Mo«

Aritmetika

za

nižje gimnazije.

Spisal

dr. Fr. vitez Močnik.

Po šest in dvajsetem natisku poslovenil

J. Celestina.

:e=  r v I d. e 1.

----

V Ljubljani.

Tiskala in založila Ig. v. Kleinmayr & Fed. Bamberg.

1882 .

oymko iz_

Kazalo

Stran.

Uvod ... 1

Prvi oddelek.

Računanje z neimenovanimi in jednoimenskimi celimi števili

in decimalnimi ulomki.

I. Tvorba števil . .. . .. 2

II. Seštevanje.   8

III. Odštevanje.  16

IV. Množenje. . . . .25

.V. Deljenje.. . .43

Vi. Naloge za ponavljanje.   62

Drugi oddelek.

Računanje z mnogoimenskimi celimi in decimalnimi števili.

Drobljenje.69

Debeljenje.72

Seštevanje. ... 74

\Odštevanje. 77

Množenje.  79

/beljenje.81

./Naloge za ponavljanje .  84

Tretji oddelek.

O deljivosti števil.

Pojasnila .89

Občni izreki o deljivosti.90

/ Znamenja deljivosti.   .91

1 Razstavljanje na prafaktorje. ......  93

/. Največja skupna mera.  94

6. Najmanjši skupni mnogokratnik ....  • ..96

Četrti oddelek.

Računanje z navadnimi ulomki.

1. Pojasnila in vaje.99

2. Pretvorba ulomkov.101

3. Seštevanje ulomkov.109

Stran.

4. Odštevanje ulomkov.110

5. Množenje ulomka s celim številom.112

6. Deljenje ulomka s celim številom..115

7. Množenje z ulomkom.117

8. Deljenje z ulomkom.120

9. Naloge za ponavljanje ..125

Peti oddelek.

Nauk o jednostavnih razmerjih in sorazmerjih.

I. Razmerja.130

H. Sorazmerja.134

III. Razreševanje nalog z jednostavnimi razmerji.140

1. Razreševanje po sklepih (sklepovni račun).141

2. Razreševanje s pomočjo sorazmerij.143

IV. Procentni računi.156

1. Račun od sto.  167

2. Račun nad in pod sto.165

V. Naloge za ponavljanje.170

Dodatek.

Pregled najvažnejših mer, uteži j in novcev.

I. Časovne in ločne mere.179

II. Števne mere .179

III. Mere, uteži in novci avstro-ogerske države.180

IV. Najimenitnejše mere, uteži in računski novci tujih držav.187


U vod.

Kadar treba o več rečeh iste vrste povedati, koliko jih je,
tedaj vzamemo jedno  tako reč za jednoto  (Einheit) ter preiskujemo,
kolikokrat  se ta jednota v dani množini rečij iste vrste nahaja.
Izraz, kateri nam to pove, imenujemo število  (Zahl). Ker jednota
pove, da se reč le jedenkrat  nahaja, moremo tudi jednoto za
število smatrati.

Število, katero izražuje le množino jednot, ne pa njih kako¬
vosti, imenujemo neimenovano  število (unbenannte Zahl); število
pa, katero izražuje množino in kakovost jednot, imenovano  število
(benannte Zahl). Tri je neimenovano, trije goldinarji  imenovano
število.

Imenovano število more biti jedno- ali mnogoimensko. Število,
katero ima jednote jednega samega imena, n. pr. štirje goldinarji,
imenujemo jednoimensko  (einnamig); ako pa ima ono jednote
raznih imen, toda iste vrste, imenujemo ga mnogoimensko  (mehr-
namig), n. pr. štirje goldinarji in trije krajcarji.

§ 2 .

Računati  (reehnen) se pravi, iz danih števil s pomočjo do¬
ločenih izprememb druga števila najti. Vsaka izprememba števila
obstoji v tem, da ga na predpisan način povečamo ali zmanjšamo.

Iskano število, katero z računom dobimo, imenujemo rezultat
ali znesek  računa.

Nauk o številih in njih izpremembah imenujemo računstvo
(aritmetiko).

1

Prvi oddelek.

Računanje z neimenovanimi in jednoimenskimi celimi števili
in decimalnimi ulomki.

I. Tvorba števil.

1. Dekadični številni sistem.

§ 1 .

Dekadicna cela števila.

Vsako tvorjenje števil (Zahlenbildung) začenja s stavljanjem jed-
note, in ker si moremo jednoto zopet in zopet stavljeno in k že
nastali množini jednot, dodano misliti, gre to v brezkončno. Števila
tako tvoriti, kakor ona z vednim pridodavanjem jednote po vrsti
postajajo, pravi se šteti  (zahlen). Mi štejemo: jedna, dve, tri, štiri,
pet, šest, sedem, osem, devet, i. t. d. ter izražujemo ta števila pis¬
meno s sledečimi znaki (številkami): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i. t. d.
To vrsto števil imenujemo naravno številno vrsto  (naturliche
Zahlenreihe).

Vrsto naravnih števil moremo predočiti na naj bolj priprost
način na premi črti OX, na katero vnesemo od točke O v mer
proti X jednake daljice, od katerih nam vsaka jedno jednoto pred-

StaV, j a ' 12345678

0-+ I M I 1 I I  x

Števila, katera dobivamo s ponavljanim pridodavanjem jednote,
imenujemo cela števila  (ganze Zahlen).

Vsa cela števila, in naj so še tolika, dado se z malo besedami
natanko in določeno imenovati, in s še menj znaki pismeno izra-
ževati. Pri tem se držimo načela, da smatramo zmerom določeno
število nižjih jednot za novo višjo jednoto, za jednoto sledečega
višjega reda, in da ji damo kakor taki tudi posebno ime.

3

V našem  dekadičnem  (desetnem)  številnem sistemu (de-
kadisches Zahlensystem) tvori po deset  jednot jednega reda jednoto
sledečega višjega reda. Začenši pri jednoti štejemo z znanimi imeni
števil: jedna, dve, tri, —do deset. Deset prvotnih jednot,  tudi
jednice  (Einer) imenovanih, tvori novo višjo jednoto, katero imenu¬
jemo desetico;  deset desetic da stotico,  deset stotič tisočico,
deset tisočic desettisočico,  deset desettisočic stotisočico,  deset
stotisočic milijon,  i. t. d. Vsako število obstoji iz jednic, desetic,
stotič, —, in je popolnoma določeno, ako povemo, koliko ima jednic,
desetic, stotič,. N

Z ustmenim izraževanjem števil zlaga se tudi njih pismeno
predočevanje. V to potrebujemo le številk (Ziffer) za prvih devet
števil, namreč 1, 2, ... 9, in znaka 0 (ničle), kateri nam pove, da
število nima jednot določene vrste. Da pa moremo sestavljajoč teh
deset številk vsa mogoča cela števila izraževati, v to služi nam na¬
čelo, da pomenja vsaka številka na prvem mestu, začenši od desne,
jednice, in na vsakem sledečem mestu proti levi desetkrat  toliko
kolikor na prejšnjem. Po tem takem pomeni vsaka številka na
drugem mestu, ako se šteje od desne, toliko desetic, na tretjem to¬
liko stotič, na četrtem toliko tisočic, i. t. d., kolikor na prvem jednic

Ničla nima sama na sebi nobedne vrednosti ter le kaže, da ni
jednot določenega reda. Vsaka druga številka pa ima v napisanem ^
številu dvojno vrednost, vrednost lika  (figure), katera ji gre po
znaku in je tedaj nepremenljiva, in vrednost mesta,  katera ji
gre po mestu ter je premenljiva. Tako pomeni n. pr. v številu 4404
vsaka veljavna številka štiri, toda s tem razločkom, da pomeni na
prvem mestu, od desne začenši, štiri jednice, na tretjem štiri sto-
tice, na četrtem štiri tisočice. Z ozirom na vrednost lika pravimo,
da je n. pr. številka 7 večja  od številke 4, kar nam je tako raz¬
umevati, daje  število, katero izražuje številka 7, večje nego število,
katero izražuje številka 4. Oziraje se na mesto številke imenujemo,
in to zopet nepravo, ono številko višjo,  katera izražuje jednote
višjega reda ter stoji na kakem daljem mestu proti levi.

§ 4 .

Pravilno napisavanje in pravilno čitanje napisanih števil imenu¬
jemo numeracijo ali številkovanje.

Številne rede, katere po dekadičnem številnem sistemu na po¬
sameznih sledečih si mestih nahajamo, razdeljujemo lahko prav

1 *

4

ugodno na razrede po tri mesta, v katerih so po vrsti jednice,
desetice, stotice. Tri najnižja mesta so kar jednice, desetice,
stotice; prvi sledeči razred ima jednice, desetice, stotice tis o če v;
v daljem sledečem razredu so jednice, desetice, stotice milijonov,

i. t. d. Ta razdelitev zlajšuje bistveno razumevanje in pismeno izra-
ževanje števil.

Naloge.

Čitaj sledeča števila:

1. ) 2000, 7000, 5600, 2750, 5904, 1039, 5138, 2718, 38090, 27026,

80912, 12345.

2 . ) 630427, 938824, 732084, 493220, 815500, 408010, 276939,

356805, 1246829, 538191378.

3. ) Najvišja gora v Avstriji je Ortljev vrh na Tirolskem, čegar

nadmorska višina je 3917 metrov.

4. ) V začetku leta 1870. je imel Dunaj 622927 prebivalcev.

5. ) Solnce je 1413879krat toliko kakor naša zemlja.

To število ima: 1413879 jednic

6. ) V začetku leta 1870. imela je avstro-ogerska država 35943592

prebivalcev; od teh jih je spadalo na dežele, v državnem zboru
zastopane, 20420041, na dežele ogerske krone 15523551.

7 . ) Ako bije žila pri zdravem človeku v jedni minuti 75krat, udari

v jednem dnevi 108000, in v jednem letu 39420000krat.

8. ) Ako je krogov premer 1000000000 metrov dolg, ima njegov

obod 3141592654 metrov.

Zapiši s številkami sledeča z besedami izražena števila:

9 . ) Dva tisoč in štirideset, pet tisoč sedem sto štiri in

devetdeset, osem tisoč in tri, tisoč tri sto in deset,
dvanajst tisoč pet in dvajset.

10 . ) Odrasten človek sopne v jedni minuti šestnajst  krat, v jedni

uri devet sto šestdeset  krat, in v jednem dnevi tri in
dvajset tisoč štirideset  krat.

11. ) Krompir prinesli so v Evropo leta tisoč šest sto tri in

dvajsetega,  tobak leta tisoč pet sto šestdesetega.

5

12.) Jeden kilogram prediva da se izpresti v nit, devet sto pet
in devetdeset tisoč šest  sto  metrov dolgo.

IB.) Svetloba preleti pot od solnca do zemlje, katera je dvajset
milijonov šest sto tri in osemdeset tisoč tri sto in
deset  milj dolga, v osmih  minutah in trinajstih  sekundah.

14.) Ako bi kdo v jedni sekundi j e dna štel, potreboval bi, da na¬
šteje jeden milijon, jednajst  dni, trinajst ur, šest in
štirideset  minut in štirideset  sekund; da našteje jeden
bilijon,  potreboval bi jeden in trideset tisoč sedem sto
in devet  let, dve sto devet in osemdeset  dni,  jedno
uro,  šest in štirideset minut  in  štirideset sekund.

§ 5 .

Decimalni ulomki.

Vsako jednoto moremo na jednake dele razdeliti ali si jo vsaj
na jednake dele razdeljeno misliti. Število, katero ima le jeden ali
več jednakih delov jednote, imenujemo ulomljeno število ali
ulomek  (gebrochene Zahl oder Bruch), v nasprotji s celim številom,
v katerem je jednota sama jeden- ali večkrat.

Ako idemo v celem številu, napisanem po dekadičnem zakonu,
od leve proti desni nazaj, ima vsaka sledeča številka le deseti  del
one vrednosti, katero je imela na prejšnjem mestu, in tako pridemo
slednjič do jednic. Mogoče pa je številno vrsto po istem zakonu pod
jednice nadaljevati; jednico lahko razdelimo na deset jednakih delov
in jeden tak del, desetino,  smatramo za še nižjo jednoto, dalje
deseti del desetine, t. j. stotino,  za jednoto še nižjega reda, in tako
pridemo, ako deljenje nadaljujemo, do poljubno majhnih številnih
jednot.

Soglasno s tem moremo po dekadičnem zakonu tudi številčno
vrsto od jednic proti desni nadaljevati, tako da pomenja številka
na prvem mestu za jednicami desetine,  na drugem stotine,  na
tretjem ti so čin e i. t. d. Pri takem nadaljevanji številne vrste treba
nam je le s kakim znakom predočiti, kje nehajo jednice; ta znak je
točka, postavljena za jednicami zgoraj na desno; imenujemo jo deci¬
malno (desetinsko) točko  (Decimalpunkt). Številke na levi od
decimalne točke pomenjajo cela  števila ali celote  (Ganze), številke
na desni decimalne točke pa decimalke ali desetinke  (Decimalen).
Po tem takem pomeni 44444-44444 sledeče:

6

celote:

decimalke:

Število, katero ima decimalke, imenujemo decimalno število
ali decimalen ulomek (Decimalzahl, Decimalbruch).

§ 6 .

Decimalen ulomek čitamo,  ako izgovorimo najprej celote in
potem vsako posamezno decimalko z njeno mestno vrednostjo ali brez
te ali pa vse decimalke z njih skupno vrednostjo. N. pr. 47 • 385 čitamo:

a)  47 celot, 3 desetine, 8 stotin, 5 tisočin; ali

b)  47 celot z decimalkami 3, 8, 5; ali slednjič

c)  47 celot 385 tisočin.

Drugi način čitanja je najnavaclnejši.

Čitaj sledeče decimalne ulomke:

32-517, 7-0703, 0-005, 3-14159, 0-5596, 17-008, 80-072,
0-480107, 0-20903, 725-008, 0-036, 28-00074.

Da napišemo  decimalen ulomek, pišemo najprej celote, za
temi postavimo decimalno točko in potem posamezne decimalke po
redu njih mestne vrednosti. Ako ni celot ali posameznih decimalk,
postavimo na njih mesto ničle.

N.pr. 13 celot, 5 stotin, 6 desettisočin pišemo: 13-0506; 7 dese¬
tin zapišemo: 0-7.

Napiši sledeča decimalna števila:

1. ) 5 celot, 3 desetine;

2. ) 28 celot, 4 desetine, 7 stotin, 1 tisočino;

3. ) 110 celot, 35 tisočin;

4. ) 7 tisoč 28 celot, 4 stotine, 9 tisočin;

5. ) 7 stotisočin;

6 . ) 39 tisoč 91 milijonin.

Iz pojma decimalnega ulomka sledi, da njegove vrednosti ne
izpremenimo, ako mu na desni jedno ali več ničel pripišemo, ker
obdrže pri tem posamezne številke svojo prejšnjo mestno vrednost.
Tedaj je

8-7 = 8-70  = 8-700 = 8-7000 = 8-70000.

7

§ 7 .

Ako ima decimalen ulomek mnogo decimalk, nimajo dostikrat
nižja decimalna mesta z ozirom na kakovost naloge za praktično
življenje nikakeršne vrednosti. V takem slučaji pridržimo toliko deci¬
malk, kolikor jih je za nalogo potrebnih. Ako pa decimalen ulomek
na katerem koli mestu pretrgamo, potem popravimo  (corrigieren)
zarad večje natančnosti številko na tem mestu, t. j. povečamo jo za
1, ako je prva izpuščena številka 5 ali večja od 5. N. pr.: Mesto
decimalnega ulomka 0 - 357283 pisali bi, ako zadostujejo štiri deci¬
malke, 0‘3573, in, če zadostujejo tri, 0357.

Tak decimalen ulomek imenujemo okrajšan;  on je le pri¬
bližen izraz popolnega  decimalnega ulomka. Pogrešek vender ni
večji od polovice jednote zadnjega pridržanega decimalnega mesta.
Ako hočemo naznaniti, da je O'357 okrajšan decimalen ulomek, pi¬
šemo: O - 357...

Ako računamo z okrajšanimi decimalnimi ulomki kakor s po¬
polnimi, nižja decimalna mesta niso zanesljiva.

2 .  Kimske številke.

§ 8 .

Številke, katere smo do sedaj rabili, imenujemo arabske.
Poleg teh rabimo včasih tudi rimske  številke.

Rimljani so imeli za števila sedem znakov:

I, V, X, L, C, D, M.

za 1 5 10 50 100 500 1000.

S temi sedmimi znaki izraževali so, prilično jih sestavljajoč,
vsa druga števila po sledečih zakonih:

1. ) Jednake znake, stoječe drug poleg  druzega, treba sešte¬
vati; n. pr.:

II pomeni 2, XXX pomeni 30,

III » 3, CCC » 300.

2. ) Nižji znak, stoječ za višjim, treba k temu prištevati; n. pr.:

VI pomeni 6, XXVI pomeni 26,

VIII » 8, CXV » 115,

LX » 60, DCLX » 660.

3. ) Nižji znak, stoječ pred  višjim, treba od tega odštevati; n. pr.:

IV pomeni 4, XIX pomeni 19,

IX » 9, XLIII » 43,

8

XL pomeni 40, XCIV pomeni 94,

XC * 90, MDCCCLXIX » 1869.

Čitaj: VII, XIII, XV, XXIV, XLI, LXI, XCI, CIX, CXI, CMXIX,
MCCCXIV, MDCCXL.

Napiši z rimskimi številkami vsa števila od 1 do 20; dalje 28,
49, 84, 365, 719, 930, 1344, 1799, 1878.

II. Seštevanje neimenovanih in jednoimenskih celih
in decimalnih števil.

§ 9.

Seštevati  (addieren) se pravi, iskati števila, katero ima toliko
jednot, kolikor dve ali več števil skupaj. Dana števila imenujemo
prištevnike  (sumande, adende); število pa, katero s seštevanjem
dobimo, vsoto  (sumo).

Da prištejemo k številu 3 drugo število 4, treba nam le v na¬
ravni številni vrsti, začenši pri številu 3, za toliko jednot naprej
šteti, kolikor jih ima drugo število 4; število 7, do katerega pri¬
demo, je iskana vsota.

Znak seštevanja je stoječ +, katerega več (plus) čitamo in med
sumande postavljamo. Med sumande in vsoto pišemo jednačaj
(Gleichheitszeichen) = (jednako), ki nam pove, da so števila ali šte¬
vilne zveze, med katerimi stoji, jednake vrednosti. N. pr.: 3 + 4 = 7
čitamo: 3 več 4 je jednako 7.

Ako nam je več nego dve števili seštevati, prištejemo k vsoti
dveh števil tretje, k novi vsoti četrto i. t. d.

Ako hočemo naznaniti, da je z neizvedenim računskim poslo¬
vanjem (operacijo) še dalje računati, denemo ga v oklepaje  (Klam-
mern). N. pr.:

(7 + 8) + 3 kaže, da treba k vsoti števil 7 in 8 še število 3
prišteti.

7 + (8 + 3) kaže, da moramo k 7 vsoto števil 8 in 3 prišteti.
Vaje. (Računanje na pamet.)

§ 10 .

1. ) Štej od 1 naprej do 100, prištevajoč zmerom po 1; namreč

1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4,...

2. ) K 1 prištej 2, k vsoti zopet 2, in k vsaki sledeči vsoti 2.

9

3. ) Začni z 2 in prištevaj takisto zmerom po 2.

4. ) Štej s 3 naprej

a) od 1 do 100, b)  od 2 do 101, c)  od 3 do 102.

5. ) Na isti način štej

a)  prištevajoč 4 začenši z 1, 2, 3, 4;

b)  » 5 » » 1, 2, 3, 4, 5;

c)  » 6 » » 1, 2,... 5, 6;

d)  » 7 » * 1, 2, ... 6, 7;

e)  » 8 » * 1, 2, ... 7, 8;

f)  » 9 » » 1, 2, ... 8, 9.

6. ) Koliko je 7 + 4? Prištej k temu še 8. Koliko je tedaj 7 + 4 + 8?

7. ) a) 5 + 2 + 9 =? b)  8 + 3 + 9 =? c)  7 + 7 + 5 =?

8 + 9 + 4=? 6 + 8 + 7=? 9 + 8 + 6=?

3 + 5 + 8=? 9 + 1 + 6=? 7 + 9 + 4=?

8. ) a)  Ako korakamo v naravni številni vrsti jedenkrat od 5 za

3 jednote, potem pa od 3 za 5 jednot naprej, katero šte¬
vilo dobimo v obeh slučajih?
b)  Koliko je 7 + 4? Koliko je 4 + 7?
c; 2 + 5 + 8=? 5 + 2 + 8=? 8 + 2 + 5=?

2 + 8 + 5=? 5 + 8 + 2=? 8 + 5 + 2=?

Množina jednot sumandov ostane ista, naj si tudi slede v ka¬
terem koli redu; tedaj mora ista ostati tudi vsota.

Isti sumandi dado v vsakem redu isto vsoto.

9. ) Na koliko načinov moreš sešteti števila a)  3, 4 in 5, b)  2, 3,

4 in 5?

10. ) a)  7 + 5 + 9 + 5=? 6)3 + 2 + 9 + 8 + 4=?

2+7+8+9=? 6+9+3+7+5=?

6 + 4 + 3 + 8 =? 8 + 5 + 1 + 9 + 7 =?

11. ) a)4  + 7 + 9 + 6 + 5 =? b)  9 + 2 + 9 + 8 + 5 + 3=?

6 + 8+  4 + 5 + 7=?  5 + 6 + 8 + 7 + 4 + 9 =?

7 + 3 + 4 + 9 + 6=?  8 + 9 + 1 + 2 + 8 + 7 =?

12. ) Seštej števila od 1 do 9.

13. ) Koliko je 5 desetic in 3 desetice? Koliko je 20 + 10, 30 + 40,

40 + 50, 50 + 60, 80 + 30, 70 + 90?

14. ) Koliko je 4 stotice in 5 stotič? Koliko je 300 + 100, 700 + 200,

400 + 300, 600 + 400?

15. ) a)  Koliko je 56 + 3?

(50 + 6) + 3 = 50 + (6 + 3) = 50 + 9 = 59.

Jednice prištevamo k jednicam, desetice ostanejo neizpremenjene,

10

b)  Koliko je 56 + 30?

(50 + 6) + 30 = (50 + 30) + 6 = 80 + 6 = 86.

Desetice prištevamo k deseticam, jednice ostanejo neizpremenjene.
K vsoti prištevamo število, ako ga prištejemo
samo k jednemu sumandu.

16. ) Koliko je 34 + 10, 28 + 20, 47 + 30, 61 + 20, 76 + 30?

17. ) Koliko je 365 + 20, 330 + 200, 560 + 300, 257 + 400?

18. ) a)  Koliko je 46 + 7? Mesto da štejemo v številni vrsti od

46 za 7 = 4 + 3 dalje, štejemo najprej za 4 in potem še
za 3 naprej; tedaj je

46 + (4 + 3) = (46 + 4) + 3 = 50 + 3 = 53.
b)  Seštej 46 in 52. Koliko je 46 in 50? — in še 2?

46 + (50 + 2) = (46 + 50) + 2 = 96 + 2 = 98.
Mesto da prištevamo k številu vsoto, moremo su-
mande jednega za drugim prišteti.

Včasih postopamo tudi obratno:

Mesto da k številu prištevamo več števil jedno za
drugim, prištejemo najedenkrat vsoto vseh teh števil.
N. pr.:

245 + 37 + 63 = 245 + 100 = 345.

19. ) Koliko je 67 + 21, 52 + 41, 58 + 42, 317 + 69?

20. ) Katero število je za 36 večje od 51?

21. ) Mislim si število; ako odštejem od njega 27, ostane mi še 65;

katero število sem si mislil?

22. ) Seštej sledeča, jedno pod drugim stoječa števila:

23. ) a)  19 + 28 + 37 + 46 =? b)  25 + 34 + 19 + 80 =?

24. ) Koliko je 317 + 268? 317 in 200 je..., in 60 je..., in 8 je..

25. ) Koliko je 436 + 324, 321 + 654, 818 + 172?

26. ) Koliko je 234 + 345 + 123?

27. ) Uredi sledeče sumande tako, da se seštevanje zlajša:

a)  455 + 123 + 208 + 77 + 45 + 92;

b)  63 + 28 + 116 + 272 + 37 + 64.

28. ) Koliko je 4000 in 3000, 2800 + 4000, 4108 + 500?

29. ) Izračunaj 5680 + 4007, 2936 + 4040.

30. ) Koliko je 5143 + 809, 3095 + 3860, 5138 + 1769?

11

Pismeno seštevanje.

§ H.

Seštevanje celih števil.

Ker moremo le istovrstne jednote seštevati, pišemo pri sešte¬
vanji večštevilčnih števil sumande tako jednega pod druzega, da stoje
jednote istega reda jedna pod drugo, tedaj jednice pod jednicami
desetice pod deseticami, i. t. d.

sumanda ( 245 2  .i edn ' + 5  J edn - = 7  jednic.

t 342 4 des. -f 4 des. = 8 desetic.

vsota 587 ® stot. + 2  stot. =  ® stotič.

7  j- + 8 j. + 3 j. = 18 j. = 1 d. + 8 j.

Id. + 5 d. + 5 d. + 9 d. = 20 d. = 2 st. + 0 d.

2 st. + 3 st. + 4 st. + 6 st. = 15 st.

1508

Najprej seštevamo tedaj jednice, potem desetice,
stotice, ... in vsakkratno vsoto zapišemo, ako je jedno-
številčna, pod seštete jednote; ako je pa vsota katerega
koli reda dvoštevilčna, zapišemo le jednice onega reda
pod seštete jednote, desetice pa prištejemo kakor jed¬
note sledečega reda k temu.

Ako se hočemo o pravosti vsote prepričati, seštejemo še jeden-
krat, in sicer od zgoraj na spodaj, ako smo seštevali prej od spodaj
na zgoraj; ako je vsota v obeh slučajih ista, moremo jo za pravo
smatrati, ker zarad izpremenjenega reda številk ni lahko obakrat
isti pogrešek mogoč.

Drugo preskušnjo  (Probe) za pravost seštevanja navedli bo¬
demo pri odštevanji.

§ 12 .

Seštevanje decimalnih ulomkov.

Sumande pišemo po zakonu istovrstnosti jednega pod dru¬
zega, t. j. celote pod celote, desetine pod desetine, stotine pod
stotine . . ., na ta način pridejo tudi decimalne točke jedna pod
drugo; potem seštevamo kakor pri celih številih, pri najnižjem
mestu začenjajoč, in v vsoti postavimo decimalno točko ravno pod
decimalne točke sumandov.

Ako nam je okrajšane decimalne ulomke  seštevati,
okrajšamo vse na isto toliko mest ter jih seštejemo. V vsoti so,

693

458

357

12

ako ni več
najnižje.

1.) 5-82
7-37
3-48
9-06
25-73

kakor 10 sumandov, vse decimalke zanesljive, razven

Najprvo seštejemo stotine; tu dobimo 23 stotin = 2 deseti¬
nama in 3 stotinam; 2 desetini prištejemo k desetinam ter do¬
bimo 17 desetin = 1 jednici 7 desetinam; 1 jednico prištejemo
potem k celotam.

2.) 35-7
9-26
13-085
20-1905
78-2355

3.) 17-924..
8-515..
29-265..
55-704

V primeru 3.) je zadnja decimalka v vsoti nezanesljiva.

Naloge. § 13 -

1. ) 38

94 Govori: 7 in 4 je 11, in 8 je 19, ostane 1; 1 in 6 je 7, in

67 9 je 16, in 3 je 19.

199

2. ) Seštej sledeča števila, in sicer najprej ona v vertikalnih, potem

ona v horizontalnih vrstah; seštej dalje vsote vertikalnih in
potem one horizontalnih vrst:

34 + 56 + 36 + 27 + 69 + 43 + 87 + 24

57 + 21 + 90 + 67 + 58 + 63 + 35 + 48

19 + 56 + 76 + 34 + 65 + 50 + 89 + 57

42 + 60 + 45 + 86 + 99 + 17 + 25 + 60

68 + 80 + 26 + 77 + 58 + 69 + 43 + 54

5.) Seštej v sledečem četverokotniku najprej števila vsake verti¬
kalne, potem števila vsake horizontalne vrste in slednjič števila
obeh diagonalnih vrst.

?

13

6. ) Koliko je osmo število v številni vrsti, ki se z 2096 začne, in

v kateri je vsako sledeče število za 214 večje od prejšnjega?

7. ) Kolika je vsota 6 števil, ako je prvo 1275, in vsako sledeče

za 124 večje od prejšnjega?

8. ) Izračunaj vsoto 5 števil; prvo je 3087, drugo je za 690 večje

od prvega, tretje za 516 večje od druzega, četrto za 407 večje
od tretjega, in peto za 375 večje od četrtega.

9. ) 92613

81502 Bolj izurjenim priporočamo, da pri seštevanji besedice in,
70491 * a k° P° samezn 'h številk, katere ravno seštevajo, ne

izgovarjajo, nego le vsakkratno vsoto. Tako bi pri seštevanji
47209 jednic v zraven stoječem primeru ne rekli: 6 in 9 je 15, in 1
18456 je 16, in 2 je 18, in 3 je 21, nego le: 6, 15, 16, 18, 21.

310271

10.) Seštej kakor v nalogi 2. sledeča števila:

41782 + 29714 + 80508 + 26396 + 73614
71396 + 29592 + 75801-+ 34567 + 90123
95703 + 88466 + 54953 + 63780 + 77266
18278 + 91705 + 27265 + 53927 + 84706
89924 + 93364 + 62879 + 27048 + 60973

12.) Seštej števila: 3098752, 8345097, 58091, 937248, 5630956,
7514389, 3507019, 1907338.

13. ) 3-62 + 9-57 + 8'26 + 2-95 + 7'08 + 5-39 =?

14. ) 37-3 + 30-3 + 3-84 + 7-29 + 3-99 + 67-2 =?

15. ) 24-7 + 528 + 0‘75 + 37'6 + 8‘35 =?

14

16. ) 3-142 + 4-586 + 5-92 + 6-364 + 7-708 =?

17. ) 38-3 + 20-95 + 60-14 + 505 + 60-39 + 724-9 =?

18. ) 1-4 + 91-025 + 8-79 + 24-21 + 0-8 + 1-848 + 35-791 = ?

19. ) 9-37.. + 34-25.. + 39-73.. + 4-79.. + 0-29.. =?

20. ) 0-5 + 0-25 + 0-125 + 0-0625 + 0-03125 =?

21. ) 550-62 + 184-77 + 29-39 + 70-913 + 629 + 12-8 = ?

22. ) Seštej 3 števila; prvo je 8 • 12, drugo za 8 • 79 večje od prvega

in tretje za 10-35 večje od druzega.

23. ) Od nekega števila se je odštelo 37-865 in ostalo je še 53-196;

koliko je bilo ono število?

24. ) Katero število je za 74-865 večje od 42-73 + 91-68?

25. ) 315-247 + 93-07 + 100 + 0-3947 + 293-2973 + 67-84 =?

26. ) 165-80 + 307-405 + 509-7628 + 769-208 + 725 + 70-464

+ 690-5237 =?

27. ) 87-549+ 297-315+ 934-046+ 971-5411 +84-3139 + 51-698

+ 35-8423 =?

28. ) 25480-7 + 4183-5 + 82091-08 + 7831-359 + 5092-4 + 1357

+ 631-997 =?

Seštevanje jednoimenskili števil.

§ 14.

Pri seštevanji imenovanih števil morajo imeti dana šte¬
vila isto ime, in to dobi potem tudi vsota.

Naloge. (Za pismeno in deloma tudi ustmeno razrešitev.)

1. ) Neka gimnazija ima v I. razredu 50, v II. 45, v III. 43, v IV. 37,

v V. 44, v VI. 32, v VII. 29, v VIII. 30 učencev; koliko je vseh
učencev na tej gimnaziji?

2. ) Koliko dnij preteče v navadnem letu od dne 1. januvarja do

dne 15. maja?

3. ) Koliko dnij preteče v prestopnem letu od dne 1. januvarja do

zadnjega dneva vsacega meseca?

4. ) Cesar Avgust je bil rojen leta 63. pred Krist., umrl pa je leta

15. po Krist.; koliko let je doživel?

5. ) Nekdo je bil rojen leta 1789. in je umrl 53 let star; katerega

leta je umrl?

6. ) Križevniške vojske v sveto deželo začele so se leta 1096. in so

trajale. 195 let; kedaj jim je bil konec?

15

7. ) Neki hišni gospodar dobi vsako leto od 5 strank najemnine:

96 gl., 130 gl., 280 gl., 300 gl., 335 gl.; koliko skupaj ?

8. ) Ako vzamemo, da preleti prosto padajoče telo v prvi sekundi

svojega pada 4'904*/, in v vsaki sledeči sekundi 9 •808”/ več
kakor v poprejšnji; a)  kolik je prostor padu v drugi, tretji in
četrti sekundi? b)  kolik v vseh štirih sekundah?

9. ) Kupec dobi pet sodov kave, kateri tehtajo posamič: 220,

224, 222, 227 in 231%; koliko % tehtajo vsi?

10. ) Voznik je naložil tri zaboje; prvi je tehtal 107, drugi 148%,

tretji toliko, kolikor ona dva skupaj; kolika je bila teža vsega
tovora ?

11. ) Na nekem trgu prodalo se je: 432 pšenice, 305^ reži,

287^| ječmena in 613^| ovsa; koliko Mfa  se je prodalo vsega
žita?

12. ) Za neko kupčijo da A  2560 gl., B  3050 gl., C  1880 gl. in D

2400 gl.; koliko denarja imajo vsi štirje v kupčiji?

13. ) Mejna črta Češke proti Bavarski je 290'5, proti Saksonski

424 - 8, proti Pruski 294-3, proti Moravski 375-5, proti Doljni
Avstriji 102 • 4 in proti Gornji Avstriji 102"6')% l ; koliko 7^ zna¬
šajo vse mejne črte Češke?

14. ) Nekdo ima tri kapitale (glavnice); prvi mu nese vsako leto

62-35 gl., drugi 27‘68 gl., tretji 85'395 gl. obrestij: koliko
obrestij mu dade vsako leto vsi trije kapitali?

15. ) A  je za 7-825®/ višje od B, B  za 12-15 ®/ višje od C, C  za

9-023®/ višje od Z>; *a koliko je A  višje od D?

16. ) Neka črta ima štiri odseke, kateri so posamič 41-27®/,

37-62®/, 30-55®/ in 26• 82"/ dolgi; kolika je dolžina cele
črte?

17. ) Stranice peterokotnika so 32• 28®/, 35 - 2®/, 17-35”/, 24 - 76”/,

21 - 59”/; kolik mu je obseg?

18. ) Štiri palčice od zlata tehtajo posamič 1-375, 1-248, 0-9315,

0-85%; kolika je teža vsem?

19.) a)  392-56 rublja
508-64 »

92-75 »

125-08 »

281-92

b)  159-37 marke c)  917-16 franka

462-05 » 621-94 »

286-40 » 108-88 >

47-92 » 361-44 »

180-28 » 407-75 »

16

20 . ) Nekdo  ima  31'284njiv, 0'95vrtov, 11'256^ travnikov

in 38 - 5 Ptja  gozda; koliko ima vsega zemljišča?

21. ) Nekdo je dolžan .4-u 2385 gl., B -u 2220 gl., 6-u 3800 gl.,

D -u 950 gl. in i?-u 4260 gl.; koliko dolguje vsem?

22 . ) Nekdo zapusti 3568 gl. gotovega denarja, 8350 gl. v državnih

dolžnih pismih, 7280 gl. v posojilih, in hišo, 18500 gl. vredno;
kolika je vsa njegova zapuščina?

23 . ) V neki deželi so pridelali v štirih letih zaporedoma 83560,

69012, 64805, 60500 %f M .  vina; koliko v vseh štirih letih?

24 . ) Za skupno kupčijo dal je A  2956'6 gl., B  za 532 ‘2  gl. več

nego A,  in C  464 • 2 gl. več nego B.  Dobiček iz te kupčije raz¬
delili so tako, da je dobil A  739• 15 gl., B  za 133 - 05 gl. več
nego A,  in C  za 116 • 05 gl. več nego B.  Koliko so vsi vložili
skupaj, in kolik je bil ves dobiček?

25.) Izdatki neke tvornice so bili:

v januvarji 12685 gl.,

» februvarji 11590 »

» marciji 12372 »

» aprilu 10483 »

» maji 13066 »

» juniji 12139 »

Koliki so izdatki za celo leto?

v juliji 13704 gl.,
» avgustu 12558 »

»  septembru 10630 »

» oktobru 12917 »

» novembru 11828 »

» decembru 13076 »

26 . ) Neka železnica imela je dohodkov: v januvarji 755952 gl., v

februvarji 678879 gl., v marciji 891363 gl., v aprilu 840504 gl.,
v maji 914154 gl., v .juniji 976083 gl.; koliko v vseh šestih
mesecih skupaj?

27 . ) Po zadnjem popisu ljudstva ima Češka 5557134, Moravska

2151619, Šlezija 565772 prebivalcev; koliko prebivalcev imajo
vse tri dežele?

III. Odštevanje neimenovanih in jednoimenskih celih
in decimalnih števil.

§ 15.

Iz obrata seštevanja sledi drug računsk način, katerega ime¬
nujemo odštevanje  (Subtraction). Odštevati  (subtrahieren) se
pravi, iz vsote dveh števil in iz jednega obeh sumandov iskati dru-
zega. Dano vsoto imenujemo minuend ali zmanjševanee,  dani

17

sumand subtrahend ali zmanjševalec, odštevanec, iskani su¬
mand diferenco, razliko ali ostanek. Ako prištejemo diferenco
k subtrahendu, dobimo minuend.

Ker vsota dveh števil ne more biti manjša nego jeden njen
sumand, vzamemo tudi tu, da je minuend zmerom večji od sub-
trahenda.

Znak odštevanja je vodoravna poteza —, katero izgovarjamo
m en j (minus); minuend pišemo pred, subtrahend za potezo. N. pr.:
8 — 3 = 5 čitamo: 8 menj  3 je jednako 5.

Vsako seštevanje dveh števil, n. pr.: 8 + 5 = 13, da v svojem
obratu dve nalogi za odštevanje: dan je namreč razven vsote 13,
katera je kakor minuend zmerom dana, kot subtrahend ali prvi
sumand 8 ali drugi sumand 5. Ako je dan kakor subtrahend prvi
sumand 8, potem nam je preiskavah, koliko treba k 8 še prišteti,
da dobimo 13; v tem slučaji moramo od 8 v številni vrsti za toliko
naprej šteti, da pridemo do 13; število 5, katero na ta način s
seštevanjem najdemo, je drugi sumand, diferenca. Ako je pa drugi
sumand 5 kakor subtrahend dan, tedaj nam je preiskavah, h kate¬
remu številu treba prišteti 5, da dobimo 13 za vsoto, t. j. koliko
od 13 še ostane, ako prištetih 5 zopet odštejemo; ostalo število 8
je iskani prvi sumand, ostanek.

Ker je pa za vsoto vse jedno, kateri od dveh sumandov je
prvi ali drugi, je tudi za diferenco vse jedno, ali se poslužujemo
pri odštevanji prve ali druge zgoraj navedene razrešitve. Pri prvi
nalogi dobimo diferenco 5 tudi, ako od 13 8 odštejemo, in pri drugi
nalogi diferenco 8 tudi tako, da prištejemo k 5 toliko, da dobimo 13.

Odštevanje dveh števil nam je tedaj mogoče izvrševati na
dvojen način: ali prištejemo k subtrahendu toliko jednot, da dobimo
minuend; ali pa odštejemo od minuenda toliko jednot, kolikor jih
ima subtrahend. N. pr. v nalogi 12 — 5 pravimo ali: 5 in 7 je 12,
ali: 5 od 12 ostane 7.

Vaje. (Računanje na pamet.)

§ 16 .

1. ) Štej od 100 nazaj tako, da vselej 1 odšteješ; namreč 100,

99, 98,...

2. ) Katera števila dobiš, ako v naravni številni vrsti a)  od 100,

b)  od 99 zmerom za 2 jednoti nazaj korakaš?

2

18

3. ) Zmanjšaj a)  100 za 3, in vsakkratni novi ostanek zopet za 3;

potem isto tako b)  99, c)  98.

4. ) Štej od 100 začenši za 4 nazaj; dalje isto tako, od 99, 98, 97

začenši.

5. ) Štej nazaj

a)  za 5 začenši od 100, 99, 98, 97, 96;

b)  » 6 » » 100, 99, ....  96, 95;

c)  » 7 » » 100, 99,_ 95, 94:

d)  » 8 » i 100,' 99, ....  94, 93;

e)  » 9 * » 100, 99, ....  93, 92.

6. ) Od 13 odštej 4, 5, 6, 7, 8, 9.

7. ) Za koliko jednot moraš v naravni številni vrsti, od 8 začenši,

naprej šteti, da prideš do števila 15?

8. ) Koliko moraš k 6, 7, 8, 9 prišteti, da dobiš 14?

9. ) Določi sledeče diference:

a)  11 - 3, 25 - 8, 37 - 4. 43 - 7, 54 - 6, 60 - 5.

b)  52 - 9, 93 - 4, 17 - 6, 65 - 8, 82 - 5, 29 - 7.

c)  44 - 6, 73 - 7, 34 - 5, 52 - 4, 39 - 1, 47 - 8.

10. ) Štej v številni vrsti od 15 nazaj prvikrat najprej za 4 in po¬

tem za 5, drugikrat najprej za 5 in potem za 4. Katero število
dobiš vsakkrat?

(15 - 4) - 5 = (15 - 5) - 4 = 6.

Ako treba od kacega števila dve števili odšteti, za
rezultat je vse jedno, v katerem redu ji odštevaš.

11. ) Štej v naravni številni vrsti od 8 najprej za 7 naprej in potem

za 5 nazaj: štej dalje od 8 najprej za 5 nazaj in potem za 7
naprej. Do katerega števila prideš obakrat?

(8 + 7) - 5 = (8 - 5) + 7 = 10.

Ako treba k številu drugo prišteti in od njega tretje
odšteti, vsejedno je za rezultat, v katerem redu pri¬
števaš in odštevaš.

160 - 80?

19

15. ) Koliko ti ostane, ako odšteješ 5 stotič od 12 stotič? Koliko je

800 - 300, 900 - 200, 1500 - 700?

16. ) Odštej 10 od 200, 60 od 300, 70 od 420.

17. ) a)  Koliko je 68-5?

(60 + 8) - 5 = 60 + (8 - 5) = 60 + 3 = 63.

Jednice odštevamo od jednic, desetice ostanejo neizpremenjene.
b)  Koliko je 68 - 50?

(60 + 8) - 50 = (60 - 50) + 8 = 10 + 8 = 18.

Desetice odštevamo od desetic, jednice ostanejo neizpremenjene.

Od vsote odštevamo število, ako je le od jednega
sumanda odštejemo.

18. ) Koliko ti . ostane, ako odšteješ 10 od 25, 20 od 35, 40 od 78,

60 od 96?

19. ) Koliko je 126 - 50, 153 - 80, 149 - 90, 118 - 30?

20. ) 29 + 20 - 30 + 70 - 10 =?

21. ) 98 - 40 + 80 - 50 + 20 - 60 =?

22. ) a)  Koliko je 63 — 8? Mesto da korakamo v številni vrsti od

63 za 8 = 3 + 5 nazaj, moremo tudi najprej za 3 in potem
še za 5 nazaj korakati; tedaj je
63 - (3 + 5) = (63 - 3) - 5 = 60 - 5 = 55.
b)  Od 67 odštej 24. 67 menj 20, ostane 47, menj 4, ostane 43.
67 - (20 + 4) = (67 - 20) - 4 = 47 - 4 = 43.

Mesto da odštevamo od števila vsoto, moremo od
njega tudi posamezne sumande jednega za drugim od¬
števati.

Včasih pa se dh s koristjo uporabiti obrat tega izreka:

Mesto da odštevamo od števila več števil jedno za
drugim, odštejemo na jedenkrat njih vsoto.  N. pr.:

397 - 38 - 62 = 397 - 100 = 297.

23. ) Koliko ti ostane, ako odšteješ 16 od 78, 23 od 65, 38 od 80,

18 od 45, 36 od 71, 88 od 124?

24. ) Razlika dveh števil je 27, večje število 56; koliko je manjše?

25. ) Koliko moraš k 32, 45, 67 prišteti, da dobiš 100?

Izračunaj

26. ) 85 - 24, 67 - 26, 94 - 34, 74 - 53, 83 - 51.

27. ) 62 - 34, 54 - 27, 86 - 18, 36 - 29, 64 - 37.

28. ) 73 - 47^ 90 - 55, 41 - 23, 52 - 17, 74 - 28.

29. ) a)  34 + 56 - 42 ==? b)  100- 28 -42 =?

81-45 + 10=? 87-19-41=?

2 *

20

30. ) Povej pomen sledečih izrazov in izračunaj jih:

73 + (48 - 25), 73 - (48 - 25),

(73 + 48) - 25, (73 - 48) - 25.

31. ) Od 749 odštej 185. 749 menj 100, ostane...; menj 80, ostane...;

menj 5, ostane_

32. ) Koliko je 466 - 149, 393 - 208, 586 - 250, 423 - 173,

832 - 565, 706 - 658?

33. ) a)  Oče je 41, njegov sin 12 let star; 1.) za koliko je oče

starejši od sina; 2.) kolika je bila razlika njijine starosti
pred 10 leti; 3.) kolika bo razlika njijine starosti čez 10 let?
b)  Koliko je 54 - 6, 64 - 16, 74 - 26?

Diferenca se ne izpremeni, ako k minuendu in sub-
trahendu isto število prištejemo, ali od obeh isto število
odštejemo.

Ta izrek včasih s koristjo uporabljamo; n. pr.:

853 - 298 = 855 - 300 = 555,

648 - 303 = 645 - 300 = 345.

Pismeno odštevanje.

§ 17.

Odštevanje celih števil.

Ker moremo le istovrstne  jednote odštevati, pišemo kar sub-
trahend tako pod minuend, da pridejo istovrstna mesta jedno pod
drugo, namreč jednice pod jednice, desetice pod desetice i. t. d.
Potem nam treba le določiti, koliko moramo k jednotam vsacega reda
v subtrahendu še prišteti, da dobimo jednote istega reda v minuendu.
Recimo, da treba n. pr. 324 od 597 odšteti.

minuend 597 4 jed. j n  3 j e( j_ j e  7 j ec i.

subtrahend 324 2  <les. in 7 des. je 9 des.

diferenca 273 3 stot - in 2 stoi  J e 5 sfot

Določi dalje diferenco 845 — 216.

845 Da moremo odštevanje pri jednicah izvršiti, pomnožimo jednice v minu-
240  endu za 10  jednic, potem pa moramo, da ostane diferenca neizpreme-

- njena, tudi subtrahend za jedno desetico pomnožiti. Tedaj imamo: 6  jed.

629 j n  9  jed. je 15 jed.; pri deseticah moramo 2 des. od 4 des. odšteti in
dobimo 2  des.; slednjič imamo: 2  stot. in 6  stot. je 8  stot.

Pri odštevanji števil prištevamo tedaj, pri jednicah začenši,
zaporedoma k vsaki številki subtrahenda toliko, da dobimo nad njo
stoječo številko minuenda, in vsakkrat prišteto številko zapišemo v

21

ostanek. Ako je katera subtrahendova številka večja nego nad njo
stoječa v minuendu, tedaj povečamo zadnjo za 10 in potem odšte¬
vamo; a potem moramo povečati tudi sledeče višje mesto v sub-
trahendu za 1.

O pravosti odštevanja  se prepričamo, ako prištejemo ostanek
k subtrahendu; ako smo prav odštevali, dobili bomo potem minuend za
vsoto. Druga preskušnjaza  pravost odštevanja obstoji v tem, da od¬
štejemo ostanek od minuenda, in potem moramo dobiti subtrahend.

Odštevanje nam služi tudi kot preskušnja za pravost sešte¬
vanja. Ako seštejemo namreč vse sumande razven jednega, ter
odštejemo to vsoto od vsote vseh sumandov, dobiti moramo, ako je
bilo seštevanje pravo, izpuščeni sumand. N. pr.:

Vsota vseh štirih sumandov je 2510, zadnjih treh pa 1536; ako
odštejemo to vsoto od prve, dobimo prvi izpuščeni sumand 974
za ostanek; seštevanje je bilo tedaj pravo.

§ 18 .

974

305

984

247

2510

1536

974

Odštevanje decimalnih ulomkov.

Subtrahend pišemo tako pod minuend, da pridejo cela števila
pod cela števila, desetine pod desetine, stotine pod stotine i. t. d.,
potem odštevamo kakor pri celih številih, v ostanku pa postavimo
decimalno točko natanko pod vse druge decimalne točke.

Ako nam je odštevati okrajšane decimalne ulomke,
okrajšamo vse na isto toliko mest in potem odštevamo. V diferenci
najnižja decimalka ni zanesljiva. N. pr.;

1 .) 69-287  2 .) 12-74  3 .) 28 - 314 ...

41-195  11-814  4-625  ...

28-092  0-926  23-689

V tretjem primeru je zadnja decimalka v diferenci nezanesljiva.

1 .)

§ 19 .

Naloge.

18 Govori: 5 in 1 je 6, 2 in 5 je 7, in piši vsakkrat prišteto

25  številko precej med izgovarjanjem pod odštete številke.

51

22

2. ) 96

79 Tu govori: 9 in 7 je 16, ostane 1; 1 in 7 je 8 in 1 je 9.

17

3. ) a)  86 b)  69 e)  73 d)  90 e)  72 f)  81

34 17 48 63 29 35

4. ) Katero število moraš k 208 prišteti, da dobiš 419?

5. ) a)  677 b)  694 c)  300 d)  834 e)  543

316 452 85 508 268

6. ) a)  347 + 906 - 468 =? b)  981 - 483 + 297 =?

7. ) Od 1000 odštej števila 234, 423 in 342; ali 1000 — (234 +

+ 423 + 342) =?

8. ) Katero število da k 2109 prišteto 8056 za vsoto?

9. ) a)  4066 b)  9521 c)  5187 d)  3854

2135 670 2468 1577

10. ) a)  25368 - 14843 =? b)  84691 - 80079 =?

11. ) 37942 + 51092 - 60857 =?

12. ) 24680 - 18772 + 97531 - 68024 =?

13. ) Za koliko je vsota 25936 + 57108 večja od vsote 31527 +

+ 40874?

14 .) Za koliko je diferenca 81352 — 62586 manjša od diference

72542 - 53079?

15 .) Katero število je za isto toliko manjše nego 19432, kakor je

25097 večje od zadnjega števila?

16. ) Seštej števila 325467, 527496, 907245, 48394, od vsote pa

odštej zaporedoma prve tri sumande; kolik je ostanek?

17. ) Od 401894 odštej števila 139214, 91078, 35709, 102775.

401894 Mesto da sešteješ tu najprvo števila, katera je treba od-

139214 števati, in potem njih vsoto odšteješ od minuenda, moreš se
91078 vštevanjem števil, katera je treba odšteti, ob jednem zdru¬
žiti odštevanje od minuenda. Ko si namreč seštel jednice vseh
35709 subtrahendov, poišči precej, koliko treba k njih vsoti 26 še
102775 prišteti, da dobiš najbližje višje število, katero ima na mestu
33118 jednic dotično številko 4 minuenda, t. j. 34; 26 in 8 je 34;

prištetih 8 jednic zapiši precej med izgovarjanjem v ostanek.
3 desetice dobljene vsote 34 prištej k subtrahendovim deseticam ter potem
postopaj kakor pri jednicah. Pri tem govori: 5, 14, 22, 26 in 8 je 34,
ostane 3; 3, 10, 17, 18 in 1 je 19, ostane 1; i. t. d.

18. ) 5248901 - (863147 + 168854 + 279039 + 996489 +

+ 638505) =?

23

19. ) 0) 80-7 - 65-3 =? b)  71-19-36-4 =?

14-56 - 3-89 =? 62-8 - 47-75 =?

9-397 - 0-273 =? 7-92 - 3-454 =?

20. ) Katero število je za 2-678 manjše nego 8 -765?

21. ) Za koliko je 61-43 a)  večje od 23-958, b)  manjše od 70?

22. ) Razlika dveh števil je 5 - 593, večje je 12-75; koliko je manjše?

23. ) Odštej:

a)  28-355 b)  85-7 c)  9’04 d)  100

16- 79 9-416 0-2607 16-667

24. ) Okrajšaj 3-14159 na 2 decimalni mesti, t. j. vzemi mesto

3-14159 decimalno število 3-14; kolik je pogrešek?

25. ) Kolik je pogrešek, ako vzameš mesto 7-23689 a)  7-236,

b)  7-237? Kateri pogrešek je manjši? Kaj moraš tedaj storiti,
ako je pri okrajševanji prva izpuščena decimalka 5 ali večja
od 5?

26. ) Okrajšaj sledeče decimalne ulomke na tri mesta:

a)  26-3854, b)  39-7378, c)  72-3406,

17- 19717, 5-08276, 0-999995.

27. ) a)  13-4262.. - 8-9745.. =? b)  1 - 0-72845.. =»?

28. ) 35-1097 + 27-4006 - 41-0365 - 10-3721 =?

29. ) 263-544 - 190-468 + 40-7155 - 38-9771 =?

30. ) Kolika je vsota treh števil, od katerih je prvo 128-794, drugo

za 53-165 manje od prvega, in tretje za 9-98 manjše od
druzega?

31. ) Odštej od 152-4405 števila 9-1085, 20-3668, 17-4519.

32. ) 7901-305 - (206-0408 + 123-456 + 789-012 + 135-79 +

+ 802-406 + 918-273) =?

Odštevanje jednoimenskih števil.

§ 20 .

Pri odštevanji imenovanih števil morata imeti minuend in
subtrahend isto ime; to dobi potem tudi ostanek.

Naloge. (Za pismeno in deloma tudi za ustmeno razrešitev.)

1. ) Od kosa platna, ki je 52 m / dolg, odstriže se 35*/; koliko

metrov ga še ostane?

2. ) Sin je izgubil svojega 75 let starega očeta, ko je bil sam 47 let

star; za koliko je bil oče starejši od sina?

3. ) Neko blago se je za 350 gl. kupilo in za 408 gl. prodalo; ko¬

liko je bilo pri njem dobička?

24

4. ) Neki kupec proda za 824-64 gl. blaga in dobi pri njem

76'08 gl.; za koliko je kupil blago?

5. ) Nekdo prejme v četrti leta 900 gl. in izda 813 gl.; koliko si

prihrani?

6. ) Od 750% kave se je sčasoma odprodalo: 128, 57, 105%; ko¬

liko je je še ostalo?

7. ) Greda ima 89-74D ,n / ploščine; koliko je manjša od jednega ara?

8. ) Morje pokriva 0-734 zemeljske površine; koliki del te površine

pokriva suha zemlja?

9. ) Od njive, katera ima 4'42^, odproda se 2-0825^; koliko

je še ostane?

10. ) Nekdo kupi za 569-75 gl. blaga, katero mu je čez 4 mesece

plačati; koliko mu je precej (gotovo, kontantno) plačati, ako se
mu dovoli zarad tega, ker prej plača, 18‘28 gl. popusta?

11. ) Nekdo kupi trgovcu bombaža in mu pošlje račun o 1887-92 gl.;

koliko velja blago, ako je v oni vsoti tudi 37-02 gl. nagrade
za kupčev trud?

12. ) Rim je imel 7 kraljev, kateri so vladali zaporedoma od leta

754. do leta 509. pred Krist, rojst.; koliko časa je trajalo rim¬
sko kraljestvo?

13. ) Kolumb je Ameriko našel leta 1492.; koliko let je sedaj znana?

14. ) Nekdo je bil rojen leta 1793. in je umrl leta 1871.; koliko

časa je živel?

fi>.) Tridesetletna vojska se je končala leta 1648.; kedaj se je začela?
16.) Leta 1870. štelo se je 171 let, odkar se je parni stroj izumil,
430 let, od kar se je izumilo tiskarstvo, in 619 let, od kar se
je izumil papir; katerega leta se je izumila vsaka teh iznajdeb?
17 .) Koliko dnij ima prvih šest mesecev v navadnem letu menj
nego zadnjih šest?

18. ) Na račun 5356 gl. dolga se plača jedenkrat 1028 gl., drugi¬

krat 2175 gl.; kolik je ostali dolg?

19. ) Nekdo je bil dolžen 742-5 gl., odplačati ima še 318-75 gl.;

koliko je že odplačal?

20. ) Odštej:

a)  54‘39% b)  37-09 pud. c)  12-48 cent.

15-89 » 30-88  * 9-39  »

21 .) Neki oče zapusti starejšemu svojih dveh sinov 6840 gl., mlaj¬
šemu za 1580 gl. menj; koliko dobita obadva sinova?

25

22. ) Trgovec dobi iz Hamburga štiri zaboje kave, kateri tehtajo:

521%, 518%, 509%, 408%; zaboji sami tehtajo 42%, 42%,
41%, 40%; koliko kave je a)  v vsakem zaboji, b)  v vseh
skupaj ?

23. ) Kraj H stoji za 128 ' m j  višje nego B, B  za 87 m /  višje nego

C,  in C  za 68 "/nižje nego D;  za koliko stoji A  višje nego D?

24. ) Gladina reke je pri A  2478 pri B  1938 ‘"j  nad morsko gla¬

dino; kolik je pad od A  do B?

25. ) Dolžina nihala, katero vsako sekundo jedenkrat zanihne, je na

tečaji (polu) 996 - 088 7 %i, na ravniku (ekvatorji) 990 , 891 7 % l ;
kolika je razlika med obema dolžinama?

26. ) Češka je imela leta 1780. 2561749 prebivalcev in leta 1870.

5140156; za koliko se je v tem času število prebivalcev po¬
množilo ?

