PRESEK LETNIK 017) ŠTEVILKA 2 -> holditchev izrek poskusi s svetlobo -> olimpijska domača naloga ekscentričnost lunine orbite nekaj algoritmov za generiranie permuta c11 ISSN 0351-6652 9 7 7 O 3 5 I 665425 9770351665425 9770351665425 matematični trenutki ko lo fo n P reprečevanje divjega lova •is "is -i' -> Zaradi rogov in oklov divji lovci vsako leto pobijejo na tisoče nosorogov in slonov. Ker živali naseljujejo ogromna območja, je žal nemogoče zagotoviti zadostno število čuvajev. Zato lahko divji lovci skoraj brez strahu, da bi jih ujeli, ubijajo in bogato služijo. V zadnjem času je skupina računalnikarjev zbrala podatke o lokačijah živali, preteklem divjem lovu in vremenu. Nato so s pomočjo verjetnostnega računa in teorije grafov ob primernem času na ustrezna mesta poslali drone in čuvaje. Med prvim preizkusom algoritma so čuvaji uspeli aretirati divje lovče le nekaj minut potem, ko so izstopili iz svojega vozila, še preden so uspeli preplezati ograjo, za katero sta bila nosoroginja in njen mladič. Nameščanje patrulj je primer prostorsko-časovne-ga optimizačijskega problema. Njihova dejanja so koordinirana tako, da maksimiziramo določeno količino, v našem primeru število živih živali. Ker je iskanje najboljše rešitve časovno zelo zahtevno, čuvaji pa se morajo odzvati zelo hitro, so raziskovalči privzeli nekaj dodatnih predpostavk. S tem so problem olajšali in tako uspeli najti strategije, ki sičer morda niso najboljše možne, a so hkrati uspešne in izračun-ljive v realnem času. S temi rešitvami so s pomočjo čuvajev uspeli ustaviti divje lovče in jim preprečiti vrnitev na lovišča. Bolj radovedni bralči si lahko preberejo članek APE: Data-Driven, Behavioral Model Based Anti-Poac-hing Engine, ki so ga leta 2014 napisali N. Park, E. Serra, T. Snitčh in V. S. Subrahmanian. XXX Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 44, šolsko leto 2016/2017, številka 2 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2016/2017 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovš čina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI56 031001000018 787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1300 izvodov © 2016 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2001 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. navodila sodelavcem preseka za oddajo prispevkov 2 PRESEK 44 (2016/2017) 2 Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Preprečevanje divjega lova 8-15,18 23-25 26-29 MATEMATIKA 4-5 Holditchev izrek (Marko Razpet) FIZIKA Poskusi s svetlobo - 1. del (Andrej Likar in Nada Razpet) ASTRONOMIJA Olimpijska domaca naloga -ekscentričnost Lunine orbite (Andrej Guštin) 5 18 16-17 30 30-31 6-7 19-22 RAČUNALNIŠTVO Nekaj algoritmov za generiranje permutacij (Aleksander Vesel) RAZVEDRILO Križne vsote Barvni sudoku Nagradna križanka (Marko Bokalic) Rešitev nagradne križanke Presek 44/1 (Marko Bokalic) Naravoslovna fotografija - Zavesni zaklop (Aleš Mohoric) TEKMOVANJA 52. tekmovanje za zlato Vegovo priznanje (Aljoša Brlogar) IPHO 2016: Zürich, Švica (Tomaž Cvetko) 7. tekmovanje v znanju astronomije za Dominkova priznanja - državno tekmovanje Tekmovanje iz fizike za srebrno Štefanovo priznanje Slika na naslovnici: Rigi je gora, ki kraljuje nad mestom Luzern, z njegovega vrha pa se odpira pogled na mnoga prelepa jezera. Ob pravem vremenu je ta sicer množična turistična atrakcija še vedno nadvse čarobna. Za vzpon na 1798 m nadmorske višine pa je potreben le krajši sprehod, saj je možno vecino poti opraviti z gorsko železnico. matem ati ka Holditchev izrek •is •i' ■i' Marko Razpet -> Krožnici X s polmerom R in središčem S včr-tamo tetivo AB izbrane dolžine t = AB \. Tetiva krožnice je vsaka daljica, ki povezuje dve točki te krožnice. Najdaljša tetiva krožnice je premer te krožnice. Točka D naj tetivo AB razdeli na dva dela z dolžinama a = \AD\ in b = \BD\, točka C pa naj bo središče tetive AB. Pri tem je seveda 0 < t < 2R in a + b = t. Če točki A in B enkrat zakrožita po X in pri tem ves čas tetiva AB ohranja svojo dolžino, točka D pri tem na tej tetivi ne spreminja svoje lege. To pomeni, da se razdalji \AD\ in \BD ne spreminjata. Očitno se tudi razdalje | S C |, | CD | ter | S D | ne spreminjajo, zato D opiše krožnico X'D s polmerom r = | S D | in središčem v S. Ne da bi karkoli izgubili na splošnosti, lahko privzamemo, da je a > b. Pri vsem tem je najbolj zanimivo to, da je ploščina P kolobarja med obema krožnicama X in X'D odvisna samo od a in b, in sicer je P = nab. Tega ni težko dokazati. V pravokotnem trikotniku SBC (slika 1) stakateti |SC| = v, |CB| = (a + b)/2, hipote-nuza pa R. V pravokotnem trikotniku SDC pa sta ka-teti v in |CD| = a-(a+b)/2 = (a-b)/2. PoPitagoro-vem izreku veljata relaciji R2 = v2 + (a + b)2/4, r2 = v 2 + (a - b)2/4, iz katerih sledi R2 - r2 = (a + b)2/4 -(a- b)2/4 = ab. Za ploščino kolobarja takoj dobimo P = n(R2 - r2) = nab. S tem smo trditev, izrečeno na začetku odstavka, potrdili. Lahko pa uporabimo tudi izrek, ki pove, da za odseke sekajočih se tetiv AB in FG (slika 1) velja enakost |AD| ■ |DB| = |GD| ■ |DF| oziroma ab = (R + r)(R - r) = R2 - r2. Iz te zveze ravno tako sledi P = nab. Obravnavo smo začeli s krožničo. Kaj pa dobimo, če namesto nje vzamemo kakšno drugo sklenjeno krivuljo? Poglejmo, kakšno krivuljo X'D dobimo v primeru, ko je dana krivulja X obod kvadrata. Tako SLIKA 1. Tocka D na tetivi AB krožnice X zariše rdece obarvano krožnico X'D. kot pri krožniči lahko tudi sedaj govorimo o tetivah. Za razliko od krožniče, katere tetive vedno ležijo v krogu, ki ga omejuje, pa tetive oboda kvadrata lahko ležijo na tem obodu ali pa v kvadratu. Dolžina tetive AB tedaj ne more biti daljša od diagonale kvadrata. Ce je dolžina tetive daljša od straniče kvadrata, novo krivuljo sičer dobimo, toda le-ta sama sebe seka. Takrat lik med obodom kvadrata in novo krivuljo ni dobro opredeljen. Zato moramo privzeti, da dolžina tetive ne presega straniče kvadrata. Ko je eno kraji-šče tetive na eni straniči kvadrata, drugo pa na sosedni, točka D opiše četrtino eliptičnega loka. Ustrezna elipsa ima za polosi ravno a in b. Kako to vidimo? Vzemimo (slika 2) spodnjo straničo kvadrata za os levo navpično pa za os y pravokotnega koordinatnega sistema. Naj bo y kot, ki ga tetiva, ki ima krajišči na teh oseh, oklepa z osjo Potem je absčisa točke S enaka % = ačos ordinata pa y = b sin Koordinati točke D zadoščata enačbi (x/a)2 + (y/b)2 = 1, kar je enačba elipse s polo- 4 PRESEK 44 (2016/2017) 2 M ATEMATI KA \___ \ a / / y\ \ b \ Naloga reševalča je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrstičah in po stolp-čih enaka številu, ki je zapisano v obarvanem kvadratku na začetku vrstiče (stolpča) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstiči (stolpču) različne. 