Im Vorlago von IZ. V. XlkiililM L kkä. LmberZ in IMäed sind
von domsolbou Vorfassor orsobionou:

Oestinnnnng äer 2eit, äes IVleriäians nnä. der geograpd.
Breite eines Ortes, Bestinnnnng absolnter Höllen und
der Oeodnation der Oestirne. Xaok tboilwoiso neuen ver¬
besserten Notbodou und Wormeln, gr. 8°. 80 Zeiten. Nit einer Ztein-
tafol. 1878. ti. 1,—^N. 2,—

I4ene IVletdode Mr eile Bereodnnng der Können- nnd IVlond-
xarallaxe aus kle-netenvornbergLngen nnd Lonnenünster-
nissen. gr. 8°. 28 Zeiten. 1879. II. —,50 — N. 1,—

Beiträge 2ur xradtisoden ^.stronoinie. gr. 8°. 40 Seiten. 1880.

6. —,80 --- N. 1,60.

In domsolbou Vorlage sind ferner ersobienen:

OnniM August, Oie Habsburger nnd idr wirken in Lraün
1282 bis 1882. Lostsebrill ^ur Leier des seebsbuudertMbrigeu
lubiläums der Vereinigung Kraius mit Oesterreieb. blerausgogobou
von dem Icraiuisebeu bandesaussebusse. 86 Zeiten, Loieb illustriert
mit Initialen u. Landnoiebuuugen. gr. 4". 1883. II. 4, — — N. 8, —

Le68b3.ed.6r Or. Briedriod, Lrain nnd seins öüentiiod.s Qe-
sunddeit mit besonderer Ilerüeksiebtigung des .labros 1881.
lderuusgegeiien vom k. k. bandos-Zanitätsratbe für Krain. 30 Logen
gr. 4°. Nit 20 litkograpbiorten Loilagou und einer Zauitätskarle
von  Kram.  1883. II.  8, —  —  N.  16, —

Lanidaber Bdward, Bresirenklänge. 90 Zeiten 8°.

6. 1,— N. 2,—

Lranr: breZiren, der grösste slovsniscks Lyriker, (ton bsutseksn Kisker
tast unbekannt, wird durck diese trslflicks litsrarisok-poetiseks Arbeit in freien
bekertragungen ausgswäklter, Lieder und Lonstte in dis dsutsoks Literatur sin-
getübrt. Lin kleines Lpos, «Oertomir», im krssirsn'seksn 6siste ist dem 8üek-
lein keigsAtzben.

8a.nid.3ber Oäwarä, Maitder von äer VoZeiweiäs. 8'/,, LZ.
8°, eleg. brosebiert. 6. 1,30 — N. 2,60.

bas buok, Herrn br. Viotor von SokeKel ^uZesignst, knnZt in elegantester
äusserer Ausstattung eins ltuswalü aus den Liedern und Lprüeken ^Valtkers
von der Vogsl^veids in moderner lllsugsstaltung und verdickt sie in ein Leksns-
kild des bickters. bas buck ksriweckt, den mittslaltsrlicken bicktsr in klarer
und ansckauliekstsr Weiss den weitesten Kreisen bekannt z.u macken.

^6110 6XA6t6 Mtztlioäo

kllr äis

WMDD«' ts !!Il! !i»!Ik!s'

Qkdst tzinsr QSU6N 8törunZ8tIi60ri6.

Von

N. V0ÜU86L,

Druck unä VsrluA von tz. v. Llsimnn^r L Deä. DumberA.

1883.

^.Ile vol-delialten.

Vorrsäs.

In äitz86m ^Verke, veleböL ibn änreb beinabe ärei äabre in
stzinsn freien Ltunäen knst au8sebli688lieb ke8obäftiZte, bringt 6er
Verfa88sr eins änreban8 neue, nnä ^var riebtiZe OÖ8NNZ ä68 ^iemlieb
eebvieriZen ?roblem8 äer Oabnb68timmnnß äerOIaneten nnä Kometen;
er nennt 61686 86IN6 lVIetboäe exaet, veil 8is ank 80 einkaeber nnä
8oliäer KrunälaZe rubt, äa88 8i6 ern8tlieb volil nie anZekoebten in
6er bleibe 6er bereit8 teÄÄebenäen Vabrbeiten ein veitere8 Olieä
biläen virä. Iin abZemeinen genüZe ?u 8aZen, äa88 nielit allein äie
^nklö8UnZ 6er ZOZenannten KunäamentalZleiebnnZen, äie 6er Oentral-
bevsZunZ überbauet eiZen 8inä, 8onäern aneb äie OeetimmnnZ 6er
äarin vorkommenäen Orsitz6kverbältni88s 8ovobl bei Olaneten al8
aneb bei Kometen eine 8kbr einkaebe nnä elegante 6s8talt nnZe-
nommen bat, nn6 in äieeer riebtiZen Le-ZtiminunZ äer Oreieelrverbält-
M886 lieZt banx>t8äeblieb 6er Kortbebritt ^n 6en biisberiMN Netbo6en,
bei äenen 8ieb ^vibeben LeobsebtnnZ nnä KeebnunZ bebannllieb
immer ein nnerquieblieber blnt6r86kiecl berau88t6llte nnä anek berau8-
8tellen mn88te. Oie Lnla^Meit äer Krsi8b^potbe86 bei Olaneten nnä
cler l'arabslb^potbe86 bei Kometen ersebeint äurob einen kleinen
Knn8tZriss äer k68tb68tjmmunZ bei eonverzenlen bleiben biniänZIieb
keZrnnclet.

Ma8 man bei clen bi8b6rigen im ZrO88en nnä Zangen von 0au88
berrnbrenclen Netkoäen 8ebver vermi88t bat, var eine 8trenZe Oon--'
trole 6er OeobaebtunZen 86lk8t, ob 8ie nämlieb unter sinancler 8timmen
oäer niebt; äenn obne eine 8olebe reebnet man auk Zut Olnek nnä
VSI88 am blnäe niebt, vie viel Xntrauen man äen bereebnetsn Oabn-
elementen eebenken äark. Oer Verlader bat äie8em blebeOtanäe
adZebolken nnä eine Oontrole A68obalfen, äeren Lebärle äje Oeob-

IV

aobtungen okl kaum vertragen werden; dafür fallen die Netbode der
kleinsten Quadrate, Variation der konstanten u. s. w. als überflüssige
Lurrogate bier gan^ weg, denn es ist einleuobtend, dass eine aus
wenigen guten öeobaobtungen vermittelst einer riobtigen Netbode
durokgelübrte Oaknbestimmung mebr leisten muss, als allo anderen
seoundären Mksmittel irusammengenommen, wenn ibnen die riebtige
Oasis leblt.

Oegsnüber den beträobtlioben Lobwankungen, die den bisberigen
Netboden anbaften, war der Verfasser bemübt, eine siobsre kübrung
in alle Ltadien der Oeebnung ^u bringen; wie weit itnn dies gelungen
ist, mag der geneigte lasser selbst beurtbeilen.

i^n die Ltelle des von Olbers angegebenen Verbältnisses ^wiseben
riwei Oistanrien eines Kometen von 6er krde tritt bier ein anderes,
der Mabrbeit bedeutend näber kommendes ein.

Oer fünfte Lbsobnitt bsbandelt den speoiellen Pall 6er krd-
und Nondbabnellipse. 80 sebr nun auob diese keinen Oabnen von
Oeverrier, Hansen u. a. genau erkorsebt sind, die kisber angenom¬
menen Klemente derselben werden auk Krund der bier entwickelten
Netbode einer Verbesserung käbig sein, wie es denn aueb binlängliob
bekannt ist, dass die von lkanssn aukgestellten Nondbabnelemente,
dis besten, die wir besitzen, noob etwas ?u wünseben übrig lassen;
aber aueb die beverrier'sebsn Lonnentakeln werden gewiss noob
einer Vervollkommnung bedürken.

Oer seobste ^ksobnitt endliob besobäktigt sieb mit den Störun¬
gen, dem sogenannten Problem der drei Körper; es ist dies eine seit
kewton ber okt versnobte, aber trot? der Oemübungen der bedeutend¬
sten Natbeinatiker noeb immer niobt in befriedigender Meise gelöste
Aufgabe. Von den Orineipien der Intlnitesimal-Keobnung ansgebend,
greift der Verfasser das Problem von riwei Leiten an und entwickelt
so die Störungen niobt nur in den klementen der Palm, sondern
auob in den versobiedenen Koordinaten eines einzelnen Ortes; dabei
kommt er auf eine merkwürdige, seines Missens neue, aber binläng-
liob motivierte Integrationsmetbode. Oie meebanisoben (Quadraturen,
auk die man überall gelübrt wird, verursaoben keine allriugrosse
Nübe. Oie einkaobe und stets durobsiobtige Ableitung der betretkenden.
koi'meln verleibt der bier aufgestellten Ltörungstbeorie das Oepräge
der inneren Mabrbeit.

Ls Mrmoüt Ü6M VLrknsssr 2U besonderer Lreude, dass dieses
sein IVerlceben das Liebt der ^elt erbliebt in einem dnbre, in ^velebem
Lrnin seine KOOjübri^e ^nZeköriAeit imm blnuse UnbsburZ feiert; er
legt es dnber an den Mar des Lsnäss äon kLksu, vslolis

<^Ä886lbtz clem K0I16N H6rr86k6i'k^u86 bi'inZL In Lnbstrnelit ässson, 6^88
clissö Lolirikt einbn K668ut6nätzn Lorkekritt in äer Astronomie, «äor'
LöniZin ci6r ^Vissensokaktsn», be^eioknsn soll, ^virä ilrm äiesö iässlls
V/iämnnZ nielit kür üdel Zsnommsn Amräsn.

l-,sids6k, im Fnni 1883.

Dor Vsrlasssr.

InIiÄltLÄHMds.

I.  Vbsvlinill. Ds^iskungsn kinsiektliok sinss sin^slnsn Ortes 1

1. Lpkäriseks Ds^iskungsn. — 2. Esoktwinkligs Ooordinatsn; Vsr-
wandlung dsr kslioesntriseksn Eängs und Drsits in gsoosntriseke, und
uingskskrt; Verwandlung dsr Distanzen.— 3. Dis rsektwinkligsn Ooor-
dinatsn, ausgsdrllekt durek dis polarsn. — 4. Dräesssion.

II.  Vbssluiitt. Newtons und Esplsrs Osset^s. Dsrseknung eines
einzelnen Ortes aus bekannten Elsrnsntsn. 14

1. Oer doppelte Lusdruek kör das Lsetorslsinsnt. — 2. Olsiokung der
Edsns. — 3. Ossst^s der Dswsgung, Newtons Drineipisn. — 4. Kis 7. Eep-
lers Ossst^s. — 8. Dsrscknung der wakren Anomalie. — 8. Dsrseknung
des bslioesntriseksn und geoesntriseksn Ortes. — 10. Daknslslnsnts. —
11. Verwandlung der Dünge und Drsite in Esetasssnsion und Dseli-
nation. —12. Oie Dsrseknung vsrglieksn rnit der Eeokaektung; karallaxs.

III. Vbseknitl. Daknbsstiininung aus drei Dsobaoktungsn. ... 45

I. Oorrsetionsn, dis inan an dis Dsobaektungsn anrukringsn Kat. —

2.  Oie Olsiekung der Laknebsns, ausgedrüekt durek dis vsrsekisdsnsn
Ooordinatsn drsisr Orts; dis Ero^setiovsdrsiseks der drsi Ooordinatsn-
sksnsn; Lklsitung der drsi Eundainsntalglsickuogsn. — 3. Luklösung
dsr drei Eundarnsntalglsiekungsn. — 4. Diskussion dsr gekundsnsn klus-
drüeks kür x-". — 5. Drskung dsr Ooordinatsnaekssn; Wakl sinsr
bslisbigsn Eundarasntalsbsns. — 6. und 7. Lsstiininung dsr Dreieck -
vsrkältnisss rr: »': rr" bei Dlanstsn. — 8. Dsrscknung dsr Elements sinsr
DIanstsnkakn. — 9. Dsispisl sOsrss). — 10. Dsstimmung dsr Drsisck-
vsrkältnisss -r - -r': -r" bei Eometsn. — 11. Dsreeknung dsr lklsmsnts
sinsr Koinstsnbakn. — 12. Dsispisl (Noinst I., 1847). — 13. Dis Noinstsn-
kaknsn sind ausnakrnslos Lllipssn; Lekwsikdildung bei lioinstsv.

IV. ^.bsolililtt. Daknksstiininung aus vier Deokaektungsn .... 123

^uklösung dsr Dundamsntalglsiekungen; Dildung der Drsisekvsrkält-
nisss; Dsispisl sVssta); Zweite lkorin dsr Dinalglsiekungsn; Drauekkarksit
disssr Nstkods kür Nometsnkaknsn.

V. ^.bselinitt. Dis Ellipse dsr Erd- und Aondbakn.136

VI. ^.bsvlulitt. Etörungsn (krodlsin dsr drei Nörpsr) .141

1. Ableitung der Ltöruogsglsiekung. — 2. Ltörungen in den Dakn-
slsnisntsn. — 3. Ltörungen in den Ooordinatsn eines einzelnen Ortes.

LsrieMiAUNASn.

8sits 28, 2slls

» 30, »

» 64, »

» 65, »

» 72, »

101, »

» 103, »

11 voll obe» liss — L"(1 -j- »r)^>

4 » ulltsll » L — —

"j/l M

3 » » » srn ^7' — 6"

11 » ulltoll tilZs clg.8 IVort «LnmsrkunA».

17 kis 29 ist M tilzsli; illL» kanu ntiillliok clis Lsrsekiiung von
r°o, s»', ^o" lULkt urnAsksn, veil äisss Hrösss» 2ur
Liläuriß äsr lläokstsll karlldslk^potksss iirrumgävAlick
irotkvsiLcliZ sinä.

8 voll lllltsll lies : co«

» 104,

» 105,

» 124,

» 4 »

» 15 »

» 18 »

oko« » »o — V n")^/2 eos s»r
ulltsll tilZs äks IVoil «^vvsits»,
oksll liss — r-'i-"'s»r («'" — »')

I.

kerieliungen kin8iektlieli ein68 einrelnkn 0i-tk8.

1.

Mir mnokon im vorhinein äio Vornu886^unZ, äoron kmktiZ-
ksit 8pLtsr I>6vvi686N woräen wird, dn88 dio Lbonon dor 1'Iimolcm-
nnd Kom6i6nknlm6n dureli don Nitielpunlrt dor 8onn6 Zelion; 68
8t6Ü6 NN8 nun k'ig. I di6 HimmokkuMl vor, in doron Mittelpunkt /9
8iolr cii6 8onn6 döfincioi unä 68 861 6m üibono 6or Lr6bnkn,

^8 I-

-KD 6io kbens oiner Klnrmlnn- 066r Komolsnkkl^n, v-olelie koi^on
UK6N6N nl80 6urolr 6on NiUoipnnkl 6or 80mm Aoken unä 6io wir
nn8 nned nllsn 86Ü6N kin in8 Ilnoncilieiio orwoitori äoniren künimn.
In ,j6<!6r 6i686r doi^on kbonon äsnkon wir NN8 nu8 6om Nittol-

1

2

punkte K mit einem gleieben Kadius von beliebiger bange einen
Kreis desebrieben, welobe beiden Kreise demnaob als grösste Kugel-
kreiss angeseben werben können.

Im Kreise 6K^l<7?5 bewege 8ieb die Kirbe in 6er biebtung
7', 7", 7'"^ im Kreise der Himmelskörper in der Ilieblung

7) 7", 7"'/ indem wir annebmen, dass 8iob lllrde und Himmelskörper
in Kreisen bewegen, lassen wir un8 eigentlieb eine flnriebtigkeit
zusekulden kommen, nber dn 68 sieb vorläufig nur um Minkel-
abstände und kiobtungen, niebt über um lineare butkernungen
bandelt, 80 ist diese Unnabme g68tattet und unsere Aufgabe er8okeint
bier in den bereieb der spbärisoben Trigonometrie gerückt.

Menn wir demnaob 8agen, die Klrde befinde sieb in 7', oder
der biinmelskörper stebe in 7) 80 wollen wir damit nur die bieb-
tungsn,8'7' und K7' bszeiebnen, die eigentliebe babneurve, dis bllipse,
MÜ886N wir UN8 in den zwei bbenen innerbalb oder au88erbalb der
beiden Kreise gezogen denken. Mir werden demnaeb ganz eorreet
spreeben, wenn wir Lagen, die brde Liebe in der kiebtung ,8'7', der
lliinmelskörper befinde 8ieb in der kiobtung ,8'71 Mir bemerken «lies,
um kalsebe Vorstellungen und Ounkelbeiten, die beim Anfänger in
der binsiebt leiebt entsteben, gleieb von vornberein zu beseitigen.

In dem in der brdbabnebene liegenden Kreise, weleber aueb
bkbptik genannt wird, sei 7b der lbrüblingspunkt, d. i. derjenige
bunki , in welebem der mit dem krdiüpiator eoneentrisebe blimmels-
äcjuator die bkbptik Lebneidet; 7b i8t der Anfangspunkt der Gablung,
denn von ibm aus werden auk dem /Vslpiator (der aber in der bigur
niebt ersiebtlieb ist) dis beetaseensionen und auk der bkbptik die
bangen gezäblt, und /war von 0" bis 360°. bs sei ferner derjenige
bunkt, in welobem der Himmelskörper bei seinem bebertritte aus
der südlieben blemispbäre in die nördliebe die bkbptik sebneidet, so ist
7bK die bange des aufsteigenden Knotens, welobe Orösse
man Kur/ mit K bezeiobnet; rückwärts ist, U der niedersteigende
Knoten und liegt also von K um 180° auseinander. 8tekt nun 1715
senkreebt auk der (leraden 0'6', so ist K6' — K7) — 90°, und es gibt
der Minkei OM, weleber gleieb ist dem spbäriseben Minkei b'K/t,
die bleigung der babnebene des Himmelskörpers gegen die bkbptik-
ekene an; dieser Minkei wird bleigung der babn genannt und
mit r bezeiobnet. lbireb die bange des aufsteigenden Knotens und
Neigung der babn ist die bage der babnekene des Himmelskörpers
in bezug auf die bkbptik, deren bkene wir als bundanmntalebene
annebmen, vollkommen bestimmt.

3

^Vir nelunen nun an, Zer I4iinmsl8korpsr (Klauet oZsr Körnst)
kelinZe 8iolr in l' unci 68 ssi 7r cler^eniZs ?unkt in 86iner lZalm, in
velelrsm Zer86lde Zer 8onne am nüolrstsn ?u 8telrsn kommt (Osriliel)
unZ von vrelelrem uns Zie clrei Anomalien (valrre mittlere
6xo6ntri8olr6 4l) geriälrlt verZsn, 80 Zibt, vrenn l"K — l'K anZe-
nommen vurZ, 6u8 8tüek 4^'^r Zis KänAg 608 ?eriliel8 an: man
ke^sielrnst äi686 6rÖ88S kur^ mit 7r. Dann i8t rrl'— Zis valrre
^nomalis, v Zis KänZs in Zer Kalin. Wenn nun

Zsn Kol Zsr Kkliptik vor8tsllt unZ lklk4 86nkrselrt auk l"K^4 stelrt,
80 i8t 4l^4 — k Zis Iisiio66ntri86lrs Imn^e unZ ll-4 —ö Zis kslio-
osntri8sirs Kreite Z68 Ortö8 l) vo Zer 44immel8körpsr 8ielr eden
dsfrnZst; Zis86 6rÖ88SN verZsn lrelio66ntri86lr Zsnannt, Mgil ^vir Zsn
IVlittelpunkt Zsr 8onns ak Nittslpunkt Zer KuZel anMnommsn Iraben;
/ virZ von 0° bi8 360°, ö von 0" ln8 90° ZWälrlt. — l)a8 8tüek
Krrl'— -)-V — K Irsi88t LrZument Zsr Kršite unZ virZ mit

A bs^sisknst, 80 Za88 8tst8 i8t

— 7r-)-V — K,.1)

Ois Mittlers Anomalie KsZsutst einen Winkel oZer auelr
KrsisdoZen, cler vom Mmmslskörpsr in sbenZer^slbeu 2eit al8
aber mit mittlerer Oeselr^viuZiZksit ^urüokZeleZt MirZ. lZe^eielrnst man
nämlielr mit kl Zie Hmlauk8Mit sin68 Olaneten oZer Kometen um
Zie 8onne, Za8 i8t Zis ^sit, in ^'slelrsr Zsr86lbe einen OnMN von
360° l)68olireibt, unZ mit ^r Zie mittlere (täZIielie) 068oIi«inZiAksit,
80 i8t

360°
k--- -^

8inZ «sit Zem ^uZenklioke, al8 Zer Kimmslskörper im Kerilrel,
cl. i. im l'uukte ?r, 8tancl, k ltaZs verslo88en, 80 i8t Zie mittlere
Anomalie

— j«k

8ovie 7r-)-« Zis ^vairre OänZe, 80 lrei88t Zie mitt¬

lere KänZe Zs8 HimmelLkörpers in 8siner Oalrn. 4Vu8 Zem bei vl
reelrtvvinkliFen 8plräri8elren Oreieeke 4^4K, in wslolrsm Kl'—
K^4 — / — K, ^44) — ö i8t, kolZt

00« ö ess (k — K) — cos rr 'i

ros ö SM (k — K) — SM cos / ! . 2)

SM ö — SM « SM r l


Die kiobtnng der Lewegung
i8t in b'ig. 1 dureb die keiben-
folge der Luokstaksn
nngedeutet. Oei di68ör ^rt von
Oewegung, welebe die reebt-
läniige genannt wird, waeb8en
mit den belio66ntri8oben bängen
aneb 8ämmtiiebe Anomalien, da-
bei i8t r<90°. IÜ8 gilit akernoeb
eins nnclere OewegungLriebtung,
die rüeiriäuüge oder retrograde,
welebe bäubg die Kometen ein-
8ebIgg6N UN6 bei welober die
belioeentri^ben Idingen -:war
aueb waeb86N, die /Vnomaben

alier aknebmen, clabei i8t r 90", 8ieb l?ig. 2. l!ei beiderlei l!e-
wegung8riebtung 18t im I 'eribel oder im Punkts die wabrs ^no-
malie r — 0, 360'0 witluen«! aber bei reebtläuüger biewegung v von
0° an xunimm l , gebt bei rüekläullger Ilewegnng « von 36'0" an
^urüob, und 80 i8t 68 aueb mit den anderen xwei Anomalien.

2.

Um aueb die blntkernungen ^wi8eb6n ?Inn6t, 8onns unci iO-cio
in koebnunZ i^u krinMN, 80 benbsn wir un8 im knuins ein roebt-
vviubÜZ68 (ioortliuutk!N8V8t6m, mit ä6886N Anfänge oäer IIr8prunZ6
6or Nittslpunkt äsr Lonne 2U8NmmenMIt; äie pO8itive -r-^eb86 8ei
nneb 6em bunbte oäer 6em b'rüblinMpunkte, äie x>08itive </-^ob86
nnod einem bnnbte Zeriebtet, <>6886n bsboeentriZobe bänZe 90" be-
iritZt nnä 6er in äer Lkliptikebene iieZt; ännn Zebt noibwenäiAer-
wei80 äie L-^nb86 äureb äen i 'ol cler Mliptik, ä. i. änreb den I'nnbt />>/
68 Allt »>80 äie rn/ - bbene mit der bibsne der kibliplik, nn8srer
b'undnmentnlebene, /?u8nmmen, 8ind nnn s die reebtwinkiiMn
bioordinnten de8 wnbren Ort68 im I bmumbrmimc: und 8eine knt-
ternunA vom Or8prunZe, d. i. vom Nittelpnnbte der Lonne, 80 bnden
Iiebnnntlieb folgende Oe^ielmnZen 8tntt:

,-r — -'msöcos/, -/ — rcosösM^,

-j-

L — rs/-r/-,

Wenn wir durob den Uittelpunbt der lerde ub blr8prung nnn
ebenbdl8 ein dem vorigen pnrnlle!e8 reeldwinl<bg68 ^eIi86N8^8>em

5

ItzMN, mit. it, /S, 6is A6066ntri86k6 I^ÜNM, 8r6ik6 nn6 Vi8knn2
668 Nitk6ipuniLt68 668 Ikimm6l8körp6r8 vom Nitkolpunlrto 6or Iür66
nn6 mit L 6io roolrtMiniriiZon Loorüinnlon 668 0rt68 Z' t>6-
Aomlmsn, 80 Iinbon Mir nnnIoZ

§ — cos /? ess ess /? SM SM /?

8in6 kornor Zi, Z^, L 6i6 Z6066ntri8oÜ6 I^änZo, Lreito nn6
s)i8tan^ 668 Mttk6prmtto8 6or 8onno vom Nittolpunkto 6or Iür66,
(IrÖ886n, Mio mnn 8M in 6on LpÜ6M6i'i66n kür ^o6oll 668 Znlrr68
nnZ6Z6d6N km66t, I", 6i6 r6oütMinkiiMN 6oor6innt6n 668 Zloielr-

r;6itiA6Q 8onn6nork68, 80 i8t Mi66or

Zt' — Z' css Zi ess Z>, I' — K ess /k SM Z>, — L sur Z>

Da 6io Lroiton 66r 8onn6 kaum 6on 'Work oinor 6oZ6N866un66
orroioüon, 80 knnn man nuelr 8NMn:

W Zit ess Zi, — Zit SM Z>, — 0

VormöZo 668 k^nrnllolismus 6or koiüon Loor6inak6ii8^8t6M6
ist ab6r

6c6mr

a?— L — — s — L

essZess / — s? — ess ess — Z? es« Z/
/' eSS Z SM eSS /Z SM /t Z? SM Z>

SM Z — L — SM /?

. . . . 1«)

Umi 86t^t ZOMÖülllieli ess /? — § Mi6 N6nnk 6i686 0rÖ886 6ic:
6urti6rt6 Oi8tar>^ 668 Himm6l8körp6r8 von 6or iiir66; 6Ü6li80 vir6
--essZ 6io 6urli6rt6 Oistanri 668 kkimmokkörpors von 6or 8onno Z6-
mumt; 68 8in6 nbor un6 --essZ 6io nnk 6io Lkliptikobono pro^i-
6i6rt6n vviriilielmn Oisknn^on. 6i686r Lo^oioümmMMoiso i8t 6nnn

ess Z ess / — lv — ess /t — ess Zv
/- ess Z si-r / — — j, si/r ü. — Zö SM Z^

-- SM Z — s — /9

. . . . , 1/?)

,.'2 — 2L^ ess(L — (-^S60-,S . . 2)

8o Imbon Mir L nnk 6or linlron 86it6 6nroü 6io iiolioson-
triseüon, Lvk 6or rooüten 6nroü 6io Z6066Ntri86Ü6n ?olcu'6oor6ing.t6n
nu8Z66rü6kt. Vormiktokt 6i686r (kleioüunZon Imnn man 6io K6Ü066N-
tri86Ü6n k^ünMn, 8r6Ü6n un6 vi8tnn^6N in Z6O66ntri80k6 vorMnnüoin
un6 UMZ6k6iirt; nm ndor 66N86IÜ6N 6in6 kür 6i6 K66ÜNUNZ koqn.6M6

6

k'orm 2U ^ken, multiplioieren wir in 1/?) clie erste 2eile mit sr>r/,
ciig zwei in uni ros// vermittelst 6ubtruotion wirci kann

sr-r — /) — ^? sr-r (// — /) . 3«)

Nnltiplieieren wir kinZeZen clie erste Zeile mit ros/, üie Zweite
mit sr-r/, so kommt vermittelst ^clclition

-- ros 6 — j- ros — /) — ros — /) . 3/))

Nuekt man ebendieselben Operationen mit sr'-r-l und eos/l,
so erkält inan

-- co« ö sr-r — /) — L sr-r (/,---.) . 3^)

— -- ros ö ros — /) -)- ^? ros (-K — it).36)

Moon /nietet noek mit s6r /> und ros /> uuk dieselbe Wo iso
verkukren wird^

r ros ö sr-r (I/ — /) — ^ .3e)

L ros — ^.) — -' ros ö ros (/, — /).3e)

Diese seeks OleiekunZen ergeben siek aus 1/?), unsekeinsncl
sind os 20 viels, aber wir werden seken, dass eine .jede von iknen
ikre DedeutunZ Kot und dass wir niekt 2U viel entwickelt Kaken.
Dekanntlioli ist es kür die DsreoknunZ öinss Winkels nntsr nlion klm-
stünäEN MN A6rntti6N8t6n, 36NS6IK6N rlurok äis^nnMnto nus2u6rüok6n
6tzNN 68 86i kür 6in nnü 66N861Ü6N ^Vinkbl L-

— SM — ros A?

so koIZt vormittolst Ditkersntintion

— ros a: cüz:, — — SM n ÄZ,'^

VVonn wir «/', «/" nm oinon Zioioiren kkotrnZ önüern, so 6nss
ci-/ — so mnss in .j6<iom Ü6r (iroi k'üllo oinon vor-

S6ln6<!6non ^Vort NNN6ÜM6N, nnä 68 wirü 86in

7 i ck «

cra? — '—, okM — - — c/r/oos^ai

ros n sr>r

ktnrnus sinkt man, 6nss unter cien rlroi 6on<iornn^on cies Winkels
ciie äritte immer cii6 kleinste sein wirä, wns so viel snZen will,
6nss es stets um siokersten ist, einen Wunkel äurok 6ie 3'unZente
uus^uclrüoken. Nun soll äuker überall, wo 6s nur tbunliob ist, bei
6er llereebnunF eines Winkels 2u einem ^usürueke kür üie "kunZente
2n ZelunMn truebten. ltie obizen seebs KleiobunZen Zestutten äies,
nnä 2wur erkalten wir aus üen ersten vier kür clie VerwunülnnZ

7

k8liO6tzNtl-i«(!k60 IvLn^su in 86066lltrl86ke und um-
Zekebrt die MIZonden ^voi ^U8drüoke:

, _ T?sr»(Tv — /)   Ksr'»(Tv— -,)

rus ö -(- T? rus (Tv — (> — K rus (Tv — T.) ' ' ' '

s)i686 beiden 1^U8drüoIr6 für (k/(^—vvilli MM bebul'8 vei-
ierer VereintnebuNA der OeobnunA nul die Ilorm

M sr» « M sr» tt

1 /» rus « 1 — »» ros «

brinZen, indem mnn ^nkler und Kenner bo^iebunMvei86 mit rrusö, u
dividiert. 8oloks ^undrüoke In8nen sivk dnnn in nebr oleZnnte Heiken
nutlonen, vokin vir nn8 nber nn die8or 8teIIe niebt einlnnnsn vollen,
lin die 8sobe NU8 der npbnrinebon ^ntronomie bekannt nein mus8.
kt «r ein oolder Oruob, 80 oonverZieren die ervnbnten kteiben; nino
verden nueb in unserem llnlle die beiden ^undrrieko Mr ^(-. —
eonverZente Iloiben lieMrn, vonn

< 1, < 1

» ros o (l

clomnnok ootito krüolio 8in6. In äon mointon li'Lllon virci d ion 8tntt-
lindon, ni,or niolrt in n!ion, nnmonllio.il boi (ion Lomoton niobt. On
lrornmon nns äio loMlon -ivoi cior obiZon noobn tlloiobnnZon 8obr
MloZon^ vir orbnlton nitmliok nun 3 s) und 3 L) Mr dio VorvnndlunZ
dor boliooontrinobon OnnZon in Zonoontrinobo don ^U8druok:

»6osösr»(7> — /)

A -s-»oos ö oos — /)

biir die umZolrobrto Oporntion, nnmliob dio VorvnndlunZ dor
Mooontrinobon Onngon in boliooontri8obo, vollen vir 3 e) und 3 L)
elvn8 uinlormen; diene zvoi OloiobunZen In886n niob nuob koIZsnder-
INN886N dnrntollon:

r ros ö 8r» (180° — sr» (7v

r- cos ö rus (180° — Tv — A — oos (Tv —

vornun mnn erbnlt:

, v. S K-n (Tv —

(180 — Tv -vv . 6)

In 5) und 6) vird nIno vornu8Z686Mt, dn88

» rus ö <( T?, Ti!

8

ist. 80 bekoiumen vir stets kür die ffangenten der gesuobten Kinkel
l^usdrüoke, velobe oonvergente Reiben liefern, niobt als ob vir von
Zen Reiiien selbst Rebrauob maoben müssten, sondern veil clie Reeb-
nung vormittelst dieser lWsdrüoke sieberer nncl bequemer ist.

bieder den Ouadranten, in velobem man den Winkel zu
soeben bat, kann in ullen den Müllen, vo der Winkel dureb die
ffangente ausgedrüokt ist, kein 2veikel obvalten, du mun immer
dus Vorzeioben des Gäblers uls dus 2eioben des Linus und dus Vor-
zeioben des blenners uls das ^sieben des (losinus des gesuobten
Winkels anseben muss; diese Regel vürde nur dann eine ^usnabme
erleiden, venu man im Verlaute der Rntviokslung des ^usdruekes
kür die ffangente des zu bestimmenden Winkels irgendeinmal 2äbler
und Renner mit — 1 multipliziert bätte, vas einer Verlegung des Win¬
kels in den Lobeitelquadranten, z. 8. aus dem ersten in den dritten,
gleiobkommt; auk diesen Ilmstand soll man also niobt vergessen. In
einigerinassen zveikelbakten ballen bestimme man abgesondert die
Vorzeioben des Linus und Oosinus des gesuobten Winkels.

l^us der dritten Rleiobung in I/?) und aus 3 s) ergibt sieb kür
die Vervandlung der beliooentrisoben Rreiten in geooen-
trisebe und umgekebrt die Relation:

s m (^ — M (/> — . 7)

Da die Rreiten alle von 0" bis 90" gezäblt verden, so ist bier
der tzuadrant leiobt zu treffen.

Oie Rieiobungen 3) baken eine bestimmte geoiuetrisobe Redeu-
tung; eine nur oberffäobliobe Retraobtung derselben lebrt, dass vir
es bier mit einem ebenen Dreiecke zu tbun baden, dessen Leiten
rcssö und die gegenüberliegenden Winkel it — 180 —

tb — / sind, vie die beigekügte big. 3 es veransobaubobt. Dieses
Dreieok liegt offenbar in der M//- oder bkliptikebene (in der

bigur durob die bbene ll/lV veransobaubobt) und ist demnaob
das Rrojeotionsdreieok des von der Lonne, der brde und dem
Himmelskörper gebildeten ebenen Dreieokes im Raume. bs ist gut,
sieb dies zu vergegenvärtigen, vie vir überbaupt niobts ver-
sobmäben dürken, vas irgendvie zur ansobaulioben Rebandlung
unseres verbaltnismässig sobvierigen Rroblems beitragen kann. Rier
sind />, b bekannt, vas zur Restimmung des Dreieokes offenbar
zu venig ist.

9

Das nrvükntn von cinr 8onnn, 6nr kircin unä 6nm liimmnls-
körpnr Znkiläntn Orninok im Nm mm (in cinr i8iZur 6ns in 6nr kiknnn
k/^IinZnncin vrninnk F7i?) kni 6in cirni önil.sn 7?, ciin äinsnn
8nitnn ZnZnnüdnrlinANN^nn Kinkel sninn Nin Nn^inIiunZ änr

6rni 8nit6n äinsns Orninnkns 6sn6n 6ns Nro^'nntionsärninokns ist
NUS 6nm VornnZnknnänn Kinn, 6n — ^7 ess /? unä clin (iruncllinin
/? bnicinn gnmninsoiiuftlioii ist; ns i^unänlt sink nnn änr VoUstnnöiZ-
knit dniknr cinrnm, nnnii 6in Minkni X, 6nnnn äns ?ro,j66-
tionscirninekns in Ln^inkunA sntMN. VnrmöZn 6ns (ini-notisc-ken
I.6ln'sntr;68 kndnn vii- im Orninekn ,87'/^

2L^/cos i/'

— 27?/- eos /

^2 ^/2^, 2--^eos7

Aus 6nn ttlniuiinnASN in 1«) oänr nunk uns cinm Di'ninoirn
nbnr nrlinltnn vir 6nr ktnibn nunii

--° — 2L^eos,7eos(L — y 1

^/2 — L!2 ,.2 E ö W8 (7v — /) «... 8)

7?"— — 2^(si-r ö sm/7 -^- eos ö ess/7 eus (it — )

10

Oemgemäss MUS» 9.180 86M

cu8/ — —6osöeos(I> — /)

ro8— «i>r ü E /1 -^- cu8 ö co8 /? cos (>t —

Oer Winkel )>, in den bebrbüebern der lbeoretiseben Astronomie
mit L bezeiebnet, bat bisber in der ^beorie der Oabnkestiminung eine
bervorragende Kollo gespielt; da nämlieb iin Oreieeke ä'ikV die Krossen
K und >/> bekannt. sind, 80 suebte inan noeb /, den Winkel ain
Klanelen, za eruieren, damit <las Dreieek zu einein bestimmten wird;
dann reebnete inan

_ K,Mt  /

8M)/

aber abgeselaiu davon, da»» die Oestimmung von / auk Kleiebungen
8ekr boben Krade» lübrt, vvelelie niebt einmal naeli Bildung der
»ovielien und soviellen blypotbsse riebtig »ein können, isl noeb der
Umstand zu beaebten, dass zur z^eit der Opposition, in welebe
/.eit die mehlen kntdeekungen der kleinen Klanelen lallen, ein selir
kleiner Winkel wird und inan al80 // au8 der vor8lelisnden korinel
mit geringer 8ielierlieit reetinen kann.

Oie er8ten zwei Kleiebungen in 8) dienen zur gegenseitigen
Verwandlung der Kulanzen; sind dis kreilen gro88, wie die»
bei Loineten bäulig eintrifft, »o kann kür dis86 Verwandlung aueli
die dritte Kleiebung in 1/?)

r sr-r ö — z/sr-r/Z

benützt werden.

3.

Oie reebtwinkligen beliooentrisoben Koordinaten z/, s lassen
sieb unmittelbar dureb /- und ausdrüoken; zu diesem kebuke
multiplieiersn wir in 2) ^rt. 1 die erste ^eile mit rosK, die zweite
init sm K und »ubtrabieren, es kommt

cos ö cos — cus rr ros K — sr'-r r< sr» K oos r

Nulliplieieren wir aber die erste 2sile mit smK, die zweite
mit rosK, »o erkalten wir vermittelst Addition

eos ö — eu8 rt 8br K -l- 8m rr eu8 K co8 r

11

Nultiplieiert mau dis86 2wei und dis dritte OleiebuuZ dort mit
so i8t, in LerüekinektiZunZ von 1«) im Lrt. 2

cv — r (cusÄoosK— SM rr sr'rr K ros 7)
i/ — r (ros rr sr'-r K -)- SM A ess K ros 7)
s — r SM rr SM r

Wir konnten liier weiterlabrend dik86n drei Hubdrüeken nook
kino nndoro Oö8talt Zsbsn nnd dio 80Z6NaNNtSN 1inN88'8oIl6N 6on-
8tanten aber in 6twa8 versebiedener l?orm entwiekeln, allein wir
baben naeb lanZerer DeberleZunZ dis Oeber^euZunZ gewonnen, da88
die LinfübrunZ di686r 80N8t 80 beliebten und viel Zebrauebten (!on-
8tanten 8owobl unnotbwendiZ ak aueü der 4l6b6r8iebtliobkeit der
obnebin ZenuZ verwiekelten l'lreorie weniZ förderlieb i8t, W68balk wir
disZtzlben überleben.

4.

W^eZen d68 IanZ8amen 7lurÜ6kw6iebsn8 d68 lfrübliuZ8punktS8 T'
(8ieb HZ. 1) und WSZ6N der kleinen ^enderunZsn, weleks die baZe
der Ekliptik ^um Hsquator im baute der ^eit ertäkrt, werden oben-
Kur die drsi blemente mit dsr 2oit 8iod ündorn, w68knlk

.jsdWmnI nnZsZsbsn wsrdon mu88, kür wslolio I^poolio di686 drei
Idsmsnto Zeiten , damit man diebelken nut' eins andere 2eit über-
traZen kann. H>8 8oloke lipoelis wird Zewölinliek da8 mittlere Uequi-
nootium kür den ^nkanZ ein68 ,Iairre8 Zewäklt, d. i. die^eniZe t.aZs
der Lkliptik irum ^ecjuator, wie 8ie obne Mutation 8tatttinden würde.
Mmmt man da8 dakr 1850 al8 äu8ZanZ86poeüe an und bedeutet
eine beliebiZs ^nirabl von lakren, 80 beträZt die 0ra6688ion oder
da8 ^urüekweioben de8 1'rübIinZ8punkt68 auf der Ekliptik

1/, 50-23465"^ 0-00011288"^

und die mittlere (d. i. von der Mutation befreite) Lebiete der klkliptik
- — 23° 27'31-83" — 0-47593'^ — 0-00000149"^

8ind dann ll), und 7 ^wei 4abr68^ablen, welobe un8 ^wei ver-
86bied6ne lilpoeben vorteilen und man will den lZetrsZ der ?räe688ion
für die 2wi86benMit 1' — 7'o bereeünen, 80 bedenke man, da88 von
der obiZen Hu8ZanZ86poebe 1850 an bi8 riuin .labre 7 die ?räee88ion
bstraZen wird

1/1 -- 50-23465"(7— 1850)-^0-00011288"(l^—1850)°
und eben8O von 1850 Ki8 I),

50-23465" (7), — 1850) -> 0-00011288" (l^ - 1850)^

12

für die Zvisekenzeit 7' — 7', vird also der Oetrag

i/< — i/>' — ^/l/' —

— 50 - 23465" (2"— 7),) 0 - 00011288" ^(7— 1850)"— (7), — 1850)")
entfallen. blaeb dem bekannten Latze über die Differenz der Ouadrale
ist aber

(7'— 1850)" — (7), — 1850)" — (7'^ 7'„ — 2.1850)(7'— 7'„) —

— 2 — 1850^ (7'— T'o)

Letzt man dies in den vorangeliencten l^usdruek kür ,e/i/< ein,
so vird

(T' — 7^50-23465" 0'00022576"^^-^' — 1850^

Vermittelst der vorstebenden Formel lässt sieb die bräeession
für beliebige Zvisobenzeiten bereebnen, da T'und 7), ebensogut ganze
Als aueb I leeimaizalden und also aueb blonats, 'fage u. 8. V. ein-
sobliessen und aueb vor 1850 liegen können.

Dm )etzt auf unsere Aufgabe, nämbeli die blebertragung der
bleinente r) 7i7 von einer bpoebs Auf eine Andere, zurüokzukominen,
so nebmen vir an, es seien kür die bpoebe (nüttleres ^eciuinoetium)
7), die blemente r,, 7kg geZeden und man soll dieselben unk
das mittlere ^eciuinoetinm 7' übertragen, liezeiebnen vir die dieser
Lpoebe 7' entspreebenden lillemente mit 7r^ so vird es für kurze
^visebenzeiten genügen, zu setzen

K — Kg r — r'„, Tir — 7i7g ^/i/<

vokei also nur die lträeession berüelrsiebtigt ersebeint, die i^ende-
rungen der bage der blklijitik zum Lmcjuator aber vernaeblässigt
verden, als ob die mittlere Lobiste s, votür aus dem oben gegebenen
^usdruoke der )eder beliebigen Zeit entspreobende VVbu't leiebt zu be-
reobnen ist, eine unveränderliebe t!rosse vare, bür längere Zviseben-
zeben vird man diese ^enderungen in ^nseblag bringen, indem man
eins kleine Oorreetion binzufügt. Zu diesem Lude bereebne mau
vor allem

U7 ^0-4795"— 0 00000624"^ ^^« - 1850^ (7'- 7),)
173« 0' 12" -> 32-847" — 1850^

13

3 MN vir6

K — -j- -j- (i-^--'o) SM

717 — tA '/2 (i -^- i„) 8M

i — r'g — -r ess

^is MM siekt, wsrcisn 6is sr^ä^ntsn Lorrsntionsn 8lst8 sskr
KIsin M8knll6n; cii686lbsn sntliallsn nksr un6 vslolm 6rö8K6n
erst Zekunätzn veräkii «ollsn, man 86t^6 äaligi' in äsr nrstön KsodnnnZ
K —-^- -7/1/', r — «0 vis obsn nnci visäsrllolk äisssiks. (vis kisr
vorkommsnclsn /^nblsnMZnbsn nn6 clis Unsäi'üsks knr 6is Oorrsetionsn
8in6 Oppoixsr8 vskrbnek 6sr 8aknb68timmnnF tzninommsn, vo mnn
6n8 Ankers nnok86ks,)

II. d s e kriiII.

dl6>vi0N8 UNÜ Kepler 6k86tr6. Kkt'kekinung 6IN68 kinrelnen
0^68 3U8 bekannikn Llkmsnlkn.

1.

8evor vir 6en eigentiieben ttegensinnZ in ^ngrikk nebmen,

keknnäeln vir sin paar Aufgaben nu8 c! er nnni^tisnlisn (ieoinoirie,
weil 6ie8elben in nn86rsin broklem eine gro886 Kobe 8pielen. —
br8t6N8 80Ü cbe blnebe eins» ebenen Dreieek68, 4n8 in einer be-

bi^. 4.

8timmten -rr/-bbene liegt unä ä6886n
bekpunkte clnrelr 6ie Loorclinaten

«/)) (a/, «/')) (cr'^ z/") gegeben ÄncI,
nnal^tiseb Ks8timmt veräen. b8 86ien
(big. 4) O^ nncl Olb 6ie bei6en Loor-
clinnt6llnok86n, 454/'4/" 6ns edene
Drsieelc, äe886n ^Inelie / -;n bS8timni6n
i8t, ciie ^eesnis von 45) 4/'^ 45" 8sisn
nuek ciis 4<^eente <1er Looräinntsn
cler dstre/fen^en üekpnnkie. VV'ie nn»
<ien I^elrrbnokern 8N>t8Nni bekannt i8t,
bat ninn

4K4/'4/ -^- K64/"4/' — 464/"4/ ocier

z/)2/. ... 1«)
in velelier l/68tnlt 8ieb 4ie borni el 6ein (4ec1äebtni886 8ebr leieb!
einpräZt. bine niobt ininäer ZefnIIiZe nncl leiebt nn^neiZnenite borin
kann man 6em /4n8c>rueke Mr 4ie cioppelte bl.iebe ein68 I4reieeke8
nueb 6nänreb geben, än.88 man in äer vor8teben6en Kleiebung
M«/ — rr«/ — 0 binxn n6siiert; clann erbnb man clnreb bnetorenMrlegnng

(-r"—-r) (/—«/) — O'—n) (z/"—«/) 2/ . . . . 1/S)

15

l^ässt man, nebenbei bemerkt, z. 1). 6en ?unkt M' üsr bleraüen
H' unausgesetzt sieb Näbern uncl sebliesslieli ganz in dieselbe
fallen, 80 virb

(^"— n) (/— «/) — (n'— n) (/'— r/) 0

was 6ie Oleiebung einer 6ureb «/), (n", /') besibnmten flera<len
ist, äie man gevöbnbeb in cler 8orin

, v"  —  v , , ,

sebreibt, vobei n', ?/' cbe laufenclen Looräinaten sincl. 8o baben vir
nn8 clein Tlusärueke kür 6ie (föppelte 8Iäebe eines Oreieekes clie
Oleiebung einer (terasen abgeleitet, uncl zvar 80, üass xvir bis Alands
l>is zu ibrer tirenze, cler lleraclen, abnebmen liessen. 8mgekebrl
lässt sieb au8 jeder tileiebung einer Oeraden ein ^usdruek für die
doppelte 8Iäebe eines Oreieekes ableiten, venn vir die betreffende
(Ileiebung auf blull roäuoisrnn, ÄaU Zor lüull aber nun 2/86iznn;
68 86i z. 8.

«/' — «5v' ö

ci>6 lilöiolmnZ ninor Okraäsn; für ciis clnp^oüo 8Iä6Ü6 6in68 Ornisc-ktz-s,
V616Ü68 Üi686 <<6ra<!o zur (fronzs inü, virci nun 86in

— an' — - — 2/

n' unä r/' 8i'nä ifaäurek von sinanäsr unakiiänZiZ Zsvorcisn, va8 8is
in äor tllkioüunZ üer (lEraüsn nioüt varsn; 6afür 6r86Ü6in! / al8 üis
aküänZiZ Vtzrän^tzrliolio, 6. d. man kann Mzf für «/' bkIiöbiZs Moris
väüion uncl üarnaoli/ K68tinnn6n; soll virkliolr ein Drsieok zuslancls
K01NM6N, 80 äürftzn selbsfvsrsfänülieü für n', 7/' nioüt soleüs Weil<;
Zöväülf vsrüsn, vsloüs äis KlsieünnZ Ü6r (Israäsn dtzfriöäigsn.

