PRESEK LETNIK 45 (2017/201 8) ŠTEVILKA 4 < Ct + a APOLONIJEV PROBLEM PO SLEDI NEKE NEENAKOSTI LED SIJALKE MAGNETNE DOMENE V ŽELEZU TRI O ZEMLJI IN LUNI KONVEKSNA OVOJNICA ISSN 0351-6652 9 , , « 9770351665548 9770351665548 MATEMATIČNI TRENUTKI KO LO FO N U ve l j avl j a n j e nestandardnih valut 2 •4/ -i' -i' -> Veliko finančnih transakcij je izvedenih preko spleta, večina jih poteka v uveljavljenih valutah. Bit-coin pa je primer kriptovalute, to je, sistema digitalnega plačila, ki obstaja le v elektronski obliki. Pri plačilu je zagotovljena anonimnost kupca. Nad plačili nimata nadzora niti čentralna banka niti oblast. Sistem plačil temelji na mreži deljenih računalnikov, ki izvedejo in preverijo vsako transakčijo. Transak-čije so zakodirane s pomočjo matematičnih formul in zapisane v elektronsko glavno knjigo, ki temelji na tehnologiji veriženja blokov, v angleščini bločk-čhain. Glavna knjiga povezuje transakčije in zagotavlja, da uporabnik z istim denarjem ne more izvesti dveh plačil. Ceprav se bitčoini na prvi pogled zdijo manj varni od običajnih valut, so manj ranljivi za ponarejanje in kraje, če le uporabnik pazljivo ravna z gesli, ki so povezana z enotami kriptovalute. Tehnologija veriženja blokov ima več možnih uporab, ena od njih je dostava. Trenutno je z vodenjem dokumentov o plačilih davkov in čarine zelo veliko stroškov, ki so včasih primerljivi s čeno dostavljenega izdelka. Dokumenti na papirju se lahko tudi izgubijo ali ponaredijo. Matematične metode, ki sestavljajo tehnologijo, vsebujejo javni in zasebni ključ, ki ga je zelo težko razvozlati, in so zelo računsko kompleksne. Tako pošiljatelju zagotavljajo sledenje pošiljke in sprotno varno digitalno dokumentačijo. Ta tehnologija ni dobrodošla samo za velike koope-račije. Na primer, nekateri begunči, ki si zaradi razumljivih razlogov ne želijo razkriti svoje identitete oblastem, so si že oblikovali elektronsko identiteto, ki je zapisana s pomočjo veriženja blokov. S tem omogočijo ločenim članom družine najprej elektronsko povezavo, nato pa še fizično združitev, pri tem pa ne tvegajo težav z morebitno sovražno politiko oblasti. Kogar tema bolj zanima, si lahko prebere prispevek Bitcoins Maybe; Blockchains Likely, ki sta ga v reviji Američan Sčientist koneč leta 2017 objavila Peter J. Denning in Ted G. Lewis. x x x PRESEK 45 (2017/2018) 4 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 45, šolsko leto 2017/2018, številka 4 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojča Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lučijana Kračun Berč (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Venčelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska uliča 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2017/2018 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do prekliča, za skupinska naročila učenčev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakčijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovš čina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI56 031001000018 787. List sofinancira Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinančiranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphičum, Ljubljana Naklada 1300 izvodov © 2018 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2063 Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Uveljavljanje nestandardnih valut MATEMATIKA 4-9 Apolonijev problem (Petra Podlogar, Tamara Pogacar, Ana Štuhec, mentorica: Tatiana Elisabet Sušnik) 10 Po sledi neke neenakosti (Marija D. Miloševic) 10-11 Rešitvi nalog iz prejšnje številke (Marko Razpet) FIZIKA 12-15,18-19 Led sijalke (Peter Legiša) 20-22 Magnetne domene v železu (Andrej Likar) 16-17 30 31 priloga priloga priloga RAZVEDRILO Nagradna križanka (Marko Bokalic) Rešitev nagradne križanke Presek 45/3 (Marko Bokalic) Naravoslovna fotografija - Krožne veje (Aleš Mohoric) TEKMOVANJA Matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije - državno tekmovanje 55. fizikalno tekmovanje srednješolcev Slovenije - regijsko tekmovanje Tekmovanje iz znanja naravoslovja -šolsko tekmovanje ASTRONOMIJA 23-25 Tri o Zemlji in Luni (Marijan Prosen) RAČUNALNIČTVO 26-29 Konveksna ovojnica (Igor Pesek) Slika na naslovnici: Veje drevesa, ki obdajajo ulično svetilko, so na videz razporejene v krogih s središčem v svetilki. MATEM ATI KA Apolonijev problem1 •is •i' ■i' Petra Podlogar, Tamara Pogačar, Ana Štuhec Mentorica: Tatiana Elisabet Sučnik Za dane tri krožnice smo želeli konstruirati še eno, ki bi se dotikala vseh treh hkrati. Za rešitev tega problema smo spoznali invertiranje cez kro-žnico, uporabili pa smo tudi program GeoGebra, v katerem smo za boljšo predstavitev problematike rešitev tudi konstruirali. Uvod Marsovski vesoljski ladji se je na vzhodni medgalak-ticni obvoznici pokvarila navigacijska naprava in strmoglavila je neznano kam v Bermudski trikotnik. Iznajdljivi Marsovci so na hipernetu uspeli poiskati zemljevid območja in izbrskati, da se na Bermudskih otokih, Portoriku in obali Floride nahajajo trije svetilniki, ki sinhrono oddajajo signal. Kako se bodo opremljeni z zemljevidom, podatkih o časovnih razlikah med prispelimi signali in matematicnim znanjem rešili iz zagate? Strmoglavljenci so se iskanja položaja lotili z geometrijo. Vedeli so, da je hiperbola množica tock, za katere je absolutna vrednost razlike razdalj od dveh izbranih tock konstantna. Iz casovnih razlik v prejemu signalov so za vsak par svetilnikov izracunali razliko med razdaljama od njihovega nahajališca do posameznega svetilnika. Na zemljevidu so nato želeli narisati hiperbole z gorišci na mestu svetilnikov in konstantno razliko razdalj, ki ustreza razlikam med razdaljami do svetilnikov, ter poiskati njihovo presecišce (ki predstavlja lego Marsovcev). A kaj vec od šestila in geotrikotnika med razbitinami niso našli. Newton jim je prišepnil, da se je z ekvivalentnim 1Clanek je nastal na poletnem taboru MaRS 2016 (Matema-ticno Raziskovalno Srecanje za srednješolce). geometrijskim problemom ukvarjal Apolonij. Seveda smo jim tudi zemeljski MaRSovci priskočili na pomoč. Apolonijeva krožnica Apolonij iz Perge je v 3. stoletju pr. n. št. formuliral in rešil sledeči problem: Problem. Načrtaj vsaj eno krožnico, ki je tangentna na tri dane krožnice v ravnini. Kako sta Apolonijev problem in težave Marsovcev sploh povezana? Recimo, da je razlika med razdaljama do svetilnika A in do svetilnika B enaka % ter razlika med razdaljama do svetilnika A in do svetilnika C enaka y. Ladja S je od tocke A oddaljena za rs + r2, od tocke B za rs + r1 in od tocke C za rs + r3 (slika 1). Torej je razlika med razdaljama do svetilnika A in do svetilnika B enaka r1 - r2 = % ter razlika med razdaljama do svetilnika A in do svetilnika C enaka SLIKA 1. Slika prikazuje oba načina iskanja lege Marsovcev. Ti se nahajajo na presečišču dveh hiperbol, kije hkrati središče krožnice; ta je rešitev Apolonijevega problema. 