List za mlade matematike, fzike, astronome in ra.cunalnikarje 
ISSN 0351-6652 Letnik 15 (1987/1988) Številka2 Strani 104–111 

Anton Suhadolc: 
MATRIKE KOT POSPLOŠITEV POJMA ŠTEVILA, 

2. del 
Klju.cne besede: matematika, linearna algebra, matrike, matri.cne ena.cbe. 
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/874-Suhadolc.pdf 
c

 1987 Društvo matematikov, fzikov in astronomov Slovenije 
 c2010 DMFA – založništvo 
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo­ljeno. 
MATRIKE KOT POSPLOSITEV POJMA STEVILA 2. del * 
Doslej smo spoznali, da ima matricno množenje podobne lastnosti kot mno­ženje števil, le komutativnost nasploh ne velja. Oglejmo si nekaj pojavov, ki jih pri številih ne srecamo. Izracunajmo npr. produkt matrik A in B, kjer je 

B 
A 

Dobimo A .B = O. Imamo torej dve matriki A in B, obe sta razlicni od matrike O, njun produkt pa je enak O. Pri številih se kaj takega ne more pri­meriti. Ce sta a in b od O razlicni števili, potem je tudi ab razlicen od O. Matriki A in B iz zgornjega primera imenujemo delitelja nica. Tocneje, A je levi, B pa desni delitelj nica. 
Zastavimo si nalogo: po išci vse matrike X z lastnostjo A . X = O, kjer je A matrika iz zgornjega primera. Rešiti je torej treba matricno enacbo 
A . X =O, ali na dolgo: 

2y+ U ] 4y+ 2u 

Spet dobimo sistem štirih linearnih enacb: 
2x + z = O 4x + 2z = O 2y + u = O 4y + 2u = O 
Druga in cetrta enacba sta le mnogokratniki prve oziroma tretje enacbe, zato je rešitev tega sistema kar z =-2x in u =-2y, kjer sta x in y poljubni števili. Spet smo dobili neskoncno mnogo rešitev, matrik X, ki so desni delitelji nica za dano matriko A: 

x, y poljubne 
V zgornjem primeru smo imeli A . B = O. Zanimivo je, da B. A ni enako O 
* 1. del tega clanka jeizšelvP XV/1,str. 2-7 
104 
---1--­
B.A =[1 -3J.[2 1J [-10 -5J 
6 
-2 4 2 20 10 
Ta rezultat nas pouc i, da matrika A, ki je levi del ite lj n ica za matriko B, ni 
nujno tudi desni delitelj n ica za isto matriko B. 
Naravno se nam zd i vprašanje, ali je vsaka matrika des ni ali levi de litelj ni­ca . Odgovor je ne. Matrika A je, kot pokaže nekaj da ljši racun , desni delitelj nica natanko tedaj , ko je izpoljnen pogoj ad -be = O, kjer so a, b, c, d ma­t ricn i elementi matrika A. 
Koncno se še vprašajmo, ali je kaka matrika A sama seb i del itelj nica , ali velja to rej A *" O, A . A = O ? Rešiti je torej treba matricno enacbo A 2 = O. Tako matriko imenujemo ni/potentna matrika. Pri številih ima seveda enac ba a2 = O samo nezanimivo rešiteva = O. Pri matrikah ni tako. Izracunajmo najprej A2: 
a2 + be 
ab +bd] 


