r-

m m § e^eir</t o^r /?^e?r/i> /tt^>er</rb

Incip»
caanici
i-iclaril
o:di»2
inach'

qb Iib
abiiko
liacch'
kdemi
pödcro
stniam
dmba<
biviccc
eaquc
mH
sch>raci
opmoi
sPiaiki
slMiillb
N m ,i

^dircp,l
liipuiril^
mridm
ticiiiucii
hijeno
peinig
diw:ch
denlis,<
demP

Incipiunt duo libri de Arirhrneti/
ca anich' inanich seueriniBoech vi/
ri claristtmi? illustristimi ex cösulis :
ordinsri) :patrich:ad patricium km
machuin.

'Ndandissccipi
endisquemuneri
busirarecreoffi/
cisprecipueiluer
eos glelemagni
facinnt eliimanc
k liquidoostabit
_necab hoc aliud
qö liberslius sfferrcr inuenm: nec
sb Mo vnH qö iucundius beniuole
tis cöpleckerer acceptü.Dxc ipse co
stderans: armli non ignaua opum
pöders quidus sd facinus nihil in
stniccius est: cü habendi ücis incsn
dnit.ad inerirü nihii vilins cü ea ü /
bi Victor anim' calcata subiecic: sed
ea que ex grecarü opulenria linera
rä in romanx oracionis chesaumnl
süpra cöuexim^ .Ira eni mei quoctz
operiš mihi racio cöltsbit:st qn§ er
iapienri§ doctrinis elicuistapiemis/
Kmiiudicio cöprobenr. Llides igir
vt kam inagni lsdoris esteccus nutz
kanm expeccer exame: nec in aures

5erev!lakccüctis absoluta partib^
nullius indiga suis tanrü eit scieria
nixa püdys:vr nö cererax quoq; ar
liü adiumenra deüderer. 'sla in esti
giandis marnrore staruis:alms ex/
cidende molis la'vor est:alia korma
dxünaginis ratiorneceiusde artist/
cis manus politi operiš niror expe /
ctar.Äc piccure msnibus radule cö
inilsx fabrorum.cxre rustica obser/
uaiione decerpr§:colorüfuci merca
rorü solema perquisimlimea opero
sts elaborata renriiüs anulriplicem
materiä prxlianc.Höne idem quo /
que bellop Mmr iniirumetisxidic
spicuis sagittisexacuit.illi validus
thorsx nigra gemik incnde.Äü ali/
us.crudi vmbonis regnüna.ppri) la
bor^ orbi infigends mercarur.kam
mulrs arcibus ars vns perkicir . Äst
nostri laboris absolutio löge ad ka/
ciliore currir enentu;. Jin eni kolus
manu; supreino operi iiupones: in
quo nihil de decernentiü neceüe est
laborare cölensu.Quälibet eni hoc
iudiciü mulris arlibus probet excut
rüvno tame cumular examine.Lx/
periareigiturlicerquantü nobism
hoc studio longis tracms och's la/
bor adiecerit.An rerü subtil, um ku

^»dire publicas niü docts senterix a
stipulationenitst.In quo nil)il ini
rü videri debet.cüid opus qö sapie
tic inuencspersequit: non auctoris
haltens incübitarbikrio.Suisgp/ __ . ,

pe instruinemis res ranonis expen dicij lucrs querunt. Lum cu vtrsrü

dirur:cü iudicium cogtt ütbrre pru^ , , . " -

denris.Ded huic munusculomä ea ie orstionis cxperribus quanru; de
demquxceteris imminentarcW ' "

münimentac-Zstimo. Nequ-Mm

gas exercitare menris velociras cö/
phendac. vrpiemne macies oratio
nis ad ea qux sunt caligancibus im
pedits senrenci-s expediendasustici
sr.QtlS in re mihi slieni quoqux in
que peritilstnms liccerap: postiš gra
mobis ludicare sudeant: sola tanrü
iÄ'WnuN^acioneprescnbcre.Ärnö a!/

terius obnoxius instimns artilNins
memet ipse trällarionis lege cöstrin
gorsed psululü liberius ei? ssar^alle
no itinerimö vestigijs müllo. Na et
eaquxdenuiners anicomacho dif
fukus dispmata sütunoderara dre/
uitsrecollegi.Lc qux rrsnscurss ve/
locms angustiore in:elllgenri^ plls
bant adirü:mediocri adlectione re/
ferauuvr sllquado ad euidenriä re/
rü nostris enä korinulis sc descripti
onibus vteremur.Quod uodis quä
tis vigühs sc sudore cölllterit fscile
sobrius iecror sgnoscel.Lunr igimr
quatuormschelcos disciplina? de
srichinetica qucellpriina perlende
re: tu tantü dignus eo inunere vide
barecoquemagc inerrstoopus ee
intelligeba. 17s; r 6 spud te facilis
yenix locns ekec:aliqusndo kamen
ipsam formidadarfacilitate suspe/
cts semrirss. Arbicrsbsr cni; nihil
rsnre reuereti§ oblam iri oportere:
qö nö elaboratu iugenio: perkecm;
studio :dignüpostremo tgnto ocio
viderer.'Non igirurainbigo quinär
ms in me beniuolentia supuacua re
seces: hisntis suppless: errsta rep/
hendas: cömode dicts mira animi
slscrirate suscipias. Queres impu/
licpigrain cöklh morä. lAmios enr
mihi kruct" plscimra restiruenr.'No
ui quippe: quato studiokus nostra
H cxrerorum dona diligamus.'Ne/
cte ergo quak aureos cereri culmos
rmsmros dacho palmires:kc ad te
mdimetanoui operiš rraknik. Z-u
tamü paternagraris nnn^uehss
muntwärarlsdorismei primitias
doccilllmo iudicio cösecradts: r nö

maiore cenfedinrr suctor meriro H
probaror.

Jircipiüt capitula libriprimi.

Idrohemium in quo diuikones ms
thematicx. Lspirulü. >.

idesubstantis numeri. -Lsp.r.
idiffmiriordiuilio numeri rdiffini
tio psris r impsris. Lap.;.

jdMiricio numeri Paris et impsris
scömpirha§oram. Lap.4.

Älis scö; srrrigore modü diuiko pa
ris-rünparis. Lap. 5.

LMnitio psris r ilnpsris per alte/
rutruin. Lsp.s.

ideprincipalitstevnirst^. Lsp.^.
idiuiko paris numeri Lap. 8.

ide nuinero parirer pari eiulque

pricratibkks. Lsp.y.

idc numero parirer impsri eiusque
proprieraribus. Lap. < o.

L>e irmnero iparir pari: eiukV^prie
tatib'de que ei'ad parilerpsre -r
parir spare cognstioe. Lap. n.
jdelcripnöis ad imparir paris nam
räpcinecisexpokrio. Lap. ir.

L>e numero inrpari eiusque diuik/
one. Lap.'?.

jdeprimo r incöpokto. Lap. «4.
jde scöo r cöpokto. Lap.' 5.
L>eeo gpsescüd'r cöpokr'-sd aliü
primär iikcöpokt'est. Lap. >6.
s^epmir incöpoktür scöi r cöpokti
r ad se quidem secüdi et cöpokti
ad altem vero primi r incöpokri
procrearione. Lap. >^.

jde inucrione eo? nmnerox qm ad
se scöi r cöpokti sunt:ad alle s
relmijpmirincöpokti. Lap.'S.

0 50^^02)

AUapsrtirio pariš lcömpkectos itz
feccos-rvltrsHpfectos.Lap.

De gnatiöe numeri pfecri.Lsh.ro.

De relsta sd sligd cjntirste.La. r >
Delpeciebusmsioris inxqualust(
rminoris. Lah.rr.

De multiplici eiusque specieb^earü/
quesenermionid''. Lap.r;.

De lupparriculari eiusque specieb'
earüquegeneraciöib''. Lap.r4.

Deqnodävtili ad coginrione; sup
pticularib'accidere. Lah.rs.

Descriptio p qua docemr cxteris iu
xqusiitstis speciebus antiquic»
remestemultiplice. Lsp.rs.

T^atio acqlie expoücio digestx kor/
mulx. Lsp.r^.

De rerria inxqlitat^ specie que dicit
suppartien»:dcqueeius specieb^
earüque gnarionid'. Lsb.r s.

Demktipiicisuppsrtickari Lap.ry.
De eorum exemplls in superiori kor
mulsinueniedis. Lsp.;o.

Denüriplicisupparciece. Lap.;>.
Demonstratio quemadmodu om>
nisinxquslirasab xquslüate^/
cesterir. Lsp.zr.

Idroemium inquodkMo
msthemmicx. Lapkin.

'Ncer
omnes
prikcx
succo/
rirsris
viros:
quipy
chsgo
ra du/
cepuri
oreme
tisrati
one vi

guemnrostsre manifestu est.hsud
quequä l philolophix dikciplinis ad
curnuiüperfectiöis euaderemist cui
ralis Prüderie nobilicas quodä cjst
quadruuio veAgsr. Quod recte ko
lerriä inmentis non latebic. Lsteni
sapiens rep qux sunrsuiquelmut-/
bile substantia sortiunk: cöpreheüo
veriratis.Lste am illa dicimus qux
nec inrenrione crescünnec rerrscrio
nennnuunl-nec variationibus per
mutant : sed inppris semp vi lux se
nscurx substdi-s nixs custodiunt.
Dxc aut sunt qualirstes:quätitstes
forme: magnimdines: psruitsles:
xq uslirates chsbirudines mctlts : di

spokriones:loca:tempora:r quicgd
adunstü quodsmodo corporibus
inuenicur. Qux ipls quide; natura
incorporea sum rsmurabilis substa

tix ratione vigemia:participstio/
ne vero corporis perMutsntur :r ta
cru vsriabilis rei in uertibüem inco
stantiätranleüt. Dxc igimr quonis

s ;

Vt dictü est natura lmutsbile fubsts
tis vimctzsortica sunt:vere proprieP
este dicunc. Dom; igiturid est qu§
lut proprie^qu§q; Mo nomine essem
tixnoinmantscientis/spienris^fi^
remr.Lstentie aurezgeinine partes
sunnvns cötinua r sciis partib' mm
cta.nec vllts finibus distributa: vt e
arbor:lapis:r oinnia mudi hui' cor
pora quxproprie magnimdines ap
pellsnt.alis vero distuncra ase r de
terminala psrribus r quasi acerus/
tim in vnir redacta conciliü:Vt grex:
popu!us:chorusaceruus: quicgd
quosparteg^priss exrremitstibus
ternlinanr.r ab slcerius fine ditcre,
h sunt. Dis propriü nomen est mul
urudo. 'Kursus ml'mudmis s!ia für
pfevc rres vel qusruor:vel reirago^
nusrvelquilibet rmmerus qui vc 6t:
nullo indiget.Älis vero p seipis nö
constant.sed ad quiddaz aliud reke
runnvt duplü:vt dimidiü:vc sesqual
kermveilesquiterciu; etquicgd tale
est:qö ni6rclarü6t ad aliud iplum
este nö postit . Wagnitudinis vero
alia kuntmanetis monux carencis.
glia vero qux mobilisemp roracio/
nevertunrmecvllisreniporibus ac
quiescunt.Dorü ergo illä mulrirndi
ne quxpse estrarichinetica speculat
integriraš. Ws; vero qu§ ad aligd
mukci modulanunis reperanienrs
pemoscür.Iinmobilis vero magni
tudinis -geoinerrica noricia pollicer
LDobilis feien uä astronomih difci
plin§ peritis vendicguir.Qliib' qua
tnorpartid' 6 caresrinqui6ror:ve/
m inucnire nö poMt.ac sine hac qui
de speculstioneveriransmM recre
' /

sspiendum est.Lst enl sapientis es/
rumrerum que verx iunr: cognilio
r inregra comprehensto. Quod hic
quispernitüd esthas lemitas sapie
rixei dcnuucio nö recte philofopha
dü. Liquide philolophis est sinor
sapiemi§: qua in his fpernendis an
te contempserit. Aliud quoque ad>
denduinsrbirror quod cuncca vis
mulrirudinis ab vnoprogresta ter^
Mino:ad inkinita progremonis sug
ments concrescit. magnitudo vero
a finita inchosns quantitste modü
in diuisione non recipit InstnitilN/
inas enim Mi corporis fufcipit secti/
ones.Danc igitur nsturx infinitste
indetemunatamq; potenrisinrphi
losophis sponke repudist. Hihil eni
quod infinirum est: vel fcienns po,
test colligi vel menre comprehendi.
Sed hincsumpstrsibi ipsarstio.in
quibus poster indagacricem verita^
tis exercere lolerciamDelegiteuim
de infinit^ multi.udinis pluralitste
finih terminu quantitatis: ec intern
minsvilis msgnimdinis sectione re
iecca: definira übi ad cognirionem
spariadepoposcit. Löstar igirur gs^
quis h§c pretermiferit.omne philo^
sophieperdidiste doemnam. Doc
igimrillud qusdruuiuzestquo his
viandum 6t quibus excelleuor ani<_
mus s nobis cum procrearis senst^
bus ad incelligenrie certiors perdu
cirur. Sunc enun quid am grsdus: ,1^.
certßque progrestioitü dimensiones
quibus ascendi progredique post'it:
vt animi illü oculum: qui vr sit pla^
to lnulcis oculis corporalibus salus
ri constimique 6t dignior. quod eo

solo lnininevestigarivel infpici ve/
riras quem. Dunc inqua oculu; de
merstunorbsrÜPcorporeis senstb'
h^ discipline rurstr; illuminer. Qu§
igicur exhis prima discends est.-nist
es qu§ principinm mstrisque quod
ammodo ad ceceras obriner porri/
onemchßc est sm srirhmetics. Dec
em cuncris prior est: non modo qö
Hanc ille hui'' müdan§ molis condi
kor de'' prima stre hsbuir rariocina/
tionis exemplar-.r sd Hanc cucka cö
stiruir quxcücy kabricance ratione p
numeros aMgnali ordinis inuene
ne concordism.sed hocq uocy prior
arithmeticsdeclsrsnqS qu§cuncy
namrs priors sunt: his strblaris: 6/
mul posteriorg tollunt.Qö st poste/
riors pereant: nihilde stsm prioris
subilancix permmar.vt snimal pri'
esthomine.'Nsmstrollss sniinal:
ststiin quoP hominis natura dele >
tsiil.Si Homme fustuleris: snimsl
nö peribit.Lt econtrario es leinper
posteriors sunt qux secü aliud qöli/
bet inferunt.es priors quxcü dicra
sunt:nihil secü de posterioribus trs
hunr.vt in eode quocp homine.^NL
K Homme direrisistnmlqnoctz sni/
mal nominsbis. Idein e em homo
qö animal.Si anims! dixeris: non
specie stinul hominis intulisti. Ilon
est enl idem snimsl qS homo.Doc
idem in geomerrica vel in arithme/
ticsvidetur incrrrrere.Siem nuine
ros rollss: vnde rrisngulü vel qua/
drstü vel quicgd in geomerrica ver
sgtsque omnia numerorü denomi
nstius sunt. Är vero st qnadratü tri
sngulüq; fustuleris -omnistP geome

trics consüpta stt:tres r qnamor:ali
ornPnuinerop nonperibunrvoca
bula.'k^nrstrm cüsliqna geometri/
ca forma dixero:est illi sinnst nume/
rorü nome implicitü. Lü nnmeros
dixero nondüvlla forma geometri
ca noininaui.Wnstca vero qua pri
or 6r numerorü vis: hincmsxime^r
bsripotest: quod nö modo ills: na
tura priors stun qu§ per fe constane
quä ills quc ad aliqnid rekerunt: s;
eris; es ipia mustcs modrstatio nu/
merop nominib'snnotsk. Lr idem
inhaceuenireporest:qö ingeome/
rrica predicrü est. jdiscesteron enim
T dispece:r diapason: ab anrecede
tis nnmeri noib'nücupsnt. Ipforü
quoctzsonox aduerstis sqpporriorso
lisnectz slüs nrimeris inuenir. Qni
ein sonus in dyapafon symphonia
estudem dnplio nnmeripportione '
colligu.Que dyacest'cron est modu >
lario:epicrirs collarionecomponit. '
Quadyspenre fynrphoniä vocsnt: i,
heimolig ineöicrare coniungil.Qui
in Numeri cpogdous estud est ton' /
lmustcs. Lrne stngrstspseg lsbore
hui'operis fequeria quäto prior str »
arirhmeticastnevUadttbirariäemS
strabir.Sphericä vero arq; sstrono
micä räro pcedrt: quaro dux rekqu§
discipline hsnc rerriä namrs preče/
dunr.In astronomics enim:circuli
sphers.cenrnrin: psrslelique circuli
mediufque srrs est: qux omnia ge/
omecricx d ifciplürx cr»rs stmr.Qua/
re est eriam ex hoc ostendere fenio/
rem geomerric§ vim quod omnis
moms est post quietem: et namrs
seinperstatio prior est.Wobitiuum

Le substsnria numeri. Lap

Wniaquxcür
que s pineua
reu narurs co
ürucrasüt:nu>
inerox videne
rarione forma
ra. Doc eni ku
icprincipalein
animocödiro

ris exemplar.Dinceni quamor eie
merorü mtiirudo muruara etichinc
remporvvlcey.hincmoms assrorü
celique conuersio.Qux cum irs line
cüqueomniü ssams.nünrero? coili
gstione funganeü quoque numeru
necesseeKin xrpriasempsese Huden
re xquslirer sudstanris pmanere:eü«!

- qMcöpoütü non er diueists.Quid
em' numeri krblianciä oiungerec:cü

Hero sstronommrimmmobilium ge
omerrica docerins est: vel quod ar>
monicis modularionid^moAs ipse
celedrarur astrornnr. Quare con ->
stat quoque muücx vünMrorü cur
lirs sntiquirare pcedere:quä Mpera
renacura arithmcricädudiü nö eil:
cüprioribusquäilla e anriquior vi
dear.ldroprie ramen ipsa numeror
L, rünarurs:0mniss1froxcursus:om
nisPastronomicarsuocöstimrae.
Sic ein ortus occasusque colligim^
.. „s. Kctsrdiraresvelocicsresqueerräriü
lrderuin cu!iodiiuus:6c dekeceus r
muiriplices iun§varisriones agno
lcunus. Quare qm prior vr claruir
srilhmecicevis ett.hinc dilpurauo^
ms sumamus exordium.

lpüus exemplu cuncrarunxisset.-'sed
ex seipso videmr esse cöposik'.ldor^
ro aürmhiiex süniiibuscöponi vir
demrrnecex his que nuila meionis
Iporrioue iungunr.-r a se oinni sudr
Iranna namraque discreca sunr.Lo
stse ergo quonimn coniunceus est
numcnls meque ex similibus esse co
iuncm.neque ex his qnx ad se inuir
ce nuila rauoneppornonis hcrent.
Lruitt ergo numeros prima qu§ co
iunganr ad substantiamquidequß
constenc:sempquepermaneät. 'Ne
que eni ex non existenrib' essici quic
quä poteli:r Mr ipsg dissunüia r po >
renria cöponendi.Dec am sunt gb"
nuinenrs constac rpararque inrpar.
Qu§ diuins qusdä poreüs cüdiipa
ria sink orrariaqueaanre ex vna ge>
nicuraMuniiti-r in vnä cöpokrione
mo dulsrioneque iungunr.

iZe diffinitione numerier diuMone
pariš r imparis. Qap.;.

Z-primüquid M
numerus dissini
endüest.'Nttme
rusestvnirarum
coliecrio:velquä
riraüs aceruus
exvnirstibus
Msus.Duius igi

rur prinia diuiüo essan impsrem at
que parem. Lt par quide e:g pör in
xquslia duo druidi vno medio non
inrercidcre limpsröo qrre nulius in.
xquaiia diuidir qS in medio pdicr*
vn^inrercidsr. Lch^egdehuiusmo
di diffinirio vulgaris est r nora.

Alis scömantiquiore modu; diui/
ioparisrimpsris.

occonsrius in.4.r m.4, r item x m
xqusles vr idemocronarius in.s.r
in.;. in ilts quide diniüöe vtrxque
parres psres sacke sunt: in hscvrr§
que impsrcs extirerüt.'Necv vnqua
fieri pöt:vr cu; vns pars diuilionis
psr fuerit:s!is imparlueniri qnear
sücuin vns iinpsr M: slis psr pos>
kc intelligi.Impar^o numems eit

> , Lap.s.
Lcudu anriquio>
re; modü alia
e Paris numeri de
finitio. Idar nu /
mer'eüqui iduo
xqualis-rinduor
xqualia psrtitio^

dmldt:mAxuua spa nein renpu:sed ut m neutrs duuüo

- ' - - ne: vel impancari pariras: uei pari/

tari iinparitas misceamr:pr§cer so< s-

lüpariratis principembinariünu^
merü qui in§qnake nö recipit iecrio
ne-propreres quod ex dusbusvni
tsndus conitsr r ex prima duorum
quodsmodopsrirste.Quodaute;
dies rs!eett.Sieni;ponarparnu/
merns: por in duo equslis diuidi:
ur denari' diuidir in quinos or/
ro aüt r per inxqualis m ide; dena
rius in. ;.r in.^.Sed hoc modo ut
cuzvns pars kuerir diMonis psr:
a' ia quocy psr inuenimur: et 6 vna
impsr.reliqus sd ei'impsrirsce no
dilcreper.vtieodc nuinero qui eit
dcnsrius.Luin enim diuisus elt in
quinos-vel cn; in.z.rin.^ .vrrxque

kdMnitio numeri Paris rimpsris
. scSinpsthsgors. Lsp.4.

'Llsaütscöinpsts>
gorica disciplinain
cslise.ldsr nuine/
nrs est g sub esde;
diuilioepötinma^
xims psniiMinscv^-

cio: panMms quanmsre" l^cun
dum duop istop genern cörrsriss
pMones^Impsr^o numerus eit:
cui hoc quide accidere non pötised
cui^in duas inequales tümas ns>
mraiis est secrio.Doc est aüt exem^
plsrurü quillibec dsrus par nume
rus diuidsrur.msior quide; quärü
sd dmirlonis spscis peniner nö in
ueniek quL discrets mcdierss.qus>
rüste ^o nukia minor lir: quä in ge/
mina sscts parricio. vr 6 par nume
rus qui est.s.diuidacur in.4.arque
?°/'^^l!0s.4.naUserir aiis diuisto que
^^nsiores partes essicisr.ldorro aüt

" nuUa eritalig^iuMo qux xomznn/
> incx minöre ömidst quätitste.In

duss enl psrccs düMoue nihil mi

uns eit. Ln eni rorü quis fucrir rri/ , in vtraque porriöe partes impsres
na diuilioire parrilusMacij qiAde; exrirerunr.Si aüt iplevel slius nu/
sümsminuir sed numerus diuiko/ memspar diuidarurin §qusies:M
nisauger.Quodaürdiclücstscöm --- ' - ------

duop gcnerü conrrsriss pMoncs
huiusuiodi eit. idredocuimns eni;
quäutsre ininfinirss plurslirsres
sccresccre-spscis rero id eit msgni
rudines ininfiniriMmssminuipsr
uirares:srque ideo hic cocra eucirr
H§cnsqueparis diui!l0:spacio eit
msxima parEma qnärirsre.

qni ad quNibet Asm diuistonez: x
inxqualia semper diuidir.uc vrrascy
species numeri semp ostend ar: nec
-7" vnquäasterakne asterastr: sed vna
pars panrstiumparitsri alia depu/
lst.ur.^.st diuidas in.) .-r in.4.sste
rsporriopsr.astera impar cst. Lt
hocideincüctisimpsribus nuine
ris inuenir.Mque vnquä in iinpa
ris diuistone prerer le esse possunr
hx geminxspecies qux nsruralirer
vim numeri lubstäciaque cöponür.

dissinirio pans r imparis per aster
^ 5 urmm. Lsp-6.

Llod 6 heceria;
p asterurras spe
cies destnienda
funt:dicerimps
re numeru; esse
qni vnstare dis/
kerraparüvelin
cremeroivelde/

minurione. Aepar nnmerus est.g
vnirsredisserrab imparivel incre/
menro vel deminutione.Si enl pa>
ri vnü dempseris vel vnü sdieceris:
impar essicinvel 6 impsri idem fece
ris:par conrinuo,pcreacm.

Ideprincipalstsre vniratis. Lsp.^.

Wnis qno<V
numeru« cir/
cü se poistorü
r narnrali st/
dimer dsspoll
ioneiunccop
medieras est.
Lcquisupdu

os Mos sm g medio iungunr li com
ponank: ecia; ipsox supradicrus nn
merus media porrio est.r rurstrs st/
lox qm sunt super secundo loco ist/
croscnzipstquoquestnr compostri
prior his nuinems medieracis lo/
co est.r h oc erst vlque du; occurres
vnstastrerminu; seccrir.Nc k ponar
qulsqmnariü numerü sstrinsecus
circa ipsu; sunr supra.4.inferius sex
Di ergo st iüctistmrrfscim. iv.quo
rü. s.numer^medietas est. Qui aüt
circa ipos id est circa.e.r.4.strnc.;.
lcilicer er. idem st strncri Mr eorum
quinarius nuinerus medieras est.
'Kursus istox qui alrrinlecus postti
sunt st iunganrretiä hi quinari) nu/
meri dupli lunt.Dam super.; .sunt
r ssup.^.stmc.s.Di ergo 6 iuncri sük
faciunt. m.quop quinarius rurstrs
medieras est.Doc ide in omnib'nu
meris euenir:vsque dum ad vnira/
ris rerminnmpueniri quear. Sola
eniz vniras circü se duos terminos
non habermrque ideo eins qm est
prope se solius est medieras.'sslam
iuxra vnum solu» est binarius nam
ralster constirums cuius vniras me
dia pars est.Quare constar primu;
esse vnirare; cunccorum qui sunr in
nsrursli dispostrionx numerorum
ream rire rocius quäuis prolixx ge/
nirricemplursliraris sgnosci.

rsmisto Paris numeri. Lsp.s.

täte pares parirer mttenianr. Quo
sm r noie r quärirare pares habest
partes hie numer'post dicem'. Do
rü sütgeneratio talis e.Äb vno enk
quoscücp in duplici oportione Nora
ueris:tz pares psri^pcream. idrek
hac am generstione ut nalcankalik
ipoMbile est.Dui'aül rei tale videt

p ordine descripriöis exeplü.Sint/
quecüctiduplicesabvno- '.1.4.8-
!6.;r.64. 118.156.5 Iialqirehinc
k fiat infinils.psrestl0:tsles cücros
inuenies.facrique süt ab vno in du,
plici.pporrione: r oes süt paritcr pa
res.Illud aürnö minima ostdera/
tione di§nüest:qdeius olspsrs ab
vnapteqnacücy qinrraipmnume
rüestdenolacttätäquesmnä quäti/
cans includit: quora ps eil alter nu
mer'parik pans illi'g eü orinet qua
rirac^. Aaque fit ut übi partes ipsx " '
rndeäcmc qnocaps vna e: tantaha
hesralrera quänrace: r quots pars
ista e:tanrä l priore lümä necelle stt

pares flserltdiPosttloesmrdux me
die ptes stbirndeät.post^o ciu§ sup
ipas süt übi inuice cöuertantiacque
hoc ide fiat donec vrercß termin^ex
treinitates incurrat.Donarenl pa/
rikparisordoabvnovsP- irS.hoc
mö- >.1.4.8. 16.; 1.64. ii8.ereakt
süma marla.W IZ igt qm pares di
spolrtiäcs süt:vna medieras nö pöt
iueniri.Süc igir du^:id est.8-et- >6.

q ostderädx süt queadmodü ipe st/
bi rndeär.Aorius eni summe id est
>18. octäüa Mrs est- '16- sexradeci/
ma-8. Kursus sup Has partes qux
sumäpse stbi inuicein relpondebüt:^

Aris ame; numeri
spcciesMnt.z. Lst
enimvnaquxdicit
psriterpar:aliave
ro parirer iinpar.
rertia inrparir par
Lt contraria qni

demüocaque ohrinencia summita/
türvidenr esse parirer par: r parirer
impar. Wedierss am queds; qux
vtrorüque parricipar est nnmerus
qui vocm iinparirer par:

jde nuinero parirer pari eiusque
proprieratibus. Lsp.y.

Zlriter par nüe/
rusestrquipötl
duo paria diui^
di.eiusque pars
i aliaduo paria
partisque pars i
alis duo paria:
vrhoc torienski
at:psque dum di mstirndinis inueniri. Lc primü fit st

uisto partium ad inuistbile natura/ - -

liter pernenistcnitarem.Llt.64.ntt
merus Haber medierate.; r,hic süt
medierarein. >6. hic vero .8. hunc
quoq; quarernarius in §qua parrir
quibinari) duplusest.sed binar?
vniratis medie-ate diuidir. qußvni
kas naturalicer stngttlaris non reci
pit seccione.Duic iruniero vider ac
cidere vr quccüque eius fuerit pars
cum nomiue ipso vocabuloque pa
riter par inueitiat: mm eciam quatt
tirare.Sed ideo mihi vider hic n»/
mems parirer par vocat?: quod ei'
omires partes riromine r quanti/

-r—

id ek.; r.er.4..Ha;.;r. quarta tz» qtti vno minus qusternario cadüt.
e ton' lume.4. ^o trizestmasecuds Lr k superiorib' sddas.4. sunt.?-.
-Aurlns lug Has partes.64.lecüda', qui ab ockonario kquente sola vni
pars ek .r. vero sexazekmaquar / tateviitmntur.Sed 6 eosdem.s.su
ta.Donec excremicates limicein ka/ prsdictis adiunxeris. 1 s.kent. qui
ciantrqussdubiumnonekeadem pär. 1 s.nuirieri exilieret quancica/
responstone zsudere.Lk enimom ti.nist minor vnirasiinpedirer.Doc

nis summa semel. irS.vnus vero
centestmus vizekmus octaurrs".

