PRESEK LETNIK 020) ŠTEVILKA 6 Ms ■ Wm® MM® F* IM I.V.W mm HiP md liir «¡i I« M I»3 i» ■i^BMi fem M (d» K;.;.;.;:;:;;;.;.;.« E^Wägl * -> PLOŠČICE TANTRIX KAKO DALEČ JE OBZORJE? ESTONSKO SPLETNO TEKMOVANJE PRIPOROČANJE Z ALGORITMOM SLOPE ONE ISSN 0351-6652 9 9770351665760 9770351665760 MATEMATIČNI TRENUTKI KO LO F O N O d krivanje globokih prevar 2 vi' >u >u -> Ce pogledate sliko na strani 10, vas bo najbrž zelo začudilo, da igralec Steve Buscemi nosi rdečo žensko obleko brez rokavov. Seveda je slika ponarejena. Izrezana je iz videa, ki ga je ustvaril računalniški program z metodo globoke prevare (angl. deepfake). Ker so se računalniške zmogljivosti povečale in je zelo napredovalo tudi strojno učenje, je takšen video sedaj lažje ustvariti in prevaro težje odkriti. Na srečo nam ni treba obupati. Računalniki lahko po eni strani s pomočjo človeških navodil ustvarijo globoke prevare, po drugi strani pa lahko takšne prevare tudi odkrijejo. Trenutni pristopi za odkrivanje lažnih videov uporabljajo različne tehnike, med drugim geometrijo (za premikanje glave in ustnič), linearno algebro (za odkrivanje napak, ki nastanejo med prehodom iz enega obraza v drugega) in verjetnostni račun (ki meri verjetnost, da je video ponarejen). Še najmočnejše orožje v bitki proti prevaram pa je zavedanje, da vsemu, kar vidimo, ne moremo takoj verjeti. Raziskovalči trenutno izboljšujejo novo, bolj trpežno metodo za preprečevanje prevar. Metoda z analizo bitov v videu priredi datoteki matematično zašifrirano število in tako datoteko opremi z digitalnim podpisom. Podobno kot pri digitalnih valutah podpis postane del verige blokov (angl. bločkčhain) in omogoči overjanje ter odkrivanje manipulačij. V predelanem videu so biti iz pravega videa spremenjeni, zato se nov digitalni podpis ne bo ujemal z originalnim. Takšno overjanje bo omogočilo takojšnje opozorilo gledalču, podobno tistim, ki kar skočijo iz ekrana, ko poskušamo dostopati do nevarne spletne strani. Več o tem si lahko preberete v prispevku Protecting World Leaders Against Deep Fakes, ki so ga Agar-wal, Farid, Gu, He, Nagano in Li leta 2019 predstavili na konferenči o računalniškem vidu CVPR2019. _ XXX PRESEK 47 (2019/2020) 6 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 47, šolsko leto 2019/2020, številka 6 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Jure Slak (računalništvo), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2019/2020 je za posamezne naročnike 22,40 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 30 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1100 izvodov © 2020 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2115 ISSN 2630-4317 (Online) ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. Slika na naslovnici: Fotografija na naslovnici kaže morski zaliv, katerega nasprotna obala na videz lebdi na obzorju. To je posledica privida, ko se svetlobni žarki v toplejši plasti zraka nad vodno gladino ukrivljajo navzgor. Privid lahko nastane tudi z ukrivljanjem žarkov navzdol, ce je voda hladna in je tik nad njo zrak hladnejši od ozračja. Takrat lahko vidimo tudi telesa za obzorjem. Med privide pa štejemo tudi fatamorgano, ki pa nastane s kompleksnim ukrivljanjem žarkov v toplih in hladnih plasteh nad obzorjem. (Foto: Andrej Guštin) MATEMATIKA Ploščice Tantrix Nada Razpet -> Nekatere družabne igre, ki so bile priljubljene v 90-letih prejšnjega stoletja, se vračajo v novi preobleki, predvsem zaradi možnosti igranja tako na klasičen način kot z računalnikom. Ena od takih iger je TANTRIX. Izumil jo je Mike McManaway leta 1987 med okrevanjem po poškodbi, ki jo je dobil pri plezanju [1]. Osnovni komplet je imel 56 šestkotnih ploščic, povezave na ploščicah pa so bile le dveh barv. Igrali so jo na šestkotni igralni deski. Nova različiča iz leta 1991 ima povezave štirih barv. Za igro so izdelani tudi računalniški programi, s katerimi ne le igramo Tantrix, ampak z njimi rešujemo tudi nekatere uganke in sestavljanke. Igra je priljubljena po vsem svetu. Obstaja slovensko društvo in spletna stran (www.tantrix.si), ki je posvečena Tantrixu. Udeležite se lahko številnih tekmovanj v igranju te igre, če boste uspešni, celo svetovnega prvenstva. Nas bodo zanimale predvsem lastnosti ploščič, eno od možnih iger pa bomo omenili na konču prispevka. Ploščice Crne bakelitne ploščice so pravilni šestkotniki. Po dve straniči vsakega šestkotnika sta med seboj po- a) b) c) c> SLIKA 1. Možne črte na ploščicah z različnim izborom barv vezani. Povezave bomo poimenovali drugače, kot je to v navodilih [1], da bo izrazoslovje matematično pravilno. Na vsaki ploščici so tri povezave, tri crte, vsaka v drugi barvi. Crte so treh oblik: ■ povezava razpolovišč dveh sosednjih stranič je krožni lok, s središčem v oglišču šestkotnika, polmer pa je polovična dolžina straniče. To povezavo bomo poimenovali lok; ■ povezava razpolovišč dveh nasprotnih stranič z ravno črto, to je daljica, ■ povezava razpolovišč dveh stranič, med katerima je ena prosta (ne sosednjih stranič in ne nasprotnih stranič), je krivulja. Pri naši natančnosti lahko vzamemo, da je to krožni lok, ki pripada kotu 60° in ima polmer 3a/2, če je a straniča šestkotnika. Središče tega kroga je na presečišču podaljškov nesosednjih stranič šestkotnika. Ta krožni lok bomo označili kot v-lok, kar pomeni večji lok. Vse ploščiče so na hrbtni strani oštevilčene (slika 2). Številke so lahko rdeče, modre, rumene, zelene ali bele. Dve ploščiči sta enaki, če lahko eno zavrtimo v drugo. Možne kombinačije črt na ploščičah Dogovorjeno je, da je na ploščiči ■ kvečjemu ena daljiča (nobena ali ena daljica), en, dva ali trije loki, natanko dva v-loka. Možne kombinačije črt na ploščičah kaže slika 1. Preštejmo ploščiče Crte na ploščičah so različnih barv. Na voljo imamo rdečo, zeleno, modro in rumeno barvo. Za vsako plo-ščičo moramo izbrati po tri različne barve, kar pomeni, da imamo štiri ploščiče z enako razporejenimi črtami, le da so te različno obarvane. Slika 1 kaže vse možne kombinačije črt na posamezni ploščiči, pri čemer ima vsaka ploščiča drugačno barvno trojičo. 4 PRESEK 47 (2019/2020) G 4 MATEMATIKA daljica. Z zasukom ali zrcaljenjem teh ploščic (na slikah 4a in 4b) ne dobimo novih razporeditev črt na ploščicah (zakaj že?). Lahko pa seveda drugače porazdelimo barve posameznih črt, kar pa pomeni, da imamo tri ploščice s črtami oblike 4a in tri ploščice oblike 4b; skupaj šest ploščic. i ► a) b) SLIKA 2. Na hrbtnih straneh ploščic so barvne številke. Sliko smo osvetlili zato, da so številke vidnejše. Zdaj pa se omejimo na ploščice, na katerih so osnovne barve rdeča, modra in rumena, ter jih pre-štejmo. 1. Dve ploščici imata tri loke. Sta zrcalno simetrični (slika 3), os simetrije je simetrala enega od kotov, v našem primeru >rdečega< kota. 2. Preštejmo ploščice z daljico. Imamo dve možnosti: dva loka in daljica ali pa dva v-loka in SLIKA 4. Z zasuki in zrcaljenji teh dveh ploščic ne dobimo novih ploščic. Lahko pa drugace razporedimo barve crt. 3. Ostale so nam še ploščice z dvema v-lokoma in lokom (slika 5). Crte prezrcalimo čez sime-tralo >rdečega< kota. Dobimo novo razporeditev črt. Torej imamo dve ploščici z enakimi barvami črt. Lok je lahko rdeče, modre ali rumene barve (ustrezno spremenimo potem tudi barve v-lokov), torej imamo za vsako od teh dveh ploščic po tri možnosti. Dobili smo še šest novih ploščic. L i 14 i SLIKA 3. Dve plošcici imata tri loke. SLIKA 5. Plošcica z dvema v-lokoma in lokom ter njena zrcalna slika -> PRESEK 47 (2019/2020) G 5 MATEMATIKA —^ Ce seštejemo vse možnosti, dobimo ■ 2 + 6 + 6 = 14. Vseh ploščic z izbranimi tremi barvami je torej 14. Ker lahko barve izbiramo na štiri načine, je vseh ploščic 4 ■ 14 = 56 (sliki 3 in 6). Slok = 2na 2 ■ 3 na T"' Dolžina v-loka je šestina krožnice s polmerom 3a/2 (slika 7): sv- lok = 2n ■ 3a na a 60° k60c -1---1 a SLIKA 7. Polmer krožnice je 3a/2 SLIKA 6. Dvanajst Tantrixovih ploščic. Na hrbtnih straneh ploščic so barvne številke; mi smo jih zapisali ob ploščicah. Dolžine črt na ploščicah Vse črte na ploščicah povezujejo razpolovišča dveh stranic, zato lahko hitro izračunamo njihove dolžine. Označimo osnovnico šestkotnika z a. Dolžina daljice je razdalja med nasprotnima stra-ničama šestkotnika, torej dvojna višini enakostranič-nega trikotnika z osnovnico a av3 ■ Sdaljica = 2 ■ —— = aV3. Polmer