Barbara Kovač Osnovna šola Kapela Σ Povzetek V prispevku poudarjam pomembnost aktivnih metod pouče- vanja – preiskovalnih metod. V osrednjem delu predstavim pomembne razlike med preiskovalno in običajno situacijo v razredu ter vlogo učitelja pri preiskovalni situaciji in pasti, ki se jih je treba zavedati pri organizaciji takega pouka. Teoretič- ni del je dopolnjen z ilustracijo preiskovalne situacije »Lov na vesoljčke« ter z analizo konkretne izvedbe preiskovalne situa- cije v razredu. Ključne besede: preiskovalna situacija Σ Abstract The article emphasises importance of active teaching meth- ods – investigative methods. Important differences between an investigative and an ordinary situation in class, as well as the teacher’s role in an investigative situation and the pitfalls one must take into account when organising such lessons are de- scribed. The theoretical part is complemented by a description of the “Chasing Extraterrestrials” investigative situation and an analysis of its practical implementation in class. Keywords: investigative situation Preiskovalna situacija – Lov na vesoljčke Investigative Situation – Chasing Extraterrestrials α Matematika v šoli ∞ XX. [2014] ∞ 14-27 15 Vse prepogosto dajemo otrokom odgovore, ki naj si jih zapomnijo, namesto problemov, ki naj jih rešijo. (Robert Lewin) a Značilnosti preiskovalne situacije v razredu V današnjem času smo vsak dan obkro- ženi z vedno novo in tudi zahtevno tehnolo- gijo, s katero se moramo znati tudi spopasti, če želimo biti v koraku s sodobnim časom. Zato naj bi bila naloga šole vzgajati ustvar- jalne in svobodno misleče učence, ki bodo kos modernemu sodobnemu času in se bodo znali spopasti z izzivi, tudi matematičnimi. Pri pouku bi morali manj časa nameniti učenju dejstev, ampak bolj temu, kako naj učenci sami pridejo do novih spoznanj in to znanje uporabijo v novih situacijah. Učence bi morali naučiti, jim pokazati, kje in kako lahko sami poiščejo informacije o določenih stvareh. Preiskovalna situacija je ena izmed didak- tičnih strategij aktivnega pouka. Ta oblika dela je primerna za otroke današnjega časa, ki neprestano želijo in tudi zahtevajo stalno dogajanje, po drugi strani pa so zelo nesa- mostojni in pričakujejo učiteljevo vodenje, usmerjanje in njegovo sodelovanje. Preisko- valna situacija je aktivna metoda poučeva- nja, ker učence miselno in čustveno aktivira in pritegne. O aktivnem učenju govorimo, ko damo učencem priložnost, da sodelujejo pri usvajanju nove učne vsebine. Učitelji pa jih pri tem samo usmerjamo in ne narekujemo učenja. Današnji pouk je precej storilnostno na- ravnan. Običajno situacijo v razredu bi lah- ko opisali kot igro v filmu. Učitelj je v vlogi glavnega igralca, učenci pa so stranski igral- ci in počnejo stvari, kot jim pove in razloži glavni igralec – učitelj. Učitelj bi moral v sam pouk vključevati čim več preiskovalnih ur, kjer bi bili učenci »glavni igralci«, učitelj pa bi bil tisti, ki bi jih le usmerjal, vodil v pravo smer, da določen problem rešijo. Navedimo nekaj pomembnih razlik med preiskovalno situacijo v razredu in običajno situacijo v razredu ter navedimo nekaj pri- merov iz razreda, (povz. Cartier in drugi av- torji, 2012). Pri- meri Preiskovalna situacija Običajna situacija 1. V ospredju je odprto vprašanje, učenci z učiteljevo pomočjo sami najdejo oziroma iščejo rešitev. Rešitev je že dana. 2. Učenci samostojno na podlagi znanih dejstev pridejo do novih pojmov. Učenec se mora naučiti neke pojme. 3. Pojmovna vsebina se ne pričakuje vnaprej. Učni načrt je dan. 4. Učenci so matematično osredinjeni na objekt. Učenci so osredinjeni na matematični objekt. 