27. ) V neki deželi bilo je rojenih v petih si sledečih letih 58725, 58857,

56840, 60838, 62552 ljudij; odmrlo pa jih je 50459, 57559,
52030, 60235, 54976. Za koliko je bilo število rojenih večje
od števila umrlih, in sicer a)  v vsakem letu, b)  v vseh
petih letih?

IV. Množenje neimenovanih in jednoimenskili celih
in decimalnih števil.

§ 21 .

Ponavljano seštevanje jednega in istega sumanda dovodi nas
do množitve  (Multiplication). Množiti  (multiplicieren) se pravi,
vzeti število tolikokrat za sumand, kolikorkrat, kaže to drugo število.
N. pr. 5 s 3 množiti se pravi, 5 vzeti 3krat za sumand, tedaj pa
dobimo 5 + 5 + 5 = 15. Število, katero jemljemo večkrat za su¬
mand, imenujemo multiplikand  (množenec), število pa, katero
kaže, kolikokrat treba multiplikand za sumand vzeti, multiplikator
(množitelj). Število, katero z množenjem dobimo, imenujemo pro¬
dukt  (zmnožek). Multiplikand in multiplikator imenujemo tudi fak¬
torja  (činitelja) produkta.

Multiplikator je zmerom neimenovano število; multiplikand je
lahko tudi imenovan, potem pa je tudi produkt imenovan, in sicer
z multiplikandom istoimensk. N. pr. Ako velja 1 meter 5 gl., veljajo
4 metri 4krat 5 gl. (ne pa 4 metre-krat 5 gl.); tedaj treba 5 gl. s 4
(ne s 4 metri) množiti, in tako dobimo 20 gl.

26

Znak množitve je poševen križ x ali tudi točka. N. pr.
5x3 = 15 ali 5.3 = 15 čitamo: 5 množeno s 3 da 15, ali tudi:
3krat 5 je 15; 5 je multiplikand in 3 mulliplikator.

Produkt več nego dveh števil je oni končni produkt, katerega
dobimo, ako množimo produkt prvih dveh števil s tretjim, ta novi
produkt s četrtim številom i. t. d.

Vaje. (Računanje na pamet.)

§ 22 .

1. ) Koliko je lkrat 1, lkrat 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

2. ) Koliko je 2krat 1, 2krat 2, 3, ... 8, 9?

3. ) Kolik je 3kratnik od 1, 2, 3, ... 8, 9?

4. ) Koliko je 4krat 1, 4krat 2, 3, ... 8, 9 ?

5. ) Koliko je 5krat 1, 5krat 2, 3, ... 8, 9?

6. ) Katero številno vrsto dobiš, ako vzameš števila 1, 2, 3, ...

8, 9 zaporedoma 6krat za sumand?

7. ) Koliko je 7krat 1, 7krat 2, 3, ... 8, 9 ?

8. ) Koliko je 8krat 1, 8krat 2, 3, ... 8, 9?

9. ) Katero število je 9krat toliko kakor 1, 2, 3, ... 8, 9?

10. ) Koliko je 2 x 3? Množi še 6 s 7. Koliko je tedaj 2x3x7?

11. ) «17x8 + 3x4 =? S)5x9 + 6x3=?

9 x 6 + 7x5=?  8 x 8 — 4 x 4 =?

12. ) 3x3x7 + 4x2x5 — 3x2x9 =?

13. ) a)  Koliko je 5 x 3? Koliko 3x5?

Ako razstaviš 5 v pet jednot in predočiš te v horizontalni vrsti
ter potem napišeš 3 take vrste jedno pod drugo,
11111
11111
11111,

dobiš očividno isto toliko, ako sešteješ jednote vseh horizontalnih
ali pa one vseh vertikalnih vrst. Ako sešteješ jednote horizontalnih
vrst, dobiš 5 jednot 3krat, ali 5x3:  ako pa sešteješ jednote ver¬
tikalnih vrst, dobiš 3 jednote 5krat, ali 3x5.  Tedaj je 5 x 3 =
= 3 x 5 = 15.

Produkt se ne izpremeni, ako faktorja med seboj
zamenj  amo.

h)  Ako nam je več nego dve števili množiti, n. pr. 3, 4 in 5,
produkta ne izpremenimo, če zamenjamo po dva in dva

27

faktorja med seboj. Ako ponavljamo takovo zamenjevanje,
spravimo lahko vsak faktor na vsako poljubno mesto.
3.4J5 = 3J5.4 = 5.3 A  = ojf.3 = 4.5.3 = 4.3.5 = 60.

Tudi pri več kakor dveh faktorjih je za produkt
vsejedno, v katerem redu jih množimo.

14. ) Koliko je lkrat 10, 2krat 10, 3krat, 10, ...9krat  10?

15. ) Koliko je lkrat 100, 2krat. 100, ...9krat  100?

16. ) Koliko je 2krat 4 desetice? Koliko je 2krat 50, 3krat 40,

5krat 60, 7krat 30, 9krat. 80?

17. ) Koliko je 3krat 2 stolici? Koliko je 2krat 400, 5krat 700,

4krat 500, 7krat 600, 8krat 900?

18. ) Koliko je lOkrat 1, lOkrat 2, lOkrat 3, 4, ... 9? Kaj tedaj po¬

stane iz jednic, ako jih lOkrat vzameš?

19. ) Koliko je lOkrat 10, lOkrat 20, lOkrat 50, lOkrat 80? Kaj

tedaj postane iz desetic, ako jih lOkrat vzameš?

20. ) Koliko je lOOkrat 1, lOOkrat 2, lOOkrat 3, 4, ...9?  Kaj po¬

stane iz jednic, ako jih lOOkrat vzameš?

21. ) Koliko je lOOkrat 10, 20, 30, 50. 90? Kaj postane iz desetic,

ako jih lOOkrat vzameš?

22. ) Koliko je 4krat 20? Koliko je 4krat 6? Koliko je tedaj 4krat. 26?

(20 + 6) x 4 = 20 x 4 + 6 x 4 = 80 + 24 = 104.

Vsoto množimo s številom, ako vsak sumand z njim
množimo in dobljene delske produkte seštejemo.

23. ) Koliko je 3krat 16, 4krat 21, 5krat 34, 6krat 53, 3krat 127?

24. ) a)  72 x 5 + 145 x 2 =? b)  133 x 4 - 28 x 9 =?

25. ) Vzemi vsako sledečih števil:

a)  25, b)  84, c)  45, d)  78, e)  51, f)  94,
m)  2krat, n)  3krat, o)  7krat, p)  8krat,, r)  9krat.

26. ) Množi vsako sledečih števil:

a)  19, b)  48, c)  71, d)  59, e)  37, j)  66,
m)  s 3, n)  s 4, o)  s 5, p)  s 6, r)  z 8.

27. ) Koliko je 15krat. 30?

Mesto da postavimo 30 15krat za sumand, moremo tudi, ker
je 15 = 3 x 5, po tri te jednake sumande v jedno vsoto povzeti;
na, ta način dobimo 5 jednakih vsot, katere nam je še sešteti, kar
se zgodi, ako jedno teh vsot s 5 množimo.

28

90

90 x 5 = 450

tedaj 30 x 15 = (30 x 3) x 5 = 90 x 5 = 450.
Število množimo s produktom, obstoječim iz dveh
faktorjev, ako je množimo z jednim faktorjem, in znesek
potem še z drugim faktorjem.

28. ) Koliko je 20krat 8? 20 je 2 x 10; mesto da bi torej z 20 mno¬

žili, množimo najprej z 2 in znesek še z 10; 2krat 8 je 16,
lOkrat 16 je 160.

29. ) Koliko je 20krat 10, 30krat 30, 50krat 40?

30. ) Koliko je 20krat 12, 30krat 15, 60krat 13?

31. ) Koliko je 200krat 7, 300krat 20, 400krat 14?

32. ) Koliko je 12krat 35?

Znesek je isti, ali plačamo 12 kosov kacega blaga na jeden-
krat, ali pa najprej 10 kosov in potem še 2 kosa po 35 kr.

35 x (10 + 2) == 35 x 10 + 35 x 2 = 350 + 70 = 420.

Število množimo z vsoto, ako je z vsakim suman-
dom množimo in dobljene delske produkte seštejemo.

33. ) Koliko je 13krat 20, 17krat 51, 24krat 33, 22krat 350?

34. ) Primerjaj sledeče izraze z ozirom na njih pomen ter jih izračunaj:

(50 + 4) x (20 + 1), 50 + 4 x (20 + 1),

(50 + 4) x 20 + 1, 50 + 4 x 20 + 1.

Pismeno množenje.

§ 23.

Množenje celih števil.

a)  Multiplikator je jednoštevilcen.

Vzemimo n. pr., da nam je 132 s 3 množiti.

132 multiplikand 132 x 3 multiplikator

132 396 produkt.

132 3krat 2 jednici je 6 jednic,

ggg 3krat 3 desetice je 9 desetic,

3krat 1 stotica so 3 stotice.

Katerega reda jednote znači produkt, ako množimo jednice,
desetice, stotice, ... z jednicami?

29

Recimo, da treba še 456 z 8 množiti.

456 X 8 8krat 6 j. je 48 j. = 4 d. + 8 j.

„„ 8krat 5 d. je 40 d., in 4 d. je 44 d. = 4 st. 4 d.

8krat 4 st. je 32 st., in 4 st. je 36 st.

Z jednoštevilčnim multiplikatorjem množimo torej zaporedoma
jednice, desetice, stotice, ... multiplikanda in dobljene produkte
zapišemo kakor jednote istega reda; ako je pa produkt dvoštevilčen,
zapišemo le jednice onega reda na dotično mesto, desetice pa pri¬
štejemo kakor jednice sledečega višjega reda k produktu sledeče
višje številke.

V zadnjem primeru pravimo krajše: Škrat 6 je 48, ostane 4; 8krat 5 je
40, in 4 je 44, ostane 4; 8krat 4 je 32, in 4, je 36.

h)  Mnltiplikator je 10, 100, 1000, ...

Da množimo število z 10, 100, 1000, moramo vsaki njegovi
številki lOkratno, lOOkratno, lOOOkratno vrednost dati, t. j. vsako
številko za 1, 2, 3 mesta proti levi pomakniti. To se pa zgodi, ako
pripišemo celemu številu na desni 1, 2, 3 ničle. N. pr.:

318 x 10 709 x 100 850 x 1000

3180 70900 850000

Ako je pa multiplikator n. pr. 400 = 4 x 100, množimo multi-
plikand najprej s 4 in produkt potem še s 100, t. j. prvemu pro¬
duktu pripišemo na desni še dve ničli.

Katerega reda jednote znači produkt, ako množimo jednice,
desetice, stotice, ... a)  z deseticami, b)  s stolicami, c)  s tisoči¬
cami, ... ?

§ 24.

c)  Multiplikator je večštevilcno število.

Ako nam je n. pr. 649 s 435 množiti, treba multiplikand 400krat,
30krat in 5krat vzeti in dobljene delsk  e p r o d u k t e (Theilproducte)
sešteti.

Tedaj dobimo 649 x 435

400krat 649 ... 259600
30krat 649 ... 19470
5krat 649 . .. 3245

282315

V delskih produktih imajo ničle na desni le ta namen, da na¬
kažejo prvi od ničle različni številki in s to vsem drugim pravo
mesto; smejo se tedaj tudi izpuščati, ako ni mogoče, da bi o mestni

30

vrednosti teh številk nastala dvomba, in temu je tukaj tako, ker mora
najnižja od 0 različna številka vsacega delskega produkta pomeniti
jednot.e istega reda kakor številka multiplikatorja, s katero se množi.
Gornji račun moremo tedaj krajše tako-le pisati:

649 x 435
2596
1947
3245
282315

Red, v katerem množimo s posameznimi številkami multipli-
katorjevimi, je poljuben, da pišemo le delske produkte tako jednega
pod druzega, kakor jih je pisati treba. V obče pa je najpripravnejše,
da začnemo z najvišjo številko multiplikatorjevo in mno¬
žimo potem zaporedoma z nižjimi: a vsak sledeč delsk
produkt pomaknemo za jedno mesto proti desni in po¬
tem seštejemo delske produkte, kakor stoje.

Ako ima multiplikator na katerem notranjem mestu ničlo, pre¬
skoči se ta pri množenji, a potem se pomakne sledeči delski produkt
za dve mesti proti desni.

Ako se nahajajo v jednem ali v obeh faktorjih na desni ničle,
prezirajo se te pri množenji, a potem treba produktu ostalih števil
na desni toliko ničel pripisati, kolikor jih imata oba faktorja. N. pr.:
a)  5700 x 26 b)  57 x 260 c) 570 x 2600

114

342

148200

114

342

14820

114

342

1482000

Kajti: a)  57 stotič X 26 jedn. = 1482 stotič,

b)  57 jedrne x 26 des. = 1482 desetic,

c)  67 desetic x 26 stot. = 1482 tisočic;

tedaj treba produktu iz 57 in 26 na desni v prvem slučaji 2 , v drugem 1, v

tretjem 3 ničle pripisati.

Najboljša preskusnja  za pravost množitve je ta, da zame¬
njamo faktorja in še jedenkrat množimo: ako dobimo zopet isti pro¬
dukt, smemo ga za pravega smatrati. N. pr.:

9038 x  624
54228
18076
36152

624 x 9 038
5616
1872
4992

5639712

5639712

31

Dostavek. Kakor pri seštevanji ali odštevanji, moči je tudi
pri množenji tak način napisavanja uporabljati, da je pomen vsake
posamezne številke v delskih produktih in v glavnem produktu že iz
razstave števil razviden. Ako pišemo namreč multiplikator tako pod
multiplikand, da stoji najvišja njegova številka pod jednicami zadnjega,
in pišemo najnižjo številko delskega produkta z najvišjo številko
multiplikatorjevo pod najnižjo številko multiplikandovo, potem naj¬
nižjo številko vsacega sledečega delskega produkta za jedno mesto
proti desni, imajo posamezne številke v delskih produktih
in v glavnem produktu isto vrednost, kakor ravno nad
njimi stoječe številke multiplikatorjeve.

Ako nam je n. pr. 5824 množiti s 7603, imamo
5824 multiplikand
7603 multiplikator
40768
34944
17472

44279872 produkt.

§ 25.

Množenje decimalnih ulomkov.

a)  Multiplikator je celo število.

1. ) Vzemimo, da nam je O - 756 množiti z 8.

0 ‘ 756 X 8 8krat 6 tisočin je 48 tisočin = 4 stotin. + 8 tisočin.; 8krat

g .Q^g 6 stotin je 40 stotin, in 4 stotine je 44 stotin = 4 desetin. +

+ 4 stotin.; 8krat 7 desetin je 56 desetin, in 4 desetine

je 60 desetin = 6 jedn. -j- 0 desetin.

Kateri red jednot, znači produkt, ako množimo desetine, stotine,
tisočine,. . . z jednacimi?

2. ) Povej vrednost posameznih številk v sledečih številih:

9-876, 98-76, 987-6, 9876, 98760.

Kolikokratnik prvega števila je vsako sledeče?

Decimalen ulomek tedaj množimo  z 10, 100, 1000,...,
ako pomaknemo v njem decimalno točko za 1, 2, 3,... mesta
proti  desni.

Kako množimo decimalen ulomek s 70, 200, 6000?

Kateri red jednot znači produkt, ako množimo desetine, stotine,
tisočine,... a)  z deseticami, b)  s stolicami, c)  s tisočicami,...?

32

3.) Vzemimo, da nam je 5‘903 množiti z 257.

5-903 X 25 7
200krat 5-903... 1180-6
50krat 5-903... 295-15

7krat 5-903... 41-321

1517-071

§ 26.

b)  Mnltiplikator je deeimalen ulomek.

1.) Množi 357-24 z 01, t. j. določi lOti del od 357-24.

Da dobiš lOti del od 357 -24, moraš vsako številko tega šte¬
vila za 1 mesto proti desni pomakniti; to se pa zgodi, ako po¬
makneš decimalno točko za jedno mesto proti levi; tedaj
357-24 x 0-1 = 35-724.

Na isti način dobiš

293-17 x  0-01 1386-4 x  0-001

2-9317 1-3864

Določi 56 ■ 138 x 0 • 3, t. j. 3krat lOti del od 56 • 138.

56-138 x  0-3
16-8414

Koliko je 781-415 x 0-07; 631-09 x 0-005?

Kateri red jednot znači produkt, ako množimo... stotice, dese¬
tice, jednice, desetine, stotine.. . a)  z desetinami, b)  s stotinami,
c)  s tisočinami, ... ?

2.) Recimo, da nam je 23‘56 množiti s 3-789.

23-56 X 3 -789

23-56 x 3   70-68

23-56 x 0-7 ....  16-492

23-56 x 0-08 ....  1-8848

23-56 x 0-009.. ..  0-21204

89-26884

Na isti način dobimo

15-3 x  3-14 4-23 x  0-01307

45-9 0-0423

1-53 1269

612 2961

48-042

0-0552861

33

Ker dobimo najnižjo številko v produktu, ako množimo naj¬
nižjo številko multiplikanda z najnižjo številko multiplikatorja, raz¬
vidno je, da mora imeti produkt toliko decimalnih mest, kolikor jih
imata obadva faktorja skupaj.

Dva decimalna ulomka moremo tedaj tudi tako mno¬
žiti, da ja množimo, ne oziraje se na decimalni točki,
kakor celi števili in potem odrežemo v produktu toliko
decimalnih mest, kolikor jih imata oba faktorja skupaj.

3.) Ako množimo popoln decimalen ulomek z okraj¬
šanim, ali pa okrajšanega z okrajšanim, dobimo v produktu
toliko nezanesljivih decimalk, kolikor ima veljavnih številk v prvem
slučaji popolni decimalni ulomek, v drugem pa vsota obeh, kakor celi
števili smatranih faktorjev. N. pr.:

2-482.. x 4-23 1 0-94..  x 0-148..

9-928...
4964..
7446.
10-49886.

1-0 94...
4 376..
8752.
1-6 1912.

Dostavek.  Ako pišemo multiplikand, multiplikator in posamezne
delske produkte tako jednega pod druzega, kakor smo povedali v
dostavku k § 24, razvidna je mestna vrednost vsake številke v pro¬
duktu že iz postavka samega, ker pride decimalna točka v produktu
pod decimalno točko multiplikatorja. N. pr.:

7-3 02 35-6308

8 9-4 0-002 47

58 4 16
6 5 718
2 9208
65 2-7988

71 2616
14 25232
2 494156
0-088 008076

§ 27.

Okrajšano množenje decimalnih ulomkov.

Da se izognemo kolikor mogoče vsemu računanju, katero bi
dalo nezanesljiva ali nižja mesta, nego zahteva natančnost računa,
poslužujemo se okrajšanega  množenja(abgekiirzte Multiplication).

Vzemimo, da nam je n. pr. produkt 8 -5432 x 7-961  izraču¬
nati samo na tri decimalke, t. j. tako, da so tisočine najnižje mesto
v produktu,

3

34

a)  popolno

b)  okrajšano

8-5432 x 7-961
1 697

8-5432 x 7-961

59 8024
7 68888
512592

59 802
7 689

85432

512
* 9

68-0124152

68-012

Ker se zahtevajo tu le prve tri decimalke produkta, je v
prejšnji popolni množitvi a)  račun na desni od poteze odveč; pri¬
hraniti si ga moremo na ta način, da množimo z vsako multipli-
katorjevo številko najprej ono številko multiplikanda, katera da v pro¬
duktu tisočine, in potem le njega sledeče višje številke. V produktu
dobimo tisočine, ako množimo

s 7 jednieami multiplikatorja 3 tisočine multiplikanda,
z 9 desetinami » 4 stotine »

s 6 stotinami » 5 desetin »

z 1 tisočino » 8 jednic »

Očividno je najpripravnejše, ako številke multiplikatorjeve v
takem redu pod multiplikand pišemo, da pomeni produkt vsacih dveh
jedna pod drugo stoječih številk tisočine. V to svrho treba le multi¬
plikatorjeve jednice staviti pod tisočine multiplikanda, vse druge
multiplikatorjeve številke pa v obratnem redu napisati, kakor v prej¬
šnjem računu b).  Ako množimo potem z vsako multiplikatorjevo šte¬
vilko nad njo stoječe in višja mesta multiplikanda, pomenijo naj¬
nižja mesta v vseh delskih produktih tisočine; zarad tega pišemo
delske produkte tako, da stoje njih najnižja mesta jedno pod dru¬
gim. Zarad večje natančnosti množimo z vsako multiplikatorjevo
številko tudi za jedno mesto dalje proti desni stoječo številko multipli¬
kanda, pa od tega produkta pridržimo samo bližje desetice, katere
pomenijo tisočine, ter jih prištejemo kakor popravo  k prvemu pro¬
duktu, katerega nam je napisati.

V prejšnjem računu b)  računamo tako-le:

7krat 2 je 14, ostane 1 za popravo; 7krat 3 je 21, in 1 (poprava) je 22,
ostane 2; 7krat 4 je 28, in 2 je 30; i. t. d.

9krat 3 je 27, ostane 3 za popravo; 9krat 4 je 36, in 3 je 39, ostane 3;
9krat 5 je 45, in 3 je 48; i. t. d.

6krat 4 je 24, ostane 2 za popravo; 6krat 5 je 30, in 2 je 32, ostane 3;
6krat 8 je 48, in 3 je 51.

Ikrat 5 je 5, ostane 1 za popravo; lkrat 8 je 8, in 1 je 9 .

V vsoti delskih produktov odrežejo se potem 3 decimalke.

35

Iz tega sledi, da treba pri okrajšanem množenji  tako-le
postopati:

1. ) Jednice multiplikatorjeve piši pod ono mesto niultiplikanda,
kal ero se v produktu kakor najnižje zahteva: vse druge številke pa
napiši zraven te v obratnem redu tako, da se prikaže ves multi-
plikator obrnen.

2. ) Množi s prvo na desni stoječo številko obrnenega multi-
plikat.orja najprej ono multiplikandovo številko, ki stoji za jedno mesto
dalje proti desni, pa tega produkta ne zapiši, zapomni si le njega
najbližje desetice, katere dade popravo;  potem množi ravno nad
njo stoječo številko multiplikanda, k produktu prištej popravo in tu
začni produkt napisavati; potem množi zaporedoma tudi sledeče
multiplikandovo številke. Na isti način množi z drugo, tretjo ;  ...
multiplikatorjevo številko ter piši dobljene okrajšane delske produkte
tako jednega pod druzega, da stoje njih najnižje številke natanko
jedna pod drugo.

3. ) Delske produkte seštej in v vsoti odreži zahtevano število
decimalk.

Ako hočeš, da je zadnja decimalka zanesljiva, izračunaj jedno
več, nego je prav za prav zahtevanih.

Tu utemeljeno postopanje za okrajšano množenje decimalnih ulomkov
velja tudi za množenje celih števil,  ako se zahteva le nekaj najvišjih mest.

Ako nam je n. pr. produkt 310786 X 45067 izračunati le na desettisočice,
dobimo

310786  X 45067
76054
1243144
155393
1864

_ 127

14005  2 8 desettisočic.

§ 28.

Računski prikrajški pri množenji.

1.) Ako se da multiplikator razstaviti na dva fak¬
torja,  s katerima lahko množiš, množi multiplikand najprej z jed-
nim in potem rezultat z družim faktorjem. N. pr.:

1.) 51046 x 24 2 .)  21596 x 350

-X 4 - X 7

204184

-x 6

1225104

151172

- X 50

7558600

3 *

36

2.) Ako je jedna multiplikatorjeva številka 1, potem
pusti multiplikand kakor delski produkt te številke neizpremenjen,
množi ga le z druzimi številkami mulliplikatorja ter piši dobljene
delske produkte jednega pod druzega, kakor treba. N. pr.:

1.) 52093 x 185

416744
260465
9637205

2.) 63418 x 671

443926
380508
42553478

3.) 15308 x 13

45924

4.) 40925 x 301

122775

199004

12318425

3.) Ako je multiplikator  11, zapiši prvo številko v multi-
plikandu na desni neizpremenjeno, potem seštej prvo in drugo, drugo
in tretjo, i. t. d. N. pr.:

79264 x 11 krajše 79264 x 11

79264 871904

871904

Govori: 4  je 4-; 4  in 6 je 10, ostane 1; 1 in 6 je 7, in 2 je 9; 2 in 9
je 11, ostane 1; 1 in 9 je 10, in 7  je 17, ostane 1; 1 in 7  je 8.

4. ) Ako ima multiplikator na vseh mestih, izvzemši
najnižje, številko  9, prištej toliko jednic, da dobiš 100, 1000,
10000,...; multiplikand množi najprej s 100, 1000, 10000,... in
potem še s številko, katero si prištel, ter drugi produkt od prvega
odštej. N. pr.:

34 8 76 00  x 96
139504 10 0 -4
3348096

5. ) Ako ima multiplikator na vseh mestih, izvzemši
naj višje, številko  9, pomnoži ga za 1; na ta način dobiš število,
katero ima samo jedno veljavno številko s sledečimi ničlami na desni;
s tem številom množi potem multiplikand in od produkta odštej multi¬
plikand. N. pr.:

150234 x 599
90140400 600 - 1

Ako množiš tu s 600, kar se zgodi, ako
zapišeš najprej pod multiplikand dve ničli
in potem produkt s 6, je ta produkt za
lkratni multiplikand, t. j. za multiplikand

89990166

sam prevelik; tedaj treba od dobljenega produkta še nad njim stoječi multi¬
plikand odšteti.

37

§ 29.

Naloge.

1. ) a)  96 X 4 = ? b)  57 X 9 = ? c)  78 X 5 = ?

2. ) Množi z 2, 3, 4, ... 8, 9 sledeča števila:

24, 714, 956, 512, 382, 4067, 8406,

87, 508, 484, 205, 475, 2596, 9057.

3. ) Množi število 5 samo s seboj, produkt zopet s 5 i. t. d., dokler

ne dobiš 5 produktov: a)  kolik je zadnji produkt, b)  kolika
vsota vseh produktov?

4. ) a)  13794 x 2 — ? b)  29078 x 6 =?

5. ) Množi 91072 s 3, produkt s 4, novi produkt s 5.

6. ) a)  49758 x 10 = ? b)  69450 X 100 =?

1982523 x 60 =? 193146 x 5000 =?

7. ) Koliko je 5016237 x 9 + 83406 x 2000 =?

8. ) a) 87 x 39 =? b)  68 X 57 =?

5063 x 37 =? 9154 x 66 =?

13048 x 24 =? 38701 X 53 =?

9. ) Koliko je 206krat a)  49032, b)  52963?

10. ) a)  470300 x 1207 =? b)  85290 x 4930 =?

89370 x 8147 =? 21092 x 9753 =?

11. ) 31972 x 9044 x 28500 =?

12. ) 132457 X 37150 + 8204 x 8700 =?

13. ) 51738 X 90850 - 63078 x 70857 =?

14.)

15. )

16. )

17. )

18. )

19. )

20 . )
21 .)
22 .)
23.)

Množi z 2, 3, 4, ... 8, 9 sledeča števila:

5-2, 27-5, 4-19, 76'0, 2'18, 0-1937, 6-712,

0-66, 1-67, 7-09, 43-5, 8'03, 0-3385, 2\198.

a)  7-245 X 6 =? b)  3-1416 x 9 = ?

4309 x 0-7 =? 8752 x 0-08 =?

901-2 x 0-3 - 27-84 x 4 - 14-69 x 8 =?

Kolik je produkt 5 faktorjev, ako je vsak 0’8?

Izračunaj produkt 6 faktorjev, ako je vsak
a)  0-2, b)  0-5, c)  0-9.

a)  53-689 x 8 =? b)  395-04 x 9 =?

78-932 x 2 x 6 x 8 =?

135-79 x 2 x 3 x 5 X 7 =?

640-28 X6X6X6X6 =?

Množi 392507 5krat zaporedoma z0'2, isto tako s 0'4, 0'7, 0'8.

38

24. ) Množi 291'4068 a)  5krat s 4, b)  4krat, s o, c)  6krat z 8,

d) 8krat s 7.

25. ) a)  3926-08 x 100 =? b)  1-3472 x 1000 = ?

26. ) Množi število 3-8016 z 10, 100, 1000, 10000, 1000000.

27. ) a)  79-056 X 20 =?

28. ) Za koliko je produkt 9709-58

29. ) «) 7-3 x 6-4 =?

349 x 2-9 =?

30. ) a)  8-27 x 1-9 =?

24-716 x 48 =?

31. ) Množi število 692-648 a)  z 29,

32. ) a)  628-49 x 0-327 =?

3074-18 x 0-0656 =?

33. ) a)  72-462 x 13-907 =?

81-427 x 643-27 =?

b) 5-2403 x 400 =?
x 10 manjši od 248301-5 x 6?

b) 0-91 x 58 =?

0-418 x 0-63 =?
b)  7-05 x 9-8 =?

4461-7 x 96 = ?
b)  s 5-4, c)  z 0-83.
b)  1-8516 x 51 "8 =?

727-391 x 0-857 =?
b)  330-57 x 28-38 =?

8313-52 x 0-00665 =?

34. ) Koliki so produkti, katere dobiš, ako množiš vsako izmed

števil a)  3709-2, b)  566-25, c)  10-8273 samo s seboj?

35. ) Kolik je produkt treh faktorjev, ako je vsak jednak a)  0-108,

b)  29 - 05, c)  31-554?

36. ) 450-79 x 238-57 + 7830-2 X 0-0059 =?

37. ) 10-924 x 85-203 d- 34-526 x 19-364 -89-158 x 12-007 =?

38. ) Izračunaj produkt

a)  7-0572 x 3-885 na 3 decim.,

b)  128-7654 x 0-813 » 3 »

c)  35-239 x 78 » 1

d)  17-4315 x 3-1416 » 3 »

e)  5-9702 x 2-468 » 2

f)  0-6152 x 0-1234 » 4 »

g)  157-34 x 0-0763 » 3 »

h)  1-34156 x 1-08934 » 5 »

i)  412-869 x 0-0753 » 3 »

39.) Določi produkt

a)  l - 273.. x 0-247.. j na toliko decimalk, kolikor jih

b)  4'0624 x 2 - 7172.. i je zanesljivih;

c)  1-3865 x 3-7248 x 4-2951 (na 4 dec.).

d)  1-05 X 1 -05 X 1-05 x 1-05 (na 4 dec.).

e)  1-055 x 1-055 x 1-055 x 1-055 x 1-055 (na 6 dec.).

39

Izvrši te-le množitve uporabljajoč računske prikrajške:

40. )

41. )

42. )

43. )

44. )

45. )

46. )

47. )

48. )

49. )

50. )

51. )

52. )

a)  809175 x 48 =?

287050 x 64 =?
a)  439-061 X 0’56 =?

17052 x 360 =?
a)  394251 x 61 =?

908-56 x 109 =?

4130-54 x 0-1027 =?

307924 x 157 + 224792 x 351 =?

438-424 x 8-01 - 530-375 x'5-19 =?
a)  561289 x 11 =? b)  834190 x 0-11 =?

806-509 x 11  = ? 68-8437 x 110 =?

Množi vsako izmed števil 34129, 932-566, 573-5908 4krat za¬
poredoma z 11.

b)  126054 x 54 =?

293491 x 63 =?
b)  70-6942 x 2-7 =?

92478 x 4200 =?
b)  33868 x 1325 =?
972-315 x 31-78 =?
708-347 x 6-103 =?

b)  51278 x 995 =?

0-790804 x 99-2 =?
b)  253691 x 9992 =?
86-3724 x 99960 =?

a)  360-807 x 97 =?

1975-13 x 9-93 =?
a)  265451 x 9980 =?

1356-79 x 0-9991 =?

490512 x 994 + 623038 x 990 =?
a)  366295 x 499 =? b)  601-922 x 7-99 ='?

1179340 x 1999 =? 651-802 x 69990 =?

387-149 x 79-9 - 810-6351 x 2‘99 =?

b)

a)  82933 X 1-1 =?

121607 x 350 = ?

438572 x 97 =?

53. ) a)  717603 x 64 =

426-184 x 1-29 =?

214369 X 42 =?

54. ) o) 65-7042 x 99-4 =?

18-6902 x 350-1 =?

55. ) 238730 x 51 + 729635 x 54 =?

56. ) 513-266 x 9-96 - 357-492 x 10-08

b)  375-31 x 0-72 =?
391357 x 17 =?
249388 x 49 — ?
534740 x 199 =?
9285-72 x 0-011 =?
144081 x 560 =?
b)  34731-4 x 0-317 =?
7058-36 x 7-99 =?

Množenje jednoimenskih števil.

§ 30.

Naloge.

1.) Vttfo  vina velja 48 gl.; koliko velja 9^?

1 Mfo  vina velja 48 gl., 9 5% je 9krat 1 5%, tedaj velja 9 5% 9krat 48 gl. =
= 432 gl.

40

2. ) Koliko velja 8 7 zemljišča, ako velja 1 “/ a)  17 gl., b)  23 gl,

c)  30 gl., d)  36 gl.?

3. ) 1 cent  velja 64 gl.; koliko veljajo a)  3 cnt.? b)  5 cnt.? c)  8 cnt.?

d)  10 cnt. ?

4. ) 1%  vina velja 29'28 gl., oj koliko velja 8^? b)  10^? <j)673$?

5. ) 8 delavcev dovrši neko delo v 17 dneh; koliko časa bi potre¬

boval za ono delo 1 delavec?

6. ) Pri nekem mojstru delata dva pomagača, jeden 7, drugi 6 ted¬

nov (teden po 6 dnij); koliko zaslužka mora obema izplačati,
ako služi vsak na dan 96 kr.?

7. ) l ,l j m  sukna velja O - 34 gl.; koliko velja 1 m /?

8. ) 1/ vina velja 0'48 gl.; koliko velja 1 ^?

9. ) 1 bjg  sladorja velja 54 kr.; koliko velja 1 cent?

10. ) 1 ®/ platna velja 1'08 gl.; koliko velja a) 7 m /? b)  12 "/? b)  25 ®y?

11. ) Nekdo izda na leden po 12 gl. in izhaja z neko vsoto denarja

14 tednov; koliko časa bode izhajal z njo, ako izda le 1 gl. na
teden?

12. ) Ako daje lXj a  njive poprek 13^| žita, kolik je pridelek od

a)  9^? b)  15^,? c)  20^? d)  78%?

13. ) Kapital dd na leto 173• 41 gl. obrestij; koliko v 2'5 leta?

14. ) Nekdo proda 43 Mfa  pšenice po 9 gl. in 53 Xf t  reži po 6 gl.; koliko

skupi za vse?

15. ) 1 kuh. n J  velja 38'58 gl.; koliko stane 7’65 hub. m j‘?

16. ) Koliko velja 13'25^, ako velja 17/| 4'83 gl.?

17. ) Koliko velja 58’75®/ blaga po 5'64 gl.?

18. ) Premer novih avstrijskih srebernjakov po dva goldinarja ima 36 v %i

in onih po goldinarji 29 m /m ; katero dolžino dobimo, ako jih polo¬
žimo 2 po dva goldinarja in 32 po goldinarji v premi črti jed-
nega poleg druzega?

19. ) Koliko goldinarjev avstrijske vrednosti se kuje iz 236% čistega

srebra?

20. ) Koliko goldinarjev avstr. vr. da

a)  238 ruskih sreb. rubljev, b)  248 franc, frankov,

c)  136 grških drahem, d)  807 šved. drž. tolarjev?*

21. ) Dunajski čevelj ima 0'316081®/; koliko ®/ j c 3'16375 dun.

če vij.? (4 dec.)

* Kjer v nalogi o novcih, merah ali uležeh ni za računanje potrebnih po¬
datkov, vzemo naj se iz pregleda v dodatku.

41

22. ) Cerkev sv. Petra v Londonu je 480 angl. čevljev dolga; kolika je

njena dolžina v metrih?

23. ) Pretvori na m f:

a)  30 • 2 rusk. čevlj., h)  46 • 1 pariž. čevlj. (2 dec).

24») Monakovo je 548 7, Dunaj 690 dunajskih čevljev nad morskim
površjem; kolika je razlika višin teh dveh glavnih mest v
celih 7?

25. ) Kakor je zmeril francoski učenjak Delambre stopinjo, ima premer

zemeljskega ravnika 6543624 franc, toise (toaz) in zemeljska os
6533154 toise; kolika je razlika obeh v 7? (Do jednic.)

26. ) Koliko 9%  da:

a)  138 rusk. četvrtov? b)  31-8 angl. quarterja?

27. ) Kolonjska marka ima 0-23387 %; koliko % je 1-345 kolonj.

marke?

28. ) Idrijski rudnik daje na leto poprek 284 ton živega srebra; kolik

je dohodek, ako se računa tona po 2230 gl?

29. ) Razdalja med mesecem in zemljo znaša 58 • 525 polumera zemelj¬

skega ravnika; koliko je to, ako vzamemo, da ima polumer
zemeljskega ravnika 859-44 zemljepisne milje?

30. ) A  da J3-u 118^ ječmena po 5 gl. in dobi za to od B- a 14^

vina po 21 gl.; koliko ima od B-n  še v denarjih tirjati?

31. ) Nekdo kupi 17^ njiv po 955 gl., 4 travnikov po 583 gl. in

22$fi. gozda po 295 gl.; koliko mora za vse plačati?

32. ) Sod kave tehta 218-25%, prazni sod tehta 37'5%; koliko

velja kava, ako velja % čiste teže (netto) 1 gl. 64 kr.?

33. ) Ako se kupi 2%  vina po 23 gl, in se 32 za 832 gl. proda,

kolik je dobiček pri prodaji?

34. ) Trgovec je imel 6 let zapored po 1582 gl. dobička, prvotni

njegov kapital je bil 28300 gl; kolik je njegov sedanji kapital?

35. ) Pri zdravem odraslem človeku udari žila 4550krat v jedni

uri; kolikokrat a)  v jednem dnevi, b)  v jednem letu?

36. ) Zvok preleti v jedni sekundi 332-25 7; koliko preleti svetloba,

katera se 926406krat hitreje razširja?

37. ) Štajerska ima 224-54 [3% in na vsak □•/% pride 5068 prebi¬

valcev; koliko ima vsega prebivalstva?

38. ) Doljna Avstrijska ima 1886840, Gornja Avstrijska 1089112 <7;

rodovitne zemlje; ako velja \2Cf a  rodovitne zemlje v Doljni
Avstrijski poprek 670 gl., v Gornji Avstrijski 468 gl., kolika je de¬
narna vrednost rodovitne zemlje v celi nadvojvodini Avstrijski?

42

39. ) V krogu je premer 4"/; kolik mu je obod?

Obod kroga je 3'14krat. ali natančneje 3'14159krat tolik, kolikeršen je
premer. Izračunaj za vsako teh števil obod in povej tudi razliko med rezultati.

40. ) Kolik je obod kroga, čegar premer je a)  7'845 ®/, b)  O - 735’"/?

(3 dec.)

41. ) Premer zemeljskega ravnika je 1718 , 874 zemljep. milje; kolik

mu je obod? (3 dec.)

42. ) Njiva, katera ima obliko pravokotnika, je 38®'/ dolga in 23”/

široka; koliko □ ®/ ima njena površina?

Koliko moreš ob njeni dolžini položiti? Koliko tacih prog gre jedna
poleg druge na širino? Koliko D™/ ima tedaj cela ploskev?

43. ) Hodišče je 30’5®/ dolgo in 3-2™/ široko; kolika mu je plo¬

ščina?

44. ) 8®/ široko cesto je treba jeden kilometer daleč izpeljati; koliko

□ ®/ zemljišča se potrebuje zanjo?

45. ) V sobo, katera je 8 - 4®/ dolga in 6'95®/ široka, treba je nova

tla napraviti; koliko bodo veljala, ako se računa zaQ®'/4'38 gl?

46. ) Izmed dveh vrtov je jeden 87'25®/ dolg in 38 • 34 ®/ širok,

drugi 62 4 85 ®/ dolg in 40•16 "/ širok; a)  kolika sta oba skupaj,
b)  za koliko je prvi večji od druzega?

47. ) Pravilno zložena skladovnica opek ima v dolžino 420, v širino

84, v višino 36 opek; koliko opek je v celi skladovnici?

48. ) Zid ima 105 d j m  dolžine, 9%,, širine (debeline) in 42d/ re  višine;

koliko ima kub. d j m ?

Koliko ima osnovna ploskev? Koliko kub. dj m  moreš na osnovno plos¬
kev položiti? Koliko takih plastij moreš v višino jedno na drugo položiti? Koliko
Icub.df m  ima tedaj zid?

49. ) Posoda je 2‘74®/ dolga, 1-45®/ široka in 0 - 52”/ globoka:

koliko kub. m /  ima nje prostornina?

50. ) Kolika je prostornina posodi, ki je 1‘125®/ dolga, 0 - 973"/

široka in 0'435 ®/ globoka? (3 dec.)

51. ) Koliki so stroški zidu, kateri je 21 •34®/ dolg, 12• 45®/ visok

in 0'84”/ debel, ako stane kub. m /  8*28 gl.? (3 dec.)

52. ) Koliko telita 24 četverorobovnih železnih šin, ako je vsaka

35'56^ dolga, l'2b d / m  široka, 0 • 3 d j n  debela in 1 kub. d j m  že¬
leza 7 - 8 bjg  tehta?

53. ) Četverooglata, s premogom napolnjena omara ima 2'36®/ dol¬

žine, 1 • 25®/ širine in O - 985®/ višine; kolika je vsa teža, ako
tehta 1 kub. m j  premoga 1280% in omara sama 58%?

43

V. Deljenje neimenovanih in jednoimenskih celili
in decimalnih števil.

§ 31.

Množenju nasprotno je deljenje  (Dividieren). Deliti  se pravi,
iz produkta dveh faktorjev in iz jednega teh faktorjev druzega iskati.
N. pr. 20 je produkt faktorjev 5 in 4; iz produkta 20 in jednega
faktorja 5 drugi faktor iskati, pravi se, 20 s 5 deliti. Dani produkt
imenujemo dividend  (deljenee), znani faktor divizor  (delivec,
delitelj), in neznani faktor, katerega z deljenjem najdemo, kvoci-
jent  (količnik), Kvoeijent z divizorjem množen mora dati dividend.

Znak delitve (Division) sla dve točki, stoječi jedna nad drugo
in on pove, da treba deliti število pred točkama s številom stoječim
za točkama; n. pr.: 20 : 5 == 4 eitamo: 20 deljeno  s 5 je jednako 4.

Kvoeijent, katerega dividend in divizor izražujeta, imenujemo
nakazan kvoeijent,  n. pr. 20:5. Dostikrat nakažemo kvoeijent
tudi tako, da stavimo divizor pod dividend in med oba potezo; to
se zgodi posebno tedaj, kadar je dividend manjši od divizorja:
n. pr. fj citatno: 4 deljeno s 5, ali 4 5tine. V tem slučaji pravimo,
da ima kvoeijent obliko ulomka  (Brucliform).

Vsako množenje dveh števil, n. pr. 5 X 4 = 20, da v svojem
obratu dve pojmovno  različni nalogi delitve, bodi si da je razven
vsakkrat danega produkta 20, dividenda, dan kakor divizor ali
multiplikand 5 ali pa multiplikator 4.

Ako je dan kakor divizor multiplikand 5, treba je onega šte¬
vila iskati, katero pove, kolikokrat treba 5 kakor sumand postaviti,
da dobimo dividend 20 za vsoto. To število 4 dobimo, ako pre¬
iščemo , kolikokrat je moči divizor 5 od dividenda 20 odšteti ali ko¬
likokrat je (se nahaja) divizor 5 v dividendu 20. Delitev je tu pre-
iskavanje nahajanja  (Enthaltensein), ona je merjenje  (Messen).

Ako je pa multiplikator 4 kakor divizor dan, potem treba nam
onega števila iskati, katero da, 4krat kakor sumand stavljeno, divi¬
dend 20 za vsoto; to število 5 najdemo, ako razdelimo  dividend
na 4 jednake dele. Delitev je tu deljenje  (Theilen) v ožjem pomenu.

Še bolj razvidna je razlika med obema načinoma delitve pri
imenovanih, številih. N. pr.

Naloga množenja: 1 meter velja 5 gl., koliko veljajo 4 metri?
Odgovor: 5 gl. x 4 = 20 gl.

Delitveni nalogi, ki se moreta iz prejšnje izvodili, sta:

44

1. ) 1 meter velja 5 gl.; koliko metrov dobimo za 20 gl.? Tu
sta dana produkt in multiplikand, multiplikator treba je iskati. Tu
sklepamo: Za 5 gl. dobimo 1 meter, za 20 gl. dobili bodemo toliko¬
krat 1 meter, kolikorkrat je 5 gl. v 20 gl., tedaj 4krat 1 meter,
t. j. 4 metre. Tu merimo  20 gl. s 5 gl., ter dobimo 20 gl.: 5 gl. = 4.
Ako uporabljamo delitev imenovanih števil za razrešitev kake naloge
o merjenji,  morata biti dividend in divizor kakor produkt in mul¬
tiplikand istoimenska: kvocijent pa je kakor multiplikator zmerom
neimenovan; še le drugo umovanje dati mu more ime, kakor v na¬
vedenem primeru «meter*.

2. ) 4 metri veljajo 20 gl., koliko velja 1 meter? Tu sta dana
produkt in multiplikator, multiplikand pa je treba iskati. Tu skle¬
pamo: 1 meter je 4ti del od 4 metrov, 1 meter velja tedaj le 4ti
del od 20 gl. Treba tedaj 20 gl. na štiri jednake dele razdeliti,
in kolikor goldinarjev ima tak del, toliko goldinarjev velja 1 meter;
na ta način dobimo: 20 gl. :4 = 5 gl. Ako uporabljamo delitev
imenovanih števil kakor deljenje,  mora biti divizor kakor multipli¬
kator zmerom neimenovan; kvocijent je kakor multiplikand isto-
imensk z dividendom kakor produktom.

Kakor je množenje ponavljano prištevanje istega števila, tako
tudi delitev ni nič druzega kakor ponavljano odštevanje od dane
vsote. Pri merjenji  vprašamo, kolikokrat  se da divizor od divi¬
denda odšteti: n. pr. 4 je v 20 5krat, pravi se: 4 da se od 20
5krat odšteti. Pri deljenji  vprašamo, katero število  se da od
dividenda tolikokrat odšteti, kakor zahteva divizor; n. pr. 4ti del
od 20 je 5, pravi se: število, katero se da od 20 4krat odšteti,
je 5.

Deljenje da se zmerom v merjenje izpremeniti. Ako nam je
n. pr. 20 s 4 deliti, moramo 4ti del od 20 iskati; tega pa najdemo,
ako od vsakih 4, ki so v 20, zmerom le 1 vzamemo, potem dobimo
tolikokrat po 1, kolikorkrat je 4 v 20, t. j. 4 ti del od 20 je toliko,
kolikorkrat  je  4 v 20. Akoravno sta tedaj obadva načina delitve,
merjenje in deljenje, pojmovno različna, dasta vender oba za isti
dividend in isti divizor, ne glede na ime, isto število za kvocijent,
ter tvorita v izvršitvi j eden sam računsk način.

V naravni številni vrsti ni mogoče zmerom delitve izvesti.
Tako n. pr. ni mogoče števila najti, katero bi bilo 3tji del od 20;
število 6 je premajhno in 7 preveliko. V tem slučaji zadostiti nam mora
približen rezultat; kvocijent treba vzeti tolik, kolikeršen je mogoč,

45

tedaj največje število, katero da z divizorjem množeno produkt, ki
ni večji od dividenda. Ako določujemo kvocijent na ta način, je
med dividendom in produktom iz kvocijenta in divizorja razlika,
katero imenujemo delitven ostanek  (Divisionsrest). V tem slučaji
treba tedaj k produktu iz kvocijenta in divizorja prišteti še ostanek,
da dobimo dividend. Tako je 20:3  = 6 in 2 ostanek, tedaj 6x3 +
+ 2  = 20 .

Vaje. (Računanje na ‘pamet.)

§ 32.

Kolikokrat je

1. ) 1 v 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

2. ) 2*2,  4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. 18?

3. ) 3 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27?

4. ) 4 . 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 ;  36?

5. ) 5 » 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45?

6. ) 6 » 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54?

7. ) 7 » 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63?

8. ) 8 » 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72?

9. ) 9 » 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 ?

10. ) Kolikokrat je 2 v 7? Koliko še ostane?

11. ) Kolikokrat je 3 v 14? Koliko še ostane?

12. ) Kolikokrat je 2 v 7, 10, 19, 25, 34, 39, in kolik je vsakkratni

ostanek ?

Kolikokrat je

13. ) 5 v 1, 7, 9, 16, 22, 28, 34, 43, 49?

14. ) 6 » 9, 13, 20, 27, 32, 37, 40, 44, 50?

15. ) 7 » 10, 12, 17, 24, 30, 36, 45, 50, 60?

16. ) 8 » 9, 18, 23, 30, 39, 44, 52, 61, 75?

17. ) 9 » 12, 25, 38, 53, 64, 70, 78, 86, 89?

18. ) Ako razdeliš celoto na dva jednaka dela, kako imenuješ tak

del? Kako imenuješ del, katerega dobiš, ako razdeliš celoto
na 3, 4, 5, ... 8 , 9 jednakih delov?

Kolika je

19. ) polovica od 8, 9, 16, 15, 3, 11, 7, 18, 13, 15?

20. ) tretjina » 6, 24, 18, 13, 26, 8, 19, 25, 15, 22?

21. ) četrtina » 20, 7, 14, 35, 32, 17, 10, 37, 23, 30?

22. ) petina » 15, 26, 9, 36, 40, 12, 23, 45, 34, 18?

23. ) šestina » 24, 13, 32, 8, 55, 46, 49, 36, 23, 50?

46

24. ) sedmina od 49, 64, 10, 37, 60, 42, 18, 29, 40, 13?

25. ) osmina » 16, 43, 26, 68, 61, 50, 40, 39, 12, 77?

26. ) devetina » 63, 10, 46, 36, 74, 26, 58, 19, 85, 70?

27. ) Kolikokrat je 10 v 30? kolikokrat 10 v 50, 20, 80, 60, 40?

V kaj prehajajo desetice, ako jih z 10 deliš?

28. ) Kolik je lOOti del od 100, od 500, 700, 900? V kaj prehajajo

stotice, ako jih s 100 deliš?

29. ) Kolikokrat sta 2 desetici v 6 deseticah, kolikokrat 20 v 100,

30 v 180, 50 v 200, 60 v 360, 80 v 320, 90 v 270?

30. ) Koliko je 80 : 20, 120 : 30, 233 : 50, 137 : 40, 311 : 60?

31. ) Kolik je lOOti del od 1000, 4000, 7000, 8000? V kaj preha¬

jajo tisočice, ako jih s 100 deliš?

32. ) Kolikokrat so 3 stotice v 15 stoticah? Kolikokrat je 400 v 1200,

500 v 2000, 600 v 4200?

33. ) Koliki del od 800 je 100, 200, 400?

34. ) Kolika je polovica od 20? polovica od 4? Kolika je tedaj po¬

lovica od 24?

24 : 2 = (20 + 4) : 2 = 20 : 2 + 4 : 2 = 10 .+ 2 = 12.
Vsoto deliš s številom, ako vsak sumand s številom
deliš in delske produkte sešteješ.

35. ) Kolikokrat je 4 v 56? 56 je 40 + 16; 4 v 40 je lOkrat, 4 v

16 je 4krat, 4 v 56 je tedaj 14krat.

36. ) Deli z 2, 3, 4, ... 8, 9 vsako sledečih števil:

a)  82, 59, 15, 24, 46, 64, 30, 72, 51, 28, 7, 36;

b)  20, 65, 9, 52, 12, 40, 49, 68, 34, 83, 55, 25;

c) 19, 58, 60, 31, 75, 92, 5Č, 26, 44, 36, 11, 88.

37. ) Kolikokrat je 2 v 106, 3 v 216, 9 v 648, 4 v 114, 8 v 528,

7 v 580, 5 v 372, 6 v 213?

38. ) Koliko je 5krat 6ti del od 138; 7krat 8mi del od 280; 8krat

5ti del od 345?

39. ) a)  Razdeli 60 na 4 jednake dele, in potem še vsak tak del

na 3 jednake dele. Koliko jednakih delov dobiš in kolik
je vsak? Kako moreš tedaj razdeliti število na 12 jedna¬
kih delov?

60 : 12 = 60 : (4 X 3) = (60 : 4) : 3 = 15 : 3 = 5.
b)  Kolik je 6ti del od 4tega dela od 120? Kolik je 24ti
del od 120?

47

Mesto da deliš število s produktom dveh števil, deli
je najprej z jednim faktorjem in rezultat z drugim fak¬
torjem.

40. ) Kolik je 15ti del od 135, 16ti del od 352, 32ti del od 448.

45ti del od 945?

41. ) 80 gl. se razdeli med 10 oseb na jednake dele; koliko dobi

vsaka? Koliko dobi vsaka oseba, ako razdeliš dvojno, trojno
vsoto med 2kral, 3krat toliko oseb? Koliko dobi vsaka oseba,
ako razdeliš 5ti del one vsote med 5ti del onih oseb?
Kvocijent se ne izpremeni, ako dividend in divizor
z istim številom množiš, ali oba z istim številom deliš.

Pismeno deljenje.

§ 33.

Delitev celih števil.

a)  Divizor je jednoštevilčen.

Dividend 936 : 3 divizor
312 kvocijent.

9 stot. : 3 = 3 stot.
3 des. : 3 = 1 des.
6 jedn.: 3 = 2 jedn.

Kateri red jednot znači kvocijent, ako deliš jednice, desetice,
stotice, ... z jednicami?

894 : 6 Ako razdeliš 8 stot. na 6 jednakili delov, dobiš

1 stot. in ostaneta ti še 2 stot. = 20 des.; 20 des. -j-
+ 9 des. — 29 des., te na 6 jednakih delov razde¬
ljene dadd 4 des. in ostane 5 des. = 60 j.; 60 j. + 4 j. = 64 j., te na 6 jed¬
nakih delov razdeljene dade natanko 9 j.

Ako je tedaj divizor jednoštevilčen, deli z njim najprej naj¬
višje ali dve najvišji mesti dividenda; takovo delitev ponavljaj do
jednic ter zapiši vsakkral.no številko kvocijenta kakor jednote istega
reda, katere pomenja dotični delski dividend. Ako dobiš pri kakšni
delitvi ostanek, pretvori ga na jednote nižjega reda in te zjedini s
številko, katera stoji na tem mestu.

V zadnjem primeru reci krajše: 6 v 8 1 krat, ostane 2; 6 v 29 4kraf.
ostane 6; 6 v 64 9krat.

Sestavine dividendove, iz katerih določujemo posamezne kvoci-
jentove številke, namreč 8 st., 29 d., 54 j., imenujemo d e ls k e divi¬
dende  (Theildividende).

327 :3 Ako tu res deliš, ti je 275 kvocijent in

275§ 2 ostanek. Kvocijent je tedaj večji od 275 in

48

manjši od 276, ni ga tedaj moči izraziti z dosedanjimi naravnimi
števili. To se zgodi zmerom, kadar se ne da deliti brez ostanka.
Da nam je mogoče tudi v takih slučajih kvocijent natanko določiti,
primorani smo naravno številno vrsto razširiti s tem, da razdelimo
razstoj med po dvema številoma, tj.jedno jednoto, uvrsteč nova števila,
na toliko jednakih delov, kolikor jih znači divizor. V tem slučaji
moramo razstoj med po dvema številoma na 3 jednake dele raz¬
deliti; vsak tak del je tretjina (|) prvotne jednote. Na številni črti
moremo to tako-le predočiti:

3 3 1 3 § ^ 3 3 3 g j 4

O ! M S I  I 1  ! 1  i I  • 1 i  x

V tej z uvrstenimi tretjinami izpolnjeni številni vrsti, katero
imenujemo ulomkovo številno vrsto  (Bruchzahlenreihe), našli
bomo sedaj za vsako delitev s 3 izraz za kvocijent; za gori navedeni
primer je ta kvocijent 275§.

Ako dobimo tedaj pri delitvi jednic ostanek, nakažemo njega
delitev z divizorjem v obliki ulomka in ta ulomek pripišemo celemu
številu, katero smo v kvocijentu dobili.
b)  Divizor je 10, 100, 1000,...

Da delimo število z 10, 100, 1000, treba da vzamemo od
vsake številke v dividendu lOti, lOOti, lOOOči del. To se zgodi, ako

odrežemo celemu številu na desni 1, 2, 3 številke; na levi ostale

številke so kvocijent, na desni odrezane ostanek, katerega treba še
z divizorjem deliti, kar nakažemo v obliki ulomka. N. pr.:

283,0: 10 373,00: 100 17,549 : 1000

283 373 17^0

§ 34.

c)  Divizor je večštevilcno število.

Kolikokrat je 92 v 31924?

31924 : 92 = 347
276
432
368
644
644

0

49

Ker 92 ni niti v 3 niti v 31, vzamemo precej 319 stotič za prvi delski
dividend. 92 je v 319 (poskusoma 9 v 31) 3krat, v 319 stoticah tedaj 300krat;
v kvocijent zapišemo tedaj 3 stotice. 300krat 92 da 3krat 92 st. = 276 st., ako te
od 319 st. odštejemo, ostane že 43 st.; 43 st. = 430 d., in že 2 d. je 432 d.; 92 v 432
(9 v 43) je 4krat, v 432 d. tedaj 40krat; v kvocijent zapišemo tedaj 4 desetice.
40krat 92 je 4krat 92 d. = 368 d., ako te od 432 d. odštejemo, ostane 64 d. =
= 640 j., in še 4 j., je 644 j.; 92 v 644 (9 v 64) je 7krat, tretja številka kvoci¬
jenta je tedaj 7. 7krat 92 je natanko 644; ostanka tedaj tu ni.

