Filozofski vestnih Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 113-130 O MATEMATIKI, LOGIKI IN FILOZOFIJI ALAIN BADIOU Platonizem in matematična ontologija V uvodu v Philosophy of Mathematics, zbirki člankov, ki stajo uredila Benaceraff in Putnam, najdemo naslednje: Platoniki so tisti, ki menijo, da je matematika odkrije resnic, ki zadeva- jo strukture, eksistirajoče neodvisno od dejavnosti ali mišljenja matema- tikov. V kvazi-totalnosti del filozofije znanosti s tem kriterijem zunanjosti (ali transcendence) matematičnih struktur (ali objektov) poistovetijo »platoni- zem«. To poistovetenje pa j e zagotovo netočno. Njegova netočnost sestoji iz tega, da pri platoniku predpostavlja razlikovanje med znotraj in zunaj, med spoznavajočim subjektom in spoznanim »objektom«, kije absolutno tuje pra- vemu platonskemu dispozitivu. Naj je to razlikovanje še tako zasidrano v obi- čajni epistemologiji, naj je tema objekta in objektivnosti glede na subjekt in na subjektivno še tako utemeljena, j e gotovo, da lahko, izhajajoč iz takšnih pred- postavk, zgolj v celoti zgrešimo proces mišljenja, ki je na delu pri Platonu. Naj najprej pripomnimo, da je »neodvisna eksistenca« matematičnih struk- tur za Platona popolnoma relativna. Metafora reminiscence označuje natan- ko to, da misel nikoli ni soočeno z objektivnostmi, od katerih naj bi bilo loče- no. Ideja [L'Idée] j e vselej že tu. Ce bi je ne bilo »mogoče aktivirati« v mišlje- nju, bi ostala nemišljiva. Ko gre zlasti za matematične ideje, j e ves konkretni dokaz Menonav tem, da dokaže njihovo prisotnost v najmanj izobraženem, v najbolj anonimnem mišljenju: mišljenju sužnja. Temeljna Platonova skrb j e razglasiti imanentno identiteto, sopripadnost spoznanega in spoznavajočega duha, njuno bistveno ontološko komenzura- bilnost. Če obstaja točka, v kateri j e Platon nadaljevalec Parmenida, ki trdi: »Isto je hkrati misliti in biti«, potem j e to ta. Ker matematika zadeva bit, j e po svojem bistvu misel. In obratno, če je matematika misel, zadeva bit po sebi. A I . A I N B A D I O U Motiv spoznavajočega subjekta, ki naj bi »meril« na nek zunanji objekt - mo- tiv, katerega izvor je empirističen celo tedaj, ko je predpostavljeni objekt idea- len - , j e popolnoma neprimeren za filozofsko rabo, ki j o je Platon naredil iz eksistence matematike. Platona še toliko manj skrbijo matematične strukture, ki obstajajo »na sebi«, kajti: 1. Idealnost je splošno poimenovanje tistega, kar se zgodi misljivemu, in v ničemer ne singularizira matematike. Zato, ker mislimo umazanijo ali las, kot je stari Parmenid pripomnil še čisto mlademu Sokratu, j e treba prizna- ti, da obstaja ideja umazanije in ideja lasu. Dejansko j e »Ideja« ime tistega, kar j e mišljeno, kolikor je mišljeno. Platonska tema sestoji prav v tem, da imanenco in transcendenco naredimo za nerazločljivi, da se postavimo na mesto mišljenja, k jer je to razlikovanje neučinkovito. Matematična ideja ni niti subjektivna (»dejavnost matematika«) niti objektivna (»strukture, ki eksistirajo neodvisno«). V enem samem gibanju je matematična ideja pre- lom s čutnim in postavitev intelegibilnega, namreč tistega, kar j e treba ime- novati misel; 2. Platona ne zanima status domnevnih matematičnih »objektov«, temveč gi- banje misli, saj j e matematika pravzaprav poklicana zgolj zato, da bi preko razlike identificirali dialektiko. V misljivem je torej vse Ideja. Na strani »ob- jektivnosti« bi bilo torej zaman iskati kakršnokoli razliko med režimi mišlje- nja. Zgolj singularnost gibanja (izhajati iz hipotez oziroma priti do načela) avtorizira razmejitev matematične dianoia od dialektičnega (ali filozofske- ga) umevanja. Ločitev objektov j e drugotna in vselej nejasna. Je podobrav- nava indicev »v biti«, ki so zajeti v misel. In nekaj je nenazadnje gotovo: matematika j e misel (kar v Platonovi go- vorici pomeni, da prelomi z neposredno čutnim), dialektika je prav tako mi- sel, ti dve misli pa sta, če ju obravnavamo po protokolu njunega izvajanja, različni misli. Platonski vpis matematičnega pogoja za »filozofiranje« bi lahko skušali definirati izhajajoč iz tega: Pripoznanje matematike kot neprehodne misli za čutno in jezikovno izkustvo, od- visne od odločitve, ki naredi mesto za neodločljivo, in ki predpostavlja, da vse, kar je konsistentno, obstaja, je platonsko. Da bi izmerili polemični pomen te »definicije« platonizma, si oglejmo definicijo, ki jo Fraenkel in Bar-Hillel predlagata \ Foundations of Set Theory. »Platonikje prepričan, da v povezavi z vsakim dobro definiranim mona- dičnim pogojem [gre za atribucijo predikata variabli tipa P(x)] na splo- šno obstaja množica ali razred, ki vsebuje vse entitete, ki izpolnjujejo ta 1 1 4 O MATEMATIKI, I .OGIKL IN FILOZOFIJI pogoj, in zgolj te entitete; in kije po svoje neka entiteta, katere ontološ- ki status je podoben ontološkemu statusu njenih elementov.« Prepričan sem, da bi nič takšnega ne prepričalo platonika. Sam Platon nenehno skuša pokazati, d a j e lahko korelat dobro definiranih pojmov ali propozicij prazen ah nekonsistenten. Oziroma, da »entiteti«, ki mu ustreza, lahko ustreza nek ontološki status, ki presega vse, kar je zajeto v izhodiščni formuli. Na tak način korelat Dobrega, naj je pojem, kolikor je le mogoče, jasno določljiv, naj j e njegova praktična instanca še tako očitna, zahteva v biti izjemo za status Ideje (Dobroje onstran Ideje). Eksplicitni namen Parmenida je , ko gre za izjavi, ki sta popolnoma jasni, »eden je« in »eden ni«, dokazati, da pod kakršnokoli predpostavko, kar zadeva korelat in enega ter »druge od enega«, pr idemo do nekonsistence. To je pravzaprav prvi primer, čeprav či- sto filozofski, argumentacije absolutne neodločljivosti. V nasprotju s tem, kar trdita Fraenkel in Bar-Hillel, trdim, d a j e neodloč- ljivo ključna kategorija platonizma, in da prav nikoli ni predvidljivo, da neki dobro definirani formuli ustreza misljiva