krožnega loka, ki določa lok, je a/2, notranji koti šestkotnika merijo 120°, torej je dolžina tega loka tretjina krožniče s polmerom a/2 26 2 Najdaljša je daljica, sledi ji v-lok, najkrajši je lok. Najdaljšo dolžino vseh treh črt na ploščici imajo ploščice z daljico in dvema v-lokoma, sledi ploščica z dvema v-lokoma in lokom, potem z dvema lokoma in daljico, najkrajšo skupno dolžino črt na ploščiči pa ima ploščiča s tremi loki. Zakaj smo računali dolžine črt? Nekatere naloge zahtevajo, da je potrebno ploščiče sestaviti tako, da je dolžina sestavljenih krivulj najdaljša. Kot domino Igro lahko igra eden ali več igralcev. Kompleti, ki jih lahko kupimo, so sestavljeni iz različnega števila ploščic; tisti za začetnike imajo le deset ploščic. Cim več je ploščič, tem zahtevnejša je igra. Najenostavnejša igra je podobna domini. Ploščiče postavljamo tako, da se stikajo po stranicah in da se vse stične črte ujemajo po barvi. To pomeni, da se modra črta ene ploščiče lahko stika le z modro črto druge ploščice (slika 8). Med ploščicami ne sme biti praznih prostorov, z drugimi besedami, ne sme biti vmesnih lukenj. Stikajoče se črte iste barve tvorijo pot. Pot se torej razteza čez več ploščic. Na sliki 8 imamo rdeče, modre in rumene poti. Ce se začetna točka in končna točka poti ujemata, dobimo sklenjeno pot ali zanko. Na sliki 8 ni zank. Na sliki 9 sta rdeča zanka in modra pot. 6 PRESEK 47 (2019/2020) G 6 MATEMATIKA SLIKA 8. Zgoraj: črte na sosednjih ploščicah se morajo ujemati po barvi. Spodaj: napačno sestavljanje ploščic. Igra Odkrivanje V navodilih priporočajo začetnikom, da začnejo z igro Odkrivanja, namenjena enemu igralcu, ki začne s prvimi desetimi ploščicami. Igralec mora sestaviti zanko iz črt iste barve. Na začetku so vse ploščiče obrnjene tako, da je hrbtna stran s številkami vidna. Naprej igraleč izbere ploščiče s številkami 1, 2 in 3 in jih obrne. Vse tri ploščiče imajo rumeno obarvane številke. Ko igraleč sestavi rumeno zanko, sestavo razdre in doda ploščičo s številko 4 in tako naprej vse do ploščiče številka 10. Barva številke ploščiče, ki jo dodajamo, določa barvo zanke, ki jo moramo sestaviti. Seveda pa v nekaterih primerih obstaja več SLIKA 9. Rdeča zanka iz prvih petih ploščic in modra pot rešitev, to pomeni, da lahko sestavimo tudi zanko drugačne barve. Ce so številke na hrbtni strani bele, moramo sami ugotoviti, katero barvo zanke lahko sestavimo. Oglejmo si nekatere primere podrobneje. Rumena zanka Dane so ploščiče s številkami 1, 2 in 3, ki imajo vse rumeno obarvane številke. Sestaviti moramo rumeno zanko. Zanka, v našem primeru krožniča, ima obseg na. Možni sta dve postavitvi (slika 10). Rdeča zanka Dane so prve štiri ploščiče. Sestaviti moramo rdečo zanko. Rešitev je na sliki 11. Dolžina zanke je Sna/3. -> PRESEK 47 (2019/2020) G 7 MATEMATIKA Zanke iz prvih desetih ploščic Zanka iz vseh desetih ploščic je lahko rdeče, modre ali rumene barve (slika 12). Ugotovite, katere barve zanka je najdaljša. SLIKA 10. Rumena zanka iz prvih treh plošcic. Drugo rešitev dobimo, ce zamenjamo ploščici 1 in 2. VJ ri SLIKA 11. Rdeca zanka iz prvih štirih plošcic. Drugacno rešitev dobimo, ce med seboj zamenjamo legi dveh nasprotnih plošcic. SLIKA 12. Modra, rumena in rdeca zanka iz prvih desetih plošcic 8 PRESEK 47 (2019/2020) G MATEM ATI KA Kdaj lahko iz danega števila ploščic sestavimo zanko? Ali lahko sami napovemo, katere barve zanko lahko sestavimo? Poglejmo si nekaj konkretnih primerov. Zanka iz prvih treh ploščic. Vsota kotov, treh staknjenih ploščic v skupnem oglišču je 360°, to pa lahko dosežemo le z rumenimi črtami. Rdeči loki nimajo skupnega vrha v eni točki. Zanka iz prvih štirih ploščič. Rdeča zanka je edina možna (povezava dveh nesosednjih in dveh sosednjih stranič). Rumene zanke nimajo skupnega vrha v eni točki. Za sestavo zanke potrebujemo sodo število v-lokov na ploščičah, seveda v izbrani barvi. Vendar to za sestavo zanke ni dovolj, saj npr. iz dveh v-lokov in daljice ne moremo sestaviti zanke. Pa to še dokažimo na primeru sestavljanja rdeče zanke iz prvih desetih ploščič. Rdeča zanka na sliki 13 naj predstavlja testno dirkališče za avtomobile. Ko voznik pelje po zanki, mora zavijati. Ko naredi en obhod v nasprotni smeri urinega kazalča, se mora avto zavrteti za +360°, če to smer štejemo pozitivno. Pri tem ga lok lahko zavrti za 120° v levo ali desno, v-lok pa za 60° v levo ali desno. Naj bodo obrati v levo pozitivni, obrati v desno pa negativni. Obrate po v-loku označimo z Li in Ld, obrate po loku pa z li in ld. Vsota vseh kotov mora biti 360°. Torej velja: ■ Ll • 60°+ Ld • (-60°) + ll • 120°+ ld • (-120°) = 360°, ■ (Ll - Ld) • 60° + (ll - ld) • 120° = 360°. Trditev. Za zanko v neki barvi potrebujemo sodo število v-lokov v tej barvi. Trditev dokažemo s protislovjem. Privzamemo, da imamo liho število v-lokov. Vzemimo, da se peljemo po zanki v nasprotni smeri urinega kazalča. Potem je vsota kotov +360°, zasuki v levo so pozitivni, zasuki v desno pa negativni. Torej mora biti ■ Ll - Ld = 2k + 1, k G Z; (2k + 1) • 60° + (ll - ld) • 120° = 360°, (k + ll - ld) • 120° = 360° - 60°, 2(k + ll - ld) = 5°. Ampak 5 je praštevilo, torej ne moremo najti takega števila k, da bi imel dvakratnik števila (k + ll - ld) vrednost 5. SLIKA 13. Rdeča zanka iz prvih desetih ploščic z označenimi koti. Start je v točki S, smer obhoda označuje puščica. Zasuk v levo je pozitiven, zasuk v desno pa negativen. Vsota vseh zasukov je 360°. Kaj pa, če gremo v smeri urinega kazalča? Potem pa štejemo desne obrate pozitivno, leve pa negativno in pridemo do enakega zaključka. Iz opisanega sledi, da ne moremo vedno sestaviti zanke v poljubno izbrani barvi. Kdaj je možno in kdaj ne, je odvisno od izbranih ploščič. Nekaj nalog za bralce Izmed 14-ih ploščič na sliki 6 izberite toliko zaporednih ploščič, da bosta na sestavljenih ploščičah hkrati modra in rdeča zanka. Ali lahko ploščiče sestavite tako, da bodo na njej hkrati zanke treh barv, kot je to na sliki 14? Koliko najmanj zaporednih ploščič morate izbrati? Sestavite ploščiče v obliki enakostranič-nega trikotnika tako, da bo v sestavu vsaj ena zanka. In kako naprej? Na spletnih straneh in v navodilih najdete še nekaj drugih možnosti, lahko pa se spopadete tudi še z nalogami, ki so objavljene na [2]. Nekateri kompleti vsebujejo tudi kvadratne plo-ščiče, katerih straniče so enako dolge kot straniče šestkotnika. Ugotovite, kateri črte so lahko na plo-ščičah in koliko je takih ploščič, če izbiramo med štirimi barvami. -> 9 PRESEK 47 (2019/2020) G RAZVEDRILO SLIKA 14. Iz kompleta 56-ih ploščic smo izbrali 1 5 ploščic in sestavili trikotnik. Na njem so tri zanke. Pravila igranja s ploščicami Tantrix in različne naloge lahko najdete na spletni strani slovenskega društva [1]. PlošCice pa lahko izdelate tudi sami. Križne vsote sU vU vU -> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zaCetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne. 4 12 0 14 9 3 10 \8 20 7 2 19 10 Literatura [1] Tantrix, Navodila, dostopno na www.tantrix. si/, ogled 3. 12.2019. [2] Jaap Scherphius, dostopno na www.jaapsch. net/puzzles/tantrix.htm, ogled 3. 12. 2019. _ XXX S5S . in „t a ■ SLIKA K MATEMATIČNEMU TRENUTKU. vU vU nU REŠITEV KRIŽNE VSOTE 6 L 01 P 9 6 91 9 6 L L E E S Z L 6 PL L E 01 21 4 XXX XXX 10 PRESEK 47 (2019/2020) G FIZIKA Kako dalec je obzorje? •is ■i' nU Iztok Tiselj V tem sestavku bomo pogledali, kako dalec je v Sloveniji in njeni okolici najbolj oddaljen vrh na obzorju. Za izhodiščno tocko si izberem Snežnik. Na spletni strani www.peakfinder.org kot razgledno točko vpišemo Veliki Snežnik in na zaslonu se pojavi skica 360 stopinjske panorame. Na severu poiščemo Triglav in ugotovimo, da je od Snežnika oddaljen natančno 100 km (morda le par sto metrov manj). Razdalja med Snežnikom in Triglavom tako služi kot uporabna ocena za vidljivost, ki jo lahko preverimo tudi brez planinarjenja s pomočjo jugo-vzhodno usmerjene spletne kamere na Kredarici pod Triglavom, za katero skrbijo meteorologi. Če nad zahodno Slovenijo ni oblakov, se v daljavi skoraj zagotovo vidi Snežnik, izjema so morda le soparni poletni dnevi, ko kljub jasnemu vremenu vidljivost pade pod 100 km. Na sliki 1 je tipičen zim- ski pogled na Triglav in njegove sosede s poti med Sviščaki in Snežnikom. Fotografija na sliki 1 je narejena 24. dečembra 2019 z drobnim žepnim fotoaparatom, ki zmore 20-kratno povečavo. Na sliki so višine oznaČčenih gora v metrih ter razdalje do njih v kilometrih. Snežnik in Triglav sta označena tudi na zemljevidu Slovenije in okoliče na sliki 4. Kaj pa večje razdalje? Za 200 kilometrske razglede s Snežnika so primerne predvsem zime. Vzhodno od Triglava in levo od Nanosa na sliki 2 štrlijo v nebo vršači italijanskih Dolomitov. Poleti jih, čelo ob jasnem vremenu, preko dneva vidimo bolj poredko. Pozimi pa jih pogosto opazimo že podnevi, posebej izrazite pa postanejo njihove silhuete po sončnem zahodu, ko se zimsko sonče sprehaja pod njihovim obzorjem. Fotografija na sliki 2 je narejena koneč dečembra 2018 s polprofesionalnim fotoaparatom. Če na spletni strani www.peakfinder.org podrobneje pogledamo še razgled s Snežnika na jug, SLIKA1. 