5. Prisoten dvom, pričakujejo se dokazi, razlage in pojasnila. Znanje je že dano, razlaga je zagotovljena. [Preglednica 1] Razlike med preiskovalno in obi- čajno situacijo v razredu 1. Pri preiskovalni situaciji je v ospredju odprto vprašanje, ki ga postavi učitelj in katerega učenci poskušajo z učitelje- vo pomočjo rešiti (npr.: učitelj postavi vprašanje o vrednosti potence a 0 in pri- čakuje, da učenci sami pridejo do ugo- tovitev). V običajnih situacijah v raz- redu rešitev poda učitelj (učitelj pove 16 Preiskovalna situacija – Lov na vesoljčke vrednost potence a 0 = 1).V tem primeru so učenci dobili nek podatek, ki pa si ga mogoče ne znajo razložiti oziroma se v njih o tem lahko pojavi dvom. Pojavi se dvom, torej je potreben dokaz. 2. Pri običajnem pouku se od učitelja pri- čakuje, da učence nauči neke pojme (pojem premice, pojem ulomka …). Danes je uporaba medmrežja pri učen- cih vsakdanja, zato učencu ni težko po- gledati na spletno stran in poiskati, kaj določen pojem pomeni. Preiskovalna situacija od učitelja pričakuje, da vklju- čuje že znane primere, ki učence prive- dejo do določenih sklepov, spoznanj in pri tem tudi sami opredelijo pojme, če je to potrebno. Naloga učitelja je torej, da pomaga pri raziskavi, jo vodi, učenci pa sami preiskujejo. Učitelj daje nami- ge, ne rešuje pa problema. 3. V preiskovalni situaciji se pojmov- na vsebina ne pričakuje samoumevno vnaprej, pri običajni situaciji pa učitelj že vnaprej izbere znanje, saj ga pri tem omejuje učni načrt. Koristno je vsaj občasno izbirati tudi probleme, ki se ne nanašajo na kurikulum, saj se lah- ko v takih situacijah tudi pri učencih, ki imajo težave z matematiko, povrne zanimanje zanjo. S tem spoznajo, da je matematika lahko tudi igra, odkrivanje, preiskovanje, in ne samo nizanje nekih definicij, trditev in dejstev. 4. Pri običajni situaciji so učenci osredi- njeni na matematični objekt (npr. učen- ci slišijo za ulomek, premico in pri tem vedo, da gre za pojma iz matematike), preiskovalna situacija pa učencem omo- goča, da so matematično osredinjeni na objekt (npr. učencem so dani konkretni modeli iz različnih materialov, da nekaj preučujejo, pa mogoče to ni nujno del matematike iz učnega načrta). Tak zani- miv primer je lahko sestavljanje tangra- mov. Pri tem učenci sestavljajo različne modele iz vsakdanjega življenja in pri tem zavestno ne uporabljajo skoraj no- benih specifičnih matematičnih znanj v okviru učnega načrta. 5. Pri preiskovalni situaciji je dvom pri učencih prisoten, zaradi tega tudi pri- čakujejo dokaze. Pri običajni situaciji je znanje že dano, vedno se od učitelja pri- čakuje razlaga. Za določene probleme mogoče sploh ne poznamo splošnega odgovora. Včasih imamo tudi situacijo, ko učitelj kot opazovalec in preiskovalec v trenutku, ko učenci pridejo do nekega problema, tudi sam ne pozna odgovora. Uporaba preiskovalnih situacij ni mogo- ča vedno in povsod, vendarle pa je nujno, da učence spodbujamo v to smer, da do znanja prihajajo z lastno dejavnostjo in z odkrivan- jem, kjer je to mogoče in smiselno. V šolskem prostoru še vedno prevladu- je frontalni način poučevanja, saj so učitelji mnenja, da za druge situacije porabijo pre- več časa zaradi poudarka na procesu, da so povod za nered, nemir, nedisciplino in da na koncu učencem sploh ni jasno, kaj naj bi od tega znali, oziroma ne izpolnijo pričakovanih ciljev. Ravno zato je treba izbirati metode in načine dela, kjer učenec spozna smiselnost učenja in njegovo povezanost z resničnimi problemi. Zaradi takega mišljenja verjetnost, da se učitelji odločajo in izbirajo uporabo ak- tivnih učnih metod, ni velika. Torej ni bistveno samo to, da se v pouk vpelje preiskovalna situacija, ampak da je ta tudi učinkovita, uspešna, da se učenci ne- kaj iz nje naučijo. Pomembno je, da učenci 17 spoznajo, da lahko do nekih, mogoče