Mir ksln'ön naeü äisser klsinsn DiZrsssion, clis sioli uns von
selbst clarZöbotsn bat uml clis tziZöntliob niobt zur 8aobk Zsbörl , zu
6sn ^usclrüeken für 2/in 1«) und 1/?) zurüok. 8oll ein lilok^unkl
cl68 Orsisokss im OoorclinattznursprunZg, also in 0 lisZen, so brauobgn
vir nur z. 8. n" — 0, — 0 anzunolunsn, «lann virü aus l«)

n'z/ — — 2/.2 n)

ocler aus 1/1)

0 — — a?) -^2/ . 2/1)

16

vrüekt man in 2«) die reektwinkliZen durok die kolareoordi-
natsn aus und 86t^t deiNZemäSS

n — -' 608 V — V 8MV

-r' — V'ov8V' r/' — --'sm v'

80 erkält MM

2/— Ä?'«/ — a?N' — -r (z/ —«/') — -/ (lV — ä?') — VV' sr-r (V — V') . . . 3)

kässt man liier den kunkt (-r', r/') sieb unauslsset^t dem kunkte
(M, ?/) näkern und diese i^äkerunZ rmlet^t in den (krenrr^ustand über-
Asken, 80 wird sekr nake >>'— r, weiters ist dann s? — n' — ckn,
-/ — r/' — SM (« — V') — 2/ — 2^/) daker

2ci/ — rrcit/ —- — >'^V .  . 4)

Lonaok ist das Oreisek in eine unendliek kleine Keetorlläeke
überZeZangen und die einzelnen Husdrüeke in 4) sind somit 6ns
doppelte Klement einer Leotorüäeke. Vie Formel 4) lässt. sieb tkeil-
weise auek koIZendermassen ableiten, 68 ist

V , , cvckr/ — «/cilv

^V — ^- uncl KV — - „

6a aber r/^ — .,-2^ ^0 wird Mcir/ — vo 6ennoeli

6ie keäeutunZ 6er beiden Hu8drimke ^ur Kinken und keebten de8
(1leiebb6il8/;6i6b6N8 niebt 80 klar rmiaZe tritt, wie oben; inde88en eins
kleine Kebre entbäll die OiMrentialkormel kür Nan ergebt au8
der86lben, da88 der ^Vinkel V mit de8to ZrÖ886rer Lioberbeit erkalten
wird, ze Zrö88er der klenner in der Dikkerentialkormel wird, oder ^e
ZrÖ88er Mäkler und Kenner im kluLdrueke kür die lanZente 8ind. k8
i8t auok an und kür 8mk klar, da88, wenn im Hu8druoke

, ?/

MV —

Mäkler und klenner kortwakrend abnekmen, auok die LeÄimmtkeit

d68 ^inkel8 v M8ekend8 8ieb vermindert, bis endlieb kür

der Hunkel V Zanr: unbestimmt wird, denn man kann immerlün
annekmen, da88 «/und-r bei ikrem kortwäkrenden Hbnebmen kleiner
werden al8 ^ede anZedbare ^akl und xuletrit in Oikkerentiale über¬
leben, aber dabei ikr Verkältnis /0 einander, welekes eben die
'kanMnte anFibt, kortwakrend bewakren, so dass

17

unter dieser unbö8timmten porm doeb ein bs8timmte8 Vsrbültni8
birZt. Nit 8oleben und übnlieken LetruebtunZen beginnt Zewöknlieb
die pebre von der DiklersntiulreebnunZ, vir nbsr kebrsn die 8uebe
uin und sieben nu8 dem VorunZsbsnden den 8eblu88, du.88, wenn kür
die VunZents 6IN68 Winksl8 2W6i odsr msbrers Lu8drüeks ^ur Ver-
küZunZ 8tsbsn, wie 68 in dsr polZe ökter8 Vorkommen wird, mnn
immer dsm)sniZsn den Vor^uZ Zeben 8oll, dsr den ZrÖ88ten Mäkler
und Kenner bs8it^t. p8 i8t dis8 dem 8ebeins nnob eins unksdeutends
Osbrs, 8ie wird nbsr dennosb du?u dienen, nm in dis ViskeitiZkeit,
welobe nn86rem Problem eiASntbümIiob i8t, mnneli68 8ebwunksn xu
bs86ikiZen nnd in die psebnunZ 8elb8t 8ieberbeit ^u bringen.

2.

^weiten8 8oll die 6Isiebun^ einer pbene Zskunden werden, wslobe
dnreb drei im kuums ZsleZene Punkte 7"(-r:', r/', 2'), 7"'(cr", «/", 2"),
7""(^'", r/", 2"') Zebt. Oie 6leisbunZ bnt )6denknll8 dis porm:

-/ — 712 -)- O.1)

wo «/, 2 die lenkenden Loordinnten, ^1, 71, 0 nbsr ZewiWS ^ur
868timmunZ kommende Ooeküeisnwn bedeuten: rm dsm pnde bnt
mnn den ZeZebsnen Outen Z6ML88 die drei IZsdinZun^ZIeiebunMN:

/ -j- 6

-s-Ls" 6

Verbindet mun die sr8te dis86r drei (IleiebunZen mit dsr uuk-
868tsIIten ullZemsinen 1), 80 erbrüt mnn

«/ —«/' — ^1 (a? — rr') 71 (s — s')

ul8 die OleiobunZ einsr pbene, dis durek dsn Punkt (rr', «/', ^') Zebt.
Ibn ü und 71 rin linden, du-n disnsn denn die (IleiebunZsn:

ar') 71 (s'"- )

— n") 71(2-'"— s")

blut man duruu8 ^1 nnd 71 bk8timmt und 86l^t der Küi'M bnlbsr

n' (z/'" — -/") — -x" (z/"' — «/') -x'" («/" —

^2-^ rr'(L'"— L") — — L') — 2')

--- -/' (2-"'— 2") — /' (2'" — 2') (2" — 2')

80 lnntet die verlunZte KIsiebnnZ:

(rr —(2 — 2')^.2a)

2

18

oder durob lbsilweiss ^.uskübrung der nngs^eigtsn Opsrntionsn

2/?) . . . . --

Nun siebt, dass dis doppelte Llnebs eines Dreisekes bsdsutet,
wslebes in der -r-z-Lbene liegt und dessen drei Lokpunkte dureb dis
Loordinntsn (cr', «/'), (ai", «/"), (a?'", -/'") bestimmt sind; ebenso bedeutet
ein doppeltes ebsnes Dreieck, dass in dsr -rs-Lbsne liegt und
dssssn drsi Lekpunkts dureb dis Loordinntsn (cr', s'), (-v", s"), (a?"', s'")
gegeben sind, und so stellt uns nueb ein in dsr «/s-Lbsne lie-
gsndes, durob dis Loordinnten dsr Lokpunkte («/', s'), ^")> (^"'-

gegebenes Doppsldrsisok vor. Nun nsnnt diese drsi Dreiecks dis Lro-
^sotionsdrsisoke des Lnumdrsisokes, dessen Lokpunkte Z", Z"', Z^'"
iin knume liegen und wslebes uns die vsrlnngts Lbsne rsprnsentisrt.

Anmerkung. Du dis Lbens nls dis 6rsn^s eines Istrnsdsrs
oder einer dreissitigsn L^rnmide nukgsknsst wsrdsn knnn, in wslober
sine Loks durob unnusgeset^ts Mberung nn die gsgsnübsrliegsnde
Bläske endliob vsrsobwundsn ist, so muss die nuk blull reduoisrts
6Isiobung einer Lbsne okkenknr mit dein Ausdrucks kür dns Voiuinen
sines letrnedsrs verwandt sein, gerade so, wie wir iin vorangedenden
Artikel gessben babsn, dass dis auk Mll reduoisrts OIsisiiunZ einer
Ksrndsn die doppelte iklneke eines Drsisskes dnrsteilt. Dn in unsersin
knalle inutsr Doppsldreieeke oder DnrnIIeloZrninine sind,

so können wir rnit Destimmtkeit bsknupten, dass wir es liier mit
einein vierseitigen Drisinn ^u tkun knbsn, dessen Dro^eetionen nuk
die drei (loordinntenebsnsn eben DnrnUelogrnnnne sein inüsssn. Min
lässt siek dns vierseitige Drisinn in r^wsi dreiseitige Drisinen von
gleisliein Volumen, dns drsiseitigs Drismn in drei Vstrnsdsrs oder
dreiseitige l^rnmiden von edsnknlls glsieksm Volumen verlegen; dnker
ist das vierseilige Drismn dns Leeliskneke sines soleken lkstrnsders;
bs^eisknen wir das Volumen eines Vstrnedsrs mit V, so bestellt dem
Kssngten Zufolge die 6lsiebung:

(-r — -x') — («/ — -/') (L — L-') 6^ ... 3)

Dndureb ist z/ von cr und L unnbbängig geworden und knnn
nun selbst unbekümmert um n und L beliebige V^srte nnnsbmsn.
blismit ist nuk indireetem Vtgge die Aufgabe gelöst, dns Volumen eines
Vetrneders xu bestimmen, dessen vier Lekpunkte dureb dis ent-
spreebsnden Dnumeoordinntsn gegeben sind.

19

^U8 der Kleiobung 2/Z), die einer.jeden beliebigen bbsne gilt,
lä88t 8ieb nun aueb die Kleiobung einer durob den Koordinatenanfang
gebenden kbene akleiten; ^u äiesein bnde krauoben wir nur einen

c!er drei Punkte in den blr8prung 8ölb8t ^u verleben oder 6.

L"' — 0, /"— 0, s'" — 0 2U 86tMN, dann I8t

-/ (2'2" — L"s') — cv (z/'s" — «/" s') -j- L (cv'zc" — 2?"^/').... 4)

Hiebei 8ind die koefboienten in den klammern I'rojeotionZ-
dreieoke, die mit dem kaumdreieoke, wovon xwei kokpunkte im
kanms 8ielr befinden, im Koordinatenanfange einen g6mein8obaftboben
kokpunkt köZit^en.

3.

Oie Planeten und Kometen bewegen 8ieb um die 8onne infolge
einer ibnen ur8prüngliob initgel Ireilten Bewegung und einer oonti-
nuierboben ^inciebung, welebs die Lonne al8 Ksntralkörper auf 8ie
au8Ükt, und vermöge weieber 8ie in g686b1o886nen Kurven dis86lbe
umkrei86n; denn 68 i8t, um 68 bier 8obon ^u bemerken, von vorn-
berein niobt denkbar, da88 di686 Ilimmekkörper, einmal in clen Oereiob
der an-iiebenden kentralkraft gerüekt, der86lben 8iob je entheben
könnten, bim die 6e86t^e dis86r Oswegung und die dabei bWobriekene
Kurve nüber kennen -ru lernen, maoben wir eine knr^e blm8obau in
den K686txen der Bewegung überbaupt. Man unter8obeid6t bekannt-
lieb er8ten8 eine gleiobkörmige Bewegung, wo der bewegte Körper
in^eder be8timmten 2eiteinbeit (Leeunde, Minute, Ltunde, iba^gleiebe
Ltreeken ^urüeklegt; er folgt dabei einer momentanen Kraft und
bewegt 8ieb, wenn keine lbnderniWS entgegenwirksn, vermöge der
Ib'ägbeit geradlinig fort, bedeutet v die Ke86bwindigkeit, d. i. den
Meg, weleben der Körper in einer ^eiteinbeit maebt, t die Oauer
der Lewegung, au8gedrüekt in der kenennung der gewäblten 2eit-
einbeit, s den wäbrend der Xeit ^urüokgelegten bVeg, 80 i8t

S — V!t ..1)

wobei s die86lke kenenbung erbält, in der v au8gedrüokt worden i8t;^,
wenn man differenziert, 80 kommt, weil v eon8tant i8t,

cis — veii.für 1)

Oie Kegebwindigkeit dea Oeweglieken i8t daber bei einer gleieb-
körmigen Bewegung gleieb dem eilten Oitferentialciuotienten d68 bV^og68
in I1in8iebt der Xeit.

2*

20

ks gibt nber ^veil6N8 in der Kntur OeveZunZen, vobei die in
gleieken weiten k63ebrieb6N6n unZIeieb 8ind, vo nko die 6e-
8ebvindiZkeit dk8 ldevegliebsn 8ieb 8tetig ändert; i8t äi686 ^.enderunZ
eine AleiebkörmiZe, 80 än88 die 668oIivindiZkeit in ^eder kolzenden
2eiteinbeit wie in einer nrilbmeti8eben Keibe nin einen Zleieben
OetrnZ vnebrtt oder nbnimmt, 80 nennt mnn dis8 sinn Zleieb-
körmiZ beseblenniZte (ver^öZerte) ldeveZunZ. Menn vir den
in ^eder ^eiteinbeit 8tnttfindenden 2uvneii8 nn 068ebvindiZI<6it mit
A ke^eiobnen, 80 vird die OeLebviinliedreil NIN Onde der

1., 2., 3., 4., 5. t-^siteinbeit

2</ 3<^ 41/5^.

ni30 nIIZemein

 2)

llei die8er /Xrl von OeveZnnZ er86beint dnber niebt allein der
MeZ, 8ondern nueb die Oe8ebvindiZkeit ni8 eine Kunotton der i^eit;
86t26N vir in die obiZtz Oissorontinlkorinoi kür 1) 6on liier Mknncienen
^Vert 6er OeZelivinüiZireit ein, 80 erlrniien vir

c^s —  kür 3)

vermittele lnlegrntton virä



0n8 IlrMÜni^ 6er ZniEn OeveZnnZ, 6er Meg, knlll ünüer Zerncle
80 NU8, nl8 ob cln8 OeveZliebe nnl mittlerer knilZ68ebvincliAkeit ocler
riobliZer mil einer OeriebviniiiAlreik 8ieb beveA bntts, 6ie 6n8 nrilb-
meli86be Mittel ^vi8eben äer L.nknnZ8- nn<k lllnÜMsebvinäiZlreik bildet,
vn8 6er l^nkur 6er 8nebe vollkommen ent8priebl, 6n 6er Xuvneli8
nl8 ZIeiebkörmiZ nn^enommen vuräe. lünkviekell mnn nn8 clem eitlen
6en ^veilen Oillbrenkinlijuolienten, 80 i8l , cln xn einer Oon8t.nnl.en
Zemnebt verclen knnn,

s> 

oiler <1ie OeseblenniZung // i8t gleieb clem ^veilen Oislerenttnl-
(juolienten des VVegee in lkinsiekt der Xeil. 0ie86 0e86bIeuniZnnA vircl
dureb eine 8letiA virkende ^n^iebunMkrnkt er^euZt, die heilem Körper,
n>8 Nn88ö betrnelitet, innevobnt, eine 4bnl8nebe, die i>i.8lier noeb
niebt eine ZenüZende Krklnrung Zeknnden bnt; ^e ZrÖ88sr die Nn886
de8 Körpei'8 i8t, dö8to Zrö88er nnob dk886n ^n^ieliun^krnkl nnd die

21

dureli die Istirtere bewirkte Beselileunigung. Dis Krosse A Kat, clubsr
für joden Körper ikren besonderen Mert und bangt also von dessen
Nasse ab. Allein uueb für einen einzelnen Körper ist dieselbe niebt
eine unwandelbare Krosse, sondern nimmt naeb Kewton gerade so
wie die Intensität cles Biebtes mit dem tzuadrute 6er Bntternung ad.
kein Kesugten gemäss gibt. es dubsr, strenge genommen, keine gleieb-
förmig kssebleunigte Bewegung in 6er blutur, sondern nur eine un-
gleiebförmig kssebleunigte (verzögerte).

Meinten wir die kier ausgesproebenen, von Kewton berrübrenden
zwei Brinoipien nut die Bewegung der Himmelskörper um clie 8onne an;
demnueb wird ein Himmelskörper in -iwei.versebiedenen Bntfernungen
von 6er 8onne mit versebiedener Beselileunigung ungezogen werden,
und 2wnr kestsbt, wenn n und n' clie beiden Bntfernungsn, und
die entspreelienclen in einer bestiminten ^eiteinbeit (Beeunde . . . "bag)
von 6er 8onne bewirkten Bssebleunigungen «les Himmelskörpers be-
deuten, die Proportion:

A., : ober

^ebnlieb wie bei 6er Murfkewegung die 8ekwerkraft der Brde
wirkt, linken wir uns aueb bei 6er Bewegung cler Biminelskörper um
clie 8onne die 8uebe so /n denken, dass cler Körper, anstatt cler
Bewegung in cler tbangentenriebtung?u folgen, fortwükrend ^ur Bonne
sinkt; und A/ sind daber wie beim freien Bulls, der sinfuebsten
Brsobsinung in dieser Ilinsiebt, kesebwiirdigkeiten (uusgeclrüekt in
Metern, Kiloinetern), die der Körper um Bnde der ersten xtieiteinbeit
erlungt. Bin uueb bei dieser Veründerliebkeit. der ^n^iebungskrult
oder der durob dieselbe bewirkten Besebleunigung eine Konstunts
srbulten, setzen wir

und buken dsinnueb gunr: ullgeinein für die ^nxiebungskiuft der 8onne
den ^usdruek:

ö'- — ^2

Beker den Mert und clie Bedeutung dieser Bonstunte, wofür
wir lieksr in Büeksiebt uuf die Dimensionen L setzen inöebten, wird
spütsr gesproeben werden. — Besitzt der ungezogene Iliinmelskörper
selbst eine Nasse, so wird uueb er die 8onne an sieb 2U sieben
truekten, und xwur bei der gleieben Bntfernung mit einer Kratt,

22

die 8iel> E' Ln-nobunMkcnl't doc 8onno vocbnll, vio (lis Un886n doc
beiden Kocpec. 8ol.xon vic deinnnob d cm (iuoliont

Nn880 do8 IdimiNSl8kÖCP6C8

-- V-, - — M

MN880 (lOC 80NN6

80 i8i dio b>S8obIouniAunZ, mit veloboc doc bliinmol8köcpoc dio 8onne
nn 8ioli mislit, mi8Zodcüc:kt ducoli

— n--.5)

Oio8OC Lu8dcuek Zibt nboc nueb MN^ nIIZomoin dio ld686bleu-
niZunZ nn, dio ein Xöcpoc von dec Ng.886 m (in Linboiten doc 8onnon-
INH886 nu8Mdcüokt) einem nndecen in doc blntkocnunZ ketindlielien
Locpoc mittboilt.

Die ^n^iobunZ, velebe doc blimmol8köcp8c nuk dio 8ovno NU8-
übt, können vic nneb dom tl080>^e doc colntiven ldeveZunZ nuk dio
let^toco übectcnZen nnd nn8 dnbei dio 8onne nl8 cubond denken;
voil boi dio86c ^.nr-iebunZ ?uc 8onno idn dio Kndionveetocen doc
DInnoton nnd Lomoten kleiner- vocdon, 80 i8t dis80 068Aninids8oIcIou-
niZunZ noZntiv Kn nobmen, 80 dr>88 vic imbon

I)is80 i^ocniol bildet dio (lcundlnAO kuc nn8oco locnoco klcoclocnnZ
iiboc dio ^ovoZnnZ doc Ilimmskköcpoc nin dio 8onno; dncin knnn
il 8ooundon, Ninntsn . . . 'I'nM bodonton, nccoiolom A nl8 die
Ilo8(!bIsuniAnn8 in doc oc8lon 8ooundo, Llinuto . . . "bago nnA08sben
vicd; okon80vsniZ i8t bioc otva8 6o8tiinint88 nboc dio bnnZonoinlloil,,
in doc A c nnMudcnokon 8ind, onllndlon, okkonbnc nboc MU88
dio llononnunZ von nnk c/ übscZobon.

4.

blm dio Mlocont.inlAloiobnnF 6) inloZciocon 2N können, MclöMn
vic clio Ide8oblouniZnng A in dcei Loinponenton, pncnllol den ^ok8on
d68 coeblvinkliMN dnceb den Mttolpunkt dec 8onno ZoleZton 6ooc-
dinnlen8^8tein8, volobe8 vic oben in I. 2 b68ebcieben bnbon und
dn8 vic nuob bioc -inZcunde leZon. 8ind nnmlieb «, /?, die ^Vinkel,
volebo die ^ob8on do8 8^8tom8 init dem Kndiu8voetoc c oino8 ?unkt08
4^ im klnumo ein8obli888on, 80 i8t

rx — cos «, Z/ — L — c 00s /

23

Das Verlutltnis, in welelnnn liier die 6oordinuteu cr, s 2U
ikrein kudinsveetor ?' stelren, ist aber offenbur :uie!> dus Verludinis
xwiseiien den drei Komponenten und iirrer tdesuitierenden </, üimlieii
wie im krüktenpuruIIeloZrunune, duker

^Vir drüeken der kür^e Indker </ noolr nieirt dureii seinen oben
Aednidenen ^Vert aus. Nuiliplieiert man dis erste der vorsteimnden
drei (tieiekunAen mit dis Zweite mit und suktruliiert, so kommt,
wenn uuoir mit den üindMN Verbindungen unulog versuiiren wir«!,
im AMEN

Wir inultiplieieren mit r/i und inlegrioren, dünn wird

wo r", o'" die Integrutionseons! unten bedeuien; nudlii'Iieiorl
man die erste liieiebung in 3) mit s, dio Zweite mit dio dritlo
und L!, so orkült inun vormittolst ^ddilion

o's o"'-r ^0.4)

wus dio OIoioiiunZ einer duretr den OoordinutennnfunZ Zsirendon
lübone ist. Die i'Iuneten und Kometen KeweZon 8iok duker
in kkenen, die durod den Nittolpunkt der Lonne Zekon.

24

Dm die Ooellieienten r'^, o", e'" näber ^u bestinnnen, so müssen
wir vor allem beaebten, dass die Oleiebnng 4) l^rt. 2

-/(^'s"— -x"s') — ^(-/'Z-"— -/"2') s(a:'r/"'— ^"-/') ... 5)
ebenfalls als die Oleiebung einer Olaneten- oder Kometenkabnebene
angeseben werden kann, nur dass Dior die Ooeflleienten dureb die
Koordinaten -rweier Onnkte in der Oabn des Oimmelslrörpers aus-
gedrüebt sind, und -rwar sind diese Ooeflieienten, «io wir bereits
wissen, -Vusdrüebe für Die Oro^eetionsdreieeke des Oaumdreieolres,
welebes von swei Orten /" und des Himmelskörpers und dem
Mttelpunkte der Lonne gebildet wird. Oie drei Oro^eotionsdreieeke
lassen sieb aber dnreb das Oaumdreieok ausdrüeken. Zufolge der
Olsiebungen in I. 3 ist für den Ort 4"

a-' — (00« rr' ros K — sirr rr' sirr K. ros i)

— r' (ros rr' sirr K -(- sirr rr' ros K, ros i)
s' — r-' sirr rr' sirr i

und für den Ort O"

n" — (ros rr'' ros K — sirr rt'' sirr K ros r)
r/" — r" (ros rr" sirr K — sirr r«" ros K ros i)
s"— -'"sirr »"sirrr'

wo rr -— rr — — r, rr —> /r — — r isl.

Oildet inan M.-it die Oroduete für a,-'-/", n"//', r/'s" n. s. w., so
wird in Oerüeksiebtjgung, dass rr" — rr'— v" — o' ist,

M'r/" — cr"r/'-:- sirr (--"— v') ros i

L's" — rv"L' — r-'-'" sirr (r>" -— V') ros K si» i

— r''--" sirr (v" — v') sirr K sirr i

sirr (r>"—->') ist offenbar der ^usdruek für das doppelte
kaumdreieek, wovon wir oben gesproeben; kexeiebnen wir dasselbe
der Kür-re Iialber mit -r, die l'rojeetionsdreieeke aber der tleibe
naeb mit r, r,, r„, so liaben wir

r .r'//" L"r/'— rr ros i

--- a-'s" — ar"s'— rr ros K, sirr i

-/'s" — -rr «irr K si-r i

. . . 6)

Lubstitnleren wir dies in 5), so lautet die Oleiebung der llaün-
ebene, da rr berauslallt,

25

r/ ros E r — n sr-r K sr-r r L ros r
oder

L — i ros K, — cr si-r K)

7)

Drüeken vir kier die reoktvinkligen koordinaten cr, r/, L durek
die kelioeentriseken kolareoordinaten /, ö naok 1/?) in I. 2 aus,
80 kommt, veil -° sekvindet,

ö — r' sr-r — K).8)

veleke kleiekung auek aus 2) iu I. 1 resultiert. Oriiekt man kin-
gegen a?, «/, L durek die reekte Leite von 1/b) iu I. 2, also durek
die geoeenl ilseken bolareoordinaten aus, so erkalten vir

C /? — r «M (K — ^>) — sr>r (K, — .9)

aus veleker llleiekung sivk clie eurtierte Distanc sekr leiekl bereek-
uen lässt, venu die übrigen darin vorkommenden Krossen gegeben
sind; man kat nämliek

Lsr'-r(K—

o — —.10)

sr>r (K, — H r'

vo man kekuks grösserer klecjueinliokkeit Mäkler und klenner Irülier mil
/A/? dividieren vird, bevor man an eine virklieke ldereelmung gebt.

5.

Aus den kleieliungen 6) cles vorigen Artikels lassen sink jet/.t
aut clemsslken Mgge, aut velekem vir die Ausdrüeke tür das do>>-
peile Leotorelement in 4) cles Art. 1 abgeleitet kaben, kolgencle Klei-
ekungen bilden, venu man ^ugleiok Z) cles vorigen Artikels berüek-

siektiget:

6'ci^ — MciZ/ - c/ÄL! — r'Äv es« t

e"c/^ LÄs — Lc/^r — -^c/v ro.s K sm c
e'"c/t — — sr^ — -'^vsr»Ks/»r

1)

tzuaclriert man kier die ersten und dritten 'bkeile uml vereinigt
sie dann vermittelst Addition, so wird naek Aussiebung der Onadrat-
vnr^el

/""<// --"c/v

kedenkeu vir, dass — 2^ ist, vo ö' die Leetorlläeke
berieioknet, und setzen der biuxe kalbero'"^ — r, so ist
2c/K — .2)

daraus ergibt sieb durek Integration

2K — c^. .3)

26

Oie 8e6torfläebtzn ändern sieb daber der /^eit propor¬
tional oder in gleieben Veitov werden voin Himmelskörper
gleiebe kläebenränme besebrieben (Keplers Oeset^). ^enn bei¬
spielsweise § mittlere 8onnentage kerieiolmet, so ist die kläebe, die
6er Himmelskörper an einein mittleren 8onnentage besebreibt, also
die kläebengesebwindigkeit. 8etÄ man in den Oleiebungen 1)
statt --Äv nnn und dividiert mit c/0 so ergibt sieb

wodureb die kedeutung 6er Ooelbeienten o', e'" in 3) und 4) des

vorigen Artikels klargestellt ist.

6.

Oie bisberigen kntwiekelungen, in «lenen </ aus dem Oaleul gan^
eliminiert ersobeint, und clie abgeleiteten ^wei Oeset^e gelten cler
Osntralbewegung im allgemeinen, weleber Kegel aueb immer clie An-
^iebung 6er Oentralkrakt folgen mag. öevor wir nun weiterkabren,
wollen wir aut einem einkaeben Mege ^wei Ausdrüeke kür clas kogen-
dilferential cks ableiten; dieses Oifferential kann nämlieb in unserem
Kalle als ein unencllieb kleiner kbsil 6er vom Himmelskörper besobrie-
benen Kurve uncl als geradlinig betraobtet werden. Oividieren wir
dann cks dureb so gelangen wir äbnlieb wie in 1) des Art. 3 ^u

einem Ausdrucks kür die Oesobwindigkeit des Himmelskörpers im
betrelsenden Ounkte der Kalin. — Im kaumdreieeke, welebes von den
Orten und des Körpers und dem Mittelpunkte der 8onne ge¬
bildet wird und wovon im Art. 4 die kede war, ke^eiekne s die
8ebne riwisoben den beiden Orten; der von den kadienveetoren
und r" eingesoblossene Kinkel ist naob dem obigen v" — c', datier
ist naeb dem Oarnotkeben bebrsatse

dai;u addieren wir
0 — — 2-0'"2^'r"

mitbin s- — 4,->" 21.^" —v') .1)

27

bassen «ir (M Lebne nun unausg686txt aknebmen, 80 werben
bie Punkte lin,! /"' sieb kortwäbrenb näbern, ber VVin!<o! — v')
wirb xuletxt unenbbeb Klein; im (irenxxustanbe ersebeint — b--
als eine unenblieb kleine (irösse, so bass man

4srV (r>" — «') — 4 .

setxen Kann; somit ist

 tur 1)

tim Leims s lässt 8ieb über auob bureli bie reebtwinkligen
lioorbinaten ber keiben Punkte un«l ausbrüeken; es ist nämlieb
naeb einem bekannten Latxe aus ber tteometrie bes kaumes

«2 (a-"- ^')2 §')2.Z)

lassen wir aueb liier bie beibsn Punkte P' unb /"' immer nüber
aneinanberrüeksn, so wirb xuletxt im Orenxxus taube 8 xu Ä8 uncl

^2 ck-/2 -j- .^r 2^,

blm XU einem Lusbruek tur bie (tesebwinbigkeit in ber pllkn
xu gelangen, multiplieieren wir bie (tleieliunZen 1) im T^rt. 4, von
clenen wir liier noebmals ausZeben, ber keibe naok mit

uncl abclieren, so ist, wenn tür A sein oben keslZestelller Mert

-—- einZesetxt wirb,

__ -i-

Oer Ltbler links ist bas Differential von —

— ck8^ unb LÄiv -j- Lcks —
also bat man

/ _ 2^2 (1 ckr

VW/ — -.s -


Integriert man beiberseits, so ersebeint, weil
. ^2 2^2(1-l-m) ,

----- S  -,-ti

WO /, bis konstante ber Integration bebeutet. Ls ist also bis Oesebwin-
bigkeit bes Himmelskörpers in seiner Itabn:

v


3)

28

Oie DedeutunZ der Oonstunte wird weiter unten klurZestellt
werden. Ilm uuek die KleiekunZ der Dutnrsurve xu ermitteln, so ist
dem VorunZelr enden Zemüss

c/s^ — -l- ' -l- ^x

— 6^

Eliminiert mun Ineruus dl^ so wird

7-1 s k^2L^(1->-77r) d 

k 7' d 6^

oder

-)- 777)7° -^- /77^ — e^)

Ilm seknell xunr Ziele -m ZelunMn, setzen wir



....4)

Oureli diese Lnkstitulion lullt /c?(1 -^-7») Zun^ Imruus, und es
kommt, wenn nedsikei die ^uudrutwur^el uusZL/iOAen wird,



— 7ÄV -^"§2,-2_,.s

oder



^7^7' — 7'llv ^/ßSH 

UrinZt mun civ ul le in uul die linke Leits und dividiert mit er,
so wird


woruus mun vermittelst InteZrution erlntlt, du die InteZrutionseonstkmte
seliwindet,

7' //

— eos v —

67'

Die tileiolmng dei' Dulmenrve luulet sonuslu

  

1 -j- ö 608 V

29

Oies ist. bekanntliek die Kleiokung einer KIlipse, wobei 6k»
kalben Parameter und s die numeriseke kxoentrieität bedeuten; die
kalbe grosse Aekse « und die kleine Balbaekse ö sind, wie ekenkalls
bekannt, ausgedrüekt in 6er Relation:

 6)

Dass dis Planeten in Ellipsen 8iek bewegen, in deren einein
Brennpunkte sieb die Lonne befindet, Kat 8ekon Kepler gelekrt; in
lkn8iokt der Kometen aber Kat man bi8ker angenommen, dass ikre
Kalmen eken80 gut kllipssn als anek Parabeln und Hyperbeln sein
können, kenn clie kleiekung 5) i8t ganx allgemein uncl gilt kür alle
Ksgelseknittlinisn. Kinsers Meinung, die vir an bstrskksndsr Ltells
näker begründen werden, gebt dakin, da88 auok die Komstsnbaknsn
au8nakm8lo8 g68ok1o886ne Kurven, al8O KIlipssn sind, dis aber bsdeu-
tende Kxeentrieitäten bssitxsn, wäkrend die KIlipssn der Planeten
eine nur geringe Kxoentrieität aukweisen und sieb 80 dem Kreise
mekr oder weniger nübern. Oie Baknen der Planeten und Kometen
sind demnaek xwiseken Krei8 und Parabel eing68oklo88sn, okns ^sdoeb
dis8S beiden Brennen irgendwie xu erreieken; man kennt wenig8ten8
keinen Planeten, dessen Bakn ein Krei8 wäre, umsoweniger ist bei
den Kometenbaknen eine Parabel denkbar, da der Himmelskörper,
einmal in die Lpkärs der anxiekenden Krakt der Lonne gsbraokt,
sieb der86iben unmögliek entxieken kann. Oie Hyperbel endliek mit
ikren imaginären Verkältni886n muss von vornkerein kier ganz aus-
g686kl0886n werden, da das Imaginäre mit unserer durekaus realen
Melt niekts xu sekatken kaben kann.

Menn wir ,jetxt den Mert der konstante /r aus 4) in 3) ein-
setxen, so erkalten wir als Ausdruek kür die kssekwindigkeit des
Himmelskörpers in der l!ab n

</.-« , , , s - / 2 I ..

v — -v, L p I -i- --r v - - /)

7.

Aus der Zweiten kleiekung in 4) des vorigen Artikels kolgt

o (1 m).1)

Letxt man diesen Mert von r in den ^usdruek kür die doppelte
Leetorlläeke in 3) Art. 5 ein, so wird

2K (I -j- m) .2)

30

Oe^eioknet umu in ükiieirer Woiso 6ie grosse Ilnliinoimo einer
lillipse mit äie kleine Unlknekse mit ö, so ist «Zor Vlnolioninlrnlt
6er Ellipse deknnntliok »ö/r/ ist terner 17 äie Ilmlnnts/ieit. eines
OInneten, in mittlerer /.eiteinlieit nnsZeärüekt, so erZikt sink uns 2),
wenn mnn von 6er Leetortlnelre nut 6ie sinodo 6er Zungen klllipss
überZelrt,

2n1-7r — 717 (1 -^- m)

ö-

o6er veil n — - ist-

K

2r/^7r — 717 V 1 -j- M.3)

In 6er Ellipse eines nnäeren Olnneten sei n' äio grosse Unlk-
nolrse, 1/7 6io I/mlnntsMit, 6ie Nüsse desselben »r', so ist nnnlog

2u'^7r — 717' V 1 -j-
daber

K^: H«(1 M) : k/'« (I -,- m')

vorin 6ns keriebtiZle dritte Kepler'sebe Oos6tx nnsZesproeben iiogt.

6ol/t ist 6s nn 6er ZmO 6n8s vir nuolr 6itz Oonstnnts /r« ks-
8tinnn6n; 6i6 OIsiolrnnZ 3) Zibt

^ns 6sr siäerisetien UmInuksMit 6er liiräe 17—365'256374 4nM
nncl ctor Nnsso rierselksn M — ^rZikt sied, venn vir » — 1
setMN nn6 6nlror 6io Zro8Zs linliinoiiso 6or liirclbnlmsllipss n!s Oün-
MNkiniioit nnnolnntzn,

1</L — 8'2355815 — 10 im OoZonmnsss.

gölten vir kinZgMN 2/r — 360"— 1296000", so kommt

7" — 3'5500066 in 6ooinuioir

Wo6 2zr: 17 — 6or mitlloron tüZIioken OovoZunZ ZIoio5Z686t?4
ist (sied I. 1), so ist nrmir

V1 -j- m

Woil 17 in 7'n^on nu8Z66rüokt ist, so keäoutnt 1 im ^nrmon ?ro-
I>l6m 'I'nuo un6 L« 6io in cisr lintlornunZ — 1 nn oinom mitt¬
leren 8onnentnM bevirkte OesedlennigunZ; nuoli sin6 nlle -inm Vor-

31

sebein kommenden Vistan^en, also aueb in kinbeiten der grossen blalb-
aebse der krdbabn ausgedrüekt. — ll.tt te man beispielsweise k/ in
Leeunden verwandelt, so würde dann die lZesebleunigung in der
ersten Leeunde bedeuten und t müsste ebenfalls in Leeunden aus-
gedrüekt sein.

Anmerkung 1. Voi der vereebnung der Ltörungen, welebe
der Mond dnreb die Lonne erkäbrt, wird es, nm eine Versebiedenbeit
in der kängeneinbeit E vermeiden, geratbener sein, die mittlere knt-
kernung des Mondes von der krde als vängeneinbeit ein^ukübren.
ve^eiebnet man diese kntlernung, welebe gegenwärtig xu 384415'5
Kilometer angenommen wird, allgemein mit »' nnd setxt u — u'l, so
verwandelt sieb die VIeiebung 3) in

2 — Lk/V 1 -j- M .3/?)

Als der wabrsobeinliebste Mert für die Entfernung der krde
von der Lonne gilt beut Zutage « — 149'31 Millionen Kilometer bei
einer blorixontal - Aequatorial - varallaxe der Lonne von 8'81",
sonaeb ist

388'412

K

d. b. so vielmal ist die Lonne von der krde entfernter, als der Nond:
fübrt man diesen Mert von in 3/?) ein und set-d a' — 1, so wird
für diese vängeneinbeit

2-1195135

bestimmen wir daraus /?, so baden wir die An^iebungskrakt
der Lonne in der kntlernung u', in weleber vängeneinbeit dann alle
verkommenden vistanMn aus^udrüeken sind.

Anmerkung 2. Vie tlleiobung 3) gilt natürliob aueb für das
Verbältnis -iwisoben einem vlaneten und dem ibn umkreisenden Monde,
blun beträgt die IbnlaulsMit des Mondes der krde kl— 27'321661
mittlere Lonnentage, die Masse desselben (im Verbältnisse ^ur krd-
masse) ; mit diesen xwei vaten und der Annabms l wird

9 - 3589641 — 10

wo die von der vrde an einem mittleren Lonnentage in der Ent¬
kernung a' — 1 bewirkte vesebleunigung bedeutet.

kür dis vesebleunigung in einer beliebigen kntkernung -- bat
man also gan-i allgemein

/2?r u,

x kl 1-j- m

32

8etzt MAN bierin äie Umlnutbzeit äe8 Nonäe8 N' — 2360591'5
8eeunäen, a— 60'2778, weil nümlieb äer Nonä 60'2778 krä-
rnäien von äer kräe entkernt i8t, cr —384415500 lVleter unäm —
^0 kommt ^ 9-7727-

nl8 kc^ebleunignng in äer er5len 8eeunä6 kmk äer Obertlüebe äer
kräe; äie Ver^uebe geben nnob 8ebmiät nm Aequntor äen IVert.
A —9'781"'. An äiö86m keiKpiele bet keknuntliob Tevton äie kliebtig-
keit 86inor Ibeorie erprobt.

Anmerkung 3. IVeil 8ieb in gleieben kntkernungen äie An-
ziebung8krükte zweier Körper 80 verbuken wie ibro Nu88en, 80 MN88
äie Proportion oxistioron:

2

m : 1 nl80 m — ! — i

^ir butten oben kür äie kntkernung ä68 Nonäe8 von 6er krile
uk küngeneinbeit gekunäen:

9-3589641 — 10

— 2 -1195 135

7-2394506 — 10

4-4789012 — 10, m

ul.8 Un88e 6er kräe.

Ilm äie 8uobe zu verullgeineinern nnci überbuupt einen Au8-
äruek kür ctie Nu.886 ein68 l'Iuneten, 6er einen Nonä bs8it.zt, -;n
Akvinnen, 8nb8litnieren wir in 6er kmfA68t.Mt.en Oroportion kür nnä
üie in der vornnAebenüen Anmerkung gegebenen Allgemeinen
IVerte; 68 i8t. nneb HinvveglnWung Ü68 gemeinLobnktlieken Knolor8 4^r^
a'' ,

: v^slUs — M

wo nl80 ÜN8 er8te filieü clie ürsi Klemente äer Nonclbnbn, clie krüe
nk (lentrnlkörper geünebt, Ü9.8 /.weite Oliecl 6ie ürei Klemente äer
krübnbn, üie 8onne nk Olentrnlkörper betrnebtet, entbült; i8t clie
Nn886 668 Nonües im Verbält.ni8 zu äer äer kräe, M äie Nn886 äer
kräe, in kin beiten äer 8onnenmg.886 nu8geärüekt. On8 er8te Olieä äer
Proportion (mit 4^ multiplieiert) beäeutet äie Anziebung8krukt äer
kräe, äu.8 zweite äie AnziebungZkrnkt äer 8onne; wir können un8
liier « — «'il wie trüber gS86tzt. äenken unä bezieben so äie 1Virk8nm-
keit beider Krükte nuk äie kntkernung — 1; äureb eine kleine
Ilinkormung erbnlten wir

II" (1 -») : H^(M mm') —

33

Orüolrt man die Nn886 668 Nondo8 in lOnüoiion dor 8onnon-
mg.886 UU8 und 86I2I domxukoIZo IN — -nm', 80 wird

77^(1 -j- m) : -j- Nl) — : «'3

ein 6o80lx, vololi68 8oüon in Howi0N8 ?rinoipi6n III. 10 nnMdout.ot i8l.

Ournu8 ündot innn

Ooxoiolinot mun mit. 7^ 6i6 IIoriMnIuI-^6quulor6uI-?nrg.IIux6 dor
8onno nn6 mil 7^ 6i6 668 Mond68, 80 i8t., vio loioük xu bovoi86n i8t,

— «': «/ voil ferner 1 -j- -n von der Linüoit um Üu886r8l
vv6niZ68 udwoioüt, 80 Iü88t. 8ioü mit üinroiolronder OonuuiZkoit 8UMN:

M -j- M — M (1 -j- -»') —

Nun kolcomini nko 6io voreinio lürd- und Novdmu886 nl8 6in
XU8UINM6NA6ÜÖriZ68 IÜMX68 in oinom; 68 i8k ukor leioüt 6in-!U86ll6N,
dn.88 dio 8iekorÜ6il. d68 K68ulknt68 Zur 86Ür ublnillgl. von dor KonuuiZ-
k.sii 668 V6?Ini.1lni88S8 ^vvi86li6n den boidon ?nrnllnx6n. I^iinml mnn
7^ — 8'81", 7-7« — 57'2'06" un, 80 ordüll inan

M m — M (1 4- nr')

II8 86i dünn M' — -^0, ^vii'd

  1 so  1

3S7M9 ' si 33S008

IInt6r d6N A6A6t)6N6N ^nunlunon 6I'IniIi mnn folZIieK ul8 lVIU886
d6l' 10'6 6 rund

1

3W0W

8.

0i6 KIoieliunA d6r Lulnr

"0 .1)

1 -^- e ess r> 1 E v

861.21 UN8 in don Ktund, kür.joden Oolurvvinkol velolrur in unserem
Oroblem die wuüro Unomnlio Zonunni vird, don clnxu golröriZon
Kudiu8vookor n odor dio kntkornunZ d68 Himmol8lrörpor8 von dor
8onn6 xu korooünon; dio vvuüro ünoundio i8i nüor eino von dor Xoil

3

34

abbängige 6rös86. Lb i8t naeb allgemein gebräueblieber i^nnabme
« — 0 ?ur 2eit, vann cler Limm6l8körper ber 8onne am rläoli^ten
^u 8teben kommt ober venn er im Deribel (8onnennäbe), cl. i. im
Dünkte -r (Lig. 1), 8ioli bekmäet; io cii686m Lalle vircl ako, veil
v — 0 i8t,

al8 Minimum. Lelinbet 8iob ber LimmeLkörper am entgegengeZSt^ten
Lucio 8oioor Laim ober in bem^enigen Dunkle, vo er von 6er 8onno
am veit68ten ab8tebt, volebe 8tsIIo cia8 I^pbel (8onnontorno) genannt
wird, 80 i8t v — 180" unci

a(1 — e°)

-- — "<4 e)

ai8 L-laximum. Die VsrbinäunZsiinio ^vvisolion Deribel unä I^pbel vircl
^p8iäoniinio genannt icncl i8t claber einerlei mit ber gro88en ^oii8O 2cc
6er Mip8b, cionn cr(1 — s) -^- a (I s) — 2«.

Lür V — 90", 270° virb r — a(1— s^) —äom kaidon ?ara-
motoi'.

Ilm nun V kür ^o6sn beliebigen ^ngenbiiok äsr Ilmiau^eii
k68timmen 2N können, MÜ886N vir V ciurob r au86rüeken, ci. i. änrob
6ie L.n-:abi 6en "Lage, 6ie 86it 6er koribeiiroii, clio vir mit be-
^eioknon vollen, vertloWOn 8incl. Leäontet nämliob T' irgenä ein
Datum, an velobem 6ie vabro Anomalie v beträgt, 80 i8t il— 7 — 7'„
bei reebiläubger nnä — 7^ — 7' bei rneklänsiger Lmvegung. L8 i>t
aber infolge 2) ^rt. 5 un6 1) /crt. 7

(I -j- m) . 2)

Damit clie Dillerentialgleiebung nur 8olebe Veränclerliebe ent-
balte, (lio im Differentiale vorkommen, 80 clrüeken vir bier mb,
^nbillenabme von 1) r 6ureb V au8, bann virci

(1-^-r EV)" .

Dig8 i8t bemnaeb clie ma88geb6ncle Diklerentialgleiebung, bis
üur Integration komint. -- Lür

35

a) äis Bewegung lin Lrsiss

kalil diese Integration sebr einkaeb aus, denn ist 6 — 0, so wird
r — — K/ bedeutet d'aber « den Radius eines Kreises, so bat man

, LV(l-stm) , LVl-stm,., ..

--cÄ, also V — r> —-st-st — 0 . . . 4)
«/- <r/-

Oie Lewegung im kreise ist somit eins gleiebkörmige. — kür

b) die Bewegung in der Bllipse

wo e xwiseben den Orenxen 0 und 1 eingeseblossen ist, lässt sieb
3) .niebt. unmittelbar integrieren, sondern erst naeb kinkübrung eines
Oilkswinkels. Weil der obigen Russin andersetxung gemäss in einer
Vllipse der kadiusveetor r im Minimum «(1 — e), im Maximum
«(1-sts) wird, so ist es gewiss erlaubt, allgemein anxunebinen

---— n(1— sw§A).5)

wobei dann ekenkalls kür L'^OderRadiusveotor das besagte Minimum
und kür —180" das besagte Maximum erreiebt und üie Verbindungs¬
linie cler beiden Orte die Hpsidenlinie bleibt; cler Lebeitel dieses
neuen ^Vinkels liegt daber in cler Apsidenlinie. km die kage des-
selben noeb genauer -in ermitteln, nebmen wir — 90" an uncl
bestimmen die bange des auk 6er grossen ^ebse senkreebt slebenclen,
bis an äen Ilmkang Zer KIlipse reiebenclen einen Lobenkels von
in diesem Valle ist also r —n uncl inkolge davon 1 — — 1-steeo8V

oder ens r-— —s. Im reobtwinkligen Ilreieeke, welebes riur H)cpo-
tbenuse den Lebenbel cv ^u einer und aoo8(180 — V) — — aeo8v —«s
xur anderen Vatbete bat, ist nun

«2 — ,2^ 2-2 — ^2^ ^,2

llemnaeb ist dieser auk der grossen ^.ebse senlcreebl siebende
Lebenkel cr die kleine Halbaebse selbst und der Lebeitel des ^Vinkels
A im Mittelpunkte der VIlipse gelegen, wesbalb er auek exeen-
trisebe Anomalie (Anomalie aus dem Oentrum) beisst. Ltatt 3)
wird nun, wenn in 2) kür aus 5) substituiert wird, 4

«°(l — S668^)^^r> —

Ilm integrieren xu können, muss .jetxt aueb c/r dureb c//l aus-
gedrüekt werden; es ist aber vermöge I) und 5)

I — s'-r (I -st 6608v)(l — 6668^)

3»

36

bost man äioso OloiobunZ naob rusv auk, 80 kommt

ros 7?— s
ms v — .-

1 — 6

eosZ?

  6)

Liläot man äaraus 1 — oosV nnä 1 -j- ess^ so orZibt sink vor-
inittolst Division

, « v/l-l-s.L'


Oifforon^iort inan äioso (tloiobnnZ in läinsiobt auk äio böigen
Voränäorliobon v nnä so kommt

->/l ^!!

ckv _— ckL.. Mr 7)

1 — ecosA

blaob binsoMnnZ äio.sos äVortos von civ Zostaltot sieb äio obiZo
OikkorontialAloiokunZ ?u äor kolZonäon
  

a^(1 — scosA)Vl —

läoäonkt man, äass/» —n(1 — -e^ist nnä intoZriort, so orkalt man



  

L — e sinF .8)

«/-

"Will man L" nnä TU im Minkolmasso ansZoärüokt babon, so
vorvanälo man s nnä /r in Loounäon (siok tVrt. 7). Voll äor Vt'inkoi
äs nun Zoraäo so kostimml vrirä, wio boi oinor LroisdowoZunZ, so
nonnt man Mn äio mittloro Anomal io nnä äon DotraZ





" - 

äio mittloro tä^lioko läovvoZnnZ. ^oil boi oinor MiEn blin-
ärobnnZ äos blimmolskörpors um äio 8onno M — 360" «irä,
so bat man auob -insoIZo 8)

  

vrio vir Zloiob oin^anZs äioso mittloro tüZIiobo Oovo^nnZ bostimmt
babon. ^nob aus 3) sVrl. 7 orbalton vir äiosolbon ^usärüoko Mr /<,
nämliob


__ 27r _ 

37

aus weleber Oleiebung sieb » linden lasst, wenn (7 bekannt ist, wie
«lies bei Ikestimmung von Kometenbabnen in Zuwendung kommen wird.

Ilm daber die wabre Anomalie v kür die /eit cu bereebnsn,
bestimme man vor allem 4/ — indem man di«; seit der Keribel-
csit verflossenen 'Vage mit der mittleren täglieben Oewegung multi-
plieiert. Von der inittleren Anomalie gebe mall dann über auk die
exeentrisebe vermittelst der sogenannten Kepler'seben Oleiebung:

47 — — s si-rA.10)

Kür die numerisebe kereobnung von aus der vorliegenden
Korme! gibt os mebrere Vorsebrikten; bei geringen Vxesntrieitäten,
wie sie bei Klanetsnbabnen vorkommen, geseliiebt. diese Oereebnung
von /7 noob am einkaebsten auk inlbreetem Wege, indein man im
ersten Versuobe auk cler reebten 8eite 6er Oleiebung

— M s sr»

77—47 setzt; mit dem so getunt! en en 7t' wird 6er Versueb wiederbolt
und das Verkabren so lange kortgesetzt, kis^sieb niebt mebr ändert; )e
kleiner e, desto raseber die Konvergenz. 8ind 7t' und 0/ im Winkelmasse
ausgedrüekt, so Krings man auek e auk Leeunclen, inclem man es mit
206264'8, «kessen Oogaritkmus 5'3144251 ist, multiplieiert.

Ist /t bereeknet, so lin<let man äie vakrs Anomalie L> dann
aus 7); bekuks bequemer logaritkmisoker Oeeknung gibt man dieser
Vormel getvoknlieb eine andere (lestalt: set-it man nämlieb

e —si-r«s.11)

so tvird, «eil /g ^45 - — rutA^45 ist,

^ 2 (7^45 ..12)

Oei Lometenbabnen, deren lllllipsen eine bedeutende lllxeentri-
eität besitzen, bewirkt das obige indirekte Verkabren kür die Oe-
reebnung von L' eine sebr langsame (konvergenc, daber es in diesem
Valle unbrauebbar wird. Allein bei langgestreekten Vllipsen ist der
in der lMbe des Veribels betindliebs Ikogen von einer Oarabsl fast'*
gar nabt verscrbieden, wie wir weiter unten dies beweisen werden.
Vür die ^eit der 8iebtbarkeit der Kometen, welolie /eit eben in die
Mbe des Veribels källt, kann man demnaeb, oline einen nambakten
Vebler cu begeben, die Kometenbabnen als Varabeln anseben und
die Ikereebnung der einzelnen Orte darnaob einriebten. — Kür

38

o) äis LswsZulio in äsr karabsl

überlebt aber 6ie OikkerentialgleiobunZ 3), weil s — 1 wir6, in

</« _ 

(1 -j- eos v)'-°

Kun ist.

