IZ RAZREDA
36
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
Pascalov aritmetični trikotnik
mag. Sonja Rajh 
Zavod RS za šolstvo
Povzetek
Pascalov trikotnik binomskih koeficientov, ki ga nekateri imenujejo tudi aritmetični trikotnik oziroma Kitajs- 
ki trikotnik, je v našem šolskem prostoru precej znan. V srednji šoli se uporablja predvsem kot pomoč pri 
računanju potenc dvočlenika ter pri verjetnosti in statistiki. 
V prispevku je navedenih nekaj aktivnosti, s pomočjo katerih lahko pri osnovnošolcih krepimo sposobnost 
uporabe matematičnega načina razmišljanja za reševanje različnih matematičnih problemov. Predstavljene so 
le nekatere od aktivnosti v Pascalovem trikotniku, ki jih lahko izvajamo z osnovnošolskim znanjem. Verjame-
mo, da jih učitelji poznajo in izvajajo še več. Osredotočili smo se predvsem na tiste aktivnosti v Pascalovem 
trikotniku, ki jih lahko izvajamo in nadgradimo še v Leibnizevem harmoničnem trikotniku.
Ta prispevek je namreč zamišljen kot uvod k prispevku o Leibnizevem harmoničnem trikotniku, saj priporo-
čamo, da pred preiskovanjem v Leibnizevem harmoničnem trikotniku učenci spoznajo in podrobno preiščejo 
Pascalov aritmetični trikotnik. 
Ključne besede: Pascalov aritmetični trikotnik, preiskovanje, vzorci števil.
Potrebno predznanje učencev: seštevanje naravnih števil.
Priporočljivo (ni pa obvezno) predznanje: figurativna števila (števila, ki imajo geometrijsko obliko, če jih 
ustrezno grafično ponazorimo), Fibonaccijevo zaporedje, fraktali.
Pascal’s Arithmetic Triangle
Abstract
Pascal’s triangle of binomial coefficients, which some call arithmetic triangle or the Chinese triangle, is rather 
well known in Slovenian schools. In secondary school it is used mostly as an aid in calculating the powers of a 
binomial, and in probability and statistics. 
This paper mentions a few activities which can be used to strengthen primary school pupils’ ability to use 
mathematical reasoning to solve various mathematical problems. It presents only a few of the activities in 
Pascal’s triangle which can be carried out at the primary school knowledge level. Teachers are undoubtedly fa-
miliar with and carry out others as well. The paper mostly focuses on those activities in Pascal’s triangle which 
can be carried out and upgraded in the Leibniz harmonic triangle.
This paper has been conceived as an introduction to the paper on the Leibniz harmonic triangle, as it is recom-
mended that pupils learn about and research Pascal’s arithmetic triangle in-depth before performing inquiry 
in the Leibniz harmonic triangle. 
Keywords: Pascal’s arithmetic triangle, inquiry, number patterns.
Pupils’ required prior knowledge: adding up natural numbers.
Recommended (but not mandatory) prior knowledge: figurate numbers (numbers that have a geometric 
shape when properly depicted graphically), Fibonacci sequence, fractals.

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
37
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
Uvod
Trikotna shema naravnih števil (glejte Sliko 1) se imenuje po 
francoskem matematiku, filozofu in fiziku Blaisu Pascalu (1623-
1662), ker je o njej napisal Razpravo o aritmetičnem trikotniku, 
ki je izšla leta 1665, šele po njegovi smrti. To shemo nekateri av-
torji imenujejo tudi Kitajski trikotnik, saj se na Kitajskem omen- 
ja že v 13. stoletju. 
V nadaljevanju bomo Pascalov trikotnik binomskih koeficientov 
oziroma aritmetični trikotnik oziroma Kitajski trikotnik imeno-
vali kar Pascalov trikotnik. 
Pascalov trikotnik 
Ker v Pascalovem trikotniku nastopajo naravna števila, se lahko 
z njim srečajo že učenci v 1. in 2. vzgojno-izobraževalnem ob- 
dobju (VIO) osnovne šole. 
Učenci naj preiskujejo shemo, v kateri so vpisana le nekatera šte-
vila, ubesedijo pravilo, po katerem so nanizana števila, ter po ugo- 
tovljenem pravilu dopolnijo manjkajoča števila v shemi in zapišejo 
še nekaj naslednjih vrstic Pascalovega trikotnika. (Glejte Sliko 2.)