Treba tedaj, da vzamemo v dividendu toliko najvišjih številk,
kolikor jih je v divizorji, ali pa jedno več, ako je z onimi številkami
izraženo število manjše od divizorja, za prvi delski dividend; tega
delimo z divizorjem in tako dobimo prvo in najvišjo številko kvoci-
jenta. Ako množimo potem s to kvocijentovo številko divizor, ter od¬
štejemo produkt od prvega delskega dividenda in pripišemo k ostanku
naslednjo nižjo dividendovo številko, je to število drugi delski dividend,
kateri da, z divizorjem deljen, drugo številko kvocijenta. To posto¬
panje nadaljujemo toliko časa, dokler ne pridejo vse dividendove šte¬
vilke v račun.

Ako dobiš na konci ostanek, nakaži njega delitev z divizorjem
v obliki ulomka pripiši in ta ulomek h kvocijentu.

Prva številka v kvocijentu  ima tu z najnižjo številko
prvega delskega dividenda jednako mestno vrednost.

Delske produkte iz divizorja in vsakkratne številke kvocijenta
odštevamo navadno precej pri množenji  od dotičnih delskih divi-
dendov ter le ostanke napisujemo. Ono zgoraj navedeno delitev iz¬
vršili bi tedaj tako-le:

31924 : 92 Govori: 92 v 319 (9 v 31) Škrat; 3krat 2 je 6 in

432 347 3 j e  9; 3krat 9 je 27 in 4 je 31. K ostanku 43 2 doli;

n a a  92 v 432 (9 v 43) 4krat; 4krat 2 je 8 in 4 je 12,

ostane 1; 4krat 9 je 36 in 1 je 37 in 6  je 43; i. t. d.

Ako ima divizor na desni ničle, preziraj jih med delitvijo, ob
jednem pa tudi isto toliko najnižjih številk v dividendu; ako pripišeš
te številke potem k zadnjemu ostanku, dobiš ostanek cele delitve. N.pr.:
389.27 : 4,00 37950,63 : 52,00

07 IH
" ' 4 0 O

155

510

729|

42 63 ostanek.

O pr a vos ti delitve  prepričaš se, ako množiš dobljeni kvoci¬
jent z divizorjem in k produktu prišteješ še ostanek, katerega si more¬
biti dobil; ako si prav delil, dobiš dividend. N. pr.

4

50

Delitev.

32875 : 128
727 256

875

107 ostanek

Preskušnja.

256 x  128
256
512
2048
32768
+ 107
32875

Delitev služi tudi kakor preskušnja za množitev.  Ako
namreč produkt z multiplikatorjem deliš, dobiti moraš multiplikand.

N. pr:

Množitev.

274  x 245
548
1096
1370
67130

Preskušnja.

67130 ; 2 45 = 274
1813
980
0

Dostavek.  Tudi pri delitvi dade se števila tako napisa vati, da
je mogoče pomen vsake številke v kvocijentu precej po mestu spo¬
znati, na katerem stoji. Ako napišeš namreč divizor pod prvi delski
dividend, a prvo številko kvocijenta pod divizorjeve jednice, imavsaka
številka v kvocijentu jednako mestno vrednost z ravno
nad njo stoječo številko dividendovo.

Ako treba n. pr. 134676 deliti z 29, stoji račun tako-le:

134676 dividend
29 divizor
4644 kvocijent
186
127
116
0

§ 35.

Delitev decimalnih ulomkov.

a)  Divizor je 10, 100, 1000, ...

Povej vrednost posameznih številk v sledečih številih:
345-6, 34-56, 3-456, 0-3456, 0-03456.

51

Koliki del prvega decimalnega ulomka je vsak sledeč decimalen
ulomek ?

Decimalen ulomek deliš tedaj  z 10, 100, 1000 ako
pomakneš decimalno točko za 1, 2, 3, ... mesta dalje proti levi.

b)  Divizor je celo število.

2'568 : 6 2 celoti: 6 dasta 0 celot; treba tedaj, da vzameš

, nn  precej 25 desetin za prvi delski dividend; 25 desetin: 6 d d
4 desetine, l. t. d.

Desetine, stotine, tisočine, ... deljene z jednicami dade zopet
jednote istega reda.

847-85 : 31 = 27-35  7-3402 ; 749 = 0-0098

227 5992

10 8 0

1 55

Decimalen ulomek deli kakor celo število, v kvocijentu pa postavi
decimalno točko prej, nego jemlješ desetine dividenda v račun.

Prva številka v kvocijentu ima tudi tukaj jednako mestno vred¬
nost z najnižjo številko prvega delskega dividenda.

Ako dobiš pri delitvi ostanek, moreš, ker se vrednost decimal¬
nega ulomka z dodavanjem ničel ne izpremeni, k temu in vsakemu
sledečemu ostanku ničlo pripisati in delitev nadaljevati. N. pr.:

303-8 0 o :  56
23 8 5-425

1 40
280
0

19-934 : 317_

914 0-06288..

2800
2640
104

Isto tako moreš postopati tudi tedaj, kadar dobiš pri delitvi
celih števil ostanek; kajti vsako celo število pretvoriš lahko na deci¬
malen ulomek, treba le, da mu postaviš na desni decimalno točko
in ničel pripišeš, kolikor le hočeš. V kvocijentu postaviš decimalno
točko, kadar pripišeš k ostanku prvo decimalno ničlo. N. pr.:

5964-

00  0  0

: 64

204 93•1875

120
560
480
320
0

7836 : 234

816 33-4871..

1140
2040
1680
420
186

4 *

52

c)  Divizor je decimalen ulomek.

1. ) V t.em slučaji izpremeniš divizor lahko v celo število, mno¬
žeč ga, kadar ima 1, 2, 3, ... decimalna mesta, z 10, 100, 1000, ...
Da pa ostane kvocijent neizpremenjen, treba, da množiš tudi divi¬
dend oziroma z 10, 100, 1000, ... kar se zgodi, ako pomakneš
decimalno točko v njem za 1, 2, 3, . . . mesta proti desni.

Na ta način izpremeniš račun v delitev decimalnega ulomka
s celim številom. N. pr.:

2-201461 : 5-69 = 220-1461 : 569 = 0-3869
49 44
3 926
5121
0

2. ) Drugo občno postopanje  za delitev decimalnih ulomkov
opira se na sledeča premišljevanja: Številčna vrsta v kvocijentu za-
visi le od številčne vrste v dividendu in divizorji; zaporedoma si sle¬
deče številke kvocijenta dobimo tedaj, ako izvršimo delitev, ne oziraje
se na decimalni točki v dividendu in divizorji kakor pri celih šte¬
vilih. V kvocijentu je mestna vrednost številk popolnoma določena,
ako je znana le vrednost prve številke; kajti mestna vrednost vsake
sledeče številke je lOti del vrednosti prejšnje številke. Vzemimo, da
je divizor celo število, da pomeni tedaj najnižja divizorjeva številka
jednice,  potem ima, kakor znano, prva številka v kvocijentu
jednako mestno vrednost z najnižjo številko prvega
delskega dividenda.  Ako pomeni tedaj najnižja divizorjeva številka
desetine, stotine, tisočine..., ako je tedaj divizor lOti, lOOti, lOOOči
del prejšnjega divizorja, potem je kvocijent lOkrat, 100 krat, lOOOkrat
tolik, kolikeršen je bil prejšnji, in mestna vrednost prve šte¬
vilke v kvocijentu j e po tem take m oziroma zajedno, dve,
tri, ...mesta višja od mestne vrednosti najnižje številke
v prvem delskem dividendu.  N. pr.:

Najnižja številka prvega delskega dividenda 2287
pomeni desetice; ker pomeni najnižja divizorjeva šte¬
vilka desetine, ima prva številka 3 v kvocijentu za
jedno mesto višjo vrednost od desetic, tedaj vred¬
nost stotič.

22875-72 : 72-3

1185
462 7
28 92
0

316-4

53

3-79623 : 68-72
36023 0-05524..

16630
28860
1372

Prvi clelski dividend je 3-7962. njega najnižja
številka pomeni desettisočine, najnižja številka divi-
zorja pomeni stotine; v kvocijentu ima tedaj prva šte¬
vilka 5 za dve mesti višjo vrednost od desettisočin,
torej pomenja stotine; mesti desetin in celot izpol¬
nita se z ničlama.

3.) Pri delitvi okrajšanih decimalnih ulomkov je najbolj
pripravno, dati dividendu toliko številk, kolikor jih ima divizor, ali
pa jedno več, ako bi bil tudi tedaj dividend manjši nego divizor.
V kvocijentu je potem v najneugodnejšem slučaji število zanesljivih
številk za dve manjše, nego jih ima divizor, ali pa tudi le za jedno,
ako je le jeden danih dveh decimalnih ulomkov okrajšan.

Dostavek. Ako napišemo dividend, divizor in kvocijent na ta
način, kakor smo v dostavku k § 34 povedali, sledi mestna vrednost
vsake številke v kvocijentu neposredno iz uredbe same, ker pride
decimalna točka v kvocijentu pod decimalno točko dividenda. N. pr.:

344 2-23
62-7
5 4-9
30 7 2
5 6 43
0

4-35 698
1 27-12
0-03 42..
54 338
3 4900
9476

§ 36.

Okrajšana delitev decimalnih ulomkov.

Okrajšane delitve  (abgekurzte Division) se poslužujemo tedaj,
kadar hočemo v kvocijentu le določeno število decimalk dobiti. Ta
je obrat okrajšane množitve, pri kateri še multiplikand zaporedoma
za jedno mesto skrajšuje. Bistvo okrajšane delitve obstoji v sledečem:

Iz mestne vrednosti prve številke v kvocijentu in iz števila
zahtevanih decimalk sledi, koliko številk treba sploh v kvocijentu
določiti. Za okrajšan divizor  vzemi potem toliko najvišjih številk
divizorjevih, kolikor se jih v kvocijentu zahteva; od dividendovih
številk pa pridrži le k okrajšanemu divizorju pripadajoči prvi delski
dividend. Potem množi s prvo številko kvocijenta najprej najvišjo
izpuščeno številko divizorja: iz tega produkta dobljeno popravo pri-
št.ej k produktu iz okrajšanega divizorja in prve številke v kvocijentu
in ta produkt odšlej od dividenda. K ostanku ne pripiši no-
bedne nove številke, ampak v divizorji izpusti na desni

54

jedno številko, potem deli in to postopanje toliko časa nadaljuj,
da ni v divizorji nobedne številke več.

Vzemimo, da treba n. pr. v sledečih dveh delitvah kvocijenta
na 3 decimalke izračunati. Potem imamo sledeča računa:

a)  876 • 54|38 : l t 8-,9,5,7|9  b)  19 ■ 34 0 : 8-,l t 5 t 3

118 22 46-2 3 6

4 48
69
12
1

3 034 2-372

588

17

1

V a)  pomeni prva številka 4 v kvocijentu desetice; v kvocijentu treba
nam tedaj izračunati 2  celi mesti in 3 decimalke, skupaj 5 številk; zarad tega
vzamemo 18'957 za okrajšan divizor in 876'54 za dividend. V b)  pomeni prva
številka v kvocijentu jednice, določiti nam je tedaj 4 številke; dani divizor 8'153
je ob jednem okrajšani divizor, v dividendu pa je treba prazno mesto na desni
z ničlo dopolniti.

Okrajšana delitev, katero smo učili tu za decimalne ulomke, more se
uporabljati tudi pri delitvi celih števil,  ako se zahteva le nekaj najvišjih
mest.

Da določimo n. pr. kvocijent 35874137 : 8435 le do stotič, dobimo
358| 74137 : 8 t 4|35 = 42 stotič
21
4

§ 37.

Računski prikrajški pri delitvi in še nekateri pri-
krajški pri množitvi.

1. ) Število deliš s 25, ako je s 4 množiš in produkt s 100
deliš. Kajti 25 je v številu natanko tolikokrat, kolikorkrat je 100 v
4krat tolikem številu. N. pr.:

8641950 : 25

-X 4

34567800 : 100 = 345678.

2. ) Število deliš s 125, ako je z 8 množiš in produkt s
1000 deliš. N. pr.:

3910257 : 125

-X 8

31282056 : 1000 = 31282 T §§ 0 .

S pomočjo delitve dh se tudi množitev  s 25 ali  125 s pri-
krajškom izvrševati.

a)  S 25 množiš število,  ako je s 100 množiš in produkt
s 4 deliš. N. pr.:

55

315876„p  x 25

: 4

7896900.

b)  S 125 množiš število,  ako je s 1000 množiš in pro¬
dukt z 8 deliš. N. pr.:

7058317 000  x 125
: 8

882289625.

§ 38.

Naloge.

1. ) a)  128 : 4 =? b)  357 : 7 =? c)  472 : 8 =?

2. ) Deli z 2, 3, 4, ... 8, 9 vsako sledečih števil:

a)  288, 318, 702, 193, 560, 906, 444, 832;

b)  456, 465, 546, 464, 645, 654, 789, 987;

c)  1240, 3418, 2195, 5436, 2348, 4785.

3. ) Polovico vsote dveh števil imenujemo njijino srednje število

(arithmetisches Mittel). Koliko je srednje število med 1205 in
4317, 1418 in 8324, 2704 in 4135?

4. ) a)  398024 : 8 =? b)  906144 : 3 =?

5. ) Kolikokrat je 7 v 132076?

6. ) Kolik je 4ti del od 290356?

7. ) Ako je 621360 produkt dveh števil in 8 jeden faktor, kolik je

drugi faktor ?

8. ) Katero število moraš s 3 množiti, da dobiš 123456?

9. ) Katero število moreš od 835245 9krat odšteti?

10. ) a)  135000 : 100 =? b)  289462 : 1000 =?

11. ) Deli 7904521 s 4 in cela števila tega in vsacega sledečega kvo-

cijenta zopet s 4; kolik je sedmi kvocijent?

12 .) Deli na isti način število 2715937 6krat zaporedoma s 6.

13.) Izvrši sledeče delitve in napravi vsakkrat tudi preskušnjo:

56

17. ) Kolikokrat je 293

a)  v 46294? b)  v 234400? c)  v 433640?

18. ) a)  5925780 : 240 =? b)  3208825 : 8000 =?

7531352 : 5300 =? 6825478 : 31500 =?

19. ) Katero število da, množeno z diferenco števil 5724 in 4912,

vsoto števil 2345670 in 5222170 za produkt?

20. ) Produkt dveh števil je za 1392 manjši od 455659938, jeden

faktor je 6958; kolik je drugi faktor?

21. ) Deli z 2, 3, 4, ... 8, 9, vsako sledečih števil:

a)  50-4, 24-8, 7*63, 0-918, 32-2, 4-32;

b)  37-86, 8-796, 0-9480, 3-262, 6-425, 75-84.

22. ) a)  379-42 : 4 =? b)  18900 : 0’5 =?

16-255:7 =? 39-83:0-7 =?

3-14155:5=? 0-07614:0-6 =?

23. ) a)  237-836 : 10 =? b)  39420-5 : 100 =?

0-0583 : 100 =? 9-0032 : 10000 =?

24. ) Deli število 135-79 z 10, 100, 1000, 10000, 100000.

25. ) Deli 261-7228 z 2, kvocijent zopet z 2, i. t. d.; kolik je šesti

kvocijent?

13-824 : 2-4 =?

1391-52 : 7-4 =?

28. ) Deli s 63 vsako izmed števil

a)  264745, b)  370-849,

29. ) Deli število 703705

a)  s 105, b)  z 2-28,

30. ) Deli s 4 - 18 števila

a)  340753, b)  9864*8,

31. ) Deli število 4865-88

a)  s 66, b)  s 4-62,

32. ) Deli vsako izmed števil

a)  90889, b)  272-667,

z vsakim izmed števil

m)  0-97, n)  48-5,

3-4461 : 0-63 =?
530-955 : 0'057 =?

c)  0-909223.

c) z  0-509.

c)  58-1248.

c)  z 0-516.

c)  45-4445

o)  291.

57

33. ) a)  19147-8:329 =?

3479-02:74-9 =?
270-2146:8-69 =?

34. ) a)  389-007..:0-52 = ?

71-6124:4-72.. =?

35. ) Deli 5409835

b) 24-0484:0-472 =?
323-7964:2-327 =?
540-9835:0-02347 =?

b) 0-784.,:3-08 =?
616-337.,:0-2569.. =?

a)  s 4 "61, b)  s 23 "47, c)  s 491 "8

36. ) Kolikokrat moraš 4'2052 za sumand vzeti, da dobiš 12640-8312?

37. ) Deli a)  89990166, b)  2149-09526 z vsakim izmed števil

m)  599, n)  25 "039, o)  364-13.

38. ) Določi na okrajšan način sledeče kvocijente:

ci)  791-5046:87-1892 na 3 decim.;

b)  4-78432:0-3475 >» 3

c)  100:3-1419 » 2

d)  23-7035:438-973 » 2

e)  68-397508:5-736 » 3

39.) Določi sledeče kvocijente:

a)  98698534:4851 na 3 decim.;

b)  549-00217:0-3234 » 2 *

c)  578-369432:0-5932 * 3 »

d)  6087-64351:1-2345 * 4 »

e)  7836-0583:37-246 » 2 *

40.) Poišči kvocijente:

a)  12-948:11-89..

b)  0-8193..:0-2636'..

c)  41-0357..:0-924..

d)  285-7748..:3865-1

na toliko decimalk, kolikor je
zanesljivih.

Izvrši sledeče račune uporabljajoč delitvene in množitvene pri-
krajške :

41. )

42. )

43. )

44. )

45. )

a)  8641950:25 =?

385-725:2-5 =?
a)  333150:125 =?
7853-104:1-25 =?
811475:25 + 2373750:1

b)  8872472 x 25 =? '

51-0736 x 0-25 =?
b)  7935-24 x 125 =?
579-1816 x 12-5 =?

= ?

7834000:25 - 6377 x 25 =?

4956-9288 x 25 + 7723-7875:25 - 93-76 X 1250 =?

58

Delitev jednoimensJcih števil.

§ 39.

Naloge.

1. ) Nekdo kupi 8 vina za 336 gl; koliko ga stane 1 ?

1 5% je 8mi del od 8 ‘JCji ; 1 velja tedaj le 8mi del od 336 gl., torej
42 gl.

2. ) Nekdo kupi 9 <%j a  travnikov za 3780 gl.; koliko velja 1^?

3. ) l”f  svilene robe velja 12 gl.; koliko velja 1 d j m ?

4. ) 1piva  velja 14 gl.; koliko 1 ^ ?

5. ) 1 ^ olja tehta 95 %; koliko 1 tj  ?

6. ) 1 rizma papirja velja 3'4 gl.; koliko velja 1 knjiga?

7. ) Izmed dveh studencev daje prvi 55 vode v 4 minutah, drugi

84 l j  v 7 minutah; kateri je zdatnejši ?

8. ) Na nekem vrtu stoji v 10 vrstah 360 dreves; koliko dreves je

v vsaki vrsti?

9. ) V mlinu se namelje v 15 dneh 36300% moke; koliko v

jednem dnevi?

10. ) Uradnik ima 1890 gl. letne plače; koliko dobiva na mesec?

11. ) Neki kapital nese na leto 258‘36 gl. obrestij; koliko v 1 meseci?

12. ) l*f sukna velja 5 gl.; koliko m /  ga dobiš za 135 gl.?

Dobil ga bodeš tolikokrat 1 ™/, kolikorkrat je 5 gl. v 135 gl.;

135 gl.: 5 gl. = 27.

Dobil ga bodeš tedaj 27krat 1 ™/, t. j. 27™/.

13. ) Kolesu je obod 3 m f\  kolikokrat mora se zavrteti, da preteče

potakaje se 1125 ”/?

14. ) Vodovod je 744 m f  dolg; koliko svinčenih cevij se potrebuje

zanj, ako je vsaka 4 ^  dolga?

15. ) Ako velja 1 % 0 ■ 5 gl., koliko % dobiš za 37 gl. ?

16. ) Kolik je stavbeni prostor, kateri velja 14400 gl., ako se plača

za 1 9 gl.?

17. ) Nekdo hoče 817 gl. dolga z vinom poravnati; koliko mu za to

treba ako se računa iKfa  po 19 gl?

18. ) Za 16 • 325 m j  se plača 69 gl.; koliko za 1 m j  ?

19. ) 2976 gl. razdeli se med več oseb tako, da dobi vsaka 24 gl.;

koliko je oseb?

20. ) 59415 gl. treba med 255 oseb jednako razdeliti; koliko dobi

vsaka oseba?

59

21. ) Neka železnica imela je meseca julija 72757 gl. dohodkov; koliko

dohodkov imela je poprek na dan?

22. ) Na neki železnici vozilo se je leta 1875. 1250855 oseb; koliko

poprek na dan?

23. ) Zemlja preteče na poti, katero napisuje vsako leto okoli solnca,

v 3 urah blizo 43866 milj; koliko milj preteče v 1 minuti ?

24. ) Višina stopnicam treba da je 4*/, a višina vsaki stopnji

0- 125*/; koliko stopenj morajo imeti stopnice?

25. ) Obod kroga je 2®/; kolik mu je polumer? (§ 30, nal. 39.)

26. ) Kolo ima 1-2*/ v premeru; kolik mu je obod, in kolikokrat

mora se zavrteti, da preteče 17%,?

27. ) Obod zemeljskega ekvatorja je 400701%,.; kolika je dolžina

jedni stopinji ekvatorja? (Obod ekvatorja = 360 stopinjam.)

28. ) Obod zemeljskega ekvatorja ima 5400 zemljep. milj; kolik je

premer? (Deli obod s 3-14159.)

29. ) Ako bi se dalo vse površje avstro-ogerske države sestaviti v

krog, bil bi mu obod 2796-8311%,,; kolik bi bil premer onemu
krogu? (Deli s 3-1415926.)

30. ) Vrt ima 1992 □*/ in je 83*/ dolg; kolika mu je širina?

31. ) Kolika je dolžina pravokotniku, čegar ploščina znaša 13 ■ 5 □”/

in širina 1 -8*/ ?

32. ) Tla, ki so 10-2*/ dolga in 6'3*/ široka, treba pomostiti s

3 • 4 ”/ dolgimi in 0 • 3 "/ širokimi deskami; koliko desek je
treba ?

33. ) Pravokotno telo ima 48"375 /cm A®/, njega osnovna ploskev pa

22-5 □*/; kolika mu je višina?

34. ) Koliko 2-8% dolgih, 1-6% širokih in 0-4%, debelih opek

potrebuje se za zid, kateri je 2832% dolg, 105%, širok (visok)
in 0'8% debel?

35. ) Medena kocka, kateri je vsaka stranica 1-5%, dolga, tehta

28 - 35%; koliko tehta 1 kub .% medi?

36. ) Koliko 3ffo  drži kašča, katera je 3-5*/ dolga, 1 ■ 36*/ široka in

1- 25*/ globoka, ako je 1$| = 0-1 knb.' in j?  (2 dec.)

37. ) Ako dobiš za 24 gl. 72% nekega blaga, koliko % ga boš

dobil za 17 gl.?

Ako dobiš za 24 gl. 72%, dobil boš za 1 gl. 24ti del od 72%; za 17 gl.
dobil boš potem 17krat toliko, kolikor za 1 gl. Računati treba tedaj tako-le:

za 24 gl.72%

> 1 ».72 » : 24 = 3%

» 17 ». 3 » x 17 = 51%

60

38. ) 38 m / sukna velja 266 gl; koliko velja 29 ”/?

39. ) 14 delavcev dodela neko delo v 6. dneh; koliko dnij potrebuje

12 delavcev za isto delo?

14 delavcev v 6 dneh
1 delavec » 6 » X 14 = 84 dneh
12 delavcev » 84 > : 12 = 7 »

40. ) 16 zidarjev sezida zid v 40 dneh; koliko zidarjev treba najeti,

da sezidajo isti zid v 64 dneh ?

41. ) Ako velja 15^ reži 79 gl. 85■ 5 kr., koliko stane 32$f?

42. ) Za 31-128 gl. dobiš 1-2% koliko za 19-455 gl?

43. ) Koliko velja 18-34 eni.  blaga, ako se plača za 11-375 eni.

512-25 gl.?

44. ) Koliko k/g  kave treba dati za 132 k/g  sladorja, ako velja 1%

kave 1-76 gl. in 1 % sladorja 0'48 gl.?

45. ) Nekdo zmeša 1 tj  vina po 36 kr., 1 / po 40 kr. in 1 / po 56 kr.;

koliko velja 1 ]  te zmesi?

1 1]  prve vrste velja 36 kr.

1 » druge > » 40 »

1 » tretje » » 56 »

3 1/ zmesi veljajo 132 kr.

1 » » velja 44 »

Račun, kateri uči, kako najti vrednost jednote kake zmesi, katera obstoji'
iz delov različne vrednosti, imenujemo p op rečni račun  (Durchschnittsrechnung).

46. ) Tri jednake kapitale treba jednega za drugim poplačati, prvega

čez 2 leti, druzega čez 5 let, tretjega čez 6 let; dolžnik želi
vse tri na jedenkrat plačati; kedaj se mora to zgoditi?

47. ) Zmesi (leguje) se 7% zlata, 7 k/g  srebra in 3 k/g  bakra; koliko

zlata je v 1 kfg  zmesi?

48. ) Posestvo nese v petih letih zaporedoma 2728 gl, 2504 gl..

1786 gl, 2230 gl. in 2637 gl.; koliko nese poprek vsako leto?

49. ) črta zmerila se je štirikrat; pri prvi meritvi določila se je

njena dolžina na 79-245”/, pri drugi na 79-284”/, pri tretji
na 79-108”/, pri četrti na 79-316’//; kolika se ji sme vzeti
dolžina z ozirom na vse štiri meritve?

50. ) Nekdo zmeša 4$f vina po 28 gl., 4$f po 24 gl. in 8$f po 20 gl.,

koliko je vreden l$f zmesi?

4 9Cji  po 28 gl. veljajo 112 gl.

4 » » 24 » » 96 »

8 » » 20 » velja 160 »

16 zmesi velja 368 gl.

1 » » . 368 » ; 16 = 23 gl.

61

51. ) Nekdo kupi 10% sladorja po 46 kr., 10 % po 48 kr. in 40%

po 50 kr.; koliko stane poprek 1 % ?

52. ) Nekdo zredči 60 tj  jesiha po 22 kr. z 12 j  vode; koliko je potem

1 tj  vreden?

53. ) K 13 % bakra po 98 kr. primesi se 52 % cinka po 56 kr.;

koliko stane 1% zmesi?

51.) Oče zapusti 16800 gl. premoženja. To treba med njegovo ženo,
3 sine in 3 hčere tako razdeliti, da dobi mati 4 dele, vsak
sin 3 jednake dele in vsaka hči 2 taka dela. Koliko dobi mati in
koliko vsak otrok?

55. ) Najvišja gora na zemlji, Everest (Ivriši:) v Aziji, je 8601 m /  visoka;

kolika je ta višina v angl. čevljih?

56. ) O - 741893 Jiy  ima 1 zemljep. milja; koliko zemljep. milj ima

1 Jly  ? (5 dec.)

57. ) 65 angl. quarterja = 18 ^; a)  koliko ima 1 cjuarter; b)  koliko

fflfo  je 49‘5 quarterja; c)  koliko quarterjev ima l$f; d)  koliko
quarterjev je 216 • 34 $|?

58. ) 1 angl. gallon = 3'21 dunajsk. bokal., 1 nemški vrč (Kanne) =

= 0‘71 dunajsk. bokal.; a)  koliko nemških vrčev je 207 gal-
lonov; b)  koliko gallonov je 359'5 nemšk. vrč.?

59. ) Po čem se računa % čistega srebra, ako se plača za 6 - 24%

580-32 gl.?

60. ) Novi francoski frank ima 5'389 9j  roblja (Schrot) in 4-5^

zrna (Kom); kolika mu je čistina (Feingehalt)?

5'389 delov zmesi ima 4'5 delov srebra,

5389 » » » 4500 » »

4500

1 del zmesi ima 5339 "  = 0’835.

Frank ima tedaj 835 tisočin čistega srebra.

61. ) Koliko frankov je 285-8 gl. avstr, vr.?

62. ) Koliko je vrednih 1000 gl. avstr, vr.?

a)  v nemških drž. markah? b)  v laških lirah?
c)  v angl. funt sterling? d)  v ruskih rubljih?

63. ) Nekdo ima 945 gl. letne plače, razven tega dobiva od svojih

kapitalov na leto 400 gl. obrestij in postrani si zasluži 240 gl. ■
koliko sme vsak dan porabiti, ako hoče, da si prihrani vsako
leto 250 gl. ?

64. ) Vojvodina Šlezija ima 513352 prebivalcev, katerih gre 9985 na

Qv%; koliko ima Šlezija?

85. ) Vojvodina Solnograška ima 71 • 66 \^\Jly  in 153159 prebivalcev;

koliko prebivalcev pride poprek na 1 □,%?

86. ) Lela 1876. bilo je rojenih na Štajerskem 38984, a umrlo je

28845 ljudi. Koliko bilo je rojenih in koliko jih je umrlo po¬
prek 1 dan?

67. ) Neka dežela ima 147380 duš in 147 ljudskih šol s 14382

učenci. Na koliko prebivalcev pride poprek jedna ljudska šola
in koliko učencev na jedno šolo?

68. ) V teku jednega leta umrlo je

na Češkem 155910 od 5654598 prebivalcev,

» Moravskem 61146 » 2219051 »

v Šleziji 15350 » 564687 »

Od koliko prebivalcev umrl je v vsaki teh kronovin poprek po
jeden ?

VI. Naloge za ponavljanje v računanji z jedno-
imenskimi števili.

1. ) Knjiga ima 248 stranij, na vsaki strani 42 vrst in v vsaki

vrsti poprek 50 črk: koliko črk je tedaj v celi knjigi ?

2. ) A  je dolžan B -u 739'29 gl.; plača mu na račun jedenkrat

258 - 9 gl, drugikrat 312• 53 gl.; koliko ostane še dolžan?

3. ) Zemljiščni davek neke občine znaša 2-88 gl. za koliko 90^

ima občina, ako plačuje 2280• 96 gl. zemljiščnega davka?

4. ) Neka drevesnica ima v pravilnih vrstah 31928 rastlin, in sicer

v vsaki vrsti 104 rastline; koliko vrst ima drevesnica?

5. ) Po najnovejših meritvah gornje - avstrijskih jezer globoko je

Traunsko 219‘3 7 f,  Attersko 150'6 m /, gornje Hallstadtsko
123 •2'"/, gornje Wolfgangsko 82 ■ 2 '“J,  Mondsko 71 • 4 m /; za
koliko je Traunsko jezero globokejše nego vsako ostalih?

8.) Koliko obrestij nese v 2‘45 leta kapital, ki daje 159’135 gl.
na leto?

7. ) Tri osebe si imajo 1790 gl. tako med seboj razdeliti, da dobi

A  225 gl. več nego It, B  175 gl. več nego C:  koliko dobi
vsaka oseba?

8. ) Koliko let je minulo od tistega časa, ko se je Rim sezidal,

to je od leta 753. pr. Kr., do razpada zahodno-rimskega cesar¬
stva, t. j do leta 476. po Kr.?

9. ) Smodnik izumili so leta 1556.; koliko let minulo je od tedaj ?

63

10. ) Cesar Franc I. je bil rojen leta 1768., 24 let star nastopil je

vladarstvo ter umrl leta 1835.; a)  katerega leta je nastopil
vladarstvo, b)  koliko je bil star, ko je umrl?

11. ) Odposlan slador tehta s sodi vred 3208%, sodi sami tehtajo

128%; kolika je teža sladorju?

12. ) Koliko velja 324% žime, % po O - 94 gl.?

13. ) 8-57 sukna velja 69-87 gl; koliko stane 17 ?

14. ) 1 cnt.  bombaža velja 110 mark; koliko cnt.  dobiš za

2870 mark?

15. ) 1 sukna velja 7"28 gl.; koliko velja

a)  357? b)  2047? c)  75-25 7?

16. ) 1 7 platna velja 1 1 08 gl.; koliko ga dobiš

a)  za 9'99 gl.? b)  za 63-72 gl.? c)  za 336-96 gl?

17. ) Neko blago se je kupilo za 723 gl., prodalo pa za 802 gl.;

kolik je bil dobiček?

18. ) Trgovec kupi 186 bal papirja po 42 gl. in ima pri prodaji

692 gl. dobička; za koliko ga je prodal ?

19. ) 36 7 svilenine prodalo se je za 264-96 gl.; po čem se je kupil

17, ako je bilo 34-54 gl. dobička?

20. ) Nekdo kupi 925% vinskega kamena za 518 gl.; a)  po čem

je 1%, b)  koliko velja 25 %?

21. ) 13 %ji  vina velja 234 gl.; koliko velja po isti ceni

a)  18^? b)  532p c)  159^?

22. ) 37 cnt.  nekega blaga velja

a)  622 gl., b)  1258 gl., c)  1961 gl.;
koliko velja v vsakem slučaji

m)  14 cnt., n)  58 cnt ., o)  87 cnt."?

23. ) Ako velja 15-52)% 593-64 gl.; koliko )% dobiš za 1507-05 gl.?

24. ) Iz neke cevi priteče v 27 minutah 459 tj  vode; v koliko mi¬

nutah priteče iz iste cevi 1728 tj  ?

25. ) Za 24 krav kupilo se je toliko sena, da bi jim zadostovalo

15 tednov; doklej zadostovalo bo 9 kravam?

26. ) Nekdo zmeša troj riž, po 30 kr., po 32 kr. in po 37 kr.

kilogram, vzemši jednake dele; koliko je vreden 1% zmesi?

27. ) Zlatar zmesi jednake dele čistega zlata in zlata, ki ima 800 in

540 tisočin čistine; kolika je čistina dobljeni zmesi?

28. ) Ako zmešaš 3 • 45 )% vina po 22 gl., s 5 ■ 55 )% po 30 gl., ko¬

liko je vreden 1 tj  te zmesi ?

64

29. ) Nekdo prilije k 20 ^ vina po 28 kr. 4y vode; koliko je vreden

1 l ]  zmesi ?

30. ) Nekdo doda k 8 % srebra od 900 tisočin čistine 4 % srebra od

600 tisoein: kolika je čistina zmest ?

31. ) Ako zmesiš 3% zlata, katero ima 125 tisočin bakra, s 5%

srebra, v katerem je 164 tisočin bakra; koliko bakra je v
vsakem % zmesi?

32. ) Ako zmesiš 1*1% cinka, 3'3 kjg  bakra in 1*448% kositarja;

koliko ima a)  cinka, b)  bakra, c)  kositarja vsak kilogram zmesi?

33. ) Mlinar zmeša 12^ reži, katere tehta vsak 69%, z 8^|

slabejše vrste, katere ima le 66%; kolika je teža 13$
zmesi ?

34. ) Nekdo ima nekega blaga 60% po 60 kr. in 80% po 55 kr.;

ako doda še 100% tretje vrste, dobi zmes po 50 kr. %; ko¬
liko stane % zadnje vrste?

35. ) Predor pod Themso pri Londonu ima 433.', yardov; kolika je

ta dolžina v "J/ ?

36. ) Po najnovejših astronomijskih meritvah znaša razdalja zemlje

od solnca 96160000 britanskih milj; kolik je ta razstoj v *%?
(Do tisočic.)

37. ) Moskva je oddaljena od Petrograda 689'833 vrste; ako bi kdo

na poti od Moskve do Petrograda prehodil na dan 511%,,,
koliko dni bi potreboval, da pride v Petrograd ?

38. ) 1 angl. gallon = 4-5435^, 1 Švicar, bokal = 1*5 f; a)  ko¬

liko gallonov ima 1 Švicar, bokal; b)  koliko švicarskih bo¬
kalov ima 1 gallon?

39. ) Ako velja 1 dunajski bokal 56 kr., kolika je primerna cena 1 tj  ?

40. ) Pretvori 1562 %

a)  na švedske funte, b)  na turške oke.

41. ) Koliko nemških funtov je

a)  2733-58 %? b)  412 lond. cnt.  ?

42. ) l^ vinskega cveta tehta l - 65%;  koliko tehta 1 hub.?

43. ) 1 hub. c j m  vode tehta 1%; koliko tehta 1 hub. d j m  zraka, ker je

voda 770 težja od zraka?

44. ) Specifična teža  (specifisches Gewicht), t„ j. število, katero

pove, kolikokrat težje je kako telo nego voda, katera zavzima
isto prostornino, je

65

Koliko % tehta 125 kub.<ij m  vsake izmed navedenih kovin?

45. ) Določena prostornina živega srebra je 13 - 598krat težja nego

isto tolika prostornina čiste vode; koliko tehta 2 ‘Mkub. ^ži¬
vega srebra?

46. ) Ako je tehtal dunajski vagan pšenice 88 dunajskih funtov, ko¬

liko % tehta po tem razmerji 1 pšenice?

47. ) V Angleški tehta 1 yard železnocestnih šin 58 angl. fnt. adp.;

koliko % pride na l m f‘>

48. ) Pol hjg  čistega srebra velja 45 gl. avstr. vr.; koliko je vreden

1 9j  čistega srebra ?

5003/ čistega srebra ....  45 gl. avstr. vr.

1 > > » 0’09 » » » = 9 kr. avstr. vr.

Notranja vrednost srebernega novca znaša tedaj tolikokrat 9 kr. avstr, vr.,
kolikor ima gramov čistega srebra.

49. ) Angleški shilling ima 5'231, holandski goldinar 9'45 3j  čistega

srebra; koliko je vreden vsak izmed teh novcev v avstr. vr. ?

50. ) Severo-amerikanski poludollar tehta 12'4415 9 /, laška po pet-

lira 25 9j , čistina obeh je O - 9, t. j. med 10 deli imata 9 delov
čistega srebra; kolika je notranja vrednost vsakemu izmed teh
novcev v avstr. vr. ?

51. ) Novi avstr, zlatnik po osem goldinarjev tehta 6'45161 9/,  a

čistina mu je 0'9; koliko je vreden ta zlatnik v avstr, vr.,
ako je vrednost 1 9/  čistega zlata 15'5 tolika kakor 19/  čistega
srebra ?

52. ) Koliko je vredna sreberna posoda, katera tehta 11'67%, ako

je nje čistina 720 tisočin in se računa % srebra po 93'5 gl.?

53. ) Koliko goldinarjev avst. vr. je po notranji vrednosti:

a)  507'2 šved. drž. tolarja? b)  988'28 dan. drž. tolarja?

54. ) Koliko laških lir je po sreberni vrednosti jednakih

a)  2990-6 holand. gl.? b)  4074'35 severo-amerik. dollarja?

55. ) V Gibraltarji velja 1 fanega (0'548A|) pšenice 98 realov; koliko

angl. shillingov velja v istem razmerji 1 angl. quarter?

O

66

56. ) A  je za 79 ■ 75 7 višje nego B , B  za 9’48*/ višje nego C  in

C  za 5 - 84*/ višje nego Z>; za koliko je ^4 višje od Z>?

57. ) Obod kroga delimo na 360 stopinj; koliki del oboda je tedaj

lok, ki ima 5 stopinj ?

58. ) Kolik je obod kroga, čegar premer je

a)  57 7, V  2-18 7, c )  58-75(§  30, naloga 39.)

59. ) Kolik premer ima kolo, čegar obod je

a)  3-58 7, b)  11-725%*, c)  8-35%,?

60. ) Okrogla miza ima prostora za 12 oseb, ako se računa na jedno

osebo 0-8 7 oboda; kolik je njen premer?

61 .) Na obodu kolesa, čegar polumer je 3% t , treba postaviti 42

zobcev; za koliko bosta oddaljeni sredi po dveh zobcev?

62 .) Kolik mora biti premer vratilu, da se more 226-33 %,  dolga

nit 65krat okoli njega oviti?

63. ) Kolesa, ki gonijo lokomotivo, imajo l'2 m j  v premeru; kolikokrat

morajo se v jedni minuti zavrteti, da pretečejo v jedni uri
30120 7 ?

64. ) Kolika je ploščina 148 c j m  dolgi in 93 c f n  široki mizi?

65. ) Koliko °f  ima ploskev, katera je 85-25 7 dolga in 8 7 široka?

66. ) 118 7 dolga njiva proda se za 17-28 gl.; kolika je njena širina,

ako se računa 7)7 P° 0-75 gl.?

67. ) Koliko stane tlak pravokotnega, 15-3137 dolgega in 8'85 7

širokega dvorišča, ako se plača □ 7 po 4-085 gl.?

68. ) Njiva je 185 7 dolga in 137 7 široka; za koliko postane njena

ploščina večja, ako se poveča njena dolžina za 18 7 m njena
širina za 24 7 ?

69. ) Četverooglata omara je 1-2 m /  dolga, 0 - 9 7 široka in 0 - 3 7 glo¬

boka; koliko kub .7  ima prostornine?

70. ) Apnenica, ki je 3-47 dolga in 1 ’57 široka, drži, do vrha

napolnjena, 9• 18 kub.‘"j  apna; kolika ji je globočina?

71. ) Koliko po 2-6%* dolgih, 1 • 2%* širokih in 0-5%* visokih opek

potrebuje se za zid, ki je 507 d J n  dolg, 9%, širok in 25%* visok?
72 .) Cetveroroboven železen drog, kateri je 18%* dolg, 0-8%, širok
in 0"25%* debel, tehta 28-08%; koliko tehta 1 kub. d j m  železa?

73. ) Koliko tehta četveroroboven hrastov hlod, ako ima 4-257 dol¬

žine, 0 - 36 7 širine, 0 • 26 7 debeline in 1 kub .7  hrastovega lesa
1170% tehta?

74. ) Zrak ima 0 - 21 kisleca in 0-79 dušeča; koliko kub .7  vsakega teh

plinov je v sobi, ki je 8 • 6 7  dolga, 6-57  široka in 3 • 8 7  visoka ?

67

75. ) Posoda je po stari dunajski meri 4 - 5' dolga. 2 - 3' široka in 1 *8'

globoka; koliko tKfa  drži?

76. ) l'2 m /  dolga in 0‘9 široka omara je deloma z vodo napol¬

njena. V njo spuščen kamen prouzroči, da voda za 0 • 2 "f  poskoči
in kamen popolnoma pokrije; kolika je prostornina kamena?

77. ) Koliko hitrost  ima voda na površini reke, tj. koliko pre¬

teče voda v 1 sekundi, ako vanjo vrženo poleno v 3 sekundah
490 '"f  daleč priplava?

78. ) Lokomotiva prevozila je v 4-56  ure 18 - 324 milj; koliko je pre¬

vozila pri jednakomernem gibanji v 1 uri?

79. ) Električni tok preteče v bakrenem dratu (žici) 60000 zemljep.

milj v 1 sekundi; kolikokrat more priti v tem času okoli naše
zemlje, ako se računa njen obod na 5400 zemljep. milj?

80. ) Svetloba preleti pot od solnca do zemlje, t. j. razdaljo od

20683010 zemljep. milj v 493‘22 sekunde; koliko milj v 1 se¬
kundi?

8L) Med bliskom in početkom groma mine 20 sekund; za koliko
je hudourni oblak oddaljen, ako preleti zvok v 1 sekundi
332 m f  ?

82. ) Med bliskom in pokom topa mine 7 • 5 sekunde; za koliko je

top od opazovalca oddaljen?

83. ) Reaumur je razdelil na toplomeru /razstoj med lediščem in vre¬

liščem na 80, Celsij na 100 sto ,ihj. Koliko stopinj po Gelsiji je
a)  1° R, b)  15° R, c)  23 r  R, d)  34° R:
koliko stopinj po Reaumuru je
e)  1°C, /M0° C, g)  30° C, h)  38° C?

84. ) Na zajemalnem kolesu je 23 korcev, od katerih da vsak pri

jednem zasuku 0 - 0275 kub.djn  vode; ako se zavrti kolo v 18 mi¬
nutah 6krat, koliko vode da v 12■ 365 ure?

85. ) Neke dežele je 0 - 108 neobdelane; koliki del te dežele zavzimlje

obdelana površina?

86. ) Mejna grofija Moravska ima 2132306$^ rodovitne in 90649

nerodovitne zemlje; koliko je vse površje Moravske?

87. ) Avstro-ogerska država ima 350388 ^ vinogradov; koliko

vina se pridela na leto v celi državi, ako da 1 Xja  poprek
26$|?

5 *

68

88. ) Ako ima površje naše zemlje 9261238 zemljep. □milj in od

tega odpade na topli pas 3692978□milj, na vsakega od obeh
mrzlih pasov pa 384084□milj; koliko je površje vsakemu obeh
zmerno toplih pasov?

89 . ) Avstrija ima 11306'36 zemljep. □milje površine; koliki del

vsega zemeljskega površja je to? (Naloga 88.)

90. ) Gradec je imel leta 1820. 36012 prebivalcev, leta 1870. pa

80732; za koliko se je število prebivalcev v tem času pomno¬
žilo?

91 . ) Avstro-ogerska država ima 6224*76Q^% in 36943592 prebi¬

valcev; koliko prebivalcev pride na 1 □■/%?

92 . ) Gornja Avstrijska ima 119*97 □•/% površja in 734560 prebivalcev;

koliko prebivalcev pride poprek na 1 □•/%?

93. ) Češka ima 5140156 prebivalcev, in sicer 9893 na 1 □■%; kolika

je njena površina?

94 . ) Na Štajerskem živi 1137748 prebivalcev na 224* 54 □■.-%, na

Koroškem 337694 prebivalcev na 103*73Q%; a)  za koliko
□ Jly  je Štajerska večja od Koroške; b)  koliko prebivalcev ima
prva več od druge; c)  koliko prebivalcev je v vsaki deželi na
1 □ -%• kj e  J e te daj prebivalstvo gostejše?

Drugi oddelek.

Računanje z mnogoimenskimi celimi in decimalnimi števili.

§ 41.

Število, katero pove, koliko jednot nižjega imena ima jedna
jednota višjega imena, imenujemo pretvorno število ali pre¬
tvornik  (Venvandlungszahl, Verwandler) med tema dvema imenoma.
Med goldinarji in krajcarji je 100 pretvornik.

Pretvorniki za različna imena iste vrste razvidni so iz pregleda
mer, utežij in novcev, nahajajočega se v dodatku.

1. Drobljenje.

§ 42.

Jednote višjega imena na jednote nižjega imena izpreminjati,
pravi se drobiti  (resolvieren).

1.) Koliko ur je 35 dnij? — 1 dan ima 24 ur, 1 dan je tedaj 24krat-
nik 1 ure; 35 dnij je 24kratnik od 35 ur; torej
35 dnij =* 35 ur X 24 = 840 ur.

Jednote višjega imena razdrobiš tedaj na jednote
nižjega imena,  ako jih z dotičnim pretvornikom množiš.

Po tem pravilu moreš tudi vsako mnogoimensko število na
najnižje ime razdrobiti. N. pr.: Koliko sekund je 5° 14' 53”? —
5° je 5 x 60 = 300' in 14' je 314'; 314' je 314 x 60 = 18840”
in še 53” je 18893". Račun stoji tedaj tako-le:

5° 14' 53”

314'

18893”.

Drobljenje je jako jednostavno, ako spadajo imena v decimalni
sistem, t. j. ako so pretvorniki 10, 100 ali 1000; v lem slučaji za¬
pišejo se različna imena jedno poleg druzega, kakor si slede v

70

naravnem redu, številke, katerih ni, nadomestijo se z ničlami, in
število, na la način dobljeno, dobi potem najnižje ime. N. pr.:

3 gl. 68 kr. = 368 kr. 15 gl. 7 kr. = 1507 kr.

5*/ 8%, 3 7» = 5083 "fm. Ib  27 = 1527 tj .

Ikub .7  8btcub.d/ m  = 108bkub.dj m .  2 % 192& 5 9/  = 2195

2.) Koliko stopinj, minut in sekund je 43'275 stopinje?

43'2 75° = 43° 16' 30”.

- X 60

1 6-50'

— x 60

3 0-0”

Decimalke imenovanega števila razdrobiš tedaj na
celote nižjih imen,  ako jih množiš najprej s pretvornikom za naj¬
bližje nižje ime, in z decimalkami, katere v produktu dobiš, na isti
način postopaš.

Drobljenje je jako jednostavno, ako so pretvorniki 10, 100 ali
1000; v tem slučaji tvorijo oziroma jedna, dve ali tri decimalke proti
desni najbližje nižje ime, in mesta, ki so morebiti za najnižjim imenom
ostala, so njegove decimalke. N. pr.:

.5-63 gl. - 5 gl. 63 kr. 0-735 gl. = 73-5  kr.

13■ 863 m j  = 137 8 % 6%  3%.

7-8905^ = 1%  89“/ 5[j m /.

0-501275% = b0% 19/  275%.

§ 43.

Naloge. (Za pismeno in kolikor mogoče tudi za ustmeno raz¬
rešitev.)

1. ) Koliko krajcarjev je

a)  7 gl.? b)  83 gl.? c)  309 gl.?

2. ) Koliko krajcarjev je

a)  39 gl. 28 kr.? b)  250 gl. 90 kr.? c)  315 gl. 45 kr.?

d)  4 gl. 13 kr.? e)  45 gl. 9 kr.? j)  206 gl. 5 kr.?

3. ) Koliko krajcarjev je

a)  0-37  gl.? b)  0-085 gl.? c)  13-59 gl.?

4. ) Koliko m /m  je

a)  7%t? b)  8 7? c) 1%  4%? d)  0-38&? e)  2’7 7?

f)  15 7 6%t?

5. ) Koliko (□ %  znese

a)  8□%,? b)  7D7 16D&? c)  0-7586D7?

71

6. ) Koliko kub. %  je

a)  15 kub. m j ? b) 8kub.' in j Gikub.dfn? c)  418"2 kub. d j m ?

7. ) Koliko ^ je

o; 375i|? //) 2 55 'j  ? c; 0-3863%?

8. ) Koliko 9j  je

a; 35 %? 6; 4% 8£%? c)  138%?

9. ) Koliko pol papirja imajo

a) 4 skladi 3 pole? b)  3 knjige 5 skladov 8 pol?
c) 5 knjig 15 pol? 4 rizme 7 knjig 12 pol?

10. ) Koliko dnij je

ai 7 mes. 24 dnij? h)  3 leta 8 mes. 15 dnij?

11. ) Koliko sekund je

a)  51 min. 13 sek.? b)  18 ur 35 min. 40 sek.?

12. ) Koliko sekund ima navadno leto?

Pretvori na najnižje ime:

13. ) 1210 mark 75 fenigov (Nemška).

14. ) 729 quarterjev 7 bushelov 6 gallonov (Angleška).

15. ) 8 sodov 67 vrčev 1 polič (Nemška).

16. ) 3 pude 23 fnt. 60 zlatnikov 72 delov (Ruska).

17. ) Koliko goldinarjev in krajcarjev avstr. vr. je

a)  3-92 gl.? b)  155-07 gl.? c)  207-535 gl.?

18. ) Koliko ”f, d/ m  %,  in je

5-397”/? b)  318-0915"/?

19. ) Meter ima 3-16375 starega dunajskega čevlja; koliko ima čevljev,

palcev in črt?

20. ) Koliko 96ja  i n  7 je

0) 129-235 ^? b)  6-2325 1%?

21. ) Koliko 0%  in ^ je

a)  205-88 fl|? b)  9-285 ^?

22. ) Koliko cnt ., %, 2%, in f je

a)  4"084 cmč.? 7-52085 cnt.?

23. ) Koliko rižem, knjig, skladov in pol papirja je

a) 5-7865 rizme? b)  13-0854 rizme?

24. ) Koliko stopinj, minut in sekund je

a)  35-356°? b)  9-085°? c)  123-452“?

25. ) Naša zemlja potrebuje za svojo vrtnjo okoli solnca 365*24222

dneva; izrazi decimalke dnij v urah, minutah in sekundah?

72

2. Debeljenj e.

§ 44.

Jednote nižjega imena na jednote višjega imena iste vrste izpre-
minjati, pravi se debeliti  (reducieren).

1.) Koliko tucatov je 187 kosov? — 1 tucat ima 12 kosov, 1 kos
je tedaj 12ti del 1 tucata; 187 kosov je 12ti del od 187 tu¬
catov, zatorej

187 kosov == 187 tucat. : 12 = 15 tucat. 7 kos.

67

7 kosov.

Jednote nižjega im ena debeliš tedaj na jednote višjega
imena,  ako jih z dotičnim pretvornikom deliš;  kvocijent. znači jed¬
note višjega imena, ostanek pa, katerega morebiti dobiš, jednote
nižjega imena.

Ako ima kvocijent jednote še višjega imena, debeliti moreš
na isti način še dalje. N. pr.:

Koliko dnij, ur in minut je 31024 minut?

31024 (min .); 60

4 min. 517 (ur): 24

37 21 dnij

13 ur

tedaj: 31024 minut = 21 dnem 13 ur. 4 min.

Ako so imena, katera treba debeliti, razdeljena po decimalnem
sistemu, debeliš jih, ako jih deliš z 10, 100 ali 1000, ako jim tedaj
odrežeš jedno, dve ali tri najnižja mesta; vsak tak oddelek tvori
za-se jedno ime. N. pr.:

792 kr. = 7 gl. 92 kr. 1804 kr. = 18 gl. 4 kr.

3758’% = 37 7% 5% 8’% 5259-5 «/ = 52^ 59-5%
1729365 kub.cfn  = 1 kub. m j  729 hub.  % 365 kub.%

2.) Pretvori 87° 14' 24" na decimalen ulomek, kateri ima ime
stopinj.

24("): 60 = 0-4 (')

14-4('): 60 = 0-24  (°)
tedaj: 87° 14' 24" = 87-24°.

Jednote nižjega imena pretvoriš tedaj na decimalen
ulomek višjega imena,  ako jih z dotičnim pretvornikom deliš;
kvocijentu daj pa obliko decimalnega ulomka in k temu prištej še
jednote istega imena, kakeršno ima ulomek, ako so take morebiti

73

dane. Ako treba ta decimalni ulomek še na višje ime pretvoriti, deli ga
zopet, z novim pretvornikom ter postopaj na isti način kakor prej,
dokler ne dobiš decimalnega ulomka, ki ima zahtevano ime.

Ako so imena decimalnega sistema, dade njih števila neposredno
po vrsti, kakor jo zahteva sistem, zahtevane decimalke; treba le,
da se nadomestijo imena ali številke, katerih morebiti ni, z ničlami.
N. pr.:

35 gl. 93 kr. = 35-93 gl. 8 gl. 7 kr. = 8-07 gl.

177% 98“/ = 17-0987%,, 3 % IS/  4% = 3-74%

1 .)

2 .)

3. )

4. )

5. )

6 . )

?■)

8 .)

9.)

10 .)

11 .)

12 .)

13. )

14. )

15. )

16.)

17. )

18. )

19. )

20 . )

§ 45.

Naloge.

Pretvori na celote višjega imena:

a)  356 kr.
a)  2735 V
a)  5563Q%.
a)  940 hub.djm.
a)  546 .
a)  7048%
a)  35764 fenig. (Nemška).
a)  5125 skladov papirja.
a)  51279 kotnih sekund.

b)  3809 kr.
b)  19628’%.
b)  31446%
b)  386937 kub.%.
b)  7265 %
b)  94722%

c)  79085 kr.
c)  544063
c)  850582O”/.
c)  5638432 kub. %.
c.)  318605 %
c)  92258 m jg.
b)  46083 centimov (Francoska).
b)  186615 pol papirja.
b)  182700 časovnih sekund.

V jedni sekundi napravi sekundno nihalo 1 nihaj: v kolikem
času napravi 100000 nihajev?

Nekdo prihrani vsak dan 5 kr.; koliko prihrani v 42 letih,
ako je med njimi 10 prestopnih let?

Lokomotiva preteče v jedni uri 318507; koliko 7% je to?
Studenec daje v jedni minuti 32 'j  vode; koliko a)  v jedni uri,
b)  v jednem dnevi, c)  v jednem letu?

Človek vsopne v vsaki minuti 13100 kub. 0 /,,,  zraka; koliko a)  v jed¬
nem dnevi, b)  v jednem letu?

Knjiga, obsegajoča 13 tiskanih pol, izdala se je v 4500 izvodih
(eksemplarih); koliko rižem papirja potrebovalo se je zanjo?
Pretvori na decimalen ulomek najbližjega višjega imena:
a)  47 kr. b)  9 kr. c)  1367 kr. d)  53908-5 kr.
a)  5237 centesimov (Laška).
a)  30563 centov (Holand.)
a)  70485 realov (Španska).
a)  13-485%

b)  17956 fenig. (Nemška).
b)  44802 kopejki (Ruska).
b)  92567 par (Turška).
b)  546.-44%

74

21. ) a)  337-8925 kub.%. b)  508• 375 kub.%.

22. ) a)  5789 bokalov. (Svic.) b)  74435 vrčev (Nemška).

23. ) a)  627'4 minut. b)  19-8345 ur.

Izpremeni na decimalen ulomek višjega imena:

24. ) a)  5 m / 3%  8 % V%. b)  1D7 83Q<t 23 U"U-

25. ) 3 kub.  7 618 knb. d j m  708 kub.%.

26. ) 35^ 87 >j  7 d j.

27. ) 139 quarterjev 6 bushelov 4 gallone (Angl.)

28. ) 1 četvrt 5 četverikov 2 četverki 8 garnecev (Ruska).

29. ) 2 soda 8 vrčev 1 polič (Nemška).

30. ) 128 9/  5% 8«lg.

31. ) 13 cnt.  61% 8% 19/.

32. ) a)  308 gl. 45 kr. avstr. vr. b)  9 fnt. 15 shilling. 8 pene. (Angl.)

33. ) a)  53° 15' 6" kotne mere. b)  43° 48' 36".

34. ) 20 ur 34 minut 50 sekund.

3. Seštevanje mnogoimenskih števil.

§ 46.

Pri seštevanji mnogoimenskih števil začni s števili najnižjega
imena ter pretvori vsoto, ako ima celote najbližjega višjega imena,
na to višje ime. Potem seštej takisto zaporedoma števila višjih imen.

Ako je pretvornik 10, 100 ali 1000, in recimo, da dobiš v
vsoti nižjih imen oziroma desetice, stotice ali tisočice, prištej jih
precej kakor jednote višjega imena k temu imenu. Najpripravnejše
pa je, vse sumande na isto najvišje ali isto najnižje ime pretvoriti
in potem sešteti.

Naloge.

