IZ ZNANOSTI IN STROKE IZ A PAZO v ISTOCASNIM CENJE POPRAVKOV IN NEZNA dr. Nevio Rožic, prof dr. Božidar Kanajet Unive1Za v Zagrebu, Geodetska fakulteta, Rudarsko geološko naftna fakulteta, Zagreb, Hrvaška Prispelo za objavo: 1995-12-18 Pripravljeno za objavo: 1996-04-18 Izvleček V prispevku je piikazana možnost modificiranja standardnih algoritmov izravnave: neposrednih opazovanj, posrednih opazovanj, kombiniranih neposrednih in posrednih opazovanj ter posrednih opazovanj z vezmi med neznankami; popravki opazovanj in neznanke se določajo istočasno z reševanjem ustreznih sistemov lineamih enačb. Taka modifikacija standardnih algoritmov izravnave ustreza uporabi sodobnih namiznih in žepnih računalnikov, ker le-ti podpirajo neposredno izvajanje računskih operacij matrične algebre. Ključne besede: algoritmi izravnave, sistemi /ineamih enačb, namizni računalnik 1 UVOD UDK 528.181 JZ JEM Sodobni osebni računalniki, opremljeni s programskimi sistemi za tabelarična računanja (Ingalsbe, 1988, Božic, 1994, Husnjak, 1994, Cmko et al., 1995), ter sodobni žepni računalniki (Sharp corporation, 1986) omogočajo neposredno izvajanje računskih operacij matrične algebre. Zaradi tega je danes uporaba algoritmov za izravnavo v geodetski praksi lažje uporabna kot prej. Vsi sodobni algoritmi izravnave so namreč teoretično definirani z uporabo matrične algebre, s pomočjo računalnikov pa se v tej obliki tudi praktično uporabljajo. Na ta način pospešimo in poenostavimo računski postopek, zato strokovnjaku ni treba poznati zahtevnejših postopkov programiranja v višjih programskih jezikih za reševanje geodetske naloge. Hkrati pa zmanjšamo možnost napak. Neposredno izvajanje matričnih računskih operacij zahteva tudi določene modifikacije algoritmov za izravnavo, ki so bolje prilagojeni možnostim računalnikov. Standardna oblika, ki jo uporabljajo v številnih publikacijah (Wolf, 1968, Bjerhammar, 1973, Mikhail, Ackermann, 1976), zaradi tradicije ni najbolje prilagojena tem možnostim. anes ima prednost pri reševanju različnih geodetskih nalog uporaba izravnave posrednih opazovanj (Caspary, 1988), ena od možnih modifikacij pa je tudi algoritem, s katerim ocenjujemo popravke opazovanj in neznanke hkrati. Te količine v standardnemu algoritmu izravnave posrednih opazovanj izračunamo postopoma, najprej neznanke (z reševanjem normalnih enačb), nato popravke opazovanj (z Geodetski vestnik 40 (1996) 1 uvrščanjem neznank v pripadajoče enačbe popravkov, Feil, 1989). Modificirani algoritem izravnave posrednih opazovanj je prikazan v Hoepcke, 1980, vendar pa ga je možno na ustrezen način uporabiti tudi za izravnavo neposrednih opazovanj, skupno izravnavo neposrednih in posrednih opazovanj ter za izravnavo posrednih opazovanj z vezmi med neznankami. 2 NEPOSREDNA OPAZOVANJA Funkcionalni model neposrednih opazovanj je določen s sistemom enačb popravkov (Feil, 1989): .V = e X- 1, p, nxl rud lxl nxl nxn kjer je: n - število opazovanj x - neznanka (popravek približne vrednosti neznanke) e - enotski vektor 1 - reducirani vektor opazovanj v - vektor popravkov opazovanj P - matrika uteži opazovanj. Enolično rešitev tega sistema dobimo z uporabo metode najmanjših kvadratov: vtPv = minimum, s čimer je določena tudi pripadajoča normalna enačba: Iz metode najmanjših kvadratov izhaja tudi kontrola pravilnosti ocene popravkov opazovanj: etPv = O. (1) (2) (3) (4) Z