tudi zelo zahtevnih ugotovitev pridejo sami. S tem krepimo njihovo ustvarjalnost, njihovo mišljenje in razvijamo njihovo samozavest. Učenci začnejo zato bolj zaupati v svoje spo- sobnosti in znanja. Na koncu vsake preiskovalne situacije je tudi dobro, da učenci rezultate, do katerih so prišli, predstavijo v drugem okolju (na drugih šolah, v knjižnicah, na univerzi). S tem se tudi razvija sodelovanje med osnov- nimi, srednjimi šolami in univerzami. Svoje ugotovitve lahko prikažejo v obliki plakatov, člankov, poročil, mogoče pokažejo, kako je to videti v praksi in podobno. Za preiskovalno situacijo je potreben čas, da učenci počasi in temeljito rešujejo proble- me. Preiskovanje, za katerega predvidimo, da je potreben daljši čas, lahko učencem damo za domačo nalogo, da tudi doma poskusijo razrešiti nekatere probleme. Poudarili smo že, da mora biti tudi zah- tevnost preiskovanja prilagojena in izbra- na glede na starost in predznanje učencev. Včasih je preiskovanje v razredu nemogoče, ker imamo učence različnih sposobnosti. Ko pa imamo načrtovano večje, zahtevnejše preiskovanje, se tega lotevamo pri dodatnih urah, dodatnem pouku in delu z nadarjeni- mi učenci. b Primer preiskovalne situacije »Lov na vesoljčke« Ozemlje je skupek sosednjih kvadratov (slika 1) in vesoljček je oblike narobe obrnje- ne črke T, sestavljen iz štirih kvadratov (slika 2). Cilj je preprečiti vesoljčku, da vstopi na ozemlje. To lahko storimo tako, da mu na- stavimo oviro. Ovira je en kvadrat (slika 3), ki jo lahko postavimo na poljuben kvadrat ozemlja. Vprašanje, ki si ga postavimo je: Kolikšno je minimalno število ovir, ki jih po- trebujemo, da vesoljček ne more vstopiti na ozemlje? Opomba: Ta igra dopušča, da se lahko ve- soljček obrača oziroma rotira. [Slika 1] Ozemlje [Slika 2] Vesoljček [Slika 3] Ovira V tem problemu vedno obstaja rešitev, preprečiti vesoljčku vstop na ozemlje: zado- stuje namestiti oviro na vsak kvadrat ozem- lja! Cilj pa je, najti rešitev z najmanjšim šte- vilom ovir. Na sliki 4 položaj ovir ne da rešitve proble- ma. Na sliki 5 vesoljčka iz slike 2 ne moremo postaviti na ozemlje. Torej so 4 ovire dovolj. Postavimo si vprašanje: Ali je to optimalno? 18 Preiskovalna situacija – Lov na vesoljčke [Slika 4] Možnost vstopa vesoljčka na ozemlje [Slika 5] Optimalna rešitev Ta problem lahko predstavimo z modeli (karton ali papir), ki omogočajo izbiro ovir in ozemelj različnih velikosti. Tako dobijo učenci boljši pregled nad tem, kaj počnejo. Ta situacija ponudi učencem nadzor nad preiskovalnimi spremenljivkami, ki pa lahko spremenijo strategije reševanja: • Število kvadratov, ki določajo vesoljčka. Zagotovo je lovljenje malih vesoljčkov lažji izziv za učence. • Tudi oblika vesoljčka igra pomembno vlogo. Če je vesoljček pravokotne obli- ke, je reševanje problema enostavnejše. Problem postane težji, če je vesoljček drugih oblik. • Število tipov vesoljčkov, ki jih hkrati loviš. Za začetek je dobro začeti z enim tipom vesoljčka, drugim in tako dalje, šele na koncu z vsemi vesoljčki naen- krat. • Velikost in oblika ozemlja. Običajno začnemo na ozemlju velikosti 4 × 4, kjer ni težko izluščiti vse možnosti rešitev problema. Potem nadaljujemo na oze- mlju večje velikosti. • Možnost rotiranja in obračanja vesoljč- ka. g Kako rešiti problem? Pri reševanju problema lahko uporabimo tri strategije reševanja problema, ki jih ime- nujemo: a) tlakovanje, b) pokrivanje števil in c) argumentiranje analize postavljanja ovir v vrstice in stolpce. V prispevku bomo predstavili prvo strate- gijo reševanja problema. Preostali dve strate- giji si lahko preberete v (Kovač, 2012). Analiza postavljanja ovir na ozemlju velikosti 4 × 4 Za začetek je dobro, da učenci začnejo z ozemljem velikosti 4 × 4. Zapisali bomo mo- gočo razporeditev za optimalno rešitev in dokaz tega. Za lovljenje vesoljčka, ki je sesta- vljen iz treh kvadratov v obliki pravokotnika na ozemlju velikosti 4 × 4, potrebujemo 5 ovir za optimalno rešitev. Ta razporeditev je narisana na sliki 6. 