     
P 46 (2018/2019) 3 7
2. Ali lahko samo s šestilom in neoznačenim rav-
nilom podamo konstrukcijo trikotnikov s slike
1, da bo Bi = B′i za i ∈ {1,2,3}? To pomeni,
da iščemo rešitve enačbe µ−(λ) = λ. Dokaži,
da ima ta enačba natanko eno smiselno rešitev
λ =
(
1− 3
√
2+ 3
√
4
)
/3.
Literatura
[1] R. A. Dunlap, The golden ratio and Fibonacci
numbers, World Scientific Publishing, Singa-
pore, 1997.
[2] G. E. Martin, Geometric constructions, Under-
graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag,
New York, 1998.
[3] P. Šemrl, Linearne preslikave ravnine in 2 × 2
matrike, Presek 32 (2004/2005), št. 4, 9–12.
[4] P. Šemrl, Linearne preslikave ravnine in 2 × 2
matrike (drugi del), Presek 32 (2004/2005), št. 5,
5–8.
×××
Igra s
čokoladkami –
Chocolate Fix
N R
V bonbonierah so navadno dražji bonboni, naj-
večkrat polnjeni in obliti s čokolado. Letos sem
prejela posebno bonboniero, igro, sestavljeno iz
devetih plastičnih bonbonov, rekli jim bomo čo-
koladke. Plastičnih čokoladk seveda ne moremo
pojesti, se pa z njimi lahko igramo.
Najprej nekaj osnovnih podatkov o igri. V izvir-
niku se igra imenuje Chocolate Fix s podnaslovom
Sweet Logic Game ([1], [2]). Njen ustvarjalec (skupaj
SLIKA 1.
Deli igre Chocolate Fix. Levo zgoraj je podstavek, poleg so čo-
koladke. Svetlo rumene čokoladke so na sliki videti bele. Spo-
daj so kartonski žetoni treh barv oziroma žetoni s trikotniki,
kvadrati in krogi ter knjižica z navodili, nalogami in rešitvami.
z ekipo podjetja ThinkFun, ki se ukvarja z igrami)
je Mark Engelberg. Mark je obiskoval srednjo šolo
za nadarjene dijake in kasneje nadaljeval študij na
univerzi. Ima dve diplomi, iz računalništva in ko-
gnitivnih znanosti. Nekaj časa je bil zaposlen pri
NASI, kasneje pa se je posvetil računalniškim igri-
cam, sodeluje pa tudi pri pripravah učnih načrtov,
predvsem iz logike. Želel je ustvariti igro s čim manj
pravil, ki bi bila primerna tako za igranje na računal-
niku kot brez njega, hkrati pa bi omogočala igranje
na več nivojih. Igra je prejela več prestižnih nagrad,
med njimi v ZDA zelo cenjene nagrade staršev Pa-
rents Gold Award leta 2008, 2009 in 2010. Obstaja
več verzij te igre, mi bomo pogledali verzijo iz leta
2010.
Deli igre
Igra ima črn podstavek z devetimi vdolbinami in de-
vet čokoladk: tri roza, tri svetlo rumene (na foto-
grafijah so videti bele, na skicah jih bomo obarvali
živo rumeno) in tri rjave (glej sliko 1). Čokoladke
iste barve se med seboj razlikujejo po obliki zgor-
nje ploskve, ki je lahko kvadrat, trikotnik ali krog.
V kompletu dobimo še po tri žetone roza, rumene
in rjave barve ter devet sivih žetonov. Na treh si-
vih žetonih so narisani trikotniki, na treh kvadrati
in na treh krožnice. Z žetoni si pomagamo pri reše-
     
P 46 (2018/2019) 38
vanju težjih problemov. Priložena je tudi knjižica s
40 kartončki, povezanih s spiralo. Na sprednjih stra-
neh kartončkov so narisane naloge, na hrbtnih stra-
neh pa njihove rešitve. Prvih 10 nalog je namenjenih
začetnikom, naslednjih 10 je srednje težkih, sledijo
naloge za bolj izurjene, zadnjih 10 pa je namenjenih
mojstrom.
