Računanje začetnih blokov v globinskih pogojev pri ogrevanju pečeh UDK: 621.783.224.2:621.78.01.6 ASM/SLA: F 21 b Božidar Brudar UVOD Tehnologija ogrevanja blokov v globinskih pečeh je predvsem odvisna od tega, koliko toplote prinese s seboj blok iz jeklarne. To upoštevamo na ta način, da razdelimo bloke na vroče, tople in hladne in jih glede na začetno toplotno vsebnost tudi različno ogrevamo. Kako pomembni so začetni pogoji, pove dejstvo, da na primer vroči bloki prinesejo s seboj iz jeklarne tudi do 80 % toplote, ki je potrebna za valjanje.1) Začetno temperaturno porazdelitev in s tem tudi začetno toplotno vsebnost v bloku ob zalaganju v globinsko peč pa lahko določimo na več načinov. Vroče bloke lahko postavimo na tla ob pečeh, da se hladijo na zraku. Nato pa merimo, kako se s časom spreminja temperatura na površini bloka. Iz teh podatkov nato izračunamo začetno temperaturno porazdelitev. Predpostavljamo namreč, da gre za ohlajanje s sevanjem v prostor s konstantno temperaturo. Če na primer predpostavljamo, da pada začetna temperatura v prerezu bloka po paraboli 2. reda, lahko iz tega izračunamo tudi temperaturo v sredini prereza. Ta izračun pa seveda temelji na predpostavki, da se je blok ohlajal s sevanjem in da je začetna temperatura v prerezu razmeroma enostavna funkcija koordinat. Pri višjih temperaturah taka predpostavka v glavnem ustreza, pri nižjih (okrog 500 °C in manj) pa konvekcije ne bi smeli zanemariti. Posledica tega je, da so začetne temperature, izračunane s predpostavko, da gre za sevanje, v takem primeru nekoliko napačne. Da bi se temu izognili, smo razvili posebno metodo, kjer s pomočjo regresijske analize določimo začetne temperature, ne da bi bilo treba vedeti, za kakšne vrste izmenjave toplote pri tem gre. Zaenkrat praktičnih meritev še ni bilo dovolj. Pomagali smo si z izračunanimi vrednostmi, tako da smo si izmislili neko začetno temperaturno porazdelitev in študirali ohlajanje s sevanjem s dr. Božidar Brudar je vodja razvoja matematičnih raziskav v Železarni Jesenice pomočjo matematičnega modela. (Računalniški program za ta model je katalogiziran pod oznako ARO 15). Izračunali smo, kako se spreminjajo temperature na površini. Nato pa smo po posebnem postopku poskušali iz tako dobljenih temperatur na površini nazaj izračunati začetno temperaturno porazdelitev po prerezu. Metoda je zanimiva predvsem zato, ker z njo določimo začetne pogoje, ne da bi poznali robne pogoje. Z drugimi besedami povedano: računalnik sam poišče najbolj ustrezne robne in začetne pogoje. ENODIMENZIONALNI PRIMER Za začetek smo si izbrali preprost primer, iz katerega se vidi osnovna ideja za računanje nazaj. Predpostavljamo, da imamo opraviti z dvostranskim ohlajanjem neskončne plošče. Debelino smo razdelili na 8 enakih delov z dolžino 1. Imamo torej opraviti z 9 mrežnimi točkami, začetna temperatura naj bo povsod 1000 °C. Toplotno enačbo rešujemo numerično z metodo končnih diferenc. Temperaturo v posameznih mrežnih točkah zapišemo v obliki T (I, J), pri čemer pomeni I mrežno točko, J pa zaporedno številko časovnega koraka. Predpostavljamo, da je časovni korak izbran tako, da je temperatura v točki nekje v sredini plošče ob nekem času enaka aritmetični sredini temperatur v sosednjih točkah v predhodnem koraku: T (I, J + 1) = — • [T (I — 1, J) + T (I + 1, J)] (1) 2 Po tem predpisu lahko izračunamo temperature v notranjih točkah ob