S68 Acta Chim. Slov. 2006, 53, Supplement Začetki kristalografije v Ljubljani Dr. Stanislav Južnič, univ. dipl. ing. fizike Email: stanislav.juznic-1@ou.edu & stanislav.juznic@fmf.uni-lj.si Povzetek Ob 170 letnici prvih objav opisujemo raziskovanja kristalnih simetrij ljubljanskega profesorja matematike in astronomije Karla Schulza pl. Strassnitzkega. Doslej niso bili znani njegovi prispevki k začetkom sodobne kristalogafije v naših krajih, ki jih tu prvič predstavljamo slovenskemu bralcu. Ključne besede: Karel Schulz pl. Strassnitzki, zgodovina kristalografije, Ljubljana 1. Uvod Balthasar Hacquet je začel raziskovati kristale v Idriji in v Ljubljani. Njegovo delo je na bolj teoretični ravni nadaljeval drugi ljubljanski profesor – Poljak Karl Schulz pl. Strassnitzki. 2. Začetki kristalografije v Ljubljani 2.1. Pouk o sestavi snovi na višjih študijih v Ljubljani Po slovesnem odprtju 4. 11. 1704 so na jezuitskem kolegiju v Ljubljani začeli predavati fiziko na višjih filozofskih študijih, ki so jih dijaki obiskovali po končanih nižjih študijih na »gimnaziji«. Po ukazu Marije Terezije, podpisanem 25. 6. 1752, in splošnih predpisih iz leta 1753, so v višjem dveletnem študijskem programu v Ljubljani predavali trije profesorji na katedrah za matematiko, splošno in posebno (eksperimentalno) fiziko ter filozofijo. V prvem letniku so poučevali logiko, metafiziko in matematiko, v drugem pa etiko, splošno in posebno (eksperimentalno) fiziko, mineralogijo, botaniko in zoologijo. S tem je cesarica nekoliko omilila odlok ustanovitelja Družbe sv. Ignacija Loyole o prepovedi pouka medicine v jezuitskih kolegijih, ki je stoletja oviral pouk naravoslovja in z njim mineralogije. Minerale in tekočine so zato v jezuitskih šolah pred terezianskimi reformami omenjali predvsem v uvodnih poglavjih fizike agregatnih stanj. Optične lastnosti snovi so obravnavali ob koncu pouka fizike v komentarjih k Aristotelovim knjigam De generatione et corruptione in De mundo et caelo. Posebna vrsta jezuitskih zapisov o kristalih so bili teksti s kuharskimi in kemijskimi navodili, ki so pogosto vsebovali celo opise mineralov. Leta 1754 je profesor fizike Erberg za višje študije v Ljubljani ponatisnil latinski prevod četrt stoletja stare knjige o magnetizmu Nizozemca Musschenbroeka. V knjigo so Erbergovi študentje dodali še teze za izpit. Pri izpitnih vprašanjih je Erberg trdne snovi razdelil v štiri razrede: kalcit in druge kristalne snovi, mavci, stekla in gline. Razlikoval je med polkovinami in kovinami.1 Istega leta je Erberg za knjižnico ljubljanskega kolegija nabavil še številna druga Musschenbroekova dela. Musschenbroek še ni vedel, da se kristal ne stali zaradi dovedene toplote. Taljenje naj bi povzročali delci atmosfere, ki se zmešajo s kristali in sprožijo neko vrsto fermentacije in z njo odvlečejo ogenj (toploto) v pore.2 Večina Musschenbroekovih sodobnikov je osnove kristalografije spoznala med študijem medicine. Zato so radi poudarjali podobnost med fermentacijo in življenjskimi procesi, ki jo najdemo celo v Boškovićevem delu. Naslednje leto je Erberg poleg naprav za demonstracijo zakonov geometrijske optike predlagal za nabavo še štiri mikroskope ter prizme in stožce. Številni mikroskopi kažejo Erbergovo zanimanje za preučevanje očesu nevidnih podrobnosti, ki so v naslednjih letih postale temelj Hacquetovih uspehov. Tricarico je leta 1757 poučeval fiziko na višjih študijih v Ljubljani. Leta 1756 so v