^2 1 "2 1 /1 , , » 7,^

7^1-— - — - - '-— 4 I 1 -b I

(1-l-M8v)2 , .V „V „B

4 re« 2cos^ ro«

6cül61'

^2 ^2^2 -^vO

Vermittel8t Integration bekommt man

, r- 1 17?" 2LVl-)-»» ,

^2-^-z^2 -- — . 13)

Um 6itz86 6ubl86ll6 Olsiebung auIIÖ86N 7!II können, 86t^6 Mail
auf tlriui<I iler karclani^elien Korniel

77 V2 i / /1/ 71

3// /1 , ,„ ' V '2 ' ^0 ist 2coi!A 2n . ... 14)

Da cliö Iitzlio66ntri56li6 HevvsZunA äsr ^omotsu in äöe Mlis 668
^6i'iti6l8 LU886ror66QlIioIi Zr088 I8l Iin6 oü IQ ^V6i Llonal.6n Qati6 an
30«)" bsträZI, 80 bleiben knr 6ie übriZe bsmIaukWöit 6er ivabrsn
Unoinalie nur inebr MeniZe Oraäe übriZ, kür ivelebe einxeln, venn
einmal 6ie elliptiLeben öalmelemenle 6er Kometen Zenan bekannt
MMOi'äen 8in6, man au8 6er Kormel

^2 ^^45 — 0/ 2

6ie entZpreebenäen exeenlriZeben nn6 6arau8 mit Kenüt/nmZ von 10)
6ie mittleren Anomalien reobnen kann; an8 8) ergeben 8ieli clann
6ie 6a2U KeböriZen weiten. Huk 3ie86 Urt ün6et man 6ie belioeenlri-
8eken, unä ivenn man will, clann aueb 6ie Zeoc-entriMken Orte kür
6ie weiten, wo 6ie llnnakme einer paralioli8<!ben kewegunK; niebt
erlaubt i8l. Xwi86benpO8ibonen Ia88en 8ieb vermiltel8t Interpolation
b68timmen,

39

9.

Is! auf die anZOMbene Weiss; bei einem I'Ia rieten oder Kometen
die waffre Anomalie B ermittelt worden, so ergeksn siel» «lie übrigen
lielioeentriseffen Orössen auk löIZendein WeZe. Aus 5) des vori¬
gen Artikels Irst wen für den Kladiusveetor oder die KntkernunZ des
Himmelskörpers von der Lonne

-- — «(1 — eoosA) . 1)

Kür den parakoliselien d'lreil der Kometenbaffnen erliäl! m:m
nus 1) des vorigen Artikels, wenn s — 1 Zesetxt wird,



 2)

2 MS«;

^Veiters ist in allen Kallen

r< — -r V —  3)

Aus 2) in I. 1 kolZt Mxt

/A (/ — K) — Msr . 4)

tim den Ou ad raut en von —K) xu treffen, aeffte inan wotrl,
welvlie Vorxeielien kür si»(^ — K) und cos(^ — <A) aus 2) in I. 1
resultieren.

ö — sr'n (7 -— K) tzO.5)

Von den lielioeentriseffen Koordinaten r, ö Zelie man nun
über auk die Zeooentrisetien /?, vermittelst der in I. 2 ent¬
wickelten Kormeln:

» ^sr-rt/v — ü) .



^(>t — 0 — - . . ), -— -s . b«)

rMsö-)-ÄMs(A/ —

oder wenn r eos /- --< A sein sollte:

„ -MNs ö sMk^   0 „



. 6H

L-^^MsöM8(^ —

" srÄ(^> — /) , ,

— — /7^ -Wsü.7)

SM(L —/)

Aus 8) in I. 2 trat man xuletrrt

— A>« -§- 2Lr Ms cns — /) . 8)

womit die KereeffnunZ des einzelnen Ortes xu Knde Zeküffrt ist.

40

Damit «ter blintlu88, weloben Rebler oder ^enderunZen in den
belioeentriLeben Ooordinaten auk die ZeoeentriZeben au8Üben, er8iebt-
lieb werde, möZen bier noeb die Dikkersntialkormeln kür 6) und 7)
DIatx binden. IÄ i8t

oos ö st-r s^ — 0 , . »'oos ö oos s^ — 0 „ . r si-r k-sr-r 0 „
M —- —-— — -utO— —-- -«o

e e s

_ckT, 4

—y ^8M2S AA(^-Y-!

0i686 xwei Wormeln Iei8t6n aueb der LtörunMreebnunZ Zute
Dien8te, da man vermittelt der8elben die LtörunZen in den keob-
aebteten DänZen und Lreiten bereebnen kann, wenn einmal die
LtörunMn in den b6lio66ntri8eben Orten bekannt geworden 8ind
(8ieb VI. 3 am 8eblu88e).

10.

/ur DereeknunZ eins8 einzelnen 0rt68 benötliiZen v!r demnaek
86ob8 Oonslanlen: 1) Trr, die känM ds8 Deriliel, womib die I.aZe der
4p8idenlinie be8timmt i8t; 2) K, die I.änZe de8 auk8tei8enden I<noten8;
3) i, die bleiZunZ der blabn; 4) die ZrO886 Halbaek86 oder 8tatt
der86iken den kalben Oarameter: 5) e, die Lxeentrieitat und 6)
7'„, die /<sit, wann der Oimmelekörper im Oeribel 8tand. ^N8talt
<Iis86r Zeit, die den iVu8MNZ8punkt kür die iLablunZ der 7'aZe bildet,
kann aber aueb ein anderer Zeitpunkt Zevväblt werden, wenn dem-
8elben die ent8pr66b6llde mittlere Anomalie beiZeküZt wird, oder mit
anderen Worten, 68 mu88 in der Formel

XU einein b68tiimuten Datum 7' aueb die tznt8^reeb8nde mittlere
Anomalie 4/ geZeben 86in, damit au8 der OleiebunZ

?')..«)

7'„ Sekunden werden kann. Die86 ilureb 7' ZeZekene /.eit nennt man
kpoebe. In den Oüebern und 7'akeln, wo die Ilabnelemenl.e kür die
ver86bieden6n DIaneten und Komelen xu8amm8N868teIIt 8ind, bndet
man bäuliZ kür eine be.-dimmts L>>oobe 7' die mittlere DänZe 47^
anZeZeben, von weleber DänZe man al80 die DeribsllünZe 7r abxuxieben
bat, uin die enl^preebende mittlere Anomalie 4/ -m linden. 1^8 i8t

41

aber niebt notbwsndig, l7g aus «) zu resbnen; denn 63 bezeiebne 7^
eins bslisbige Zsit, die von der kposbs 7' uin viels dakre verssbieden
sein kann, und 47- die dazu gekörige mittlsrs -knomalie, so ist analog
wie in «)

M»^-<u(7l-—T'«,).  /?)

8ubtralusrt innn «) von /?), so ergibt sisb

4/,^ 47-^,-(7^-7").1)

woraus man kür eins ^eds belisbige Zeit die Mittlers tknoinalis be-
resbnsn kann. Lollte 6er Zeitunterssbisd 7^—T'grösser ssin nls dis
Llmlaükszsit clss Llaneten, so bringe man die letztere sinkaob davon
in Ikbzng.

Zu <lsn genannten seebs LIemenien der ltabn gesslit sieb zuletzt
noeb dis Klasse nr clss Himmelskörpers, welebe, namsntliek wenn sie
bedsutsnd ist, berüeksiobtigt werden muss, weil sie die mittlsrs
lägliebe Lewegung p besinllusst. I >ei den KIsinen Llanetsn und
Ivomstsn wird die Klasse vernaelilrtssigt, weil sie wsgsn ilirer lOeirr
beit in LIinsiebt unk die Lonnsninasss in der keebnung vsrsebwindst.

11.

Lis uaeb dsn kormsln im 4irt. 9 bsrselmete gsossntrissks
lLngs und Lrsits liezisbt siel> auk das mittlere ikecjuinoetium, kür
welelres die Klemente ^7, r, Zelten; will man nun daraus dis sebein-
l>ars (^irkbebs) Losition abloiten, um sis vislleislit uni der Leok-
aelrtunZ vsrZIeislrsn zu können, so l'üZs man zur kereslmetsn Längs
7 clis Lräosssion kür dis ^wissüsnzsit und die kür dieselbe Zeit statt-
lindsnds Mutation binzu; dis Lrässssion reelnie man nask dsr in
I. 4 gegebenen Vorsebrikt, dis Mutation aber aus dsr kormel

^/7 — - - 17'258r'n K„,

wo dis Länge des auksteigsnden Nondknotens bezeiebnet, wslsks^
(!rosse man in dsn kpbsmsridsn angegeben ündst oder dsn Klond-
taksln entnslnnen kann.

Lie so eorrigierte geooentrissbe Länge und unvsrändsrts Itraute
werden ^etzt mit Klilks dsr sobeinbaren 8ebiske dsr kkliptik
in Lestasssnsion und Lsslination verwandelt. Klan ündet eeben-
kalls in den kpbemeridsn angegeben, kann aber diese (irosse aueli

42

8tzll)8f dsrseiiuM, indem man rumrsl e au8 I. 4 Mr «M; ktzl.rsffoude
/kil b68liininf unči den kölraZ Mr di(! Kulaliou

— -^- 9'22rus KM

iun^uMZi, wo K>,„ ciiu MMZs cMs NouciknoMns wie obuu körisiokutzl.

lMr dis Verwandlung der liänge und krede /? M keela-
866N8l0u und keolination tt, 6 erilält man UU8 dem Zpkäriizelmn krei-
eeke rrwiseiren den beiden kolen d68 ^6^uator8 unči der klcliptilr
unči dem 668tiru folgende kundamentalMrmein:

ros u ros 6 — ros /. ros /)

si-r« ros 6 — si-r /. ros ros s — si» /) si» s

si-r 6 — si» /. ros /? si» e -§- si» /Z cos e

wo e allgemein die Lebieke der KKIiptiic be^elebnel: in unsrem Muliš
baben wir un8 darunter die 86i^einbare Lebiefg /u denken. ksbuik
becjuemer logaritlimiLeber ksoiiuunZ ssMo inun

io^V— . uunu wiru
sr»/.

iAö si»«il/(^-^-s)

/Vuk cii686 ocior oino ciocM 86irr üilniicMo VVuri^k! worclcul clio in
risu grosssu illpiiomoriciou (I^uulieui /Viinunue, i^oriinor ^uM'Ilueli unči
uulioro) unMMbouou kroiioinkurou (uppur6nl.68) k6olU8O6N8ion6n uu6
Osolinutionon cior bowoZIioilsn (iostirns Zsrootinot; koi cisu MunoMu
ZouuZt. 68, (ii686 iMeiluunZ Mr Inisrvulis vou visr ?:u Vl6l' 'l'uA6u 2U
Miireu, cil6 /wi86li6upO8itiou6N ub6r 6uroli iulgrpolaiion ?u il68timm6il.

12.

4ln86i'6 860k<U6illunA6n cMr Himiubiükörpsr göbsu 6ii6uMIl8
8c1l6inkur6 iMoMMONÄousn unä OgeiinMionsn, uksr 6i686ik6u 8in<1
mil ?uraiiux6 uuci ^bsrrMiou beilMMt: will muu 6uii6r eins l>6-
ollUoIlMuZ luil 6sr ksreolrnEMn illpiioiusrMs vörZIöieiiou, 80 iuu88 inun
dis 6r8i.6r6 vor ullsu vou 6sr l'urulluxs beMtzieu; 6l68 8686lli6ilt.
auf kolgsucio IVöiss. keäeuieu «, ö die ZLooenfiMcMs, cr'^ 6' dis k6-
obaoliloftz iM6ta866N8iou uuci IMoliual.iou d68 ti68liru68, cli6 OrM-
8t.6ru-:tzil der IMobaoIlfuuZ, P' di6 Mooeutrisokö odsr V6rb6886rls ?oi-

43

Kolik citzs Ort.tzs, 75 momenMnc: nut citzn Ort rtzciuoitzrttz iiorixontnl-
tVecjUNtorgnI- knrniinxtz äs8 Osstirntzs, so ist Mr niis Otzstirns, mit
Husnninntz cltzs iVlonäss, kininnZiiok Zennn

, , -r oos m sr»(A — cr) ., , /rsr-rw EM — 6)

« — « M-<-— — c ü — c) -i-—---

cos o «r-r

-F-t

cns(7t-—«)

Dis momöntnntz Ank citzn Ort rtzcineierttz 4lorjMntni-tVtzc;nntor6nI-
iMrnilnxm Ti cies Osstirntzs srZikt siok ruis MIZtzncitzr ktztrnekinn^.
Ist c- citzr wirkiiekg iilrciknibmtzsstzr Mr Mm UtzoizneMnnZsort, z-7 Kitz
vvirklitzktz ilintkärnnnZ ätzs Otzstirntzs vom IVIitttzlpnnkttz citzr klrätz, ö cier
^tzcsULtorkglkmtzsstzr ätzr ilircis, « ciitz mittiertz IlntMrnnnA citzr 8onntz
von citzr krätz, ci. i. ciitz von nns obsn nnZtznommentz känZtzntziniitzit
Mr ciitz nm Himmel vorkommtznciön LnlMrnunZtzn, so ist

s s

sr-r 75 — - - -

^7 o «

ö : cr „

" snr //,
^0

liier wurcitz AtzstzMt » cl. i. citzr in lÄiMtziten von ö nus-

Ztzärüekttz LrciknMmtzsstzr citzs LtzobneMunZsorttzs; ö:« —-cvo
Tik ciitz HoriMntnI-^tzquntortznI-?nrniInxtz cisr 8onntz (ZeZtznvnrtiZ rm
8'81" nnZtznommtzn) btz^tzitzimtzt; .M mc — ciitz in klinktziien von «
nusZtzcirntzirttz iilntMrnung ciss Otzstirntzs von cier lllrcitz, ciis sonst tzin-
Mek mit ^7 btz^sitzlmtzt xvirci. WgMn cisr Mitzinktzit cier IVinksl 7r
nn<i /7, (^vtzioktz kMtzksMbsn in ciitzstzm ^rtiksi niso tzintz nkgssoncitzrttz
litzätzntunZ icnktzn) knnn mnn snZtzn:

75 —

Soll
^0

Otzinnnok ist — Z/, sine Oon.stnnttz; imxsiclintzn wir cinker
Sn

mit 7r'^ unci e'„ ciitz btztrtziMncitzn Orösstzn Mr ein nncisrtzs Otzstirn
nnci tzintzn nncitzrtzn klrciort, so ist

^S'o ^'^'Sn

Mr tzinsn nnci cMnstziksn Ilrciort ist (>„— ciniitzr ciitz IMoporiion
75 : 75' — ^7'' -c/

68 Vtzrknittzn 8itzk cltzinnntzil Mr tzintzn IMciort ciitz knrnlinxtzn xwtzitzr
Otzstirntz witz nmZtzictzkrt ciitz lIntttzrnnnZtzn citzrstziictzn von citzr iilrciö.

44

Ist nun 6io ksoknoktunMMit (uusZoärüoIct in mittloror ^oit),
so vorminäoro mun 4i686lko nm äis llokl-ioit un6 soixo ulso

7^§- 497'°o^/o

k'ür 4i686 2oit 7^ bostimms mun uns 4or Lpksmoriäo vor-
mittolst Intsrpolulion 6 unči vorZIoioks äisso bsiäon ln'össnn mit
clsr xnr Xnil, bookuoktotsn un4 von äor I'urulluxo dokroitsn kootn-
soonsion nn6 Osolinution äos Oostirnos, so Zibt 6or Ilntorsoliioä öo-
obuoktunZ voniZor ksoknunZ 6sn k'eklor 6or LpdomoMo 2nr 2oit 7'

III. ^dseknill.

83knb68timmung.

1.

-lolxl kebunbeln wir bis umMkebrle, um violo» sebvvieriMre
^utzube, wie mun uus ben OeobuebtunZen eines lbimmelskorpers bie
seebs bloinouto seiner Oului ukloiton kanu, (Ionu bus »jokon 1.0 blomout,
bie Russe besselben, lässt sieb uut biesem >VeZe niebt bnben, sonbern
muss unbsrswober bebunnt sein.

Oie OeobuebtunZen unmittelbur geben, wie bemerkt, sebeinbure
mit Ourulluxe uncl ^berrution bebuttete Oeetuseensionen unb Oeeli-
nutionen; wie mun bie Ourulluxe wegbringt, ist bereits gexeigt
worben. Meil bonnoeli bis blutkernung bes Ibiinmelskorpers lioi ersten
Ilubnkostiinmungon noob nlokt kobunnl. ist, so wirb man bioso tlor-
reetion uuk oiuo spätere /.eit versebieben, wo Klo Oistunxen sebon
nubexu riebtig ermittelt sinb; besitxt man über bereits genäberte
Oubnelemente, so lässt sieb bie Ourulluxe sofort bereebneu uncl
un clie lZeobuektunZen unbrinZen. Oie so eorriZierten ocler uueb niekt
oorrigierten Oeetuseensionen unä Oeelinutionen «, 6 werben bunn
mit blilke cler sebeinburen Zebiete äer Okliptik s in OänMn
uncl Oreiten verwunbelt, wenn clie I'lkliptik uls b'unclumentul-
ekene unbenommen wircl. Our ckoso VervvuncllunF erZeden sieb uus
clem trüber erwäbnten spbärisebeu Oreieeke tolAenbe bunbumonlul-
tormeln^

oos /9 E >l — eo« <l ros tt

ros /? <Mr — «r-r cl sOr L ros ü s/-r« ros s
SM — SM 6 rOS L — 60S Ü KM « SM L

Oebuks bequemer loZuritbmiseber Oeebnun^ setxe nnun

M,> ——clunn wirb
o

,0 SM >t rotA (r -O L)

46

Oie 80 erdnltenen düngen uncl dreiten kekreit man von äer
dixsternnberrntion; sinä nnmlied äie vndren, /Z' äie von äer
dixsternabsrrntion nküeierten düngen unä dreiten, 80 ist beknnntlied
>t — >t' — 20'445" so« (7i — /t) seo /)

— /?' — 20' 445" SM (7/ — SM /?

^ulet^t dringt mnn noed äie dlutntion in T^b^ug unä beliebt
äured Anfügung äer drüeession nlle Oeoknodtungen nuk ein gemein-
sednktliedes ^.eciuinoetium. Oie beobnedteten weiten verminäert mnn
nin äie diedt^eit 497^ ^, vns nder, vin bei äer dnrnllnxe, erst ännn
gesededen kann, wenn äie Oistnnrien venigstens nnnüdernä bekannt
gevoräen sinä. — Dios sinä in kür^e äie Oorreetionen, äie mnn
nn äie Oeobnebtungen nn^ubringen bnt, nin äieselben kür äie Onbn-
bestiinmung geeignet ?u mneben.

2.

Oie nuk blull reäueierte Oleiebung einer äured (ton Oooräinnten-
nnknng gsbenäsn dbene, vie vir sie im II. ^ksednitte, ^rt. 2 bereits
können gelernt linden, lautet:

— rv-/"s' -^- Lv'r/"L — L-'M" -§- Lv"7/L' — cv"i/'s — 0 . . . 1)

Oer in dieser Oleiedung nusgesproedenen Osäingung müssen
niso äie reedtvinkligen 6oor6innten äreier im knnme dskincllieden
dünkte genügen, sollten cliese dünkte in einer nncl clersslden clnred
üen Loorclinntennnknng gedenken Ldene liegen; üieser (lnrüinnl-
korüerung müssen änder nuod 6rei versedieclene Orte eines Him¬
melskörpers dolge leisten, venn mnn äieselden änrod clie reedt-
vvinkligen Oooräinnten nnsürüekt nncl clen Nittelpnnkt äer Lonne als
Ooorrlillntennnksng nnnimmt. Oie vorliegsnäe Oleiodung 1) clrüekt
nns äemnned 6ie Oe^iednng nus, in veleder ärei dsobnedtete Orte
eines dlnnsten oäer Kometen nnter einnnäer steden, nncl nnsere Lnk-
gnde vir6 es sein, ^n^useden, od vir niedt 6urod dinset^nng 6er
nus clrsi klsodnedtungen dervorgedenäsn Onten in clieselbe rm irgencl
veledem l^iele gelungen können, ds seien üemnned nned Anbringung
nller notdvencligen Oorreoturen /?/ /t', /t"^ /?" clie 6en 6rei Oeob-

nedtungs^eiten s!" entspreedenäen geoeentriseden dangen nncl
dreiten 6es dlnnsten ocler Kometen, 7k"/ 7^ L" clie ent-
spreedenclsn ürei kntkernungen un6 geoeentriseden düngen äer Lonne,
vie sie clen dpdemsriclen entnommen vercten können. ^Vüräen
nedstdei nued 6ie Oistnn^en ^7" oäer idre dro^eetionen nuk äie
dklipdk », (>" irgsnävoder gegeben sein, so vüre es ^ukolge cler

47

pormeln in I. 2 sin leiebtes, äie belioeentrisoben polareooräinaten r,
ö/ ö'/ r", ö" unä äaraus äie Rabnelemente selbst ^u bereebnen,
wie weiter unten gezeigt weräen wirä; allein äie Oistan^en

können niebt unmittelbar gemessen weräen, sonäern man mu88 äie-
selben erbt äureb keebnung bnäen, äbnbeb wie bei einer Pslämessung
äie Rntkernung Zweier Punkte, von äenen nur einer ^ugängbeb ist,
bereebnet wirä. Oakei kenötbigt man bekanntlieb einer 8tanälinie unä
Zweier anliegenäer Winkel, welebe ärei Orössen äureb unmittelbare
Messung gefunden weräen. Oiese 8tancllinie 8tellt un8 in pig. 3 clio
L? — 7?, äie Verbinclungslinie ^wiseben 8onne uncl Präs, vor; von
clen beiäen anlisgenäen Winkeln i8t aber nur 6er an cler Präs ke-
linclliebe bekannt, clie 2wei übrigen Winkel 468 einen oäer äes anäern
Oreieekes bingegen sinä völlig unbekannt, äureb weloben lämstanä
cla8 Problem cler läabnbestimmung eben sebr ei^ebwert wircl. Oie
Oeometrie äes blimmels würcle aueb gan^ erkolglos bleiben, wenn
niebt clie im II. ^dsebnitte äargelegten Oeset^e kür äie Oswegung cler
Himmelskörper bekannt wären, unä 68 kommen äaber bei äer Oabn-
bestiinmung aueb niebt äie erwäbnten Oreieeke in Retraebt, sonäern
äiejenigen, welebe äer Oiiumelskörper bei seiner Rewegung um clie
8onne von einem Orte rmm anäern besebreibt uncl welebe 8ämmtlieb
einen gemeinsebaktlieben Rokpunkt im Mittelpunkte äer8onne besitzen;
äiese Oreieeke la886n sieb nämliok, wenn aueb niebt 80 einkaeb wie
äie betreikenäen 866tortlüebsn, al8 punetionen cler ^wisebenireiten äar-
stellen unä weräen 80 kür äie Oösung äer ^.ukgabe überaus nüt-ilieb.

Wir nebmen al8O äer Oleiebung 1) ^ukolge ärei beobaebtete
Orte eines Planeten oäer Kometen an, unä 68 8eien in äem äurok
äen Mittelpunkt äer 8onns gelegten Oooräinatens^steme, weleb68 wir
im I. ^bseknitte näber b68ebrieb6n baben, -r, s/ -x', s'/ r-"

äie reoblwinkligsn Oooräinaten äer ärei Orte 7^, 7", 7^"' im Räume
unä 1) äie Oleiebung äer Rabnebene ä68 blimmel8körper8; äie8«
Oleiebung Iä88t 8ieb aueb in kolgenäer porm 8ebreibens

— -r"/) — — -v"«/) — n'-/) — 0. . . 2)

Oie eingeklammerten ^U8ärüeke stellen sieb uns bei näberer
Retraebtung al8 lauter Ooppeläreiseke oäer Parallelogramme äar, äie
in äer.r-/- oäer pkbptikebens liegen, unä -war sinä äies äie pkliptik-
pro^eetionen äer ärei äoppelten Raumäreieeke r'r" si-r («-" — «) — -r,
rr"sr-r(v"—rr'si-r(V' — v) — welebe äure.b äie ärei Orte
äss Himmelskörpers unä äen Mittelpunkt äer 8onne gebiläet weräen;
ärücken wir äiese Projektionen äureb äie belioeentriseben polar-

48

eoorüinnten k, ö aus 1,5) m I. 2 aus, so ist mit gehöriger Ile-
rüeksiektigung 6kl' k^eeente

-r'r/"— -x"z/'— eosö'oosö"sr>r(/"— /')

Lr/" — -r"r/ — -v" sosö so8ö"8r-r(k" — k)
.r//' — ai'z, — -v' M8 ö oos sr-r (/' — /)

Lethen wir «lies in 2) ein unä bedenken, Zuss —-'8i»ö,
s' —snr k>', L" —8r-t ö", so erkalten wir vermittelst klivision mit
cos^cos ö'oosö"

k</k>8m(^" — k') — ^ö'sr'-r(/"— k) -§- kAö"8»r(k'— /) — 0 ... 3)
welelie Ile^iekung niso bei ärei Orten eines uncl desselben llim-
melskörpers stattkinZen muss. tlu <lie Distanzen r" gan-; ver-
sekwinclen, so ärüekt uns 6ie vorslekencle Oleiekung eine spküriseke
ke^iekung clor 6rei Orte uns, 6. i. eine LeÄekung, wie sie uuk äer
Oberlltleke einer Kugel stattsinüet; äie cirei Orte müssen claker, vom
Mittelpunkte 6er Lonne uns betraektet, in einem grössten Kreise liegen,
was natürliek so ?u verstellen ist, 6ass einen aus 6em

Mittelpunkte cler Lonne mit keliekigem Iluclius beseliriebenen, in äer
klaknekens liegenäen Kreis äuroksedneiäen müssen.

Mir können aber die erwüknten broMetionsdreieeks uuelr dureti
die geoeentriselien i'olureoorclinnten uns 1/?) in l. 2 nusdrüeken,
dann wircl , „ „ ,

-r e, — L z/ —

— X') -p X") — L"ss'«»r(L" -- X') -p Tr'K"««, s/>" — //)

—

-- ssp"8m(X" — X) -p — X") — L"x> §«-(/>" — X) -t- LK"«/»(//' — L)

A,/ — -r'// —

— «r'-r (X' — X) -p- Ap' sur (iti — X') — (/>' — X) -p

weloüe Lus6rüoke selir rlureüsielitig geknut sin6 uncl wovon jeclei'
eine Oonstunte, nümliek 4ns von cler Krcle in 6er betrellsnclen Xwisoüen-
Mit keselniebeve cloppelts llreieek entkült. Lub.stituieren wir dies in
2) un<l setzen uuelr kür s, s', s" äie entspreeüenclen Merte
?bin, so wiril, wenn 6er KüE knlker L'L"«»(/>" — I,') —
— — kV', — kV" gesetzt wir3,

nueli leieliter kkecluetion

— ^') — ^/k'8M(il"— ^/i"8r'-r(^'— —

— K?'(»"^<7/?'8-«(/v — — ^A-/I"8?-r(k> — ^.')^

L'M"^/)8r'»(/>'— X") — ^/?"8r'n(./z' — —

— /?8M(//"— >l') — ^//k'8«'-r(k^" —

kV<-^/k — kV'»'^^'-^ kV"»"^/S" — 0.4)

49

0i68 MÜre 8oüon sine UeäinZun^ZIeieüunZ kür äio Lsstimmnng
äer Distunzen (», nur müsste man noüstüoi äns Vorli.iltnis

§:(>': kennen; 68 Zübe, nneüäem u' unä c" äuroü § uusZeärüekt
Moräen sinä, eins csuuärutisolie Oleieüung, Mtzleüe zunüolist ännn
mittelbnr nueli §' unä ^>" liefern MÜräe. Allein 68 gibt kein Nittel,
um ^ene.s Vorluiltnis äor Oislunzon äireet zu destimmen, Mtzslmlb
uvir 4 io vorsteüenäe OleieüunZ, äer vir später oiuo üocpminoro I'orm
Zebsn Meräen, kür unäero 2M6oke uukspuren.

Io8 Iiinäor! uns nun niekts, äi686 Oro^eetionsäreieeke uuoli äureli
<Ü6 in I. 3 entvviekolten L.usärüeke zu ersetzen; Mir erüulten nnuIoZ
MI6 in II. 4

cv'r/"— cr"«/' — -''-'"sM^" — «t')oos M«/" — cv"r/ — ---'"sM^" — r»)oos r
nr/' — cv'r/ — -'-''sr-r(tt' — rt)essr

Lotion ovir äies in 2) ein unä üoäoukon, äuss s — ^SMrsr-rr^
§M r si-r r»', s" —/-"sM r'sM r«" ist, 80 bekommen vir

sr"rrrr sirr (rr" — rr') — sirrrr' sirr (rr" — rr) -p sirr rr" sirr (rt' — r<) — 0 . . . 5 «)
Moloüo OeziebunA niso zMisobon ärei beliebigen Winkeln -H rr', «"
8tnltkin46n INN88, 6ie in ein uncI 6er86lken lobono Ü6A6N un6 einen
Minein86lriMioIi6N üeüeüel Kevinen. I^un i8l r« — -j- V — K,

r^' — 7r -j- v' — K, A" — 7r -j- r>" — K, clnüer Mirü, M«nn mnn äer
Lür^6 knlker sr -— K — w 861^1,

St» (ko r>) srrr (r>" — r>') — sr» (,o r>') srrr (r>" — r>) srrr (w r>") sirr (v' — r>) — 0 .. . 5 A
unä Mkil e» alle inöZIioüen ^Verke, nko nuok 90nnnelnnen kann,
eos (<->-(-«>) sirr (v" — r>') — sos(i>>v')sr»(r-" —r,)->-eos(,>- 4-r>")s»r(v' — r,) —0 .. . 5^)

Oie in äiö86n <Irei OleielinnZen enkünltenen l'üeoreine Meräen
Ine unä än ul8 Hälen Kenül^t unä küüren okl zu ükerruMÜenäen
k68UllNk6N.

I.ozoiollnoi IN UN äio Orojoosioueäreioolie äer Ukliptikebene äer
I4eiÜ6 nuok init r, /, r" unä 86tzl Mie OÜ6N -r— SM (v"—
»' — -'-'"s»r (rr" — V), tt" — 7°r'sM (v' — n), 80 i8t äein VorunZeüenäen
86NIÜ88

— M'r/" — (rr" — y') eosr — » cosr

ir' — — a:"«/ sM(v" — V) oss r — »' eos r

— Lir/' — cx'«i — SM («' — «) eos i — -r" ess r

50

6g.rs.U8 srtitzUi. 6i'8t6N8, 6s88 6is ?ro)66t.ion86r6i6ok6 r, r', r" »iek 80 xu
sinsnäsr vorksltsn, vis 6io 6nt8^roo5on«i6n ksumdreiooko
6onn 68 ibt.

? : : p" — n : -r : -r

/vvoilon», 6S88 6i6 llloiolmng 2) su«5 tolgonclo k'oriu snnekmen ksnn^

-rs — -r's' -j- -r"L" — O.6)

Oie OrunäZIoiokunZ 1) Iü88t slok ukor suod iu folZsnäor koini
86tir6ib6u:

— / (an" — 2:"^) -^- -/"(an' — -r's) — O ... 7)

0i6 6inZ6kls.mm6rl6n ^U8ärüok6 8i'u6, -»is msu sIlMZIkiok »iödt,
äiö 6on Zrei ksum^roikoksn -r^ -r'^ -r" ontZprsokenäon 6rsi ?ro)66tion8-
äroiöeko clor LL-Iltiono; vir vollen cli686lb6N suo5 äureli kllo Zoooon-
lrisokou Oolsreooräinston SU8 1/4) iu I. 2 su8ärüok6n; vir erkslten

— n"?' — />'/>" (tA^'cos X' — tzlß'eos V) -j- 77"/>VAß'cos L" — 77'/-"^lt"«as 7>'

L s" — — /- x>" (^A^"eos X — «os X") -K 7?"/- ros 7/" — A />"tz^"cos 7,

a! s' — (tA^' ros X — Aß cos X') -j- Ä'/r cos 7>' — 7? />' cos 7^

Oo^eioknol m.-ru 6i686 15'o)eo!i0N8'.lroioolro 6er !>oil>o usek mil.
r,, 1^/, r/' uuci or80l/l 6id r6o5iviukIiZ6U Loorclinslöll (luroli äik /Xu8-
clrüeks iu I. 3, 80 kommt.

— L)'s" — -r"L' — (r," — v') oosKsi-r i — » cos^sr-r r

— a! s" — — v) eos It, sr» r -r' co«1X sr-r r'

r," n s' — L — 8M (v' — V) 668 K. SM r — -r" 668 8r'-r r'

0srsu8 or^iolü. msn, 6s88 suoli clio^o ?ro,j6otiou86r6i6ok6 8iok
80 2U oivunäer vorluillou. v le clio oul8/>rooliolutou ltiumKlroiooko,
(IONU 68 i8t

r,: r/: r/' — -r : n': -r"

un6 <lio OleietumZ 7) ksnu <lio 1'orm simokmom

-rr/ — xr"r/" — O.  8)

Ilio Orun^gloiekunA 1) <lor Oslurebous ls88t 8iok ciritl6U8 uuok
80 8okr6ik6u:

— r/"s') — — «/"s) -^- cr"(r/s' — — O ... 9)

Oio ^U8(1ruoko in 6nn KIsmmorn »in6 su,L0N»olioinIioli <lio (len
6rei Osum^reieokon -r^, -r', »." onl»/>r6olion6ou clrei I7i'o)ooli«n»<lroioolro

51

der «/L-Kbene; er86ixen wir in den8eiben die reeirtwinkIiFtzn koor-
dinuten durek die betreffenden Zeoo6ni,ri86ben kolureoordinuten, so
erbulten wir

1/2" — !/"L' — ss'ss"(tA^"sr» X' — tzlß'snr X") -p //' — L'ss'^A^'sr-r //

s" — r/"s — p X — srn X") 3- ^-"ss snr — L p'VA^"sr-r./>

-/ L-' — U' L — ss ss' «nr X — s/» X' ) -p s/» // — L 0' L»i />

Kexeiebnen wir di686 i'rnjeelionLdi^eieekk- der keibe nneb inil
>'5,, r„', r-„" und 8ub8iitui6ren 8lnlt der reeiitwinkliZen koordinaten
die ^U8drüeke in I. 3, 80 erbniten wir

r„ — r/'s" — «/"s' — rV §M («-" — v') sr-r K sr'-r r — -r SM K sr-r r

r,/ — Z/s" — -/"s — — V^sM^SM r — -r' sr'-rKsürr

r,,"— «/s' — «,'L — SM(V — V)sM<^SM r — -»"sr-rKsr-r r

Ls.rg.U8 8i6kt INSN, ds88 NN05 6i686 ?r0^66ti0N8är6i66k6 8i6ll 80
7^n oinnMor vordnlton, wio 6io boiroMn^sn knumäroioeko, 6onn 68 i8t
r„: i»,/ : r,/' — -r : -r': -r"

nncl 6ik (lIsiekunZ 9) Zeki über in

-r-r — -r'a?' -r"-r" — 0 . 10)

I?N886N wir 3is 80 MW0NN6N6N H68ultg.t6 -?U8ÄMIN6ll, 80 irönnon
wir 6r8t6N8 6sn 8nt2 M88pr66d6N, <in88 6! o VOIN Hirn M6l8 Körper
k686kri6i>6N6n Knum<1r6i66k6 8iok 80 2U kinnnclsr V6r-
Irniten, wie äie enl^preekenäen, einerlei Ooorciinnien -
ebenen nnZebören6en 1'ro)66iion86rei66k6, oäer in Xeielren:

1)

2weiten8 ZeinnZen wir xn cier Kruppe von Kleieirungen

--L7 - — -rV-)- -r"L!"— 0

-rr/ — -r'«/ -r"z/" — 0> .

-rs — -r's' -»"s" — 0

welebe clie neue Krunälnge un8erer ferneren ^u^innnäersetxunZ biI6en
werclen; 6io8elken enlÄnnnnen ibrer knlwiekelunZ xukolZe alle -Ire!
cier einxiZen Krun^ZieiebunZ 1) -le» vorigen Hrlikel8, eine.jede der-
8eII»en i8t ein ver8ebiedener /iuedrnek die8er KrundZIeiebunZ und 8ie
8ind kein68W6A8 iden>i8eb. Ilcueli i»i 68 KInr, dn88 in den8elben 8lnii.

4»

52

-r^ -r', -r" eine beliebige äer ärei bori^ontalen keiken von kro)eetions-
äreieeken in 1) stöben könnte, ein blmstanä, äer un8 in äer b'olge
sebr Zustatten kommen wirä. Wir maeben nun einen Lebritt vor-
wärts unä ersetzen in 2) äie reebt.winkligen belioeentriseben 6oor-
äinaten äureb «lie entspreebenäen geoeentrisoben aus 1/?) in I. 2;
so erbalten -wir mit gedöriger Lerüeksiebtigung äer i^eosute kolgenäe
ärei lkeäingungsgleiebungen ^ur tzestimmung von (>', o"

rr (^> oos X — A so« li) — -r' cos X' — Ä ' so« itv') -s- rr" (ss" so« X" — A " so« ^") — o
»(p««rX —Am» Iv) — rr'(x>'sr»X' — A m') -)- -r"(ss"sr»X" — K"s»r^") — O v ... 3)

-r^A ß — rr'x>' tz« ß' -j- — O r

bis ersten xvvei (lleiebungen lassen sieb auelr so äarstellen-

»psosX — »'ss'eo«X'-p »"ss"oosX"— »KcosI, — »'vk'co«//-p -r"L"eos/>"
-rsssrrrX — -r'^'«ür X' -p -r"^"sr»X"— ,rÄs»rt^, — »'K'«rnlv'-P -r"K"sr»L"

Wir nelnnen vorläuüg äie kauinäreieeke -r^ -r'^ -r" als bekannt
an unä setzen

rr/isirrIv — -r'L'srrrlv' -j- -r"I«"'«irrIv" — rrr«irr4/

-rül ros Iv — -r' K' eos Iv' -)- -r"L " oos Iv" — rrr ros 4/ /

woraus sieb rrr unä 41 (weleke 2wei bluekstaben bier also eine anäere
6e6eutunA baden als iin ll. Lbsebnitte) aut eine un^weiäeubZe Weise
bestinnnen lassen; cla näinlieb rrr immer positiv genommen weräen
kann, ebenso wie -r, >r'^ -r"^ sobalcl es sieb nur um clie vreieeksver-
kältnisse banbelt, so bat man bloss auk 6ie Vor-ieieben im Gäbler
urnl blenner «les iWsclruekes kür b/ .l/ xu aebten, um «len Oua«lran!en
von ill ^u lrekten. rXls Lontrole bienen rlie beiclen aus 4) resul¬
tierenden (beielumeen:

rrl? sirr (li — 41) — rr'Ä' sirr (Iv' — 41) -j- rr"vk " sirr (Iv" — 41) — 0 )

-rÄ oos (Iv — 41) — rr'H' sos(Iv'—41) -^- rr"I?"o(r8(Iv" —41) — irr /

Oemnaeb ist aueb

rr^> sirr — rr'^' sirr I.' -j- rr"^>"sr'rr 1" — rrr sirr 41) 

rr^ ros — -r'^»' ess 1' -(- -r"^»" cos ^" — rrr eos 41 / .

unä analoZ wie in 5)

rr^>sr-r(I — 41) — rr'^'sirr(^' — 41)-^-r"§"srrr(^"—41) — 0 )

rr^cos^ — 41) — rr'^'oos(^' — 4!)-§-rr"^"cos(1" — M) — »r / '

welelie beiäen Oleielmngen sieb uns später als Mitglied erweisen
werben, äie wir aber äer passsnäsn OeleZenbeit wegen gleieb bier

53

vorfübren. Kuebdem wir 8v den ersten xwei Oleiobungen in 3) die
gefälligere und leiebter ?u bnndbnkende Vorm 6) gegeben buben,
wenden wir uns xur dritten (lleiobung dnselbst. Vor ui len stellen
wir ?ur Umgebung einer langwierigen anal^tiseben lllntwiobelung kol-
gende leiebte geometrisebe Letruebtung an.

Ks sei Kig. 5 VX/.V/'
ein Vlieil der Illbliptik, als
grösster Kreis geduebt,
deren l'ol in A sieb bebn-
det; es sei ferner der lbm-
melskörper, dessen Ilalin
wir bestimmen wollen, in
drei Orten 7^ 0" von

der I'lrde aus beobuobtet
und aus diesen lleobueb-
tungen nneb Anbringung
der nötbigen Oorreetionen
die geoeenirisoben bängen
und die geoeenirisoben
llreiten /Ä —/?, —

— abgeleitet wor¬
den. Wir legen nun dureb
l<! zwei Orte die grössten

Kreise fW, /"F"' und verlängern

iiieselben bis xu den Ourebsebnittspunbien /0', mit der Kklijitik;

die Winkel, die diese grössten Kreise mit der Kkbptik in einerlei Zinne
einsobliessen, seien: OWi " — --^L

ferner setzen wir die voin Krübiingspunlrte uns ge^äblten bängen

/<'/v — /f, ^'W".Ws den bei reebtwinkligen

spbäriseben Dreieeken und /VK" folgt nun

— SM(it — .... 8«)

Ws den bei reobtwinkligsn spbäriseben fireieeken /"H und

/l' — snr (/.' — /jf) i//./ — sr» (>-' — /f") . . . . 8H

f'rus den bei >" reebtwinkligen spbärisoben Oreieeken
und

— — L")tzW—8rw(/." — .... 8)-)

54

I?ür c!iv Lereelmung 6er Knotenlängen /4', L" ergibt sieb
au8 cien voi'Ltelienilen tlleiebungen beispiekweise:

— L°) : 8M(^'—

ober

_ SM(4"— — sr>r(4'— ^)

SM^."— L')-s-sr'n(4'—

oäer

SM  (/?"  —  ^') —)-')

4ut diesem Wege erkält m IUI alles UI allem I

SM l/I" — /?')

woraus sieb 4^'^ L'" nun sebon bereebnen liessen; allein wegen
cier vielen Additionen, Luktraetionen und Ilalliierungen der Winkel,
wobei man sieb sebr leiebt irren kann, ersebeinen clie eben auk-
gestellten bormeln ule xu wenig praktiseb, vvesludli wir «beselben
umgestalten wollen, Kine ^ede (tleiebung von 6er Korm

— «tzer

kann man aut 6ie naekbtelienclen ^wei Normen bringen:

1 K . 1-^-K .

. . SMM —SMM

-, - , ",

1-k , ,-ms2L) t-4-^ WS2a:

1-^« ' I — «

wa8 8ieb 8tzlir leiebl erweisen Iä88t; 68 ist nämlieb

. _-K^Aa: (I — «)SMNWSX

Ws^cv-^-«SM^L

Uultiplieiert man Mäkler nnil Kenner mit 2 unil keclenkt, class
2se'-ra:Wsa: — §M2ai^ 2eos^a: — 1-j-cos2a!^ 2sM^ — 1 — cos2ai^ so
erliält man

, , . ll — «)sM2n (1 — a)sM2a:

1W«^E2a: — ucos2a: 1-j-«-^-(1 — «)eos2a:

55

woloüor I8l.2t.6r6 /fu8<!ruolr üio tt>E6 f^ormol kür — -/) liokort:
Auf Üülllieüo ^6186 sinükt. MAN AU6Ü ÜI6 f'ormol für VVvtt-

Ü6N wir «Ü6868 'I'Il(!0r6IN Auf ÜI6 obig6ll OIoic:Inm^6n All, 80 bokommon
wir kür äio ^oroodnuuZ von L, w, L" foIZ6llÜ6 866Ü8 ^U8Ürüok6:

9)

! !cvor man 2ur fioroeünuuZ üi686r Knolou 8ioü AU8oIu(M,
cliviüinrll mun ^üülor unä Mnner üuroü rlio im I^ounor einxoln
8t6Ü6NÜ6 'fllNA6llt6, um Auf >56 UN8 kolioüto f'oilll (^illll I. 2) 2U
I<0MM6ll. Von 6ou 866Ü8 iükr 2ur VorfÜAUllA 8t6Ü(:ll(i(!ll f'ormllln
6I'WÜÜl6 MAN 8t6t8 liiojoni^kll clroi, wo Ü6r H'ANA6llf6llcjU0ti6llt oill
6lllü6r Lruoü i»t., cÜ6 ul80 6ill6r 60llV6rMllt6ll ?>6iÜ6 6llt8pr66Ü6ll.

8illä Vf, Vf'', /<"" ormitfolt, 80 Z6Ü6 MAN 2urüok Auf clio ^or-
M6lll 8) Ull<I f>6r66Üll6 ÜArAU8 ///.V", /A.V"/ W6il <Ü686 66r60ÜNUllA
üoppolt Zofüürt woräon KANN, 80 liofort 8i6 xuZIoicü 6ill6 6rwüll86Üt6
Lonlrolo für cÜ686ll 6r8l6ll 't'üoil Ü6r VorboroitunMrooknunMll; MAN
V6I-Z6886 ukor llioüt. Auf cli6 in II. 1 vorZ6trAZ6N6 I^okro, Ü888 von
moiiroroll ^U8ürüok6ll für oin un<1 6i686ld6 'fullZollto äor^niZo um
2UV6rIÜ88i88t6ll i8t, Ü6r 6ill6ll Zrö88tmöZiioÜ6ll Xüülor uncl ffllllllor
K68it2t.

Ait ItonütxullA Zur k'ormolll 8) Iä.88t. 8ioü null ilio ciritt.6 Oruncl-
AioieüullZ

Auf 866Ü8fa6li6 Moi86 umform 6ll, um ÜAllll mif 6) in VorkillüunZ 2U
t rotoill Wir bokommon, W6nu für fA/S" «tio nu 6r8>6r Stolljs

in 8) 8t6Ü6llä6ll Lu8ärüek6 8UÜ8titui6rf worüon:

/<"')«V — -r'c'sr-r^' — /V) ./-j- — v<")— 0

56

In der verteilenden OleieliunZ können wir vveilera Z/Z' dureli
O/Z au8drüeken, und die let-itere t!rö886 dann Zan^ ver8ekwindtzn
Ia886n; 68 i8t nämliell vermöge 8)

surft-Z')

Moll llin.-Et^unA 616868 Wert68 wird, weil Z/Z 86kwindet,
sZrtl —ZZ')sM(1"—L) ,,.,,, ... ,, ,, . ... .

-, ->V -- —» ,1 SM(1 — Z) -p» <, SM(1 /v) - 0... 10«)

SM(V—z. )

Wen 11 aber oben oline 80N8tiZe ZenderunZ liir ^<//? 8tatt d68
emten der an X weiter stelle in 8) 8tekende Zu8druok, näinlieli
Z//? — SM(Z—ZZ")^Z", 6inZ686t.xt wird, 80 kommt

tt« SM (1 — ZZ") Z/Z" — -r'(/ SM (1' — ZZ) ?</V-)- -r"(i" SM (1" — z^) 0

In di68Sr (IleiekunF rlrüekeii wir ///./" durok Z/Z au8, nämliek

8M(1 - ZV')

Oann kommt, weil tA>,/ MN/! 8eliwindet,

8r>r(1-Z"')8r>r(1'—^) , „ „ .

»(' — -" (^- V » e «z» (il -ZZ)0 ... 10/?)

Die weittzrsn vier UmkormnnMN 66r 6riit6n Ornn6ZItzioknnZ
6rMl>6n 8i6lr )6t/!t von 86ib8t; 8owi6 iin voiZsrZskEnäsn üwei-
INg.1 nnltrüt, 80 IN886 inan Mzl. I°//.Z' ^W6iinnl 6r86k6iN6N un6 6d6N80
olt Vtzr86liwin6tzn, inäoin INNN (In8 6in6innl 6N8 nnäoroinnl
6uroli 6n886ld6 nn86rn6kl, nnä 80 vtzrlakrs man iliiiin nuoli mit
i'//./". Oer 86N6iZts 0686r wirci nn8 6ie86 leioktsn Operationen er-
IN886N nnä dieselben für 8ioli vornehmen; 6nbei kommt man ank 6ie
anek an8 8) r68nltierencl6 OleietinnZ:

sr>r (1 — ZZ) sr-r (1'—^") SM (1"— IZ) sr» (1 — ZZ") SM (1'— Z^) sr-r (-."—ZZ')

Wir wenden un8 ,jel-!t wieder den xvvei OieiednnZen in 6) -in
und multiplieieren die er8te der86lben mit rosZZ^ die Zweite mit s»/. /Z
und »ulitialueren: wir erkalten 80

«Zr (1 — - -»'(»'SM (1' -Z^) — MSM — Z")

Von diö86r tileietimi« 8uktrakieren wir 10«), dann wird

SM(Z — —ZZ) — sr-r(1 — ZZ)sMiZ"—ZZ) .

-— MSM (M —> Z.)
SM(1 - z^)

57

oder mit llenül/ung einer bekannten goniometrisoben Morine! kür das
i'in<iuc.t Zweier kinusse

si-r(1" — -.)sM^' — /1) .

"!? - ——- — SM (7l7 — L)

S M (7. — L )

Lubtrabieren vir aber oben 10 7) statt 10«), dann ersobeint

SM (-.'— 1) SM (77" — 7k) .

