i
i
“1395-Lokar-0” — 2010/8/17 — 14:23 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 27 (1999/2000)
Številka 3
Strani 152–154
Mojca in Matija Lokar:
POSLUŠAJMO PRAŠTEVILA
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, matematika, praštevila, glasba,
toni, računalništvo, predstavitev zvokov, MIDI.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/27/1395-Lokar.pdf
c© 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Zanimivosti - Razvedrilo I
POSLUŠAJMO PRAŠTEVILA
Človeško uho ima čudovite sposobnosti . Te so tako velike, da kot dano
jemljemo dejstva, da znamo razločevati glasove, slišati posamezno besedo
sred i vsesplošnega govorjenja na zabavi, razločiti zvok flavt e sredi igranja
ostalega orkestra. Pravzaprav bi lahko rekli , da ima naše uho velike
sposobnosti prepoznavanja vzorcev. Zato bi svoje slušne sposobnosti
lahko uporabili tudi zato, da bi npr . zaslišali določene vzorce v ogromnih
količinah podatkov, predstavljenih z zvoki.
Ameriški matematik Caldwell je uporabil posebno shemo za posluša-
nje zaporedij praštevil, da bi s pomočjo zvoka ugotovil , kakšne lastnosti
imajo. Končno, sa j pogosto uporabljamo uho, da ugotovimo, kaj bi
utegnilo biti narobe v delovanju motorja, oziroma stresemo škatlo, da
bi po zvoku ugotovili njeno vseb ino .
Za predstavitev zvokov v računalništvu pogosto uporabljamo specifi-
kacijo MIDI (Musical Instrument Digital Interface). Z njo posameznemu
tonu pr iredimo številko. Tako je npr . C predstavljen kot 60, Cis kot 61, D
je 62 in tako naprej za skupno 128 tonov. Tako predstavitev je Caldwell
uporabil za pos lušanje praštevilo Ker je praštevil neskončno , na voljo pa le
128 tonov, je uporabil le ostanke pr i deljenju, tako ime novano modularno
aritmetiko. Če je kot delitelj uporabil npr. 7, bi za zaporedje praštevil
2,3,5 ,7,11,13, 17,19,23, ... zaigrali 2,3,5, O, 4, 6, 3, 5, 2, . .. Ker pa imajo
ti toni v skali MIDI prenizko frekvenco, da bi jih dobro slišali, je Caldwell
dodal še konstanto 55 in se tako postavil na sredino lestvice. Tako je prvo
praštevilo, 2, za igrano kot ton A (57 po standardu MID I ). Ker je pri
deljenju s 7 možnih le 7 ostankov, imamo seveda na voljo le 7 to nov. Na
sliki vidimo skladbi Praštevila po modulu 7 in Praštevila po modulu 6.
l'ht pranes tuudnlu seven (Chri s CalJ Wt U, 199i)
Zanimivosti - Razvedrilo
Dosedaj smo določali le višino to na. Trajanje tonov je bilo ena ko. Z
razmikom med pr ašt evili pa lahko pr edstavimo tudi dolžino tona. Med
prvima dvema praš teviloma 2 in 3 ni razmika, razmik 1 je med 3 in 5 ter 5
in 7, razmik 3 pa med 7 in 11. Velja, da je povprečna dolžina razmika med
praštevili, manj šimi ali enakimi n , enaka naravnemu logari tmu iz n . Ost a-
jajo pa odprta vprašanj a, kako so t i razrniki porazdeljeni , kako veliki so
in podobno. Ne glede na to razmik lahko uporabimo za določitev dolžine
to na . Caldwell se je odločil, da naj to n t raja soraz merno dolžini raz mika
do naslednj ega prašt evila v zaporedju, deljeno z naravni m logari t mom iz
tega praštevila . Na ta način je nastalo nekaj sklad b, kat erih notne zapise
vidimo na slikah.
Thr prim es IIlvduJo -Il "i th prime gap tempo (Cluis Caldwell. 1997)
(Slarting with the prime1,000.003)
Več o poslušanju pr aštevil in drugih števil lahko preberemo na Inter-
netu na straneh
http://www .sciencenews.org/sn_arc98/6_20_98/mathland.htm
in
http ://www.utm.edu/research/primes/programs/music/listenj.
Mimogrede bomo lahko prebrali še marsikatero zanimivost o praštevilih.
Na strani
http://www.utm .edu/caldwell/midi/primes.cgi
pa je Caldwell pripravil program, s katerim si sami zaigramo skladbo,
nastalo po zgoraj opisanem vzorcu.