i
i
“Strnad-teza” — 2010/5/31 — 14:36 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 3
Strani 140–145
Janez Strnad:
TEŽA V JAŠKU. ALI MORDA GRAVITACIJSKA
KONSTANTA POJEMA S ČASOM? ALI NEWTO-
NOV GRAVITACIJSKI ZAKON NATANČNO VE-
LJA? ALI JE OSONČJE STABILNO?
Ključne besede: fizika, gravitacija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/884-Strnad-Newton.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
'-1-/'/"r L ""
TEŽA V JAŠKU
Iz gravitacijskega zakona razberemo, da pojema teža telesa obratno sorazmerno
s kvadratom razdalje od središča Zemlje, ko se telo oddaljuje od površja
Zemlje :
F=Kmmzlr
2 = Forz
2 1r2
Pr i tem je F o=Kmmz lrz2 = mg teža in g = Kmz I r/ pospešek prostega padanja
na površju Zemlje. Kako pa pojema teža telesa, ko se telo spušča pod površje
Zemlje v navpični jašek? Krogeina lupina ne izvaja gravitacijske sile na telo v
svoji notranjosti. Že na prvi pogled uvidimo, da se sile vseh delov krogel ne
lupine na drobno telo v njenem središču izravnajo. Nekoliko teže je uvideti, da
velja to tud i v drugih točkah v notranjosti lupine (slika 1) . V krogeino sime -
tričnem telesu, ki si ga lahko m islimo sestavljenega iz samih tankih lupin, zato
vsi deli, ki so bolj oddaljeni od središča kot drobno telo, na drobno telo ne
izvajajo gravitacije. Gravitacijo izvajajo samo deli, ki so bliže središču kot
drobno telo. Te dele pa lahko glede grav itacije nadomestimo z drobn im telesom
z enako maso v središču .
Na telo v notranjosti Zemlje v razdalj i r od središča deluje potemtakem le
krogia zradijem r in maso m(r) :
F = K mm(r) lr2=Kmp.41Tr3 13r 2 = 41TKpmr l3 = Kmmzrlrz 3
Teža telesa v notranjosti Zemlje torej narašča sorazmerno z odm ikom od
središča (slika 2) ,. Zadnje tri korake lahko naredimo le, če se zadovljimo s
približkom, da je gostota po vsej zemeljski krogli konstantna:
p = mz lV = 3mzl 41Trz 3
Ali ni to podobno kot pri vijačni vzmeti : vzmet deluje na telo proti
ravnovesni legi s silo, ki je sorazmerna z odmikom? Telo na vijačni vzmeti
sinusno niha, če ga izmaknemo iz ravnovesne lege in spustimo, z n ihajnim ča­
som to = 21T -J m ik . Pri tem je m masa telesa in k koeficient , ki pove, za koliko
newtonov naraste sila, ko se poveča odm ik za 1 meter . PO tem zgledu lahko
Vrsto krajših prispevkov v tej in v prejšnji številki je J . Strnad nap isal kot del
sestavka "Do Newtonovih zakonov", a zarad i omejenega prostora niso mogli
iziti v 7. številki prejšnjega let nika .
140
Slika 1 . Sila na drobno te lo z maso m v tanki krogeini lupini. Na tel o v sred išč u ne de luje
nobena sila, saj se pr ispevki vse lupine izravnajo; nasprotna odseka lup ine namreč delujeta
na telo z nasprotno enakima silama la). To velja tudi, če telo ni v središču . Sila levega
odseka je sorazmerna z m, /r , 2 , sila desnega pa z m , /r
2
2 . T a kvocienta sta enaka, kot
sled i iz S, /S, = r ,' / r, ' ter m, = pS , tsr in m , = pS, tsr . Drobno tel o je v razdalj i r, od
prvega in r , od drugega odseka, S r pa je debelina lupine .
. --" 0.---"------ - -- --
(o)
51-,m,
(b)
takoj zapišemo nihajni čas, s katerim niha okoli zemeljskega središča telo po
navpičnem jašku:
to = 211.J rzlg
Za koef icient smo vstavili k = F I r = K. mmzlrz 3 in upoštevali pospešek prostega
rad ij
Zemlje
razdalja od
središča Zemlje
..-
/'
/
/ / r :·.',··.':/ '(O: ,}· :
I
I
I
I
!