19 [Slika 6] Možna rešitev na ozemlju velikosti 4 × 4 Zdaj pokažimo, da 4 ovire niso dovolj, da bi vesoljčku preprečili vstop na ozemlje. Ozemlje smo razdelili na več manjših oze- melj tako, da imajo obliko vesoljčka, sestav- ljenega iz treh kvadratov v obliki pravokot- nika. Kakšna je taka delitev, je predstavljeno na sliki 7. Če postavimo vesoljčke, kot kaže slika 7, ostane en kvadratek ozemlja prost. Za preprečitev vstopa vesoljčku na ozemlju mora vsako tako manjše ozemlje vsebovati vsaj eno oviro. Če postavimo samo 4 ovire, ostanejo npr. spodnji štirje kvadratki na sliki 7 prosti in vesoljček lahko vstopi na ozemlje. Torej moramo postaviti najmanj 5 ovir za re- šitev problema. [Slika 7] Ozemlje, razdeljeno na manjša ozemlja Zdaj si poglejmo analizo postavljanja ovir za strategijo tlakovanja na ozemlju velikosti 5 × 5. Analiza postavljanja ovir na ozemlju velikosti 5 × 5 Tukaj predstavimo optimalno razporedi- tev ovir, da preprečimo vstop vesoljčka, se- stavljenega iz treh kvadratov v obliki pravo- kotnika, na ozemlje velikosti 5×5, ter dokaz tega, ki ga lahko uporabimo tudi za druge situacije. Za lovljenje vesoljčka, sestavljenega iz treh kvadratov v obliki pravokotnika na ozem lju velikosti 5 × 5, potrebujemo 8 ovir za opti- malno rešitev. Ta razporeditev je prikazana na slikah 8 in 9, kjer preprečimo vstop ve- soljčku na ozemlje. (Opomba: prva razpo- reditev je veliko lažja za uporabo na večjih ozemljih). [Slika 8, slika 9] Dve optimalni rešitvi na ozemlju velikosti 5 × 5 20 Preiskovalna situacija – Lov na vesoljčke Zdaj želimo dokazati, da 7 ovir ni dovolj za preprečitev vstopa vesoljčka na ozemlje. Naš problem razdelimo na več manjših, ka- terih že poznamo odgovor. V tem posebnem primeru lahko razdelimo ozemlje na manjša ozemlja, ki imajo obliko vesoljčka, sestavlje- nega iz treh kvadratov v obliki pravokotnika. Kako je videti taka delitev, je predstavljeno na sliki 10. Iz slike lahko razberemo, da vsa- ka razporeditev ovir, da preprečimo vesoljč- ku ostati na ozemlju, vsebuje vsaj eno oviro v vsakem kvadratu manjšega ozemlja. Še več, manjša ozemlja niso povezana, zato nobena ovira ne more biti na dveh različnih manjših ozemljih. T orej smo našli najmanj 8 različnih ovir za vsako rešitev problema. [Slika 10] Ozemlje, razdeljeno na manjša ozemlja, velikosti in oblike vesoljčka Če polagamo domine (vesoljčka, ki je se- stavljen iz dveh kvadratov), postane problem precej težji. Tukaj vidimo, da ne gre za neke koncepte, ampak bolj za sistem reševanja in spodbu- janja ustvarjalnosti. V tem primeru pot do rešitve ni ena sama kot v standardnih situ- acijah (npr.: krajšanje ulomkov, kjer učenci delajo točno tako, kot jim pove učitelj, in s tem se jim celo vcepi nekakšen strah, da na- redijo točno tako, sicer ne bo dobro). V tem preiskovanju pa se ustvarjalnost ne uniči, ampak se celo spodbuja. Učiteljevo delo je lahko v preiskovalnih situacijah bolj razgibano, saj standardna si- tuacija v razredu (npr.: obravnava Pitagoro- vega izreka) je bolj ali manj ista, kar pa lah- ko postane za učitelja dolgočasno. Pri tem odkrivanju, preiskovanju je zelo zanimivo opazovati ustvarjalnost učencev. Za samo premagovanje stresa je dobro, da se učitelj naprej dobro pripravi, in če je mogoče, na- redi ekipo (npr.: iz kolektiva), da mu pomaga pri izpeljavi preiskovalne situacije. Tako je delo lažje, saj sam učitelj pri veliko učencih ne more biti za vsakega učenca oziroma sku- pino takoj na voljo, ko učenci naletijo