4 PRESEK 45 (2017/2018)4 MATEMATIKA r3 - r2 = y. Izberemo poljubni r2 in na zemljevidu narišemo krožnice s središči v svetilnikih in polmeri ri = x + r2, r2 in r3 = y + r2. Točka, kjer se nahajajo Marsovci, je središče krožnice, ki je tangentna na vse tri krožnice s središči v svetilnikih. V zgodovini so se matematiki (in obupani brodo-lomci) naloge lotevali na razlicne nacine; med drugim s hiperbolami, nekateri pa algebraicno. Mi smo se konstrukcije krožnice lotili z inverzijo. Poglejmo si, kaj je inverzija. ■ krožnico, ki gre skozi središce O, v premico; ■ krožnico, ki ne gre skozi središce O, pa v krožnico. Poglejmo si dokaz lastnosti ohranjanja kotov: Izberimo dve tocki A in B .V trikotniku OAB oznacimo z a kot z vrhom v tocki A in z / kot z vrhom v tocki B. Narišimo še tocki Ar in B', ki sta inverzni tocki tock A in B (slika 3). Definicija. Inverzna tocka tocke A glede na krožnico K s središcem O in polmerom r je tocka A', ki leži na poltraku O A tako, da velja ■ |OA| ■ |OA'| = r2. Na sliki 2 vidimo inverz tocke A glede na krožnico K. Posebnost je središce O, katerega sliko nam definicija ne poda. Po dogovoru se preslika v neskonc-nost (in tocka v neskoncnosti v središce O). SLIKA 2. Inverzna točka točke A Navedimo nekaj lastnosti inverzije. Inverzija ohranja kote in preslika iz notranjosti krožnice K v njeno zunanjost (in iz zunanjosti v njeno notranjost). Preslikava preslika ■ tocko, ki se nahaja na krožnici K, samo vase; ■ premico, ki ne gre skozi središce O, v krožnico, ki poteka skozi središce O; ■ premico, ki gre skozi središce O, samo vase; SLIKA 3. Tocki A in B, pripadajoča kota in inverzni tocki Oglejmo si trikotnik O A' B'. Vemo, da velja |OA| ■ |OA'| = r2 in |OB| ■ |OB'| = r2, torej velja |OA| ■ |OA'| = |OB | ■ |OB'| ali drugace zapisano b |OA| = |OB' | |OB | |OA'|" Izrek o podobnosti trikotnikov pravi, da sta si dana trikotnika podobna, ce se ujemata v razmerju dveh stranic in kotu med njima. Ker je kot z vrhom v tocki O trikotnikoma OAB in O A! B' skupen, iz zgornjega razmerja sledi, da sta si trikotnika OAB in OB'A' podobna. Kot z vrhom v tocki A' je torej enak kot z vrhom v tocki B' pa je enak a (slika 4). Vzemimo zdaj kot, katerega krak ne precka sredi-šca krožnice. Oznacimo vrh kota z B in po eno tocko na vsakem kraku z A in C ter njihove inverzne tocke B', A' in C' (slika 5). Oznacimo kote v trikotniku ABC z in y. Iz prvega dela dokaza sledi, daje kot OB' C' enak y, zunanji kot kota OB'Ar pa je enak a (slika 6). Ker je vsota kotov v trikotniku enaka iztegnjenemu kotu, sledi, da je kot C'B'Ar enak /3; torej inverzija res ohranja kote. PRESEK 45 (2017/2018)4 5 MATEM ATI KA SLIKA 4. Trikotnika OAB in OB'A' sta si podobna. SLIKA 6. Pari skladnih kotovv začetni in inverzni sliki SLIKA 7. Konstrukcija inverzne točke. SLIKA 5. Opazovani kot (zgoraj) in pripadajoče točke, s katerimi si pomagamo pri opazovanju kota (spodaj). Dokaze preostalih lastnosti lahko bralec najde v [4, poglavje 1]. Oglejmo si še poseben primer slike 4. Kot a naj bo pravi kot, tocka B pa naj se nahaja na krožnici K, kot prikazuje slika 7. Slika nam pravzaprav prikazuje zamisel, kako skonstruiramo inverzno tocko A' tocke A. Kakšen je torej postopek konstrukcije? Najprej narišemo poltrak OA, nato pa pravokotnico na poltrak skozi tocko A. V tocki, v kateri pravokotnica seka krožnico K, narišemo tangento na K. Presečišče tangente in poltraka O A je inverzna tocka A'. Opremljeni z novim znanjem se lahko zdaj lotimo reševanja našega problema (in brodolomcev). Rešitev problema. Iskanja rešitve se lotimo po korakih: (i) Posamezno krožnico zmanjšamo za polmer najmanjše krožnice r1. S tem najmanjšo krožnico zmanjšamo v tocko, ki jo oznacimo z A, namesto drugih dveh krožnic pa imamo zdaj dve manjši kro-žnici, ki ju poimenujemo f in g. Krožnica, ki se do- 6 PRESEK 45 (2017/2018)4 M ATEMATI KA SLIKA 8. Zgoraj: Začetne krožnice in rešitev Apolonijevega problema (modra krožnica t). Spodaj: Začetne in zmanjšane krožnice ter rešitev začetnega in poenostavljenega problema. K SLIKA 9. Zgoraj: Inverzija krožnic f in g preko krožnice K. Spodaj: Skupne tangente krožnic f' in g'. tika krožnic f in g ter gre skozi točko A, ima središče v isti točki kot rešitev našega problema, polmer pa ima za r1 večji. S tem smo problem poenostavili na iskanje krožnice, ki se dotika dveh krožnic in gre skozi dano točko (slika 8). (ii) Preko krožnice K s središčem v točki A in poljubnim polmerom invertiramo krožnici f in g ter točko A. Sliki krožnic f in g sta krožnici, ki ju označimo f' in g', slika točke A pa je točka v neskončnosti. Krožnica, ki reši poenostavljen problem, poteka skozi točko A, ki smo jo izbrali za središče inverzije, zato je njena slika premica. Ker se ta krožnica dotika krožnic f in g, se njena slika dotika krožnic f' in g', torej mora biti skupna tangenta f' in g' (slika 9 spodaj). (iii) Na invertirani krožnici in f' narišemo skupno tangento. Možne tangente so štiri, izbrali pa bomo tisto, ki se krožnic in f' dotika na zunanji strani glede na središče krožnice K 2 (slika 9 spodaj). (iv) Tangento invertiramo preko krožnice K. Slika tangente je krožnica, ki se dotika krožnic f in g ter poteka skozi tocko A. (v) Dobljeno krožnico nato zmanjšamo za polmer najmanjše krožnice ri. Tako dobimo krožnico t, ki je rešitev zacetnega problema. 