PRESEK LETNIK 018) ŠTEVILKA 6 KONSTRUKCIJA S HRBTNE STRAN KOLEDARJA STROBOSKOPSKI EFEKT VIŠINSKI KOT NEBESNIH TELES f.RAVEVE KODE ISSN 0351-6652 9 9770351665562 9770351665562 matematični trenutki kolofon C arobna telesa ■is NU Vp -> Neobičajno telo na sliki ima nenavadno lastnost: ena od njegovih ravnotežnih točk je stabilna, druga pa nestabilna. Ce telo stoji na spodnji stabilni točki in ga kakorkoli malenkost premaknemo, se bo vedno vrnilo v izhodiščni položaj. Na glavo postavljeno telo pa je prav tako v ravnotežni legi, a ga bo že malenkostno drezanje spravilo iz ravnotežja in čez čas obrnilo v stabilno lego s spodnjo stabilno točko na tleh. V to lego se bo telo vrnilo tudi vsakič, ko ga bomo postavili na katerokoli drugo točko. Ceprav je že leta 1990 eden od matematikov postavil domnevo, da takšno homogeno telo (to je, ne-obteženo, narejeno iz enakega materiala) obstaja, je bil njegov obstoj zares potrjen šele pred desetimi leti. Madžarska matematika sta združila geometrijske premisleke, matematično programiranje in izjemno natančno izdelavo ter ustvarila telo, ki je danes znano pod imenom Gomboč. Ime v madžarščini pomeni, da telo izgleda približno tako kot krogla. Dokazati je mogoče, da v ravnini lik s takšnimi lastnostmi ni možen. Raziskovalča sta dokaz najprej poskušala prevesti na trirazsežna telesa, a jima to ni uspelo. Namesto, da bi obupala, sta težave pri posplošitvi obrnila v prid konstrukčije iskanega telesa. Po več letih ugotavljanja lastnosti nenavadnega telesa in zbiranja podatkov (med te sodi tudi prebiranje na tisoče kamenčkov) sta končno ustvarila prvi gomboč. To pa ju ni ustavilo pri iskanju gomboča v naravnem okolju. Našla sta dve vrsti želv z oklepom, ki jima omogoča, da se po vsakem premetavanju na konču obrneta s pravo stranjo navzgor, ne pa v lego, ki bi bila zanju smrtno nevarna. Za več podrobnejših informačij priporočamo članek Mono-monostatic Bodies: The Answer to Arnold's Question, ki sta ga objavila P. L. Varkonyi in G. Do-mokos v reviji The Mathematičal Intelligenčer jeseni leta 2006. _x x x 2 PRESEK 45 (2017/2018) 6 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 45, šolsko leto 2017/2018, številka 6 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojča Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lučijana Kračun Berč (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (ra čunalništvo), Marko Razpet, Matjaž Venčelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska uliča 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2017/2018 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do prekliča, za skupinska naročila učenčev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakčijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinančiranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphičum, Ljubljana Naklada 1300 izvodov © 2018 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2069 Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. navodila sodelavcem preseka za oddajo prispevkov Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. //A 12-15 18-21 22-24 25-27 FIZIKA Stroboskopski efekt (Peter Legiša) Ne le levo, desno, tudi gor, dol (Nada Razpet) ASTRONOMIJA Višinski kot nebesnih teles (Marijan Prosen) Naloge 11. mednarodne olimpijade iz astronomije in astrofizike 2017 (Andrej Guštin) RAČUNALNIŠTVO Grayeve kode (Andrej Taranenko) Slika na naslovnici: Na fotografiji z naslovnice vidimo odseve svetilk in osvetljenih teles, ki se na razburkani recni gladini raztegnejo v svetle trakove. Trak nastane v navpični ravnini, ki vsebuje svetilo in opazovalca. Zaradi perspektive so trakovi videti skoraj vzporedno. Foto: Peter Legiša matematika Konstrukcije s hrbtne strani koledarja nU NU NU Nada Razpet Nekdaj so ljudje skrbno hranili vse popisane in nepopisane liste papirja. Tako lahko v različnih arhivih najdemo zanimive rokopise, ki pričajo o življenju in delu ljudi. Letos smo med brskanjem po zapuščini dr. Josipa Plemlja našli na hrbtni strani starega koledarja [1] nekaj konstrukcij trikotnika, za katerega poznamo osnovnico c, višino Vc na osnovnico in razliko kotov £ = a - p. Z nalogo se je Plemelj seznanil v gimnaziji. Konstrukcije trikotnikov so še danes del učnega programa za srednješolce (in nekatere tudi za osnovnošolce). Nekatere naloge hitro rešimo, druge pa zahtevajo obširnejše znanje povezav med razlic-nimi elementi, ki nastopajo v trikotniku. Konstrukcija omenjenega trikotnika sodi med zahtevnejše naloge. Nekaj rešitev je Plemelj objavil [2]. Nekaj, še ne objavljenih rešitev te naloge pa smo našli na prej omenjeni hrbtni strani koledarja. Ker pa so na njej le skice (sem in tja je Plemelj sicer zapisal kakšno opombo), pot do njegovih rešitev ni takoj vidna in jo je treba pravzaprav znova poiskati. Lahko bi rekli, da smo z geometrijsko raziskavo iz narisane skice trikotnika našli pot do konstrukcije. Poleg tega pa so risbe tudi zbledele, zato so nekatere crte slabo vidne. Ogledali si bomo dve od Plemljevih še neobjavljenih rešitev s tega koledarja. Prva rešitev Konstruiraj trikotnik, ce je dana osnovnica, višina nanjo in razlika kotov ob osnovnici (AB = c, Vc, £ = a - P). Omejili se bomo le na primere, ko je a> p in posledicno 0 < £ ^2, pa nad tocko N. Kaj pa ce je £ = n? Potem je tocka O' kar tocka N. Na premici p si tedaj poljubno izberemo tocko C' (slika 3). Narišemo krožnico s središcem v N in polmerom NC , ki seka premico skozi tocki A in N v tocki A'. Skozi tocko A narišemo vzporednico s premico skozi tocki A in C , ki seka premico p v tocki C. Narišemo trikotnik ABC. Druga rešitev Oglejmo si še eno rešitev iste naloge s hrbtne strani koledarja (slika i spodaj). Zopet dopolnimo Plemlje-vo skico (slika 4). Narišimo iskani trikotnik ABC. Po-daljšajmo stranico CB skozi oglišce C. V oglišcu A narišemo pravokotnico h. Skozi C potegnemo vzporednico p k osnovnici c. Presecišce premic p in h je tocka A . Prezrcalimo tocko C cez premico h in -> 5 PRESEK 45 (2017/2018) 5 matematika u C' 1 1 \ N 1 1 / j «-/3=1 iM /rt \ ^—!—" SLIKA 3. Konstrukcija trikotnika, ce je razlika kotov a - p n 2 ' dobimo točko P. Trikotnik P CA je enakokraki. Narišemo premico (A,P). Presečišče te premice in premice (B,C) je točka D. Trikotniku ABD očrtamo kro-žnico. Središče S krožnice leži na simetrali 5 stranice c. M D h s Q/ A'A - v 8= f-e e = a — d P P\ A' a X £ M SLIKA 4. Trikotnik PCD je podoben trikotniku ABD. Izračunajmo še kot f. Kot 7 PRESEK 45 (2017/2018) 5 matematika —^ Fermat ni dokazal, češ, da sicer pozna zanj čudoviti dokaz, ki ga pa zaradi pomanjkanja prostora na robovih Aritmetike ne more zapisati. Posledica tega je bila, da je veliko slovecih matematikov, pa tudi amaterjev, izrek skušalo dokazati, a je trajalo okoli 350 let preden je bil dokazan. Dokaz je dolg in težak, posrečil pa se je leta 1993 Angležu Andrewu Johnu Wilesu, rojenemu leta 1953. Oglejmo si nekaj značilnosti Diofantove Aritmetike. Ne vemo zagotovo, kdo je bil Dionizij, ki ga omenja Diofant na začetku. Morda je bil kasnejši aleksandrijski škof. Danes bi vsekakor rekli, da je bilo že v Diofantovih časih v modi pisanje namena knjige. Ta tradičija se je ohranila do današnjih dni. Tako pravi Diofant na začetku svoje prve knjige: Ker vem, moj zelo spoštovani Dionizij, da si zelo prizadevaš, da bi se naučil reševati aritmetične naloge, sem Ti torej poskusil znanstveno predstaviti postopek. Pri tem začenjam z opazovanjem narave in lastnosti števil, kajti na njih temelji vsa stvar. Morda se bo snov zdela nekoliko težka, ker Ti je še popolnoma tuja in ker imajo začetniki pač malo upanja na uspeh. Toda s Tvojo pridnostjo in mojo predstavitvijo bo stvar postala lahko razumljiva, kajti hitro se učimo, če se združita prizadevnost in poučevanje. Diofant v svoji Aritmetiki, ki bi danes bolj sodila v algebro in teorijo števil, vpelje posebno oznako za neznanko, pa tudi izraze in oznake za potenče ter odštevanje, uporablja ulomke in enačbe ter pravila za delo z njimi. Ce je neznank več, jih poimenuje prva, druga itd. V vseh desetih knjigah Aritmetike, ki jih poznamo, je zbranih okoli 300 nalog, ki vodijo do algebrskih enačb s čelimi koefičienti. Diofant razlaga, kako jih rešujemo, išče pa samo rešitve v naravnih ali vsaj v pozitivnih račionalnih številih. Negativnih rešitev ne priznava za smiselne. Naloge so logično in