer Seite durchschnitten, so bildet dieselbe, wenn man sie auf eine Ebene ausbreitet, ein Rechteck, dessen Grundlinie dem Umfange der Grund¬ fläche, und dessen Höhe der Höhe des CylinderS gleich ist. Um daher das Netz eines senkrechten CylinderS zu construiren, zeichne man ein Rechteck, dessen Grundlinie 3^mal so groß ist als der Durchmesser der Grundfläche, und dessen Höhe der Höhe des CylinderS gleich ist, und beschreibe sodann zwei der Grundfläche gleiche Kreise, von denen der eine die Grundlinie, der andere die gegenüberliegende Seite des Recht¬ eckes berührt. Fig. 1S7. r 5. Der Kegel. ' Fig. 197 I stellt den Grundriß, II den Aufriß, III das Netz eines senkrechten Kegels dar. Der Grundriß gibt den Halbmesser der Grundfläche, der Aufriß die Höhe und die Seite des Kegels. Wird die Mantelfläche des Kegels auf eine Ebene ausgebreitet, so erscheint sie als ein Kreisausschnitt, dessen Halbmesser die Seite des Kegels, und dessen Bogenlänge der Umfang der Grundfläche des Kegels ist. Um daher das Netz eines senkrechten Kegels zu erhalten, zeichne man mit der Seite als Halbmesser einen Kreisausschnitt, dessen Bogen¬ länge Zsinal so groß ist als der Umfang der Grundfläche des Kegels, und construire dann einen der Grundfläche gleichen Kreis, welcher den Bogen des Kreisausschnittes berührt. Wie wird das Netz eines senkrechten Kegelstumpfes construirt? 148 Fig. 198 I stellt den Grundriß, II den A nfr iß einer Kugel dar. Der Grund- und der Aufriß einer Kugel sind Kreise, deren Durchmesser dem Durchmesser der Kugel gleich ist. Steht die Axe der Kugel auf der Horizontalebene senkrecht, so erscheinen im Grundriß alle Meridiane als Durchmesser, im Aufriß einer als Kreis, einer als Durchmesser und alle übrigen als Ellipsen, die Parallelkreise erscheinen im Grundriß als concentrische Kreise, im Aufriß als parallele Sehnen. Die Oberfläche der Kugel läßt sich, da sie doppelt gekrümmt ist, nicht in eine Ebene ausbreiten; daher kann von der Kugelfläche auch kein vollkommen genaues Netz construirt werden. Ein angenäher¬ tes Netz der Kugel (Fig. 199) erhält man durch folgendes Verfahren: Fig. 199. Man theile eine Strecke , welche 3)mal so groß ist als der Durchmesser der Kugel, in 12 gleiche Theile und trage auf deren Ver¬ längerungen über H und L hinaus noch je 9 solche Theile aus. Be¬ schreibt man dann mit einem Halbmesser von 10 solchen Theiten aus den Punkten 1, 2, 3,..., und ebenso aus den Punkten I, II, III,... Kreisbogen, welche die Gerade HL schneiden, so erhält man 12 gleiche Zweiecke, welche gehörig zusammengebogen, ziemlich genau die Kugel¬ fläche geben. 6. Die Kugel. Fig. 198. Dritter Theil. Grundzüge der ebenen Trigonometrie 8- 2lk. Die Planimetrie lehrt, daß durch drei von einander un¬ abhängige Stücke eines Dreieckes dieses im Allgemeinen bestimmt ist; sie zeigt auch, wie aus den gegebenen drei Stücken durch Construction die übrigen gefunden und die so gefundenen durch Messung in Zahlen ausgedrückt werden können. Die Bestimmungen geometrischer Größen durch Construction haben jedoch den Uebeistand, daß sie wegen der Un¬ vollkommenheit der dabei benöthigten Instrumente und wegen der Un¬ genauigkeit beim Gebrauche derselben mehr oder weniger mangelhafte Resultate liefern. Man sah sich daher veranlaßt, bei diesen Bestimmungen anstatt der Construction die Rechnung anzuwenden, welche jeden Grad von Genauigkeit zuläßt. Da sich aber zwischen den Maßzahlen der Seiten und den Zahlen, welche die Winkel in Graden ausdrücken, die Art der gegenseitigen Abhängigkeit nicht unmittelbar darstellen läßt, hat man statt der Winkel die Berhältnißzahlen gewisser Strecken, welche durch die Winkel unzweideutig bestimmt sind, in die Rechnung eingeführt. Diese Berhältnißzahlen nennt man Functionen der Winkel oder goniometrische Functionen, und die Lehre von den Eigenschaften und gegenseitigen Relationen derselben die Goniometrie. Die Anwendung der Winkelfunctionen auf die Berechnung der Dreiecke bildet den Gegenstand der Trigonometrie, und zwar der ebenen oder sphärischen Trigonometrie, je nachdem sie sich auf die ebenen oder sphärischen Dreiecke bezieht. Hier soll nur von der ebenen Trigonometrie die Rede sein. Krster Zöschnitt. Die Goniometrie. 1. Darstellung der Winkelfunctionen am rechtwinkligen Dreiecke. Z. 217. Zieht man (Fig. 200) von beliebigen Punkten N, M, N",.. des einen Schenkels eines Winkels ^08 — « die Senkrechten N?, 150 U"k",..auf den andern Schenkel, so entstehen rechtwinklige Dreiecke, welche den Winkel « gemeinschaftlich haben, und unter einander ähnlich Ll?_ kck'I"_ Ll" - 0Ä ' ' Ebenso ist Ok 01" — o?" OÄ OÄ- "" OLl" — ' " L1I> — LI'I"_ N" 0? Ok- "01^ — . . . Welche beziehungsweise für denselben Winkel stets gleich sind, dagegen bei einer Aenderung des Winkels sich gleich¬ falls ändern, folglich einzig von der Größe des Winkels abhängen, bieten ein einfaches Mittel dar, die Größe des entsprechenden Winkels darzu¬ stellen. 8- 2 >8. In einem rechtwinkligen Dreiecke LII'O (Fig. 200) heißt: 1. das Berhältniß der dem Winkel « gegenüberstehenden Kathete zu der Hypotenuse der Sinus des Winkels «, — sin «; 2. Das Berhältniß der dem Winkel « anliegenden Kathete zu der Hypotenuse der Cosinus dieses Winkels, — eos 3. das Berhältniß der dem Winkel « gegenüberliegenden Kathete zu der andern Kathete die Tangente des Winkels «, «; 4. das Berhältniß der dem Winkel « anliegenden Kathete (zu der andern Kathete die Cotangente dieses Winkels, — oot «; 5. das Berhältniß der Hypotenuse zu der dem Winkel « anliegenden Kathete die S e c a n te des Winkels «, — seo «; 6. das Berhältniß der Hypotenuse zu der dem Winkel « gegenüber¬ liegenden Kathete die Cosecante dieses Winkels, — eosoo «. Sinus, Cosinus, Tangente, Cotangente, Secante und Cosecante sind daher, da sie von der Größe des Winkels « abhängen und durch denselben bestimmt sind, Winkelfunctionen. Sie sind, wie aus ihrer Erklärung hervorgeht, sämmtlich unbenannte Zahlen. sind. Es ist daher Fig. 800. Diese Verhältnisse, 151 2. Darstellung der Winkelfunctionen durch Linien am Kreise und Begriffserweiterung derselben. zweiten Halbmesser OLI sich allmälig wegdrehen, so wird dieser nach und nach mit OL. verschiedene Winkel bilden, von denen einer H.OLI — « ist. a) Zieht man nun von dem Endpunkte LI des beweglichen Halbmessers 0 LI auf den festen 0^ die Senkrechte LI 8, so ist nach Z. 218 o Ä "" « und oM <-o» «. Z. 21». Beschreibt man aus 0 (Fig. 201) einen Kreis, betrachtet den Halbmesser O^L als unbeweglich und läßt von demselben einen Fig- 201. " b) Errichtet man ferner in dem Endpunkte des festen Halbmessers OlL aus diesen eine Senkrechte, welche also den Kreis berührt und welche die Verlängerung des andern Halbmessers OLI in 0 trifft, so hat man, da /XO /V 0 0 8 LI ist, L6 N? 06 OLI o^ « und „l> '«° «. o) Wird endlich 08 Z. OL., und dann in 8 auf 08 eine Senkrechte errichtet, welche die Verlängerung des Halbmessers OLI in I) trifft, so ist wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke 080 und 08 LI o? . 