Oznake
Podstavek označujemo s sivim kvadratom (osnovni
kvadrat), ki ga razdelimo na devet skladnih kvadrat-
kov (celice). Čokoladke označujemo po obliki zgor-
nje ploskve, torej s krogom, kvadratom in trikotni-
kom. Rumeno obarvan trikotnik predstavlja rumeno
čokoladko s trikotno zgornjo ploskvijo, rjavo obar-
van kvadrat pa predstavlja rjavo čokoladko s kvadra-
tno zgornjo ploskvijo itd. Kvadrat, trikotnik in kro-
žnica, ki imajo bele stranice (notranjost ni obarvana),
pomenijo, da je tam čokoladka s kvadratno (trikotno
ali okroglo) zgornjo ploskvijo, ne vemo pa, katere
barve je, poznamo torej samo obliko čokoladke. Ce-
lice so lahko obarvane. Barva celice določa barvo čo-
koladke (ne vemo pa njene oblike). V nadaljevanju
bomo čokoladko opisali z barvo in obliko zgornje
ploskve, na primer: okrogla rjava, rumena trikotna
itd. Pri tem se seveda zavedamo, da so čokoladke
trirazsežna telesa.
Pravila
Karton z nalogo je z navpičnimi in vodoravnimi čr-
tami razdeljen na več delov. V zgornjem levem delu
je navadno narisan osnovni kvadrat z devetimi celi-
cami. V nekaterih celicah so že oznake. Za te ce-
lice vemo, katera čokoladka sodi tja (če je označena
oblika in barva) oziroma katere oblike ali barve čo-
koladke moramo dati v določeno celico. V preostalih
delih kartončka, ki so omejeni s črtami, pa so večko-
tniki sestavljeni iz sivih kvadratkov (celic). Tudi ce-
lice večkotnikov lahko vsebujejo prej omenjene
oznake.
Posamezne večkotnike polagamo na osnovni kva-
drat tako, da jih premikamo vodoravno ali navpično,
ne smemo pa jih vrteti ali zrcaliti. Položaj večko-
tnikov na osnovnem kvadratu mora biti tak, da zah-
teve za obliko in barvo čokoladk v celicah večkotnika
niso v nasprotju z zahtevami v celicah osnovnega
kvadrata, ki jih ta večkotnik prekrije. Večkotniki se
lahko pri polaganju na osnovni kvadrat med seboj
prekrivajo, ne smejo pa segati čez osnovni kvadrat.
Navadno z narisanimi večkotniki ne prekrijemo ce-
lotnega osnovnega kvadrata. Kaj leži v nepokritih
celicah, moramo ugotoviti sami.
Cilj igre je torej razporediti devet čokoladk v pod-
stavek tako, da bodo lege čokoladk ustrezale zahte-
vam celic osnovnega kvadrata in nanj položenih več-
kotnikov.
Vseh možnih razporeditev čokoladk je seveda ve-
liko. Hitro jih izračunajmo. Za prvo vdolbino imamo
devet možnosti (ker je devet čokoladk), za drugo
osem (eno smo že uvrstili), za tretjo sedem itd., do
zadnje odprtine, ko ostane le še ena možnost, torej
velja:
M = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 9! = 362 880
Produkt števil od 1 do 9 v matematiki zapišemo kot
9! in beremo devet fakulteta ali devet faktoriela.
Avtor je poskrbel, da ima vsaka naloga eno samo
rešitev.
Primer 1
Kartonček z nalogo je razdeljen na tri dele (slika 2).
Zgoraj levo je osnovni kvadrat, zraven in spodaj pa
sta dva večkotnika, v tem primeru dva pravokotnika.
Da bo opisovanje rešitev lažje, označimo celice
osnovnega kvadrata s številkami od 1 do 9, celice
prvega pravokotnika s črkama A in B, celice drugega
pravokotnika pa s črkami C, D in E. (slika 3).
Najprej poglejmo, kaj povedo o čokoladkah ozna-
ke na osnovnem kvadratu in obeh pravokotnikih.
V prvi celici osnovnega kvadrata je narisan bel tri-
kotnik, torej bo na tem mestu trikotna čokoladka,
barve še ne vemo. V drugi celici bo okrogla čoko-
ladka, barve še ne vemo, v peti celici bo roza čoko-
ladka, oblike še ne vemo, v šesti celici je roza kvadra-
tna čokoladka, v sedmi celici bo rumena čokoladka,
oblike še ne vemo, in v deveti celici bo trikotna čoko-
ladka, barve še ne vemo.