Si amem impares terminos pona
mus id ek iummas: idem enim ter
minos quod lumas nomino: scöyr
impsris natura porekvna medie/
tss inueniri: atquevira stbi ipss el^
responsurs. Si enün ponarhic or/
do. i.r.4.8. 16.zr.64.vns ericso/'
la medietss id ek.8 .Qui.8 .sumiux
koii'xs ek occaus r stbilssi ad deno,
minarione quantitateque conüN/
tir. Lodcque modo stcut stiperius
"'circa ipstr; qui sunt termini-donanr
kbimuma nomina scöm proprias
quamitsres vocabulumque permu
kanr.-Nam.4.sexradecima parsek
totins strmine . >6.vero qusrta. Lr
rurstrssuper hos terininos.;r. se/
cnnda pars ek rorius stnnm§. r.ve
rotrigestms secnnda:r semel tots
summa.64.smtt ' lexazestmaquar /
taverovnitssinuettir.Doc igicur
ek quod dictum sk:omnes ei'par/
res -r nomine rquantitate pariter
pares inueniri.Doc quoque multa
constderatione: inultaqtie conkan
tia diuinitsrisperfectumek:utor/
dmacimdispoktk minoressummx
m hoc numero r super seipsas coa/
ceruat§:sequeti minus vno semper
§quenr. Sienimvnumiungashis
quiseqmmr duobus: fiunt.z.id ek

smempnmaetlamnumcn proze/
nies leruatstG cukodir. "Nainque
,, vnitasquxprimaeklduobus subse
quentibussolaek vnitsre contra/
ctior:vndenihilIiiruin eft: komm
I- suminecreinencü proprio consenti
7t.repriitclpio.Dkc aüt nobis cästde/
^ralio maxime proderit in his nume
'ns coznoscendis quos luperkuos
vel imminutos persenosque mon/
Krabiinus. Wie enüncoacerUara
qnanriras partium:nmneri roritts
termino cöparsr. Illud quoque
nulla poMtinus oblipione trästnic/
tere: quod in hoc iurmero respon^
dentibus stbiinuicezpartibus mnl
tiplicatis:maior extrenmas eiusde;
nunieri lUmmaque coNncic.Ltpri/
mum st pares fuermt dilposttiones
medij multiplicsnt:atque inde qui
super ipsos su«tt ivsque ad Kipradi/
ctas extremitstes. Sieniinfuerinc
pares dispoimones rscömnamra;
Paris duos in medio terininos co/
tinebunt :M in es disposttione nu/
merorum in quaexrremtts rerini/
nus. > r s .finitur. In hoc enim nu/
mero medietates iut .S.sczet. 16. q
^ssemulriplicate: inatoris sümäcre/
scöte pluralicate okicier. Occies eni
16. tlel sedecies. 8 .st mkiplices. > r 8
füma ocrescic.Äcq; hi numeri g stip
eosde lut k inttltipUcettt ide; kaciür

n panter pariš opponit.idocebitur
näque H lange hicdilNmüi rano/
ne diuidatnr. 'Nam quoniä par ek
in partes equales recipit secttonem
psrres vero eins moxindiuilibiles
atque insecabiles permanebunt: ur
lunr.s. >o. >4r iS.rr.rhis kmiies.
Wox enim hos immeros 6 in ge/
mina fuerisdiuikonepsrritusrin/
curriv in imparein quem secare no

L>e numero parir impari eiulque
propriecstibus. Lap. >o.

vni

;.su

qui

lt,/

doc

)ge/

que

tbse

>mm
scnti
ide/
uine b !

uos

»on/

«ata

lins

>que

mit/

pon^

mul
usdc;

tpri/

eqm -
iadi/
icrint
mra;

>scö/
enu/
mni/
,unu/

.,s.q
täcre/
ics em

nqM
zfaciüc

Anter aüt im/
psr numer^ek
quiripequide
paricatis nsm
räsubkanlism
que sortintse:
led in contra /
ria diuikone:
nature irunre /

'Nam'.a.et.zr.inscli multiplices:
supradictä fscierextremirste.4.enl
trigies et bis :vel quater.; r. ducti:
> r 8.kmutabili necessirate cöplebüt.
Atque hoc vlque ad extremos ter/
minos caditadeK. i.r. >r8.Semei
cni extrem^terinin^. irS.est. Lenes
vigies arque octies vnicme multipli
cma:nihil de priore quätirsre muts
bir.Si aüt impares fuerint dispost/
tionesrvnus medius ceiiniiVimt^/ polNs.Accidit sute; hisq^ö omnes

niv:srqueipselibi.ppria'mult!piica/ partes contrsnedenominstas ha
tione respondet. In eo näque ordi
ne numerop: vbi ertrenrns rermin^
04.plurslirate coircludir:sols inue/
nit vns medietasrid eK.S.Quam ll
octies id eil irr lemeciplsm multipli
ces.64.explicabir.Ätque idein red

^dunt illi qui sup Hanc medierare für
' ur budü hi qui super duas politi ka

ciebant. 'Na; quacer. is.64.sunt:r
sedecies.4.ide; complent. 'Kursus
bis.; r.facti a.64.non discedunt: r
trigies bis duo.eosde mmulät: r se
mel.64.uelvnitassexagies quater
multiplicata: errndem inlmerü line
vila variersre restiruenc.

bem:H luvt quannrares ipsarum
panium que denoimnanr. lieque
vnquä kieri porestarc quelibet ,

huius numerireiusde gÄieklsdeno
minarione quämatcque suscipist.
Seinper enim li denominstio lue/
rit panquantitss partis erit impar:
etlifuerirdenominatio impanqua
titaseritpar.utin. l8.secundaeius
parsÄ^Deü medisquod parita/
tis nomcn ek.Z. qux impar est qua
titas. ^Ka vero qux impar ek de
nominaciorsex :mi psr pluralicase-
Kursus kcöuerkas sexcs pars qu§
psrekdenominatio: tres sunt: sed
temsrius impar ek. Lt nonapsrs
quod impare vocsbM.r.qui par
numerus ek. Atque idezin ali/s cä
ccis qni kit panter impares inuenir
17eque vnquä kieri potekrut cuiuNi
betpanis-kteiusdegeneris nome
r numenrs.^ir süt hop procreatio
numeroM sb vno difponsm qui/
cüqlle duobus dlfferüt: id ek omni
bus inrparibus naturali sequentia
atque ordine cöMmris . INäque hi i
k per binsriü numerü multipiicenr
omnes panter impares:rireplurs/

Utas dimenla efficiec. id onar eiriin
prima vnirss. > .rposthuncquiab
hocduob^disterrüdesttres:r poli
huncquirurlus a supcrioreduob^
id eit. s.r hoc i lfinirü:^ ür huiusmo
di dispostrio. >.?. 5.^.9. >>.>;. >5.
'7. ^.Diergonaruralirersequen^
res impares sütrquos irullus in ine
dro par nnnrerus distinZuir. hos 6
per dinariü immerum inulriplices:
esticies hoc inodo.bis vnü id est.r.
qui diuidir qnidein: sed ei'' partes
indiuikbiles reperiuntur: proprer
inlecabilis vnicaris nacurä.Dis. z.
bis.5.bis.7.bis.y.bis -" .r dein/
cepsexquibusnascunrhi.r.s. io.
14.1s. r r.Quos 6 dimdgsrena; re
cipiunr secrione: cetera repudiäres:
quod secunda dimsto ab imparis
medietare partis exckrdir.Dis aut
numcris ad leinuicem qusternarii
sola distanria est.lstäque inrer duo
rsexnuineros.4.s»l. RurMs inrer
s.r. >o.r inrer. io.r. >4.r inrer. '4.
r. >3. idem quarernarius distercciä
facir.Di naircpomnes quarernsris
sese immerostrare lranscedunr. Qö
idcircoconringirrqnoniä primi qui
politi sunr id est eorum kundsmen/
rs:binario se numero precedebsnc:
quos quoniamperbinariü multi/
plicauimusün quaremariü nume?
crerm ills progrelsto. Duo enim per
bis mulripiicati: quarernari) iaciüt
suinmam. Iguur iir naruralis nu/
meridisposicione: parirer impares
numeri quinro loco a se distsnr: so/
lis:4.se precedunr.z. in medio trän
seunres per binariü numerum inul
kiplicaris iinparibus procreari.Lö >-

rrarie^oestedicunr hespecies nu/
merox: id est parirer par: r parirer
impar.quod inirumero parirer im-
pari sola diuilrone recipit insior ex
rremirss :in illo ^o solus Minor ter/
ininns seccione lolurns est.r quod l
forma parirer Paris numeri: ab ex/
treiniracibus incipienri: r vsque ad -

inedia progredienri quod conMer'^j.
sub excrenüs cerininisiÄinest illi/,^ --
quod concinecursub iiWale poütis - !

sununulis. Ärquehoc idemvsque
ad duas inedierares fuerirvenmm


in dispoffrionibus lcilicerpsribus.
Siaürfueriirr iMMs dispoM^
nes quod ab vns medlerarexonclk
hocidezsub allrinieciishblltis par
ribus procresrur.Ärque hoc vsque
durn ad extremirares proceiNo fiar
In ea enim dilpolilione queest.r.
4.8. lü.idemreddunr.r.p. is.mul
tiplicari:quod.4.per ocronariü nu/
meru; ducrirroque enim modo
; -.fient. Quod 6 impar 6t ordo ur
est.r.4.8 .ide kscienr exrremi quod
medierss. Biseni;.8.sunr. icr.qua
tuor qusrer lunr. 16. qui numerus
a quarernario inseducro perkicir. . h
In numero §o parirer impari 6 kue >
rirvnus in medio terminus:circü se ^ 4 ,
postroj rermino? 6 in vnü redigan
rur inediecas est. Lt idem eopqzg ?
super hos sunt renninos medierss I

est. Arque hoc vsque ad exrremos -
omniü terminom vc in eo ordine g ,,

est parirer impariu; numerox.r.o.

lo.iuncrus binsriuscum denario
>r. expler. caius lenari'' inediecas
inuenir. Liv'o fuerinr due mediera
res iuncreupe vrrcque equaies erm

super se terminis constitutum eii in
hoc ordine.L.6.10.14. Juncu cm;
r.-r. 14.M. is. crescuntquos sena/
riuscu;denario copularus efficiet
Arquehoc in numerolloribns ter/
minisinitiosumpto amedijs eue/
nit vsque du; ad extrema veniar.

de numero impariterpsri eiusque
proprieraribus. Laß. < 1.

WpsriterpLr nu/
merkest ex vtrisque
lMjs VÄj cöfecms r inediera
risloco geminaex/
tremirste concliidi
xLM rur.mqua abvrro/

>1 quediLrepetreade
sd alterutrü cognatione iungstur.
Die aür ralis e qui diuidir in xquas
partes. cuiusque pars in alias xqs
dmidi pör: r eris; aliquado partes
pgrriüdiuidunr:sed nö ut vsque ad
vniratemprogredisr xquabilisilla
diMnctiomt sunt.r 4.r.rS. Di eni;
possunr in medietsres diuidi: reo,
m; rursus partes in alias medieta/
les sine sliqua dubicatione soluunr
Sunt etiam quida ali) numeri quo
rü partes alias recipiunt diuckones
sed ipsa diuiko ad vnitate vsque no
puenir. Igicur in eo quod plus H
vnä suscipit sectione:hsbet sttttudi/
nem pariter pariš: sed a parirer im,
pari segregar.In eo ^0 quod vsque
sd vnü seccio illa non ducmpsriter
inipsre nörekutstrsed s parirer pa/
ri dilmngic.Lontingic aüt Huie n»/
mero rvrrsqup habere qux suxio/
res nö habent:r Vtraque que M re/

cipiunt oprinere.Lehabetquidem
quod vcriquc non hgbent:quod cü
in vno solus maior rerminus dmi>
derer: in a'io vero solus miiror rer/
minus non diuidererün hoc neque
solus maior rerminus diuMonere
cipir: neque minor solus termin? s ,_

dimlione seiungir. Dazr partes lol
uunr r vsque ad vnitate; lectio illa
nö pucnir. sed snre vniratem inue/
nitnr rerminus quem lecare nö pos
6s. Optinet aütqn§illiquocyrcci^ ' v:
piunr: quod quxdä partes eius re/
spondeyr:denominanrque scöm ge
nus suü sd propnä quanrirsre: sd
llmilitudinezscil; parirer pariš nu/
meri.Äli^ vero parres cötraria de/
nominatione sumunt proprixquan
titatis sd panter imparis Lilie; kor
mam. In.r4.enim numero psr elt
quätiraspsrtis a pari numero de/
nominara.'NÄmqusrts.s-secüda
vero, ir: sexca vero.4: duodecima
r -que vocabuls psrriü a qusnrirs/
tis parirare nö diLrepanr.Lontra/
rix vero denoininanfcü tenia pars
octo:ocraua§o.zrvigellmsaütem
quarts. 1 :q denominariöes cüps/
res ünc inueniunr nnpares quanri/
rares.r cum knr pares summ§.sunr
impares denominsttöes.MsLunr
süttslesnuineri irs ursubstanria;
nsruräqnesuam in ipsaens;,ppria "
generstione designeuex parirer pa
ribus r parirer impsribus procrea /
ti. Dsrirer eni; impares cuncri du
dum ordinatiin posuis iinparibus
naLebanrur. panter vero pares ex
dnplici^pgreHlone. jdisponanr igir
omnes in ordinem namralircr iin/

pares rsubhisaquamorinhoares
^nines dupliccs rknrho cmodo.
I z >  s  !  7  ! 4  !  >> I I

V^MuriraMtSUpnmusprr/
mi muiripiicanone cocrescat: »d ek
k auarernsri) rernanusmei k »vem
primus secüdi.id ek ocronaru ter/
nanus vel 6 ide primus remi rde»
is.rernari^ridemvsGad vlmnu.
uel k secüdus primi r secüdi:ur n se/
cundUSrerti) r eade vsque ad extre
mü mulnplicatio^>ferar.rlel 6 rem
s primo inchoas vsque in exrremu;
träsear.Ärque ira quarcus romnes
in ordinez tupenores inultiplrcent
eos qui sub ipiis in dispokcioneAr
omnes impanrer pares procreavm
^uius aür rei rale Ainainus exem
plu; :6 kres quater mulciplices. ir.
kienuuel 6.5. quamor inulriplrcenr
ao.numerus excrelcer: uel6 ire;.^.
mnMpUcenr.4.rS.succrescer:srque
koc vique in kine. 'Kursus 6.8 .mm
riplicenr.;.nascenr.r4. Si.8.m. s.
finnt.4o. ti.S.in.7 .coMsentur. 56.
Arqrre ad hunc modü 6 oinnes m>
keriores duplices:a superioriv^mm
ripliceururel 6 superrores eosdezin/
feriores muicipUcent:cüctos qmna
tikuerim imparicerparesinuemes
Ä ccn hcc ek admirabMs huius nu
meri sorina. quod cum suerir ipsa
dispokrio descriprioque pspecta nu
merox:adlsmndinempariter »m^
psriü: ad longirudinem psrirer pa
riumnumero? propriecas inuemr.
Suntenimduabus mediersuvus
equsles dueexcremirares rueivna
medietare du§ dupUces extremua^

tes .Jir logirudine vero panter pa/
ris numeruremLprietatöque de6/
gnat.Quod enim tub duabus me,
dieratibus cotiner:§qualeekeiq-
sub extremis cöficirur.ueiquod ab
vna medietare nakit: xquale ek M
quod sub vtrisque exlremitarib'co/
tiner. jdcscriplio aür qu§suppo6ca
echoe modo facta e. Quätolcuque
inordineparirerparium numerop
rernarius numerus muilipiicauit:
auicüque ex eo procreati sum: prr/
mo Ant verA dispokri.'kurAs qm
eosdeinmultiplicante quinsn'ons
ti sunt:lecundo loco conkttutr Ank.
'pokvero quos leptenari"c§teros
mulnpiicando procresuu: eoldem
tertio cösenplimus

reliqua descriprionis parce perkecr/
mns.

Inhac formula sequenk kmilim/
do parirer pariser psrirerimpsns
gd impanrer pariš ottendir.

PL/

me,.v
nq-
dad
Mi
>'co/
osica
!que
erox

M-.

mqm
siona
isunr.
kcros
tdcrn
cidc;
rfeci/

milicu^

npans

secari quem vniraris iinpedir incer/
tlettrs. Lres habet stmiiir sub diui/
stones-qua? vna ei^pars est is nu/
inerus qui vocm pmn^r incopostl*
Seda ^o qui est secüdus r cöpostt?
Ltterciaisquiqusdä ho? medic/
kare coiuncnrs est: r ab vtrirssctz co»
gnalione aliqmd nmuralir trshit g
estpsequidelecüdus -r copoktus:
sed sd alios comparatus primus r

termin? id est-^lr in semetissm d«
carudem- r; o4,pcreant ubi aurc;
kerminiduo Kuas mediermes iclu/
dunt.qS fitnmltiplicatis cxrreinica
tib':hocidereddit in a'terurrä sii/
ma medictalib'ducris .jdnodecies
enim-y6.nm!tiplicstis -! > ;r.pro/
creant:due^oeo?medietares ide
r 4.et. 4 8 - 6 in semeripsas mu' tipli/
cenneosdez. i < sr.restiruer.Ätque
hoc e ad imirationez cognacionecy
numeri panter pariš :a quo psrtici
patione tracrahecei recognolcir irr
generatSIprietas.Lt in slio ^o la/
terc longirudinis: eade rano delcri

est hunc numeperpriorib'duobriS
esse procreatä.quonis eoru; retinet
proprierstes.

L»e nnmero impsri eiulque diui/
stolic. Lap->;. /

WparquoGnu
mentsest.gsps
ris numeri nat«
rasubstätiactz dif
imicl?est.Siqui/
deiile in gemiiur
inebra cqua di/
uidi por:hic ne

tönmnos iungss: driplos eos ine/
öietale propris repies vt-; s.et- ro.
fscümr so- quo? mediecss ess - rS -
qui snedius est iiiter eos rermin'cö
stinmts.Ltrursus rS et- ir.kiun/ ptiocpnotsraest.Ouaremsnsseku
Ds faciunt.40 qUop.ro. mcdieras
mediüs eop rermiirus innenir.At
vo ubiduasmedietates habet:vlre
que extremitsres umctswcrisq; me/
hjecatib^ualee fiunr ur- > r -ec- z 6.
cs; umreris fiuc.4d.hop fi mcdiers
kes stbimerappticauerisid essro-r
rS.ldemerir.acquein slia pane la/
titudinis eode; ordinequi fiant nu
meri norari funr.sslecp vila in re ra/
tio vtriustVlaritudinis discrepabit:
idemque in eode; ordine in ccceris
nnmeris pirocabis.r hoc scöm kor/
mam psricer iinpans irumeri fir: m
quo hancpprietatezesse supraiain
icripcüest/Kurür; si ad lögirudure;

respicias vbi duo termini vns; me/
diersre habet quod kit epmulripli/
caris eptreinirarib^choc Kr k medi"
rerminlts su§ capiat pluralitatis mr
gmcnta.ssladuodeeies-4d.facium
5 ?s.weditts v'o eop termin'' id est
- 4>st multiplicer-eolde rurlus- s ^6-
pcreabit.Lt rursus st. r4.iu-6.mk/

jdcLriptiois ad lparirer pariš m Is tipkicenr fscmt.r ;o4- Quop mcdi^

ritMse Mlongitudinead panrer " -

pariš narursm percinenus eppost/
no. Lapi-ir.

Nperi^igirdige/
ie descriptionis
hxcrario est. Si
adtsrimdinez re
spihaš ivbie duo
ni terminop vns
!nedietas:ipsos<H

incopokrusinuenir.

de püino r incöpokro. Lap- >4-

1 ^priinusquide
r incöpoütus e!t
M gnullaaliäpt^

hab; nisi ca qux
aroranneri qua
! riraredenomina

Z ta lit.vt ips pms
nollrnik vniras
' ." 'msur z ;.?. i i.

iz.i 7. ly.rz.iy.zi.Inhisßknsn
!is nulla vnH alia ps inuenier: nist
'"quxsb His denolaca est:r ips rsy/
mvniras urluprs iädicrü e. In Nim¬
bus eni vns ps sola elt:id cit rerris:

q s trib'sc; denolsra eii:r ips rerris
psvniras. Lodeqzmö quinsrij so/
ja quinta ps eli:r h§c vnitss.srque
ide; m fingniis cöseques repcrier.
dicit süt primer incopoA' qS nul/
tus eü slrer numerus mekianprecer
lolaqu§cunccis mater estvnirsre.
'NäcprernariüL.nö numersr: idcir
co qm lr solos duos ona trcs čopa
res psliciores snnc. Siirvo binsrm
Vis fscias-siupliore rrib^ocrescitl
A-Metic sül numer'nücx: quorics
uelsemelul'bis ueltertio nt? quori/
ens libet nunrer'ad numep opsrst?
necß deminula süma neq; sucrs ad
eöparaci nüeri terminü vsPpuenit
ut duo ü ad6.cöpsres:binsri^ nu/
mer'iensriüterlio melier.primos A

r incöpoMos null' immer' merier:
pter vnirste solä.qm ex nnllis sli/s
nüeris coposlri luk s; rmexvnilsrib'
M seiMipis suctis MiplicgtisPF/

c-t'c i jr MV


creanr.Lerenl vn';. rgngesxnlrf
gn^.r septies vn'. 7- fecerür. Lc slu
gde quos sup descripsim-eode mq
nascunr.Di süt in iemetiplos mulci
plicsri:fsciür alios nüeros velur pri
nn.eosP primä rex substätiä vimcy
sortitos:cüctox s se pcrestox velnt»
qda eleiners repies.' qr sc; r incopo^
6ri lür.rüinplici gnatione formacij
sccp i eos oes grüq; ex his^Iari Mr
nüeri resolunnr.ißi^o nectz ex alhs
vducunr mecx l slia reducunr. .

deiecüdor cöpokiro. Lap-1
Lcüd'vorcöpo
sic' r iße gde im/
psrc^>pkes,qSca
deiinparis^prie
rstesormac'e:l;
nulläinseretiner
sMäkispncipale

copokrusq; e ex alijs nüer^.hsbelcy
pres:-r s seipo r ab alieno vocabulo
denolaras. sed a seipo deicoiaräpte
sotä sp l his inuenies vnirare. ab sli
eno ^o vocabulo vkvnsrvkquorlib;
alias-chlärisuermt lc; nnmeri gbus
ille cöposicis ^icreak'. Vt lulhi-y-15.
L I. rs. r 7.; ;.; Y-Dopg üngttli Hs/
ber gde s se denolaras presWriay
fc;vnirates.vt ynonäidelt-1.
gnrädecims:eäde rursus vnilstc.r
l ceceris quos sup descripsim'ide co
rrenir.Dabet eriä ab alieno vocabu
lopre;.vt.-.terriL: id elt rcrnariLr
>; terciääd c-et gncä.id elt-; - r i
i?o cerriäud e-^-seplima-z-r l oibrrs
alijseade osequetise. Secüd' süt
Vocsr hic nüer': qm nö sola vnirare
merirHeciä alio nüero S quoic; cä
iuncc'ett.'NeP h;lse quicquäprin/
d r

/Til y»L?r5

cipa'is intelligente.*i1am exali/s
numerisproerest.9 quidem ex tri/
bus. i 5. v'o exmbus ec- s-ec-r i. ex
tribus et 7.rcecerieodem modo.
Loinpüstp' sürdiciteo quod refol/
uipotestineoldem ipfos a quibus
dicit eile cöpostrus: in eos scilicet g
coinpostm; immer- mecium. sslihil
süc quod dissolui pöt incöpokrum
estssed omni rex necessirace compo
kcu.

jdeeoqmxlesecüvüsr copostc'
sd a'.iü prim'rincopostr'e.Lap. >s

Isvero con/
tra fepostris:
idestprimo r
incöpostto: ec
secüdorcöpo
krornamrali
diuerkcatedls
iunctis: al? in
medio cöstde/

rar. qui ipe quidez cöpostnrs 6t rie
eundusn alterurs recipiens mesto/
riemrque ideo r parris slični vocs>
buli capsx: Kd cu; fuerit sd stimn
eiulde; generis numex cöparatns:
nnllacüeo cömuni menfura coni»/
gitinechabebvr partes cqniuocss
m sütysd- r 5' nnlls hos cömunis
numerox menstrra metil : nist forte
vnilgs quxomniü numeroxmef»/
ra cömunis est.Llhi quidem non
habenr xqmuocas parres. ssläqux
in. 9 tenis ett:in« r 5 nonestn quxi
r s.quintaett:in nouensrio non est
Lrgohi pernmursmvtrique lecm
di r compostti Et.cöparati vero ad
ieinuicem primiincöpokrique red/

dunnquod vtrofque nulla slis m§
fürs memnist vniras qux sb vtrsscy
denonrinas est. 'Nsin ur nouena/
rio nona elt:in- r s-vigestms quira.

ide primi r incöposttin lecundi r
compostti:r ad L quidem lecundi-r
compostti ad sltcrurru; vero priim
-r incöpolm procremione. Lap. «7-

Lnerano sür
tpfopacPvr/
urs huiufmö/
si inueliigs/
ionecolligir.
quam kilicet
erarostenes
crrbrumnoia
iac:quod cü/

crls lmparidus rn medio collocstis
p ea; qua tradiruri fumus arte: qui
primi:quivekcüdi:quique terch ge
neris videank esse dittinguit.rdispo
nank enim s ternario numero cun--
cti l orvine inrpsresan quÄiber lö/
gisslmaporrectione-).5-^-9 -" >»;

;s.;7.;9.4> .4^45.4^.49.Disigi
Mr ita difposttis conkdersndmpri/
mus nnmcms que; eo? qui summ
ordine politi primum metiri possir.
Sed duobus prericis illu; qui poli
eos est posti? moxmerir. Lt k poss
eunde ipfu; que mefus ett-slij duo
rrälmissi sütullü g poss duos ess rar
ürs mecit.Ll in eode modo kduof
gs reliquerit. post eos qui est a pri/
mo numero meriedus est. Lodecy
modo relictis kmp duob" a primo
in inknitü pergeres metienk. S; id

sm, -ritme vorn

no vulgo neque cofu se.stlä primus

tit.Si güt post nouensriü duos re>

r s.steperiorquos quinarius scziiu/
merus fus pluralitate metik.Quin/
quies enl quinsrio mtilplicaro- r s.
succrefcüt.Si Vo posthunc quilibet
4-intermittatreade ordinis semata
costancig: qui eos sequit scöm terty
idest septenarij numeri sümä s qui/
nario meliec.Atque hxcest infinita
procestio.Di Vorerriusncimer'que De
metin polNr exquirit: sex in medio
relinquennr que Lptimü ordo mä
strauerit:hic per priini numeri id est
ternsry quätttare metiedus est. Lt
post illu; sex alh's imerpostcis: que;
post eos numeri series dabit.pqui/
nariü id est p secüdü tertij eum men
sura pcurret.Si Vo alios rurlus sex
in medio quis relinquatrilte qui se/
quirperseptensriünunrerü ab eo>
dem septensrio nretiedus est:id est
per tern) quantirate.Arquehic vstp - -

in extremürams ordo,pgredit:Su
fcipient ergo metiedi viciMmdiyez: (

queadmodü El in ordine namrali
terimpares cöstituti . Weuenk aüt
st p psres numeros sbinario icho/
antesposttos ink se impares rata in
termistiöe trästliät.vtprim"duos:fe
cüdus.4>rertius.6.quartus.8.quin
Ms- lo.^lelklocossuosoduplicei ' /
rscSMjduplicarione termlos iMer/
mittänvt ternsri^qui primus est nn ^5-1
merus rvnus.(Ois enl prim^vnus
est)bis locüstrü mulriplicec/actatq;

bis vnü.Qui cü duo iumprim^duos
medios traseat.^ursussecüdusid
est quinarius:st locü suü duplicer 4»
expiicabit:hicquocß.4-inrermittat.
Ite 6 septenarius qui tenins eit lo
cü 5uü duplicerstex cresbir. Sisenl

d ;

numer^ illü qui est post duos scöm
irrtt H se locstos pstism quatitate metik.

ZLernarius enl numer' tercio-y- me
tir.Si güt post nouensriü duos re/
k"r/ Uquero-quimihipostillos inctirre/
? rit:sprimometiendusestperfect
di imparis qusntitgte: id est p qui^
nariü.'Nast post.ydnos relinqua;
idest. 11 et> iz-ternarius numerus
15-inetiekp secüdi numeri quärits>
tc-id estp quinarij qmternari^. 15^
quinquies mecit.Rurürs st s quin/
denario inchogns duos intermise/
ro:qui posterior posttus est:eius pri
mus numerus menürra est ptertij
imparis plurslitate.Ha; 6post-' 5
intermisero. 17.et» lyincurric- ri.
quetemariusnumenlsscSm sepre
nariümetu-ri .enim numeri terna
n'' septima p ars est. AtG hoc in in/
küürü faciens:reperio primü nume
rü:6binos intermisero oes sequen
tes post se meciri scöm quäticare po
7) ,1 sttoxordineimpariünumerox.Si

- k .. vero quinarius numerus qui.in se/

cundo loco est ostirutus: velit quis
. i cuius prima ac deinceps stt mens»/
rainuenire:trasmistis.4.imparibus
quintus ei que; metiri posstr occur/
rit.Intermittam enl.4.imparcs id
est-7.ec-y.et. >> et- post hos est
quintusdecimus.que quinariMeti
tur : scS; primi sc;quälirste:id e rer
narü.quincpenl. «s-tercio meticur.
Äc deinceps st qusmior ltermittst
erim qui post illos locsms est:secü/
dusidestquinariussui quamitate
mecit. 'Nä post quindecim intermis
stö. >7.et.i y et-r i-et^z.post eos

MtSd
iMrci
stLN'vl«
«Men
nec»c
maos
iubca"
nicsU!
do^
mu«

hiss"
id A
susdc
5dcss
0ös><
m^s»I
08M
bmm
kcso
V'NÜi
me h
writ
ikti ci!
priinoi
mm lil

Kigem'

cknoii
de.'.>.!
lusdei
usitn

donü,
deii-g^
h>Scq


jdcinuentioneeop numeroruzqui
ad se secüdi -r cöpoüti sunt: ad alias
^orelsti primi rincöpoüti.Lsp. iS

enimr- 5- 6 mulriplices: tres tertio
y.kaciützr quinquies s-reddent- 5
Dis igir nulla e cognatio cömunis
mensure.Kursus. 5 .et quos pro
creanr 6 copares: hi quoP incöine
surabiles erüc.Quinquies en, gncy
ur dicrüest.r 5. septies-^-kacmr- 49-
Quopmensurs nulla cömunis est:
nist korre omniü Horum ^creacrix r
mater vnitas.

z-kenarm ltinguitt. hic ergo in ordi
nem scx relinquak. Quarttts quocß
6 locü suum duplicer- S succrescenr.
ille quoqz-S .tranMisr. acq; hoc qm
dein in cxtcris pspiciendmwodu;
aüt meüonisLcöm ordinc colloca>
ro? ipsalenes dabit. Dam primus
primü quein numei-st:scöm primu;
f numerat: id est scöm le.r scöm pri/

mus qmm numerat:p scöm nume/
.? t rat.rtertiump rerriü.rqusrtüitem
i -r quartü.Lumaüc semndus men/
stone lulceperit § rimü quein irume
rar scöm primul merir.secundüöo
qtle numeral p se : id estp secunduz.
r teriiüp tertium.r in cxceris eadez
stMiilMdlne inensura ollabir.Älios
ergo ü refpiciss.velqm slios men/
6suncn>elquiipüab alijs meriunk:
inuenies omniü ümul cömune me/
suram eile non posse. neque ut oes
quequaaliü ünml nuinerenr. quos
damaürexhissb aliopoüe meriri
ita ut ab vno rantü numerenk. alios
^0 ur eriä a pluridus.quofdsin aüt
utpreter vnitateeop nulla mensu^
ra üc. Qui ß ntülä mensurain preter
vnicate recipiütt hos priinos r inco
poüros iudicamus. qui 1-0 atiqua;
mensuramprek vmirare uelalienige
n§ partis vocabttlü lorciunt:eosF/
ntiiiciemus secüdos atque coinpoü
ros.L^erriü v^o illud genus p se secü
dir cöpoüri: primi ^0 r incöpoüri
ad alterur m cöparskr: hac inquiü/
tor racione reperier.Si eni; quoNi/
der ülos numeros scöm sualsemer
ipsos mulriplices quanrirate:qui^/
creäf ad altermrü compsrstimulls
menürr^ csmunione iungunc.Tres

j Ll a rero ra
- none rales
» >ttumerosm

L uenire possl
hnttsrü quis
mobiseosde
jproponat r
imver agno
--scere vrrum
aliqua mesura comeiurabiles ünt:
an certe sola Vincas vcrosqz inetisr:
reperiendi srs talis est.jdatis eniin
duob'numeris inxqualib'': aukerre
de maiore minore oporrebir. r qui
relict' fuerit-ü maior est: aukerre ex
eo rursus minore:it ^0 ininor kuerit
eü ex reliq maiore detrahere. Atqx
hoc eo vscp faciendmquoad vitirss
vitima vice recractioitis ünpediatr
aut sligs numeiDmpar lteoekkario
«l vtriG nnmeri imparesWonsnk. -
Ged eü g relinquir numep: itbiipk
videbis xqualein. Lrgo 6 in vnü in
currst vicMnt ilia lubrractio:primi
cöcra se neceüario numeri dicenk: r

7-i ssilrD

nulla alia mensura Nik sola vnirate
cöiücri.Si^o ad aliquc nuincrüuc
lupius diccüek.fmis deminurionis
ürcurreritrerit eni numerus qm me
tiar Vtrgsq; Amas. arqcre eüd e ihm
quiremäserindicem^vrro^rctzcömu
ne eke meirsura. ÄZeeni duos nu/
meros^pokros havesmus: quos
iubesinur agnoscere-an eos aliqna
niesura cömunis mengt. Arque hi
Km-9-stzr.ry.hoc igir fgciem'mv/
do reciproca deminurione.Änfera
mus demaioreminore:hoceit:de
29 rrouenariu;:relinqlrenr-rc). Lx
his g. r ornrsusininore derraha-n''
td re'inquenr. i > - Lx his rur
sus detraho 9 nelictistmt-r. Quos
k decraho nouenanorrelicti km:- 7«
Qö ü duo nu'lus seprenario depse/
rim^llpsun:. 5-ar<V cxhis slios du/
osures rrusuzexuderSr. quos aiio
vingrio diininucos ioia vimas sup
Kes egredit. I^urHrs 6 ex duobus
vnü auferäk xno termin^detraccio
nis h§rebit:que duox illop nume^
rox ide!t. yec. ry-iolü ne<V sliü cö/
ka eke menlurä.'hos ergo cocra se
prirnos vocabim^. Sed knc a'h nu
meri nodis eade cöditioneppokri:
id eit- r, -et- y -vc quales hi km inue
Mzenr cü kvüner fnerim inuice cä^
parati. '^urstrs aukero demaiore
minoris numeri quatirare:Ldek. 9.
de r> .relinquem- n >Lrhis rur/
kisdemo-9-siiglllnr >Qui 6 ex no
uenaiio renahant: senarms reim/
quet.Quidusicekquis terüariurn
dcmak- z rellnquenr. de quib^ tres
detrahi nequeunr atque hic eft kbi
rpk §qnalis. Aä- z. qui decrahedar

Mia parciriopans lecundmn x
feccos Mpcrkeccos r x'cra quam p/
perfeccos. Lap- '9-

Ldeimparib"
muneris quan
rüinrroductio
nis pminebar
breuiras expe
dimzest.'i^ur
sus numerorü
pariü kc fit se/,

cunda diuiko.Äii- eni; cox sum k,/ '
pkui. aludiminuri scönlvtrasqcha .
bimdines inxquaiirakis.Ols quip/
pe inequaUtas-auk inmaiorib'aut
in ininoribtls cöiiderat. Iliienl im
moderaca quodsmmodo plenim/
dine:p?opch' corporis modü partiu
suaru; numeroktate pcedm.Mos
aüt reluri pauplae-opes oppkolq;
qdä natrrr§ sus inopia nüor quä ipi
für Ptiü krma cöponir'. stq; illi gde;
quox preš vitra qua san' ek sese por
rexerüc-supkuinolarir.msür - >:ut
24. Dierk suis prib^ cöparatimaio
re xtiü sümä rcro corpe sorriür. Lk
eni dnodenach medieras-s. x>s rer
tia-4-ps qna-; -ps serca- r -ps duo/
decinra- > -est.Oisq; hic cumul^redü
da: in-16- 7 roci'' corpis ün muüim
dine;vincur.'I>ms.!s-24 nüeri me/
diecasek. 1 r-rertis-S-qna <r. sexm
d 4

xsque ad ternsnum numep puene/
runr.a quo quoniam cquales sunt:
detrahi minuique non pocerunt.
Dosig rcömensursbiies pronun/
ciabimus -r ek eorü qui ek reliquus
rernarius mensuracömunis.

4-octauatria:dnodecima-r.vicek/
maquarra vnum qm oes rriginra r
kx repedüt. In qua re manifeltü e
qnod summa parriü maior esttt lm
prspropriü corpus exundar. Ärq;
hicquidequonia; cöpolic§ partes
rorius summa numeri vincunt: sup
kluus sppellar. L>eminurus vero ii>
le cui^eodemodo cöpolirx partes
rorius termini mulmudine supanr:
vr-S-vel-y-haber eniocronari^par^
rem mediäüd est-4-haber r quartä
adelt duo. hab; rocrauä id estvnü
qux cuncre in vnn; redscrx. ^.colli/
guncaninore sc; summa roro corpo
re ocluderes. Kursus. 14-haberme
dierate id e septensriü.habet sepci
-mLide r.hntqrtädecimä id e- >q
m vnü 6 colleccx lint: denach nume
ri summa cöcrescir-roro sc; rermino
minor. Ärque hi quide; hoc modo
suntmr prior illeque sux partes su^
perärrslisvidearuäH kquismul/
tis sup namrä manibus nst" vc ccn
timantt« gisas.veltriplici cöiücms
corpore.mgerio rergemii^ui'quic>
quid vnquä möstmosum natura in
parriü mulriplicskione surripuir.Il
le vero ur li narurslic qusdä nečesa
ssria psne decraccaiauc min'oculo
nalcerer: ur cyclopex kröris dedec?
kuir.uel quo alio curcak' mebro: na
rurale rorius lux plenirudinis dispe
diulorrirer. Inrerhosaürvelm in
rer xquales inreperätias irredi- rem
peramerü limitis sorlirus est ille nu
menrsquipfecrus dicmvirmris sc;
emulator qni nec supuacua.pgrelN
one porrigir:nec cäcracca rursusdi
rwimtioneremittit;led medierstis

obtines terminü suis equ^partib'':
nec craüsr abundanriamec eget in
opia:uc sex uels. Iläq; sensri' Hs
bet parte media id eli. z - r rerriä id
est- r.r sexrä id eli-1. qu§ in vnä Im
ma 6 redacce llnc-par toru; numeri
corpus suis parribus inlrenit- r S -ve
ro Haber inedierete-14-r septima-4
neccarec quarra idelt-^ polNder
qusrcädecimsz-r. er reperies in eo
vicesimä occsuä- iquxinVnüreda
cre torü p arribus corpus xquabum
LZ-enim iuncte pattes efficiem.