Ljubljani nabavili Regnaultovo fiziko, ki jo je Tricarico leto poprej dal natisniti v nemškem jeziku ob svojih izpitnih tezah v Gradcu. Regnault je svoje delo razdelil v sedemnajst dvogovorov, med katerimi je drugi imel naslov »Zemlja in minerali«. Ljubljanski profesor fizike na višjih študijih, Taufferer, je dal leta 1760 ob svojih izpitnih tezah natisniti še prevod 35 let stare knjige o meteorologiji Boškovićevega prijatelja de Mairana. Že leta 1758 so Društvene vesti in druge aktivnosti Acta Chim. Slov. 2006, 53, Supplement S69 v Ljubljani nabavili šest let starejši nemški prevod de Mairanove knjige o ledu. Med svojimi predhodniki pri raziskovanju snežink je de Mairan omenil E. Bartholina.3 V drugem delu knjige je opisal glavne pojavne oblike ledu. Za tiskanim delom knjige je dal vpeti še pet slik: 1) Oblike ivja in ledu; 2) Različne kristalne oblike: krogle, kvadrati, snežinke; 3) Oblike snežink; 4) Geometrijska ponazoritev tvorbe ledenih oblik; 5) Model vrtinca. De Mairan je bil prvi znanstveni opazovalec tvorbe ledu, ki ga je povezoval celo s severnim sijem. Raziskoval je meteorologijo in kristalografijo, ki sta se v sodobni smeri razvili šele v 19. stoletju. De Mairanove ideje je Taufferer uporabil v svojih izpitnih tezah, ki jih je dal vezati ob prevod de Mairanove knjige. Po Tauffererjevem mnenju vse gore niso nastale z vesoljnim potopom, ampak so večinoma enako stare kot Zemlja. Izviri dobijo vodo od dežja, staljenega snega in celo od podzemnih hlapov. Podzemni minerali naj bi nastali iz toka raznih kovin, polkovin in tekočin, katerih molekule naj bi se izločale in mešale zaradi toplote podzemnih ognjev ob izbruhih lave. Kovin ni imel za kemijske elemente, temveč za zmesi nastale pod vplivom podzemnega ognja, večinoma že ob nastanku sveta. Alkimijo je odklanjal kot nenaravno, nemogočo in moralno nedopustno. Tedanji “kemijski element” in “molekula” nista bila enaka poznejšim idejam Francoza Lavoisierja, ki je prvi objavil tabelo “33 enostavnih tvarin”, med njimi sedemnajstih kovin. Spojine v kamninah si je Taufferer predstavljal kot zmesi molekul zemlje in sokov, ki jih odnaša voda in se strdijo zaradi odvedene toplote. Zapisal je, da kamnine nastajajo s pomočjo toplote iz molekul Zemlje in iz sokov, ki jih spira voda. Slanost in grenkost morja je pripisal spiranju soli v nižjih delih obal, podmorskim izvirom bitumna, delcem žvepla, itd. Vzrok plime in oseke naj bi bilo bruhanje in ponovno vračanje vode v podmorske ponore4 in ne gravitacija Lune in Sonca po Newtonovi teoriji. V 1760ih letih je pri pouku v Ljubljani prevladala Boškovićeva fizika. Bošković je opisal trdne snovi, sestavljene iz piramid in prizem s trikotno ali kvadratno osnovo. Posebej je omenil delce soli, ledu in »zvezde snega«. Razlikoval je tri vrste fluidov: praškaste delce, kapljevine in pline. Vključitev praškastih delcev med fluide je bila nadvse preroška, saj njihovo posebno naravo znova odkrivamo šele sodobni fiziki. Snovi so tem bolj fluidne, čim bolj okrogli so njihovi sestavni deli. Osnovni delci v obliki paralelopipedov in drugih površin neenakomernih oblik povzročajo čvrstost, značilno za trdne snovi.5 Bošković ni šel tako daleč kot Platon, pol stoletja po Boškoviću pa Haüy. Tako geometrijskih likov ni neposredno povezal s posameznimi vrstami kristalov. V rokopisu o Platonovih krogih je Pirančan Giuseppe Tartini malo pred smrtjo razmerja v glasbi povezal s Platonovimi petimi pravilnimi