2Ce bi izbrali tangento, ki se krožnic q' in f' dotika na notranji strani glede na središče krožnice K, bi dobili drugo rešitev. Premislite lahko, zakaj preostali dve tangenti v tem primeru ne dasta rešitve. PRESEK 45 (2017/2018) 3 7 MATEM ATI KA SLIKA 10. Možne rešitve Apolonijevega problema za tri krožnice Marsovci so tako sporočili, kam jih lahko MaRSovci pridemo iskat. Po uspešni reševalni akciji smo se skupaj usedli za mizo in vneto premlevali, če je za dani problem na voljo več rešitev. Ugotovili smo, da ima problem osem rešitev. Preostale rešitve problema. V koraku (iii) konstrukcije rešitve lahko na invertirani krožnici g in f narišemo skupno tangento, ki se krožnic q' in f' dotika na notranji strani glede na središce krožnice K. Tangento invertiramo preko krožnice K in dobljeno krožnico povecamo za polmer najmanjše krožnice r1. Tako dobljena krožnica je druga rešitev Apolo-nijevega problema, ki prvotne krožnice zaobjame v svoji notranjosti. Možnih je nadaljnih šest rešitev, ki se prvotnih krožnic dotikajo izmenicno na zunanji ali notranji strani. Konstrukcije teh rešitev se razlikujejo v tem, da v koraku (i) v rešitvi problema ne zmanjšamo vseh treh krožnic, temvec eno ali obe izmed vecjih dveh krožnic povecamo za polmer ri in v izbiri tangente v koraku (iii) (slika 10). Število možnih rešitev je v splošnem osem, vendar je to odvisno od razporeditve objektov v ravnini. V nekaterih primerih je tako mogoce dobiti neskoncno rešitev. Predstavimo jih nekaj: ■ Tri krožnice, ki sovpadajo. Izberemo lahko poljubno tocko, skozi katero nacrtamo krožnico, katere polmer naj bo razdalja od krožnice do tocke. Tako dobimo neskoncno mnogo rešitev. Tri poljubne krožnice, ki se stikajo v eni tocki, pri cemer mora vsaj ena ležati znotraj druge. Za sre-dišce rešitve si izberemo poljubno tocko na premici, ki povezuje središca krožnic. Rešitvena kro-žnica poteka skozi dotikališce krožnic. Tako dobimo neskoncno mnogo rešitev (slika 11 levo). ■ Dve poljubni krožnici, ki sovpadata, ter ena, ki leži zunaj njiju in se ju ne dotika. Središci krožnic sta gorišci hiperbol, ki imata stalno razliko razdalj do gorišc enako vsoti oz. razliki polmerov danih krožnic. Tako dobimo dve hiperboli, na katerih ležijo središca krožnic, ki so rešitve tega primera (slika 11 desno). Po drugi strani pa problem nima rešitve, kadar so središca enako velikih krožnic, ki se ne stikajo, koli-nearna. Druga možnost, kjer rešitev ni, je, kadar ena krožnica leži v notranjosti druge in se krožnice ne dotikajo (slika 12). 8 PRESEK 45 (2017/2018)4 M ATEMATI KA SLIKA 11. Primera s neskončno rešitvami. Na levi je množica vseh središč rešitev Apolonijevega problema premica na desni pa središča rešitev ležijo na hiperbolah. 0)o © OO SLIKA 12. Primera, kjer rešitve ni. Zaključek Skonstruirali smo rešitev Apolonijevega problema, premislili, koliko različnih rešitev ima problem v splošnem primeru, in našli nekaj posebnih primerov z neskončno rešitvami in brez rešitev. V tem trenutku se nam lahko porodi vprašanje, kako bi rešili t. i. posplošeni Apolonijev problem, ki nas sprašuje, kako poiskati vsaj eno krožnico, ki je tangentna na tri dane objekte v ravnini, pri čemer so ti objekti lahko točka, premica ali krožnica. Ce vas je Apoloni-jev problem pritegnil, lahko sami poskusite rešiti še posplošeni problem. www.dmfa-zaloznistvo.si www.presek.si Literatura [1] Wikipedia (2016), Problem of Apollonius, dostopno na en.wi ki pedi a.org/wi ki/Probl em_ of_Apol l oni us, ogled 17. 8. 2016. [2] J. Cox in M. B. Partensky, Spatial Localization Problem and the Circle of Apollonius, 2009, dostopno na arxiv.org/ftp/physics/papers/ 0701/0701146. pdf, ogled 17. 8. 2016. [3] M. Hladnik, Grška matematika poEvklidu, 2012, dostopno na www.fmf.uni-lj.si/~hl adni k/ ZgodMat/Arhi med (b) . pdf, ogled 17. 8. 2016. [4] K. Kozai in S. Libeskind, Circle Inversions and Applications to Euclidean Geometry, 2009, dostopno na jwilson.coe.uga.edu/ MATH7200/Inversi onCompani on/inversi on/ inversionSupplement.pdf, ogled 17. 8. 2016. _ XXX PRESEK 45 (2017/2018) 3 9 MATEM ATI KA Po sledi neke neenakosti •is •i' ■i' Marija D. Miloševič Na pripravah za tekmovanje iz matematike so Zoran, Irena, Marjan in Zdenka reševali naslednjo nalogo: Dokaži, da za a > b > 0 velja naslednja neenakost: a2 b2 — - — > a - b. ba (1) Zoranova rešitev. Iz pogoja naloge a > b sledi a -b > 0. Z množenjem te neenakosti z 1 in z 1 do- 2 , 2 v bimo ab— a > 0in b - > 0. Ce seštejemo ti dve neenakosti, dobimo — - a + b - — > 0, od koder sledi iskana neenakost (1). Irenina rešitev. Zaradi a > b je a < - oz. - - a > 0. Ce to neenakost pomnožimo z a2 + b2, dobimo a2+b2 ' ' ' ' ' ' b a - b, tj. (1). Marjanova rešitev. Pogoj a > b nam da - > 1. Z množenjem te neenakosti po vrsti z a2 in b2 dobimo — > a in b > ^r. Ce seštejemo ti dve neenakosti, a2+b2 . n „i- a2 . i „ b2 . n „„ a2 b2 . -+- > 0ali ab + b - a - a > 0oz- -b - a> dobimo b + b > a + a2, od tod pa je b - a > a - b. Zdenkina rešitev. Iz a > b sledi a - b > 0. Potem je (a - b)(a2 + b2) > 0 in od tod a3 - b3 - a2b + ab2 > 0, ali a3 - b3 > ab(a - b). Z deljenjem zadnje neenakosti z ab dobimo a3-b3 b2 koncno sledi neenakost (1). ab Poglejmo, ce je neenakost (1) mogoče še izboljšati. Za a > b > 0 velja bolj natančna neenakost 1 a2 b2 T7 -;---I > a - b. 3 \ b a (2) Rešitev. Iz neenakosti (a - b)2 > 0 sledi a2 + ab + b2 > 3ab. Ce to neenakost pomnožimo z a - b > 0, dobimo (a - b)(a2 + ab + b2) > 3ab(a - b), tj. a3 - b3 > 3ab(a - b). Po deljenju z 3ab sledi 3 (b - -r) > a - b, (za a > b > 0), kar je bilo treba dokazati. Naloge za samostojno delo Za pozitivni števili a in b dokaži naslednji neenakosti: b2 b>a+b 1 (b - b?) > a2 - b2, za a > b. Dokaži, da za pozitivni števili a in b velja naslednja neenakost ± (f + > ^ a+b XXX > a - b, od tod pa Rešitvi nalog iz prejšnje številke •is "is •i' Marko Razpet 1. Za peterico ■ (2n, 2n + 1, 2n + 2,6n2 + 6n + 2,6n2 + 6n + 3), (1) ki ima očitno za vsako naravno število n naravne koordinate, moramo preveriti enakost ■ (2n)2 + (2n + 1)2 + (2n + 2)2 + (6n2 + 6n + 2)2 = (6n2 + 6n + 3)2 . (2) 10 PRESEK 45 (2017/2018)4 M ATEMATI KA Spomniti se je treba, da je kvadrat troclenika enak vsoti kvadratov posameznih njegovih clenov in vseh dvakratnih produktov po dva clena. Racun poteka tako: ■ 4n2 + (4n2 + 4n + 1) + (4n2 + 8n + 4) + (36n4 + 36n2 + 4 + 72n3 + 24n2 + 24n) = = 36n4 + 36n2 + 9 + 72n3 + 36n2 + 36n = (6n2 + 6n + 3)2 . S tem je enakost (2) preverjena. Najvecja je peta koordinata 6n2 + 6n + 3, ki ne presega 100 samo za n = 1, 2, 3. Tedaj dobimo pita-gorejske peterice: ■ (2, 3,4,14,15), (4, 5,6, 38, 39), (6, 7,8, 74, 75). Opomba. Z uporabo peterice (1) ne dobimo vseh pitagorejskih peteric. Pitagorejske peterice (2,4,6,13,15), npr. ni med njimi. 