12 10 16 11 9 7 10 13 11 7 XXX PRESEK 44 (2016/2017) 2 5 matem ati ka 52. tekmovanje za zlato Vegovo priznanje ■is ■i' ■i' Aljoša Brlocar Najboljši osnovnošolci s šolskih tekmovanj so se v soboto, 16. aprila 2016, pomerili v 23 regijah na državnem tekmovanju za zlato Vegovo priznanje. Državnega tekmovanja so se lahko udeležili učenci od petega do devetega razreda glede na dosežke šolskega tekmovanja. V letošnjem šolskem letu je bilo tekmovanje dvostopenjsko, prvič pa so na državnem tekmovanju sodelovali tudi petošolci in šestošolci. Na šolah, kjer smo imeli izpeljano državno tekmovanje, so organizatorji pripravili prijetne prireditve. Najboljši tekmovalci so bili nagrajeni z zlatimi Vegovimi priznanji. V petem razredu smo podelili 55 zlatih Vegovih priznanj, v šestem razredu 61, v sedmem razredu 59, v osmem 60 in v devetem 60 zlatih Vegovih priznanj. Učenci, ki na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru dosežejo najboljši uspeh in hkrati dosežejo vsaj 60 % točk na državnem tekmovanju, se udeležijo nagradnega izleta. V tem šolskem letu smo za najboljše učence zadnjih treh razredov osnovne šole organizirali nagradni izlet v Benetke. Z ladjo smo obiskali tudi otoka Burano in Murano. Povabili smo 161 najboljših učencev. Izlet je bil za učence nepozaben. Nagrade, ki so bile podeljene v Cankarjevem domu, so prejeli najbolje uvrščeni tekmovalci, in sicer: www.dmfa-zaloznostvo.si razred I. nagrada ■ Benedikt Praznik, OŠ Žiri ■ Lapo Farolfi, OŠ Alojz Gradnik, Števerjan (I) ■ Nik Brence, OŠ Pohorskega odreda Slovenska Bistrica razred I. nagrada ■ Nik Vodovnik, OŠ Cvetka Golarja, Škofja Loka ■ Alexander Gaydukov, OŠ Franca Rozmana Staneta, Ljubljana ■ Miha Perpar, OŠ Sticna ■ Alja Šlenc, OŠ Medvode ■ Maks Babic, OŠ 8 talcev Logatec ■ Tia Rozonicnik, OŠ Frana Roša, Celje ■ Martin Steblovnik, III. OŠ Celje 7. razred I. nagrada ■ Jure Kobe, OŠ Brusnice ■ Peter Lekše, OŠ Šmartno pod Šmarno goro ■ Blaž Mevlja, OŠ Srečka Kosovela Sežana ■ Jakob čelig, OŠ dr. Jožeta Pučnika, Crešnjevec II. nagrada ■ Vid Hočevar, OŠ Božidarja Jakca, Ljubljana ■ Matija Likar, OŠ bratov Polančičev Maribor ■ Luka černesl, OŠ Gorišnica 5. 6. 6 PRESEK 44 (2016/2017) 2 MATEMATIKA 8. razred 9. razred I. nagrada ■ Nejc Amon, I. OŠ Celje ■ Marija Jezeršek, OŠ Preserje pri Radomljah ■ Jan Malej, OŠ Koper ■ Jakob Schrader, OŠ Majde Vrhovnik, Ljubljana ■ Gal Zmazek, OŠ Ljudski vrt Ptuj II. nagrada ■ Eva Igličar, OŠ Naklo III. nagrada ■ Tjaša Drobnič, OŠ Louisa Adamiča, Grosuplje ■ Martin Mlinšek, OŠ Vodice ■ Jaka Vrhovnik, OŠ Mozirje I. nagrada ■ Jan Genc, OŠ Franca Rozmana-Staneta, Maribor ■ Tevž Lotrič, OŠ Predoslje Kranj ■ Ana Opalič, OŠ Šmarje pri Jelšah II. nagrada ■ Primož Pliberšek, OŠ dr. Jožeta Pučnika, Črešnjevec III. nagrada ■ Lovro Verk, OŠ Prežihovega Voranca, Maribor ■ Pia Povšič Vesel, OŠ Trnovo, Ljubljana SLIKA 1. Udeleženci Kenguru nagradnega izleta v Benetke, junij 201 6 _ XXX PRESEK 44 (2016/2017) 2 7 FIZIKA Poskusi s svetlobo - 1. del vU vU sU Andrej Likar in Nada Razpet -> Ob mednarodnem letu svetlobe (2015) smo na strokovnem srečanju DMFA Slovenije, ki je potekalo na Fakulteti za matematiko in fiziko v Ljubljani, postavili ne povsem standardne šolske poskuse, ki so vezani na svetlobo. Za izvajanje nekaterih od njih ni težko najti optičnih pripomočkov, kot so leča, ravno zrcalo, kozmetično zrcalo, potrebno pa je nekaj pridnosti in spretnosti, da poskuse tudi postavimo. Pri vsakem poskusu smo navedli potrebne pripomočke, jih fotografirali, zapisali, kako poskus izvedemo, in dodali še kratko razlago ter navedli, kje v literaturi lahko o fizikalnem ozadju poskusov izvemo kaj več. Poskusi so razdeljeni v več skupin: Prostorske slike ■ Preslikave z ravnimi zrcali ■ Ukrivljena zrcala ■ Sestavi ukrivljenih zrcal Preslikave z lečo Poskusi z laserskim kazalnikom ■ Valovna optika ■ Polarizacija svetlobe in optična aktivnost ■ Ukrivljeno zrcalo s folijo. Upamo, da bo ta spomin na leto svetlobe koga od bralcev Preseka vzpodbudil, da se bo kakega poskusa lotil sam. Prostorske slike Opazovanje slik, ki pricarajo globino, je znano že zelo dolgo casa. Danes si lahko ogledamo filme z iluzijo prostora. Predmete v naravi gledamo z obema ocesoma. Ker se sliki na mrežnicah levega in desnega ocesa nekoliko razlikujeta, lahko možgani pridelajo vtis globine. Za vtis globine pri opazovanju slik potrebujemo loceni sliki za vsako oko, ki sta usklajeni kot pri opazovanju predmeta v naravi. Tudi tu možgani zlijejo obe sliki v prostorsko sliko. Kako naj torej postavimo poskus? Lahko narišemo eno sliko tako, kot bi jo videlo levo oko, drugo pa tako, kot bi jo videlo desno. Namesto risanja lahko naredimo dve fotografiji, eno za levo in eno za desno oko. Ob gledanju moramo omogociti, da vsako oko gleda svojo sliko. To lahko naredimo na vec na-cinov. Uporabimo lahko ravno zrcalo, stereoskop, se potrudimo in zlijemo sliki z bolšcanjem ali uporabimo anaglifne slike. Uporaba ravnega zrčala SLIKA 1. Sliki na računalniškem zaslonu in postavitev zrcala Pripomocki: podstavek, zrcalo (ali prizma), sliki. Navodilo. Fotografijo, ki smo jo naredili za desno oko, zrcalno obrnemo okrog navpicne zrcalne ravnine. Obe sliki potem postavimo na racunalniški zaslon eno poleg druge (slika 1). Zrcaljenje in postavitev omogocajo številni graficni programi, mi smo uporabili IrfanView. Zrcalo naj bo med obema oce-soma. Postavimo ga tako, da z levim ocesom gledamo levo sliko, z desnim pa v zrcalu ponovno obrnjeno desno sliko. Zrcalo pocasi vrtimo, da se sliki zlijeta v eno. Ko se zlijeta, smo slepi za ozadje. Namesto zrcala lahko uporabimo prizmo. 8 PRESEK 44 (2016/2017) 2 FIZIKA Stereoskop S stereoskopom gledamo ustrezni sliki udobno skozi leči, pri čemer se na gledanje ni potrebno posebej privajati. Leči na doma izdelanem stereoskopu sta bili odviti iz zavrženega manjšega daljnogleda. Razmik med lečama in oddaljenost od slike morata biti taki, da z vsakim očesom gledamo svojo sliko, ki se zlije v eno. Navodilo. Izdelajte stereoskop in ustrezne slike ter opazujte prostorske slike. Preberite članek v Preseku, ki podrobno opisuje izdelavo stereoskopa in ustreznih slik. SLIKA 2. Stereoskop domače izdelave Pripomočki: stereoskop, slike. Stereogrami Potem so tu še stereogrami. Ko gledamo stereogram z obema očesoma, ne smemo gledati hkrati iste točke. Stereograme gledamo tako, kot se zazremo v daljavo, nekako bolščimo vanje. Zanimive stereograme najdete v publikaciji Boruta Jurčiča Zlobca, Stereogrami, pa tudi na spletu. Navodilo. Navodila za gledanje stereogramov so različna. Pred obe očesi postavite kazalec ene roke. Zazrite se v oddaljen predmet. Ko boste namesto enega videli dva kazalca, poglejte na sliko. SLIKA 3. Stereogram iz knjige Stereogrami Boruta Jurčiča Zlobca pa z levim očesom. Za gledanje slik zato potrebujemo očala z rdečim in modrim filtrom. Primera ana-glifnih slik smo narisali s programom GeoGebra. Pripomočki: računalnik, modro-rdeča očala. Navodilo. Nataknite očala in poglejte sliko. Enkrat imejte rdeče obarvan del očal na levem, drugič pa na desnem očesu. Kaj opazite? Literatura [1] A. Likar, Pricarajmo prostorsko sliko, Obzor. mat. fiz. 62, 6, 2015, 218-222. [2] B. Jurčič Zlobeč, O streogramih, Logika & Razvedrilna matematika, 1994-1995, 3, 5-8. [3] B. Jurčič Zlobeč, Stereogrami, Math 1994. [4] M. Venčelj, Stereoskopske slike, narejene s programom perspectus, Presek, 21, 1993/94, 5, 319-320. [5] T. Baččei, Magično oko, Založba Obzorje, Maribor, 1994. Ravna zrcala Anaglifne slike Kalejdoskop Prostorske slike lahko ustvarimo z računalniškimi programi. To so tako imenovane anaglifne slike. Programi tvorijo sliki za levo in desno oko, ki sta različno obarvani. Sliki sta prekriti, rdeče obarvane črte so namenjene gledanju z desnim, modro obarvane Kalejdoskop simetrično preslika povsem naključno porazdelitev barvnih steklenih drobčev. Simetrična slika nas navduši. Da lahko večkratne slike v čevasto postavljenih zrčalih udobno opazujemo, morajo biti drobči blizu čevi. PRESEK 44 (2016/2017) 2 9 FIZIKA SLIKA 4. Anaglifne slike Pripomočki: trije enako veliki ravni zrcalni trakovi, tulec, paus papir, kos črnega kartona, lepilni