_ i MIsn! Letirbu ck der Gesmetrie für -re oberen Classen der Realschulen und oerumudtenLehraMMe». Bon vr. Fran; H orevar, e. ^uuiuasialprisiesiin uu>^^!aldücc!i^!!rMä7ärmaIil au der Uuivorsilal zu Iuuädruik. Mit 23L Figuren. Ain holu-ui !A. Munslerial Erlass von, iL. Mai,I8«!i. Zahl 8l7l. nllgruieiu zulässig erklärt. Preis: gehestet 1 fl. 30 kr., gebunden 1 fl. 50 kr. Prag: Leimig: n. Tempsku. F. Tempsky. G. ffreutaa. Bi^cl)häiidler oer kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien. 1889, 161573 Das Überfetzungsrecht bleibt Vorbehalten. / / Druck von Gebrüder Stiepel in Reichender^ ' 7? 7- / r r-Mm Die Lehrziele des mathematischen Unterrichtes, welche für -die oberen Classen der Gymnasien und Realschulen durch die betreffenden Lehrp^qne porgMrieben sind, zeigen eine so bedeutende Uebereinstimmnng, dass sich das Bedürfnis nach verschieden eingerichteten Lehrbüchern der Mathematik für die genannten zwei Arten von Lehranstalten bisher nicht fühlbar gemacht hat. Wenn trotzdem der Verfasser neben seinem „Lehrbnche der Geometrie für Obergymnasien, 1888, Ver¬ lag von F. Tempsky" nun auch ein „Lehrbuch der Geometrie für die oberen Classen der Realschulen und verwandten Lehranstalten" veröffentlicht, so trägt er dabei dem Umstande Rechnung, dass bei der geringeren Anzahl von Lehrstunden, welche dem mathematischen Unterrichte an Gymnasien zugemessen sind, an diesen nur ganz ausnahmsweise ein ebenso ausgedehnter Lehrstoff wirklich und nicht blos scheinbar bewältigt wird, wie an den in dieser Hinsicht günstiger gestellten Realschulen. Dementsprechend ist das vorliegende Lehrbuch nur eine Erweiterung des zuerst genannten, und zwar wird in demselben die Lehre von den körperlichen Ecken und sphärischen Figuren eingehender behandelt, so dass sich eine vollkommen ausreichende Grundlage für die sphärische Trigonometrie ergibt; außerdem ist das Wichtigste über das Prismatoid, ferner die sphärische Trigonometrie und ein Anhang über Kartenprojectionen neu ausgenommen worden. Der Verfasser gibt sich daher der Hoffnung hin, dass das vorliegende Lehrbuch auch au solchen / Gymnasien verwendbar sein wird, an denen der geometrische Lehrstoff ühe^ das gesetzliche Minimum ausgedehnt wird. Die Anordnung des Lehrstoffes entspricht dem Lehrplane und den In¬ structionen für Realschulen. Nur wurde ein Theil der Kreislehre ^glxüH nach der Lehre vom Dreiecke eingefügt, damit der Schüler möglichst bald in die Lage versetzt wird, ; die geometrischen Fundamentalconstructionen zu begründen und von da an die plani- metrischen Lehrsätze auch in Constructionsaufgaben einzuüben. Die Auflösung der rechtwinkligen Dreiecke folgt in diesem Lehrbuche auf die Goniometrie. Sie kann jedoch ohne Schwierigkeiten sofort nach der Einführung der Winkelfunktionen vor¬ genommen und als Übungsstoff behandelt werden. Die Transformation der Coordinaten ist unter die Fundamentalaufgaben eingereiht und daher an die/--. IV Spitze gestellt. Man überzeugt sich nämlich bei genauerer Überlegung, dass die Parallelverschiebung der Koordinatensysteme für eine allgemein giltige Behandlung der meisten Aufgaben der analytischen Geometrie geradezu unentbehrlich ist. Hingegen kann man die Drehung der Coordinatensysteme im Mittelschulunterrichte ganz übergehen oder auch später nachholen, wenn günstige Unterrichtsverhältnisse es ermöglichen, dass die allgemeine Gleichung zweiten Grades discutiert oder wenigstens ein oder das andere speciellere Problem dieser Art vorgenommen wird. In Bezug auf die angewandten Methoden sei Folgendes bemerkt: In der Planimetrie wird neben der Kongruenz nnd Ähnlichkeit auch die Symmetrie der* Figuren gebürend berücksichtigt. Dadurch gewinnt der Schüler eine allgemeine und den neueren Anschauungsweisen entsprechende Methode, nach welcher viele geometrische Wahrheiten eine recht anschauliche Form erhalten und die Beweise in der Regel bedeutend vereinfacht werden. Auch einige Ergebnisse der neueren Geometrie hat der Verfasser dem übrigen Lehrstoffe ein¬ geflochten, hingegen andere mit Rücksicht auf die immerhin eng gesteckten Grenzen übergangen. In der Goniometrie ist die Ableitung der Formeln in einer solchen Art vorgenommen, dass ihre Giltigkeit für wie immer beschaffene Winkel außer Zweifel bleibt. Aus möglichst wenigen und einfachen Sätzen, welche mit Hilfe von Constructionen bewiesen werden, ergeben sich alle übrigen durch bloße Rechnung. Das Gleiche gilt von den Fnudamentalsätzen der ebenen Trigonometrie. Hier wird an einigen Beispielen gezeigt, wie sich trigonometrische Rechnungen in bequemer und übersichtlicher Weise anordnen lassen. Im allgemeinen Theile der Stereometrie wird die parallele Lage von Geraden und Ebenen vor der normalen Lage derselben Gebilde besprochen. Man überzeugt sich leicht, dass sich bei diesem Vorgänge die Lehrsätze übersichtlicher gruppieren nnd auch die Beweise nicht unerheblich vereinfachen lassen. Die Volumsbestimmung erfolgt nach dem Cavalierischen Satze, für welchen ein leicht verständlicher nnd doch strengen Anforderungen genügender Beweis erbracht wird. Wenn man jedoch den erwähnten Satz als Axiom oder durch eine Definition einführen will, so kann man die entsprechenden Paragraphe dieses Lehrbuches übergehen. In der analytischen Geometrie (der Ebene) hat der Verfasser die¬ jenige Genauigkeit angestrebt, welche in der Planimetrie und Stereometrie nach¬ dem Beispiele der Alten eingehalten, in dieser neueren Disciplin jedoch nur zu häufig vernachlässigt wird. In der sphärischen Trigonometrie werden die Formeln für das rechtwinklige Dreieck mit Benützung eines räumlichen Koordinatensystems in allgemein giltiger Weise abgeleitet und hierauf zur Aufstellung der Formeln für das schiefwinklige Dreieck benützt. Dieser Vorgang ist nur scheinbar weitläufiger als die hie und da benützte Methode von Lagrange, alle trigonometrischen Lehr- v sätze aus dem allgemeinen Cosinussatze abzuleiten. Auch entspricht jener Vorgang dem pädagogischen Grundsätze, das Einfache und Leichte dem Zusammengesetzten und Schwierigeren vorauszuschicken, und wird daher mit Recht durch die Instructionen empfohlen. Der Anhang enthält das Wichtigste über Kartenprojectionen in leicht verständlicher Form und bietet die Gelegenheit zu mannigfachen Anwendun¬ gen der geometrischen Lehrsätze. Er ist zugleich dazu bestimmt, das Interesse für diesen sehr wichtigen und leider nur wenig gepflegten Wissenszweig zu beleben. Einen ausreichenden Übungsstoff gedenkt der Verfasser in einem beson¬ deren Büchlein oder in zwei getrennten Heften demnächst zu veröffentlichen. Schließlich dankt der Verfasser dem Herrn Verleger für die gediegene Aus¬ stattung dieses Lehrbuches, ferner dem Herrn Jofef Klaar für die bei der Re¬ vision des Manuskriptes und der Correctur des Druckes geleisteten trefflichen Dienste. Innsbruck, im März 1889. Der Verfasser. Einleitung. K 1. Die geometrischen Gebilde, a) Den Gegenstand der Geometrie (wörtlich übersetzt: Erdmessnng) bilden die Eigenschaften und gegenseitigen Be¬ ziehungen zwischen den Raum- oder geometrischen Gebilden. Man versteht unter diesen die geometrischen Köuper, Flächen, Ligi en und Pu,nkte. Ein geometrischer Körper ist ein allseitig begrenzterTheildes Raumes. Man gelangt auch znm Begriffe eines geometrischen Körpers, wenn man sich von einem in der Natur gegebenen oder physischen Körper alle Merkmale weg¬ denkt, ausgenommen jene der Gestalt und der Größe. Den Übergang vom unbegrenzten Raume zum Körper bildet ein nur th eilweise begrenzter Raum. Die Grenzen eines Körpers heißen Flächen, die Grenzen der Flächen Linien und die Grenzen der Linien Punkte. Unter den Grenzen eines nur theilweise begrenzten Raumes kommen auch Flächen vor, welche unbegrenzt oder nur theilweise begrenzt sind. Unter den Grenzen einer solchen Fläche gibt es unbegrenzte oder nur einseitig begrenzte Linien. ö) Man kann den Begriff der Naumgebilde auch gewinnen, wenn man vom Punkte ausgeht, welchen man sich ohne Ausdehnung oder Dimen¬ sion zu denken hat. Wird ein Punkt fortbewegt, so ist der von ihm beschriebene Weg eine Linie. Dabei wird vorausgesetzt, dass jede Stelle, welche der bewegte Punkt verlässt, von einen: daselbst verbleibenden Punkte eingenommen wird. Die Linie hat e i n e Ausdehnung, und zwar die Länge. Wenn eine Linie fortbewegt wird, so beschreibt sie im allgemeinen eine Fläche. Diese hat zwei Aus¬ dehnungen, nämlich längs einer in ihr liegenden Linie und zu beiden Seiten derselben (Länge und Breite). Wenn eine Fläche fortbewegt wird, so beschreibt sie im allgemeinen einen Körper. Dieser hat drei Dimensionen (Länge, Breite und Höhe); denn es kommt zu den beiden Dimensionen einer im Körper liegenden Fläche noch die Ausdehnung nach beiden Seiten der Fläche hinzu. o) Jedes Raumgebilde, ausgenommen den Punkt, hat man sich unbe¬ grenzt theilbar zu denken. Jeder Theil ist wieder ein Raumgebilde derselben Art, d. h. jeder noch so kleine Theil einer Linie ist wieder eine Linie und nicht etwa ein Punkt, jeder Theil einer Fläche oder eines Körpers ist wieder eine Fläche, beziehungsweise ein Körper. ch) Man kann sich ein Raumgebilde auch unabhängig von einem anderen, zu dessen Begrenzung es gehört oder durch dessen Bewegung es erzeugt wird, als einen Ort im Raume denken. So z. B. wird eine Fläche auch an und für sich be¬ trachtet, d. h. ohne Rücksicht aus einen Körper, zu dessen Begrenzung sie gehört, oder auf eine Linie, durch deren Bewegung sie erzeugt wird. Das Analoge gilt von der Linie. Hočevar, Geometrie für Oberrcalschulen. 1 2 s) Wenn zwei Raumgebilde so ineinander- oder aufeinander gelegt Werdek können, dass sie sich decken, d. h., dass jeder Punkt des einen mit einem Punkte des anderen znsammenfällt, so heißen sie cong-ruent. Congrnentc Raumgebilde haben also gleiche Form und gleiche Größe und unterscheiden sich nnr durch ihren Ort im Raume. Zwei Raumgebilde heißen gleich, wenn sie gleiche Größe, und ah-nlich, wenn sie gleiche Form haben. Die genauere Erklärung der Gleichheit und Ähnlichkeit folgt später. Die Gleichheit zweier oRaumgebilde-A und -8 wird durch ^4 — L, die Ähnlichkeit durch ^4 cx) L und die Kongruenz durch -4^4? bezeichnet. ' /) Die Raumgebilde sind Begriffe, also nicht etwa durch die Sinne wahr¬ nehmbar. Dieselben können jedoch durch physische Körper (Modelle) oder durch Zeichnungen (Figuren) veranschaulicht werden. Unter einer Figur versteht' man 'häufig auch ein Raumgebilde selbst oder, mehrere.Raumgebilde, welche als zu¬ sammengehörig betrachtet werden. K 2. (Allgemeine Erklärungen. Die Begriffe, welche den Gegenstand der Geometrie bilden, sind theils Grundbegriffe, d. h. solche, welche ohne Er¬ klärung als bekannt vorausgesetzt werden (z. B. der Begriff des Raumes), theils abgeleitete Begriffe, welche durch-eine Erklärung oder Definition eingeführt werden. Die Definition gibt an, zu welcher allgemeineren Gattung von Begriffen der betrachtete gehört und durch welche Merkmale er sich von anderen Begriffen derselben Gattung unterscheidet (Realdefinition); oder sie gibt an, in welcher Weise ein Begriff aus anderen entstehen kann (genetische Definition). Die Aussagen oder Urtheile der Geometrie sind in den Grundsätzen . (Axiomen) und den Lehrsätzen (Theoremen) enthalten. Die gedmetrifcheu - Grundsätze sind solche der Anschauung und Erfahrning entuomniette Urtheile, welche sich nicht beweisen, d. h. durch Vernunftschlüsse aus voransgegangenen Definitionen oder als wahr erkannten Sätzen folgern lassen- Die Lehrsätze sind solche Urtheile, deren Richtigkeit durch einen Beweis dargethan wird. Ein Lehrsatz besteht aus .der Voraussetzung (44/xo- tlmsis), welche die Bedingungen angibt,. unter welchen eine Aussage gelten soll, und aus der Behauptung (Dlmsis), welche die zu beweisende Aussage enthält. Der Beweis kann direct öden indirect sein. Beim directen Beweise" tvird die Behauptung aus der Voraussetzung und aus vorausgegangeuen, bereits als richtig erkannten Sätzen gefolgert. Der Beweis ist indirect, wenn dargethan wird, dass das Gegentheil der Behauptung nicht stattfindcn kann, da eine solche Annahme zn Widersprüchen mit der Voraussetzung oder bereits be¬ wiesenen Lehrsätzen führen würde. Die Lehrsätze heißen Folgesätze, wenn sie im Anschlüsse an andere Lehr¬ sätze ohne ausführlichen Beweis als-.richtig erkannt werden. ( Ein Lehrsatz heißt, ein Umkehrungsfatz eines anderen) "wenn er die Behauptung desselben als Voraussetzung und die Voraussetzung als Behauptung o enthält. Wenn die Voraussetzung und die Behauptung eines Lehrsatzes ans mehreren Theilen bestehen, so. .sind auch, mehrere Umkehrungen, möglich. Es ist jedoch zn bemerken, dass die Umkehrung eines Lehrfaches nicht immer richtig ist nnd daher erst ans Grund eines. Beweises als zulässig erkannt wird. In das Lehrgebäude der Geometrie gehören auch die Constrnctions- nnd die Rechnnngsansgaben. Die ersteren enthalten die Forderung, eine geometrische Figur nach bestimmten Angaben oder gegebenen Bedingungen gemäß zu^eichnen (constrniercn). Jene Aufgaben, deren Ausführung unmittelbar ein-, . . leuchtet, und welche nicht auf einfachere Aufgaben znrnckgeführt werden können, werden Fordernngssätze (Postulate) genannt. - s Pie geometrischen Nechnungsaufgaben beruhen darauf, dass man Raum¬ gebilde äls mathematische Größen anffassen kann, und enthalten die Forderung, . - ans der durch Zahlen angegebenen Größe gewisser Theile einer Figur die den übrigen Theilen entsprechenden Größenzahlen durch Rechnung abzuleiten. K 3. Dir Genuin. «) Der Begriff der geraden Linie oder der Geraden wird als bekannt vorausgesetzt, er ist also ein Grundbegriff. Eine gegebene Ge- / rade kann man sich nach beiden Seiten ohne Ende verlängert denken nnd nennt sie daun eine uchb-egrenzte Gerade öder einen Strahl. Dieser wird dnrch , jeden seiner Pünkte in zwei halb begrenzte Gerade oder Halb strah lkn zerlegt, von denen jeder die'Ergänzung' des anderen heißt. Ein von zwei" ' Punkten, also vollständig begrenzter Theil-einer Geraden wird.Strecke genannt. ö) Wenn sich ein Punkt in einer Geraden von einem Ausgangspunkte immer weiter bewegt, so sagt man,- er behalte währeüd der Bewegung seine 'Richtung bei. .Sobald er sich jedoch gegen Leu'Ausgangspunkt wieder zurück- bewegt, nemtt man die Richtung seinerHLewegnug entgegengesetzt zn der ursprünglichen. Jede Gerade, gibt also zwki entgegengesetzte Richtungen an. G Wenn zwei Gerade zwei Punkte gemeinschaftlich haben, -so decken sie sich. Dieser ans der Erfahrung entnommene Satz heißt der Grundsatz von der Geraden und lässt sich auch in folgender Weise ans- sprechen: durch zwei Punkte ist die Lage einer Geraden bestimmt. Diese Gerade heißt die Verbindnngsgerade oder Verbindungslinie der beiden Punkte und, wenn dieselben zugleich'ihre Grenzpnchkte sind, der Abstand oder die E n tf c r n n n g derselben. Eine Gerade wird bezeichnet, inhem man zwei ihrer Punkte dnrch darangesctzte Buchstaben .bezeichnet. Bef di'r unbegrenzten Geraden wählt man dazir zwei beliebige Punkte -derselben, bei der hglbbegrenzten Geraden den Grenzpunkt nnd einen beliebigen anderen.Punkt derselben nnd bei der Strecke die beiden Endpunkte. Häufig genügt es jedoch, eine Gerade oder einen Theil derselben mit einem einzigen Buchstaben zu bezeichnen; z. B. Ge- - wade a, Strecke. H. ch) Wenn zweDGerade nur einen" Punkt gemeinschaftlich haben, so liegen die beiden Halbstrahleu, in welche' die eine Gsrade durch jenen Punkt zerlegt 4 wird, auf entgegengesetzten Seiten der anderen Geraden. Man sagt daher, dass die beiden Geraden sich schneiden, und nennt ihren gemeinsamen Punkt den Durchschnitts Punkt (Schnittpunkt) oder den Fußpunkt der einen Geraden in der anderen. e) Durch jeden Punkt des Raumes können unendlich viele Gerade gelegt werden. Die Gesammtheit der durch einen Punkt gehenden Strahlen wird ein Strahlenbüschel und jener Punkt sein Scheitel genannt. Wenn alle Strahlen eines Büschels in einer Ebene liegen, so heißt er ein ebener Strahlen-, büschel. Man kann sich denselben dadurch entstanden denken, dass ein Strahl in einer Ebene nm einen seiner Punkte gedreht wird. /) Jede Linie, welche ans zwei oder mehreren nicht in einer Geraden liegenden Strecken besteht, heißt eine gebrochene Linie. Eine Linie, von welcher kein Theil gerade ist, wird eine krumme Linie oder Curve genannt. K 4. Die Ebene. Der Begriff der Ebene ist gleichfalls einer strengen Erklärung nicht fähig und wird daher zu den Grundbegriffen gezählt. Auch die Ebene hat man sich stets unbegrenzt zn denken, wenn nicht das Gegentheil aus¬ drücklich angenommen wird. Der Raum wird durch jede Ebene in zwei vollständig getrennte Theile zerlegt, welche Halbräume genannt werden. ö) Wenn eine Gerade mit einer Ebene zwei Punkte gemein¬ schaftlich haft, so fällt sie ganz in dieselbe (Grundsatz von der Ebene). Eine Ebene wird durch jede in ihr liegende Gerade in zwei Theile zerlegt, welche Halb ebenen heißen. o) Wenn eine Gerade mit einer Ebene nur einen Punkt gemeinschaftlich hat, so liegen die Halbstrahlen, in welche die Gerade durch jenen Punkt zerlegt wird, auf entgegengesetzten Seiten der Ebene. Man sagt in diesem Falle, die Ebene schneide die Gerade oder die Gerade treffe die Ebene. Der gemein¬ schaftliche Punkt wird der Dnrchschnittspunkt der Geraden mit der Ebene, oder ihr Fuß Punkt in der Ebene genannt. »-4L (spr. (7-0 größer als -4L). 6 Ist der Subtrahend größer als der Minuend, so lässt sich die Subtractivu nur aussühren, wenn die Strecken als relative Größen aufgefasst werden. Zu diesem.Zwecke wird die eine Richtung der Geraden, in welcher die gegebenen Strecken liegen, als positiv und die entgegengesetzte als negativ erklärt. Eine Strecke ^4-6 dieser Geraden ist dann positiv oder negativ, je nachdem ein Punkt, welcher vom Anfangspunkte ^4 ausgehend die Strecke beschreibt, sich in positiver oder negativer Richtung bewegt. In der Planimetrie und Stereometrie werden wir jedoch die Strecken stets als absolute Großen betrachten, außer in wenigen Fällen, wo das Gegentheil ausdrücklich vorausgesetzt wird. Die Thcilnng einer Strecke in mehrere gleiche Theile und die Messung derselben wird später besprochen werden. Eine Strecke halbieren heißt dieselbe in zwei gleiche Theile zerlegen. Der Theiluugspnnkt wird die Mitte, der Mittelpunkt oder Halbierungspunkt der Strecke genannt. Winkel. 8 7. Erklärung, Opcratiouru mit Winkeln. Ein Winkel ist jener Theil der Ebene, welcher zwischen zwei von einem Punkte ausgehenden Halbstrahlcn liegt. Diese heißen die Schenkel und ihr Ausgangspunkt der Scheitel des Winkels. Man bezeichnet einen Winkel durch das Wiukelzeicheu und 1. durch /Ä einen Bilchstaben, welcher in der Nähe des Scheitels ange- S> bracht wird, z. B. 0 oder -chci cc; 2. durch zwei Buch- staben, voll denen jeder je einen Schenkel bedeutet, z. B. --Zi a b - oder anch («b); 3. durch drei Buchstaben, von denen der N mittlere am Scheitel und die beiden anderen an den Schenkeln Fig. 1. angebracht sind, z. B. ^40L. Auch die Winkel lassen sich als Größen auffassen, d. h. man kalin zwei Winkel vergleichen, addieren und subtrahieren; ferner lässt sich jeder Winkel ver¬ vielfachen, theilen und durch einen anderen Winkel messen. Zwei Winkel sind gleich (und zugleich congruent), wenn sic sich so auf¬ einanderlegen lassen, dass sie sich vollständig decken; dann fällt jeder Schenkel des einen mit einem Schenkel des anderen zusammen. Zwei Winkel werden ad¬ diert, indem sie in der Ebene so nebeneinander aufgetragen werden, dass die Scheitel zusammenfallen lind ein Schenkel des einen sich mit einem Schenkel des anderen deckt. Von den beiden durch die anderen Schenkel begrenzten Winkeln ist jener, welcher die gegebenen Winkel enthält, die Summe derselben. Daraus ergibt sich von selbst, wie ein Winkel vervielfacht wird. Ein Winkel wird von einem anderen subtrahiert, indem man die beiden Winkel in der Ebene so auf¬ einander aufträgt, dass die Scheitel zusammenfallen und ein Schenkel des einen sich mit einem Schenkel des anderen deckt. Von den beiden durch die anderen Schenkel begrenzten Winkeln ist jener, welcher die gemeinsamen Schenkel nicht enthält, die Differenz der gegebenen Winkel. Auf ebendemselben Wege erkennt man, ob ein Winkel größer oder kleiner (> oder <) ist als ein anderer. Die Snbtraction eines Winkels von einem anderen ist stets ausführbar, wenn dieselben als relative Großen aufgefasst werden. Zu diesem Zwecke wird die Drehung eines Halbstrahles um seinen Grenzpnnkt als negativ oder positiv erklärt, je nachdem sie für einen auf die Ebene blickenden Beobachter mit der Be¬ wegung eines Uhrzeigers übereinstimmt oder nicht. Ein Winkel (ad) heißt positiv oder negativ, wenn sich der erste Schenkel a im positiven, beziehungsweise nega¬ tiven Drehnngssinne um den Scheitel drehen muss, um den gegebenen Winkel zu beschreiben. Wir werden jedoch in der Planimetrie und in der Stereometrie die Winkel nur als absolute Größen betrachten. Der Halbstrahl, durch welchen ein gegebener/ Winkel halbiert, d. i. in zwei gleiche Theile getheilt wird, heißt die Halbierungslinie des Winkels. K 8. Der volle Winkel. Wenn ein Halbstrahl in der Ebene nm seinen Grenzpunkt in demselben Sinne solange gedreht wird, bis er wieder in seine Anfangslage znrückkehrt, so beschreibt er die ganze Ebene oder einen bollen Winkel. Wird diese Drehung fortgesetzt, so kLnn die zum zweitenmal beschriebene Fläche als eine neue, zur ersten hinzutretende ungesehen werden. Dadurch entstehen Winkel, welche größer find als ein voller. Solche Winkel werden jedoch in der Folge von den Betrachtungen stets ausgeschlossen bleiben, wenn nicht das Gegentheil ausdrücklich festgesetzt wird. Der 360. Theil eines vollen Winkels wird ein Grad (°), der 60. Theil eines Grades eine Minute (I und der 60. Theil einer Minute eine See und e (") genannt. K 9. Drr gestrrckte Winkel. Ein Winkel heißt ein gestreckter, wenn ein Schenkel die Ergänzung des anderen bildet, z. B. a) Je zwei gestreckte Winkel sind gleich. Denn legt man zwei gestreckte Winkel UiOL und so aufeinander, dass die Schenkel O U. und 0^ zn- sammenfallen, so müssen sich auch OZ und 6^^ decken (8 3 o)- b) Ein gestreckter Winkel ist die Hälfte eines vollen Winkels, er beträgt also 180°. Denn bildet man die Summe zweier gestreckter Winkel, so erhält man einen vollen Winkel. Fig. 2. Ein Winkel heißt hohl oder concav, wenn er kleiner, hingegen erhaben oder convex, wenn er größer ist als ein gestreckter. Da zu jedem hohlen Winkel ein erhabener mit denselben Schenkeln, also auch mit derselben Bezeichnung durch zwei oder drei Buchstaben gehört, so pflegt man in der Figur denjenigen von beiden Winkeln, von welchem die Rede ist, durch einen die beiden Schenkel ver¬ bindenden Bogen zu bezeichnen. Darnach ist (Fig. 2) ein hohler und ein erhabener Winkel. 8 K 10. Der rechte Winkel. Die Hälfte eines gestreckten Winkels heißt ein rechter Winkel oder ein Rechter und wird häufig niit /? bezeichnet. Alle rechten Winkel sind gleich. Denn die durch Halbierung eines gestreckten Winkels entstandenen Winkel sind nach der Voraussetzung gleich. In jedem anderen Falle ergibt sich die Nichtigkeit des Satzes aus der Überlegung, dass je zwei gestreckte Winkel, also auch ihre Hälften gleich sind. Folgesätze. Jeder rechte Winkel beträgt 90°. Ein gestreckter Winkel ist gleich 2L und ein voller gleich 4L Ein Winkel heißt s p i tz, wenn er kleiner als ein rechter, und stumpf, wenn er größer als ein rechter und zugleich kleiner als ein gestreckter ist und ^i O L). JederchMe, Winkel, welcher nicht ein rechter ist, wird ein schiefer genannt. 8 11. Lompiemcnt- nnd Supplementwinkel. Zwei spitze Winkel, deren Summe gleich einem Rechten ist, heißen complementär, nnd jeder wird das Complement des anderen genannt. Zwei hohle Winkel, deren Summe gleich einem gestreckten Winkel ist, heißen supplementär, und jeder wird das S n p p l e m e nt des anderen genannt. Gleiche spitze Winkel haben gleiche Complemente. Gleiche hohle Winkel haben gleiche Supplemente. Beweis. Sind « und die als gleich vorausgesetzten spitzen Winkel, so erhält man aus den Gleichungen /? — L und « — cg durch Subtraction /? — a — L — «i. Damit ist der erste Satz bewiesen, da Ä — « das Complement von « und/? — jenes von ist. Der Beweis des zweiten Satzes ist analog. Folgesatz. Sind zwei Winkel zu einem nnd demselben Winkel complemen¬ tär oder supplementär, so sind sie gleich. 8 12. licken- nnd Scheitelwinkel. Zwei sich schneidende Gerade zer- legen die Ebene in vier hohle Winkel («, A /, ck), von /? denen je zwei nebeneinanderliegenbe Nebenwinkel und je zwei gegenüberliegende Scheitelwinkel heißen. a) Die Summe zweier Nebenwinkel be- trägt 2/?; denn sie ist gleich einem gestreckten Winkel. Ns 3- « -st § 2/?, /? -st 2L u. s. w. ö) Je zwei Scheitelwinkel sind einander gleich. Um z. B. cinzu- sehen, dass « — ist, überlegt man, dass diese beiden Winkel zu supplementär sind. Folgesätze. 1. Sind zwei Nebenwinkel gleich, so ist jeder ein Rechter. 2. Ist von zwei Nebenwinkeln einer ein Rechter, so ist es auch der andere. 3. Ist von zwei Nebenwinkeln der eine spitz, so ist der andere stumpf uud umgekehrt. Aus a -st /? — 2/? und cc I? folgt nämlich durch Subtraction /S > L. 4. Zu gleichen Winkeln gehören gleiche Nebenwinkel. 5. Sind zwei Winkel supplementär, so sind es mxh ihre Nebenwinkel. Be¬ zeichnet man nämlich mit «, /3 nnd c^, A zwei Paare von Nebenwinkeln, so ist 9 Fig. 4. Gleichungen die nächstfolgende sich ergibt, wobei man die erste der zwölften folgen lässt. Aus der 1. Gleichung folgt die 2., aus dieser die 3. u. s. f. bis zur 8. (incl.) nach dem Satze: Zu gleichen Winkeln gehören auch gleiche Nebenwinkel. Aus der 8. Gleichung ergibt sich die 9. in folgender Weise: K Z- /3 2 7?, —st /st 27?, also -st og -st /3 -st /st — 47?. Aus der Voraussetzung « -st «i — 2 7? folgt somit /3 -st /3^ — 27?. 6. Ist von den vier hohlen Winkeln, in welche die Ebene durch zwei sich schneidende Gerade zerlegt wird, einer ein Rechter, so sind es auch die übrigen; ist einer schief, so sind es auch die übrigen. Bilden zwei sich schneidende Gerade rechte Winkel, so sagt man, sie durch¬ schneiden sich rechtwinklig oder haben eine normale (senkrechte) Lage zueinander, und die eine Gerade heißt Normale der anderen. Man schreibt a ö (spr. cr normal zn b). Bilden zwei sich schneidende Gerade schiefe Winkel, so sagt man, sie durch¬ schneiden sich schiefwinklig oder haben eine schiefe Lage zueinander. § Ist: Winkel an einer Transversale. Eine Gerade, welche zwei oder- mehrere andere Gerade schneidet, wird eine Transversale derselben genannt. Durch zwei Gerade und eiue Transversale werden acht hohle Winkel gebildet, von denen die zwischen den zwei Geraden liegenden innere und die übrigen äußere Winkel heißen. Ein innerer und ein äußerer Winkel an verschiedenen Scheiteln und auf derselben Seite der Transversale heißen correspondierende Winkel (auch Gegenwinkel), z. B. cr und Zwei innere oder zwei äußere Winkel aus entgegengesetzten Seiten der Transversale heißen Wechselwinkel, z. B. « und und 7. Zwei innere oder zwei äußere Winkel auf derselben Seite der Transversale heißen Anwinkel, z. B. « und 1 nnd (77? in einen Halbstrahl, weil a — /S ist, und ^4 fällt ans 7?, weil (7^4 — (77? ist. — Die Richtigkeit des Umkehrungs- Fig. io. satzes leuchtet unmittelbar ein. Zusatz. Eine Strecke ist symmetrisch in Bezug auf eine Gerade, welche zn ihr normal ist nnd sie halbiert. Diese Gerade heißt daher Strecken- symmetrale. Die Halbierungslinie eines Winkels ist zugleich die Symmetrale desselben und heißt Winkelst) mm etrale. K 22. Centrische Symmetrie. Man denke sich eine Ebene 7? nm einen Punkt 0 derselben so gedreht, dass sie zugleich in sich selbst verschoben wird. Wenn dabei ein Halbstrahl (H einen gestreckten Winkel beschreibt, so sagt man, die Ebene habe eine halbe Umdrehung nm den Punkt 0 in sich selbst ausgesucht. Zwei Figuren der Ebene 77 heißen symmetrisch i n V e z n g auf d e n P u n kt 0, wenn sie zur Deckung gelangen, sobald die. eine ruhig auf ihrem Platze verbleibt, während die Ebene mit der zweiten Figur eine halbe Umdrehung um den PunktO in sich selbst ansführt. Dieser Punkt heißt das Symmetriecentrum oder einfach C en trum der beiden Figuren, und die eben beschriebene Art der Sym¬ metrie, welche für eine besondere Lage zweier direct congruenter Figuren besteht, wird centrische Symmetrie genannt. Eine Figur heißt centrisch-symmetrisch, wenn sie nach einer halben Umdrehung in ihrer Ebene um einen Punkt derselben mit ihrer Anfangslage zusammenfällt, nnd jener Punkt heißt das Symmetriecentrum oder kurzweg Centrnm der Figur. Zwei Punkte liegen symmetrisch in Bezug auf deu Halbie- rungspunkt ihrer Ver bindungs strecke. Zugleich gilt auch der Um- kehrn ugssatz. Beweis. ES sei 0 der Halbierungspuukt der Strecke ^7Z, 0^ feuer Halbstrahl der Ebene 77, nach welchem z? die Drehung derselben beurtheilt wird, nnd OX, seine Xj «77H x Ergänzung. Wenn die Ebene eine halbe Umdrehung nm den Punkt 0 in sich selbst ansführt, so gelaugt OX in die Lage OX,, 0^4 fällt der Richtung nach mit der ursprünglichen Lage von 07? zusammen, weil a — a, ist, nnd wegen 0^4 — 07? gelangt der Punkt >4 in die Anfangslage des 15 Punktes L. Ebenso erkennt man, dass L in die Anfangslage von ^4 gelangt. Der Beweis des Umkehrungssatzes gestaltet sich ganz einfach. Zusatz. Eine Strecke ist symmetrisch in Bezug auf ihren Halbisrungspunkt als Centrum. Geschlossene Figuren. § 23. Ein allseitig begrenzter Theil der Ebene wird eine geschlossene Figur und die Grenzlinie ihr Umfang genannt. Wenn der Umfang einer geschlossenen Figur nur aus Strecken besteht, so heißt sie ein Vieleck oder Polygon. Die begrenzenden Strecken werden Seiten und ihre Endpunkte Ecken oder Eckpunkte des Polygones genannt. Unter einem Polygone versteht man häufig auch seinen Umfang und bezeichnet den vom Umfang eingeschlossenen Theil der Ebene als die Fläche des Polygones. Jener von zwei aufeinanderfolgenden Seiten eingeschlosscne Winkel, welcher in der nächsten Umgebung des Scheitels die Fläche des Polygones enthält, heißt ein Winkel desselben. Sind alle Winkel eines Polygones concav, so hat es lauter vor¬ springende Ecken und heißt convex. Die Nebenwinkel zu den Winkeln eines convexen Polygones heißen Außenwinkel; im Gegensätze zn denselben werden die Polygonswinkel Innenwinkel genannt. Ein Polygon heißt gleichseitig, wenn cs lauter gleiche Seiten, gleich¬ winklig, wenn es lauter gleiche Winkel hat, und regelmäßig oder regulär, wenn es gleichseitig und gleichwinklig ist Je nach der Anzahl der Ecken wird das Polygon ein Dreieck, Viereck, Fünseck, . . . n-Eck genannt. Da jeder Ecke ein Winkel entspricht, so hat jedes Polygon ebensoviel Winkel als Ecken. Da ferner den n Winkeln eines n-Eckes 2n Schenkel entsprechen, welche zn zweien in eine Polygonseite zülLnimenfalleiy so hat das n-Eck auch n Seiten, also ebensoviel Seiten als Ecken'und Winkel. Jede Verbindungsstrecke zweier nicht aufeinanderfolgender Eckpunkte heißt eine Diagonale des Vieleckes. K 24. Wenn sich eine Strecke in der Ebene um einen ihrer Endpunkte dreht, bis sie wieder in ihre Anfangslage znrückcehrt, so beschreibt sie eine ge¬ schlossene Figur, welche ein Kreis genannt wird. Der Umfang desselben heißt auch die Peripherie oder eine Kreislinie. Häufig versteht man unter einem Kreise die Kreislinie selbst und nennt die von ihr begrenzte Fläche eine Kreis- släche. Es lässt sich stets ans dem Zusammenhänge ersehen, ob mit der Be¬ zeichnung „Kreis" der Umfang oder die Fläche des Kreises gemeint ist. Das Dreieck. K 23. Da offenbar mindestens drei Strecken zur vollständigen Begrenzung eines Theiles der Ebene gehören, so hat das Dreieck unter allen Polygonen die 16 geringste Seitenauzahl. Jeder Seite eines Dreieckes liegt ein Winkel, ihr Gegen¬ winkel, nnd jedem Winkel eine Seite, seine Gegenseite, gegenüber. Jeder Seite entsprechen zwei anliegende Winkel und jedem Winkel zwei ein¬ schließende Seiten. Jede Dreiecksseite kann als Grundlinie oder Basis nnd ihre Gegenecke als Spitze des Dreieckes bezeichnet werden. Die von der (7 Spitze bis zur Grundlinie oder deren Verlängerung ge- XX zogene Normale der Grundlinie heißt Höhe des Dreieckes. S/ ! X« Jedes Dreieck hat drei Höhen. ! X Mau bezeichnet in der Regel die Eckpunkte eines — L- Dreieckes mit A, L, <7, die entsprechenden Winkel in big, 12, derselben Reihenfolge mit «, A / und die Gegenseiten mit a, ö, o, so dass a nnd «, i> und A o nnd / Gegen¬ stücke sind. Das Dreieck selbst wird mit AL (7 bezeichnet. § Ai. öcstthiimM zwilchen An Winkeln, «st Jeder Außenwinkel eines Dreieckes ist gleich der Summe der ihm gegenüberliegen¬ den Innenwinkel. Beweis. Ist DL <7 der betrachtete Isnßen- wiukel, so ziehe man LL A(7 nnd beachte, dass — cc und /^ / ist. Hieraus folgt DL(7 — st- /^ — « st-/- ö) Die Summe der Winkel eines Dreieckes beträgt 2L ls Beweis. Die Summe der Winkel «i, /^ und Fig. 18. /? ist offenbar gleich einem gestreckten Winkel; somit ist «i st- /i st- /? — 2L, also auch ccst-/Sst-/-^-2L. Folgesätze: 1. Durch zwei Wiukel eines Dreieckes ist der dritte bestimmt. Wenn also zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, so sind auch die dritten Winkel gleich. 2. Ist ein Wiukel eines Dreieckes ein rechter, so sind die beiden anderen spitz, u. zw. complementär. 3. Ist ein Dreieckswinkel stnmpf, so sind die beiden anderen spitz, nnd ihre Summe ist kleiner als ein Rechter. 4. Jeder Außenwinkel eines Dreieckes ist größer als ein ihm gegenüber¬ liegender Innenwinkel. 5. Die Summe der drei Außenwinkel, von denen jeder an einer anderen Ecke des Dreieckes liegt, beträgt 4L. 8 27. Einthrilnng Ar Drrieckt. Mit Rücksicht auf die Seiten unter¬ scheidet man ungleichseitige, gleichschenklige und gleichseitige Drei¬ ecke, je nachdem alle drei Seiten ungleich oder zwei Seiten gleich oder alle drei Seiten gleich sind. Beim gleichschenkligen Dreiecke heißen die zwei gleichen Seiten Schenkel und die dritte Seite gewöhnlich Grundlinie. Da in den 17 folgenden Sätzen der Fall, dass auch die Grundlinie einem Schenkel gleich ist, nicht ausgeschlossen wird, so ist das gleichseitige Dreieck als ein specieller Fall des gleichschenkligen anznsehen. Je nachdem ein Dreieck einen stumpfen oder einen rechten Winkel oder lauter spitze Winkel hat, heißt es stumpfwinklig, rechtwinklig oder spitzwink¬ lig. Im rechtwinkligen Dreiecke nennt man die Gegenseite des rechten Winkels Hypotenuse und die beiden anderen Seiten Katheten. Unter der Höhe eines rechtwinkligen Dreieckes versteht man in der Regel jene, welche der Hypotenuse als Grundlinie entspricht. 8 28. Lejiehiingkn MÜschm dm Gegenstücken. «) Sind zwei Seiten eines Dreieckes gleich, so sind auch ihre Gegenwinkel gleich. b) Der größeren von zwei ungleichen Seiten liegt auch der größere Winkel gegenüber. Beweise, a) Es sei -4236 (Fig. .14) das gegebene Dreieck und "X -46—236. Zieht man die Sym- /XX > metrale' (7 2) des Winkels -4 623 und / ! X 6 X^V klappt das Dreieck 2)236 um 2)6 / ! X I 2 '.X ,V, als Achse um, so fällt 623 mit 62t in / > X / X ,^'^x eine Gerade, weil 23 62) — X— ä-X.- -462) lst; zugleich fällt wegen L6 , Fig/15. — -46 der Punkt 2) auf 2t. Hieraus folgt, dass auch 2)2? und 2)-4 sich decken, dass also die Winkel 2t und 2? gleich sind. d) Es sei (Fig. 15) 236 > -46 und 62) die Symmetrale des Winkels -4622 Klappt man das Dreieck -42)6 nm 62) als Achse um, so fällt-4 6 mit 2? 6 in eine Gerade und der Punkt-4 in die Strecke 2? 6, etwa nach -4^. Hieraus folgt og a und (Z 26), also auch « ,3. Umkehrnngssätze: oh Sind zwei Winkel eines Dreieckes gleich, so sind auch ihre Gegenseiten gleich. ei) Dem größeren von zwei ungleichen Winkeln liegt auch die größere Seite gegenüber. Beweise, cy Ist cc A und nimmt mail -46 236 an, so müsste nach dem vorausgehcnden Satze <3 cc sein. (Von den Ungleichheitszeicheu gelten nur die oberen oder nur die unteren.) Da dies der Voraussetzung widerspricht, so muss -46 — 2? 6 sein. 2) Der Beweis ist ganz analog dem voransgehenden. Folgesätze. 1. Die Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen Drei¬ eckes sind einander gleich und daher spitz. 2. Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreieckes beträgt 602 Hočevar, Geometrie für Oberrealschulen. X 18 3. In jedem rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse die größte Seite. 4. In jedem stumpfwinkligen Dreiecke ist die Gegenseite des stumpfen Winkels die größte Seite. § 29. Ucziehnngkn zwischen den Seiten. Jede Dreiecksseite ist kleiner als die Summe und größer als die Differenz der beiden anderen. Beweise, ü.) Es sei LL (Fig. 15) die Symmctrale des Winkels ALL, also e Es ist dann ALL > §, daher ALL > r, also AL >> AL; ebenso LLL > e, daher LLL > §, also LL > LL. Hieraus folgt durch Addition AL -s- LL >> AL. A) Wird die Seite AL von keiner der beiden anderen Seiten an Größe übertroffen, so ist sie selbstverständlich auch größer als die Differenz derselben. "Aus AL < AL A- LL folgt ferner AL — AL < LL und AL — LL < AL. K 30. Lrhrsnhe über das gleichschenklige Dreieck. Im gleichschenk¬ ligen Dreiecke ist die Symmetrale des Winkels an der Spitze zu¬ gleich die Symmetrale der Grundlinie und die Höhe zu derselben. Beweis. Aus dem Beweise zum Lehrsätze in §28« geht leicht hervor, dass die Symmetrale LL des Winkels ALL Vie Grundlinie AL halbjert und zu derselben normal ist. Denn es ist ALL— LDL, also jeder ein Rechter. ' ' - Die Umkehrungen des vorausgehenden Lehrsatzes werden am besten indirekt bewiesen, indem man beachtet, dass sowohl der Winkel an der Spitze, als auch die Grundlinie nur je eine Symmetrale besitzen, und dass es nur eine Höhe zur Grundlinie gibt. Folgesätze. 1. Das gleichschenklige Dreieck ist eine symmetrische Figur mit einer Achse (einachsig). 2. Im gleichseitigen Dreiecke fallen die drei Seitensymmetralen mit den drei Winkelsymmetralen und den drei Höhen zusammen. 3. Das gleichseitige Dreieck ist eine dreiachsige symmetrische Figur. K 31. Projektionen. Zieht man durch einen Punkt zu einer Geraden die Normale, so heißt der Fußpuukt derselben in der Geraden die Normalpro- jectivn des gegebenen Punktes auf die gegebene Gerade. Im Folgenden wird häufig zur Abkürzung der Ausdruck „Projektion" für „Normalprojection" gebraucht, da andere Arten von Projektionen hier nicht zur Anwendung kommen. Unter der Projektion einer Linie auf eine Gerade versteht man den geometrischen Ort der Projektionen aller ihrer Punkte. Daher ist die Projektion einer Strecke AL jene Strecke, welche von den Projektionen der Endpunkte A und L begrenzt wird. Ist eine Strecke zu einer Geraden normal, so ist die Pro¬ jektion der ersteren auf die letztere ein Punkt. 19 K 32, Strecken zwischen einem Punkte und einer Geraden. Von den Strecken, welche einen Punkt außerhalb einer Geraden mit den Punkten derselben verbinden, gelten die folgenden Sätze: ah Die zur Geraden normale Strecke ist die kürzeste. Sie heißt daher der Abstand des gegebenen Punktes von der gegebenen Geraden. ö) Zu gleichen Projektionen gehören gleiche Strecken und gleiche Winkel der Strecken mit der Normale. c) Zu der größeren von zwei ungleichen Projektionen ge¬ hört die größere Strecke nnd der größere Winkel der Strecke mit der Normale. Beweise, äst Es sei ^4^4i _I_ 6^77 und (7 ein beliebiger von ^4, verschiedener Punkt in (7 77. Offenbar ist stets 7? sein muss (§ 26, 4. Folgesatz), so ist auch ^47) >-477 Liegen hingegen die ungleichen Projektionen auf entgegengesetzten Seiten der Nor¬ male, wie -4^(7 nnd -4,7-, so klappe man -4,-4 (7 um die Normale als Achse um und erhält dann den vorausgehenden Fall. Zu den Sätzen b) nnd o) gibt es je zwei Umkehrungssätze, welche leicht indirekt bewiesen werden. Ist z. B. -47->U(7, so muss auch -4^7) >-4^(7 sein. Denn wäre -4,7) < -4,(7, so hätte man nach ö), beziehungsweise a) auch -I Ul). Folgesätze. 1. Von einem Punkte außerhalb einer Geraden können zu dieser nicht mehr als zwei gleiche Strecken gezogen werden. 2. Zieht man von einem Punkte außerhalb einer Geraden zu derselben drei Strecken, von denen zwei gleich sind, so liegt die Dritte innerhalb oder außerhalb des von den beiden ersten gebildeten hohlen Winkels, je nachdem sie kürzer oder länger ist, als eine derselben. Anmerkung. Zieht man durch -4 (Fig. 16) eine Gerade normal zu (777 nnd dreht dieselbe nm -4, etwa im positiven Sinne, so rückt der Schnittpunkt der beiden Geraden in dem Halbstrahle -4,77 immer weiter fort, so dass seine Ent¬ fernung von -4, jede beliebige Grenze überschreitet; zugleich wird der spitze Winkel -4,7)-4 der beiden Geraden beliebig klein, da sein Complement -4,-47) einem Rechten beliebig nahe gebracht werden kann. Indem man nun die zu (7Ä Parallele Lage als die nach einer Vierteldrehung erreichte Grenzlage auffasst, 2* 20 pflegt man zu sagen, dass zwei parallele Gerade sich in einem unendlich ent¬ fernten Punkte schneiden und den Winkel 0, beziehungsweise 2Ä mit ein¬ ander bilden. Demgemäß nennt man auch zwei parallele Gerade mit festgesetzten (positiven) Richtungen gleichgerichtet (direct parallel), beziehungsweise ent¬ gegengesetzt gerichtet (invers parallel). Congruery der Dreiecke. K 33. Aus dem allgemeinen Begriffe der Cougruenz schließt man, dass in congruenten Dreiecken je zwei hvmvloge Seiten nnd je zwei homologe Winkel gleich sind. Drückt man diese Folgerung durch die Gleichungen « — a,, b — o — 6;, « — «j, — A, 7 — aus, so entsteht die Frage, ob umgekehrt das Bestehen aller sechs Gleichungen oder nur einiger derselben erforderlich ist, um auf die Congruenz der entsprechenden zwei Dreiecke schließen zu dürfen. Die Beantwortung dieser Frage ist in den sogenannten Congrneuzsätzen enthalten, welche nebst den Sätzen über die Symmetrie insbesonders zum Nachweise der Gleichheit von Strecken nnd Winkeln angewendet werden. Kommen nämlich die zu vergleichenden Strecken (Winkel) in congruenten Dreiecken als Seiten (Dreieckswinkel) vor, so sind sie homolog, also auch gleich, wenu ihre Gegenwinkel (Gegenseiten) homolog sind. Kurzer wird dies in folgender Weise ausgedrnckt: In congruenten Dreiecken liegen gleichen Seiten gleiche Winkel und gleichen Winkeln gleiche Seiten gegenüber. § 34- I. Congnirnchaj). Zwei Dreiecke sind congruent, wenu sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln überein¬ st i m m e n. Beweis. Es sei ^4 7? — -ch , und -chä L / / ^x Folgen die Eckpunkte ^4, ö, (7 und / x^ / 7^, (Z in den zwei Dreiecken in - demselben Drehnngssiune aufeinander Z (wie in der Figur), so verschiebe man -4i^(F derart, dass mit ^4 und mit L znsammeufällt. Ans^i ---- und folgt, dass dann^chtZ mit ^4 6' und mit 7? (7 in eine Gerade fällt. Dann liegt also 6^ sowohl in der Geraden, welche durch ^l. (7, als auch in jener, welche durch 7? (7 bestimmt wird, und fällt somit auf deil Punkt <7. Die beiden Dreiecke sind daher congruent, da ihre Eckpunkte und somit auch ihre Seiten sich decken. Wenn die sich entsprechen¬ den Eckpunkte in den gegebenen Dreiecken die entgegengesetzte Aufeinanderfolge haben, so muss man zum Beweise der Congruenz das eine Dreieck zunächst umklappcn. 21 § 33. II- EongriMlMtz. Zwei Dreiecke sind congrnent, wenn sie in einer Seite, einem anliegenden nnd dem gegenüberliegen¬ den Winkel über einstimm en. Beweis. Ist >47? ^7?^, --Zi 4. — >4^ und <7—6^ (Fug. 17), so ist auch 7? —7?^. Daraus folgt nach dem ersten Congruenzsatze >4 4?<7^ ^7?,^. Die erstell zwei Congruenzsätze lassen sich in folgender Weise znsammen- fassen: Wenn zweiDreiecke in einer Seite und zwei gle/chliegenden Winkeln übereinstimmen, so sind sie congrnent. §36. III. Congrimysatz. Zwei Dreiecke sind congrnent, wenn sie in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel überein st i m m e n. Beweis. Ist >47? — >4^7?^, >4 6^^ >4^6) ünd --Zi>4 —>4^ (Fig. 17), so lassen sich die beiden Dreiecke durch Verschieben, oder durch Umklappen und darauffolgendes Verschieben so anfeinanderlegen, dass sich die Eckpunkte >4 nnd >4^ decken, ferner Ui 4? mit >4^7?^ lind >4(7 mit >4^ in eine Gerade fällt. Aus der Voraussetzung folgt, dass auch die Punkte 4? und 7?^, ferner <7 nnd (7^ zu¬ sammenfallen; also sind die beiden Dreiecke congrnent. 8 37. Lohnsätze über die ÄreckrnsMmrtrnlr. «) Jeder Punkt einer S t r e ck e n s y m m e t r a le hat von den Endpunkten d e r S tr e cke gleiche Ab stände. ö.) Jeder Punkt außerhalb der Stre ckensymmetrale ist jenem Endpunkte der Strecke näher, welcher mit ihm auf derselben Seite der Symmetrale liegt. Zugleich gelten die U m k e h r u n g s sä tz e. Beweise. «) Ist >4 <7^-OS und A 4. >47?, so ist A die Symmetrale der Strecke >4 4?. Verbindet man einen beliebi¬ gen Punkt 7) derselben mit >4 und 4?, so folgt ans 8 32 ö, dass >4 7) — 4? 77 ist. Es sei 4'ein beliebiger Punkt außerhalb A, und ^4 man ziehe >47si 7?S und >4L, wo 4/ den Schnittpunkt der Shminetrale mit der Strecke 7? 7^ bedeutet. Dian findet dann 4ZS — 7?S Z- 477-' --- >4L -P SS. Wegen Z- SS > >47^ ist auch 7?S > >47'. Fig. 18. Die Umkehrungssätze können indirect bewiesen werden. Folgesätze. 1. Der geometrische Ort aller Punkte, welche von den End? ^Punkten einer Strecke gleiche Abstände haben, ist die Symmetrale der StreÄ. Man versteht unter dem geometrischen Orte aller Punkte, welche einer gegebenen Bedingung entsprechen, jenes Raumgebilde, welches die Eigenschaft hat, dass alle Punkte desselben nnd nur diese der gegebeneu Bedingung entsprechen. 2. Wenn von zwei Punkten 7) und S ein jeder von den Endpunkten einer Strecke >4 /? gleiche Abstände hat, so ist die Gerade 7)47 die Symmetrale der Strecke >47?. 22 X) Die drei Seitensymmetralen eines Dreieckes schneiden einander in einem einzigen Punkte, welcher von den drei Eck¬ punkten gleiche Abstände hat. Beweis. Die Symmetralen der Seiten U. D und 77 0 /sx müssen sich in einem Punkte 0 schneiden; denn sie könnten / s X / nur parallel sein, wenn auch U. A nick A <7 parallel wären oder i XX in einer Geraden liegen würden. Weil nun 0 der Symme- / X der Strecke U.A angehört, so ist U.0 —AO, und weil '-L er der Symmetrale der Strecke (7 angehört, so ist 7)0 —(70. Daraus folgt ferner UlO — (70; also muss auch die Fig. 19. Symmetrale der Seite U.(7 durch den Punkt 0 gehen. K Lrhrsiihr über dir Winiitlsymniltrnle. a) Jeder Punkt einer Winkelsymmetrale hat von den Schenkeln des Winkels gleiche Abständ e. ö) Jeder Punkt, welcher in einem hohlen Winkel und außer¬ halb der Symmetrale desselben liegt, ist jenem Schenkel näher, welcher sich mit ihm auf derselben Seite der Symmetrale befindet. Jedem dieser beiden Sätze entspricht ein Umkehrungssatz. , Beweis, a) Es sei 0(7 die Symmetrale des Winkels U.0D, D ein beliebiger Punkt der Symmetrale, ferner DA _1_ ou. und D7' u. OA. Ans der Congruenz der X Dreiecke DAO und DDO folgt DA D7/ — X- "<7 b) Es sei O ein beliebiger Punkt des Winkels / DOO, welcher nicht der Symmetrale 0(7 angehört. Ist nun 077 U. OU, 0/ _I_ 0/7, ferner 7eA U. OD, so 7/^.^t folgt 0 7/ -- O /e -f- A/7 --- 0/7 -f- AD Nun ist Flg. 20. o/c -j- 77A > K/ nnd 7,0 > 07, also auch 0 A > 07. Die Umkehrungssätze können indirect bewiesen werden. Folgesatz. Der geometrische Ort aller Punkte, welche von zwei sich schnei¬ denden Geraden gleiche Abstände haben, besteht ans den zwei Geraden, welche die vier hohlen Winkel der gegebenen Geraden halbieren. Xt Die drei Winkelsymmetralen eines Dreieckes schneiden einander in einem einzigen Punkte, welcher von den drei Seiten ^.<7 gleiche Abstände hat. / X Beweis. Die Symmetralen Ul 0 nnd 77 0 müssen XX / sich in einem Punkte 0 schneiden (8 17). Zieht man XXXs V nun die Normalen OD, OA nnd OA zu den Drei- g ^^XX ecksseiten, so ist OA — OA, weil O der Symmetrale des Winkels Ul ängehört, und OA — OD, weil 0 Fig. 21. auch der Symmetrale des Winkels D angehört. 23 Daraus folgt LZ — also geht auch die Symmetrale des Winkels <7 durch den Punkt 0. ö und -X — /s/ ! / X Hieraus folgt, dass sich das ^s Z L vt, L, Dreieck ZX so auf das Dreieck Fig- 22. ^Z(7 legen lässt, dass die Eckpunkte X und X serner Ls und (7 zusammen¬ fallen, während X in die Seite ^iZ oder deren Verlängerung über Z hinaus zu liegen kommt. Da man nun vom Punkte <7 nur zwei Strecken von der Länge a zu der durch ^4Z bestimmten Geraden ziehen kann, von denen die eine die Seite LZ ist, während die andere, LZ,, ihren Fußpunkt in der Verlänge¬ rung von über hinaus hat (Z 32, 2. Folgesatz), so muss LsX mit LZ zusammenfallen. Also sind die beiden Dreiecke congruent. Zusatz. Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem Gegen¬ winkel der kleineren übereinstim¬ men, so können zwei verschiedene Fälle eintreten: 1. Die Gegen¬ winkel der größeren Seiten sind ebenfalls gleich und somit die Dreiecke congruent, wie ^4ZX und XX^s oder 2. die Gegenwinkel der größe¬ ren Seiten sind ungleich und daher die Dreiecke nicht congruent, wie ^4Z(7 und XXX In diesem Falle liegen den größeren Seiten supplementäre Winkel gegenüber. 8 49. - V. Congruenjsatz. Zwei Dreiecke sind congruent, wenn sie in allen drei Seiten über¬ einstimmen. Beweis. Ist ^4Z XX, Z<7-- ZX und L'^i — <7iX, so lege man die Dreiecke so aneinander, dass X mit X X mit Z znsammenfällt, und dass Ls und O sich auf entgegengesetzten Seiten von ^4Z befinden. Da nun 24 ^4.8 die Shmmetrale der Strecke (76) ist, so fällt 6s auf <7, tvenn das Dreieck ^4Z6) um ^i^ als Achse umgeklappt wird. Die beiden Dreiecke sind also congruent. § 41. Bestiminlmgsstiicke rinrs Drrircktv. Da man congrnente Dreiecke als ein einziges Dreieck in verschiedenen Lagen ansehen kann, so nennt man jene Größen, aus deren Gleichheit in zwei Dreiecken auf die Congrnenz derselben geschlossen werden kann, Bestimmnngsstücke des Dreieckes. Von diesen sind die wichtigsten: 1. eine Seite und die beiden anliegenden Winkel, 2. eine Seite, ein anliegender und der gegenüberliegende Winkel, 3. zwei Seiten nnd der ein¬ geschlossene Winkel, 4. zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren oder 5. alle drei Seiten. K 42. Änderungen iwr Gegenstücke. Wenn in einem Dreiecke zwei Seiten unverändert bleiben und der von ihnen eingeschlossene Winkel wächst, so wächst auch dessen Gegenseite. Beweis. Es sei ^4L<7 das gegebene Dreieck, nnd Ä man lasse den Winkel Z^i(7in den größeren Z^46) übergehen, während die einschließendeu Seiten unverändert bleiben. Zieht man nun die Shmmetrale ^lD der Strecke v/ *76), so liegt S außerhalb der Shmmetrale und zwar Äf auf der nämlichen Seite, wie der Eckpunkt (7. (Da näm — 2-) lieh 72^4 6) < 2 L ist, so ist umsomehr < 2 L.) Somit ist S(7 < L6) (§ 37). Der Nmkehrungssatz kann indirect bewiesen tvcrden. Der Kreis. K 43. Hnlbmrstrr, Dnrchmejser. Die Kreislinie ist zufolge der Erklärung in Z 24 eine in sich selbst znrückkehrende oder geschlossene Linie, deren sämmtliche Punkte von einem bestimmten Punkte, dem Mittelpunkte (Centrnm), gleiche Abstände haben. Jede Verbindungsstrecke des Mittelpunktes niit einem Punkte der Kreislinie heißt Halbmesser (Radius). Jede von zwei Punkten der Kreislinie begrenzte Strecke wird S e h n e (oboräa), nnd wenn dieselbe durch den Mittelpunkt geht, Durchmesser (Dia nie ter) genannt. Die Endpunkte eines Durchmessers heißen Gegenpnnkte. Folgesätze. 1. Alle Halbmesser eines Kreises sind gleich. 2. Jeder Durchmesser ist doppelt so groß als ein Halbmesser desselben Kreises. 3. Alle Durchmesser eines Kreises sind gleich. 4. Jeder Durchmesser ist größer als irgend eine andere Sehne desselben Kreises. Zum Beweise des letzten Satzes ziehe man zu den Endpunkten einer Sehne die beiden Radien nnd beachte, dass die erstere kleiner ist als die Summe der letzteren (Z 29). 