diskretnih časih, ki se ločijo med seboj za 1 časovni korak, ki naj bo tudi enak 1. Na robu naj se toplota ves čas izmenjuje z okolico s temperaturo 0°C s konvekcijo s konvek-cijskim koeficientom 1. Mislimo si, da so vse enačbe že zapisane v brezdimenzijski obliki in tudi brez-dimenzijska toplotna prevodnost naj bo 1. Temperaturni gradient zapišemo v enostavni obliki: grad T (1, J) = T (2, J) — T (1,J) (2) Če upoštevamo omenjene predpostavke, lahko trdimo, da je: T (2, J) — T (1, J) = T (1, J) (3) oziroma: T (1, J) = — T (2, J) (4) 2 Po teh predpisih lahko za omenjeni primer izračunamo temperature v vsaki točki ob določenih časih. Tabela I. prikazuje, kako takšno računanje poteka v času naprej. Vsaka vrstica v tabeli I. predstavlja temperature v posameznih časovnih korakih. Poskušajmo sedaj obdelavo obrniti nazaj! Mislimo si, da natančno poznamo robne vrednosti (1 = 1 ali I = 9) in poskusimo izračunati začetne vrednosti. Če vemo, da je na robu ohlajanje s konvekcijo z a = 1 v prostor s temperaturo 0 °C, vemo tudi, da je temperatura v točkah, ki so za 1 mrežno razdaljo pod površino (I = 2 in I = 8) v tem primeru enaka dvakratni temperaturi na površini. T (2, J) = 2 • T (1,J) (5) Tako dobimo v naši shemi na levi in na desni po 2 stolpca. Iz formule (1) pa lahko izrazimo tudi: T (I + 1, J) = 2 • T (I, J + 1) — T (I — 1, J) (6) Če začnemo tako računati od točke na robu v zadnjem časovnem koraku (J = 10), lahko postopno določimo temperaturo v točki, ki je za 1 časovni korak prej in 1 krajevni korak bliže sredini. Na ta način zgradimo v obratni smeri celotno shemo številk iz tabele I. Natančnost žepnega kalkulatorja zadošča. Manjka nam le sredina pri končnih korakih (J 8). Če želimo na ta način izračunati začetno temperaturo (J = 0) v vseh točkah, moramo očitno imeti zadosti izmerjenih temperatur na površini, da pridejo enkrat do izraza na površini tudi temperature v najbolj notranjih točkah. V našem primeru bi potrebovali vsaj 3 časovne korake. Zanimivo je, da s takim računanjem dobimo popolnoma enake vrednosti, kot so zapisane v tabeli I nad lomljeno črto. Če torej natančno poznamo robni pogoj, lahko iz tega izračunamo prave začetne vrednosti. Če pa bi začeli z napačnimi robnimi pogoji, bi postopek seveda enako potekal, le v stolpcu v sredini (I = 5) bi dobili dvoje vrednosti temperatur, z leve in z desne strani, za katere pa toplotna enačba ne bi bila izpolnjena. To bi bilo tudi znamenje, da z robnim pogojem nekaj ni v redu. Robni pogoj je treba izbrati tako, da je tudi v stičnih točkah izpolnjena toplotna enačba. Naše raziskave so potekale v tej smeri. Prva težava, ki se je pojavila, je bila v natančnosti robnih temperatur. Če temperature na robu zaokrožimo na celo stopinjo in uporabimo opisani postopek za računanje temperatur v času nazaj, pridemo do rezultatov, ki jih prikazuje tabela II. Razlike med tabelo I in II so očitne, saj se temperature v stolpcu 5 razlikujejo tudi za več kot 20 °C od pravih vrednosti v tabeli I. To je razumljivo, če si ogledamo formulo (6). Ko namreč računamo temperature v notranjih točkah, se napaka, ki smo jo pri zaokrožitvi naredili na robovih, samo še veča. Druga težava je v tem, ker v splošnem ne poznamo robnih pogojev. Če zadosti natančno poznamo vrednosti na robovih, lahko izračunamo začetne temperature dokaj točno. TABELA I. J/I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1 500 