sistematično razvrščene. Pogosto se skličuje na postopke v predhodnih nalogah. Diofantu v čast imamo dandanes diofantske enačbe, to so algebrske enačbe s čelimi koefičienti, za katere iščemo samo čeloštevilske rešitve. V Aritmetiki se Diofant zadovolji z eno rešitvijo, čeprav jih je lahko tudi več. Nekatere njegove ideje so uporabljali tudi veliki evropski matematiki, npr. Leonhard Euler (1707-1783). Da bi se vživeli v Diofantove naloge iz Aritmetike, si za primer eno oglejmo podrobneje. Spada po [3] v četrto knjigo na sam začetek. Seveda jo bomo reše- vali in komentirali v sodobnem jeziku in s sodobnimi oznakami. Beseda število v njej pomeni naravno ali vsaj pozitivno račionalno število. Naloga. Poiskati želimo kubični števili, katerih vsota je kvadratno število. Tako se dobesedno (v prevodu) glasi naloga v [3]. Kvadratno (kubično) število je kvadrat (kub) nekega števila. Diofant je zadovoljen z eno rešitvijo. Ce je število kvadrat, ga Diofantovi komentatorji označujejo z □. Prvo iskano število označimo z a, drugo pa z b. Naloga nas pripelje do enačbe a3 + b3 = □. Diofant izbere a = x, kjer je x neznanka. Nato vzame b = 2x in zapiše x3 + (2x)3 = 9x3 = □, nakar izbere □ = (6x)2 = 36x2 in dobi enačbo 9x3 = 36x2. Račun se lepo izide: x = 4. Dobi rezultat a = 4, b = 8. Preizkus: 43 + 83 = 576 = 242. Diofant s tem nalogo konča. Naloga ima še druge rešitve v naravnih številih. Eno, a = 1,b = 2, zlahka uganemo. Preizkus: 13 + 23 = 9 = 32. Toda naloga ima nešteto rešitev, kar hitro vidimo, če vzamemo a = k2,b = 2k2, kjer je k poljubno naravno število. Preizkus: a3 + b3 = k6+8k6 = 9k6 = (3k3)2. Vendar tako ne dobimo vseh rešitev. Med njimi npr. ni rešitve a = 7,b = 21. Problem, kako poiskati vse rešitve, pa že presega namen tega članka. Diofant rešuje veliko nalog na način, kakršnega smo pravkar spoznali. Najbrž je tako učil tudi svoje učenče. Diofantovo genialnost v reševanju enačb lahko iz današnje časovne oddaljenosti samo občudujemo. Literatura [1] T. Heath, A History of Greek Mathematics, Volume II, Dover Publications, New York 1981. [2] P. Tannery, Diophanti Alexandrini Opera Omnia cum Graecis Commentarii, Vol. I, Teubner, Leipzig 1893. [3] J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus Ari-thmetica in the Arabic Translation Attributed to Qusta ibn Luqa, Springer, New York, Heidelberg, Berlin 1982. _ XXX 8 PRESEK 45 (2017/2018) 5 fizika Stroboskopski efekt -i' -i' -i' Peter Leciša Filmanje vrtečega se kolesa Pri snemanju filmov in videov delamo zaporedne fotografije stanja v kratkih časovnih presledkih, vsaj 24-krat na sekundo. Ko to zaporedje fotografij predvajamo v enakem tempu, naši možgani niso zmožni individualno zaznati posameznih slik. Povežejo jih in tako dobimo bolj ali manj dobro reprodukcijo dogajanja. Ampak včasih pride do nenavadnih efektov. V kavbojskih filmih imamo vozove in kočije z veliko prečkami (špicami). Kar pogosto se zgodi, da se v najbolj napetih scenah, ko roparji ali Indijanci zasledujejo dirjajoči voz, v filmu kolesa vrtijo nazaj. Kako je to mogoče? Razlaga ni težka. Vzemimo zaradi lažjega risanja kolo s šestimi špičami, katerega os je pritrjena na steno nasproti nas. Kolo se vrti v pozitivni smeri, torej nasprotno smeri urnega kazalca. Snemamo vrtenje kolesa. Cas med dvema zaporednima posnetkoma naj bo T. Ce se kolo vrti s kotno hitrostjo u, to pomeni, da se v času t katerakoli točka na kolesu (izjema je negibna točka na osi) zavrti za kot y = cot. Pri majhnih hitrostih vrtenja, denimo pri uT = 5°, se med dvema zaporednima posnetkoma kolo zavrti za pet stopinj nasprotno smeri urnega kazalča, kot na sliki 1. Naša glava to interpretira kot vrtenje v pozitivni smeri. Kaj pa, če se kolo med dvema zaporednima slikama zavrti točno za šestino polnega kota, torej za 60°? Potem bo na mesto ene prečke v naslednjem posnetku prišla druga zaporedna, kot vidimo na sliki 2. Ker so prečke enake oblike, bodo zaporedne slike enake. (Točka A je označena le na sliki, ne na samem kolesu.) Pri projekciji videa bomo imeli občutek, da kolo stoji. Zdaj naj se kolo med dvema zaporednima slikama zavrti za malo več kot 60 stopinj, denimo za 65°. Zaporedje posnetkov na sliki 3 je povsem enako kot na sliki 1, saj so prečke enake. Točka A na samem kolesu seveda ni označena. Zaznamovali smo jo le na sliki. Navajeni smo, da povežemo bližnje elemente PRESEK 45 (2017/2018) G 9 fizika —^ na zaporednih slikah. Videti bo, kot da se kolo počasi vrti nasprotno smeri urnega kazalca s kotno hitrostjo, ki znaša 5/65 = 1/13 resnicne kotne hitrosti. Denimo zdaj, daje wT = 54°. Med dvema zaporednima posnetkoma se kolo zavrti za 54 stopinj kot na sliki 4. V naslednjem posnetku bo izbrana precka šest stopinj za prejšnjo lego naslednje precke. Ko v glavi povežemo bližnje elemente na zaporednih slikah, bomo to interpretirali kot vrtenje v smeri urnega kazalca - kot da se v casu T kolo zavrti za šest stopinj v negativni smeri. Se pravi, na filmu bo videti, kot da se kolo pocasi vrti v napacni smeri s kotno hitrostjo, ki znaša 6/54 = 1/9 resnicne kotne hitrosti. Aliasing ali napaka pri vzorčenju Zadnje tri napake sodijo v zelo široko podrocje, ki ga v anglešcini imenujejo aliasing, kar bi lahko prevedli kot napaka pri vzorčenju. Zaporedje posnetkov na-mrec ni nic drugega kot jemanje vzorcev dogajanja. Latinska beseda alias pomeni drugikrat, ob drugi priložnosti. Danes alias pomeni tudi drugo ime, drugo eksistenco. Naše vrtenje ob zgrešenem vzor-cenju dobi drugacen videz, nekak alias, ki je v nasprotju z resnicnostjo. Do tega nezaželenega pojava bo prišlo pri kolesih z veliko preckami že pri manjših kotnih hitrostih. Do napake bo teže prišlo, ce bomo vzorcili bolj na gosto, se pravi, snemali z vecjim številom slicic na sekundo. Stroboskop Stroboskop je bliskavica, ki je zmožna oddajati zelo kratke bliske drugega za drugim, v enakih casovnih presledkih, z vnaprej doloceno frekvenco. Frekvenca je število ponavljajocih se dogodkov (v našem primeru bliskov) v casovni enoti. Merimo jo v hertzih ali hercih. Hertz (Hz) je druga oznaka za s-1. Ime ima po nemškem fiziku Heinrichu Rudolfu Hertzu (1857-1894). Ta si je slavo pridobil med drugim z eksperimentalno potrditvijo, da je svetloba elektromagnetno valovanje. Že za nekaj sto evrov dobimo digitalni stroboskop, kije zmožen frekvenc od 1 do 1500 Hz (se pravi od 1 do 1500 bliskov na sekundo). V klasicnih strobosko-pih je ksenonska cev - kot v fotografski bliskovki. Zdaj najdemo tudi stroboskope s svetlecimi diodami (LED). Gibajoci se svincnik smo na sliki 5 osvetlili z ve-cjo fotografsko bliskavico v stroboskopskem nacinu s 100 bliski na sekundo. Bliskavico smo naravnali na najmanjšo moc (1/128 polne moci), tako da so bliski kar se da kratki. Cas osvetlitve je znašal 1/25 s, zaslonsko število na kameri smo dolocili s posku-šanjem. Bliskavica je v tem casu oddala štiri zelo kratke svetlobne impulze, ki so zamrznili gibanje svincnika. A A SLIKA 3. Med dvema posnetkoma se kolo zavrti za 65 stopinj. A A SLIKA 4. Med dvema posnetkoma se kolo zavrti za 54 stopinj. 10 PRESEK 45 (2017/2018) 6 fizika SLIKA 5. Gibajoči se svinčnik, osvetljen 1/25 sekunde s stroboskopom pri 100 Hz. Domača naloga. Premer svinčnika je okrog sedem milimetrov. Ocenite povprečno hitrost gibanja konca svinčnika med posameznimi bliski. S stroboskopom lahko določimo kotne hitrosti vrtečih se objektov. Kadar objekt nima kake markan-tne točke, lahko s kredo naredimo oznako stran od osi ali pa nalepimo stran od osi košček papirja, izo-lirnega traka. To je kot kolo z eno samo prečko. Osvetlimo s stroboskopom in spreminjamo frekven-čo stroboskopa. Ko je oznaka videti nepremična, je število polnih obratov na sekundo (= frekvenča) vrtečega se objekta očitno čel večkratnik frekvenče v stroboskopa, se pravi enaka mv, kjer je m eno od števil 1,2, 3,4 ... Poskusimo osvetliti objekt nato z dvakratnikom frekvenče v. Ce je košček spet nepremičen, lahko spet sklepamo, da je frekvenča objekta čel večkratnik od 2v. Ce vidimo dve kopiji oznake, simetrični glede na os vrtenja, je frekvenča vrtečega se objekta kv, kjer je k eno od lihih naravnih števil, se pravi eno od števil 1, 3, 5 ... V tem primeru osvetlimo s frekvenčo 3v ...Tako lahko zožimo nabor možnih frekvenč. Navadno približno vemo, kolikšna naj bi bila frekvenča vrtečega se objekta. S stroboskopom frekvenčo