2. Uporabimo enakost a2 - b2 = (a - b)(a + b) i in V posebnem primeru q = 10 je 1 1 + 10 + 102 + ... + 10n = - (10n+1 - 1). 9 (4) Enakost (3) lahko sedaj z uporabo mestnega zapisa in (4) preverimo tako: 55 ... 5 62 - 44 ... 4 52 = (55... 5 6 - 44... 4 5)(55... 5 6 + 44... 4 5) n n n n 11... 1 -1 00... 0 1 = n+1 n (10n + ... + 10 + 1)(10n+1 + 1) = 1(10n+1 - 1)(10n+1 + 1) = 9 9 ((10n+1)2 -1) = 9 (102n+2 -1) = 1 + 10 + ... + 102n+1 = 11... 1 . 2n+2 XXX dobimo: 62 - 52 = (6 - 5)(6 + 5) = 1 ■ 11 = 11, 562 - 452 = (56 - 45)(56 + 45) = 11 -101 = 1111, 5562 - 4452 = (556 - 445)(556 + 445) = 111 ■ 1001 = 111111, 55562 - 44452 = (5556 - 4445)(5556 + 4445) = 1111■10001 =11111111. Predvidevamo, da velja enakost 55... 5 62 - 44... 452 = 11... 1 n n 2n+2 (3) Ce hocemo (3) zares izpeljati, ne le uganiti, se moramo spomniti, kaj desetiški mestni zapis števil sploh pomeni. Primer: 1949 je le krajši zapis števila 1 ■ 103 + 9 ■ 102 + 4 ■ 10 + 9. Brez težav pa lahko krajše izrazimo vsoto Sn = 1 + q + q2 +... + qn, kjer je q poljubno število, ki ni enako 1, n pa poljubno naravno število. Ker je qSn = q + q2 +q3 +.. .+qn + qn+1 = Sn-1 + qn+1, dobimo Sn iz enacbe qSn = Sn + (qn+1 - 1): Sn = 1 + q + q2 + . . . + qn = q n+ 1 -1 q-1 SLIKA K MATEMATIČNEMU TRENUTKU. Bitcoin je primer kriptovalute, to je, sistema digitalnega plačila, ki obstaja le v elektronski obliki. Več lahko izveste v matematičnem trenutku na strani 2. _XXX PRESEK 45 (2017/2018) 3 11 FIZIKA Led sijalke •is "is -i' Peter Leciša Napajalniki in utripanje Svetleče diode (angleško LED, light emitting diode) so polprevodniški elementi. Kot druge diode prepuščajo tok le v eni smeri; ampak, kot ime pove, LED pri tem oddajajo svetlobo. Ce na diodo, ki prepušča tok le v eni smeri, priključimo izmenično napetost U(t), pride skoznjo idealizirana napetost U + (t). Ta je enaka U(t), kadar je U(t) > 0, in enaka 0, kadar je U(t) < 0. Pravimo, da je U + pozitivni del funkčije U. Ce je U periodična, ima U + enako periodo kot U. (V resniči dioda potrebuje neko minimalno napetost, da začne prevajati.) Na sliki 1 je U(t) = sin(2nt). Za ta primer imamo na sliki 2 narisan graf za U + . V praksi tak preprost polvalni usmernik uporabljamo le redko, za kaka nezahtevna opravila. Svetleče diode praktično trenutno reagirajo na spremembe toka. Ce LED priklju- 0.5 0 ,5 1 l ~°r 0 0 1 SLIKA1. Sinusna izmenična napetost U(t) = sin(2nt) čimo neposredno na izmenično napetost, bo svetila le takrat, ko bo napetost pravega predznaka (in dovolj velika), sičer pa bo temna. Svetloba bo torej zelo močno utripala s frekvenčo priključne napetosti. Najčenejše LED verige, ki jih obešajo za praznike, so sestavljene iz velikega števila zaporedno vezanih diod (in morda še upornika za omejitev toka), neposredno priključenih na omrežno napetost. Posledično taka veriga zelo močno utripa s frekvenčo 50 Hz. To je vidno zlasti, če se verige premikajo v vetru ali če jih oplazimo s pogledom. V povprečju je taka veriga več kot pol časa temna. Tudi zaradi varnosti odsvetujemo nakup in uporabo takih izdelkov. (Še bolj nevarne in zelo potratne so verige z zaporedno vezanimi klasičnimi žarničami ali halogenkami, pri katerih lahko nastanejo visoke temperature.) Z malo bolj zapletenim »mostičnim« vezjem s štirimi diodami (angleško bridge rectifier) - glejte re-čimo [1] - dobimo t. i. polnovalni usmernik , ki nam daje na izhodu idealizirano napetost V(t) = IU(t)l. Velja: - U(t) + IU(t)l= 2U +(t). Na sliki 3 imamo narisan graf za V, če je U(t) = sin(2nt). Ce je U(t) = sin(2nvt), se pravi, ima frekvenčo v, ima V pol krajšo periodo in frekvenčo 2v. V našem omrežju imamo napetost s frekvenčo 0.5 - J A A r r I ■0.5 0 0.5 1 1.5 2 I I I I I I SLIKA 2. Pozitivni del funkčije U(t) = sin(2nt) 12 PRESEK 45 (2017/2018) 3 fizika 50 Hz. Torej enosmerna napetost iz polnovalnega usmernika niha s 100 Hz in stokrat na sekundo pade na vrednost 0. Smiselno je svetlečo diodo priključiti na tak usmernik. Pred usmernikom potrebujemo navadno še transformator, ki zniža napetost; kom-binačija obojega je najpreprostejši napajalnik. Prej smo omenili LED verige. Danes za zmerno čeno dobimo take verige, pri katerih so posamezni elementi vezani vzporedno na polnovalni napajalnik. To pomeni zaradi nizke napetosti v verigi bistveno večjo varnost. Napajalnik je lahko kot zgoraj skupen za več sijalk ali pa vgrajen v okov sijalke. Ce polnovalni napajalnik usmerjenega toka ne gladi, svetlobni tok stokrat na sekundo pade praktično na nič (glejte tudi [2]). Taka razsvetljava torej spominja na stroboskop s frekvenčo 100 Hz in je nevarna v bližini strojev. (Ce rečimo šivalni stroj deluje s 100 vbodi na sekundo, je ob vsakem zaporednem svetlobnem impulzu igla na istem mestu in je tako videti, kot da stroj stoji. Podobni problemi lahko nastopijo pri vrtečih se napravah.) Ceprav tega utripanja večina ne zazna neposredno, določenemu delu populačije predstavlja težave. Tako utripanje ni primerno za pisarne, učilniče. Dobri napajalniki zgladijo tok in dobimo praktično konstantno svetlobo, bolj stalno kot klasična ali halogenska žarniča. Za glajenje toka uporabljamo kondenzatorje ali pa bolj zapletena vezja, ki tudi vsebujejo kondenzatorje. Elektrolitski kondenzatorji pa so najbolj pokvarljivi del elektronike. To je eden od razlogov, zakaj nekateri izpuščajo glajenje. Drugi je ta, da se pri glajenju izgubi nekaj energije. Vendar se da, kot 1 o. ■0.5 0 0.5 1 1.5 2 zatrjujejo, izgube pri glajenju zmanjšati na nekaj (35) odstotkov, ne da bi to bistveno podražilo sijalko. Boljši kondenzatorji so fizično večji, zato predstavljajo problem pri miniaturizačiji. LED sijalke znanih znamk navadno nimajo večjih težav z utripanjem, čeprav nekatere v tem pogledu niso idealne. Drugače pa je s čenenimi izdelki. SLIKA 4. Utripanje svetlobe pri ceneni LED sijalki 4 W, 3000 K SLIKA 3. SLIKA 5. Funkcija V je absolutna vrednost funkcije U(t) = sin(2nt). Utripanje poceni LED sijalke 3 W, 2700 K PRESEK 45 (2017/2018)4 13 FIZIKA —^ V naši znani internetni trgovini smo kupili dve LED sijalki manj znanih znamk z navojem