MATEMATIKA
Indijska konstrukcija kvadrata s ploščino danega pravokotnika
•is •i' nU
Marjan Jerman
-> Ko preučujemo zgodovino matematike, ugotovimo, da so prav vse stare civilizacije poskušale najti metode, s katerimi bi danemu liku našli plo-ščinsko enak kvadrat. Razlogi so bili bodisi čisto praktični bodisi presenetljivo teoretični. Egipčani so, rečimo, želeli bolj neobvladljive like preoblikovati v ploščinsko enake kvadrate zato, da bi lažje odmerili zemljiški davek. Če problema niso znali rešiti popolnoma natančno, so si pomagali s približki. Stare Grke pa so tovrstni problemi zanimali bolj abstraktno. Za pravilno rešitev so priznavali le konstrukčije, ki so bile možne samo z uporabo ravnila in šestila.
Najbolj znan je problem kvadrature kroga. Egipčani so ga rešili približno, brezplodni napori Grkov pa so se končali šele v devetnajstem stoletju, ko so moderni matematiki dokazali, da kvadratura kroga samo s pomočjo ravnila in šestila ni mogoča.
V tem prispevku si bomo pogledali, kako najti pra-vokotniku ploščinsko enak kvadrat. Bolj natančno: v ravnini je dan pravokotnik s stranicama a in b. Radi bi narisali stranico kvadrata x, ki ima ploščino enako ab.
Danes bi se problema lahko lotili na primer takole. Enačba
■ x2 = ab
SLIKA 1.
Rešitev s pomočjo višinskega izreka
nas spomni na višinski izrek v pravokotnem trikotniku. Na isto premičo zaporedoma narišimo točke A, B in C, tako da je AB = a in BC = b (glej sliko 1). Nad daljičo AC narišimo polkrog. Potegnimo pravo-kotničo na premer AC v točki B. Presek pravokotniče s polkrogom označimo z D. Talesov izrek pove, da je kot ZADC pravi. Zato velja
■ BD2 = AB ■ BC,
kar pomeni, da je straniča iskanega kvadrata enaka x = BD. Takšna rešitev je natančna in je možna le z uporabo ravnila in šestila.
Presenetljivo so ta problem znali natančno rešiti že Indijči. Za razliko od Grkov, Indijči svojih rezultatov niso dokazovali, za odmerjanje pa so namesto ravnila in šestila uporabljali vrvi. Njihovo rešitev najdemo v Sulbasutrah, dodatku Ved. Vede so obsežna zbirka religioznih in filozofskih besedil iz obdobja
PRESEK 43 (2015/2016) 1
7
MATEMATIKA

D
C
H
F
M
A O
B
SLIKA 2.
Indijska rešitev
Naj bo AB = a in BC = b. Najprej izracunajmo dolžini daljic EG in IK:
■ EG = 2(b - a), IK = a + EG = 2(a + b).
Potem je po Pitagorovem izreku
■ IM2 = IL2 - LM2.
Zaradi konstrukcije je IL = IK in LM = EJ = EG. Zato je
-2
XXX
med 1700-1100 pr. n. št. Kot pomemben dodatek vsebujejo Sulbasutre iz let med 1000-600 pr. n. št., ki opisujejo navodila za konstrukcijo oltarjev. V njih lahko opazimo presenetljiv uvid v različna področja matematike, npr. decimalni zapis, iracionalnost in aproksimacije korenov.
Indijska konstrukcija gre takole:
V ravnini je narisan pravokotnik ABC D (glej sliko 2). Recimo, da je osnovnica AB krajša od stranice BC. (V nasprotnem primeru lahko pravokotnik zavrtimo ali pa preimenujemo njegova oglišca.) Na stranicah BC in AD zaporedoma izberimo tocki E in F tako, da bo lik ABEF kvadrat. Naj bosta G in H zaporedoma razpolovišci daljic EC in FD. Daljico AB podaljšamo do tocke I, daljico HG pa do tocke K, tako da bo lik AIKH kvadrat. Podaljšek FE naj seka daljico IK v tocki J. Sedaj s pomocjo vrvi, ki jo držimo v tocki I, izberimo tocko L na stranici BC, tako da bo IK = IL. Vzporednica stranici AB skozi L naj seka daljico IK v tocki M. Na daljici AI izberimo tocko O, tako da je OI = IM. Na koncu narišemo tako tocko N, da bo OIMN kvadrat.
Izracunajmo plošcino kvadrata OIMN in tako pokažimo, da so imeli Indijci prav. Pred dokazom omenimo še eno zelo pomembno dejstvo iz zgodovine matematike: Prav vse stare civilizacije so že pred Pitagoro poznale kasneje poimenovani Pitagorov izrek.
IM2 = IK2 - EG
= (2(a + b^2 - (1 (b - arf = ab, to pa je bilo treba dokazati.
Križne vsote
-> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zacetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne.
	8	,6			
3			14		
23				15	
		9			2
			6		
			8		
XXX
J
I
8
PRESEK 43 (2015/2016) 1	8