1.) Seštej 37 dnij 15 ur in 21 dnij 7 ur.

Na pamet: 37 d. 15 u. in 21 d. je 58 d. 15 u., in 7 u. je 58 dnij in 22 ur.

Pismeno: 37 d. 15 u. 7 u. + 15 u. = 22 u.

21 » 7 »  21 d. 4- 37 d. = 58 d.

58 d. 22 u.

2 .)

Kolika je vsota sledečim zneskom:

992 gl. 81 kr.

992-81 gl.

75

3. ) 8 ’"/ 9 d / m  9%  ali 8-99 w / ali 899 %

7 » 8 » 2 » 7 1 82» 782 »

3 » 6 » 5 » 3'65» 365 »

20 7 Hn,  6%> 20-46 7 2046 f / m  = 20 7 4^ 6%,.

Seštej sledeča mnogoimenska števila:

4. ) a)  23 7 7°L 8%. 5% 6; 38 □ 7 73 %  560%»

7. ) Stranice peterokotnika so 5 7 3%, 8%!, 4 7 17» 7%, 6 7

9 7», 3 7 57» 8%» in 47 37»; kolik mu je obseg?

8. ) Peterokotnik da se razstaviti na tri trikotnike, kateri imajo

posamič 37□ 7 78 U%,  25□ 7 9□ ^ in 42□ 7 33□ <£»;
kolika je ploščina temu peterokotniku?

9. ) Trgovec ima sledeče dolge iztirjati: 351 gl. 84 kr., 247 gl. 73 kr.,

480 gl. 76 kr., 37 gU8 kr., 147 gl. 68 kr.; koliko mu je tirjati
vsega skupaj?

10 . ) Štirje kapitali neso posamič 208 gl. 36 kr., 165 gl. 45 kr.,

153 gl. 27 kr. in 62 gl. 48 kr. obrestij na leto; koliko obrestij
neso vsi skupaj?

11 . ) Neko posestvo dalo je 5 let. zapored sledeče čiste dohodke:

v 1. letu 1972 gl. 85 kr.

»2. » 2208 » 46 »

» 3. » 2184 » 90 »

» 4. » 2253 » 36 »

»5. » 2317 » 75 »

koliko v vseh 5 letih?

12 .) Seštej sledeča števila:

a)  327 mark 57 fen. (Nem.) b)  21 cnt. 88 fnt. 27 n. lot, (Nem.)

76

13.) V neki tiskarni porabili so tiskalnega papirja:

69 rižem 4 knjig. 13 pol
53 »8 » 20 »

38 »9 » 24 »

45 ' » 5 » 17 »

koliko so ga porabili skupaj?

14. ) Mesto A  je za 12 ‘6 d ( n  višje nego B, B  za 9 m / 4 d / m  6%

višje nego C,  in C  za 13"/ b% 9%  višje nego D;  za koliko
je A  višje nego D?

15. ) Jeden vrt ima 148□ 7 24 U d lm,  drugi 137□ m / 18 Uti',

kolika sta oba skupaj?

16. ) Okrog točke je pet kotov; izmed teh je a —  85° 33' 46”,

b =  47 0  18' 48”, c = 63° 29' 17”, d  = 58° 43' 50”,
e  = 104° 54' 19”; kolika je vsota vsem tem kotom?

17. ) Kap dobrega upanja ima 33° 55' 42” južne širine, Algir 36°

48' 36” severne širine; za koliko je zadnji severnejši od prvega?

18. ) Evropa je med 11° 50' 20” zapadne in 60° 30' vzhodne dol¬

žine od Pariza; koliko dolžinskih stopinj ima ta del zemlje?

19. ) V Parizu je poldne za 48 minut 19 sekund pozneje nego v

Pragi; koliko kaže ura v Pragi, kadar kaže v Parizu 3 in
55 minut 40 sekund?

20. ) Nekdo je bil rojen dne 5. januvarja 1809. leta in je umrl

60 let 6 mesecev in 12 dnij star; katerega dne je umrl ?
Rojen je bil: 1808 let — mes. 4 d. po Kr.

Učakal je: 60 » 6 » 12 » » »

Umrl je: 1868 let 6 mes. 16 d. po Kr.

Umrl je tedaj dne 17. julija leta 1869.

21. ) Napoleon I. je bil rojen dne 15. avgusta leta 1769., umrl pa je

51 let 8 mesecev in 19 dnij star; katerega leta in dne je
umrl ?

22. ) Neka hiša kupila se je dne 17. marcija leta 1867. pod tem po¬

gojem, da se plača kupnina čez 2 leti 6 mesecev; katerega
dne moralo se je to zgoditi?

23. ) Neka dekla vstopila je v službo dne 25. junija leta 1863. in

ostala v nji 15 let 5 mesecev 26 dnij.; kedaj je izstopila ?

24. ) Od jednega šipa do druzega (sinodski mesec) mine 29 dnij

12 ur 44 minut 3 sekunde: ako je tedaj dne 18. maja ob
5 uri 27 min. 28 sek. zvečer šip, kedaj bode prihodnji šip?

77

4, Odštevanj e mnogoimenskih števil,

§ 47.

Tudi odštevanje mnogoimenskih števil treba pri naj¬
nižjem imenu začenjati. Ako je pri katerem koli imenu število sub-
trahendovo večje nego število minuendovo, pomnoži zadnje za toliko
jednot, kolikor jih ima najbližja višja jednota, in potem odštevaj; da pa
ostane diferenca neizpremenjena, treba tudi subtrahend v najbližjem
višjem imenu za 1 pomnožiti.

Ako so posamezna imena decimalnega sistema, odštevaj ali
takisto kakor pri večštevilčnih neimenovanih številih, ali pa pre¬
tvori minuend in subtrahend na isto ime in potem odštevaj.

Naloge.

1. ) Od 15 let 5 mesecev odštej 6 let 8 mesecev.

Na pamet: 15 let 5 mes. menj 6 let, ostane 9 let 5 mes., menj 5 mes.
ostane 9 let, in menj še 3 mes., ostane 8 let 9 mes.

Pismeno: 15 let 5 mes. Tu treba najprej k minuendu 1 leto, t. j.

6 8  8 »  \2  mes. prišteti in potem 8 mes. od 17 mes.

8 let 9 mes. odšteti; a potem moraš tudi subtrahend za
1 leto povečati, tedaj 7 let od 15 let odšteti.

2. ) Nekdo ima 1226 gl. 35 kr. dolga; od lega odplača 818 gl. 65 kr.

Koliko ostane še dolžan?

1226 gl. 35 kr.
818 » 65 »
407 gl. 70 kr.

3. ) Od 5%  28 7 odštej 97 -5

5 % 287
97-57
4^ 30-57

Odštej:

4. ) a)  81 m f  61%, 5%

27 » 67 » 8 »

ali 1226-35 gl.
818-65 »
407-70 gl.

ali 5'28%
0-975»
4-305%

b)  650 Ul  4755 □%»
278 » » 8 » » 64 » »

5. ) a)  1 hub. ”1 b) 9'f

— kub.  » Ql^huh.dj m  9bkub. c j m  14 » 72 »

6. ) a)  789 7 502"% b)  662 gl. 37 kr.

291» 375 » 284 » 8 »

78

7. ) Srebernar potrebuje 6 % 385% 4 9]  srebra, a ima ga le 3%

72% 59/;  koliko mu ga je še treba?

8. ) Za koliko je kot od 43° 17' 32" manjši nego kot od 90 °?

9. ) Vsota vsem trem kotom trikotnika je 180°; kolik je tretji kot,

ako sta druga dva kota 57° 25' 46" in 71° 53' 50"?

10. ) Železnica prereže njivo 3 a /  47□ ™/ tako, da gre 1 a /  93□ ™j

njive v izgubo; koliko je še ostane ?

11. ) a)  1417 frank. 47 cent. (Franc.) b)  385 ohrnov 42 bokal. (Švic.)

982 » 72 » 228 » 88 »

12. ) Vinščak ima 3 sode vina; prvi drži 22 3$ 3 / , drugi 18 Mfo  35 / ,

tretji 18 24 ^ ; koliko vina mu še ostane, ako ga je 35 7(/  28 /

prodal ?

13. ) Neko blago kupilo se je za 1355 gl. 35 kr., a prodalo za 1524 gl.

42 kr.; kolik je bil dobiček?

14. ) Nekomu treba čez štiri mesece 2531 gl. 23 kr. plačati; ako

plača precej, dovoli se mu 50 gl. 62 kr. popusta; koliko treba
dolžniku precej plačati?

15. ) Nekdo prejme 588 gl. 83 kr., 213 gl. 55 kr., 308 gl. 60 kr.,

izda pa 419 gl. 34 kr., 75 gl. 65 kr. in 268 gl. 42 kr.; koliko
mu ostane?

16. ) Nekdo izplača štiri račune; prvi znaša 2105 gl. 64 kr., drugi

za 285 gl. 85 kr. menj od prvega, tretji za 132 gl. 20 kr. menj
od druzega in četrti za 95 gl. 75 kr. menj od tretjega; koliko
znašajo vsi štirje računi skupaj ?

17. ) Železna cesta od Dunaja do Trsta ima 577'K/ m  340™/ dolžine;

ako je od Dunaja do Miirzzuschlaga 1181%,, 289™/, od Miirz-
zuschlaga do Ljubljane 3141%,, 118 ™/ dolga, kolika je nje
dolžina od Ljubljane do Trsta?

18. ) Železnica se napne od postaje A  do postaje B  za 3™/ 2 • 8 d / n ,

od B  do C  za 2™/ 1’3% M  od C do D pade za 4™/ 4 - 9
od D  do E  napne se zopet za 3 ™/ 3'4^; za koliko je po¬
staja E  višja nego A?

19. ) Zemljepisna širina Prage je 50° 5' 29", Dunaja 48° 12' 35",

Gradca 47° 4' 2", Trsta 45° 38' 8”; za koliko širinskih sto¬
pinj je Praga severnejša nego vsako ostalih mest?

20. ) Innsbruck ima 9° 3' 41", Dunaj 14° 2' 36", Budim 16° 42' 47",

Levov 21° 42' 40" vzhodne dolžine od Pariza; za koliko dol¬
žinskih stopinj je Levov vzhodnejši nego vsako ostalih mest?

79

21. ) Avstro-ogerska država je med 42° 10' 5" in 51° 3' 27" se¬

verne širine in med 6° 13' 52" in 24° 1' 25" vzhodne dol¬
žine (od Pariza); na koliko širinskih in dolžinskih stopinj se
razteza tedaj?

22. ) Neka ura je za 13 minut 8 sekund prehitra; ako kaže na 7 in

3 min., kateri je tedaj pravi čas?

23. ) Kadar kaže ura v Gradcu 4 in 52 minut 18 sek., kaže ura v

Parizu 3 in 59 min. 50 sek.; koliko je na uri v Parizu, kadar
kaže ura v Gradci 8 in 23 min. 48 sek.?

24. ) Nekdo je bil rojen dne 3. junija leta 1802., umrl pa je dne

25. septembra leta 1877.; koliko je bil star, ko je umrl?

Umrl je: 1876 1. 8 m. 24 d. po Kr.

Rojen je bil: 1801 » 5 » 2 » » »

Učakal je: 75 1. 3 m. 22 d.

25. ) Kapital imel se je plačati dne 1. julija leta 1857., izplačal pa se

je 3 mesece 24 dnij prej; katerega dne se je to zgodilo?

26. ) Cesar Franc T. umrl je dne 2. marcija leta 1835., 67 let 18 dnij

star; katerega dne je bil rojen?

27. ) Nekdo je bil rojen dne 1. oktobra leta 1814.; koliko je danes star?

5. Množenje mnogoimenskih števil.

§ 48.

Ako treba mnogoimensko število z neimenovanim
številom množiti,  množi jednote vsakega imena, pri najnižjem
začenši, produkte pa, katere dobiš pri nižjih imenih, pretvori na
jednote višjih imen.

Ako je pretvornik 10, 100 ali 1000, tedaj je račun jako jedno-
staven, ker treba le desetice, oziroma stotice ali tisočice v produktu
nižjega imena kakor jednote k produktu višjega imena prištevati.
Najpripravnejše pa je vender le, izpremeniti v lem slučaji dano
mnogoimensko število v decimalen ulomek najvišjega imena in po¬
tem množiti.

Naloge. (Na pamet in pismeno.)

1.) Koliko je 9krat 14 dnij 12 ur?

Na pamet: 9krat 14 dnij je (90 -j- 36 =) 126 dnij; 9krat 12 ur je 9 polu-
driij, t. j. 4 dni in 12 ur; skupaj 130 dnij 12 ur.

Pismeno: 14 d. 12 u. x 9
130 d. 12 u.

12 u. x 9 = 108 u. = 4 d. 12 u.

14 d. x 9 = 126 d.; 126 d. + 4 d. = 130 d.

80

Lažja debeljenja treba tudi pri pismenem računanji zmerom na pamet
izvrševati.

2. ) Koliko velja 31 cnt.  blaga, ako velja cnt.  37 gl. 65 kr.?

37 gl. 65 kr. x 31 ali 37-65 gl. X 31
1129 5 1129-5

1167 gl. 15 kr. 1167-15 gl. = 1167 gl. 15 kr.

3. ) Nekdo izda na dan 2 gl. 45 kr.; koliko na mesec?

4. ) Ako je vreden zlatnik 5 gl. 69 kr., koliko 25 zlatnikov?

5. ) 1'“/ sukna velja 6 gl. 48 kr.; koliko stane 13 ' m f  ?

6. ) Koliko vina je v 8 sodih, ako drži vsak sod 97<f 12 ij ?

7. ) 1 tHfc  ječmena tehta 64% 15 S^; koliko tehta a)  9#|? b)  15 $|?

c)  43^?

8. ) Koliko velja 64 % po 3 gl. 47 kr. ?

Tu množiš lahko 3 gl. 47 kr. najprej z 8 in produkt zopet z 8.

9. ) Cent  blaga stane 42 gl. 52 kr.; koliko velja a)  10 cnt.  ? b)  23 cnt.  ?

c)  73 cnt.  ?

10. ) 12%  njiv proda se poprek po 812 gl. 15 kr.; koliko se skupi za

12  a&?

11. ) Koliko velja 87 Q 7 35 ako se računa [77 po 1 gl. 56 kr. ?

12. ) Koliko goldinarjev in krajcarjev avstr. vr. je 560 gl. konv. dn.,

ker je 1 gl. konv. dn. = 1 gl. 5 kr. avstr, vr.?

13. ) Polumer kroga je

a)  5 m /  23 %; b) 3% 5%  8%; kolik mu je obod? (§ 30,
nal. 39.)

14. ) Izračunaj obod kroga, čegar polumer je

O)  3 7 5 dj m  4</ m ; b) 8% 3% 8"%.

15. ) Pravokotnik je 24 7 3 %  4 %  dolg in 16 m j b d j m  1%  širok; kolika

mu je ploščina?

243^ 4%, = 24-34’"/

165^7%,  = 16-57
24 34
14 604
1 2170
17038

Ploščina = 403 • 3138 [JI  = 403 ni  38 D%

16. ) Njiva je 57 7 34dolga  in 22 '"j  83 %  široka; kolika ji je

ploščina?

17. ) Kolika je prostornina pravokotni posodi, katera je 1 m j  5 %

dolga, 8 <%, 5%  široka in 3 d j m  7% visoka?

81

18 . ) Koliko stane zid, kateri je 24”/ 5^ dolg, 10”/ i d j m  visok in

8 d l n  debel, ako se plača za kub. m f  8 gl. 20 kr.?

19 . ) V neki shrambi je 12 zabojev, vsak po 37 % 163^, in 8 zabojev,

vsak po 46% 245%; kolika je vsa zaloga?

20. ) Kolika je teža 2 kub. m j  739 kub.dj m  svinca, ako tehta 1 kub. rn j

113 cnt.  50 %?

21. ) Nekdo kupi 43 vina po 23 gl. 38 kr. in 122^ pšenice po

8 gl. 80 kr.; koliko treba mu za to plačati?

22. ) V Hamburgu velja 1 cent  kave 96 mark 50 fen.: koliko velja

36 cnt.  57 fnt.?

23. ) Koliko gl. avstr. vr. velja 328 angl. yardov nekega blaga, 1 yard

po 15 shillingov sterling, ako se računa 1 funt sterling po 11 gl.
50 kr. avstr, vr.?

24. ) Trgovec kupi 128 ”/ 28 1 ”/ po 8 gl. 54 kr., in 106 m f  58 %.

1 ”/ po 6 gl. 12 kr.; vse blago pa proda po 7 gl. 92 kr. 1 ”/;
koliko ima pri tem dobička ali izgube?

25. ) Dve telesi začneta istodobno od istega mesta se pomikati a)  v isto,

b)  v nasprotno mer. Za koliko bosta oddaljeni v vsakem slu¬
čaji čez 56 minut drugo od druzega, ako preteče prvo v vsaki
minuti 38”/ 2'b d j m ,  drugo pa 32”/ 1-8f m ?

26. ) Mesečni mesec ima 29 dnij 12 ur 44 minut 3 sekunde; koliko

ima 12 mesečnih mesecev, in za koliko je mesečno leto krajše
nego solnčno leto, ako ima zadnje 365 dnij 5 ur 48 minut
48 sekund?

6. Deljenje mnogoimenskih števil.

§ 49.

Ako treba mnogoimensko število deliti z neimeno¬
vanim številom,  ako se tedaj delitev uporablja kakor deljenje
v ožjem pomenu, deli jednote vsakega imena, začenši pri najvišjem,
a vsakkratni ostanek pretvori na nižje ime in potem ga prištej k
jednotam istega imena, nahajajočim se v dividendu.

Ako so posamezna imena decimalnega sistema, je najbolje, da
pretvoriš dividend na decimalen ulomek najvišjega imena in potem
deliš.

Ako je delitev merjenje, t. j. ako treba mnogoimensko
število z imenovanim številom deliti,  pretvori obe števili na
isto ime in potem deli.

6

82

Naloge. (Za ustmeno in pismeno računanje.)

I. ) Kolik je 8mi del od 85 ur 28 minut?

Na pamet: 8mi del od 80 ur je 10 ur; 5 ur je 300 min. in 28 min. je
328 min.; 8mi del od 320 min. je 40 min., 8mi del od 8 min. je 1 min.; skupaj
10 ur 41 min.

Pismeno: 85 ur 28 min.: 8 = 10 ur 41 min.

5 ur

328 min.

Ž.) 42 gl. 65 kr. treba na jednake dele med 5 oseb razdeliti; koliko
dobi vsaka oseba?

42 gl. 65 kr.: 5 = 8 gl. 53 kr., ali 42 • 65 gl.: 5 = 8 • 53 gl.

2 6 2 6 = 8 gl. 53 kr.

15 15

3. ) 7 zabojev tehta skupaj 805 % 631%; kolika je poprečna teža

vsakemu zaboju?

4. ) 1™/  velja 5 gl. 20 kr.; koliko velja 1%,?

5. ) 1 3%  vina velja 24 gl. 50 kr.; koliko stane 1 ?

6. ) 1 cnt.  sladorja velja 50 gl.; koliko velja 1%? koliko 8, 12,

27, 75%?  ‘

7. ) 12 cnt.  velja 412 mark 8 fen.; koliko velja lent.?

8. ) Za 283%  vina plača se 710 gl. 64 kr.; koliko velja 13%?

9. ) Lokomotiva preteče v 1 uri 301%, 720 m j ; koliko v 1 minuti?

10.) Koliko sodov je treba za 138 3%  4 tj  vina, ako drži vsak sod

8 3%  12 tj?

II. ) Koliko 3%  moreš za 94 gl. 50 kr. kupiti, ako velja 1 3%  5 gl. 25 kr.?

12. ) Za 19 gl. 75 kr. kupiš 13%  vina; koliko ga dobiš

a)  za 256 gl. 75 kr., b)  za 730 gl. 75 kr.?

13. ) Kolikokrat sta 2° 1' 45" v 105° 32' 45"?

14. ) Koliko stopenj (štapenj) treba za 9 m j  višine, ako je vsaka

stopnja 5%, 5%  visoka?

15. ) Koliko krogel, vsaka po 5moči  je iz 85% svinca uliti?

16. ) Za 98 m j 12%  plača se 666 gl. 36 kr.; koliko za 1 m j  ?

17. ) 3%  piva velja 15 gl. 5 kr.; koliko l j  dobiš za 53 gl. 95 kr. ?

18. ) V Genovi velja 58% nekega blaga 6577 lir 20 centesimov;

koliko velja 1%?

19. ) Koliko Napoleond’orov po 9 gl. 60 kr. je treba plačati za 2208 gl. ?

20. ) Nekdo kupi 5 banknih delnic (akcij) po teh-le cenah: 835 gl.

24 kr., 840 gl. 57kr., 834gl. 48 kr., 837 gl. 30 kr., 842 gl. 26kr.
koliko ga stane poprek 1 delnica?

83

21. ) Sreberna skleda tehta 8 %, v vsakem % je 816 3/  čistega srebra ;

po čem se računa 1% čistega srebra, ako velja skleda 232 gl.
56 kr. ?

22. ) 12 trgovcev kupi 15 cul bombaža; vsaka cula tehta 162 % 245%.

Blago razde!e med seboj na jednake dele; koliko ga dobi
vsak?

23. ) Cev da v 12 urah 32 minutah 23 7/f 5 <]  vode; v kolikem času

da cev 1vode?

24. ) Kolesu treba napraviti na obsegu, kateri ima 1 ,n f  8 ( j m , zobce,

kateri so 7^ 5 jeden od druzega oddaljeni; koliko zobcev
moralo se bo narediti?

25. ) Obod kroga ima 2 m j  13 % 5 m f m ]  kolik mu je premer? (§ 30,

nal. 39.)

26. ) Kolik je premer vratilu, ako se da 9 m /  2 ( j m  3 c f m  dolga vrvica

25krat okoli njega oviti?

27. ) Vratilo ima 3 d / m  25 m f m  v premeru; kolikokrat da se 28 m j  315 v f n

dolga nit okoli njega oviti?

28. ) Vrt meri 83346  □<$»; kolika mu je širina, ako je 38 ^

32 %  dolg?

29. ) Dvorana je 10 m j b (l j m  dolga in 9'3 n j  široka; koliko po 4"/ 2 d / m

dolgih in 25 c j m  širokih desek se potrebuje, da se pomosti dvorano?

30. ) Mramorna gruda, 1 m f 3 ,{ / n  dolga in 8 d [ m  široka, ima 1 kub."j

144 kub.d] m  prostornine; kolika ji je višina?

31. ) V 1 m f  5 M m  dolg in 5 d j m  širok vodnjak izprazni se 20 kub. d j m  držeča

posoda 15krat; kako visoko stoji potem voda v onem vodnjaku?

32. ) Koliko stane 62 Mg  blaga, ako velja 17 % a )  40 gl. 48 kr.,

b)  63 gl. 25 kr. ?

33. ) Koliko 9£jf  piva dobiš za a)  153 gl. 60 kr., b)  za 192 gl., ako ga

dobiš za 57 gl. 60 kr. 35%?

34. ) Koliko zasluži izbin malar v 28 dneh, ako zasluži v 9 dneh

14 gl. 76 kr.?

35. ) Krčmar kupi 4?i| vina po 30 gl. 40 kr., 2 Xj  po 24 gl. 28 kr.

in 3po 22 gl.; koliko ga stane poprek l^f?

36. ) Na trgu prodalo se je: 54pšenice  po 9 gl. 25 kr., 63 Mfc  po

9 gl. 10 kr., 80po  9 gl. 56 kr. in 53^ po 9 gl. 80 kr.; kolika
je srednja cena 12%?

6 *

84

7, Naloge za ponavljanje v računanji z mnogoimenskimi števili.

§ 50.

1. ) Zemljišnega, hišnega, pridobitnega in dohodninskega davka
plačuje

občina A  1348 gl. 85 kr.

» B  907 » 48 » koliko plačujejo vse štiri

» C  1214 » 67 »  občine skupaj?

» D  2092 » 58 » .

2. ) Ako velja 1vina  18 gl. 70 kr., koliko velja a)  325%,

b)  7 5% 80 ?

3. ) 1 5% vina velja 32 gl. 50 kr.; koliko j/ dobil ga bodeš za

23 gl. 40 kr.?

4. ) Izmed dveh kosov nekega blaga tehta prvi 265% 803%,,

drugi 187% 241%; a)  koliko tehtata oba skupaj? b)  koliko
tehta prvi več od druzega?

5. ) Posoda drži 35% 75 ^ vode; kolika je teža tej vodi? (1 vode

tehta 1 %.)

6. ) Sreberna šibika tehta na zraku 24% 201%, v vodi pa le 21%

781%; koliko teže izgubi v vodi?

7. ) 543 gl. 72 kr. treba med tri osebe tako razdeliti, da dobi A

polovico, B  tretjino in C  ostanek; koliko dobi vsaka oseba?

8. ) Nekoliko denarja razdelilo seje med 3 osebe tako, da je dobila

vsaka 28 gl. 50 kr.; pozneje se je razdelila isto tolika vsota
med 15 oseb. Koliko je dobila sedaj vsaka oseba, in kolika je
bila razdeljena vsota?

9. ) Barometer (tlakomer) stal je v podnožji gore na 7 d / m  2 c j m

9-2 v %i  in na vrhu na 6%, 5 %  4-5%»;  za koliko m f m  stal je
zgoraj nižje nego spodaj?

10. ) Konjarju ponudi nekdo za konja 123 gl. 50 kr.; a on ne sprejme

te ponudbe, ker bi le 4 gl. 15 kr. zaslužil. Ko pozneje konja
proda, ima 26 gl. 45 kr. dobička; koliko je plačal kupec?

11. ) Rio-Janeiro ima 22° 54' 10" južne širine, Madrid 40° 25' 18”,

Stuttgart 48° 46' 15", Kopenhagen 55° 41' 4", Stockholm
59° 20' 31" severne širine; določi razliko širin za po dve
izmed teh mest?

85

12. ) Katere dolžinske stopinje, štete od Pariza proti vzhodu, ujemajo

se s sledečimi, štetimi od Ferro proti vzhodu: a)  21° 35',
b)  27° 20' 35", c)  103° 8' 39", ker je Pariz za 20° vzhod-
nejši od Ferro?

13. ) London ima 2° 25' 45" zahodne dolžine (od Pariza), Berolin

11° 2' 30", Dunaj 14° 2' 36", Petrograd 27° 59' vzhodne
dolžine; kolika je razlika dolžin za vsaki dve izmed teh mest?

14. ) Za kolikor stopinj je kako mesto naše zemlje vzhodnejše nego

drugo, za tolikokrat po 4 časovne minute ima prej poldan
(zakaj?). Določi iz podatkov prejšnje naloge, koliko kaže ura v
vsakem ondi imenovanih mest, kadar je v Parizu poldan?

15. ) Koliko je ura a)  v Londonu, b)  Parizu, c)  v Berolinu, d)  v

Petrogradu, kadar je na Dunaji 11 in 15 minut 37 sekund
pred poldnem?

16. ) Po najnovejših časomernih (chronometerskih) določbah je časovna

razlika med Londonom in New-Yorkom 4 ure 55 min. 18 ‘95 sek.;
katero zapadno dolžino od Pariza ima New-York?

17. ) Neka ura je za 10 minut 35 sekund prekesna; koliko kaže

tedaj, ko je na uri, ki gre prav, poldan?

18. ) Koliko mesecev in dnij je

a)  med 18. marcijem in 25. novembrom:

b)  med 20. majem in 17. oktobrom;

c)  med 9. februvarjem in 30. junijem?

19. ) Koliko dnij in ur je

a)  od torka ob 4 popoldne do petka ob 7 zjutraj;

b)  od ponedeljka ob 8 zjutraj do sobote ob 6 zvečer?

20. ) Cesarica Marija Terezija umrla je dne 29. novembra leta 1780.,

stara 63 let 6 mesecev 16 dnij; kedaj je bila rojena?

21. ) Schiller je bil rojen dne 11. novembra leta 1759. in je učakal

45 let 5 mesecev 29 dnij: kedaj je umrl?

22. ) Goethe umrl je dne 18. marcija 1832. leta, star 82 let 7 mese¬

cev;. kedaj je bil rojen?

23. ) Slavni avstrijski vojskovodja maršal Badetzky je bil rojen dne

2. novembra leta 1766. in je umrl dne 1. januvarja leta 1858.;
kolike starosti je učakal?

24. ) Slavni astronom Herschel je bil 42 let 3 mesece in 8 dnij star,

ko je našel dnč 13. marcija 1781. leta premičnico Urana; umrl
je dne 27. avgusta leta 1822. Kedaj je bil rojen in kolike sta¬
rosti je učakal?

86

25.) Ako se računa solnčno leto, katero ima 365 dnij 5 ur 48 mi¬
nut in 48 sekund, po 365 dnij, a pogrešek skuša s tem po¬
praviti, da se računa vsako četrto leto za prestopno leto po
366 dnij: kolik je pogrešek pri tem računu v 400 letih?

26. ) 8 tucatov robcev kupi se za 43 gl. 84 kr.; po čem treba pro¬

dajati robec, da bo pri vsakem tucatu 1 gl. 5 kr. dobička?

27. ) Nekdo dobi 3 sode sladorja, kateri tehtajo 283% 489%, 295 %

239% in 334 % 28 3%; prazni sodi tehtajo 14% 673%, 15%
23% in 15% 27®%. a)  Koliko sladorja je v vseh treh sodih?
b)  Koliko velja slador, ako se plača za 100% 48 gl. 56 kr.?

28. ) Dve culi imata skupaj 335 % blaga. V prvi culi je 92 % po

1 gl. 36 kr., 1% blaga v drugi culi pa velja 1 gl. 85 kr.; ko¬
liko velja blago v obeh culah?

29. ) Trgovec kupi 295 ™j  57 c f m  sukna po 7 gl. meter, in 304 m f

16po  6 gl. 25 kr. meter; koliko ima dobička, ako proda
meter poprek po 7 gl. 12 kr.?

30. ) Lokomotiva preteče v 1 uri 2'5 min. 38%^ 312*/; koliko v

jedni sekundi?

31. ) Nekdo prehodi poprek vsako minuto 83 m j ; ako treba mu

povsem 151%i 310 ™/ prehoditi, koliko poti mora še prehoditi,
ako je že 2 uri hodil?

32. ) Kanonska krogla preleti v 1 sekundi 320 dunaj. sežnjev; koliko

časa potrebovala bi za 2%%j?

33. ) Solncu najbližja premičnica, Merkur, zavrti se okoli njega v

87 dneh 23 urah, najbolj oddaljena premičnica, Neptun, v
60625 dneh 19 urah; kolikokrat zavrti se Merkur okoli solnca,
med tem ko se Neptun samo jedenkrat  okoli njega zavrti?

34. ) Nekomu treba 1450 gl. plačati; ako plača na odbitek 120 ce¬

kinov po 5 gi. 65 kr. in 61 zlatnikov po osem goldinarjev po
9 gl. 65 kr., koliko ostane še dolžan?

35. ) Na Dunaji treba je bilo plačati 425 Napoleond’orov po 9 gl. 68 kr.;

s koliko a)  cekini po 5 gl. 68 kr., b)  angl. sovereigni po 11 gl.
94 kr., c)  rusk. imperiali po 9 gl. 75 kr. moglo bi se bilo tudi
plačati in koliko bi bilo treba v vsakem slučaji še v tekočem denarji
doplačati ?

36. ) Iz soda, ki drži 322% 25 f j  vina, napolnijo se trije manjši sodi,

od katerih drži prvi 7 1 /, 2 , drugi 6 :, / 4 , tretji 6 7 / S0  2%; koliko vina
ostane še v velikem sodu?

87

37. ) Za 10 gl. 8 kr. kupi A  84% nekega blaga, pozneje ga kupi po

isti ceni še za 6 gl. 48 kr.; koliko blaga je dobil drugič ?

38. ) 27 delavcev izgotovi neko delo v 7 mesecih 6 dneh; koliko časa

potrebuje za isto delo 18 delavcev?

39. ) Ako se dela na dan po 12 ur, dokonča se neko delo v 3 mesecih

6 dneh; v kolikem času bo delo končano, ako se dela na dan
le po 9 ur?

40. ) Žitni trgovec kupi 35 pšenice po 9 gl. 80 kr., 52 9tj  po 9 gl.

25 kr. in 8 9%  po 9 gl. 75 kr.: koliko ga stane poprek 1 #$ ?

41. ) Trije trgovci kupijo skupaj 17 cnt.  sladorja za 816 gl. 68 kr.,

A  ga dobi 3 cnt. , B  5 cnt. , C  9 cnt. ; a)  koliko mora vsak pla¬
čati, b)  koliko velja 1 ll jg  sladorja?

42. ) Za 5 m j  6% visoke stopnice treba je narediti po 2^, 3%  visoke

stopnje; koliko stopinj imele bodo stopnice?

43. ) Kolesa, ki gonijo lokomotivo, imajo 3 m j 21%  v obsegu; kolikokrat

morajo se zavrteti v jedni minuti, da pretečejo v 1 uri 367%, 401 *5 ”j  ?

44. ) Okoli točke je 5 kotov, izmed katerih znašajo štirje 63° 15' 57",

31° 48', 110° 52' 30” in 103° 35' 52"; kolik je peti kot, ker
znaša vsota vseh 360°?

45. ) Obod kroga razdelil se je na dva nejedneka loka; ako ima jeden

135° 43' 19", kolik je drugi?

46. ) Koliki del oboda je lok, kateri ima 2° 4’ 45”?

47. ) Premer krogu je

a)  4”/3% 7-5%,  b) 1 % 28 1 %;
kolik mu je obod?

48. ) Obod krogu je

a)  3”/2%4%l%,  b)  l-y 27-2%*;
kolik mu je premer?

49. ) Tla so 7 m j 2% 3%  dolga in 5"/ 1 d j m  6%  široka; kolika je

ploščina teh tal?

50. ) Nekdo zamenja njivo, katera meri 957 □ m /, za drugo ploskveno-

jednako in 16 n ) 5%  široko; kolika mora biti dolžina drugi njivi?

51. ) Mizarju treba narediti 10 ' m j  4%, 6%, dolga in 6 ”/ 9% 6%

široka tla; koliko ' m / 29% širokih desek potrebuje za to?

52. ) Koliko velja 38”/ dolg in 16”/ 2%  širok stavben prostor,

ako velja □ *) a)  5 gl. 34 kr., b)  8 gl. 72 kr. ?

53. ) Kolika je prostornina kockastega kamena, ako je njegov rob

2 %  38% dolg?

88

54. ) Kolika je prostornina pravokotni 4 cU m  2%  dolgi, 2<%  1 %

široki in l d j m  8 %  visoki posodi?

55. ) Ako izteče iz 7 □ %,  75 □ % velike luknje v vsaki sekundi

1 • 4™/ dolg curk vode, koliko je izteče v 1 uri?

56. ) Koliko tehta 2*/ 3%  dolga, 3 d j m  5%  široka in 1^8%  debela

plošča od litega železa, ako telita 1 kub. ^ litega železa 8 - l%?

57. ) Konj pelje 5 cnt.  44 Mg  težko breme; koliko konj je treba, da

speljejo 1 "j  5 d j m  dolgo, 1*/ široko in 8 d j m  visoko mramorno
grudo, ako tehta 1 kub. m /  mramorja 27 cnt.  20 %?

58. ) 5*y 2 %  široko in 2'Kf m  884% dolgo cesto treba je l d / m  2%

visoko s peskom posuti; koliko kub. n J  in vozov peska se potrebuje,
ako je truga (krsta) 2 m j 2 d j m  dolga, 1 m j  široka in 6 d j m  5%
globoka?

59. ) V 3 'f 8%  dolgo in široko posodo, katera je deloma z

vodo napolnjena, potopi se kamen, da ga voda čez in
čez pokriva; voda stoji potem 4 <%,  visoko. Ko se kamen zopet
iz vode vzame, stoji voda le še 3 d j, n  visoko; koliko prostora
zavzimal je kamen?

Tretji oddelek.
0 deljivosti števil.

1. Pojasnila.

§ 51.

Pravimo, da je število deljivo  (theilbar) z drugim številom,
ako da, z njim deljeno, celo število za kvocijent. N. pr. število 24 je
deljivo s 6, ker da 24 s 6 deljeno 4 za kvocijent brez vsakega
ostanka; nasprotno pa število 27 ni s 6 deljivo, kajti, ako delimo
27 s 6, dobimo ostanek.

Vsako število je deljivo z 1 in samo s seboj.  Ona števila,
katera so deljiva le z 1 in sama s seboj, imenujemo praštevila
(Primzahlen); n. pr. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, i. t. d. Ona števila pa,
katera so deljiva ne le z 1 in sama s seboj, nego tudi še z druzimi
števili, imenujemo sestavljena števila  (zusammengesetzte Zahlen);
n. pr. število 12 deljivo je z 1 in 12, a vrh tega še z 2, 3, 4, 6;
12 je sestavljeno število.

Ako je deljivo kako število z drugim številom, imenujemo
divizor mero  (Mass) dividenda, dividend pa mnogokratnik  (Viel-
faches) divizorja; n. pr. število 18 deljivo je s 6, 6 je tedaj mera
števila 18, in 18 mnogokratnik števila 6.

Ako je deljivih dvoje ali več števil z istim številom, imenujemo
to število skupno mero  (gemeinschaftliches Mass) onih števil; n. pr.
števili 24 in 16 sta deljivi z 8, 8 je tedaj skupna mera števil 24
in 16; isto tako je 5 skupna mera števil 10, 20, 50. Največje število,
s katerim je deljivih dvoje ali več števil, imenujemo naj večjo skupno
mero  (grosstes gemeinschaftliches Mass) teh števil; n. pr. šte¬
vila 2, 3, 4, 6, 12 so skupne mere števil 12, 24, 36, 60, število 12
pa je njih največja skupna mera.

1 je skupna mera vsem številom; zarad tega 1 ne jemljemo
v poštev, kadar govorimo o skupnih merah več števil. Števila, katera

90

nimajo razven 1 nobedne skupne mere, imenujemo medsebojna
ali relativna praštevila  (relative Primzahlen). Tako sta relativni
praštevili 5 in 13, isto tako števili 7 in 15, števili 9 in 25.

Število, katero je deljivo z dvema ali več drugimi števili, ime¬
nujemo skupen mnogokratnik  (gemeinschaftliches Vielfache)
teh števil; n. pr. število 24 je deljivo z 8 in 12, 24 je tedaj skupen
mnogokratnik števil 8 in 12; isto tako je 60 skupen mnogokratnik
števil 2, 3, 5, 12, 20. Najmanjše število, katero je deljivo z več
drugimi števili, zovemo najmanjši skupni mnogokratnik  (klein-
: tes gemeinschaftliches Vielfache) teh števil, n. pr. 60, 120, 180,
240,... so skupni mnogokratniki števil 3, 4, 6, 10, a 60 je najmanjši
skupni mnogokratnik onih števil.

Števila, katera imajo na mestu jednic 0, 2, 4, 6 ali 8 imenu¬
jemo soda števila  (gerade Zahlen); števila pa, katera imajo na
mestu jednic 1, 3, 5, 7, 9, liha števila  (ungerade Zahlen).

2. Občni izreki o deljivosti.

§ 52.

1. ) Ako imata dve števili skupno mero, deljiva je z
njo tudi njijina vsota.

Ker imata števili 30 in 18 skupno mero 6, mora tudi vsota
30 + 18 = 48 s 6 deljiva biti, kajti 6 je v 30 5krat, v 18 3krat,
tedaj v 30+ 18 5krat in 3krat, t. j 8krat.

2. ) Ako imata dve števili skupno mero, deljiva je z
njo tudi njijina diferenca.

Števili 30 in 18 sta deljivi s 6, tedaj mora tudi diferenca
30 — 18 = 12 deljiva biti s 6. Ker je namreč 6 v 30 5krat, v 18
3krat,, mora biti 6 v 30—18 5krat menj 3krat, t. j. 2krat.

3. ) Ako je deljivo število z drugim številom, deljiv
je tudi vsak njegov mnogokratnik z istim številom.

Število 30 je deljivo s 6, zatorej mora tudi 30 X 4 = 120
deljivo biti s 6. Kajti 6 je v 305krat, tedaj v 4krat 304krat toliko¬
krat, t. j. 20krat.

4. ) Ako ne da delitev dveh števil nikakeršnega
ostanka, je divizor sam največja skupna mera obeh števil.

N. pr. 60:15 = 4; tu je 15 gotovo skupna mera števil 60 in
15, ker sta obe s 15 deljivi; a 15 je tudi največja skupna mera,
ker število 15 ni z nijednim večjim številom deljivo nego je samo.

91

5.) Ako da delitev dveh števil ostanek, je največja
skupna mera med divizorjem in ostankom ob jednem
največja skupna mera med dividendom in divizorjem.

Delimo n. pr. 96 s 36.

96 : 36 = 2 tedaj  a)  96  - 36  X 2 = 24.

72..36  X 2 b)  36 x 2 + 24 = 96.

24 ostanek.

Ako imata tu dividend 96 in divizor 36 skupno mero, potem
je z njo ne le 96 in 36 X 2, ampak tudi diferenca 96 — 36 x 2,
t. j. po a)  ostanek 24 deljiv. Ono število je tedaj tudi skupna mera
divizorju 36 in ostanku 24.

Ako imata pa obratno divizor 36 in ostanek 24 skupno mero,
ni le 36 x 2 in 24, ampak tudi vsota 36 x 2 + 24, t. j. po
b)  dividend 96 z njo deljiv. Ono število je tedaj tudi skupna mera
dividendu 96 in divizorju 36.

Divizor in dividend imata zatorej zmerom isto skupno mero
kakor divizor in ostanek; zato pa mora največja skupna mera med
divizorjem in ostankom biti ob jednem tudi največja skupna mera
med dividendom in divizorjem.

3. Znamenja deljivosti.

§ 53.

1. ) 2 je v 10 brez ostanka, tedaj tudi v vseh mnogokratnikih
od 10, tedaj v 20, 30, 40...,  v 100, 200, 300...,  v 1000, 2000,
3000 i. t. d. Desetice, stotice, tisočice ...katerega koli števila so
tedaj zmerom z 2 deljive; ako stoji zatorej na mestu jednic 0, ali
pa kako z 2 deljivo število, namreč 2, 4, 6 ali 8, mora celo šte¬
vilo z 2 deljivo biti.

Z 2 so zatorej deljiva vsa soda števila.

Katera izmed števil 12, 38, 59, 1235, 2184, 19326, 93128,
13020, 35731, 24689, 75314 so deljiva z 2, katera niso?

Ali je vsota 3124 + 2157 + 3143 + 1938 deljiva z 2?

2. ) Stotice, tisočice ...vsakega števila so deljive s 4. Ako so
tudi desetice in jednice, vzete kakor število, deljive s 4, potem je
deljivo tudi celo število.

S 4 deljiva so tedaj vsa ona števila, katerih desetice
in jednice, vzete kakor število, so s 4 deljive.

92

Katera izmed števil 3924, 1038, 5016, 8033, 9062, 8752,
16536, 24300, 39235, 74636 so deljiva z 2, katera tudi s 4, katera
pa niti s 4 niti z 2 ?

3. ) Na podoben način dobiš tudi izrek: Z 8 je število
deljivo, ako so stotice, desetice in jednice, vzete kakor
število, z 8 deljive.

Katera izmed števil 352, 1630, 2876, 4756, 9492, 12748,
22062, 25864, 30508 so deljiva z 2, katera tudi s 4, in katera z 8 ?

4. ) Po prejšnjem dade se lahko dokazati sledeča pravila:

S 5 so deljiva vsa ona števila, katera imajo na
mestu jednic  0 ali 5.

Z 10, 100, 1000, ...deljiva so vsa ona števila, ka¬
tera imajo na desni 1, 2, 3, ...ničle.

Katera izmed števil 35, 120, 1225, 2300, 2400, 3500, 38400,
312705, 278000 so deljiva samo s 5, katera tudi z 10, 100, 1000?

5. ) Vsako število da se razstaviti na dva dela tako, da ima
jeden same mnogokratnike od 9, tedaj tudi od 3, drugi pa vsoto
vseh številovih številk. Tako sestoji n. pr. 5724 iz sledečih delov:

5000 = 1000 x 5 = 999 x 5 + 5
700 = 100 x 7 = 99 X 7 + 7
20= 10X2=  9x2  + 2

4 = . 4,

tedaj 5724 = 999 x5 + 99 x7 + 9x2 + 5 + 7 + 2 + 4.

Prvi del števila zatorej ima same mnogokratnike od 9, je
deljiv z 9, tedaj tudi s 3; ako je deljiv z 9 ali 3 tudi drugi del,
namreč številčna vsota, deljivo je tudi število samo. Iz tega sledi:

Število je deljivo s 3, ako je njegova številčna vsota
s 3 deljiva.

Število je deljivo z 9, ako je njegova številčna vsota
z 9 deljiva.

Katera sledečih števil 273, 1540, 5926, 8028, 12345, 20475,
38124, 67089, 705426, 791426, 310629 so deljiva s 3, katera tudi
z 9, katera pa niso ne z 9 ne s 3?

6. ) Vsako število, katero je deljivo z 2 in 3, deljivo je tudi
s 2 x 3, t. j. s 6.

S 6 so tedaj deljiva vsa ona soda števila, katerih
številčna vsota je s 3 deljiva.

Katera sledečih števil so deljiva s 6: 870, 1258, 5072, 5184,
31406, 560742?

93

Katera izmed števil 5814, 27082, 50931, 86240, 123456,
275085, 934316, 2355526 so deljiva s 6, katera le s 3, in katera
le z 2?

Povej, s katerimi izmed števil 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 so
deljiva sledeča števila:

a)  312, 8316, 3941, 57584, 23584, 740024, 652440;

b)  396, 1840, 5715, 31704, 56784, 714282, 1000362;

c)  375, 3450, 7131, 24377, 150180,219350, 221625.

Ako delimo dividend in divizor z istim številom, ostane kvo-
cijent neizpremenjen. Ako delimo v nakazanem kvocijentu dividend
in divizor z istim številom, pravimo, da nakazani kvocijent okraj¬
šamo  (abkurzen). — Okrajšaj v sledečih delitvah dividend in di¬
vizor kolikor mogoče s skupnimi merami, potem pa izvrši delitve:

a)  2737664:1536 ; b)  37838448:1728 ;

c)  70148912:5142; d)  11767920:73547.

Znamenja deljivosti s 7 in 11 nimajo zarad obzirnosti dokaza in uporabe
nikakeršne praktične vrednosti.

4. Razstavljanje sestavljenega števila na njegove prafaktorje.

Jednostavne faktorje ali prafaktor  je  (einfache Factor en,
Primfactoren) kakega števila imenujemo tista praštevila, katerih pro¬
dukt je ono število.

Da razstaviš sestavljeno število na njegove prafak¬
torje,  deli je z najmanjšim praštevilom, s katerim je deljivo, ne ozi¬
raje se na 1;kvocijent deli zopet z najmanjšim praštevilom, s katerim
je deljiv, ne izvzemši prejšnjega praštevila, in takisto ravnaj z vsakim
sledečim kvocijentom, dokler ne dobiš kvocijenta, ki je sam prašte-
vilo. Jeden za dragim uporabljeni divizorji in pa zadnji kvocijent
so prafaktorji danega števila.

Vzemimo, da je n. pr. 420 dano število, potem dobimo

54.

420 : 2 = 210
210 : 2 = 105
105 : 3 = 35
35 : 5 = 7

ali 420 2

210 2
105 3
35 5
77

tedaj 420 = 2 X 2 x 3 X 5 x 7.

94

Naloge.

5. Naj ve oj a skupna mera.

§ 55.

a)  Da najdeš največjo skupno mero dveh ali več
števil,  razstavi jih v prafaktorje in potem poišči iz med teh one,
kateri so vsem danim številom skupni. Produkt teh skupnih prafak¬
torjev je največja skupna mera danih števil.

Ako treba n. pr. najti največjo skupno mero števil 180 in 420,
potem je

2

2

3

5

7

najv. sk. mera ^2x2x3x5 = 60.

Ako nimajo dana števila nobednega skupnega faktorja, potem

so relativna praštevila.

Naloge.

Poišči najv. sk. mero števil

1 .)

2 .)

3. )

4. )

5. )

6 . )
7-)

a)  114 in 630;
a)  468 in 624;
a)  320 in 840;
a)  576 in 1080;
a)  294, 336 in 504;
a)  4464, 2604, 8184;

b)  105 in 165;
b)  426 in 540;
b)  252 in 448;
b)  954 in 2295;
b)  378, 882, 1386;
b)  740, 925, 2035;

a)  312, 468, 1092, 4680; b)  336, 1152, 2016, 2928.

§ 56.

b)  Najv. sk. mero dveh števil moreš pa tudi najti ne raz¬
stavljajoč števili v prafaktorje.

Vzemimo, da treba poiskati n. pr. najv. sk. mero števil 115 in
1495. Ker ta mera ne more večja biti nego je manjše od danih dveh
števil, poskusimo najprej, ali ni morda 115 v 1495 brez ostanka.

95

1495 : 115 = 13 Delitev res ne da ostanka, zatorej je divizor
345 115 sam največje število, s katerim sta 115

0 in 1495 ob jednem deljivi.

Ta slučaj je pa le redek; največkrat dobimo pri delitvi ostanek.
Kako nam postopati, da dobimo najv. sk. mero obeh števil v tem
slučaji, uči uže dokazani izrek: Največja skupna mera med
divizorjem in ostankom je ob jednem tudi najv. sk. mera
med dividendom in divizorjem.

Vzemimo, da nam je n. pr. poiskati najv. sk. mero med 481
in 1110.

1110 : 481 = 2 Ako delimo 1110 s 481, dobimo 148 za ostanek.

148 Vemo pa, da imata dividend 1110 in divizor

481 : 148 = 3 481 isto najv. sk. mero kakor divizor 481 in

37 ostanek 148; zatorej iščemo najv. sk. mero

148 : 37 = 4 med 481 in 148. V to svrho delimo 481 s
148, in tu dobimo 37 za ostanek; a najv. sk. mera med divizorjem
148 in ostankom 37 mora biti tudi najv. sk. mera med dividendom
481 in divizorjem 148, torej tudi med 1110 in 481. Tedaj iščemo
dalje najv. sk. mero med 148 in 37, deleč 148 s 37. Ker ne dobimo
pri tej delitvi ostanka, je divizor 37 sam najv. sk. mera med 148
in 37; zatorej tudi med 481 in 148, in takisto med 1110 in 481.

Račun moremo tudi tako-le izvršiti:

481

37

1110  2
148 3
0

37 najv. sk. mera.

Najv. s k. mero  dveh števil najdemo  tedaj na sledeči način:

Večje število delimo z manjšim; ako dobimo ostanek, delimo
z njim prejšnji divizor in tako dalje zmerom prejšnji divizor z ostan¬
kom,  dokler ne pridemo do delitve brez ostanka. Zadnji divizor je
potem iskana najv. sk. mera. Ako je zadnji divizor 1, potem nimata
števili razven 1 nobedne skupne mere, tedaj sta relativni praštevili.

Ali moramo, tako računajoč, slednjič priti do delitve brez
ostanka? Zakaj?

Da najdemo na ta način za več nego dve števili  najv. sk.
mero, treba da jo poiščemo za prvi dve števili, potem za tako
najdeno mero in tretje število, takisto za to novo mero in četrto
število, i. t. d.; zadnja najv. sk. mera je ob jednem najv. sk. mera
vseh števil.

96

Naloge.

Poišči najv. sk. mero števil

1. ) a)  931 in 245;

2. ) a)  372 in 1032;

3. ) a)  1274 in 21385;

4. ) a)  3008 in 4128;

5. ) a)  11968 in 23744;

6. ) a)  40824 in 54432;

7. ) a)  108779 in 185977;

8. ) a)  936, 1248 in 2158;

9. ) a)  3828, 5858 in 8845;

10. ) 16614, 21726, 29749 in 25!

11. ) 241164, 291060, 167706 in

b)  637 in 235;
b)  308 in 1144;
b)  3276 in 9867;
b)  4991 in 67735;
b)  38172 in 139778;
b)  80219 in 172843;
h)  137939 in 174587;
b)  435, 522 in 667;
b)  109368, 197904, 285355;

6. Najmanjši skupni mnogokratnik.

§ 57.

Ako množimo več števil jedno z drugim, je produkt zmerom
skupen mnogokratnik teh števil. Ako so ta števila relativna praštevila,
je produkt ob jednem njih najmanjši skupni mnogokratnik; ako
je pa deljivih dvoje ali več števil ob jednem z istim številom, potem
imajo tudi manjše skupne mnogokratnike, nego je njih produkt,

a)  Da dobimo v zadnjem slučaji najmanjši skupni mnogo¬
kratnik več števil,  treba da jih razstavimo na njihove prafaktorje
in od teh one izločimo, kateri so dvema ali več številom skupni.
Produkt teh skupnih faktorjev, množen s produktom ostalih neskup-
nih faktorjev, je iskani najmanjši skupni mnogokratnik danih števil.

Ako so n. pr. dana števila 16, 36, 60, imamo

2 sk. fakt.: 2, 2, 3;

2 nesk. fakt.: 2, 2, 3, 5;

3 najm. sk. mnogokr. = 2.2.3.2.2.3.5

5 = 720.

Na to rešitev opira se to-le praktično postopanje, ako
treba najm. sk. mnogokratnik več števil najti:

1. ) Dana števila zapiši redoma jedno poleg druzega ter takoj pre¬

črtaj ona manjša števila, katera so v večjih brez ostanka.

2. ) Potem treba gledati, ali ni kako praštevilo skupna mera dveh

ali več ostalih števil. Ako je, zapiši to mero na desno na stran

97

ter potem z njo deli vsa ona števila, katerim je mera; kvocijente
in vsa nedeljiva števila pa zapiši spodaj v novo vrsto drugo.
poleg druzega.

3. ) S to novo vrsto ravnaj isto tako, kakor s prvotno, in to posto¬

panje nadaljuj toliko časa, da dobiš na zadnje vrsto, v kateri
so sama relativna praštevila.

4. ) Ako množiš relativna praštevila zadnje vrste in na desno zapi¬

sane skupne mere, potem je ta produkt najmanjši skupni mnogo¬
kratnik vseh danih števil.

Najm. sk. mnogokr. je tedaj
4x3x5x2x2x3 = 720.

1 .)

2 .)

3. )

4. )

N. pr.: 16, 36, 60
8, 18, 30
4, 9, 15
4, 3, 5

Naloge.

Poišči najmanjši skupni mnogokratnik števil

b)  3 in 12;
b)  3 in 5;
b)  4, 6, 9;
b)  20, 30, 48, 72;

a)  6 in 8;
a)  8 in 12;

a)  2, 7, 30;
a)  5, 12, 16, 21;

5. ) 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 60;

6. ) 2, 3, 5, 8, 12, 18, 28, 40.

Tu imamo

g, 0, 0, g, 12, 18, 28, 40 2
6, 9, 14, 20 2

0, 9, 7, 10

najm. sk. mnogokr. = 9x7x 10 x2x2  = 2520.
Poišči dalje najm. sk. mnogokr. števil

7. ) 2, 4, 8, 16, 3, 9, 27, 6, 12, 24;

8. ) 2, 3, 7, 8, 16, 20, 35, 42, 50:

9. ) 5, 12, 8, 10, 21, 28, 30, 15, 60;

10. ) 16, 12, 9, 8, 25, 15, 24, 54;

11. ) 5, 12, 7, 9, 21, 45, 57, 72, 135;

12. ) 12, 27, 36, 28, 35, 54, 96, 112;

13. ) 77, 35, 42, 91, 126, 26, 60, 65;

14. ) 105, 126, 168, 210, 231, 294.

§ 58.

b)  Ako se ne dado dana števila lahko na prafaktorje razsta¬
viti, iščemo najm. sk. mnogokratnik na drug način, kateri se opira
na sledeče umovanje:

7

98

Ako delimo dve števili z njijino najv. sk. mero, morata biti
kvocijenta relativni praštevili. Ako množimo jednega teh kvocijentov
z drugim številom, so v tem produktu faktorji obeh števil, tedaj je
z obema številoma deljiv; a nobeden teh faktorjev se ne sme iz¬
pustiti, sicer ni produkt več z obema številoma deljiv. Oni produkt
je tedaj najm. sk. mnogokratnik obeh števil.

Da najdeš tedaj najm. sk. mnogokratnik dveh števil,
poišči najprej njijino najv. sk. mero, s to deli jedno izmed obeh
števil, a s kvocijentom množi drugo število. Produkt je iskani najm.
sk. mnogokratnik danih števil.

Ako sta n. pr. dani števili 1254 in 1653, tedaj je
1254 1653 1 57 je najv. sk. mera.

57 399 3 1254 : 57 = 22

0 7 1653 x 22 = 36366 najm. sk. mnogokr.

Ako treba poiskati na ta način najm. sk. mnogokratnik
treh ali več števil,  poišči na ravnokar navedeni način najm. sk.
mnogokratnik prvih dveh števil, potem za ta najm. sk. mnogokratnik
in tretje število, takisto za ta poslednji najm. sk. mnogokratnik in
četrto število, i. t. d. Zadnji najm. sk. mnogokratnik je ob jednem
najm. sk. mnogokratnik vseh danih števil.

Naloge.

Poišči na tu navedeni način najm. sk. mnogokratnik števil

1. ) a)  208 in 463; h)  184 in 644;

2. ) a)  296 in 481; b)  249 in 913;

3. ) a)  845 in 1183; b)  1379 in 2167;

4. ) a)  1073, 1102 in 1682; b)  507, 1183 in 1521:

5. ) 1555, 2177, 3421 in 4043;

6. ) 9756, 1355, 3252 in 4065;

7. ) 288, 384, 224, 576 in 784;

8. ) 2076, 6228, 3460, 5190 in 5536.

Četrti oddelek.

Računanje i  navadnimi ulomki,

1. Pojasnila in vaje.

§ 59.