množenjem izraza (1) z matriko uteži P z leve strani in s preureditvijo tega izraza dobimo: P v - P e x + P l = O. (5) Izraza (4) in (5) določata sistem linearnih enačb (6) v katerem je matrika koeficientov simetrična matrika dimenzije (n + 1) x (n + 1). Poudariti je treba, da ta matrika ni pozitivno definitna, je pa regularna in jo lahko invertiramo s klasično inverzijo. Z inverzijo te matrike določimo tudi rešitev sistema enačb, podanega v izrazu (6): Geodetski vestnik 40 (1996) 1 [ v ] = [ ~ Pe] - l [-PI.] = [Q11 q 12 ] [-PIJ -x e P O O qz1 922 O . Na ta način istočasno ocenimo popravke opazovanj in neznanke. V izrazu (7) so z inverzijo definirani podmatriki in podvektor: 922 = -(etPe) -1 = -q,o:, lxl Ql2 = e qxx' nxl -1 t Qu = P - eq„ e , nxn kjer je 9xx kofaktor neznanke. (7) (8) (9) (10) Teoretična oblika sistema enačb (6) je pomembna za praktično uporabo tega algoritma, zato ga je treba v analogiji s standardnim algoritmom izravnave neposrednih opazovanj i;azumeti kot sistem enačb popravkov, Razstavitev sistema (6) na podmatrike in podvektorje nima vpliva na učinkovitost računanja, ker se za inverzijo in množenje uporabljajo ustrezni ukazi na žepnem oziroma osebnem računalniku, Primerjava tega algoritma s standardnim algoritmom izravnave neposrednih opazovanj kaže, da se namesto ene normalne enačbe, izraz (3), za določanje neznanih količin rešuje sistem (n+ 1) linearnih enačb, izraz (6). Naloga ni težka, saj lahko neposredno uporabimo računske operacije matrične algebre. S sistemom enačb (6) in (7) je zajet tudi najsplošnejši primer izravnave neposrednih opazovanj, to pa je izravnava neposrednih koreliranih opazovanj, Če izravnavamo neposredna, neodvisna opazovanja različne natančnosti in neposredna neodvisna opazovanja iste natančnosti, se algoritem poenostavi, kar je odvisno od oblike matrike uteži opazovanj P. 3 POSREDNA OPAZOVANJA unkcionalni model izravnave posrednih opazovanj je prav tako določen s sistemom enačb popravkov, le da v nasprotju z neposrednimi opazovanji vsebuje večje število neznank: v=Ax-1,P, nx l mm uxl rod mm kjer je: u - število neznank A - matrika koeficientov enačb popravkov, Postopek definiranja algoritma izravnave z istočasnim ocenjevanjem popravkov in neznank se ujema z neposrednimi opazovanji. Iz uporabe metode najmanjših kvadratov je sedaj temeljna kontrola pravilnosti popravkov opazovanj: Geodetski vestnik 40 (1996) 1 (11) (12) Z množenjem izraza (11) z matriko uteži P z leve strani in s preureditvijo tega izraza dobimo: p v - p A X + p I = O. Izraza (12) in (13) določata sistem linearnih enačb: Njegova rešitev je: [ v.] = [ ~ PA]-i [-PIJ = [Qu Q12J[-Pl] -x A P O O Qz1 Q22 O . V tem izrazu so z inverzijo definirane podmatrike: Q22 = -(AtPA) -l = -Qxx, uxu Q12 = AQ"", ruu Q p-1 - AQ )(., 11 = x.x nxn kjer je Qxx matrika kofaktorjev neznank (13) (14) (15) (16) (17) (18) V izrazu (10) in v izrazu (18) se nahaja tudi matrika kofaktorjev izravnanih opazovanj Q , t.j. pri neposrednih opazovanjih: ter pri izravnavi posrednih opazovanj: Q = AQ N. n nxn (19) (20) Primerjava tega algoritma s standardnim algoritmom izravnave posrednih opazovanj kaže, da namesto (u) normalnih enačb za določanje neznanih količin (neznank) rešujemo sistem (n+u) linearnih enačb. 