E27. Prva ima ugodno ceno in daje povsem konstantno svetlobo, ki pa vlece na rumeno-zeleno. Druga, še cenejša, utripa kot za stavo s 100 Hz (posnetek njene svetlobe je na sliki 4). Fotografija je bila posneta s pametnim telefonom, usmerjenim na bel karton, ki smo ga postavili tik zraven sijalke. Vidimo, da svetloba sijalke stokrat na sekundo pade prakticno na nic. (Vec o fotografiranju utripanja bomo povedali v clanku Žarnice in sijalke. Uporabljamo efekt zave-snega zaklopa, o katerem je nedavno [3] pisal Presekov urednik dr. Aleš Mohoric. Ce izvor svetlobe ni ravno tockast in zelo intenziven, lahko telefon usmerimo neposredno na sijalko in vidimo morebitno utripanje.) Žal smo zamudili štirinajstdnevni rok, ko lahko stvari, kupljene na daljavo, vrnemo brez razlage. Enako mocno utripa poceni LED sijalka iz diskontne trgovine. Njeno utripanje je zabeleženo na sliki 5. Utripanje svetlobe lahko odkrijete tudi tako, da s svincnikom ali roko mahate sem ter tja blizu svetila. Ce vidite zaporedje zamaknjenih slik, je sum potrjen. Uporaba in težave Z LED sijalkami so tudi težave. Pri visokih temperaturah imajo vecinoma manjši izkoristek in se lahko pokvarijo. Diode so sicer pritrjene na aluminijast nosilec, ki odvaja toploto. Starejše sijalke so imele vecinoma tudi hladilna rebra. Uporaba v svetilkah brez ventilacije je vseeno problematicna, ce ni poskrbljeno za odvajanje toplote iz svetilke. V takem primeru moramo poiskati LED sijalke, ki bolje prenašajo višje temperature. To lahko piše na deklaraciji ali pa to razberemo iz neodvisnih testov. Prav tako »ledice« ne prenašajo prenapetostnih sunkov. Že mala povecanja napetosti nad normalo lahko pov-zrocijo velike spremembe v toku skozi diodo. Zato imajo navadno vgrajen stabilizator toka - podobno kot fluorescencne svetilke. O utripanju smo že govorili. Napajalniki nekaterih sijalk oddajajo zvoke. Mnoge sijalke svetijo le v eni smeri. To lahko deloma ugotovimo že iz podobe sijalke. Ce je svetleci del omejen le na vrh sijalke, bomo navadno imeli bolj malo svetlobe v smeri od vrha nazaj. Danes lahko dobimo »ledice« s svetlecimi nitkami (filamenti), s prozorno ali le rahlo matirano hruško, ki so zelo podobne klasicni žarnici in svetijo skoraj v vse smeri. Primer imamo na sliki 6. Za zatemnjevanje so primerne le z dimmable oznacene sijalke, in to le z nekaterimi zatemnilnimi stikali (»dimerji«). Ena rešitev je napajalnik z vgrajenim zatemnjevanjem za vec sijalk. Uporablja PWM metodo. Kratica pomeni Puls Width Modulation ali pulzna širinska modulacija. To zveni silno uceno, a gre le za to, da pri zatemnjevanju periodicno iz-kljucujemo tok. Tako enosmerni tok razsekamo na SLIKA 6. LED sijalka z nitkama daje 250 lumnov pri 2 W. SLIKA 7. Pulzno širinska modulacija periodično blokira tok skozi porabnik. 14 PRESEK 45 (2017/2018) 3 FIZIKA pulze. Za vecjo zatemnitev skrajšamo širino tokovnih pulzov, tako da so diode dalj casa temne. Na sliki 7 vidimo primer poteka toka. Plošce na steklokera-micnem štedilniku delujejo na pulzno širinsko mo-dulacijo: grelni elementi se v taktu nekaj sekund prižigajo in ugašajo. Podobno je pri indukcijskih plo-šcah. Na najnižji stopnji je plošca dolgo izkljucena in le kratek cas vključena. Da ne obcutimo utripanja svetlobe, se morajo pri LED sijalkah cikli prižiganja in ugašanja ponavljati vsaj petstokrat v sekundi. Ker so zatemnjevalniki lahko tudi glasni, nekateri prisegajo na frekvenco 30 kHz, ker zvoka s to frekvenco ne slišimo vec. Žal se nekateri proizvajalci zadovoljijo s 100 Hz ali še manj. Primer so zavorne LED luci na nekaterih avtomobilih. Da te luci delujejo kot pozicijske, jih zate-mnijo s pulzno metodo, kar pa pri nizkih frekvencah moti druge udeležence v prometu. Od 16 kupljenih LED sijalk z navojem E27 sta dve zaceli migotati v prvi minuti, štiri pa so se pokvarile po nekaj mesecih uporabe. Vsekakor nima smisla kupovati poceni. Testi žal kažejo, da so tudi med dragimi sijalkami crne ovce, ki že po nekaj sto urah svetijo bistveno šibkeje. Mnoge firme dajejo dvo ali štiriletno garancijo, zato spravimo racun. Navadno se napake pokažejo že v prvih nekaj mesecih uporabe. Nemška potrošniška revija je leta 2011 izbrala deset LED sijalk, ki so se dobro izkazale na nekajme-secnem testu. Pustili so jih prižgane noc in dan šest let. Vmes so vsako približno milijonkrat prižgali in ugasnili. Izbrane sijalke so to brez težav prestale. Njihova svetlobni tok se je po 45 tisoc urah zmanjšal za manj kot 20 odstotkov, le svetloba je scasoma postala nekoliko toplejša. Za primerjavo: navadna žarnica zdrži kakih tisoc ur, halogenska okrog dva tisoc. Problem je lahko zamenjava malih halogenskih žarnic (na napetost 12 V) z LED sijalkami. Vecina takih ledic je sicer primernih za izmenicno napetost, kar pomeni, da vsebujejo polnovalni usmernik in lahko tudi glajenje. Halogenke so pogosto prikljucene na visoko ucinkovit elektronski transformator, ki dobro deluje le pri precejšnji obremenitvi. (Minimalna in maksimalna obremenitev sta na transformatorju vidno zapisani.) Ledice predstavljajo - ob istem svetlobnem toku - bistveno manjšo, veckrat premajhno obremenitev za elektronski transformator. Nekateri si menda pomagajo tako, da pustijo prikljuceno vsaj eno požrešno in zelo vroco halogenko. Najvarneje je transformator zamenjati s stabiliziranim napajalnikom za »ledice«. Napajalnik z zatemnjevanjem je le nekaj dražji. Upoštevati moramo še, da so ledice vecinoma vecje. Vecni problem je oblikovanje svetilk. Slaba konstrukcija pogosto poskrbi za to, da v svetilki »izgine« (se pretvori v toploto) velik del svetlobe, da svetilke povzrocajo blešcanje, sijalke v njih zaradi pregrevanja odpovedujejo. Prednosti in paleta možnosti Kakovost LED sijalk se izboljšuje in cene padajo. Najboljša sijalka z navojem E27 in mocjo 9 W je imela že poleti 2016 izkoristek skoraj 90 lumnov na watt, indeks barvne vernosti (videza) Ra = 94, konstantno svetlobo in dolgo življenjsko dobo. Tu je Ra, indeks barvnega videza (barvne vernosti), ki je lahko največ 100 in pove, kako dobro svetloba podaja barve. (Klasične žarnice in halogenke imajo Ra enak 100 ali praktično 100. Nekateri namesto Ra uporabljajo oznako CRI, Color rendering index.) V isti kategoriji je navišji izkoristek imela zelo kakovostna sijalka s