“372-Bezek-OdStevil” — 2010/3/23 — 8:51 — page 1 — #1
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 6 (1978/1979)
Številka 4
Strani 196–201
Danijel Bezek:
OD ŠTEVIL H GEOMETRIJI, UMETNOSTI IN IGRI
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/6/372-Bezek.pdf
c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
OD šTEVI LHGEOMETRI JI, UMETNOSTI IN IGR I
UVOD : Med evro ps ki mi mat em a ti ki sr ed nj e ga ve ka j e zan imiva os e Q
nos t LEONARDO FIBONA CCI. Ma r sika j o njem bo os t al o za ve dno
s krivn ost , kot s o bile sk rivno s t ne r eš i t ve nj ego vi h nalo g .
Let a 1225.je na m at emati čnem te kmovanju v Pis i bi l a tu di t al e
naloga:
Poišei u ~ ome k , k i je p opo~n k v ad r a t in ostane popo~n k v ad r a t
tudi, ko ga zmanjšamo a~i poveeamo za 5 .
Fibona cci je na š el r eš i t ev: 1681 /1 44 , še da ne s ni znan o , ka ko.
(Reš it ev: (41 / 12) 2 - 5 = ( 31/1 2) 2 in (41/1 2) 2 + 5 = (49/ 12 )2)
Bil je odličen po znaval ec š t e v i l - a ritmet i ke in a lg e br e.
a ) Po s kor a j 800 letih mat ematiki ved no znova od kriva jo zanim i
vost i, ki so povez ane z za poredjem š t evil , ki ga po njem i me ng
jemo Fibonaccijevo z ap or&d j e . Z a čelo se je z nalogo o zaj c ih:
Skoti se par zajcev - samec in samica. Po enem ~etu dozorita
in od konca drugega ~eta skoti zajk~ja vsako ~eto nov par zaj
cev - samca in samico, z a kate re ve~ja isti c i k ~u s razmnoževa-
nj a . Vprašanje: Ko~iko parov je p o po~jubnem š t evi~u ~et, e e
ni smrtnih primerov?
Prika zana je shemati čna re š itev nal oge , kj e r posame zni kr ožec
ustreza pa ru .
z ačetek 1
konec lo 1eta 1 Lege nda :
kon ec 2 . le ta 2 O par, k i s es kot i
ko nec 3 . 1eta 3 • par po ene mkone c 4 . 1eta 5 1etu
kon e c 5 . le t a 8 O pa r , ki i ma
konec 6. let a poto mce13
St evi l a: 1 , 1 ,2 , 3 , 5 ,8 , 13 , oo. (1 )
so č l e ni Fib onacci jev e ga za pored ja. Pr vi in d r ugi č le n zapore-
d ja sta v na š em pri meru 1; vse dr uge pa dobimo t a ko , da s eš t e -
jemo oba pred hodnika . To zapiše mo t a kol e:
196
in ( 2 )
elen an imenujemo splošni člen zaporedja . ker nam pove pravi
lo , po ka t ere m lah ko poiščemo ka t er i ko l i člen zaporedja.
1. P oi š či še ne ka j naslednj ih č l e n o v Fibonaccijevega zaporedja
( 1 ) .
2 . Po i š č i i n v Fi bonacc i j e vem zaporedju.
Zadnj a naloga nas p repri ča, da je iskanje "bol j kasni h" čle nov
za por ed j a zamudn o delo . Po pravilu (2) je treba po kor a ki h za-
pi sa t i vs e člene do is kanega č l en a za por ed j a .
( 3 )
Postavlja se vprašanje : Ali lahko še kako drugače, razen po
ome nj e nem na č in u, poiš čemo polj ubni člen Fib ona ccijevega zapo-
r edja ? Odg ovor je pr i t rd i l en, n - t i člen Fibonac cijevega zapo-
r edja dobimo t ako , da naravno število n vstavimo v i zraz za
sp l oš ni č l e n (3) :
5 + 15 (1 + l5" )n - 1 + 5 - f5 1 - f5 n - 1
- ...,.-o- 2 1O (-----z-)
3 . Pr ev er i, č e za n=2 in n =3 zares dobi š drugi in tretji
člen Fibonac cij evega zaporedja, ko ju vstaviš v splo šni člen
( 3) .