25 - / § 44. Sogen, Lentriwiiikel, Zrctor, Segment. Jeder Theil eiMr Kreis¬ linie heißt Kreisbogen oder einfach Bogen (areirs). Ein Winkel, dessen Scheitel der Mittelpunkt eines Kreises ist, wird Centriwinkel genannt. Jener Theil der Kreisfläche, welcher von einem Bogen nnd den beiden zn seinen End¬ punkten gezogenen Radien begrenzt wird, heißt Kreisausschnitt (Sector), lind jener Theil, welcher von einem Bogen und der die Endpunkte desselben ver¬ bindenden Sehne begrenzt wird, heißt Kreisabschnitt (Segment). Zum Centriwinkel ^4 0 <7 gehört die Sehne ^4 (7, der Bogen ^4(7, der Sector ^4O(7D und das Seg¬ ment ^4 (77). (Um die Sehne ^4(7 in der Bezeichnung von dem Bogen ^4(7 zu unterscheiden, schreibt mau für erstere ^46" oder oUoräu ^4(7 und für letzteren ^4(7 oder arv ^4(7.) Jeder Bogen bestimmt ebenfalls eine Sehne, welche die zugehörige genannt wird, einen Cen¬ triwinkel, einen Sector und ein Segment. Hingegen werden durch eine Sehne zwei Bogen, zwei Centri¬ winkel, zwei Sectoren und zwei Segmente bestimmt. Man pflegt nun jenes Segment, welches den Mittelpunkt nicht enthält, als zur Sehne gehörig zu be¬ zeichnen; desgleichen den Bogen, den Centriwinkel und den Sector, welche durch jenes Segment bestimmt werden. ^4H. Ureis und Punkte. «7 Ein Punkt liegt auf der Kreis¬ linie, innerhalb oder außerhalb derselben, je nachdem sein Cen¬ tral abstand (Abstand vom Centrnm) gleich dem Radins, kleiner oder größer ist als derselbe. Zugleich gelten die Umkehrungssätze. Beweise. Es sei 0 das Centrnm eines Kreises, ein Radins desselben und ^4 irgend ein Punkt der Ebene. Ist die Strecke 0^4 — so kann dieselbe als eine besondere Lage der den Kreis erzeugenden Strecke ansgefasst werden; also liegt -4 auf der Kreislinie. Ist 0^4 r-, so gibt es in der Verlängerung von OU. über hinaus einen Punkt ^4,, für welchen ist. Dann ist^ ein Punkt der Kreislinie, hingegen U. mit dem Mittelpunkte auf derselben Seite der Kreislinie, also innerhalb derselben. Analog behandelt man den Fall 0^4 >» Die Umkehruugssätze können indirect bewiesen werden. Folgesätze. 1. Der geometrische Ort aller Punkte in der Ebene, welche von einem Punkte 0 den Abstand -- besitzen, ist der um 0 als Centrnm mit dem Radins -- beschriebene Kreis. 2. Haben, zwei Kreise einen gemeinschaftlichen Mittelpunkt nnd gleiche Radien so decken sie sich vollständig. ö) Je drei Punkte einer Kreislinie liegen nicht in einer Geraden. Jndirecter Beweis (Z 32 o, 1. Folgesatz). Hieraus folgt, dass die Kreis¬ linie krumm ist. o) Durch drei Punkte, welche nicht in einer Geraden liegen, ist ein Kreis eindeutig bestimmt. Beweis. Betrachtet man die gegebenen Punkte ^4, 7), <7 als Eckpunkte eines Dreieckes, so ist der gemeinschaftliche Schnittpunkt 0 der drei Seitensym- metralen von ^4, 7? und (7 gleich weit entfernt. Ist also 0 der Mittelpunkt und 0^4 der Halbmesser einer Kreislinie, so muss dieselbe auch durch 7l und 6 gehen. Würde noch eine zweite Kreislinie durch -ck, und (7 gehen, so müsste ihr Mittelpunkt ebenfalls in den Spmmetralen der Strecken ^77, 7t (7, 674 liegen, also mit 0 znsammenfallen. Da ferner 6>^4 auch ein Radius der zweiten Kreislinie wäre, so müsste sich dieselbe mit der ersten decken (Z 45 a, 2. Folgesatz). ^4 --- (70 -st OLl — (7^4, also 674; ebenso erhält man ^4LZ > 66V — 0^4 OL — 0^4 — also ^4ZV>> ^46. Analog iMster Beweis zu führen, toenn ^4 außerhalb des Kreises liegt. Wie lautet drefep'Satz, wenn U. der Kreislinie selbst angehört. Zusätze. 1. Bewegt sich ein Punkt 7V in der gegebenen Kreislinie immer in demselben Sinne, so wächst seine Entfernung vom gegebenen Punkte Ui während der Bewegung von L nach 0; sie nimmt hingegen während der Bewegung von (7 nach 7Z immerfort ab. Zum Beweise wende man den Lehrsatz des ß 42 auf das Dreieck U.0UZ an. 2. Setzt man OUi — o und OZlZ — i-, so ist die größte Entfernung des bewegten Punktes von U. oder Ui(7 — e -st n und die kleinste Entfernung oder le — n l e > >- ^47l — > 0 , je nachdem o — n ist. j n — e j e < 7- K Mris Mtd Gerade. Eine Gerade hat mit einer Kreis¬ linie keinen Punkt, einen Punkt oder zwei Punkte gemeinschaft¬ lich, je nachdem ihr Centralabstand größer, ebenso groß oder kleiner ist als der Radins. Zugleich gelten auch die Umkehrungssätze. 27 Beweise. Es sei ^4 die Projektion des Mittelpunktes 0 ans die gegebene Gerade (71/, also 0^4 — o der Centralabstand. Für K e 7- liegt ^4 anßerhalb der Kreislinie, somit auch jeder andere Punkt F der Geraden, da 077 > 0^4 ist. Für o — i- ist ^4 ein Punkt der Kreislinie, hingegen liegt jeder andere Punkt der Geraden anßerhalb des Kreises. Für a < liegt 7l innerhalb der Kreislinie. Denkt man sich nun einen Punkt von ^4 aus längs .des Halbstrahles ^40 weiterbewegt, so übersteigt seine Entfernung von ^4 und umsomehr jeue von 0 jeden beliebig großen Wert. 77 Fig. W. Also muss der bewegte Punkt die Kreislinie in einem Punkte Z treffen, für welchen 0/7 — ist. Macht man fehtzer in dem Halbstrahle ^477 die Strecke ^477^ — ^477, so ist auch 0^ — al^gehört auch der Punkt 77^ der Geraden und der Kreislinie an. Andere Punkte können die beiden Linien nach Z 32 nicht gemeinsam haben. Die Umkehrnngssätze können indirect bewiesen werden. Erklärungen: 1. Wenn eine Gerade und eine Kreislinie zwei Punkte ge¬ meinschaftlich haben, so liegt nur die vou diesen Punkten begrenzte Strecke der Geraden innerhalb der Kreislinie. Mau sagt daher in diesem Falle, dass die beiden Linien einander schneiden, nennt die gemeinsamen Punkte Schnitt¬ punkte und die Gerade eine Sccante des Kreises (z. B. /71" in Fig. 26). 2. Wenn eine Secante nm einen ihrer Schnittpunkte mit der Kreislinie so gedreht wird, dass der zweite Schnittpunkt immer näher an den ersten heranrückt und schließlich mit demselben znsammenfällt, so heißt die Gerade in dieser Grenz¬ lage Tangente des Kreises und der Punkt, welchen sie mit demselben gemein¬ schaftlich hat, Berührungspunkt (07/ und 7 in Fig. 26). K 47. Gleiche Kreist und Kreisbogen, kongruente Kreise werden in der Regel als gleich bezeichnet. Haben zwei Kreise gleiche Radien, so sind sie gleich und umgekehrt (Z 45 «, 2. Folgesatz). Folgesätze: 1. Weun eine Ebene nm den Mittelpunkt eines in ihr liegenden Kreises in sich selbst gedreht wird, so fällt jede neue Lage des Kreises mit ihrer ursprünglichen zusammen. Die Kreislinie lässt sich also in sich selbst verschieben. 2. Der Kreis ist eine centrisch-symmetrische Figur. b) Kreisbogen von gleichem Halbmesser, d. i. Bogen eines Kreises oder gleicher Kreise, lassen sich ebenso wie Strecken vergleichen, addieren, subtra¬ hieren n. s. f. Sie heißen gleich, wenn sie sich zur Deckung bringen lassen oder also congruent sind. Der 360. Theil der Peripherie heißt ein Grad (genauer Bogengrad im Gegensätze zu Wiukelgrad), der 60. Theil eines Grades heißt eine Minute (Bogenminute) und der 60. Theil einer Minute eine Secnnde (Bogensecnnde). Unter Halbkreis, Quadrant, Sextant und Octant versteht man 28 beziehungsweise die Hälfte, den vierten, den sechsten und den achten Theil der Peripherie. K Lehrsätze non den Zehnen. D i e Sy m m e t rale e i n e r j e d e n Sehnrgeht durch den Mittelpnnkt des Kreises; sie fällt also nut der Normale vom Centrum auf die Sehne und mit der Verbindungslinie des Cen¬ trums mit dem Halbierungspnnkte der Sehne zusammen. d) Die Symmetralen paraller Sehnen fallen zusammen. Der Beweis lässt sich mit Hilfe des vorausgehenden Satzes führen. Folgesatz. Der Kreis ist eine axial-symmetrische Figur und zwar ist jeder Durchmesser eine Symmetrieachse o) Gleichen Sehnen entsprechen gleiche Centralabstände, und der größeren von zwei verschiedenen Sehnen entspricht der kleinere Centralabstand. Zugleich gelten auch die Umkehrnngssätze. Beweise. Es sei 0(7, OOO^lOund 0(7 _l_ 06', also auch -40 — 6'<7. Ans der Congruenz der Dreiecke ^46'0 und (7(70 folgt also OO — (70. Ist (70 > 0(7, so ziehe" nian 00 0 0(7, OO o (70 und verbinde (7 mit o. In dem Dreiecke <7(70 ist nun (70 > <7<7, also anch « /- Da ferner « -ft /S — / -ft ck ist, so folgt /? Dieser Satz, dessen Nichtigkeit sich unmittelbar aus dem Z 46 ergibt, lässt mehrere Umkehrungen zu, welche sich leicht iudirect beweisen lassen. ö) Die Strecken, welche von dem Schnittpunkte zweier Tan- s genten einesKreises nnd den entsprechenden Berührungspunkten begrenzt werden, sind einander gleich. Beweis. Es ist /X -^^0 0, daher Die Strecken und werden häufig mich Tangenten genannt. o) Die Verbindungslinie des Cen- t r n m s m it d e m Schnittpunkte zweier Tan¬ genten desselben Kreises ist die Symme- trale 1. des hohlen Winkels der beidenTan¬ gent en, 2. des Winkels, welchen die zu den B e rü h r n n g s p n n k t e n g e z o g e n e n R a d i e n e in¬ schließen, und 3. der Sehne, welche die beiden Berührungspunkte verbindet (der Berührnngssehne). Die Richtigkeit dieser Sätze ergibt sich aus der Congruenz der Dreiecke und ^.^0, ferner aus deu Eigenschaften der Streckenspmmetrale (§ 37 ö, 2. Folgesatz). §51^ Aeripheriewinkel. Ein Winkel, dessen Scheitel in der Peripherie eines Kreises liegt und dessen Schenkel zwei Secanten oder eine Secante und eine Tangente des Kreises sind, wird ein Peripheriewinkel genannt. Jener im Peripheriewinkel liegende Kreisbogen, dessei?Endpnnkte in die Schenkel des Peri¬ pheriewinkels fallen, heißt der zu demselben gehörige Bogen oder der Bogen, über welchem der Periphericwinkel steht/ a) Jeder Peripheriewinkel ist gleich der Hälfte des Centri¬ winkels über demselben Bogen. Beweis. Es sei — /? (Fig. 32) ein von einer Tangente und einer Secante gebildeter Peripherie- Winkel, also — « der Centriwinkel über demselben Bogen Zieht mau OZ/D^lL, so ist W 's und zugleich — /S, da beide Winkel zum Winkel complcmentar sind. Hieraus folgt /S — . — Ist der stumpfe Winkel LalD — 2 7? -- /? der gegebene Pe¬ ripheriewinkel, also der convexe Winkel LOU — 4K — cc der Centriwinkel 30 über demselben Bogen, so findet man 2 L — /S — 2 L —(4 V — «). — Für /? — L ist die Richtigkeit des Satzes ohneweiters klar. Fig. 33. Ist hingegen Va4<7 — /S (Fig. 33) der von zwei Secanteu gebildete Peripheriewinkel, also V0(7 — « der Centriwinkel über demselben Bogen, so erhält man mit Rücksicht auf den vorausgeheuden Beweis / -s- /? — k 1 1 (ck -s- «) und 7 --- -2 ck, daher ---- «. Folgesätze. 1. Alle Peripheriewinkel eines Kreises, welche zu demselben Bogen gehören, sind einander gleich. 2. Alle Peripheriewinkel eines Kreises oder gleicher Kreise, welche zu gleichen Bogen gehören, sind einander gleich. 3. Zwei Peripheriewinkel eines Kreises, deren Scheitel auf entgegengesetzten Seiten einer Sehne liegen und deren Schenkel durch die Endpunkte der Sehne gehen, sind supplementär. ö) Der geometrische Ort der Scheitel aller gleichen Winkel, deren Schenkel durch die Endpunkte einer gegebenen Strecke gehen und deren Scheitel auf derselben Seite der Strecke liegen, ist ein von den Endpunkten der Strecke begrenzter Kreisbogen. Beweis. Es sei die gegebene Strecke und ^.LV — « der gegebene Winkel. Zieht man den durch die Punkte ! )>< -4, V, <7 bestimmten Kreis, so ist jeder Peripheriewiukel, / / t ' dessen Schenkel durch >1 und V gehen und dessen Scheitel /x/ ) ) im Bogen ^liLV liegt (z. B. ^4VV), ebenfalls — «. Ist xJ! s^rner V ein Punkt, welcher mit (7 auf derselben Seite von --4V nnd außerhalb des Segmentes ^.LV liegt, so erhält Fig. 34. mau xlVV -< ul /177, daher -chd ulVV < tt. Ebenso findet man wenn V im Segmente ^kLV liegt. o) Ist der zu einem Peripheriewiukel gehörige Bogen ein Halbkreis, so heißt derselbe ein Winkel im Halbkreise. Jeder Winkel im Halbkreise ist ein Rechter. Beweis. Der Centriwinkel über dem Halbkreise ist nämlich ein ge¬ streckter Winkel. Folgesätze. 1. Der geometrische Ort der Scheitel aller rechten Winkel, deren Schenkel durch die Endpunkte einer gegebenen Strecke gehen, ist jener Kreis, in welchem die gegebene Strecke ein Durchmesser ist. 31 2. Wenn in einem rechtwinkligen Dreiecke ein spitzer Winkel wächst, während die Hypotenuse unverändert bleibt, so wächst die gegenüberliegende Kathete und die anliegende nimmt ab. K 52. Zwri Kreise. Wenn zwei Kreise den Mittelpunkt gemeinschaftlich haben, so heißen sie concentrisch. Die Fläche, welche von zwei concentrischen Kreislinien begrenzt wird, heißt K r e i s r i n g; der von zwei Radien des größeren Kreises begrenzte Theil des Kreisringes heißt Ring ausschnitt oder Ringsector. Zwei Kreise, deren Mittelpunkte nicht zusammensallen, heißen excentrisch. Die durch die beiden Mittelpunkte bestimmte Gerade wird Centrale und der Abstand der beiden Mittelpunkte C e n t r a l ab st a n d genannt. Man lagt: „Zwei Kreise berühren einander", wenn sie eine Tangente und den ihr entsprechenden Berührungspunkt gemeinschaftlich haben. Die Be¬ rührung wird eine äußere oder eine innere genannt, je nachdem die sich be¬ rührenden Kreise einander ausschließen oder nicht. Wenn von zwei Kreislinien die eine theils innerhalb, theils außerhalb der anderen liegt, so sagt man: „Die beiden Kreise schneiden einander". Bezeichnet man den Centralabstand zweier Kreise mit s, die Radien der¬ selben mit n und nud setzt -- > voraus, so bestehen die folgenden Lehrsätze: ah Für o n — haben die beiden Kreislinien keinen Punkt gemeinschaftlich und die eine (mit dem Nadins -r) schließt die andere ein; 5H für s — r — berühren sie sich von innen; a) für — r, -< o o -Z schneiden sie sich in zwei Punkten; für g -st berühren sie sich von außen und sh für ,e > r -st haben sie keinen Punkt gemeinschaftlich nnd schließen einander ans. Beweise. Man bezeichne mit 0 und 0^ die Mittelpunkte der beiden Kreislinien L" nnd L,, ferner mit L nnd <7 jene Punkte der Kreislinie von denen der erste den kleinsten und der zweite den größten Abstand von 0 hat. Nach Z 45 ck liegen die Punkte s 0, 0, und (7in einer Geraden, nnd es ist 0(7— o -st s > 5 — r, ist. 6 o -st oder 1" > 0(7. Somit liegt <7 und daher auch jeder andere Punkt von Ls innerhalb L 5) Ans o — folgt n — s -st oder -- — 0(7. Somit gehört (7 der Kreislinie an, während jeder andere Punkt von innerhalb /ei liegt. Die zur Centrale in: Punkte (7 errichtete Normale ist Tangente der beiden Kreise (Z 50 «); dieselben berühren sich also und zwar von innen. o) Aus < 6 < 1' -s- folgt zunächst < o Z- oder < 0(7, d. h. (7 liegt außerhalb des Kreises L Ferner erhält man > o — oder »- > OL, wenn o > ist. Ist a — >'i, so ist also > 0 und wegen 0/7 — 0 auch i' 0/7. Ist endlich o < so folgt wegen -- > »'i umso¬ mehr auch > -g — o oder -- > 0/7. Ju jedem dieser drei Fälle liegt also /7 innerhalb des Kreises /C Bewegt sich also ein Punkt längs /ch von /7 aus, so muss er die Kreislinie // in einem Punkte beim Heraustreten und in einem anderen Punkte beim Wiedereintreteu durchschneiden. Diese beiden Punkte sind den Kreislinien /tl und /^ gemeinschaftlich und heißen ihre Durchschnitts- pnnkte oder Schnittpunkte. Mehr als zwei Punkte können die Kreislinien nicht gemeinschaftlich haben, ohne vollständig zusammenzufallen. -/) Ans o — 1- -s- folgt — o — und e > Es ist also O/?, d. h. Z gehört der Kreislinie au, während jeder andere Punkt von Lz außerhalb /7 liegt. Die zur Centrale im Punkte /7 errichtete Normale ist Tangente der beiden Kreise; dieselben berühren sich also und zwar von anßen. s) Aus o > -s- folgt < o — und e > Es ist also -- < OL, d. h. /7 und somit auch jeder andere Punkt von /^ liegt außerhalb L Die beiden Kreise haben also keinen Punkt gemeinschaftlich und schließen einander aus. Zusätze. 1. Die Umkehrungen der vorausgeheudeu fünf Sätze sind ebenfalls richtig und können indirect bewiesen werden. 2. Für — -'i können die Fälle und ö) nicht eintreten. 3. Wenn zwei Kreise sich schneiden, so liegen die Schnittpunkte symmetrisch bezüglich der Centrale. 4. Wenn zwei Kreise nur einen Punkt gemeinschaftlich haben, so liegt der¬ selbe in der Centrale. Die letzten zwei Sätze ergeben sich aus der Bemerkung, dass jede aus zwei Kreisen bestehende Figur in Bezug auf die Centrale symmetrisch ist. § 53. Krris »nd Dreieck. Ein Vieleck, dessen Eckpunkte in einer Kreis¬ linie liegen, dessen Seiten also Sehnen sind, heißt ein Sehuenvieleck. Alan sagt auch in diesem Falle, das Vieleck sei dem Kreise eingeschrieben oder der Kreis dem Vielecke nungeschrieben. Wenn die Seiten eines Vieleckes Tangenten eines Kreises sind, so nennt mau es ein Tangentenvieleck oder sagt auch, das Vieleck sei dem Kreise umgcschrieben oder der Kreis dem Vielecke eingeschrieben. Jedem Dreiecke lässt sich ein Kreis einschreiben und ein Kreis umschreiben (Z 38 o und Z 37 o). Zusätze. 1. In jedem rechtwinkligen Dreiecke ist der Mittelpunkt des um- geschriebencn Kreises zugleich der Halbiernngspunkt der Hypotenuse; beim 33 spitzwinkligen Dreiecke liegt er innerhalb und beim stumpfwinkligen Dreiecke außerhalb desselben. Ist nämlich (Fig. 19) — L, so ist -chL — 2L (Z 81); aus < L folgt < 2K, u. s. f. 2. Jedem Dreiecke lassen sich drei Kreise anschreiben; d. h. es gibt drei Kreise, von denen jeder von einer Dreiecksseite und den Verlängerungen der beiden anderen berührt wird (tz 38 <2). Constructioilsaufgaben. K 34. Erklärungen. Da alle Figuren der Planimetrie aus Geraden und Kreisen bestehen oder durch diese Linien bestimmt werden, so lassen sich die plani - metrischen Constructionsanfgaben ans folgende zwei znrückführen: «) Eine Gerade durch zwei gegebene Punkte zu ziehen; ö) einen Kreis von einem gegebenen Punkte als Centrum mit einer gegebenen Strecke als Radius zu con strni er en. Diese beiden Aufgaben, welche mit dem Lineal beziehungsweise Zirkel aus¬ geführt werden, heißen Postulate oder Forderungssätze, weil sie sich nicht auf einfachere Ausgaben zurückführen lassen. Eine Construction heißt geome¬ trisch, wenn zu ihrer Ausführung nur die genannten zwei Hilfsmittel, und mechanisch, wenn außerdem Maßstäbe, Transporteure, Reißschienen, n. s. w. verwendet werden. Eine geometrische Cvnstrnctionsaufgabe heißt je nach der Anzahl und Art der vorgeschriebenen Bedingungen, unbestimmt bestimmt oder überbestimmt sie hat im ersten Falle unendlich viele Auflösungen (Resultate der Construction); im zweiten eine bestimmte (im allgemeinen endliche) Anzahl von Auslösungen und im dritten in der Regel keine Auflösung. Als Beispiel diene die Aufgabe, eine Kreislinie durch zwei, drei oder vier gegebene Punkte zu ziehen. Eine bestimmte Aufgabe heißt eindeutig, zweideutig, ... n-deutig, wenn sie eine Aus¬ lösung, zwei, ...,r Auflösungen zulässt. Unmöglich heißt eine Aufgabe, wenn die gestellten Bedingungen den Eigenschaften der verlangten Figur widersprechen; wenn z. B. ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln construiert werden soll. 8 55. Ällgrmriue Alüritmrg. Punkte werden mittelst des Durchschnittes zweier Geraden, einer Geraden und eines Kreises oder zweier Kreise construiert. Die Lage einer Geraden ist durch zwei ihrer Punkte, die Lage und die Größe einer Strecke durch die beiden Endpunkte, die Lage und die Größe eines Kreises durch den Mittelpunkt und die Länge des Radius bestimmt. Compliciertere Aufgaben erfordern ein weitläufigeres Verfahren, welches meistens in vier Theile: die Analysis, die Construction, den Beweis und die Determination zerlegt wird. Hočevar, Geometrie für Oberrecilschulen. 3 34 Unter der Analysis versteht man das Aufsuchen solcher Beziehungen zwischen den gegebenen und den gesuchten Theilen einer Figur, durch welche die Constrnction der letzteren ermöglicht wird. Zn diesem Zwecke zeichnet man in der Regel eine beliebige Figur, welche in der Anordnung der Bestaudtheile mit der gesuchten Figur übereiustimmt, und leitet mittelst passender Lehrsätze, Hilfs¬ linien u. s. w. die zur Constrnction geeigneteil Beziehungen ab. Daran schließt sich die durch die Analysis vorbereitete Constrnction. Durch den Beweis wird dargethan, dass die erhaltene Figur den Bedingungen der Aufgabe entspricht. Die Determination besteht in der Angabe der Bedingungen, unter welchen die Aufgabe überhaupt möglich, bestimmt oder unbestimmt, ein-, zwei- oder mehrdeutig ist. K 36. Lonllruttimi non Punkten (dnrch geometrische Oerter). «) Einen Punkt zu konstruieren, welcher von einem gegebenen Punkte ^4 einen gegebenen Ab stand a hat. Diese Aufgabe ist unbestimmt, weil alle Punkte der Kreislinie mit dem Centrum ^4 und dein Radius « derselben entsprechen. Die Constrnction dieser Kreislinie bedarf keiner weiteren Erklärung. b) J n ein e r g e g e b e n e n G e r a d e n F e i n e n P n n k t z n c o n st r u i e ren, welcher von einem gegebenen Punkte ^4 den gegebenen Abstand a hat. ^4 Analysis: Der gesuchte Punkt muss sowohl in / der Geraden F als auch in der Kreislinie mit dem /V Centrum ^4 und dem Radins « liegen. Daraus folgt Fig. 36. unmittelbar die Constrnction und der Beweis. Determination: Die Aufgabe ist unmöglich, eindeutig oder zweideutig, je nachdem die Strecke « kleiner, ebenso groß oder größer ist als der Abstand des Punktes ^4 von der Geraden o) Einen Punkt zu construieren, welcher von zwei gegebenen Punkten ^4 und L den gleichen Abstand « hat. Analysis: Der gesuchte Punkt muss sowohl in der /X Kreislinie mit dein Centrnm ^4 und dem Radius a, als auch / ) in der Kreislinie urit dem Centrum 4? und dem Radius a L—j I S liegen. Die gemeinsamen Punkte der beiden Kreise entsprechen X / also der gestellten Aufgabe. Determination: Die Aufgabe ist unmöglich, eindeutig Fig. 37. oder zweideutig, je nachdem a kleiner, ebenso groß oder größer ist als die Hälfte von ^4-8. cy Einen Punkt zu construieren, welcher vom Punkte ^4 den Abstand « und vom Punkte L den Abstand ö hat. s) Einen Punkt zn construieren, welcher zum Punkte ^4 in Bezug auf die Gerade symmetrisch liegt. 35 Analysis: Der gesuchte Punkt 77 hat von jedem Punkte der Symmetrale 7777 denselben Abstand wie der Punkt ^l. Daraus ergibt sich die ans der Fignr ersichtliche Constructiou. Die Auf¬ gabe ist eindeutig bestimmt. §57. Aufgaben über Strecken und ltormalrn. «) Auf einer Geraden A von einem Punkte ^.derselben die Strecke a ab zu sch neid en. Diese Aufgabe, welche als ein specieller Fall der Auf¬ gabe öy im Z 56 betrachtet werden kann, ist zweideutig. Um sie zu einer eindeutigen zu machen, muss im voraus angegeben — werden, ans welcher Seite von 7l der zweite Endpunkt 77 liegen soll. ir/ Fig. 39. 5) Die Symmetrale einer Strecke UL zu constrnieren. Man konstruiere zwei Punkte 77 und (Fig. 37), welche von U und 7) gleiche Abstände haben. Die Gerade 771^ ist die gesuchte Symmetrale. o) Eine gegebene Strecke zu halbieren (Anfg. 7). <7) Durch den Punkt U zur Geraden,5 ist, so schneidet der ^Kreisbogen den Halbstrahl AL nnr in einem Punkte ^die Aufgabe'ist also'eindcntig7"Für^« 5 Fig. 46. ist die Aufgabe unmöglich, wenn ist. Für «<8 und « -X- - ist die Aufgabe eindeutig; für « < 8 und a < 5 ist sie unmöglich, eindeutig oder zwei¬ deutig, je nachdem a kleiner, ebenso groß oder größer ist als der Abstand des Punktes (7 vom Halbstrahle AL 37 K 60. Aufgaben über Kreise und Tangenten. «) Einem gegebenen Dreiecke einen K r e i s n m z n s ch r e i b e n oder: E i n e n K r e i s zu c o n st r u- ieren, welcher durch drei gegebene Punkte geht (§ 53). 5) Einem gegebenen Dreiecke einen Kreis einznschreibe n (8 53). e) Einem gegebenen Dreiecke einen Kreis anznschreiben (Z 53). «!) Den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises oder Kreis¬ bogen s z n c v n st r n i e r e — Man bestimme den Schnittpunkt der Symmetralen zweier nicht paralleler Sehnen. e) Einen gegebenen Kreisbogen zu übertragen (Z 49). /) Einen gegebenen Kreisbogen zu halbieren (Z 49). Den Umsang eines gegebenen Kreises in 2, 4, 8, ... 2" gleiche Theile zu theilen. 7r) Den Umfang eines gegebenen Kreises in 6 gleiche Theile zu theilen. Analysis: Verbindet man zwei benachbarte Theilnngspnnkte A und 7? mit dem Mittelpunkte 0, so ist AOL — 60°, somit das Dreieck A.OL gleichseitig. Hieraus ergibt sich sofort die Constrnction. Damit ist auch die Aufgabe gelöst, die Kreisperipherie iu 3 gleiche Theile zu theilen. r) Den Umfang eines gegebenen Kreises in 12 — 3.4, 24 —3.8, . . . 3.2" gleiche Theile zu theilen. L) Durch einen gegebenen Punkt einer Kreislinie dieTangente an dieselbe zu ziehen (Z 50). ^) Durch einen PunktA außerhalb eines Kreises Tangenten an denselben zu ziehen. Analysis: Da das Dreieck ALO (Fig. 31) bei L rechtwinklig ist, so liegt L in der Peripherie des Kreises, welcher über OUi als Durchmesser beschrieben wird (Z 51o). Daraus ergibt sich die Constrnction und der Beweis. Die Auf¬ gabe ist offenbar stets zweideutig, d. h. also: Von jedem Punkte außerhalb eines Kreises lassen sich zwei Tangenten an denselben ziehen. m.) Über einer gegebenen Strecke als Sehne einen Kreis¬ abschnitt zu konstruieren, in welchem alle zu jener Sehne ge¬ hörigen Peripherie winkel einem gegebenen Winkel gleich sind. Es sei LUT « der gegebene Winkel und AZ - die gegebene Sehne. Man errichte im Punkte A die Normale zn UT und dnrchschneide dieselbe durch die / xü Symmetrale der Strecke AL. Wenn nun der Kreis mit ! sx ^7? 0 als Centrum und OU. als Radius beschrieben wird, V "x/ so entspricht der Kreisabschnitt A(7L der gestellten Auf- gäbe (Z 51«, 1. Folgesatz). X 7° Fig. 47. 38 Das Viereck. K 61. Erklärungen nnd Lehrsätze. Jeder Seite eines Viereckes entspricht eine gegenüberliegende Seite oder Gegenseite und jedem Winkel ein gegenüber¬ liegender Winkel oder Gegenwinkel. Jedes Viereck hat zwei Diagonalen. Ist es convex, so wird es durch jede Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt. Im Nachfolgenden werden nur convexe Vierecke betrachtet. Die Summe der Winkel eines jeden Viereckes beträgt vier Rechte. Beweis. Zerlegt man das Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke, so ist die Summe der Viereckswinkel gleich der Summe der sechs Dreieckswinkel, also gleich 4L 8 62. Einthcilung der Vimckk. Die Vierecke werden mit Rücksicht aus die gegenseitige Lage ihrer Seiten in Parallelogramme, Trapeze nnd Trapezoide eingetheilt. Das Parallelogramm ist ein Viereck, in welchem je zwei Gegenseiten parallel sind. Das Trapez ist ein Viereck, in welchem zwei Gegenseiten parallel sind, die beiden anderen hingegen nicht. Die ersteren heißen Par alle! seit en und die letzteren Schenkel des Trapezes. Das Trapezoid ist ein Viereck, in welchem keine Seite zu ihrer Gegenseite parallel ist. Von den Trapezoiden wird dasjenige, dessen Umfang aus zwei Paaren gleicher Nachbar¬ seiten besteht, ein Delto id genannt. 8 63. Das Parallelogramm. In jedem P a r a ll e l v g r a m m e sind ^-«chje zwei Gegenwinkel gleich und zwei Gegenseiten gleich. Jede Diagonale zerlegt dasselbe in zwei direct congruente Dreiecke. rL) Die beiden Diagonalen halbieren einander. Beweise, ce) Die Schenkel je zweier Gegenwinkel /Xi sind invers parallel. / / ö) Ans Z.L' — /.(7, « — und — / folgt: Daher ist ZL—cN und o) Die homologen Umfangsstncke der congrnenten Fig. 48. Dreiecke und 6'D/ folgen in gleichem Sinne auf¬ einander. Die beiden Dreiecke sind daher direct congrnent, n. zw. liegen dieselben symmetrisch in Bezug auf den Halbierungspnnkt 0 der Diagonale /.(7. ck) Folgt aus der Congrnenz der Dreiecke und wenn der Schnittpunkt der beiden Diagonalen mit 0 bezeichnet wird. Folgesätze. 1. Jedes Parallelogramm ist eine centrisch-symmetrische Figur, u. zw. ist der Durchschnittspunkt der Diagonalen das Symmetriecentrum. 39 2. Jede Strecke, welche zwei Punkte des Umfanges verbindet und durch das Centrum 0 geht (Durchmesser des Parallelogramme^ z. B. ZZ in Fig. 48), wird in 0 halbiert. 3. Parallele Strecken, deren Endpunkte in parallelen Geraden liegen, sind einander gleich. 4. Wenn zwei Gerade parallel sind, so haben alle Punkte der einen von der anderen gleichen Abstand. Derselbe heißt daher Ab st and der Parallelen. 5. Der geometrische Ort aller Punkte, welche aus derselben Seite einer Geraden in gleichem Abstande von derselben liegen, ist eine Parallele zur gegebenen Geraden. 6. Sind in einem Parallelogramme zwei Nachbarwinkel gleich, so sind alle Winkel gleich, also ist jeder ein Rechter. Das Parallelogramm wird dann ein recht¬ winkliges genannt. 7. Sind in einem Parallelogramme zwei Nachbarseiten gleich, so sind alle Seiten gleich, und es heißt ein gleichseitiges Parallelogramm. Zusatz. Im Parallelogramme kann irgend eine Seite als Grundlinie bezeichnet werden; dann heißt der Abstand derselben von der Gegenseite die Hohe des Parallelogrammes. 8 64. Fortsetzung: Umketzrnngssntze. JedesViereckisteinParalle- l o g r a m m, a) wenn in demselben je zwei Gegenwinkel gleich sind, oder öh wenn je zwei Gegenseiten gleich sind, oder oh wenn es durch jede Diagonale in zwei congruente Drei¬ ecke zerlegt wird, oder <7H wenn seine Diagonalen sich gegenseitig halbieren. Beweise, cr) Ans F-s-77-s-O-s-7) — 47?, ferner F — 0 und 77 — 7) folgt 2F -s- 277 — 4Z oder F -s- 77 27?, daher ist F7) 770. Ebenso findet man F -fi 7) — 2 Z und daraus FZ 7)0. öh Ans FZ — 7)0 und F7) -- ZO folgt /X-ÜZO^ OZF. Es ist also a— und — /, daher FZ 7)0 und FD ZO. oh Sind die Dreiecke FZO und 07)F congruent, so müssen der gemein¬ schaftlichen Seite F.0 gleiche Winkel gegcnüberliegen. Es ist also 77 — 7) ebenso findet man F — O. 7H Es sei 0 der Schnittpunkt der Diagonalen F.0 und 777), ferner Ff) 0(7 und 770 — 0D. Daraus folgt /X FZO ODO, somit FZ — DO. Ebenso findet man also 770 — FD. Zusatz. Da jeder Lehrsatz des Z 63 zwei Voraussetzungen (FZ 7)0, F7) ZO) uild zwei Behauptungen enthält, so findet man noch mehrere gütige Umkehrungen. Jnsbesonders ist anzuführen: oh Wenn in einem Vierecke zwei Gegenseiten gleich und parallel sind, so ist es ein Parallelogramm. 40 Beweis. Ans ^iD — DD und ^iD DL' folgt nämlich /X^TZ^ (7D^1. Daher ist auch DD —^.D. § 63. Lintheilung drr Parallelogramme. Die Parallelogramme werden mit Rücksicht auf die Wiukel in rechtwinklige und schiefwinklige und m it Rücksicht ans die Seiten in gleichseitige und ungleichseitige eingetheilt. Hieraus ergeben sich die folgenden vier Arten von Parallelogrammen: 1. Das rechtwinklige nnd gleichseitige Parallelogramm oder das Quadrat, 2. das recht¬ winklige nnd ungleichseitige Parallelogramm oder das Rechteck, 3. das schief¬ winklige und gleichseitige Parallelogramm oder der Rhombus und 4. das schiefwinklige nnd ungleichseitige Parallelogramm oder das Rhomboid. K 66. Das rechtwinklige Parallelogramm. D i e b e i d e n D i a g o n a l e n sind einander gleich. i>) DieSymmetrale einer jedeuSeite ist auch dieSymmetrale der Gegenseite. o) Die Symmetrale einer jeden Seite ist auch Symmetrale des rechtwinkligen Parallelogrammes. ch) Das rechtwinklige Parallelogramm ist ein Sehnenviereck, u. zw. ist der Schnittpunkt der Diagonalen das Centrum des um- geschriebenen Kreises. Fig. 49. Beweise. «) Es ist /X^^D^D^D, somit ^lD — DD. K) und c) Man constrniere die Symmetrale DD der Seite ^4D und klappe das Viereck DDDD um DD als Achse um. Dann fällt D auf ^i, DD auf ^t.D, weil ^l — D ist, und D auf D, weil DD — ^lD ist. Daher ist DD die Symmetrale der Seite DD und zugleich Symmetrale von ^.DDD. ey Da ^D ---- DD ist, so ist auch ^lO ---- DO — DO ----- DO. Zusatz. Das rechtwinklige Parallelogramm ist symmetrisch in Bezug auf zwei zu einander normale Achsen. § 67. Das gleichseitige Parallelogramm. Jede Diagonale ist eine S y m m e tr a le a) der anderen Diagonale, ö) der beiden Winkel, welche sie dnrchschneidet und o) des gleichseitigen Parallelogrammes. ch) D a s g l e ich s e i t i g e P a r a ll e l o g r a m m ist ein Ta u g e n t e n- viereck, u. zw. ist der Schnittpunkt der Diagonalen das Ceutrum des eingeschriebenen Kreises. Beweise. «) Ergibt sich ans dem 2. Folgesatze im Z 37. b) nnd a) Wenn das Dreieck D(7D um DD als Achse umgeklappt wird, so fallen nach a) die Punkte -4 und D zusammen; daher ist -chi >1DD — DDD u. s. f. 41 Da der Schnittpunkt 0 der Diagonalen den Sym- metralen aller vier Winkel angehört, so hat er von allen vier Seiten gleichen Abstand. Zusätze. 1. Das gleichseitige Parallelogramm ist sym¬ metrisch in Bezug ans zwei zu einander normale Achsen. 2. Das Quadrat hat vier Symmetrieachsen, von denen zwei benachbarte den Winkel von 4->o einschließen. Fig. 50. K 68. ÄmvenduiMN. a) T r ä g t m a n a n f e i n e r Geraden me h r e re gleiche und aneinanderstoßende Strecken auf und zieht durch die Theilungspunkte parallele Gerade, so schneiden diese ans jeder zu ihnen nicht parallelen Geraden gleiche Strecken ab. Beweis. Sind die gegebenen Geraden A nnd Parallel, so solgt die Richtigkeit des Satzes unmittelbar aus § 63 ö. — Sind jedoch A und nicht parallel, und ist --- M..., ferner <7<7Z^D,..., so ziehe man <7,^ 7^67.. F. Dann sind die Dreiecke , <7(7,^,... congruent, also ist — (7,^... Zusatz. Der vorausgehende Lehrsatz bleibt auch dann richtig, wenn der Schnittpunkt der Geraden F und zwischen den Punkten -4 nnd 7) oder Z und (7... liegt oder mit einem derselben znsammenfällt. öh Die drei Hohen eines jeden Dreieckes schneiden sich in einem einzigen Punkte. Beweis. Ist ^477<7 das gegebene Dreieck, so ziehe man durch die Eckpunkte die Parallelen zu den Gegenseiten, also 777i, 7^(7, (7S und I! ^(7. Dann ist <7S — ; d. h. ^4 ist der Halbierungspunkt der Strecke Ebenso beweist man, dass F und (7 die Halbicrungspunkte der Strecken <7,^4^ und sind. Zieht man also die Hohen ^47), 7747 und <77^ des Dreieckes ^477(7, so sind symmetralen des Dreieckes ^P7^(7i nnd schneiden Punkte. Ebendieselbe Begründung ist auch ans ein stumpfwinkliges Dreieck anwendbar, während die Richtigkeit des Lehrsatzes für das rechtwinklige Dreieck sofort einleuchtet. Erklärung. Die Verbindnngsstrecke des Halbiernngspnnktes einer Dreiecks¬ seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkte wird eine Schwer! inie des Dreieckes genannt. <7 c,. Fig. 52. dieselben zugleich die Seiten- sich daher in einem einzigen 42 o) Die d r e i S chwe rli n i e n eines j e d e n Dreiecke s schn eid e n sich in einem einzigen Punkte, welcher der Schw e r p n n k t des Dreieckes heißt. ck) Der Schwerpunkt thcilt jede Schwerlinie so, dass der am Eckpunkte liegende Abschnitt doppelt so groß ist als der andere. Beweise, o) Es seien ^4ck) und (7L zwei / sX Schwerlinien des Dreieckes ztLO; A sei der Schnitt- x/ '1 Punkt derselben und ck) der Halbierungspunkt der Seite ^46l Zieht man ckcklck 6L und Lckck^ 6L, wird cklck? in den Punkten ckck, L, (ck in vier und L L s daher ^tck) in den Punkten ck und A in drei gleiche Fig- 53. Theile getheilt (ß 68 «). Hieraus folgt Ack) ^.ckck : Z. Durch einen analogen Vorgang beweist man, dass ^ckck) von der Schwerlinie ckZL in einem Punkte geschnitten wird, für welchen A,ck) —Ztck).3 ist. Also ist Ack) — -6'1 ck), d. h. die Punkte >8 und As fallen zusamnien. ck) Ans dem vorausgehenden Beweise folgt ^tA — 2 A'ck), ebenso 2 AL und (7A--- 2AL. Zusatz. Unter den merkwürdigen Punkten eines Dreieckes versteht man jene vier Punkte, in welchen sich l. die Seitensymmetralen, 2. die Winkelsymmetralen, 3. die Höhen und 4. die Schwerlinien des Dreieckes schneiden. Im gleichseitigen Dreiecke fallen diese vier Punkte zusammen. § 69. Vas Trapez. Im Trapeze kann man jede der beiden Parallelseiten als Grundlinie betrachten. Der Abstand der beiden Parallelseiten heißt die Höhe des Trapezes. Sind die beiden Schenkel eines Trapezes gleich, so heißt es ein gleich¬ schenkliges Trapez (auch Antiparallelogramm). Unter der Mittellinie eines Trapezes versteht man die Verbindungs¬ strecke der Halbierungspunkte seiner Schenkel. § 70. Die Mittellinie des Trapezes. «) Zieht man in einem Trapeze durch die Mitte eines Schenkels die Parallele zu den Parallel¬ seiten, so theilt dieselbe den anderen Schenkel in zwei gleiche Theile. ö) Die Mittellinie eines Trapezes ist zu den Parallelseiten parallel (Umkehr ungss atz zu a). a) Die Mittellinie eines Trapezes ist gleich dem arithmetischen Mittel ans den Parallel feiten. L--,<7 Beweise. «) Folgt aus § 68 a. / H ,. b) Lässt sich indirect beweisen. f c) Es sei LL die Mittellinie, ferner 6'ckck ckck^ck nnd cküS II Lzt. Dann ist ^(ckLL^LLc', also Fig. 54. (ckL — LL. Mit Rücksicht darauf erhält man 43 DD---4D ----- ^.D —DD, DD ----- DD -s- D/-^ — D6' -j- DD 2DD — ^D-s-DD und DD(^D Z-DD). Wie lauten die entsprechenden Lehrsätze sür das Dreieck? §71. Das gleichschenklige Trapy. «) Die beiden Winkel an jeder Parallelseite sind einander gleich. ö) Die Symmetrale der einen Parallelseite ist auch die Symmetrale der anderen. o) Die Symmetrale einer Parallelseite ist auch die Sym¬ metrale des gleichschenkligen Trapezes. ch) Das gleichschenklige Trapez ist ein Sehneuviereck. Beweise. «) Ist ^1D DD und ^l.D — D6', so ziehe man DD 1^ D^k.. Es ist dann ^lD — DD, also auch DD — DD. Hieraus folgt «i — /S und wegen — « auch « — Da ferner die Winkel an der zweiten Parallel¬ seite DD zu den gleichen Winkeln cc und supplementär sind, so sind sie ebensalls gleich. ö) und o). Ebenso wie die entsprechenden Sätze im Z 66 zu beweisen. ei) Ist 0 der Schnittpunkt der Symmetrale DD mit der Symmetrale von -4D, so ist ^l.D — DD, DD — DD und ^.D — DD. D ist also der Mittelpunkt des umgeschriebeuen Kreises. Fig. 55. § 72. Das Deltoid. Jene Diagonale, in deren Endpunkten die einander gleichen Seiten zusammenstoßen, ist die Symmetrale «) der zweiten Diagonale, 5) der beiden Winkel, welche sie durch- schneidct und o) des Deltoides selbst. ci) Das Deltoid ist ein Tangentenviereck. Beweise, a), i>) und e) wie im Z 67. ei) Ist D der Schnittpnnk' der Symmetrale DD mit der Symmetrale des Winkels ^l, so hat D von allen Seiten des Deltoides gleichen Abstand und ist also der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Fig. 56. Zusatz. Das Deltoid wird durch die Symmetrale in zwei invers congruente Dreiecke zerlegt. 8 73. Das Sehnrnvierrek. a) In jedem Sehneuvierccke sind je zwei Gegenwinkel supplementär. 44 anderen, so ist 2- Fig. 58. ^0 ö) Wenn in einem Vierecke zwei Gegenwinkel (und daher anch die beiden anderen) supplementär sind, so ist es ein Sehncnviereck. Beweise, «) S. Z 51«, 3. Folgesatz. b) Es sei A7)67) das gegebene Viereck und 77 -s- 7) — 277. Constrniert man den durch A, 7Z und 6' bestimmten Kreis nnd zieht von irgend einem Punkte 7/ jenes Kreisbogens A(7, welcher 71 nicht enthält, die Sehnen 7/A und 776) so ist nach dem vorausgehendeu Satze 7?-j-L — 277, also 7) —7/. Somit liegt auch 7) in dem Kreisbogen A7/77 (Z 515). K 74. Vns Tangrntenvirrrllr. «) In jedem Tangentenvierecke ist die Summe zweier Gegenseiten gleich der Summe der beiden anderen. 5) Ist in einemVierecke dieSumme zweier Gegenseiten gleich der Summe der beiden es ein Tangentenviereck. Beweise. «) Bezeichnet man die gleichen Tangenten¬ abschnitte ^47/ und A77 mit « , (Fig. 58), 7)7/ und 717^ mit 5 n. s. f., so findet mau AS-s-7)77--- a-s-5-j- L o äl -- A7) -s- S6) Fig- 59. 5) Es sei AS6'7) (Fig. 59) das gegebene Viereck und AS -j- 7)77 — A7) -s- 7767 Nach Z 38 « lässt sich stets ein Kreis coustruieren, welcher drei Seiten, z. B. AS, S6^ und A7) berührt. Wenn nun dieser Kreis die vierte Seite 67) nicht berühren würde, so könnte man die zu 6'7) parallele Tangente 7/7? ziehen und hätte nach dem voraus¬ gehenden Lehrsätze AS -j- 7/7? — A7/ -j- S7?. Subtrahiert man diese Gleichung von jener, welche die Voraussetzung ausdrückt, so folgt 7)6'—S7-' — 777) -s- 7-6' und 7)(7^ 7/77 -j- 717 -j- S/?. Diese Gleichung kann jedoch nicht bestehen; denn man hat 7)(7 < S7) 7/(7, 7/(7 < 7?6> -P 7/7) also 7)6' < S7) -s- 7?6' -tz- 7/7?- Ebenso gestaltet sich der Beweis, wenn die Tangente 7/7? die Verlängerungen der Seiten A7) und S(7 schneidet. ConstrurtionLanfgnücn. 8 75. Allgemeine Anleitung. Zur Bestimmung eines jeden Parallelogramm es genügt eines der beiden Dreiecke, in welche es durch eine Diagonale, oder eines der vier Dreiecke, in welche es durch beide Diagonalen zerlegt wird. Man erkennt daraus, dass dem Parallelogramme im allgemeinen drei Bestimmungsstücke entsprechen. In spcciellen Fällen rcdncicrt sich die Anzahl 45 derselben ans zwei (beim Rechtecke und beim Rhombus) oder auf eins (beim Quadrate). Da jedes Trapez durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt wird, welche in einer Seite und einem Winkel übereinstimmcn, so entsprechen also dem Trapeze im allgemeinen vier Bestimmuugsstücke. Die Anzahl derselben reduciert sich auf drei, wenn das Trapez gleichschenklig ist. Die Construction eines Trapezes gelingt häufig dadurch, dass man sich dasselbe in ein Dreieck und ein Parallelogramm zerlegt denkt (Fig. 55) und diese beiden Figuren nacheinander construiert. Jedes Trapezoid wird durch eine Diagonale in zwei Dreiecke mit einer gemeinschaftlichen Seite zerlegt nnd hat somit im allgemeinen fünf Bestimmnngs- stücke. Die Construction gelingt meistens dadurch, dass die beide» Dreiecke nach¬ einander construiert werden. Dem Deltoide entsprechen drei Bestimmungsstücke. K 76. Fusgllbr. Eine gegebene Strecke in n gleiche Theile zu theilen. Man ziehe durch ^4 einen Halbstrahl nnd trage auf demselben von ^4 ans n aneinanderstoßende gleiche Strecken auf. Verbindet mau den Endpunkt (7 der letzten Strecke mit -8 nnd zieht durch die übrigen Theilungspnnkte Parallele zu DL, so zerlegen dieselben die gegebene Strecke in n, gleiche Theile. Die Coustrnction wird dadurch vereinfacht, dass man die invers parallelen Halbstrahlen ^4lH und DL' zieht und auf denselben von ^4 und L ans dieselbe Strecke je »mal austrägt. Die Verbindungslinien 6L, DL) L^, . . . theilen ^4D in n gleiche Theile. Fig. 60. Das Vieleck. K 77. Lehrsätze über die Diagonale». «) Von jedem Eckpunkte eines n-Eckes lassen sich n—3 Diagonalen ziehen. ö) Die Anzahl der Diagonalen eines n-Eckes in " o) Jedes convexe n,-Eck lässt sich durch Diagonalen, welche von einem Eckpunkte ansgehen, in n — 2 Dreiecke zerlegen. Beweise. ,.. Tangenten an den Kreis, so erhält man das umgeschriebene regelmäßige n-Eck m/rV.... Es ist nämlich — TLU -- u//ic --- ü/671. .. (Z 51) also cm..; ---- Lc — m-- cck/...; schließlich Zusatz. Die Cvnstrnction ist mit Zirkel und Lineal nur in jenen Fällen ausführbar, in welchen die Zerlegung der Peripherie in n gleiche Theile mit den genannten Hilfsmitteln gelingt (z. B. § 60 A, L, r und Z 105, 1. Beispiel). II. Abschnitt: Ftächengteichheit. 8 82. ErltlärungtN. Unter der Fläche einer (ebenen) Figur versteht man die von ihrem Umfange begrenzte Ebene, wenn nicht die Form, sondern nur die Größe derselben berücksichtigt wird. Man kann Flächen ebenso wie Strecken und Winkel als mathematische Großen anffassen, d. h. vergleichen, addieren, sub¬ trahieren n. s. w. Cougruente Flächen sind auch gleich; ferner werden solche Flächen, welche aus congruenten Flächen durch gleiche Operationen (Addition, Subtraction, Vervielfältigung oder Theilung) entstehen, gleich oder inhalts gleich genannt. Bezeichnet man z. B. mit «, b, «i, ebene Figuren nnd ist « a^, 5 , so folgt nach dem Vorausgehenden: a — c^, i-— a-s-ö — -j-5^, K — 5 — «I — 5^ nnd N« — wo eine beliebige Zahl bedeutet. Zwei Flächen a und ö werden addiert, indem sie in der Ebene so an¬ einandergelegt werden, dass sie nur einen Theil des Umfanges nnd außerdem keine Punkte gemeinschaftlich haben. Dadurch entsteht eine Figur, deren Fläche als die Summe a -s- l> der gegebenen Flächen bezeichnet wird. Wenn eine Fläche ö ganz innerhalb des Umfanges einer Fläche « liegt, so ist jener Theil von a, welcher nicht von 5 bedeckt wird, die Differenz a—ö der gegebenen Flächen. In diesem Falle ist zugleich « > 5. Aus dem Voransgehenden ist leicht ersichtlich, wie eine Fläche verviel¬ facht, in gleiche Theile getheilt oder durch eine andere Fläche ge¬ messen wird. Zusatz. Unter dem Rechtecke zweier Strecken (oder aus zwei Strecken) versteht man das Rechteck, welches jene Strecken als Seiten hat. Analog ist der Ausdruck: Quadrat einer Strecke zu erklären. § 83. Parallelogramm. Parallelogramme mit gleichen Grund¬ linien und gleichen Höhen sind einander gleich. 49 Beweis. Man lege die gegebenen Parallelo¬ gramme so aufeinander, dass ihre Grundlinien zusammenfallen und die Gegenseiten derselben in einer Geraden liegen, was nach der Voraussetzung möglich ist. Nun ist /X ^LO LLL, somit -ÜLLL — ^l/'D — zlLLO — OLL oder ^LLL--- ^iLLO. Fig. 63. Folgesatz. Jedes schiefwinklige Parallelogramm ist gleich einem Rechtecke mit der gleichen Grundlinie und der gleichen Höhe. 8 84. Dreiklkr. Jedes Dreieck ist gleich der Hälfte eines Parallelogrammes mit der gleichen <7 s --- Grundlinie und der gleichen Höhe. OL / f Beweis/ Es sei >4LL das gegebene Drei- / / ! eck und OLLA das gegebene Parallelogramm. /_ -d/ _-I_ Zieht man LL^L und LL^L, so ist /ILLL^OLLL (Z 83) und /4öL^ z^iLLL ' (8 82). Hieraus folgt ^LL-^ is OLLL. - Folgesätze. 1. Dreiecke mit gleichen Grundlinien s /X und gleichen Höhen sind einander gleich. 2. Verschiebt s /xxF / man die Spitze eines Dreieckes in einer zur Grundlinie s / Parallelen Geraden, so bleibt der Flächeninhalt des Drei- eckes ungeändert. Fig- 65. 8 83. Trapez, a) Jedes Trapez ist einem Dreiecke gleich, dessen Grundlinie gleich der Summe der Parallelseiten ist, und welches mit dem Trapeze in der Höhe übereinstimmt. Beweis. Wenn ^tLLO das gegebene Trapez ist, so verlängere man /4L um LL — OL und ziehe /'x^ i OL. Dann ist /X -6LL LOL, also ^tLLO -s- / sx LOL — XöLL -si LOL oder ^.LO -- ^lLLO. /_ ^^x^ ö) Jedes Trapez ist einem Parallelo- g r a m m e gleich, dessen Grundlinie gleich der Mittellinie des Trapezes ist, und welches mit dem Trapeze in der Höhe übereinstimmt. Beweis. Man ziehe durch die Mitte des einen Schenkels die Parallele zum anderen und verlängere die kürzere Parallelseite bis zum Durchschnitte mit der eben gezogenen Parallelen. Im Übrigen ist der Beweis dem voraus¬ gehenden analog. K 86. Flächrnsähe für das rechtwinklige Dreirck. a) Das Quadrat jeder Kathete ist gleich dem Rechtecke aus der Hypotenuse und der Projection derselben Kathete auf die Hypotenuse. h ocevar, Geometrie sür Oberrealschulen. 4 50 580 der Fig. 68. Zusatz. Jedes Dreieck lässt sich in ein Rechteck verwandeln. ö) Der Pythagoräische Lehrsatz (Pythagoras, geb. nm das Jahr v. Chr.): Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe Qua.drate der beiden Katheten. o) Das Quadrat der Höhe (zur Hypotenuse) ist gleich dem Rechtecke aus den Projectionen der beiden Katheten auf die Hypotenuse. Beweise, cr) Construiert man die Quadrate über den Seiten des rechtwinkligen Dreieckes und zieht M ^iD, ferner die Verbindungsstrecken Mund K, so ist zX^^^K(7, KK-- 2. KD, KH-- 2. K(7 (ß 84), somit KM-- KU Ebenso wird die Gleichung MDI IDD/7 bewiesen. ö) Aus dem Vorausgehenden folgt F.6DDZ- MID -- FDDD. e) Es sei M/IID das Quadrat der Höhe M und F.ODD das Quadrat der Strecke Mit Benützung der Flächensätze a) und b) findet man: MMV --- FI'SD- FML --- KU—FODD-- OLM. Da OD -- FD und OD — DD ist, so ist damit die Behauptung bewiesen. ConKrllrtionLllufgntml. § 87. Drruum-lmlg der Figuren. Eine gegebene Figur in eine andere von vorgeschriebener Form verwandeln heißt eine neue Figur constrnieren, welche der gegebenen gleich ist und die vorgeschriebene Form besitzt. Ein gegebenes Parallelogramm in ein anderes zu ver¬ wandeln, welches die gleiche Grundlinie und einen gegebenen Winkel an der Grundlinie hat. Die Construetion ergibt sich aus der Figur 64, wenn DDID das gegebene Parallelogramm und DF(7 der gegebene Winkel ist. Zusätze. 1. In analoger Weise lässt sich die entsprechende Aufgabe über das Dreieck behandeln. 2. Jedes schiefwinklige Parallelogramm kann in ein Rechteck verwandelt werden. 5) Ein gegebenes Dreieck in ein Parallelogramm mit der gleichen Grundlinie zu verwandeln. Ist FDD das gegebene Dreieck, so ziehe man durch den Halbierungspnnkt D der Seite FD die Parallele zu FD und außerdem DD^ FD. Dann ist /XDDDDD MD, daher FDDD-s-DM--FDDD-s-MD oder KDD^FDD. Also ist FDID das verlangte Parallelogramm. 51 o) Ern gegebenes Vieleck in ein anderes zu verwandeln, welches eine Seite weniger hat. Es sei FL6LL das gegebene Vieleck, und man soll die Ecken Z) und L durch eine einzige ersetzen. Zu diesem Zwecke verlängert man <7Z7 über Z) hinaus und zieht LZ^ Dann ist /X FZ)L--- FLL (8 84), also auch -P FZ)L^ FLLL Z- FZ-L oder FZZLZZL. Das Vieleck FL6L entspricht so¬ mit der gestellten Aufgabe. Zusatz. Jedes Vieleck lässt sich in ein Rechteck verwandeln. Ns- 69. Z) Ein gegebenes Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln. Man verlängere die Seite FL des gegebenen Rechteckes FL(7Z), mache ZIL ----- L<7 und beschreibe über FL als Durchmesser den Halbkreis FLL. Ist L der Durchschnittspunkt desselben mit der Seite L(7 (oder deren Verlängerung), so entspricht das Quadrat LLLZZ der gestellten Aufgabe (8 86 o). Zusatz. Jedes Vieleck lässt sich in ein Quadrat verwandeln. oFEin gegebenes Dreieck in ein anderes zu verwandeln, so dass ein Winkel nn geändert bleibt und eine anliegende Seite eine vor geschriebene Länge erhält. Es sei FL<7 das gegebene Dreieck, F der beizube- haltende Winkel und FL — « jene Seite, durch welche FL ' « ersetzt werden soll. Man verlängere FL über <7 hinaus, ) ziehe LL LL und verbinde L nnt L. Dann ist FLL das gesuchte Dreieck, denn man hat LLL — LLL, also / '> i FLL <7LL ^LL H LLL oder FLL --- FLL. / V /) Ein Quadrat zu construieren, welches der Summe (Differenz) zweier gegebener Qua- si¬ drate gleich ist (8 86 ö). K 88. Thtilnng der Figuren, a) Ein gegebenes Dreieck in n gleiche Th eile so zu zerlegen, dass alle Theilungslinien durch einen Eckpunkt gehen. Man Heile eine Seite des gegebenen Dreieckes in n gleiche Theile und verbinde die Theilungspunkte mit dem gegenüberliegenden Eckpunkte. ö) Ein gegebenes Parallelogramm in n. gleiche Theile so zu zerlegen, dass alle Th eilnngslini en 1. zn einer Seite parallel sind, 2. durch einen Eckpunkt gehen. Ist n ungerade, so hat man im zweiten Falle das Parallelogramm zunächst in 2n gleiche Theile zn zerlegen. 4* 52 o) Ein gegebenes Trapez in n gleiche Th eile so zn zerlegen, dass alle Theilnngslinien beide Parallelseitcn schneiden. ei) Ein gegebenes Viereck in n gleiche Theile zu zerlegen. Man ziehe eine Diagonale, theile dieselbe in -r gleiche Theile und verbinde die Theilungspunkte niit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Viereckes. Bei weniger einfachen Theilungsaufgaben gelangt man häufig zum Ziele, indem man zunächst die Theilnng nach einer der vorausgchenden Aufgaben aus¬ führt und hierauf die Theile den Forderungen der Aufgabe gemäß verwandelt. Als Beispiel diene die Aufgabe: e) Ein gegebenes Dreieck in n gleicheTheile so zu zerlegen, dass alle Theilnngslinien durch einen gegebenen Punkt einer Soll z. B. das Dreieck ^4Z(7 in fünf gleiche Theile so zerlegt werden, dass alle Theilungslinien durch den Punkt gehen, so theile inan ^4L in fünf gleiche Theile, verbinde den ersten Theilungs- punkt L mit (7 und verwandle das Dreieck ^4L(7 in das Dreieck ^4KL (Z 87 s). Dann ist ^4FL ---- ^4L(7 und wenn L7 ^4L gemacht wird, mich LLL — In gleicher Weise verwandle man das Dreieck in ML", mache LI ------ LL und ziehe L'I Dreiecksseite gehen. Fig- 72. III. Mschnitt: Ähnlichkeit. K 89. Verhältnichk. Eine Raumgröße durch eine ihr gleichartige L messen oder, mit anderen Worten, das Verhältnis ^4 : L bestimmen heißt jene (unbenannte) Zahl 2 suchen, welche angibt, wie oft L in enthalten ist, für welche also die Gleichung ------ Z L besteht. Man schreibt auch ^4 : L — s oder — 2 und nennt 2 die V c rhält n i s z a hl oder den Exponenten des Verhältnisses ^4 : L Wenn L als Einheit gewählt wird, so heißt 2 die Ma߬ zahl von ^4 in Bezug auf L als Einheit. Bei der Messung von ^4 durch L können zwei wesentlich verschiedene Fälle cintrcten: 1. Die Ranmgrvßen ^4 und L sind commensnrabel, d. h. sie haben ein gemeinschaftliches Maß M. Dann ist ^4 — ^45 und L — wo^> und gewisse ganze Zahlen bedeuten. Alan schließt daraus oder ^4 V . Die Verhältniszahl ist also eine rationale, d. h. eine ganze (weil der Fall — 1 nicht ausgeschlossen ist) oder gebrochene Zahl. 53 Umgekehrt: Wenn das Verhältnis zweier Raumgrößen rational ist, so sind dieselben kommensurabel; denn ans der Gleichung folgt F — d. h. ist ein Maß von F und selbstverständlich auch von F. Das größte gemeinschaftliche Maß zweier --H Strecken FF und 6D kann durch das aus der . . Arithmetik bekannte Verfahren der Kettendivision § L gefunden werden. Man trägt die kleinere Strecke Fig. 73. 