08 OLI 08 L11- eot « und -ÖL .1 >, --oseo «. Die Strecken LI8, 08, ^0, 00, 8V und OO, deren Ver¬ hältnisse zum Halbmesser des Kreises die Winkelfunctionen ausdrücken, heißen goniometrische Linien, und zwar LI8 die Sinuslinie, 08 die Cosinuslinie, ILO die Tangentenlinie, 00 die Se- cantenlinie, 80 die Cotangentenlinie und OO die Cosecanten- linie. Da diese Verhältnisse nur von der Größe des Winkels « abhängen und für jeden beliebigen Halbmesser ungeändert bleiben, so kann man, ohne die Größe der Winkelfunctionen zu ändern, die Längeneinheit selbst als Halbmesser des Kreises annehmen und somit 0^. — ON — 08 — 1 setzen. Dann gehen die obigen Verhältnisse in die folgenden Aus¬ drücke über: LI 8 — sin «, 0 — tunA «, 80 — oot «, 0 8 — 608«; 00-866«; OO — 60866 «, wo jedoch unter N8, 08, ^0, 00, 80 und OO nicht die gonio- metrischen Linien, sondern ihre Maßzahlen zu verstehen sind. Die Winkelfunctionen können daher als Maßzahlen der ent¬ sprechenden goniometrischen Linien am Kreise für den Halbmesser als Längeneinheit aufgefaßt werden. 152 Z. 22V. Die in Z. 218 aufgestellten Erklärungen der Winkelfunc¬ tionen gelten blos für spitze Winkel, da an der Hypotenuse eines recht¬ winkligen Dreieckes nur spitze Winkel liegen können. Die Darstellung der Winkelfunctionen am Kreise macht es nun möglich, die Begriffe der¬ selben auf Winkel von jeder Größe anszndehnen. Fig. 202. Zieht man in einem Kreise (Fig. 202) zwei auf einander senk¬ rechte Durchmesser und 88', so wird ein Halbmesser O N, welcher sich von dem festen Halbmesser 0^. aus um O in der Richtung nach links wegdreht, nach und nach alle Quadranten des Kreises, welche wir nach jener Richtung der Reihe nach den ersten, zweiten, dritten, vierten nennen wollen, durchlaufen und wäh¬ rend dieser Bewegung mit dem festen Halbmesser 0^. alle Winkel « von 0° bis 360° bilden. Ein Winkel O N, dessen ein Schenkel 0.4. ist und dessen zweiter Schenkel 0.. im ersten, zweiten,.. Quadranten liegt, wird gewöhnlich in abgekürzter Ausdrucksweise ein Winkel im ersten, zweiten,. . Quadranten genannt. Construirt man nun auf gleiche Weise, wie in Z. 219 unter u), d) und o) für einen Winkel im ersten Quadranten angegeben wurde, analoge Strecken auch für Winkel im zweiten, dritten, vierten Quadran¬ ten, so sind dieselben die entsprechenden goniometrischen Linien für diese Winkel. So ist z. B. für den Winkel die Sinuslinie, Ok^ die Cosinuslinie; ^.0^ die Tangentenlinie, 009 die Secantenlinie; 8I)i hi? Cotangentenlinie, OO* die Cosecantenlinie. Die Maßzahlen der goniometrischen Linien für den Halbmesser als Längeneinheit sind dann die bezüglichen Winkelfuuctionen. Z. 221. Vorzeichen der Winkelfunctionen. Für die Winkel 0 kl,, und /V 0 N, (Fig. 202) liegen die gezogenen Senkrechten bald über, bald unter dem Schenkel 0 ferner bald rechts, bald links vom Scheitel O. Zur genauen Bestimmung derselben muß daher dieser Gegensatz ihrer Lage durch die Vorzeichen des Positiven und Negativen ausgedrückt werden, wodurch dann auch die Winkelfunctioneu der Größe der Winkel entsprechende Vorzeichen erhalten. Man nimmt allgemein die goniometrischen Linien in ihrer Lage für den spitzen Winkel als positiv an; die Linien in einer Lage, welche jener entgegengesetzt ist, müssen dann als negativ angesehen werden. 153 1. Die Siuuslinie ist positiv, wenn sie von dem unbeweglichen Schenkel 0^ nach der Seite der Winkelfläche (hier über 0^.), und negativ, wenn sie nach der entgegengesetzten Seite (hier unter 0 4) liegt; der Sinus ist daher im 1. und 2. Quadranten Positiv, im 3. und 4. Quadranten negativ. 2. Die Cosinus lini e ist in der Richtung 0^4 (hier rechts vom Scheitel 0) positiv, in der entgegengesetzten Richtung 04/ (hier links von 0) negativ; der Cosinus ist daher im 1. und 4. Qua¬ dranten positiv, im 2. und 3. negativ. 3. Die Tangentenlinie ist nach der Seite der Winkelfläche (hier über 04.) positiv, nach der entgegengesetzten Seite (hier unter 04.) negativ; folglich die Tangente im 1. und 3. Quadranten positiv, im 2. und 4. negativ. 4. Die Secantenlinie ist positiv, wenn sie durch Vorwärts¬ verlängerung, und negativ, wenn sie durch Rückwärtsverlän¬ gerung des beweglichen Schenkels erhalten wird; somit die Secante im 1. und 4. Quadranten positiv, im 2. und 3. negativ. 5. Die Cotangentenlinie ist nach der Richtung des unbeweg¬ lichen Schenkels (hier rechts von L) positiv, in der entgegengesetzten Richtung (hier links von L) negativ; daher ist die Co tangente im 1. und 3. Quadranten Positiv, im 2. und 4. negativ. 6. Die Cosecantenlinie ist positiv, wenn sie durch Vorwärts- verläugerung, und negativ, wenn sie durch Rückwärtsverlänge¬ rung des beweglichen Schenkels erhalten wird, folglich die Cosecante im 1. und 2. Quadranten positiv, im 3. und 4. negativ. Z. 221. Zu- und Abnahme der Functionen bei dem Wachsen des Winkels. Aendert sich der Winkel «, so ändern sich auch die zugehörigen goniometrischen Linien, daher auch ihre Maßzahlen, d. i. die Winkel¬ functionen. s) Absoluter Werth und Vorzeichen des Sinus und des Cosinus. (Fig. 203.) Fig. 203. 1. Je kleiner der Winkel «, desto kleiner ist auch der Sinus, während sich der Cosinus ohne Ende der Einheit nähert; fallen beide Schenkel zusammen, so wird sin 0° — 0, c>os 0° — -s- 1. Für sehr kleine Winkel ist der Unterschied zwischen dem Bogen und dem Sinus des Winkels um so kleiner, je mehr sich der Winkel der Null nähert, wobei jedoch der Sinus stets kleiner bleibt als der Bogen. 