Der L /6> A Rechen-Untkrricht / in der Volksschule. Eine methodische Anleitung für Votksfchnllehrer. Von vr. Frau) Ritter von Macnilr. Fünfte Anfluge. Preis geheftet fl. 1'—, gebunden fl. 1'2 Kripzig. Wien. Prag. G. Freytag. F. Tempsky, F. Tempskl). Buchhändler der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien. 1891. 1128L0 Druck von Nudott M. »iohrer in Brünn. Erste Abtheiümg. Das Rechnen im Zahirnraume vis rwanug. Einleitung. Z. 1. Zweck des Rechennnterrichtes. Der Unterricht im Rechnen hat einen formalen und einen materi¬ ellen Zweck: er soll die geistige Kraft des Schülers naturgemäß entwickeln, üben und schürfen, und diesen zur Selbständigkeit bilden; er soll anderseits den Schüler mit der Fertigkeit ausrüsten, die im bürgerlichen Leben vorkommenden Rechnungsaufgaben mit Einsicht, Sicherheit und Gewandtheit zu losen. Daraus geht von selbst die wichtige Stellung hervor, welche diesem Un¬ terrichte unter den Lehrgegenständen der Volksschule eingeräumt werden muss. Ist es überhaupt die Aufgabe der Schule, die Kinder zu selbständigen Menschen heranzubilden, die in ihren künftigen Lebenslagen stets mit berechnender Über¬ legung und mit verständiger Erwägung aller Umstünde handeln sollen, so lässt sich nicht leugnen, dass ein zweckmäßig geleiteter Rechennnterricht, indem er un¬ ausgesetzt die Urtheilskraft des Schülers in Anspruch nimmt, denselben an ein geordnetes Überlegen und Erwägen angewöhnt, als Mittel zur Lösung dieser Aufgabe die vorzüglichste Beachtung verdient. Nicht minder wichtig erscheint der Rechennnterricht im Hinblicke auf seinen materiellen Zweck. Während viele Menschen der niederen Stände seltener Veranlassung zum Lesen und Schreiben erhalten, vergeht fast kein Tag, wo sich für sie nicht die Nothwendigkeit zu rechnen ergeben würde. Auch bietet der Recheuunterricht die beste Gelegenheit dar, das Kind auf die verschiedenartigen Verhältnisse und Bedürfnisse des Lebens, uuf die Beziehungen und Berührungen des Menschen mit der Außenwelt auf¬ merksam zu machen, indem man ihm in fortschreitenden, sich stets erweiternden Kreisen die sinnliche Welt der Größen allmählich vorführt, dieselben in ihren Hauptanwendungen betrachten und feiner berechnenden Untersuchung unterziehen lässt. Ein solcher Sachunterricht fördert eine richtige Wertschätzung der verschie¬ denen Dinge der Außenwelt und ihrer Beziehungen zu einander und wirkt dadurch auch sittlich bildend. Diese wichtigen Zwecke kann jedoch der Rechenuntericht nur erfüllen, wenn er von einer klaren Einsicht in das innere Wesen des Lehrgegenstandes MoLnik, Rechenunterricht. 5. Aufl. 1 2 I. Abteilung. und in den Entwicklungsgang des menschlichen Geistes getragen wird. Da das Rechnen keine Erfahrungskenntnis, sondern unmittelbar in den Gesetzen unseres Denkens begründet ist, und somit die Anlage dazu sich im jugendlichen Geiste schon vorfindet, so kann es dem Unterrichte nur obliegen, diese Anlage zweck¬ mäßig zu pflegen und auszubilden, damit sie allmählich zur Selbständigkeit er¬ starke. Man würde gegen die Natur dieses Lehrgegenstandes und gegen den Gang der geistigen Entwicklung verstoßen, wenn man den Schülern die Rech¬ nungsweisen als etwas Gegebenes, als ein bloßes Ergebnis fremden Nachdenkens mittheilen wollte; die Schüler müssen vielmehr, durch entsprechende Fragen geleitet, aus der Beschaffenheit der jedesmaligen Aufgabe und aus dem Wesen der Zahlen¬ verhältnisse durch eigene Beurtheilung folgern, wie die Auslosung durchzuführen ist; sie müssen das jedesmalige Rechnungsverfahren unter der anregenden Führung des Lehrers gleichsam selbst auffinden. Bei dieser heuristischen Methode lernt der Schüler jeden Schritt kennen, den er thun muss, um die Aufgabe zu lösen: er wird sich jederzeit auch der Gründe seines Verfahrens bewusst. Je mehr aber die selbstthätige Mitwirkung des Schülers in Anspruch genommen wird, eine um so größere Befriedigung gewährt ihm das Bewusstsein der eigenen Kraft; durch jede neue Erkenntnis, welche er als fein selbsterworbenes Besitzthum be¬ trachtet, wird auch sein Interesse für den Gegenstand gesteigert. Ein in dieser Weise geleiteter Unterricht begründet nicht nur Sicherheit und Gewandtheit im Rechnen, sondern allseitig einen schärferen Blick, Regsamkeit und Frische des Geistes; er bildet zur Selbständigkeit. tz. 2. Reines und angewandtes Rechnen. Beim Rechnen sind entweder die Operationen, welche zur gesuchten Zahl führen, gegeben, und es handelt sich bloß um die Anwendung derselben; oder es sind die vorzunehmeuden Operationen nicht angegeben, sondern sie müssen aus den Verhältnissen der Aufgabe durch verständige Beurtheilung erst abgeleitet werden. Im ersten Falle heißt das Rechnen reines Rechnen, im zweiten an¬ gewandtes Rechnen. Jenes stützt sich allein auf die richtige Erkenntnis der Zahlen und ihrer gegenseitigen Abhängigkeit, während es von außen her keine sachlichen Kenntnisse verlangt; dieses setzt zugleich die Kenntnis der Sachverhält- nisse voraus, welche der Aufgabe zugrunde liegen. Aus dieser Erklärung folgt, dass nicht jedes Rechnen nut benannten Zahlen schon an sich ein angewandtes Rechnen ist. Wenn inan z. B. das Kind, bannt cs die Rechnnngsform 4 2 — 6 abstrahiere, an Kreuzern rechnen lässt: 4 Kreuzer und 2 Kreuzer sind 6 Kreuzer; so ist dies kein angewandtes, sondern ein reines Rechnen. I. Da sich sowohl das reine als das angewandte Rechnen auf eine klare Einsicht in das Wesen der Zahlen, in die Gesetze ihrer gegenseitigen Ver¬ bindung und Abhängigkeit gründet, so ist die erste Aufgabe des Rechenunterrichtes die Kinder zu klaren Zahlenvorstellungen zu führen. Dieses kann nur auf dem Einleitung. 3 Wege der sinnlichen Anschauung geschehen. Anschaulichkeit ist das Grunder¬ fordernis jedes Elementarunterrichtes; es muss daher auch der erste Unterricht im Rechnen vor allem ein anschaulicher sein, ausgehend von der körperlichen Außenwelt und einkehrend in die innere Werkstätte des Geistes. Für die Herbeischaffung der ersten Zahlenvorstellungen und für das Verständnis der ersten Zahlenoperativnen gibt es gar viele Veranschaulichungs¬ mittel. Je zahlreicher und mannigfaltiger sie in Anwendung gebracht werden, desto klarer werden die Anschauungen. Zur Veranschaulichung der Zahlen dienen zunächst Punkte oder Striche, die man auf der Schultafel vor den Augen der Schüler entstehen lässt. Noch mehr, als bloße Figuren, eignen sich zu den Anschauungen be¬ wegliche Körper, weil diese dem kindlichen Geiste die Vorstellungen durch mehrere Sinne zuführen und demnach eine größere Klarheit der Erkenntnis erzeugen. Das einfachste und natürlichste Anschauungsmittel dieser Art sind die Finger, in denen uns schon die Natur das dekadische Zahlensystem recht eigentlich an die Hand gegeben hat. Hierher gehören ferner Stübchen, hölzerne Würfel oder Kugeln. Unter den Rechenapparaten mit beweglichen Kugeln empfiehlt sich durch Zweckmäßigkeit und Einfachheit besonders die sogenannte russische Rechenma¬ schine; sie besteht aus einem auf Füßen ruhenden hölzernen Nahmen mit zehn horizontalen eisernen Stäben (Drähten), auf deren jedem zehn verschiebbare Kchgeln angebracht find. Ein vorzügliches Veranschaulichungsmittel ist auch der Tillich'sehe Rechenkasten. Derselbe enthält mehrere Würfel und mehrere viereckige Stäbchen (Säulen) von neun verschiedenen Größen; die Zahl eins wird durch einen Würfel von etwa vier Centimeter Kantenlänge veranschaulicht, die Zahl zwei durch eine viereckige Säule, welche zwei Würfel übereinander darstellt, die durch einen ringsum eingeritzten Theilungsstrich von einander getrennt erscheinen; die Zahlen drei, vier, . . . zehn werden ebenso durch Stäbchen, die drei, vier, . . . zehn Würfel übereinander enthalten, dargestellt, so dass jede Zahl in ihrer Zusammensetzung aus eins und zugleich als ein Ganzes veranschaulicht ist. Zur Befestigung gewisser Vorstellungen, die nur durch wiederholte An¬ schauung und vielfältige Übung sicheres Eigenthum der Schüler werden können, werden mit Vortheil entsprechend eingerichtete Wandtafeln benützt. Zu diesen gehört vor allem eine Tabelle, welche die Zahlbilder . —14; 7 . — 15 U. s. W. Wie viel ist 12 weniger 2? Wie viel ist 12 weniger 5? 12 weniger 2 ist 10; 5 ist aber 2 und 3; ich muss also noch 3 wegzählen; 10 weniger 3 ist 7. Man zählt also zuerst so viel weg, dass der reine Zehner übrig bleibt; dann werden die noch übrigen Einer weggezählt. Wie viel ist 11 weniger 3? — 13 weniger 6? — 16 weniger 7? u. s- w Schriftliche Aufgaben im Rechenbuche. ü* 68 II. AbtlMung. I>) Vervielfachen von 2 und mit 2 Das Vervielfachen wird den Schülern als ein kürzeres Verfahren beim Zuzählen gleichgroßer Zahlen dargestellt; statt 4 und 4 sagen wir 2mal 4, statt 2 und 2 nnd 2 und 2 sagen wir kürzer 4mal 2. Das Vervielfachen der Grund¬ zahlen besteht in der Kenntnis des sogenannten Einmaleins. Der vollständigen Einübung desselben muss die größte Aufmerksamkeit zugewendet werden. Das Einmaleins muss den Kindern durch passende Veranschaulichungsmittel zum klaren Verständnis gebracht und sodann durch anhaltende Übung dem Gedächtnisse derselben fest und unverlierbar eingeprägt werden. Die Veranschaulichung geschieht am besten an Punkten, die in gleicher Anzahl untereinander angebracht werden, au der Rechenmaschine und mittelst der Tillich'schen Rechenstäbe. Das Einprägen der durch Anschauung abgeleiteten Vielfachen soll durch fortgesetzte Übung und Anwendung in der Schnle selbst vermittelt werden. Das Können des Einmaleins erfordert Schlagfertigkeit; die Schüler dürfen sich zuletzt auf das Resultat gar nicht mehr besinnen, bei dem Klange „8mal 2" muss auch schon die Zahl 16 vor ihrem geistigen Auge stehen. Die Vielfachen von 2. Diese sind bereits iin ersten Schuljahre bei der Behandlung der Zahlen von I bis 20 aufgetreten; vielen Schülern werden dieselben auch schon bekannt sein; gleichwohl müssen sie hier noch einmal im Zusammenhänge vorgenommen und bis zur größten Fertigkeit durchgeübt werden. , d Der Lehrer mache zuerst 2 Punkte nebeneinander und frage: Wie G d vielmal stehen hier 2 Punkte? Wie viel Punkte sind es? Wie viel sind D , also Imal 2 Punkte? Imal 2 ist 2. Ich setze noch einmal 2 Punkte darunter. Wie vielmal stehen jetzt 2 Punkte da? Wie viel Punkte sind es? 2 Punkte und 2 Punkte sind 4 Punkte. Wie viel sind also 2mal 2 Punkte? 2mal 2 ist 4. Ebenso wird durch weitere Zufügung von je zwei Punkten nach und nach 3X2 — 6, 4x2 — 8, . . . 10X2 — 20 abgeleitet. Die Veranschaulichung an den Kugeln der Rechenmaschine könnte auf gleiche Weise wie au den Punkten der Schultafel geschehen, indem nämlich nach und nach 2 Kugeln eines jeden Stabes nach links vorgeschoben werden. Um jedoch zugleich das Anwachsen der Vielfachen zu Zehnern und Einern anschaulich zu machen, erscheint es zweckmäßiger, dieselben durch das Aneinanderschieben der wiederholt zuzuzählenden Kugeln sogleich an den obersten Stäben zu ver¬ sinnlichen. Der Lehrer schiebt 2 Kugeln des ersten Stabes nach links und spricht: Imal 2 ist 2; dann schiebt er 2 weitere Kugeln, und zwar mit einem Griffe, nach links und spricht: 2mal 2 ist 4 u. s. w. bis 5mal 2 ist 10. Hierauf Zahlenraum bis 20. 69 schiebt er ebenso 2 Kugeln des zweiten Stabes nach links und spricht: 6mal 2 ist 12 u. s. w. bis 10mal 2 ist 20. Ebenso werden bei Tillichs Rechenapparat nach und nach zuerst fünf Zweierstübchen, und daneben wieder fünf übereinandergelegt, bis die beiden Zehner voll werden. Die auf diese Art durch Anschauung gewonnenen Resultate werden nun zuerst in der Ordnung durchgesprochen, dann außer der Reihe gefragt und so lange geiibt, bis die Antworten rasch und sicher erfolgen. - Die 2fachen der Zahlen. Das Vervielfachen mit 2 wird in ähnlicher Weise, wie das Vervielfachen » » von 2, versinnlichet. Der Lehrer macht auf der Schultafel eineu Punkt « » und daneben noch einen Punkt und fragt: Wie vielmal 1 Punkt ist da? » « Wie viel Punkte sind es zusammen? 2mal 1 ist 2. Unter die zwei Punkte setzt der Lehrer noch zwei Punkte; da stehen links 2 Punkte und rechts 2 Punkte. Wie vielmal 2 Punkte sind da? Wie viel Punkte sind es zusammen? 2mal 2 ist 4. Ebenso leitet man weiter 2mal 3, 2mal 4, . . . 2mal 10 ab, indem die Schüler jedesmal angeben müssen, wie vielmal die Zahl von Punkten, welche in einer senkrechten Reihe stehen, vorkommt, und wie viele Punkte es in beiden Reihen zusammengenommen gibt. Die Schüler werden dadurch zur Überzeugung geführt, dass z. B- 2X3 Eben so viel als 3 X 2 ist. Zählt man nämlich in der obigen Darstellung die senkrechten Reihen, so hat man zwei Reihen und in jeder Reihe 3 Punkte, also zusammen 2mal 3 Punkte; zählt man dagegen die wagrechten Reihen, so hat man 3 Reihen und in jeder Reihe 2 Punkte, sonnt zusammen 3mal 2 Punkte, jedoch in beiden Fällen dieselbe Gesammtzahl von Punkten ; also 2 X 3 — 3 X 2. Dieses kann auch so versinnlicht werden: Der Lehrer stelle 6 Schüler in 2 Reihen auf, so dass auf jede Reihe 3 kommen, dann sind 2x3 Schüler aufgestellt; lässt man nun die Schüler eine Viertelschwenkung nach rechts machen, so bilden sie 3 Reihen, jede zu 2 Schülern, zusammen sind also 3X2 Schüler; da nun die Zahl der Schüler jedesmal die gleiche ist, so ist 2 X 3 — 3 X 2. Zur schriftlichen Übung bilden die Schüler auf ihren Schiefertafeln die Vielfachen mit Pnnkten nnd Ziffern und schreiben die Resultate dazu: s « « 10 70 II. Abtheilung. Wegzählen. o) Messen durch 2. Das Messen lässt sich ans ein wiederholtes Wegzählen derselben Zahl zurückführen; inan untersucht dabei, wie oft eine Zahl von einer anderen weg¬ gezählt werden kann, oder wie oft eine Zahl in einer andern, enthalten ist. Z. B. Wie oft lässt sich 2 von 8 wegzühlen? 8 — 2 — 6; 6 — 2 — 4; 4 — 2 — 2; 2 — 2 — 0. 2 lässt sich also von 8 4mal wegzühlen, oder 2 ist in 8 4inal enthalten. Diese Zahl, welche man beim Messen findet, ist stets von dem Wörtchen „mal" begleitet. Das Messen der Zahlen wird entweder an der Rechenmaschine veran¬ schaulicht, oder auch mit Rücksicht auf die bekannten Vielfachen ohne Veranschau¬ lichung gelost. Darum soll zum Messen jedesmal erst dann übergegangen werden, wenn die Schüler im Vervielfachen der bezüglichen Zahl bereits voll¬ kommene Sicherheit erlangt haben. Zuerst wird das Messen von solchen Zahlen, die keinen Rest zurücklassen, dann auch das Messen von Zahlen, wobei ein Nest bleibt, vorgenvmmen. Wie oft ist 2 in 6 enthalten? Veranschaulichung an der Rechenmaschine. Die Zahl 6 wird dargestellt. Zählet, wie oft ich 2 Kugeln von 6 Kngeln wegnehme. Indem der Lehrer immer 2 Kugeln gleichzeitig fasst und sie nach rechts schiebt, zählen die Schüler: Imal, 2mal, 3mal. 2 lässt sich also von 6 3mal wegnchmen, oder 2 ist in 6 3mal enthalten. — Beim Wegschieben werden hier immer die letzten Kugeln, also die Kugeln rechts, und wenn die Kugeln auf mehreren Stäben stehen, die Kugeln des letzten Stabes zuerst in Anspruch genommen. Herleitung aus den Vielfachen von 2. Nachdem die Vielfachen von 2, nämlich 1x2 — 2, 2x2 — 4, 3x2 — 6... wiederholt wurden, fragt der Lehrer: wie vielmal 2 ist 6? 6 ist 3mal 2. Wie oft ist also 2 in 6 enthalten? Ist 16 ein Vielfaches von 2? Wie oft ist also 2 in 16 enthalten? Der Lehrer lasse nun die Reihe 2 ist Imal 2, also ist 2 in 2 Imal enthalten; 4 „ 2mal 2, „ „ 2 in 4 2mal „ 6 „ 3mal 2, „ „ 2 in 6 3mal „ 20 „lOmal 2, „ „ 2 in 20 lOmal Zühlcnrauin bis 20. 71 in der Ordnung wiederholt dnrchsprechen und frage sie dann auch außer der Ordnung ab, bis völlige Sicherheit erreicht ist. Hierauf folgen Übungen im Messen, wobei ein Rest übrig bleibt. Z. B. Wie oft ist 2 in 13 enthalten? Wenn man an der Rechenmaschine die Zahl 13 darstellt, dann immer 2 Kugeln mit einem Griffe nach rechts schiebt, so findet man, dass sich 2 Kugeln von 13 Kugeln 6mal wegnehmen lassen, und dass noch eine Kugel übrig bleibt. Was übrig bleibt, heißt der Rest. 2 ist also in 13 6mal enthalten und es bleibt noch 1 als Rest. — Wenn Kugeln, welche sich nicht auf demselben Stabe be¬ finden, wegzuzählen sind, so muss man sie auf einmal fassen und gleichzeitig nach rechts schieben. Mit Rücksicht auf die Vielfachen. 13 ist kein Vielfaches von 2, die nachstkleinere Zahl, welche ein Vielfaches von 2 ist, ist 12, nämlich 6mal 2; 13 ist also 6mal 2 und noch 1, oder 2 ist in 13 6mal enthalten und es bleibt noch 1 übrig. Wie oft ist 2 in 15, 19, 9, 5, 17, 3, 7 enthalten? Wie oft kann man 2 von 1 wegnehmen? Was bleibt übrig, wenn ich v n 1 nichts wegnehme? 2 ist also in 1 keinmal enthalten, es bleibt 1 (unver¬ mindert) übrig. Schriftliche Übungsaufgaben im Rechenbnche. ä) Theile» durch 2. Durch das Theileu wird eine Zahl in mehrere gleiche Theile zerlegt und bestimmt, Ivie groß ein solcher Theil ist. Zur Veranschaulichung bedient man sich der Bohnen, Nüsse oder Kreuzer als Versinnlichungsmittel. Im allgemeinen wird die Größe eines Theiles durch Folgerung aus dem bekannten entsprechenden Vielfachen ohne äußere Anschauung entwickelt. Theile ich eine Zahl in 2 gleiche Theile, so ist jeder Theil die Hälfte der ganzen Zahl. Die Hälfte der einzelnen Zahlen von 1 bis 20 wird sowohl anschaulich als mit Rücksicht auf die Zweifachen der Zahlen entwickelt, und zwar zuerst, wenn die Hälfte eine ganze Zahl, und dann, wenn die Hälfte keine ganze Zahl ist. Wie viel ist die Hälfte von 14? (Mit Bohnen.) Hier sind 14 Bohnen; sie sollen unter 2 Kinder so ver- theilt werden, dass das eine so viel Ivie das andere, dass also jedes die Hälfte bekommt. Ich gebe jedem zuerst eine Bohne, dann wieder eine Bohne, und so fort, bis alle Bohnen vertheilt sind. Wie viel Bohnen erhält jedes Kind? Wie viel ist also die Hälfte von 14? (Aus den Vielfachen.) Nachdem die 2fachen der Zahlen, nämlich 2X1 — 2, 2X2 — 4, 2X3 — 6... wiederholt wurden, fragt der Lehrer: ist 14 das 2fache oder Doppelte von einer Zahl? Von welcher Zahl? 72 II. Abstellung. Von 7. Was ist also die Hälfte von 14? — Oder: 14 ist 2mal wie viel? Die Hälfte von 14 ist also Imal 7, d. i. 7. Ebenso wird die Hälfte von jeder der übrigen durch 2 theilbaren Zahlen bis 20 entwickelt, und die Schlussreihe 2 ist 2mal I; die Hälfte von 2 ist also 1; 4 „ „ 4 „ „ 2; 10 „ 2mal 10; 20 „ „ 10; jn und außer der Ordnung so lange durchgesprochen, bis volle Sicherheit vorherrscht. Hierauf wird das Halbieren solcher Zahlen, die durch 2 nicht ohne Rest Heilbar sind, vorgenvinmen. Z. B. Wie viel ist die Hälfte von 9? (Mit Kreuzern.) Ich soll 9 Kr. zwischen 2 Schüler so vertheilen, dass jeder die Hälfte bekommt. Ich gebe jedem zuerst 1 Kr., dann noch 1 Kr. und wieder 1 Kr., und noch 1 Kr. Wie viel Kreuzer Hot jetzt jeder? Wie viel ist vertheilt worden? 2mal 4 Kr., d. i. 8 Kr. Wie viel bleibt noch zur Vertheilung übrig? Für 1 Kr. setze ich 2 halbe Kreuzer und gebe jedem Schüler noch 1 halben Kreuzer. Wie viel hat dann ein jeder Schüler? — Die Hälfte von 9 ist 4r. (Mit Rücksicht auf die Vielfachen.) Ist 9 das 2fache einer Zahl? Welches ist das nächstkleinere 2fache? Von welcher Zahl ist 8 das 2fache? Was ist also die Hälfte von 8? 9 besteht aber ans 8 und 1; die Hälfte von 8 ist 4, die Hälfte von 1 ist 4; die Hälfte von 9 ist also 4 und — Oder: 9 ist 2mal wie viel? 9 ist 2mal 4 und noch 1; die Hälfte von 2mal 4 ist Imal 4, d. i. 4, die Hälfte von 1 ist 4, die Hälfte von 9 ist also 4^. Wie viel ist die Hälfte von 7, 13, 17, 3, 19, 11, 5, 15? Schriftliche Aufgaben im Rechenbuche. Die Aufgaben der letzten Art sind anfänglich vollständig darzustellen; z. B. 4 v. 15 — z v. 14 — 7 1— 2 v. I i Später können die Schüler sogleich nur das Resultat, nämlich v. 15 — 7Z, anschreiben. e) Schncllrechnen Zur Wiederholung der bisher geübten Operationen gebe man Aufgaben, in welchen diese Operationen in bunter Aufeinanderfolge in Verbindung treten, und wende dabei, nm nebst reger Bethätigung und unausgesetzter Aufmersamkcit aller Schüler zugleich die größtmögliche Fertigkeit im Rechnen zu erzielen, das Schnell¬ rechnen an. (k. Abth. Z. 13, v.) Zcihlcnraum bis 20. 73 Z. B.: Wie viel ist 8 und 6? — weniger 4? — davon die Hälfte? — und 3? — das 2mal? Wie viel ist 12 weniger 5? — 2mal? — und 4? — die Hälfte? — und 6? — weniger 9? u. s. w. Auf solche Übungen im Schnellrechnen sollte in jeder Schule ein großer Wert gelegt werden; sie spornen, da auf die Frage die Antwort folgen soll, zur Kraftanstrengung und Sammlung der Gedanken an und befördern den Lerneifer. Nur hüte sich der Lehrer, dabei die schwächeren Schüler zu übertreiben, oder sie gar gänzlich zurückzulassen und sich nur an die fähigeren zu halten. Bei schwächeren Schülern warte er etwas zu, und hebe eben ihre Leistungen besonders hervor. t) Abgeleitete Aufgaben. Welche Zahl ist um 9 größer als 7? — Wie viel erhalte ich, wenn ich 10 nm 5 vergrößere? — Von welcher Zahl muss man 6 wegnehmen um 8 zu erhalten? — Von welcher Zahl bleibt 4 übrig, wenn man von ihr 8 wegge¬ nommen hat? — Welche Zahl erhalte ich, wenn ich in der Zahlenreihe von 9 an noch nm 3 fortschreite? — Wie heißt die 5te Zahl nach 6? — Wie viel erhalte ich, wenn ich 10 und 7 znsammenzähle? — Welche Zahl ist so groß als 8 und 8 zusammen? Wie viel erhalte ich, wenn ich von 17 7 wegnehme? — Wie viel erhalte ich, wenn ich 20 um 5 vermindere? — Wie viel bleibt übrig, wenn von 11 4 abgezogen wird? — Welche Zahl erhalte ich, wenn ich in der Zahlenreihe von 18 an um 9 zurückschreite? — Wie heißt die 7te Zahl vor 15? — Um wie viel ist 17 größer als 8? — Um wie viel ist 2 kleiner als 10? — Welches ist der Unterschied zwischen 16 und 6? — Wie viel muss ich von 18 wegnehmen, um 8 zu erhalten? — Um wie viel muss ich 12 vermindern, um 7 zu erhalten? — Ich denke mir eine Zahl; zähle ich zu ihr 4, so erhalte ich 13; welche Zahl habe ich mir gedacht? — Zu welcher Zahl muss ich 5 zuzählen, nm 11 zn erhalten? — Wenn ich 17 in zwei Zahlen zerlege, von denen die eine 10 ist; wie groß ist die andere? — 14 besteht aus zwei Zahlen, die eine ist 6; wie groß ist die andere? Welche Zahl erhalte ich, wenn ich 2mal 4 nehme? — Welche Zahl ist das 6fache von 2? — Wie heißt das doppelte von 9? — Welche Zahl ist 8mal so groß als 2? — Welche Zahl betrügt 5mal so viel als 2? — Von welcher Zahl lässt sich 2 7mal wegnehmen? — In welcher Zahl ist 2 6mal enthalten? — Von welcher Zahl beträgt die Hälfte 4? Wie vielmal 2 ist 18? — Das Wievielfache von 2 ist 10? — Wie viel¬ mal 2 muss ich zusammenzählen um 6 zu erhalten? — Wie viele gleiche Zahlen, deren jede 2 ist, muss ich zusammenzähleu, um 12 zu erhalten? — Wie oft kann ich 4 um 2 vermindern? — Wie oft 2 von 11 wegnehmen? — Wie oft kann 2 von 9 74 II. Abteilung. abgezogen werden? — Aus wie vielmal 2 besteht 8? — Der wievielte Theil von 16 ist 2? — In wie viele Theile muss ich 18 zerlegen, damit auf jeden Theil 2 kommt? Wie viel erhalte ich, wenn ich die Zahl 16 in 2 gleiche Theile zerlege? — Ans welchen 2 gleichen Zahlen besteht 12? — Welche Zahl muss ich 2mal nehmen, um 6 zu erhalten? — Von welcher Zahl ist 18 das Doppelte? — Welche Zahl ist in 10 2mal enthalten? L. Anwendungen. Angewandte Aufgaben im Rechenbuchs. Für einige Aufgaben lassen wir hier die Schlüsse folgen, welche die Schüler bei der Auflösung zu bilden haben. Für 1 Kr. erhält man 2 Griffel; wie viel für 2, 3, . . . 10 Kr.? — Für 1 Kr. erhält man 2 Griffel, für 2 Kr. erhält man 2x2 Griffel, d. i- 4 Griffel u. s. w. Ein Ei kostet 2 Kr.; wie viel Eier erhält man für 6, 4, 10, 16, 12, 20 Kr.? — Für 2 Kr. erhält man 1 Ei; 6 Kr. sind 3X2 Kr-, für 6 Kr. erhalte ich daher 3X1 Ei, also 3 Eier u. s. w. 2 Liter kosten 18 Kr.; wie viel kostet 1 Liter? — 2 Liter kosten 18 Kr., 1 Liter ist nur die Hälfte von 2 Liter, es kostet also auch nur die Hälfte von 18 Kr., d. i. 9 Kr. 1 Meter kostet 21 fl; wie viel kosten 8 Meter? — 8 Meter kosten 8X2^ st.; 8mal 2 fl. sind 16 kl., 8 X -1 fl. sind Z fl., d. i. 4 ganze Gulden; 16 fl. und 4 fl. sind 20 fl.: 8 Nieter kosten also 20 fl. 8- 42. ÜechuungMlmngcn im sinhlrinaiiuie bis drcihig. Reines Rechnen. Zuerst Vorwärts- und Nückwärtszähle«. Die Reihe der ungeraden und der geraden Zahlen; Anschreiben und Lesen derselben. Tann folgen die einzelnen Rechnungsoperationen. Ä.) Zu- »ud Weg,zählen. Nachdem wir uns in dem Vorhergehenden auf das Zu- und Wegzählen der Einer beschränkt und darin einen sicheren Grnnd gelegt haben, werden wir auf dieser und den folgenden Stufen das Zn- M'd Wegzühlen auf alle daselbst anftretenden Fülle ausdehnen, und daher folgende Übungen, zuerst mündlich, dann schriftlich vornehmen: Zuzählen der Einer, zuerst innerhalb desselben Zehners, dann mit Über¬ schreitung des Zehners. Um hier das bereits Geübte zu wiederholen und gleichzeitig zu erweitern, erscheint es am angemessensten, zu Zahlen, welche nm 10 fortschreiten, die also gleiche Einer haben, dieselbe Zahl zuzuzählen. Z. B. Wie viel ist 6 und 2? — Wie viel wird nun 16 und 2 sein? (An der Rechenmaschine.) Nachdem die Zahl 16 dargestellt wurde, schiebt der Lehrer zu Zcchlenraum bis 30. 75 den 6 Kugeln des zweiten Stabes noch 2 Kugeln hin. Wie viel Kugeln sind nun da? Oben sind 10, unten 6 und 2, d. i. 8; wie viel zusammen? 16 und 2 ist 18. — Wie viel ist 26 und 2? (Die Veranschaulichung geschieht auf gleiche Weise an der Rechenmaschine; auch eignen sich dazu vorzüglich unsere Münzen.) Hier sind 2 Zehner und daneben 6 Kr.; wie viele Kreuzer sind es? Zu den 6 Kr. lege ich noch 2 Kr.; dann habe ich 2 Zehner und 8 Kr. oder 28 Kr. Die Schüler gelangen dadurch zu der Einsicht, dass die Rechnungen l6 -4- 2 — l8 und 26 4- 2 — 28 auf dem bekannten Rechnungsfalle 6 4-2 — 8 beruhen, dass dabei die Zahl 2 nnr zu den Einern zugezählt wird, die Zehner aber ungeändert bleiben. Man führe eben so durch 4 -4- 3, 14 -4 3, 24 ch- 3; 2 -4- 4, 12 4- 4, 22 4- 4; 8 4- 1, 18 -s- 1, 28 4- 1; 3 4- 5, 13 4-5, 23 4- 5; 6 -I- 3, 16 4- 3, 26 4- 3; n. s. w. Bevor man zu dem Zuzählen mit Überschreitung des Zehners übergeht, muss vor allem die Ergänzung einer gegebenen Zahl zn dem nächsten Zehner tüchtig geübt werden. Wie viel ist 9 -j- 1? 19 4- 1? 29 4- 1? 8-H-2? 18 -s- 2? 28 -4- 2? 7-4-3? 17-4-3? 27-s- 3? u. s. w. Wie viel ist 6 und 7? — Wie viel ist 16 und 7? (An der Rechenmaschine.) Die Zahl 16 wird dargestellt; dann schiebt mau zuerst auf dem zweiten Stabe die noch vorhandenen 4 Kugeln nach links und spricht: 16 und 4 ist 20. Wir haben aber 7 zuzuzählen, 7 ist 4 nud 3, wir müssen also noch 3 zuzühlen; 20 und 3 (indem auf dem dritten Stabe 3 Kugeln nach links geschoben werden) ist 23; 16 und 7 ist also 23. Die Zahl, welche zugezählt werden soll, wird hier immer so zerlegt, dass zuerst die Zehner ergänzt und dann die noch übrigen Einer zugezählt werden. Wie viel ist 9-4-2? l9 -4- 2? i 7-4- 4? 17 4-4? 54- 7? 15 4- 7? 8 -4- 5? 18 4- 5? ! 6 4- 8? 16 -4- 8? 4 -s- 9? 14 4- 9? u. s. w. Weg zäh len der Einer, zuerst innerhalb desselben Zehners, dann mit Übergang in den nächsten Zehner. Wie viel ist 8 weniger 6? Wie viel ist 18 weniger 6? (An der Rechen¬ maschine.) Nachdem die Zahl 18 dargestellt wird, schiebt man von den 8 Kugeln des zweiten Stabes 6 Kugeln nach rechts. Wie viel Kugeln bleiben noch? Wie viel ist also 18 weniger 6? 76 H. Abthcilung. Die Schüler ersehen, dass hier die Zahl von den Einern weggezahlt wird, die Zehner aber unverändert bleiben, dass es sich also dabei nnr um das Weg¬ zählen im Zahlenkrcise von 1 bis 10 handelt. Wie viel ist 8 — 5? 18 — 5? 28 — 5? 7 — 6? 17 — 6? 26 — 6? 9 — 7? 19 — 7? 29 — 7? u. s. w. 4 — 1? 14 — l? 24 — 1? 7 — 2? 17 — 2? 27 — 2? 9 — 3? 19 — 3? 29 — 3? n. s. w. Wie viel ist 13 weniger 7? — Wie viel ist 23 weniger 7? (An der Rechenmaschine.) Der Lehrer stellt die Zahl 23 dar und schiebt zuerst die drei Kugeln des dritten Stabes, und dann noch 4 Kugeln des zweiten Stabes nach rechts. Wie viel Kugeln bleiben noch auf der linken Seite? 23 weniger 7 ist also 16. Hier wurde 7 in 3 und 4 zerlegt, und von 23 zuerst 3, dann 4 weggezühlt. Es werden also hier zuerst so viele Einer, dass man auf die reinen Zehner herabkommt, und dann die noch übrigen Einer weggezählt. Wie viel ist 13 — 3? 23 — 3? 11 — 2? 21 — 2? 15 — 8? 25 — 8? 17 — 7? 27 — 7? j 14 — 6? 24 — 6? j 18 — 9? 28 — 9? u. s. w. Zuzählen der Zehner, dann der Zehner mit Einern. Wie viel ist 20 und 10? — 20 sind 2 Zehner, 10 sind 1 Zehner? 2 Z. und 1 Z. sind 3 Z. oder 30; 20 und 10 ist also 30. (Ist an der Rechen¬ maschine zu veranschauliche».) Wie viel ist 18 und 10? — 10 und 10 ist 20, und 8 ist 28. (An der Rechenmaschine.) Wenn eine zweistellige Zahl mit einer andern zweistelligen in Beziehung zu bringen ist, so wird an der Rechenmaschine die erstere am an¬ gemessensten so dargestellt, dass links oben auf dem erste» Stabe die Einer, und unten die Zehner erscheinen; ob die Einer unten oder oben sind, ändert nichts an dem anschaulichen Zahlbilde. Der Lehrer stellt also für die vorliegende Aufgabe auf dein ersten Stabe 8 und auf dem zweiten 10 Kugeln dar, schiebt dann die 10 Kugeln des dritten Stabes nach links und spricht: 10 und 10 ist 20, und 8 ist 28. — Auf ähnliche Art kann man bei Anwendung der Tillich'schen Rechen¬ stäbe vorgehen. Wie viel ist 11 -i-10? 15 -p- 10? 19 -tz- 20? u. s. w. Im Anfänge werden diese Aufgaben vollständig mit Zerlegung, dann bloß mit der Angabe des Ergebnisses gelöst, z. B. 18 und 10 ist 28. Diese kürzere Auflösungsweise muss zuletzt zur vollen Fertigkeit gebracht werden. Wie viel ist 15 und 13? — Man zählt zu der ersten Zahl zuerst die Zehner und dann die Einer der letzten Zahl, nünuich: 15 und 10 ist 25, und 3 ist 28. Zahlenraum bis 30. 77 Wie viel ist 12 und 17? 13 und 14? 15 und 13? 11 und 19? u. s. w. Wegzählen der Zehner, dann der Zehner mit Einern. Wie viel ist 30 weniger 20? — Anfangs: 30 sind 3 Zehner, 20 sind 2 Zehner, 3 Z. weniger 2 Z. ist 1 Z., oder 10; also 30 weniger 20 ist 10. (An der Rechenmaschine.) Wie viel ist 27 weniger 10? — Anfangs: 20 weniger 10 ist 10, und 7 dazu ist 17. Später sogleich: 27 weniger 10 ist 17. Wie viel ist 28 — 10? 21 — 10? 26 — 10 n. s. w. Wie viel ist 29 — 12? Hier zählt man von der größeren Zahl zuerst die Zehner, dann die Einer der kleineren Zahl weg, also: 29 weniger 10 ist 19, weniger 2 ist 17. Wie viel ist 27 — 14? 23 — 11? 28 — 15? 30 — 16? u. s. w. Zerlegung der Zahlen in zwei Bestandtheile. Ist der eine Bestandtheil mit der gegebenen Zahl innerhalb desselben Zehners, so darf man nur zu den Einern so viel znzählen, dass man die Einer der gegebenen Zahl erhält; was zugezühlt wurde, ist der andere Bestandtheil. Z. B. 27 ist 24 und wie viel? 4 und 3 ist 7; 24 und 3 ist 27. 15 und wie viel ist 19? 11 Z- . — 18; 21 -j- . — 25 u. s. w. Wenn sich aber der eine Bestandtheil mit der zu zerlegenden Zahl nicht innerhalb desselben Zehners befindet, so muss man zu demselben zuerst so viel zuzählen, dass man den nächsten Zehner ergänzt; dann zählt man noch so viel zu, dass man die gegebene Zahl selbst erhält; die beiden zugezählten Zahlen zusammengenommen bilden den zweiten Bestandtheil. Z. B. 12 und wie viel ist 27? 12 und 8 ist 20, und 7 ist 27; 8 und 7 ist 15; 12 und 15 ist also 27. .13 und wie viel ist 21? 14 -f- . — 24; 15 > . — 28; 16 —30u.s.w. 2. Schriftliche Aufgaben im Rcchenbnche. d) Vervielfachen von 3 und mit S. Bei den Vielfachen der Zahl 2 haben wir das didaktische Verfahren aus¬ führlich erklärt. Für die Vielfachen der folgenden Zahlen wird die einfache Anführung der vorzunehmenden Aufgaben genügen; nur dort, wo wesentliche Abweichungen cintreten, sollen die nvthigen Erklärungen beigefügt werden. Anschauliche Entwicklung der Vielfachen von 3 an Punkten, wie die der Vielfachen von 2 im Zahlenraume bis 20. An der Rechenmaschine. Hier findet bei dem Übergange vom ersten Stabe auf deu zweiten, und von diesem auf den dritten eine Zerlegung statt. Der Lehrer schiebt mit jedem Griffe 3 Kugeln des ersten Stabes nach links und spricht: l mal 3 ist 3, 2mal 3 ist 6, 3mal 3 ist 9. Bei 4mal 3 erfolgt der Übergang auf den zweiten Stab; zu 9 müssen 3 zugezählt werden, es ist aber auf dem ersten Stabe nur noch eine Kugel; 3 ist 1 und 2, es müssen also 1 Kugel des ersten Stabes und noch 2 Kugeln des zweiten Stabes nach links geschoben werden; dann erhalten 78 II. Abteilung. wir 12 Kugeln; 4mal 3 ist also 12 n. s. w. — Ähnlich mit den Stäbchen des Tillich'schen Apparates. Dnrchsprechen der Vielfachen von 3 im Chor und einzeln vorwärts und rückwärts. Fragen außer der Reihe bis zur vollen Geläufigkeit. Auf gleiche Weise werden auch die 3 fach en der einzelnen Zahlen vorgenvmmen. Schriftlich. Aufgaben im Rechenbnche. e) Messen durch 3. Wie beim Messen durch 2. Schriftliche Aufgaben im Rechenbuche. 6) Theilen durch 3. Theile ich eine Zahl in 3 gleiche Theile, so ist jeder Theil ein Drittel oder der dritte Theil der ganzen Zahl. Der dritte Theil von 1 ist H. — Wie viel ist der dritte Theil von 2? Wenn 3 Kinder 2 Kuchen unter einander vertheilen sollen, so theilen sie zuerst den einen Kuchen, da erhält jedes Kind I Drittel; hierauf theilen sie auch den zweiten Kuchen, da erhält wieder jedes I Drittel; Ivie viel Drittel kommen daher zu¬ sammen auf jedes Kind? Der dritte Theil von 2 ist also 2 Drittel. Wie viel ist von 18? (Anschaulich mit Nüssen.) Sollen ans 18 Nüssen 3 gleiche Häuflein gebildet werden, so lege ich auf jedes Häuflein so oft eine Nuss, bis alle Nüsse vertheilt sind. Wie viel Nüsse enthält dann jedes Häuflein? Der dritte Theil von 18 ist also 6. (Aus den Vielfachen.) 18 ist 3mal wie viel? 18 ist 3mal 6; der dritte Theil von 18 ist also 1 mal 6, oder 6. 24 ist 3mal wie viel? 24 ist 3mal 8; der dritte Theil von 24 ist also 8. Die Schlussreihe 3 ist 3mal 1, das Drittel von 3 ist also 1; 6 „ 3mal 2, „ „ „ 6 „ „ 2; 9 „ 3mal 3, „ „ „ 9 „ „ 3; 30 „ 3mal 10, „ „ „ 30 „ „ 10; muss wiederholt bis zur Geläufigkeit durchgesprochen werden. Zahlcnrnum bis 40 und 50. 7» Dam: folgen Übungen im Theilen, wo dieses auf einen Bruch führt. Z. B. Wie viel ist von 20? Ist 20 das 3fache einer Zahl? Welches ist das uächstkleinere 3fache? 20 besteht nun aus 18 und 2; der dritte Theil von 18 ist 6, der dritte Theil von 2 ist 2 Drittel; der dritte Theil von 20 ist also 6 und Schriftliche Aufgaben im Rechenbuche. k) Schncllrcchnen. Wie viel ist 7 und 2? — davon das Drittel? — und 5? — 3mal? — weniger 6? — die Hälfte? — 3mal? 12 — 3, -1- 5, die Hälfte, 3mal, — 3, das Drittel, -s- 4, 2mal? 3X9, — 7, 4- 4, das Drittel, 4- 2, 2mal, — 8, die Hälfte, 3mal? u. s. w. x) Abgeleitete Aufgabe«. Wie in: Zahlenraume bis 20. L. Anwendungen. Angewandte Aufgaben im Rechenbuche. Bei diesen ist unnachsichtlich darauf zu bestehen, dass die Schüler während der Auflösung selbst auch die Schlüsse, auf welchen diese beruht, bündig aussprechcn. 8. 4-4. Ürchniiiigsübiiilgril im Zahlrnnuime bis vierzig. Nachdem wir bei den vorhergehenden Zahlenräumen das zu beobachtende unterrichtliche Verfahren ausführlich dargelegt haben, werden wir uns bei den folgenden Zehnern zur Vermeidung von Wiederholungen darauf beschränken, die auszuführendeu schriftlichen und angewandten Aufgaben bloß nnzudeuten und nur dort, wo neue Übungen auftreten, die erforderlichen Erläuterungen beizufügcn. Im Zahlenraume bis 40 ist das didaktische Verfahren beim mündlichen Rechnen das gleiche, wie in dem vorhergehenden Zahlenraume. Schriftliche Übungen und angewandte Aufgaben un Nechenbuche. 8- 44. Ürchuuiigsiibniigrn im stalsteuramuc bis fünfzig. Für das Zu- und Wegzählen der Einer empfehlen sich hier und für die Folge, da man bereits ein größeres Zahlengebiet beherrscht, am besten die Reihen. So beim Zuzählen: Fange mit 1 an und zähle immer 2 dazu. 80 II. Abtheilmig. Ebenso beim Wegzühlen: Fange mit 50 an und zähle immer 2 weg. 50 weniger 2 ist 48; 48 weniger 2 ist 46; 46 weniger 2 ist 44; u. s. w. bis 2 weniger 2 ist nichts. Schriftliche und angewandte Aufgaben im Rechenbuche. Auch für das schriftliche Rechnen empfehlen sich Aufgaben über das Zu- und Wegzählen der Einer in Reihen. Diese sind ein vorzügliches Mittel, eine oder mehrere Abtheilungen schriftlich zu beschäftigen; sie lassen sich mit wenigen Ziffern andeuten und eben so leicht controlieren. Anstatt z. B. bei der Aufgabe 4 zu sagen: Fanget bei der Zahl 2 an nnd zählet immer 3 dazu, also 2 -s- 3 — 5, 5 -st- 3 — 8, 8-st-3 — 11.... kann der Lehrer die Aufgabe ganz kurz mit den Worten bezeichnen: Rechnet die Reihe 2 -st- 3. Z. 44. Üechniingsübuiigril im Zahünrallmr bis sechzig. Unterrichtlicher Vorgang wie bei den früheren Zahlenrüumen. Schriftliche und angewandte Aufgaben im Rechenbuchs. Z. 4l>. Ürchnnngsiibnugrn im Zahlenraume bis sieb en zig. In dem Vorhergehenden haben wir uns auf das Vervielfachen der Einer (Grundzahlen) beschränkt. Die weiteren Übungen werden sich, da wir uns nun schon in einein größeren Zahlenkreise bewegen können, auch auf das Vervielfachen der Zehner und Einer erstrecken, dann ebenso im Messen und Theilen eine an¬ gemessene Erweiterung erhalten. Nachdem die Vielfachen von 7 nnd die 7fachen der ersten zehn Zahlen in gleicher Weise, wie z. B. das Vervielfachen von 3 nnd mit 3, entwickelt wurden, folgen Übungen iin Vervielfachen zweistelliger Zahlen. Wie viel ist 2 X 10? 3 X 10? 5 X 10? 7 X 10? Wie viel ist 2 X 20? — 20 sind 2 Zehner, 2mal 2 Z. sind 4 Z., d. i. 40. (An der Rechenmaschine zu veranschaulichen.) Wie viel ist 2 X 30? 3 X 20? Wie viel ist 2 X 12? — 2mal 10 ist 20, 2mal 2 ist 4; 20 und 4 ist 24. Wie viel ist 2 X 11? 2 X 13? 2 X 14? 2 X 23? 2 X 31? 2 X 21? 4 X 12? 5 X 11? Zahleriraum bis 60 und 70 81 Wie viel ist 2 X 27? — 2mal 20 ist 40, 2mal 7 ist 14; 40 und 14 ist 54. Wie viel ist 2 X 15? 2 X 16? 2 X 18? 2 X 26? 2 X 29? 3 X 18? 4 X 16? Auch beim Messen kann man schon urit solchen Aufgaben des Messens beginnen, bei denen die kleinere Zahl in der größereil mehr als l Omal enthalten ist. Wie oft ist 2 in 60 enthalten? — 2 ist in 6 3mal enthalten, 60 ist aber lOmal so viel als 6, folglich ist 2 in 60 lOmal so oft als in 6, also 30mal enthalten. Ebenso 2 in 2 — 1 2 in 4 — 2 , 3 in 3 — 1 3 in 6 — 2 2 in 20 — 10 2 in 40 — 20 ! 3 in 30 — 10 3 in 60 — 20 Wie oft ist 2 in 48 enthalten? — 48 ist 40 und 8, 2 ist in 40 20mal, in 8 4mal, in 48 also 24 mal enthalten. Wie oft ist enthalten 2 in 24? 2 in 26? 2 in 42? 2 in 46? 3 in 63? 3 in 69? Wenn die kleinere Zahl in der Zehnern der größeren nicht ohne Rest enthalten ist, muss man die größere Zahl so zerlegen, dass der eine Bestandtheil Zehner enthält, die ein Vielfaches der kleineren Zahl find. Z. B. Wie oft ist 2 in 54 enthalten? — 54 ist 40 und 14, 2 ist in 40 20mal, in 14 7mal, in 54 also 27mal enthalten. Wie oft ist enthalten 2 in 36? 2 in 32? 2 in 58? 2 in 34? 3 in 42? 3 in 48? 3 in 51? 3 in 50? 4 in 52? 4 in 56? 4 in 60? Ebenso wird beim Theilen in diesem Zahlenraume mit solchen Aufgaben der Anfang gemacht, bei denen der gesuchte Theil größer als 10 ist. Wie viel ist die Hälfte von 40? — 40 sind 4 Zehner, die Hälfte von 4 Z. sind 2 Z. oder 20; also von 40 — 20. Wie viel ist z von 20? von 60? f von 30? f von 60? Ist die zu Heilende Zahl zweistellig, so zerlege man sie in zwei Bestand- theile und nehme als ersten eine solche Zehnerzahl an, welche sich in die verlangte Anzahl gleicher Theile theilen lässt. Z. B. Wie viel ist das Drittel von 69? — 69 ist 60 und 9, von 60 ist 20, von 9 ist 3, H von 69 also 20 und 3, d. j. 23. Wie viel ist die Hälfte von 32? — 32 ist 20 und 12, die Hälfte von 20 ist 10, die Hälfte von 12 ist 6, die Hälfte von 32 also 10 und 6, d. i. 16. Wie viel ist von 24? von 28? von 44? von 46? von 64? von 34? von 35? von 52? von 50? z von 42? .s von 54? s von 58? von 52? von 60? s von 65? Schriftliche und angewandte Aufgaben im Rechenbuche. Moönik, Rechenunterricht 5. Ausl. 82 II. AbthciNmg. Z. 47. Nechiiilngsübiingr» in den Iahlriiränmen bis achtzig und neunzig. Der didaktische Vorgang wie bei der Behandlung der vorhergehenden Zehner räume. Schriftliche nnd a n g e w a n d te Aufgabe n im Rechenbuche. An den schriftlichen llbungeu können Reihen gerechnet werden, in denen man bald zwei verschiedene Zahlen abwechselnd zuzuzählen, bald zwei verschiedene Zahlen abwechselnd wegzuzählen, bald abwechselnd eine Zahl zuzuzählen und eine andere wegzuzählen hat. Z. 4!!. Uechnungsnlniugeu im Rchlenranme bis hundert. Mit dieser Stnfe gelangt der Zahlenkreis bis 100 zum vollständigen Ab¬ schlüsse. Indem dabei das bisherige Rechnen mit Rücksicht ans den erweiterten Zahlenraum zu vervollständigen nnd insbesondere der Zahl 100, da sie bei unseren Münzen, Maßen nnd Gewichten eine so wichtige Rolle spielt, die größte Beachtung zu widmen ist, müssen zugleich alle iu deu früherem Zahlenräumeu vorgenommenen Rechnungsübungen auf das sorgfältigste wiederholt werden. Darum ist ein längeres Verweilen bei dieser Stufe unabweisbar geboten. Was von jedem Schüler am Schlüsse des zweiten Schuljahres unbedingt gefordert werden muss, ist die volle Sicherheit und Fertigkeit im Zu- und Wegzühlen der Grund¬ zahlen, in dem Einmaleins n n d i n d e n d a r a n s s ich e r g e b e n d e n Aufgaben des Messens und des Theilens. Der Stufengang bleibt der bisher befolgte. Schriftliche Aufgaben im Rechenbnche. Aufgaben über die Ergänzung der verschiedenen Zahlen ans 100 sollen hier, da sie im Hinblick auf die Hunderttheilung unseres Guldens, Meters, Hektars, Hektoliters nnd Kilogramms sehr häufig in Anwendung kommen, bis zur größten Fertigkeit durchgeübt werden. Bei den Aufgaben von der Form von 5 X 3 -fi 1 oder i von 4x5 — 3 sollen die Schüler anfangs die vollständige Ausrechnung darstellen, später nur die Resultate anschreiben. Angewandte Aufgaben im Rechenbnche. Zweiter Abschnitt. Gtemente des Kruchrechnrns. 8. 4!». 1. Halbe. a) Anschauliche Auffassung. Hier ist ein ganzer Apfel. Wenn ich denselben zerschneide, so heißen die Stücke Th eile. Zerschneide ich den Apfel durch die Mitte, so dass ein Stück Zahlenraum bis 80, 00 und 100. — Elemente des Bruchrechnens. 83 eben so groß wird als das andere, so erhalte ich zwei gleiche Theile, und jeder solche Theil ist ein halber Apfel oder die Hälfte eines Apfels. I 'e ! ! Ich ziehe auf der Schultafel eine Linie. Ich kann dieselbe in zwei ungleiche, aber auch in zioei gleiche Theile theilen. Wo muss ich die Linie theilen, damit beide Theile gleich groß werden? Ich theile also die Linie genau in der Mitte; was ist dann ein Theil? — Theile ich daher ein Ganzes in 2 gleiche Theile, so heißt ein Theil ein Halbes oder die Hälfte. 