1 00 kilometrski pogled. Triglav s poti Svišcaki-Snežnik z nadmorske višine okoli 1 400 m -> PRESEK 47 (2019/2020) 6 11 FIZIKA —^ ugotovimo, da nam spletna stran obljublja pogled preko Jadranskega morja na hribe na Apeninskem polotoku, ki so oddaljeni več kot 300 km. Da pa sem obljubljeni pogled prek Jadranskega morja dočakal tudi v živo, sem v zadnjih treh zimah potreboval šest večernih vzponov na Snežnik - vse v dneh, ko so meteorologi tako nad Slovenijo kot tudi nad Jadranom in srednjo Italijo napovedali jasno vreme. Verjetno bi meteorologi lahko pojasnili, zakaj sem bil 24. decembra 2019 nagrajen s pogledom na Apenine in v čem se je ta večer razlikoval od preostalih, ko med otokom Cresom in vzhodno obalo Istre kljub jasnemu vremenu nisem videl ničesar. Na sliki 3 sem s pomočjo peakfinder-ja označil nekaj vrhov na drugi strani Jadrana oddaljenih od 230 do 320 km ter dva vrhova v hrvaški Istri. Fotografiji sta narejeni z žepnim fotoaparatom. Iz zemljevida na sliki 4 je razvidno, da skoraj 2500 metrov visoko goro Monte Vet- SLIKA2. 200 kilometrski pogled s Snežnika na italijanske Dolomite (foto: T. Kastelic) SLIKA 3. 300 kilometrski pogled na Apenine izpod Srednjega Snežnika z višine okoli 1 700 m 12 PRESEK 47 (2019/2020) 6 12 FIZIKA Na skici je ta razdalja dolžina daljice med točkama S in G. Po Pitagorovem izreku bo plavalec na 0 metrih nadmorske višine, ki bo iz Ancone plaval v smeri Snežnika, zagledal vrh, ko se mu bo približal na razdaljo SG = J(R + h)2 - R2 ^ VŽRh = 152 km. (1) SLIKA 4. Razgledi s Snežnika, smeri fotografij s slik 1, 2, in 3. (zemljevid: www.openstreetmap.org) tore gledamo prakticno cez pristaniško mesto An-cona, nad katerim se nahaja 572 m visok hrib Monte Conero, ki je oznacen na levem robu fotografije na sliki 3. Zdaj pa je na vrsti nekaj matematike in nato še nekaj fizike. S pomocjo skice na sliki 5 s Pitagoro-vim izrekom izracunamo geometrijsko oddaljenost obzorja za razgled s Snežnika na Jadransko morje. Za Monte Conero, ki je visok 572 m, je geometrijsko obzorje (dolžina daljice CG na sliki 5) oddaljeno 85 kilometrov. Višini obeh hribov na sliki 5 sta seveda mocno povecani v primerjavi s polmerom Zemlje. Ce obe razdalji do obzorja seštejemo, dobimo vsoto C G + S G = 237 kilometrov, kar je le kilometer vec od izmerjene razdalje med obema vrhoma, zapisane na sliki 3. To pomeni, da bi bil po Pitagorovem izreku z vrha Snežnika hrib Monte Conero neviden, saj da-ljici CG in SG ležita prakticno na isti tangenti na zemeljsko krožnico. Nad obzorje bi morala štrleti kve-cjemu drobna pika, ki bi jo morda videli s kakšnim teleskopom. Ce pa pogledamo spodnjo fotografijo na sliki 3, je Monte Conero precej dobro viden in nad obzorje štrli kar precejšen del hriba. Da bo zadeva še bolj sumljiva, je potrebno povedati, da sta fotografiji na sliki 3 posneti pod vrhom Snežnika s kakšnih 1700 metrov nadmorske višine. Veter na vrhu je bil namrec tako mocan in moji prsti tako premrli, da kljub vnetemu pritiskanju na moj mali fotoaparat s samega vrha nisem prinesel nobene uporabne fotografije. Je torej kaj narobe z radijem Zemlje ali morda celo s Pitagorovim izrekom? Pojasnilo tega pojava bo verjetno razocaralo tiste, ki bi želeli s fotografijama na sliki 3 dokazovati teorijo o plošcati Zemlji. Prav nic ni narobe z radi- SLIKA 5. Daljica SG - geometrijsko obzorje s Snežnika, krožni lok SD - dejansko obzorje. -> PRESEK 47 (2019/2020) 6 13 FIZIKA —^ jem Zemlje in še manj s Pitagorovim izrekom. Lom svetlobe v ozračju je kriv, da je dejanska oddaljenost obzorja nekoliko večja od geometrijske razdalje, ki jo napove Pitagorov izrek. Pri fiziki smo zrak največkrat obravnavali kot sredstvo z lomnim količnikom 1, kar pa ni čisto res: lomni količnik zraka n je nekoliko večji od 1 in se zmanjšuje z nadmorsko višino, ko se gostota zraka manjša. Za spodnjih nekaj kilometrov atmosfere lahko brez prevelike izgube natančnosti predpostavimo, da gostota zraka z višino h pada linearno, zato linearno pada tudi lomni količnik. Namesto računanja gostote iz enačb adiabatne atmosfere sem vrednosti gostote ob morju 1,225 kg/m3 in na 2 km nadmorske višine 1,007 kg/m3 prebral kar s spletne strani www.engi neeri ngtoolbox.com/standard-atmosphere-d_ 604. html. Od tod sledi približek n = 1 + 2,9 ■ 10-4(1 - h(km)/11,5km). (2) Zanima nas, kako se spreminjata n in p, ko žarek preide iz plasti z lomnim količnikom n v plast s količnikom n + dn na sliki 6. Kdor zna izračunati diferencial te enačbe, hitro ugotovi, daje ■ dn cos p - n sin pdp = 0 ali dn = n tg pdp. Recimo, da gre iz neke točke žarek navzdol pod kotom p, kot kaže slika 6. Vzdolž poti 5 se n poveča za dn/ds, zato iz zgornjega diferenčiala sledi dn „dB dn =n tg (3) Tako je lomni količnik zraka ob morju n = 1,00029 in na Snežniku 1,00025. Zato se žarek svetlobe, ki začne svojo pot nekje na pobočju hriba Monte Co-nero pod geometrijskim obzorjem opazovalča na Snežniku, lomi na optično redkejšem zraku na višjih nadmorskih višinah. Žarek potuje po ukrivljeni poti, ki jo približno nakazuje rumeni lok na sliki 5, ter konča svojo pot na vrhu Snežnika. Tudi žarek, ki potuje v nasprotni smeri, ubira popolnoma enako pot. Bralči, ki še ne poznajo diferenčialnega računa, in tisti, ki niso razpoloženi za predolge izpeljave, lahko spodnji del besedila preskočijo in nadaljujejo branje pri enačbi (4). Za ostale pa izpeljimo približni polmer rumenega loka na sliki 5. Izhajamo iz lomnega zakona, ki ga poznamo v obliki ■ n1 sin a1 = n2 sin a2, ko obravnavamo prehod svetlobe iz ene gostote v drugo. V ozračju, kjer se lomni količnik spreminja zvezno, pa zato velja, da je vzdolž poti žarka ■ n sin a = konst. Namesto kota a glede na normalo na (bolj ali manj horizontalne) zračne plasti raje obravnavajmo strmino žarka, to je kot p glede na horizontalo, ki ga kaže slika 6. Torej velja ■ n čos p = konst. Iz slike 6 je razvidno tudi, da je dp/ds v enačbi (3) povezan z radijem rumene krožniče, po kateri potuje žarek na sliki 5. Velja ds = R rumeni dp oziroma ddp = -. ds R rumeni Ce upoštevamo še zvezo med diferenčialom poti ds in diferenčialom višine dh, ki jo tudi razberemo s slike 6: dh = sin pds, lahko ta radij iz enačbe (3) tudi izračunamo: dn n dn ■ R rumeni = n ■ tg p/— = --/ — . ds čos p dh Za žarke v tem prispevku velja, da je p « 0. Lomni količnik se z višino spreminja po enačbi (2), iz katere sledi dn/dh = 2,9 ■ 10-4/11, 5 km. Iz teh podatkov izračunamo, da žarki v spodnjih kilometrih atmosfere potujejo približno po krožničah z radijem okoli sedemkrat večjim od radija Zemlje Rrumeni = 44 000 km. Zgornja izpeljava je podobna opisu loma zvočnih valov v ozračju v Preseku 29 (2001/2002), 40-46, podrobno izpeljavo pa je mogoče najti tudi na spletni strani www.mathsci notes . com pod iskalnim pojmom »distanče to horizon«. Z nekaj truda iz znanega radija Rrumeni lahko izračunamo še razdaljo do obzorja. Ce za trikotnik, ki ga oklepajo središče Zemlje, središče rumene krožniče in vrh Snežnika na sliki 5 desno zapišemo kosinusni izrek Rrumeni = (R rumeni — R)2 + (R + h)2- - 2 (Rrumeni - R)(R + h) čos (n - (), lahko od tu izračunamo velikost kota p. Ce pri tem upoštevamo, da je kot p zelo majhen in zato velja 14 PRESEK 47 (2019/2020) 6 14 FIZIKA cos^ « 1 - 02/2, ter ^rumeni >> h in R >> h, pridemo do približne enačbe (izpeljava je prepuščena bralcu) za razdaljo do obzorja. Za pogled z vrha Snežnika je razdalja do dejanskega obzorja (točka D na skici 5) SD = \ 2Rh 1 (4) Vidimo, da je enačba podobna enačbi (1), popravek pod ulomkom pa