liki med njimi predvsem s pentagonom. Upošteval je tri Platonove principe: naravo celote, naravo različnosti in substanco.6 Ljubljanski profesor matematike Janez Schöttl je v svojih predavanjih na dunajskem Terezijanišču leta 1763 kamne delil med kamnine, minerale in fosile. Kamnine je delil naprej v kemijske elemente raznih vrst. Nasprotno od Lavoisierja, med kemijske elemente ni štel breztežnih delcev (imponderablov) svetlobe, toplote in elektrike.7 Učenci ljubljanskega profesorja splošne in posebne fizike Gregorja Schöttla so morali na izpitu povedati tudi: »Katere vrste teles topi voda? Ali je vodo mogoče pretvoriti v zemljo? Katere so lastnosti zemlje?«8 Ker so z nazivi zemlja in voda označevali sodobno trdo in kapljevinsko agregatno stanje, so študentje ob teh vprašanjih morali razmišljati celo o faznih prehodih in o raztopinah. Naslednje leto so študentje opisali homogeno kristalno strukturo9 in z razlikami v strukturi pojasnjevali optične lastnosti snovi: »Presojna telesa nimajo v vseh delih pravilno postavljenih por; vendar se tkivo teles ponavlja, zato se sile, ko vplivajo na svetlobo, kažejo kot homogene.« V zapisu o ponavljajočem se tkivu teles najdemo zametke poznejše ideje kristalne mreže. Poleg Hacqueta je največ kristalografskih del med ljubljanskimi profesorji objavil jezuit Biwald. Vendar sta oba objavljala o kristalih predvsem po odhodu iz Ljubljane, Hacquet v Galiciji, Biwald pa v Gradcu. V Gradcu se je Biwald zanimal še za botaniko; zato je prijateljeval in si dopisoval z Linnéjem in z jezuitom Wulfnom iz Celovca, prvim predavateljem Newtonove fizike v Ljubljani. Leta 1764 je Biwald v Gradcu ob svojih izpitnih tezah ponatisnil izbor iz Linnéjevih del o sistematizaciji vrst. Leta 1771 je Biwald prevedel iz francoščine v nemščino poročilo profesorja fizike Aepinusa pri Peterburški akademiji o podobnosti med električno in magnetno silo. Poročilo je bilo del razprave o novih poskusih z električnostjo turmalina iz leta 1756. Pri tem je znova odkril piroelektričnost, ki so jo sicer poznali že v antiki. Pojav piezoelektričnosti pri islandskem dvolomcu je Haüy leta 1817 pojasnil s sestavo določenih vrst kristalov, kjer segrevanje povzroči neenakomerno porazdelitev elektrike. Piroelektričnost je leta 1824 že tretjič (sic!) odkril Brewster, leta 1888 pa sta jo znova raziskala brata Jacques in Pierre Curie, za njima pa še Lippman.10 Napetost, s katero deformiramo kristal turmalina, povzroči polarizacijo in z njo električno napetost. Pojav opazimo pri kristalih, ki nimajo središča Društvene vesti in druge aktivnosti S70 Acta Chim. Slov. 2006, 53, Supplement simetrije. To lastnost turmalina še danes uporabljamo v radiotehniki. Leta 1771 je Biwald svoje teze ponatisnil še ob prevod razprave člana londonske Kraljeve družbe Williama Lewisa, avtorja pomembnih knjig o kemiji. Biwald je teorijo leda in zmrzovanja povzel po de Mairanu.11 Dve leti pozneje je iz francoščine v nemščino prevedel trinajsti zvezek glasila berlinske akademije. Vseboval je poskuse s platino, ki so jo v Evropi spoznali po odkritju Amerike, vendar je sprva niso sprejeli med posebne kovine. Prvi je njene kovinske lastnosti opisal J. Scaliger leta 1557, za njim pa še Anton de Ulloa leta 1748, londonski zdravnik Sir William Watson leta 1750 in švedski kemik Heinrich Teophile Scheffer leta 1752. Leta 1777 je razpravo o platini objavil celo tedanji ljubljanski profesor Hacquet. Leta 1777 je Biwald svoje izpitne teze vezal v Braunichovo dve leti starejšo izboljšavo Cronstedtove razvrstitve mineralov z upoštevanjem kemijske sestave. Šved Cronstedt je bil sin visokega častnika, podobno kot šest let mlajši Wulfen. Cronstedt je s pihalnikom dvigoval temperaturo ognja in iz barve ter iz izparin kristala ugotavljal lastnosti kristala. Njegova razvrstitev mineralov glede na kemijsko sestavo je prvič izšla leta 1758, skoraj dve desetletji pred Biwaldovim ponatisom. 