1 Halbes erhalte ich, wenn ich 1 Ganzes in 2 gleiche Theile theile und 1 solchen Theil nehme. Wie viel Halbe hat 1 Ganzes? 2 Halbe geben zusammen wieder 1 Ganzes. — 1 Halbes bezeichnet man durch 4, 2 Halbe durch 4- Der Lehrer kann die Schüler schon hier mit den Ausdrücken „Bruch, Zähler, Nenner" bekannt machen; er kann aber dies auch erst bei einem späteren Cnrsus über die Brüche thun. b) Verwandeln der Ganzen in Halbe und umgekehrt. Die Übungen sind zuerst mündlich, dann schriftlich vorzunehmen; das schrift¬ liche Rechnen fällt der Ausführung nach genau mit dem mündlichen zusammen. Wie viel Halbe sind 3 Ganze? I Ganzes hat 2 Halbe, 3 Ganze sind also 3mal 2 Halbe, d. i. 6 Halbe. Schriftlich. 3 — 4. Wie viel Ganze sind 10 Halbe? — 2 Halbe sind I Ganzes. Nehme ich daher 4 von weg, so habe ich 1 G.; nehme ich vom Reste wieder 4, so habe ich wieder 1 G-, n. s. w.; sind daher so vielmal I G., als § in enthalten sind; Z sind in sv ost enthalten, als 2 in 10, also 5mal; sind also 5mal 1 Ganzes oder 5 Ganze. Wir sehen also hier den Nenner als einen Namen an und rechnen dann wie mit benannten ganzen Zahlen. Diese Auffassung ist sehr geeignet, dem Anfänger das Rechnen mrt Bruchzahlen zu erleichtern. Wie viel Ganze sind 6, 12, 28, 5, 2, 17 Halbe? Schriftlich. 'Z' — ? Ganze Anfangs: 4 — IG; ß in — 2 in 14 — 7 G.; später sogleich — 7 G. e) Zu zäh len. 3 Halbe und 1 Halbes sind 4 Halbe, d. i. 2 Ganze. H -I- r — 2 — 2 54 -j- 24 — ? — 54 und .s ist 6, und 2 ist 8. Für das schriftliche Rechnen empfehlen sich auch hier Reihenfolgen (I I. Abth. 8- 44); z. B.: 37 -I- 54 — 424, 42^ Z- 54 - 47z — 48, 48 Z- 5z — 534, u. s. w. 6' 84 II. Abteilung. ä) Wegzählen: Wie viel ist Z — H? — 9 Halbe weniger 3 Halbe sind 6 Halbe, oder 3 Ganze. - 2-- Z -- 3. Wie viel ist 4 — z? Statt 4 kann ich 3Z setzen; dann habe ich 3^ — z — 3z. Auch hier sind Reihenfolgen zu rechnen. o) Vervielfachen. Wie viel ist 7mal H ? — 7mal 3 Halbe sind 21 Halbe; also 7 X Z — — 10z. Wie viel ist 6mal 8z? — 6mal 8 ist 48, 6mal z ist H — 3; 48 und 3 ist 51. k) Messen. Wie oft ist s in enthalten? — 3 Halbe sind in 15 Halben so oft ent¬ halten, als 3 in 15, also 5mal; folglich in — 5. Wie oft ist z in 3 enthalten? — Hier muss 3 in Halbe verwandelt werden; 3 — A, daher z in — 6. Wie oft ist 2z in 12z enthalten? c> 1 - 5 . 1 qI — 9 5. 5 95 — r: -^r — L , 1^9 — 9 , -x UI — I ! I ! I ! I ! ! Zehntel erhalte ich ferner aus Fünfteln, wenn ich jedes Fünftel in 2 gleiche Theile theile. Fünftel lassen sich in Zehntel verwandeln. 1 Fünftel — 2 Zehntel; 1 Zehntel — von 1 Fünftel. 86 II. Abtheilung. Wie viel ist -l- s? Halbe und Fünftel kann ich als solche nicht zusam- meuzählen, weil sie verschiedene Namen haben. Ich kann aber Halbe und Fünftel in Zehntel verwandeln: z — /g, z — z — — U — 1?o- 7. Hundertel. Wenn wir in den Anschannngsunterricht im Bruchrechnen auch die Hun¬ dertel aufnehmen, so geschieht es nicht nur wegen ihrer Wichtigkeit für unsere Münzen und neuen Maße, sondern auch darum, damit die Schüler allmählich die Grundlagen für die später folgende Deeimalbrnchrechnung gewinnen. Die Verau- schaulichung der Hundertel sowie ihrer Bildung ans Zehnteln, die wir hier mit den Hunderteln in Verbindung bringen, geschieht am besten mit dein Meterstabe; die Decimeter sind Zehntel, die Centimeter sind Hundertel. A n h a n g. 8- 50. sireioberechnnngen. Durch die Wichtigkeit, welche die Preisberechnungen für das praktische Leben haben, erscheint es gerechtfertigt, dass denselben schon bei der Behandlung des engeren Zahlenraumes bis 100 eine besondere Stelle eingeräumt werde. Die hieher gehörigen Aufgaben führen auf das Vervielfachen, auf das Theilen oder ans eine Verbindung des Theilens mit dem Vervielfachen. Die Aufgaben der letzteren Art gehören zu den eigentlichen Dreisatzrechnungen und müssen auf dieser Stufe so gewühlt werden, dass das Theilen und Vervielfachen im Kopfe leicht vollzogen werden kann. Wir ordnen hier die Aufgaben nach folgenden Fällen: Man schließt n) von dem Preise der Einheit auf den Preis der Mehrheit; b) von dem Preise der Mehrheit auf den Preis der Einheit; o) von dem Preise der Mehrheit auf den Preis eines Vielfachen dieser Mehrheit; ä) von dem Preise der Mehrheit auf den Preis eines Theilcs dieser Mehr¬ heit; endlich s) von dem Preise der Mehrheit durch den Preis der Einheit auf den Preis einer andern Mehrheit. Bei allen diesen Aufgaben ist auf die Bildung richtiger Schlüsse große Sorgfalt zil verwenden. s) Schluss von dem Preise der Einheit aus de» Preis der Mehrheit. Diese Aufgaben theilen wir in vier Gruppen ein. 1. Bei den Aufgaben der ersten Gruppe wird die Rechnung durch eine einfache Vervielfachung ausgeführt. Z. B. Preisberechnung. 87 I Meter kostet 7 fl.; wie viel kosten 9 Meter? So oft ich I Bieter kaufe, so oft muss ich 7 fl. zahlen; 9 Meter sind 9mal I Meter, für 9 Meter muss ich daher 9mal 7 fl. zahlen; 9mal 7 fl. sind 63 fl.; 9 Meter kosten also 63 fl. — Kürzer: 1 Meter kostet 7 fl., 9 Meter sind 9nial 1 Bieter, 9 Meter kosten also 9>nal 7 fl., d. i. 63 fl. 2. Rei den Aufgaben der zweiten Gruppe beruhet.die Auflösung auf dein Zusammenhänge, welcher zwischen den Eintheilungszahlen unserer Mün¬ zen, Maße und Gewichte besteht. Ans der Losung dieser Aufgaben werden die Schüler von selbst folgende allgemeine Sätze l Rechnungsvortheile) abstrahieren: So viele Kreuzer das Decimeter, ebenso viele Zehner kostet das Meter. So viele Kreuzer das Buch Papier, eben so viele Zehner kostet das Ries. Sv viele Kreuzer das Kilogramm kostet, eben so viele Gulden kostet der Centner. So viele Kreuzer das Liter, eben so viele Gulden kostet das Hektoliter. 3. Bei den Aufgaben der dritten Gruppe wird die Rechnung durch Zer¬ legung in Zehner und Kreuzer ausgeführt. Bevor die hieher gehörigen Rechnungen vorgenommen werden, sind die im Zahlenranme bis 100 vorgekommenen Aufgaben über das Verwandeln der Geld¬ sorten als Vorübungen fleißig zu wiederholen. Die Schlüsse, welche bei diesen im gewöhnlichen Leben besonders hälftig vor¬ kommenden Rechnungen gebildet werden müssen, sind aus folgender Aufgabe ersichtlich: I Kilogr. kostet 43 Kr.; wie viel kosten 6 Kilvgr. ? 1 Kil. kostet 43 Kr. — 4 Zehn, -ft 3 Kr. 6 Kilo kosten 6X4 Zehn, -ft 6 X 3 Kr. 6X4 Zehn. — 24 Zehn. — 2 fl. 40 Kr. 6X3 Kr. — 18 Kr. 2 fl. 40 Kr. -ft 18 Kr. — 2 fl. 58 Kr. 4. Die Aufgaben der vierten Gruppe enthalten Kreuzerzahleu, welche be¬ queme Guldentheile sind, oder sich in solche zerlegen lassen. Während die früher behandelte Rechnung nach Zehnern und Kreuzern allge¬ mein mit Vortheil anwendbar ist, erscheint das Rechnen nach Guldentheilen nur danil vortheilhaft, wenn der Preis der Einheit 20 Kreuzer — r fl., 25 Kr. — f fl. oder 50 K. — fl. beträgt, oder wenn er von diesen Guldentheilen oder von einem Gulden nur nm wenige Kreuzer abweicht. Die Auflösung und die dabei zu bildenden Schlüsse sind in den folgenden Aufgaben angedentet: 1 Bieter kostet 26 Kr.; wie viel kosten 16 Met. 1 Meter kostet 26 Kr. — f fl. -ft 1 Kr. 16 Meter kosten fl. -ft 16 X 1 Kr. fl. 4 fl. 16 X 1 Kr. — 16 Kr. 4 fl. -ft 16 Kr. — 4 fl. 16 Kr. 88 II. Abteilung. I Liter kostet 48 Kr.; mie viel kosten 7 Lit. ? I Liter kostet 48 kr. — H fl. — 2 Kr. 7 Liter kosten s fl. — 7x2 Kr. ; fl. — 3 fl. 50 Kr. 7X2 Kr. — 14 Kl'. 3 fl. 50 Kr. — 14 Kr. — 3 fl. 36 Kr. K) Schluss von dem Preise der Mehrheit ans den Preis der Einheit. Die hieher gehörigen Aufgaben lassen sich durch eine einfache Thcilnng berechnen. Z. B. 5 Dutzend kosten 20 fl.; wie viel kostet 1 Dutzend? Will ich wissen, wie viel 1 Dutzend kostet, so muss ich die 20 fl. ans 5 Dutzend so vertheilen, dass auf ein Dutzend so viel kommt, als ans das andere; ich muss also 20 fl. in 5 gleiche Theile zerlegen. Auf 1 Dutzend kommt also der 5te Theil von 20 fl., oder 4 fl. — Kürzer: 5 Dutzend kosten 20 fl., I Dutzend ist der 5te Theil von 5 Dutzend, 1 Dutzend kostet also auch nur den 5ten Theil von 20 fl., d. i. 4 fl. Einige Aufgaben dieser Art beruhen auf dem Zusammenhänge zwischen den Eintheilungszahlen der Münzen, Maße und Gewichte, und führen auf folgende Rechnungsvortheile: So viele Zehner das Meter, eben so viele Kreuzer kostet das Decimeter. So viele Zehner das Ries Papier, eben so viele Kreuzer kostet das Buch. So viele Gulden der Centner, eben so viele Kreuzer kostet das Kilogr. So viele Gulden das Hektoliter, eben so viele Kreuzer kostet das Liter. c) Schluss von dem Preise der Mehrheit auf de» Preis eines Vielfachen dieser Mehrheit. Die Lösung dieser Aufgaben führt auf das Vervielfachen. Z. B. 4 Kilogr. kosten 5 fl.; wie viel kosten 12 Kil. ? 12 Kil. sind 3mal 4 Kil., 12 Kil. kosten also 3mal 5 fl., d. i. 15 fl. I) Schluss von dem Preise der Mehrheit aus deu Preis eines Thcilcs dieser Mehrheit. Die Rechnung wird bei allen diesen Aufgaben durch das Theileu aus¬ geführt. Z. B. 15 Liter kosten 6 fl.; wie viel kosten 5 Liter? 5 Liter sind der 3te Theil von 15 Lit., 5 Liter kosten also auch nur den 3ten Theil von 6 fl., d. i. 2 fl. Schluss von dem Preise der Mehrheit durch den Preis der Einheit aus den Preis einer andern Mehrheit. Dies sind eigentliche Regeldetri-Aufgaben, bei denen das Theilen mit dem Vervielfachen in Verbindung tritt. Z. B. 4 Ries kosten 20 fl.; wie viel kosten 7 Ries? Aus dem Preise von 4 Ries kann ich den Preis von 7 Ries nicht unmit¬ telbar berechnen; ich muss zuerst wissen, wie viel ein Ries kostet; 1 Ries ist der 4te Theil von 4 Ries, 1 Ries kostet also auch nur deu 4ten Theil von 20 fl., d. i. 5 fl.; 7 Ries sind 7mal 1 Ries, also kosten 7 Ries 7mal 5 fl., d. i. 35 fl. Dritte Abcheilnng. Das Rechnen im Zahlenraume bis 1000 und bis zu den Tansendteln. Einleitung. Z. 51. Das schriftliche Rechnen. In dem Zahlenkreise von 1 bis 10, wie auch in dessen Erweiterung bis 20 und 100 fand zwischen Kopf- und Zifferrechnen der Ausführung nach kein Unterschied statt. Die schriftlichen Übungen schloffen sich durchgängig an die münd¬ lichen an; dieselben Schlüsse, durch welche die Schüler beim Kopfrechnen zum Re¬ sultate gelangten, mussten sie auch beim schriftlichen Rechnen machen; Gedanken- gang und Form waren bei beiden durchaus dieselben. Diese Form des schriftlichen Rechnens ist auch in dem weiteren Zahlenkreise bis 1000 noch recht gut anwendbar; sic kann jedoch beim Rechnen mit den später auftretenden größeren Zahlen, das sich meistens nicht mehr im Kopfe ausführen lässt, nicht beibehalten werden. Die Einrichtung unseres Zahlensystems bietet da eigene kürzere Formen, die von der Weise des Kopfrechnens mehr oder weniger abweichen, und das eigentliche Zifferrechnen bilden. Mit diesem kürzeren Ver¬ fahren können die Schiller am leichtesten und zweckmäßigsten schon an den Zahlen des kleineren Zghlenraumes bis 1000 vertraut gemacht werden; es wird dadurch nicht nur in die schriftlichen Übungen dieses Zahlenkreises durch den Reiz der Neuheit mehr Anregung gebracht, sondern auch für das später auftretcnde Ziffer¬ rechnen mit größeren Zahlen die nöthige Grundlage gewonnen. Das eigentliche Zifferrechnen wird übrigens in dein Zahlenraume bis 1000 bei jeder Operation erst dann vorzunehmen sein, wenn die Schüler schon im münd¬ lichen Rechnen volle Geläufigkeit erlangt haben. Der Lehrer hat dabei nach¬ stehendes zu berücksichtigen: , 1. Mit den technischen Ausdrücken, welche im Rechnen eingeführt sind, werden die Schiller bei den ersten Beispielen des Zifferrechnens bekannt gemacht, wozu es jedoch nicht so sehr der Definitionen, als vielmehr des wiederholten Ge¬ brauchs dieser Ausdrücke bedarf. Niemals ist mit Namen und Definitionen an- znfangen; früher muss die Sache da sein, dann folgt der Name. 2. Das bei jeder Operation zu beobachtende Verfahren soll den Schülern nicht durch bloßes Vorlagen beigebracht werden; diese müssen vielmehr durch ent- 90 III. Abtheilmig. sprechende Fragen, durch Hinweisung ans ihre vvn den Zahlen und deren Ver¬ hältnissen erwvrbeneu Kenntnisse angeleitet werden, durch angeregtes Nachdenken gleichsam selbst zu finden, was sie bei jeder Rechnungsart thun, wie sie dieses nach einander verrichten sollen, und warum das, was sie thun, richtig ist. 3. Das Rechnungsverfahren d. i. die Regel, welche auf diese Art die Schiller unter der Führung des Lehrers aus mehreren Beispielen selbst ableiten, wird schließlich in bündiger Weise in Worten ausgesprochen. Die lebendige Selbst- thätigkeit ist zwar die beste Grundregel, die überall, und besonders im Rechnen, praktisch zur Anwendung kommen soll, und man kann nicht genug darauf dringen, dass aus dem Unterrichte jedes trockene und gedankenlose Regelwerk verbannt bleibe: allein es ist eben so eitler Wahn, wenn manche fordern, dass der Schüler keine Regel anwende, dass er auf keiner Stufe etwas mechanisch übe, sondern bei der Ausrechnung stets nur heuristisch vorgehe. Mögen die Schüler noch so sehr an¬ gehalten werden, jede Rechnung durch eine Reihe von Erwägungen und Schlüssen rein geistig auszuführen, so werden sie nach vielfältiger Übung doch immer zuletzt dahin kommen, dass sie sich die mechanische Regel abstrahieren, dass ihnen das Rechnen zur Sache des unmittelbaren Könnens wird, welches jener Schlussfol¬ gerungen nicht mehr bedarf. Will man dieses Mechanismus nennen, so ist das ein Mechanismus edlerer Art, weil ihm Einsicht und Überzeugung zu Grunde liegt. 4. Das jedesmalige Rechnungsverfahreu wird an vielen reinen und an¬ gewandten Ausgaben, die theils in der Schule auszuarbeiten, theils zur häuslichen Wiederholung aufzugeben sind, eingeübt. Die vvn den Schülern zu Hanse aus- gearbeiteten Aufgaben müssen von dem Lehrer durchgesehen, und, wenn darin Fehler Vorkommen, zur Verbesserung znrückgestellt werden. Jede Gleichgiltigkeit des Lehrers in dieser Hinsicht hat Unfleiß und Leichtfertigkeit der Schüler zur unausbleiblichen Folge. Häufig geschieht es, dass schwächere oder nachlässige Kinder die häuslichen Aufgaben nicht selbst lösen, sondern die Ausarbeitungen anderer Schüler abschreiben; der verständige Lehrer wird einen solchen Unfug bald entdecken und demselben mit allem Nachdrucke entgegen wirken. - Bei den an¬ gewandten Aufgaben dringe der Lehrer stets auf eiue verständige Beurtheiluug der gegebenen Sach- und Zahlenverhältnisse; der Schüler soll z. B. bei einer Multiplieationsaufgabe nicht bloß darum das Multiplieieren anwenden, weil eben diese Operation an der Reihe ist, sondern durch folgerichtige Schlüsse die Über¬ zeugung gewinnen, dass gerade nur durch die Multiplieation der zwei gegebenen Zahlen die in Frage gestellte Zahl gesunden werden kann. 3. Der Lehrer schreite nicht eher zu einer folgenden Rechnungsart, als bis es die Schüler in der Ausführung der vorhergehenden zur vollen Sicherheit und Fertigkeit gebracht haben. Das beständige Znrückgreifen, um bereits Vorgenvm- menes vvn neuem zu entwickeln und zu üben, ermüdet den Schüler und lähmt den Fortschritt; es ist zugleich ein Beweis, dass sich der Lehrer Übereilungen zu Einleitung. 91 Schulden kommen ließ. Überhaupt suche der Lehrer, wenn es nicht vorwärts gehen will, die Ursache stets in sich und in seiner Behandlungsweise und nicht in den Kindern. Z. 3L. Einnchllmg drs -ritten stech en buch es. Das dritte Rechenbuch soll zunächst das Rechnen im Zahleuraume von 1 bis 1000 enthalten. Hiebei tritt ein Vorgang auf, welcher von dem Wege, der in den vorher¬ gehenden Zahlenräumen eingeschlagen wurde, theilwcise abweicht. In dem Zahlen¬ raume bis 10 schritten wir von Zahl zu Zahl, in jenem bis zu 100 von Zehner zu Zehner vorwärts. Dies Ivar dort nothwcndig, damit die Zahlen des ersten Zehners mit Hilfe der Zerlegung allseitig aufgefasst, und damit in den Zehner¬ räumen des ersten Hunderts die wichtigsten Ergebnisse, insbesondere das Einmaleins, dem Gedächtnisse fester eingeprägt wurden. Wir könnten nun auch bei den Zahlen bis 1000 von Hundert zu Hundert fortschreiten; das hätte jedoch keinen prak¬ tischen Wert, da alle Zahlen nach demselben Gesetze gebildet find und es, wenn einmal dieses Gesetz erkannt wird, gleichgiltig ist, welche Zahlen in der Rechnung Vorkommen. Wir werden daher zuerst die Zahlen des neuen Zahlenkreises Vor¬ fahren und schriftlich oarstellen, und daun sogleich innerhalb dieses ganzen Zahlen- umfangcs nach der Reihe die einzelnen Rechuuugsvperationeu vornehmen. Bei jeder Operation zerfallen die Übungen in zwei Abtheilungen, von denen die erste das Rechnen im Kopfe und solche schriftliche Übungen, die nach Form und Aus¬ führung genau mit dem mündlichen Rechnen nbereinstimmen, die zweite das eigent¬ liche Zifferrechnen enthält. Bei den Übungen im Kopfrechnen wird, damit das Neue an Bekanntes angeknüpft und zugleich das, was einzelnen Schülern etwa entschwunden ist, erneuert und befestiget werde, überall mit Wiederholungen des bereits Geübten begonnen: dazu tritt dann die Erweiterung der bezüglichen Übungen an den größeren Zahlen des neuen Zahlenkreises. An das reine Rechnen schließt sich auf jeder Stufe angewandtes Rechnen an. Ferner können hier auch die ersten Elemente der Deeimalbruchrechnung, d. i. das Rechnen mit Zehnteln, Hunderteln und Tausendteln, vorgenommen werden. Das dritte Rechenbuch ist im allgemeinen für das dritte Schuljahr be¬ stimmt. Au ein- und zweielafsigeu Volksschulen, wv die Zeit Einschränkung ge¬ bietet, kann der Zahlenkreis bis 1000 nicht so vollständig, wie die früheren Zahlen- räume, dnrchgenommen werden und wird daher als ein für sich bestehender Cursus zu übergehen sein. An solchen Schulen entfällt daher der Gebrauch des dritten Rechenbuches; dagegen muss dauu bei der Behandlung des unbegrenzten Zahlen¬ raumes auch auf die Zahlen bis 1000 besondere Rücksicht genommen werden, worüber wir in der IV. Abtheilung dieses Handbuches nähere Andeutungen folgen lassen. 92 III. Abtheilung. Erster Abschnitt. Das Rechnen im Zahlenraume von eins dis tausend. 1. Kenntnis der Zahlen von 1 dis 1000. Z. 53. Wic-tt'holrndt Zillammenl'trllnng der Zahlen von 1 bis 100. Wiewohl die Schiller schon in den ersten zwei Schuljahren init den Zahlen bis 100 bekannt gemacht wurden, so erscheint es ans pädagogischen Rücksichten dennoch rathsam, dieselben auch hier noch einmal wiederholend vorzuführen, damit aber auch schon auf eine immer deutlichere Auffassung des Grundgesetzes unseres Zahlensystems hinzuarbeiten. 1. Mündlich. Der Lehrer lasse zuerst bis 10, dann bis 100 zählen, und bemerke: Ihr kennt bereits hundert Zahlen. Von diesen bestehen einige bloß aus Einern, andere bloß aus Zehnern, die meisten aber aus Zehnern und Einern. Welche Zahlen bestehen bloß aus Einern? Welche bloß aus Zehnern? Nun nennt auch Zahlen^ welche aus Zehnern und Einern bestehen, Aus wie viel Zehnern und Einern besteht 47, 21, 83, 38, 19, 57, 04, u. s. w.? Wie heißt die Zahl, welche aus 4 Einern, 9 Zehnern, aus 2 Z. und 4 E.,. aus 7 Z. und 1 E., n. s. w. besteht? Zeigt sich da oder dort noch eine Stockung, so helfe man mit der Ver¬ anschaulichung an der russischen Rechenmaschine, oder an der Zehnertafel oder an unseren Münzen nach. (II. Abtheilung.) 2. Schriftlich. Die Einer werden in die erste Stelle (rechts), die Zehner in die zweite- Stelle (links) geschrieben. Nach dieser Vorbemerkung lasse der Lehrer zuerst mit Ziffern geschriebene Zahlen lesen, hierauf ausgesprochene Zahlen mit Ziffern anschreiben. Leset die Zahl 27. An welcher Stelle steht hier dier die Ziffer 2? WaA bedeutet sie also? An welcher Stelle steht hier die Zahl 7? Was bedeutet sie- also? Wie heißt die Zahl, welche aus 2 Zehnern nnd 7 Einern besteht? 27 wird also gelesen: sieben und zwanzig. Das Lesen zweizifferiger Zahlen beruhet demnach auf dem Zusammen¬ sassen der Zehner und Einer zu einer Zahl; 27 — 2 Z. 7 E. — sieben und zwanzig. Wie wird die Zahl drei und vierzig mit Ziffern geschrieben? — Drei und vierzig besteht aus 4 Zehnern und 3 Einern; man schreibt also die Ziffer 3 in die erste und die Ziffer 4 in die zweite Stelle. Kenntnis der Zahlen bis 1000. 93 Wie wird die Zahl fünfzig geschrieben? Fünfzig besteht aus 5 Zehnern, hat aber keine Einer. Ihr fetzet also 5 in die zweite Stelle; was kommt in die erste Stelle? Dürfet ihr diese leer lassen? Würde dann die Ziffer 5 fünf Zehner bedeuten? Ihr setzet also in die Stelle der Einer 0, um auzuzeigeu, dass keine Einer Vorkommen. Das Anschreiben zweistelliger Zahlen beruhet demnach auf dem Zerlegen derselben in Zehner und Einer; drei und vierzig — 4 Z. 3 E. — 43. fünfzig — 5 Z. 0 E. — 50. K. 34. Erweitrrnug drs Zahlemaumes bis 1000. 1. Mündlich. Es ist schwer, den Schülern so viele gleichartige Gegenstände vorzuführen, dass sie die Zahlen von 100 bis 1000 daran anschanen können. Am besten kann man sich zur Versinnlichung der Hundertertafel bedienen. Die nachstehende Hundertertafel wird von dem Lehrer auf der Schul¬ tafel entworfen, oder in großem Maßstabe ans einem Bogen Papier gezeichnet Die anschauliche Entwicklung beginnt mit den Hunderten. Die Schüler sehen an der Hnndertertafel, dass in jedem Felde zehn Punkte, in jeder Reihe zehn solche Felder vorkommen, und dass zehn solche Reihen unter einander stehen. Es werden nun die Zehner der ersten Reihe gezählt: 1 Zehner, 2 Z., 3 Z. . . . 9 Z., 10 Z.; 10 Zehner sind 1 Hundert oder hundert. In zwei Reihen stehen 20 Zehner oder 2 Hunderte, oder zweihundert; u. s. w. In 10 Reihen sind 100 Zehner oder 10 Hunderte, oder tausend. Die Reihenfolge 1 Hundert oder 10 Zehner, oder hundert; 2 Hunderte oder 20 Zehner, oder zweihundert; 94 III. Abthcilung 3 Hunderte oder 30 Zehner, oder dreihundert; n. s. w. 10 Hunderte oder 100 Zehner, oder tausend wird nun, indem der Lehrer dabei stets auf die bezügliche Reihe, und zwar auf den letzten Zehner derselben zeigt, wiederholt durchgesprochen. Hierauf zeigt der Lehrer auf die Reihe und lässt sich von den Schülern die Hunderte nennen; dann nennt er selbst die Hunderte und ein Schüler zeigt ans die entsprechende Reihe; beides zuerst iu, dann außer der Ordnung. Schließlich hebt mau noch die dekadischen Einheiten und ihren Zusammen¬ hang hervor: 10 Einer sind 1 Zehner, 10 Zehner sind 1 Hundert, 10 Hunderte sind 1 Tausend, und es folgen Fragen: Wie viel Zehner sind 1 Hundert, 2 H., 8 H., 5 H.? Wie viel Hunderte sind 10 Zehner, 60 Z., 30 Z., 90 Z.? Wie viel Einer sind 1 Hundert, 3 H., 7 H., 400 H. ? Wie viel Hunderte sind 200 Einer, 600 E., 900 E., 500 E. ? d) Ausfassnng der Hunderte mit Zehnern. Indem zu der ersten Reihe der Hundertertafel nach und nach das erste, zweite, . . . zehnte Feld der zweiten Reihe hinzngefügt wird, sprechen die Schüler 1 H. und 1 Z. oder hundert zehn, 1 H. und 2 Z. oder hundert zwanzig, 1 H. und 10 Z. oder 2 H. oder zweihundert; dann ebenso 2 H. und 1 Z. oder 210 2 H. nnd 2 Z. oder 220 3 H. und 1 Z. oder 310 3 H. und 2 Z. oder 320 und so fort bis 9 H. und 10 Z. oder 10 H. oder 1000. Hierauf lässt man gegebene Zehnerzahlen als Hunderte und Zehner sowie als Einerzahlen, und umgekehrt darstellen; nämlich 10 Z. — 1 H. — 100 20 Z. — 2 H. — 200 11 Z. — 1 H. u. 1 Z. — 110 21 Z. - 2 H. u. 1 Z. - 210 12 Z. — 1 H- u- 2 Z. — 120 22 Z. — 2 H. n. 2 Z. — 220 u. s. w. bis 100 Z. — 10 H. — 1000; dann umgekehrt: 100 — 10 Z. 110-11 Z. 120 — 12 Z. 200 — 20 Z. 210 — 21 Z. 220 — 22 Z. u. s. f. bis 1000 — 100 Z. 300 — 30 Z. 310 — 31 Z. 320 — 32 Z. Kenntnis der Zahlen bis tOOO. 95 Diese Umwandlungen werden zuerst in Reihenfolgen, dann außer der Ord¬ nung bis zur Fertigkeit geübt. 6) Auffassung der Hunderte mit Zehnern und Einern. Nachdem der Schüler bis 1OOO zuerst nach Hunderten, dann nach Zehnern gezählt haben, wird nun die Zahlenreihe auch durch die Einer vervollständigt. Der Lehrer zeigt auf die erste Reihe der Hundertertafel und auf den ersten Einer der zweiten Reihe und sagt: wir haben 1 Hundert und 1 Einer oder hundert eins. Zählen wir noch 1 Einer dazu, so habeu wir 1 H. und 2 E. oder hundert zwei. Setzen wir so einen Einer nach dem andern dazu, so erhallen wir 1 H. und 3 E. oder hundert drei, 1 H. und 4 E. oder hundert vier, u. s. w. 1 H. n. 10 E. oder 1 H. 1 Z. oder hundert zehn. Der Lehrer nimmt ebenso ans dem zweiten Felde der zweiten Reihe einen Einer nach dem andern dazu und lässt die Schuler sprechen: I H., 1 Z. u. 1 E. oder hundert eilf, 1 H., 1 Z. u. 2 E. oder hundert zwölf, u. s. w. 1 H., 1 Z- u. 10 E. oder 1 H. n. 2 Z. oder hundert zwanzig. Die Schüler sehen bald, dass sie bei weiterer Fortsetzung der Reihe zu allen Zahlen kommen, welche sie schon au der Zehnertafel oder an der Rechen¬ maschine kennen gelernt haben, nnr dass jede um 1 Hundert größer ist. Ist die ganze zweite Reihe zugezühlt, so erhält man 2 Hunderte oder zweihundert. Dann nimmt man wieder nach und nach die Einer der dritter Reihe dazu und erhält: zweihundert eins, zweihundert zwei, . . . dreihundert. Ebenso geht die Bildung der Zahlenreihe im vierten, fünften, . . . zehnten Hundert vor sich. Um die erweiterte Zahlenreihe mit Hilfe unserer Münzen zu veranschau¬ lichen, braucht der Lehrer 10 Guldenstücke, 10 Zehnkreuzerstücke und 10 Kreuzer- stücke. Stellt der Kreuzer einen Einer vor, so stellt das Zehnkreuzerstück einen Zehner, und der Gulden, da er 100 Kreuzer gilt, ein Hundert vor. Legt man zu einem Gulden einen Kreuzer, so hat man hundert lind einen Kreuzer, es ist also die Zahl 101 dargestellt, welche aus 1 Hundert und 1 Einer besteht. Nimmt man nach und nach immer einen Kreuzer dazu, so erhält man die Zahlen 102, 103, .. . 110. Bei der letzten Zahl kann man die 10 Kreuzer durch einen Zehner ersetzen; 110 besteht aus 1 H. und 1 Z.; das Hundert stellt der Gulden, den Zehner das Zehnkreuzerstück vor. Legt mau weitere Kreuzer dazu, so hat mau die Zahlen 111, 112, 113, ... 120; bei 120 kann man wieder 10 Kreuzer 96 lll. Abteilung. durch ein Zehnkreuzerstück ersetzen, die Zahl besteht aus 1 H. und 2 Z., darge¬ stellt durch 1 Gulden und 2 Zehnkreuzerstücke. Auf diese Art wird fortgefahren bis 199; wird hier noch ein Kreuzer hinzugefügt, so erhält mau 1 Gulden, 9 Zehner und 10 Kreuzer; die 10 Kreuzer ersetzt mau durch 1 Zehner und hat dann 1 Gulden und 10 Zehner; ersetzt man noch die 10 Zehner durch 1 Gulden, so hat man 2 Gulden, welche die Zahl 200 darstellen. Fährt man auf diese Weise fort, so kann die Zahlenreihe bis 999 fortgesetzt werden, welche Zahl durch 9 Gulden, 9 Zehner und 9 Kreuzer dargestellt wird; fügt man noch einen Kreuzer dazu, so hat man 9 Gulden, 9 Zehner und 10 Kreuzer; statt 10 Kreuzer 1 Zehner gesetzt, erhält man 9 Gulden und 10 Zehner; ersetzt man auch die 10 Zehner durch 1 Gulden, so hat man 10 Gulden, welche die Zahl 1000 dar¬ stellen. Man kann auch die 10 Gulden durch eine Zehngulden-Bauknote ersetzen, welche daher die Zahl 1000 darstellt, wenn der Kreuzer die Zahl 1 vorstellt. An der russischen Rechenmaschine wie auch mit dem Tillich- scheu Apparate können die Zahlen über 100 hinaus nicht mehr dargestellt werden. Dagegen kann hier ein dem letzteren Hochgebildetes Veranschanlichungs- mittel, das auch bei der Erklärung der Cubikmaße gute Dienste leistet, sehr vvr- theilhaft angeweudet werden. Man theilt an einem aus Holz verfertigten Würfel von 40 Centimeter Kantenlänge jede Kante in 10 gleiche Theile und verbindet die gegenüberliegenden Theilungspunkte durch eingeritzte Linien. Dieser Würfel wird parallel mit der Grundfläche in 10 gleiche Platten durchschnitten. Eine dieser Platten wird weiter in 10 gleiche Säulen, und eine dieser Säulen in 10 gleicht Würfel durchschnitten. Einer dieser kleinen Würfel soll nun einen Einer vorstellen. Stellt man zehn solcher kleiner Würfel aufeinander, so bilden sie eine Säule, welche uns daher einen Zehner vorstellt; legt man daran die übrigen 9 nnzerschnittenen Säulen, so erhält man eine Platte, welche aus 10 Zehnern be¬ steht und daher ein Hundert vorstellt; trägt man darüber auch die übrigen un- zerlegten Platten auf, so erhält man wieder den ganzen großen Würfel, welcher aus 10 Hunderten besteht und daher 1 Tausend vorstellt. Mit Hilfe dieser Platten, Säulen und Würfel kann nun die Zahlenbildung bis tausend auf ganz analoge Weise, wie mit unseren Münzen, veranschaulicht werden. Es ist von besonderer Wichtigkeit, dass sich die Schüler, bevor zur schrift¬ lichen Darstellung der erweiterten Zahlenreihe geschritten wird, von jeder dieser Zahlen die dekadischen Bestandtheile klar vorzustellen im Stande sind. Der Lehrer frage zu diesem Ende bald nach der Zahl, welche gegebene Hunderte, Zehner und Einer enthält, bald umgekehrt nach den Bestandtheilen einer gegebenen Zahl; z. B.: Wie heißt die Zahl, welche 7 H. 2 Z. und 9 E. enthält? Wie heißt die Zahl, welche 5 H. 6 Z. 1 E., — 3 H. 8 Z. 0 E., — 8 H. 0 Z. 5 E. u. s. w. enthält? Kenntnis der Zahlen bis 1000. 97 Wie viele Hunderte, Zehner und Einer enthält die Zahl 346? Aus wie vielen H., Z. und E. besteht die Zahl 812, 559, 940, 407 u. s. w. ? 2. Schriftliche Darstellung. Die Schüler wissen bereits, dass jede Ziffer in der ersten Stelle Einer, in der zweiten Zehner vorstellt; auch haben sie beim Anschreiben der Zahl 100 ge- gesehen, dass die Ziffer 1 in der dritten Stelle 1 Hundert bedeutet. Es wird nun beigefügt, dass auch jede andere Ziffer au der dritten Stelle eben so viele Hun¬ derte bedeutet, als sie an der ersten Stelle Einer darstellt. Es bedeutet demnach 200 zweihundert, 300 dreihundert u. s. w. In Bezug auf die Zahl tausend wird bemerkt: Sowie 1 Zehner 10mal so viel als 1 Einer, nnd 1 Hundert lOmal so viel als 1 Zehner ist, so ist auch 1 Tausend lOmal so viel als 1 Hundert. Sowie man daher die Ziffer 1, damit sie 1 Zehner bedeute, in die zweite, damit sie 1 Hundert bedeute, in die dritte Stelle setzt, ebenso muss man die Ziffer 1, damit sie 1 Tausend bedeute, wieder um eine Stelle weiter links, also in die vierte Stelle rücken. Es ist demnach 1 — eins, 10 — zehn, 100 — hundert, 1000 — tausend. Den Rang der einzelnen Stellen kann der Lehrer durch folgendes Schema, das er auf der Schultafel entwirft nnd von den Schülern auf den Schiefertäfel¬ chen nachbilden lässt, znr Anschauung bringen: 11m eine dreiziffrige Zahl zu lesen, darf mau nur die Hunderte, Zehner und Einer derselben zu einer Zahl zusammenfassen; z. B. 571 bedeutet 5 H., 7 Z., 1 E., also fünf hundert ein und siebenzig. Um eine gegebene dreistellige Zahl mit Ziffern anzuschrciben, braucht man dieselbe nur in Hunderte, Zehner und Einer anfzulvsen und die Hunderte, in die dritte, die Zehner in die zweite, die Einer in die erste Stelle zu setzen. Z. B. fünfhundert acht und zwanzig besteht aus 5 H., 2 Z. uud 8 E.; man schreibt daher 5 in die dritte, 2 in die zweite, und 8 in die erste Stelle, also 528. Siebenhundert drei besteht aus 7 H. n. 3 E., hat aber keine Zehner; man setzt darum 7 in dritte, 0 in die zweite, und 3 in die erste Stelle, nämlich 703. Bei diesen Übungen muss so lange verweilt werden, bis alle Schüler jede dreistellige Zahl sicher und fertig lesen und schreiben können. Moönik, Rechenunrerricht. 5. Auf!. 7 98 III. Abteilung. Z. 35. Mahr und Grwichtr. Nachdem der Zahlenramn bis 1000 erweitert wurde, wird der Lehrer nicht unterlassen, auch die Kenntnis der Maße und Gewichte entsprechend zu ver¬ vollständigen. Zur Vervollständigung der Zeiteintheilung wird angeführt: ein gemeines Jahr hat 365 Tage, ein Schaltjahr hat 366 Tage; 10 Jahr bilden ein Jahrze¬ hent, 100 Jahre ein Jahrhundert, 1000 Jahre ein Jahrtausend. Die Eintheilung der Gewichte wird durch folgende Angaben vervollstän¬ diget: 1 Kilogramm — 1000 Gramm; 1 Tonne — 1000 Kilogramm; 1 Gramm — 10 Decigramm; 1 Decigramm — 10 Centigramm; 1 Centigramm — 10 Milli¬ gramm, also 1 Gramm — 1000 Milligramm. Zu den Längenmaßen wird bemerkt: 1 Kilometer — 1000 Meter, 10 Kilometer — 1 Myriameter. 1 Centimeter — 10 Millimeter, also 1 Meter — 1000 Millimeter. Behufs des Lesens und Anschreibens der reinen Zahlen wurden die Schüler geübt, deren dekadische Bestaudtheile zu einer Zahl zusammenzufassen und umge¬ kehrt die Zahlen wieder in diese Bestaudtheile zu zerlegen. Es empfiehlt sich, zur besseren Auffassung der dekadischen Münzen, Maße und Gewichte auch bei diesen ähnliche Übungen vorzunehmen. Z. B. Wie viel em sind 7 in 6 cim 5 em? — 7 m sind 700 em, 6 ckm sind 60 cm; 700 em und 60 em sind 760 em, und 5 em sind 765 em; also 7 m 6 <7m 5 em — 765 em. Umgekehrt: Wie viel Z.A und sind 283 ? — 200 sind 2 /v/ ; also 273 ck/cc/ — 2 7c 2 — 5, 5 2 — 7, ... bis 99. Addieren im Zahlcnrnume bis 1000. 99 Ebenso: 2 4- 2 — 4, 4 -4- 2 — 6, 6 -s- 2 — 8, ... bis 100. Ferner folgende Übungen: 14-2 — 3, 2 -j- 2 — 4 3 -1- 2 — 5, 11 4- 2 12- 4-2 13- 4-2 13, 21 -4- 2 — 23, . . . 14, 22 -I- 2 — 24, . . . 15, 23 -4- 2 — 25, . . . An diese Wiederholungen schließe sich das Zuzählen von 2 in den höheren Hunderten, als: - 101 -4- 2 — 103, 103 -4- 2 — 105, 105 -4- 2 — 107, ... bis 199; 802 4- 2 — 804, 804 -4- 2 — 806, 806 4- 2 — 808, ^ . . bis 900. Dabei werden die Schüler ersehen, dass man 2 (die Einer) stets nur zu den Einern zu zählen braucht, die Hunderte aber ungeändert lässt. Auf gleiche Weise wird sodanu das Zuzählen von 3, 4, 5, ... 9 vor¬ genommen. Um die Übungen noch mannigfaltiger zu machen und zugleich das Voran¬ gegangene zu wiederholen, lasse man auch abwechselnd zwei Zahlen zuzähleu. Z. B. Fanget bei 2 an und zählet abwechselnd 3 und 4 zu; nämlich 4 -4- 3 — 7, 7 U- 4 — 11, 11 4- 3 — 14, 14 -4- 4 — 18, u. s. w. Das Zuzähleu der Grundzahlen muss zur vollsten Sicherheit geübt werden. Die schriftlichen Übungen bestehen in Reihen, welche sich ganz an die Form des mündlichen Rechnens anlehnen. d) Zuzähleu von Zehnern. Wie viel ist 50 und 20? Anfangs mit Zahlwerten: 50 find 5 Z., 20 sind 2 Z., 5 Z. und 2 Z. sind 7 Z. oder 70; also 50 und 20 ist 70. Schließlich sogleich: 50 und 20 ist 70. Ebenso: Wie viel ist 300 und 200 ? 300 — 3 H., 200 — 2 H.; 3 H. und 2 H. sind 5 H. oder 500; also 300 und 200 ist 500. Besonders zn üben sind Aufgaben mit dem Übergange ans einem Hundert in das andere. Dabei ergänzt man zunächst die erste Zahl zum vollen Hundert, und zählt dann zum neuen Hundert das übrige dazu. Z. B. Wie viel ist 80 und 70? 80 und 20 ist 100, und noch 50 dazu ist 150. Wie viel ist 360 nud 90? 360 und 40 ist 400, und 50 ist 450. Wie viel ist 45 und 30? 45 ist 40-4-5; 40 4- 30 — 70, 70 -4-5 75; also 45 30 — 75. Das Zerlegen in Zehner und Einer darf übrigens nur anfänglich statt¬ finden; ist die Einsicht erreicht, dann müssen die Schüler sogleich zu der unzer- legtcn ersten Zahl die zweite dazuzählen, also kurz: 45 und 30 ist 75. Fertig¬ keit verlangt Kürze. Auch hier ist der Übergang von einem Hundert in ein anderes sorgfältig zn üben. Z. B. Wie viel ist 97 und 40? 97 und 10 ist 107, und 30 ist 137. 100 III. AbtlMmg. Die Schüler überzeugen sich bei diesen Übungen, dass die Zehner zn den Zehnern gezählt werden, die Einer aber ungeändert bleiben. Für die schriftlichen Übungen dienen auch hier vorzugsweise die Reihen. c) Zuzählcn von Zehnern nnd Einern. Wie viel ist 25 und 43? 25 und 40 ist 65, und 3 ist 68. — Hier werden zu der unzerlegten ersten Zahl zuerst die Zehner, dann die Einer der zweiten Zahl zugezahlt. Oder: 25 - 2 Z. -p- 5 E., 43 — 4 Z. 4- 3 E.; 2 Z. 4- 4 Z. - 6 Z., 5 E. 3 E. 8 E.; 5 Z. 4- 8 E. — 68. Die zweite Ausrechnnngsweise ist weitläufiger, sie bereitet jedoch auf das Zifferrechnen vor, indem die Schüler daran klar ersehen, dass Zehner zu Zehnern nnd Einer zn Einern zuznzählen sind. Für das mündliche Rechnen verdient das erste kürzere Verfahren schon darum den Vorzug, weil es gegen das Vergessen einzelner Theile der Rechnung schützt, worauf beim Kopfrechnen immer ein beson¬ deres Gewicht zu legen ist. Wenn zu einer Zahl eine zweite, welche Hunderte, Zehner und Einer ent¬ hält, zugezühlt werden soll, so zählt man zu der nnzerlegten ersten Zahl zuerst die Hunderte, dann die Zehner und endlich die Einer der zweiten Zahl dazu. Z. B. Wie viel ist 473 nnd 216? 473 nnd 200 ist 673, und 10 ist 683, nnd 6 ist 689. Da die Kinder zwei dreistellige Zahlen nicht leicht im Gedächtnisse be¬ halten können, so wird der Lehrer bei den Aufgaben dieser Art nicht zn lange verweilen; befähigtere Schüler sollen jedenfalls auch solche Aufgaben im Kopse zu lösen wissen. Vortheile beim Zuzählen im Kopfe. Bei der bisherigen Ausführung des Zitzählens haben wir überall das allge¬ meine Verfahren, welches sich bei allen Aufgaben derselben Art ohne Beschrän¬ kung anwenden lässt, angegeben. Es gibt aber auch Aufgaben von besonderer Be¬ schaffenheit, welche häufig wesentliche Erleichterungen in der Ausrechnung gewährt. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die eine Zahl nur wenig kleiner oder größer als ein voller Zehner oder ein volles Hundert ist. Dabei wird diese Zahl um so viel vermehrt oder vermindert, dass man gerade einen vollen Zehner oder ein volles Hundert erhält, und dann die andere Zahl um eben so viel vermindert oder vermehrt. Z. B. Addieren im Zcihlenraiimc bis 1000. 101 Wie viel ist 38 > 29? 65 -j- 78? 37 > 81? 48 -j- 26? 98 -tz- 114? 325 > 297? 502 -j- 435? ä) Die abgeleiteten Aufgaben haben die Bestimmung, neben dem Rechnen auch die klare Auffassung verschiedener Ausdrncksweiscn und die sprach¬ richtige Darstellung zusammengesetzter Satzformen, also das Denken und Sprechen zn üben. Die Antwort muss immer in einem vollständigen Satze erfolgen. s) Bei den angewandten Aufgaben hat der Lehrer unnachsichtlich darauf zu dringen, dass die Schüler vor der Ausrechnung immer die nöthigen Schlüsse bilden, und dabei hier, beim Zuzählen, das Wörtchen und betonen. Z. B. Ein Landmann hat 70 Schafe, er kauft noch 60 dazu; Ivie viel Schafe hat er dann? Der Landmann hat dann 70 und 60 Schafe, d. i. 130 Schafe. Z. 57. Schriftliches Md irren. Die schriftlichen Übungen, die bisher über das Zuzählen vorgenommen wurden, unterscheiden sich in der Form nicht vom mündlichen Rechnen, sie lehnen sich durch¬ gängig an das Verfahren des Kopfrechnens an. Hier soll nun das schriftliche Rechnen die bisherige Form verlassen und die ihm eigenthümliche Form annehmen, welche auf der Anordnung des Zehnersystems beruht und auch für die höheren Zahlenrüume ihre Giltigkeit behält. Ein wichtiger Gegensatz zwischen diesen beiden Rechnungsweisen besteht darin, dass man bei dem eigentlichen Zisferrechnen bei den Einern beginnt und von unten hinauf arbeitet, während beim Kopfrechnen bei der höchsten Stelle angefangen und von oben nach unten gearbeitet wird. Damit die Schüler eine klare Einsicht in den Gang des neuen schriftlichen Verfahrens gewinnen und den Grund desselben erkennen, müssen sie auf dieser Stufe angehalten werden, zn den einzelnen Ziffern stets auch die Benennung der dekadischen Ordnungen, als: Einer, Zehner, Hunderte beizufügen; erst bei den Operationen in den höheren Zahlenräumcn, wo es sich zugleich um das Schnell- rcchnen handelt, werden diese Benennungen weggelassen werden. s) Addieren ohne Übergang in höhere Ordnungen. Die Schüler haben schon aus den Übungen im Kopfrechnen ersehen, dass nur gleichnamige Zahlen zn einander gefügt werden können, nämlich Einer zu Einern, Zehner zu Zehnern, u. s. w. Sie begreifen daher auch, dass es am zweckmäßigsten fei, wenn man, um die gleichnamigen Zahlen leichter überblicken und zusammen¬ zählen zu können, dieselben gleich beim Anschreiben so stellt, dass Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, . . . zn stehen kommen. Es seien die Zahlen 32 und 53 znsammenzuzählen. Im Kopfe: Wir lassen 32 nnzerlegt, und zählen dazu zuerst die Zehner, dann die Einer der zweiten Zabl 53; also: 32 und 50 ist 82, und 3 ist 85. 102 III. Abtheiüing. Oder: Wir zerlegen beide Zahlen in Zehner und Einer, und zählen dann Zehner zu Zehnern und Einer zu Einern; also: 32 — 3 Z. 3 E-, 53 — 5 Z. -l- 3 E-, 3 Z. und 5 Z. sind 8 Z., 2 E. und 3 E. sind 5 E., 8 Z. und 5 E. sind 85. Schriftlich. 32 Wir schreiben Einer unter Einer und Zehner unter Zehner und zählen 53 zuerst die Einer zusammen: 3 E. und 2 E. sind 5 E., und schreiben 5 85 unter die Einer, ziehen aber, damit die neue Zahl von den gegebenen Zahlen abgesondert werde, noch früher einen Querstrich. Dann zählen wir die Zehner zusammen: 5 Z. und 3 Z. sind 8 Z., und schreiben 8 unter die Zehner. Wir erhalten also 8 Z. und 5 E. d. ist 85. Lässt man sodann das Znsammenzählen von oben herab vornehmen, hieraus zuerst die Zehner und dann die Einer znsammenzählen, so werden sich die Schüler überzeugen, dass man in jedem Falle dieselbe Zahl bekommt. Nun werden die Schüler mit den technischen Ausdrücken bekannt gemacht. Ihr habet hier die Zahlen 32 und 53 zusammengezählt. Zwei oder mehrere Zahlen znsammenzählen, heißt auch addieren. Welche Zahlen habet ihr also hier addiert? Die Zahlen, welche zusammengezählt werden, heißen Posten oder Summanden. Aus wie vielen Posten besteht unsere Rechnung? Wie heißt der erste Posten, von oben nach unten gezählt? Wie heißt der zweite Posten? Welche Zahl habet ihr durch das Znsammenzählen gefunden? Diese Zahl heißt die Summe. Was ist mehr: 32 und 53, oder 85? Die Summe ist nur eine Zahl, und diese eine Zahl ist genau so groß, als die addierten Zahlen zusammengenommen. Diese Ausdrücke werden, damit sie den Schülern recht geläufig werden, bei den folgenden Aufgaben wiederholt gebraucht. K) Addieren mit Übergang in höhere Ordnungen. 68 -i- 24 — ? Im Kopfe: 68 und 20 ist 88, und 4 ist 92. Schriftlich. 68 Wir addieren zuerst die Einer: 4 E. und 8 E. sind 12 E-, oder 1 Z. 24 und 2 E.; die 2 E. kommen an die Einerstelle, 1 Z. wird zu den vor- 92 handenen Zehnern gezählt. 1 Z. und 2 Z. sind 3 Z., und 6 Z. sind 9 Z.; die 9 setzen wir an die Zehnerstelle. Wie viel betrügt also die Summe? 9 Z. 2 E. — 92. Dann lasse man die Addition bei den Zehnern beginnen. 2 Z. und 6 Z. sind 8 Z.; diese schreiben wir in die Zehnerstelle. Nun addieren wir die Einer: 4 E. und 8 E. sind 12 E. oder 1 Z. und 2 E.; die 2 E. setzen nur an die Einerstelle. Wohin kommt aber 1 Z. zu stehen? An die Zehnerstelle können wir ihn nicht setzen, weil dort schon 8 Z. stehen; wir werden daher I Z. zu den bereits erhaltenen 8 Z. zählen, also die schon angeschriebene Ziffer 8 weglöschen und dafür Addieren im Zahlenraume bis 1000. 