svetlečimi nitkami s 130 lumni na watt konstantne svetlobe in Ra = 82, ki pa ni bila povsem neslišna. Za primerjavo: halogenske žarnice z navojem E27 dajejo okrog 15 lumnov na W. Svetleče diode same po sebi oddajajo enobarvno svetlobo. Spekter je sičer zvezen, a navadno zelo ozek. Rdeče LED so idealne za zadnje in zavorne luči na vozilih. Klasične luči uporabljajo žarniče, pokrite z rdečo plastiko. Ta prepušča manj kot 20 odstotkov svetlobe, torej gredo vsaj štiri petine svetlobe žarniče v nič. Denimo, da žarniča oddaja 15 lumnov na watt. Skozi pokrov pride kvečjemu 3 lumne rdeče svetlobe na W. Rdeča LED ne potrebuje filtra in daje 35 ali več lumnov na watt. Tudi če je rdeča LED (po nepotrebnem) pokrita z rdečo plastiko (ali steklom), ta prepušča veliko večino njene svetlobe. Tako so rdeče LED luči vsaj desetkrat učinkovitejše. Tudi pri semaforjih so prihranki veliki. V njih so včasih uporabljali žarniče z zelo nizkim izkoristkom, da bi imele daljšo življenjsko dobo. Problem z LED semaforji lahko nastane le pozimi, saj ne oddajajo toliko toplote, da bi stalili sneg, napihan na luči. 18 > d .cd ra T3 U1 ra ra PRESEK 45 (2017/2018)4 15 RAZVEDRI LO sU vU nU Nagradna križanka KOLIČINA TEKOČINE, KI STEČE SKOZI AVTOR MARKO BOKAUČ LEPILO ŽIVALSKIH SNOVI KARMEN ŠVEGL TRTA, KI ZGODAJ DOZORI INVINO IZ NJE MESTO V SREDNJEM DELU NIZOZEMSKE JURE IVANUŠIČ PREŠERNOVA ROJSTNA VAS SLAP POTOKA GUJUN PRI BOVCU GRŠKI MITIČNI PEVEC, EVRIDIKIN MOŽ STROKOVNJAK ZA PRAVILNO SKLEPANJE KLEMEN JANEŽIČ PRIPRAVA ZA TEHTANJE POKOJNI AMERIŠKI BOKSARSKI ŠAMPION (MOHAMED) LATINSKI VEZNIK HRANJENJE OTROKA NA MATERINIH PRSIH NAŠA MLADA EKAČICA EZ OVIRE ZUPIN ŽIVILO IZ GROBO ZMLETEGA ŽITA NEMŠKI MATEMATIK (LEOPOLD) FRANC. SKLADATELJ IN DIRIGENT (PIERRE) DESNI PRITOK LOARE IN PROVINCA V ZAHODNI FRANCIJI PEVKA ZORE LADIJSKA PLOŠČAD, PALUBA REŽISER ŽIVADINOV NAJVEČJA REKA V KATALONIJI SREDIŠČE FR. DEPART-MAJA VOSGES OB MOZELI NOVINARKA PIRŠ DRŽAVNA UREDITEV a: POTRESA MESTO NA AŽURNI OBALI POLETNO OBUVALO TOVARNA GRADBEN. MATERIALA IZŽGANE GLINE BULDOŽER NEM. PISAT. (FIREDRICH) NAŠA PISAVA PRITOK GARONE PRIAGENU IZBOKLINA NA HRBTU TKANINA ZA VEZENJE SKLADAT. DELIBES GOZDNI SADEŽ ODVET-NIKOVA STRANKA OD NJE JE ODVISNA SILA KORINTSKI KRAU, KIJE VZGAJAL OJDIPA ANGLOAM. ENOTA ZA POVRŠINO DEŽNIK (LJUDSKO) DRŽAVA V INDIJI STARORUS. VELEPOSESTNIK HVAU-SANJE NIKOLA TESLA DEL OBRAZA IGRALKA DOLINAR BELJAKOVINA, KI SODELUJE PRI PRESNOVI IGRALKA RAKOVEC ITALIJANSKI NARAVOSLOVEC NEMŠKO IME REKE RABE NAŠA POKOJNA SOPRA-NISTKA (IRENA) KOLIČINA Z ENOTO PASCAL NABRUSE-NOST REZILA 16 PRESEK 45 (2017/2018)4 RAZVEDRILO PREHLADNO STANJE S SLUZASTIM IZCEDKOM IZ NOSU PRIZEMSKI DALJNOGLED RAVNOTEŽNI KAMENČEK V UŠESU LOJZE VODOVNIK . ZELO CLENOVn JADRANSKI OTOK ELEGANTNA LAHKO-ŽIVKA V FRANCOSKEM OKOLJU NOSIJO JIH SLABOVIDNI OBČUTEK NEMIRA, ODGOVORNOSTI PROGRAMSKI JEZIK, IMENOVAN POANG. MATEMA-TIČARKI IN PROG-RAMERKI LOVELACE ALJAŽEV STOJI NA TRIGLAVU, EIFFLOV V PARIZU ARKTIČNI JELEN Z LOPATAST. ROGOVJEM MRAČNOST MESTO ZASTOJA AKTIVNOSTI REKA V ŠPANSKIH IMENIH FRANCOSKI IGRALEC (PHIUPPE) UGRAB-LIENKA PREDNIK IRCEV AVSTRAL. SOPRAN. (NELLIE) ŠVIC. FIZIK IN MATEM. 8 KRIVULJA VTERMO-DINAMIKI IME VEČ PAPEŽEV 5 MAJHEN DEČEK V REJI VRANI SORODNA PTICA > ZAPOREDNI ČRKI ŽENSKA BEUČNICA MITIČNI KRALJ NA KRE1I, MINOSOV BRAT RAZISKOVALNI FILMSKI DETEKTIV VENTURA ŽGANA PIJAČA Z OKUSOM PO BRINU STAROGRŠKI TRAGIK JEZUSOV UČENEC, KI GA ENAČIJO Z JERNEJEM FRANCOSKI MODNI KREATOR (CHRISTIAN) VRH V JULIJCIH VISOK PLEMIŠKI NASLOV ZRAK (LAT.) SEZNAM MOŽNOSTI NA EKRANU, IZBIRNIK ČRKA, KI PREDSTAVLJA NEZNANKO DOLINA IDRIJSKEGA PRELOMA GRŠKI BOG SONCA 6 11 NAŠ IGRALEC (BORIS) NEVTRAL ZAMNOŽ. SUBJEKT SREDSTVO, KI ZMANJŠUJE OTEKLINE KOKOŠI, PERJAD KOREJSKA DENARNA ENOTA GLAVNA JUNAKINJA IZ DOGODKA V MESTU GOGI POMORSKA ENOTA ZA HITROST PREGANJANJE PALEC SPLAVAR-SKIDROG Z ŽELEZNO KLJUKO SPLETNA DOMENA AVSTRIJE KRAJ PRI ŽALCU AM. FIZIK, NOBELOVEC (DAVID M.) ŠPORTNI ZADETEK MOČNO POŽELENJE UGASLI VULKAN NA HAVAJIH (MAUNA) ŠAHOVSKA OTVORITEV NASA PESNICA (META) BOLNIK, KI IMA GONOREJO LONDONSKI DNEVNIK URADNA LISTINA NASIČEN OGUIKO- PRINC IZ MAHABHAR. 10 UPOŠTEVANJE NEKD. IZR. POLITIK (ABA) NAGRADNI RAZPIS KRAJ PRI PODČETRTKU REKA V ROMUNIJI IVAN VIDAV NEKDANJI TURŠKI VELIKAS -> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. marca 2018, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX KMEČKO VOZILO JAPONSKA MISELNA IGRA GLAVNO MESTO SVAZUA LARS ONSAGER MESTO OB GARONI V JUŽNI FRANCIJI 12 DEL STOPALA PRESEK 45 (2017/2018) 3 17 FIZIKA 15 au "c= CD > cu "a CD Astronomi pri nočnih opazovanjih uporabljajo svetilke s šibko rdečo svetlobo, saj ta ne moti prilagoditve na temo. Z LED tehnologijo se je poraba baterij v prenosnih svetilkah izredno zmanjšala, pri svetilkah z rdečo svetlobo pa še toliko bolj, kot smo izračunali malo prej. Vendar pa enobarvna svetloba včasih povzroči nepričakovane učinke. Na sliki 8 imamo isti objekt slikan v svetlobi bele LED in rdeče LED. V rdeči svetlobi del informačije izgine. Očitno rdeči napis odbija prav toliko rdeče svetlobe kot belo ozadje. V nekaterih domovih za ostarele uporabljajo ponoči šibko oranžno ali rumeno razsvetljavo. Modra komponenta svetlobe je namreč ponoči nezaželena, saj nas popolnoma »zbudi«. Na sliki 9 imamo karton s slike 8 v svetlobi rumene LED. Modrih resnično svetlih diod dolgo niso znali izdelati. Preboj so naredili okrog leta 1994 trije japonski znanstveniki: Isamu Akasaki, Hiroshi Amano in Shuji Nakamura. Leta 2014 so zato dobili Nobelovo nagrado za fiziko. Ta iznajdba je šele omogočila pravi razvoj LED razsvetljave. Bele LED sijalke lahko kombinirajo diode raznih barv (rdeče, modre in zelene). To omogoča izdelavo svetilk, ki spreminjajo barvo. Druga možnost za belo svetlobo so modre diode, pokrite s fluoresčenčnim slojem (kratko: fosforjem), ki del svetlobe pretvori v rumeno in rdečo. Fluoresčenčna prevleka razširi spekter, ki pa ima vrh v modrem delu, se pravi, da dioda oddaja še zmeraj prečej modre svetlobe. Spekter je zvezen, a opazno drugačne oblike kot spekter halogenke. Fluoresčenčni sloj zmanjša učinkovitost sijalke. Zadnji krik so lediče, ki imajo modre diode z zelenim fosforjem z minimalnimi izgubami in zraven zelo dobre rdeče diode. To omogoča