[ (10) 
A 2 
= ae +ed bc v d? 
Iz ena cbe A 2 = O sledijo štiri kvadratne enacbe: 
a2 +be = O d 2 +be =O (a +dl b = O (a + dl e = O 
Pri reševanju kvadratnih e nacb moramo biti previdni, da se nam kaka rešitev ne izmuzne. Sistema ticno bomo upoštevali vse možnosti. 
1. Naj bo a + d *" O. Potem sledi iz tretje enacbe, da mora biti b = O, iz cetrte pa e = O. Prva enacba postane tako a2 = O, torej a = O, druga pa je d2 =Oali d =O.Sedaj pa predpostavka a + d*"O ni vec izpolnjena. Ta možnost nam ne da nobene rešitve. 
2. Naj bo torej a + d = O. Zadnji dve enacbi sta sedaj izpolnjeni pri polju­
2 
bnih vrednostih neznank e in d. Iz d =-a in iz druge e nacbe sledi a+ be =O, 
2 
kar je prva enacba. Ostala nam je tako le še prva enacba a+be = O. Ce vzame­mo b =e = O, dobimo a = O, zaradi a + d =Opa tudi d =O, kar nam da rešitev A=O. 
Pa si izberimo e *" O. Tedaj smemo prvo e nacbo deliti s e in dobimo 
105 
b = -a2 /c. Iz pogoja a +d = O sledi seveda d = -a, števili e in a pa sta poljubni, le e ne sme biti O. Dobili smo neskoncno mnogo rešitev enacbe A 2 =O: 
A = a in e poljubna, e =1= O 
[a .. 
e -a 
Ce pa vzamemo e = O, sledi iz prve enacbe a = O, zaradi pogoja a + d = O mora biti tudi d = O,b pa je poljuben. Dobili smo še rešitve: 
Ab poljuben 
Ce vzamemo sedaj b = 1, v prejšnj i rešitvi pa a = O, e = 1, dobimo posebno enostavni rešitvi enacbe A 2 = O: 
Pri številih rešujemo tudi druge kvadratne enacbe. Npr . enacba a2 =a ima rešitvi a = O in a = 1. Vprašajmo se, kako je z rešitvami ustrezne matricne enacbe A 2= A. Matrikam s tako lastnostjo pravimo idempotentne matrike. Po analogiji s številsko enacbo a2 = a sklepamo, da ima ustrezna matricna enacba gotovo rešitvi A =O in A =1, kar je ocitno res. Izracunajmo še druge rešitve enacbe A 2 = A. Iz enacbe (10) in pogoja A 2 = A sledijo spet štiri kva­dratne enacbe: 
a2 + be = a ela + dl =e bla +dl =b 
be + d 2 = d 
Razlikovati je treba vec možnosti. 
1. Naj bo a + d = O. Tedaj sledi iz druge enacbe e = O, iz tretje pa b = O. Iz prve dobimo a2 =a. Iz a + d = O sledi d = -a. To vstavimo v cetrto enacbo in 
2 22 
dobimo a= -a. Iz enacb a= a in a= -a sledi 2a = O, torej a = O. zato tudi d =O. Dobili smo že znano rešitev A =O. 
2. Naj bo sedaj a + d =1= O, b = O in e = O. Prva enacba pove sedaj a2 = e, 
druga in tretja postaneta O=O, c etrta pa d 2 =d. Tako dobimo možnosti a =O alia =1 in d =Oali d =1.Tonam daštirirešitve: 
Prvi dve rešitvi smo že uganili , drugi dve sta novi. 
3. Naj bo spet a + d =f=. Oin b =f=. O. Sedaj lahko tretjo enacbo krajšamo z b in dobimo a + d = 1. Druga enacba postane e = c, ki je izpolnjena seveda za vsak e. Iz a + d = 1 izrazimo d = 1 -a in to vstavimo v cetrto enacb o. Dobimo 
2 
be + (1 -al2 =1-a ali,po ureditvi, be + a=e, kar je prav prva encba . Ker smo predpostavili b =f=. O, lahko iz prve enacbe izrazimo e:e = (a -a2 11b, a in b sta še poljubna, le b ne sme biti enak O.Tako smo dobili neskoncno mno­go novih rešitev enacbe A 2 = A: 
4. Zadnja možnost je a + d =f=. O,b = O, e =f=. O. Sedaj spet sledi iz druge en a c be a + d = 1, tretja postane O = O, prva pa a2 = a. V cetrti enacbi upošte­vamo d = 1-a in dobimo a2 =a. Rešitve so tako a =O, d =1 ali a =1, d =O, e pa je poljuben. Dobili smo še neskoncno mnogo novih rešitev enacbe A 2 =A: 
e po ljuben 
Med drugim smo spoznali tudi: v številih ima kvadratna enacba a2 = a dve rešitvi, ustrezna matricna enacba pa ima neskoncno mnogo razlicnih rešitev. Med realnimi števili kvadratna enacba a2 = -1 seveda nima rešitve. Lahko pa se seveda vprašamo, ali ima ustrezna matricna en cba 
rešitve, matrike, ki imajo realne matricne elemente. Odgovor je spet da. Zgornja rnatr icna enacba prevede do sistema štirih kvadratnih enacb: 
a2 + be =-1 (a +dl b = O (a +dl e = O d2 +be =-1 
Podobno, kot smo reševali sisteme kvadratnih enacb doslej, lahko rešimo tudi ta sistem. Naj bralec poskusi sam! Dobi se rešitev: 
a A= e, b poljubne, b =1= O 
[ 
(-1 -a2 )/ b 
Posebno preprosto rešitev dobimo v primeru a =O, b = 1. Dobljeno matriko oznacimo z J: 