103 9 setzen. Diese Verbesserung ist nicht nvthig, wenn inan bei den Einern zn addieren anfängt. Daraus ersehen die Schüler, dass es an: zweckmäßigsten sei, die schriftliche Addition immer bei den Einern zu beginnen. 245 Ebenso verfahren wir bei dreistelligen Zahlen. Z. B. 118 9 E. und 7 E. sind 16 E., und 8 E. sind 24 E., und 5 E. sind 207 29 E., oder 2 Z. nnd 9 E.; die 9 E. werden an die Einerstelle ge- 339 schrieben, die 2 Z. zu den gegebenen Zehnern weiter gezählt. 909 2 Z. und 3 Z. sind 5 Z., und 1 Z. sind 6 Z., und 4 Z. sind 10 Z. — 1 H. 0 Z.; wir setzen an die Zehnerstelle eine Null nnd zählen 1 H- zu den vorhandenen Hunderten. 1 H. und 3 H. sind 4 H., nnd 2 H. sind 6 H., und 1 H. sind 7 H. und 2 H. sind 9 H.; 9 schreiben wir an die Stelle der Hunderte. 3. WrgMlrn oder Subtrahieren. 8. siH. WtMhleu im üopfr. Der Stufengang, den wir hier befolgen, entspricht vollständig demjenigen beim Zuzählen im Kopfe. a) Wegzählen von Einern. Zur Einübung des Wegzählens von 2 und den folgenden Grundzahlen können auch hier sehr vortheilhaft die Reihen benutzt werden. 100 — 2 — 98, 98 — 2 — 96, 96 — 2 — 93. . . . bis 0; 99 — 2 — 97, 97 -- 2 — 95, 95 -- 2 — 94, . . . bis 1. Ebenso in den höheren Hunderten: 200 — 2 — 198, 198 — 2 — 196, ... bis 100;' 799 — 2 — 797, 797 — 2 — 795, ... bis 701. Ferner: 3 — 2 — 1, 13 — 2 — 11, 23 — 2 — 21, .. . 7 — 2 — 5, 17 — 2 — 15, 27 — 2 — 25, . . . n. s. w. Ähnliche Übungen werden beim Wegzählen von 3, 4, 5, ... 9 vvrgenvmmen. Zum Schlüsse lasse man abwechselnd zwei Zahlen wegzählen, oder eine Zahl Die mündlich vorgenvmmencn Übungen werden auch schriftlich wiederholt. 104 III. Abteilung. b) Wegzählcn der Zehner. 60 — 20 — ? Zuerst ausführlich: 60 sind 6 Z., 20 sind 2 Z.; 6 Z. weniger 2 Z. sind 4 Z. oder 40; also 60 weniger 20 ist 40. Dann ohne Zahlwerte sogleich: 60 weniger 20 ist 40. Ebenso mit Hunderten. 800 — 300 — ? 800 sind 8 H., 300 sind 3 H.; 8 H. weniger 3 H. sind 5 H. oder 500. — Dann kurz: 800 weniger 300 ist 500. Wenn beim Wegzählen der Zehner der Übergang aus einem Hundert in das andere' eintritt, zähle man von der ersten Zahl zuerst so viele Zehner weg, dass man das reine Hundert erhält, und dann von diesem die noch übrigen Zehner. Z. B. Wie viel ist 130 weniger 50? 130 weniger 30 ist 100, weniger 20 ist 80; also 130 — 50 — 80. Wie viel ist 76 weniger 40? Anfangs: 76 — 70 4- 6; 70 — 40 — 30, 30 4- 6 — 36, also 76 — 40 — 36. Später lässt man die erste Zahl unzerlegt und zählt von ihr sogleich die Zehner der zweiten weg; nämlich: 76 weniger 40 ist 36. Die Schüler überzeugen sich dabei, dass die Zehner von den Zehnern weg- gezühlt werden, die Einer aber unverändert bleiben. Wie viel ist 187 — 50? 334 — 20? 768 — 60? 340 — 200? 775 — 400? Nun werden auch Aufgaben vorgelegt, bei denen ein Durchgang durch das Hundert stattfiudet. Z. B. Wie viel ist 234 weniger 40? 234 weniger 30 ist 204, weniger 10 ist 194. e) Wegzählcn der Zehner und Einer. Wie viel ist 65 weniger 41? Wir lassen die Zahl 65 unzerlegt und zählen von ihr zuerst die Zehner, danu die Einer der zweiten Zahl weg; nämlich: 65 weniger 40 ist 25, weniger 1 ist 24. Oder: 65 — 6 Z. 4- 5 E., 4l — 4 Z. 4- 1 E.; 6 Z.— 4 Z. — 2 Z., 5 E. — 1 E. — 4 E.; 2 Z. -s- 4 E. — 24. Das erste Verfahren ist kürzer und für das Kopfrechnen vortheihafter, das zweite gewährt den Schülern die Einsicht, dass Zehner von Zehnern, Einer von Einern weggezählt werden, und bereitet dadurch auf das Zifferrechnen vor. Das gleiche Verfahren gilt beim Wegzählen dreistelliger Zahlen. Man lässt die erste Zahl unzerlegt, und zählt von ihr zuerst die Hunderte, dauu die Zehner, endlich die Einer der zweiten Zahl weg. Z. B.: Wie viel ist 791 weniger 548? 791 weniger 500 ist 291, weniger 40 ist 251, weniger 8 ist 243. Subtrahieren im Zahlcnrauine bis 1000. 105 Die Übungen der letzteren Art sind schwierig und dürfen, damit sie nicht ermüden, nicht zn weit getrieben werden. Vortheile beim Wegzählen im Kopfe. Wie beim Zuzählen, ebenso lässt sich auch beim Wegzählen im Kopfe die Rechnung öfters dadurch vereinfachen, dass man unbequeme Zahlen in andere, das Resultat nicht ändernde bequeme Zahlen verwandelt nnd sodann mit diesen rechnet. Hier ist vor allem nöthig, den Schülern den Satz zur Klarheit zu bringen, dass sich der Unterschied ganz gleich bleibt, ob derselbe zwischen den gegebenen, oder zwischen den nm gleichviel vergrößerten oder um gleichviel verkleinerten Zahlen bestimmt wird. Nehmen wir die Zahlen 85 nnd 65, so ist 85 — 65 — 20: vergrößern wir die beiden Zahlen nm 5, so so ist auch 90 — 70 — 20; ver¬ kleinern wir die Zahlen um 5, so ist auch 80 — 60 — 20; der Unterschied ändert sich also nicht. Dasselbe ist an mehreren Beispielen zu zeigen. Durch die Anwendung dieses Satzes lassen sich nun die gegebenen Zahlen so verwandeln, dass jedesmal nur reine Zehner wegzuzählen sind. Z. B.: 46 — 28 — 48 — 30 — 18, 95 — 32 — 93 — 30 — 63, 148 — 73 — 145 — 70 — 75, 853 — 298 — 855 — 300 — 555. Wie viel ist 69 — 43? 86 — 68? 75 — 31? 82 — 66? 197 — 54? 208 — 85? 477 — 97? 632 — 303? Auf diese vortheilhaftere Berechnung sind die Schüler, wenn sie nicht von selbst darauf kommen, durch entsprechende Fragen hinzuleiten, jedoch erst dann, wenn sie die allgemein anwendbare Rechnnngsweise richtig erfasst nnd vielseitig geübt haben. ä) Bei den angewandten Aufgaben sind die Schüler anzuhalten, die zur Auflösung erforderlichen Schlüsse klar und bündig auszusprechen. Z. B.: Eine Kiste mit Feigen wiegt 84 ///, die Kiste allein wiegt 9 />^; wie viel wiegen die Feigen? Auflösung. Die Feigen und die Kiste wiegen zusammen 84 /e//; das Gewicht erhält man, wenn man von dem ganzen Gewichte, 84 Z-F, das Gewicht der Kiste, 9 /,A, wegzählt. Die Feigen wiegen also 84 />>/, weniger 9 /> 5 E. — 35. Schriftlich. 58 Wir schreiben Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, und zählen zuerst 23 die Einer, dann die Zehner weg. 3 E. von 8 E. bleiben 5 E.; 2 Z. von 35 5 Z. bleiben 3 Z. Wir erhalten also 3 Z. und 5 E. — 35. Sollten die Schüler, Ivie sie es vom Kopfrechnen her gewohnt sind, zuerst die Zehner, dann die Einer wegzählen wollen, so lasse man es angehen; sie über¬ zeugen sich, dass auch da dieselbe Zahl herauskommt. Eine Zahl von einer andern wegzühlen, heißt subtrahieren; hier wurde also 23 von 58 subtrahiert. Vou welcher Zahl wurde hier weggezählt? Diese Zahl, 58, heißt Minuend. Welche Zahl wurde vou 58 weggezühlt? Diese Zahl, 23, heißt Subtrahend. Und welche Zahl ist übrig geblieben? Diese Zahl, 35, wird der Rest genannt. Da der Rest 35 anzeigt, um wie viel sich 58 und 23 von einander unterscheiden, so heißt er auch der Unterschied (die Differenz). IP Subtrahieren mit Übergang in andere Ordnungen. Um z. B. 37 von 82 wegzuzählen, setzen wir die gleichnamigen Stellen unter einander und beginnen bei den Einern zu subtrahieren. 7 E. können von 82 2 E. nicht weggezählt werden. Was würdet ihr thun, wenn ihr 7 Kr. 37 bezahlen solltet, und bloß 2 Kr., aber auch Zehnkreuzerstücke hättet? Ebenso 45 werdet ihr es hier machen; ihr werdet von den 8 Zehnern einen Zehner entlehnen oder borgen, und denselben in Einer verwandeln. Wie viele Zehner Subtrahieren im Zahlenraumc bis 1000. 107 Waren im Minuend da? Und wenn ihr davon einen borget, wie viele Zehner bleiben noch? Im Minuend sind also jetzt nicht mehr 8, sondern nur 7 Zehner: um dieses anzuzeigen, setze man über 8 einen Punkt, den Borgepunkt. Nun kann subtrahiert werden. Wie viele Einer gibt der geborgte Zehner? Und die vor¬ handenen 2 Einer dazu, sind 12 Einer; von diesen 12 E. sind 7 E. wegznzählen: 7 E. von 12 E. bleiben 5 E. Was bedeutet 8 mit dem Borgepunkte? Wir haben also: 3 Z. von 7 Z. bleiben 4 Z. Wie groß ist der ganze Rest? Würden die Schüler das Wegzählen bei den Zehnern anfangen, so hätten sie: 3 Z. von 8 Z. bleiben 5 Z.; 7 E. kann man von 2 E. nicht wegnehmen, man muss von den übriggebliebenen 5 Z. einen Z. borgen; dann bleiben nur noch 4 Z., und man müsste die im Reste schon angeschriebenen 5 Zehner weg- lvfchen und dafür 4 Z. setzen; u. s. w. Ein solches Verbessern schon geschriebener Ziffern würde, wenn man bei der höchsten Stelle zu subtrahieren beginnt, jedesmal eintreten, so oft man borgen muss; dagegen tritt es niemals ein, wenn man das Wegzählen bei den Einern anfängt. Die Schüler sehen daher ein, dass es beim Zifferrechnen zweckmäßiger sei, das Subtrahieren jedesmal bei den Einern anzufangen. Ebenso verfährt mau, wenn bei den Hunderten entlehnt wird. Z. B. 359 7 E. von 9 E. bleiben 2 E., 6 Z. kann ich von 5 Z. nicht weg- 167 nehmen, ich borge 1 H., dieses gibt 10 Z., und 5 Z. find 15 Z., 6 Z. 192 von 15 Z. bleiben 9 Z.; 1 H. von 2 H. (3 mit dem Borgepunkte be¬ deutet nur 2) bleibt 1 H. Eine besondere Berücksichtigung verdient noch der Fall, wenn die Stelle des Minnends, von welcher entlehnt werden soll, eine Null enthält. Z. B. Wie viel ist 705 — 248? 705 8 E. kann ich von 5 E. nicht wegnehmen, ich sollte 1 Z. entlehnen, 248 aber es sind keine Zehner da; ich borge daher bei den 7 H. ein Hundert, 457 es bleiben dort noch 6 H., was ich durch einen Punkt über 7 andeute. Das geborgte Hundert gibt 10 Zehner, welche an die Stelle der 0 kommen; von diesen 10 Z. borge ich nun 1 Z., es bleiben noch 9 Z., und das deute ich durch einen Punkt über 0 (eigentlich 10) au. Der entlehnte Zehner hat 10 Einer, und die bereits vorhandenen 5 E. dazu, sind 15 Einer. Ich habe dann: 8 E. von 15 E. bleiben 7 E.; 4 Z. von 9 Z. bleiben 5 Z.; 2 H. von 6 H. bleiben 4 H. — Die Schüler gewinnen dabei die Einsicht, dass Null mit dem Borge¬ punkte (0) 9 bedeutet. 4. Vervielfachen oder Multiplicieren. 8- (iv. Vervielfachen im klopfe. a) Vervielfachen von Einern mit Einern. Die Grundlage des Vervielfachens, das Einmaleins, ist schon in den ein¬ zelnen Zehnennäumen des ersten Hunderts zur Veranschaulichung und vielseitigen 108 III. Abthcilung. Übung gelangt. Damit sich jedoch dasselbe unverlierbar dem Gedächtnisse der Schüler einpräge, wird hier eine Wiederholung nm so zweckmäßiger erscheinen, als ja überhaupt das Neue an Bekanntes angeknüpft werden muss. Die hier vorzunehmendeu Übungen enthalten: derselben Grundzahl mit allen Grund- Die Vielfachen jeder Gruppe werden zuerst in der Ordnung bald von ein¬ zelnen Schülern, bald im Chor durchgesprochen, dann außer der Reihenfolge an¬ gegeben und bis zur vollsten Geläufigkeit wiederholt. Zu diesen Übungen können sogleich einfache Anwendungen dazutreten; z. B.: 1 Semmel kostet 2 Kr.; 2 Semmeln kosten 2 X 2 Kr. oder 4 Kr.; 3 „ ,, 3 X 2 „ „6 „ „ 4X2 „ „ 8 „ u. s. w. 1 Woche hat 7 Tage; 2 Wochen haben 2X7 Tage vder 14 Tage; 3 „ „3X7 „ „ 21 „ 4 X 7 „ „ 28 ', u. s. w. K) Vervielfachen von reinen Zehnern oder reinen Hnnderten mit Einern. Wie viel ist 2mal 30? Anfangs: 30 sind 3 Z., 2mal 3 Z. sind 6 Z. oder 60. Später sogleich: 2mal 30 ist 60. Ebenso: 2 X 300 — 2 X 3 H. — 6 H. — 600. Wie viel ist 4 X 200? 3 X 300? 2 X 500? Auch hier empfehlen sich Anwendungen in Reihen; z. B. 1 Hektoliter kostet 40 fl.; 2 Hektoliter kosten 2 X 40 fl. oder 80 fl.; 3 „ „ 3 X 40 „ „ 120 „ 4 „ „ 4 X 40 „ „ 160 „ u. s. w. Multipliciercn im Zahlmraume bis 1000. 109 <0 Vervielfachen von Zehnern und Einern. Wie viel ist 2mal 34? 2mal 30 ist 60, 2mal 4 ist 8, 60 und 8 ist 68. Es werden also zuerst die Zehner, dann die Einer 2mal genommen und dann die beiden Vielfachen znsammengezählt. Ebenso bei dreistelligen Zahlen. Wie viel ist 2mal 426? 2mal 400 ist 800; 2mal 20 ist 40, 80 und 40 ist 840; 2mal 6 ist 12, 840 und 12 ist 852. Anwendungen: 1 Jahr hat 12 Monate; 2 Jahre — 2 X 12 Monate oder 24 Monate; 3 „ —3X12 „ „ 36 „ u. s. w. ä) Vervielfachen mit reinen Zehnern. Hier ist zunächst das Vervielfachen mit 10 und mit 100 zu üben. 10 X 10 — 10 X 1 Z. — 10 Z. — 100, 10 X 20 — 10 X 2 Z. — 20 Z. — 200, 10 X 30 — 10 X 3 Z. — 30 Z. — 300, n. s. w. Ist die Einsicht erreicht, so sprechen die Schuler kurz: 10 X 10 — 100, 10 X 20 — 200, 10 X 30 — 300 u. s. w. Um das Vervielfachen mit 20 zum klaren Verständnis zu bringen, schicke man folgendes voraus: 20 ist l Omal so viel als 2. Wenn ich daher eine Zahl 20mal nehme, so habe ich lOmal so viel, als wenn ich sie 2mal nehme. Eine Zahl wird also 20mal genommen, wenn ich sie 2mal nehme und das Zweifache von ihr lOmal nehme. Z. B. Wie viel ist 20mal 4? 2 X 4 — 8, 20 X 4 ist lOmal so viel, also 10 X 8 oder 80. Ebenso verfährt man beim Vervielfachen mit 30, 40, 50, . . . 90. Sind Einer mit reinen Hunderten, oder reine Zehner mit reinen Zehnern, oder endlich Zehner und Einer mit reinen Zehnern zu vervielfachen, so sind es dieselben Schlüsse, nach denen die Rechnung vollzogen wird. Z. B. Wie viel ist 200mal 3? 2 X 3 — 6, 200 X 3 ist lOOmal so viel, also 100 X 6 — 600. Wie viel ist 30mal 20? 3 X 20 — 60; 30mal 20 ist lOmal so viel, also 10 X 60 — 600. Wie viel ist 60mal 12? 6 X 12 — 72; 60mal 12 ist lOmal so viel, also 10 X 72 — 720. Eine sorgfältige Behandlung dieser und ähnlicher Aufgaben wird das spätere Zifferrechnen Vortheilhaft unterstützen. Alan halte darauf, dass die Schüler ihre Schlüsse genau und bündig aussprechen. e) Vervielfache» mit Zehner» »nd Einern. Sind Einer mit Zehnern und Einern zn vervielfachen, so vervielfacht man sie zuerst mit den Zehnern, dann mit den Einern, und zählt die beiden Vielfachen zusammen. Z. B. 110 III. Abthcilung. Wie viel ist I2mal 7? lOmal 7 ist 70, 2mal 7 ist 14, 70 und 14 ist 84. Wenn eine zweistellige Zahl mit Zehnern und Einern zu vervielfachen ist, lässt man die erste Zahl unzerlegt, vervielfacht sie mit den Zehnern, dann mit den Einern, und zählt die gefundenen Zahlen zusammen. Z. B. Wie viel ist I3mal 24? lOmal 24 ist 240, 3mal 24 ist 72, 240 und 72 ist 312. Wenn die zweistellige Zahl, nut welcher vervielfacht werden soll, selbst ein Vielfaches einer andern Zahl ist, so kann das Vervielfachen oft erleichtert werden. Mit diesem Vorth ei le können hier die Schüler bekannt gemacht werden. Wenn ich 6 3mal nehme, so erhalte ich 18. Wenn ich das 6fache einer Zahl 3mal nehme, so erhalte ich das 18fache dieser Zahl. Um also eine Zahl 18mal zu nehmen, nehme ich sie zuerst 6 mal, und das 6fache von ihr noch 3mal. Z- B. Wie viel ist 18mal 9? Das 18fachc ist 3mal so viel als das öfache; 6mal 9 ist 54, 3mal 54 ist 162. Ebenso: Das 12fache ist 3mal so viel als das 4fache. 15 3 5 36 „ „ 4 „ „ „ „ „ 9 „ 49 „ „ / „ „ „ „ „ 7 „ u. s. w. Wie viel ist 12 X 8? 21 X 4? 63 X 5? 81 X 6? 15 X 17? 32 X 23? 42 X 19? I) Angewandte Aufgaben. Dieselben sind hier sämmtlich Schlussrechnungen, die durch das Ver¬ vielfachen gelöst werden. Über die Behandlung der Schlussrechnungen enthält der Anhang zu der III. Abtheilung FZ. 66 — 73 ausführlichere Bemerkungen. An dieser Stelle sind insbesondere durchzuüben: 1. Aufgaben über die Verwandlung von Münzen, Blaßen und Gewichten auf eine niedrigere Benennung (das Reducieren.) 2. Aufgaben, deren Lösung ein einfacher Schluss von der Einheit auf die Mehrheit zu Grunde liegt. (Z. 67, s.) 3. Aufgaben, welche durch Anwendung von Vortheilen gelost werden. (Z- 67, b.) ' 4. Aufgaben, bei denen die Rechnung durch Zerlegung der Kreuzer in Zehner und Kreuzer ausgeführt wird. (Z. 67, 6.) 5. Aufgaben, welche nach dem Schlüsse von der Mehrheit auf ein Vielfaches derselben berechnet werden. (tz. 68, a.) 6. Einige Aufgaben, welche auf umgekehrten Verhältnissen beruhen, (ß. 68, 6.) Multipliciercn im Zahlenraumc bis 1000. lil Z. 61. Schristlichrs Multiplicinrn. kO Multipliciercn mit Einern. Zurrst werden Aufgaben behandelt, wo kein Übergang in eine höhere Ord¬ nung stattfindet. Z. B. Wie viel ist 3mal 32? 32 Um an Bekanntes anzuknüpfen, betrachten wir das Multiplieieren 32 zunächst als ein wiederholtes Addieren, nnd schreiben die Zahl 32 3mal 32 unter einander; wir erhalten: 2 E. und 2 E. sind 4 E., und 2 E. sind 96 6 E.; 3 Z. und 3 Z. sind 6 Z., und 3 Z. sind 9 Z. 32 Durch das Vervielfachen kann die Rechnung abgekürzt werden. Wir 3 setzen die Zahl 32 nur einmal; dass sie 3mal genommen werden soll,. 96 zeigen wir dadurch an, dass wir die Ziffer 3 darunter schreiben. Wir sagen dann kürzer: 3mal 2 E. sind 6 E.; 3mal 3 Z. sind 9 Z. Diese abgekürzte Art des Addierens nennt man das Vervielfachen oder Multiplicieren. 32 3mal nehmen heißt also 32 mit 3 multiplicieren. Welche Zahl wurde hier mehrmal genommen? Diese Zahl heißt der Multi¬ plikand. Wie oftmal wurde 32 genommen? Diese Zahl, welche anzeigt, wie vielmal eine andere genommen wird, heißt der Multiplicator. Multiplikand und Multiplicator heißen auch Faktoren. Welche Zahl erhalt man, wenn man 32 3mal nimmt, oder 32 mit 3 multipliciert? Diese Zahl heißt das Product. Da die Schüler auf diese Art die Multiplikation als eine abgekürzte Addi¬ tion kennen lernen, so sehen sie leicht ein, dass man auch hier, wie beim schrift¬ lichen Addieren, die Rechnung bei den Einern anfangen müsse. Wenn man auch eiueu einstelligen Multiplikator gewöhnlich nicht anzu¬ schreiben pflegt, so wird es Anfängern doch zu gestatten sein, dass sie der unmit¬ telbaren Anschauung wegen denselben unter den Multiplikand setzen. Nun werden wir auch den Fall behandeln, wo ein Übergang in höhere Ordnungen stattfindet. Z. B. Wie viel ist 5mal 127? Im Kopfe: 5mal 100 ist 500, 5mal 20 ist 100, 500 und 100 ist 600p 5mal 7 ist 35, 600 und 35 ist 635. 127 Beim Zifferrechnen multipliciercn wir zuerst die Einer, dann die 5 Zehner, endlich die Hunderte. 5mal 7 E. sind 35 E. oder 3 Z. und 635 5 E.; die 5 E. schreiben wir unter die Einer, die 3 Z. aber vereinigen wir mit den Zehnern des Produktes. 5mal 2 Z. sind 10 Z., und die im Sinne behaltenen 3 Z. dazu, sind 13 Z. oder oder 1 H. und 3 Z.; 3 Z. schreiben wir unter die Zehner, 1 H. vereinigen wir mit den Hunderten. 5mal 1 H. sind. 5 H., und 1 H. sind 6 H. U) Multiplicieren mit reinen Zehnern. Wie viel ist lOmol 54? 112 III. Abstellung. 54 lOmal 4 E. sind 40 E. oder 4 Z.; lOmal 5 Z. sind 50 Z. oder 10 5 H. Beim Multiplieieren mit 10 rückt also jede Ziffer in die nächst 540 höhere Ordnung vor. (Wir finden dasselbe Verhältnis auch bei benaunteu Zahlen, z. B. lOmal 1 kr. ist 1 Zehner, lOmal 1 Zehner ist 1 Gulden.) Die Ziffern bleiben dieselben; nur muss die Ziffer 4, damit sie 4 Z. gelte, in die zweite, und die Ziffer 5, damit sie Hunderte gelte, in die dritte Stelle kommen. Dies alles geschieht einfach dadurch, dass mau der Zahl rechts eine Null anhüngt. Wie viel ist 30mal 27? 27 Um eine Zahl 30mal zu nehmen, nehme ich sie zuerst 3mal, und 30 das 3fache von ihr noch lOmal; ich multipliciere also die Zahl 27 mit 3 810 und rücke jede Ziffer des Prodnetes 81 in die nächst höhere Stelle, welches dadurch geschieht,'dass ich dem Prvducte zur Rechten eine Null anhänge. e) Mnlli-licieren mit Zehnern und Einern. Die Aufgaben können sich hier, da 1000 nicht überschritten werden darf, nnr in einem beschränkten Kreise bewegen, sie reichen aber immerhin ans, nm das Verfahren zu erläutern und cinznüben. Wie viel ist 26mal 36? 36 Um 36 26mal zn nehmen, nehmen wir 36 zuerst 6mal, dann 26 20mal, und zählen beides zusammen. 6mal 36 ist 216; nämlich: 6mal 216 6 E. sind 36 E. oder 3 Z. und 6 E.; 6mal 3 Z. sind 18 Z., dazu 3 Z. 72 . sind 21 Z. oder 2 H. und 1 Z. Um 20mal 36 zu erhalten, nehmen 036 wir 36 zuerst 2mal, und dann das 2fnche noch lOmal; 2mal 36 ist 72; das zweifache 72 wird lOmal genommen, indem wir die Einer zu Zehnern und die Zehner zu Hunderten machen, also jede Ziffer um eine Stelle weiter gegen die Linke schreiben. Wir haben dann: 6 E.; 2 Z. und 1 Z. sind 3 Z.; 7 H. und 2 H. sind 9 H. Das Product ist also 936. 2. Vas Messen in: Kopfe. Die Aufgaben des Messens nnd des Theilens im Kopfe müssen hier noch auseinander gehalten und jede auf ihre besondere Art behandelt werden, wenn Klarheit und Einsicht erreicht werden soll. Durch das Messen soll gefunden werden, wie oft eine Zahl in einer andern Zahl enthalten ist. Über die Ausführung dieser Operation sind schon auf den früheren Stufen zahlreiche Übungen oorgenommen worden. Hier handelt es sich um die Wiederholung und- eine angemessene Erweiterung. 1 1 l l -0 Messen durch Einer, wenn auch im Resultate blotz Einer erscheinen. Die hierher gehörigen Übungen, nämlich ist in 1 Imal enthalten „,,22 3 3 „„44 u. w. . 2 ist in 2 Imal enthalten 2 „ „ 4 2 „ 2 , „ 8 4 „ u. s w. u. s. w. beruhen auf der Umkehrung des Einmaleins. Z. B. Wie oft ist 2 in 12 ent¬ halten? — 12 ist wie vielmal 2? Von 12 lässt sich also 2 6mal wegnehmen, oder 2 ist in 12 6mal enthalten. Die oben angedenteten Reihenfolgen können daher am zweckmäßigsten in Verbindung mit dem Einmaleins wiederholt werden. Z. B. Imal 3 ist 3, also ist 3 in 3 Imal enthalten; 2 „ 3 „ 6, „ „ 3 „ 6 2 3 „ 4 9, „ „ g „ 9 Z 4 „ 3 „ 12, , ,3 „ 12 4 u. s. w. Diese Übungen, welche die Grundlage für das schriftliche Dividieren bilden und darum bis zur größten Sicherheit zu wiederholen sinv, umfassen die Fälle, wo beim Messen kein Rest übrig bleibt. Nun folgen Aufgaben, wo beim Messen ein Rest übrig bleibt. Wie ost ist 5 in 23 enthalten? — Wie vielmal 5 ist 23? 23 ist 4mal 5 und 3. Wie oft lässt sich daher 5 von 23 wegnehmen? Und wie viel bleibt übrig. Wie vielmal 6 ist 19? 19 ist 3mal 6 und 1; 6 ist also in 19 3mal ent¬ halten, mit dem Reste 1. Die schriftlichen Übungen schließen sich genau an die mündlichen an. In Beziehung auf die Bezeichnungsart des Messens erscheint es an der Zeit, anstatt der im Zahlenkreise bis 100 gebrauchten Ausdrncksweise: 4 in 20 — 5, welche gelesen wurde: 4 in 20 ist 5mal enthalten, weiterhin die richtigere Anschreibweise 20 : 4 — 5 einzuführen. Moi nik, Rcchenmtterricht. 5. Aufl. 114 III. Abtheilung. b) Messen dnrch Einer, wenn das Resultat 1v oder mehr als 1v beträgt. Wie oft ist 2 in 20, 8 in 30, 4 in 40, ... 9 in 90 enthalten? Wie ost ist 2 in 200, 3 in 300, ... 9 in 900 enthalten? Wie oft ist 4 in 80 enthalten? — 4 ist in 8 E. 2mal, in 8 Z. lOmal so oft, also 20mal enthalten. Wie oft ist 6 in 240 enthalten? — 6 ist in 24 E. 4mal, in 24 Z. lOmal so oft, also 40mal enthalten. Nach mehreren solchen Übungen sprechen die Schüler kurz: 4 ist 80 20mal enthalten, 6 ist in 240 40mal enthalten, u. s. w. Enthält die Zahl, welche gemessen werden soll, nicht bloß Zehner oder Hun¬ derte, so muss sie in eine größere und eine kleinere Zahl so zerlegt werden, dass die größere reine Zehner enthält, die ein Vielfaches der Einer sind, durch welche man messen soll. Z. B.: Wie oft ist 3 in 69 enthalten? — Wir zerlegen 69 in 60 und 9, und folgern: 3 ist in 60 20mal, in 9 3mal, in 6st also 23mal enhalten. Wie ost ist 6 324 enthalten? — 324 wird zerlegt in 300 und 24; 6 ist in 300 50mal, in 24 4mal, in 324 also 54mal enthalten. Die Reste machen keine Schwierigkeiten. Z. B.: Wie oft ist 7 in 304 enthalten? — Wir zerlegen 304 in 280 und 24; 7 ist in 280 40mal, in 24 3mal enthalten, mit dein Reste 3; 7 ist also in 304 43mal enthalten und es bleibt 3 als Rest. e) Messen durch Zehner und Einer. Wie oft ist 10 in 20, in 30, 40, .... 90 enthalten? Wie ost ist 20 in 160 enthalten? - - 20 sind 2 Z., 160 sind 16 Z., 2 Z. sind in 16 Z. ebenso oft, als 2 E. in 16 E., also 8mal enthalten. Wie oft ist 30 in 270 enthalten? — 3 Z. sind in 27 Z. eben so oft als 3 in 27, also 9mal enthalten. Das Messen dnrch Zehner und Einer beschränken wir, da dasselbe eine sichere Kenntnis der Vielfachen der höheren Zahlen voraussetzt, auf das Messen durch die Zahlen 11 und 12, von denen die Vielfachen leicht zu merken sind. Wie viel ist 2mal, 3mal, . . . 9mal 11? Wie oft ist daher 11 in 22, in 33, . . . 99 enthalten? Wie viel ist 2mal, 3mal, . . . 9mal 12? Wie oft ist daher 12 in 24, 36, . . . 108 enthalten? ä) Angewandte Aufgaben. Hierher gehören: 1. Übungen im Reducieren der Münzen, Maße und Gewichte. 2. Verschiedene praktische Anwendungen des Messens. 3. Schlussrechnungen, in denen eine Zerlegung der Kreuzer im Preise der Einheit in Guldentheile (Gulden) und Kreuzer c i li¬ tri tt. (Z. 67, ä.) Dividieren im Zahlenraume bis 1000. 115 8. 63. Das Thtilrn im Kopfe. Durch das Theilen soll eine Zahl in mehrere gleiche Theile zerlegt und die Größe eines solchen Theiles bestimmt werden. a) Theile» durch Einer, wenn auch im Resultate bloß Einer erscheinen. Zuerst werden die Begriffe „ein Halbes, ein Drittel, ein Viertel, " wiederholungsweise veranschaulicht. Dann übt man nach der Reihe die fol- Nun folgen Aufgaben, wo das Theilen auf einen Bruch führt. Z. B. Wie viel ist z von 25? — 25 ist 24 und 1; z v. 24 ist 8, z v. 1 ist i H von 25 ist also 8^. Wie viel ist s v. 39? — 39 ist 36 und 3; -s v. 36 ist 9, v. 3 ist 2, v. 39 ist also 9H. Zur Wiederholung kann hier auch das Theilen in Verbindung mit dem Vervielfachen vorgenommen werden. Z. B. Wie viel ist 3mal der 4te Theil von 32, oder wie viel ist H v. 32? — v. 32 ist 8, § v. 32 ist also 3mal 8, d. i. 24. K) Theilen durch Einer, wenn das Resultat 10 oder mehr als 18 beträgt. Wie viel ist von 20, z von 30, -s von 40, . . . z von 90? Wie viel ist z von 200, z von 300, s von 400, . . . z von 900? Wie viel ist ; von 60? — z von 6 Z. sind 2 Z. oder 20. Wie viel ist 1 von 96? — H v. 90 ist 30, v. 6 ist 2, v. 96 ist also 32. Wie viel ist ,j von 52? — 52 ist 40 und 12; -j v. 40 ist 10, 4 v. 12 ist3, ,j v. 52 ist also 13. e) Theilen durch Zehner, durch Zehner und Einer. Im Kopfe lösbar ist hier im allgemeinen nur das Theilen durch reine Zehner (als Vielfache von 10) und das Theilen durch solche zweistellige Zahlen, welche im Einmaleins als Vielfache vorkommen. Wir beschränken uns daher auf Aufgaben dieser Art, schicken jedoch, da hier ein zweimaliges Theilen nothwendig ist, zur Begründung einige einleitende Übungen voraus. 8* 116 IH. Abtheilung. Theile ich Ganzes (eine Linie, ein Stäbchen, einen Papierstreifen) in 3 gleiche Theile, so erhalte ich 3 Drittel. Theile ich jedes Drittel in 4 gleiche Theile, so erhalte ich 3mal 4 oder 12 gleiche Theile. Jeder solche Theil ist daher ein Zwölftel, Um also den 12ten Theil eines Ganzen zu erhalten, suche ich zuerst den dritten Theil, und von diesem Drittel den 4ten Theil. st§ könnte ich auch erhalten, wenn ich zuerst P und dann st von j bestimme. Was für Theile einer Linie erhalte ich, wenn ich dieselbe zuerst in 5 gleiche Theile, und jeden solchen Theil noch in 3 gleiche Theile theile? Um also st.?, zn erhalten, suche ich zuerst 1,, und dann st von Ebenso wird den Schülern veranschaulicht, dass st- — st von st, st? — st von st, st^ — st von stn u. s. w. ist. Durch ähnliche Schlussfolgerungen wird den Schülern auch klar gemacht, dass der IVte Theil von 1 Zehntel 1 Hundertel und der lOte Theil von 1 Hun¬ dertel 1 Tausendtel ist. Ist dieses alles richtig aufgefasst worden, so wird das Theilen der Zahlen in den oben angegebenen Fällen keine weitere Schwierigkeit bieten. Wie viel ist stg von 10, 20, 40, 90, 100, 160, 250? Wie viel ist st^ von 160? — stv kst st v. stx>; str> v. 160 ist 16, st v. 16 ist 8; stg v. 160 ist also 8. Wie viel ist st^ v. 135? — st?, ist st v. st; st v. 135 ist 27, - v. 27 ist 9; st. v. 135 ist also 9. ä) Ungewandte AnfgabeN. 1. Verwandlungen der Bruchzahlen von Münzen, Maßen und Gewichten. 2. Schlussrechnungen, in denen ein einfacher Schluss vou der Mehr¬ heit auf die Einheit zur Anwendung kommt. (Z. 68, a.) 3. Aufgaben, welche durch Anwendung von Vvrthcilen gelöst werden. Die sich hier ergebenden Rechnungsvortheile sind bereits in der II. Abtheilung ß. 50, b angeführt worden. 4. Aufgaben, bei denen die Rechnung durch eine passende Zerlegung des Preises in Zehner und Kreuzer ausgeführt wird. (Z. 68, o.) 5. Aufgaben, welche a) durch den Schluss von der Mehrheit auf einen Theil derselben, b) durch den Schluss von der Mehrheit durch einen Theil derselben auf ein Vielfaches dieses Theiles, e) durch den Schluss von der Mehrheit durch die Einheit auf eine andere Mehrheit aufge¬ löst'werden. (ZZ. 70—72.) 6. Einfache Zinsrechnungen. (§. 73.) 7. Aufgaben, in welchen nmgekehrte Verhältnisse Vorkommen. (8- 68, o.) 64. Schriftliches Dividieren. Wir hielten bisher das Messen und Theilen strenge auseinander und konnten auch, um Klarheit und einsichtsvolle Beurtheilung zu ermöglichen, nicht anders Dividieren im Zahlenraume bis 1000. 117 Vorgehen, da bei den beiden Operationen eine verschiedene Ausdrucksweise und wesentlich verschiedene Schlüsse in Anwendung kommen. Beim Zifferrechnen be¬ zeichnen wir das Messen und das Theilen mit dem gemeinschaftlichen Namen Dividieren, das aber eben darum in einem zweifachen Sinne aufgefasst werden muss. Ist z. B. 12 durch 4 zu dividieren, nnd ich fasse das Dividieren ini Sinne des Messens auf, so habe ich zu suchen, wie oft 4 in 12 enthalten ist; ich muss also 12 in 4 -ft 4 ft- 4, also in 3mal 4 zerlegen und finde dadurch, dass 4 in 12 3mal enthalten ist. Fasse ich aber die obige Division als Theilung auf, so muss ich suchen, wie viel der 4te Theil von 12 ist; ich zerlege also 12 in 4 gleiche Theile, d. i. in 3 ft- 3 -ft 3 ft- 3 oder 4mal 3, und schließe: der 4te Theil von 12 ist 3. Die erste Aufgabe kann durch die Darstellung die zweite dagegen durch ««« ««« anschaulich gemacht werden. Noch deutlicher tritt der Unterschied zwischen den beiden Divisivnsarten an benannten Zahlen hervor. Es sei z. B. die Aufgabe: „1 Meter Tuch kostet 4 fl.; wie viel Meter erhalte ich für 12 fl. ?" Dabei wird gefolgert: ich erhalte so vielmal 1 Meter, als 4 fl. in 12 fl. enthalten sind; 4 fl. sind in 12 fl. 3mal enhalten; ich erhalte also 3mal 1 Meter, oder 3 Meter. Hier werden 12 fl. durch 4 fl. gemessen, und man erhält zur Antwort: 3mal. Beim Messen benannter Zahlen sind also Dividend und Divisor benannt und zwar gleichnamig, der Quotient aber ist unbenannt. Ist dagegen die Aufgabe: „4 Meter Tuch kostet 12 fl.; wie viel kostet I Meter?" zu lösen, so wird geschloffen: 1 Meter ist der 4te Theil von 4 Meter, 1 Meter kostet daher nur den 4ten Theil von 12 fl., d. i. 3 fl. Hier werden 12 fl. in 4 gleiche Theile getheilt, wodurch man 3 fl. als einen Theil erhält. Beim Theilen benannter Zahlen sind also Dividend und Quotient benannt, nnd zwar gleichnamig, der Divisor aber muss immer eine unbenannte Zahl sein. So verschieden übrigens die beiden Divisionsweisen in Bezug auf den Aus¬ druck nnd auf die Folgerungen sind, so kommen sie doch darin überein, dass beide für denselben Dividend 12 und für denselben Divisor 4 dieselbe Zahl 3 als Quotienten geben, was auch leicht erklärbar ist, weil sich das Theilen durch ganz einfache Schlüsse immer auf das Messen zurückführen lässt. Um den 4ten Theil von 12 zu erhalten, nehme ich von je 4, welche in 12 vorkommen, immer nur 1; ich erhalte also so vielmal 1, als 4 in 12 vorkommt, d. h. der 4te Theil von 12 ist so viel, als 4 in 12 enthalten ist. 118 111. Abteilung. Dieser innige Zusammenhang zwischen den Aufgaben des Messens und des Theilens macht es möglich, dass beim schriftlichen Dividieren dasselbe Zeichen und dasselbe Rechnungsverfahren angewendet wird. Der Ausdruck 12 : 4 — 3 (12 dividiert durch 4 ist gleich 3) kann gelesen werden: 4 ist in 12 3mal ent¬ halten, oder: der 4te Theil von 12 ist 3. Der Stufengang in den Übungen entspricht dem bei der schriftlichen Multi- plication eingehaltenen. L) Dividieren durch Einer. Das schriftliche Dividieren unterscheidet sich nur wenig von dem münd¬ lichen Messen und Theilen. Man dividiert die einzelnen Stellen von der höchsten angefangen; dividiert man Hunderte, so erhält man Hunderte; dividiert man Zehner, so erhält man Zehner; dividiert man Einer, so erhält man Einer. Wir behandeln zuerst Aufgaben, wo kein Übergang in eine andere Ord¬ nung stattfindet. Z. B. Es sei 96 durch 3 zu dividieren. Z.E. Z.K. 96 : 3 — 32 9. ^6 6 Man kann anfänglich wegen der leichteren Anschauung die dekadische Be¬ deutung der einzelnen Ziffern durch darübergestellte Buchstaben anzeigen lassen. 1. Im Sinne des Messens: Wie oft ist 3 in 96 enthalten? 3 ist in 9 E. 3mal, in 9 Z. also 30mal enthalten; wir schreiben daher hinter dem Gleichheitszeichen 3 Z. an. Wir wollen auch sehen, ob 3 in 9 Z. genau 30mal enthalten ist; 30mal 3 ist 90 oder 9 Z., diese schreiben wir unter die 9 Z. und subtrahieren. Bleibt etwas übrig? Also ist 3 in 9 Z, genau 30mal enthalten. — Nun suchen wir, wie oft 3 in 6 E. enthalten ist; wir setzen daher die 6 E. herab. 3 ist in 6 E. 2mal enthalten; diese 2 Einer schreiben wir hinter die 3 Z.; 2mal 3 ist 6;. werden diese 6 unter die 6 E. geschrieben und von diesen subtrahiert, so bleibt nichts übrig. 3 ist also in 96 30mal und 2mal, d. i. 32mal enthalten. 2. Im Sinne des Theilens: Wie viel ist der dritte Theil von 96? Theilen wir 9 Z. in 3 gleiche Theile, so kommen ans 1 Theil 3 Z.; diese schreiben wir rechts. Getheilt sind nun 3mal 3 Z. oder 9 Z.; diese setzen wir unter 9 Z. und subtrahieren. Es bleibt kein Zehner übrig. — Run sind noch 6 E. zu theilen, wir setzen sie herunter. Theilen wir 6 E. in 3 gleiche Theile, so kommen auf 1 Theil 2 E.; die setzen wir wieder rechts. Getheilt haben wir nun 3mal 2 E. oder 6 E.; 6 E. von 6 E. bleibt nichts. Der dritte Theil von 96 sind also 3 Z. und 2 E., d. i. 32. Dividieren im Zahlcnraume bis 1000. 119 Hier haben wir 96 durch 3 gemessen und getheilt. Eine Zahl durch eine andere messen oder theilen heißt dividieren. Die Zahl 96, welche gemessen oder getheilt wird, heißt der Dividend; die Zahl 3, durch welche gemessen oder getheilt wird, der Divisor; und die Zahl 32, welche beim Messen oder Theilen heranskommt, der Quotient. Das gleiche Verfahren gilt auch beim Dividieren einer dreistelligen Zahl durch Einer. Z. B. H.Z.E. H.Z.E. 426:2 — 21 3 ' Welche Zahl ist hier der Dividend^ ' welche der Divisor, und welche der -— Quotient? 6 6 Nun wollen wir auch solche Fälle behandeln, wo bei der Division der höheren Stellen Reste übrig bleiben, wo daher ein Übergang in niedrigere Ord- 78 enthalten? 2 ist in 7 E. 3mal, in 7 Z. also 30mal enhalten; wir schreiben daher 30 oder 3 Z. in den Quotienten. 30mal 2 ist 60 oder 6 Z.; 6 Z. von 7 Z. bleibt noch 1 Z, übrig. Nun ist noch zu suchen, wie oft 2 in 1 Z. und 8 E. enthalten ist. und 8 E., welche wir zu 1 herabsetzen, sind 18 E.; 2 ist in 18 E. 9mal enthalten; wir schreiben die Ziffer 9 hinter 3 Z. in die Einer¬ stelle. 9mal 2 ist 18, von 18 weggenommen, bleibt nichts. Wie viel ist der 4te Theil von 347? H.Z.E. Z.E. 347 : 4 — 86Z Zuerst sind 3 H. in 4 gleiche Theile 32 . zu theilen; da kann auf 1 Theil kein Hun- 2 7 dert kommen; wir verwandeln daher die 3 H. 2 4 in Zehner; 3 H. sind 30 Z., dazu die vor- 3 handenen 4 Z. sind 34 Z. Der 4te Theil von 34 Z. sind 8 Z.; 4mal 8 Z. sind jedoch nur 32 Z., und es bleiben von den 34 Z. noch 2 Z. zur Vertheilung übrig. Es sind also noch 2 Z. und 7 E. zu theilen; 2 Z. — 20 E-, 20 E. und 7 E. sind 27 E.; 4mal 6 E. sind 24 E., und es bleiben von den 27 E. noch 3 E. zu theilen übrig, Der Quotient ist also 86 mit dem Reste 3. — Man kann nun auch noch den Rest 3 in 4 gleiche Theile theilen; der 4te Theil von 1 ist -Z der 4te Theil von 3 also Der vierte Theil von 347 ist demnach 86ss. nnngen stattsindet. Wie oft ist 2 in Z.E. Z.E. 78 : 2 — 39 6 18 18 1 Z. — 10 E.: 10 E. 120 III. Abteilung. Die Schüler werden bald sehen, dass man über die einzelnen Ziffern des Quotienten ihre Bedeutung gar nicht zu setzen braucht, weil sie uach der Ord¬ nung Hunderte, Zehner und Einer bedeuten, und weil dieselben, wenn inan sie nur nach der Reihe hinschreibt, schon durch diese Anordnung selbst in ihrer wahren Bedeutung erscheinen. Es wird daher die bisher wegen der leichteren Übersicht oorgenominene Bezeichnung des Stellenwertes der Ziffern durch darübergesetzte Buchstaben allmählich wegfallen. U) Dividieren durch reine Zehner. Wir machen mit der Division durch 10 den Anfang. Wie viel ist der 10te Theil von 730? -00-10 — 7g Der 10te Theil von l H. ist 1 Z., ' ' ' ' / von 7 H. also 7 Z.; der 10te Theil von 3 Z. sind 3 E.; der lOte Theil von 730 sind also 7 Z. und 3 E. oder 73. Beim Dividieren durch 10 rückt daher jede Ziffer in die nächst niedrigere Ord¬ nung zurück. Dieses geschieht einfach dadurch, dass man der Zahl rechts eine Ziffer abschneidet; die abgeschnittene Ziffer gibt, wenn sie nicht Null ist, den Rest. Z. B. 65,5 : 1/1 — 65 5 Rest. Wie viel ist der 20ste Theil von 380? 38,0 : 2,0 — 19 zN ist t von si,-,. Um also den 2. Aisten Theil von 380 zu erhalten, 18 nimmt man von 380 zuerst den . 18 lOten Theil, indem man rechts eine Ziffer abschneidet, und dann von 38 noch die Hälfte. s) Dividieren durch Zehner und Einer. Bei der Division durch einen zweistelligen Divisor verfährt man ans die¬ selbe Art, wie bei der Division durch einen einstelligen; im allgemeinen werden dabei sogleich die zwei höchsten Stellen des Dividends ins Auge gefasst. Wir wählen für den Anfang solche zweistellige Divisoren, worin die Einer sehr klein sind, weil sich in diesem Falle die Ziffern des Quotienten leichter bestimmen lassen; z. B. 714:21 — 34 Da hier nicht 21 H. vorhan- 63. den sind, so verwandle ich die 7 H. 84 in Zehner; 7 H. — 70 Z.; 70 Z. 84 und 1 Z. sind 71 Z. Ich suche nun zunächst, wie oft 21 E. in 71 E. enthalten sind, und schließe: 21 E. sind in 71 E. beiläufig so oft enthalten, als 20 E. in 70 E., oder 2 Z. in 7 Z., nämlich 3mal; es werden daher 21 E. in 71 Z. lOmal so ost, also 30mal enthalten sein. Ob das richtig ist, finde ich Dividieren im Zahlenraume bis 1000. 121 sogleich, wenn ich 30mal 21 nehme und untersuche, ob sie sich von 71 Z. weg¬ nehmen lassen; 30mal 21 E. sind 630 E. oder 63 Z., welche sich von 71 Z. subtrahieren lassen; es bleiben 8 Z. übrig. 8 Z. 80 E., und 4 E. sind 84 E.; 21 E. sind nun in 84 E. nahe so oft enthalten, als 20 E. in 80 E., oder 2 Z. in 8 Z., also 4mal. 4mal 21 E. sind 84 E., es bleibt also von 84 E. nichts adrig. Mithin ist 21 in 714 34mal enthalten. Schwieriger gestaltet sich das Dividieren, wenn die Einer des Divisors groß sind, z. B. das Dividieren durch 19, 39, 69, oder durch 18, 48, 78. Mau kann sich übrigens die Lösnng dadurch erleichtern, dass inan sich dein: Suchen der Ziffern des Quotienten für den gegebenen Divisor die nächst höhere reine Zehnerzahl denkt. Z. B. 513 : 19 — 27 Anstatt 19 denke ich mir 20. 38. So oft 20 in einer Zahl enthalten 133 ist, so oft ist jedenfalls auch 19 133 darin enthalten. Ich rechne also: 19 ist in 51 E. nahe so oft, als 20 in 50, oder 2 Z. in 5 Z., mithin 2mal enthalten; 19 ist in 51 Z. lOmal so oft, daher 20mal enthalten; 2 Z. kommen in den Quotienten. 20mal 19 ist 38 Z.; werden diese von 51 Z. weggenommen, so bleiben noch 13 Z., welche als solche durch 19 nicht gemessen werden können; ich verwandle daher 13 Z. in Einer; 13 Z. sind 130 E., und 3 E. herab, sind 133 E. Ich schließe ferner: 19 ist in 133 nahe so oft als 20 in 130, oder 2 Z. in 13 Z., mithin 6mal enthalten. 6mal 19 ist 114; 114 von 133 bleibt 19. So viel darf aber nicht bleiben, weil 19 in dem Reste 19 noch Imal enthalten ist; die Ziffer 6 des Qnvtieuten ist also um 1 zu klein angenommen worden. Ich sage daher: 19 ist in 133 E. 7mal ent¬ halten; 7mal 19 ist genau 133; es bleibt kein Rest übrig. Der Quotient ist 27. Wenn der Divisor einstellig ist, so kann die jedesmalige Ziffer des Quo¬ tienten auf Grund des Einmaleins sogleich richtig bestimmt werden. Anders ist es bei der Division durch einen zweistelligen Divisor. Da man hier die einzelnen Ziffern des Quotienten dadurch bestimmt,, dass inan versuchsweise immer nur die höchste oder die zwei höchsten Stellen des Dividends durch die höchste Stelle des Divisors dividiert, so erscheinen dabei die Ziffern des Quotienten nicht immer sogleich richtig, sie müssen manchmal noch verbessert werden. Um sich zu über¬ zeugen, ob die gefundene Ziffer des Quotienten richtig sei, multipliciert man damit den Divisor und subtrahiert das Product von dem Dividende. Bleibt kein Rest übrig, oder ein Rest, welcher kleiner als der Divisor ist, so ist die Ziffer des Quotienten richtig. Bleibt ein Rest, welcher so groß oder größer als der Divisor ist, so dass in diesem Reste der Divisor noch einmal enthalten ist, so ist die Ziffer des Quotienten zu klein angenommen worden, man muss eine größere Ziffer nehmen. Ist aber das Product aus dem Divisor und der Ziffer des Quotienten 122 III. Abthcilung. größer als der Dividend, sv dass man nicht subtrahieren kann, sv wurde die Ziffer des Quotienten zu groß angenommen, man muss sie durch eine kleinere ersetzen. ä) Angewandte Aufgaben. Nachdem die Schüler die Grnndoperationen in dem Zahlenraume bis 1000 tüchtig durchgeübt haben, lasse man sie nun von den gewonnenen Mitteln einen möglichst vielseitigen Gebrauch machen. Das erhöhet ihre geistige Gewandtheit und ihr Interesse für den Unterricht. Die Verbindung der verschiedenen Opera¬ tionen macht es hier insbesondere möglich, leichtere Kaufs- und Verkaufsrech¬ nungen, Dreisatz-, Gesellschafts- und Durchschnittsrechnungen zu lösen. Bei den zusammengesetzten Rechnungen ist nicht nur auf richtige Schlüffe, sondern auch auf eine genauere äußere Form und auf eine übersichtliche Darstellung zu sehen. Z- B. Jemand kauft 3 Hektoliter Wein ä 28 fl., 2 Hektoliter u 26 fl. und 7 Hek¬ toliter ü 20 fl.; wie hoch kommt im Durchschnitte 1 Hektoliter zu stehen? Diese Aufgabe enthält eine Durchschnittsrechnung und führt auf folgenden Ansatz: 3 Hektoliter ü 28 fl. kosten 84 fl. 2 „ ä 26 fl. „ 52 fl. 7 „ ä 20 fl. „ 140 fl. 12 Hektoliter kosten . . . 276 fl. 1 Hektoliter kostet 276 fl. : 12 — 23 fl. Zweiter Abschnitt. Das Rechnen mit Decimatzahlen. (Zehntel, Hundertel und Tausendtel.) 8- 65. Sonne wir dem Rechnen im Zahlenkreise bis 100 die Grundübungen im Rechnen mit einfachen gemeinen Brüchen anfügten, ebenso kann mau unter gün¬ stigen Verhältnissen auf das Rechnen mit den Zahlen bis 1000 sogleich die ersten Elemente der Decimalbrnchrechnung, nämlich das Rechnen mit Zehnteln, Hunderteln und Tansendteln, folgen lassen; mau darf nur das dekadische Zahlen¬ system, welches bisher durch das Aufsteigen von den Einern zu den Zehnern, Hunderten und Tausenden aufgebaut wurde, von den Einern auch a b w ärts zu den Zehnteln, Hunderteln und Tausendteln zurückschreitcnd fortsetzen. Die Auffassung der Decimalzahlen setzt in jedem Falle die Begriffe von Zehnteln, Hunderteln u. s. w. voraus. Diese Begriffe sind unseren Schülern nicht Rechnen mit Zehnteln, Hunderteln und Tnnsendteln. 