na do- ločen problem. Zavedati se moramo, da je namen tovr- stnih preiskovalnih situacij učenje procesnih znanj, kjer si učenec sam zastavlja vprašanja ob izzivu, da pa lahko na ta odgovori, mora zbrati določene informacije. S sistematizira- njem skuša iz zbranih dejstev ugotovitev for- mulirati in utemeljiti pravilnost. Da učenec do tega pride, je zelo pomembna vloga uči- telja in s tem povezana priprava preiskovalne situacije. d Vloga učitelja pri preiskovalni situaciji Na samem začetku je pomembno, da uči- telj pripravi zanimivo izhodišče, učence vpe- lje v delo, jih usmerja pri reševanju, spremlja njihov potek dela, posluša, sprašuje, vredno- ti, opazuje in jih na koncu usmerja pri pre- nosu ugotovitev. Preiskovalne situacije razvijamo z upo- rabo aktivnih učnih metod, kjer so dejav- ni učenci. Dejavnost učencev lahko dose- žemo na različne načine: z motivacijo, z 21 eksperimentiranjem, z učnimi metodami in učnimi oblikami. Nekatere učne oblike in metode učence uspešneje aktivirajo. Učitelj se mora zavedati, da je pogoj za učenčevo razumevanje izbira preiskovalnih situacij, ki so učencu blizu in so primerne za njegovo razvojno stopnjo. Upoštevati mora tudi individualne razlike med učenci, saj so ti različno hitri in sposob- ni. Zato morata biti tudi jezik in besedišče preprosta, jasna in zanimiva. Učitelj mora upoštevati različna didaktična načela. Pri sestavljanju preiskovalnih situacij se mora upoštevati načelo postopnosti, da stopnjuje- mo težavnost od najmanj do bolj zahtevne, od lažjih k težjim, od enostavnih k sestavlje- nim, stopnjevati je treba tudi problemskost po uka, odvisno od objekta spoznavanja in osebe, ki ga spoznava ali rešuje. Enako po- zornost moramo nameniti reševalnim last- nostim in navadam učencev, kot so vztraj- nost, pozitivna samopodoba, odprtost do idej in odpor do avtomatizma. Zagotovo pa sta z uporabo aktivnega učen ja kakovost in transferna vrednost znan- ja večji, kot če gre le za učiteljevo razlago. Učenci morajo prevzeti vse več pobude za svoje učenje, kar pa dosežemo s poukom, kjer učitelj spodbuja vse več različnih inte- rakcij učencev med seboj, in z različnimi viri znanja, pri čemer se večata njihova samo- stojnost in odgovornost za lastno učenje in učne rezultate. Pomembno je tudi, da so v preiskovanje vključeni vsi učenci, ne glede na njihove zmožnosti in sposobnosti. Učitelj mora na- črtovati tudi motivacijo, čustveno angažira- nost in sodelovanje med učenci. Ko se učenci prvič srečujejo z preiskoval- nimi situacijami, je potrebno strukturirano vodeno učenje. Pozneje jim je treba pomagati z vprašanji in jih spodbujati, usmerjati pri iskanju primernih poti reševanja oziroma preiskovanja. Učitelj lahko učencem ponudi samostojno delo oziroma vodeno odkrivan- je, ko so ti pri delu že bolj analitični, zmožni sami izluščiti dele od celote in jih organizirati. Pogoj za uspešno reševanje preiskovalnih problemov je razvoj bralnih strategij, razume- vanje matematičnega jezika in usvojitev pro- cesov, ki jih bodo sposobni sami izbrati glede na situacijo. Na podlagi teh izkušenj se izpo- polnjujejo in izoblikujejo učenčeve strategije reševanja matematičnih preiskovalnih situacij. Pri učencih je treba razvijati problemsko občutljivost, da jim omogočimo samostojno zastavljanje problemov s tem, da oblikujejo čim več vprašanj, ki jih analizirajo in vrednotijo. e Pasti pri organizaciji preiskovalne situacije Preiskovalna situacija pri pouku je zah- tevna strategija pouka, ki zahteva od učitelja več časa in napora. Taka situacija ne pripe- lje vedno hitro do nekega znanja, ampak je potrebno veliko učnega časa, čeprav je ta čas koristen, saj je tak način dela bolj v poveza- vi z današnjo družbo in učenci, ki morajo vedno kaj početi. Pri oblikovanju in načr- tovanju preiskovalnih situacij mora učitelj te ustrezno izbrati glede na učenčeve spo- sobnosti, zmožnosti, njihovo predznanje o načinih reševanja problemov. Če je problem prelahek in učencem ni treba vložiti nič ozi- roma malo truda, to za zanje ni problem, če pa je pretežek, lahko učenci izgubijo voljo do dela, reševanja. Sposobnosti reševanja učen- cem niso dana, zato jih je treba postopno razvijati, negovati in pozneje nadgrajevati. Učencem je treba že vnaprej pokazati različ- ne strategije reševanja problemov. 