Tv

Ako razdelimo jednoto (celoto) na več jednakih delov ter
vzamemo jeden ali več takih delov, imenujemo na ta način postalo
število ulomljen o število ali ulomek (gebrochene Zahl, Bruch).
Ako razdelimo celoto n. pr. na pet jednakih delov, imenujemo vsak
tak del petino; jedna petina, dve petini, tri petine, štiri petine, pet
petin, šest petin... so tedaj ulomki.

Za izraževanje ulomka potrebno je dvoje; najprej moramo
vedeti, na koliko jednakih delov  je celota razdeljena, potem pa,
koliko takih delov  nam je vzeti. Da ulomek izrazimo, potrebno
je tedaj dvoje števil; jedno pove, na koliko jednakih delov je celota
razdeljena, ono znači tedaj kakovost ali vrsto delov ali ono imenuje
dele, in zarad tega mu pravimo imenovalec  (Nenner); drugo pove,
koliko takih delov treba vzeti, ono šteje tedaj dele, in zato mu pra¬
vimo števec  (Zahler). N. pr. v ulomku dve tretjini je število 3 ime¬
novalec in kaže, da se je razdelila celota na tri jednake dele; 2 je
števec in pove, da smo vzeli 2 taka jednaka dela.

Imenovalec pišemo pod števec, med oba pa naredimo potezo.
N. pr. ulomek dve tretjini pišemo ali f ali %.

Ako vzamemo toliko jednakih delov, kolikor smo jih iz celote
naredili, potem imamo zopet celoto; ulomek, čegar števec je jednak
imenovalcu, jednak je tedaj celoti. Ako vzamemo menj delov, nego
jih ima celota, dobimo menj kakor celoto; ulomek, čegar števec je
manjši od imenovalca, je tedaj manjši od celote. Ako vzamemo
slednjič več delov, nego jih gre na celoto, potem dobimo več nego
celoto, t. j. ulomek, čegar števec je večji od imenovalca, je večji
nego celota.

7 *

100

Ulomke, katerih vrednost je manjša od celote, imenujemo
prave  ulomke (echte Briiche); vse druge ulomke, katerih vrednost
je ali jednaka celoti ali večja od nje, imenujemo pa neprave  ulomke
(unechte Briiche). N. pr.:

s■ <r> is) 128  so pravi,

I, |, V) rl) tW  s0  nepravi ulomki.

Število, sestoječe iz celega števila in ulomka, imenujemo me¬
šano število  (gemischte Zahl), n. pr. 5f, 57^. 3024f|.

Vsak ulomek smatrati moremo za nakazan kvocijent,
v katerem je števec dividend, a imenovalec divizor.

Ulomek f znači 4krat 5ti del 1 celote. Kvocijent 4:5 znači
5t.i del 4 celot; da pa dobimo 5ti del 4 celot, treba da razdelimo
vsako posamezno celoto na 5 jednakih delov in od vsake vzamemo
1 del; tedaj dobimo tudi tu 4krat 5ti del 1 celote. Tedaj je
f = 4:5.  N. pr.:

f gl. = 4krat 5ti del 1 gl. == 4krat 20 kr. = 80 kr.

4 gl.: 5 = 5ti del 4 gl. = 5ti del od 400 kr. = 80 kr.

Na ta izrek opira se ono uže v § 33 navedeno pretvarjanje
delitvenih ostankov na obliko ulomkov, ostanek vzame se namreč
za števec ulomku, čegar imenovalec je divizor.

§ 60.

Vaje. (Računanje na pamet.)

1. ) Koliko krajcarjev je pol goldinarja? Koliko krajcarjev je f, f,

I gl.?

2. ) Koliko tj  je Koliko tj  je f, f, f^?

3. ) Koliko mesecev je ±  leta? Koliko mesecev je f, f, f leta?

Pretvori

4-) 17) f, f, 17 na <%■

5. ) 1, f, f, na

6. ) h  i I) f knjige papirja na pole;

7. ) Koliko celot je f, f, f, f, y°?

8. ) Koliko mesecev je i f, f, f, f leta?

9. ) Koliko tretjin da 1 celoto, 2, 3, 4 celote?

10. ) Koliko tretjin je 2 celoti in 2 tretjini, 4 celote in 2 tretjini?

11. ) Kako dobiš \  celote; kako f, -f, f?

12. ) Koliko je i f, f, f, f, f, y° jednega gl., jednega % kjg,  leta?

13. ) Koliki del dneva je 6, 12, 18 ur?

101

14. )

15. )

16. )

17. )

18. )

19. )

20 . )
21 .)

22 .)

23. )

24. )

25. )

26. )

27. )

28. )
29.)

Koliko

5, 10

Kolika

Koliko

Koliko

Koliko

Koliko

Koliko

Koliko

lote in

Koliko

Koliko

Koliko

Koliko

Koliko

Koliko

Koliko

Koliko

četrtin ima jedna polovica? Koliko četrtin ima 2, 3, 4,
polovic ?

je | rizme, | ure, f "/?
je f rizme, koliko f gl., f ure, £«£?
celot je 5, 10, 15, 20, 25 petin?
je h  f, f, f, f, f, V 2 3  jednega leta, jednega dneva?
delov ure je 10 minut. 20, 30, 40, 50 minut?
šestin ima jedna polovica, koliko jedna tretjina?
šestin imajo 3 celote in 3 šestine, 5 celot in f, 4 ee-
7 celot in -§, 7 celot in f ?
dnij je f, f, f, f, f tedna?
ur je I, f, |, f, | dneva?
osmin ima četrtina, koliko polovica?
devetin je a.  koliko •§■, # ?

celot je v y>, v \\  V?

Irr ip JL _2_ _3_ _4_ JL A» 2. o. 9
■ J° 101  101  101  101  101  101  10  e 1- *

ie _i_ _2_ JL JL.  JL A O is kL  9
» J'' ioi  ioi ioi ioi ioi ioi 10 /a*

desetin ima A, koliko f ?

2. Pretvorba ulomkov.

«; Pretvorba nepravih ulomkov na cela ali mešana števila in obratno.

§ 61.

Koliko celot je v ?

Na pamet: 4 četrtine tvorijo 1 celoto; v 15 četrtinah je za¬
torej toliko celot, kolikorkrat so 4 četrtine v 15 četrtinah; 4 četrtine
so v 15 četrtinah 3krat, a ostanejo še 3 četrtine; 15 četrtin tvori
tedaj 3 celote in 3 četrtine.

Pismeno: —  15:4 = 3f.

Da najdemo tedaj celote, katere so v nepravem
ulomku,  treba da delimo števec z imenovalcem.

Naloge.

1. ) Koliko celot ima f, y, V, V. V, ff?

(Te in druge v tem oddelku sledeče naloge treba rešiti na pamet, ako
so števila jednostavna.)

2. ) Poišči celote iz sledečih ulomkov:

7 3 5 5_7 31 K 5 ±3  2.8 JLA 41 Afi_°

35 S 5 65 75 95 115 125 165 205 2 5 '

3. ) Pretvori na mešana števila sledeče ulomke:

6^3 1_0_6 1 7 1 8 0 2 6_7 13 2 0 1 0 4  1 3_1_7_7 5 0_7__13

25? 32? 37? 17? 84? 57 ) 416? 20 8 ? 471

102

§ 62.

Vsako celo in vsako mešano število da se pretvoriti na ne-
prav ulomek.

Ako treba n. pr. 5 izpremeniti na ulomek z imenovalcem 6,
sklepamo tako-le: 1 celota ima 6 šestin, 5 celot ima tedaj 5krat
6 šestin, zatorej 5 = 3 g°.

Da pretvorimo tedaj celo število na ulomek z danim
imenovalcem,  treba množiti celo število z danim imenovalcem;
ta produkt vzamemo za števec in dani imenovalec za imenovalec
iskanemu ulomku.

Pretvorimo dalje še mešano število 3f na ulomek. Najprej mo¬
ramo izpremeniti 3 celote na osmine; 1 celota ima 8 osmin, 3 celote
imajo 3krat 8 osmin, t. j. 24 osmin: ako k temu prištejemo še 5
osmin, dobimo 29 osmin; tedaj 3f = % 9 .

Da pretvorimo mešano število na neprav ulomek,
treba celo število z imenovalcem množiti in k produktu števec pri¬
šteti; ta vsota je števec, imenovalec ostane neizpremenjen.

Naloge.

1. ) Pretvori 1, 3, 6, 9, 13, 25, 128 na ulomke z imenovalcem a)  10,

b)  25, c)  60, d)  100.

2 . ) Pretvori sledeča mešana števila na neprave ulomke: 3f. 8-—,

37f,

15-j-f, 311 A, 238M, 884 T %, 702^, 537fff, 1305^1

b)  Razširjevanje ulomkov.

§ 63.

Kaj je več, T 7 ^ ali f ! 7r ? Čim več jednakih delov vzamemo, tem več
dobimo skupaj. Tedaj je T7r  več nego T ~, kar pišemo tako-le : T 7 5  > ~- 5 .

Ako ima tedaj dvoje ali več ulomkov isti imeno¬
valec, je oni večji, kateri ima večji števec.

Kaj je več, ~  ali -§? Na čim več delov jednoto razdelimo,
tem manjši so posamezni deli; tedaj je T 1 ^  manjša od ■§■, kar pišemo
tako-le: < | : tedaj tudi T \  < f.

Ako ima zatorej dvoje ali več ulomkov isti števec,
je oni manjši, kateri ima večji imenovalec.

§ 64.

Vrednosti ulomkove ne izpremenimo, ako razdelimo njegove dele
zopet na manjše dele. N. pr. ulomek f pomeni 3 jednake dele, ka¬
terih vsak je 5ti del celote; ako razdelimo vsakega izmed teh 3 delov

103

zopet na 4 jednake dele, dobimo 3 x 4 = 12 manjših jednakih
delov; vsak tak del je 4ti del celotine 5tine, tedaj 5x4 = 20ti del
celote; ulomek § izpremenili smo na ta način v istovreden ulomek
kateremu sta števec in imenovalec 4krat tolika, kakor števec in
imenovalec ulomka f.

JI   3 X 4    ^2

s 5  x  4  so-

Vrednosti ulomkove tedaj ne izpremenimo, ako mno¬
žimo števec in imenovalec z istim številom.

Ta izrek dobimo tudi tako-le umujoč:

Ako množimo števec s 4, dobimo 4krat toliko delov, kolikor jih je imel
prejšnji ulomek; ako množimo ob jednem tudi imenovalec s 4, dobimo dele,
kateri so posamič 4krat manjši od prejšnjih; novi ulomek ima zatorej 4krat
toliko, a 4krat manjše dele, tedaj je iste vrednosti s prejšnjim.

Ako pretvorimo ulomek f na izpremenili smo mule obliko,
vrednost pa mu je ostala neizpremenjena.

Kadar izpreminjamo ulomku obliko, množeč števec in ime¬
novalec z istim številom, pravimo, da ulomek razširjamo.

Z razširjevanjem moremo vsak ulomek brez izpremembe nje¬
gove vrednosti pretvoriti na druzega, ki ima za imenovalec mnogo¬
kratnik prejšnjega imenovalca. Ako hočemo n. pr. pretvoriti na
ulomek, čegar imenovalec je 48, treba da razširimo ~ z 48:12,
t. j. s 4; potem je ~  = £§.

Ako hočemo zatorej ulomek razširiti na druzega z
danim imenovalcem,  treba le novi imenovalec deliti s prejšnjim
ter s kvocijentom množiti prejšnji števec; produkt je novi števec.

Ako nam je n. pr. ulomek f pretvoriti na druzega z imeno¬
valcem 20, dobimo

20:4  = 5;  3 x 5 = 15; tedaj f = M-

Na pamet: 1 celota ima 20 dvajsetin, 1 četrtina ima 5 dvaj¬
setin ; 3 četrtine imajo 3krat 5, t. j. 15 dvajsetin.

Pretvori isto tako f na imenovalec 18, f na imenovalec 24,
t 5 2  na imenovalec 120, f na imenovalec 240.

Z razširjevanjem mogoče je tudi več ulomkov pretvoriti na
skupen imenovalec, kadar je ta deljiv z vsemi imenovalci danih
ulomkov. Ako treba n. pr. ulomke f, f, fl pretvoriti na skupni
imenovalec 48, dobimo

48: 3 = 16, 2 x 16 = 32, tedaj f = ff;

48: 8 = 6, 5 x 6 = 30, » f = H!

48:12 = 4, 11 x 4 = 44, » \\  = M-

104

Pretvori

1. ) ulomke § na. imenovalec 10;

2. ) * f, h  t 7 o » 60;

3. ) » h  I, IH  » ’ 144;

4. ) » b h  f, f, f * * 120:

5. ) * f, f, f, f, lf » * 39270.

§ 65.

Kadar hočemo več ulomkov glede njih kolikosti primerjati,
seštevati ali odštevati, treba da jih pretvorimo na skupen imeno¬

valec. Da je pa računanje kolikor mogoče kratko, pretvarjamo jih
navadno na najmanjši skupni imenovalec;  ta pa je očividno
najmanjše število, katero je z vsemi danimi imenovalci deljivo, za¬
torej njih najmanjši skupni mnogokratnik.

Naloge.

1.) Pretvori ulomka f in T \  na najmanjši skupni imenovalec.

Najm. sk. mnogokratnik števil 4 in 10, zatorej najm. sk. imenovalec
ulomkov f in j 7 q  je 20.

Na pamet: , ^i, ■ 4 3krat •>  ( o -

1 = JL = 7krnf - 2 - = ii

10 2 01 10 1  K.1 cll 2  O 2 0*

Izpremeni te-le ulomke na ulomke z najm. sk. imenovalcem:

najmanjši ?

Da moreš te ulomke glede njih kolikosti primerjati, treba jih pretvoriti
na skupen imenovalec.

12 .) Uredi sledeče ulomke po njih kolikosti. začenši z najmanjšim:
z A  15. 11 1A AA Al 111

6) 7 ) 195 20) 24) 3 5) 4 5) 1 2 5*

105

e)  Okrajševanje ulomkov.

§ 66 .

Ulomek ne izpremeni svoje vrednosti, ako mn zjedinimo dele
v večje, med seboj jednake dele. N. pr. ulomek znači 12 jednakih
delov, od katerih je vsak 20ti del celote; ako združimo od teh 12
delov po 4 v jeden sam del, imamo le še 12 ; 4 = 3, toda večje jed¬
nake dele; teh delov gre, ker ima vsak 4 prejšnje, le 20 : 4 = 5
na jedno celoto, t. j. vsak tak del je }  celote; ulomek izpreme-
nili smo tedaj v isto vreden ulomek f, čegar števec in imenovalec
sta 4ti del števca in imenovalca od 4Jr-

12  _ 12  : 4 ” 3

30 —  20 : 4 ~ 5-

Vrednosti ulomkove tedaj ne izpremenimo, ako delimo
števec in imenovalec z istim številom.

Ta izrek moremo tudi tako-le dokazati:

Ako delimo števec s 4, dobimo 4krat menj delov; ako delimo ob jednem
tudi imenovalec s 4, so posamezni deli novega ulomka 4krat toliki; tedaj do¬
bimo 4krat menj, a 4krat večje dele; ulomku izpremenili smo zatorej delivži ga
le obliko, ne pa vrednosti.

S pomočjo tega izreka moremo ulomek okrajšati,  t. j. z
manjšimi števili izraziti, ne izpremenivši mu vrednosti.. A to je le
tedaj mogoče, kadar imata števec in imenovalec skupno mero.

Naloge.

2 3 4

1.) «; T y=f;  h)  if = |:  c) ff —  t 4 t :

5  10  |

9 \  /,) 35-7. 7 } ) 420 — 42  — 14

"•j w / 40 8 3 V 510 5 1 17*

3. ) Okrajšaj sledeče ulomke kolikor mogoče:

84 35 7 2 135 102 410 192 63 0 _9 6 0 1625 5.5.  2.  2 2 4 0

126’ 8 0’ 90’ 480’ 282’ 2520’ 240’ 900’ 1728’ 2000’ 3024’ 3360’

64 80  2194 5

1554 2’ 3172 0*

4. ) Okrajšaj še sledeče ulomke, a tako, da poiščeš med števcem in

imenovalcem po § 56 najv. sk. mero:

805 2924 864 1724 820 2 5 6 7 _1_7 0.7.

966’ 5117’ 1874’ 1023’ 6076’ 6191’ 2845*

5. ) Pretvori 40 kr. na ulomek goldinarja in dobljeni ulomek potem

okrajšaj.

1 kr. je lOOti del 1 gl, tedaj

40 kr. = T V°o gl. = T 4 o  gl- = f gl-

6. ) Kateri ulomek goldinarja da

a)  24 kr.? b)  42 kr.? c)  75 kr.? d)  84 kr.?

106

7. ) Zdebeli na isti način na %

a)  30%; b)  45%; c)  56%; d)  80%.

8. ) Koliko let je

a)  8 mes.? b)  10 mes.? c)  30 mes.? d)  42 mes.?

9. ) Koliko ur je

a)  6 min.? b)  16 min.? c)  24 min.? d)  56 min.?

d)  Pretvarjanje navadnih ulomkov na decimalne ulomke.

§ 67.

Navaden ulomek pretvorimo na decimalen ulomek,  ako
delimo števec z imenovalcem, dokler je mogoče. Kadar ni v divi¬
denda nobedne številke več, da bi jo pripisali k ostanku, tedaj posta¬
vimo v kvocijentu decimalno točko, k temu in vsakemu sledečemu
ostanku pa pripišemo ničlo ter dalje delimo.

Ako delitev nazadnje ne da ostanka, potem je decimalni
ulomek, katerega smo za kvocijent dobili, danemu navadnemu ulomku
popolnoma jednak; a to je le tedaj, kadar je imenovalec 2 ali 5, ali
pa produkt, ki nima od 2 in 5 različnega faktorja. Ako dobimo pa pri
delitvi ostanek, je najdeni decimalni ulomek samo približne vrednosti,
ter tem približnejši, čim več decimalk smo izračunali. N. pr.

1. ) = 225 : 16 = 14-0625;

2. ) f|= 23 : 78 = 0'2948...

V drugem primeru dobimo pri delitvi ostanek; decimalni ulomek 0-2948
ne izražuje tedaj navadnega ulomka ff popolnoma, ampak le približno.

3. ) Pretvori še sledeče ulomke na decimalne ulomke;

JL A JL _Z_ JA 3 3 1  1  2 3 9 1 2  3 73_ JJ7 6 3 5 9 3 1 1 1 7

2? 4? 8? 12? 12? 128? 5? 25? 135 ? 6 25? 20? 80? 24? 11? 35?

2.JL 117 7 1 9

30? 24 1? 1 7 2 8*

Kadar delitve ni moči izvesti brez ostanka, moramo dobiti, ako
delitev nadaljujemo, slednjič ostanek, katerega smo že prej imeli,
a potem se bodo tudi v kvocijentu v istem redu ponavljale številke,
katere smo bili že prej dobili.

Decimalen ulomek, v katerem se jedna ali več številk ponavlja,
imenujemo povraten ali perijodičen  (periodisch), vrsto ponavlja¬
jočih se številk pa p o vračaj ali perij  odo  (Periode). N. pr.:

» T *i  = 29-41666.. .; fff = 0-24141...; ff = 0-351351. ..

V prvem primeru ima perijoda jedno številko, namreč 6, v drugem dve,
namreč 41, v tretjem tri, namreč 351.

107

Perijodo pišemo navadno le jedenkrat, toda prvo in zadnjo njeno
številko zaznamenujemo s točkama, kateri postavimo nad te številki.
Tedaj je

m  = 29 ' 41 6; tw = 0-24i; U  = 0-35i.

e)  Pretvarjanje decimalnega ulomka na navaden ulomek.

§ 68 .

Pri pretvarjanji decimalnih ulomkov na navadne treba nam raz¬
ločevati sledeče slučaje:

1. ) Ako je decimalen ulomek končen (endlich), t. j. ako nima
perijode, treba ga le izgovoriti in imenovalec dostaviti, a tako iz¬
govorjeni decimalni ulomek napisati v obliki navadnega ulomka. N. pr.
decimalni ulomek O - 48 izgovarjamo: 48 stotin; ako to zapišemo, do¬
bimo 0 - 48 = j,*-,;-

Končen decimalen ulomek pretvorimo tedaj na na¬
vaden ulomek,  ako vzamemo za števec njegove decimalke, za ime¬
novalec pa 1 s toliko ničlami, kolikor je decimalk; tako dobljeni
ulomek treba, ako mogoče, še okrajšati. N. pr.:

1. ) a)  0-25  = t 2 q 5 o = a b)  0-175 = T Wo =

2. ) a)  3-5 = 3 t V = 3i. b)  18-75 = 18^ = 18f.

3. ) Pretvori še sledeče decimalne ulomke 0'4,  O - 025, O - 336, 6 - 48,

36‘15, 10'064, 58'0256, 233-1225 na navadne ulomke.

2. ) Recimo, da nam je pretvoriti na navaden ulomek čisto
perijodičen  (rein periodisch) decimalen ulomek,  t. j. tak, ki
nima pred perijodo nikakeršnih decimalk, n. pr. 0-408. Ako mno¬
žimo ta brezkončni decimalni ulomek 0 • 408408408... s 1000, do¬
bimo 408-408408...; ako odštejemo sedaj od lOOOčernega ulomka
jednoterni ulomek, je ostanek brez decimalk; dobimo namreč:

lOOOčerni ulomek
lterni ulomek

408-408408.

0-408408.

odštev.

999terni ulomek = 408,
tedaj jednoterni ulomek
vsled tega je 0-408
Čisto perijodičen

10 . 1 -
9  9  9  ’
4  08
9  9  9 *

decimalen ulomek pretvorimo
tedaj na navaden ulomek,  ako vzamemo perijodo za števec, za
imenovalec pa toliko 9, kolikor ima perijoda številk. N. pr.:

1.) a)  0-3 = f = |. b)  0-63

6 . 3 . —
9  9

7

1  1 *

2.) a)  7-6

79

' 9

72.

1  3 *

b)  28*2418 = 281

9ftJL9JL

60 3333 ’

108

Pretvori še sledeče perijodične decimalne ulomke na navadne
ulomke:

3. ) a)  0-5; b)  0‘72; c)  3-42; d)  5 07;

4. ) a)  8-98; b)  0-504; c)  0-428; d)  2-936;

5. ) a)  17-422; b)  8-8460; c)  3-7329; d)  0-53846L

3.) Ako treba pretvoriti na navaden ulomek nečisto perijodi-
č e n (unrein, gemischt periodisch) decimalen ulomek,  t.j.tak, ki ima
pred perijodo še druge decimalke, n. pr. 0-82345, množimo brez¬
končni ulomek 0-82345345345. .. najprej s 100000 in potem s 100;
ako odštejemo sedaj lOOterni ulomek od lOOOOOčernega ulomka, je
ostanek. 99900terni ulomek, brez decimalk, dobimo namreč:
lOOOOOčerni ulomek = 82345-345345...)

lOOterni ulomek = 82 • 345345.. . / 0  h ev "

99900terni ulomek = 82263,
in jednoterni ulomek = fff ff;
tedaj je 0-82345 = fffff.

Števec tega navadnega ulomka dobili smo na ta način, da
smo odšteli od 82345 število 82, da smo vzeli tedaj pred perijodo
stoječi decimalki 82 s perijodo 345 vred za število in od tega šte¬
vila 82345 odšteli pred perijodo stoječi decimalki 82. Imenovalec
ima toliko 9, kolikor ima perijoda številk, s toliko ničlami na desni,
kolikor decimalk je pred perijodo.

Iz tega sledi:

Nečisto perijodičen decimalen ulomek pretvorimo
na navaden ulomek,  ako odštejemo število, obstoječe iz decimalk
pred perijodo, od števila, obstoječega iz decimalk pred perijodo in v
perijodi, ter to diferenco vzamemo za števec ulomku, čegar imeno¬
valec ima toliko 9, kolikor ima perijoda številk, s toliko ničlami na
desni, kolikor je pred perijodo decimalk. N. pr.:

58  — 5
90
343

1. ) 0-58  =

2. ) 0-343 ■= - 535 -

3. ) 45-23713 - 45

— 53  .
90 ’

34

—  8J) 9_ —
900

23713  — 23
99900

1.0.3.
3 0 0

9 O-

9 9 9 0 0

= 45|

Pretvori še sledeče perijodične decimalne ulomke na navadne
ulomke:

4. ) a)  0-83; b)  0-48;  c)  0*083; d)  0-426;

5. ) a)  0-826;  b)  0-348; c)  4*196; d)  0-5727;

6 . ) a)  5-5226;  b)  7*7466; e)  9-15296: d)  8-73517.

109

3. Seštevanje ulomkov.

§ 69.

5 devetin in 2 devetini je 7 devetin; ali

jj 4- 1 = 1

9 9 9'

Ulomke jednakih imenovalcev seštevamo, ako sešte¬
jemo števce, skupni imenovalec pa pridržimo.

Ako imajo ulomki nejednake imenovalce, treba jih pretvoriti
na skupen imenovalec, a potem sešteti.

Naloge.

1-)

2 .)

3.)

JL + _7_ + 1JL =

15  1  15  1  15

= l- 7 -

i 15'

4. )

5. )

6 . )

?•)

8.)

JL 4- JL 4.

on 1  on 1

51

61

ra

°8

20 |

127^

+ AA = 9
1  20

Ako seštejemo tu ulomke, dobimo g 5  — 1-g-; ulomek g zapišemo,
1 celoto pa prištejemo k celotam sumandov.

+ 244if + 105 + 183ff

+ 17ff = ?

Trgovec dobi iz Hamburga 12| cnt.  kave in 13f cnt.  sladorja;
koliko cnt. skupaj?

Nekdo ima 4 kose platna, kateri imajo posamič 47 a,  48, 50f
in 51 koliko ™/ imajo vsi 4 kosi?

Imamo štiri števila; prvo je 8jt, vsako sledeče pa je za 2f večje
od prejšnjega; kolika je vsota vsem?

Seštej ulomka

20

m 4.

Pretvori ulomka na jednaka imenovalca; najm.
sk. imenovalec je 20; nova ulomka sta !g in
¥ 8 o,  vsota jima je ff = l^r-

9-)

10 .)

11 .)

12 .)

13. )

14. )

15. )

16. )

17. )

18. )

b)  1 + I =?

b)  f

LA =9

a)  | + | =?

a)i + i + i  =?

n)  i + A. + ii + A__

u /  8 T  1 2 1  20 1  24

5f + 4-5 = 5f + 4| = 10

a ) i  + t + 7  =?

23| + 28|A + 47f + 39 =?

8i  + 9f + 101 + 141! + 12 fi =?

45 + 31! + I + 63| + 57|! =?

35_^ + 48-75 + 10|f + 18 + 7-26 =?
243| + 315 T V + 268/* + 523 T % + 385 =

+ A 4- 1  =9

1  5 1  9

h) 17  _1_ 1.6 _L 13 J_4 =9

V 18 1  27 1  36 1  15

b)  5| + 2*3 + 7f =?

110

19. ) 1234* + 3578§f + 808* + 2182* =?

20. ) 34218|| + 9835** + 18072** + 40684 + 21790f* =?

21. ) Ako položiš 4 deske, katere imajo 1-f, 2*-, 2* 2f ( j m  debeline,

jedno na drugo, kolika je debelina vsem?

22. ) Nekdo kupi 3j. 5|- in 6 A m j  sukna; koliko skupaj?

23. ) Nekomu treba plačati 37f gl., 15 T * gl., 22* gl., 5f£ gl. in

121 gl.; koliko skupaj?

24. ) 128f marke, + 87* m. + 92J m. + 63-§ m. =?

25. ) Kmet pridela 48|-$| pšenice, 40|reži,  65f$f ječmena in

82f ovsa; koliko žita je pridelal?

26. ) 26£% ft  dolg, 12|*„, širok in 7* ( ‘j m  visok kamen obmeče se na vseh

straneh ^ c f m  debelo z malto; kolike so mu sedaj vse tri razsežnosti?

27. ) Vodnjak polnijo tri cevi; prva ga napolni sama v 1 uri a,  druga

v istem času a,  tretja a.  Koliki del vodnjaka bo napolnjen v
jedili uri, ako teče voda iz vseh treh cevij?

28. ) Jedna sesalka more izplati vodo, katera je v nekem rudniku, v

15, druga pa v 12 dneh; koliki del vode izpoljeta obedve
skupaj v jednem dnevi?

29. ) Nekdo ima pet sodov vina, držečih posamič 18*, 17f, 16|,

16f in 15*$|; koliko vina je v vseh sodih?

30. ) Kolika je vsota petim številom, ako je prvo 731* in vsako

sledeče za 27f večje od prejšnjega?

31. ) Trgovec dobi šest sodov sladorja; v sodu A  ga je 145f %, v

B  146f%, v  G  146f%, v D  147|%, v E  148*%, v F
150*%; koliko sladorja je v vseh sodih?

32. ) V trikotniku so stranice 225f, 173§ in 205f ; kolik mu je obseg?

33. ) V peterokotniku znašajo koti posamič 65° 27f', 148° 51*'.

92° 32f', 185° 29f' in 47° 38*'; kolika jim je vsota?

34. ) Neki posestnik ima 54^ 8f njiv, 23^ 58f ^ vinogradov,

50?* 55 *°j  travnikov in 89*), 7 ) a j  gozda; koliko je vse
njegovo posestvo?

i.  Odštevanje ulomkov.

§ 70.

7 osmin menj 5 osmin sta 2 osmini; ali

_7    _5  — 2

8  8  8 *

Ulomke jednakih imenovalcev odštevamo,  ako odšte¬
jemo' števce, skupni imenovalec pa za imenovalec pridržimo.

111

Ulomke nejednakih imenovalcev treba najprej pretvoriti na
skupen imenovalec, potem pa odšteti.

Naloge.

1 \ .8 — A = A = .1

x  V 9 9 9 3 *

2-)

3. ) a)  8;‘ - 5 =? i; 21§ - 15 =?

4. ) 37* - 10 t 3 t ? b)  127* - 78* =?

5. ) 318* - 209* = 108* = 108|.

Tu ne moremo * odšteti od *, zato pomnožimo * za  celoto = *;
na ta način dobimo *, potem pa odštejemo * od rf- Ker smo pa minuend
za 1 celoto pomnožili, pomnožiti moramo tudi subtrahend za 1 ter 210 od 318
odšteti.

6. ) a)  57/* - 38 x * = ? b)  4105* - 289* =?

7. ) 50 - 23f = 26|.

Tu prištejemo k ulomku v subtrahendu toliko, da bobimo 1 celoto, pri¬
šteti ulomek pa zapišemo takoj v ostanek; potem pomnožimo subtrahend za

1 celoto ter celote odštejemo.

8 .)

9.)

10 .)

11 .)

1432*

= 9

a)  129 - 89*=?  b)  2000

Od odproda se *^; koliko ostane še?

Od 36 platna odproda se 17 3 m /:  koliko ostane?

Neki delavec zgotovi prvi dan * svojega dela; koliko mora še
zgotoviti?

12. ) Nekdo prejme 228* gl., izda pa 150* gl.; koliko mu še ostane?

13. ) A  je 37* leta star, B  28* leta; za koliko je ^starejši od B—a?

5

1  2 *

1 2
ostane

1A-

3 6 5

— /g. Ako pa odšteješ ^

od *,

15. )

16. )

17. )

18. )

a)

a)

a)

a)

_7_

3 6

— A = 9
8

1 7
20

JLA —
2  8

J5 A _

6 O

AA —
1 8

:?
= 9

_4_

2  2
1 3
25

0-3 =?

b)
b)
b)

b)  0 - 25

S =9

5

—  _A_ =9
1 2

2.AA _ AAA = 9

480 600

_5_

1 2

= 9


112

23. ) a)  7123fH - 6018^1 = ? b)  5936^ - 58Ufff = ?

24. ) a)  704-45 - 719i| =? b)  918^- 677-38 = ?

25. ) 623if + 308if - 738f| = ?

26. ) 319ff - 183$ - 104f| = ?

27. ) Neki uradnik ima 87-| gl. mesečne plače; koliko prihrani, ako

izda 74f gl.?

28. ) Cent. sladorja se kupi za 55 ž 8 j gl., proda pa za 61 X 5 X  gl.; kolik

je dobiček?

29. ) Za koliko postane ulomek ^  večji ali manjši, ako

a)  prišteješ k števcu in imenovalcu 1,

b)  odšteješ od števca in imenovalca 1?

30. ) Za koliko je vsota 37f + 13 x 5 2 večja od razlike 67f — 19f ?

31. ) Imamo sledeče ulomke; |, f, x ^, g X , eV : za  koliko je vsota

prvih dveh ulomkov manjša nego 1 ? — za koliko vsota prvih
treh, štirih, petih, šestih ulomkov?

32. ) Trgovec je imel 23^% nekega blaga; sedaj ga ima le še 7

koliko ga je odprodal?

33. ) Neko telo tehtalo je na samem zraku 17§ pod vodo pa le

14f hjg\  koliko svoje teže izgubilo je v vodi?

34. ) 5 pud. 19 T 5 g fnt. (Ruska.) — 2 pud. 36|-| fnt. =?

35. ) Nekdo prejme 73 x 7 „gl., 9f gl, 28f gl, izda pa 47-|£ gl., 23f gl.,

31^ gl.; za koliko je prejel več nego izdal?

36. ) Sledečih kovin tehta lkubAf m  v %: platine 22 X 9 X , zlata 19 XX . svinca

111, srebra 101,. bakra 8f; za koliko je 1 kub.d/ m  vsake prejšnje
teh kovin težji nego 1 hub.d/ m  vsake sledeče ?

37. ) Tri vreče tehtajo z rižem vred 125f, 127128|,  nemšk. fnt,.;

prazne vreče tehtajo 8|, 8f, 8f fnt.; koliko riža je vseh treh vrečah?

38. ) Od 538 x %- gl. dolga odplača se po malem 86-| gl., lOf gl., 118^- gl.,

158fj( gl.: kolik je ostali dolg?

39. ) Imamo štiri števila: prvo je 25|, drugo za 8| večje od prvega,

tretje za 12f manjše od druzega, četrto je jednako razliki med
prvim in tretjim; kolika je vsota vsem štirim številom?

5. Množenje ulomka s celim številom.

§ 71.

Ako vzamemo 5 šestin 7krat, za sumand, dobimo 35 šestin; ali
s x 7 = »

Ulomek množimo s celim številom,  ako števec s celim
številom množimo, imenovalec pa neizpremenjen pridržimo.

113

Ulomek moči je pa še na drug način s celim številom mno¬
žiti. Ako pustimo namreč v ulomku števec neizpremenjen, a od
imenovalca vzamemo le polovico, tretji, četrti del, dobili bomo dele,
ki so posamič 2-, 3-, 4krat. toliki, ker je jednota na menj delov
razdeljena; dobili bomo tedaj isto toliko, toda 2-, 3-, 4krat tolike dele,
zato je tudi vrednost novega ulomka 2-, 3-, 4krat tolika kakor je
bila vrednost prejšnjega ulomka.

Ulomek množimo tedaj s celim številom tudi,  ako
imenovalec s celim številom delimo, števec pa neizpremenjen pu¬
stimo. N. pr.: 7  v q — _Z__ _ 7  — i 3

12  6  12:3 4

Ta drugi način moči je oči vidno le tedaj uporabljati, kadar
je imenovalec danega ulomka deljiv s celim številom.

Naloge.

1. ) a)  * X 11 =ff = 5||. b)  x 9 = V 8  = 6f

2. ) a)  | x 8 =5. b)  * x 12 = 7.

Iz zadnjih dveh primerov sledi: Ulomek, množen s svojim
imenovalcem, da števec za produkt.

3. ) a)  | x 13 =? b)  ff X 5 =?

4. )«;f|x38=? b)  T * x 337 = ?

5.) a)  if x 12

1J6
1 8

= =
° 1 8

8 2  •
°3 J

ali

13 2

^ X 12 = ^ = 8f.

Ig 3 3

3

Množitev lahko skrajšamo, kadar imata ulomkov imenovalec in pa celo
število skupno mero, deleč obadva pred množenjem z ono mero.

6. ) a)  if X 14 =? b)  f£ x 36 =?

7. ) a) U  X 20 =? b)  iif x 75 = ?

8. ) Množi 5f s 7.

Na pamet: 7krat 5 celot je 35 celot; 7krat 3 četrtine je 21 četrtin, te
dado 5 celot in 1 četrtino; skupaj 40 celot in 1 četrtina.

Pismeno:

5 I x 7 Tu govorimo: 7krat £ je

4^1  in 5 je 40.

4  Ali: 5f X 7 = V X 7 =

9.) a)  19f X 9 =?

10. ) a)  74f X 8  =?

11. ) a)  53 X V X 35

-X 5

267i|

-X 7

1875 *

2 X , t. j. 5 celot in 7krat 5 je 35,
= 40U

b)  18* X 11 = ?

b)  19|f X 37 =?

b)  23|| x 45

-x 9

2111

--X 5

1059f

12.) 1velja  18f gl.; koliko velja 8^?

g

114

13. ) Uradnik ima na dan 4| gl. plače: koliko na mesec, koliko na

leto?

14. ) Kolik je obseg kolesu, katero ima 48 zobcev, ako so ti po 4^%

jeden od druzega oddaljeni?

15. ) 1 cnt.  velja 43gl.;  koliko velja

a) lent.? b)  25 cnt.? c)  37 cnt.?

16. ) Koliko stane 324□ m /  stavbenega prostora, ako se plača □’"/

po gl.?

17. ) Koliko velja 45 kjg  po 20 kr. ?

Na'*pamet: 20 kr. = -g- gl.; 45% po -g gl. velja g 5  gl. = 9 gl.

18. ) Koliko velja 36 f, ako velja 1 <j a)  10 kr., b)  20 kr., c)  25 kr.,

d)  50 kr.?

19. ) Koliko stane 36 v )  po 30 kr. ?

Na pamet: 36™/ po 3 desetice = 108 desetic, t. j. 10 gl. 80 kr.

Pismeno: 36 «f po T %  gl.... To  gb X 36 = V°o* = 10f gl.

ali 367 po i  gl.9 gl.

P° šV gl • • • itT gl- =  1^7 gl- =  if ž

10fgl.

20. ) Koliko velja 1272%, ako velja 1S^ a)  15 kr., b)  24 kr.,

c)  35 kr., d)  60 kr., e)  75 kr.?

21. ). Avstrijski srebern goldinar tehta g* T %; koliko tehta a)  98 gl.

b)  162 gl., c)  500 gl.?

22. ) Koliko velja 156 angl. sovereignov po 12J gl.?

23. ) Koliko čistega zlata je v šibiki, katera ima 7 hjg  sirove teže

(Rauhgevvicht), a ywso  čistine?

24. ) Koliko krajcarjev imajo f gl.?

Na pamet: t gl. je 25 ki - ., f- gl. so tedaj 3krat 25 kr., t. j. 75 kr.
Pismeno: f X 100 = ^ = 75 kr.

25. ) Koliko krajcarjev ima

a)  f gl.? b) T \  gl.? c)  ff gl.? d)  gl.? e) T \  gl.?
j)  llf gl-? J)  gl-? h)  37 t Vo  gl-?

26. ) Koliko ur je f dneva?

27. ) Koliko ur in minut je H dneva?

t! X 24= V = «r.

t X 60 = 40 min.,

ledaj -j-j dneva = 14 ur. 40 min.

28. ) Koliko %  in 9/  je

a)  i b) U W c)  ff %?

'29.) Koliko fenigov je

a)  | marke? b)  H marke? c)  f± marke?

115

30. ) Za koliko je produkt 315ff X 20 večji od produkta 157-|f x  36?

31. ) a)  915 t 7 2 x 63 = ? b)  1257f4 x 48 = ?

h)  4150g 8 g- x 55 = ?

b)  6247 lfi x 913 =?

32. ) a)  3214i| x 18 =?

33. ) a)  8019if| x 235 = ?

34. ) a)  7593iff x 2064 =? b)  3089|ff x 5317 =?

35. ) Ruski sreb. rubelj velja 1 gl. 61ff kr. avstr, vr.; koliko v avstr.

vr. so a)  204 rublji? b)  793 rubljev? c)  2495 rubljev?

6. Deljenje ulomka s celim številom.

§ 72.

Ako razdelimo 8 devetin na 4 jednake dele, ima jeden del
2 devetini: ali: 1 - 4 = 2 .

Ulomek delimo s celim številom, ako števec s celim
številom delimo, imenovalec pa neizpremenjen pridržimo.

A na ta način ni moči deliti, kadar števec danega ulomka ni
deljiv s celim številom. V tem slučaji treba deliti na drug način.

Ako pustimo v ulomku števec neizpremenjen, imenovalec pa
vzamemo 2-, 3-, 4krat tolik, dobimo isto toliko, a 2-, 3-, 4krat
manjše dele, tedaj je novi ulomek 2-, 3-, 4krat manjši od prejšnjega.
Da dobimo tedaj drugi, tretji, četrti del ulomka, treba mu le imeno¬
valec 2-, 3-, 4krat povečati.

Ulomek delimo tedaj s celim številom tudi, ako pu¬
stimo števec neizpremenjen, imenovalec pa s celim številom mno¬

žimo. N. pr.:

Naloge.

1. ) a )  44 : 2 = jj .

2. ) «) 4  : 3 = ¥ V

3. ) a)

1:4 =

3

5x4

— _3_
20 *

2 7*
12.Q =9
25 * °

4 . ) JL :  12 = T f ?r  = £g,  ali

5. ) a)  4f : 20 = ?

6. ) 9| : 5 = lff, ali 94 : 5

b)  t V3 =?

?

8  =?
3

b)  4# : 2

L S

V  II
2

15

V U

1  3 . K — 7.3^
S • u  4 0

C )  tb :

*) U-
o) U ■

14 =?

= 13 3
J "4 O *

4 =?
8  =?
12  =?

Pri prvem delitvenem načinu pravimo: 6ti del od 9 je 1, ostane 4;

4 celote dado 3 g 2  in f je s -g  ; 5ti del od 3 -g  je ff.

7. ) a)  12f : 3 =?

8. ) a)  T Vs : 13 =5

b)  17f : 5
b)  |4| : 294


9.) a)  3424V : 23 =? b)  408f| : 36

c)  59/o : 8 = :
c)  307f : 9 = r
c)  1346|f : 31
8 *

116

10. ) 9 velja 38^ gl.; koliko velja 1 ™f  ?

11. ) Nekdo kupi 1 tucat srajc za 35§ gl; koliko ga stane 1 srajca?

12. ) Lokomotiva preteče v 4 urah 12111%,; koliko v jedni minuti?

13. ) 1%  velja a)  47f gl., b)  28 x 7 « gl, 32^ gl.; koliko velja

v vsakem slučaji 25 tj  ?

14. ) Trgovec plača 1 kave po a)  146) gl., b)  152| gl,

c)  168-|| gl.; koliko ga stane %?

15. ) a)  517f : 36 b)  6804 T 7 „ : 28

-: 6 -: 7

86H

14107
i ^2 8 8

972 t V

243 ^'

16. ) a)  1907 X 7 T  : 56 =? b)  9248f : 45 =?

17. ) a)  24135 t 4 š : 18 =? b)  21372^ : 72 =?

18. ) Koliki del jedne ure je f minute?

f- : 60 = šlo =  TS ure '

19. ) Koliko let je 5 mesecev 20 dnij?

20:30 = f; 20 dnij je tedaj f mes.

5f: 12 = -g-f-; zatorej 5 mes. 20 dnij = gf leta.

20. ) Koliko dnij je 33 ur 45 minut?

21. ) Koliki del n»y je 25 U%n  32 □"){»?

22. ) Koliko goldinarjev je 18 gl. 18*- kr.?

23. ) Ako velja 13(j  18 gl., koliko Xji  dobiš za 499*- gl.?

24. ) 25^ reži velja 154 gl. 12| kr.; koliko stane 1

25. ) Seštej 5ti, 6ti in 8mi del od 143§.

26. ) Kolika je razlika med 8mim in 9tim delom od 528 T 3 f7  ?

27 .) Ako stane bcnt.  nekega blaga 168 T7  gl, koliko stane 9 cnt. ?
bcnt.  stane 168 x 7 q  gl.

1 » » 168 t V gl. : 5 = 33§) gl.

9 » » 33f| gl. X 9 = 303f| gl.

28. ) 13 *y sukna velja 68-*-),- gl.; koliko velja 35 m J  ?

29. ) V neki hiši potrošijo vsake 4 dni 13 gl. 72f kr.; koliko

a)  v 7 dneh? b)  v 30 dneh? c)  v 365 dneh?

30. ) Neko posestvo je neslo v 5 letih posamič 1527 X7) - gl., 1850f gl,

1607f gl, 2007-)-)- gl, 1883| gl.; koliko je neslo poprek na
leto?

31. ) Nekdo zmeša 24^ pšenice po 8f gl. in 26^ po 9-) gl.; pri

prodaji hoče lOti del cene dobička imeti; kolik je dobiček in
po čem mora 2%  zmešane pšenice prodati?

117

7. Množenje z ulomkom.

§ 73.

Vzemimo, da treba n. pr. 5 s § množiti. Tu bi bilo treba,

oziraje se na ono, kar smo v § 19 o množitvi povedali, število 5

|krat za sumand vzeti, to pa očividno nima nikakega smisla. Treba
torej pojem, katerega smo za množenje celih števil prej ustanovili,
tako razširiti, da se bode dal porabiti tudi za ulomke.

Da množimo 5 s 3, treba vzeti 5 3krat za sumand; da pa

množimo 5 s 4tim delom od 3, vzeli bodemo 3krat za sumand ne

števila 3 samega, nego njega 4ti del; tedaj

5 x f = | + f + | = f x 3 = V 5 .

Število z ulomkom množiti  se tedaj pravi, število deliti
z imenovalcem ulomkovim, kvoeijent pa množiti s števcem.

Pri pismenem računanji množimo navadno najprej s števcem, potem še
le delimo z imenovalcem.

Naloge praktičnega življenja same kažejo, da nam je na ta
način razširiti pojem množitvi. Da v obče iz zneska jednote naj¬
demo znesek istovrstne množine, treba da množimo znesek jednote s
številom, izraževajočim množino. Ako velja n. pr. 1 5 gl., veljajo

f m j  5 gl. X f. Pomen tega produkta razviden je iz rešitve te naloge;
imamo namreč:

1 velja 5 gl.;

i m j  velja 4ti del od 5 gl., tedaj f gl.

f™/ veljajo 3krat toliko, kolikor \ m {, tedaj £ gl. x 3;
zato je 5 gl. x | = | gl. x 3.

Ako treba množiti ulomek z ulomkom, n. pr. f s f, dobimo
po prejšnjem izreku

3 v  7   3 ? =  3x7,

58 5x8 ' 5x8’

t. j. produkt dveh ulomkov  je ulomek, čegar števec je produkt
števcev, in čegar imenovalec je produkt imenovalcev danih ulomkov.

Da dokažemo pravost tudi tega izreka na praktičnem primeru,
hočemo rešiti to-le nalogo: 1 hjg  velja f gl., koliko velja | k jg ? Tu
treba množiti f gl. s f. Prav jednostavno umujoč dobimo:

i k b  velja 8mi del od f gl., tedaj g-^-g gl.,

3x7

1% velja 7krat toliko, kolikor £%, tedaj 6  g - gb;
zatorej £ gl. x f = gl.

118

§ 74.

Naloge.

1. ) a)  12 x | = 2 x 5 = 10. b)  10 x f = = 6f.

2. ) 24x| = ? j; 27 x | = ?

3. ) o) 157 x f = ? b)  3245 x Af = ?

4. ) a)  613 x | = iMi = 383f,

ali ker je f = | + | = | + |,

613 x | 6; 938 X | =?

306i...i c)  2159 X j o  =  ?

__76|...i = | od a d)  35-635 x f =?

383A.

5. ) Koliko veljajo f tj  , ako velja 1 tj  72 kr.?

Koliko velja ■§■ H ,  koliko veljajo tedaj f </ ?

6. ) Nekdo kupi f kfa, kjg  po 64 kr.; koliko treba mu za to plačati?

7. ) 7 x 6f = 7 x V = = 47f,

ali neposredno 7 X 6f = 47f.

Drugič množili smo tako-le: 7 X | = 2 A = 5|; | zapišemo.. 5 celot
pa prištejemo k produktu celot; 6krat 7 je 42, in 5 je 47.

8. ) a)  18 X 7f =? b)  15 x 9f = ?

9. ) Množi 209 z 8f.

Zarad 8f = 8 + a + \  ali 8f = 9 — a dobimo
209  X 8f ali 209 x  8f
1672...8 1881...9

3

Ako imata števec jednega in imenovalec druzega ulomka skupno mero,
okrajšata se pred množitvijo s to mero.

15. Wt x !t= ?  b)  Afxf=?

16. ) 4f X | = f X § = V 9  = 3|.

17. ) 31 x 6| = f x y = V = 234

119

18.)

19. )

20 . )
21 .)
22 .)

23. )

24. )

25. )

«; st x i =?

«) n

b)  25
b)  12f X 9f =?

2  x  To

a)  3-1416 X2i=?  - b)  25-093 x 12| =?

a)  39f x 0-0892 =? b)  104|$ x 35-662 = ?

Koliko velja 7\kub. m j  drv, kub. m /po  4f gl?

7 kub. m j .

7krat 4f gl. = 30f gl.

polovico od 4f

= H

Koliko velja 9f vina po 22f gl.?
pšenice velja gl.; koliko velja
a) i, b)  31, c) 17f, d)  86 t \-^?

b)  2187|

X 4

33 gl.

a)  355f x |

1423

284f

4374f

x 8|

X 2

: 3

1458|...f

26. ) a)  3507f x 17f =?

27. ) a)  8762ff X 382fl =?

28. ) a)  31 47% x |

- X 3

94 bj g  41%

-: 5

18 % 881%

29. ) 57^ 281 ^ x  29f = ?

30. ) Za koliko je produkt ulomkov f in f manjši nego vsak po¬

samezen faktor?

31. ) Za koliko je produkt ulomkov 1, f, f, in f  manjši od njih vsote?

32. ) Nekdo je podedoval 1 stričevega premoženja ter ga prepuslil f svo¬

jemu sinu; koliko mu je še ostalo?

33. ) Za 5 gl. dobiš ^kub.™/-,  koliko dobiš za lf gl.?

34. ) Obod krogu je 34krat, natančnejše fffkrat tolik kakor polumer;

a)  kolik je za vsak teh podatkev obod krogu, čegar premer ima
4t m i 7 c / m ; b)  kolika je razlika obeh rezultatov?

35. ) Med tri osebe je razdeliti 3851 tako, da dobi A  T 8 „, B  1

in G  ostanek; koliko dobi vsaka oseba?

36. ) B  ima 2-g-krat toliko denarja kakor A, C  11 krat toliko kakor

B , I)  pa le fkrat toliko kolikor B ; ako ima A  45 f gl., koliko
ima a)  vsak izmed ostalih, b)  koliko imajo vsi skupaj?

17498f  ■ .8
18956$.

b)  2835fl x 307fl = ?
b)  1390glg- X 2134 t 2 t ° t  = ?
h)  63° 32f x 51
317° 434'.. .5
15° 534'. ..i
333° 364'.

120

37. ) S sladorjem nap? ln J en zabo J leIlta  153f%, zaboj sam pa 24#%;

koliko sladorja j J v  zaboji in koj^o j c  Vreden, ako se računa
hjg  po ¥ 9 „ gl.?

38. ) Sreberna šibika tehta 12f in ima 644f- tisočin čistine; koliko

ima čistega srebra?

39. ) Vrt je Tl\™]  dolg in 20 m j  širok; kolika mu je ploščina?

40. ) Četverooglata posoda je 9dolga,  široka in 5^^, globoka;

koliko kub.djn  drži?

41. ) Obsekan hlod’je 1%™/  dolg, x 9 ¥  “Z širok in X 7 X  ™j  debel; koliko

je vreden, ako se računa kub.™]  po 51 gl.?

42. ) Kolika je teža 12 četverorobovnim železnim drogom, kateri so

po 3-| ™j  dolgi, - X n široki in ¥ l - s m ]  debeli, ako tehta lkub.™]
železa 77941 r  % ?

S. Deljenje z ulomkom,

§ 75.

Tu treba je pred vsem ustanoviti pojem take delitve. Ako nam
je deliti n. pr. 15 s |, moremo delitev brez vsake ovire smatrati
za merjenje, in potem nam je preiskavah, kolikokrat je f v 15;
nikakor pa si tu ne moremo misliti deljenja v besede navadnem po¬
menu, kajti tirjatev, 15 na £ jednakih delov razdeliti, nima nobednega
pomena. V tem slučaji treba tedaj pojem deljenja predrugačiti.

Ako razdelimo n. pr. 15 na 5 jednakih delov, dati mora dobljeni
del 3, 5krat vzet, 15; 15 na 5 jednakih delov razdeliti  in j eden
tak del vzeti, ni nič druzega kakor: skati število, katero da,
5krat vzeto,  15. Ako treba 15 s f deliti,  pač ne moremo reči,
da nam je 15 na f jednakih delov razdeliti, vender pa: da treba
iskati števila, katero f krat vzeto, t. j. katerega 6ti del,
5krat, vzet,  da  15. V tem smislu moremo smatrati tudi delitev z
ulomkom za deljenje.

Kadar je divizor ulomek, moči je delitev izvršiti na različen
način. Jako jednostaven je račun merjenja.

Kolikokrat sta f v 8?—Ako  pretvorimo 8 na tretjine, dobimo ;
2 tretjini sta v 2 ¥ 4  tolikokrat, kolikorkratje 2 v 24, tedaj 12krat; zatorej
8 : | = V : f = 24 : 2 = 12.

Kolikokrat je }  v f ? — Ako naredimo ulomka istoimenska,
dobimo x s ¥  in ££; 8 štiridesetin je v 25 štiridesetinah tolikokrat,
kolikorkrat je 8 v 25, tedaj 3‘krat: ali

121

Da delimo tedaj število z ulomkom, treba le dividend in di-
vizor pretvoriti na isti imenovalec in potem samo števca deliti.

A to postopanje se ne da uporabljati, kadar je račun deljenje.

Vzemimo, da nam je 2 gl. s f deliti, t. j. števila iskati, katero
fkrat vzeto, ali katerega 4ti del 3krat vzet, da 2 gl. Število, katero
da 3krat vzeto 2 gl., je tretji del od 2 gl., tedaj f gl.; število pa,

od katerega da že 4ti del 3krat vzet 2 gl., mora 4krat toliko biti

kakor f gl., tedaj f gl. x 4. Tedaj dasta 2 gl., deljena s f, 4krat 3tji
del od 2 gl.; ali 2  gl. : f = f gl. x 4.

Število delimo tedaj z ulomkom, ako je s števcem
delimo, a kvocijent z imenovalcem množimo.

Na ta delitven način moči je reševati tudi naloge, ki zahtevajo
merjenje. N. pr.: Kolikokrat sta f v f ? f sta 5ti del od 2, tedaj

sta f v f 5krat tolikokrat, kolikorkrat 2 v f. Da tedaj izvemo, ko¬

likokrat sta f v f-, treba najprej poiskati, kolikokrat je 2 v -f, in
dobljeni kvocijent 5krat vzeti. Tedaj je

f : f = Ji  : 2) x 5 = f X 5 = y  = lf

Ravnokar uporabljeno pravilo kaže, kako nam mehanično posto¬

pati,

da delimo število
Imamo:

z ulomkom.

5

3  —

4

x 4 =

x 4,
5x4

7x3 7x3'

Po pravilih za množitev ulomkov dobimo pa tudi

5 x 4  =

—  JL
3

xt = 6

X 4,

X 4

Tedaj je:

5:f =

7 X 3‘
5 X

±

3 ?

= f x

Delitev z ulomkom izpremenimo tedaj lahko v množitev z obr-
nenim ulomkom in reči moremo:

Število delimo z ulomkom, ako je množimo z obr-
nenim ulomkom.

A to mehanično postopanje pri delitvi uporabljajo naj začet¬
niki le izimoma.

§ 76 .

Kadar je v dividendu ali v divizorji ali v obeh ob jednem
produkt iz več ulomkov, moremo množitev in delitev ulomkov ob
jednem na prav jednostaven način izvršiti, treba le, da uporabimo

122

izrek, da ostane kvocijent, neizpremenjen, ako dividend in divizor
z istim številom množimo ali oba z istim številom delimo.

Vzemimo, da nam je deliti n. pr. | X | z Imamo

1.3.11

5 . 3 .
8  ' 4

.lil

1 1

33
6  4 *

8.4.10
2

Tu množimo najprej dividend in divizor z 8; na ta način od¬
pade v dividendu imenovalec 8, zato pa pride kakor faktor v di¬
vizor. Takisto spravimo, množeč s 4, dividendov imenovalec 4 kakor

faktor v divizor in, množeč z 11, divizorjev imenovalec 11 kakor

5 3 11

faktor v dividend. Na ta način dobljeni ulomek - 8 ' 4 ' Q - okrajšamo
potem s 5.

Ako so faktorji mešana števila, pretvorijo se na neprave

ulomke. N. pr.:

3f.

7

1 O

8

10.7.9

4.10.8
2

_ 189  =  06

— <TX ‘-‘h

Takisto dobimo
5f.9.7f

3 2

17.!

1.4.6

4.3 a

^4  • 6

g.5.10.5

2  44  8

25

97

2A

25 '

Pri takih računih treba je tedaj tako-le postopati:

1. ) Mešana števila pretvori na neprave ulomke, števce pusti tam,

kjer bi morali stati ulomki, imenovalce pa prenesi za faktorje
iz dividenda v divizor in iz divizorja v dividend.

2. ) Števila v dividendu in divizorji okrajšaj, ako mogoče.

3. ) Množi v dividendu in divizorji ostale faktorje, potem pa deli

prvi produkt z drugim.

Tu zapišeš tudi lahko faktorje dividendove na desno, a di-
vizorjeve na levo stran po konci stoječe poteze jednega pod druzega
in potem postopaš kakor prej.

Ako treba n. pr. 5f.8f.7 deliti z 2f.ll T 3 o, pišemo

To postopanje imenujemo navadno računanje ob črti  (Strich-
methode).