je nekoliko odvisen od vremena. Faktor R/Rrumeni = 1/7 velja za t. i. standardno atmosfero, v kateri temperatura pada za 11 °C na vsak kilometer nadmorske višine. Približno tolikšen popravek upošteva tudi spletna stran www.peakfin-der.org. S tem popravkom se razdalja s Snežnika do obzorja poveča iz S G = 152 km na SD = 164 km, z Monte Conero pa na 94 km. S pomočjo popravljene enačbe lahko očenim tudi, da je prek Jadranskega morja videti približno zgornjih 200 metrov vrha hriba Monte Conero ter zgornjih 700 do 800 metrov gore Monte Vettore. Te številke se kar dobro ujemajo z ročnim merjenjem razdalj na fotografijah slike 3, kjer sem iz znanih horizontalnih razdalj med vrhovi očenil vidno višino obeh vrhov. Fotografiji sem torej posnel v vremenskih pogojih, ki približno ustrezajo standardni atmosferi. Za koneč še kazaleč na menda najdaljšo fotografirano razdaljo na planetu. Z vrha Pič de Finistrelles (2826 m) v Pirinejih med Frančijo in Španijo se tik pred sončnim vzhodom na vzhodu lahko vidi okoli 400 kilometrov oddaljene alpske vrhove nad Greno-blom blizu frančosko-italijanske meje. Fotografijo sem zadnji dan leta 2019 našel na spletnem naslovu 9gag.com/gag/a7Mxmez. Naj omenim, da pri tako ekstremnih oddaljenostih »peakfinder« odpove. Po pogovoru z avtorjem programa sem dobil informa-čijo, daje njegov trenutni domet nastavljen na približno 320 km, povečevanje dometa po njegovih besedah zelo hitro (eksponentno) povečuje računsko zahtevnost programa. Na spletu sem nato našel še stran www.udeuschle.de, na kateri lahko generiramo panoramo z izbrane točke s poljubno nastavljenim dometom. Ta spletna stran pravi, da je najbolj oddaljen vrh, ki ga s Snežnika lahko vidimo ob izjemni vidljivosti, 354 km oddaljeni in 2912 metrov visoki Corno Grande, najvišji vrh Apeninov. Njegova fotografija s Snežnika pa naj ostane izziv za prihodnje planinče in fotografe. R R SLIKA 6. Lom svetlobe pri prehodu iz plasti z lomnim količnikom n v plast s količnikom n + dn. _XXX PRESEK 47 (2019/2020) 6 15 RAZVEDRILO N a g ra d n a k r i ž a n ka SPOJINA, KI NASTANE PRI REAKCIJI KISLINE IN BAZE ameriški igralec (tom; osmi potnik) NJIVA, POSEJANA Z OVSOM IGRALKA FURLAN PROSTOR ZA PEVCE V CERKVI DODATEK K AKTU VELEMESTO FINSKO POIMENOVANJE ZA LAPONSKO TROBLJA STAR KRAJ OB DRAVI NA AVSTR. KOROŠKEM BLAZINJAK BREZ STRANIC, ZOFA KOREKTURA STAR IZRAZ ZA KVADRAT NAŠ POKOJNI METEOROLOG (MIRAN) IZVEDENSKO, JAVNO, LOČENO, DRUGO? GORA V VZH. KARAVANKAH PORCELANSKA GLINA NEKD.IZR. PREMIER (LEVD_ ZVITEK GAZE NEKDANJA IZRAELSKA DRŽAVNICA (GOLDA) NOVA REVIJA L ZORMAN: DRAGA MOJA 7 K|T|S| RAZLAGALEC, POJASNJE-VALEC LESTVICA NAPETA MEMBRANA, KI MORE Nfflm ŠIBKEJŠI VETER BRENCEU SNOBOVSKI POVZPETNIK MATEMATIČNI ZNAK NAŠ FILMSKI REŽISER (MITJA) NAŠA IGRALCA (BOJAN IN GAŠPER) STARO-VEŠKA ASIRSKA PRESTOLNICA ODVEČNO BREME ORGAN ZA DIHANJE PREDLOG RIMSKA t ENOTA ZADELO IN ENERGIJO ZAJEDA MORJA V KOPNO NAŠ NEKDANJI HOKEJIST, ZDAJ TRENER BELGIJSKI SLIKAR (JAMES) VELEMESTO VJU2NI TURČIJI ČASTNIŠKA STOPNJA KOMAN-DITNA DRUŽBA 16 PRESEK 47 (2019/2020) 6 16 RAZVEDRILO ribiški kaveljček knockout KNEŽEVINA NA AŽURNI OBAU SORTNO BELO VINO «AS METEOROLOG NAŠ POKOJNI TENORIST (ANTON) OBMORSKO MESTO NA JZPELO-PONEZA ELEKTRIN IN IFIGENUN BRAT reka in oepartma v severni francih BITNA GOSPODARSKA DEJAVNOST POBRITA PRIČESKA Z GREBENOM PO SREDI POLJSKI PISEC ZANANSTV. FANTASTIKE (STANISLAW) POSTOPEK TRAJNEJŠEGA SHRANJEVANJA ŽIVIL SPLETNA DOMENA IZRAELA GOJITELJ OLJK POLOVICA ČETRTINE zvezda, kije večja od sonca MAJHEN KRAPOVEC BISTRIH VODA odtenek ■MESO1 DREVES DRUŽINA NAŠIH MOTOKRO-SISTOV STANJE, KO NAS NIČNE OMEJUJE IT.-FRANC. ASTRONOM (GIOVANNI DOMENICO) 3. IN 2. SAMOGLASNIK ZAMETEK ROKOMETNI SODNIK KORIČ ograda ob hlevu NARAVNA HINDUJSKA ZDRAVLJENJA SREDSTVO ZA ODPRAVLJANJE GUB VIOLINISTKA BUKOVEC ŠE NEODGNAN BRST 1 OSEBA EDNINE GROFVRON-SKI IZAKE KARENINE osrednji STOLP SREDNJEV. tuja in naša črka PEVKA ZOBEC STAROSTA, NESTOR TELESNA TEKOČINA iaš liter. kritik (matua) NEUMETNIŠKA DELA REDOVNIK, FRATER (OKRAJŠANO) STEBRU PODOBEN IZ STENE IZSTOPAJOČ PAS PREDZADNJA GRŠKA ČRKA OSVOBODILNA FRONTA TRI ZVEZDE, KITVORUO PAS ORIONA GRAFIČNO OBLIKOVANJE. MATEVŽ BOKALIč italuan. tovarna avtgmo-bilov pode zame.no igrišŽa SREBLJAI SUROVINA ZA PRIDOBIVANJE KOVINE POLTRAK, KI OMEJUJE KOT NAGRADNI RAZPIS -> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazeč na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. oktobra 2020, ko bomo izžrebali tri nagrajenče, ki bodo prejeli knjižno nagrado. _ XXX PRESEK 47 (2019/2020) 6 17 ASTRONOMIJA Estonsko spletno tekmovanje iz znanja astronomije nU NU NU Andrej Guštin -> V času karantene zaradi razglašene pandemije koronavirusa je bila izvedba tekmovanj iz znanja močno prizadeta, saj so bile šole zaprte. Marsikatero tekmovanje je odpadlo, druga pa so bila izvedena le delno. Tekmovanje iz znanja astronomije za Domin-kova priznanja za šolsko leto 2019/20 je bilo uspešno zaključeno, saj je potekalo že na začetku leta. Prav tako smo uspešno opravili izbirni postopek za olimpijsko ekipo za 14. mednarodno olimpijado iz astronomije in astrofizike (MOAA), ki je načrtovana za september 2020. V ekipo so se uvrstili Vid Kavčič, Srednja šola Črnomelj, Simon Bukovšek, Gimnazija Kranj, Urban Razpotnik, Domen Lisjak in Urša Mati Djuraki, vsi Gimnazija Bežigrad. V teh zapletenih časih so nekatere države organizirale spletna tekmovanja. Tak poskus je bilo tudi estonsko državno tekmovanje iz znanja astronomije, na katerega so organizatorji povabili tudi tekmo-valče iz drugih držav. Tako se je tekmovanja udeležilo več kot 800 tekmovalk in tekmovalčev iz 21-ih držav, tudi 12 slovenskih dijakinj in dijakov, ki so tudi sičer sodelovali v izbirnem postopku za olimpijsko ekipo. V času pisanja tega prispevka rezultati estonskega astronomskega tekmovanja še niso znani, predstavljamo pa vam naloge za enotno srednješolsko skupino. SLIKA 1. Udeleženci končnega izbirnega testa za 1 4. MOAA v Peterlougu na Goričkem 18 PRESEK 47 (2019/2020) 6 18 ASTRONOMIJA Kratke naloge Severniča Na katerih zemljepisnih širinah je Severniča vidna (a = 02h31m49s, 5 = +89° 15'51''), ■ če bi bila Zemlja brez ozračja; ■ če upoštevamo, da ima Zemlja ozračje? Refrakčija na obzorju je 35,4 kotnih minut. SLIKA 2. Zvezdne sledi in severni nebesni pol Kje je Sonče? Nekega dne opolnoči je siderski čas 18,0 ur. ■ Kolikšna je takrat rektasčenzija Sonča? ■ V katerem ozvezdju je takrat Sonče? ■ Kateri datum je (z natančnostjo ±1 dan)? Zunajzemeljski astronom Zunajzemeljski astronom živi v središču Androme-dine galaksije in preučuje vrtenje naše Galaksije z meritvami Dopplerjevega premika v svetlobi. Kolikšni sta vrednosti rdečega premika, ki ju izmeri na obeh robovih naše Galaksije? Predpostavi, da je vrtilna doba naše Galaksije 225 milijonov let, njen polmer 52850 svetlobnih let, razdalja med našo in An-dromedino galaksijo je 778 kpč in da se galaksiji približujeta s hitrostjo 110 km/s. Galaktična latituda Andromedine galaksije je -21, 3°. Predpostavi, da se naša Galaksija vrti kot togi disk. Dolge naloge Vesoljsko pokopališče Ko velik umetni satelit iz kateregakoli razloga neha delovati, sta zanj možni dve končni usodi: ■ Satelit nadzorovane pade na t. i. vesoljsko pokopališče, katerega lega je označena na sliki. ■ Satelit premaknejo na t.i. pokopališko orbito, ki je 36050 km nad površjem Zemlje. Predpostavi, da je eden od geostacionarnih satelitov prenehal delovati. Preuči, koliko energije potrebuje satelit za padeč na vesoljsko pokopališče v primerjavi z njegovo premestitvijo na pokopališko orbito (iz te orbite bo satelit v nekaj sto letih spet padel na geostačionarno orbito). Predpostavi, da so spremembe hitrosti satelita hipne. Določi: ■ višino geostačionarne orbite. ■ Pod predpostavko, da je masa satelita zanemarljiva v primerjavi z maso Zemlje, uporabi zakon o ohranitvi energije in izpelji t. i. »vis-viva« enačbo. Enačba »vis-viva« opisuje hitrost satelita v odvisnosti od oddaljenosti od Zemlje in velike polosi satelitove orbite. ■ Hohmannov transfer je metoda za prenos satelitov iz orbite 1 na orbito 3, kar je prikazano na sliki 4. Poišči enačbe za zahtevane spremembe hitrosti pri Hohmannovem transferu in izpelji izraz za čelotno spremembo hitrosti satelita. ■ Izračunaj spremembo hitrosti, ki je potrebna za premestitev satelita