123 mehr fremd; sie haben auf anschaulichem Wege (II. Abth. 49) eine klare Vvr- stelluug erlangt, dass der zehnte Theil von 1 Ganzen oder von 1 Einer 1 Zehntel, und dass 1 Einer — 10 Zehntel ist; sie haben sich ebenso überzeugt, dass der zehnte Theil von 1 Zehntel 1 Hundertel, der zehnte Theil von 1 Hundertel 1 Tansendtel ist, und dass daher 1 Zehntel 10 Hundertel, 1 Hundertel 10 Tau- sendtel hat. Diese Begriffe, bereit Verständnis anch durch unsere Maße und Gewichte und Münzen wesentlich erleichtert wird, müssen hier wieder in das Bewusstsein der Schüler zurückgernfen und nach Bedürfnis vervollständiget werden. Das unterrichtliche Verfahren, um die Schüler in das Wesen der Deciinal- brüche und in die Operationen mit denselben einzuführen, bleibt sich gleich, ob man es mit Decimalzahleu überhaupt zu thun hat oder sich bloß auf dreistellige Deeimalbrüche beschrankt. Um daher Wiederholungen zu vermeiden, weisen wir auf den zweiten Abschnitt der IV. Abtheilung hin, wo für die allgemeine Be¬ handlung der Deeimalbrüche das Lehrverfahren ausführlich dargelegt wird. Anhang. Schlussrechnungen. Z. 66. Allgemeinr ürmerüniigeu. Die Schlussrechnung kann überall angewendet werden, wo die beiden Arten von Großen, zu deren einer die gesuchte Zahl gehört, so von einander ab¬ hängen, dass dem 2-, 3-, 4fachen der einen Größe auch immer entweder das 2-, 3-, 4fache oder immer die Hälfte, der 3te, 4te Theil der andern Größe ent¬ spricht. (Gerades Verhältnis, umgekehrtes Verhältnis.) Aufgaben dieser Art wurden als Preisberechnungen schon am Schlüsse des Zahlenkreises bis 100 behandelt; sie traten daun im erweiterten Umfange auch innerhalb des Zahlenraumes bis 1000 bei der Multiplieation und der Division auf. Um uuu den Überblick über die einzelnen Schlussrechnungen zu erleichtern, wollen wir hier die bezüglichen Aufgaben im Zusammenhänge nach den verschiedenen Schlnssformen, welche ihrer Lösung zu Grunde liegen, auf einander folgen lassen. Diese Schlnssformen müssen sich zuletzt dem Gedächtnisse, das auch eine Geistes¬ kraft ist, unverlierbar einprägen, was nur möglich ist, wenn die Schüler, nach¬ dem sie vom Lehrer angeleitet worden sind, an einigen gleichartigen Aufgaben die richtigen Schlüsse zur Auflösung zu bilden, sofort Gelegenheit erhalten, diese Schlüsse auf viele ähnliche Aufgaben auznwendeu. Die hier zu lösenden Aufgaben werden daher nach Verschiedenheit der erforderlichen Schlüsse in Gruppen geordnet und in dieser' Anordnung tüchtig durchgeübt. 124 III. Abtheilung. 8- 67. Schluss von der Einheit auf eine Mehrheit. Diese Schlussform kommt ini bürgerlichen Leben am häufigsten vor. Nach der Mannigfaltigkeit der hieher gehörigen Aufgaben wird mich die Ausrechnung ans verschiedene Art vollzogen. a) Die Rechnung wird durch eine einfache Multiplikation ausgeführt. Die Schlussfolge bei solchen Aufgaben ist ganz einfach. Z. B. 1 m kostet 5 fl.; wie viel kosten 8 nr? So oft ich 1 -» kaufe, so oft muss ich 5 fl. bezahlen; 8 m sind 8mal 1 m, also muss ich für 8-» 8mal 5 fl. bezahlen; 8mal 5 fl. sind 40 fl.; 8 »r kosten also 40 fl. — Kürzer: 1 m kostet 5 fl., 8 m sind 8x1 m, 8 m kosten also 8X5 fl., d. i. 40 fl. b) Die Rechnung wird durch Anwendung von Vortheilen ansgeführt. Verständnis und Sicherheit im Rechnen ist vor allem und mehr anzn- streben als Schnelligkeit. Wir legen darum auf die sogenannten Rechnungs¬ vorth ei le keinen besonderen Wert und machen eine Ausnahme nur bezüglich jener eben so einfachen als wichtigen Vvrtheile, welche sich ans dem Zusammen¬ hänge, der zwischen den Eintheilungszahlen unserer Münzen, Maße und Gewichte besteht, unmittelbar ergeben. Diese Vortheile müssen übrigens aus den vorgelegten Aufgaben durch entsprechende Schlüsse von den Schülern selbst gefunden werden; am meisten Vortheil hat der Schüler von dem, was er durch eigenes Nachdenken gefunden hat. (Vergleiche II. Abtheilung H. 50, n. 2.) e) Die Rechnung wird durch Zerlegung der Kreuzer iu Zehner und Kreuzer ausgeführt. Preisrechnuugeu dieser Art kommen im praktischen Leben täglich vor und erfordern daher eine besonders sorgfältige Dnrchübung. Man zerlegt dabei die Kreuzer im Preise der Einheit in Zehner nnd Kreuzer, berechnet den Preis der Mehrheit für die Zehner nnd für die Kreuzer und zählt dann beide zusammen. Kommen im Preise der Einheit neben den Kreuzern auch Gulden vor, so wird der Preis der Mehrheit zuerst für die Gulden berechnet, dann der Preis für die Zehner und endlich der Preis für die Kreuzer zugezählt. Eine übersichtliche Darstellung wird das Verständnis wesentlich erleich¬ tern; z. B. I /ry Reis kostet 32 kr.; wie viel kosten 8 1 kostet 32 kr. 3 Zehner -fl 2 kr. 8 lA kosten 8X3 Zehner -fl 8 X 2 kr. 8X3 Zehner sind 24 Zehner 2 fl. 40 kr. 8X2 kr. sind t6 kr. 2 st. 40 kr. -fl 16 kr. sind 2 fl. 56 kr. In dieser Form sollen die Schüler anfänglich mehrere Aufgaben schriftlich durchführen, damit ihnen die Schlnjsfolge geläufiger wird. Später, wenn schon Schlussrechnungen. 125 die nöthige Einsicht erzielt ist, Kinn bei den schriftlichen Übungen sogleich nur das Resultat angeschrieben werden. Auch hier empfehlen sich Reihen, um den Schülern in Kürze Ausgaben für eine längere Beschäftigung zu geben; z. B. bald merken, dass die auf einander folgenden Preise um den Einheitspreis wachsen; sie würden also, anstatt den Mehrheitspreis jedesmal besonders zu berechnen, nur zu dem vorhergehenden Mehrheitspreise immer den Preis der Einheit zuzählen, und so würde der hier beabsichtigte Übnngszweck nicht erreicht werden. Um dem vorzubeugen, wähle mau daher eine andere, von der natürlichen Zahlenreihe ab¬ weichende Reihe, z. B. 1, 3, 7, 2, 8, 5, 9, 4, 10, 6, wie solche unter 2. dar¬ gestellt ist, und behalte diese unabänderlich ii: allen folgenden Aufgaben bei. ä) Die Rechnung wird durch Zerlegung der Kreuzer inGulden- theihe (Gulden) und Kreuzer ausgeführt. Diese Zerlegung ist gegenüber der unter e) angeführten, allgemein anwend¬ baren Rechnungsweise nur dann von Vortheil, wenn die Zahl der Kreuzer von 20, 25, 50 oder 100 nicht bedeutend abweicht; z. B. Die Auflösung ist aus folgenden Beispielen ersichtlich: l /si/ kostet 52 kr.; wie viel kosten 17 /e//? i . . . 52 kr. V- fl. -ft 2 kr. 17 > > > "/2 fl. -ft 17 X 2 kr. "/2 fl- 8 ft 50 kr. 17 X 2 kr. 34 kr. 8 sl. 50 kr. -ft 34 kr. 8 fl. 84 kr. 1 mkostet 23 kr.; wie viel kosten 281»? 1 M ... 23 kr. V, fl. — 2 kr. 28 M . . . fl. — 28 X 2 kr. -»/« - 7 fl. 28 X 2 kr. 56 kr. 7 fl. — 56 kr. 6 sl. 44 kr. 126 IH. Abtheilung. s) Die Rechnung wird durch eine einfache Division ausgeführt. Dieser Fall tritt bei Aufgaben ein, welche auf umgekehrten Verhältnissen beruhen. Die Schlussfolge ersieht man aus folgendem Beispiele: Eine Wiese wird von 1 Mäher in 36 Stunden abgemäht; in wie viel Stunden würde sie von 4 Mähern abgemäht werden? - 1 Mäher mäht die Wiese in 36 Stunden ab; 4 Mäher leisten in derselben Zeit 4mal so viel als 1 Mäher, 4 Mäher brauchen daher zum Abmähen der¬ selben Wiese nur den 4teu Theil der Zeit, welche 1 Mäher dazu braucht, also den 4ten Theil von 36 Stunden; der 4te Theil von 36 Stunden sind 9 Stunden; 4 Mährr mähen also die Wiese in 9 Stunden ab. Man könnte auch so folgern: Denkt inan sich die Wiese in 36 gleiche Theile getheilt, so stellt jeder Theil die Arbeit vor, welche 1 Mäher in I Stunde zu leisten hat. 1 Mäher wird also zu der ganzen Arbeit 36 Stunden brauchen. Werden nun 4 Mäher ausgenommen, so kommt ans jeden nur Vi von den 36 Theilen, also 9 Theile; 4 Mäher werden also mit der Arbeit in 9 Stunden fertig. 8- 6 247969, 307817 Multiplicieren im unbegrenzten Zahlenraume. 143 nur der Zahlenumfang erweitert sich. Die Benennung der Stellenwerte, nämlich Einer, Zehner, u. s. w. tritt nur bei den ersten Aufgaben ein; sie unterbleibt,, später, sobald die Einsicht erreicht ist. Wir wählen sogleich einen dreistelligen Multiplicator. Es sei z. B- 503 mit 267 zu innltiplicieren. 503 X 267 Ich nehme den Muliplicand 503 zuerst 7mal, 352l dann 60mal, endlich 200mal, und setze stets die gleich- 3018 namigen Stellen unter einander. Ich multipliciere also 1006 503 zuerst mit 7; 7mal 503 ist 3521. Das Ergeb- 134301 nis wird so daruntergeschrieben, dass 1 E. unter 3 E. zu stehen kommt. Nun multiplieiere ich die Zahl 503 mit 60; ich nehme sie 6mal und das 6fache lOmal. 6mal 503 ist 3018, das lOfache davon sind 3018 Zehner. Ich schreibe also 8 Z. genau unter die 0 Z. des Mnltiplicands. Endlich multiplieiere ich die Zahl mit 200, indem ich sie 2mal, und das 2fache lOOmal nehme. 2mal 503 ist 1006, das lOOfache davon sind 1006 Hun¬ derte. Ich setze daher die niedrigste Stelle 6 H. des Productes unter die 5 H. des Multiplicands. Mau spricht dabei: 7mal 3 ist 21, 1 wird in die Eincrstelle eingeschrieben, 2 wcitergezählt; 7mal 0 ist 0, und 2 ist 2, wird angeschrieben; 7mal 5 ist 35» wird augeschrieben. — 6mal 3 ist 18, 8 wird unter die Zehner geschrieben, 1 weiter gezählt; 6mal 0 ist 0, und 1 ist 1, wird angeschrieben; 6mal 5 ist 30, wird augeschrieben. — 2mal 3 ist 6, 6 wird unter die Hunderte gesetzt; 2mal 0 ist 0; 2mal 5 ist 10. Die Produete 3521, 3018, 1006 heißen, weil sie nur Theile des ganzen Productes sind, Theilproducte. Die Schüler sehen, dass die niedrigste Ziffer eines jeden Theilproductes, wenn man mit Zehnern multipliciert, um eine Stelle, und wenn man mit Hun¬ derten multipliciert, um zwei Stellen nach links gerückt werden müsse. Haben die Schüler das Bisherige gut verstanden, so wird ihnen das Mub tipliciereu mit einem vier- oder mehrstelligen Multiplicator keine Schwierigkeiten machen. Nur einige besondere Fülle müssen hier noch näher erläutert werden. Es enthalte der Multiplicator in einer Zwischenstelle Nullen; z.B. 9756 X 502. 97 56 X 502 Wir multiplicieren 9756 zuerst mit 2. Wenn wir 19512 dann mit 0 Zehner multiplicieren, so erhalten wir im 48780 Theilproducte lauter Nullen. Da diese wertlos sind, so über- 4897512 gehen wir die Null im Multiplicator und multiplicieren sogleich mtt 5 H., schreiben aber die erste Ziffer des Theilproductes in die Stelle der Hunderte. 144 IV. Abtheilung. Ebenso werden sich die Schüler leicht überzeugen, dass man in den Fällen, wo die Factoren am Ende Nullen haben, diese weglassen kann, und nur die übrigbleibenden Zahlen zu multiplicieren braucht, dann aber dem Produkte so viele Nullen anhangen muss, als in den Factoren weggelassen wurden. Z. B. 4800 X 12 4800 sind 48 H. Werden diese 12mal ge- 96 nommen, so erhält man 576 H., welche durch 48 Anhängung von 2 Nullen in Einer verwandelt 57600 , werden. Bei der Ausführung der Multiplikation gestatte der Lehrer niemals, dass die Schüler während des Multiplicierens die Factoren verwechseln und z. B. bei der Multiplikation 318 X 4 sprechen: 8mal 4, Imal 4, 3mal 4, wo sie sagen sollen: 4mal 8, 4mal 1, 4mal 3. Z. !!tt. Dividieren. Das Dividieren in den höheren Zahlenkreisen bietet nichts Neues; es wird das gleiche Verfahren angewendet, wie beim schriftlichen Dividieren der Zahlen unter 1000 (ß. 64). Man schreibt den Divisor rechts nach dem Dividend nnd fetzt zwischen beide zwei Punkte; dann werden die einzelnen Stellen des Dividends von der höchsten bis zur niedersten dividiert, wobei mau die Reste der höheren Stellen stets mit der nächstniedrigeren Stelle vereinigt. Die Ziffern des Quo¬ tienten werden nach dem Gleichheitszeichen gesetzt. Z. B. 24867 : 81 — 307 243 567^ 567 1. Im Sinne des Messens: Wie oft ist 81 in 24867 enthalten? 81 ist in 2 nicht Imal, also in 2 ZT. nicht lOOOOmal enthalten, auch nicht in 23 T. lOOOmal; ich nehme daher sogleich die 3 ersten Stellen des Dividends, nämlich 248 Hunderte als ersten Theildividend an. 81 ist in 248 E. (versuchsweise 8 in 24) 3mal, in 248 H. also 300mal enthalten; in den Quotienten setzt man also 3 Hunderte. 300mal 81 gibt 3 X 81 H. — 243 H.; werden diese von 248 H. subtrahiert, so bleiben noch 5 H. übrig. 5 H. und 6 Z. herab sind 56 Z. 81 ist in 56 nicht Imal enthalten, also in 56 Z. nicht lOmal; an die Stelle der Zehner kommt also im Quotienten eine Null, und ich setze zu den 56 Z. sogleich die 7 E. herab, wodurch ich 567 E. erhalte. 81 ist in 567 (versuchsweise 8 iu 56) 7mal enthalten; die 7 E. kommen in den Quotienten; 7mal 81 ist genau 567 und es bleibt nichts übrig. 2. Im Sinne des Theilens: Wie viel ist der 81ste Theil von 24867? Dividieren im unbegrenzten Zahlenraume. 145 Der 8 Iste Theil von 2 ZT. kam: kein Zehntausend, von 24 T. kein Tau¬ send sein; ich bilde also Hunderte. 2 ZT. 4. T. 8 H. sind 248 H. Nun kann ich Heilen: der 81ste Theil von 248 H. (der 8te Tbeil von 24) sind 3 H.; diese setze ich in den Quotienten. Vertheilt sind nun 81mal 3 H. — 243 H.; 243 H. von 248 H. bleiben noch 5 H. zur Vertheilung übrig. 5 H. und die vorhan¬ denen 6 Z. dazu sind 56 Z.; der 81ste Theil von 56 Z. ist kein Zehner; ich setze daher an die Stelle der Zehner im Quotienten eine Null und schreibe zn den übrigbleibenden 56 Z. sogleich die 7 E. herab. Der 81ste Theil von 567 E. (der 8te Theil von 56) sind 7 E.; diese setze ich in den Quotienten. Getheilt sind nun 81mal 7 E. — 567 E.; 567 E. von 567 E. bleibt nichts. Der 81ste Theil von 24867 ist also 307. Aus dieser umständlich gehaltenen Entwicklung ersehen die Schüler erstlich, dass man, wenn der Divisor zweiziffrig ist, sogleich die zwei höchsten Stellen des Dividends in Rechnung ziehen müsse. Die Schüler überzeugen sich ferner, dass die Form des schriftlichen Dividierens dieselbe ist, mag dieses ein Messen oder ein Theilen sein, und dass es für das Resultat der Division gleichgiltig ist, ob man dabei die Schlussweise des Messens oder jene des Theilens in Anwendung bringt. Es wird ihnen nun bemerkt, dass man sich bei der Ausführung einer Divisionsrechnung, auch bei Theiluugsanfgaben, gewöhnlich derjenigen Ausdrucks¬ weise, welche sich auf das Messen bezieht, bedient, weil sie die einfachere und kürzere ist. Auch wird weiterhin beim Rechnen die Angabe der Stellenwerte weggelassen. Die frühere Aufgabe wird demnach kürzer so gerechnet: 24867 : 81 — 307 ' 81 in 248 (8 in 24) 243 ist 3mal enthalten; 3mal 1 567 ist 3, 3mal 8 ist 24; 243 567 von 248 bleibt 5; 6 herab. 81 in 56 ist Omal ent¬ halten; 7 herab. 81 in 567 (8 in 56) ist 7mal enthalten; 7mal 1 ist 7, 7mal 8 ist 56; 567 von 567 bleibt nichts. Die Vorschrift bleibt sich gleich, wenn der Divisor drei- oder mehrstellig ist. Auch der Fall, wenn der Divisor rechts Nullen hat, wird keine Schwierig¬ keiten bieten. Z. B. 215,00 : 5,00 — 43 500 — 5 H., 21500 — 20 215 H.; 5 H. sind in 215 H. 15 so oft enthalten, als 5 E. 15 in 215 E., also 43mal. Wenn also der Divisor rechts Nullen hat, so lässt man dieselben weg, schneidet aber auch im Dividend ebenso viele Ziffern rechts ab; zum letzten Reste setzt man dann diese Ziffern herab, wodurch man den Rest der ganzen Division erhält. MoLnik, Rechenunterricht. 5. Aufl. 10 ^46 IV- Abtheilung. Kürzere Form des Dividierens. Bisher haben wir bei der schriftlichen Ausführung der Division alle Theil- prvducte anschreiben und die Subtraction derselben immer schriftlich ausführen lassen. An dieser vollständigen Form muss anfänglich festgehalten werden, weil es da weniger auf Kürze und Anwendung von Vortheilen, als vielmehr auf Einsicht und Sicherheit ankommt. Nachdem aber die Schüler im Divisions¬ verfahren bereits Verständnis und Gewandtheit erlangt haben, können sie hier auch urit den einfacheren und kiirzeren Darstellungen desselben vertraut gemacht werden. Eine allgemein anwendbare Abkürzung besteht darin, dass man die Theil- producte nicht anschreibt, sondern sogleich während des Multiplicierens subtrahiert und nur die Reste ansetzt. Da hiebei die Subtraction mittels des Hinzuzählens verrichtet wird, so werden hier als Vorübung zunächst folgende und ähnliche Auf- Ist z. B. 6846 durch 7 zu dividieren, so hat man: vollständig abgekürzt noch kürzer 6846 : 7 — 978 6846 : 7 — 978 6846^ 7 63 54 ' 978 54 - 56 49 56 56 Die erste vollständige Form wurde bisher in Anwendung gebracht. Bei der zweiten Form werden die Theilproducte gleich im Kopfe subtrahiert und nur die Reste angeschrieben. Man spricht: 7 in 68 9mal; 9mal 7 ist 63, und 5 ist 68; 4 herab; 7 in 54 7mal; 7mal 7 ist 49, und 5 ist 54; 6 herab; 7 in 56 8mal; 8mal 7 ist 56, und 0 ist 56. Die dritte Form ist die einfachste; mau schreibt auch den jedesmaligen Rest nicht an, sondern behält denselben im Kopfe und denkt sich ihm die nächste Divi- dendzisfer angehängt. Man spricht dabei: Dividieren ün unbegrenzten Zahlenramne. 147 7 in 68 9mal, bleibt 5; 7 in 54 7inal, bleibt 5; 7 in 56 8mal; nnd schreibt die Ziffern des Quotienten unter die entsprechenden Stellen des Dividends. Diese letztere Form soll vorzugsweise geübt werden. 2. Wenn der Divisor mehrziffrig ist, so kann auch da die Form der Division bedeutend vereinfacht werden, wenn man das Product aus dem Divisor und der jedesmaligen Ziffer des Quotienten sogleich während des Multiplicierens subtrahiert und bloß den Rest anschreibt. Es sei z. B. 34461 durch 63 zu dividieren. Vollständige Form. Abgekürzte Form. 34461 : 63 — 547 34461 : 63 — 547 315 296 296 441 252 441 441 - - - Erklärung der abgekürzten Form: 63 in 344, oder 6 in 34, ist 5mal enthalten. Nun wird der Divisor 63 mit 5 mnltipliciert. 5mal 3 ist 15, welche man sogleich an der Stelle der Hun¬ derte von dem Theildividende mittels des Hinzuzählens subtrahiert; da man 15 von 4 nicht subtrahieren kann, so denkt man sich die 4 um 2 Zehner vermehrt, wodurch 24 entsteht, und sucht nun die Zahl, welche zu 15 zugezählt werden muss, um 24 zu erhalten; man spricht 15 und 9 ist 24, und schreibt die 9 an jener Stelle als Rest an. Weil aber hier die Ziffer 4 des Dividends um 2 Zehner vermehrt wurde, so muss man, nm den wahren Rest zu erhalten, auch den Subtrahend an jener Stelle um 2 Zehner, oder was einerlei ist, in der höchst höheren Stelle um 2 Einheiten vermehren d. i. man muss diese 2 zu dein Prvducte aus dem Thcilquotienten und der nächstfolgenden Ziffer des Divisors addieren. 5mal 6 ist 30, und jene 2 dazu, ist 32. Um diese von den gleich¬ namigen Stellen des Dividends, nämlich von 34, zu subtrahieren, sagt man: 32 und 2 ist 34, und schreibt die dazngezählte 2 in den Rest. — Zn dem Reste 29 wird die folgende Ziffer 6 des Dividends herabgesetzt. 63 in 296, oder 6 in 29, ist 4mal enthalten. 4mal 3 ist 12; in der Stelle des Theildividends, von welcher 12 zu subtrahieren ist, steht 6; man sucht daher, wie viel zu 12 addiert werden muss, um die nächste höhere Zahl, welche 6 Einer hat, d. i. um die Zahl 16 zu erhalten: 12 und 4 ist 16; die addierte 4 schreibt man sogleich als Rest an. Weil hier der Minuend nm 1 Zehner vermehrt wurde, so muss w* 148 IV. Abteilung. man auch dm Subtrahend nm 1 Zehner vermehren; man wird also zu der nächst höheren Stelle des Productes 1 addieren; 4mal 6 ist 24 und die von 16 im Sinne behaltene 1 dazu, ist 25, und 4 ist 29; die 4, welche man zu 25 addieren musste, um die dariiberstehenden 29 zu erhalten, kommen in den Rest; u. s. w. Man spricht während der Rechnung: 6 in 34 5mal; 5mal 3 ist 15, nnd 9 ist 24, bleibt 2; 5mal 6 ist 30, und 2 ist 32, und 2 ist 34; 6 herab; 6 in 29 4mal; 4mal 3 ist 12, und 4 ist 16, bleibt I; 4mal 6 ist 24, und 1 ist 25, und 4 ist 29; u. s. w. Die mit fetter Letter dargestellte Ziffer wird jedesmal sogleich während des Aussprcchens in den Rest geschrieben. Das hier entwickelte kürzere Divisionsverfahren besteht demnach in fol¬ gendem : Nachdem man die jedesmalige Ziffer des Quotienten auf die gewöhnliche Art bestimmt hat, multipliciert man damit nach der Ordnung die einzelnen Ziffern des Divisors, und zählt zu jedem einzelnen Products so viel dazu, dass man die nächste höhere Zahl bekommt, welche in der Stelle der Einer die ent" sprechende Ziffer des Theildividends hat; die Zahl, welche man zu dem Producte addiert hat, wird sogleich in die gehörige Stelle des Restes angeschrieben. Enthalt die Zahl, welche dnrch die Addition herauskommt, wie dieses meistens eintritt, auch Zehner, so werden diese zu dem Producte aus dem Theilqnotienten und aus der nächst höheren Ziffer des Divisors dazugezählt. Hier wird den Schülern auch die Probe der Divisiou gezeigt werden. Wenn ein Ganzes in mehrere gleiche Theile getheilt wird, und man nimmt dann einen Theil so vielmal, als Theile gemacht wurden, so muss wieder das Ganze herauskommen. Um daher die Probe für die Richtigkeit der Division aufzustellen, darf man nur den Quotienten mit dem Divisor multiplicieren; ist richtig dividiert worden, so muss dadurch der Dividend zum Vorschein kommen. Theilt man z. B. 1542 durch 3, so ist 12 cieren, so muss der Dividend 1542 als 12 Product erscheinen, was hier wirklich der Fall ist; also ist richtig dividiert worden. Bleibt beim Dividieren ein Rest, so muss zu dem Producte aus dem Quo¬ tienten nnd dem Divisor noch jener Rest dazu addiert werden. Der Lehrer bemerke, dass die Division auch als Probe für die Multi¬ plikation dient. Wenn man nämlich das Product dnrch den Multiplikator dividiert, so muss der Multiplicand herauskommen. Z. B. Dividieren im unbegrenzten Zahlenraumc. 149 904 X 23 Probe: 20792 : 23 — 904 2712 207 1808 92 20792 92 Die Lösung angewandter Aufgaben führt hier auf eine einfache Division, oder auf eine Division in Verbindung mit der Addition, Subtraction oder Multi- plication. Auf leichtere Aufgaben folgen schwierigere und zusammengesetzte, darunter Dreisatz-, Durchschnitts- und Gesellschaftsrechuungen. Auf die Schlüsse, die dabei in Anwendung kommen, ist ein besonderes Gewicht zu legen. Z. B. Drei Pferdehändler übernehmen eine Pferdelieferung für 2760 fl.; lie¬ fert 4, L 5, 0 6 Pferde von gleichem Werte; wie viel erhält jeder von der obigen Summe? Auflösung. 4 fl- 5 fl- 6 — 15 Für 15 Pferde . . 2760 fl. „ 1 Pferd r'z von 2760 kl. — 184 fl. .4. erhält für 4 Pferde 4mal 184 fl. — 736 fl. 8 „ „5 „ 5mal 184 „ — 920 „ 6 „ „6 „ 6mal 184 „ — 1104 „ alle drei erhalten 2760 fl. Zweiter Abschnitt. Das Rechnen mit Decrmatzahlen. 8- rr2^ 1 e-»2 100 mm2. Die Einheit des Bodenflächenmaßes bildet das Ar («), d. i. ein Quadrat, dessen Seite 10 Meter lang ist. Vielfaches: das Hektar (LA) selbst, also das Gewicht eines Cubikdecimeters Wasser, als Einheit der Ge¬ wichte an, legt jedoch bei der Bildung der Benennungen das Gramm zu Grunde. Vielfache: der metrische Centner (^) — 100 die Tonne (k) — 1000 1^. Untertheilungen: das Dekagramm (Ä/cA) — /cA, das Gramm (9) — Vivo» das Decigramm (c?A) — F, das Centigramm (798 „ 7 „ 12 „ 1799 7 „12^,,^ Jahre 8 Mon. 13 T. Jahre --i Mon. 13 T. 170 I V. Abt Heilung. Damit man hier die Monate subtrahieren könne, zählt man, wie in der zweiten Hilfsrechnung angedeutet wird, zu den Monaten im Minuend so viel Ein¬ heiten dazu, als deren nächsthöhere Einheit enthält, also 12 Monate, und subtrahiert dann 7 Mon. von 15 Mon.; damit aber der Unterschied nicht geändert werde, muss man auch die Zahl des Subtrahends in der nächsthöheren Benennung um 1 Einheit vermehren. Die Hilfsrechnung wird übrigens nicht schriftlich ausgeführt, indem die er¬ forderlichen Veränderungen nur in Gedanken vollzogen werden. Bei mehrnamigen Zahlen, welche nach dem Decimalsysteme eingetheilt sind, wird die Subtraction am bequemsten ausgeführt, indem man dieselben als De- cimalbrnche derselben Benennung darstellt und als solche subtrahiert. 26 m 5 ckm 8 om 2 -um oder 26582 mm oder 26'582 m 18 m 6 c?m 4 om 7 mm 18647 mm 1.8'647 m 7 m 9 ckm 3 oi» 5 mm 7935 mm 7'935 m Z. 9-5. Die Zeitrechnung. Die Zeitrechnung bietet dem Anfänger mehrfache Schwierigkeit. Bevor wir daher die hieher gehörigen Aufgaben näher besprechen, wird es nöthig sein, einige Bemerkungen über unsere Zeitrechnung vorauszuschicken. Die Zeit wird nach Jahren, Monaten und Tagen bestimmt. Diese Maße hat uns die Natur selbst in der Bewegung der für uns wichtigsten Weltkörper an die Hand gegeben. Ein Jahr ist nämlich die Zeit, in welcher unsere Erde ihre Bahn um die Sonne durchläuft; ein Tag die Zeit, in welcher sich die Erde um ihre Achse dreht; ein Monat der Zeitraum, welcher ungefähr mit der Zeit des Umlaufes des Mondes um die Erde übereinstimmt. Die Christen zählen die Jahre von der Geburt Jesu Christi an. Von dieser Zeit angefangen, schrieb mau zunächst das Jahr 1, nach Ablauf dieses ersten Jahres das Jahr 2, u. s. w. Das Jahr, welches durch die Jahreszahl bezeichnet wird, ist daher erst im Laufe begriffen, und noch nicht verflossen. Wenn wir z. B. das Jahr 1884 schreiben, so sind seit der Geburt Christi erst 1883 Jahre vollständig verflossen. Dieses ist auch der Fall, wenn wir von Monaten und Tagen reden. Wenn wir z. B. den 15. April schreiben, so bezeichnen wir zwar dadurch den I5ten Tag des 4ten Monates; allein es ist weder der 4te Monat dieses Jahres, noch der 15te Tag jenes Monates abgelaufen; es sind von diesem Jahre erst 3 Mo¬ nate und 14 Tage verflossen. Am 27. Juli 1880 waren 1879 Jahre 6 Monate 26 Tage nach Christi Geburt verflossen. Der Tag hat 24 Stunden, welche von Mitternacht an gerechnet werden. Um 1 Uhr morgens ist die erste, uni 5 Uhr morgens die 5te, um 10 Uhr vor¬ mittags die lOte, um 12 Uhr mittags die 12te, um 1 Uhr nachmittags die 13te Zeitrechnung. 171 um 8 Uhr abends die 20ste, um 11 Uhr nachts die 23ste Stunde des Tages verflossen. Wenn wir daher schreiben: 1875 den 4. Februar 3 Uhr nachmittags, so sind bis zu diesem Augenblicke von Chr. G. an verstossen: 1874 Jahre 1 Monat 3 Tage 15 Stunden. Die Zeit (Jahreszahl, Monat und Tag), wann etwas geschieht oder ge¬ schehen ist, nennt man das Datum. Nach den vorhergehenden Erklärungen kann jedes Datum in verflossene Zeit verwandelt werden, indem man die Jahreszahl, die Ordnungszahl des Monats und Tages je um 1 vermindert. Umgekehrt kann man, wenn für eine Begebenheit der seit Chr. G. ver¬ flossene Zeitraum als eine durch Jahre, Monate, Tage, . . . ausgedrückte be¬ nannte Zahl gegeben ist, daraus ohne Schwierigkeit das Datum dieser Begeben¬ heit bestimmen. Z. B. Als eine gewisse Begebenheit eintrat, waren 1864 Jahre 7 Monate 20 Tage seit Chr. G verflossen; wann fand diefe Begebenheit statt? — Als 1864 Jahre nach Chr. G. verflossen waren, schrieb man 1865; nach Ablauf von 7 Monaten war man im 8ten Monate, also im August; und nach Verlauf von 20 Tagen in diesem Monate schrieb man den 21sten. Die Begebenheit fand also statt im Jahre 1865 am 21sten August. Welches Datum schrieb man 1873 Jahre 2 Monate 8 Tage 9 Stunden nach Chr. G. ? — 1873 Jahre nach Chr. G. schrieb man die Jahreszahl 1874; als von diesem Jahre 2 Monate verflossen waren, befand man sich im dritten Monate, also im Marz; mit dein Verlauf von 8 Tagen im März begann der 9te März. Man schrieb also 1874 den 9ten März 9 Uhr vormittags. Bei den Aufgaben über die Zeitrechnung ist auch noch der Umstand, dass nicht alle Monate gleich viele Tage haben, und dass einige Jahre gemeine, andere Schaltjahre sind, gehörig zu beachten. Ein gemeines Jahr wird zn 365 Tagen gerechnet. Die wirkliche Zeit des Umlaufes der Erde um die Sonne betrügt aber 365 Tage 5 Stunden 48 Minuten 48 Secunden. Wenn daher ein Jahr zu 365 Tagen angenommen wird, so begeht man jährlich einen Fehler von 5 Stun¬ den 48 Minuten 48 Secunden, also von beinahe 6 Stunden, folglich in 4 Jahren ungefähr einen Fehler von 24 Stunden oder einem ganzen Tage. Um dieses wieder auszugleichen, rechnet man jedes vierte Jahr zu 366 Tagen, und nennt ein solches ein Schaltjahr. Den Schalttag fügt man dein Monate Februar ein. Um zu erfahren, ob ein Jahr ein gemeines oder ein Schaltjahr ist, untersuche man, ob die Jahreszahl durch 4 ohne Rest dividiert werden könne; ist dieses der Fall, so ist das Jahr ein Schaltjahr; bleibt ein Rest, so ist dasselbe ein ge¬ meines Jahr. Die Jahre 1892 und 1896, werden Schaltjahre sein. Wenn man übrigens jedes vierte Jahr als ein Schaltjahr ansieht, so wird zn viel ein¬ geschaltet, da der jährliche Überschuss nicht ganze 6 Stunden beträgt. Um auch 172 IV. Abtheiluug. diesen Fehler möglichst auszugleichen, werden alle 400 Jahre 3 Jahre, welche nach der gewöhnlichen Berechnung Schaltjahre sein sollten, als gemeine Jahre angenommen. Man hat dazu die Jahre bestimmt, mit welchen die Jahrhunderte endigen. So sollten die Jahre 1700, 1800, 1900 eigentlich Schaltjahre sein; sie werden aber als gemeine Jahre angenommen. Bei der Zeitrechnung kommen dreierlei Hauptaufgaben vor; es ist ent¬ weder das Ende eines Zeitraumes, oder die Dauer, oder der Anfang des¬ selben zu berechnen. a) Das Ende eines Zeitraumes wird aus dem Anfangs und der Dauer desselben berechnet, indem man zur Zeit des Anfanges die Dauer des Zeitraumes add iert. Man kann die Rechnung auch dadurch ausführen, dass man, ohne die verflossene Zeit zu suchen, sogleich das Anfangsdatum der Reihe nach um die Jahre, Monate, Tage, ... der Dauer des Zeitraumes vermehrt. Z. B. Ein Mann, der am 5. Jänner 1829 geboren wurde, starb in einem Alter von 35 Jahren 6 Monaten und 12 Tagen; an welchem Tage war dieses? Erstes Verfahren: 1828 I. — M. 4 T. 35 „ 6 „ 12 „ 1863 I. 6 M. 16 T. Am 5. Jänner 1829, als dieser Mann geboren wurde, waren von Ehr. G. an 1828 Jahre und 4 Tage verflossen. Als er starb, war mehr Zeit verflossen, und zwar um so viel mehr, als'das Alter des Verstorbenen, beträgt, man muss also noch dieses zu 1828 Jahren 4 Tagen addieren. Man bekommt dadurch 1863 Jahre 6 Monate und 16 Tage als die bei seinem Tode nach Ehr. G. verflossene Zeit; somit starb er am 17. Juli 1864. Zweites Verfahren: 35 Jahre nach dem 5. Jänner 1829 war der 5. Jänner 1864, 6 Mon. „ „ 5. Jänner 1864 „ „ 5. Juli 1864, 12 Tage „ „ S. Juli 1864 „ „ 17. Juli 1864. Dieses zweite Verfahren ist einfacher und eignet sich besonders für das Kopf¬ rechnen, während das erste Verfahren meistens beim Zifferrechnen angewen¬ det wird. Kaiser Franz I. war am 12. Februar 1768 geboren, und starb in einem Alter von 67 Jahren 18 Tagen; wann starb er? 1767 I. 1 M. 11 T. 67 „ — „ 18 „ 1834 I. 1 „ 29 T. 1834 I? 2 M. 1 T. Man fetzt auch hier die Zahl der Jahre, Monate nud Tage an, welche bei der Geburt dieses Monarchen verflossen waren, und addiert dazu das Alter des- Zeitrechnung. 173 selben; die Summe gibt uns die Zeit an, welche bei dessen Tode verflossen ist, und welche hierauf so zu übertragen ist, wie man das Datum gewöhnlich schreibt. Hier kommen 29 Tage heraus; diese kann man nicht eher in Rechnung ziehen, bis man weiß, welchen: Monate sie angehören, da die Monate verschiedene Dauer haben. Bei der Addition der Monate erhält man 1 Monat; jene 29 Tage sind also nach Verlauf von 1 Monat eingetreten, also gehören sie dem Februar an. Da aber dieser Monat bald 28, bald 29 Tage hat, so muss man noch die Jahre addieren, um zu sehen, ob man es mit einem gemeinen oder mit einem Schalt¬ jahr zn thun hat; man bekommt 1834 Jahre; Kaiser Franz I. starb also im Jahre 1835, dieses war ein gemeines Jahr und hatte in: Monate Februar 28 Tage; wir zählen also von obigen 29 Tagen 28 Tage zu einem Monate, wor- nach wir 2 Monate haben, den übrigbleibenden Tag aber schreiben wir unter die Tage. Als Kaiser Franz I. starb, waren also 1834 Jahre 2 Monate 1 Tag seit Chr. G. verflossen; sonnt starb er im Jahre 1835 am 2. März. Kürzer stellt sich die Losung dieser Aufgabe nach dein zweiten oben ange¬ führten Verfahren heraus: 67 Jahre nach dem 12. Februar 1768 war der 12. Februar 1835, 18 Tage „ „ 12. Februar 1835 „ „ 2. März 1835. b) Um die Dauer eines Zeitraumes zu erhalten, muss man die am Anfang desselben verflossene Zeit von der nm Ende verflossenen Zeit subtra¬ hieren. Man kann übrigens auch vom Anfangsdatum schrittweise zum Datum des Endes übergehend, nach der Reihe die Jahre, Monate und Tage der Zeit¬ dauer bestimmen. Z. B.: Jemand war am 2. April 1787 geboren, und starb am 3. Oetober 1865; wie alt ist er geworden? Hier ist eigentlich die Frage: wie viel Jahre, Monate und Tage liegen zwischen dem 2. April 1787 und dem 3. October 1865? 1864 I. 9 M. 2 T. 1786 „ 3 „ 1 „ 78 I. 6 M. 1 T. Am 3. October 1865 waren seit Chr. G. 1864 Jahre 9 Monate 2 Tage verflossen, am 2. April 1787 aber 1786 Jahre 3 Monate 1 Tag. Sv viel Zeit also am ersten Tage mehr verflossen war als an: letzten, so alt war der Ver¬ storbene; man muss daher die zweite Zahl von der ersten abziehen; der Rest 78 Jahre 6 Monate 1 Tag zeigt die Dauer des Lebens jener Person an. Zweites Verfahren: Vom 2. April 1787 bis 2. April 1865 siud 78 Jahre, „ 2. April 1865 „ 2. Oct. 1865 „ 6 Mouate, „ 2. Oct. 1865 „ 3. Oct. 1 865 ist 1 T ag, also gesuchte Lebensdauer — 78 Jahre 6 Mon.^Tagi 174 IV. Abteilung. e) Um den Anfang eines Zeitraumes zu finden, wird die Zeitdauer von dem Ende desselben subtrahiert. Man kann auch von Datum zu Datum zuriickgehend, der Reihe nach die Tage, Monate und Jahre des Zeitraumes von dem Datum des Endes in Abrechnung bringen. Z. B. Unser Kaiser Franz Josef I. trat am 2. December 1848 die Regierung an und war damals 18 Jahre 3 Monate 14 Tage alt; wann wurde er geboren? Regierungsantritt: 1847 J. II M. IT. nach Chr. G. Damaliges Alter: 18 „ 3 „ 14 „ „ „ „ Zeit der Geburt: "ESJi"7 M, 17 T. nach Chr. G-, also Datum der Geburt 18. August 1830. Oder: 14 Tage vor dem 2. December 1848 war der 18. November 1848, 3 Man. „ „ 18. November 1848 „ „ 18. August 1848, 18 Jahre „ „ 18. August 1848 „ „ 18. August 1830. 96. Mniliplieieren mrhrnamigcr Zahlen. Wie viel ist 6mal 9 Jahre 7 Monate? Mündlich: 6mal 9 Jahre sind 54 Jahre; 6mal 7 Monate sind 42 Monate, d. i. 3 Jahre 6 Monate, und die früheren 54 Jahre dazu, sind 57 Jahre 6 Monate. Beim schriftlichen Mnltiplicieren muss man, weil in dem Produkte der Mo¬ nate Jahre enthalten sind, und diese zu dem Produkte der Jahre gezahlt werden müssen, bei den Monaten zu rechnen anfangen, damit man nicht nöthig habe, die im Produkte schon angeschriebene Zahl der Jahre wieder ausznbessern. 9 I. 7 Mon. X 6 7 Mon. X 6 — 42 Mon. 57 I. 6 Mon. — 3 I. 6 Mon. Hier erhält man zuerst 42 Monate, d. i. 3 Jahre 6 Monate; 6 Monate schreibt man an, 3 Jahre zählt man zu dem Produkte der Jahre. Die Reduktionen werden möglichst im Kopfe ausgeführt. Ist eine mehrnamige Zahl mit decimaler Eintheilung zu multiplicieren, so verwandelt man sie in die niedrigste Benennung, oder, was im allgemeinen vor- theilhafter ist, in einen Decimalbruch der höchsten Benennung. Z. B. Multipliciere 38 fl. 62 kr. mit 27 3862 kr. X 27 oder 38'62 fl. X 27 27034 27034 7724 7724 104274 kr. — 1042 fl. 74 kr. 1012-71 fl. Die hier vorzunehmenden angewandten Aufgaben sind Schlussrech¬ nungen. (M 67 und 69.) Z. 97. Dividieren mehrnamigrr Zahlen. n) Wenn die Division als Messen angewendet wird. In diesem Falle sind Dividend und Divisor benannte Zahlen; der Quo¬ tient ist eine unbenannte Zahl. Multipliciercn, Dividieren mehrnahmiger Zahlen. 175 Wie oft sind 8 kr. in 6 ft. enthalten? Mündlich: 6 fl. sind 600 kr.; 8 kr. sind in 6 fl. eben so oft enthalten als in 600 kr.; 600 kr. sind 560 kr. 40 kr.; 8 kr. sind in 560 kr. 70mal, in 40 kr. 5mal, in 600 kr. also 75mal enthalten. Schriftlich: 600 kr. : 8 kr. — 75. 40 Man bringt also Dividend nnd Divisor auf gleiche, am besten auf die niedrigste Benennung und vollzieht dann die Division. Wie oft sind 2 »r 9 ckm 1 am in 151 -u 3 ckm 2 em enthalten? 2 m 9 Äm 1 cm — 2dl em 15132 : 291 — 52 151 m 3 Äm 2 cm - 15132 cm b) Wenn die Division als Theilen angewendet wird. Hier ist nur der Dividend benannt, der Divisor aber muss eine unbenannte Zahl sein; der Quotient erhält denselben Namen, den der Dividend hat. Es seien 41 fl. 22 kr. unter 9 Personen zn gleichen Theilen zu theilen; wie viel erhält 1 Person? Man muss hier sowohl 41 fl. als 22 kr. durch 9 dividieren. Mündlich: Der 9te Theil von 41 fl. sind 4 fl., und es bleiben noch 5 fl. zur Vertheilung übrig; diese werdeu in Kreuzer aufgelöst, 5 fl. — 500 kr., und die bereits vorhandenen 22 kr. dazu, find 522 kr. — 450 kr. -I- 72 kr.; fs von 450 kr. sind 50 kr., z- von 72 kr. sind 8 kr., von 522 kr. also 58 kr.; 1 Person erhält also 4 fl. 58 kr. Schriftlich: 41 fl. 22 kr. — 41-22 fl. ^41'22 fl.^ 9 4'58 fl. — 4 fl. 58 kr. Man - dividiert zuerst die Zahl der höchsten Benennung, verwandelt den etwa verbleibenden Rest in die nächstniedrigere Benennung, addiert dazu die im Dividend bereits vorhandenen Einheiten dieser Benennung und dividiert die da- dadurch erhaltene Summe; oder, was im allgemeinen bequemer ist: man ver¬ wandelt den mehrnamigen Dividend in eine einnamige Zahl und dividiert diese. Obwohl bei mehrnamigen Zahlen das Divisionsverfahren, je nachdem man eine Aufgabe des Theilens oder des Euthaltenseins zu lösen hat, wesentlich ver¬ schieden ansfällt; so erscheint es doch rathsam, dass die angewandten Aufgaben nicht nach diesen beiden Arten gesondert, sondern unter einander abwechselnd vor¬ genommen werden, weil es dem Schüler mehr Übung bringt, wenn er nicht schon vorhinein weiß, zu welcher Art eine Aufgabe gehört, sondern dieses bei jeder ein¬ zelnen Aufgabe erst durch Nachdenken zu untersuchen genöthigt ist. Unter, den angewandten Aufgaben können hier außer den Schluss¬ rechnungen (M. 65, 67—69) auch leichte Durchschnitts- und Gesellschaftsrechnungeu geübt werden. 176 IV. Abtheilung. Werter Abschnitt. Dos Rechnen mit den IMisiger vorkommenden gemeinen Ärnchen. 8- M!. Schon im Anschlüsse an den Zahlenranm bis 100 ließen wir die Schüler die einfachsten Brüche kennen lernen und führten sie umnerklich in die Operationen mit denselben ein. Gleichwohl werden wir hier noch nicht zur allgemeinen Behandlung der Brüche übergehen. Mit der Einführung der metrischen Maße und Gewichte kommen im gewöhnlichen Leben vorzugsweise nur noch einfachere gemeine Brüche vor. Schulen, denen die Zeit sehr karg zugemessen ist, werden daher ihre Aufgabe erfüllen, wenn sich die Schüler im Operieren mit solchen Bruchzahlen, welche im praktischen Leben am häufigsten auftretcn, volle Geläufigkeit erwerben. An mehr- classigen Volksschulen aber, welche die Nechenstoffe allseitiger durchzuarbeiten in der Lage sind, kann die vollständige Lehre der gemeinen Brüche immerhin einer späteren Stufe Vorbehalten werden. Wir beschränken uns darum hier auf die häufiger vorkommenden Brüche und brauchen nur in dem bereits geübten Lehr¬ stoffe eine entsprechende Erweiterung eintreten zu lassen. Die äußere Anschauung bleibt auch hier noch vorherrschend. Als Veran- schanlichnngsmittel bedienen wir uns der getheilten Linien. Der Lehrer wird zunächst die nöthigen Bemerkungen über das Wesen und die Eintheilung der gemeinen Brüche vorausschickcn. a) Nehme ich die ganze Einheit einmal oder mehrmal, so erhalte ich eine ganze Zahl. Nehme ich nur einen Theil der Einheit einmal oder mehrmal, so erhalte ich eine gebrochene Zahl oder einen Bruch. Wie erhältst du 3? Wie erhältst du H? Mit jeder ganzen Zahl lässt sich jeder Bruch verbinden. Eine Zahl, welche aus einer ganzen Zahl und aus einem Bruche besteht, heißt eine gemischte Zahl, z. B. 3-Z. Um sich von einem Brnche eine richtige Vorstellung zu machen, muss man erstlich wissen, in wie viel gleiche Theile 1 Ganzes getheilt wurde, und dann, wie viele solche Theile zu nehmen sind; man muss also wissen, was für Theile der Bruch enthält, und wie viele solche Theile er enthält. Zur Bestimmung eines Bruches sind also zwei Zahlen erforderlich; die eine zeigt an, in wie viele gleiche Theile das Ganze getheilt ist, sie gibt somit die Art der Theile an, d. h. sie nennt oder benennt die Theile und heißt darum der Nenner; die andere zeigt an, wie viele solche Theile zu nehmen sind, sie zählt die Theile und heißt darum der Zähler. Der Nenner eines Bruches ist also der Name der Theile, der Zähler die Anzahl derselben. Man schreibt den Nenner unter den Zähler und setzt zwischen beide einen Strich. Rechnen mit gemeinen Brüchen. 177 Der Lehrer lasse verschiedene ausgesprochene Brüche anschreiben, und um¬ gekehrt angeschriebene Brüche aussprechen, bei jedem solchen Bruche aber auch die Entstehung und Bedeutung desselben angeben. d) Wird ein Ganzes in mehrere gleiche Theile getheilt und nimmt inan weniger Theile, als zum Ganzen gehören, so ist der Bruch, der dadurch entsteht, kleiner als ein Ganzes; enthält der Bruch gerade so viele Theile, als zum Gan¬ zen gehören, so ist er dem Werte nach dem Ganzen gleich; enthält der Bruch mehr Theile, als zum Ganzen gehören, so ist er größer als ein Ganzes. Hierauf beruht die Eintheiluug der Brüche in echte und unechte. Brüche, welche weniger als ein Ganzes betragen, heißen echte Brüche. Der Zähler eines echten Bruches ist kleiner als der Nenner. Brüche, welche ein Ganzes oder mehr als ein Ganzes betragen, heißen unechte Brüche. Der Zähler eines unechten Bruches ist eben so groß oder größer als der Nenner. Zum besseren Verständnisse kann der Lehrer auch echte und unechte Gulden¬ brüche durch Kreuzer ausdrücken und untersuchen lassen, ob sie kleiner, gleich oder größer als ein ganzer Gulden sind. Z. B. H fl. — 75 Kr.; fl. — 100 Kr.; z fl. — 125 Kr. Schließlich wird den Schulern noch gesagt, welche Brüche gleichnamig, und welche ungleichnamig heißen. Z. W. Nkchniingsoptrationrn mit grmrinrn Srnchrn. Die im Leben am häufigsten vorkommenden Bruchzahlen sind: 1. Halbe, Viertel und Achtel; 2. Drittel, Sechstel und Zwölftel; 3. Fünftel und Zehntel; 4. Zwanzigstel, Füufundzwauzigstel, Fünfzigstel und Hundertel. Bei jeder dieser Gruppen von Bruchzahlen nehmen wir nach der Reihe das Resolvieren und Reducieren, das Addieren und Subtrahieren, das Multiplicieren, das Dividieren als Messen und Theilen vor und fügen diesen Übungen noch an¬ gewandte Aufgaben bei. Das unterrichtliche Verfahren bleibt im allgemeinen dasselbe, wie bei dem früheren Anschauungsunterrichte im Bruchrechnen (II. Abth. ß. 48). Nachdem die Schüler auf dem Wege der äußeren Anschauung die Bedeutung der einfacheren Bruchzahlen kennen und mit ihnen rechnen gelernt haben, werden sie befähigt sein, sich auch ohne äußere Versinulichung durch ihre innere An¬ schauungskraft von jedem beliebigen Bruche eine klare Vorstellung zu machen und das für die anschaulich dargestellten Bruchzahlen abgeleitete Rechnungsverfahrcn ohne besondere Schwierigkeit auch auf andere Brüche anzuwenden. Den oben be¬ zeichneten Übungen können daher hier auch einige leichtere Rechnungen mit Brüchen, deren Nenner beliebige Zahlen sind, angeschlossen werden. 