natančneje določimo. Avtomehanik ima majhen stroboskop, s katerim pri benčinskih motorjih posveti na vrteči se razdeli-leč vžiga in preveri ali nastavi vžig. Stroboskopski efekt Domača naloga. Imamo vrteče se kolo s šestimi prečkami. Pri osvetlitvi s stroboskopom s frekvenčo v je videti nepremično. Kolikšna je frekvenča kolesa (= število obratov na sekundo)? Odgovor seveda ni enoličen. Denimo, da imamo ponavljajoče se dogajanje. Ce osvetlitev s pulzirajočo svetlobo (ali snemanje) to dogajanje »zamrzne« ali bistveno upočasni, je to primer stroboskopskega efekta. Vzemimo, da z video kamero snemamo panoramo. Pri tem kamero vrtimo okrog navpične osi. Ce osrednji del slike zavzema objekt s ponavljajočim se vzorčem in v dveh ali več zaporednih posnetkih dobimo praktično enake slike, bo videti, kot da se je v tem časovnem obdobju naše vrtenje ustavilo. Panorama bo »čukala«. To je spet primer stroboskopskega efekta. Zaradi tega in drugih razlogov navadno panoramske posnetke vlečemo zelo počasi. S stroboskopom lahko odkrijemo ponavljajoča se dogajanja, ki jih sičer ne bi opazili. Spomnim se, kako nam je pred leti Presekov urednik dr. Andrej Likar v Fizikalnem praktikumu osvetlil s stroboskopom čurek vode iz pipe. Pri določeni frekvenči smo videli fantastično drevo, katerega deblo je bil sam čurek. Veje pa so sestavljale kapljiče, ki so periodično odletavale v vodoravni smeri, očitno na bolj ali manj istih mestih. Stroboskopski efekt je lahko tudi nevaren. Nekateri običajni viri svetlobe, kot so fluoresčenčna razsvetljava, LED sijalke (predvsem čenejše), lahko oddajajo svetlobo, ki bolj ali manj utripa s frekvenčo 100 Hz. (Poudarek je na »lahko«; dobre fluoresčen-čne in LED svetilke so neproblematične in oddajajo praktično konstanten svetlobni tok.) Denimo, da s tako utripajočo svetlobo osvetljujemo naše vrteče se kolo in v času 10 ms od enega do drugega utripa prečka pride približno na mesto neke druge prečke. Ce nismo pozorni, lahko dobimo vtis, da kolo stoji ali se giblje počasneje kot v resniči. Podobno se lahko zgodi s šivalnim strojem: videti je lahko, kot da igla PRESEK 45 (2017/2018) G 11 fizika —^ stoji, ceprav se giblje s 100 (ali 200) vbodi na sekundo. To je dejansko lahko vzrok nesrec v delavnicah in tovarnah. O vzrokih takega, v obicajnih razmerah prakticno nevidnega utripanja sijalk smo vec povedali v clan-kih LED sijalke in Žarnice in sijalke v cetrti in peti letošnji številki Preseka. Ce bi na hitro radi preverili utripanje svetlobe, vzemite svincnik. Hitro mahajte z njim sem ter tja blizu svetila. Ce svetloba resno utripa, boste videli zaporedje zamaknjenih slik svincnika. Fotografija 6 gibajocega se svincnika je bila posneta pod ceneno, majhno in lahko LED sijalko (z mocjo 4 W). Cas osvetlitve je znašal 1/25 sekunde. Vidimo, da je svinc-nik v tem casu doživel štiri svetlobne »sunke«. Med njimi pa je bilo za kratek cas svetlobe zelo malo. V 1/25 sekunde je sijalka utripnila štirikrat, v eni sekundi utripne torej okrog 4 x 25 = 100 krat. Primerjajmo s sliko 5, pa vidimo, da ta sijalka deluje kot slab stroboskop z eno samo frekvenco. Kot smo videli v prej omenjenih clankih, je frekvenca utripanja dvakratnik frekvence omrežne napetosti, torej na-tancno 100 Hz. Stroboskopski efekt moti, ce imamo hitro gibajoce se objekte ali pa ce hitro premikamo pogled. Zato utripajoca svetloba ni dobra za branje. Ne le levo, desno, tudi gor, dol nU vU vU Nada Razpet Iz vsakdanjih izkušenj vemo, da sta na zrcalnih slikah leva in desna stran zamenjani. Kaj že to pomeni? Naredimo poskus. Pred navpicno postavljeno ravno zrcalo postavimo prometnika, ki v desni roki drži lopar. Slika prometnika nastane za zrcalom, na enaki razdalji, kot je prometnik oddaljen od zrcala. Lopar, ki ga drži prometnik v svoji desni roki, ima na zrcalni sliki v levi roki. Zamenjani sta torej leva in desna stran. Ali lahko zamenjamo tudi gor in dol? Da bomo lahko odgovorili na to vprašanje, naredimo prej še en poskus. SLIKA 6. Svinčnik v gibanju, osvetljen 1/25 sekunde s poceni LED sijalko. x x x SLIKA 1. Prometnik drži lopar v desni roki, na zrcalni sliki pa ima lopar v levi roki. 12 PRESEK 45 (2017/2018) G 12 fizika Dve, med seboj pravokotni ravni zrcali Zdaj prometnika postavimo pred dve, med seboj pravokotno postavljeni ravni zrcali. Kaj vidimo v zrcalu, je seveda odvisno od lege opazovalcevih oci. Pri dveh med seboj pravokotnih zrcalih lahko, ce se prav postavimo, poleg prometnika samega vidimo še tri njegove slike. Fotografijo na sliki 2 smo obrezali tako, da je vidna le tista slika, ki nas trenutno zanima. SLIKA 2. Pred dve, med seboj pravokotni ravni zrcali postavimo prometnika. Tudi na sliki drži prometnik lopar v desni roki. Spodaj: Potek enega od žarkov po odboju od obeh zrcal. Leva in desna pri tej sliki nista zamenjani. Kaj opazimo? Tudi na sliki ima prometnik lopar v desni roki. Slika prometnika je nastala po odboju žarkov od obeh zrcal (slika 2). Ta primer nam daje namig, kako bi tudi v ravnem zrcalu lahko videli sliko prometnika, postavljenega na glavo. Vrtimo zrcali Dve ravni zrcali z lepilnim trakom zalepimo po enem od robov in ju pritrdimo na nosilec tako, da sta med seboj pravokotni, hkrati pa sta glede na vodoravno ravnino nagnjeni za 45°, kot kaže slika 3. SLIKA 3. Dve, med seboj pravokotni ravni zrcali postavimo na vrtljivi nosilec. Na papir narišemo krog, oznacimo središce kroga in ga razdelimo najmanj na štiri enake dele, da bomo lažje spremljali povezavo med zasukom zrcal in sliko prometnika. Zrcali z nosilcem postavimo tako, da se sticni rob zrcal ujemo z enim od premerov kroga, sredina sticnega roba pa je nad središcem kroga. Nad zrcali, vzporedno s podlago, pritrdimo prometnika. Nosilec z zrcaloma vrtimo v vodoravni ravnini (x,y) okrog navpicne osi z. Opazujemo z mesta, s katerega vidimo tisto sliko prometnika, ki nastane po odboju od obeh zrcal. Ko zrcali zavrtimo za kot a, se slika predmeta zavrti za kot 2a, kot kažejo slike 4. Narišimo še ustrezno skico (slika 5). Namesto celega predmeta bomo preslikali le eno tocko in pogledali, kako se spreminja lega slike tocke po odboju od obeh zrcal v odvisnosti od zasuka zrcal. -> PRESEK 45 (2017/2018)6 13 FIZIKA SLIKA 4. Predmet je pritrjen nad zrcaloma in se med poskusom ne premika, slika v zrcalih se obraca. Ko se zrcali zasukata za 45°, se slika zavrti za 90°, ko pa ju zasukamo za 90°, se slika zasuka za 180°. Tudi slika fotografove glave seje zavrtela, čeprav fotografira vedno z istega mesta. Opazujemo le sliko, ki nastane po odboju od obeh zrcal. SLIKA 5. Zrcali zavrtimo za kot a okrog navpicne osi (oznacena z modro barvo), slika tocke se po odboju od obeh zrcal zavrti za kot 2a. Slika tocke T po odboju od obeh zrcal je tocka T" (x1 ,y1 ,z1). Pri zasuku zrcal riše tocka T" krožni lok s središčem na osi z. Lok leži v ravnini, ki je vzporedna z ravnino (x,y), torej je koordinata z1 = -z0 te tocke konstantna. Racun je nekoliko zahtevnejši, zanj je potrebno osnovno znanje o preslikavah z vektorji. Os vrtenja je os x Dve pravokotni ravni zrcali zdaj postavimo tako, da sta nagnjeni za 45° proti navpicni ravnini (ravnini y,z), in ju vrtimo okrog osi x. Gledamo se v zrcali in ju hkrati vrtimo. Skupaj z zrcaloma se suka tudi naša glava. Vemo, da s krogelnimi konkavnimi zrcali obrnemo sliko predmeta na glavo. Poskusimo to s konkavnim cilindricnim zrcalom, ki ga lahko izdelamo sami. Konkavno cilindrično zrcalo Konkavno cilindricno zrcalo izdelamo iz pravokotnega kosa zrcalne folije, ki jo pritrdimo na okrogel 14 PRESEK 45 (2017/2018) 6 fizika SLIKA 6. Predmet je pred konkavnim cilindričnim zrcalom in se med poskusom ne premika. Ko obroč zavrtimo za kot 45°, se slika zavrti za kot 90o, ko pa ga zasukamo za kot 90°, se slika zasuka za 180°. SLIKA 7. Os valja zavrtimo za kot 45° v ravnini (y,z), slika štirikotnika (označeno s črno barvo) se zavrti za 90°. Stranice slike štirikotnika so zakrivljene in ne ležijo v isti ravnini (zadnja slika). Slika je realna. obroc ali notranji obod valjastega lonca. Obroc vrtljivo pritrdimo na nosilec. Razdalja d prometnika do zrcala naj bo r < d < 2r, pri Čemer je r polmer obroca, na katerem je pritrjena folija. Ravnino obroča zavrtimo najprej za približno 45°, nato pa za 90° (slika 6). Slika prometnika se zavrti za 90° oziroma 180°. Slika prometnika se pri zasukanem zrcalu ukrivi. Opazimo še, da leva in desna stran tudi tu nista zamenjani, slika prometnika lebdi v zraku in je realna. Ponazorimo si to še s skicami (slika 7). Zrcalo je del plašca pokoncnega valja. Narišemo še os valja. Zrcalo nagibamo tako, da spreminjamo naklon osi valja v ravnini (z, y). Zadnja skica na sliki 7 ja pogled v smeri osi z na ravnino (x,y). Opazimo, daje slika štirikotnika ukrivljena. Še sami se poglejte v cilindricno zrcalo. Ce bi imeli vecja zrcala, bi lahko stali pred njim, naša slika pa bi ležala v zraku. Na podoben nacin v hišah eksperimentov navidezno premagajo težnost in ljudje lebdijo v zraku oziroma stojijo na glavah. Literatura [1] S. Derman, An optical puzzle that will make your head spin, Phys. Teach. 