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 500 2 375 750 1000 1000 1000 1000 1000 700 375 3 343,75 687,5 875 1000 1000 1000 875 687,5 343,75 4 304,6875 609,375 843,75 937,50002 1000 937,50002 843,75 609,375 304,6875 5 287,109375 574,21875 773,43751 921,87501 937,50001 921,87501 773,43751 574,21875 287,10937 6 265,13672 530,27344 748,04688 855,46876 921,87500 855,46876 748,04688 530,27344 265,13672 7 253,2959 506,5918 692,8711 834,96094 855,46882 834,96094 692,8711 506,5918 253,2959 8 236,54175 473,0835 670,77637 774,16996 834,96094 774,16996 670,77637 473,0835 236,54175 9 226,82953 453,65906 623,62673 752,86865 774,16996 752,86865 623,62673 453,65906 226,82953 10 212,614065 425,22813 603,26385 698,8983 752,86850 698,8983 603,26385 425,22813 212,61406 Postopek računanja nazaj smo poskušali izpopolniti s tem, da smo predpostavljali, da velja na robu v splošnem: T (2, J)— T <1, J) = a, • T (1, J) + a2 • T2 (1, J) + (7) a, + a3 • T3 (1, J) Uporabili smo robne vrednosti, zapisane v tabelah I in II. V enačbah (5) in (6) smo upoštevali nastavek (7). Tako smo postopoma izračunali temperature v stolpcu (5), izražene s koeficienti a„ a2 in a3. Nato pa smo zahtevali, da morajo biti alF a2 in a3 takšni, da je toplotna enačba izpolnjena. Trdili smo, da mora veljati, da je vsota kvadratov razlik (S) med T (5, J + 1) in T (4, J) minimalna: 6 S = ^ [T (5, J + 1) — T (4, J)? J = l Veljati morajo tudi enačbe: as d a, as d a2 as aa3 = o — = o = o Tako smo dobili 3 enačbe za 3 neznanke a1( a2 in a3. V primeru, ko smo upoštevali robne temperature iz tabele I, smo dobili pravilen rezultat: a, pa 1, a2 a3 - 0. V primeru zaokroženih vrednosti robnih temperatur iz tabele II, pa so bili rezultati a, ^ a2 ž £ a3 ^ 0 in tudi napaka v začetnih vrednostih temperature je bila več kot 20 °/o. Očitno je, da zaradi naraščajoče napake pri računanju nazaj ni mogoče zadosti dobro ugotoviti začetnih pogojev. Robne temperature bi morale biti izredno natančno poznane. Ker v praktičnih primerih ni možnosti, da bi merili temperature na robovih tako natančno, smo metodo iskanja začetnih pogojev nekoliko spremenili. V večini primerov, ki nas v praksi zanimajo, navadno vemo, kakšna je v grobem začetna porazdelitev temperature. Pri vročih blokih na primer, ki jih pripeljemo v valjamo, že vemo, da gre za vroče jedro, oziroma da je v središču temperatura najvišja in da potem pada proti površini bloka po bolj ali manj komplicirani funkciji oddaljenosti od središča. Poleg tega navadno vemo tudi, da gre pri tem na površini za ohlajanje in da je toplotni tok na površini neka funkcija temperaturnih razlik med površino in okolico. DOLOČANJE ZAČETNIH IN ROBNIH POGOJEV PRI ENODIMENZIONALNEM PRIMERU Uporabili smo robne vrednosti za temperature, ki smo jih izračunali za prvih 10 korakov, zaokroženo na stopinje. Ker je problem s tabele II simetričen, smo študirali le eno polovico, t. j. od prvega do petega stolpca. Predpostavili smo, da lahko začetno temperaturo zapišemo v obliki: T (I, 0) = a, + a2 • (5 - I) + a3 ■ (5- I)2 (8) Pri tem so koeficienti a,, a2 in a3 še neznani. Za začetne temperature v notranjih točkah dobimo naslednje izraze: T (5, 0) = a, T (4, 0) = a, + 1 • a2 + 1 ■ a3 T (3, 0) = a, + 2 ■ a2 + 4 ■ a3 T (2, 0) = a, + 3 ■ a2 + 9 ■ a3 TABELA II. J/I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1000 1000 1000 1000 1004 1000 1000 1000 1000 1 500 1000 1000 1002 