22 Preiskovalna situacija – Lov na vesoljčke Preiskovalna situacija je primerna za vse predmete, ne pa za vse vsebine. Zato je nuj- no, da učitelj skrbno načrtuje in presodi kdaj, kje in kako jo vključiti, da bo delo res smisel- no in učinkovito. Za preiskovalno situacijo so poleg vse- ga tega potrebni tudi spodbudno okolje in ustrezni učni pripomočki. z Analiza konkretne izvedbe preiskovalne situacije Opisala bom izvedbo preiskovalne situa- cije v razredu pri pouku matematike. Pri tem je uporabljen problem tlakovanj iz diskretne matematike. V ta namen so imeli učenci pri reševanju problema na voljo modele iz kar- tona. Razdeljeni so bili v skupine po tri ali štiri. Posamezna skupina je reševala prob- lem, poskušala analizirati in argumentirati svoje ugotovitve. Vsa spoznanja smo pozneje skupaj ovrednotili. Učenci so spoznali tri na- čine dokazovanja optimalnosti rešitve. Pred- stavila bom prvo strategijo »tlakovanja«. Učenci so pri reševanju problema imeli modele iz kartona, ozemlja velikosti 4 × 4 in 5 × 5 (bele barve), ovire (rdeče barve) in vesoljčke (rumene barve). Vsaka skupina je poleg modelov dobila delovni list, na kate- rega so vpisovali svoje ugotovitve in jih ute- meljevali. Na začetku sem učencem podala navodi- la, nato so se lotili dela na ozemlju velikosti 4 × 4. Učenci so bili zelo dejavni in zavzeti za delo. Nekateri so zelo hitro končali z upanjem, da so našli najmanjše število ovir. Težave pa so se pojavile, ko je bilo treba njihove ugoto- vitve dokazati oziroma utemeljiti. Učenci so rešitev našli, niso pa znali kritično razmišlja- ti, da število ovir ni nujno minimalno. Nekateri so se preiskovalnega problema lotili na naslednji način: ozemlje velikosti 4 × 4 so pokrili z ovirami, nato so jih odstra- njevali tako, da vesoljček, sestavljen iz treh kvadratov v obliki pravokotnika, ni mogel vstopiti na ozemlje. Njihova ugotovitev je bila, da je mini- malno število ovir na ozemlju velikosti 4 × 4 enako 8, in na tablo so narisali nasled- njo razporeditev: [Slika 11] Napačen sklep, ker niso upoštevali opti- malnosti rešitve To ugotovitev so potrdili s trditvijo: Z odstranitvijo ovir vesoljček lahko vstopi na ozem lje. Torej je naša rešitev optimalna. V nadaljevanju je bila naša naloga, da skupaj premislimo, ali je to res minimalna rešitev. Z učenci smo skušali poiskati način, kako dokazati, da je neka rešitev minimalna. Čez nekaj časa je učenec prišel do ugoto- vitve, da bi lahko ozemlje pokrili z vesoljč- ki in tako ugotovili minimalno število ovir. Učenec je ozemlje pokril s petimi vesoljčki, sestavljenimi iz treh kvadratov v obliki pra- vokotnika, in sklepal, da če želimo uloviti posameznega vesoljčka, mu moramo nasta- viti oviro in tako smo dokazali, da je mini- malno število ovir enako 5. Poiskali so na- slednjo možno razporeditev ovir na ozemlju velikosti 4 × 4: 23 [Slika 12] Optimalna rešitev na ozemlju velikosti 4 × 4 Nekateri učenci so mislili, da so našli 4 mogoče razporeditve, kjer pa jih je bilo treba opozoriti, da so te razporeditve simetrične druga na drugo oziroma da dobimo enako sliko, če modele obrnemo. Nadalje so se učenci lotili reševanja istega problema na ozemlju velikosti 5 × 