Tisti, ki že poznate kompleksna števila, opazite, da ima matrika J prav tako lastnost kot imaginarno število i: ;2 = -1 . 
Doslej smo spoznali, da lahko z matrikami pogosto racunamo podobno kot s števili. Spoznali pa smo tudi pojave, ki jih pr i številih ne srecamo. Pri številih lahko govorimo tudi o deljenju. Ce je b =1= O, lahko poljubno število a delimo z b. Dobimo alb. Pravzaprav je deljenje odvec, saj lahko zapišemo: .; = a.i. Zadošca, da za vsako število b =1= O poznamo njemu reciprocno števi­lo 1J. Deljenje je potem množenje z reciprocno vrednostjo. Za b =1= O je x reciprocno število, ce velja b. x = 1. V tej obliki pa lahko posploširno pojem reciprocnega števila na matrike. Dana naj bo matrika A. Rekli bomo, da je matrika X inverzna k A, ce je izpolnjena enacba: 
A .X =I (11) 
Ce taka matrika X obstaja, jo bomo oznacili zA -1 , matriko A pa bomo imeno­vali obrnljivo. Naravno je seveda vprašanje, ali ima vsaka od O razlicna matrika inverzno matriko. Pokažimo, da to ni res. Naj bo 
Poglejmo, ce ima za ta A enacba (11) rešitev. Izracunajmo 
A.X 
Kakorkoli izberemo števila x, y, z in u, nikoli ne bomo dobili na desni strani zgornje enacbe matriko I. To pomeni, da matrika A nima inverzne matrike, ceprav je razlicna od matrike O. 
Za mnoge matrike hitro vidimo, da imajo inverzno matriko. Matrika 1 je npr. sama sebi inverzna, saj velja I. 1= I. Tudi matrika Jima inverzno matriko. Zaradi enacbe J2 = -1 je -J inverzna k J. 
Naloga: Poišci vse matrika. ki so same sebi inverzne. Poskusimo ugotoviti, katere matrike imajo inverz. Za dano matriko A mora torej veljati enacba (11), ali na dolgo: 
Primerjava levih in desnih strani v tej enacbi nam da sistem štirih linearnih enacb: 
ax + bz ay + b u o 
(12) 
ex + dz o e y + du 
To sta pravzaprav dva locena sistema dveh enacb za dve neznanki. Rešimo prvi sistem (pri zacasnem privzetku, da je d =1=-O in b =1=-O). Prvo enacbo pomnožimo z d, drugo z -b in seštejemo dobljeni enacbi: 
(ad -b cl x = d 
Od tu lahko x izracunamo, ce je le ad -be =1=-O. Privzemimo, da je tudi ta po­goj izpolnjen. Tako dobimo x = dl(ad -be). Podoben racun nam da z = -el(ad -bel. Drugi sistem rešimo po podobni poti in dobimo y = -b/(ad -be), U = a/(ad -be). Za X smo dobili torej matriko 
X= __!...__ [d -b ] (13) 
ad -be 
-e a 
Preskus pokaže, da je res AX =l. Izracunajmo še X.A : 
ad -be 
XA =__L_ J-/ 
O 
ad-be [ 
O ad -be 
Opazimo še, da je s formulo (12) vedno dolocena neka matrika, ce je le izraz ad -be =1= O. Tako smo dokazali izrek: Ce je za matriko A izraz ad -be razlicen od O, potem obstaja k matriki A inverzna matrika. Dana je s formulo (1310 Izraz ad -be imenujemo determinanta matrike A. Ostane seveda vpra­šanje, kako je z inverzom v primeru, ko je determinanta enaka O. Oglejmo si primer, ko sta b in d razlicna od O,ad -be = O. Prvo enacbo v 
(12) ax + bz = 1, pomnožimo na obeh straneh z d'. Dobimo adx +bdz =d . Ker je ad -be = O, je ad = be. To upoštevajmo v zadnji enacb i in dobimo bex + bdz =d. Po delitvi z b pa dobimo 
ex +dz = d/b 
Druga enacba v sistemu (12) pa je ex +dz =O. Ker sta din b razlicna od O,sta dobljeni enacbi protislovni in sistem nima rešitve, matrika A, za katero je ad -be = O,pa nima inverzne matrike. 
Zgoraj smo obravnavali primer ad -be = O, b in d razlicna odO.Za vse ostale možnosti: b =O,d =O in b = O,d =1= Oin b =1= O,d =Obi prišli do istega rezultata, kot se bralec lahko sam preprica . Tako smo dokazali izrek: 
Matrika A ima inverzno matriko natanko tedaj, ko je njena determinanta ad -be razlicna od O. 
Podobnih problemov, kot smo jih obravnavali doslej, je še mnogo. Po­dobno, kot smo študirali matrike dimenzije 2 x 2, bi lahko študirali tudi ma­trike 3 x 3: 
ali celo matrike, ki imajo še vec vrstic in stolpcev. Ce bi za zgornjo matriko A želeli rešiti npr. enacbo Af =-/, bi naleteli na sistem devetih kvadratnih enacb z devetimi neznankami. Take sisteme je izredno težko reševati po poti, ki smo jo ubrali pri matrikah 2 x 2. Ocitno so naše direktne metode neprimerne za 
110