Učenci so sposobni že v 1. VIO ugotoviti, da se vsaka vrstica Pas- 
calovega trikotnika začne in konča s številom 1, vsako število v 
notranjosti Pascalovega trikotnika pa je dobljeno kot vsota števil 
nad njim. Velja: 
a b
a + b
Ker po navadi izpolnjujemo števila v shemo Pascalovega trikot- 
nika od zgoraj navzdol, učenci z računanjem števil v naslednjih 
vrsticah nimajo težav, razen če se v nekem primeru zmotijo in 
imajo od tam dalje vse narobe. Večinoma tudi niso dovolj vztraj-
ni, da bi s števili izpolnili dovolj vrstic, potrebnih za nadaljnje 
preiskovanje. Zato jim za preiskovanje lastnosti števil v Pasca-
lovem trikotniku ponudimo shemo, ki je izpolnjena vsaj do 16. 
vrstice. 
Učenci lahko samostojno ugotovijo, da je zaradi komutativnosti 
seštevanja shema simetrična glede na navpično somernico.
Ugotovijo, da se vsaka vrstica začne in konča z 1, torej z najmanj-
šim številom, proti notranjosti, oziroma proti navpični somerni-
ci pa se velikost števil veča in tako največje število v vrstici leži tik 
ob somernici oziroma na njej. 
Glede na starost in sposobnost učencev lahko težavnost aktiv-
nosti in število vrstic v Pascalovem trikotniku večamo. Učenci 
lahko samostojno ugotovijo, da je število vrstic v Pascalovem tri-
kotniku neskončno. 
Po ugotovljenem pravilu naj učenci dopolnijo še nekatere izseke 
iz Pascalovega trikotnika.
Slika 3: Posamezni izseki iz Pascalovega trikotnika, s pomočjo katerih 
preverimo, ali učenci razumejo, kako dopolnjujejo shemo
Lastnosti števil po vrsticah 
V preiskovalnih aktivnostih učenci hitro ugotovijo, da za števila, 
ki so zapisana v isti vrstici Pascalovega trikotnika, veljajo zanimi-
ve zakonitosti. Glede na starost in sposobnosti učencev so lahko 
Preglednica 1: Vsota števil na lihih in sodih mestih
Vrstica Vsota števil na lihih mestih Vsota števil na sodih mestih
1. 1
2. 1 = 2
0
1 = 2
0
3. 1 + 1 = 2 = 2
1
2 = 2
1
4. 1 + 3 = 4 = 2
2
3 + 1 = 4 = 2
2
5. 1 + 6 + 1 = 8 = 2
3
4 + 4 = 8 = 2
3
6. 1 + 10 + 5 = 16 = 2
4
5 + 10 + 1 = 16 = 2
4
7. 1 + 15 + 15 + 1 = 32 = 2
5
6 + 20 + 6 = 32 = 2
5
n. 2
n – 2
2
n – 2
Slika 1: Pascalov trikotnik
Slika 2: Za lažje 
ločevanje števil in za ugo-
tavljanje lastnosti števil 
po vrsticah naj bodo 
posamezna števila v she-
mi Pascalovega trikotnika 
vpisana v enake like (npr. 
šestkotnike, kvadrate …).

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
38
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
njihove ugotovitve zelo različne. Učenci lahko isto ugotovitev 
ubesedijo na različne načine, kar je odvisno od predhodnih iz-
kušenj posameznika s preiskovanjem in ne nazadnje od njegovih 
sposobnosti opazovanja (prirojenih ali pridobljenih z vajo). Pa 
navedimo nekatere njihove ugotovitve.
a) Sledi nekaj ugotovitev učencev, ki veljajo za števila v vodo-
ravnih vrsticah.
• Vsota števil v spodnji vrstici je dvakrat večja od vsote števil 
v predhodni zgornji vrstici. To pa zato, ker je vsako število 
iz zgornje vrstice dvakrat uporabljeno za pridobivanje števil 
spodnje vrstice (enkrat levo in drugič desno) kot eden izmed 
dveh seštevancev.
• Vsota števil, ki je v posamezni vrstici na lihih mestih, je z iz-
jemo prve vrstice enaka vsoti števil, ki je v tej vrstici na sodih 
mestih. Obe vsoti lahko zapišemo kot potenci števila 2 (glejte 
preglednico 1).
• Iz obeh prejšnjih ugotovitev sledi, da je tudi vsota števil po 
posameznih vrsticah enaka vrednosti potence števila 2 (glejte 
Sliko 4). Če seštejemo vsoti števil na sodih in lihih mestih, ki 
sta enaki, dobimo dvakratnik potence števila 2, ki je tudi po-
tenca števila 2. Torej: 2
n – 2 
+ 2
n – 2
 = 2 . 2
n – 2
 = 2
n – 1
. Vsota števil 
v n-ti vrstici
 
je 2
n – 1
.