na pokopališko orbito. ■ Izračunaj spremembo hitrosti, ki je potrebna, da satelit pade na vesoljsko pokopališče. Vplive ozračja zanemari in predpostavi, da satelit pade na vesoljsko pokopališče iz Hohmannove transferne orbite. ■ Izračunaj mejno višino, s katere je energijsko ugodneje poslati satelit na vesoljsko pokopališče na Zemlji. Vroča Betelgeza Očeni povprečno temperaturo na površju Zemlje, če bi bila na mestu Sonča zvezda Betelgeza in bi bila ta velika kot Sonče. Predpostavi, da se orbita Zemlje ne -> PRESEK 47 (2019/2020) G 19 ASTRONOMIJA SLIKA 3. bi spremenila, da je Zemlja idealno črno telo in da je učinek tople grede zanemarljiv. Povprečna navidezna vizualna magnituda Betelgeze mV = 0,5, bo-lometrični popravek BC = Mboi - MV = -1,8, njena oddaljenost D = 220 pč. Konstante: Navidezni bolometrični sij Sonča mbol = -26,83. Izsev Sonča L = 3,83 ■ 1026 W. Razdalja Zemlja-Sonče a = 1,50 • 1011 m. Stefan-Boltzmannova konstanta je a = 5,67 ■ 10-8 Wm-2 K-4. Meteorski roj Meteorski roj je nebesni pojav, pri katerem večje število utrinkov prileti iz ene točke (radianta) na nebu. Utrinki nastanejo ob interakčiji potoka prašnatih del-čev (meteoroidov) kometa z ozračjem. Prašnati delči navadno izletijo iz jedra kometa zaradi izhajajoče vodne pare, ki sublimira zaradi Sončevega obsevanja ledenega jedra. Prašnati delči so porazdeljeni vzdolž prašnatega repa kometa in so posledično posejani po vsej orbiti kometa. Meteorski roji so zato periodični letni pojavi, ki se zgodijo, ko Zemlja prečka orbito kometa, ki je svojo orbito posul s prašnatimi delči. Eta Akvaridi in Orionidi sta meteorska roja; prvi je vsako leto viden maja, drugi pa oktobra. Ta meteorska roja sta povezana s Halleyjevim kometom. Oba roja sta šibka (majno število utrinkov), a dolgotrajna (trajata več kot meseč dni). V nadaljevanju lahko predpostaviš, da se Zemlja giblje po krožni orbiti s hitrostjo v® = 29,8 km/s. ■ Kolikšna je hitrost meteoroidov roja Eta Akvaridi, s katero priletijo v ozračje Zemlje, v referenčnem koordinatnem sistemu s središčem v mirujočem Sonču? Lahko predpostaviš, da vsi meteoroidi približno sledijo orbiti Halleyjevega kometa. Velika polos orbite Halleyjevega kometa a = 17,8 ae, ek-sčentričnost orbite e = 0,967. Halleyjev komet je edinstven tudi po tem, da se po orbiti giblje v nasprotni smeri urinega kazalča, torej v nasprotni smeri kot planeti. Izpelji enačbo za čelotno vrtilno količino na enoto mase I posameznega meteoroida. Količina naj bo izražena z a, e, G in M0. 20 PRESEK 47(2019/2020) 6 ASTRONOMIJA SLIKA 4. nega načela, kar opiše sledeča enačba: N = 2l4nnl 83 kjer je nF največje zasedeno kvantno število nevtronov v nevtronski zvezdi. Energijo nevtrona dobimo iz enačbe E(n) = h2n2 8mV2/3' kjer je n kvantno število nevtrona, h Plančkova konstanta in V prostornina nevtronske zvezde. Povprečna energijska gostota nevtronske zvezde, ki je po-slediča energije nevtrona na najvišjem energijskem nivoju, je Pe = 9N E(nF), Isto kot pri prvi nalogi, le da hitrost meteoroidov izrazi v referenčnem koordinatnem sistemu s središčem v mirujoči Zemlji. Izračunaj število utrinkov na časovno enoto, ki v ozračju zasvetijo ob višku meteorskega roja Eta Akvaridov. Gostota meteoroidov, ki ob višku ustvarijo vidne utrinke, je enakomerna in znaša n = 74 ■ 10-9 km-3. Lahko predpostaviš, da se meteoroidi gibljejo tako hitro, da težnost Zemlje zanemarljivo malo spremeni njihovo hitrost in da meteoroidi »izgorijo« H = 100 km nad tlemi. Polmer Zemlje r® = 6370 km. Nevtronska zvezda Nevtronska zvezda je zgoščeno telo, skoraj v čeloti sestavljeno iz nevtronov. Masa nevtronskih zvezd je med 1,4 in 3 masami Sonča. Naredili bomo aproksi-mačijo polmera in največje kotne hitrosti nevtronske zvezde z maso M = 1,5M0 na podlagi enostavnega modela. Predpostavimo, da so nevtronske zvezde toga telesa, ki jih sestavljajo samo nevtroni. Število nevtronov v zvezdi lahko dobimo iz Paulijevega izključitve- 20nR3 kjer je R polmer nevtronske zvezde. Izračunaj degenerirani tlak nevtronov (notranji tlak, ki je poslediča energije nevtronov) v nevtron-ski zvezdi. ■ Izračunaj gravitačijsko energijo nevtronske zvezde, če predpostaviš, da ima povsod enako gostoto. Predpostavi, da nevtronska zvezda nima drugih vrst notranje energije, razen od nevtronov, in izračunaj njen polmer. Masa nevtronske zvezde M = 1,5M0. ■ Izračunaj gostoto nevtronske zvezde s predhodnimi predpostavkami in predpostavko, da je togo (trdno) telo. Izračunaj največjo kotno hitrost nevtronske zvezde pod predpostavkami, da sta notranja energija in oblika nevtronske zvezde, kar je bilo privzeto pri predhodnih vprašanjih, konstantni. Namig. Pri računanju tlaka pri notranji energiji U in prostornini V si lahko pomagaš s P = du dv' XXX PRESEK 47 (2019/2020) 6 21 RAČUNALNIŠTVO Priporočanje z algoritmom Slope One Mlaoen Borovič Priporočilni sistemi se v zadnjem desetletju vse bolj uporabljajo v različne namene. Najpogosteje jih najdemo v spletnih trgovinah, socialnih omrežjih, iskalnikih in tudi v storitvah za pretočnost video in avdio vsebin. V tem prispevku opisujemo pristop sodelovalnega priporočanja Slope One, ki deluje na podlagi povratnih informacij, pridobljenih s strani drugih uporabnikov. Denimo, da se odpravljate na morje in želite na plaži prebrati dobro knjigo. Da bi izbrali knjigo, ki bi jo res z veseljem brali, omejite izbiro na žanre, avtorje ali pa tudi dolžino knjige. Velika možnost je, da bo po začetni omejitvi izbire na voljo še vedno preveč knjig in potrebujete še nekaj več informačij, da bi izbrali tisto pravo knjigo, ki vam bo ustrezala na plaži. Velikokrat se v takšnih primerih obrnemo na prijatelje oziroma pregledamo mnenja in rečenzije knjig na spletu. Ker se mnenja velikokrat razlikujejo, saj smo ljudje različni, želimo ugotoviti, kateri ljudje imajo podoben okus kot mi. V opisani situačiji hitro vidimo, da izvajamo neke vrste filtriranje med veliko množičo knjig. V svetu priporočilnih sistemov (recommender systems) poznamo dva osnovna pristopa k pridobivanju ustreznega rezultata. Prvi pristop je vsebinsko filtriranje (content-based filtering). Pri tem pristopu nastopa računalniški sistem, ki mu podamo potrebne infor-mačije (npr. tematiko knjige), vrne pa nam seznam priporočil, ki jih računalniški sistem izračuna s pomočjo metrike vsebinske podobnosti. Drugi pristop je sodelovalno filtriranje (collaborative filtering), kjer pa računalniškemu sistemu podamo le naše pretekle stike (npr. očeno knjige na lestviči med 1 in 5), dobimo pa seznam priporočil, ki jih računalniški sistem izračuna s pomočjo metrike podobnosti. Pri tem računalniški sistem upošteva tudi ostale bralče istih knjig. V nadaljevanju prispevka bomo predstavili algoritem sodelovalnega filtriranja Slope One, ki bo znal glede na pretekle očene knjig priporočati najustreznejšo knjigo, ki je še nismo prebrali. Algoritem Slope One Področje sodelovalnega filtriranja pozna veliko algoritmov, ki se samostojno ali kot skupek večih algoritmov uporabljajo še danes v zelo razširjenih spletnih storitvah, kot sta YouTube in Amazon. Algoritem Slope One se prvič pojavi leta 2005 kot nov, preprost in hiter način za priporočanje s sodelujočim filtriranjem. Prednosti algoritma sta natančnost priporočil in možnost enostavne paralelizačije. Algoritem Slope One deluje tako, da na podlagi kombinačije uporabnikov in njihovih že obstoječih očen poskuša predvidevati, kako bi drugi uporabniki očenili tiste elemente, ki si jih še niso ogledali. V našem primeru so elementi priporočanja knjige, ki so jih bralči že očenili, z algoritmom Slope One pa želimo predvideti našo očeno za vse knjige, ki jih še nismo očenili. Ideja algoritma Slope One je ustvarjanje linearne relačije med elementi priporočanja in uporabniki, ki je podobna linearni funkčiji f(x) = ax + b. Gre za linearno funkčijo, kjer je smerni koefičient oz. naklon a enak 1; od tod izvira tudi ime algoritma Slope One. Prvi korak algoritma je torej ustrezna predstavitev uporabniških očen in knjig. Le-to zelo elegantno predstavimo z matriko, kjer vrstiče predstavljajo uporabnike, stolpči predstavljajo knjige, številčne vrednosti pa očeno med 1 in 5, s katero je uporabnik očenil knjigo. Oznaka -pomeni, da oseba še ni očenila knjige. Ka Kb Kc Marko 5 2 3 Mateja 3 4 - Tina - 3 4 Iz takšne predstavitve lahko tvorimo vektorje, ki