1004 1002 1000 1000 500 2 375 750 1001 1002 995 1002 1001 750 375 3 344 688 876 998 996 998 876 688 344 4 305 610 843 936 997 936 843 610 305 5 287 574 773 920 947 920 773 574 287 6 265 530 747 860 925 860 747 530 265 7 253 506 695 836 857 836 695 506 253 8 237 474 671 776 776 671 474 237 9 227 454 625 625 454 227 10 213 426 426 213 Temperature na površini (I = 1) so pa znane vrednosti, konstantne, in jih ne izražamo s parametri a„ a2 in a3. Temperature v naslednjih vrsticah (J > 0) pa izrazimo s pomočjo formule (1), podobno kot smo zgradili tabelo I. Temperature, ki jih tako dobimo v notranjih točkah naše sheme, se v splošnem izražajo kot linearna kombinacija parametrov au a2 in a3 ter robnih vrednosti temperatur (I = 1). V splošnem bi lahko zapisali temperaturo na mestu (I, J) v obliki: T (I, J) = ^ (I, J) ■ a, + n2 (I, J) ■ a2 + n3 (I, J) • • a3 +n4 (I, J) • 1 V n4 (I, J) se skrivajo robne temperature T(1,J). Neznanke a„ a2 in a3 bomo določili iz pogoja, da je toplotni tok na površini neka še neznana funkcija površinske temperature in da velja pri J>0: T (2, J) — T (1, J) = a4 - T (1, J) + a5 ■ T2 (1, J) + + a6 • T3 (1, J) (10) n, (2, J) • ai + n2 (2, J) • a2+ n3 (2, J) • a3+ + n4 (2, J) ■ 1 — T (1, J) = a4 T (1, J) + a5 • . T2 (1, J) + a« • T3 <1, J), oziroma T (1, J) — n4 (2, J) = nt <2, J) • a, + n2 <2, J) ■ . a2 + n3 <2, J) • a3 — a4 • T (1, J) — ■ . T2 (1, J) — a6 • T3 (1, J) (11) Takih izrazov (11) lahko zapišemo J. Parametre a1; a2, a3, a4, a5 in a6 je treba izbrati tako, da bo to ustrezalo sistemu J enačb s 6 neznankami. Pomagamo si z multiplo linearno regresijo2) Leve strani enačb so odvisne spremenljivke, na desni pa so zapisane neodvisne: n[ (2, J), n2 (2, J), n3 (2, J), T (1, J), T2 (1, J), T3 (1, J). Parametri a,, a2, a3, 84, a5 in a^, ki nas zanimajo, so pa regresijski koeficienti. Izraz (11) je v bistvu regresijska enačba, v kateri je konstantni člen (presek) enak nič. Zato poiščemo pri vseh 63 možnih kombinacijah neodvisnih spremenljivk tisto regresijsko formulo, pri kateri je presek2) minimalen. Robne vrednosti smo vzeli iz tabele II. V tabeli III. so navedene odvisne in neodvisne spremenljivke (X) po formuli (11) za ta primer za prvih 10 korakov: Iščemo torej odvisnost X7 (X„, X2, X3, X4, X5, X6). Pri tem upoštevamo vse možne kombinacije neodvisnih spremenljivk. Najboljša je tista regresijska kombinacija, pri kateri je vsota absolutnih vrednosti preseka in standardne napake ocene minimalna. S = |o-E| + | presek | Standardna napaka ocene, ki predstavlja odstopanje od regresijske formule, se manjša z naraščajočim številom neodvisnih spremenljivk. Najboljša kombinacija, tista, pri kateri je S minimalen, je x7 (X1; X4). V tabeli IV. so navedeni regresijski koeficienti (r. k.) za najboljše kombinacije s pripadajočimi vrednostmi tr k Izboljšava, ki v regresijski analizi nastopi, ko zajamemo več spremenljivk, navadno nima statističnega pomena (nizke vrednosti t). Zato je edina prava rešitev X7 (X,, X4) z regresijskima koefici-entima aj = 1000 in a4 = 1, kar odlično ustreza izbranim začetnim pogojem. Začetno temperaturno porazdelitev lahko zapišemo v skladu z enačbo (8) in z upoštevanjem vrednosti t takole: T (1,0) = (1000,70 ± 5,15) Tudi če bi upoštevali katero drugo selekcijo iz tabele IV, bi prišli do praktično enakih pogojev. Na ta način s pomočjo računalnika iz vrednosti na površini izračunamo temperaturno