visoko učinkovitost in visoko barvno vernost. Na embalaži LED sijalk imamo podatke o barvni temperaturi. Tudi o tem bomo več povedali v članku Žarnice in sijalke. Tako sijalka z barvno temperaturo 3000 K oddaja približno tako svetlobo kot črno telo s temperaturo 3000 K ali halogenska žarniča s 100 W. Višja temperatura pomeni večji delež modre in manjši delež rdeče svetlobe. Svetloba pod 3300 K je »toplo bela« in primerna za večino področij v stanovanju, za hodnike v stavbah. Od 3300 K in pod 5000 K imamo »hladno belo« ali »nevtralno belo« ali »naravno belo«, primerno za delovne prostore. Nad 5000 Kje »dnevno bela«. Uspešna rešitev za primere, ko potrebujemo več svetlobe, so svetilke z vgrajenimi izmenljivimi LED moduli. Dobre svetilke so konstruirane tako, da omogočajo odvajanje toplote z naravnim kroženjem SLIKA 8. Embalaža, osvetljena z belo in rdeco LED. SLIKA 9. Karton, osvetljen z rumeno LED. 18 PRESEK 45 (2017/2018)4 FIZIKA zraka skozi svetilko. Ce so zaprte, pa imajo aluminijasto ohišje v tesnem stiku z LED moduli in morda tudi hladilna rebra. Aluminij je namreč zelo dober prevodnik toplote, rebra pa povečujejo površino, ki oddaja toploto. To ščiti svetleče diode in elektroniko. Na evropskem trgu obstajajo čenovno dostopne svetilke brez utripanja, z daljinčem, s katerim lahko prilagajamo barvno temperaturo, denimo od 2200 K do 5000 K, in svetilko tudi zatemnjujemo. Zunanja LED razsvetljava Zunanja razsvetljava naj bi bila prilagodljiva, topla in ne premočna. Modra svetloba ima namreč negativen vpliv na astronomska opazovanja in spanec. Žal so do nedavnega hladno bele sijalke imele višji izkoristek. Tako so prodajalci cestne razsvetljave ponujali hladno bele svetilke, saj je bilo z njimi laže delati reklamo o prihrankih energije. Avtorju tega članka je ponoči modra svetloba LED prikazovalnika na glasbenem stolpu izrazito neprijetna. Obrtnik mu je odrezal kos temnordečega ple-ksi stekla za pokritje prikazovalnika in povedal, da k njemu pride prečej strank s podobnimi naročili. Zdaj lahko dobimo zelo učinkovite zunanje LED svetilke z 2700 K in menda čelo 2200 K, primerne za osvetlitev pločnikov in čest v naseljih. V kalifornijskem mestu Davis so zaradi pritožb stanovalčev morali čestno LED razsvetljavo s 4000-5000 K zamenjati za toplejšo z 2700-3000 K. V Sačramentu je močna razsvetljava mosta z belimi LED skoraj popolnoma ustavila selitev lososov pod njim. Svetilke so zato morali izključiti. Tudi v New Yorku so morali močno LED razsvetljavo nekoliko zatemniti. Zunanjo LED razsvetljavo čest lahko naredimo tako, da se njena intenzivnost hitro prilagaja gostoti prometa, kar je ugodno v vseh pogledih. Lahko jo čelo prižigamo za posameznega pešča. Bele LED sijalke imajo na nočni živi svet - metulje in druge žuželke, netopirje - negativen vpliv, bolj kot oranžno-rumene visokotlačne natrijeve sijalke, ki so bile do zdaj prečej običajne. Bele LED imajo namreč vrh v modrem delu spektra, kar pomeni, da tam oddajajo prečejšen del svetlobe. Na srečo pa ne oddajajo za okolje še bolj moteče UV svetlobe. Pri toplo belih LED sijalkah je modri vrh prečej manj izrazit. Za bližino narodnih parkov in astronomskih observatorijev več podjetij ponuja [4] oranžno-rumene (jantarne) ali rumeno-zelene LED svetilke, pri katerih je količina modre svetlobe zanemarljiva. To dosežejo, recimo, z dodatnim fluorescenčnim slojem na toplo beli LED ali pa z rumenim filtrom na beli LED. Rumena je komplementarna k modri in jo blokira. (Tudi na sliki 9 so modri deli absorbirali rumeno svetlobo in postali črni.) Izkoristek se nekoliko zmanjša, vendar doseže še zmeraj 80 lm/W ali več. Indeks barvne vernosti znaša v enem primeru okrog 40 [5], kar je še zmeraj več kot skromnih 25 pri visokotlačni natrijevi razsvetljavi. Raziskava podjetja Cree je pokazala, da velika večina čestne razsvetljave, stare in nove, utripa z dvakratnikom frekvenče električnega omrežja. Vendar pa lahko kupimo danes tudi LED svetilke za razsvetljavo brez utripanja, primerno za prometniče in javne površine. Športne dvorane in stadioni so že pred časom ugotovili, da potrebujejo razsvetljavo brez utripanja, saj sičer ni mogoče zagotoviti kakovostnih upočasnjenih posnetkov dogajanja. Literatura [1] M. Bezjak: Usmerniki, dostopno na www. educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sol a/2001/ di/bezjak/apo_sipos/5.htm, ogled 29. 12. 2017. [2] Utripanje žarnič in sijalk, Fličkern (Flačkern oder Flimmern) von Glühbirnen und Lampen, Energie-Umwelt.čh, dostopno na www.energie-umwelt.ch/ beleuchtungundbatteri en/gluehbi rnen-und-lampen/1425, ogled 29. 12. 2017. [3] A. Mohorič, Zavesni zaklop, Presek 44 (2016/17), 2, 30-31. [4] Réserve internationale de CIEL ÉTOILE du Mont-Megantič, Priporočene svetilke, dostopno na ricemm.org/en/documentations/ recommended-fixtures/, ogled 29. 12. 2017. [5] Ignialight: Cestna razsvetljava, dostopno na www.ignialight.com/content/ files/downloads/13/igni alight-street-lighting-pdf.pdf, ogled 29. 12. 2017. _ XXX 19 PRESEK 45 (2017/2018) 3 FIZIKA Magnetne domene v železu •4/ -i' -i' Andrej Likar Železo, kobalt in nikelj so znane feromagnetne snovi - magnet jih močno privlači. Ker v atomu elektroni krožijo okrog jedra, pa tudi sami so drobni magnetki zaradi spina, to je vrtenja okrog lastne osi, so atomi lahko majhni magneti. Tudi atomsko jedro je lahko majhen magnet, a je tako šibek, da ga vedno lahko zanemarimo. V drobnem kristalu železa so ti atomski magnetki poravnani in vsi kažejo v isto smer. Zunanji elektroni sosednjih atomov se namreč med seboj odbijajo, zato se v kristalu železa postavijo na največjo možno medsebojno razdaljo, taka postavitev pa prisili porav-nanost magnetkov. Če bi na magnetke deloval le magnetni navor sosednjih magnetkov, bi se ti postavili eden proti drugemu. A medsebojni magnetni navor je le kak promil navora, ki nastane zaradi odboja med elektroni. Zato so atomski magnetki v železu trdno povezani in vsi kažejo v isto smer. Vsak kos železa bi bil glede na povedano zelo močan magnet. Vemo, da to ni res. Da dobimo iz kosa železa magnet, se je potrebno posebej potruditi. Atomski magnetki so v železu res poravnani, a le v drobnih področjih, ki jim pravimo domene. Te obsegajo le 1017 do 1021 atomov in jih je mogoče videti pod mikroskopom. V