6D auf der größeren FF so oft als möglich auf, ebenso den Rest FF auf 6D den neuen Rest FD anf FF n. s. f. Im vorliegenden Falle findet man FF----4.FD, FF---FF-j-FF^5.FD, FF—cDZ-FF---9.FF. Also ist FD das größte gemeinschaftliche Maß der Strecken FF und 6D und ß ist der Exponent des Verhältnisses F : F. 2. Die Raumgrößen F und F sind incommensurabel, d. h. sie haben kein gemeinschaftliches Maß. Dann ist irgend ein Maß von F, etwa in F nicht ohne Rest enthalten; es lässt sich jedoch eine ganze Zahl derart be¬ stimmen, dass V . - <' F < (« Z- 1) . —, abo - -- - F g- ist. Lässt mau daher dein Verhältnisse F : F die rationale Zahl^ oder entsprechen, so ist der dabei begangene Fehler kleiner als denn es ist — V 1 . Man ersieht daraus, dass das Verhältnis zweier inkommensurabler Größen, welches keine rationale Zahl sein kann und daher irrational genannt wird, durch rationale Zahlen mit einem beliebigen Grade der Genauigkeit darstellbar ist. Incommensurabel sind z. B. der Radius FF eines Kreises und die Seite FF des eingeschriebenen Zehneckes. Es ist nämlich F — 36 ° und daher F — F — 72°. Zieht man nun die Symmctrale F6f des Winkels L, so folgt 6j6'-6fF - F F, also „ , FF FF Z- FF^. Ist ferner ^F» FF, so folgt F.F — F,^ — FF — FF^ -f- FFz. Mg. 74. 54 Ebenso folgt, wenn (7g -86h ist, 6H6H —(7g6g—^4(7g, also ^cs -46h fi- -46h u. s. f. Da somit die Ketteildivision niemals einen Abschluss findet, so sind die Strecken --4(7 und -4L iucommeusurabel. Denn Hütten dieselben ein gemeinschaft¬ liches Maß 7IL und wäre -4(7 — ^>47 und -4L — ^44, wo und ganze Zahlen bedeuten, so müsste die mit den Größen ^>44 nird ^44 ausgeführte Ketteudivision ebenso wie jene mit den ganzen Zahlen und nach einer endlichen Anzahl von Divisionen zum Reste Null führen. Die beiden Operationen unterscheiden sich nämlich nur dadurch, dass die ganzen Zahlen und Z in dem einen Falle benannt sind und in dem anderen unbenaunt. 8 90. Aroportionm. Jede Gleichung, welche die Gleichheit zweier Ver¬ hältnisse ausdrückt, heißt eine Proportion, z. B. ^4 : Z — (7: D. Die Größen eines jeden der beiden Verhältnisse müssen unter sich gleichartig sein, sie können jedoch in dem einen Verhältnisse von anderer Art sein als in dem anderen. Größenproportionen werden häufig durch Zahlenproportionen ersetzt. Dies geschieht dadurch, dass man an die Stelle der beiden Größen in jedem Verhält¬ nisse ihre Maßzahlen in Bezug ans dieselbe Einheit treten lässt. Ist z. B. -4 : L (7 : D nnd ^4 — «4/, L — 54/, (7 ----- <-47, D ----- 747, so folgt «TU: 54/ — o47: 747 oder « : 5 — a: 7. Wenn die gleichartigen Größen -4^, -4z, -4g, ... mit den unter sich gleich¬ artigen Größen , LH, LH, ... derart zusammenhängen, dass jeder Größe -4 eine bestimmte Größe L entspricht und umgekehrt jeder Größe 7) eine bestimmte Größe -4, nnd wenn je zwei Größen -4 sich ebenso verhalten wie die zugehö¬ rigen Größen -6, so heißen die beiden Arten von Größen d ir e ct proportional oder einfach proportional. Die Proportionalität von Größensystemen kommt in geometrischen Unter¬ suchungen sehr häufig vor und lässt sich ans folgende Arten mathematisch ausdrücken: 1. Durch mehrere Proportionen, wie z. B. -4, : -4., — LH : L>, -4, : -4g ---- -8, : -6g, Llg : Lz : Lg u. s. f. 2. Durch die fortlaufende Proportion, -4^ : Llg : -4g ... — Lst : Lg: Lg ... 3. Mittelst des Proportioualitätsfactors. Ersetzt man nämlich die obigen Größenverhältnisse durch die entsprechenden Zahlenverhältnisse, so erhält man zu¬ nächst a, : Kz — : öz, : Kg — 5^ : 5g, Kz : «g — 5z : 5g, ... und daraus durch Vertauschung der inneren Glieder : 5^ — Kg : 5g — Kg : 5g — ... Bezeichnet mau nun den gemeinschaftlichen Exponenten dieser Verhältnisse mit m, so folgt — m,5, ,' Kz — m.bz , Kg — -rrög,. In gleicher Weise findet man auch -4^ — , Llg — m,Lz, -4g — »u/lg, ... , 55 weun die Grüßen mit den Größen Z gleichartig sind. Diese Zahl nr heißt Proportionalitätsfactor oder M o d n lus. Wenn zwischen drei gleichartigen Größen ^i, Z, (7 die Proportion ^l: Z — Z: (7 besteht, so heißt Z die mittlere geometrische Proportionale zwischen und Ls serner (7 die dritte geometrische Proportionale zu und Z. Aus der entsprechenden Zahlenproportion a : b — b : o erhält man ö — ao und 5 — . Proportionale -Strecken. K 91. Erklärungen. Jede Gerade, welche nicht durch den Scheitel eines Strahlenbüschels geht, wird eine Transversale desselben genannt, z. B. ^PLj, ^JLJ ^-s^s (Fig> 77). Wird ein Strahlenbüschel von zwei oder mehreren Transversalen geschnitten, so heißen alle aus einem Strahle liegenden Schnitt¬ punkte homologe oder einander entsprechende Punkte der Trans¬ versalen; z. B. ^t-z, Z. Alle auf einer Transversale liegenden Schnittpunkte heißen homologe oder einander entsprechende Punkte der Strahlen; z. B. , LJ Alle von denselben zwei Transversalen begrenzten Strahlen ab schnitte, wie z. B. Z1Z2, ^4 . m. . -n -s- 1 . .- < < (« -i- 1) . —— nnd — < < — — - Fig- 76. Zieht man wieder durch die Theilungspunkte Parallele zu den Transversalen, so zerfällt ^^4 in n gleiche Theile, von denen m. auf 77^7 und m, -s- 1 auf entfallen. Dabei ist Z,7< 77,77, < 77,L Somit hat man 77,77, , ,, 77,77, , M 77,77., «r-i- k M "i < L, 77, < (M -j- l . b - i . n Lg77^ n 77 77 Ta nun die Verhältnisse / und zwischen denselben Grenzen ^3^4 ^3^4 liegen, deren Unterschied beliebig klein gemacht werden kann, so sind die bei¬ den Verhältnisse einander gleich. Dieser Beweis behält offenbar seine Giltigkeit, wenn die Strecken nnd ^lz^.4 aneinanderstoßen oder sich theilweise decken. So z. B. ist (Fig. 77) --- KL, : KL?. ö) Um z. B. die Proportion ^7^ : ^77, — (Fig. 77) zu beweisen, ziehe man ^7) KL2 und betrachte ^lz^ und als zwei Strahlen, ferner ^l,77 nnd L' 77z als zwei parallele Transversalen. Aus dem vorausgehenden Satze folgt : 7)^2—^2^2 Wäre hingegen die Proportion : ^1g77g — zu beweisen, so müsste man durch ^lg die Parallele zu K77, ziehen, ferner als den Scheitel der Strahlen und betrachten n. s. f. 0) Es sei z. B. die Proportion ^77^ : 77,6) — : 77zL'z zu be¬ weisen. Aus dem vorausgehenden Satze folgt : ^l,7?z — L,K: 772^ und Fig. 77. 57 : Lz(7g — Daraus folgt : ^zl7z oder nach Vertauschung der inneren Glieder — ^lzLz : ^6^. Unter den Umkehrungen der vorausgehenden Lehrsätze verdient die folgende hervorgehoben zu werden: ck) Wird ein Strahlenbnfchel von zwei Transversalen so geschnitten, dass zwei Abschnitte eines Strahles den homologen Abschnitten eines anderen proportional sind, so sind die Trans¬ versalen parallel. Beweis. Es sei , und wan / nehme die Transversalen und als nicht parallel an. s/ Zieht man , so ist nach er) : L.7), somit — -8^2. Dies ist jedoch nur mög- / s lich, wenn die Punkte Lz und D zusammenfallen. Zusätze 1. Dem Beweise des Lehrsatzes liegen nur die / folgenden Beziehungen zwischen den betrachteten Strecken zugrunde - — «) Jeder Strecke ans dem einen Strahle entspricht eine be- / , stimmte Strecke auf dem anderen; Ng- 78. /7) gleichen Strecken auf dem einen Strahle entsprechen gleiche Strecken auf dem anderen, und der Summe zweier Strecken auf dem einen Strahle entspricht die Summe der homologen Strecken auf dem anderen. Aus diesen Voraussetzungen lässt sich nämlich leicht ableiten, dass dem mfachen, dem ntel und dem fachen einer Strecke beziehungsweise das -nfache, das ntel und das fache der homologen Strecke entspricht. Ans ergibt sich ferner, dass der größereil von zwei Strecken des einen Strahles die größere von den homologen Strecken des anderen entspricht. Daraus geht hervor, dass sich der Beweis des Lehrsatzes a) ohne Benützung der Fignr aus den Bedingungen A nnd ableiten lässt. Durch Verallgemeinerung dieses Resultates gelangt man zir dem nach¬ stehenden allgemeinen Proportionalitätssatze, welcher in der Geometrie wiederholte Anwendung findet nnd sich auf analoge Weise begründen lässt: Zwei Arten und Z von Größen sind proportional, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: cc) Jeder Größe entspricht eine bestimmte Größe Z nnd um¬ gekehrt; ,S) gleichen Größen entsprechen gleiche Größen Z; der Summe zweier Größen entspricht die Summe der zugehörigen Größen F. - 58 2. Wenn man auf die Vorzeichen der Strecken Rücksicht nimmt, so haben und Lckz (Fig. 77) gleiches, hingegen «Ä und Lckg ungleiches Vorzeichen. Daher ist das Verhältnis LP : positiv und das Verhältnis LP : Lüg negativ. 8 93. Ämvendmigen auf das Dreirck. «) Schneidet man von einem gegebenen Dreiecke durch eine Transversale, welche einer Drei¬ ecksseite parallel ist, ein kleineres Dreieck ab, so sind die Seiten desselben den Seiten des gegebenen Dreieckes proportional (Z 92« und b). ö) Wenn zwei Dreiecksseiten durch eine Transversale in proportionale Abschnitte getheilt werden, so ist die Trans¬ versale zur dritten Seite parallel (Z 92 7). e) Die Symmetrale eines Dreieckswinkels schneidetdie Ge¬ genseite und ch) die Symmetrale eines Außenwinkels die Verlängerung der Gegenseite in je einem Punkte, dessen Abstände von den Endpunkten jener Seite sich ebenso verhalten wie die anliegen¬ den Seiten. Beweise, o) Es sei ^.67) — 7)674, ferner 6« — 6«, und man ziehe «7'. Dann ist .46« 2.6M, also --hä 7l67) --- 674ö. Daraus folgt 67) II 77t und .47) : 7)74 -- ^16': 6'7'-^ AS s ^46':«6'. 7g 7) Die Behauptung ^.7?: 74« — ^.6': 74(7 wird analog bewiesen. Zusatz. Mit Berücksichtigung der Vorzeichen erhalt man aus den letzten zwei Lehrsätzen )l7) : 747) — — (^.« : 74«). Wenn vier Punkte 7i, 74, 7), « einer Geraden dieser Bedingung entsprechen, so heißen sie harmonische Punkte, und 74 heißen einander zu geordnet, ebenso 7) und «. Man sagt auch in diesem Falle, dass die Strecke 7l74 durch die Punkte 7) und 7/ harmonisch getheilt wird. Vier Strahlen, welche von einem Punkte außerhalb einer Ge¬ raden zu vier harmonischen Punkten derselben gezogen werden, bilden einen har¬ monischen Strahlenbüschel, wie z. B. 6P 674, 67) und 6«. Begriff der Ähnlichkeit. 8 94. Erklärungen. Im ß 91 wurde gezeigt, dass sich die Punkte zweier Transversalen durch einen Strahlenbüschcl so aufeinander beziehen lassen, dass jedem Punkte der einen Transversale ein bestimmter Punkt der anderen ent¬ spricht. Überhaupt erhält man homologe oder einander entsprechende Punkte zweier Figuren, wenn nach irgend einer Vorschrift jedem Punkte der einen Figur ein bestimmter Punkt der anderen zugeordnet wird. 59 Sind die Punkte , 6) ,... einer Figur beziehungsweise den Punkten ^ig, Lz, 6), ... einer anderen Figur homolog, so heißen die Strecken (Ge¬ raden) ^ii^i und ferner ^6) und ^6), homolog. Ferner sind die Winkel und ---- die Vielecke ... und ... homolog. Zwei Figuren, deren Punkte einander paarweise entsprechen, heißen ähnlich, wenn sie sich in einen Strahlenbüschel so legen lassen, dass je zwei homologe Punkte auf demselben Strahle liegen und das Verhältnis ihrer Abstände vom , Scheitel für alle Punktpaare konstant ist. " Die eben angegebene Lage der ähnlichen Figuren heißt perspektivisch und jede andere schief. In der ersteren wird jeder durch zwei homologe Punkte / gehende Strahl Ähnlichkeitsstrahl genannt. Der Scheitel des Strahlen-/ büschels, in Bezug auf welchen die ähnlichen Figuren perspektivisch liegen, heißt ihr Ähnlichkeitspunkt, und zwar ein äußerer oder ein innerer, je nachdem je zwei homologe Punkte auf derselben Seite oder auf entgegengesetzten/ Seiten des Scheitels liegen. i Das konstante Verhältnis der Abstände zweier homologer Punkte vom Scheitel heißt Ähnlichkeitsexponent oder Modulus der ähnlichen Figuren und soll mit m. bezeichnet werden. Daher ist -8^ : -96) : -96) — ... m. oder -9^ , -9S^ — m-9Sz, -96) ---- m -96), (Fig.80). K 93. Lehrsätze. Für zwei ähnliche Figuren in perspektivischer Lage gelten die folgenden Sätze: «) Je zwei homologe Strecken, z. B. und ^lgFz, sind parallel (Z 92ei), und zwar direkt oder invers parallel, je nachdem der Ähnlichkeits Punkt ein äußerer oder ein innerer ist. Wenn somit drei Punkte 6) der einen Figur in einer Geraden liegen, so müssen auch die homologen Punkte der zweiten Figur in einer Geraden liegen. 5) Je zwei homologe Winkel, z. B. und ^^6) oder ^^6) und ^igLg6), sind gleich und von gleichem Drehnngssinne.^. Dabei werden selbstverständlich nur die hohlen / oder nur die erhabenen Winkel miteinander ver- glichen. Fig, gg. o) Die Verhältnisse aller homologen Streckenpaare sind einander gleich, und zwar gleich dem Modulus. Denn es ist 60 ^8, - ^2^2 — ^8: G 92ö), ebenso 8^ : --- 8^8 : 8z8 — »r il- s- s- Dieser Satz gilt offenbar auch für schiefe Lagen ähnlicher Figuren. Zusätze. 1. Man nennt zwei ähnliche Figuren direct oder invers ähnlich, je nachdem die eine durch bloßes Verschieben in der Ebene in eine perspektivische Lage zur anderen gebracht werden kann oder zu diesem Zwecke zunächst nmzuklappen ist. Im ersten Falle folgen die homologen Umfangsstücke der beiden Figuren in demselben Sinne aufeinander, im zweiten haben sie ent¬ gegengesetzte Aufeinanderfolge. 2. Wenn eine Figur ^8^ 8^ . . . (Fig. 80), der äußere Ähnlichkeits¬ punkt -8 und der zu homologe Punkt der ähnlichen Figur --- gegeben sind, so ist die letztere dadurch eindeutig bestimmt. Lässt man uun bei unveränderter Lage der ersten Figur und des Punktes den Ähulichkeitspnukt 8 in unendliche Entfernung hinausrücken, so verwandelt sich der Strahlenbüschel 8^8,tZ8i . . in einen Parallelstrahlenbüschel, nnd die Trapeze /Z8,8,U.2, 8^^6'282, . . . gehen in Parallelogramme über. Daraus folgt —-81-82 — 6^(7z — . . ., ferner ^8^ — ^8.2, — -82^2 u. s. f. Man er¬ kennt nun leicht, dass die beiden Figuren zur Deckung gelangen, wenn die erste so verschoben wird, dass die Strecke beschreibt nnd zugleich ^8^ der ursprünglichen Lage parallel verbleibt. Ans dieser Betrachturig geht hervor, dass die Congrueuz als ein specieller Fall der Ähnlichkeit anzusehen ist. Der Modulus der eben betrachteten con- gruenten Figuren ist -j- 1, denn aus 8U^ — ^8^ svlgt 8^ — — nr8^üg, 1 — nr ^-1^-2 8.1z ' also 1 — m, — 0, wenn 8^ unendlich zunimmt, während ^.^2 unverändert bleibt. Auf analoge Weise findet man, dass die ähnlichen Figuren ^8,6^ 8^ . . und . . durch die Verschiebung des inneren Ähnlichkeitspunktes 8 in die Mitte der Strecke ^i,Uig in congruente Figuren (in centrisch-symmetrischer Lage) übergehen, und dass zugleich der Modulus den Wert — l annimmt. Ähiüichkcit der Dreiecke. K 96. Ähnlichkcitssiitze. Aus den Lehrsätzen über ähnliche Figuren (8 95) folgt, dass ähnliche Dreiecke in den Winkeln und in den Verhältnissen homologer Seiten übereinstimmen. Ist also /X ^8(7cv) ^8^ 6Z so hat man -chä L --- 8^, <7 und ^8 : ^8^ — 8(7 : 8,6', -- : (7,^. Umgekehrt folgt aus diesen Gleichungen die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke. Man kann sogar beweisen, dass im allgemeinen das Bestehen nur zweier von den angeführten Bedingungsgleichungeu die Ähnlichkeit der Dreiecke erkennen lässt. I. Ähnlichkeitssatz. Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, so sind sie ähnlich. 61 Beweis. Es sei -chä -4 — -4^, D LL D^, also auch (7— Ls, und man lege XX die gegebenen Dreiecke-4 D (7 und-4, D^ Ls ^X^ so aufeinander, dass ^Ls auf -4(7 und --^X^ V ^x Z, Ls auf D L' fällt. Ist D D (7 die neue Lage des Dreieckes -ll^D^Ls, so hat man (7D D A, ---- A, also DD A D, somit auch -4D : DD^AZ^Z^DZ: D(7 (K 93 n). Hieraus folgt nach der allgemeinen Definition der Ähnlichkeit (K 94): /X --471(7 cx -4^DiLs. II. Ähnlgchkseitssatz. Wenn zwei Dreiecke im Verhältnisse zweier Seiten nndLinl ^^geschlossenen Winkel übereinstimmen, so sind sie ähnlich. Beweis. Es sei (Fig. 81) -4(7 : D (7 — -4, Ls : D,Ls nnd <^l (7— Ls. Bringt man das Dreieck -4^D^Ls in die Lage DZ Ls so ist die Richtigkeit der Behauptung nach der allgemeinen Definition der Ähnlichkeit unmittelbar ein¬ leuchtend. III. Ähnlichkeitssatz. Wenn zwei Dreiecke im Verhältnisse zweier Seiten nnd im Gegenwinkel der größeren dieser Seiten übereinstimmcn, so sind sie ähnlich. Beweis. Es sei (Fig. 81) -4 (7: D (7 — -4^ Ls : 7^ Ls, ferner D (7 > -4 Ls also Zi Ls 7> -4^Ls und -chä-4 -4^. Macht man DL'— -4^Ls nnd zieht DD^AD, so ist /X ^4-V Z cxä D D(7, also A (7 : DZ D(7 : DL' --- ^Zi : DZ. Hieraus und aus der Voraussetzung schließt man ^Ls : Z^Ls ----- -4^Ls : DZ; D^Z, ----- DZ; somit /XTIDZ^^D.Z, (IV. Congruenz- satz). Das Dreieck DD (7 kann daher als eine zu -4 DZ perspectivische Lage des Dreieckes A^D^Ls anfgefasst werden, es ist also /X ^4-77 Z TliD^Z,. IV. Ähnlichkeitssatz. Wenn sich je ^8i'd?iten/Ä^e's Drei¬ eckes ebenso Verhalten wie die entsprechenden Seiten eines anderen, so sind die beiden Dreiecke ähnlich. Beweis. Es sei (Fig. 81) -4D : AZ — A^D^ : Ts Ls, -4D : DZ----- A^D^ : Zi Ls, also auch AZ : DZ — A^Lsi- D,Ls. Aus analoge Weise wie im vorausgehenden Falle findet man DD — A^Ts, D(7 — D^Ls n. s. f. Dieser Ähnlichkeitssatz kann auch in folgender Weise ausgesprochen werden: Wenn die Seiten eines Dreieckes den Seiten eines anderen proportional sind, so sind die beiden Dreiecke ähnlich. K 97. Anwendungen auf das rechtwinklige Dreieck. «) JedeZ recht¬ winklige Dreieck wird durch die Höhe (zur Hypotenuse) in zwei Dreiecke get heilt, welche einander und dem gegebenen Dreiecke ähnlich sind. 62 ö) Die Höhe ist die mittlere geometrische Proportionale zwischen den Projektionen der beiden Katheten ans die Hypo¬ tenn s e. Jede Kathete ist die mittlere geometrische Proportionale zwischen ihrer Projection aus die Hypotenuse und der ganzen Hypotenuse. Beweise. Es sei ^lL<7 das gegebene Dreieck, ^lL die Hypotenuse, <7D die Hohe zu derselben, und man bezeichne die Längenzahlen / der Strecken L<7, <7Ä ^lL, D(7, DL und / der Reihe nach mit a, ö, o, /L, und a) Da die Dreiecke ^4(7D und ^lLt7 >-7 -! rechtwinklig sind und den Winkel D <7 — cc genieinschaftlich haben, so sind sie ähnlich u. s. f. ö) Den Seiten I> und L des Dreieckes t7LD entsprechen beziehungsweise die Seiten ?r und des ähnlichen Dreieckes ^4t7D. Daraus folgte : L — /r : und /r — st o) Den Seiten und « des Dreieckes (7LD entsprechen beziehungsweise die Seiten cr und a des ähnlichen Dreieckes -4 L <7. Daraus erhält man : a — a : c, also « — st und auf analoge Weise : b — ö : o, also ö — st Zusätze. 1. Aus a? — imd folgt -st — o -st g-) — «2. Die Gleichung a? -st b? — 6^ ist der arithmetische Ausdruck für den Pythagoräischen Lehrsatz (Z t07 ck). 2. Sind zwei voü den Längenzahlen a, ö, o, L, gegeben, so können die übrigen vier mittelst der Gleichungen 7r^ — ^>^, und -st ö? berechnet werden. Irgend eine der letzten drei Gleichungen kann durch o — -st ersetzt werden. Ähnlichkeit der Vielecke. K 9K. Lehrsätze. Je zwei ähnliche Vielecke stimmen in den homologen Winkeln und den Verhältnissen homologer Seiten überein. b) Wenn die Winkel eines Vieleckes mit den Winkeln eines anderen in der nämlichen oder in der entgegengesetzten Auf¬ einanderfolge der Größe nach übereinstimmen und die Seiten des einen den homologen Seiten des anderen proportional sind, so sind die Vielecke ähnlich. o) Ähnliche Vielecke lassen sich durch homologe Diagonalen in ähnliche Dreiecke zerlegen. 63 <7Y Die Umfänge ähnlicher Vielecke verhalten sich wie zwei homologe Seiten. Beweise. «) Folgt unmittelbar aus der Definition ähnlicher Figuren (8 94). ö) Es seien und ^g7?g77zDg (Fig. 80) die gegebenen Vielecke, ferner sei -chä — Äz, 7^ — 7Zg, Tu — 77g . . . und : ^4g7?g — .- Lz(7z — 77^7)^ : . . — ur. Wenn die homologen Winkel in demselben Sinne anfeiuanderfolgen (wie in der Figur), so verschiebe man die beiden Vielecke derart, dass die Schenkel zweier homologer Winkel direct parallel werden, z. B. 77^ 7?g^ig undT^Ls, 77g 77g (ß 18 <7). Hierauf ziehe man die Geraden ^^4g, Tt^Lg und durch ihren Schnittpunkt >8 den Strahl >86). Wenn dieser die Seite 77g 77g oder deren Verlängerung in einem Punkte (7 treffen würde, so wäre T^TZ : 7?g77 — /877^ : /877g — ^7^ : >4z7?g — M, — m L,77 — m, 77g 77g, also 77g 77 — 77g 77g, d. h. die Punkte (7 nnd (7g müssten zu- sammenfalleu. Ebenso beweist man, dass der Strahl/87), durch 7)g geht u.s. f. Da zugleich je zwei homologe Seiten parallel sind (K 18 -7), so folgt /8^4, : >8^4g — >877, /877g — /877, : /877g — . . ., womit die Behauptung erwiesen ist. Wenn die einander entsprechenden Winkel im entgegengesetzten Sinne auf¬ einanderfolgen, so klappe man zunächst das eine Polygon um und verfahre hierauf ebenso wie im vorausgehcnden Falle. a) Es seien ^4,77,77,7), . . und ^4g77g77g7)g . . die gegebenen ähnlichen Polygone und M ihr Modulus. Zieht man von zwei homologen Punkten aus alle Diagonalen, z. B. ^4,77,, ^4,7), . . ., ^4g77g, ^4g7)g . ., so ist zunächst /X Ä7t, (7, cx) ^,7tg77g (II. Ähnlichkeitssatz). Daraus folgt ^4,77, : ^4g77g — m, und -chä ^4,6)7), — Äg(7g7)g. Also ist auch /X -^iT7,7), cx)-4g77g7)g u. s. f. 7) 2)ian erhält ^4,77, -j- 77,77, -j- 77,7), Z- .. — m, (^4g77g -s- 77g 77g -s- (7gDg -j-..), also (^77, Z- 77,77, -s- 77,7), fi- ..): (^4g77g ^2 7'g fi- 7g7), -fi ..) --- ^,77, : ^7tg. Äiiwrndung der Ächillichkeitssiihe auf die Äreislehre. 8 99. Ähnlichkeit der Kreise. Je zwei (ungleiche) Kreise sind ähnlich und haben die perspektivische Lage sowohl in Bezug ans einen äußeren als auch einen inne Beweis. Es seien O nnd 7), die Mittelpunkte der gegebenen Kreise, und man ziehe zu einem beliebigen Radius 7) 4/des ersten Kreises den direct parallelen 7), 47, und den invers parallelen 7), 44g im zweiten Kreise. Wenn die Centrale von der Geraden 4444, im Punkte ^4 und von der Geraden 4747g im Punkte 7 een Ähnlichkeitspuukt. Fig. 83. 64 geschnitten wird, so ist --4 der äußere und I der innere Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke 0K)I1 und 0,Krl1, folgt nämlich OK. — mO,K, wenn OK/ : 0,K1, — m gesetzt wird. Soll nun K der äußere Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise sein, so muss ein beliebiger Halb¬ strahl welcher mit dem Kreise 0, einen Punkt D, gemeinsam hat, den Kreis 0 in einem Punkte H treffen, für welchen die Gleichung K D — -m K. D, besteht. Dies ist auch wirklich der Fall; denn zieht man OÄ^ 0,D>, so ist /X OKD cx) 0,-4/V,, somit K.H — m-K/V,, ferner OH — mO,D, — mO,M, — OM, d. h. ist ein Punkt der ersten Kreislinie. Analog wird der Beweis für den inneren Ähnlichkeitspunkt geführt. Folgesätze. 1. Jeder Ähnlichkeitsstrahl ist für beide Kreise zugleich Secante oder Tangente, oder er hat keinen Punkt mit denselben gemeinschaftlich. 2. Ans OK — nrO,K folgt 0 0, -j- 0,K — mO,K, also 0,K ----- — 00, und OK --- — 00,. M —I 'M - I Ebenso erhält 8. Der man /0, — 0 0, und 01---- , 0 0,. M, -s- I M-f-1 Centralabstaild der beiden Kreise wird durch die beiden Ähnlichkeits¬ punkte harmonisch getheilt. Denn man findet OK : 0,K ----- 0/ : 10,. K 100. Lreis und Ltrahlenbiischel. Wenn ein Strahlenbüschel durch einenKreis geschnitten wird, so hat das Product der beiden Abschnitte, welche einerseits vom Scheitel und andererseits vom Kreise begrenzt werden, für alle Strahlen denselben Wert. Beweis. Es sei /8 (Fig. 84 oder 85) der Scheitel eines Strahlenbüschels, und man be¬ zeichne mit K. und D beziehungs¬ weise O und D die Durch- schuittspunkte zweier Strahlen mit dem gegebenen Kreise. Dann ist /X cx) F0D, so¬ mit FK : FD F<7: FD. Daraus folgt FK.FD — F0.FD, wenn unter FK, FD, .... die Längcnzahleu der entsprechenden Strecken verstanden werden. Liegt Fin der Peripherie, so ist ein Abschnitt, somit anch das Prodnct der beiden Abschnitte — 0. Folgesätze. 1. Die Hälfte einer Sehne ist die mittlere geometrische Pro¬ portionale zwischen den beiden Abschnitten einer jeden durch ihren Hälbierungspunkt gezogenen Sehne. 65 2. Zieht man von einem Punkte außerhalb eines Kreises, zu diesem eine Tangente und eine Secante, so ist der Tangentenabschnitt die mittlere geometrische Proportionale zwischen den beiden Secantenabschnitten. Alle Abschnitte erstrecken sich vom gegebenen Punkte bis zur Peripherie. § 101. Meist ein es Punktes in L e;ug auf einen Kreis. Das konstante Product F-4 . FZ der beiden Strahlenabschnitte (8 100) mit Berücksichtigung der Vorzeichen wird die Potenz des Punktes F in Bezug auf den Kreis genannt. Liegt F innerhalb des Kreises (Fig. 84), so sind die Strecken F-4 und FZ ungleich bezeichnet; die Potenz ist also negativ. Bezeichnet man FZ mit o, den Radius mit -- und nimmt etwa die Richtung von (7 nach // positiv an, so ist FZ----- o -st n, 6F ------ r - o, also Ft?'. FII ----- o- — Der absolute Wert der Potenz ist in diesem Falle gleich dem Quadrate der Hälfte jener Sehne, welche zu dem durch F gehenden Durchmesser normal ist. Diese Sehne ist die kleinste nnter allen, welche durch den Punkt F gezogen werden können; denn aus OF > OZ folgt ZZ < <7Z. Wenn F außerhalb des Kreises liegt (Fig. 85), so ist die Potenz positiv; denn man hat FA — o — n, FZ" — o -st also FA.FK — c? — In diesem Falle ist die Potenz gleich dem Quadrate jenes Tangentenabschnittes, welcher voni gegebenen Punkte und vom Berührungspunkte begrenzt wird. Liegt der Punkt F auf der Peripherie des Kreises, so ist die Potenz — 0, also gleichfalls in dem Ausdrucke c? — enthalten. K 102. Der Ptolemnischc Lehrsatz (Ptolemäus von Alexandrien, um das Jahr 150 n. Chr.). In jedem Sehnenvierecke ist das Product der Diagonale n gleich derS u mm e der Producte je zweier Gegen feiten. Beweis. Macht man — ZZ(7, so ist /X cv) ZZe, /X Z(7Z LV) ^ZZ, also -4 Z: — ö: M., Z (7 :, von denen die erste das «fache und die zweite das nfache einer beliebigen Strecke ist u. s. f. 3. Da die Punkte -0 und 77^ die Strecke ^47) harmonisch theilen, so ist im Vorausgehenden die Auflösung der Aufgabe enthalten, zu einem der Punkte F und den zweiten (harmonisch conjungierten) zu finden. 4. Wenn auf das Vorzeichen der Strecken Rücksicht genommen wird, so liegt der Theilungspnnkt Z? in der gegebenen Strecke ^4 7) oder in deren Ver¬ längerung, je nachdem das Verhältnis ^4Z: 7)77 negativ oder positiv ist. ö) Zu drei g e g e b e n e n S tr e ck e n a, ö, o die vierte geometrische Proportionale, d. h. jene Strecke -o zn konstruieren, welche der Bedingung a : ö — o: co genügt. 67 Man mache auf den Schenkeln eines beliebigen Winkels (Fig. 88) ^4 D—a, <7D — ö, ^4L — a und ziehe DL DL. DL ist die gesuchte Strecke. o) Zn zwei gegebenen Strecken «, ö die mittlere geometrische Proportionale zn konstruieren. Man construiere über der Streckensumme « -j- ö als Durchmesser einen Halbkreis und errichte in jenen: Punkte, in welchem die Strecken aneinanderstoßen, die Normale zum Durchmesser. Der von letzterem und vom Halbkreise begrenzte Theil der Normale genügt der Aufgabe (Z 97 ö oder Z 100, 1. Folgesatz). Zwei weitere Constrnctionen ergeben sich nach H 97o und Z 100, 2. Folgesatz. ck) An zwei gegebene Kreise die gemeinschaftlichen Tan¬ genten zu ziehen. Man construiere zunächst die Ähnlichkeitspunkte der beiden Kreise und ziehe durch dieselben die Tangenten an den einen Kreis (Z 99,1. Folgesatz). Wie lautet die Determination? sh 1. Zu einem gegebenen Dreiecke ^4LL, 2. zu einem gege¬ benen Vielecke slLDD.. ein ähnliches zu construieren, wenn die zu ^iL homologe Seite ^4, L, gegeben oder das Verhältnis ^4L : -4;Lj durch zwei Strecken oder den Modulus bestimmt ist. 1. Man construiere zunächst die Seite ^L, und mache — ^4 und L; — L. 2. Mau ziehe von einem beliebigen Punkte L Strahlen durch alle Eckpunkte des gegebenen Vieleckes und bestimme auf dem Strahle einen Punkt derart, dass das Verhältnis den für das Verhältnis ^4L : ^L^ gegebenen Wert annimmt. Hierauf ziehe man durch die Parallele zu ^4L und bezeichne mit L^ ihren Schnittpunkt mit dem Strahle LL; ebenso ziehe man durch L^ die Parallele zn LD u. s. f. ^L^tZ . . ist das verlangte Polygon. Der Ähnlichkeitspunkt L kann auch mit einem Eckpunkte des gegebenen Polygones zusammenfallen oder auf einer Seite desselben liegen. 8 103. Mgebraische Änalysrs von Constrnctionslillfgabrn. Die Analysis mancher Constructionsaufgaben gelingt dadurch am besten, dass man die gegen¬ seitigen Beziehungen zwischen den gegebenen und den gesuchten Raumgrößen durch Gleichungen zwischen ihren Maßzahlen ansdrückt, die Gleichungen passend transformiert und durch geometrische Deutung der erhaltenen Resultate die Constructiou ableitet. 1. Beispiel. E i n e m g e g e b e u e n K r e i s e cin r e g c lmäßi g e s Z e h ueck e i n z u s chr e iben. Analysis. Bezeichnet man die Längenzahlen des Radius und der Zehnecks¬ seite mit beziehungsweise s, so besteht nach ß 103 die Proportion 0 — s) : s — s : also s? Z- »-s — Addiert man zn beiden Thcilcn dieser Gleichung 5» 68 ' s" ^lgt (s fi-2 ' s Z' - Z ) , l/ z > /»'V s Z- ^) - 2^ Construction. Man ziehe zu einem Durchmesser —7-^^ Ti 7 des gegebenen Kreises den normalen Radins 0(7 >. und verbinde dessen Halbierungspnnkt 7) mit 77 Wenn / X hierauf 7)0 von 7)A abgeschnitten wird, so ist der f_Rest 7?7 — 7'71 die verlangte Zehnccksseite. 1 / / X 2 Fig. 89. Beweis. Man hat 77) — s/ ,'2 -s- s - s 1 / /"nV n und 7/7 — j/ n- -fi . 2. Beispiel. Einem gege einzuschreiben. en en Dreiecke T70 ein Quadrat Analysis. Es sei dem Dreieckes 70 ein Quadrat bereits eingeschrieben (Fig. 90). Man findet dann T. 7 : 7/7'— T 0: 7?0 — 7) (7 : O (7. Sind also o, 7 und n der Reihe nach die Längenzahlen von T7, 7) <7 und 7)0 --- 7>, so folgt a : -v --- 7 : (/r — ar), also o/r — acv — Ln, eL — (o -s- 7) co, (o -s- 7) : o — 7 : cv, d. h. -n ist die vierte geometrische Proportionale zu o -s- 7, o und 7. Construction. Man mache 7)77 — o, 777 — /r und ziehe AO 70. 7)0 ist die gesuchte Seite des eingeschriebenen Quadrates. Die weitere Con- strnction lässt sich leicht anffinden. Determination. Je nachdem das Dreieck stumpf-, recht- oder spitzwinklig ist, kann man demselben ein Quadrat, zwei oder drei Quadrate einschreiben. Zusatz. Wenn die gegebenen und die gesuchten Großen einer Constructions- aufgabe Strecken sind oder sich durch Strecken bestimmen lassen, so kann die Construction mancher durch algebraische Analysis erhaltenen Ausdrücke ans einige ganz einfache Fälle zurückgeführt werden. Diese sind, wenn mit «, ö, o, . . die gegebenen Strecken oder deren Längenzahlen bezeichnet werden, 1. « -fi ö und « — ö; 2. u«,woneine unbenannteZahl bedeutet. Ist n als Verhältniszahl zweierStrecken gegeben, so liegt die Aufgabe 6) im ß 104 vor. Aus X « — -n folgt nämlich e A — Wäre -v — , so construiere man zunächst — ?/ und hierauf — cv. 3. Vaö, -s- — d-- (Z 104o und Z 97, 1. Zusatz). 69 IV. Abschnitt: Flächen- und Mngtnmessnng. Flächeninhalt von Polygonen. 8 106. EMäenngrn. Als Maßeinheit für die Fläche oder als Flächen¬ einheit wird ein Quadrat gewählt, dessen Seite die Längeneinheit ist. Je nachdem die letztere 1 -n, 1 cim,, 1 our, . . . ist, heißt die Flächeneinheit 1 Qua¬ dratmeter, 1 Quadratdecimeter, 1 Quadratcentimeter, . . . Das Verhältnis einer gegebenen Fläche zur Flächeneinheit oder also jene Zahl, welche angibt, wie oft die Flächeneinheit in der gegebenen Fläche enthalten ist, heißt die Maßzahl der gegebenen Fläche oder ihre Flächenzahl. Ist z. B. die gegebene Fläche, 6 die Flächeneinheit und : 6 — -n oder 6, so ist die nnbenannte Zahl n die Flächenzahl, während die benannte Zahl »6 der Flächeninhalt von genannt wird. 8 107. Rechteck nnd Onadrat. a) Die Flächen zweier Rechtecke von gleicher Höhe verhalten sich wie die Grundlinien. Beweis. Es seien nnd — Äz die gegebenen Rechtecke von gleicher Höhe. Sind die Grundlinien Ul L und commensurabel, so lässt sich eine ge¬ wisse Strecke auf beiden ohne Rest auftragen, auf U.L etwa -mual und auf ZT? itmal. Dann ist UlL — m. — Fig. S1. Zieht man nun durch die Theiluugspunkte die Normalen zu den Grundlinien, so zerfällt 7^ in m, und L» in -r Rechtecke, welche alle untereinander congrnent sind. Daher ist L, — malso auch 7?, : K» — : K77 Sind hingegen die Grundlinien inkommensurabel, so erhält man durch ebendieselben Schlüsse, welche beim Beweise des Lehrsatzes 8 92 a angewendet wurden, die Ungleichungen M Ul7? m. -Z I . _M.-l-1 — < < — und — < < --- . Da dieselben für beliebig große » und zugehörige bestehen, so gilt die Proportion 7^ : Lz — UlL : auch in diesem Falle. Dies erkennt man auch sofort aus dem allgemeinen Proportionalitätssatze (8 92, 1. Zusatz). b) Die Flächen zweier Rechtecke von gleicher Grundlinie verhalten sich wie die Höhen Beweis. Man betrachte die Seiten U.D und ZU (Fig. 91) als Grund¬ linien, U.L und als Höhen nnd benütze den vorausgehenden Lehrsatz. 70 o) Die Flächenzahl eines Rechteckes ist gleich dem Producte aus den Lä n g e n z a h l e n der Grundlinie und d e rHöhe. Kürzer ans- gedrückt: Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist gleich dem Pro¬ ducte aus der Grundlinie und der Höhe. Beweis. Man vergleiche das gegebene Rechteck mit einem anderen Rechtecke nnd einem Quadrate 6, welche Figuren so gewählt sind, dass jede mit der vorausgehenden in einer Dimension übereinstimmt. Sind also A nnd K die Längenzahlen der Grundlinie und der Höhe in^, so seien 1 nnd /r die ent¬ sprechenden Zahlen in ferner 1 nnd 1 in 6. Dann folgt : Lz — A : l, also — AL? und L? : H — Zr : 1, also — LH. Daher ist — ^LH und die Flächenzahl — AL. ch Die Flächenzahl eines Quadrates ist gleich der zweiten Potenz (dem Quadrate) der Längenzahl einer Seite. Zusatz. Daraus lässt sich der Gebrauch des Wortes „Quadrat" in der Arithmetik und die Bezeichnung Im?, 1 . für ein Quadratmeter, ein Quadratdecimeter, . . . erklären. Nach dem Vorausgehenden ist ferner Im?-- 100 ^m? — 10000 om? n. s. f. Beim Messen von größeren Flächen, z. B. von Grundstücken, werden 100 m? ein Ar (1«) und 100 Ar ein Hektar (1 L«) genannt. K 1V8. Parallelogramm, Dreieck nnd Trapez. «h Der Flächeninhalt eines jeden Parallelogrammes ist gleich dem Prodncte aus der Grundlinie nnd der Höhe (8 83). — AL. öh Der Flächeninhalt eines Dreieckes ist gleich dem halben Producte aus der Grundlinie und der Höhe (Z 84). Folgesätze. 1. Die Flächen zweier Parallelogramme von gleicher Grund¬ linie (Höhe) verhalten sich wie die Höhen (Grundlinien). Aus F'—A-r und — A^, ergibt sich nämlich H — /r : n. s. f. 2. Die Flächen zweier Dreiecke von gleicher Grundlinie (Höhe) verhalten sich wie die Höhen (Grundlinien). eh Stimmen zwei Dreiecke in einem Winkel überein, so Ver¬ halten sich ihre Flächen wie die Producte der Seiten, welche die gleichen Winkel einschlicßen. Beweis. Dian lege die gegebenen Dreiecke ^4 L 6' nnd DZ (st so auf einander, dass sich die gleichen Winkel (7 und <7, decken, nnd ziehe D L Wenn nun die Längenzahlen der Seiten (7^i, (7L, HD, HD in derselben Reihenfolge mit a, ö, s bezeichnet werden, so erhält man ans dem vorausgehenden Folgesatze ^lDH « DDH L , DDH ä' DDd " st' 71 ' F»L(7 -- F)Fl<7, also D^<7oder F?L(7--- aö : Fs. 6 «S e^) Die Flächen ähnlicher Dreiecke Verhalten sich wie die Quadrate homologer Seiten. Beweis. Man bezeichne mit «, ö, a, F' und öi, a^, Fs die Ma߬ zahlen der Seiten und Flächen der ähnlichen Dreiecke und mit m, den Modulus. Dann ist cr — 7N«I, ö — 6 — M.6^. also nach dem Lehrsätze o) F' crö , a? S? ^2 Fs «1 ' Zusatz. Das Verhältnis der Flächen zweier ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrate des Modulus. e) Der Flächeninhalt eines Trapezes ist gleich dem halben Producte aus der Summe der Parallelseiten und der Höhe oder gleich dem Produkte aus der Mittellinie und der Höhe (8 85). F,^ 2 K 109. Vieleck. a) Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes ist gleich dem halben Produkte aus seinem Umsange und dem Nadins des eingeschriebenen Kreises. na. 9 n» Beweis. F^ --- ö) Die Flächen ähnlicher Vielecke verhalten sich wie die Quadrate homologer Seiten. Beweis. Es seien ^L(7F>F? . . . und ... die gegebenen ähnlichen Vielecke mit dem Modulus nr, und man zerlege dieselben durch homologe Diagonalen, etwa von ^l und aus, in ähnliche Dreiecke. Dann erhält man ^(7F> -r- ^Lc7F»L... — ... . Sind also a und a^ die Längenzahlen zweier homologer Seiten, so hat man a — «2 — M^af, somit ^llSeDFs . . . : ^L.csD,^ . . . «2 : a?. Zusätze. 1. Das Verhältnis der Flächen zweier ähnlicher Polygone ist gleich dem Quadrate des Modulus. 2. Der Flächeninhalt eines unregelmäßigen Polygones wird berechnet, indem man dasselbe durch passende Hilfslinien (Diagonalen, Koordinaten der Eckpunkte u. s. f.) als algebraische Summe von Dreiecken und Trapezen darstellt. (8 228 S, 2. Zusatz). 72 RechnungMufgatien. 8 110. Aufgaben über Dreiecke. Man berechne aus den Längen¬ zahlen «, ö, o der Seiten eines Dreieckes a) den Flächeninhalt L, b) den Radius (> des eingeschriebenen Kreises, o) die Radien 9i, (>z, der angeschriebenen Kreise, H den Radius »- des umgeschriebeneu Kreises. Auflösungen, a) Mit Benützung der in der Figur ersichtlichen Bezeichnungen findet man L — -/r^ — ö" — a? — — (o — und //X HS i pS X« daraus -» — —-- Demnach ist (d -f- -o) (ö — ar) s . 6- - «2X / H2 (.2 — crA ! v -f- ----- -— -!- I — Fig. 93. V' 2a /V 2e / f(ö-fle)2 — —(b — e)^s(a-f-5-s-o) (— a-s-ö-s-e) (« — ö-f-o) (a-i-ö—o). 4o^ 4o'^ Setzt man nun zur Abkürzung «-flö-flo — 2s, also — «fl-5-s-o — 2(s — a), a — ö -j- o — 2 (s — ö), cr -s- - — c — 2 (s — a), . , , s 4 s (s — a) (s — 5) (s — o) 2 .------- so folgt - - -, /r — Vs (s — «) (s — b) (s — o) und L — Vs (s — cr) (s — b) (s — o). Zn demselben Resultate gelangt man auch, wenn einer der Winkel A oder L ein rechter oder ein stumpfer ist. Zusatz. Die eben gefundene Formel für den Flächeninhalt eines Dreieckes heißt die He ionische Formel (Heron von Alexandrien, 150 v. Chr.). ö) Verbindet man den Mittelpunkt 0 des / eingeschriebenen Kreises mit den Eckpunkten A, L, S, so erhält man ALS --- LSS -f- SAS fl- ALS, also r-, 2^2^2 2 -0^- -- Daraus folgt Fig. 94. § V / (« — «) (s ö) (s — e) s V Z o) Man findet (Fig. 94) ALS -s- LSjS— SAS, -s-ALS^, daher -X (s — cr) (V. Man hat also L L L — z X 9s — S — c' 73 Fig. 95. die c?) Man ziehe durch den Eckpunkt (7' des gegebenen Dreieckes AF <7 den Durchmesser OF des nmgeschriebenen Kreises und die Höhe OD. Dann ist /X AF<7 c?o DDO, somit 2-- a ö " «ö aöa aöo aöo aiM — ^.77 — 77 '7, — - — 7_ _ 7777777 7 1 7 7171 . ^7 ^— — 2/r 2o/r 4F ^Vs(s — a) (s — b) (s — o)' Ans analogem Wege überzeugt man sich, dass diese Formel auch dann noch gilt, wenn einer der Winkel F oder D ein rechter oder ein stumpfer ist. Zusatz. Für das gleichseitige Dreieck findet man durch Specialisierung Formeln p — und -- — ^V3. Um dieselben direct zu erhalten, be- achte man, dass die vier merkwürdigen Punkte eines gleichseitigen Dreieckes in einen einzigen Punkt zusammenfallen, welcher als Schwerpunkt die Höhe im Ver¬ hältnisse 1 : 2 theilt. Daher ist p — F » — Vß u. s. w. K 111. Aufgaben über rrgrlmäßigr Polygone. a)Wenn einem Kreise die regelmäßigen »-Ecke und 2»-Ecke ein- und umgeschrieben sind, aus den Umfängen e„, »„ der »-Ecke die Umfänge 62», »2» der 2»-Ecke zu berechnen. Auflösung. Es sei der Centriwinkel 006 der 2»te Theil des vollen Winkels, OF die Symmetrale desselben, ferner ^lD D 00 und OD 0(7. Dann ist 6» AF OD 06 -- 2 » 2» 2» 2»K »2n 4» OF — FD Mit Benützung des Lehrsatzes 0) im Z 93 8'S- 96. findet man OF 0(7 06 A6 „ »2» s» FD — O D 0 D (70' '" '° 2»„ — rrz,< , -> c V 7 2 6» »,r . Hreraus folgt »2,- — .... 1). Da ferner /X ^-^l7 F(7F ist, so hat man 0 Fl 0-6 .. »2,1 62,, -ÖF AF ' und 62^ - »2/r ..... 2). Zusätze. 1. »2,> ist das harmonische Mittel von und»„; hingegen 62» das geometrische Mittel von 6» und »2--. 74 2. Da 4lD < SD < SD -s- DD < SD -f- DD ist, so ist auch 6/r 6Z/r ^2/r ^>1 ^/r ..... 3). 3. Man findet 2 6/r 6/r , . ^2/r 62^ ^2?r 6-r - j 6,r - > " 6^). 6?r "fi ^-/r 6/r -s- rL/t s /? i «°M» -^7 < 77^77 - ist also auch «2» g, («,t 6,i) . . - 4). b) Wenn einem Kreise die regelmäßigen «-Ecke und 2«-Ecke ein- und nmgeschrieben sind, aus den FlächenD„ und D>der »-Eck die Flächen D2» und der 2»-Ecke zu berechnen. Auflösung. In der Figur 96 ist S^D SSD -A4, SSD -- A", SSD — -A^, 2« 2« 2« 4,r 2i7„-r72,. S^lD S^ SD SSD 0L0 - -4,7—. Aus - OS - ööö folgt A- -- -At. also -L,- -- VL7T S). ^/2?r ^/r Ferner findet man SSD SD SS^SD^SSD D2,- SDD DD — SD SD SSD' 2 S» - D2,, S„ - 7-7 2D2»D„ und Dz» --- . . . . b). ^2/r -j- o» Zusätze. 1. Dz» ist das geometrische Mittel von L und D„; hingegen das harmonische Mittel von und D„. 2. Es ist < SSL < S6'LL < 6SD, also auch D,i , nud r-, so ist nach dem Vorausgehenden F> : — n, also — Ä-a! und — 2^7-. 3. Die Peripherien zweier Kreise Verhalten sich wie ihre Durchmesser oder wie ihre Halbmesser. Zusätze. 1. Die Zahl n ist irrational, denn sie lässt sich weder durch das obige, noch' durch ein anderes Verfahren vollkommen genau berechnen. Dian kann sie jedoch durch rationale Zahlen mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit dar¬ stellen. Bereits Archimedes von Syracns (278 bis 212 v. Thr.) fand durch Betrachtung der regelmäßigen 96-Ecke, dass das Verhältnis der Peripherie zum Durchmesser zwischen 3-^ und 3^0 — 3 ? enthalten sei. Die letztere Zahl pflegt man daher als „das Archimed'sche Verhältnis" zn bezeichnen. Lndolph van Ceulen (um das I. 1600 u. Chr.) berechnete n auf 35 Decimalstellen 77 und sand n — 3'1415926536 .... Metins, ein Zeitgenosse Lndolphs, setzte für 355 die Zahl , welche sechs richtige Decünalstellen liefert und in der Form 113j355 dem Gedächtnisse leicht eingeprägt wird. Die höhere Mathematik liefert weit bequemere Niethoden zur Berechnung der Lndolph'schen Zahl. 2. Wenn bei der Berechnung von n nur sieben Decünalstellen berücksichtigt werden, so erhält man von n — 96 an jede der Zahlenund als das arith¬ metische Mittel der beiden vorausgehenden. Ist nämlich « 5, so findet man a Z- 5 . (Va — Vö)" 1 / a — V (« — 5)^ 1 2 (Vö- Z- vW' also auch — V«5 < 1 1 Für a --- --- 0-3185372 und 5 ----- - ---- 0'3181962 ist nun 643 ^9« ----- 0'000000045 . somit kann - ---- -j- H gesetzt werden u. s. f. K 114. Rectification drr Krclsbogrn. ZweiBogen desselben Kreises oder gleicher Kreise verhalten sich wie die zugehörigen Centri- Win k c l. Beweis. Da in demselben Kreise oder in gleichen Kreisen zu gleichen Centri- winkcln gleiche Bogen gehören, und da der Summe zweier Ceutriwinkel die Summe der zugehörigen Bogen entspricht, so lässt sich dieser Satz analog wie der Lehrsatz a) im 8 92 oder auch mittelst des allgemeinen Prvportionalitätssatzes (tz 92, 1. Zusatz) beweisen. Folgesatz. Jeder Kreisbogen 5 verhält sich zur Peripherie desselben Kreises wie der zum Bogen gehörige Ceutriwinkel cc zum vollen Winkel. 5 : — cr: 360- worin « in Graden ausgedrückt sein muss. Daraus erhält man " 360 — IM' K 113. Das Sogemmch der Winkel. , 5 , 180 ö M« i -- s"'»' ',7 -° «d - - Man sieht also, dass das Verhältnis 5 : d. i. die Längenzahl eines Bogens in Bezug auf den Nadins als Längeneinheit, durch den zugehörigen Ceutriwinkel eindeutig bestimmt ist und umgekehrt. Daher wird jene Längenzahl dazu benützt, um die Größe eines Winkels unzweideutig auszudrücken, und heißt das Bogenmaß des Winkels (im Gegensätze zum Gr ad maße, d. i. dem Ver¬ hältnisse des gegebenen Winkels zu einem Grade). 78 Man pflegt das Verhältnis 5 : mit m-c« (spr. m-c^s«) zu bezeichnen und hat dann ^cc . 180 «1-6« — und « — - are«. 180 n So z. B. ist M'0 360° — 2 ^r, M'6 1800 — M'6 900 — goo — u. s. w. Soll «no « — 1 sein, so muss cc — — 57° 17' 44'8" ge¬ nommen werden; es ist also ano (57° 17' 44'8") — 1. Die eben besprochene Beziehung eines Winkels znm zugehörigen Bogen wird häufig in der folgenden Weise ansgedrückt: Jeder Winkel hat den zugehörigen Bogen znm Maße. Dieser Satz lässt sich jedoch auch so deuten, dass das Verhältnis eines Bogens zu einem Bogengrade gleich ist dem Verhältnisse des zugehörigen Ccntri- winkels zu einem Winkelgrade (Z 114), dass also Bogen und Winkel in Bezug auf die genannten Einheiten gleiche Maßzahlen besitzen. Onadratnr -es Kreises. 8 116. Flächrnznhl einer krummlinig begrenzten Fläche. Ist eine gegebene Fläche ganz oder theilweise von Cnrven begrenzt, so denke man sich die krummen Begrenzungslinien derart durch gebrochene ersetzt, dass die Eckpunkte der letzteren in den ersteren liegen. Nun lasse man die Längen der Sehnen beständig ab¬ nehmen und daher die Anzahl derselben immerfort zunehmen. Wenn sich zugleich ein Grenzwert auffindeu lässt, welchem die Flächeuzahl des Ersatzpolygones durch hinlängliche Vermehrung der Seitenanzahl beliebig nahe kommt, so heißt derselbe die Flächenzahl der gegebenen Fläche und die Berechnung desselben die Quadratur der Fläche. § 117. Flächenzahl des Kreises. Ares den Ungleichungen 7) und 8) im tz 111 erhält man die Relationen Flg -^12 -^24 s-24 ^12 ^6 NNd ^42 - (vg - L«), ^4 - (^0 - ^) Daraus folgt, dass sich die Zahlens, L,^, . . . zunehmend und die Zahlen ^12, ^24, - - - abnehmend ebendemselben Grenzwerte nähern. Man kann diesen direct mit Hilfe der Gleichungen 5) und 6) im § 111 berechnen und findet, dass die Flächenzahl des Kreises in Bezug ans das Quadrat des Radius als Flächeneinheit ebenfalls n ist. Aich kürzeren: Wege gelangt man zu diesen: Resultate mittelst der Gleichung (H 109 «), wenn man darin die Zahl 79 n ohne Ende wachsen läßt. Wird nämlich die Flächenzahl des Kreises mit bezeichnet, so ergibt sich — n--? oder 7^ : — ar. Folgesätze. 1. Das Verhältnis der Kreisfläche zum Quadrate des Radius ist für alle Kreise constant. H — ar. 2. Der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich dem halben Products aus der Peripherie und dem Radius oder gleich dem Products aus dem Quadrate des Radius und der Lndolph'schen Zahl. ar--?. 3. Die Flächen zweier Kreise verhalten sich wie die Quadrate ihrer Halb¬ messer oder ihrer Durchmesser. 8 118. Kreisriug, Kreissektor und Kreissegment. Den Flächeninhalt eines Kreisringes berechnet man nach der Formel — N--2 - ^2 - ^2^ — (7. (7. - ,-^). L) Zwei Sectoren desselben Kreises oder gleicher Kreise verhalten sich wie die zugehörigen Centriwinkel. Beweis analog wie beim Lehrsätze a) im 8 92 oder nach dem allgemeinen Proportionalitätssatze (Z 92, 1. Zusatz). Folgesatz. Jeder Kreisscctor F verhält sich zur Kreisfläche wie der zum Sector gehörige Centriwinkel cr zum vohen Winkel. F — cr : 360, worin cr in Geraden ausgedrückt sein muss. Daraus erhält man « _ ar--?« — 360 360"' 0) Ist das Segment kleiner (größer) als der Halbkreis, so kann es als die Differenz (Summe) aus dem zugehörigen Sector und einem Dreiecke aufgefasst werden. Die Berechnung des Flächeninhaltes gelingt mittelst der vorausgehenden Lehren der Planimetrie nur in wenigen Fällen; in der Regel muss die Rechnung auf trigonometrischem Wege durchgeführt werden. Ebene Trigonometrie. I. Abschnitt: Linteitung. 8 119. Erklärungen. In der Planimetrie wird die Aufgabe gelöst, mittelst der gegebenen Bestimmungsstücke eines Dreieckes dieses selbst, also auch die unbekannten Seiten und Winkel desselben durch Konstruktion zu finden. Soll nun dieselbe Aufgabe auf dem Wege der Rechnung gelöst werden, so sind hiezu neue Begriffe und Sätze erforderlich, deren Gesammtheit mau mit dem Namen ebene Trigonometrie bezeichnet. Die gegenseitige Abhängigkeit zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreieckes wird in der ebenen Trigonometrie durch die 80 sogenannten Winkelfunctionen ausgedrückt; cs siud dies Verhältniszahlen gewisser Strecken, welche weiter unten genauer besprochen werden. Die allgemein^ Lehre von den Winkelfunctionen, ohne Rücksicht auf deren Verwendung in der Trigono¬ metrie, heißt Goniometrie. Zusatz. Die (ebene und sphärische) Trigonometrie ist in den Ländern mit griechi- scher Cultur wegen ihrer großen Bedeutung für die Feldmessung und insbesonders für die Astronomie bald nach der Verbreitung der planimetrischen und stereometrischen Lehren durch Euklides (um das Jahr 300 v. Chr.) ausgebildet und gepflegt worden. Als Begründer der Trigonometrie bezeichnet man die Astronomen Hipp arch von Nicäa (im 2. Jahrhundert v. Chr.), Mene laus von Alexandrien (um das Jahr 100 n. Chr.) und insbesonders Ptolemäus v. Alexandrien (im 2. Jahr¬ hundert n. Chr.). Unabhängig von den Griechen haben auch die Inder eine Trigonometrie ausgebildet. Dieselbe ist ebenso wie jene der Griechen durch die Araber im Abendlande verbreitet worden. 8 120. Strecken als relative Größen, a) Wenn die Strecken nach der im Z 6 gegebenen Erklärung als relative Größen aufgefasst werden, so erkennt man leicht, dass die Strecken Ul 7? und 71U. entgegengesetzte Großen sind; d. h. es ist -4 71-s-7t Ul — 0 und 71-4-^ —-4 F. b) Sind Ul, 7t, (7 drei beliebige Punkte einer Geraden mit festgesetzter positiver Richtung, so besteht zwischen den von den Punkten begrenzten Strecken die Gleichung -47t -4(7-s-(7L. Beweis. Liegt <7 zwischen -4 und 71, so UZ — leuchtet die Richtigkeit der Behauptung unmittel- bar ein. UI?-—U Liegt L zwischen -4 und <7, so hat man ^47t-j-L<7, daher ^4L L<7 §77 Fjg Liegt -4 zwischen -8 und <7, so findet man zunächst 71(7— 7t Ul -s- -4 d und daraus Ul 7Z — — ^1(7—71(7 ch(7ch- OL o) Sind U.^,-4z,-4z,...-4„ beliebige Punkte einer Geraden mit festgesetzter positiver Richtung, so besteht die Gleichung -4^-4„ — ch- ulz -4g ch- ... ch- -4»—i -4„. ' -Beweis (mittelst Schlusses von auf n ch- 1). Nimmt man die zu be¬ weisende Gleichung sür irgend eine Zahl n als richtig an und fügt in der ge¬ gebenen Geraden noch einen Punkt -4^i hinzu, so ist nach dem Satze b) -4, -4,^i ch--4„ -4„^i, somit -P -4„^.i -4^ -4^ ch--4z -4» -s- ... -s- -4^—1-4„ -f- Ul„Ul^i. Die zu beweisende Gleichung gilt somit auch für n ch- I Punkte. Da sie nun für n — 3 besteht, so besteht sie auch für n — 4, daher für n — 5 u. s. f. 81 8 121. Winkel als relative Größen. a) Nach der im Z 7 gegebenen Er¬ klärung über Winkel als relative Größen entspricht jedem positiven Winkel (ab) Fig. 98. ein negativer, welcher ebenfalls a als ersten rind b als zweiten Schenkel hat. Der erste Winkel entsteht durch eine positive Drehung des Schenkels a und ist daher positiv (z. B. -st 60° in Fig. 98); dec zweite entsteht durch eine negative Drehung des Schenkels a und ist daher negativ (in dem obigen speciellen Falle — ZOO"). Zwei Winkel, welche einander in dieser Weise entsprechen, stimmen in der Aufeinanderfolge und in der gegen¬ seitigen Lage ihrer Schenkel überein; sie unterscheiden sich also nur durch ihre Entstehung. Aus dem Nachfolgenden, namentlich aus Z 123, erkennt man, dass in allen trigonometrischen Erklärungen und Lehrsätzen nur die Aufeinanderfolge und die gegenseitige Lage der Schenkel, hingegen nicht die Eutstehungsweise der Winkel berücksichtigt wird; daher darf man in der Trigonometrie zwei Winkel, welche sich nur durch ihre Entstehung unterscheiden, als gleich betrachten und in gleicher Weise, etwa mit (ab) bezeichnen. Folgesatz. Die Winkel 0", 47S, 8Ä,... können als gleich angesehen wer¬ den; ebenso die Winkel a und « 4 n L, wo n eine beliebige ganze Zahl bedeutet. b) Sind a und b zwei beliebige von demselben Punkte aus¬ gehende Halbstrahlen, so können die Winkel (ab) und (ba) als entgegengesetzte Größen b e tr a chtet w e r d e n ; d. h. es ist (a b) -st (b a) — 0 und (ba) — —(ab). Beweis. Aus den dreiTheilen der Fig. 99 erkennt man, dass (a b) -st (b a) — 0, — 4 Ä oder — — 4 Ä ist, je nachdem die Winkel (ab) und Fig. 99. (b a) ungleich bezeichnet, beide positiv oder beide negativ sind. Nach dem Folge¬ sätze in a) kann man also stets (ab) -st (b a) — 0, somit auch (b a) — — (ab) setzen. ch Sind a, b, o drei beliebige von einem Punkte ausgehende Halbstrahleu, so besteht die Gleichung (a b) — (a ch -st (o b). Beweis. Die drei gegebenen Halbstrahlen haben in dem einen Drehungssinue die Reihenfolge a, o, b. Wenn die Winkel (ab), (ach, (ob) auch in demselben Drehungs¬ sinne genommen werden, so ist offenbar (« b) — (a o) -st (o b). Hočevar, Geometrie für Oberrealschulen. ' 6 Fig. 1Oo 82 Nach a) kann nun der positive Winkel (a ö) durch den negativen Winkel («ö) ersetzt werden oder umgekehrt, u. s. f. Daher gilt die eben abgeleitete Gleichung in allen Fällen. ci) Sind Kl, «2, «z, - - beliebige von einem Punkte ausgehende Halbstrahlen, so besteht die Gleichung («z «st — («z «z) st- ^s) st- - - - st- (^n—I Der Beweis ist jenem in 8 120 a) analog. Zusatz. Dieser Lehrsatz bleibt auch dann richtig, wenn die Halbstrahlen «l, «z, «z, ... «„ nicht von demselben Punkte ausgehen. Denn zieht man von irgend einem Punkte den Halbstrahl ö^ direct parallel zu «^, den Halbstrahl öz direct parallel zu «2, u. s. s., so ist (ö^ ö st ----- (ö^ öst st- (öz öst st- ... (ö»-i öst und (bl öst («^ «„), (öl ög) ----- («l «2) u. s. f. (8 18 ö). Daraus folgt wieder («l «st — («l «s) st- («2 «z) st- - -. st- (a,,— 1 ast. K 122. Rechtwinkliges Loordinatenchstem. Man bezeichne mit Hst X und Gerade und mit 0 ihren Durchschnittspuukt. In der ersten Geraden nehme man die Richtung von Hst nach X und in der zweiten jene von Ist nach iU als positiv an. Um nun die Lage irgend eines Punktes Hs der Ebene in Bezug auf die gegebenen Geraden zu bestimmen, ziehe man durch Hs Parallele zu denselben und bezeichne mit und 6 die Durchschnittspnnkte der Parallelen mit Xl Hs beziehungsweise Ist K Die Strecke Osst welche nach der für Strecken aufgestellten Zeichen¬ regel (8 6) positiv oder negativ zu nehmen ist, OHs oder OHst fällt, heißt die Abscisse des Punktes Hs und wird zur Abkürzung mit -v bezeichnet. Die Strecke OH (oder auch die Strecke s^Hst, welche positiv oder negativ zu nehmen ist, je nachdem die Richtung von 0 nach H (also auch von nach Hs) mit der positiven Richtung der Geraden Ist lU übereinstimmt oder nicht, heißt die Ordinate des Punktest und wird zur Abkürzung mit -/ bezeichnet. Die Strecken -v und -/ heißen die Coordinaten des Punktes Hs. Die Gerade Hst Hs wird die Ab sc iss en- oder «-Achse und die Gerade Ist lU die Ordinaten- oder -/-Achse genannt. Beide haben den gemeinschaftlichen Namen Koordinatenachsen und bilden ein rechtwinkliges Koordinatensystem. 