trak, škarje, prozorna škatlica z majhnimi predmeti. Navodilo. Tri ravne zrcalne trakove zalepimo tako, da tvorijo plašc tristrane prizme (slika 6). Zrcalne površine naj gledajo druga drugo. V prozorno škatlico damo košcke obarvanega stekla ali prosojne barvne plastike. Iz crnega kartona izrežemo krog z luknjo za gledanje. Namesto prozorne škatlice lahko odrežemo približno 5 mm visok valj. Na enem koncu ga zapremo s paus papirjem, vanj nasujemo nekaj košckov obarvanega stekla ali plastike in nato drugo SLIKA 5. Pogled skozi kaledoskop (zgoraj). Industrijski kalejdoskop (spodaj). ploskev zapremo s prozorno folijo za živila. Namesto zrcal lahko uporabimo zrcalno tapeto. Na tržišcu lahko najdemo tudi kalejdoskope, ki imajo na eni strani gibljivo krožno plošco (z vecjim premerom, kot je premer valja) z luknjami, ki so prekrite z barvnim steklom. Krog vrtimo okrog osi, ki je na plašcu valja. Najdemo tudi take, kjer tvori sliko debela okrogla leca na enem koncu kalejdoskopa. Pri njem ne potrebujemo steklenih drobcev, sliko spreminjamo z lego kalejdoskopa. Poglejte še skozi industrijsko izdelan kalejdoskop. Palica z barvnimi delci naj bo nagnjena tako, da bodo delci v tekocini padali. Blizu postavljena vzporedna zrcala Pripomocki: mikrometrski vijak. Navodilo. Spreminjajte razdaljo med zrcalnima koncema mikrometrskega vijaka in glejte skozi špra- 10 PRESEK 44 (2016/2017) 2 FIZIKA SLIKA 6. Sestavni deli kalejdoskopa (zgoraj). (spodaj). Izdelava kalejdoskopa njo. Zakaj se pojavljajo svetle in temne proge, ko gledamo v belo svetilo? Ce bi šlo za interferencne proge, bi bile le-te obarvane. Ravna zrcala pod kotom Slike v vecih ravnih zrcalih istega predmeta lahko zli-jemo v zanimive kompozicije Navodilo. Postavite dva predmeta tako, kot kažeta sliki. Glejte v smeri stika med zrcaloma. Počasi spreminjajte kot med zrcaloma. Kaj opazite? Koliko slik vidite? Ali so vse slike zrcalno simetricne? Kaj pa, ce premaknete glavo in ne gledate v smeri stika med zrcaloma? SLIKA 7. Vzporedni žarki iz oddaljenega zaslona se na dveh blizu postavljenih ravnih zrcal večkrat odbijejo (zgoraj). Pogled skozi režo, ki jo tvorita zelo blizu postavljeni vzporedni zrcalni ploskvi mikrometra (spodaj). Tri med seboj pravokotno postavljena zrcala Slike, ki jih opazujemo v treh, medsebojno pravokotnih zrcalih, so nenavadne in nudijo obilo sveže snovi za zagrete ucence. Na trgu najdemo celo igra-co, ki ni nic drugega, kot so ta zrcala. Pripomocki: tri enaka ravna zrcala, ki jih zlepimo pod pravim kotom, da tvorijo koordinatne ravnine. Navodilo. Poglejte se v zrcala. Kaj opazite? Zrcala dvignite s podlage oziroma jih bolj ali manj nagnite -> 11 PRESEK 44 (2016/2017) 2 FIZIKA SLIKA 8. Tri oziroma štiri slike dveh predmetov SLIKA 9. Koliko je ura? SLIKA 10. Tri med seboj pravokotna zrcala proti sebi. Kaj opazite? Zrcala počasi sukajte okoli osi, ki gre skozi skupno oglišče zrcal. Kaj opazite? Odsevnik Pripomočki: skica za izdelavo odsevnika (slika 11 spodaj), alu folija ali zrcalna tapeta, karirast papir, lepilo, škarje, kresnicka. SLIKA 11. Odsevnik (zgoraj). Shema za izdelavo odsevnika (spodaj). Navodilo. Po crnih crtah zarežemo s škarjami. Rde-ce crte pomenijo pregib na hrib, zelene pa pregib na dolino. Na odsevnik posvetimo s svetilko iz razlic- 12 PRESEK 44 (2016/2017) 2 FIZIKA nih smeri. Izdelajte še odsevnike, ki so predlagani v dodatni literaturi. Literatura [1] B. Rovšek, Odsevnik - kako deluje in kako ga naredimo, Naravoslovna solnica, 13, 2, 2009. [2] N. Razpet, Dve ravni zrcali, še neobjavljeno. [3] J. L. P. Ribeiro, Are You Ready, Kids? It's Spon-geBob Triclops!, The Physics Teacher 53, 2015, 298-299. [4] A. Likar, Skrivljena zrcala, Presek, 26, 1998/99, 2, 66-70. Ukrivljena zrcala Pri ukrivljenih zrcalih si pomagamo s prozornimi folijami, odbojnimi izolacijskimi plastičnimi folijami, ki jih najdemo v avtomobilskem paketu prve pomoci, kromiranimi zajemalkami in igracami. Parabolicna zrcala, narejena za opticne poskuse, pa so za šolsko rabo mnogo predraga. Preslikave s plastično folijo Pripomocki: prozorna plasticna folija, crn karton, majhen predmet. Navodilo. Prozorno folijo pritrdite na crn karton in tako narejeno zrcalo postavite navpicno. Pred zrcalo postavite predmet. Zrcalo z obeh strani pocasi ukrivljajte proti sebi. Ob koncu poskusa naj ima zrcalo obliko plašca valja (konkavno cilindricno zrcalo). Opazujte, kaj se dogaja s slikami. Poskus ponovite še s kosom zrcalne tapete. Poskusite slike še konstruirati. Realna slika s cilindričnim zrcalom Pripomocki: valjasta posoda, kos zrcalne tapete, predmet. Navodilo. Zrcalno tapeto položite v valjasto posodo, kot kaže slika 13. V posodo postavite predmet (spreminjajte višino predmeta), pojavi se »viseca« slika predmeta. SLIKA 12. Gibko zrcalo s plastično folijo (zgoraj). Slika v konkavnem cilindričnem zrcalu (spodaj). Igranje s cilindričnim zrcalom Pripomočki: okrogla plošča, kos zrcalne tapete, predmet za preslikavo. Navodilo. Kos zrcalne tapete počasi upogibajte tako, da bo imela na koncu obliko dela plašca valja (konkavno cilindricno zrcalo). Opazujte sliko predmeta. Mi smo za poskuse uporabili okroglo kuhinjsko desko. Najprej je slika zrcalna (ko tapeta ni upognjena), potem se slika razteguje, nato vidimo pri straneh še PRESEK 44 (2016/2017) 2 13 fizika SLIKA 13. »Viseča« slika predmeta v cilindričnem zrcalu delne slike, ko pa ima zrcalo obliko plašca valja, pa slika ni vec zrcalna. Nato zrcalo pocasi vrtite okrog vodoravne osi, kot kažejo slike 15. Opazujte, kako se spreminja položaj slike. Z zrcalom preslikajte še svoj obraz. Komentar. Kot med desko in podlago oznacimo z a. Ko je kot a = 45°, je slika postavljena navpicno, ko pa je kot a = 180°, pa je slika obrnjena. Slika se torej zasuka za 2 a. Oblikujte še konveksno cilindricno zrcalo in ponovite poskuse, ki ste jih opravili s konkavnim cilin-dricnim zrcalom. Opišite razlike. (Vec o konkavnem cilindricnem zrcalu bo objavljeno v enem od naslednjih Presekov.) »Mirage« Na tržišcu lahko najdemo posebno opticno igraco, sestavljeno iz dveh konkavnih zrcal, od katerih ima ena odprtino. Predmet postavimo na dno konkavnega zrcala in ga pokrijemo s prav takim zrcalom z odprtino. Nad odprtino opazimo »plavajoc« predmet. Doma narejen »Mirage« Tudi sami lahko izdelamo napravo, s katero gledamo lebdece slike. Eno od njih smo izdelali z zajemalko in ravnim zrcalom s prozorno odprtino. Pripomocki: zajemalka, podstavek z valjem, elastika, kroglica kot predmet. SLIKA 14. Počasi ukrivljamo avtomobilčka. zrcalno tapeto in opazujemo sliko 14 PRESEK 44 (2016/2017) 2 FIZIKA SLIKA 15. Cilindrično zrcalo vrtimo okrog vodoravne osi. SLIKA 16. Miraževa slika kovanca SLIKA 17. Mirage z zajemalko, ki ga lahko izdelamo sami (zgoraj). Potek žarkov od predmeta na dnu proti prozorni odprtini (spodaj). Navodilo. Premikajte kroglico in opazujte njeno realno sliko. Kam moramo postaviti predmet, da lahko opazujemo sliko? 