i i “Legisa” — 2020/8/17 — 7:19 — page 62 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Oscar E. Fernandez, The Calculus of Happiness, How a Mathe- matical Approach to Life Adds Up to Health, Wealth, and Love, Princeton University Press, Princeton in Oxford 2017, 159 str. Avtor je izredni profesor na Wellesley College v ZDA. Raziskovalno deluje na področjih mehanike in topologije. Naslov knjige spominja na oglasno sporočilo. Knjiga je sicer zelo čitljiva, napisana korektno in vsebuje čisto pa- metne nasvete. Številne med njimi že vsaj približno poznamo. Knjiga te na- svete poveže ali skuša povezati z mate- matiko. Ima tudi bibliografijo, ki z znan- stveno in strokovno literaturo podpira avtorjeve trditve. Matematika je veči- noma srednješolska. Avtor, ki skuša za- dostiti širši publiki, na začetku razlaga tudi take stvari, kot je linearna funkcija. Lahko bi rekli, da je v knjigi nekaj re- petitorija srednješolske snovi. Kasneje je nivo podoben ali malo vǐsji od revije Presek. Računi na tem elementarnem nivoju so lepo razloženi v posebnem razdelku na koncu knjige. Tam sem našel le dva minimalna spodrsljaja. Verjetno bi del snovi bil zanimiv za popestritev srednješolske matematike. Knjiga začne s prehrano in vadbo. Prvo poglavje nosi naslov: Koliko kalorij naj bi pojedli vsak dan?. Telo potrebuje hrano tudi takrat, ko poči- vamo. Avtor pravi, da se je za oceno teh osnovnih potreb najbolj uveljavila enačba iz leta 1990, imenovana enačba Mifflin-St Jeor po avtorjih. Po Wi- kipediji ta osnovna dnevna poraba znaša naslednje število kilokalorij: P = 10m + 6,25h− 5a + s. Tu je m masa v kilogramih, h vǐsina v centimetrih in a starost v letih. Parameter s je 5 za moške in −161 za ženske. 62 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 i i “Legisa” — 2020/8/17 — 7:19 — page 63 — #2 i i i i i i The Calculus of Happiness Koliko je maksimalni srčni utrip, ki ga zdravi ljudje lahko ohranjajo ob dalǰsi telesni aktivnosti? Včasih je veljala groba formula 220 − a, kjer je a starost. Noveǰsi eksperimenti pravijo, da naj bi bila bolǰsa formula 192 − 0,007a2. Stara preprosteǰsa formula očitno daje prevelike vrednosti za mlade ljudi (in nekoliko premajhne za stare). Podanih je še več podobnih formul za porabo energije pri telesni aktivnosti itd. Vsako poglavje se zaključi z matematičnim povzetkom, nematematičnim povzetkom in bonusom: praktičnimi nasveti. Podobno kot pri naslovih avtor torej tudi pri tem uporablja preizkušene in še zmeraj učinkovite amerǐske prodajne metode. Drugo poglavje se ukvarja s hrano in problemom debelosti. Če smo predebeli, se v povprečju naša življenjska doba skraǰsa. To še posebej velja za moške (in za mlaǰse osebe, ki bi sicer pred sabo imele še veliko let). Pri nas je popularno merilo za debelost indeks telesne mase (ITM), ki ga izračunamo po formuli ITM = m v2 , kjer je m masa v kg in v vǐsina v metrih. Avtor pledira, da je bolǰse merilo število r, ki je obseg pasu, deljen z vǐsino. Po priporočilu v knjigi naj bi si vsi prizadevali, da je r čim bliže 0,5. Pri tem se avtor sklicuje na članek [1], ki sloni na britanskih statističnih podatkih. Impresivni stolpični diagrami v članku, ki je prosto dostopen, kažejo število izgubljenih let za precej gost nabor vrednosti za r in za ITM. Iz diagramov hitro vidimo, da je, ne glede na starost, za moške optimalen ITM med 21 in 24, razmerje r pa med 0,46 in 0,54. Za ženske je optimalni ITM vǐsji, med 23 in 29, optimalno razmerje r pa je med 0,38 in 0,54. Ti podatki se zdijo na prvi pogled nekoliko protislovni. Vendar se moškim, za razliko od žensk, odvečna maščoba navadno nalaga prav okrog pasu, kar škodi delovanju notranjih organov. V obravnavani knjigi so narisani kar grafi za število izgubljenih let kot funkcija parametra r, za starosti 30, 50 in 70 let, vendar le za r ≥ 0,5. Fernandez trdi, da te grafe lahko dobro aproksimiramo s kubičnimi polinomi spremenljivke r. Koeficiente teh prav nič lepih polinomov daje na 5 mest! (Ta pretirana natančnost je gotovo zasluga kakega i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi pro tokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri štude ti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 bes fit i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na original i sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približk nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstrui ati. Na tipičn sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenj a matrika Q obi- čajno sliko stisne za f ktor p ibližno 7. Matriki, v kateri je v čina elem ntov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma r zpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nast vitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elem nti, velikosti recimo od 1 do 6. To p meni ižjo k mpresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo p d 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elem nt r cimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno imajo zelo d bre loč jivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elem nti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli s ke to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogr mno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko pre oznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko t sicer. (Slika z ogr mno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa l hko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanj travnik sprem ni v zeleno plundro. JPEG tudi n ajbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo f rmat PNG. Za zvok je nast l na podlagi JPEG priljubljeni, za daj še paten irani format MP3. Omogoča stiskanje v različn h kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prost kodni form t (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študen i a izp tih rǐsejo grafe fun cij »po t čkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče v lik raz ed funkcij po ln ma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, i ga ni težko d kazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zve na in naj bo nje a Fourie ova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L, ], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz 64 (2017) 2 programa.) Ko Obzo nik mat. fiz. 67 (2020) 2 63 i i “Legisa” — 2020/8/17 — 7:19 — page 64 — #3 i i i i i i Nove knjige narǐsemo graf enega od teh polinomov iz knjige in to primerjamo s podatki v članku, je jasno, da je Fernandez to aproksimacijo naredil le za r ≥ 0,5. Njegova aproksimacija je za r < 0,5 povsem napačna. Skratka, ta uporaba polinomov je neprepričljiva. Res pa je, da če smo presuhi, naj bi to po članku [1] pri moških skraǰsalo življenjsko dobo za največ dve leti, pri ženskah pa za manj kot eno leto. Avtorjeva omejitev na r ≥ 0,5 je tako deloma razumljiva. Naslednje poglavje je Matematikov vodič po upravljanju z denarjem. Tu obravnava obrestno-obrestni račun, logaritme, zmanǰsevanje dolgov itd. Že zdrava pamet pove, da moramo najprej odplačati posojilo z največjo obre- stno mero. Tu so še strategije vlaganja, ki pa so uporabne bolj za amerǐske razmere. Zadnje poglavje prodaja matematiko kot sredstvo, s katerim najdemo ljubezen in formiramo stabilne pare. Tu je seveda i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za ko presijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti n izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 najbolǰsa “Legisa-vesti” 2017/6/30 9:01 page 70 #3 Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. atriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. anǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format P3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresij zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. zorčenje in digitalizacija Nekateri študenti n izpitih rǐsejo graf funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 strategija za iska je partnerj v, pa metode organiz ranj zmenkov itd. Partnerstv prikaže celo kot dinamični sistem in to poveže z Nashevim ravnovesjem. Dinamični sistemi so seveda vǐsji nivo, a so razloženi zelo poljudno. Knjiga opǐse še raziskavo, ki sta jo leta 1999 na 130 parih novoporo- čencev naredila psihologa John Gottman in Catherine Swanson. Petnajst minut sta snemala razgovor para o žgočih temah, kot je politika. Iz tega naj bi z več kot 90-odstotno zanesljivostjo ugotovila, kateri zakoni se bodo obdržali. Fernandez tudi to poveže z dinamičnimi sistemi. Če je vsak od obeh zakoncev že pri manǰsih stvareh, ki mu niso bile všeč, dal to vedeti drugemu, je bil to dober obet za stabilen zakon. Seveda pa mora biti reak- cija spoštljiva, premǐsljena in ne bliskovita. Zavijanje z očmi ob partnerjevih izjavah ali tiho nalaganje zamer ne prispevajo k trdnosti zveze. Fernandez malo dvomi, da sta bila psihologa tako silno uspešna v napovedih. Vzorec je bil tudi sorazmerno majhen. Ampak ugotovitve se zdijo blizu resnici. LITERATURA [1] M. Ashwell, L. Mayhew, J. Richardson in B. Rickayzen, Waist-to-Height Ra- tio Is More Predictive of Years of Life Lost than Body Mass Index, PLoS One 9(9), 8. sep. 2014, dostopno na journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/ journal.pone.0103483n, ogled 6. 8. 2020. Peter Legǐsa 64 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2