entiteta. Neodločljivo priča o tem, da platonik nima nobenega zaupanja v jasnost jezika pri odločitvi o eksisten- ci. V tem pomenu se Zermelov aksiom - Zermelo je platonik - , glasi, da ne smemo za neko dano formulo sprejeti eksistence »entitet«, ki jo potrjujejo ter da j ih lahko razvrstimo zgolj v predhodno obstajajočo dano množico. Misel namreč potrebuje neko konstantno in imanentno zagotovilo biti. Neodločljivo j e tisto, kar v bistvu poveljuje aporetičnemu stilu dialogov: pripeljati do točke neodločljivega, da bi pokazali, da se misel mora odločiti glede na dogodek biti; da misel ni najpoprej opis ali konstrukcija, temveč prelom (z mnenjem, z izkustvom), in d a j e torej odločitev. V tem oziru se mi zdi Godel, ki ga »filozofya matematike« vselej uvršča med »platonike«, dejansko nadvse luciden. Vzemimo pričujoči odlomek iz slavnega teksta »Kaj je Cantorjev problem kontinuuma?«: Vsekakor vprašanje objektivne eksistence objektov matematične intuici- je (vprašanje, kije, mimogrede rečeno, natanko odgovor na vprašanje po objektivni eksistenci zunanjega sveta) ni odločilno za problem, o katerem tu razpravljamo. Preprosto psihološko dejstvo eksistence intui- cije, k i je dovolj jasna za ustvaritev aksiomov teorije množic, ob začet- nem sklepu razširitve teh aksiomov zadošča za osmislitev vprašanja re- snice ali napačnosti propozicij, kakršna je Cantorjeva hipoteza o konti- nuumu. Tisto, kar nemara bolj kot karkoli drugega vendarle vsiljuje spre- jetje tega kriterija resnice v teorijo množic, je, da so ponavljajoča se skli- cevanja na matematično intuicijo neizogibna ne le zato, da bi dobili 1 1 5 A I . A I N B A D I O U nedvoumne odgovore na vprašanja teorije transfinitnih množic, temveč tudi za rešitev problemov finitistične aritmetike (tipa Goldbachove dom- neve), ki ne dopuščajo nobenega dvoma o nedvoumnem in s smislom obogatenim značaju pojmov, kijih vpeljuje. To sledi iz dejstva, da za vsak aksiomatski sistem obstaja neskončno neodločljivih propozicij tega tipa. Katere so najpomembnejše poteze tega »platonskega« teksta? - Beseda intuicija tu nima drugega pomena kot pomen odločitve inventivne- ga mišljenja glede na inteligibilnost aksiomov. Gre za, s samim Godlom rečeno, zmožnost »proizvesti aksiome teorije množic«, eksistenca te zmož- nosti p a j e čisto dejstvo. Pripominjamo, da intuitivni funkciji ne gre za zzyet- je »zunanjih« entitet, temveč zajasno odločanje o prvi ah ireduktibilni pro- poziciji. Obsežna iznajdba aksiomov matematično propozicijo potrdi za mi- sel in j o potemtakem izpostavi resnici. - Vprašanje »objektivne« eksistence domnevnih objektovje izrecno razglaše- no za drugotno (ni »odločilno za problem, o katerem teče razprava«). Po- leg tega nikakor ne označuje matematike, saj j e ta eksistenca na istem kot eksistenca zunanjega sveta. Dejansko je to, da v matematični eksistenci ne vidimo nič več oziroma nič manj kot eksistenco kot tako, zelo platonsko: v vseh primerih lahko misljivo (umazanijo, las, trikotnik ali raznoimenska števila) preizprašamo glede na njegovo eksistenco, k i j e nekaj drugega od njegove biti. O njegovi biti pa priča že to, da ga razvija misel. - Ključni problem je problem resnice. V trenutku, ko obstaja inventivna mi- sel (in inteligibilnost aksiomov to dokazuje), lahko »osmislimo vprašanje resničnosti ali napačnosti« propozicij, k i j ih ta misel avtorizira. Ta smisel izhaja natanko iz tega, da misljivo, kot Ideja, nujno zadeva bit. In »resnica« je vselej zgolj ime, s katerim se v enkratnem procesu združita bit in misel. - Neskončno in končno za misel ne tvorita zelo pomembnega razlikovanja. Godel vztraja pri dejstvu, »da sprejetje kriterija resnice« rezultira iz tega, da nenehno potrebujemo intuicijo (namreč aksiomatizirajočo odločitev) tako za rešitev problemov finitistične aritmetike kakor za probleme, ki zadevajo transfinitne množice. To se pravi, da gibanje misli, k i je edino pomembno, v neskončnem ni bistveno drugačno od gibanja v končnem. - Neodločljivo je organsko povezano z matematiko. In manj gre za »mejo«, kot včasih pravijo, kot pa za neprestano spodbudo k uporabi inventivne intuicije. Iz tega, da vsak dispozitiv matematične misli, ki ga povzemajo te- meljni aksiomi, vsebuje neodločljivo, izhaja, da intuicija ni nikoli nekorist- na: o matematiki je treba nenehno ponovno odločati. In končno, določil bi tri točke, kijih je, glede modernega matematičnega pogoja, torej tudi ontologije, legitimno imenovati platonska filozofska usme- ritev. 1 1 6 O MATEMATIKI, I .OGIKL IN FILOZOFIJI 1. Matematika j e misel. To trditev sem že na dolgo in široko razvil, j e pa tako pomembna, da bi j o želel vsaj ponovno poudariti. Spomnimo na to, kot primer, da Wittgenstein, ki v tej temi ni nevednež, pravi, da »matematični stavek ne izraža nobene misli« (Logično-filozofski traktat 6.21). Wittgenstein zgolj povzema, s svojo obi- čajno radikalnosyo, glavno tezo vsakega empirizma, kakor tudi vsake sofisti- ke. Nikoli j e ne bomo nehali spodbijati. D a j e matematika misel, še zlasti pomeni, da, kar zadeva matematiko, razlikovanje med spoznavajočim subjektom in spoznanim objektom nima no- bene pertinence. Obstaja urejeno gibanje misli, ki je koekstenzivno z bitjo, ki j o razvija - koekstenzij a, ki j o Platon imenuje »Ideja« - , gibanje, v katerem sta odkritje in invencija pravzaprav nerazločljiva. Prav tako kot sta nerazločljiva ideja in njen ideat. 2. Vsaka misel - torej, matematika - angažira odločitve (intuicije) s točke neodločljivega (ne-deduktibilnega). Iz te poteze, kar zadeva misljivo, izhaja maksimalna ekstenzija načela izbi- re: ker j e odločitev prva in nenehno zahtevana, je zaman, če jo skušamo zvesti na konstruktivne ali zunanje normirane protokole. Prisile konstrukcije (po- gosto napačno imenovane »intuicionistične« prisile, saj j e pravi branilec in- tuicije platonik) j e treba nasprotno podrediti svoboščinam misleče odločitve. Zaradi tega platonik nima kaj početi, s prosto rabo izključenega tretjega in, posledično, s sklepanjem ad absurdum, če so učinki misli količkaj maksimalni. 