18 Školjčna postavitev dveh konkavnih krogelnih zrcal g E £ Pri uporabi kopalniških konkavnih zrcal si pomagamo s školjčno postavitvijo, kjer prav tako opazujemo lebdečo sliko primerno postavljenega predmeta. PRESEK 44 (2016/2017) 2 15 RAZVEDRILO N/ NK Nagradna križanka 16 PRESEK 44 (2016/2017) 2 RAZVEDRILO ORANŽNA PIDLOGA JEDEM Z ŽARA \ P* ' m NEPRETI-RANOST KONEC' DRŽAVE PEVEC IN KITARIST PRESLEY DEL HLODA ZA IZDELOVANJE DEŠČIC ZA OBODE SIT HRVAŠKO OBMEJNO NASELJE OB DONAVI BERAČICA IZVORAN- ČEVE JAMNICE 1 i , vv 1 : x ♦ 12 PESNII FRITZ NAŠ BOREC ZA S. MEJO KRAJ PRI MARIBORU PP 8 ENOTA ZA ELEKTRIČNO NAPETOST IGRALKA ZALTA MI, VI, ? GLASBENI INTERVAL SISTEMATSKA KATEGORIJA ŽIVIH BITU, RED m BOJAZ-UIVEC, OMAH-UIVEC NAŠ LITERARNI ZGODOVINAR (JANKO) / TEKOČINA, KISE \ IZLOČI PRIPRAVA ZA ČIŠČENJE ZEMLJE S PLUGA MATEMATIČNA KONSTANTA TRETJI PROGRAM RADIA SLOVENUA KRALJEVIČ IZ MAHAB-HARATE IZRAELSKI PARLAMENT KRAJ NAD DVOROM PRI ŽUŽEMBERKU RENU PIŠČALK LUBJASTE CEVKE MINERAL, RAZLIČEK ORTOKLAZA IZDELEK ZA PRIVEZOVANJE IZDELOVALEC OPANK VINSKO ŽGANJE BIBLIJSKI OČAK SISTEMATIČNO VPISOVANJE PODATKOV 10 CEVKASTA KEMIJSKA POSODICA OKTOBER FRANCOSKI SKLADA-TEU PRIMERNA, DOPUSTNA KOLIČINA AU STOPNJA DVOBO-JEVALEC 4 PEVKA SIRK > • * POZIMI VIDNO ZODIA-KALNO OZVEZDJE VELIKA SLADKOVODNA RIBA EPOHA EDVARD RUSJAN BOLEZEN GIBALNEGA SISTEMA POKOJNI ENIGMATIK LESKOVŠEK IZVOZ NAŠA EVROPSKA POSLANKA TOMC AM.IGRA-LEQ(CHRK- HILLARY CLINTON 14 PRISTANIŠČE NA SEVERU ČILA 7 NEKDANJI AV5TRII. SMUČAR (STEPHAN) DEKOR * KALCII KRAK CEVNE AU ŽIČNE NAPELJAVE KILOMETER SAMARII NIZOZ. FIZIK (SIMON NAGRADNI RAZPIS ELI WALLACH CITROENOV OLD-TAJMER ZA LAZU DOSTOP STIK DVEH PLOSKEV NEKDANJE PAPEŽEVO POKRIVALO 5 FRANCE KRIŽANIČ 9 1 U^LCVllLClllll PW±J vpiJILC OJVLipaj / osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 1. decembra 2016, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX OZRAČJE 0MFA RAHEL NIHAJ SEM IN TJA PODZEMNA ŽIVAL / DOTIK / DVEH l GIBAJOČIH \ SE TELES PRESEK 44 (2016/2017) 2 17 FIZIKA 15 cd 'd ro > "E To £ "O -M CD LO Barvni sudoku vU nU vU V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh osem števil. SLIKA 18. 70-stopinjski razpor dveh konkavnih krogelnih zrcal Pripomočki: konkavni zrcali v okvirju, stojalo, prižeme, predmet. Navodilo. Postavite predmet tako, da boste videli realno sliko. Kje je lahko predmet in kje je realna slika predmeta? Spreminjajte kot med zrcaloma. Kako to vpliva na lego slike? Konstruirajte sliko pri školjčni postavitvi z enim od programov za dinamično geometrijo. Literatura [1] A. Likar, Odboj svetlobe in zrcala, Presek, 42, 5, 2014/2015, 13-15. [2] A. Likar, N. Razpet, Večkratni odboji svetlobe na konkavnih zrcalih,, Presek, 43, 6, 2015/2016. [3] A. Sieradzan, Teaching geometrical optics with the »optic mirage«, Phys. Teach. 43, 2005, 254256. _ XXX O a D m > a < oo > m 3 1 7 5 5 2 7 3 6 8 5 8 3 7 4 8 5 6 6 1 P 8 S E LI 9 Z L L Z 9 E S P 8 7 M 4 1 9 E 8 S E 9 8 S L P L Z S L l 8 P Z 9 £ 6 Z 3 P S 8 L L 8 E P L Z 9 S L 2 5 L 9 8 LE P XXX 18 PRESEK 44 (2016/2017) 2 IPHO 2016: Zürich, Švica nU vU vU Tomaž Cvetko Od 11. do 17. julija letos je v Zurichu potekala 47. mednarodna fizikalna olimpijada. Na njej je sodelovalo 400 dijakov srednjih šol iz 86-ih držav. Slovenska ekipa se je po desetih urah tekmovanja in po tednu, polnem vtisov, domov vrnila s štirimi bronastimi medaljami in pohvalo. »Tu dum tu dum,« se je 9. julija zvečer zaslišalo po ljubljanski glavni železniški postaji, ko je redni nočni vlak, ki povezuje Beograd in Zürich, odpeljal s perona. Po enajstih urah zatiskanja oči pred skoraj neizbežno budnostjo na policah-posteljah spalnega vagona smo prispeli v najdražje mesto v Evropi -Zürich. Na postaji sta nas pričakala predstavnik organizatorjev in vodič slovenske ekipe. Že je bilo slutiti, da Švičarji ničesar niso prepustili naključju. Nedelja je bila namenjena prihodu in registračiji, popoldne pa so si ekipe lahko ogledale mesto v spremstvu vodičev, saj je odlični javni prevoz omogočil hitro in svobodno gibanje po največjem švičarskem mestu. V ponedeljek se je mednarodna fizikalna olimpijada tudi uradno začela. Otvoritvena slovesnost je potekala v t. i. kampusu Irčhel, kjer se nahaja velik del univerze v Zürkhu. Te pa ne gre zamenjevati s ztoiškim ETH, ki je samostojno organizačijo olimpi-jade zavrnil. Otvoritev je potekala hitro in brez zapletov, ker so namesto prihoda ekip na oder predvajali zelo simpatične grafike z znamenitostmi držav. Ob tem se je nekoliko izgubilo slovesno vzdušje, ki ga je reševala svečana zaobljuba tekmovalčev in vodij ekip, da bodo na olimpijadi sodelovali pošteno. Popoldanski program je bil izredno zanimiv, saj so na univerzi pripravili kratke delavniče z različnih po- dročij znanosti in mnogi smo si želeli, da le-te ne bi tako hitro minile, kar se zgodi res redko. Sledila je še ekskurzija na PSI (Paul Scherrer Institute), kjer so nam predstavili raziskave na področju strukture beljakovin, ki jih omogoča tamkajšnji sinhrotron SLS (Swiss Light Source). Torek je bil dan E, dan za eksperimentalni del tekmovanja. Tekmovalci smo bili razdeljeni v dve skupini, tako da je polovica tekmovala dopoldne, polovica pa popoldne. Slovenska ekipa si je najprej ogledala poslopja zuriške hidroelektrarne, kjer skrbijo, daje mesto s 400 000 prebivalci preskrbljeno z energijo. Da je Švica ena najbogatejših držav sveta, potrjuje tudi dejstvo, da so ob vodnem zajetju za nekaj manj kot 10 milijonov evrov zgradili prehod za ribe, ki ga dnevno precka okoli 30 rib. SLIKA 1. Skupinska slika FIZIKA 19 PRESEK 44 (2016/2017) 2 FIZIKA —^ Eksperimentalni del tekmovanja je letos postregel z dvema zelo raznolikima problemoma. Prvi je bil namenjen dolocanju elektricne prevodnosti dvoraz-sežnih vzorcev. S štiritockovno sondo, ki je omogo-cala, da voltmeter ni bil vezan neposredno na pri-kljucke vira napetosti, je bilo najprej potrebno do-lociti upor celotnega, z grafitom prevlecenega lista papirja. Upor takega lista je odvisen tudi od samih razsežnosti lista, saj tokovi po grafitu tecejo po vseh možnih poteh in je na manjšem kosu papirja možnih poti manj. Z merjenjem tokov na razlicno širokih kosih papirja smo dobili vrednosti funkcije, ki opisuje geometrijski popravek upora, z linearizacijo pa še parametre te funkcije. Problem je postal nekoliko bolj visokotehnološki in po obcutku aplikativen, ko smo na podoben nacin dolocali lastnosti tanke silicijeve rezine, prevlecene s kromom. Nadgradnja v tem delu je bila posebna merilna tehnika, ki je zaradi simetrije obšla težave glede geometrijskih lastnosti vzorca. Koncni rezultat meritev je bila specificna upornost kroma. Drugi problem je bil sicer casovno nekoliko manj zahteven, a za izvedbo nekoliko bolj neprijeten. Šlo je za simulacijo faznih prehodov, ki so jo dosegli z zelo izvirno napravo: zvocnikom in makovimi semeni, ki so poskakovala v posodici, pritrjeni na membrano zvocnika. Prek vezja je bil zvocnik pri-kljucen na žagasti vir enosmerne napetosti, ki smo mu lahko spreminjali amplitudo, makova semena pa so bila analogija delcem, ki imajo pri doloceni temperaturi (amplitudi napetosti) doloceno stopnjo urejenosti. Ta so bila lahko v enem od dveh stanj. V neurejenem stanju so imela makova zrna dovolj energije, da so nakljucno preskakovala med dvema predeloma posodice, torej se je v obeh delih nahajalo podobno število semen. Pri manjših amplitudah nihanja membrane zvocnika so bila zrna v cedalje bolj urejenem stanju, vecina semen je ostajala v predelu, kjer so bila na zacetku. Eden od ciljev tega eksperimenta je bila tudi dolocitev kriticne amplitude nihanja, pri kateri semena preidejo v neurejeno stanje, kar je analogno npr. vrelišcu dolocene snovi. V principu je bil problem zelo lep in zanimiv, a potrebno je bilo opraviti veliko meritev v kratkem casu in ni mi potrebno posebej omenjati, da štetje petdesetih makovih semen ni enostavno opravilo, ki bi ga kdorkoli želel opravljati trikrat na minuto. Pomanjkanje meritev je v nadaljevanju naloge kaj hitro