123

§ 77.

Naloge.

1. ) Kolikokrat so f v 12?

12 : f- = j 8 : f = 48:3 = 16.

2. ) a)  85:* = ? b)  328:f =? c)  504:f = ?

3. ) Koliko velja 1 7, ako stanejo f- 7 36 kr.?

velja tretji del od 36 kr., t. j. 12 kr.; l m J  velja 4krat toliko, ko¬
likor x ™/, tedaj 4krat 12 kr., t. j. 48 kr.

4. ) |kjg  velja 75 kr.; koliko velja 1%?

5. ) a)  5:3f = V: V = 1 T t- h ) i-i  = | = S = H-

i>)  *:* =?

7.) a)  18|:f =? ^ b)  510f:* =?

_3_ • Q 2. = _3_ . 1_7 — ^ X  ^  .17 _ _3_

V 10 1  10-5 10 2 ’ 3i '

9.)«>t 7 o:|=?  W3f:|=? 7 9|:*=?

10.) a; 27-5388 :f b)  0-92407:f =? c)  0-01935:f =?

_x 3

82-6164

-: 2

41-3082

11. ) velja 18|- gl.; koliko velja 1^?

To ««. velja 18* gl. : 7 = 2f gl.

1 3% velja 2f gl. X 10 = 26 gl.

12. ) f7 veljajo 12* marke; koliko velja 1™/?

13. ) Od katerega števila znaša f natanko 100?

14. ) Sel prehodi v 1 uri f milje; v koliko urah prehodi 30 milj?

15. ) Nekdo potrebuje na dan * gl.; koliko dnij bo izhajal z 18 gl.?

16. ) Trgovec je imel pri prodaji nekega blaga 25f gl. dobička, in

sicer pri vsakem % * gl.; koliko hjg  je prodal?

17. ) Avstro-ogerska država, obsezajoča 11306-36 zemljep. □milje,

je //g Evrope; koliko je torej površje Evrope?

18. ) a)  128 gl. 76 kr. : f b)  257 □ 7 25* : 3*

- X 4 -

515 gl. 4 kr. ' 257 • 255 □ 7 : V°

-: 3

171 gl. 68 kr.

-x 3

771-765

: 10

19. ) 1021%» 157*7 : 7f =?

20. ) Od katerega števila so f

77•1765 □ 7

isto tolike, kolikeršna je | od 23* ?

124

21.) a)  8392| : 2f - 8392f : \°

b)  53702 : 2| =?

c)  13475|f : 3f =?

- X 7

58746i

: 20

22. ) a)  792|ff : iff =?

23. ) a)  0-5358 : 5f = ?

b)  3474||f : 47^o = ?
b)  92-73584 : 5| =?

5  3 .

1  3

26. ) Glava sladorja tehta 9-§% in velja 5/^ gl.; po čem je Mg  ?

27. ) Njiva, ki ima 2f^, proda se za 2520 gl.; koliko stane 1^?

28. ) 5 \cnt.  velja 53f gl.; koliko velja lent.?

29. ) Obod kroga ima 209 m j m .; kolik mu je premer? (Glej § 30, nal. 39.)

30. ) Kolo lokomotive ima 7 §<%,  v premeru; kolikokrat se zavrti

med vožnjo od Ljubljane do Trsta, ako je dolžina železni cesti

81. ) Sreberna šibika tehta 12f% in ima čistega srebra;

koliko tisočin ima čistega srebra?

82. ) Posoda drži 4f 'j  ; kolikokrat se more napolniti iz soda, ki drži

612J- ?

83. ) Nekdo kupi za 25|| gl. sladorja in kave, in sicer vsacega za

polovico vsote; koliko bo dobil sladorja in koliko kave, ako
velja 1 bfg  sladorja gl. in 1 kave lf| gl?

34. ) Ako velja 3 \cnt.  nekega blaga 29f gl.; koliko treba plačati za

5§- cnt. ?

Koliko velja — koliko velja torej 5— Ali: kolikokrat je

3-f cnt.  v 5f cnt.,  — kolikokrat 29f gl. velja tedaj h%cnt. ?

35. ) Ako velja 9f m j  20 gl. 62| kr., koliko m j  boš kupil za 36 gl.?

36. ) Cula bombaža tehta 148f %, cula sama pa 9f %; koliko stane

1 cnt.  bombaža, ako se je plačalo za celo culo 196— gl-?

37. ) Dva kosa platna imata skupaj 73^™/? jeden kos ima 3j- m j  več

nego drugi in zato velja tudi 2-j~ gl. več; koliko m /  ima vsak
kos in koliko stane vsak?

38. ) Pot zemlje okoli solnca dolga je 129626823 zemljep. milj; koliko

milj morala bi zemlja, vedno istomerno kretajoč, v 1 sekundi
preteči, ako vzamemo, da ima leto 365jf§ dneva?

125

9. Naloge za ponavljanje v računanji z navadnimi ulomki.

§ 78.

1. ) Kolesu je obseg 4f; kolikokrat mora se zavrteti, da preteče

3% 258if?

2. ) Groblja ima 23 \kub. m j\  koliko je še ostane, ako je odpeljejo

46 vozov po f -kub.™/?

3. ) 1 3&i  vina velja 27f gl.; koliko velja a)  5f, b)  lOf, c)  12 T 7 7 ,

d) 2o u m

4. ) Cent  kave velja 165— gl.; koliko velja a)  7-|, h)  14f, c)  31f,

d)  85f| cnt .?

5. ) Za 1 gl. dobiš § m / blaga; koliko za f f gl. ?

6-) 17 njive velja 2f gl.; koliko velja a)  6-^. b)  15 t 7 q, c)  37|,
d)  68^7?

7. ) Nekdo kupi 5 pšenice po gl., 6f reži po 6f gl. in

15f ovsa po 3 T 7 p gl.; koliko treba za vse plačati?

8. ) Nekdo kupi 37f'A platna po 6 ”]  za 2-f gl.; na račun plača

8 t 7 ^ gl.; koliko ostane še dolžan ?

9. ) Ako stane £ *7 3£ gl., koliko stane 8f m j  ?

10. ) Njiva, katera ima 4% 37ff 7 , proda se za 6124££ gl.; kupec

je prepusti 2\%\9(j a  po isti ceni svojemu sosedu; koliko mora
ta plačati?

11. ) Trgovec dobi štiri sode sladorja, kateri tehtajo 179-24 %,

172-85%, 178-52% in 167-75%; sodi sami tehtajo 22-25%,
21-5%, 20-75%, 60-6%; koliko stane slador, ako se ra¬
čuna mut po 47f gl.?

12. ) Trgovec proda na dan poprek 47 £ % sladorja; koliko dnij bo

izhajal z 806£%?

13. ) Trgovec ima 1126 T 7 o% kave; koliko mu je še ostane, ako je

odproda 252£%, 87f %, 148%, 320f%?

14. ) Trgovec dobi 7 T 9 o cnt.  nekega blaga; koliko velja blago, cent  po

35f marke, ako jev oni teži vračunjena teža posode, katera znaša
24 fnt. ?

15. ) Kaj je bolje, 8^% nekega blaga kupiti za 16f gl., ali pa

10f% istega blaga za 22 r \  gl.?

16. ) Trgovec kupi 68£ m / blaga za 237 gl. 42 kr. ter proda rn j  po 4 gl.

24 kr.; koliko ima dobička?

17. ) Krčmar kupi 5|^ vino po 201 gl. in 2\%j  po 27j\ gl.; oboje

vino zmeša ter prodajaj po 32 kr.: kolik mu je ves dobiček?

126

18. ) Nekdo kupi 45f ™/ po 4} gl; po čem mora 1 ' n j  prodajati, da

dobi 27f gl.?

19. ) Trgovec kupi 37-}'™/ sukna, m /  po 3 gl. 80 kr.; po čem je pro¬

dal n ],  ako ima pri celem kosu 16 gl. 39 kr. dobička?

20. ) Trgovec kupi 643} m j  sukna po 9 T 7 „ gl. ter prodaja OT / tako, da

ima dobička kupne cene; po čem prodaja m f,  in kolik je
ves dobiček?

21. ) Za koliko se izpremeni ulomek ff, a)  ako k števcu in imeno¬

valcu 8 prišteješ; b)  ako od števca in imenovalca 8 odšteješ?

22. ) Za koliko postane ulomek ff-j-f večji ali manjši, ako izpustiš

na desni v števci in imenovalci a)  zadnjo, b)  zadnji dve številki?

23. ) Petero otrok podedova 28304 gl. na jednake dele; najstarejši

doda svojemu deležu še 2527}} gl., da si kupi hišo; kolika je
cena hiši, ako potrebuje za nakup še lili-}} gl?

24. ) Nekdo hoče hišo kupiti; gotovine ima 5450 gl, podeduje pa

3056 gl.; to dvoje znaša pa skupaj še le ~  kupne cene; ko¬
lika je kupna cena?

25. ) 2952 gl. treba med štiri osebe tako razdeliti, da dobi A  }, B  }}.

C  3 7 p in D  ostanek; koliko dobi vsaka oseba?

26. ) Materi z 2 sinoma in 1 hčerjo treba razdeliti 12600 gl.; mati

dobi }, starejši sin T }, mlajši sin } in hči, kar ostane. Koliko
pride na vsako osebo?

27. ) 847} gl. treba med 3 osebe tako razdeliti, da dobi A  3 dele,

B  4 isto tolike dele, C  5 takih delov; koliko dobi vsaka oseba?

28. ) Nekdo je volil f svoje gotovine svojim sorodnikom, f ostanka siro-

mašnici in ostalih 225 gl. svoji ključarici; koliko je zapustil gotovine?

29. ) Koliko stane kopanje 8 m /  globokega vodnjaka, ako se plača za

kopanje prvega ™/ 3f gl., a za vsak sledeč n j  } gl. več nego
za prejšnji?

30. ) Izmed treh zidarjev naredi prvi v 3 urah 158 kub. (j m ,  drugi v

4 urah 205 kub.dj m ,  tretji v 6 urah 281 kub.  ; a)  koliko
kub. d/m  sezidajo vsi skupaj v jedni uri, b)  v koliko dneh zgotove
zid, ki ima 1708 kub .%, ako delajo 12 ur na dan?

31. ) V sod, ki drži 56 ^, teče voda iz dveh cevij; prva sama na¬

polni sod v 16 minutah; druga v 14 minutah; a)  koliko vode
da vsaka cev v 1 minuti, b)  v koliko minutah bode sod poln,
ako teče voda ob jednem iz obeh cevij?

127

32. ) Jedna cev napolni vodnjak v 3, druga v 4 urah; a)  koliki del

vodnjaka napolni vsaka cev v 1 uri; h)  v koliko urah bo
vodnjak poln, ako sta obe cevi ob jednem odprti?

33. ) Vodnjak napolni jedna cev v 4|, druga v 5f ure, tretja pa

ga izprazni v 13| ure; v koliko urah bo prazni vodnjak poln,
ako so vse tri cevi ob jednem odprte?

34. ) Prebivalstvo nekega mesta pomnožilo se je v dveh letih zapo¬

redoma, in sicer vsako leto za % onega števila, kar ga je
tedaj bilo, ter znaša na konci druzega leta 8405; koliko je
bilo pred dvema letoma ?

35. ) Kmet vseje 14ti del pridelanega žita ter nažanje drugo leto

16fkrat toliko, kolikor je vsejal, namreč 336%; koliko je pri¬
delal prejšnje leto?

36. ) 1 kub. m f  gašenega apna in 2 hib. m /  peska da 2f kub. ”]  malte;

koliko apna in koliko peska je treba za 100 kub.  % malte ?

37. ) Iz soda, ki drži .32}-%, napolnijo se trije manjši sodi; izmed

teh drži prvi 7f, drugi 6f, tretji 6% %; koliko vina ostane
še v velikem sodu?

38. ) Štiri glave sladorja tehtajo posamič 9% 7-§<%, 9%

Qkfg  8in 10% 111%: koliko tehta poprek 1 glava?

39. ) Koliko kub. m J  sena je na vozu, ki tehta 1120%, ako tehta

1 kub. m j  sena 114f %?

40. ) 11 ‘fn  dolga prema razdeli se na 10 jednakih delov, za koliko

je vsak tak del večji od 1%.?

41. ) Zemljepisna širina Dunaja je 48° 12%', Rima 41 H  58%'; za

koliko stopinj in minut je Dunaj severnejši od Rima?

42. ) Stuttgart ima 6° 50f', Rudim 16° 42%}' vzhodne dolžine (od

Pariza); a)  kolika je razlika dolžin teh dveh mest; h)  koliko je
ura v Stuttgartu, kadar je v Budimu 3 in 15f min. popoludne?
(§ 50, nal. 14.)

43. ) Ako je krogov premer 1 n ),  potem mu je obod % 2  % ali natanč¬

nejše f-ff %, ali še natančnejše 3 ■ 14159265 % ; za koliko ”)
razlikuje se vsak izmed prvih dveh ulomkov od zadnjega deci¬
malnega ulomka?

Obadva navadna ulomka treba pretvoriti na decimalna ulomka z 8 deci¬
malkami.

44. ) Krogu je premer a)  5% m /, h)  3 ™/ 5f <%, c)  1 5% lf%,;

kolik mu je obod?

128

45. ) Obod krogu je a)  5 b) 2 m f 32^%:  kolik mu je premer?

46. ) Nekdo proda 35 \ m j  dolg in 17f m / širok vrt; koliko dobi zanj,

ako se mu plača “j  po 16f gl.?

47. ) 163| ™/ dolgo in 5široko  cesto so pomostili; po čem so

računali □ ‘"f,  ako stane vse delo 1438-1 gl.?

48. ) Zaboj je 1 T % w ]  dolg, lf qn j  širok in ™/ visok; kolika mu je

prostornina?

49. ) Hrastov hlod je 34dolg, 9|širok  in ravno toliko debel;

po čem se računa kub/j m ,  če velja celi hlod 57A gl.?

50. ) Kolik je tlak 18f dolzega, f \ m j  širocega in 12-f ™/ visocega

zida, ako tehta lkub. m /  zida 1260%?

51. ) Koliko % tehta plošča iz litega železa, katera je 2 m j  1( d j m

dolga, k>l d ln  široka in lf dj n  debela, ako tehta lkub.dj m  litega
železa 7±%?

52. ) Zlata posoda tehta 3^% in ima čistine 767j-| tisočine; koliko

čistega zlata je v njej?

53. ) Koliko je vredno 2f % zlata, ako ima 720 tisočin čistine in se

računa % čistega zlata po 1395 gl.?

54. ) Dvanajst srebernih žlic, z 843f tisočine čistine, tehta 504^ 9j ; ko¬

lika je vrednost srebra, ako se računa 1% čistega srebra po 90f gl.?

55. ) Cena knjigi, ki se je na svetlo dala v Lipskem, je 3 marke

75 fenig.; koliko velja ta knjiga v avstr, vr., ako je 100 mark =
= 57f gl. avstr. vr. ?

56. ) Nekdo kupi 18 kosov blaga iz merinje volne, kos po 17

in m / po lf lire; koliko gl. avstr. vr. treba mu za to plačati, ako
je 100 lir = 46f gl. avstr, vr.?

57. ) Za železnico je naročenih na Angleškem 54000 cnt.  šin, in sicer

tona z 20 cnt.  po 3f fnt. sterl.; koliko gl. avstr. vr. bo treba
zanje plačati, ako je 10 fnt. sterl. = 118 • 4 gl. avstr, vr.?

58. ) V avstrijskih srebernih goldinarjih je 9 delov čistega srebra in

1 del bakra. Ako je tedaj v 45 gl. pol % čistega srebra, a)  ko¬
lika je teža 45 goldinarjem? b)  kolika je teža jednemu goldinarju?
c)  koliko gold. tehta 1 %? d)  kolika je teža 1000 gl.?

59. ) Iz jedne kolonjske marke zlata, katera ima 23f karata čistine,

kuje se 67 ces. zlatnikov (cekinov); a)  kolik je robelj v gramih?
b)  koliko zrno? c)  kolika sreberna vrednost v avstr, vr., z
ozirom na to, da je bila po postavi določena vrednost jednemu
zlatniku 4| gl. konv. vr.?

129

60. ) Koliko zlatnikov po štiri goldinarje moči je skovati iz 17 j 6 -

zlata, ako mu je čistina 720 tisočin in je v 1 takem zlatniku
2'90322 9j  čistega zlata?

61. ) V Angleški je že dolgo sem novčna jednota, funt sterling (livre

sterling), samo računsk novec. Od leta 1816. kuje se sovereign
kakor pravi zlati novec, po vrednosti jednak 1 fnt. sterl. So-
vereignu je teža 7'98814 9/,  a čistina 916f tisočine; a)  koliko
mu je zrno, b)  kolika je njegova vrednost v avstr, zlatnikih po
osem goldinarjev, c)  kolika sreberna vrednost v avstr, vr., ako
se računa 1 zlatnik po osem goldinarjev po 8 T y, gl. v srebru ?

9

Peti oddelek.

Nauk o jednostanih razmerjih in sorazmerjih.

I. Razmerja.

§ 79 .

Delitev dveh števil v smislu merjenja (§ 31) preiskuje, koliko¬
krat je drugo število v prvem. V tem slučaji imenujemo kvocijent
obeh števil tudi razmerje  (Verhaltnis) prvega števila proti drugemu.
Ako treba n. pr. 15 deliti s 5 v smislu merjenja, t. j. ako treba do¬
ločiti, kolikokrat je 5 v 15, izražuje kvocijent 15 : 5 razmerje števila
15 proti 5, in tedaj ga čitamo: 15 se ima proti 5. ali: 15 in 5 sta
si, ali krajše: 15 proti 5. Dividend 15 imenujemo prednji  člen
(Vorderglied), divizor 5 zadnji člen  (Hinterglied) in izračunani
kvocijent 3 eksponent  (Exponent) razmerja.

V vsakem razmerji sta člena ali oba neimenovana ali oba
imenovana; v drugem slučaji morata biti istovrstna, tedaj ja mora
biti moči pretvoriti na isto ime.

Tz teh pojasnil sledi:

1. ) Eksponent  razmerja je jednak prednjemu členu deljenemu

z zadnjim členom.

2. ) Prednji člen  razmerja je jednak zadnjemu členu množe¬

nemu z eksponentom.

3. ) Zadnji člen  razmerja je jednak prednjemu členu delje¬

nemu z eksponentom.

§ 80 .

Razmerja, katera imajo isti eksponent, imenujemo jednaka
razmerja. Tako so 6:2, 9:3,  12:4, 36:12 jednaka razmerja, ker
imajo vsa isti eksponent 3.

Dve razmerji moreta biti jednaki, dasi tudi nista člena jednega
razmerja istovrstna s členoma druzega razmerja; n. pr. razmerje

131

10 m j :b m j  ima za eksponent 2, a tudi razmerje 18 gl. : 9 gl. ima
za eksponent 2; razmerji 10 m j :b m /  in 18 gl. : 9 gl. sta zatorej jed-
naki, če tudi izražujeta člena prvega razmerja drugačno vrsto količin
nego člena druzega razmerja.

Vsako razmerje med dvema istoimenskima številoma moči je
tedaj izraziti kakor čisto številno razmerje  (reines Zahlenver-
haltnis). Očividno je, da znači razmerje 10 gl. : 5 gl. isto, kar znači
razmerje 10:5, ker imata obedve isti eksponent 2.

Razmerje ostane dotle neizpremenjeno, dokler ostane njega
eksponent neizpremenjen.

Razmerja zatorej ne izpremenimo, ako oba člena z
istim številom množimo ali z istim številom delimo,  ker
ostane kvocijent v obeh slučajih neizpremenjen. N. pr.:

36 : 12 36 : 12

36 x 6 : 12 x 6 (36 : 6) : (12 : 6)

v 216 : 72 6:2

Razmerju izpremenimo tedaj obliko,  ne pa kolikost.i, ako mu
oba člena z istim številom množimo ali z istim številom delimo.

Množitve se poslužujemo tedaj, kadar hočemo v celih številih
izraziti razmerje, čegar člena sta ulomka; tu treba le obadva člena
razmerja s skupnim imenovalcem ulomkov množiti. N. pr.:
f: 4 5 : f f:f 2* : 1|

3 : 28 15 : 2 10 : 9 f : u

14 : 11.

Delitev služi nam v to, da okrajšamo  razmerje, čegar člena
sta deljiva z istim številom, kar se zgodi, ako delimo oba njegova
člena z onim številom. N. pr.:

18 : 14 20 : 8 12 : 6 100 : 48

9:7 5:2 2:1 25 : 12.

Da damo razmerju najkrajšo obliko,  treba je najprej iz¬
raziti v celih številih in potem, ako mogoče, okrajšati. N. pr.:

fi-2 A • 10 3 . 1.5 s& • 41

18 : 2 5 : 80 12 : 15 : V

9:1 1 : 16 4:5 175 : 84

25 : 12.

§ 81.

Naloge.

1.) Poišči eksponente sledečih razmerij:

18 : 12, 12 : 18, 35 : 28, 28 : 35, 240 : 360, 1024 : 36.

9 *

132

Izrazi sledeča razmerja s celimi števili:

2

s 91  ■  QJ> 7i • 9JL 1 Q_5_ • 1 7_7_

51 “ 4 • °61 '8  •  “101 l "l6 • A, 12'

3. ) Okrajšaj sledeča razmerja:

57 : 18, 50 : 65, 72 : 56, 375 : 90.

4. ) Izrazi sledeča razmerja z najmanjšimi celimi števili:

294:168, || : T 7 ¥ , 3f : 9f, 19-8: 2-2.

5. ) Kako se ima 1 ™j  proti 1 d J m  ?

6. ) Povej razmerje med 5 m j  in 2 d j m .

7. ) Kako sta si dolžina in širina sobe, ako ima prva 12*/, druga

pa 8*/?

8. ) Povej razmerje med 5 krajcarji in jednim goldinarjem.

9. ) Kakšno je razmerje med brzino minutnega kazalca in brzino

kazalca, ki kaže ure?

10. ) Kanonska krogla preleti v jedni sekundi 2287? zvok 3327;

v kakšnem razmerji sta te dve brzini?

11. ) Jedna izmed dveh lokomotiv preteče v jedni minuti 120 7,

druga 1407 5 kako sta si njijini brzini ?

12. ) Jedna izmed dveh lokomotiv preteče jedno miljo v 15 minutah,

druga v 20 minutah; kako se ima brzina prve lokomotive
proti brzini druge?

13. ) Vozovlak preteče v 1 uri 4f milje, jezdec 2 T s g  milje; kakšno

je razmerje med jezdečevo in vlakovo brzino?

14. ) A  pride v 3 urah tako daleč kakor B  v 4 urah; kako sta si

njiju brzini ?

15. ) Razstoj med lediščem in vreliščem razdeljen je na Reaumurovih

toplomerih na 80°, na Celsijevih na 100°; kako je tedaj raz¬
merje med 1°R in 1° C?

16. ) A  stori v 4 urah toliko, kolikor B \  5 urah; kako je raz¬

merje med njiju zaslužkom?

17. ) Jeden delavec dela 9 ur na dan, drugi 12 ur; v kakšnem raz¬

merji je njiju dovršeno delo, ako sta oba jednako pridna?

18. ) Gesta vzdigne se na l m j  za 3 c j m :  koliko je razmerje vzdiga?

19. ) 1 kub.dj m  zlata tehta 19/ g  %, 1 kub.%  srebra lOf^; kako

sta si te dve teži?

20. ) Zidan oblok ima 37 višine in 4-5*/ širine; koliko je razmerje

med višino in širino?

21.) 1%  pšenice velja 8 gl. 90 kr., 13f ječmena 5 gl. 40 kr.;
kakšno je razmerje med ceno pšenice in ječmena?

133

22. ) Izmed dveh koles, katerih zobci sezajo jeden v druzega, ima

prvo 28, drugo 36 zobcev; kakšno je razmerje med brzino
vrtenja prvega in druzega kolesa?

23. ) Vodnjak more se napolniti iz dveh cevij, in sicer ga napolni

prva v 2 urah 24 minutah, druga v 3 urah 18 minutah; kako
sta si množini vode, kateri iztečeta v istem času iz vsake teh
dveh cevij?

24. ) Prosto padajoče telo preteče v jedni sekundi 4 - 9 Hi /, v dveh

sekundah 19 ‘6™/,  v treh sekundah 44 • 1 ”/; kakšno je razmerje
med potom v prvi in drugi, prvi in tretji sekundi?

25. ) Naj višji vrh Himalaje v Aziji je 8601”/ visok; kakšno je raz¬

merje med to višino in zemeljskim premerom, ako ima ta
1719 zemljep. milj in jedna zemljep. milja 7419” 1 /?

26. ) Njiva 20"/ kupila se je za 240 gl., druga njiva 28 °j  prodala

se je pa za 280 gl.; v kakšnem razmerji sta ceni za 1°)  teh
dveh njiv?

27. ) Sreberna vrednost avstr, zlatnikov po osem goldinarjev računa

se pri ees. blagajnicah po 8 T ~ gl.; kakšno je tedaj razmerje .
med zlatom in srebrom, ker se kuje iz 1% zlata, ki ima T ®„ čis¬
tine, 155 zlatnikov po osem goldinarjev, a iz 1^ čistega
srebra 90 gl.?

28. ) V Francoski ima frank 4'5 9/  čistega srebra; Napoleondor, ka¬

teri velja 20 frankov, tehta 6'4516^ in ima T °„ čistega zlata;
v kakšnem razmerji sta tedaj vrednosti zlata in srebra?

§ 82.

Ako sestavimo od dveh količin, kateri treba jedno z drugo
primerjati, take dele, kateri so po vrednosti, ali veličini, ali teži
i. t. d. jednaki, imenujemo tako jednačenje jednačbo  (Gleichung);
n. pr. 14 kilogramov = 25 dunajsk. funt.

Vsako tako jednačbo moči je prevesti na obliko razmerja.
Ako je n. pr. 14% — 25 dun. fnt., je 1% = ff dun. fnt.; ker je
pa 1 dun. fnt. = j-f  dun. fnt., ima se 1% proti 1 dun. fnt. kakor
ff: -ff,  t. j. kakor 25 : 14.

Da tedaj pretvorimo jednačbo med dvema imenova¬
nima številoma na razmerje,  treba števili tako premestiti, da
se nanaša večje število na količino večje vrednosti, a manjše na
menj vredno.

134

Obratno pa dobimo takoj jednačbo, ako premestimo števili,
izrazujoči razmerje med dvema količinama.

Vzemimo n. pr., da sta si 1 ^ in 1 dun. bokal kakor 5:7,
potem ima 1^5 delov, 1 bokal pa 7; zatorej je \ \  dun. bok.,

ali 1 1 —  -f- dun. bok. in 7 !j  = 5 bokalom.

Naloge.

1. ) 6 m j  = 19 dun. čevlj.; kako se ima 1 proti 1 dun. čevlj.?

2. ) 100 gl. konv. den. = 105 gl. avstr. vr.: kakšno je razmerje med

1 gl. konv. den. in 1 gl. avstr, vr.?

3. ) 100 nemških državnih mark = 50 gl. avstr. vr.: kako sta si

1 drž. marka in 1 gl. avstr. vr. ?

4. ) 100 zemljep. milj = 742 7%,: kako sta si 1 zemljep. milja in

IV

5. ) 5% sirovega masla da 3f % masla: v kakšnem razmerji sta

vrednosti sirovega masla in masla?

6 . ) 100% sena ima isto pično vrednost kakor 90% detelje; v

kakšnem razmerji bi morali biti tedaj ceni za 100% sena in
detelje ?

7. ) Razmerje med 1^ in 1 dun. oralom je 61:45; pretvori to

razmerje v jednačbo.

8. ) 1 frank in 1 gl. avstr. vr. sta si kakor 81:200; izrazi to raz¬

merje z jednačbo.

9. ) Ceni za pšenice in ^ reži sta si kakor 5:3;  pretvori raz¬

merje vrednosti] v jednačbo.

II. Sorazmerja.

§ 83.

Jednačenje dveh jednakih razmerij imenujemo sorazmerje,
pr o porcij  o (Proportion). N. pr. jednaki razmerji 6:2 in 15:5 dasta
sorazmerje 6 : 2 = 15 : 5, ali: katero čitamo tako-le: 6 se ima proti 2,
kakor se ima 15 proti 5, 6 in 2 sta si kakor 15 in 5, ali krajše-.
6 proti 2, kakor 15 proti 5.

Vsako sorazmerje ima 2 razmerji, tedaj štiri  člene, katere
imenujemo po vrsti od leve proti desni prvi, drugi, tretji, če¬
trti  člen. Prvi in četrti člen imenujemo tudi vnanja,  drugi in
tretji notranja  člena. V sorazmerji 6:2 = 15:5 je 6 prvi, 2 drugi,
15 tretji, 5 četrti člen: dalje sta 6 in 5 vnanja, 2 in 15 notranja
člena.

135

Sorazmerje more imeli tudi imenovana števila, treba le, da
imata obadva člena vsakega razmerja isto ime. N. pr.:

18 : 3 m j =  12 m /  2 m /.

6 kjg  :  2 hjg  = 15 gl. : 5 gl.

15 gl. : 3 gl. = 25 : 5.

V prvem sorazmerji so členi obeh razmerij istovrstni, v drugem
sta člena prvega razmerja s členoma druzega raznovrstna, v tretjem
sta le člena prvega razmerja imenovani števili.

Ne le vsako razmerje, tudi vsako sorazmerje, v katerem so
imenovana števila, moči je izraziti kot čisto številno - soraz¬
merje  (reine Zahlenproportion).

§ 84.

V vsakem številnem sorazmerji je produkt vnanjih
členov jednak produktu notranjih členov.

Ako vzamemo katero koli sorazmerje, n. pr. 6:2 = 15:5 ter
nadomestimo vsak prednji člen s produktom iz zadnjega člena in
eksponenta 3, dobi sorazmerje to-le obliko: 2x3:2 = 5x3:5,
iz katere je takoj razvidno, da imata obadva vnanja in obadva
notranja člena, množena drug z drugim, iste tri faktorje 2, 3 in 5,
da morata tedaj tudi obadva produkta jednaka biti: vsled tega je
res 6 x 5 = 2 x 15 = 30.

Ta izrek velja tudi za vsako drugo sorazmerje, v katerem
ima le jedno  razmerje imenovani, in sicer istoimenski števili.

Obratno pa morata biti dve razmerji 6:2 in 15:5 jednaki,
ako je produkt vnanjih členov jednak produktu notranjih členov,
zatorej se morata dati sestaviti v sorazmerje. Ako je namreč
6 X 5 = 2 X 15, mora biti tudi

HB =  iBrl ali  f = ¥> ali 6:2 = 15:5.

Znamenje za pravost številnega sorazmerja  tedaj ni
le jednakost eksponentov v obeh dveh razmerjih, nego tudi jed-
nakost produktov iz obeh dveh vnanjih in obeh dveh notranjih členov,

Ako se hočemo n. pr. prepričati o pravosti sorazmerja 7 ‘ : 2\  =
— 2|:|, treba, da poiščemo eksponenta obeh razmerij; 7-§:2j ima
eksponent 3|, in 2|: § tudi eksponent 3|; te dve razmerji tvorita
tedaj sorazmerje. A to sledi tudi iz jednakosti produktov vnanjih
in notranjih členov; kajti 7-| X §- = 2\  X 2\  = 5f.

136

Preskusi tudi pravost sledečih postavkov:

1. ) a)  12 : 3 = 27 : 7:

2. ) a)  18 : 15 = 6 : 5:

3. ) a)  6 : 2 = f : ^;

4. ) a)  3f : 2 = 3$ : 3;

b)  3f :3 = 14:6;
b)  6 *: 11 $ = 1 $: 2 $;
b)  9 : 16 = 8 : 14;
b)  2$ : 3$ = 5 : 6f.

§ 85.

Sorazmerju moremo izpremeniti obliko  na več načinov,
in vender ne neha biti pravo, ako ostane le eksponent obeh raz¬
merij neizpremenjen, ali pa produkt vnanjih členov jednak produktu
notranjih členov.

1.) Ako zamenjamo v sorazmerji istovrstnih ali ne¬
imenovanih števil a)  vnanja člena med seboj, ali b)  no¬
tranja člena med seboj, ali c)  vnanja člena z notranjima
členoma, dobimo vsakkrat zopet pravo sorazmerje.

Vzemimo n. pr. sorazmerje. 8 : 2 = 12 : 3

a)  Ako zamenjamo vnanja člena, dobimo so¬
razmerje. 3 : 2 = 12 : 8

b)  Ako zamenjamo v danem sorazmerji no¬
tranja člena, imamo. 8 :12 = 2:3

c)  Ako zamenjamo naposled v danem soraz¬
merji vnanja člena z notranjima, dobimo. 2:8=  3:12.

Vsi ti postavki so prava sorazmerja, kajti v vseh je eksponent
prvega razmerja jednak eksponentu druzega.

Vnanja člena moreta se sploh v vsakem sorazmerji zamenjati
z notranjima.

2.) Ako množimo v katerem koli sorazmerji jeden
vnanji in jeden notranji člen z istim številom, dobimo
zopet sorazmerje.

Iz sorazmerja 8 : 24 = 12 : 36 sledi tudi:

8 x 2 : 24 x 2 = 12 : 36 ali 16 : 48 = 12 : 36,

8 X 2 : 24 = 12 x 2 : 36 » 16 : 24 = 24 : 36,

8 : 24 = 12 X 2 : 36 x 2 » 8 : 24 = 24 : 72,

8 : 24 X 2 = 12 : 36 x 2 » 8 : 48 = 12 : 72.

Uporabljajoč ta izrek moremo vsako sorazmerje, v katerem so
ulomki, izraziti s celimi števili.  Na primer: iz sorazmerja
1:| — 5: x,  kjer je x  še neznan člen, sledi, ako množimo prvi
in drugi člen s 4, 4 : 3 = 5 : x.

137

Izrazi sledeča sorazmerja s celimi števili:

1. ) a) x  : | = 3 : 7, b) x  : 3 = 5 : f,

2. ) 1| : ar = f : 1, b) \-.% = \ -.x,

3. ) a) jo  : 5 t \ = x  : 11. i) # : 2-3 = 5-35 : 0‘8.

3.) Ako delimo v katerem koli sorazmerji jeden vnanji
in jeden notranji člen z istim številom, dobimo zopet so¬
razmerje.

Ker je n. pr. 8 : 24 = 12 : 36, velja tudi

(8:4)

(8:4)

8

8

(24 : 4) =
24 =

24 =

12 : 36

(12 : 4) : 36
(12 : 4)

(24 : 4) = 12

(36 : 4)
(36 : 4)

ali 2
* 2
* 8
* 8

6

24

24

6

12 : 36,

3 : 36,

3: 9,

12 : 9.
v katerem

Uporabljajoč ta izrek moremo vsako sorazmerje,
imata jeden vnanji in jeden notranji člen skupno mero, z manj¬
šimi števili izraziti, tj. okrajšati. N. pr.:

1.) x  : 20 = 3 : 25
x:  4 = 3: 5.

Izrazi še ta-le sorazmerja

1. ) a)  6 : 8 = 27 : *,

2. ) a) x:  18 = 24 : 21,

3. ) a)  5f : 6f = 18 : x,

4. ) a) x  : 13i| = 27& : ff.

2.) 12 : 30 = x  : 15
2 : 5 = x  : 15
2 : 1 = x:  3.
z najmanjšimi celimi števili:
b)  8 : 64 = x  : 56,
b) x :  15 = 8 : 6,
b) j  : | = f : x,
b) lj\  : x =  4£ : 5|.

4.) Ako množimo v dveh ali ve č številnih sorazmerjih
vse prve, druge, tretje in četrte člene med seboj, tvorijo
produkti zopet sorazmerje.

Iz sorazmerij 4:5 =
2:6  =
3:7 =

4x2x3

8  : 10
3 : 9

12 : 28 sledi tudi
5x6x7  = 8x3x12:10x9x28
24 : 210 = 288 : 2520.

Ta izrek velja tudi tedaj, kadar ima jedno izmed danih so¬
razmerij imenovana števila.

§ 86 .

Iz treh danih členov sorazmerja četrti še neznani člen najti,
pravi se sorazmerje razrešiti (Proport.ion auflosen).

Neznani člen sorazmerja zaznamenujemo s črko x,  ali tudi z y, z.

138

Sorazmerje moremo razrešiti, ako poiščemo eksponent znanega
razmerja ter z njegovo pomočjo določimo neznani člen druzega raz¬
merja. N. pr.:

30 : 5 = x : 3.

Eksponent prvega razmerja je 6, tedaj mora biti tudi ekspo¬
nent druzega razmerja 6 in zato njega prednji člen x  = 3 x 6 = 18.
Sorazmerje je tedaj 30:5 = 18:3.

Številna sorazmerja razreševamo najjednostavnejše po sledečih
dveh pravilih:

1. ) Vnanji člen sorazmerja najdemo,  ako množimo
obadva notranja člena med seboj ter ta produkt z znanim vnanjim
členom delimo.

Recimo n. pr., da nam treba razrešiti sorazmerje 8:5 = 16: x.
Produkt notranjih členov je 5 x 16 = 80, tedaj mora bili tudi pro¬
dukt vnanjih členov 80; jeden teh členov, tedaj jeden izmed obeh
faktorjev, je 8; da najdemo drugi faktor, treba le deliti produkt 80
z jednim faktorjem, namreč z znanim vnanjim členom 8; zatorej

x —  5  * 16  = 8 j°  — 10. Sorazmerje je tedaj 8:5 = 16:10.

2. ) Notranji člen sorazmerja najdemo,  ako množimo
vnanja člena jednega z drugim in ta produkt z znanim notranjim
delimo.

Ako treba n. pr. razrešiti sorazmerje 8 : x —  24 : 9, dobimo
8 X 9 = 72 za produkt vnanjima členoma; zatorej mora biti tudi
produkt notranjih členov 72; tu treba tedaj iz produkta 72 dveh
števil in iz jednega teh dveh števil, namreč 24, druzega iskati, t. j. 72
8x9 72

s 24 deliti; zatorej x  = ^ = 3, in sorazmerje je 8:3=  24:9.

Te dve pravili veljata tudi za taka sorazmerja, v katerih sta
števili onega razmerja, ki ima neznani člen, imenovani, n. pr.:

a; gl.: 24 gl. = 5:6; x  gl. = ^  — - == 20 gl.

Naloge.

Razreši ta-le sorazmerja:

1. ) a)  3 : 4 = 5 : x.

2. ) a) m  : M  = x  : U

4 0 5

3

x  = 20 : 3 = 6§.

b)  3 : x  = 6 : 36.
b)  3f : t  = 5|: x
"7 2 23

4

X = 46 : 7 = 6f

139

3. ) a)  63 : 21 = 45 : *.

4. ) a)  88 : x  = 72 : 63.

5. ) a) x : \  = 2* :  3.

6. ) a)  5| : 7f = * : 2|.

7. ) a) 14 : 4f = x  : 5|-.

8. ) «; 1| : x  = 3|f : 4f.

9. ) a)  1041 :  * = 13H : 18|f.
10.) a)  243/, : 317fi = * : 55ff.

b)  77 : 56 = * : 15.
b) x  : 15 = 165 : 66.
t)  7f : 2| = * : 5|.

I) x  : f = 3^ : 5.
b) x  : 10J- = 4f : 9f
14f :
x.

3-18 : 2-31.
16-625 : 9-5.

11.) a) 2-5 : 0-5 = * : 0'4.

b)  171 : 12* =
b)  9H : 101 = 27-| :
b)  4'35 : x —
b) x  : 0 - 45 =

§ 87.

a)  Ako sta dve vrsti števil tako jedila od druge zavisni, da k
2-, 3-, 4krat tolikemu številu jedne vrste pripada 2-, 3-, 4krat toliko
število druge vrste, pravimo: te dve vrsti števil sta premo soraz¬
merni  (gerade proport.ioniert), ali oni sta v premem razmerji
(stehen im geraden Verhaltnisse).

Tako sta blago in cena premo sorazmerni; kajti 2krat toliko
istega blaga velja tudi 2krat toliko denarja, 3krat toliko blaga velja
3krat toliko denarja, 4krat toliko blaga velja 4krat toliko denarja. N. pr.:

Ako velja 1 meter sukna 5 goldinarjev,

Sploh je razvidno, da je razmerje med po dvema številoma
metrov jednako razmerju med pripadajočima številoma goldinarjev: n. pr.

2 metra:5 metrom = 10 goldinarjev: 25 goldinarjem,
ali 2 : 5 = 10 : 25.

Ako sta tedaj dve vrsti števil premo sorazmerni, je
razmerje med po dvema številoma jedne vrste jednako
razmerju med pripadajočima številoma druge vrste in to
v istem redu.

b)  Ako sta dve vrsti števil tako jedna od druge zavisni, da
pripada k 2-, 3-, 4krat tolikemu številu jedne vrste le Žgi, 3(ji, 4ti del
števila druge vrste, pravimo: te dve vrsti števil sta obratno so¬
razmerni  (verkehrt proportioniert), ali oni sta v obratnem raz¬
merji  (stehen im verkehrten Verhaltnisse).
v

140

Tako je število delavcev v obratnem razmerji s časom, ki se
za delo potrebuje; kajti 2krat toliko delavcev potrebuje za isto delo
le polovico časa, 3krat. toliko delavcev potrebuje tretji del časa,
4krat toliko delavcev potrebuje le četrti del časa. Ako vzamemo
n. pr. da

potrebuje 1 delavec za neko delo 60 dnij,
potrebujeta 2 delavca le 2gi del od 60, tedaj 30 dnij,

Tu je razvidno, da je razmerje med po dvema številoma delavcev
isto kakor razmerje med pripadajočima številoma delovnikov, vzetih
v obratnem redu; n. pr.:

3 delavci : 5 delavcem = 12 dnij : 20 dnem,
ali 3 : 5 = 12 : 20.

Ako sta tedaj dve vrsti števil obratno sorazmerni,
je razmerje med po dvema številoma jedne vrste jednako
razmerju med pripadajočima številoma druge vrste, toda
vzetima v obratnem redu.

III. Razreševanje nalog z jednostavnimi razmerji.

(Jednostama regeldetrija.)

§ 88 .

Ako stojita dve vrsti števil v premem ali obratnem razmerji,
in ako sta znani dve števili jedne vrste, izmed pripadajočih števil
druge vrste pa le jedno, moči nam je najti drugo neznano število,
ako postavimo in razrešimo sorazmerje. Take račune imenujemo
navadno jednostavno regeldetrijo, tristavko  (einfache Regel-
detri).

N. pr. h™]  sukna velja 30 gl.; koliko velja 9 m f?  — 54 gl.

Vsaka regeldetrijska naloga ima dva stavka:prvi izreka pogoj,
drugi izražuje pa vprašanje.

Da imajo regeldetrijske naloge sploh pomen in veljavo za praktično živ¬
ljenje, treba, da si mislimo pri vsaki taki nalogi za obedve vrsti števil, kateri
med seboj primerjamo, vse v pogojnem in vprašalnem stavku neimenovane
okolščine kot jednake; ali, kav je jedno in isto, treba vsakako staviti, bodisi
molče bodisi izrekoma, pogoj, da pripada k vsaki jednoti jedne vrste v pogojnem

141

in vprašalnem stavku ista množina jednot druge vrste. Na ta pogoj treba je
paziti pri vseh sledečih nalogah, da si tudi se ne naglaša zarad kratkosti po¬
vsod izrekoma.

Neznano število zaznamenujemo s črkami x, y, z.

Pri regeldetriji napišemo najprej skup spadajoči števili pogoj¬
nega stavka jedno poleg druzega, a pod te postavimo števili vprašal¬
nega stavka tako, da stoje istovrstna števila jedno pod drugim. Isto¬
vrstna števila treba pretvoriti, ako niso istoimenska, na isto ime.

1. Razreševanje po sklepih (sklepovni račun).

a) Ustmeno.

§ 89.

Jednostavnejše regeldetrijske naloge dado se dostikrat prav
lahko na pamet razrešiti. V obče sklepamo tu iz dane vrednosti za
kako množino na vrednost jednote in potem iz najdene vrednosti
za jednoto zopet na vrednost kake druge množine. N. pr.:

8 m j  sukna velja 82 gl., koliko stane 5 7 ? — Ako velja 8 m f
32 gl., velja 1*/ 8mi del od 32 gl., torej 4 gl.; 5*/ velja zatorej
5krat 4 gl., t. j. 20 gl.

6 delavcev izvrši neko delo v 20 dneh, koliko dnij bode po¬
trebovalo za isto delo 5 delavcev? — Ako izvrši delo 6 delavcev
v 20 dneh, potreboval bode 1 delavec 6krat 20 dnij, tedaj 120 dnij;
5 delavcev pa bode potrebovalo za delo le 5ti del onega časa, ka¬
terega potrebuje 1 delavec, zatorej 5ti del od 120 dnij, t. j. 24 dnij.

Krajša je razrešitev na pamet, kadar je množina v vprašalnem
stavku mnogokratnik ali del ali mnogokratnik kakega dela
istoimenske množine v pogojnem stavku. N. pr.:

5 Xfi  ječmena velja 21 gl. 15 kr.; koliko stane 30^? — 30
je 6krat, tedaj velja 6krat 21 gl. 15 kr., t. j. 126 gl. 90 kr.

100 gl. kapitala daje na leto 5 gl. obrestij; koliko obrestij daje
na leto 25 gl. kapitala? — Ker je 25 gl. 4ti del od 100 gl., da tudi
le 4ti del od 5 gl., tedaj 1 gl. 25 kr. obrestij.

48 7 velja 60 gl. 72 kr.; koliko velja 36 7? — 367 je 3krat
12 7; 12 7 je 4ti del od 48 7, 12 7 velja tedaj 4ti del od 60 gl.
72 kr., t. j. 15 gl. 18 kr.; 36 7 P a  velja 3krat 15 gl. 18 kr., zatorej
45 gl. 54 kr.

V posameznih slučajih moči je rešiti regeldetrijske naloge tudi na
ta način, da se množina vprašalnega stavka primerno raztvori.  N. pr.:

142

Koliko velja 30%, ako se plača za 14% 43 gl. 82 kr.? —
30% je 2krat. 14% in še 2%; 2krat 14% velja 2krat 43 gl. 82 kr.,
t. j. 87 gl. 64 kr.; 2% sta 7mi del od 14%, tedaj veljata tudi 7mi
del od 43 gl. 82 kr., t. j. 6 gl. 26 kr.; 87 gl. 64 kr. in 6 gl. 26 kr.
je 93 gl. 90 kr.

Ako velja 55% vina 92 gl, koliko velja 195%? — 205% ve¬
ljalo bi 4krat 92 gl, t. j. 368 gl. Da najdemo ceno za 195%, treba
še od 368 gl. odšteti ceno 15%; 15% velja 5ti del od 92 gl., t. j.
18 gl. 40 kr.; ako odštejemo od 368 gl. najprej 18 gl., ostane 350 gl.,
in od tega še 40 kr., ostane 349 gl. 60 kr.

b) Pismeno.

§ 90.

Kadar je zarad velikih celih števil, ulomkov ali mnogoimenskih
števil izračunavanje regeldetrijskih nalog na pamet pretežavno, treba
se posluževati pismenega razreševanja. V to ni treba novih pravil,
temveč sklepa se na isti način, kakor se je sklepalo pri občnem
ustmenem razreševanji, le računanje se izvršuje pismeno. N. pr.:

30 "j/ velja 45 gl; koliko velja 217
Postavek: 30 45 gl.

217 7 x  »

Rešitev. Ako velja 30 45 gl, velja 1 ' m j  30ti del od 45 gl.,

tedaj || gl. Ako pa velja 1 m /  |§ gl., velja 211'"j  217krat || gl.
Račun stoji tako-le:

30 7 45 gl.

1 7 M gl-

3

217 m !  gl- = gl- = 325| gl.

2

Takovo pismeno izračunavanje regeldetrijske naloge imenujemo
dvostavni račun  (Zweisatzrechnung).

Dobro je, da množitve in delitve med umovanjem le nakažemo,
a izvršimo jih v končnem rezultatu še le potem, ko smo ga kolikor
mogoče okrajšali.

Koliko velja 16f a j  vrta, ako veljajo 4 a j  74f gl. ?

Postavek: x  gl. s £  7

» 4 *

o

143

Rešitev.

4 7
1 »

3_3

2

3.7 2

372

5.4

372

5.4.2

9  3

1.33

gl-

- J!06J> ol

5.4.2  ' To  g '
Ako 2 36(  20 <j  vina velja 37 gl. 18 kr.,
vina iste vrste?

2 <*i  20? = 2^

37 gl. 18 kr. = 37 y 9 o gl-

11
5 1
51
2

= 306 t 9 o  gl.

, koliko velja 25f Mjfo

1 8 5  9 a l

5 0 & A *

X  »

Tu računamo:

¥‘

velja

5_1

2

18 59
5 O

1859

50.11

1859.5

50.11

1859.5

50.11.2

169

4gg8.gi.51

00 . 11.2

gl-

430i-;> gl.

Tu smo zapisali vse vmesne rezultate popolnem zarad tega,
da se umovanja lažje pregledajo; a kadar treba res računati, pri¬
pišejo se neposredno k števcu danega števila 1 |f 9  zaporedoma vsa
ona števila, s katerimi treba množiti, a k imenovalcu vsa ona, s
katerimi treba deliti, kot faktorji, tako da dobimo le končni rezultat,
katerega potem izračunamo.

Sicer pa je mogoče tudi tu umovanja okrajšati:

velja 37 ¥ 9 „ gl.

1

25|

37 9
° ' 5 O  ^

37 ¥ V25f .
2i "  gl

1859.51.5

50.2.11

gl. = 430 gl.

2. Razreševanje nalog s pomočjo sorazmerij.

§ 91.

Ta razrešitev opira se na izrek, da je moči zmerom sorazmerje
sestaviti iz dveh in dveh skup spadajočih števil dveh vrst, kateri sta
premo ali obratno sorazmerni. Razmerje med dvema številoma

144

jedne vrste treba zjednačiti z razmerjem med pripada¬
jočima številoma druge vrste, vzetima v istem redu, ako
sta obedve vrsti premo, a v obratnem redu, ako sta
obratno sorazmerni, in na ta način dobljeno sorazmerje
razrešiti.

V obče je vse jedno, v katerem členu stoji neznano število;
vender je najpripravnejše, neznano takoj v prvi člen postaviti. Ako
hočemo sorazmerje na ta način rešiti, da delimo produkt notra¬
njih členov z znanim vnanjim, moreta se postaviti kot imenovani
števili le člena onega razmerja, v katerem je x.  Najjednostavnejše
pa je, da postavimo v sorazmerje vse člene kot neimenovane, kajti
o imenu najdenega števila x  ne more nastati nikako dvoumje, ker
je zmerom istoimensko z istovrstnim številom. N. pr.:

1. ) 45™/ sukna velja 144 gl., koliko stane 18®/ istega sukna?

Ker velja 2-, 3-, 4krat toliko m j  tudi 2-, 3-, 4krat toliko gl.,
ker sta tedaj te dve vrsti števil premo sorazmerni, zato zjednačimo
razmerje dveh števil jedne vrste x : 144 z razmerjem pripadajočih
števil druge vrste, vzetih v istem redu, namreč 18:45; dobljeno so¬
razmerje potem razrešimo. Imamo sledeči račun:

45 7 144 gl. x  : 144 = U  : m

18 » x  » 2 5

. = 14 V X - 2  = f = 57f gl-

2. ) 16 zidarjev sezida neki zid v 20 dneh; v koliko dneh sezidalo

bi 10 zidarjev isti zid?

Te dve vrsti števil sta obratno sorazmerni, ker potrebuje 2-,
3-, 4krat, toliko zidarjev, da sezidajo isti zid, le polovice, tretjine,
četrtine onega časa; zato zjednačimo razmerje med dvema številoma
jedne vrste x : 20 z razmerjem pripadajočih dveh števil druge vrste,
toda vzamemo ji v obratnem redu, namreč 16:10.

16 zidarjev 20 dnij x  : g0 = 16 : 10

10 » x » 2

x = 2  X 16 = 32 dnij.

Tu utemeljeno postopanje, iz treh danih imenovanih števil
četrto še neimenovano s pomočjo sorazmerja najti, imenujemo regel-
detrij  o v ožjem pomenu ali tristavni račun  (Dreisatzrechnung).

Za preskušnjo,  je li smo kako regeldetrijsko nalogo prav
rešili, treba le, da postavimo najdeno število v nalogo, a kako drugo dano
število smatramo kot neznano ter rešujoč novo nalogo tega iščemo. Ako

145

nam da rešitev število, katero smo kot neznano smatrali, je to
dokaz, da smo prav računali.

§ 92.

Naloge.

Izmed sledečih nalog reši nekatere po sklepovnem računu, druge s po¬
močjo sorazmerja, nekaj pa, kjer to dopušča jednostavnost števil, tudi na
pamet.

1.) 45% veljajo 48 gl.; koliko velja 65%?

2-) 95%, gozda velja 1035 gl.; koliko 5%^ boš dobil za 690 gl.?

3 . ) Ako zasluži 8 delavcev 136 gl., koliko zasluži v istem času

20 delavcev?

4. ) Ako zasluži 12 delavcev 180 gl, koliko delavcev zasluži v

istem času 105 gl.?

5 . ) 54 delavcev izvrši neko delo v 16 dneh; koliko dnij potrebuje

za isto delo 72 delavcev?

6. ) 24 delavcev izvrši neko delo v 4 mesecih: koliko delavcev

izvršilo je bode v 3 mesecih?

7. ) Za 15 gl. pelje voznik neko blago 126daleč;  kako daleč

je bode peljal za 18 gl.?

8. ) 500pelje  voznik za neko plačilo 847^ daleč; kako daleč

bode peljal za isti denar 2500%?

9. ) Za neko plačilo pelje voznik 8 cnt.  15 milj daleč: koliko cnt.

bode peljal za isti denar 20 milj daleč?

10 . ) Iz neke cevi priteče v 18 minutah 392 y vode; koliko l J  je

priteče v 30 minutah?

11. ) Iz neke cevi priteče v 11 minutah 308 ^ vode: v koliko mi¬

nutah je priteče iz iste cevi 980 ?

12  .) Za neko knjigo je treba 24 pol, ako se tiska na vsako stran

50 vrst; a)  koliko pol je treba, ako pride na vsako stran le

40 vrst; b)  koliko vrst mora priti na vsako stran, da ima

knjiga 25 pol?

13. ) Mlin na jedno kolo zmelje v 16 urah 255% reži; a)  koliko

v 8 urah, b)  v koliko urah 685%?

14 . ) Neki kapital nese v 12 mesecih 246 gl. obrestij; a)  koliko

obrestij nese v 30 mesecih, b)  v koliko mesecih nese 369 gl.
obrestij?

15. ) 480 gl. kapitala da v 3 letih gotove obresti; a)  kateri ka¬

pital da v 4 letih, b)  v koliko letih da 250 gl. kapitala iste
obresti?

10

146

16 . ) Iz 40 % preje moči je natkati 265 , 7' tkanine; a)  koliko “Z iz

56%, b)  koliko % preje je treba za 245 m j  ?

17 . ) Iz neke preje moči je natkati 55 m f  1 • 5 m j  širocega platna;

a)  koliko m j  1 • 25 m j  širocega platna; b)  kolika bo širina
platnu, ako se natka iz iste preje 60 ”/?

18 . ) Cetverooglata, 6%,, visoka posoda drži 186 Z; a)  koliko <f

drži isto toliko široka, pa le 5%, visoka posoda; b)  koliko
višino mora imeti posoda, da drži 217 y?

19. ) Neka družina porabi vsakih 12 dnij 1% kave; a)  koliko

kave porabi v 365 dneh, b)  koliko dnij ji zadostuje 18 % ?

20 . ) V neki zalogi je hrane, da bi izhajalo 25 ljudij 9 mesecev

z njo; a)  koliko časa bode zadostovala 21 osebam, b)  koliko
oseb bode izhajalo z njo 7 mesecev?

21 . ) Ako se zavrti kolo v 27 minutah 2295krat, a)  kolikokrat

zavrti se v 10 minutah, b)  v koliko minutah zavrti se
3655krat ?

22. ) Ako se zavrti izmed dveh koles jedno 36krat, zavrti se

drugo 13krat; kolikokrat se bode zavrtelo prvo kolo, ako se
zavrti drugo 117krat?

23. ) 7 3%  reži velja 50 gl; koliko stane 35 #|?

24 . ) Delavec naredi v 5 dneh 3200 opek; koliko v 30 dneh?

25 . ) Ako velja 8 m j  sukna 42 gl., koliko stane 12 ®/?

26 . ) Ako velja 10 kosov nekega blaga 24 gl., koliko kosov dobiš

za 60 gl.?

27 . ) Koliko Mj  reži je moči kupiti za 245 gl., ako velja 102%

49 gl.?

28 . ) 1 3£ji  vina velja 32 gl.; koliko stane 10 tf  ?

29 . ) Ako velja 62% 114 gl., koliko 2% dobiš za 551 gl.?

30 . ) 382% vina kupilo se je za 1826 gl.; koliko velja 1002%?

31 . ) 42% piva veljajo 68 gl.; koliko velja 5 Z?

32 . ) Ako plačaš za 18% prediva 8f gl., koliko velja

a)  60%, b)  75|%, c)  144%?

33 .) i cnt.  velja 25| gl.; koliko stane

a)  6 cnt., b) 23} cnt., c)  32 '5 cnt.?

34. ) Ako velja 20 m ]  83 gl. 40 kr., koliko ™/ dobiš za 62 gl. 55 kr.?

35. ) Kos platna ima 40 ' m / in velja 32f gl.; koliko stane 18”Z?

36 . ) Koliko stanejo 3 cnt.  35 fnt.  nekega blaga, katerega dobiš

8 fnt.  za 3f marke?

147

37 . ) Nekdo kupi 508% sladorja; koliko mora zanj plačati, ako

stane 300% 186 gl. 78 kr.?