5. Ponov- no so nekateri menili, da so rešili problem, ne da bi razmislili o optimalnosti rešitve. Prišli so do naslednjih razporeditev: [Slika 13, 14] Napačni sklepi, neupoštevanje opti- malnosti rešitve [Slika 15] Napačen sklep, neupoštevanje optimal- nosti rešitve Učenci, ki so uporabili prvo tehniko do- kazovanja, imenovano tlakovanje, so pri- šli do napačne rešitve. Njihova postavitev vesoljčkov, sestavljenih iz treh kvadratov v obliki pravokotnika, na ozemlju velikosti 5 × 5 je bila naslednja: [Slika 16] Napačno uporabljena tehnika tlakova- nja Trdili so namreč, da je minimalno števi- lo ovir enako 7, vendar te rešitve niso našli. Zakaj? Dodatna analiza: x so obvezna mesta ovir (slika 17). Preostane samo še sredinski pra- vokotnik na ozemlju, in ne glede na to, kam postavimo oviro, lahko položimo en pravo- kotnik na ozemlje. 24 Preiskovalna situacija – Lov na vesoljčke [Slika 17] Dodatna analiza Potreben je bil namig, da ta postavitev vesoljčkov na ozemlju velikosti 5 × 5 ni op- timalna. Na koncu smo prišli do ugotovitve, da je minimalno število ovir enako 8, in na- risali dve možnosti postavitev ovir. [Slika 18, 19] Optimalni rešitvi na ozemlju veli- kosti 5 × 5 To ugotovitev smo dokazali z razdelitvijo ozemlja velikosti 5 × 5 na manjša ozemlja, katerih oblika je enaka obliki vesoljčka, se- stavljenega iz treh kvadratov v obliki pravo- kotnika, kot kaže spodnja slika: [Slika 20] Optimalna razporeditev vesoljčkov na ozemlju velikosti 5 × 5 Posamezna skupina je svoje ugotovitve analizirala. Druge skupine so se vključevale v analizo. Tako smo lahko ovrgli napačna in potrdili pravilna spoznanja. S tem, ko so učenci svoje ugotovitve predstavljali, so imeli občutek, da so nekaj ustvarjali, odkrivali ozi- roma preiskovali. Neki učenec je celo dejal, da lahko takoj, ko dobimo mrežo, ugotovimo minimalno število ovir za posamezen primer. Trdil je, da na ozemlju velikosti 4 × 4 in 5 × 5, kjer je vesoljček iz treh kvadratov v obliki pravo- kotnika, potrebujemo vsaj 5 oziroma 8 ovir. Menil je, da je treba število kvadratov v oze- mlju deliti s številom kvadratov, iz katerih se sestavljen vesoljček. Prepričan je bil tudi, da njegovo spoznanje velja za vsa preostala ozemlja različnih velikosti in različnih oblik vesoljčkov. Treba je bilo poiskati protiprimer, ki je ovrgel njegovo trditev. Poiskali smo dva primera: 25 [Slika 21] Ovira v sredini prepreči vstop vesoljčku na desni strani na ozemlju velikosti 5 × 5. Za rešitev tega problema potrebujemo eno samo oviro, in ne tri (25 : 7). [Slika 22] Pravilna postavitev ovire za vesoljčka na desni strani Ta rešitev problema pa zahteva 3 ovire za optimalno rešitev, in ne 13 : 3. Na koncu sem posamezni skupini razdeli- la učni list, kjer sta bila podana še dva prob- lema oziroma nalogi, da poiščejo minimalno število ovir, da vesoljček ne more priti na ozemlje. [Slika 23] Primer iz učnega lista Ta učni list sem dala zato, da ugotovim, kako učenci rešujejo problem na pamet, brez pomoči modelov. Po opazovanju učencev sem hitro ugotovila, da so bili učencem mo- deli bistveno zanimivejši in tudi hitreje so prišli do rešitve. Tudi učenci sami so pove- dali, da jim je delo z modeli enostavnejše, saj lahko hitreje najdejo rešitev. Ker sem nekatere učence poučevala šol- sko leto pred izvedbo preiskovalne situaci- je, nekatere pa prav takrat, torej sem učen- ce poznala, lahko zagotovo trdim, da so se v delo, preiskovanje v skupinah vključevali tudi učenci z učnimi težavami in da so si celo ti upali stopiti pred tablo in argumentirati ugotovitve skupine, kar se pri običajnih urah zgodi redko ali pa sploh nikoli. Ko so učenci opravili svoje delo, sem opa- zila njihovo navdušenost in zadovoljstvo, saj so si začeli kar med seboj postavljati prob- leme, risali so si različne oblike ozemelj in vesoljčkov ter se preizkušali v hitrosti iskanja rešitev. 