12 Fünfte Adtheitnng. (Anleitung zum Gebrauche des fünften Rechenbuches für Volksschulen.) Rechmmgsütnmgen für die oberen Schulclassen. Einleitung. Z. füll. jjbuiigsstoffr des fünften Nechenlmchrs. Die ersten vier Rechenbücher für Volksschulen enthalten die Grundoperationen mit ganzen Zahlen, Decimal- und gemeinen Brüchen, mit einnamigen und mehr¬ fach benannten Zahlei: und bieten nut diesen Übungsstoffen ein abgeschlossenes Ganzes, das den Schülern auch schon hinreichende Mittel au die Hand gibt, nur bei sorgfältiger Beurtheilung alle Rechnnngsaufgaben des gewöhnlichen Lebens, so mannigfaltig sie auch sein mögen, niit Einsicht und Sicherheit lösen zu können. In den: weiteren Rechenunterrichte kann es sich nur darum handeln, das Gelernte durch Wiederholungsübungen zu befestigen und nach Bedürfnis zu erweitern, ins¬ besondere aber die Überleitung von dem eigentlichen Schnlrechnen zum Rechnen, wie cs im Leben nisse des bürgerlichen Lebens, zu bewerkstelligen, indem die verschiedenen Verhält- welche sich der Rechnung unterziehen lassen, nach und nach vorgefnhrt und die bekannten Operationen, auf diese Verhältnisse recht vielseitig zur Anwendung gebracht werden. Wiederholungsübungen über das Rechnen mit ganzen und Decimalzahlen werden unter angemessener Erweiterung des früher Gelernten den Ausgangspunkt bilden. Sodann folgt die vollständige Behandlung der gemeinen Brüche, welcher die wichtigsten Lehren über die Theilbarkeit der Zahlen vorausgeschickt werden. Neu treten auf: das Ausziehen der Quadratwurzel und der Cubikwurzel, das vorzugsweise bei geometrischen Rechnungen Anwendung findet; ferner die Ver¬ hältnisse und Proportionen nebst Anwendungen. Von den Verhültnisrechnungen sind die Procent-, Zins- und Theilungsrechnungen, bei denen möglichst der Cha¬ rakter der Schlussrechnungen festgehalten wird, unter allen Umstünden, in besseren Schulen auch die Discont- und Termin-, die Mischungs- und Kettenrechnung zu üben. Einige Kenntnis über die Rechnung mit Münzen, Wechseln, Staatspapieren und Actien erscheint bei dem gegenwärtigen Aufschwünge des Verkehres für keine Classe von Menschen mehr ganz entbehrlich; darum sollen auch die diesbezüglichen Rechnungsübungen, wenn auch in beschränkten: Umfange, in keiner gehobenen Volksschule unberücksichtigt bleiben. Den Übnngsstoff des letzten Schuljahres, als Anleitung. 17S Abschluss des Schulunterrichtes im Rechnen, bilden Aufgaben, welche aus den verschiedenen Berufszweigen hergenommen und nach ihrem sachlichen Inhalte zu- sammeugestellt sind; für Mädchen sind insbesondere hauswirtschaftliche Rechen¬ aufgaben am Platze, in Dorfschulen werden landwirtschaftliche, in Stadt- und Marktschulen vorwiegend gewerbliche und einfache kaufmännische Rechnungen ihre angemessene Berücksichtigung finden. Die Berechtigung des Auftretens einzelner Abschnitte wird, wo es nöthig erscheint, an den betreffenden Orten ausführlicher nachgewiesen. Eine genaue Abgrenzung und Austheilung der eben angedeuteten Übungs¬ stoffe für jede einzelne der oberen Schnlclassen, wie sie in den ersten vier Rechen¬ büchern für die unteren Classen stattfindet, erscheint bei der großen Verschieden¬ heit der Volksschulen in Beziehung auf die Classenanzahl und auf den künftigen Berus ihrer Schüler nicht wohl möglich; es muss dem Ermessen des Lehrers überlassen werden, aus den Uebungsanfgaben durch verständiges Abwügen der größeren oder geringeren Wichtigkeit derselben unv mit Rücksichtnahme ans die Bestimmungen des Lehrplanes die rechte Auswahl zu treffen. Die Aufgaben über die Ranmgrößenrechnungen sind mit der geometrischen Formenlehre an den geeigneten Orten und in den dafür bestimmten Schuljahren in Verbindung zu setzen. Erster Ad schnitt. Mie-rrlMmgsübimgen über das Rechnen mit ganzen und Decimichahten. 8. INI. Wir haben bisher auf jeder neuen Stufe des Unterrichtes zunächst eine passende Wiederholung der bereits vorgenommenen Übungen vorausgeschickt, weil nur dadurch erreicht werden kann, dass die Grundlagen des Rechnens schließlich ein unverlierbares Eigenthum aller Schüler werden. Wir bleiben auch hier diesem Grundsätze treu und nehmen, ehe wir an die Behandlung neuer Stoffe gehen, Zuerst Wiederholungsübnngen über das Rechnen mit ganzen und Decimalzahlen, mit ein- und mehrnamigen Zahlen vor, Eine Erweiterung erhalten diese Wiederholungsübnngen in den Multipli- cations- und Divisionsvortheilen, mit denen hier die Schüler bekannt gemacht werden können. Dabei beschränken wir uns jedoch auf jene wenigen Rechnungs¬ vortheile, die sich sehr leicht ausführen und auch leicht im Gedächtnisse behalten lassen, während wir Vortheile, die eine große Gewandtheit im Rechnen voraus- sctzen, und bei deren Anwendung schwächere Schüler Irrungen ausgesetzt würeu, t2* 180 V. Abthcilung. 827376 unberücksichtigt lassen. Ferner kann hier die abgekürzte Multiplikation und Divi¬ sion der Decimalbrüche vorgenommen werden. Multiplicationsvortheile. 1. Wenn der Multiplikator 11 ist. kürzer: 75216 X 11 Statt: 46037 X 31 46037 138111 1427147 75216 X 11 75216 -827376 Man sieht, dass sich bei der Multiplikation mit 11 das Product unmittel¬ bar aus dein Multiplikand ableiten lässt, indem man nämlich die erste Ziffer rechts unverändert anschreibt, dann zur ersten Ziffer die zweite, zur zweiten die dritte, und überhaupt zu jeder Stelle die nächst höhere addiert. Man spricht dabei: 6 ist 6; 6 und 1 ist 7; 1 und 2 ist 3; 2 und 5 ist 7; 5 und 7 ist 12, 2 angeschrieben, bleibt 1; 1 und 7 ist 8. 2. Wenn im Multiplikator die Ziffer 1 vorkommt. und 195807 X 148 195807 783228 1566456 28979436 kann man mit Vermeidung alles unnöthigen Wiederholens auch schreiben: 46037 X 31 und 195807 X 148 13811^ 783228 1427147 1566456 28979436. Wenn daher der Miltiplicator die Ziffer 1 enthält, so lässt man den Mul¬ tiplikand nngcändert als das erste Theilproduct stehen, multipliciert ihn dann mit den übrigen geltenden Ziffern des Multiplikators und schreibt die dadurch er¬ haltenen Theilproducte richtig darunter. 3. Wenn sich der Multiplikator in zwei Faktoren zerlegen lässt, mit denen man leicht mnltiplicieren kann, so multipliciert man den Multiplikand zuerst mit dem einen Factor des Multiplicators und dann das Product noch mit dem andern Factor. Z. B- Es sei 49172 mit 32 zu mnltiplicieren. Da 32 — 8 X 4 ist, so erhält man das 32fache einer Zahl, wenn man von ihr zuerst das 8fache, und von diesem das 4fache sucht, d. h. wenn man die gegebene Zahl zuerst mit 8, und das Product noch mit 4 multipliciert; man hat daher 49172 X 32 Durch die Anwendung dieses Vortheils " . wird eine Addition erspart. 1573504 Abgekürzte Multiplication. 181 Abgekürzte Multiplication der Decimalbrüche. Sehr oft erfordert die Genauigkeit der Rechnung im Resultate nicht so viele Decimalstellen, als man bei vollständiger Entwicklung des Produktes erhalten würde. Um jede überflüssige Rechnung zu vermeiden und im Producte sogleich nur so viele Decimalen, als zur Genauigkeit erforderlich sind, zu erhalten, bedient man sich der abgekürzten Multiplication. Es sei z. B. das Product 8-5432 X 7'961 in 3 Decimalen zu entwickeln. Nach der gewöhnlichen Multiplicationsweise hat man: 8'5432 X 7-961 Die hier rechts des Striches dargestellte Rechnung ist überflüssig. Um sie zu vermeiden, wird man mit jeder Ziffer des Multiplikators nur jene höheren Ziffern des Multiplicands multi- plicieren, deren Producte auf die Stellen Einfluss haben, die im Producte verlangt werden. — Wenn nian mit 7 Einern mnltipliciert, so wird man, um Tausendtel zu erhalten, bei der Ziffer 3 des Multiplicands, welche Tausendtel bedeutet, zu multiplicieren anfangen; denn 0'003 X 7 — 0'021. Das Pro¬ duct aus 7 mit der niedrigsten Ziffer 2 gibt 14 Zehntausendtel, welche man nicht braucht; da jedoch in dem Produkte 14 nur die Einer 4 Zehntausendtel, die Zehner 1 aber Tausendtel vorstellen, so darf man von diesem Producte auch nur 4 vernachlässigen, 1 aber muss zu dem Producte aus 7 und - 3, welches Tausendtel gibt, als Correctur addiert werden. — Mit 9 Zehnteln muss man bei der Ziffer 4 des Multiplicands zn multiplicieren beginnen, um Tausendtel Zu erhalten; denn 0-04 x 0'9 — 0'036. Ebenso muss man mit 6 Hunderteln bei der Ziffer 5, und mit 1 Tausendtel bei der Ziffer 8 des Multiplicands zu multiplicieren anfangen, um Tausendtel zu erhalten. Setzen wir nun jede Ziffer des Multiplicators unter diejenige Stelle des Multiplicands, bei der wir zu multiplicieren beginnen müssen, so erhalten wir folgende Anordnung: 8'5432 X 7-961 1697 Aus dieser Anschreibweise ersehen wir, dass die Ziffer der Einer des Mul¬ tiplicators, nämlich 7, unter der dritten Decimale 3, also unter derjenigen Deci- malstelle des Multiplicands steht, mit welcher das Product abbrechen soll, und dass die übrigen Ziffern des Multiplicators daneben in umgekehrter Ordnung erscheinen. Ferner geht daraus hervor, dass man, wenn mit einer Ziffer des umgekehrten Multiplikators die ober ihr stehende Ziffer des Multiplicands mnltipliciert wird, stets dieselbe Decimalstelle (hier Tausendtel) erhält, und dass man demnach die Theilproducke nicht, wie bei der gewöhnlichen Multiplication hinein oder heraus rücken, sondern wie Summanden unter einander anschreiben müsse. 182 V. Abtheilung. Bei der abgekürzten Multiplikation der Decimalbrüche verfahre man daher nach folgenden Regeln: 1. Man setze die Einer des Mnltiplicators unter die niedrigste Decimal- stclle des Multiplicands, welche noch im Produkte vorkommen soll und schreibe daneben die übrigen Ziffern des Multiplikators in umgekehrter Ordnung. 2. Man multipliciere mit der ersten rechts vorkvmmenden Ziffer des um¬ gekehrten Multiplikators zuerst die um eine Stelle weiter rechts stehende Ziffer des Multiplicands, schreibe jedoch dieses Product nicht an, sondern merke sich davon nur die nächsten Zehner, welche die Correctur bilden; dann multiplieiert man die gerade darüberstehende Ziffer des Multiplicands, addiere zu dem Pro¬ dukte die Correctur, und fange hier das abgekürzte Theilproduct zu schreiben an; nun werden nach der Reihe auch die weiter aufwärts folgenden Ziffern des Multi¬ plicands multipliciert. Ebenso multiplieiert man dann mit der zweiten, dritten, . . . . Ziffer des umgekehrten Multiplikators und schreibt die einzelnen dadurch erhaltenen abgekürzten Theilproducte als Summanden unter einander. 3. Mau addiere die abgekürzten Theilproducte und schneide in der Summe die verlangte Anzahl Decimalen ab. Die obige Rechnung stellt sich so: 2 7mal 2 ist 14, gibt 1 zur Correctur; 7mal 3 ist 7 21, und 1 (Correctur) ist 22; hier fängt man das Theil- — ' ' ' - Product zu schreiben an, und multipliciert dann mit 7 die '' l,'. o weiteren Ziffern 4, 5, 8 des Multiplicands. i s, 9mal 3 ist 27, gibt 3 zur Correctur (weil 27 näher an 3 Zehnern als an 2 Zehnern liegt); 9mal 4 ist 36, -- und 3 ist 39; mau schreibt 9 unter die niedrigste Ziffer 2 0 8'012 des ersten abgekürzten Theilproductes und multipliciert daun die weiteren Stellen des Multiplicands. 6mal 4 ist 24, gibt 2 zur Correctur; 6mal 5 ist 30, und 2 ist 32; u. s. w. Imal 5 ist 5, gibt 1 zur Correctur; Imal 8 ist 8, und 1 ist 9. Wäre das Product 123-45 X 0'00678 in 4 Decimalstellen zu bestimmen, so hätte man: 1 2 3'45 « « X 0'00678 oder 0'006 7 8 « X 123'45 8,7,6 0 0 0 5,4,3,2,1 7407 "6780 864 1356 98 203 0'8369 27 3 0^8369 Hier kommen die Einer des Multiplikators unter die vierte Deeimalstelle des Multiplicands die fehlenden Decimalen rechts im Multiplicand werden mit Nullen ersetzt. Soll die letzte Stelle im Products genau gefunden werden, so entwickle man um eine Decimale mehr, als verlangt wird. Abgekürzte Division. 183 Tivijions- »nd nachträgliche Multiplicationsvorthcile. 1. Wenn sich der Divisor in zwei Factoren zerlegen lässt, dnrch welche man bequem dividieren kann, so dividiert man den Dividend dnrch den einen Factor des Divisors und den erhaltenen Quotienten noch dnrch den andern Factor. Es sei z. B. 2688 dnrch 32 zu dividieren. 32 — 8 X 4; theilt man eine Zahl in 8 gleiche Theile, und jeden solchen Theil wieder in 4 gleiche Theile, so erhält man 32 gleiche Theile; um daher die Zahl 2688 dnrch 32 zu dividieren, dividiert man sie durch 8, und den Quotienten durch 4; also 2688 : 32 .-: 8 336 -: 4 84 2. Division durch 25. 25 X 4 — 100; der Ifache Divisor ist also 100; damit der Quotient nngeändert bleibe, muss man auch den Dividend 4mal nehmen. Eine Zahl wird demnach durch 25 dividiert, indem man sie mit 4 multipliciert und das Product durch 100 dividiert; z. B. 9325 : 25 oder 9325 : 25 -X4 37'3'00^X4,: 100) 37300 : 100 — 373 3. Division durch 125. 125 X 8 — 1000. Eine Zahl wird also durch 125 dividiert, indem man sie mit 8 multipliciert und das Product durch 1000 dividiert; z. B. 72375 : 125 oder 72375.: 125 -X 8 579'000 (X8,: 1000) 579000 : 1000 — 579 4. Multiplikation mit 25. 25 — 100 : 4. Wenn man also von dem lOOfachen einer Zahl den 4ten Theil nimmt, so erhält man das 25fache dieser Zahl. Eine Zahl wird demnach mit 25 multipliciert, indem man sie mit 100 multipliciert und das Product durch 4 dividiert; z. B. 7214oo X 25 —- : 4 180350 5. Multiplikation mit 125. 125 — 1000 : 8. Eine Zahl wird also mit 125 multipliciert, indem man sie mit 1000 mnltipliciert und das Product durch 8 dividiert; z. B. 5938 o,,» X 125 -: 8 742250 184 V. Abteilung. Abgekürzte Division der Decimalbrnche. Soll der Quotient nur auf eine bestimmte Anzahl von Decimalstellen ent¬ wickelt werden, so bedient man sich der abgekürzten Division. Dabei wende man folgendes Verfahren an: 1. Man suche die erste Ziffer des Quotienten und bestimme ihren Stellen¬ wert. Da der Quotient eine bestimmte Anzahl Decimalen enthalten soll, so ist aus dein Stellenwerte der ersten Ziffer auch bekannt, wie viele Ziffern der verlangte Quotient im ganzen haben soll. 2. Man schneide im Divisor von der Linken angefangen so viele Ziffern ab, als ihrer der gesuchte Quotient enthalten soll; diese bilden den abgekürzten Divisor. Hat der Divisor nicht so viele Ziffern, als ihrer abgcschnitten werden sollen, so tritt die abgekürzte Division erst später im Verlaufe der Rech¬ nung ein. 3. Man behalte auch im Dividend mir so viele Ziffern von der höchsten angefangen, als ihrer der Quotient haben soll, oder nm eine mehr, wenn der abge¬ kürzte Divisor in eben so vielen höchsten Ziffern des Dividends nicht enthalten ist; jene beibehältenen Ziffern sind der abgekürzte Dividend. 4. Man dividiere nach der gewöhnlichen Divisionsweise so lange fort, bis die letzte Ziffer des abgekürzten Dividends herabgesetzt wurde; hierauf schneide man bei jeder folgenden Division die niedrigste noch vorhandene Ziffer des Divisors ab; die jedesmal gefundene Ziffer des Quotienten multipliciere man dann zuerst mit der höchsten im Divisor weggelassenen Ziffer und zahle die aus diesem Produkte erhaltenen Zehner als Correctur zu dem ersten eigentlichen Producte dazu. 4. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis sich im Divisor keine Ziffer mehr vorfindet. Zur näheren Beleuchtung dieses Verfahrens mögen folgende Beispiele dienen: 1) Der Quotient 19-339 : 8'1534 soll in 3 Decimalstellen bestimmt werden. 19-339 : 8-.P5M — 2 372 3032 Die erste Ziffer 2 des Quotienten bedeutet Einer, 580 daher wird der Quotient im ganzen 4 Ziffern enthalten; 15 der abgekürzte Divisor ist also 8153, und der abgekürzte Dividend 19339. Mau multiplicicrt nun mit 2 den abgekürzten Divisor: 2mal 4 ist 8, gibt 1 zur Correctur; 2mal 3 ist 6, und 1 ist 7, und 2 ist 9; u. s. f. Dann schneidet man, anstatt dem Reste 3032 eine Null anzuhängeu, im Divisor die niedrigste Ziffer 3 weg und dividiert 3032 durch 815, wodurch man 3 erhält; 3mal 3 ist 9, gibt 1 zur Correctur; 3mal 5 ist 15, und 1 ist 16, und 6 ist 22; u. s. w. Die auf einander folgenden abgekürzten Dividende und Divisoren sind 19339 : 8153 3032 : 815 586 : 81 15 : 8 Theilbarkeit der Zahlen. 185 2) Es soll der Quotient 3'79357 : 13'8594 in 3 Decimalen gesucht werden. 3'79.357 : 1.3',8.594 — 0'274 1 0^ Da hier die erste Ziffer 2 des Quotienten Zehntel bedeutet, so muss man im Quotienten 3 Ziffern entwickeln; man behält daher im Dividend und iin Divisor nur die drei höchsten Stellen bei und dividiert dann abgekürzt. Zweiter Abschnitt. Theildarkrit der Zahlen. 8- 102. Die Lehre von der Theilbarkeit der Zahlen kommt bei der Bruchrechnung vielseitig in Anwendung. Manche Lehrer pflegen darum das Wichtigste derselben an den geeigneten Orten bei den Brüchen selbst einzuschalten. Da aber dadurch der Zusammenhang der letzteren Lehre in störender Weise unterbrochen wird, so erscheint es angemessener, der Bruchrechnung die Theilbarkeit der Zahlen als einen besonderen Abschnitt vorauszuschicken. Lässt sich eine Zahl durch eine andere Zahl ohne Rest dividieren, so sagt man, sie sei durch diese andere Zahl theilbar; man nennt dann die letztere Zahl ein Maß der ersteren und die erstere ein Vielfaches der letzteren. Z. B. 21 ist durch 3 theilbar, weil 3 in 21 genau 7mal enthalten ist und kein Rest übrig bleibt; 3 ist ein Maß von 21, und 21 ein Vielfaches (nämlich das 7fache) von 3. Jede Zahl ist durch sich selbst und durch 1 theilbar. Jene Zahlen, welche nur durch sich selbst und durch 1 theilbar siud, heißen Primzahlen; z. B. 1, 2, 3, 5, 7, 11, u. s. w. Welche sind die Primzahlen von 1 bis 100? Zahlen, welche nicht nur durch sich selbst und durch 1, sondern auch noch durch eine andere Zahl theilbar sind, heißen zusammengesetzte Zahlen; z. B. 8 lässt sich durch 8 und 1, aber auch durch 2 und 4 ohne Rest dividieren, 8 ist also eine zusammengesetzte Zahl. 1. Wenn zwei Zahlen 24 und 18 ein gemeinschaftliches Maß 6 haben, so muss auch ihre Summe 24 si- 18 — 42 dadurch theilbar sein. Denn 6 ist in 24 4mal, in 18 3mal, in 24 -f- 18 also 4mal und 3mal d. i. 7mal enthalten. 2. Haben zwei Zahlen 24 und 15 ein gemeinschaftliches Maß, so muss auch ihr Unterschied 24 — 15 — 9 dadurch theilbar sein. Denn 3 ist in 24 8mal, in 15 5mal, daher in 24 — 15 8mal weniger 5mal, d. i. 3mal enthalten. 186 V. Abtheilung. 3. Ist eine Zahl 24 durch eine andere 6 theilbar, so ist auch jedes Vielfache derselben, z. B. 24 X 5 — 120, durch dieselbe Zahl theil- bar. Es ist nämlich 6 in 24 4mal, daher in 5mal 24 5mal so ost, also 20mal enthalten. 8. 103. Kemijcichtn für -ie Theitlmrlieit der Zahlen und Zerlegniig in primfactoren. Bei kleineren Zahlen werden die Schüler sogleich anzugeben wissen, durch welche Zahlen sie theilbar sind. Für größere Zahlen gibt es besondere Kenn¬ zeichen, an denen man erkennen kann, ob sich dieselben durch eine bestimmte andere Zahl ohne Rest theilen lassen. Wir lassen diese Kennzeichen, mit denen die Schüler hier bekannt ge¬ macht werden sollen, nachstehend folgen und fügen denselben auch eine kurze Be¬ gründung bei. 1) 2 ist in 10 ohne Rest enthalten, daher auch in allen Vielfachen von 10, also in 20, 30, 40, . . ., in 100, 200, 300, . . ., in 1000, 2000, 3000, u. s. w. Wenn also eine Zahl bloß aus Zehnern, Hunderten, Tausenden, . . . zusammengesetzt ist, so ist sie gewiss durch 2 theilbar. Wenn nun von einer Zahl, welche man durch 2 dividiert, etwas übrig bleibt, so kann dieses nur von den Einern Herkommen. Daher darf mau, um zu erfahren, ob eine Zahl durch 2 theilbar sei, nur die Ziffer der Einer berücksichtigen; steht an der Stelle der Einer 0 oder eine durch 2 theilbare Zahl, nämlich 2, 4, 6 oder 8, so muss auch die ganze Zahl durch 2 theilbar sein. 2) Durch 3 ist eine Zahl theilbar wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 theilbar ist. Jede Zahl ist nämlich ein Vielfaches von 9, also auch von 3, vermehrt um die Ziffersumme dieser Zahl. Die Zahl 2475 z. B. besteht aus folgenden Theilen. 2000 — 2 X 1000 — 2 X 999 -st 2 400 — 4 X 100 — 4 X 99 -l- 4 70 — 7X 10 — 7X 9-l-7 5—.5 In 999 ist nun 3 ohne Rest enthalten, daher auch in 2 X 999; ebenso geht 3 in 99, folglich auch in 4 X 99 ohne Rest auf; ferner ist 9 durch K theilbar, daher 7 X 9. Es bleibt daher noch die Ziffernsumme 2 4-44-74-5 — 18 übrig, und da diese durch 3 theilbar ist, so ist es auch die ganze Zahl 2475. Man bemerke noch den Schülern, dass sie bei der Addition der Ziffern die Ziffern 3, 6, 9 ganz übergehen können. 3) 4 ist in 100 ohne Rest enthalten, daher auch in den Vielfachen von 100, also in 200, . . ., in 1000, 2000, 3000 u. s. f. Es sind also die Hun- Theilbarkeit der Zahlen. 187 derte, Tausende . . . einer Zahl jedesmal durch 4 theilbar. Sind nun auch die Zehner und Einer, d. i. die zwei niedrigsten Stellen, als Zahl betrachtet, durch 4 theilbar, so muss auch die ganze Zahl durch 4 theilbar sein. 4) Durch 5 sind die Zehner, Hunderte, Tausende, . . . einer jeden Zahl theilbar. Es kommt also nur noch auf die Einer an; sind entweder 0 Einer da, oder 5 Einer, so ist die ganze Zahl durch 5 theilbar; sonst nicht. 5) Wenn eine Zahl nicht nur durch 2, sondern auch durch 3 theilbar ist, so muss sie auch durch 2 X 3, d. i. durch 6, theilbar sein. Welche Zahlen sind aber durch 2 und welche durch 3 theilbar? Durch 6 sind also alle geraden Zahlen theilbar, deren Ziffernsumme durch 3 theilbar ist. 6) Durch 9 ist jede Zahl theilbar, deren Ziffernsumme durch 9 theil¬ bar ist. Denn jede Zahl ist ein Vielfaches von 9, vermehrt um die Ziffernsumme dieser Zahl. 7) 10 ist in allen Zehnern, Hunderten, Tausenden, . . . ohne Rest ent¬ halten. Sind nun in einer Zahl keine Einheiten vorhanden, so ist dieselbe durch 10 theilbar. Die Kennzeichen für die Theilbarkeit durch andere, als die bisher betrach¬ teten Zahlen sind minder einfach, und erfordern mehr Zeit zum Erklären, als sie deren in der praktischen Anwendung ersparen. Jede zusammengesetzte Zahl kann in Primfactvren zerlegt, d. i. als ein Product von lauter Primzahlen dargcstellt werden. Um eine Zahl in Primfactvren zu zerlegen, dividiere man sie durch die kleinste Primzahl, durch die sie theilbar ist, 1 nicht mitgerechnet; den Quo¬ tienten dividiere man wieder durch die kleinste Primzahl, durch die er theilbar ist, die frühere Primzahl nicht ausgenommen, und verfahre so mit jedem folgen¬ den Quotienten, bis man endlich auf einen Quotienten kommt, der selbst eine Primzahl ist. Die nach und nach angewendeten Divisoren und der letzte Quo¬ tient sind die gesuchten Primfactvren. Sind z. B. die Primfactvren von 630 zu suchen, so hat man Quotient 7 sind die Primfactvren, aus deneu die zusammengesetzte Zahl 630 be¬ steht; denn 630 — 2 X 315 — 2 X 3 X 105 — 2 X 3 X 3 X 35 — 2X3X3X5X7. 188 V. Abtheilung. Z. 104. Größtes gemriutchastlichrs Maß. Ist eine Zahl in zwei oder mehreren Zahlen.ohne Rest enthalten, so heißt sie ein gemeinschaftliches Maß derselben; z. B. 5 ist ein gemeinschaftliches Maß von 15, 40 und 60. Die größte Zahl, welche in mehreren anderen Zahlen ohne Rest enthalten ist, wird das größte gemeinschaftliche Maß derselben ge¬ nannt. So haben die Zahlen 36 und 60 die Zahlen, 2, 3, 4, 6, 12 zu gemein¬ schaftlichen Maßen; 12 aber ist unter diesen die größte. Haben zwei Zahlen außer der Einheit kein gemeinschaftliches Maß, so heißen sie Primzahlen unter sich oder relative Primzahlen. 1. Um das größte gemeinschaftliche Maß zweier oder mehrerer Zahlen zu finden, zerlege man dieselben in Primfactoren, und suche unter diesen diejenigen heraus, welche in allen gegeben Zahlen gemeinschaftlich vorkom¬ men. Das Product dieser Factoren ist gewiss ein gemeinschaftliches Maß der ge¬ gebenen Zahlen; es ist aber auch das größte, weil, sobald man noch einen andern Factor hinzufügen würde, dieses Product nicht mehr in allen gegebenen Zahlen ohne Rest enthalten wäre. 2. Das größte gemeinschaftliche Maß zweier Zahlen kann auch unab¬ hängig von ihrer Zerlegung in Factoren gefunden werden. Es sei das gr. g. Maß zwischen den beiden Zahlen 115 und 1495 zu suchen. Da dieses nicht größer sein kann, als die kleinere der beiden Zahlen, so versuchen wir zuerst, ob 115 in 1495 ohne Rest enthalten ist; wäre dieses der Fall, so ist 115 selbst das gesuchte gr. g. Maß. 1495 : 115 — 13 Die Division geht wirklich ohne Rest auf; 345 also ist 115 die größte Zahl, durch welche 115 und 1495 gemeinschaftlich theilbar sind. Dieser Fall wird jedoch nur selten vorkommen; meistens bleibt ein Divi¬ sionsrest übrig. Das Verfahren, durch welches in diesem letzteren Falle das gr. g. Maß der beiden Zahlen gefunden wird, gründet sich auf den Satz: Wenn bei der Division zweier Zahlen ein Rest übrig bleibt, so ist das gr. g. Maß zwischen Divisor und Rest zugleich das gr. g. Maß zwischen Di¬ vidend und Divisor. Man dividiere z. B. 1110 durch 481. Thcilbarkcit der Zahlen. 18» 1110 : 481 — 2 daher a) 1110 — 481 X 2 — 148, 962...481 X 2 d) 481 X 2 -1- 148 — 1110. 148 Rest. Haben hier der Dividend 1110 und der Divisor 481 ein gemeinschaftliches- Maß, so ist dadurch nicht uur 1110 und 481 X 2, sondern auch der Rest 1110 — 481 X 2 d. i. nach a) der Rest 148 theilbar. Es ist also auch jene Zahl ein gemeinschaftliches Maß zwischen dem Divisor 481 und dem Reste 148. Wenn umgekehrt der Divisor 481 und der Rest 148 irgend ein gemein¬ schaftliches Maß haben, so muss dadurch nicht nur 481 X 2 und 148, soudcrw auch die Summe 481 x 2 Z- 148, welche nach b) eben der Dividend 1110 ist,, theilbar sein. Jene Zahl ist daher auch ein gemeinschaftliches Maß zwischen dem Dividend 1110 und dem Divisor 481. Der Dividend und der Divisor haben also immer dieselben gemeinschaftlichen Maße, wie der Divisor und der Rest; daher muss auch das gr. g. Maß zwischew dem Divisor und dem Reste zugleich das gr. g. Maß zwischen dem Dividend und- dem Divisor sein. der Divisor 481 und der Rest 148; man sucht also das gr. g. Maß zwischen 481 und 148. Zn diesem Ende dividiert man 481 durch 148, dabei erhält man wieder einen Rest 37, und es muss das gr. g. Maß zwischen dem Divisor 148 und dem Reste 37 zugleich das gr. g. Maß zwischen dem Dividend 481 und dem Divisor 148, daher auch zwischen 1110 und 481 sein. Man sucht daher das gr. g. Maß zwischen 148 und 37, indem man 148 durch 37 dividiert. Da diese Division ohne Rest aufgeht, so ist der Divisor 37 selbst das gr. g. Maß zwischen 148 und 37, daher auch zwischen 481 und 148, und somit auch zwischen 1110 und 481. Aus dieser Entwicklung ergibt sich zur Auffindung des gr. g. Maßes zweier Zahlen nachstehendes Verfahren: Man dividiere die größere Zahl durch die kleinere; geht die Division ohne Rest auf, so ist die kleinere Zahl selbst das gr. g. Maß beider Zahlen. Bleibt aber ein Rest, so dividiert man den früheren Divisor durch diesen Rest. Bleibt noch ein Rest übrig, so dividiert man wieder den letzten Divisor durch den neuen Rest, und so fort immer den vorhergehenden 190 V. Abteilung. Divisor durch den neuen Nest, bis endlich eine Division ohne Rest aufgeht. Der letzte Divisor ist dann das gr. g. Maß. Ist dieser letzte Divisor 1, so haben die beiden Zahlen außer 1 kein gemeinschaftliches Maß und sind demnach Primzahlen unter einander. Das hier abgeleitete Verfahren ist unter dem Namen der Kettendivi- fion bekannt. K. 10Z. Ärmstes grmriiischaMichrs Vielfache. Wenn eine Zahl durch zwei oder mehrere Zahlen theilbar ist, so heißt sie ein gemeinschaftliches Vielfaches derselben; z. B. 24 ist ein gemeinschaft¬ liches Vielfaches von 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Wenn die Schiller mehrere Zahlen mit einander mnltiplicieren und dann das Product durch jede dieser Zahlen dividieren, so gelangen sie zu der Über¬ zeugung, dass das Product mehrerer Zahlen durch jede derselben theilbar ist. Das Product zweier oder mehrerer Zahlen ist jedoch nicht immer das kleinste gemein¬ schaftliche Vielfache derselben. Sind z. B. die Zahlen 8 und 12 gegeben, so ist sicher das Product 8 X 12 — 96 durch 8 und durch 12 theilbar: allein es haben auch die kleineren Zahlen 72, 48 und 24 die Eigenschaft, dass sie sowohl durch 8 als durch 12 theilbar sind; 24 ist die kleinste dieser Zahlen. Um die Rechnungen möglichst einfach durchzusühren, ist es oft von Wich¬ tigkeit, zu gegebenen Zahlen das kleinste gemeinschaftliche Vielfache, d. i. die kleinste Zahl zu finden, welche durch alle jene Zahlen theilbar ist. Bei der Entwicklung d?s Verfahrens, nach welchem diese Aufgabe gelöst wird, beobachte mau folgenden Stufengang: 1. Wenn von den gegebenen Zahlen alle kleineren in der größten ohne Rest enthalten sind, z. B. zwischen 2, 3, 5, 6, 15, 30. In diesem Falle ist die größte unter den Zahlen, hier 30, zugleich das kl. g. Vielfache der¬ selben. Da nämlich alle gegebenen Zahlen in 30 ohne Rest enthalten sind, so ist 30 offenbar ein gemeinschaftliches Vielfaches jener Zahlen; 30 ist aber auch das kl. g. Vielfache dieser Zahlen, weil keine Zahl, die auch durch 30 theilbar sein soll, kleiner als 30 sein kann. 2. Wenn die gegebenen Zahlen kein gemeinschaftliches Maß haben, z. B. 5 und 7, oder 3, 8 und 25. In diesem Falle ist das Product der Zahlen selbst auch ihr kl. g. Vielfaches. 3. Wenn die gegebenen Zahlen sämmtlich oder theilweise ein gemeinschaftliches Maß haben. Es sei z. B. zwischen 6 und 10 das k. g. Vielfache zu suchen. 6 — 2x3, 10 — 2 X 5. Das Product 2 X 3 X 2 X 5 — 60 ist gewiss ein gemein¬ schaftliches Vielfaches von 6 und 10. Allein man erhält eine noch kleinere, durch 6 und durch 10 theilbare Zahl, wenn mau den gemeinschaftlichen Factor beider Zahlen, nämlich 2, einmal weglässt; denn das Product 2 X 3 X 5 — 30 ent- Theilbarkeit der Zahlen. 191 hält die Factoren 2X3, ist also durch 6 Heilbar; es enthält aber auch die Factoren 2X5, und ist folglich auch durch 10 Heilbar. Wir wollen nun sehen, ob es noch eine kleinere Zahl geben kann, welche durch 6 und durch 10 Heilbar wäre; lässt man in dem Producte 2 X 3 X 5 den Factor 2 weg, so enthält das Product der übrigbleibenden Factoren weder die Factoren von 6, noch jene von 10, dasselbe ist also weder durch 6 noch durch 10 Heilbar; lässt man den Factor 3 weg, so ist das Product nicht mehr durch 6, lässt man 5 weg, so ist dasselbe nicht mehr durch 10 Heilbar. Damit also die neue Zabl durch 6 und durch 10 Heilbar sei, muss sie nothwendig die Factoren 2, 3 und 5 enthalten: folglich ist das Product 2 X 3 X 5 das kl. g. Vielfache von 6 und 10. —- Die Factoren, welche dieses kl. g. Vielfache enthält, sind das gemeinschaftliche Maß 2 der beiden vorgelegten Zahlen, und zwar nur einmal, und die Quotien- die gegebenen Zahlen durch ihr 2 2 20, 25 zu suchen, so lassen kl. g. Vielfache zwischen 18 also die Factoren 2, 9 und damit die neue Zahl auch noch den Factor 25 dazu- 18, das ten 3 und 5, welche man erhält, wenn man gemeinschaftliches Maß 2 dividiert. Ist ferner das kl. g. Vielfache der Zahlen sich erstlich 18 und 20 durch 2 dividieren; für und 20 erhält man 10, zu welchen man, durch 25 Heilbar sei, X 9 X 10 X 25 ist nun ein gemeinschaftliches 18, 20, 25 o, >o, 25 9, 2, 5 setzen muss. Das Product Vielfaches von 18, 20 und 25, aber nicht das kleinste; denn 10 und 25 haben noch den gemeinschaftlichen Factor 5, den man daher einmal weglassen kann; man dividiert also 10 und 25 noch durch 5, wodurch man die Quotienten 2, 5 nud den gemeinschaftlichen Factor 5 erhält. Der frühere Quotient 9 wird, da er durch 5 nicht Heilbar ist, ungeändert beibehalten. Die Factoren, aus denen das kl. g. Vielfache der Zahlen 18, 20 und 25 besteht, sind daher die beiden gemeinschaft¬ lichen Maße 2 und 5, durch welche dividiert wurde, und die Quotienten 9, 2, 5; das gesuchte kl. g. Vielfache ist also 2X5X9X2X5— 900. Sind die gebenen Zahlen so beschaffen, dass einige kleinere Zahlen in den größeren ohne Rest enthalten sind, z. B. 2, lch 4, 5, 8, 18, 20; so kann man 2, 3, 4, S, 8, 18, 20 4, 9, -M- 2 2, 9, 5 2 2X9X5X2X2 — 360 bei der Auffindung des kl. g. Viel¬ fachen jene kleineren Zahlen sogleich weglassen; denn die Zahl, welche z. B. durch 20 Heilbar ist, wird gewiss auch durch 2, 4 und 5 Heilbar sein; eben so ist jedes Vielfache von 18 gewiss auch eiu Vielfaches von 3. Man braucht daher hier nur das kl. g. Vielfache zwischen 8, 18 und 20 zu suchen, da dieses zugleich das kl. g. Vielfache aller gegebenen Zahlen ist. Aus mehreren solchen Beispielen werden die Schüler folgendes allgemeine Verfahren zur Auffindung des kl. g. Vielfachen mehrerer Zahlen a b st r a h i e r e n: 192 V. Abtheilung. Man schreibt die gegebenen Zahlen in eine Reihe, streicht die kleineren, welche in anderen größeren ohne Rest enthalten sind, durch, und dividiert die übrigen, wenn mehrere von ihnen ein gemeinschaftliches Maß haben, durch das¬ selbe. Jene Zahlen, welche durch dieses Maß nicht theilbar sind, werden unver¬ ändert heruntergesetzt; von den übrigen kommen nur die Quotienten herab. Wenn von den erhaltenen nenen Zahlen zwei oder mehrere durch eine gemeinschaftliche Zahl theilbar sind, so werden sie wieder dadurch dividiert. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, als noch zwei Zahlen durch dieselbe Zahl theilbar siud. Endlich multipliciert man die zuletzt erhaltenen Zahlen und die Maße, durch welche divi¬ diert wurde, und die man rechts neben den einzelnen Zahlenreihen angeschrieben hat, mit einander; das Product ist das gesuchte kl. g. Vielfache. Dritter Abschnitt. Das Rechnen mit gemeinen Kröchen. Z. 106. AUgruiriiir Krmrrkungkn. Durch die auf den früheren Stufen vorgenommenen Übungen im Rechnen mit einfacheren Brüchen ist eine feste Grundlage für die nun folgende allgemeine Behandlung der gemeinen Brüche geschaffen worden. Die Schüler haben durch unmittelbare Anschauung die Bedeutung der gewöhnlichsten Brüche erkannt und mit denselben rechnen gelernt. Die Gesetze, die sie dort für einfachere Brüche ans der Anschauung abgeleitet haben, sollen nun auf alle möglichen Brüche übertragen werden. Die Beschränkung in den Nennern fällt weg, die Anschauung tritt mehr in den Hintergrund. Auch wird den Eintheilungsgrund der Übungen nicht der Nenner, sondern die Operation bilden. Wenn auch hier alle möglichen Nenner zulässig sind, werden wir im all¬ gemeinen dennoch kleinere Nenner wählen, weil Brüche mit sehr großen Nennern keinen praktischen Wert haben. Überhaupt soll sich der Lehrer in Beziehung auf die Ausdehnung dieser Unterrichtsstufe stets gegenwärtig halten, dass durch die Einführung der metrischen Maße und Gewichte die gemeinen Brüche, wiewohl sie ein vorzügliches formales Bildungsmittcl bleiben, von geringerer praktischer Be¬ deutung erscheinen, dass dagegen an ihrer Stelle die Decimalbrüche an Wichtigkeit gewinnen. Es wird sich darum empfehlen, bei der Behandlung der gemeinen Brüche überall auch die Beziehungen derselben zu den Decimalbrüchen entsprechend hervorzuheben, weil dadurch das deutlichere Verständnis beider gefördert wird, und in vielen praktischen Rechnungen gemeine und Decimalbrüche gleichzeitig zur An¬ wendung kommen. Von dm gemeinen Brüchen überhaupt. 193 'r der 4te Theil von 3 erhalte den Bruch 2, r ! '4 wenn ich von I Ganzen den 4ten Theil 3mal nehme; ich erhalte aber 2 auch dadurch, dass ich von 3 Ganzen den 4ten Theil einmal nehme. Jeder Bruch kann demnach als eine augezeigte Division ange¬ sehen werden, worin der Zähler als Dividend, der Nenner als Divisor erscheint. Nnn werden die Schüler anch den Grund eiusehen, warum man bei der Division ganzer Zahlen, wenn ein Rest übrig bleibt, unter diesen den Divisior schreibt, und den dadurch gebildeten Brnch zu dem ganzen Quotienten hinzufügt. Mit der Eintheilung der Brüche in echte und unechte, in gleichnamige und ungleichnamige sind die Schüler bereits bekannt gemacht worden. RloLn k, Rechenunterricht. 5. Aust. 13 Beim schriftlichen Rechnen halte der Lehrer auf feststehende Formen, nm die Rechnungen übersichtlich zu machen und die Schüler an Ordnung in der Dar¬ stellung zu gewöhnen. An ein-, zwei- und dreiclassigen Volksschulen wird hier von dem Übungs¬ stoffe über die gemeinen Brüche nur dasjenige herauszuhebeu sein, was bereits auf den früheren Stufen geübt wurde. 8- <07. Wellu mili- Arien drr Kriichr. Bei der bisherigen Auffassung des Bruches sind wir immer von einem Ganzen ausgegangen, indem wir dasselbe in mehrere gleiche Theile theilten und einen oder mehrere solche Theile nahmen. Die Brüche lassen jedoch auch noch eine andere Auffassung zu, indem man sie unmittelbar aus mehreren Ganzen durch Theilung entstehen lässt. Bisher haben wir uns z. B. unter dem Bruche 3mal den 4ten Theil von 1 Ganzen vorgestellt; Z kann aber auch als der 4te Theil von 3 Gänzen, oder als der augezeigte Quotient 3 : 4 angesehen werden. Diese zweite Auffassung, welche für viele Fälle von Wichtigkeit ist, ergibt sich durch ganz einfache Schlüsse unmittelbar aus der ersten Vorstellungsweise. Wie viel ist der 4te Theil von 3 Ganzen? Der 3te Theil von 1 Ganzen ist j; der 4te Theil von 3 Ganzen ist 3mal so viel, also 3mal j, d. i. E; es ist somit ^ — 3:4. Die doppelte Auffassung eines Bruches kann den Schülern auch durch gc- theilte Linien anschaulich gemacht werden. 3mal der 4te Theil von 1 194 V. Abteilung. 8- 10!!. Verwandlung unechter Srüche in gan^e oder gemischte Zahlen, und nnigrliehrt. a) Unechte Brüche in ganze oder gemischte Zahlen zu verwandeln. Nachdem die Schüler eingesehen haben, dass jeder unechte Bruch ein oder mehrere Ganze in sich enthält, liegt die Frage nahe, wie man bei jedem vorgelegtcu unechten Bruche sogleich bestimmen könne, wie viele Ganze in demselben vorkommen. Dass Brüche, worin Zähler und Nenner gleich sind, z. B. 1, -ß, ss u. s. w., gerade ein Ganzes enthalten, geht unmittelbar aus dem Begriffe eines Bruches hervor. Man lasse nun untersuchen, wie viel Ganze z. B. in schalten sind. Im Kopfe: 5 Fünftel sind 1 Ganzes: sind daher so vielmal 1 Ganzes, als -Z in enthalten sind; ß sind in wie 5 in 38, 7mal enthalten und bleiben übrig; also sind — 7mal 1 Ganzes, d. i. 7 Ganze und noch Schriftlich: Entweder mittels derselben Schlüsse, wie beim mündlichen Rechnen, oder aus der Auffassung des Bruches als angezeigter Quotient, indem man den Zähler durch den Nenner dividiert. — 38 : 5 — 7K. d) Ganze und gemischte Zahlen in unechte Brüche zu verwandeln. Mündlich: Verwandle 5 Ganze in Viertel. — 1 Ganzes — 4 Viertel, 5 Ganze sind daher 5mal 4 Viertel — 20 Viertel; also 5 — Ist eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch zu verwandeln, so ver¬ wandelt man zuerst die Ganzen in solche Bruchtheile, wie sie der gegebene Bruch enthält, und addiert dazu die schon vorhandenen Bruchtheile. Es sei z. B. 7H in einen unechten Bruch zu verwandeln. — 1 Ganzes — 8 Achtel, 7 Ganze sind also 7mal 8 Achtel — 56 Achtel, und 3 Achtel dazu, sind 50 Achtel; foglich 7H — Schriftlich: Verwandle 71 in einen unechten Bruch. 71 71^ — -^9. 32 2 13 ^272' Ai_17 . 2289 8. llt!l. Vergleichung des Wertes der Kriiche von gleichem Nenner oder von gleichem Zähler. Die hier folgenden Übungen sind für die ganze Bruchrechnung von großer Wichtigkeit, und daher mit besonderer Sorgfalt dnrchznarbeitcn. Vergleichung der Bruche. 195 u) Vergleichung von Brüchen mit gleichem Nenner. Der Lehrer lege zuerst gleichnamige Brüche von beliebigem Zähler vor, und lasse ihre Bedeutung angeben; z. B. /7, rm, rr- Von zwei Brüchen, welche gleiche Nenner haben, ist derjenige der größere, welcher den größeren Zähler hat. Hierauf lasse mau an einem gegebenen Bruche, z. B. H, den Zähler mit 2, 3, 4, 5, 6 . . . multiplicieren und die Werte der dadurch gebildeten Brüche, näher untersuchen: ,L .4, 6 Z, I .s, In § ist der Zähler 2mal so groß als in der Wert des Bruches ß ist auch 2mal so groß als der Wert von -ß. In § ist der Zähler 3mal so groß, als in Z; der Bruch H hat ebenfalls den 3fachen Wert von -?; u. s. w. Multipliciert man also den Zähler eines Bruches mit 2, 3, 4, . . ., so wird mich der Wert des Bruches mit derselben Zahl multipliciert. Um daher einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplicieren, darf man nur seinen Zähler mit dieser Zahl multiplicieren. Umgekehrt lasse man den Zähler eines Bruches, z. B. durch 2, 3, 4, 5 . . . dividieren und die erhaltenen Brüche vergleichen: 60 30 20 15 12 7, 7, 7, 7, 7/-'- In ist der Zähler die Hälfte des Zählers in 6/; der Wert des Bruches V ist auch nur die Hälfte von In ist der Zähler der dritte Theil des Zählers in der Bruch hat auch nur den dritten Theil des Wertes von V; u. s. w. Dividiert man daher den Zähler eines Bruches durch 2, 3, 4, . . ., so wird auch der Wert des Bruches durch dieselbe Zahl dividiert. Um also einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, braucht man nur den Zähler dadurch zu dividieren. Diese Art der Division ist jedoch nicht immer anwendbar. l>) Vergleichung von Brüchen mit gleichem Zähler. Was ist mehr: oder H oder H? Je weniger Theile wir aus einem Ganzen machen, desto größer werden die Theile; in je mehr Theile wir das Ganze theilen, desto kleiner werden die Theile. Z ist also mehr als 1,, darum sind auch mehr als Von zwei Brüchen, welche gleiche Zähler haben, ist derjenige der größere, welcher den kleineren Nenner hat. Der Lehrer lasse mm an einem Bruche, z. B. H-, den Nenner mit 2, 3, 4, 5, 6, . . . multiplicieren, und die Bedeutung der entstehenden neuen Brüche naher betrachten: ö, ?ss, F4, ÄÜ, - - - In ist der Nenner 2mal so groß als in ß; der Bruch ist aber nur die Hälfte von z, daher auch /2 die Hälfte von z. In /x ist der Nenner 3mal 13* 196 V. Abteilung. so groß als in tz; ist jedoch nur der dritte Theil von daher auch der dritte Theil von -Z- u. s. w. Multipliciert man also den Nenner eines Bruches nut 2, 3, 4, . . . so wird der Wert des Bruches durch diese Zahl dividiert. Um daher einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, braucht man nur den Nenner mit dieser Zahl zu multipliciereu. Lässt man endlich an einem Bruche, z. B. deu Nenner durch 2, 3, 4, 5, . . . dividieren, und den Wert der Brüche 18 I» 13 IS 18 18 rsD, 88' 2N, ns, nv, - - ' näher untersuchen, so ergibt sich durch ähnliche Schlüsse folgendes: Dividiert man den Nenner eines Bruches durch 2, 3, 4, . . . so wird der Wert des Bruches mit derselben Zahl multipliciert. Um daher einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplicieren, darf man nur den Nenner durch diese Zahl dividieren. Diese Art der Multiplication kann übrigens nur in selteneren Fällen an¬ gewendet werden. Nachdem die voranstehenden Ergebnisse wiederholt werden, fasst man die¬ selben in folgende, dem Gedächtnisse leicht einzuprägende zwei Sätze zusammen: Multiplication oder Division des Zählers ist dieselbe Rechnung an dem Bruche. Multiplication oder Division des Nenners ist die entgegengesetzte Rech¬ nung an den: Bruche. Z. HO. Erweitern der Krüche. In dem Vorstehenden wurde gezeigt, welche Wertveränderuug ein Bruch durch die Änderung seines Zählers oder Nenners erleidet; nun soll auch die Formveränderung, welche mit einem Bruche ohne Änderung seines Wertes vorgenommeu werden kann, in Betrachtung gezogen werden. Hierher gehört das Erweitern und Gleichnamigmachen, das Abkürzen der Brüche, endlich das Ver¬ wandeln gemeiner Brüche in Deeimalbrüche, und umgekehrt. Wir beginnen mit dem Erweitern der Brüche. Die Schüler haben schon bei den Vorübungen an den getheilten Linien gesehen, dass z. B. 1 - 2 - 3 - t - 5 - 6 - N - 8 - I 0 - 1 2, ist. Diese Ergebnisse wird man hier wiederholen und aus denselben folgern lassen, dass der Wert der Brüche oder H nicht geändert wird, wenn man Zähler und Nenner mit 2, oder mit 3, oder mit 4, n. s. w. multipliciert, dass ferner die Nenner der gleichwertigen Brüche immer Vielfache der ursprünglichen Nenner sind. Um z. B. § in Zwölftel zu verwandeln, mache ich aus jedem Drittel 4 Zwölftel; da aber die neuen Theile 4mal kleiner sind, muss ich, um § iu den neuen Theilen darzustellen, 4mal so viele Theile, also nehmen. Erweitern der Bruche. 