4. Do kaž i , da za Fibo naccijevo zapo redje velja jo naslednje za-
kon itos t i:
a ) al + a 2 + a 3 +
b) a , + a3 + a 5 +
+ an - 1 + an = an+2 - 1
+ a 2n- 3 + a 2n - l = a 2n
c ) a 2 + a 4 + a 6 + + a 2n - 2 + a 2n = a 2n+l - 1
Na vodi lo : Up ošteva j te mel j no l as t nost s plo šne ga člena !
( 4 )
1 + '
1 + -'---.-- -
, +
b) š t ev il o T (i zg.: ta u) za piš em o kot ver i ž ni ul om e k (4)
T = 1 + _1_----. _
1 +
1 +
197
(5 )
+ --
1 +
+
1, 0000
2 ,0000
1,5 00 0
1 , 6 667
1 ,5000
1 ,6 25
1
2
3 /2
5/3
8 / 5
13/8
Prav; vre dnos ti števila T se lahko približujemo korakoma, ta ko
da i zračunav amo vrednosti š t e vi l s kega i z r a za (4) s končnim
številom operacij s eš t eva nj a . Glej (5 )
T = 1 + -'-1_--.-, _
1 +
1 +
Izračunane vrednosti so ulom ki, katerih števec in imenova lec
sta zaporedna č lena Fi bonacc i j eve ga zaporedja : an l an _ 1 .
Bol j kasn i členi Fi bonacc i j ev ega zaporedja dajo boljš i prib li -
žek šte vi la T . Kol i kš na pa je pra va vr ed nos t števi la T?
I z za pisa (4) v id imo, da je T = 1 + 1 a li :
T
T 2 - T - 1 = O ( 6 )
(7)T =
En a č b o (6) pr e obl ik uj emo (T 2- T = 1) in do pol ni mo l ev o s tran do
popo lnega kvadr a t a (T 2 - 2(} T) + (} ) 2 = 1 + (}) 2 a l i kar je
isto ( T - } ) 2 = i ). Obe strani koreni mo ( T - } = ± q ) i n
po premis leku ima na š T poziti vno vr ednos t :
+ / 5"
2
c) števi lo T = (1 + 15") /2
vr ed nos t razmerja med večjim
razdeljeno po z Zat e m r e z u .
ima tudi geometri js ki pomen. T je
in manjšim de lom ce lote, ki je
ZLati r ez r azd e Li c e Loto v v e e j i in manj š i d e L tako , da j e man j
š i de L v pr imerja v i z v ee j im v e n a ke m r a z me r j u ko t vee ji deL
pl' o t i ce Lo ti .
Ka r s mo poveda li, bomo v l e ve m sto lpc u razčlenil i po a lge brski
poti . V de snem sto lpc u pa bom o a lge br sko raz lago dopolni li z
bol j nazorno geomet rijsko raz l ago.
198
č e ozna čimo ce l ot o zI , veCJl
del z M (po lat. Maior=večji)
in manjši del z m (po lat.
mino r=manjši) , smemo zgor aj
povedan o s orazme rje za pi s a t i:
mlM = MI I ali (l- M)I M = Mi l
Iz zapi sanega sorazmerja sle-
di ena čba za M :
M2 + M - 1 = O
In pod obn o kot prej za T poi-
š čemo obe rešitvi, od katerih
pride v poštev re š itev
M (15 - 1 )/ 2 in pote m za
m = 1 - M = (3 - 15 ) 12
6. I zra čunaj količnik Mlm
i n se prepri čaj, da je ena k
š t evi l u T
Za celoto vzamemo daljico
AB=l . Pravokotno nanjo posta-
vimo v krajišču B drugo dalj!
co BC=1/ 2
7 . Izračunaj vrednost r azme r j a za
c
( 9 )
A
T o č k a C je središče krožni ce
s kozi točko B i n seče dal jico
AC v to č ki D.