38 . ) 17 cnt.  20 % velja 358f gl.; koliko velja 13 cnt.  35 % ?

39. ) 32 delavcev zasluži na teden 118J gl.; koliko gl. zasluži v

istem času 56 delavcev?

40. ) Nekdo je delal 35 dnij ter dobil za vsakih 6 dnij 5 T 1 ^ gl.;

kolik je ves zaslužek?

41. ) Izmed dveh delavcev zasluži j eden v 7 dneh toliko, kolikor

drugi v 9 dneh; prvi zasluži v nekem času 36’9 gl.; koliko
zasluži drugi v istem času?

42 .) Jednakomerno napeta cesta vzdigne se na 2±J£/ m  za 38”/;

kolik je vzdig na §-7%t?

43 .) Neka železnica se vzdigne na vsakih 50 m f  dolžine za \ m /;

na koliko ®y dolžine znaša vzdig 1 \ m j‘?

44. ) Pešec, kateri prekoraka vsako sekundo 1 -§-”/, prehodi neko

pot v 1|- ure; koliko časa potrebuje v to vlak, kateri pre¬
teče vsako sekundo 10 ™/ ?

45. ) Dva dečka tečeta do oddaljenega mejnika, A  preteče pri

vsakem koraku T 9 (T  ”/, B  1^-”/; koliko korakov potrebuje A
do mejnika, ako jih potrebuje B  78?

46 . ) Ako natka 28 tkalcev v 3-| tedna 40 kosov sukna, koliko

tkalcev natkalo bode isto množino sukna v 2 tednih?

47 . ) 30 zidarjev sezida neki zid v 25 dneh; a)  koliko zidarjev

treba najeti, da ga sezidajo v 10 dneh, b)  v koliko dneh
bode 50 zidarjev z delom gotovih ?

48. ) Ako piše nekdo 7 ur na dan, dogotovi prepis neke knjige v

48 dneh; v koliko dneh bo prepis gotov, ako piše na dan
12 ur?

49 . ) Parostroj 24 konjskih sil potrebuje za neko delo 4 dni; ko¬

liko dnij potrebuje parostroj 16 konjskih sil?

50. ) Mlin na 6 kamenov potrebuje 21 dnij, da namelje toliko in

toliko moke; koliko kamenov bi bilo treba, da nameljejo isto
toliko moke v 9 dneh?

51. ) Da se odstrani neko breme, treba je 4 konj, ako pelje vsak

10 cnt. ; koliko konj je treba, ako more vsak le 8 cnt.
peljati ?

10 *

148

52. ) Za neko tvornico potrebujejo 4560 drv, ako so polena

80 c j m  dolga; koliko □ ’"/ drv bi bilo treba, ako so polena le
60% dolga, sicer pa isto taka?

53. ) [3*/ drv velja 3f gl., ako so polena 64% dolga; po čem

bi bil tedaj □"/, ako so polena 80%, dolga?

54. ) Izmed dveh jedno v drugo sezajočih koles ima manjše 38,

večje 114 zobcev; kolikokrat bode se zavrtelo prvo v istem
času, ko se zavrti zadnje 5krat?

55. ) Prednje vozno kolo ima 2 m f,  zadnje 3 7n f  v obsegu; koliko¬

krat se je zavrtelo zadnje, ako seje zavrtelo prednje 230krat?

56. ) Ako se zavrti kolo v 76 minutah 501fkrat, a)  kolikokrat

zavrti se v 57 minutah, b)  v koliko minutah zavrti se
1067krat ?

57. ) Nekdo kupi 59 steklenic vina po 75 kr.; koliko steklenic

po 60 kr. bi dobil, ako bi zamenjal?

58. ) Ako se razdeli neko volilo med 36 revežev, dobi vsak 3f gl.;

koliko bi dobil vsak, če bi se razdelilo med 45 revežev?

59. ) Neka družina porabi na teden 22f gl.; koliko v 52 dneh?

60. ) Da se navozijo 4 kub. m j  kamena, treba plačati 13f gl.; koliko

za 17pod  sicer jednakimi pogoji?

61. ) Na obseg kolesa gre 60 zobcev, ako so 8^’% jeden od dru-

zega oddaljeni; koliko jih gre nanj, ako so lO-i-^ jeden od
druzega oddaljeni?

62. ) Vertikalna, 1 • 2 dolga palica dela 1 • 7 ™/ dolgo senco; ko¬

lika je višina drevesu, katero dela istodobno 15 • 3 m ]  dolgo senco ?

63. ) Os naše zemlje znaša 63567%, ekvatorjev premer pa 6377 7%;

ako se vzame za zemeljsko oblo (globus) 395 m f m ,  dolga os,
kolik mora biti ekvatorjev premer?

64. ) Njiva je 78 m j  dolga in 13f m j  široka; kolika mora biti dolžina

drugi njivi, ako ji je širina 9-§- ,n /, veličina pa ista?

65. ) Ploščina 5• 9 m / dolgega pravokotnika meri 28'32□ */; koliko

ploščino ima pravokotnik iste širine, ako je 7 - 9 w /  dolg?

66. ) Njiva 6f da 96-f pšenice; a)  koliko <2% treba za 37f$|

pšenice; b)  koliko pšenice da njiva 5§ a j ?

67. ) Četverorobovna medena palica ima 2Q% v preseku in nosi

4600%; koliko % nosi taka palica, ako ima 0■ 85□ % v
preseku?

149

68 . ) Neka dežela ima 158 □ in 688564 prebivalcev; koliko pre¬

bivalcev pride na 37|QJfy, ako vzamemo, da je gostota
povsod jednaka?

69 . ) Ako znaša zračni tlak pri srednji višini tlakomera na l-f

kolik je zračni tlak na 65|Q%i,?

70 . ) Koliko ovsa dobiš za 34-|$| pšenice, ako sta si ceni ovsa

in pšenice kakor 2:5?

Tu pretvori razmerje na jednačbo.

71 . ) Dve črti sta si kakor lf:4f; kolika je druga, ako meri prva

187 "■/?

72. ) Brzini dveh gibajočih se teles se imata kakor 9:17; ako po¬

trebuje prvo za neko pot 5 minut 51 sekund, koliko časa
bode potrebovalo drugo za isto pot?

73 . ) Ako je razmerje med kurilno močjo smerekovega in brezo¬

vega lesa 39:40, koliko kub .'"j/ prvega ima isto vrednost
kakor l()()kub. m ]  druzega ?

74 . ) Svinec in baker sta si po teži kakor 35:26; ako tehta svin¬

čena krogla 3koliko  tehta isto tolika bakrena krogla?

75. ) Polumera zemlje in meseca sta si kakor 11:3; kolik je po-

lumer meseca, ako ima srednji zemeljski polumer 858f zem-
ljep. milje?

76. ) Koliko treba plačati, da se sprede 1650 prediva, ako se

plača od 5% 1 gl. 10 kr.?

77. ) Iz neke preje moči je natkati 161 \™i  f*y široeega platna;

koliko m f  široeega platna bode se natkalo iz iste preje?

78 . ) Za neko obleko treba je 2™/  sukna, široeega lb%;

koliko bi bilo treba, ako bi bilo sukno 51 široko?

79 .) Da se prevlečejo stene dvorane s tapetami, treba 842 "j/ tapet,
katere so 42 %  široke; koliko “j/ tapet bi bilo treba, ako so
64%* široke?

80 . ) Hleb kruha za 10 kr. tehta 58.Tj, ako velja Sif reži 7 gl. 28 kr.;

kolika mora biti teža takemu hiebu, ako stane reži le
6 gl. 72 kr.?

81 . ) Žemlja za dva krajcarja tehta 8fS^, ako stane %ji  pšenice

9 gl. 30 kr.; po čem mora biti pšenice, da tehta taka
žemlja 9 J%?

82 . ) Za 31 gl. 50 x 9 q  kr. kupi nekdo 99 %  blaga in pozneje po isti

ceni še za 22 gl. 5 T 7 X  kr.; koliko blaga dobi drugič ?

150

88.) Nekdo je kupil cnt.  po 75 gl. in prodal % po | gl.; pozneje
pa proda z istim dobičkom % po T ? (T  gl.; po čem je kupil
drugič 1 cnt.?

84. ) Neki trgovec dobi v treh vrečah 108 f %, 120f%, 96| % riža

za 130 gl. 15 kr.; po čem se računa 100%?

85. ) Dva trgovca kupita skupaj 2385% olja; A  ga vzame 1845%

in plača zanj 1473f gl.; koliko olja ostane B-u  in koliko treba
njemu plačati?

86. ) Voz sena velja 32 T % gl. in tehta z vozom vred 1455 %: koliko

stane 100% sena, ako tehta voz sam 280%?

87. ) Ako vloži zidar v podzidje na dan 500, v oblok pa le 325

opek, in se plača za 1 kub. m /  prvega zida 1 • 2 gl., koliko potem
za lkub. m /  obloka?

88. ) Koliko stane 13f “f sukna, katerega velja 2j m j  za 3f{ gl.

več nego lf”/?

89. ) Drvarju treba preskrbeti za neko tvornico 425080%!

dolgih drv; oddal jih je že 2750□"/; za ostanek zahtevajo
64 c jm  dolgih drv; koliko mora dati tacih drv?

90. ) 12 koscev pokosi travnik v 6 dneh; koliko koscev treba več

najeti, da pokose travnik v 4 dneh?

91. ) 7 delavcev dobi 37 t 7 q  gl. plačila; a)  koliko delavcev zasluži v

istem času 41| gl. več? b)  kolik je zaslužek, ako pride še
5 delavcev?

92. ) Neki rokopis ima 144 stranij in vsaka stran 32 vrst; koliko

isto tako dolzih vrst mora priti na vsako stran, da bode imel
rokopis 24 stranij menj?

93. ) Ako se zavrti kolo v 4f minute 3412|krat, v koliko minutah

bode se zavrtelo 1098|- krat?

94. ) 624 gl. kapitala naloženih je po 5 procentov ali odstotkov

(5°/ 0 )> t. j. vsacih 100 gl. kapitala daje na leto 5 gl
o bresti  j;  koliko obrestij nese kapital v 1 letu?

Na pamet: 600 gl. da 6krat 5, t. j. 30 gl.; 24 gl. da po 6% 24krat 5 kr.,
t. j. 1 gl. 20 kr.; skupaj 31 gl. 20 kr.

95. ) Koliko obrestij da na leto 975 gl. kapitala, ako je ta po 4%

naložen ?

Na pamet: 900 gl. da 9krat 4, t. j. 36 gl.; 75 gl. da po 4% 75krat 4 kr.,
t. j. 3 gl.; skupaj 39 gl.

151

96. ) Koliko obrestij dh na leto 540 gl. kapitala po 6%?

Na pamet: 500 gl. d& 5krat 6, t. j. 30 gl.; 40 gl. da po 4% 40krat 6 kr.,
t. j. 2 gl. 40 kr.; skupaj 32 gl. 40 kr.

97 . ) Koliko obrestij nese na leto

a)  1340 gl. po 5°/ 0 ? b)  1076 gl. po 4|%?
a)  2328 gl. po 6°/ 0 ? b)  912 gl. po 5f%?

98 . ) Nekdo ima naložene tri kapitale: 3085 gl. po 5°/ 0)  1970 gl.

po 5|°/o i n  2375 gl. po 6°/ 0 ; koliko obrestij mu neso na leto?

99. ) 900 gl. daje 60 gl. obrestij; kolik mora biti kapital, da nese 75 gl. ?

100 . ) Nekdo ima kapital po 6 % naložen in ta mu nese na leto 420 gl.

obrestij; kolik je kapital?

101 . ) 725 gl. kapitala nese na leto 29 gl. obrestij; koliko obrestij

daje 100 gl.?

102 . ) 3740 gl. daje na leto 187 gl. obrestij; po koliko °/ 0  je kapital

naložen ?

103 . ) Koliko obrestij da 100 gl. po 6% v 36 dneh? (1 leto = 360 dnem.)

104 . ) 7820 gl. kapitala nese v nekem času 391 gl. obrestij: koliko

obrestij nese v istem času 5750 gl. kapitala?

105 . ) Kateri kapital da v 4 letih iste obresti, katere nese 1680 gl.

kapitala v 3 letih?

106 . ) Kateri kapital da po 5°/ 0  iste obresti, katere da 32 gl. po 4%?

107 . ) Kateri kapital nese 11 gl. obrestij, ako nese 1230 gl. kapitala

pod istimi pogoji 61f gl. obrestij?

108 . ) Neki kapital dh po 44% v nekem času 239f gl. obrestij; ko¬

liko obrestij nese v istem času po 5-|%?

109 . ) Neki kapital da v 3 letih 251 gl. 22 kr. obrestij; koliko v

10 mesecih?

110 . ) Ako nese 4080 gl. kap. 500-|f gl. obrestij, koliko obrestij da

v istem času kapital, ki je za 1425 gl. večji?

111. ) Ako nese neki kapital v 5 letih 527 gl. obrestij, v koliko letih
* nese 210 gl.?

112 . ) Koliko časa mora biti neki kapital po 4% naložen, da nese

toliko obrestij, kolikor po 44% v 2f leta?

113 . ) Kako dolgo mora biti naložen kapital od 22'22 gl., da nese

toliko obrestij, kolikor 33'33 gl. kapitala v lf leta?

114 . ) Po koliko % mora 960 gl. naloženih biti, da dado toliko

obrestij, kolikor jih da v istem času 840 gl. po 6%?

115-) Po koliko % treba naložiti kapital, da nese v 3 letih toliko
obrestij, kolikor v 2 letih po 6 % ?

152

116 .) 55”/ je 174 dun. čevljev: a)  koliko dun. čevljev je 144'2 */?
b)  koliko m j  je 245' 2"  dun. čeveljske mere?

117. ) Tlakomer kaže 28" T|"' dun. mere; koliko je to v m i, n  ?

118. ) 100 angl. čevljev = 30 f ”/; a)  koliko angl. čevljev je 315”/?

b)  koliko ”/ je 307 angl. čevljev?

119. ) 77 dun. vatlov = 60™/; a)  koliko”/ je 52f dun. vatlov? b)  ko¬

liko dun. vatlov je 83 - 45 ”/?

120. ) 1 dun. vatel platna velja 84 kr.; po čem je 1”/?

121. ) 1”/ sukna velja 4 gl. 28 kr.; koliko velja 1 dun. vatel?

122. ) 61 je 106 doljn. avstr, oralov; a)  koliko 36^  je 548 oralov?

b)  koliko oralov je 728 7?

123. ) 91^| = 148 dun. vaganom; a)  koliko dun. vaganov je 92/?

b)  koliko X{i  je 1000 dun. vaganov?

124 .) 1 dun. vagan pšenice velja 6 gl. 12 kr.; koliko velja 1 Pi|?

125 .) 1 reži velja 6 gl. 58 kr.; po čem je 1 dun. vagan?

126. ) 18 ruskih četvrt = 21 koliko '%l  je a)  35, b)  218,

c)  1088 rusk. četvrt?

127. ) llf angl. quarterjev = 32-//;  koliko quarterjev in bushelov

je 204|^?

128. ) 58/ = 41 dun. bokalom; a)  koliko dun. bokalov je 315/?

b)  koliko / imata 2 dun. vedri ?

129 .) 1 dun. vedro vina velja 24 gl.; po čem je 1 / ?

130 .) 1 / vina velja 36 kr.; po čem je 1 dun. bokal?

131. ) 100 šved. vrčev = 261f/; koliko / je a)  732, b)  908,

c) 37f šved. vrčev?

132. ) 14 % = 25 dun. fnt.: a)  koliko dun. fnt. je 318 %? b)  koliko

% je 510 dun. fnt. ?

133. ) Ako stane 1 dun. fnt. kave 96 kr., po čem mora biti 1 %?

134. ) Ako velja 1 % nekega blaga 54 kr., po čem je 1 dun. fnt.?

135. ) 100 angl. fnt. adp. znaša 81 dun. fnt.; koliko - dun. fnt. je

a)  240, b)  325, c)  739 angl. fnt.?

136. ) 127 ruskih funtov je 52%; koliko % je a)  188, b)  705,

c)  1397 rusk. fnt. ?

137. ) 57 dun. mark = 16%: a)  koliko % je 39 dun. mark?

b)  koliko dun. mark je 50 %?

138. ) Ako se kuje iz jednega % čistega srebra 90 gl, koliko gl.

iz jedne dun. marke čistega srebra?

153

139 . ) Koliko Mg  z lata od 900 tisočin čistine je 25f % zlata od

540 tisočin čistine?

140 . ) Ces. zlatniki (cekini) imajo 23f karata čistine; kolika jim je

čistina v tisočinah?

141 . ) Zlatniki po osem goldinarjev imajo 900 tisočin zlata; koliko

karatno je to zlato?

142 . ) V kosu srebra od 750 tisočin čistine je 72 9]  čistega srebra;

kolika je teža celemu kosu?

143 . ) Po čem je hjg  čistega srebra, ako stane hjg  srebra od 900

tisočin čistine 81 gl.?

144 . ) Ako velja hfe  čistega srebra 90 gl., po čem je kjg  srebra od

750 tisočin?

145. ) Za 17f% zmešanega srebra plača se 1321 gl.; koliko stane

8 / 5 % srebra iste čistine?

146 . ) 152^ čistega srebra velja 209| gl.; koliko dobiš za

298-53 gl?

147 . ) Iz jednega % -~- (1  čistega zlata kuje se 155 zlatnikov po osem

goldinarjev; koliko tacih zlatnikov gre najeden % čistega zlata?

148 . ) 90 nemških mark je 45 gl. avstr, vr.; a)  koliko gl. avstr. vr.

je 920 mark? b)  koliko mark je 890 gl. avstr, vr.?

149 . ) 181 dan. drž. bank. tolarja je 24J hol. goldinarja; a)  koliko

hol. goldinarjev je 926 dan. drž. bank. tolarjev? b)  koliko dan.
drž. bank. tolarjev je 2406 hol. goldinarjev?

150 . ) Dunajsk trgovec izda na Hamburg menico*), glasečo se na

3408 državnih mark; koliko bo potegnil zanjo, ako je tečaj
(kurz) na Hamburg 57'55 (100 državnih mark = 57-55 gl.
avstr, vr.)?

151 . ) Koliko gl. avstr. vr. je 358 gl. hol. courant, ako se računa, da
. je 100 gl. hol. courant = 96-45 gl. avstr, vr.?

152  .) Kolik je kurz med Dunajem in Milanom (koliko gl. avstr. vr.
za 100 lir), ako se plača za 3165 lir 1455 gl. 90 kr.?

153 . ) Trgovska hiša v Marseillu ima tirjati od nekega Dunajčana

5682 frankov 56 centimov; kolika je ta tirjatev v avstr, vr.,
ako se računa, da je 100 frank. = 46-75 gl. avstr, vr.?

154. ) Londonsk trgovec je dolžen nekemu Dunajčanu 5334 gl.; na

koliko fnt. sterling treba da potegne za to Dunajčan menico,

*) Menica (Wechsel) je listina, s katero se izdatelj meničnopravno zaveže,
da hoče gotovo vsoto denarja o določenem času določeni osebi ali sam ali po
kom tretjem izplačati.

154

ako je kurz na London 117 - 80 (10 fnt. sterl. = 117‘80 gl.
avstr, vr.)

155. ) Ako se plača na Dunaji za 432 fnt. 7 shill. sterling 5101 gl.

73 kr. avstr, vr., koliko je vrednih 10 fnt. sterling?

156. ) Koliko cekinov treba plačati za 218 zlatnikov po osem gol¬

dinarjev, ako je kurz cekinom 5 gl. 50 kr. in kurz zlatnikom
po osem goldinarjev 9 gl. 10 kr.?

157. ) Nekdo dobi s Francoskega 6 • 55 šampanjca za 5880 frnk.;

po čem se je računal 1-| ]  ?

158. ) Koliko velja 3 r 7 0  ohma vina (v Švici), ako velja 15 bokalov

19f franka?

159. ) Ako se plača za 20 angl. cnt.  1 fnt. 17 shillingov sterling

voznine, koliko voznine treba plačati za 128 cnt.  3 quarterje
20 fnt. angl.?

160-) Ako velja m /  6f franka, koliko gl. avstr. vr. velja v istem
razmerji 1 dun. vatel ?

161. ) Zidanje 27’ 8'K] m  dolge železnice je stalo 43785000 frankov;

koliko kapitala v avstr. vr. bilo je tedaj treba za jedno avstr, miljo?

162. ) Ako stane 223 fnt. nekega blaga 89| nemšk. drž. marke, ko¬

lika je prilična cena v avstr. vr. za 267 % ?

163. ) 15% grozdja da 8% vina, 1 ]  vina tehta 990 (f; koliko

grozdja je treba za 2 - 2 'Xfa  vina?

164. ) Nekdo kupi dobro pozlačeno sreberno šibiko, katera tehta

8‘25%; v nji je 780 tisočin srebra in 105 tisočin zlata; ko¬
liko treba za šibiko plačati, ako stane % čistega srebra 90 gl.,
a % čistega zlata 1350 gl.?

165. ) 29 kub.  ”'/ živega apna da 100 kub. m /  gašenega apna; koliko

kub,™]  živega apna je treba, da se napolni 3'2™]  dolga, 2 ™j
široka in 1-4*/ globoka jama z gašenim apnom?

166. ) 24 zidarjev sezida neki zid v 20 dneh; v koliko dneh bode

zid gotov, ako se najme čez 5 dnij še 6 zidarjev?

Čez 5 dnij imelo bi 24 zidarjev še za 15 dnij dela; a od sihmal je šte¬
vilo zidarjev 30; v koliko dneh bode 30 zidarjev z onim delom gotovih, za
katero potrebuje 24 zidarjev 15 dnij? V 12 dneh. 24 delavcev dela tedaj 5 dnij
in 30 delavcev 12 dnij; zid bo tedaj v 5 + 12 = 17 dneh gotov.

167. ) Da se izkoplje graben, najme se 32 delavcev; ti bi delo do¬

vršili v 25 dneh; čez 7 dnij se pa odpusti 7 delavcev; ko¬
liko dnij bodo morali ostali še delati?

155

168. ) 10 delavcev dovrši neko delo v 18 dneh; v koliko dneh bo

delo dovršeno, ako čez 4 dni.j 6 delavcev odide, a čez zopet

11 dnij 4 nazaj pridejo?

169. ) 30 delavcev dodela neko cesto v 12 tednih; od početka de¬

lalo je 45 delavcev 6 tednov; koliko delavcev je treba najeti,
da zgotove ostali del ceste v 3| tedna?

170. ) Na neki ladiji je bilo 36 mornarjev in zanje živeža za 60 dnij;

12 dnij potem, ko so se odpeljali, poginilo je v viharji 20 mož;
koliko dnij so izhajali drugi z živežem, kar ga je bilo še
ostalo ?

171. ) Med dve osebi treba 1280 gl. tako razdeliti, da se ima A-ov

del proti B  - ovemu kakor 5 proti 3; koliko dobi vsaka
oseba ?

5 160 gl. x 5 = 800 gl. dobi A,

3 160 gl. X 3 = 480

1280 gl.: 8 = 160 gl. 1280 g  *

ali

x : 1280 = 5:8;  x  = 800 gl. dobi A,

y : 1280 = 3:8;  y  = 480 gl. » B.

Naloge, katere zahtevajo, da se razdeli celota po danem razmerji, spa¬
dajo v družbeni račun  (Gesellschaftsrechnung).

172. ) 2700 gl. treba med tri osebe tako razdeliti, da so si deli

kakor števila 3, 4, 5.

173. ) Tri osebe udeležijo se skupno nekega podjetja; A  da 5000 gl.,

B  3400 gl. in C  4600 gl.; kako jim je razdeliti dobiček od
2600 gl. med seboj ?

174. ) Na neki dražbi se je kupilo 35 kub. m /  drv za 166j- gl.; A

jih je vzel 8f kub.”j, B lb\kub.' m j  in C,  kar jih je ostalo;
koliko je moral vsak plačati?

17 5.) Za nakup kreditne srečke da A  90 gl., B  60 gl., C  42 gl.;
koliko pride na vsacega, ako dobi srečka 2000 gl.?

176. ) V novih avstr, deseticah sta srebro in baker zmešana v raz¬

merji 2:3;  koliko je treba srebra in koliko bakra, da se
nakuje za 6600 gl. desetic, ako tehta 600 desetic 1 ?

177. ) 12 delavcev zasluži v 15 dneh 156 gl.; koliko gl. zasluži 30

delavcev v 24 dneh?

Na pamet: 12 delavcev zasluži v 15 dneh . 156 gl.

1 delavec » » 15 » 12ti del ....  13 »

30  delavcev » » 15 » 30krat toliko. 390 »

30 » » » 1 dnevi 15ti del ....  26 »

30 » » »24  dneh 24krat toliko. 624 »

156

Pismeno: a)  12 delavcev zasluži v 15 dneh 156 gl.; koliko zasluži v
istem času 30 delavcev?

x  : 156 = 30: 12; x —  390 gl.

b)  Ako zasluži 30 delavcev v 15 dneh 390 gl., koliko gl. zasluži ravno toliko
delavcev v 24 dneh?

* :390 = 24:15; x  = 624 gl.

Naloge, katere so sestavljene iz dveh ali več jednostavnih regeldetrijskih
nalog, so naloge sestavljene regeldetrije  (zusammengesetzte Regeldetri).

178. ) 4 tiskarji natisnejo z navadnim tiskalom v 3 dneh 4800 pol;

koliko tiskarjev je treba, da natisnejo 19200 takih pol v 8 dnčh?

179. ) 10 delavcev zgotovi 150™/ tkanine v 8 dneh; v koliko dneh

bode 12 delavcev s 180'"/ iste tkanine gotovih?

180. ) 100 gl. kapitala da v 1 letu 4 gl. obrestij; koliko obrestij da

4700 gl. kapitala v 3 letih?

181. ) Kateri kapital da po 5°/ 0  v 1-| leta 254-| gl. obrestij?

182. ) Koliko let mora kapital od 1240 gl. po 6°/ 0  naložen biti, da

nese 372 gl. obrestij?

183. ) Po koliko °/o treba 6890 gl. kapitala naložiti, da nese v

2 letih 689 gl. obrestij?

184. ) 2 - 5™/ dolg, 1 • 6 ' m j  širok in l’2 m j  globok vodnjak napolni

cev v 1 uri 40 minutah; kedaj napolni jednaka cev drug
vodnjak, ki je 3*/ dolg, 1'4*/ širok in 1”/ globok?

IV. Procentni računi.

§ 93.

V domačem in trgovskem življenji jemljemo za podlogo različ¬
nim računom procent ali odstotek, t. j. znesek od 100. Tako
pravimo n. pr., kapital je po 5 procentov naložen, t. j. vsacih 100 gl.
kapitala daje na leto 5 gl. obrestij.

Pri procentnih računih treba pazili na štiri količine; 1.) na
število 100 kot osnovno število;  2.) na znesek od 100, t. j. na
procente; 3.) na vsoto,  od katere treba računati procente; 4.) na
znesek,  t. j. na množino, katero da dana vsota po procentih.

Procentni račun je trojen: od sto (von Hundert); nad sto (auf
Hundert) in pod sto (in Hundert).

a)  Od sto računa se, kadar je vsota, od katere treba procente
računati, istovrstna z osnovnim številom  100. N. pr. Kolika

157

je opravnina*) po 2% od blaga, ki je 500 gl. vredno? To
nalogo rešimo s sledečim razmerjem:

x:2 =  500:100.

b)  Nad sto računa se, kadar vsota, od katere treba procente ra¬
čunati, ni istovrstna z osnovnim številom 100, nego s številom
100 povečanim za procente.  N. pr. Neko blago velja z
opravnino po 2°/ 0  vred 500 gl.; kolika je opravnina? To nalogo
rešimo s sledečim razmerjem:

x : 2 = 500:102.

c)  Pod sto računa se slednjič, ako je dana vsota, od katere se
znesek po procentih računa, istovrstna z osnovnim številom  100,
zmanjšanim za procente.  N. pr. Za prodano blago dobi se po
odbitku 2% opravnine 500 gl.; kolika je opravnina? Tu imamo so-

razmer J e  x : 2 = 500:98.

Iz tega se vidi, da treba smatrati n. pr. za 2°/ 0
pri računu od sto število 100,

» » nad sto » 102,

» » pod sto » 98

kakor istovrstno z dano vsoto.

Pri procentnem računu od sto pomeni 1% kakega števila T( ‘ T) -
tega števila; 2°/„ kakega števila pomenita T f„,  3°/ 0  pa T f (7  tega .šte¬
vila, i. t. d.

1. Račun od sto.

§ 94.

Naloge. (Reši jih kolikor mogoče na pamet.)

1.) Vzemimo, da treba znesek od 775 gl. po 4°/ 0  določiti, t. j. iz¬
računati, kateri znesek da 775 gl., ako da vsacih 100 gl. 4 gl.
zneska.

Po sklepovnem računu: 700 gl. da 7krat 4 gl., t. j. 28 gl.; 25 gl. da 1 gl.,
15 gl. da tedaj 3 gl.; skupaj 31 gl.

Ali: 1%, t. j. fifo od 775 gl. je 7-75 gl.

4%, t. j. pfo od 775 gl. so 4krat 7'75 gl. = 31 gl.

S pomočjo sorazmerja:

x : 4 = 775 :100; x  = ~~ ^qq  ~  gl — 31 gl

*) Ako kdo komu druzemu naroči, da izvrši kako opravilo, n. pr. da kupi
ali proda kako blago, zove se ona oseba, katera to nalogo dobi in izvrši,
opravnik  (Commissionar), nagrada pa, katero opravnik za svoj trud dobi,
opravnina  ali provizija (Provision).

158

Da tedaj  izračunamo znesek od dane vsote po procenti h
od sto, treba to vsoto s procenti množiti ter produkt s 100 deliti.

2. ) Koliko je 5% od 600?

3. ) Koliko je

a) 3°/ 0  od 800? b)  6% od 700?

c)  5% od 440? d)  2|°/ 0  od 400?

e)  4i°/ 0  od 90? f)  23|°/ 0  od 1200?

4. ) Nekdo ima na leto 842 gl. dohodka, od katerega treba plačati

7°/ 0  dohodnine; koliko znaša ta davek?

5. ) V nekem mestu je 6360 prebivalcev; koliko je 15°/ 0  od tega?

6. ) Od 523 12 let starih ljudij dočaka 83°/ 0  30. leto; koliko teh

oseb učaka tedaj 30. leto?

7. ) Dolžnik poravna se s svojim upnikom tako, da mu plača 78°/o

dolga, kateri znaša 2680 gl.; koliko mu plača tedaj ?

8. ) Katero število je

a)  za 3°/ 0  večje od 200, od 700, 800, 1000?

b)  za 4°/ 0  manjše* od 390, od 500, 600, 950?

9. ) Delavec zasluži 95 kr. na dan; kolika je njegova dnina, ako

zasluži 8% več na dan?

10. ) Jeden trgovec prodaja cnt.  sladorja po 50 gl., drugi pa za

2i°/ 0  cenejše; po čem ga prodaja drugi?

11. ) Ocean med Evropo in Ameriko ima najslanejšo morsko vodo,

v tej je namreč 36• 7% soli; koliko soli je v kub. 1 ")  te vode,
ki tehta 1025%?

12. ) Koliko je

a)  5% od 325 mark? b)  6|% od 729 frankov?

c)  3f°/o °d 640 fnt. 14 shill. sterling?

13. ) Pri neki cesti znaša na 6350 m / dolžine vzdig 1‘8%; koliko m j

znaša tedaj vzdig?

14. ) Dunajski vatel je za 22%, m j  krajši nego 1 m j  ; katero jednačbo

je moči postaviti med dunajskim vatlom in f ?

15. ) Prebivalstvo mesta, katero je imelo leta 1837. 15860 duš,

pomnožilo se je do leta 1877. za 25°/ 0 ; koliko prebivalcev je
imelo tedaj mesto leta 1877.?

16. ) Češka ima llff°/o °d vsega površja avstro-ogerske države;

kolika je Češka, ker ima avstro-ogerska država 6224'74[^.%
površja?

17. ) Doljna Avstrijska ima 19824□  % površja, med temi

32% gozda; koliko □ Jly  in je gozda?

159

18 . ) V sladornici porabijo 1452 ton sladorjeve moke; koliko dobijo

prečiščenega sladorja po 80% in sirupa po 16% ?

19 . ) V nekem mestu je bilo rojenih nekega leta 1650 otrok, in sicer

52% dečkov in 48% deklic; koliko je bilo dečkov in koliko
deklic?

Včasih računa se znesek za kako vsoto po promilu ali odti-
sočku  (Promille, % 0 ), t, j. po 1000. V tem slučaji treba vsoto, za
katero se išče znesek, množiti s promilom in produkt s 1000 deliti.

20. ) Nekdo ima 2% 0  od 2550 gl. tirjati, t. j. 2 gl. od vsakih 1000 gl.;

koliko je to?

21. ) Koliko je

a)  1 % 0  od 12360? b)  1 f% 0  od 9460?

c)  1 f% 0  od 8880? d)  2% 0  od 1895?

22. ) Nekdo kupi za druzega za 2400 gl. državnega dolga in dobi

za svoj trud -|% 0 ; koliko je to?

23. ) Nove avstr, dvajsetice imajo 500% o  čistega srebra; koliko čistega

srebra je v jedni taki dvajsetici, ako ji je cela teža 2f Sf?

24.) Katera vsota da po 6% kot znesek 45 gl.?
S sklepi:

6 gl. zneska da 100 gl. vsote

46 » » » 16§- gl. x 45 = 750 gl.

Ali: 6%, t. j. T fo vsote = 45 gl.

1%, ‘.j. Tffo » =7-5  gl.,

tedaj vsota sama = 7‘5 gl. X 100 = 750 gl.

S pomočjo sorazmerja:

x : 100 = 45:6; * = 750 gl.

25. ) Katera vsota da

a)  po 2 % 48, b)  po 3% 74, c)  po 4% 38,

d)  po 4|% 50, e)  po 5°/ 0  110, f)  po 6% 150

kot znesek?

26. ) Katera vsota da po 5% 61 gl. 75 kr. kot znesek?

27. ) Koliko prebivalcev ima mesto, ako jih je 22% 572?

28. ) Ako dobiš iz pese 5% neprečiščenega sladorja, koliko % pese

je treba za 4720 % neprečiščenega sladorja?

29. ) Pri neki kupčiji je bilo 24% izgube; koliko vsoto je bil vložil

oni, ki dobi 2165 gl. nazaj?

160

30. ) Koliko je vredno blago, ako znašajo po 5-|% računani postranski

stroški 73 gl. 24 kr.?

31. ) Koliko °/o treba od 3900 gl. vzeti, da dobiš 156 gl.?

Sklepaj:

Vsota 3900 gl. da kot znesek 156 gl.

s 100 gl. » » » = 4 gl.,

ali

1% od 3900 gl. je 39 gl.; 156 gl. je tedaj toliko % od 3900 gl., kolikor-
krat je 39 gl. v 156 gl., tedaj 156:39 = 4%.

S pomočjo sorazmerja:

x : 156 = 100:3900; as = 4 gl.

Od 100 gl. treba tedaj 4 gl., t. j. 4°/ 0  vzeti.

32. ) Koliko °/ 0  vsote 600 da 24 za znesek?

33. ) V neki zmesi iz srebra in bakra je 10% bakra, koliko % te¬

daj srebra?

34. ) Da se pokrijejo deželni stroški, razpiše na vsak goldinar davka

24 kr. priklade; koliko °/o znaša ta priklada?

35. ) Koliko % J e

a)  40 kr. od 5 gl? b)  4| gl. od 105 gl.?

c)  75 gl. od 1250 gl? d)  39 gl. 27 kr. od 748 gl.?

e)  303 marke od 8060 mark?

f)  1624f fnt. sterling od 9848 fnt. sterling ?

36. ) Izmed 461 201etnih oseb učaka jih 300 50. leto; koliko %

jih umrje od 20. do 50. leta?

37. ) Neka dežela ima 87560 otrok, kateri bi morali v šolo hoditi,

a od teh jih obiskuje šolo le 83250; koliko % onih, ki bi mo¬
rali, obiskuje tedaj šolo?

38. ) Češka ima 519'55%..% površja, med temi 238'90% Jly  njiv;

koliko % vsega površja pride na njive?

39. ) Ulit železen drog od 2'37 ™/ dolžine skrajšal se je, ko se je

ohladil, za 0 - 23^; za koliko % se je skrčil?

40. ) Za koliko % od 400 je 406 večje nego 400?

41. ) Za koliko % °d 406 je 400 manjše nego 406?

42. ) 1 danski čevelj = 0\314 w /, 1 švedski čevelj = 0'297 % •

a)  za koliko °/o J e  1 dan. čevelj večji od 1 šved. čevlja? b)  za
koliko % je 1 šved. čevelj krajši od 1 dan. čevlja?

43. ) Razmerje med zemljep. miljo in novo nemško miljo je 231

proti 230; za koliko °/o j e  P rva  večja od druge?

44. ) Iz 169% apnenca nažge se 83|% živega apna: koliko %

izgubi apnenec pri žganji?

161

45. ) Pri nekem konkurzu dobi nekdo za 1152 gl., katere ima tirjati,

le 768 gl.; koliko % ima izgube?

46. ) Ako je v 43| pšenice toliko hraniva kolikor v 5 reži, za

koliko °/ 0  je v pšenici več hraniva nego v reži?

47 .) Neka železnica je imela meseca maja 80368 gl., meseca junija
107435 gl. dohodkov, za koliko °/„ so  oni meseca junija večji?

48.) Dunaj je imel leta 1840. 356870, leta 1870. 622087 prebivalcev;
za koliko °/ 0  se je prebivalstvo Dunaja v tem času pomnožilo?

49. ) 1245 gl. kapitala je naloženih po 5% ; koliko obrestij nesejo

na leto?

50. ) Koliko obrestij db na leto

a) 575 gl. po 4% ? b)  708 gl. po 4-|%?

c)  1560 gl. po 6°/ 0 ? d)  1848 gl. 84 kr. po 5f °/ 0  ?

51. ) Koliko obrestij da v 1 letu

a)  729 mark 12 fenig. po 5|°/ 0 ?

b)  2538 • 18 franka po 6 % ?

52. ) Koliko obrestij da 7238 gl. 72 kr. v 1 letu

a)  po 4f % ? b)  po 3| % ? e)  po 6-|?

53. ) Neka hiša je vredna 24800 gl. in nese 41°/ 0 ; kolika je na¬

jemnina ?

54. ) Koliko obrestij da

a)  942 gl. po 5% v 3 letih?

b)  548 gl. 40 kr. po 4|% v 5 letih?

c)  2380 gl. po 5i°/o v  leta?

55. ) Koliko obrestij da 739‘35 drahme po 5°/ 0  v 2f leta?

56. ) Koliko obrestij da

a)  896 gl. po 4°/ 0  v 6 mesecih?

b)  2205 gl. po 6% v 4 mesecih?

c)  10808 gl. po 6f % v 2 mesecih?

57. ) Koliko obrestij nese

a)  8345 lir po 6% v 3 mesecih?

b)  536-gV fnt. sterling po 5f• % v 1 meseci?

58. ) Koliko obrestij da

a)  1350 gl. po 6% v 72 dneh?

b)  4065 gl. po 4% v 123 dneh?

c)  2104 gl. po 5^% v 182 dneh?

Leto se računa po 360 dnij.

11

162

59. ) Koliko obrestij nese 1238 rubljev po 5f°/o

a)  v 1 letu ? b)  v 4 mesecih ? cj v 1 dnevi ?

60. ) Koliko obrestij da 4088 gl. 40 kr. po 6|%

a)  v 1 meseci? b)  v 10 dneh? c)  v 4 dneh?

61. ) Koliko kapitala treba naložiti, da da po 5-|% na leto 308 gl.?

Tu sklepamo:

54 el. obresti! daje 100 gl. kapitala
1 » » » 100 gl.: 5| = \\°  gl. kap.

308 » » 2 t ° t ° gl. x 308 = 5600 gl. kap.

ali:

54% kap. = 308 gl.

1%) t- j- t4"o kapitala = 308 : 54 = 66 gl., tedaj kapital sam
= 56 gl. X 100 = 5600 gl.

S pomočjo sorazmerja:

x:  100 = 308:5-4; x  = 5600 gl.

62. ) Kateri kapital d k  po 4°/ 0  na leto 324 gl. obrestij?

63. ) Hiša nese po 5°/ 0  406 gl. obrestij: kolika je nje vrednost?

64. ) Kolik je kapital, kateri nese po 5% na leto

a)  165 - 5 gl., b)  258 mark 68 fenig. obrestij?

65. ) Kateri kapital nese po 54°/ 0  na leto

a)  355• 64 franka, b)  139 rubljev 12 kopejk obrestij?

66. ) Kolik je kapital, kateri da, po 4°/ 0  izposojen, v 4 mesecih

56 gl. obrestij?

67. ) Kateri kapital nese po 5f°/o 326 gl. 60 kr. obrestij na mesec?

68. ) Po koliko % izposojen je kapital od 450 gl., ki daje 18 gl.

obrestij na leto ?

69. ) 3445 gl. kapitala daje na leto 250 gl. 31 kr. obrestij; po ko¬

liko % J e  naložen?

70 .) Koliko °/o nese hiša, katera je za 8340 gl. kupljena, a daje
375 gl. 30 kr. najemnine?

71. ) Kolika je obrestna mera (°/ 0 ) od 6400 mark kapitala, ako daje

oni kapital na leto 288 n rk obrestij ?

72. ) Od 25 milijonov goldinarjev treba plačati vsako leto 1125000 gl.

obrestij; koliki so procenti?

73. ) Neko blago tehta s sodi vred, v katerih je, 1540%; koliko

znaša tara*) po 5%?

*) Ako zvagamo kako blago s posodo vred, v kateri je, imenujemo to
težo surovo ali nečisto težo (Brutto-, Sporcogervicht); težo posode imenujemo
pa taro , in ta je dana dostikrat v procentih od nečiste teže. Ako odštejemo taro
od nečiste teže, dobimo čisto težo (reines, Nettogewicht) blaga.

163

74. ) Kolika je tara

a)  od 285% po 4% ? b)  od 958% po 10%?

c)  od 2540 fnt.  po 9 a%? d)  od 3175 fnt.  po 8%?

75. ) Koliko znaša tara od 5044%

a)  po 3%? b)  po 5f% ? c)  po 12%?

76. ) Odposlane smokve imajo 735% surove ali nečiste teže; kolika je

a)  tara po 12% ? b)  čista teža?

77. ) Neko blago ima 3780% nečiste teže; kolika je čista teža, ako

znaša tara 3%, 5-§%> 8%, 12%?

78. ) Koliko stane 6 cul bombaža, ako jim je nečista teža 1180%,

tara 6% in se računa 100% čiste teže po 107f gl.?

79. ) Trgovec dobi kave, katera ima 3244 fnt.  nečiste teže, 1 fnt.

čiste teže po 78 fenig.; koliko ga stane vsa kava, ako se računa
2% tare?

80. ) Na 1950% nečiste teže dovoli se 78% tare; koliko % znaša

tara?

81. ) Neko blago ima 7750% nečiste in 6946% čiste teže; po koliko %

se je računala tara?

82. ) Nekdo kupi za nekega trgovca za 3054 gl. blaga; kolika je

njegova opravnina po 2%? (§ 93.)

83. ) Kolika je opravnina po 2%

a)  od 458 gl.? b)  od 720 gl.? c)  od 912 gl. 75 kr.?

d)  od 1325 gl.? e)  od 3912 gl.? f)  od 1118 gl. 50 kr.?

84. ) Kolika je provizija od 4760 gl.

a)  P« 1%? h )  PO f%? c)  po lf%? d)  po lf-%?

85. ) Opravnik zaračuna si od 2085 gl, katere je skupil za blago,

lf-% provizije; kolika je ta?

86. ) Opravnik dobi 22 gl. 74 kr. provizije zato, ker je kupil za 936 gl.

blaga; koliko % znaša provizija?

87. ) Ako znaša opravnina od neke vsote po 2% 184 gl. 50 kr.,

kolika bi bila opravnina po 2f%?

88. ) Nekdo kupi za nekoga druzega 3125% kave, cnt.  po 154 gl.;

kolik bode račun, ako znaša provizija 2%?

89. ) Opravnik kupi v Parizu za 8563 frank. 36 centim, blaga,

stroškov zaračuna 218 frankov in provizije 2%; kolik bode
račun za nakupljeno blago (faktura)?

90. ) Nekdo proda za nekoga druzega za 2085 gl. blaga; koliko ostane

prodajalcu po odbitku lf% provizije?

11 *

164

91. ) Koliko velja 2108% nečiste teže nekega blaga, ako se računa

tara po 9°/ 0 , cnt.  čiste teže po 82 gl. 80 kr. in opravnina za
nakup po lf°/o?

92. ) Kolika je mešetarina  od blaga, vrednega 2640 gl., po -| 0 /o?*)

93. ) Kolika je mešetarina po i°/o

a)  od 618 gl.? b)  od 506 gl. 58 kr.?

c)  od 3096 gl.? d)  od 2744 gl. 87 kr.?

94. ) Kolika je mešetarina po f°/o

a)  od 3865 frankov? b)  od 708 mark 65 fenig.?

95. ) Kolika je mešetarina pri menjiškem opravilu od 12845 gl.

PO l°/oo?

96. ) Od blaga, ki je 1480 gl. vredno, plača se mešetarju 9 gl. 25 kr.;

po koliko °/o računala se je mešetarina?

97. ) Mešetar posreduje nakup 1245% sladorja po 46 kr. in dobi

1% mešetarine; koliko znaša mešetarina?

98. ) Kolika je zavarovalnina  od 5380 gl. po 2°/„?**)

99. ) Kolika je zavarovalnina od 7850 gl.

a)  po f%? b)  po f%? c)  po 1 %? d)  po l|°/ 0 ?

100. ) 13750 gl. vredno blago zavaruje se od Trsta do Aleksandrije

proti pomorski škodi po lf°/ 0 ; kolika je zavarovalnina?

101. ) Na 17800 gl. cenjena hiša zavaruje se pri zavarovalnem dru¬

štvu proti ognju po 1 -|°/o! koliko znaša zavarovalnina?

102 .) Hišni posestnik plača od svoje hiše zavarovalnemu društvu
18 gl. 84 kr.; kolika je vrednost hiše, ako je računalo društvo
1% le vrednosti?

103. ) V Trstu se zavaruje blago za 6800 gl.; koliko je zavarovalnih

stroškov, ako znaša zavarovalnina lf-°/ 0 , mešetarina 1 °/ 00  in
velja zavarovalni list (polica) 1 gl. 60 kr.?

104. ) Zakonita vrednost ces. zlatnikom je bila 4 gl. 30 kr. konv. vr.;

koliko je bil zlatnik vreden pri 15% nadavka?***)

*) Zaprisežene osebe, katerim je posredovati pri kupčiji med trgovci
istega mesta, zovejo se mešetarji ali senzali  (Makler, Sensale). Nagrada, ki
jo dobe za svoj trud, zove se mešetarina ali senzarija  (Sensarie, Gourtage).

**) Društva, katera prevzemo proti določeni pristojbini odškodovanje za
nezgode in izgube, nastale bodisi vsled prirodnih bodisi vsled izvanrednih do¬
godkov, zovejo se zavarovalna društva  (Assecuranz-Gesellschaften); pristoj¬
bina pa, katera se jim naprej plačuje zato, da prevzemo odškodovanje, zove se
zavarovalnina  (Versicherungspramie).

***) Na davek  (Agio) zove se znesek, za katerega novec v prometu več
velja, nego mu je zakonita vrednost.

165

105. ) Koliko treba v bankovcih plačati za 860 gl. srebra, ako ima

srebro a)  l°/ 0 , b)  lf%, c)  21°/ 0 , d)  3|-% nadavka?

106. ) Za 1350 gl. v zlatu treba plačati 1566 gl. v srebra; koliko %

nadavka ima zlato?

107. ) Nekdo kupi za 928 gl. blaga in ima pri prodaji 12°/ 0  dobička,

t. j. za vsakih 100 gl., katere je pri nakupu izdal, dobi pri
prodaji 112 gl; a)  kolik je dobiček, b)  koliko skupi pri prodaji?

108. ) Pri predivu, katero se je kupilo za 600 gl., je pri prodaji 10%

dobička; kolik je dobiček?

109. ) Za koliko se je prodalo blago, katero se je kupilo za 795 gl.

in pri katerem je bilo 6% dobička?

110 .) 1 cent  olja se kupi za 84 mark; po čem treba prodajati funt,
da je 12% dobička?

111. ) m j  sukna kupi se po 5 gl. 25 kr.; po čem treba */ prodajati,

da bode 15^% dobička?

112. ) Koliko dražje treba prodajati 1 m j  sukna, kateri se je kupil

za 3 gl. 48 kr., da bode 12£% dobička?

113. ) Neko blago se je kupilo za 4250 gl., dobička pa je bilo pri

prodaji 340 gl.; koliko % je bilo dobička?

114. ) Nekdo kupi 166”/ sukna za 396 gl., m / pa proda po 4{ gl.;

kolik je a)  ves dobiček, b)  v procentih?

115. ) Nekdo kupi m f  sukna po 4 gl. 45 kr., prodati pa ga mora s

4% izgube; a)  koliko izgubi pri 1 m /  ? b)  po čem proda 1”/?

116. ) Žitni trgovec kupi za 1215 gl. ječmena ter proda s 6|% do¬

bička Xj t  po 4-f gl.; koliko %  je bil kupil?

117. ) Nekdo kupi 27^ vina po 28f gl. in 32 Mfo  po 25f gl.; prvo

proda / po 36 kr., drugo po 32 kr.; kolik je ves njegov do¬
biček in kolik v procentih?

118. ) Nekdo kupi 34 cnt.  blaga za 1325 gl. v srebru, katero ima 1%

nadavka, in proda cnt.  po 5/ gl. v papirnatem denarji; koliko
% ima‘dobička?

2. Kaoun nad sto in pod sto.

§ 95.

Naloge.

1.) Kolik je znesek od 1325 gl. po 6% nad sto, t. j. koliko dd
1325 gl., ako se računa od 106 gl. 6 gl.?

x : 6 = 1325 :106; a? = 75 gl.

166

2. ) Koliki so zneski nad sto

a)  od 694 gl. po 2%? b)  od 923 gl. po 3% ?

c)  od 1314 gl. po 10%? d)  od 3260 gl. po 5% ?

3. ) Koliko je 6f% nad sto

a)  od 2907 T 5 g marke? b)  od 3544f franka?

4 . ) Nekdo plača čez 1 leto za vsoto, katero si je bil po 5% iz¬

posodil, 3071 gl. 25 kr. nazaj ter poplača s tem kapital in
obresti; koliko je bilo tu obrestij?

5 . ) Kolik je 15% dobiček pri blagu, katero se je za 1860 gl. prodalo?

6. ) Neko blago stane z 2°/ 0  kupno opravnino vred 3207 gl. 90 kr.:

a)  kolika je opravnina? b)  kolika je kupna cena sama?

7. ) Katera vsota da 90 gl. po 5% nad sto, t. j. katera vsota je po¬

trebna, da dobiš 90 gl., ako treba 105 gl., da dobiš 5 gl.?

8. ) Od katerih vsot računani so sledeči zneski nad sto:

a)  78 gl. po 3%? b)  97-8 gl. po 6%?

c)  164% lire po 8|%? d)  681f marke po 8f%?

9. ) Koliko znašajo sledeče vsote po odbitku dodanih procentov

nad sto:

a)  1825 gl. po 5%? b)  928 gl. po 12|%?

c)  3645 frankov po l°/o? d)  776 mark po 3%?

10. ) Koliko znašajo % nad sto, ako se računa mesto 158 gl. samo

153f gl.?

11 . ) Kolik je znesek od 1634 gl. po 5% pod sto, t. j. koliko da

1634 gl., ako da 95 gl. 5 gl?

x :  5 = 1634 : 95; x —  86 gl.

12 . ) Koliki so zneski pod sto od

a)  2508 gl. po 18% ? b)  836 gl. po 8f%?

c)  7018 gl. po 2i%? d)  1601% marke po 6|%?

13. ) Koliko d k  582 gl., ako jih pomnožimo za 3% pod sto?

x  : 100 — 582 : 97; * = 600 gl.

14 . ) Nekdo plača za dolg, od katerega se mu 3% popusti, 2913 gl.

60 kr.; a)  kolik je popust? b)  kolik je bil dolg?

15 . ) Nekdo skupi za prodano blago po odbitku 2% opravnine

2773 gl.; kolika je a)  opravnina, b)  čista prodajna cena?

16 . ) Katera vsota da 90 gl. po 5% pod sto, t. j. katera vsota da

90 gl., ako da 95 gl. 5 gl?

x  : 95 = 90 : 5; x  = 1710 gl.

17. ) Od katerih vsot so računani sledeči zneski po dodanih procen¬

tih pod sto:

167

a) 300 gl. po 10V b)  128-f gl. po lli°/ 0 ?

c)  130-2 franka po 3f% ? d)  78{ marke po l±°/ 0 ?

18. ) Koliko je °/o sto, ako se računa od 5031 gl. 129 gl.?

19. ) Koliko je % pod sto, ako se računa mesto 937'5 gl. 1000 gl. ?

20. ) Neko blago prodalo se je s 15% izgube za 1860 gl.: kolika

je izguba?

21. ) Pri plačevanji nekega blaga znesel je 3A°/o odbitek 175 J gl.;

koliko je plačal kupec?

22. ) Koliko °/o od sto je a)  6°/ 0  nad sto, b)  6% pod sto?

23. ) Koliko je 4°/ 0  od 660 gl. a)  od, b)  nad,  c)  pod  sto?

24. ) Katera vsota dk  po 4°/ 0  20 gl. a)  od, b)  nad,  c)  pod  sto?

25. ) Koliko % a )  od, b)  nad,  c)  pod  sto je 20 gl. od 500 gl.?

26. ) Kolik je odbitek  (Diseont) od 845 gl. po 2% a)  nad sto,

b) od sto?*)

27. ) Kolik je odbitek nad sto

a)  od 749 gl. po 4% ?

c) od 1234 gl. po 3% ?

28. ) Kolik je odbitek od sto

a)  od 815 gl. po 6 %?
c)  od 3804-5 gl. po 1 °/„?

b)  od 658 gl. po 4J-V
d)  od 3245 frank, po 2°/ 0  ?

b)  od 913 gl. 24 kr. po 5i°/ 0 ?
d)  od 2407 mark po |°/ 0 ?

29.) Vsota od 505 gl., plačljiva čez 2 meseca brez obrestij, izplača
se takoj s 6% odbitka nad sto pro anno,  tedaj z 1% za 2
meseca; a)  kolik je odbitek, b)  koliko gotovo plačilo?
a) x : 1 = 505 :101, b)  plačilo čez 2 meseca 505 gl.

x =  5 gl. odbitka. odbitek 5 »

gotovo plačilo 500 gl.
500 gl. gotovega plačila da s 6% obrestmi vred čez 2 meseca
505 gl.

30.) Od 505 gl., plačljivih čez 2 meseca, odpusti se pri gotovem pla¬
čilu za 2 meseca 1% od sto; a)  kolik je odbitek? b)  koliko go¬
tovo plačilo?

a)  505 gl. po 1% b)  plačilo čez 2 mes. 505 gl.

5 - 05 gl. odbitka odbitek 5'05 »

gotovo plačilo 499 - 95 gl.

499'95 gl. gotovega plačila da s 6°/ 0  obrestmi čez 2 mes. 504 • 9405 gl.

*) Ako se brezobresten kapital, dolg za blago ali menica izplača pred do¬
ločenim plačilnim rokom, dovoljuje se dolžniku zarad te predplačbe primeren
odbitek  (Diseont, Sconto, Rabatt). Ako se odšteje odbitek od dane vsote, zove
se ostanek gotovo  (contant) plačilo.

168

Da je odbitek prav in pravičen, treba da da gotovo plačilo, pomnoženo
za dotične obresti do plačilnega roka, natanko dolžni kapital. Potem pa sledi iz
zadnjih dveh primerov, da ne velja računati odbitka od sto, nego pravilnejše
nad sto. A ker je procentni račun od sto priročnejši nego nad sto, in ker se
rezultata obeh računov za majhne roke le neznatno razlikujeta, računajo trgovci
pri blagu in menicah, ker je tu rok večinoma le kratek, odbitek zmerom po
priročnejšem procentnem računu od sto.

V sledečih nalogah treba tedaj pri plačilih za blago in pri menicah ra¬
čunati odbitek od sto.

31. ) Nekdo kupi za 3227 gl. blaga: ako se mu dovoli 3°/ 0  odbitka.

koliko bo gotovo plačal?

32’27 x 3 blago velja 3227 gl.

96'81 gl. = 96 gl. 81 kr. odbitka je 96 gl. 81 kr.

gotovo plačilo znaša 3130 gl. 19 kr.

32. ) Koliko treba gotovo plačati za blago, ki velja 818 gl. po od¬

bitku li%?

33. ) Nekdo kupi 738% blaga po 68§ kr.; ako plača gotovo, dobi

3|% odbitka: koliko je gotovo plačilo?

34. ) Menica na 780 gl. kupi se 2 meseca pred plačilnim rokom s

5°/ 0  odbitka; a)  kolik je odbitek; b)  koliko treba kupcu plačati?
Odbitek za 2  meseca je f %.

35. ) Menica na 2379 gl., katera se izteče dne 15. oktobra, proda se

dne 9. septembra s 6°/ 0  odbitka: kolika je vrednost menice po
odbitku?

Pri računanji meničnega odbitka jemljo se meseci po toliko dnij, kolikor jih
v resnici imajo; obrestna mera pa velja za 360 dnij. Tu je od dne 9. sept.
do dnč 15. okt. 36 dnij = jV leta; tedaj treba tu = f% odbitka računati.

36. ) Pri nekem blagu je zarad gotovega plačila 2°/ 0  popusta; ako

znaša ta popust 35f gl., koliko velja blago?