2. Wächst « von 0" bis 90", so nimmt sin « zu, anfangs rascher, dann langsamer; aas « dagegen nimmt ab, anfangs langsamer, 154 dann rascher; beide sind positiv. Für « — 90" fällt die Sinuslinie mit dem beweglichen Schenkel zusammen, und es ist daher sin 90° — -j- 1, oos 90" — 0. 3. Wächst « von 90" bis 180°, so ist der Sinus positiv und ab¬ nehmend, der Cosinus dagegen negativ und dem absoluten Werthe nach wachsend. Wird « — 180°, so hat man sio 180° — 0, oos 180° — — 1. 4. Während « von 180° bis 270° zunimmt, ist siu « negativ und absolut zunehmend, eos « auch negativ, aber absolut abnehmend; und es wird endlich sin 270" — — 1, eos 270" — 0. 5. Wird « > 270° aber < 360°, so ist der Sinus negativ und sein absoluter Werth abnehmend, der Cosinus positiv und wachsend. Für « — 360" werden Sinus und Cosinus wieder so groß wie für « — 0°, nämlich sirr 360" — 0, oos 360" — -s- 1. Sinus und Cosinus liegen demnach immer zwischen den Grenzen -j- 1 und — 1. b) Absoluter Werth und Vorzeichen der Tangente und der Secante. (Fig. 204.) Fig. 204. 1. Je kleiner der Winkel, desto kleiner wird auch die Tangente, während sich die Secante der Einheit nähert; fallen die beiden Schenkel zusammen, so hat man tuuA 0° — 0 und sov 0" — -s- 1. Ferner: je kleiner der Winkel, desto kleiner wird auch der Unterschied zwischen dem Bogen und der Tangente des Winkels, wobei jedoch die Tangente stets größer bleibt als der Bogen. 2. Wächst « von 0° bis 90", so sind tunA « und se« « positiv und zunehmend. Wird endlich « — 90", so werden Tangente und Secante unendlich groß. 3. Nimmt « über 90° hinaus bis 180" zu, so werden Tangente und Secante negativ und dem absoluten Werthe nach abnehmend. Er¬ reicht « die Größe 180", so wird tuuZ 180" — 0, sso 180° — — 1. 4. Wenn « von 180" bis 270° wächst, nehmen die absoluten Werthe der Tangente und Secante zu, und zwar ist die Tangente positiv, die Secante negativ. Für « — 270° sind Tangente und Secante un¬ endlich groß. 5. Wächst « über 270° bis 360", so nehmen Tangente und Se¬ cante absolut ab, die Tangente ist negativ, die Secante positiv, und es wird endlich tanA 360" — 0, sso 360" — -s- 1. Die Tangente kann demnach alle möglichen reellen Werthe zwischen — 6O und -1- os, die Secante alle Werthe zwischen si- 1 und -s- cx> und zwischen — 1 und — co erhalten. 155 o) Absoluter Werth und Vorzeichen der Cotangente und der Cose- 1. Für sehr kleine Winkel nehmen Co¬ tangente und Cosecante ohne Ende zu uud werden beide für « — 0° unendlich groß. 2. Im 1. Quadranten nehmen Cotan¬ gente und Cosecante mit dem wachsenden Winkel ab, beide sind positiv; oot 90" — 0, oosso 90° -- -s- 1. 3. Im 2. Quadranten wachsen die ab¬ soluten Werthe der Cotangente und Cosecante mit dem wachsenden Winkel, bis sie bei 180" unendlich groß werden; die Cotangente ist ne¬ gativ, die Cosecante positiv. 4. Im 3. Quadranten nehmen Cotangente und Cosecante mit dem wachsenden Winkel absolut ab, die Cotangente ist positiv, die Cosecante negativ; 6vt 270" — 0, oosso 270" — — 1. 5. Im 4. Quadranten sind Cotangente und Cosecante negativ und dem absoluten Werthe nach wachsend; für « — 360" werden beide un¬ endlich groß. Die Cotangente liegt also zwischen den Grenzen — oo und -s- cx>, die Cosecante zwischen -s- 1 und -s- c>o und zwischen — 1 und — so. cante. (Fig. 205.) Fig'. 205. 3- Relationen zwischen den Winkelfunctioncn desselben Winkels. 8. 222. Es sei (Fig. 201) der Winkel ^ON O^^OLl ---08---1, ferner N8.^0^, ^0.80^, 084.0^ und 804,08; dann ist N 8 — 8in «, 0 — tanA «, 8 0 — 60t «, 08 — eo8«; 00 — 866«; 00 — 60866«. In den rechtwinkligen Dreiecken N80, 0^0, 080 ist nun N8"-s- 08"^ O N", H.0" 4- 07X" 0 0", 80" -s- 08" -- OO"; daher »ill «" -s- 608 «" — 1.1) tUNK «" -s- l. — 860 «" . . . .2) 6ot «" -s- 1 — 60866 «" . . . 3) Da das /X 0^.0 cv L480 ist, so hat man 0^. : U8 0^. : 08 und 00 : OLl 0^ : 08, oder tuvA tt : 8IU « — I: 608 « und 866 « : 1 — 1 : 608 «, daher sin « 1 taUL « —-. . . 4), 866 « — - . . . 0). s eos a eo» « - 156 Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke OKO und Ll?O ergibt sich ebenso 608 Ql _ 1 cot tt — -- . . . v), 60866 — -- ... i). sm « sm « Aus den Ausdrücken 4) und 6) folgt überdies tanA « —^— ... 8). eot vi Um die Richtigkeit dieser Gleichungen, welche hier für einen spitzen Winkel abgeleitet wurden, für Winkel jeder andern Größe nachzuweisen, hat man nur nöthig, die Fig. 201 dahin abzuändern, daß der Winkel « im zweiten, dritten oder vierten Quadranten vorkommt, und an der so geänderten Figur die obigen Entwicklungen zu wiederholen. Z. 223. Ist von einem Winkel auch nur eine Function bekannt, so lassen sich aus derselben mittelst der in Z. 222 abgeleiteten Gleichungen auch die übrigen Functionen leicht bestimmen. u) Es sei siri « gegeben. Aus der Gleichung 1) folgt oos o? — 1 — gju daher 608 cc — s/^1 — sin «s. Aus 4) und 6) erhält man dann 810 « sinn _ tans « — —- — , UNd O 608 « ^/1 — 810 Q6 ' 608 « 1 — 810 Öl? 60t tt — -c- — -:-' 810 « 810 « 810«' 1 608 tt sso« — 1 -s- tanA«^, s/ 1— LOS«^ « — —-, s eos« 1 860 « — -, eos«' Die Gleichungen 5) und 7) geben endlich i i 866 « — —- — ->/.— und 608« 1 —810«^ 1 60860 tt — Man findet auf gleiche Weise, 5) wenn oo8 « gegeben ist: 8IU « — s/^1 — 608 608 « ool; 6» — s/ 1— 608«^ 1 60866 tt — j/ 1 — 608«^ 6) wenn ts.UA tt gegeben ist: tSVA« 8Ill « — 1-^-tsnA« 6ot « — 7--—-, ! iLllA « j/ 1 -j- tLNA 60866« — -7^- ! 