pripeljalo do slepe ulice, saj so nelinearni grafi zahtevali razmeroma veliko izmerjenih tock. Po drugi strani pa je problem ponujal tudi nekaj »podarjenih« tock, saj smo morali sami zasnovati merilno tehniko za do-locanje velikosti amplitude nihanja membrane zvočnika. Za ta del je estonski predstavnik, ki je sestavil mehanizem za povečevanje amplitude (za njeno lažje odčitavanje), dobil tudi nagrado za najbolj kreativno rešitev. Po eksperimentalnem delu tekmovanja je sledil dan za pocitek, ki so ga organizatorji namenili ekskurziji v Liechtenstein, malo, a zelo bogato državo, ki je k organizaciji olimpijade primaknila nezane-marljiv znesek iz svojih bancnih rezerv. Država, ki šteje zgolj 36 000 prebivalcev, živi v tesnem sožitju s sosedo Švico, med drugim si delijo tudi valuto, švicarski frank. Ponavadi nekajmesecna potovanja, nekajdnevni izleti in pa krajše ekskurzije ne zadostujejo, da bi turist lahko spoznal deželo ali celo videl vse njene lepote, toda v primeru Liechtensteina ne bom prevec pretiraval, ce trdim, da smo v enem dnevu videli vse, kar se je videti dalo. Glavno mesto Vaduz bi celo v Sloveniji veljalo za majhno mesto, a je izredno lepo urejeno, na njegovih ulicah pa je razstavljenih toliko kipov in skulptur kot v maloka-terem muzeju. Po ogledu mesta smo se z avtobusom odpeljali v gore, ki predstavljajo vzhodno mejo z Avstrijo (zahodna meja s Švico poteka po reki Ren). Gorska pokrajina z mnogimi slapovi je ocarala tudi nas, pa se štejemo za prebivalce alpske države. Žal je naš obisk zmotil dež, tako da je demonstracija so-kolarstva odpadla in smo se morali zadovoljiti z zelo živo pripovedjo o ljubezni med sokolarjem in njegovimi pticami v eni od tamkajšnjih gostiln. Zvecer so nas pogostili v vecnamenski dvorani in nam predstavili liechtensteinsko gospodarstvo, podjetja s sedežem v tej državi in tu nekje je hierarhicna povezava med »veliko« Slovenijo in »majhnim« Liechtenstei-nom nekoliko zvodenela. V Liechtensteinu ne poznajo brezposelnosti, država pa je tudi ena redkih, ki nimajo dolga, temvec razprave o fiskalni politiki v 25-clanskem parlamentu zaznamujejo predvsem pogovori o razporejanju bancnih rezerv. Teoreticni del tekmovanja je potekal v cetrtek, 14. julija. Organizatorji so v skrbi za pravocasen zace-tek vse tekmovalce na prizorišce prepeljali že uro prezgodaj in s pisanjem smo zaceli okoli 40 minut pred uradnim pricetkom. Tekmovalci smo se soo- 20 PRESEK 44 (2016/2017) 2 FIZIKA čili s tremi problemi. Prvi problem sta predstavljali dve nalogi s področja mehanike, drugi problem je bil s področja električnih krogov, pri tretjem problemu pa smo se spoprijeli z velikim hadronskim trkalni-kom in teorijo relativnosti. Prva naloga se je vseskozi vrtela (bolj ali manj dobesedno) okoli valjev. Najprej smo obravnavali lesen valj, ki je imel v svoji notranjosti na neznanem mestu kovinski valj neznanih dimenzij. Preko posrednih meritev bi želeli izmeriti točno lokačijo in dimenzije valja. Posredni meritvi bi izvedli s postavitvijo valja na klaneč v statičen položaj in z merjenjem nihajnega časa valja okoli njegove simetrijske osi. Naloga tekmovalčev je bila izraziti dimenziji (polmer in višino) malega valja z znanimi količinami. Drugi del naloge je obravnaval dokaj znano idejo vrteče se vesoljske postaje, ki bi s čentripetalnim pospeškom simulirala težnost. Težava se je pojavila, ko sta se dva astronavta na omenjeni vesoljski postaji začela prepirati, ali so na Zemlji ali na nekem vrtečem se objektu. Najprej sta se trditev odločila preveriti z vzmetnim nihalom, a se je po obravnavi izkazalo, da bi imelo oddaljevanje in približevanje uteži Zemlji podoben učinek kot nihanje v končno velikem vrtečem se valju. V naslednjem poskusu želi eden od astronavtov svoj prav dokazati s spuščanjem telesa s stolpa v vesoljski postaji, a zaradi njegove prevelike vneme pri višini stolpa in Coriolisove sile telo pade točno na mesto pod stolpom (kakšno naključje!). Zadnje upanje za dokaz o vrteči se vesoljski postaji astronavt položi v vzmetno nihalo, ki se lahko prosto giblje v vodoravni smeri (tangentno na tla ladje) SLIKA 2. Skulptura v CERN-u in na vpliv Coriolisove sile nanj. Tudi na konču naloge ostaneta astronavta vsak na svojem bregu, naveličani pa so tudi ostali člani odprave. Drugi problem je posegel na področje dinamike v električnih krogih, ki pa je v slovenskih srednjih šolah pa tudi na krožkih redko obravnavamo, zato smo vsi člani ekipe drugo teoretično nalogo reševali slabše kot ostale dele tekmovanja. Naloga tekmovalčev je bila obravnava elementa X z nelinearno I-V karakteristiko. V prvem delu smo se ukvarjali z osnovnimi lastnostmi elementa, kot je npr. upor na posameznih vejah karakteristike. V drugem delu je bil element X uporabljen v vezju, ki je prek nekaj korakov postalo osnova za anteno za radijsko valovanje. Tretji del se je ukvarjal z uporabo bistabilnih nelinearnih elementov (elementa X) za modeliranje bioloških pročesov, v tem primeru za delovanje nevrona. Element X se je zaradi svojih posebnih lastnosti obnašal različno pri različnih časih vzbujanja z določeno napetostjo. Pri tretjem problemu smo se ukvarjali z velikim hadronskim trkalnikom (LHC), ki se v okviru CERN-a nahaja prav v švičarski Ženevi (podzemni del je si-čer večinoma na frančoski strani meje). Naloga je temeljila na teoriji relativnosti, ki jo je utemeljil Albert Einstein, sičer močno povezan z univerzo v Zuri-čhu. Tretjo nalogo je dobro reševala čelotna slovenska ekipa, za kar gre zahvala mentorjema in drugim predavateljem na pripravah, ki so nam v zelo kratkem času dobro predstavili sičer neznano snov in nam s tem omogočili omembe vredne rezultate na tekmovanju. Tretji problem je bil strukturiran tako, da smo najprej obravnavali mehanizme pospeševanja delčev, relativistično odvisnost hitrosti od prele-tene pospeševalne napetosti, z dimenzijsko analizo smo določili izraz za sevalno moč, pri vsakem koraku pa smo tudi konkretno izračunali vrednosti za delče pri določeni energiji. V drugem delu smo se ukvarjali z identifikačijo delčev na osnovi različnih časov preleta detektorja. Delči z enakimi gibalnimi količinami in različnimi masami imajo različne hitrosti, torej za prelet določene poti potrebujejo različne čase. Določiti je bilo potrebno najmanjšo dolžino detektorja, da bi lahko zanesljivo ločili med nabitim kaonom in nabitim pionom z enakima gibalnima količinama. V sklepnem delu naloge smo iz podanih »izmerjenih« podatkov računali mase delčev in jih identifičirali. 