= 1 = 2
0
= 2 = 2
1
= 4 = 2
2
= 8 = 2
3
= 16 = 2
4
= 32 = 2
5
= 64 = 2
6
= 2
7
= 2
8
= 2
9
= 2
10
= 2
11
= 2
12
= 2
13
Slika 4: Vsota števil v posameznih vodoravnih vrsticah Pascalovega 
trikotnika je enaka potenci števila 2
• Alternirajoča vsota števil po vrsticah je z izjemo prve vrstice 
enaka 0, kar sledi iz druge ugotovitve in preglednice 1.
1 = 1
1 – 1 = 0
1 – 2 + 1 = 0
1 – 3 + 3 – 1 = 0
1 – 4 + 6 – 4 + 1 = 0
1 – 5 + 10 – 10 + 5 – 1 = 0
1 – 6 + 15 – 20 + 15 – 6 + 1 = 0
• Če vsako število v polju Pascalovega trikotnika obravnavamo 
kot števko, so v vrsticah zapisane vrednosti potenc števila 11.
1 = 11
0
11 = 11
1
121 = 11
2
1331 = 11
3
14641 = 11
4
Ups! To očitno velja le za vrstice, v katerih so samo enomest- 
na števila. Kaj pa v vrsticah, v katerih so tudi večmestna šte-
vila? V naslednji vrstici bi potemtakem morala biti zapisana 
vrednost potence 11
5
 = 161051, zapisana pa so števila: 
1 5 10 10 5 1
Pa uporabimo lastnost pisnega seštevanja in »1 štejemo naprej«. 
1 5 10 10 5 1
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 5 + 1 0 + 1 0 5 1
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 6 1 0 5 1
Torej je tudi v vrstici 
1 5 10 10 5 1
ponazorjena vrednost potence 11
5
 = 161051.
• V vrstici, ki ima v drugem in predzadnjem polju praštevilo, 
so tudi vsa števila med tema dvema prašteviloma deljiva s 
tem praštevilom. Npr.: števila 78, 286, 715, 1287 in 1716 so 
deljiva s 13 (glejte Sliko 5). 
10 je deljivo s 5
21 in 35 sta  
deljivi s 7
Slika 5: V vrstici, ki ima v drugem in predzadnjem polju praštevilo, 
so tudi vsa števila med tema dvema prašteviloma deljiva s tem 
praštevilom.
b) Poševne vrstice (vrstice, ki so vzporedne stranici trikotni-
ka, ob kateri ležijo same enke): (Zapisane ugotovitve vel- 
jajo za poševne vrstice, ki potekajo v smeri od desno zgoraj 
do levo spodaj (glejte sliko 6) in tudi za vrstice, ki potekajo 
v smeri od levo zgoraj proti desno spodaj – ugotovili smo 
namreč že, da je shema simetrična glede na navpično somer-
nico.)
.

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
39
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
Če učenci že poznajo figurativna števila (glejte vir [3], stran 
281–283), jih usmerimo na preiskovanje lastnosti števil znotraj 
poševnih vrstic. 
Slika 6: Obarvane so nekatere poševne vrstice Pascalovega trikotnika
Ugotovijo lahko, da za števila v poševnih vrsticah velja:
• V prvi poševni vrstici so same enke (v vsaki celici je število 1).
• V drugi poševni vrstici so zapisana zaporedna naravna števila. 
• V tretji poševni vrstici so zaporedna trikotniška števila (šte-
vila, ki predstavljajo število objektov, ki jih lahko razmestimo 
v obliko trikotnika): 1, 3, 6, 10, 15 …
– Števila v tretji poševni vrstici oziroma trikotniška števila 
so vsote zaporednih naravnih števil od 1 dalje: 
 1 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 
 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 …
– Če seštevamo po dve zaporedni (trikotniški števili) števili 
v tretji poševni vrstici, dobimo popolne kvadrate števil 
– kvadratna števila (Število m je kvadratno tedaj in le 
tedaj, kadar lahko razmestimo m točk v obliko kvadrata.): 
 1 + 3 = 4 = 2
2
, 3 + 6 = 9 = 3
2
, 6 + 10 = 16 = 4
2
, 
 10 + 15 = 25 = 5
2
, 15 + 21 = 36 = 6
2
 …
– Kvadrat števila iz druge poševne vrstice je enak vsoti des- 
nega in spodnjega števila v tretji poševni vrstici. Primer: 
6
2
 = 15 + 21. 