157 tauA « — 60866«°— 1, ä) wenn oot « gegeben ist : 1 sin « — i/- , . , 1 -f- eot «^ 60866« — 1 60t « — 1/-z-,, ^/ 866«^— 1 860 tt — 1/-- k/ 60866 «^ — 1 Welches Zeichen in den hier vorkommenden Quadratwurzeln bei vorgeschriebener Größe des Winkels zu nehmen sei, ergibt sich aus 8- 220. k/ 1 -t- eot K? 866 « — —--- 60t« 60t« 008 tt — / - 1 608 tt "- , 866 « 1 866« 60866 tt — s/ z j/ 866 «^ — 1 k) wenn 60866 « gegeben ist: i 8111 « — - , eoseeoe 1 tuns « — —I—, o eot«' 60866 « — ^/1Z_ eos « sill st iLNA (« -fi p) ogg /cr st) eos « eos st — sin « sill st ist, so erhält man, wenn man Zähler und Nenner des letzteren Bruches durch oos « oos /3 dividirt, sill « , sin st - oder SIN « SIN p eos und 45° — y, Complementwinkel sind, und daher sin (45° -f- y>) — Los (45° — y?), oos (45° 4- y>) — sin (45° — y>), tanz (45° -f- Y-) — oot (45° — y-), oot (45° -s- y>) — tan§ (45° — y>) ist. Wir wollen nun in dem Folgenden die Rechnung audeuten, durch welche die Functionen der Winkel von 0° bis 45° gefunden werden können. Da für jeden solchen Winkel die Länge des Bogens, der für den Halbmesser — 1 diesem Winkel entspricht, stets zwischen dem Sinus und der Tangente desselben liegen muß, so ist aro « < tavA « und s-ro « > sin «. Ans der ersten Relation folgt aro « oos « < sin «, oder aro « j/^1 — sin «^ < sill «, und, wenn man mit Rücksicht auf aro a > sin « statt s in «2 die größere Zahl uro «2 setzt, um so mehr aro « j/^ 1 — aro «- < sin «. 163 Da ferner für « < 4 5° der Ausd ruck 1 — uro kleiner als 1 ist, so ist 1 — »re«2 <^1 —um so mehr ist also aro « (1 — aro «?) < sm «, woraus uro « — sill « < urc «° folgt. Die Differenz zwischen dem Bogen und dem Sinus des Winkels ist also für alle Winkel unter 45° kleiner als die dritte Potenz des Bogens selbst. Für « — 1' ist uro 1/ — 0 000 290 8882, daher aro 1/ — sill 1' < 0 000 290 8882°; aber 0000 290 8882° < daher um so mehr aro 1' — sill 1' < also ist auf 10 Decimalen genau sin 1' 0 000 290 8882. Wird daraus cos 1' — s/l — ssm 1')^ bestimmt, so geben dann die Formeln 15), 16), 11) und 12) den Sinus und Cosinus für 2', 4', 8',..., den Sinus und Cosinus für 1' -4- 2' — 3', für 2' 4- 3" — 5' für 2' -s- 5' — 7',...., und aus diesen wieder für 6', 10', 14', 9', 15', 21', u. s. w. bis 60' oder 1°. Aus sm 1° und oos 1° findet man auf gleiche Weise die Sinus und Cosinus aller Winkel bis 45°. Zur Bestimmung der Sinus und Cosinus solcher Bogen, welche blos Secunden enthalten, kann man um so mehr für den Sinus den Bogen selbst setzen; da aro 1" — —ist, so ergibt sich sin 1" --0-000 0048481... Ferner ist sin 2" — 2 sin 1", sin 3" — 3 sill 1", sill 4" — 4 sill 1" u. s. W. Daraus lassen sich sofort auch die Cosinus für die einzelnen Secun¬ den bestimmen. Hat man nun die Sinus und Cosinus der Winkel von 0° bis 45° gefunden, so können daraus mittelst der Formeln 4) und 5) auch die Tangenten und Cotangenten derselben berechnet werden. - Z Z. 23 l. Da die Winkelfunctionen im Allgemeinen irrationale Werthe haben, so werden dieselben um so genauer bestimmt sein, durch je mehrere Decimalstellen man sie ausdrückt; aber in demselben Grade wird dann auch das Multipliciren und Dividiren durch diese Functionen erschwert. Um diesem Uebelstande zu begegnen, bedient man sich in allen trigonometrischen Rechnungen der Logarithmen, zu welchem Ende die Brigg'schen Logarithmen der Functionen für die einzelnen Winkel be¬ stimmt und in den Logarithmentafeln gehörig zusammengestellt wurden. Kleinere Logarithmentafeln enthalten gewöhnlich die Logarithmen der Winkelfunctionen von 0° bis 90° von Minute zu Minute mit fünf Decimalstellen. 164 Von 0° bis 45° stehen die Grade in natürlicher Folge vorwärts schreitend oben, und die Minuten links im Eingänge; für diese gilt der obere Tabellenkopf. Von 45° bis 90° stehen die Grade in natürlicher Folge rückwärts schreitend unten, und die Minuten rechts im Eingänge; für diese gilt der untere Tabellenkopf. Alle Logarithmen der Winkelfunctionen sind auf die Charakteristik —10 reducirt, welche jedoch, damit Raum erspart werde, in den Tafeln weggelassen ist; jedem aus den Tafeln gefundenen Logarithmus ist daher noch die Charakteristik —10 beizufügen. Zur Bestimmung der Logarithmen der Functionen von Winkeln, welche außer den Graden und Minuten auch Secunden enthalten, sind in besser eingerichteten Tafeln für jeden Grad rechts von der Haupt¬ tafel besondere Hilfstäfelchen angebracht, welche die entsprechenden Pro¬ portionaltheile für die Secunden, für die Winkel zwischen 0° und 3° aber statt der Proportionaltheile die bekannten goniometrischen Hilfs¬ zahlen s (x) - los und t(x) —!c>s^^ enthalten, wo x" den in Secunden ausgedrückten Winkel x bezeichnet. 232. Beim Gebrauche der logarithmisch - trigonometrischen Tafeln*) kommen zwei Aufgaben vor: I. Zu einem gegebenen Winkel den zugehörigen Loga¬ rithmus einer Function dieses Winkels zu finden. a) Man suche die Grade des gegebenen Winkels und die Benennung der betreffenden Function in dem oberen oder unteren Tabellen¬ kopfe auf, je nachdem der Winkel zwischen 0° und 45°, oder zwischen 45° und 90° liegt, die Minuten aber im ersten Falle links, im zweiten rechts im Eingänge. Enthält der gegebene Winkel nur Grade und Minuten, so steht der gesuchte Logarithmus dort, wo die Spalte, welche die Be¬ nennung der Function als Aufschrift hat, mit der Zeile, in welcher die Minuten gefunden wurden, zusammentrifft. Man findet z. B. Ioskin 1°34'-- 8 43 680 — 10, los tanF 61° 9' -- 10 25893 — 10, loZ oot 21° 52' -- 10-39 651 — 10, los oos 80° 59'-- 9-99 460 — 10. k) Enthält der gegebene Winkel außer den Graden und Minu¬ ten auch Secunden, so bestimme man nach u) beim Sinus und bei der Tangente den Logarithmus für den nächst kleineren, beim Cosinus und bei der Cotangente den Logarithmus für den *) Eine ausführlichere Belehrung über die Einrichtung und den Gebrauch solcher Tafeln findet man in der Einleitung zu den von mir herausgegebenen fünf¬ stelligen Logarithmentafeln zum S ch ul g e b r au ch e, Wien bei Gerold, 1877. 165 nächst größeren Winkel, welcher in der Tafel steht. Sodann suche man sowohl die Differenz der beiden Tafellogarithmen, zwischen denen der gesuchte Logarithmus liegt, als auch den Unterschied zwischen dem gegebenen und dem aus der Tafel entnommenen be¬ züglich nächst kleineren oder nächst größeren Winkel, bestimme aus den Hilfstäfelchen zu den Sekunden, welche dieser Unterschied an¬ gibt, für die erhaltene Tafeldifferenz die entsprechenden Proportional¬ theile und addire sie zu dem bereits gefundenen Logarithmus. Z. B. 1. IOK 8IN 13° 44' 39° 13° 44' . . . 9'37 549 — 10 Diff. 51 30" ... 25 5 9" . . . 77 9'37 582— 10 2. loZ aot 71° 39' 15" 71° 40' . . . 9'52 031 - 10 Diff. 42 10" ... 72 5" . . . 