37. ) Ako se prodaja cnt.  blaga za gotovo plačilo po 54 - 99 gl., po

čem ga treba prodajati na čas z 21% odbitka?

38. ) V Lyonu plača se za svilo 4309 • 47 frk. mesto 4353 frk.; koliko

% je odbitka?

39. ) Za neko blago treba 1280 gl. čez 40 dnij plačati, plača pa se

gotovo 1267 gl. 20 kr.; koliko % odbitka dovoljenih je pr o anno?

40. ) Koliko °/ 0  računa se na leto, ako je od 1750 mark za 36 dnij

3f marke odbitka?

41. ) Kolik je odbitek od 6160 gl. nad sto, ako znaša od sto 246 gl.?

42. ) Za 1640 gl. plačalo se je pri 5°/ 0  nad sto gotovo 1520 gl.;

kedaj je bila ta vsota plačljiva?

169

43. ) Nekdo ponudi za hišo 11820 gl. pod pogojeni, da izplača ta

denar še le čez 3 leta; koliko gl. je ponudba sedaj vredna, ako
se računa 5% odbitka?

44. ) Koliko znaša knjigarsk račun od 432 gl. 48 kr. po odbitku

12|% rabata?

Popust ali rabat (Rabatt), katerega dovoljujejo založniki ostalim knji-
garjem na prodajno ceno knjig, je odškodnina za stroške in trud pri prodajanji.
Knjigarski rabat računa se zmerom od sto.

45. ) Kolik je rabat po 25% pri knjigarskem računu a)  od 650 gl.

45 kr., b)  od 743 mark 18 fen.?

46. ) Čista cena knjigi je 4 marke 60 fen.; kolika je prodajna cena,

ako da založnik 25% rabata?

47. ) Kolik je knjigarsk račun, ako znaša rabat po 33A% 128 gl. 24 kr.?

48. ) Koliko % znaša rabat, ako je prodajna cena 1 izvodu 12 mark

40 fen. in se plača za 30 izvodov 279 mark čisto?

49. ) Založna knjigarna da natisniti 2000 izvodov neke knjige; spisa-

telju je plačala 600 gl. nagrade; knjiga ima 15 pol in stroški
za papir in tisek znašajo 35 gl. za polo. Koliko ima pri tem
natisu dobička, ako je cena 1 izvodu 1 gl. 40 kr. in rabat, ki
ga dovoli drugim knjigarjem, 25% ?

50. ) m j  je za 28f% daljši od dunajskega vatla; koliko ™/ je

1124  dun. vatla?

51. ) Švedski vatel je za 5f% krajši od danskega; koliko švedskih

vatlov je 250 danskih?

52. ) V neki tvornici so povišali delavcem plačo ga 15%; 80 delav¬

cev je dobilo potem skupaj 134 gl. 40 kr. na dan. Koliko je
zaslužil 1 delavec na dan, predno so plačo povišali?

53. ) Nekdo plačuje za 3-|% pribitka k najemnini na leto 14 gl.;

koliko plačuje na leto najemnine s pribitkom vred?

54. ) Koliko treba nekomu danes po 6% izposoditi, da dobi čez 3 leta

z obrestmi vred 1475 gl. nazaj?

55. ) Kolika je pri 5% obrestij sedanja vrednost 100 gl., plačljivih

a)  čez 1 leto, b) čez  2 leti, c)  čez 6 mesecev? (Nad sto.)

56. ) Koliko je sedaj vrednih 2000 gl., plačljivih čez 2j  leta, ako se

računa 5% odbitka pr o anno ?

57. ) Neka hiša ima dva kupca; prvi ponuja 13500 gl. takoj, drugi

15000 gl. čez 6 mesecev, ali pa s 6% odbitka takoj; katera
ponudba je za prodajalca ugodnejša?

170

38.) Po odbitku 4^°/ 0  nad sto zmanjšala se je neka vsota na 650 gl.;
kolika je bila prej?

51).) Za dolg, katerega treba čez 3f leta plačati, plača se po odbitku
4% takoj 1080 mark; kolik je dolg?

60. ) Kolik je kapital, za katerega se plača po odbitku 4°/ 0  za 72

dnij takoj 1500 gl.?

Koliki del leta je 72 dnij? Koliko % odbitka treba tedaj za 72 dnij
računati? Ako pa se plača mesto lOOf- gl. čez 72 dnij takoj 100 gl., kateri
vsoti je gotova vrednost 1500 gl.?

61. ) Za 980 gl. dolga, katerega treba čez 6 mesecev plačati, plača

se takoj 931 gl; koliko % odbitka se računa?

62. ) Koliko % znaša odbitek, ako se plača 1200 gl., potem ko se

je za 45 dnij 9f gl. odbitka odštelo?

63. ) Nekomu treba 345 gl. davka plačati; dovoli pa se mu 3°/ 0  po¬

pusta; koliko bode tedaj plačal?

64. ) Koliko treba za 345 gl. davka s 3°/ 0  priklado vred plačati?

65. ) Nekdo je plačal za neki davek, katerega se mu je 4% odpu¬

stilo, 398 gl. 40 kr.; kolik je bil davek?

66. ) Za davek in 4% priklado plača se 468 gl.; koliko je pravega

davka?

67. ) V prodajni ceni od 788 gl. je 6% dobička; kolik je dobiček?

68. ) Za blago, katero se s 3°/ 0  izgube proda, skupi se 520 gl.; ko¬

lika je a)  izguba, h)  kupna cena?

69. ) Ako se proda neko blago za 150 gl, je 10°/ 0  izgube; za koliko

treba blago prodati, da bode 5% dobička?

70. ) Ako se proda neko blago za 462 gl., je 16|°/o dobička; koliko

% je dobička, ako se proda za 420 gl.?

71. ) Trgovec dobi za prodano blago po odbitku 2-|% stroškov

66764 franka; koliko je bilo stroškov?

72. ) kjg  nekega blaga prodaja se z 10% stroški in 12% dobičkom

vred po 45• 5 kr.; po čem je bil kupljen?

73. ) Po čem sme trgovec 1 cnt.  kupiti, ako mora 2% opravnine

dati in hoče z 10% dobičkom vred po 60 kr. prodajati?

y. Naloge za ponavljanje v računanji z razmerji.

§ 96.

1. ) Koliko treba plačati ga 3f °j  zemlje, ako velja 5|-'/ 52% gl.?

2. ) Trgovec ima pri 1% kave 16 kr. ali 10% dobička; po čem

je kupil cnt.?

171

3. ) Koliko obrestij nese na leto 749f gl.

a)  po 4|°/ 0 ? b)  po 5f°/ 0  ? c)  po 6%?

4. ) Kateri kapital da po 5 na  ' Gto  189 gl. obrestij?

5. ) Po koliko % treba naložiti 3127 gl. kapitala, da nese na leto

125 gl. 10 kr. obrestij?

6. ) Koliko velja % čistega zlata, ako velja kjg  zlata od 900 tisočin

čistine 1208 gl.?

7. ) lllf grške drahme znaša 45 gl. avstr, vr.; koliko goldinarjev

avstr. vr. je 2085 drahem ?

8. ) Za njivo, katera meri 55-| □ ™f,  plača se 8f gl.; koliko velja

po isti ceni 1 ^ njive?

9. ) Iz neke cevi priteče v 4 G  minute 98 j- / vode; koliko / priteče

iz iste cevi v 45• 2 minute?

10 .) Da se prevleče soba s tapetami, treba 28 zvitkov tapet po 45 %
širokih; koliko zvitkov iste dolžine bode treba, ako so tapete le
42 %  široke?

11. ) Kolika je pot, katero preteče lokomotiva pri istomerni vožnji

v 4 urah 24 minutah, ako preteče v 2 urah 15 minutah 691%,
274 ?

12. ) Pravokotno v zemljo zasajena, lf ®/ dolga palica dela 2 T 7 „ m j

dolgo senco; kolika je višina stolpu, čegar senca ima istodobno
30^®/ dolžine?

13. ) Izmed dveh cevij napolni jedna vodnjak v 2 urah 48 minutah,

druga pa v 1 uri 51 minutah; koliko vode da prva v 1 uri,
ako je da druga vsako uro 8-35^?

14. ) A  posodil je B- u 900 gl. na 5 mesecev, in sicer brez obrestij;

za koliko časa mora B A-u  1250 gl. posoditi, da mu ono pri¬
jaznost povrne?

15. ) Koliko obrestij nese kapital v 2f leta, ako nese v 4f meseca

12 gl. 48 kr.?

16. ) Trgovec z lesom kupi za 918f gl. drv ter jih proda za 1007f gl.:

koliko % dobička ima pri prodaji?

17. ) Knjigar dobi iz Lipskega za 384 mark 60 fen. knjig; koliko

treba mu plačati, ako je 3.3-!% rabata?

18. ) Kaj je dražje: 28 ' rn j  za 89-04 gl., ali pa 35®/ istega blaga za

112-35 gl.?

19. ) Čisti znesek za prodano blago znaša po odbitku 2^% stroškov

3448 gl.; za koliko gl. se je prodalo blago?

172

20. ) Mesto 748'J gl. čez 4 mesece plača se takoj 733 t S q  gl.; koliko

% znaša odbitek?

21. ) Menica na 928 gl., katero treba plačati dne 15. oktobra, plača

se s 6% odbitka pro anno  dne 2. sept.; kolik je odbitek?

22. ) V koliko % srebra od 720 tisočin čistine je toliko čistega srebra,

kolikor ga je v 5f % srebra od 940 tisočin čistine?

23. ) K 12% 850 tisočdelnega srebra primesijo 3% bakra; kolika

je čistina zmesi?

24. ) Koliko srebra bode se dobilo za 4f% zlata, ako sta si ceni

srebra in zlata kakor 1 proti 1?

25. ) % kovnega zlata od 900 tisočin čistine plačuje se v francoskih

kovnicah po stalni ceni, namreč po 3094 frankov; po čem se
računa tedaj % čistega zlata?

26. ) V 375 novih avstr, dvajseticah je ~ % čistega srebra, čistina

jim je 0 • 5; kolika je teža 750 dvajsetinam?

27. ) Razmerje med hranivom krompirja in pese je 16^ proti lOf;

koliko % pese ima toliko hraniva, kolikor ga je v 100 % pese?

28. ) Koliko $$ reži dobiš za 36f 5% pšenice, ako dobiš za 3 2%  pše¬

nice 4f-$| reži?

29. ) Od 531 lOletnih ljudi učaka poprek 491 20tegaleta; koliko °/ 0

jih umrje v dobi od 10. do 20. leta?

30. ) Češka je imela leta 1780. 2561794, in leta 1870. 5140156 pre¬

bivalcev; za koliko °/« pomnožilo se je prebivalstvo Češke v
tem času?

31. ) Trdnjava ima 6800 mož posadke in živeža za 6| meseca;

koliko mož mora oditi, da bodo ostali z onim živežem 8| me¬
seca izhajali?

32. ) Telo preteče v 81 sekundah 672-3”/; koliko časa potrebuje

za pot, ki je za 215 •8 m f  krajša?

33. ) Nekdo kupi dvojo kavo; 4% prve vrste veljajo 7 gl. 36 kr. in

6 % druge vrste 10 gl. 56 kr.; kakšno je razmerje med cenama?

34. ) Za blago, ki je bilo za 1740 gl. kupljeno, plačalo se je zarad

opravnine 1770 gl. 45 kr.; koliko °/o J e  bilo opravnine?

35. ) Nekdo kupi dva soda vina iste kakovosti, skupaj 26 9%  26 ;

prvi sod drži 15 66 in velja 3911- gl ; koliko stane vino,

kar ga je v drugem sodu?

36. ) Za blago, katero je imelo 4192% nečiste teže, plačalo se je

880 gl.; po čem pride cent  čiste teže, ako se računa 16f°/„ tare?

173

37. ) Nekdo skupi za blago 5730 gl. in ima 4£°/ 0  izgube; za koliko

je bil blago kupil?

38. ) Koliko časa bilo je 364 gl. kapitala naloženega, da je nesel

toliko obrestij, kolikor jih da 390 gl. v 9| meseca?

39. ) Ako da 8205 gl. v nekem času 765f gl. obrestij, kateri kapital

da v istem času za 193^ gl. več obrestij?

40. ) Koliko gl. kapitala treba po 5 °/ 0  naložiti, da nese v nekem času

toliko obrestij, kolikor 3775 gl. po 4°/o?

41. ) Kapital da po 6°/ 0  v nekem času 508• 24 gl. obrestij; koliko

obrestij nese v istem času a)  po 4f°/ 0 , b)  po 5f °/ 0 , c)  po 6f°/ 0 ?

42. ) Računa se, da da smleta rež 84°/ 0  moke in 4°/ 0  otrobov; koliko

moke in koliko otrobov da 472 \ hfa  reži?

43. ) Pri neki konkurzni masi je 37500 gl. aktivnega imetka in

210000 gl. pasivnega imetka; koliko °/ 0  dobe upniki, ako se
aktivni imetek med nje jednako razdeli?

44. ) Pri nekem stroji posezata dve kolesi drugo v drugo, prvo ima

4 (lJ /m , drugo 6 d j m  v premeru; kolikokrat se zavrti drugo, med
tem ko se zavrti prvo 120krat?

45. ) Nekdo hoče njivo, katera je 74f :m j  dolga in 19 \ m j  široka, za

3f ™/ ožjo narediti; za koliko treba njivo podaljšati, da ji ostane
površje isto?

46. ) Nekdo plača 1 gl. 20 kr. zavarovalnine za blago, katero je

po železnici odposlal; za koliko je bilo blago zavarovano, ako
se računa a°/oo zavarovalnine?

47. ) Koliko obrestij nese 2896 gl. kapitala po 5|% v 2 letih 6 me¬

secih 25 dneh?

48. ) Nekdo je dobil od svojega kapitala v 5 letih 8 mesecih 256f gl.;

kolike so bile obresti od istega kapitala v 3| leta?

49. ) Kateri kapital da v 1 letu 8 mesecih toliko obrestij, kolikor

8715i gl. v 2 letih 4 mesecih?

50. ) Nekomu treba plačati 3000 gl. čez 8 mesecev; ako plača takoj,

dovoli se mu 6% odbitka pro mino;  koliko je gotovo plačilo,
ako se računa odbitek a)  nad sto, b)  od sto?

51. ) Zidarsk mojster zahteva za neko zidanje 15000 opek po

± kubAj m \  9600 takih opek je prejel, a sedaj se mu morejo
dati le opeke po. ^ T)  kub.  ^; koliko tacih opek treba mu še
dati ?

174

52. ) Gospod obljubi svojemu slugi na leto obleko in 144 gl.; čez

3 mesece ga odpusti in sluga dobi obleko in 18 gl.; za koliko
se mu je obleka zaračunala?

53. ) V Avstriji se pridela na leto poprek 277400 ton železa; Šta¬

jerska ga pridela največ, namreč 102500 ton; koliko % vsega
železa pridela Štajerska?

54 . ) Mesto, čegar prebivalstvo se je od leta 1840. do 1870. za 49%

pomnožilo, imelo je leta 1870. 28032 prebivalcev; koliko pre¬
bivalcev imelo je mesto leta 1840.?

55. ) Zemlja preteče na svojem potu okoli solnca v jednem letu,

t. j. 365'24222 dneva 129626823 zemljep. milj; koliko časa po¬
trebuje, da preteče 1719 zemljep. milj, t. j. pot, kateri je jednak
njeni veliki osi?

56 . ) Trgovec more % kave po 1 gl. 72 kr. prodajati; po čem treba

mu kupiti %, ako hoče 12°/ 0  dobička imeti?

57. ) Pri blagu, katero se je kupilo po 80 gl. cent , je 12% dobička;

koliko % bode dobička, ako se cent  po isti ceni prodaja, a za
5 gl. dražje kupi?

58. ) Nekdo kupi za 3500 frankov blaga: za koliko treba mu pro¬

dati blago čez 6 mesecev, ako računa na mesec ■|% obrestij,
in če hoče 12% dobička imeti?

59 . ) Trgovec kupi 4 kose sukna po 30®/ za 512 gl.; po čem mora

prodajati ”j,  da dobi 15%?

60 . ) Za neko kupčijo se združita A  in B  ter vložita 12000 gl.; A  je

vložil 7000 gl. in kupčija da 960 gl. dobička: koliko dobi A,
koliko B?

61. ) Za neko kupčijo vloži A  3500 gl., B  5250 gl., C  6750 gl. in

D  4500 gl.; vsega dobička je 1920 gl.; koliko dobi vsak?

62. ) Koliko stane 8 sodov medu, ako jim je nečista teža 2538%,

tara 12% in se računa cent  čiste teže po 64 gl. 45 kr.?

63. ) Novim avstr, deseticam je čistina 400 tisočin in teža lf 9j ; ko¬

liko čistega srebra je v jedni desetici?

64 . ) Nekdo kupi starih srebernih novcev, kateri tehtajo 2'348%,

čistina pa jim je 875 tisočin; koliko so vredni, ako se računa
hjg  čistega srebra po 89 gl.?

65 . ) Dunajčan kupi menico na 2705 frankov 40 cent. na Pariz; koliko

gl. avstr. vr. mora zanjo plačati, ako je kurz na Pariz 46'50
(100 frankov = 46'50 gl. avstr, vr.) ?

175

66. ) Tržašk trgovec ima tirjati v Hamburgu 3182 mark; koliko

gl. avstr. vr. bo za to dobil, ako je kurz na Hamburg 57'25
(100 mark = 57-25 gl. avstr, vr.)?

67. ) Nekdo je dolžen A- u 500 gl., B- u 700 gl., C-u 400 gl., I)- u 300 gl.,

premoženja ima pa le 1710 gl; koliko dobe upniki po razmerji
tirjatev?

68. ) Za 207 oseb je živeža za 54 dnij; s tem živežem se preskrbljuje

243 oseb 29 dnij; koliko časa bode izhajalo z ostalim živežem
324 oseb?

69. ) Koliko 29%, dolgih, 12% širokih in 4% debelih opek gre na

1 kub. m /, ako je stik 9''% širok in se za lom in zametek 9| °/ 0
računa ?

70. ) Dvema pisarjema je zgotoviti jednako delo; prvi je dovrši v

5|- dneva, ako piše po 9f ure na dan; drugi pa napiše 5 pol
med tem, ko napiše prvi le 4, a on piše le 8-| ure na dan. V
koliko dneh bode drugi pisar z delom gotov?

71. ) Nekdo kupi 34 cnt.  blaga za 1325 gl. avstr. vr. v srebru, katero

ima 1% nadavka, proda pa ft jg  po 54 kr. avstr. vr. v papir¬
natem denarji; koliko % hna dobička?

72. ) Neko blago se kupi za 2128 gl., čez 4 mesece pa se proda za

2540 gl.; koliko °/o J e  dobička, ako je bilo tudi 114 gl. brez¬
obrestnih stroškov in se na mesec \°/ 0  obrestij računa?

73. ) Mešetar posreduje nakup blaga za 2181 gl. 7 kr. ter računa

lj-°/ 0  mešetarine, katero plačata na spol kupec in prodajalec;
a)  koliko treba plačati kupcu za blago, b)  koliko dobi proda¬
jalec zanj ?

74. ) Ako se plača v Frankfurtu na M. za 948 funtov 18f shill.

sterling 21257 mark, koliko znese 10 fnt. sterling?

75. ) 100 srebernih rubljev tehta 5 fnt. 6 zlatnikov, čistina (proba)

pa jim je 83£, t. j. v 96 delih je 83| dela čistega srebra; ko¬
liko imajo čistega srebra?

76. ) Koliko tisočin čistega zlata imajo ruski polimperiali, ker jih

gre po postavi 166-703 na 1^ čistega zlata in jih 152-712
1 hfg  tehta ?

77. ) Koliko zlatnikov po osem goldinarjev je jednakih 1 severo-ameri-

kanskemu zlatemu orlu (eagle), ker ima 1 zlatnik po osem
goldinarjev 5-80645 ^čistega zlata, a 1 orel 16-7183 9j  tehta
in mu je čistina /„?

176

78. ) Po koliko °/o izposojen je kapital, kateri nese sedaj 180 gl.

obrestij, prej pa je nesel po 5°/ 0  200 gl. obrestij ?

79. ) Neki kapital narasel je s 5% obrestmi v 6 letih na 455 gl.;

kolik je bil kapital?

80. ) Nekdo je izposodil troje kapitalov: 541 gl. po 4-§- °/ 0 ,853 gl. 80 kr.

po 5°/ 0 , 1356 gl. po 6i %; kateri kapital moral bi izposoditi
po 5J °/oi da bi dobil isto toliko obrestij na leto?

81. ) Trije jednaki kapitali, od katerih je izposojen prvi po 4|°/o'

drugi po 5°/ u , tretji po 5|'/ 0 , neso vkup na leto 1240 gl. obrestij;
kolik je vsak kapital?

82. ) Menica na 4508 gl. izplača se 15 dnij pred plačilnim rokom s

6 °/ 0  odbitka pr o anno ; koliko treba zanjo plačati?

83. ) Ako se plača mesto 2500 gl. čez 2 leti, 2325 gl. 58 kr. čez

9 mesecev, koliko % nad sto je odbitka?

84. ) A  kupi jedno delnico Rudolfove železnice v nominalni vred¬

nosti od 200 gl. za 155 gl.; koliko °/o mu  nese kapital, ako
plačujejo za delnico vsakega poluleta 5 gl. obrestij v srebru,
in če je nadavek srebru 1 °/ 0 ?

85.) Konjar ima za 28 konj krme za 5f meseca; čez lf meseca
pa proda 12 konj; koliko časa bo imel krme za ostale konje?
86 .) 5ti del grabna izkopalo je 22 delavcev v 35f dne; v koliko
dneh bode delo dovršeno, ako sedaj 6 delavcev odide?

87. ) 15 delavcev dovrši neko delo v 10 dneh; čez 3 dni popuste

3 delavci in čez zopet 5 dnij drugi 3 delavci delo; v koliko
dneh bode delo gotovo?

88. ) Neki stroj stane v Angleški 840 fnt. sterling, prevoznina do

Trsta znaša 24°/ 0  Strojeve vrednosti; koliko stane stroj v Trstu,
ako je 1 fnt, sterl. = 11 gl. 85 kr. avstr. vr. ?

89. ) V nemški državi imajo nove zlatnike po deset mark; teh kujejo

139| iz 1 funta (500 gramov) čistega zlata; koliko gl. avstr. vr.
v srebru je vreden 1 zlatnik po deset mark, ker da 1 fnt. zlata
od t 9 q  čistine 77| avstr, zlatnikov po osem goldinarjev in velja
1 lak zlatnik 8 T ' (T  gl. avstr. vr. v srebru ?

90. ) Na neki hiši sta dva dolga, od katerih treba na leto plačevati

640 gl. obrestij; od jednega kapitala, kateri znaša 6000 gl.,
plačuje se 4°/ 0 , od druzega pa 5%; kolik je drugi kapital?

177

91. ) Nekdo izposodi 3700 gl. po 5 a°/ 0 ; nekaj kapitala je sam po

4°/ 0  na posodo vzel; koliko kapitala je njegovega, ako mu na
leto 154| gl. obrestij preostaja?

92. ) Nekdo vzame 2380 gl. po 4|-°/ 0  na posodo ter izposodi od teh

1400 gl. po 5|- 0 / 0 ; po koliko % mora ostali del naložiti, da
mu na leto preostaja 14 gl. 35 kr. obrestij?

93. ) V neko hišo se je zazidalo 28500 gl.; na hiši je hipoteka od

8000 gl, od katere je treba plačevati 4f°/o; davka je na leto
651 f gl.; za popravke računa se 130 gl. na leto. Koliko °/ 0
obrestij nese kapital, ako nese hiša na leto 1800 gl. najemnine?

94. ) Koliko kiib. m l  drže 3 zaboji, ako je vsak 2 m / dolg, l - 25 11 /

širok in 1 • 16 ™/ visok, in koliko je voznine, ako se plača za
vsakih 3'5 kub. m j  po 24f gl.?

95. ) Koliko treba plačati stroškov za zavarovanje blaga, katero je

za 7600 gl. zavarovano, ako je zavarovalnine 11-°/ 0 , mešeta-
rine 1 °/ 00 , opravnine ~°/ 0 . in ako velja zavarovalni list (po¬
lica) 2 gl.?

96. ) Dunajsk trgovec proda za Tržačana 6 sodov zabelnega olja,

nečiste teže je 5258 %, tare 16°/ 0 , 1 cnt.  čiste teže po 84 gl.: ko¬
liko je čistega zneska, ako se računa lf% opravnine?

97. ) Tržačan kupi v Amsterdamu 3214 fnt. kave ter plača fnt. po

f gl. hol.; stroški znašajo 20°/ o  ; koliko gl. avstr. vr. treba mu
plačati, ako se računa, da je 100 gl. hol. = 98 gl. avstr, vr.?

98. ) Za blago, ki ima nečiste teže 975 %, plačal je trgovec 1198 gl. 8 kr.,

tara znaša 4°/ 0 ; po čem mora % prodajati, da bode imel 12|°/o
dobička ?

99. ) Trgovska hiša v Trstu kupi za trgovca v Gradci 2465 % kave

po 158 gl. 40 kr. 1 cnt .; stroškov računi 11 gl. 68 kr., meše-
tarine l|°/o, opravnine 2 °/ 0 ; koliko ima tirjati tržaška hiša ?

100. )A  je dobil 5 zabojev blaga; vsak je imel nečiste teže 82%, tare

je bilo dovoljene 12°/ 0 , kupna cena za 1% čiste teže f gl.; ako
je imel pri prodaji llf°/o dobička, kolik je bil ves dobiček?

12

Dodatek.

Pregled najvažnejših mer, utežij in novcev.

§ 97.

Imamo časovne in prostorne količine.

Za merjenje v prostoru imamo najprej kotno in ločno mero
(Winkel- und Bogenmass).

Ostale prostorne količine določujemo na trojen način: nekatere
merimo po njih razsežnosti v prostoru, v to nam služijo mere  v
besede ožjem pomenu; druge določujemo po njih teži,  t. j. po
veličini pritiska vsled težnosti na podlogo; še druge določujemo po
številu  posameznih kosov, imenujemo jih zarad tega kosovno
blago ali blago v kosih  (Stiickguter). Mere  same delimo na dol-
gostne, ploskovne in telesne mere.

Splošno merilo za vrednost različnega blaga v trgovini in pro¬
metu je denar.  Najbolj pripravne za uporabo kakor denar so po¬
sebno kovine in to drage kovine, srebro in zlato.

Kovinske kose določene oblike in teže, z napisom, grbom,
imenom in podobo onega, ki jih daje kovati, imenujemo novce ali
peneze  (Miinzen).

Vrednost novca ravna se po kovini, iz katere je skovan, po
čistini te kovine in teži.

Celo težo novca imenujemo njega robelj  (Schrot), težo čistega
zlata ali srebra, kar ga je v njem, pa zrno  (Kom). Čistino (Fein-
gebalt) novca določujemo na ta način, da povemo, koliko delov
čistega zlata ali srebra je v kaki določeni zmesi.

Zakonite določbe o teži in čistini novca imenujemo novčno
mero  (Miinzfuss).

Novci, skovani po določeni novčni meri te ali one dežele, zovejo
se tekoč denar  (Courantgeld). One novce, kateri so v to odme-
njeni, da izravnavajo manjše razlike pri plačevanji, imenujemo dro-

179

biž (Scheidemiinzen). Navadno so iz bakra ali srebra, a zmerom
menj čisti nego bi primerno po svoji vrednosti biti morali.

Ako treba vrednost zlatih ali srebernih novcev ali kake računske
vrednosti določiti v kaki drugi vrednosti, gleda se ali na to, koliko
imajo zlata in srebra, ali pa na njih premenljivo, od raznovrstnih
okolščin zavisno vrednost, katero imenujemo tečaj ali kurz (Curs).

I. Časovne in locne mere.

§ 98.

Čas določujemo po letih, mesecih, tednih, dnevih i. t. d., in
sicer po sledeči razdelitvi:

1 leto ima 12 mesecev, 1 dan ima 24 ur,

1 mesec » 30 dnij, 1 ura » 60 minut,

1 teden » 7 » 1 minuta * 60 sekund.

Pri obrestnih računih računamo sicer navadno mesec po 30
dnij, tedaj leto po 12krat 30, t. j. 360 dnij; v resnici pa ima navadno
leto 365, prestopno 366 dnij; isto tako imajo meseci nejednako

Obod kroga delimo na 360 jednakih lokov, stopinje  (Grade)
imenovanih. Vsaki ločni stopinji  (Bogengrad) pripada ob središči
kroga kot, katerega imenujemo tudi stopinjo,  toda kotno sto¬
pinjo  (Winkelgrad). Vsako kotno in ločno stopinjo (°) delimo na
60 minut  (') in vsako minuto na 60 sekund (").

II. Števne mere.

§ 99.

Šestdeseterica ali kopa (Schock) ima 60, trideseterica (Shilling)
30, petnajsterica ali razstavka (Mandel) 15, dvanajsterica ali tucat
(Dutzend) 12 kosov.

Bala papirja ima 10 rižem, rizma 10 knjig, knjiga 10 skladov,
sklad 10 pol.

12 *

180

IH. Mere, uteži in novci avstro-ogerske države.

§ 100 .

1. Nove mere in uteži.

Podloga novim avstr, meram in utežem je po zakonu od dne
23. julija leta 1871. meterski sistem,  katerega so vpeljali najprej v
Francoski in potem v večini evropskih držav.

Osnovna  ali normalna jednota  temu sistemu je meter.
Francoski učenjaki določili so, da je meter lOOOOOOOski del dolžine,
katero ima kvadrant zemeljskega meridijana (poludnevnika), a poz¬
nejše astronomijske meritve so pokazale, da je natančneje le
10000855ti del kvadranta zemeljskega meridijana.

Iz dolžine metra dado se prav lahko izvodili ne le ploskovne
in telesne mere, nego tudi uteži tega sistema.

Nove dolgostne mere.

Jednota  novi dolgostni meri je meter.

Mnogokratniki in nižji razdelki meterskega sistema narejeni
so pri dolgostnih in vseh drugih merah, da se lažje razumevajo in
so za računanje bolj priročni, po vsem po decimalnem sistemu.
Mnogokratniki so: lOkratnik, lOOkratnik, lOOOkratnik, lOOOOkratnik;
nižji razdelki pa: lOtina, lOOtina, lOOOčina. Ne ti ne oni ne dobe,
kakor pri starih sistemih, posebnih imen, ampak obdrže le ime
osnovne jednote, pred katero pa se postavljajo zarad natančnejše
določitve gotove besede; te pa so vzete iz latinščine in grščine, da
ostanejo za vse narode jedne in iste.

Mnogokratnike  ne samo metra, nego tudi vseh mer za
ploskve, telesa in uteži, katerim je meter podloga, imenujemo na ta
način, da postavimo pred ime osnovne jednote grške  števnike s
končnico a  ali o,  in sicer

deka za lOkratnik,
hekto » 100 »

kilo » 1000 »

myria » 10000 »

Latinski števniki s končnico i,  postavljeni pred ime osnovne
jednote, zaznamenujejo pa nižje razdelke, in sicer

deci . lOti del,

centi . lOti »

mili .lOOOči »

181

Vsled tega imamo za mnogokratnike in nižje razdelke meterske
dolgostne mere to-le lestvico:

1 myriameter (Jiy)  = 10000 metrom,

1 kilometer (7^) —  1000 s

1 hektometer (Hm)  = 100 »

1 dekameter (I)m)  = 10 »

1 meter  (7) = 1 metru,

1 decimeter (%,) = 0'1 metra,

1 centimeter (%,) = 0 - 01 »

1 milimeter (%) = 0 - 001 »

Vsak člen v lestvici dolgostnih  mer  ima 10 jednot najbližjega
nižjega člena.

Hektometer in dekameter nista vzprejeta med avstr, mere, ker
nista niti za praktično življenje niti za znanstvo potrebna. Za dol¬
gostne mere imamo tedaj to-le razdelitev:

1 Jiy =  101%, = 10000 7,

11 %. = 1000  7 ,

17 = 10% = 100%, = 1000%,

1% = io%, = 100%,

1 %, = 10 %.

Nove ploskovne mere.

a)  Za ploskovne mere  služijo v obče kvadrati,  katerih
stranice so jednake dolgostnim jednotam. Kvadrat, čegar stranica je
1 meter dolga, imenujemo kvadraten meter  (D7)- Ako razdelimo
vsako stranico kvadratnega metra na 10 jednakih delov in zvežemo
nasprotna razdelišča s premami, dobimo 100 kvadratov; vsak ima
za stranico 1 decimeter, tedaj je vsak kvadraten decimeter  (□%,,);

1Q7 ima torej 100 □%. Ako isto tako storimo s kvadratnim deci¬
metrom, dobimo 100 kvadratnih centimetrov  (□%,); isto tako
sledi, da je 1D%, = 100□%. Na isti način sledi, daje  1Q% =
= 100 lOHn  = 100 □-£&», 1 UHm  = mUDni,  in

1 UDm  = 100 □ 7-

Vsak člen iz lestvice ploskovnih mer ima tedaj 100 jednot
najbližjega nižjega člena.

Oziraje se na to, da []&* in \^\Dm  nista uvrščena med avstr,
ploskovne mere, imamo tu za splošne ploskovne mere  to-le
lestvico:

182

ID* = 100 = 100000000 □ 7,

lOTm, = 1000000 □ 7;

1Q™/ = 100 □%, = 100000%, = 1000000 □’%,

!□%, = 100 □%, = 10000 □«%,,

io%» = ioo

b)  Jednota meri za površino zemljišč je ar ("J),  t. j.
kvadrat, čegar stranica je 10 dolga; 1 ar je tedaj jednak 100O”/.

Mnogokratnik: hektar {3& la )  = 100 arom.

Tedaj je

1% = 1007 = 10000 0*7,

17 = ioon*y.

1 □* = 10000^

Nove telesne mere.

a)  Kakor ploskovna mera opira se tudi telesna  mera na dol-
gostne mere. V to služi kocka  (Cubus, Wurfel), čegar vsaka stranica
(rob) je dolgostni jednoti jednaka. Kocko s stranico 1 m J  imenujemo
kubičen meter  (kub.”)).  Vsaka ploskev kubičnega metra je kva¬
draten meter in ima 100 kvadratnih decimetrov. Ako si mislimo
kubičen meter otel, njega osnovno ploskev na 100O%i, in višino
na 10%, razdeljeno, moremo najprej na osnovno ploskev položiti
100 kocek; vsaka ima 1 %  za stranico, zarad tega jo imenu¬
jemo kubičen decimeter  (Jcub.%).  Teh 100 kubičnih decimetrov
tvori plast, katere višina je 17». Ker pa je kubičen meter 107» visok,
ima 10 takih plastij po 100 kub.'f n ,  tedaj po vsem lQOOkub. (l { m :  torej
1 kub.'"! ~  1000 kub.din.  Na isti način sledi, da je 1 kub.% —  1000 kub.%,
lkub.%  = 1000 kub. '%, da je dalje 1 kub..tty  = 1000 kub.  ,
\kub.%l n  = 1000 kub.Hm.  i. t. d.

Vsak člen iz lestvice splošnih telesnih  mer  ima tedaj
1000 jednot. najbližjega nižjega člena.

Pri avstr, merah odpadeta kub.Hm  in kub.Dm;  za splošne
telesne mere  imamo torej to-le razdelitev:

1 kub. My  = 1000 lcubjvf m  =  1000000000000 kub. m /,

1 kub .= 1000000000 kub:”/,

lkub. m /  = 1000 kub.dj m  = 1000000=  1000000000 kub.  %,
lkub.%  = 1000 kub.%  = 1000000 kub.

lhub.%, —  1000 kub. m %.

b)  Jednota  novi otli meri  za suhe in tekoče reči je liter  (f),
kateri je jednak 1 kubičnemu decimetru.

Mnogokratnik: hektoliter ($f) = 100 'j ,
Nižji razdelki: deciliter (<%) =  T v j  ,

centiliter d)  = T f 0 //.

183

Tedaj je

1 ^ = 100  /  = 10001  = 10000  <£,

17= ioi = looi

11  = 101

Nove uteži.

Uteži izpeljavajo se iz telesnih mer.

Osnovno ime za uteži je gram (9]\  tj. teža kubičnega centi¬
metra destilovane vode o največji njeni gostoti.

A ker se tako malo vode, kolikor je gre v kubičen centimeter,
ne more lahko natanko zmeriti in zvagati, napolnili so, da bi določili
prautež meterskemu sistemu, lOOOkratnik tega prostora, t. j. kubičen
decimeter s čisto vodo o njeni največji gostoti, katero ima pri 4 sto¬
pinjah toplote lOOdelnega toplomera, ter jo zvagali v brezzračnem
prostoru. Dobljena teža bila je lOOOkratnik grama, tedaj kilogram(%).

Mnogokratnika: tona(Tonne) == 1000%; meterskicent (cnt.)  -

= 100 %.

Nižji razdelki:

dekagram (%>) = T 1 kilogr. = 10 gramom,

Da se poskusoma določi teža žita, uporabljajo se poskusne
uteži  (Probegewichte), katere predstavljajo 500kratnik svoje teže. Za
mero služi pri tem poskusni hektoliter,  čegar vsebina je jednaka
500temu delu hektolitra.

Za določevanje čistine zlatih in srebernih zmesij nimamo po¬
sebnih utežij. Čistina določuje se, kakor pri novejših zlatih in srebernih
novcih, po t i s o č i n a h. Čistina zlata ali srebra je 900 tisočin (y|nnr Mi to$

184

pravi se: v 1000 utežnih delih zmešane kovine je 900 delov zlata
ali srebra in 100 delov primesi (bakra). Čisto zlato ali srebro je
lOOOdelno.

Tako zvana konjska sila  (Pferdekraft), katera služi za mersko
jednoto v določevanje moči strojev, ima 75 kilogram-metrov,
t. j. jemlje se, da vzdigne v jedni sekundi 75 kilogramov 1 meter
visoko.

§ 101 .

2. Prejšnje avstro-ogerske mere in uteži.

Dolgostne mere.

Jednota je dunajski čevelj  ('), kateri se deli na 12 pal¬
cev (") po 12 črt ('"). 6 čevljev je jeden seženj  (°); 4000 sežnjev
je avstrijska poštna milja *

Nemška ali zemljepisna milja,  katera je 15ti del jedne
stopinje zemeljskega ekvatorja, ima 3912‘735 dunajskih sežnjev.
Tedaj je 1 zemljep. milja = O - 978184 avstr, milje: 1 avstr,
milja = l - 022302 zemljep. milje.

Dunajski vatel je = 2 - 46  dunajsk. čevlj.: deli se na polo¬
vice, četrtine, osmine in šestnajstine.

Ploskovne mere.

1D° = 36 □' po 14411'' po 144D'".

Ploskovna mera za zemljišča je doljno-avstrijski oral
= 1600 G 0 . 1 avstr. □ milja = 10000 oralom. 1 zemljep. n m dj a
= 0-956844 avstr. □ milje; 1 avstr. □ milja = 1-041502 zemljep.
milje.

Telesne mere.

1 kub. 0  = 21 Skuk'  po 1728 kub."  po 1728«.'"

Mere za žito so: 1 muth = 30 vaganom: 1 vagan ima
2 mernika (polovnika) = 8 osminam po 2 mlinarski merici
po 4 m er čice po 2 kupici.  1 doljno-avstr. vagan ima 1-9471 kub.'

Mera za tekočine je: 1 vedro — 40 bokalom po 4 četrti (ma-
selce). 1 doljno-avstr. vedro = 1 ■ 792 kub.'

Uteži.

1. ) Trgovinska ut ež. Cent  ali stot ima 100 funtov, funt
32 lotov, lot 4 kvintelje.

2. ) Utež za novce in srebro.  Jednota je dunajska marka
(grivna). Ona ima 16 lotov, 1 lot 4 kvintelje, 1 kvintelj
4 denarje, 1 denar 2 vinarja, 1 vinar 128 fenižčičev
(Richtpfennigstheile): 1 marka ima tedaj 65536 fenižčičev.

185

Novčna utež bila je v Avstriji in v Nemčiji bolonjska marka,
katera je imela na Dunaji 233-87 gramov, tako da je 6 kolonjskih
mark = 5 dunajskim markam. Razven tega določevala se je teža
dostikrat po holandskih asih,  katerih se je računalo navadno
4864 na kolonjsko marko.

3. ) Utež za e e s. zlatnike  (cekine). Zlato in reči iz njega
narejene določevale so se po zlatniški uteži.  Zlatnik ima 815^^-
dunajsk. fenižč. in se deli na 60 zlatniških granov  (zrn).

4. ) Utež za drago kamenje. Karat  = 48| dun. fenižč. =
= 0-206085 grama in deli se na 4 draguljne grene ali zrnca.
Holandski karat = 0-9900727 dun. karata.

5. ) Lekarska utež. Lekarski funt  ima 24 lotov dunajske
trgovinske uteži. Funt ima 12 unec, 1 unča  8 drahem, 1 drahma
3 škraplje, 1 skrupelj  20 lekarskih granov. Unca tedaj 2 lota
trgovinske uteži.

6. ) Simbolična utež za poskušanje zlata in srebra.
Da se določi stopinja čistine zlatu ali srebru, vzame se za jednoto
u m a n j e n a marka  (verjiingte Mark). Ta umanjena poskusna
marka za zlato ali srebro  je = 1 denarju = 256 fenižčičem. —
Pri zlatu deli se na 24 karatov po 12 zlatih zrnec (grenov). Čisto
zlato brez vsake primesi zove se 24kara1no; 18karatno imenuje se
ono zlato, pri katerem je v jedni marki zmesi 18 karatov zlata
in 6 karatov primesi; zlato 19 karatov in 7 grenov je ono. pri ka¬
terem je v jedni marki 19 karatov 7 grenov čistega zlata, drugo
pa, namreč 4 karati 5 grenov, primesi. — Pri srebru deli se marka
na 16 lotov po 18 srebernih grenov. Čisto srebro brez vsake pri¬
mesi zove se 1 61ot.no ; 131otno zove se, ako je v jedni marki
13 lotov srebra in 3 lote bakra.

Razmerska števila med
in utežmi.

1”/ = 3-1637496 čevlja.

17= 1-286077 vatla.

17%!, = 0-131823 avstr, milje.

1Q7 — 10-00931 □ čevlja.

1% = 1-737727 orala.

1 □= 1-737727 □ avstr, milje.

novimi in prejšnjimi merami

1 čevelj = 0-316081 7.

1 vatel = 0-777558 7-
1 avstr, milja = 7- 585936 7%,.

1 □ čevelj = 0 • 099907 □ 7 .

1 oral = 0-5754642%

1 avstr. □ mlj. = 0"5754642

186

1 kub.™] —  31'66695 kub. čevlja.
1 '%l —  1'626365 vagana.
l4 = 1-767129 vedra.

1^ = 0'7068515 bokala.

1 % = 1-785523 d. fnt.

1%  = 0-571367 d. lota.

1% = 3‘562928 d. marke.

1^ = 0'286459 zlatniške uteži.

1 9j  = 4 • 855099 d. karata.

1 % = 2-380697 lek. fnt.

1 kub. čevelj=0 ‘03157867 Jcub.^.
1 vagan = 0-6148682%

1 vedro = 0‘565890%

1 bokal = 1‘414724 7.

1 d. fnt. = 0-560060%.

1 d. lot = 1-750187%

1 d. marka = 0‘280668%.

1 zlatniška utež = 3 ‘ 490896 9/.

1 d. karat = 0 • 205969 9j.

1 lek. fnt. = 0-420045%.

§ 102 .

3. Kovani in računski novci.

a)  V avstro-ogerski državi je zakonita mera za kovane in
računske novce 45 goldinarska mera,  po kateri se kuje iz pol
kilograma čistega srebra 45 goldinarjev. Goldinar (gl.) deli se na
100 krajcarjev (kr.) Ta denar zove se avstrijska vrednost.

Pred 1. novembrom leta 1858. računali so na goldinarje, krajcarje in
vinarje srebra (konvencijskega denarja). 1 goldinar = 60 krajcarjem po 4 vi¬
narje. V 20 gl. bila je jedna kolonjska marka čistega srebra.

V večini avstro-ogerskih dežel računalo se je prej tudi v «§ aj n u » (Ein-
losungsscheine) ali dunajski vrednosti  v razmerji 5 gl. d. vr. = 2 gl.konv.
den. Ta denar od leta 1858. ni več v rabi.

Za preračunanje starejših vrednostij v novo avstr, vrednost velja to-le merilo:

100 gl. konv. den. = 105 gl. avstr. vr.

100 » d. vr. = 42 » » >

b)  Kovani novci so:

1.) Zlati novci:

Zlatniki po osem goldinarjev, katerih gre 77|, in po štiri
goldinarje, katerih gre 155 na pol kilograma zlata, katerega
čistina je

Ti zlati novci nimajo stalne, nepremenljive vrednosti in smatrajo
se le za trgovinske novce.  Ako se vzame 15-| : 1 za razmerje
vrednosti med zlatom in srebrom, potem velja zlatnik po osem
goldinarjev 8 gl. 10 kr. in po štiri goldinarje 4 gl. 5 kr. avstr. vr.
v srebru.

Razven teh kujejo se še kakor trgovinski novci ces. zlatniki
(cekini), katerih gre 67 na kolonjsko marko 23fkaratnega zlata.
Po prejšnjem razmerji vrednosti med zlatom in srebrom velja zlatnik
5 gl. 80 kr. avstr. vr. v srebru.

187

2. ) Sreberni novci:

Kakor  deželni novci: po dva goldinarja, po goldinarji in
po četrt goldinarja avstr, vr.;

kakor srebern drobiž:  dvajsetice po 20, desetice po 10
in petice po 5 kr.

Razven tega kujejo se še kakor trgovinski novci tako imeno¬
vani levantski tolarji  s podobo cesarice Marije Terezije in let¬
nico 1780 po 2 gl. konv. den.

3. ) Bakren drobiž:

po 4, 1 in krajcarja.

c)  Papirnat denar so bankovci  po 10, 100 in 1000 gol¬
dinarjev, in državne note  po 1, 5 in 50 goldinarjev.

IV. Najimenitnejše mere, uteži in računski novci

tujili držav.

§ 103.

Sestaviti hočemo tu mere in uteži najvažnejših tujih držav in
pri vsaki navesti a)  dolgostno mero, b)  ploskovno mero,
c)  telesno mero, d)  uteži  in pri vsaki meri in uleži nje raz¬
merje proti meterskim meram in utežem in potem povsod še dodati
računske novce  in njih razmerje proti avstr, vrednosti.

1. Angleška.

Dolgostma mera.  1 palica (pole ali perth) = 16| čevlj. 1 čevelj
= 0-3048 - 1 yard = 3 čevlj. = 0-9143™/. Zakonita bri¬

tanska milja = 5280 čevlj. Angleška morska milja = 1-85517^.
Poljska mera.  1 acre = 160Qpalicam = 0-4047$^.

Žitna mera.  1 quart,er ima 8 bushelov, 1 bushel 8 gallonov,
1 quarter = 2-9078 3£j.  Gallon je normalna mera za suhe in
tekoče reči in je — 4 • 54346 (/.

Mera za tekočine.  Tona za vino ima 252, za pivo 216, za ale
192 gallonov,  1 gallon - 4-54346 'j.

Uteži.  Troy-utež: troy-funt  po 12 unec po 20 pennyweight-ov
po 20 grenov = O - 37325%. — Avoir-du-poids-utež (adp)
ali trgovinska utež: tona ima 20 centov po 4 quarterje ali
8 kamenov ali 112 funtov; funt je = 16 unčam po 16 drahem.
1 funt adp = 7000 troy-grenom = 0'4536 %.

Računski novci.  Računa se v zlatu na funte ali livres sterling
po 20 shillingov po 12 pencev. Sovereign velja 1 funt sterling
in je = 10 • 1051 gl. avstr. vr. v zlatu.

188

2. Belgija.

Mere in uteži so meterske.

Računski novci, kakor v Francoski.

3. Danska.

Dolgostne mere. 1 palica (Ruthe) = 10 čevljem: 1 čevelj ima
12 palcev, 1 palec 12 črt. 1 čevelj = 0'3139 m f. —  1 vatel =
= 2 čevljema — 0'6277 m /. — 1 milja = 7 - 53251%t,.

Poljska mera. ltona(Tonne) posetve = 560□ palicam =0 - 5516^| l .
Žilna mera. Žitna tona deli se na 8 korcev (Scheffel) in korec
na četrtine, osmine in šestnajstine. Žitna tona - 1 ■ 3912
Mera za tekočine. 1 fuder ima 6 ohmov, 1 ohm 4 ankerje ali
155 pottov. 1 pott = 54 kub. palcem = 0 - 9661/.

Uteži, Cent ima 100funtov po 3?lotov po 4kvintelje. 1 funt = O - 5 kfg.
Računski novci. Računa se na krone v zlatu po 100 orov. 1 zlata
krona = 0 - 5556 gl. avstr. vr. v zlatu.

4. Francoska.

Meterski sistem, kateri jev Francoski zakonito vpeljan, raz¬
jasnili smo po njegovi bitnosti že pri avstrijskih merah in utežeh.

Starejša dolgostna mera je bila toise po 6 čevljev po
12 palcev po 12 črt. 1 pariški čevelj = 0‘324842”/.

Računski novci. Računa se v zlatu in srebru na franke po
100 centimov. 1 frank kakor računsk novec = 0 • 405 gl. avstr. vr.

5. Grška.

Nove mere in uteži so meterske.

Računski novci. Računa se na drahme po 100 lepet. Nova drahma
od leta 1871. je = 1 franku = 0'405 gl. avstr. vr.

6. Holandska.

Mere in uteži so meterske.

Računski novci. Računa se v zlatu na goldinarje po 100 centov.
1 holand. goldinar = O - 8326 gl. avstr. vr. v zlatu.

7. Italija.

Mere in uteži so meterske.

Računski novci.  Računa se v zlatu in srebru na lire po 100 cen-
tesimov. 1 lira = 1 franku = 0'405 gl. avstr. vr.

189

8. Nemška.

Mere in uteži so me ter s k e.

Dolgostne  mere. 1 palica  (Štab meter) = 100 novim palcem
(Neuzoll, centimeter) po 10 črt (Strich, milimeter). 10 palic =
= 1 lancu (Kette, dekameter), 1000 palic = 1 Pf m .  — 1 milja =
= 7500^.

Poljske mere.  1 ar = 100□ palicam, 1 hektar = lOOarom.

Telesne mere.  1 kubična palica = 1000 vrčem (Kanne, liter) po
2 poliča (Schoppen). 50 vrčev = 1 korcu (Scheffel), 100 vrčev
= 1 sodu (Fass, hektoliter).

Uteži.  1 kilogram = 2 funtoma = 1000 gramom po 10 decigramov =
po 10 centigramov po 10 miligramov. 10 gramov = 1 novemu
lotu (Neuloth, dekagram), 50 novih lotov = 1 funtu. 50 kilo¬
gramov — 100 funtom = 1 centu, 1000 kilogramov = 20 cen¬
tom = 1 toni.

Računski novci.  Od leta 1875. računa se v zlati vrednosti na
državne marke po 100 fenigov. 1 zlatnik po deset mark
= 5 gl. avstr. vr. v zlatu, tedaj 1 marka = \  gl. avstr. vr.

Prej se je računalo v severo-nemških državah na tolarje po 30 grošev,
v južno-nemških državah na goldinarje južno-nemške vrednosti po 60 kraj¬
carjev, v Hamburgu na marke po 16 schillingov. 10 drž. mark = 3-g- to¬
larja = 5f gl. južno-nemške vr. = marke hamb. courant.

9. Portugalska.

Od leta 1860. vpeljan je me terski  sistem.

Računski novci.  Računa se v zlatu na milereise po 1000 reisov.
1 milereis = 2 • 2435 gl. avstr. vr.

10. Ruska.

Dolgostne mere.  1 seženj (saženj) = 3 aršinom = 7 čevljem (fut).
1 čevelj = 0-3048 7- — Vrsta ali ruska milja = 1-06687^.

Poljske mere.  1 desetina(desjatina) = 2400□ sežnjem = 1 -09255%,.

Mera za žito.  1 čet vrt = 8 četverikom po 4 četverke po 8 gar-
necev. 1 četvrt = 2-0995%.

Mera za tekočine.  1 sod ima 40 veder po 10 kružek; jedna
kružka = 1 - 2299 tf .

Uteži.  1 pud  = 40 funtom, 1 funt  = 96 zlatnikom (zolotnik),
1 zlatnik = 96 delom (dolja). 1 funt = 0-4095%.

Računski novci.  Računa se na rublje po 100 kopejk. 1 srebern
rubelj = 1 1 6192 gl. avstr. vr.

190

11. Španska.

Postavne mere in uteži  so od leta 1859. meterske.

Računski novci. Od leta 1870. vpeljan  je  francoski novčni
sistem; peseta = franku deli se na 100 centimov. Računa
se pa večidel še na dure (pi astre) po 20 realov. 1 duro =
= 2 • 1298 gl. avstr. vr.

12. Švedska.

Dolgostne mere.  1 palica = 16 čevljem po 12 palcev, 1 nit —
= 6 čevljem. 1 čevelj = 0'2969  */. —- 1 vatel = 0 • 5938 ®/.
— Milja = 6000 nitim = 10 • 688475^.

Poljska mera.  1 kvadratna vrvica = 10000Qčevljem = 0-08815^,.

Mera za žito.  Kubični čevelj ima 10 vrčev = 0-2617^.

Mera za tekočine.  Kubični čevelj ima 10 vrčev. 1 vrč = 2-6172 / .

Uteži.  1 cent = 100 funtom po 32 lotov. Skal-funt kakor trgo¬
vinska utež = 0 -  4251%.

Računski novci.  Kakor v Danski.

13. Švicarska.

Dolgostne mere.  1 palica (Ruthe) = 10 čevljem, 1 seženj =
= 6 čevljem po 10 palcev po 10 črt. 1 čevelj = 0 -3®/.  —
1 vatel = 2 čevljema = 0 - 6®/.  — Nova ura hoda = 16000
čevljem =

Poljska mera.  1 juhart ima 400□ palic = 0 - 36^.

Mera za žito.  1 malter = 10 četvrtinam = 100 immijem = 100
merčicam. 1 malter = 1 • 5

Mera za tekočine.  1 ohm = 100 bokalom. 1 bokal = 1-5/.

Uteži.  Cent ima 100 funtov, 1 funt 32 lotov po 4 kvintelje. Novi
funt = 0'5%.

Računski novci.  Računa se v zlatu in srebru na franke po 100
rappenov. 1 frank kakor računsk novec = 0 • 405 gl. avstr. vr.

14. Turška.

Od leta 1871. vpeljan je zakonito meterski  sistem; v resnici

pa se rabijo še zmerom stare mere in uteži, in sicer:

Dolgostne mere. 1 halebi  = 0-7087®/. 1 pik = 0-6831®/.
1 endaš  = 0-6528®/.

Mera za žito. 1 fortin  = 4 kilo. 1 kilo = 0-3527

Mera za tekočine. 1 almud = 5-2047/.

191

Uteži. 1 kant ar = 44 o kam = 100 rottelom. 1 oka = 1'2809% .
Računski novci. Računa se na piastre po 40 par. 1 piaster =
= 0 - 0899 gl. avstr. vr. Večje vsote računajo se na mošnje po
500 piastrov.

15. Zjedinjene države severo-amerikanske.

Mere in uteži. Kakor v Angleški.

Računski novci. Računa se na dolare po 100 centov. 1 dolar =
= 2-0155 gl. avstr. vr.

COBISS

NARODNA in UNIVERZITETNA
knjižnica

v založbi Ig. pl. Kleimnayrjesej in Fed. Bambergovej y Ljubljani ?o

dalje izišle na svitlo:

Knjižice s podobami v slovenskem jeziku v 4°, in sicer: Pepelka,
Snegulčica, Trnjeva rožica, k  50 kr.; v osmerki: Pe|>elka, Rudeča
kapica, Obuli maček, £i 25 kr., in v malej obliki: O deželi lenuhov.
Snegulčic-i, Pritlikovcu (Palčku) in Robinzonu, a 15 kr.

Lesar, Anton. Litnrgika ali sveti obredi pri vnanji službi božji.
Za gimnazijalno. realno in sploh odrasflo mladost. Drugi [»oprav¬
ljeni natis. I. in 11. del. Potrdilo visokočaslito ljubljansko škofijstvo
z razglasom 9. junija 1881, .št. 698.

Cena mehko vezanej knjigi 1 gold.

Lapajne, Ivan. Prvi poduk. Navod za podučevanje na najnižji
stopinji narodne šole. Cena 60 kr.

Postave in ukazi za kranjsko ljudsko šolstvo. Izdalo kranjsko
učiteljsko društvo. Cena 1 gold’ 50 kr. mehko vezano.

Praprotnik, A. Mali šolski besednjak slovenskega in nem¬
škega jezika. Četrti natis. Obširno pomnožil in popravil.

Cena 70 kr. mehko vezano: trdo vezano 85 ki-.

Razinger, A., in A. Žumer. Abecednik za slovenske
ljudske Šole. Cena vezanej knjigi 20 kr.

Žumer, A., in A. Razinger. Slo vensko-nemškj Abecednik.

Cena vezanej knjigi 25 kr.

Dimitz August, k. k. Oberfinanzrath, Secrelar des f . historischen
Vereins fiir Krain. Geseliichte Krains v on der altesten
Zeit bis auf das Jalir 1813. Mit hesonderer Rucksicht auf
Culturentwieklung. 4 Theile. gr. 8°.

In zwei Randen broschiert 12 fl.

In zwei eleganten Original-Leinenbanden 14 fl.

Miillner, Alfons. Emona. Archilologisehe Studien aus Krain.
Mit 7 lithographierten Tateln. gr. 8°. (VII, 342 Seiten.)

Eleganf. broschiert 3 fl. 50 kr.

Samhaber, Edward. Preširenklange. 8" (90 Seiten).

Eleg. broschiert 1 fl.