0 ist der Anfangspunkt oder Ursprung desselben. Die beiden Koordinatenachsen zerlegen die Ebene in vier Theile, welche in der aus der Fig. 101 ersichtlichen Aufeinanderfolge erster, zweiter, dritter und vierter Quadrant heißen. In der nachfolgenden Tabelle sind die Vorzeichen der Coordinaten für die Punkte der vier Quadranten znsammengestellt: Ist iU zwei zueinander normale Fig. 101. e nachdem s) in den Halbstrahl 83 Für jeden Punkt der Abscissenachse ist z/ —0; für jeden Punkt der Ordi- natenachse ist n — 0. Dem Ansangspilnkte entsprechen die Coordinaten » — 0 und 0. Aus den vorausgehenden Erklärungen folgt, dass jedem Punkte der Ebene bestimmte Coordinaten entsprechen, und dass umgekehrt durch die Coordinaten oder deren Maßzahlen die Lage eines Punktes eindeutig bestimmt wird. II. Abschnitt: Goniometrie. § 123. Erklärung der Winkelfunktionen. Es sei ein rechtwinkliges Coordinatensystem gegeben, und man denke sich einen Halbstrahl um den Anfangspunkt 0 aus der Lage OX in die Lage OÄ gedreht. Der dadurch beschriebene Winkel heißt ein Winkel im 1., 2., 3. oder 4. Qua¬ dranten, je nachdem O L im 1., 2., 3. oder 4. Qua- dränten liegt. Man nennt übrigens auch jeden Winkel cc ohne Rücksicht aus seine Lage in Bezug auf ein Coordinaten¬ system „einen Winkel im 1., 2., 3. oder 4. Quadranten", je nachdem 0 < cc L, L < cc < 2L, 2L < cc Fig. 102. < 3 s? oder 3^<«<4Ä ist. Um die Winkelfunctionen des Winkels — « zu erhalten, wähle man einen beliebigen Punkt As des zweiten Schenkels 0 A und konstruiere seine Coordi¬ naten 0^ — co und s^As—?/. Die Strecke OAs wird der Leitstrahl oder Radius v e c tor des Punktes As genannt uud mit bezeichnet. Der Leitstrahl ist stets positiv; da nämlich der den Winkel beschreibende Halbstrahl seine positive Richtung nicht sprungweise ändern darf, so muss dieselbe mit Rücksicht auf die Positive Richtung in dem Halbstrahle O X auch in der Lage 0 Ä von 0 gegen s? genommen werden. In dem rechtwinkligen Dreiecke Os^As lassen sich nun sechs Verhältnisse je zweier Seiten bilden, u. zw. dieselben heißen in der gleichen Reihenfolge: Sinus, Cosinus, Tangente, Cvtangente, Secante und Cosecante von « und werden in folgender Weise bezeichnet: 6* 84 v . as V —- 8M «, — — eos «, — t<7 cc, n as as — — oota cc, — — se« «, — — eose« cc. Zs as z/ Diese Verhältnisse haben den gemeinschaftlichen Namen Wi n ke l sn n c ti o n e n oder goniometrische Functionen des Winkels cc; man nennt sie auch einfach Functionen des Winkels «, wenn eine Verwechslung mit anderen Functionen nicht zu befürchten ist. Wenn nämlich zwei Großen H und L der¬ art von einander abhängen, dass jedem Werte von H. ein bestimmter Wert oder eine Reihe bestimmter Werte von L entspricht, so heißtL eine Function von^. Man erkennt leicht, dass die Quotienten n. s. f. wirklich Funktionen des Winkels cc sind; die gegenseitige Abhängigkeit dieser Größen wird im Nachfolgen¬ den genauer besprochen werden. Hingegen sind jene Quotienten von der Lage des Punktes Hs in dem Halbstrahle O L oder also von der Größe des Leit¬ strahles unabhängig. Denn ist Hss (Fig. 102) ein beliebiger von 0 und Hs verschiedener Punkt in 07? und 7H seine Projection auf die as-Achse, so findet man Z>HI- H s, 0 7°^ 07°, 6>Hs — O H/, ' 0Hs — OH7, '' Ist z. B. «30°, so erhält man nut Hilfe der Fig. 103 und as — ^V3. Daraus folgt 8-i-r 30" — , eos 30" — VZ^ tF 30" — _ y ootc/ 30" — V3, 866 30" — - — 60866 30" — 2. V3 Fux a^-450 gzVz, Daraus folgt «i-r 45°-----eos 45°-^-^, tA 450 — 45" — 1, 8S6 45" ---- 60866 45" — V2. Folgesatz. Aus der Erklärung der Winkelfnuctionen erkennt man, dass die¬ selben nur von der Aufeinanderfolge und der gegenseitigen Lage der beiden Schenkel OX und 07? abhängig sind. Hingegen ist der Drehungssinn des Halbstrahles, welcher den -HU 0 7? beschreibt, ohne Einfluss auf die Größe der Winkelfunctionen (8 121a). Zusatz. Aus der Definition des Cosinus ergibt sich sofort der folgende häufig benützte Lehrsatz: Wenn eine gegebene Strecke einer Geraden auf eine zweite Gerade profitiert wird, so ist die Projection gleich dem Produkte aus der Strecke und dem Cosinus des Winkels, welchen die posi¬ tiven Richtungen der beiden Geraden ein sch ließen. 85 Fig. 104. s"/. /. Beweis. Es seien und ^7? die gegebenen Geraden mit den positivm Richtun¬ gen von nach X und von 7^ nach L Daun ist K) « der Winkel, welchen die positiven Richtungen der beiden Geraden ein¬ schließen. Wenn zunächst die Strecke 6>M ans projiciert wird, so ist nach der Defini¬ tion des Cosinus 07^ — OM oos «. Nun denke man sich OM längs 7^7Z verschoben und beachte, dass die Größe der Projection dadurch nicht geändert wird. Ist also OM -- k/Uj so ist auch 07---^^ also V, — riiUcos«. Der Strecke 7'.8 entspricht dis-Projektion und^egen TF — — FT', ist auch ---- T F cos «. /ML7 K 1L4. Graphische Darstellung der U.UnkrltHnröon«i. «) Istgleich der Längeneinheit, so hat man srn « z/ und eos worin -v und r/ die Längenzahlen der Koordinaten bedeuten. Man beschreibt daher einen Kreis, dessen Centrnm der Anfangspunkt des Koordinatensystems und dessen Radius die Längeneinheit ist, und konstruiert die Koordinaten des Punktes in welchem der zweite Schenkel 07^ des betrachteten Winkels K77^ den Kreis durchschneidet. Die Längen¬ zahl der Ordinate ist dann der Sinus und jene der Abscisse 07^ der Cosinus des Winkels K) 7^. Um sich kürzer anszndrückeu, nennt man den Sinus und 07^ den Cosinus des Winkels K)7^. Ebenso verfährt man, wenn Fig. 105. einer der Winkel XO Lz, K)Lg, K>^ u. s. f. gegeben ist. 2, Flg. 100. die Secante ö) Für cv — 1 ist und sse « — worin und 7- die Längenzahlen der Ordinate und des Leitstrahles bedeuten. Man beschreibt daher einen Kreis mit deni Centrum 0 und dem Radius 1 und konstruiert im Punkte 7l, in welchem /'der Halbstrahl OX den Kreis dnrchschneidet, die ' Tangente des Kreises. Nimmt man in derselben die Richtung von Zf nach 75 als positiv . an, so ist die Längenzahl von ^l Ms die Tangente und jene von 0 Ufi die Secante des Winkels K)M,. Ebenso verfährt man, wenn ein Winkel im 4. Quadranten, z. B. K>7^, gegeben ist. Um die Tangente und 86 eines Winkels im 2. oder 3. Quadranten, z. B. von K)Äz oder K)Ag graphisch darzustellen, verlängert man den zweiten Schenkel über 0 hinaus bis zum Durchschnitte mit der Geraden Es ist z. B. tA (K)Lg) — — ÖstZ" """ «so (K)Lz) 0^' 0 . Also Pt (dle Langenzahl von) die Tangente und (jene von) OMz die Secante des Winkels XOLz. Beide sind im vorliegenden Falle mit Rücksicht auf die allgemeine Zeichenregel für Strecken negativ zu nehmen. e) Für A — 1 ist ootA cc — as und cossa cc — Wenn 0 /1 als Längeneinheit genommen wird, so findet man auf analogem Wege wie im Falle ö), dass (die Längen¬ zahlen von)Z4^, ZMz, Ztbsg, ... die Eotangenten und (die Längenzahlen von) 0^,04^,011^,... die Cosecantender Wü K 123. Änderungen der Ivinlielfnnctivncn, wenn der Ainlrel von Ü" bis 4Ä wächst. Beschreibt ein Halbstrahl von der Lage OX aus im positiven Sinne einen vollen Winkel, so ändern sich die Winkelfunctionen Sinus, Cosinus, Tangente und Cotangente entsprechend den Angaben der folgenden Tabelle: -s- — positiv, — — negativ, z. zunehmend, a. — abnehmend. Man erhält diese Resultate am einfachsten mittelst der graphischen Dar¬ stellung der Winkelfunctionen (§ 124). Die Secante und Cosecante sind als selten benützte Winkelfnnctionen an dieser Stelle übergangen worden und werden auch im Nachfolgenden in der Regel nicht besprochen. Die Bedeutung der Zeichen Äa und oo in der Tabelle soll an einem speciellen Falle erklärt werden. Wenn sich ein Winkel, welcher kleiner als L ist, 87 (zunehmend) dem Grenzwerte Ä nähert, so bleibt die Tangente des Winkels positiv und wächst über alle Grenzen. Somit ist der Grenzwert der Tangente in diesem Falle -s- so. Wenn sich hingegen ein Winkel, welcher größer als F ist, (abnehmend) dem Grenzwerte F nähert, so bleibt die Tangente dieses Winkels negativ, und ihr absoluter Wert wächst ebenfalls über alle Grenzen. Somit ist der Grenzwert der Tangente in diesem Falle — oo. Analog ist das Zeichen zu erklären. K 126. Lezirhiingm Wischen den Functionen desselben Winkels. Aus den Definitionsgleichungen der Winkelfunctionen (8 123) erhält man sofort die nachstehenden Relationen: 8r'n. cc 608 cc cc —- ... 1), oota cc — -... 2), ec>scc sr-r cc oot« cc —-... 3), 8S6 cc — - ... 4), 00866 cc — — ... 5). tg- cc 608 cc 8r»i.cc Drei weitere Gleichungen ergeben sich aus dem rechtwinkligen Dreiecke OFM, dessen Seiten der Lcitstrahl und die Coordinaten irgend eines Punktes ans dem zweiten Schenkel des betrachteten Winkels sind (Fig. 102). Welchem Quadranten auch dieser Winkel angehören mag, stets besteht die Gleichung — Daraus folgt (s)^(x)'--. d. h., wenn zur Abkürzung 8in^cc, co^cc, ... statt (oo8tt)^, ... geschrieben wird, 8r'-F« -s- 6c>8^cc — 1 ... 6), 1 Z- t^cc — 866^« ... 7), 1 -s- — 60866^« ... 8) . Diese drei Gleichungen lassen sich auch direct aus den Figuren 105, 106 und 107 ableiten. Ihre Richtigkeit für die speciellen Werte cc^O, Ä, 2 L, 3L ist im Vorausgehenden noch nicht bewiesen und muss durch directe Betrach¬ tungen dargethan werden. Zusatz. Die Relationen 1) bis 8) sind für goniometrische Rechnungen von der größten Wichtigkeit. Man kann sie dazu benützen, um aus einer gegebenen Winkelfunktion die übrigen Functionen desselben Winkels zu berechnen. Ist z. B. 8rncc — «und — 1« «, cos (F — cc) — srn cc, tA- (F — cc) srn (K — cc) oc>8 (K — cc) cc>s cc . > - — cota cc, oota lur — cc) sru cc — tace, sce (F — cc) — - 7^ - 7 - oc>8 (F: — «) 8ru cc 1 -. c r> - t 8ec cc. 8ru (uc — «) 60SS0 cc, 60866 (Ä — cc) Zusätze. 1. Aus den vorausgeheuden Gleichungen lassen sich die Namen Cosinus, Cotangens, Cosecans als Abkürzungen von ooruxlsiusuti sinus, o. tunAsus, «. 86OÄU8 erklären. 2. Die abgeleiteten Beziehungen lassen sich in folgender Weise zusammenfassen: Die Cofunction eines Winkels ist gleich der Function des komplementären 89 Fig. 110. Winkels. Unter der Cofunction des Sinus versteht man den Cosinus u. s. f. 3. Wegen späterer Anwendungen soll die Giltig¬ keit der Gleichungen sirr (L — oc) — ess cr u. s. f. für beliebige Winkel cc nachgewiesen werden. Es sei XOL — (n--) ein beliebiger Winkel und Ü5 ein Punkt auf dem zweiten Schenkel desselben. Man hat dann SM , cos (z/n) also SM (cxi-) — oos (r/n). Setzt man nnn (cv-') — «, so folgt (c/n) — (7/cv) -f- (cvT-) — cc — 2?. Daher ist SM cc — cos (cc — A) ----- oos (Ä — cc). Die letzte Gleichung geht durch die Substitution a — L — /S über in SM (Ä— /S) — oos<3, worin /? einen beliebigen Winkel bedeutet nud daher auch wieder mit cc bezeichnet werden kann. Daraus ergeben sich sofort die übrigen vier Gleichungen. K 129. ücsichnngen Wischen den Winkeln, welche zu derselben Function gehören. Während durch einen Winkel eine sede seiner Functionen eindeutig be¬ stimmt wird, entsprechen umgekehrt jeder Winkelfunction unendlich viele Winkel, welche jedoch in solchen Beziehungen zn einander stehen, dass sich aus einem derselben alle übrigen bestimmen lassen. cr) Denkt man sich den zweiten Schenkel OL eines Winkels — cc beliebig oft im positiven oder negativen Sinne um einen vollen Winkel gedreht, so kommt er immer wieder in seine ursprüngliche Lage; daher nehmen auch seine Functionen ihre ursprünglichen Werte an. Daraus folgt SM (cr Fi 4 n. A) — SM cc, oc>s (cr 4 n A) — oos cr n. f. f. Fig. 111. und K-Lg Zusatz. Dian nennt die Winkelfunctionen periodische Functionen des Winkels, da ihre Werte in derselben Reihenfolge wiederkehren, wenn der zweite Schenkel einen Umlauf vollendet hat. ö) Es sei XOL, — ce irgend ein positiver spitzer Winkel und die Strecke Oü^ auf dem zweiten Schenkel 0^ gleich der Längeneinheit. Dem Punkte entsprechen in den übrigen drei Quadranten Punkte -^4), deren Coordinaten dieselben absoluten Werte besitzen wie jene von Zieht man nun durch diese Punkte die Halbstrahlen OÄg, OÄg, 02^ und beachtet die Kongruenz der Dreiecke OZ^Ü^, OFz Fsz, OF'gü/g, OF, so erhält man Orbsi — OU/z — Ock^ ----- Ock^ — 2 L — «, MLz — 2 L-j- tt, XOL^ — 4L — cc. Daraus folgt 90 sirr « — ff- sin (2 L — cc) — — srn (2 L' ff- «) — — sin (4 L— «), cos « — 6os (2L — a) — — ess (23? ff- «) — ff- «os (4S— «). Mit Benützung der Gleichungen 1) und 2) in Z 126 erhält man ferner iA« -----— iA (23?—«) — ff- tA(23?ff-«) —— tA (43?—«), 6otA« ----- — eoiA (23? — a) — ff- eotF (2 3? ff-«) ----- — 60?F (43? — «). K 130. Functionen der Summe und der Differenz zweier Winkel. Sind M3? ----- (am) nnd MS — (ws) (Fig. 112 a oder 112 ö) zwei beliebige Win¬ kel, so mache man auf 01? die Strecke 0313 gleich der Längeneinheit und con- struiere die Coordinaten von Dann ist (die Längenzahl von) OS — eos (cer-) nnd (jene von) SÜ3 — sin (arr-). Bezeichnet man nun mit Fs, und 3ff die Projectionen der Punkte Fs und S auf den Halbstrahl OS oder auf dessen Ergänzung, so folgt OM) — 0^ ff- S^F^ (Z 120 ö), OF^ — oos (sr-), OS^ — OS oos (ars) — oos (arr-) oos (ars) (ß 123, Zusatz), 3ffM) — SF3 oos (r/s) — sirr (arr-) oos (r/s). Es ist also oos («»-) ------ ess (am) oos (ars) ff- sirr (am) oos (r/s). Setzt man in dieser Gleichung zur Abkürzung (am) — «, (ars) — /3, so ist (sr') — (sar) ff- (wr-) --- (am) — - (rvs) — « — /3, (r/s) --- (r/ar) ff- (ais) ----- (ars) — (ar?/) — /1 — 3? und ec>s (r/s) — oos (^ —- 3?) — oos (3? — /3) — «irr /1. Daraus folgt oos (« — /3) — oos « oos /3 ff- sirr « sirr ... 1). Diese Gleichung geht durch die Substitution 6 — A über in 6os (« ff- A) — oos « oos A — sirr « sirr A ... 2). Durch die Substitution a — 3? — «^ erhält man aus 1) und 2) 608 (3? — (cc^ ff- As — oos (3? — «^) oos ,3 ff- sirr (S — «^) sirr A oos (3? — — A )s — oos (3? — «^) 608 -— 8i?r (3? — «z ) 8irr A, oder mit Rücksicht auf Z 128, 3. Zusatz sirr («^ ff- /3) — sirr «^ oos /3 ff- oc>s «, sirr /3 ... 3), sirr («i — A) ----- sirr «^ oosA — oos «^ sirr/3^ ... 4). Die Gleichungen 1) bis 4) gelten für beliebige Werte der darin vor- kommcnden Winkel, weil « nnd /3, daher auch und /3^ keiner Einschränkung unterliegen. Man braucht also die Winkel « und nicht von einander zu unter¬ scheiden, ebensowenig die Winkel /3 und A, nnd erhält somit sirr A ----- «irr cc 608 /3 6vs « sirr /3, cos (« /3) — oos «608/3 sirr « sirr /3. 91 Aus diesen beiden Gleichungen folgt tA (c- ^ /?)---- sr» (cc 3) eos (cc ,3) sru cc ess ,3 cos cc sr'u 3 608 tt 608 ,3 8-in. cc 8r'u 3' , cc>s (cc /?) oc>8 « 608 6 -i- sr'u cc sr'u 6 oots /Z) — - -,--7 — —-- - 7 -77 8cu (cc /3) 8cu cc 608 3 1^: 608 cc 8r?r /3 oder, wenn Zähler und Nenner der letzten Brüche durch oo8 cc ce>8 ,3 beziehungs¬ weise sru cc sr'u /3 dividiert werden, t<7« t<7,3 , ootc-«oots /3^1 tu (cc 3) i 's , cot» (cc 3) — 's - . 1 -1- tF cc tF 3 ootA /3 60tF cc 8 131. Functionen des doppelten Winkels. Durch die Substitution 3 —cc erhält man aus den vorausgehenden Gleichungen 8in 2 cc — 2 8c'rr cc 608 cc, 00s 2 « — 608^vc — 8Ür^tt, tA 2 cc — cotA 2 cc — 2 tA cc 1— tA^ cc' ootA^ cc — 1 2 ootA cc K 132. Functionen des halben Winkels. Aus 1 --- co.--^« -s- 8-i»^ « und 608 2 cc — 608^ cc — 8cu^ cc folgt durch Subtraktion und Addition 1 — 608 2 cc — 2 8cu^ u und 1 -s- 608 2cc — 2 608? «, also V /l — 608 2« , X /1 -s- 6v8 2cc 8cu cc — - - UNd 608 cc — -. Setzt man 2« — ,3 und ersetzt schließlich ,3 wieder durch cc, so ist 1 — 608 cc , cc X / 1 -fi 608 « -y-und cos — F: X Daraus ergibt sich ferner cc V/1— 6c>8« < cc X/1-i- 6v8« tu Lr — Fi V ^-7— 7- und ootu - — X/ ,-. ^2 1 -s- co8 cc ^2 ^1 — 608 cc Liegt cc zwischen 0 und 2^S, so sind alle Functionen von positiv; liegt es zwischen 2A und 4 L , so ist nur 8ru ^»ud cosee positiv u.s.f. 8 133. Verwandlung der Lummen oder Differenzen von Winkelfunktionen in cprodncte. «) Mittelst der Gleichungen im 8 130 findet man 8ru (cc -s- /3) -s- 8iu (cc — /3) — 2 8cu cc 608 3, 8ru(cc-s-/3) — 8ru (cc—3) — 2 608oc8ru3, 608 (cc -s- 3) Z- 608 (cc — 3) — 2 co8 cc 608 3, 608 (cc — 3) — 608(cr-s-3) — 2 8cu cc8r'u3, Setzt man darin «-Z3 — / nnd cc— 3 — 3, so folgt 92 2 , . > . . l>L>' -s-7— 4 / 4—4^ o) s-c» / -j- oos o — sr» / -s- sr» (7r — c>) — 2 sr»--608--. e) Unter der Voraussetzung «-j-/?fi-/---2L findet man si» or -s- si» ,3 Z- sr» / ".or-4-Z cc — /3 , ^, . / / / cc—/? , „ «-s-/3 / — 2 sr» —ch-608 —-s- 2 sr» ^oos — 2 cos ^-cos —-l- 2 oos —— cos F 2 2^22 22^ 22 — 2 oos (oos ""2"^ E — 4 oosoos oos (ZZ 138 cc, 131, 128 und 130). sr» « — sr» 6 cc—/? ch --U_ - cos cc fi- oos ,3 ^2 Diese und ähnliche Formeln werden vorzugsweise daun angewendet, wenn gewisse goniometrische oder trigonometrische Rechnungen mittelst der Logarithmen durchzuführen sind. K 134. Serrchming drr Mnkklfumtionen. Aus Z 129 geht hervor, dass man die Functionen beliebiger Winkel stets auf jene von spitzen Winkeln zurück¬ führen kann. Nach Z 128 ist ferner jede Function eines Winkels zwischen 45" und 90° gleich der Cofunction des komplementären (zwischen 0° und 45° lie¬ genden) Winkels. Es genügt ferner, nur den Sinus und den Cosinus der Winkel im Intervalle von 0° bis 45° direct zu berechnen, weil dann die Tangente und die Cotangente mittelst der Gleichungen 1) und 2) im Z 126 gefunden werden. Um z. B. den Sinus und den Cosinus für alle von Minute zu Minute aufsteigenden Winkel zu berechnen, benützt man die leicht beweisbaren Gleichungen si» (« -s- 1') — si» « čas 1/ Z- aas cc si» 1/, Fig. 113. oos (cc -fi 10 — 608 a 608 u — si» cc si» 1/. Die Functionen si»U und oosU werden in folgender Weise direct berechnet. Es sei /3 irgend ein spitzer Winkel und der Radins 0^4 des Kreisbogens ^444 gleich der Längeneinheit. Zieht man T OX und KU, so ist 4^4 — si» /3, ^41V — tA und Bogen 7kck4 — cecno Nun findet man /X 0^445 < Sector 0^4114 < /X also 6>^.4>iI4 . mt 2^2 2 ' 93 si» /? < «7-0 /? < tA ^. . . 1). Daraus solat 1 < " sr» p oos p sr» /? 1 > - ,7 > L08 tt. . . 2). a»6 p Nach K 131 ist ferner 1 — oos/S — 2 sr»^ und wegen sr»-^ oos /7 und «r-o /7 > sr» /? ist, so folgt wegen a,-e 1' — „ — 0'0002908882 ... "iv n 180.60 0<1 —oos 1'< 0'0000000423 ..., 0 < a»o 1' — sr» 1' , also auch ar, da y) be¬ kannt ist. o) K SM ^Lv-j-ö 60S^LV-j- 6 SM LV VOS LV — . Man ersetze durch (oos^ar -j- sM^-v) und dividiere hierauf beide Theile der Gleichung durch cos^-v. Man findet (« — — 4 L . . SM LV ö) LV -4- r/ — ce, -7— — M. ' SM i/ SM LV . SM LV — SM ?/ SM LV -4- SM 1/ . . Alan findet -1 --.-— 1, -. ---- 1, srrr^ SM ?/ . SM A „ SlN LV-SM v M—1 — . also —7 - -- — — - . Daraus folgt (8 133 a) SM LV -s- SM «r -j-1 I o / -v — -m,— 1 « .. 2 z - In manchen Fällen ist es zweckmäßig, einen Hilfswinkel P durch die Gleichung m. ----- einzuführen. Man erhält dann —1 _ tFyo — 1 tv-ho — ta4Z0 M-j-1 — 1 -fitA P ^45« — —)' "lso 95 . .2). Aus 1) oder 2) ergibt sich —also auch -v und wie in ch). Zusatz. In der letzten Aufgabe muss « ^2Lsein; denn für « — 2L wäre -r-s-r/ — 2K und 1. Je nachdem nun die Größe M in der zweiten Gleichung von der Einheit verschieden oder derselben gleich ist, steht diese Gleichung im Widerspruche zur ersten oder ist eine Folgerung aus derselben. (Übrigens sind auch die Werte « — 0 , 4L, 6L,... ausgeschlossen.) III. Abschnitt: Auflösung der Dreiecke. Fig. 114. ö a ö Los ec — - , tq- « — , ootq- « — —. o ' ö a Ä — «hat man ferner oos /? — , cotA . 8 136. Das rechtwinklige Dreieck. Um ein rechtwinkliges Dreieck au fzu lösen, d. h. die unbe¬ kannten Umfangsstücke aus den gegebenen Be- ^stimmnngsstücken desselben zu berechnen, benützt man außer dem Lehrsätze von der Winkelsnmme des Dreieckes und dem Pythagoräischen Lehrsätze die Desinitivnsgleichnngen der Winkelfunctionen. Legt man nämlich das gegebene Dreieck entsprechend der Fig. 114 in ein rechtwinkliges Coordinatensystem, so erhält man nach § 123 . « « — — , 6 Wegen - « 'b «r-r a — — , e Folgesätze. 1. Jede Kathete ist gleich dem Producte aus dem Sinus des Gegenwinkels oder dem Cosinus des anliegenden (spitzen) Winkels und der Hy¬ potenuse. 2. Jede Kathete ist gleich dem Producte ans der Tangente des Gegenwinkels oder der Cotangente des anliegenden (spitzen) Winkels und derf anderen Kathete. Bei der Auflösung eines rechtwinkligen Dreieckes aus gegebenen Umfangs¬ stücken können vier verschiedene Fälle Vorkommen. 1. Gegeben: eine Kathete und ein spitzer Winkel, z. B. «und «. Auslösung:/? — A — «, b — « cotF «, o — 2. Gegeben: die Hypotenuse o und ein spitzer Winkel, z.B. « Auflösung: /1 — 1? — «, « — o sin«, 5 — ooos«. 96 Auslösung: tA cc — , /3 — 7? — «, e — — . Die Formel o — dann za benützen, wenn sich die Qua- drate von « und ö ohne längere Rechnung bilden lassen. 4. Gegeben: die Hypotenuse o und eine Kathete, z. B. «. Auslösung: sin a — , /3 — K — «, 5 — V lo — a) so -s- a). Ist a nahezu — e, also sr'n« nahezu — 1, so zeigt ein Blick in die Logarithmentafeln oder auf die Figur 105, dass eine scharfe Bestimmung des Winkels ans dem bekannten Werte des Sinns nicht möglich ist. Man findet z. B., dass der Gleichung sln « — 9 -99977 in fünfstelligen Tafeln die Winkel 8807h 88°8' und88° 9' entsprechen. In diesem Falle ist es Vortheilhaft, die aus den Gleichungen oos/3 — und tA — X / abgeleitete Formel 6 » 1-j-608/3 tF — V / lrlS— zu benützen. v o-s- a Zur Controls der Rechnung kann in den ersten zwei Fällen der Pythagoräische Lehrsatz in der Form — ö) (c-j-b) Mr H2 — «) (a-j-a) und in den letzten zwei Fällen etwa die Gleichung t F verwendet werden. 8 137. Das gleichschenklige Dreieck. Die Auflösung des gleichschenkligen Dreieckes ^lL<7 lässt sich offenbar auf jene des recht¬ winkligen Dreieckes ^lD(7 zurücksnhren. Das gleich¬ schenklige Dreieck wird auf drei verschiedene Arten durch Umfangsstücke bestimmt: 1. durch die Grundlinie und einen Winkel, 2. durch einen Schenkel und einen Winkel, 3. durch die Grundlinie und einen Schenkel. Wenn z. B. « und gegeben sind, so erhält man «— 2 L - 2 ,3 , 5 : aas /3 u. s. f. § 138. IlcgclmWige Polygonr. Gegeben: Die Seiten anzahl n und eine Seite a eines regelmäßigen Polygones. Man berechne den Radius p des eingeschriebenen Kreises, den Radius -- des umgeschriebenen Kreises und den Flächeninhalt 97 Auflösung. Es sei ^47? — a eine Seite des § regelmäßigen Polygones und 0 der Mittelpunkt des- /IX selben. Zieht man 0(7 -47?, so ist 0(7 --- p, / „ 180° 27? / -40 — 7? 0--' und <707? — - — — . / n n Somit ist p — " ootA »' —- n - und Fig. 116. „ -ra« -ra^ 27? 7^— ——>- — ,— coto . 2 4 n Fig. 117. K 139. Trigonometrische Lehrsätze für beliebige Dreiecke. «1 Sinus¬ satz: Je zwei Seiten eines Dreieckes verhalten sich wie die Sinus ihrer Gegenwinkel. a und /? spitze Winkel a : b — srn a: sr'n . Für a > 7? ist (77) — « srn /7 — 7 srn (2 7? — cc) — ö srn a, und für /? 7> 7? ist (77) — a srn (27? — /?) — a sr'n /? — 7 srn cr. Es gilt also in jedem Falle (auch sür a — 7? oder /7 — 7?) die Proportion cr:7 — srn a: sr'n/7. Erster Beweis. Es sei -4L0 das gege¬ bene Dreieck und <77)_i_ -47?. Wenn sind, so findet man (77) — «sr'-r/I — ösrn«, somit Analog findet man ö : o — sr'n /7: sr'n / und 6 : K — srir /: srn a. Aus diesen drei Proportionen ergibt sich die fortlaufende Proportion «: 5 : a sr'n «: srir : srn /. Zweiter Beweis. Ist/-<7?, so schreibe man dem Dreiecke -47?(7 einen Kreis um, ziehe den Durchmesser 7?L und die Sehne -4L. Es ist dann -47?7?^-4OL^-/ nnd^S^lL^L Bezeichnet man also den Durchmesser des nmgeschriebenen Kreises mit 7, so ist a — Analog erhält nian a — c? srn a, ö — 7 srn und daraus wieder den Sinussatz. Man überzeugt sich leicht, dass die Gleichung 6 — 7 srn/ auch für / — 7? oder />7? besteht. Hočevar, Geometrie für Oberrealschulen. 7 98 ö) Cosinussatz: Man erhält das Quadrat einer Dreiecksseite, wenn man von der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten das doppelte Product aus den selb en und dem Cosinus des von ihnen eingcschlossenen Winkels subtrahiert. Erster Beweis. Es ist « — c/ SM K ^---77 c/ SM (§3 -j- /) " c/ srn 60S / Z- c/sM/6OS/3, , sonnt « — o 60S / -s- 6 LOS A Analog findet man b — 6 oos cc -j- « cos /, o — « oos /3 -f- 5 oos a . Addiert man diese drei Gleichungen, nachdem man sie der Reihe nach mit n, — b, — o multipliciert hat, so folgt «2 — ö^-j-6^ — 2öo6os«. Ebenso findet man — c^-j-cr? — 2 6« cos /3, — 2 «ö cos/. Zweiter Beweis. Wenn « und /3 spitze Winkel sind, so erhält man aus der Figur 117 n? — — (ö sin -f- ((.— cos cr)^ — u. s. f. Zusatz. Der Cosinussatz wird häufig nach dem französischen Staatsmanne und Mathematiker Car not (1753 bis 1823) der Carnot'sche Lehrsatz ge¬ nannt; er kommt jedoch bereits in Euklids Elementen vor, wenn auch nicht in trigonometrischer Form. Man überzeugt sich leicht, dass der Cosinnssatz den Pythagoräischen Lehrsatz als speciellen Fall umfasst. e) Mollweides Gleichungen: cc— /3 . cc— /3 608 y— SM K-j-o 2 cc — o 2 o . n 6 / ' SM Z- 608 4^- 2 2 . a -l- ö c/ sr'rr cc -Z c/ srn 6 SM cc -j- sr'n /3 Erster Beweis. —— -7-4- --.2-- 6 «SM / srn / cc — «—/3 2 SM -7-00s - 60S -77- 2 2 2 Analog wird die zweite Gleichung bewiesen. Zweiter Beweis. Sind «, ö, 6 die Seiten / des gegebenen Dreieckes so verlängere man ö 7 / um 6D ------ In dem Dreiecke ^ILD ist nun - -Z- und -ch .4 /36 ,3 -P 777-77 Fig' 119. —— Mittelst des Sinussatzes erhält man daher («-f- b): 6 — oos : sin . 99 Vorthcil die Gleichungen und der einge- 7 erhält man Geg. . cc— L SM — Analog verfährt man im zweiten Falle. Zusatz. Diese Gleichungen sind im Jahre 1804 von Cagnoli und im Jahre 1808 von Mollweide veröffentlicht worden; sie sollten daher die Cagno- lischen Gleichungen genannt werden. ci) Tangentensatz: DieSnmme zweierSeiten verhält sich zur Differenz derselben wie die Tangente der halben Summe der Gegenwinkel zur Tangente der halben Differenz derselben. Erster Beweis. Es ist (« -f- ö) : (« — ö) — (Ä SM « -j- ä SM /?) : srn cc — cL sr?r p) — (sr-r ec -j- : (srncc — s^-r ' cos — SM cos — ---- tA : tA - . Zweiter Beweis. Man dividiere die Mollweide'schen Gleichungen durch einander. 8 M. Auflösung der schiefwinkligen Dreiecke. I. Auflösung sfall. Gegeben: Eine Seite nnd zwei Winkel, z. B. «, cc und Auflösung: / — 2 A — (« -j- A, 5 : « — SM : sm «, o : « — « s»r /? « SM / SM / : §M cc, allo o — — . , o — —7--. ' ' SM cc sr» cc In numerischen Auslösungen benützt man mit a — t^SMoc, b — ci SM/?, o — c?§M/. Z. B. Probe: cc — /Z SM cc Z— 5 o II. Anflösungsfall. Gegeben: Zwei Seiten schlossene Winkel, z. B. a , b, /. Auflösung: Mittelst der Diollweide'schen Gleichungen cc—> 7> - 7 - , 6 608 -" (« -f- a) SM 2 , 6 8M .2 — und MA io oos —I . Dui 6(—/9 Logarithmen ergibt sich tA nnd daraus —— - Berechnet man auch so sind damit die Winkel cc und selbst bestimmt. 7* 100 / a— /I'i . cc^—61 Da nun die Werte von MA oos —, MA srn —-1 , ferner /oA cos und /c>A sr» " bekannt sind, so erhält man ^OA o, indem man den Zusätze. 1. Will man nur die dritte Seite a berechnen, so kann man auch die Gleichung o — — ^östos/ benützen. Man pflegt dieselbe, nament¬ lich wenn « und 5 mehrstellige Zahlen sind, in folgender Weise zu transformieren: a —^/ — 2aö^2oos^^- — 1 —V (a-sib) —V(asi-5—nr) ; die Größe m. ist durch die Gleichung 2 V crö oos — -n bestimmt. 2. Wenn man nur « r:nd 6 berechnen will, so kann man auch den Tan¬ gentensatz benützen. Ans A- o erhält man nämlich —also auch « und /S. 101 III. Auflösungsfall. Gegeben: Zwei Seiten nnd der Gegen¬ winkel der größeren Seite; z. B. «, 5 und «, wenn ist. Auflösung: Aus SM /3 bestimmt man /3 und findet hierauf / --- 2L— (cc-j-/3) und a - ^uch u: diesem Falle ist es Vortheilhaft, die Gleichungen « ci s-iu« u. s. f. zn benützen. Zur Probe substituiere man die gegebenen und die gefundenen Werte in eine Mollwcide'sche Gleichung. Zusätze. 1. Aus ö-<« folgt ^^ -<1. Es gibt daher stets zwei supple¬ mentäre Winkels, welche der Gleichung «M,3 — genügen. Von diesen beiden Winkeln ist nur der spitze zulässig; denn aus folgt /3-<«, also auch ^3 « nnd ^,^r — I ist, so gibt es zwei Auf¬ lösungen, beziehungsweise eine Auflösung. Ist jedoch so gibt es kein Dreieck mit den gegebenen Umfangsstücken, weil nicht sru/3>1 sein kann. Diese Ergebnisse stimmen mit der Determination im Z 59 überein. /i — A — cr; ebenso erhält man /z « . 2. Weil durch K und « bestimmt ist, so haben die den beiden Dreiecken umgeschriebenen Kreise gleiche Durchmesser. Es ist also «M und «z — <3 sr'ir /g . oos « — IV. Auflösung sfall. Gegeben: Alle drei Seiten. Auflösung: Man findet die Winkel mittelst des Cosinussatzes: 7)2 -1-^2 - "2 6? -j- - z.2 - (.2 , cos /3 — --, oos / . 2o« 2^ 102 Wenn die Längen der Seiten durch mehrstellige Zahlen ausgedrückt sind, so benütze man die Halb Winkels ätze, welche durch Transformation des Cosinus¬ satzes erhalten werden. Es ist nämlich tt— /1 — 00s« ^/2öo— —«2-s-«2 ^/«2—stb— ost 2 V 2 " V " V 4öst" V /(« — ö -s- 0) (« -j- ö — 0) 1 /(s — ö) (s — e) V 4öo V bo wenn a-std-sto^-28 gesetzt wird. Ebenso findet man a /l -st 608 a -st -st 0) (— a -st -st 0) /s (8 — a) 2 V Z — V 4H V chF—' daher tA und ootA v/ -- - Zs) / ^2 V 8 8 — «) ^2 V(s — -)(§ —0) Eine jede dieser vier Formeln gestattet eine bequeme Berechnung des Winkels «; doch sind die letzten zwei Formeln den ersten zwei vorzuziehen, weil sie genauere Resultate liefern, und weil bei ihrer Anwendung eine geringere Anzahl von Loga¬ rithmen zur Berechnung aller drei Winkel ausreicht. Wenn man alle drei Winkel berechnen soll, so ist es Vortheilhaft, die Gleichung 1/(8 — a) (8 — ö) (8 — 0) . j/ -- §—- - - (8 110 ö) zur Transformation der eben abge¬ leiteten Formeln zu benützen. Man findet tF " Zsi Z — / p , , tt s—a , /? 8 — ö / 8 — 0 ta i, — —'—, und 66ch - — , oota -- — -, oot<7 -. ^2 8 — 6 ^2 2 9'^2 (> Diese Formeln erhält man auch direct ans der Fig. 120. Es seien D, die Berüh¬ rungspunkte der Dreiecksseiten urit dem einge¬ schriebenen Kreise, und man bezeichne ^4 L — ^l. mit m, mit ^/, <7D mit 2. Man hat dann 2L-st2z/-st2s — 28, somit os -st A -st 2 — 8, ferner r/ -st s — also . . rv — 8 — a. Ebenso findet man v — 8 — ö und 2 — s — 6. Daraus folgt tF 2 — ^9- 120. (- s — u.s.f. 103 Die Größe 10) wird erhalten, indem man die Größen 7), 8) und 9) addiert und zugleich ihre Summe von 6) subtrahiert. Die Größe 12) ist die Summe der Größen 7) und 11), u. s. f. Probe: «-s- /S -s- / — 180° 0' 2". Eine so kleine Abweichung von der rich¬ tigen Summe, d. i. von 180°, hat meistens ihren Grund im Rechnen mit un¬ vollständigen Decimalzahlen; sie wird in der Regel nachträglich durch gleichmäßige Änderung der gesundenen Werte beseitigt. IV. Abschnitt: Anwendungen der Trigonometrie in geometrischen Aufgaben. § 141. Flächeninhalt des Dreieckes. Der Flächeninhalt eines Dreieckes ist gleich dem halben Producte ans zwei Seiten und dem Sinus des eiugeschlossenen Winkels. Beweis. Zieht man die Höhe zur Seite o (Fig. 117), so ist osfen- < 7 - <7-7-, ö osiu« bar o D —ö srn o:, also . Zusatz. Wenn das Dreieck durch andere Umfangsstücke bestimmt ist, so kann man mit Hilfe derselben zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel be¬ rechnen und dann den voransgehenden Lehrsatz anwenden. Die im Z 110 abge¬ leiteten Formeln F— Vs (s — a) (s — ö) (s — o) und F — s(> entsprechen dem vierten Auflösungsfalle. 8 142. Weitere Aufgaben über das Dreieck. Gegeben: Die Winkel eines Dreieckes und «) der Umfang oder b) der Flächeninhalt 104 oder o) der Radins des eingeschriebenen Kreises oder ch) der Ra¬ dius des umgeschriebenen Kreises. Das Dreieck ist aufznlösen. Auflösungen, a) Esist2s------K-s-ö-s-6 — ä (SM cr -s- SM /Z -s- SM /) — 4 ä! oos oos oos (8 133 o). Man berechnet daher ?o^ <7 aus der Gleichung Fig. 122. I 2 die Längen der Winkelsymmetralen (soweit sie eckes fallen) zu berechnen. Auflösung. Ist <7 das gegebene Dreieck und —ro; die Symmetrale des Winkels «, so erhält man aus dem Dreiecke L D cr --- „ « /S 7 2 oos -- oos -- oos 2 2 2 und benützt hierauf die Formeln a — «M a. ö — ck «M /9, o — ck sru /. ö) 27^-----öesM cc—<7^ SM « SM/9 SM/. Also ro^ : o — SM /9 : SM Nun ist -s- / ,1/ 27^ , . . . « — V/ .-, « — «SM« N. s. s. V SM « SM/9 SM 7 o) Man berechne zunächst -o, ?/, s aus den Gleichungen (Fig. 120) , S 7 M^c ootA 7/ ----- y ootA - 2 ootA 2 und sindet dann K —z/-s-2, -----2-s-n, o — ar-f-r/. ch) a — 2^§M«, 4 ----- 2?" SM,7, o — 2-o SM/. e) Aus den gegebenen Bestimmungsstücken eines Dreieckes die Längen der Schwerlinien zu berechnen. Auflösung. Es sei L D — D 6', also ^l 7) ------ s^ die zur Seite 7?<7—« gehörige Schwerlinie. Man 7/2 7/2 findet §1 — fi- 6^ — 66 6SS/9 oder s? — — aö oos 7. Um Si durch die Seiten auszudrücken, elimi- niert man ao oos/? ans der ersten dieser Gleichungen und ans der folgenden: ö? — a? -s- o? — 2 cro oos /?. Es ist dann - - 2 4' /) Aus den gegebenen Bestimmnngsstücken eines Dreieckes in die Fläche des Drei- 105 /2 — / Man hat also auch :a sin/S-oos — ^ - . "Um durch die Seiten auszudrücken, ersetzt man in dieser Proportion stör A — 2 s»r E- cos 2 durch -Vs (s — «) (s — 5) (s — o) und cos «6 2 » <---) ES ist d2 — ^,2 al^o cos cc —--— . ,-. 2 Vöo s ( s — cr) A-i --- . v -j- 6 Anmerkung. Zu diesem Resultate gelangt man auch ohne Anwendung tri¬ gonometrischer Lehrsätze. Setzt man nämlich (Fig. 122) <7D^-x, —?/, so ist cv -s- r/ — « und co: r/ — ö : 6, also cn — , ?/ —Run verlängere man bis zuni Durchschnittspunkte Z mit dem nmgeschriebenen Kreise und bezeichne D L mit s. Es ist dann s — cs(ß 100); ferner also : 5 — a: (^ -f- 2). Hieraus folgt w? — da — 2 — öo — ar?/ — K 143. Srhlienvitrrck. Ans den gegebenen Seiten eines Sehnen¬ viereckes die Winkel Ans analogem Wege wie bei der Ableitung der Halbwinkelsätze erhält man daraus, wenn K-s---j-<:-l-ck^2s gesetzt wird, . cc X /(s — a) (s — ci) cc X /(s — öl (s — a) scu. — X/ -; - , eos A- — X--' 2 X ac?-s-»6 2 ' «^Z-oe cc X/(s — «) (s — ch . . -s z - >- Ferner ist srn cr -j- 5 e si-r« — (a-s- ö 0) SM cos somit 4^— V(s — a) (s — 5) (s — 0) (s — 9 über einem Punkte ^4 wird der Abstand des Punktes F von der durch ^4 gelegten Horizontalebene verstanden. Wenn es sich um die Be¬ stimmung einer Höhe oder einer Distanz handelt, so misst man in der Regel eine gewisse Strecke, die Standlinie, und außerdem gewisse Winkel, welche durch die gegenseitige Lage der Standlinie und des Objectes bestimmt werden. Die Standlinic ^4L — « sei horizontal, und ihre Verlängerung gehe durch die Verticale >92'. Man messe die Stand¬ linie und die Höhenwinkel l8^4H—« und Es ist dann . a srn/3 , , . „ . , ^4 O — —7—- und /r — ^4/9 s ur«, lonnt srn (p — «) « sr^n cc srit (/3 — cc)' S) Die Standlinie sei nicht horizontal, und ihre Verlängerung gehe durch die Verticale Mau messe die Staudlinie ^4 L — « und die Höhen¬ winkel «, /3 und l8^4L 7. Dann ist u A und L NU «, somit . Nn (/3 — a) « cc srn (/3 — /) srn (/3 — «) a) Die Standlinie sei horizontal und nicht nach der Verticalen >9 7" gerichtet. Mau messe die Fig. 125. Staudlinie ^4 Z die Höhenwinkel «, ,3 und die Horizontalwiukel L^4!? —/ und ^4L7' — 4. Man findet dann _ a «in ck cr srn / Nn (/ -ü ck)' srn (/ -P 4)' , . cr. «in ck ts« . : .4 / /n c:' - . , oder srn (/ -s- 0) sin (7 -P ck)' 107 Fig. 127. LIV Fig. 128. L L srn /3 LIV srn P' MIV srn 6 Daraus solat —.—.. " o srrr kp srn <) srn P srn cc srn A srn c) Auflösung. Man messe die Winkel, cc, cc^, /S, A (Fig. 127) und findet dann aus dem Dreiecke ^4Lck/ u « srn (cc Z- ccch srn (ce -j- cc^ -fl /3^ )' srn (cc -j- -s- /3^)' Ebenso ergibt sich aus dem Dreiecke -4 LIV u ,V cr srn(/?-s-^) «srn srn (a^ -f- -s- /3) ' srn (cc^ -s- /3^ -s- /3)' Da somit jedes der beiden Dreiecke 1H^41V und cksLIV durch zwei Seiten und den eingeschlossencn Winkel bestimmt ist, so kann man die dritte Seite UV — cv ans beiden Dreiecken berechnen und hat dadurch eine Controls für die Richtigkeit der Messungen. Zusatz. Dieses Problem ist in der praktischen Geometrie unter dem Namen „das Vorwärtseinschneiden" bekannt. > ö) Aus der bekannten Entfernung zweier Pnnkte ^4 und L die Entfernung zweier anderer Punkte ckZ und ^V durch Winkel- messuugeu aus diesen Punkten zu bestimmen, wenn alle vier Punkte in einer Ebene liegen. Auflösung. Man messe die Winkel cc, cr^,/3,A. Dann sind auch die Winkel /, ck und die Winkelsumme (pfl-P bekannt. Man findet ferner ^4L sr'rr« ^l ck/ srn/3^ . Z m srn rp' ck/IV srn / ' A. L srn « srn /fl ck-5IV srn rp srn / ' srn cr, ^4 L srn /3 srn ' ckHV srn P srn ck' srn cc srn /3^ srn /3 srn cg srn y> srn cc^ srn /3 srn / Man kennt somit die Summe der Winkel y? und P, ferner das Verhältnis ihrer Sinus und k^nn daher diese Winkel einzeln berechnen (Z 135 s). Schlie߬ lich erhält man aus den voransgehenden Gleichungen: /-7 , «sr'n w srn / . .,a srn w srn ck .1 Ä- ----—-—. V oder 317IV —.— . > - srn cc srn./3^ srn cc^ srn /3 Zusätze. 1. Diese Aufgabe heißt in der praktischen Geometrie „das Rück¬ wärtseinschneiden ans zipei Punkten" oder -auch Hans en's Aufgabe, obwohl ihre erste Lösung nicht/von Hausen herrnhrt. 2. Man beachte, dass/ die Summe «1 -s- A und daher auch die Summe P-s-rp keinen der Werte 0) 2 L, 4L,... annehmen kann (Z135s, Zusatz). 0) Es sind die Entfernungen eines Punktes L> von drei an- eren Punkten ^4, L und (7 durch Winkelm,cssungen von L aus zu - V . 108 bestimmen, wenn die gegenseitige Lage der Punkte U., L, t7 be¬ kannt ist, und wenn alle vier Punkte in einer Ebene liegen. Auflösung. Es seien die Strecken UiL Z (7 — ö und der Winkel ^4 L (7 — / bekannt, und man messe die Winkel «, /?. Man findet dann -s- — 4 Ä — (a -st /? -s- /), ?/ SM w v «rnw , ferner ----- f- — wmrt « srn a o srn /Z srn y) ö srn « SM P cr «M /Z ' Nun lassen sich P und P (Z 135 s), daher auch », r// berechnen. Ansätze.- 1. Aie'se Ausgabe heißt in der praktischen Geometrie „das Rück¬ wärtseinschneiden aus drei Punkten" oder das Pothenot'sche Problem, obwohl sie zuerst von Snellius (1614) veröffentlicht wurde. 2. Für cc-st^-st/ — 2 L, also auch 1 7t die Kante des Keiles, « die eine und /? die andere Schenkelfläche, ist ferner (7 ein Punkt von « nnd 7) ein Punkt von A so wird der Keil je nach dem angenommenen Drehungssinnc mit — (cc/?) oder — (/)«) bezeichnet. In allen Betrachtungen, bei welchen es auf den Sinn der Drehung nicht ankommt, ist jede dieser Bezeichnungen zulässig. K 147. Zwei Gerade. Weuu zwei Gerade iu einer Ebene liegen, so können sie znsammenfallen, sich schneiden oder zueinander parallel sein. Es ist jedoch auch der Fall möglich, dass zwei Gerade nicht in einer Ebene liegen. Man überzeugt sich davon, indem man durch eine Gerade a eine Ebene ce legt nnd einen außerhalb « liegenden Punkt von « mit einem Punkte außerhalb « durch eiue Gerade ö verbindet. Zwei solche Gerade « und ö heißen sich kreuzende oder windschiefe Gerade. Es ist leicht einzusehen, dass zwei beliebige Ge¬ rade im Raume im allgemeinen windschief sind. parallele Lage von Gerade» nnd Ebenen. § 148. Gerade nnd Ebene. Eine Gerade heißt zu einer Ebene parallel und zugleich die Ebene zur Geraden, wenn diese (beliebig verlängert) die (beliebig erweiterte) Ebene nicht trifft. Die Möglichkeit einer solchen Lage geht ans dem nachfolgenden Lehrsätze hervor: cr) Legt man durch die eine von zwei parallelen Ge¬ raden eine Ebene, so ist diese zur anderen Geraden pa¬ rallel. Beweis. Es sei a - nnd /S die durch ö gelegte Ebene. Hätte « mit O einen Punkt 0 gemeinschaftlich, so müsste dieser auch der durch « und ö bestimmten Ebene aü angehören; er müsste also in der Schnitt¬ linie der Ebenen /? und «d, d. h. in der Geraden ü liegen. Dies widerspricht jedoch der Voraussetzung a ö; also ist « ll fl) Ist eine Gerade zu einer Ebene parallel, so ist sie auch 111 s >4 Fig. 134. lichkeit cmer solchen Lage ergibt sich ans dem folgenden Lehrsätze: «) Ist eine Ebene zu jeder von zwei sich schneidenden Ge¬ raden parallel, so ist sie auch zu jener Ebene parallel, welche durch die beiden Geraden bestimmt wird. Beweis. Mau bezeichne die gegebenen Geraden mit « und b, die gegebene Ebene mit/. Wenn letztere die Ebene «4 schneiden würde, so müsste die Schnittlinie zu «und b parallel sein (Z 1484). Dies ist jedoch nicht möglich, da a nnd 4 einander schneiden. 4) Wenn zwei parallele Ebenen von einer dritten Ebene ge¬ schnitten werden, so sind die Schnittlinien parallel. Beweis. Wenn die parallelen Ebenen « und /3 von der Ebene / geschnitten werden, so liegen die Schnittlinien «/ und ,3 / in einer Ebene (/) und haben keinen Punkt ge¬ meinschaftlich. Denn würden sie sich schneiden, so wäre der Schnittpunkt den Ebenen « und/? gemeinschaftlich, was nach der Voraussetzung nicht möglich ist. Folgesatz. Alle von zwei parallelen Ebenen begrenzten SsWiM paralleler Geraden sind einander gleich. Fig. 135. zu ;eder Geraden der letzteren parallel, welche mit ihr in einer Ebene liegt. Beweis. Es sei « H A und b eine in /? liegende Gerade, welche zugleich mit « in derselben Ebene liegt. Hätten « und ö einen Schnittpunkt, so wäre derselbe zugleich der Schnittpunkt von « nnd /3 n. s. f. Folgesatz. Legt man durch eine Gerade, welche zu einer Ebene parallel ist, eine zweite Ebene, welche die erstere schneidet, so ist die Schnittlinie zur ge¬ gebenen Geraden parallel. e) Legt man durch jede von zwei parallelen Geraden je eine Ebene derart, dass sich die beiden Ebenen schneiden, so ist ihre Schnittlinie zu jeder der gegebenen Geraden parallel. Beweis. Es sei «H 4 (Fig. 133), « die durch « nnd /3 die durch b ge¬ legte Ebene. Nach dem Lehrsätze «) ist « H A somit nach dem vorausgehenden Folgesatze « H a/3. Ebenso findet man 4 H « und daraus 4 H «/3. Ist von zweiGeraden eine jede zu einer dritten parallel, so sind jene zwei Geraden auch zueinander parallel. Beweis. Es sei « H o nnd 4 H c. Legt man durch 4 und einen beliebigen Punkt ^l der Geraden «, ferner durch o und den Punkt je eine Ebene, so müssen sich die beiden Ebenen in der Geraden a schneiden. Denn wäre die Schnittlinie, so hätte man «1 c und a 11 6, was dem Grundsätze von den Parallelen widerspricht. Somit ist nach dem vorausgehenden Lehrsätze «H 4. K 149. Zwei Ebenen. Wenn zwei Ebenen (beliebig er¬ weitert) einander nicht schneiden, so heißen sie parallel. Die Mög- 112 o) Durch einen gegebenen Punkt lässt sich zu einer ge¬ gebenen Ebene eine einzige parallele Ebene legen. Beweis. Gesetzt, es lassen sich durch den Punkt U. (Fig. 135) zwei Ebenen « und parallel zur Ebene legen. Wenn nun durch und einen Punkt von iS eine Ebene / so gelegt wird, dass diese die Schnittlinie nicht ent¬ hält, so ist /S/ und a^7 II /?/, was nach dem Grundsätze von den Parallelen nicht möglich ist. Folgesätze. 1. Der geometrische Ort aller Geraden, welche sich durch einen gegebenen Punkt parallel zu einer gegebenen Ebene ziehen lassen, ist eine zu letzterer parallele Ebene. 2. Schneidet eine Ebene die eine von zwei parallelen Ebenen, so schneidet sie auch die andere (Beweis indirect). 3. Ist eine Ebene zu jeder von zwei Ebenen parallel, so sind diese auch zu einander parallel (Beweis indirect). ei) Wenn die Schenkel eines hohlen Winkels zn den Schenkeln eines anderen hohlen Winkels direct (invers) parallel sind, so sind die Winkel gleich und ihre Ebenen parallel. Beweis. Es sei und man mache OUl — OL — Die Vier¬ ecke und sind offenbar Parallelo¬ gramme, daher ist — L und H 0 0^ H Das Viereck ^4L^^ ist somit ebensalls ein Parallelogramm. Daraus schließt man --- /X ^lOL -- Man hat ferner OUl H und OL H (Z 148«), also auch II 0^ (Z 149«). Folgesatz. Jeder Keil wird durch parallele Ebenen, welche zur Kante des Keiles nicht parallel sind, in gleichen Winkeln geschnitten. Zusatz. Unter dem (spitzen, rechten,...) Winkel zweier windschiefer Geraden versteht man jenen (spitzen, rechten,... ) Winkel, welchen zwei durch einen beliebigen Punkt des Raumes gezogene Parallele zu den windschiefen Geraden einschließen. Normale Lage von Geraden und Ebenen. K 130. Gerade und Ebene. «) Wenn eine. Gerade zu zwei sich schneidenden Geraden einer Ebene normal ist, so ist sie zu jeder Geraden der Ebene normal. Beweis. Es sei ^1(7 und U. ^4Z7 Um zu beweisen, dass LL, U. UlO ist, wähle man die Punkte (7 und L so, dass sich die Geraden <7L und ^4 D schneiden, mache 7)^4 — und ziehe sowohl von 4Z als 113 auch von Verbindungsstrecken zu den Punkten <7, 7), L. / (X Da nuir X L' und ^1 Symmetralen der Strecke —d-sind, so folgt 7? <7—7^6) LL—73^ und / /Diese beidenDreiecke gelangen da- / durch zur Deckung, dass man das eine solange nm X / / L'L als Achse dreht, bis die Punkte L und zu- sammenfallen. Dann decken sich auch die Strecken Fig/l37. Tin und und sind somit gleich lang. Daraus schließt man, dass ^4 D eine Symmctrale der Strecke LL^also 18^ _I_ ^4D ist. Wenn die betrachteten Geraden der Ebene a nicht durch den Punkt gehen, so ziehe mau durch ^4 Parallele zu denselben und beachte den Zusatz in Z 14öck. Zusatz. Um nachzuweisen, dass die Voraussetzung dieses Lehrsatzes stets erfüllbar ist, lege man durch 71^ zwei Ebenen und und ziehe in denselben ^4 6d und ^4Z? _I_ Jene Ebene «, welche durch die Geraden ^4t7 und ^4L bestimmt wird, entspricht der Voraussetzung. Erklärung. Wenn eine Gerade zu zwei sich schneidenden Geraden einer Ebene und somit zu allen Geraden jener Ebene normal ist, so heißt sie eine Normale der Ebene und letztere eine Normalebene der Geraden. Man sagt auch in diesem Falle, dass die Gerade zur Ebene und diese zur Geraden normal ist. ö) Durch einen gegebenen Punkt kann zu einer gegebenen Ebene eine einzige Normale ge¬ zogen werden. Beweis. Wenn durch den Punkt ^4 zwei Normalen b und a znr Ebene « gezogen werden könnten, so wäre die Schnittlinie der Ebenen ö o und « zu ö und o normal, was nach Z 16 nicht möglich ist. a) Jede Gerade, welche zu einer Normale einer Ebene parallel ist, ist ebenfalls znr Ebene normal. Beweis. Es sei (Fig. 138) ö_llcc und o ö. Zieht mau durch die Punkte 18 und <7 die Gerade a und die Parallelen ck und e in der Ebene cc, so ist b ck.«, ö cü, ferner d « (816) und d s. Durch cineu gegebenen Punkt kann zu einer gegebenen Geraden eine einzige Normal¬ ebene gelegt werden. Beweis. Wenn durch den Punkts zwei Normalebenen /2 und / zur Ge¬ raden K gelegt werden könnten, so würde eine durch a gelegte Ebene a, welche die Schnittlinie nicht enthält, die Ebenen /3 und / in zwei Geraden schnei¬ den, welche beide zu « normal wären, was nach Z 16 nicht möglich ist. ). Folgesatz. Die Projectiou einer Strecke ist die von den Projektionen der Endpunkte begrenzte Strecke. K 133. Strecken zwischen einem Punkte und einer Ebene. Abstände. Von den Strecken, welche einen Punkt außerhalb einer Ebene mit den Punkten derselben verbinden, gelten die folgenden Sätze: a) Die zur Ebene normale Strecke ist die kürzeste. Sie heißt daher der Abstand des gegebenen Punktes von der Ebene. ö) Gleichen Strecken entsprechen gleiche Projectionen und umgekehrt. o) Der größeren von zwei ungleichen Strecken entspricht die größere Projection und umgekehrt. Die Beweise sind analog jenen der entsprechen- /iv den planimetrischen Sätze (Z 32) oder können für / die Sätze b) und o) mit Hilfe des Pythagoräischen / / j 'X X X Lehrsatzes geführt werden. /X X)/ Folgesätze. 1. Ist eine Gerade zu einer —UOUX-/ Ebene parallel, so haben alle Punkte der Geraden Fig. 140. von der Ebene denselben Abstand. Dieser heißt daher der Abstand der Geraden von der parallelen Ebene. 2. Sind zwei Ebenen zu einander parallel, so haben alle Punkte der einen von der anderen denselben Abstand. Dieser heißt daher der Ab st and der parallelen Ebenen. 3. Der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, welche von einem Punkte außerhalb der Ebene einen gegebenen Abstand haben, ist im allgemeinen ein Kreis mit der Projection des gegebenen Punktes als Centrum. 8154. Symmetralebene eines Winkels zweier Halbstrahlen. Unter derselben versteht man jene Ebene, welche den Winkel halbiert und zu dessen Ebene normal ist. «h Diese Symmetralebene ist der geometrische Ort aller Punkte, welche von den Halbstrahlen gleiche Ab stände haben. ö) Sie ist auch der geometrische Ort aller Geraden, welche durch den Scheitel des Winkels gehen und mit den Schenkeln desselben gleiche Winkel einschließen. Beweise. Es sei der gegebene Winkel, dessen Symmetral- ebene und L ein Punkt derselben. Zieht man ferner und so ist L.L — LHL, /// also auch HL --- LL. Liegt L außerhalb der Symmetral- . /O// ebene, so ist u. s. w. — ö) Ist Kleine Gerade derSymmetralebene, so ist nach dem Vorigen /X LFL, also «HäLM--- LLL; Fig. 141. umgekehrt, ist «Hä — DLL, so folgt /X DKL, 117 also DL —DL. Daher ist D ein Punkt der Symmetralebene und DG eine Gerade in derselben. K 153. Nrignngswinkkl rimr Geraden zu einer Ebene. DerWinkel, welchen eine Gerade mit ihrer Projektion auf eine Ebene einschließt, heißt der Neigungswinkel der Geraden zur Ebene. Ist die Gerade zur Ebene parallel, so beträgt der Neigungswinkel 0°; ist sie zur Ebene normal, so ist der Neigungswinkel ein Rechter. Dies sind nämlich die Grenzwerte, welchen der Neigungswinkel einer schiefen Geraden beliebig nahe kommt, wenn dieselbe gegen die parallele oder die normale Lage gedreht wird. ö) Der Neigungswinkel einer schiefen Geraden zu einer Ebene ist der kleinste unter allen Winkeln, welche die Gerade mit den Geraden der Ebene einschließt. Fig. 142. Beweis. Es fei OUi die gegebene Gerade, 0 ihr Fußpnnkt in der Ebene «, ^4D L «, also OD die Projection von O^i ans «. Dann ist -cht ^.OD der Neigungswinkel der schiefen Geraden O^l zur Ebene cc. Zieht man durch 0 in « eine beliebige Gerade ÖL' und macht OG— OD, so ist ^lD < ^lG (8 153 a), daher ^10D< ^OG (Z 42). Zusatz. Wird die Gerade OG in der Ebene « nur den Punkt 0 gedreht. so wächst der Winkel ^iOG während der Bewegung aus der Lage OD in die entgegengesetzte Lage OL und nimmt hierauf wieder ab, bis die Umdrehung voll¬ endet ist (8 45 ä, 1. Zusatz und 8 153 o). a) Zieht man in einer Ebene zur Projection einer schiefen Geraden eine Normale, so ist diese auch zur schiefen Geraden normal. Zugleich gilt der Umkehrungssatz. Beweis. Es sei O^i (Fig. 142) die schiefe Gerade, OD ihre Projection, DL 0/1 (in «) und OD — OG. Dann ist OD die Shmmetrale der Strecke DL, also DD — DL. Hieraus folgt ^.D — ^L (Z 153 ö); daher ist auch O^i die Shmmetrale von DL. Ebenso wird der Umkehrungssatz bewiesen. ch) Parallele Gerade bilden mit jeder sie schneidenden Ebene gleiche Neigungswinkel. c/Z Parallele Ebenen bilden mit jeder sie schneidenden Ge¬ raden gleiche Neigungswinkel. Fig. 144. 