36 ^-9-52 042 — 10 Eine Ausnahme von dem eben angegebenen Verfahren tritt bei Winkeln ein, welche zwischen 0° und 3° oder zwischen 90° und 87° liegen. Ist der Logarithmus des Sinus oder der Tangente eines Winkels x, welcher zwischen 0° und 3° liegt und außer den Minuten auch Se- cunden enthält, zu bestimmen, so verwandle man im Hinblick auf die Gleichungen IvK 8IN X — 8 (x) -st lvA x", UNd loA tNNA X — t (x) -st IvA x" den Winkel X in Secunden, deren Zahl x" sei, suche aus der Hilfstafel die Hilfszahl 8 (x) oder t (x), welche zu dem gegebenen Winkel gehört, und addire zu derselben den aus der Tafel der Zahlenlogarithmen ent¬ nommenen Logarithmus von x". Z- B. IoA tanZ 1° 37' 44" — t (5864) ... 4-68 569 — 10 los 5864 . . . 3-76 819 8'45 378 — 10 Den Logarithmus der Cotangente eines Winkels x zwischen 0 und 3° erhält man aus der Gleichung loK aot x — — io§ tanZ x. Für einen Winkel x zwischen 90° und 87° hat man Ic>A L08 X — IoA 8ill (90° - x), IoA oot X — IvA taNA (90° - x), loA tanA X — IoA aot (90° — x), wo 90° — x zwischen 0° und 3° liegt. 166 Suche aus den Tafeln folgende Logarithmen: II. Zu dem gegebenen Logarithmus einer Winkelfunc¬ tion den zugehörigen Winkel zu finden. a) Man suche den gegebenen Logarithmus in einer der Spalten auf, welche oben oder unten mit der Benennung der bezüglichen Winkel¬ function verzeichnet sind. Kommt der gegebene Logarithmus in der Tafel genau vor, so stehen die Grade des Winkels in der Spalte dieses Logarithmus in dem oberen oder unteren Tabellenkopfe, und die Minuten in der Zeile desselben links oder rechts, je nachdem sich die Benennung der Winkelfunction oben oder unten befindet. So findet man z. B. für IoK siu x — 9'22 878 — 10, „ IoA tuuA x — 12'00 478 — 10, „ IvA oot x — 10'12 315 — 10, „ IoK oos x — 9'61 578 — 10, x^ 9° 45'; x 89° 26'; x 36° 59'; x 65° 37'. d) Kommt der gegebene Logarithmus in der Tafel nicht genau vor, so nehme man beim Sinus und bei der Tangente den nächst klei¬ neren, beim Cosinus und bei der Cotangente den nächst größeren Logarithmus, welcher in der Tafel steht, und bestimme nach a) den ihm zugehörigen Winkel. Sodann suche man sowohl die Differenz der beiden Tafellogarithmen, zwischen denen der gegebene Logarith¬ mus liegt, als auch den Unterschied zwischen dem gegebenen und dem aus der Tafel entnommenen bezüglich nächst kleineren oder nächst größeren Logarithmus, bestimme aus den Hilfstäfelchen zu den Proportionaltheilen, welche der letztere Unterschied angibt, für die erhaltene Tafeldifferenz die entsprechenden Secunden und addire diese zu dem bereits gefundenen Winkel. Z. B. 1) IoZ tanA X — 9'73 704 — 10 687 .. . 28° 37' Diff. 30 17 15.30" 2.4" x 28° 37' 34" 167 2) IoA LOS X — 9'44 305 — 10 341 .. . 73° 53' 36 Diff. 44 29 3 ... . 40" 67.... 9" x --- 73° 53' 49" Ein besonderer Vorgang tritt in diesem Falle ein, wenn der Winkel zwischen 0° und 3° oder zwischen 90° und 87° liegt. Ist IvA sm x oder Io§ trmA x gegeben und ergibt sich, daß x zwi¬ schen 0° und 3° liegt, so nehme man mit Rücksicht auf die Gleichungen IvA X" — 1oA SM X — 8 (x), UNd IoA x" — IvA tallA X — t (x) aus der Hilfstafel bezüglich die Hilfszahl s (x) oder t (x), welche zu dem gegebenen Logarithmus gehört, und subtrahire sie von diesem. Zu dem Reste, welcher der Logarithmus des in Secunden ausgedrücktcn Winkels ist, suche man aus der Tafel der Zahlenlogarithmen die zugehörige Zahl, welche Secunden bedeutet, und verwandle diese in Grade und Minuten. Z. B. IvA sm X — 8'63 475 — 10 8(x) --4'68 544 — 10 IvA x" ---3'94 931 x" — 8898'4" x" -^2° 28' 18'4" Ist IvA oot X, wo X zwischen 0° und 3° liegt, oder Ic>K oos X, IvA oot x oder io§ tau§ x, wo x zwischen 90° und 87° liegt, so setze man im ersten Falle IoF tanZ x — — IoZ oot x und bestimme daraus x; im zweiten Falle setze man bezüglich IoK bin (90° — x) -- loZ oos x, 1oK tanA (90° — x) -- IoA oot x, 1oK oot (90° — x) — IvA tanA x, suche dann den Winkel 90" — x, welcher zwischen 0° und 3° liegt, und zu diesem den Complementwinkel x. Suche zu folgenden Logarithmen die entsprechenden Winkel. 1) Io§ sm x — 9'49654 —10 2) 1oZ sm ^— 9'79358 — 10 3) IoA sm 2— 8'74109 —10 4) loZ sm ^— 9'99836—10 5) IoZ tauA « —10'13264— 10 6) lo^ tavA — 10'64570 —10 7) IoA tauA — 8'95629 —10 8) Ic>A tanK L — 8 - 47380 —10 9) IoA oos 0 — 8'49033 — 10 10) 1oA oos x — 9'17973 — 10 11) IoZ oos 9'97706 — 10 12) Io§ oos 2— 8'12544 — 10 13) Io§oot «---11'44266-10 14) Io§ oot ^^10'21671-10 15) 1oZ oot --- 8'90828 — 10 16) IoK oot .4. --12'44033 - 10 168 Zweiter Abschnitt. Die ebene Trigonometrie. I. Auflösung der ebenen Dreiecke. §. 233. Ein Dreieck auflösen heißt, aus denjenigen Bestand- stücken, welche ein Dreieck vollkommen bestimmen, die übrigen durch Rechnung finden. Dabei kommt es vor Allem darauf an, aus den Eigenschaften des Dreieckes Gleichungen abzuleiten, welche die Relationen zwischen den Seiten und den Functionen der Winkel enthalten; durch Auflösung dieser Gleichungen, welche sowohl die bestimmenden als die zu suchenden Be¬ standstücke des Dreieckes enthalten, findet man dann die gesuchten Größen. 1. Rechtwinklige Dreieckes Trigonometrische Lehrsätze überaus rechtwinklige Dreieck. 8- 231. Zur Auflösung eines rechtwinkligen Dreieckes müssen zwei Bestimmungsstücke gegeben sein. «Fig- 2io. Es sei Vas Dreieck ^.06 (Fig. 210) bei 6 rechtwinklig. Wir wollen hier und im Fol- genden die Katheten L 0 und 0 durch a und st, a die ihnen gegenüberliegenden Winkel durch « und A und die Hypotenuse L.L durch o bezeichnen. L-1 " 1. Nach der Erklärung des Sinus in 8- 218 ist — sin «, — »in daher a — o sin «, st — o 8in /); d. h. Jede Kathete ist gleich dem Produkte aus der Hypo¬ tenuse und dem Sinus des dieser Kathete gegenüber¬ liegenden Winkels. 2. Nach der Erklärung des Cosinus (ß. 218) ist Ä I) — — 008 A — 008 «; folglich Ä — 0 008 A st — 0 008 «; d. h. Jede Kathete ist gleich dem Products aus der Hypo¬ tenuse und dem Cosinus des dieser Kathete anliegenden Winkels. 169 3. Nach der Erklärung der Tangente (§. 218) ist — tanZ «, — tanK /3; daher a — b tanA «, 1» s tavK ; d. h. Jede Kathete ist gleich dem Producte aus der andern Kathete und der Tangente des der ersteren Kathete gegen¬ überliegenden Winkels. 