2.2. Preučevanje mineralov na rudarskih šolah Prvi načrt za ustanovitev politehnične šole za metalurgijo utemeljene na kemijskih vedah je bil sestavljen za jezuitski kolegij v Cluju (ogrsko Kolozsvár) v Transilvaniji leta 1762 in je vplival celo na pariško L’Éçole Centrale des Travaux Publics, prednico L’Éçole Polytechinique. Vendar je kemijska metalurška šola v Cluju zaradi prevelikih oddaljenosti od središč monarhije začela delovati šele leta 1792 pod vodstvom domačina saškega rodu, Françoisa Mülerja, in transilvanijskega zdravnika Luksemburžana André Étienna. Zavod je prerasel v univerzo leta 1872. Müler je študiral v Schemnitzu in zaslovel z odkritjem telurja, sprva nazorno imenovanim Metallum problematicum.12 Ob Idriji je bilo mesto Schemnitz (latinsko Schemnitzium, ogrsko Selmecbánya, slovaško Banská Štiavnica v habsburški severni Ogrski, 100 km severno od Budimpešte v današnji Slovaški) med najpomembnejšimi rudarskimi središči v habsburški monarhiji. Že od leta 1735 je v Schemnitzu delovala rudarska šola. 2.3. Zbirke in naprave za preučevanje kristalov v Ljubljani Erberg v popisu nabav leta 1755 ni naštel mineralov. Po letu 1773 so pri pouku gotovo uporabljali Hacquetove mineraloške, geološke in druge zbirke, ki si jih je uredil na liceju. Hacquetove zbirke so si ogledovali mnogi pomembni sodobniki: poznejši ruski car Pavel I. leta 1782, nadvojvodinja Marijana, papež Pij VI. in cesar Jožef II. leta 1784. Zbirke je Hacquet pozneje odnesel s seboj v Galicijo in končno prodal univerzi v Krakovu.13 Hacquet je bil Scopolijev sodelavec kot rudniški kirurg v Idriji med letoma 1766 in 1773 in nato do leta 1787 profesor anatomije, fiziologije, kirurgije in porodništva na ljubljanskem liceju. Objavil je številna mineraloška dela, med drugim o Idriji. V začetku 19. stoletja so imeli v kemijskem in fizikalnem kabinetu v Ljubljani med »kemijskimi objekti« že skoraj sto mineralov. Popisali so še dva mikroskopa med napravami za »optiko in astronomijo«. Wollaston je leta 1809 izumil kontaktni optični goniometer za natančno merjenje kotov na kristalu.14 Romé de l’Isle in Britanec Miller (1874) sta idejo dopolnila. Izum je rodil znanstveno kristalografijo na matematičnih temeljih, saj je omogočil povezovanje kemijske sestave kristala s koti med njegovimi ploskvami. Bobinet je goniometru dodal še daljnogled za podrobnejša opazovanja najmanjših kristalov. Leta 1828 je Škot Nicol izumil po njem imenovano polarizacijsko prizmo uporabno za polarizacijske mikroskope. Preglednica 1: Naprave za kristalografijo na gimnazijah v Ljubljani in Kopru15 Nabava Kraj Naprava Cena (Fl:kr) Izdelovalec Inventarna številka 1845 Ljubljana Baumgartnerjev polarizacijski aparat 54:60 Hanaczik 1847/169, 1866/12 1858 Ljubljana Nörrenbergov polarizacijski aparat 77:79 1866/35 1868 Koper 55:0 1868/261 1857 Ljubljana Turmalinske klešče 8:40 1857/168, 1866/11 1866 Ljubljana 8:40 1866/36 1864 Koper 1864/160-b6 1858 Koper Romboeder iz islandskega dvolomca 