porazdelitev in poiščemo tudi pravi robni pogoj. V našem primeru sta spremenljivki 5 in 6 praktično odpadli. Tabela III. J X. ni (2, J) X2 na (2, J) X3 m (2, J) X, m (2, J) X5.10J ns (2, J) X6.103 ns (2, J) Xt T (1, J) — n< (2, J) 1 0,5 1 2 375 250 1250 0 2 0,5 1 2,5 344 141 527 125 3 0,375 0,5 1,0 305 118 407 31,5 4 0,375 0,625 1,375 287 93 284 70,5 5 0,3125 0,375 0,750 265 82 236 25,125 6 0,3125 0,5 1,0625 253 70 186 47,25 7 0,26563 0,3125 0,625 237 64 162 12,0625 8 0,26563 0,42188 0,890625 227 56 133 29,6875 9 0,226563 0,265625 0,531250 213 52 117 — 0,32812 10 0,226563 0,359375 0,757813 204 45 97 14,28125 Tabela IV. S = 1,05 X,(X,,X4) S = 1,79 x7 (Xi, X2, X») S = 1,59 XJ (Xi, X}, Xi) S = 2,02 X7 (X,, Xz, Xi, Xj) regresi j ski koeficient tr. k. r. k. tr. k. r. k. tr. k. r. k. t r. k. 3l 1000,70 194 994,16 111 994,19 87 1002,02 66 a2 2,39 0,90 10,52 0,87 a3 0,71 0,65 3,29 0,69 34 1,002 167 1,001 163 0,999 129 1,012 58 a« ___ DOLOČANJE ZAČETNIH IN ROBNIH POGOJEV PRI DVODIMENZIONALNEM PRIMERU Izbrali smo si primer, ko študiramo ohlajanje četrtine pravokotnika (9x5 mrežnih točk) z začetno temperaturno porazdelitvijo, ki jo prikazuje tabela V: Temperatura vzdolž simetrale pravo- Tabela V. I/J 1 2 3 4 5 1 570 640 690 720 730 2 633 703 753 783 793 3 688 758 808 838 848 4 735 805 855 885 895 5 773 842 892 923 933 K = 0 6 802 872 922 952 962 7 823 893 943 973 983 8 836 906 956 986 996 9 840 910 960 990 1000 kotnika pada po paraboli 2 reda od začetnih 1000 °C v središču (I = 9, J = 5) na 730 °C (J = 5), oziroma 840 °C (I = 9). Ta primer bi ustrezal ohlajanju jeklene gredice z dimenzijami 0,530 X 0,285 m (p = 7850 kgm-\ X = 21 Wm—1 K-1, Cp = 714 Jkg-1 K~]) s sevanjem (e = 1) v prostor, ki ima stalno temperaturo 0°C. Če si izberemo takšen krajevni korak, znaša časovni korak 1 min. Ohlajanje zasledujemo 11 minut. S pomočjo računalniškega programa ARO 15 smo izračunali temperature na robu pravokotnika v posameznih časovnih korakih K. V tabelah VI. in VII. je prikazano, kako se s časom spreminjajo temperature vzdolž posameznih robov pravokotnika (Stopinje so zaokrožene na cele vrednosti). Na podlagi vrednosti iz tabel VI. in VII. smo poskušali najti začetne temperature v prerezu pravokotnika. Podobno kot pri enodimenzionalnem primeru smo tudi tu zapisali začetno temperaturno porazdelitev v obliki: T (I, J, O) = a, + a2 • (9 — I) + a3 - (9 — I)2 + + a4 ■ (5 — J) + a5 ■ (5 — J)2 +a6. (9 — I) • • (5 —J) (12) Tabela VI. K/I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 570 633 688 735 773 802 823 836 840 1 642 642 688 727 758 782 798 808 812 2 642 642 684 721 750 773 788 797 801 3 640 641 681 715 743 764 780 788 792 4 637 638 677 710 737 757 772 781 784 5 634 635 673 705 731 751 765 774 776 6 630 632 669 700 726 745 759 767 769 7 627 629 665 696 721 740 753 760 763 8 624 625 660 691 716 734 747 755 757 9 621 622 657 686 710 729 742 749 752 10 617 618 653 682 705 724 737 744 747 11 614 615 649 678 701 719 731 739 741 Tabela VII. K/J 1 2 3 4 5 0 570 640 690 720 730 1 642 641 683 708 716 2 642 641 677 701 709 3 640 639 673 695 701 4 637 635 668 688 696 5 634 632 664 683 690 6 630 629 660 679 685 7 627 626 656 674 680 8 624 623 652 669 676 9 621 620 648 665 670 10 617 616 644 661 666 11 614 613 639 657 662 Temperature na robovih T (1, J, K) in T (1,1, K) so konstantne in se ne izražajo s parametri a, — a6. V dveh dimenzijah naj formuli (1) ustreza