4. Nach der Erklärung der Cotangente (Z. 218) ist — oot /3, — oot «; somit a — I> oot /3, k — a eot «; d. h. Jede Kathete ist gleich dem Producte aus der andern Kathete und der Cotangente des der ersteren Kathete an¬ liegenden Winkels. Zu diesen trigonometrischen Lehrsätzen tritt bei der Auflösung recht¬ winkliger Dreiecke noch der Pythagoräische Lehrsatz — s? -s- s,-, welcher den Zusammenhang zwischen allen drei Seiten ausdrückt. Zusatz. Zur Bestimmung des Flächeninhaltes hat man k - -- — 8IU « 008 « — SIU 2 «. 2 4 Z. 23S. Auflösungsfälle. I. Gegeben die beiden Katheten a und b. Aus a — i) tauA « — 5 oot /3 folgt tauA « — oot woraus sich die beiden Winkel « und /3 berechnen lassen. Zur Bestimmung der Hypotenuse hat man dann o — 1/° a -s- y oder o — . Es sei z. B. s — 325, b — 418. Aus tauA « — folgt los tauA « — lo^ a — 1c>A ir. Man hat also Ic>A A — 2'511 88 log b — 2'621 18 Ic>A tsus' « — 9 890 70 — 10 — Ic>^ tauZ 37" 51'54' «^37° 51'54" daher -- 52° 8' 6». 170 Aus v — erhält man dann sm « , Io§ 8, — 2'511 88 IvA sin « — 9'788 03 — 10 IvA o — 2'723 85 lo^ 529'48 e — 529'48, welcher Werth sich auch aus der Formel o — -s- b? ergibt. II. Gegeben die Hypotenuse o und eine Kathete a. Zur Bestimmung der gesuchten Stücke hat man ein « — 008 /S — und b — -s- u) (e — a) oder b — III. Gegeben eine Kathete a und ein Winkel, z. B. «. Zur Auflösung dienen die Formeln 90° - o -- b - —. sm « tauA « An ein Hausdach, welches 11-° hoch ist, soll eine Leiter angelehnt werden. Wenn nun diese höchstens einen Winkel von 80° gegen den Boden bilden darf, wie weit muß sie dann unten vom Hause abstehen, und wie lang muß sie mindestens sein? IV. Gegeben die Hypotenuse o und ein Winkel, z. B. «. Auflösungsgleichungen: O — 90° — «, r» — e «in «, 5 — v ov8 «. Nachstehende Tabelle bietet eine reiche Auswahl von Zahlenbeispielen über die Auflösung rechtwinkliger Dreiecke. tz. 236. Die Auflösung gleichschenkliger Dreiecke kann un¬ mittelbar auf die rechtwinkligen Dreiecke zurückgeführt werden. Jedes gleichschenklige Dreieck zerfällt durch die auf die Grundlinie senkrechte 171 Höhe in zwei congruente rechtwinklige, deren jedes durch die Bestimmungs- Mcke des gleichschenkligen Dreieckes unzweideutig bestimmt ist. F'g- Ist in dem gleichschenkligen Dreiecke A80(Fig.211)A8^A, AO-KO^b, 0O — b, Winkel A — 8 — A08 — und bezeichnet k den Flächeninhalt, so er¬ geben sich folgende Auflösungsgleichungen: K — 2b V08 tt --- 2b sill 8 .. s . oos « . 6 ' i i - E ü b — b 8IQ « — 008 ; „ _ d _b° sin 2 v-_ b° sin 1 — 1 — 2 2 ' Daten zu Zahlenbeispiclen über die Auflösung gleichschenkliger Dreiecke: 2. Schiefwinklige Dreiecke. Trigonometrische Lehrsätze über das schiefwinklige Dreieck. H. LZ7. 1. In jedem Dreiecke verhalten sich die Seiten so zu einander, wie die Sinus der diesen Seiten gegen- Winkel. Zieht man AO ^80 (Fig. 212), so ist in den rechtwinkligen Dreiecken AOO und AO8 A O — A 0 . oin 0 und A O — A 8 . oin 8; daher A 0 . sin 0 — A 8 .sill 8, oder wenn man hier und in dem Folgenden 86 — AO —b, A8 —o setzt und die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel durch a, /1, ausdrückt, überliegenden Fig. 212. 172 5 ein / — 6 siv /1, folglich 5: o — sin /3: sin /. Ebenso erhält man n: 5 — 8IN «: 81N A I ' ' ' ' g,: o — sin «: sin In diesen Ausdrücken ändert sich nichts, wenn einer der Winkel, z. B. /3 ein stumpfer ist, so daß die Senkrechte die Verlängerung von OL trifft; man erhält dann 5:o —8in(18O"—/3) :sin^—sill/Z-sin^. 2. In jedem Dreiecke verhält sich die Summe zweier Seiten zu ihrer Differenz, wie die Tangente der halben Summe der diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel zu der Tangente der halben Differenz derselben Winkel. Nach 1. ist 5:o — mn /?:8in daher auch (5 -j- o): (5 — o) — (ein -s- sin )-): (ein /3 — ein )>). Nun ist nach Z. 229, Formel 35 (ein -s- ein )-): (ein — ein — tanZ : tunA folglich (5 -s- o):(5 — o) — tan§ ^^:tnnZ 3. In jedem Dreiecke ist das Quadrat der einen Seite gleich d er Summe der Quadrate der beiden andern Seiten vermindert um das doppelte Product aus diesen beiden Seiten und dem Cosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. Zieht man (Fig. 212) L6, so ist LO — o.ooe^ und 6O — d.oos^, daher L I) -s- O O — o . 008 /1 -s- b.oos)/, oder A — 5.608 )/ -s- 6.608 /1. Ebenso erhält man 5 — L.608 )/ -s- 6.608 «, 6 — a. 608 /3 Z- 5.608 «. Multiplicirt man die erste dieser drei Gleichungen mit a, die zweite mit 5 und die dritte mit 6, so findet man s? — A 5.608 ), -s- a 0.608 /1, 5^ — u5.608 )- -j- 56.608 «, 6^ — N6.608 /3 -j- 56.608 «. Subtrahirt man nun von der ersten Gleichung die Summe der beiden letzteren, so erhält man s?— 5^ — — —25o.oo8«, oder — 5° Z- — 25o. 608 «. Ebenso folgt 5^ — Z- 6^ — 2 a o . 608 /1, l ' ' ' ' 6^ — -s- 52 — 2 a5.608 )/. 173 Fällt die Senkrechte Z-D außerhalb des Dreieckes, so ist dann ent¬ weder a — LO — Ov, oder a — OO — LO. In beiden Fällen er¬ hält man mit Berücksichtigung der Vorzeichen des Cosinus, wie oben, a — o 0O8 /3 -s- b LOS Die daraus abgeleiteten Gleichungen gelten demnach allgemein. Zusatz. Der Pythagoräische Lehrsatz ist nur ein besonderer Fall des Lehrsatzes 3; denn dieser gibt für / — 90", also Los,, — 0, die Gleichung — a" -j- k". Auflösungs fälle. ß. 238. I. Gegeben eine Seite rr und die beiden anlie¬ genden Winkel B und Man hat erstlich « — 180" — (/3 -s- /). Ferner ergeben sich aus !>:» — sin/3:sill« und — 8in^:siQ« die Gleichungen 1 Agio 6 . Ä8IHV b — und e — 81Q« Es sei z. B. » 453, /1 Man erhält « _ L8Ill^ Sill« IoA a — 2'65 610 IoK siu ^3 — 9'98 241 — 10 12'63 851 — 10 Io§ sin « — 9'98 930 — 10 loAd^ 2'64 921 6 --- 445-9 81Q o: -73° 48'12", ^----28°51'44". -77°2O' 4" L81Q V 6 — —-- 81H « loga— 2'65 610 IoA sio — 9'68 368 — 10 12 97 242 — 10 Io§ sill « — 9 98 930 — 10 loxL------ 2'98 312 o ----- 961'9. Wäre außer der Seite a ein anliegender Winkel /3 und der gegen¬ überliegende « gegeben, so würde man zuerst berechnen und dann wie vorhin verfahren. H. 23S. II. Gegeben zwei Seiten b und L, und der von ihnen eingeschlossene Winkel «. In diesem Falle wendet man zur Bestimmung der Winkel /3 und )- die Proportion (d -s- o) : (d - o) — : tanx an, aus welcher Z — v l> — e , -l-/ tLUA 2 folgt. Da /3 180° - « und ^----90° — ^ ist, so ist 174 F tavA — cotg 7" bekannt und es läßt sich mittelst der letzten Glei¬ chung bestimmen. Kennt man aber und so erhält man durch Addition und Subtraction derselben /Z und Die dritte Seite a findet man dann aus der Gleichung b sia « a — . 