L>e generatione numeri
perfecri. Lapro.

Sr aür» hisquocy
magna slmüirudo
vimmsrvic.i-.ld er
fecrosenim nuine^
ros raro innenies:
eosque kscile nu /
merabiles. quippe

qui pauci sunl:r nimis cöstäriordi^
ueprocreaci .ar vero supertluos sc
deminuros longe mulros iufinicop
qrre reperies:nec vllis ordinib'pal/
llm inordinareque dispoMosa
nullo cerro kine genersros. Sunr
aurem perkecri numeri incra dena/
num numerü-6-intra cenrenarium

rS-intra millenantrz numerü 4Y6.
inrrs decemmiUs s 1 iS.Lc semg
hinumenduobus psribus termik
nanr set-S.r lemper alremstim in
hos numeros summarumkine per
ueniür. Hamr primum sex deinde
r§. 'p olt hos - 4-s. idem senarius
qni prüwrs.post qnenrS »rSidem


ocronanus qni secudus. Senersrio
süt.pcresriocyeorüestflxa strmsP
nec quo a!io inodo fieri postim :nec
vr 6 hoc inodo klär sliud quidds vl
Io modo vslesr^cresri.jdispokros
em a'o vno oes panter psres nume
ros in ordine qnoustV voluerisrpri^
mo scöm aggregsbis: r 6 prim' nu
»nerus r incöpostr'exülscoacerus
rione fsct'lic-rors sümä in illü mulri
plicabis que posteri'ssgregauerss
St ^o coscerusrione facta prim' -r
incöpo7it'nö inuer'fuenr tz copostc'
rsecüdus-hüccrsnsgrederestctz ali
um g sequir aggregsbi s.Li^o nec
dü fuerit primus r incöpostrus:s!iü
mrflks adiungervidequid fiat.Qö
6 priinü uicöpostrüqr repenes: tune
in vltimxinulrinrdinö süme coaccr/
usu'one; multiplicsbis. idlsponanr
enim oes pariter psres numeri hoc
modo- I.r.4.8.16.;r.64- irZ.faci/
es 8 irs:pones. I.eicßħ8regabis.

-Luc refpicies exhsc aggregariöe
qni numer'fgccus strstrmt-; -qui sei/
licet primus r incöposttus est:r post
vnirsrevlrimü binariünüex ssgre
gsueras.Si igiqremariü id e qui ex
cosceruatione collecr' estp binariü
nmip'ices qui est vlrtmus sgFi-ega>
rus:pfecms stnevlla dubirsriöens
scer-Äis enl-z-s.faciür.qui hsbenr
vns quide s le denominsts partein
idesexrs.tres veromedietsce secu
du duatttate. at vero duo scöm coa
cenrsrionc id est scöm terusriür'qm
eoacerusri tres multiplicati lut. Lli
ginüocko aük eode modo nslcunr.
Sieni suxvnürduoquisüttres ad

das sequente psrirer pare id est.4.'
sepreirsi iä summa fgcies. sed vltimq
numerü quarenrariü oseqnenrer c tz
iunxerssrperhücigit st Ms coacer,
usrione mstipUcauerisPfectus nu/
mertts procresr.Sepnes enk-4-r S.
sum:qui est suis psrtib'par:hsbens
vnü a le denomilmtnm idest vigest
inüoctauürmedierare vero lcöm bi--
naiiü- >4-scöm qumerngriü-7- lepti
ms vero scöm feptenarium-4- scöm
omniü collectione qusrtüdccimü:
duo:qui vocabulo mediecatc oppo
nir. Lrzo cum hi reperci lrntck s'.ios
inucnire lecreris:esde opor ter rmio
ne vr Vestiges. ibones em vnü Uce^
bit:rposthüc-r-r.4- qui in septens>
riü cuinnlsnt: led de hoc dudü exri
lir- r S. pfectus numer'. Dtlic igit g
sequir psrirer par id est-8. cörinens
iunggt accelsto. quiprioribus uiper
ueniens -15- restiruir.. Sed hic pri>
mus et iircöpositus non est. Daber
enim generis alrerius psrrein Urper
illamque est s seipss denominsts:
quinrädecimam sciiicer vnitstem.
Dunc igimr qnoniam secüdus e!l r
cöpositlls prererito:r adiunge supe
rioribns conlinenre psrirer psrem
numerü idest-16-Qui cum-1 s-iun^
crus vnu; sc- z o conficier . Sed hic
primus rurlns r incompoürus est.
Dunc igüurcuzexrremi asgrezsti
summs inultiplica:vr fianr sedecies
z 1 .qui-4y6.explicsnt.DxL gutem
estinrrs millensrium numerü per^
fecrs r suis psrtibus xqua numero--
Mss.Mirur pima vnirss virtuce ar
que porenris non erism setu vel re

r ipsa perkecra est. °Nam 6 primam
ipsamkrmpsero depropokro ordi^-
ne nuinerop.video prünä arcp inčo
poliram, quäk per leiplam mulcipli
co:cademinihivniras procrearur.
Semel em' vim šolam eMcir vnirare
quxparribus Kus equalis ek poren
na foluin:cxreris ena acru a:cy ope/
reperfeccis.^ecce igicur vnitas pro
pris vimrre perfecta est qö er prima
est -r incöpokra.r perfe-pssM mulri
plicara lese ipa conseruar.Sed qno
mä de es qnärirare qu§ per le fil di--
ctück. operiš scqucnciä adilla qu§
rekertur ad siiquid rralferamus.

.k A. . . -

Lserelata ad aliquid quan/
rirare. Lap.r,.

pararur: non alio vocabulo srque
ipsa cui compararur edicirur. läam
qucadinodü amicus amico amicnf
est:vicinusP vicinoms dicirur §qua
iis §quali'. Inequalis vero qusn >
tirsris geinins diniko ek. Secamr
enl quod inequale elf in msius arcy
minus:queconrrariakbimet dcno
minarione fungunmr. Hancv ma^
ins minore maius est: r mmns ma--
iore minus ek:r vcraqz non eildem
Vocadu'is queinadinodü secundu;
xqusliraceindicru; estsed durerks
distanribuscp kgnara Krnc ad modü
discenris lcüicervel docentis: vcl cx
dentis vel vspulanns: vel quxcun/
que ad a!iq nid relsra aliter denoim
naris cörrari-s cöparsirk.

jdefpeciebus maioris insqualirat'
erminoris. Lsp-^r.

Aioris vero mecj/
UrarisquinP par,
ces kmr. Lkeniin
vnaquxvocatmul
Liplex aiis kippar,
ricularisiterua kr,
perpartiensrquar/

ta multipler inperparticularis:quü»
ta multiplex superparriens. Dis igi
tur quinq; maioris parribns oppo/
kr§ kmr aüx quinq; partes minoris
qriemadmodü ipkun maius mino<
ri leniper opponinq ue ininoris fpe /
cies irs kngi'larim ipecievus.v. ma
ioris his qu^ fupradicrxkrnt oppo^
nuntunvr eisdem ironünidus nun/

L aliquid vero
quantirsris du
plerestpmadi/
uiko.Omneen!
auc xquale elt:
aurinxqualegc
quid alceri''cö/
psrariöe merir.

cöpsrarü neque miirore iuma infra
elimecy inaiore rratzredit. vr dena
rius denario:vel ternarius rernario
vel crrbimm cubirorvel pes pedi : er
y.iskmil a.D^csücpars rclarx ad
aliquid qnannracis id ek cqualiras
nauirAlirer urdiutsa eft.1äullüs eni
Dicere porek-qiiod xqualitaris hoc
quidLtsle ekallud vero huiufmodi
Omk§s eiii xqua'itas vnä leruat in
propria inodcraüottc menürrä. Il - cupsncur: sola ranrum ürb pr§pok>
Möctmquddqueeiquamikas cö, tioire distances. jdicicureni kchmui

riplex.subsuperparticulsris: subsug
paniens: multiplex subluperparri/
Maris: 7 nmltiplex subsuperpsrti/
ens.

kde multiplici eiusch specieb'' earüctz
generacionibus. Lap-r

r_1rüismNiplex
ek prima para
msior^ inxqua
lltstis -cuncris
alys amiquior
uamraqueprx/
ksntior.vlpsu
lopost demon/

krabimus.Dicautem numerus hu
iustnodi est.vt compsratns cum al/
teroällum contra quem compara/
lus esthabeat plus qua; semel.QS
primüin naturaiis numeri dichost/
lione conuenier. 'Namque ad vnu;
cuncn qui sequuntur:omniü ordrne
mulcipliciü sequenrias varietatesttz
cuKodiunt.Adprimüeni idekvni
tstem- r - duplus« z - triplus-4- qua>
druplus.arque ita in ordinem pro/
gredientes.omnes teMNtur muki/
plices qrrsntirates.Quod sumu di
ctum ek.plus qua lemel: id s bina/
rio numero principium capitrr in in
finirumperternarium quarernari/
umcy r cererorum ordinem sequen
tiamque progredirur.Lontra hunc
vero dilcrimiumus ek iile qui voca
tur submultiplex. 7 hec quoqne pri/
ma minoris quantitatis species ek.
Dic am numer'huiusmodi e:quiin
alter? cöpgrstiöe^duct': plus quä

keme! msiorl numerat Gna: fua lc;
quämste cu; eo xqlirer inchoäs xcj
lirerq; dererminss. Wein süt dico
numerar qS metit.Siigir bis soluz
maiore nume? minor numer^ineri/
atur: lubdnplus vocabit . st^o rer:
subp-iplus. st qrer: lubqdruplus. e(
üper hec in mfinitüZgrMo. addt
kaqzeos lcmp liib ppoürione nomi
nabis.vr vnus duo^r subdtPlus.tr»
uin fubtriplus »4- ürbqdruplus ap/
pellst 7 cösequenter.Lü süt namra
lirer multiplicitss 7 submstiplicitas
inkinira üt:eorü quocp species per^i
priss generariones in infinits conl?
derarione versank. Si eni poütis in
namrali constitutione numeris stn/
gulosper süss cösequenrias pares
elisas: oinuiü ab vnopariumatH
imparium sese sequentium drrplices
erunt.ethuius speculationis termi/
nus non deficit, id onar enl irarura
lisnumerus hocmodo-1.2.^.4.5.
6.7.S.Y. io. 11. ir^ 1;. 14.1;. 16.17
18.19.2o.Dorumergo st primü su/
masparem idest.rprimi duplus
erit id est vnimtis. Si vero sequen/
tem parem id est-4- secundi duplus
estäd estduorü.Si verorertiüpare
lumss id est e.tertij numeri in natn
rali cöstitutione duplus cstid estter
narü.Si vero quanü pare mspiciaf
id ek s.quarci numeri id est qterna
ch duplus ck.Idectz inc§teris in in
finitüsumenrib" kne aliqno impedi
menro procedik. Z7riplices süt nas/
cunturrst in eadem ditpoktiöe nam
rali dno semper imermittsnr: 7 qm
post duo süc ad naruraletn numerü

coparentur excepto ternario: qui vt
vnirstis lriplus stc solü binariü pre/
termittir.ldost vnür duo-; - luc qui
triplus vnius est. Kursus post 4- el
5.sunl-srqui secudi numeri idest du
orü triplus est. Kursus post-^ sum
7-er-S-el posthos-yqui rertij nume
n ldest teman- triplus est.ÄtP hoc
idem m instnitü stquis ksciat stnevl
la ostenstone^cedit. Quadruplorü
vero generalis lcipir st quis tres nu
meros imermittst. Idost vnü quip/
per rret; sum-4-qui primi idest
vnius qnadruplus est. Kursus 6 in
termiseroquinariürsensriü: r septez
nariüroctonsri" mihi quarr" occurz
rit.tribus scilicer intermiMs:qui biz
nsrij id estsecüdi numeri quadruz
plus est.Ät verv k post octo cres rcr
minos incermisero idestyet- io.
r. u -duodenarius qui sequit terna
ri- numeri quadrupllis e. Äcqrhoc
idem in inkinirü.pgrelsts neceste est
cuenire:sempqz vna ternünox inrer
mMone 6 crescat adiecno:ordinaz
tss re multiplic' immeri vices inuez
irire miraberis. Dien, -4-rntermitz
tssiqnrncuplus inuenir.st qmqz:fex
cüplus.st lex iepruplus.semgctz ipst"
mulripliciratis nomine vno ininus
intermMöis vocabulopcreanr/slä
duplus VIMM inrennittit:Mplus-r.
qnadruplus. --quincuplus-4- Lt de
inccps ad eunde ordine sequelis e.
Lt oes qnide dupli scömLprias sez
qümriss pariü numerorü pares süt
Ilriplivcrovnus semppsr tenniii"
iinpar alius inuenic.Quadruplivez
romrstis semperparemcustodiunt
qugntitSte.LöNimunturlV a quarz

to irumero vno ex prioribus per or¬
dine poüris psribus inrermist'o: pri
mopari binario.posthunc S-iiuerz
misto senario.posthunc- irträstnif
so denario.AtP hoc idem in cxter^
Quincuplivero^posttio scöm rripli
eis stmüitudinezalternatim parib"
slcx impsrivus pokcis ordinat.

L>e suppsrtictstari eiusttzspeciebus
earüqrgenerationib". Lap.r4>

Vlperpsrticnla/
risveroenumez
ms ad altem coz
psrsms.quokies
Haber, se rotumi
nore r parke eius
aliquä.Quistmiz

noris habest mediermc: vocar sesz
qualcer.st^o terliäpartem.vocamr
lelquirertius .st vero quartaz: vocar
sesquiquarms.et st quintä: vocamr
selquiquintus. Äcque his nominiz
bus in inkinitü ductis: in infinirum
quochsuperparticulariü forma pro
gredir.Ltmaioresquide; numeri
hoc modo vocsntur: min ores vero
qui habentur roli r eorü aliqua ps:
vnus subsesquslrer: alter subsesqui>
tertius:alius subsesquiquarttls: aliz
us vero subsesquiquintus: atq; idcz
scSm maiorü norinä mulritudinecy
protedit. Lloco süt maiores nnme
ros duccsiminores coinites. Dup
psrncuiariü quocp instnitsest mulz
riludoiob eamre quod eiuide speci
es inrerminabili progrelstone kunz
gunr.'Nsncß sesqualrer hsbebir qui
de; duces yes post cernariü numez

m namralirer triplices.Lomires -o
omnLs post binsriü namralirer pa
res.hoc modo:vr prim' primorsecu
dus scSo:rerti' terrio cöpareu r de/
inceps. jdelcribamur en! longistimi
versus rriplicinm naruraUs numeri
ar<y dnplicm.r strh oc modo ._

!5 !s ^ssly'jiol
" I; s!y ! rrs ls tSlr!lr4lr^ ;oj
j io irs »4j iSsroj

Idriimrs igitverlus cörinernumex
naturale rsecüdns eins triplicerreni
us vero duplice.arctz in eo 6 lernsri
us binsrio.-vel k lenarius qumerna
riorvt' nouenari'senario cöp arek: vk
oes triplices strperiores st dupliob»
numeris cösequemibus opponanr:
emiolis id cst scsqualters proporcio
nalcer-lrcs en! habenr intrs se dno
r eox mediä parre idest l -sexquo/
cß orinenr intra se-4- r eox medietL
re id est.'-.r noue intra le senarium
clsndüt-r ei' inedia parke: id est- z.
eodectz modo in cxteris. jdicenduz
vero st qnis lecüda specic stip parki/
culsris numeri ostderare destderee
id est sefquirertia:quslt rarione repe
riar.ac distmicio quide huius cöpa^
ralionis ralis est.Sesquirerritts est:
qm minori cöparanrs hader eum se
melr eius rerriä parre.led hi inueni
um k omnibus qusrernsrio nume/
ro orinuaciin qusdruplis ostiruris:
a ternario numero rriplices cöpare
Mr:erunr<yduces quadrr»pli:comi
kes rripli. Sireni in ordine hoc mo
do numer'nsturaliswr fub eo qua/
druplür strb eo rripli Knr. lupponar
sub primo quadruplo prim' rriplus
ürb lcöo lecüdus:sub rerrio kern': er

>4 5 öl

8j ir >6 rolr4!^bl;rl^

4

L

; «r 'sl'Sjr, ra

Igirurprinm primo k cöpares letz
rerria rsrio orinedir.'Nä st 4- rribus
cöpares rhabebür in se-4-rorü rerna
nur eius rerriä pane id est- i r k se/
cundü stöo id est ocronariü senanü
cöparesrideminuenies: hsbebir en!
ocronarius senariü totä r ei' rerriaz
pane idestr.-rpereande Lquenrjä
vsP in infinimMredicndüest.'No/
tandüquoPest.qö ; comires lunr
duces-4- Kursus 6-comires:duces
8 r in eode ordine cxreri stmili mo>
do vocanr duces selquiremj: comi/
res subsetzuirerrii: r in cuncris lcöm
hüc moduin pokra conuenir lema/
revocabula.

!

eode modo cuncrieiulde primi ver
sus rripli in ordine dirigsnr.

L>equoda;vrili ad cognirione sup
parricularid'accidenre. Lap-i5-

Oeaäradmi/
rabile^fundif
stmÜPinisto^
rüordinib'in/
uenirunqSpri
mus daxpri/
mnsttz conres
ad se inuicem
nulla numeri

LntermitNone copulsnr. 'Na; primi
le nullo in medio postro rranleül: se
cüdiinrerponüc- i-renhduos:quar
li-; -r deinceps vns semper minore
quäipstsürinrermilNone succrescnt
Ätqghocvelm lesqu-lrerisrc's.in sek

yuüemjsnelm alijs strpparticula/
ns psmbus necesse ett inuenin.^s
que vt quatemanus cörra rernsriü
coparemr: nullüintennisimtw.post
d-eni;mox>4 ümr. Ar^o6.Z.8.m
stös scilicer sesalürercio.vns facta
«st inrermilNo. Anter- s-ens et- 8 -so,
lus est septenamrs qui tranlinissus
ettnumems-Rursus vr-y-otrs-«r.
<opsremus:qui stmt in difpostrione
lercii:duomm mediox est facta traf
missio. Amer .y-eni ec- ir.süc- iv-er
,i -scSmhuncmodum quarca dis/
pokrio z.qninrr 4 inrerminil.

jdescriptiop quädocerceteris inxq
tiraris specieb' anliqmore eile mul--
riplicem. Lap-rs.

Llonimnancem
nsmrattcerec le^
cundü propria;
ordinis cöseque
tiä.multiplicein
xquslitatis lpe>
cie cuncris pr§/
_ polnim us: pri/
mäcp fpeciem esse monstrauimus:
licet hoc nobi» poüerioris operiš
ordine clarescat:hic quocy perstrin /
Zentes id quodFpoünmus planiss!
mebreuitercp doceamus.Sic enim
ralis destriptio in qns ponar in or/
Dinevsque sddensrium numcru;
«ontinuinuineriordo nscuralis: er

seaudo »erfu dttplus ordo rexatur:
rertio rriplris: qusrco quadruptus-
r hoc vlctz ad decuplü. Sic enim co
gnoicemus queadinodüsttperpar^
rictüari et luperpartienrnr cuncris
a!i)s princeps erir species multiple
cis:rquxdamaliakmul inspiciem'
r ad subtüirare renuMms-.r ad sci/
enüavcüissunsrrad exercilanonez
mcnris iocundWma.

Ikario stPexpoKtio dkgeKß form»
lx-  Lap.r?.

I l'gltduo PMS late/
mW ^8WIiÄF>poKre formnl§q
faciüt ägulü:ab vno
ad- lo-ec- «odceden
WWNM nsrespicianrhissub
teriores ordies cöps
rent-qui sciiicet s-4 angulum incipi
entesün vigenos terminu ponunt:
duplex idett prima species multipli
cikstis oümdimrnlsvt primus pri/

mü fols lUperetVnicate: vt duo §nä
secüd' lcömbinariostMsdal:vrq/
teman' binariü. teni^nü tribus:
vt senari'ternariü.qrtusqrtü qter»
narij numerolitate transcendat: vt
S qternsriü:r p eade cücti fequctis
lese minoris plmslitste prereresnt.
Siveroterti'angukus aspiciak:g ad
y.inchoäs lositudine lstimdincP
tncenis altrinleeus nnmer^exreditr-
et hic cü pms latitudme et lögimdi/
ire cöparecurrtriplqcspecies mulch-

tens qui kür in eade fene namen : K
tališ oiugario milcear: nulla varie/
lLtis diMmilirudo surripier. Lade;
tnfümsrü supgrestroestin hocquo
que q in dttplicibus laik. Idrim' enl
primüidestrernarius binariü vno
strpersr.secrmdus Vo scöm duobus
terrius rerriü tribus r deinceps. Si
Voquarrus ordorenio cöparetun
vc-4-ad.;-r eode cxteros ordine co
secreris -fetzrertia coparario colligi^
tur: vt-4- ad.; - vel-S.gd-e.r. > r-ad
:videsire vr in omnib'his fesquirer
tis coparario cSleruerur. idrererea
eos qui lbb ipfio lurck idem straen»
fequeres versus altemrris cöpara>
rreris oes kine vUo impedimero spe
cies supparkicularsagnolces.Doc
sütinhacest dilposttiöediuinü qS
omnes angulares numeri tetrago/
ni sücHerragon"aüt dicir vr breuiist
me vicam qS post larius explicabir:
que duo xquales numeri mulripli/
canr.vr inhac quoctzdescriptioeest.

^k E< 5 cvti il

rer-,.Y.quos inseineripsaMuA
plicariöes pmi orvinis pfeccre. Lrr
cü ipfos Vero qui sür id est circü an
gulsres: longilarcri nuinerisül. Lo
gilareros aürvocoquosvnoselup
gredienres numeri imrlriplicär. Lir
cü 4 enl- r sunc r. 6. led duo nascüt
exvnor duob* cü vnü bis inulripli/
csueris:led vnirss a binsrio vnira^
re pcedir.Sex Vo a duobus er rrib'
bis enl rreo:senariüreddür. °Noue>
nariüVosex-r ii- claudüc.g- >r-ex
tribus nsscuntT-4-L^renl 4- 6unt
ir-Sensri'veraex duob'r tribus.

plicitarisoccurntckavtists c§para
rio per-c-littera Kat.Dicy ie nunre^
risuperabüt lecundü psricatlkacrä
namrslireronexione.ldrimus eni;
primü duobus luperstrvt vnü-; -se^
cüduf scöm quacernario nc-t binanü
fenarius.renius terriü sex:ur tcms^
riü noucnsri".r ad eüde celeri mo>
dÜMrestionis sugescür. Qua; rem
nobis scilicerr ipsa nsruralis obie/
cit integriraš .nchil nobis exrrsma/
ehinärib^ul iir ipso modulo desert
prionis appsret.Siquis amquar>>
tianguli terminü qui sedeči; nume,
ri qusntirare norsrus est:r longim^
diste larirudinecp inquadrsgenos
dererminsrvelir supioribus cöpa^
rarep-x lirrere formam^porrione
collars qusdrupli lnuinmdine pno
tabir.DisP ekordinabilis s«p se^>^
grelNo vt primns prünü tribus strpe
rer:vt.4-vnirarc.Secädus secüdu;
senario vincar.vr ocro binanü. T^er
tius rerriü nouenario rräseac.yr duo ,

denarius rernariü.rsequeres süinu vnus enl lemelrvn? est:r est poteka

lernüsesemp adiecra quäcirace rrä tererrsgonus Irebisdno-a-sunt.
Meanr.Lrkquis subreriores alpin,
ar angnlos: idem p oes inulriplici/
ksris lpecies vscx ad decuplü dispo/
kristimaordinarione perrlenier.

Si quis vero in hac descriprione
/r kuppsrtimlaris spccies requirst ca>
- U modo reperier.Si enl scSmangu

IL r°rL lünorercui^estiniriüquarerngrius:
«PkHiacer binariusrskcp Hüne 1e^
qüenre quis sccomoder ordine: ses
qualcersF>porrio declsrsbic. 17am
terrius lcöi versus fesqualrerest.vt
b-es ad duo ivelsex ad quaruor: vei
b.adü.vt'. ir.ad.viijZtcmcpincx/

ns necestario reperit. Hä dux qusr
rxmedietssest:rfit sesqualrera cö,
parario. Si^o duas Mas: rursus
est supparticulsr^. L>ue eni sexr§ xs
tertia est.QS 6 in cöpsrstiöe ponak
lesquirercie habimdinis esticiec kor -
mä.ldosthos nascuntcomires qui
sublupparliences vocant. hiaücsüc
qui habenr ab alio numero et eorü
veldue:vNz-veba-vkquotlibet ali§
partes.Si ergo numems aliü inrra
le numerühsbes eins duas partes
Habtierit-supbiparliens nominstur
st vero tres suprripartiens. quod K
4-supquadriparciens.atq; ita^gre,
dienlibus in infinim fingere nomi,
ns licet. Ordo aüceop nsturslis e:
quories dispouunr a tribus omnes
psresatqzimpares numeri natura
liter cöstirutiir sub his apranttir alij
qui funt s quinario numero incipi^
eures omnes impsres. vis igitur

tis fpecies innen l'mr.qtl§ s nobis st,
perius strxparciens diccsek. Dece
güt qu§ fit cü numer' ad aliü cöpa, L
rstuschsbeteütorü infra ser r e? iw
supaliquaspartes:velduss: vel.;.
vel-4-vel quot ipfa wlerit cöparatio
Que habimdo incipit a duabns pti
brrsterchs.'Nästduasmedierates
habuerinqui illum intra fe totü co ,
ercecrduplusp stippartienre cöponi
tur. vabebit gute vel duas tertiss
vel duas quintas:vllduas septimss
vel duas nonss- r ica,pg?edientib*
K duas folas partes minoris nume
ri suphabuerit:pereasoe partes im,
psribus numeris minore msior sü,.

Bis eni- z fsciüt-6. qui omnes vno
maiorib?larei ibns^creati sunt. 'M
cü e.ex binsrio ternarioP nsfcnnt:
tres binariünumern; Vno ürperam
cunctiq; alij eiutde Modi ümt:vt pri
mo r scöo ordine ad alrerntrü mul>
tiplicaüs terminis,pcrecnt:ita vt qS
uascitexduob^longilateris a'crin,
secus posier bis medio retragono
tetrsgonüs 6r:Lr rrusus qS cxduo
bus altrinsec' tetragonis: r vno nie
dio longilstero bis facto ngfcimr:
ipse quoqne tecragonns kr.rvc an,
gulorü tvtius descriptionis ad an,
gulares tetragonos poütorü vnius
anguli lic priina vniias: slterius fo
quic»rraeitrertia. Bini voalcrinle, maträscendit.'fläücühabestto.ü

cus anguli secüdas habeanrvnita, r drias eins quartas: lupparrimla,

tes.rduoangularmcetragonopan
guli pqnü faciunt qö sub ipis sriner
illi qö fit ab vno illom; qui est alrrin
lectts angulorü. Wulrs enl Mt slis
que in hac descriptiöe vtilia polfunc
admiradiliacß ppendi qux interim
Fpter caltigatä incroducendi breui
rarem ignora eite pmircimus-'Nunc
vero ad fcqueria,ppoürü ouertsm'.

jbe tertis inequslicat' fpecie qu§ di
cir fuppartiens.deP fpeciebus eius
earüq;generacionibns. Lap-rS.

6it post duas pri,
mas habitudines
mulnpllces r super
psrticulares:-reas
qux üib ipis lut sub
mulriplices: et sub
superpsrticulsres:
tertia iirxqualica,

'5 I'yl

opreš addiscere.priinas eorü radi/
cesinquadruplu mulriplices licet:
id est y-er. 5.7 eos qui illa inulcipli/
canone proferenrurirurstrmiir qua
druplunnreandemfieri proporrio
neminoffenla nimirumrarionere/
peries.Lr cxrere speciee vna semper
plus mnlriplicarioe cnelccnribus ra
dicibus orinntur.'l^adices smem
proporrionumvoconuineros in str
periore disposttione delcripros.qua
6 quibus omnis stunma lupradicrx
cöparationis innitimr.Inhocquo
que videndum est:quoniä cum dux
partes ininore plus in maioribus
sunraerrij sempervocsbulü strbau/
dirur. Nt snpbipaniens qui dicirur
quonigin duas minoris numeri rer
tiss partes habet: dicatur luperbi/
partiens rertiss.Ltcum dico super
triparriens-strbaudiri necelle str str/
pertripartiens quartas.quoniam
tribus super quartis exuberar.Lt
superquadripartienti subauditur
strperquadripartiens quincss. et
ad eundem nrodum in cxreris vno
semper adiecto superhabitss par/
res subaudirio facienda est.vc eorü
germans conuenieirtiaque his no /
mina hec stnt.vt qui dicirur strperbi
partiens:idem dicaturstrperbiterri/
us.Qui dicirur strperrripartiens is
str supertriquarms.r qui dicirur in/
perq uadrip arciens: idem dicaiur str
peiquadriquintus. eademctzstmili
tudine vsquein infünnun nomina
producanmr.

L>e mulriplici strperpsr/
ticulari. Lsp.ry.

Ladlspofitis'.st primus prmro. seču/
Dtts scSo:terrius rertio:r cereri c§te
ris cspsreitt:superpartiens Habitus
do procreamr. Sic enim dispostrio
hoc modo. _

igir quinarij nuineri ad rer/
8^nsriücöparario constderetur:
erir suppartiens ille qui vocar stipbi
parriens.Daber enim quinarius ro
ros in se rres r eorum duas parkest
id est-r-Si vero ad secundü ordine
speculario rekersmr supertriparries
proporrio cognoicemr. srque in se>
queribus per omnes disposttos nu
meros Sinnes in inkinitü species hu
jus numeri conuenientes ordins/
rasq; respicies.Ät vero quemsdmo
düstnsuliprocreenmr stininfinirü
quis curek asnoscere:hic inodus e
Dabitudo enim superbiparrienris:
st vtrisq; temünis dnplicetur: seinp
fuperbipartiens proporrio procrea
tur.Sienimquis duplicec- 5- kaciet
iO.st rres facier 6.qni. «O-coiura se<
nariuz coparari superbiparrienrenr
faciuuc habirudine.r hos ipsos rur
strs k duplicauerisridemordo pro/
porrionis accrescir. Idemctz 6 in in
fivirum facies:stacü prioris habiru/
dinis non murabir. Si vero super /
triparrienres innenire concendss:
primos strpertripartiences idcst^-
et-4-tripiicabis rhuiusmodi nasten
mr.Si vero qui exhis nati fuerinc
ternach mulciplicatione produxe /
risädenrrursus efficienr. Quod st
superquadripanienres quemadino
dum iir inkinimm progrediantur

6ir relatxadsli/
quid quätirstis.
ümplicesrprimx
species hx sunt/
Lux vero alix ex
hisveluteraliab^
pncipys cöponm
vtmulnplicessu/
perparücmares:? mulriplices super
parrienres.homctzcomites submul
riplices supparticulares.- r submnlti
plices suppartientes. 'Nanqz inhis
vt in prediccisMortionibus:mino/
res numeri -r eorü quoq; species om
nesaddita sub ppoiiuone dimm.
Quorüdiffinitio talis reddiporest.
Wultiplexütpparticularis est: quo
riensnumenrs adnumexcöpsra/
tusrhsbet eum plusqua seine! x eins
vnäparte.hoc e habet eü aut duplü
aut triplüraut qusdruplü: aut quo/
tiens libeur ei' quäliber aliquä par
remrvel mediä rvei terriäwel qnarta
vel quxcnnq; a'ia partiü exnberatio
ne conrigerir. Die er§o r mulriplici
r supparticulariconsiMt.Quod eit!
cöpararü numerü plusquä senrel Hs
betmultiplicisest. DocVeroqömi
norem in hsbenda parke transcen/
ditcktperpsrtimlaris.Itsq; ex vrro
que itomine facto vocabulo est. spe
ciescß Ulins ad iUanrm scilicet fiunt
imaginem proporrionü: ex quibus
ipse numerus originem trahir.'Ns;
prima pars hui' vocabuli que mul/
tiplicis nomine poliella estrmultipli
cisnnmeri speciemm vocabulo no
minanda est.Que vero suvpsrrim/
larisest:eode vocabulo nücupabit
quo supparticlUaris numeri species

vocabam.Licet eni; g dupliceha/
bueritaliumnumerü:reius mediä
panemLuplexsesqualter. qui vero
tema;: duplex sesquirerti'.qm quar
tmn-dtiplex scsquiquartus. -rdein/
ceps.Si vero keremntokum conti/
neat r eins urediam partem: vel ter
tiam:ve!quartä: dicimrtnplex les/
qnalcerariplexsesq'.ücei-rius:rriplex
selquiquartus.'reodem modo in cx
ters. Liceuirq; quadruplns fesquat
ter.quadruplus sesquitenins: qua/
druplus sesqriiquanus. r quokiens
torünumerü in semeripso concinue
rit.permultiplic^ numeri ipecies sp
pellatur.quä vero parrein cöparari
itumeri clauscrit: scSmsuperpsrticu
lare comparatione hsbimdiitem<V
vocabimr. Dorum aurem exempls
huiusinodi sunt. Luplex sesqua'rer
estrvtquinctz adduo.hsbentenim
5 binarium numerrtm bis -r ei' me/

diam id eft- > -Lux-lex vero sesquiter
eins eli septcnari' ad ternarium cö/
parat'.At vero nouenarius ad qua
rernariü duplex lesquiquartus. Si
vero- n -ad x-duplex sesquiquinc'.
Lt hi leinper nsscentur dispoütis in
ordinem a binario numero omni/
bus nsluralirerparibus impanbus
queterminisrü contra eos omnes s

quinariontlmero impares cöparen
tur.vtprimü primo.scSm secundor
rertiü rerlio csure r diligenrer appo

J vero a duobus paribus om
>^/^nibtts dispoüts terminis: illi g
sgnario numero ichoäces: gnario

c r

numero rursus fese transuiuut čopa

rennoes duplices sesqualceros cre/
anrvtestsubiecradescrip tio._

jr 4 j 6 j 8 j 10 j ir j..

j 5 j io j is jro jrs jzo !

dispo>
^/üriones.^r rrib^sese cräüliaucir
ad eos aprenr g a seprenario incho
snres -seprenario sefe numero cras/
grediunnoes duplices setzterrij ha
diradiligerercopsrarionenascunt.