formula (13): T (I, J, K + 1) = — • [T (I + 1, J, K) + T(I — 4 — 1, J, K) + T (I, J + 1, K) + T (I, J — 1, K)] (13) Podobno kot pri enodimenzionalnih primerih dobimo v splošnem za temperaturo v mrežni točki (I, J, K) naslednji izraz: T (I, J, K) = n, (I, J, K) - a, + n2 (I, J, K) ■ a2 + + n3 (I, J, K) ■ a3 + n4 (I, J, K) ■ a4 + n5 (I, J, K) • ■ a5 +n6 - (I, J, K) • a6 + nv (I, J, K) • 1 (14) V spremenljivki n7 (I, J, K) se skrivajo vrednosti na robovih, ki jih po K korakih »potegne« v notranjost formula (13). Neznanke a, — a6 bomo določili iz pogoja, da je toplotni tok na površini neka še neznana funkcija površinske temperature in da velja pri K > 0: — 3 T(1,J,K) + 4 • T (2, J, K)-T (3, J, K) = = a7 • T (1, J, K) + a8 ■ T2 (1, J, K) +a9 T3 (1, J, K) + a10 • [T (1, J, K) + 273? (15) oziroma: — 3 ■ T (1,1, K) + 4 ■ T (1,2, K) - T (I, 3, K) = = a7 • T (1,1, K) + a8 • T2 (1,1, K) + a9 • . T3 (1,1, K) + a10 ■ [T (1,1, K)+ 273? (16) Tabela VIII S Spremenljivke a, a; a3 a. a5 a<, a7 a8 a, a,0 2,38 1, 3, 5, 10 997,49 (435) — 4,19 (133) — 9,86 (85) -159,17 (56) 3,86 1, 2, 3, 5, 10 997,44 (188) — 0,07 (0) — 4,18 (32) — 9,85 (35) 159,09 (24) 7,30 1, 2, 3, 4, 5, 10 997,42 (88) — 0,08 (0) — 4,16 (14) — 1,41 (0) — 9,43 (3) 158,11 (10) 8,55 1, 3, 4, 5, 10 997,49 (71) — 4,18 (20) — 1,44 (0) — 9,44 (2) 158,19 (8) 9,47 1, 3, 5, 9 995,14 (717) — 4,15 (218) — 9,78 (138) — 391,61 (90) 10,90 1, 2, 3, 5, 9 995,24 (226) + 0,21 (0) — 4,18 (38) — 9,81 (41) — 392,30 (28) 13,97 1, 3, 5, 6, 10 984,16 (38) — 3,95 (9) — 8,85 (5) — 0,34 (D - 146,66 (5) 16,16 1, 2, 3, 4, 5, 9 995,26 (72) 0,19 (0) — 4,16 (12) — 2,23 (0) — 9,14 (2) — 388,59 (8) 16,41 1, 3, 4, 5, 6, 10 984,10 (27) — 3,94 (6) — 0,10 (0) — 8,84 (2) — 0,34 (0) — 146,64 (4) 16,99 1, 3, 4, 5, 9 995,18 (66) — 4,13 (18) — 2,29 (0) — 9,11 (2) — 387,70 (7) 18,57 1, 3, 4, 10 991,16 (286) — 3,88 (88) — 30,66 (54) — 129,84 (33) 19,17 1, 2, 3, 4, 10 990,97 (214) — 0,69 (1) — 3,79 (35) — 30,42 (39) — 129,37 (24) 19,65 1, 3, 4, 5, 6, 9 984,33 (41) — 3,94 (10) — 1,19 (0) — 8,60 (3) — 0,27 (0) — 364,20 (6) Če v izrazih (15) in (16) upoštevamo nastavek (14), lahko zapišemo na primer izraz (15) v taki obliki: — 3 • T (1, J, K) + 4 • n7 (2, J, K) — n7 (3, J, K) = = a, • [ — 4 ■ n, (2, J, K) + n, (3, J, K)] + + a2 • [— 4 • n, (2, J, K) + n2 (3, J, K)] + + a3 • [—4 ■ n3 (2, J, K) + n3 (3, J, K)] + -f a4 • [— 4 ■ n4 (2, J, K) + n4 (3, J, K)] + + a5 • [- 4 ■ n5 (2, J, K) + n5 (3, J, K)] + + a6 ■ [—4 ■ n6 (2, J, K) + n6(3,J,K)] + + a7 ■ T (1, J, K) + a8 • T2 (1, J, K) + a9 ■ ■ T3 (1, J, K) + a10 • [T (1, J, K) + 273]4 (17) Namesto izraza (16) bi dobili nekaj podobnega. Takih enačb (17) lahko zapišemo l[(5 — 1) + + (9-1)] • K. Odločili smo se za K = 10 in prišli na ta način do sistema 120 enačb z 10 neznankami. (ARO 03) Iščemo torej takšno regresijsko odvisnost, pri kateri je standardna napaka ocene minimalna in obenem tudi minimalen presek. Zasledovali smo vsoto absolutnih vrednosti: S = | crE | + | presek | Možnih kombinacij neodvisnih spremenljivk je nekaj čez 1000. (Če bi namesto absolutnih vrednosti računali vsoto kvadratov, bi dobili minimum pri istih selekcijah). V tabeli VIII. so zapisane samo tiste selekcije, pri katerih je S < 20. Obenem so navedeni regresijski koeficienti, ki pripadajo posameznim spremenljivkam. V oklepajih so navedene pripadajoče vrednosti t. Najboljša selekcija je seveda prva v tabeli