«?-- ...-X--c — »rSM(M — 7k)

SM(-, —)

8etxt man a>80 der bürxe baiber

SM(1" — 7k') SM (it' — ^")

SM (1" — it) SM (7k' - SM (1' — ^-) SM (7k" — 7k)

80 ist einkaob genug

§^^SM(M-7k)

Luk «lern vorgexeiebneten VVe«ge findet man Lusdrüoke au ob
kür (/ und n"; um o' xu erkalten, multiplioiere man in 6) die er8te
iLeile mit ces /7', die xweite mit si»r 77' und subtrabiere; xu der 80
orbaltenen (lleiobnng xiebe man die xwei geeigneten Umformungen
der dritten tlrnndgleioliung beran, au8 denen man 7/7' vsrsobwinden
gemaobt bat und vereinkaobe den Loekkioisnten von (>' auk die be¬
kannte IVeise. Verkäbrt man dann ganx so auob in lklinsiobt von n"
und stellt dis gewonnenen ltesultate der lklebersiobtliobkeit wegen
Zusammen, so ist alles in allem:

_ S M(it"— 77')_ SM(it'—^') _

SM (1" — ^) SM (Tik' — 77) SM (1' — ^.) sr-r (77" — Tk)

SM (^" — X)    8M(it — 7k ")

SM (1" — it') SM SM (7.' — 1.) SM — 71')

SM (1' — SM (^ — ^')

SM (1" — ^') SM (77'' — A) SM (1" — 7.) SM '' — 77')

(/ ^M-SM(7I7-^')

"^SM(d7— 7k")

 12)

58

ven ^usdrüeken kür (/, c" in 12) kann man )et2t noob eine
andere, kür 6ns praktisobe kleebnen viellelebt bequemere k'orm geben:
wir multiplieieren die erste l^eile in 4) init ros/^ die Zweite mit
sm/tl nnci erbalten vermittelst Lubtraetion

M sim (M —— -rL sr-r —A)—-r'L'sr-r -j->r"L"sr'-r (/>" — /<)

V/onn wir nnn aueb in llinsiebt auk /tl' und //" eben dieselben
Operationen in 4) vornebmen, so erbalten wir seldiesslieb

c"^S"


.._13)

4.

Dies sind die drei blauptnusdrüeke kür die kestimmung der
Distanzen (>", falls nämliob die kklipbk rmr kundamsntalebene
angenommen wird und die llabnkestiinmung aus nur drei lleobaebtun-
gen gemaebt werden soll. Da im Verlaufe unserer kntwiekelung, der
man einen gewissen Orad von kleganx niebt wird abspreebeu können,
nielüs vorgekommen ist, was irgendwie auk eine llntersebeidung in
der llesebalbenbeit der llabneurve bindeuten würde, so müssen diese
kormeln gan-i allgemein Zelten und niebt allein auk die blewegung
der blausten und Kometen, sondern ükerbaupt auk )ede Oentral-
bewegung anwendbar sein, lieber die Lesebakkenbeit der Oabneurve
entsebeiden die in diesen kormeln auftretenden Oreieeksverbältnisse
-r : -r': worüber wir vorläullZ nur so viel wissen, dass wir sie
als lOmetionen der /wiseben^eiten betraebten können, doeb bevor
wir an die IlestimmunZ dieser Oreieeksverbältnisse Zeben, wollen wir
krüber noob einiges erledigen, was sieb auk die bösung dieses allge¬
meinen 'klieiles des Orobleins beliebt.

Vie doppelten Lusdrüeke kür z', geben ein sebr erwünsebtes
Nittel an die bland, den betreibenden 'bbsil der Vorbereitungsreebnun-
gen -;u prüfen, kür die riobtige blereebnung von aus 13)

liefert dis dritte Orundgleiekung

eins bequeme Oontrole.

59

Mi? versuchen Mzt eine Kleins Diskussion der Wormeln 12),
die wir wegen ibrer grösseren kürze und Oebersiebtlieltkeit vor denen
in 13) in dieser Dinsiebt bevorzugen. Zunäelist leuobtet ein, dass
die Minkei 0/—7t, 9/—7t', —7t" niebt zu 0" oder 180" werdeir

dürken, wenn eine klsreebnung der Distanzen g, »', g" überbaupt er-
mögliobt werden 8oll. Damit vir erkabren, wann clieser ungünstige
Kall eintritt, 80 nelnnen vir vorerst 0/ — /0 — 0 oder kl/—7t an;
68 könnte dann in 7) statt 0/ die knotenlänge 7t substituiert verclen,
nncl vir Kütten

^r(> 8M (/ — L) — -r'§'SM (/' — M) »r"c"«M (/" — L') — 0

subtrabieren vir davon die Oleiebung 10«), 80 vitre

SM (/ — 7t) SM (/" — It') — SM (/ — ^') SM (/" — 7t)
SM p" — y SM — 7t) 0

oder venn vir statt 10«) die ltleiebung 10/?) subtrabieren

SM (^ — SM (it' — 7t") — SM (-. — 7t") SM (^' — 7t) ^r

— SM (/' — 1.) SM (^" — 7t) — 0

Meil /" — it und it' — it iininer von blull verschieden 8ind oder
veil man zu einer Dabnbestimmung immer drei verschiedene Düngen
auswäblen wird, 80 würde kür den angenommenen Kai! 17—/t nolb-
wendigerweise kolgen SM (7t' — 7t) — 0, SM (7t" — 7t) — 0 oder
7t' — 7t — 0", 180", 7t" — 7t — 0", 180". Daraus würde sieb er¬
geben, da88 alle knotenlängen unter einander Zleteli oder um 180" ver-
sebieden 8ind, und es väre gleichzeitig 8M(Ü/- — —sr-r(7l/—7t') —
— sM(7l^ —^") — 0, — c'—c" — L, das beisst, man könnte

keine einzige Distanz bestimmen. Menn wir einen llliek auk die
big. 5 werten, so selten wir, dass in einem solchen Kalle alle drei
beobachteten Orte in einem grössten kreise liegen; dass dem so
ist, davon können wir uns noch auk sine andere Meise überzeugen.
Mird beispielsweise 7t'—7t", so muss in 9) —7t') —7/(7 — 7t")

sein, oder wenn man die 7usdrüeke clakür gleiebselzt:

7? /? SM (/" — /) kSl /? SM (^' — ^)

^c/?" — kA/? cos (^"— ^.) k/,?' — kA/? cos (^' — ^)

woraus sieb vermittelst einer kurzen Operation ergibt:

kc//?SM(M — ^') — tzc/?'sM(^" — kc//?"sM(^' — -.) — 0

Dies aber ist die Olsiebung kür drei Orte, die in einem
grössten kreise liegen, wie wir dies aus 3) in III. 2 wissen. Zugleich

60

ist dies die Oleielumg einer bbene, die dureli den Ooordinatenanfang
gebt und in weleber die drei besaglen Dunkle liegen, denn wie im
Ort. 2 6is Oleiebung 3) aus 1) entstanden ist, ebenso können wir
nn8 6er vorliegenden folgende Oleiebung reeonstruieren:

5-r'L" — 5»r"c' — k'-?c" — §'vc — o

wo 1^, 0 n. 8. w. die reebtwillkligen Ooordinaten eines 8^stems
bedeuten, welobes die klrde zum Onfangspunkte kni, wie im I. /Vi--
sebnitt, Ort. 2 dargelegt wurde. Diese Oleiebung also darf niebt.
besteben oder die dureb die drei beobaebteten Orte gelegte klbene,
6. i. die Kabnebene des Dimmeiskörpers, darf niebt dureb den Niltel-
pnnkt. der kirrte geben, wenn die ganze Dereebnung ein günstiges
Kssultat liefern sott; dies ist. eine bemerkenswerte Forderung für
eine Dabnbestimmung, von deren OrlÜllung bei dieser Kletbode ntles
abbängt.

Dieser ungünstige ball ereignet sieb, wenn die Neigung der
Halm r — 0 ist oder wenn die Dabnebene des Himmelskörpers mit.
der klkliptikebene zusammenlallt; die drei Orte 7), 7", 7"' würden
in big. 5 in der Kkliptik />00.0.", mitbin in einem einzigen grössten
Kreise liegen, die Dreilen wären ntle — 0" nnd die Knotenlängen
70, /0', /0" ganz versebwindsn.

Hingegen kann bei einem einzelnen Orte obne Oeeinträebtigung
für die Lieberbeit der lbeebnnng ^/7 — 0 werden; wir erseben dies
nnd noel> einiges andere aus 10) in ll. 4, nämlieb

7?sr»(K> —

Ist kFr----O, so wird immer c — K, d. i. unbestimmt.; ist bingegen
für einen einzelnen Ort ^/7 — 0 nnd r von 0" versotneden, so wird

— 70

e — L '

SM(äL-1)

Unbestimmt bingegen bleibt eine einzelne Distanz, wenn
K — 7v — 0", 180" ist, d. i. wenn die Krde zur l^eit der Deobnebtnng
im nieder- oder nnksteigenden Knoten sieb befindet, denn in diesem
Kalle wird, wie aus 9) in II. 4 ersiebtlieb ist,

h?/? — si»(1 —

und infolge davon § — A. biegen dann die anderen zwei Deokaeb-
tungen niebt genug weit von dieser, so muss natürlied dis ganze
Dabnbestimmung unsieber ausfallen, kls emplieblt sieb daber, stets

61

reebt weit auseinanderliegende kleokaebtungen kür dis Oabnbestiin-
mung aus/uwäblen; 68 liegt aueb in der blatur der 8aebe, dass eine
Ourve aus drei oder mebr reebt nabe aneinanderliegenden l^unkten
niebt sicher festgestellt werden kann. Mir werden ^edoeb später seden,
dass der belioeentrisebe Hogen, den die drei Oeobaebtungen umfassen,
niebt über 180° geben darf.

ks kann aber der Husdruek

— 1') — — 1) -^- ^/Z"sr-r(1'— 1)

noeb ans eine andere Moise 8ieb der Kull Näbern und daber die
Palmbestimmung au8 drei kleodaebtungen 86br gekäbrdet werden; wir
ineinen die sogenannte pebleifenbildung bei Planeten, vermöge weleber
dieselben /ur Leit der Opposition eine rüeklüukge geoeentrisebe I>6-
wegung einschlagen und auf 8ebon früker innegebabte Orte lagt ganz
zurüekkommen; die geoeentrbchen Köngen fangen an ad/unebmen
und erbalten Merts, die -sie 8obon früber einmal gebadt baden, und
auob die Lreiten werden wieder nabezu dieselben. ks kann demnaek
beispielsweise eine dritte Beobachtung eine kleinere geoeentrisebe
känge liefern al8 die Zweite war, 80 dass wird. Oder

68 gebt die rüekläubge Bewegung naob einer gewissen Leit in die
reebtläubge (geoeentrisebe) über, 80 da88 1" wird. 'Weil, wie

gesagt, aueb die Breiten zu ibrsn krüberen werten fast völlig zurüek-
kebren, 80 mu88 der dritte Ort notbwendigerweise in den grössten
Kreis, weleber den eilten Ort mit dem zweiten verbindet, entweder
ganz bineinkallen oder do cd sebr nabe an dem86lben zu sieben
kommen, 80 da88 alle drei Orte löst in ebendemselben grössten kreise
liefen und der obige Husdruok niebt viel von 0 ver8obied6n i8t.

8oiebe Kölle 8ind al80 unbedingt xn vermeiden; weil aber Zerade
^ur ^eit der Oppo8ition, in welebe au8 beZreitlieben Oründsn die
kntdeekunZ der inerten kleinen Planeten fällt, diese Omeontinuität
in der geoeentriseben OeweAung der Planeten eintrisst und man auf
derartige IleobaebtunZen angewiesen ist, so entstebt bier eine 8ebWidrig¬
keit, die man niebt anders belieben kann, als dureb eine Henderung
der lVletbode selbst.

Ls ergeben sieb demnaeb im ganzen ^wei schwierige Kölle,
in denen die drei Oeobaebtungen einem einzigen grössten Kreise -u-
s>reden, nämlieb erstens, wenn die dleigung der kabn r sedr gering isd
und /weilens, wenn dei entgegengesetzter Bewegung der geoeentriseben
Köngen aueb die Oreiten /u idren krüberen Merten zurüekkekren.
Dem ersten kledelstande, einer geringen dleigung der llalm, kann

62

Zurelr eins 6nt8preelrsnZ6 parallele OrslrnnZ Zer L-^ek86N, Z. j. Zurslr
eine ^enZerunZ Zsr l^unclamentalebens aufZelmllen werden; 211 di686r
ksliauptunZ lnkrt un8 foIZends anal^ti8slis Letrae^tnnZ. Oie LlsiekunZ
der ^lanstenebsne, Zureli die Z6O66Ntri866sn reelrtwinkliZsn 6oor-
dinaten au8A8drnekt, wird die Iform der 6lsieIinnZ 2/?) in II. 2 liaben,
da die be8aZts lllbene niekt dureli dsn LoordinatsnankanZ, 6. i. dureli
den Mittelpunkt der Lrde, Zelit; wir setzen einfaeli 8tatt 6er lateini-
8edsn 8ueli8taben L, L die 8ri6oki86k6Q §, »/, ^Vtznn der MrM
kalber

— -ü,") - --—(7

M86t^t wird, wo wir im VerZleiek i!ur früksren flsrisieknunZ um
einen Levent kinantzeken mu88ten, wenn 1;, dis laufenden Loor-
dinaten bedeuten 8o1Ien, 80 i8t

»rW — — 0

äis (ZeiokunZ 6er klanetenbabnebsns, an8Mdrüekt dnreb Zie reebt-
winkliZsn Zeo66ntri8olien Ooordinaten. l^skmsn wir nun in Zie8er
OleieliunZ — 0, § — 0 nn, 80 wirci

(7

' W

o6er Zlsiek Zem 8tüeke, um weleli68 man in cler (,'-^ek86 innnns
oäer Iiinnbgsksn mu88, um nn Zis Lbens ?:u ZsianASN. Onmü Zie
?Iun6isnsksns niskt Zurok Zsn LoorZinntsnnnknnA, Z. i. Zurelr Zen
Mittelpunkt Zer LrZe Zis868 8tüsk von Zsr Uull ver-

8ekieZsn, unZ Znmit Zis 8nlinbs8timmunA mö8lisk8t 8islier wsrZs,
-liemlieli Zro88 8ein; 8ollts nun Zn88slbe rse6t klsin uu8knllsn, oZer
i8t Zis l^siZunA Zsr ?Inn6tsnknlin ^ur ülkliptikebsns 8slrr ZsrinZ,
80 kann man 8islr ZaZursk kellsn, Za88 man Zie L-^oliss unZ mit
ikr parallsl ansli Zie s-^sli86 Zrslit, al80 eins anZsrs k'nnZa-
msntalebsns wäklt, Zsnn 80 wirZ, wenn Zie OrsIiunZ nislit xn nn-
bsZsutenZ i8t, ^ens8 8tüok unter allen Ilm8tänZen Zrö88er unZ Zis
ksreslinunZ 8i6lrsrer; war Zis868 8tüsk Zsr L-^sIi86 8slion krülier
ßlsislr cler l^ull, 80 kann natürlislr eins ZsrartiZs OrelinnZ niskt8
nü!xsn, Z. Z. kür i — 0 Iiört Zis MöZlisliksit einer lZaknl>68timmnnZ
naeli Zis8sr NstlioZs Zan? auf. 8on8t absr wircl Zie8Sr Lun8tZrisf
immer sinen niekt unsrlrsblielisn Vortksil Zswälirsn, unZ man wird
okt auelr in Zen k'ällsn, wo Zis86 Orslnmg niedt Mrade^u notlrwsnZiZ

äOIIj älM U9>PZ^PI9 ^9^n (»01 1!^ !ll9^^98llI9 89llaij89p) 89p
„P ll9ll0IjvUII09(^ pllU U9II0I8U998^99^ SIP ll9^Ig^lg PIIN

U9ZU9?^ ^9P H1Z18 .ll« UI9PM '(g PUN ll98lMIs»I9ss) N9ZIPIOP U9P 8NV
U9sllNZI9^ ,I9P ^U9ZM^ PIIN ll9ZMsII9;0UA 9IP

ll9lllllll^89q PUll p -j.I^ lll llg(p) 9M 08 Xllv8 .1911^ llO.IIP!PI0V ,1

c^>

64

. . 8r»(«— A )sr-r(tt —X) , „ „ . , , 1

»,/4608o - —-—-—/,--- — -r^4 cosc) sr««« — L) ---

«»(« — L)

4-»"^/"6086"8M(«"—— (»Ä8»r4) — -r'4i!'8r»4)'4-»"4f"8r»4)")6ofA-4

Nultiplioisron vir )c:I^i clio orsto 2oii6 oken ini! sr-r^ äis

2voito mit 60« 4v unči subtraüioron, so kommt

»^/ 608 ö 8M (tt — 608 6' 8?» («'— 4- -r"^4" 608 ö" 8r» (tt " — X) —

-- -r/i.'6O8 /-8M (vt—/ti) — »' // 60«It'«M(vt'— 4/) 4- -r' '4f" 6O«4i"«M («1"—4v )

Luktradiorsn vir von äiosor Kloioüunz ciio voranZoüonäo, so ist

»v/ 608 <) .

8M («"— tt) 8r» — 1^)

8r'-r(«" — L')

— »4?^6084)8r»(^4 — L) — 8«»Z)6otA--Z) —

— »'4/^co8 4)'8i-r(^4'— — 8i»4/'6O^^)

-)- -r"4? " ^608 4) " 8r» (^4"-^) — 8M D'' 60tzl

8st2t man nun vik in 11) Lrt. 3

8r'-r(«" — L"') _ 8r'-r(«' — L"') _ r . .

8M(tt"— «)8E(L'—1) " 8M(«'—«)8M(L" —L) or»6r

8i-r (^4 — 4^) ^/4^ 8i-r (^4'—L")8r'-r (^1" — X) — ^4^"

so vircl sekliossliok

,KK«M(4'-I)) -r'L'8M(4^'-4)')

co« ^60^A -r6O84^' »60« _I

In ^loioksr IVoiso MiunZon vir ^u l^usärüokon uuolr für ciio
boiüon ükriZsn Oistanxon; sotrtt. man nämlioü

8«(«" — 8r-r(« — ^") _ ,

8r'»(tt" — tt')8r»(4ii' — 25) 8r»(«' — «)8r»^" — -öf')

«i»(vi--4^) /A.4' 8i»(.4'-4t")///.4'-«4» (^4"-4if') ^.4" --

so virci

,, ., , ,4»4f8r-rsf/ — 4)) 4?'8r»f<7'—4)') »"4f"8r»(<4"—4)")1

^/'co8ö«^o eo^/<7 -,----4 - , „,, --

l » 608 <4 608 <4 -r 608 </ 4

65

Wenn man zuloizt 86tzt..'

s»r («' — Ll) _ 8M(«-—A')

8M («" — «') sr'-r (L°" — L) 8?« («" — tt) sr-r (L'"—')

s?'-r — /x'") /7./" — /7//

sr-r (/1' — /V") — /7//^ si-r (vl" — X") b/./" — t////"

80 18!.

z/"eu8d" —

— 7'^/7./" ---„ j-,,„

I_ -r cns-r 00s// cos // I

Moli di086n Wormeln al80 worden die I)i8tnnzen z/" nm
zuverIü88iZ8ten ^oreebnet werden, soll8 6io lVeigunz der I>!lIlN 8dkl'
klein 80in 8ollte; da liier die ^-Loordinaten der Lonne niobt ver-
8ebwinden, xvio im IO<Ii,>!ik8V8tom, 80 8ind dio vor.^tollondou Wormeln
MNZ nllMmein Aebnlten und M8MU0N demnnob)odo lioliobigo OrebunZ
der L-^loIl8On; man ist dader nickt gerade auf das ^.equatorKMem
(io!>oi ANMwi086n, 80ndern der OrebunMwinkel kenn uuob mobr oder
nuob vvoniMr betragen al8 <iio Lokiele der Ekliptik, k'ür un80rou tori!
i8t deber in den Wormeln II. 11


iA« —

608IV

sr-r 1

— 8M tt(^V-^-e)

L oin kolioiii^or IVinkoI, vvoliir man Ilio uncl da rooll! Kollo VVorlo
(natnrlioll niolil ükor 90") nollmon xvird, um dndnroli oino bocloulondo
OroIlunZ zu.8!<-mdo zu krinMn und da.8 orxviilinlo 8lüok dor i.'-^oIl8O zu
v6?ZrÖ8sorru 08 vor«!06t »iok von 80lk.8l, dn88 « und d dann niokt.
dio gowöllnliekon I»ootn8oon8ionon und Ooolinatlonon d08 (!08lu'i>08
8ind: ,'luoll i8t dem Oo8n^ton zulol^o klar. dll88 )o Zrö88or der OolraZ

^d8r-r(«"—cr') — ^d'8»r(«" — «) ^d"8ur(c-'—0)

>uu8klllt, d68to 8iollor6r dio HorooIlNunZ dor Oi8tnnzon z/" xvil'd.
Letzi man oben D — D' — — 0, 80 wird man aut die Wormeln 13)

in III. 3 Mtubrt, wie 68 86in mu88.

IÜ8 würde un.8 )eizt noob erübrigen, von dem zweiten 8ekwieriMn
Imilo zu 8preoben, wo nämliob durok den DekerKANg in die onlMMU-
Z686tzte Mooentri8eko HeweAunA d68 I'i.'motou die drei Orte eken-
1k>Il8 nnbezu in einen Zrö85ten Iirei8 zu lieMn kommen und wo man
dann eine vierte OeobaobtunA zu Hille nebmen mu88, um die kmt-
s

66

termmgen des Planeten von der prde mit. Liederimit bereednen zu
können. Weil aber die bezügliede anal^tisede KnOviekelung einen
ziemliedon Umfang annimmt, so verspüren vir uns dieselbe kür einen
späteren ^ksodnitt und bandeln zunäedst von den Oreieokverdältnissen.

6.

Ladnbsstimmung der plansten.

Ung man nun die pkliptik oder eine andere dbene zur t'un-
damentalebene inneren, die Bestimmung der Oreieekverdältnisse
-r -r': -r" ist ein davon ganz unabdängiges Oesedält, da wir es tu er
mit den kaumdreieoken zu tiiun Kaden, welede der Himmelskörper
zvviseden den Orten 0" besedreibt und die pundamentalekene
nur insokerne in Ileiraodt kommt, als von der Madl derselben wodl
die Orösse der pro^eetionsdreieeke abdängt, niedt aber idr gegen¬
seitiges Verdältnis, worauf es dier einzig und allein ankommt: anderer¬
seits ist es einleuodtend, dass wir kür -r', -r" reedt grosse Salden
zu gewinnen traedten müssen, um dadured die 8iederdeit in den
Oreieekverdältnissen und kolglied aued in der ganzen padnbestimmung
zu erdöden; aued daraus gedt dervor, dass reedt weit auseinander¬
liegende Leobaedtungen auszuwädlen sind, ldiemit sind wir aued beim
sed widrigsten l'deile des ganzen Problems angelangt, und die Uangel-
daktigkeit, an der dis bisderigs padnbereodnung der Planeten und
Kometen litt, liegt dauptsäedlied in der kedlerdakten llestimmung dieser
Dreieeks. — Oer analytisede Lusdruek kür die pläede eines soleden
Oreieeks ist bald gefunden, denn nedmen wir beispielsweise das
Ooppeldreieek -rsr-r (v"— -/) zwisoden den Orten 0' und
so ergibt sied aus 6) in II. 4

— (cvd/' — («/'s" —

ader damit ist uns niedts gedolken, denn mögen wir dierin die reedl-
winkligen Ooordinaten dured die delioesntriseden oder geoeentriseden
polareoordinaten ausdrüeken, wir kommen uin keinen 8edritt weiter,
da uns alle /Vudaltspunkte ledlen, mit weleden Versuedswerten der
darin vorkommenden Unbekannten wir die Ileednung einleiten sollen.
Oa es sied indessen nur um die Verdältnisss dandelt, in weleden
diese Oreieeke zu einander sieden, so ist es niedt notdwendig, dass
wir uns mit den paumdreieeken selbst besedäftigen, denn gelingt es
uns nur, die Verdältnisss der projeetionsdleieeke einer bestimmten
Ooordinatenebene, beispielsweise der Kkliptikebene, festzustellen, so
st damit aued -r :-r': n" gegeben, wie wir dies aus 1) in III. 3

67

erseben. Xu diesem Knde betraobten wir «lie IVusdrüeke kür die drei
TVrten von Drojeetionsdreieeken, in weleben die geoeentriseben Dolar-
eoordinaten vorkomiuen, etwas genauer; wir finden dieselben in
/Vrl. 2 angegeben. Diese TVusdrüeke erweisen sieb unter allen noeb
am zugängliebsten, weil sie äusser g, g" lauter bekannte Krossen
entbalten; es wird sieb dabei nur darum bandeln, mit weleben
Versuebswerten von g, o', wir die ganze keebnung einkädeln
sollen. Diese Distanzen Zuerst alle der Kull gleiebzusetzen oder die
lllrde mit dem Himmelskörper zusammenkallen zii lassen, gebt niebt
an, weil in diesem Dalle, da die Drnjeetionen der -rs- und r/L-Dbene
ganz versebwinden, -r — /V, »' — 7V', »" — /V" sein und dann aus 12)
-Vrt. 3 ebenfalls g — e' — g" — 0 resultieren würde, was leiebt zu
beweisen ist. /Vus 4) /Vrl. 3 ergibt sieb nämlieb vermittelst einer uns
sebon geläufigen Operation:

»'77'8r»(77— 7l) — »"77"si»(7>" — 7>) — »rsr»(7/ —4/)

-/.77 — »'77' Ms (77 — 7v) -j- »"77" ess (7v" — 7v) — -» M« (7> — 47)

Letzt man bierin »—IV, »' — 7^', »"—IV" un<l kübrt die be-
trelkenden TVusdrüeke wirklieb ein, so wird

-» sr» (7> — 47) — 0, -» Ms (Tl, — 47) — 0

woraus jedenfalls -» — 0, also auob — 0 folgt, was zu

beweisen war. Daraus erbebt aueb, dass es ein lrrtbum wäre zu
glauben, man könne zu irgendweleber brauebbaren Käberung von
a, g', (>" gelangen, wenn man in 13) TVrt. 3 sl.alt », »" zuersl die

von der Krdo besebriebenen Dreieeke IV, IV" einsetzte.

Onter so sebwierigen Verbällnissen küi' <lie Auffindung geeigneter
Versuebswerte von e, e', g", init denen man die Reebnung einleiteii
könnte, stellt sieb zuletzt dis Kotbwendigkeit lieraus, irgendwelebe
I l^potbese inbetrekk <ler Ilabn selbst zu maeben, und da liegt wobl
niebts nüber, als kür die Dianelen eine Kreiskabn, kür die Kometen
eine Darabei zuerst anzunebmen, als die beiden tbenzkäbe, zwiseben
denen die Klbpse, die eigentliebe llabneurve, eingeseblossen ist. Die
Durebkübrung einer Kreisb^polbese bei DIaneten gestalte! sieb selir
einkaeb; inan nebme einen Kreis an, dessen Radius der milderen
Knlkernung des DIaneten von der Lonne beiläufig gleiebkoinmt. Del
den kleinen, zwiseben Klars und .lupiter belindlieben DIaneten, die
wir bier vorzügbeb im /Vuge baben, sebwankt diese mittlere lmt-
kernung erkabrungsmässig zwiselien 2 und 3, <1. b. diese DIaneten sind
5*

68

xvei- Kis dreimal so veil von der Lonne snt kernt als die Krde; vir
kegeken mitkin keinen all^ugrosssn kskler, vsnn vir in erster llvpc)-
tlre.se den Kadius dieses Kreises 2 5 annekmen. Aus kig. 3 in
k 2 katten vir akgsleitet

r'' — K" -l- — 2 7?c/ rosvobei

eu8dr — ros/?eo8(^ —

eins bekannte Krösss ist.: Kurans erkalten vir

— 7?ru8rk ^K .1)

vo von Zen Kerlen vor der VVur/elgrüsse stekenZen /.eicken immer
das positive so nekmen ist: 8i-rr/- kann stets positiv sein, Za 8r»^r/r
unter allen Umständen positiv auslallt. Unserer kreislivpotkese gemäss
setxen vir kierin r — 2'5 nnZ Kereeimen Zarnaek Zie drei Distanzen
uncl veil —^/ro8/?, so sinZ kismit auek

gegeben: vir geben Ziesen Distanzen Zen InZex um sie als Zer
lxreiskvpotkese angskörig 2U kenuxeicknen. Akt Ziesen Vsrsueksverten
kereeknen vir ,je!xt eine Zer drei l> eiben von krojsstionsdreiesken
in 1) Art. 3. Nit Zen so kestimmten Oreisekvsrkältnissen n : -r': rr"
Zeke man dann in 13) Art. 3 ocler in Zen Art. 5 ein unZ bereekns
Zaraus e', r/'. Durek Ziesen l'roeess, Zer siek uns als ein kleker-
gang vom kreise auk Zie kllipss Zarstellen virZ, erkält man aker
kür e, e', o" IVerte, Zie Zer kreisk^potkese sokon niekt mekr snt-
spresksn: Zenn rseknet man )etxt versueksvei.se r, xurüsk naek
Zer obigen korrnel, so kommt kür .jeden Zer Zrei kadienvectoren ein
besonZerer IVert xuru Vorsekein. kereeknen vir Zeskalb auk ttrural
Zer so erkaltenen Oistanxen Zie Klemente Zer kakn, vis

veiler unten gexsigt verZen virZ, so kommen vir in Zer 1'kat auk
eine KIlip.se mit geringer kxeentrieität: ke.stimmen vir aker -mietet auk
Krund Zer dereeknsten Klemente auek noek Zie Krosse Zie Kon¬
stante Zer »rokr.8, Zeren numeriseken ketrag vir aus II. 7

kennen, so erkalten vir vielleiekt einen Zanx anZeren IVert. Zakür,
ein keveis, Zass Zis -ustsnZs gekrackte kllip.se Zer IVakrkeit niekt
entspriekt. ks stek! uns nun niekts im AVegs, eine anrlere Kreisk^po-
tksse mit einem mskr oZsr vsniZer versekisZensn kackus an^unekmsn
unZ Zen eben kssekriekenen Versuek ^u vieZerkolen; kommt ^ulst^t
sin L öum Vorsekein, velekss von dem kskanntsn AVsrts niekt mskr
so stark akvsiekt, so sind vir der IVakrkeit sekon näksr gerückt.
Ourek mekruialige IViederkolung soleker Versueks, vokei durek

geeignete Nittel der Oadius des Kreises gesebiekt geändert wird,
gelangt man sebliesslieb zu einem Werte von der mit dem bekannten
stimmt unči daber aut eine Ellipse, die sieb 6er vom Planeten be-
sebriebenen so genau als möglieb ansebliesst. Oie liier in allgemeinen
und tür clen Oeser vielleiebt noeb dunklen Ilmrissen gegebene Netbode
soll nun im kaebkolgenden dureb einen strengen anal^tiseken Oeweis
begründet, nüber ausgekübrt und zugleieb noek ein anderer Kürzerer
Weg kür die Oereebnung der Oreieekverbältnisse angegeben werden.

7.

Wir versueben vor allem, die Ibojeetionsdreieelre irgend einer
Loordinatenebene, z. O. der Ekliptik- oder .r//-b.üene, als lkunetionen
der Xwisekenzeiten darzustellen naeb dem 8atze von d'avlor ist

Wir multlplieieren in der ersten ilrupj»e die erste 2eile mil //,
die zweite mit L und subtrakieren: es komint, wenn der kürze lialber
( — r" gesetzt wird,

wo das (leset? der portsekreitung klar ist. tWk demselben Wege er-
balten wir aus der Zweiten (lruppe, wenn (" — ( — r' gesetzt wird,

70

/ulel-ii isl nnnloZ äsm VornnZoIionrlon, vonn t" — 7' — r M-
86t^t wird,

. / . / <7'"*z/ c7^X

- ^2- - 2 ^^5 - 77^) - 6

Die in Oi686ii <!>o! Ocukon nnOroIonilon Oootfieion! on b68linnn6n
8ioli auf toIZondo VV(!i8k!. äri8 6oin II. A.Ii8oIiniO, TVrt. 5, 01. 4) und
^rt. 7, 01. 1) vi886n vir, dn88

c7r/ r7/r . , ,—,- v

/r — 7/^ — roosr — L V ^-(1 -^- M)eos »

ist; vtzitsrZ luikun vir nu8 2) in II. 4

<72-/ <72^

/ur IlruiorunZ dor nook übriZsn OoöRoionton dikloron/.ioron
vir dio in 1) in II. 4 onlviukollon OIoioIinnZon

' "O//

(7^2

</2^x
cW

7^2(1

---

siniAkm.uIn: vir nrlinllon -!nnii6k8l

nn4 clurnd norlnnsüZn OiMrgniinlion

ci^

?.s

I2.2n7r2 6^Ln7r-§-Znc^r


<7^_ /^2(1 m) / 12z/Är2 6^<7r^- 3«/c72r

<7^ c^2 x

c7^r L2s1-/M)/

/72-/'

r" >

<7^

UulO^lininren vir Dl^I in «) 6io nr8i6 OIsiolinnZ nnl n, 6in
Evelin inil. 80 Komin! vormiOoki LnkIrnoOon

/7^ <7^M />.'2(1-^--») r/<7.r  —  /x/7z/ 7c^(1-j- ros/

71

/Vuk okon6om8ol3on VVOM orliulton wir aus /?)

<7^r/ <7^_ O/e^^l-^-M^Vp oos r <7r

H Ä7

ltjll'oi'on/loron wir »«lit 3io vorskolionrlo OloiolrunZ, 80 wircl

c7cv <7^-/ c7"'-/ <7«/ <7^ <7^

U ' H Ä M

. / c7'^/- 4c7r^V

6L'(1 -») /- - ,.-.,^j

lVIuItiplioioron wir duiiu in /?) cii6 erste (tloiekung mik 3io

Zweite mit so kommt vermittelst 8ubtraetion

M

c7^ <7^^ <7// r7^

c77 <77^ t77 <77^

,.... i v/-./- ./12c7r'^ 3<7'>

— (1 m) z- V^- ms r I . ,,..-.

v > / / Vr^77^ r^c77"°

L''(1-^-M)

8uktraliiert man cliese von clor vornnZoIionclon OloiolnmZ, so ist

<7"?/ <7^L

,//" <// '-

? ! V/ l/^ ./7,^(1

— 7r^(1-k -»)^r^eosr! - „ - —

36<7r2 9t7'^V

rV7/- E

öukslituioron wir 6io so Ml'unclonon Worte äiosor Ooökiioionkon
!)oispiolswoiso in <tio Itoiiio Mr cins projootionsciroiook cv'//"—-r"«/' —
—-rmsr mul Imdon <Ion KMolor Lrk^)(Hm) Iiornus, so wir6, <Iu
ms r' solrwinclok,

-r — 7rr l///(1^-»»)! 1

LV(l-^-m) . 7r^-r^(1 ^»r)^

2.3. - " 2.3.4.5H

7:^r^(1c7r 37)°r^(1/c7r^ <7'^r v

"H U 10-^ V,v/7- " 4ck7V

LrsolMN wir Inorin r 6urok ?' nn6 r", so «zrimlt.on wir lloilion
tur -r' mul -r". Das K'ortsoliroiton im orston 1'luulo äor vorliogonüoi^
lioilm ist Klar, niolrk so im xwoiton 'kiroilo. kln> clio 8aoko /n vor-
oinkaokon, sotxon wir

7r"/1 -l-M

72

vas offenbar 6er ^usbruek für bie Desebwinbigkeit eines Körpers
ist, 6er sieb im kreise bewegt, wie aus 4) in II. 8 ersiebtbeb ist;
bann wirb, wenn inan init c/>(r) den I le trag be^eiebnet, welelisn
bie Klieber cies Zweiten Umiles 6er keibe repräsentieren,

r» 273^

Lob bie iteibe innerbaib 6er klannner eonvergieren, so muss
offenbar

(nr)"

?,—?c7—<7 1 ober nc <7 2 c--
2c--(2cc- -p- 1)

sein, wo « )ebe beliebige ganM 2abl kebeutet; 6a « ins knenbliebe
geben bann, so ilarl u, palen enbbeben Mert annebinen, unb es ist
bisse Ileilie bemnaeb für Decken enbbeben Mert von /.cr eonvsrgent.

— Die Konvergenz ber Olieber in (r) bangt aber sekr von 6er
Lesebaffenbeit cies Diffsrentialquotisnten oüer von 6er llesebalfen-
beit 6er vom kiminelskörper besebriebensn kllijise ab. Eliminiert
man aus «) in II. 6 (Leite 28) anstatt cÄ 6as Differential ci», so kommt

1 - e

M . ' r cr

knmerkung. Lukstituiert inan bierin für r 6en Mert

«(I — r?) crrc-s^P

l-j-erc-sc- l-j-EPcosr-

so bat inan für bissen Disssrentiaiquotientsn aueb noeb folgsnbe Korin:

/^-7— ^»wsi-r v , i- Ewsr-r v

-- — L V 1 -k M - — L V 1 -k m - —

V« -/7-

Der Zweite Mert ergibt sieb aus 6em ersten, wenn man berüek-
siebtigt, bass ist.

Daraus erbebt, bass für kleine kxeentrieitäten, wo also e ber
Kull unb ber balbe karameter sieb bem kabiusveetor -- nübert,
aueb bieser Differentialeluotient klein ausfallt : Mr 6 — 0 unb mitbin
«—F —r, also für ben kreis wirb


73

K.s werden cleinnuck bei DIunetenbuknen, deren Ellipsen lcckimot-
lick nur geringe Lxcentricitüten uufweisen, die Olisder in c/i(r) icicn-
lülls convergieren und 68 müssen die Ausdrücke für -r^ 7t'^ 7t" in
diesem Dulle bruuckbur sein oder vielmekr sieb bruuckbur mucken
lassen. Stellen wir uns diese tVusd rücke wirklick auf und bilden
daraus clie Dreieckvcrkältnisse, so Kuben wie. durV^.^ sckwindet,

»r ' -r' l -r^

2.3 2.3.4.5

2."3 2.3.4.5

Dm diese ! ircueckverliältnisse, die wie gesagt nur für Dülmen
mit. geiänger Dxcentricität anwendbar sind, für die pruktiscke Deck-
nung zugünglicli zu mucken, dafür stellen uns ^etzt zwei Wege olfen. —
Du unserer Voraussetzung gemäss <x(r'), P(r") convergente
ti eil len sinil und iknen cluker bestimmte Lummen entsicrecken, so
können wir clie betrage, dis sie liefern, dudurcli comzensieren, «lass
wir in clen voraulgekenilen lleiken u ein wenig ändern. Ist. nun
äer^enige Wert, clurck 6essen Einsetzung in äie geduckten Ileilien
(r), </,(-/.'), vollkommen uulgewogen werüen. so erllulten die
Dreieckverkältnisse 6ie (.estults


2/3 2.3.4.5

-r : -r' i -r" —

O,,-"?

2.3 2.3. l. 5

Dabei setzen wir

L V 1 -/ M

WO r„ clen lluclius eines nock nüber zu clelinierencten Dreises be-
cleutet. Die Summierung nun cler vorliegenden lleiken, cleren gegen¬
seitiges Verkültnis zugleick clus cler entspreckenäen Dreiecke ist, kunn
auf zweierlei Weise bewerkstelligt werclen, uml 6urin liegt 6er ciop-

74

pelte Weg, wovon wir trüber gesproeken linken. Wir multiplieieren
erstens ?/, t" ausserbalb der klanuuern nnl ^0- so werden, da
bekanntlieli

/ ^.2 ^.4 x

2. Z'4.5 )

ist, die vreieekverbältnisse folgende elegante Lorm annebmen^

>r : m' : -r" — 8br(/<o^) ' «^(/»0^') : srK^r")

oder wir können, um die dritten und die noeli folgenden Rlieder
dieser drei Reilien aufzuwiegen, in den Zweiten Oliedern ein
xvenig ändern; du die Reiben eonvergieren, so ist dieser Vorgang
gewiss erlaulit. Ls sei also ,«, derjenige Wert, dureb dessen Linfübrung
in die zweiten Olieder die noeli folgenden (bieder vollkommen aus¬
gewogen werden, so Kuben wir

wobei dann

L 4^ 1 -b -m

zu selben ist. — Visse doppelte Lorin also können unsere vrsieok-
verbäK nisse in einer LIlipse mit geringer Lxoentrioität annebmen; die
erstere davon gibt deutlieb zu erkennen, dass wir es liier mit Ver-
bältnissen zu tbun Kaken, wie sie in einem kreise vorkommen, denn
bekanntlieii sieben in einem kreise Dreieeke, die im Zentrum einen
gemeinsebak! lieben Lekpunkt besitzen, in demselben Verbäl! nisse zu
einander, wie die Linusse der betreffenden (Zentriwinkel. Ls ist nun
die Lrage, wie man r„, den Raclius dieses supponierten Kreises, oder
im /weiten Lalle zu bestimmen bat. Was anlangt, so kann man
erwarten, dass dieser Radius einen Mittelwert zwiseben den drei
Ilackenveetoren in der LIlipse erkalten, also dem Radius

der mittleren Reobaebiung am näobsten kommen wird, denn nur so
lässt sieli eine Rebereinstimmung der lireieekverbältnisse im kreise
und in der LIlipse denken. In Rinsiebt von aber wird man im
allgemeinen einen von verselnedenen VV'ert erwarten; offenbar ist
liier die Lumme der noeb folgenden (llieder, die dureb das zweite
ausgewogen werden soll, entsebeidsnd. Rat man es daber mit einer

75

Olmiokonbabn xn iknin, 66ron Illlomonko nabodu riobtiZ 8in6, so vir6
man 6on Ka6iu8vo6tor 6or mikkloron OoobaobtunZ roobnon nn6 6on-
86>bon in 6i'8tor i^LborunZ ni8 k!n6iu8 668 8Upponi6rton Hroi868 M-
nolunon; 8M6 binMZon 6i6 kabnolomonto noob volliZ unboirMnk, 80
N6>IM6 MM kür ^U6r8t oinon VVorl. M, 6or 6or mittloron Iknikbrnlln^
668 Olmioton von lior 8onno boilüuiiZ Zloiobkommk; kür 6i6 L8t6rok6sn
babon vir 86Ü0N 0Ü6N 66N Mork — 2'5 olNjikoIlloll, übriZ6N8 8in6
miob In6r v6NiZ8t6N8 boi c!on M6i8t6n 66r86lb6n 6urob 6on 1^16188 6or
^8kronom6ll 616 Onimolomonto 86Ü0N MNäkorn6 riobkiZ boroolmok
vvor6oin 8o voi'6on vir von 8olk8k mik 6 n 8 k"ol<l 6or V6i'8uobo M-
Mkübrt. Nik 6om anZ6nomm6N6N kkn6iu8 vir6 n o nn6 voit6i'8 6i6
V6rlnkltni886

-r : »' : /r" — sr-r(/igr) - E (/«gr') - sr-r(//gr")

b68timmk un6 6nmik M8 13) ärb 3 6io k)i8tMi?6n n, (>', j," Mroobnok.
5nk <1rnn6 6or 80 oriialkonon 0i8kmix6N 8obroit6t mrm mik 6om von
NN8 gloiob V6Ü6I' lmion VOrZ626ioKn6k6N 1Von<! MI' kk68kimmnnZ 661'
0aIni6l6M6nk6 80lb8k vor un6 rooknot xuiokxi mmli L, 6io Oon8kank6
661' »m^s. Komo lknklOi rmkäiliZ 661' iioknnnio VVori. ^N8kmi66,

80 VM'6 6io Onbni)68kimmnn8 NM'Ü 86Ü0N k>66n66t; V6Ü nkor in 66N
V6ikMI8 M6i8t,6N silikon boi oinom 6r8k6N V6r8U6Ü6 in UN or 6in nn-
<ioi'6l' Wert «rsokoinnn vir6, 80 vir6 man r„ kür 6on xveikon Ver-
8U6Ü 6in voniZ MÜbrn Iin6 6io AM-16 IkoebnnnZ von V0IN6 iio^innon;
<bo Vor^mlu! vorüon 80 InnZo kor!Z686k^k, bi8 6er bol<rinnk6 VVorl.
/AL — 3'5500066 (in 866.) -mm Vor8<:boin bommk.

klnl 6io VV'in kol xvioolu'N 6onon 6io OloiolmnZ

/<„r — /igr" O

b68k6b1, Zleieb in 86onn6on -IN 6rbalk6n, <!inoko MM boi 661' !>0-
roobnnnZ von n„ «bo (1on8>Mk6 />' in 8oonn6on M8. — k)or Zr088k6
von 6io8on 6r6i VVinioln i8k üonunub imnmr /'„r'/ 6mnik mm 6or
8imi8 66886ib6n ničili noZnkiv MI8Ü6I6, 80 6nrk 6i6 ImIi006niri80b6
OovoZnnZ 668 Okmoion o vvi80.il on 661' 6r8kon nn6 6rili6n Ooobaebi ung
nioili. übor 180" Zobon. iVnob 6i68 i8k 6ino bom6rk6N8vork6 15)r6oriin8
boi oinor 1>nlmbo8timmnn!;, v6MN 66i'6n blioilkbomiiinn^ 6io 5oi ro-
nomon boi Xoinokon okk mik b^porboli8olio lilomonio Z68lo886ii 8in6/
ln l,i 6ali6r 6or kk^porbol M ob oino Z6vi886 Ooroob i i^nn,!/ oinräumon
-IN MÜ886N smilil 6N. 0i6 Oil'Ili il/koik NN86I'6r OobmiplUNF louebkok
8okork llill. V6NN vir boclonkon, 6a88 in oinom 80lob6N bul>6, vo
6sr bolioo6nkri8ob6 kioZon mobr ak 180" umkasst, 8«6torllä<:bs nn6

76

Dreieek getrennt liegen un6 onlgogongosolxio Vor^eieden besitzen,
»o 6u88 6 ns Oreieelc nielit nl8 eine Dunetion 6or betrelkenüen Zwi-
»eksn^eit uukg6kn88t werden kann.

Dm sieti über von 66k- (iüte 668 uu^gewiüiüen Leobu6dtung8-
mnterinl8 /u üdorxougen, wird man 6i6 Xr6i8livpotli686, deren Zu-
lüssiglreit Wil' UN86I'68 I)nkÜrdnIt6N8 XUI' 06NÜA6 dswi686N linken, nuek
nuk dio in k^rt. 6 b686kri6ben6 Woi^o bilden. Dior sowoiil nl8 dort
wir6 innn den llndius 6M68 un6 d6886lken Drei868 xugrun«lo legen
nn6 aus 6nr (doielmng

— K MS i/> -i- si-t'^ 1/1, wo ros 1/1 — ros MS (7/ — ^,)

die I)i8iaiEN »ö, »0' reelinsn, mit deren Dilke 6nun 6io Dro^ee-
tion8drei6eli6 der drei O.oordinatenekenen Ke8timmt werden. Wir
86t26n 661' DebeiÄcditlielikeit wegen die ^U8drüeke kür 61686 ?ro-
^66ti0N8dreieek6 noelimnl8 Ker, un6 xwnr 6io kür die l'ro^eetionen
der so/- oder Lkliptikebene in unvernnderter Dorm, kingegen linden
wir 6io ^U8drüeke kür 6io i'ro/oeiioneu 6er doi6on unüoron Dkonen
mit iienüixunA 6er (ileiotiun^en 8) in III. 3 6kwn8 umM8lnIk6t, um
8io kür 6io ?rnxi8 ^Loigneler xu mnolmn. IÜ8 8in6 nko 6ie k'ro^tzo-
>ion86r6i6ok6 6er

L'^-Db6N6'

r — o'<-"s«>i(/." — ?.') — — D) -j- — ^,") -i-^V

r' — ^»"s/>r(^"— >k) — /k" sd«(D"—/ ) s«tt(^ — ü,")-^-^W

E(^.' — — 7?' o siir(7>' — /m' — ^') -I-W"

^L-Dbene:

r, — ^'Li"srir(^" — D)Ms L"

-j- 7?"^'srtt ros D" — Ä'^"srir(^," — eos/^'^

r! — sr» (>>." — ros -j-

-j- /r"o sr'w (>i — /<') ess D" — /»'o" sdr (ü" — ') Ms ///.7'

r!' — siir MS ^" -j-

7k'(»8i/r(ik — 7<")Ms/>' — L^'siir^'—ros />/</"

1/S-Lb6N6^

sm (^" — ^') sm L -j-

-^- 'sdt — 7D) sm />" — 7k'o"SM, (^" /D) E ./

77

rk — ^"8M 7.) 8M

W 8M (ž /v')SM7/" — /?(-" SM — /^')SM /A,/'

,V>' — -j-

-^- 7?'^ SM — L'") 8M 7>' — 7?o'SM — ^") 8M

In diese Ausdrücke setxe MM statt g'^, g" (Ii6 MK dni' obigen
(Ileielnmg Mr x/ kervorgegangenen Oistanxen »Ö, ?n' und bestiinme
darnaek din Dreieekverbältni.sKe. bis ist kinreiekend, die I'ro^eetionen
nnr einer ledene xu bereebnen; n m geeignetsten kietür sind diejenigen
der M?/- oder ltlkliptikebene, weil sie nm ekesten xugängliek sind und
auek die grössten Werte erreichen. 8oII nun dns auKgesuekte l!eol)-
aeblungsmaterial nls vorxügliek bexeielmet werden dürfen, so müssen
die so bereekneten Oreieekverkältnisse sowold mit den obigen, nus
den Zwisekenxeiten abgeleiteten, nls nueli unter einander vollkommen
slimmen; würde dies nickt in kinlängliekem lVlns.se der Kal! sein, so
müsste mnn die IZeobaekt ungen und deren tteduetionen einer aber-
makgen ?rüfung unterxieken oder siek nneli einem kesseren Material
umseken. Ilm siek Nüke xu ersparen, dürfte es dnker geratken sein,
mit Zugrundelegung eines beliebigen Greises vor nllem die Oreieek-
vbrkältnisse nnek keiden Leiten kin xu beslimmen und dann erst nn
die ükrigen Vorbereitungsreeknungen xu gekon , nnekdem innn siek
von der 6üte des lleobaeklungsmaterials überxeugt knt.

lVuek die keoknekleten Zwisekenxeiten kann man auf dis I'roke
stellen. lVus 1) und 2) in II. 6 ergibt siek nnmliek

8^ — — 2-->"eo8(«"— r>') — (n" —— 2')^

Lubstituiert man kier für und die bekannten Werte

--'2 — 2/'2 -g. --"° — -j- -j-

SO kommt naek einer kleinen keduetion

u — r>"co8(V" — ?>') — -t-L's"

Letxen wir dsmnaek der Xürxe kalber >-'-^'ro8(«"—— u,
— v) — u', ^'ro8(v' —«) — u" und drüeken die reebl-
winkkgen Koordinaten durek die geoeentriseken polaren aus, so,
erkalten wir alles in allem:

ff — — —

— K"s'co8(L" — 7/) — A'e"M8(^' — ^") -g- 7?'/?"rff8(^" — L')

78

<x' — Ms(^" —

L"(.Ms(L" — Y — Le"Ms(L —-.") -)- ^"Ms(^"--/^)

n" — Ms(^.' ^-)) —

— L 'e MS (^' — >t) — 7?»' MS (I/ — -j- -KK' MS (7>' — 7v)

1'uiirt man auek in die86 Hu8drüeke sinit c', c" die aus der
Kreislixpotkese entsiirinZenden Werte (»o, ('o ein, -o erkält man

oltenkar, wenn V, V', v" der Lreisk^potkese anZekoren,

<7 — /^M« (v" — «'), a' — MS (v" — V), u" — -o Ms(«' — r>)
woraus siok

r>" — «' — »" — B — v' — v — /<„7"

nnn reeknen lassen und man lini

v"-v' , »" — V ,, «' - V

r —-, 7, — -, 7 —-

/'»

8o kann man die LeobaektunAen auek in dieser lioxielumc-
^nüten, )e mekr dieselben unier einander stimmen, desto Zuverlässiger
wird <lie lZalinbestimmung werden.