19 (1981), 395, [2] A. J. DeWeerd, S. E. Hill, The Dizzying Depths of the Cylindrical Mirror, Phys. Teach. 43 (2005), 90-92. _ XXX PRESEK 45 (2017/2018) G 15 RAZVEDRILO Nagradna križanka AVTOR MARKO BOKALlC STAROGRŠKI NARAVOSLOVEC IN POLITIK STOPNJA ZANESLJIVOSTI, MOŽNOST DOGODKA ŽIVAL, KI RIJE POD ZEMLJO ENAKI ČRKI NEMŠKI LETAL. KONSTRUKTOR (CLAUDE) VELIKA KOVINSKA POSODA ZA DVIGANJE PREMOGA AU RUDE PO JAŠKU OCE KLASIČNE GEOMETRIJE PRIMORSKO RDEČE VINO ŠOLSKI PROSTOR Z ZBIRKAMI IN UČNIMI PRIPOMOČKI KOS BLAGA ZAPOGR-NITEV MIZE AMERIŠKA IGRALKA (CAMERON) GORIŠČE ELFRIEDE JELINEK FRANCOSKI MATEMATIK (FRANCOIS) GL. MESTO SENEGALA ITALIJAN. MOTORIST (VALENTINO) KRAJ V TRŽAŠKEM PRIMORJU POSPEŠEVAL. ELEKTRONOV ZDRAVLJENJE UŠESNIH BOLEZNI VISOK PLEMIŠKI NASLOV JUGOZAHODNI DEL LJUBLJANE IMOBILIZACIJA UDA ENOTA ZA BORZNO TRGOVANJE JANEZ HOČEVAR VSEVEDEN ČLOVEK PISEC ESEJEV SOSEDI ČRKEŠ ŽENSKA POTOMKA : POLJŠČINA, KI IMA VELIK PODZEMELJSKI PLOD KOLIČINA, PODANA LE S ŠTEVILOM IN ENOTO ANTIČNO IGRALSKO OBUVALO Z VISOKIM PODPLATOM PRIKAZ GLOBINE NA PLOSKVI KDOR NE ZMORE OPRAVITI, KAR JE POTREBNO RUSKI BALETNIK (RUDOLF) ČAS PRED NOČJO ZRAČNO VOZILO GL MESTO FINSKE POT GIBAJOČEGA SE TELSA REKA V STRASBOURGS PRITOK RENA UTRJENA RIMSKA MEJA CVETICA ŽAMETNICA REKA, KI TEČE SKOZI ASTANO AMERIŠKA TEMNOPOLTA VOKALNA SKUPINA IGOR AKRAPOVIČ UBRANOST V NARAVI ITALIJAN. TISKOVNA AGENCIJA REČNA OBALA ZVRST ZABAVNE GLASBE POVELJSTVO ROMAN SAVNIK ANG. KEMIK IN IZUMIT. (JOHN F.) PREMER STRELNE CEVI NEPRIJETNOST, NEVŠEČNOST IGRALKA MIRANDA POMOŽNI DOKAZNI IZREK PREGIBNA BESEDNA VRSTA NABITOST JAZ, TI, ? PISNA ZNAMENJA ZA GLASOVE PALICA ZJERME-NOMZA UDARJANJE MESTO OB ISTOIMEN. NAJVEČJEM JEZERU V TURČIJI RIMSKI GRIČ VELETOK NA INDIJSKI PODCELINI ITALIJAN. GRADITELJ VELIKIH OBJEKTOV (PIER LUIGI) JANEZ ERŽEN NIKARAGOV. DRŽAVNIK (DANIEL) OBMOČNA ENOTA IZGOVARJANJE GLASU L PRI OPISNIH DELEŽNIKIH POTENCIRANO ŠTEVILO NAŠ BIOLOG, ŽIVILSKI TEHNOLOG (BOŽIDAR) ALDEHID OCETNE KISLINE 16 PRESEK 45 (2017/2018) S 16 RAZVEDRILO DUŠEVNO STANJE NEUGODJA ZARADI NEZADOVOLJIVE ŽEUA EMANUEL LASKER VELIK HOTELSKI KOMPLEKS V TURIST. KRAJU EMIL ZATOPEK BERT SOTLAR SUROVA BOMBAŽNA TKANINA ORIENTALSKA MESNA JED VELETOK, KI IZVIRA V BURUN-DLIU ROJSTNA VAS SIMONA GREGORČIČA DRUGI NAJVEČJI PRITOK SENE V FRANCIJI ELDA VILER NEPRIJETEN OBČUTEK STRAHU NA KOŽI NAŠA ALPSKA REKA ORGAN SREDI OBRAZA 51Z RIMSKIMI ŠTEVILKAMI KOREJSKI AVTO SLOVITI MEHIŠKI ROKOVSKI KITARIST IN PEVEC OBSEŽNO OTOČJE Z VMESNIM MORJEM VEZNIK PREBIVALCI OBČINE JUŽNO OD LJUBLJANE NAŠRADI-JEC(RADO) PODOLGOV. VDOLBINA V TLEH OKRASNA ROŽA GORSKA TOVORNA POT ENAKA SAMOGLASNIKA NEČEDNA ZADEVA KOŠARKARSKI TRENER BEČIROVIČ KRATEK OPRIJET MOŠKI SUKNJIČ TAJVANSKI REŽISER LEE 60 SEKUND MUSLIMANSKI BOG ZVOČNI ZNAK ZA NEVARNOST POTREBA, SILA OBRAT ZA BAKRENJE PRESTOLNICA OB TIBERI ZNANILEC OGNJA VELIK GUMIJAST ČOLN ZA SPUSTE PO BRZICAH NIZ ZNAKOV ZA OZNAKO SPLETNIH VSEBIN ANGLEŠKA IGRALKA iJILLJ. GRM, KI RODI LEŠNIKE PRIPADNIK ANTIČNE FILOZOFSKE ŠOLE NOBELU VODA POD POVRŠJEM ZEMLJE KEMIČNA TOVARNA V CELJU OSTANEK IZ DAVNINE KONCENTR. ŽVEPLOVA KISLINA 10 GLASBENIK JOHN STENSKO OGLEDALO MED OKNOMA OTIŠČANEC NIZ. MESTO S SEDEŽEM VLADE IN PARLAMENTA PRED. DROG PRI VOZU PRVA ŽENSKA NASVETU NAŠ ROKOM. VRATAR (URH) NAŠ FILM. REŽISER (FRANCO ŠVEDSKI POHIŠTVENI GIGANT POKOJNI IGRALEC GRANT GLASBENIK GJURIN LITERARNA ZVRST, KI IZRAZA ČUSTVA MAX ERNST POKOJNI SOVJETSKI FILMSKI REŽISER (NIKOLAJ) NAJDALJŠA REKA NA ŠKOTSKEM 11 N A C R A D N I R A Z P I S -> Crke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazeč na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 5. avgusta 2018, ko bomo izžrebali tri nagrajenče, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX PRESEK 45 (2017/2018) S 17 astronomija Višinski kot nebesnih teles •i' Vp Marijan Prosen -> Višinski kot nebesnih teles je temeljni pojem iz astronomske geometrije, ki ga je treba obvladati, dobro poznati in razumeti. Napisano je elementarno. Razumeti ga morejo že učenci sedmega razreda naše osnovne šole. V članku si bomo natančneje ogledali višinski kot Sonca in zvezd, omenili pa bomo tudi višinski kot Lune in planetov. Višinski kot Sonca Višinski kot Sonca (ne višina Sonca) je kot med vodoravno ravnino in smerjo proti Soncu, natančnejše proti središču S Sonca. Ta kot lahko pokažemo z rokama. Iztegnjeno levo roko usmerimo proti Soncu, a vanj ne gledamo, z iztegnjeno desno roko pa z vodoravnim gibanjem roke nakažemo vodoravno ravnino. Kot med levo roko in v mislih nakazano ravnino je višinski kot Sonca. Sonce se vsak dan giblje na nebu od vzhoda do zahoda. To je njegovo navidezno dnevno gibanje. Vsak trenutek je Sonce drugje na nebu. Zato v bistvu govorimo o trenutnem višinskem kotu Sonca, saj se s casom spreminja. Pozneje bomo besedo trenutni izpušcali. Sonce vsak dan vzide in zaide. Vsak dan pride tudi v najvišjo lego na nebu ali najvišjo lego nad obzorjem. Ob vzidu je višinski kot Sonca nic (0°), dopoldne se kot veca, ker se Sonce dviga, opoldne je Sonce najvišje in zato je njegov višinski kot opoldne najvecji. Popoldne se Sonce spušca in njegov višinski kot se manjša, ob zaidu pa je spet nic. Opoldne je Sonce najvišje na nebu v južni smeri. To je najvelicastnejši dogodek dneva, saj Sonce ob jasnem dnevu v tej legi najmocneje greje, se najmo-gocneje razdaja. Je pa ta lega Sonca tudi pomembna za orientacijo. Ce smo s trebuhom obrnjeni proti SLIKA 1. a - (trenutni) višinski kot Sonca, to je kot med smerema OS in OS', O - opazovališce (naše oci); namesto Sonca si lahko predstavljamo Luno, planet, zvezdo ali kako drugo vesoljsko telo. Soncu, je za nami sever (kamor kaže naša senca), levo je vzhod, desno pa zahod. Opoldne govorimo o opoldanskem višinskem kotu Sonca ali višinskem kotu Sonca opoldne ali tudi o višinskem kotu opoldanskega Sonca. V tem primeru ležita naše opazovališce O in Sonce v navpicni pol-dnevniški ali meridijanski ravnini, ki gre skozi pol-dnevnico, to je premico sever-jug. Poleti je Sonce opoldne višje na nebu kot pozimi, zato je opoldanski višinski kot Sonca poleti vecji kot pozimi. Opoldanski višinski kot Sonca v kakem kraju je odvisen od lege kraja na Zemlji oziroma od zemljepisne širine tega kraja p in lege Sonca glede na zvezde oziroma od njegove deklinacije 5, ki se med letom spreminja v mejah od -23,5° (zimski solsticij) do +23,5° (poletni solsticij). Opoldanski višinski kot a Sonca dolocenega dne (datuma) v letu, ko je 5 de-klinacija Sonca, je v kraju severne Zemljine polute z doloceno ali znano zemljepisno širino p enak a = 90° - p + 5. V naših krajih opoldanski višinski kot Sonca nikoli ne doseže 90°. To pomeni, da Sonce nikoli med le- 18 PRESEK 45 (2017/2018) 6 astronomija tom ne pride v nadglavišce (zenit), natancno nav-picno na nebo nad nami. V nekaterih krajih pa pride. Poglejmo, v katerih. Enacbo za opoldanski višinski kot Sonca doloce-nega dne v letu zapišimo nekoliko drugace, takole: a = 90° - (p - 5). Daje a = 90°, mora biti (p - 5) = 0 oziroma p = 5, ko je zemljepisna širina kraja enaka deklinaciji Sonca. To je v tistih krajih, ki ležijo med južnim in severnim Zemljinim povratnikom z zemljepisnima širinama -23,5° in +23,5°, torej še v krajih na obeh povratnikih in seveda na Zemljinem ekvatorju. Matematicno to zapišemo: -23,5° < p < +23,5° in preberemo, da p leži med vrednostma -23,5° in +23,5° in jima je tudi enak. 21 6. SLIKA 2. Zgleda Kolikšen je opoldanski višinski kot Sonca v Kranju s p = 46° ob poletnem Soncevem obratu (21. 