Iveroocsmordine quadru
pli disponsnr-hi qui nacuralis

vr subiecra descriprio mo n er.

j ; j 6 j y jir jis  j iS rij
' j 7 >4 1 ri jr8 j;s j4r 49 ,

numeri qusdruplisür.vrvniraris q/
druplus:r duorü: rriüch r quaruor:
accy quinsrii-r cxrerorü sese sequen
riü.vr ad eos aprenmra nouenario
numero inchoäces: sp lese nouena/
rio pcedenresmmc duplicis sesqui/
qusrts.p porrionis forma rexer.

j 4 j S j ir 16 j ro j 14"

' I 9 ! 'S I r7 zü j 4s j 54

Ä vero species hu^numeri q e
H^rriplex sesqualterahoc modo
procreatur: 6 disponanrur s bina/
no numero omnes in ordinem pa/
res:r ad eos seprenario nurnero in

choätes: seprenario sese supergredi
eures-lolico ad slremrrüinodo cö/

pararionis apceucur. _

j r j 4 6 j S

! I '4 ri j rg j
aurem a rernario numero
^^/ingresti cuncros naturalis nu/
meri rriplices disponamus:ereisa
denario numero denario sese super

gredienres ordine coparemus: om
nes rriplices sesquirenij in es kcrmi
norü cörinusrionL^uenient.

? ! 6 j 9 I ,r j

10 j ro j zo >40 j

L>c eorum exenrpis in superiore for
mula inucniendis. Lap- 5 0.

Orum aurem
eoru^qui se
' quum exem/
plsiregre pla
neque pollu /
mus pernora
re:lt in priore
descriptionez
qua fecim'cil

de superparliculari ermulriplicilo/
queremur:vbi ab vno vscß in dena/
riummulriplicsrionu summa con/
creuindiligens velimus acumen in
tendere.Äd primü enr veM omnes
quisequum coltsri ordinaras oue/
nientesq; multiplicis species reddee
Si ^0 ad scöm cücros qui terti) sunt

ordinis aptaueris:ordinsras speci/
es supparricularis aguosces. Qö li
rerrio ordiuiquicuuq; sunr inquiro

verür cöpares:1upp arrienris nume/
ri species poirtas ouenienrer aspici/
es.Wuluplex vero supparricularis
<Mndir:cu ad secüdü verlü omnes
g sür quinri versus serie cöparanr vk
gsuntinseptimovelglunrin nono
ar<V ira 6 l infinirü üc ista descriptio
in infinirü hui^portionis species,p
creabunr.LDsnikestü aurc eriä hoc
estiqö horü comires scmx cu sub p/
postrione dicemur.vrest fubduplex

Ltzualrer -subduplex sesquicertius.
subduplex sesquiquartus. r cereri g
dem ad hunc modum.

jdemMplicisuppsrrienre. Lsp-;«

^ »^^»«^ Qlriplex vero sup
partiensest:quori
W ens numer'ad nu
VMvM dl!mcrücöparar'hs
bet in se sliü nume
N rü torü plusquä L/
mel: r ei' vel duss
vel-;. Vek qnorliber plures parricn/
las:scöin numeri suppsrrienris kigu
rsm. In hoc quocp proprer causa;
superius dicrä nö erunr dux medle/
tatesmecß due qrte: necp due lexrx:
sed du§ rertix.-vl'dux quinre: vsdnx
seprime ad priore simile cohsequen
tia.HS eit am difficile scöm prioru;
exempla poMox hos quocp r prx /
ter nostraexempla numeros inue/
nire.^locadunrq; hi scöm proprias
partes-duplex st^biparriens:vl' du
plexsuptripartiensrvel duplex sup/
qusdriparries. Lt rursus rriplex su
pbiparriens:r rriplex suptriparties:
r rnplexsupquadriparries:r Mnilik
W-S.gd-; .cöparsri fsciüt duplicez
fnpbipartiente.r- «s-ad-s.-romnes
quicücy ab.S.jncipietes: ocronario
sesennmero trantzrediunrr cöpara
ri ad eos qui a rribus inchoäres rer
nach' leie quancirsre prereunk. 17ec
erirdifficile alias eius partes scönr
pdiccü modü diligemibus reperire
D ic quoq; illud meminrste debem'
qö minores -r comires nö irne sub:p
poliriöenominanr.vrstr subduplex

superbiparn'ens: subduplex super/
tripartiens.

tremonstrsrio queadmodü omnis
inxqualiras ab xquslirare proces/
krit. Lapimlüzr.

Lstat aure no/
bis MrdiMmL
quandä trade/
re disciplina;: q
sdomncnam/
r§vimrerücp!N
regrirsremaxi/
mararionepri/

near.LOaglrus quippe in hac scieir
tia frrictns eiirligs nö nelcist qöbo
nüss diffinitse r sub scieriacades:

animoctz lemp imicabilis rpceptibi
lis prima natura elhet sue substätix
decore pperna. Inkinirü vero mali
cix dedecus cst:nullis^>prijs princi/
pijs nixü:Ied natura sperrairs s bo
ni diffinüiöe principij: tanH aliquo
lrgno optime kigurx impressa cöpo/
nir:r ex illo errors kuclu reriner/NL
nimiä cupiditsre: irxcß immodica;
eM-ensrione:qus6 quidarector sni
mus pura ltelligeria roborac'ailrin
git.rhss quodämodo ineqliraris
formss repersta bonitsre ostiruir.
Doc at erit pspicuü:K ltelliganr'oes
inßqlirst' species ab xqlitsris creuis
se pmordijs:vc ipsa qöäinodo equi
ras matris r radicis obrinens vim:
lps oes inxqlirat^ species ordincscy
Ffundsr.Sincenl nobis kres §qles
termini id est kres vnitares: vk-; -bi/
ni : vel tres rerniivel rres qrerni: vel
qusros vltrs liber ponere.Qö enim

c ;

in vnis rribus rrenrinis errenirüdem
conringir in ccrens.Lxhis igir scö;
pceprinostri ördinezvidess primü
nalci mulriplices: er in his duplices
prius:de hinc rriplos: deinde qdru
plos:r ad eunde ordine osequetes.
Kursus mulriplices 6 cöuertsnr: ex
his supparciccüares orienr.r ex du/
plicibusquide sesquslreri: ex rriplici
bus sesquiterch'-exquadruplis sesg/
quarkirr cereri in hmrc modü. Lx su
perparticularibbvero couersts ürper
psrtieres nasti neceste e. irs vt ex scf
qualrero nalcar supbiparriens: strp
tripartienre sesquirercins gignst: et
ex lelquiquarro supqusdripattiens
"k^eclissürpokrisnecp couersts pri
oribus supparricnlaribus mulcipli^
ces superparticulares oriunt.'^ecr^
vero superpartienribus mulriplices
üiperparrientes efficienrur. 1dr§ /
cepra aüt rriahec sunr.ur primü n»/
meru primo facias parem: iMinvo
primo r scöouerciü primo duob^se-
cüdis r rercio. Doc igir cü in renni/
nis xqualibus feceris:ex his qui na
lcenr duplices erunr.ve qnibus du
plicibus st idem feceris: rriplices^,/
creanr.r de his quadruplices.arctzl
inkinüü oes kormss nüeri mstiplices
erplicabir uacear igir- ? -rmini eqles.

1 ' l >1 ' !

V^Onsritgdprimo priin'xqua/
L^lis id estvnus. Secüdus vero
priino r secüdo id est. r -rcrcius vero
primo duobus fecüdis r rercio par
str-id estvni-r duobus vnisrvni.qö
sunr-4-vr e stdescriprio .

! . , . / . ,

Idelne vtduplici proportioe
^Kl'equcs ordo rexarur.^acrur/
susidemde duplicibusvrsir priiu^
primo cqualisüd est vni. secundus
primo r secüdo: id eii vni r duobns
qui strm- z. tertius primo id eil vni
duobus fecüdis id est-4- r rertio id

eil quatuor. qui ümrrl-9-fiunr:el ve
nirhxcforms. __

i > l > 'I

i > ! r 4 >

! ' l Z 9 I ,
Llrsus st de criplicibns ide fcce
HH.ris:conrinu^quadruplus pro/

creabicur. Sicenim primus primo
cquus id est vnus.str secundus pri/
nro r secüdo equslis id est-4-stt ter/
cilis pruno duobus secundis et rer/
cio xqualisid  e st- is- __

! ' I ' I ' I

I ' I r I 4 I_

! ' I ; ! 9 !

! ' ! 4 ! >6 I

xl in cxreris quide ad Hanc kor
mätridus his pcepris vremur.
Si vero qui ex xquslibos nari sunt
mulriplices eos difponamus:r secü
dmn hxc pr^ceprr vertainus: rra vt
conuerio stnr ordine rlesqualrcr §x
drrplici procreabirur. sesquirercius
ex rriplici.sesquiquai-tus ex quadru
plo.Sinr enim ? duplices termini
qui ex equalibus creari sunt r qui vl
rimus est priin^ponsrhuiusmodi.

! 4 j 2 I > l _

Lr constirnarur primo in hoc ordi/
ne primus parid est-4-secüdusvero
primo r scöo par.id estiS. terti^o p
mo duob" fecüdis r rertioid est-?.

! 4 ! 6 ! y j

Lcce ribi illa sefqualtera quairricas
exrermiiro dupUcica^exorirnr. rJi
desnms nunc ad cundemmodüex
lriplici qui ilafcamr.disponanr eni;
triplices strpcriore8:cöuerso sciücec
ordine stcuc dupicx.hic est o,uoq; or
dodispostms. _

! 9 ! z !

Idonamrergo prim^ primo xqnus
id cst-9-sccundus primo er secundo
idest- ir.tenius primo duobus
cundis r rertio  p quus id est- >  6.

l 9^; ! > !

! 9 i >r j m,
Kursus secundaspecies liiperpsrri
cuiaris numcri id el! fekqilireirius
procreax'cst. Qnod 6 idem de qua
druplo quis kacere ve'ir lelquiqnar
ms contiimo nastemr. vr monstra
dir stlbiecta delcriprio. _

! 'S I 4 ! > !

! 16 i 2.0 I  2s s

Äc stqnis idem de cuncris in instni/
mm panibus mulriplicaris faciar:
connenieilter ordinem strperparri/
culan'raris ülueiliet.Quod kl cöuer/
sosstrperparticttkgresal'quls lcSm
hxc prxcepm connermr.condnuo vi
deat iuperpartiemes accrestere. er
cxsesqackcero qnidenr luperbiparti
rus :ex sesquirem'o superm'parn'cns
procreamr.rcxreriWm comunes
denoininatiöis species kinevila or
dinisinrerpolarione nalcenmr.L)!^
sponantui-igimrkic. _

i 9 ! S l 4 i
Sllperioris iginir descriprionis pri

msprin^^-rus numems akcnbac
id Äi-y.secüdns vero primo -r scöo:
idest. i5-rercms veroprim0:duob^
secüdrs? rercio id eit. r 5.

'! 9 ! s 4

! 9 ! '5 rs,
M ergo sesqmcercium eode modo

verranms:ordo snpemipm riens in
uenimr.klremm prima proposirio
k esquircrcu.  _ „

! '6 ! 12. j 9 !

Idonarnr iecundü priorenr inoduz
primo par Primus idest- is.secüdus
primdr.lecundo idest-2 8 -rerci^ pri^
moduobusfecnndisrrercio idest
49-Omniscrgokuma dilpokira s»/
pertriparrienres efficicr. _

I '6 ! ,r 9 j

t '6 ! 28 49 i

Turins st fcsc^lkiqrtü eode mö vrerif
supqdripries stari qnmäsMreadls.
vr e ea forma qua; üippoürä vides .

! 25 20 'S

! 25 45 8'

Kellar qncadmodü ex ürpparricu^
tarier snpparricrib' mt'riplices ülv
parricukaresrv^mwllpllces supoar
riemes nsstanr ostendere-Quoxbi
nas ranrü faciä descripriöes. MgG
st reccü r nö oueriü selqualcerü poni
mus:dnp!ex supparncuiaris excre/
scir.fir enim hoc modo.

I 4 I S j 9 I

Id onaf lcöm ürperiore modü pmo
prinl'equalis id est-4-secüdus pmo
rso-oidest - lo-rerti'primo duob"
s ecüdis rteicio xqualisid est-r 5.

4/s 1 9 >

j 4 I 10 2s ! _

c 4

bec cmidem duplex ses/
/Iqualtera Minina producta est.
Sivero sesquirerciünon cöuersum
ponamus:duplus sesquitert? inue/
nit.vtsubiecca descripno docet.

9 I ! 16
" 9 > ri j 49 I

vero 6 ad luppartienres sni
/^L mü conuerrsmuseolch ordins
tim lcöin supenora precepta dispo/
nsmusnnultiplices superpartientef
ordinati Memlos reperiem^.L-ispo
nat eni superparciees hec formiüs.

I 9 > >5 ! rs I

Scribarurergo Primus primo
/_L.cquus id ett-ySecüdus pmo
r scSond ett-ra-cernus primo duo/
bus secüdis r terrio id eil-64.

9 I '5 -s I

j y j 24 I 64
V^sIdesnevrex superbipanien
X^teduplussupbipsrriens exor
rus llc.Ac vero ii suprripanience po
namrduplex sine dubio triparriens
inuenimr vr infubiecra descriptione
perspicumnest. _

' j >6 j l 49 j

s 16 I 44 j ,r> 1
^LIcergo de supparcicularibus
5_xvel de/upparrientibus multi/
plices lupparticulsres vsmltiplices
üipparnemes oriunt.sQuare cöstar
omnllunxqualicstü xqlirate ee pn/
cipiü.ex^eademeni inxqualis cücta
ngscunr.Ac dehis quide haccenus
dillerendü eile credidim^ne vel ins»
nitaleccemunvel circa res obscuris/
kmasingredientiü animos detine
res:ab vcilioribus morsremur.

^inic liber primus.

Incipiunt cspitula libri secüdi.

Qucadrnodü ad equalitate omnis
inequalitas reducac. Lapt'm- >.
idcinueniendoinvnoquocß nume
ro quornnmeros eiusdem pro/
portionis poMt preccdere: eorü>
qne delcripcio descnptionistP ex/
poiltio. Lap-r.

Quod multipler interuallüex qui/
bus superparticularibus medie/
tarepo6rs interusllis fiat: einsctz
inneniendiregula. Lapz«
L>e per se conlisnre qusntitace qutz
in fizuris geomemcis conlidera
turrcömunis ratio omniü magni
tudinuin. Lap-4-

jde numerolineari. Lsp.f.

jde plsnis recrilineis 6§uris: quod
queearumtrisnAulum principi/
um sit. Lap 6-

jdispolltio triangulorum numero/
rum. Lap-^«:

jde lateribus triangulorum imme/
rorum. Lap-S.

jdegenersrione triangulorum nu/
merorum. Lap-9>

jdequadrarisnumeris. Lvp-10.
jdeeorü lateribus. Lap- ».
jde qdrarox numerop gnatiöe r mr
sulch de eox laterib''. Lsp- > r-
L>e penrsgonis eorumque laten/
bus. Lap. iz»

L>egnatiöepetagonox. Lsp- >4»
jde hexagonis eorumch generativ/
nibus. Lap' 's«

Le hepragonis eoyctz generationi/
onibusrrcömunis oiu; figuram
inuenied§ gnarionis regula de/
scripriöisGfigurax. Lsp-

delcriptio riguratorum immerorü
inordine. Lap. iz.

Qui kiguratt numeri exquib'figuz
ratis numeris fiär: arq; qö man
gnlus nuinerus onmiü reliquo?
principiükt. Lap. 'S.
Idenines ad fugursto? numerorü
descriptione speculstio.Lap- >y-
de mimens iolidis. Lap-ro.
de piramide quod ea Nr solidaru;

fiAurax principiüstcm criangn^
plansruin. Lap.ri»

de his pyramidis qux s quadrstis
uel ceceris imilciangulis figuris
,pfic>scunr. Lap-rr.

Golido? gnationüerox. Lap.r;.
de curris pyramidis. Lsp-r^.

decubisvel asseribus vel lacercUl
lis: uel cuneis vi' sphericiswelpa
rslleipipedis numeris. Lap rs
de parre altera lougioribus nume

riseopqrgnanonib^. Lap-re.
de antelongioribns nmneris: r de
vocabulo numeri altera Partei»
gioris. Lsp-rz^

Quod ex imparibus qusdrati:ex
psribus parce s!tera longiorcs
fianr. Lap-rS.

degeirerarione laterculox eorüH

dettnitione. Lsp-rs-

de circuiaribus uel lphericis nume

ns. Lap;o.

de ea natura reruz que dien eiuide
nature^ de es qu§ dien alterius
varurx: r qui numeri cui natur§
cöinnctilunt. Lsp.z,.
Quod omnia ex eiufoein natura r

alterius natura cöMant: idqs in
numeris primüvideri. Lsp-zr.

Lx eiusdem atque alterius numeri
natura.qui Ec qusdrsttls r psr>
tealteralongior:oes^porrionü
habitudinesostare. Lsp-;;.
Quodexquadratis -r parte altera
lögiaribusomnis forma? raüo
conMsr. Lap-?4°

Quemadmodnin quadrati ex par>
te altera longioribufrvel parke al
rera longiores ex quadrstis ki^
änt. Lap-zs-

Quod principslicer eiusdem quide
sic kibstanrix vniras-secuirdo ve>
ro loco impsres numeri: tertio
qusdran.r quod pncipslic dua^
lüas alterius ür 5ubstantix:secnn
do ^o loco pares numeri: terrio
pce altera lögiores. Lsp.zs»
Alrerngtimpoüris quadrsris rpre
altera longioribus qui 6c eorum
conlenius in differenchs -r in pro
portionibus. Lap-zz.

Idrobsrio quadratos eicisdcm esse
nature. Lap-;S-

Luvosew.soe pticipare substatix qö
ab imparib^nascant. Lap-zy-
de^porcionalitarib'' Lap-4°»
Qn^spudsirriquos proportional
litas fuerit:quas posteriores ad
diderunc. Lap-4>»

Quod primü de ea qu§ 'vocat arith
menca proportionaliras dicenz
dumest. Lap-42.

de arichmetica medietare: eiuscv^
prieranbus. Lap-4)-

de geometrics medietate: eiulq; ,p
prietanbus. Lap-44°

Qu§ mediecas quib^ re? publicarü
statibrrs comparenr. Lsp-45-

Quod superficies vna mnttr in pro
portionaiimrib^ medietare mn/
gane . lolidi' vero numeri d nab''
mediccsridüo in medio coilocan
tur. Lap-46.

Zdearmonica needietaceeiusctz pro
prieemivees. Lap-4^

Quare dicra M srmonica mediecss
eaquxdigeftaest. Lap-48-
L>egeometricaarmonia. Laß.^9-
Queadmodü conlArmis almnse,
cus duobus eerininis: arirhmeei
ca r armonica inter eos medic/
ras alternee.arqere deeorum ge,
nerseionibus. Lap-sv.
jde trib'' inedieeatib'q armonicx et
geomecriceorrarixfür. Laps«,
jde quamor medieesribus quas po
lteri ad implendum denarium li
miresdiecerüe. Lap.sr.
idispokrio dece medieratü.<ap. 5;
tdemsximar perkeces ssmphonia
qux eridns disteirdirur ineerual,
les. Lsp-54-

Hnuntcapirula

Incipit liber secundus.

Quemadmodü ad xquslitatenr
olö inxqualiras reducat. Lap- >-

«pe

mxqualllE substätia a principe sui
generis xqualitsre^cesserir. Sed q
re^ elemera sür.ex eisde principaliö
oiacöponuiü:r in eade rnrsus reso
lurione ksctaresolnunr.Llt quoniä
arricularis vocis elemera sunr litte/
re:ab eis estsyllabapFgrella cöiun
ctio.r in ealde; rnrsus rerminsrex/
rremss. eanderß vim opriner tonus
in nmllcis.M ^o munduz-4-corpa
nö ignoramus efficere. 'Näcp ut aic
ex imbri cerracy als gignunr r igni.
sed in hcc mrsus eins -4-elemeta läc
postremaresolutio. Iraigirqmex
equaliraris margine cucras inxqua
litaris species prokicisci videin^rors
a nobis inxqualitas ad equalirare
rursus Velut ad quodda eleinennl;
propry generis resoluar.Doc sure;
rrina rursus imperativne colligir .

eaG resoluendi ars.daris quibM/
bet lriblls rerminis inxqualib'' qui/
dem:sed proporrionalitercoiMtu/
tis:id eli:nr esnde; inedrus ad pri/
mü vim proportionis optinear:qua
qui cst extremus ad mediü in quali
bet inequalirans räne:velin multi/
plicibus:vclinsupparticnlarib':vel
in suppartienrib": vel in his qu§ ex
his procreannhocelbmulriplicibus
supparricularibus: velinulriplicid"
supparrienribus esdem arq; Vna rs
rione indubirsra conttsbil.'tdropo
Kris enim trivus ut dictü cli termi/
nis xquis^portionibus ordinatis:
vlrimü semp medio derrahamus: r
ipsum quidem vltinm primü termi/
nü collocemus.quod de medio re/
linquit-secundü.Lreceniavero^po
Klop tenninox luma.suferem'vnü
primü r duos lecundos eos qui de
medierate relicti sunt. r id quodex
tercia süms reliquit: terciü rerininu
cöMmem'.tÄidebis igu hoc facto
in minore modum sümss reuenür
ad principaliore habitudine cöps/
rat'.öesLportionettV reduci.ur 6 kt
quadrupla proporrio: primo ad tri
plamünde ad dupla: inde ad equa
lirate vsque remeare. Lrilsir super/
parricularis sesquiquartus. primo
ad sesquiterciu-indc ad lesquakex:
postremo ad tres xqnales rcnninos
redire.Doc auce; nos exempli gra/
tiainmultipliciranrum proporrio/
ne docebimus. Sollerrem vero m
aliis quoqueinxqualitstis specieb'
id experiemem r eadem ratio prc /
ceprorum iuusbit- LonMruanmr
enim rrcs ad se termini qusdrupli,.

I »rS l

Staut qu§dam
m h sc reprokm
da rmirädaspe
culariormsicni
comsch'ennoeo
phaton rheore /
max>kicies.7 ad
plaronicam iu ti

meo anime generanone.7 ad inter
ualla arinonice discipline.^Zdi eni;
iubcinur.pducere atcp excedere tret
uel quatuor fesqualteros.vl' quocli,
bet sesqnitertias^portioes :r sesqui
qrcas copariones.esstß scöin^poli
kü ordine fepe orinuss iubemur ex
rcnde.'Ne aür hoc Isbore quoda tz
gde msxlo rfrequent^inkeraci kiat:
hacnobisrönelquornüeris quäti
postrnt eile stixparticulsres luestigs
düest, Oesenlmulriplicestants^
stmiliumkbimet Worrionü princi
pes erunt:quoto ipst loco ab vnics/
re discesterunt.Quod aurem dico 6
büner stmiliüasleestmc dupli sem/
per mnltiplicitas uc snperins di >
ccuin estsequa'teros creet. rtriplex

nec vlla trepidsrione dubitsndmn
qnod quemadmodum per se con/
stantis quärirstis vnirss principi»;
relemenmm est:ira 7 ad aliquid re
lsrx quätiratis xqualiras marer est.
Demonstrsuimus enim quod hinc
r eiu6,pcreario prima forer:r in es;
mrfus postreina solutio est.

Deinuem'endoinvnoquocx nu
mero qltor nnmeros eiuldeWorcio
nis postit precedere: corücy dclcri/
ptio:descripüöis<P cxpostcio. Ls r.

» Lä ufer igir ex medio minore: id
/_L.estexrrigintsduobus octons/
riü:relinquuns-24- r primü octons
riü terminu pones:secüdü ^o qnod
reliqnuin kucrit ex medioüd est. 74
urstnr hidnorermini .S.er-r4- De
terno vero: id est-1r 8. auker Vnum
primüäd est-S-7 duos secüdos qui
für reliquüid ebis-24-7 relinquunk
.Dis dispolitis terminis: ex qua
drrrplisWinquior xquirsri^porrio
triplsredacrae.  Sütenlhi  rennini

Zk his am ipüs rdem st feceris:
ad duplu; rurstrs comparano
remeabir.idone enim primü mino
rixquumrid est-S.rexsecundo au/
ferprimumi e.relinquenr.Sed ex
tertio id estex.77.guferprimum.id
est-S-7 duos secüdos:id est bis-16.
r erir reliqua pars-; r.Quibus post
tis ad dritzlas proporrioneshabuu
do redigir. _

I s j 16 I Z7 j

Dem vero ex his st starkem om
^_ne; ad §qualicatis suminas §li
quabimus.Doneenizprimummi/
nori§quum.id est.S.7 aukerex-16.
octonsriü.remsnenr.8. quid ns dis -
posttis: ex tertio id est -; r. strmptis
primo.idest-S-7 duobus secundis
id est octonsrhs:supsuncS. Quib"
dispostcs prima nodis xqualitas ca
dir.m strbiects sumnnrlc docent.

I 8 ! s I s I
'IL^Inc igir k quis ad s ias in§q/
I^Lliraris species animum tendat
esndem coimeinennam innmbank
mueirier-Qusrepronunciandüest:

lit dux sesquiterrioru;: quadrrrplus
sesquiquarr^. Idrimus ergo duplex
vnü solü habebir lesqualterü.iecum
dus duos.rerüus tres.qusrrus -4-
r scöm hunc ordiire eade 6r in inki>
nimnrprosrcMo.llccy vnquä fieri
pörmr uel super^porrionü numerü
velsbeoür deminulior equabilis
ab vnüare locario.idrim^ er§o du^
plex eil binarius numerus:qui vnü
solumstsqualtex recipirud eil rerna
rrü.Bingrius enim cötra ternariu;
cöparams sesqualrerä 'efficit,ppor/
rione.Lernarius v^o quoniä medie
rare nö recipir.nö eil alter nuinems
ad que in racione lesquaicera cöpa
ret.Quaternari-'^o nunrerus lem-"
dus duplrrs est.hicKduos sesqual/
teros prxcedit. Lltenim ad ipluni
quide cöparams senarius numer^
ad lenariü ^o quoniä medietstem
Haber inouenari'.r sürduo sesqual^
leri.ad-4 scilicer-6-gd sex^o-ydNo
uenarius^o quoniä medierme ca/
ret: ab hac comparione iecluius ekl
I^ercius v^o duplex est-S. hic er§o-;
sesqusiteros antecedit. Lomparar
enim ad iplum duodensrius nume
rus.adduodenariü- ib ad. iS-rnr
sus-r^.Ac^o. r7. medio caiec. Ide
quo<V in sequentib" euenire neceile
est.quod nos cum propria ordina-
lione lubdidimus. Semp eni; hoc
diuinaquadänec Humana conili^
tutione specuiationibus occurrit:ut
quorielcÜP vlrimus numems inue
nit: quilocoduplicis ab vnitarekr
parastis 6c m in medietates druidi
secariqrrenonpE.

Larltndo

^idemconringiretism in rriplici
_L_bus.ex illis enim sesquirern-F»
creanr. 17a; quoniä primus rriplex
est ternariu« numeruschabet vnu;
lelquirercmid est-4-Luius quarer^
irari) rertiaps nö pör inueniriracq;
ideohicepytricocarer. Secundus
v^o qui est noue Haber ad le duode/
nanu; numep sesquitertiü.jduode,
narius am quoniä Haber rertiä^re:
in sesquicercis Fpomöe comxar ad
eum numerus fedecim.qui rerrie
tis lecrione solutus e. nigintiseprc
aür quoniä rerrius eil mplexrhaber
ad seksquiterriuin crigincaser.r hic
rurius ad quadraginraoctoeadcm
^»portione cöpsrat.Lui 6 sexaginra
quaruor sppoirri fuerint:eande rur
Ms vim.ppo:lionis explebüt.Quos
sexaginraqusmor sdnrülü sesqui>
terciu rurkus apcabis:quoniäparre
rerria nö cenenr.Acque hoc in cun^
clis criplicibus iuucnievr exrremuf
eiusdezproporrionis nuinerus ran
ros anre leprecederes habcrrquan
ro primus eop ab vnirare discell'erit
Lt qui rot lup se eiulde ^porrionis
habrreril numeros quorus ab vni/
rate'primus eorum iscetreius pars
quailli compacus nnmcr'polNreä/
de facere.pportioire inueniri neqar
Lt triplicis quide hxc eil descrrprio

Latimdo.

j » > ; ! y 27 , 8i r4) !

j 4 I ir j ;ü j 108 zr4 j

SN, I 16 j 48 ! '44 4)2  l

gu, ! 64 t '9^. 570

la, t r;6 76S I

_ NS '024 j

'A^Inc quo<V pspicuü ess:suppar
A-(riculariu queadmodu; prius
osseiM ess:primos esse mMtiplices.
Liquide duplices sesqualteros:tri
plices sesquitertios: r cucki multipli
cescunctos in ordine suppanicula
res crear. Lit cria in his hoc quocy
mirabile. *Naque vbiprima lsrim,
dofuerit duplex: r lub eisdem g luk
versus cominui alternatim poüci :
scöin lene larirudinis duplices erür
Si^o fuerink lnplices-.r inferiores
ordines tripls se i luis terminis mk,
tiplicauonelupabüc. Arin quadru
pla quadrupli .atcp hoc infiiüt a du
cm speculsrione noir kallir. Anguls
res süt omniu; mulkipliccs euenire
necesseett. Lrunt am dupliciü qui/

16 > 64 > j 1024
ro 80 j ;ro >r§o

1600
rooo
2sO0

L quadrupli scöm häc forma;
^Ldescripkio ess:ad quam scilicec
qui a prioribus inssruc? sccellerir:
nulla röne trepidabinr de c§reris g
demmulriplicibus eandenr conue,
nientiäpernotabir.

'Lalicudo

sn, 2 s Ivoj 400

gu, I ir;! 500

-_ la, I

ris

de triplices: tripliciu quadruplicea
qusdruploru; ^0 quincupli .r scöm
eandem ordinis incomutsbile; ra,
cione übimer cüccs cösenrienr. Qui
bus exposikis ad sequeceopis scrie
cöperens disputsrio cöuerrar. .,

Quod multiplex interuallumex
quibus suppsrriculsribkis inedieta
re posUa interuallis fiat: eiuscy inne
niendiregula. Lap-;«

Jigikdu^ prime
supparciculares
species coniun/
gant: primaspe-
cies mulriplicira
tisexorik. Qmnis
ens duplex ex ses,

qualtero sesquirertiocp coniponit:?
x omnis sesqualker r lesqu tert? du
plicem iungnnc .l^lamrernari^ses,
qualter ess duorü: quamor vero sef
quitertius cernari). sed «4- duplus
duorum.

sesqua'rer selquirerr?