1858/85-33 1869 Koper Dva islandska dvolomca 1869/266 1845 Ljubljana Ročni goniometer (na odboj, Baumgartnerjev) 33:60 Hanaczik 1847/163, 1866/6 1847 Ljubljana 1847/171 Društvene vesti in druge aktivnosti Acta Chim. Slov. 2006, 53, Supplement S71 Srednješolcem so med poukom kazali številne mikroskope, tudi takšne s projekcijskimi aparati in »mikrofotografskimi objekti«. Najdražja je bil Nörrenbergova polarizacijska naprava iz leta 1839 z Nicolovo prizmo kot analizatorjem. Ljubljančani so dodali še sedem kristalov, stekleno kocko, stiskalnico iz stekla in pet steklenih podstavkov, ki jih je bilo mogoče ohlajati. Z Nörrenbergovo ali Baumgartnerjevo napravo je bilo mogoče ponoviti večino polarizacijskih poskusov.16 3. Schulzovi poligoni v kristalografiji Po Tržačanu Josephu Rethu je postal Schulz pl. Strassnitzki profesor matematike v Ljubljani za sedem let od leta 1827 do 1834. Njegova najboljša študenta sta bila Močnik in Peternel. Pred reformo je predaval po sedem ur matematike na teden v nemškem jeziku po Appeltauerjevem učbeniku teoretične (čiste) matematike, ki so ga uporabljali še drugod po monarhiji, med drugim na univerzah v Schulzovi rodni Galiciji in v Olomucu, kjer je pozneje predaval Schulzov učenec Močnik. Leta 1827 je dobil Karl Schulz istočasno ponudbo z licejev v Ljubljani in v Salzburgu. Vendar so na katedro v Salzburg raje povabili tamkajšnjega asistenta Adama Burga, Schulz pa je dne 13. 6. 1827 odšel v Ljubljano. Profesor Jenko mu je mestece ob Ljubljanici gotovo prijazno opisal. Prva tri leta je bil Schulz ljubljanski adjunkt in suplent, nato pa profesor. Imel je še dodatni dveletni tečaj iz višje matematike in enoletni tečaj iz poljudne astronomije. Kljub razmeroma kratkemu bivanju v beli Ljubljani se je Schulz pl. Strassnitzki povsem prilagodil našim lokalnim razmeram in se celo včlanil v Kranjsko kmetijsko družbo. Stanoval je v Ljubljani na Poljanah (Polan) št. 23.17 Med Schulzovimi sodelavci na liceju v Ljubljani je bil njegov poljski rojak Hlubek, ki je predaval prirodoslovje in kmetijstvo od leta 1833 do leta 1840. Hlubek je od leta 1822 do 1824 študiral filozofijo v Brnu, nato pa matematiko, kemijo, kmetijstvo in pravo na dunajski univerzi. Sodeloval je v naših gospodarskih časopisih. Uveljavil se je kot eden zadnjih nasprotnikov Liebigove kemije, ki jo je kmalu po odhodu iz Ljubljane ostro kritiziral v knjigi iz leta 1842. Upravljal je poskusni dvorec Kranjske kmetijske družbe. Bil je član glavnega odbora kmetijske družbe, urednik glasila kmetijske družbe in koledarja. Po odhodu iz Ljubljane je postal profesor Joanneuma v Gradcu. Leta 1791 so reformirali avstrijske gimnazije tako, da v nižjih letnikih niso več poučevali celotne matematike, temveč le aritmetiko brez geometrije in algebre. Šele v višjih humanitetnih razredih so predavali geometrijo. Po letu 1806 so obdržali triletni licej le kraji z univerzo; Gradec je dobil triletni licej leta 1813, vendar so ga leta 1824 znova ukinili. Prav ob prihodu Schulza SLIKA 1 (Hlubek1842naslovnica): Naslovnica Hlubekove knjige objavljene takoj po odhodu iz Ljubljane (F.K. Hlubek, Beleuchtung des Herrn Doctor J. Liebig, in ihrer Anwendung auf Agricultur und Physiologie, A. Leykam’schen Erben, Graetz, 1842 (Arhiv avtorja)). pl. Strassnitzkega v Ljubljano so licej znova korenito spremenili. Dotlej so predavali v prvem letniku liceja po sedem ur matematike in v drugem po osem ur fizike na teden. Po reformi so