Slika 2. Teža v jašku in nad pov ršjem
Zemlje v odvi snosti od razd alje od sred išč a
za prim er , da bi imeli vsi deli Zemlje enako
gostoto .
Slika 3 . Umetni satelit , ki bi kroži l o ko li
Zemlje v majhni višini , bi potreboval do
nasprotne točke enak čas kot te lo, ki bi
pad lo mim o središča Zemlje.
141
pada na površju Zemlje 9 = 1< mzlrz 2. Nihajni čas ni odvisen od amplitude.
Polovico tega časa, to je +to = 1T.J rz lg = 42 minut, bi potrebovalo telo ,
da bi po navpičnem jašku skozi središče s površja Zemlje doseglo nasprotno
točko na površju. V prav tolikšnem času bi priletel iz prve točke v drugo
umetni zemeljsk i satelit, ki bi krožil okoli Zemlje v majhni višini (slika 3) . Pri
tem odmislimo zračni upor. V tem primeru je namreč gravitacijska sila ravno
centripetaina sila: 1< mmzlr/ = mv21rz = m(21Trz lto)2 Ir z (slika 4) ,. Za
hitrost satelita smo vstavili v = 21Trz lto .
Slika 4 . Newtonova
risba poti izst relk a, ki
ga z vse večjo hitrostjo
izstreljujemo v vodo-
ravni smeri. Ko se uje-
mata centripetaina sila
mv' I r in teža mg =
= I< mmzl r' , postane
izstrelek umetni satelit.
Tedaj velja v = .JT9 =
= .J Kmzlr, če je r radij
Zemlje . Umetni satelit
se mora gibati vsaj v vi-
šini okoli 100 kilo-
metrov. Toda to ne
vpliva znatno na rezu-
ltat, saj se 100 kilo-
metrov komaj pozna v
6400 km .
ALI MORDA GRAVITACIJSKA KONSTANTA POJEMA S ČASOM?
Angleški fizik P.A.M. Dirac je leta 1937 primerjal kvociente nekaterih fizi-
kalnih količin, ki so gola števila in niso odvisna od izbire enot. Kvocient ele-
ktrične in gravitacijske privlačne sile med elektronom in jedrom vodikovega
atoma je
142
Pri tem je eo = 1,6.10'19 As osnovni naboj.x , = 0,9.109 Vml As konstanta, ki v
Coulombovem zakonu ustreza gravitacijski konstanti in ki se z influenčno
konstanto €o = 8,9.10'12 AsIVm izraža takole: Ke = 1/47T€o, me =
= 9,1.10'31 kg masa elektrona in mp 1839-krat večja masa vodikovega jedra.
Kvocient časa razširjanja vesolja to in za atomski svet značilnega časa
ta = li Ime c
2 = 1,3.10'21 s je
tO/ta = 18.109.3,15.107 sil ,3.10'21 s= 4,2.1038
Za čas razširjanja vesolja vzamemo 18 milijard let. Za atomski svet značilni
čas sestavimo iz konstante li = 1,05.10'34 Js (to je z 27T deljena Planckova
konstanta hl, mase elektrona me in hitrosti svetlobe c = 3.108 mis.
Dirac je trdil, da obe zelo veliki števili nista po naključju približno enaki,
ampak da se za tem skriva še neznani zakon narave. Ni treba, da bi bili obe
števili natančno enaki; podrobnejša teorija bi namreč lahko prinesla še kak
številski faktor, na primer 27T, ki bi naredil kvocient enak 1.
Ker starost vesolja s časom narašča, bi se morala s časom spreminjati vsaj
še ena izmed nastopajočih osnovnih "konstant", da bi kvocient ostal ves čas
enak 1. Če bi bila to samo gravitacijska konstanta, bi morala pojemati obratno
sorazmerno s starostjo vesolja. Iz zahteve v obliki
K(t) =K(to)to/t
sledi
[K(t) - K(to)]lK(to)(t - to) = - llto = _6.10'11 leto-
1
če vstavimo na desni strani t = to = 18 mi lijard let. Gravitacijska konstanta bi
se morala relativno zmanjšati za 6.10-11 na leto.