jih uporabimo v naslednjih korakih algoritma. Recimo, da želimo izracunati, kako bi Tina ocenila knjigo Ka. Najprej izracunamo povprecni razdalji med Ka in Kb ter med KA in KC. To storimo z operacijo odštevanja vektorjev, kjer v primeru, da za knjigo 22 PRESEK 47 (2019/2020) 6 RAČUNALNIŠTVO nimamo podane ocene (oznaka -), razlike med ocenami ne bo mogoče izračunati. V tem primeru izločimo pripadajočo vrstico v vektorjih (enačba 1): d-tj = Ki - Kj. (1) 7 3 4 4 - 4 = 0 - 1 - Hkrati si beležimo število očenjenih skupnih knjig Ntj, saj želimo izračunati povprečno razliko med očenami za obravnavane knjige. Ntj ustreza številu nemanjkajočih komponent vektorja. Ce delamo v prostoru z dimenzijo D, potem povprečno razliko med očenami izračunamo po enačbi 2. Pri tem velja, da očena obstaja (dk j * -): 1 D ik Nt j to d j dt j = ^ X d (2) V tem koraku izračunamo povprečne razlike v oče-nah: dA, B = dA, C = 5 2 3 3 - 4 = -1 - 3 - 5 3 2 3 - - = - - 4 - ; Na , B = 2 ; na , c = 1 preostalih uporabnikov, ki so preostale knjige očenili podobno kot uporabnik x: Rezultat odštevanja dveh vektorjev, kjer ni podane očene (oznaka -), je nov vektor, kjer izločitev vrstiče (in s tem tudi knjige) ponazorimo z oznako -, pri nadaljnjih izračunih pa uporabimo ustrezno preoblikovan vektor (v tem primeru je to vektor [4 0]r): r(y)tj = očena(y )j + dtj Nx,t • r(y)x,t SlopeOne(x, y) = Xi=i Nx,i (3) (4) Za Tino in knjigo A je izračun v zadnjem koraku sledeč: r(Tina)A,B = očena(Tina)B + dAB = 3 + 1 = 4 r(Tina)A,C = očena(Tina)C + dAcC = 4 + 2 = 6 ■ SlopeOne(A, Tina) = Na,b • r(Tina)A,B + Na,c • r(Tina)A,c 2 , (3 + (-1)) 2 , ■ dA,B =-2-= 2 = 1 dA,c = 22 = 2 Zadnji korak je izračun vrednosti sprememb očen r, kjer upoštevamo povprečno razliko v očenah dtj in očeno uporabnika y (enačba 3). Vrednosti sprememb očen za uporabnika in knjige r(y)tj uporabimo v izračunu predvidene očene, ki pove, kako bi uporabnik y očenil knjigo x. To izračunamo z enačbo 4, ki predpostavlja linearno relačijo med uporabnikom y in njegovo očeno knjige x na podlagi očen NA,B + NA,C 4 + 1 • 6 14 4 inr- = t =4,667 Z algoritmom Slope One predvidevamo, da bi Tina očenila knjigo A z očeno 4,667, kar je zelo blizu Markovi očeni za knjigo A. Ce primerjamo njune očene ostalih knjig, opazimo, da so tudi te zelo podobne. Iz tega lahko sklepamo, da imata Tina in Marko zelo podoben okus. Vidimo tudi, kako je na Tinino predvideno očeno knjige A vplivala nižja očena Mateje. Prikazan postopek v praksi izvedemo za vsako neočenjeno knjigo. Tako dobimo predvidene očene neočenjenih knjig, ki jih lahko uredimo po velikosti padajoče. S tem tvorimo seznam priporočil, ki ga lahko omejimo s številom zadetkov na izhodu 6. Seznam priporočil ponavadi omejimo na 3 do 5 zadetkov. Zgled Priporočanje z algoritmom Slope One prikažimo še na praktičnem zgledu, kjer imamo pet oseb (Luka, Jakob, Nika, Sara in Anja) in osem knjig (označimo jih s K1 - K8). Tvorimo tabelo očen, kjer oznaka -pomeni, da oseba še ni očenila knjige, številčna vrednost pa predstavlja očeno med 1 (zelo slabo) in 5 (odlično). Ustvarili bomo priporočila za Jakoba, ki je relativno kritičen in nov braleč, kot je razvidno iz tabele očen. Izračunali bomo predvidene očene za K1, K3, K5, K6, K7 in K8. Oglejmo si postopek izračuna predvidenih očen. -> 23 PRESEK 47 (2019/2020) 6 RAČUNALNIŠTVO Luka Jakob Nika Sara Anja Ki K2 k3 4 K4 4 K5 Ke K7 Kg 4 di 2 = Ki — K2 = di 4 = Ki — K4 = 3 — — — i — 5 — 4 = i 2 2 0 3 2 i — 3 — 5 — — = — 2 — — — 4 — ; Ni,2 = 2 ; Ni,4 = i Hkrati si beležimo tudi število ocenjenih skupnih knjig Ni j, ki ga bomo potrebovali za izračun povprečne razlike med ocenami za obravnavane knjige (enačba 2): di,2 = di,4 = i Ni,2 i Ni, 4 X dk = 0.5 dkedi,2 dk = i dkedi,4 Sledi izračun predvidene ocene za knjigo K1 z enačbama 3 in 4: r (Jakob) 12 = očena(Jakob)2 + d 1,2 = 1,5 r (Jakob) 1j4 = očena(Jakob)4 + d1j4 = 4 SlopeOne(i, Jakob) = Sj=i Nii ■ r(Jakob)M S?= i Nii Ni,2 ■ r (Jakob) i,2 + Ni,4 ■ r (Jakob) i,4 Ni,2 + Ni ,4 = 2,333 Z izračunom vrednosti Slope One predvidevamo, da bi Jakob knjigo K1 očenil z očeno 2,333. Na enak način pridobimo še vrednosti za preostale knjige: -R Jakob = Ki 2,333 K2 K3 K4 i23 K5 1,5 K6 5 K7 4 Kg 4,5 Najprej z enačbo 1 izračunajmo razliko med oče-nami knjig, ki jih je Jakob že očenil (K2 = 1, K4 = 3), in očenami knjig, ki jih želimo priporočati. V primeru, da za knjigo nimamo podane očene (oznaka -), razlike med očenami ne bo možno izračunati: Knjige s pripadajočimi predvidenimi očenami zapišemo v seznam, ki ga uredimo po velikosti očene padajoče. Seznam lahko omejimo na pet zadetkov (npr. 6 = 5), ki ga nato posredujemo Jakobu. - Jakob Ke Kg K7 Ki K3 5 4,5 4 2,333 2 V tem prispevku opisan algoritem sodelovalnega priporočanja lahko uporabimo tudi za priporočanje filmov, pesmi, ljudi, izdelkov v trgovinah in drugih izdelkov, ki jih uporabniki lahko ocenijo. Iz tega sledi tudi glavna pomanjkljivost vsakega algoritma sodelovalnega priporočanja. To je t. i. problem hladnega začetka (cold-start problem), saj bomo na začetku vedno potrebovali množičo očen, da bomo sploh lahko izvedli priporočanje. Vsebinsko filtriranje rešuje ta problem, vendar gre za kompleksnejše metode računanja podobnosti, hkrati pa se lahko po določenem času priporočila začnejo ponavljati. Iz tega razloga se sodobni priporočilni sistemi poslužujejo tako vsebinskega kot sodelovalnega filtriranja. To so hibridni priporočilni sistemi (hybrid recommender systems), ki vedno bolj uporabljajo pristope globokega učenja in se tudi že uporabljajo v praksi. Literatura [1] D. Lemire in A. Mačlačhlan, Slope One Predictors for Online Rating-Based Collaborative Filtering, Pročeedings of the 2005 SIAM International Conferenče on Data Mining, 471-475, 2005. [2] P. Melville in V. Sindhwani, Recommender Systems, Enčyčlopedia of Mačhine Learning, Springer, 829-838, 2010. [3] F. Ričči, L. Rokačh in B. Shapira, Introduction to Recommender Systems Handbook, Rečommen-der Systems Handbook, Springer, 1-35, 2011. [4] R. Burke, Hybrid Recommender Systems: Survey and Experiments, User Modeling and User-Adapted Interačtion, 12(4), 331-370, 2002. _ XXX 3 4 5 5 4 2 9 24 PRESEK 47 (2019/2020) 6 TEKMOVANJA Rezultati natečaja ob Mednarodnem dnevu matematike "is •i' Vp Boštjan Kuzman, Marjeta Kramar-Fijavž in Sanora Cicula -> V zadnjem desetletju se je marsikje po svetu razširila navada, da se 14. marca (3.14) obeleži dan števila Pi z raznovrstnimi, pogosto nekoliko šaljivimi, aktivnostmi za popularizačijo matematike, kot so npr. peka Pit, rečitiranje dečimalk števila Pi in pisanje matematične poezije ali Pi-ezije. To je navdihnilo mednarodno organizacijo UNESCO, ki je skupaj z največjim svetovnim matematičnim združenjem IMU (International Mathematičal Union) novembra 2019 razglasila 14. marec za Mednarodni dan matematike in objavila spletno stran www.idm314.org/. Pod okriljem IMU bodo od letošnjega leta dalje vsako leto po vsem svetu potekali matematično obarvani natečaji in drugi dogodki na izbrano skupno temo. Tema za letošnji mednarodni dan je bila Matematika je povsod okoli nas, koordinator aktivnosti v Sloveniji pa DMFA Slovenije. Mentorje in men-toriče na osnovnih in srednjih šolah smo povabili, da učenče spodbudijo k ustvarjanju plakatov, vide-oposnetkov, poezije ali drugih del, ki na izviren na- čin prikazujejo prisotnost matematike v vsakdanjem življenju, in te izdelke predstavijo na svojih šolah 13. marca 2020. Na natečaju so tako dobili svojo priložnost tudi učenci, ki morda niso tekmovalci ali odlični v matematiki, imajo pa veselje do ustvarjanja in jim lahko matematiko na ta način približamo z drugega zornega kota. Do 1. aprila smo zbirali poslane izdelke na krovnem natečaju DMFA Slovenije. Predstavitev izdelkov smo načrtovali na prireditvi Bi-stroumi 2020, žal pa nam je to preprečila pandemija koronavirusa, ki je ustavila tudi številne načrtovane aktivnosti v slovenskih šolah. Kljub temu se je v našem nabiralniku znašla obi-liča zanimivih in simpatičnih izdelkov. Nekaj izbranih izdelkov predstavljamo v nadaljevanju, celotno galerijo poslanih izdelkov pa si lahko ogledate na spletni povezavi photos.app.goo.gl/TSXJNSwZcx 23mAxZ9, ki jo najdete tudi med novičami na spletni strani www. dmfa. si. PRESEK 47 (2019/2020) 6 25 TE KM OVANJA Začnimo z najmlajšimi. Učenci 1. a in 1. b OŠ Stična (mentorice Maja Berčon, Katarina Pajk, Petra Kermelj, Barbara Polajžer) so pripravili vsak svoj plakat o živalih z zlogom Pi v imenu, tisti prvošolci, ki obiskujejo tudi podaljšano bivanje pa so v PIskrček zbrali še predmete, povezane s tem zlogom (mentorica Maja Godec). Učenci 1. razreda OŠ 8 talcev v Logatcu (mentorica Simona Nagode) so nam poslali fotografijo, ki je nastala med njihovimi matematičnimi aktivnostmi pri obisku gozda v naravi, učenci 2. razreda OŠ Košana (mentorica Marija Mršnik) pa so s pomočjo lesenih blokov na domiseln način spoznavali števila do 100. MATEMATIKA JE ZAKON Pri matematiki se rad učim. množim, delim in se veselim. Ko domačo nalogo dobim, z lahkoto vse naredim. Pi števila nekaj znam, vsega pa ne, priznam. Celo Aristotela poznam in se z njegovimi pravili rad igram. Ko pa je čas za ocenjevanje, mora vsak pokazati svoje znanje. Ko dobimo ocene, ni panike nobene. Zadovoljni smo vsi. ker matematika nas zaposli. Učenci OŠ Stična so nam poleg že omenjenih poslali še dva skupinska izdelka. Učenci 4. b razreda so izdelali kartonasto Plco velikanko (mentorica Tina Štupar). Učenci 5. a razreda pa so napisali duhovito pesem PESMOnS, ki vsebuje veliko število zlogov Pi (mentorica Bernarda Kunstelj Lepojic). Na OŠ Stična so skupaj s PŠ Višnja Gora in PŠ Zagradec matematiki posvetili vse mesec marec (koordinatorji: Jaka Keše, Jožica Knez, Lucija Medimu-rec, Barbara Pavovec, Magdalena Pirman, Darja Strah in Dragica Šteh). Ustvarjali so matematične rebuse, likovne, pesniške in kuharske mojstrovine na temo števila n ter pripravili matematično čajanko za nekdanje in sedanje učiteljice in učitelje matematike. Veliko število izdelkov smo prejeli tudi iz OŠ Dob. Najmlajši, tretješolci, so pripravili plakat na temo simetrije (mentorica Nina Buerger). Petošolci so poslali 5 pesmi, navdihnjenih z matematiko v šoli ali okolici (mentorica Metka Dimnik Vilar). Šestošolci so izdelali 4 zanimive matematicne igre in veliko maketo, ki prikazuje vsakodnevno srecevanje z matematiko (mentorica Ksenija Božak). Iz OŠ 8 talcev v Logatcu smo prejeli 3 fotografije skupinskih izdelkov učencev 6., 8. in 9. razreda (mentorja U. Župec Mele in R. Štemberger), na katerih so učenci znanje geometrije uporabili pri izdelavi mandal, risanju svojih imen in tlakovanju zemljevida Slovenije. Iz OŠ Bistrica pri Tržicu smo prav tako prejeli tri plakate, pri katerih je sodelovalo vec ucencev (mentorica Sonja Sedej). Plakati prikazujejo matematično vesolje ter matematiko in računanje v vsakdanjem življenju. Učenci predmetne stopnje OŠ II Murska Sobota (mentorica Helena Nemec) so pripravili 4 zanimive predstavitve na teme matematike kraljice znanosti (Lana Cigut), matematicnega vsakdanjika (David Ri-tuper), števila Pi (Roko Kolmanič) ter zgodovine matematike (Evelina Balaško). Ob ogledu predstavitev si zlahka predstavljamo njihove duhovite in domiselne nastope v živo. Učenci predmetne stopnje OŠ Apace Rebeka Drev, Nina Šebjanič, Žiga Lah so nam poslali 3 matema-ticne pesmi in še videoposnetek o tem, kako nas matematika spremlja vsak dan (mentorica Barbara Ko-vac). Največje število posameznih izdelkov izmed vseh sodelujočih šol smo prejeli iz OŠ Žetale, kar 14. Izdelki so res raznovrstni: dva stripa, plakat in 11 pesmi, med njimi 3 z akrostihom in 1 lepo ilustrirana, svoje izdelke pa so prispevali posamezni učenci in učenke od 2. do 9. razreda (mentorici Saša Peršoh in dr. Iris Merkač). Nekaj posamičnih izdelkov smo prejeli še iz drugih osnovnih šol. Nina Cadež iz OŠ Braslovce je izdelala imeniten plakat, Tanisa Potočnik Marčič iz Waldorfske šole Maribor pa plakat, ilustracijo in pesem. 26 PRESEK 47 (2019/2020) G TEKMOVANJA Edina Srednja šola, ki se je na naš natečaj odzvala s poslanimi izdelki, je SŠ Josipa Jurčiča Ivancna gorica. Poslali so nam 7 umetniških ilustracij in fotografij, navdahnjenih z matematičnimi temami: frak-tali, tlakovanja, šahovnice, umetna inteligenca, simetrija, vzorci, delovanje možganov (mentor Matko Pe-teh). Izdelki naj bi postali del razstave ob praznovanju 70-letnice šole. Ob tem imenitnem jubileju cesti-tamo tako uciteljem kot ucencem! Posebej omenimo še 4 prejete videoposnetke. Prvi film z naslovom Matematika me spremlja vsak dan je pripravil Žiga Lah, OŠ Apače. Drugi film z naslovom Matematika v vsakdanjem življenju so pripravili Armando Hocevar, Tajda Dolgan, Miha Morelj iz OŠ Košana (mentorica Alenka Valencic). Tretji posnetek ima naslov Manj je vec, gre za humoristicni film, ki naj bi ga pripravili clani društva anonimnih matematikov iz OŠ Hruševec Šentjur (mentorici Mateja Rezar Ulaga in Katja Gajšek). Najbolj pa nas je pritegnil film Matematika je povsod okoli nas skupine ucencev OŠ Gradec, Litija (mentorica Astrid Žibert), ki so prikazali nekaj nerodnih vsakodnevnih situacij, ki se nam lahko pripetijo brez zadostnega znanja matematike. Bralcem toplo priporocamo ogled vseh štirih filmov na spletni strani DMFA! Za konec omenimo še številne aktivnosti, ki ste jih slovenski ucitelji z ucenci nacrtovali za 13. marec 2020, pa so bile zaradi pandemije okrnjene. Na OŠ Prule so nacrtovali Matematicni dan 4 osnovnih šol (OŠ Prule, OŠ Brinje Grosuplje, OŠ Oskarja Kovacica in Waldorfske šole Ljubljana) z ustvarjanjem ucen-cev na temo števila Pi (glasbena, besedna, likovna umetnost, kulinarika, ...), delavnico Pijevi iracionalni prijatelji in tekmovanjem ucencev v recitiranju števila Pi. Kljub odpovedi ostalih aktivnosti so na OŠ Prule 14. 3. po medmrežju predvajali že prej posneti matematicni šolski radio, v katerem so nastopili številni ucenci z zelo domiselnimi glasbenimi tockami. Matematicna avantura z razstavo in potepom bi morala potekati na OŠ Olge Meglic Ptuj, razlicne aktivnosti ob matematicnem dnevu na OŠ in vrtec Apace, matematicni dan z matematicno dirko in sestavljanjem Rubikove 2 x 2 x 2 kocke na OŠ Toneta Pavcka. Nekatere nacrtovane aktivnosti so na teh šolah vseeno izvedli v skromnejši obliki in nastale izdelke poslali tudi na naš natecaj. Med srednjimi šolami pa so razlicne aktivnosti nacrtovali še na ŠC Novo Mesto, Gimnaziji Vic in SŠ Josipa Jurcica Ivancna Gorica. Pa nagrajenci? Komisija v sestavi mag. Sandra Ci-gula, dr. Marjeta Kramar Fijavž in dr. Boštjan Kuz-man je imela zelo težko delo. Med zelo raznolikimi izdelki se je na koncu odlocila izpostaviti naslednje: ■ Posebno n-nagrado za številne n-aktivnosti prejme OŠ Sticna PŠ Višnja gora. Nagrado za najmlajše udeležence so si prislužili ucenci 1. razreda OŠ Logatec. Kot filmski ustvarjalci so se izkazali ucenci višjih razredov OŠ Gradec, Litija. Umetniško so se z literarnimi in likovnimi izdelki posebej lepo izrazili naslednji ucenci: Pia Ilija (OŠ Dob), Ana Plajnšek (OŠ Žetale), Anja Bukšek (oŠ Žetale), Nuša Plajnšek (OŠ Žetale), Brina Ros (oŠ Žetale), Neža Bregar (SŠ Josipa Jurcica Ivancna Gorica). Posebej pohvaljeni mentorji so: Metka Dimnik Vilar (OŠ Dob), Iris Merkac (OŠ Žetale), Helena Nemec (OŠ II Murska Sobota) in Matko Peteh (SŠ Josipa Jurcica Ivancna Gorica). Izpostavljenim bomo poslali simbolicne nagrade, ostalim pa priznanja za sodelovanje. Vsem sode-lujocim se iskreno zahvaljujemo za njihov trud in delo, za nagrade pa se lepo zahvaljujemo Izidorju Hafnerju in podjetju Logika, d. o. o., ter DMFA Slovenije. Pa še cisto za konec Na spletni strani www.idm314.org si lahko ogledate skupni mednarodni videoposnetek, ki je nastal v sodelovanju udeležencev iz razlicnih držav in je doživel spletno premiero 14. marca, 2020, ter številne videoposnetke posamicnih sodelujocih. _XXX PRESEK 47 (2019/2020) 6 27 RAZVEDRILO Astronomska literatura Govert Schilling, Lars Lindberg Christensen OČI, ZAZRTE V NEBO 400 let odkritij s teleskopi 136 strani format 17 x 24 cm trda vezava, barvni tisk 24,99 EUR Dintinjana, Fabjan, Mikuž, Zwitter NAŠE NEBO 2020 Astronomske efemeride 80 strani format 16 x 23 cm mehka vezava 10,00 EUR Ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na naslovu: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/astro/ Individualni naročniki revije Presek imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene. Dodatne informačije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633. nU vU vU REŠITEV NAGRADNE KRIŠANKE PRESEK 47/5 Pravilna rešitev nagradne križanke iz prve številke Preseka je Zeleni gaj. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Vid Kavčič iz Črnomlja, Mojca Žerdin iz Maribora in Martin Mah iz Šmartnega pri Litiji, ki bodo razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX 28 PRESEK 47 (2019/2020) G RAZVEDRILO Privid nU vU NU Aleš Mohoriš -> Fotografija na naslovnici kaže pojav privida nad morskim zalivom, dalec na obzorju. Privid lahko opazimo tudi na cesti. Slika 1 kaže avtocesto na dan, ko ni bilo padavin in so bila tla suha. In vendar je cesta v daljavi videti mokra, kot da bi stale na njej luže, v katerih se zrcalita rdec in moder avto. Ko se pripeljemo do tja, luž seveda ni. Kako nastane ta pojav? Svetloba se lomi, ko prehaja med snovema z različnima lomnima količnikoma ali pa skozi snov, ki se ji lomni količnik spreminja zaradi okoliščin. Običajno zrak obravnavamo kot snov z lomnim količnikom 1; v večini primerov to popolnoma zadošča. Pravzaprav pa je lomni količnik zraka za malenkost večji od 1 in odvisen od temperature, tlaka, vlažnosti ter drugih manj pomembnih lastnosti. Opiše ga Cid-dorjeva enačba [1]; na spletu najdemo nekaj strani, ki nam omogočajo izračun količnika pri različnih pogojih [2]. V prispevku o oddaljenosti obzorja je opisan primer ukrivljanja žarka navzdol, ker svetloba potuje skozi plasti ozračja z različno gostoto, ki je predvsem poslediča padanja tlaka z višino. V primeru privida je pomembno spreminjanje lomnega količnika zaradi temperature. Ce nas zanima zgolj odvisnost od temperature, tlak pa poznamo, lahko Ciddorjevo enačbo približno nadomestimo z enačbo p n = 1 + ai^-, 1 T, ki velja za svetlobo z valovno dolžino 633 nm, 50- ~7 K odstotno relativno vlažnost in a1 = 7,86 ■ 10-7 p^. Vidimo, da se lomni količnik zraka manjša proti 1, ko temperatura narašča. Privid je poslediča ukrivljanja žarkov svetlobe v zraku, v katerem sta temperatura in s tem lomni količnik odvisna od višine. Temnejši asfalt se zaradi sončne svetlobe segreje bolj kot ozračje in ob njem nastane plast toplejšega zraka; hladno morje ali jezero pa lahko plast ozračja nad gladino ohladi. V prvem primeru lomni količnik z višino narašča, v drugem pa pada; zato se v prvem primeru žarki ukrivljajo navzgor, v drugem pa navzdol, kakor kaže slika 2. Ce je oko opazovalča O na pravem mestu, ga dosežeta snopa žarkov od osvetljenega telesa iz dveh smeri. Opazovaleč vidi predmet neposredno in tudi sliko predmeta, ki se nahaja pod ali nad predmetom, kot da bi se predmet zrčalil na zračni plasti. Opis privida s pravim potekom žarkov je preveč zapleten, da bi se ga lotili tukaj, lahko si pa zamislimo preprost model, ki nam bo dal podobne rezultate. Pojav privida bomo obravnavali v približku, da je plast vročega zraka nad asfaltom tanka in ravna, meja med toplim in hladnim zrakom pa ostra. Slika 3 SLIKA 1. PRESEK 47 (2019/2020) 6 29 RAZVEDRILO zgoraj kaže nekaj žarkov svetlobe, ki od osvetljenega točkastega telesa potujejo v različne smeri. Žarki, označeni sivo, potujejo proti tlom v taki smeri, da je njihov vpadni kot (kot med žarkom in vpadno pra-vokotničo) na mejo med vročo in hladno plastjo dovolj majhen, da se zlomijo v toplejšo plast in končajo svojo pot v temnem asfaltu, kjer se absorbirajo in se ne odbijejo. Beli žarki vpadajo na mejno plast pod tako velikim vpadnim kotom, da se od mejne plasti popolnoma odbijejo - podobno, kot bi se od zrčala. Crni žarek med enimi in drugimi kaže mejni primer, torej najbolj strm žarek, za katerega se odboj zgodi. Opazovaleč v točki O opazi snop žarkov le neposredno iz telesa, opazovaleč O' pa opazi dva snopa, enega od predmeta in drugega od odboja, ki ga pripiše sliki predmeta. Do opazovalča O je na sliki 3 zgoraj sičer narisan še črtkan žarek, ki bi nastal, če bi bilo namesto mejne plasti zares zrčalo, ki bi odbilo prav vse žarke. Oglejmo si še, kako opazovaleč O vidi sliko podolgovatega, pokončnega predmeta (slika 3 spodaj). Opazovaleč vidi predmet neposredno in ti žarki zaradi preglednosti niso vrisani. Ali vidi sliko točke predmeta, pa je odvisno od tega, kje se nahaja točka na predmetu. Žarki iz točke predmeta, ki se nahajajo nad točko A, bi dosegli opazovalča, če bi bilo na meji med plastema zrčalo (siv in črtkan žarek). Vendar na meji ne pride do odboja (oziroma je ta tako šibek, da ga ne zaznamo) ampak do loma, tako da se svetloba absorbira v asfaltu. Žarek iz točke na predmetu pod točko A je narisan z belo; tak žarek se na meji popolnoma odbije. Pogoj za popolni odboj svetlobe je, da vpadni kot žarka presega mejni kot, ki je podan z enačbo sinam = n2/n1. Z n2 smo označili lomni količnik v toplejši plasti zraka, z n1 pa lomni količnik hladnejšega ozračja. Razlika lomnih količnikov je zelo majhna, zato je kot am skoraj enak n/2. Za-pišimo n2 = n1 - An in upoštevajmo približni izraz za majhne kote sin am = čos (2 - am) = čos y « 1 - Yf. Torej velja An = Yr, če za n1 vzamemo kar 1. y je zorni kot, pod katerim vidimo daljičo AA' (višina zrčalne slike in dela telesa, ki to sliko ustvarja). Tu privzamemo, da je točka O na isti višini kot točka A. Vsi ti približki veljajo; slika 3 kaže razmere pretirano, pravo predstavo bi dobili, če bi jo v vodoravni smeri raztegnili za kakih petdesetkrat. Očenimo razliko lomnih količnikov za naš primer. Slika 1 kaže izsek fotografije, narejene s teleobjek-tivom z goriščno razdaljo 157 mm. Višina slike na fotoaparatu je 24 mm, slika pa ima v navpični smeri 3264 slikovnih elementov. V povečavi na sliki 4 lahko preštejemo 94 slikovnih elementov, ki ustrezajo sliki daljiče AA' na tipalu fotoaparata. Torej je slika daljiče AA' na tipalu kamere dolga 5 = ^^24mm = 0,69 mm. SLIKA 2. Levo zgoraj. Svetlobni žarki se ukrivljajo navzgor, ko vstopajo v bolj vročo plast zraka pri tleh, saj se lomni količnik manjša. Desno zgoraj. Svetlobni žarki se v plasti, kjer temperatura narašča z višino, ukrivljajo navzdol. Opazovalec O vidi dva snopa žarkov, enega neposredno od osvetljenega telesa, drugega pa od ukrivljanja svetlobe, v primeru levo od spodaj, v desnem pa od zgoraj. Obe zgornji sliki sta raztegnjeni v navpični smeri zaradi preglednosti. Žarki, ki pri tem pojavu v resniči nastopajo, so vsi skoraj vodoravni (spodaj). '¿Z- 30 PRESEK 47 (2019/2020) 6 30 RAZVEDRILO asfalt A' SLIKA 3. Slika 5 nam pomaga razumeti, kako iz znane velikosti slike na tipalu kamere določimo zorni kot: Y - f. Uporabili smo ločno definicijo kota in da-ljičo s, ki ustreza velikosti slike na tipalu kamere, nadomestili z lokom krožnice s središčem v točki T s polmerom f, ki ustreza kotu y. Z našimi podatki je y = = 4,4 ■ 10-3 rad. Od tu dobimo razliko lomnih količnikov An = 8 ■ 10-6. Torej je razlika zgolj nekaj milijonink! Na hitro lahko očenimo tudi oddaljenost avtomobila. Ocenimo dolžino AA' na 1,5 m in iz ločne definicije kota sledi 00053 = 340 m. Ce upoštevamo Ciddorjevo enačbo, je v okolici T0 = 20 °C lomni količnik približno premo sorazmeren s temperaturo n - 1 + k(T - T0) s koeficientom k = jn = -9 • 10-7 K-1. Za izračunano razliko lomnih količnikov sledi, da je temperatura v ozračju za 9 °C nižja kot temperatura v plasti. V razmerah, ko je hladnejša plast zraka spodaj, pride do zrčaljenja na ravnini nad predmetom in zr-čalno sliko vidimo nad predmetom. Tako lahko vidimo tudi telesa za obzorjem. Lom svetlobe v plasteh atmosfere morajo upoštevati tudi geodeti, kadar s teodoliti očenjujejo višine oddaljenih hribov (t. i. zemeljska refrakčija), in astronomi, ko določajo smeri zvezd (t. i. astronomska refrakčija). Literatura [1] P. E. Ciddor, Refractive index of air: new equations for the visible and near infrared, Appl. Opt. 35 (1996), 1566-1573. [2] emtoolbox.nist.gov/Wavelength/Ci ddor. asp, ogled 20. 5. 2020. _XXX M PRESEK 47 (2019/2020) 6 31 Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Ljubljana že tretjič podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je priznanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega časa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je različica imena Marija, v čast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poucne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrecenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlicno prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja • Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter • Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poucna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633.