ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 332-334
Marija Vencelj: KARDANSKI PRENOS
Ključne besede: matematika, mehanika, geometrija. Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1068-Vencelj.pdf
© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
KARDANSKI PRENOS
Pojem kardanskega prenosa srečamo v mehaniki, kadar gre za spremembo krožnega gibanja v premo nihanje.
Z matematičnega vidika gre za delni problem naslednje naloge, ki jo je že v 16. stoletju zastavi! italijanski matematik Geronimo Cardano.
Krog s polmerom r se kotali po notranji strani krožnice s polmerom 2r. Kakšno pot opiše pri tem izbrana točka kroga?
Poskusimo odgovoriti na to vprašanje!
Ker je polmer malega kroga dvakrat manjši od polmera krožnice, po kateri se kotali, se po polnem obhodu vsaka njegova točka vrne v začetni položaj. Nato nadaljuje pot po isti progi kot pri prejšnjem obhodu. Torej moramo poiskati le zaključeno krivuljo, ki jo označena točka opiše, ko se mali krog enkrat zakotali po notranjosti velike krožnice.
Najprej se domenimo za nekaj oznak Naj bo 0 središče mirujoče krožnice, S središče kotalečega se kroga in M označena točka, katere tir bomo zasledovali Nadalje naj bosta A in B krajiŠči tistega premera malega kroga, ki nosi točko M. ter T dotikaliŠČe obeh krogov (slika 2).
Začetni položaj izberimo kot na sliki 1, kjer leži točka M na premici skozi središči obeh krogov. Začetne lege posameznih točk smo označili z indeksom nič. Najprej si bomo ogledali, kako se pri kotaljenju spreminja lega premera
Očitno je (slika 2), da sta loka BqT in BT enako dolga, ker si pri
Slika 1.
Slika 2.
kotaljenju ustrezata. Prvi pripada krožnici s polmerom 2r, drugi krožnici s polmerom r. Za ustrezna središča kota zato velja
<TOB0 = ^«TSB	(1)
Toda središče O velike krožnice leži v vsakem trenutku na robu malega kroga Za obodni kot z vrhom v 0 in krakoma skozi T in B zato velja ena od naslednjih zvez s središčnim kotom:
<TOB=i<T5B alt (ta primer si narišite sami)
<TOB = *-^<TSB
Od tod zaradi (1) sledi
<TOB = <TOB0
<T06 = 7r - <TOB0
Iz obeh zvez sledi isti sklep: točka B leži na premici, ki poteka skozi točko O in skozi Bo, začetno lego točke B Povejmo to še drugače: Eno krajišče tistega premera kotalečega se kroga, ki nosi označeno točko M, se ves čas kotaljenja giblje vzdolž istega premera velike krožnice. tistega, ki ga določa začetna točka Bq. Očitno opiše ves premer v vsaki smeri po enkrat, ko se mali krog enkrat zakotali po notranjosti velike krožnice (slika 2). To gibanje točke B je v mehaniki uporabljeno kot osnovni princip za pretvorbo krožnega gibanja v premo nihanje.
In kako se pri tem giblje točka A, to je drugo krajišče opazovanega premera? Kot <i.AOB je kot obodni kot nad premerom AB pravi, torej se točka A giblje ves čas po tistem premeru velike krožnice, ki je pravokoten na premer, po katerem se giblje krajišče B. Ko se torej krog kotali po notranji strani krožnice z dvakrat večjim polmerom, se premer AB giblje tako, da njegovi krajišči drsita po dveh medsebojno pravokotnih premerih velike krožnice.
Končno poglejmo, kako se pri tem giblje točka M? Odgovor na to vprašanje najdemo v članku Konstrukcija elipse s trakom papirja v 4, številki Preseka. Tam zvemo: Če od treh fiksnih točk dane premice dve drsita vzdolž dveh med seboj pravokotnih premic, opiše tretja točka etipso s središčem v presečišču pravokotnih premic. Temena te elipse ležijo na danih pravokotnih premicah.
Očitno točke A, B, M izpolnjujejo pogoje za uporabo te trditve. Označena točka M torej med kotaljenjem kroga opiše elipso s središčem v središču velike krožnice. Polosi elipse sta enaki AM oziroma BM. V primerih, ko je M — A ali M = 6, je elipsa reducirana v daljico (premer velike krožnice), ki jo točka M dvakrat opiše, ko se mali krog enkrat zakotati po večji krožnici,
Marija Vence!j