Po dolgoletnem zasledovanju gibanja planetov z radarjem so ugotovili, da
se gravitacijska konstanta ne spreminja tako izdatno, če se sploh spreminja.
Toda nekateri trdijo, da to še nič ne pomeni. Obhodni čas Lune se namreč
podaljša relativno za 22.10-11 na leto in samo okoli 16.10.11 na leto je mogoče
pojasniti z zaviranjem Lune zaradi plime na Zemlji. Preostalih 6.10"11 na leto
naj bi pojasnilo zmanjšanje gravitacijske konstante.
Za sicer zanimivo, a drzno Diracovo sklepanje večina fizikov misli, da
nima zadostne eksperimentalne opore. Tu in tam se sicer na prvi pogled zazdi,
da je mogoče z njim pojasniti kako odprto vprašanje, a v celot i povzroči več
težav, kot razreši odprtih vprašanj.
143
ALI NEWTONOV GRAVITACIJSKI ZAKON NATANČNO VELJA?
Na mejo veljavnosti Newtonovega gravitac ijskega zakona pom isl imo najprej v
zvezi z Einsteinovo splošno teorijo relativnosti. Pri zelo natančn ih merjenjih v
Osončju in v modelih vesolja na zgodnji razvojn i stopnj i in zelo gostih
zvezd je treba upoštevati to podrobnejšo teorijo gravitacije. O tem pričajo
iz idi merjenj, ki se ujemajo z njenimi napovedmi. O veljavnosti Newtonovega
gravitacijskega zakona pa razmišljajo še v drugi zvezi. Nekateri fizik i kritično
preverjajo temeljne ugotovitve, čeprav pri tem ni veliko upanja, da bi dognali
kaj pomembnega. Tako so si postavili tudi vprašanje, ali Newtonov gravitacijski
zakon natančno velja. Drugače povedano : s kolikšno natančnostjo nas pre-
pričajo merjenja, da velja?
Kaj pa, če velja gravitacijski zakon v drugačn i obliki? Zadnje čase je ožive -
la razprava o zakonu vobliki
F = (K mm'lr2)(1 + ae- rl b (1 + r ib))
V dodatnem faktorju naj b i bil a = 0 ,007 majhen številski koeficient in
b = 200 metrov. Dodatni faktor je vreden upoštevanja, dokler razdalja r med
telesom ne doseže nekajkratne vrednosti b . Gravitacijska sila bi bila pri majhni
razdalj i malo manjša kot po Newtonovem gravitacijskem zakonu, na vesoljskih
razdaljah pa dodatek ne bi b il vreden upoštevanja. Lahko bi tudi rek l i, da je
gravitacijska konstanta pri laboratorijsk ih merjenjih malo manjša kot v vesolju.
Razprava še ni končana, ker čakajo na izide merjenj.
ALI JE OSONČJE STABILNO?
Okol i Sonca se giblje devet planetov in veliko manjših teles. Gravitacijska sila
deluje med vsakim parom teles. Tako se vsili vprašanje o stab ilnosti Oson čje.
Al i se bodo planeti gibali v nedogled , kot so se gibali od zdavnaj in kot se
gibljejo dandanes? Pri tem se ne menimo za morebitno zunanjo motnjo, deni-
mo za to , da bi se Soncu približala kaka zvezda, ali za to, da se bo Sonce v
poznejšem obdobju razvoja napihnilo in morda zajelo tudi tir katerega izmed
planetov.
Vprašanje sodi pravzap rav v matematiko. Poleg privlačne sile Sonca delu-
jejo na vsak p lanet sile drugih plan etov kot majhne motnje . Zadostuje , da
poznamo Newtonov gravitacijski zakon in lego p lanetov in nj ihovo hitrost v
danem trenutku . Toda razmere se ne pona vljajo natančno, zato je vprašanje
zelo trd oreh .
Okoli leta 1800 so francosk i mehaniki P.S. Lap lace, J.L . Lagrange in
144