0 sm fi Aus b, L und « kann man unmittelbar auch den Flächeninhalt k des Dreieckes bestimmen. Ist nämlich OO I.^8 (Fig. 213), so hat man _ o.OO 2 > aber OO — b sin «, daher b o . t — i sin «; d. h. der Flächeninhalt eines Dreieckes ist gleich dem halben Producte aus zwei Seiten und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. Es sei z. B. l> 508, 0 -- 401 und « -- 84° 16' 30". Man hat folgende Rechnung: d -s- o — 909 b — 0 -- 107 — 95° 43'30" 47° 51'45" 7° 24'46" ^^55°16' 31" 7-- 40° 26'59" , — 7 b — e. -t- v IvA (b — 0) 2-02 938 1oZ tauA r — 10'04 347 — 10 12'07 285 — 10 los (6 0) 2-95 856 ioZ tuns — 9'11 429 — 10 7° 24' 46" §_ t> e los b 2-70 586 los ° 2-60 314 los sin « — 9'99 783 — 10 b sia « sill loA b^ 2-70 586 los sin « — 9 99 783 — 10 12 70 369 — 10 los sin /Z — 9'91 482 — 10 los a — 278887 614'9 5-30 683 los2 0-30 103 5-00 580 1 -- 101344. 175 2 bc b' e' — s' 608 « — -, 2 bv ' Woraus sich der Winkel « finden läßt. Diese Gleichung soll jedoch auf eine andere, für die logarithmische Berechnung geeignete Form gebracht werden. Subtrahirt und addirt man die Gleichungen 1 -- 1, b- o- - 008 tt — -—— ß. 24V. III. Gegeben zwei Seite» b und o, wo k > o, und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel Aus 5 : o — 8in /3 : 8i» 7 erhält man . e 8iQ 6 r- - —- Diese Formel gibt den Sinus von 7. Zu jedem Sinus gehören zwar zwei Winkel, ein spitzer und ein stumpfer; diese Unbestimmtheit fällt jedoch hier weg, da man weiß, daß d > 0, also auch > 7 ist, und somit 7 spitz sein muß, welchen Werth auch /S haben mag. Aus /3 und 7 erhält man dann « — 180° — -s- 7). Die Seite a findet man aus der Gleichung d siu o- siu ' Ist z. B. b -- 678-9, 0 --- 345'6 und /3 — 58° 47' 30°, so er¬ hält man durch Anwendung der obigen Formeln 7 — 25° 48' 37", daher « --- 95° 23' 53", ferner a --- 790'2. Wäre aber hier nebst d — 678'9 und 0 — 345'6 der der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel 7 — 25° 48' 37" gegeben, so erhielte man aus der Gleichung sin /3 — - /3 spitz oder stumpf sein kann, entweder/3 58° 47'30" oder /3121° 12'30", folglich « — 95° 23' 53" „ 32° 58'53". Aus a — würde sich dann entweder a — 790'2 oder a- 432'1 ergeben. Die Aufgabe ist in diesem Falle zweideutig. ß. 241. IV. Gegeben alle drei Seiten u, b und 0. Zur Bestimmung der Winkel könnte unmittelbar der L ehrsatz 3 in §. 237 angewendet werden; aus der Gleichung — t)2 -s- — 2 b 0 . 008 « folgt nämlich so erhält man 176 1 — 008 « _2 bo— b^ — — (b—c)? (a -^-b — o) (s— d-j-v) 2 b o 2bv 2de , oog _ 2 b e -^- b^ 4- — L°_ (b-j- v)^ — L?_ e-j-a) (b -j- c — ») 2 bo 2bo 2bo somit, da nach §. 227, Formel 24) und 23) « » /"l — oos « . « » /"l -4- evs « ... -2 s/ -2^ UNd 008 - lst, 8in — — 1/^ (» 4- b — e) <» — d -j- o) 2 s/ 4bo ' — I lb -s- ° -l- ») (b 4- ° — ») 00^ 2 ß/ 4bo Drückt man nun die halbe Summe der drei Seiten Ä, b, e durch s aus, setzt also L-s-b-s-e — 2s, folglich d -s- o — a — 2 (s — a), a — b -s- o — 2 (s — b), a -s- 6 — o — 2 (8 — o), so folgt und daher tanA " >/ 0 2 8 (s- s) Durch bloße Vertauschung der Buchstaben findet man ebenso E I/ 2 ae ' , ß I /"(s — a) (s — tanA-L--- In Bezug auf die Bedeutung 008 4 - 2 ab tuns o2 s (s — o) der Winkel , 2 , kann keine Unbestimmtheit eintreten, da sie als halbe Dreieckswinkel nothwendig spitz sein müssen. Am vortheilhaftesten ist es, in allen Fällen die Formel für die Tangente anzuwenden. Aus den gegebenen Seiten des Dreieckes läßt sich unmittelbar auch der Flächeninhalt berechnen. Es ist al) . ab V . o> I — . 81U . 2 81Q 608 woraus 1—^8 (8 — U) (8—6) (8 — 0) folgt, welchen Ausdruck wir schon in der Planimetrie (Fünfter Abschnitt, Rechnungsaufgabe 14) auf einem anderen Wege abgeleitet haben. 177 Es sei z. B. s -- 1244, i> 939, o 317. Man hat > a — 1244 « i /'(s — b) (s — o) d-- 939 tanA - -- j/ ° — 317 1o§ (s—d) 2 - 49 276 28 -- 2500 1oA (8 —<-) 2-96 988 8 — 1250 5-46 264 s — 6 IvA 8 — 3'09 691» Ä loA(s-u)--0'77 815/ b ° — 933 2/vM 758—20 lo^ —10'79 379—10 80° 52- 0" «—161° 44- 0" § — I (»->-) 7 __ I (s - -r) los (8 — «)— 0'77 815 IOK (8 — g.) — 0'77 815 Io-(8 — o)^- 2'96 988 Io§ (8 — b)-- 2'49 276 3'74 803^ 3'27 091 1c>A 8 — 3 09 6911 IoA 8 — 3'09 691) IoZ (8—.b) — 2'49 276» loK (8— o) — 2'96988) 18'15 836-20 17 20 412-20 IoA tLLK — 9'07 918—10 loKtariA^— 8'60 206-10 — 6° 50- 34" Z — 2° 17- 26-- /3-13° 41- 8-- 7---- 4° 34- 52" Um sich von der Richtigkeit der Rechnung zu überzeugen, darf man nur die für «, /3, / gefundenen Werthe addiren; ihre Summe beträgt 180°. Zur Bestimmung des Flächeninhaltes hat man 1 — s/8 (8 - S.) (8 - 6) (8 -v) IoA 8 — 3'09 691 loZ (s — u) ^ 0'77 815 loss (8 - d) rr- 2'49 276 loZ (8 — o) — 2'96 988 ^-33 770 1oA f---4'66 885 1 46650. Moönik, Geometrie sür LehrerbildungSanstalteu. 12 178 Zahlcndeifpicle Mr Berechnung schiefwinkliger Dreiecke. II. Anwendungen der ebenen Trigonometrie. Z. 242. Aufgaben aus der Planimetrie. 1. In einem Kreise (Fig. 214) ist der Halbmesser OA. — R, die Sehne A.L —s und ihr Abstand vom Mittelpunkte OL —r; aus einer dieser drei Größen und dem Centri¬ winkel AOL —« die beiden anderen zu berechnen. Aus dem rechtwinkligen Dreiecke A.00 erhält man, da AL — und Winkel AOL^ ist. 2. Aus der Seite eines regelmäßigen Vieleckes den Halbmesser des ein- und des umgeschriebenen Kreises zu finden. 179 Es sei (Fig. 214) AL —8 die Seite eines regelmäßigen useiti- gen Vieleckes, OK —r der Halbmesser des diesem Vielecke eingeschrie¬ benen, und OA —R der Halbmesser des ihm umgeschriebenen Kreises. Da der Centriwinkel AOL —ist, so folgt aus der Aufg. 1, b) ^öoot^- und -E 2 siu- u Wie groß ist der Flächeninhalt eines regelmäßigen s) Fünfeckes, b) Neun- eckes, o) Zwölfxckes, wenn eine Seite desselben 1-5, s. — 182m. e-A. 2. Die Höhe 6 eines Gegenstandes AL (Fig. 215), zu dessen Fußpunkte A man messen kann, zu bestimmen. Man messe von einem Punkte 0 aus die horizontale Strecke OA —a, und in 0 den Höhenwinkel AOK — «; dann ist 0 — a tauA «. 