3. Matematična vprašanja eksistence napotevajo zgolj na inteligibilno konsi- stenco tistega, kar j e mišljeno. Eksistenco je tu treba obravnavati kot notranjo določitev dejanske misli, ker ta razvija bit. Da jo ne razvija, se vselej izkaže z nekonsistenco, k i jo je treba skrbno ločevati od neodločljivosti. Bit, misel in konsistenca so v matematiki ena in ista stvar. Iz teh potez izhajajo pomembne konsekvence, s pomočjo katerih prepoz- namo modernega platonika, k i je platonik mnoštvene biti. - Najpoprej gre, kot pokaže Gödel, za ravnodušnost do domnevnih »para- doksov« aktualnega neskončnega. Kolikor sfera inteligibilnosti, ki jo vzpo- stavi neskončno, ne postavlja očitno nobenega specifičnega problema, niti v aksiomatski intuiciji niti v dokaznih protokolih, so razlogi za to, da si s tem belimo glavo, vselej zunanji, psihološki ali empiristični, in matematiki zani- kajo njeno samozadostnost kar zadeva režim misljivega, ki ga določa. Nadalje, želja po maksimalnosti pri dopustitvi eksistence: več koje eksisten- ce, bolje je. Platonik prakticira [manier] drznost misli. Nasprotuje omeji- 1 1 7 A I . A I N B A D I O U tvam in cenzuram od zunaj (še zlasti malodušnim filozofemom). Dokler je misel zavezana biti, ki jo razvija, j e mogoče in treba, da bi ne zapadla v nekonsistenco, iti naprej v predpostavkah eksistence. Tako misel sledi črti intenzifikacije. In končno, pripoznanje kriterija, ko se navidezna opcija vsili postajanju ma- tematike. Ta kriterij je prav kriterij maksimalne ekstenzije konsistentno mis- ljivega. Tako bi platonik prej sprejel aksiom izbire kot njegovo negacijo, saj je sicer univerzum z aksiomom izbire večji in gostejši v pomembnih poveza- vah od univerzuma, ki tega aksioma ne sprejema. A contrario, bi bil platonik, kar zadeva sprejetje hipoteze kontinuuma, še bolj pa hipotezo konstrukti- bilnosti, zadržan. Kajti univerzumi, ki j ih urejajo te hipoteze, se kažejo kot ožji in bolj prisiljeni. Kontruktibilni univerzum je še posebej boren: Row- bottom j e dokazal, da če priznamo neko posebno vrsto velikega kardinal- nega števila (Ramseyevega kardinalnega števila), so konstruktibilna realna števila preštevna. Preštevni kontinuum se za platonika izkaže za intuicijo, ki j e preveč prisiljena. Rowbottomov teorem utrdi njegovo prepričanje: da prednost odločenim konsistencam pred kontroliranimi konstrukcijami. Ugotovili bomo torej, da »ensemblistična« odločitev glede matematike, namreč ontološka obnovitev Cantorjevih pojmovanj, za katera sem pokazal, da so v misli izčistila bit kot čisto mnoštvo, vsili platonsko usmeritev, v pome- nu, o katerem bom pravkar spregovoril. Sicer pa to potrjujejo filozofske izbi- re Godla, največjega (skupaj s Cohenom) Cantoijevega nadaljevalca. Teorija množic je primer tipa teorije, kjer (aksiomatska) odločitev za se- boj potegne (definicijsko) konstrukcijo. Empiristi in privrženci »jezikovnega obrata« našega stoletja sicer niso zamudili teoriji ugovarjati, češ, da celo ni uspela priti do definicije oziroma pojasnitve svojega organskega pojma, poj- ma množice. Na to bi platonik, kot j e Godel, vselej odvrnil, da štejejo aksio- matske intuicije, ki tvorijo prostor resnice, ne pa logična definicija preprostih relacij. Teorija množic pozna, v nasprotju z aristotelovsko (možnost kot prva sin- gularizacija substance) ali leibnizovski (logično možno kot »pretenzija biti«) usmeritvijo, zgolj aktualno mnoštvo. D a j e aktualnost dejanska forma biti in da sta možno ali potencialnost fikciji, j e globoko platonski motiv. Nič ni bolj značilnega v tem pogledu od ensemblistične obravnave koncepta funkcije. Tisto, kar je videti dinamični operator, pogosto v obliki prostorskih, celo fizi- kalnih shem (če y= j(x), potem bomo rekli da y »variira« v funkciji variacij x, itn.),je v ensemblističnem okviru obravnavano kot aktualno mnoštvo: funkcija ima za mnoštveno bit svoj graf, namreč množico, katere elementi so urejeni pari tipa (x, y), vsako dinamično namigovanje ali »v variaciji«, j e odpravljeno. Na isti način j e koncept »limite«, če j e zaznamovan z izkustvom postaja- 1 1 8 O MATEMATIKI, I .OGIKL IN FILOZOFIJI nja, z usmeritvijo proti, z asimptotičnim gibanjem, zveden na imanentno ka- rakterizacijo določenega tipa mnoštvenosti. Da bi tako omejeno ordinalno število identificirali, ga ni treba predstaviti za tisto, proti čemu »tendira« za- poredje ordinalnih števil, katerih limita je, to pa zato, ker je samo to zapored- j e (ker so elementi tega zaporedja tisto, kar ga definira kot množico). Ordi- nalno transfinitno število N„, ki sledi »za« celimi naravnimi števili, ni nič dru- gega kot množica vseh celih naravnih števil. Povsod je, vjasni povezanosti s platonovskim genijem, virtualnost mišlje- na kot aktualnost: obstaja zgolj en tip biti, Ideja (oziroma v tem primeru mno- žica). Aktualizacija torej ne obstaja, saj vsaka aktualizacija predpostavlja več režimov eksistiranja (vsaj dveh, možnosti in dejanja). Teorija množic sicer uboga načelo eksistencialne maksimalnosti. Vse od Cantoija naprej je njen navdih prekoračiti vse predhodne omejitve, vse - zu- nanje - kriterije »umne« eksistence. Sprejele vse bolj in bolj orjaških kardi- nalnih števil (nedosegljivih, Mahlojevih, merljivih, kompaktnih, nadkompakt- nih, enormnih, itn.) j e njen naravni genij. Hkrati pa tudi prek teorije na- drealnih števil sprejetje infinitezimalnih števil vseh vrst. Poleg tega ta dispozi- cija razvija vse bolj in bolj saturirane in kompleksne »nivoje« biti, ontološko hierarhijo (kumulativno hierarhijo), k i je , v skladu z intuicijo, tokrat z neo- platonskim poudarkom, takšna, d a j e njena (nekonsistentna) totaliteta vselej reflektirana na konsistentni način v enem izmed nivojev v naslednjem pome- nu: če j e neka izjava veljavna za