poučevali v vsakem letniku po šest ur matematike; poudarjena usmeritev šole je prešla na latinski in grški jezik18 v duhu predmarčne reakcije. Preglednica 2: S kristalografijo povezana poglavja Schulz pl. Strassnitzkijeve Teoretične matematike iz let 1831 in 1833 Poglavje_______________________________Stran Četrta knjiga: Temelji Stereometrije Prvi del: Oglata telesa 243 Drugi del: Okrogla telesa 276 Dodatek: Zgodovina osnov geometrije 299-344 Društvene vesti in druge aktivnosti S72 Acta Chim. Slov. 2006, 53, Supplement SLIKA 2 (StrassnitzkiPortretNaslovnica1879): Portret Schulza pl. Strassnitzkija (K. Huber, Schulz von Strassnitzki. Ein Lehrerleben aus öster-reichs Sturm-und-Drang Zeit, Julius Klinkhardt, Wien und Leipzig, 1879 (NUK-36951)). Preglednica 3: S kristalografijo povezana poglavja Schulz pl. Strassnitzkijevega Priročnika za geometrijo (1850) 2. del: Nauk o prostorninah teles 501 1. knjiga: Nauk o površinah 2. knjiga: Nauk o telesih 503 636-748 Pri nauku o površinah teles je Schulz pl. Strassnitzki obravnaval Legendrov izrek. V sklepni knjigi o telesih je obravnaval prizme, valje in končno še romboeder. Tik pred prihodom v Ljubljano je Schulz leta 1827 na Dunaju objavil knjižico o pravokotnem trikotniku in tristrani piramidi kot uvod v svoje kristalografske študije. Delo je posvetil Andreasu Josephu baronu Stiftu, v razpravi pa se je skliceval predvsem na Lagrangejevo (1783) Solutions analytiques de quelques problemes sur les pyramides triangulaires. Na prvih 28 straneh je Schulz v prvem delu podal najprej zgodovinsko ozadje preučevanje trikotnikov od Thalesa do Eulerja.19 V drugem delu o tristrani piramidi na straneh 31-100 se je Schulz skliceval na Crellejevo (1821) berlinsko raziskavo Sammlung mathematicher Aufsätze und Bemerkungen. Schulz je z upoštevanjem dotedanjih ugotovitev o trikotniku preračunaval enačbe za težišče piramide, piramidi očrtano kroglo in koordinate težišča piramide. Schulzova knjižica je bila razširjeni ponatis dveh razprav, ki ju je sočasno s knjigo objavil v Baumgartnerjevi in Ettingshausnovi dunajski reviji. Leta 1835 je Schulz kot ljubljanski licejski profesor v eni od vodilnih matematičnih revij sodeloval v razpravi o izjemah pri Eulerjevem izreku o poliedrih. Izrek je odkril že Descartes (1639), po njem pa ga je opisal Leibniz. Vendar ga je šele Euler leta 1758 pojasnil v obliki:20 Število kotov poliedra + število stranic = število robov + 2 Neoporečen dokaz je objavil šele mladi Cauchy leta 1811/12. Raziskovanje je temeljilo na petih pravilnih Platonovih telesih, ki jim je Kepler leta 1619 dodal dva nova nekonveksna dodekaedra, Poinsot pa leta 1809 še dodatno dvojico, veliki dodekaeder in ikozaeder. Leta 1811/12 je Cauchy dokazal, da je mogoče vseh devet pravilnih teles zvezdasto sestaviti in oblikovati iz dodekaedrov ali ikozaedrov. Schulz je v Ljubljani septembra 1832 dokazal, da Eulerjev izrek velja za vsa geometrijsko enostavna telesa. Upošteval je Hesselov opis premaknjenih ali podaljšanih zapletenejših teles, za katere izrek ni veljal.21 Končno je Eulerjev izrek izpeljal še iz splošnejšega, Cauchyjevega. Schulzova razprava je bila krona večletnih polemik o Eulerjevem izreku v Crellovi berlinski reviji, ki so se začele z anonimnimi objavami leta 1828. Cauchy in Legendre sta dopolnila Eulerjevo pravilo glede števila robov. Dr. Hessel iz Marburga je leta 1828 opisal več poliedrov, katerih lastnosti se niso skladale z Eulerjevim pravilom. Hessel22 se je skliceval na Hauyjeve kristalografske raziskave, objavljene v nemškem prevodu »Zwölfrautenflächers aus dem Würfel; treppenartige Kochsalztrichter u.s.w.