118 Beweis. Ist 0^4 0^^, ferner P«, -1. a, so ist 0^471 — (8 149 cy, also auch-cha^tOL K 136. ArigimgLwinkel sweirr Keiles heißt auch der Neigung swiuk Beweis. Es sei « /?, ^40^ die gegebene Gerade, ferner ^4.7^ _b«, also auch U. ,3. Es ist dann 073 0^73^ (8 149 5), also Ebrncn. «) Der Normalschnitt eines el der Schenkelflüchen. Legt man zur Durchschnittslinie zweier Ebenen eine Normalebene, so wird in der Regel der eine von beiden spitzen Winkeln in der Schnittfigur als der Neigungswinkel der beiden Ebenen bezeichnet. ö) Jede Ebene, welche zwei parallele Ebenen schneidet, bildet mit denselben gleiche Neigungswinkel. Beweis. Es sei « /? (Fig. 135) und 7 die Schnittebcne. Um zu be¬ weisen, dass die Normalschnitte der Keile (cr/) und (/?/) einander gleich sind, legt man eine Ebene ck normal zu «7, somit auch normal zu /S7. Weil nun «ö /36 ist, so sind die betrachteten Neigungswinkel einander gleich. Folgesatz. Legt man durch einen Punkt zu zwei sich schneidenden Ebenen parallele Ebenen, so bilden diese ebenso große Neigungswinkel wie jene. 0) Zwischen zwei Keilen und ihren Normalschnitten bestehen analoge Be¬ ziehungen wie zwischen zwei Bogen eines Kreises und den zugehörigen Centri¬ winkeln (88 114 und 115). Jnsbesonders sind die folgenden Satze zu erwähnen 1. Gleichen Keilen entsprechen gleiche Normalschnitte und umgekehrt. Beweis durch Deckung. 2. Je zwei Keile verhalten sich ebenso wie ihre Normal¬ schnitte. Beweis analog wie zum Lehrsätze im 8 114. 3. Jeder Keil hat den zugehörigen Normalfchnitt znm Maße, d. h. der Keil misst ebensoviel Keilgrade als der zugehörige Normalschnitt Wiukelgrade. Die Blaßzahlen der beiden Gebilde sind also einander gleich. Ein Keilgrad entspricht dem 360. Theil einer vollen Umdrehung jener Halbebene, durch welche der Keil beschrieben wird. ci) Die Symmetralebene (Halbierungsebene) eines Keiles ist der geometrische Ort aller Punkte, welche von den Schenkelflächen gleiche Abstände haben. Zum Beweise lege man durch den betrachteten Punkt einen Normalschnitt des Keiles und verfahre im übrigen so, wie in 8 38. II. Abschnitt: körperliche Ecken. K 137. ErlüärmMN. Wenn ein Halbstrahl an dem Umfange eines Polhgones gleitet und zugleich die Lage seines Grenzpunktes nicht verändert, so bestimmen die vom Halbstrahle beschriebenen Ebenen einen Raum, welcher nach einer Seite hin unbegrenzt ist und körperliche Ecke oder einfache Ecke genannt wird. 119 In dem spcciellen Falle jedoch, wenn die Ecken des „Leitpolygones" und der Grenzpunkt des Halbstrahles in einer Ebene liegen, beschreibt der „erzeugende Halbstrahl" nur jene Ebene. Der feste Punkt 0 des erzeugenden Halbstrahles heißt der Scheitel, die vom Halbstrahle beschriebenen //X Ebenen 0^4L, OLL)... heißen die Seitenflächen // (X und ihre Durchschnittslinien 0>1, OL,... die Kanten /X^AsxX der körperlichen Ecke. Die Winkel, welche von je zwei aufeinanderfolgenden Kanten eingeschlossen werden, wie / s X z. B. ^.OL, LOL',..., heißen Kantenwinkel oder Seiten und werden häufig mit(-ckL), (LL'),... bezeichnet. / Von den beiden Flächenwinkeln, welche je zwei benachbarte Fig. 143. Seitenflächen bestimmen, wird derjenige, welcher in der nächsten Umgebung der Kante die körperliche Ecke enthält, Flächenwinkel oder einfach Winkel der Ecke genannt. Sind alle Kanten- und alle Flächenwinkel concav, so hat die Ecke für einen Beobachter außerhalb derselben lauter vorspringende Kanten und heißt convex. Die nachfolgenden Betrachtungen und Lehrsätze beziehen sich nur auf convexe Ecken. Eine körperliche Ecke heißt gleichseitig, wenn sie lauter gleiche Seiten, gleichwinklig, wenn sie lauter gleiche Winkel hat, und regelmäßig oder regulär, wenn sie gleichseitig und gleichwinklig ist. Jede Ecks hat ebensoviel Seiten als Kanten; die Anzahl derselben stimmt mit der Anzahl der Seiten oder Eckpunkte des Leitpolygones überein. Man unterscheidet nach der Anzahl der Seiten (beziehungsweise Kanten) dreiseitige, vierseitige, ... rr-seitige Ecken oder Dreikante, Vierkante, ...N-Kante. K 138. Langrnen; und chmmetrilchc Gleichheit der Ecken. Wenn sich zwei Ecken so ineinanderlegen lassen, dass jede Seitenfläche der einen nut einer Seitenfläche der anderen znsammenfällt, so heißen sie congruent. Darans folgt, dass zwei congrncnte Ecken in den Seiten und den Winkeln übereinstimmen, n. zw. haben die homologen Stücke für einen außerhalb der Ecken befindlichen und auf die Scheitel derselben blickenden Beobachter dieselbe Anordnung. Umgekehrt, wenn zwei Ecken die hier angegebenen Eigenschaften besitzen, so lassen sic sich offenbar zur Deckung bringen; sie sind also congruent. Wenn sich zwei Ecken so aneinanderlegen lassen, dass X / jede Kante der einen die Ergänzung einer Kante der anderen X ; / bildet, so heißen die Ecken symmetrisch gleich und in - angegebenen Lage Scheitelecken; z. B. L^ckLO und //X " L^L^LJ In zwei symmetrisch gleichen Ecken sind je /chs X zwei entsprechende Seiten als Scheitelwinkel und je zwei entsprechende Winkel als Scheitelkeile einander gleich. Jedoch Fig. 146. haben die homologen Stücke in den beiden Ecken für einen 120 außerhalb derselben befindlichen und auf die Scheitel derselben blickenden Beobachter entgegengesetzte Aufeinanderfolgen. Umgekehrt, wenn zwei Ecken die eben an¬ geführten Eigenschaften besitzen, so find sie symmetrisch gleich. Aus dem Vorausgehenden folgt, dass symmetrisch gleiche Ecken im allgemeinen nicht congruent sind. Davon kann man sich auch dadurch über¬ zeugen, dass man dieselben zur Deckung zu bringen sucht und zu diesem Zwecke zwei entsprechende Seitenflächen, z. B. ^Kt7und ^H6s (Fig. 146), aufeinanderlegt. Dies kann nun auf zweierlei Art geschehen. Entweder dreht man den Winkel in seiner Ebene um deu Punkt F, bis er mit dem Winkel ^>86s znsammenfällt oder man dreht die Ecke >8^4776' um die Shmmetrale DZ? des Winkels als Achse, bis >§<7 auf >8^ch und >8^4 auf ^6s fällt. In beiden Fällen gelangen die Kanten FZ und F7ch im allgemeinen nicht zur Deckung; denn sie liegen im ersten Falle auf entgegengesetzten Seiten der Ebene ^4i^6s und bilden im zweiten mit den znsammenfallenden Kanten F(7 und im allgemeinen verschiedene Winkel. Folgesätze. 1. Sind zwei Ecken einer dritten symmetrisch gleich, so sind sie congruent. 2. Ist von zwei kongruenten Ecken die eine einer dritten symmetrisch gleich, so ist es auch die andere. 8 139. Polarechrn. «) Zieht man von einem Punkte im Innern einer körperlichen Ecke Normalen zu deu Seitenflächen, so bestimmen jene als Kanten eine neue Ecke, welche Polarecke zur gegebenen genannt wird. Es sei z. B. (ch ein Punkt im Innern des Drcikantes O^l776s ferner (ch _i_ 7706s 0, 77, ch. 7lO(7 nud (ch 6s _i_ ^4077; dann ist das Dreikant 0, 7ch 6s Polarecke zum gegebenen Dreitante. Wenn man ferner von irgend einem anderen Punkte des Raumes, z. B. von 0, dircct parallele Halbstrahlen zu 6ch^, 0>7ch, (ch 6s zieht, so be¬ stimmen jene Parallelen als Kanten ein neues Drei¬ kant, welches mit ich 7ch 6s congruent ist, da es mit diesem in den Seiten, den Winkeln und in der An¬ ordnung der homologen Stücke übereinstimmt. Hieraus folgt, dass jeder beliebige Punkt des Raumes als Scheitel der Polarecke gewählt werden kann. b) Jede Ecke ist selbst Polarecke zu ihrer Polarecke. Beweis. Da die Ebene 7ch(ch6s die Normalen (ch 7ch und (ch 6s der Ebenen ^400 und ^077 enthält, so ist sie ebenfalls zu diesen Ebenen, also auch zu ihrer Schnittlinie 0^4 normal. Es ist somit 0^4 .1. Ich (ch 6s; ebenso beweist man, dass auch 077 6ch 6s und 00 (ch 7ch ist. e) Sind zwei Ecken Polarecken zueinander, so ist jeder 121 Flächenwinkel der einen supplementär zum entsprechenden Kan¬ tenwinkel der anderen. Beweis. Schneidet die Ebene 7?^ Ls Ls (Fig. 147) die Kante 0^4 im Punkte >4, so hat das Viereck ^47sLsLs bei 7?, und Ls rechte Winkel. Daraus folgt 7?;>4Ls -s- 7?^ 0, 6^ — 2K n. s. w. Ebenso besitzt das Viereck 0>47?^0 bei >4 und (7 rechte Winkel; daher ist >400 -j- >47?^ 0 — 2K u. s. w. Zusatz. Wegen dieser Eigenschaft wird die Polarecke häufig auch Supple- mentarecke genannt. 8 160. Lepchmigen putschen den Zeiten eines Dreikantes. Jede Seite eines Dreilautes ist«) kleiner als die Summe und öh größer als die Differenz der beiden anderen. Beweise, a) Es sei (>47?) jene Seite des Dreikantes 0>47?0, welche von keiner der beiden anderen an Größe / sF übertroffen wird. Dann ist offenbar (>40) < (>477) -s- (7?0) und (LO) < (>4L) (^iO.) Alan hat also noch ' die Ungleichung (>4L) < (>40) -s- (77(7) zu beweisen. ^X Zu diesem Zwecke ziehe man in der Ebene >407? den Fig. t48. Halbstrahl OLs so, dass >40 Ls — >400 ist, mache 00 — 00^ und lege durch die Punkte 0 und Ls eine Ebene, welche die Kanten 0>4 und 07? schneidet. Dann ist/X^OO^ >40Ls, also >40—>4Ls. Sub¬ trahiert man diese Gleichung von der Ungleichung >40-j-7?0>-^47?, so folgt 7?0>7?Ls und daraus 7?00> 7?0Ls. Durch Addition der Gleichung >400 — >40Ls zur letzten Ungleichung erhält man >400 -s- 7?00 > >407? oder (^0) Z- (7Z0) > (>4L). Ebenso wie der Lehrsatz b) im ß 29 zu beweisen. 8 161. Sepehmigen Wischen den Gegenstücken eines Dreikantes. «) Sind zwei Winkel eines Dreikantes gleich, so sind auch ihre Gegen¬ seiten gleich und umgekehrt. ö) Dem größeren von zwei ungleichenWinkeln liegt auch die größere Seite gegenüber und umgekehrt. Beweise, a) Es seien im Dreikantc 7? O (Fig. 146) die an den Kanten K>4 und ZO liegenden Winkel gleich. Dreht man das Dreikant nm die Sym- metrale 7)Z des Winkels 0^>4^ als Achse, bis (>40) mit (>4^0,) zur Deckung gelangt, so fällt das Dreikant mit seiner Scheitelecke K^T^Ls zusammen. Also ist ^7?h^(LsLr)^CO7?). b) Es sei im Dreikante 0>47?0 (Fig. 148) der Winkel an der Kante 00 größer als jener an 0 7?. Schneidet man nun letzteren Winkel vom ersteren durch die Ebene 00Ls ab, so ist nach (OLs) — (7? Ls). Daraus folgt (>47?) — (>4Ls) -j- (Ls 7?) — (>4Ls) -j- (OLs) > (>40). Die Umkehrnngssätze können indirect bewiesen werden. 122 K 162. Lumme der Leiten eines n-Kantes. Die Summe aller Seiten einer körperlichen Ecke ist kleiner als 47?. Beweis. Man lege durch das gegebene »-Kant (Fig. 145) eine Schnitt- ebene, welche alle Kauten durchschueidet, und bezeichne urit s die Summe aller Seiten oder Kantenwinkel, mit s, die Summe aller der Schnittebene anliegenden Dreieckswinkel 0^47), 071U, 0710,..., ferner mit die Summe aller Winkel des Polygones ^7107).... Dann ist s st- 8^ — 2 »7? und > 2 » L — 47?, also s < 47?. Die Ungleichung > 2 » 7? — 47? erhält man durch Addition folgender Ungleichungen (ß 160): ^lLO st- 0L0> ^47)0, ^7 L6'0 st- 007) > 7707) u. s. f. K 163. Lumme der Winket eines n-Lantes. In jedem n-Kante ist die Summe der Winkel kleiner als 2 »7? und größer als 2 »7?— 47?. Beweis. Man bezeichne mit <^, «z,... «„ die Winkel der gegebenen Ecke und mit A , A , - - - A- die entsprechenden Seiten der zugehörigen Polarecke. Es ist dann ttz st— 27?, «2 st- /?z 27?, .... st— 2^, also st- «z st- - - - st- cr« st- st- st- .. . st- — 2 » 7?. Nun ist offenbar A st- A st- - - st- ,3» > 0, ferner A st- A st- - - st-,3» <47? (ß 162); daher findet man durch Snbtraction 2 »7? st— st— ... st— 2»^ — 47?. Folgesatz. In jedem Drcikante ist die Summe der Winkel kleiner als 67? und großer als 27?. § 164. Lehrsätze iikrr die Congnmij und symmetrische Gleichheit der Dreikante. Zwei Dreikante sind congrnent (symmetrisch gleich) wenn sie in derselben (entgegengesetzten) Reihenfolge ent¬ sprechend gleich haben: cr) zwei Seiten und den ein¬ geschlossenen Winkel, o) zwei Seiten nnd den Ge¬ genwinkel der einen, außer wenn die Gegenwinkel der an¬ deren supplementär und schief sind, e) alle drei Seiten. ist zwei Winkel und die zwi¬ schen ihnen liegende Seite, 7) zwei Winkel und die Ge¬ genseite des einen, außer wenn die Gegenseiten des anderen supplementär und schief sind, /) alle drei Winkel. Beweise. «) und S). Wenn die als gleich angenommenen Umfangsstücke der beiden Dreikante dieselbe Reihenfolge haben, so kann man sie zur Deckung bringen. Anderenfalls lässt sich das eine Dreilaut mit der Scheitelecke des an¬ deren zur Deckung bringen. c) Es genügt nach dem Borhergehenden, den Fall zu betrachten, dass die Reihenfolge der gleichen Umfangsstücke in den beiden Dreikanten entgegengesetzt ist. Wir denken uns sodann letztere so aneinandergelegt, dass die den gleichen Winkeln gegenüberliegenden gleichen Seiten sich decken. In Fig. 149 sei also 123 / lX77) die gemeinschaftliche Seite der beiden Dreikante, c/ (X (7) und ^(80)8-^(80^77. Durch die / XxX Ebene 6'80i wird nun das gleichschenklige Dreikant 8^4 00z / abgeschnitten, in welchem die Winkel an den Kanten 80 und 80^ gleich sind; daher sind es auch die im Dreikante 877 00^ —-X-X, an denselben Kanten liegenden Winkel, woraus (8 O) —(8 0^) X, /X solgt. Aualog wird der Beweis geführt, wenn der Punkt ^x/^ 8 in die Verlängerung von ^48 fällt. Eine Ausnahme xx, kann nur eintreten, wenn 77 mit ^4 oder 77 znsammentrifft. Fig. 149. Dann versagt die bisherige Schlnssweise, und die Dreikante sind nur symmetrisch gleich, wenn die Winkel an der Kante 874 bezw. 8 77 rechte sind. In jedem anderen Falle sind diese Winkel als schief und supplementär voneinander ver¬ schieden, also die gegebenen Dreilaute nicht symmetrisch gleich. Zwei solche Drei¬ kante erhält man, wenn man durch jene Kante eines gleichschenkligen Dreilautes, in welcher die gleichen Seiten sich schneiden, eine Schnittebene legt. c7) Vergleicht man die Polarecken der gegebenen Dreikante, so sind jene nach o) congruent (symmetrisch gleich). Daraus folgt, dass die Polarecken und somit auch die gegebenen Dreikante in den übrigen Umfangsstiicken übereinstimmen- s) Man zeige, dass in diesem Falle die an den Kanten 80 und 80Xer Fig. 149 liegenden Flächenwinkel gleich sind. /) Der Beweis ergibt sich ans e) durch Betrachtung der Polarecken. Zusätze. 1. Ein Dreikant lässt sich ans sechs verschiedene Arten durch je drei Umfangsstücke bestimmen, nur sind zwei entgegengesetzte Reihenfolgen der letzteren möglich. In den Fällen e) und <7) ist das Dreikant nicht eindeutig be¬ stimmt, wenn nicht weitere Bedingungen hinzutreten. So z. B. ist ein Dreikant durch zwei Seiten und den Gegenwinkel der größeren Seite eindeutig bestimmt, wenn der gegebene Winkel <(77 ist. Denn nach Z 161 muss dann der Gegen¬ winkel der kleineren Seite > 77 sein. Wenn nämlich noch ein zweiter Wert dieses Gegenwinkels möglich wäre, so müsste derselbe nach X mit dem ersteren supple¬ mentär, also >8 sein. Dieser Fall ist jedoch mit Rücksicht auf Z 161 ausge¬ schlossen. 2. Sind zwei Scheitelecken gleichschenklig, so sind sie auch congruent. 8 163. Das rrgrlmäßigc ir-Kaut. Die Symmetralebenen der Seiten und Winkel eines regelmäßigen n-Kantes schneiden sich in einer und derselben Geraden, welche mit allen Kanten und mit allen Flächen gleiche Winkel bildet. Beweis. Legt man durch zwei aufeinanderfolge Kanten 87i und -877 des n-Kantes die Symmetralebenen der Winkel, ferner durch ihre Schnittlinie 80 und die dritte Kante 80 eine Ebene, so erkennt man leicht, dass das Dreikant 8^480 gleichschenklig und mit dem Dreikant 877(70 (nach Z 164 a) congruent ist. 124 D aher ist auch >7 <7 0 die Symnietralebene des Winkels an der Kante >3 (7 u. s. w. Nach Z 154 ö gehört >70 auch der Symmetralebene einer jeden Seite an. Zusatz. Jedes regelmäßige »r-Kant wird durch feige n Symmetral- ebenen in 2 » congrnente rechtwinklige Dreikante zerlegt, von denen irgend eines das Bestimmnngsdreikant des regelmäßigen n-Kantes heißt. III. Abschnitt: Eigenschaften der Körper. Von den Körpern im allgemeinen. K 166. Erklärungen. Ein allseitig begrenzter Theil des Raumes heißt Körper und die Summe seiner Begrenzungsflächen die Oberfläche desselben. Wenn ein Körper durchwegs ebene Begrenzungsflächen hat, so wird er ein Polyeder oder Viclflach und in jedem anderen Falle, wenn also wenigstens eine Begrenzungsfläche krumm ist, ein krumm flächig er (häufig auch runder) Körper genannt. Die Begrenzungsflächen eines Polyeders sind (ebene) Polygone und heißen seine Flächen. Die Seiten dieser Polygone oder die Schnittlinien benachbarter Flächen heißen Kanten; die körperlichen Ecken, welche von benachbarten Flächen begrenzt werden und in der nächsten Umgebung der Scheitel das Polyeder ent¬ halten, heißen Ecken des Polyeders. Wenn dieselben ausnahmslos convex sind, so heißt das Polyeder ebenfalls convex. Die nachfolgenden Betrachtungen und Lehrsätze beziehen sich nur auf con¬ vexe Polyeder. Ein Polyeder heißt regelmäßig oder regulär, wenn seine Flächen con¬ grnente regelmäßige Polygone und seine Ecken congrnent und regelmäßig sind. Mit Rücksicht auf die Form bezeichnet man gewisse Polyeder als Prismen, Pyramiden u. s. f. Die regelmäßigen Polyeder werden nach der Anzahl ihrer Flächen Tetraeder, Hexaeder u. s. f. genannt. Das Prisma. K 167. Erklärungen nnd Ueschrelbnng. Gleitet eine Gerade (die erzeugende Gerade) am Umfange eines Polygones (des Leitpolygones) parallel zu sich selbst fort und bewegt sich dabei nicht immer in derselben Ebene, so begrenzen die von der Geraden beschriebenen Flächen einen nach zwei Seiten offenen Raum, welcher p ri s ma¬ ti sch erRa um genanntwird. Jener Theil des prismati¬ schen Raumes, welcher zwischen zwei parallelen Schnittcbe- nen enthalten ist, heißtPrisma. Die parallelen Schnitt¬ figuren find congrnente Polygone, da sie in den Seiten, den Winkeln und in der Anordnung der homologen Stücke übereinstimmcn; sie werden Grundflächen und ihr Abstand Höhe des Prismas genannt. Die 125 übrigen Flächen sind Parallelogramme und heißen Seitenflächen; ihre Summe heißt der Mantel des Prismas. Die Dnrchschnittslinien der Seitenflächen mit den Grundflächen werden Grnndkanten nnd die Durchschnittslinien je zweier aufeinanderfolgender Seitenflächen Seitcnk anten genannt. Alle Seitenkanten sind gleich und parallel. 8 168. Linthkilnngcn nnd örntnmmgrn. Nach der Anzahl der Seiten¬ flächen (oder Seitenkanten) unterscheidet man dreiseitige, vierseitige, . . . n-seitige Prismen. Nach der Stellung der Seitenkanten gegen die Grundflächen werden die Prismen in gerade nnd schiefe eingetheilt. Ein Prisma heißt gerade oder- schief, je nachdem die Seitenkanten zu den Grundflächen normal oder schief stehen. In jedem geraden Prisma sind die Seitenflächen Rechtecke nnd zu den Grund¬ flächen normal; die Seitenkantcn sind gleich der Hohe. Hat ein Prisma alle Kanten gleich, so heißt es g l e ich k a ntig. Ist ein Prisma gerade und hat es regelmäßige Polygone als Grundflächen, so heißt es regelmäßig. Ein Prisma, dessen Grundflächen Parallelogramme sind, heißt Parallel- epiped. Alle sechs Flächen desselben sind Parallelogramme; je zwei gegenüber¬ liegende Flächen können als Grundflächen angesehen werden. Sind die Grundflächen eines geraden Prismas Rechtecke, so heißt es ein rechtwinkliges Parallelcpiped (Fig. 151). Alle sechs Flächen desselben sind Rechtecke. Jedes gleichkantige und rechtwinklige Parallelepipcd heißt Würfel, Cubus oder Hexaeder; es hat sechs congruents Quadrate als Flächen. § 169. Ebene Schnitte. Jeder zu den Grundflächen parallele Schnitt ist mit denselben congrnent. Jeder Schnitt, welcher zu einer Seitenkante normal ist, ist zu allen Seitcn- kanten normal und heißt ein Norm al schnitt des Prismas. Ein prismatischer Raum ist durch den zugehörigen Normalschnitt bestimmt. Eine Ebene, welche durch zwei nicht benachbarte Seitenkanten gelegt wird, liefert einen Diagonalschnitt des Prismas; derselbe ist stets ein Parallelo¬ gramm. Jedes n-seitige Prisma lässt sich durch Diagonalschnitte in n — 2 drei¬ seitige Prismen von gleicher Hohe zerlegen. 8 170. Diagonalen eines Pnrallelepipedcs. «) In einem Parallclepipede wird jede Diagonale eines Diagonalschnittes Diagonale des Paralleles i- pedes selbst genannt. Sie ist die Verbindungsstrecke zweier Gegenecken, d. h. zweier Eckpunkte, welche nicht in einer Fläche des Parallelepipedes liegen, z. B. n. s. f. Jedes Parallelepiped hat vier Diagonalen. b) D i e D i a g o n a l e n eines j c d e n P a r a llel- epipedes gehen durch einen und denselben Punkt und halbieren einander. 126 Beweis. und 7Z7), (Fig. 151) sind die Diagonalen des Parallelo- grammes ^,71(77),; sie halbieren sich also gegenseitig im Schnittpunkte 0. ZT), und 7^7) sind die Diagonalen des Parallelogrammes 717)7), 7Z^; daher geht auch 71,7) durch den Punkt 0 (die Mitte von 717),) und wird in demselben halbiert u. s. f. o) In jedem rechtwinkligen Par allelepipede sind die Diago¬ nalen einander gleich; das Quadrat einer Diagonale ist gleich der Summe der Quadrate der drei Dimensionen (Länge, Breite und Höhe). Beweis. Je zwei Diagonalen eines rechtwinkligen Parallelepipedes sind zugleich die Diagonalen eines Recht¬ eckes und daher einander gleich. Bezeichnet man ferner die Längenzahlen der Strecken ^471,71(7,717?,, 727) und 71,7) mit «, 5, o, so erhält man durch Anwendung des Pythagoräischen Lehrsatzes auf die rechtwinkligen Dreiecke -8,717) und -4727) Die Pyramide und der Pyramiden stumpf. Fig. 152. K 171. Erklärungen. Legt man durch eine körperliche Ecke eine Ebene, welche alle Kanten durchschneidet, so heißt das von den Seitenflächen und der Schnittebene begrenzte Polyeder eine Pyramide. Die körperliche Ecke wird aus diesem Grunde auch ein pyramidaler Raum genannt. Aus der Beschrei¬ bung des Prismas erklärt sich ohneweiters die Bedeutung der Ausdrücke: Grund¬ fläche, S e it e n fläch e n, M a n t e l, G r n n d k a n teu und S e it e n k a n t e n der Pyramide. Der gemeinsame Schnittpunkt aller Seitenkanten heißt die Spitze und sein Abstand von der Grundfläche die Höhe der Pyramide. 8 172. Einkheilnngrn und Ltnrnnungtu. Nach der Anzahl der Seiten¬ flächen unterscheidet man dreiseitige, vierseitige, ... n-seitige Pyramiden. Nach der Länge der Seitenkanten unterscheidet man Pyramiden mit gleichen Seitenkanten (gerade oder gleichschenklige P.) und solche mit un¬ gleichen Seitenkanten (schiefe oder ungleichschenklige P.). Sind alle Seitenkanten einer Pyramide gleich, so ist ihre Grundfläche ein Sehnenvieleck und der Fußpunkt der Höhe zu¬ gleich d a s C e n t r u m d e s d e r G r u u d fläch e u m g e s ch r i e b e n e n K r e i s e s (Z 153, 3. Folgesatz). Zugleich gilt auch der Umkehrungssatz. Eine Pyramide mit gleichen Seitenkanten heißt regelmäßig, wenn ihre Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist. Die Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind congruente gleichschenklige Dreiecke. Die Ecke an der Spitze 127 ist regelmäßig. Umgekehrt: wenn man vom Scheitel einer regelmäßigen Ecke aus gleiche Strecken auf den Kanten abschneidet, so liegen die Endpunkte der Strecken in einer Ebene und bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen Poly- goues. Der Beweis folgt aus der Congruenz der Dreikante, welche au den End¬ punkten der abgeschnittenen Strecken entstehen. Sind alle Kanten einer Pyramide gleich, so heißt sie gleichkantig. Aus dem Vorausgeheuden ergeben sich leicht die folgenden Sätze: Jede gleichkantige Pyramide ist auch regelmäßig. Es gibt nur drei-, vier- und fünfseitige gleichkantige Pyramiden. 8 173. Ebrne Schnitte. Legt man durch eineu pyramidalen Raum zwei parallele Schnittebenen, welche alle Kanten durch¬ schneiden, so sind die Schnittfiguren ähnliche Polygone. b) Die Schnittflächen verhalten sich wie die Quadrate ihrer Abstände vom Scheitel. Beweise, cr) Aus .. . ^ ^L^LsL^ .«. . /tv folgt zunächst U. — Ur, L---- L^, <7— «I, .... (tz'l 49 ä, Folgesatz). / X X Ferner ist /X ^l.LA cx) ^LjA, LLA (V) /XXAX L^LsA u. s. fl, also UlL : FF : L(7 : L^Ls — n. s. f. Somit ist U . . . / X - - - AL L -4L17L . . . und L^ der Schnittpunkt der Geraden AL mit der Ebene des Polygones ^4, L, Ls .... Man hat dann AL : AL^ Fig. 1S3. A^ : A^ --- ^L : also nach Z 109 ^L(7L . . . : ^L^LsL^ . . . — ----- AL? : .> L Folgesätze. 1. Jeder zur Grundfläche parallele Schnitt einer Pyramide ist der Grundfläche ähnlich. 2. In jeder Pyramide verhält sich die Grundfläche zu einer parallelen Schnittfläche wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze. 3. Bezeichnet man den Modulus der ähnlichen Polygone ^4L(7L . . . und ^L^LsT^ . . . mit m., so hat man ^L—L L—m-^Ls,... A^i — »r.A^, AL — M-AL^ ... AL ----- mALi und ^4LL"L . . . — m^L.LsL, .... e) Wird eine Ebene durch zwei nicht aufeinanderfolgende Seitenkanten einer Pyramide gelegt, so heißt das als Schnittfigur erhaltene Dreieck ein Diagonal¬ schnitt. Jede w-seitige Pyramide lässt sich durch Diagonalschnitte in n—-2 drei¬ seitige Pyramiden von gleicher Höhe zerlegen. 8 174. Der Pyramidenstuinpf. Jeder zur Grundfläche einer Pyramide 128 parallele Schnitt zerlegt dieselbe in zwei Polyeder, welche Puram idenst umpf und ErgänzungsPyramide genannt werden. Man erkennt sofort die Be¬ deutung der Ausdrücke: G r n n d släch e n, S e it e n flächen, Mantel, Grund- kanten, Seitenkanten und Höhe des Pyramidenstumpses. Die Grundflächen sind ähnliche Polygone in parallelen Ebenen und die Seitenflächen Trapeze. Hat die ganze Pyramide gleiche Seitenkanten, so gilt dasselbe von der Ergänznngspyramide und dem Pyramidenstumpfe. Ist die ganze Pyramide regel¬ mäßig, so gilt dasselbe von der Ergänzungspyramide; dann heißt auch der zu¬ gehörige Pyramidenstumpf regelmäßig. Die Grundflächen des letzteren sind regelmäßige Polygone von gleicher Seitenanzahl; die Seitenflächen sind congruente gleichschenklige Trapeze. Aus der vorausgehenden Erklärung folgt, dass die Verlängerungen der Seitenkanten eines Pyramidenstumpfes durch einen und denselben Punkt gehen. Das prismatoid. 8 173. Erklärungen. Die bisher betrachteten Körper lassen sich als specielle Fälle einer allgemeinen Kvrperfvrm auffassen, welche den Namen Prismatoid führt. Dieses hat zwei parallele, im übrigen von einander unabhängige Polygone als Grundflächen und Dreiecke, die mit einer der beiden Grundflächen eine Ecke und mit der anderen eine Seite gemeinschaftlich haben, als Seitenflächen. In besonderen Fällen vereinigen sich zwei derselben zu einem Viereck (Trapez, Parallelo¬ gramm). Die Bedeutung der Ausdrücke Grundkanten, Seitenkanten, Höhe und Mantel des Prismatoides ist ohneweiters klar. Legt man durch die Mitte einer Seitenkante des Prismatoides eine zu den Grundflächen parallele Ebene, so halbiert dieselbe alle Seiten und die Höhe und heißt der Mittelschnitt des Prismatoides (Fig. 169). ß 176. Lenenuung und Srschrribnng der lpeciellcn Arten. «) Wenn die Seitenflächen eines Prismatoides durchwegs Vierecke sind, so heißt es Obelisk ,,F (Fig. 154). Schneiden sich die Verlängerungen der Seiten, kanten in einem Punkte, so sind die Grundflächen ähnlich / ' und der Obelisk ist ein Phramidenstumps. Sind alle Sei- tenkanten parallel, so sind die Grundflächen congruente Po- lygone, und der Obelisk ist ein Prisma. Wenn eine Grnnd- / n ! s X- fläche des Obelisken in einen Punkt zufammenschrumpft, so // s/ geht der Obelisk in eine Pyramide über. 4 s 5) Sind die Grundflächen eines Prismatoides congruent, Fig. 154. die Seitenflächen jedoch nicht Parallelogramme (wie beim Prisma) sondern durchwegs Dreiecke, so heißt das Prismatoid Antiprisma. a) Lässt man die eine Grundfläche eines Prismatoides in eine zur anderen parallele Gerade oder gebrochene Linie (die Schneide) übergehen, so erhält 129 man ein Polyeder, welches ebenfalls zu den Arten der Prismatoides zählt und Sphenisk (wörtlich übersetzt: Keil) genannt wird. Allgemeine Eigenschaften der Polyeder. K 177. öechehungkn Müschen der Anzahl der Ccken, Flächen, Kanten nnd Kantemvinkel (A) 7-) cr) Die Anzahl der Kanten Winkel eines Polyeders ist doppelt so groß als jene der Kanten. 1F—2L Beweis. Die Seiten der Polygone, welche die Oberfläche des Polyeders bilden, fallen zu zweien in je eine Kante zusammen. Ihre Anzahl ist daher doppelt so groß als jene der Kanten. Alle Flächen des Polyeders haben nun ebensoviel Seiten als Winkel; daher ist die Anzahl der letzteren, welche zugleich die Kantenwinkel des Polyeders bilden, doppelt so groß als jene der Kanten. ö) Die dreisache Anzahl der Flächen eines Polyeders ist kleiner als die doppelte Anzahl der Kanten und nur danu der¬ selben gleich, wenn alle Flächen Dreiecke sind. 3F < 2L Beweis. Wenn alle Flächen Dreiecke sind, so ist 3F die Anzahl der Seiten aller Flächen, somit 3 F — lF — 2 L Gibt es jedoch unter den Flächen auch solche mit mehr als drei Seiten, so ist 3 F kleiner als die Anzahl der Seiten aller Flächen, somit 3F < 2L Folgesatz. Sind alle Flächen eines Polyeders Dreiecke, so können dieselben nur in gerader Anzahl vorhanden sein. a) Die dreifache Anzahl der Ecken eines Polyeders ist kleiner als die doppelte Anzahl der Kanten und nur dann derselben gleich, wenn alle Ecken Dreikante sind. 372 < 2L Beweis. Sind alle Ecken dreiseitig, so ist 3 72 M — 2L In jedem anderen Falle ist 372 < 2L Folgesatz. Sind alle Ecken eines Polyeders dreiseitig, so können dieselben nur in gerader Anzahl vorhanden sein. <7) Für jedes (convexe) Polyeder ist die Summe aus der An¬ zahl der Ecken nnd jener der Flächen um 2 größer als die Anzahl der Kanten. Z -s- F — Li -s- 2. Beweis. Alan projiciere alle Kanten des ge- gebenen Polyeders auf eine Ebene und mache die Pro- jectionen jener Kanten, welche auf der dem Beobachter / i zugewendeten Seite des Polyeders liegen, durch stärkere Linien erkennbar (z. B. A7-) 727-', 7-"(7 n. s. w.). Die Projectionsebene kann stets in eine solche Lage gebracht werden, dass sie zu keiner Kante und daher auch zu keiner Fläche des Polyeders normal ist. Dann wird jede Kante als Strecke und jede Fläche als Polygon von derselben Seitenanzahl profitiert. Hočevar, Geometrie für Oberrealschulen. 9 Fig. 155. 130 Bezeichnet man also mit /8 die Winkelsumme für alle durch Projektion der Polyederflächen erhaltenen Polygone (U. 7? 7? 7?S7? 7?6^777, .. . ^47H, 7?l7H, H7II) . . .), ferner mit -rz, . . . die Seitenanzahl der 1., 2., . . . . 7?ten Polyederfläche, so ist F --- (2^ — 4)7? Z- (2»z — 4)7? -j- . . . -j- (2»^ — 4)7? -s- -P . . . -s- u^.)27? — 7?.47? — — 7?)47?. Es bedeutet nämlich -s- -s- . . . -s- die Anzahl der Seiten aller Polyederflächen und ist daher — 2L Die Zahl >9 kann jedoch auch gefunden werden, indem man zur doppelten Winkelsumme des Polygones 77 (77) . . ., dessen Umfang die äußere Begrenzung der Projectionsfigur bildet, soviel volle Winkel addiert, als Projectionen von Eckpunkten innerhalb ^.77 07) . . . liegen. Wenn also das Polygon (77) . .. m, Eckpunkte hat, so folgt A^--Z(2-n, — 4) 7? -j- (7? —- »r)47? — (7/ — 2)47?. Durch Gleichsetzung der beiden Werte von K erhält man schließlich 77—7? — Z — 2 und 7? -j- 7? — 77 -j- 2. Zusätze. 1. Der Lehrsatz 7) wird nach dem berühmten Mathematiker Eul er (geb. zu Basel 1707, gest, zu Petersburg 1783) der Euler'sche Lehrsatz genannt. In dem obigen Beweise desselben wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass der Lehrsatz von der Winkelsumme (Z 78) für alle Polygone, welche sich durch Pro¬ jektion der Polyederflächen ergeben, giltig ist; ferner, dass diese Polygone einen Theil der Ebene (^.77(77) . . .) zweimal und nicht öfters bedecken. Zu den Euler'schen Polyedern, d. i. jenen, für welche jener Lehrsatz gilt, gehören alle convexen Polyeder. Um ein Polyeder zu erhalten, für welches der Euler'sche Lehrsatz nicht besteht, denke uran sich ans einem Würfel einen kleineren Würfel so ausgeschnitten, dass eine Fläche des letzteren in einer Fläche des ersteren liegt. 2. Die Lehrsätze o), ö) und 7) lassen sich in folgender Weise ausdrücken: 3L -j- 277, 37? -Z z/ — 277, 7/ -j- 7? — 77 -Z 2 . . . «), worin öv und gewisse positive ganze Zahlen bedeuten. Man hat — 0 zu setzen, wenn alle Ecken des Polyeders Dreikante sind, und z/ — 0, wenn alle Flächen Drei¬ ecke sind. Ans den Gleichungen «) erhält man durch Auflösen nach 77,7? und 1 1 77 --- 4 Z- -Z 2z/), 7? -- 4 Z- -^(2a- -j- z/), 77 6 -p- a- Z- z/. Es gibt also kein Polyeder, welches weniger als vier Ecken, vier Flächen und sechs Kanten besitzt. Diese kleinsten Zahlen ergeben sich für -v — 0, z/ — 0 und entsprechen der dreiseitigen Pyramide. 3. Eliminiert man 77 aus der ersten und dritten, hierauf aus der zweiten und dritten Gleichung «), so folgt 27? - 4 - a-, Z- 2 -j- A, also Z- 2 < L 27? — 4. 131 Hieraus erhält man, wenn 7? gegeben ist, die Grenzen, zwischen denen L liegt, nnd dann mittelst des Enler'schen Lehrsatzes die Grenzen für L Die regelmäßigen Polyeder. K 178. Lehrsatz. Es gibt nicht mehr als fünf (convexe) regel¬ mäßige Polyeder. 2 -77, _ 4 Beweis. Ein Winkel eines regelmäßigen m-Eckes beträgt Wenn n regelmäßige m-Ecke znr Bildung einer Ecke verwendet werden, so beträgt die Summe der Kantenwinkel Zahlen m, nnd n. müssen also nach Z 162 so gewählt werden, dass die Bedingung < 47ö erfüllt ist. Man erhält daraus 2mn — 4,r 4^, also — 2m, — 2n 0 oder (m, — 2) (n — 2) < 4. Die Zahlen m, und -r müssen ferner den Bedingungen «r 3, n 3 oder m. — 2 > 1, n — 2 7> 1 genügen. Also müssen für m, — 2 nnd n — 2 solche Paare positiver ganzer Zahlen gewählt werden, deren Product kleiner als 4 ist. Dies kann nur auf fünf verschiedene Arten geschehen, wie ans der nachfolgenden Tabelle ersichtlich ist. Um die entsprechenden Werte von Z, 7c zu erhalten, leitet man zunächst durch Betrachtungen, welche jenen in Z 177 ö) nnd c) ganz analog sind, die Gleichungen — 27L und — 2L ab. Hierauf substituiert man die daraus berechneten Werte von Z nnd in die Gleichung F -j- T-' — Li -s- 2 und erhält 2nrn 2/^ „ 2^ 4 — (m - 2) 0 — 2)' »r ' m. Die mit Hilfe dieser Gleichungen gefundenen. Werte von L) 7il und sind in der obigen Tabelle zusammengestellt. Zusätze. 1. Im Vorausgehenden ist nur bewiesen worden, dass es nicht mehr als fünf (convexe) regelmäßige Polyeder geben kann. Der Beweis für die Existenz dieser fünf Körper muss durch die Construction derselben erbracht werden. Sie heißen auch die Platonischen Körper, da sie von Platon (geb. zu Athen im Jahre 429 v. Ehr.) und dessen Schülern eifrig untersucht wurden. s* 132 2. Die Definition der regelmäßigen Polyeder lautet eigentlich: „Ein Polyeder heißt regelmäßig, wenn alle Flächen desselben congruente regelmäßige Polygone sind, und wem: alle Ecken desselben gleichviel Seitenflächen haben." Man kann nämlich nachweisen, dass die Ecken unter den eben angeführten Bedingungen anch congrnent und regelmäßig sind. Da jedoch der Beweis für diese Behauptung in Bezug auf das Jkosander sehr langwierig ist und in Be¬ zug auf die übrigen regelmäßigen Polyeder leicht gefunden wird, so soll er in diesem Lehrbuche übergangen werden. Beweis. Es Jene Gerade, welche durch den Mittelpunkt des Leitkreises geht und zu irgend einer Lage der erzeugen¬ den Geraden parallel ist, heißt die Achse der Cyli n- der fläche. Der von der Cylinderfläche begrenzte und nach zwei entgegengesetzten Seiten offene Raum heißt ein cylindrischer Raum. ö) Jede zur Ebene des Leitkreises p ar a ll e l e E b e n e schneidet den c yl i n d r i s ch e n Raum in einem dem Leitkreise gleichen Kreise, dessen Mittelpunkt in der Achse liegt, sei lsi der Leitkreis und 00^ die Achse der Cylinderfläche; ferner seien besondere Lagen der erzeugenden Geraden und 6J... die Schnittpunkte derselben mit einer Ebene, welche durch irgend 3. Ans der obigen Tabelle ist ersichtlich, dass man dem Oktaeder das Hexaeder und dem Ikosaeder das Dodekaeder derartig zuordnen kann, dass je zwei einander zugeordnete Körper gleichviel Kanten besitzen, und dass der eine ebensoviel Ecken hat als der andere Flächen. Der Grund für diese Erscheinung liegt darin, dass die Gleichungen m.F'— 2L, — 2Ll und Z -P — Li -j- 2 in sich selbst übergehen, wenn in denselben L und und gleichzeitig m, und n vertauscht werden. — Aus jedem der genannten vier Körper erhält man den zugeordneten, wenn man die Ecken des ersteren durch Ebenen derart abschneidet, dass von jeder Fläche nur der Mittelpunkt als Scheitel einer neuen Ecke übrigbleibt. Daraus geht anch hervor, dass man in gleicher Weise das Tetraeder sich selbst zuordnen kann. Der Cylmder. K 179. Erklärungen und Lehrsätze, Gleitet eine Gerade längs eines Kreises und bleibt zugleich einer von der Ebene des Kreises geschnittenen Geraden parallel, so beschreibt sie eine krumme Fläche, welche Cylinderfläche genannt wird. Ist die Leitlinie eine beliebige krumme Linie, so erhält man eine Cylinderfläche im allgemeinsten Sinne ves Wortes. Im Nach¬ folgenden soll unter „Cylinderfläche" stets die zuerst erklärte d. i. die Kreis- Cylinderfläche verstanden werden, außer wenn der allgemeinere Begriff ausdrücklich 133 einen Punkt 0^ der Achse parallel zur Ebene des Leitkreises gelegt wird. Dann sind die Vierecke U00^^, LOO^T^, 00 LH LJ... Parallelogramme, daher ist ^0, — ^.0, L^O, — LO, 0,0, --- 00,..., also auch üyLH---L^ — 0^0^ -... Folgesatz. Wenn eine Kreisfläche parallel zu sich selbst so fortbewegt wird, dass ihr Mittelpunkt eine Gerade beschreibt, so beschreibt sie einen cylindrischen Raum. e) Der Theil des cyliudrischen Raumes, welcher zwischen zwei zum Leit¬ kreise parallelen Schnittebencu oder zwischen einer dieser Ebenen und dem Leit¬ kreise enthalten ist, heißt ein Cy lind er (genauer ein Kreiscylinder). Die Oberfläche des Cylindcrs besteht aus den beiden Grundflächen, welche gleiche und parallele Kreise sind, nnd der krummen Seitenfläche oder dem Mantel. Die gerade Verbindungslinie der Mittelpunkte der beiden Grundflächen heißt die Achse, der Abstand der beiden Grundflächen (0^) die Höhe des Cylinders. Jede Strecke, welche von den Endpunkten zweier direct paralleler Radien der beiden Grundflächen begrenzt wird, wird eine Seitenlinie des Cylinders genannt. Alle Seitenlinien eines Cylinders sind einander und der Achse gleich und parallel und fallen in den Mantel des Cylinders. K M. Linthkilmig. Ein Cylinder heißt gerade oder schief, je nach¬ dem seine Achse zu den Grundflächen normal oder schief ist. Im geraden Cylinder ist die Achse zugleich die Höhe. Der gerade Cylinder kann auch durch Notation eines Rechteckes nm eine Seite entstehen; man zählt ihn daher zu den Rotations¬ körpern und seinen Mantel, sowie die entsprechende Cylinderfläche zu den Rotations¬ flächen. Jeder gerade Cylinder, in welchem der Durchmesser der Grundfläche gleich der Höhe ist, heißt gleichseitig. K 181. Achsenschnitte. Legt man durch die Achse eines Cylinders eine Ebene, so heißt die erhaltene Schnittfigur ein Achsenschnitt des Cylinders. Alle Achsenschnitte eines beliebigen Cylinders sind Parallelogramme (Z 179o); im geraden Cylinder sind sie congrnente Rechtecke und im gleichseitigen Cylinder congrneute Quadrate. Jener Achsenschnitt eines schiefen Cylinders, welcher die Projektion der Achse auf eine Grundfläche enthält, heißt d a s ch a r a k t e ri st i s ch e P a r a ll e l o g r a m m des Cylinders. Seine Ebene ist zu den Grundflächen normal; seine Höhe ist zugleich die Höhe des Cylinders nnd seine spitzen Winkel sind gleich dem Neigungs¬ winkel der Achse oder irgend einer Seitenlinie zur Grundfläche. Unter den Achsenschnitten eines schiefen Cylinders gibt es nur ein Rechteck. Seine Ebene wird durch die Achse nnd jenen Durchmesser der Grundfläche bestimmt, welcher zur Achse normal ist. Da dieser Durchmesser zur Ebene des charakteristischen Parallelogrammcs normal ist (Z 155 o), so ist auch dieses zum rechteckigen Achsenschnitte normal. 134 § 182. öeriihrmigstbenru der Eylindrrfläche. Wenn eine Ebene eine Tangente der Grundfläche eines Cy.linders und die dem Be¬ rührungspunkte entsprechende Seitenlinie enthält, so hat sie außer der Seitenlinie keinen Punkt mit dem Chlindermantel und der e n t s p r e ch e n d e n C yli n d e r fläche gemeinschaftlich. Sie heißt daher eine Berührnngseb ene oder Tangentialebene des Cylinder- mantels oder der entsprechenden Cylinderfläche. Beweis. Hätte jene Ebene « außer der Seitenlinie s noch einen Punkt ^4 mit der Cylinderfläche gemeinschaftlich, so müsste die durch -4 zu s gezogene Parallele einerseits in der Ebene « (Definition der Parallelen) und andererseits im Cylinder- mantel liegen (ß 179). Die Ebene cc würde also den Cylindermantel in zwei Seitenlinien und daher den Umfang der Grundfläche in zwei Punkten schneiden, was der Voraussetzung widerspricht. K 183. Ein- und umgeschriebrne Prismen. Wenn die Seitenkanteu eines Prismas zugleich Seitenlinien eines Cylinders sind, so dass die Grundflächen der beiden Körper in dieselben Ebenen zusammenfallcn, so heißt das Prisma dem Ch lind er eingeschrieben und letzterer dem ersteren um geschrieben. Die Grundflächen des eingeschriebenen Prismas sind den Grundflächen des Cylinders eingeschrieben. Wenn die Seitenflächen eines Prismas Berührungsebenen des Mantels eines Cylinders sind, und wenn die Grundflächen der beiden Körper in dieselben Ebenen fallen, so heißt das Prisma dem Cylinder umgeschrieben und letzterer dem ersteren eingeschrieben. Die Grundflächen des umgeschriebenen Prismas sind den Grundflächen des Cylinders umgeschrieben. Der Legel und der Legelstumpf. K 184. Erklärungen nnd Lehrsätze. «) Gleitet eine Gerade so längs eines Kreises, dass einer ihrer Punkte, welcher nicht in der Ebene des Kreises liegt, seine Lage unverändert beibehält, so beschreibt sie eine Kegelfläche oder conische Fläche. Bezüglich der Kegelfläche im allgemeinsten Sinne des Wortes sieh die analoge Bemerkung im 8 179. Der feste Punkt der erzeugenden Geraden heißt der Scheitel oder die Spitze, die durch den Scheitel nnd den Mittelpunkt des Leitkrcises bestimmte Gerade die Achse der Kegelfläche. Jener von der Kegelfläche begrenzte und nach zwei entgegengesetzten Seiten offene Raum, welcher die Achse enthält, wird ein kegelförmiger oder conischer Raum genannt. ö) Jede zur Ebene des Leitkreises parallele Ebene (aus¬ genommen jene, welche den Scheitel enthält) schneidet die Kegel- flache in einem Kreise, dessen Mittelpunkt in der Achse liegt. 135 Beweis. Es sei ^4^6 der Leitkreis und 0 >9 die Achse der Kegelfläche; ferner seien LL, <7^,... besondere Lagen der erzeugenden Geraden und 6s,... die Schnittpunkte derselben mit einer Ebene, welche durch einen beliebigen (von verschie¬ denen) Punkt 0^ der Achse parallel zur Ebene des Leit¬ kreises gelegt wird. Es ist dann /X c» F, LOL'cxi ^0^,...; wenn also OZ: 0^ — M, ge- setzt wird, so solgt ^4 0 — -m (X, L 0 — m, 0^,... und wegen ^0 — 770 —... auch ^0^ — /S / ' ' ' Fig. 157. Ebenso wird der Beweis geführt, wenn der Scheitel zwischen dem Leitkreise nnd der parallelen Schnittebeile liegt. a) Jener Theil des kegelförmigen Raumes, welcher zwischen dem Scheitel und der Ebene des Leitkreises oder einer parallelen Schnittcbene enthalten ist, heißt ein Kegel (genauer eiu Kreiskegel). Aus der Beschreibung der Pyramide und des Cylinders ist die Bedeutung der Ausdrücke: Grundfläche, Mantel, Scheitel oder Spitze, Achse und Höhe des Kegels ohneweiters klar. Jede Strecke, welche von der Spitze eines Kegels und einem Punkte des Umsanges der Grundfläche begrenzt wird, heißt eine Seitenlinie des Kegels; sie fällt ganz in den Mantel desselben. K 183. Einthrilimg. Ein Kegel heißt gerade oder schief, je nachdem sine Achse zur Grundfläche normal oder schief ist. Im geraden Kegel ist die Achse zugleich die Höhe; seine Seitenlinien sind einander gleich. Der gerade Kegel kann auch durch Rotation eines rechtwinkligen Dreieckes nm eine Kathete entstehen; man zählt ihn daher zu den Rotationskörpern und seinen Mantel sowie die entsprechende Kegelfläche zn den Rotationsflächen. Jeder gerade Kegel, in welchem der Durchmesser der Grundfläche gleich einer Seitenlinie ist, heißt gleichseitig. K 186. Ächfenschnittr. Legt man durch die Achse eines Kegels eine Ebene, so heißt die erhaltene Schnittfigur ein Achsenschnitt des Kegels. Die Achsen- schuitte eines schiefen Kegels sind im allgemeinen ungleichseitige Dreiecke; jene des geraden Kegels sind congruente gleichschenklige Dreiecke und jene des gleichseitigen Kegels congruente gleichseitige Dreiecke. Jener Achsenschnitt eines schiefen Kegels, welcher zugleich die Höhe enthält, heißt das charakteristische Dreieck des Kegels. Seine Ebene ist zur Grundfläche normal; seine Hohe ist zugleich die Höhe des Kegels; seine Seiten sind der Durchmesser der Grundfläche, die kürzeste und die längste Seitenlinie des Kegels (ß 155 ö, Zusatz und ß 153). 136 Unter den Achsenschnitten eines schiefen Kegels gibt es auch ein gleichschenk¬ liges Dreieck, dessen Ebene zn jener des charakteristischen Dreieckes normal ist (Z 181). 8 187. Lenihrmlgsrbrnrn der UcgeWchc. Wenn eine Ebene eine Tangente d e r G ru n d fläch e e i n e s K e g e l s n n d d i e z n m B e r ü h r n n g s- punktc gezogene Seitenlinie enthält, so hat sie außer der Seiten¬ linie kei nen Punkt mit dem Kegelmantel nnd der entsprechenden Kegelfläche gemeinschaftlich. Sie heißt daher eine Bernhrungsebenc des Kegelmantels oder der entsprechenden Kegelfläche. Beweis wie in ß 182. K 188. Ein- nnd ningrschrirblM PiMNiidrn. Wenn die Seitenkanten einer Pyramide zugleich Seitenlinien eines Kegels sind, so dass die Grundflächen der beiden Körper in eine Ebene zusammenfallen, so heißt die Pyramide dem Kegel eingeschrieben und letzterer der ersteren umgeschrieben. Die Grundfläche der eingeschriebenen Pyramide ist der Grundfläche des Kegels ein¬ geschrieben. Wenn die Seitenflächen einer Pyramide Berührnngsebenen des Mantels eines Kegels sind, und wenn die Grundflächen beider Körper in einer Ebene liegen, so heißt die Pyramide dem Kegel umgeschrieben und letzterer der ersteren eing eschrieben. Die Grundfläche der umgeschriebenen Pyramide ist der Grund¬ fläche des Kegels umgeschriebcn. 8 189. Der Krgelstnmpf. Jeder Kegel wird durch eine zur Grundfläche parallele Schnittebene in zwei Körper, einen Kegelstnmpf nnd den Ergäu- zungskegel zerlegt. Die Bedeutung der Ausdrücke: G r n n dfläch e n, M a n tel, Höhe, Seitenlinie, Achse nnd Achsenschnitt des Kegelstumpfes ist nach dem Voransgehenden ohneweiters klar. Der Kegelstnmpf heißt gerade oder schief, je nachdem seine Achse zu den Grundflächen normal oder schief ist. Die Achsenschnitte eines Kegelstnmpfes sind Trapeze, und zwar beim geraden Kegelstumpfe cougruente gleichschenklige Trapeze. — Charakteristisches nnd gleich¬ schenkliges Trapez eines schiefen Kegelstumpfes. Die Kugel. 8 190. Erklärungen. Wenn ein Halbkreis um den ihn begrenzenden Durchmesser als Achse in demselben Sinne solange rotiert, bis er wieder seine Ansangslage erreicht, so beschreibt er eine geschlossene Fläche, welche Kugelsläche genannt wird. Der von der Kugelfläche eingeschlossene Raum heißt Kugel oder Sphäre. Die Kugelfläche gehört also zn den Rotationsflächen nnd die Kugel zu den Rotationskörpern. Da ein beliebiger Punkt des erzeugenden Halbkreises bei der Notation seinen Abstand vom unbewegten Mittelpunkte nicht verändert, so haben alle Punkte der Kugelfläche gleiche Abstände von jenem Biittelpunkte. Dieser heißt auch Mittel- 137 Punkt oder Centrum der Kugelfläche und der Kugel. Jede Verbindungsstrecke des Mittelpunktes mit einem Punkte der Kugelfläche heißt H a lb m e s se r (R a d ius). Jede von zwei Punkten der Kngelfläche begrenzte Strecke wird Sehne, und wenn dieselbe durch das Ceutrnm geht, Durchmesser (Di am et er) genannt. Die Endpunkte eines jeden Durchmessers heißen Gegenpnnkte der Kngelfläche Folgesätze. 1. Alle Radien einer Kugel sind gleich. 2. Jeder Durchmesser ist doppelt so groß als ein Radins derselben Kugel. 3. Alle Durchmesser einer Kugel sind gleich. 4. Jeder Durchmesser ist großer als jede andere Sehne derselben Kugel (8 43). 8 191. KngMächt Md Punkte. Ein Punkt liegt ans einer Kugelfläche, innerhalb oder außerhalb derselben, je nachdem sein Centralabstand (Abstand vom Centrum) gleich dem Radins, klei¬ ner oder größer ist als derselbe. Zugleich gelten die Umkehrungs¬ sätze. Die Beweise find jenen in § 45 analog. Folgesätze. 1. Der geometrische Ort aller Punkte (im Raume), welche von einem Punkte 0 den Abstand -- besitzen, ist die Kngelfläche mit dem Ceutrnm 0 und dem Nadins 2. Haben zwei Kugelflächen ein gemeinschaftliches Centrum und gleiche Radien, so decken sie sich vollständig. Daher heißen Kugeln mit gleichen Radien congruent oder auch gleich. b) Je drei Punkte einer Kngelfläche liegen nicht in derselben Geraden (Z 32 o, 1. Folgesatz). o) Durch vier Punkte, welche nicht in einer Ebene liegen, ist eine Kngelfläche eindeutig bestimmt. Beweis. Sind ^4, 71, (7, 7) die gegebenen Punkte, so können je drei der¬ selben nicht in einer Geraden liegen, weil sonst alle vier Punkte derselben Ebene angehvren würden. Die Punkte ^4, 7), (7 bestimmen also einen Kreis, dessen Achse cr, d. i. die im Mittelpunkte zu seiner Ebene errichtete Normale, der geometrische Ort aller Punkte ist, welche von ^4, L und <7 gleiche Abstände haben (8 153 b). (Die Achse kann auch als Durchschnittslinie der Symmetralebenen der Strecken ^4 7? und 7) <7 aufgefasst werden, da jeder ihrer Punkte von ^4 und 7), ferner von 71 und (7 gleiche Abstände hat.) Wenn nun die Symmetralebene / der Strecke (77) die Achse « in einem Punkte 0 schneidet, so hat dieser von den Punkten ^4, 7?, (7, 7) gleiche Abstände; er ist also das Ceutrnm einer Kngelfläche, welche die vier gegebenen Punkte enthält u. s. f. wie in 8 45 o. Die Gerade « kann nicht zu / parallel sein. Denn legt man durch « eine Ebene, welche / in der Geraden o schneidet, so wäre dann « o und wegen a ^471(7 auch 6 4_ ^4 7? (7. Daraus schließt man 7 ^471(7; also müsste (77) in der Ebene ^17? (7 liegen (8 151 o), was der Voraussetzung widerspricht. 138 Ebensowenig darf angenommen werden, dass « in der Ebene 7 liegt. Denn dann wäre 7 ch. ^Z<7 n. s. f. ch) Unter allen Strecken, welche einen gegebenen Punkt mit den Punkten einer Kngelfläche verbinden, ist jene die größte, welche das Centrum enthält, und jene die kleinste, deren Ver¬ längerung durch das Centrum geht. Beweis analog wie in 8 45^. § 192. üngrlsiiiche und Gerade. Eine Gerade hat mit einer Kugelfläche keinen Punkt, einen Punkt oder zwei Punkte gemein¬ schaftlich, je nachdem ihr Centralabstand großer, ebenso groß oder kleiner ist als der Radins. Zugleich gelten auch die Umkchrungs- sätze. Beweise analog wie in Z 46. ö) Hat eine Gerade nur einen Punkt mit einer Kugelfläche gemeinschaftlich so heißt sie eine Tangente derselben, und der gemeinschaftliche Punkt heißt der Berührungspunkt. Auch hier ist die Tangente als die Grenzlage einer Geraden aufznfassen, welche zwei Punkte mit der Kugelfläche gemeinschaftlich hat und um einen dieser Punkte solange gedreht wird, bis der andere mit ihm znsammeufällt. Die Tangente einer Kugelfläche ist normal zu jenem Radius, welcher zum Berührungspunkte gezogen ist. Der geometrische Ort aller Tangenten, welche eine Kugelfläche in einem gegebenen Punkte berühren, ist eine Ebene, welche nur einen Punkt mit der Kugel¬ fläche gemeinschaftlich hat (Z 193). 