ves univerzum (drugače rečeno, če kvantifika- torje vzamemo brez meje, če »za vsak x« pomeni »za katerokoli množico vsega univerzuma«), eksistira torej neka množica, v kateri j e ta izjava veljavna (kvan- tifikatorji so tokrat vzeti »relativizirano« za množico, za katero gre). Kar po- meni, da ta množica, k i j e obravnavana kot »omejeni univerzum«, reflektira univerzalno vrednost izjave, j o lokalizira. Ta teorem refleksije nam pravi, da j e lahko tisto, kar lahko izjavimo glede na bit »brez meje«, vselej na nekem mestu. Oziroma, da vsaka izjava predpiše možnost lokalizacije. V tem lahko prepoznamo platonsko temo inteligibilne lokalizacije vsega tako imenovanega umnega. Ravno zaradi tegajo Heidegger kritizira kot operacijo »izreza« z Idejo, »tistega, kar seje izvalilo« iz biti oziro- ma naravne estance biti. Bolj bistveno rečeno, platonovska obarvanost teorije množic počiva na treh konstitutivnih kategorijah vsake filozofske ontologije: razliki, prvotnem imenu biti in neodločljivem. Razliko za Platona določa ideja Drugega. Tako kot je ta ideja predstavlje- na v Sofistu, nu jno implicira inteligibilno lokalizacijo razlike. Ker neka ideja »participira« na Drugem, j o lahko razglasimo za različno od druge. Obstaja torej lokalizabilno ovrednotenje razlike: lastni način, na katerega neka ideja, 1 1 9 A I . A I N B A D I O U četudi j e ista sami sebi, participira na Drugem kot druga ideja. To točko prev- zame v teoriji množic aksiom ekstenzionalnosti: če je neka množica različna od druge, j e to zato, ker eksistira vsaj en element, ki pripada eni in ne drugi. Ta »vsaj en« lokalizira razliko in prepove čisto globalne razlike. Vselej obstaja točka razlike (ker za Platona tudi ideja ni »na sebi« drugo od drugega, temveč zgolj, kolikor participira na Drugem). V tem je glavna poteza, zlasti, ker ome- juje (tako aristotelovske kot deleuzovske) pravice kvalitativnega, globalne in naravne razlike. V platonovskem stilu ensemblizma se drugost razreši v punk- tualnosti, razlika je pripisljiva na uniformen in vselej elementaren način. Prvotno ime biti v teoriji množic, j e praznina, prazna množica. Vsa hie- rarhija korenini v tem. V nekem določenem smislu »je« edino praznina. Logi- ka razlike pa implicira, d a j e praznina enkratna. Dejansko se ne more razliko- vati od druge praznine, ker ne vsebuje nobenega elementa (nobene lokalne točke), ki bi lahko potrdila to razliko. Ta kombinacija prvotnega imenovanja z enostavnim absolutnim (ali in-diferentnim, k i j e status enega v Parmenidu) in temeljne enkratnosti je nedvomno platonska: kajti o eksistenci tega, kar pokriva njegovo prvotno ime (namreč eksistenca prazne množice), mora biti aksiomatsko odločeno, prav tako kot - to pomenijo aporije Parmenida - j e zaman hoteti deducirati eksistenco (ali neeksistenco) enega: treba se je odlo- čiti, in vzeti nase konsekvence. Končno, kot vemo vse od Cantorjevega teorema dalje, je hipoteza konti- nuuma po svojem bistvu neodločljiva. Mnogi menijo, da gre tu za resnično uničenje ensemblističnega projekta, oziroma za »pluralizacijo« tistega, kar se je predstavljalo za enotno konstrukcijo. Iz povedanega j e dovolj razvidno, da je moje stališče nasprotno: neodločljivost hipoteze kontinuuma dejansko do- vrši teorijo množic kot platonsko usmeritev. Nakazuje bežiščnico, aporijo, ima- nentno blodnjo, kjer se misel izkusi kot ne-utemeljeno soočenje z neodločlji- vim, ali — če uporabimo Godlovo besedišče — kot kontinuirano zatekanje k intuiciji, se pravi, k odločitvi. Antikvalitativna lokalizacija razlike, enkratnost eksistence prvotnega ime- novanja, intrinzično preizkusi neodločljivo: takšne so poteze, prek katerih lahko, onstran preproste logike form, filozofija zajame teorijo množic s teori- jo resnice. Kljub temu bodo ugovarjali, da se v svojih dokaznih protokolih vsaka ma- tematika nenazadnje opira na logiko. V kakšni zvezi sta konec koncev mate- matika kot misel biti kot biti oziroma teorija čistega mnoštva in matematika kot »formalna« znanost, kot prisilni dokazni protokoli? Za vpeljavo v to strahovito vprašanje, ki se nanaša na ontološki status logi- ke, strukturo onto-logije, je koristno, če se vrnemo k aristotelovskem pojmo- vanju, k i je gotovo »drugi« primitiv platonizma. 1 2 0 O MATEMATIKI, I .OGIKL IN FILOZOFIJI Aristotelovska usmeritev in logika Osrčje vsakega »aristotelovskega« razmerja do matematike je prepriča- nje, da matematika ni misel. Videli smo, da sam Aristotel, ki nedvomno ni aristotelik, vendarle sklepa, da matematika konec koncev nikakor ne izhaja iz ontologije, temveč iz estetskega zadovoljstva. V tem pomenu j e naše stole^ e veliko bolj aristotelovsko kot si predstavlja- mo. Sicer pa je to neizogibni učinek njegovega bistvenega antiplatonizma, antiplatonizma, katerega prerok j e Nietzsche, ki p a j e prav tako skupen tako »jezikovni« anglo-saški usmeritvi, ki nenehno graja »naivni« platonizem, ka- kor tudi hermenevtični heideggerjanski usmeritvi, za katero Platon z Idejo zbriše izvorno rojstvo biti kot (|)ucn.c;. Celo slovar znanosti rajnke ZSSRje pou- darjal materialistične Aristotelove zasluge in Platona obravnaval kot ideologa lastnikov sužnjev. Za tako razširjen konsenz gre. Kaj pomeni trditev, po kateri matematika ni misel? Vsekakor ne tega, da ne tvori koherentne in racionalne vednosti, temveč da ta vednost, oropana vsakega načela biti, ne more pretendirati na resnico. V tem primeru je prav malo pomembno, d a j e načelo biti, na katerega se sklicujejo, metafizičnega (kot Aristotelova substanca ali Leibnizeva monada) ali empirističnega tipa (kot so sense data pozitivističnega izvora). V vseh primerih je osrednja teza, da matematika ostaja čisto formalna (ali »prazna biti«), kar ji prepoveduje real- no razvitje, ki se zahteva za vsako dejansko misel. Za platonika Ideja, kakršenkoli ontološki status na koncu pripišemo temu terminu, eksplicitno označuje preplet [nouage] matematike