21 PRESEK 44 (2016/2017) 2 FIZIKA —^ Po zaključku tekmovalnega dela je večina ekipe čutila veliko olajšanje, čeprav je bilo nekaj misli usmerjenih tudi v skrb glede rezultatov. Še isti dan nas je nagovoril Derek Muller, bolj znan pod imenom svojega Youtube kanala Veritasium. Njegov nastop je bil v svojem bistvu motivacijski govor o prihodnosti fizike in njegove besede, ki so imele nekoliko vi-zionarski pridih, so v avditoriju požele veliko navdušenje. Sledila je vmesna zabava (grobi prevod iz Midterm Party) z mentorji ekip, bila pa je to v svojem bistvu pogostitev s predstavitvijo nekaterih švicarskih običajev. V zadnjih dveh dneh pred zaključno prireditvijo sta sledili še ekskurziji v CERN in na goro Rigi. V CERN-u smo si ogledali njihove strežniške prostore in tako imenovano tovarno antimaterije. Nekaj časa smo imeli na voljo tudi za bližnji interaktivni muzej, ki se nahaja v izjemno atraktivni leseni krogli in je že samo zaradi tega vreden obiska. Po kosilu smo se odpravili še v muzej Rdečega križa, ki se nahaja v Ženevi, nedaleč stran od poslopja OZN. V muzeju smo spoznali delovanje Rdečega križa v različnih kriznih situačijah. Njihova stalna razstava obsega predstavitev treh področij delovanja te organi-začije: obrambo človekovega dostojanstva, ponovno vzpostavljanje družinskih vezi in zmanjševanje tveganja naravnih nesreč. Zanimiva je bila tudi tokratna začasna razstava o samopodobi in idealu lepote skozi čas. Za ekskurzijo na goro Rigi smo imeli jasen in sončen dan, tako da smo se za razliko od mentorjev in prejšnje poloviče tekmovalčev na 1798 metrih višine kopali v sonču in ne v megli. Na goro smo SLIKA 3. Vzpon na Rigi se pripeljali z zobato železnico, ki je znacilna posebej za Švico. Nato smo se sprehodili nekaj metrov do vrha in uživali v pogledu na mnoga jezera, ki so se lesketala v dolinah švicarskih Alp. Po pobo-cju gore smo se nato odpravili proti železnici, ki je vodila na drugo stran hribovja, proti Luzernu in jezeru, ob katerem je mesto nastalo. V Luzernu smo si ogledali znameniti lesen most s poslikanimi oboki, po katerem je mesto tudi najbolj poznano. Po kratkem ogledu mesta s svojimi vodici smo se z avtobusi odpravili proti našemu hotelu v Zurichu. V nedeljo smo koncno docakali podelitev nagrad. Aleksej Jurca, Tomaž Cvetko, Jakob Robnik (vsi trije Gimnazija Bežigrad) in Luka Govedic (II. Gimnazija Maribor) smo prejeli bronasto medaljo, Jernej De-bevc pa pohvalo. Lanskega uspeha, pet bronastih medalj, nam žal ni uspelo ponoviti. Obakrat smo se olimpijade udeležili trije tekmovalci in vsi domov prinesli medalje z bronastim sijajem. Prav tako je spodbudno dejstvo, da se prihodnje leto zdaj že izkušena Aleksej Jurca in Luka Govedic znova podajata v fizikalni boj in, kdo ve, morda pa bo kmalu na slovenskih vratovih nihala medalja še kakšne druge barve. Podelitev medalj je popestrila orgelska izvedba skladb iz serije filmov Vojna zvezd, drugace pa so Švicarji vse zopet izvedli hitro in ucinkovito: tekmovalce so v velikih skupinah klicali na oder, imena so sicer brali po vrstnem redu, medalje pa izrocali kot po tekocem traku brez ozira na socasnost omembe imena in prejema medalje. Po tednu Švici lahko re-cem, da stereotip o švicarski natancnosti do velike mere drži, saj ni bilo cisto nic prepušceno naklju-cju. Celo gorske poti so bile na mestih tlakovane, ob poti pa so kar na bregu zgradili še igrišca za minigolf, kar je razumljivo, saj morajo za visoko ceno ponuditi luksuzno storitev. Mesta so cista in celo blokovsko naselje v neposredni bližini letališca je delovalo mondeno. Morda pa je dobro merilo delovanja družbe število nezaklenjenih (in nato neukradenih) koles, ki jih je bilo moc videti vsepovsod po Zurichu. In zato za mnoge Švica še vedno ostaja obljubljena dežela. _ XXX www.dmfa-zaloznistvo.si 22 PRESEK 44 (2016/2017) 2 ASTRONOMIJA Olimpijska domaČa naloga -ekscentricnost Lunine orbite nU NU vU Andrej Güstin Letošnja 10. mednarodna olimpijada iz astronomije in astrofizike bo šele decembra v Indiji. V slovensko olimpijsko ekipo so se po napornih in številnih izbirnih preskusih uvrstili: Luka Govedic, II. gimnazija Maribor; Urban Ogrinec, Gimnazija in Srednja šola Rudolfa Maistra Kamnik; Anže Jenko, Aleksej Jurca in Jakob Robnik, vsi Gimnazija Bežigrad. Za poletne priprave na olimpijado so dijaki dobili tudi praktično nalogo, ki se na prvi pogled zdi zelo enostavna: Na podlagi lastnih opazovanj, kot veš in znaš, določi ekscentricnost Lunine orbite. Srednješolci o orbitah planetov in satelitov zvedo malo. Pri predstavitvi gravitacijskega zakona in njegove uporabe pri opisu gibanja planetov okoli Sonca ali Lune oziroma umetnih satelitov okoli Zemlje se navadno zadovoljimo z aproksimacijo krožnih orbit. Le srednješolci, ki jim učitelji povedo za Keplerjeve zakone, zvedo nekaj o gibanju vesoljskih teles po eliptičnih tirnicah. Navadno ni časa za poglabljanje v elemente orbite (npr. ekscentricnost, ki govori o tem, kako »razpotegnjena« je elipsa). Kje so šele opisi »nevšečnosti«, ki jih prinaša dejstvo, da se z Zemljo gibljemo na vrtečem se in krožečem se vrtiljaku, ki pogled na orbite teles v Osončju močno izkrivlja. Tako so v heliocentričnem opazovalnem sistemu orbite planetov eliptične, toda Lunina orbita okoli Zemlje ne. O tem smo v Preseku že obširno pisali. Prav orbita Lune je zelo zahteven zalogaj za matematično formulacijo. Predstavljali bi si, da je njena orbita v geocentričnem opazovalnem sistemu enostavna elipsa, kot se po Keplerju pač to spodobi (slika 2). 1 1 v* i :<■ ämmlmw -¡¿Ji SLIKA 1. Foto: Andrej Guštin Pokaže pa se, da je gibanje Lune zaradi gravitacijskih vplivov Sonca in gibanja Zemlje zelo zapleteno. Ob ščipu in mlaju, ko je Luna najdlje in najbližje Soncu, gravitacijska sila Sonca deluje v smeri povečanja razdalje med Luno in Zemljo. Ko je Luna v kvadraturi, deluje v smeri zmanjševanja razdalje med Zemljo in Luno. PRESEK 44 (2016/2017) 2 23 ASTRONOMIJA Lunina orbita b a ' \ rp ra apogej SLIKA 3. Izračunane spremembe ekscentricnosti Lunine orbite za obdobje desetih let. JPL/Solar System Dynamics S tem izrazom v enačbi za ekscentricnost orbite nadomestimo a in dobimo: SLIKA 2. Elementi eliptične orbite okoli Zemlje. Lunina orbita je torej zelo zapletena. Na primer, spreminja se ekscentricnost Lunine orbite, ki niha okoli srednje vrednosti (slika 3). Drugi zelo ociten primer je precesija osi Lunine orbite okoli Zemlje. To pomeni, da si apogej in perigej (Zemlji najbolj oddaljena in najbližja tocka Lunine orbite) ne sledita v enakih Časovnih razmikih, kot si sledijo Lunine mene, in ne kolikor traja obhodni cas Lune okoli Zemlje (siderski obhodni Čas). Ta precesija je znatna, saj znaša nekaj vec kot 40 stopinj letno. O tem pojavu nas pogosto opominjajo javna ob-cila, ceprav ne vedo za pojav. Novinarji namrec radi porocajo o veliki polni Luni, ki ni vsak mesec ... A vrnimo se k domaci nalogi naši olimpijcev. Privzemimo, da se Luna giblje po elipticni orbiti okoli Zemlje. Ekscentricnost e zapišemo kot (glej sliko 2) a - rp e = a kjer je a velika polos orbite, rp pa oddaljenost Lune v perigeju. Iz slike lahko razberemo, da velja: 2a = rp + ra, kjer je ra oddaljenost Lune v apogeju. ■ e = (rp - ra)/(rp + ra) oziroma e = (1 - rp/ra)/(1 + rp/ra). Ta formulacija ekscentricnosti kar sama od sebe ponuja metodo za njeno merjenje. Iz enacbe vidimo, daje ekscentricnost povezana z razmerjem oddaljenosti Lune od Zemlje v apogeju in perigeju. Navidezni zorni kot Lune 0 na nebu je odvisen od premera Lune 2R in njene oddaljenosti r od nas: tg(0/2) = R/r oziroma, ker je zorni kot majhen (približno 0,5 stopinje) kar 0 = 2R/r. Zorni kot Lune je torej obratno sorazmeren z njeno oddaljenostjo. Sledi, daje razmerje zornih kotov Lune ob dveh oddaljenosti Lune, npr. v apogeju in perigeju: ■ rp/ra = 0a/0p Ekscentricnost lahko sedaj zapišemo le z navideznimi zornimi koti Lune ob perigeju in apogeju: ■ e = (1 - 0a/0p)/(1 + 0a/0p). Ce hocemo torej dolociti ekscentricnost Lunine orbite, moramo le meriti njen navidezni zorni kot in ugotoviti, kdaj je ta najvecji in najmanjši. Poglejmo, kako sta se naloge lotila dva olimpijca. Njune rezultate bomo zamolcali, lahko pa do njih pridete z malo astronomskega znanja in matema-ticne telovadbe. Vabimo pa tiste, ki jih mika prak-ticna astronomija, da tudi sami poskusijo izmeriti ekscentricnost Lunine orbite, morda uspejo izmeriti tudi spremembe njene velikosti. 