Toč ka A je sred iš če k r o ž n i ce ,
ki pote ka sko zi D in se če da-
ljico AB v toč ki T .
Daljici AT in BT sta več ji in
ma njši del po zlatem rezu T
r az de l j e ne daljice AB.
Do kaz : Po Pitagorovem izreku
meri hipotenuza Ac =/ 5 / 2 in d~
ljica AT=AD =( 15 / 2- 1/ 2 )=
=( 15-1)/2 in BT=AB - AT=
=(3- 15) /2
dalji ci ABIA T
Za dalj ici AB in AT pravimo , da sta v staLn e m s or a z mer j u .
Umetni ki najrazličnej ših zgodovins kih obdobij so menili, da ima
jo umetnine, kjer so k a r a k t e r i s t i č n i deli (np r.: dolžina in ši-
rina slikarskega platna, višina in dolžina hišnih portalov , tlQ
risne dol žine .. . ) v stalnem sorazmerju, najlepšo obliko.
199
Primer:
M i 1 j o n s k s o n e t
Pavla V a s a k a Na levi strani je zapisan so-
net. Klju b temu, da je zapisan
s številskimi simboli (topo-
grafska poezija), ohranja vse
1 6 2 9 3 oblikovne značil nosti soneta
7 5 3 9 6 (kitica in rima) .
6 8 8 O 6 Zanimiv je tudi zato, ker je
9 O 4 5 3 vsota vseh 14 vrstic enaka
1 000 000. Preveri!
8 3 5 2 4
9 3 3 4 2
Sonet sestavljajo štiri kit i-
8 2 3 1 2
ce - dve kitici s po štirimi
2 9 1 3 4
vrsticami (kvartini) in dve
kitici s po tremi vrsticami
3 7 2 8 8
(tercini) .
7 7 3 9 8
Verz, s katerim se začneta ter
9 6 5 2 5
ci ni, je navadno miselno naj-
bogatejši. Zanimivo je, da ta
7 5 6 5 7
verz kot zl ati rez, razdeli
8 O 9 6 7 sonet. v dva dela - večji in
9 2 9 O 5 manjši - tako da je razmerje
števila vrstic obeh delov 8/5;
t. j . približek števila T; ulo -
mek pa sestavljata števili iz
Fibonaccijevega zaporedja .
Bogati vsebini soneta se pridružuje še najlep ša ob 1i ka .
8. Izberi si poljubno daljico b in nanjej poišči po zgledu (9)
daljši odsek M po zlatem rezu razdeljene daljice b .
Konstruiraj pravokotnik, ki bo imel za osnovnico daljico a =b+M
in za višino daljico b.
Narisanemu pravo~otniku pravimo "zlati pravokotnik" in ima po
umetni škem prepričanju med pravokotniki najlepšo obliko, saj
sta si osnovnica in višina v stalnem sorazmerju. Dokaži : a /b =T !
200
9. Ob koncu pa še igra s š karjami in Fibonaccijevimi števili.
Iz milimetrskega papirja izrežemo kvadrat 21x21 in ga razrežemo
kot kaže slika a). Stranice, ki oklepajo prave kote, so členi
21
8
13
13 8
13 13 2 1
8 13
( a ) (b)
Fibonaccijevega zaporedja (8 ,13,21) . Iz razrezanih kosov sesta-
vimo pravokotnik b). Primerjaj ploščini kvadrata in pravokotni -
ka! Zdi se, kot da gre za " čarovniške škarje", s katerimi dobiš
nekaj , česar ni. To velja za vse kvadrate s stranico , ki je
člen a
2n
iz Fibonaccijevega zaporedja (sl ika c). V' r e s ni c i pa
( c ) ( d )
gre za optično prevaro (slika d), ki je toliko manj opazna, ko-
likor večj i je člen a
2n
Danijel- Bez e k
20 1