Jeigit sesqualter r sesquiren?
vnü duplice componür.Ac §0
6 kuerint medietas x duplus:inc du
plicezr mediü potess vna mediems
ralis inncniri:qux ad sltersm excre
Mare sesqualtera sstiad altera lel>

quitertia. AltriniecusenimpMis
iensrio r rernarioüd e duplici r ine
diera.e: ü quaternär^ in medio col
loccnad ternsriü numerü sequirer/
riam continet rsrione>n:ad fensriü

fequiterti'' sesquglter
V) Lcce igicur dictum eil: r dupli
Z-^cems fesquslterosesquirertio
queconiungi: rhas duas snpparci
cularis Ipecies duplicem procreare
id eil prima Ixecie; multiplicis qua-"
tltatis.Kursus ex prima multiplicis
speciend eil ex duplici: r prima Urp
paniculariüd eil ieiqusltera conri/
nes multiplicis ipecies: ideil tripla
coniungir. IläP- ir.senarijnume/
ri duplus eil: decem vero r octo ad
duodenariumsesqualrer: qui ad le
nsrium nnmex triplus est.

duplus fesquslrer

poüciseisdein-6-ec- «S-no^

'Ouenarius in medietate ponar.
erit ad knariuin ieiqnalrer: qui ad
«s.subdnplus eil.r ad icnsriuz. >3.
tnplusest.

sesquslter dupltts
/^^dttpliciisirrsesqualtero tri
vIRplexratio propornonis exorir
r in ess rurius resolutione facta re>
uocar.Si aute; hicud eil triplus n«
merus qui eil species secunds mul/
tiplicisiecundxipeciei supparticu/
laris apteNAuadrupliconrinuo kor
ma comexilrr in eaidem rurius pat¬
res namrali partitione loluer: scöm
modum quem superius demouilrs
uimus.

quadrupl^ sesquiquart'
gncupluscn; ietzquinto:
x-M.inox sescupli^porrio siusabir

qdruplus

triplus sesquiterti»

J vero qusdruplus sese ac ses
^_^quiqusrtus ssglomeretmum
cupltlscontinuofiec.

quincuplus iesquiquinr*

ita scSm häc Mrest'ionem
/_R.cuncc^ mulriplicirar^lpeciesü
ne vllaratiordinisxmurarionena
scen k' Ira ^o ut dupluscü sesqualte
ro rnplicecreec. r tnplus cü sesqui/
renrio quadruplü quadruplus cum
sesquiquarro quincuplü. T c§reri eo
de modo ur'nullus häccätinusrio/
nemfinisimpediar.

jde p se cöstanre qusnritare qux in
kiguris geometricis coniidemr cöis
rsrio oiu; magnimdinü. Lap-4-

Lc quldeinde
quärirare qua;
lcöm ad aligd
speculamur ad
plens dicra suk
ficiät.lMcaüt
in hac sequeria
quedam deea
quanrirarequx

tzseipsa; constar neque'adaliqnid
referr expediain. que nobis ad ea
prodeste posstmc:qu§ posthxcrnr/
ius de relara ad aliquid quanrirare
tracrabin^. Ämar eniin quodämo
domscheseos speculario alcernaF
bscionü rarione constimi. Istüc aür
nobis de his numens sermo tun»/
ms ett: quicirea figuras geometri/

cas rea^spacia diinenstonefqz^er
sanr.id est: de linearibus numeris:
r de rriangulsrib^uel qdraris:ccre/
ns<P sola pandir plana dimeniro
nec nö de in§quali larex copoüriöe
coniuncris.L>e solidis erismäd est:
cubisrr sphencis uelpyramidis:la
terculis eriain ric! kignulis r cuneis
qux omma quide gcoinecric^ pro/
prie conüderarionis sunt. S; ücuc
ipsa geoineciice scienria ab srirhme
tiča velur quadä radice ac marre p
duccaest: iraeciameius figuramm
leminai priini^nrnneris inuenim'.
Idlanu kquide; feciinus quod oes
disciplinas hec inrerempra conür>
menet quas minünecostirura infir/
marec. Doc aür cognolcendnm est
qö hcc signa numenox poflrs qux
nuncquoP homines in sümarü de
kignarione delcnbunr: no nsrurali
instirurione kormara sunr.vr eni qm
nari) lubiecrä norulä stgnanr de-v-
veldenary quam delcripttmus de
x- er alias huiulinodi: non namna
posuit:sev vstis affinxir. Quinctzeni
vel dcce vel quorlibec alios: illis no
ruüs,p compeirdio noranevolrlerüc
ne quotiens vnirares quis möstra>
revelleraoriens eivirgule ducerem
Istos aür quotiescüq; aliquid mon
strare volumusün his preierti; kor/
mulis -ordinarap virgulap mulriru
dine non grauamun spponere. Lü
enimquinctz volün^demonstrare:
facim' quincy virgulas: ducimusq;
cashoc modo. < i > > > .T cü-r-cori/
dem.rcü- lo.nihihilomm^.qrnsm
rali'est quemliber nume? quanras
in sererinec: ror vniraribusdMns

IH' /

re quain nomlis. Llt igir vnitas vi/
cemoprmes puncri:inrerualli:lon/
gimdinisP princip iu;:ipla vero nec
imeni Mi nec longimdinis cspax.
qrremadmodü puncmm principi»;
quidein.linee estsrque inreruMi:
ipsum vero nec inceruallü nec lines
'Neque eniinpuiiccuin puncco lux/
pokrü vllü efficir inreruallü .velur 6
nihil nuiii iungas. 'Nrhil eni; eit qö
ex nullorum procrearione irascamr
L sdem quippe eriam circa xquali/
rares proporlM maner.lta; li quor
Uber fuerinr rennini pares: ranrum
quidem eit a primo ad secundum:
quanrü s secundo ad tenium.Sed
inrer primü r secundü.vcl secundu;
r rerriü:nui!g eit inrerualli longicu/
dovel spscium.Si enim rres sena>
rioS ponas hocinodo-sss-quem
gdmodü prümls eit ad secrmdü:lic
eit secüdus ad rertiü.Sed inrer prj/
mum r secundü nihil intereit- s enl
r-s-nullaspsch incemaiis dilmgüt
Ira eriam vnitas in feipss mulripii
čara nihil procreat. Semel enim in
vnum nihil aliud ex te gignir quam
ipfs eit. Ita; quod inreruallo csrer
eriam vim gignendi interualla non
recipir.quod in glysLs >»o vi
der euenire.Omnis enim numcrus
in seipkrmmultiplicarus: aliü quen
dam efficir maiore quam iple eit.id
circo quoniä interualla inultipljca-
ta maiore sek spachplixitace diiten
dunc. W vero quod irne ittrerusl/
Io eit:plus quam ipia eit pariedi nö
Haber poreitarem. Lxhoc igirprin
cipioad eit ex vnirste prima omniü
longitudo succrescir: qu§ a binary

numeri principio in cunctos sek nu
meros expllcsr.quoniä primü inrer
uailum linea eit: duo vero interval
la Mm lögimdo rlatitudoad ettli/
nes r supficies.^Lria ergo imerual/
la sunr:lösitudo:lstimdo:alrüudo:
id eitlmea: superficies: arq; solidi/
tas.idretcrhec am aliainremalla
inueniri non polsunt. Äut eni; vnu
inccrusliuzerirquod longitudo eit
aut sliquid quod duobus inrer» al
lis expolitum elt.ur 6 qua res longi
Mdine habest r latitudine. uel tri/
nsinteruslli dimenirone porrigir:
6 longirrrdine: altimdine: lstitrrdi/
necy censer. supra q adeo nihil in /
ueniri poteitmr ipsox sex motuü kor
m§ ad interuallop naturas r nuine
rum componant. Nnüeniminter/
uallü duos in ie conriner moms.vr
inrribus inreruallis sex sek moruü
summa cokicist hoc modo. Lit eni
in longitudine ante r retro:in larim
dme klüitra r dexrra: in altimdine
suriüm ac deorüun. Itecelle est süt
vt quicqurd kueritsolidum corpus:
Dhabeac lögirudinez larimdinectz
x altimdine. r quicquid hec tria in
secominetnllud suo nomine lolidü
vocec.Dsc ein tria circa omne cor/
pusinsepsrabili coniunctione ver/
5ant:r in natura corpox conitimm
sunt. Quare quicquid vno inremal
lo caret: illud corpus solidü non eit
Itsm quod duo sola interualla re/
tinetällud superficies appellat.Ois
enim superficies sola longirudine-r
larimdine corrriner. r hic eadem il/
la conuerito remsnet'. Omne enim
quod superficies eit: longimdinem

r rarlrndine reriircr. r quod hccrcri
nernllud est supkicics.Dkc aüt krp/
ficicsv«rorärüinreruallo lokvi cor
poris dimenkone snperar:qu§ vno
rurkrs iirteruallo linča; vincir. qu§
lögicudinis natura rerinens latim^
dinis experseK.Qux linea eo quod
vnius e uuerualli sortira naturam
a kiplicievno inreruallo:a soli dira/
re duobus spacijs vincir. id uncru;
igic slio rurkrs inreruallo a linea vl
citripsa sc; qu§ reliqus est logirudi/
ne.Qusre k punctü vno quide iirr/
uallo a linea iupgreditüdem s krp/
ficie vincir duobus:rnbus vero inc
uallidimenkonibusasolidirate re
linquincöstat punctü ipsu; sine vlls
corporis magnirudine vel internal
li dimckone:crr r longirudinis -r la >
ticudinis r prokundicacis eppers kr
oinirm inreruallo? ek'e principium:
r natura iniecabile: qö greci arho/
mon vocärad eli rta diminurü srq;
psruMmü ur eius pars inueniri no
possic.LKigitpüccü prinü inrerual^
liprincipiü-nö rame interuallu.r li/
nex capunied irondü linea. Dicut li
nea quocy supcrficiei priircipiu est:
sed ipsg suxficies iron est.r secüdi in
rerusUicapurest: scSnr ramen inrer
uaUü ipla nö rennet. Ide quocx r i
lupficici racione cadit:qux ripsa so
lidi corpisrrriplicis inrerualli na/
rurale sorrit iniriüäpss vero nec tri/
na inrerualli dimenkone drstendik:
nec vila crastundine solidsr.

jdenrmrero lineari. Lap--

IcetiaziniMne
ro vniras quide;
cuipa linearis nu
rrerus nonkt:in
ögirudine ranre
usteci numeripn
cipiüest.Lc linea

rrs nuinerus cutpse totius latitudi/
rris expers kr: in aliud rame spaciü
larirudinis exrenri numeri sorrit in/
iciü.Supersrcies quoq; numeroru;
cnin ipla solidücorpus nö ktiaddi/
tsrsinen alrirudini solidi corporis
capur est.Doc güt planius his epe/
plis liqucbir. ll-incarisnuinerus eli
a duobus inchoans: sdiecra sem/
per vnirare in vnrrz eundectz ducru;
quantirstis epplicacs cogeries.ure
id qnodsubiecimr.

jde planis rectilineis figur is
cam princip ur kr rriagulus. Lap.6.

i Lana vero krpkl
cieslnumerein/
uenit.quotiesa
rribus inchoario
ne facca addira
descriptionis la/
ticndine'-inseque
!tiu;senaruraliu;
jnumerop mulci/
mdine angull dilsranr. ur kr prim''

rriangulus numerus.secüdus qua/
drams.rercr" qui krb quinq; ang»/
lis conriner l que; Pentagonu greci
nominät.quarms Hexagon'': id ek
qui sex angulis inclndik. quinr' he/
pcagoirue.seprus ogdogonus: id e

qui-^vel-S- sngulorü terminis di>
laeanc.r c§teri code inö 6ngillarim
x naturale numep angulos augeat
m plana sc; descriptione figuram;.
Di §c> idcirco a ternario numero i/
choät: quod'lstimdinis r supkiciei
solus cernari'principiü elk.In geo/
mecrica quocß ide planius inuenit
krux enl linex rect§ spaciüno conti/
nenr.romnis triangulans figura:
vel cecragoni-.vel pentagoni: uel he
xsgoni:vet cuinslibet qui pluribus
angüÜs cörinek:6 s medieistep nn
gulos sngnlosline§ producanr: lot
eum diuidllnt trianguli: quot ipsa;
figura angulos habere conligerit.
Qusdrstü eni; ira duccx line§ in-4-
Pentagonu in- s.hexagonü in- s. he
ptsgonü in-7-r ccrcros in luox an/
gtüox modo mensuraPp triangu >
los partiunr. ut eit ftrbiecca descri/
ptio.

'LVL vero tn'sngula 'figura cüeä
^Lgs im diuiseritän sliasjkiguraf
nö resoluir nist in seipksz.in'tria eni;
trianguladillipsr.

jdeo hxc figura princeps ek la
./7R.tiludinis:vrcxrereoes iuperki

ciee inhancresMannipsaVoquo/
niam nullis estprincipijs obnoxia:
nectz ab alis larimdine süplrt inirin;
in sefe ipsa resolust.Ide am r l nn>
meris fieri seques operiš ordo inö/
strabit.

L>ispoMiotriangulo:mn mime/
rorum: Lsp-r.

St igitprim^trian
gul'nunte^a solis
lrib'vnitstib^dilN/
par:scöm supficiei
poktione; triägul»
scil; descriptione: r
_Ipost hmrc quicücß
xqualirste laterü in trina lscerü sps
cissegregsnt.

i z s

d r

turalis nrrmerus hoc modo-


o


De genergtione triangnlop nu/
merorum Lap--'

mr«

idelateribus triangulornin nu/
merorum. Lap-S.

Alcunr amtru
anguli dispoü/
tanaturaliqua
kitare namero-
mm:lcpriorib'
sempermuirim
do lequenrium

!congreget.L>is/
'ponar eni; na/


o ,quäcicate,pduxiin':cui'!ai'so!irres

i eötinet:r idel sch's cüccis qnotvni/


Zkhis igit k primü nuinerü M
xIRmäide vnitarc-habeoprimü
trisngulü: qm elivi r ptäte nondu;
ecisin acm nec ope.Duic 6 secüduz
aggregauero qui in namrsli nume
ro? dispoütiöe delcripcus est id eit
binsriüprirnus mihi rriägulus ope
r acrn nalcic id eli rernsrius.Si ^o
huic cerciüex namrsli numero sdie
cero: secüdus mihi ope r acm man
gulusFcreat.Supvnü enim r duo
6 rerliü id cli rernariü aggregauero
senari'exrendir-secüdus sc; trisngu
lus.lJUic^oiccöleqnece quarerns
riü supposuero: denarius explicar:
qm est rerrius acm triangul'. quos
p laccra disponens ad supioris de/
scriptionis exemplar: cücros ri isgu
los nnmeros sine vilius dubitario'
nis errorib'pnorsbis.-r qusnlas vl
timus nu meru s in le vnirares hab;
que superiorid' aggregabis-ror ipe
qm sic criangulus vnirares habebic
in larere.Llä rernariü qui eli prim'
acru rriangul' adiecco vinario vni/
rau keceram': ar hicduos Habelin
lacere.r senariü hisadiecca rerirarij


idhuncinodu;
in Mimica pro/
grellro e: oesq;
ordine mangu
li xquilsccri p/
creabunk.rpri/
mum oinninm
poner id quod

ex vnüare nascir: ur hxcvi sua man
gulus üt:non rame ecia opere arctz
scmFlamü mncrop eli mscer nu/
,nero^:quicquid i his qui ab ea na
scunr nnmeris inuenir mecelle estvr
ipssnacuraliquadam porestscecö
rineac.? hui' crianguli larus cst vni
ras.Lern arius rero qui primus eil
opere r acm ipso criangulus: crelce
te vnicate binariü numerü latus Hs
bcbir.Ni enün r pocestace primi rri
snguli id est vnitslis vnicss larus e
- aru v ero et opere crianguli primi:
id est ternam duslitas.quam greci
dxads vocant. Secundi vero man
guli qui opere scque acru secundus
e:id est lenari) : crescere nsmrali nu
meroinlsteribccsternarivs ücueni
rur.Lertii vero id eli denarij qua/
tern ari' latus otiner.r qrci^o id eii
»5-gnarius lsr'rener.r quinri sena/
nus. Ideinquc vs<V üc inkinitü.

estes habenremlmep sueiorib"as^
gregabis: rot vniraribus eius lare/
rscontinebuirr.

jdeqdrsris numeris. Lap- >o.

larernin diinenstone porrigit. Sür
avchuinsmodi.

Nadranrs vero
numerusest qui
etiäipsequidem
lsrirudinepadir
sed non in kriv'
sngulis ut Mpe,
rior forma: s;-4-
Ipse quocx§qli

h aber in latere. Secundus ^o qui
acru primus id est.4 duobns e lsce
ra postris cöliner. Tertius id est
noue qui secundus est ope: tribus r
lsrere posttis aMegsr.Lc sd ean^
de; sequentis cuncci^cedüt. .

jde eorü lateribus. Lap - n«

Ld in his quocß
LSmnamralenu
merum lsrerü au
gmeta Mccrescut
^»rim'enlvirpo
tenriaquadrstus
idest'vnirss:vnü

L>e quadraro^ generative rurMsty
de eox lsreribus. Lap' «r.

Äscumaut ta
les numeri ex
naruralis nu>
ineri dispostti
one: nö quern
admodü strpi
ores mägüli:
rtordinac'ad
seinuicenüe/

ris cögregennsed vno sp intermisto
qui seqsttü cü Mpiore uel strpiorib'
colligsnordinatos exsequadratof
efficicr.jdisponareni namralisnr»/
merns ho c modo.



I > <oi isj

Ahis igif si vnürespiciä:prim'
VF mihinagestprä-equsdranrs.
Qö 6 vno relicro pori terciil mrero:
secüdus mihi qnadrsr'cMcir. 17a,
6 vno relicto binario renrarir, appo
Mercu quarernari^inihi quadrams
exorit.Qö 6 rurlns relicto medio q
ternario quinariülimüir aggrcga/
uero:qdra^ mihi lern' id est noue>
nari'^creat.Llnus cni r.; -er. 5-no>
ue colligür. Ar ^o st his intermisto
fenario septenarm iungä:totsi - >6.
eius strma cöcrelcrr id estquarn q>
dran nüerosttas. Lc ut breuir hui'
formaFcreariöis appsreat:stcücti
nnprres stbimer apponanncolloca
to sc; irstnrali numero: qdrarox or
do rexer. Lst eriä in his hcc natur§
lubciliras T lmobilis ordinaio: qK
rot vnirares vnusgsP qdrarop reri^
nebirrlarere:quärikuerint numeri
ad cöiüctione^>priL cögregati. 17ä
in primo qdraro qm ex vno fit: vn?
est in latere. In le üdo id estqcer^
nario qin ex vno r trib'^crear: qui

menstone dispostris. Sum am hi.

duo iunt tenninübinano la? texir.
r in noucnsrio quoniätrib'nume/
ns^>creac:lams cernario continer.
ÄtP ide in sli)s viden licer.

ve penragonis eorumque laten
Lapi

Lnrsgonus ^onn
memsest:qniipse
quide ilstirudine;
scömvnitaredescri
pris quide-s-anZu
lisorinencüctissc;
larenbus equalidi

^HsOde quoqzmodoeop larera
^^.succrescm.^a priini ptace pen
ragoni id est vnius:ide vnus fpaciü
latens rcnet. Sccüdi vo quiirach g
est scrn ipso acq; ope prim^pemago
nus ibinip latera fixi sunt.Zlerli^o
id est« > r.mb^in lac''suchest.Quar
ms. rr.4-iiumerop in lacere quan/
titare distendu. Arcß ide in ehrens
scSn» vnitatis^greMone in natura
li sc; numero scörnsu^erio? figura/
niincreineta tendunt.

L>egnstionepeta§anox.Lai 4

Äscükaüthinu
men quiexcek
l lmitudinegn
qne agulospä
düt: ab eadein
nAis numeri
quälicare i sese
coacerustsuca
utduob' semp

imenectis numens superiori uel sü/
perioribus vincens ternario cücui
iungcndus est sggreget.'Naq; vni/
tati intermistis duob'r tnb'' st qua/

tuor inngss-qui rnb^ipsa; lüperent
vnitate.quinan'pencason^pcreabi
kur.id ost 4-vero st incermisto qua /
i-io r senan'o- ^-aggreges.-duodena
nüpencagonü.pcreabis.'Näcyvn"
r-4-et- K immen- > r -explebm. Doc
etiäin slijskier. 'Näst- iv-vel. iz-vk
m.vel. ly-vel-rr-vel- r5.supiorib'
cüccis sdiunxeris:eode quo sugius
modo pentagoni fier: scöm supiore
descripn'onem. _

j rr I ; 5 ! si ! 70 I yr 11  !

L>e hexsgonis eorumq; genera/
tionibus Lap->5«

Lxasoniaütg
sexanguUsrhe
ptagöiq.7.nlr
sus lalenb'oti
ner: k; hücmo
duzeo^lareru
augmnerasuc
crcscüt.lläqzi
tnäguli nume

rinatursFcrestioneqriplos mime
ros iungebans'quilefe i natura!» di
spoiltione seqrenr.r se ran-üvnicare
rrästrent.quadrativ'o numeri id ett
letragoniFcresrio liebst exnume/
ris quiviro imermisto copuiabanr:
cü se binario supersrent.peitragoni
§o irsmra fuir ex duob^inrerpositis
relicrilch qui setemario vincereirr.
Scömquoctztsiiaaugmeta hexa^
gono^r uel ocrogono^ vel-y- larcrü
figura uei- >o.ue!quorlidel alioru;
coperenrixigreMone cöficir. M ein
in pemagono duob'internMs eos
iügebam^ qui se ternsrio superarcr
ita nüc i Hexagons trib' inrermistis
eos ümgem'g se qusternsrio trsn^
lcsnt.r erüt quideeox rsdices r fü
damecsiexPnb'luncns oes hexs^
goni nsscunr. _

t ' I 5 ! y !/; ! ri i ,
eunde ordine cölequen^

VAtessrctzsvhis sexanguioxfor
me nsscunr. __

"l ' I 6> 15 I rS j 45 I 66 j
/^L.los ad superioremodü scilz
L^descripros: iir propri-s ordini
buspnotabis.

Leheprsgoniseoruinq; geners
tionibus:<cönmnis oinniü figura^
rum inueniende generstionis regn
lsdescriprionisqzfigurszr. Ls- '6-

Epterfoangulo^
m figura est.cum
ad errndem ordi
nein FgrelNonis
vnopiusqusmm
6- snguloL figu^
ranumeröime»

mi'llo sugiori cöiunxeris.'Nä 6 qus
mor inrerpoürisgsese gnsriovin/
csc aggregglrerscheplagoni orinuo
figura nsscek.m hi nüeriümeox r«
dices r ur superiQ dictü e füdaine»

j I z 6 j 11 I 16 j
Qur vero exhis constanrhitum.

I ' I ! 's i )4 > 55^
^"^Ouezvcro angulox scSmeun
L.. ^denr ordine korma^crear: ir»
urscSm xqüaic progreMone prim»
quoctz eop numeri drstem. ,'Nain irr
triangulo qui sunt numeruqux pri^
ma superficiei figura estrvno sese, tä
tü numeri ^cedunnqni scilicet eorä
natura descriptionectztzficiunr. In
cerragono vero qui secüdusest duo
bus sese inncti numeri vincunt. r in
penrsgono cribrrs r in Hexagons
4-rin Heptagons 5- huiulq; rei iml
lus cstrnod^. Doc aüt nos subiccrs
rü korinax descriptiöcs docebunr.

1

i.r.

; 6 >2


d 4

J mil ir süt licebir
ralisrü kormaru;
qu§plunb^angu/
lis cärmenr.quAN/
rirares asscribere.
Sz quoniä kacil?
_  _oculis sudiecrs re/

lineur-suprsdicrarü formaru nume
roütas m subrenore descripriöe po

natur.

Qui f-gursti numen ex quidus fi
gursris numeris f-anr: arcx qö criä
gulus numems omniü reliquorum
püncipmür. Lop- >8.

IsigirimseL
haberib^quid
inhacre lic co
seques inuesti
gemus. Oes
emkncermso>
niquisub rriä
gu!issunrna>
curali ordins

tione dispolrri: ex iuperioribus rriä
gulisprocreanrülloxqzcoUecrione
quadrsri figura cöpomt. Qnaruor
eni terragon^fik exvno r lrid^üd est
ex duodMpiorib^criagrrlis. 'ploue
ex rrib'r-6- led vcricß Mr mäguli
Ar- io.ex.e-r- 1o.r-r5.ex. -o.r- -5«
IdePr lequeri ordme cjdrsropicö
ttäs »rqzimmabilerepir.ldentago
noxvero Mmm§ conficiunk exvno



Mg le tetragono r alttinsec^triangu
lo ostiruto. ^a<V- s -pentagoirns ex
quarnor sup se poilro tetragono: er
ex.vno g in triangrilox ordine poni
mr Aggregat.Öuodecim^o penra^
gonusexnouenario üix se quadra
to.r rrib^ scöo triangnlo nalcit. Lli
ginriduovero ex. is.et.s. quadrs>
rosc;acqztriagulo r-; 5-ex-r;.-r- >o
r in ordine ad eunde modu inrnen
te nnlla cnncrario orrsrierE impe
diet. Ar v^o 6 hexagonos librara cx
sminationepspicias:ex eiloe rrian^
guliš-rsup se postcis pencagonis^»
cresnr'.'Nancß sexhexagon'rexgns
rio penrsgono r vno qui e l triägn>
lop ordine dispolit'nalcic.'llec alia
est origo - > 5. hexagoni: nM ex dno
denario pentagono-rrernario tria
gulo.Qö 6- r s -rnrsü hexagonü ex g
bus snperioribrrs nsscar addilcas:
nuUos inuenies nisi-r r.Pentagonu
senariüq; triangulü.Arctz hoc in cc^
teris."Nec hunc genirur^ ordine he
ptagonoL,pcrealio rekurabir."Na<V
ex sup sehexsgonis:rexemin'po6
ris rriangulis.pcresnr. Sspre enim
Heptagon^ nascirex senario hexago
no:r vno porestate triangnlo-1 s-ve
ro hepragon^ex- > 5-hexagono r rer
nario triangnlo conülgar: ec-; 4-ex
2 S -scilicer heragonorr senario criä>
gulo. arctz hoc in cunctis inoffensu;
reperire licer.nides ne igir vtprim^
olu; rriagulus cüccop Minas effici^
sr:r oluz^crearionib'iniscear.

Iderrinens ad figurarorum nrrme^
rorum deicriprionem speculario.

Lapincklm- '9-

I Veroomnes
6 ad latirudine
fuerinrcöpara^
ci.ideli mangu

Ii tetragonis:vk
terragonipera^
gonisivs penra
goni hexagonü"
velhirnrsushe

pragoiris:sine sliqua dubitarioe tri
angulis sese superadür.'Nanq; si rer
nariü triangulü quarernario vel q'^
tcrnarium retragonü quinario: vel
qninariü peragonü senario hexago
no:vel senariü seprenario heprago/
nocöpares:primo setriägulo id est
sola lransennt vnitate.At vero k se^
narrus concra noucnariü^vel hic co
tra- ir-velhicconrrs- >s-vel- is-cö
tra. 'S proinueniendis diffcrerrths
cöparenrur:secmrdo ie triangnlo id
elt rernario luperrbunr. ldece; vero
gd- i6-r- i6-ad-rr.et.rr-sd-r8.et
rS-sd- ;4 lrcöponas-rertio se man
gulo vmcer id est senario. Atq; hoc
rite norabir in a!i)s cunctis sequenri
bus sese persp eccü: oinnescp se crian^
gulis anrecedeitt. Quare per5ccte vr
arbirror demälirarü eli:omniü lor,
marum priiicipiü elemeiituinG eile
rriangulum.

L»e itumeris solidis. Lap-ro.

zIncvero ad figuras
lsolidss kacilior via e.
Idrxcogniro cnimgd
inplaulsnumcrop 5i
gurisvisips quarica
tisnaruralireroperer

sd iolidos numeros n5 ei ir vila cu/
c:ario.Gicur eni longimdini nume
rop aliud inruallü id est krplicie vc
lsrirudo onderer sdiecinQua nmrc
lanmdinikgs addareäq alias siri
rudo:a!ias crakrcudo: alias^>sudi/
ras appellar-solidü »umeri corp^ex
plebrr.

jde Pyramide quod es kr lolidap k
gurarum principi» kcut rriangulus
ptansrum. Lap-- >-

Ideram que
sdmodulpla
nisfigurisrri^
sugululnume
rusprim'e.kc
inlolidisgvo
carpyranüsp
küdirals eepn
cipiü.Omniü

gppe rarsp in numeris ügurap ne^
ceste e inuenire pinordig. Lst am py
rsmis alias a rrisngula ball inalri
rudine fest enges -aliasa rerragona
alias aperagons-r Icöm sequenriü
mulrimdines angulop ad vnücscu
minis verricc subleuara.ldokro eni
rriangnlo arcy dilpokro:k p rres an
gulos kngule recrx linec stsnres po
näk: h§qz rres incliner vt ad vnü ine
diüpücrü^rices iüganr-firpyramis
Que cü s rriägulsbskF>fecra kr:tri^
bus rriägulis p lsrera ocludir 15 mo
Sir.s.b.c.triangulü-K Huie igir triä
gulo p rres angulos eriganr linear
ad vnüpüctü onerranr-qö est.d.irs
vr.d.püctünö kr in plano tzpedes:
illx sc; linee ad jpm erecre v'rice r qö
smmodo cscumen.d.facier: ererir

baks.a.b.c.vnü trisngulü: p lsrera
vo rria rrisnguls id est vnü rriangn
lnm.s.d.b.aliud vero.b.d.c. reniü
vero.c.d.s.

/ X
idehis pyramidis q a qdraris Vel -
cxteris mulriangulis figuris prosi'-
cilcuntur. Lsp-rr.

Z7em 6 s rerragona
kFAZ bakMciscar-erad
P-rÄÄ WM-vnüvcnlceei'linex
AH; dirigsnr-eric pyrs^
NÄ! wiscjmor rriägulo
^^W:rüplarera:vno rm
rerrsgono ibak po
6to:sup quä figura ipa küdars e.-rk

a peragono surgät gircy line§: gncß
rurkrs pyramis rriägulis orinebir.r

b ab hexagono sex rriägulis nihilo^
min":rquärolcüG angulos habue
rit figura krp quä pyramis rekder:
ror ipss p lsrera rriägulis oriner.m k
subiecris descnprionib^psla est.

Solidorum generativ nu>
meromm. Lsprz.

Icunrauthn
iustnodi pyra
mides!Zm6.
Id rima pyrs/
misderriagu
lo:scös pyrg/

mi« de terra/
gono:kriapy/
rsmis de pen
tagonoHrrapyramisdehexagono
gnta pyramis de hepragono.We;
in cxtens ostat numer^.lla qm line
ares numeros!ee dixim'.g ab vnop
fecri in inknirü currerer ut strnr.

I> >4 !5 ^8 jy j iol

aür ordinarim cöpostc' er l
6se inuicc cü distäria mer' strpki/
cies natcebär. Ll t st vnü r dno rüge/
res:pm'ci isgulus nascerernd est. z-
-rcuhis adiugcrern^certistad ek kna

rin-sensri^rriagulusrursus occurre
rer.r post hos recragom vno inrmis
so:pera§oniv'o duob^hexagoni tri
bus:hepragoni relicns cjmor nasce
bam.'Nüc vero ad lolidop corpop
^crearione;ipsx nobis supstcies na/

tura'ir Kgurat§F>ueniet:r ad kacien
das gdc pyrsmidas a rriangulo ipi
nobis rrianguli copoirendi tur. Ad
procresndas vero pyrsmidas s te/
trasono:tetrsgoni.sd easvero qux
sum a pencagono:pencagoni čopu/
landisunr.erille qu§ strnr ab hexa/
zono vel hepragono non nist hexa/
gonorum vel hepragoiromm čopu
latione nastenr. idrimus ergo pore
Kate rriangnlus vnitas est.eandeP
eriamponemrrsvirMte pyrainidä.
secundus vero crisngulus est rerns
rius .quem ü cum primo coniunxe/
ro: id ek cum vnirare: quatemaria
mihi prokundiras pxramidis excre
tcir.Äl vero kis terkiusenariumin/
xero:densria pyramidis procrea/
birur altimdo.Dis st densriv iunxe
ro- ro. numerorum pyramis venier.
arque its in cuncns alijs eadem ra/
tio copularionis ek.

Z7rianguli. _

I 'I Z!« I io> Isjr, jrgjzü >45 >55  !
Idyramides a triangulis.

11!4> ic>Iro!;si56l84j iro, iSsIrro l
^s'Nhacigu coniunctione necel/
_R_ se est:vr sempqui vlrimus Kr co/
iugatorumnumerorumris quast qS
ammodo basts str .Lunctis enim la
tior inuenltnr: r qui anre ipstrm nu/
inericoniunganrur:minoreseste ne
ceste ek :v5que dum ad vnicatem
deiracrioratspemeniar. quepun/
cti quodammodo r vercicis övrine
arlocum. 'Nancx in-10 .Pyramide
super lex additi sunt- z - atP vnus.g
sensrius strperar ccrnariam qusnri
rarem.ipst vero rres vnü plurs'irare

tranfcendüt.qmvnnsexrremu ter/
minü.pgrÄl'ionis ostendir. Similis
quoP rario in cxrer^spici pör.6 eo
rüZereationes diligenti'volucris x
IcrurariWx uero q süt a rerragono
pyrsmides-esde retragonox stip ie
cöposttione nascunl. jrescriptis en»
cu nct i s tet ragonis id est.__

I >l4lyl i6srslHl4y!64! 811100! "
I vnirare primä ex hac dispo/
sttiöe pfumä:eiic mihi porests/
tervi pyrsmis ipsa vniras: nondü
etiä opere arcy acru.Är 6 Huie tetra
gonü stlpponäid est.4-nascerpyrs,
mis quincy nmnero^r:q duob' tatu
numers p lacera pokris otiner. Sin
vero his sequenres. 9. adiecero: stet
mihi- 14-numerorü forma pyram»/
dis:q p larers trib'vnirarib'ocluds
Mr. Ärcy Huie st lequcce tgtragonü
ie.stMonsm:rricenaria mihi pyra
Midis forma^ducir. In hisq; oi-
bus pyramidissor erunr vnicaces p
latera quärx in se kuerinr numerorü
aZgregarg quärirares. I^L vniras q
prstna pyranris est vnü folü id est ie
ipa; gerit in laccre. Quincy ^o'q co
stanr ex vno r-4.duob'p lsrera dest
gnak:?. i4-qexrribusm»meris cä/
pokt^kir:ternsrio numero in latere
postto sstimit. Dane srilpyramidü
gnaciöe; möstrar stibiccra öscriplio.
._ Letrsgoni. _

1 ^l4h) ! >6^5^49 >64 >8 I ! ioc- 1
Idyrs midcs a tetragonis.

j ,4osrv4!rS5l;S5 l
ad eüde m odü cücrx a cere/
rig multiangulis^fecrx form§:
in altioris summx fpacis ^»ducunr.
Smniö eist inulcox anguiox forma

exststgeneris figura vnirari lrippo/
stra ad vno ingredicnribus ad pyrs
midü constirucndas stguras xscy in
infinita progredimr. Lt ex hoc equi
de; apparere necestcest triangulas
fornras cxrcrsrü figuram eile prin/
cipiuz:quod omnis pxranns a qua/
cuncy bast profecra:vel a qusdrato
vel s pcntagono:vclab Hexagons
v el ad Heptagons vel a quocuncy 6
miliürsolis kiägulisvsq; sdvertice
continer.

kdecurtis piramidi-. Lap.r4.

».

Lire sure oportet
q ix funt curke pp/
ramidesvelqbis
curt^pelqrercur
rx:xelquarer:rde
lirceps scö; nunre
ox adieccionem.

1>ei tecta eist p^ramis est: q a qnsli
der basi, pfecra xscy ad primä vi r po
testate pyramidäpucitriritate.Sin
1-0 a qlibec bsst^fccravsqz ad virica
te sltirudo i!Ia nö v encrit:curta vo/
cabir.Necteqz huiulinodi pyrsmis
ta!i nücupariöe irgnarst vsty ad ex-
tremirare punclücy i-ö venerir.Dkc
sülestwtstgs. is-rerragono adyci
st-y-atPhuic-^-r ab vlterioris fese
adiectione vniracis suspei»dat:pyra
midis equide figura eststed quoniä
vfch ad cscuinei» verticis noi» cxcre
uit:curtavocabimr:^habebit Knst
rate non iam punctmn qö vniras e:
fed fupcrficie:qK est quiliber nuuie-
ms fcöin basts illius angulos porre
cttis: arcy vitim' aggregac' .'Nä st le/
tragonafueritbasts:qdrsta diini/

mitione lemtz ascendü.r ü penrago
nabassmssmilirer.rlrlMagons-.illa
quvP vltiina supkicies erir hexago
na. Lrgo in curra Pyramide roc ent
angulox supkicies quor fuerir baüs
Si^o illa pyramis nö solü «d vnira
re exrremitsreq; nö puenir: led nec

corpo? solidox ordinsbilis cöposs/
tiorco^r g dicuirr cubi vel gsseres: vi'
ls ercnluvelcuneuvel sphere:vcl pa
ra'ellipipedi.q sm quocies ürpficres
ö se sm:r ducc§ in inüiutü nüch ocur
rec.idis poürleni i ordine rerragöis .