197 Dieselben Schlüsse lassen sich auf Brüche von beliebigen Nennern ausdehnen. Z. B. enthält 7mal den 12. Theil eines Ganzen. Zerlege ich nun jedes Zwölftel in 5 gleiche Theile, so zerfällt das Ganze in 60 gleiche Thcile und ist daher jeder derselben Da aber die neuen Theile nur r der früheren Thcile sind, so muss ich, um den Wert von zu erhalten, 5mal so viele neue Theile nehmen, als deren hat, also 5mal 7 — 35 Sechzigstel; folglich — ßA. Die Vergleichung dieser Brüche zeigt, dass der zweite den 5fachen Zähler und den bfachen Nenner des ersten hat. Der Wert eines Bruches wird daher nicht geändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipli eiert. Dieser Satz kann auch so begründet werden: Multipliciere ich in -si? den Zähler niit 5, so erhalte ich den 5fachen Wert des Bruches; multipliciere ich den Nenner mit 5, so erhalte ich nur den 5ten Theil des Wertes des Bruches; mul¬ tipliciere ich nun Zähler und Nenner mit 5, so erhalte ich vom 5fachen Werte den 5ten Theil, d. i. den einfachen Wert des Bruches selbst. Zur noch größeren Überzeugung kann man auch folgende Gnldenbrüche 12 5 10 2 5 2"0, '5D betrachten lassen, die alle aus dem ersten entstehen, indem man darin Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliciert. Drückt mau jeden dieser Brüche durch Kreuzer aus, so findet man, dass sie alle gleichviel bedeuten. Durch die Multiplication des Zählers und des Nenners eines Bruches wird der Bruch mit größeren Zahlen ansgedrückt; er ändert seine Form, der Wert des¬ selben aber bleibt unverändert. Diese Formveränderung nennt man das Erweitern des Bruches. Nachdem die Schüler mehrere Brüche mit beliebigen gegebenen Zahlen erweitert, und die Überzeugung erlangt haben, dass man dadurch jeden Bruch ohne Veränderung seines Wertes mit sehr verschiedenen Nennern darstellen könne, welche jedoch alle ein Vielfaches ihres ursprünglichen Nenners sind, werden sie nun angeleitet, jeden vorgelegten Bruch in einen andern mit einem bestimmten Neuner zu verwandeln, und zu.diesem Zwecke erst die Erweiterungszahl zu suchen. Es soll z. B. der Bruch in einen Bruch, dessen Nenner 72 ist, ver¬ wandelt werden. Mündlich: 1 Ganzes — 1 Achtel hat nur den 8ten Theil von 72, also 9 Zweiundsiebzigstel, 5 Achtel sind 5mal 9 — 45 Zweiundsiebzigstel; folglich Schriftlich: Entweder durch gleiche Schlüsse, wie beim mündlichen Rechnen. Oder: Mit welcher Zahl muss man den Nenner des Bruches H multiplicieren, damit man im Nenner 72 bekomme? Wie vielmal 8 ist 72, oder, wie oft ist 8 in 72 enthalten? Damit inan also den Nenner 72 bekomme, muss der frühere 198 V. Abteilung. Nenner 8 mit 9 multipliciert werden; was mass dann auch mit dem Zähler ge¬ schehen, damit der Wert des Bruches unverändert werde? Man hat also 1 — Oder: 72:8 — 9 5 5 X 9 _4. " 8X9^-^^' Der erste Ansatz schließt sich an den Gedankeugang des mündlichen Rechnens an. 8. 111. Glrichnamigmlichm -er Sriiche. Um Brüche rücksichtlich ihres Wertes vergleichen, nm sie addieren und sub¬ trahieren zu können, müssen sie gleiche Nenner haben. Ist dies noch nicht der Fall, so müssen sie gleichnamig gemacht werden. Das Gleichnamigmachen der Brüche ist eine Anwendung des Erweiterns derselben; schon bei diesem wurde den Schülern gezeigt, wie ein Bruch mit einem andern gegebenen Nenner, der ein Vielfaches des früheren ist, dargestellt werden könne. Der Lehrer schicke daher auch hier zunächst einige Aufgaben voraus, in denen er selbst den gemeinschaftlichen Nenner angibt, auf den zwei oder mehrere Brüche gebracht werden sollen. Hierauf lasse er von den Schülern selbst den gemeinschaftlichen Nenner, d. i. eine Zahl suchen, welche ein gemeinschaftliches Viel¬ faches aller gegebenen Nenner, welche also durch alle gegebenen Nenner ohne Nest theilbar ist. Um mit möglichst kleinen Zahlen zu rechnen, Pflegt man die Brüche immer mit dem kleinsten gemeinschaftlichen Nenner darzustellen. Bei der Aufsuchung desselben sind drei Fülle zu unterscheiden: 1. Wenn alle k l e i n e r e n N e n n er in dem größten o h n e Rest enthalten sind. In diesem Falle ist der größte Nenne r selbst der kleinste gemeinschaft¬ liche Nenner. Es seien z. B. die Brüche S, S und /'.z gleichnamig zu machen. Mündlich: Drittel und Viertel lassen sich in Zwölftel verwandeln. lr — cckst H — -rsl r — ,-Sz, also -Z — Statt der Brüche A, H und /'z haben wir daher und Schriftlich: 1 — i-Z. Oder: 12 Die erste Darstellungsweise entspricht dem Gedankengange des mündlichen Rechnens. 2. Wenn die Nenner durch keine gemeinschaftliche Zahl theil- bar sind. Gleichnamigmachen der Brüche. 199 Dann ist das Product der Nenner zugleich der kleinste gemeinschaft¬ liche Nenner. Z. B. Z- und ß. Viertel und Fünftel lassen sich in Zwanzigstel verwandeln; -s — also Schriftlich: 4 X 5 — 20. 1 — Oder: 20^ t - 5 3 - 15. S 1 15 4 — r — 2D, '4 -H-y- 1 - 42 8. 2 4 8 8 5 5 — 1V- 5 a- 0^0 3. Wenn alle oder einige Nenner durch eine gemeinschaftliche Zahl theilbar sind. Es seien z. B. z, Z, /z, ZK auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner Zu bringen. Man sucht das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Nenner; dieses ist dann der kleinste gemeinschaftliche Nenner der gegebenen Brüche. sollen sie diese Kenntnis sofort verwerten, indem man sie die Werte von Brüchen, welche verschiedene Nenner haben und daher gleichnamig gemacht werden müssen, vergleichen lässt. Z. 112. Äbüiirzcil drr Knichc. Dass d e rW e r t e i n e s B r n ch e s n n g eä n d e r t b l e ib t, wenn m a n Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert, dass z. B. § — ist, wird den Schülern an Linien nnd Guldentheilen eben so anschaulich gemacht, wie dies bei der Erweiterung der Brüche in Bezug auf die Multipli- cation augedentet wurde. Die Formveründernng eines Bruches mittels der Division des Zählers nnd des Nenners durch dieselbe Zahl wird das Ab kürz en des Bruches genannt. Durch das Abkürzen wird ein Bruch in kleineren Zahlen dargestellt. Die Form eines Bruches kann demnach, mit Beibehaltung seines Wertes, auf zweifache Art verändert werden, indem man entweder Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliciert, oder indem man beide durch dieselbe Zahl dividiert, 200 V. Abtheilung. also durch die Erweiterung oder durch das Abkürzeu. Dabei ändern sich zwar die Zahlen, durch welche Zähler und Nenner ausgedrückt sind; der Wert des Bruches bleibt jedoch ungeändert, der Bruch erhält nur eine andere Form. Es kann dadurch der Wert eines jeden Bruches aus unendlich vielfache Art dargestellt werden. Wozu dieut das Erweitern der Brüche? Wozu das Abkürzen? Man bemerke noch, dass zwar ein Bruch mit jeder beliebigen Zahl er¬ weitert, aber nicht durch jede beliebige Zahl abgekürzt werden könne, da der dadurch entstehende Bruch ganze Zahlen zum Zähler und zum Nenner haben soll. Das Abkürzen kann nur durch solche Zahlen vorgenommen werden, durch welche Zähler und Nenner theilbar sind. Die Kennzeichen der Theilbarkeit der Zahlen (Z. 103) sind hier zu wiederholen. Z. I Ust Vrrwan-Iiing drr gcmrincn Kriichc in Demmübrüchr und umgekehrt. Hier werden die Schüler zunächst auf den Unterschied und die Beziehung zwischen den Decimal- und gemeinen Brüchen aufmerksam gemacht. Die gemeinen Brüche können was immer für eine ganze Zahl zum Nenner haben, der Nenner der Decimalbrüche kann nur 10, 100, 1000 . . . überhaupt 1 mit darauffolgen¬ den Nullen sein. Bei den gemeinen Brüchen wird der Nenner unter den Zähler angeschrieben und zwischen beide ein Strich gesetzt; bei den Decimalbrüchen fällt dieser Strich, sowie der Nenner weg, es wird nur der Zähler angeschrieben, und der Nenner bloß dadurch angezcigt, dass mau in dem Zähler von der Rechten gngefangen durch einen Punkt so viel Ziffern als Decimalen abschneidet, als in: Nenner Nullen neben der Einheit vorkommen. a) Gemeine Brüche in Decimalbrüche zu verwandeln. Jeder gemeine Bruch kann in einen Dccimalbruch verwandelt, d. h. durch Gauze, Zehntel, Hundertel, Tausendtel u. s. w. ausgcdrückt werden. Bei einigen Brüchen ist diese Verwandlung ganz einfach. Es sei z. B. in einen Decimalbruch zu verwandeln. Wie viel Zehntel hat ein Ganzes? Wie viel Zehntel hat daher ein Halbes? Es ist also 1 — 5 — n-r: " O. Verwandle E in Hundertel. Ein Ganzes hat 100 Hundertel, -s hat 25 Hundertel, H sind 75 Hundertel; folglich Z — — 0'75. Bei anderen Brüchen, welche sich nicht so einfach in Decimalbrüche ver¬ wandeln lassen, darf man nur das ausführen, was der Bruch in der Auffassung als Qnoticnt auzeigt, nämlich den Zähler durch den Nenner wirklich dividieren; dadurch erhält man nebst den Ganzen folgewcise die Zehntel, Hundertel, . . ., wenn man nur den jedesmaligen Nest entsprechend rcsolviert, was beim schrift¬ lichen Rechnen durch Anhängen einer Null geschieht. Es sei z. B. Z- in einen Decimalbruch zu verwandeln. Verwandlung der gemeinen Brüche in Decimalbrüche. 201 H — 5g : 8 — 0'625 Der 8te Theil von 5 Ganzen sind 20 0 Ganze; man schreibt in den Quotienten 40 die 0 und setzt den Decimalpunkt dazu. - 5 Ganze — 50 Zehntel; der 8te Theil von 50 Zehnteln sind 6 Zehntel, Rest 2 Zehntel. 2 Zehntel — 20 Hundertel; der 8te Theil von 20 Hunderteln sind 2 Hundertel, Rest 4 Hundertel. 4 Hundertel — 40 Tausendtel; der 8te Theil von 40 Tausendteln sind genau 5 Tausendtel. Der 8te Theil von 5 ist also — 0'625. Es soll nun der unechte Bruch in einen Deeimalbruch verwandelt werden. Dividiert man 357 durch 25, so erhält man zunächst 14 Ganze zum 3// — 357 : 25 — 14'28 Quotienten und 7 Ganze zum Reste. 107 7 Ganze sind 70 Zehntel; diese durch 70 25 dividiert geben 2 Zehntel, welche 200 man in den Quotienten schreibt, nach- - dem man nach den 14 Ganzen den Decimalpunkt angebracht hat, und es bleiben noch 20 Zehntel durch 25 zu dividieren übrig. 20 Zehntel sind 200 Hun¬ dertel, welche durch 25 dividiert 8 Hundertel zum Quotienten geben und keinen Rest zurücklassen. Es ist daher — 14'28. Bisher sind solche Beispiele gewählt worden, wv die Division zuletzt ohne Rest aufgeht, was nur dann eintritt, wenn der Nenner des gemeinen Bruches 2 oder 5 oder ein Product ist, das keinen von 2 oder 5 verschiedenen Factor enthält. Neun lege man auch Brüche vor, bei denen dieses nicht stattfindet, und die sich daher nicht ganz genau in Decimalbrüche verwandeln lassen. Die Schüler werden bald bemerken, dass in diesem Falle bei fortgesetzter Division in dem daraus hervorgehenden Decimalbrüche dieselben Ziffern wiederkehren. Es wird ihnen auch gesagt, dass solche Decimalbrüche periodische Decimalbrüche heißen, und dass die Periode entweder gleich mit der ersten oder auch erst mit einer späteren Decimalstelle beginnt. Eine nähere Untersuchung über die Beschaffenheit der periodischen Decimal¬ brüche erscheint übrigens weder der Bildungsstufe, noch den: Bedürfnisse der Schüler angemessen; cs genügt zu bemerken, dass wenn auch solche Decimalbrüche den Wert der gemeinen Brüche nur annäherungsweise bestimmen, sie darum doch nicht minder brauchbar sind, indem für die gewöhnlichen praktischen Aufgaben meistens schon einige wenige Decimalstellen hinreichen, und die weiter folgenden, da sie auf das Ergebnis der Rechnung von keinem bedeutenden Einflüsse sind, weggelassen werden können; nur müsse man in solchen abgekürzten Decimalbrüchen die niedrigste noch beibehaltene Dccimale um 1 vergrößern, wenn die nächstfolgende Decimale, die man weglässt, 5 oder größer als 5 ist (Z. 85, Schlussbemerkung). 202 V. Abtheilung. d) Decimalbrüche in gemeine Brüche zu verwandeln. Wir unterscheiden zwei Hauptfälle. 1. Wenn der Decimalbruch ein geschlossener, also kein periodischer ist. Die Verwandlung in einen gemeinen Bruch ist hier ganz einfach. Mau braucht uur den Decimalbruch mit Angabe der Benennung seiner letzten Decimal- stelle auszusprechen und den so ausgesprochenen Decimalbruch in Form eines ge¬ meinen Bruches auzuschreiben, welcher dann, wenn es möglich ist, abgekürzt wird. Z. B. Der Decimalbruch 0-48 wird ausgesprochen: 48 Hundertel; wird dieses an¬ geschrieben, so hat man 0-48 — — 4Z 4 325 — 4^/^ — 4^g — 4jH. 2. Wenn der Decimalbruch ein periodischer ist. Ist der Decimalbruch rein periodisch, d. h. beginnt die Periode mit der ersten Decimalstelle, so multipliciert man den Decimalbruch mit 10, 100,1000, . . ., je nachdem die Periode 1, 2, 3, . . . Ziffern hat, und subtrahiert von dem Pro- ducte den gegebenen Decimalbruch; dadurch erhält man den 9fachen, 99fachen, 999fachen . . . Wert des Decimalbruches, und daraus durch die Division den ein¬ fachen Wert, d. i. den gesuchten gemeinen Wert. Ist z. B. 0-696969 . . in einen gemeinen Bruch zu verwandeln, so hat man lOOfacher Wert — 69'6969 . . davon l facher „ — 0'6969 . . bleibt 99facher Wert — 69 also Ifacher Wert — ßA — ßZ. Ans mehreren solchen Beispielen ersehen die Schüler, dass der Zähler des gemeinen Bruches die Periode ist, der Nenner aber ans so vielen 9 besteht, als die Periode Ziffern hat. Ist dagegen der Decimalbruch gemischt periodisch, d. h. gehen der Periode nvch andere Decimalen voran, so multipliciert man den Decimalbruch zuerst mit 100, 1000, 10600, je nachdem die Periode und die ihr vorangehenden Decimalen zusammen 2, 3, 4, . . . Ziffern enthalten, dann nvch mit 10, 100, 1000, . . ., je nachdem der Periode 1, 2, 3, . . . Ziffern vorangehen, und subtrahiert das zweite Product von dem ersten; dadurch erhält man ein Vielfaches von dem Werte des Decimalbruches, und daraus durch die Division den einfachen Wert. Es sei z. B. 0'3545454 . . in einen gemeinen Bruch zu verwandeln. lOOOfacher Wert — 354'54 . . davon lOfacher „ — 3'54 . . bleibt 990fachcr Wert — 351 also Ifacher Wert — Kz — . Addieren der Brüche. 203 Z. 114. ÄdditltN drr Lrüche. Ist das Bisherige gründlich aufgefasst worden, so bieten nun die vier Rechnungsarten mit Brüchen keine Schwierigkeit mehr. n) Bei der Addition wählt man zuerst solche Brüche, welche gleiche Nenner haben. Der Nenner ist der Name der Bruchtheile. Sowie 3 Gulden und 2 Gulden zusammen 5 Gulden betragen, so geben auch 3 Siebentel und 2 Siebentel zusammengenommen 5 Siebentel, oder schriftlich H -j- H — H-. Gleichnamige Brüche werden also addiert, indem ihre Zähler addiert und die erhaltene Summe als Zähler annimmt, als Nenner aber den gemein¬ schaftlichen Nenner beibehält. Wenn die Summe ein unechter Bruch ist, verwandelt inan ihn in eine gemischte Zahl. Sind gemischte Zahlen zu addieren, so wird man im Kopfe zuerst die Ganzen und dann die Brüche zusammenzählen, beim Zifferrechnen aber früher die Addition der Brüche verrichten, und dann erst die Ganzen addieren, zu denen anch die in der Summe der Brüche etwa erhaltenen Ganzen dazuzuzählcn sind. b) Um ungleichnamige Brüche addieren zu können, muss man sie früher ans einen gemeinschaftlichen Nenner bringen. Z. B. Wie viel ist § und Mündlich: Fünftel und Achtel kann man als solche nicht zusammen¬ zählen; man muss sie in gleiche Bruchtheile verwandeln. Fünftel und Achtel lassen sich in Vierzigstel verwandeln, -z — Z — — Zs; 2 4 > » S - 5 !) - 1 IN Tv rv — Tu — ^Tv- Schriftlich: Oder: 40 A - 2 4 L "Z - Tu, a 7 - LS 7 A - TV? rs S 4 LS - S !> - 1 1 » . 40 - TV To — TV — -i-TD- 00 . — r^g. 19 Man kann auch die gemeinen Brüche in Decimalbrüche verwandeln und dann diese addieren. "8 ! 24 5 ' 35 204 V. Abtheilung. Sind gemeine und Decimalbrüche zu addieren, so verwandelt man entweder die Decimalbrüche in gemeine, oder, was meistens zweckmäßiger ist, die gemeinen Brüche in Decimalbrüche, und verrichtet dann die Addition. Das Znsammenzählen von mehrnamigen Zahlen, in denen die niedrigste Benennung auch Brüche enthält, bietet nichts Neues. ß. 115. Subtrahieren Ler Kriichc. Auch beim Subtrahieren wird nur das, was die Schüler an den gewöhn¬ lichen Brüchen schon im Vorbereitnngscursus geübt haben, wiederholt und aus die Brüche mit beliebigen Nennern ausgedehnt. n) Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert, und den Rest als Zähler annimmt, als Nenner aber den gemein¬ schaftlichen Nenner beibehält. 6 4 s 7 ff 7- Ist ein Bruch oder eine gemischte Zahl von einer ganzen Zahl zu subtrahieren, so nimmt man von der letzteren ein Ganzes und löst es in einen Bruch, von dem im Subtrahend gegebenen Nenner auf, worauf die Subtraction vollzogen werden kann. Z. B. Wie viel ist 8 — 8 — 7zz Oder: 8 20 7 L o _ I!! - 77 18 14 7 Es kann auch folgendes Verfahren angewendet werden: Man ergänzt den Bruch des Subtrahends zu 1 Ganzen, setzt die hinzugefügte Ergänzung in den Rest und vermehrt den Subtrahend um 1 Ganzes, worauf die Ganzen sub¬ trahiert werden. Z. B. Wie viel ist 15 — 6s-z? 15 -s-r und ist 1 Ganzes, wird in den Rest ge- 6^ schrieben; 1 und 6 ist 7, nnd 8 ist 15. Der Unterschied bleibt 8/^ nämlich ungeändert, wenn man den Minuend und den Sub¬ trahend nm dieselbe Zahl (hier 1^) vermehrt: 15 — — 15/^ — 7 — 8/^-. Sind Minuend und Subtrahend gemischte Zahlen, so subtrahiert man im Kopfe zuerst die Ganzen, dann den Bruch des Subtrahend; beim schrift¬ lichen Rechnen werden früher die Brüche und dann erst die ganzen Zahlen subtrahiert. Z. B. Wie viel ist 70^ — 25s4? Im Kopfe: Von 70^ zuerst 25 weg, bleiben 45/x, oder 44^; davon H weg, bleiben 44s K — 44H. Schriftlich: 70^ '5 25z-z ! 11 j s-U —ß. Subtrahieren, Multiplieieren der Brüche. 205 d) Ungleichnamige Brüche müssen, nm sie subtrahieren zu können, früher gleichnamig gemacht werden. Z. B. ' y - iz 24^18^ 4, 3> 6 4 X 3 X 6 — 72 2) 125^Z - 31Z? 20, 6 10, 3 > 2 10 X 3 X 2 — 60 93zz 49 8. 116. Multiplirirreit der Kriicht. a) Multiplication eines Bruches mit einer ganzen Zahl. Den Schülern ist schon oben (§. 109) gezeigt worden, dass ein Bruch mit einer ganzen Zahl multipliciert wird, indem man entweder den Zähler mit derselben multipliciert, oder den Nenner durch dieselbe dividiert, und dass das zweite Verfahren nur in seltenen Fällen anwendbar ist. Hier sind darüber Wieder- holungsübungeu vorzunehmen, in denen auch hervorznheben ist, dass ein Bruch mit seinen! Nenner multipliciert den Zähler zum Prvducte gibt. Ist eine gemischte Zahl mit einer ganzen Zahl zu multiplicieren, so multipliciert man im Kopfe zuerst die Ganzen, dann den Bruch der gemischten Zahl, und zählt, wenn bei der Multiplication des Bruches auch Ganze hcraus- kommen, diese zu dem Prvducte der Ganzen dazu. Beim Zifferrechnen multipliciert man früher den Brnch und dann die Ganzen, oder mau verwandelt die gemischte Zahl in einen unechten Brnch und multipliciert diesen mit der ganzen Zahl. Z. B. Mündlich: Wie viel ist 9mal 8H? 9mal 8 ist 72, 9mal j ist — 6H; 72 und 62 ist 78E- Schriftlich: Wie viel ist 39mal 23zH? 6) Multiplication einer Zahl mit einem Bruche. Viele Lehrer Pflegen über diesen Fall ganz leicht hinwegzugehen, indem sie z. B. bei der Bestimmung des Productes 4 x -Z, auf die Vertauschbarkeit der Factoren hinweisend, ihren Schülern sagen: ihr wisset, wie der Bruch Z mit der 206 V. Abteilung. ganzen Zahl 4 multipliciert wird; nun ist aber 4 x § eben so viel als A X 4; also könnet ihr nun auch eine ganze Zahl mit einem Bruche multiplicieren. Da¬ gegen wäre nichts einzuwenden, wenn die Schuler wirklich überzeugt wären, dass 4 X § — Z- X 4 ist; allein eben um diese Gleichheit einzusehen, müssen die Schüler nicht nur die Beschaffenheit des Productes H X 4, sondern auch jene des Productes 4 X Z bereits keimen. Es ist also nothwendig, dass auch dieser letztere Fall der Multiplicatiou besonders betrachtet werde. Die richtige Bedeutung der Multiplication mit einem Bruche lässt sich am besten an Aufgaben mit benannten Zahlen auffassen. 1 Meter kostet 48 Kr.; wie viel kostet Meter? — Wenn ihr erfahren wollet, wie viel 3 Meter kosten, wie oft müsstet ihr 48 Kr. nehmen? Ihr müsstet also 48 Kr. mit 3 multiplicieren. Nm nun den Preis für Meter zu erhalten, müsset ihr 48 Kr. mit multiplicieren. Was bedeutet aber das Pro¬ duct 48 Kr. X -5? Das ersehet ihr sogleich aus der wirklichen Lösung der Auf¬ gabe. Meter ist die Hälfte von 1 Meter; Meter kostet daher nur die Hälfte von 48 Kr. Wie findet ihr aber die Hälfte von 48 Kr.? Es ist also 48 Kr. X — 48 Kr. : 2 — 24 Kr. Eine Zahl mit 1- multiplicieren bedeutet also so viel, als diese Zahl durch 2 dividieren. An ähnlichen Aufgaben wird ersichtlich gemacht, dass eine Zahl mit ss, . . . multiplicieren so viel heißt, als dieselbe durch 3, 4, 5, . . . dividieren. 1 Kilogramm kostet 72 Kr.; wie viel kosten -Z Kilogramm? — Wenn 1 Kilogramm 72 Kr. kostet, so kosten L Kilogramm 72 Kr. X E- Was dieses < Product bedeutet, ersieht man, wenn man die Aufgabe auf die gewöhnliche Weise auflöst, nämlich: H Kil. kostet den 4ten Theil von 72 Kr., also Kr.; § Kil. kosten 3mal so viel als j Kil., also Kr. X 3; folglich ist 72 Kr. X r — ?? Kr. X 3 — 18 Kr. X 3 — 45 Kr. Eine Zahl mit multiplicieren heißt also, den 4ten Theil dieser Zahl 3mal nehmen. Nach einigen derartigen Beispielen sehen die Schüler ein, dass eine Zahl mit einem Bruche multipliciert wird, indem man sie durch seinen Nenner dividiert und mit seinem Zähler multipliciert. Anfängern, die sich unter dem Multiplicieren immer ein Vermehren Vörstetten, kommt es befremdend vor, dass eine Zahl durch das Multiplicieren mit einem echten Bruche verkleinert wird. Der Grnnd davon ist jedoch sehr einfach. Wenn nian eine Zahl Imal, d. i. ganz nimnit, so erhält man die Zahl selbst. Wird aber eine Zahl niit einem echten Bruche, z. B. nut multipliciert, so hat man nur den 4ten Theil derselben 3mal zu nehmen. Wie viclmal den 4tcn Theil einer Zahl müsste man nehmen, um die Zahl ganz zu erhalten? Wenn man aber den 4tcn Theil nur 3mal nimmt, wird man auch da die Zahl ganz erhalten? Offenbar nicht, sondern weniger. Es soll ferner ein Bruch mit einem Bruche, z. B. Z mit multi¬ pliciert, d. h. es soll von H der achte Theil 5mal genommen werden. Man Dividieren der Brüche 207 muss hier zuerst den 8ten Theil von suchen. Der 8te Tbeil von 7 ist ^2-, von E also /2- /s 5mal genommen gibt also ist § X H X Vergleicht man dieses Product mit den beiden gegebenen Brüchen, so sieht man, dass der Zähler des ersten mit dem Zähler des zweiten multipliciert wurde, und dieses Product als Zähler des gesuchten Produktes erscheint; und dass ebenso das Product aus den Nennern der beiden Brüche den Nenner des Bruches, welcher das Product vorstellt, bildet. Ein Bruch wird daher mit einem Bruche multipliciert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliciert; das Product der Zähler wird als Zähler, das Product der Nenner als Nenner des gesuchten Productes angenommen. Da in vielen Fällen die Zähler und die Nenner der beiden Brüche sich gegenseitig abkürzen lassen, so ist es gut, das Product aus den Zählern und jenes aus den Nennern zuerst bloß anzuzeigen, und dann die Abkürzungen noch vor der Multiplikation vorzunehmen; z. B. 2 5 4 x rs 4 V 5,-—_ _ 1 0 v - jl X ' 3 21 Solche Abkürzungen stellen sich besonders vortheilhaft heraus, wenn mehr als zwei Brüche mit einander zn multiplicieren sind; z. B. 2 3 Z X Zli X rs 4 s r SS — X 27 X W — r s - 8 5 3 Ist endlich eine gemischte Zahl mit einem Bruche oder einer ge¬ mischten Zahl zn multiplicieren, so lasse man die Schüler zuerst die ge¬ mischte Zahl zu einem unechten Bruche einrichten, und dann die Multiplikation verrichten. Z. Il7. Dividirrru der Sriichr. a) Division eines Bruches durch eine ganze Zahl. Dieser Fall wurde schon oben (Z. 109) betrachtet; die Schüler wissen be¬ reits, dass ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert wird, indem man entweder den Zähler durch dieselbe dividiert, oder den Nenner mit derselben multi¬ pliciert; dass jedoch das erste Verfahren nur selten zur Anwendung kommt. Indem dieser Fall hier an mehreren Beispielen wiederholt zu üben ist, wird den Schülern auch bemerkt, dass man bei der Division einer gemischten Zahl durch eine ganze Zahl entweder die gemischte Zahl in einen unechten Bruch verwandelt und dann die Division vollzieht, oder unmittelbar zuerst die 208 V. Abtheilung. Ganzen und dann den Bruch der gemischten Zahl dividiert; der Nest, der sich etwa bei der Division der Ganzen ergibt, wird mit dem angehängten Bruche als eine gemischte Zahl zu einem unechten Bruche eingerichtet, den man dann durch die ganze Zahl dividiert. Ist z. B, 89z durch 12 zu dividieren, so hat mau: 89z: 12 — »p : 12 — — 539 : 72 — 7?°. Oder: 89s: : 12 — 7§°. 3 5 . 1 >> - 3 5 ß- . - 7-5. b) Division einer Zahl durch einen Bruch. Ganz einfach und leicht verständlich ist in diesem Falle die Division im Sinne des Messens. Dividend und Divisor müssen, wenn sie nicht schon gleich¬ namige Brüche sind, mit einem gemeinschaftlichen Nenner dargestellt werden. Z. B. Wie oft ist z in 8 enthalten? — Man bringt hier die ganze Zahl 8 auf Drittel, dadurch erhält man 2/; 2 Drittel sind nun in 24 Dritteln so oft ent¬ halten, als 2 in 24, also 12mal, folglich 8 : H — 2/ : 4 — 24 : 2 — 12. Wie ost sind Z- in 32z enthalten? — Werden die Brüche gleichnamig ge¬ macht, so erhält man z und 2 z t. 7 Neuntel sind in 294 Neunteln so oft, als 7 in 294, also 42mat enthalten; somit N2.2. - 7 - 9 8 . 7 - 2 9 4 . 7 — na Man darf also nur Dividend und Divisor zuerst gleichnamig machen und dann die Zähler dividieren, indem gleichnamige Brüche so oft in einander ent¬ halten sind als ihre Zähler. Schwieriger ist die Auffassung der Division durch einen Bruch im Sinne des Theilens. Die Bedeutung einer solchen Division kann am besten ans der Lösung angewandter Aufgaben hergeleitet werden. Z. B. s Meter kostet 16 Kr.; wie viel kostet 1 Meter? — Wenn 4 Meter l 6 Kr. kosteten, so würde ein Bieter den 4ten Theil von 16 Kr. kosten, man müsste also 16 Kr. durch 4 dividieren; kostet nun z Meter 16 Kr., so wird man, um den Preis für 1 Meter zu erhallen, 16 Kr. durch s dividieren; 1 Meter kostet also 16 Kr. : z. Was diese Division bedeutet, ergibt sich sogleich, wenn man die Aufgabe auf die gewöhnliche Weise auflvst. Kostet s Meter 16 Kr., so kostet 1 Bieter 4mal so viel, man muss daher 16 Kr. mit 4 multiplieieren; also ist 16 Kr. : z — 16 Kr. X 4 — 64 Kr. Aus ähnlichen Aufgaben folgern die Schüler, dass eine Zahl durch z, Z. . . dividieren so viel bedeutet, als sie mit 2, 3, 4, . . . multiplieieren. Dividieren der Brüche. 209 Kilogramm kosten 45 Kr.; wie hoch kommt 1 Kilogramm? — Man muss 45 Kr. durch H dividieren, also kostet I Kilogramm 45 Kr. : Anderer¬ seits rechnet man: Kilogr. kostet den 5ten Theil von 45 Kr. — Kr. 1 Kilogr. kostet 8mal so viel, daher X 8; also ist 45 Kr. : § — Kr. X 8 — 9 Kr. X 8 — 72 Kr. Ans inehreren solchen Aufgaben werden die Schüler ersehen, dass von dem Dividende der sovielte Theil, als der Zähler des Divisors anzeigt, so vielmal ge¬ nommen werden müsse, als der Nenner angibt; dass man also den Dividend durch den Zähler des Divisors zu dividieren, und den Quotienten mit detn Nenner zu multiplieieren habe. Die eben begründete Regel führt nun auf ein ganz einfaches mechanisches Verfahren, eine Zahl durch einen Bruch zu dividieren. Durch einen Bruch divi¬ dieren heißt durch seinen Zähler dividieren, und den Quotienten mit seinem Nenner multiplieieren. Mit einein Bruche multiplieieren heißt aber, durch den Nenner dividieren, und den Quotienten mit dem Zähler multiplieieren. Wird daher bei der Division der Divisor umgekehrt, d. i. der Zähler zum Nenner und der Nenner zum Zähler gemacht, und dann die Regel des Multiplicierens befolgt, so wird mit jeder von diesen beiden Zahlen das gethan, was man zu thun hat, um durch den Bruch zu dividieren. Eine Zahl wird daher durch einen Bruch divi¬ diert, indem man sie mit dem umgekehrten Divisor multipliciert. Um dieses an Beispielen ersichtlich zu machen hat mau: 7 : E — § X 4, ' , 5 ,5X4 ^"7X3^*—7X3' Nach den Regeln für die Multiplieation der Brüche findet man aber auch 7 X z — -z X 4, Es ist also i «4 * U, L - 8 !> XX 4 7 ' '4' — 7 xx Die Division durch einen Bruch kann daher in eine Multiplieation mit dem umgekehrten Bruche verwandelt werden. Von diesem mechanischen Divisionsverfahren lasse man übrigens nur aus¬ nahmsweise Gebrauch machen, damit sich die Schüler nicht ein gedankenloses Rechnen angewvhnen; es ist weit geistbildender, wenn man die bei der Division der Brüche vvrzunehmende Operation jedesmal ausführlich erläutern und genau nachweifeu lässt, und die Schüler ununterbrochen zum klaren Denken und Be¬ gründen uöthigt. MoLnik, Rechenunterricht. 5. Aufl. 210 V. Abtheilung. Da sich die Schüler beim Rechnen mit ganzen Zahlen unter dem Dividieren immer ein Verkleinern dachten, so wird cs ihnen hier anfänglich auffallen, dass eine Zahl, welche man durch einen echten Bruch dividiert, dadurch vergrößert wird. Der Grund ist jedoch leicht einzusehen. 1 ist in einer Zahl so ost enthalten, als die Zahl selbst es cmzeigt; ein echter Bruch ist aber kleiner als 1, also wird er in jener Zahl öfters enthalten sein, als I, somit öfters, als die Zahl es anzecgt. Oder: beim Dividieren durch einen Bruch hat man den Dividend zuerst in so viele Theile zu theilen, als der Zähler angibt, und einen solchen Theil so vielmal zu nehmen, als der Nenner anzeigt; da man nun auf diese Art bei der Division durch einen echten Bruch einen Theil öfters nehmen muss, als die Zahl der vorher gemachten Theile angibt, so muss man dadurch mehr bekommen, als anfangs da war. Kommt im Dividend, oder im Divisor, oder in beiden eine ge¬ mischte Zahl vor, so verwandelt man sie in einen unechten Bruch simd ver¬ richtet sodann die Division. Vierter Abschnitt. Quadrieren und Elidieren, Ausziehen der Quadrat- und der Cudilmmrzel. I. Quadrieren. nn. Wenn man eine Zahl mit sich selbst multipliciert, so heißt das Product das Quadrat oder die zweite Potenz jener Zahl. Z. B. 36 ist das Quadrat von 6, /x das Quadrat von Z Die Benennung Quadrat kommt daher, weil sich die Menge der Einheiten einer Quadratzahl durch ein Quadrat darstellen lässt; z. B. 3X3—9 Eine Zahl quadrieren oder aufs Quadrat erheben heißt demnach, die Zahl mit sich selbst multiplicieren. Um anzuzeigen, dass eine Zahl mit sich selbst multipliciert werden soll, schreibt man oben rechts neben dieselbe die Ziffer 2. Es ist daher 37- — 37 X 37 — 1369, 2'342 — 2-34 x 2'34 — 5'4756. Das Quadrieren ist hiernach eine bloße Multiplication und bedarf insofern keiner weiteren Erläuterung. Um jedoch später das Ausziehen der Quadratwurzel Quadrieren. 211- begründen zu können, soll hier noch ein anderes Verfahren, eine Zahl zum Quadrat, zu erheben, entwickelt werden. Es sei eine zweiziffrige Zahl, z. B. 43 zum Quadrat zu erheben. Zerlegt man die Zahl in Zehner und Einer und multipliciert sie mit sich selbst, so hat man: 43 — 40 3 43 — 40 -4-3 43 X 43 4Ö140 4- 40 X 3 4-40X34-3X3 432 — (40 4- — 402 4- 2 X 40 X 3 4- 32 — 1600 4- 240 4- 9 — 1849. Das Quadrat einer in zwei Theile zerlegten Zahl besteht also aus dem Quadrate des ersten Theiles, dem Producte des doppelten ersten Theiles mit dem zweiten, und dem Quadrate des zweiten Theiles. Um eine dreiziffrige Zahl, z. B. 638 zu quadrieren, zerlegt man sie eben¬ falls in zwei Theile 630 4- 8, und man hat: 6382 — (gZo — 6302 _p. 2 X 630 X 8 -4 82; nun ist 6302 — (600 4- 30)2 — 6002 4- 2 X 600 X 30 4- 302, daher, wenn oben statt 6302 dieser Wert gesetzt wird, 6382 — 6002 4- 2 X 600 X 30 4- 302 4- 2 X 630 X 8 4- oder, wenn man diese Bestandtheile untereinander setzt, Berücksichtigt man die Stellung der Ziffern in den Bestandtheilen des Quadrates, so können die rechts stehenden Nullen auch weggelassen werden; man braucht nur jeden folgenden Bestandtheil, da er eine Null weniger enthält, um eine Stelle rechts hinaus zu rücken. Mit Weglassnng der Nullen würden die letzten zwei Rechnungen so stehen: 14* 212 V. Abtheilung. 638° — 6384? 6° 36 6° ..... 36 2X6X3. .36 2X6X3... 36 32. 9 32 9 2 X 63 X 8 . . 1008 2 X 63 X 8 . . . 1008 8° - ,64 8° . . , . . . 64 — 407044 2 X 638 X 4 . . 5104 4,2 16 — 40755456 Hiernach ergibt sich für die Bildung eines Quadrates einer mehr- ziffrigen Zahl folgendes Verfahren: 1. Man erhebt die erste Ziffer links zum Quadrate. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bildet man zwei Bestandtheile: das Prodnct aus der doppelten ihr vorangehenden Zahl und dieser Ziffer, und ihr eigenes Quadrat. 3. Die berechneten Bestandtheile werden so unter einander geschrieben, dass jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint und dann, so wie sie stehen, addiert. Endigt eine Zahl auf Nullen, so braucht man nur die ihnen vorangehen¬ den Ziffern zum Quadrat zu erheben und diesem doppelt so viele Nullen anzu¬ hangen. Z. B. 700° — 490000. Ein Decimalbruch wird so wie eine ganze Zahl zum Quadrat erhoben; nur muss man von dem erhaltenen Quadrat doppelt so viele Decimalstellen abschneiden, als der gegebene Decimalbruch hat. Z. B. 3-5° — 12-25 2-4382 — 5'943844. In einer Decimalzahl, welche ein vollständiges Quadrat ist, müssen daher die Decimalen immer in gerader Anzahl vorkommen. II. AusmlM der (Huadratumriel. 8. 118. Eine Zahl, welche mit sich selbst multipliciert eine gegebene Zahl zum Prv- ducte gibt, heißt die Quadratwurzel von dieser Zahl. Z. B. 7 ist die Quadrat¬ wurzel von 49, H die Quadratwurzel von Aus einer Zahl die Quadratwurzel ausziehen heißt, eine Zahl suchen, welche mit sich selbst multipliciert die gegebene Zahl zum Producte gibt. Um an¬ zuzeigen, dass ans einer Zahl die Quadratwurzel ausgezogen werden soll, setzt man vor dieselbe das Wurzelzeichen Es ist demnach Ausziehen der Quadratwurzel. 213 -/1 — 1 >16 — 8 p49 — 7 P4 — 2 >25 — 5 >64 — 8 >9 — 3 -s/36 — 6 P81 — 9 Diese Quadratwurzeln müssen gedächtnismäßig eingeprügt werden. Das Quadrieren und das Ausziehen der Quadratwurzel siud entgegengesetzte Operationen, wie das Addieren und das Subtrahieren, das Multiplieicren und Dividieren. So tvie beim Quadrieren die aus den Wurzelziffern gebildeten Bestand- theile des Quadrates in diesem zusammengesetzt wurden, eben so müssen dieselben beim Ausziehen der Quadratwurzel wieder auseinander genommen werden. Es sei z. B. 467 zum Quadrate zu erheben, und dann aus dem gefun¬ denen Quadrate die Quadratwurzel zu ziehen. Wir stellen, nm die Vergleichung zu erleichtern, das Quadrieren und das Ausziehen der Quadratwurzel neben einander. Da die erste Wurzelziffer im Quadrate ein oder zwei Stellen gibt, wegen jeder folgenden Wurzelziffer aber im Quadrate immer zwei Stellen zuwachseu, so enthält das Quadrat einer Zahl entweder doppelt so viel Ziffern, als deren die Wurzel hat, oder um eine weniger. Wenn mau daher das Quadrat von der Rechten gegen die Linke in Abtheilungen zu zwei Ziffern theilt, wobei die erste Abtheilung links auch nur eine Ziffer enthalten kann, so hat man so viele Ab- theilungeu, als die Quadratwurzel Ziffern hat. Im vorliegenden Falle hat das Quadrat 218089, woraus die Quadratwurzel gezogen werden soll, drei solche Abtheilungen. Das Quadrat der ersten Wurzelziffer ist in der ersten Abtheilung enthalten; man findet daher die erste Ziffer der Quadratwurzel, wenn man die Zahl sucht, deren Quadrat der Zahl in der ersten Abtheilung am nächsten kommt, ohne größer als sie zu sein; diese Zahl ist 4. Wird ihr Quadrat 4? — 16 von der ersten Abtheilung subtrahiert, so bleibt 5 als Rest. Setzt mau zu dem Reste 5 die zweite Abtheilung 80 hinzu, so müssen in der so entstehenden Zahl 580 die Bestandtheile vorkommen, welche die zweite Wurzelziffer im Quadrate hervorbringt, nämlich das Product aus ihr und der doppelten ersten Ziffer und ihr Quadrat, und zwar erstreckt sich jenes Product nur bis auf die erste Ziffer in der zweiten Abtheilung, ist also in 58 enthalten. Divi- 214 V. Abtheilaug. diert man daher die Zahl 580 mit Ausschluss der letzten Ziffer, nämlich 58, durch das doppelte der ersten Wurzelziffer, nämlich durch 8, so erhält man die zweite Wurzelziffer 6. Wenn man dann die Bestandtheile des Quadrates, welche aus dieser zweiten Wurzelziffer entstehen, nämlich 2.4 . — 48 und 6? — 36 an den gehörigen Stellen von 580 subtrahiert, so bleibt 64 als Rest. Setzt man zu diesem Reste die dritte Abtheilung 89 hinzu, so enthält die dadurch entstehende Zahl 6489 die Bestandtheile, welche die dritte Ziffer im Quadrate hervorbringt, und zwar kommt das Product aus dieser Wurzelziffer und der doppelten ihr vorangehenden bereits gefundenen Zahl in der Zahl 6489 mit Ausschluss der letzten Ziffer, also in 648 vor. Dividiert man daher 648 durch das doppelte der bereits gefundenen Wurzel, d. i. durch 92, so erhält man die dritte Wurzelziffer 7; u. s. w. Hieraus ergibt sich für das Ausziehen der Quadratwurzel folgendes Verfahren: 1. Alan theile die gegebene Zahl von den Einern angefangen in Ab- - Heilungen von je zwei Ziffern, wobei die erste Abtheilung links auch nur eine Ziffer enthalten kann. 2. Man suche die größte Zahl, deren Quadrat in der ersten Abtheilung enthalten ist, und schreibe sie als erste Ziffer der Wurzel an. Das Quadrat dieser ersten Wurzelziffer wird von der ersten Abtheilung subtrahiert. 3. Zu dem Reste setze man die folgende Abtheilung herab, dividiere die dadurch entstehende Zahl nach Weglassung ihrer letzten Ziffer durch die doppelte bereits gefundene Wurzel und schreibe den Quotienten als neue Ziffer in die Wurzel. Dann bilde man die Bestandtheile, welche diese neue Wurzel im Quadrate hervorbringt, nämlich das Product aus der neuen Ziffer und dem ihr voran¬ gehenden Wurzeltheile und das Quadrat der neuen Ziffer, schreibe den ersten Be- standtheil unter den Dividend, den zweiten um eine Stelle weiter rechts, und sub¬ trahiere die Summe der so angesetzteu Bestandtheile von dem Dividende mit Zu¬ ziehung der früher weggelassenen Ziffer. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis inan alle Abtheilungen der ge¬ gebenen Zahl in Rechnung gezogen hat. Da die Schüler von dem Ausziehen der Quadratwurzel nicht so häufige Anwendung machen werden, genügt es, wenn sie sich mit dem hier angegebenen Normalverfahren recht vertraut machen, und kann daher von den hiebei üblichen Abkürzungsformen Umgang genommen werden. Bei Decimalbrüchen geschieht die Eintheilung der Ganzen vom Decimal- punkte gegen die Linke, die Eintheilung der Decimalen gegen die Rechte; in der Quadratwurzel wird der Decimalpunkt gesetzt, bevor mau die erste Abtheilung der Decimalen in Rechnung zieht. Z. B. Cubieren. 215 -/13'54^24 — 3-68 9 454 : 6 36 36 5824 : 72 576 64 Bleibt beim Wurzelausziehen aus einer Zahl am Ende ein Rest, so ist die vorgelegte Zahl kein vollständiges Lu«drat, und daher die Quadratwurzel nicht ganz genau; dieselbe kann jedoch aniMMingsweise in Decimalni mit jeder beliebigen Genauigkeit bestimmt werden, indem man dem zuletzt erhaltenen und jedem fol¬ genden Reste eine Abtheilung von zwei Nullen anhängt, übrigens aber wie vorhin verfährt. Wenn die gegebene Zahl ein Decimalbruch ist Und die letzte Abtheilung rechts nur eine Ziffer enthalten sollte, so wird derselben sogleich eine Null an- Um aus einem gemeinen Bruche die Quadratwurzel auszuziehen, kann man entweder die Quadratwurzel aus dem Zähler und aus dem Nenner ziehen, oder den Bruch in einen Decimalbruch -verwandeln und dann aus diesem die Quadratwurzel ausziehen. Z. B. 1^ E--: P0'12 0-346. III. Oubieren. 8- 12V. Wird eine Zahl dreimal als Factor gesetzt, so heißt das Product der Cubus oder die dritte Potenz jener Zahl. Z. B. 5 X 5 X 5 — 125; 125 ist der Cubus von 5. Man schreibt D' — 125 und liest: 5 der dritten (Potenz), oder 5 zum Cubus ist gleich 125. 216 V. Abteilung. Der Name Cubus kommt daher, weil sich die Menge der Einheiten einer Cubikzahl in Form eines Cubns oder Würfels darstellen lässt. Eine Zahl cubieren oder auf den Cubus erheben heißt demnach, die Zahl dreimal als Factor setzen. Es ist daher 319» — 319 . 319 . 319 — 32461759, 1-28»— 1-28 . 1-28 . 1-28 — 2'097152. Zur leichteren Begründung der Lehre von, Ausziehen der Cubikwnrzel soll auch hier ein zweites Verfahren, eine Zahl auf den Cubus zu erheben, abge¬ leitet werden. Ist z. B. die zweiziffrige Zahl 59 — 50 -l- 9 auf den Cubus zu erheben, so wird man ihr Quadrat 50 . 50 4- 2 . 50 . 9 4- 9 . 9 noch mit 50 4- 9 multiplicieren; man erhält: 50 . 50 -I- 2 . 50 . 