26 Preiskovalna situacija – Lov na vesoljčke Poudariti pa moram, da so delovni listi, kjer so učenci risali svoje ugotovitve glede razporeditev ovir in kjer so morali utemelji- ti svoje razporeditve o optimalnosti rešitev, ostali delno prazni. Učenci so narisali le raz- poreditve, kjer je bilo treba napisati utemelji- tev, pa so pustili prazno. Torej imajo učenci velike težave, ko je treba kaj odkritega tudi utemeljiti, kar pa učitelji ugotavljamo tudi pri samem pouku matematike. Na primer nalogo, ki ima več podvprašanj, na koncu pa zahteva utemeljitev, učenci običajno rešijo do konca, mesto za utemeljitev pa ostane praz- no. Učence je nujno treba naučiti kritičnega vrednotenja svojih rezultatov in odkritij. η Evalvacija opravljenega dela Na koncu lahko sklenem, da sem s svojim delom, potekom preiskovalne situacije in z rezultati zelo zadovoljna. Ob izvajanju pre- iskovalne situacije imamo med drugim uči- telji možnost, da se nam odprejo nove ideje, novi načini motiviranja učencev in možnosti popestritve običajnega pouka matematike. Zagotovo je pri izvajanju takih preiskovalnih situacijah pomembno, da si učitelj zastavi ci- lje oziroma vprašanje, kaj naj bi se učenci v teh situacijah naučili. V preiskovalnih situacijah je učitelj vodja in opazovalec hkrati. Učitelj ima nalogo, da vodi in usmerja učence do rešitve problema, hkrati pa ima možnost, da sam opazuje, od- kriva in analizira učenčeva spoznanja. Pri preiskovalnih situacijah imajo učen- ci nalogo, da sami presodijo, ali so prišli do prave rešitve. Velikokrat učenci pri običajnih urah vprašajo, kje bodo vse to potrebovali. Pri preiskovalni situaciji učence učimo mogoče ne za danes, ampak za jutri. Učimo jih nekih principov razmišljanja, želimo jih pripeljati v situacijo, da začutijo, da jim bo to znanje nekje prišlo prav. V okviru standardnih ur se učitelji kot tudi učenci bojimo delati napake, na katerih se lahko kaj naučijo, v preiskovalnih situaci- jah pa si dovolimo napake, iz katerih se lah- ko nekaj naučimo. Naš šolski sistem je pogo- sto naravnan tako, da učence naučimo nekih algoritmov in nihče si ne upa razmišljati po svoje. Zato so preiskovalne situacije še toliko bolj dobrodošla popestritev pouka. Na koncu so učenci izpolnili anketni vpra- šalnik, in ugotovila sem, da so učencem ure preiskovanj, samostojnega odkrivanja zelo všeč, in tudi oni sami so povedali in v an- keti zapisali, da si želijo več ur preiskovanja pri pouku matematike. Ne glede na predmet, imajo učenci zagotovo raje dejavnosti, ki jih aktivno pritegnejo. Učitelji se morajo držati učnega načrta, ki je res obsežen, vendar pa imajo prosto možnost izbire pri izvedbi učne ure, zato naj pri sklopih in vsebinah, kjer je to mogoče, vključi ure preiskovanja, samo- stojnega odkrivanja učencev oziroma upo- rablja učne metode, pri katerih učenci sami z lastno dejavnostjo pridejo do novega znanja. Na koncu lahko sklenemo, da je preisko- valna situacija, ki sloni na dejavnosti učen- cev, in ne na potrditvi učitelja in njegove vrednosti, v šoli nujna. Naloga učitelja pa je, da skrbno načrtuje, kdaj, kje in kako jo vklju- čiti v pouk matematike, da bo njena uporaba res učinkovita in da se bodo potrdile misli, ki jih pripisujejo Konfuciju: Kar sem slišal, sem pozabil, kar sem videl, sem si zapomnil, kar sem naredil, sem razumel. 27 θ Viri in literatura: 1. Kovač B., Načini sklepanja in utemeljevanja pri po- uku matematike: magistrsko delo, Maribor, 2012. 2. Cartier L., Dorbec P . in dr., Towards a characteriza- tion of research situations for the classroom, Ana- liysis of a case study, Specificities for learners and teachers; 2012.