! ' I 4 '! y ! '6 ! ^5 I

Quoniä hi soiä longirudine lanru^
durecßsorrici sürra'rirudine cmer:
6 p larera solä vnä inulriplicarione;
recipiant:cquale^ULhüt^fundila^
re.Hi cjruor recragoir'duos habet
in larerc:r nab' e ex bis dnob'. Bis
eni duo cjruor kscim.Dos ergo du-
os exipss'larere si mulriplices xqua
iirer:cubi fornrs irasccr. sslä 6 bis bi
nos bis fsc emocronaria quäriras
crescir:r ctt prim'' hic cnbns. Hone
v^o tecragoir' qm-; -hader ür latere:
r färb' eiter rrid'' in scrnulriplicatis
si eni vnä latens inultiplicatiöe; ad
irurxeris:rursus a'ius cubus equaU
lares forinstiöc crelcit.Ber eni tres
6 rertio duxeris- r?.cubi kigura pro
ducit.Lr- >s quie ex.4-6 qrer arrge

" ^, 4 ' ar in larere:quor haduir prim'ille re
Ldesolid(qm '^agon'exquoips^pdrrcb'ess.sslam
'' ... > qm-4-retrsgon' dnos cu'rnumZros

dis forma obri Haber in larere: duos quoq; Haber
ncnr xquslirer ocronarius cubus.r qm noue tetra
cresceimb': r a gonus rrrb' p lams vnirativus figrr

,ppa velur radi^ rabsrssolo rernario. r 7-cubi lab'vr^

ce mrlltianguli_L ger.Lrqm- i^rerrsgon'cjmor vni,
figura.pgredrc cacü larus habebac:cotlde.64- cub''
rib' dictnest.zLst siia mrürs qnxdä in larere gcltsbir vnirares. Qusre

ad primü quoq; opere r accu mulci
angnlüei' generis cui' kuerit baüs:
bis curra vocabir.vt si a- > s-rerrago
nopkiciscens vkß in-y-terminü po>
nar.necß excrescar ad-4-r qccüctz ce>
tragoni defuerint:toricns eä cuna;
esse dicem'.Lltü vnitas defnerir p
mus quadrab'-currä qua; greci ko/
luron vocanc. Si vero duobrrs te^
tragonis dcficicüd eUvinrarereo g
seqlrir-vocaturbis curca qua; greci
dikoluron appellanr.Quod lr tri/
bus rerragonis: rer curra dicir quä
greci rrikoluron nominauc:^ qucm
cücx tetragoiri kueriirr min'aoriens
illä pxramida curra esse pponinrus.
Doc sür nö lolü a rerrsgono pyra>
midis:led in oib'ab omni mulrian^
gulo^gredierib' speculari lrcer. ^scstssexaginra qruor cubus pari lm
/^,7^ rerr dimesrone crsssabit. 7 sequeres
jde cubis vel assenb'vttaterculis vss gdcm tarragoni scöm eundc modü

cuneisvcl sphericis r paralellipipm inulriplicatiöe facta^uehum. Ilor
dis numeris. ^La^- r 4.^ am irccelle ess vuüales cubus habe

/Ide solid! Hrrf
sD dequxpyrami
Kl dis forma obri

, /--F

etiL vi r potekate cubi qS est vnkas
vnus erir iir larere.Omnis enr terra
gon'vnaqrridezsupfrciesek qtuor
->airgulox:toridecylsrey.Omnusur
- cubrrs qui ex rerragono? supkicre m
vfundirarecorporl creuir:perrerra
gonisczlatusmulriplicat'chgbebt
qmde supficiee*6.qua? surgula pia
nitudo tcrragono Mi priori equalrs
e.2.scera§c» ir.quoxvnüqöcy nn/
guliš his q superioris friere tetrago
ni equü est.r vt superius denroitra^
rriin'uorvnitatüest. Airgulos vco
S.quop srngulus srrb trib' hurrrstno
di otinet.quales priores kuere rerxa

,, gonivndembnsipse^duct^est. Lr
go ex namralirer ^fuso numero: g
in subiects forma destripri Mr subre
. cri rerragoni nascür.rex his rerrago
nis g fubnorati süt:cubr,puehunr .

'Numerus iramr alis.
"sH r I; i 4^!/^! 6 !

_^erragom._
"sij 4 I  y I '6 >

Lubi. __-

l s )64 I 'r; >«!?4tI

L qm omnis cubus ab pquila
teris qdraris^feccusipqu^rpse
oibus partibus est. 'Na r latrtudrm
longicudoi-r his duob'cöparest A
kimdo.-r lcSm sex pattes.id est umu
dcorsü:dextera:srnistra:ante:polr.u
bi §quaie eile neceile est. hrric oppo
fini orrarmctz ee oportebit:qui neqz
logirudine iarimdini.necßhpc dno
vkundirari gerat pquslia:ied cuctts
inequaiib' quäuis soliva ngura m
ab eausUrare cubi longMme vma
re videar.Di sik sunt:vt stgs kacrar
bis tres quarer: vk ter quster qum/

quies:raiia huiusmodiquxp mxq
les spacio^ gradus inxqualirer pro
uchmu.Dcc aüt korma greco noie
scalenos vocat.nos ^o grsdsräpos
sum'' dicere.qv s minore modo ve>
Irrt gradib^crescst sv insius.Nocät
aüt eande; figura greci quidä sper/
niscon. 'Nos aüt cuneu postum^ dr/
quos Äd liuälldet uläl'e
constringendä cuneos formätmeqz
latimdinis:nectz loirgitudinis:ne<V
alritudinis Habits rslioire: quamu
cömodü kuerit: tancü vel sltrtudriu
minuir vel ctMtudlNl^Mndrcans
äuget.ÄtP ideo hos Plcmctz ncces,
se est oibus psrcibus mxquakb «r/
ueniri.Quidsm vero ho« bomrstoo
vocant.id est quaivä srulas qu§ ,n
ionicsgrecik regioue ptart nrcho/
macus hoc modo formst^ fuemnt:

lonailudini cöuenirent. nocsr aut
Ms quibusdä noinürib^'urc^
seaui stwu acuü iudicam'.Isrr cubr
equalibus spachs seporrrgeubus-r:
bui"formp quä dixim' grsdars dr/
stributiöe dispostt§:mevierates sut-
auenechcunctispattibus xquales
suk-necn omnibus in§qusles. quos
greci paralellipipedosvocam.^L/
lini nomen hoc irs vnrfonnrcerco/
postrumhÄberenonpoisunrUlcs
menidempluribusdrcmsrt:eana>
auehoc nomine voeaurrrguraq
slrernatim posttis lstimdrmblls cs
rüremr.

L>e parte akera longioribus
numeris.eorÜB generauo/
nibus. Lap-rs-

Lliuimodivevo
kormas quales
für que vocam
ruragrecishe/
reronubeis nos
dicere possuiU'
paneslrers lö>
giores.quap ki
gurarü numer*
quoq; hoc modo oMniendus est.
^»arreslreralottsiorest numerus:

que 6 in lamudine describss:^ ipse
quide-4«puenit larerü r-4-anguIop
sed nö cunctis xquslibus sedsem^
minus vno.'Nanq; nec larera lsteri
bns cuncra cücris xqua sunrmeclö/
girudini latirudo/ed vt dictum est:
cum hinc altera pgrsmaior fuerir:
vno tanm minorem precedit sc stl>
perst. Sienim numerü namralem
disponss in ordinenur secundüper
prunü mulriplices uslis nslcerur nu
merus.vel 6 secuitdü per rertiü: vel
k terciü per qusrrüwel si qusrtü per

quinmm. oinnescß hi vnirace cau/
rä sddita multiplicenturmascenlur

parte alters longiores-idisponatur
enl irumerus narura'is.

I ' ! r I ; i 4 ! s i - ! I
Lt nunc q uidem hactenus.Siquis
igimr fsciac vnü bis/seiet duo. Lr
rursus bis kres kscier.s.rer cjter ksci
et-' r- q uacer- 5-fscier- 0 .rhoc mo
do ad eundeinordlne.Quicunquc
igimr im facti sunt: procresbuntur
psne altera longiores:vr subiecta
descriptio docer. In qua ex quibus
numeris multiplicsti nsscunlurpsr
re slrers longiores stipra ailcripri
fum.Qmvero nascmrmr subreri /

jde sntelongioribus nume^
risret de vocabulo nuureri
parte slrera longioris.

Lspimluin-r/.

Rgo ll ab vnita
rersnrum discre
penkquimulcipli
csmur: descripti
superius numeri
proredenmr.Si
vero sliquo nu/
mero vr rer septe

vel rer quincy vel aliquo modo alio
r non eornin lsters sola discrepent
vniratesrö vocsvitnr hic numerus
parte alters longior/ed ante lougi
or.Alcenimeniinapud pythagora
vellapienrieeins hxredes uulli aly
nist rsucum binsrio sscribebstur.

Duuc slcericslis principium este jdi
cebanr.Landem antemnamrsmr
scmper stbistinile consenrientemcy
nullam aliarn nist prinreuä ingene/
rammctz vnirsrein. Äinarius sure;
numerus primus ett vnitari diststmi
lisüdcirco qö prim'ab vnitate disiü
Simr.arq; ideo slcericst^cmusdsm

principi» fuit: ssö ab illa puma et sp
cadesubssätia solarantüess vnume
disstmilis.Werito ergo drcentur hr
numeri pane alrera logiores:qv eo
rülatera vni"tm fese adiecta nume/
rokrate pcedüt.Ärgumetü ess ame
alreritare l binsrio numero üme co
tii-uirqS uö dicitalrepnist eduob^
ab his in quos bnloquedirstio no
negligit. Äinplius qö impar nume
rus sola vnirsre Mi mössrams ess:
pÄf vero folg duLlimte id eli lol^o m
nuno numero cuiuscücp nredie
ras ess vnus.ille ünpar ess.cui^ vero
2 .hicparitatereceptaan gemina cq
dissungit.Quare diceiidü ess imps/
re numerü eiusde arcy in sua le natu
ru tenentis imorabilisG subssanüe
eeparticipezUdcuco qö abviucare
formet.pare vo alreri^plenü esse na
tur^r ideireo coplet.

Qöexünparib' quadrari.ex parib"
parke alrera lögiores kiär. Qap- 2 8.

I -7 1 L vero postrv in or

dineabvnirareim
panb'-etsubhis a
dualitate paribus
descripkis:coacer/
uatio imparimn re
facit:co>
Lernlstiopariüsnpiores cssicit par
re altera lögiores. Qu are qm tetr a /
gonox hxc natura ess vt r ab imp»/
nb^creennqui sunt Vnitgtis parki /
cipes id ess eiusde iinutabilistp sub 7
ssantiecüctisq; psrtib» luis xqnales
ssnt:qö r anguli sngulis: r laterals
rerib'rrlonsitudini cöpsr ess lacicu

do'diccndü e humsinodi numeros
ciulde; natur§ Atqzlinurabüis ssib/
ssätix participes.Illos^o numeros
quos parte altera logiorcs pariras
creatiakeri'' dicem" esse subssanti?.
°NL quesdmodü vnus a duob^vno
tanrü alter ess:kcho? larera a se tm
vno sunt alterai-r vna tamüdifferüc
Vnirare.Quare disponant in ordine
oes ab vno impares:r sub his om/
n es abinsrio numero pares.

1 > ! ? ! ! y >"!i)

"  L  I  a ! s I s 110 112 ^4 f

dinis vnitas:q ipsa quide esse>
ctriir T quodäniobo sorma ssnedä e
ipariraris.Quß in tantü eiusde nee
mmabilis slibllantie ess:vr cu vl le^
ipssin inulciplicauerit.vel iit pkaniru
dine vel ln,psundicare:vs ss aliu ssue
libet numep p feipsä multiplicet:a p
oris quätirstis korma nö dilcrepar.
'Näcn 6 vnü semel facies vel 6 lemel
vnü semel:vk 6 duo semel:vel 6 tres
semel:velk qmor seinelrvel st queli/
bet aliü numerü mulkiplicens ssuän
täte lUÄ is que mu^tip^mt numer^
nö recedir.qö circa aliü numeru no
potess inueniri. Id ans ^0 ordüus
binari'nmncr^princeps e.qußdua
licas cum in eode ordine parrtatls
üt:tüprincipiütorius ess altenraus
N"lÄn ss seseipsä multiplicet vel p l a/
titudine vel etiäIfundilarein. vel st
que numep in suä oglobec quaura/
re:otinuo alter exorir.Issa bls duo
vel bis duo bis 6 kacias 'vel bis tres
velbis.4-velbis- 5-velquelibet alm
multiplicet-quisgs hinc nalcu aluis
quaprimokuersrinuemr.Ilascunc

süt ex superiore descriptiorre r er p/
moordmeoes tetragoni hoc mö.
<_lnü eni 6 respexeris:prin? poteka
tetetragonus cK.Dmvovnü trib'
coacerusneris 4- retrsgon^exorir.
Duic K quinariü iungä: nouenari?
rursus occurric. Duic 6 copules

iSqdrati forma se iuggerit.Idecß
6 in ceccris facias oes cöpetentercj
drstos videss^cresri. At vero ex
secüdo paricstis ordine idem cücci
parte altera longioresfümt.'Nacß
K duos primos rclpexero: huiustno
di mihi numerus occurritquikit ex
bis vno.Lü^o duob^ fequenres -4^
iüxero:parte altera longior rursus
erir.scnari' sc; g fit ex bis mb?. Lui
6 sequenre aggre gauero nascek mi>
hi duodenaris forma:q fiterq'ter
lrib'.Qö 6 otinuatim gs fscim ciu
ctos huiusmodi numeros i cöpcteti
ordine^creatos videbit Quä descri
ptione sczikerio: forma demokrat.

ksdices.

ZIecrasoniideKqnsdrati.

I 4 I y ! '6 I r;

'Kadices. __

lrlr.4.lr.4 ü.^ .4.6 .§.!r .4.6.8. lo.s

Idarrealteralongiores.

6 > ir j ro j Zo !

degeneratione laterculorü eorüch
diffinicione. Lsp-ry.

-Llosaüts»/
peri^lmercu
losdixim^:q
sürripxgde
solide kgurx
-hocirrö fiüc.
Quories eej
.mb^spachs r
,  __longitudine

acirudineqz porrect': minor his ad
dir altimdo. Llr s»m huiusmodi^; -
lerbis. quisür- <S veI-4- qua:erbis
vel alio quolibet modo.vt his in lä-
girudine latitudinecß equisiniuo:
altimdo ducar.DidSlimuut b mo.
I.acercu!isüc g fimcx xcjlib^ xqlirer
m nünus.AlLres^o r ips§ quide ki
gur§ süt solides; hociuodo vt ex xq
lib^qualiter ducanr in ma?. Aä k
§qua fuerit lcktitudo longirudini et
maior 6t alrirudoülle figure a nobif
skeresra grecis clocides nolanr.vc
6gs V mö kaciar-4- cjter nouies:qui
inde^creat akeres noiAisüt.Sphe
nisci^o qs euneolos superb appella
uiinHi Mt: g ex mßqualib'in§qliter
dueti p iiteejlia creuere.Lubi ^o qui
ex^qlib"xqliterx cqlia^ductisüt.

jde circularibus vel spheri^
cisnumeris. Lap-zo»
Idsorü^ocuborü
quäticücß kuerinr
iraductirvtaquo
itüero cubice quä
tirstslat'coeperit
ineunde alüttrdi
nisertremitAsrer
minefmumerMe

ciclic'vt'spheric' sppellm.vk süt nm!
. - " e

tkplicsriones q s gnano velsenarro
pficiscunr.'Nä quinquies quictz g rit
'i s-ab-s-Mreslirs s eolde- 5 - desinic
Lr 6 hos rursü quinquies ducassn
eosde. s eox termin' venier.Quing
es eni-- 5-kiunr- >r 5.2 sthos rursns
quinzes ducssü gnsriünmnex ex/
rremirss cernmiädir. Ätctz l5 v6tz m
mirnim ide sp errenir. QS in sen ario
q; ouenrt okderari . Di ant numeri
idcirco ciclici vel iphsrici vocam:qö
6cm spxra vel circuius m^>prn P pn
cipi) reüerkröc formam. eni cir/
cuiuspokto quoda päero r aiio emi
«ms de6xo.iiii'pücriqui ernin'fix'e
equaiuer dittäs spmo pücto circü^
vuccio:r ad eunde iocü reuerüo vn
demoueri coepersc. Sphers^oeli
semicirculi mauere disinerro circü/
ducno -r adeüdeiocüreuerstovnp
ns cocperat ferri.Unicas quoctz vir
ruter porettaieipsa quoctz circuius
veispfra est.quotics eni pnncrü l fe
,nuiripiicaueris:in seipm vn coepe/
rat rminar. Si eni faciat seinei vnu
vnus redir. r 6 !Z rursus semei ide e
Igir 6 vna luci ir muiciplicsüo sois
pianimdnre reddit:rfic circulus.Si
scSa:mox sphera oficir . Lteni scöa
mKiplicario effectrix sp eNpfüditsk^
Lx- 5-igitur r.6.paucss Huntsmodi
fornra-8 fubscrinkmus.

"! ' ! 5 I

1 ^5 l  _

1 irs > r 16

' I
i j irs j ?776

pe nmurs rex q dicik eiutde namrx
rdeesq dicir aireri'nsmrß.r g nu/

meri cuinstur^siucri lüt. Lapzi -

Ldesoiidisg/
de fi§uris hec
ad plLns dicra
fuMcianr. Qm
aür de narura
rexLpings in^
uestig-ires rari
_ onib'rquiqzin
macheseos difpuracione vcrsati-.gd
lquactzreeet^priü sudtiiEmeperi
kissimectz ediderütchi reni oiu; nam
ras in gemina diuidetes hac lpecu/
lanöe diNribuüt.zdicüteni oes oiu;
rex substätiss cöstsreexea q Fpriss
su§ctz sp habimdmis est nec vl!o mo
vnuttar.r es fc; nsmrs q vsrrsbiiis
mor'est fomtasubstälia.Lr illapri/
mo lmucabile nsmrs vni' eiusdeq;
sudstätie vocär. Dancv'o siren' sc;
qö a püina Ma imobiii discedes pu
ms 6t aiters.Qö nimirü ad vnirare
vtinet:r sd duaiitare.qm numerus
primus ab vno discedes alter fscc^
eft.Lc qm cücci scöm Vnitstis spccie
naturäctz impsres numeri kormari
süt:quictzex his coscernaüs cecrago
ui fiunt driplici modo emlde subns
tie participes ekle dicunt: quod ver
ab cqusiicace formsnr tetragoni-vk
coscenratis in vnü nnmcris impari
dus procrcanmr. Illi vero qui sunt
pares.quonrs binari) numeri ror>
ine sunc ciuiq; ex his cosceruati cor
lectictzin vnsconZeriern parke sire/
ra longiores mimen nalcunl: hi se/
cundüipstus binari) numeri nam/
ramab eiuldem subttaim^ nacura
disceMsse dicunr.pmanmrctz alten/

Us namrxee participesndcircoquo
nis; cumlaters tecragonorum ab
xqualirsre progressa in xqualirstem
Proprielaamdinisambirü rendät:
hi adiecro vno ab xqualicate laterü
discesserumrsWideo dMmilibus
lareribuserquodammodo alreris
aseconkmZmu. Quarenodis nm
rumeiiquodexhiseaqux sunt in
hoc mundo cöiuncca sunr.Äut eni;
proprix lmntabiliseiusdemque lud
ttantix eli quod dens vel snims vel
mens est:vel quodcunq; proprix ns
mrx incorporalirate besmr.sm mu
rsbilisysrisbiliscy nacure:quod cor
poribns indubüaurer videmus sc/
cidere.Llnde nunc nobis moniträ/
dum est:hscsemins numerorü na>
rurs qusdrscorum scilicec r parte al
rerslongiorum:cücms numen spe/
cies cuncraictzhabimdines velrela
tx ad aliquid quamitsris: vtmulri/
plicm vel superparticulsrium r cere
rorum.velsd seipssrn conkdersrx:
vr kormsmm quss dudnm. in supe/
rioredisputstione descripümus in/
formari.vr quemadmodii muudus
ex lmutabili mntsbilique sndKsn/
tisKcomnisnurnerus ex rerrsgo/
nis qui imucabüitare peruciunmr:
r ex parte alrera longiorib^qui mn/
tadilirace psrticip am proberur eile
coniunctus. Ltprimo quidein di/
ftribuendüest qui sunt hi quos pro
mecas vocamüd est anteriore par/
telonZiores.velquiquos Herero/
mikeis idestparre sirera lögiores.
Lii enim parte akera lögior nume/
rusiquicunP vnirsre tamnm lareri

crescit sdiecta vt ämt 6. Mcer bis
z.vel ir-tres quater.rconsmtües.
Anteriore vero parcelongror ei!
sub duobus immens hmuünodi co
tinerur:quom;lsteranon po-Met
vnirstis diffcrencia:sed alioru; quo
rnncunq; nmnerornm. vkter- s.vcl
ter sex vi' quater- 7.Quodammo d 0
enim longitudine in prolixiore mo
dttm porrects inerico anteriore par
re longior dicitur. Lur amem parte
altera longiores numeri dicsmur:
supra iam dictum ek.Quadrati ve/
ro qu oiriä cqnä larimdinem lonzi/
tudini serüut.proprie lonsimdinis
veleiusde; larimdinis aptMmevo
cabunrur.vt bis-r-rer z-quater-4-
rc^reri. Id arte alters vero longio/
res:quod non esdem longitudine
tendsnmrrsiterius quodammodo
longirudinis:r parte alters tongio/
resvocsmur.

Quodomnisexeiusdemnamra et
alrerius natura cöMmmidtV in nu
nrerisprimüvideri. Lsp-zr-

Wue autein
qmcqmdiir^/
prisnarurs Ä
Ksntiaque ek
iinmobileaer/
müiaurm deki
nimmque est.
quippe quod
nmlsvsriatio

ne mutetur: nunH eile deknar: nü/
quam poMr eile quod nonür t -Ät
hec vniras sola ek .et que vnita/

e 2.

te kormanncomprehenstbilis r de>
kminsrx -r eiulde snbstäcie ee dicüt.
L a do Mr q vel ad MlVcrelcmvc,
lur qdrari.vel quos ipsavniras Mr/
mat:id ctt unparcs. At do binary r
cüeti parre alrerslögiorestg s finira
sudltäria discesterstt-varisbilis infi/
nit§P MbstMix nosanr.Löstar ergo
numer^ols ex his q löge disistcrs El
aW Zris:eximparib^sc; r paribrrs.
Die eni stabilitasallic instadilisva/
xisrio.hicnnobilissubstärixrobur:
illic mobilis pmuracio. hic definira
solidiras:hic inkinira ogeries mwm
dinis.Qux sczcststnr öriaun vnä rn
qöammodo smiciciä cognsriöezcß
milcenr: rilli" vnicE informsrione
StP regimeco vnü numeri corp'cffi
ciür.'Nö ergo inurilir neq? improui/
degdehocmstdodecphaccoi rep
natura raciocinabannhäc prima ro
lius müdi substäri§ diuistonc fece,
rüt.Lt plato gde rn rineo eiusdc na
türx r alreriMoiar gcgd in müdo e.
StP aliud i Aa nsrurs pmanere pu
tatldiuiduü incöiunctüP r reu olu;
primst.alceu diuistbüe:r nunH inp/
prij statu ordinispinancs. 'ldhflo'
laus do neceste c inquir ola q Mrve!
mstnira vsfinitaDssmöstrsre fczdo
lens oia qcstcp Mr erhis duod^ost/
stcre.aur ex inMikkaL; ec :aurex fini
ta:ad numeri stne dubio lunilitudb
ne.Dicens ex vno r duob^impari
stcpparioiüsir. Qux inanifestaMt
eqlicarisacqzinecjlicab:cü-r!dc atq;
altert:definirx arq; indefinite cste
substanc. Q6 videlicer nö stne causa
dictüerola q exöch's oüstereirt: ar-
monia qdä oinngi atP cöponi. Lst

enk armonia plurimop adunstio er
distentienriü coniensio.

Lxeiusde arq; alrerp numeri natu^
ra g Mr qdrar^ r parre alters lözior
oesFportionühsbirudines ostsre.
LapicuM-zz-

Hsponärergo
in or ine non
ia; pares stP
lpares ex gb'
cjdrarivelpar
re altera'ögio
reefiunnh hi
ipst g illis coa
ceruaris lvnü

cp redacr' -r qdrari r parre alters lö
gioresF>deür. Ira enr videbim' isto
rü quedä olensum r ad c§rerss nu^
meri parcespcreairdas amiciciä:vt
nö stne causa hoc in oibus red' ab
numerispecie natura rerr Mpilste vi
dear.Sint igir duo versus retragc»
nox ab vnitare omniuzrr s binario
nuinero parre alters longiox.

! I ! 4 ! y ! '6 rs 149
ja , 6 j ir ! ro jar
U^OMigitst priinü cöpares pmo
L_ x dttpliqnäcicas inueninq estp/
ins mulriplicicatis species. Si vero
scöm scSo:hemiolic quätiracis habt
tudo^ducit.Si rerciü rercio: sesqui
tercia,pporri0F»cresr. Si quartir qr
ro.Lsquiquarta. r st quinrü quinro:
sesgciuinra. Ll hinc iuppsrticulariü
normä inqnäuis longiMmü spaciü
Mredies nncezrä inoffensäP reperi
cs.Irsvrinpriina duplspporcione
vnirscis soli^stt differeria.Luo näP
ab vno sola lemx discrepäc vnirace.

IS

r—


ro

2.

«

4


9

s

ro

ir«

r

«

Z

L'

K r

Ll

«r

Z

Z r

L°

Li

16 §

M

4-S

Z

s

würsqusdrati inuice impa/
ZlIribus differunt-psrte slrers lo
gioresparibus.

In sesquslrers^o duov estdiffere/
tis.in sesquitercia trm. in sesquiqrta
4-r deinceps scöm supparticulares
kormss numeroP:qösddiiferetias
«ttinetvno tantu crescir sdiecto nu
merü explicans narurale.
l !
y «
ir^>

^LIn^o scöm tetragonü primo
Tl/parce altera lögiori cöpares:er
rerciü scSo:r qrtü tercio.r gntü qrto
ealderursus^porrioesefficipnots
bisqs in superiore forma descripü/
mus. Sed hic differerix ab vnitsre
nö inchoät: s; a binario numero in
inkinitü p eolde calculos^gredinnr
LritP fecüdus pmi duplus .teni' se
cnndi sesqualrer.quan'terti) sesgter
eins.scöm esnde ouenienriä qu^ su
perius demonstrataest.

R —

idifferentiximpsres.

> ? ! 5 ! 7'! y > II I i; l
! I ! 4 ! y t 16 4Y >

Quadrati.

tdiiserentlx pares. _

I 4 I 6 j 8 j io j ir j 14 j
1 r ! 6 j ir jroj;o ^4: > s6>
Idsrte altera longiores.

lucerprimü r scöm tetra
/Igonü priinü parte altera longi
oreponim'md vtrosHeos vna pro
portione omgit.In vtriktz enl,ppor
rionib'dupli multiplicicss inuenir.
Sin ^o inter scöm tcrciücß retraso^
nü scöm parte alters lögiore ponas
sesqualrer§ cöpsrstionis ad vtrosP
forma cöponir. Ltk inc rerciü r qr^
tü terrsgonü rerriü parte altera lon
giore oMluasrsesgterciaspesnsscer
r ide 6 in cüctis fecerisicüctas sup>
partimlsres spes iuenii-emiraber^.

^pm'

<2 _

v

6

fecüd'

dttplus

§

T 9 sesqualr
S-4-

setzterti?

ir

ro

qrt'

8'

16
quit'! ..

__^rssetzqn'

ad eunde modü in cetera cö
^Ruenitinmeri. Kursus k ponät
duo tctragoni ex superi' descriptis:
id eK prim'? secudus:? in vnü colli^
Sank:? medi' eo^r parte altera lögi>
orbis msriplicentetragonM.'NäiV
vn' r-4-k iunganr- s-faciüt. eox bi/
nsrius psne altera lögior 6 bis du
csnq'tuor fsciüt.qui iuncti- y-üue vl
ladubitarioneoficiet gest immer'
qdratus.Lr ad eunde modü i ali/s

hoc modo dilpoütis numeris quos
supra descripsim'idem ostatintelli/

e )

gk.Ki-eroconuettSsrinte»' duos
primü r secundüparte altera longi/
ores secundu; cecragonum ponss:
qm in ordine quidem secund us eft:
sed accu r opere primus.ex duobus
parte alters longioribus congrega
tisrr bis multiplicato medio tetra/
§ono:rursus retragonus conkicicur
^lan<V inter.s.-r binariuni numerü
qui sunt primus r secüdus parke ad
rers longiores ftponatur quatems
rius ordine secundus: primus acru
terragonus: r coniunganc duo r sex
faciunt-S. xlum 6 bis ducanrur me
di/ quacuor facinnt mrsus ocrons/
rium.quicüsuperioribus iuncti se/
decim tetrsgonü psndunr.

5 'Z rs

/^4^ >r^ /^4 ^

11 j r i 4 > 4 ! 6 I Y I Y ! ir, iS ,
! 9 l rs I 49 I

Z7etrsZon' tetragon' tetragon'
akribus squicy slepcem

8 ,8 zr

/ r'I 4 i 6 j 6/ yl ir! iisi-r^o!

s iS l ;6 j 64 !

Lecragon" lecragon' lecrazon^
aquamor asex sbocco
^Llud quoctz non oportet mino
_R_re admirstionesuscipere: quod
secüdü propriss namras:vbi altrin
Leus duo tetrsgoniftanrrr vn"' psr
te alcers lonZior in medio ponimr:
tecrazoncrs quinalcitur ille semper
ab impsri procrear. 17sm ex superi
oribus vno et-4-etbis multiplicato
binano:factUö eft nouensriufterrs

gouus.qui fcüicet s trlbus prockea^
tur. tereni cres.yfgciunt. qui ter/
narius impareftnumer'.Ltseques
qui ex quaruor r. y-r bis multiplica
ro sensrio coniunctus eft. r;-tetra/
gonus:r ipse ex impsri quinario ns
scimr cötinenti pol! cernsriü. Quin/
quies ens quincyr 5. procedunt. et
quinarius poft rernariu; impar eft
numerns.Ltinsequenriquocß es/
dem ratio eft. Ham qui ex-y-er- '6.
rbisducro- 1r.quadrsrus.49 pro/
ducicur: illes septenario iinparific
poftquinariü continenti. Septies
enim.7»4y.creant.At vero vbi duo
altrinlecus pgrte altera longiores
vnü mediü retrasonü clsudunr.om
ires ex his qui sinnt terrsgoni sps/
ribusproducunt. Ham qui ex duo
bus r-6.parke alters longioribus ec
quaternsrio bis multiplicato. 16.re
tragonus factus eft-ille s quaterns
rio numero ideft pari producitur.
Quakerenl-4- i6.sunr.Ltinsequen
ti quoch ordine vbi ex sensrio r duo
decim r bis in lus summa ducro no
uensrio-; 6.fiunt:ex continenti pg/
ri sensrio copulantur. Sexenizfexi
es-; 6-reftituunt.llec minus in esn
dem rstionem csdet ex. 1 r.et. ro.ec
bis- i6.fsccus.64-tetra§onus. Die
enim ex octonario cötinenti poft se/
nariumnslcitur. Occies enim ocro
64.retrsgonu; iungunr. Lt in ali/s
quoiP secundu etmdemodü ftidez
fscias rstionis ordo nö discrepst.

Quod ex qusdrstis et parke alters
longioribus omnis formam; ratio
conMsk. Lap-/4'

Lludveroauodex
hisduoh^locaom^
niü formsrum vide
turorra.plmiomon
ininore'constdemti
onenorandum est.
'Nancy trianguii g
cnnctss Mas for /

mss kcursuperiusdocuilnus colle
cti producunnhis iunccis velut ex g
busdsmelementis oriunmr. Ilactz
exvnoprimo rermgonoer dinario
primo parte allem longiore ternari
us triangulns copularur. Lr exbi>
nsriovelquaternsriorid estexsecä
do termgono: fenarius triangulus
procreatur. Lx qusternario quoqz
rfensrio.denarius triangulus ns/
fcimr. Lt ad eundem ordittem c«n
crs criangulop mrio constabic. L>i>
sponanmrenim alternstiminter le
tetrsgonir parte altera longiores.
qui vt melius pernoraremur: prius
in duobus eos verstbus disposuiin'
post smem eofoem permiscuimus.
rqui exinde trianguli nasterenrur
sstcripstmus.

Z7ecmgoni. _

I I t 4 ! y i i<s/rsl;6!49l64j8> >
parte alterslongiores.

'>r s s , ir

telragoni r alka pte lögiores alknati
!'N!4!y !irI i6Nc>Ir5jzo^6!4 r
io! is,ri ,rS^6!45l55!66!7Si'
Ilnansuli.

Quemsdmoduzqugdrati expsrte
allem longiond ns xelpane s'rers
lonZiorebexqdrsliskät» Lsp)5>

!Mnis veröle
tmgonus st ei
proprium la>
rus addarm:
veleodemrur
strsdeinsmr:
psrte allem lo
§iorfrc.'Nactz
.4-tetrsgono

LSP-I6.
Onstat igitp/
mo gdezloco
vnicare ^»prix
lmurabilisque
strbstarix eius>
decy nacurc:
dualirare; ^o
pmä alcei ica -
ris lnucrriöiN

stquis duoiun§sr:vt'duo dermhal
6.addendoperficiel:etduo detm^
heudo.ac vrerctz figuram continer
parre altera longiorem quk lcilicer
magna est allencat'vis.Oinnis em
iufinic ar indeterminata porenria:
ab xqlilat' natura: r a stris fe finib"
otineti subllätia difcedes:aur l ma/
ius cxnbemt aut r minora decreLir.