24 PRESEK 44 (2016/2017) 2 ASTRONOMIJA > Merjenje ekscentričnosti Lunine orbite - Urban Ogrinec Za metodo merjenja navideznega premera Lune na nebu sem izbral merjenje casa prehoda Lune prek zornega polja v teleskopu. Pri tem sem uporabil Newtonov teleskop z gorišcno razdaljo fob = 1000 mm in premerom objektiva D = 200 mm, na nemški ekvatorialni montaži brez sledenja. Pri opazovanjih sem uporabil okular z gorišcno razdaljo fok = 32 mm in navideznim zornim poljem 0 zapišemo kot število permutacij množice z n - 1 elementi pomnoženi z n oziroma n! = n ■ (n - 1 ) ! . (1) Pri tem velja 0! = 1. Za podajanje vrednosti fakultete naravnega števila n smo torej uporabili fakulteto števila n - 1. Izraz (1) je zato primer rekurzivne formule. Rekurzija je močno orodje tudi pri razvoju algoritmov. Pravimo, da je algoritem rekurziven, če klice samega sebe. Ker smo število permutacij izrazili z rekurzivno formulo, lahko intuitivno pričakujemo, da bo možno rekurzijo uporabiti tudi pri konstrukciji permutacij. Rekurzivna zveza n! = n ■ (n - 1)! pomeni, da lahko permutacije množice {1, 2,...,n} pridobimo iz permutacij množice {1,2,...,n-1}, pri čemer vsaki per-mutaciji množice {1, 2,...,n - 1} dodamo element n na vsa možna mesta (teh je ravno n). Poglejmo si primer permutacij množice {1, 2, 3}, ki jih skonstruiramo iz permutacij množice {1, 2}. Elementa 1 in 2 lahko razvrstimo na dva načina: 12 in 21. Sedaj vsako od permutacij dopolnimo s številom 3. Za permutacijo 12 tako dobimo ■ 312,132,123, za 21 pa ■ 321, 231, 213. TABELA1. Število permutacij za množice velikosti najvec 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n! 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 26 PRESEK 44 (2016/2017) 2 RACUNALNIŠTVO Algoritem 1: permutacije Vhod: Naravni števili n in k, zaporedje P = (Pl,P2,---,Pn)■ Izhod: Vse permutacije elementov zaporedja. begin if k=l then | obišci permutacijo(n, p) else for i := l to n do zamenjaj(pi, pk); permutacije(k - 1,n,p); zamenjaj(pi, pk); end end end Postopek se zdi enostaven, a je pri zapisu algoritma potrebno nekaj previdnosti. Predvsem se je potrebno izogniti nepotrebnemu shranjevanju per-mutacij, še posebej zato, ker njihovo število glede na vrednost n hitro narašca. Postopek je predstavljen v Algoritmu 1 (permutacije). Algoritem vzame za osnovo poljubno permu-tacijo dolžine n, ki je predstavljena kot zaporedje p = (p1, p2,..., pn). Pri prvem klicu algoritma je vrednost parametra k enaka n. Algoritem za vse vrednosti i med 1 in k zamenja i-ti in k-ti element zaporedja, rekurzivno poklice samega sebe s parametrom k - 1 ter nato spet zamenja i-ti in k-ti element zaporedja. Algoritem se zaključi z obiskom permutacije, ko k doseže vrednost ena. k II k II k I [p = 12 3J p = 123 [p = 12 3J k II k II k II k I k II k II [p = 12 3 J [p = 12 3 J p = 123 p = 123 [p = 12 3J [p = 12 3 J SLIKA 1. Delovanje algoritma permutacije za n = 3 Predstavimo delovanje Algoritma 1 s parametri n = 3, k = 3 in p = (1, 2, 3) (glej sliko 1). Algoritem sproži tri rekurzivne klice za k = 2 ter p = (3, 2,1), p = (1, 3, 2) ter p = (1, 2, 3). Vsak od teh rekurziv-nih klicev sproži še dva rekurzivna klica za k = 1, ob vsakem od teh rekurzivnih klicev algoritem obišče trenutno permutacijo shranjeno v p. Vrstni red obiskanih permutacij je: 231, 321, 312, 132, 213, 123. Urejeno zaporedje permutacij Vcasih je zaželeno, da algoritem vrne urejeno zaporedje permutacij. Ko govorimo o urejenosti, ponavadi mislimo leksikografsko urejenost. Ce gre za permutacije števk, je to kar obicajna urejenost po velikosti, saj npr. permutacija p = (1, 2, 3) na naraven nacin predstavlja število 123. Ce pa so elementi množice crke, je leksikografska urejenost kar abecedna urejenost. Predstavljeni algoritem tokrat ne bo rekurziven. Osnova algoritma je postopek, predstavljen v Algoritmu 2, ki za dano permutacijo p poišce naslednjo permutacijo v leksikografski ureditvi. Algoritem najprej poišce najbolj desni element zaporedja, ki je manjši od svojega desnega soseda in ga oznaci z indeksom k. Ce takšen element ne obstaja, je permutacija p najvecja, zato naslednja permutacija ne obstaja. V tem primeru dobi k vrednost 0 in algoritem se zakljuci z vrednostjo obstaja = false. Ce je k > 0, algoritem poišce najbolj desni element zaporedja, ki je vecji od pk, ter ju zamenja. Elemente z indeksi od k + 1 do n nato preuredi tako, da predstavljajo najmanjšo možno vrednost. Algoritem se zakljuci z vrednostjo obstaja = true. Kot primer si poglejmo potek algoritma za permu-tacijo p = (3,4, 2,1). Algoritem najprej ugotovi, da se najbolj desni element zaporedja p, ki je manjši od svojega desnega soseda, nahaja na prvem mestu, zato je k = 1 in pk = 3. Najbolj desni element zaporedja p, ki je vecji od 3, se nahaja na drugem mestu, zato je j = 2 in pj = 4. Algoritem zamenja elementa 3 in 4, nato pa preuredi elemente podza-poredja (3,2,1) v (1,2,3). Permutacija, ki jo vrne algoritem, je tako p = (4,1, 2, 3). Algoritem 3, ki poišce vse permutacije v urejenem vrstnem redu, generiranje permutacij zacne z najmanjšo permutacijo p = (1, 2,...,n). Permutacijo p v zanki spreminja tako dolgo, dokler obstaja vecja permutacija. PRESEK 44 (2016/2017) 2 27 RAČUNALNIŠTVO Algoritem 2: naslednja Algoritem 3: leksikografsko Vhod: Naravno število n, zaporedje P = (p1,P2,---,Pn)- Izhod: Boolova vrednost obstaja, nova vrednost p. begin k := n - 1; while pk > Pk+i do | k := k - 1; end if k = 0 then | obstaja := false else obstaja := true; j := n; while pk> pj do I j := j -1; end zamenjaj(pk, Pj); r := n; s := k + 1; while r > s do zamenjajpr ,ps); r := r - 1; 5 := 5 - 1; end end end zna. Problem trgovskega potnika spada med probleme, ki jih ne znamo rešiti s hitrimi algoritmi, torej z algoritmi, ki bi omogocali izracun rešitve v sprejemljivem casu tudi za vecje število vhodnih podatkov. Vhod: Naravno število n. Izhod: Zaporedje p = (p1,p2,■■ begin p := (1, 2,..., n); obstaja := true; obišci permutacijo(n, p); while obstaja do naslednja(p,n, obstaja); obišci permutacijo(n, p); end end pn). Hitro generiranje permutacij Generiranje permutacij pogosto uporabljamo pri reševanju številnih pomembnih kombinatoricnih problemov. Zelo znan je problem trgovskega potnika, ki je bil v Preseku že opisan. Ponovimo na kratko definicijo problema. Dana je množica mest C = {c1,c2,..., cn}. Za vsak par mest ct, cj je znana cena povezave od mesta ct do mesta cj, ki jo ozna-cimo z dij. Trgovski potnik mora zaceti pot v enem od mest, obiskati vsa preostala mesta s seznama ter se vrniti v izhodišce tako, da bo skupna cena poti cim manjša. Poiskati torej želimo takšno zaporedje mest (cn1 ,cn2,...,cnn) iz C, da bo vrednost izraza dmn + dn2,ns + ■■■ + dnn-1,nn + dnn,m najmanjšamo- Osnova reševanja problema je tako postopek, s katerim poišcemo vse permutacije množice C in izra-cunamo ceno pripadajocega krožnega obhoda. Kot smo že povedali, število permutacij zelo hitro narašca glede na število elementov v množici, zato je problem rešljiv le za primere, ko je množica mest razmeroma majhna. Zato je zelo pomebno, da je delovanje algoritma kolikor je le mogoce hitro, kar pa je v precejšnji meri odvisno tudi od hitrosti generi-ranja permutacij. Prvi predstavljeni algoritem, algoritem permuta-cije, je res enostaven, a ne spada med najhitrejše. Nova permutacija je generirana ob klicu algoritma za vrednost parametra k = 1, pred in po klicu algoritma pa se izvede algoritem zamenjaj. Število zamenjav, kijih izvede algoritem, je zato vsaj