VIII. Tudi zaradi nizkih vrednosti t pri raznih dodatnih spremenljivkah ostanemo pri prvi selekciji. Če upoštevamo še standardne napake regresij-skih koeficientov, zapišemo rezultat takole: T (I, J, 0) = (997,49 ± 2,29) — (4,19 ±0,03) • (9 — I)2— (9,86 ± 0,12) • (5 — J)2 (18) Zanimivo je primerjati vrednosti iz tabele V. z vrednostmi, ki bi jih izračunali po formuli (18). Tabela IX. I/J 1 2 3 4 5 1 572 (2) 641 (1) 690 719 (1) 729 (1) 2 634 (1) 703 753 782 (1) 792 (1) 3 689 (1) 758 807 (1) 837 (1) 847 (1) 4 735 804 (1) 853 (2) 883 (2) 893 (2) 5 773 842 391 (1) 921 (2) 930 (3) 6 802 871 (1) 920 (2) 950 (2) 960 (2) 7 823 892 (1) 941 (2) 971 (2) 981 (2) 8 836 905 (1) 954 (2) 983 (3) 993 (3) 9 840 909 (1) 958 (2) 988 (2) 997 (3) V tabeli IX. so zapisane izračunane temperature, zaokrožene na stopinjo. V oklepaju so podane absolutne vrednosti razlik temperatur med tabelama V. in IX. Povprečno odstopanje temperatur v mrežnih točkah od pravih vrednosti znaša 1,6 K. Tako smo torej s tem postopkom tudi za dvodimenzionalni model poiskali pravilen začetni pogoj. Poskušali smo s kombinacijami več spremenljivk od X7 — X10, vendar se to ni obneslo zaradi tega, ker programa za multiplo regresijo in postopno regresijo ne dasta enakih točnosti pri izračunu regresijskih koeficientov. Zanimiv je tudi regresijski koeficient a10 = = 159,2 ± 2,8. Iz tega bi lahko določili Štefanovo konstanto sevanja ff = -10 ' ^ , kar bi dalo v našem primeru vrednost 2 • R o- = 5,58 (1 ± 0,018) . 10-8 VVnH2 ZAKLJUČEK Z opisano metodo reševanja toplotne enačbe v obratni smeri je torej mogoče z dokaj veliko natančnostjo izračunati začetne pogoje in robne pogoje. Prednost te metode je v tem, ker ne izhajamo iz predpostavk o sevanju črnega telesa'). Tudi najbolj ustrezni robni pogoj izračunamo, čeprav ga morda niti ne bi mogli opredeliti z znanimi fizikalnimi zakoni o prevajanju toplote. To pa nič ne škodi. Blok sam je neke vrste računalnik in s toplotno enačbo, ki jo rešujemo v notranjosti, odloča o tem, kakšni so bili začetni in kakšni robni pogoji, da se je hladil tako, kot smo izmerili. Metoda je pomembna za določanje začetne toplotne vsebnosti v blokih, ki jih ogrevamo v globinskih pečeh. Zelo uporabna bi bila tudi pri spremljanju EPŽ postopka. Temperature na površini bloka namreč lahko zelo natančno merimo in nato po opisani metodi izračunamo temperaturno porazdelitev v notranjosti, tudi v tistem delu bloka, ki se nahaja v kristalizatorju. Literatura 1. B. Brudar: Izdelava matematičnega modela za ogrevanje jekla v industrijskih pečeh, železarski zbornik 8, (1974) št. 4, str. 223—234 2. IBM Scientific Subroutine Package (360 A — CM — 03 X) Version III., str. 404—407 ZUSAMMENFASSUNG Die Zeit die notig ist dass sich ein stahlerner Block im Tiefofen auf die Walztemperatur ervvarmt ist vor allem von den Anfangsbedingungen abhangig. Da die gegossenen Blocke, noch heiss und ungestrippt zusammen mit den Kokillen, aus dem Stahhverk ins Walzwerk transportiert werden, ist die anfangliche Temperaturverteilung nicht bekannt. Wenn aber ein Block aus der Kokille gezogen wird und an der Luft abkiihlt, kdnncn aus den Abkuhlungs-kurven die Anfangstemperaturen ausgerechnet werden. Es wird dabei allgemein angenommen, dass es sich um eine Abkiihlung durch Strahlen handelt, und auf diesem Grund vverden dann die Parametern ausgerechnet, mit welchen die anfangliche Temperaturverteilung in der