Qöpncipaliceiufdegde stltud
stätie vnicasrfecüdo vo loco ipares
nnmeciuertio'cjdrati.r qS pncipallk
dualitas alremrs str subilantixrfcöo
vero loco pares numeri uertio par/
le  altera  longiores.

cyeepncipiü.Scöo^olocooes im
pares numerosppc vn ital ' co gnali
onceiusdeatP iinutsbif sub!läri§
ce psrncipes: pares^o oh binary im
meri osortiü alrerimrib'' ee pinixros
^erragonos quoq; ad cüde moc u
sstdersli mslükestunr est»'Ham qö
e 4

eop copofftLorconiuirctio exünpa
ribus fttammursbili eos nature .P ,
nuncisbo coniuirccos. Quod vero
psice glrera longiores ex copulsrio
ne psrinm^creantur: nunH ab alte
rirsris vsriersreseparam.

Älrernatim poiiris quadraüs r psr
re alters longioribus qm ffreo? ose
Ü'S in differentis ec in proportione.

Lapimlü-^.

lArdigu perspi,
cienduzettrqöff
idemretrsgonir
psrce altera lon,
giores disponsn
tnr.-iravt alterns
cim sidi permixti
_ liitt: tanrs in I)is
eli conilmcrio vt alias kbi in eisoem

proporlionibus comunicenr:discre
pent smem differenms.Alias vero
differenchs pares Knr:^roportioni,
bus distenr.Lisponanreiti; inordi
ne idem itli superiores ketrsgoni.et
P arte altera longiores ab vno.

I ijrlalslyl iSlroirsjzol

f;go in superiore formula hoc
msxime inmendüeff.'Ngnq;
intervnüquiest tecragon?:er.2.du,
i pls Mortioest.inter.r.et-4-dupls.
Die ergo retragonus cü psrte alte,
rs longiore:atcß hic cü lequete terra
gono:eade,pporriäe iungunndiffe,
renths §o no isoe. °Näq; duox arcß
vni^sola vnitss differeria e: s; idem
duo s cjcernsrio solo binario relin,
quunr.Rursus lr- r.gd^jpeculeris

dupla est^portio.K'quatuor ad sex
habirndine sesquslrerä recognosces
Die ergo inZportiombus drfcrepat
in differenrijs pares sunt. °Näq; r cj
ruor s duobus r.s.g quaruor eode
binsrio distanr.In sequetibus etia
eodem modo kcur in primis kuitrrs
tio constst. °Nsmesdem proportio
elirdifferenrys nö eisdem. 17am-4-
ad-s-etsexad nouesesqualterspro
portione iungnnr. 6. gutem quster
nsriü duobus y.vero sensriütrib''
prxcereunt. In sequentibus eriam
esdem rstio speculsbirur. r semper
slternsrimnuncquidem exdem,p^
portiones.slix differentis sunt, nüc
am ordine pcrmutsto.hisdem diffe
rettch'sslr'kproportiones. Scmpcß
in quibus differunt.lbcüdü natura,
lis numeri ordines terrsgoni r par,
te altera longiores selesupersbunr:
tsntumquod geminstis summulis
namralis numeri fit progrelNo.QS
mirum videri non debet.nos enim
ipsss sümss tetragonorum er psrte
alters longiommgeminsm' ad pri
mss secüd asP.pporciones.

/> >r l4!6^Y ^rl i6^o^5>;olz6j
! > !r Ir j; jz^4 >4 >5 !5 !« !

L>ifferentix.

umor -dH
^ognosces

-V'Uiuor cohx
c^uciidusnii

> Munis klila-
^nproporüo
?an. 7lM-4.

c ^^Ilaspro
r lcmquster
^unürrib'

Nimbus cmm
l-uu^rkiM
rc n «dem,p/
^cniiesllnl.nüc

/ ''üdondiise

SanxP
Li^>ünamra/
ir^onirpar/
< luocrLdMl:

lttmmcka

-,
drbcl.no« cnim
?no:mnafMe
vnr^n»m'l>)ssri

0!!>üNt>-

Lnbos eiuldem participare sub/
üanuequod ab unparibus nsscan
rur. Lap?y.

Idst^o cubi gqua/
MW  MLS quäcribus inrerual

I rgltlil vrnsq; vMb^rimof
*_>aipicias:iingulosquos inüe/
nis quonia rerragoni lunnin iinpa/
re loco sunt conliimri:quoniäprimi
ürnt. Si vero terciü locü relpexeris
4 er-9-norabis:quoxhic aduobus
Mciscir: Mum rernarius creac. qui
sunt loco iinpsriconstiruti. Quinrü
deindestvidesslocu;- i6.er.S> -re/
spicies.sed vnus aquscenrario na/
lcimslreruznouenarius cresr. Lr6
nonü locum rnrsns aspicias: terra/
gonos pernorabis-r 56.6561. quo
rumluperiorfira- >6. inferior vero
ab- 81 .Idem 6 in inkinirü fscere li/
beac indilcrepsnk incurric.

lissublstiirnticame
proprer equale inul
.

cdenr quoch dissererrtix inira /
Vilem in inodü a toro p sequc/
res partes r p eaioem vnirares qui
bus superb crenerür progrediunc.
'llanrcß inrervimrduo rärüvnitas
incercediuqux viritsri cui xqualis e
torü est.binsch ^0 medierss.Lode
modo inrer.r.et4-tantüduo sunt.
qui binarij toruin sunt: quarernarij
medietas. Inkqnaternariü^o r se
nariü idem duo suirtisd quaterns/
riümedieras:ad lenarit»; pars rer/
cis. Ures vo qui lequunt g inter-6.
er- y-constimti sunt inedi) :sunr qui?
dem lenari) dimidimpars vero ter/
cis nouenari). Lrrursus rernarius
qui nonenach rercia pars e: duode
nach'qusrca est.r ad cunde modü
vs<V in kine descriprionls seminar^
hniusmodi psrtib' kcm ipsa quoq;
sulnmamcöparsrio Zeminata est:
xquss psrtiüFgrcMones »spicies

Idrobarioquadrsros eiusde ee
namre Lap-;S.

I.lnd aut spertilN/
müllgnuestomnes
rerrsgonos impari
bus elle cognaros:
quodinomnidispo
lttione abvnovell
duplicibusvel lrri/

plicibus ralis nsturg ordo conserir
ut nüqus nist fcöm impare locum re
lrasonus inueniar.jdisponam^ eni
in ordine numeros: prüno quidein
d uplos:deinde triplos. _

! i jrj^ 8j i6> 64I r;6j

si!Mr-1Si Ir^T-ry^r 1S7I6561 >

M riplicationepsrtici/
M panrimurabili sub/
_„M stanrixreiusdeinque
nature suntsochmon aliorü quam
impariücoaceruatione produntur
nunquä vero pariü.'Nsm li omnes
ab vnirare iinpares dilponanmun/
m fignras cubicas explicabür.

^"Nhisisitqui primus est pore/
_R_starervirture:primücubum 5s
cier. Juncti vero duo qui lequunk
rernarius lcilicec r qutnarius: scöm
Mciüt cnbum: qui est ocronsrius.
Juncri sucem-;-qui sequunr: sepre

nsrius nouensriusque-r - u. cubu;
faciuntrqui- r 7.nuinero continenir
qruestrercius. Lc sequemcs quan
cuor quartuz.r qm iequunt. 5. quin
turn.? sd eundcin modum qnorus
quisque cubus efficiruruot coniunn
ccione nrpares apponunr. Doc su
remdüigenrius subiecrs deicriprio
docer _

i ' ! ? ! s 11 j 1^ 15 j i7, >9 ,
i I ! 8 ! 27 s 64

!pri> jsecüdus Kerems jqua- ms !
jmuilabis jaterrri^aquarer !
jsb jduod^ jbusrersqlramor I
jvnojbis j Iquscer I

jde^porrionalitskib^ Lap>4o.

Z7 dehisquide;
sufficiecerdicruz
est.nunc nes ad
moiret qucdam
de proporrioni^
bus dispuranres
quxnobis vkad
mukcas speculs
momicas subtil«

rares wel ad gcoinetricx conkderan
rionis vünrveleris ad vecerü lection
numinreUisentiä prodelsepolNnt:
srithmetica intryducnöe cömodiN
slmerennmare.fLii igirproportion
na'iras dusrum vcl mü vel quorlin
derproporrionüsllurnprio advnü
-srqrre collecrio. r^lt anrem cömuni-
-rer definiarnus.propornoirsliras e
,-duaruinvel plu-iunr proporrionu;
ii-ümilis hsbirr»do:etts; ir non eisde;
<, .quanritaribus r diffeicmrjs consti^
>-rur^stm Mfferekia^o estmkernu

ineros quäriras^droporrioek duo
mnr termmorum ad seiimice qux^
da; habimdo r qua6 quodaimno
do conkinentia.Quorum compok/
rio quodefficir proportionale ett.
Lx iunccis enim proporrionibus^»
porrionalitas ftr. In tribus aurem
rerinirns «niniina proportionalitss
inuenic.^iteriam inplunbus sed
longior.vc binanus sd vnum quo>
niam duo sunr rermini: duplam ob
miet proportione.stn vero quamo?
contra-r.coinparesirhic quoctz du
pls proporrio est. quos kres termik
nos 6 cominue contideresrex dus^
busproporrionibus kir Proportion
iralltss.Ltell^pporrionalitßs.vnuz
sd duo:rdnoad quamor.Osteni;
^portionalitas ucdicm cst collecrio
proportionu invnu;q>.ieredactio.
^ir erism r in longioribus. -Nam 6
quscuor illis ocro velis adiungere:
rhis-1 s. erhis-; 2. er deinceps dun
plos qui sequunr/it in omnibus du
pla proportionalitss er Proportion
nibus dupli« ; Igir quonens vnus
acque idez rerminus irs duobus cir
cum le cerminis cömunicat r ut ad
vnü durllc sd alium comes.hxc^n
portionalirss conrinus vocsrur:vr
vnus duo quatuor,. Llienim equa
lirss in his proportionis.-r quesdn
inodü!um 4-ad> r- üc sunt duo ad
vnum. Lt rurlus quemsdmodum
vnus ad duo: 6c duo ad quatuor.
Ltscömquanri'srem quoque,nun
irren eodem modo est. Qusntüenl
tres superancbinsriüusnrumbina
rius vnirare;.rquanlü vnus a duo
busimnoreltnanlum binarius s

composi/
'"Liček,
wntbusp
rwaulcin
uonalür,
mdus sed
nmn quo/
'uplrmob
'oqnrruor
cqmxxdu
ircs icrmu

i'.'0p0M0/
!Ük^:rmr;

Mileni;

kcaliectro
vdamo.

i.-Namk
duuMre'.
nccpsdu/
umdusdu
p!0po:no^
xlcnsrniis
duoduscir
mil mrd

»rocamr^l
^cnlmcquü
^.rqucüvz
fnnlduosd

qaoqocM'

^ilanmo"

.duunmr

litsre neglecks ^porüöis parüirsre
ostimrox tei mlox habimdmes ser/
usr.M his güt quätitativ" medie^
tss Ns versgt:in«V Hw lpecu'.äds er

>X/^ ^iS505^eL

liratibus densrix quanrirmis cor/
pus efficerent.Gcöm quem nüme/
rum r priores quinctz hsbimdines
comparsnonefP delcriprx sunc.vbi
quinquemsioridus proportionib"
quos vocauimus duces: minores
sptguim' slios rernünos quos co/
mites dixmus.Indeetism iu sre/
stoceUca acq; archfthe prius- >v.p/
dicamencou descripuone: pychago
ricum denanum manifestu est inue
niri.Qusndoquidem r plato stu/
dioüMmns py chsgorx scSm eg; dis
puratione diu dik.r archytas pytg/
goricus ante sristotilc t; quibusds?
6r smbiguü decem hec predicsmc
raconstituü.Indeeciam- iv.mem
broxparticulx.indealis permults
quxoia psequi non est necest'e.

Quod primumdeeg qux vocsr
arichmetics proportionslitstedice
dum est. Lap-4s.

Nnc^odepro
portionslitsti/
bus deque me
dierstib^dicen
düe.Ltprimü
gde deeame/
dietare rracts/
bim?:quxscöm
quäritst^xqus

Qugapudantiquos proportio/
nMssfueril:qugs posten gddide
rint. Lsp-41» ,

Onfestf qui /
derspud gn
riquioresno/
tkrquxquesd
pychggorx vk
plstöisvs gri
stotelis seien/
tiäMLnerüt:
herresmedi>

erstes ümt.srichmetica: geometri/
es:srmonics. 'Post quasLportio/
nuzhabicudines tres sli§sunr qux
Kne nomine quide; feruur. Llocsn
tur sule qugrca.quinca:vel sexca. q
fuperius dicris oppokrx sunt.Ät ve

ternsrro fuperswr. Lin vero slius w posteri propter densrii numerlg s ?

sd vnum rekertur terminus: slius fecrionc quod erst pyrhagorx com D , it
vero sd sUum nrecest'e est hsbirudi placimsunedietstes gliss qusmor i
nemdisiunctszvocari.Qtgd xqus sddideruntrucin his propomona/

litsrem quidemproporrionissunt.

-n, r.4-8.Sic enim sunt quemadmo
dum duo ad vnumistc occo ad qua
tnor.r conuerstm quemadmodum
vnus sd duo:stc qustuor sd octo.
Lt pennutLti; quemadmodü qus/
mor sd vnum stc octo sd binsrium
Scöm qusmitsre vero numeri: uc

" ' funt. I r.;.4.qusntumenimvnus
aduobns vincuasnm tepl^arjus s
qüaternsrio supersk. Lrqngnlum
duovnumvincunt:tsntokemsriu;

8« qusrernsrius trankt. Idermixrim
eris; qusnto vnus cribus mlnor est
taro binsrius qusternsrio. vel qus
to rernarius Vnirgte superat: tanto
binsrium rrsnsgredit qnsternsri'.

inquib^a seipsts termini diilerunt
Quid süt eilet dMretis terminom
fuperius diMnitü elt.Dsnc süt eile
arirhmeticä medietsre numeroru;
ipfg rö declarabit:quoniä eins pro
portio in numeri quantitare okitit.
Quxigik cäelthuiulmodi termino/
rü habimdine ideit arithmeticam
cnnctis slijsPportioiraliratib' ante
ponererprimüquod Hanc nobis in
pricipio ipls numerox namra vis
namralis quäricstis öpponir.Dni»
modi enl^portiones quxctz ad ter/
minox differetias ptinec: nt paulo
pokdemöstrabitänsturslisprimü
numeri dispoktiöe cognolcim''. jde
inde quodsupiore.libro diiputanri
bns nobis appsruic arithmeticam
vim geometrica arcp mustcs eile an
tiqmore:r quod ülsra Has Mnui in
ferrer-sublats vero perimeret.Qua
re ordine dilputatio.pgrediet: 6 ab
es prius inchoandu; 6t medierate:
qux in numeri differens nö in pro/
porrionis speculstioneverssr.

ros termi os inuenit. In qua negle
cra^pportionis ßqualirare terminom

De arithmetics medierate einicß
xroprieraribus. Lsp-4;-

^ithmeticame
dietmemvoca/
inus rquotiens
veitrib^vkciuot
liber rermis po
Kt^Equalisarcy
eade differetia
inc'oesdiipoli/

rütantü disserentiarüctz speculstio
cuitodir.vt- >.r.;.4.s.6.7.s.y. <o.
^Ilhac eni nsturalis numeri vif
_I_po6tione:K quis cötinusti; dit
ferentiss terminom; eurer sspice/
re:scöm arithmeticam medietstem
xqus rerminop interfe dilcrepsn/
tisest. Lqnales eni; funt differen/
t ie:ied eadem proportio arqne ha/
birudo non est.Si igirur in trib'rer
minis con6deratio6t:cörinuspro/
portionalitss dicitut. Sin verohic
alius dux -r slius comes: Mic vero
vrruP Knr slii:vocsbir difmncts me
diecas.Si igir in tribus tsn mm ter
minis scöm cotinuSmedietstem cö
spexeris:vel in qustuor:vel in qnoc
libet sli-s fcöin difiunctsm.egfdem
femperdifferentiss terminorumvi
debis:tsnm;folis proportionibus
permurstis.Id 6in vnoquis noue
rit reliqua eü rario non latebir. Sir
continuamedietss. i-r.z.Dicvn'
a dnobus r 2. a tribus solis rsntu;
üngulis distanr.r funkendem diffe/
renlix proportiones vero slie. 17a/
que duo ad vnü duplus elt.tres ad
duo lejquslter.-r in ceceris idem vi/
debis.Sinanrem permiscens rali
quos prcteriens eligas:r in his ali/
quam fpeculationem ponss: idem
pocerir euenire.-Nsin 6 xquales rer
minos internüttas:rsese inpriore
dispoütione pr§reresnr. 6 kngulos
inrermittas riolius binary notsbir
differentis.kn vero duo pr§cereas:
kernary. 6 tres: quaternsri). r ad
enndein modu; vno plus quam in
termiserisrerir ills qusmquerimus
differenria cerminoruin /Nsmque

K in trib'' terminis stnguU relmquä/
Mr:binarius sernper incererit.
kdistereucix

_ incermistc

^I^Älibus igir veftighs inststente
nuilus ab eadem stmilicudine
crror abducet. 'Naq; 6 duosmter,
iniccasuemsrius disterenriä conri/
nebic.st rrcs: qnaternariccs. 6 qua''
mor quiirariusreque in cörinuis.p/
porrionibus acp distuncris. Quast/
tasaürproportioniseade nonerit
quäuis stnr equis cermiici distereit/
ti;s diitriburi.Quod st cäuerstm po
namurr nö eitde; disterenci-s esde;
quaiicas proporrionis eueniat-.seo
mecrica caksoporciouallcas nö sri
thmerica nomiuaü Lst aütpropriü
huius mediecaris quod st in tribcis
rerminis specuiario stt.cöposttis ex/

iiuerinisti

Ides ne m cu; strpcrins in na
turasts numcri dispostrione se
termini stngnlis prererirenc.prerer^
mistis dnobusr 4-vnusadrresier
;.ad quinariü cöparati:binanstfo
lum in disterentiarennuerim. 'Nec
nö eria in distuncta eadem verlabik
oblerumio.

jdrsterentie

discontinua

vlöduo

4

St illi hoc quocß solida^peta
vI te oiunctmquod queadmo8ü
funt omnes termini huiustnodi dis/
postrionis ad seipsos.itastrnt diste/
rentix ad distererias 2-sticnce.lstäq;
oinnis termimis stbiipk cquaiis est
r disterentis disterenrijs stinr xqus
les.Illud quvG strbtil? qnod mul
ti hlM disciplin^ perici nist nicom a /

tremitatibusilla summa qux incer
extremirstes eti:nö loco ranrü:vep
etiästt quärirate medieras.rnr st po
nanr- i-r.z-vn^r tresquamor red/
dunt. jduo vero qui medius inter
vcrosq; est.qualericarii inediecas in
uenir.Quod 6 bis ncediecarc ducss
xqus erit extremiracibus.Bis eni;
duo quamor cresnr.Sin ^0 Visum
cta stt.quod stl ex vrrisq; ercremira^
ribus compostris^hoc ex duab^ine/
dietatibns reddir.S'enim sunt- - -
2.;-4-vnus r quamor quinariü cre
ant:duo r cces medi) in eunde; rnr
stcs quinariü stirgunr.

connnua

chtts nunH aniea pÄ-fpeMMt! qö
inomnidispostrionevel cötinua vk
disiuncrs:quod cötineksub dnabus
qnremiranbus minus est co nume
ro qm ex medierace, cöstcir ranrum
quairm postum du§ sub se disteren/
kl§ cönnere qux inccr ipsos stmr rer/
minos conMwrx.i-onamus enim
rres rerminoshuiulmodi- z-s.z-Si
igiktresseptiessugeannin- r>.nn/
merü cadüt- Quod 6 medm termi >
nü id est- 5 - in iemeripsu; multiplica
ueris.quinquie? quinq; frciunr- a 5
Lrhicnnmems ab eoqne extremi
rares coiligunt quarenrario maior
est:que lciiicet differentie cöficiunt
Inrer rres ein r. ^r.^.bnn inrstinr.
quosst lsese mrrltiplices.4-reddüt
bis eni duo qustuor 6üt. l^ecte igik
dictüestnnhachuinsmodi difpost/
tioneqö cötineksub extremitstibus
nun' este ülo numero qui fit ex me
dietatetaMqusnrüdisterenrix in
fe multiplicare rettitunnt.

r r

! ! 5 ! I

1>

^>Nartumvero propriü'huius/
modi disposttionis norak: qö
snciquiores quoryhabuere noM/
mu:quod in hac proporrionslirare
velmediersteinminoribus termi/
ui« maiores proportiones.in msio
ribus minores comparationes ne/
ceste est iimenm.Mmctzin dsspost/

tionehac- >r. z.minoressunt tev-
inimi- i-et-r-maiores.r.ec-z.er-r.
ad vnum duplris est.; -vero ad du/
os lesqnalrensed maior est propor/
rio dupii qua; sesqualcera. In, ar/
monica amem mediersre econrra/
rio eueiure contingit. In minorib"
enim rermiins minores proporrto/
nesan inaioribus inaior proporn'o
nis quanriras custodit. Dam vero
inediemtü id est'srithmeticx atque
armonicx:geometrica proporriona
liras media este norsts est. qu§ vei
in makdribus vei in minoribus ter/
minis §qnasnvmerorum quslirs/
tesi,pportionslicate custodir. In/
ter maius vero r minus. xqusiiras
loco ponir medietstis.Lr de arirh/
merica quidemmedietste satisdi/
ccumest.

Degeometrica medietste eiufG
propriersribus. Lah-44-

Llnc vero qux
hsc sequikgeo/
merrica medte/
ras expediarur
qaeloiavkina/
xime proportio
irsliras appella
ri pör Apreren
quodl caeisde

proporltoniv"' rerminop vel in ms/
ioribns vel in minoriv' speculacio
ponik.Dic enim equa iempcrWor/
rio cuftodic.numen quanriras imrl
tirudoq; neglizircomrstie qua; in

srichmeticamedietStL.-tlUnt. >-r-
4-8:16.; r.64. in tripla propor
rione- u;.y.r7.8> qusdru/
plavelkquinctlplavel kinquamli
betmultipUcirstem nninerorumkr
conMrms diitenko. In his enim
quor'ibecrerminos sniupser': exple
bunl Zeometricä medietatem. que
sdmodü enim prior adtequenrem
ita sequsrs ad slmm. Lt mrlus: 6
permixre kacias idem erir.Si eniin
ponanrtres termini.r.4.et.8- que/
sdmodü sum-8.sd.4-ira.4 ad . r.
Ärquc hoc k conuertas: quemad
modumsunt.r-ad.4ita enmr-4-
sd-ö.

dupla dupla

! r ! 4 ! s I

Lt 6 in quacuor terminis vr
V^Asunt.r.er.4.8.et. is.quemad/
modumest primus ad tercium:id
estradS-licerit secüdus ad quar
mm.ldests-ad. le^traGeniMF
porrio quadrupla ek. Lt cöuerkin
quemadmodüqusnuselt adlecü
dum.its tercius notatru- ad primnz
D oc vero eriam dikuncts licer.'Na
quemsdmodü est primus ad secun
dum-id eit- r -ad qustuor.kc tercius
ad quarrü: id e-S -ad- m.r conuer/
km queinadmoduin secundus ad
primumüd est.4 ad duos: ita quar
ms adtercirun:id est-16. sd> 8-idcß
in omnibus rata conkderatione p/
spicies.

quadrupla quadrupla

dupla dupla

^HÄbetautemproprinm huius/
L. Lmodi medietas quod in omni
dispokrionescSin Hanc proporrio/
naliratem renninormn dikerentie
in esdemproporcione contra sesür
qua ürerinr tz>k termini quoru; ümt
ipse differentix.Süre enim dupli co
kra se knr terminirduplx erunr etiaz
differeris.kue tripli:trlplx.kue scöm
quamlibetmultiplicitarem: eadem
in differech« muiriplicitas ent: quä
prima conkderstio inuenit in ter/
minis.ursubiectadescriprio inoner

differenti edtlpl k

11 I r > 4 j S j iSlUfsaj ir8l
j > j r j 4 j 8 j  i<rl ;rj64^ 178^5^"

Hermini dupli

l!i igicur dubium esse potess
L. oqö cu; oes cernuni dupli knt:

ica dissereirtic quc>P eo^ terminox
dupl^ esse videanwr:nt vno minus
termino in differenti-s: oinnes pe/
ne dispokros subrer rerminos quo^
ru sunr ips§ dissererie: superior ordo
reddiderit.Lsseriäaliud proprium
quod omnis ad ininore maior ter/
minus cöparatus:ipsum mmore re

tinet differentiä. Itactzbinarius ad
vnitste:ipsa vnirare differr. r qus/
ternsri" binarioapo binsrio.r ocro
n anus qusternario : ipso quaccmÄ
rio.r deinceps maiorcs aluapis mi
noribus ab eisde ipiis differüt qnos
nuiucrosuare precereür.Lt hoc qui
dcz in duplicippornone cadit.Sin
pero sink triplices proportiones: ina
ior terminus a ininore termino du/
plicaco ininore rermino disscrt. vlt
Kknr- i.;.y-tresav vno:binsrio dik
ferütiin que vnirss ideit ininor ter,
minus duplicmus exundat. r-y- a
tribus sensrio differül: quem terna
rius duplicsms educir. Lt in alijs
cüctis eiusmodi raus reperier. Sin
^o^quadruplices Mu: triplicaco mi/
nore rer,nino maior rerminus a nü
nore distabit.Lr 6 quinquuplüqua
druplicato. et 6 sexcupii: quinquu/
plicaco.r vna minus mulnplicatio/
ne qua; eit ipsa ininop ad inaiores
cöpsrstio terminom : mmore nume
rus maior exMperac.

Liff crenri e duple _

jI ! r ! 4 l 8 ! i6!;rlö4 j ,r8l

jiI r j 4  ! 8!i6j;r!64!>rSIr56 l
Hermini dupli

_ Lifferentietriplx _

2. I 6 i 18^4! i'6r!486! 1458!

I 1 I ) 1 9 >r4Z^r9 jr

Lerimni rripli

Lifferenrie qusdruplx
I^48h9rj768l^o7rs irr88!

! !>4 j »6j64§rs6l ior4!4oy6> 16)84 !

^ernüniquadrupli

sülFportionalitas es alijs
L. L omnibus vel supp articularib'
vel suppanienribus iuuenit:huius/
modi proprietäre in omnibus con/
ierustaau in cöcinua proportione:
quod fir Mb extremitatibus 6 tres
kuerir terminuhoc a medierate mul
riplicma cösurgat. Si eniz Mu.r.4.
8 -quod fir ex bis. 8. idem sic ex qua
ter-4 Kleist St inquaruor rerminis
disiunctapporrio: qö kir Md vtriics
extremitatibus id duarümediera/
tü mulcipiicarione concrescac.v t Ir
sint i-4-8. i6.quodfuexbis- >6.id
ex quarer.8. reddacur. Lxeinplar
aür uobis maximtrzcerMmÜP M
Mud -vbiex equalirate dixim^oes
incqualitgcis species fudi.Illlc ein
in oinnibus vel mulciplicibus uelsu
perparrientibus vel iupparticularü
bus vel in cxreris cöiunckis §eome/
trica.pporuoualitas custodit: Has
oinnes propr etmes quas iupradi/
ximus conrines-Quarta vero est.p
prietas huiusce mediecars: quod uk
in msioribus uei minoribus termi/
nis equales semp proportiones lut
ltamGiiponanr^.4-8- 16.zr.64.
intcr hos omnes dupla, pporrio eit
Äppareretiahxc proportionaliras
in binis ^portionibus ab vnirate at
rernstim parre altera longioribus
quadratisq; dilpoMis a prima mul
riplicicat' habicudiue ideita dupli
ci p cüctas lupparticularis habitu/
dines proportionesque discurrens.
quod tubiecta descriptione 6gns/
tum eit.

>
u'»cnu
^Nlnibus M,
s-opoiiiM:

uEtw s, sseg
mcdiciMM
s>cnl;s,nl.'.,^
l^cmt'ucrW
'ü^!o: laminiz
^s'isubriritz
>u tmmcdicu,
icücsckcäl.vlk
^futtbio. >s.id
v i. LranplA
iccnijliinllPßs
üc ^ini^oes

- 'u^i.Illiccni
^labusiiclkr
itp^mcnlm^
.r ei:tzcome/
c^lodU'.has
Plissus'.adi/
arurrccoe^
'ta»i':quodul
me:ü)»b icW"
<opo:nonce!Ä
.^.5. >s-;'-^.
.v^^niocü
:c'p<':lic'iui>us
'.^dvniiKül
7t lenk'^»-

>c >^clU^i
..... ^'cllnc"b>
^cionc

4

Terragonns ! > I
parcesülöit. > r. dttpla

Quemedietares quibusreruin
publicarn Kand' coparenr. La-45-

qß ideosrirhme
tica quidemeirei
pulic§ cöparat q
paucis regit: idcir
co quod in mino/
nbus eins termi/
nismsiorpropor
tio lic.Ävusicam rero medietarem
optimatüdicüt eile reinpublicam:
ideo quod in maioriblls terminis
maior proportionaliras inuenitur.
öeoinerrica medietss populär^ qö
ammodorer equalitateciuiratis e
lläcxvelin maioribus vel in muco/
ribus xquali oinniü proportionali /
rare componinr est inter oinnes pa
ricas qu^dammediecacis xquü ins
in.pporrionibus cöseruantis.

Quod supstcies vna tantü in pro
portionalilaubus inedierare iungä

mr:solidido numenduab'medieta r/
rib^in inedio collocanr. Lap.46.