0) Gleichen Kugelfeh neu entspreche« gleiche Centralabstäude, und der größeren von zwei verschiedenen Kugelsehnen entspricht der kleinere Centralabstand. Zugleich gelten die Umkehrungssätze. Beweise. Bezeichnet man mit u, s und 0 die Längenzahlen des Kugelradius, einer Kugelsehne und ihres Centralabstandes, so ist 0 — - Für eine zweite Kngelsehne erhält man Für s — st also 6 — u. s. f. 8 193. Kngtlfliicht und Ebtnr. a) Eine Ebene hat mit einer Kugelfläche keinen Punkt, einen Punkt oder eine Kreislinie gemeinschaftlich, je nachdem ihr Centralabstand größer, ebenso groß oder kleiner ist als der Nadins. Zugleich gelten die Um¬ ke h r n n g s s ä tz e. Beweise. Die ersten zwei Fälle sind analog zu behandeln wie die ent¬ sprechenden im § 46. Ist ferner 0 <7 U. « und 0 <7 -< r-, so lege man durch 0 (7 eine Ebene und bestimme in der Durchschnittslinie derselben mit der Ebene cc einen Punkt ^1, für welchen O^l — u ist. (Wegen 0 <7 < ist diese Construction stets ausführbar.) Beschreibt man nun in der Ebene « eine Kreislinie mit 139 dem Centrnm (7 lmd dem Radius <7^l, so haben alle Punkte derselben und nur diese den Abstand i- vom Kugelcentrnm (ß l83). Diese Kreislinie ist also der geometrische Ort aller Punkte, welche der Kugelfläche und der Ebene gemeinschaftlich sind. — Die Umkehrungssätze können indirect bewiesen werden. ö) Hat eine Ebene nur einen Punkt mit einer Kugelfläche gemeinschaftlich, so heißt sie Berüh- rnngs- oder Tangentialebene, und der ge- Ns- E. meinschaftliche Punkt heißt Berührungspunkt. Die Bernhruugscbene ist ans dem zum Berührungspunkte gezogenen Radius normal. Welche Umkehrungen lässt dieser Satz zu? o) Wenn eine Ebene mehr als einen Punkt mit einer Kugelfläche gemein¬ schaftlich hat, so schneidet sie dieselbe in einem Kreise, welcher Kugelkreis genannt. Aus «) ergibt sich sofort der Satz: 1. Die Normale vom Kugelcentrnm auf die Ebene eines Kugelkreises hat das Centrum des letzteren zum Fnßpnnkte. Welche Umkehrungen lässt dieser Satz zu? Bezeichnet man mit a und (? den Radins einer Kugel, den Centralabstand der Ebene eines Kugelkreises und den Radius des letzteren, so ist p — Vst?— o?. Daraus folgt: 2. Zn gleichen Centralabständen gehören auf derselben Kugel gleiche Kngelkreise und umgekehrt. 3. Dem kleineren Centralabstande entspricht auf derselben Kugel der größere Kugelkrcis und umgekehrt. 4. Unter allen Kugelkreisen sind diejenigen die größten, deren Ebenen das Kugelcentrnm enthalten. Sie heißen daher größte Kugelkreise oder Hanptkrcise, während alle anderen Kugelkreise Neben¬ kreise genannt werden. 5. Alle Hauptkreise derselben Kugel sind einander gleich; denn der Durchmesser eines jeden ist zugleich Durchmesser der Kugel. 6. Je zwei Hauptkreise einer Kugel schneiden einanderIin zwei Gegenpnnkten der Kugelfläche. 7. Durch zwei Gegenpunkte einer Kugelfläche lassen sich un¬ endlich viele Hanptkreise derselben Kugel legen, während durch irgend zwei andere Punkte der Kugelfläche ein Hauptkr^eis der¬ selben eindeutig bestimmt ist. 8. Die Achse eines jeden Kugelkreises geht durch das Kngel- centrum (Umkehrnngssatz zn 1.). Die Schnittpunkte der Achse mit der Kugel- flächc werden die Pole des Kngelkreises genannt. 140 9. Alle parallelen Kugelkreise haben die Achse und die Pole gemeinschaftlich. Schneidet mau eiue Kugel durch eine Ebene, so zersällt sie in zwei Körper, welche Kugelabschnitte oder Kugelscgmente heißen, und die Kugelfläche zerfällt in zwei Flächen, welche Kugelmützeu, Kugelkappeu oder C a l o tt e n heißen. Die Oberfläche eines Kngelsegmentes besteht aus einem Kreise, der Grundfläche, und einer Calotte, dem Mantel. Errichtet man die Achse zur Grundfläche eines Kugelsegmentes, so heißt der von der Grundfläche und dem Mantel begrenzte Theil der Achse die Hohe des Kugelsegmcntes und der zugehörigen Calotte. Der Theil einer Kugel zwischen zwei parallelen Schnittebenen heißt Kugel¬ schichte und der zwischen den parallelen Schnittebenen enthaltene Theil der Kugelfläche Kugelzone oder einfach Zone. Die Oberfläche einer Kugelschichte besteht aus zwei parallelen Kngelkreisen, den Grundflächen, und einer Kugelzone, dem Mantel. Der Abstand der beiden Grundflächen heißt die Höhe der Kugel¬ schichte und der zugehörigen Kugelzone. Nimmt mau das Kugelccntrum als Spitze uud einen Nebenkreis als Leit linie einer Kegelfläche, so heißt der von der letzteren eingeschlosscue Theil der Kugel ein Kugelausschnitt oder Kugelsector. Die Oberfläche desselben besteht aus dem Mantel eines geraden Kegels und aus einer Calotte. Die im Vorausgehendeu bezeichneten Theile der Kngel und der Kugelflächc gehören zu den Rotationskörpern, beziehungsweise Rotationsflächen. Man bestimme - die Flächen uud Linien, durch deren Rotation jene Theile der Kugel und Kugcl- fläche erhalten werden. K 1!)4. Die Kugel und ihr rin- oder nmgrlchnebene Körper, «h Ein Polyeder heißt einer Kugel eingeschrieben, wenn die Scheitel seiner Ecken in der Kugelfläche liegen, und um geschrieben, wenn seine Flächen Bcrührungs- cbenen der Kugelfläche find. Ein Cy linder heißt einer Kugel eingeschrieben, wenn seine Grund¬ flächen dieser Kugel entsprechende Kugelkreise sind, und um geschrieben, wenn sowohl die beiden Grundflächen als auch alle Seitenlinien die Kugelfläche berühren. Analog lauten die Erklärungen für den Kegel und den Kegelstiunpf. ö) Jedem regelmäßigen Polyeder lässt sich eine Kugel ein- schreibeu uud eine Kugel umschreiben. Die Mittelpunkte der beiden Kugeln fallen in einen Punkt (den Mittelpunkt des regel¬ mäßigen Polyeders) zusammen. Beweis. Es seien ^4 Z (7 und ^l (7D zwei aneinauderstoßende Flächen eines regelmäßigen Polyeders, L und ihre Mittelpunkte, und <7 sei der Halbic- rnngspuukt ihrer gemeinschaftlichen Seite ^4(7. Dann ist K. ^.<7 und 4. (7. 141 Daraus folgt, dass die Ebene zur Kante Ä <7, also auch zu den Flächen ^4 L (7 und Ä(747 normal ist, und dass der Neigungswinkel dieser beiden Flächen ist. Wenn man nun in Zl und die Normalen zu den betrachteten Flächen konstruiert, so liegen die¬ selben in der Ebene Z?«?/' (ß 151 a) und schneiden sich in einem Punkte 0. Non diesem Punkte V lässt sich beweisen, dass er sowohl von allen Fig. 159. Flächen, als auch von allen Eckpunkten des Polyeders gleiche Abstände hat, dass er also der Mittelpunkt der ein- und der umgeschriebenen Kugel ist. Es ist nämlich /X -^<7 Z^<7, also Zl<7 — Z'O und — ^<7 <7 — wenn cc den Neigungswinkel je zweier aneinanderstoßender Flächen des Polyeders bedeutet. In analoger Weise findet man, dass die in den Mittelpunkten Z' und / der Flächen Zlt7Z) und Z>l7Zl errichteten Normalen dieser Flächen sich in einem Punkte (si schneiden, ferner dass Z'O^ Zklsi und Z'ZIO^ — I7Z<7^ ist. Aus der Congruenz der Dreiecke Z'<7<7 und Z'7Z<7^ folgt weiter 7^0 — Z°(^, d. h. die Punkte 0 und - und s, d. i. die Flächcnzahl des Pyramidenmantels, in . 2nns — ar,-s über, .ni-s ist zugleich die Flächenzahl eines Krcissectors mit dem Bogen 2nn und dem Radius s. Zn demselben Resultate gelangt mm: auch, wenn man sich den Mantel der umgeschriebeuen regelmäßigen Pyramide längs einer Seitenkante ausgeschnitten und hierauf in die Ebene ausgebreitet denkt. Die erhaltene Figur (das Netz des Pyramidenmantels) ist ein Polygon, welchem sich ein Kreissector einschreiben lässt, und welches in den Sector übergeht, wenn die Seitenanzahl der Pyramide un¬ begrenzt wächst. Daraus folgt auch, dass die Kegelfläche in die Ebene ab¬ wickelbar ist. Folgesatz. Sind und 0 die Flächenzahlen des Mantels und der Ober¬ fläche eines geraden Kegels, so hat man M" ----- 0 ----- -P. (,- -P- Z). Zusatz. Die Mantelfläche eines schiefen Kegels lässt sich ans elementarem Wege nicht berechnen. K 204. Gerader Kegelstumpf. Der Mantel eines geraden Kegelftumpfes ist gleich einen: Kreisringsector, dessen Bogen und Breite beziehungsweise gleich sind den Peripherien der Grundflächen und der Seitenlinie des Kegelstumpfes. Beweis. Man denke sich den: geraden Kegelstumpfe eiuen regelmäßigen Pyramidenstumpf umgeschrieben und verfahre dann ebenso wie in: vorausgehcnden Falle (8 203). Es ist Lk ----- ar(,--P^)s und 0 --- -r st'"-st -st (,-^st ^)sj. ö) Der Mantel eines geraden Kegels oder Kegelstumpfes ist gleich dem Products ans der Peripherie des Mittelschnittes in die Seitenlinie. Beweis. Legt man durch den geraden Kegel oder Kegelstnmpf einen Achsen- und den Mittelschuitt, so ist der Durchmesser 2(> des Mittelschuittes zugleich die Mittellinie jenes Dreiecks oder Trapezes, welches man als Achsenschnitt erhält. Daher ist beim Kegel 2p — -r und beim Kegelstumpfe 2p ----- -r -st also in beiden Fällen — 2-rps. 10* 148 e) Der Mantel eines geraden Kegels oder Kegelstumpfes ist gleich dem Products aus seiner Höhe und der Peripherie eines Hauptkreises jener Kugel, welche den Mantel längs des Umsanges des Mittelschuittes berührt. Beweis. Es sei ^4 S OS der Achseuschnitt eines geraden Kegelstnmpfes, SS seine Mittel¬ linie und 0 der Durchschnittspnukt der Symme- tralen von ^47? und ^4S. Der Kreis mit dem Centrum 0 und dem Radius OS berührt die Seiten ^4S und SO in den Punkten S und 77 Lässt man nun die ganze Figur um 0/ rotieren, so beschreibt der eben constrnierte Kreis eine Kugel, der Achsenschnitt /3 OS den gegebenen Kegelstumpf, und man über¬ zeugt sich leicht, dass die Kugel den Kegelstumpf längs des Mittelschnittes berührt. Zieht man SS S ^S, so istSS cx) OOS, also ^S : SS — OS: SS und 7iS . OS — S77.OS. Nach 7) ist nun S — 2^0S. ^4S; daher hat man auch 317 — 2^rOS. S77. Ebenso wird der Beweis für den Kegel geführt. Zusatz. Auch die Formel sür die Mantelfläche eines geraden Cylinders lässt sich in analoger Weise deuten. 8 205. Kugrl. Die Oberfläche einer Kugel ist gleich der vier¬ fachen Fläche eines Hanptkreises. Beweis. Man denke sich einem Hauptkreise der gegebenen Kugel ein regel¬ mäßiges Vieleck mit der geraden Scitenauzahl 2 n umgeschrieben und die erhaltene Figur nm die Verbindungslinie zweier Gegenecken gedreht. Die Oberfläche Ödes vom Polygone beschriebenen Rotationskörpers besteht aus den Mantelflächen voll 2 Kegeln und n — 2 Kegelstumpfen oder von 2 Kegeln, » — 3 Kegelstumpfen und einem Cylinder. Alle diese Mantelflächen werden von der gegebenen Kugel längs ihrer Mittellinien berührt. Bezeichnet man also mit den Radins der Kugel und mit 7^, 7z, . . . 7» die Projectivnen der Polygonseiten auf die Rotationsachse, so ist nach Z 204 o) 0 — 2^7- (7i -s- 7z -s- . . . -s- 7„). Lässt man nun die Zahl n ohne Ende wachsen, so geht die Summe 7, -s- 7z fl- . . . 7„ in den Grenzwert 2-- über, und man hat daher 0 — 2nn.2^ — 4^0. § 206. Ängelzont und Calottr. Eine Kugelzone oder eine Ca- lotte ist gleich dem Mantel eines geraden Cylinders, welcher einen Hauptkreis der Kugel zur Grundfläche und die Höhe der Zone oder Calotte zur Höhe hat. Beweis. Man verfahre ebenso wie in ß 205; doch ist diesmal nur jener Theil der Rotationsfläche zn betrachten, welcher zwischen zwei auf der Rotations¬ achse normalen Ebenen oder ans der einen Seite einer solchen Ebene liegt. Es ergibt sich hier der Grenzwert 2ir^7, wo 7 die Höhe der Zone oder Calotte Fig. 163. 149 bedeutet. Vergleicht mau dieses Resultat mit dem Z 202, so erkennt man sofort die Richtigkeit des zn beweisenden Lehrsatzes. Folgesatz. Sind nnd <7 die Flächenzahlen der Zone nnd der Calotte, so hat man also — 2^rn7r nnd (7— 2^r»'/r. K 207. Sphärischrs Zlveicck. Zwei sphärische Zweiecke, welche derselben Kugelfläche an gehören, verhalten sich wie die zugehöri¬ gen sphärischen Winkel. Beweis analog wie in H 114. Um daher die Flächenzahl X des sphärischen Zweieckes zn erhalten, benützt man die Proportion 7X 4 n -'2 — « : 360 nnd findet X— —- — 2 -'2 M'6«. K 200. Sphärisches Dreieck, a) Zwei sphärische Gegendreiecke haben gleichen Flächeninhalt. — Beweis. Es seien UiLX und ^ch^Xs die ge- Vs X gebenen sphärischen Gegendreiecke, und man lege durch /4 ! X "'x Z, X Winkel ^1 X 7t und 7? 0 (7 die Symmetralebenen. xV'XssX Da die Schnittlinie der letzteren nach K 154 mit den 7 VxV ' Kanten des Dreikantes XXTtX gleiche Winkel einschließt, v 8^"" X i XV ßud die sphärischen Dreiecke U4/77, L77X und 0'7X4 V X^ X x gleichschenklig. Dasselbe gilt von ihren Gegendreiecken 77s 77^ (X 7^ "un zwei Fig. 164. gleichschenklige Gegendreiecke auch congruent sind (8 164, Zusatz 2), so ist damit die Gleichheit der Dreiecke X71X und UXT^Xs bewiesen. Analog verfährt man, wenn der Punkt 77 in den Halbierungspunkt einer Seite oder außerhalb des Dreieckes X7tX fällt. b) Aufgabe. Den Flächeninhalt eines sphärischen Dreieckes aus den drei Winkeln zu berechnen. Aus tz 207 uud Fig. 164 ergibt sich XTtX-s- LX^ --- ' 90 XL XX XX ^XZ-u/tXp^ Durch Addition dieser Gleichungen erhält man 3 XZt O X 7t XU , X XU74 -f- X7t X, -- (« X /? X>); andererseits ist U.Tt X'X L X'X X X^X^Tt X ^1-L XX — 2 5ro0 Durch Subtraction der beiden letzten Gleichungen erhält man, da XsXL --- XX7^ ist, 150 ^lL (7 — k, wo e — « Z- /? -s- / — 1800 bedeutet. Man nennt die Große e, das ist den Überschuss der Winkelsumme des sphärischen Dreieckes über 180", den sphärischen Excess des Dreieckes. Folgesätze. 1. Jedes sphärische Dreieck verhält sich zur entsprechenden Kn- geloberfläche, wie sein sphärischer Excess zu 8 Ä. 2. Zwei sphärische Dreiecke ans derselben Kugeloberfläche verhalten sich wie ihre sphärischen Excesse. Volumsmessimg. K 209. Erklärungen. Unter dem Volumen eines Körpers versteht man den von seiner Oberfläche begrenzten Raum, wenn nicht die Form, sondern nur die Größe desselben berücksichtigt wird. Man kann Körper ebenso wie Strecken, Winkel oder Flächen nach ihrer Größe vergleichen, man kann sie addieren, sub¬ trahieren n. s. w. Die Definitionen für die Vergleichung der Körper, für ihre Addition, Subtraktion u. s. w. ergeben sich durch Analogie ans K 82. Als Volnmseinheit nimmt man einen Würfel an, dessen Kante gleich der Längeneinheit ist, und nennt ihn je nach der Kanteulänge 1 Cubikmeter, 1 Cub.ikdecimeter u. s. f. Ist l^ ein betrachtetes Volumen, die Volnms¬ einheit, und findet man durch Messung, dass l^ : 1^ — also ist, so heißt die nnbenannte Zahl a (welche angibt, wie oft die Volumseinheit in dem gegebenen Volumen enthalten ist) die Volum zahl nnd die benannte Zahl «linder Kubikinhalt des betrachteten Körpers. Die Volumzahl eines ganz oder theilweise von krummen Flächen begrenzten Körpers wird analog definiert wie die Flächenzahl einer krummlinig begrenzten ebenen Fläche (8116) oder wie jene einer krummen Fläche (§201). Man nennt den Vorgang, durch welchen die Volumzahl eines Körpers berechnet wird, die Cnbatur desselben. K 210. Gerades Prisma und gerader Cglinder. «) Gerade Prismen mit congruenten Grundflächen verhalten sich wie ihre Hohen. Der Beweis ist jenem in § 107«) ganz analog. b) Die Volumzahl eines rechtwinkligen Parallelepipedes ist gleich dem Producte aus den Längenzahlen der drei Dimen¬ sionen (Länge, Breite und Hohe) oder kürzer ausgcdrückt: Das Volumen eines rechtwinkligen Parallelepipedes ist gleich dem Producte aus dcu drei Dimensionen desselben. Beweis. Man vergleiche das gegebene rechtwinklige Parallelepiped mit zwei anderen rechtwinkligen Parallelepipeden und mit einem Würfel 1k) nnd wähle die letzten drei Körper so, dass jeder mit dem vorausgehenden in zwei Dimensionen übereinstimmt, und dass kk' die Volumseinheit selbst ist. Sind also cr, b, 6 die Längenzahlcn der drei Dimensionen in so seien a, b, 1 die 151 entsprechenden Zahlen in 2^, ferner «, 1, 1 die entsprechenden Zahlen inl'z und Z 1, 1 die entsprechenden Zahlen in Da nun jede Fläche eines Parallel- epipedes als Grundfläche angesehen werden kann, so erhält man mit Hilfe des Lehrsatzes die Proportionen — o : 1, b 1, : 1. Hieraus folgt — abl^; 4Z — 5^ — o/'i — aöeM. Also ist die Volnmzahl 1^ des gegebenen Parallelepiepdes gleich aöo. aöa. Folgesatz. Für den Würfel ist a — 5 — o, also - «b. Hieraus lässt sich die Benennung „Cubus einer Zahl" für die dritte Potenz derselben und die Bezeichnung 1 m?, i Zm?, , , . für i Cubikmeter, 1 Cubikdecimeter, ... er¬ klären. Man findet ferner 1 m? — 1000 — 1000000 f, f, o) Die Volumzahl eines geradenPrismas ist gleich demPro- ducte ans der Flächenzahl der Grundfläche und der Längenzahl der Höhe; oder kürzer ausgedrückt: Das Volumeu eiues geraden Prismas ist gleich dem Prodne te aus der Grundfläche und der Hohe. Beweis. 1. Es fei die Grundfläche des geraden Prismas zunächst ein Rechteck, also nach dem Lehrsätze öh 1^ — «öo. Da aö die Flächenzahl der Grundfläche und o die Längenzahl der entsprechenden Höhe bedeutet, so ist damit die Behauptung für diesen Fall erwiesen. 2. Hat das gegebene Prisma als Grundfläche ein schiefwinkliges Parallelogramm L <7D, so kann man dieses mit Beibehaltung der Seite in ein Rechteck verwandeln und über demselben als der Grundfläche ein recht¬ winkliges Parallelepiped konstruieren, welches mit gleiche Höhe hat. Nun sind die dreiseitigen Prismen und congruent, wovon man sich überzeugt, wenu mau das eine so in das andere legt, dass die con- Ng- 168. grumten Grundflächen und ^6^ zusammenfalleu. Wird also vom Prisma einmal das eine und einmal das andere dreiseitige Prisma subtrahiert, so müssen gleiche Körper übrigbleiben. Es ist also Die Gleichung V — welche nach dem 1. Theile des Beweises für gilt, besteht daher auch für />, da beide Parallelepipede in der Große des Volumens, der Grundfläche und der Höhe übereinstimmen. 3. Ist die Grundfläche des geradenPrismas ein Dreieck so ergänze man dieses zum Parallelogramme und errichte über demselben als der Grundfläche ein geradesParallelepi¬ ped , welches mit dem Prisma gleiche Höhe hat. Das Prisma kann nun mit zur Congruenz gebracht werden, 152 also ist — 2^. Bezeichnet man also mit A und /r die Maßzahlen von ^4^7) und U.^, so ist 2A/r die Volnmzahl Vou7^, also A /r die Volumzahl von F'. 4. Ist die Grundfläche ein beliebiges Polygon, so zerlege man das gegebene gerade Prisma in dreiseitige gerade Prismen von derselben Hohe. Es ist dann -fl Fg/r Z- Ag/r -j- . . . — (Al -f- Ao -j- Ag -j- . . .) k Das Volumen eines geraden Cylinders ist gleich dem Producte aus der Grundfläche nnd der Hohe. Beweis. Man denke sich dem geraden Cylinder ein -r-seitiges gerades Prisma ein- oder nmgeschrieben und die Volumzahl A,,^ des letzteren berechnet. Lässt man nun die Zahl -r unendlich wachsen und gleichzeitig jede Grundkante des Prismas unendlich abnehmen, so geht A„/r in den Grenzwert A/r über, wo A den Inhalt der Grundfläche des Cylinders bedeutet. Daher ist — A?r. Zusatz. Aus dem vorausgeheuden Beweise geht hervor, dass der Lehr¬ satz für jeden geraden Cylinder mit beliebiger Leitlinie besteht. K 211. Satz non Cavalieri. Wenn ein Körper durch parallele Ebenen in n Schichten von gleicher Höhe zerlegt und jeder Schichte je ein gerader Cylinder (b e z w. P r i s m a) ein- und um¬ geschrieben wird, so lässt sich der Unterschied zwischen dem gegebenen Körper und der Summe aller ein- oder aller umge¬ schriebenen Cylinder, (bezw. Prismen) durch entsprechende Ver¬ größerung der Zahl n. beliebig klein m achen. Fig. 167«. Fig. 167t>. Beweis. Man bringe den gegebenen Körper zwischen zwei parallele ihn berührende Ebenen «, A nnd theile den Abstand /r derselben in n gleiche Theile von der Größe cl. Legt man durch die Theilnngspnnkte Schnittebenen parallel zu «, so zerfällt der gegebene Körper in 7! Schichten von der Höhe ll. Nun projiciere man den Mantel einer jeden Schichte auf die untere Grundfläche der¬ selben (in den Figuren 167 a und ö find diese Projektionen für die untersten Schichten durch Schraffierung ersichtlich gemacht) und benütze sowohl die äußere 153 als auch die innere Begrenzung der Mantelprojection als Leitlinie je eines ge¬ raden Cylinders von der Höhe ck. (Wenn die Leitlinie ein Polygon ist, wie in Fig. 167 «, so erhält man anstatt des Cylinders ein Prisma. In diesem Z ist zur Vereinfachung der Ausdrncksweise von nun an nur vom Cylinder die Rede, so dass das Pr-sma als eine specielle Form des Cylinders anzusehen ist.) Der eine Cylinder ist der Schichte umgeschriebcn und daher großer als dieselbe; der andere ist der Schichte eingeschrieben und daher kleiner als dieselbe. Bezeichnet man also mit das Volumen des gegebenen Körpers, mit Fz,... A» die Grundflächen der eingeschriebenen und mit 6^, <7z,.. .(7„ jene der umgeschriebenen Cylinder, so ist Si ö -s- A» c! -P... Z- ck < U < 6^ck Z- (7, ö -Z...-j-<7,, ck.. (1). Der Unterschied der beiden Grenzen, zwischen denen U liegt, ist — Fi) (6^s Az) -j-.. .-j- (6), — A,- )j ck.(2). Hierin bedeuten die Differenzen in den runden Klammern die Mantelprojec- tionen der 1., 2., ...n. Schichte; die ganze Summe in der eckigen Klammer be¬ deutet also die Projection des Mantels oder der Seitenfläche des ganzen Körpers. (In Fig. 167 « erhält man als Projection des ganzen Mantels das Dreieck ^71(7 und in Fig. 1675 den Kreis 7i 717), vermehrt um die doppelt genommene Fläche 717)LZ) Lässt man nun die Zahl n immer mehr wachsen, so bleibt im Produkte (2) der Wert des ersten Factors endlich und ungeändcrt, während der zweite Factor, also auch das ganze Product beliebig klein wird. Hieraus folgt, dass sich auch der Unterschied zwischen dem Volumen U „ud der Summe aller ein- oder aller nmgeschriebenen Cylinder durch Vergrößerung von n- beliebig klein machen lässt, da derselbe kleiner ist, als das Product (2). 5) Wenn man einen Körper durch parallele Ebenen in n Schichten von der gleichen Höhe ck zerlegt und über der unteren Grundfläche einer jeden Schichte einen geraden Cylinder von der Höhe ck errichtet, so kann der Unterschied zwischen dem g e¬ gebenen Körper und der Summe aller jener Cylinder durch Ver¬ größerung der Zahl n beliebig klein gemacht werden. Beweis. Die Mantelprojection einer jeden Schichte enthält auch den Um¬ fang der unteren Grundfläche derselben. Daher ist der über dieser Grundfläche errichtete gerade Cylinder von der Hohe ck im allgemeinen kleiner als der jener Schichte umgeschriebene nnd größer als der jener Schichte eingeschriebene Cylinder. In besonderen Fällen ist der erste Cylinder mit dem zweiten oder dritten identisch. Also liegt auch die Summe aller Cylinder über den unteren Grundflächen der Schichten zwischen denselben Grenzen ck -j- ck -j- ... Z- A» ck und 6^ ck -s- (7z ck -j- ... -j- <7„ ck wie das Volumen Uj oder sie fällt mit einer dieser Grenzen zusammen. Da nun der Unterschied dieser beiden Grenzen sich durch Vergrößerung von n beliebig verkleinern lässt, so gilt dies umsomehr vom 154 Unterschiede zwischen und der Summe aller Cylinder über den unteren Grund¬ flächen der Körperschichten. o) Lassen sich zwei Körper in eine solche Lage bringen, dass sie durch alle Ebenen, welche zu einer bestimmten Ebene parallel sind, in gleichen Flächen geschnitten werden, so haben sie gleiches Volumen. Beweis. Man bringe die beiden Körper in jene Lage, in welcher sie von jeder beliebigen aus einer Schar paralleler Ebenen in gleichen Flächen geschnitten werden, nnd bezeichne nut «, /Z jene zwei von diesen Ebenen, welche die beiden Körper zwischen sich enthalten und zugleich berühren. Die Voraussetzung des Lehrsatzes ist so zu deuten, dass auch die Berührungsflächen, welche die Ebenen « und /? mit den zwei Körpern gemeinschaftlich haben, für jede dieser Ebenen gleich sind. Nuntheile man den Abstand der Ebenen« nnd /? in n. gleiche Theile von der Größe 6 und lege durch die Theilungspnnkte Schnittebenen parallel zu «, so dass die beiden Körper in je -r Schichten zerfallen. Da je zwei in einer Ebene liegende Grundflächen der Schichten gleich sind, so sind auch die über den¬ selben errichteten geraden Cylinder von der Höhe ck einander gleich (K 210 ch. Bezeichnet man also mit für jeden der zwei Körper die Summe der über den unteren Grundflächen seiner Schichten errichteten geraden Cylinder von der Höhe -ft ferner mit und ilsi die Volumina der beiden Körper, so kann man nach dem Lehrsätze 5) die Zahl n stets so groß wählen, dass sich die mit n veränderliche Zahl von nnd zugleich von beliebig wenig unterscheidet. Dies ist jedoch nur möglich, wenn 1^ — 1^ ist. Zusatz. Der wichtige Lehrsatz o) wird nach Cavalieri (1598 bis 1647) der Satz von Cavalieri genannt. Hie und da wird er ohne Beweis als selbst¬ verständlich angenommen und heißt dann der Grundsatz oder das Princip von Cavalieri. Zwei Körper, welche der Voraussetzung dieses Satzes entsprechen, heißen Cavalierische Körper. K 212. Prisma nnd Lisiindrr nbrrhaupt. Das Volumen eines Prismas oder eines Cylinders ist gleich dem Products aus der Grundfläche und der Höhe. Beweis. Das gegebene Prisma (der gegebene Cylinder) und ein gerades Prisma mit der gleichen Grundfläche nnd der gleichen Höhe sind Cavalierische Körper; denn stellt man dieselben mit ihren Grundflächen auf eine Ebene «, so werden sie durch jede zu « parallele Ebene in gleichen Flächen geschnitten. Die für gerade Prismen und Cylinder abgeleitete Formel 1^ — gilt also für be¬ liebige Prismen nnd Cylinder. Folgesätze. 1. Für den Kreiscylinder findet inan Z. Haben zwei Prismen oder zwei Cylinder gleiche Grundflächen, so verhalten sie sich wie die Höhen; haben sie gleiche Höhen, so Verhalten sie sich wie die Grundflächen. 155 K 213, Pyramide lind Krgel. «) Py r a m i d e n m i t g l e i ch e n G r und- flächen und gleichen Höhen sind einander gleich. Beweis. Man bezeichne mit F die gleichen Grundflächen, mit die gleichen Höhen zweier Pyramiden und stelle dieselben mit den Grundflächen auf eine Ebene «. Legt man hierauf in einem beliebigen Abstande cv von der Ebene « eine Schuittebene parallel zu derselben, so befriedigen die erhaltenen Schnitte und die Proportionen A : ch) — : (L — n)? und A:ch) — : (L — njch (tz 173). Daraus folgt ch) d. h. also, die gegebenen Pyramiden sind Cavalierische Körper und daher einander gleich. Jedes dreiseitige Prisma kann durch Schnitte in drei gleiche Pyramiden zerlegt werden. Beweis. Das gegebene Prisma (Fig. 168) wird durch die Schnittebenen ^4 (7 und (7 in die dreiseitigen Pyramiden I, II und III / x, / zerlegt. Die Pyramiden I und II sind einander / X/ /) / gleich; denn sie haben die Grundflächen gleich, / s / (ch L' — und die Höhe, d. i. die Nor- / /x l / male von der gemeinschaftlichen Spitze 7ch auf die // / Xs/ Ebene ^4(76)^ gemeinschaftlich. Ebenso beweist man, dass die Pyramiden II und III gleich sind. 0) Das Volumen einer dreiseitigen Fig 168. Pyramide ist gleich dem dritten Theile des Productes aus der Grundfläche und der Höhe. Beweis. Die dreiseitige Pyramide ^4L(77ch (Fig. 168) hat mit dem Prisma ^4L6Xch7ch(ch gleiche Grundfläche, gleiche Hohe und ist gleich einem Drittel des Prismas. Ist also A die Grundfläche und die Höhe des Prismas und der Pyramide, so ist A/r das Volumen des ersteren und jenes per letzteren. ck) Das Volumen einer jeden Pyramide ist gleich dem dritten Theile des Productes aus der Grundfläche und der Höhe. Beweis. Jede Pyramide ist gleich einer dreiseitigen Pyramide, welche mit ihr gleiche Grundfläche und gleiche Höhe hat; also gilt für beide die Formel 1^ - e) Das Volumen eines Kegels ist gleich dem dritten Theile des Productes aus der Grundfläche und der Höhe. Der Beweis ist jenen: in 8 210 ch) analog. As Folgesätze. 1. Für den Kreiskegel gilt die Formel —- 2. Haben zwei Pyramiden oder zwei Kegel gleiche Grundflächen, so ver¬ halten sie sich wie die Höhen; haben sie gleiche Höhen, so verhalten sie sich wie die Grundflächen. § 214. PiMmidcnstumpf und Legelstnmpf. «) Der Pvramiden- 156 stumpf ist gleich der Summe dreier Pyramiden, welche die beide Grundflächen desPyramidenstnmpfes und das geometrischeMittel aus denselben zu Grundflächen und die Höhe des Pyramiden¬ stumpfes zur Höhe haben. Beweis. Man bezeichne mit A und A^ die Grundflächen des Pyramiden¬ stumpfes, mit L die Höhe desselben und mit cv die Höhe der Ergänznngspyramide. Es ist dann - 3 3' 3^ 3 Zur Berechnung des n benützt man den Lehrsatz ß 173 öh und erhält A S7 — (^ -st ah2: cvst VA : VAi — (^ -st -n): -n, also E ^V A ^ ( V A-st VAst ^(VA Ai -st Ai) VA — VAl. A " -l A — Al Daraus folgt "-2' G'*-». n -; öh Der Kegelstnmpf ist gleich der Summe dreier Kegel, welche die beideu Grundflächen des Kegelstnmpfes und das geo¬ metrische Mittel aus denselben zu Grundflächen und die Höhe des Kegelstnmpfes zur Höhe haben. Der Beweis ist jenem in Z 210cih analog. Folgesatz. Für den Kreiskegelstumpf gilt die Formel Um dieselbe direct abzuleiteu, eliminiere man -n aus den leicht beweisbaren Gleichungen nr2(L-st-v) n'sn . U --—- — - - und — (?r -st ah : -v. 8 213. Prismatoid. Das Prismatoid ist gleich derSnmme dreier Pyramiden von derselben Höhe, von denen die eine das arithme¬ tische Mittel der beiden Grundflächen, nnd die beiden anderen den Mittelschnitt des Prismatvides als Grundfläche haben. Beweis. Man zerlege das Prismatoid in Py¬ ramiden, welche einen Punkt 0 des Mittelschnittes als gemeinschaftliche Spitze nnd die Flächen des Prisma- toides als Grundflächen haben. Die Seitenkanten jener Pyramiden erhält man, indem man 0 mit allen Eck¬ punkten des Prismatvides verbindet. (Es wird hier vorausgesetzt, daß sich ein solcher Punkt 0 im Mittel¬ schnitte findet, dass alle jene Verbindungsstrecken ganz innerhalb des Prismatvides liegen.) Die beiden 157 Fig. 170. Pyramiden, welche den Grundflächen A und des Prismatoides entsprechen, haben die Volnmzahleu und Jede Pyramide, welche eine Seitenfläche zur 6 6 Grundfläche hat, lässt sich, wenn sie nicht dreiseitig ist, in zwei dreiseitige Pyra¬ miden zerlegen. Das Vvlumen einer solchen, z. B. von K.L77O, wird in folgender Weise berechnet: KLLO:777LO K7lL:77ZL 4:1. Nun ist 7777^0^7/70. , also KLTIO^T/ZO. —. 0 Z Daraus folgt LLO -> L . -- --- (7/70 0- 77/0 7/7. 0 wo m den ä O Inhalt des Mittclschnittes bedeutet. Demnach erhält man für das Volmnxn des ganzen Prismatoides die Formel ^7- 70 z > Daraus lässt sich die Behauptung des obigen Lehrsatzes leicht ableiten. K 216. Kugel. Die Kugel ist gleich einem Kegel, welcher die Oberfläche der Kugel zur Grundfläche nnd den Kngelradius zur Hohe hat. : Erster Beweis. Mau denke sich der Kugel ein Polyeder mit n Flächen" Si, S^--- A» umgeschrieben nnd zerlege dasselbe in n. Pyramiden, welche ihre Spitzen im Centrum der Kugel und die Flächen A»,- - - als Grundflächen haben. Dann ist das Volumen des Polyeders Lässt man nun n imeicdlich zunehmen nnd zugleich jede einzelne Fläche unendlich abnehmen, so geht die Summe ff- A- -H - - - -ff F-- in die Oberfläche der Kugel über, und es wird 0. z - b Zweiter Beweis. Man schreibe einem Hauptkreise 7/ O 7 '77 der gegebenen Kugel ein Quadrat 7176'7) nm, ziehe die Diagonalen des Quadrates nnd die Symmetrale 77 der Seite 7 7. Lässt man hierauf die ganze Figur nm TÜT' als Achse rotieren, so be¬ schreibt der Halbkreis 707'' die gegebene Kugel und das Dreieck 07t 0 einen Rotationskörper 7/ welchen inan als Differenz aus dem der Kugel nmgeschriebenen geraden Cylinder nnd einem diesem Cylinder einge¬ schriebenen Doppelkegel auffassen kann. Die Kugel und der Körper 7 sind in der hier erhaltenen Stellung Cavalierische Körper, da jede zu 77 normale Ebene 158 in beiden Körpern gleiche Schnitte erzeugt. Ist nämlich 0 7 — o der Central¬ abstand einer solchen Ebene, so schneidet dieselbe die Kugel in einem Kreise mit dem Flächeninhalte n . — n (->2 — und den Körper 77 in einem Kreisringe mit dem Flächeninhalte n —— «st. ist das Nolumen der Kugel U — — 2. , Q O 8 217. Kngelsrgmtiit. Das Volumeu eiues Kugelsegmentes wird gesunden, wenn man szur Hälfte eines Cylinders mit der gleichen Grundfläche und der gleichen Höhe eine Kugel addiert, welche die Höhe des Segmentes zum Durchmesser hat. Beweis. Das Kugelsegment, welches durch Rotation der Fläche H7^ (Fig. 170) um die Achse .K7^ erhalten wird, ist nach tz 216 gleich jenem Körper, welcher durch Rotation des Dreieckes HI7/7 um dieselbe Achse entsteht. Bezeichnet man also die Höhe 77^ des Segmentes mit /r, so ist 7^ — /i — "7, -st -- (,' — /r) -st — -r) 2st Daraus folgt (1). Diese Formel gilt auch für ein Segment, welches größer ist als die Halb¬ kugel. Man erhält z. B. für jenes Segment, welches das eben berechnete zur Kugel rrgänzt, wenn ^7 mit bezeichnet wird, 7--° - (-z- 4- st - zst dtun setze man 775^-() und beachte, dass n die mittlere geometrische Proportionale zwischen 7i/I und 77^ ist. Alan hat also — /7(2^ — /st, (>2 /r . - st. -I- z. .w. Zusätze. 1. Ist das gegebene Segment kleiner als die Halbkugel, so kann man die Gleichung (2) auch in der folgenden Weise in Worten ausdrücken: Das Volumen eines Kugelsegmentes wird erhalten, wenn man zur Hälfte des nmge- schriebenen Cylinders die eingeschriebene Kugel addiert. 2. In Rechnungsausgaben über Kugelsegmeute hat man die Gleichungen (1) oder (2) zu benützen, je nachdem und /r oder (> und K gegeben sind. 8 21l!. Kngelsector. Jeder Kugelsector ist gleich einem Kegel, welcher die zum Sector gehörende Calotte zur Grundfläche und den Kugelradius zur Höhe hat. 159 Beweis. Je nachdem der Sector kleiner oder größer als die Halbkugel ist, kann derselbe als Summe oder Differenz eines Kngelsegmentes und eines Kegels aufgefasst werden. Im ersten Falle ist / /tX 7r(? — L) / Lä 7rL(2,--—L)<>— /r) -1--^ - z)-I--z - Im zweiten Falle ist ^r/r2 -ff- - U.s. in: ersten Falle. 8 219. Lngklschichtt. DasV olnmen einer Kugelschichte wird ge¬ funden, wenn man zum arithmetischen Mittel aus zwei Cylin- dern, welche die Grundflächen der Schichte zu Grundflächen und die Hohe derselben zur Höhe haben, eine Kugel addiert, deren Durchmesser gleich der Höhe der Schichte ist. Beweis. Man bezeichne mit L die Höhe der Schichte, mit (>„ (>g die Radien und mit ar, r/ die Centralabstände der Grundflächen. Liegen die letzteren auf der¬ selben Seite des Kugelcentrnms und ist ar>r/, so hat man zunächst Nun ist a? — -"2- — (>2, 7/2—,-2 — ^2, g, — — folgt I- ?7" /- 7) 3 s (2,-2 (,2) _ Ed (2,-2 - ()- - (-2) /Ä /Ä , /0 v also ((>i ff- ei) g - Liegen die Grundflächen der Schichte auf entgegengesetzten Seiten des Kugel¬ centrums, so hat man arff- /t und (a;^ ff- Z/2). Nun ist j .< (cvff- z/) (-V' — « r/ -fl 7/2) ----- L ^-x2 .E"- 7)21 ^5» 7,2-1 5 ^2 (2^ - ». s. f. Fällt das Kugelcentrnm in eine Grundfläche der Kugelschichte, so ist —' , und man überzeugt sich leicht, dass diese Gleichung in der A Ai allgemeineren (i?? ff-(>Z) ff-- (I specieller Fall enthalten ist. Zu diesem Zwecke hat man und (>°—,-2 — ^2 substituieren. 160 Zusatz. Wenn das Kugelcentrum nicht im Innern der Kugelschichte liegt, so lässt sich der eben bewiesene Lehrsatz auch in der folgenden anschaulichen Weise aussprechen: Das Volumen einer Kugelschichte wird gefunden, wenn man zum arithmetischen Mittel ans dem umgeschriebeneu und dem eingeschriebenen Cylinder die eingeschriebene Kugel addiert. Analytische Geometrie der Ebene. !. Abschnitt: Allgemeine Begriffe und Fnn-amentalausgaben. LageilbesÜmmlmg für Punkte in der Geraden. § 220. Erklärungen. Wenn eine Gerade X mit festgesetzter positiver Richtung, etwa von X^ nach X, gegeben ist, so lässt sich die Lage beliebiger Punkte ^ch /h, /ch,.. - dieser Geraden in Bezug ans einen gegebenen Punkt 0 der¬ selben Geraden dadurch eindeutig bestim- -- men, dass mau die Längenzahleu der " ' Strecken 0/", .. dem Vor- Fig- 171. zeichen und dem absoluten Werte nach an¬ gibt. Man nennt diese Strecken oder auch ihre Längenzahlen mit dementsprechen¬ den Vorzeichen die Abscissen der Punkte Z', Ich, ^ch,...nnd bezeichnet sie zur Abkürzung mit cv, a^, cvz,.... Die Gerade X^X heißt die Achse und der Punkt 0 der Anfangspunkt (der Abscissen). Folgesätze. 1. Je nachdem ein Punkt auf dem Halbstrahle OX oderOX^ liegt, hat er eine positive oder eine negative Abscisse und umgekehrt. 2. Jedem Punkte einer Gerade,: entspricht eine bestimmte Abscisse in Bezug ans einen gegebenen Anfangspunkt und umgekehrt. 8 221. Aufgaben. Wenn die Lagen zweier Punkte ^ch und in der Achse durch ihre Abscissen 0^ und O^ch Ez be¬ stimmt sind, «) die Länge der Strecke Ich^ch dem Vorzeichen und dem ab¬ soluten Werte nach zn berechnen; ö) die Abscisse jenes Punktest zu berechnen, welcher die Strecke ^chlch im Verhältnisse theilt; o) die Abscisse 0^ cv jenes Punktes zu berechnen, wel¬ cher die Strecke ^ch^ch halbiert. Auslosungen, a) Nach 8 120 ö ist ^ch ^ch ^ch S 0 Ich 0 Ich — 0 -vz — ; d. h. man subtrahiere die Abscisse des Aufangspuuktes der Strecke von der Abscisse des Endpunktes. ö) Es soll Ich X: XX, : ö sein. Nach a) ist X, X — » — und XX^ cv?— Daraus folgt (w — wch: (cv^ — w) «: ö und 161 A. « Nz 5 Lt -P 5 Zusatz. Je nachdem a und ö gleich oder ungleich bezeichnet sind, sind es auch die Strecken und Im ersten Falle liegt also in der Strecke im zweiten außerhalb derselben. Je nachdem der absolute Wert von « oder von b größer ist, liegt näher an oder näher an Z^. o) Man erhält aus der Gleichung Z^I> —Z^Z^ oder aus 5) durch die Substitution den Wert cv — d. h., die Abscisse des Halbierungs¬ punktes ist das arithmetische Mittel aus den Abscissen der Endpunkte. Lagenbeftimimmg für Punkte in der Ebene. Coordinatenfysteme. K 222. Paraüelcoordiiralcn. Sind in der Ebene zwei unter einem belie¬ bigen Winkel sich schneidende Gerade und mit festgesetzten positiven Richtungen gegeben, so lässt / sich die Lage irgend eines Punktes ZlZ der Ebene in F/ - Bezug ans jene Geraden dadurch eindeutig bestimmen, dass man durch den Punkt ZlZ Parallele zu den Ge- H /N raden zieht und die Längenzahlen der Abschnitte 0^ / und 06 mit den entsprechenden Vorzeichen angibt. /)s Die Geraden und bilden ein Parallel- Fig- i?2. C o o r d i n a t e n s y st e m; die Strecken ÖZ' — « und 06 — Z^ZIZ — oder deren Längenzahlen mit dem entsprechenden Vorzeichen heißen Parallel-Coor- dinaten. Je nachdem die Geraden und welche Co ordinate n- achsen genannt werden, rechte oder schiefe Winkel bilden, heißt das Parallel- Coordinatensystcm ein rechtwinkliges (orthogonales) oder ein schief¬ winkliges. Das erstere ist bereits im ß 122 ausführlich besprochen worden und soll in allen nachfolgenden Betrachtungen, welche sich auf ein Parallel-Coor- dinatensystem beziehen, als das einfachste benützt werden. Zusatz. Der Gedanke, die Lage der Punkte in der eben angeführten Weise zu bestimmen, rührt vom Philosophen und Mathematiker Descartes oder Cartesius (1596 —1650) her, welcher als der Schöpfer der analytischen Geo¬ metrie zu betrachten ist. K 223. Polarcoordimtcn. Ist OX ein gegebener Halbstrahl und ÜZ ein beliebiger Punkt der Ebene, so wird die Lage des letzteren in Bezug auf OX dadurch eindeutig bestimmt, dass man die Maßzahlen des Winkels XOllZ und der Strecke OZlZ angibt. Man nennt OX die Polarachse, 0 den Pol, den Winkel XOÜI—einen Polar winkel und die Strecke Oll/ — einen Leitstrahl oder Radius vector. ^'g- l?3. Die Größen -- und -n oder deren Maßzahlen heißen die Polar coordinaten des Punktes Z1/. Hočevar, Geometrie sür Oberrcalschulen. 11 162 Wenn es sich nur um die Lagenbestimmnug von Punkten in der Ebene handelt, so reicht man mit positiven Polarcoordinatcn aus. Durch die An¬ wendung der Algebra auf die Geometrie wird man jedoch genöthigt, auch nega¬ tive Polarcoordinaten zuzulassen. Ein negativer Leitstrahl liegt auf der Ergän¬ zung zum zweiten Schenkel des Polarwinkels. Fundamciitalaufgaßeu. K 224. Transformation der Loordinaten. Es seien in der Ebene zwei Koordinatensysteme und außerdem jene Größen gegeben, durch welche die gegen¬ seitige Lage der beiden Systeme bestimmt wird. Man kann sich dann die Auf¬ gabe stellen, aus den gegebenen Koordinaten eines Punktes in Bezug auf das eine System jene in Bezug auf das andere System zu berechnen. Die Auflösung dieser Ausgabe wird eine Transformation der Koordinaten genannt. Parallelverschiebung des rechtwinkligen (Parallel-) Koordinatensystems. Wir betrachten zunächst den einfachen Fall, dass die Fig. 174. Ebene habe im ersten Systeme die gleichbenannten Achsen zweier rechtwinkliger Koordinatensysteme direct parallel sind. Man kann dies so auffassen, als ob das eine System durch Parallelverschiebung in eine neue Lage gebracht worden wäre. Das erste System bezeichnen wir kurz mit XOill' und das zweite mit X'O^. Der Anfangspunkt 0' des zweiten Systems habe in Bezug auf das erste die Koordinaten 0^1 — a, ^0' — b; irgend ein Punkt T5 der Koordinaten OL—-n, OH— L4/—und im zweiten die Koordinaten 0^—arst (NH^ — LOH—zst. Man erhält dann (Z 120 b) -w ---- O'L" ------ ^L ^0 -st- OL ------ OL — Ool ----- -n — zst LM ---- LH ----- LO -st- OH --- OH — OL ------ 7/ — L. Dian beachte, dass die Gleichungen O'L' — ^L und LIU ----- LH auch mit Rücksicht auf die Vorzeichen stets bestehen. b) Drehung des rechtwinkli¬ gen Koordinatensystems um den Anfangspunkt. Es sei X0L das erste, X'OL das zweite System. Als positiv wähle man die Richtungen von nach X, von Ist nach I", von nach X' und von Lj nach 1". Die beiden Systeme seien direct congruent, d. h. es sei möglich, durch Drehung des ersten Systems nm den Winkel L 0 — cc zu bewirken, dass die gleichbenannten Achsen 163 der beiden Systeme der Lage und der Richtung nach übereinstiunuen (Fig. 175). Nun konstruiere man die Coordinaten irgend eines Punktes TU in Bezug auf beide Systeme uud setze 07^ ----- n, 7^71-7 — 06 z/, OK — cvst K7>7 — Ferner ziehe man K7?st_7stK und IstK Dann ist nach tz 1205 und nach dem Zusatze in 8 123 cv — OT' --- 07? -st TÜT-' - - 0/-" cos (cvrvst -st 7^017 cos («z/st, ?/ — 06 — 0<9 -st — OK cos (z/Lvst -st K7I7 cos (z/z/O. Darin bedeuten , (-ur/st,... die Winkest welche die positiven Richtungen der Achsen K;K und KsK, ferner K^K und I^fK n. f. f. einschließen. Nach ß 121a ist NUN (a-rst) — (-u-vst -st (-»'/) — cc -st 7?; (r/n') — (z/Lv) -st (corcst ---- («s-st — (cvr/) ---- cr — 7? ; (z/zst)' — (?/-u) -st («r/st ------ 77-stcr-stT?^-«. Daher hat man os ------ «^ cos « — rst srn «, r/ ---- sin a -st cos «, da cos (« -st 7?) --- cos « cos 7? — sr'n « s?,r K —— srn a inid cos (cr — 7?). — cos (7? —° «) — srn « ist. Löst man die eben gefundenen Gleichungen nach cc' und zst auf, so ergibt sich schließlich «?----!» Los cr -st z/ SM K, zst — — « srn « -st z/ cos cr. c) Beliebige Verschiebung eine sy st eins. Sind KU und KOK" zwei direct congrileute rechtwinklige Coordinaten- systeme, so kann man das erstere durch Parallelverschiebung zunächst in die Lage A)"77 und hierauf durch Drehung um 0' in die Lage KOK bringen. Es seien nun «, ?/ beziehungsweise §, >/ und ast zst die Coordinaten irgend eines Punktes 717 n Bezug auf KO Ist beziehungsweise ^0"K und KOK. Dann ist nach «) § — « — «, s rechtwinkligen Coordinaten- — 5 und nach 5) a/ Zoos « -st -/ sru «, z/" — — § SM « -st cos «. Daraus folgt cv" — (cv— a) cos a -st (z/ — 5) sin «, z/" — — (a; — «) SM cc -st (r/—5) cos «. est) Übergang von rechtwinkligen zu Polar-Coordinaten und umgekehrt. Wir betrachten nur den einfachsten Fall, dass der Anfangs- K punkt 0 des rechtwinkligen Koordinatensystems zugleich der Pol und der Halbstrahl 0 K die Polarachse ist. Nach ß 123 ist cv — cos« und z/ — -u«Mn. Aus diesen Gleichungen erhält man ,/S 7- Figur 177. 11* 164 v s»r A — , . V«? -j- Zusätze. 1. Aus — a? -j- z/- auch gefolgert werden r/ » s y A . _ 7/ 7' — - -j- ?/", 608 75, — — -7^---"—, S777 75. — — — . Diese Gleichungen führen jedoch zr: keinem neuen Resultate. Denn man findet oos — ri) — eos oos rt -s- sru s»r rr — — 1, also — A — 2 Ä, d. h. die zweiten Schenkel 6 und 01>^^ der Winkel n und sind entgegengesetzt ge¬ richtet ; ferner ist d. h. die Strecke ist auf der Ergänzung des Halb¬ strahles 0 aufzutragen. Man gelangt somit wieder Zum Punkte Ilck und braucht daher die zweite Auflösung nicht zu berücksichtigen. Aus diesem Grunde kann man auch sagen, dass n undz/ dnrch -- und n eindeutig bestimmt sind, und umgekehrt. 2. Anstatt der oben gefundenen Gleichungen für eos u und s»r n kann die einfachere Gleichung zur Berechnung von n benützt werden. Da die Vorzeichen von -» und Z/ angeben, welchem Quadranten der Punkt Lck angehört, so genügt eine einzige dieser Gleichungen zur eindeutigen Bestimmung von n. K 225. Länge eines Leitstrahles nnd einer Strecke. «) Sind «, Z/ die rechtwinkligen Coordinatcn eines Punktes Mj was kurz durch M' (-v, Z/) angedeutet wird, so ist nach 8 224 ck Ockt — -s- r/^. ö) Es feien (-0^, und Ilckz s^, die Endpunkte der Strecke, deren Längenzahl zn berechnen ist. Zu diesem Zwecke lege man durch als Anfangspunkt ein neues Koordinatensystem, dessen Achsen zu jenen des gegebenen Systems direct parallel sind, und bezeichne mit §, die Coordinaten des Punktes in Bezug auf das neue System. Man hat dann § — -vz — — Z/2 L6 und -j-— Ni?- Znsatz. Wenn die Strecke Mz einer Geraden mit festgesetzter positiver Richtung angehört, so ist das Vorzeichen der Wurzel¬ größe nach der allgemeinen Zeichenregel für Strecken zu bestimmen. K 226. Winket brr Ablcillrnachse mit einem Leitstrahle nnd mit einer Strecke. «) Gehört der Leitstrahl -- dem Punkte (-», z/) an, so erhält man 7/ den Winkel (cvi-) nach Z 123 aus einer der Gleichungen sr'n (-«,-) — oo« («!,') — tA sau-) — n. s. f. 165 berechnen, wenn Fig. 180. ^0 Die Vorzeichen der Ausdrücke Az — -Uz A^ und ^g. 181. —u, srn «. -U.PP; cv^ — u und (nu) rr gesetzt. 's — ' Ns Ai zeigen an, welchen: Fig. 179. 's- Ai As Heben an, welchem Quadranten der Winkel (,'l ,'z) angehört. Ist 0 der Anfangspunkt des ü»5 und oos (->1 ,'z) < 0, daher ist Uz) ein Winkel im zweiten Quadranten. Es ist offenbar am einfachsten, den Winkel ^z) ans der Gleichung snr tA Uz) oder ootA (^ -'z) zu berechnen. ö) Sind ^t. scvi,Ai), 71 s«z,Az) und i7 (wg,Ag) drei gegebene Punkte, so erhält man den Winkel « aus der Gleichung tf/« C-v-- lAs — A>) — — a-,) (Az — («z — L.) (wi — -f- (Az — A^ (Az — Al / Beweis durch Parallelverschiebung des Koordinatensystems. K 22!!. Flächeninhalt rincs Dreieckes. «) Man habe zunächst den Flächen¬ inhalt F des Dreieckes 0zu Coordinatensystems ist und die Punkte ÜTs und ÜL durch ihre koordinaten A^ und cvz, Az bestimmt sind. Bezeichnet man O ll^ mit OMz mit ^z und den absoluten Wert des Dreiecks¬ winkels Ü7) 0 Ilsz mit «, so erhält man F aus der Gleichung 2 F Die Vorzeichen der Koordinaten cv, A zeigen an, welchem Quadranten der gesuchte Winkel angehört. 5) Es seien Ms (a^, zg) und Mz (-vz, Az) die Endpunkte der gegebenen Strecke, und man nehme die Richtung von nach Mz als positiv an. Durch Parallelverschiebung des Coordinatensystems G 224«) findet man (Fig. 178) . Az A< N?z NU , Los « — "- to « — 7- darin ist zur Abkürzung V(n.z --(Az— A^)^ Die Vorzeichen der Cvordiuatendifferenzen m- Quadranten der gesuchte Winkel angehört. K 227. Winkel zweier Leitstrahlen oder zweier (Strecken. «) Es seien 011^ m'l und OMz — Uz die Leitstrahlen zweier gegebener Punkte Ml (-Ul, Al) und Mz (-vz, Az), also Ul — Vcv^si^A^ und r^z " ^MZ-s-AZ. Dann ist (8 121 6) (^l ^z) — (^l -«) -f- (a- --z) — (a-»-z) — (-vUl), SM^T-z) — snr(M-'z) Los (m^l) — 6os(n!Uz) sr-r(a!7'l) As . M, -Nz A^ -Ni Az — Mz Al 7-z ' Nz ' 7-l »1 Nz I»' k /X I ^/l v I ftndet man aas ; daraus folgt a-l Az - a-^Al - - 166 Hier sind nun zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem ,4 im positiven oder im negativen Sinne über die Dreiecksfläche gedreht werden muss, um mit zu- sammenzusallen. Im ersten Falle (Fig. 180) ist (74 — «, also 2 7^—^ ,'2 srn --z) «4 Ns — a-L (8 227). Im zweiten Falle (Fig. 181) ist (-4 74) — —- a oder — 4K — «, somit 2 7^ — Uz SM (^ Uz) -- — (»4 Ns — a-z Ni ) - Wir setzen nun fest, dass der Flächeninhalt eines Dreieckes U.7K7 posiitv oder negativ ist, je nachdem die Seite ^.71 (um den Punkt ^1) im positiven oder negativen Sinne über die Dreieckssläche gedreht werden muss, um mit der Seite Ui <7 zusammenzufallen. Nach dieser Festsetzung gilt die Formel Ns — a-sNi für das Dreieck 0 Illh. auch mit Rücksicht auf das Vorzeichen. ö) Es seien u (»4, Ni)/ 7? (-vz, 7/z), <7 (-Ng, Ns) die Eckpunkte des Drei¬ eckes -4 7) 6) dessen Flächeninhalt 7^ zn berechnen ist. Man lege durch .4 als Anfangspunkt ein neues Koordinatensystem, dessen Achsen zu jenen des gegebenen Systems direct parallel sind, und bezeichne mit A, -4 und §z, -/s die Koordinaten von 71 und <7 in Bezug auf das neue System. Dann hat man 2 7^— ,/z — §z und -vz — ae,, 74 ---- Ns — Ni' §s -rg — -v,, --- z/g — z/i. Daraus folgt 2 7^^- (a-2 — »1) lNs — Ni) — (»7 — (z/2 — Ni) oder 2 7^— (r/z — Ns) Z- aez (^ — ^) -j- -r-g (^ — 7/z). Ans der Ableitung dieser Formel geht hervor, dass dieselbe für das Dreieck U.Ll7 auch mit Rücksicht auf das Vorzeichen besteht. Zusätze. 1. Um die letzte Formel leicht im Gedächtnisse zu behalten, ent- Fig. 183. So findet man aus der Figur 183 somit 7.-- wickelt man aus »4(7/2 — Ns) die beiden anderen Glieder auf der rechten Seite die¬ ser Gleichung durch cyklische Vertauschung der Stellenzeiger, d. h. man ersetzt 1 durch 2, 2 durch 3, 3 durch 1 u. s. f. (Fig. 182). 2. In speciellen Fällen kann man den Flächeninhalt eines Dreieckes oder jenen eines Polygones überhaupt unmittelbar aus der entsprechenden Figur berechnen. -<7(F7Z oS- U Ust^TI, tst^Ns) (Mz — M g) — (Nl fi-Nü) (a-s — s -i), 2 2 woraus wieder die oben abgeleitete Formel hervorgeht. 3. Der Flächeninhalt des Dreieckes U 71 (7 ist offenbar gleich Null oder von Null verschieden, je nachdem die Punkte Ul, 71, (7 in einer Geraden liegen oder nicht. Zugleich gilt auch der Umkehrungssatz. Also ist die Gleichung 167 «i (z/- — Nb) -st -«2 (r/3 — z/i) -st -»s (Ni — N2) o die uvthwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Punkte (a^, Ni), («2, N2), (^3, Ns) in einer Geraden liegen. K 229. Theilmig riiirr Streckt. 2Nan bestimme die Coordinaten N desjenigen Punktes U/, welcher die Strecke mit den End¬ punkten Ms («1, Ni) und (a-2, N2) im Verhältnisse « : ö theilt. Auflösung. Prvjiciert man die Punkte Ms, imd auf die beiden Koordinatenachsen, so folgt MsüZ: ckkck/z — : -^2 — 6,^: 662 (dem absoluten Werte nnd dem Vorzeichen nach). Soll also cktjUZ : : ö sein, so muss auch der Punkt die Strecke und der Punkt 6 die Strecke 6^6^ im Verhältnisse « : ö theilen. cv - Nach Z 221 ö erhält man daher acvz -st «N2 -st ^Ni cr -j- Z> ' a -st b ' Zistatz. Der Halbierungspunkt der Strecke hat die Coordinaten — Lr LV 2 Gleichung einer Linie. K 23V. Variable und constante Gröhrn riner Gleichnng. Eine Gleichung zwischen zwei unbekannten Großen, etwa cv und r/, hat unendlich viele Austösrmgen, von denen beliebig viele erhalten werden, indem man für die eine Unbekannte irgend welche Werte substituiert und hierauf die Gleichung nach der anderen Unbekannten auflöst. Ans der Gleichung 2z/ -st ast — 6 oder N — — -st b erhält mau auf diese Weise durch die Substitution en Lv — —2, —1, 0, . . . die aus der folgenden Tabelle ersichtlichen Auflösungen. Die Gleichungen -v — — 2 und z/ 1 bilden eine Auflösung der obigen Gleichung, da dieselbe befriedigt wird, wenn für die Unbekannten Lv nnd z/ die speciellen Werte — 2 und 1 substituiert werden. Man nennt die Unbekannten einer derartigen Gleichung veränderliche oder variableGrößen, weil jede derselben beliebig verändert wird, indem man von einem speciellen Werte zu irgend einem anderen übergeht, worauf sich auch die zweite Größe der Gleichung entsprechend verändert. Im Gegen¬ sätze hiezu heißen alle übrigen speciellen oder 168 allgemeinen Größen der Gleichung konstante Größen. Von den beiden varialben Größen heißt jede eine Function der anderen (8 123). 