4 KOMBINIRANA NEPOSREDNA IN POSREDNA OPAZOVANJA Pri kombinirani obliki izravnave neposrednih in posrednih opazovanj je funkcionalni model določen z enačbami popravkov neposrednih opazovanj: v1 = A 1 x - 11 , P1 n 1x n 1xu mcl n 1xl n1 xn1 in z enačbami popravkov posrednih opazovanj: v 2 = A2 X - 12 ' P2 . ll2XI n2 XU ux1 , f½ xl "2 Xllz Enolično rešitev funkcionalnega modela dobimo z uporabo metode najmanjših kvadratov v skladu z izrazom (2): (21) (22) Geodetski vestnik 40 (1996) 1 v'Pv = v\ P Iv 1 + Vi P2 v2 = minimum, (23) tako da je temeljna kontrola pravilnosti popravkov opazovanj: (24) Če upoštevamo izraza (21) in (22) in ju pomnožimo s pripadajočimi matrikami uteži opazovanj z leve strani in izraz (24), dobimo naslednji sistem linearnih enačb: (25) Z rešitvijo tega sistema določimo vektor neznanih količin, t.j. hkrati vektor popravkov neposrednih opazovanj v1, vektor popravkov posrednih opazovanj v2 in vektor popravkov približnih vrednosti neznank x: o V tem izrazu so z inverzijo definirane podmatrike: Q23 = A2Qxx , n2xu Q22 = P; 1 - A2Qxi,Ai , ll2"U12 Q12 = -A1QxxAi , n 1xn2 Qll = P~ 1 - A1QxxAl, n1xn1 kjer je Qxx matrika kofaktorjev neznank. V iem primeru je treba v nasprotju s standardnim algoritmom nujno rešiti sistem linearnih enačb (n1 + n2 + u). 5 POSREDNA OPAZOVANJA Z VEZMI MED NEZNANKAMI Pri kombinirani obliki posrednih opazovanj z vezmi med neznankami je funkcionalni model določen z enačbami popravkov posrednih opazovanj: v nxl A X- 1, P mm uxl m:.:1 nxn Geodetski vestnik 40 (1996) 1 (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) ter z veznimi enačbami med neznankami: B' x+ m = O , rxu uxl rxl rxl kjer je: r - število vezi m - vektor odstopanj B - matrika koeficientov veznih enačb. Z uporabo metode najmanjših kvadratov je določena tudi temeljna kontrola računanja popravkov opazovanj: A'Pv + Bk = O, kjer je k vektor korelat. Izraza (33) in (34) ter izraz (32) po množenju z matriko uteži opazovanj P z leve strani določajo sistem linearnih enačb: (34) (35) (36) Z rešitvijo tega sistema ocenimo vektor neznanih količin, t.j. istočasno vektor popravkov posrednih opazovanj v, vektor popravkov približnih vrednosti neznank x in vektor korelat k: [ v] [~ PA ol- 1 [-Pll [Q 11 Q12 Q13j[-Pll -x = AP O B O = Q21 Qzz Q 23 O k o B' o m Q31 Q32 Q33 m . V tem izrazu so z inverzijo definirane podmatrike: Q33 = (B,'N - l B) - l = Qkk , rxr Q23 = N-lBQkk' uxr Ql3 = -AN-lBQkk, nxr Ql2 = AQXX, nxu Qll = p-I _ AQXXA', nxn (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) kjer je N matrika koeficientov normalnih enačb posrednih opazovanj: Geodetski vestnik 40 (1996) 1 N = A1 PA (44) in Qxx matrika kofaktorjev neznank. Število linearnih enačb, ki jih moramo rešiti, se je povečalo z (u+r) na (n+u+r). 6 ZAKLJUČEK Sodobni žepni in osebni računalniki povečujejo uporabnost algoritmov izravnave pri reševanju različnih geodetskih nalog. Ta uporabnost se kaže na elementarni ravni predvsem v možnosti neposrednega izvajanja matričnih računskih operacij, tako da ni več razkoraka med teoretičnim prikazom algoritmov izravnave na eni strani in praktičnim računanjem na drugi strani. Vsaka matrična računska operacija je v primerjavi s klasično algebro zahtevnejša in je na splošno sestavljena iz vrste elementarnih operacij. Z neposredno uporabo matričnih računskih operacij, ustrezno vgrajenih v računalnik, se pospeši postopek računanja in hkrati zmanjša možnost nastanka računskih napak. Ravno tako je z uporabo