Otthecigittem>
pus e.-utexpedis
mus nunc quid>
nimisvtiie
in piatonicaqua
damdispurario/
nerque in timei
cosinopeiahand
fscili cuiquä vel
penetrabüi ralionc verlak. Oes en!
planx kigur§ q null« sltitudine cre^
icumvnaranrü medietare geome>
trica cöcinuant:«!iaque iungar no
pötinueniri.vndeduoramü inhis
inrerualls sunr conkituta: s primo
fcüicet ad mediü: r a inedio ad teiv
ciü.Sivero 5uennrcubi:duss tan^
m; habebunt medic taces vbi tercia
inueniri nö porerit:scöm geometri/
csm scilicec proporrione.vnde kor,
me solide rria interualla dimnrhs
bere.Lli enim vnü interusUü a pri/
mo sd secundütt g secunao ad ter/
ciü:r a tercio ad quarm;: qu§ ek sei
licer pollreura distancis. 'i^ettx igir
r plane stgurc duod" inceruallis: r
solid xcribus cötineridicunk. Sink
eitiin duo terragoni-4- scilicec ec. y.
ho? igirur vnus tanmm rnedius in
eadem proporrione constimi potest
'Naitque lenarius sd - 4- Aquslcer
est:r- y. ad senarium eodem modo
lesquslter. Doc aute idcirco euenit
quod stnguls laters üngulornnt te/
tragonorumefficiunt senariam me
diecacein. *Nanquequaternarij te/
f

rmgonilsttts binarius est:nouens
n- ternsritls.hiergo nmltiplicsci se
nsrmm perfecerunr.Bis enim rres
lensrius cst.Lt quotienscüP dstis
dnobus recmgonis eorum medic/
rstem volumus inuenire.laccraeo/
rummulriplicsdssunc: rquiexhis
^»cresbunr medietss est. Si autein
cubistnrvt S.er r^-drieramü inter
hosesdem proportione nrediecs"
res conkirui queüt-i r scilicet ec- >8
näP- ir.gd.8-ec- i8.ad-r7.sesqusl
rers tsntum proportione iungnnr.
InhisquoPesdem laceru; ratio
est. 'tlanque ex vno cubo qui pro>
pinqmorest:vnsmedierss dnola^
cera colligit.ex alcernacim vero po>
kco vnnm. In alia quoP inedieca^
re idem est.idonanr enim duo cubi
rin medio eorum dux mediersres
qnss superurs dixim^-ö-duodecun
iS.r^.occonarh igitur larns est bi^
nsriusrbis enim bini bis octonsriü
tecerunr. Ternsruis vero-r7. cubi
larus est.T^er enim cres ccr- r7-resti
ruüt.Lkdedieras igirqueinxcs octo
nsnumcst:id est- > r.nuuuatur duo
latem ex propinquo kbi octoirsrio
r aliud vnu; latus ex sltrinsecus po
6ro-r7.cubo.Bis enim buri ter- > r.
psndunt.Lt- iS-eadezmtioneduo
latem s.ppinquo kbi- r 7. cubo colli
gir:r vnü ad sltrinsecus pokco ocro
nario.Brcs cnimrerbis- iS-conclu
dunt.Doc gutem vniuersalicer spe/
culanduzekrk cerragonus rerrago
num mnltiplicecrkne dubio rerrago
«uw prouenit. Sin vero psrte alte/
M longior retrsgonuin multiplicet

vel tetragonus patte altem longio/
rem.nunquam tetragonus:scd tem
per sntc longior crestir/Kursus K
cubus cubnm multiplicsuenr: mbi
forma conficitur.Si vero psrte sl/
ters longior cubum:vel cubus par/
te s'ters longiorem: nunqusm cu/
bns procresbitur. hoc scilicer scöm
kmiiimdinem psris StP impsris.
Id sr enim psrem 6 mulriplicet.sem
per psr nsscitur. r impsrimpsrem
k multiplicet: impsrcontinuo pro^
crearur.Siveroimpsr psrem: vel
6 psr impsrem multiplicet:par tem
per exorikur.Doc sute; fscilius co /
gnoscir ex lecrione plsconis in libris
de repttblics: eo loco qui nuprialrs
dlcilur:quem expertons mutanuir
philotophus introducir.Sed nrrnc
sd tercism rnedietstem redenndü
est.

ide srmonics medietsre eiulque
propricraribus. Lap-47-

'kmonica süt
inedierss est:
que.nePeisde
diffcrentijsnec
cquis propor/
tioiribus con/
sticuitur:sed il^
ls in qns que^
sdmodu;ms>
xrnrus termmus ad paruistlmu; ter
minum ponimr: kc disterentia ms--

ximi r medi- contra disserennä me
di) stque psruistimi coiupsrarur.
Llt k knc- z - 4. s-vel k-r.z. 6. Dens/

NUS mim qumernarium sua tercia
patte super ar :id eit duobus.quacer
nariusvcrorernarium sua quarta
parre superuenirnd eit vno. Lr sena
rirrs temarium sua medierare id eit
tribrts.rernarius vero binarin; sua
parke rerciaidestvnirme transce»/
dit. Quareiirhis neqzeadein pro/
porrio terminorum eit: neque funk
exdem disserentie. eit anrem quem
sdinodnm maxunus rerininus ad
paruMmü terminu : 6c differentia
maximi r medi) ad differentia; ms
dy arque poitremi. Hamcß in hac
proporriöequ x eit-; 4-6- maior ter
minus ideii senarius ad paruiiN/
mum renninü cernariu; dupius eit
r differenna maxinu rinedi) id cst
lenari) r qusterirsn) duo scilicet:sd
differentiä medi) r vitimi id eit qua
rernari) arctz rernari) qux eitvnicas
dupla perspicimr. Sed hoc quoP
subiecta descriplione monitrar.

differenti§ dupl§ differeri§tripl§

^U^Abet smem proprietäre; que
I. Ladmodum dictum eit contra/
riamarithmecice mediersri:In iila
enim in minoribus rerminis maior
sracproporcioun inaioridus minor

in Hackers in nraioribus quidem
rerminis maior eit proporrioän ini
noribus vero minor. Hanque in
hac diipoKrione.;-4-6.ti-es ad qua
ruor coinparaci ieiquirerciam hab»
rudinem:sexvero ad qusruor les/
qrralrera reddrmtrsed maior eit pro
porrio ieiquslrera a sesquirercia l ä/
rumqusnmmparsrercis mediers
re rranscendir - igirnr medie/
rasquxdam geon.aica proprieP
esseproportionsliras iudicacur.sci/
licer inrer eam vbi in mM 7ous ter
ininis minor eit proporrio r minori
bus maior:r inrer eam vbi innraio
rivus maior eit in minorib" ininor.
Illa eit enim vere Proportion Mas
quxmedieraris quodsmmodo lo/
cumobrinens rrinmsioribus rin
mino» ibtks.xqualibus proportionü
coinparalionidus continerur. Doc
quoquestsnrunclt duaruin extre^
mirarum medisin eite quodammo
dogeomerricaproportione.'NäP
in arichmecica proprorione mediuf
rerminus eadem sua parter mino/
rem precedit r a inaiore precedirur
tz slia xce ininor^aiis ^0 pte maior(
Sir eniin arirhmerics disposino.r.
; 4-Ternsrins igimr numerus bi/
itsriüm tertls sua parte prxcedir id
eit vno: r a quaternario cercia sua
parle pr§cedimr id eltvno. Är vero
rernari' no eade par« minoris mi
nore vincir:vel maioris a msiore su
persr.llaane minore id ett binariv
vno supersr.id eit ipsius medierare
binsri) a quaternario vero vno re>
linquir: que pars qrettiarij qusrra
k r

est/kecte Mur dictum est mediuz
terminu; in huinsmodi medietste:
eadein sui psrre r minorem vincere
r s msiore supersri:sed non eiidein
psrtibus vel minoüs minoremträs
gredi:vel msioris a msiore rransce
di. Lonrrsrie arinonica medieras
^»porriones Haber.'NäGnon esde
psrte sua medius terminus in hsc
proportione vel minore vincit:vel a
msiore tupersr. led esde;psrte mi
noris minorem iupersr: qua psrte
msioris s msiore fuperar. Inhsc
eni; dispositione srmoiücs qux ett
2.;.6.rernsrius binsriu; rercis sui
psrte vincitüdein rernsrius s sena
rio tocs sui quärirsre superat: id ett
rribus.Idemcy ipse rernsrius ine/
dietsre minoris vincir minorem: id
ettvno.r medietste msioris s ms
iore rermino vincirurad eit rribus.
Sensrij enim medierss remarius
ett.Ingeomelricsvero medietste
neqzeisdemsuis psrtibus medius
vel vincir minore; vel s maiore vin/
cirurmeque eadein psrte ve! mino/
ris minorem superstrvel msioris s
msiore relinquir.sed qus psrte ins
medius termimrs minorezsuperst:
esde psrte ins maior renninus ine
dium vincir.Quod ett ur medieras
atque exrremikss xqualibus medie
tscem r exrremirare; reliquain suis
psrtibus superusdsnr.Inhsc ein;
dispoiltione qusest-4-6.y.rercia Mi
psrte nredius senart'qusternariu;
superatäd ett duob^.-r rercis sui psr
te rurkus nouenarius sensriu; vin /
cü.id ett rribus.Dsbet snrem slla;

proprietärem srinonicsinedietss.
vr cum duss cxtremirares in vnum
redscrss medieras mulciplicauerir
dupls qusnricss colligir quam 6 se
mulriplicer dux excremirates. Sink
enim hi termini- ; .4.6. Ki igirur ter
nsriü r senai iü iungss nouenariu;
fscies.qui per qusternariü ducms
; 6-efficit. quod st se ipsx extremitS/
tes mulriplicenr: rkianr rres lexies
1 S.conficuumquodeii prioris sum

Qusre dicrs kt srmonics medie
raseaquxdigeftsest. Lap-48-

Onüdersduz
forkts videa/
rur: cur Hanc
srmonicame
dierarein vo/
cemus.Luiuf
h§c rstio ett.
quonism sr i
thmecica dis"

poirriocquas cairtum per differem
rias diuidir qusmirsres. geometri/
csverorerminos §qus proporrio/
ne cöiungit. Ar vero srmonics sd

aliquid quodsmmodo relstscon/
stderstione: ireP solum in terminis
speculstionezproportioms hqbek:

neque solum ist differenchs: led in
vtrisGcömuniter. Quent enim ut
quemadmodu; sum adseexrremi
termmirüc maioris sd mediü diffe
rentisreontra differentiam medie/
taris sd vltimü. Ad »liquid surem
conüderatioirenr armonix proprie
eile in primi libri rerum oinnium di
uistone monkrsuimus. Iplsmin
quo<V muiicsruin conionantiaru;
quss syinphoniss nominät propor
tiones r inhsc pene sola medietste
frequenter inueniss. 'Nanque ssm
phonis diacelseron:qu§ princeps e
r quodammodo vim oblinens ele
menlirconstituit scilicet in epitrita.p
portionemteft quaternsrius sd ter
nariumrin eiusmodi amromcis me
dietstibus inuenik-Sinr enim eins/
modisrmonicx medieksris termik
ni quoruz extimi dupli Knt:r rursus
slis huiulmodi disposttio quorü ex
timitripli.

i ? 1 4 ! s l I r > ; I 6 s
^LLnÄn'us isimr sd ternarium
?^_/dnplus eli.ide; süt in alia dis/
poktionesensrius sd binsrium tri/
plus.Dorumisirkdilferentias col
ligamusradseinuicem compsre/
mus .epitrits propomo colligitur:
vndedisteileron ssmphonis reso/
nabit.Inter rres enim rs-rernsri''
est.r inrer binariü r sensrium qus/
rernsrius.quikbimercöpsrati les/
quitercism efficienr proportionem.

jdisterlleron!———fesgterciü

/ differeris X

/ X

I r I ; > s

'V"Nesdequo<Vinedierare rdia
^.pente symphonis componitur:
qusLsqusltershabimdo resticuit.
'Nam in vtri sque dispolltionib' his
qu§ subiectMnt.in duplici sensrius
sd qusternsriü sesqualrer eil: in tri
plicirernsrius sd binsriü.exquib'
vtrisque diapente symphonis con/
iungirur.

Sesquslters.
jdiapente.

Sesquslters.
diapente.

'OOll Hanc «mem diapason co
F^sonanria qux kir ex duplici. m
estsubiecta formula.

duplex,
diapason.

f;

tzispenre r diapason.

/^Lquoniamtriplusduas con
einer consonärias diapente sci
licerr diapsson:°inhui' mplicispo
Kreone in diKerentijs eunde; mrsus
triplumreperiemus Icöin siebter de
lcriptunemodum-

Lriplus.diapcnce r diapason.

V'Ntripliciquoch dispoktionek/
_U_ mul dispencer diapason sym,
phonia coponir: serusns sesqualte,
rsin r duplicem rarionez.quod sud
ieccs descriprio docer.

Sesqualrera. jduplex.

sdikerentix

' ! Z

r ! ? I 6

jermeni.

V'N dupla vero dispoktione ma
^.iorrerininus ad mediš termini
contra se differentiam triplus ek. r
rurkus minor termin^ ad medij co/
tra miuore; terminu coinpsrsti d K
kerentismtriplusek.

dikerentix.

Hermini.

^2-la aurczmaxiina sfmphonia
_L_quxvocarbis diapason: velur
bis duplum.quonia; diapason iym
phonia ex duplici proportione col,
lizitunhuic se iücturx armonic§ me
dierstis interlerir. Ilam in duplici
proportione'medme rerminus ad
minoris suiP diffcrentia) quadru,
plus inuenir.

jdifferentia.


Irmini.

triplicibees quoq; extremira,
^cibus maior differentia ad mi/
nore differeriä quadrupls est^:r Vis
diapason symphoniä einittit.'Näq;
in dispoktione. r -; s.extremop dik
ferecia estad ek senarij r binsrij »4-
minor vero differenria id ek terna/
rij r binari) vn'4 aüt vno qusdru/
pla maior ek relarioneiq copar ano
bis diapason consonanliä reuet.

L>e geomerrica armonia. Lah 49^

Ocanr amem
quidazarmo/
nicä huiusmo
di medietate;
idcirco quod
seinperh§c^>/
porrionslirss
geomerricxar
moinx cogns

tsest.armoniä aür geomemcä cu>
bum dicunr. Ics enim ex longirudi
ne in latitudine distenrus est r in al
timdinis cumulü creuirmr ex §qua/
libus proficiicens ad xquslis perue
niens.xqttaliter rorus stbi conueni/

ocrouan'o mulripliceumr: drrplus
erir ab eo numero quem lolx extrem
mirsres multiplicste perfecerint .
Omnes surem in hacdispostrione
spmphonias mustcss inuenimus.
ksiatesteron quidem est ocro ad sex
quoniazproporcio seiquirerrisest.
Ärdispenre- ir.ad.s.quoniames
qux selquslrers comparsrio dicilur
inea dispenre consonsnrisreperir
Diapason vero qux ex duplici nalci
mr ex» i r -ad sex compostrione pro/
ducimr-ldiapasonvero rdispeme
qu§rriplicis optinent ratione; :fic
sb extremiratü disterencis ad diffe
remis; ininorem. °Nanque duode/
narij r fenarij sex differenris est. mi
nor vero est differenris occonsry r

ens creueric. Dxc surem mediecas
in omnibus cubis que est geometri
cs srmonia perspicitur. Oinnis enl
cub^hsber larera. i r.gngulos octo
superficies fex.Dic sutez ordo r dis
posttio arnronics est. Lrisponsnrur
eniz.s.8. ir.hicergo queadmodu;
estmsiorterminns sdparuiMmu;
üs differentis maioris r inedy ad
psruistimam cöpsramr. 'kderpenst
nanque- >r-ad sex dupli lnm.diffe/
rentisvero» ir-roceonsch quater/
nsriusestoctonarij vero rsensry
duo.dupls smem raüone distsbüt
duobus quamor cöpsrsri. Kursus
octonsri' qni medietss est s!is sus
psrte minoren: precedit : r slis ürs
parte a maiore pr§cedirur. esdein
surem parle minoris minorem su/
peral: qua parte maioris a maiore

seuarixidest.r.quisensrius advi -
nariu; triplusest: r diapason stmul
rdiapenteconlonanris sonsm. Il
lsversnrsior consonsmia qu§ est
bis dispÄson.qu^ex quadruplo fit
in medu termini id est octonsry: et
eius diffcrencie compararione per/
spicirur: quxinreroctonsriu; sena/
riumquereperimr.Quare proprie
Stque conuenienter huiusmodi pro
portionalirss srinonics medierss
sppeliacur-

Quemadmodum constirutis sl/
trinsecus duobus rerminis: srirh/
metica r geomcrrica srmonicain/
ter eos medierss slcerner.srque de
eorunr generarionidus.

supersrur. 'Kurins st extremitsres

m vuuin redigaiWr r a rnedierarc k 4

.

permutsntesrstPsliud speriences
aliud digitisoccludenres diuersos

Ossutpreks/
redebem'qua
tenusquemad
modu dato ca
Ismo extremis
forsminib'ms
nenribus muK
cismosest.ut
mediü lörsme

elnittanr fonos.Nel cuz duabus sl
trinkecus procesis cordis medij ner
uisonum mulrcusvel sstringendo
renusr uel remittendo grsusr: irs
quortzdatis duobus numeris nüc
quidem srithmericsmücvero geo/
metricä:nüc süt.srmonicä mediera

tem experismur inlerere.pt rectum
propriuP medietsris nomen kr.qö
msnenribus extremirsrib^huc sccy
illuc fern permursricß videsr. Ido/
terimus gutem hsnc in duobus al
trinsectts poktis rerminis vel pari/
bus vel imparib' permutare: its ur
cum srithmerics ponim"medietsre
diffcrcriarü tärü racio §quabilitasqz
feruer.Lü vero geome.ricä rrsts L
.pporrionü iuncrurs custodisr. Sin
süt srmonics fisr differenrisrü cö /
psrsrio:sb rerminoxMorrione no
discrepet.Lr lrnc quide primo psres
poMx quxdsextremitgtesänt'quss
Has omnes medierstes oponest in
rernecrere- iv-et^o-ldrins igiwr
srichlnerics medietss gptec. Inter
hos s 6 r 5. poluero: eri: mihi ari/
rhmerics proportio differentisrum
qusntirare immursbiliter cultodi/

ta.in huiusmodi fcilicet difpolrtio/
ne- iv.r s.^.Llidesenim »kaum,
denx fese fuminulx quanritste trsn
scendsr. Omnefqzppriermes quss
fup dixin? l mediecste srithmerics
cöuenire.sb hsc huiusmodi dispoli
rione non reperies slienas.'Nsque
quesdmodüvnusquisP eox termi
nus ad seipsltz elhqnoniä kbi xqus
lisestütssunt sdseinuicem differe
tix:qm srbi sunt xqusles. r qusnto
maior terminus mediü trsnMrtsn/
ro medius vincir minore. Lt exrre/
mitstüsssregscio duplexe medie
rate. r minop terminox proportio
msior e Ms copsrstioe qne int ms
iores rerminos cöriner.Lt räto nu>
nor eit numerus qui firer multipli/
caris extremirsubufab eo qui fit ex
muiriplicsts medierate.quätü eorü
diffcrentix mulriplicste restituunc.
Illud quoPquod inedierssesdez
sui psrte r s msiore vincitur r mino
rem ipsg luperuenic.non esdem su
rempsrre müroris minorem trän,
6r:velmsioris s msiore relinqui/
tur.que omnes fcilicet proprietäres
non sirerius ni6 srirhmeticx medi
ecsris funr.Quod lr superirrs dicrs
meminerir lectornts elle indubirsn
terintelliger. Kursus!i intcreosde
lo.ec.4o-vi§inti colMtusm.-ststim
Aeometrics inedietss cum suis pro
priersridus cunctis exorir: srirhme
cs medierste pereuirre.In hsc eni;
dispoKrione- 1o.ro.4o. quesdmo/
dü eir maior sd medium: üc medi'
sd excremü. Lr quod cöriner sb ex
tremitstibusxquum est ei quods

multiplici medietate complettir.
jdifferenrix quoqzeop ineade sunr
Fportioneq termini.Lremem^oet
sminucio,pporrionü scöm renninos
nuli g est.sed maiop terminom ^>por
tio sminox terminom Fporrioe no
discrepar.Sivo armonicä inedieca
te oiüsere velim- > 6-mihi nnmerus
inrer errremirares vrrasq; ponedns
estutnrhocmodo-10.16.40.'Nilc
igirlicer inhuiusmodi dispoffrione
oes armonicas^prierates agnosce
re.quaenlinaximus sdparuiMmü
termin'Fporrione oiungir: eadc^/
porriöe disscrenrix ad ieinuice cöpa
rant.Ll qnib^parrib^maioris ama
iore medius vincit: eifde pgrtib' mi
noris prererir minore. Suis v°o non
eisoe pel a maiore vincit: vel rranM
minore. Lt r insiorib^rerminis ma/
ior eiipporciorr minorib^minor.Lr
lii vnü exrremirares rediganrret me
diersris quärirsre ocrescäl: dupius
inde oficu numerus ab eo qui ex so
lis mnlripiicaris excremirarib'^cre
arur.Äcqz hoc quide in renninis pa
ribus oskrnrrü e. Ar veno lr impares
Mon-mlvc sunr- 5-el45-aptanls me
dius-r sarichmericä,ppo.'tione ine
diecareqz oKiNür.'Nam 6 Mir- 5- 2.5.
4 5-eade sese numerop qrlärirsrerer
mini rrältzredienr.-r omuis Mperius
dicra^prieras anchmericx mediera
tis in his terminis custodir. Sed 6
1 s-nüeiüinedmponävtMir -5.15.
4s-inseometncämedietare termi/
nirelabuntur: equalüus termino/
nun ad se inuicem proporrionibus
cultodiris. 'Noue vero ü inrer vtros
que rerminos ponä: vr km- 5-9,4 5.

fic annonica medieras.vr qua Mm
msmsximusnumenrs paruiMmü
prxceditreademmaior differenria
ininorem differenriam vincar.Qua
vero disciplina huiufmodi mediera
les reperire possimus expediendü;
ett.jdaris duobus reriniiüs-si arirh
mecicämedierarem coftiruereopor
tebü:vtra<V est exrreinitss coniun/
gends.qnodqueexea copulatione
colligimrdmidendü: iscp numenrs
qui ex diuiirone redacrug est arich/
mericam medieratein inrer extremi
rares locarus efficier-vr- >o.er-4o- K
iunxero: efficiunr- 50. quos k diui/
dam-r s-reddunmr.Dic erit medi/
ns rerminus scöm arirhmericä pro/
porrionein. Llel li illum numerum
quomaior ininorem superac diui/
dasreumctz minori Mperponas: qö
que inde concrelcir medium ponas
arilhmericamedietas informarur.
'Nsin-4o.dengrium rricenano Mpe
rat.quemii diuidas-' s-fiunr.hunc
6 minori id eMdenano MperpoMe/
ris-ro. er- s.naicentur.quell medi/
nm constiruas:srithmerice medie/
tsris ordo formatnr.öeomerriram
vero lr rarionem vestiges reius im/
meri qui sub vrrisq; extreinitaribus
cominerur rerragonicuinlams in
quirerr hunc medium pone. 'Nam
sub-4o.-rdenarionnmero.40o- cci/
tinenrur-Si mim denarium iu-4o-
mltiplicemhic nnmerus crescir. Do
rum igirur quadringenrorum rcqni
reterragonicum lams. hisum.ro.
rTlicies enim . r 0.400: ckficinnmr.
'Nepermm ergo latus qusdraturn
mediu; coiMcues. Llel fl eam pro

Portionen» qua inter L dati termini
custodiunl diuidss:rid quod reiin
queturmediü terminü ponss.lisi»
que.40. ad denarium qüsdrupltls
cst,Igiturqnadrupiuin st diuidas
dupium kscies:'qui estscilicet. ro.
^lsm-ro-sd denarium dupius est.
Dune st mediu constimss nnedieca
tem geomerrics perkeret. Arinoni/
camvcro medietate tali modo re/
peries. disterenciam terminom; in
minorem termilmmrstriplics.r post
junge terminos.r iuxrs emn qui in/
de conkectus est: cömitte illum nu/
merum qui ex differencijs er termi/
no minore productus est. Luius cü
istitudineinneneris: sddas es mi/
nori rermino. er quod inde coiligik
mediüterminüpones- 1o-em'et-4o.
Kunc-50- jdisterentissureinter- >o.
er.40.; o.stuit. que st muiriplicss iir
Densrimid est in minore:dcciee.; °
oporcel-zov. efficies. Quos - ?«o.
iuxta eü cömitte qniex iücris vrrifcß
conkecrus est:id est iuxrs. sv.fgciem
enim quinquagies senos. r inuenir
lsrirndo lensrius.Dnc igir st minori
nnino sddas faciec- i-s.rl?numer^
MLdi^constitttt'inr. >o.cr-4^armo/
nics ^portionemedietsrePssuabir.

Ls trib^ medierand'' q srmonicß
rgeomecric§orraricEc. Laß-;' °

L quidczsunt
apud snriqui/
ores inuencx
probsrxcp me
dietsres.quss
idcircoiongi/
us enodsrius/
Vtraccsnim':

quod maxime in antiquorum le
ctionibus inueniuntur:r sd omne
pene vimcognirionis eorü verlatm
vriiicss.Lxreras aute pr§tereundo
träscurrimnsüdcirco quod nö mu!
tum nobis inlectionibus prosunt.
sed tsnmmsd implendsm denarij
nume! i qusnriturem.Qux ne latesr
ne ve stnr sliqrribus ignorst§ depro
mimus.Llidenmrenimhx suprsdr
crismedierstibuseste conrrarix ex
quibus origine trahunr. Lx his en»
etism istestrur constirm§. Lst auce;
quarrs medietss quxoppostta vi/
derur srmonicx: in qua tribus ter/
Minis postris: quesdmodü est ma/
ximus terminus ad psruiistmü: stc
disterenria minorü sd disterenrism
maximorü.rIt Ent-; - f.s.fex ad ter
narium duplus.Lr strnc minores- s.
et-; msximi vero huius difp ostrio/
nis-6.ec-5- Listerentiavero mino/
rumquinsrij stilicet r cemarur-Et
msiorü quinsch ersensry. > -qui-r.
ad vnü compsrati duplum ksciunr.
Lrgo queadmodüest msximus ter
minus sd paruMmü stc minorü ter
minorum disterenris est sd differe/
tiammaximorü. Liquetsuteoppo
strsm r quodsmodo contrsris este
Hanc mediecsce; srmonic§ medie/
rstiadcirco:quod in üla queadmo/
dun» est msximus terminus sd Par
»Mmü:stc msiorumterminorü dik
ferencis ad differencis ininorü.Dic
aurem econrrsrio. Lst autem pro/
priü huius medierE.qnonis quod
conrineturlub inaxiino rermino er
medio.duplun» esteo quod contine
Mr Ed medio srqz pgruMmo.Se/

kies enl quinctz-; o .sunt: quinquies
verotres-' s-L>u§ vero alie medie/
tStes quintsstilicet r sexts geome/
tricx medietsti contrsrix funt: r ei/
dem videntur opposttx . Lst smem
quims medietas:quoriens m tri/
bus terminis quesdmodüest me/
dius termin' sd minore; terminu:
its eorü disterentis sd differcntism
medi) gtctz maioris. 'N sin in Hat di
fpokrioner.4.5. qusternsrius Sd
binsriü duplus est. sed imerquarer
nariürbinsriü duo suntünter qus/
ternariü vero etmsiorem terminu;
id est quinctz. 1 »r duo sd vnü dupll
funt. Lontrariü smem geometricx
niedietsriinhsc proporriöeest:qö
in üla quesdmodü msior terminuf
sd minore elletistc msiom disteren
ris sd differeirciä minorum. hic ve/
ro comrsrie:quemsdmodu mino/
res sd se termini sunt: 6c minorum
differenristerminoru sdmsiorum
disterentis comparstur. Lst smem
propriüin hacquoque difpoütione
quod iilud quod cönneturlub ms/
ioretenninorrnedietate duplü est
eoquod lud vtrilq; extreinitsriblls
continerur. 'Nam quinquies quam
or sunt -ro. quürquies Vero r. sunt
iv.et. ro-denach duplns est.Sexts
vero medietas est quädorribus rer
minis constimtis queadmodu; est
msior rerminus ad mediü:iic mino
rü terminorü disterentia ad diklere/
tiä maximorü. In disposttione eniz
queest- >4-6-maximus terminus
gd medium sesqnalterest. disteren/
tisvero minorum id estvinuset-4»

ternarius est: msiorum Vero id 'est
qumernari) r sensch binarius. Z7er
nsrius autem binario compsralus
fesquslrerä hsbitudinem proporti/
onis efficiec. Lodem smem modo
hfc quoque medietas geometricx
comrariaest quemsdmodürquiv
ra:propter proporrionem differen/
risruz s minoribus sd msiores ter/
minos conuerlam.

L>e qustuormediersti^
bus quss posten sd im
plendüdensriü limite;
sdiecerunr. Lsp^r.

l>e quidc Mt
ser medierstes
qusrum rres s
pflhagors vscß
sd p larone; ari
stotelemcy inä/
ierunt.ldostve

ro qui insecucisunr Has tres alias
de quibtis supra dilleruimus suis
commeniarhs addidere.Seqrrens
sutcmcrss quemsdmodüdinmus
sd implendsm densriam qusnti/
rate; alias qustuor incdiecates ap/
poiuit.quss non adeo quis in vere/
rnmlibris inueniat.Dss igicurnos
qua postumus breuiMme dispons/
mus-ldrimsenim quxest esrum:
in ordine vero septims medietas
hoc modo coninnsitur: cum in tri/
bus terminis quemsdmodum est
msximus terininus sd vltimum:

stc marimi r psruilstmi terinini dik/
ferenkisadmino^disterentiam ter
minorum. vt in hac difpositione-6.
L-y-Mouensrirrs igiturad stnariu;
sesqualter est. quorum est disteren/
tisternarius.winorüvero termi/
norumrid est octonach r stnsri) bi/
nsrius disterentia eit. qui ad supe/
riorem ternarium cöpsratus kacit
sesquslrersmproportionem.Secü
ds vero interqusruor:sed oclaua
in ordine proportionaliras est: qno
tiens in tribus terminis queadmo/
dumsunt extremirates adstmuice
cöparat§:6ceorum disterentia ad
maiorum terminom differenrism.
vtlunr-6.7-y - Mortem i§imr ad-6.
stsqualterest.eteorum differentia
ternariusest quicomparatus con/
tra maiomm disterenriam:id est st /
pcenarij et nouensch qui binarius
est.reddit sesqusltersm proportio/
nem.Z7ertia vero inter Has sequen/
res qustuor: nona sucem in ordine
proportio est-.quando tribus termi
nis politis quam proporrionem me
diusternrinusadparuilllmü custo
dit:esmrecinet extremorum diffe/
renria ad minorum disterenriam cö
parata, vt 46.7. Lcenim-6. ad-4-
stsquslrer est. quorum est disteren/
tis binarius. septenari) vero r qua/
temsry rernarius distereria est.que
K sdsuperiorembinsriumcomps/
remus stfqualtera proporrione con
iungitUr.Quarta vero quxinordi/
nedecimaestcöfiderslur in tribus
terminis:cum taU proporrione me/
r>ius rerminus ad psruMmü com/

paratur:quali exkreinorum differe /
tia contra maiorum ternunorü dik/
ferentism proprtione coninngimr.
vt sunt tres qninq; ocro.Qumanus
enimmedius rermMus ad ternari/
um snperbipartiens est. Lxtremo/
rum vero disterentia octonarü stili/
cer r ternari/ quinarius.qui cöpsra
tus contra inaiorum rerminorum
differentiam stilicet quinarij r occo
nach qui est rernarius: r ipse quo<V
superdiparkiens inuenirur.

Lisposttio decem medi/
etstum. Lsß.szr

Monsmus
igiturcunctss
medietstes in
ordinem:vrc«
iusmodi om /
nes lrnt kacil/
liine posslnt in
telligi,

4! 6

inrer-4-prima lSeptima 6 s j  y

mter-4-stva ! Qcraua 6 7 jy

inrer-4-tercia Mona ! 4 l 6 I 7
inter-4-quarra ideciina I z ! s i 8

5.

L

6

6

5

r.
r
4^

4

Ärichmetica !P>rima
öeometrics jScöa
Arinonica iLertis
öria armonicx fQuarta
3rig§eome. !Quinra
Zriageome. lSexra

L>e maxima T pfecta sympho/
nia qux tribus distendir in/
reruallis. Lap-54«

Lüat ergo de
insxüns pfecra
qzarmomadil>
serere.qrrid'in
reruallis oiiim>
ca magna; viin
obriner minuli
cimodnlaminis

reperan:ecig:rsin'specula:iöe nam/
raliü qsUonü. Lteni pfecri'huiusmo
di medierare nihilporerir inueiiiri:
q trib'ireruaUis pduccapfeccilliini
corporis naturä subkäriäq; sortira e
Doc em modo cubü quocp krina di
mefione crals»cü:plenä srmonis ee
möstraniin'.Dec aüchuiusmodi in
venierrli duob'cerminis ostiruris: g
ipsi trib'creuerinc inceruallis:Iögim
dmc:lscirndine:et,pftmdirare:duo
huiusinodi termini niedii fuerinr co
IiiNtti:r ipsi trib' intemaliis normi:
g vel ab xqualib'p §qles xqlirer sink
^ducn.vel ab inxqnakb' ad in^qlis
§quslirer:vsab inxqualib' ad cqua
Usxqlirer vel quoliberalio modo,
srcyiracüarmonicä.pportione cu/
ftodiär.aliorn modo cöpararifacil
ant anchmericä medierare: hisch ge
omerncamedieras q inkvrrasPver
sar deelie nö poMr. In quamor enl
terminis si fuerir queadmodü pm'
ad rertimlic secüdus ad qrrü;pporri
onüratiöe scilicer cuitodirs: geoine
trics medieras explicar. Lr qö cäri/
ner sub exrremirarib'§quü erir ei qö
lud vtracy medierare adseinnicem
mnlriplicsra oficir.Rursus li maxi/
mus qmor rerminop numer' ad en
giibi^ppinau^estralehabeac diffe,
reniiä quäle ideiple maximo pro/

pinquus ad pamilNmu: huiustnodi
sporno in anchmericä oliderariöe
^ponir.Lrexrremop coniuncrio du
plexentFpria medierare. Si ^o ink
qruor quiek rem'rermin'' xqua par
reqrriquanü rerminü superer:r§q
primi s primo superer-annonicachu
iusmodi^porrio medierascßpspicir.
Lr qS oriner sub exrremox aggrega
rione r inulciplicsriöe inediecsr^ du
plexesteo qS sub vrractzexrremirare
o fielt. Sir aurem quoddä hui' dis>
pokriöis exemplar hoc modo -6-8.
y. ir.Das igiroes solidas quäcira>
res eile nö dnbiü e.Sex em nascunr
er vno bister- ir-gürexbisduorer
Dop sure mediersles:ocronari' fir
semel duo qcer.'sloucnarl'^o semcl
rres rer.Oes igir rerinini cognsri si/
bi:r trib'inleruallop diinelionibus
norari sür. In his igir geomerrics,p
porrionaliras inuenir.si- ir-ad-8-vk
y-ad senariücöparein'. ucraq; eni
cöparacio sesquslrera sporno est.r
qö oü?er suvexcrcmiracib' ide e ei
qö fir ex medhs.Däc^ qö fir ex duo
decies sexrxquü ck ei qö fir ex ocries
y.6eomerricaergo^>portio Humi/
modi ek.Änchmecica am eit k duo
denanus ad nouensriü: r nouena/
nus ad senanii cöparek. In vrrisq;
eni ternari'differcria elt.r iunccx ex
rrenncsres medierare duplx für. Si
eni iunxeris senarinr duodecim: fa
cies- iS.quienouensrio medio rer/
mino duplus. In his ergo geoine/
trica arichmericäcp medierare pspe/
xim'.DicAuoctz armomcamedie/
ras inuenir:6- ir-ad-8. errursus.8.
ad senariü cöpare,n'. Qua eni par/

te fensch ocronan' fenariü fuperst:
idest psrre tercia:eade duodenarij
parre ocronanus fuperar.Qusruor
eni gbus ocMrsrius a duodenarto
vincinduodenari) tercis pse.Ltk
enremiratesmgss.s.sczr- ir-eafP
LoctonanirmrdmmMpiices- <44-
M.QS 6 leextremilmes mkriplicek:
ser sc; er 12 .ksciet. . quv numero
'44-duplusest. Inueniemus hic
qnoqz ocs mustcas confonanrias.
'Nsncv-S.sd.s.et.-.sd« 1 r -coparg/
ti sefquiterciä,ppornone reddüc : r 6
muldisekeronosonamis. Sex 1^0
gd.9-vel-8.ad. ir.cspsrmi reddür
fefquslteräIportione-feddyapente
lymphonia.Lmodecim fo ad sena/
nü okderati duplice^pornone: sed
dchpsfon fymphoniä canunr.Ocro
^o r-y-ipli srna se medi) conlideran
epocdoü ilrngüt.g in nmsico modu
lamine conosvocar.qux oiu; muk/
corü sonorü menürra cömunis ett.
Omniüeniestsonus istepsruMm''
Llnde norü eli q- digtesteron r di«
penre osonanriam ronos differecia
M:kcnt inter sefquirercia r lelqual/
rerä.ppomone sola e epocdous dik
ferentis.Liussül descnptiöissub/
rer exemplsx adiecimus.

Idroportionaliras geomernca.

extremox medioxP mMplicatiöes

Tdropornonalikas schhmeüc«.

jdifferenrie.

>8

Lxtremiratesiuncte ad nouenanä
medium duplxümt.

HroportLonslitas -rinonics.

partes minoris maiorisG kminox.

'44
Junctx exrremitates r per
mediumulciplicate.

Lonsonamixmuticx.

Sesgtertia Sesgtercia

Lpocdorrs

L>istesteron L>iarest'ero

jriapgson.

arichmetiks Koerij Venere
uisascfldeli idrdioemendacsJin
presta per Lrhardürardolr viri so^
lertistlinieximisidustriar mira im^
primedi arte.quannp venerijs nüc
auguK§ exceller irominatiMmus.
Äimodm.LD.cccc.ixrrviii.Meu
sismaiidievtzestma.

abc d ef omnesquatcrni.