8 231. Graphische Darstellung örr Functionen, Gleichung einer Linie, ah Man erhält ein anschauliches Bild von der gegenseitigen Abhängigkeit zweier dnrch eine Gleichung verbundener variabler Größen, indem man je zwei specielle Werte derselben, welche eine Auflösung der Gleichung bilden, als (rechtwinklige) Coordinaten eines Punktes auffasst bind diesen Punkt kon¬ struiert. Je mehr Punkte auf diesem Wege gewonnen werden, desto deutlicher tritt die Gestalt einer Linie hervor, welche den geo¬ metrischen Ort aller jener Punkte bildet, deren Coordinaten Auflösungen der gegebenen Gleichung sind. Wenn man z.B. die in der Tabelle (8230) angegebenen Auslösungen der Gleichung 2z/ -j- a? — 6 zur Construction der Punkte Ms, - - - benützt und diese durch eine ununterbrochene Linie verbindet, so erhält man (mehr oder minder genau) die in der Figur 185 gezeichnete Curve. Die Figur 186 erhält man Fig. 186. aus der Gleichung z/ — srna? durch die Substitutionen n — ar,-0, , . . . . Zusatz. Die graphische Darstellung der Functionen wird auch in anderen Wissenschaften, insbesonders in der Naturlehre angewendet. Die Coordinaten der einzelnen Punkte gewinnt man häufig durch Beobachtungen, da sich die gegenseitige Abhängigkeit zweier Größen (z. B. der Spannkraft des gesättigten Wasserdampfes und der Temperatur oder des Barometerstandes an einem bestimmten Orte und der Zeit n. s. f.) nicht immer dnrch Gleichungen ausdrücken lässt. ö) Die Aufgabe, zu einer gegebenen Gleichung zwischen zwei veränderlichen Größen die entsprechende Linie zu suchen, lässt sich auch nmkehren. Man kann nämlich zu einer durch die Construction oder eine charakteristische Eigenschaft bestimmten Linie die entsprechende Gleichung zwischen den Coordinaten -n und z/ suchen. In beiden Fällen bestimmt jede Auflösung der Gleichung einen Punkt der Linie und umgekehrt jeder Punkt der Linie eine Auslösung dec Gleichung. Dieser Zu¬ sammenhang zwischen einer Linie und einer Gleichung wird dadurch ansgedrückt, dass man die letztere geradezu die Gleichung der gegebenen Linie nennt. 169 K 232. Aufgaben der analytischen Geometrie. Diese sind: er) die Gleichungen von gegebenen Linien aufznsnchen, b) mit Hilfe der Gleichungen, also auf dem Wege der Rechnung, die Eigen¬ schaften der Linien nachzuweisen, e) durch Transformationen und Verbindungen von Gleichungen Aufgaben über die entsprechenden Linien aufzulösen und Gleichungen zwischen zwei Veränderlichen, welche nach gewissen Grund¬ sätzen aufgestellt werden oder in den Anwendungen der Mathematik sich von selbst ergeben, geometrisch zu interpretieren. II. Abschnitt: Die Gerade. Gleichung einer Geraden. 8 233. Gerade durch den Anfangspunkt. Es sei A eine durch den Anfangspunkt 0 gezogene Gerade, welche mit der «-Achse den Winkel («Z-) — « einschließt. Wenn in F eine positive Richtung angegeben ist, so bedeute («ö st- (7 0. 3. Löst inan die gegebene Gleichung nach z/ auf, so erkennt man, dass — der Richtungscoefficient der Geraden F ist. Also lässt sich («F) — cc aus der Gleichung — — — berechnen. Zusatz. Um die Gerade F zn construieren, berechnet man die Coordinaten zweier beliebiger Punkte derselben, wodurch die Lage dieser Punkte, also auch jene der Geraden in Bezug auf das Coordinatensystem bestimmt wird. Wenn die Gerade nicht durch den Anfangspunkt geht, so ist es in der Regel am zweckmäßigsten, ihre Schnittpunkte mit den Coordinatenachsen zur Construction zu verwenden. ö) Gegeben seien die Gleichungen (7—0 und 7^r/ st- 0 zweier Geraden A und Man berechne 1. die Coordinaten ihres Schnittpunktes und 2. den Winkel (AAch. Auflösungen. 1. Hat der Schnittpunkt der Geraden F und die Coor¬ dinaten z/i, so müssen diese die Gleichungen der beiden Geraden befriedigen, da der Punkt (cvi, Nä) in beiden Geraden liegt. Man hat daher a-i und Ni aus den Gleichungen ^4^ st- 77r/i st- (7 ---- 0 und st- 77^^ st- lst 0 zu berechnen rind findet 77 (F —^(7 0^ — 6h7l U /,s /7 "" .1 - .! /7 Die gefundenen Werte sind stets endlich und bestimmt, außer wenn ^477^ — ^77 — 0 ist. In diesen! Falle Haben die beiden Geraden gleiche Richtungs- coefficienten und sind daher parallel. 2. Nach 8 121 ist (F^) --- (A-v) st- (-e^) --- (a-^) — (-05). Daraus folgt - I -s b 173 Bezeichnet man also die Richtungscoefficienten der Geraden und mit a, beziehungsweise so hat man welche durch den gegebenen Punkt (-v^, Ag) geht und mit der durch dieGlcichnng >4-v-st ZA-st <7-----0 bestimmten Geraden^ den gegebenen Winkel (AAi) einschließt, g) welche durch zwei gegebene Punkte (a^, Z/st und (-vz, A2) geht. Auslösungen, a) Man erhält nach 8 234 die Gleichung A — Ag — (cv — cvg) tA«. b) Bezeichnet man zur Abkürzung die Richtnngscoefficienten der Geraden A und Ai mit a, beziehungsweise «l, setzt ferner tA (AAl) so findet man nach 8 235 b L — " und daraus « — Daher ist «l — L . . A — Aa lUL die gesuchte Gleichung. Soll speciell A ss fein, so ist A — Ag «l (-v — -vg), >uld soll A _j_ A> sein, so ist A — Ag —-— (-v — -vg) die Gleichung der Geraden A (8 235 b, «l 1. und 2. Folgesatz). 0) Die Gleichung der Geraden. A besitzt jedenfalls die Form ^4-v -st LA -st <7— 0. Da die gegebenen Punkte der Geraden angehvren sollen, so müssen ihre Koor¬ dinaten die Gleichung derselben befriedigen. Es ist also ^4-vl -st -st<7— 0 und ^.«2 -st LA2 -st <7 — 0. Daraus folgt weiter durch Subtraktion ^4 (-V — -vl) -st L (A — Al) 0 Und (-V2 — -vl) -st L (Az — Al) — 0, oder ^4 (-v — -v^ ----- — L (A — ^) und ^4 («2 — -»l) — Al). Dividiert man nun die letzten zwei Gleichungen durch einander, so erhält man LV — Lvl -Uz --vl A — A- A2 — Ai oder A — Al A- — Al ^2 (cv — als Gleichung der Geraden A. Bei dieser Ableitung wurde -vz «l und A» Al vorausgesetzt, specielle Fall -v? — -vl oder A2 — A, lässt sich leicht direct erledigen. Der 175 Richtung als positiv Fig- 193. Fig. 192. den Anfangspunkt in -r Zusatz. Soll F durch die Puukte (o, 0) und (0, ö) gehen, d. h auf den Coordinatenachsen die Abschnitte 0 (7 a und 0 71 ö bestimmen, so lautet die entsprechende Gleichung ,z/ — «)- Diese lässt sich in folgender Weise transformieren: ü spricht (Fig. 192 n. 193). (Selbstver¬ ständlich kann die positive Richtung in der Normale auch nach anderenRegeln bestimmt werden oder im vorhinein gegeben sein.) Nach dieser Festsetzung ist die Lage von A in Bezug auf das Coordinaten- system eindeutig bestimmt, wenn man den Winkel (-vn) yy und die Strecke Ort. — kennt, wo rt. den Schnittpunkt von F und n. bedeutet. Nun konstruiere man zu einem beliebigen Punkte 77 der Geraden A die Coordinaten O7> — -v, 7^77 — und projiciere die Punkte 77 und 7^ auf die Normale. Die Projection von 717 ist stets der Punkt rt., welchen Punkt 77 der Geraden man auch wählen mag, während für jeden außerhalb A liegenden Punkt die Projection nicht mit rt. zusammenfällt. Die Projection von 7^ heiße 7^. Man findet dann 0 7^ Z- 7^ rt. — 0 A; 0 — 0 T' 0O8 (n-n) — LV 6OS rb — 7^77 ec>s (n?/) — r/ 608 j(nrv) -s- (cv7/)j — r/ 6c>s (7? — P) — 7/ srnP. Somit besteht für alle Punkte der Geraden nnd nur für diese die Relation LV 608 Hy -s- 7/ 87N Hy — — 0. Dies ist die Gleichung der Geraden in der Normalform. K 238. Transformation der Gleichung riner Geraden in die tlormalform. Um die Gleichung A-n-j-7ZN-s-t7—0 der Geraden A auf die Normalform zu bringen, berechnet man die Größen 008 yo, 8r» P, mittelst der Gleichungen tA- a — — , 7 — -7 235) und substituiert die erhaltenen Werte in die Gleichung der Geraden in der Uormalform. K 237. Ableitung der Gleichung. Dian ziehe durch die Normale n zur Geraden <7 nnd nehme jene an, für welche der Winkel (sm) — P der Bedingung —, -tz l, also -Z- P 6 0 6^60 176 Gleichung LV WL yv -s- z/ «in ----- it: -s- tA- P — it: V 1 -f- ------ ; 1 A L P P-co« -P Da als die Projection des Ordinatenabschnittes L auf die Normale be¬ trachtet werden kann, so ist <7 (7 ^> ------ ö «os (nr/) — ö vos j(nLv) -f- (cv?/)j ------ -^ . (A — ->)----- — sin P, somit » — -— ' .(2). ' ataVA"-s-L' Von den doppelten Vorzeichen der Wurzelgrvßen in (1) und (2) hat man übereinstimmend entweder nur das obere oder nur das untere beiznbehalten. Aus der Bedingung 0 < P < 2L folgt nun srn yy > 0. Daher erhält die Wurzelgröße das positive oder negative Vorzeichen, je nachdem 77>-0 oder 7) <0 ist. Die Gleichung der Geraden A in der Normalform lautet also rtaV^-f-L» Um noch den fpeciellen Fall 7? 0 zu erledigen oder also die Gleichung A.Lv-s-k7—0 auf die Normal form zu bringen, beachte man, dass die n-Achse zugleich die Normale der hier betrachteten Geraden ist. Hieraus folgt P --- 0, (7 (7 ws P ----- 1, sin P — 0 und ^> --------Ntan erhält also cv -s- — 0. Aufgaben. K 239. Abstand eines Punktes von einer Geraden. «) Es sei Are-j-77?/-j-(7 — 0 die Gleichung der Geraden F, und man suche zunächst den Abstand des Anfangspunktes 6 von jener Geraden. Nach Z 238 ist 0 A . _ A: VA" -f- ' Wenn hierin das Vorzeichen der Wurzclgrvße übereinstimmend mit jenem von gewählt wird, so erhält man die Strecke Ö A mit jenem Vorzeichen, welches der positiven Richtung der Normale entspricht. ö) Es sei LV WS P -p- N srn P — — 0 die Gleichung der Geraden F, und man habe den Abstand des Punktes Mg (Lvg, z/g) von A zu berechnen. Zu diesem Zwecke legt man durch Ms, als Anfangspunkt ein neues Koordinatensystem, dessen Achsen zu jenen des gegebenen Systems direct parallel sind. Bezeichnet man die Koordinaten irgend eines Punktes ü/ in Bezug auf das erste System mit -v, A und in Be¬ zug ans das zweite mit a/, rst, so ist « — a/ -st s-o, also co^cos A> -st A' sr,r — ^)) — 0 die Gleichung der Geraden in Bezug auf das neue System. Man erhält nun die Strecke Ms,^i mit Hilfe der in a) angegebenen Formel, wenn man darin — Los A>, Z — si»r yv und <7 — Los

0 177 Fig. 194. Ms, — — (cvg Los

— Nach dieser Formel, für welche eine einfgche Gedächtnisregel aufgestellt werden kann, erhält man die Strecke llfg^i positiv oder negativ, je nachdem die Richtung von 7Hg nach mit der positiven Richtung der Normale übcreinftimmt oder nicht. Hat die Gleichung der Geraden die Form ^l-v-st -st (7—0, so ist der Abstand g/ /1 — -st -st worin die Wurzelgröße das Vorzeichen -st oder — erhält, je nachdem 7) positiv oder negativ ist. K 240. Gl eich nug einer Winkelchmmetrnle. Es seien A nnd zwei sich schneidende Gerade, m Los -st A srn yo — — 0 und -v oos -st z/ srn 0 ihre Gleichungen in der Normalform, ferner 7r und die Symmetralen der vier von A und Al gebildeten hohlen Winkel. Für jeden Punkt 717 (§, -/) der Symmetrale /r haben nun die Abstände und TblTF von den Geraden A und Ai gleiche absolute Werte und gleiche Vor¬ zeichen, wenn die Normalen der Geraden § und Al zugleich nach dem Innern des von halbierten Winkels gerichtet sind oder zugleich aus demselben heraustretcn (Fig. 195). Dann ist also ÜH'— Ü/Zst oder — (§ cos kp -st A SM yo — ^)) — — (§ Los kpl -st ,/ «in s/>l —^>l)- Da diese Gleichung für alle Punkte der Symmetrale nnd nur für dieselben besteht, so ist sie die gesuchte Gleichung von L. Bezeichnet man in derselben die variablen Koordinaten mit -e und ?/, so lässt sie sich auch ans die Form (cv Los -s- A srn P —^) -s- (cv oo8 Pl A sr» A>l — — 0 entspricht, welche aus den Gleichungen der Geraden A und durch Addition her¬ vorgeht. Zusätze. 1. Wenn ein Halbstrahl um seinen Grenzpunkt F gedreht wird, so ändert seine Normale ihre nach § 237 bestimmte positive Richtung in Bezug auf den Halbstrahl, sobald dieser eine zur A-Achse parallele Lage überschreitet (Fig. 195). Hieraus folgt, dass die Gerade, welche durch den Schnittpunkt F der Geraden A und parallel zur A-Achse gezogen wird, jene Winkel dnrchschneidet, für welche die Gleichung der Symmetrale durch Snbtraction der Gleichungen von A und Ai abgeleitet wird. 2. Bildet man aus den Gleichungen ^4-v-j-LA-s-t7 — 0 und -s- L, v -4- (7. — 0 der Geraden A und A, die neue Gleichung worin einen konstanten Factor bedeutet, so erhält uran wieder eine lineare Gleichung, welche also ebenfalls einer Geraden entspricht. Diese geht durch den Schnittpunkt der Geraden A und da ihre Gleichung durch jene Werte von -v und A befriedigt wird, für welche die Trinome -j- ZA -s- <7 und n ch--Ll A6) verschwinden. Man erkennt hierin eine Verallgemeinerung des Resultates, welches oben bezüglich der Winkelsymmetralen gewonnen wurde. 8 241. Änwrndnngcn ans die merkwürdigen Punkte des Dreieckes. Man beweise mittelst der Sätze der analytischen Geometrie, dass sich a) die Winkelsymmetralen, 5) die Seitensymmetralen, o) die Höhen und ch) die Schwerlinien eines Dreieckes in je einem Punkte schneiden. a) Die Gleichungen der drei Geraden, auf wel- , chen die Dreiecksseiten liegen, seien in der Normalform / V gegeben, und man bezeichne dieselben zur Abkürzung /V symbolisch mit Ai — 0, Az — 0, Ag — 0. Wenn man / festsetzt, dass die Normalen aus dem Innern des Drei- eckes nach außen gerichtet sind, so entsprechen den . Winkelsymmetralen wz, wg der Reihe nach die Fig.196. Gleichungen As — Az 0, Ag — Al — 0, — Az ----- 0. Durch Addition der ersten zwei Gleichungen erhält man nun Az — Ai — 0, und daraus Ai — As — 0. Also geht r«g durch den Schnittpunkt von rvl und rvz (8 240, 2. Zusatz). 5) Die Eckpunkte des gegebenen Dreieckes seien ^l (a-l, Al), -6 (-vz, Az), (7 (cvg, Ag). Die Symmetrale tl der Seite LL' ist der geometrische Ort aller Punkte, welche von Z und gleiche Abstände haben, deren Coordinaten also der Gleichung 179 o — ar^ -I- (z/ — z/s? — (a- — arg)^ -s- (z/ — ^z)^ oder 2 ar (a-g — a-g) -s- 2 z/ (r/g — — (-«» — -«Z) — (v.° — z/Z) ----0 entsprechen. Ans analoge Weise erhält man die Gleichungen der Symmetralen §2 nnd tg. Dieselben lauten 2 ar — a-g) -s- 2 ?/ (^ — 7/g) — (ar? — arz) — (z,? — z/°) 0, 2 ar (rvz — ar.) -s- 2 ?/ — 2/1) — (arZ — ar?) — (z/L — Vk) 0. Wenn man die letzten zwei Gleichungen addiert (und hierauf die Vorzeichen ver¬ ändert), so erhält man die Gleichung sür Also geht durch den Schnitt¬ punkt von <2 und tg. 0) Die Gleichung der Geraden welche durch den Punkt (ar^, geht und zu der durch die Punkte («2, z/g), (ng, Z/g) bestimmten Geraden normal ist, lautet (ar —ar.) (arg — arg)-s-(7/— (r/» —^)^0. Den Geraden und Kg entsprechen die Gleichungen (ar — -vz) (arg — ar^) -P (z/ — 7/2) (^/s — .Vi) 0, (ar — arg) (ar^ — arg) -s- (r/ — z/g) (z/, — r/g) -- 0. Wenn man zwei von diesen Gleichungen addiert, so erhält man (nach Änderung der Vorzeichen) die dritte n. s. f. ch Die Gleichung der Geraden «i, welche durch den Punkt ^4 (ar^, 7^) nnd den Halbierungspunkt ) der Strecke geht, lautet 3 V " Vi 3 7/2-I-7/°— 2 7/, , . - Ni - «ä)- Diese Gleichung kann auch aus die Form —3^ ' Klover gebracht werden. Man erkennt daraus, dass durch die Punkte ^4 (ar^, 7/^) und -8 arg -s- arg , 7/1 geht. Auf analoge Weise überzeugt man sich, dass auch «g und §g durch den Punkt F gehen, womit die Behauptung be¬ wiesen ist. polargleichung der Geraden. K 242. Gerade durch den Pol. Wenn die gegebene Gerade Z- durch den Pol 0 geht, so ist ihre Lage in Bezug aus die Polarachse (H durch den Winkel (ar^) eindeutig bestimmt. Nun ist sür alle Punkte der Geraden nnd nur für diese der Polarwinkel 7t — (arA) oder n — (a-F) 2K, also (ar^). Daher ist — « die Polargleichung der gegebenen Geraden. 12* 180 K 243. Gerade m beliebiger Lage. Die Lage der Geraden A sei durch die Polarcoordinaten x und P jenes Punktest bestimmt, in welchem die durch den Pol 0 gezogene Normale n der Geraden A die letztere trifft. Nun ist für alle Punkte der Geraden und nur für diese die Fig-t97. Projection des Leitstrahles ans die Normale n. Daraus folgt — n ros (n ch — r eos f(osn) — (cv — r oas (rr — ych. Also ist cos (rt — , z-) das Centrmn und -- der Fig. 199. -s- über und heißt die Mittelpunktsgleichung des Kreises. Radius des gegebenen Kreises ist, so hat jeder Punkt 75 (cv, r/) der Kreislinie den Abstand r- von <7, während für jeden anderen Punkt IV der Ebene <777 r' ist. Daher gilt für alle Punkte der Kreislinie nnd nur für diese die Gleichung V (n— sr/ —2 -----also auch Z-(?/- ----- n?. Dies ist-die allgemeine Gleichung des Kreises. K 243. Scheitrlglrichung. Liegt der dNittel- pnnkt in dem Halbstrahle (H, und geht der Kreis durch den Anfangspunkt, so hat mau in der allgemeinen Gleichung des Kreises und g- 0 zu setzen. Daun geht dieselbe in ich— über und heißt die Scheitelgleichnng des Kreises. 8 246. Mitlrlpmiltlsglrichnng. Fällt das Cen¬ trum des Kreises in den Anfangspunkt des Koor¬ dinatensystems, so hat man in der allgemeinen Gleichung 0 zu setzen. Danil geht dieselbe in 181 K 247. Dlscnslion der Mittelynnktsgleichnng. Nm die gegebene Gleichung einer Linie zu diskutieren, d. h. aus der Gleichung den Verlauf und die wichtigsten Eigenschaften der Linie abznlciten, betrachtet man insbesonders a) die Schnittpunkte mit den Cvordiuatenachsen, S)den Verlauf der Werte der Ordinate, wenn die Abscisse alle reellen Werte durchläuft, o) den Verlauf der Werte der Ab- scisse, wenn die Ordinate alle reellen Werte durchläuft, <7) die Symmetrie in Bezug aus Achsen oder ein Ccntrnm u. s. f. Obwohl die Eigenschaften des Kreises hinlänglich bekannt sind, soll hier die Discussion der Mittelpnnktsgleichnng »--s-?/? — einer solchen Discussion durchgenommen werden. Die Schnittpunkte mit der »-Achse haben die Ordinate 0 und jene Abscissen, welche sich aus (1) für — 0 ergeben. Dian erhält » — ^ »>. 11m die Schnittpunkte mit der Ordinatenachse zu erhalten, setzt man » -^ 0 und erhält Es sind also die folgenden vier Schnittpunkte vorhanden: 0), L(—0), (7(0, ^), 77(0, — ^). ö) Aus (1) folgt -/ — — » — n und » 7> ist »^ >> , also -/ imaginär. Man schließt daraus, dass zu den Abscissen in den be¬ trachteten Intervallen keine Punkte der Cnrve gehören. Für » -^ — ^ und » ist 0. Für — n -< » < -j- ewer »? , ^-) und beschreibe um diesen als Centrum mit dem Radius -- eine Kreislinie. Diese ist nach Z 244 die ge¬ suchte Linie; ihre Construction ist im Borausgeheuden bereits angegeben. ö) Man suche die Bedingungen, unter welchen die allgemeine Gleichung zweiten Grades zwischen cv und 7/, nämlich 0. . . (2), worin ^4, 71, (7, . . . beliebige reelle Zahlen bedeuten, einem Kreise entspricht, und construiere denselben, wenn jene Bedin¬ gungen erfüllt sind. Auflösung. Da die Gleichung eines jeden Kreises auf die Form (a;— Z- (?/—— »'2 gebracht werden kann (Z 244), so erkennt man sofort, dass vor allem die drei Bedingungen erfüllt sein müssen, wenn die Gleichung (2) einem Kreise entsprechen soll. Gleichung lässt sich dann in folgender Weise transformieren: 2, 2D«. 2 ! 2 L 7/ . F' . -z-'-«- 7L - °' Diese Wenn also noch die vierte Bedingung erfüllt ist, so entspricht die Gleichung (2) einem Kreise, und zwar demjenigen, D L .. dessen Mittelpunkt die Coordinaten F> — — — —i besitzt, und dessen Radius gleich dem absoluten Werte von---— ist. Damit ist auch die Construction jenes Kreises angegeben. § 249. Polarglcichung. «) Wenn das Centrum des Kreises mit dem Pole zusammeufällt und der Radius mit a bezeichnet wird, so besteht für alle Punkte der Kreislinie und nur für dieselben die Gleichung — a. Dies ist also die Polargleichung des Kreises in dem betrachteten specicllen Falle. b) Die Lage und die Größe des Kreises seien durch die Polarcoordinatcn (>, P des Centrums <7 und den Radius « bestimmt. Wenn man in der allgemei¬ nen Gleichung des Kreises (« — ^)? Z- (?/— z)? — a? rechtwinkligen Parallelcoordiuateu durch Polarcoordinatcn mittelst der Gleichungen 183 w — cos r«, ?/ — u s»r r«, — p eos P, — p s»r y) ersetzt, so erhält man -'2— 2»'p cos (P — rt) -j- — a^, also (, oos (

oos (P — rr), — () SM (yv — rt), IllsD — DIU — — (»^sM^syo—n) und kann mit Hilfe derselben aus der Polargleichung die Lehrsätze des § 46 ableiten. Aufgaben. K 230. Erste Abtheilnng. Man soll die Lage eines gegebenen Kreises in Bezug auf das Koordinatensystem oder in Bezug auf gegebene Punkte, Gerade und Kreise bestimmen. Die Punkte sind durch ihre Koordinaten, die Geraden und die Kreise durch ihre Gleichungen bestimmt. Z. B. Man kennt die Gleichung -j- F?/ -f- <7 — 0 der Geraden F und die Gleichung (w— F»)? -I- (z/ — §)? — n? des Kreises K und soll den Centralabstand der Geraden berechnen und die gemeinschaft¬ lichen Punkte der beiden Linien bestimmen. Auflösung. Der Centralabstand der Geraden F ist zugleich der Abstand des Punktes (/>, g") von F (8 239). Die Koordinaten eines gemeinschaftlichen Punktes von A und L müssen die Gleichungen der beiden Linien befriedigen; sie werden daher berechnet, indem man die Gleichungen ^l (7— 0 und -—^>)? -fl (z/i — s)? — „och oder, was dasselbe ist, die gegebenen Gleichungen nach w, z/ auflöst. Man erhält zwei Auflösungen und somit zwei gemeinschaftliche Punkte, einen oder keinen gemeinschaftlichen Punkt, je nachdem die Auflösungen reell und verschieden, reell und gleich oder complex sind. Welcher von diesen drei Fällen eintreten muss, kann nach ß 46 im vorhinein beurtheilt werden, wenn der Central¬ abstand der Geraden F bereits berechnet ist. b) Wenn die Gleichungen (w—^)^ -j- (r, — ^)? — ,-2 „„d —^)? -j- (z/ —— »'s zweier Kreise L und gegeben sind, den Central¬ abstand der beiden Kreise zu berechnen und ihre gemeinschaft¬ lichen Punkte zu bestimmen. Auflösung. Der Centralabstand der beiden Kreise ist zugleich der Abstand der beiden Punkte (^), g>) und (^, ^). Bezüglich der gemeinschaftlichen Punkte gelten analoge Bemerkungen wie in der Auflösung der Aufgabe a). 8 251. Zweite Mtheilnng. Man soll die Gleichung eines Kreises L suchen, d. h. die entsprechenden Werte der Constantcn , S , u berechnen, wenn die Lage 184 des Kreises in Bezug auf das Koordinatensystem oder in Bezug auf gegebene Punkte, Gerade und Kreise gegeben ist. Zu diesem Zwecke leite man aus den Bedingungen der Ausgabe drei Gleichungen zwischen^, 2- ab und berechne hierauf diese Größen. Wenn z. B. L durch den Punkt gehen soll, so muss die Gleichung («1 —ch- (7/1 — S? ,-2 bestehen. Wenn 7- die Gerade 0 berühren soll, so ist dem absoluten Werte von -j- -s- <7 gleichzusetzen. Soll L den Kreis (cv—-j-(7/— 2-.)^ — »'s von außen be¬ rühren, so muss die Gleichung bestehen u. s. f. K 252. Dir ^otrnzlinir. Es ist der geometrische Ort aller Punkte zu b e st i m m e u, v o n denen jeder i n B e z u g a uf zw e i g e g e b e n e K r e i s e (a? —-j-(?/ — — z-? „ud -s-(7/— — »'i gleiche Po¬ tenzen hat. Auflösung. Die Potenz eines Punktes 7l5 (§, -7) in Bezug auf den ersten Kreis ist nach Z101 gleich —-s- —2)^ — und in Bezug auf den zweiten gleich -P (>7—2i)^— ''j- Setzt man diese bei¬ den Werte einander gleich, so erhält man nach einigen Transformationen die Gleichung 2 § —F>) ch- 2^ —2) -ch- -P 2^-»^) — -P 21 — 0, welche einer Geraden entspricht. Also ist eine Gerade der geometrische Ort aller Punkte, von denen jeder in Bezug auf zwei gegebene Kreise gleiche Potenzen hat; sie wird die Potenzlinie oder Chordale der beiden Kreise genannt. Zusätze. 1t Bezeichnet man die auf Null reducierten Gleichungen der beiden Kreise zur Abkürzung mit 7- — 0 und — 0, so ist L —— 0 die Glei¬ chung der entsprechenden Potenzlinie. Man überzeugt sich davon, indem man in der oben gefundenen Gleichung der Potenzliuie § und -/ durch -u und ?/ ersetzt. 2. Die Potenzlinie ist zur Centrale der beiden Kreise normal; denn die Richtungsccesficienten dieser beiden Geraden sind — 3. Wenn die beiden Kreise gemeinschaftliche Punkte haben, so liegen diese auch in der Potenzlinie; denn jene Werte von -n und z/, welche die Gleichungen L — 0 nnd 7^ — 0 zugleich befriedigen, befriedigen auch die Gleichung 7- — L, — 0. 4. Drei Kreise 0, — 0, Lz — 0 haben zu zweien die Potenz - linien 7^—7-2 — 0, 7-z—7-g — 0, —Lz — 0. Man erkennt daraus, dass die drei Potenzlinien sich in einem einzigen Punkte schneiden, welcher das Potenz- centrnm der drei Kreise genannt wird. 185 IV. Abschnitt: Die Ellipse. Gleichung der Ellipse. K 253. Eellläenilgen. Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für welche die Summen der Abstände von zwei gegebenen Punkten einander gleich sind. Die gegebenen Punkte heißen die Brennpunkte der Ellipse nnd die Verbin- dnngsstrecken derselben mit einem Punkte der Ellipse die Leitstrahlen oder Radien vectoren dieses Punktes. Die Hälfte des Abstandes der beiden Brennpunkte wird die Excentricität der Ellipse genannt. 8 254. Mitttlpmcktsglcichmg. Man lege das Koordinatensystem so, dass die Brennpunkte und 2^ in die -«-Achse fallen nnd in Bezug auf die r/-Achse sym¬ metrisch liegen. Dann ist ^>0 — 0^ die Excentricität der Ellipse; dieselbe wird in der Regel mit e bezeichnet. Ist nun M' ich, z/) ein beliebiger Punkt der Ellipse, so hat die Summe -st ^1,-^sür alle Lagen dieses Punktes ebendenselben Wert, welcher mit 2 « be¬ zeichnet werden soll. Also ist V ich — s)2 -st rch -s- V (n -st 6)2 -stzst — 2 « . . . (1) (Z 225) die Gleichung der Ellipse, da sie nach Z 253 für alle Punkte der letzteren nnd nur für dieselben besteht. Um die Gleichung (1) rational zu machen, führt man die folgenden Transformationen durch: V ich — e)2 -st — 2 « — V U) ist2«>26, also «i>6nnd«2— «2> 0. Man kann also stets eine reelle Zahl 5 bestimmen, für welche e?—^^52 Dann erhält man ö2-v2 st- «22/2 — «2H2 . . , , (2) ^,2 ^.2 . oder - -ch 1.(b)- «2 52 Die Gleichung (2) oder (3) gilt zufolge ihrer Ableitung für alle Punkte der Ellipse; sie gilt jedoch für keinen Punkt, welcher der Ellipse nicht angehört. Denn wäre Ust ein solcher Punkt, so hätte man Ust Ust -st UstüU^ st^ 2 «, also Fig. 202. 186 V — s)2 -j- z/f -j- V (-v; -j- e)? -s- 2a. Daraus erhält man durch ebendieselben Transformationen, welche zur Ableitung der Gleichungen (2) und (3) benützt worden sind, die Relationen -s- > «2 tzL Somit ist (2) oder (3) ebenfalls die Gleichung der Ellipse und heißt die M itt c l p n n kt s g l e ich n n g derselben. Zusatz. Für 6—0 oder a — - geht die Mittelpunktsgleichung der Ellipse in jene des Kreises über. Man kann also den Kreis als eine specielle Form der Ellipse betrachten, was übrigens auch aus den Definitionen der beiden Linien hervorgeht. K 255. Divttiliion der Mittrlpmiktsgieichung. a) Für z, — 0 ist w a, und für w — 0 ist z/ — ö. Es gibt also vier Schnittpunkte mit den Coordinatenachsen, welche Scheitel der Ellipse heißen, und zwar (a, 0), L (-«, 0), (7(0, 5), D (0, — ö). ö) und o) Analog wie in 8 247 findet man, dass die Ellipse in Bezug auf beide Coordinatenachsen symmetrisch ist und zwischen den Geraden liegt, welche durch ^i und -8 parallel zur z/-Achse, ferner durch <7 und 77 parallel zur -u-Achse gezogen werden. Innerhalb des Rechteckes, welches durch diese Parallelen begrenzt wird, nehmen die Ordinaten und die Abscissen ab, wenn die absoluten Werte der Abscissen, beziehungsweise der Ordinaten zunehmcn. 7) Ist M; (-»1, z/^) irgend ein Punkt der Ellipse, also -s- «2^2 — «252^ sg gehört offenbar auch der Punkt (—-vi,—^) der Ellipse an (Fig. 202). Die Sehne geht nun durch den Anfangspunkt 0 und wird in demselben halbiert. Daher heißt jede durch 0 gezogene Sehne ein Durch¬ messer der Ellipse. Aus dem Vorausgehenden folgt zugleich, dass die Ellipse in Bezug auf 0 als Ceutrum symmetrisch ist. Daher heißt 0 der Mittelpunkt (das Ceutrum) der Ellipse. Man findet ferner 2.OM, 2 VchsH 2 -j- ----- 2 Hieraus geht hervor, dass der Durchmesser immer großer wird, wenn der absolute Wert von wächst. Der größte Durchmesser entspricht also den Ab¬ scissen — -s- « und wj — — a, zu welchen die Punkte und L gehören; d. h. -4L — 2« ist der größte Durchmesser der Ellipse und heißt die große Achse derselben. Den kleinsten Durchmesser erhält man sür die Abscisse — 0, zu welcher die Punkte (7 und 7) gehören; d. h. (77) -----2- ist der kleinste Durch¬ messer der Ellipse und wird die kleine Achse derselben genannt. « und b heißen die große, beziehungsweise die kleine Halbachse der Ellipse. 187 Zusatz. Jene Sehnen, welche in den Brennpunkten normal zur großen Achse errichtet werden, heißen Parameter der Ellipse und werden mit 2^> b_ d? bezeichnet. Aus der Gleichung der Ellipse ergibt sich Daraus folgt — b:^>, d. h. ist die dritte geometrische Proportionale zu a und ö. Lonstriirtioil der Ellipse. K 256. Aus der Gleichung a?— —oder a? —iiV-s-s? folgt, dass a die Hypotenuse jenes rechtwinkligen Dreieckes ist, welches b und e als Katheten hat. Daher ist (Fig. 202) Tfi O--7^0----7-s7) 7^7)und man erkennt leicht, wie die Punkte ^1, 7ch <7, 7), 7^ und 7^ construiert werden, wenn zwei von den Größen «, b, e gegeben sind. Dabei wollen wir stets voraussetzen, dass die Achsen der Ellipse in die Coordinatcnachsen fallen. Andere Punkte der Ellipse werden gefunden, indem inan von dem einen Brennpunkte als Centrum mit einem Radius 7-, welcher der Bedingung « — e < 7- < 2 a entspricht, einen Kreis beschreibt und die Durchschnittspunkte des¬ selben mit einem zweiten Kreise sucht, welcher den zweiten Brennpunkt als Centrnm und den Radius — 2 — 7' hat. Die erhaltenen Durchschnitts- Punkte gehören der Ellipse an. Um zu einer gegebenen Abscisse OV —cv (Fig. 203) die entsprechende Ordinate 7V17 — 7/ eines Ellipsenpunktes zu konstruieren, beschreibe man um 0 als Centrum zwei Kreise mit den Radien cr und ö, ziehe die Kreisordinatc V7V, hierauf den Radins 07V und lege durch den Punkt 0, in welchem 07V den kleineren Kreis durchschneidet, die Parallele zur cv-Achse. Der Schnittpunkt 7!7 dieser Parallelen mit T'TV ist der gesuchte Ellipsenpunkt. Denn man findet T'TII: V7V---00: 07V—ö : a. Daher ist Fig. 203. V /«2— ^.2, a a V Aus dem Vorausgehendcn ergibt sich auch der Lehrsatz: Bezieht man eineEllipse und den ihr umgeschriebenenKreis auf ein Coordinatenshstem, dessen Achsen mit jenen der Ellipse znsammcnfallen, so verhältsich jede Ellipscnordinate zuder der¬ selben Abscisse entsprechenden Kreisordinate wie die kleine Halbachse der Ellipse zur großen. 188 Längen der Lcitstrahleu. K 237. Für die Leitstrahlen 7^7"—und 7stH7—,-z eines Ellipsen- Punktes 717 («, ?/) gelten die Gleichungen — (cv — s)^ -st zst, »-Z — (^ -st -st Man kann dieselben mittelst der Gleichung der Ellipse oder auch in folgender Weise vereinfachen: Es ist -st — — 4scv, ferner -st — 2 -'c, — a -l-. r ' cr Onadratur der Ellipse. K258. Lehrsatz. Jeder Ellipsenstreifen, welcher von der großen Achse nnd zwei Normalen zu derselben begrenzt wird, verhält sich zu dem von denselben Geraden begrenzten Streifen des umgeschriebenen Kreises wie die kleine Halbachse der Ellipse zur großen. Beweis. Es sei 0^.(7 ein Quadrant der gegebenen Ellipse, 0^.7? der entsprechende Quadrant des nnigeschriebcnen Kreises und XON ein Koordinatensystem, dessen Achsen Xfmit jenen der Ellipse zusammcnsallen. Um die Flächcnstreifen T'lZKLsuud 7>(26rV zu vergleichen, zerlegen wir 7>8 in n gleiche Theile (T'/'^ ^^7^» - - - — ck) und ziehen durch die Theilungspunkte die Kreisordinateu TstrV^, ,... Dadurch zerfallen jene beiden Streifen in je n schmälere Streifen, welchen man durch Parallele zur n-Achse Rechtecke ein- und umschreiben kann. Da nun jeder der beiden gegebenen Flächeustreifen zwischen der Summe der ein- nnd jener der umgeschriebenen Rechtecke enthalten ist, so folgt (7^ A/, st- 717, ^... st- (ZK) K(ZK7I/<(K7I7-st K, 717,^... st- K„_i U,-,) ch st- K.M, -st ... -st (ZF) 6 < K(Z67/< (K7V-st K.TV^ -st.. . ^ K„_, 7V„_st ck oder wegen 7NV--- 7/1/, IstKst - Keckst,... (Z 256) chst (/IM, st- /stMst st- ... -st (ZK) 6 < K667V< ^-(7^Mst^^M) -st. .. -st 7ch-i M„_i) ck, also 717^ -st K^ 717, st- . . . -st (Z K) ck < K(Z6K( < (K717st- K,71^ -st ... -P 7ch-.r ZL-st ck. 189 « 360 V. Abschnitt: Die Hyperbel. Gleichung der Hyperbel. K 261. Erklärungen. Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, sür welche die Differenzen der Abstände von zwei gegebenen Punkten einander gleich sind. Die Begriffe: Brennpunkte, L e it st r a h l c n und Ex c e n tri cität der Hyperbel werden ebenso wie bei der Ellipse erklärt. Es ist dann S^lSck/^ -t- A o^l U1V — 65 65 65 65 o) Segment >1l7iU - s^lck/ 5 2" Da somit die Fläche ^0. K 263. Discnssion der Mittelpnnktsgleichnng. «) Für// ----- o ist und für « —0 ist ^/-----^br. Die Hyberbel schneidet also nur die «-Achse und zwar in den Punkten ^4(«, 0), L (—«, 0), welche Scheitel der Hyperbel heißen. ö) Aus (2) folgt z/ ----- V «2 — «2. Für -«-<«<« ist «2 « ist «^>-«2, also gehören in diesen Intervallen zu jeder Abscisse zwei entgegen¬ gesetzte Werte der Ordinaten. Die Curve ist somit in Bezug auf die «-Achse symmetrisch und hat keine Punkte zwischen den beiden Geraden, welche durch ^4 und -6 parallel zur z/-Achse gezogen werden. Ans dem Vorausgehenden ersieht man auch, dass die Hyperbel aus zwei getrennten Zweigen besteht, welche sich zu beiden Seiten der «-Achse ins Unendliche erstrecken, da nämlich die absoluten Werte der Ordinaten gleichzeitig niit jenen der Abscissen ohne Ende znnehmen. o) Löst man die Gleichung (2) nach « auf, so sieht man sofort, dass jeder beliebigen Ordinate zwei entgegengesetzte Werte der Abscisse entsprechen. Die Curve ist also auch in Bezug auf die A-Achse symmetrisch. 2^,2 Aus ----- 2 V «? Z- r/? — 2 -ö2 folgt, dass der Durch- 191 Messer gleichzeitig mit den: absoluten Werte von a-i ohne Ende zunimmt. Der kleinste Durchmesser entspricht den Abscissen — « und — a, zu welchen die Punkte und 77 gehören. Also ist -47? — 2a der kleinste Durchmesser und wird die Hauptachse genannt. Als Nebenachse, welche jedoch kein Durch¬ messer ist, trägt man auf der Ordinatenachse die Strecke (77) — 2 b so aus, dass 0 ihr Halbierungspnnkt ist. Zusatz. Jene Sehnen, welche in den Brennpunkten normal zur Hauptachse errichtet werden, heißen Parameter der Hyperbel und werden mit 2^> bezeichnet. z,2 Man findet /> — — wie bei der Ellipse. Constrnction der Hyperbel. K 264. Ans der Gleichung s? — s? — folgt, dass e die Hypotenuse jenes rechtwinkligen Dreieckes ist, welches a und b als Katheten hat. Daher ist (Fig. 206) -4S^7?(7 — -47)--^ 7?7) e, und man erkennt leicht, wie die Punkte -4, 7?, <7, 77, 7) und 7^ konstruiert werden, wenn zwei von den Größen «, b, e gegeben sind. Zwei andere Punkte der Hyperbel erhält man als Schnittpunkte zweier Kreise, welche die Brennpunkte als Mittelpunkte haben, und deren Radien sich um 2 a unterscheiden u. s. f Um zu einer gegebenen Abscisse OL — n (Fig. 207) die entsprechende Ordinate L7I7^ ?/ eines Hyperbelpunktes zu konstruieren, beschreibe man um 0 als Centrum zwei Kreise mit den Radien S L — n und OL—b, ziehe ^4 77^ SO und verbinde 0 mit dem Schnittpunkte 77 der Geraden ^4 77 und des ersten Kreises. Es ist dann -4 77: L S — 0 U.: 0 L — « : b und LS— - V«'- K K Zieht man also L7l7 SO und SH7J! SL, so ist 717 der gesuchte Hyperbelpunkt. Längen der Leitstrahlen. K 265. Ist 717 (-V, r/) ein Pimkt des ersten Hyperbelzweiges, d. h. des¬ jenigen, welcher vom Halbstrahle SL durchschnitten wird, so bestehen die Gleichungen 7^ 717 — — V (-v — e)^ -j-r/^,Lz7<7——V (-u -fi s)^ -j- z/fi — 2 a. Daraus folgt — a, Ug — -j- a. Weun 717 dem zweiten Hyperbelzweige augehört, so ist — V(a; — e)^ -fi 7-^ — V(-x -fi s)^ -f- — ^2 — 2 a. Daraus folgt »I — -a, — -a. 192 Asymptoten der Hyperbel. 8 266. «) Stellt man sich die Aufgabe, die gemeinschaftlichen Punkte der Hyperbel Geraden ?/ — Lar zn bestimmen, so hat man offenbar jene Werte von ar und z/ zu berechnen, welche die Gleichungen der beiden Linien zugleich befriedigen. Man erhält die beiden Losungen: « ö ttöL LV, — ' "- , ?/, — — - 7777 7 777 77 7 7 vr>" — tt^L^ Vb'- — «-L' Schnittpunkt, je nachdem — a^L^ >- 0 — «^L^ — 0 oder L — n-i bedarf Es sei zunächst 0 < L < , also — cr^L^>-0; dann liegt der eine Schnittpunkt im erstell und der andere im dritten Quadranten. Dreht man nun die Gerade — Lar nm ' den Punkt 0 im positiven Sinne, so nähert sich der Aus¬ druck — a^L^ dem Grenzwerte 0 und geht in denselben über, wenn L wird. Zugleich nehmen die Coordinaten a-j,^ den Grenzwert-f-02, hingegen -vz, z/2 den Grenzwert — oo an. Die Gerade 7/ — -^-ar trifft somit die Hyperbel in zwei unendlich entfern¬ ten Punkten. Ist hingegen O > L > —so schneidet die Gerade ?/ — Lar die Hyperbel in zwei Punkten, von denen der eine im zweiten und der andere im vierten Quadranten liegt. Dreht man nun die Gerade so, dass L — -wird, so werden die Coordinaten der Dnrchschnittspnnkte unendlich groß. Die Gerade — -trifft somit die Hyperbel ebenfalls in zwei unend¬ lich entfernten Punkten. Die Geraden 7/ — ar und 7/ — -heißen die Asymptoten der Hyperbel. sonnt zwei Schnittpunkte oder keinen oder — «2^.2 0 ist. Der Fall einer genaueren Untersuchung. 193 b) Wenn sich ein Punkt längs eines Hyperbelzweiges so bewegt, dass der absolute Wert seiner Abscisse ohne Ende zu¬ nimmt, so nimmt der Abstand des Punktes von der benachbarten Asymptote unbegrenzt ab. Beweis. Es ergibt sich (Fig. 208) KZ < 47K — 7^K — — (s? — Va? — a?) — ---7-^ .. . _ Man kann somit « « -x-f- V-x^ — K a; -n -r stets so groß wählen, dass und umsomehr auch 47(Z beliebig klein wird. o) Zieht man durch die Endpunkte ^4 nud L der Hauptachse Parallele zur Nebenachse, ferner durch die Endpunkte <7 und 7) der Nebenachse Parallele zur Hauptachse, so erhält man ein Rechteck L7^677, dessen Diagonalen auf den Asymptoten der Hyperbel liegen. Denn der Punkt Z hat die Coordinatm « und b; er liegt also auf der Geraden z/ ----- u. s. f. VI. Abschnitt: Die Parabel. Gleichung der Parabel. K 267. Erklärungen. Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte, von denen jeder von einer gegebenen Geraden nnd einem gegebenen Punkte gleiche Abstände hat. Die gegebene Gerade heißt die Leitlinie und der gegebene Punkt der Brennpunkt der Parabel. Die Verbindungsstrecke des Brennpunktes mit einem Punkte der Parabel wird der Leitstrahl (Radius vector) dieses Punktes genannt. § 26ki. Zchritrlglcichimg. Es sei 7^7i die Leitlinie und 7? der Brennpunkt einer Parabel. Wir ziehen 714 _1_ 7^7 und halbieren die Strecke ^47^ im Punkte 0. Das Koordinatensystem soll so gelegt werden, dass 0 der Anfangspunkt ist und der Halb¬ strahl OX durch den Brennpunkt geht. Ist nun 47 (n, ?/) ein Punkt der Parabel, ferner 477^_I_^X nnd KZ 7^7, so folgt nach Z 267 7^47^ 647----^7>^ ^40 -j- 07>. Setzt man also zur Abkürzung -47?-^F>, so ist Fig. 209. Hočevar, Geometrie für Oberrealschulen. 13 194 die Gleichung der Parabel, da für dieselben besteht. Um sie zu formativne» durch: 2 ! -j- sie sür alle Punkte der letzteren und nur Vereinsachen, führt man die folgenden Trans- -s- Z- — 2/>rv . . . . (2). Wenn der Pnnkt (^, ^) der Parabel nicht angehört, so ist 6^, also auch 2^>-vi. Die Gleichung (2) heißt die Scheitelgleichung der Parabel. K 269. Diskussion der Schritrlgleichnng. «) Für «---- 0 ist ?/ ----- 0 und umgekehrt. Die Curve hat also nur den Punkt 0 mit den Coordinatenachsen gemeinschaftlich. Dieser Punkt heißt der Scheitel der Parabel. b) Aus der Gleichung (2) folgt —^V2^>n. Man erkennt daraus dass negativen Abscissen keine Punkte der Curve entsprechen, dass diese in Bezug auf die os-Achse symmetrisch ist, und dass die absoluten Werte der Ordinaten gleichzeitig mit der (positiven) Abscisse unbegrenzt znnehmen. Die Gerade, welche durch den Brennpunkt normal zur Leitlinie gezogen wird, heißt die Achse der Parabel. o) Löst man die Gleichung (2) nach n auf, so erkennt man, dass jeder Ordinate eine bestimmte Abscisse entspricht, und dass letztere gleichzeitig mit dem absoluten Werte der ersteren unendlich zunimmt. Die Parabel ist somit unbegrenzt; sie liegt jedoch ganz aus jener Seite der Leitlinie, auf welcher sich der Brenn¬ punkt befindet. ci) Die Linie —2^>« hat kein Symmetriecentrum. Zusatz. Die im Brennpunkte normal zur Achse errichtete Sehne heißt der Parameter der Parabel. Derselbe ist — 2 wovon man sich mittelst der Gleichung (2) überzeugen kann. Constrnction -er Parabel. K 270. Der halbe Parameter einer Parabel ist zugleich der Abstand des Brennpunktes von der Leitlinie. Darnach ist die Constrnction der Punkte 7^und 0 leicht ausführbar. Wird nun ein Coordinatensystem so gelegt, dass die ^-Achse parallel zur Leitlinie und die Abscisse des Brennpunktes ------ ist G 268), so erhält man die einer beliebigen Abscisse OT' entsprechenden Parabelpnnkte, indem man durch die Parallele zur r/-Achse zieht und die Schnittpunkte dieser Parallelen mit jenem Kreise bestimmt, welcher den Brennpunkt als Centrum und den Abstand des Punktes von der Leitlinie als Radius hat. Die Schnittpunkte sind die gesuchten Parabelpunkte. 195 (Quadratur eines Parabelsegmentes. Fig. 210. 'N— 0Ü56 0^5156, 6 ä 3 ^2 oder^ —L-.ci P. < OL56 <-^-Z-^-.ck -s- 6^> 4^? 12^ 6^ 4^, 12^> Lässt man nun n unendlich znnehmen, so nähern sich die beiden Grenzen, zwischen denen 01156 liegt, dem gemeinschaftlichen Grenzwerte Daraus schließt man 8 271. Es sei zunächst der Inhalt der Fläche 01156 zu berechnen, welche vom Parabel¬ bogen 0115 und den Coordinaten 06 — z/ und 6^5—« eines Parabelpunktes 115 begrenzt wird. Zn diesem Zwecke theile man 0 6 in n gleiche Theile von der Größe ck und ziehe durch die Theilungspunkte Parallele zur -u-Achse bis zum Durchschnitte mit der Parabel. Einem jeden der n Streifen, in welche die Fläche 01156 dadurch zerlegt wird, schreibe man ein Rechteck ein und ein Rechteck um. Dann ergibt sich, wenn 6i üch — 6z - - - gesetzt wird, Z <1 0 5156 ck -P a?2 -P - - - 'P i -si- ru) oder auch, weil ck? —2^>a^, (2 ck) — 2^> ar^/ --- — 2^--v ist, ck^ si ck^ l' , 1 ferner 0^515^ 0/>H56 — 01156---^ ^-^-05'5156. o ö 2^ -s-... -r--n - - - Es ist nun 1- Z- 2- -j- ... Z- (n-1)- -j- und 1- > 22 Z- ... »2 wovon man sich überzeugt, wenn man in die identische Gleichung (a -j- 1)b — -j- 3«2 -P- 3« -j- 1 der Reihe nach a — 1, 2, ... n substituiert und die so erhaltenen Gleichungen addiert. Man hat also (^3 2^ H Zusatz. Die erhaltenen Resultate werden auch häufig auf folgende Art abgeleitet. Man zieht von zwei benachbarten Parabelpunkten die 13* 196 Normalen zu den Coordinatenachsen und denkt sich zunächst den Bogen 44) Mz durch die zugehörige Sehne ersetzt. Man kann nun mittelst der Gleichungen r/f 2^-m und z/Z — 2 ^«2 nachweisem dass sich das Trapez 4^ ^2^2 von dem doppelten des Trapezes 4-^ IH262 61 beliebig wenig unterscheidet, wenn die Strecke ent- - sprechend klein gewählt wird n. s. f. VII. Abschnitt: Aber Kegelschnittsümen*) im allgemeinen. ersetzt, so erhält Die -Zcheitelgleichungen. K 272. «) Ellipse. Die Mittelpunktsgleichung einer Ellipse geht in die Scheitelgleichung über, wenn man das Coordinatensystem parallel zu sich selbst so verschiebt, dass der Anfangspunkt in einen Scheitel der Ellipse fällt, z. B. in den Punkt L (Fig. 202). Es ist dann nnd Die Gleichung (3) in 8 254 verwandelt sich nun durch die Substitution n — — « und in —l. — U- 1 U- LI 1 oder r/2 ----- — Wenn man noch durch cv, ?/, ferner durch man die Scheitelgleichung der Ellipse in der folgenden Form: „2 - r) _, 2 Zusatz. Für b ----- « geht diese Gleichung in die Scheitelgleichnng des Kreises über (ß 245). b) Hyperbel. Verschiebt man das Coordinatensystem parallel zu sich selbst,, bis der Anfangspunkt in den Scheitel -4 der Hyperbel (Fig. 208) fällt, so erhält man auf analoge Weise 2^ae -si 0) Parabel. Die Scheitelgleichung lautet — 2^n (Z 268). ch) Die Gleichung ?/? — 2^n -f- ist somit die Scheitelgleichung einer Ellipse, einer Parabel oder einer Hyperbel, je nachdem 0 ist. Vergleicht man also das Quadrat der Ordinate mit dem Rechtecke aus dem Parameter und der Abscisse, so sind bei der Parabel beide Flächen ein¬ ander gleichzusetzen (Mpcr/ZcUlLin). Bei der Ellipse geht dem Quadrate im Ver¬ gleiche zum Rechtecke an Größe etwas ab (Älklnxrn), und bei der Hyperbel übertrifft (si^ep,SaHLtv) das Quadrat an Größe das Rechteck. ch Man versteht darunter die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel (8 281). 197 Die polargleichnngen. K 273. cr) Ellipse. Wählt man den Brennpunkt F^ als Pol nnd den Halbstrahl F^ X als Polarachse (Fig. 202), so findet man 7» — F^ Fs — « -j- — , rv — O F' — 0 F'g -s- H — — s -s- Los u. Daraus solgt durch Elimination von « «2-6- ^2 ^,2.^ n — —-—-— Ij -/—- oder a - s LOS u « — s LOS u , 1 — (6:«) 608 7- -- , 1 — e Losrr wenn zur Abkürzung s : a — s gesetzt wird. Die Zahl s, welche offenbar stets kleiner als 1 ist, heißt die numerische oder astronomische Excentricität (zum Unterschiede von der linearen Excentricität e). Hyperbel. Es sei Fs der Pol und FsX die Polarachse (Fig. 208). Für alle Punkte des ersten Hyperbelzweiges gelten die folgenden Gleichungen: --- Fs — K, -n — 0^ — OFs -j- Fs F' --- e -s- 7-cosA. Daraus solgt F 7' --n --- , 1 — L LOS 7t Wenn ö.-a — L gesetzt wird, k heißt die numerische Excentricität der Hyperbel und ist stets größer als 1. o) Parabel. Es sei F' der Pol und F'X die Polarachse (Fig. 209). Dann ist — F'Fs — 6 U7 — U^F' — U F^fi- 7^ - - -s- 7- oosu, also F 7' - -. I — LOSU Die Gleichung 7- — r'eH ^spricht somit als Polargleichung der Ellipse, der Parabel oder einem Hyperbelzweige, je nachdem s < 1, — 1 oder 7> 1 ist. oh Aufgabe: Den geometrischen Ort der Punkte zu suchen, für welche der Abstand von einem gegebenen Punkte F' zum Ab¬ stande von einer gegebenen Geraden F^ F ein constantes Ver¬ hältnis s hat. Auflösung: Es ist (Fig. 209) 7- — F' FF — s . (ZFs — x (Ui F' -fl 7- cos u), L U.F' also 7- — Bezeichnet inan mit jenen Leitstrahl, welcher dem Polar¬ winkel u — L entspricht, so ist — s . U.F) also 7^^— r — L LOS u die Polargleichung der gesuchten Linie. Man erhält also eine Ellipse, eine Parabel oder einen Hyperbelzweig, je nachdem s < 1, — 1 oder i> 1 ist. 198 Gerade und Kegelschnittslime. K 274. Eine Gerade und eine Kegelschnittslinie haben im allgemeinen zwei Punkte gemeinschaftlich, da der ersteren eine Gleichung des ersten und der letzteren eine Gleichung des zweiten Grades zwischen und entspricht. Sind die gemeinschaftlichen Auflösungen der beiden Gleichungen reell und voneinander verschieden, so gibt es wirklich zwei gemeinschaftliche Punkte (Schnittpunkte), und die Gerade heißt eine Secante des Kegelschnittes. Wenn die Auflösungen reell und einander gleich sind, so haben die beiden Linien zwei zusammenfallende Punkte oder also einen einzigen Punkt (Berührungspunkt) gemeinschaftlich, und die Gerade heißt eine Tangents des Kegelschnittes. Man kann sich dieselbe aus der Secante dadurch entstanden denken, dass die letztere um einen ihrer Schnittpunkte mit der Curve solange gedreht wird, bis auch der andere mit ihm zusammenfällt. Sind die Auslösungen complex oder imaginär, so entsprechen der Geraden und dem Kegelschnitte keine gemeinschaftlichen Punkte. Jene Gerade, welche normal zu einer Tangente durch den Berührungspunkt derselben gezogen wird, heißt eine Normale der Curve. Unter dem Winkel, welchen zwei Curven in einem Schnitt¬ punkte bilden (unter welchem sie sich schneiden), versteht man den Winkel der beiden Tangenten, welche im Schnittpunkte an die Curven gelegt werden. Winkel einer Geraden mit einer Curve. Zusatz. Um die gemeinschaftlichen Punkte der Geraden ?/ — Ln -ft r und der Hyperbel bestimmen, substituiere man den Wert von z/ aus der ersten Gleichung in die zweite und erhält dann (z>2 _ ^2^.2) g-2 z ----- (^ -ft ^) ... (1) oder für ar — — «2 (H2 §2) 22 -ft 2 «2 ------- ö- _ ^2 z.2 ... (2). Wenn 52 — «2^2 0 ist, so sind auch die beiden Wurzeln der Gleichung (2) von Null verschieden. Dreht man jedoch die Gerade so, dass 52 — «2-^ —0 wird (ß 266), so wird die eine Wurzel der Gleichung (2) — 0 und die ent¬ sprechende Wurzel der Gleichung (1) unendlich groß. Somit hat jede zu einer Asymptote parallele Gerade mit der Hyperbel einen unendlich entfernten und einen in endlicher Entfernung liegenden Punkt gemeinschaftlich; sie ist als Secante und nicht etwa als Tangente aufzufassen. Der Fall 52 — «M2 — 0 und — 0 ist bereits im Z 266 besprochen worden. Auf analoge Weise findet man, dass eine Gerade, welche zur Achse einer Parabel parallel ist, mit der letzteren einen unendlich entfernten und einen in endlicher Entfernung liegenden Punkt gemeinschaftlich hat. 199 Gleichungen der Tangenten. K 273. a) Ellipse. Es seien Ibkf 2' ^b^cvl ' s-t-cvl Ebenso findet man tA (ir»'i) — Daraus folgt (i-z ir) — (1^), weil nur hohle Winkel in Betracht kommen. Der zweite Theil der Behauptung lässt sich leicht planimetrisch begründen. b) Hyperbel. Zieht man durch irgend einen Punkt einer Hyperbel die Tangente, dieNormale und die beiden Leitstrahlen, so halbiert die Tangente den hohlen Winkel der beiden Leit¬ strahlen und die Normale den Nebenwinkel. Beweis analog wie in a). e) Parabel. Zieht man durch irgend einen Punkt einer Parabel die Tangente, die Normale, den Leitstrahl und den zur Parabelachse direct parallelen Halbstrahl, so wird der von den 201 beiden letzteren gebildete hohle Winkel durch die Normale und der Nebenwinkel durch die Tangente halbiert. Beweis. Dem Leitstrahle und der Normale -r entsprechen die Gleichungen: 1/ — Ni — («- — und r/ — z/i (a- — -vZ. z-a-i Daraus erhält man ---- Bezeichnet man ferner den zur Parabel¬ achse dircct parallelen Halbstrahl mit s, so ist (ns) — (nn), also tF (ns) — — (cvn) — Hieraus folgt <>n) — (ns). Die Geriihrmlgsgrößen. K 278. Zieht man durch einen Punkt Ms einer Curve die Ordinate, die Tangente und die Normale und bezeichnet die Fußpunkte dieser drei Geraden in der -v-Achse der Reihe nach mit 7^, 7' und IV (Fig. 212), so heißt M, T' die Tangente, T'die Snb tangente, MsIV die Normale und IV die Sub normale. Alle vier Strecken werden die dem Punkte Ms entsprechenden Berü h r n n g s g rvßen genannt. «) Ellipse. Die Coordinaten 0!? und 0 des Punktes 7" müssen die Tangentengleichung -st befriedigen. Hieraus folgt 0 7'----- , 7" ---- 0 7" — 01°, ------ — -n,, M, 7' ----- -st i - -vA. Ebenso erhält man mittelst der Normalgleichung 01V — -x, — also IV---- - ferner-M, 7V-- b) Hyperbel.?,!?----^ 7>,M---- n. s. f. o) Parabel. 7^ 7' ----- -— 2-»,, IV----- x, n. s. f. Aufgaben. K 279. Uechnungsunfgabcn. a) Man soll die Gleichungen der Tangenten ableiten, welche sich v o m P u n k t e U. (n, v) a n dieEllipse -st ziehen lassen. Auflösung. Die Gleichung irgend einer Tangente der gegebenen Ellipse lautet -st Zwischen den Unbekannten -n,, r/, besteht zu¬ nächst die Gleichung kr-»? «2^2 --^ .(1), weil der Punkt («,, z/Z der Ellipse angehvrt. Da ferner der Punkt U. in der 202 Tangente liegen soll, so mässen seine Coordinaten die Gleichung derselben befrie¬ digen, d. h. es muss -s- .(Z) sein. Aus (1) und (2) erhält man --j-: v w) («2 v itw) " b V fl- " 52^2 ^2^,2 , worin zur Abkürzung VöV -j- _ ^2-2 gesetzt ist. Wenn m reell ist, so sind die gesuchten Gleichungen in -vw) ss -j- r/ — -j- ^2^2 enthalten. Von den doppelten Vorzeichen sind gleichzeitig die oberen oder die unteren zn nehmen. ö) Wie lautet die Gleichung jener zurParabel —ge¬ hörigen Normale, welche zur Geraden Lss-fl^ parallel ist? Auflösung. Die Gleichung einer Normale der gegebenen Parabel lautet: r/ — z/i — — Zwischen den Unbekannten as^, bestehen die Gleichungen — 2^,^ und — — L, weil der Punkt (s^,^) der Parabel angehört, und weil die Normale zur Geraden parallel sein soll. Daher ist A — — as^ — —; die gesuchte Gleichung lautet also: La: — L^> j^1 -j- In derselben Weise lassen sich die analogen Aufgaben für die übrigen Kegel¬ schnittslinien behandeln. K 280. Constrnctionsaufgabkn. a) Durch einen gegebenen Punkt -4 an eine gegebene Ellipse Tangenten zn ziehen. Analysis. Verlängert man den Leitstrahl des Berührungs¬ punktes 4^ um 44^ —so ist die Tangente ^4 die Shmmetrale der Strecke /fl G. Der Punkt G liegt daher sowohl in dem Kreise mit dem Centrum 4^ und dem Radius 2 a als auch in dem Kreise mit dem Centrum U und dem Radius U . Construction. Man constrniere die beiden Durchschuittspunkte (4 und 203 Fig. 214. § Z, Fig- 215. zwei Tan- 6-. Con- 9' der in der Analysis bezeichneten Kreise und erhält hierauf die gesuchten Tan¬ genten als Shmmetralen der Strecken Fs (7 Der Beweis ergibt sich aus 8 277 a. Determination. Mau erhält zwei Tangenten, eine oder keine Tangente, je nachdem Zi außerhalb der Ellipse liegt, derselben angehört oder innerhalb der¬ selben liegt. fl) Durch einen gegebenen Punkt ^4 an eine gegebene Hyperbel Tangenten zu ziehen. Analysis. Verkürzt man den Leit¬ strahl Fs 44s des Berührungspunktes 44s nm (7 4^ —Fs 44s, so ist die Tangente Zl F die Symmetrale der Strecke Fs Daraus ergibt sich sofort die structivn und der Beweis (8 277 b). Determination. Dian erhält Tangenten, eine Tangente oder keine gente, je nachdem Zi zwischen den beiden Hyperbelzweigen liegt, der Hyperbel ange¬ hört oder auf der concaven Seite eines Hyperbelzweiges liegt. o) Durch einen gegebenen Punkts an eine gegebene Parabel Tangenten zu ziehen. Zieht man durch den Berich¬ te Parallele zur Parabelachsc, die Leitlinie in einem Punkte F, in Bezug auf die Tangente Analysis, rungspunkt 4^ so schneidet jene (7, welcher mit ^4 7' symmetrisch liegt. Construction. Dian beschreibt den Kreis mit dem Centrum Zi und dem Radius ^4F" und construiert die Shmmetralen der Strecken F^(7 und F'tTch wenn (7 und <7' die Schnittpunkte jenes Kreises mit der Leitlinie bedeuten. Der Beweis (8 277 a) und die Determina¬ tion sind leicht zu finden. ck) An eine gegebene Ellipse Tan¬ genten zu ziehen, welche zu einer ge¬ gebenen Geraden parallel sind. Auflösung. Man ziehe durch den Brennpunkt Fs die Normale zur gegebenen Geraden und bestimme die Schnittpunkte <7,(7' jener Normale mit einem Kreise, 204 Ebene Kegelschnitte. 