9 -I- 9 . 9 50 -j- 9 ^0.50 .1^2 .504 50 .9-4 50 . 9 . 9 4- 50 . 50 . 9 4- 2 . 50 . 9 . 9 4- 9 . 9 . 9 (50 4- 9)» — 50» 4-3 . 50» . 9 4- 3 . 50 . 9» 4- 9». Der Cubus einer zweigliedrigen Zahl besteht demnach aus dem Cubns des ersten Gliedes, aus dem Produkte des dreifachen Quadrates des ersten Gliedes mit dem zweiten, aus dem Producte des dreifachen ersten Gliedes mit dem Quadrate des zweiten, und aus dem Cubus diesen zweiten Gliedes. Um eine dreiziffrige Zahl, z. B. 423 — 420 4- 3 auf den Cubus zu er¬ heben, hat mau zunächst 423» — (420 -i- 3)» — 420» -j- 3 . 420» . 3 . 420 . 3? -1- 3»; aber 420 — (400 -U 20)» — 400» 4- 3 . 400^ . 20 4- 3 . 400 . 20» 4- 20», , daher, wenn oben statt 420» dieser Wert gesetzt wird, 423» — 400» 4- 3 . 400? . 20 4- 3 . 400 . 20? 4- 20» -i- 3 . 4202 . 3 4- 3 . 420 . 3^ 4- 3». Werden die Bestandtheile unter einander geschrieben und wirklich berechnet, so ist 423» — (400 4- 20 4- 3)» Ausziehen der Cubikwurzcl. 217 oder mit Weglassung der Nullen: 423^ — 3 . 4? . 2 3 ! 4 2^ . 2^ . 3 . 42° 3 . . 3 . 42 . 32 . 3» . . 64 . . 96. 48 . 8 . . 15876 . 1134. 27 . — 75686967 . Für den Kubus einer mehrziffrigen Zahl ergibt sich hieraus folgendes Bildnngsgesetz: 1. Die erste Ziffer links gibt ihren eigenen Cubus. 2. Jede folgende Wurzelziffer gibt drei Bestandtheile: das Prodnet aus dem dreifachen Quadrate der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Ziffer, das Product aus der dreifachen vorangehenden Zahl und dem Quadrate dieser Ziffer, endlich ihren eigenen Cnbns. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander geschrieben, dass jeder folgende nm eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, sowie sie stehen, addiert. 1^. Ausziehen der Cubilmmrzel. 8. ILi. Ans einer Zahl die Kubikwurzel ausziehen heißt, eine Zahl finden, welche dreimal als Factor gesetzt die gegebene Zahl gibt. Um die Kubikwurzel ans einer Zahl anzuzeigen, setzt man vor diese das Wurzelzeichen und in dessen Öffnung die Ziffer 3. Z. B. Aus 216 die Kubikwurzel ausziehcn heißt, eine Zahl suchen, welche dreimal als Factor gesetzt 216 zum Prodnete gibt; diese Zahl ist 6, dcun 6 X 6 x 6 — 216. Man schreibt P 216 — 6 und liest: Kubikwurzel ans 216 ist gleich 6. Die cinziffrigen Kubikwurzeln sind: gezogen wird, lässt sich aus dem Gesetze ableiteu, nach welchem die Bestand-- theile der Kubikwurzel in dem Cnbns zusammengestellt erscheinen. 218 V. Abtheilung. Erhebt man z. B. 537 zum Cubus, und ist dann aus dem gefundenen Cubus die Kubikwurzel zu ziehen, so hat man Da die erste Wurzelzisfer im Cubus eine, zwei oder drei Stellen gibt, wegen jeder folgenden Wurzelziffer aber im Cubus iminer drei Stellen zuwachsen, so enthält der Cubus einer Zahl entweder dreimal soviel Ziffern, als deren die Cubikwurzel hat, oder um zwei oder eine weniger. Theilt man daher den Cubus von der Rechten gegen die Linke in Abtheiluugen zu drei Ziffern, wobei die erste Abtheilung links auch nur zwei oder eine Ziffer enthalten kann, so hat man so viele Abtheiluugen, als die Wurzel Ziffern enthält. Im vorliegenden Falle hat der Cubus 154854153, woraus die Cubikwurzel gezogen werden soll, drei solche Abtheilungen. Der Cnbus der ersten Wurzelziffer ist in der ersten Abtheilung enthalten; die erste Ziffer der Cubikwurzel wird daher gefunden, wenn man die größte Zahl nimmt, deren Cubus in der ersten " Abtheilung enthalten ist; in 154 ist der Cubus von 5, nämlich 125, enthalten; die erste Wurzelziffer ist also 5. Wird 53 — 125 von der ersten Abtheilung subtrahiert, so bleibt 29 > als Rest. Setzt man zu diesem Reste die zweite Abtheilung hinzu, so enthält die so entstehende Zahl 29854 die Bestandtheile, welche aus der zweiten Wurzelziffer hervorgehen, nämlich das Produet aus dem dreifachen Quadrate der ersten Wurzel¬ ziffer mit der zweiten, das Product ans der dreifachen ersten Ziffer mit dem Quadrate der zweiten, und den Cubus der zweiten Wurzelziffer, und zwar er¬ streckt sich das erste Product nur bis auf die erste Ziffer der zweiten Abtheilung. Wird daher die Zahl 29854 mit Ausschluss der letzten zwei Ziffern, nämlich 298, durch das dreifache Quadrat der ersten Wurzelziffer, nämlich durch 75, di¬ vidiert, so erhält man die zweite Wurzelziffer 3. Entwickelt man dann die drei Bestandtheile, welche die neue Ziffer im Cnbus hervorbriugt, nämlich 3 . 5? . 3 — 225, 3.5.3? — 135 und 3? — 27, rückt jeden derselben nm eine Stelle weiter nach rechts und subtrahiert dann diese Zahlen von 29854, so erhält man 5977 als Rest. Ausziehen der Cubikwurzel. 219 Setzt man zu diesem Reste die dritte Abtheilung dazu, so enthalt die so gebildete Zahl 5977153 die Bestandtheile, welche die dritte Ziffer im Cubus hervorbringt, und zwar kommt das Product aus dieser Wurzelziffer und dem dreifachen Quadrate der ihr vorangehenden Zahl in der Zahl 5977153 mit Aus¬ schluss der letzten zwei Ziffern, also in 59771, vor. Dividiert man daher 59771 durch 3.53^— 8427, so erhalt man die dritte Wurzelziffer 7; u. s. w. Beim Ausziehen der Cubikwurzel ist daher folgendes Verfahren anzuwenden: 1. Man theilt die Zahl von der Rechten gegen die Linke in Abtheilungen von je drei Ziffern; die links stehende Abtheilung kann auch bloß eine oder zwei Ziffern enthalten. Sodann sucht man die größte Zahl, deren Cubus in der ersten Abtheilung zur Linken enthalten ist, schreibt dieselbe als erste Ziffer in die Wurzel, und zieht ihren Cubus von der ersten Abtheilung ab. 2. Die folgenden Ziffern der Cubikwurzel werden durch die Division ge¬ funden. Blau setzt nämlich zu dem jedesmaligen Reste die nächstfolgende Ab- theilnng herab, und betrachtet die dadurch entstehende Zahl urit Ausschluss der zwei letzten Ziffern rechts als Dividend, das dreifache Quadrat des bereits ge¬ fundenen Theiles der Wurzel aber als Divisor. Der Quotient wird als eine neue Ziffer iu die Wurzel geschrieben. 3. Man bildet die Bestandtheile, welche diese neue Ziffer im Cubus her¬ vorbringt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl, multipli- ciert mit dieser Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl, mnltipliciert mit dem Quadrate dieser Ziffer, und ihren eigenen Cubus, schreibt den ersten Bestaudtheit unter den Dividend, jeden folgenden aber um eine Stelle weiter rechts darunter, und subtrahiert die Summe der so gesetzten Bestandtheile von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen zwei Ziffern. 4. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt am Ende ein Rest, so ist die Cubikwurzel nicht genau; sie kann aber mit jeder beliebigen Genauigkeit in De- malen bestimmt werden, indem man jedem Reste eine Abtheilung von drei Nullen anhängt und übrigens wie vorhin verfährt. Kommen in der gegebenen Zahl auch Decimalen vor, so werden diese vom Decimalpnnkte angefangen gegen die Rechte hin in Abtheilungen eingetheilt; hat die letzte Deciinalabtheilung rechts weniger als drei Ziffern, so werden die fehlenden durch Nullen ersetzt. In der Wurzel setzt man den Decimalpunkt, bevor man die erste Decimalabtheilnng in Rechnung zieht. 220 V. Abthciluu 2:;. a) Um den Schülern von dem Wesen der Verhältnisse eine klare Vor¬ stellung zu verschaffen, wird man sie sowohl reine als benannte Zahlen, und ins¬ besondere auch Linien paarweise vergleichen nnd jedesmal beurtheilen lassen, wie oft die eine in der andern enthalten ist, oder wie vielmal so groß die eine ist Verhältnisse. 221 als die andere. Die Schüler werden dann folgende Erklärungen leicht und richtig auffassen: Die Vergleichung zweier Zahlen oder zweier gleichartiger Größen, um zu sehen, wie oft die eine in der andern enthalten ist, heißt ein Verhältnis. Z. B. unter dem Verhältnisse von 12 zu 3 versteht man die Angabe, wie oft 3 in 12 enthalten ist, also den angezeigten Quotienten 12 : 3. Jedes Verhältnis enthält Zwei Zahlen, welche Glieder heißen; das erste Glied der (Dividend) heißt das Vorderglied, das zweite Glied (der Divisor) das Hinterglied. Wenn man das Vvrderglied durch das Hinterglied wirklich dividiert, so heißt der Quotient der Exponent des Verhältnisses; der Exponent des Verhältnisses 12 :3 ist 4. Sowie die Division als Theilung zur Entstehung der Brüche Anlass gibt, so führt die Division als Messung auf den Begriff des Verhältnisses. Ans diesen Erklärungen folgt auch: 1. In jedem Verhältnisse ist das Vorderglied gleich dem Hintergliede mnltiplieiert mit dem Exponenten. b) Nachdem die Schüler an dem einzelnen Verhältnisse die beiden Glieder mit einander verglichen haben, lasse man sie auch zwei oder mehrere Verhältnisse hinsichtlich ihrer Größe, welche durch den Exponenten ausgedrückt wird, in Ver¬ gleichung ziehen. Zwei Verhältnisse, welche denselben Exponenten haben, heißen gleich, z. B. 12 : 3 und 8 : 2. Man kann ein Verhältnis in größeren oder kleineren Zahlen ausdrücken, d. i. seine Form ändern; der Wert desselben wird nicht geändert, so lange der Exponent ungeändert bleibt. Daraus folgt: 1. Ein Verhältnis bleibt ungeändert, wenn man Vorder- und Hinterglied mit derselben Zahl mnltiplieiert. Mit Hilfe dieses Satzes kann man ein Veehältnis, worin Brüche oder ge¬ mischte Zahlen Vorkommen, durch ganze Zahlen darstellen, indem man beide Glieder mit dem wegzuschaffenden Nenner multipliciert. Z. B. Ans dem Verhältnisse 5 : 24 erhält man, wenn man beide Glieder mit 3 multipliciert, das in ganzen Zahlen ausgedrückte Verhältnis Io: 8, das mit dem gegebenen denselben Exponenten 1^, also auch denselben Wert hat. 2. Ein Verhältnis bleibt ungeändert, wenn man Vorder- und Hinterglied durch dieselbe Zahl dividiert. Mit Hilfe dieses Satzes kann jedes Verhältnis, dessen beide Glieder durch dieselbe Zahl theilbar sind, abgekürzt werden, indem man beide Glieder durch jene Zahl dividiert. Z. B. Statt des Verhältnisses 16 : 24 kann man, wenn beide Glieder durch 8 dividiert werden, das einfachere Verhältnis 2 : 3 setzen. 222 V. Abtheilung. Durch die Verbindung der beiden vorhergehenden Übungen kann jedes Verhältnis ans die einfachste Form gebracht werden, indem man es, wenn darin Brüche vorkommen, zuerst in ganzen Zahlen darstellt, und dann, wenn es angeht, abkürzt. e) Damit die von den Schülern gewonnenen Begriffe befestiget und zu noch größerer Klarheit erhoben werden, wendet man dieselben sogleich auf mannig¬ faltige praktische Beispiele an. Eine Schwierigkeit werden hiebei anfänglich nur die umgekehrten Verhältnisse bieten. Sollte z. B. bei der Aufgabe: geht in 3 Stunden so weit als L in 4 Stunden, wie verhalten sich ihre Geschwindigkeiten? der gedankenlose Schüler die Antwort geben: wie 3 : 4; so wird derselbe die Unrichtigkeit seiner Antwort sogleich einsehen, wenn man ihn fragt; wenn schon in 3 Stunden einen Weg zurücklegt, welchen U erst in 4 Stunden macht; geht geschwinder oder lang¬ samer als U? Wenn aber die Geschwindigkeit des größer ist als jene des L, kann sich die erste zu der zweiten so wie 3 : 4 verhalten? Nun ist der Schüler noch zu überzeugen, dass hier eben das umgekehrte Verhältnis 4 : 3 stattfindet. Wenn einen Weg in 3 Stunden zurücklegt, den wievielten Theil dieses Weges legt er in 1 Stunde zurück? Wenn U denselben Weg in 4 Stunden zurücklegt, den wievielten Theil dieses Weges legt er in 1 Stunde zurück? Man kann daher die obige Aufgabe auch so ausdrücken: legt in einer Stunde t eines bestimmten Weges, U nur 1 desselben Weges zurück; wie verhalten sich ihre Geschwindig¬ keiten? Offenbar wie H- : -Z oder wie 4 : 3. äl Wenn man von zwei zu vergleichenden Größen solche Theile zu- fammenstellt, welche an Wert, oder Größe, oder Gewicht u. s. w. gleich sind, so nennt man diese Gleichstellung eine Gleichung; z. B. 14 — 25 Wiener Pfund. Jede Gleichung zwischen zwei benannten Zahlen lässt sich auf die Form eines Verhältnisses bringen. Es sei z. B. die Gleichung 14 — 25 Wiener Pfund gegeben und hieraus das Verhältnis zwischen dem Kilogramm und dem W. Pfund herzuleiten. Sind 14 — 25 W. Pfund, so ist 1 Wiener Pfund; da nun 1 W. Pfund — W. Pfund, so verhält sich 1 zn 1 W. Pfund wie ki : rt- d. i. wie 25 : 14. Um daher eine Gleichung zwischen zwei benannten Größen in ein Ver¬ hältnis zu verwandeln, muss man die Zahlen der Gleichung so umstellen, dass sich die größere auf die mehrwertige Größe, die kleinere auf die geringere Größe bezieht. Umgekehrt ergibt sich durch Umstellung der Zahlen, welche das Verhältnis zwischen zwei Größen ausdrücken, sofort eine Gleichung. Verhält sich z. B. 1 ? zn 1 W. Maß wie 5 : 7, so hat 1 r 5 Theile, wie 1 W. Maß deren 7 hat; also ist 1, § — 1 W. Maß, oder 1 ö W. Maß, und 8 ? — 5 W. Maß. Proportionen. 223 II. Proportionen. 8. 124. Wenn man zwei Verhältnisse, welche denselben Exponenten haben und somit gleich sind, durch das Gleichheitszeichen verbindet, so heißt ein solcher Aus¬ druck Proportion. Z. B. 12 :3 — 8 : 2 ist eine Proportion, welche ge¬ lesen wird: 12 verhält sich zu 3, wie sich 8 zu 2 verhält, oder kürzer: 12 zu 3 wie 8 zu 2. Das erste und vierte Glied (12 und 2) werden äußere, das zweite und dritte (3 und 8) innere Glieder der Proportion genannt. Setzt man in einer beliebigen Proportion 12 : 3 — 8 : 2 statt eines jeden Vordergliedes das Prodnct aus dem Hintergliede und dem Exponenten, so erhält man 3X4:3 — 2X4:2. Daraus ist ersichtlich, dass sowohl die äußeren als die inneren Glieder mit einander multipliciert, dieselben drei Factoren 3, 4 und 2 enthalten, daher auch dasselbe Product geben. In jeder Proportion ist also das Product der äußeren Glieder gleich dem Producte der inneren Glieder. Aus einer Proportion, in welcher drei Glieder bekannt sind, das unbe¬ kannte Glied finden, heißt die Proportion auflösen. Das unbekannte Glied wird gewöhnlich mit einem der Buchstaben x, v, / bezeichnet. Eine Proportion kann aufgelöst werden, wenn man aus dem bekannten Verhältnisse den Exponenten sucht und mittels desselben das unbekannte Glied des zweiten Verhältnisses bestimmt. Es sei z. B. die Proportion 27 : 9 — x : 2 aufzulösen. Da hier der Ex¬ ponent des ersten Verhältnisses 3 ist, so muss auch der Exponent des zweiten Verhältnisses 3, und daher das Vorderglied desselben x — 2 x 3 — 6 sein. Die Proportion ist daher 27 : 9 — 6 : 2. Die Auflösung einer Proportion kann auch nach einem der folgenden zwei Sätze geschehen: 1. Ein äußeres Glied der Proportion wird gefunden, indem man die beiden inneren Glieder mit einander multipliciert und das Product durch das bekannte äußere dividiert. Es sei sei z. B. die Proportion 8 : 5 — 16 : x aufzulösen. Das Pro¬ duct der inneren Glieder ist 5 X 16 — 80, also muss auch das Product der äußeren Glieder 80 sein; eines dieser Glieder, also einer der beiden Factoren, ist 8 ; um den anderen Factor zu finden, darf man nur das Product 80 durch den einen Factor, nämlich durch das bekannte äußere Glied 8 dividieren; folg¬ lich x — -- — 10. Die Proportion ist also 8 : 5 — 16 : 10, o o 224 V. Abtheilung. 2. Ein inneres Glied der Proportion wird gefunden, indem man die beiden äußeren Glieder mit einander multipliciert und das Product durch das bekannte innere dividiert. Ist z. B. die Proportion 8 : x — 24 : 9 anfzulvsen, so erhält man daraus 8 X 9 — 72 als das Product der äußeren Glieder, es muss daher auch das Product der innereu Glieder 72 sein; hier ist also aus dem Producte 72 zweier Zahlen und aus einer derselben, nämlich 24, die andere zu suchen, d. h. 72 8X9 72 durch 24 zu dividieren; folglich x — — — — 3, und die Propor¬ tion heißt 8 : 3 — 24 : 9. III. Anwendung der Proportionen mit besonderer Rücksichtnahme auf dir Schlussrechnung. 8. 1L3. Hier ist zunächst die Unterscheidung der angewandten Verhältnisse in gerade und verkehrte zu erläutern, wobei der Lehrer die nachstehenden Betrachtungen zu Grunde legen kann. Kostet 1 -» Tuch 6 fl., so kosten 2 m 2mal 6, also 12 fl. 3 „ 3 „ 6, „ 18 „ 4 4,6 24 Es kosten daher die doppelte Ware das doppelte Geld „ dreifache „ „ dreifache „ „ vierfache „ „ vierfache „ und es finden folgende Proportionen statt: 2 m : 3 — 12 fl. : 18 fl. oder 2 : 3 — 12 : 18, 2 M : 4 m — 12 fl. : 24 fl. „ 2 : 4 — 12 : 24, n. s. w. Die Zahlen, welche die Menge einer Ware und den Geldbetrag derselben anzeigen, hängen also so zusammen, dass zu einer 2mal, 3mal, 4mal so großen Zahl der einen Art auch eine 2mal, 3mal, 4mal so große Zahl der andern Art gehört. Von zwei solchen Arten von Zahlen sagt man, dass sie gerade proportioniert sind, oder in einem geraden Verhältnisse stehen. Ware und Preis sind also gerade proportioniert. Es wird nicht über¬ flüssig sein, den Schülern zu bemerken, dass diese letzte Behauptung nicht unbe¬ dingt richtig sei, sondern nur unter der Voraussetzung gelte, dass jede Einheit der Ware den gleichen Wert behält. Die Folgerung: wenn 1 -u Tuch 6 fl. kostet, so werden 2 m 2mal 6 fl. kosten, ist nur dann richtig, wenn vorausgesetzt wird, Anwendung der Proportionen. 225 dass mau auch im zweiten Falle dieselbe Sorte Tnch kauft, und dass jeder Meter zu dem nämlichen Preise angerechnet wird, wie im ersten Falle. Wurde man im zweiten Falle eine anderre Sorte Tuch kaufen, oder würde der Preis eines Meters zu- oder abgenommen haben, so würde auch nicht gefolgert werden können, dass man für 2mal so viele Meter 2mal so viel Geld bezahlen müsse. Man könnte daher den obigen Satz richtiger so ausdrücken: Ware und Preis sind bei übrigens gleichen Umständen gerade proportioniert. Aus der voraustehenden Darstellung folgt auch: Wenn zwei Arten von Zahlen gerade proportioniert sind, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Ver¬ hältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art in der nämlichen Ordnung genommen. In einem geraden Verhältnisse stehen auch: die Zeit der Arbeit und der Lohn, die Weite des Weges und der Frachtlvhn, — das Gewicht der Last und der Frachtlohn, — die Zeit und der zurückgelegte Raum, — Capital und Zins, n. dgl. Nun wird auch der Begriff von verkehrt proportionierten Größen entwickelt. Wenn man einen Taglöhner aufnimmt, um einen Garten nmzugraben, so braucht er dazu eine bestimmte Zeit. Bestellt man nun statt des einen, zwei eben so fleißige Arbeiter, so brauchen diese offenbar nur halb so viel Zeit, als der eine Arbeiter. Nimmt man drei Arbeiter auf, so brauchen sie nur den dritten Theil der Zeit, die 1 Arbeiter braucht, u. s. w. Braucht z. B. l Arbeiter für eine Arbeit 60 Tage, so brauchen 2 Arbeiter nur die Hälfte von 60, also 30 Tage, „ „ 3 „ „ den 3. Theil „ 60, „ 20 „ u. s. w. daher: doppelte Zahl der Arbeiter, Hälfte der Zeit, dreifache „ „ „ Drittel „ „ vierfache „ „ „ Viertel „ „ und es finden folgende Proportionen statt: 2 Arb. : 3 Arb. — 20 T. : 30 T. oder 2 : 3 — 20 : 30. 1 „ : 4 „ — 15 „ : 15 „ „ 1:4 — 15 : 60, Die Zahl der Arbeiter und die Zahl der Arbeitstage find also zwei solche Arten von Zahlen, dass zu einer 2mal, 3mal, 4mal so großen Zahl der einen Art nnr die Hälfte, der dritte, vierte Theil von der Zahl der andern Art gehört. Man sagt von solchen Arten von Zahlen, dass sie ver¬ kehrt proportioniert sind, oder in einem verkehrten Verhältnisse stehen. Die Zahl der Arbeiter und die Arbeitszeit sind demnach verkehrt proportioniert. MoLnik, Rechenunterricht. 5. Aufl. 15 226 V. Abteilung. Auch hier wird vorausgesetzt, dass die Arbeiter jedesmal eine gleich große Arbeit zu vollenden haben, und dass sie mit gleichem Fleiße arbeiten. Aus dem Obigen folgt auch: Sind zwei Arten von Zahlen verkehrt proportioniert, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhält¬ nisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art, jedoch in umgekehrter Ordnung genommen. In umgekehrtem Verhältnisse stehen auch: die Zahl der zu Nährenden und die Zeit, während welcher die Lebensmittel ansreichen sollen, — das Gewicht der Last und die Weite des Weges bei gleichem Frachtlohne, — die Länge und die Breite eines Stoffes bei gleichem Inhalte, n. dgl. Jede praktische Rcchnnngsaufgabe besteht aus einem Bedingungssätze und einem Fragesatze. Z. B. in der Aufgabe : 4 m kosten 15 fl.; wie viel kosten 9 m? drückt der erste Satz eine Bedingung, der zweite eine Frage aus. Schriftlich stellt man die Aufgabe gewöhnlich so dar, dass man zuerst den Bedingnngs- und darunter den Fragesatz ansetzt, und dabei die gesuchte Zahl durch x ausdrückt. Z. B. die obige Aufgabe wird so angeschrieben: 4 m 15 fl. Die Auflösung der Aufgaben mittels der Proportion beruht auf den oben entwickelten Sätzen, nach denen sich aus 2 Paaren zusammengehöriger Zahlen von zwei Arten, welche gerade oder verkehrt proportioniert sind, immer eine Propor¬ tion bilden lässt. Man setzt das Verhältnis zwischen zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse der zugehörigen Zahlen der andern Art in der nämlichen Ordnung genommen, wenn beide Arten gerade, und in umgekehrter Ordnung, wenn sie verkehrt proportioniert sind. Die so angesetzte Proportion wird dann aufgelöst. Es ist dabei gleichgiltig, in welches Glied der Proportion die unbekannte Zahl zu stehen kommt; am zweckmäßigsten erscheint es, dieselbe sogleich in das erste Glied zu setzen. Soll die Proportion dadurch aufgelöst werden, dass mau das Product der inneren Glieder durch das bekannte äußere dividiert, so können höchstens die Glieder desjenigen Verhältnisses, worin x vorkommt, als benannte Zahlen angesetzt werden. Am einfachsten ist es, alle Glieder der Proportion als unbenannt hinzustellen, da über den Namen der gefundenen Zahl x, welche jedes¬ mal mit der damit gleichartigen Zahl gleichbenannt sein muss, ohnehin kein Zweifel obwalten kann. Zur näheren Erläuterung des hier angegebenen Verfahrens mögen folgende Beispiele dienen: 1) 5 »r Tuch kosten 18 fl.; wie viel ft. kosten 15 m? Zusammengesetzter Dreisatz. 227 Da 2-, 3-, 4mal so viel Meter auch 2-, 3-, 4mal so viel Gulden kosten, sonnt die beiden Arten von Zahlen gerade proportioniert sind, so setzt man das Verhältnis der Gulden x: 18 gleich dem Verhältnisse der zugehörigen Meter in der nämlichen Ordnung genommen, nämlich 15 : 5, und löst dann die dadurch erhaltene Proportion auf. Die Rechnung steht: 5 m 18 fl. x : 18 — 15 : 5 15 „ x „ » x — 18 X 3 — 54 fl. 2) 8 Arbeiter können ein Werk in 30 Tagen vollenden; in wie viel Tagen werden 15 Arbeiter damit fertig? Die beiden Arten von Zahlen sind hier verkehrt proportioniert, da 2-, 3-, 4mal so viel Arbeiter zur Vollendung desselben Werkes nur die Hälfte, den dritten, vierten Theil der Zeit brauchen; man setzt daher das Verhältnis zwischen zwei Zahlen der einen Art x : 30 gleich dem Verhältnisse der zwei zugehörigen Zahlen der andern Art, aber in umgekehrter Ordnung genommen, nämlich 8 : 15. 8 Arb. 30 Tage x : M — 8 : 15 15 „ x „ 2 x — 2 X 8 — 16 Tage. Mit der Lösung dieser Aufgaben nach der Proportion ist überall auch die Lösung nach der Schlussrechnung zu verbinden. IV. Zusammengesetzter Dreisatz. 8. 126. Eine zusammengesetzte Dreisatzaufgabe entsteht, wenn ein Verhältnis (das Verhältnis mit der Fragezahl) durch mehrere Verhältnisse, welche gleichzeitig auf die Größe der Fragezahl einwirken, bestimmt werden soll. Jede solche Auf¬ gabe kann daher in mehrere einfache zerlegt werden. Der dabei zu befolgende Rechnungsgang ist aus folgendem Beispiele ersichtlich: 15 Arbeiter erhalten für 5 Tage 65 fl. Arbeitslohn; wie viel erhalten 10 Arbeiter für 6 Tage? Ansatz: 15 Arb. verdienen in 5 Tagen 65 fl. 10 „ „ » 0 „ x „ Ohne Rücksicht auf die Zeit lost man zuerst die folgende Aufgabe: 15 Arbeiter verdienen 65 fl.; wie viel verdienen 10 Arbeiter? 15 Arb. 65 fl. x: 65 — 10 : 15 10 „ x „ x — 43z fl. Wenn man nun weiß, dass 10 Arbeiter in 5 Tagen 43z fl. verdienen, so ist weiter zu bestimmen, wie viel sie in 6 Tagen verdienen. t5* 228 V. Abtheilung. Man hat dabei die Aufgabe zu lösen: Eine gewisse Anzahl Arbeiter ver¬ dienen in 5 Tagen 43^ fl.; wie viel verdienen sie in 6 Tagen? 5 Tage 43^ fl. x: 43^ — 6:5 6 „ x „ x — 52 fl. Wenn also 15 Arbeiter in 5 Tagen 65 fl. verdienen, so verdienen 15 Ar¬ beiter in 6 Tagen unter übrigens gleichen Umständen 52 fl. Einfacher und durchsichtiger gestaltet sich die Lösung nach der Schlussrech¬ nung. Dabei muss in dem Ansätze, um die Schlüsse leichter bilden zu können, jedesmal diejenige Art von Zahlen, zu welcher die unbekannte gehört, auf die letzte Stelle gebracht werden, wie es auch oben geschah. 15 Arb. verdienen in 5 Tagen 65 sl. 10 „ „ „6 „ ? „ 1 Arb. verdient in 5 Tagen den 15. Theil, 10 „ verdienen „ 5 „ lOmal so viel, 10 „ 1 Tage den 5. Theil, 10 „ „ „ 6 Tagen 6mal so viel; ,, 65 fl. X 10 X 6 -o -s 1c> X o Tie Erklärung dieser Schlussrechnung liegt in der Darstellung selbst. Sechster Abschnitt. Besondere Uerhültnisrechnungen. I. Procentrechmmg. 127. sirorentrrchmttlg von Hundert. Die Procentrechnung hat in der neuesten Zeit in allen Berufskreisen eine erhöhete Bedeutung erhalten. Sowie man den Wert der Schnittwaren per Meter, den Wert der Flüssig¬ keiten per Liter oder Hektoliter angibt, ebenso wird bei der Bestimmung vieler anderer Dinge, z. B. der Zinsen, des Gewinnes oder Verlustes u. dgl. der Betrag von Hundert, das Procent, als Maßstab zu Grunde gelegt. Unter Procent versteht man im allgemeinen eine Zahl, welche sich auf 100 Einheiten derselben Art bezieht. Z. B. 5 Procent (5"/») bedeutet, dass von je 100 Einheiten einer Art 5 Einheiten derselben Art, von 100 fl. also 5 fl., von 100 />A 5 zn nehmen sind. Die Zahl 100 erscheint für verschiedene Wertbestimmungeu darum als besonders geeignete Grundlage, weil mit ihr sehr leicht zu rechnen ist. Das Procent lässt noch eine zweite Auffassungsweise zu, die übrigens aus dem obigen ursprünglichen Begriffe als unmittelbare Folgerung abgeleitet werden kann. Hat man z. B. von 543 fl. I"/» zu nehmen, so heißt dies nach der Procentrechnung. 229 1-79 fl. 38-08 fl. Um Prvcentangaben in kleinen Brüchen zu vermeiden, wird für manche Größen der Ertrag nach Tausend, das Promille (°/vg) berechnet. Z. B. 1 °/gg heißt, von je 1000 einer Zahl ist I, oder es ist der lOOOste Theil einer Zahl zu berechnen. Wie viel beträgt Vc»» von 3580 fl.? 35-84 . . 8 2-24 . . 4 obigen Erklärung des Procentes so viel als: von je 100 fl., die in 543 fl. ent¬ halten sind, 1 fl. nehmen, somit von 1 fl. immer nur den lOOsten Theil von 1 fl., von 543 fl. also den lOOsten Theil von 543 fl. nehmen. 1°^ von 543 fl, bedeutet demnach von 543 fl. Ebenso folgt, dass 2°/^ einer Zahl der¬ selben, 3"/o einer Zahl 7^ derselben, 4°/o der Zahl u. s. w. bedeutet. Diese zweite Auffassung des Procentbegriffes ist für das Rechnen selbst meistens vortheilhafter, als die ursprüngliche Erklärung. Bei jeder Proeentrechnnng kommen drei Bestimmungen vor: der Procent¬ satz, d. i. der auf 100 entfallende Antheil, der Betrag, von welchem das Procent gerechnet wird, und der auf diesen Betrag entfallende Procentantheil oder die Procente. Sind von diesen drei Größen zwei gegeben, so kann aus denselben die dritte bestimmt werden. Die Procentrechnungen gehören zu den Dreisatzaufgaben und werden wie diese am einfachsten durch die Schlussrechnung ausgeführt. -U Berechnung des Procentertrages. Die Einrichtungsstücke eines Hauses kosten 448 fl.; man rechnet für die Abnützung derselben jährlich 8z"/o; wie viel betrügt dieses? 100 fl. geben 8^ — 8'5 fl. O. ci 1 „ gibt den lOOsten Theil — fl. 448 „ geben 448mal so viel — '' c» — 38'08 fl. Oder kurzer: 1 d. i. iZn von 448 fl. sind 4'48 fl. 8-2sind 8lmal so viel — 4-48 X 8,s — 38'08 fl. Die Procente eines Betrages von Hundert werden dem¬ nach berechnet, indem Ulan den lOOsten Theil dieses Betrages mit dem Procentsatze mnltipliciert. Die Rechnung würde hiernach kurz so stehen: 230 V. Abteilung. L) Berechnung des Procentsatzes. Ein Haus, das 18300 fl. gekostet hat, trägt jährlich 732 fl. reinen Zins; zu wie viel °/„ verzinset es sich? 18300 fl. geben jährlich 732 fl. Zins, 732 100 - -- 4 fl. Zins; I oo das Hans verzinset sich also mit 4"/g. Oder: 1 o/g von 18300 fl. sind 183 fl.; 732 fl. find daher so viel "/§ von 18300 fl., als wie oft 183 fl. in 732 fl. enthalten find; 732 : 183 — 4»/y. c) Berechnung des Betrages, von welchem die Procente bestimmt werden. In einer Stadt starben in einem Jahre 324 Personen, cs sind dies 2"/^ von der ganzen Einwohnerzahl; wie groß ist diese? 2 Sterbefülle auf 100 Einwohner 1 Sterbefall „ 50 324 Sterbefülle „ 324 X 50 — 16200 Einw. Oder: 2°/g d. i. von der Einwohnerzahl — 324 rDn „ „ ,, — 102 daher die Einwohnerzahl selbst — 162 x 100 — 16200. ä) Tara und Gutgewicht. Das Gewicht einer Ware mit Inbegriff des Behältnisses, worin sie verpackt ist, nennt man das Bruttogewicht, das Gewicht des Behältnisses die Tara, und das Gewicht der Ware an und für sich d. i. ohne Verpackung das Netto¬ gewicht. Die Tara wird entweder stückweise pr. Sack, Ballen, Fass, Kiste, u. s. w., oder nach Procenten vom Bruttogewichte bestimmt. Wenn man vom Bruttogewichte die Tara subtrahiert, so bleibt als Rest das Nettogewicht übrig, uach welchem dauu die Zahlung zu berechnen kommt. e) Warendiscont oder Lcouto. Beinr Warenverkäufe im großen wird dem Käufer gewöhnlich eine bestimmte Zahlungsfrist gewährt, und darum der Preis etwas hoher gestellt. Zieht nun der Käufer die bare Zahlung vor, so muss ihm wegen der baren Bezahlung vom Warenpreise ein Abzug, welcher Warendiscont, Sconto, auch Rabatt heißt, und nach Procenten berechnet wird, gestattet werden. Unter Rabatt versteht man häufig auch den Abzug, welcher vom Preise solcher Waren, bei denen der Erzeuger dcu Preis für den Einzelnverkauf fest¬ gestellt hat, dem Kleinhändler als Ersatz für die Bezugskosten und zur Ermöglichung eines Gewinnes gewährt wird. Von dieser Art ist der Buchhändlerrabatt. Procentrcchnung. 231 k) Nssecrrranz. Gesellschaften, welche gegen eine bestimmte Gebür den Schadenersatz für ein¬ getretene Unglücksfälle rind Verluste übernehmen, heißen V e r s ich e ru n gs- oder Assecuranz-Gesellschaften. Es gibt Lebens-, Feuer-, Hagel-, Seeschaden-Ver- sicherungs-Austalteu. Die Gebür, welche für die Übernahme der Schadenvergütung au die Gesellschaft bezahlt wird, heißt Prämie und wird nach Procenten oder Promille berechnet. 8) Sensarie nnd Provision. Zur Abschließung von Geschäften desselben Handelsplatzes gibt es beeidete Personen, welche Sensale oder Mäkler heißen. Die Vergütung für ihre Mühe heißt Sensarie; sie wird nach Procenten oder Promille bestimmt. Wenn jemand die Vollziehung eines Geschäftes, z. B. den Einkauf oder Verkauf von Waren, einem andern aufträgt, so heißt die Person, welche diesen Auftrag erhält und vollzieht, der Commissiouür, und die Vergütung, welche dieser für seine Bemühung erhält, Provision. Die Provision wird nach Pro- centcu berechnet und beim Einkäufe zu dem Warenpreise addiert, beim Verkaufe von demselben subtrahiert. I>) Gewinn und Verlust. Wenn man für eine Ware beim Verkaufe mehr einnimmt, als man dafür beim Einkäufe ausgelegt hat, so hat man Gewinn; wenn man dagegen beim Verkaufe weniger einnehmen würde, als man beim Einkäufe ausgelegt hat, so hätte man Verlust. Gewinn und Verlust sind demnach der Unterschied zwischen der Ausgabe beim Einkäufe und der Einnahme beim Verkaufe. Geschäftsleute geben den Gewinn oder Verlust gewöhnlich in Procenten an. Z. B. 8°/n gewinnen heißt, statt je 100 ill, die man beim Einkäufe ausgelegt hat, beim Verkauf 8 fl. mehr als 100 fl., also 108 fl. entnehmen; und 8 verlieren bedeutet, statt 100 fl., die mau beim Einkäufe ausgegeben hat, beim Verkaufe 8 fl. weniger als 100 fl., also nur 92 fl. einnehmen. 8- iLo. Ürorriitrrchniiug uns und in tjnndrrt. In den vorhergehenden Aufgaben war der Betrag, von welchem die Pro¬ cente berechnet wurden, durchgängig mit der Grundzahl 100 selbst gleichartig. Die Procentrechnung ist in diesem Falle eine Rechnung von Hundert, zum Unterschiede von der Rechnung auf Hundert und in Hundert, welche ange- weudet wird, wenn der Betrag, von welchem die Procente berechnet werden, nicht mit der Grundzahl 100 selbst, sondern bezüglich mit der um den Proceutsatz vermehrten oder verminderten Grundzahl 100 gleich¬ artig ist. 1. Von einer Zahl 1°/g, 2°/g, 3"/g ... auf Hundert rechnen, heißt von je 101, 102, 103 . . . Einheiten bezüglich 1, 2, 3 . . . Einheiten nehmen. 232 V. Abtheilung. Die Rechnung auf Hundert wird angcwendet, wenn in einer Aufgabe nicht der ursprüngliche, sondern der um die Prveente vermehrte Betrag gegeben ist. Z. B. Eine Ware kostet mit Einrechnung von 2^ Provision 500 fl.; wie viel betrügt die Provision? Die Summe 500 fl. enthält den reinen Warenpreis bereits um die Pro¬ vision vermehrt; sie ist entstanden, indem man je 100 fl. des reinen Warenpreises um die Provision von 2 fl. Man hat daher: In 102 fl. „ 500 „ Hier ist der Betrag 500 nicht mit 100, sondern nut 100 -p- 2 — 102 gleichartig; die 20/y weiden nicht von je 100, sondern von je 102, die in 500 enthalten sind, gerechnet. Dies ist also eine Procentrechnnng auf Hundert. 2. Von einer Zahl 1 "/§, 2°/°, 3 "/z ... in Hundert rechnen heißt von je 99, 98, 97 . . . Einheiten bezüglich 1, 2, 3 . . . Einheiten nehmen. Die Rechnung in Hundert wird angewendet, wenn nicht der ursprüngliche, sondern der um die Procente verminderte Betrag gegeben ist. Z. B. Der Verkaufspreis einer Ware nach Abzug von 2"/o Provision ist 500 st.; wie viel beträgt die Provision? Die Summe 500 fl., in welcher von dem reinen Warenpreise die Provision bereits abgezogen ist, wurde erhalten, indem man von je 100 fl. Warenpreis 2 fl. Provision in Abzug gebracht, also statt je 100 fl. nur 98 fl. angenommen hat. Man hat demnach: Zu 98 fl. Warenpreis nach „ 1 „ Abzug der „ 500 „ Provision gehören Dies ist eine Procentrechnnng in Hundert, da der gegebene Betrag 500 mit 100 — 2 — 98 gleichartig ist, und die 2°/y nicht von je 100, sondern von je 98, die in 500 Vorkommen, zu rechnen sind. II. Die Zins- und Disconirechnnng. Einfache Zinsen. 129. Lcrcchimng bcr Zinsen. Wenn dem L Geld leihet, so ist ter Gläubiger, L der Schuldner; die geliehene Geldsumme heißt Capital und die Vergütung, welcher der Schuldner Warenpreis mit Provision sind enthalten 102 — 9'8 fl. Provision. 2 fl. Provision 2 LDL ff kt vermehrt, aus je 100 fl. also 102 2 fl. Provision 2 LA' ff f' 500 X 2 „ 98 — 10'2 fl. Provision. Einfache Zinsen. 233 dem Gläubiger für die Benützung des Capitols zahlen muss, Zins oder Inte¬ ressen. Der Zins wird nach Procenten bestimmt, welche sich gewöhnlich auf 1 Jahr beziehen und der Zinsfuß genannt werden. Bei der Zinsrechnung nimmt man den Monat zu 30 Tagen an. In der Zinsrechnung kommen vier Großen vor: 1. das Capital, 2. der Procentsatz oder Zinsfuß, 3. die Zeit, durch welche das Capital ausgeliehen bleibt und 4. der Zins. Wenn drei von diesen Größen gegeben sind, so kann aus denselben die vierte bestimmt werden. Die Zinsrechnung kann als eine Procentrechnung angesehen werden, in welcher das Capital dem Betrage, der Zinsfuß dem Procentsatze und der Zins den Procenten entspricht, zu welchen Großen jedoch noch eine vierte Größe, die Zeit, hinzutritt. ») Zinsen für ein Jahr. Wie viel Zins geben jährlich 485 fl. Capital zu 6°/o? 100 fl. Cap. . . 6 fl. Zins 1 6 ^0^ - ^-1 fl.Zins. Oder: 1°/g d. i. von 485 . . 4'85 fl. Zins. 6°/<> vv 485 4'85 X 6 — 29'1 fl. Zins. Der Zins für ein Jahr wird daher berechnet, indem man den l OOsten Theil des Capitals mit dem Zinsfuß multiplieiert. Leichtere derlei Aufgaben sollen von den Schülern im Kopfe aufgelöst werden. Dabei berechnet man den Zins für die Hunderte des Capitals durch eine einfache Multiplication, für die Zehner und Einer durch Anwendung des Schlusses: So viele Gulden jährlichen Zins 100 fl. Capital geben, eben so viele Kreuzer gibt 1 fl. Capital. Für das obige Beispiel hätte man: 400 fl. Capital geben 4mal 6 fl., d. i. 24 fl. Zins; 85 fl. Capital geben 85mal 6 Kr. — 5 fl. 10 Kr.; zusammen 29 fl. 10 Kr. 5) Zinsen für Jahre, Monate und Tage. Bei der Berechnung der Zinsen für irgend eine gegebene Zeit ver¬ fährt man auf folgende Art: 1. Die Zinsen für mehrere Jahre findet man, indem man zuerst die Zinsen für ein Jahr berechnet und diese mit der Anzahl der Jahre multiplieiert. 2. Sind auch Mouate und Tage gegeben, so bedient man sich der Zerfällungsmethvde; man zerlegt die Monate in bequeme Theile eines Jahres und nimmt von den einjährigen Zinsen eben solche Theile; die Tage zerlegt man in Theile eines Monates und nimmt eben solche Theile von den monatlichen Zinsen. Alle diese Beträge werden sodann zu den Zinsen für Jahre addiert. 234 V. Wtheilung. Z. B. Wie viel Zinsen geben 3060 fl. Capital zn 5z°/g in 3 Jahren 2 Mon. 22 Tagen? —30'60 X 5z 153 00 15'30 - 168'30 fl. für 1 Jahr 504'90 fl. für 3 Jahre 28'05 „ „ 2 Mon. — z Jahr 4'678 „ „ 10 Tage — z v. 2 Mon. 4'678 „ „ 10 „ 0'936 „ „ 2 „ — z v. 10 Tagen 543'242fl. Zins. e) Zinsen für eine bestimmte Anzahl Tage. Im Geschäftsleben kommt es häufig vor, dass die Zinsen für eine gegebene Anzahl von Tagen zu bestimmen sind. Z. B. Wie viel beträgt der Zins von 2518 fl. zn 6"/^ in 45 Tagen? Der Zins für eine bestimmte Anzahl von Tagen zu 6°/» wird daher be¬ rechnet, indem man das Capital mit der Zahl der Tage multipliciert und das Product durch 6000 dividiert. Ist der Zius zu mehr oder weniger als 6"/o zu berechnen, so sucht man zuerst den Zins zu 6°/g und leitet daraus mittelst Zerfällnng den Zins für das gegebene Procent ab. Z. B. Wie viel beträgt der Zins von 1820 fl. zu 5°/g vom 1. Mai bis 16. September? Vom 1. Mai bis 1. Sept, sind 4 Mon. — 120 Tage „ 1. Sept. „ 16. „ „ 15 „ 1820 X 135 135 Tage 5460 9100 2157"" : 6000 ->"'950 fl. N 6<7„ ab -6s825- „ 1°/° — z von 6°/„ 34'125 fl. L 5°/o- Einfache Zinsen. 235 Z. 130. örrechnnug des Zinsfußes, des Lapitats oder der Zeit. Für die Volksschule empfiehlt sich auch zur Losung der hierher gehörigen Aufgaben am besten die Schlussrechnung. 1) 805 fl. Capital geben in 3 Jahren 144'9 fl. Zins; zu wie viel °/g ist das Capital angelegt, d. h. wie viel fl. Zins geben 100 fl. Capital in 1 Jahre? 805 fl. Cap. in 3 Jahren 144'9 fl. Zins 144-9 80^> „ „ „ 1 ^ahre - „ i , 144'9 - 1 ,, ,, » 1 " 805 X 3 *' 1^4'9 X 100 , " 805 X 3 f — 6 fl. Zins. Das Capital ist also zu 6"/g angelegt. 2) Welches Capital gibt zu 4°/„ in 2 Jahren 70 fl. Zins? 4°/o des Kapitals in 2 Jahren — 70 fl. 4 /o „ „ „1 x^ahre — 35 „ in/ i — 0.7". -1/0 o „ daher das Capital selbst 8'75 fl. X 100 — 875 „ 3) Wie lange müssen 350 fl. anliegen, damit der Zins a 5°/o dem Ca- pitale gleich werde? 350 fl. Capital geben zu 5°/g in 1 Jahre 3'5 X 5 — 17-5 fl.; 350 fl. Zinsen gibt also dasselbe Capital in so viel Jahren, als wie oft 17'5 fl. in 350 fl. enthalten sind, somit in 350 : 17-5 — 20 Jahren. Z. 131. Künftiger und gegenwärtiger Wert einer Geldsumme nach einfachen Zinst». 'Wert einer Geldsumme nach einer bestimmten Zeit (Vereinigung des Kapitals und der Zinsen in eine Summe.) Wenn jemand einen Geldbetrag später zahlt, als er ihn zahlen sollte, so wird er nicht nur diesen Betrag, sondern auch die Zinsen davon für die Zeit, um welche er später zahlt, zu entrichten haben. Um daher den künftigen Wert einer Geldsumme, d. i. den Wert der¬ selben nach einer bestimmten Zeit zu finden, berechnet man die Zinsen davon für diese Zeit und addiert sie zu der gegebenen Geldsumme. Z. B. Welchen Wert haben 1250 fl. bei 6"/g Zins nach 4 Jahren? 12'50 X 6 Capital 1250 fl. 74'00 fl. für I Jahr- Zins für 4 Jahre 300 „ 300 fl. für 4 Jahre Wert nach 4 Jahren 1550 fl. 236 V. Abteilung. Oder: 100 fl. sammt Zinsen nach 4 Jahren — 124 fl. 1 „ „ „4 „ — j-ZH „ 1250 X 124 1250 „ „ „ „4 „ — - po - fl. — 1550 fl. d) Wert einer Geldsumme vor einer bestimmten Zeit. (Zerlegung einer Summe in Capital und Zins; Discout.) Wenn jemand eine unverzinsliche Geldsumme früher zahlt, als er sie zahlen sollte, so wird er nicht die volle Geldsumme, sonderu uur einen so großen Betrag zahlen, dass dieser vermehrt nm die Zinsen, die er bis zum Zahlungstermine tragen würde, der Schuldsumme gleich wird. Dem Schuldner muss in diesen: Falle ein bestimmter Abzug gewährt werden, welcher Discont heißt nnd nach Procenten berechnet wird. Wenn man den Discont von dem Schuldcapitale sub¬ trahiert, so heißt der Rest der gegenwärtige oder bare Wert des Capitals. Z. B. Jemand will eine unverzinsliche Schuld von 400 fl., die er nach 1 Jahre zu zahlen verpflichtet ist, sogleich bezahlen; wie viel beträgt der Discont u 50/0, und wie groß ist die bare Bezahlung? Eine bare Summe von 100 fl. beträgt bei 5"/« Zins nach 1 Jahre 105 fl.; gegenwärtig nur 100 fl. wert, oder: Jahr früher bezahlt, 5 fl. als Discont Schuldcap. 400 fl. ab Discont 19'05 „ Barzahlung 380'95 fl. Barzahlung 380'95 fl. 19'047^ st. Zins Zins für 1 Jahr 19'05 „ Cap. nach 1 Jahre 400 fl. Aus dieser Darstellung geht klar hervor, daß der Discont auf Hundert (Z. 128) gerechnet werden müsse. Würde man den Discont von Hundert rechnen, so hätte man: 400 fl. L 5°/g Capital 400 fl. 20 fl. Discont ab Discont 20 „ Barzahlung 380 fl. Eine Barzahlung von 380 st. würde aber mit den Zinsen ü 5"/g nach 1 Jahre nicht das Schuldcapital 400 fl., sondern nur 399 fl. geben. Da übrigens der Unterschied zwischen den Discontbetrcigen auf nnd von 100 für kleinere Zeitabschnitte nur unbedeutend, die Rechnung von 100 aber viel bequemer ist, so rechnen Geschcifts- 105 fl., nach 1 Jahre zahlbar, von je 105 fl. werden, wenn man sie 1 in Abzug gebracht. Man hat daher 105 fl. Cap. 5 fl. Disc. '5 " in» » » 400 „ „ st. Disc. — 19'05 Discont. Probe: 380'95 fl. ü 5 °/g Zinseszinsen. 237 lente den Discont bei Warcubeträgen und bei Wechseln, da es dabei gewöhnlich nur auf eine kurze Frist ankommt, allgemein von 100. Da, wo es sich um längere Zeiträume handelt, würde jedoch dieses Verfahren zu sonderbaren Consequenzen führen. Gesetzt, jemand wünschte eine Schuld von 100 sl., die er nach 20 Jahren zu berichtigen hat, mit 5"/, Discont sogleich zu zahlen; der Discont würde dann ebenfalls 100 fl. betragen, und der Schuldner hätte also gar nichts zu zahlen. Wären die 100 fl. erst nach 40 Jahren zahlbar gewesen, so betrüge der Discont sogar 200 fl. und der Schuldner müsste noch 100 fl. herausbekommen. Richtig aber würde man die erstere Aufgabe so rechnen: 100 fl. geben in 20 Jahren zu 5"/^ 100 fl. Zinsen, wachsen also mit diesen auf 200 fl. an; wenn nun umgekehrt 200 fl. nach 20 Jahren zahlbar, gegenwärtig 100 fl. wert sind, so ist der gegenwärtige Wert von 100 fl. gleich fl. — 50 fl. L. Zinseszinsen. 