• V četrti poševni vrstici so zapisana tetraedrska števila (šte-
vila, ki predstavljajo število objektov, ki jih lahko razmestimo 
v obliko tetraedra): 1, 4, 10, 20, 35, 56 …
– Tetraedrska števila so vsote zaporednih trikotniških števil: 
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 6 = 10, 1 + 3 + 6 + 10 = 20,  
1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35, 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56 
…
• n-to število v peti poševni vrstici je vsota prvih n (tetraedrs- 
kih) števil iz četrte poševne vrstice: 1 = 1, 1 +4 = 5, 
1 + 4 + 10 =15, 1 + 4 + 10 + 20 = 35, 1 + 4 +10 + 20 + 35 = 70, 
1 + 4 + 10 + 20 + 35 + 56 = 126 … 
Podobna trditev velja za vse vrstice, kar bomo podrobneje 
pokazali v naslednjem poglavju z naslovom Nogavice. Velja: 
Vsota prvih n števil iz neke poševne vrstice je enaka n-te-
mu številu iz naslednje poševne vrstice.
c) Lastnosti števil v položno-poševnih vrsticah:
Vsota števil po spodaj obarvanih položno-poševnih vrsticah 
(glejte Sliko 7) tvori Fibonaccijevo zaporedje: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 
13, 21, 34, 55, 89 … 
Fibonaccijeva števila, ki določajo Fibonaccijevo zaporedje, so 
določena tako, da je vsako število od tretjega naprej vsota 
predhodnih dveh (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 
5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34 …).
Slika 7: Vsota števil po obarvanih vrsticah tvori Fibonaccijevo zaporedje
Nogavice
Lastnosti števil, ki jih pokriva skupna nogavica (oziroma hokejs- 
ka palica, kot jo imenujejo nekateri), smo sicer ugotovili že v 

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
40
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
prejšnjem poglavju Lastnosti števil po vrsticah (pri poševnih 
vrsticah). Ker je za nekatere navedene ugotovitve potrebno malo 
več matematičnega znanja, za učence iz prvega VIO prilagodimo 
preiskovalno aktivnost z zgodbico o nogavicah, ki jih otroci v 
anglosaških deželah v prednovoletnem času obešajo na novolet- 
no jelko za darila.
Sliki 8 in 9: Nogavice na Pascalovem trikotniku
Že učenci v prvem VIO lahko ugotovijo, da so števila v Pasca-
lovem trikotniku, ki jih pokriva ista nogavica, povezana na prav 
poseben način. Vse nogavice se začenjajo v enki na robu Pasca-
lovega trikotnika, lahko so različno dolge, vse pa imajo enako 
veliko stopalo. Vsota števil v zeleno obarvanem delu nogavice 
je enaka številu, ki je v prstih nogavice (v vijoličasto obarvanem 
polju). Prsti nogavice v vijoličastem polju morajo biti v naslednji 
poševni vrstici od zeleno obarvanega dela nogavice. 
S slike 9 razberemo, da velja:  
1 + 14 = 15, 1 + 11 + 66 + 286 + 1001 = 1365, 1 + 8 + 36 = 45,  
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6, 1 + 3 + 6 = 10, 1 + 6 + 21 + 56 = 84,  
1 + 9 + 45 + 165 + 495 + 1287 = 2002, 1 + 12 + 78 + 364 = 455. 
Posebej uporabne pa so nogavice iz druge poševne vrstice Pasca-
lovega trikotnika (glejte Sliko 9), saj lahko v prstih nogavice, ki 
so v tretji poševni vrstici, preberemo vsoto zaporednih naravnih 
števil od 1 dalje. Npr: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 
+ 12 + 13 + 14 + 15 = 120.
Število v notranjosti Pascalovega trikotnika, ki je dobljeno kot 
vsota dveh števil (naj bo a levo in b desno) nad njim, je enako 
tudi vsoti števil, ki se »vzpenjajo« od števila a po vzporednici 
leve stranice Pascalovega trikotnika in vsoti števil, ki se »vzpen- 
jajo« od števila b po vzporednici desne stranice Pascalovega tri-
kotnika.
Učenci 1. VIO pa lahko to ugotovitev zapišejo tako, da je vsako 
število iz notranjosti Pascalovega trikotnika v prstih dveh raz-
ličnih nogavic (proti levi in proti desni strani do enke na robu 
Pascalovega trikotnika). Tako lahko s pomočjo nogavic Pascalo-
vega trikotnika npr. število 56 zapišemo kot vsoto na dva načina 
1 + 5 + 15 + 35 = 56 in 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56, kot je po-
nazorjeno na sliki 10.
Slika 10: Število 56 je v prstih dveh nogavic v Pascalovem trikotniku
Večkratniki 
Z učenci 5. razreda smo pri dodatnem pouku preiskovali lastnos- 
ti števil v Pascalovem trikotniku. Med drugim smo s pomočjo 
žepnega računala ugotavljali, ali so števila v njem večkratniki do-
ločenega števila. Seveda učenci še niso poznali pravil za deljivost, 
ločili so le liha in soda števila. Vsak učenec je v shemi Pascalo-
vega trikotnika barval večkratnike drugega števila (slike 11–19). 