« Hessel je sicer v knjigi leta 1831 izhajal iz Hauyjevi nasprotne dinamične tradicije, medtem ko je Cauchyjev varovanec Bravais leta 1849 podobne ideje neodvisno razvil v strukturno teorijski tradiciji.23 Društvene vesti in druge aktivnosti Acta Chim. Slov. 2006, 53, Supplement S73 SLIKA 3 (Strassnitzki1835Slike): Slike uporabljene v Schulzovi razpravi o Eulerjevem pravilu za poliedre (Schulz, 1835, Tabla I, slike 6-9). 9. SchuU v. St cki, von Pofyedern. 9. Schulz v. StrvMXnieki, von Potyedern. e? 9. Beitrage zur Discussion ties Eulersehen Lehrsatzes von Poljedern in Beziehung auf die neulich bemerkten Ausnahmen desselben. (Von Herra L. C. Schulz v. Straszmcli, o. 5, Prof, der Matheinatlk am k. k. Lyceum zu Laibach.) Nach dem Eulersehen Safze «oil bei jedem wie immor gestafteten Kiir-per die Anzahl der Seitenflachen, mehr der Anzahl der Ecken, um zwei griifser sein, als die Anzahl der Kanten. Nun fiihrt Hr. Dr. Hesse], im I sten Hefte des 8ten Bandes dieses Journals mehrere Korper auf, wo dieses Gesetz offenbar nicht Statt. iindet. Hierbei wird aber die Ursache der Ausnahmen nicht angedeutet, und da nach dem alteis iogischen Spruche gilt: qui nimium probat, nihil proiat, so miissen entweder alle Beweise des Eulersehen Satzes, und mit ihnen der Satz selbst ver-worfen werden, oder es mufs im Beweise auf die Ausnahmen hingefei» tet, und der Satz mufe daoaeh beschriinkt werdenf "Mem Bemiihen geht dahin, den so schSnen allgemeinen Eulersehen Satz so v!el wh moglieh zu retten. Der Beweis, den Cauchy im 9ten Bande des Journal de tetele polytechnic/iie fur den Eulersehen, oder ejgentlicli fur eiaen noeh allge-meinern Satz giebt, griindet sich (vide pag, 10) darauf, dafs bei der hn-einandersetzung der Polygone die Anzahl der Kanten immer um eine Zahl vermehrt wird, die um 1 grofser ist, als die Zah!, um welche die Anzahl der Kanten zunimmt. Auf diesen Beweis stiitzen sich auch alle anderen Beweise, ausge. uosnmen der L eg en d re's, welcher «lie sphiirische Trigonometrie asu Hiilfe nimnit, und auf dessen vnzuliiogliebkeit wir spiiter kommen wollea. Uie oben aogefiihrte Bemerkung wurde deswegen bisher Hit Wige-mein geltend asigenommen, weil, wenn. 2 J*ob/gonen sine Kaate gemein-schafllieh ist, sie dana zugleicit 2 Ecken gemeinschaftlica faaben miisseo; und eben so: haben 2 Polygone 2, 3, 4, etc. n Kantea gemeiu, so feaben Haben aber die zwei Korper zwei Seitenflachen gemein, die nicht an einander liegen, so hurt das Eulersche Gesetz auf, und ganz begreif-lich, weil der neue Korper efa ausgehohlter ist. Endlich roogen im Allgemeinen zwei einfache Korper / an eiaameler. liegende Seitenflachen mit einander gemein haben, und es seienin dea zwei sich deckendeo Polygonnetzen /Polygone, «Kanten und p Eckpuuete; ea babe ferner die iiufsere Contur dieses Netzes n Kanten und folglich n Eck-puncte, so dafs also inwendig *—n Kanten und p — n Eckpuncte sind; uennen wir foruer, wie friiher, die Anzahl der Verlorea geheaden Eiachen cr, der Ecken s, der Kanten x, so ist, da jede Kante der Contur, und jede Ecke der Contur nur einmal varloren geht, wiihrend dieses bei den mwen» digeu doppelt Statt fiodet: = 2.$+2. Ferner ist Up ~~ i-j- n i 2s — x + n; also hat man, diese Werthe subsSstain:, o- + e + « = * + n + 2, folglich « +