6.), ko je 5 = 23,5°? Opoldanski višinski kot Sonca v Kranju tega dne je a = 90° - p + 5 = 90° - 46° + 23,5° = 67,5°. V nekem kraju na severni Zemljini poluti je sredi aprila, ko je 5 = 10°, opoldanski višinski kot Sonca enak a = 25°. Kolikšna je zemljepisna širina p tega kraja? Iz enacbe za opoldanski višinski kot Sonca sledi p = 90° - a + 5 = 90° - 25° + 10° = 75°. Naloge Koliko meri opoldanski višinski kot Sonca v Kranju s p = 46° ob zimskem Soncevem obratu (21. 12.), ko je 5 = -23,5°? [20,5°] ■ Slika 2 velja za naše kraje. Opišite, kaj prikazuje; posebej v - višina navpicne palice, d - opoldanska dolžina sence palice. Kaj se dogaja z opoldansko dolžino sence palice v navedenih datumih med letom? ■ Iz Slovenije, kjer za kraje lahko približno vzamemo kar p = 45°, nekega dne opazujemo Sonce in izmerimo opoldanski višinski kot Sonca 30°. V katerem letnem casu ga opazujemo, spomladi, poleti, jeseni ali pozimi? [5 = -15°; to je jeseni, okoli 1. novembra; uporabimo Astronomske efemeride.] Katerega dne pride v krajih na Zemljinem ekvatorju Sonce opoldne v zenit? [Ob enakonocju.] Opomba. Postavite to vprašanje še drugace (z opoldanskim višinskim kotom Sonca, ki je 90°). ■ V Ljubljani s p = 46° 3' smo pozimi izmerili opoldanski višinski kot Sonca enak 20°. Ali je to mo- goce? Višinski kot zvezde Višinski kot zvezde (ne višina zvezde) je kot med vodoravno ravnino in smerjo proti zvezdi. Tudi ta kot lahko pokažemo z rokama. Iztegnjeno levo roko usmerimo proti zvezdi, z iztegnjeno desno roko pa z vodoravnim gibanjem roke nakažemo vodoravno ravnino. Kot med iztegnjeno levo roko in v mislih nakazano ravnino je višinski kot zvezde. Ko je zvezda na obzorju, v vodoravni ravnini, je njen višinski kot 0 (0°), ko pa je navpicno nad nami, v nadglavišcu, je njen višinski kot 90°. Zvezde se gibljejo na nebu. To je njihovo navidezno gibanje (kroženje), do katerega pride zaradi vrtenja Zemlje. Glede na to, kje na nebu se gibljejo, razlikujemo zvezde nadobzornice, vzhajalke in po-dobzornice. Iz dolocenega kraja lahko opazujemo le nadobzornice, saj so stalno na nebu, in vzhajalke, ki vzhajajo in zahajajo in so ene vec, druge manj casa nad obzorjem. Podobzornic pa iz tega kraja ne moremo opazovati, ker nikoli ne pridejo nad obzorje in jih sploh ne moremo videti. Zvezde spreminjajo svojo lego glede na predmete na obzorju opazovališca. Zato se spreminjajo tudi njihovi višinski koti. Govorimo spet o (trenutnem) višinskem kotu opazovanih zvezd, saj se s casom spreminja. Zaznavamo le višinski kot vzhajalk in na-dobzornic. -> PRESEK 45 (2017/2018) 6 19 astronomija —^ Obravnavali pa bomo le višinski kot vzhajalke za kraje na severni Zemljini poluti. Sonce je vzhajalka. Kakor Sonce tudi zvezda vzhajalka vzide in zaide. V casu enega dne, v 24-ih urah, pride vsaka vzhajalka enkrat tudi v najvišjo lego na nebu ali v najvišjo lego nad obzorjem kakega kraja. Vsaka vzhajalka ob svojem casu. Ob vzidu zvezde je njen višinski kot nic (0°). Ko se zvezda dviga, se kot veca, ko pride najvišje, je višinski kot zvezde največji. Potem se zvezda spušca in njen višinski kot se manjša, ob zaidu zvezde pa je spet nic. Zvezde vzhajalke pridejo v najvišjo lego na nebu vedno v južni smeri, na južni strani neba, in sicer vsaka zase, kot že receno, v razlicnem casu. Takrat dosežejo najvecji višinski kot in naše opazovališce O ter zvezda ležita v poldnevniški ravnini. Zvezda, ki se giblje dalj casa nad obzorjem oziroma ima daljši lok gibanja nad obzorjem, precka to ravnino višje in ima zato vecji najvecji višinski kot kakor zvezda, ki se giblje manj casa nad obzorjem. Najvecji višinski kot zvezde v poldnevniški ravnini je za kako opazovališce odvisen od njegove lege na Zemlji oziroma od zemljepisne širine p opazovali-šca in lege zvezde na nebu oziroma od njene dekli-nacije 5, ki pa se med letom ne spreminja. Najvecji višinski kot a zvezde z deklinacijo 5 ob njenem prehodu cez poldnevniško ravnino za kraje z znano zemljepisno širino p na severni Zemljini poluti je tako za vse dni v letu enak in je a = 90° - p + 5. Zanimive so predvsem zvezde, ki pri svojem navideznem gibanju pridejo na nebu natancno nad našo glavo, v nadglavišce. V nadglavišce seveda pridejo le dolocene, izbrane vzhajalke (in tudi nadobzornice). Poglejmo, katere vzhajalke s pozitivno deklinacijo (5 > 0) lahko v krajih s pozitivno zemljepisno širino (p > 0; to je na severni Zemljini poluti) pridejo v nadglavišce, da gredo cez krajevni nebesni poldnevnik natancno nad glavo, ko je njihov višinski kot natanko 90°. To ugotovimo iz enacbe za najvecji višinski kot zvezde, ki jo spet zapišemo takole: a = 90°-(p-5). Da je višinski kot a = 90°, mora biti (p - 5) = 0 oziroma p = 5. Povedano z besedami: zemljepisna širina kraja mora biti enaka deklinaciji zvezde. V krajih, ki imajo takšno zemljepisno širino, kot je deklinacija zvezde, taka zvezda pride v nadglavišce. Ena taka, celo idealna zvezda za naše kraje, je svetla zvezda Kapela ali Koza z 5 = 46°, ki leži v ozvezdju Voznik. Sredi zime je ponoci natanko nad našo glavo. Druga (ne ravno idealna) zvezda pa je prav tako svetla zvezda Vega z 5 = 39° v ozvezdju Lira, ki je poleti ponoci blizu nadglavišca. O tem se lahko prepricamo z racunom in/ali z opazovanjem zvezd. Za druge kraje pridejo v poštev druge zvezde, da pridejo v nadglavišce. Na nebu pa je še ena posebno zanimiva zvezda. Višinski kot se ji skoraj ne spreminja. Leži zelo blizu severnega nebesnega pola, komaj 0,7° oddaljena od njega. Tej nadobzornici je ime Severnica (Polarnica). Navidezno se giblje tik okrog severnega nebesnega pola (kroži po skrajno majckeni krožnici) in se ji zato višinski kot skrajno malo spreminja. N P X (Severnica) / \ / \ / \ / \ / \ nebo / \ / \ / \ / \ / \ obzornica /\ E \ """----^ X —-s poldnevnica / 1 ^ ----- / 0 ^^^ ----/ W SLIKA 3. Lega Severnice na nebu v neposredni bližini severnega nebesnega pola za naše kraje - podnevi in ponoci praktično leži v isti točki neba, kar uporabimo za nočno orientacijo. Če smo obrnjeni proti Severnici, je pred nami sever N, za nami jug S, desno vzhod E, levo zahod W; O - opazovališce, P - severni nebesni pol, kjer v neposredni bližini leži Severnica, p - višinski kot severnega nebesnega pola (približno višinski kot Severnice), to je kot med vodoravno ravnino (obzorjem) in smerjo proti severnemu nebesnemu polu. Dokazati je mogoce, daje višinski kot severnega nebesnega pola enak zemljepisni širini kraja na severni Zemljini polkrogli. To je preprost nacin do-locanja zemljepisne širine kraja. Če izmerimo višinski kot Severnice, približno dolocimo oziroma ocenimo zemljepisno širino kraja. Opomba. Pri razlagi tega pojma na osnovni stopnji lahko vzamemo, da Severnica leži kar v P, saj je razlika med legama severnega pola in Severnice manjša od 1°. Z S 20 PRESEK 45 (2017/2018) 6 astronomija Zgleda ■ Kolikšen je največji višinski kot svetle zvezde Vege v Kranju s p = 46°, če ima deklinacijo 5 = 39°? Največji višinski kot Vege je a = 90° - p + 5 = 90° - 46° + 39° = 83°. V nekem kraju na severni Zemljini poluti opazujemo zvezdo z 5 = 25° v poldnevniški ravnini in izmerimo njen največji višinski kot a = 60°. Kolikšna je zemljepisna širina p tega kraja? Iz enačbe za višinski kot zvezde sledi p = 90° -a + 5 = 90° - 60° + 25° = 55°. Naloge ■ Koliko meri največji višinski kot svetle zvezde Arktur v Ljubljani s p = 46°, če je njena dekli-nacija 5 = 19°? [63°] Iz Slovenije, kjer za zemljepisno širino krajev lahko približno vzamemo kar p = 45°, opazujemo zvezdo in izmerimo njen največji višinski kot 77°. Kolikšna je deklinacija te zvezde? [5 = 32°] Kaj prikazuje slika 4? SLIKA 4. Z iztegnjeno roko in prsti poskusite ugotoviti višinski kot Severnice in s tem oceniti zemljepisno širino vašega kraja. ■ Kako se najbolj preprosto prepričate, da se višinski kot Severnice skoraj ne spreminja? Pomislite na nekaj nočnih opazovanj Severnice iz vedno istega opazovališča. ■ Katera zvezda pride v nadglavišče v kraju s p = 32°? [Zvezda z 5 = 32°.] ■ Koliko meri zemljepisna širina opazovališča, v katerem opazujemo zvezdo z deklinacijo 65°35' v zenitu? [p = 65°35'] Katere zvezde vidimo v krajih na Zemljinem ekvatorju natančno nad glavo? [Zvezde z 5 = 0°.] Katere zvezde vidimo na severnem Zemljinem polu natanko v nadglavišču? [Nobene, saj tam vendar leži severni nebesni pol, šele zelo blizu pola, manj kot 1°, pa leži Severnica.] Višinski kot Lune in planetov Luna in planeti se navidezno gibljejo v