8. künftiger und gegenwärtiger Wert einer Geldsumme bei Serechnung von Zinseszinsen. Bei Verzinsung von Capitalien geschieht es häufig, dass die Zinsen am Ende eines jeden ganzen oder halben Jahres zum Kapitale geschlagen und mit diesem zugleich wieder verzinst werden; man sagt in diesem Falle: das Capital ist auf Zins von Zins oder ans Zinseszinsen angelegt. Die Zinseszinsen heißen auch zusammengesetzte Zinsen, zum Unterschiede von den einfachen, welche zu den gewöhnlichen Terminen bezahlt, oder wenn sie rückständig bleiben, doch nicht wieder verzinst werden. Berechnung des Wertes einer Summe nach einer bestimmten Zeit. Um den Wert eines Geldbetrages nach einer gegebenen Zeit, während welcher die Zinsen nach einer bestimmten Periode wieder zum Kapitale geschlagen uud mit diesem verzinst werden, zu erhalten, könnte mail die Zinsen für jede einzelne Periode berechnen und jedesmal zu dem Anfangscapital jener Periode addieren. Z. B- Wie hoch werden 2000 fl. Capital nach 4 Jahren anwachsen, wenn man die Zinsen n 5"/, am Ende eines jeden Jahres zum Kapitale schlägt und von neuem verzinset? Capital Capital Capital Capital Anfangscapital 2000 fl. Zins des 1. Jahres 100 „ zu Ende des 1. Jahres 2100 fl. Zins des 2. Jahres 105 „ zu Ende des 2. Jahres 2205 fl. Zins des 3. Jahres 110'2 5 fl. zu Ende des 3. Jahres 2315'25 fl. Zins des 4. Jahre s 115'7620 fl. zu Ende des 4. Jahres 2431'0125 fl. Nach der einfachen Verzinsung wäre der Zins in 1 Jahre 100 fl., also in 4 Jahren 400 fl., während das Erträgnis nach Zinseszinsen 431 fl. 1 kr. ist; der Unterschied von 31 fl. 1 kr. geht also ans den Zinseszinsen hervor. 238 V. Abteilung. Da die vorhergehende Rechnung sehr weitläufig ist, so soll hier ein anderes kürzeres Verfahren entwickelt werden, nach welchem man das Anwachsen eines Capitals mittels Zinseszinsen berechnen kann. 100 fl. am Anfänge eines Jahres sind zu 5 °/g verzinset am Ende des¬ selben Jahres 105 fl., also 1 fl. den lOOsten Theil von 105 st., nämlich 1'05 st. wert. Man hat daher für das frührere Beispiel folgende Rechnung: 2000 st. am Anfänge des 1. Jahres geben am Ende des 1. Jahres 2000 X 1'05 fl.; 2000 X 1'05 st. am Anfänge des 2. Jahres geben am Ende des 2. Jahres 2000 X 1'05 X 1'05 fl.; 2000 X 1'05 X 1'05 st. am Anfänge des 3. Jahres geben am Ende des 3. Jahres 2000 X 1'05 X 1'05 X 1'05 fl.; 2000 X 1'05 X 1'05 X 1'05 st. am Anfang des 4. Jahres geben am Ende des 4. Jahres 2000 X 1'05 X 1'05 X 1'05 X 1'05 fl. Das Endcapital nach 4 Jahren ist also 2000 X 1'05 X 1'05 X 1'05 X 1'05 fl. 1'05 X 1'05 2000 X 1'215506 525 2431'01 fl. 1'1025 X 1'05 55125 1-157625 X 1'05 57881 1-215506 Man muss also 1'05, d. i. die Zahl, welche gefunden wird, wenn man zu 100 den Zinsfuss 5 addiert, und diese Summe 105 durch 100 dividiert, 4mal, d. i. so vftmal als Jahre da sind, als Factor setzen und dann das Anfangs- capital damit mnltiplicieren. Die Zahl 1'05 x 1'05 X 1'05 X 1'05 — 1'215506, mit welcher das Anfangscap ital multipliciert werden muss, um den nach Zinseszinsen ange- wachsenenen Endwert zu erhalten, kann man die Zinseszinszahl (hier für 5 °/o und 4 Jahre) nennen. Würde man die Zinsen nicht ganzjährig, sondern am' Ende eines jeden halben Jahres zum Capitale schlagen, so erhielte man da 100 fl. nach einem Halbjahre 102'5 fl. wert sind, 1 fl. also den Wert von 1'025 fl. bekommt, durch ähnliche Schlüsse, wie oben, als Endcapital nach 4 Jahren oder 8 Halbjahren 2000 X 1'025 X 1'025 X 1'025 X 1'025 X 1'025 X 1'025 X 1-025 X 1'025 fl. — 2000 X 1'218403 fl. — 2436'81 fl. Hier ist 1-218403 die Zinseszinszahl für 2z und 8 Halbjahre. Er gibt besondere Tabellen, welche die bereits ausgerechneten Zinsesziuszahlen für ver¬ schiedene Procente und Zeitperioden enthalten, deren Benützung daher die Rechnung sehr vereinfacht. Zinseszinsen. 239 b) Berechnung des Wertes einer Geldsumme vor einer bestimmten Zeit. Da der künftige Wert eines Kapitals gleich ist dem gegenwärtigen An- fangscapitale multipliciert mit der entsprechenden Zinseszinszahl, so folgt, dass umgekehrt das Anfangscapital gleich ist dem künftigen Werte dividiert durch die¬ selbe Zinseszinszahl. Z. B. Wie viel sind 3000 fl., welche nach 4 Jahren zahlbar sind, bei 5 Zinseszins gegenwärtig, d. i. um 4 Jahre früher wert? Die Zinseszinszahl für 5 und 4 Jahre ist 1'215506; man hat daher 3000 fl. : 1'215506 — 2468'108 fl. gegenwärtiger Wert. Statt 3000 fl. : 0215506 kann man anch 3000 sl. X 1.915006 ^nnt man daher den Quotienten 21550g' i" darf man nur den Endwert des Capitals damit multiplicicrcn. Man hat nun die Quotienten, die mau erhält, wenn 1 durch die Zinseszinszahl dividiert wird, für verschiedene Procente und Zeitperioden ausgerechnet und in Tabellen znsammeugestellt, durch deren Benützung die Rechnung wesentlich erleichtert wird. III. Terminrechnung. Z. UM. L riech innig des mittleren Zahlungstermins. Häufig werden unverzinsliche Geldsummen, die nach und nach in bestimmten Zeitfristen (Terminen) gezahlt werden sollen, auf einmal, oder unverzinsliche Geldsummen, die zu bestimmten Terminen zahlbar sind, zu anderen als den fest¬ gesetzten Terminen abgetragen. Die Bestimmung der Zeitpunkte, zu denen dies ohne Nachtheil sowohl des Schuldners als des Gläubigers geschehen kann, lehrt die Terminrechnung. Bei dieser Rechnung werden einfache Zinsen vorausgesetzt, so dass man schließen kann: 300 fl. geben in 4 Jahren eben so viel Zins, als 4mal 300 fl. in 1 Jahre: oder 500 fl. geben in 3 Monaten eben so viel Zins, als 3mal 500 fl, in 1 Monate. Wenn mehrere Theilzahlnngen, welche in verschiedenen Zeitfristcn zahlbar find, auf einmal gezahlt werden sollen, so heißt der Zeitpunkt, zu welchem die Gesammtzahlung zu leisten ist, der mittlere Zahlungstermin. Wie der mittlere Termin gefunden wird, soll an folgendem Beispiele ge¬ zeigt werden. hat an 13 400 fl. nach 4, und 800 fl. nach 8 Monaten zu zahlen; wenn nun die ganze Summe von 1200 fl. auf einmal abgetragen werden soll, wann muss dieses geschehen? Bei der bedungenen Zahlungsmeise genießt der Schuldner die Zinsen von. 400 fl. durch 4, und von 800 fl. durch 8 Monate. 240 15 Abteilung. Der Schuldner erhält von 400 fl. in 4 Mon. 800 „ „ 8 „ 1200 fl. in ? Mon. eben so viel Zinsen als von 1600 sl. in 1 Mon. 6400 „ 1 „ 8000 fl. in 1 Mon. 8000 fl. geben einen bestimmten Zins in 1 Mon. 1 „ gibt denselben „ „ 8000 „ 1200 „ geben „ „ „ — 6- Mon. Die Gesammtzahlung wird also nach 6^ Mon. zu erfolgen haben. Man erhält daher den mittleren Zahlungstermin, indem man jede Teilzahlung mit der dazu gehörigen Zeit multipliciert und die Summe dieser Producte durch die Summe der Teilzahlungen dividiert. 8- 134. Umvandlmig gegebener Zahliiiigstrrmiiir in andere. .4. hat nach 3 Jahren 300 fl., nach 4 Jahren 500 fl. und nach 5 Jahren 600 fl. zn zahlen; er zahlt jedoch schon nach 2 Jahren 400 fl. und nach 2^ Jahren 500 fl.; wann wird der Rest fällig sein? I. darf benutzen: 300 fl. 3 Jahre 500 „ 4 „ 900 fl. 1 Jahr 2000 „ 1 „ 600 „ 5 zusammen: 1400 fl. er benutzt: 400 fl. 2 Jahre — 3000 „ 1 „ 5900 flj-1 Jahr xoO fl. 1 Jahr 40" „ 2u „ 1250 „ 1 „ zusammen: 900 — 2050 fl. 1 Jahr hat noch zu benutzen: 500 fl. ? Jahre — 3850 fl. 1 Jahr 3850 : 500 fl. — 7'7 Jahre. Der Rest von 500 fl. wird also 7'7 Jahre, vom Beginne au gerechnet, zu zahlen sein. IV. Dir TtMrrgrl oder Grsellschaftsrrchnung. 8. 135. Eine Zahl kann in gleiche oder ungleiche Theile zerlegt werden. Die Zer¬ legung einer Zahl in gleiche Theile lehret die Division. Soll eine Zahl in un¬ gleiche Theile zerlegt werden, so muss außer der Zahl der Theile auch angegeben sein, wie groß die Theile im Vergleiche miteinander werden, oder wie sie sich zu einander verhalten sollen. Die Rechnung, durch welche eine Zahl nach einem ge¬ gebenen Verhältnisse, d. h. so getheilt wird, dass sich die Theile wie gegebene Zahlen zu einander verhalten, heißt die Theilregel oder Gesellschaftsrech- uung. Die Zahlen, welche jenes Verhältnis ausdrücken, heißen die Verhältuis- zahleu. ThcilrcgO. 241 Die Gesellschastsrechnung stndet Anwendung bei Compagniegeschäften, Erb¬ schaften, Concursen, Steuervertheilungen, Schiffsantheilen und Seeschäden, bei Herstellung von Mischungen u. s. w. Wenn in einer Aufgabe nur eine Reihe von Verhältniszahlen gegeben ist, von denen die Größe der Theile abhängt, so heißt die Theilregel die einfache; dagegen die zusammengesetzte, wenn die Vertheilung von mehreren Bestimmungen abhängt, und daher mehrere Reihen von Verhältniszahlen ge¬ geben sind. L) Einfache Theilregel. Drei Personen treten zu einen: Handelsgeschäfte zusammen; gibt 2800 fl., 8 3600 fl. und 0 4000 fl.; sie gewinnen damit 1300 fl.; wie viel vom Gewinn gebürt einem jeden? Die Antheile an: Gewinn müssen sich so wie die Einlagen verhalten, also wie die Zahlen 2800, 3600 und 4000, oder indem mau durch 100 und 4 ab¬ kürzt, wie die Zahlen 7, 9 und 10. Der ganze Gewinn von 1300 fl. ist demnach so zu vertheilen, dass auf 7, auf 8 9, auf 0 10, also ans alle zusammen 7-i-9-tz10 — 26 Theile von gleicher Größe entfallen. Dividiert man daher die zu vertheilcude Zahl 1300 fl. durch die Summe 26 der Verhältniszahlen, so zeigt der Quotient 50 fl. einen solchen Thcil an. Da aber 7, 8 9, 6 10 solche Theile erhalten soll, so muss man 50 fl. noch mit den einzelnen Verhältnis¬ zahlen mnltiplicieren. Die Rechnung steht: 28M I 7 50 fl. X 7 — 350 fl. gewinnt 8 36W ! 9 50 „ X 9 — 450 „ „ 8 O 4E 10 50 „ X 10 — 500 „ „ 0 1300 fl. : 26 — 50 fl. 1300 fl. zusammen. Bei der einfachen Gesellschastsrechnung dividiert man daher die zu theilende Zahl durch die Summe der ans die einfachste Form gebrachten Verhältnis¬ zahlen und multipliciert den Quotienten mit jeder Verhältniszahl. b) Zusamuieugcsetzte Theilregel. Drei Kaufleute sind miteinander in Gesellschaft getreten und haben zusammen 2300 fl. gewonnen; wenn nun 2000 fl. durch 8 Monate, 8 4000 fl. durch 6 Monate, 0 8000 fl. durch 5 Monate in dem Geschäftsfonde liegen ließ, wie viel von dem Gewinne wird jeder erhalten? Hier hängen die Antheile am Gewinne nicht bloß von der Einlage, sondern auch von der Zeit ab. Es ist jedoch gleichviel, ob 2000 fl. 8 Monate oder 16000 fl. 1 Monat „ 8 4000 „ 6 „ „ 24000 „ 1 „ „ 6 8000 „ 5 „ „ 40000 „ 1 „ in dem Fonde liegen lässt. Da nun im zweiten Falle die Zeit für alle drei An¬ theile gleich ist, so hängen dieselben nur von den zu dieser Zeit gehörigen Ein- MoLnik, Rechenunterricht. 5. Aufl. 16 242 V. Abtheilung. lagen, nämlich den Producten 16000 fl., 24000 fl. nnd 40000 fl. ab, welche daher als Verhältniszahlen einer einfachen Gescllschaftsrechnung betrachtet werden. Die Rechnung steht: 2000 fl. 8 Mvn. 16000 fl. 2 U 4000 „ 6 „ 24000 „ 3 0 8000 „ 5 „ 40000 „ 5 2300 fl. : 10 230 fl. X 2 — 460 fl. 230 „ X 3 — 690 „ 230 „ X 5 — 1150 „ 230 „ "2300 fl. Bei der zusammengesetzten Gesellschaftsrechnung multipliciert man daher die Verhältniszahlen, welche auf denselben Theil Bezug haben, niit einander und betrachtet die Prodncte als die Verhältniszahlen einer einfachen Gesellschafts¬ rechnung, nach welcher dann die weitere Rechnung ausgeführt wird. V. Die Alligatwiisrechmmg. 8. i.M. Häufig werden gleichartige Stoffe, die jedoch an Wert oder Gehalt ver¬ schieden sind, miteinander gemischt (gemengt), nm eine Mischnngssorte von mittlerem Werte zu erhalten. Dabei kommen folgende Größen zur Betrachtung: 1. die Menge der einzelnen Bestandtheile, 2. der Wert derselben und 3. der Wert der Mischung. Die Rechnung, welche diese Großen aus einander herleitet, wird im allge¬ meinen die Mischnngsrechnung genannt. Sie enthält sehr mannigfache Aufgaben, von denen die zwei folgenden von besonderer praktischer Wichtigkeit sind: 1. Es ist der Wert der Einheit einer Mischung zu suchen, welche aus gleich¬ artigen Stoffen von verschiedenem Werte hergestellt wird. Die Rechnung heißt die Durchschnittsrechnung. 2. Es ist das Verhältnis zu finden, in welchem zwei gleichartige Stoffe von verschiedenem Werte mit einander verbunden werden müssen, um eine Mischung von bestimmtem Mittelwerte zu erhalten. Die Mischungsrechnung heißt in diesem Falle eine Alligationsrechnung. Die Durchschnittsrechnung beruht auf ganz einfachen Schlüssen; sie wurde schon auf den früheren Unterrichtsstufen wiederholt angewendet (siehe III. Abthei¬ lung Z. 65, 6. angewandte Aufgaben). Dagegen tritt bei der Alligationsrechnung eine besondere Art von Schlüssen auf, die wir au der folgenden Aufgabe näher erläutern wollen. Ein Wirt will zweierlei Weine, das zu 50 kr. und zu 36 kr. so mischen, dass 1 i der Mischung 42 kr. wert sei; in welchem Verhältnisse muss er die beiden Gattungen mischen? 1 der besseren Sorte kostet 50 kr. — 42 kr. — 8 kr. mehr, 1 i der ge¬ ringeren Sorte 42 kr. — 36 kr. — 6 kr. weniger, als 1 i der Mischung kosten soll. Es geben also 6 i der besseren Sorte einen Überschuss von 6mal 8 kr. — 48 kr. Alligationsrechnung. 243 und 8 ? der geringeren Sorte einen Abgang von 8mal 6 kr. — 48 kr.; damit sich also der Überschuss und der Abgang ausgleichen, muss inan auf je 6 ü der besseren Sorte 8 ö der geringeren znr Mischung verwenden, d. h. die bessere und geringere Sorte müssen in dem Verhältnisse 6 : 8, wofür man auch 3 : 4 setzen kann, gemischt werden. Daraus folgt, dass der Überschuss oder Abgang bei der einen Sorte die Zahl der gleichen Theile anzeigt, welche von der andern Sorte zu nehmen sind. Die voranstehenden Schlüsse lassen sich übersichtlich so darstellen: Die Rechnung selbst stellt sich wie folgt: 50 ! 8 Übersch. ! 6 Theile ! 3 42 36 ! 6 Abgang 8 Theile 4 In der Praxis kommt die Alligationsrechnung meistens in Verbindung mit der Gesellschaftsrechnung vor. Z. B. Zwei Gattungen Kaffee, das /e// zu 162 kr. und zu 152 kr., sollen so gemischt werden, dass man 100 L-A g. 156 kr. erhalte; wie viel /e- von jeder Gattung wird man zur Mischung verwenden? Zuerst wird nach der Alligationsrechnung das Mischungsverhältnis gesucht: 126 ! 6 Übersch. 4 Theile 2 156 — 152 ! 4 Abgang 6 Theile 3 Die Menge von 100 LA ist also nach dem Verhältnisse 2 : 3 zu theilen; dieses geschieht nach der Gesellschaftsrechnung: 2 20 LA X 2 — 40 LA u 162 kr. 3 20 L- X 3 — 60 /tA L 152 kr. 100 LA : 5 — 20 LA Die Probe wird nach der Durchschnittsrechnung verrichtet: 40 LA ä 162 kr. kosten 6480 kr. 6 0 LA L 152 kr. „ 9120 kr. 100 LA Mischung kosten 15600 kr. 1 LA ,, kostet 156 kr. VI. Die KrttenrechiMllg. 8. 137. Die Kettenrechnung, auch Kettensatz genannt, hat ihren Namen von der eigenthümlichen Beschaffenheit des Ansatzes, dessen Zahlen wie die Glieder einer Kette mit einander verbunden werden. Sie wird angewendet, wenn aus einer 16* 244 V. Abtheilnug. bekannten Zahl einer Art die zugehörige unbekannte Zahl einer andern Art durch Hilfe mehrerer zusammenhängender Mittelbestimmungen gefunden werden fall. Z. B. Wie viel Kreuzer v. W. kosten 4 c/LA einer Ware, von welcher 7 4 L-A ans 75 Franken kommen? Um hier den zu 4 c?LA gehörigen Preis in kr. ö. W. zu finden, muss inan nebst der Angabe, dass 74 LA 75 Franken kosten, noch folgende Mittelbe¬ stimmungen zu Hilfe nehmen: 1 LA hat 100 24 Franken gelten 100 kr. ö. W-; und die vollständige Aufgabe lässt sich dann in folgende Kettenver- bindnng bringen: ? kr. ö. W. kosten . . 4 c?LA wenn 100 ck/eA . . 1 LA machen, wenn 74 LA ... 75 Franken kosten, und wenn 24 Franken 100 kr. ö. W. gelten? In diesem Ansätze hat jede Zahl ans der rechten Seite mit der links stehenden gleichen Wert; jede Zahl ans der linken Seite ist mit der nächstvorhergehenden auf der rechten Seite gleichnamig, und die letzte Zahl rechts ist mit der ersten Zahl links d. i. mit x gleichnamig. Auf diese Art hängen alle Zahlen des Ansatzes wie die Glieder einer Kette zusammen. Jede Kettenrechnung kann durch wiederholte Anwendung der Schlussrechnung ausgeführt werden. Für das frühere Beispiel Hütte man folgenden Rcchnungsgang: a) Zuerst verwandelt man 4 cÄA in LA: 100 cN-A . . 1 Le/: 1 l. " ' ' 100 4X1 b) Dann sucht man den Preis von Franken: 74 LA . . 75 Franken 1 ' . " 4 X 1 4X 1 X 75 100 " ' ' 100 X 74 " 4X1 X 75 e) Endlich werden >/ 7/ Franken in kr. ö. W. verwandelt. 24 Franken . . 100 kr. v. W. Kettenrechnung. 245 Es ist nun nicht nvthig, bei diesen Aufgaben alle diese weitläufigen Schluss¬ rechnungen durchzuführen. Vergleicht man nämlich den gefundenen Ausdruck § init der oben in die Kettenverbindung gebrachten Aufgabe, so sieht man sogleich, dass die gesuchte Zahl gleich ist dem Prodncte aller rechts stehenden Zahlen dividiert durch das Product aller links erscheinenden Zahlen. Bei der Ausführung werden noch vor der Division, wenn es angeht, zn beiden Seiten Abkürzungen vorgenvmmen. Bei der Kettenrechnung verführt man daher ans folgende Art: 1. Man zieht einer: senkrechten Strich und setzt links oben die gesuchte Zahl, rechts daneben aber die gegebene Größe, deren Wert gesucht wird. 2. Darunter setzt man alle Mittelbestimmungen und zwar fängt man jedes¬ mal links mit einer Größe an, welche mit der nüchstvorhergehenden Größe rechts gleichnamig ist, und setzt rechts daneben diejenige Größe, welche mit ihr gleichen Wert hat. Das letzte Glied rechts in der Kette muss mit der Fragezahl links oben gleichnamig sein. 3. Die gemischten Zahlen werden zu unechten Brüchen eingerichtet, die Nenner auf die entgegengesetzte Seite als Factoren übertragen, und dann die Zahlen zu beiden Seiten, wenn es möglich ist, abgekürzt. 4. Wird das Product aller rechts stehenden Zahlen durch das Product der links stehenden dividiert, so gibt der Quotient die gesuchte Zahl. Es sei noch folgende Aufgabe zu lösen: 1000 Weizen kosten in Berlin 190 Mark; wie hoch stellt sich hiernach der Preis von 1 Weizen im Gewichte — 58 fl. ö. W. gerechnet werden? 77 X 19 X 58 — 8-4854 fl.o.W. von 77 L:/ in ö. W., wenn 100 Mark Man beginnt die Kette mit der Frage: wie viel fl. ö. W. kostet 1 Ll? Da man mit /tl aufhort, so muss die folgende Mittel- bestimmnng mit Ll anfangen; dies geschieht, indem man auf das Gewicht übergeht und sagt: wenn ein Ll 77 Lg wiegt. Hier hört man rechts mit LA auf, daher muss man wieder links mit LA anfangen; man bildet Len Übergang von der Ware zum Preise dadurch, dass man sagt: wenn 1000 LA 190 Mark kosten. Man hört hier mit Mark auf; da aber die gesuchte Zahl fl. v. W. bedeutet, so muss man noch die Mittclbestimmung zu Hilfe nehmen: wenn 100 Mark 58 fl. ö. W. geben. Der Aufsatz ist nun fertig und folgt dann die Auflösung. VIl. Berechnung der Mniyen und Wertpapiere. 8. i.;n. Die Übungsstoffe dieses Abschnittes umfassen die Münzrechnung, die Be¬ rechnung der Wechsel, Staatspnpiere und Actien. Wenn auch diese Gegenstände 246 V. Abtheilung. eigentlich in die kaufmännische Arithmetik gehören, so muss doch einige Kenntnis derselben bei der gegenwärtigen Entwicklung des bürgerlichen Verkehrs als ein Gegenstand der allgemeinen Bildung auch für jene, die nicht dem kaufmännischen Stande angehören, angesehen werden. Selbstverständlich wird man sich hier auf das wesentlich Nothwendige beschränken müssen und den einzelnen Abtheitungen kurze theoretische Belehrungen vorausschicken, die den Schüler mit dem darin be¬ handelten Stoffe so weit bekannt machen, als es zum Verständnis der Aufgaben nöthig ist. Nur in gewöhnlichen Landschulen, welche auch anderweitig eine weise Beschränkung des Lehrstoffes verlangen, kann dieser Abschnitt gänzlich weggelassen werden. 1. Die Mmyrechmmg. 8. 189. Der allgemeine Wertmesser für die verschiedenen Güter ist das Geld. Das¬ selbe ist entweder gemünztes Metall oder Papiergeld, letzteres hat nur einen eingebildeten Wert, den es auch sofort verliert; wenn es nicht gegen gemünztes Metall eingewechselt werden kann. Münzen sind geprägte Metallstücke, die mit einer Inschrift, dem Wappen oder einem Stempel des Prügherrn versehen sind. Die Metalle, aus denen inan Münzen prägt, sind Gold, Silber und Kupfer; Gold und Silber werden jedoch, damit sie wegen ihrer Weichheit nicht zu schnell abgenützt werden, legiert, d. h. sie erhalten einen Zusatz von härteren Metallen, gewöhnlich von Kupfer. An einer Münze unterscheidet man 1. das Schrot, d. i. das ganze Gewicht derselben, 2. das Korn, d. i. das Gewicht des in der Münze ent¬ haltenen feinen Metalls, und 3. die Feinheit, d. i. das Verhältnis des Kornes zum Schrot. Die gesetzlichen Bestimmungen über das Gewicht und die Feinheit der Münzen in einem Lande bilden den Münzfuß oder die Währung. Münzen, welche nach dein festgesetzten Münzfüße eines Staates ausgeprägt sind, heißen Couramgeld; jene Münzen dagegen, welche die kleineren Unterschiede in Zahlun¬ gen auszugleichen bestimmt sind, nennt man Scheidemünzen. Als Mnnzgewicht dient in Österreich-Ungarn, Frankreich, Italien, in der Schweiz und in noch anderen Staaten das Kilogramm, in Deutschland das Pfund — 500 <7, in England und Nordamerika das Troypfund — 373'242 A, in Russland das Handelspfund — 409'512 ,/g löthigcs Silber d. i. in 16 Theilen derselben waren M/3 Theile feinen Silbers und 6V3 Theile Kupfer. Die kais. Ducatcn sind 23-/g Karat fein, d. i. unter 24 Theilen derselben sind 232/g Theile seinen Goldes. Die vorzüglichsten Silbermünzfuße sind: 1. Der Füufundvierzig-Guldenfuß oder die österreichische Währung; aus dem halben Kilogramm feinen Silbers werden 45 Gulden, fein, ge¬ prägt. —- Bis 1857 bestand in Österreich der Zwanzig-Guldenfnß oder Conventions-Münzfuß, nach welchem aus einer kölnischen Mark — 233'87 Gramm feinen Silbers 20 fl. Conventions-Münze L 60 Kreuzer geprägt wurden. 2. Der Frankenfuß (in Frankreich, Belgien, Italien und in der Schweiz), nach welchem aus 1 7.^/ Silber, das 0'9 fein ist, 200 Franken (Lire, Franken) geprägt werden. 3. Der Silberrubelfnß in Russland; die Feinheit ist si", das Korn eines Stückes 17'9961 A. Die wichtigsten Goldmünzen sind: 1. Die vsterr.-uug. Achtguldenstücke, von denen aus 1 iVam feinen Goldes 155 Stücke ausgeprägt werden. Nach Verhältnis werden auch Viergul¬ denstücke geprägt. 2. Die Zwanzigfraukstücke in Frankreich, Belgien und in der Schweiz, und die Zwauziglirestücke in Italien; sie sind gleich den österr. Achtgulden¬ stücken; ebenso stimmen die Zehnfrankstücke und Zehnlirestücke mit den österr. Vierguldenstücken überein. 3. Die kais. österr. Ducaten; 67 Stück wiegen eine kölnische Mark — 233'87 F und enthalten feines Gold. 4. Die deutschen Reichsgoldmünzen, und zwar Fünf-, Zehn- und Zwanzigmarkstücke; von den Zehnmarkstücken werden aus dem Pfund —500 I feinen Goldes 139^ ausgebracht. Die Feinheit ist iVov- 5. Die englischen Sovereigns (Pfund Sterling); 1 Sovereign ist s-H fein und hat 7'3223 A Korn. 6. Die russischen Halbimperalen mit sZ Feinheit und 5'9987 A Korn. Bei den Gold- und Silbermünzen wird ein dreifacher Wert unter¬ schieden: der innere Wert, d. i. der Wert des in der Münze enthaltenen feinen Metalls; der gesetzliche, d. i. der von der Regierung bestimmte Wert, zu dem 248 V. Abtheilung. sie im Lande allgemein angenommen werden soll; der Handelswert, auch Kurs¬ wert, d. i. der veränderliche Preis, welchen eine Münze im Handelsverkehre hat. Steht dieser veränderliche Preis, der Curs einer Münze höher, als der gesetzliche .Wert derselben, so heißt der Mehrbetrag das Agio. Sowie bei den Gold- und Silbermünzen wird die Feinheit und der innere Wert auch bei ungemünztem Golde und Silber bestimmt; nur bedient man sich dabei statt der Ausdrücke „Schrot" und „Korn" der Bezeichnungen Ranh- gewicht und Feingewicht. s.) Berechnung der Feinheit, des Kornes oder Schrotes der Münzen. 1. Die Feinheit wird durch einen Bruch ausgedrückt, dessen Zähler das Korn, dessen Nenner das Schrot ist. Soll die Feinheit die Bezeichnung Tausend- theile erhalten, so bringt man jenen Bruch auf den Nenner 1000, indem man Zähler und Nenner mit 1000 multiplieiert und dann durch den früheren Neuner dividiert. Z. B. Die englischen Goldmünzen sind fein; wie viel beträgt ihre Feinheit in Tausendtheilen? 11000 — 11000 : 12 _ 916Z 12 X 1000 — ' '1000 — 1000' Die englischen Goldmünzen sind also 916§ Tausendtheile fein. Der russische Silberrubel wiegt 20-7315 ) Berechnung der Münzen nach ihrem inneren Werte. Nach Verschiedenheit der Angaben des Münzfußes gestaltet sich auch die Lösung der hierher gehörigen Aufgaben verschieden. Ist der Wert einer Münze in ö. W. zn bestimmen, so ist es am einfachsten, zunächst den Wert eines Grammes feinen Silbers oder Goldes in ö. W. zu suchen, und daraus den Wert der betreffenden Silber- oder Goldmünze, nachdem ihr Korn in Gramm ausgedrückt wurde, durch die Multiplicatiou zu berechnen. Z. B. Wie viel ist 1 A feinen Silbers wert, da 45 fl. ö. W. 500 ); er wird jedoch thatsächlich immer nach der bequemeren Procentrechnnng von Hundert bestimmt, weil die sich ergebende Differenz mit Rücksicht auf die kurze Laufzeit der Wechsel sehr gering ist. Man berechnet daher den Diskont sowie die Zinsen auf Tage, und zwar vom Tage des Verkaufes bis zum Verfalltage, zählt jedoch den Kauftag oder deu Verfalltag nicht und rechnet jeden Monat zu fo viel Tagen, als er deren wirklich hat. Z. B. Ein Wechsel von 3456 fl., am 15. August fällig, wird am 23. Juni mit 5"^ Discont verkauft; wie groß ist u) der Discont, ll) der diskontierte Wert? Verkauftaa 23. Juni 3456 X 53 Verfalltag 15. August 10368 Juni 7 Tage 1728 0 Juli 31 ,, 183168 : 6000 Aug. 15 „ " 30-528 -l 6°/g 53 Disconttage — 5'088 ü 1°/^ Diskont 25'44 fl. ä, 5"/„ Wechselsumme 3456 fl. ab 5°/g Discont für 53 Tage 25 „ 44 kr. discontierter Wert 3430 fl. 56 kr. Ein Wechsel pr. 960 fl., zahlbar 31 Tage nach Sicht, acceptiert am 18. Juni, wird am 27. Juni mit 4"/» discontiert; wie viel nimmt man dafür ein? Accepttag 18. Juni Verfalltag 19. Juli Verkauftag 27. Juni Juni 3 Tage Wechselfumme 960 fl. 4"/o Disc, für 22 T. 2 „ 35 kr. discontiereer Wert 957 fl. 65 kr. Juli 19 „ "22 Tage Wechselrechiiung. 253 t>) Wechselreduction. Wechsel, welche auf die Währung eines fremden Handelsplatzes lauten, heißen ausländische Wechsel oder Devisen. Beim Ein- oder Verkaufe von Devisen muss nach einem gegebenen Wechselcurse der Betrag des fremden Geldes (die Wechselvaluta) in die eigene Währung oder umgekehrt umgerechnet werden. Diese Rechnung nennt man die Wechselreduction. Der Wechselkurs hängt von dem inneren Werte des fremden Geldbe¬ trages, von der Laufzeit des Wechsels, sowie von der Nachfrage und dem Anbote solcher Wechsel ab nnd bezieht sich immer auf zwei Geldwährungen, die des eigenen und die des fremden Handelsplatzes; es wird nämlich angegeben, dass für eine unveränderliche oder feste Summe der einen Valuta eine veränder¬ liche, bald größere, bald geringere Summe in der andern Valuta geleistet wird. An den österr. Börsen bilden immer 100 (für London 10) Einheiten des fremden Geldes die feste Valuta und gibt der notierte Curs an, wie viel fl. ö. W. Bank¬ valuta dafür gezahlt oder empfangen werden. Wenn z. B. der Curs auf Paris mit 47 notiert ist, so heißt dies: für 100 Franken zahlt man 47 fl. ö. W. in Banknoten. Die Wechselreduction wird meist nach der Procent- öder nach der Schluss¬ rechnung ausgeführt. Z. B- Ein Wiener hat in Amsterdam eine Zahlung von 2360 fl. holl, zu leisten; er will diese durch Übersendung eines Wechsels begleichen, den er zum Cnrse 98'50- einkauft; wie viel muss er für diesen Wechsel bezahlen? 2350 ä 98^ 188 80 2124 0 11 80 2384'60 fl. ö. W. Ein Wiener hat für seine Rechnung in Paris 2485 fl. o. W. zu fordern; welchen Betrag in Franken wird er trassieren, wenn der Curs auf Paris 47 steht? 47 st. ö. W. . . . 100 Franken i > a o s, „ ... ^7 „ 2485,,,,,, ... —— 5287-23 Franken. 3. Drrrchmmg der Effecten. 8- 141. Wenn ein Staat genöthigt ist, ein Anlehen anfzunehmen, so theilt er, damit sich daran auch kleinere Kapitalisten betheiligen können, die ganze Anlehens¬ summe in viele kleinere Beträge und stellt darüber den Darlehern Schuldner- 254 V. Abteilung. schreibnngen aus, welche Staatspapiere, auch Staatsobligationen oder öffentliche Foudspapiere heißen. Der Capitalsbetrag, auf welchen ein Staats¬ papier lautet, wird der Nominalwert desselben genannt. Die Staatspapiere sind entweder verzinsliche Obligationen, für welche in bestimmten Terminen die Zinsen nach einem bestimmten Zinsfüße, und zwar gewöhnlich gegen gedruckte Zinsanweisungen, Coupons, ausgezahlt werden, oder Lose, deren Erträgnis in bestimmten Gewinnsten besteht, die in festgesetzten Zie¬ hungen entfallen. Einige Lose gewähren außer der Möglichkeit, einen großen Gewinn zu machen, auch regelmäßige Zinsen. Für großartige Unternehmungen, welche sehr hohe Capitalien erfordern, z. B. Eisenbahnbauten, Creditcassen, Berg- und Hüttenwerke, bilden sich Gesell¬ schaften, welche das benöthigte Capital, in kleinere gleiche Theile vertheilt, von vielen Geldbesitzern aufnehmen. Die Urkunde, welche dem Geldgeber für jede ein¬ zelne Geldeinlage ausgestellt wird, nennt mm: eine Aetie, und die Gesellschaft selbst eine Actiengesellschaft. Das Erträgnis der Acticn, die Dividende, besteht entweder in bestimmten Zinsen oder ii: einem Antheile am Gewinne der Unternehmung, oder meistens in beiden zugleich. Die ordentliche Dividende gilt für die Zinsen:, die außerordentliche vertheilt den Mehrgewinn. Außer den Aetien werden von den Aetiengesellschaften häufig auch ver¬ zinsliche Schuldverschreibungen hinausgegeben, welche zwar zu keinen: Antheile an: Gewinne, dagegen zu dem Ansprüche auf die Zahlung der Zinsen noch vor den Aetien berechtigen und darum Prioritäts-Obligationen oder Prio¬ ritäten heißen. Schuldscheine, welche von Banken und Creditvereinen ausgestellt werden, und durch welche den: Inhaber für seine Forderung die darin ausgedrückte Hy- potheken-Sichcrheit geboten wird, heißen Pfandbriefe. Die Aetien, Prioritäten, Pfandbriefe und die öffentlichen Fonds werden nut den: gemeinschaftlichen Namen Effeeten bezeichnet. Die Effecten haben einen veränderlichen Wert, welcher Curs heißt und nicht bloß von dem Nominalwerte, sondern auch von der Höhe des Zinsfußes und des Gewinnes, von der Nachfrage und den: Anbote abhängt. Der Curs wird entweder in Procenten d. i. für lOO Einheiten des Nominalwertes, oder per Stück angrgeben. An den österreichischen Börsen werden die Curse in Gulden ö. W. Bankvaluta, und zwar bei sämmtlichen Aetien sowie bei Privatlosen pr. Stück, dagegen bei den Staatspapieren, Grnndentlastnngs-Obligationen, Pfandbriefen nnd den meisten Prioritäts-Obligationen für 100 fl. des Nominal¬ wertes notiert. Bein: Kaufe zinstragender Effecten müssen den: Verkäufer nebst dein Capi- talswerte auch die nicht behobenen Zinsen von: letzten Zinstermine bis zum Tage des Kaufes vergütet werden. Bei den Aetien ist die außerordentliche Divi- Effectenrechnung. 255 -ende in dein Curse niitbegriffen, die ordentliche Dividende aber ist als laufender Zins vom letzten Verfallstage bis zum Kauftage gleichfalls dem Verkäufer zu vergüten. Bei der Berechnung des Einkaufs- oder Verkaufswertes der Effecten verfährt man auf folgende Art: 1. Man bestimme den Kurswert der Effecten d. i. den Wert derselben mit Rücksicht auf den Curs. Ist der Curs in Procenten gegeben, so multipliciert man den Nominalwert mit dem Cnrse nnd dividiert das Product durch 100. Ist dagegen der Cnrs pr. Stück gegeben, so multipliciert man den Curs mit der Anzahl der Stücke. 2. Bei verzinslichen Effecten berechne man die Zinsen vom letzten Zins- termiue bis zum Kauftage und addiere sie zu dem früher gefundenen Kurs¬ werte. Der Monat wird dabei zu 30 Tagen angenommen und der Kauftag nicht mitgezählt. Die Zinsen der Effecten werden immer von dem Nominalwerte be¬ rechnet. Bezüglich der in Silber und Gold verzinslichen Effecten besteht an den österreichischen Börsen die Übung, dass die laufenden Zinsen in Papiergeld ohne Zuschlag des Agio berechnet werden. Z. B. Wie viel kosten 12 Stück Wiener Communallose ü 145^? 145z X 12 — 1749 fl. Am 28. September werden 1400 fl. einheitliche Staatsschuld in Noten zum Curse 85'80 gekauft; wie viel ist dafür zu zahlen? (Zinsen zu 41,0/0 seit 1. August.) 1400 fl. L 85'80 1201'20 fl. Zinsen seit 1. August, 57 Tage, u 4i"/o . 9'31 „ 121G51A) Siebenter Abschnitt. Angewandte Rechnungen mit Mrlchcht auf öefandere KerufsM'ige. Z. 148. Den Abschluss des Necheuunterrichtcs in der Volksschule bildet die Lösung von Aufgaben, welche sich auf besondere Berufszweige beziehen nnd daher nicht nach der Rechnungsmethode, sondern nach dem sachlichen Inhalte gruppenweise geordnet sind. Wenn zugegeben werden muss, dass bei der Wahl und Behandlung der Lehrstoffe in den oberen Klassen, welche die frühere Fortbildungsschule ver- 256 V. Abtheilung. treten, auch der muthmaßliche Beruf der Schüler in die Wagschale zu fallen hat, so folgt von selbst, dass auch der Nechenunterricht in diesen Massen für die Schüler um so fruchtbarer sein werde, je mehr er sich an den künftigen Beruf derselben anlehnt. Je mehr die eigentliche Fertigkeit im Rechnen zunimmt, desto mehr soll der zu berechnende Stoff in den Vordergrund treten, und schließlich soll er unter Berücksichtigung des Lebenskreises der Schüler der Faden sein, an welchem sich die einzelnen Aufgaben Schritt für Schritt anreihen. Es werden daher beim Rechenunterrichte des letzten Schuljahres in den Landschulen vorwiegend die länd¬ lichen Verhältnisse, in den Stadtschulen gewerbliche und kaufmännische, in Mädchen¬ schulen vorzüglich hauswirtschaftliche Aufgaben in's Auge zu fassen sein. Derartige Rechenübungen werden die Schüler zur Erkenntnis führen, wie vielseitig die Ver¬ hältnisse des Lebens find, die sich in den Kreis der Berechnung ziehen lassen, und wie vortheilhaft und nothwendig sich solche Rechnungen für jeden Berufszweig Herausstellen; sie werden den Anstoß geben, dass künftig auch der Dorfbewohner und Handwerker Dinge der Rechnung unterziehen wird, über die er bisher aus Mangel an Einsicht zu seinem Nachtheile nicht rechnen konnte. Indem die Schüler bei solchen angewandten Rechnungen die Verhältnisse ihrer Umgebung denkend beobachten und beurtheilen müssen, üben und schärfen sie zugleich ihre Verstandes¬ kraft und lernen, die gewonnene Kraft wieder im Leben anzuwenden. Die Rechen¬ übungen über besondere Berufszweige haben daher einen materialen und formalen Wert, indem sie bewirken, dass die Schüler nicht nur praktisch besser vorbereitet in's Leben treten, sondern auch in Bezug ans geistige Entwicklung einen höheren Standpunkt erreichen. Die Behandlung solcher Aufgaben ist dieselbe, wie die der angewandten Aufgaben überhaupt; die Ausrechnung bietet nichts Neues und bereitet keine Schwierigkeit, sobald die sachlichen Verhältnisse, auf deren Erklärung besondere Sorgfalt zu verwenden ist, richtig anfgefafst wurden. Es kann nur zweckförderlich sein, wenn die Schüler bei den einzelnen fachlich gegliederten Abtheilungen dieser Stufe auch einige Andeutungen über die bezügliche Buchführung erhalten. Damit sich der Kaufmann oder der Gewerbsmann über sein Geschäftsvermögen und die darin vorgehenden Veränderungen zu jeder Zeit eine klare Übersicht verschaffen könne, ist es unbedingt nothwendig, dass er in dazu bestimmten Büchern genau aufzeichne, worin das anfängliche Vermögen bestand, wie thener diese oder jene Ware eingekauft, zu welchem Preise dieselbe oder die daraus verfertigte Sache verkauft wurde, welche Kosten damit verbunden waren, wer ihm schuldig sei oder an ihn zu fordern habe, und wie viel und wann er die Zahlung zu empfangen oder zu leisten habe u. dgl. Ebenso wichtig ist es für den Landwirt, dass alles, was auf den Betrieb seiner Wirtschaft, auf die Vorrüthe, Arbeitskosten und Erzeugnisse Bezug hat, gehörig ausgeschrieben werde. Auch für jede Hausfrau empfiehlt sich die Führung eines Haushaltungs- Hnuswirischnftliche und landwirtschastliche Rechnungen. 257 buches, in das sie nicht mir die täglichen Ausgaben, svndern auch den Bestand der Einrichtung und Wäsche, den Abgang und Zuwachs derselben sorgfältig ein¬ tragt. Wenn es auch nicht Sache der Volksschule sein kann, ihren Schülern eine vollständige Lehre der Buchhaltung für jeden dieser Berufszweige vorzutragen, so geht es doch recht gut au, daraus einzelne Bruchstücke als Rechenbeispiele zu wühlen und an dieselben kurze Andeutungen über die Buchführung zu knüpfen. Es erübriget uns nur noch, zu den einzelnen hieher gehörigen Abtheilungen einige specielle Bemerkungen beizufttgen. I. Amlswirtschüftliche Rechnungen. 8- 14:;. Die denkende, auf Ersparnis bedachte Hausfrau wird über alles, was im Haushalt erforderlich ist, vergleichende Berechnungen anstellen, um zu sehen, wie groß der Bedarf ist, und wie derselbe am billigsten gedeckt werden kann. In dieser Richtung empfehlen sich für das letzte Schuljahr insbesondere: n) Allgemeine Aufgaben aus der Hauswirtschaft; d) Aufgaben über die Nahrungsmittel; o) Aufgaben über die Kleidung; ä) Aufgaben über die Beleuchtungs- und Brennmateralien; und o) Beispiele ans den Haushaltungsbüchern. Nebenher sind auch einfache Preisberechnungen, wie sie in jeder Hauswirt¬ schaft fast täglich Vorkommen, als Kopfrechnen recht fleißig zu üben. II. Kan-umtschaftliche Rechnungen. ß. 144. Die erweiterte Einsicht in das Wesen des Ackerbaues und der Viehzucht machen auch für den Landwirt eine Anwendung der Rechenkunst auf Gebiete noth- wendig, die ihm früher ferne lagen. Soll die landwirtschaftliche Production ge¬ hoben werden, so reicht dazu der regsame Körper, die starke und rührige Hand des Landmaunes allein nicht ans; der Landwirt muss, damit seine Thätigkeit lohnend werde, die Wirtschaft mit klarer Durchschauung aller ihrer Verhältnisse denkend und rechnend betreiben. An der Hand der Berechnung muss er be¬ züglich der Viehzucht die Nahrhaftigkeit der Futterstoffe, die darzureicheude Menge uud deren Erfolg für Milcherzeugung und Mästung, bezüglich der Feldwirtschaft den Bedarf an Dünger und Aussaat, die Leistungsfähigkeit der Arbeiter und Zng- thiere genau kennen; er muss sich au der Hand der Berechnung genau sagen können, wie hoch ihm 1 Liter Milch, 1 Kilogramm Rindfleisch, 1 Hektoliter Korn zu stehen kommt, welchen Reinertrag ein Hektar des bebauten Bodens liefert, u. dgl. Moönik, Aechenunterricht. 5. Auf!. 17 258 V. Abtheilung. Die gewöhnliche Landschule kann es erreichen, dass derartige Berechnungen selbst von dein Landmanne, der keine weitere Bildungsanstalt besucht, angestellt werden können, wenn sie schon ihre Schüler darin übt. Dies kann durch folgende Rechnungs¬ übungen erreicht werden: a) Allgemeine Aufgaben aus der Landwirtschaft; b) Aufgaben über die verschiedenen Futterstoffe; e) Aufgaben über den Fntterbcdarf und die Nutzbarkeit des Rindes; ll) Aufgaben über die Fütterung undNutzbarkeit der Pferde, Schweine nnd Schafe- s) Aufgaben über die Streu- und Düngermenge; k) Aufgaben über den Wiesen- und Ackerbau; §) Beispiele aus der Buchführung des Landwirtes. Diese Aufgaben werden dem Lehrer auch Anlass zu mancherlei lehrreichen Bemerkungen über den rationellen Betrieb der Landwirtschaft bieten. HI. Gewerbliche Rechnungen. 8- 143. Unsere Zeit, in welcher sich die industrielle Thätigkeit so großartig entfaltet, stellt an den Gewerbsmaun, insbesondere auch in Beziehung auf das Rechnungs¬ wesen, viel höhere Anforderungen, als sie früher waren. Es genügt nicht mehr, dass derselbe nur Conti oder Rechnungen zu fertigen wisse. Will er den Preis seiner Erzeugnisse so bestimmen, dass er bei dem Verkaufe seinen bürgerlichen Gewinn und sein Auskommen findet, ohne die Abnehmer zu überhalten, so muss er gar vieles in den Kreis seiner Berechnung ziehen; er muss den Preis der Rohstoffe, die Frachtauslagen, die Zinsen des in den Waren und in der Ein¬ richtung der Werkstätte steckenden Capitals, die Ausgaben für die Beleuchtung und Beheizung, den Lohn für die Gesellen, wie auch seine eigene Arbeit in Anschlag bringen. Einfachere Calculationen dieser Art, wie die folgenden, werden in der obersten Classe der Volksschule für Schüler, die sich dem gewerblichen Berufe widmen wollen, einen sehr zweckmäßigen Übungsstoff bilden. a) Allgemeine Aufgaben aus dem Gewerbsleben; Aufgaben aus dem Geschäftskreise nachbenanuter Gewerbsleute: b) Müller, Bäcker, Zuckerbäcker, Branntweinbrenner, Wirte; o) Fleischhauer, Seifensieder, Gerber, Schuhmacher, Kürschner, Handschuh¬ macher, Bürstenbinder, Hutmacher; cl) Weber, Färber, Tuchmacher, Schneider, Kappenmacher, Seiler; a) Buchbinder; k) Drechsler, Tischler, Wagner, Glaser, Zimmermann, Maurermeister, Steinmetz; Z) Schlosser, Schmied, Kupferschmied, Messerschmied, Klempner, Gelbgießer und Silberarbeiter; ü) Schließlich einige Beispiele aus der gewerblichen Buchführung. Kaufmännische Rechnungen. 529 IV. Kaufmännische Rechnungen. 146. Für die kaufmännischen Geschäfte haben sich unter dem Namen der „kauf¬ männischen Arithmetik" besondere Rechnungsweisen herausgebildet, die sich mit¬ unter ganz einfach, manchmal aber auch sehr zusammengesetzt gestalten. Dieses specifisch kaüfmannännische Rechnen gehört selbstverständlich nicht in die Volks¬ schule, sondern muss den Handelsschulen überlassen bleiben. In den Volksschulen der Städte und Märkte kann es sich nur darum handeln, den Schulern durch Lösung leichterer, hieher gehöriger Aufgaben zu zeigen, wie sie die gewonnene Rechenfertigkeit auch auf diesem Gebiete verwerten können, und sie dadurch für den späteren kaufmännischen Beruf anzuregen und vorznbereiten. Wahrend dabei die Übuugsstoffe aus dem kaufmännischen Leben hergenommen werden, gelangen bei der Auflösung nur bereits bekannte Rechnungen zur Wiederholung. Die hieher gehörigen Übungen können nach folgenden Gruppen geordnet werden. и) Allgemeine Aufgaben aus dem kaufmännischen Leben; b) Wiederholungsaufgaben über Tara, Seouto, Sensarie und Provision; o) Aufgaben über Gewinn und Verlust; ä) Einfache Aufgaben über Münzen, Wechsel, Staatspapiere und Actien; s) Kaufmännische Anwendungen der Gesellschasts-, Mischnngs- und Ketten¬ rechnung. к) Leichtere Einkaufs- und Verkaufsrechnungen; ss) Beispiele aus der kaufmännischen Buchführung. SSI SOI IMKOVUft IH SIIIVSI?II7S7dI6 x^Iirnic» s SSSSS432SL6