8.

Nil den ant die dargelegte Weise kestgestellten ltreieekverliidt-

INSS6N

ir : -r': -r" — sr/r (/<„r) : sr'-r (m^'): srrr

vvoloiu! nntürlioii nook stzkr tnlsek sein können, Zeke ninn jet^t in
13) ^rt. 3 oäer in 6ie entspreeksnäen Uns^rüeke öes L.ri. 5 ein un6
I)6stinnn6 80 clio ! iisinnxon (>, /,"/ nuk t.runct cli68or Distanzen

borookno man cinnn <tio Lleinento «tor Itnlm niui xu!oi/I nool, 6ie
donstnnto /i', wie ^vir doreils knkon. linier cien lileinenien
kommen xnei8i K nn<l r', <iie knnZe des nntsieiMnäen Knoiens und
die lieiZunA der Kulm, nn die kieike. Ondei sekInZen wir löIZenden
WeZ ein. /ins 6) in II. 4 erZiki sieli

r, ^MSäL rsmlL

Wir leiten demnuelr K und r uns den I'rci)eeiion8dremeken
nb; die86r WeZ i8t der xnnüeksltie^ende und in I linsielit der ?Inneten
,jeden> nnderen vorxnxiel>en. l.eimls deijuemerer lleeknunZ und damit
wir im Xäkler und Kenner der Husdrüeke tiir die IrmMnten der

79

beiden Winkel mögliebÄ. gro886 Werte bekommen, nebmen vir liier
noeli einige Umformungen vor. lVlultiplieieren vir r, nm 8eblu886 de8
vorigen Artikel mit. sr» /7^ und mit ros 80 i8t vermittel8t 8ub-
'Etion .„60877-- 6,8^77^

SM (it' — L)SM (77'— L") -7i"(7'.8M (it" — /7) 8M (77' — 77)^ (7./

lVlultiplieieren vir liingegen r, mit oos/7 und r„ mit sbr^ 80
kommt vermittelt Addition

.„SM77 cos/7 — ^'^>"sM(7,"— ^')

7?"^>'8r-r (7' — /7) ros (./^" — 77) — /f'o"sM (^" — 77) ros (7/ — /7)^ /</.7

Drücken vir vermittelt der lormeln in III. 2 nul' 6er linken
8eite die beiden l 'rrrjeebonsdreicieke dureb dn8 ent^preebende I7num-
dreieek nu8 und bringen .7 nuk die nndere 8eite, 80 vird

^SMr'eo^^sr-r(K — —

— 7i'"o'sr-r (it' —77) SM (7>" — 77) — 7"o"sr» (7" — /7) si„. (77 /7)

-r sM r rotA^oos(K —— ^'^"sM(it" — it')

77"(>'sM (it' — /7) ros (77' — — 7"^"sM (7" — /,7) ros (77' --- 77)

8elxt mnn nun nll68 in nllem, um 8nmmtliebe drei Ideoknebl ungen
XU umfn886n,

/I — SM, (7.' — 77) SM (7v" — 77) — 7?'i>"sM (7." — 77) SM (7v' 77)

77 — ^>'t>"sr'-r(^." — ^') L'^'sM(7.' — L")ros(77' — L") —

— 7?'(i" sbr (^" — ^) ros (77 — 77)

/l ' ^-7," 'e 8«,r (it — 77') 8i-r (7," - 77') /,'(7' 8« (^" — /7') sbr (L - 77')

77' — ^"si/r (-." — ^) -^ 8«7r (7. — 77') ros (77' 77')

— 7/,>"8M (i." -— 77') ro8 (77 — 77')

cl" /,"(. E(i. - 77") 8M(/7 — 77") - 77«'8M(-7 —77")8i»(L 77")

77" — p^'sr»(t' — 7.) 7^'^sbr (7. — /7") ros (77 — 7r ") -

— 77(>' SM (I' — 77") ros (77 -— 77")

80 lt

. ^I7o<7 77io^

/o(K — 77) — / 7or — —... 1)

77^ rsM(K—^) rros(K—77)

80

8udstitui6rt man kier statt ^4, </, X, r die ttrüssen >t', 0',

oder ^t", />'r", so erkält man nneli weitere
Ausdrücke für K unči i/ das meiste Xutrauen unter iknon wird der-
^enige verdienen, der den grössten Mäkler und Kenner besitzt. tVls
Probe benütze man die Oleickung^

Äsr-r (K — -^) /A r

SM (K — r

8ind die l'rojectiunen r, r', r" berecknet, so findet man die
Oaumdreiecke dann leickt aus <!en pormeln

r , "' „ c»

n — --r — -., A — . 4)

ros r oos r ros r

Leiters reckne man .jetzt <7, u', u" aus den Ausdrücken am
Lcklusse des vorigen Artikels, man trat dann

r'r"sM(--"—v') —-r rr"sr'-r («)"—r>) — -r' rr'si>r(V'—B) —>r"

--'r"res(v"—v') — u ----"cos(r>"— v) — u' rr'eus(V'—v) — u" /

woraus man nickt nur v" — v" — v, «' — v, sondern auok
rr") >'/ ttn6ot. I^s ssi nun ?->"—«, r--"—jS, r-'—so ist

--r'r" — V«/?/

V«/?/ , „ Vn/tv

-- — . r -— —, — - . 4)

« /? /

k'ür 6rei vorsokioäene Orto Kat man sodann mit OonützunZ der
(deiekung der Ellipse

1-4-ecosV^ I^erosV, I-j-ecos«

Uultiplieisrt man diese OleiekunMN keziekunAsweise mit
SM(P" — v'), sr-r(V" — V), 8M(V' — «) und subtrahiert von der Lumme
der beiden äusseren so gebildeten Oleiebungen die mittlere, so ergibt
sieb für den halben Parameter der Ellipse der bekannte ^.usdruek:

4^r>" «M («i" — v') si-r — r>) si-r (v' — r^) '

-r — . o)

8oII die Lereeknung dieser Orösse eine mögliekst sickere sein,
so muss der Nenner -r — -r' -t- -r", das von den drei 8eknen ein-
gescklossene Drei eck, reckt gross werden. Oie kleokackt ungen sollen

81

<ilso weit uuseinnn^krlieZM, so 6nss -r-^--r" oioo xisinliok kscieu-
tendo 8umm6, kinZegen wo moZIiok n'— 0 wird, d. i. dio den srston
mit dem dritten Orto verbindende 8ebne soll dnrek die 8onne bin-
durebZeben; damit ist aber aueb die 6renxe erreiebt, kis xn weiober
vorZeZanZen werden dark, denn über diese tirenM binaus wird das
Dreieek »' neZativ, was niebt sein d ml. Leiters ist

SE« — - — 1

--

ecosV — — 1

8ubtrabiert mi<i addiert in an diese beiden OieiebunZen, so
erkält man naek einer kordon mul leiebten Operation koiZende ^wei :

ssr'-r^(V-^-V) —
e ess -j-r-) —

/i (>' —

2----'sr'-r (v' — «)

--) — 2-°-''

2^>''ee>8 (v' — «)

6)

woraus V' -j- V unči 6 korvorZokon; ünciort in on kior clio ^ooonto, so
orgoksn siok 6io k'ormoln kür v"-^-« un6 V"-^-«'. Hiomit sinä clio
vvukron /inornukon v" ^uok boicnnnt Zovvoräon. Von 6 o n wnkron
Zoko mun uu t ciio oxoontrisokon ^nomniion ukor vormittoist 6or Vormol

 7)

vo e —8r-r<^> gosotxl wiiinio. vin s /ii, 7?'^ rsoimot man <innn 6io
mikisron i^noinnlion

M — A — . .  8)

wo 6 in 8ooun6sn 668 i '.OZONS aus^närüokon ist. Dio mittlsns tü^Iioko
I16W6ZNN8 n findet siok mn xuvsrlüssiZston uns cisr V6rkin6unZ 6sr
-!w6i 6Ntl6Z6N8t6N miuikron ^nomniiön

1>5"—

Werner ist



« — , —2

1 — 6"°

- 1,/"—M 

r'

— /> see° P  10)

s

82

8eblie88lieb reelme mnn

.II>
Vi

lliemil, i8t äer 6i'8te Ver8ueb ^u izlile gekübrt; würäe äie bier
^ulet^t bereebnete 6on8tants init äem bekannten oben nu8 äer klrä- .
bkwsgung ubgelkitsten Merts

/^L — 3'5500066 (in Kogen866unä6ll)

riuküllig 8timmen, so wäre clie 0nbnb68timmung uuc:li eebon beenäet;
nllein weil äi686r er8te Vei'8ueb 8e1t,8n oäer gnr nie o in 6 8olebe
Kl6b6rein8timmung erzielen wirä, 80 i8t mnn genötbigt, eins Zweite
bir6i8b^potbs86 -;ugrunä6 r?u legen. kt im 8r8ten Vergebe bei-
8piel8wei8S ^n gro88 gekommen, 80 wirä mun >'g, äen Knäiu8 äs8
neuen lLrei888, 6twu8 grö886r Nöbmen, äenn äunn wirä L kleiner
weräen. Oie lMebengWobwinäigksit i8t bei einem unä äsm8elben
Olnneten eine 00N8tunte 6rÖ88s; I8i nun in äer kleiebung

r — L'V^>(1-^^)

L rui verminäern, 80 MN88 äulür wanden, cinker nuek in 6er
Krei8li^poOrtz86 verZrö88eri werden. Ilm wie viel Zeän6ert
^vercien mu88, 6amit ^nletrii ein riediiZ68 xnm Vor8eiiein komme,
In88i, 8iolr bei OeZinn äer -iveiten H^poibe86 noeb niebt be8iimmen.
I8t äer Hnt6r86bieä ?,xvi8eken äem bereekneien nnä Mnbren Merts
von bsäeutenä, 80 nebme mnn nm 0'1 vei^ebmäen nn. I^Ineb
DureblubrunZ äs3 rrveiten Ver8U6be8 bnt man 8obon einen bs886ren
^nbnlt8punkt kür äis weitere Verd688ernnZ äer I<rsi8b^potbe86, weil
man än 8ebon eine beilLnfiZe lkoportion diläen Irnnn, in welober
äie Ze8uebte ^.enäernng nl8 unbeknnnt68 Olieä nnktritt. ^m Illnäe
äe8 äritten Ver8U6b68 wirä 8iob äie notbwenäiZe LenäernnZ 8«bon
Äemlmb Asnnu bersebnen ln88tzn; 80 kann äie 6ennniZkeit belisbiZ
weit getrieben weräen, wn8 ein keweib lnr äie Oüte äer lVIetboäe i8t.

blm 8ieb nm 8eblu886 eins8 jeclen Ver8nebe8 überzeugen -^u
können, än88 äie keobnung in äiö86m letzten 1'beile, wir meinen
äie Wormeln 2 bi8 11), riebtig äurebgekübrt unä niebt etwa wo ein
l?ebler untergelnuken i8t, beäürken wir noeb einer Lontrole; äi68elbe
ergibt 8ieb nu8 kolgenäer lllntwiekelung. ^U8 6) in ll. 8, nüinlieb

ros — e

cosv

1 — s ros

83

folA

1 — rss^r — «im^V —

sim^^(1 — 6^)
(1 — ö ros^i)^

o6or vsnn vioüor e — simr/i Msot^t virci

simv —

sim  A  ros ^f>

1 — s oosW

On 1 — eros^/ — — ist, 80 ünkon vir
a

m sim v — aros^si-r^/

-- ros V — a(eos^' — sim </>)

Lür oinon ^voiton Ort ist obonso

m'simv' — aros</>sim^'

m'rosv' — «(ros^N' — sim/p)

i^us der VorbinäunZ boidor Orto orZibt sioir

m--'sim(v' — v) — m" — o^ros^sim^' — — simy)(sim^' — simA)^

^Voiikus ist

M' — M — A' — — sim ^p(sim^' - sim^) — /i (i' — i) — /ir"

Ls vird niso

sim </>(sim,A' — sim^i) — — A — /ir"

Letzt mnn dies oizen ein und kerüelrsieütiZt nueü die beiden
nndersn LnIIe, so erbnlt innn nlles in nllem

-r — ros //> ^/<r — (-D" — ^") -^- E (^/" —
m' — a^ros c/i ^/ir' — (A" — A) -j- sim (L"' —
m" — a^ros</> ^/rr" — (A' —A) -^- sim (A' —

V0Q volokon lirsi iVuscirüoken man 6on oinon oäer 6on rrncioron als
8okius86ontrol6 naoli oinoin ^oclon Vorsuoiis tionulxon virä oäsr suod
äio soIZonäo «ZnrAus IrorvorMiisiiäo Oloiokung für üas Lsünenciroiook :
» — m' -j- m" — 4aros </>sim (L" — A')si-r^(^" - — K)

Ist NÄOÜ I^oürsron Vorsuolron clio Oolist.into sc;üli6sslioli III

liokrieüiZonäor ^Veiso r;u.stLnrl6 Aokraoüt vorüon, so boslimms mnn
Kinos 6or clroi llroitoir^rZumonto m', m". Ls ist nüor xufoIZo 2) in
I. 1 unü 1 /S) in I. 2

--rosm — mcosöros(i — K) — ^ros(i. — K) — ^ros(^ —
-'si-r m ros i — -'cos i>si-r(i - K) — c sim(i. - K) - ^sim(^—K>)
-'simmsi-ri — msimii —

8»

84

Die 6r8t6n --vsi 26Ü6N Zebsn

C «M (4 — K) —7Ü s»r (/, — K.)
essr^eos(^ — K)—7?cos(7> — K))

/ulctr/t tinüot man 6ie 4.ÜNM äss l'kiilitzl» aus Ü6r (IleioüunZ
r< — ?r ft- v — 4^,

womit 6is 0g1mbS8timmnnZ 668 ?Inn6lon als äolinitiv desnclot er-
8oÜ6int. Dio 8nün6l6M6nts worcion in üblioüor VVoi^o in einer Lolumne
^U8ÄMM6NZ68ttzIi t.

!).

Oeispiel. 0NN88 tüeilt in 86inem ^Verke «77reo-'r« MO^S e^o.»

koIZenZe LsobnoKtNNMN (i68 ?InN6l6N 6er68 mit; <Ü68eIbeN 8tNMM6N
NN 8 6em Itiüro 1805.

NM. ksris. 2sit X

8spt. 5'51336 : 95° 32'18-56"
» 139-42711 i 99 49 5-87

- 265-39813 : 118 5 28 85

ss

— 6° 59'34 06"

4- 7 16 36-80

-> 7 38 49-39

L

162° 54'56 00"

297 12 43-25

61 58 50-71

00031514

9-9929861

00056974

Vor nilnm dereeünen wir üie KnotenlünZen //, X', //" nu8 9)
^rt. 3:

// 27°49'25'36" 9'1279741

Itk' 98° 4' 15 57" ^^.7' 9 5934941

96° 2'58-49" 0'2884094

Onrnn roili! 8io6 6io Ooroodnun^ von g-, 68 i8t

9-9770062, --- 0'5300308, 0 5140383

VoIZiiek wirä nn«5 13) /Irt. 3

§ 0-6744431 -)- ^9-9699675) -s- ^^9'7320248)

^0'4899065) -4- 1'093329 — ^,'40-3058867)

4807832) -4 ^,7 P' 0645475) — 1'8538295

Dis l'ormoln in /Vr!. 7 kür ciio 0ro)6otion6N äor nr/- oüor kkliptik-
6b6N6 AkböN

(,'^"^9 - 4963010) -4 (/'ft -1789999) -44ft' 7934587) -40 - 8189741
ft-5838057) -4 c"ft-8512999) -4 (, ft - 7482474) —1'0020539
ft-8728977)-44ft'9534071)-4(, ft-5603858) -4 0'7093985

85

^U8 Hrt. 8 kat man

(>'^9 -7332115^ -^- e"^9'9929567^

41 -- (.>"^9-4963010^ -> s' ^9-9016592^ ,/'^8'0217814^

^ulet^t ist

-r ss'ss'^9 9852998^ — x>'fl 903t888i 4- 9929349^ — 0 56853947

c' ---- x-j-" p 9643536^ — x ^9 9265140^ — ss'^9 8539648^ - 0 19359653
-r" ^9-9978226^ 4- x f9'9611436l — ss' (9-6587483) — 0'69218762

xvo kis eingeklammerten Naklon kurekgekenks kogaritliinen sink.
IVk' Kälten ebenso kür L'/ N", L" kie entsprsokenken ^uskrueke
aufstellen können; Mir begnügen uns inkessen mit ^4 unk L, ka N
xiemliek koke Ooeflioienten besitzt nnä kis einzelnen (Kieker alle
positiv ausgefallen sink.

("— r — 125'97102 1'ags, — 5'6502772 inöeeunken,
("—r---r'-- 259'88477 » H/Lr' 5'9647875 »

— il---r"-- 133'91375 - ^/^"^ 5'6768317 »

I. kl^potkese, — 2'5.

Wir können aker Kiese Kreiskvpotkese nook auf eine ankere
^rt kilken. Wenn Mir in ^rt. 7 für Ken Wert 2'5 einfükren, so
erkalten vir

-- 0 4325945, 0'1863605, 0'4604609

Nit Kissen Kem Kreise angekörigen Oistan^en kereeknen Mir
Mxt kie Orojeelionen Ker liikliplikekene r, r', Möloke Ouekstaken^
eigentlieli auek mit Kem Inkex „ xu verseken Müren; es kommt

0'5061682, ^r,,' 0 - 7452842, ///r„" 0'5293484

86

Onrnnoli nir:r vvirä 1»^ — 0'7608840, — 9'7840642.

-r' »

Oio ZsrinZo IIobsrsinstimmunZ in /s</ xoiZt, clnss ciis 8oob-
noktunZsn lokloi-lmkt sin6.

Nit diossn lotxtoron Oroieokvsrknltnisson srknit mnn rrns 13)
in III. 3

0-4566630, 0'2160917, /A(>" --- 0'4656672

Ilorooknot innn mit äioson I iistnn/nn 6io ttrösson r, ,7, r", «o
kommt j6 Ixt

0'5304745, /-/r' 0'7695907, 0'5536546

lis virä kornor nnk Orunck clor so orlinltonon Oistnnxon

/^^05757339 11—L---52-52'5936" ^xt^O5757339

0-4546900  27-49'25'36" ^ ^</^912797 41

^^(K-ic)^0'1210439 11^80-42'24'72" 9'7037080

/</,^05304745
si» (K  —  L)^  9'9016798
i 10-35'64" ^^/-^9'2715537

Oivi^Iiort mnn clis Orojootionsäroiooko r, r', r" mit eosr) so or-
Zobon siok 6io llnumäroisoko :

0-5379284 0'7770446 ^-r" --- 0'5611085

A --- Z - 4508682 -r' 5'9847306 -- 3 - 6400597

-r — »' -§- 1 -1061973, Z§0 — >r' -s- »") 0'0438326

Vi^oitors linciot mnn
a 0 - 7509656, n' 0'4779682, n" 0'7678076

Oninnok vvircl
v"—r-'^ 31-28'44'59", r" — r, — 63"19'54'17"

v'—v 31-51'9'58"

0-4222403, -- 0'4164510, /,/ r" — 0 4036516

Oio ^voitoro IlooImunZ nnok 6on K'ormoln «Iss Hrt. 8 lisiort
0-3924790
v" — 247-30'53-8" v' 216-2'9'2" v 184»11'0"
1^6 8-8222284 </> 3°48'28" — 0'3943986

87

werden <1 ie exeentrisolien /Vnoinulien

L 184-28'14'3", L" 218-20'18'6", L'" 251-4'43'4"

Oie Kepler'seke (Ileieknng Zibi, ferner

44 184-46'2", 44" 254-40'41 - 1"

dsinnoek

44" — 44 ,-r' 251679'1", 2 - 9860662

/^4- 3 5776641

Oroke:

— 251679-1" -j-»-/»(L"—L) — <7«/"—L) — 201202",/// — 5-3036323

L) - 18931 2 0" /-206264-8  —  5-3144251

440991-1" 99892072

L" L/  239789-1" /// — 0-7887972

201202" /A  co«  °  — 9-9990402

/</»' — 0'7770446
gun/ ükereinstiininenll mil dein olngen.

Weil /AL liier- mn vielt« zu gross gekommen ist, so »ei für
die /weite Il^l/otkese / „ — 2'6. Ilm dus Verlulnen el.wus sk-mknrzen,
werden wir- in dieser nnd in den folgenden kl^potkesen Kloss die clen
Xwisekenxeiten entleknlen Dreieekvei-Iriltnisse in Anwendung klingen,
welekes Verlkkren, ukgeseken von der Kür/e, nnek deswegen intk-
sniner ist, du dudurek 6ns gesummte Deokuoktungsmuteriul in Ileek-
nnng kommt.

II. Ilispotliese, — 2'6.

29°36'54-73", /'„r' r- 61°5'5178", 31"28'57"

k/ «Ir //„r 9 - 6938785, /// E— 9 - 9422290

47SM//„r"— 9'7178686

Nit IlinMkrung dieser Dreieokverkül tnis.se weiilen

0-4620682, 0'2124193, /-(-" 0'4704005

<lie Oi-o^eetionen 6er klkliptikekene

/<7,, — 0 - 5299059, — 0 - 7782565, — 0 - 5538960

kiinge 6es nulsteigenäen Knotens nnä kleigung

80-57'0-5", r 10°37'53-17", ferner
r-". -v'-- 31-12'25'56", »"—« — 62«49'34'38"

r>' — V 31-37'8-81"

88

O 4277226, 0'4141381, 0'4088463

0'4421081
v" — 2°9'41'74", v — 64-59'16'12"
8'9012082, P 4°34'7'26", 0'4448723

L" — 1°59'44-85" L/ — 60054'57-14"

45" — — 1"50'12-67" M — 56055'39'0"

Ls ist also:

/A,rr' 5'2973804

4/"— 45 55°5'26-33" 2'8825995

0-6673087

— 3-5499082

Obori sovvio bior xnr i'robo kokornint n urn ///»' — 0'7857762.

Nun siolrt, 6nss wir 6orn vvnbron VVorto — 3'5500066 in
cliosor L^polboso sobr nnbo Zokornrnon sirni, unO 6nss os nur oinor
biornon HonäorunZ von — 2'6 boOarl, um 6io IVnbrboit ?u troilon;
voil bior /r/L ?u bioin govoräon ist, so müsson vir urn voniZos
2urüokFobon unä nobrnon 6osbnik >„—2'599 als OrunälnZo 6or
koIZonclon

10. H^potboso, -o — 2'599.

Ls virä

/-o"--- 29-37'56-24", 61°7'58'69", 31»30'2-38"

/Asr-r^o^ — 9'6941064, — 9'9423764

— 9'7180933

0-4620215 -- 0-2124481 /r/c" 0'4703527

0'5299054 /r/r' 0'7781755 0'5538923

K 80°56'53-075", i 10°37'51'64"

0 - 5374245, >r' — 0'7856946, -r" 0'5614114

v"— v'^ 31°12'35'12", «"—V 62°49'51 27"

v'— r, 31°37'16-15"

0'4276752, /A>-' 0'4141561, 0 4087939

0'4416316

v" — 2°37'38-85", v — 65°27'30-13"

8-8955671, r/, 4°30'34'57", 0'4443248

- L'" - — 2°25'42'42" L — — 61°25'18'28"

11/" — — 2° 14'15-24" 4/— - 57°27'56'38"

89

Lomil

4/"— M — 55° 13'41'14"— 198821 -14" — ,^'

?ur Oroku:

— 0-7856945

— 5 - 2984626
—2-4147809
H"—2-8836817
/A — 0-6664872
^3-5501689

Onkuls Oil^ung cloi- nLokstun
Ilurneknung ^usummsn:

H^poikv»6 slollon wir ioIZuncln

2-6 3-5501689 35500066

2-599 3-5499082  3  5499082

0 001 - 2607 — L-: 984 oder in VVorlsn-

^Venn ksi einer ^enderun^ von --g um 0 001 der loZ. von /
eine IleMtzZunZ von 2607 in der siebenten Oeeimule mnekt, um Mio
viol wird man in der H^potkese — 2 - 6 ^urüekZeken müssen, um
im H/Z oino LovvoZunZ von 984 nuek vorMürts iru erMUMN?

II» i»! ukor

984 X 0 '001
' 2607

26

- 0-0003774, 0-0003774

- 2-5996226

IV. H^potkese, »o - 2 -5996226.

— 29»37'17-94", 61"6'39'65", 31«29'2I 67"

/</ si» ^o'r — 9 - 6939646, sOt — 9 - 9422846

— 9 - 7179533

Ooinnuok wird

0-4620505

Ic/r — 0-5299059

K — 80

- 9-7516800,

h/e' 0-2124302

0-7782260

56'56-75", r - 10

9-7756687

0 4703827
0-5538946
37'52-73"

0-5374255 ^-r' - 0'7857456 /A-r" — 0'5614142

0-7550856 /Au' — 0'4961278 /</u" — 0'7720572

90

—v' — 31012'29-18", -v" —v — 62049'40-75"

v' — v — 31OZ7'11-61"

/A-- 0-4277048, /A--' — 0'4141449, /A,-" — 0'4088268

/A^ 0-4419290

V — 65°9'47-35", r>" — — 2°20'6'59"

/AS — 8-8990897, P — 40Z2'47'06", /A« — 0'4446664

Li — — 61°6'16-17" L"' — — 2° 9'24-82"

M — 57°7'41-8" L/" — — 1"59' 9'48"

4/" —4/—Ar'—55»8'32-32" — 198512-32" /c/Ar' —5'2977875

/Ar' -2'4147809

nis Orobe kommt /A-r' — 0'7857457 ^A." —2'8830066

/A«^r — 0 - 6669996
/AL -3'5500062

8onnek ist um vier kinbeiten in Zer siebenten iteeimnlstelie
Klein gekommen; cim icier bereebneten Klemente sinci niso sebon
-iiemiiob Zennu.

Mic- würcien nns jet^l. ciie Ruke neiunen nnci nori, eine künkte
Kl^potbese ciurebreebnen, wenn es sic-b niebi oben in cier ersten
Ovpotbese Ze^eiZt bntte, Znss Zie ileobnebtunZen unter einnnäer niebt
Znn-i stimmen. Mir beZnüZen nns Zuber mit ciiesen Onbnelementen
nnci reebnen zmn Lebiusse noeb 7r, 6ie s^ünZe ciss Oeriböls.

rc — 5050'4-65", n 140"16'39'45"

Menn 6ie llminuls^eit Zes OInneten um Zie 8onne mit /7 ke-
... . rc 360» 1296000" . u - c

^ecennet wirZ, so ist O — — - ; m unserem r nite ist

A A

/7— 1696'6722 InZe. Oie Oubnelemente ^usmnmengesteiit sinZ
Zemnneb-

K 80"56'56-75"

r 10"37'52-73"

7r 140° 16'39-45"

<x 4" 32'47-06"

« — 2'783982

4/  —302»52'18-2", k,>oelm 1805, 86,4.5'51336,
Mttl.tüAl.OeweZunZ A — 763 - 8474" Onris.

91

19.

LubnbsstlinmunZ der Kometen.

bei bllipsen mit bedeutender bxoentrieitüt ist der Oikkerentiul-
Quotient

- ,-<inVH n 4 - tSLFr« Vi

wenigstens in ller blübe des beribels, m welelrer (legend die Koinelen
siebtbar werden, niebt iliebr so Klein, dass wir die in tVrt. 7 kür
-r, >r'^ -r" entwiekelten kieiben kür konvergent Kulten und den dort
ungewendeten Kunstgriff der Kestbestimmung uns erlauben dürften.
Ks ist /war xur 2eit des beribels selbst v — 0, daber si» V — 0 unci
E — 0, allein weil silli der Komet die betreffenden 'Uso mit un-
W

gebeuersr bogengesebwindigkeit bewegt und /or Xurvoklegung von
180" nur wenige "kage Kraueilt, so wird si-i-v bald in der blübe von
ff- 1 sein und der obige Dilkerentiallsuolient im meiste /.eit der l/r-
sebeinung eines Kometen «inen bedeutenden Wort besitzen. Die obigen
Ileiben kür -r, -r" erweisen sieb daber üior als unbrauebllur, und

os stellt sieb üis HolüvvenüiZkeit üernus, nneü öinsm nnükren Ililks-
mitt6i bkimks LsstimmunZ 6sr OreisdrvörüüÜnissk -» -r' : »" uns mn-
/N86Ü6N. IViv vir ob6n bei liili^ssn init Mringgr Lxoöntrioitüt /uni
I<r6is6UN86r6 /ul!uoüt. Z6N0MM6N, 6Ü6N8O Ii6Zt68 Ül6r NNÜ6, unützvusst
/U einer l^nrnkelli^i'Otüese /U ^reiken !Ü8 äem nncleren tiren/knile cier
Ellipse. Oooü ist üie HiiüunZ einer Onrnbeili^potüese mil rrn^Ieieü
grösseren Leüvvieri^ireiten verbunden nis die einer Xreisüxpotkese;
das Verknüren, veleües vir oben in Urt. 6 in Ilinsietit des Kreises
einZeseblnMN buben, ist bier nnmöZIieb, uusser vir vüssten im vor-
binein ein bestimmtes Verbültnis kür die kludienveetoren »-: r' 7-"
un/uZeben, um durnueb uns 1) in /trt. 6 die Zeoeentriseben Oistun/en
e, />', und init Hilke derselben die t'rojeetionenr', r" kereebnen
xu können. Ks ist. über überbuupt erst der beweis berxnstellon, duss
in unserem Kulls eine l'urubelb^potbese erluubt ist und du müssen
wir etwus weiter uusbolen, und xwur bündelt es sieb xunüekst um
die Ableitung der bumbert'seben (IleiebunZ.

^us 6) in II. 8, nümbeb /

008^— ö
EV — ,-

1 — ö 008 //

92

ergeben sieb, wenn 1 — eo8 v unä 1-^-cssv entwiokelt vvircl, uncl
wenn man beclenkt, clnss

r — u(1 — s 008^) .2)

ist, kol^enbe ^wei OleiebunZen:

/— - /—Ti; , r /- v , — Tli -T -L/

V-'8M^- — v«(1 -j- S)SM 2 Vre08 2 — Va(1 — s)608 2

kür einen /weiten Ort ist unuloZ

'/r' s« — Va (1 -^- e) 8r'-r Vr' ro8 — 'Z» (1 — s) E

Ournus t'olzt

-</ "' - . . L" . L

rcv sm^sr-r — «O -j- e)8r>r^8E^
/—v' v .. . ^l'

Ur 608 2 608 — «(I — s) ev8-^-ec>8

mitbin

V-'r'o08^(v' — v) — K 608^ (A' — L') — K6 608^(^'-^-

IVeiters ergibt sieb aus 2) nul leiebte ^Veise:

r r' — 2«^1 — e cv8^(L"-§- ^)M8^(^' — ^r/)^

Lel/t mun in <It!II vorstebenclen zwei OleiobunZen — </,

(L' -j- L') — (?, s co8 A) — e eo8 6Z — ev8 Zr, so wirb

Vrr' 608 (V — r) — u (ov8 — ec)8 /r)

-- -^- r' — 2a(1 — co8S>eo8Zr)

Weil in 6sr kllipss, clsr ciioso xvvoi OIoioIiunMN ekon Mlton,
e-< 1 ist, so ist os Ze^viss 6rlnnbt, s w86^ —ev8^ sstMn; clnbki
knnn e A6inliolr ^ross vv6i'66N unä selbst bis xu seiner Oren-ie, 6er
kinkeit, vorsebrsiten; cln ferner bei einer OnbnbestiinmunZ <iie belio-
eentrisebe IleweZun^ 6es bliinmelslrörpers nie über 180° betrnZen
clnrl, vie wir dies oben Zeseben bnben, so ist in unserem kulle
co8^(r>' — r) stets positiv, un6 weil uueb Vr/'' eine wesentlieb positive
Orösse ist, so muss co8A > en8/r octer /t > A sein.

Leäeutet 8" äie Lebne, welebe clie -!«ei Orie uncl k" verbindet,
so ist nueb 6em Onrnot'soben 8nt-!6

^"2 ___, ^.2,.'2 — 2----'<w8(r>' — uncl

 6)

0 — 2»'r' — 2-?-'

93

Addiert man diese beiden Oleiebungn, so kommt

s'^ — (>' -)- — 4-'r'608^ ^ («' — v)

oder verinöZe dei> eben entviekelten OleiebunZen 3)

^"2 — 4^2^ — E^eos/t)^ — 4tt?(eo8A — eos/i)^

b'übrt inan die anZexeigten Operationen aus, so ersebeint

b" — 2<r 8»A A 8r'A/r.4)

aus 3) Kat man r r' — 2«(1 — eosAsos/r)

/Vus diesen ^vei (ileielmngn folg vermittelst Addition und
Liibtraetion:

r s" — 4« sr-r^^(^ -)- A)

r -j- r' — s" — 4«RA^(H — A)

Let^t man /r A — 6^ /r — // — <)', so wirk

Da bei reeblläutigr OevveZunZ 6er Himmelskörper die drei Ano¬
malien 4/ vvaolisen, bei rüokIäukiZer biNZeZen abnebmen, so
ist in 4) RAA positiv bei reebtläutigr, negativ bei rückläufiger lle-
vegung; veil ferner 8" immer eine positive 0rosse ist, so baken
8MA und RA /t stets gieicbe ke^eicbnung. Ebenso erbellt aus der
Cdeiobung

Vrr'ro8 r>) — 2a8M^8rA^

dass RA und 8?Astets ZIeielikeiseieimet sein müssen; daber Zilt
in 5) das positive Xoieben für die reebtläutlZe, das negative kür die
rückläufig kleveZunZ. — Den klntviekelungn ain 8eblusse des i^rt. 8
(Leite 83) gemäss ist aber

4/' — .1/ — 2</ — 2 8?A </i <08 <7 sbr A — 2// 2 «br </ ros /<

oder

Ar" — 2// — RA (/< A) -j- 8«A (//, — A)

daber

"" H — d' — RA ö 8r'-r d' .6)

94

IL Iä88t siok nun 6 — sm 6 un6 6' — sm 6' in keiben nnek
iortLebrsitenäen Potenzen von sm unä sm entwickeln, wokür
ciunn äie Lu86rüeke in 5) ?n Kubstituioron sinä. Ki8 i8i nüinlieb

2

; . ö 6

k — 2 - , sm ü — 2 s? » 2 008 2^ — 2 sm

nl80

° . ,. . öv / - 2^

0 — 8MO — 2 — sm 2 1 — sr-r 2

«)

l^ueb einer beknnnien keibeneniwiekelunZ Kuben wir 2unüob8t

v > sm " 3 s»r'> - 3. b srH 3.5.7 sr-e' „

2 2 m H6l7 "2.4.6.8.9

VVeil.ere i8i nueb kein dinoini86ben kebrsutxe

V ' Z / k V '/2

^/1 — 8m' — — 1 — sr>r' 2 ) —

— 1 — zsm^-^ — -zsm^ — ^tz8m°^ — ^L_sm^ — . . . .

Doinnuob wirä

sm 2^/1 -«m' 2 --

--- sm 2 - zsm--2 - 2 — V« «m-2 — 2 ^')

Lubirul^iert mun ,jet^i von /?) un6 inulliplioiorl. inil 2, 80 isi
6 — sittö — §sm'^ ^s/>r^ 2 -^- ->- /z-sm"^ . . . .

Ver86bon wir bier 6 init. einein ^oeenie, 80 erbuken wir 6ie
enkpreelienke keibe üir 6' — smc)'; 8ub8Ül nieren wir 6unn unk 6er
reebten 8eiie für sm^ nnci sm 2 ciie Merte uu8 5), 80 i8t.

<) — sm 6

95

Luhtrnlneren wir von äer ersten Oleiohnng äie Zweite, so wirä
in klüeksieht nuk 6) nneh einigen leiehten ^wisehenoperntionen:

/r (^' — V1 -j- M —

Dies ist ctie sogennnnte Dnmdert'sehe (lleiehnng, weleke
für äie lleurtheilung äer Verhältnisse, wie sie in einer Ellipse mit
keäeutenäer kxeentrioität stnttlinäen, nm ehesten mnssgekenä sein
wircl. Der Dnupt^weok äersslden hesteht niekt in 6er keeknung, wie
mnn higher glnuhte, sondern sie äient vornehmlioh cier nnnl^tisehen
Dntersuehung. Vor nllen ist leieht ein^nsehen, änss clie Deäingung
für äie Lonvergenri äer vorliegenäen keihe sieh äesto günstiger ge-
stniten muss, )e keäeutenäer u, äie grosse klnlknehse äer kilipse,
wirä. ks wirä nker a gross, wenn äie kxeentrieität äer kllipse ihrer
Drenxe äer kinlmit sieh ^uneigt. ^ns äem nilgemeinen />usärnel< für
äie kxeentrioität einer KIlipse

ist ersiehtiioh, änss bei eonstnnter kleiner klnlknekse oäer hei eon-
stnntem l'nrnmeter s äesto mehr -nmimmt, je grösser » wirä; ist u
nnenälieh gross, so wirä s — 1, ä. h. äie kllipss geht in eine Dnrnbel
üher. Dingekehrt weräen Ellipsen mit heäentenäer Dxeentrieität nueh
nnmhnfte grosse Ilnlknehsen kesitxen; beünäet sieh nebsthei äer Him¬
melskörper (Komet) in äer Mhe äes Derikels, wo äie knäienveetoren
kleiner nls äie Einheit weräen, so eonvergiert unsere ileilm nusser-
oräentlieh sehnell, )n es weräen kei koineten, äie sieh in sehr Inng-

96

gestreckten Kllipsen bewegen, xur /ei! ikrer 8ietrl burkeit kie (Kieker,
weteks a entkutten, so klein, Kuss sie keinuke gunx versokwinken,
unk es ist sekr nuke

6/e ((' - () Vl M — -^- -§- s")^2 - -^- - «"^/r

wus kie sogenunnte Kuler'seke (Keiekung ist unk Ker Ouruket gilt,
wie Mir gleiek woitoi' unten selion werken. ^us kom Oesugten gekt
sekon kervor, Kuss kie keobuektungen eines Kometen meistent Keils
aut ein6 Kurukel lukren werken, unk Kuss muri, um unk kie wukro
Hukn, 6io Kllipse, XU kommen, Leokuektungen vertrinken müsste,
wovon wenigstens eine mögliekst weit vorn l'erilrsl liegt, WU8 über
nickt immer leielit xu erreioken ist, numentlick trsi neuentkeckten
Koineten.

VV6r wollen uker tri er Ker ^Ilgemeinkeit Irulker unnekmen, Kuss
kie mit « kekuketen (Kieker einen niotrt xu vernucklüssigenken Letrug
wurstelten, Kuss uns niso ein Ileokucktungsinuteriul xu (llekots sinkt,
wetotres günstig genug ist, um kuruu.s wie wukre ltulrn ctes Kometen,
wie Kllipse, ubxuleiten. Oumit wie keliooentriscke Kewegung nickt
über 180° Zeke, müssen wrei OeotruetrtunAen uusZewülrlt werken, kie
sümmtliok nut ein unk kersettren Leite Kes Kerilrels tieZen. IVeil trei
Kometen xnr Xoit itrrer KrsetreinunZ kie (Kieker, wetetre a enttrnlten,
setron setrr klein sink unk kie Heitre 7) kemnnelr rusek eonverZiert,
so kann Ker lletrug, Ken kesuZte (Kieker utte xusnmmen reprüsen-
tieren, kukurotr nutzewoZen werken, Kuss mun kie ersten xwei (Kieker,
in kenen « niekt vorkommt, ein weniZ ünkert, inkem mun sie mit
einem von Ker Kintreit metrr oker weniger versetn'ekenen Kuetor
muttiplieiert; es sei kieser Kuetor «, so Zetrt unter Ken Zemuekten
VoruussetxunMN kie Heike 7) üker in

6L — () Vl »r — « -s- -j- s")^ — (r r' — s")^

Letxt mun /?'/-— « unk —r/S, r'A §o"—s"/S, so ist

6/r(C — y --- — ^"//2

kie (KeiekunA Ker Ker KIlipse supponierten Kurubet; weit

r, : r-g': 8g" — r : r'' :

so kitken kie krei Leiten r„, r„', s„" edenfulls ein itroiook, wetokes
Kem in Ker Klkpse von Ken krei Leiten r', «" Zekilketen, in Ker
^iwisekenxeit (' - - ( kesokriedenen, üknliek ist; wenn wir kie koppelte

97

Kläeks ä68 ?nrnds1Zr6i6ek68 mit -r/', Zis Ztz8 KiIip86nZr6isek68 vis
8<M8t mit -r" dexsisiinsn, 80 bS8tskt inkoißS äsr ^siiniiekirsit, vis
sm 8ntx !ui8 Zsr KInnimstris Isirrt, Zis Proportion:

--o'^: — -»o'°: — ^o": -r"

liiskmsn vir .jetxt Zg.8 von Zsn Orten Z' unZ nnZ Zsm
Nittslpunkte Zsr 8onne ZsbiiZsts vreiseir in Zer Kiiip8S; Zis 8sitsn
Zs88slbsn 8inZ s', vo s' Zis Zsn sr8tsn mit Zsm Zrittsn Orts
vsrdinZsnZs 8skns dsxeieknst. Ois OIsioknnZ Zsr opponierten Knrnkei
Inutet Znnn

6L(^" — y -/1 -t- m -j- §o')^ — »'«" — «o')^

vo ni8O r, s' mit sinsm Zsvi886n Onetor muitiplioiert sr86kein6n,
nm Znmit Zis noelr koIZsnZen OiieZsr Zsr ksiirs 7) xu eompsn8isren;
Zitz86r Knetor kann nur cin8 obiZs /? 8sin, Zsnn Zn

: -g" : s„' — r: : §'

unZ von früksrksr i8t, 80 MU88 :meii r„"—s„' — s'/?

8ein, vsnn übsrlurupt eins Oontinuitüt iierr^c-iisn unZ Zis sinsr unZ
Zsr86lksn i'i!>ene nngeiioriZsn Orsiseks nn8elrli6886n 8oIIsm Lsxeiolinen
vir nnbsrsr Osvolintreit Z6MÜ88 Zis868 MipZSnZreisek, Zoppsit Zs-
nommsn, mit Zn8 sntZprseksnZs iinu ntmlieks i'urnir:I<irsisO< mit
-r„', 80 virZ 8öin

-»o^ : — »o' : -r'

mitlrin

— -r' : -r^' — -r" : -kg"

oZsr

-r' : -r" — -rg' : -r„"

/uskt man nuk Zitz86^Vei86 nnek Zn8 Zrit ts LIIip86n- unZ Oarnkel-
Zrsisek » unZ -r„ Imrnn, 80 srZibt 8iek im ZnnMn

-r : -r' : -r" — -r„ : -?g' : »g"

Dis vom Kometen in Zsr Mip8S tieeei^riekenen Zrsi Orsiseks
verimlten »ieii ZsmZsmn88 gsrnZe 80 xu sinnnZsr, vie Zis in Zer 8up- ,
poniertsn ?nrndei nuk Zis nngeZsbsns ^Vsi8S sntZtnnZsnen. Ois ksiZsn
(Zurek nils Orsieoks xu^mnmen^enommen) ZsbilZetsn Visrsoks, eins8
in Zsr KI1ip86, cin8 nnZsrs in Zsr ?nrndsl, 8inZ Zsmnneir nnek ein-
7

98

anbei' äbnliob; ber Exponent ber Leitenvorbnltnisse ist ber (les
Iklnobenverbältnisses /Z^; nuob ist 68 klar, bnss W6Z6N ber ^.ebnbob-
koit 6er beibsn ViZuren bie blntersobiecle in ben wakron Anomalien
in 661' kllbpss 66N6N in 66k supponiöl'ten Onrnbol Zloiob 86in müssen,
bbomit ist 6i6 ^nnnbme 6in6l' Onrnbelb^potbsse kür 6i6 LestimmunA
661' Oreieokverbnltnisse -r : -r' : -r" in 6in6i' Zostreokten kllbpso A6NUA
sobni'k beZrÜnbot.

Ls bnnbolt siob Motrit bnrum, wie bisse Onrnbelb^potbese Zebilbet,
wie 6i6 6r6i Oreieoks -»0, -1g', »g" 0661° boob ibre Verbnitnisse eruiert
werben sollen; wir wissen nur soviel, bnss 6i686 Oreieoke 66N6N in
ber Ellipse älinboli snin un6 bnss 6i6 Leiten berselben 6i6 oben auk-
Zestellte blulsr'sobe OleiobunZ bekriebiZen müssen. Ilm 6er ersten Ikor-
berunZ r;u ZenüZen, ist 68 notbwenbiZ, bnss wir bie Verbnitnisse, in
weloben 6ie Leiten ber Llbpsenbreieoke rin einnnber sieben, kestset^en,
um sie 6nnn nuk bie Leiten 6er Onrnbelbreieoks ^u übsrtrnZen. Oie
blruierunZ nun 6i6ser Lsitenverbnltnisse ist unsere nnobste ^ukZabe;
bireot können wir 6ies6 OestimmunZ niobt nuskübren, sonbern müssen
nn 6ie nus 6er Oeobnobtunz un6 sonst geZebenen Onten nnknüpken;
nber nuob so wir6 beZreitlioberweise eine erste OestimmunZ bieser
Verbnltnisse unvollkommen sein, weil uns ZenüZenbe ^nbnltspunkte
keblen, nuob bier werben mebrere Versuobe notbwenbiZ sein, bis wir
6ns kioktiZe trelken. On 6ie Leiten 6er bblipsenbreieoke nls Vunotionen
6er Oistnnxen o, o', »" nnZeseben werben können, so wirb mnn nus
ben Verbältnissen : »" nuob bis Verbnitnisse ^ener Leiten nb-

xuloben imstnnbe sein, so bnss wir unsere ^utznbe xunnobst nnk bie
Oestimmung ber Verbnltnisse c ' besebrnnkon.

b'ür bns Verbnltnis : o" bnt beknnntliob Olkers eine bis M^t
tnst nussokliessbob im Kebrnuob stebenbe Vormel autzestellt, unb nuob
wir könnten uns kür ben ersten Versnob mit berselbon beZnüZen, 6n
wir, so knlsob nuob bis ersten ^nnsbmon sein möZen, burob VVieber-
IiolunZ ber Versnobe sobbessbob bonn boob nuk bie ^Vnbrbeit. kommen
müssen, vornusMset^t, bnss bis lVletkobe, bie wir bekoIZon, Znt ist;
inbesssn wir soblaZon ein von bor Olbers'sobsn Netbobe Znnr; nk-
weiobenbes Verknbren ein, welobos siob nls einknober unb kruobt-
kriiiMnber erweisen wirb. ^Vir batten in i^rt. 8 Mkunben:

-r sm r eotA §M (K — —

— —- L) —

>r E rro/A'

-j- Ä"^'8M(^.' — ^)co8(^" — — ^'^"8M(it" — ^)608(^' —

99

Idesiebt man sieb die linken Leiten dieser 2vei (beieliungen
etwas genauer, so findet inan naob einiger Kekerlegung, dass die
dureb dieselben dargestellten Heträge bei den Kometen in den ineistsn
Bällen sebr klein sein werden; denn erstens sincl die von clen Kometen
besekriebenen Oreieeke wegen der langgestreekten KIlipsen, in denen
sie sieb bewegen, selbst bei langen ^wiseben^eiten Immer verbältnis-
mässig klein, Zweitens werden bei Kometen clie Neigungen V mitunter
sebr gross, 6a 6ie gsoeentriseben IZreiten oft boob binaufgeben, 6ie
Neigungen aber immer grösser sein müssen als 6ie entspreebenden
geoeentriseben Lreiten, wie 6ies aus 8) in ^rt. 3 bervorgebt. 8o
ersobeint -r, welebes 6em (gesagten Zufolge an sieb niebt gross ist,
mit clrei Kastoren multiplieiert, welebe sämmtlisb kleiner als 6ie Kin-
beit sin6, wodursb die links vom Oleiobbeitsxeisken siebenden ^us-
drueke in ibrem Merte sebr beruntergedrüskt werben. Kalls daber
./ um vieles grösser wirb als 45°, so können 6ie reebten Leiten dieser
beulen (tleiebungen oder und in i^rt. 8 für eine erste Käberung
der Kull gleiebgesetxt werden; infolge dessen ergibt sieb aus — 0
das Verbaltnis:

,, , 

L)8r-r(L'—.

8et^t man diesen Mert von (>" in die Oleisbung L — 0, so
komint als ein erster Käberungswert für V ^um Vorsekein:

sr'-r(V — — 7K)

Ibrem eigentlieben Mesen naeb läuft diese anal^tiseke IZetraob-
tung auf die ^nnabme -r — 0 kinaus; diese ^nnabme, obwobl sie
falsob ist, wird aber in den linksseitigen ^usdrüsken der obigen xwei
(Ileisbungen unterstützt dureb die kleinen Kantoren, mit denen -r
multiplisiert ersebeint, so dass man dis reebtsstebenden ^usdrüske
desto eber der Kull gleiebset^en darf. Mürden die erwäbnten Kas¬
toren oder aueb nur einer davon die Kinbeit übersteigen, so werden
die Oleisbungen — 0, L — 0 von der Mabrbsit msbr abweieben,
aber noeb immer brauebbsre Käberungen liefern, wenn dafür die
OreieekWeben reebt klein werden, was bei kurzen Kwiseken^eiten
stets der Kall ist.