Ko smo končali z barvanjem, smo razvrstili vse pobarvane she-
me in jih primerjali. Ko so učenci ugotovili vzorec barvanja 
števil, so hitro našli kakšno napako pri barvanju sošolca (npr. 
da so pozabili pobarvati vse večkratnike števil 2 oziroma 4, da 
165 ni večkratnik števila 8) in to preverili še z žepnim računa-
lom. Ob storjenih napakah so se ogromno naučili. S pomoč- 
jo žepnega računala so ob barvanju večkratnikov samostojno 
odkrili pravilo za deljivost z 2, s 3, s 5, z 9 in z 10. 
Presenetili so me z ugotovitvijo, da so »vsi obarvani trikotniki 
obrnjeni navzdol«. Skupaj smo ugotovili, da če sta dve števili del- 
jivi z nekim številom, je tudi njuna vsota deljiva s tem številom. 
Torej, če sta obarvani dve sosednji polji (celici) v isti vodoravni 
vrstici, moramo pobarvati tudi polje (celico) pod njima.
a b
a + b
 

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
41
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
Prav s pomočjo te ugotovitve so našli napako pri barvanju večkrat- 
nikov števila 4, ki jih je na sliki 14 barval eden od učencev. 
Ko smo skozi liste s Pascalovimi trikotniki pogledali proti svet- 
lobi, smo iskali skupne večkratnike različnih števil. Npr.: Ker so 
bili večkratniki števila 2 na prvem listu drugačne barve kot več-
kratniki števila 5 na drugem listu, smo skozi oba lista videli z 
obema barvama obarvane skupne večkratnike, to so večkratniki 
števila 10. 
Podobno aktivnost sem kasneje še večkrat izvedla s starejšimi 
učenci. Pri preiskovanju smo se medpredmetno povezali tudi z 
biologijo in ugotovili, da se lastnost »je večkratnik« »recesivno 
deduje« navzdol po obarvanem trikotniku (pri tolmačenju rece-
sivnosti smo števila v shemi razumeli kot hipotetične monoplo-
idne organizme). 
Ker želimo pridobiti čim več različno obarvanih shem, naj vsak 
učenec v razredu barva večkratnike drugega števila (idealno je, 
če za preiskovanje pridobimo obarvane sheme od večkratnikov 
števila 2 do večkratnikov števila 24). Za iskanje skupnih večkrat- 
nikov je priporočljivo, da vsak učenec pri barvanju uporabi dru-
go barvo. 
Večkratniki števila 2 Večkratniki števila 3 Večkratniki števila 4
Večkratniki števila 5
Večkratniki števila 8 Večkratniki števila 9 Večkratniki števila 10
Večkratniki števila 6 Večkratniki števila 7
Slike 11–19: V Pascalovem trikotniku so učenci barvali večkratnike posameznih števil

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
42
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
Z učenci 3. VIO smo pred barvanjem večkratnikov v Pascalo-
vem trikotniku preiskali lastnosti števil po vrsticah Pascalovega 
trikotnika. (Glejte sliko 5.) Kot smo že zapisali, so ugotovili: v 
vodoravni vrstici, ki ima v drugem (in predzadnjem) polju pra-
število, so vsa števila med tema dvema prašteviloma deljiva s tem 
praštevilom. Primer: Števila 55, 165, 330 in 462, ki ležijo v isti 
vrstici med obema številoma 11, so deljiva s praštevilom 11.
Učenci so tudi s pomočjo te ugotovitve napovedali lego (v kate-
ri vrstici se začne) in obliko (»navzdol obrnjen« trikotnik, saj je 
vsota dveh večkratnikov nekega števila tudi večkratnik tega šte-
vila) obarvanega vzorca večkratnikov za ta praštevila. Napovedi 
so seveda preverili še z računanjem in barvanjem večkratnikov 
teh praštevil.
Ugotovimo lahko: prvi, najvišje ležeči trikotnik z obarvanimi več-
kratniki praštevila n in hkrati eden izmed najmanjših obarvanih 
trikotnikov za ta večkratnik se začne v (n + 1). vodoravni vrstici 
Pascalovega trikotnika. Stranice tega obarvanega trikotnika so 
dolge po n – 1 enot (oziroma polj v shemi Pascalovega trikotni-
ka). Pri tem seveda eno samo obarvano polje pri večkratnikih šte-
vila 2 smatramo kot najmanjši obarvani »trikotnik« s stranico 1.
