i
i
“1395-Vencelj-Leonardo” — 2010/8/17 — 14:03 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 27 (1999/2000)
Številka 3
Strani 134–135
Marija Vencelj:
LEONARDO DA VINCI KOT MATEMATIK
Ključne besede: matematika, zgodovina matematike, geometrija, te-
žišče.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/27/1395-Vencelj.pdf
c© 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Matematika I
LEONARDO DA VINCI KOT MATEMATIK
Naro dni muzej v Ljubljani gosti od 3. novembra do 5. marca svetovno
znano razst avo z naslovom Leonardo da Vinci - znanstvenik, izumit elj ,
umetnik. O sami razstavi, ki naredi na obiskovalc a izjem en vtis, čeprav ne
predstavlja da Vincija kot umetnika , ampak poudarj a predvsem tehniško
stran nj egovega dela , pripravlj amo daljši zapis za naslednjo številko Pre-
seka.
Za čas evro pske ren esanse je značilna velika vsestranost tedanji h
umetnikov. Številni med njimi so bil i hkrati slikarji , kiparji , stavbe niki ,
pesniki , pa tudi t ehniki in naravoslovci. Najbolj izrazit o vsestranski pa
je bil gotovo Leonardo da Vinci (1452- 1519), ki se je proti koncu svo-
jega življenja veliko ukvarj al t udi z matematiko. Žal ni ničesar 'objavil '.
Njegovo zapuščino predst avlja veliko št evilo skic, namenj enih nj egovemu
lastnemu razumevanju problemov. Le redke med njimi so opremljene s
skop imi raztrganimi opombami v zrcalni pisavi. Sprva so tudi raznesli
da Vincijevo zapuščino na vse vetrove sveta in šele v zadnjem stoletju so
jo poskusili sp et zbrati, da bi bila dostopna raziskovalcem . Zato je t ežko
govoriti o konkretnih matematičnih dosežkih Leonarda da Vincija . Ost aj a
vtis, da je prodrl v bist vo številnih matematičnih problemov, ime l veliko
idej , da pa nečesa, kar bi lahko imenovali 'Leonardov izrek ' , ni ust varil.
Za ilustracijo da Vincijevega odnos a do matem atike si oglejmo nj e-
govo rešitev probl ema konstrukcije težišča t rapeza.
Določanje težišč ravninskih likov pa t udi teles je Leonarda da Vinc ija
še .posebej za nimalo. Na osnov i enega od Arhimedovih zapisov je ugo-
tovil, da lahko konst ruiramo težišče poljubnega premočrtno omejenega
ravninskega lika v principu z up orabo naslednjih dveh pravil :
1. Težišče t r ikotnika je presečišče dalji c, ki povezuj ejo oglišča t r ikotnika
z razpolovišči nasprotnih stranic.
2. Lika L 1 in L 2 brez skupnih točk s težiščema T1 in T2 ter ploščinama
p i in P 2 naj ležit a v ist i ravnini. Potem leži težišče T skup nega lika
na dalji ci T1T2 in sicer tako, da velja Pl . TT1 = P2 . TT2 .
Z uporabo ob eh pravil dobi mo preprosto konstrukcijo težišča poljub-
nega t rapeza ABCD , ki jo prikazuj e slika 1.
Za dokaz razdelimo trapez na dva t rikot nika ABD in DCB (slika 2)
z osnov nica ma a oziroma b, skupno višino v in s težiščema T 1 oziroma T2
(ki ju konstruiramo po prvem pravilu).
Matematika
a D
v
v
'3
v
'3
B
v razmerju
Slika 2.
aA
2a+b
2-x=--
a+ b '
T od osnovnic trapeza
Slika 1.
D b
Po drugem pravilu leži te-
žišče T trapeza na daljici TIT2 ,
tako da velja TTI : TT2 = b : a.
Če izrazimo oddaljenost težišča
T od osnovnice AB v obliki
(1 + x) . ~,je oddaljenost težiš-
ča T od CD enaka (2 - x) . ~,
kjer je x : (1 - x) = b : a. Sledi
1 + x = a + 2b in
a+b
torej sta oddaljenosti težišča
(a + 2b) : (b + 2a) .
To pa že pomeni, da sta oddaljenosti na sliki 1 konstruirane točke T
od osnovnic AB in CD pravi (to sta višini v podobnih trikotnikih AIBIT
in CIDIT) . Po drugi strani pa leži težišče na daljici, ki veže razpolovišči
obeh osnovnic trapeza. Ker ta dalj ica povezuje tudi razpolovišči daljic
AlBI in CIDI, leži (zaradi AIBIT rv CIDIT) na njej tudi na sliki 1
konstruirana točka T.
Opisanega dokaza ne moremo šteti za da Vincijevo 'odkritje'. Prav-
zaprav ga je le izvedel, kakor tudi številne druge, na osnovi znanih trditev.
Opazimo pa dvoje. Po eni strani je imel izrazit smisel za uporabnost.
Princip, vsebovan v pravilih 1 in 2, je v konkretnem primeru uporabil za
izpeljavo uporabne in enostavne konstrukcije, ki si jo je moč tudi zlahka
zapomniti. Po drugi strani je izbrana pot do rešitve zelo lepa. Tudi
matematika je bila za Leonarda da Vincija po svoje umetnost.
Marija Vencelj