8 2M. Es sei (Fig. 216, 217 und 218) ein Achsenschnitt eines geraden Kegels, und man lege durch einen Punkt 0 der Seitenlinie >8 k/ eine Schnittebene « normal zum Achsenschnitte. Die Schnittfigur beziehe inan aus ein rechtwinkliges Coordinatensystem, welches 0 als Anfangspunkt und die Durchschnittslinie der Ebenen « und 7 77 als Abscissenachse hat. In der letzteren bestimme man die Richtung von 0 nach X als positiv. Legt man nun durch zwei beliebige Punkte Ü7 und welche dem Umfange der betrachteten Schnittfignr ange- hören, Schnittebenen parallel zur Ebene des Leit- ' kreises, so schneiden dieselben den Kegel in zwei Kreisen 77 717<7 und und die n-Achse in zwei Punkten und 7^. Dadurch erhält man die rechtwinkligen Koordinaten O7> —n, 7^717 — ?/ und 07^ — -»i, 7^717) — Z/i der Punkte 717 und 717^ (ß 181 s). Um die Gleichung des betrachteten Kegelschnittes abzuleiten, stellt man zu¬ nächst die Gleichungen L7>. /><7 und z/? 7- . 7^. (1) (8 100) ans und unterscheidet hierauf die drei wesentlich verschiedenen Fälle, je nachdem die Schnittebene « den Halbstrahl /§7" (Fig. 216) oder dessen Er¬ gänzung (Fig. 217) trifft oder zu parallel ist (Fig. 218). aff Es ist /X 7t 7' U 7ff 77 und /X 07^6" cv) 0 /7 6), somit 7?7^: 7?i 7^ ----- und 7^(7 : ^(7^ — 07^ : 0^. Durch Multipli¬ kation dieser beiden Proportionen erhält man LT^.T^: ----- T'^I.OT': ^4.0^ oder (2 « — aff : (2a — a^), wenn 0^4 — 2a gesetzt wird. Daraus folgt welcher 17z als Centrum und 2 a als Radius hat. Die Symmetralen der Strecken 7ff (7 und 7ff 6^ sind die gesuchten Tangenten. Analog sind die entsprechenden Aufgaben für die Hyperbel und die Parabel zu behandeln. ar (2 «— ar) a^(2a —«ä) d. h. der Quotient — M) !ür alle Punkte der betrachteten Kegelschnitts¬ linie denselben Wert L. Also ist r/2 — Lar (2 « — aff.(2) die gesuchte Gleichung. Da für alle Punkte der Kegelschnittslinie > 0, ar > 0 und 2 K — a- 7> 0 ist, so ist auch L > 0. Man kann daher stets eine reelle Zahl 205 b so bestimmen, dass — Zr wird. Durch diese Substitution verwandelt sich (2) in die Scheitel¬ gleichung einer Ellipse. ö) In diesem Falle schneidet die Ebene « auch den zweiten Theil der vollständigen Kegelfläche, welche dem gegebenen geraden Kegel entspricht. Setzt man Ti 0 — 2 «, so erhält man aus analoge Weise wie in a) die Gleichnug r/2 — Zen (2a -s- cv), in welcher L stets positiv ist. Dies ist offenbar Vie Scheitelgleichung einer Hyperbel. Man überzeugt sich leicht, dass die gefundene Gleichung auch für jenen Theil der Schnittlinie be¬ steht, welcher auf dem zweiten Theile der Kegel¬ fläche liegt. e) Man findet A- ^<7 7/s - . - 0 < Daraus folgt 7/^ —worin Ze eine posi¬ tive Zahl bedeutet, d. i. also die Scheitelgleichung einer Parabel. Zusätze. 1. Wenn die Schnittebene «durch den Scheitel -8 gelegt wird, so erhält man als Schnitt¬ figuren einen Punkt, zwei sich schneidende Gerade oder eine Gerade. 2. Der schiefe Kegel liefert ebendieselben Ar¬ ten von Schnittsiguren wie der gerade. Fig. 218. Fig. 219. 3. Bemerkenswert ist, dass der schiefe Kegel nicht nur durch die zur Grundfläche parallelen Ebenen, sondern auch durch eine zweite Schar von parallelen Ebenen in Kreisen geschnitten wird. Um dies zu beweisen, betrachten wir einen schiefen Kegel (Fig. 219) mit dem charakteri¬ stischen Dreiecke L'Z/ und schneiden denselben durch zwei zu diesem Dreiecke normale Ebenen L ZUO und OZU'Ti. Der erste Schnitt sei zur Grundfläche parallel, und der zweite (Wechselschnitt genannt) schneide die Seiten des Dreieckes so, dass ist. Dann ist ^/2 silier /X 71^0 cxv Ti Ls. also L/XO/' — Daraus folgt somit 7/2 0 777X1 — (2 K — n). 206 Sphärische Trigonometrie. I. Abschnitt: Auflösung der sphärischen Dreiecke. 8 282. Einleitung. «) Den Gegenstand der sphärischen Trigonometrie bildet die Berechnung der unbekannten Seiten und Winkel eines sphärischen Drei¬ eckes aus den gegebenen Bestimmuugsstücken desselben. Die hiezu erforderlichen Sätze lassen sich in Gleichungen ausdrücken, welche vermöge der Natur der hier in Betracht kommenden Größen nur Winkelfunktionen enthalten. Die gegenseitigen Beziehungen der letzteren sind bereits in der Goniometrie anseinandergesetzt worden. ö) Zur Ableitung der Fundamentalgleichungen zwischen den Seiten und Winkeln eines rechtwinkligen sphärischen Dreieckes benützt man das rechtwinklige Parallelcoordinatenshstem im Raume (Fig. 220), durch welches die Lage eines Punktes im Raume bestimmt wird. Dieses Coordinatensystem besteht aus drei Ebenen (Coordinatenebenen), von denen jede zu den beiden anderen normal ist. In den Schnittlinien dieser Ebenen (den Koordinatenachsen) nimmt man gewisse Richtungen als positiv an, etwa von LZ nach Li in der co-Achse, von IZ nach I" in der z/-Achse und von nach L" in der 2-Achse. Die Lage eines Punktes L5 in Bezug auf dieses Coordinatensystem ist dann eindeutig bestimmt, wenn ^die Abstände (Koordinaten) des Punktes von den Coordi¬ natenebenen dem absoluten Werte und dem Vorzeichen nach gegeben sind. Das Vorzeichen einer koordinate (z. B. von Fig. 220. L' s) ist positiv oder negativ, je nach dem die Richtung von der entsprechenden Coordinatcnebene (Li Ich gegen den betrachteten Punkt (M) hin mit der positiven Richtung in der entsprechenden Achse übereinstimmt oder nicht. In Fig. 220 sind als Koordinaten des Punktes Ll" die Strecken 0^ —«, und Z angenommen. o) Die sphärische Trigonometrie, eines der wichtigsten und nothwendigsten Hilfsmittel der Astronomie, wurde schon im Alterthum von den Griechen und später von den Arabern ausgebildet und gepflegt (Sieh Z 119). 8 283. Das rechtwinklige sphärische Dreieck. Hat ein sphärisches Drei¬ eck drei rechte Winkel, so sind auch seine drei Seiten rechtwinklig (Z 151, Folge¬ satz). Hat es zwei rechte Winkel, so sind auch die Gegenseiten rechtwinklig (Z151 e), und der dritte Winkel hat dieselbe Maßzahl (in Graden), wie seine Gegenseite (8 196). Zugleich gelten die Umkehrungen. Ist nur ein Winkel eines sphärischen Dreieckes ein Rechter, so nennt man seine Gegenseite Hypotenuse und die beiden anderen Seiten Katheten. In diesem Falle sind alle Seiten schiefwinklig, wovon man sich durch folgende Betrachtung überzeugen kann. 207 Fig. 221. Wäre ^4 O 41 4, L O <7 (/7 — L) und 4lO 4? — 4L (o — L), so hätte man (nach Z 151 4) O ^4 4. O L (7, also b 4S und / —L (Z 151 ö). Wäre hingegen /S — K und ö — 4S, so hätte man, wenn O4)4tzO47in47O(7 errichtet wird, 0 4) 4), ^4 0 47 (Z151 ch, also OD ch. 0^4 . Daraus folgt 0^4 4_ 4? 0 <7, daher o — Ä und / — L Wenn 04) mit 0 <7zusammenfällt, so ist diese Schlussweise nicht zulässig; dann ist jedoch a-^4? und cc —44 Im Nachfolgenden wird unter einem rechtwinkligen sphärischen Dreiecke stets nur ein solches verstanden, welches einen rechten Winkel und außerdem nur schiefwinklige Umfangsstücke besitzt. Das Polardreicck zu einem rechtwinkligen Dreiecke hat eine rechtwinklige Seite und außerdem durchaus schiefwinklige Um¬ fangsstücke. Ein solches Dreieck wird Quadrantendreieck genannt. K 284. Trigonometrische Lehrsätze für das rechtwinklige sphärische Dreieck. ^4 4)0 (Fig. 222) sei das gegebene rechtwinklige sphä- rische Dreieck, und man bezeichne mit o die Hypotenuse, mit » und 5 die beiden Katheten, ferner mit « und ,7 -deren Gegenwinkel. Das dem sphärischen Dreiecke ent- sprechende Dreilaut 0 4i 4) 0 lege man so in ein recht- winkliges Coordinatensystem, dass OZ in den Halb- Fig. 222. strahl OX, 4? 0 (7 in die Halbebene und der Punkt ^4 mit dem Halbstrahle 0^ auf die gleiche Seite der Ebene K) iU fällt. (Wäre die letzte Bedingung nicht erfüllbar, so denke man sich das Dreilaut durch seine Scheitelccke ersetzt). Ist nun 44 ein Punlt des Halbstrahles 0 mit den Coordinaten 0 4>—n, 4V 44—2 und dem Leitstrahle 0 44 — ,-, so erhält man: cr) M oos o und co — 0 47 oos cr — i- oos ö oos a. Daraus folgt oos o — oos a oos ö.(1). ö) — OTTsincr — --oos ö sin« und r/ — 4^44008/7 —^siuooos/7 ; also vos b sin « — siu o oos /7. Daraus folgt durch Division mit oos « oosö — oos o a — tK; o oos /7, l und analog t§d — tAeooscc I o) 2 — -- sin b und 2 — Russin /7 — sin o sin /7. Daraus folgt sin b — sin o sin /?, s und analog SIQ a — sin c sin « s.(b)- Anmerknng. Die vorausgehenden trigonometrischen Gleichungen gelten all¬ gemein, da die für die Coordinaten von 44 ausgestellten Ausdrücke auch dem Vor¬ zeichen nach stets Geltung haben, in welchem oberhalb KU liegenden Octanten des Raumes man auch 44 annehmen mag. (Hiebei ist -- als absolute Größe anznsehen.) Außer den bisher abgeleiteten Relationen zwischen der Hypotenuse 208 und cr) den beiden Katheten, b) einer Kathete und dem derselben anliegenden schiefen Winkel, o) einer Kathete und deren Gegenwinkel benöthigt man noch die Relationen zwischen ch der Hypotenuse und den beiden schiefen Winkeln, e) zwischen den beiden Katheten und einem schiefen Winkel und/) einer Kathete und den beiden schiefen Winkeln. Diese weiteren Relationen erhält man aus den vorausgehenden durch folgende Rechnung: ä) Man eliminiere a und ö aus den vorhergehenden Gleichungen, indem man das Product der Gleichungen (3) durch die Gleichung (1) dividiert. Man erhält tAatKö — sin^ o sin « sin /Z : 008 o ; andererseits aus den Gleichungen (2) t§ aö — o eos cc oos /3. Daraus folgt 008,'o — 60t§ccootA/3. (4). s) und /) Dian eliminiere o ans den obigen Gleichungen, indem man tzo aus (l.) und einer Gleichung (3) berechnet und in eine Gleichung (2) substituiert , sin o sin b ö . Es rst o -.—Z-. 7— . Je nachdem man 608 0 8IN /3 608 cr 008 o 8IN/3 608 « diesen Wert in die erste oder zweite Gleichung (2) substituiert, erhält man tAö — 8IN «/3 s und analog tA cr — 8IQ b cc s ' ' ' ' ' ' (o), oder eo8 « — oo8 «8in /3 f und analog oo8 /9 — ao8 ö 8in cc s Zusätze. 1. Die vorausgehenden zehn Gleichungen enthalten alle möglichen Combinationen zwischen je dreien der fünf Umfangsstücke a, ö, o, «, /9. Man überzeugt sich leicht nachträglich, dass sie" auch für zwei- oder dreirechtwinklige Dreiecke Geltung haben, wenn man sie zur Vermeidung von Unbestimmtheiten zuvor derart transformiert, dass alle Functionen, welche Null werden können, in den Zähler kommen, wobei die Tangente und Cotangente als Quotienten von Sinus und Cosinus cinzuführen sind. Trotzdem sind die erhaltenen trigono¬ metrischen Gleichungen im allgemeinen zur Auflösung von zwei- und dreirecht¬ winkligen Dreiecken nicht geeignet, aber auch nicht nothwendig, 2. Die Gleichungen (1) bis (6) lassen sich auf folgende Form bringen: 608 o---ootK « eotA/9 — 8IQ (L — «) 8in (L —-) aus (4) und (1); 608 (K— er) — cotA (9? — ö) eotA — 8IQ e 8IN tt aus (5) und (3) 008 (A— ö) — ootA (9? — er) ootA cr — 8IN o 8IN ^3 aus (ö) und (3)- 608 er — ootA — ö) oot§ 6 — 8in (9? — er) 8in /3 aus (2) und (6); 608 /3^- ootA (L — er) oot§ o — 8in (L — ö) 8in cc aus (2) und (6). Daraus ergibt sich die folgende von Napier (spr. Neper) ausgestellte Gedächtnisregel: Man schreibe mit Übergehung des rechten Winkels die Umfangsstücke des rechtwinkligen Dreieckes an einem Kreise in jener Aufeinanderfolge, welche sie im Dreiecke haben, ersetze jedoch die Katheten durch ihre Komplemente. Dann ist der Fig. 223. 209 Cosinus eines jeden Stückes (am Kreise) gleich dem Products der Cotan- genten der Nachbarstücke und auch gleich dem Produkte der Sinus der nicht an¬ liegenden Stücke. Um z. B. die Relation zwischen «, und ö zu erhalten, be¬ trachten wir /S als das gesuchte Stück, also « und ö als die nicht anliegenden Stücke. Man erhält cws — sin (^— S) sin cc, wie oben. 3. Aus der ersten Gleichung (6) folgt, dass a und « stets gleich bezeichnet sind. Jede Kathete und ihr Gegenwinkel sind daher entweder gleichzeitig spitz- oder gleichzeitig stumpswinklig; oder für ist entsprechend cc^Ä, und umgekehrt. 4. Aus den Gleichungen (3) folgt sin sin «. Die Hypotenuse liegt also ihrer Größe nach zwischen jeder Kathete und deren Supplemente, oder « (Z L O- 2 A — a. Wenn cc schiefwinklig ist, kann o weder gleich a noch gleich 2 sein. Analoges gilt bezüglich der Kathete b. 5. Die Formeln für das Quadrantendreieck mit den Seiten ah by L und den Winkeln «y / erhält man aus den obigen zehn Gleichungen durch die Substitutionen a — 2 L—ccy ö — 2 L — n. s. w. K 283. Änflösmlg der rechtwinkligen sphärischen Dreiecke. Zur Bestim¬ mung eines rechtwinkligen sphärischen Dreieckes bedarf man (außer ^dem rechten Winkel noch) zweier Umfangsstücke. Es ergeben sich demnach sechs verschiedene Auflösnngsfälle, welche im Nachfolgenden in jener Ordnung angegeben werden, in welcher sie aus den Congruenzsätzeu folgen. 1. Gegeben: Die beiden Katheten a und ö. M n-r 7 tsscr . - tzö . Auflösung: 608 0 — 608 « 608 0, t^ cc — . , t 77 sein, wenn ein Dreieck mit sein soll; nur dann sind die rechts Gleichungen -< 1. Man erhält in diesem Falle zwei Auflösungen, indem man etwa die beiden Werte von 0 aus der ersten Gleichung berechnet und hierauf nach dem dritten oder vierten Auflösungsfalle vorgeht. 6. Gegeben: Die beiden Winkel « und /7. «"5 608 « , 008/7 Auflösung: oos 0 — oot^ « 00t /1, 00s « — —, oos 0 — — . sm /7 sm « Zusätze. 1. Beispiel zum dritten Anflösuugsfalle: 0 — 72° 56' 30", a --- 127° 56' 36" --- 2 77 — 52° 3' 24". ö --- 2/7 — 61° 30' 20" — 118° 29' 40", cc — 2 77 — 55° 34' 46" — 1i4° 25' 14" (weil « > 77), 2 77 — 66° 49' 30" — 1l3° 10' 30". Controle: lo§ co8 /7 Io§ co8 ö -s- 1o§ sin «. 2. Man beachte, dass für jedes gegebene Umfangsstück stets drei Logarithmen seiner Winkelfunctionen aufzuschlagen sind. In jenen Fällen, in welchen die Functionen stumpfer Winkel negativ werden, rechnet man nur mit dem absoluten Werte, d. h. man ersetzt den stumpfen Winkel durch sein Supplement, bezeichnet jedoch den entsprechenden Logarithmus durch eiu vorgesetztes m Nach der Regel für die Mnltiplication oder Division relativer Zahlen entscheidet man hierauf, ob das. Product (oder der Quotient) einen positiven oder negativen Wert hat. Zur Controle der Rechnung benütze man die Gleichung zwischen den Functionen der drei gesuchten Umfangsstücke. 8 286. Trigonometrische Lehrsätze für das schiefwinklige Dreieck. a) Sinussatz: In jedem sphärischen Dreiecke verhalten sich die Sinns zweier Seiten wie die Sinus ihrer Gegenwinkel. 211 Beweis: In dem sphärischen Dreiecke -4 73 ist bezeichne man die Seiten mit «, k>, «, ihre Gegenwinkel bezw. mit «, <3, /, die Höhe zur Seite o mit Lund die Abschnitte, in welche o durch den Fußpunkt der Höhe zerlegt wird, mit und Man erhält dann sin L — sin ö sin cc — sin « sin /4, also sin « : sin k> -- sin cc : sin Allgemein sin « : sin b : sin c — sin cc : sin ,3 : sin /. ö) Cosinussatz für eine Seite: In jedem sphärischen Drei¬ ecke erhält man den Cosinus einer Seite, wenn man zum Products a ns d en Cosinus der beiden anderen Seiten das Product aus deren Sinns und dem Cosinus des e i n g e s chl o s s e n e n e n Wi n k e ls addiert. Beweis: Aus dem liuks stehenden Dreiecke in Fig. 224 findet man Los« ------ cosLoos^» ---^- oosLcos(c:—gh ------ oos Loose Los st- oos L sine sin Nun ist eos L aos ----- Oos ö, ferner tA<^ ------ tg L oos cc. Durch Multipli - cation dieser Gleichungen erhält man LOS L sin — sin 7 oos cc. Daher ist schließlich LOS K ------- 608 ö LOS 6 st- sin k> sin 0 608 cc. Analog wird der Beweis geführt, wenn L die Verlängerung von e trifft. Durch cyclische Vertauschung der Buchstaben erhält man aus der letzten Gleichung die Gleichungen für oos ö und ooso. o) Cosinnssatz für einenWinkel: In jedem sphärischen Drei¬ ecke erhält man denCosinns einesWinkels, indem man dasProduct aus den Cosinus der beiden anderen Winkel vom Products aus deren Sinus und dem Cosinus der eingeschlossenen Seite subtrahiert. Beweis. Man wende den Satz d) auf das Polardreicck zum gegebenen sphärischen Dreiecke an. Dann ist 608 cst ------- 608 kV 608 cst st- sin zv sin e' 608 cst, daher oos(27? —cc)--- 008(27? — /3) OOS (27? — /) st-sin (27?—/3)sin(2st?— /)oos(27?—«), schließlich oos cc ----- — LOS /3 608 / st- sin /3 sin / 608 «. Analog lauten die Formeln für oos und oos /. Zusatz. Man überzeugt sich leicht, dass die Sätze «), k>) und e) auch für das rechtwinklige und für das Quadrantendreieck giltig sind. <7) H albw i n k e ls ätze. Berechnet inan oos cc aus der Gleichung oos « — oos ö oos o st- sin ö sin e oos cc, so folgt I oos cc - oos — o) — oos « 2 sin (s — k>) sin (« — e) sin ü sin o sin ö sin e ' . LOS « — 608 (L st- e) 2 sin 8 sin (s — a) 1 st- oos a —-.—,— — ! -—--— ,—g - 8IN ü SIN 0 SIN t> SIN e wenn «st-Lst-o — 2s gesetzt wird. Hieraus erhält man weiter 14* Fig. 224. -7 d» .0° i - - X Sill o Sill o " X SIN O Sill 0 , X /sin (s — b) sill (8 — e) , , X / sin s sin (s — cc) tA L cc X/ — ?-—7-, oot§ zcc — X/ -^—- 7. v- 7 - ' ' Sill 8 . SIN (s — a) ' 8IN (s — n) SIN (s — 0) Zusätze. 1. Da is tt ein spitzer Winkel ist, so sind sämmtliche Functionen von Z « positiv. Auch ist zu bemerken, dass jeder Factor unter der Wurzel positiv ist; denn es ist 2 8 < 4 L, also s < 2 L, umsomehr auch s — « < 2 A und zugleich § —a > 0 u. s. W. 2. Die analogen Formeln für 8in oos 1/? u. s. w. lassen sich durch Ver¬ tauschung der Buchstaben aus den obigen ohneweiters ableiten. e) Halbseitensätze. Diese erhält man aus dem Cosinussatze für die Winkel in ähnlicher Weise, wie die Halbwinkelsätze aus dem Cosinussatze für die Seiten. Noch einfacher ist es, die unter cö) abgeleiteten Formeln auf das Polar¬ dreieck zu dem gegebenen Dreiecke anzuwenden. Dann wird s — 3 — 6, wenn man zur Abkürzung cc -P /Z Z- 7 — 2 6 setzt, s — « — L — (6 — cc) u. s. f. Es ist also , X /oos (s — 6) 008 (6— 7) . . X / 008 6 008 (6 — cc) oos 1 cc — X/ --—, Sill ; cc — X/ — — .— —4 - X Sill Sill 7 - ' Sill Sill / , X / 008 (0 — 6) 008 (ü - 7) , , X / 008 6 008 (<- — «) OOtA ; a X/ --- tA l « X/ - , 7- X 008 6 OOS (ü — cc) X oos(o— /?)oos(6— 7). 008 6 ist negativ, da L<6-<3L ist (K 197 d). Alle anderen Factoren unter den Wurzelzeichen sind positiv, denn es ist z. B. oos (6 — cc) — sin (8 — cc) u. s. f. /) Gauß'sche Gleichungen. Substituiert man die in ck) erhaltenen Werte von siu. cc u. s. w. in die Gleichung oos (cc -s- /Z) — oos « oos — Sill 2 cc sill 1- so erhält man nach einigen Reduktionen: , , , X /sin (8 — a) sin (8 — d) sill 8 — sill (8 — 0) 008 z (cc Z- 0 und sill 2 7 > 0, dass oos 1 (cc -s- /S) mit 008 (cc -s- b) stets gleichbezeichnet ist. Je nachdem also cc-s-/7' . 2L ist, ist auch gleichzeitig a -b d ((. 2 K und iun- gekchrt. 213 2. Die obigen Gleichungen wurden zuerst von dem französischen Mathematiker Del ambre mitgetheilt; sie werden jedoch, namentlich von deutschen Mathematikern, nach Gauß (geb. 1777 zu Braunschweig, gest. 1855 zu Göttingen) benannt, da dieser berühmte Mathematiker zuerst die große Bedeutung derselben für astronomische Rechnungen dargethan hat. 3. Um die Gauß'schen Gleichungen im Gedächtnisse zn behalten, beachte man, dass in jeder drei Sinus oder drei Cosinus nacheinanderfolgen; um ferner aus einer Gleichung, etwa aus der ersten, die übrigen abzuleiten, benütze man die Ziegler'sche Regel: Wenn (in einer Summe oder Differenz) ein Zeichen geändert wird, so muss für das andere Alphabet die Function durch ihre Cofunction ersetzt werden. §) Die Napier'schen Analogien. Durch Division der Gauß'schen Gleichungen erhält man , , > oos (« — b) mn ö («— ö) «s zl° -rK - nnis-otz -z ; (a -s- 6, tAz (a — ü) c. o LOS z (tt Z- /S) - o - All 1 (« -j- A Diese Gleichungen wurden von Napier, dem Erfinder der natürlichen Logarithmen, im Jahre 1614 angegeben. Anmerkung. Aus den vorausgehenden Entwickelungen ist ersichtlich, dass die meisten Sätze der sphärischen Trigonometrie sich in analoger Weise darstellen lassen, wie jene der ebenen Trigonometrie. Man kann übrigens die letzteren aus den ersteren als specielle Fälle ableiten, wenn man den Radins der Kugel, auf welcher sich das sphärische Dreieck befindet, unendlich zunehmen lässt, während die Seiten des Dreieckes ihre Länge nicht ändern. Da hiebei die den Seiten entsprechenden Ceutriwinkel unendlich ab¬ nehmen, so kann man nach 8 134 den Sinus dieser Winkel durch ihren nrons ersetzen. Ist also der dem Radins 1 und der dem Radins entsprechenden Bogen, welcher zum Centriwinkel a gehört, so folgt sin « — ferner also sin a — . Aus oos a— 1 —2 sin^r a(ß131) ergibt sich weiter eos cr — 1 — 2 I s — 1 — Analog lauten die entsprechenden Formeln für 5 und o. L Durch Substitution dieser Werte in den Sinussatz erhält mau : ö,.: — sin tt : sin : sin /, wie in der ebenen Trigonometrie. Aus dem Cosinussatze erhält man 1 2^ 1 2,-2. OOS a />2 „ L und daraus — ö2 -s- 2- - 2 b6^ OOS tt. 2 Wenn nun das dritte Glied auf der rechten Seite für ein unendlich zunehmendes u verschwindet, so ergibt sich der Cosinussatz der ebenen Trigonometrie. 214 K 287. Äußöfimg der schiefwinkligen Dreiecke. I. Auflösungsfall. Gegeben zwei Seiten und der ein¬ geschlossene Winkel, z. B. a, ö und 7. Auflösung. Hat man alle drei unbekannten Unifangsstücke zu berechnen, so benützt man am zweckmäßigsten die Gauß'schen Gleichungen in analoger Weife wie die Mollweide'schen Gleichungen in der ebenen Trigonometrie. Beispiel. Gegeben: a 116 ° 44'48 ", 5 --- 50 ° 12'4 ", 7 120 ° 4' 50 Die Reihenfolge der Operationen ist mit 1), 2), 3), . . . bezeichnet. Eine Controle der Rechnung besteht darin, dass 0 auf zwei verschiedene Arten berechnet wurde. Zusätze. 1. Will man nur die dritte Seite berechnen, so benützt man den Cosinussatz, welchen man dann meistens in folgender Art transformiert: oos a — 00s « (oos b -f- tF a sin 5 oos 7) — oos a (00s Z- in, sirr ö), eos « eos lö — , , alw eos 0 — --- , wo m, — t§ « eos 7 rfl. eos m Man überzeugt sich leicht, dass die Hilfsgröße m, deir dem Winkel 7 anliegenden Abschnitt der Seite b bedeutet, welcher durch die Höhe auf diese Seite gebildet wird. 2. Will man nur die Winkel « und /S berechnen, so bedient man sich der ersten zwei Napier'schen Gleichungen. II. Anflosungsfall. Gegeben zwei Winkel und die zwischen ihnen liegende Seite, z. B. «, /?, 0. Die Rechnung verläuft hier ganz analog wie im ersten Auflösungsfalle. III. Anflosungsfall. Gegeben zwei Seiten und der Gegen¬ winkel der einen, z. B. «, l>, «. Auflösung. Man berechnet /S ans der Gleichung mir — ——- sin«. 215 Der für sin /? erhaltene Quotient muss offenbar positiv und < 1 sein. Ist er 1, so hat man /S L zn setzen; ist er < 1, so erhält man für /S zwei supplementäre Werte, welche jedoch in Bezug auf ihre Brauchbarkeit geprüft werden müssen. Dies geschieht mit Hilfe der Sätze: Je nachdem a st), b ist, muss auch « (Z sein; und je nachdem « -st L "st 21? ist, Muss auch « -st 2 L sein. Die Aufgabe ist zweideutig bestimmt, wenn beide Werte von /7 diesen Bedingungen genügen, nnd eindeutig bestimmt, wenn dies nur für einen Wert der Fall ist. a und / berechnet man hierauf mittels der Napier'schen Gleichungen nnd zwar auf zweifache Art, um eine Probe der Rechnung zn haben. Beispiel: « 70 ° 20' 50", S 51« 41' 14", § 52-> 30'. Man findet mittels des Sinussatzes «; 72" 12 43 " und - 2 K — «;. Wegen a > 5 muss a >- /S, und wegen a -stö < 2 A muss « -st /S -< 2 Ä sein. Da beide Werte von « diesen Bedingungen entsprechen, so sind beide brauchbar. Die Aufgabe ist also zweideutig bestimmt. Die beiden Werte von e berechnet man sen («; st- A . k ) a st - ts L (« b), 8IN («1 - K aus den Gleichungen oos z («; -st /S) " " oos A («; — /S) Man erhält 0; 800 44' 37" und 38" 27' 48" als arithmetische Mittel ans den gefundenen Werten. Analog berechnet man /; und /z mittels der Napier'schen Gleichungen oder mittels des Sinussatzes. Zusatz. Zum besseren Verständnisse der Möglichkeiten, welche sich in diesem „unbestimmten Falle" der sphärischen Trigonometrie darbieten, ziehe man, wenn wieder a, ö, /S gegeben sind, die Höhe zur Seite a (Fig. 224) und löse zunächst das durch a nnd /S bestimmte rechtwinklige Dreieck auf. Hierauf ist das rechtwinklige Dreieck st durch kr nnd b bestimmt, jedoch nur dann, wenn sinkt sinö, also sina sin/S < sink» ist (Z 285, 3. Auflösnngsfall). 216 Ma» erhält mm in: allgemeinen zwei Auflösungen, da die beiden Dreiecke ^4 <7D und 7? OK auf derselben oder auf entgegengesetzten Seiten von K liegen können. Darauf beruht eine bequeme Berechnung von a durch die Gleichungen tA^> — tAa LOS /?, tA — tAö LOS « und 0—^1 -j- A. Im obigen Beispiele ist cosa» — — eos«^, daher fi- s und «2 — S- Analog findet man auch /, indem man die beiden Theile, in welche es durch zerlegt wird, aus den rechtwinkligen Dreiecken TlOO und KOK berechnet. IV. Anflösun gs sa ll. Gegeben zwei Winkel und die Gegen¬ seite des einen, z. B. «, /?, a. Die Auflösung ist jener im dritten Falle ganz analog. V. Auflösungsfall. Gegeben die drei Seiten a, ch. e. Auflösung. Man berechnet die Winkel mittels der Halbwinkelsätze, am besten mittels der Formeln für t§ 1 «, tA L /S, t§ 7. Wenn alle drei Winkel zu berechnen sind, so benützt man am besten die Gleichungen 60tA L — siir (s — a) ootA(>, ootA — sia (s — ö) 6otA(» und 1 - / , X / 8ins 6ot§ z / — Siir (s — 6) 60tA o, wo 60tA o — X/ -. -—-vb, V 8in(s —a)8ia(s— -)sin(s —o)^ o bedeutet den Radius des dem Dreiecke ^4 KO eingeschriebenen Kreises, wovon man sich in analoger X? Weise wie in Z 140 überzeugt. Auch bezüglich des / e'-X V? X Rechnuugsschemas kann ans das Beispiel in Z 140 / X verwiesen werden. Probe mittels des Sinnssatzes oder X einer Gauß'schen Gleichung. VI. Anslösungsfall. Gegeben die drei Fig. 225. Winkel «, A /. Auflösung. Man benütze die Halbseitensätze und zwar, wenn alle Seiten zu berechnen sind, in der Form tA K — 608 ((- — tt) tAtA ,l ö — 608 (6 — /I) . tA-., , V/ 608 ü wo tA,' V-, --------- rfi. 6 08 (ü — «) 608 (ü — /I) 608 (6 — /) 4s bedeutet den Nadins des umgeschriebenen Kreises, wovon man sich in folgender Art überzeugt. Ist 0 der / X Sckmittpunkt der drei Seitensymmetralen, so ist er s von allen Eckpunkten gleichweit entfernt, also der Mittel- / X Punkt des umgeschriebenen Kreises. Bezeichnet man / X nun die Theile, in welche die Winkel a, A / durch Verbindungslinien ^4 0, KO und <70 zerfallen, in der aus der Figur ersichtlichen Weise, so ist Fig. 226. 2§ -j- 2,/ -fi 2 5 — 2ü oder § fi- fi- § — 6. 217 Ferner ist ,/ -s- § — also § o — cc u. f. w. Man erhält dann aus dem rechtwinkligen Dreiecke (707) tA 7 « tAi- 008 § — tA 1-008 (6 — cc), u. s. s. Dieselbe Formel für i- erhält man entweder aus den Halbwinkelsätzen oder direct aus der Figur auch dann, wenn der Punkt 0 außerhalb des Dreieckes oder in einer Seite desselben liegt. Probe mittels des Sinussatzes oder einer Gauß'schen Gleichung. II. Abschnitt: Anwendungen der sphärischen Trigonometrie. K 288. Flächkninhalt drs sphärischen Dreieckes. Aufgabe: Den Flächeninhalt eines fphärischenDreieckes zu berechnen, wenn die drei Seiten gegeben sind. Nach Z 208 ist § — «-P/? — (27?—7), also e — 7 s7 (cc -s- /S) — (7? — 7 /)). Daraus folgt nach H 133 7 und ß 286/ , 8111 7 (cc-P/I)—008 7/ 008 7 (« — ö)— 008^0 008^-7 o 008 7 (cc-s-/?)-P 8in 7 7 oc>8 7 («->-7)oo8 7 0'8in 7 7 8 nr - (—a-j - 7-s-e)8in z(K —ö-s-o) .1 008 -s-o)008 j (a-s-7 — o) ' " sirr 7 («— «) 8iu7 (s — L)V / 8iir 8 8IQ (s — 0) —>0) / 8in(s — «)8nr(s — ö) ' also schließlich IZ 1 x — Vt§ 7 § 7 (s — «) 7 (s — ö) t§ 7 (« — 0). Diese Formel rührt vom Mathematiker L'Huilier her und wird nach ihm benannt. K289.Dolmncn einesParnllelepipedes.Aufgabe: Ausden drei ineiner Ecke znsammenstoßenden Kanten und den von ihnen gebildeten Winkeln das Volumen eines Parallelepipedes zu berechnen. Auflösung. Es seien die Maßzahlen der Kanten ^.7?, ^.7), ferner a, ö, o die von ihnen gebildeten Winkel (siehe Fig. 227). Dann hat die Grundfläche die Maßzahl z 8iu 0 und die Höhe 7Z? die Maßzahl i-muk — 1- bin d 8IN « — 21- 8in ö 8iir 7 cc oo8 7 cc — Fig. 227. 7^ /81118 8111(8-a)8ill(8 — 7) 81Il(8-o). 8111 0 also ist 2^7 v/in 8 8IQ (8 .— cr) 8111 (8 — b) 8IQ (8 — 6). 8 290. Die regelmäßigen Polyeder. Auf¬ gaben. Aus der Kanten länge s eines re¬ gelmäßigen Polyeders a) einen Flächen¬ winkel, ö) den Radius j? der eingeschrie¬ benen Kugel, 0) den Radius -- der umge- fchriebenen Kugel und 7) das Volumen zu berechnen. 218 Auslösungen, a) Jede Ecke des Polyeders ist ein regelmäßiges -r-Kant, welches von »r regelmäßigen -»-Ecken gebildet wird. Im Bcstimmuugsdreikante des -r-Kantes ist der in einer Seitenfläche liegende Kantenwinkel (eine Kathete des 2 zugehörigen sphärischen Dreieckes) « — 2? — , der gegenüberliegende Winkel « —und der zweite schiefe ' Winkel gleich /?, wenn mit 2F der gesuchte Flächenwinkel des Polyeders bezeichnet wird. Nun ist oos« — eosasin/S, also 22? . 22? SIN/? — 008 -: 8IN -. ö) (> berechnet man aus dem rechtwinkligen Dreiecke 0 (Fig. 159) und findet s 2 2? (' eot§-— t§/?. o) Verbindet man die Eckpunkte einer Polyederfläche mit dem Mittelpunkte des Polyeders, so erhält man eine regelmäßige Pyramide, deren Seitenkanten gleich -- und deren Grundkanten gleich s sind. Aus einer Seitenfläche erhält man -° — 1 s : vos (-'s). Eine Ecke an der Grundfläche ist ein gleichschenkliges 4L 42? Dreikant mit den Seiten 22? — —, (,-s), (--«i und den Winkeln —,/?,/?. Es ist also 2 s 2 A eos (-'s) — , sornit — i . 1 2 ch Das Volumen der unter c) erwähnten Pyramide ist gleich oot§ . o. Bezeichnet man also die Anzahl der Polyederflächen mit 28 (K 178), so ist. das Volumen des Polyeders 2^,»s^ .,27? K 291. Ästronomischt Anfgnbrn. «) In Fig. 228 ist das Zcnith des im Mittelpunkte der Himmelskngel befindlichen Beobachtungsortes, 271^/81? der Horizont, 2^ der Nordpol des Äquators 1^6 2^ 6 /8 der M c ri d i a n des Beobachtungs¬ ortes. Ist nun 6 irgend ein Gestirn, so ist ^6 — s die Zenithdistanz, der sphärische Ab- stand des Gestirnes vom Horizont die Höbe K, 2^ 6 die P o l d i st a nz, 6 2? ckdie D e c lina- tion, — « oder der entsprechende Bogen des Horizontes das Azimnth, 62^2? — 2 der Stundenwinkel. 2>2V—- 2Ä ab. o) A n f g a b e : A n s d e r P o l h ö h e e i n e s O r t e s n n d d e n Ä q n a t o r i a l- coordinaten eines Gestirnes dessen Horizontalcoordinaten zu berechnen. Dian findet sin/r — sincksiiiP -s- aos ckoos P oos t und daraus a. Aufgabe: Die Zeit to des Auf-, bezw. Uutergauges eines Gestirnes ans dessen Äqnatorialcoordinaten und der Polhöhe des Beobachtnngsortes zu bestimmen. Im Augenblicke des Auf- oder Unterganges des Gestirnes ist L — 0. Man findet also mit Beachtung der vorausgehenden Aufgabe aus der Gleichung VOSto — — tAcktAP. Man pflegt den Stuudenwinkel t auch von 0 bis 24 Stunden Sternzeit zu zählen. Da nun die Zeit, welche ein Gestirn über dem Horizonte verweilt, der Tagbogen (und seine Ergänzung zu 24 ir sein Nachtbogeu) heißt, so ist der kleinste positive Wert für tg, welcher die vorausgehende Gleichung befriedigt, der halbe Tagbogen des Gestirnes. Der Tagbogen ist größer als 12 /r oder 2 7?, wenn ck > 0 und P>0 ist; er ist stets gleich 12 für P — 0 u. s. w. Ist das betrachtete Gestirn die Sonne, so gibt der Tagbogen zugleich die Dauer des Tages an, welcher einer bestimmten Decliuation der Sonne entspricht. Der längste, bezw. kürzeste Tag tritt ein, wenn sich die Sonne in einem Wende¬ kreise befindet, wenn also ihre Declination M: e — 23° 27' 13" ist. (Dieser Wert von s gilt für das Jahr 1888 und wird jedes Jahr um 0'5", genauer 0'4645" kleiner.) 220 Anhang: slber Lartenprojeotionen. K 292. Einleitung. Wenn man einen relativ kleinen Theil der Erdober¬ fläche auf einer Ebene abzubilden hat, so setzt man denselben als eben voraus, d. h. man sieht von der Krümmung der Erdoberfläche ab und denkt sich alle Punkte, welche ans der angenommenen Ebene heranstreten, wie z. B. Bergspitzen, auf dieselbe projiciert. Zu der so erhalteneu Figur constrniert man dann eine ähnliche. Das Verhältnis irgend einer Strecke in dem „Bilde" zu der ent¬ sprechenden Strecke im „Originale" (z. B. 1 : 40000) wird als der „Maßstab" der Karte bezeichnet. Die wesentlichen Eigenschaften dieser Abbildung sind nach der Ähnlichkeitslehre folgende: 1. Alle Strecken des Originales sind jenen des Bildes proportional. 2. Alle Flächen des Originales sind jenen des Bildes pro¬ portional, u. zw. ist das Flächenverhältnis gleich dem Quadrate des Strecken¬ verhältnisses. 3. Alle Winkel sind in ihrer wirklichen Größe abgebildet. Hat man jedoch größere Theile einer Kngelsläche in der Ebene abzubilden, so kann das Bild dem Originale nicht vollkommen ähnlich werden. Dies ist nur auf einer zweiten Kugel (einem Globus) möglich. Man sncht daher in den ebenen Abbildungen größerer Gebiete die eine oder die andere von den oben angeführten drei Eigenschaften ähnlicher Figuren entweder durchwegs, oder doch an einzelnen Stellen beizubehalten. Hieraus ergibt sich die Möglichkeit verschiedenartiger Projectionsmethoden, von denen je nach dem Zwecke, welchem die Karte zu dienen hat, diese oder jene den Vorzug verdient. Im Folgenden wollen wir einige der wichtigsten Pro- jectionsarten kurz besprechen und dabei zunächst die Constrnction und Beschaffen¬ heit des Kartennetzes betrachten. Das letztere besteht ans der Abbildung der Meridiane und Parallelkreise und dient, ähnlich wie ein Coordinatensystem, zur Lagenbestimmung der abgebildeten Punkte. I. Perspektivische Projektionen. K 293. ErltlnnttigtN. Es sei die Erde, welche wir der Einfachheit halber kugelförmig aunehmen wollen, oder die scheinbare Himmelskugcl u. s. f. in verkleinertem Maßstabc durch einen Globus dargestellt, und man projiciere die Oberfläche desselben oder einen Theil der Oberfläche von einem Punkte aus 221 auf eine Ebene e. Da die Abbildung ihre Form beibehält und nur der Ma߬ stab sich ändert, wenn man die Projektionsebene e parallel zu sich selbst ver¬ schiebt, so genügt es, nur eine besondere Lage dieser Ebene in Betracht zu ziehen, am besten jene, in welcher sie die Kugel berührt. Je nachdem der Berührungs¬ punkt L ein Pol, ein Punkt des Äquators oder ein anderer Punkt der Kugel ist, heißt die Projektion eine Polar-, eine Äquatorial- oder eine Horizontal- Projektion. Die Projektion heißt eine centrale oder g n o m o n is ch e, wenn das Projectionscentrum mit dem Kugelcentrnm zusammenfällt; eine stereo¬ graphische, wenn ^4 der Gegcnpunkt zu F ist; eine externe, wenn-4 außer¬ halb der Kugel, u. zw. in der Verlängerung des von Z ausgehenden Durchmessers liegt, speciell eine orthographische, wenn unendlich groß ist, d. h. wenn die Projectionsstrahlen parallel und zur Ebene e normal sind. 8 294. Centrale Projektion. Die Hauptkreise werden als Gerade und die Neben kreise als Kegelschnittslinien ab gebildet. Die Meridiane erscheinen somit stets als Gerade und die Parallelkreise «) bei der Polarprojection als concentrische Kreise, h) bei der Äquatorialprojektion als Hyperbeln und o) bei der Horizontalprojection als Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln. Die centrale Projektion eignet sich namentlich für Sternkarten, da sie die Sterne in derselben Weise darstellt, wie sie einem nach einem festen Punkte (dem Berührungspunkte L) schauenden Beobachter erscheinen. Die Orientierung wird dabei durch den Umstand erleichtert, dass sich die in einem Hanptkreise gesehenen Sterne in einer Geraden abbilden. Auch für den Seefahrer dürfte diese Projektionsart wichtig werden, wenn die Schiffahrt im größten Kreise, als der kürzesten Verbindungslinie zweier Punkte der Erdoberfläche, allgemein eingeführt wird. (Über die übliche Projektion der Seekarten sieh 8 303.) Abgesehen davon, dass die Constrnction der Parallelkreise als Kegelschnitts¬ linien Schwierigkeiten bereitet, leidet die centrische Projektion auch noch an dem wesentlichen Mangel, dass die Vergrößerung der Abstände und Flächen vom Mittel¬ punkte L gegen den Rand der Karte hin außerordentlich rasch zunimmt. Ans diesem Grunde pflegt uran nur kleinere Theile der Kugelfläche auf einer Ebene abzubilden und verwendet für größere Theile mehrere Ebenen, z. B. die Flächen eines der Kugel umgcschriebeneu regelmäßigen Polyeders. So hat I. G. Para¬ dies im Jahre 1674 die ganze Himmelskngel auf den sechs Flächen eines Würfels abgebildet. Die centrische Projektion rührt von Hipparch (im 2. Jahrh. n. Ehr.), vielleicht auch schon von Anaximander (im 6. Jahrh. v. Ehr) her. 8 295. Strreographische Projektion, a) Jeder Kreis, dessen Ebe ne das Projectionscentrum ü enthält, wird als Gerade und jeder andere Kreis wieder als Kreis abgebildet. ö) Je zwei Tangenten der Kugel, also auch zwei beliebige 222 den des der Die stereographische Polar Projek¬ tion ist der centralen ganz analog; nur nehmen die Abstände der Parallelkreise bei der ersteren nach einem anderen Gesetze, u. zw. langsamer zu als bei der letzteren. (S. die Tabelle im Z 296.) Verlegt mau bei der stereographischeu Äquatorial- projection den Berührungspunkt -8 in den Schnittpunkt des Äquators mit dem ersten Meridian (von der Länge 0°), so bilden Linien der Kugelfläche, schneiden sich unter demselben Winkel wie ihre Projektionen. o) Die stereographischeAbbildnng ist consorm, d.h. in ihren k l e i n st e n T h e il e n dem Originale ähnlich. Beweise, a) Der erste Theil der Behauptung lässt sich ohucweitcrs als richtig erkennen, ebenso der zweite für jene Kreise, deren Ebenen zur Projectiousebene parallel sind. Für irgend einen anderen Kreis Zrmit dem Durchmesser (7 Z) (Figur 229) ergibt sich der Beweis aus Z 281, Zusatz 3. Die Ebene der Zeichnung ist hier so an¬ genommen, dass sie den Mittelpunkt 0 der Kugel, Mittelpunkt des Kreises Zr und den Punkt -4 enthält. Sie ist also zur Ebene Kreises ZZ normal und enthält daher den Achsenschnitt des schiefen Kegels mit Grundfläche Zr und der Spitze -4. ö) Es sei 4Z oer Scheitel des betrachteten Winkels und e' die durch den¬ selben gelegte Tangentialebene der Kugel. Da die Ebene der Zeichnung die Normalen Z7O und 4ZO der Ebenen s und e enthält,, so ist sie zn der durch tV gehenden Schnittlinie s s' normal. Nun findet man --H7 ZtZbZLZj ----- 90°, rVLLZ--- ZZ4Z7V, also ZZZZ^ ZZZIZ^LZund 7V4Z--- äV^Zj. Hieraus folgt nach Z 153 b) ZX1Z —. Z°4Z^ und 64Z ----- (ZL/j, wo Z° und 6 zwei beliebige Punkte der Geraden se' bedeuten. Daher ist /X Z°64Z ev- Z°67IZ, und Z-ŽIZ6 ---- Z^L^ 6. o) Es sei LZZ?>§ ein sphärisches Dreieck auf der betrachteten Kugel und seine Abbildung. Liegen die Punkte LZ. Z7 und A so nahe aneinander, dass die Seiten der Dreiecke LZLF und LZ^ZrhLj als geradlinig gelten können, so sind die beiden Dreiecke ähnlich, da sie in den Winkeln nbereinstimmen. Hieraus schließt mau weiter, dass jedes kleine Polygon auf der Kugel und über¬ haupt jede kleine Figur auf derselben der entsprechenden Abbildung umso ähnlicher Fig. 230. 223 sich diese beiden Kreise als zueinander normale Durchmesser jenes Kreises ab, welcher dem Meridiane von 90° als Bild entspricht. Irgend ein anderer Meridian von der Länge il wird als ein Kreis abgebildet, welcher durch die Projectionen und der Pole geht und im Punkte IV mit der Geraden 0 IV den Winkel einschließt. Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt also in der Projection des Äquators, und der Winkel ist — Der Parallelkreis von der Breite wird als ein Kreis abgebildet, welche 0 und den Randkreis normal durchschneidet. Der Mittelpunkt D dieses Kreises liegt also in der Verlängerung, von 0 IV, und der Centriwinkel bei D ist — P. Auf die stereographische Horizontalprojection soll hier nicht näher eingegangen werden. Die stereographische Projection wird namentlich zur Darstellung der Halb¬ kugeln (Erd- und Himmels-Hemisphären) benützt. Sie zeichnet sich durch die ein¬ fache Constrnction der Meridiane und Parallelkreise, ferner durch den Umstand ans, dass die Abbildung dem Originale in den kleinsten Theilen ähnlich ist. Hin¬ gegen leidet sie an dem Mangel, dass die Vergrößerung der Abstände und Flächen vom Mittelpunkte gegen den Kartenrand erheblich zunimmt. Auch diese Projectionsart soll von H i p p arch herrührcn. Jedenfalls war sie dem berühmten Astronomen P t o l e mäus von Alexandrien (im 2. Jahrh.n. Chr.) bekannt. K 296. Ektrrnc und orthographische Projektion. Da diese beiden Pro- jectionsarten von geringerer Bedeutung sind, so genüge es, die Folgen einer Ver¬ schiebung des Projectionscentrums aus der Kugel in einem einfachen Falle näher zu beleuchten. Zu diesem Zwecke vergleichen wir in der nachfolgenden Tabelle die Projectionen der Meridianbogen, welche vom Pole bis zur Breite von 80°, von dieser bis zur Breite von 70° u. s. f. reichen, in der centralen, stereo¬ graphischen, externen und orthographischen Polarprojection. Der Kugelradins ist —1 angenommen, so dass der Meridianbogen, welcher nach dem Gradmaße 10° beträgt, die Länge 0'175 hat. Der Abstand des Projectionscentrums -1 von der Projektionsebene ist mit bezeichnet. 224 Man sieht also, dass die hier betrachtete externe Projection die Ab¬ stände in der Richtung vom Mittelpunkte der Karte gegen den Rand hin nur sehr wenig verändert. Ungünstiger verhält es sich, wie man sich leicht überzeugt, in der dazu normalen Richtung, so dass die Figuren in einiger Entfernung vom Mittelpunkte ebenfalls verzerrt erscheinen. Weil außerdem das Kartennetz für die externe Äquatorial- oder Horizontalprojection nicht einfach coustruierbar ist, so wird diese Projectionsmethode nur selten benützt. Außer dem obigen Werte von L hat man auch andere, z. B. 2'5, als besonders günstig gefunden. Durch die orthographischen Projektionen werden die Kreise als Ellipsen, in speeiellen Fällen als gleich große Kreise oder als Strecken abgebildet. Die Abstände werden in radialer Richtung am Rande stark verkleinert (s. Tabelle), in der dazu norinalen Richtung jedoch in ihrer wahren Größe abgebildet. Dadurch wird eine bedeutende Verzerrung jener Figuren bewirkt, welche sich in größerer Entfernung vom Kartenmittelpunktc befinden. Diese von H ip p arch herrühreude Projectionsart eignet sich hauptsächlich zur Abbildung von Himmels¬ körpern, z. B. des Mondes, da sie die Kugel so darstellt, wie sie, ans großer Ent¬ fernung betrachtet, wirklich erscheint. n. Kegelprojectimmi. 8 297. Ptolrmiiische Legelprojertion. Um eine schmale (von zwei Parallel¬ kreisen begrenzte) Erdzone abzubilden, überträgt man dieselbe zunächst auf eine Kegelfläche, welche die Zone längs des mittleren Parallelkreises berührt. Hierauf denkt man sich die Kegelfläche längs einer Seitenlinie ausgeschnitten und in die Ebene ausgebreitet. Die Meridiane werden durch Erweiterung ihrer Ebenen bis zum Durchschnitte mit der Kegelfläche abgebildct und erscheinen daher in der aus¬ gebreiteten Kegelfläche als Gerade, welche sich in einem Punkte, dem Scheitel der Kegelfläche, schneiden. Auf diesen werden, die Breitengrade in ihrer wirklichen Größe vom mittleren Parallelkreise nach beiden Seiten aufgetragen, so dass sich alle Parallelkreise als concentrische Kreise abbilden. Figur 231 stellt das nach dieser Methode entworfene Retz einer Karte von Österreich dar. Darin ist der Parallelkreis von 47 ° u. Br. als der Be¬ rührungskreis angenommen; die Länge eines Meridiangrades beträgt 3'5 »E. Diese Projectionsart rührt von Ptolc- maens her und zeichnet sich dadurch aus, dass das Kartennetz einfach coustruierbar ist, dass die Meridiane die Parallelkreise auch in der Abbildung rechtwinklig durch- 22S schneiden, und dass das Kartenbild längs des ganzen mittleren Parallelkreises dem Originale ähnlich ist. Hingegen sind die Längengrade ans allen Parallelkreisen, mit Ausnahme des mittleren, zu groß abgebildet n. zw. um so großer, je weiter der ent¬ sprechende Parallelkreis vom mittleren entfernt ist. Aus diesem Grunde ist die Ptolemäische Kegelprojection nur für schmale Kugelzonen gut brauchbar. K 298. Mrrrators kicgrlprojcction. Zur Darstellung breiterer Zonen ist die Ptolemäische Projectionsart so abgeändert worden, dass die Längengrade auf zwei verschiedenen Parallelkreisen (z. B. in z und Z der Zonenbreite) zu den Breitegraden im richtigen Verhältnisse stehen. Aus den bekannten Längen je eines Grades der gewählten zwei Parallelkreise und aus dem bekannten Abstande der letzteren lassen sich alle übrigen Bestimmungsstücke des Kartennetzes leicht berechnen. Diese sehr häufig benützte Projectionsart kam zuerst auf der von Gerhard Mercator (geb. 1512 zu Rupelmonde in Flandern) im Jahre 1554 herausgegebenen Karte von Europa zur Anwendung und heißt daher die Mercator'sche Kegel¬ projection. Manchmal wird sie auch nach dem Astronomen De l'Jsle benannt, welcher sie im Jahre l745 zur Anfertigung einer Karte von Russland benützt hat. K 299. Mrrrators äquivalente projcction. Man constrniert die Parallel¬ kreise, den mittleren Meridian und die Längengrade ans dem mittleren Parallel¬ kreise wie im 8 297. Hierauf trägt man auf allen übrigen Parallelkreisen die ihnen nach dem Maßstabe entsprechenden Längengrade ans und erhält so für jeden weiteren Meridian eine Reihe von Punkten, welche durch eine aus freier Hand gezogene Curve (manchmal auch durch eine gebrochene Linie) verbunden werden. Fig. 232 stellt das nach dieser Methode construierte Kartennetz von Europa dar. Als mittlerer Parallelkreis ist jener von 50° an¬ genommen; die Länge eines Meridiangrades beträgt 0'7 »um,. Äquivalent heißt eine Projektion, wenn jede Figur auf der Karte mit der entsprechen- den auf der abgebildeten Kugel (dem Globus) flächengleich ist, oder mit anderen Worten, Fig. 232. > wenn alle Figuren auf der Erdoberfläche (der Himmelskugel u.s.f.) den entsprechenden Figuren ans der Karte (in Bezug auf den Flächeninhalt) proportional sind. Um diese Eigenschaft für die eben beschriebene Projectionsmethode nachznwcisen, denken wir uns die Meridiane und Parallelkreise für so kleine Längen- nnd Breiten- nnterschiede (etwa von Secunde zu Secunde) constrniert, dass die kleinen Netz¬ maschen auf dem Globus und auf der Karte als (geradlinig begrenzte) Trapeze gelten können. Da nun zwei einander entsprechende Trapeze in den Parallelsciten und der Höhe übereinstimmen, so sind sie flächengleich. Dasselbe gilt von zwei beliebigen Hočevar, Geometrie für Oberrealschulen. 15 226 einander entsprechenden Figuren, da sie durch ein sehr dichtes Kartennetz in ein¬ ander entsprechende Elementartrapeze zerlegbar sind. Äquivalente Projektionen benützt man namentlich bei der Herstellung solcher Karten, aus welchen die Verbreitung von Nationalitäten, Religionsbekenntnissen, gewisser Thier- oder PflanKngattungen u. s. f. ersichtlich gemacht wird. Die oben besprochene äquivalente Projcction von Mercator wird häufig (n. zw. mit Unrecht) nach dem französischen Geographen Bonne benannt, welcher im Jahre 1752 ihre bedeutenden Vorzüge (Einfache Construction des Kartennetzes, Äquivalenz der Strecken in der Richtung der Meridiane und Parallelkreise, Äquivalenz der Flächen) hervorgehoben hat. Sie wird häufig auch zur Dar¬ stellung größerer Ländercomplexe oder ganzer Welttheile (z. B. von Asien) benützt. III. Cylinderprojertionell, Plattkarten. K 300. Gnabratische Plattkarten. Um eine Zone abzubilden, welche sich nach beiden Seiten des Äquators gleich weit erstreckt, überträgt man dieselbe zu¬ nächst ans eine Cylinderfläche, welche die Zone längs des Äquators berührt. Zu diesem Zwecke erweitert man die Meridianebeneu bis zum Durchschnitte mit der Cylinderfläche und denkt sich auf den so erhaltenen Abbildungen der Meridiane die Breitegrade in der entsprechenden Größe vom Äquator aus ausgetragen. Wird nun die Cylinderfläche in die Ebene ausgebreitet, so erhält man ein Kartennetz, bestehend aus zwei Systemen einander rechtwinklig durchschneidender Geraden. Dian nennt solche Karten Plattkarten und zmar quadratische mit Rücksicht aus die Form der Netzmaschen. Diese Projectionsart kann nur für schmale Zonen angewendet werden, da sie auf die Abnahme der Längengrade mit wachsender Breite keine Rücksicht nimmt. K 301. Pie rechteckigen Plattkarten unterscheiden sich von den quadrati scheu nur dadurch, dass die Längengrade kleiner angenommen werden als die Breitengrade. In diesem Falle ist der Umfang des Cylinders nicht gleich dein Äquator, sondern einem anderen zweckmäßig gewählten Parallelkreise der Kugel. Die quadratischen und die rechteckigen Plattkarten waren im Alterthume vielfach im Gebrauch und sollen von Anaximander herrühren. AuchPtole- mäus bediente sich derselben. K 302. Sansonschr Projektion. Wendet man Mercators äquivalente Projection für den Fall an, dass der Äquator der mittlere Parallelkreis der ab¬ zubildenden Zone ist, so erhält man die nach Šanson (1650), hie und da nach Flamsteed (1729) benannte Projektion. Die Parallelkreise erscheinen als äqui¬ distante parallele Gerade, auf welchen die Längengrade vom mittleren Meridian aus in der dem Maßstabe entsprechenden Größe aufgetragen sind. Alle Meridiane, mit Ausnahme des mittleren, welcher als eine Gerade abgebildet wird, erscheinen als krumme Linien. Diese Projektion ist ebenfalls äquivalent und wird meistens zur Darstellung von Afrika, Südamerika u. s. f. benützt. 227 K 303. Mercators Platt- oder Serkartenprojcrtion. Auf den unter a) und ö) besprochenen Plattkarten hat ein Längengrad für alle Breiten dieselbe Größe. Daher bleibt das Verhältnis eines Längengrades zu einem Breitengrade an allen Stellen der Karte dasselbe, während es auf der Kugel mit wachsender Breite abnimmt. Um die dadurch bewirkte Verzerrung der Formen auf einer Fig. 233. Plattkarte möglichst zu beseitigen, vergrößert man nach Mercator das Bild -ch <7, eines Meridiantheilchens <7 in demselben Verhältnisse (oos yo: 1), in welchem ein Theilchen ^47? des zur Breite-> gehörigen Parallel¬ kreises durch das Bild ^7?^ vergrößert ist. Hieraus kann zunächst gefolgert werden, dass diese Projection conform ist. Ferner erhält man -chl ^4 <77? — <7^ 7^, d. h. jede Curve auf der Kugel durchschneidet die Meridiane unter denselben Winkeln, wie das Bild der Curve die Meridiane aus der Karte. Aus dieser Eigenschast beruht die große Bedeutung der Mercator'schen Plattkartcn sür den Seefahrer. Für diesen ist es nämlich in der Regel am einfachsten und bequemsten, das Schiff so zu steuern, dass die Längenachse desselben mit dem durch den Compass bestimmten Meridiane stets denselben Winkel einschließt. Dabei beschreibt das Schiff eine Linie, Loxodrome genannt, welche alle Meridiane unter demselben Winkel durchschneidet. Da nach 'dem Vorigen auch das Bild der Loxo¬ drome auf der Mercator'schen Plattkarte dieselbe Eigenschaft besitzt, so muss es eine Gerade sein. Hieraus ergibt sich von selbst, wie der Seefahrer mit Hilfe der Karte den Curs des Schiffes zu bestimmen hat, um von einem Orte ^4 zu einem anderen Orte iS zu gelangen. Fig. 234 stellt einen Theil des atlantischen Oceans in Mercator's (Seekarten-) Projection dar. Die Construction des Netzes erfolgt nach der Formel in welcher a die Länge eines Äquatorgrades, r/ die Entfernung des Parallelkreises von der Breite vom Äquator und den natürlichen Logarithmus bedeutet. Die Ableitung dieser Formel muss an dieser Stelle übergangen werden. Diese sehr wichtige Projection (häufig nur „Mercator's Projection" genannt) wird hauptsächlich zur Anfertigung von Seekarten und manchmal anch zur zusam¬ menhängenden Darstellung der Erdoberfläche benützt. Sie hat die Unvollkommenheit, dass sie die vom Äquator weiter entfernten Gegenden allzusehr vergrößert und die Pole mit ihren Umgebungen überhaupt nicht darstellen kann. 15* I. Abschnitt. II. Abschnitt. III. Abschnitt. IV. Abschnitt. Aufgaben (108). V. Abschnitt. l I ! X / Iktl) a l t.