Če želimo izračunati število polj, ki smo jih obarvali za ta tri-
kotnik, spet naletimo na trikotniška števila. Npr. Najvišje ležeči 
obarvani trikotnik z večkratniki števila 7, vsebuje 6 + 5 + 4 + 3 
+ 2 + 1 = 21 polj. 
Ostanek pri deljenju
V naslednji aktivnosti smo v Pascalovem trikotniku z isto barvo 
obarvali še števila, ki imajo pri deljenju z izbranim številom enak 
ostanek. (Glejte priložene delovne liste.) 
a)  Ostanki pri deljenju z 2 (Slika 20)
Učenci so ugotovili, da gre (na sliki 20) za soda in liha števila ter 
da so podobno pobarvali shemo pri večkratnikih števila 2, le da 
so takrat ostala nepobarvana liha števila. Vse to smo povezali s 
fraktalom Sierpinski trikotnik.
Slika 20: Z isto barvo so obarvana števila, ki imajo pri deljenju z 2 enak 
ostanek.
Že v prejšnjem poglavju (Večkratniki) in v tem poglavju (Osta-
nek pri deljenju) so učenci preiskovali vzorec pri barvanju. Ugo-
tovili so, da so poleg prve in druge vodoravne vrstice v celoti 
pobarvane z rdečo še 4., 8., 16. vrstica, ter napovedali, da bo to 
veljalo tudi za 32. in 64. vrstico. Pravilnost svoje napovedi so pre-
verili s pomočjo različnih spletnih aplikacij (uporabili smo vira 
[4] in [5]). V eni vrstici višje, torej v 3., 7., 15., 31., 63. vodoravni 
vrstici je sivo vsako drugo polje, ostala pa so rdeča. Torej je vsa-
ko polje pobarvano z rdečo v (2
n
). vrstici, v (2
n
 - 1). vrstici pa se 
izmenjujeta rdeče in sivo polje. 
V 1. poševni vrstici so z rdečo pobarvana vsa števila. V 2. po-
ševni vrstici je vsako drugo število sivo, ostala pa so rdeča. To so 
učenci ponazorili z vzorcem RSRSRSRSRS … , ki ima gradnik 
RS, v katerem so z R ponazorili rdeče pobarvano polje, s S pa sivo 
polje. Nekateri učenci so sicer vzorec oblikovali z oznakama za 
liha (L) in soda (S) števila, torej LSLSLSLSLS … , a zaradi nasled- 
njih primerov v prispevku ohranjamo oznake za barve. Učenci 
namreč že vedo, da je vsako drugo zaporedno naravno število 
sodo oziroma parno. V 3. poševni vrstici se izmenjujeta po dve 
rdeči in dve sivi polji, torej imamo vzorec RRSSRRSSRRSS … z 
gradnikom RRSS. V 4. poševni vrstici se izmenjujeta eno rdeče 
in tri siva polja. Tako imamo vzorec RSSSRSSSRSSS … z gradni-
kom RSSS. V 5. poševni vrstici se izmenjujejo štiri rdeča in štiri 
siva polja. Torej imamo vzorec z gradnikom RRRRSSSS.
b) Ostanki pri deljenju s 3 (Slika 21)
Ostanki pri deljenju s 3 tvorijo bolj zapleten vzorec barvanja. 
Glejte sliko 21. Nekateri učenci so pri barvanju števil, ki imajo pri 
deljenju s 3 enak ostanek, nadaljevali barvanje še v naslednje vrs- 
tice Pascalovega trikotnika. Najprej so napovedali, kakšne bar-
ve bo polje, ga narisali in pobarvali, nato so pravilnost barvan- 
ja preverili še z računanjem. 
Slika 21: Z isto barvo so obarvana števila, ki imajo pri deljenju s 3 enak 
ostanek.
Ugotovili so, da se v 3. in 9. vodoravni vrstici izmenjujejo rdeča 
in modra polja. Enako so predvideli tudi za 18. vodoravno vrsti-
co (ki na sliki 21 ni narisana). Toda v 18. vrstici je sodo število 
(18) polj, zato sta sredinski dve polji ob somernici enake barve, 
kar se zgodi tudi v 6. vrstici. 
Legenda
... števila, ki imajo pri 
deljenju z 2 ostanek 0.
... števila, ki imajo pri 
deljenju z 2 ostanek 1.
Legenda
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 3 ostanek 2.
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 3 ostanek 1.
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 3 ostanek 0.

