i
i
“3-1-Vrabec” — 2010/5/6 — 11:04 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 3 (1975/1976)
Številka 1
Strani 27–30
Jože Vrabec:
MNOŽENJE NA PRSTE
Ključne besede: matematično razvedrilo, matematika, aritmetika, mno-
ženje na prste.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/3/3-1-Vrabec.pdf
c© 1975 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATiČNO
RAZVEDRILO I~I
MN OžENJE NA PRSTE
8
---- 7
10
Vs akemu prs tu n a r oki pri r e -
d imo eno o d š t e v i l me d 6 in 1 0 ;
rn e z i ncu 6, prstancu 7 , sredincu
8 , kaza l c u 9 , palcu 10 .
4 ).
Ne bom va s vpra š al, a l i znate seštevat i na prste . Tako do lgo
je že , odkar s te se t e ga naučili , da s t e ž e pozabili, kako j e bi -
l o, ko še n ist e z nali. Al i pa znat e tudi mno ž i t i na prste? Se ve -
da , bo s t e rekli , saj j e mn o ž e n j e ( vsa j množen je naravn i h š tev i l )
le s eš te van j e več e nakih sumando v . Na primer: 3· 2 = 2 + 2 + 2 ;
i n t a rač un je k a j lahko naprav~t~ na p r s te. To d a v mis lih i mam
drugačno t e h ni ko množenja. Od p re j omen jene se loč i pr e dvsem v
tre h stvareh: hit re jša j e, privede nas ma l o d l je ko t do 1 0 i n š e
daleč ni tako "sama po seb i razuml j i va " , kot je seš t evan je na prste .
Gotovo s e vsakomur zdi , da bi seštevan je n a prs t e s a m o dkril, če
se ga ne b i bi l n auč il od dr ug i h . Za metodo množenja, k i jo n a me -
r avam opisat i, pa česa t a k e g a najbrž ne bos te t rdi l i. Se veda pa
j e moral tud i to me todo nekdo odkriti. Kdo je t o b i l , ni znano ,
ka j t i meto da j e stara že več t i so čletij. V s t a r i h čas ih j e b i la
splošno z nana in baje s e j e ponekod ohr an i l a pr av do današ n j ih dn i .
Pa na j bo dovol j uvoda , pre -
id i mo k s tvari. Pr i v z e li bomo ,
da znamo na pamet po števanko do
5 , i n poka zali , kako na prste
zmnož imo dve izmed š te vil 6 , 7 , 8 ,
9 ,1 0 ( z a ta račun bomo po t rebo -
va l i v resnici le po števanko do
27
Množen je bomo razlož i l i na primeru . Re c im o , da hočemo izraču­
nati, ko l iko j e 7 ' 8. Polo žimo o be r oki predse z dlanmi obrn jenimi
p r o t i s eb i . St aknimo prsta n e c le ve r o ke ( pre d stavljaj o č število 7)
s s r e d i ncem de sne r oke ( š t evi l o 8 ) ; s i c e r p a naj se p r s t i n e doti-
k a jo . Mis l im o s i vse prs t e razde l j ene v t ri skup i ne (glej s liko ) :
v p r v i s kup i n i naj bo sta prs t a , ki s e dot ikat a , i n vsi prsti po d
n j i ma ; v d r ugi skupi n i prsti l e ve roke nad do t ika j oč i ma se p rs to -
ma ; in v t r e t j i skup i n i prst i des n e r o k e nad dotikajočima se prs -
t o ma. Produkt , k i ga i š č emo, je zdaj e n ak
(šte vilo prstov v 1.skupini) x 1 0 +
+ (št evi lo p rstov v 2 .skup i n i ) x (š tevi lo prstov v 3 .skup in i ) ;
v n ašem primeru to re j 7 ' 8 = 5 ' 1 0 + 3 · 2 = 56 .
Pre pro s t o , k a j ne ? Z malo vaj e se lahko č lo vek tako i z uri , d a
vid i rezult a t v trenutk u . Tod a , a l i re s p r ide ve dno prav i rezu l -
tat? Poiz kus imo še 9 ·6 :
28
9 ·6 5 ' 10 + 1 · 4 54
Zd a j na j brž ž e ve r j a met e v p r a v i l no s t t e met o de ( č eprav s icer
ves t e, d a z dve ma p r imeroma n i mogoče do kazati pravilnost kake
splošne t r d it v e ). Ce pa k do še d vo mi , na j sam pre izk us i v se mož -
n e p r i mer e . Got ovo st e tud i že u gotovili, d a vam ta računska meto -
d a ž i v l j e n j a ne bo k do v e k ako o l a jša l a ; sa j naj brž obvladate po-
š te va n k o do 10 . Za bavna je pa l e!
Za marsik o ga b i b i la s tem stvar o p r a v l jena . Za nas pa š e ne
s me b iti. Ne s podobi s e z a Pr e sek , da se ne bi na koncu vprašal i,
o d kod pravilnost t e č aro bne metode. No, odgovor je takle: metodo
ut e meljuj e enačba , k i ve l j a , kot se p rav l a h k o s ami prepričate,
za po l j ubni š tevi li x i n y :
(5 +x)(5 +y) = 1 0( x+ y) + ( 5-x)(5 - y)
Tako j bomo poka z al i zve zo med t o enačbo in našo račun s ko metodo.
Za x in y si moramo izbrat i tak i števi li, d a bo na l e vi s t r a n i
enačbe stal pra v produkt , ki g a ž el i mo izračunati ; v našem pri -
meru 7. 8 b i t orej vze l i x =2 , y =3 . Na d esn i strani e načbe j e
x+y š tev i lo p rs t o v v 1 .skup ini
5-x š tev i lo p rs tov v 2 .skupin i
5-y š t e v i lo prstov v 3 . s k u p i n i
Tako j e stvar j asna!
Se veda pa je zgo rn j a enačba še ve dno pravilna, č e š t ev i l o 5
nadomestimo s po l jubnim drugim š t e v i l o m. Za vsako š t e v i l o avelja
to re j ( a +x)(a+y) = 2a (x +y ) + ( a - x) (a -y)
Od t o d lahko do b imo nova računska pravi la. Na primer, če obvlada-
mo poš tevanko d o 9 , lahko d ve š tevil i me d 11 in 15 z mno žimo po -
dobno ko t prej , le da zda j upo šte vamo r e l ac i jo , k i j o dobimo , če
vst avi mo v zadnjo e načbo a =10. I zračunajmo z a p r i me r 1 3 ' 1 4 :
13'14 7 '2 0 + 7· 6 1 82
29
Po&bna lahko mn~PimO p01jYSMti dve S t e v i l i  medl 16 in 20, tie goma- 
mo pmdukt vsakih dveh l t d ~ i l  med 10 in 14; v agemj i  enaEbi maw- 
mo vnteti a=15 % & $&a napraj.