Mitte des Querschnittes beschrieben werden kann. Diese Parametern vverden so bestimmt, dass der ausgemessene und aus-gerechnete Zeitverlauf der Temperatur an der Blockober-flache moglichst gut iibereinstimmen. In diesem Artikel vverden mit Hilfe mathematisch sta-tischer Methoden die Anfangsbedingungen ausgesucht, ohne vorauszusetzen um was fiir Arten der Randbedingungen sich dabei handelt. Auch diese vverden nahmlich durch unbekannte Parametern beschrieben. Danach vverden mit Hilfe des Rechners optimale Anfangs und Randbedingung-gen zugleich ausgesucht. Die Rechnung beruht auf dem Temperaturverlauf der Oberlache die gemessen vverden kann. Die Methode ist sehr erfolgsversprechend vor allem bei der Simulierung des ESU Verfahrens. SUMMARY The time of heating of a steel ingot in a soaking pit to the temperature necessary for hot rolling strongly de-pends on the initial conditions. In our čase the initial temperature distribution is not knovvn because the hot ingots are transfered in moulds from the steel plant to the rolling mili. If the ingot is stripped and left to cool in the air the initial temperatures could be calculated from the time dependence of the surface temperatures. Usualy the radia-tive boundary condition is supposed and the parameters characterizing the initial temperature in the crosssection are calculated. These parameters are chosen so that the experimental and the calculated time dependence of the surface temperatures agree as much as possible. In this article using the methods of mathematical sta-tistics the initial conditions are found vvithout knovving the type of the boundary conditions. They are namely also described by the unknovvn parameters. By means of the computer the optimal initial and boundary conditions are found simultaneously taking in to account the temperatures measured on the surface. The method seems to be very promising vvith the mathematical simulations of the ESR procedure. 3AKAKDMEHHE BpeMH, KOTopoe hco6xoahmo, hto6m 6aym corpeAca b narpe-BaTeAbHOM KOAOAUe Ha TeMiiepaTYPY, KOTopan cooTBeTCTByeT npoKaTKH 3aBHCHT TAaBHblM 06pa30M ot HaMaAbHMX ycaobhhx. TaK KaiC 6AyMM BMecre C H3AO>KHHHaMH AOCTaBAJieTCH H3 CTaAenAaBH,\bHOrO uexa b npoKaTHbiH uex eme b ropsrneM coctoshhh mm eme He 3HaeM hanaalhlie TeMnepaTypHbie pacnpeaeaehhh. Ecah >ke mli 6aym bm- THHHM h3 H3AOJKHHUM h OCTaBHM, HTC)6m OH OXAaAHACH Ha B03AYXe, M BI HMeeM BO3M02KH0CTB H3 KpHBLIX OXAa>KAeHHH BbIMIICAHTL. HaMaAb- Hbie TeMnepaiypbi. IIpH stom mm oGmkhobchho npeAnoAaraeM, hto OXAa>KAeHHe IipOHCXOAHT H3AyHeHHeM TeilAOTM, H Ha stom OCHOBaHHH m bi bmmhcanem napaMeTpbi, c KOTopbiMH onpeacaheivi namaabhoe tem-nepaTYPHoe pacnpeAeAeHHe b cepeAHne pa3pe3a. 3th napaMeTpbi mm onpeAe.viim TaK hm 06pa30M, hto6m oTMepeHHbift h bmmecahhhbiii BpeMeHHMH TeMneparYPHbiH xoa Ha noBepxHocra 6AyMa Me«ay co-6oh MeM 6oAbine corAacoBaAcn. b CTaTbe npHBeAeHO, hto HaM naAO npn noMomn MaTeMaTime-ckoiI ctathcthkh onpeaeahtb HanaAbHbie ycaobhh he b3hb bo bhh-Maniie bham okohenhbix ycaobhn na koto p me aro othochtbch. tak^ce h sth m m oiihihh c HeH3BecTiibiMH napaMeTpaMH. 3atem mm, npH npuMeHeHHH cneTHHKa onpeAeAHM 0AH0Bpe.\ieHH0 oirrHMaAbHbie ha^aabhbie h okohehhbie ycaobhh. Ilpn stom mm SepeM bo BHHMaHHe TeMnepaTypHMH xoa Ha riOBepxHOCTH, KOToporo mm HMeeM B03M02KH0CTb H3Mep«Tb. 3TOT mctoa MHOTO' OČemaeT B OCX)6eHHOCTH npn chm ya HposaH h h cnocoGa 3IIin-a.