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
43
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
Vsa števila v 1. poševni vrstici so obarvana rdeče. V 2. poševni 
vrstici se v vzorcu ponavlja gradnik RMS (rdeča, modra, siva), 
torej imamo vzorec RMSRMSRMS … V 3. poševni vrstici se iz-
menjujejo eno rdeče in dve sivi polji, oziroma imamo gradnik 
RSS. Tako dobimo vzorec RSSRSSRSS … V 4. poševni vrstici se 
izmenjujejo 3 rdeča, 3 modra in 3 siva polja. T orej imamo v vzor-
cu gradnik RRRMMMSSS.
c) Ostanki pri deljenju s 4 (Slika 22)
Tudi v primeru barvanja števil, ki imajo pri deljenju s 4 enak 
ostanek (glejte sliko 22), so preiskovali obarvane vzorce števil po 
vrsticah in napovedovali, katera barva bo npr. v 20. polju 2. po-
ševne vrstice. 
Slika 22: Z isto barvo so obarvana števila, ki imajo pri deljenju s 4 enak 
ostanek.
č) Ostanki pri deljenju s 5 (Slika 23)
Učenci že vedo, da je število deljivo s 5, če je zadnja števka 0 ali 
5. Na podoben način so pri barvanju števil, ki imajo pri deljenju 
s 5 enak ostanek, zapisali, v katerem primeru bo ostanek 1, 2, 3 
ali 4. Torej: 
• Število ima pri deljenju s 5 ostanek 1, če je zadnja števka 1 
ali 6. 
• Število ima pri deljenju s 5 ostanek 2, če je zadnja števka 2 
ali 7.
• Število ima pri deljenju s 5 ostanek 3, če je zadnja števka 3 
ali 8.
• Število ima pri deljenju s 5 ostanek 4, če je zadnja števka 4 
ali 9.
Poleg tega, da so ugotavljali vzorec barvanja v vodoravnih in po-
ševnih vrsticah, so učenci ugotovili, da se na slikah del barvanja 
ravninskega vzorca večkrat ponovi. Tako se npr. na sliki 23 več-
krat ponovi del barvanja vzorca:
Cvetovi
Učenci 2. VIO so preiskali lastnosti števil iz šestih cvetnih listov 
posameznega cveta, ki so kjerkoli na shemi Pascalovega trikot- 
nika (glejte sliko 24). Pri preiskovanju so uporabljali žepno ra-
čunalo. 
Slika 24: Cvetovi na Pascalovem trikotniku
Ugotovili so, da za vse cvetove, ki so na Pascalovem trikotniku, 
velja: 
• Zmnožek števil v rdečih cvetnih listih je enak zmnožku 
števil v modrih cvetnih listih. Primer:
Zmnožek števil v rdečih cvetnih listih: 
15 ∙ 7 ∙ 56 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 8 = 5880
Zmnožek števil v modrih cvetnih listih:
6 ∙ 28 ∙ 35 = 3 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 7 ∙ 5 ∙ 7 = 5880
Legenda
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 5 ostanek 4.
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 5 ostanek 3.
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 5 ostanek 2.
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 5 ostanek 1.
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 5 ostanek 0.
Legenda
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 4 ostanek 3.
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 4 ostanek 2.
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 4 ostanek 1.
... števila, ki imajo pri 
deljenju s 4 ostanek 0.
Slika 23: Z isto barvo so obarvana števila, ki imajo pri deljenju s 5 enak 
ostanek.
1 . 15 . 7 = 105
1 . 6 . 2 = 12
5 . 21 . 1 = 105
1 . 4 . 3 = 12

MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO
44
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
Ugotovili so, da pri večjih številih sploh ni treba računati vred- 
nosti zmnožka števil, ampak morajo ugotoviti, da v obeh 
zmnožkih nastopajo isti (pra)faktorji.
• Iz prve ugotovitve sledi, da je zmnožek števil v vseh cvetnih 
listih istega cveta popoln kvadrat.
Torej: 15 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 28 ∙ 56 ∙ 35 = 5880
2
.
Preiskovali so tudi, če je število v rumenem polju cveta povezano 
s števili v cvetnih listih. Ugotovili so: 
• Če seštejemo zmnožka števil v rdečih in modrih cvetnih lis- 
tih, dobimo večkratnik števila iz rumenega polja. Npr.: Vsota 
105 + 105 = 210 je večkratnik števila 6.
Če izvajamo aktivnosti s Pascalovim trikotnikom v prednovolet- 
nem času, lahko namesto cvetov narišemo zvezde, samo shemo 
Pascalovega trikotnika pa okrasimo kot novoletno jelko (slika 
25). Učenci preiskujejo, kaj velja za števila v rdečih oziroma mo-
drih trikotnikih znotraj iste zvezde. 