in realnega, pre- plet, na katerega se opira trditev, d a j e smiselno govoriti o matematičnih re- snicah. Za aristotelika ali leibnizovca kategorizacija biti v podobi singularno- sti (substanca kot lokalna informacija materije, monada kot »metafizična toč- ka«) matematiko oropa vsakega realnega vpisa. Trikotnik ali diferencial na- mreč nista niti substanca niti monada. Da matematika ni misel, ni sodba, kije pomembna za misel. Znano je, da Leibnizevo metafiziko v celoti »nosi« njeno matematično pojmovanje konti- nuuma, izračun maksimumov itn. Matematikaje nedvomno pomembnejša za izgraditev Leibnizevega sistema, kot pa je navsezadnje za aporetično Platono- vo ontologijo. In Aristotelova razmišljanja o matematiki so v določenih pogle- dih natančnejša od Platonovih. Toda mnogo stvari, ki niso misli, j e zelo po- membnih zamisel. Naposled je tako za Leibniza kot za Aristotela matematika stkana zgolj iz relacij, če ne fiktivnih, pa vsaj čisto idealnih. Matematika daje konvencije virtualnemu inteligibilnemu. Izhaja iz umetnosti računanja. Ta umetnost temelji v umu, ni pa misleče načetje [entame] biti. Natančneje rečeno, matematikaje slovnica možne eksistence. Ta točkaje 1 2 1 A I . A I N B A D I O U nedvomno odločilna: za platonikaje matematika znanost realnega (to j e La- canova definicija, kije v tem pogledu docela platonik). Za Aristotela ali Leib- niza matematika povzema določene formalne danosti mnoštvene biti. Bistve- noje , da so te danosti analitične, kar pomeni, da ne zadevajo singularnosti, ki j e vselej sintetična, da ne zadevajo tistega, kar je. Za platonika ni misel nikoli opisna, vzpostavi se v prelomu z opisom, saj je neprehodna za mnenje, torej za izkustvo. Za aristotelikaje misel konstruk- cija adekvatnega opisnega okvira, kjer izkustvo ali mnenje najdeta brez zareze tisto, v razmerju do česar se utemeljita. Nič ni presenetljivejšega od razlike v slogu, ki j o implicira ta razlika reprezentacije misli. Tisto, kar šteje za platoni- ka, so načela preloma. Tisto, kar šteje za aristotelika, so protokoli legitimaci- je. To naspro^e, če ga apliciramo na vpis matematike v polje filozofije, da naslednje: ves interes platonikaje usmerjen na aksiome, kjer se odigrava mi- sleča odločitev. Ves interes aristotelika (ali leibnizovca) j e usmerjen na defini- cije, kjer se odigrava reprezentacija možnega. Vse to povzema nekaj v temelju dovolj enostavnega: tako za aristotelika kot za leibnizovca je bistvo matematike logika. Nobeno naključje ni, d a j e Ari- stotel avtor Druge Analitike, prve izpričane formalne logike v zgodovini, in d a j e Leibnizvse od svojih mladih let delal na »univerzalni karakteristiki«, ki bi j o naj po njegovem imeli za prednico sodobne matematične logike. Za ta dva misleca matematika deluje na strani koherentnega možnega. Oropana ontološkega te- melja, matematika abstraktno idealizira sprejemljive posledičnosti, algoritme kontrole »resnične« misli, ki si, substancialno ali monadično, prilašča singu- larnosti. Matematikaje torej splošna logika racionalnega možnega. Če pa je matematika logika možnega, ji vprašanja eksistence niso notra- nja (kot so za platonika). Temeljni problem, ki ga postavlja filozofija, kar za- deva matematiko, preneha biti problem njenega gibanja misli in njenega pre- pleta z bitjo. Recimo, da, ker se predpostavlja čisto idealno dimenzijo mate- matičnih entitet, ne gre več za vpraševanje po njihovi resnici. Gre za problem empiričnega, jezikovnega, racionalnega izvira matematičnih idealnosti. Od- tod izhaja nagnjenje k verificiranju tega izvira, da bi se izognili temu, da bi bile forme preveč svobodne ali da bi bile neupravičeno vzete za resnice. Kaj pa dopušča verifikacijo izvira matematičnih idealnih formul? Kolikor so povezane zreprezentacijami, prostorskimi ah drugimi, so konstrukcije. Koli- kor so povezane zjezikom, šifriranjem, računanjem, so algoritmi. Za aristoteli- ka ali leibnizovca mora biti matematika algoritmična*(na svojem algebraič- nem področju) in konstruktivna (na svojem geometričnem področju). Samo to postavlja njen logični cilj pod kontrolo realnega uma. Vse to vsebuje logične previdnosti, protokole nadzorovanja, naper jene proti načelu maksimalne drznosti, za katerega se zavzema Platon. 1 2 2 O MATEMATIKI, I.OGIKL IN FILOZOFIJI - Sistematični dvom glede uporabe aktualnega neskončnega, naj gre za ne- skončno veliko ali neskončno majhno. Kajti neskončno je krepko odšteto konstrukcijskim verifikacijam in algoritmom, neskončno je odločeno [décidé]. Ce priznamo da matematično neskončno »eksistira« — kakršenkoli j e že status te eksistence - , obstaja veliko tveganje obnovitve zveze z bitjo, poza- be, da matematika ni nič drugega kot logika možnega. Celo stvaritev Leib- nizovega kalibra v polju diferencialnega in integralnega računa realno ne- skončno prihrani za metafiziko, za božji absolut, ki mu edini podeljuje nje- gov »monadičen« status. Trditve, da je neskončno numerično, ali celo geo- metrično, ni mogoče zagovarjati: »Bistvu števila, črte in katerekoli celote pripada, d a j e omejeno«. In »resnično neskončno v skrajnem primeru ni nič drugega kot absolut, ki predhodi vsakemu sestavljanju in ki nikakor ni tvorjen iz dodajanja delov.