zodiaku, to je pasu na nebu ±8° ob ekliptiki, letni poti Sonca na nebu. Zato v naših krajih ne morejo priti v nadgla-višče. Kar velja za višinski kot Sonca in zvezd, velja tudi za višinski kot Lune in planetov (razen to, da je deklinacija konstantna). Zgled Recimo, da je Jupiter viden v ozvezdju Dvojčka in ima deklinacijo okoli 31°. Koliki je približno njegov največji višinski kot za kraje v Sloveniji? Ta je a = 90° - p + 5 = 90° - 45° + 31° = 76°. Pa smo vzeli zelo veliko deklinacijo planeta. Kot 76° je še daleč od pravega kota, da bi bil Jupiter v zenitu. Nebesna telesa, ki se na nebu gibljejo v zodiaku, v naših krajih nikoli ne pridejo v nadglavišče. Tudi Luna ne. Kar opazujte jo. Literatura [1] F. Avsec in M. Prosen, Astronomija, DMFA - založništvo, Ljubljana 2006. [2] M. Prosen, Astronomska opazovanja, Presekova knjižnica 3, DMFA - založništvo, Ljubljana 1978, 252. [3] B. Dintinjana, H. Mikuž in T. Zwitter, Naše nebo, Astronomske efemeride, tekoči letniki. _XXX 21 PRESEK 45 (2017/2018) 6 astronomija Naloge 11. mednarodne o l i m p i j a d e iz astronomije in astrofizike 2017 nU vU vU Andrej Guštin -> Mednarodna olimpijada iz astronomije in astrofizike (MOAA) je mednarodno tekmovanje iz znanja, na katerem sodelujejo dijaki in dijakinje iz 45-ih držav. Delež držav, ki se udeležujejo MOAA, predstavlja vec kot 90 odstotkov svetovne populacije. Namen tekmovanja je popularizacija astronomije in astrofizike med mladimi in je najpomembnejše tovrstno tekmovanje na svetu. Slovenija je leta 2017 na MOAA sodelovala petic. Na MOAA je število zlatih medalj manjše od 5 % števila vseh udeležencev, zato je prejem takega priznanja še toliko vecji uspeh. 11. MOAA je potekala med 12. in 20. novembrom 2017 na otoku Phuket na Tajskem. Vseh tekmovalcev je bilo skupno 214. V slovenski ekipi, ki sta jo na olimpijadi spremljala Andrej Guštin in Krištof Skok, so bili dijaki Luka GovediC, Rok KovaC, Aleksej Jurca, Urban Ogrinec, Marko Cmrlec. Aleksej Jurca je na olimpijadi zasedel prvo mesto in postal absolutni zmagovalec. Ta neverjetni in težko ponovljivi uspeh sta dopolnila Marko Cmrlec in Luka Govedic, ki sta prejela pohvali. Tokrat prinašamo nekaj nalog 11. MOAA, rešitve pa bomo objavili v prihodnji številki Preseka; neučakani jih lahko najdejo na tem spletnem naslovu: i oaa2017.posn.or.th/questi on.php SLIKA 1. Aleksej Jurca, najboljši mladi astronom na svetu (Foto: Andrej Guštin). Analema na drugem planetu Navodilo. Na podlagi slike 2 doloci nagib vrtilne osi namišljenega planeta na njegovo ravnino kroženja okoli neke zvezde. Veliki Magellanov oblak nad Phuketom Nebesne ekvatorialne koordinate Velikega Magella-novega oblaka (LMC) so: rektascenzija = 5 h 24 min; deklinacija= -70o 00'. Geografske koordinate Phuketa so: zemljepisna širina= 7o53'; zemljepisna dolžina= 98o24' vzhodno. 22 PRESEK 45 (2017/2018) 6 ASTRONOMIJA sever 51 SLIKA 2. Analema na površju planeta Betlehemska zvezda Velika konjunkcija je za opazovalca na Zemlji ko-njunkcija Jupitra in Saturna. Predpostavi, da imata Jupiter in Saturn krožne orbite v ravnini ekliptike. Cas med dvema zaporednima konjunkcijama lahko ob opazovanju z Zemlje malo niha, vendar je povprečen cas enak za opazovalca iz središca Osoncja. ■ Doloci povprecno periodo velike konjunkcije (v letih) in povprecen heliocentricni kot med dvema zaporednima velikima konjunkcijama (v stopinjah). ■ Naslednja velika konjunkcija bo 21. 12. 2020 z elongacijo 30,3° vzhodno od Sonca. Oceni, v katerem ozvezdju se bo to zgodilo. (Podaj IAU latinsko ime ali IAU kratico za ozvezdje, npr. Ursa Major ali UMa.) Leta 1606 je Johannes Kepler pokazal, da lahko v dolocenih letih pride do treh konjunkcij na leto zaradi retrogradnega gibanja planetov. Pokazal je tudi, da je do takšnega dogodka prišlo leta 7 pr. n. št., ki bi lahko bil kandidat za t. i. Betlehemsko zvezdo. Za nadaljnje izracune lahko zanemariš precesijo Zemljine vrtilne osi. ■ Oceni, v katerem ozvezdju se je zgodila velika konjunkcija leta 7 pr. n. št. (Podaj IAU latinsko ime ali IAU kratico za ozvezdje, npr. Ursa Major ali UMa.) Izracunaj datum, ko LMC v Phuketu kulminira ob 21.00 uri po lokalnem casu. Leta 2017 je zvezdni cas (GST) na Greenwichu 1. januarja ob 00h UT 6 h 43 min, Phuket pa je v casovnem pasu UT + 7 ur. Za opazovalca na Zemlji oceni, v katerem ozvezdju je bilo Sonce ob drugi konjunkciji serije v letu 7 pr. n. št. (Podaj IAU latinsko ime ali IAU kratico za ozvezdje, npr. Ursa Major ali UMa.) Novo odkriti spiralni krak naše Galaksije Sinhroni satelit Sinhroni satelit je satelit, ki okoli Zemlje kroži z obhodnim casom, ki je natancno enak vrtilni dobi Zemlje. Višina takega satelita nad površjem Zemlje je 35 786 km. Satelit pošljejo v sinhrono orbito, pri ce-mer je ravnina njegove orbite nagnjena za 0 = 6,69° glede na ekvatorialno ravnino. Natancno izracunaj najvecjo možno višino satelita nad obzorjem za opazovalca na zemljepisni širini 0 = 51,49°. Loma svetlobe v ozracju ne upoštevaj. Leta 2011 sta raziskovalca Dame in Thaddeus našla še neznani del zunanjega kraka naše Galaksije tako, da sta z 1,2-metrskim teleskopom CfA spektroskopsko preucevala porazdelitev oblakov CO. Ugotovila sta, da se oblaki CO zacnejo pri galakticni dolžini l = 13,25° (na sliki 3 oznaceno z A) in se gibljejo proti Soncu s hitrostjo 20,9 km/s. Predpostavi, da je rotacijska krivulja Galaksije ravna od oddaljenosti 5 kpc od središca Galaksije. Oddaljenost Sonca od središca Galaksije je 8,5 kpc. Hitrost, s katero se Sonce giblje okoli središca Galaksije, je 220 km/s. -> PRESEK 45 (2017/2018) 6 23 astronomija Izracunaj razdaljo med zacetkom kraka (tocka A) in središcem Galaksije. ■ Izracunaj razdaljo med zacetkom kraka (tocka A) in Soncem. SLIKA 3. Slika ni v merilu. m1 in m2, ki se gravitacijsko privlacita (kot to vidi mirujoc opazovalec v težišcu sistema) (slika 4). Zapiši izraz za skupno energijo E sistema v ma-tematicni obliki, ki povezuje m1, m2, r1, r2, v1, v2, in gravitacijsko konstanto G, kjer sta v1 in v2 radialni hitrosti teles m1 in m2. SLIKA 4. Masa Lokalne jate Z dinamiko M31 (Andromedina galaksija) in naše Galaksije lahko ocenimo skupno maso Lokalne jate. Iz-hodišce je, da sta danes galaksiji v dvojnem sistemu, takoj po velikem poku pa sta bili skoraj v isti tocki. Poleg tega vemo, da vecino mase Lokalne jate predstavlja masa Rimske ceste in Andromede. Z Doppler-jevim premikom so astronomi ugotovili, da se M31 giblje proti nam s hitrostjo 118 km/s. To je malo presenetljivo glede na to, da se vecina galaksij oddaljuje od nas zaradi širjenja vesolja, a ne gre pozabiti, da so jate galaksij gravitacijsko vezane. Tak par galaksij lahko dobro opišemo kot izolirani tockasti telesi in nato lahko dolocimo njuno skupno maso iz meritev medsebojne oddaljenosti, relativne hitrosti in s casom od zacetka vesolja. Astronoma Kahn in Wol-tjer (1959) sta uporabila te argumente, da sta ocenila maso Lokalne jate. V tej nalogi bomo privzeli gornje predpostavke in šli po poti omenjenih astronomov. ■ Obravnavaj izoliran sistem z zanemarljivo vrtilno kolicino z dvema tockastima telesoma z masama Predelaj enacbo, ki si jo dobil v zgornji tocki z r, v, M, in G, kjer so r = r1 + r2 medsebojna razdalja med m1 in m2, v je hitrost, s katero se spreminja njuna medsebojna razdalja, a = m^ +m2 reducirana masa sistema in M = m1 + m2 skupna masa sistema. Pokaži, da enacba iz zgornje tocke da v2 = (2GM) (1 - —) , \r r0) r0, kjer je r0 nova konstanta. Izrazi r0 z M, G in E. Rešitev enacbe iz druge tocke je spodaj podana v parametricni obliki z zacetnimi pogoji r = 0 ob t = 0: ■ r(&) = y (1 - cos&), tm = r 3 1/2 0 8GM (m - sin0) kjer je 0 v radianih. Iz prejšnje parametricne oblike pokaži, da za iz- velia vt = (sin0)(0-sin0) raz r (1-cos 0)2 " Sedaj obravnavaj m1 in m2 kot Galaksijo in M31. Trenutni vrednosti za v in r sta v = 118 km/s in r = 710 kpc, za t pa lahko vzameš starost vesolja (13700 milijonov let). Izracunaj 0 z numericno iteracijo. Uporabi vrednost 0 iz zadnje tocke in izracunaj rmax. Izracunaj še M v masah Sonca. _ XXX 24 PRESEK 45 (2017/2018) 6 racunalniš tvo Grayeve kode •is •i' nU Andrej Taranenko V prispevku se bomo ukvarjali z binarnimi nizi in ureditvami le teh. V binarnem nizu se pojavljajo le ničle in enice. Enemu elementu binarnega niza rečemo bit. Število nicel in enic oziroma število bitov v binarnem