Slika 25: Pascalov trikotnik kot novoletna jelka, okrašena z zvezdami
Zaključek
V eni sami trikotni shemi lahko najdemo ogromno idej za preiskovanje, napovedovanje, utemeljevanje, skle-
panje ter iskanje vzorcev števil, posplošitev in zakonitosti. Prav ta red v matematiki, pravila in vzorci nas vedno 
znova očarajo in tako tudi učenci občutijo lepoto matematike. V naravi in matematiki je vse urejeno ter ima 
nek red in smisel. Ob preiskovalnih aktivnostih bo učenje matematike učencem v veliko zadovoljstvo ter nav-
dih in spodbuda za nadaljnje delo, saj bo ob tem vsak od njih lahko uspešen. 
Opisane aktivnosti so primerne za izvajanje pri rednem pouku matematike (za preiskovanje), pri dodatnem 
pouku, podaljšanem bivanju, dnevih aktivnosti, delavnicah za nadarjene …
Te aktivnosti pa lahko učenci prenesejo tudi v domače okolje in se v družini igrajo družabne matematične igre 
v razvedrilo starim in mladim. ■
Viri in literatura
[1] Enzensberger, H. M. (2000). Številski hudiček: knjiga za vse, ki jim je matematika trn v peti. Tržič: Učila.
[2] Hogben, L. (1976). Matematika v nastajanju. Ljubljana: Mladinska knjiga.
[3] Rajh, S. (2013). Različni načini reševanja nalog z vzorci. V Posodobitve pouka v osnovnošolski praksi. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 
[4] http://www.shodor.org/interactivate/activities/ColoringMultiples/ (pridobljeno 20. 7. 2017)
[5] http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Combinatorics/LeibnitzTriangle.shtml (pridobljeno 20. 7. 2017)

DELOVNI LIST
45
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
Pascalov trikotnik - preiskovanje števil
1.  Ugotovi pravilo in dopolni manjkajoča števila v shemi. 
Kaj velja za števila v shemi? Zapiši vse ugotovitve.
Doriši še nekaj vrstic sheme. Koliko vrstic bi lahko še dodal?
Po ugotovljenem pravilu dopolni še spodnje dele zgornje sheme.
       

46
DELOVNI LIST Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
4.  V shemi Pascalovega trikotnika z isto barvo pobarvaj števila, ki dajo pri deljenju z 2 (3, 4, 5) enak ostanek.  
Zapiši ugotovitve.
Legendo si pobarvaj sam:
3.  V shemi Pascalovega trikotnika pobarvaj večkratnike poljubnega števila. 
Zapiši izbrano število. 
Kaj velja za obarvana števila v shemi? Zapiši ugotovitve.
Obarvane sheme primerjaj s sošolci, ki so barvali večkratnike drugih števil. Kaj ugotovite?
2.  Razišči lastnosti števil v shemi Pascalovega trikotnika. 
Kaj ugotoviš?
Kaj velja za števila, ki ležijo v isti vrstici? Zapiši vse ugotovitve.
pri deljenju s 3:
… števila, ki dajo pri deljenju s 3 ostanek 2.
… števila, ki dajo pri deljenju s 3 ostanek 1.
… števila, ki dajo pri deljenju s 3 ostanek 0.
pri deljenu s 4:
… števila, ki dajo pri deljenju s 4 ostanek 3.
… števila, ki dajo pri deljenju s 4 ostanek 2.
… števila, ki dajo pri deljenju s 4 ostanek 1. 
… števila, ki dajo pri deljenju s 4 ostanek 0.
pri deljenju s 5:
… števila, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 4.
… števila, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 3.
… števila, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 2. 
… števila, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 1.
… števila, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 0.
pri deljenju z 2:
… števila, ki dajo pri deljenju z 2 ostanek 0.
… števila, ki dajo pri deljenju z 2 ostanek 1.

DELOVNI LIST
47
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
5.  Nogavice v Pascalovem trikotniku
Kaj velja za števila v poljih pobarvanih z enako barvo? 
Pobarvaj najbližje polje s številom, ki vsebuje vrednost vsote enako pobarvanih števil. Kaj ugotoviš? 
Še sam nariši nekaj primerov in računsko preveri ali tvoja ugotovitev vedno velja.
6. Cvetovi v Pascalovem trikotniku
Na shemi Pascalovega trikotnika je narisan cvet s šestimi cvetnimi listi. 
Preiskuj lastnosti pobarvanih števil. Kaj ugotoviš? 
Kaj velja za števila v enako obarvanih cvetnih listih?
Kaj velja za števila zapisana v vseh cvetnih listih?
Še sam nariši nekaj cvetov na Pascalov trikotnik in preveri ali tvoja ugotovitev velja tudi za druge cvetove.