Mt den so gewonnenen Käberungen von und e" kann die
Keobnung nun beginnen; man bestimme aus der Kormel

100

die beiden Oadienveotoron r' und die dazu gebörige 8ebne s
findet sieb in Oerüeksiobtigung von II. 6 und III. 7 (gegen 8nde) ans
der Oleiobung:

§2 ».'2 ,."L — 2<7

8s ist bemerkenswert, dass die drei Zeiten des Oaumdreieokes
aus nur zwei Oistanzen mit. Win der 86obg.6lrtunZ8dg.t6n bereobnet
werden können, denn 80 wird rngn leiobt einseken, dass dio Ver-
bältnisse di686r drei Zeiten untor einander durolr das einzige Ver-
bältnis, in welobem zwei Oistanzen zu einander sieben, definiert
werden, und dass zur Oildung eines Lbnlioben Oreieokes in der suppo-
nierten Parabel weiter niobt8 notbwendig ist, als an diesem einen
Verbältnisss festzubalten. Lian gebe demnaoli mit den so erbaltenen
Werten von s in die 8uler'sobe Oleiobung

(-'o'-j- ^'o" — 6L(^" ^')

ein und untersuobe, ob sie derselben genügen; sollte dies niebt der
8all sein, so ändere man ein wenig und bestimme mit 8estbaltung
des oben gefundenen Verbältnisses : n" auob die Oistanz worauf
die keobnung von vorne beginnt; man reobnet wieder s und
untersuebt, ob diese Merts der vorstebenden Luler'soben Oleiobung
genügen; die Versnobe werden so lange fortgesetzt, bis diese Oleiobung
vollkommen befriedigt wird; dabei bleibt, wie gesagt, das Verbältnis
zwisoben und wie es aus ^4 — 0 gefunden wurde, unangetastet
denn dasselbe battet als obarakteristisobes Merkmal der ganzen ersten
Oarabeltrvsiotbese an.

Oie bei der oben besobriekenen Operation sobliessliob zum Vor-
sobein kommenden Weite der zwei Oistanzen und der drei Oreieok-
seiten geboren also sebon der supponierten Oarabel an und müssen
der obigen Oezeiobnungsweise gemäss mit dein Index „ vergeben
werden, so dass wir neben auob und e„" gefunden

baben, wobei c>g' : ist. Wir kenötbigen aber, um die

Oreieoklläoben , -r„', reeknen zu können, noob der Orössen
Sg"; zu diesem 8nde bestimmen wir auob noob aus der
Oleiobung der 8bene, wie wir sie aus 4) in III. 2 kennen; denn wie
wenig der Wabrbeit entspreobend auob in dieser ersten

Oarabelb^potbese sein mögen, die Oleiobung der 8bene müssen sie
befriedigen, weil sonst, die Oarabeldreieoke selbst niebt in ein und der¬
selben Okene zu liegen kämen. Oie erwäbnte Oleiobung der 8bene lässt
sieb aber in eine noob gefälligere und für die Oeobnung bequemere

101

I^orm kloiäon. Nun bringe nümliob mit Hilko äor OloiobunZon 8) in
^.rt. 3 8ümmtliobo in 4) ^rt. 2 vorkominonäon l'ungonton äor Zoo-
oontri8obon Oroiton uuk ^»»ärüoko, wolobo boi8pi6l8woi86 oni-
bulton, 80 äu88 xulotxt kA«/ 8obwinäot. I4uoli ZoböriZor VoroinkuobunZ
unä mit OorüokZioktigunZ von 11) in 4^rt. 3 wirä äunn

— — /^') -b ^) —— 0

Oonkon wir un8 bior äio 0i8tunxon mit äom Inäox „ vor8obon
unä äio Moris von <,g' unä (>g" oinA686txt, 80 bubon wir oino OloiobunZ
or8ton Oruäo8, uu8 äor 8iob mit unxwsikolbuitor (l6wi88boit ünäon
Iä88t. kt (>g boroobnot, 80 orZibt 8iob -0 ^U8 äor obiZon lkormol;
woitor8 i8t

s«"' »»'' '^o'"' " s,"" --- ^o'2 Z«!,,"

wo äor Inäox „ boi n' unä u" 8Ugon will, äu88 INUN äio86 boiäon
0rÖ886N mit äon Oi^lnn/on So" roobnon but. 8o »in«!

ullo 8oiton äor äroi Ouruboläroiooko bokunnt Zoworäon.

Mollton wir nut oino Oontrolo äor OoobnolitunZSN 86lkst vsr-
riioktsn, so könntsn wir 4io OorsolrnnnZ von >-g, s„', s„" Znn-: um-
Zskon; mit Hilko äor Zolnnclonon 6rö886n j?„, ^o" könnton wir

8okort 6io ?ro)ootionon rooknon unä mit äon 80 Zowonnonon

Vi6io6lrv6rliültni886n äon HoborZnnZ nut äio LIIip86 boworkZtolliZon,
inäsm wir n, (/, (>" nu8 13) k^rt. 3 bostimmon, wio wir 68 üknliok
in äor l<!'6i»l«v>>oilu>80 ^(«lliun Kuben, l»iosor MoZ würo bior äor
Kür268to unä Iobnonä8to; ulloin weil 68 un» niokt glsiobZiltiZ 86in
kunn, xu orlubron, mit oinom wio Ktz86batk6non Nutoriul wir urboiton,
80 äürkon wir äio ZrÖ886ro Nübo, wolobo äio LorsobnunZ von
»r»', -r," vorur8uobt, niobt »obouon. bl» mÜ886n ubor äio »roiookvor-
bültni886 nueb boiäsn 8oiton bin untor oinunäor 8timmon, wenn äu8
OoobuobtunZomutoriul gut Zonunnt woräon 8oII.

8ollto untor äon äroi l^oiZunZon niolit »onäorn ^1'

um Zrö88ton 86in, 80 wsräon ^4' unä L' in i^rt. 8 äor Null xunüob8t
8tobon, unä 68 wirä Zorutbonor 8öin, äu8 Vorbültni» § : äor or8ton
1'urub6lbW0tb686 xuZrunäo xu loZon; 86txt mun nsmliob 0' — 0,^
80 kommt

„ Ä"srK(^ — ^')sr»(4>" — 4^') 

.

102

8ub8tituiert inan diesen ^ert von <»" in die OleiobunZ 8'— 0,
80 erbält inan als ersten l^äberunAswert:

L!si-r(/!,"——
SM^"—^,)SM(^"—^')

8ollte aber MN böebsten binaukgeben, 80 wird man ^4" — 0,
L"— 0 setzen und naeb dieser 8eite Inn die erste barabelb^potbese
bilden; 68 wird dann

L'sM(H —L") 

" "" .

_

Das weiters Verkabren ist dem obigen ZUN2 analog und bedark
wobl keiner nübersn Auseinandersetzung; 68 wird sieb aber bäukig
ereignen, dass 2wei 6er bleigungen </, wenn aueb niobt gleiob,
80 doeb beide ^ismlieb gross sind; kür die Bildung der barabel-
b^potbese wird man natürlieb immer cker grösseren den Vorzug
geben; 68 wird aber von Interesse sein, 2U erkabren, wie gross die
eine Distanz, welebe in beiden bläberungen vorkommt, naeb der
Zweiten 8eite bin auskällt. ^ürde der Himmelskörper geradlinig nuk
die 8onne 8ieb beweZen, um 8ieb 8ebli688liob in di686lbe xn 8tür^en,
80 vürden Zar keine Orsieeke 2U8tnnde kommen, in dis8em b'nlle «üre
-r — -r' — -r" — 0 oder mit einem änderen IVorte, der 1Iimmel8-
körper bö8ä886 keine beliooentri^ebe HeveZun^ On waren ako
8ämmtlieb6 ^4 und Z gleieb der blull und 68 müßten kür eben di.6-
86lb6 Oi8tan^ dureb die k1ukIÖ8UNZ di68er OleiebunZen 2vvei Zan^
ZIsiebe ^erte ^um Vor8obein kommen, (leben umZekebrt -:wei in
obiZer 1V6i86 bereobnete btäberunZen kür ebendieselbe Distanz riwei
V6r8ebi6den6 IVerte, 80 kann man daraus sebon sebliessen, dass der
Himmelskörper eine belioeentrisebe LeweZunZ besitzt.

Mebdem wir die 8eitsn der drei karabeldreieoke kennen, ist
die LereebnunZ der b'Iäebell Kg, Kg', Kg" keiner weiteren 8ebwieriZ-
keit unterworken, denn aus den drei 8eiten lässt sieb einem plani-
metriseben 8at^e ^ukolge die bläebe eines Oreieekes leiebt bsreebnen:
die Verbältnisse in der barabel Mstatten aber noeb eine VereinkaebunZ.
klllZeinein ist 2. 8.

n" — --/-'sM (v' — r>) — 2rr'siK (v' — v) ros (r,' — ri)
da nun s"^ — (r — 4rr'eus^ (v' — -v)

103

80 vini vonn Nlnn mit 6nu88 — , — SM v" 8Str;t,

r-)- r

21^rr'oos^(V' — r>) — (r008/".6)

In dsr OnrnksI i8t nksr, (it 6 — I vin!, mil VV(^ht88NNg d68
Index „

/r — 2roos^^- — 2r''co8^ — 2 Vrr'oo8 co8 .... e)

Osmnnsk i8t nuok

/ /— r> .

r r eo8-^ - V »008^ — O

odsr v on n man cjundrisrt

, o v' V v' „V

008^^ - 2 V»'-' 008^ 008 -f- »008^ — O

idontkok I8t:

, . „ v' o — s . « . it' . stB -v' _/- - itX^

r sr»^ - 2 V rr sr» sr». rsr»^ — I r>' E - V »sr-r >

VVonion dis8s Itoilion OIsiokunZsn ndditni, 80 kommt.

Vr'sr»^ — '/»SM ^ — s'— 2 Vrr''oo8^(v' — v)

oder in kimkÄokt oni' (!) und e), da

cos V»' — Ms ist,

2' 2(c>-')(! — Ms/')

odor nuok

V»srH(v' — ») o . /' / -s ,

V v

008 2 608 2

On /uloIZo e) 008 ^008^

— — i8t, 80 orZibt 8iok
2 v

__

V»r-'8M^(o'—v) — sirr^-»').

IVIuItiplioisrt mnn dio86 OIoiekunZ mit 3), 80 srknit mnn

/- „ . /'

»st" — rr'sr'»(r-' — v) — -''/^eos/ 'sr/r -^-

104

Letert man daoo aoaloZ

s' . , 8

—i—,, — M»v, —, ,, — s»r v

so wird

-»0' — ')^- 608 /' 8M -?0 — 1^(r -)- r' SS8 / sr»

wolisi. 6a wir 68 mit Oarabeldreieekeo xu tbuo babeo, alle Leiten
derselben mit dem Index „ xn verseben wären. Oarnaeb lässt sieli
joixt -r : >r': -r" — - ^o' - ^o" I^iobt bestinm^en; "/x källt als Zemein-

sebaktlieber ll'aetor bier weZ. llls lassen sieb aber diese Oreieeke
aoeb tbeilweise als lOmetionen der Xwiselrenxeiten darstelleo. IVir
Kati so oben 13) io II. 8 kür die karabel Zeknnden:

V V 2Lr

I)is Nasss wird bei Xooml.eo vsroaeülässiZt, dalmr '/1 m
im Läklor reokts wsZZsiassso wurde; aoaloZ ist kür eioeo xweileo Ort


^//r

Askt oiao voo dieser OleiekooZ die voraoZeüsode ab, so ist

- ^2 ^ 2- §

oder vermittelst l'aetoreorierleZuoZ

^ 2- -

kls ist aber

v' v sr-r^l^'  —  v) 2Vrr'«rH(v' — V)

-/ ___ „ ,--/

-^2^2 V V V

LOS 2^ ros 2'

, v' V oos^iV—v) 2Vrr'cos4(^'—^v)

1 -4- — -

>--'2^2 V V V

008 608 2°

105

8stzt man dies oben ein, so wird

2 V-'-'' sr'rr (v' — v) -/ -^- V/v'E^ (r/ — r>)1 — ZL(§' —

Menn man den linken 1'bsil mit V-^'eos^(V' — r>) multiplieiert
und dividiert, 80 kommt

<'s.^ ^^',"7 ll - 3/r^'- YV7.
brr-' E^(V —V) d

oder in küeksiebt nuk 6) öden

»0"! n ->- l) — — ^)V/-

XE/

daraus folgt

-r " — 3L(-t' —

2-j-E/

Demgemäss nehmen die Dreieekverbältnisse aueb kolgsnde
Kestalt an:

, ,, rEV r'ensv' r"Ev"

-r : -r : -r — ——- : --—, : ,-—,7

2-s-E/ 2/-E/ 2-/E/

wenn man wie trüber — r', setzt.

/In8 dieser zweikäeben lllntwiekelung lässt sielr aber aueb eine Zweite
Oontrole kirr dis klebereinstimmung der Xwisebenzeilen mit dem übri-
gen lleobaelitungsmaterial finden; 68 i8t

-j---')^E/'sr/r^- 3L(ik'^- i!)V^ -

I>cirnn8 foIZl,;elxl

(r -/ r) v-sr-r -^ — -

2 2-j-E/'

Diese und die zwei noekr übrigen nnakoZ Zebnuten OkeiekunZen,
dis siek der Keser selbst formen mnZ, benütze mnn zur konlrols.
ks ist sslbstverstündlieb, dass eine dieser drei (IlsiskunZen stets voll¬
kommen bekriediZt werden wird, nümlieb dis^'eniM, in der die Zwisebsn-
zeit vorkommt, welske aueb in der verwendeten kuler'sobsn OleiebunZ
uultritt; denn du dis Zunze Durubslb^potbese nneb dieser Leite bin
nukZebnut wurde, so muss diese IlebersinstimmunZ sieb zeigen, uusser
es wäre ein keebnungskebler unterluuken, so dass diese (lleiekung
nur eine keebnungsprobe liefert. Hingegen werden die zwei übrigen

106

tlleielmnMn die 0ek6r6in8timmllNZ d68 ausZevätilten keeknnnAZ-
materiaK aus die Oroke 8teIIen; in den mei8ten Kälten werden
ZI'08861'6 0(101' !< 1 einer«! OnZlsiekIreiten /N8tand(! kommen, die man
bei der endZiltiZen Ke8t8tellun8 der 0rei66kvtzrdältni886 wird irgendwie
glätten MÜ886N.

0i686 drei (-lleiekungen 8inci aber niobt8 andel'08 al8 blmkor-
mungen der entZpreebenden drei Kuler'86ben Kormeln, «io 8ieb diö8
leiebl bswei86n Iä88t. Nan 86t^6 in der Oleiebung

(r / — «")-/- 6L(^' — y

s" — (r -§- r')sM/"

wie oben; dann kommt, naeb einer kurzen Operation

(/' -^- ^(1 -^- 8M/')°/- — (1 — SM/")^ —

O« i8t aber i<lonti8oli

1 7K s»r/ — I eos -2 7K I

vvio man 8iok leiolrt 6nrc;k ^U8küIirnnZ clor anZerioiZten Operation
nkerneuZen kann.

Nit Henüt^nnZ äiS86r Formel vvir6 dann

— si» — 6L(^'—

kiltt-ti!. man die xvvoi ^U8drüoke innerlralb der eekigen Klammern
virklielr ans den 0ubn8 und redueiert, 80 kommt

(r -^- 3cos^^- SM

oder

(-' -j- r')^r . SM ^2 -j- 3 60S' ^2 — 3L(^'—

0a ader SM'^^ -j- 3eos^ — SM^ eos^ -^ 2eos^^ —

— 1-j- 2eos'^ 2 — 2 -j- eos^ i8t, 80 kaben xvir 8eklie88liek

(r -j- . SM-2 (2 -j- MS)>") — 3L(^'—

107

ganz übereinstimmend mit der trüberen Oleiebung. ltamit ist erstens
bewiesen, dass die Luler'sebe Formel wirklieb die (tleiebung einer
Darabei ist, zweitens ersiebt man daraus, dass es glsiebgiltig ist,
ob man die erwäbnteir zwei (kleiobungen oder die betrelkenäen
kluler'seben Wormeln selbst als Lontrole benützen will.

lVIit diesen ersten l^äberungen kür w /r' : -r", ob sie nun naeb
der einen oder 6er anderen 8site bin gebildet worben sind, Zebe
man )etzt in 13) k^rt. 3 ein uncl bereebne daraus äie Distanzen
welobe, wenn auob noeb so keblerbakt, äoob sebon um
vieles riebtiger sinä, als äie zuerst angenommenen. Damit ist äer
Debergang auk diekllbpse, wennwirkbob eine solobe zustande kommen
soll, bewerkstelligt. Hin sieb zu überzeugen, dass äie iVusärüoke
kür e, c', (/' in 13) ^rt. 3 riolrtig kereebnet unä auob e, </, e" riebtig
bestimmt sinä, gebe man mit den zum Vorsebein gekommenen
Distanzen in äie dritte Orundgleiobung

welebe als die ttleiobung einer klbene bekrieäigt werden muss. Dnt-
balten in 13) Arl. 3 äie äie einzelnen Glieder biläenäen lleeimalzablen
nur eins ganze Stelle, so wird dis l'robe eine Dekereinstimmung bis
auk äie seebste lleoimalstelle binauk aukweisen; kominen äort auob
Webner vor, so gebt äiese Debereinstimmung Kanin über äie künkte
Deeimale binaus.

Diemit ist die erste Hxpotbese zu Dnde gekübrt unä man
sobreite sokort an äie Lildung der zweiten Darabelb^potbess, weleber
man )etzt am sebiokliobsten das soeben gewonnene Verbältnis e - e"
ziigrunde legen wird. Das Verkabien ist dem krüberen ganz analog und
beäark wobl keiner weiteren Erklärung. Dm sieb das mübsame unä
sebr eintönige (lesokäkt der ganzen Dereebnung in etwas abzukürzen,
bringe man bei den Versnoben, welebe äie Duler'sobe tlleiebung er-
kordert, beispielsweise u' auk die k'orm

--2 L« -j-

r"" <7^

u' — LL"oos(^" — 7>) ^2

indem man bei kleginn einer )eäen klvpolbese äie Ooekkieienten
6, 77, aus dem zugrunde gelegten Verbältnisse c" — O/e neu

bestimmt; weiters traolite man äie ^nzabl der li'arabelb^potbssen
dadureb zu vermindern, dass man naob äer dritten H^potbese, wo

108

bie Dewezunz 668 Verbältnis.ses 6 : sobon etwas zenauer erkorsebt
ist, batür zeeiznete Interpolationen maebt. vas Verkabren wirb aber
80 lange fortgesetzt werben müssen, bis bas Verbältnis : r?" unb
mit bemselden bis Dreieekverbältnisse sieb niobt mebr Lnbern.

11.

8inb ^ulet^t bis Merte von c" so genau als mögliob er-
mittelt, so gebe man an bis Dereebnung ber Dabnelemente. Der
Meg, ben vir bier einseblagen, ist aber etwas versebieben von clem
bei ben Planeten in ^rt. 8 befolgten. Vor allen ist ?u bemerken,
bass bis ^usbrüeke für unb wie sie bort sieben,

bier niebt gut verwenclet werben können, weil bis versebiebenen
Merle von unb L bei ben Kometen sebr klein auslallen, auf
weleben blmstanb wir sebon oben bingewiesen unb uns benselben in
anberer Meise ^u blutten gemaebt baben. Mir wäblen baber ben
bisber obne Ilntersebieb gebrau ebten Meg, nämliob ben vermittelst
Deberganges auk bie lielioeentrisoben Dolareoorbinaten, weil er bier
inebr Zioberbeit gewäbrt.

kür bie Verwanblung ber geoeentrisoben Käuzen in beboeen-
trisobs bat man aus 4) unb 6) in I. 2 bie kormelni

— L — — it)

bie erste bavon wirb man wäblen, wenn e > b' ist, sonst bie Zweite.
Debüts bequemer keebnung clivibiere inan trüber Gäbler unb Kenner
mit (>, in De^ug aut ben xu wäblsnben Ouabranten beaebte man
bie gegebene Kegel, bass ber 8inus bes gesuobten Minkels bas ^sieben
bes Gäblers, ber Kosinus bas bes Kenners erbält. km ben kintluss
ber kebler in c, /t aut / ansebauliob i;u maeben, bilteren^ieren wir
einerseits naeb anbererseits naeb § unb /l/ mit kenüt^unz von 3)
in I. 2 erkalten wir aus beiben kormeln üdereinstimmsnb

„ SMs/l — 0 cie-I-o rost^. — „„ ..

--jur 1)
ros o

Daraus ist im allzemeinen ersiebtlieb, bass bei zrosser 8onnen-
nälie bes Kometen bisse kebler ^iemliob stark einwirken werben,
wesbalb berartize Deobaebtunzen niebt ^u ben kür bie Dabnbestimmunz
zünstizsten ze^Lblt werben bürten.

109

k'ür die Verwandlung 6er geoe6ntri86ben kreiten in lrslioeen-
tri8ebe kni man au8 7) in I. 2

SM(/l —7)

7»v — —,-4 7a/1.2)

SM(L —ll.)

Oie Oiilerentiation ergibt 2nnäeb8t

„ - <7/l , c7Z «77

ckö - SM 27,


8ub8tituiert man bier 1ürck7 den öden gefundenen Mert, 80 kommt
naeb geböriger Keduetion und mit Oerüek8iobtigung von 3) in I. 2

„ 77sr-r7,eus(^—7) , ÄSMösMl^ —7) «/»27,

uT, — - 4^-s/x »4 —.—- 671

SM 2/1

Nun 8Mbt, da88, aU886r bei grO886r 8onnennäbe 668 Xometen,
Rebler in und >l im allgemeinen vermindert auf 7, übergeben, bin-
gegen wenn 7, >- /1 I8t, die Ošiliš!? in den g6066lltri86bell Lreiten ver-
ZrÖ886rt werden, WU8 öftei'8 Vorkommen mag. ^ur Lontrole der bi8-
berigen keebnung benütze man 6io Kleiebung 3) in III. 2

7Sl?>sr-r(7"— 7') — 7</ö'si-r(7"— 7) -j- 7</ö"sr-r(7' — 7) — 0

k'ür clik Vsrv/nncllnnA 6er M006ntri86k6N I)i8tnn^6n in Iisliooon-
tri8olr6 kann !>oi Lomsten mit Vorllrsil vervrsnäst verclsn cim Formel

7 -- .z>

SM t»

vis nm 8olilu886 VON I. 2 bemerkt worden i8t.

Kneb Hevv6rk8teIIi8NNZ di6868 IleberMNZe.? Zeben wir nn die
OereebnnnA von K und r'/ nu8 2) in I. 1 koIZt

7F ö — 7^ r' s« (7 — K).4)

8oleber OleiebunZen bnksn wir bier, enlLpreebend den drei Oeob-
aebtunAen, drei; beknndelt mnn'dieeellien nnnloZ wie die in 8) 4rt. 3,
80 erbitlt man für die IIe8tiinmnnZ von K folgende »eebe iVu8drüeke;

.. 7^SsM(7'—7) 7A.SsM(7"—7) _

7^ö'—7Föoos(7'—7) 7^ö" — 7Aöeos(7" — 7)

, — _ 7§b'sM(7 — 7') 7§'ö'sM(7"—7') _

7^ö — 7^ö'cos(7 — 7') 7^ö" — 7^ö'eos(7"—7')

7Aö"sM(7 — 7") 7Aö"sM(7'—7")

) 7^7- -7</7/'cos(7 — 7") 7^ö'—7^7»"cos(7'—7").

110

6)

kebuks bequemer keebnung dividiere man überall Gäbler und
blenner durek die im bilenner einrreln stebende kangente, 80 dass
man aueb bier auk die uns beliebte korm kommt. Von den secbs
Wormeln sind aus bekannten Oründen immer diejenigen aus^uwäblen,
«0 cier Quotient cler 'lkangenten ein ecbter Ilrucb ist. Hat man K,
berecbnet, so iinciet sieb r aus einer cier llleicbungen 4).

k^us 2) in I. 1 ergibt sieb weiter kür das Argument 6er Oreite
die Formel

!,,, --

cosr

woraus man u, «" und aus 6en knterscbieden derselben v"— v',
v"— V, V' —« recknet; um sieb vor Irrungen ?u bewabren, aebte
man wobl auk die Vor^eieben von sr-r r< und eos rr, wie sieb dieselben
aus 2) in I. 1 ergeben. Oer (lontrols wegen kann man aueb die
krojectionen r, r', r" und mit ^ubilkenabme derselben die klaum-
dreieeke

r , r' „ r"

-r — ->r — —-r — -..7)

cos r eos r ros r

recbnen und sie vergleicben mit den aus -r — sr»(r>"— V'),

-r' — -r"— -v'sMsV— V) kereebneten werten.

Vie nocb übrigen Klemente A s, «, M, 7r bestimmt man jet^t
gan^ so wie bei den dunsten; biemit aber buben wir die still-
sebweigende ^nnabme gemucbt, dass das verwendete veokucbtungs-
materiul so günstig war, dass wirklieb eine klbpse -:um Vorsebein
kommt; allein dies wird selten stattbnden, gewöbnlieb werden die
aus der letzten karabelb^potbese bervorgegangenen Distanzen
die wir aus 13) i^rt. 3 bereebnet buben, keinabe um niebts ver-
sebieden sein von den Distanzen §g, §g', (>g", die die kuler'scbe kormel
geliefert bat, es wird /J — 1 und — --g, u. s. w., mit anderen

Sorten, die veobaobtungen der Kometen werden meistentbeils auk
eins varabel kübren. ven Orund dieser kür den ersten Augenblick
sebr aukkallenden krsekeinung baden wir sebon oben angedeutet,
^eil nämlieb ^ur keit der Liebtbarkeit der Kometen die kadien-
veetoren sebr klein werden, so versebwinden in der keibe 7) des
vorigen Artikels die (bieder, welebe a entbalten, kast gan-r und es bleibt
nur noob die kuler'sebe Oleiebung übrig, als ob die llabn wirklieb
eine kurabel wäre; )e langgestreckter die kllipse ist, in der sieb
der Komet bewegt, desto eber wird dies stattbnden, d. b. desto eber
wird der das keribel umspannende 'bbeil der kllipse einer karabel

111

gleiebkominen. ^Veil aber dennoeb g, <?" in den letzten Deeimalen
um einiges von (>o> §g', (»„" versobieden sind, welebe Hbweiebung
übrigons aueb von Deobaebtungsleblern borrübron mag, so wird man
Darainster, Kxeentrieität unci dis wabren /Xnoinabsn gan^ so wie koi
denDlaneten reebnen, sobon deswegen, nm siob überzeugen, ob
in der Vbat ö — 1 wird. 2iebt man aber das etwas kürzere Vor-
labren kür dis Darabei vor, so wird vermöge der sebon oben be¬
nützten Oleiebung tür die Darabei

— 2-mos^^ — 2r'eos^^ — 2 Vrr'ess^rns^ .... 8)

/— « r>'

vor allen rr : Vr rns : ros^

voraus man auk leiebte 1-Veise erbält:

— «).9)

r r -j- r

^us der vorstebenden Dormel findet man v' und aus der
trüberen Oie Xeit 7'„, wann der Komet in der Lonnonnäbe gewesen
ist, die man einlaeb l'erilielxeü nennt, bestimmt man aus der (ileiebung

Ist der Komet reebtläulig, d. b. ist r << 90" und nebmen die
Unomaben xu, so wird, wenn 7„ die Deribel-ieit und 7' irgend ein
Datum der Deobaebtung bedeutet, an welekein die wabre Anomalie
« beträgt,

T' — T'», daber T' --!.... 11«)

Ist bingegen der Koinet rückläufig, d. b. ist r >- 90° und nebmen
die Anomalien ab, so wird

7), — T', daber 7'„ ^ .... 11/7)

i! bedeutet bekanntlieb die seit der l'erilielxeit verflossenen 'I'age und
Imt mit b/ gleiebes Vorlieben, d. b. diese beiden tlrossen sind bei
reebtläubgen Kometen vor der Deribel/.oit negativ, naeb derselben
positiv; umgekebrt ist es bei rückläufigen Kometen - vor der l'eriäel-
xeit sind und positiv, naeb derselben negativ. Die Dünge des
lleribels findet man aus der (tleiebung

— -r r> — .12)

112

Hat mnn bei zwsi für vsr86lrisZ6n Zsünltsnsn lvomstsn, in Zsrsn
Lr8SÜsinunA eins Z6VVI886 2wi86Üsnzsit füllt, clursü eins ZsrnrtiZs
kisrsslinunA Zsr pnrnboli8oüsn LIsmsnts lrsrnn8Z6fnnZsn, Zn88 K, r,
/- und 7r bei beiden Übsrsin8timm6ll, 80 knnn man mit ltesbt 8eblis88en,
dn88 äiö8 mir ein sinziZer Hoinst i.8t, de88en Ilmlnnf82eit der Ilntsr-
8sbisd der beiden Zslundenen l'eribslzeitsn oder ein nli^uoter Ibsil
<ti0868 IInt6r86Üi6<l68 i8t. l)ur<1i eins 80rZfültige blnter8UsbunZ nn<l
VerZIsiobunZ mit den übrigen in der86lben ^wiesluinzsit 6r8obisn6N6n
Kometen wird 8isb clis Hmlnnf8zeit eins8 8olebsn Kometen Ke8timmen
IN88SN. I.8t nber einmnl clis Hmlnnf8zsit ein68 Kometen bsknnnt A6-
worden, 80 bstrüZt clis Mittlers tüZIiobe KeweZunZ

360°

wo I/, clis IImlnnf8Z6it, in 3lnZen nn8zndrüeken i8t, uncl die ZrO886
Hnlbneb86 der Kllip8S, in weleber 8islr der Komst bswsZt,

wobei /c uncl n beide entweder in Lssunüsn oclsr OoZsn nu8^u-
clrüsksn 8in<l.

8süli688lisü ünt innn clis Lxssntrisitüt clor Lllipss

SM P — e — ^/1--

Hismit 8iml nlls lilsmsnts clsr wnürsn Komstsnbnün l>68timmt.
fVn8 6sm 6s8NZtsn i8t sr8ioütlisli, cln88 nu8 sinsr sin/iiZsn I^süsinnnZ
clis 1lllip86 siN68 Xomstsn 8MÜ Zsvvüünlisü nioüt fS8t86t^6N lÜ88t, WOÜI
nksr nu8 xvvsisn oclsr mslrrsrsn lür8sli6inunZsn, 6n88 nksr ^scls8mnl
eins womöZIisli Zsnnns Osrssünnnß clsr pnrnboli86Ü6n Illsmsnts notü-
wsnüiZ i8t. .letzt lrnnn man nusli srms886N, wio vvsit Zis bi8ÜsriZsn
MstüoZsn für Zis 6s8timmunZ Zer Komstsnknknsn üsrssütiZt unZ
Zsnnu wnrsn.

Im f1n86ÜIn886 NN Zis ZnrZslsZts Nstüocls 80llts ^'stzt sin 8si8pi6l
foIZsn; wir ünttsn sin 8oleüs8 nusü dsrssünst, nnZ zwnr Zn8 für
Zsn Lomstsn I Zs8 Znürss 1847; Zis von Horn8tsin in OrnZ üsrrülirsn-
Zsn UsobasütnnASN Zs88slksn sntlsüntsn wir nn8 Oppol/!6r8 I^sürdusü
clsr 8nlmk68timmunA, II. Ilisil pnZ. 489; von Zsn clort mitgstüsiltsn
8isbsn OsoüaoütunZsn lintlsn wir I, III, VI nneMwüült; nllsin nl8
wir nnsü OilZunZ Zsr sr8tsn ?nrndslü^potüs86 Zis Orsi6okvsrliültni886

113

i' : i'': i'" emsrstzits urni : -r„'- Mllsrsrseiis boroolrnoton, ^oiZts
sieli oino so bsäoulsnäo VorZoiriocioniroit, 6s.88 vir Loäsnksn truZon,
6io ZM26 IZorooiinunZ Iriolior /n 86Mon, voil vir 6io IMoimoOtungoo
Mr koiriorkukl kiolton; Mišin boi nüiroror LsirnoIiiunZ 6rvio86n 8ioii
)ono Ilnl6r8olriscls M8 in Mr i^iutur 3or Kuoiro ZoZrunMt. 1^8 Zodon
nümliolr äio UU8 6on Oi8tun2on , o„', o^" orotor H^po1li686 ko-
rooirnoton ?ro)soiion6n > r" volil 6bon6i686ibon Orsiookvorkält-
nibss, vsioiio inun orirält, vonn man nu8 r„", s„, s„', s„" ciio
doiroklonäon 6roi Oroiooko unk Zovoiinlioiioin IVoZo rooiinot, dio86ibon
6nt8pr6oii6n ukor 8okon nioirt inoirr <lon I)roioo.kvorlni.llni88on -r,, - >,'- -r„",
6io mnn vorinitiokt oinor kurnboitivpoilroso uuk Mo okon anZoZobono
Moi86 äuruu8 ZobilMl, NU8 6om oinMoirsn 6runM, voii äi686 ioMtoron
!)roiookvorini.! lni88o cior svoiton I4vpoili086 nnZokorsn, ciio or8t.oroo
tnnZOMN, in 13) ^rt. 3 oinZoMIrrt., cis.8 cior or8ion IiIvs,oi.ko8O ^uZrunclo
ZoioZto Vorini!ini8 n - o" iiskorn, M80 6io 1)roiooi<v6rini!ini880 8inci, init
6onon äio Znn^o HorsoknunZ kntto oinZoioitot voräon könnon, vsnn
8io von irnonliovoiior koknnnt gov686n värsn. Onrnu8 Mirt or8wN8
iiorvor, 6n88 6io ?nrnb6lii^potii686 nur nuk oino oinMZo ^rt. Zobiiciot
voräon Irunn, väiironci Mr 6io Xr6i8lrypoiii686 ^voi MoZo otlsn 8toiion,
vi o vir (iio8 oken Z686li6n irnbon, xvoiion8 cin88 eins Oonl.roio Mr
iZoobnoMunZon inor in8oMrno inoZIioir i8t, än88 6io NU8 ?g"

koroolrnoton krojootionon 3io cior botrskMnäsn ?LrukoIdvsiOiii080 ^u-
Zrunilo Zoiozton Or6i6oirv6riiüitni886 visäorAobon inÜ886N.

Mir >g88on nun <iu8 iioi8pio! koIZon.

12.

8oi8pi6i: iOomot. I. 1847.

Von 6io8on 8iokon LoobnoIrtunZon, <iio vir voZon 8pntor unriu-
8ioIIon,ior ?rokon uiio i>or^O8Otxt. irnkon, vätiion vir Mr 6io kintin-
b08timmunZ «iio I., III. un6 VI.

8

114

Ois OereobnunZ äer XnotönIünZsn /0', /0" aus 9) /Vri. 3
srZnb:

X 12° 14'44'47", 12°40'49-67", X" 14° 7'20'64"

^^0^0'8575293, ^^0'^-0'9142352, /</^O"---0'9618042
kVns 11) kVrt. 3 srbült mar»

1 - 5916570^ r- 1'9545162^ s" --- 1 - 7097614^
8ong.eb wirä M8 13) IVrt. 3

§ 26'3474365 — ^'»1'2732325)-/^'»0'9424850)

§' --- ^»1'7871024) — 43'852495 -»-^»1'3193686)
§"-^ -^»1'5535975) — ^,»1'4160874) 13'120852

^vo 6ie singekluininsrlsn Xnblen 0oZg.ritbm6n sincl. Weil ciitz 6inr?6ln6n
OtzeimLl^aliisn ^n ^vvei Zg.nM Ltellen enkbalten, 80 können wir in
den OoZurilbmen äsr Ol/inn-ien nur nnk klink sivbere Oeoiinnlen ^äblsn.
VVeikerK Zibk Oie Ikorinel

— 77^— 27?§cos(0> — ^) -»- §^sse^/?

0-9778332 — § »0'0307586) »0'6780602)

>-'2 0-9843402 — §' »0'1958859) -)- §" »0'3422602)

>-"2^ 0-9930607 — §"p-2811291) §"^0'0787240)

lOkr äis körsuknnnZ 6er ösknsn «,s" ksnötkiZst man <7, </, u"/
6in l^orinsln nin 865Iu88S 6ns /Vri. 7 Mbsn

<7 (/§"p-1714550) — ^9'9664088) — ^"fl'9225695) -)- 0 95062535

v' §(." p-2667182) — § »9-9479175) — §"»9'8323959) > 0'8532873

<7" §§' »0'4942160) — § »9'8602235) — §' »9'7867482) -)- 0'951682

ikür 6is ?ro)6oiion6N r, r', r" (rrkukkk inan

r 0'27170375 §'»9'5673800) — §"»9'7268687) — §'§"»8'9569531)

0'49289818 § »9'6572645) — §"»9'8561875) — §§" »9'2631065)

0'23837374 -)- § »9'8309027) — §' »9'8902648) — §§' »8'9707827)
2ul6k2t bekommt, man als OleinbnnZ 6sr Ikbeno uns /Vrt. 10
^"s1-4207384i -b ^"0'64199431 — ^'0'11796201 — x>0'49915081 4-
/0'50937341 - /00'80357211 0

115

Lomit sind die VorbereitunZsreeknunZen erlediget und wir ver-
susken bekuks LestimmunZ 6or Orsieektläeken -r„, n/, -r„" die LildunZ
der ersten Oarabelk^potkese.

Unter den 'kan Zen ten der drsi l^eiZunZen ./, ./', ./" ist, wie wir
seksu, <!</ -/" am grössten, daker das Verkältnis (>:(>' aus der OleiskunZ
(.7") im flrt. 10 die relativ beste KäkerunZ liefern wird. kls ist nämliek:

— 9-9965726 9 9951324

/ASM(7 — Kl") — 9'3260765 /^sm(^'— ^") — 9'0776375

/// se» ( V — ^") — 9'7097534,, /Fsrn(^ — Li") — 9'8487037,,

9 - 0324025» 8^9214736»

90324025»

89214736»

0'1109289

^ls OrundlaZe kür die erste Ilvpotkese wäre also anxunelunen

s' ^(0'1109289^

6er Zweiten Formel (^") gemäss ist

/A 7? 9 - 9951324 sr-r — y 8 - 9707827»

^R-r(it' — ^") — 9 0776375 /AE(L' — L") 9'7097534»

/A «m (L' - /,)  9 -38 5 5534  8 - 6805361

84583233

8'4583233
86805361
9-7777872

daker 6er erste Käkerungswert: — 9'7777872.

Allein cier Verfasser Katts ursprüngliek von 6en angekükrtsn
sieben Oeobaektungen I, VI, VII ausgewäklt, in der lVleinung, dadurek
an Liskerkeit in 6er Oaknbestimmung xu gewinnen; clakei wurde
(</ V (dort .7") die grösste Vangents. Allein sokon in der ersten
Oarabelkvsiotkese MZte sieb bei der OsreeknunZ von a, u', u", dass
der Komet ^wiseken I und VII einen keliooentriseken lioZsn Zurück-
ZeleZt Kat, der 180° um vieles ükertrikkt, daksr die weitere kseknunZ
aukZeZeben werden musste. In der Ikat war der Komet in^wisoken
im Oerikel gewesen. Ks wurden dann die genannten drei Ileokaektun-
Ksn I, III, VI Zewäklt, das Verkältnis o : o" (dort o : V), wie es naok
Lskluss der ersten H^potkese xum Vorsekein kam, aber benützt und
8»

116

der Zweiten N^potb68S Zugrunde gelegt. Mir beginnen aber von vorne;
die Oleiobungen (-/') ergaben:

k>" (>p-1710073), 9-7997027

Nit di686n Ver8U6b8W6rten reebnsn wir r, r", s' und geben
danut in die kuler'sebe Olsiobung ein; ds Z"— Z — 30 läge, 80 wir«!
(^0-^ <'-)- - 6L(Z"- z) 3-096379

dlaeb niedreren Verbunden Medienen ZA§„ — 9'6691950,
/A-^>o"— 9'8402023, und demnaeb --g —1'230975, r„" — 0'4950185,
«o'— 0'7928933 al8 Merte, die der vorliegenden kuler^eben kormel
8sbr nabe genügen. iVue der Oleiebung der kbene Knin dann
9'7806437

Lomit wird

< 0'91531, «g 0-466012, s„" --- 0'3269017

Nan bemerke, wie nabe s„ -)- Sg" — ist, so du88 ds8 Lebnen-
dreieek -r — kn8t ver86bwindet und dis Bewegung d68

Kometen nabe^u eine geradlinige wird, detN bereebnen wir nneb
6er korinsl ,,

— (/- -§- >-')^-6NS/"sr-r

die einzelnen Oreieeke, wobei nber Vx überall w6A86lns86n wurde;
vor allen i8t

19°17'41", 7' 27°20'50'4", 7" 8«45'39"

kolZIiob al8 Zweite H^potbe86

9-4231070, /^-rg' 9'6777197, /§<' 9'3754040

Nit di68tzn Oreieoktläeben wurde in die ^usdrüeke 13) /Vrt. 3
einZeZanZen und gefundene

9-6804615, 9-7974060, 9'8824272

Oemnaeb wird
S" ep-2019657)

Wenn wir mit den 8oeben gewonnenen Merten von o und «"
die Versuebe beginnen und mit Ks8tbaltung d68 au1g68tellt6n Verbält-
M8868 dis86lben 80 lange kort86t?:6n, bi8 der kuler^eben kormel
Oenüge gesebiebt, 80 erkalten wir:

^0 9-6831380 ^ 9'8851037

-'o -- 1-2521304, r„" 0'4826313, --- 0'79076945

117

Oie Oleiekun^ 4er pkene liefert

/^S«' 9-8001175

Du Zer uutzestellten Ikeoris Zufolge Zio Proportion

C C So - So - So

kesteken muss, so ist 68 kier eigentliek sokon übertiüssiß, Sn' aus
Zer (ileiekunZ 4er kikene 2U destimmen, Zu man, venu uuek si'ükkr
Zereeknet ^vur4e, uns 4er vorlieZenZen Proportion k„' Kn4en kann;
aus ' §o' Ergibt siok kier beispielsweise — 9'8000825,

weleker Wert mit 4em obigen Ireiliok niebt bsson4srs stimmt. Nit
Deikekultung 4es trüberen o„' wirb 4unn

0-9324604 s, — 0 4648148 «<," — 0'3262033

/ 19°10'33-3" / — 27°7'7-8" 7" --- 8°35'15'1"

!)is Orsiookiiüokon nuoii Zer obiZon pormsl kkrooknöt Zebbn
2ur ciritton H)-potk686^

^»0^ 9-4229603, 9'6783369, ^»„"^ 9'3784678

4iU8 13) ^rl. 3 orgEkon siok Zunn Zik ^VV6I OistunriLN^

9 - 6794421, s" 9 - 8822268

Oukor

s" slO^2027847)

Oitz OreisokModkn vorätzn in äor viert 6 n potk 6 so:

^»0^ 9 4231308, ^»0'9-6783625, ^»0"^ 9'3783313

unZ Z6NI2Uko!Z6
9-6845760, z§s" 9'8871106

Duker
sp'2025346)

118

Ourotireoiinun^ der86lben kommt

— ^^0'2026150^ als künkte H^potliese.

0i68S Hvpotiitzss lieferte dn8 Verkültni8 n" — o ^0-2025872^

8tntt der86lkell wurde nun in 86eli8ter flypotli686 dn8 VerliS.ltni8

— ^^0'2025950^ ^uZrunde ZeleZt und 68 kamen kolbende VVerto

2um VorLekein-

^»0 9-6833779

^x>o' — 9-8005553

9-8859729

1-252505

< 0-9328725

>-o"^ 0-4825224

/ 19» 10'31-52"

/-^ 27 6 43-1
/' — 8 34 50-24

„o' — 9 - 6783559,

«o 0 -4649028

«o' 0-7907057

«0"--- 0 3260603

— 9 3783613

Oie Oreieektläetien worden eonaoti
^»0^ 9-4230900,

und demriufoIZe dis 1)i8tg.n^en

— 9 -6833407,

9 - 8005212, /A s" 9 - 8859337

daiioi-

(/' sp-2025930^

mitiiin in tunk Oeoimalon übereinstimmend mit dem in dieser Hvpo-
tii686 riuZrunde ZoloAten Voi-tiültni88o; wir bloikon iuor etoiion. k8
wurde Zoprükt, 06 in der Iknt

i8t, 68 erZab eioii

0-2479199 — 0-3298517 0'0819284 — 0'0000034

I)ie86 ?roks kann nnek ^d8eklu88 einer ^eden H^siotke86 Ze-
muoiit. werden; ferner wurden der Oontroie weZen die Oreieeke
kereeknet naoii der k'orinel-

3^(<" —

"0 2 -^- eos

68 Kam mit Vi'68ia.88UNZ von V/1

^»„^ 9-4230186, ^>ro'— 9-6783560, ^^"--- 9-3784444

119

4Vakrend also Z^d ükereinstimmt mit dein obiZen, wie 68 auek
sein muss, da die v^potkesen alle 6er Kwisoken^eit d' — anbeiuemt
sind, weielien /A-r„ und von den obilen stark ab, du lisweis,
dass dis anZenommenen weiten mit den dazu ZeköriZen vanZen und
kreiten uiobt redit stimmen. 6a uns alle ^.nkaltspunkte leiden, um
diese lln^Ieielibeiteu xu ebnen, so nebmsn wir sur KrundlaZe der
weiteren kleoknunZ die oben Zekundensn vistanxen e, d, §" an. Im
IlekerZangs auk die kelioeentriseken koordinaten erkalten wir:

§ --- 120°6' 0-1" ö -- 48°21' 7'76" 0'0977592

125 9 56-55 S' 47 51 56'95 ^d 9'9698076

139 2 50'8 S"^ 45 16 27 ^d'^ 9'6835200

K 2010 42'7-1", ' r — 131° 20'28 7"

d' — d — 9° 52' 25", d' — v — 13° 17' 24'78"

d— « — 3° 24'59'78"

8omit werden die Klaeken der drei llaumdreiseke

8'8875294» h/d^-9'1427871» /^d'8'8427816»

Wei! die Ilntersekiede in den wakren Anomalien negativ sind,
der Komet, also rüokläuüZ ist, was man auok aus r l> 90 ersiekt,
so müssen auek die vreieekkäeken ein neZatives Vorxeieben be¬
kommen. Kur Oontrols kaben wir auek die vroieetionen r, d, r"
Zereeknet; es ist

--- 8'7074294 ^d^- 8'9626913 ^d'^- 8'6626800

^M«r  9'8199013^ 9  8199013» 9 8199013»

8'8875281» 9'1427900» 8'8427787»

Vie IlebereinstimmunZ mit den obiZen vVerten ist im Zangen
bekriediZend ^u nennen. Kerner ist

^4rdd'sM^(d' — d)sm^(d' — V)sr-r^(d — «) — 6'8257148»


e sr'n (d' v) — 9'6697381

e oos (v" ») — 9'9464730»

9 -7232651»
^-0 0000094

78967055»

8'9290093

x 008492

-(d'^rl)^ 152° 7'53-58"^
z(d' —v) — 6° 38'42-39"'
" d' -- 145°29'11'19"

V -- 158° 46'35 97"

120

Oi68 würko kill HinnoiZon xnr Hyporkol nnkonton, aber man
Äobt, Ka88 in kor Zan^on ktoobnunZ <lio lot^ton xwoi 8toIIon Lotiwan-
Kon. koobnon wir ^Ot2t au8 Kon Oibtan^on ^g, §g', ^", kio kio Iilulor'8obo
bormol in kor iotxton l'arakoIbvpotboKO bokriokiZton, paraboli8obo
Llomonto, 80 kommt:

K --- 2010 42'30-7"

i — 131020'23-1"

8-9284641

7-7 127°21'4-9"

7'„ — 30 31358 Narx, ?oribolxoit.

2ur Orobo wurko kio Zoooontri8obo ?O8ition für 26'0 l^obrnar
1847 Zoroobnot, 68 kam:

— 22° 49' 1 -17", 54° 29' 27 -17"

äomnaob

Ooobaobtun^ woniZor kooknnnA -i/t — -j- 7'08", — -j- 3 - 9"

l^ornor wurko kio ZoooontriZobo ?O8ition tur 24'0 April Zo-
roobnot, kaboi wurko

--- -- 1'44-8", ck/1 - 1'50-2"

' IViirkon kio Oroiooktläobon molir untsr oinankor 8timmon, 80
würko kio ?robo Zowi88 b0880r au88ofallon 80in; übriA0N8 könnon
sink kio OoobaobtunAtzn voin 24'0 April nul oinon nnäornn Ikoii
668 iiom6t6nk6rn68 bo^ioiion, än 8ink äis V6rIMtni886 in 6or i4in-
8ie5l vor un6 nnok cioin?6rilroi änäorn. Huo5 8ioki man vvio
viol Ko886r 68 Zovo8on -vväro, ciio or8ts ?nrnbolk^potli686 nu8 ^1" — 0
kor^nloiton.

13.