inverzije, t.j. z uporabo v računalnik vgrajenega ukaza, rešen eden od problemov, ki je vplival na razvoj in uporabo postopkov izravnave; to je reševanje normalnih enačb. V praksi so iz tradicionalnih razlogov še vedno navzoče klasične metode (Burmistrov, 1963, Čubranic, 1980, Klak, 1982) ali njihove delno modernizirane inačice. Te metode so postale zaradi neposredne inverzije matrik koeficientov normalnih enačb in nedefiniranega načina njihovega reševanja neučinkovite. Danes reševanje sistema linearnih enačb modificiranega algoritma, katerega velikost presega število normalnih enačb standardnega algoritma, pri reševanju iste geodetske naloge ne predstavlja prav nobene težave. To je ugotovljeno tudi v tem prispevku, ker temeljijo prikazani algoritmi izravnave za istočasno ocenjevanje popravkov opazovanj in neznank na reševanju sistema linearnih enačb, ki je glede na pripadajoče normalne enačbe v standardnem algoritmu povečan za število meritev. Poudariti moramo, da neposredna uporaba računskih operacij matrične algebre na sodobnih računalnikih vpliva predvsem na povečanje učinkovitosti praktičnega računanja, potem ko je glede na problem definiran funkcionalni model. Funkcionalni model lahko določimo na klasičen način ali z izdelavo lastne programske opreme v enem od višjih programskih jezikov (Rožic, 1992). Prikazani algoritmi izravnave z istočasnim ocenjevanjem popravkov opazovanj in neznank v razmerju do standardnih algoritmov izkoriščajo prednosti neposrednega izvajanja matričnih računskih operacij. Zato so primerni za praktično uporabo pri reševanju vseh standardnih geodetskih nalog, ki v praksi temeljijo na uporabi algoritmov izravnave. Opisani algoritmi minimalno izkoriščajo možnosti sodobnih računalnikov. Potrebno bi bilo težiti k večjemu izkoriščanju njihovih možnosti, vendar bi bilo zato treba izdelati ekspertne programske sisteme, napisane v višjih programskih jezikih. Po drugi strani pa so izdelava, standardizacija, verifikacija in licenciranje takih programskih sistemov poseben problem, ki v tem prispevku ni obravnavan. a podlagi navedenega lahko ugotovimo, da je najosnovnejši računski pripomoček geodetskega strokovnjaka pri uporabi algoritmov izravnave žepni Geodetski vestnik 40 (1996) 1 računalnik z možnostjo izvajanja računskih operacij matrične algebre. Z njegovo uporabo lahko postane praktično računanje enostavnejše in učinkovitejše tudi brez poznavanja programiranja, seveda z uporabo modifikacij standardnih algoritmov, prikazanih v tem prispevku. Na podoben način lahko modificiramo tudi algoritem izravnave pogojnih opazovanj (Hoepcke, 1980) kot tudi algoritem izravnave pogojnih opazovanj z neznankami. Primer: Primerjava praktičnega računanja pri uporabi standardnega algoritma izravnave in algoritma izravnave z istočasnim računanjem popravkov opazovanj in neznank pri posrednih opazovanjih (računanje je bilo opravljeno z žepnim računalnikom. Sharp PC-1403). Podane so koordinate točk Tp T2, T3 in T4 ter približne koordinate točke T (y0 = 145.00 m, x0 = 117.00 m), katere položaj ni znan. Na podlagi merjenih dolžin si (i = 1,2, ... ,4) je treba določiti izravnane koordinate točke T (ločni presek). Primer je vzet iz Rožič, 1993, naloga 3.1.12. Merjene dolžine Koordinate točk TT1 =Si= 105.60 m, T1,Y1 = 54.80 m, TT2 = sz = 107.60 m, T2, y2 = 233.65 m, TT3 = S3 = 109.30 m, T3, y3 = 237.50 m, TT4 = S4 = 103.10 m, T4, Y4 = Enačbe popravkov: v = A x - 1, P = E A Ae -1 s l-0.53 0.85] l 0.32] [ · 0.54] [ 0.86] -0.56 -0.83 -1.39 -0.24 -1.63 0.53 -0.85 -0.32 -0.52 -0.85 0.51 0.86 1.37 -1.38 -0.01 A) Standardni algoritem Normalne enačbe: N x - n = O N Ne -n Ats [ 1.1308 0.0079] [1.1387] [-1.1210] [0.0178] 0.0079 2.8692 2.8771 -0.0849 2.7922 57.38 m, Reševanje normalnih enačb z algoritmom Choleskega: X1 = 172.94 m x2 = 177.55 m X3 = 59.76 m X4 = 65.33 m C -(C 1t 1n (C 1t 1 (C 1t 1s a [ 1.06340 0.00745] [-1.05413] [ 0.94038 ] [0.95710] [0.95710] 1.69385 -0.04547 -0.00414 0.59037 2.23462 2.23462 Q Q e X [ 0.88434 xx-0.00244] [0.88189] [0.991] -0.00244 0.34854 0.34610 0.027 Geodetski vestnik 40 (1996) 1 Računanje popravkov opazovanj: v = A x - l Ax -l v [ -0.500] [ 0.54] [ 0.039! -0.581 -0.24 -0.826 0.499 -0.52 -0.023 0.527 -1.38 -0.853 B) Istočasno računanje popravkov opazovanj in neznank Definiranje koeficientov sistema linearnih enačb po izrazu (14): 1.00 1.00 1.00 -0.53 -0.56 0.53 1.00 0:51 -0.53 0.85 -0.56 -0.83 0.53 0.51 0.00 -085 0.86 0.00 0.85 -0.83 -0.85 0.86 0.00 0.00 Reševanje sistema enačb po izrazu (15): 0.50044 -0.01840 0.49932 -0.01844 -0.46816 0.29749 Literatura: [:t ~rt= -0.01840 0.49932 0.48329 0.01783 0.01783 0.50092 0.49906 0.01897 -0.49676 0.46742 -0.28643 -0.29767 -0.01844 0.49906 0.01897 0.51535 0.44710 0.29898 -0.46816 -0.49676 0.46742 0.44710 -0.88434 0.00244 0.54 -0.24 -0.52 -1.38 0.29749 -0.28643 -0.29767 0.29898 0.00244 -0.34854 0.00 0.00 0.039 -0.826 -0.023 -0.853 -0.991 -0.027 Bjerhammar, A., Theory of Errors and Generalized Matrix /nverses. Amsterdam, Elsevier Scientific Publishing Company, /973 Božic, D., Excel za Windows 5.0. Zagreb, Biblioteka Klik, 1994 Burmistrov, G.A., Osnovi sposova najmenjših kvadratov. Moskva, NEDR, 1963 Caspary, W.F., Concepts of Network and Defonnation Analysis. Kensington, School of Swveying, The University of New Soitth Wales, Monograph 11, 1988 Cmko, N. et al., PC-kompjutori i programi za PC korisnike. Zagreb, Sysprint, 1995 Čubranic, N. Teorija pogrešaka s računom izjednačenja. Zagreb, Tehnička knjiga, 1980 Feil, L., Teorija pogrešaka i račun izjednačenja - prvi dio. Zagreb, Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, 1989 Husnjak, B., Quattro proza Windows 5.0. Zagreb, Biblioteka Klik, 1994 Geodetski vestnik 40 (1996) 1 Hoepcke, Fehlerlehre und Ausgleichsrechnung. Berlin - New York, Walter de Gmyter, 1980 Ingalsbe, L., Business Applications Software for the IBM PC. Columbus - Toronto - London - Me/burne, Meril! Publishing Company, 1980 Klak, S., Teorija pogrešaka i račun izjednačenja. Zagreb, Libc,; 1982 Mikhai~ E.M., Ackermann F., Obse1vations and Least Squares. New York, Harper and Row Publishers, 1976 Rožic, N., Kompjutorski program za izjednačenje nivelmanskih mreža - NIVEL. Zagreb, Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, 1992 Rožic, N., Repetitorij izbirka zadataka iz teorije pogrešaka i računa izjednačenja. Zagreb, Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, 1993 Sharp corporation, Pocket computer model PC-1403 operation manual. Osaka, 1986 Wolj; H., Ausgleichungsrechnung nach der Methode der Kleinsten Quadrate. Bonn, Ferd., Duemmlers Verlag, 1968 Recenzija: Tomaž Ambrožič doc.dr. Bojan Stopar Prevod iz h1Vaščine in strokovna redakcija: Tomaž Ambrožič doc.dr. Bojan Stopar Geodetski vestnik40 (1996) 1