V prvem pravokotniku z dvema celicama sta čoko-
ladki znani. V celici A je trikotna rjava, v celici B pa
roza okrogla čokoladka.
V drugem pravokotniku bo v celici C roza čoko-
ladka, oblike ne vemo, v celici D je rumena okrogla
čokoladka in v celici E je rjava kvadratna čokoladka.
     
P 46 (2018/2019) 3 9
SLIKA 2.
Zgoraj: Fotografija kartončka z nalogo. Spodaj: Rešitev.
Reševanje
Pravokotnik s celicama A in B lahko položimo na
osnovni kvadrat na dva načina, tako da zasede 1. in
2. ali pa 4. in 5. celico. Pete in osme celice ne more
zasesti, ker bi morali pravokotnik zasukati za 90◦,
kar pa ni dovoljeno.
S pravokotnikom, s celicami C, D in E, prekrijemo
eno celo vrstico. Katero? Prvo vrstico osnovnega
kvadrata (slika 3). Zakaj? V drugi vrstici srednja
celica, celica 5, zahteva roza čokoladko, srednja ce-
lica pravokotnika, to je celica D, ki bi to celico pre-
krila, pa zahteva rumeno okroglo čokoladko. Zah-
SLIKA 3.
Oznaka osnovnega kvadrata, dveh večkotnikov (pravokotnikov)
in shema rešitve.
tevi si nasprotujeta. Kaj pa tretja vrstica? Sedma ce-
lica osnovnega kvadrata zahteva rumeno, prva celica
pravokotnika, to je C celica, ki bi to celico prekrila,
pa zahteva roza čokoladko, torej si tudi ti dve zah-
tevi nasprotujeta.
Pravokotnik s celicama A in B moramo torej polo-
žiti na 4. in 5. celico osnovnega kvadrata.
Kaj smo ugotovili? Čokoladke so razporejene ta-
kole: V prvi vrstici so: roza trikotna, rumena okro-
gla in rjava kvadratna čokoladka. V drugi vrstici so:
rjava trikotna, roza okrogla in roza kvadratna čo-
koladka. Preostale tri čokoladke pa lahko razpore-
dimo na en sam način, da ustrezajo zahtevani barvi
v sedmi celici in obliki v deveti celici. Torej so v tretji
vrstici: rumena kvadratna, rjava okrogla in rumena
trikotna čokoladka. Rešitev je na sliki 3 spodaj ozi-
roma na fotografiji na sliki 2.
     
P 46 (2018/2019) 310
Lažja naloga za samostojno reševanje
Sami rešite še problem na sliki 4. Tokrat moramo na
osnovni kvadrat položiti en sam večkotnik in potem
ugotoviti, kako so razporejene čokoladke. Večkotnik
lahko na osnovni kvadrat položimo le na dva načina.
Ugotovite, kam ga je treba položiti, in rešite nalogo.
SLIKA 4.
Naloga za začetnike.
Še en težji primer
Oglejmo si še en težji primer (slika 5). V tem pri-
meru na kartončku z nalogo ni narisan osnovni kva-
drat, kar pomeni, da osnovni kvadrat nima oznak
v celicah. Narisati si ga moramo sami. Imamo se-
dem večkotnikov. Vsota vseh celic večkotnikov je 25,
osnovni kvadrat ima le devet celic. To pomeni, da se
večkotniki, ki jih polagamo na osnovni kvadrat, med
seboj prekrivajo. Kako? Ugotovite sami! Pomagamo
vam z rešitvijo.
Igro lahko igrate tudi na spletu [3]. V nekatere šole
v ZDA so jo vpeljali kot pripomoček za razvijanje lo-
gičnega načina mišljenja in za uvajanje v matema-
tični način dokazovanja. Želimo vam veliko veselja
pri igranju.
Literatura
[1] Igra Chocolate Fix, Sweet Logic Game, Thinkfun,
2010.
[2] www.eimacs.com/blog/2011/09/mark-
engelberg-game-and-puzzle-inventor/,
ogled: 13. 11. 2018.
[3] www.thinkfun.com/products/
chocolate-fix/, ogled: 13. 11. 2018.
SLIKA 5.
Zgoraj: večkotniki, s katerimi je potrebno prekriti osnovni kva-
drat. Spodaj: shema rešitve.
×××
www.dmfa.si
www.presek.si
www.dmfa-zaloznistvo.si