3. Die Höhe k eines Gegenstandes AL (Fig. 216), zu dessen Fußpunkte A man nicht messen kann, zu bestimmen. 12* 180 Man messe in einer durch 8 gehenden Berticalebene die Strecke OO —u als Standlinie, und in ihren Endpunkten die Höhenwinkel H.OL —« und ^.OL — /Z; dann ist Fig. 216. - ü — 8 0 . sin «, und 80 : OO — sin LOO : sin OLO, oder L 0 : u — sin B : sin — tt), daher 8 0--^^^-, und folglich sm (p — «) > 0 _ L siu ce siu sm — «) 4. Die Entfernung zweier Punkte auf dem Felde zu bestimmen, wenn sich die¬ selbe wegen eines dazwischen befindlichen Hindernisses nicht unmittelbar messen läßt. Es seien und 8 (Fig. 96) die beiden Punkte, zwischen welchen z. B. ein Wald, Teich, ... liegt, so daß eine unmittelbare Messung ihres Abstandes nicht stattfinden kann. Man messe von einem dritten Punkte 0 aus die Strecken 08 —s und 0^. —d, so wie den Winkel ^08 — «. Im Dreiecke ^LO sind dann zwei Seiten mit dem ein¬ geschlossenen Winkel bekannt, und kann aus denselben auch die dritte Seite ^8 berechnet werden. Es sei 68^54---, O^ —58m und LOS--65° 29"; wie groß ist ^8? 5. Die Entfernung zweier Punkte auf dem Felde zu be¬ stimmen, wenn man nur zu einem derselben kommen kann. Man wähle einen dritten Standpunkt 0 (Fig. 97), von dem man zu einem der beiden Punkte und 8 hin messen kann, und messe die Strecke ^.0 —n, so wie die Winkel 0 und Dann ergibt sich aus dem Dreieck ^80 . »sm.4 4> ———— ., ' sm (L. -s- 6) ^0--52w, 0 — 63° 15', Lu 57° 18'; wie groß ist LL? 6. Die Entfernung zweier Punkte auf dem Felde zu bestimmen, wenn man zu keinem derselben kommen kann. Es sei z. B. die Entfernung der beiden Bäume und 8 (Fig. 98), welche sich jenseits eines Flusses befinden, zu bestimmen. Man wähle zwei Standpunkte 0 und O, messe die Standlinie OO — n und an ihren Endpunkten die Winkel ^.OL —m, ^OO — n, OO^. — p und 0O8 — ist, ergibt sich r' — r oos y> und ä — r sir» qp. hat der Parallelkreis von Wien in der geogr. Breite von 48" 12'35"?"(Halbmesser der Erde — 858'474 geogr. Meilen). Bei welcher geogr. Breite beträgt ein Grad des Parallelkreises 8 623 geogr. Meilen? Bestimme die Höhe a) der halben heißen Zone, b) der gemäßigten Zone, o) der kalten Zone der Erde, wenn man den Erdhalbmesser r — 858-474 geogr. Meilen und

, b, ... auf; in diesen Punkten er¬ richtet man Senkrechte, und trägt darauf die Ordinaten gehörig auf. Endlich braucht man nur zwischen den dadurch erhaltenen Punkten die entsprechenden Linien zu ziehen. Man pflöcke zuerst die Figur aus, und stecke durch die entferntesten Eckpunkte .4 und 8 (Fig. 224) eine Gerade als Abscissenlinie ab, Aus Fig. 224. — ....... Die Flächenberechnung wird nach Z. 75, d) vorgenommen. o) Durch das Einschließen der Figur. Wenn sich im Innern der aufzunehmenden Figur Hindernisse der Messung befinden, so sind die zwei eben angegebenen Methoden nicht anwendbar. In diesem Falle führt folgendes Verfahren zum Ziele. Es sei z. B. ein Teich (Fig. 225) aufzunehmen. Man umgebe die Figur mit mehreren gegen einander geneigten Abscissenliuien, die zusammen ein Fig. 2SS. Vieleck ^.8088 bilden, und fälle ans dieselben von allen Biegungspunkten Senk¬ rechte; man messe dieAbscissentheile und die Ordinaten, und nehme zugleich die Winkel, welche die einzelnen Abscissenlinien mit ein- ander bilden, nach dem oben unter II. 8, b angegebenen Verfahren auf. Dann zieht man auf dem Papiere eine Gerade, und trägt darauf die Theile der Abscissenlinie L.8 verjüngt auf; im Endpunkte 8 con- struirt man einen Winkel, welcher so groß ist als der Winkel 8 auf dem Felde, und trägt auf den neuen Schenkel die Stücke der Abscissenlinie 80 aus, u. s- w. Hierauf errichtet man in den einzelnen Punkten der llb- scissenlinien Senkrechte, und trägt darauf die entsprechenden Ordinaten auf. Werden nun die dadurch erhaltenen Punkte mit freier Hand gehörig verbunden, so hat man die verlangte Zeichnung des Teiches. 188 2. Aufnahme einer Fläche auf dem Felde mit dem Winkelmesser. u) Aus der Mitte. Fig. 226. Es soll die Figur L O v L L (Fig. 226), in deren Innern man nach allen Seiten gerade Linien messen kann, ausgenommen werden. Man stelle den Winkelmesser beiläufig in der Mitte 0 der Figur auf, messe die Winkel LOO, OOO, .. und die Strecken O^, O ö, 00,.... Construirt man dann auf dem Papiere um einen Punkt o die gemessenen Winkel und trägt auf ihren Schenkeln die gemessenen Strecken nach einem verjüngten Maßstabe von o bis a, 6, o, ... auf, so haben diese Punkte auf dem Papiere dieselbe Lage gegen einander, wie die gleichnamigen Punkte L, 0, ... auf dem Felde. b) Aus zwei Standpunkten. Man wähle zwei solche Standpunkte Ll und 17 (Fig. 227), daß man zwischen ihnen unmittelbar messen und aus denselben nach allen Eckpunkten der Figur sehen kann. Fig. 227. Man messe zuerst die Standlinie LI17, dann stelle man den Winkelmesser über den einen Standpunkt Ll auf und bestimme die Winkel 17 NL, 17NL, «NO,... Hier¬ auf übertrage man den Winkelmesser auf den andern Standpunkt 17 und messe da¬ selbst die Winkel N17 MI7L, N170, .. Construirt man nun auf dem Papiere die Standlinie nach einem verjüngten Ma߬ stabe und trägt in ihren Endpunkten ra und u die gemessenen Winkel in der Ord¬ nung auf, so erhält man durch den Durch¬ schnitt der entsprechenden Schenkel die Punkte u, i), o, . . . und durch deren Verbindung die Figur «.docksC, welche derjenigen ^LOOLI? auf dem Felde ähnlich ist. Als Standpunkte können nach Umständen auch zwei Eckpunkte der Figur gewählt werden. v) Aus dem Umfange. Es sei ^LOOLI? (Fig. 226) ein Wald, so daß man im Innern desselben nicht unmittelbar messen kann. Man messe alle Umfangslinien LO, OO, ... und alle Umfangswinkel L, 0,. . . Sodann trage man auf dem Papiere zuerst Ü verjüngt von u bis i> aus, im Endpunkte b construire man den Winkel i> — L; auf dem neuen Schenkel trage man L 0 verjüngt von d bis o auf, construire in o den Winkel o — 0, u. s. s. Die so erhaltene Figur ist derjenigen auf dem Felde ähnlich. cosiss 1^ U^IV^!?H7^7^ s SSSS84S8173