VVi r kodron ,jo!,x> xn cior Unuptroiko 7) in l^ri. 10 Trurnok nncl
kuüpkon 6nrnn nooll oino nüt^lioko OotrnoktunZ. Mir Kation 6ort
ZS8okon, Kn88 ^nr 2oit, vo 6or koinot in 6or Mko 8oino8 ?orikol8
8iok bolinciot unä wo or auok un8 6r6onbowoknorn 8ioktdnr wirk,
äio oinriolnon mit « kskaktoton Oliocior wsZon kor kloinon kakion-
vootoron 1n8t Zan^ vor8okwinkon, inkoIZo K0880N kio 8nknk08timmunZ
oinss Koinoton boinako nu8nalnn8lo8 aut oino karabol kükrt. ont-
stokt nnn kio kraZo, ob kio OoobaobtunZon oino8 Komoton 2nr ^oit,
al8 Kor8oibo in kor l^äko 8oino8 L.pbol8 8iob bobinkot, wio 8olobo viol-
loiobt nnk 8obr ontkornton Olanoton nn80r08 8onnon8^8tom8 möZIiok

121

sind, ebenfalls eins DarabsI liefern vvcudsn und ob die eben vor-
gstragene Netkode 6sr Daknbsstimmung audi dann nosk anwendbar
wäre; oder in Kinbliek auf unsere massgebende Ksiks: kann « ins
Dnendlieke waeksen und können dann bei diesem VVaeks!Knin ins
Dnsndlieks dis mit « bskaftstsn (tlieder sekwinden, so dass wirklisk
eine Darabel /iim Vorsekein käme? Diese Krage muss snlsskisdsn
verneint werdeir. Kine nur obertläeklioke Detraektung unserer Deiks
xeigt, dass, wenn a wäekst, auok rlie 6b? Mke 66s i^pkels ange-
körenden Dadisnvsetoren waeksen inüssen: dabei kann naks der Kall
r -^- r'-^- s'^ — 4« Eintreten WSgen ätz? oft ausssrordsntkek KIsinen
Dsriksldistanx des Kometen und dis Zulässigkeit dieser Deiken-
entwiekelung wird dadurek in Krage gestellt, wie aus 5) /ir!. 10
ersiektliek ist. Nit einein Vierte, das Versekwindsn dsr mit « kekafte-
tsn tllikder lässt sieb nur in dsr Käke des Derikels denken, niekt
aber für das ^pkel, wo dis Deiks 7) divergiert, odsr dis Laim dss
Kometen wird woiil xur Zeit dss Derikels xu sinsin Darakelstüoke,
ist aber sonst eins geseklosssne Kurve, sins Kllipse. Da aber dis
Dakn eines Kometen bis xum Orsnxkall, der l'arabel, niekt vorgeken
kann, umsoweniger ist sis imstande, disse (lrenxe xu übersebrsitsn,
um xu einer Kl^perbel xu werden. Ois Kometen kewsZsn sieb
dabsr alle in KIlipssn von mskr oder weniger bedeu¬
tender Kxsentrisität. ^ärsn demnaeb löeobaektunAen aus der¬
zeit des ^ipbels ZsZeben, so dürften wir niebt den obiZen Kunst^ritl
anwenden und bekuks OestimmunA der Oreieekverbältnisse xur Oarakel-
b^potbese unsers /mtluebt nebmen, weil die Heike 7) in diesem Kalls
divergiert und dis srwäknts OaknbestimmunZ niekt xulässt, sondern
wir müssten xurüokgoken auf die bei dsn Klanetsn anwendkars Kreis-

kypotksse, denn xur Zeit des Lpkels wird dsr Oiffsrentialquotient.

für eins lange Dauer sekr KIsin bleiben, daker die Kreiskvpotksse
erlaubt ist.

Ks sei uns xum Leklusse unserer Erörterung gestattet, noek
eine ^nsiekt über die Sekweifbildung der Kometen vorxu tragen. Die
Deobaektungen sowokl frükerer namsntliek aber der neuesten Zeit
Kaken dargetkan, dass die Kometen selkstleuektende Dimmeiskörper
sind: auek Kat man an einigen derselben Dunstatmospkären snt-,
deekt. Der Verfasser nun ist sekr geneigt xu glauben, dass alle
Kometen derartige ^tmospkären besitxen, weloke den Kern in mekr
oder weniger kugelförmiger Oestalt umgeben. Kine soleks ^tmospkäre,
deren Diekte mit der Kntfernung naek allsn Leiten bin abnimmt,

122

xv 16 dsi 6sr Lr6s, vvircl vom 86lk8tl6uokt6u66N Horpsr otlenkur b6-
8trukli, uu6 wäre 6is 8ouus uiekt 6u, 80 vvürrleu wir eins uuMmeiu
Zro8Z6 ^susrkuZs! vor un8 tiubsn; clu aber 6u8 um visl68 8türk6ro
luolii 6 sr 8ouus äiö86u ^susrZIuu^ 8odIuA, 80 86lisu wir nur 6sn
im 8oliutt6u ä68 Komötöu bslmälioiisu H16Ü 6ör ^tmo8piiüro, 6sr
8iok UQ8 ul8 6iu luuZsr ^I^n^Luäsr 8okw6ik äur8t6llt. uu6 Wöloksr
ul80 immer vou äor 8ouus ubZoIrskrt 8siu MU88, wie 68 iu äor 1'tiui.
6er i?uli i8t.

IV. ^dseknii.!.

öakndk8timmung a»8 vie^ keobaekiungkn.

VVi>' wondon uns )otxt wieder den Dlaneten ^u und bebandeln
den in 4.rt. 4 dos III. ^bsebnittes erwäbnten sobwierigen Kall, wo
der Dlanet boi entgegengesetzter geoeentriseber Bewegung in die
trüber sobon einmal innegebabten Dositionen ^urüekkebrt, wodureb
die drsi beodaobteten Ort« nabodu in einen grössten kreis xu liegen
kommen und die Daknbsstimmung naeb der dort. vorgetragenen Ne-
tbode unsieber, sogar unmögbob worden kann. In sinom soloben
balle wird naeb dor obigen Oisoussiou nabodu sr-r (4/ — X) —
— «r» (4/ — /b') — sr'-r(4/ — /ii") — O, also 4/ von X, /<', /i'"
n lobi viol versobiodon, wosbalk die erste Olsiebung 7) in III. 3

— 4/) — — 4/) -r'V'srn(4" — 4/) — O

bolnabe identiseb wird inii 10«) daselbst, nämlieb mit

-re - - -^- —-r « sr-rl/ — L 4->r ii srml/t — 7v) — O

«r-r(X,—L)

odor üborbuupt idonti8ok mit einer der 80ok8 UmkormunMN von

/3'-)-/?" — 0

dubor mit dieser OleiobunZ selk8t identisob. Ou über die erste liier
unMsetste OleiobunZ nur eine Umformung der ersten OrundZIeiokunZ
3) in III. 3 ist, so liefern drei derartige Deobaebtungen, wo der I'lunot
sieb last in einem grössten kreise bewegt, eigsntlieb nur r^wsi ver-
sekiedene Oedingungsgleiekungen, nümliob die folgenden:

-ry 6vs(^ — 4/) — -r'^'eos(^' — 4/) -)- »r"y"oos()." — 4/) — m )

-j-— 0 /

was aber für drei Unbekannte -ui wenig ist. Dieser Umstand nötkigt
uns, eine vierte llsokaobtung boranxuxiobon und eine Netbode /u

124

entwickeln, vermittelst weleker mnn aus vier deokaektungen kie Illnt-
fernungen 668 llaneten von Ker klrke bestimmen kann: 68 kankelt
siok also karum, statt 6er ^uskrüoke in 13) 4rt. 3 668 III. ^bsoknittes
ankere aulzustellen, aus 66N6N man init grösserer Liekerkeit Kitz I)i-
stanzen (>", wozu kann noek kommt, zu bereeknen imstanke
ist; alles übrige, 6i6 öestimmung Ker Oreieekverkältnisse, 6i6 4^k-
leitnng Ker Haknelemente bleibt kier unberükrt un6 erkäkrt natürliek
keine t^bänkerung. Weil vier Llemente vier lernen geben, 80 werken
auok visr Ueobaektungen vier soleke (truppen von (tleiekungen lie¬
fern, nie wir 8ie in 2) un6 3) t^rt. 3 668 vorigen t^bsoknittes knken.
Wenn wir von 6en (tleiekungen 3) kaselbst ausgsken un6 6ie eur-
tierte Distanz 6e8 llaneten von 6er Krke in 6er vierten Deokaoktung
init bezeieknen, mit welekem 4ee6nte wir ükerkaupt alle kieser
Deobaektung angekörenken Luekstaben verüben wollen, 80 bat 6ie
kortige (truppe kie lerne 6ie Zweite (truppe wir6 6ie lerne o(/e'"
Kuben, 6ie 6ritte 6ie vierte Was 6ie neuen noek kinzu-
Kommen6en kaumkreieeke anlangt, 80 setzen wir-r'"— rr"H(r)"' — «),

—«'), — ^"r'"sr-r(v"'—»"); zu 6en bereite

vorkankenen Doppelkreieeken -r, -r'^ -r" kommen also noek 6rei neue
-»v Kinzu. Wenn wir nun unk 6en KImstanä aektkaben, Kass
in allen Kiesen kreigliekerigen (tleiekungen ein einzelnes 6lie6 6as-
)enige Oreieek zum doekieienlen Kat, welekes 6ie ^.eoente 6er beiken
übrigen (Kieker anzeigen, 80 können wir uns leiekt analog Ker obigen
(Keiekung 1), kie wir Ker llebersiektliokkeit wegen kier mknekmen,
kolgenke vier (truppen bilken:

—1l/) — n'(>'eus(^'— M) -p -r"(/'eus(^" — M) m

-r« ^7 /?' -k /?" — 0

— M') — n'"x>'oos(^'— 1H') -p 45') ---

(A /1' -p ikA /1"' 0

»^^cos(5 —45") —-r"'p"ess^"—45")-k-r'(/"6Us(5'"— 45") --- m"

-rW (A — >r"'s" ^Z'" — 0

45"') —-r^l>"eos(5"—45"')-p-r(>'"<?o8(5"'—45"') — m'"
k/ — --k^o" /3" K- /?'" — 0

Ilm kas krüker erwäknte (tesetz beispielsweise zu erläutern,
so Kat kas erste (tliek Ker zweiten (truppe kas Dreieek zum
(toeKoienten, weil kie t^eeente von (>'«'" in Ken beiken ükrigen

125

6Iio66ro 68 80 0O26ig60; 608 2W6it6 OIi66 660861560 Oropp6 kot
»,'" Mm Oooklieiootoo, vvtzi! m äsn boiäoo öbriMo Oliokoro ?(>'" vor¬
kommt u. 8. v. I)i6 V6r86kl666O6O M und Us 8io6 Z6A6K6O 008 660
OIoiokooZM

-r^sr-r/> — -r'^'8r»-r"L" 8M ^" — M8r»

»Z? — -r'L'eos^' -r"L" sos^" — M ros M

»IVAeos^ — »"'K'«»« // -- -r"F"'eo8^/" — -»'oosll/'

sr» I/ — -r'"L"sr'-r I>" -^- »' Ä"'K» — -»"sr-rM"

»VAeos/z — -r'"1?"oos^>^-j-»'^"'oss/>'" — M"oo8ll^"
-r^Ä'sr'-r^' — -r^F"8i-r^"-^-» L"'8r»//'"— -»'"8r»m"'
»^L'co8l>'—n^L"ev8-r L'"ro8^^' — M'"eo8H/'"

3)

OIoiokooMo tor 6io ?robo bilke 1000 8i6k oook 6om No8t6r 5)
iv III. 3.

2Mr HscloemIiLkksit 6k;r k6ro6i'6o kiotwiokoIooZ, 616 8otrr 008-
Mäeiiot 20 wordoo 6rokt, Mkr6O wir ^6t2t oo886r 6oo KootooIooZoo
m", 66060 86r6okouoZ 008 9) ^rt. 3 668 voriZoo Hb86koitt68
komor woitoroo LokwieriZkoit ootoriioZt, oook 6rsi Lootoo L''"',

6M. /o 61686M L066 vsrbiodoo wir 660 060 kio20Zskomm6060
Vi6rt6o Ort />"' mit ^66om 6or är6i oodoroo 0rt6 6oreli Zr058t6 Xr6i86;
6er 6orek Z620Z6O6 ZrÖ88to Lroi8 tr6ss6 6i6 kikliptik im?ookt6
006 6or IViokkI, 660 66r86lbo oot 6or Lkliptik im 81006 6sr obiZoo
2ätiIooZ 6io86kli688t, I16I88O ä6r äoreli 1^0"" Z620Z6O6 ZrÜ88t6
I(r6i8 8olmoi66 6io Lkliptik im ?ookt6 006 b68it26 6ie I^oiZooZ
./^' 2or kikliptik; ob6080 8r1io6i66 6or 6urok A62OZ6O6 srÖ88t6

I<r6i8 6io Ekliptik im ?ookt6 006 koko 6is i^oiZuoZ -or
Lkliptik; 6io li'ormolo 8) io III. 3 6rw6itoro 8iok 80mit 20 6om lol-
Z6O66O Oompl6X6:

— Kn(X — — E(X—^")^-^" — si-rO

ß' O' — E ().' — ^") sirr (X' — tzl

r- ss" E(X" — ÜA (X"— L')M»(X" — «s

rAlZ"'--- E(X"'—E(X"'— E(X'"—

k'ör 6i6 86r6okoooZ 6or 06060 Koot6oIöoZ60

MlooMO wir ook 66M86lt)6O 1V6A6 wi6 o!xm Mr X, /t" 20 fol-
Mn6oo ^O86r06k6o:

126

— _ ^8^(1'"—y

1 ^/Zso8(1'"—4)

— 1'")

— ^/?'"cos(^ -— 4'")

_ 1^1 v>   ) _

^/S'"-^^'ou8(1'"-1')

^/1"'8«(1'-1"') .  o)

lA^S' — ^/)'" 608(1'- — 1'")

lutl"-^ ^/S"8«(1'"—1")

-A/?'"—^/S"608(1'"—1")

— ^/S'"8«(1"— 1"')

608(1"--.'")

Nan vvircl Mod bier wie o K o n äiejenißen ^usclrüoke wäbleu,
6ie einer oonverZenten keibe entspreoben, 6. i. cllejeniben, wo äer
'banZentenciuotient sin oeliter Oruob wird : Mr Probe reobne man
clann ./"', .4^', .4^ doppelt aus 4).

Die weitere analvtlsebe OebandlunZ des Problems gestaltet sieb
mil IZenüt-iunZ des anZeZebenen Hilfsmittels moZIiobst einlaek und
eleZant. l^ebmen wir beispielsweise die beiden 6Ieiobunßen in 1) selbst
vor n ml ersetzen die Zweite, äio InnMnwnZItziobnnZ , änrob ibro
Umformung 10«) in III. 3, so dass wir baben

-r§608(1 — 45) — ^'(-'008(1' —-44) -(- >r"(>"6S8(-." — 44) — M

8i-r(/l—^')8M(-."-L) „ - /.„ r^x

- . ..„ --- n o 8M (-. — L ) -p n o 8M (1 — L ) — 0
8M(/. —44)

Hiornus oliminioron wir in6om wir 6io ersto OloiobunZ
mit 8i-r(1" — 44), 6io Tiwoilo mit ro8(1" — 44) multiplioioren; 6ann
kommt vermittelst 8ubtrnotion

In'»(4"-^')eo8(1 — 44) — 8M(1 — 44')ro8(1"— 44)1 >
8r»(1 —4v ) >-

-1- -r'^' ^8M (1' — 44) 608 (-." — 44) — 8E (-." — 44) 608 (1' — 44)^ —

— M8r-r(>l" — 44)

o-ler mit Oennt^unZ einer bekannten Zoniometrisoben pormel knr clas

Ormlnot aus einem Linus und Oosinus

127

N-r(1' — M) 8« (1"—1)668(35—L') , ,

-r§ -- ^-7^777-^77—^ -— — -r (-'8r-r(1"—1 )668(3/—M)--

««(X. — L) "

— M8r-r(1"—

Mir dividieren mit «m sl" — M), M wird sebliesslieb

E(1"—1)668(35—^) , ,8r-r(1" — 1') 668(35—^

-^77-^77-- — >r?-M
8m(1 — L) 8--r(1 —

tim -r'§' eliminieren zu können, verbinden wir mit der Losinus-
gleiobung dis Umformung 10/?) in III. 3, so dass wir baben

A§668(1 —35) — --'§'668(1'— 35) -)- -r"§"668(1"— 35) — --r

8--r(1—X")8---(1' —X) , , . x-x , 5, „ . /X,, r-x

-r§ —-— . —- — -r § 8--r (1—L) -1- -r o 8--r (1 — 7r) — 0

8--r(1 — 7r )

lVIultiplioieren vir bier dis erste Kleiebung mit s»r (1' — /5), dis
zweite mit 668 (1' — 37), 80 kommt vermittelst Lubtraetion

-r§ -^7-I^8r'-r(1'—^") 668(1— 35) — 8r'-r(1 — 55") 668(1' — 35)) -l-

8-.-r(1 — 5r ) >-

-)--r"§"^8-'-r(1'—^) 668(1"—35) — 8r-r(1"—^) 668(1'—3/)^ — M8--r(1'—M)

!iuruus erlnrlten wir in analoger Meise wie trüber

8--r (1' — 1)668(35 — ^") „ „ 8--r(1"— 1')668(35^—IV)

Ä-^sl' —L") " Ä--(l'-L)

Dm -r§ eliminieren zu können, verbinden wir die (losinus-
gleiebung mit einer anderen passenden Umformung der langenten-
gleiebung, und zwar

-r^ 668(1 — ll/) — -/§'668(1' — ll/^) -r"§"668(1" — ll/) — M

. ^,x , ,8M(>l'—L")8r»(1—L"') . ,, ,, . ^,x /X

--6 8r-r(1 — ^) — »§ —- ^777 - § 8--r(l —//) —0

8--r(X — L )

lVIulliplieieren wir bier die erste Kleiebung mit(8r>r1 — ^), die
zweite mit 668(1 — 3/), so kommt naeb geböriger Vereintaebung

, ,8r-r(1' — 1)668(3/—L"") „ „ 8--r(1" — 1)668(3/ — ^)

-/«'--^4- ^77x- — w s --^7x-

8--r(-.—M ) 8r-r(x — // )

Oie Verbindung der Losinusgleiebung mit den drei noeb übrigen
Umformungen der Vangentengleiebung liefert niebts mebr bleues, man
wird auf die bereits entwickelten drei (lleiebungen gelukrt. blaeb dein

128

-n

sr'n(1 — L")

m'

m'

sr-r (1

— L')


«M — L)

lVIuster clieser rlrei OleiebunZen für m lassen sieb jetzt auob je ärei
kür »r", --r'" ans clen obiZen (truppen ableiten, und zwar bloss
vermittelst. Analogie. 8o bekommen wir im ganzen dreimal vier,
cl. i. zwölf solober li'inalAleiobnnZen; wir wollen üisselben sämmtliob
bersetzen, um üamit eins Ilebersiokt. zu gewinnen.

, , sr'-r(1"—^')eos(1l^—L)
-r (> --- . M

sr-r(1"'—

-»/- - - — M

-- - K k> --7- m -

8M(1"—

, „,8M(/."'—1)M8(^"—^"')

>r p -—- -- — M

8M(1"— L)

^„ 8M(1"—1>08(1l5'"— L)

8M (-."'— 8M(-."'—L^)

8^(1"— 1')ws(«"'— L) „, 8M(-."'—1")M8(1l/'"—Lv)^

17177^ ' 8^(1"—L^

8«(1'"--.')M8(1l/"'-LlV)

8^'"-1>8(^'"-L'V)  ,, 8M(-/"-1'>N8(^-LV) ^

8M(1"'— L'")

n--r(1"—1)eo8(M-"—L')

8M(1"—L')

„8r'n(1" — ^,)co8(1l/"—L')

8M(il"—L) '

« N»(1"—1>08(M—L)
8M(il'—L)

8M(1"—Yco8(^/—L')

' o N-r(il-L')

8r-r (1" — - /.) 608 (7V — L')
8i»(-."—L')

8»r (1' — 1) co8 (1l/ — L")
L")

, 8rn(1'—1)ro8(^—L")

8r-r(1"'—L'") " 8i-r(1'"—L")

8M(1'—1)M8(1l5'-L") „ ,„8M(-."'—1')E(fl5'—L-^

" S«(-.'- L") 8im(-.'— L-V)

,„ , 8M(1'—^1)608(1bf'—L") ,, ,„8r»(1"'—-1)ee>8(1l/'—L'")

Hi § - /i

129

Alles äies erkalten -Mir aus vier ksokaektstsn Orten, anssksinenä
ist es xu visi, aber 68 virä siek xeiZen, äass in einzelnen k'ällsn
äisssr Apparat ebsn ausreiekt. Nan siekt xunäskst lsiekt ein, äass
eins von äen vorZeMkrten vier Oruppsn von ll'inalAleiekunZen Mr
siek allein genommen sine LakubestimmunZ niolrt ermöZliskt, äa äis
drei OleiekunZsn sinsr einxelnen Orupps voki äis Vsrkältnisss äsr
Oistanxen, aber eins Oistanx selbst niekt liekern können; nm eins
Oistanx xu erkalten, MÜ886N also minäestsns xveiOruppen xusammen-
virken, äie xvsi übrigen können Zanx veZMIlen. Ills ist nun äis
K'raZs, vsleks xvei von clsn vier Oruppsn xu srväklsn, vsleks xvsi
ausxuseksiäen sinil. Damit eine Kontinuität in äis kesknunZ Komins,
MÜ88SN äis xvsi ausxuväklenäen Oruppen äis OiZsnsskakt kabsn,
äa8s alle äarin vorkommsnäen Oänzsnäillerenxsn 1.'—1., —/. u. s.v.

ZIsieks Vorxsieksn besitzen, also alls sntvsäsr positiv oäsr nsZativ
sinä. Im Zanxen Zsben vier OsobasktunMN seeks solske Oängenäik-
Mrsnxen, in.je xvsi Oruppsn kommen aber Zusammen genommen
äsrsn Mnf vor; äsmnaslr virä man äisMnZsn xvsi Oruppen aus-
sueken, vo äisss Mnk OänZenäiksrsnxen einerlei Vorxsieksn Kaken,
äsnn vüräe man xvsi Oruppen väklsn, in äsnsn äis OänZsnäikteren-
xsn untermisekt siniZs positiv, anäsrs negativ sinä, so vüräen äis
xu in Vorseksin kommsnäen Distanzen bsispieisveiss äsr OleiskunZ


nur selivvaeli oäsr Zar nielit ZsnnZsn. Ilm also riektiZe unä Zsnaus
kssultats xu Mvvinnsn, muss man auk äiessn Ilmstanä voki sskr
aektkaksn. VVMil äemnaek Mnl känZsnäiffsrsnxön ^leiekkexeielmet
sein sollen, so ist äie l^usvakl äss OeobaoktunZsmaterialss anek niekt
Zanx glsiokZiltiZ, sonäern 6s muss äarauk Zeseksn veräsn, äass äabei
nur sine sinxiZs äsr sseks Diffsrsnxsn sntMZenZssstxtes Vorxeieksn
srkält, vas xu erreisksn ükriZsns nie sekver sein virä; xuZIsiek
sollen äie OeobaektunZsn möZliekst veit auseinanäsrlie^sn.

l-Iat bsispielsvsiss 1' — l. ein äsn ükriZsn kängenäifferenxen
entZssenZesstxtss /^sisken (Oauss' veispisl in äsr ^/rsoria -»oü<s), so
sinä äis erstsn xvsi Oruppsn xu ververlen, vsil sis sr-r(lt'—lt) ent-
kaltsn, unä äis xvsi lstxten Oruppsn m" unä »r"' xu srväklsn; äsr
Kürxe kalbsr Zsben vir äensslbsn äis I'orm i

O"-rV(> — — -rr"
m"

—//'kr'y'" —

e'"-r^s' — ml

6'"-^^"—— ml

130

wo äio koäöutunZ von (7", D" . . 0'", . . . klar i8i. 0io koiäon

in 6or 6rittön Kims stokonäon KleioliunZon Zokon nun, wenn man
8i6 vörbinäöt,

woledör änutlruck 8mli kür äis IoZaritkmi86k6 kseknunZ ctvvau bs^usinoi'
madmn Iä88t, in äor IVsius, wio inan nbördaupt 6io 8nmm6 oäör 6is
Oikloron^ ^wöior /aklen, clörkn DoZaritkmön inan könnt, um^ukormon
püöZt; 68 ist nämlioli allZomoin

, , , öX

« -k o — «II > — I

— X — «/

wo ö < « anZonommön wir6. kornor i8t clön obiZön tlrlömlmnMN
A6MN88:

" S'"^"-r'-rrV —S 'H'"E'"

" MV" ' ? — M^v

IVäi-6, NIN ä6N ^W6Ü6N näeli8tli6Z6n66n Kull 2N liOililirkn,
1'"—nncl6r8 kö^öielmot al8 6iö nbriZön DitloronMn, 80 mÜ88t6
inan 6iö 6rst6n 2wöi Krnppön M8wükl6n, wo clunn § ^nnü6ii8t ^nr
L68timinunZ kommt; äiö ^ukiö8nnZ ä6i' boti'oMnclön (tloiolmngon
i8t loiokt.

^uok 6nnm nook, W6NN 2w6i KÜNA6n6iMr6N26N A6A6N äi6
übriZön 6in6 nnäörö RorieielinunA orknlton 8oIIt6n, wi?Z 6in6 8nkn-
k68timmunZ möZIiok 8öin. I>l6llM6N wir b6ispi6l8w6i86 1' —
unlörs börioioknöt an, 80 worclon in äör /woitsn Kruppö cliö 6r8t6,
in äor ärittön 6k6nknÜ8 6iö 6r8t6 un6 in 6ör viorton nllo KiöiekunZön
brnnodbur, mitkin sinn Z6nun6 LoröoknnnZ sämmtliokor vier 0i8tnn26ll
möZIiok i8t. 1Voit6r6 0on6688ion6n nl8 äiö oben A6mn6kt6n wirä abör
6iö N8tronomi86kö Krnxi8 von clör Ikoorio niokt korciörn.

Dio DroioekMekön, 2wi86li6n äsnön 6io mörkwüräiZo Ilolutlon

K-r'" — — 0

b68t6kt, wi6 man 8ieli loiökt üI)6r26uZt, W6NN man 6. in 66N
(lloiolmnuon

-rcv — -r'-r' -j- »"cr" — 0

-r"'n' -j- -r"cv"' — 0

-r'a)'" 0

-1^' — -rcv'" — 0

131

nasb äsr Netboäs äsr glsiebsn Loskkieisnlsn vorgsbt unä äis ver-
ssbisäsnsn Lv sliininisrsn vill^ äisss brsisoktläebsn oäsr vislmebr
ikrs Vsrbältnisss vsräsn gan^ 80 bsslimmt, vis bei ärsi ösobacb-
tungen; äsnn 68 sxistisrt gsviss aueb bei visi' Orisu sin Lrsis, ässssn
kaäius bsiläubg äis lVlitte bält xvlseben äen vier kaäisnvsotorsn
unä vo äis llrsisekverbältnisse äsnen in äer bllipse glsiebkommsn;
man bat also bisr

-r - -r' - >r" : -r'": -r^ : -r^ —

— : si-r(^gr') : si-r l/r^") - N>r(^gr'") : sr'-r (^Ug^) : sr»r(^o^)

Du 68 sieb im ganzen broblsm nur um äis Vsrbältnisss äisssr
breisekfläeben banäslt, 80 kann man mii äen Sinussen von

u. 8. v?. gan^ 80 vsrksbren, als ob man äis blrsiseküaobsn 86ib8t
vor 8iob bätts; man brauebt äsmnaeb II. bsi äsr Dsstiinmung von
m' . . ., M, kl/' . . . aus äsn obigsn Husärüeksn kein Lsäsnksn
I^n tragen, statt -r, -r' u. 8. v. äisss 8inuss6 sin^ulübren.

bis Habnelsmente verclen in äerselben IVeise bestimmt, vis
bsi ärsi klsobaebtungsn, nur äass äas vsrkügbars Natsrial bisr un-
gemein anväebst unä man eins grosss Husvabl an Vormsln Irat,
vslebs Ist^tsrsn 8ieb 6sr Os8sr nneb äsm ZöZobontzn Nu8t6r 8slb8i
biiäsn muZ; nutürlieb virä mnn äis Z66iZnst8t6n änvon nuMuebsn
unä kür äis Zun^s LsrsebnunZ bsiksbnltsn.

Dis bisr vorZstraZsns Nstboäs, NU8 vier LsobusbtunZsn äis
KIvmsnis einer ?Innetendnkn -in kssiimmen, bnt, vis 868NZt, nur ännn
ibrs volis HsreebiiZunZ, venn äis Zsos6niri86be HevsZunZ äss ?In-
nstsn nnbexu in sinem grÖ88ksn Lrsi86 vor sieb Zsbt, vo also nisbi
nllsin äis bangen, sonäern aueb äis kirsiken uukIVsrts ^urüebbommsn,
äis sis sebon einmal bss6886n; man kann aber äis Nsiboäs ausb
sonst anvsnäen, vo äieser xvingenäe Orunä nisbt vorbanäsn i8t.
IV'enn äis Kinusss von b — bb nisäriZ bleiben, virä 8is sogar vor-
xuxielien ssin, geben absr äisss Sinusse boob binauk, so virä sieb
äis Neiboäe aus ärei ksobaebtungsn mebr empkeblsn.

Usi spisi. Oauss gibt, in seiner t/reoz-r« kolgsnäs vier
Lsobaebtungsn äes l'Ianelen Vssta, um äaran seins äort sntviekslts
Nstboäe 2U srprobsn:

132

Nnn siekt nllso^leioli, änss kis? kein ZenüZenäer Orunä vorliegt,
äis Netkoäe nus vier Oeodnoktungen nn-iuvonclen, äenn vonn nuoli
äie k-nngen Zuerst nk- unä ännn ^unekmen, 80 sekreiten äoek äie
Breiten in oontinuierlieker knlgo ^urüek, 80 änss von einer geo-
oontrisolien Ilevegung äes Blnneten in einem grössten Ureise keine
Beäe ist. Ons vorliegenäe Beoknoktungsmnterinl ist im tlegentkeile
sekr geeignet kür äie IVIetkoäe nus ärei Beobnektungen, nnmentliok
veil äie letzteren sekr veit nuseinnnäerliegen, unä svnr knnn äie
Bereoknung äoppslt gekükrt voräon, inäom mnn einerseits äie erste,
äritte unä vierte, nnäerseits äie ^veite, äritte unä vierte Oeobnoktung
verbinäet; vir vollen aber nur unsere Netkoäe nus vier Oeob-
noktungen NN äiesem Beispiele Zeigen. Von äen seoks Bnngsnäille-
renMn viril liier 1' — 1 negativ, änker vir äieselbe gnnx knllen
Inssen; vir linken

V —). --- 9° 2' 3-36
V— V --- 13 44 12-15
V"—1"^ 25 48 33-40
34 50 36-76

— 39 Z2 45-55

/A- sr-r — 9 -1959692
^sr'-r — 9'3755915
/Al — 9 - 6388654
Z§Ä-r 9-7568927
/Ai SM — 9 - 8039331

/A, eos — 9'9945787

/Ai ros — 9'9873968

/Ai Ms — 9 - 9543623

/A, Ms — 9'9141925

/^eos 9-8871184

/^/A,^'^- 9-0758140

^v^ /^v ßgreoknel:

/§ /A 9 - 3440199, /^ /A 9 - 2522860,
/A/A/S'"-^ 8-8801327

Onwit vuräen 6ie KnotenlnnZsn 7(l', Zil
äer Lnoten Wit mit /l' — /l veZ. lÜ8 knm

L" ---211»S3'57-30" /AM-P.'-LO 9'788119cv /AE(X"-L) ^0'6116470^

7^' ^198 1 46-58 -L'') 9'5192367,- --9 2510308,-

L'" -- 228 51 55-84 ^§7-r(X 9-8851299,- ^s»r(V"-L''")--- 9'4212427,-

7^-v235 27 33-63 ^s«-r(V -^-v^ g 9486278» 9'5714745»

7cv -- 246 37 41'00 ^n>(X"-LV) 9'9324551» h7E(X"'-LV) 9'7367739»

On in unserem kni Io äie dritte unä vierte Oruppe äer kinnl-
ZleiekunMN ^ur OeruoksiektiZunZ kommen, so sinä »r", 47" unä
4/"' 2U kereoknen; äie kormeln 3) Zeben

^^9-2109895^ — -r'"^9-9839043^ -r'^9'4116446^

^^9-9939788^-»'"^9-5106608^ —-r'^9-9883198^ m"Ms47"

-^^9-92337141 »^^9'98390431 -j- » fi-41164461 ---"'§/»4/"'

--^9-75344551 »^^'51066081 — » ^9'98831981 ---'"MslV"

133

wo dis sinZskIammsrtsn Xatdsn RoZaritinnsn sind. Rismit sind kür
disssn Iksil dsr kssknunZ dis Vorbsrsitungsn srlsdiZt und wir
Atzlisn un dis RildunZ sinsr Xrsiskvpotksss; der Radius dss suppo-
nisrtsn Krsisss ssi 2'6^ dann wird

12°56'52'36"

-- 24 11 40 -88

/-„r"' ^ 38 2 3-91

— 26 47 15-40

-- 13 50 23-05

/-/ sr-r — 9'3503732 — /A»
/ASM — 9'6126127 — /A-r'
/Asm — 9'7896757 — /A-r'"
/^sr-r — 9'6538726 — /A-riv
/Asr>r 9'3787737 -- /A^

Ms5 RintükrunZ disssr Orsissks in dis voranZsksndsn Hus-
drüsks srZidt sied:

4ut llrund dssssn wird

/A S" 9'0406790», /A 74" 9'7151167», ZAL" — 9-3088849»

/AL" -- 9 -6522036»

/A<7'"^ 8'9070420», /A74'" 9 6254005», ZAL'" 9'0835140»

/AL"' 9-5689504»

Oie Rormsln kür o", o', o Zsbsn Mxt

/AA'" -- 0-4455902, ZA§" 0'3243109, ZA^' 0'1871971

/AA — 0'1100191

ttskt man mit dsn Distan^sn (>', o'" bskuls sinsr I'robo

in dis OIsiskunZ

ein, so kommt

0 06580468 — 0'11323937 -j- 0'0474347 — 0

134

Wir könnten Mzt an die vestimmung von H, r n. s. w. geben,
6ns Verkakren jedoeb ist ganz so, wie oben bei ksrss, wesbalb wir
von cler weiteren keebnung abstebsn.

Vie oben entwiekslten Vinalglsiebungsn geben ^sds kür sieb 6ns
Verhältnis an, in welobsm zwei Distanzen zu einander sieben, und
zwar bat man kür )edss einzelne Verbältnis ^s zwsi solebe Kleiebun-
gen, ans deren Verbindung bann clie betrekkenäen zwei Distanzen
bervorgeben. Oiesein Verbnitnisse zv'iseben M zwei Distanzen kann
inan absrauebnoeb eine andere, von 6er obigen nrn weniges vsrsebie-
dene Vornr geben, die wir 6er Vollständigkeit balber ebenfalls ent-
wiokeln wollen. Vs ist nämlich zu folge 12) Vrt. 3

M — M (41- L) — si-r (41 — L')^

Letzt inan bier kür c/, bis in 11) daselbst an erster 8tslls

stebenden rVusdrüeke, wslebe nämlich beicle sur (/V — Hf) entbalten,
ein und löst auf cler reobten Leite clie Differenz cler Linusse in
bas entspreobsnde vrocluet auk, so konnnt, weil

SM(L'—IV) 2si»z^'—IV)M§z(^—ist,

sr'-r(V—1) , , si-r(I" — -V)   mrn8(41 — ^(H'-(-H))

si-r"(I"H-1^) " Ä-r(V'—^) " /k

Huk diesem wenig desobwerlioben IVegs findet man Ms 12)
hrt. 3 noob bis folgenden zwei Kleiebungen:

sr'n(V — 1) „ ,, sr-r(>." — 1')   Mcos(4/ — ^(hf"-)-1k))

— L") sr-r(1' — cos^(4V"—

, , srn(V — /) „ „ sbr(V — 1)   

—L') "

Diese Vorm bat, wie man siebt, vor cler obigen einiges voraus;
wollte man bier m uncl 41 niebt reebnen, so setze man beispiels¬
weise — 6) und man bat

mros (4/ — 0) — nA ros(I> — V) — -Hl'cc>s(II— (7)-)--r"K"ros(I>" — k)

Vier veobaebtungen liefern noeb drei weitere solebe Kruppen,
dis sieb dsr gensigte Osser aus dem Vergleiche mit den obigen sebr
Isiebt selbst aukstsllen kann.

135

Weil man äennoek okt in äie kuge kommen wirä, M unä M
bereeknsn XU müssen, 80 möge kier ein kingerxeig gegeben werden,
wie äiese Kereeknung am kürxesten unä okno grosse Nüke gekükrt
weräen kann; uus 4) in III. 3 folgt nümliek:

-tH SM (15'—1>) — sr-r (11"— 1/) — m SM (11'— 1K)

»H oos(1>'^—1>) — -r'1?' -^- -r"H"sM(H"—H') — m oos(11'—
woraus sieb m unä 45 nun mit weniger Nüke reeknen lassen; xur
weiteren Vereinkaekung äiviäiere mun keiäe Oleiek ungen mit -r', 80
«lass 11' kür siek allein xu sieben kommt unä mun ul8O linker llunä
nur vier verünäerlieke Ooekkeienten kut; 8tutt m erkält mun ^etxt
reokts , woruu8 siok m leiekt knäet.

--r

Wie wir krüksr geseken Kuben, leiäet äie Kaknbestimmung
eines Kometen uus clrei Keobuektungen un einer gewissen Ilnsieker-
keit, äa wegen äer kurzen l^wisekenxeiten uuek clie Knotens Ir', /ik"
sekr nuke aneinunäer xu liegen kommen unä mun infolge äuvon
köekstens uuk künk siekere veeimalen in xüklen kunn, so

äuss sekon äeswegen vom ^ustunäekommen einer kllipse keine keäe
sein kann. Hs muss äuker geruäe bei Kometen äie kaknbestimmung
uus vier Oeobuektungen uls sekr rutksum ersokeinen, numentliek
wenn es siek um eine äeknitive kestsetxung äer Klemente kunäelt,
äie uus einer einzelnen krsokeinung abgeleitet weräen können, ks
ist uuek « einleuektenä, äuss vier beokuoktete Orte einen ge¬
naueren Ourvenxug liekern weräen als ärei, unä es äark äer Oeäunke,
äuss mun uuk äiese Weise eine wenigstens unnäkernä riektige kllipse
srkulten kann, niekt uusgesoklossen weräen, xumul wenn äie öeob-
aektungen reekt weit auseinunäerliegen. Ike Osreeknung selbst wirä
kreiliok etwas umstünälieker, äu man in äer ersten Ourubslkypotkess
noek eine Zweite Oleiekung äer kbene benötkiget unä von äen
Winkeln 7 ^eäesmul noek minäestens xwei weitere bestimmt weräen
niüssen, um äie Oreieekverkültnisse biläen xu können; äie betrelkenäen
kormeln sinä nuok äem Nüster äer obigen leiokt kerxustellen.

v. ^dselllnii-t..

Vie Lilipee kiel' Li-äbalin.

^Vie vir gegeben baben, bedarf man bei der Labnkestimmung
der Planeten und Kometen genauer Lonnenorte und es ist sonnt dis
Kenntnis der Krdbabnelemente die erste und viebtigste Bedingung
^'sder Kabnbestimmung; vir geben dssbalb iiu llilaebkolgenden in aller
Kür^e eins Netbode kür die Lereebnung der lllrdbabnelemente aus drei
beobaebteten Lonnenlängen, eine lVIetbods, die sied an die vorangebende
Hieorie der Labnbestimmung enge ansebliesst und eigentlieb nur
eins öpeeialisierung derselben ist. llei der Krdbabn ist r — 0. daber
fallen liier Neigung und bänge des aukstsigenden Knotens veg, und
da ausserdem « — 1 angenommen vird, so kämen im (lrunde nur
drei Klemente, die lllxeentrieität, bange des beribels und die
beribel^eit 2ur Lereobnung, aber dakür, dass vir villkürlieb « — 1
setzen, muss ein genauer Wert kür die siderisebs Ilmlauks^sit
der Krde eintreten, l^ls soleber vird uns in II. 7 angegeben I/ —
— 365'256374 mittlere Lonnentage;* daraus erbält man als tägliebe

* Nun linäet clis siclsrisoks bmluuks^sit aus clsr tropissksn, äis vir mit
ki' ksrsioknsn voilsn. Osr llrüklingspunkt k«' ksvsgt sisk in einer clsr 8rcl-
ksvsgung sntgsgsngssst^tsn kliektung, cluksr ÜLS tropiseüs lakr, ä. i. clsr Ilntsr-
seüisä 2vsisr LutsinLnclsrkolZsliclsr lkrllkliiiZsclureliZÄnAS clsr 8c>imo äursli clsn
ksycmtor, stvas kürzer ist als äs.s siäsriselis; clissss iäkrliclis 2urüskgsksn äss
krüülinZspuvIctss, krLssssion ZsicLnnt, bsträAt »Leli I. 4

50'23465"-b 0-00022576 "k

voksi, vis o5sn, <lg.s kaür 1850 als LcisgLngssposüs Li>Zsnommsii ist. 6m nun
clis tropiseüs bmlLuksrsit 6' clccreü clis sicisriseiis kl s.us?uclrüeksll, Krings man
von kl clis 2sit in Lk^ng, vslsks äis Lrcls drsuokt, um äsn öogsn ru äurok-

137

mittlere Bewegung (sideriseb)

360°

,t — — 3548-1926", ^,u 3'5500072

Diese mittlere Dewegung als bebunnt voruusgesetxt stellen wir
uns M-d die Aufgabe, uns drei beobuebteten, nut ein bestimmtes
^SMinoetium redueierten Lonnsnlüngen 7, I/, L" summt deren
l^wisebenrieiten k"— 7' — r, 1"— 1 — r', 1'— 7 r" die DIlipse
der Drdbubn nüber sest^uset^en.

Ds seien 7k, 7?', 7k" die drei entspreobenden Entfernungen der
brde von der Lonne, so sind die drei Dopxeldreieebe unserer trüberen
Oexeiebnung gemäss

7V 7k'L"sm(7^"—L'), 77' 7k7k"8r»(7>"-7>),

-- LL'sm(L'-7>)

Duruus ergibt sieb ullsogleiob

7^ E(L"-L')  ^77-L)

r>, — « - - ^77"— L)' 7^" ' /.! "

Lel-it man der Dürxe bulber

7V' si>r(77"—7>') _ 7V' sr-r(7>'—7>)

" " ' si-r(L"— Is' — 7V" ' Ä-^(L^7>) " "

so ist einkuob

7k -- 7k'«, 7k" Tk'fi.3)

lleze.ieknet man mit die Dünge des Deribels und mit r irgend
eine wubre TVnomulie der Drde, so ist, wenn 77 dis Dedsutung der
von der Drde uus gemessenen Dünge beibsbült,

« — 180 -j- 7^ — rr .4)

lauksn; kür sinsri vollsv Oraä dsirölbigt sis tk: 360° Ikaxs, kür sing Loxsiisscunäs
binzsgsn, «tu 360°— 1296000" ist, kk 1296000 kaZs, mitbin kür boxsnsseunäsn

1296000

2isbt man diesen 2eitbetrLg von kl nb, so wird

1296000 X 1296000/

rrns weleber OleiebunZ sieb 17 dsstinnnen lässt. IVeü sieb dis Ourebgänge der
Sonne durcli den Lequator init ^ieinliober Sebärks ermitteln Insssn, so unterliegt
dis Ssstiminung der bängs des tropisobsn Inbrss Icsiner besonderen Scbwisrigkeit.

138

8ind nun V, v" die den drei 8onnenorten entspreebenden
wnbren Anomalien der Krde unči set/t mnn

n"-L"—2/ «"—v L2/', r/—r- —7>'—L2/"
80 wird der bnlbe karameter F Zg? Krdbabnellipse Z6MÜ88 5) in III. 8
4«,d srn/srn/'srn/"

/J srn 2/ — «/Z srn 2/'-^ « srn 2/"

Kübrt man diesen Wert von /r in 6) dnselkst ein, 80 kommt
. , ,, , , 2ld— «) srn/srn/"

s srn (v -/v) — -, . -'. ,-. ,

/i srn 2/ — «/Z srn 2/ -/«srn 2/

e «»s - sd' vi s 2(/?^-a)srn/ sr n/'sr n/"_ n

eos/I_,Ssrn2/—c-/Isrn2/'/-«srn2/"

woraus sieb v, n" und s findet, wenn einmal « und /? bekannt sind.
Weitsrs bat mnn dann, wenn s — srn P Zesstd wird, wie oben

(45 — .7)

44 — — e srn 4? — .8)

— — 3548-1926".9)

Wie man demnaeb siebt, bestebt di6 Hnupl8nc:66 clnr ZNNMN
Hnknk68tiinmunZ in der LrmittolunZ d o n (IrÖ886n « und /) oder in
dsr I?68t.86l2unA dtzr IIr6i60lrv6rknIIni880 : IV^': ^V"; ^vir können nbor
Nudi IÜ6I- 86t26N

: Ä" - 4/" — srn («gr): srn (^r'): srn (5^")

Vi -^--n

"" /.'d-

odo,- wenn mnn kür seinen Wert uns 3) in II. 8 substituiert,

3548-1926"

- b'

Wir ne Innen, wie trüber, « — 1 nn und drücken demriutoIZe
den kndius des supponierten Kreises, in Kinkeiten der gossen
I Inlbnebse « nus. Weil die Klemente der Krdbnbn sekon mit xlem-
lieber (lennuiZkeit bekannt sind, so nebme rnnn tür den ersten
Versnob 7?o Zldeb dem kndiusveetor der mittleren Ueobnobtuni;

139

an, Ken MAN aus ksn bekannten üllementen bereebnet, unk bestimme
karnaek « unk /S- sollen Kiese beiken (krossen noeb stark abweieben
von Kem Vsrbältnisse, welebes kie bekannten Klemente liefern, so
wirk man 77g so lanze änkern, Kis « unk mit Kem erwäbntsn
Vsrbältnisse in «trsi oker vier Oseimalsn stimmen. Dann erst kübre
man « unk mit IZeberZebunz von 5) in «Zis kormel 6) sin un«Z
rsebne v, v" unä e/ wsitsrs bsstimms man 7N, 7«/" ans 7), 4/, 47"
aus 8) nn«Z ssblissslieb ans 9); kommt «Zer «Zort anZssst-its numerisebs
Mert von /r 2um Vorsebsin, so ist kie Labnbsstimmunz aueb sobon
^u knke zekübrt, kenn aus 4) erkält man kann Kis Käuze Kes Osrikels
unä aus 8) kie Oeriksl^eit. Hat aber 9) einsn ankeren V-^srt zeliekert,
so bezinne man mit sinem etwas Zsänkertsn 77g kie zan?s keobnunz
von vorne unk set^e kie Vsrsuebe so lanzs kort, bis sobliesslisb 9)
vollkommen bekriskizst wirk.

klimmt man kann aueb in Ker (kleiebunz

- «(1 — s^)

« — 1 an, so wirk — 1 — e^— M8^«/i,- Kiesen Wert sst^e man in
5) statt bin unk bsstimms karnaeb 77' un«l aus 3) 77, 77", woinit
Kis Zan26 ^ukzabe als zelöst srsebeint.

Lst^t man in 4) statt ?r kie (krosse 180 -j- 7r, wslsbe (krosse
man kas Oerizäum nennt, so kskeutet r> kie wabre Anomalie Ker
Lonne von Ker krke als Ltankpunkt aus zs^äblt, wie Kiss in Ken
kpbemsriken übliob ist.

Die LUipse Ker ZVlonäbabn.

Oureb sin zan^ äbnlisbss Vsrkakrsn lässt sieb ausb kie KIlipss
Ker Monkbabn bestimmen. Oie wabre oksr sikerisebs blmlauks^eit
Kes Monkus um Kis krke bsträzt nacb Hansen 77 — 27'321661 k'azs,
kaber kie mittlere täzliebs Oewezunz

47434'891", 7^-« 4'6760979

oker 13° 10'34'891". Lekanntliok wirk 77 beim Nonke aus Ker tro-
pisoben unk Kiese aus Ker synokiseben (Imlauks^eit abzelsitet, welebe
Istritere sieb aus unmittelbarer Oeobaebtunz erzibt. Oexisben wir
alles in I. 1 Oesazts auk kas Verkältnis -iwisoben Lrke unk Aonk
unk setzen kort statt Ker Lonne kie Lrke, kie wir uns in unserem
b'alls als rubenk, kie Lonne binzezsn als in Ker Lkliptik kreissnk
ksnksn, unk statt Kes Planeten Ken Nonk, so baben wir sin ^Velt-
s^stsm, kessen Mittelpunkt kie blrke büket. Oie in I. 1 zewäbltsn

140

, -r

- —

n

Oe^eiebnunZen traZen vir alle auk den Nond Wer und es sei r die
l^eiZunZ, K die OänZe des auksteiZenden Knotens der Nonddakn,
-v die OänZe des KeriZäums^ ö die Zeoeentrisebe KänZe und Oreite
des Nondes n. s. v.; es Zelten dann ebenso aueb die Kormeln 1) und 2)
daselbst. Verinittelst 4), 5), 6) in III. 11 findet inan vor allen
K, rr, r<", venn vir vorausset^en, dass aus 6er OeokaebtunZ
drei Zeoeentrisebe KänZen und Lreiten des Nondes ZeZeben sind.
Oie Ilntersebiede der UreitenarZumente liefern dann »" — — 2/,
v" — v — 2/', v' —v —2/"; vsnn kerner die drei Knt-

lernunZen des Nondes von der Krde bedeuten, so sind die drei
Ooppeldreiseke irn kaume ausZedrüekt dureb

-r — ^'-""§M2/, »r' — ?^"sM2/', -r" — -'r'sr»2/"

Oaraus koIZt unmittelbar

SM  2/ „ , SM  2/"

-— - — - —-v—
SM 2/' -r" SM 2/'

so dass aueb bier Zeset^t verden kann r" — das veitere

Verlabren ist Zan^ so vis oben bei der Krdbabn. ^Is taZliebe He-
veZunZ im supponierten Kreise bat man

- 47434 891"

— /^V/-

v«/

vo « die initiiere KntkernunZ des Nondes von der Krde bedeutet:
setrit man « — 1, so ist dann der in Kinkeiten von « ausZedrüekte
kadius dSs Kreises; in diesem ülasse sind aueb aus^udrüoken.

Iils verstebt. sieb von selbst, dass die der OeobaebtunZ entlebnten
OänZen und öreiten des Nondes veZen der von der Lonne bevirkten
LtorunZen ^u eorriZieren sind, bevor man rmr OaknbestimmunZ sieb
ansebiekt.

VI. ^d8eknit.v

8tönungkn (^noblem kiel' lli-ei Köi-pen).

