i
i
“Razpet-se-o-rekurziji” — 2010/5/28 — 11:47 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 14 (1986/1987)
Številka 6
Strani 310–313
Marko Razpet:
ŠE O UPORABI REKURZIVNIH FORMUL
Ključne besede: računalništvo, matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/14/859-Razpet.pdf
c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ŠE O UPORABI REKURZIVNIH FORMUL
Nad alju jmo naš a razm išljan ja o upo rabi rekurz ivn ih formul. ki smo j ih začeli
v četrti številki Preseka.
Najprej nekaj pojasnil v zvezi z eksponentno fun kcijo. Naj bo a izbr ano
poz itivno št evilo. raz l ič no od 1. Za vsako naravno število n def iniramo
an = a.a...e, kje r je v produktu n enakih faktorj eva. Posebej je al =a. Za dve
naravni števili m in n velja am+n = ama". Nato definiramo an za poljubno celo
število n . Če je n negativno celo število , postavimo an = 1l a- n . Za n = O
postavimo aO = 1. Id ent itet a am+n = am an velja potem tud i za dve poljubn i
celi štev ili m in n . V naslednjem ko raku definiramo ar za racionaina števila r.
Če je r ulo me k p /q , postavimo aP/ q = q.J aP. Nazadnje defin iramo aX , kje r
je x realno število. To gre pribli žno ta ko ; izberemo polj ubno zaporedj e racio-
na lnih števil rl , rz . .... ki se z rastočim ind eksom p ribližujejo številu x. Opazu -
jemo zaporedje e'» , ~r 2, s '>, ... To zapo redje z ra sto č im inde ksom stremi k
nekemu točno določenemu realnemu številu, ki ga označimo z e", Preslikava,
k i vsakemu realnemu številu x pr iredi vrednost aX , je eksponentna funkcija .
Število a je njena osnova . Najpomembnejša lastnost eksponentne fukcije je:
( 1)
za poljubn i realn i št evili x in V, razen tega pa velja še: aO= 1, za a > 1 je funkc i-
ja x ~ aX naraščajoča. za O< a < 1 pa padajo če, zavzame pa lahko samo po-
zitivne vrednosti .
Zaporedje števil al , a2, a3, ..., kjer je splošni č l e n dan z izrazom an =
= (1 + 1l n )n . stremi proti neki vrednosti. k i jo v matematiki označujemo s
črko e. Pr ibl ižna vrednost je e = 2,718281 828459. Poleg števila 11 je to eno
y
y =exp (p x)
x
310 Slika 1
od najpomembnejših števil v matematiki. In ravno število e izberemo za osnovo
eksponentne funkcije. ki jo bomo potrebovali . Dostikrat namesto eX pišemo
raje exp x. Adicijski izrek (1) je potem
(2) exptx + V) = expx exp y
BASIC tudi pozna to funkcijo. to je funkcijo EXP .
Za pozitivno realno število ~ si oglejmo funkciji x +--* exp(~x) in x +--*
+--* exp( -~x). Prva je naraščajoča. in to tem bolj, čim večji je ~. druga pa je
padajoča . Č im večji je ~. tem hitreje pada. Prvi ustreza zakon naravne rasti.
drugi pa zakon radioaktivnega razpada.
Po tej pripravi si oglejmo krivuljo V = A exp(-~x) sin(wx + 1,0). To je
krivulja dušenega nihanja. Kasneje nekaj besed o njenem imenu. Število ~ > O
bomo imenovali koeficient dušenja . Na računalniku bomo narisali to krivuljo
podobno kot na začetku sinusoido . Najprej pa moramo priti do primerne re-
kurzivne formule . Abscisam Xo = O. XI ~ lj, X2 = 2lJ• .oo priredimo ustrezne
ordinate Vo, VI, V2 . .oo:
Vk =A eXP(-~xk) sin(wxk +1,01. k = 0.1. 2....
Vpeljemo pomožno zaporedje ZO , ZI, Z2• .... kjer je zk = A sin(wxk + 1,0). Po-
tem lahko zapišemo krajše
Iz četrte številke Preseka že vemo. da velja
zk+l =2zk cos(lJw) -zk-l' k= 1.2.3....
Odtod hitro dobimo zvezo
(3)
Označimo
Vk+l = 2 Vk exp(-~lJ) costčcc) - Vk-l exp(-2~lJ)
C = 2 exp(-~lJ) cos(lJwl. d = exp(-2~)
Rekurzivno formulo (3) še enkrat prepišemo:
(4) Vk+l =cVk -dVk-l' k= 1.2.3 . ...
Če poznamo Vo in VI • potem lahko postopoma izračunamo V2, V3 itd. Pri
danih parametrih A. ca, 1,0. ~ in izbranem koraku lj imamo Vo = AsinlP in
VI ~A exp(-~) sin(lJw+IP)·
311
Sedaj napišemo nov program, v katerem bomo lahko sami spreminjali vse
omenjene parametre.
10 LET m=50: LET a=70
20 LET fi=PI/2: LET b=.09
45 LET f=PI /m
50 LET bl=EXP(-b*f)
60 LET d=bl*bl '
90 PLOT 0,75: DRAW 255,0
100 LET yO=a*SIN fi
105 LET yl=a*bl*SIN( f+fi)
110 LETc=2*bl *COSf
120 FOR x=O TO 255
130 PLOT x, yO+75
140 LET y2=c*yl-d*yO
150 LET yO=y1: LET y1=y2
160 NEXT x
Krivuljo dušenega nihanja dobimo prav tako hitro kot slnusoido , V vrstici 10
lahko spremenimo amplitudo a, gostoto točk m . V vrstici 20 pa pomeni fi
začetno fazo tp, medtem ko koeficient dušenja (3 predstavlja spremenljivka b .
\J
-,
312
/
/
---------
./
./
/y = - e x p ( - ~ x )
/
Slika 2
x