nizu imenujemo dolžina niza. Hammingovo utež binarnega niza % označimo z w(x) in je enaka številu enic v nizu %. Naj bosta % in y binarna niza enake dolžine. Hammingova razdalja med nizoma % in y je enaka številu bitov, v katerih se niza % in y razlikujeta. Označimo jo z di st(%, y). Primer 1. Poglejmo nekaj primerov. % dolžina niza % w(%) 00101 5 2 11011110 8 6 1 1 1 0 1 0 Primer 2. Poglejmo tri izmed vseh možnih ureditev vseh binarnih nizov dolžine 3. Prva ureditev naj bo A = druga B = 01234567 000,001,010,011,100,101,110,111 01234567 000,100,101,001,011,010,110,111 tretja pa C = 01234567 000,001,011,010,110,111,101,100 Naj bo % = 0110, y = 1110in w = 1001. Potem velja dist(x, y) = 1, dist(%, w) = 4 in di st(y, w) = 3. Naj bo n poljubno naravno število. Označimo z Bn množico vseh binarnih nizov dolžine n. Ni težko preveriti, da je število elementov množice Bn (to je število vseh možnih binarnih nizov dolžine n) natanko 2n. Vsaka bijektivna preslikava f : Bn — {0,1,..., 2n - 1} določa ureditev elementov množice Bn. Ureditev elementov določi vrstni red elementov v množici. Sezname oziroma ureditve bomo pisali znotraj oglatih oklepajev, torej v obliki [B0,B1,...,B2n-1 ]. Nad posameznimi nizi so zapisana števila, ki označujejo vrstni red elementov. Ce natančneje pogledamo ureditvi B in C, lahko vidimo, da se dva zaporedna niza v izbrani ureditvi vedno razlikujeta v natanko enem bitu, torej je njuna Hammingova razdalja enaka 1. V primeru 2 vidimo, da je mogoče binarne nize dolžine 3 urediti tako, daje med vsakima dvema zaporednima nizoma v ureditvi Hammingova razdalja enaka 1. Izkaže se, da je to lastnost mogoče doseči za ureditev vseh binarnih nizov dolžine n, pri čemer je n G N. Take ureditve imenujemo Grayeve kode. Formalno zapisano, naj bo n G N in Bn množiča vseh 2n binarnih nizov dolžine n. Grayeva koda reda n je ureditev [B0,B1,... ,B2n-1] vseh nizov iz Bn, v kateri se dva zaporedna niza razlikujeta v natanko enem bitu. Povedano drugače, za vsako celo -> 185 PRESEK 45 (2017/2018) 3 racunalniš tvo število i, kjer je 0 < i < 2n — 1, velja, da je dist(Bi,Bi+i) = 1. Ce v Grayevi kodi reda n velja tudi, da je di s t (Bo, B^n—i) = 1, ji rečemo ciklična Grayeva koda. Ureditev B v primeru 2 je Grayeva koda reda 3, ni pa ciklična, saj se prvi in zadnji element kode razlikujeta v več kot enem bitu. Ureditev C v tem istem primeru pa je ciklična Grayeva koda reda 3, saj je Grayeva koda in se tudi prvi ter zadnji element razlikujeta v natanko enem bitu. Primer 2 tudi nakazuje, da obstaja več različnih Grayevih kod nekega reda. V nadaljevanju bomo predstavili Grayevo kodo, imenovano zrčaljena Gra-yeva koda. Zrcaljena Grayeva koda Obstajajo različne konstrukčije Grayevih kod, predstavili bomo Grayevo kodo, imenovano zrcaljena Grayeva koda. Z Gn bomo označili zrčaljeno Gra-yevo kodo reda n in jo zapisali kot seznam 2n nizov označenih na naslednji način: Gn = [Gn,Gn, n i G2n —1 J- Zrčaljeno Grayevo kodo Gn definiramo rekurzivno. Prva koda G1 je po definičiji ■ G1 = [0,1J. Za podano zrčaljeno Grayevo kodo Gn—1, zrčaljeno Grayevo kodo Gn definiramo kot Gn = oGon- , 0G n—1 2n—1—1 1G n— 1 , 2n—1—1, 1G n—1 Na ravni posameznih nizov lahko zapišemo ekvivalentno definičijo na naslednji način: gO = 0G 1G n— 1 n— 1 2n — 1 — i, če 0 < i < 2n—1 — 1 če 2n—1 < i < 2n — 1. —1 Kodo Gn tvorimo iz Gn—1 v dveh korakih. Najprej vzamemo kopijo Gn—1 in vsakemu nizu dodamo predpono 0. Nato vzamemo kopijo Gn—1 v obratnem vrstnem redu in vsakemu nizu dodamo predpono 1. Dejstvo, da vzamemo drugo kopijo v obratnem vrstnem redu, botruje temu, da se koda imenuje zrcaljena (za zadnjim nizom prve kopije si predstavljamo zrčalo). Primer 3. Prva zrčaljena Grayeva koda je po definičiji ■ G1 = [0,1J. Zrčaljeno Grayevo kodo reda 2 dobimo iz zrčaljene Grayeve kode G1 tako, da vzamemo eno kopijo G1 in vsakemu nizu v tej kopiji dodamo predpono 0, nato vzamemo še eno kopijo G1, pri čemer obrnemo vrstni red nizov v njej in vsakemu dodamo predpono 1. Tako torej dobimo ■ 00,01 | 11,10. Z modro so zapisani nizi prve kopije G1, ki jim je dodana predpona 0, z rdečo so v obratnem vrstnem redu zapisani nizi druge kopije G1, ki jim je dodana predpona 1, simbol | pa si lahko predstavljamo kot mesto zrčaljenja. Tako smo dobili zrčaljeno Grayevo kodo reda 2, ki je ■ G2 = [00,01,11,10J. Tvorimo še zrčaljeno Grayevo kodo reda 3. Postopek je podoben kot prej, razlika je v tem, da vzamemo kopije zrčaljene Grayeve kode reda 2. Postopek lahko predstavimo torej tako: ■ 000,001,011,010 | 110,111,101,100. S tem dobimo zrčaljeno Grayevo kodo reda 3, ki je ■ G3 = [000,001,011,010,110,111,101,100J. S pomočjo indukčije je mogoče enostavno preveriti, da za poljubno naravno število n > 1 velja, da je Gn Grayeva koda reda n. Še več, tako definirana koda je tudi čiklična Grayeva koda. Sledi algoritem 1, ki predstavlja funkčijo nasl edni k niza v zrčaljeni Grayevi kodi Gn. Algoritem 1 prejme torej za parametra število n in binarni niz dolžine n, ki ga zapišemo s posameznimi biti, torej v obliki b1b2 ... bn. Rezultat algoritma je binarni niz dolžine n, ki je v zrčaljeni Grayevi kodi takoj za podanim nizom, če obstaja. V nasprotnem primeru algoritem vrne »nedefinirano«. 1 26 PRESEK 45 (2017/2018) 3 razvedrilo Algoritem 1 deluje tako: Ce je število enic v nizu sodo število, potem spremenimo zadnji bit niza. Ce je število enic liho število, poišcemo prvo enico z desne in spremenimo sosednji bit levo od nje. Zadnji niz v Gn, ki nima naslednika, je oblike 10... 0. Algoritem 1: NaslednikGrayevaKoda(n, b1 b2 ... bn) if w(b1 b2 ... bn) je sodo število then bn = 1 - bn else j = n while bj = 1 and j > 0 do j = j - 1 if j = 1 then return »nedefinirano« bj-1 = 1 - bj-1 return b1 b2 ...bn Zrcaljeno Grayevo kodo reda n lahko tvorimo s postopkom, prikazanim z algoritmom 2. Pri tem pric-nemo s prvim binarnim nizom v zrcaljeni Grayevi kodi reda n, ki ima vse bite enake 0. Nato zaporedoma nad zadnjim izracunanim nizom izvedemo algoritem 1, dokler ne dobimo vseh nizov želene kode. Algoritem 2: CelotnaGrayevaKoda(n) Gn=00.H.0 n-krat for i = 1,..., 2n - 1 do Gn = nasledni k(Gn-1) return Gn Literatura [1] D. L. Kreher in D. R. Stinson. Combinatorial algorithms: generation, enumeration, and search, CRC Press, 1999. _ XXX nU vU NU RES ITEV NAGRADNE KRlS ANKE PRESEK 45/5 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz pete številke Preseka je Deljenje skrivnosti. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Stanko Gaj-šek iz Ljubljane, Marijana Marinšek iz Celja in Ivan Lisac iz Kopra, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX PRESEK 45 (2017/2018) S 27 tekmovanja nU NU vU Klara Drofenik -> Letošnja slavnostna prireditev za najuspešnejše na državnih tekmovanjih iz matematike, fizike in astronomije je potekala v soboto 12. maja v Unionski dvorani v Ljubljani. Od skupno 127.926 tekmovalcev, ki so v letošnjem šolskem letu tekmovali na tekmovanjih, ki jih je organiziralo Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (DMFA), in so skupaj dosegli 845 zlatih priznanj, je v soboto 162 tekmovalcev prejelo kar 187 nagrad in pohval. Prireditev, znano tudi pod imenom Bistroumi, je otvoril Janez Dovc, glasbenik in fizik, ki je z igranjem na Teslovo tuljavo pritegnil pozornost prav vsakega v dvorani, saj je odlicno povezal glasbo in fiziko, njegov nastop pa je bil tudi vizualno zelo zanimiv. Zbrane je najprej nagovoril prof. dr. Dragan Mi-hailovic, predsednik DMFA Slovenije. Po predstavitvi statisticnih podatkov sta voditelja, sicer tudi odlicna komika, dr. Uroš Kuzman in Aleš Novak, napovedala prve podelitve. Najprej so bile podeljene nagrade in pohvale najboljšim osnovnošolcem, gimnazijcem in študentom na tekmovanju iz znanja matematike ter priznanje diamantni kenguru, ki se ga podeli tistim devetošolcem, ki so v vseh devetih letih osnovnošolskega šolanja zbrali najvec tock na tekmovanju Kenguru. Sledila je podelitev nagrad in pohval naj- boljšim osnovnošolčem in srednješolčem na tekmovanju iz fizike. Pred podelitvijo nagrad tekmovalčem v astronomiji je podelitev popestrila še ena glasbena točka. Znova smo se čudili glasbi Janeza Dovča, ki je tokrat igral na teremin. Da je statistika lahko zelo zanimiva, sta nas podučila voditelja, ki sta predstavila nekaj statističnih podatkov. Vsi vemo, da je na svetu en papež, a