IIn86?6? ^u86inan66?86t^nnZ in II. 3 -mloIZ6 botnäZt 616 Ho-
86bl6NNiZUNA, mit 66? 6in 1'lanoi 066? Kom6t /6? 80NN6 ^0/!0A6N vvi?6

L- -.>>

^.2

Vi6 80NN6 mislit 6611 Lorper mit 66? 8686bl6uniAunZ „ an
8mk, 66? Lo?p6? InNMZ6N, 66886N Na886, in kiinb6it6N 66? 80NN6N-
MN886 au8g66?üokt, m i8t, tboilt 66? 80NN6 6i6 Il686tll6UNiZUNA
mit; 6is H6VV6FUNZ 6o? 80NN6, inkoIZ6 W6lob6? 6l686lb6 66M ?IaN6t6N
wi?KIiob Z6Näb6?t wi?6, kann ab6? naeb 66M ??ineip6 66? ?6lativ6n
66V6ZNNZ ant 66N l6t^t6?6N nb6?t?aZ6N nn6 6i6 8onn6 6ab6I a>8
?ull6n6 A66aebt wo?6on, 66NN fn? ä6N Moet 66? 86VV6ZUNA un6 6i6
6a?NU8 ?68ulti6?6n66 Z6Z6N86itiZ6 kintk6?NUNZ !?V6i6? L8?P6? i.8t 68
Z6wi88 6a886lb6, ob ieb mi? 6onk6, 6a88 6in ^666? von b6i6on 6in
A6vi8868 8tüok M6Z68 bobuks A6F6N86lti86? biäb6?UNA öUI'ÜoKZoIOZt
bat, 066? 6a88 NN? 6IN6? von boi6on 8iob b6w6Zt, 6aku? ab61' 6i6
8umm6 b6i68? ^6A6 maobt. ^Voil boi 66? H6V6AUN8 /^nm L6nl?al-
Kö?p6? 6io ka6i6NV66to?6N 668 ?IaN6t6N 066? Xomoton V6??inZ6?t
W6?66N, 80 bokommt 66? ^N86?uek tu? 6i686 li68a?nmlanXi 6bunA
N6Zativ68 Vo?MI6b6N, wi6 6i68 ob6N b6?6it.8 A68aZt ^VO?66N i8t.

Vi6 ^N2I6buNA, W6l6b6 6in KIau6t von 66? M1886 m auk 6IN6N
an66?6N in 66? Lnti6?nunA ? — // 1 K (wo 6i6 wi?KIieb6 knil6?nnnZ
66? Koi66N W?P6? un6 « 6i6 mittl6?6 Lntt6?nnnZ 66? L?6o von 66?
80NN6 b6x6inbn6l) 8t6b6n6on Xö?p6? au8Ükt, i8t Zan2 a!Ig6in6in au8-
M6?üokt 6u?6b

142

maZ null 6or MA620Z6N6 Körpor 6io 80NN6 o6or ein andoror 8immol8-
körpor sein, un6 voil sioli 61686 ^n^ioIiunZ nauk» alion 8oit6n kin im
Moltraumo äu886rt, so Kami 816 nieiit okno MirkunZ bloibon au t 616
nbriZon Uörpor 668 8oiM6N8V8t6M8. Uin oin^olnor Himmolokörpor vir6
6aii6r niolil alioin vom Oontralkörpor, 6or 8onno, 8on6orn Midi, von
allon übriZon üimmokkörporn anZo^oZon. I)i6 8tärk6 6i680r tVnxioiumu
känZt 8OvoIiI von 66i Ua.886 al8 aueti von 6or UntkornunZ 668 an-
xi6iisn66ii Körper« ab. Oor ob6N an 616 8pit^6 868t6Üt6 «Vu8<Iru6k
i)6/!6iokn6t ciemnaeb niobt 616 A68LMMt6 ^N^iobuNA, 616 6M 81an6t
o6or Komet ertabrt, 80n6ern 68 Zerren NN iiim N6b8t 661 80NN6 auob
NÜ6 übrigen HilNM6i8kÖrp6r 668 8oNN6N8^8t6M8 nn6 8N6Ü6N 6in0,661'
naeb 86IN6N Krallen iim an 8ieb 2N riieben; 6a6ureb vini 6i6 8abn
668 ?Ian6t6n 0661 Kometen g68tört nn6 niebt 6i686ld6 ur8prünglieb6
UIÜP86 M6kr, vie 816 68 oiino 61686 8torung6N väl'6.

Letraobten vir 661 Uinkaobbeit V6A6N, vie ein einzelner Klanet
mit mebr o6or veniger beträobtlieber Na886, 8. 6npit6r, nut 6in6n

LN66r6N HimiN6l8KÖrp6r 6invirKt. 861N6, 668 8tÖr6n66N ?INN6t6N, iVlN886
861 6i6 r66tltvinKÜA6N Ii6lio66ntri8oii6n Loor6innt6n 6IN68 86iN6r

0rt6 8616N L,, Väkr6n6 M 6l6 Nn886 668 Z68tÖrt6N Lörp6r8

nn6 L 6i6 6oor6innt6n 61N68 b6Ü6biZ6n 0rt68 in 86in6r 1-nkn
b6^6i6kn6n MÖZ6N. ö6r;6ioiiN6N vir 6i6 UntkornunZ t)6i66r 8imm6i8-
körpnr mit o, 80 i8t bnknnntlieii

(M, — M)'- («/, — r/)« — s)'--

nn6 616 8686iil6uniZunZ, mit V6loii6r 6or 8töi'6n66 (6upit6r) NU k' 66N
Z68tört6n ?Inn6t6n o6or IÜ0M6t6n oinvirkt

Mir A6b6N 6i686r 8686ill6NNiZUNA 6in PO8itiv68 Vor26ioIl6N, V6Ü
8i6 6or L6V6AUNZ ^nr 80NN6 Irin 6NtZ686llvirkt un6 66N Kn6iu8-
V66tor 668 A68tÖrt6N Uörp61'8 V6rIitNZ6rN trneiltot. — 0n2U kommt
nooii 6i6 ^nxioiumb, 6i6 6or 8töi'6ll66 ?Ig,N6t nuk 6i6 8onn6 nn8nkt;
i8t r, 66r Hn6iu8V6Äor o6or 86in6 UntkornnnZ von 6or 8onno, 80 i8t
6io 8686iil6uniZunF, mit 6or or 6io 8onno an 8ioii r^iokt, nu8A66rn6kt
6nroli „ „

NM 6ak6i 6io 80NN6 al8 ruIliZ 6onkon 2U KÖNN6N, nbortrnZon vir
6i686 8686kl6NNi8UNZ aus 6on 8tÖr6n66N ?IaN6t6N 86lb8t un6 nolnnon

143

änsdald vis dnim Znstörtnn ilörpnr äinsnn ^.nsärnok nnZativ. 88 wirä
änmnand mit. Ilin^uÄnkunZ ninns nin^nlnnn störnnänn Xörpnrs äin
KssammtwirkunZ auk änn Znstörtnn

_ _ A2(1-^---r)

-//" —

oänr

^ —  --- -^- I-, — -^1 .2)

Mis man Lindt, nntdält äas riwnitn Klinci rnndts vom Klnind-
dnits^nindnn änn ^usärnnk kür äin 8törunZ; wollts man nond äin
von anänrnn ?lanntnn ausZndnnänn 8törunZnn ^nm ^nsärunk brinZnn,
so müsLtn man ndnnsovinln ädnlind Znbautn (llinänr din^uküZnn. ^Vir
nndmnn abnr änr 8inkaoddnit wnZnn nnr ninnn nin/i^nn störnnänn
klanntnn an, vrnil M odnndin äin 8törunZnn änr nin^slnnn ?lanntnn
adZssonänrt bnrnodnnt wnränn müssnn; clin alZnbraisndn 8ummn clnr
kin^slstörnnZnn Zibk clann clin Kssammtstörnllg.

IVir nrsndnn vor allen, (lass kür § — r, äas 8törunZsZlinä clnr
ddill glnind vrirä oänr änr ANLtörtn Lörpsr vvirä Lind in clnr dlädn
clnr tznaäraknr mit. änm Ltörnnänn mit nngnstörtnr KnsodvvinäiZdnit
dnvvsZnn; ans äiSLNM Krunän vvircl äin von änr 8onnn auk änn Nonä
vvirlrnnän 8törnnZ xur 2nit äNL nrstnn oänr Itzt^tnn Vinrtnls vnrniodtnt.
^nnd sinkt man, dass äas 8törun888dnä kalä positiv, balä nnZativ
vvirä, naodänm Zrössnr oänr klninnr als § ist. l^adnrt sind änr
Mstörtn änm störnnänn Lörpnr, so vvirä sndr Kinin unä äin 8törnnZ
sinn bnänutnnän, was dni domntnn öktnrs sind nrniZnnn wlrä.

In änr unZnstörtnn dnvvoZnng also war

cM

in änr Znstörtnn dinZnZnn, nm änn Kntnrsndinä annd äussnrliod xu
knnn^nindnnn,

c^^s'

r/v

8udtradinrnn wir clinsn KlnindnnZ von änr voranZndnnänn, so

wird, wnnn wir änn Krunäsätsnn änr OilknrnntialrnndnunA Znmäss

— ciV — sntrinn,

c^s

— — -tt'/c-

1

3)

144

Vies ist 616 eigentliebe lind wahre Ltörungsgleiehung, die uns
im folgenden als Orundlage dienen wird: denn es ist klar, das
den Ktörungsbetrag enthält nnd dass dis Integration der vorstehenden
Visfersntialgleiehung ^um gewünselrten Aele führen muss. Ihn einen
vollständigen villerential-Quotienten dritter Ordnung -in erhalten,
könnten wir aueh sehreiben:

cü^s   /1 IX

<Ä W" /

allein wir bleiben der Oinfaehbeit wegen bei der früheren Horm 3).
Wir verlegen nun die beiden löesebleunignngen auf der reobten Leite
des Olsiehbeits^eiebens in Komponenten, parallel rar den reebtwinkligen
koksen unseres dureb dis Könne gelegten OoordinatensMems; die
vesebleunigung verlegen wir in llüeksiebt auf die tlleiobung:

e" (^, — n)« (z/, — r/)" M (L, — s)"

in die drei Oomponenlen

M'L^(cr,—  n) —  r/) —  s)

Vie vesebleunigung hingegen in Letraebtung des hlm-

Standes, dass

--,2 — -j-

ist, in die drei Oomponenlen

3 ^-3 3

dann verfällt die Oleielmng 3) in folgende drei:

Von hier aus stehen uns Mrd rrwsi Wege ollen, und xwar führt
der eine rm den Störungen in den Elementen der Lahn selbst, der
Zweite rru denen in den Ooordinaten. Vieser doppelten vebandlung

145

668 Oroklems entspr66li6n6, tiätten vir kmeti 660 einen OiKerential-
cjuotienten äritter 0r6nung in ^vei partielle OiKerentialquotienten
riveiter Oränung ^erkälten können, vie vir 6ies veiter unten Migen
verclen, allein 6as liier eingeselilagene Verkaliren 8etieint uns instrue-
tiver un6 6sm Anfänger irugänglietier r;u .sein.

2.

^ir multiplizieren in 4) 6es vorangeli6n6en Artikels 6ie erste
Oleiclrung mit r/, 6is ^veite mit und subtraliieren, 6ann komint,
venn vir aueli im übrigen analog verlaliren,

Hierin sind, vie vir seknell erkennen, crr/, —

«/s, (jjg drei Kro^eetionsdreieeks 6e.s von 6er 8onne, dein

gestörten un6 stören6en Körper gebildeten llaumdrsieekes^ bexeiobnen
vir 6ie doppelte Kläebe 6es letzteren mit die Känge 6es aulsteigen-
den Knotens äer dureb dieses Kaumdreieek repräsentierten Kbene
mit 6ie Neigung derselben ^ur Kkliptik init /r, so ist einer trüberen
He^eiebnung gemäss ^sieb 6) in II. 4^:

r — — L,r/ — /cos/i

— Lvs, — — /rosw«r'ir/i

r„ — r/s, — sr'tt /t

Lethen vir noeli 6er Klirre balker — 4l, so viril

<- Z',

—

MVr^II/rus w sr-r .

E /r

«)

Oie Kereelmung von /, w, /r unterliegt
6enn vie in III. 8 kaben vir aueli liier

keiner Zelivierigkeit,

, _ r, _ '


146

r, r,, kann man statt aus den reebtvinkIiZen aueb aus «len
ttolareoordinaten reebnen; es ist nämbeb naeb I. 2

2 — 7- oss ö ros / -r, — 7-, cos ö, cos

7/ — T-OOS^SM^ ?/, — 7', 608^, SM

s — >'sr-rö L, — sr-e

Darnaeb ist

r — 27/,— 2,7/ — /cos/« — 7-7', 608^608^,877»/— i)

r, — 2S, — 2,L — /coser8M?7 — 7-7', (c08ö8Mö,60s^ — 8Mörosö,ros^,)
r„ e/A, — ^/,L — /sr'-rer8M/r — 7'7', (cos ö SM ö, SM / — SM ö cos ö, 877/)

Wir konusu uus die Laube aber noob bequemer maebsn und
^uZIeieb 6sr OenauiZkeit lleobnuur traZen. ltenken vir uus iu k/ 1
einen grössten Lreis ZerroZen, der den störenden klan eten mit dem
Orts des Zestörten Himmelskörpers verbindet; die ledene, iu 6er
dieser grösste Ivreis lieZt, ist oilendar die kbene des erväbnten Raum-
dreieekes / deren auksteiZenden dinoten vir mit er und die dleiZunA
^ur Lkliptikedene mit /7 dexeiclmet kabsu: källsu vir 6anu vou <tou
bsi^su Orten Lsnkreelits aut 6ie kkliptik, so siuä cliess Leukrsoktsu
äik eutsprsoksnäsu Orsiten uuä vir ttabou

ö — sr-r (/ — er)^ ö, — tA 8M (^, — er) .... /)

Daraus ergibt siott absr bekanntermassen

, > ^Ssrer/—0 ,, , !t»ö,sM(^ —/,)

t^ö,—^</ö ros (/,—/) / ^</ö —^ö,6os(/ —/,)

Nun reebnet also Zuerst er aus /t) un4 dann /e aus 0/ lie-
Miebnen vir ferner äen im erväbnten kaumäreieeke von den ttadien-
vsetoren -' und einZeseblossenen, mitbin den an der 8onne bebnd-
lieben, Winkel mit 1^, so ist

/ — e-r, 8M .0)

Wir baden datier

r — /ros/e — 7'r, sr-eWros /e — 7-7', ros ö ros ö, 8M (/,—
daraus koIZt

8M Hos /e — ros ö ros /7, «M — /)

147

IVeiters ist der Untwiekelung des Husdruelres tu p <7 uuf 8eite 77
gemäss

r>-, cOS 1^ — ck!V, M, -^- LL,

lirset/t MSN kierin die reelitwinkligen du reti die entspreelienden
I'olureoordinuten, so wird

ros — «r-r ö s« ö, -§- 008 ö oo8 ö, oo8 (/, — /)

k'ür die Oestimmung des Kinkels 7^ Kuben wir sonuek dis
Oleiekung

^08Ü .D)

ö ü, -j- eo8 (/, —

Ist k bestimmt, so reobne mun dünn / aus <7): um uuek der
kereobnung von c durob die reebtwinkligen doordinuten Überkoben
-iu sein, so ist

^,<2 — ,-L^ r — 2,v, ec>8l^.Z/)

I^Iuekdem wir so in diesen 'I'Iioil 6oi- kooknun^ eins Zowisso
Loquomliokkoit un<I iiuZIoiok öiokorlioit Zobrnokt knbon, laknon wir
in unserer LntwiekelunZ weiter.

2ufoIZ6 4) in II. 5 unči 1) in II. 7 ist ferner

cr — r/ — L V^o (1 -I- m) oo8 r
ckit >

— L— /: Vn (I U,-r) E H 8r-rr

- L — L Vv (1 - t- m) 8r'-r K 8r'-r r

In äer ungestörten Bewegung sincl r eonstunt und clie
Oifferentiution dieser drei (Ileiekungen iukrt auf 2) in II. 4, nümliek^

10*

148

In ds? Atz^lörwn Hsv^kKunZ InnZsZön 8ind r nk vsrün-
dsrliotis (Irö886n nn^U86l>6n und innn crknit vsrmittslst liillsiönlinlion

ciV ck^cv'

^608« — srnr'M
2^)


^v^(1  -^M)

608 K 8i-r r -^- 608 K> 608 r ck' — 8M K 8M r c/K


^V^)(1  -^-m)

- 8r'-r K 8r-r r -s- 8M K, 608 r Är -j- 608 K 8?««i/K

Lublrndisri mnn von dsn unZsstörwn UtzvoZunZsArÖKSsn di6
A68lört6n und bsdsnkt, dn88 dsr obiZsn LniMinnndsi^st^unZ Z6mn88
— ci^L dis Ltörun-
Zsn in den rsodtvvinkiiZsn Loordinnton btzdouton, 80 erZikt 8iok

— r/i^X

— V p (1 608 r — 8M r

V2/) /

—

— — ^,''/^0 (1 - j - -/?) 608 K 8M r 608 K 608 r 6^i — 8M K 8M

V2I- /

— LÄ^«/

— L l/^- (1 -^- M) E 8M r -i- 8M K 608 i ck' -s- 608 (6> 8r-r r

Ois linkon Lsiton disssr drei tlloioliunZon und der in «) 8ind
nun sinnndor Zleiok, koIZIiok 8ind 68 nuoli dis röoktsn und man kni

V^>(1-^--r) ^^608r — 8Ä i ck'^ — m'^D/608/r ci^

(1 -^- M) 608 K 8M r 608 K 608 r Är — 8M 8r'-r r 6iK
V2/o

— M'LO/6O8ro8rÄ/rci^

8r-r K 8E r' -j- 8r-r K 608 r M 608 K 8M i 6/K

— M/^I)/8M «1 8M /r

149

veloke drei Oleiekuu^en ikrer lVbleitunß xulolze ^unx slrsnM 8ind.
Nultiplieieren vir kier die xveite Zeile mit SM 61k dritte ml! 6os
so srsokoiM vsrmittolst Lubtruetion

-j-M)si>riÄK — m'LA/sm («t> — K)sM/rÄ . . . .

Llultiplieieren vir kinMZen die xveite Zeile mit 6vs dis dritte
mit sr-r 80 kommt vermittelt Addition

/ , ,- /K//) . . ,.

4 (1 -t- m) SM r -j- 608 r ur

m'^/l/oos («6 — K) 8M /r Ät

Oumit verbinden vir Mxt die er8le Zeile oben und multipli-
eieren die86lbe mit smi, die vor8tekend6 aber mit 608r'/ vermittel8t
Lubtruetion vird dünn

Vx (1 m) cir — — 6vsSM r SM /r 668r 66s(r6 — /)

Nultiplioieren vir kinZeZen die er8te Zeile oben mit Er und
die krükere mit SM^ 80 er8ekeint vermittel8t Addition

-/l M — 2 M,'LD/^608 /! 608 r 8M 8M i 608 (w — Ä .. . . 6)

Osnkoii vir UN8 vikdor in K4g. 1 don krüksr orvnkntsn ZrÜ88t6n
1<roi8 Ze^oZon, vololror don 8törond6N?Inn6t6n mit dem Orts do8
ZS8tört6n Himm6l8körp6r8 vorbindst und dor vornnZokondon krörtornnZ
rinkoIZo die Lkliptik im?unkto ro soknsidkt, 80 knbon vir ein 8pkä-
ri8ok68 vroisok vorin rivsi Ssiton «6 — K und — ?r -j- s —
und ob6N8O dis koidon ^lsigunMvinkoi i und 180 — L bskunnt. 8ind;
t)6/l!i<1in<!N vir don dor llrundlinis — K gogsnübkrlisZondon Winkel
mit A, 80 linden den Wormeln der 8pküri8eken 4riZonometrie Zemü88
loIZendS 86A6KUNMN 8tNtt'

608 A — 608 /r 608 r -j- 8M SM r 608 — K)

8M^8Mr< — 8M?t8M(w — Kl

SM A 608 r« — — 608 H SM r' 8M 668 i 668 («6 - K)

Nun reeluiet /- um bequemsten uu8 der mittleren dieser drei
(IleiobunZen und benimmt «tue Vorxeieben von ros A uu8 der erelen
der86lben.

In lderüokÄektizunZ ds886n erkalten vir uu8 4), )>), 6):

150

r/K rrr'AZI/HAsr» »

V/» (I m) sr» /

r/r >»V^/)/sr»  />  res »

l//r(1-^-m)

2'//-  m'/'/)/r^c-s  A

V 1 M

keken wir sofort von den Oilksrentialen auf clio llilkeren^en
^/K — K — K„, ^/r — i — r„, — ^' — ükor, wo

Kg, »o, die ungestörten der /sit r! entspreekenden, kingegen K, r, /)
die gestörten -iur ^eit stattlindenden drsi kaknelemente be^eieknen
mögen, so ist neck geköriger 8onderung der veränderlieken von den
eonstanten Krossen (wobei für die keoknung solkst K, r, eonstant
geduckt werden)

r'

K — Ko -)- — l /)/sr» >l> sr» » .1)

V^(1-^--»)sr»i I

. r»/r(k —t) .

r — r„ -1-/1/sr» >l-res » .2)

V^(i^-,»)!

2V^»r'L(^ — y

?o -,, —' K/oos» .3)

11

r!

Dio kior uuktretenden bestimmten IntoZruio woräou uuf äom
'VVoZo 6or uumorisokou IntoZrution, uuok mookunisoko (lu^clrutur
Mnunut, ^ustuiräo Zobruokt^ für 6ioso Art 6or IntoZrutiou Zibt os
mokroro Notkoclon, von äonou oiuiZo mokr, aucloro ruinclor Zonuu siucl;
kür unsoro Ooüürfuisso äürkto Limpsous HoZoI kiursiokou, worübor
man in 6ou Lüokoru cius Lotrokkouäo NLoksokIuZs, übriZous wirü uuok
kior wio ükoruli 6io Oruxis 6io Zooiguotstsn Nittel unü Akkürxuu^en
clos Vorkukrous orknäeu. Krosse ZokwieriAkeitou können diese Inte¬
grationen niekt inaoken, da die kinter dein Integral^oiekon sinkenden
Krossen mit kille klug angelegter kpkemeriden kür,jeden lag leiekt
2U bereeknen sind, ks verstekt siek von selkst, dass von / (§) bis / </)
kein ^eiekenweoksel vorkommen darf. V/eil »r'L und anok I) im
allgemeinen sekr kleine kaetoren sind, so werden die Ltörungen
gan^ unbedeutend sein.

151

^uk <11686 Ininkkn und UNA6XVNNZ6N6 W6186 kukon vir dis
8körunZ6n 80ÜON droisr LIsmnnkn nrmittnlt; 68 erübrigst nosb cii6
8törungsn in dnr küngs d68 Pnriknl8 und dsr Lxssntrisitüt xu ks-
8timm6n. ^U8 2) in II. 8 kubsn vir

<ir> ^Vx(l-^-m)

Oi686r 8iÜ6rnntig.Iquoti6nt drüskt knkunntliob cii6 tüglisks 8s-
vsgung in dnr vubrnn Lnomulis kür din ung68törtn 8IIip86 nu8, du-
dursk uksr, du88 dnr K'nrumstsr 8mb ündsrt, vird uunk di68S tüglisks
8svsgung in 6tvu8 b66illüU88t odsr gS8tört; 86Ü6N vir duksi von
den glsiskxsüignn 8türungnn irn 8udiu8vnotor uk, vnlokn ul8 8tzkr
gsringkügig binr Zunx uu88sru6Üt kommsn können, 80 srkultnn vir
vermittnkt Oikksrsntiution nusb und

<^r> c^>

2r^Vx

Oio Integration dsr vorlisgsndsn Oikkerentiulgleiskung 8sb6int
voki 6l.vg.8 8skvisrig xu 86in; um 8ioknr xu geken, nekmsn vir
xum Inflnik68imnl0Äl6Ul UN86r6 2u6u6Üt. In dor UNZ68iörl6N 86V6AUNZ
k/r) — v — v', in d6r 868törk6n duZOMN i8t ckv'— —v,, vo vir
UN8 v — v' und v — v, knIibbiZ Kinin dnnkon KÖNN6N; dnmnnLÜ I>6-
d6Ul6i V' di6 UU8 d6N UNZ68tÖrl6N, ÜinZ6Z6N V, dib UU8 d6N Z68tÖrl6N
8I6IN6N16N Ü6rvorg6Ü6nd6 vuür6 ^.nomulin; 68 g6Üörl. v d6r A6M6in-
86lluktii6Ü6N 1VU8ZNN886P06Ü6 v' und v, d6r ^6Ü UN, 80 Moek,
ds.88 t— 6in 86iu- KI6M68 ^nittüniloünn bodnuiut; 80MÜ i8t.

— r/r)' — — (v — v') — (v — v,) — v, — v'

din in dnr /.nü <Ä unZnvun^nnn 8törunZ in dnr vulrrnn ^nonuüis
odnr, v6nn v, — v' — c/v Z686lxt vird,

Lu8 dnm Vm8tund6 ubnr, du88 oinnm Oikknrnnliul <!r8lnr
Ordnung ckv Ü6runi6r8inkl, koIZI, da88 uukr:ulo86n i8k in ckr.

vo nun kniinbiZ nu8Z6dnIint vnrdnn kunn und voriüuüZ 8«nx
villküriinü i8t nieüt nur in Ilimmüt. 86innr ^i^dnknunZ, 8ondnrn uueü
86in68 Vor^6inÜ6N8 nr8t kni dnr nuokkoIZnndnn InknZruiion nrküll 68
b6id68 von <Ä. 86dnut6t nun, um xu dor Zsvöluilinknn ZnxoioknunZ

152

surüek^ukebren, Bg die uns den ungestörten Elementen bereebnete.
bingegen « die aus der 8törung bervorgegnngene wnbre Anomalie,
80 ist ^wisoben den Kren^en 4 —

v — vg — >w'L'^(4 — .4)

r

Oer 8törungsbetrug muss xuiel^t noeb mit 206264'8 muttipli-
eiert werden, um v — »„ in 8eeunden 2U erbnlten; dasselbe gilt aueb
oken bei K und r. Ilm nt>er im Oeser Vertrauen xu dieser eigen-
tliümlieben Integrationsmetbode, die gsnr: neu sein dürfte, 2u erweeken,
fübren wir ibm eine sekr äbnliebe, lebrreiebe Ilntwiekelung vor. Wenn
44 und 44' ^wei mittlere Anomalien ebendesselben Olaneten bedeuten,
so ist bekanntlieb

8tatt K noirmon wir nun 6IN6 um sokr wonigos vorsotuoclono
(gostörto) grosse Unibnokso «' nn; kür obonäiosoibo ^wisokon^oit 4 — <
wird soin

«

Nittun ist der durek diese Zunderung in « bewirkte Ilntersebied
in der mittleren Anomalie nusgedrüekt dureb

4/, 4/' — O VI > -

Nultiplieiert inan Gäbler und Kenner des Lruebes reekts mit
-V «'Z/-, so kommt

4/, - 11/' — y Vl^H - -n

oder

4/, — 4/' — /(4 — VI -V m -

(« — «') («2 -j- K«' 2)

K^- U!' V- «'

6ebt mun von OittereiMn über ^u Oitksrentinlen, so wird
4/, — 44' — — /4/, « — «' — /a, « — deinnnett

3/(4 — ^)VlV-M.ci«

«44 — ——--

2«'-

153

OitlorsnErt man kkrnor dio Keplorisoko (KoiokunZ

— sm^psm^

und botraoktet e — smy) als oonstant, so kommt

— <7^(1— smPwsIi/)

k'ür 7) in II. 8 Kation vir Zofundsn

dakor wird naek diosor 8oito und in Hinsiokt auf cka

2a'/-

forner, wonn

als

man s

üubstituiort man dies in dio frükors

(koiokun^, so

wird

3L <7' — V1 -^- --r. ch,

80

2^.2^

Oividiort

orkält man

InteZriort man M?t. xwisrkon don llron^on so ist

Oa nun
orsokoint

— — 3m'^°(7'—

ÄV — — -

2«2 (1 — sm ws . V a ws P

^us — a(1 — e^) — foIZt

konstant ansiekt

man beidorsoits mit und substituiert für . so
a<

^2

M ---

r — a (1 — sm cos A) und — Vaoos ist,

3L<7' —
av — — —

ckV 3m'^  (!t'  —  t)  Tl/eus,1


7)/cus A

, ws M

ar — , . ,.

1 — sm hr ros L

(1 — smwwsA)^ ,
MI --o!v —

W8P

154

I1I6868 InteZrul 8timmt mil deni obilen der Korin nueb AUN2
überein, nur du88 68 bier dreimal 80 Zro88 iet uk dort dio8er Ilnt.or-
8ebied rübrt dubor, weil vir k si dor vorotobonden kntviekolunA
8<:kon Mr clik ^U8AUNA86POeb6 Ü6N A68t.0rt.6N Wort «' unbenommen
buben, vübrend tbut8üeblieb di686r Wort srot um 8eblu886 doo Inter-
vulls8, uko 2ur Zoit orroic:bt vird; die virkliebs 8törunZ in der
vubron ^nomube betrügt nur do n dritten Umil d68 ekon entviekelten
8törunA8vort68 Mrude 80 vie d io K^rumide nur dor d rit.to 1'bOl
oinos ?ri8mu von Zleieber Höbe und Ku8i8 i8t. Nun 8iebt )et^t deutliek,
mit velebem keebts vir oben in civ und in über-
Zeben IU886N konnten, und du88 überbuupt die obiZe InteZruti0N8-
metbode, okvobl Zevi88 merkvürdiA, doeb in aller 8trenZe riebtiZ
kt; vir verden noeb einiZemule duvon Oebruueb muoben, obvobl
vir in den kommenden küllen niebt inotir imLtunde sein verden,
eine übnliobo purullele KntviekelunZ vie bier keixukrinMn.

kür die LereebnunA d68 ^rZumsntes der ttroito nuek der be¬
kannten kormel

r« — -j- — K— — Kg — ^/K

kt es über AleiobZiltiA, ob ieb die 8türunA un die vubre klno-
mulie Vg unbrinZe oder dis86lbe 2ur bünZe de8 keribek bin2U8ebluM;
tbue ieb du8 letztere, 80 kann uueb uk die klenderunA de8
Keribel8 unA68eben verden. I^ebme ieb über du8 keribet ul5 be-
veZbek un, vie dis8 in den klunetentubeilen und 8ON8tiZen U8tro-
nomkeben IVerken A68ebiebt, 80 kuben dünn nutürbeb die 8törunA6n
in AUNi^ V6A, du MUN 8tUtt NUN 86t^6N kunn.

det^t 8ind vir eebon inr-tunde, mit kenütxunZ der kormeln 4)
und 5) in II. 9 die belioeentrkebe bünZe und Breite doo Aootorton
bluneten oder Kometen xu reebnen: um nun uueb die Aeoeentrkebe
?O8ition uu8 6), 7), 8) du8slb8t Ke8timmen ^u können, 80 mÜ88en
vir noeb die 8torunA im Kudiu8veetor -- ermitteln. Zu die86m knde
betruebten vir den in III. 7 (8eits 72) entviekelt.en vikkerentiul-
ciuotienten

cir V 1 m «i-r si-r v

6tvu8 Zenuuer; der86lbe drüekt, vie vir vi886n, die tüZIioke Len-
derunA d68 kudnmveetor in der unA68törten ZeveZunA, und xvur
kür den Ort, vo die vubre klnomulie des I'luneten oder Kometen v
betrüZt, uu8. InkolZe der 8törunA im Kurumeter A68tultet 8ieb über diöLO

155

tägliobe Oswegung »n der betreffenden Stelle etwas anders. Oetraoklen
wir datier r> einen Augenblieb als oonstant und dilterenxieren Kien
naob n!r und so ergibt sieb, wenn vir dann mit <Ä dividieren
, ch) , .

und tur f substituieren,

ck°r_ /e  Vi ME  r/>E  v ch> -m'/Z^/)/E r/> E r

2/)V^ ?

Vermittelt ganx äbnliober Srwiigungen wie trüber bei der Er¬
mittel ung der Störung in der wakren Anomalie gelangen vir bier
xu ni Integral

—--0-—.5)

§

wo r„ den ungestörten, r den g68törten kadiusveotor kexeiolmet. Oie
gestörten reebtvinkligen koordinaten ir, s ergeben sieb jetxt su8
den Ausdrücken in I. 3; au8 der Oleiebung

i
erosri — -- — 1

r

erbitlt man sokort dis Illxeentrioität der neuen lllllipse; die gro886
kkalbaobss au8 « eu.<A c/, und die mittlere tagliebe Oevegung aus

/r V l -l m

womit die Störungsreobnung al akgesoblossen betraobtet werden
bann. VVue aus den betreffenden Ausdrücken xu erseben ist, bleiben
die Störungswerte überall ausserordentliob bl ein, dieselben werden
wokl eine Zeitlang xunebmen, aber dann wieder xu den alten Zu¬
ständen xurüokbebren, und wo eine stetige Zu- oder Abnabme sieb
berausstellen sollte, bann dieselbe böekstens nur eine Versekiebung
der knoten und ^psidenpunbts bedingen, was aber kür den liest.and
des ganxsn ldonnensvslems belanglos ist.

3.

IVir kebrsn .jetxl xu den ltilkerentialgleiebungen 3) und 4) in
Art. 1 xurüek und versnoben dieselben naeti der eben vorgetragenen
Netkode dirset xu integrieren, llie wir aber dies tkun können, müssen
wir den in entbaltenen Störungen eine andere

156

NN86r6N Zwecken ZeeiZNetere k'orm Aöben. Mie früber, 80 nebmen
wir' MI eil bier clen Infinit68imnlenleul in LiN8prneb; ^em^ukoIZe 86txen
wir lür ^wei unmittelbar aukeinanäerlblZenäe ZIeiebe, uncl ^war 8öbr
Kleins ^eitintervalle c^ in 6er unA68törten ksweZunZ ck — u —- cr',
c/s' — <7' — 0", wobei wir un8 äer Zemaebten Vorau886ti?unZ irukoIZe
c!i686 beiden ötreeken au886rorä6ntlieb klein äenken mÜ88«n; in cler
M8turten LeweZunZ binZeZen 8gi, wenn wir von eben^embslken
(lurvenMnkt. <7 au88eben, c^,s — <7 — cr,, ci,s' — <7, — u„; 6ie beiben
(lurven, von cieren Zeir l e in8elurklIi ek em Vur6k8ebnitt.8punkt u au8 wir
naeb beiäen kiebtunZen ,je swei kleine 8treoken ab868obnitlen baken,
MÜ886N wir un8 wsMn 6er ZerinZen LtörunZen nabe nebeneinan^er-
laukenä clenken. l^ol^lieb wircl in 6er unZ68törten öeweZunZ

cks — cis' — ci^s — (cs — <7') — (c/ — u")

in äer A68törten binZeZen

ci,s — ci,s' — ci^s' — (cs — cs,) — (u, — u„)

Daber vermittel8t 8ubtraetion

ci^s — ciV — — ^(<7 — ci') — (cs — <7,)^ — ^(n'— cs") — (<?,- n,,)^

oäer

— (cs, —n') (-7,—<s') — (<7„—0")

Oem (l68NZlen ^nIoIZe i8t. (cr, — n') 6 er 8törunA8belrg.Z nm illnäe
668 er8ten unä <7,,— <7" äer86lde nm lllncle 6ö8 ^weilen ZIeieben 2eit-
tkeiIeb6N8 c/^. IVir 86lscen nun n, — n' — 80 i8l, nneb 6en 6runä-

8üt-!6n 6er villereniinIreobnunZ (<7, — cr') — (<7„ — <7") — unä wir
erbnlten

-j-

Die (IleiebunZ 3) im ^rt. 1 ükerZebt 6nber in äie kolZenäe

blneb ebenknll8 bekannten 0e86t^en 6er billerentialreebnunZ
ver86bwin6et aber ein lliklerenlinl Zweiter OrclnnnZ Ze^en 6n8)eni^e
6er er8t,en, welobe8 letztere, weil 8elb8t nnen6Iieb klein, einer noeb
kleineren 6rö886 neben 8ieb keinen kaum Zibt; clemnneb i8t


157

6eden vir M^t von ldsserentialen nut Oifferen^en über und
integrieren naed der oben dargelegten Netdode, so vircl

ldöMiednet inan dann mit 8g die 8edne, velode den Vniangs-
ort mit dem ungestörten klndort verbindet, und mit 8 die Lodno,
veleds den t^nlangsort mit dem gestörten, also sedeinbaren kndort
verbindet, so ist

s — «n 4"

Oie 8ednen verden demnaed verkürzt, so lange -< ist, im
entgegengesetzten knalle verlängert.

Vermittelst ädnlieder kstraedtungen und Oeduetionen, wie vir
sie bei 6er Idntormung von ci'^8 gemaekt linden, lassen sied Mxt
aued c^r/, in 4) L^rt. 1 überküliren in vsnn vir

mit 6sn letzteren ttrössen clie Ltörun^en in clen reodtvinkÜKen 6oor-
äinnlen Ktz!?oiedn6n vollen; vir bekommen äeinxutoIZe

Linä dann s clie Zestörten, -r„, , L„ clie unZestürten

reedtvinkliZen Loorcdnnten äes Lnäortes, so Zib!^ die lnieZration der
vorstedenclen drei KleiedunZen




158

Oer Z68törto kn6iu8V6Otor ergibt 8mti 6nnn aus

Dio 8törunZ im Kn6iu8vsotor kann aber mmti 6ii'6ot 1>68timmt
vvoräon; äitkoron^iort man nämiioii äio vorstkdsnäs KIoiekunZ unä
Zibi 6tzm Ditkorontinlo <Z>- 6io öoäoutunA 6or 8töruiiA unct 80tx! 6om-
^nkoIZO — <z§, ckz/ — eZs — 80 I8t.

--ck- — -j- scZL

Nultipiioiort man 6mm in /?) äio srsto KIoiokunZ mit -v, 6is
^xvoito mit äio äritts mit s, 80 orZikt 8iek V6rmittol8t tlääition unä
oinor Irloinon koäuotion nut 6oi^ rookton 8oito vom ttloiokkoit^Miedon
unä ^vonn xuZloiok <ZZ^ in <ZZ.-L/Z nutzoiö8t vvirä

<ZÜ cZ» cZii ,, „ 1 . -'"1 ,,

a' > Z/ ' i- 2- >» M, -W,)/1 —

dlun i8t

t'os 1^ — -j- M, LS,

Nit ^innoimnZ 6io86r Hilko ^vir6 6ann

/)----, <>os


Oivictiort man Iioicioi^oil» mit >' nn6 intoZriort, 80 i8t

^u.8 L') iin vornnZokonäon ^rtikol koIZt

o

-- — -'o -^- -^- Z)^

8nb8tituiort mnn 6ik86n lot^toron Z1u86ru6k kür cssl^tiintoi'6om

IntoZrnI^oiokon, 80 kommt mmti oinor kurzen Oporntion iä6nti8ok


ü

^2 - ?.2 - ,.2

' S

608 t — - -

Hun i8t nnoti 6om krükoron — ,.2—,. 2 — — 2--', es8^.

159

80i ferner in Zorn orwndnton HnumZroiooko Zor VViirlni NIN
8O8törion Wrpor so isl nnnIoZ — o - — — — 2§r S, Zom-

r!nMZo wirci iZonti8ok

,. /ro8<? , ro8VX

c!a,ker Mek

r'

--0 »"n

liorooknot INNN joixi in (Ioni Orsiooko: 8onno, ^nknnZ80ri i lini
LnZori i!' c>68 Zosiorion Vinnoton oäor Lomoton Zon nn Zor 8onno
lioZoncion Minkol, nnci xwar Za8 oinoinnl init ion nnsooiiirion 8oiton
K, än8 nnioroinnl mit // unZ Zon AO8t.örton 8oiion 8^ 80

Zibi Zor IIntor8otrioZ boiZor IVinkol oklonbnr Zio 8törnnZ in Zor
wnkron -Vnoninlio: oin !<iirxor68 Vorlntrron iioA in Zor i »iilorontinl-
rOoKnUNZ, Z0MZ0INN88 86i

8^ — — 2^?-'cos(v' — v)

wo wir nni L Zon knZiu8V66tor Zk8 ^nkg.n^8ori68 koMnknon, Zor-
8olbo bioibi nntüriiod nnAOÄöri; V' — V i8t Zor ^Vinkol nn Zor 8onno,
V Zeliort. Zor 2oi1 «' Zor 2oit nn. Oio VNoroniintion Zibi

s^8 — -r ci-- — ^ro8(v' — v)ck>' -§- A--8r-r(V' —

oisr

, 8ck — — Lco8(V'—
L-' 8 m (v' — v)

8o2oiokno1 innn rnii « Zon Zor 8oilo K ZoZonübsrlioZonZon
IVinkol, 80 i8t

L 8i,r (r>' — 8 8«r « , ,- — 7^ M8 — v) — 8 M8 «

80init iÄ,

Ä8 — Eaci»'
«V — --

-° 8r-r«

8nb8tituiort man tiiorin ck- unZ Zurok Zis oken ZoiunZonon
IVorto, 80 ordält man Zio 8lörnnZ in Zor wnkron ^noinalio.

Von Zn woiior vor^närinZon 8okoint nioki riZlilidi, i8t niior
nnok niokt notkwonZiZ, Zn uN8oro 8iörun^8lkoorio o5noliin Zoloi8wi
lini, WN8 innn von i5r nur vorlnnZon knnni 8io Inoto! nuoil tiin-

160

längbobe Controls, daker ibr an Vollständigkeit niebts gsbriebt. vis
lllntwiekelungen in diesem und dem vorangebenden Artikel ergänzen
sieb gegenseitig; denn obwobl der ^rt. 2 als ein abgeseklossenes
Oanxes betraebtet werden «larf, 80 feblt ibin dsnnoeb die direete
Ableitung der Störungen in den reebtwinkligen (Koordinaten, weleks
erst luer gegeben wird, unci -^war als sinn sebr erwünsebte Zugabe,
bs i8t niebt 2U erwarten, dass die Störungen im kadiusveetor und
in der andren Anomalie naeb beiden Zeiten bin die genaueste
blebereinstimmung liefern werden, aber dis Forderungen, welebe die
Oraxis 8tellt, müssen beide in gleieber V-^eise erfüllen.

Oie dirsete Herleitung der Störungen in den reebtwinkligen
Ooordinaten, wie 8ie in dis86m Artikel durebgefübrt wurde, lud. über
noeli eine andere Zeile von niebt xu untersebätxendem l^ut^en. Mill
man nämliek bei einer Oabnbestimmung genau vorgeben, 80 nm88
man gewi88 aueb auk die Störungen, die der Himmelskörper von den
bedeutenderen und naben Planeten in der ^wiseben^eit, der Leob-
aobtungen ertäbrt, ktüeksiebt nebmen; um dies tbun 2U können, i8t
natürlieb eine Kenntnis genäberter Oabnelemente notbwendig, denn
die Störungen 8ind, wie gesagt, sämmtlieb 80 klein, da88 sie mit
nur näberungsweise riebtigen Oaten binlänglieb sebarf bereobnet
werden können. llls wäre aber 86br umständlieb, wollte inan diese
Störungen naek der in l^rt. 2 entwiekelten Netbode ermitteln, dann
i8t. die in die86m Artikel gegebene Netbode wie gesebaffen; bat man
aber einmal die Störungen in den reebtwinkligen Loordinaten, welebe
Störungen wir bier mit cis be^eiebnen wollen, kereebnst, 80

ergeben 8ieb die Lorreetionen, die man an die IZeobaebtungen an-
^ukringen bat, auf eins leiebte V^eise. Ks 8öi allgemein

a: — rcosöros^

— rcosösr-r^

s — --sr-rö

Oilkeren^ieren wir auf beiden Seiten vom OleiekbeitWsieben
und nebmsn 8ämmtlieke 0rÖ88en als veränderlieb au, 80 kommt

— sas ö ess / — r si» ö eos ckö — r ros ö si-r /

oir, — ros ö sr'-r / cir — -° SM b si-r / ciö ros ö ros /

— SM ö r ros ö cfö

Nultiplieieren wir die erste Tleile mit si-r die Zweite mit ros
so ergibt sieb vermittelst Suktraetion

ros ri«/ — si-r / — rrosöck/ .

161

Llultiplieiersn vir bingegen die erstelle mil rosi, die /veite
mil sm/, so kommt vermittelt Edition

srrr ieir/ -^- ros / cia; — ros ö oir — -- sr-r ö ciö

Llultipbeieren vir Mzt dis dritte Tleile mit rosö und dis vor-
stebsnde ttleiebung mil sr'-rö, so kommt vermittelt 8ubtraetion

cos ö cis — sr'-r ö sr-r / <7«/ — «irr ö oos i cia: — -' Ä

klultiplieieren vir bingegen die dritte 2sile mit sirrö und die
erväbnte Oleiebung mit oosö, 80 kommt vermittelt Addition

sirr ö cis -j- oos ö sirr i rir/ -^- ros ö ros i riM — cir.6)

Die (Ileiebungen ll^ L), 6) geben die 8törungsvsrle cii, ciö, cir-/
diese Wormeln genügen Mr die Dereebnung der 8törungen, velebe
die lrde durob dis DIaneten erläkrt und ebenso aueb kür die 8lö-
rungen d68 Nondss durob die 8onne und die Planeten: um über bei
den Dlansten die geooentrisoben Deokaoktungen in dicker tbnsiobl
oorrigieren und auk ein bestimmtes Datum reduoieren /u können,
da/u dienen dann noeb die DillerentiabormÄn Mr ckrt und am
8oblusse von Ib 9.

Lei der Lereobnung der 8törungen, dis der Llond dureli die
8onne srkäbrt, set/e man in den Wormeln durokgebends dis 8onnen-
ma88s — 1, — 2'1195135 in Dogenmass,

— 7'4339386 in 86eunden.

Damit biebei die Llassenverbältnisse gevabrt bleiben, er86l^e

man 1 -!- »r überall durnk m -l- m —

o^tnIO

68 verstebt 8ieb von

8klb8t, da88 alle vorkommenden Di8>anMN, alo aueb § und r, in
klinbeilsn von a', d. i. der mittleren klntMrnunA de8 lVIonde.8 von der
Illrde, auZiiudrüeken 8ind. (8ieb dis Anmerkungen ^u II. 7.)

8eMt man aber die ltlrdma886 — 1, 80 vird 332000, die
K1a886 der 8onns al des störenden Körpers: an die 8tells von L

tritt dann die rln/iiebungskrakt der lllrde:

— 9'3589641 — 10 in Dogenmass,

— 4'6733892 in Zsounden.

m — lt die lVlondmasse im Verbältnlse /ur Ilde: die Di-
oO

stanzen sind vie trüber alle in klinbeiten von «' aus/udrüeken. Kaek
diesen Vorsebrikten vird man auok die 8törungen des blondes dureb
einen Dlaneten bereebnen können.

n

162

Dio koclouloiulon numorisotion Loöküoisnton, clio Irior vor äsin
lnwZrsIrikiekön uuktrslon, Zokon 211 srksnnsn, 6uss 6io 8törunZ6n clos
Nonclss 6urok 6io 8onno niotit untzrkoblioli sin6; clissslken ^vüräon
uueti oinsr ksilonkliolrsn Wlro un^'uodson, wonn niolit 6io dintor
äom IntSAruI^oiolron stolisnclon I^uotoron stots äussorst kloin blisbon.
IVoil näinliok c un6 nio6t nur iminor vvoniZ vorsoliioäön sinil,
sonäorn uuok siots oinon sslir kloinon IVinkoi oinsokliosson, so ^vir6
/ sovoll uis uuoir D immor kloin blsibsn: 6uäuroli v^oräon ^ono
Loöksioionlön ^ismliolr IiorubAtzärüokt orsoiroinon. IVoZon äor sodnslion
Lo^voZung unä kur^on Ilinluuks^sit äss Non6os muss äus 2oiiint6rvuII
? in 6NZ6 (Ironien oinMsokIossen vvoräon. Unäororsoits lässt siok
ukor uuoli init kooiit orvvurton, äuss mun umZolrolirt uns äsn koob-
uolitoton 8törunZ6n 6es Uonäos 6urolr 6is 8onns 6io orvväknton
(loöfüoisnton otMus Zonuuor vvirä bsstiminon lcönnon, uls sis bislior
UNA6N0MIN6N vvurclon.


!

LOS 188 s

<8
<8
cs
cs
-s
oi
is
IS
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Im Vvi'laW vcm v. IÜMMM L krillllMZ in Uilmll
ereebienen:

Luxun Dr. Alexander, dniver8ität8prof688or , Dedrduod der
Oeograxdie naeb äen Lrineipien äer neueren ^Vi886N8ebaft für
Ö8t6rreioüi86Ü6 Nitteleebulen unä verwanäte b.6krun8talten 8ovvie
2um LelMunterriebte. Nit Lrla88 668 boben k. k. Nini8teriuin8 kür
Oultu8 unä blnterriebt kür Nitteleebulen allgemein suläWig erklärt,
dünkte verb6886rte unä vermehrte Auflage. 18 Logen Zo. Nit
42 Hol^eebnitten. Lreie bro8ebiert fl. 1,20 — N. 2,40; in deinxvanä-
Lebulbanä tl. 1,40 — N. 2,80.

Helnriod. Milton, ?roke88or am k. k. Oberg^mnaeium in daibaeb,
geprüfter debrer äer Ltenograpbie, Oudelsdergers Lteno-
grA.x>die nueb ^dn Ollenderls IVletdode 2U erlernen. Lür
Lebul- unä 8elb8tunterriebt. Zweite Auflage. 192 Leiten 8^. ?rei8
bro8ebiert b. 1,50 — N. 3, —

Reinriod. Triton, Dis Dedattensoliritt. gr. 8". VI, 73 litbogr.

8tenogr. Leiten. b. 1,50 — N. 3, —

Diinits August, Qesodiodte Lra-ins von äsr ältesten 2eit
dis ank äas äadr 1813. Nit d68onäerer Lüek8ielit auf Lultur-
entxviekelung. 4 lüeile. gr. 8". In 2 Länäen bro8-ekiert.

11.12,- -- IVl.24,—

Qeloied. Lugen, Ltuäien üder die Dntwiokelungs-Desodiolite
der LodlKädrt mit be8onäerer Lerü6k8ieütigung äer nuuti^
8 elien "Ui886N86kaften, neb8t einem Endung über äie nrru^-

0i8lun^en. XI, 213 Leiten gr. 8". ü. 2,75 — N. 5,50s

Müllner ^.Ikons, Linona. ^rebäologi8ebe Ltuäien uu8 Krain. VII*
342 Leiten gr. 8°. Mt eieben takeln. fl. 3,50 — N. 7,—^

2ett ^.llreä v., Loden l^nku. Line Lage aue Oberkrain. 8o. ?reis
bro8ebiert fl. 1,20 — N. 2, 40.