« - Omejitev in nadzorovanje eksistencialnih trditev v matematiki. Logično bis- tvo matematike j e transparentno dokler smo v formalnih posledičnostih in definicijah možnosti. Čim izjavimo »eksistenco«, se zabriše. Zato se torej zahteva, da vsako trditev tega žanra spremlja eksplicitna konstrukcija, ki j o potrjuje, logični pokaz primera eksistence. - Tendenca k pluralističnemu perspektivizmu. č e je matematika »formalna znanost«, ustrezna koherentnemu opisu možnega, ni pretirano zahtevati (kot je primer, če je prepletena z bitjo in zmožna resnice), d a j e nenazad- nje enkratna. Lahko bi vzeli v obzir koeksistenco »različnih« matematik, prav tako kot v Leibnizovem božjem umu koeksistirajo možni svetovi, ki so kajpada med seboj protislovni, a notranje koherentni. Velike tendence aristotelovskega (ali leibnizovskega) dojetja matematike bi končno bile: logicizem, algoritmični finitizem ali konstruktivizem ter plu- ralizem umnih možnosti. Tako dobimo pošiljko, ki je vse od Grkov dalje namenjena polemiki kon- stitutivni za filozofsko do je le matematičnega pogoja. Platon ali Aristotel (toda prav tako Descartes ali Leibniz) so imena tega nesoglasja. Za filozofsko misel gre za osrednje in kompleksno nesoglasje. Kajti mate- matika je po eni strani, dojeta filozofsko, nedvomno zavezana vprašanju biti, takoj ko se misel ne le več ne tepe z neprosojnostjo izkustva, temveč se vidno osvobodi prisil končnosti. Po drugi strani p a j e vendarle gotovo, d a j e mate- matika paradigmatična v tistem, kar zadeva sklepanja, posledičnosti in doka- ze. In d a j e v širšem smislu njena logična vrednost eminentna. Iz tega izhaja, da se matematika, glede konstrukcije filozofskega mesta, dobro umesti v dvoj- ni register odločitve, kar zadeva misel biti in formalno konsistenco argumen- tov. Za filozofaje matematika hkrati ontološka in logična. Recimo, da je onto- loška: Platona in Aristotela tu loči vezaj. V mojem lastnem jeziku bi rekli, da 1 2 3 A i . A I N B A D I O U matematika ne razsvetli filozofije le v intervenirajoči dimenziji vsake resnice (aksiomov, načel, drznosti), temveč tudi v dimenziji zvestobe (formalnih ope- ratorjev, kontinuitete misli, definicij, previdnosti). Ponovno obravnavati to dvojno pogojenost v mojem elementu (predlagati moderni koncept resnice in na novo staviti na filozofijo), j e naloga, ki zahteva temeljito soočenje s samo matematično vitalnostjo. Da bi situacijo pojasnili, s e j e treba dejansko vrniti k velikim sodobnim matematičnim dispozitivom, k dispozitivom, ki skušajo dati matematiki njen poenoteni prostor, oziroma njen izvorni jezik. Danes obstajata zgolj dva dispozitiva tega žanra, tako eden kot drugi sta se rodila iz notranjih potreb žive matematike, ne pa iz kake zunanje aplikacije kakšne jezikovne filozofije: - teorija množic, od Cantorja do Cohena, ki seje pojavila v prejšnjem stoletju iz zahtev realne analize in topologije; - teorija kategorij in topoi, ki s e j e pojavila v petdesetih letih iz zahtev alge- braične geometrije. Na ta dva dispozitiva seje treba sklicevati, da bi preučili, kar zadeva veliko nasprotje med platonizmom in aristotelizmom, kakšna ontološka konfigura- cija (oziroma katera logika ontološkega) lahko danes ponovno oživi filozofski projekt v njegovi singularnosti, ne da bi kakorkoli popustili specializaciji »fi- lozofije matematike«. Toda preden prispemo do teh strašnih ovir (kij ih bomo sicer v pričujo- čem delu zgolj očrtali), s e j e treba vrniti k logični označbi matematike, in splošneje k naslednjemu problemu: če matematika s seboj »prinaša« logične predpise, če je torej njeno filozofsko poistovetenje z znanostjo čistega mnoš- tva, ali prve ontologije, treba podvojiti (v tem se Aristotel povsem ne moti), poistovetiti z onto-logijo, kakšne konsekvence izhajajo iz tega za samo filozo- fijo? In splošneje rečeno, kakšna so, oziroma kakšna bi morala biti, razmerja med logiko in filozofijo? Logika, filozofija, »jezikovni obrat« Pravi način, na katerega se filozofija sklicuje na izkustvo mišljenja v nje- govem pojmovnem prostoru, ne izhaja strogo iz domnevnega zakona objekta, temveč iz ciljev in operatorjev same te filozofije. Torej ni mogoče, da bi šlo za to: filozofija se mora zanimati za logiko, ki je dandanes povsem matematizira- na, ker j e ta konstituirani objekt, dana forma vednosti. Zahtevamo imanent- no dojetje tega imperativa. Na tem mestu bi se radi lotili te imanence v filozo- fiji sodobnega dojemanja logike. 1 2 4 O MATEMATIKI, LOGIKI IN FILOZOFIJI Prava filozofska zareza logike sestoji v naslednjem: matematizacija logike Boola, Fregeja, Russela, Hilberta, Gödla in mnogih drugih je tesno povezana s tistim, kar imenujemo jezikovni obrat v filozofiji. Vzemimo, za kar gre meni samemu, d a j e filozofski projekt premislek tegajezikovnega obrata, oziroma identifikacija mišljenja in resnic kot proces, v katerem je jezik zgolj ena da- nost med drugimi, ali še: če želimo opustiti vsako transcendentalno pojmova- njejezika, j e torej nujno filozofsko ponovno premisliti matematizacijo logike. Recimo bolj grobo: če vozel misli in biti, ki se filozofsko nakazuje pod imenom resnice, nima gramatikalnega bistva, oziroma, če je pod pogojem dogodka, naključja, odločitve in a-topične zvestobe, ne pa pod pogojem an- tropoloških in logičnih pravil jezika oziroma kulture, seje potem treba vpra- šati, kakšnaje natanko ontološka določitev matematizirane logike. V mojem dispozitivu mislije to vprašanje kompleksno. Rekel bi, da j e nek lik torzije. Ker postavljam, da ontologija, namreč tisto, kar se od biti kot biti lahko vpiše oziroma piše kot logos, prav sama matematika, iz tega izhaja, da postane vprašanje po tistem, kaj je ontološka določitev matematizirane logike, naslednje vprašanje: kakšnaje matematična določitev matematizirane logike? V čem j e lahko to vprašanje filozofsko? Videti je, da napoteva na prepro- sto notranjo distanco matematike. Distanco, kjer se, izhajajoč iz same mate- matike, misli logični status kot matematično disciplino. Ali misel tega notra- njega razmika izhaja iz filozofije? Tako smo tu umeščeni v kompleksno triangulacijo, katere trije poli so matematika, logika in filozofija. Aksiom razločevanja, ki g a j e v tem primeru treba vpeljati, j e po mojem mnenju naslednji: filozofija je danes v veliki meri odločena z njenim položa- j em v razmerju do dveh drugih kotov trikotnika, matematike in logike. Pride zlasti do tega, da jezikovnemu obratu sodobne filozofye v veliki meri bolj ali manj vlada eksplicitna teza o poistovetenju logike in matemati- ke. Teze, katere Russelov logicizem je zgolj ena izmed skrajnih in ne nujnih oblik. Teze, ki j o očitno olajša integralna matematizacija logike. Teze, kot smo rekli, aristotelovskega ali leibnizovskega izvora. Jezikovni obrat ima, kot je znano, dve navidez zoperstavljeni obličji, kate- rih vodilni imeni sta Wittgenstein in Heidegger. Od prvega bomo ohranili trditev, da izjavlja strogo koekstenzivnost med svetom in jezikom, meje enega so prav meje drugega. Od drugega bomo ohranili trditev, d a j e mišljenje v času obupa najpoprej napoteno na besedo; oziroma, da, kot pravi Heidegger ob Rilkeju, »obstaja skrivanje, ker se bistveno področje odteguje; ostaja pa pesem, ki imenuje Zemljo«. V obeh primerih je mesto, kjer se odigrava usoda mišljenja sama meja izrekljivega. In ker naj bo to mesto takšno, matematika, zvedena na kalkulacijsko in slepo logiko, ne sme biti misel. 