dvakratnik števila generiranih permutacij. Algoritem, ki generira leksi-kografsko urejene permutacijem je nekoliko hitrejši, a ne bistveno. Med najhitrejše pa spada Heapov algoritem (glej Algoritem 4). Spet je osnova poljubna permutacija p = (p1,p2,...,pn). Pri prvem klicu algoritma je vrednost parametra k enaka n. Algoritem za vse vrednosti i med 1 in k rekurzivno poklice samega sebe s parametrom k -1 ter nato zamenja k-ti element zaporedja bodisi s prvim, ce je k sod, bodisi z i-tim, ce k lih. Algoritem se zakljuci z obiskom permutacije, ko k doseže vrednost ena. Algoritem deluje podobno kot algoritem pemuta-cije, le da se ob vsakem rekurzivnem klicu izvede samo ena zamenjava vrednosti. Skupno število zamenjav je tako približno enako številu generiranih permutacij. Predstavimo delovanje Algoritma 4 za parametre n = 3, k = 3 in p = (1, 2, 3). Ker je k lih, 28 PRESEK 44 (2016/2017) 2 RACUNALNIŠTVO Algoritem 4: Heap Vhod: Naravni števili n in k, zaporedje P = (Pl,P2,---,Pn)- Izhod: Vse permutacije elementov zaporedja. begin if k=1 then | obišci permutacijo(n, p) else for i := l to n do heap(k - 1,n,p); if k je sod then | zamenjaj(pi, pk); else | zamenjaj(pi, pk); end end end end algoritem sproži tri rekurzivne klice za k = 2 ter po vsakem klicu zamenja prvi in zadnji element zaporedja. Vsak od teh rekurzivnih klicev sproži še dva rekurzivna klica za k = 1 ter po vsakem klicu zamenja drugi in i-ti element zaporedja. Delovanje algoritma za opisani primer je predstavljeno na sliki 2. Za konec si v tabeli 2 poglejmo primerjavo casa izvajanja vseh predstavljenih algoritmov, realiziranih v programskem jeziku C++. Primerjava kaže, da je algoritem Heap skoraj dvakrat hitrejši od algoritma permutacije, medtem ko je algoritem leksikografsko nekje na sredini med njima. V vseh primerjanih programih je algoritem obišci permutacijo izpušcen. Omenimo za konec še to, da bi bila algoritma per-mutacija in Heap nekoliko hitrejša, ce bi ju zapisali nerekurzivno. algoritem cas (sekunde) permutacije 10,107 leksikografsko 8,726 Heap 5,348 TABELA 2. Čas izvajanja algoritmov za permutacije z 1 2 elementi SLIKA 2. Delovanje algoritma Heap za n = 3. Literatura [1] S. B. Maurer in A. Ralston, Discrete Algorithmic Mathematics, A K Peters/CRC Press, 2005. [2] S. Pemmaraju in S. Skiena, Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica, Cambridge University Press, 2009. _ XXX Križne vsote Rešitev s strani 29 -i' -i' ^ 12 10 6 7 9 11 9 5 1 3 7 10 8 2 13 11 4 7 7 1 6 XXX PRESEK 44 (2016/2017) 2 29 RAZVEDRILO cas a) b) < f \ c) SLIKA 2 K NARAVOSLOVNI FOTOGRAFIJI. Telo (v našem primeru propeler z raznobarvnimi listi) se vrti v času osvetlitve. Zgornja vrstica kaže propeler v petih zaporednih trenutkih. V vsakem Časovnem intervalu se propeler zavrti za 15°. Bel navpični trak ponazarja del fotografije, ki ga v tistem trenutku posname svetlobno tipalo. Tipalo na kader gleda tako, kot da bi se pred njim premikali razgrnjeni zavesi. Tipalo v nekem trenutku posname (npr.) le petino fotografije. Celotno fotografijo zajame v petih zaporednih časih, ki si sledijo od leve proti desni. Ce se v tem času predmet spremeni (zavrti), bo naslednji pas fotografije posnel drugačno sliko (vrstica b). Posneti pasovi zloženi skupaj dajo popačeno sliko (c). SLIKA 3 K NARAVOSLOVNI FOTOGRAFIJI. Fotografija oblakov in roba letalskega okna. Kamera je bila naslonjena na okvir in zaradi tresljajev je slika popačena. vU vU nU REŠITEV NAGRADNE KRIŠANKE presek 44/1 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz prve številke 44. letnika Preseka je Rosetta. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Urška Poje iz Ljubljane, Rajko Duda-ric iz Celja in Ana Knap iz Preserj, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX 30 PRESEK 44 (2016/2017) 2 RAZVEDRILO Zavesni zaklop nU NU vU Aleš Mohoriš Tokratna naravoslovna fotografija kaže letalski propeler v mirovanju (slika 1a) in pa med vrtenjem (slika 1b). Na drugi sliki je propeler videti, kot bi bil iz gume, njegovi listi so ukrivljeni. V resnici ostane med vrtenjem propeler trden in zadrži svojo obliko. Njegova cudna oblika je posledica popacitve, ki nastane pri preslikavi. Fotoaparat deluje tako, da z objektivom - zbiralno leco - preslikamo predmet na svetlobno obcutljivo ploskev. Nekdaj je bil to fotografski film, pri modernih, digitalnih fotoaparatih pa je to svetlobni polpre-vodniški detektor, ki ima gosto mrežo svetlobnih elementov, drobnih fotodiod. Fotografija mora biti pravilno osvetljena, drugace je na njej vse belo ali crno. Pravilno osvetlitev dosežemo na tri nacine: spremi- SLIKA1. a) letalski propeler v mirovanju, b) med vrtenjem njamo velikost zenice, obcutljivost svetlobnega detektorja ali cas osvetlitve. Velikost zenice spreminjamo z zaslonko. Na obcutljivost na svetlobo vplivamo z vrsto filma ali ojacevalnim faktorjem, ki ga opiše podatek ISO. Obicajna obcutljivost (hitrost filma) ima ISO 100, spodobne digitalne kamere dosežejo ISO velikosti nekaj deset tisoc. Tretji nacin, s katerim vplivamo na osvetljenost fotografije, je cas osvetlitve. Tega spreminjamo z zaklopom. Zaklop je pregrada med objektivom in svetlobnim tipalom, ki se umakne za dolocen cas. Nekdaj so bili zaklopi mehanski ali v obliki zavese. Klasicni zavesni zaklop deluje kot reža, ki potuje tik pred tipalom. Pri daljših casih je reža »širša« od tipala, pri kratkih ca-sih osvetlitve pa ožja od tipala. Pri digitalnih kamerah zaklop lahko izvedemo elektronsko. Svetlobna tipala CCD omogocajo, da na celotnem tipalu zac-nemo in koncamo z zajemom svetlobe na vseh svetlobnih elementih hkrati. Tipala tipa CMOS pa delujejo tako, da ob zacetku osvetljevanja svetlobni element spraznimo in po dolocenem casu zabeležimo kolicino svetlobe. Zaradi zgradbe tipala slike navadno ne moremo posneti hkrati s celotnega tipala ampak po pasovih. Take vrste zaklop imenujemo zavesni zaklop. Razlike med obema nacinoma zajema slike obicajno ne opazimo, ampak šele, ko se predmet hitro spreminja ali premika. Takrat se zgodi, da je kader na enem delu slike drugacen, kot na drugem, in pride do popacitve. Ta pojav je posledica drsece zavese in je shematicno prikazan na sliki 2 na prejšnji strani. Pogoji osvetlitve, v katerih opazimo pojav, morajo biti ravno pravi. Ce je svetlobe malo, potem bo zaradi dolge osvetlitve predmet na fotografiji zabrisan, ce je svetlobe veliko, pa lahko uporabimo kratek cas osvetlitve in dobimo ostro sliko. Popacitev je odvisna tudi od hitrosti elektronike v kameri in hitrosti, s katero se giblje telo. Slika 3 na prejšnji strani kaže fotografijo narejeno tako, da je bila kamera naslonjena na okenski okvir, ki se je tresel zaradi vrtenja motorjev. _ XXX PRESEK 44 (2016/2017) 2 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizačija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroči in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru z več kot šest milijoni tekmovalčev iz 47 držav sveta v letu 2011. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Vsaki nalogi je dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. EVROPSKI MATEMATIČNI KENGURU 2002-2004 10,99 EUR 18,74 EUR 14,50 EUR Pri DMFA-založništvo so v Presekovi knjižniči izšle že štiri knjige Matematičnega kenguruja: • Evropski matematični kenguru 1996-2001 (pošlo), • Evropski matematični kenguru 2002-2004, • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga! Dodatne informačije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.