tudi podatek, da Vatikan premore povprečno šest papežev na en kvadratni kilometer, je statistično pravilen. SLIKA1. Janez Dovc igra na lasersko harfo. (Foto: Jana Jocif) 28 PRESEK 45 (2017/2018) G tekmovanja SLIKA 2. Aleksej Jurca je na astronomski olimpijadi dosegel neverjeten uspeh. (Foto: Jana Jocif) Prireditev se je nadaljevala s podelitvijo nagrad najuspešnejšim na tekmovanju iz razvedrilne matematike. Ogledali smo si tudi kratek film Olimpijke, v katerem so nekdanje udeleženke matematicne ali fizikalne olimpijade dr. Polona Oblak, dr. Metka Zupan-cic, dr. Helena Šmigoc, dr. Mojca Miklavec in dr. Ajda Skarlovnik opisale svoje spomine nanje. Vsem, predvsem pa dekletom, so želele sporociti, da lahko ogromno dosežejo. Dr. Mojca Miklavec je, recimo, povedala, da je bila v ekipi za mednarodno matematicno olimpijado leta 2000 kar polovica ekipe deklet, ki so bile uspešnejše od fantov. To je v zadnjih letih v Sloveniji kar nepredstavljivo, saj že cetrto leto zapored v naši ekipi za matematicno olimpijado ni nobenega dekleta. Sledili sta še podelitvi nagrad za najuspešnejše matematike iz srednjih tehniških in strokovnih ter poklicnih šol ter najboljšim na tekmovanju v znanju poslovne in financne matematike ter statistike. Ker bi brez mentorjev tekmovalci težko dosegali tako dobre rezultate, je dvorana gromko zaploskala tudi ob prosojnici z imeni mentorjev vseh nagrajencev. Sledil je še zadnji glasbeni nastop, v katerem nas je Janez Dovc ponovno presunil s še enim vizualno zanimivim nastopom, ko je igral na lasersko harfo. V sklepu prireditve je bil kot posebni gost na oder povabljen lanski absolutni zmagovalec Mednarodne olimpijade v astronomiji in astrofiziki na Tajskem, Aleksej Jurca. V kratkem pogovoru z voditeljema je predstavil zelo zanimivo nalogo iz ekipnega dela tekmovanja, pri kateri so morali tekmovalci iz slike neba v planetariju ter podatka o uri dolociti, kje na Zemlji se nahajajo. Sledila je še razglasitev clanov in clanic ekip na letošnjih mednarodnih olimpijadah. V imenu vseh se je Luka Govedic, ki se je lani udeležil Mednarodne fizikalne olimpijade in evropske fizikalne olimpijade ter na obeh osvojil srebrno medaljo, zahvalil vsem, ki jih pri delu podpirajo - staršem, profesorjem in prijateljem. Obljubil je, da bodo na olimpijadah ostali neporaženi v nogometu, se šli kopat, ce bo le mogoce in se seveda potrudili po svojih najboljših moceh, da se vsaj približajo lanskim tekmovalnim uspehom. Upajmo, da jim to cim bolje uspe. Clani ekip za mednarodna tekmovanja 2018 59. mednarodna matematična olimpijada, 3.-14. julij 2018, Cluj-Napoca, Romunija ■ Marko Čmrlec, Gimnazija Bežigrad ■ Lovro Drofenik, I. gimnazija v Celju ■ Luka Horjak, I. gimnazija v Celju ■ Andraž Jelinčič, Gimnazija Bežigrad ■ Andraž Maier, Gimnazija Jesenice ■ David Opalič, I. gimnazija v Celju Vodja ekipe: dr. Gregor Dolinar Pomocnik vodje: Jakob Jurij Snoj Tehnicni sodelavec IMO: dr. Matjaž Željko 49. mednarodna fizikalna olimpijada, 21-29. julij 2018, Lizbona, Portigalska ■ Klemen Bogataj, Gimnazija Škofja Loka, ■ Marko (Zmrlec, Gimnazija Bežigrad ■ Natan Dominko Kobilica, Gimnazija Bežigrad ■ Luka Govedič, II. gimnazija Maribor ■ Urban Duh, II. gimnazija Maribor Vodji ekipe: dr. Jure Bajc in dr. Barbara Rovšek www.dmfa.si PRESEK 45 (2017/2018)6 29 te km o vanj a 12. srednjeevropska matematična olimpijada, 27. avgust-2. september 2018, Poljska ■ Ana Meta Dolinar, Gimnazija Bežigrad ■ Jan Genc, II. gimnazija Maribor ■ Tevž Lotrič, Gimnazija Kranj ■ Sašo Nikic, II. gimnazija Maribor ■ Jaka Vrhovnik, I. gimnazija v Celju ■ David Zakšek, I. gimnazija v Celju Vodja ekipe: Domen Vreš Pomožni vodja: David Popovic 12. mednarodna olimpijada iz astronomije in astrofizike, november 2018, Kitajska ■ Marko čmrlec, Gimnazija Bežigrad ■ Gregor Humar, Gimnazija in srednja šola Rudolfa Maistra Kamnik ■ Andraž Jelinčič, Gimnazija Bežigrad ■ Klemen Keršič, Šolski center Slovenska Bistrica ■ Ema Mlinar, Gimnazija Vič Vodja ekipe: Krištof Skok 2. evropska fizikalna olimpijada, 28. maj-1. junij 2018, Dolgoprudny, Rusija ■ Klemen Bogataj, Gimnazija Škofja Loka ■ Marko čmrlec, Gimnazija Bežigrad ■ Andraž Jelinčič, Gimnazija Bežigrad ■ Gregor Kikelj, Šolski center Novo mesto ■ Luka Školč, Gimnazija Bežigrad Vodji ekipe: dr. Jurij Bajc in dr. Barbara Rovšek 7. evropska dekliška matematična olimpijada, 6.-12. april 2018, Firence, Italija ■ Ana Meta Dolinar, Gimnazija Bežigrad ■ Tea Jeličic, Konservatorij za glasbo in balet Ljubljana ■ Ana Opalič, I. gimnazija v Celju ■ Špela Polak, I. gimnazija v Celju. Vodja ekipe: Rok Havlas Pomožni vodja: Klara Drofenik SLIKA 3. Ob zaključku prireditve so se predstavili tudi letošnji olim-pijci in olimpijke. (Foto: Jana Jocif) _ XXX 30 PRESEK 45 (2017/2018) G razvedri lo Zlata cesta nU vU NU Aleš Mohoriš -» Naslovnici te in prejšnje številke krasita fotografiji vsem dobro znanega svetlobnega pojava, zlate ceste. Kaj ga povzroča? Odgovor je na dlani - odboj svetlobe. Ampak ta odboj ni kar tako. Razkrije nam lastnosti površine, na kateri se zgodi. Že tako je vodo težko opazovati, ker je prozorna, kaj šele podrobnosti na njenem površju. Z opazovanjem odboja izvemo vec o podrobnosti površja. Odboj na ravni, gladki površini nam je dobro znan, ce ne drugače, se vsak dan vidimo v zrcalu. Kako pa je z odbojem na površini, ki jo raz-brazdajo valovi? Še vedno velja odbojni zakon, le da ga moramo uporabiti skoraj za vsak žarek posebej (slika 1). Svetla proga, ki jo opazimo na razburkani površini zaradi odboja svetlobe, je sestavljena iz množice odsevov, ki se hitro spreminjajo s časom. V večini primerov je proga simetrična glede na navpično ravnino, v kateri ležita opazovalec in svetilo (Sonce). Ce je Sonce visoko nad obzorjem, je proga ovalne oblike (slika 2), ki pa se podaljša v enakomerno široko cesto, ko se Sonce spušča proti obzorju. Cesta se zaključi na obzorju in je široka toliko kot Sonce, kar pomeni, če upoštevamo perspektivo, da je proga čedalje širša, dlje kot je od očesa. Proga je najsvetlejša blizu sredine, vendar ne tam, SLIKA 2. Zlata cesta ima obliko ovala, ko je Sonce visoko na nebu. Na fotografiji Sonca ni videti, ker se nahaja nad zgornjim robom fotografije. (Foto: Peter Legiša) kje bi videli zrcalni odsev na mirni površini, ampak nekoliko dlje od opazovalca. Razmere so v resnici nekoliko bolj zapletene in zainteresiranega bralca napotim na odlično knjigo Light and Color in the Outdoors Marcela Minnaerta. Pojav lahko opazujemo tudi na mokrih tleh, gladkih površinah z drobnimi, urejenimi razami ali pa tudi skozi prozorne objekte, na katerih so drobne proge. Sorodna pojava sta tudi svetli krog na šopu optičnih vlaken (Optična vlakna, Presek 5/38, 2010) in krogi okoli vej, ki zastirajo pogled na vir svetlobe (Krožne veje, Presek 4/45, 2017). Zaradi svoje izrazitosti pojav radi upodobijo tudi slikarji (slika 3). SLIKA 1. SLIKA 3. Žarki od svetila S dosežejo kamero K tudi tako, da se odbijejo v tockah P. Na razburkani gladini se odsev raztegne v liso, katere velikost je odvisna od največjega naklona valov. Na levi je Zvezdna noč nad Rhono Vincenta van Gogha na desni pa Prizor iz pristanišca Clauda Lorraina. Kaj menite, kdo seje pri upodobitvi nekoliko zmotil? XXX PRESEK 45 (2017/2018) G 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv na-cin zastavljanja matematicnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vkljucevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematicni kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo vec kot 6 milijonov tekmovalcev iz vec kot 60 držav sveta. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za ucence od prvega razreda osnovne šole do cetrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logicno mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, kije sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematicni izziv. MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU 2005-2008 18,74 EUR 2009-2011 14,50 EUR jm 2012-2016 23,00 EUR Pri DMFA-založništvo je v Presekovi knjižnici izšlo že pet knjig Matematicnega kenguruja. Na zalogi so še: • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011, • Mednarodni matematični kenguru 2012-2016. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu starejših zbirk nalog pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga!