OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, NOVEMBER 2015, letnik 62, številka 6, strani 201–240 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun:.03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovš.cina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohori. c (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši´ c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehni. cni urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Ra. cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. . Clani društva prejemajo Obzornik brezpla.clanarina znaša 24 EUR, za druge cno. Celoletna . družinske .cnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. clane in študente pa 12 EUR. Naro. Posamezna številka za . clane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je v.cno društvo (EMS), v Mednarodno matemati. clanjeno v Evropsko matemati.cno unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za . cisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipro.c cnosti z Ameriškim matemati. nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega prora.cuna iz naslova razpisa za sofinanciranje doma.cnih publikacij. cih znanstvenih periodi. cPoštnina pla.cana pri pošti 1102 Ljubljana © 2015 DMFA Slovenije – 1980 NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne . clanke iz matematike, fizike in astronomije, v.clankov objavlja prikaze novih knjig casih tudi kak prevod. Poleg . s teh podro.cila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti cij, poro. o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. . Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle. cek v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) cek v slovenskem jeziku, naslov in izvle. in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevil.cene, morajo imeti dovolj iz.crpen opis, da jih lahko ve.ceno od besedila. Avtorji . cinoma razumemo tudi lo.clankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v ra. cunalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost .crk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak .clanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natan. cno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matemati.clankih splošnost) rezultatov. . cnih .Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne ra. cunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razli.ATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. cic urejevalnikov TEX oziroma LAvtor se z oddajo . clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. KAOTI CNIH AVTOMORFIZMOV CNOST HIPERBOLI TORUSA MITJA LAKNER1, PETER PETEK2 IN MARJETA  SKAPIN RUGELJ1 1Fakulteta za gradbenistvo in geodezijo, Univerza v Ljubljani 2Pedagoska fakulteta, Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 37D45, 54H20, 58F15  Ze v prejsnjem clanku [4] smo de nirali hiperbolicni avtomor zem torusa, ki je po nekaj korakih povrnil rastrirano sliko macke. V tem clanku pa si ogledamo preslikavo  na celem torusu in ugotovimo, da je kaoticna po Devaneyevi de niciji. Se prej pa se seznanimo s pojmom kaoticnega sistema in si ogledamo enostaven primer. HYPERBOLIC TORAL AUTOMORPHISMS ARE CHAOTIC In our previous article [4] we de ned the hyperbolic automorphism of the torus, returning the rastered image in few steps. Here we consider the mapping on the entire torus and nd it is chaotic in the sense of Devaney. Beforehand we get acquainted with the notion of chaoticity and set up a simple example. Uvod V enem od prvih clankov o kaosu [5] je E. N. Lorenz obravnaval zelo poe nostavljen model vremena in opazil to, cemur danes pravimo obcutljivost na zacetne pogoje, ki je znana tudi kot metuljev efekt:  Ce v Riu de Janeiru metulj zamahne s krili, to cez nekaj tednov lahko povzroci hurikan na Floridi [3]. V povsem deterministicnem sistemu – saj vreme obvladujejo naravni, zikalni zakoni – se pojavi navidezna slucajnost. Kaoticnost vremena doziv ljamo zadnje case v zivo, saj se z dodajanjem energije v sistem povecuje ta navidezna slucajnost in neobicajni vremenski pojavi. Ogledali si bomo tri lastnosti: mesanje, goste periodicne tocke in obcut ljivost za zacetni pogoj, ki so po Devaneyu karakterizacija kaosa. V clanku [4] smo ze spoznali, da je hiperbolicni avtomor zem torusa ji periodicen na vsaki tocki oblike ( ), kjer so i, j, N naravna stevila, in so , N N seveda te tocke goste na kvadratu Q = I × I in zato na torusu. Vendar nas to ne sme zavesti, kako »lepa« da je ta preslikava. Lastnost mesanja pomeni, da kjerkoli na torusu zacnemo z neko majhno piko (ne tocko!), se po nekem casu znajdemo kjerkoli drugje, barva je razm azana povsod (glej sliki 2 in 3). Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Mitja Lakner, Peter Petek in Marjeta Škapin Rugelj De nicija kaosa in primer Devaney [2] je de niral kaos z naslednjimi tremi lastnostmi. De nicija 1. Preslikava f : X !6X, kjer je (X, d) metricni prostor, je kaoticna, ce je: (a) f topolosko tranzitivna, (b) mnozica periodicnih tock preslikave f gosta v X, (c) f obcutljiva za zacetne pogoje. Tocka a je periodicna tocka reda n preslikave f, ce je fn(a)= a in fj(a)6n-ti iterat funkcije in ne potenca. Preslikava = a, 0 0, da za vsak x0 26X in poljubno odprto mnozico U 6X, ki vsebuje x0, obstajata y0 26U in naravno stevilo k, da velja d(fk(x0);fk(y0)) >. Kasneje so pokazali [1], da vsaj za metricne prostore iz prvih dveh pog ojev sledi obcutljivost za zacetne pogoje.  Poglejmo si enostaven primer kaoticne preslikave. Ce kvadriramo kom 2 pleksna stevila f(z)= z, potem gredo iterati stevil z, jzj6> 1, v nes koncnost, iterati stevil jzj, jzj6< 1, pa proti 0. Vmes, na enotski kro znici S1 = fz 26C; z = e2i g, pa je kvadriranje kaoticna preslikava. Za opazovanje kvadriranja bo ugodno, ce kot a zapisemo v dvojiskem sistemu 2 a =0;a1a2a3 ::. Ker je z= e2i2a in kot lahko vzamemo modulo 1, imamo nadalje 2a 60;a2a3a4 ::. (mod 1), kar pomeni, da kvadriranju ustreza pomik vejice na desno, pri cemer seveda prvo stevko izgubimo [7]. Po tej pripravi pri kvadriranju ne bo tezko slediti vsem znacilnostim kaosa: 6obcutljivost za zacetni pogoj p 2ia Za d = 2 velja za poljuben z0 = e, a =0;a1a2a3 ::. , in poljubno njegovo okolico U naslednje: Na enotski krozici vzamemo lok dolzine 2e s srediscem v z0, ki je vsebovan v U. Potem za neki n velja 22..n <". Tocka z' naj se ujema s tocko z0 v kotu ' na n stevk, naslednja naj Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Kaoti.cnih avtomorfizmov torusa cnost hiperboli. Out[57]= WsWn Slika 1. Lastni premici W s in W n ter mnozici WT s in WT n v enotskem kvadratu. bo razlicna a=6an+1, nadaljnje pa spet enake. Po n kvadriranjih se n+1 znajdeta tocki ravno na nasprotni strani kroznice: fn(z 0)= ..fn(z0), torej sta kar se le da narazen; ce merimo po kroznici, za . • periodicne tocke Kot tocke s periodo n je zapisan takole ß =0;b1b2b3 :::bn. Jasno je, da lezi v okolici poljubne tocke bliznja periodicna tocka, ce se le kota ujemata na prvih n mestih za dovolj velik n. • tranzitivnost Tu si lahko dovolimo kar konstrukcijo tira e2it , ki poljubno blizu obisce vsako tocko. Takole napravimo: t =0;0100011011000001010100011101110111 ::. Kaj smo naredili, kaksen je napotek za naslednje stevke? Vzamemo najprej niclo, potem enico, sledijo vsi stirje mozni pari nicel in enic, nato vseh osem moznih trojk nicel in enic in tako dalje. Poljubno zap oredje poljubne dolzine se znajde v tem zapisu. In to je zagotovilo, da 201–209 203 Mitja Lakner, Peter Petek in Marjeta Škapin Rugelj pridemo po »veeelikem« stevilu korakov poljubno blizu vsaki toSe cki.  vec: za dobljeni tir velja, da ce izpustimo prvih nekaj clenov zaporedja, je preostanek tira se vedno gost. Torej za poljubni neprazni mnozici U in V obstaja tocka tira, ki je v U, zato neki njen iterat pade v V . Hiperbolicni avtomor zmi torusa  De nicija 2. Ce v ravnini R2 identi ciramo vse tocke, katerih koordinate se razlikujejo za celo stevilo, dobimo torus T . Identi kacija de nira ekvivalencno relacijo na R2, kjer je (x1;y1) ~ (x2;y2) natanko tedaj, ko sta x2 - x1 in y2 - y1 celi stevili. Ta ekvivalencna relacija doloca projekcijo p : R2 !T , (x, y)=[x, y]. Dobljeni torus T je seveda homeomorfen geometrijskemu torusu (slika 2). De nicija 3. Naj bo A =(aij) matrika dimenzije 2 × 2 z lastnostmi (a) A je hiperbolicna (lastni vrednosti ne lezita na enotski kroznici v komp leksni ravnini), (b) aij . Z,1 = i, j = 2, (c) det A = 1. Matrika A inducira tako preslikavo LA : T !T , da je LA . p = p . A. To preslikavo imenujemo hiperbolicni avtomor zem torusa: LA([x, y]) = A(x, y)T (mod 1). Opomba 4. Ker je det A = 1, je A..1 tudi hiperbolicna in elementi ma- trike so cela stevila. To pomeni, da A..1 tudi inducira hiperbolicni avtomor zem torusa (LA)..1 . Torej je LA res bijekcija za T . Trditev 5. Mnozica perodicnih tock preslikave LA je gosta v T .  Dokaz. Naj bo p poljubna tocka v T z racionalnimi koordinatami. Ce s poiscemo skupni imenovalec, lahko privzamemo, da je p oblike [ k r , ], kjer k so r, s in k naravna stevila. Take tocke so goste v T , saj lahko vzamemo k poljubno velik. Pokazimo se, da je p periodicna s periodo manjso ali s enako k2 .V T je natanko k2 tock oblike [k r , k ], 0 = r;s < k. Ker je A celostevilska, je slika poljubne take tocke z LA zopet take oblike. To pomeni, da LA permutira tocke take oblike. Torej obstajata taki celi stevili Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Kaoti.cnih avtomorfizmov torusa cnost hiperboli. Slika 2. Prvi in peti iterat majhne okolice negibne tocke [0, 0]. jj..i i in j, da je Li (p)= L(p) in ji - jj= k2 . Iz tega sledi, da je L(p)= p. AAA Torej je p periodicna s periodo manjso ali enako k2 . Ker je A hiperbolicna matrika z det A = 1, je absolutna vrednost ene od lastnih vrednosti manjsa, druge pa vecja od 1. Oznacimo z s lastno vrednost matrike A, ki zadosca pogoju js| < 1, in z n lastno vrednost,  ki zadosca pogoju jn| > 1. Ce sta vs in vn pripadajoca lastna vektorja, potem sta lastna podprostora W s in W n matrike A premici skozi izhodisce v R2 . Eksplicitno: W s W n = ftvs; t . Rg, = ftvn; t . Rg. Za vsako tocko (x, y) . W s zaporedje Am(x, y)T konvergira v izhodisce, saj je Am(x, y)T = m(x, y)T . Za(x, y) . W n pa konvergira v izhodisce s zaporedje A..m(x, y)T . T De nirajmo mnozici, krivulji, W s T = (W s) in W n velja Lm A = (W n) na torusu T T (glej sliki 1 in 3). Za poljubno tocko [x, y] . W s [x, y] . [0, 0], pa velja L..m A ko gre m !1. T Za poljubno tocko [x, y] . W n [x, y] . [0, 0], ko gre m !1. Razdalja na torusu je inducirana z evklidsko razdaljo v R2 , to je najmanjsa razdalja ekvivalencnih razredov v R2 . T in W n Dokaz. Pokazimo, da je smerni koe cient premice W s iracionalno ste vilo. Ce bi bil racionalno stevilo, bi sla premica W s skozi tocko (x, y)s celostevilskima koordinatama. Potem bi imela Am(x, y)T tudi celostevils ke koordinate, kar je v nasprotju z dejstvom, da Am(x, y)T . 0, ko gre m !1. 201–209 205 T Lema 6. Mnozici W s sta gosti v T . Mitja Lakner, Peter Petek in Marjeta Škapin Rugelj Slika 3. Del mnozic W s in W n TT . Naj bo xj x-koordinata preseka premice y = j in W s za j =1, 2, 3;::. 1 Velja xj = jx1. Ker je smerni koe cient W s enak , je x1 iracionalno x1 stevilo. Projekcije tock (xj;j) na torus T6so oblike [ j, 0], 0 6 j < 1, j = xj ..6mj, mj 26Z. Ker je ..j i2 1 i2j(x1..m1) i2xj i2 j e = e = e = e, so tocke j zaradi leme 7 goste na intervalu [0, 1]. Projekcija W s na torus, gledana v kvadratu [0, 1]2, je druzina vzporednih daljic, ki sekajo os x v tockah ( j, 0). Zato so te daljice goste v torusu (glej slike 1, 2 in 3). Dokaz gostosti za W n je podoben. T \6W n Ce je p6[0, 0] in p 26W s cna k = TT , pravimo, da je p homoklini [0, 0]. Iz leme 6 sledi, da so homoklinicne tocke goste v torusu (glej sliko 1).  Lema 7 ([2]). Naj bo f : S1 !6S1 zasuk kroznice za kot !. Ce je . racion alni zasuk, to je . =2p p , v racionalnem razmerju s polnim kotom, je q-ta q  iteracija identiteta in vse tocke so periodicne. Ce je f iracionalen zasuk, je tir vsake tocke gost na kroznici. Dokaz. Kroznico predstavimo v kompleksni ravnini S1 = fz; jzj6=1g6in opremimo z locno dolzino d(z1;z2) kot metriko. Zasuk je mnozenje z . = ei. . Pokazimo, da je pri iracionalnem zasuku tir tocke 1 gost v kroznici. Zaradi rotacije bo potem isto veljalo za poljubno tocko iz S1 . Vzemimo poljubno tocko . 26S1 in njeno "-okolico. Pokazimo, da v njej lezijo tocke iz tira n , ni! n =0, 1;::. Zaradi iracionalnosti zasuka so vsi cleni zaporedja n = e razlicni med sabo in zato obstaja stekalisce. Posledicno imamo taki stevili n1 in n2, da sta n1 in n2 obe v njegovi "-okolici. Zato je d(n1 ;n2 ) < 2". Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Kaoti.cnih avtomorfizmov torusa cnost hiperboli. Out[15]= WsWnLA mIs LAmIn q Slika 4. W n je vzporedna Lm ) in W s je vzporedna L..m(Is A (InA ). Oznacimo k = n1 ..6n2. Ker se pri mnozenju z n2 razdalja ohranja, velja d(k , 1) < 2". Tocke jk, j =1, 2;::. lezijo na kroznici, tako da so razdalje zaporednih tock manjse od 2". Zato v "-okolici tocke . lezi vsaj ena tocka jk . Trditev 8. Preslikava LA je topolosko tranzitivna. Dokaz. Naj bosta U in V dve odprti mnozici v T6, kar pomeni, da sta njuni prasliki odprti mnozici v R2 . Izberemo lahko tocki [r] 26U in [s] 26V , ki sta homoklinicni k [0, 0]. Izberimo odprt interval In v W n \6U, ki ima sredisce T v[r], in odprt interval Is v W s \6V , ki ima sredisce v [s]. Pri iteraciji T z LA se iterati sredisca [r] priblizujejo [0, 0], saj [r] lezi na WT s . Iterati intervala In pa se daljsajo. Podobno se pri iteraciji z L..1 iterati sredisca [s] A priblizujejo [0, 0], iterati intervala Is pa se daljsajo. Torej obstaja tak m, da je Lm(In) \6L..m(Is)6 ;. Naj bo [q] v tem preseku (glej sliko 4). Potem je AA [p]= L..m[q] 26U in Lm[q] 26V . Torej je L2m[p] 26V , kar pomeni, da je LA AA A topolosko tranzitivna. Iz trditev 5 in 8 sledi Izrek 9. Hiperbolicni avtomor zem torusa LA : T6!T6je kaoticna preslik ava. Leta 2006 je Lee [6] dokazal, da ce matrika A ni hiperbolicna, potem LA ni kaoticna preslikava. Nekaj posebnih primerov si bomo pogledali v naslednjem poglavju. 201–209 207 Mitja Lakner, Peter Petek in Marjeta Škapin Rugelj Nekaj nalog 2 1. Naj bo f : S1 . S1 , f(z)= z. Poiscite periodicne tocke reda 3 in 4. 2. Katera od naslednjih matrik inducira hiperbolicni avtomor zem torusa 3 4 4 ..1 3 2 2 5 A = ..2 ..3 , B = 13 ..3 , C = 1 1 , D = ..1 ..2 ? 3. Poiscite razdaljo med tockama P ( 1 10 , 1 3 ) in Q( 9 10 , 2 3 ) na torusu. 3 2 4. Naj bo LA avtomor zem torusa, induciran z matriko A =. 11 (a) Znotraj 0,1-okolice tocke [0, 0] poiscite kaksno homoklinicno tocko k njej. (b) V 0,1-okolici tocke [0, 0] poiscite taksno tocko P in tak m, da bo d(Lm A (P ), [0, 0]) > 0,5. 5. Naj za LA veljata tocki (b) in (c) iz de nicije 3 (LA je avtomor zem  ab torusa) in naj bo A =pripadajoca matrika z lastnima vred cd  nostma 1 in 2. Ce je det A = 12 = 1 in sta 1 in 2 realni,  potem je j1| = j2| = 1 ali pa je matrika hiperbolicna. Ce matrika A ni hiperbolicna, potem nastopijo naslednje moznosti [6]: (i) 1;2 = 1, (ii) 1;2 = 1, (iii) 1;2 = ..1 in (iv) lastni vrednosti nista realni. Pokazite, da velja:  (a) Ce je 1;2 = 1, potem LA ni kaoticna.  (b) Ce lastni vrednosti nista realni, potem imamo naslednje moznosti: v v 1i 3 ..1i 3 (i) 1;2 = i, (ii) 1;2 = ali (iii) 1;2 =. 2 2  (c) Ce je 1;2 = i, potem LA ni kaoticna. Resitve: k2i 1. Periodicne tocke reda 3 so oblike zk = e 7 , k =1, 2, 3, 4, 5, 6. Sestavl jajo dva cikla reda 3: (z1;z2;z4) in (z3;z6;z5). k2i Periodicne tocke reda 4 so oblike zk = e 15 , k =1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14. Sestavljajo tri cikle reda 4: (z1;z2;z4;z8), (z3, z6, z12, z9) in (z7, z14, z13, z11). Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Kaoti.cnih avtomorfizmov torusa cnost hiperboli. 2. Edino matrika C ima lastni vrednosti, ki ne lezita na enotski kroznici. v 3. Na torusu je d(P, Q)= 34 . 15 pv 373..12 4. (a) P (9..5 , ), 66 v 3..1 (b) P ( 1 ), m = 2. 20 , 40 5. (a) Iz karakteristicne enacbe 2 - (a + d). +(ad - bc)=0 sledi, da je a + d = 0 in det A = ..1. Torej je matrika A oblike p ab in A2 = I. Torej LA ni kaoticna, saj ni obcutljiva za c ..a zacetne pogoje. . (b) Ce lastni vrednosti nista realni, potem iz formule p (a + d) (a + d)2 - 4(ad - bc) 1;2 = 2  sledi, da je det A = 1 in (a + d)2 < 4. Ceje a + d = 0, potem v 1i 3 .  sta 1;2 = i. Ce je a + d = 1, potem sta 1;2 = . Ceje 2 ..1i 3 v a + d = ..1, potem sta 1;2 =. 2 p  (c) Ce je 1;2 = i, potem je matrika A oblike ab in A4 = I. c ..a Torej LA ni kaoticna, saj ni obcutljiva za zacetne pogoje. LITERATURA [1] J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis, P. Stacey, On Devaney's De nition of Chaos, Am. Math. Monthly 99 (1992) 332{334. [2] R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley, 1989. [3] J. Gleick, (prev. S. Kuscer) Kaos, Drzavna zalozba Slovenije, Ljubljana 1991. [4] M. Lakner, P. Petek, M. cke, Obzornik mat. z. Skapin Rugelj, Vrnitev Arnoldove ma 62 (2015) 41{52. [5] E. N. Lorenz, Deterministic nonperiodic ow, J. Am. Sci. 20 (1963) 130{141. [6] J. S. Lee, A Characterization of Hyperbolic Toral Automorphism, Commun. Korean Math. Soc. 21 (2006) 759{769. [7] P. Petek, O zaporedju za racunanje kvadratnih korenov, Obzornik mat. z. 28 (1981) 142{145. 201–209 209 OSCILACIJE NEVTRINOV TOMA.S MOHORI. Z PODOBNIK IN ALE.C Institut Jo.zef Stefan Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani PACS: 01.10.Cr, 14.60.Pq Leto.snjo Nobelovo nagrado za fiziko sta prejela Takaaki Kajita z univerze v Tokiju, Japonska, in Arthur B. McDonald s Kraljeve univerze v Kingstonu, Kanada (slika 1) za pomembno vlogo v eksperimentih Super-Kamiokande in SNO, ki nedvoumno ka.zeta na to, da nevtrini ene vrste prehajajo v nevtrine druge vrste in nazaj [9]. Prehodi, ki jih imenujemo nevtrinske oscilacije, so mo.zni le, .ce imajo nevtrini maso. To odkritje je spremenilo na.se razumevanje temeljev narave in lahko pomembno vpliva na fizikalni pogled na vesolje. NEUTRINO OSCILLATION Thisyear’sNobelPrizeinphysics was awardedtoTakaaki Kajita,UniversityofTokyo, Japan,and toArthurB.McDonald,Queen’sUniversity, Kingston,Canada(figure1),for their key contributions to the experiments which demonstrated that neutrinos change identities[9]. This metamorphosis requires that neutrinoshave mass. Thediscoveryhas changed our understanding of the innermost workings of matter and can prove crucial to our view of the universe. Uvod Nevtrini so vsepovsod okoli nas in tudi v nas samih. Najstarej.si med njimi so nastali.ze ob za.cetku vesolja,podobnokotkozmi.cno mikrovalovno ozadje. -3 Njihovagostotaje okoli108m. Nevtrini nastajajo v velikem .stevilu med Slika 1. Levo: Takaaki Kajita, foto: Bengt Nyman, desno: Arthur B. McDonald, foto: Bengt Nyman Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Oscilacije nevtrinov Slika 2. Levo: razpad beta in desno: energijski spekter elektronov pri razpadu beta. jedrskimi reakcijami, ki potekajo v Soncu. Gostota .stevilskega toka nev- trinov s Sonca je na Zemlji pribli.zno 1015m-2s-1. Nevtrini nastajajo tudi pri trkih kozmi.cnih delcev (ve.cinoma protonov) z jedri atomov v zgornjih plasteh atmosfere, v jedrskih razpadih v Zemljini notranjosti in v razpadih, ki potekajo v jedrskih reaktorjih. Kljub mno.zici nevtrinov, ki nas obdaja, je do njihovega odkritja pri.slo sorazmerno pozno, saj nevtrini le .sibko interagirajo z okolico. Zgodba o nevtrinih se za.cne leta 1914, ko je James Chadwick izmeril energijsko po- razdelitev (spekter) elektronov, ki nastanejo pri razpadu beta. Pri razpadu se nevtron v jedru pretvori v proton in izseva elektron (slika 2 levo): n ! p + e-. (1) V skladu z ohranitvijo energije bi za dvodel.cni razpad (1) pri.cakovali, da bodo imeli vsi izstopni elektroni enako energijo (.crtast spekter), medtem ko je bil izmerjeni spekter zvezen (slika 2 desno). Zagato je leta 1930 razre.sil Wolfgang Pauli s tem, da je v kon.cnem stanju poleg protona in elektrona predvidel .se obstoj neopa.zenega tretjega delca (slika 3), ki ga danes imenu- jemo nevtrino: n ! p + e- + Że. Delec je moral biti elektri.cno nevtralen, ker ga, v nasprotju z nabitim ele- ktronom, pri razpadu beta niso zaznali, in la.zji od elektrona, saj bi znatna masa nevtrinov premaknila energijski spekter elektronov k ni.zjim vredno- stim. Leta 1956 sta Clyde Cowan in Frederick Reines s sodelavci prvi.c izmerila reakcije (do takrat hipoteti.cnih) nevtrinov z okolico [3], za kar je Reines leta 1995 prejel Nobelovo nagrado za fiziko (Cowan nagrade ni do.cakal). Pri poskusu sta opazovala antinevtrine iz jedrskega reaktorja, ki so trkali s protoni v tar.ci iz kadmijevega klorida. Ob trkih so nastali pozitroni in nevtroni: Że + e- ! n + e+. Ob anihilaciji pozitrona z elektronom iz okolice je nastal fotonski par, e+ + e- ! + , 210–217 211 Tomaž Podobnik in Aleš Mohoric. Slika 3. Za.cetekPaulijevegapismakolegom, vkateremjepredvidel obstoj dodatnega nevtralnegadelca vkon.cnem stanjupri razpadubeta[10]. ki so ga detektirali koinciden.cno. Nevtron se je ujel v jedru kadmijevega atoma;kadmijevizotop,kijepri tem nastal,jebil v vzbujenem stanjuin jepre.sel v osnovno stanje zizsevanjemfotona z zna.cilno(to.cnodolo.ceno) energijo in z zna.cilnim .casovnim zamikom glede na detekcijo fotonskega para iz anihilacije pozitrona: n +Cd . Cd* . Cd+ . Pri razpadu beta in poskusu, ki sta ga izvedla Cowan in Reines, nastopajo elektronski(anti-)nevtrini. Leta1962 soLeonLederman,MelvinSchwartz inJackSteinbergerpokazali,daobstajajo.senevtrinidrugevrste –mionski nevtrini, µ [4]. Za odkritje so leta 1988 prejeli Nobelovo nagrado za fiziko. Danes vemo,dapoleg omenjenihdveh vrst obstajajo.se nevtrini tretje vrste – nevtrini tau  . Podobno,kotjePauli ocenil(zgornjo mejo za) maso elektronskega nevt rina iz oblike spektra elektrona, ki pri razpadu beta nastane skupaj z nevt rinom, lahko tudi maso nevtrinov µ in  ocenimo iz energijskega spektra delcev,kipoleg obeh nevtrinov nastopajo vposameznihprocesih. V okviru natan.cnosti eksperimentov so vsiizmerjeni spektri skladni shipotezo obrezm asnihnevtrinih,kijevklju.cenavosnovnoteorijo – Standardnimodel – osnovnihgradnikov snoviin sil med njimi(interakcij). Primanjkljaj nevtrinov s Sonca in nevtrinske oscilacije Soncejedale.c najmo.cnej.si vir(elektronskih) nevtrinov naZemlji. Nevtrini nastanejokotprodukt zlivanjajeder. Slika4ka.ze model za opistakega zliv anja(levo) in energijski spekter nevtrinov(desno), skladen z modelom[2]. Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Oscilacije nevtrinov Slika 4. Levo: model zlivanjajedervSoncu[2]. Desno: energijskispekternevtrinov, ki ustreza modelu. Prvi je nevtrine s Sonca zaznal Raymond Davis s sodelavci v za.cetku sedemdesetihletprej.snjega stoletja[5], zakarjeleta2002prejelNobelovo nagrado za fiziko. V zbiralniku, napolnjenem s 380 tonami tetrakloretilena (C2Cl4),je opazovalujetje elektronskih nevtrinov sSonca vjedrihklora,pri .cemer nastane radioaktivni izotop argona 37Ar, 37 37 - e + Cl . Ar+e. (2) Sprepihovanjem zbiralnikaje nastale atome argona zbral v majhnemplins kemdetektorju, vkaterem sojedra 37Ar z zajetjem elektronapre.sla vjedra 37Cl. Ob zapolnjevanju tako nastalih vrzeli v notranji lupini pa so atomi 37Clizsevali.sefotone(rentgenskosevanje) zna.cilneenergije. Zaznanokar akteristi.cno rentgensko sevanje je bilo nedvoumen dokaz za reakcijo (2) elektronskih nevtrinov s Sonca v zbiralniku. Vendar je bila izmerjena le tretjina od.stevilafotonov, ki sogapri.cakovali napodlagi modelaSonca[2]. Kasneje soprimanjkljaj potrdili tudi.stevilnidrugi eksperimenti. Enaizmed mo.znih razlag zaprimanjkljajje,daje modelSonca[2] nap a.cen. Druga mo.znost je, da se del elektronskih nevtrinov, ki nastanejo v Soncu, .se pred prihodom na Zemljo spremeni v nevtrine druge vrste, µ in/ali  ,kijih eksperimenti ne zaznajo. Mo.znostprehoda nevtrinov ene vrste v nevtrinedruge vrstein nazajje prvi predvidel Bruno Pontecorvo[7] leta 1957(slika 5). Verjetnost, da se bo mionski nevtrino spremenil v e (ali ), m2c3x P(µ . e). sin2 , 4Ef je sinusno odvisna odrazdalje x,kijo nevtrino medtemprepotuje, njegove energije E ter razlike mas m razli.cnih vrst. Pojav imenujemo nevtrinske 210–217 213 Tomaž Podobnik in Aleš Mohoric. Slika6.Maketa detektorja Kamio- kande (foto: Jnn, Copyleft). Na na- slovnici so fotopomno.zevalke, ki so v steni detektorja. Slika 5. Nevtrinske oscilacije: del mio nskih nevtrinov se spremeni v nevtrine druge vrste – elektronske nevtrine. Poj av je mogo.c le, .ce imajo nevtrini od ni.c razli.cno maso. oscilacije. Ob tem je pomembno, da do oscilacij lahko pride le, .ce imajo nevtrini(od ni.c razli.cno) maso,karje v neposrednem nasprotju sprej omen jenim standardnim modelom osnovnih gradnikov snovi in interakcij. Atmosferski nevtrini in eksperiment Super-Kamiokande Prvi.c so nevtrinske oscilacije izmerili leta 1998 [6] z detektorjem SuperK amiokande(SK),ki sogapostavili1000 mpod zemljo v rudnikuMozumi v mestuHida naJaponskem. DetektorSK(slika6)je zbiralnikvode v obliki valja vi.sine41 minpremera osnovneploskve39 m. Zbiralnik vsebuje50000 ton vode, v njegovih stenahpaje13000fotopomno.zevalk(detektorjev svet lobe). ZdetektorjemSK soizmerili oscilacijeatmosferskih nevtrinov,ki nastan ejopri trkihkozmi.cnih.zarkov(visokoenergijskihprotonov) zjedri atomov v vrhnjih plasteh atmosfere, pri .cemer je dele.z mionskih nevtrinov okoli 2/3,dele.z elektronskih nevtrinovpa okoli1/3(dele.z nastalih nevtrinovtau je zanemarljivo majhen). Energija atmosferskih nevtrinov je v povpre.cju precej vi.sja od energije nevtrinov s Sonca. Kadar visokoenergijski atmosf erski nevtrino interagira z nukleonom N vjedru atoma v detektorju SK, -- se lahko spremeni v nabit delec, µ v µin e v e, ' - µ + N . N + µ, ' - e + N . N + e. Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Oscilacije nevtrinov Slika 7. Nabit delec s hitrostjo, ki Slika 8. Detektor Kamiokande meri .stevilo at jeve.cjaodhitrosti svetlobevsnovi, mosferskihnevtrinov, ki vstopajovdetektorod seva svetlobo . spodaj in od zgoraj: obro.Cerenkova na dnu de- Cerenkova. Izsevana ci . svetlobatvoripla.s.csto.zcazosjo,ki tektorjasoposledicaatmosferskih nevtrinov,kiso se ujema s smerjo gibanja nabitega vstopili v detektor od zgoraj, obro.ci na stropu ded elca. Obprojekcijifotonovnarav-tektorjapaposledicaatmosferskihnevtrinov,ki nino z detektorji svetlobe dobimo so vstopili v detektor od spodaj. zna.cilnekolobarje –obro.cesvetlobe . Cerenkova. . --) Cejehitrost nastalega nabitegadelca(µali eve.cja od hitrosti svetl obe v vodi, delec seva svetlobo .cev Cerenkova(slika7),kijo v obliki obro. - zaznajofotopomno.zevalke v stenahdetektorja. Kerje smer nastalih µin - emo.cnokorelirana s smerjo µ ine, so obro.ci . Cerenkova nadnudetektorja ve.cinoma posledica atmosferskih nevtronov, ki so vstopili v detektor od zgoraj, obro.ci na stropu detektorja pa posledica atmosferskih nevtrinov, ki so vstopili vdetektor od spodaj(slika8). Poleg tega so obro.ci svetlobe . Cerenkova,kijoizsevajo mioni, ostrej.si od obro.cev,kijihdobimo s sevanjem . elektronov(slika9): elektronskeobro.ce Cerenkovarazma.zejododatnifotoni, kijihdobimo z zavornim sevanjem elektronov, medtemkoje zavorno sevanje mionov zanemarljivo(40000-krat.sibkej.se od zavornega sevanja elektronov). Opisane zna.cilnosti so omogo.cile, da so z detektorjem SK izmerili razm erje tokov mionskih in elektronskih atmosferskih nevtrinov, ki vstopajo v detektoriz razli.cnih smeri: posebej od zgorajinposebej od spodaj. Pri tem soizmerili,daje razmerje mionskihin elektronskih nevtrinov,ki vstopajo v detektorodzgoraj(razmerje.stevilaobro.Cerenkovazostrimi cev svetlobe . in z razmazanimi robovi na dnu detektorja), enako razmerju ob njihovem nastanku(okoli2vkoristmionskih nevtrinov), zanevtrine,kivstopajov detektor od spodaj, pa je to razmerje znatno manj.se od 2. Zmanj.sanje razmerja razlo.zijo nevtrinske oscilacije: nevtrini, ki vstopijo v detektor od zgoraj, od svojega nastanka v atmosferi do detekcije prepotujejo le okoli 10–15km(slika8,levo),karje zanemarljivo malo vprimerjavi z razdaljo, zna.cilnozaoscilacije, medtemkonevtrini,ki vstopijovdetektorod spodaj, prepotujejo celotno zemeljskokroglo(13000km),karjedovolj,da selahko znaten del nevtrinov ene vrste spremeni v nevtrine druge vrste. Rezultati SK so skladni s prehodi mionskih nevtrinov v nevtrine tau. 210–217 215 Tomaž Podobnik in Aleš Mohoric. Slika 9. c svetlobe . Obro.Cerenkova, ki jo izseva mion (levo) in elektron (desno) (vir: Tomasz Barszczak[8]). Nevtrinski observatorij Sudbury (SNO) DetektorSNO(slika10)je zbiralnik,ki vsebuje1000tonte.zke vode,D2O, z dodatkom soli NaCl, v stenah zbiralnika pa je vgrajenih 9500 fotopom no.zevalk. Stoji 2000 m globoko pod zemljo v rudniku Creighton v kraju Sudbury, Kanada. Ena izmed mo.znih reakcij nevtrinov s Sonca s te.zko vodo v detektorju jet.i. reakcija z nevtralnimtokom,prikaterijedrodevterija(devteronD) razpade na proton in nevtron, x +D . p+ n + x,x = e,µ,. (3) Prosti nevtron ujamejedroklora,Cl,ki nato vkratkem.casovnemintervalu izseva .stiri fotone. Ti fotoni se nato sipljejo na elektronih molekul te.zke vode, pri .cemer elektroni prese.zejo hitrost svetlobe v vodi in zato sevajo svetlobo .zevalke. Ve.ca Cerenkova,kijozaznajofotopomno.ckratni skoraj so. sni obro.ci svetlobe . Cerenkova sotorej znak za reakcijo(3) nevtrina sSonca z devteronom v detektorju SNO. Da so lahko izklju.cili druge mo.zne vire takihdogodkov(ozadje), so morali zmanj.sati obi.cajnidele.z radioaktivnih elementov v vodi zafaktor1000000. Reakcija(3)je,druga.ceod reakcije(2), enakoverjetnaza vsevrste nevt rinov. Topomeni,daboizmerjeno.stevilo reakcij(3) enako,.ce elektronski nevtrini ves .cas ostanejo elektronski nevtrini ali .ce se na poti med svojim nastankom v Soncu do mesta detekcije spremenijo v nevtrine druge vrste –.stevilo reakcij(3)je odvisnole odtoka nevtrinov sSonca, nepatudi od nevtrinskih oscilacij. Izmerjeno.stevilo reakcij(3) zdetektorjemSNO[1]je skladno s.stevilom, kiga napove modelSonca[2]. ModelSoncajetorej pravileninprimanjk ljaj izmerjenih reakcij (2) iz poglavja Primanjkljaj nevtrinov s Sonca in nevtrinske oscilacije lahko pojasnijo le nevtrinske oscilacije. Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Oscilacije nevtrinov Slika 10. DetektorSNO(objavljeno zdovoljenjemSNO). Sklep Opisani eksperimenti nedvoumno ka.zejo na to, da nevtrini oscilirajo. To pomeni,daimajonevtrinimaso,karje v nasprotjusStandardnimmodel om osnovnihgradnikov snoviininterakcij. Obstaja ve.c razli.cnihpredlogov kako dopolniti Standardni model, da bo vklju.ceval masivne nevtrine, in poskusibodopokazali,kateriizmed tehpredlogov,.ce splohkateri,jepravil en. Kon.cna masa nevtrinov pomeni tudi, da njihov dele.z v temni snovi ni zanemarljiv. LITERATURA [1] S. N. Ahmed; et al., Measurement of the Total Active 8 B Solar Neutrino Flux at the Sudbury Neutrino Observatory with Enhanced Neutral Current Sensitivity, Phys. Rev. Lett. 92 (2004)181301. [2] J. N. Bahcall, A. M. Serenelli in S. Basu, New solar opacities, abundances, helioseis mology, and neutrino fluxes,Astrophys, J.621,L85(2005). [3] C. L. Cowan Jr., F. Reines, F. B. Harrison, H. W. Kruse, et al.,Detection of the Free Neutrino: a Confirmation, Science 124 (1956), 103–104. [4] G. Danby, J.-M. Gaillard, K. Goulianos, L. M. Lederman, N. B. Mistry, M. Schwartz in J. Steinberger, Observation of High-Energy Neutrino Reactions and the Existence of Two Kinds of Neutrinos, Phys. Rev. Lett. 9 (1962)36. [5] R.Davis,Solar Neutrinos. II. Experimental,Phys.Rev.Lett. 12 (11)(1964)303,B.T. Cleveland; et al., Measurement of the solar electron neutrino flux with the Homestake chlorine detector, Astrophys, J. 496 (1998)505–526. [6] Y.Fukudae;et al., Super-KamiokandeCollaboration,Phys.Rev.Lett. 81 (1989)1562– 1567, Y. Ashie; et al., Measurement of atmospheric neutrino oscillation parameters by Super-Kamiokande I, Phys. Rev. D71, 112005(2005). [7] B. Pontecorvo, Mesonium and anti-mesonium, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 33 (1957), 549– 551. [8] http://www.ps.uci.edu/~tomba/sk/tscan/compare_mu_e/, ogled 17. 12. 2015. [9] http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2015/press.pdf, ogled 17. 12. 2015. [10] microboone-docdb.fnal.gov, ogled 17. 12. 2015. 210–217 217 . SOLA PRI. CARAJMO PROSTORSKO SLIKO ANDREJ LIKAR Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani V .soli smo obravnavali sestavo o.cesa in njegovo optiko. Prav malo pa smo izvedeli o o.ceh, .ceprav gledamo v svet z dvema o.cesoma. O.ci povedo ve.c kot posamezno oko, saj se sliki na mre.znicah razlikujeta. Prav na tej razlikidobropresodimo oddaljenostpredmetov,ki soblizu nas. Toje za orientacijovprostoruzelopomembno. Tudizveri,primati,plazilci ...,torej lovci, imajo o.ci postavljene tako, da lahko hkrati gledajo eno samo to.cko v prostoru. Rastlinojedci, naprimer zajci ali srne,tega ne morejo,pri njihje pa.cpomembneje opazovati.cim.sir.so okolico,da nepostanejoplen zverem. Prostorsko sliko lahko pri.caramo tako, da poskrbimo, da vsako oko vidi malodruga.cno sliko. Seveda moratapri tembiti slikipopolnoma usklajeni. Pri prostorski fotografiji za to poskrbita dva fotografska aparata, ki sta usmerjena v isto to.cko, najpogosteje na oddaljenem horizontu. Amaterji paposnamemodve sliki z enimfotoaparatom,poskrbeti moramole,daje objektiv v obehprimerih usmerjen visto, nekoliko oddaljeno to.ckoprostora terpremaknjen v vodoravniravnini zakakihdeset centimetrov. Danesje takifotografiji mogo.ceprenesti na ra.cunalni.ski zaslondrugopoleg drugein ju nato z ogledom z zrcalom ali prizmo»zliti« v eno, glej sliko 1. Z levim o.cesom,denimo,gledamolevoslikona zaslonu, zdesnimpaprek odboja na zrcalu zrcalno obrnjeno desno sliko. Z malo vaje se prav osupljivo prika.ze iluzija prostorske globine. . Ce sta slikiprimerno skupaj,juposkusimo opazovati zbol.s.canjem,da si pri.caramo prostorski vtis. Za kaj takega potrebujemo nekaj ve.c vaje, saj smo vajeni z obema o.cesomagledati vistoto.ckoprostora,torej vedno malo .skilimo,tembolj,.cimbli.zejetato.cka. Pribol.s.canjupa moramodose.ci, dadesno oko vididesno sliko,levopalevo,ki sta seveda razmaknjeni. Sliki gledamo nekako tako,kotbibilizelodale.c,izostritipaju moramo na mestu, kjerpa.c sta. Ker staizostritev slikein.skiljenjepri obi.cajnemgledanjutrdno povezana, ju moramo z vajo razrahljati – o.ci gledajo oddaljen predmet, posamezno okopa morapri temizostriti sliko,kijeblizu. Tako prirejeni sliki imenujemo stereogram. Ra.cunalni.sko izrisanih najd emo v obilju na spletu, prav imenitne pa v knji.zici Boruta Jur.ci.ca Zlobca z naslovomStereogrami(izdala zalo.zbaMathd. o. o.,1994). Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Pri. carajmo prostorsko sliko Slika 1. »Zamaknjeni« fotografijiposnamemoinjuprenesemov ra.cunalnik.Slikizalevo indesno okopostavimo v.stric na zasloninju zlijemo v eno z zrcalom aliprizmo. Pri tem z levim o.cesom opazujemo levo sliko, z desnim pa desno v zrcalu. Zrcalo po.casi vrtimo, da se sliki zlijeta v eno. Sliko zadesno oko.seprej zrcalno obrnemo,daje zrcalna slika potempravilna. Pri takipripraviposnetih slikpridejo zelopravgrafi.cniprogrami(npr. IrfanWiew). Lo.ceni sliki vhipu zlijemov eno sstereoskopom. Primernorazmaknjeni zbiralni le.ci pred o.cmi poskrbita, da gledata o.cesi vsako svojo sliko na prim erni oddaljenosti. Tako izostrimo sliki brez napora. Skozi le.ci lahko takoj zaznamoin opazujemoprostorsko sliko. Stereoskopjepreprosta naprava, lahko jo izdelamo tudi sami. Na sliki 2 je prikazan tak izdelek. Le.ci sta bilidel zavr.zenega manj.segadaljnogleda, ohi.sjepajeleseno. Razdalja med le.cama naj bo .cim bli.ze zeni.cni razdalji e opazovalca(pri nas6,5 cm). Sliki, ki skozi stereoskop pri.carata prostorsko sliko, si lahko izdelamo tudi sami. Na sliki 3 se to.cka A s koordinatami xA, yA in zA,kotjo vidimo skozi stereoskop z levim o.cesom, preslika v to.cko AL na ravnini papirja s koordinatama xAL , yAL . Levo oko vidi sliko to.cke AL na mestu to.cke A. Prav tako se to.cka A zadesno okopreslika v AD napapirju. Poljubno sliko sestavimo iz mno.zice to.ck A, na papirju pa dobimo ustrezni sliki za levo in desno oko. Seveda najprej delamo z ra.cunalni.skim zaslonom namesto s papirjem,.sele nato sliko v ustreznem razmerjuprenesemo napapir. 218–222 219 Andrej Likar Slika 2. Stereoskop iz doma.ce delavnice. . Cepravbizgornji opis vnetemu ra.cunarjupovsem zado.s.cal,dabi silahko sam izdelal program za risanje stereogramov, le navedimo nekaj ena.cb, ki prevedejo poljubno to.cko A v to.cki AL in AD na papirju. Na sliki 3 je prikazana projekcija celotne postavitve v smeri osi y. Slika razjasni oznake koli.cin in naka.ze zveze med njimi. Iz podobnih parov trikotnikov LOAL in LL'A, LPAL inLSAter LOB inL'OC razberemo zakoordinato x naslednji razmerji: x + D - z xAL = l , (1) e/2 = . (2) D- l- zl Za koordinato y niti ne potrebujemo nove slike, hitro uvidimo razmerje: yD - z = . (3) yAL l Zvezo med razdaljama D in l podajata zbiralni le.ci, ki imata gori.s.cno razdaljo f, in sicer: 111 = - , (4) flD ker .stejemo razdaljo D kot pozitivno. Ta razmerja veljajo tudi za desno oko, le da namesto pozitivnega e/2 pi.semo tam -e/2. Sedaj se lahko lotimo risanja stereograma. Izberemo si kak.sno zanimivo ploskev,joprekrijemo s to.ckami A skoordinatami x, y, z,izra.cunamo ustrez ne koordinate xAL , yAL , xAD , yAD injihizri.semo. Koordinatniizhodi.s.ci 220 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Pri. carajmo prostorsko sliko desno oko levo oko e/2 e/2 B le. D OS bb b bb b bb bbb b LDca ADO ALP L' C A S xAL x z l zaslon  Sslika zaslona Slika 3. Preslikava to.cke A na ravnino papirja za levo in desno oko. To.cko AL vidi levo oko na mestu to.cke A, to.cko AD pa desno oko prav tam. Druge ozna.cene to.cke potrebujemo pri izpeljavi povezave med koordinatami to.cke A z ordinato xAL . sta, kot razberemo s slike, O in OS . Pri prenosu na papir si pomagamo s kako posebej izbrano to.cko A (najpreprosteje kar s koordinatnim izhodi. s.cem OS )in razmerje slik na zaslonu in papirju dolo.cimo tako, da razdalja na papirju med ustreznima to.ckama xAL in xAD ustreza izra.cunani. Na slikah 4–7 smo za neu.cakane narisali nekaj stereogramov. Na.s ster eoskop ima le.ci z gori.s.cno razdaljo f = 12,7 cm, razdalja D paje pri tem udobnih 40 cm. Slika 4. Stereogram sto.zca. 218–222 221 Andrej Likar Slika 5. To.cke na paraboloidni ploskvi. Slika 6. Sombrero. Slika 7. Zvezde vprostoru. Pri tem stereogramuporabimokar nekaj.casa,dadojamemo smiselno sliko. Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 NOVE KNJIGE K. S. Patwardhan, S. A. Naimpally, S. L. Singh, Llavati of Bhaskar acarya: A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition, Motilal Banarsidass Publishers, Delhi, 2014, 218 strani, 3. izdaja. Zgoraj so najprej navedeni prevaj alci in komentatorji znanega mat ematicnega dela Lilavati. Napisal ga je indijski matematik in astron om Bhaskaracarja, kar pomeni Bhaskara Ucitelj. Imenujejo ga tud i Bhaskara II.  Zivel je v 12. stolet ju. Bhaskara I. je bil prav tako ind ijski matematik in astronom v 7. stoletju. Rimske stevnike so jima dodelili zato, da ju lazje razlikuj emo. Bhaskara II. je napisal Lilavati v sanskrtu, ki je v prvi vrsti jezik hinduisticne liturgije, pa tudi jezik budisticne, hinduisticne in dzaini sticne lozo je ter literarni jezik klasicne indijske knjizevnosti. Pos tal pa je tudi jezik, ki so ga uporab ljali v znanosti, podobno kot gr scino in latinscino v Evropi. Sans krt se ucijo po indijskih solah, pa tudi po univerzah po vsem svetu. Sanskrtska besedila se pisejo v pisavi dev anagari, ki jo uporabljajo tudi nekateri sodobni jeziki na Indijski podcelini, na primer hindijssssStevilo uporabni cina, nepalcina, maratcina, sindcina.  kov devanagarija gre v stotine milijonov. Devanagari pozna skoraj 50 crk za samoglasnike in soglasnike ter ne kaj dodatnih znamenj. Crke so samo ene vrste, ni malih in velikih kot v  evropskih jezikih. Crke za soglasnike vkljucujejo privzeti samoglasnik, zato uvrscamo devanagari med zlogovne pisave. Na primer, zlogi ka, ka, ki, k, ku, ku, ke, kai, ko, kau se zapisejo kot k, kA, Ek, kF, k.. k k, k{, ko, kO. Devanagari pozna tudi celo vrsto ligatur, zlitij dveh ali vec soglasnikov v en znak. Primer: Zloga kra, tra se zapiseta kot ./. Devanagari hitro spoznamo po skupni ravni crti, pod katero so nanizane crke. Znaki za stev ilke 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 so 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Zapisi z njimi Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Nove knjige  se razlikujejo od crk po tem, da nimajo skupne ravne crte. Stevilo 2015 se zapise takole: 2015. V devanagariju se pise od leve proti desni in od zgoraj navzdol. Zaradi velikega zanimanja za indijsko kulturo je ze pred 100 leti nastala potreba po precrkovanju (transliteraciji) sanskrta v latinico. Nastal je sistem IAST (International Alphabet of Sanskrit Transliteration), s katerim lahko z ustrez nimi locevalnimi znaki (piko, crto, vijugo, ostrivcem) prepisemo sanskrtska besedila v latinico. To je v knjigi opisano ze na samem zacetku. Nastali so se drugi sistemi precrkovanja. Vcasih prihaja do zmede. V sistemu IAST  pomeni c nas c, y nas j, j pa nas dz. Ce ne vemo, ali je beseda precrkovana v anglescino ali slovenscino, ravno j povzroca tezave, ker takoj ne vemo, ali oznacuje nas j ali dz. Naslov knjige vsebuje v sistemu IAST precrkovani besedi Llavat,v devanagariju lFlAvtF, in Bhaskaracarya, v devanagariju BArAy , v an glescini Bhaskaracharya. Crtice oznacujejo dolge samoglasnike. Prvo preb eremo Lilavati, drugo Bhaskaracarja. Slednja je nastala z zdruzitvijo dveh: Bhaskara, v devanagariju Br, in acarya, v devanagariju aAy , kar pom eni ucitelj, vzgojitelj. Lilavati so v perzijscino prevedli ze v 16. stoletju, proti koncu 20. stoletja jo je N. H. Phadke prevedel v maratscino, na za cetku pricujocega besedila navedeni prevajalci pa v anglescino. Prvo izdajo je knjiga, ki jo opisujemo, dozivela leta 2001. Prvi prevodi v anglescino so sicer nastali ze na zacetku 19. stoletja. Toda sedaj prinasa ne le komentarje in resitve, ampak tudi sanskrtsko besedilo v devanagariju. Pripovedujejo, da je delo Lilavati dobilo ime po Bhaskarjevi hcerki z istim imenom. Revica je izgubila moznost, da bi se omozila. Temu je bilo krivo ocetovo zaupanje v astroloske napovedi. Izracunal je namrec, da se Lilavati lahko poroci ob natancno doloceni uri na natancno dolocen dan. Oce je pripravil vodno uro in cas poroke naj bi bil, ko bo zadnja kaplja  vode stekla iz posode skozi drobno luknjico. Zeljna cimprejsnje poroke se je sklonila nad vodno uro, in tedaj se je zgodila nesreca: biser z njenega okrasja v laseh ji je padel v posodo in zamasil luknjico, prava ura za poroko je zal minila in v tolazbo je oce poimenoval eno od svojih del po svoji hcerki Lilavati. Ime sicer pomeni lepa, igriva, drazestna. Knjiga najprej pove nekaj o zivljenju in delu Bhaskaracarje, ki ni bil samo matematik in astronom, ampak tudi zelo dober pesnik. Lilavati je namrec napisana v verzih v skladu z Weierstraovo izjavo, ki pove, da matem atik, ki ni tudi malo pesnika, nikoli ne more biti popoln matematik. Najb olj znano Bhaskarovo delo je Siddhantasiromani – Siddhantasiromani – . Es.AtEfromEZ, v anglescini Siddhantashiromani. V knjigi je to napisano kot ena beseda, nekateri pa pisejo kot dve: Siddhanta siromani. Dobesedno to pomeni venec ucenja. Napisal ga je pri svojih 36 letih, pri cemer je upo 224 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 LŻilŻi of BhŻacŻ avatŻaskarŻarya: A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition rabil veliko njemu ze znane matematike, precej pa jo je dodal sam. Lilavati so uporabljali kot ucbenik v Indiji se vec stoletij. Razdeljeno je, kot pise na zacetku knjige, na stiri dele, ki jih nekateri obravnavajo kot locene knjige. Te so: 1. Lilavati, ki obravnava aritmetiko, geometrijo in nekaj algebre, 2. Algebra, 3. Gibanje planetov in 4. Astronomija. Bhaskaracarja v Lilavati najprej razlozi merske in denarne enote, ki so jih uporabljali v 11. in 12. stoletju, in odnose med njimi. Nato pride na vrsto desetiski mestni zapis stevil. Zanimivo je, da so potence 10n imele posebna imena za vsa nenegativna cela stevila n od 0 do 17. Obstajajo pa v sanskrtu imena vse do n = 140, cesar Bhaskaracarja ne navaja. Primera: 100 =1 je eka, 1014 pa parardha. Sledijo poglavja o osnovnih stirih racunskih operacijah z naravnimi stev ili. Pri mnozenju je razlozenih vec metod, na primer z razdelitvijo mnozit elja na dva dela, s faktorizacijo mnozitelja, pa tudi metoda, kot jo obicajno uporabljamo, ko mnozimo s svincnikom na papirju. Na obicajni nacin je razlozeno deljenje z ostankom in brez. Sledijo poglavja, ki obravnavajo kvadriranje in kubiranje ter kvadratno in kubicno korenjenje naravnih stevil. Snov je razlozena priblizno tako kot v ucbenikih aritmetike, ki so se pri nas uporabljali takoj po 2. svetovni vojni. Nato je na vrsti osem operacij z ulomki: sestevanje, odstevanje, mnozen je, deljenje, kvadriranje, kubiranje, kvadratno in kubicno korenjenje. Vec pozornosti je posvecene racunanju z niclo. Tu srecamo pojem neskoncnosti in racune, ki nas spominjajo na limito. Nato nadaljuje s tako imenovanim obratnim postopkom, kjer je treba najti stevilo. Primer: Neko stevilo najprej pomnozi s 3. Temu produktu pristej 3=4 njegovega dela. Dobljeno vsoto deli s 7 in nato odstej 1=3 kol icnika od dobljenega kolicnika. Odstej 52 od kvadrata dobljenega ostanka. Pristej 8 kvadratnemu korenu tega rezultata. Nazadnje deli vsoto z 10 in dobis 2. Potem mi, deklica begavih oci, ce poznas obratni proces, povej zacetno stevilo! Nagovarjanje na tak ali podoben nacin je v delu pogosto. Dobimo obcutek, kot da Bhaskaracarja ves cas poucuje deklico. Rezultat je 28. Sledijo razni problemi z eno neznanko iz vsakdanjega zivljenja. V njih srecamo slone, cebele, labode, razne sadeze, denar, drevesa. V knjigi, ki jo predstavljamo, je tudi naslednji problem. Dekle in fant sta se ljubila. Zgodila se je neprijetnost: njej se je pretrgala nit biserne ogrlice. Tretjina biserov je padla na tla, petina se jih je zakotalila pod posteljo, njej jih je uspelo zadrzati Sest biserov pa je ostalo na niti. sestino, njemu pa desetino.  Koliko biserov je stela ogrlica? Odgovor: 30 biserov. Prevajalci in komentatorji v tej knjigi niso omenili, da te naloge ni v orig inalnem Lilavati, ampak v Manorandzani, delu, v katerem je Ramakrisna Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 225 Nove knjige Deva v 15. stoletju komentiral Bhaskaracarjevo delo. Kvadratne enacbe Lilavati resuje z dopolnjevanjem do popolnega kvad rata. Simbola za koren nima, uposteva pa samo pozitivni kvadratni koren. Primer: Na jezeru je jata labodov. Sedemkratna polovica kvadratnega kor ena stevila labodov se je preselila na obrezje jezera, en zaljubljen par pa se je se igral v vodi. Koliko labodov je bilo tam? Odgovor: 16 labodov. Lilavati vkljucuje tudi naloge v zvezi s premim in obratnim sorazmerjem (pravilo treh, pravilo petih). Povezane so s cenami, zlatom, menjavo blaga in enostavnim obrestovanjem. Primer: Na trgu lahko kupimo 300 mangov za eno drammo (1 dramma = 16 pan). 30 kakovostnih granatnih jabolk dobis za eno pano. Hitro izracunaj, koliko granatnih jabolk lahko zamenjas za 10 mangov. Odgovor: 16 granatnih jabolk. Lilavati obsega tudi nekaj matematike, ki bi jo danes uvrstili v diskret no matematiko: kombinacije, Pascalov trikotnik (khandameru), zaporedja, permutacije in particije. Ker Lilavati vsebuje tudi nekaj indijske mitologije, navedimo primer: Gospod Visnu ima 4 roke in v vsaki drzi po eno insignijo: kij, disk, lotusov cvet in hisico morskega polza. Koliko razlicnih podob ima Visnu? Odgovor: 4! = 24. Precej pozornosti posveti Bhaskaracarja v Lilavati linearnim diofants kim enacbam ax + by = c. V bistvu jih resuje z Evklidovim algoritmom, le da mu tako ne rece. Govori o metodi drobljenja (kuttaka). Pripomnim o, da je Bhaskara obvladal tudi Pellove enacbe x2 - Dy2 = 1, kjer D 2 ni kvadrat. Reseval je enacbo x2 - 61y= 1 in nasel najmanjso resitev (x1;y1) = (1 766 319 049, 226 153 980). To je vsekakor omembe vreden rezult at, ce upostevamo takratno splosno stanje matematike in racunskih pripom ockov. Velik del knjige obravnava ravninske geometrijske probleme: Pitagorov izrek, razresevanje trikotnikov in stirikotnikov, ploscine likov. Pri stereom etriji racuna povrsine in prostornine raznih teles. Poseben razdelek je posvecen uporabi geometrije pri sencah. Precej je avtor dal na to, da bi se racuni izsli v celih ali pa vsaj v racionalnih stevilih. Primer: Kaca ima luknjo v zemlji tik ob 9 komolcev visokem drogu. Na njem sedi pav, ki zagleda proti luknji bezeco kaco v trenutku, ko je od nje oddaljena 27 kom olcev. Pav poleti proti kaci enako hitro kot le-ta bezi. Pav zgrabi kaco. V kateri razdalji od droga se to zgodi? Odgovor: 12 komolcev od droga. Lilavati vsebuje precej nalog, ki jih najdemo po raznih zbirkah in knjigah o zgodovini matematike. Vsekakor je Lilavati knjiga, ki je pomembna tako z zgodovinskega kot literarnega vidika. Napisana je bila, ko se niso uporabl jali nikakrsnih matematicnih znakov in ko se ni bilo tiska. Zanimivo pa je dejstvo, da Indijci v Bhaskarovem casu niso zapisovali dokazov. Marko Razpet, mAko trp^ t Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 The Art Of Computer Programming Donald E. Knuth: The Art Of Computer Programming, Volume 4, Generating All Trees, History of Combinatorial Generation, Fascicle 4, Courier Corporation plant in Stoughton, Massachusets, januar 2006, 120 strani. Knjizica, v kateri so opisani razl icni algoritmi za generiranje drev es, predstavljena pa je tudi zgod ovina generiranja razlicnih komb inatoricnih struktur, je le eden od mnogih zvezkov, s katerimi Donald E. Knuth, znan dalec po svetu po svojem pionirskem delu na podro cju algoritmov in programerskih tehnik, po svoji iznajdbi TeXa in METAFONTa, ter kot ploden in vpliven pisec, zasluzni profesor Umetnosti racunalniskega program iranja na Univerzi Stanford, sukc esivno dopolnjuje, razsirja in zaok rozuje svoje velicastno delo Umet nost racunalniskega programiran ja, ki ga je zacel pisati leta 1962. Knuthovo pisanje je delezno soglas nega obcudovanja strokovnjakov ne le zaradi svoje tehtnosti, amp ak tudi zaradi slogovnih odlik: lepote in elegance njegovih analiz, jasnosti in natancnosti njegovih razlag ter lucidnosti njegovih komentarjev. Kot pravi avtor sam, si je, potem ko je v prejsnjih zvezkih obravnaval generiranje drugih kombinatoricnih struktur (npr. permutacij, kombinacij in particij), najboljse, generiranje dreves, prihranil za konec. Teorija drev es, ene kljucnih diskretnih struktur, povezuje koncepte razlicnih vidikov racunalniskega programiranja, probleme generiranja vseh dreves dolocenega razreda (npr. na n vozliscih) pa so v primerjavi s problemi generiranja drug ih kombinatoricnih struktur, ki so jih v razlicnih oblikah obravnavali ze v stevilnih starodavnih kulturah (Indija, Kitajska, Japonska, stara Grcija, itd.), matematiki in racunalniski strokovnjaki zaceli intenzivno obravnavati sele po letu 1950. Pred tem so se z enumeriranjem vseh dreves dolocenega razreda ukvarjali le zelo redki, npr. Arthur Cayley je leta 1875 v svojem veli- Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Nove knjige kem delu o drevesih podal diagrame vseh binarnih dreves s tremi notranjimi vozlisci in stirimi listi. Algoritme za generiranje vseh vpetih dreves danega grafa so razvili stevilni avtorji po letu 1950, prvotna motivacija zanje pa je bilo raziskovanje elektricnih omrezij. Knjizica je pisana na kozo tako racunalniskim strokovnjakom kot tudi tistim, ki jih navdusuje zgodovina matematicnih znanosti. Brez dolgovezen ja in okolisenja zacne z razlago temeljne zveze med »pravilno vgnezdenimi oklepaji« in drevesi, po kateri je vsak par ustrezajocih si oklepajev (ki mu ustreza neko vozlisce prirejenega drevesa) kodiran z zaporednima stevilkama levega oklepaja »(« in desnega oklepaja »)«. Tabela s 14 razlicnimi pravilno vgnezdenimi stirimi pari oklepajev in ustreznimi drevesi ter izomorfnimi strukturami prikaze tudi razlicne nacine njihovega kodiranja. Zanimiva izom orfna struktura so hkratna rokovanja 2n ljudi za okroglo mizo, pri katerih noben od n parov, ki si seze v roke, ne zmoti rokovanja nobenega drugega para. Po vrsti spoznamo algoritem za leksikografsko urejanje vgnezdenih oklep ajev, algoritem za generiranje binarnih dreves, pa tudi algoritme po vzoru Grayeve kode, ki generirajo vsa mozna drevesa tako, da od vsakega gen eriranega drevesa preidemo k naslednjemu le z majhno perturbacijo. Preg ledu nekaterih kljucnih dejstev o Catalanovih stevilih, ki ustrezajo stevilom objektov, dobljenih v teh algoritmih, sledi zanimiv odlomek o slucajno gener iranih drevesih ter analiza tako imenovanega »vzorca bozicnega drevesa«, v katerem so razporejena vsa dvojiska zaporedja dolzine n natanko enkrat tako, da se zaporedja z istim stevilom enk pojavijo v istem stolpcu, in da se v vsaki vrstici zaporedni dvojiski zaporedji razlikujeta le na enem mestu.  Stevilo vrstic takega bozicnega drevesa reda n (ki ga je mogoce brez tezav dolociti) natancno ustreza velikosti najvecje antiverige podmnozic mnozice f1, 2;:::;ng, znane iz izreka Emanuela Spernerja (1928). Teoreticnemu in zgodovinskemu delu sledijo stevilne naloge. Prvi del teh nalog bralcu pomaga razumeti in osvojiti strokovni, algoritemski del knjige; drugi del teh nalog pa je namenjen temu, da se vzivimo v nacin razmisljanja matematikov (in drugih ucenjakov, npr. gramatikov, ki so iskali vse mozne ritmicne razlicice sanskrtskih ali starogrskih verzov, ali glasbenih teoretikov, ki so iskali vse mozne sezname melodicnih linij iz danih razlicnih tonov), ki so prvi razmisljali o posameznih problemih, in da razumemo, da so bili razlicni koncepti in postopki v zvezi z generiranjem kombinatoricnih struktur, ki se morda danes zdijo enostavni, v svojih zacetkih velik izziv celo za najvecje ume tistega casa. Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 The Art Of Computer Programming V zgodovinskem delu knjizice, za katerega Knuth pravi, da se je ob njegov em raziskovanju naucil veliko zanimivega o cloveku in njegovi kulturi, nam predstavi zelo zanimive in davne primere generiranja in enumeriranja razlicn ih kombinatoricnih objektov, npr. 64 heksagramov (ki ustrezajo binarnim zaporedjem dolzine 6) iz slavne knjige I Ching (Knjiga sprememb), ene od petih klasicnih del konfucijanske modrosti, pa 52 diagramov (imenovanih po 52 poglavjih znanega literarnega dela japonske pisateljice Murasaki  Sikubu: Zgodba o Genjiju iz 11. stoletja), ki ustrezajo razlicnim razdelitvam mnozice f1, 2, 3, 4, 5} v njene podmnozice (in katerih stilizirane variante je mogoce najti v standardnih katalogih kimono vzorcev v 20. stoletju), pa 56 razlicnih zaporedij treh metov kock, ki jih je, ker je bilo sicer priljubljeno kockanje duh ovnikom prepovedano, skof Wibold iz Cambraja iz severne Francije povezal s posameznimi vrlinami (npr. 111 = ljubezen, 112 = vera, 113 = upanje, itd.) ter tako izumil nekaksno igro zbiranja vrlin (Ludus clericalis), ki pa so jo smeli igrati in se jim tako ni bilo treba odreci metanju kock. Zanimiv je tudi problem, ki ga je neuspesno reseval celo Leibniz, in sicer, koliko je permutacij besed nekega latinskega verza, ki ustrezajo tudi dolocenim ritm icnim omejitvam, ki so veljale za latinske verze. Problem je uspesno resil sele James Bernoulli v svojem inavguracijskem govoru leta 1692. Knuth v zvezi s tem navaja tudi zanimiv Bernoullijev citat: »Celo najmodrejsi in najbolj bistri ljudje vcasih trpijo za necim, kar Logiki imenujejo nezadostna enumeracija primerov.« Knjizica, ki mi je prisla v roke po nakljucju (tako se dostikrat, po nedou mljivi igri nakljucja, zgodi s knjigami, ki so nam najbolj vsec!), mi je po eni strani zelo priblizala racunalnisko programiranje, me je pa tudi izredno prijetno presenetila v svoji zgodovinski, humanisticni dimenziji, saj prepri cljivo kaze, da tudi vrhunska matematicna oziroma racunalniska strokovnost  ni nezdruzljiva z zgodovinsko analizo. Se en lep dokaz, da nasi morebitni predsodki o tistem, cesar ne poznamo dovolj, niso vredni, da jih obdrzimo in cenimo kot nekaj vrednega. c vztrajal pri svojem predsodku, Ce bi namre da taksna knjiga ze ne more biti zanimiva, bi bil prikrajsan za prebiranje navdihujocih misli, kot so npr.: »Za globlje razumevanje je koristno stud irati rekurzivno strukturo v osnovi algoritma P«, ali: »Povprecna oblika nakljucno generiranega binarnega drevesa je priblizno enaka spodnji polov ici elipse.« Taksnih stavkov je v knjigi se veliko. Veselim se ze branja tudi drugih Knuthovih del, omenjeno knjizico pa priporocam vsem bralcem, ki imajo radi racunalnistvo in zgodovino matematike! Jurij Kovic Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 229 VESTI ZOISOVE NAGRADE IN PRIZNANJA 2015 Zoisove nagrade in priznanja, priznanja Ambasador znanosti ter Puhova priznanja za leto 2015 so bila podeljena 20. novembra v Portorozu. Med prejemniki Zoisovih nagrad in priznanj sta tudi clana nasega drustva: prof. dr. Tomaz Pisanski in prof. dr. Andreja Gomboc. Vsem nagrajencem iskreno cestitamo za uspeh in priznanje. Dosezki nagrajencev so opisani na straneh Ministrstva za solstvo, znanost in sport [1]. Povzemimo dosezke nasih clanov. Zoisovo nagrado za vrhunske dosezke pri znanstvenoraziskovalnem delu na podrocju diskretne matematike in njenih uporab je prejel prof. dr. Tomaz Pisanski. Dr. Tomaz Pisanski je vrhunski raziskovalec, ki deluje na podrocju diskretne in racunalniske matematike, z aplikacijami v naravoslovju, tehniki in druzboslovju. O sirini njegovega delovanja prica obsezna bibliogra ja, ki zajema 146 izvirnih znanstvenih clankov, eno znanstveno monogra jo, ki je leta 2013 izsla pri ugledni zalozbi Birkhau- ser, in stiri poglavja v mednarodnih monografskih publikacijah. Izjemno odmevnost njegovega dela potrjuje vec kot 1000 normiranih cistih citatov v zadnjih desetih letih in normirani H-indeks 19. Dr. Pisanski je eden od pionirjev topoloske teorije grafov na svetu in zacetnik svetovno znane slovenske sole teorije grafov. Leta 2008 je soustanovil prvo mednarodno matematicno revijo v Sloveniji, Ars Mathematica Contemporanea, ki se je leta 2014 uvrstila v prvo polovico SCI-revij na matematicnem podrocju. V zadnjih sedmih letih je prof. dr. Pisanski sam ali v soavtorstvu objavil 47 izvirnih znanstvenih clankov v uglednih mednarodnih revijah. Iz Evropske znanstvene fundacije je leta 2011 pridobil projekt GReGAS in postal sploh prvi slovenski koordinator kakega projekta po programu EUROCORES. Njegov najpomembnejsi prispevek v svetovno zakladnico znanja temelji na uporabi metod diskretne matematike v naravoslovju in tehniki. Izjemen je njegov prispevek k razvoju teorije upodobitev grafov, ki se uporablja v sami matematiki, pa tudi v kemiji, biologiji in drugih znanostih. V letih 1998 in 1999 je bil predsednik drustva. Je castni clan drustva, bil je med ustanovnimi uredniki Preseka, sodeloval je pri popularizacijskih aktivnostih drustva. Ukvarja se tudi z zgodovino matematicnih znanosti. Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Zoisove nagrade in priznanja 2015 Leta 2004 je organiziral razne obelezitve 250-letnice rojstva Jurija Vege. Med drugim je uredil dvojezicni zbornik Baron Jurij Vega in njegov cas. Za to je prejel red za zasluge s srebrnim vencem. Zadnje case dr. Pisanski deluje predvsem na Univerzi na Primorskem, kjer je tudi castni senator. Prof. Pisanski je redni clan Mednarodne akademije za matematicno kemijo, Inzenirske akademije Slovenije ter zdruzenja Academia Europaea. Zoisovo priznanje za pomembne dosezke pri proucevanju izbruhov sevanja gama je prejela prof. dr. Andreja Gomboc. Dr. Andreja Gomboc je redna profesorica za astronomijo na Univerzi v Novi Gorici, njeno raziskovalno delo pa je bilo do nedavnega vpeto na Univerzo v Ljubljani. Glavno podrocje njenih raziskav so izbruhi sevanja gama, ki so v svetu ena najaktualnej sih tem sodobne astro zike. Dr. Gomboc je soustanoviteljica mednarodne skupine za proucevanje izbruhov sevanja gama, ki uporablja tri najvecje robotske teleskope na svetu. Na njen predlog so na teleskop Liverpool namestili poseben polarimeter in tako uvedli novo metodo meritve polarizacije opticnih zasijev izbruhov sevanja gama v samo nekaj minutah po detekciji izbruha s satelitom. Trenutno je to edina raziskovalna skupina na svetu, ki je tehnicno sposobna opravljati take meritve, kar kaze na izvirnost in edinstvenost teh raziskav. S svojim delom in utemeljitvijo meritev, ki se pred tem niso izvajale, je dr. Andreja Gomboc kljucno prispevala k razumevanju teh izjemno silovitih pojavov v vesolju. Njena znanstvena dela so objavljena tudi v najpresti znejsih revijah, kot sta Science in Nature. Dr. Gomboc je aktivna clanica drustva in je od leta 2009 predsednica Slovenskega odbora za astronomijo in predsednica komisije za drustveno tekmovanje v znanju astronomije. Od leta 2011 ureja spletni Portal v vesolje. LITERATURA [1] http://www.mizs.gov.si/si/medijsko_sredisce/novica/article//9365/ 14dcedbf97c1df1eda67773cc5036724/, ogled 30. 11. 2015. Ales Mohoric Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 231 Vesti DVAINDVAJSETO MEDNARODNO TEKMOVANJE  STUDENTOV MATEMATIKE Tudi tokrat se je v Blagoevgradu v Bolgariji med 27. julijem in 2. avgus tom 2015 pomerilo 330 studentov matematike s 73 univerz z vsega sveta.  Ceprav so se vedno prevladovale evropske univerze, sta se tekmovanja ze tradicionalno udelezili tudi izjemno stevilni brazilska in iranska ekipa, med tekmovalci pa ste na primer lahko nasli tudi studente iz Kostarike, Mehike, Kitajske in Arabskih emiratov. Ljubljansko univerzo so zastopali Rok Ha  vlas, Vesna Irsic, Teo Kukuljan, Veno Mramor in Neza Zager Korenjak, primorsko pa Ivan Bartulovic, Vladan Jovicic, Marko Palangetic in Roman Solodukhin.  Studentje so dva dneva, vsak dan po pet ur, resevali po pet nalog. Ve cinoma zelo zvite in tezke naloge so iz snovi, ki se predava pri standardnih predmetih v prvih dveh letnikih studija matematike. Slika 1. Predstavniki slovenskih univerz v menzi Ameriske univerze. Veno Mramor in Marko Palangetic sta dobila drugo nagrado, Ivan Bart ulovic in Teo Kukuljan tretjo, preostali studentje pa so dobili pohvale. Na lestvici 74 ekip je ljubljanska ekipa zasedla 47., primorska pa 48. mesto. Zelo veliko o tekmovanju, prejsnjih tekmovanjih, nalogah in rezultatih lahko najdete na domaci strani organizatorja www.imc-math.org. Za boljsi vpogled v tezo in tip nalog sledi nekaj nalog z resitvami. Let osnje naloge so bile bolj simpaticne in lazje resljive kot prejsnja leta. Verj amem, da bodo za mnoge bralce zanimiv izziv. Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Dvaindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike Nekaksen nenapisan dogovor pravi, da je treba vsak dan zaceti z dostop no nalogo, ki naj bi jo resila velika vecina studentov. Tudi jaz sem bil med ocenjevalci naslednje zelo simpaticne naloge iz linearne algebre: I.1. Naj bo n 62. Realni matriki A in B velikosti n 6n zadoscata enacbi (A + B)..1 = A..1 + B..1 . Pokazi, da je det A = det B. Ali enak sklep velja tudi v primeru komp leksnih matrik? Ko enakost pomnozimo z A + B, dobimo I =(A..1 + B..1)(A + B)=2I + A..1B + B..1A, ali ekvivalentno A..1B + B..1A + I =0. Prvi sestevanec je inverz drugega, zato se enacba s substitucijo X = A..1B poenostavi v X + X..1 + I =0. Od tod sledi X2 + X + I =0 in X3 ..6I = 0. Zato je X3 = I, (det X)3 = 1 in zaradi realnosti matrik velja 1 = det X = det(A..1B)= det B . det A Tako smo pokazali, da je v realnem primeru det A = det B. Enakost (det X)3 = 1 da slutiti, da nam lahko v kompleksnem primeru p6 1 nagajajo tretji koreni enote. Naj bo . = 2 (..1+ i 3). Za A vzemimo identicno matriko, za B pa diagonalno matriko, ki ima na diagonali . ali 2, tako da det B6ckratnik  = 1. V primeru, ko n ni vestevila 3, lahko na primer vzamemo kar B = I. Tedaj je A..1 = I, B..1 = B, I + B + B =0 in (A + B)..1 =(..B)..1 = ..B = I + B = A..1 + B..1 , vendar det A =16 = det B. Podobno dostopna je bila naloga iz analize, s katero se je zacel naslednji dan. Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Vesti Slika 2. Ljubljanska ekipa pred rilskim samostanom. II.1. Pokazi, da velja 1 XZ 1 v < 2 . n(n + 1) n=1  Studentje so nasli ogromno razlicnih resitev, verjetno najbolj naravna pa je ocena z integralom. S pomocjo substitucije t = x2 je zelo lahko v primeru a = 0 eksplicitno izracunati integral Z8 1 v v dx = p - 2 arctg a . x(x + 1) a Integrand je strogo padajoca funkcija. Poglejmo si Darbouxove pravok otnike sirine 1 za spodnjo oceno ploscine. Ker je > 2, moramo nekaj prvih clenov izracunati posebej. Dobimo: 1Z1 XZ 1 111 1 v < + v + v +v dx = n(n +1) 23243 3 x(x + 1) n=1 v =+ v + v + p - 2 arctg 3 < 2. 11 1 2 32 43 Zelo mi je bila vsec tudi naslednja veliko tezja, a elementarna naloga z zvito uporabo kompleksnih stevil: I.4. Ali obstaja 15 celih stevil m1, :::, m15, za katera velja 15 XZ mj · arctg j = arctg 16 ? j=1 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Dvaindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike Slika 3. Primorska ekipa. Rezultat funkcije arctg si predstavljajmo kot polarni kot. Ker se koti pri mnozenju kompleksnih stevil sestevajo, pri potenciranju pa se mnozijo z eksponentom, bi bil v primeru zgornje enakosti argument stevila z = 1 + 16i enak argumentu produkta w = (1+ i)m1 · (1 + 2i)m2 · (1 + 15i)m15 . w  V tem primeru bi bil kvocient r = nenicelno realno stevilo. Se vec, z ker je realni del stevila w cel, realni del z pa enak 1, bi bil tudi kvocient r nenicelno celo stevilo. Absolutna vrednost jwj2 je r2-kratnik absolutne vrednosti jzj2: 15 1 2 (1 + 162)r = (1+ j2)mj . j=1 Sedaj pride najbolj nepricakovani del reStevilo sitve: . p = 1+162 = 257 je prastevilo, na desni pa za vse faktorje velja 1+ j2 < 1 + 162 = p . To je v nasprotju z enolicnim razcepom stevila na prastevila. Za konec se primer zadnje, najtezje naloge: Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Vesti I.5. Naj bo n = 2 in A1, A2;:::;An+1 tocke v n-razseznem evklidskem pros toru, ki ne lezijo na isti hiperravnini. Tocka B lezi v notranjosti konv eksne ogrinjace tock A1, A2;:::;An+1. Pokazi, da je kot \AiBAj top za vsaj n parov (i, j), 1 = i 0 z vsoto, manjso od 1, velja n An+1B = iAn+1Ai , i=1 X ali drugace nn X ivi +1 - ivn+1 =0. i=1 i=1 X Pn Potem je tudi n+1 := 1 .. i > 0. i=1 Poglejmo si graf, ki ima za vozlisca tocke 1, 2;:::;n + 1. Tocki i in j naj bosta povezani, ce je hvi;vj) < 0. Pokazali bomo, da je ta graf povezan. Ker ima vsak povezan graf z n + 1 vozlisci vsaj n povezav, bo s tem naloga resena.  Ce graf ne bi bil povezan, bi lahko vozlisca razbili na disjunktni podmno zici V in W z V [W = f1;:::;n+1g, pri cemer bi zaradi nepovezanosti veljalo hvi;vji= 0 za vse i . V in j . W . Poglejmo si enakost X n+1 i=1 ivi 2 0= ivi = = ivi 2 + 2 ijhvi;vj) . +2 i2Vi2Wi2Vj2W Sestevanci v zadnji dvojni vsoti so nenegativni. Ker tocke ne lezijo v isti hiperravnini, velja tudi X X ivi 6inivi = 0. =0 6 i2Vi2W To pomeni, da zadnja enakost ni mozna in prisli smo do protislovja. Kljub na videz liberalnim ocenam kot zanimivost povejmo, da je ocena v nalogi najboljsa mozna. Za primer bi lahko vzeli vn+1 = (1, 1;:::, 1), za vi pa vektor, ki ima na i-tem mestu ..1, drugje pa nicle. V tem primeru je hvi;vj) < 0 le v primeru, ko je i = n + 1 ali j = n + 1. Marjan Jerman Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 MaRS 2015 MARS 2015 Od 16. do 22. avgusta letos je potekal jubilejni deseti tabor za srednjesolce MaRS (MAtematicno Raziskovalno Srecanje). Marsovci smo se zbrali v Rakovem cneje v Centru solskih dejavnosti Rak. Skocjanu, natansolskih in ob Tabora se je udelezilo 22 dijakov in dijakinj iz vse Slovenije, za uspesno odpravo pa je poskrbelo deset clanov posadke: David Gajser, Rok Gregoric, Vesna Irsic, Nejc Rosenstein, ci c, Vid Kocijan, Anja PetkoviZiva Urbanc,  Jana Vidrih, Neza Zager Korenjak (UL FMF) in Matej Roskaric (UM FNM), v oporo pa nam je bil tudi dr. Bostjan Kuzman (UL PeF). Tako kot vsa leta doslej je bila osrednja marsovska dejavnost priprava  projektov. Clani posadke smo pripravili osem razlicnih matematicnih tem, ki so jih udelezenci raziskovali v skupinah po dva ali tri. Vsak dan smo kar nekaj ur namenili delu pri svojem projektu. Preden so udelezenci problem resili, so morali spoznati nekaj novih matematicnih znanj, nato pa so napisali krajsi clanek ali sestavili videopredstavitev ter morebitno racunalni sko aplikacijo. Na koncu so pripravili se kratko predstavitev, s katero so svojim starsem in drugim obiskovalcem »pristanka« (tj. zakljucne prireditve tabora) predstavili, kaj so raziskovali. Letos so se dijaki pri projektih ukvarjali s: heksa eksagoni, Taylorjevo vrsto, Abel-Runijevim izrekom, igro Nim, Banachovim skrcitvenim nacelom, problemi na okrogli biljardni mizi, urejevalno razdaljo in problemom umetnostne galerije. Vec informacij o projektih najdete na http://mars.famnit.upr.si/projekti.html. Prve tri dni nas je na Marsu obiskoval dr. Zlatan Magajna (UL PeF), ki je za dijake izvedel delavnico z naslovom Popotovanje po trikotniku. Na delavnici so dijaki spoznali znamenite tocke trikotnika in pomembne izreke elementarne geometrije. Predavatelj je predstavil tudi program OK Geome try, s katerim so dijaki odkrivali lastnosti posameznih konstrukcij in se ucili dokazovanja trditev. Vecere smo imeli rezervirane za gostujoce predavatelje. Prvi marsovski vecer nam je popestrila ddr. Melita Hajdinjak (UL FE), ki nam je povedala nekaj o komunikaciji clovek{stroj. Razlozila je razvoj sistemov, ki omogo cajo komunikacijo med ljudmi in stroji, ter pokazala nekaj testnih razlicic tovrstne komunikacije. V ponedeljek zvecer nas je dr. Marko Jakovac (UM FNM) popeljal v svet teorije grafov in dijakom predstavil problem k onigber skih mostov, semaforizacije krizisc, ravninskosti grafa in problem volka, ovce Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 237 Vesti Slika 1. Skupinska slika vseh udelezencev in posadke MaRS 2015. in repe. V torek smo prisluhnili dr. Barbari Drinovec Drnovsek (UL FMF), ki je razlozila, kako smiselno de nirati dolzino krivulj in povrsino ploskev. Ogledali smo si tudi Schwartzev primer (napacnega) racunanja povrsine valja, ki razlozi, zakaj racunanje povrsine s pomocjo naivne triangulacije ne da nujno pravega rezultata. V cetrtek nas je dr. Anton Suhadolc popeljal skozi zgodovino pomembnih slovenskih matematikov – vse od Jurija Vege pa do Josipa Plemlja in Riharda Zupancica. Zadnji vecer nam je dr. Bostjan Kuzman orisal najpomembnejse in najzanimivejse prelomnice v desetletni zgodovini tabora MaRS. Med strokovnim delom omenimo se tri delavnice, ki so udelezencem pomagale pri projektih. Neza je pripravila delavnico LATEX, na kateri so se udelezenci naucili uporabljati tudi Beamer. Matej je dijakom predstavil program GeoGebra, Anja pa jim je razlozila osnove retorike. Kljub zgoscenemu urniku je bilo razpolozenje na taboru izjemno. V pro- stem casu smo se sprostili ob razlicnih druzabnih igrah. Vsak dan je bila objavljena tudi uganka dneva, s katero smo si proste urice krajsali tako posadka kot udelezenci. Podali smo se tudi na pohod po naravoslovni ucni poti Rakov  Skocjan, zadnje popoldne pa je bila pripravljena Velika marsovska avantura, orientacijski pohod z matematicno obarvanimi kontrolnimi tockami. Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 MaRS 2015  Slika 2. Posadka na letosnjem MaRS-u. Od spredaj nazaj: Anja, Rok, Neza, Ziva, Matej, Jana, Vesna, Nejc, David, Vid. V imenu celotne ekipe se zahvaljujem vsem, ki so srecanje omogocili: DMFA Slovenije, Mestni obcini Ljubljana,  SO FMF, UL FMF ter UM FNM. Vesna Irsic NOVI STVA V LETU 20151 CLANI DRU V letu 2015 se je v Drustvo matematikov, zikov in astronomov Slovenije vclanilo 9 novih clanov: 2423. Lucija  Coga 2424. Barbara Ikica 2425. Matej Mencinger 2426. Jure Oder 2427. Egon Pavlica 2428. Gasper Peresciutti 2429. Simona Pustavrh 2430. Franci Tajnik 2431. Benjamin Tomazic Tadeja  Sekoranja 1Novi clani DMFA Slovenije za leto 2014 so bili objavljeni v Obzorniku za matematiko in ziko 61 (2014) 6, stran XXIII. Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 239 LETNO KAZALO Obzornik za matematiko in ziko 62 (2015) stevilke 1{6, strani 1{240  Clanki — Articles Arhitova krivulja (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1{11 Plemljev trikotnik in negibne tocke transformacij (Ivan Pucelj) . . . . . . . . 12{14 Na obisku pri kometu (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15{23 Vrnitev Arnoldove macke (Mitja Lakner, Peter Petek, Marjeta Skapin Rugelj) . . . . . . . . . . . . . . . 41{52 Barvni vid (Ales Mohoric) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53{61 O de niciji povrsine (Barbara Drinovec Drnovsek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81{87 Mikroskopija pri Brewstrovem kotu (Lucija Coga, Irena Drevensek Olenik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88{96 Pregled sodobne programske opreme in spletnih aplikacij za matematike – 1. del (Nino Basic, Jurij Kovic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97{112 Grobnerjeve baze in resevanje sistemov nelinearnih polinomskih enacb (Brigita Fercec, Matej Mencinger) . . . . . . . . . . . . . . 121{137 O gibalni kolicini svetlobe v prozornem sredstvu (Janez Strnad) . . . . . . . 138{143 Matematik Jozef Jenko (Stanislav Juznic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144{152 Mnozice celostevilskih in racionalnih razdalj (Janko Bracic) . . . . . . . . . . . . 161{172 K termodinamiki termomagnetnih strojev (Janez Strnad, Primoz Ziherl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173{179 Kaoticnost hiperbolicnih avtomor zmov torusa (Mitja Lakner, Peter Petek, Marjeta Skapin Rugelj) . . . . . . . . . . . . . . . 201{209 Oscilacije nevtrinov (Tomaz Podobnik in Ales Mohoric) . . . . . . . . . . . . . . . 210{217 Sola — School Motivacija za studij zike (Ales Mohoric) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62{65 Pricarajmo prostorsko sliko (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218{222 Vesti — News Mednarodno leto svetlobe in tehnologij, povezanih s svetlobo (Ales Mohoric) .................................................... 32{36 Ob stoletnici rojstva Martina Gardnerja (Jurij Kovic) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37{40 Vabilo (Matej Bresar) ................................................. 40{III Obvestilo (Matej Bresar) .............................................. III Osemdeset let profesorja Antona Suhadolca (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . 65{69 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Letno kazalo Enaindvajseto mednarodno tekmovanje studentov matematike (Gregor Sega) ..................................................... 69{74 Bistroumi 2015 – srecanje mladih matematikov, zikov in astronomov (Lara Kozarski) ....................................... 117{XI Matematicne novice (Peter Legisa) .................................... 157{159 Strokovna ekskurzija DMFA 2015 v Zagreb (Mitja Rosina) . . . . . . . . . . . . 159 Osma slovenska konferenca iz teorije grafov (Sandi Klavzar) . . . . . . . . . . . 160{XV V spomin akademiku Ivanu Vidavu (Josip Globevnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . 180{183 Razmisljanja o profesorju Ivanu Vidavu (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . 183{187 Strokovno srecanje in 67. obcni zbor DMFA (Nada Razpet in Janez Krusic) .................................... 188{191 Nagrade DMFA (Nada Razpet) ........................................ 192{198 Zoisove nagrade in priznanja 2015 (Ales Mohoric) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230{231 Dvaindvajseto mednarodno tekmovanje studentov matematike (Marjan Jerman) .................................................. 232{236 MaRS 2015 (Vesna Irsic) .............................................. 237{239 Novi clani v letu 2015 (Tadeja ............................. Sekoranja) 239 Letno kazalo .......................................................... 240{XXIII Nove knjige — New books Satyan L. Devadoss, Joseph O'Rourke: Discrete and Computational Geometry (Jurij Kovic) ........................................... 24{26 Joze Peternelj in Tomaz Kranjc, Osnove zike – Mehanika, termodinamika in molekularna zika (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . 27{31 Kim Plofker, Mathematics in India (Marko Razpet) ................... 75{78 Benjamin Wardhaugh, How to read Historical Mathematics (Jurij Kovic) ....................................................... 79{VII Keith Devlin, The man of numbers: Fibonacci's arithmetic revolution (Marko Razpet) ........................................ 113{116 Anthony Lo Bello, Origins of Mathematical Words (Marko Razpet) . . . . 153{156 Martin Aigner, G unther M. Ziegler, Proofs from The Book (Jurij Kovic) ...................................................... 199{XIX K. S. Patwardhan, S. A. Naimpally, S. L. Singh, Llavati of Bhaskaracarya: A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition (Marko Razpet) ................................................... 223{226 Donald E. Knuth: The Art Of Computer Programming (Jurij Kovic) ...................................................... 227{229 http://www.obzornik.si/ Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 XXIII OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, NOVEMBER 2015 Letnik 62, številka 6 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA . Clanki Strani Kaoti.cnih avtomorfizmov torusa cnost hiperboli. (Mitja Lakner, Peter Petek in Marjeta Škapin Rugelj) . . . . . . . . . . . . . . 201–209 Oscilacije nevtrinov (Tomaž Podobnik in Aleš Mohoric).. . . . . . . . . . . . . . . 210–217 Šola Pri.218–222 carajmo prostorsko sliko (Andrej Likar) ............................. Nove knjige K. S. Patwardhan, S. A. Naimpally, S. L. Singh, LŻilŻavatŻi of BhŻacŻ askarŻarya: A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition (Marko Razpet) .................................................. 223–226 Donald E. Knuth: The Art Of Computer Programming (Jurij Kovic)....................................................... 227–229 Vesti Zoisove nagrade in priznanja 2015 (Aleš Mohori.230–231 c) .................... Dvaindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike (Marjan Jerman) ................................................. 232–236 MaRS 2015 (Vesna Irši.237–239 c) ............................................. Novi .239 clani v letu 2015 (Tadeja Šekoranja) ............................. Letno kazalo ......................................................... 240–XXIII CONTENTS Articles Pages Hyperbolic Toral Automorphisms Are Chaotic (Mitja Lakner, Peter Petek and Marjeta Škapin Rugelj) . . . . . . . . . . . . 201–209 Neutrino oscillation (Tomaž Podobnik and Aleš Mohori.210–217 c) .............. School .............................................................. 218–222 New books .......................................................... 223–229 News ................................................................ 230–XXIII Na naslovnici: Množica fotopomnoževalk v steni detektorja nevtrinov, glej . clanek na strani 210.