1 2 5 A I . A I N B A D I O U Wittgenstein je hkrati trdil: »Matematika j e logična metoda« (Logično-filozofski traktat, 6.2), ter, kot smo že navedli: »Matematični stavek ne izraža nobene misli« (Logično-filozofski traktat 6.21) Heidegger je v isti gesti matematiko zvedel na račun tehničnega obvlado- vanja: »Pride do tega, da bit bivajočega postane misljiva v čistem mišljenju matematike. Tako izračunljiva bit, postavljena v račun, v matematični struktu- ri iz bivajočega naredi nekaj obvladljivega v jedru moderne tehnike«. Tako j e Wittgensteinu in Heideggeiju skupno poistovetenje matematike in logike, vjedru kalkulacijske dispozicije, kjer misel ni več misleča. In oba to poistovetenje postavita glede na pribežališče v pesnitev, kot tisto, kar v jeziku vztraja v imenovanju tistega, kar se odteguje. Po Heideggeiju nam ostaja zgolj pesem, ki imenuje Zemljo. Wittgenstein pa bo tudi zapisal: »Mislim, da svojo držo v pogledu filozofije povzamem s tem, ko rečem: filozofija bi morala biti napisana kot poetska kompozicija«. Jezikovni obrat je tako filozofsko vzpostavljeno bistveno ustrezanje med na eni strani kalkulacijsko identiteto matematike in logike, ki je odtegnitev mišljenja v korist slepe in tehnične moči pravila, ter po drugi strani arhi-estet- skem zatekanju k pomirjujoči in pojasnjujoči moči pesnitve. Protokol preloma s to filozofsko dispozicijo potemtakem zahteva vsaj dve gesti: Prvaje ponovni kritični premislek pesnitve kot opore arhi-estetskega poj- movanja usode filozofije. To sem, kar se mene tiče, sam opravil v številnih študijah o Mallarmeju, Beckettu ali Hölderlinu. V teh študijah sem razvil splo- šno filozofsko kategorijo »dobe pesnikov«. Singularne operacije poezije sem poistovetil z mislijo (dezobjektivacijo, dezorientacijo, interupcijo in osamitvi- jo) . Pokazal sem, da te operacije niso zmogle podpreti arhi-estetske teme. Toda o tem tu ne bom govoril. Druga gesta je ponovno premišljena ločitev logike in matematike, k i j e zmožna ponovno obnoviti matematiki njeno mislečo dimenzijo preko teze, po kateri je matematika misel biti kot biti. Ponovna obnovitev matematike v njenem mislečem bistvu vzame za svoje izhodišče, kot smo videli, idejo, d a j e bit razvitje čistega mnoštva, in zaradi tega znanost o biti kot biti. Ponovno premišljena ločitev logike in matematike zadeva razlikovanje med ontološko odločitvijo preskriptivnega značaja, ter logičnim nadzorstvom deskriptivnega značaja. To točko bi želel, kot sem že nakazal, na tem mestu utemeljiti. Za kakšno metodo gre? Kar zadeva filozofijo menim, d a j e filozofija vselej pod pogojem dogodkov misli, ki so filozofiji zunanji. Ti dogodki niso niti 1 2 6 O MATEMATIKI, LOGIKI IN FILOZOFIJI njena materija, saj filozofija ni forma, niti njeni objekti, saj filozofija ni reflek- sivna. So pravzaprav njeni pogoji, namreč tisto, kar avtorizira to, da obstaja filozofija oziroma transformacija v filozofiji. Sam jezikovni obrat je bil tako pod pogojem temeljnega dogodka misli: matematizacije logike. Kajti logika, ne pozabimo, je bila tisto, izhajajoč iz če- sar se je filozofija, s ciljem, da bi si misleče prisvojila bit, polaščalajezika. Lo- gika j e bila, med Aristotelom in Heglom, filozofska kategorija moči ontologi- j e nad jezikom. Matematizacija logike nasprotno avtorizira to, da se, če lahko tako rečem, jezik polasti filozofije. Cena za to pa je bila destitucija vsake onto- logije; bodisi v obliki, k i j i jo je podal Wittgenstein: izjave ontologije nimajo smisla; bodisi v obliki, ki j i j o j e podal Heidegger: izjave metafizike so v dobi svoje nihilistične zapore. Vprašamo se torej: kateri dogodek misli, ki zadeva logiko, avtorizira filo- zofijo, da se iztrga gramatikalni in jezikovni moči? Kako si zagotovimo novo notranjo distanco med matematično mislijo kot takšno in matematizirano logiko? Ta dogodek je mogoče povsem identificirati, četudi j e še filozofsko tih. Toda, kot je rekel Nietzsche v razpravi med Zaratustro in Ognjenim psom: »Največji dogodki nas ne presenetijo v najbolj glasnih urah, temveč v času največje tišine.« Ta tihi dogodek j e temeljna sprememba stila v matematični prezentaciji logike. Gre za prezentacijo logike v okviru teorije kategorij, s kon- ceptom toposa ali »univerzuma« v njenem središču. Ta dogodek se pričenja v štiridesetih letih prejšnjega stoletja z Eilenbergovo in MacLanevo stvaritvijo ka- tegorialnegajezika za potrebe algebraične geometrije. Nadaljeval seje v petde- setih letih z Grothendiekovo iznajdbo koncepta univerzuma. Dovršil se je v šestdesetih letih z Freydovo in Lawverovo reformulacijo totalitete logike vje- ziku kategorij. Koncept elementarnega toposa]e postal transparentno orodje. Jean-Toussaint Desanti m e j e prvi opozoril na to, da ontologija, ki izključ- no temelji na teoriji množic - kar j e imenoval intrinzična ontologija - , spre- gleda po njegovem glavni prispevek matematičnega pojmovanja, ki ga podpi- ra edina danost morfizmov oziroma urejenih korelacij med strukturami. Rečem lahko, da sem s tem, ko sem filozofijo postavil pod pogoj teorije topoi vsaj delno razrešil svoj problem po zelo dolgem obdobju blodenja ali abstinence. Refolmulirajmo ta problem, na povsem artikuliran način. To bom storil v šestih tezah. Prva teza: Treba j e prelomiti z jezikovnim obratom, ki je zajel filozofijo. 1 2 7 A I . A I N B A D I O U Druga teza: To j e treba storiti, ker ta usmeritev misli dandanes vodi v dislokacijo brez pogojev in omejitev filozofske želje kot take. Filozofija bodisi postane, kot na anglo-saškem področju, nekakšna ogromna sholastika, slovnica položajev, celo nekakšna pragmatika kultur, bodisi odrešitev mišljenja zaupa, v svoji heideg- gerjanski odvisnosti, postfilozofskim operacijam, nekakšni fragmentarni arhi- estetiki. Tretja teza: Vjedru pogojevjezikovnega obrata obstaja formalno poistovetenje logi- ke in matematike, ki ga v zadnji instanci avtorizira matematizacija logike. Četrta teza: Treba je torej filozofsko proizvesti novo mišljenje razmejitve med mate- matiko in logiko, popolnoma sprejemajoč to, d a j e logika matematizirana. Peta teza: Postavimo, d a j e matematika znanost o biti kot biti, ontologija v ožjem pomenu besede. Šesta teza: Daje logika matematizirana nakazuje torej ustrezanje, še vedno nemišlje- no, med ontološko odločitvijo in logično formo. To ustrezanje j e treba prive- sti na dan pod vrsto ireduktibilnega razmika. Prispevši do te točke, lahko pojasnimo tako težavnost problema kot tudi tisto, kar fiksira za njegovo rešitev dogodkovni pogoj teorije topoi. Najprej težava. Če j e matematizacija logike avtorizirala jezikovni obrat filozofije, j e to očitno zato, ker s e j e logika predstavila kot sintaktična mate- matizacija. S tem hočem reči, d a j e bila vsa njena tema, vse od Fregejeve ideo- grafije dalje, konstituirati logične jezike kot formalne objektitete. Kako v teh pogojih upati, da bo nova izolacija logike kot take lahko zrahljala stisk grama- tikalnosti nad filozofijo? Tudi ločitev logike in matematike lahko še naprej pusti obstoj jezikovnega terorizma, to se pravi, dandanes, kulturalno in relati- vistično pragmatiko, če v vseh primerih matematika pripeljemo vjezikovno in sintaktično sfero. Rečete lahko, na primer: formalizirana teori jaje logika, če so njene izja- ve veljavne v vsakem modelu, ki ni prazen; formalizirana teori jaje matemati- ka, če ji ustreza zgolj singularna družina modelov. Toda ta razmejitev j e filo- zofsko neoperativna. Kajti matematika v njej nastopa zgolj kot primer logike, 1 2 8 O MATEMATIKI, LOGIKI IN FILOZOFIJI oziroma logika j e v njem zgolj neke vrste podstruktura univerzalne sin taktike matematike. Ker ustrezna pojma sintakse in semantike ostajata določujoča v razmejitvi, ta filozofske želje ne more osvoboditi od jezikovnega vpliva. Lahko tudi rečete, to je različica: matematika, in ne le logika, bi bila for- malizirana teorija, ki bi sprejemala eksistencialne aksiome, ki niso zvedljivi na univerzalne aksiome; ki bi o eksistenci in vzpostavitvi svoje konsistence lahko odločila zgolj okoli te odločitve. Tako bi bila sama teorija množic matemati- ka, kolikor aksiomatsko odloča o eksistenci prazne množice in o eksistenci vsaj neskončne množice. Toda tudi tu razmejitev predpostavlja sintaktično bit, k i j e skupna logiki in matematiki, saj razmik zadeva, če lahko tako reče- mo, edino razlikovalno dejavnost kvantifikatorjev. V resnici pa je vse od trenutka, ko je logika matematizirana v obliki sin- takse, ali formalne teorije, njena jezikovna povezava prvobitna, kot sicer to takoj v obliki simptoma izjavi polje njenih označitev v naravnem jeziku: for- malnijeziki, pravila formacije, izjave, propozicije, sintaksa, semantika, postav- ljanje ločil, interpretacija itn. Odslej celo teza, po kateri matematika je onto- logija, izgubi del svojih konstitutivnih moči. Kajti logika, k i j e izpostavljena kot formalni jezik te ontologije, ponovno vpelje jezikovno preskripcijo, ne da bi se mogla ontološka odločitev zlahka vrniti k tej preskripciji. Kakšna je potemtakem vrednost dogodka, ki rematematizira logiko, to- krat v okviru teorije kategorij? Izhaja iz popolne sprevrnitve perspektive. To- rej tega, da sintaktična prezentacija logike kot formalnega jezika razpolaga v kategorialni prezentaciji z univerzumi oziroma modeli kot semantičnimi in- terpretacijami, — tisto, kar je, so univerzumi, katerih logika je notranja dimenzija. Drugače rečeno: vjezikovni prezentaciji j e ontološka dispozicija ustrezni re- ferent formalne teorije. To j e očitno tisto, kar avtorizira neskončno anglosaš- ko gloso, ki loči in artikulira formalno in empirično. V kategorialni prezenta- ciji izhajamo iz geometričnih opisov univerzuma in opazimo lahko, da tej in tej dispoziciji univerzuma na imanenten način ustreza ta in ta logična dispo- zicija. Logika potemtakem postane notranja dimenzija možnih univerzumov. Ali bolj bistveno: opisna karakterizacija misljivega ontološkega stanja sklepa na logične lastnosti, ki so same prezentirane v prostoru biti, ali univerzumu, ki ga opisuje misel. V tej sprevrnitvi je izginilo dvoje: - najprej formalna in jezikovna predhodnost logike, ali splošneje rečeno, gra- matikalnega položaju univerzuma oziroma ontološki odločitvi; - nato razmerje razvitja matematike s strani logike. Dejansko nastopi logika kot notranja prisila, razvita s strani matematike. Predvsem pa je logika loka- lizirana. Je prezentirana in določljiva dimenzija univerzumov, katerih mož- nost skuša opisati matematika. 1 2 9 A I . A I N B A D I O U Problem razmejitve med matematiko in logiko torej dobi povsem druga- čen aspekt. Te razmejitve ni več mogoče odločiti zjezikovnimi kriteriji, ki soji izčrpali moč. Napotenaje na razlikovanja, ki so sama ontološka, in ki so mno- go bolj temeljna, in ki zadevajo dva konceptualna para: par realnega in mož- nega ter par globalnega in lokalnega. To bi lahko imenovali bistveno geome- trizacijo razmerja in de-razmerja [dé-rapport] med logiko in matematiko. Prevedel Peter Klepec 1 3 0