različnih domenah pa so smeri poravnave različno in se njihov vpliv v kosu železa povsem izniči. V eni sami veliki domeni, veliki kot kos železa, bi bilo magnetno polje tako veliko, da bi domena sama razpadla, prav zaradi magnetnega na- vora na atomske magnete, ki bi premagal poravnalni navor. Ce želimo iz kosa železa narediti magnet, moramo trajno povečati delež domen z magnetki v izbrani smeri na račun ostalih domen. Kar nekaj zanimivih pojavov pri proučevanju feromagnetnih snovi v magnetnem polju je povezanih z rastjo in upadanjem domen ter njihovimi skokovitimi zasuki. A ostanimo pri domenah. Magnetki so poravnani le pri dovolj nizki temperaturi. Pri temperaturah, ki smo jih vajeni, so magnetki skoraj povsem poravnani. Kaj pa se zgodi, ko začnemo domeno segrevati? Vse bolj kaotično gibanje vpliva tudi na porav-nanost magnetkov. V domeni nastanejo gručiče, kjer •3> p » - v" - •- : ■ ? o- »A. , - > ,! % ' - ' -T" S "gPS' .-J ' , "i ■ • »»i « . « _ ^^ „ , . ' TT - :■ \ , i 1 . ■ _ i ' '■ 'i : - ~"^§§ir k- j - ^ • . i p . - i .j . • ■ l fc.\ : • ■ j ■ - 1 •a a . --a — • j. d- » F SLIKA 1. Pod kritično temperaturo nastajajo območja z obrnjemini magnetki (rumene pike). 20 PRESEK 45 (2017/2018) 3 FIZIKA so magnetki bolj ali manj obrnjeni glede na staro lego. Z naraščajočo temperaturo se gručiče večajo in vse več jih je. Pri tako imenovani kritični temperaturi poravnanosti ni več in domena izgubi magnetne lastnosti. Kritična ali Curiejeva temperatura je pri železu 1043 K, pri kobaltu je še višja (1388 K), pri niklju pa prečej nižja (627 K). Nekaj uvida v pestro dogajanje v domeni dobimo s preprostim modelom. Magnetke postavimo v kvadratno mrežo in jim dovolimo le dve stanji - obe pravokotno na ravnino mreže, eno v izbrani smeri in drugo v nasprotni smeri. Razmere tako res do skrajnosti poenostavimo. Modelu pravimo dvodimenzionalni Isingov model, po fiziku Ernstu Isingu, ki ga je prvič opisal. A kljub temu je model dovolj bogat, da v grobem pokaže bistvene lastnosti razmer v domenah pri segrevanju in ohlajanju. O vplivu temperature na stanje magnetka odloča njegova energija v obeh legah, rečimo jima gor in dol. O energiji odločajo neposredni sosedje magnetka. Ce so vsi štirje sosedje usmerjeni gor, čuti magne-tek največji navor, ki ga sili v zasuk v smeri gor, in ima zato, postavljen v to smer, najnižjo energijo, v nasprotni smeri pa najvišjo. Ce je eden od sosedov obrnjen navzdol, magnetek še vedno čuti navor, ki ga suče navzgor, le da je ta navor sedaj pol manjši kot prej. Pri dveh sosedih obrnjenih dol pa magnetek ne čuti navora in ima enako energijo ne glede na to, kako je obrnjen. Pri treh ali štirih sosedih obrnjenih navzdol se razmere ponovijo, le da v nasprotni smeri. Pri dani temperaturi se magnetki obračajo gor in dol glede na energijo v teh legah. Cim višjo energijo terja obrat, manj je verjetno, da se bo magnetek tako tudi obrnil. Prehod v nižjo energijo pa je bolj verjeten. V modelu pogledamo stanje sosednjih ma-gnetkov in dolocimo energiji pri nespremenjenem in obrnjenem magnetku. Izracunamo ustrezne verjetnosti in potem z žrebom dolocimo, ali se bo magne-tek obrnil ali ne. Legam magnetkov v danem trenutku lahko nazorno sledimo s sliko, kjer lego gor ponazorimo z eno barvo, lego dol pa z drugo. Na sliki i smo tako predstavili lege magnetkov pri povišani temperaturi, a nižji od kriticne. Vecina magnetkov je torej v legi gor (rdece pike), nekaj pa jih je tudi v legi dol (rumene pike). Tu je v mreži 128 x 128 magnetkov. Izjemo zanimive pa postanejo slike pri kriticni temperaturi. Tu sta deleža magnetkov v eni in drugi smeri v povprecju prvic enaka, kar se nadaljuje tudi pri višjih temperaturah. Domena izgubi magnetno urejenost. A pri kriticni temperaturi opazimo poleg majhnih tudi velike gruce z urejenimi magnetki, ki se raztezajo preko celotnega obmocja. Na sliki 2 smo zajeli stanja magnetkov pri razlicnih velikostih domene. Na levi smo z najmanjšo mrežo 32 x 32 magnetov zajeli majhen drobec domene, sledijo ji mreže s 64 x 64, potem s 128 x 128 in koncno z 256 x 256 magneti. Opazimo, da so razmere v vseh teh mrežah kvalitativno podobne. Pri najmanjši mreži ne moremo opaziti vecjih podrobnosti, pri vsaki nadaljnji je majhnih urejenih grucic vse vec, a tudi ve-cjih sklopov ne manjka. Pravimo, da si je pri kri-ticni temperaturi domena podobna na vseh merskih lestvicah. Ker so slike stanj razlicno velikih podrocij nujno razlicne zaradi verjetnostne narave pojava, si oglej- SLIKA2. Stanje magnetkov na različno velikih področjih domene 21 PRESEK 45 (2017/2018) 3 FIZIKA —^ mo primer iz matematike, pri katerem ni naključij. Med krivuljami, ki so enake na vseh merskih lestvicah, je posebno preprosta Kochova krivulja. O njej je Presek že pisal (Matija Lokar, Presek 26 (1998/99), stran 274). Nastane postopoma iz daljice, ki ji na sredi narišemo trikotno izboklino. Ravni odseki tako dobljene lomljene krivulje naj bodo enako dolgi. Potem postopek ponovimo na vsakem ravnem odseku in nadaljujemo risanje izboklin v nedogled. Slike 3, 4, 5 in 6 ponazarjajo ta postopek, ki vodi do vse bolj zavite krivulje. Ce usmerimo mikroskop v vrh te krivulje, vidimo vedno eno in isto sliko ne glede na povečavo mikroskopa. Krivulja je torej na vseh prostorskih merskih lestvicah povsem enaka. Seveda pri zares narisani krivulji ne bo tako, saj je debelina črte končna, zato zelo finih grb pri dovolj veliki povečavi ne vidimo več (glej sliko 7, leva krivulja). Prav tako je pri zelo grobi mreži, ki predstavlja zelo majhen del domene z nekaj sto atomi. Tudi tu podrobnosti pod razdaljo med atomi seveda ni. Te zaznamo pri večjih mrežah. Računalniški program, s katerim smo računali lege magnetkov, je preprost in ga lahko braleč, če ga te stvari seveda zanimajo, sam napiše. Pri tem bo uvi-del, kako zamudni so taki računi pri nekoliko večjih mrežah. Tu še tako hitri računalniki ne pomagajo. V računih ni možno zajeti vseh atomov realne domene. A spoznanje, da si je sistem pri kritični temperaturi podoben na vseh smiselnih merskih lestvičah, je privedlo fizike do novih teoretičnih in računalniških prijemov. Seveda si sistem na vseh merskih lestvičah ni podoben le pri kritični temperaturi. Prav tako si je podoben pri temperaturi blizu absolutne ničle, ko so vsi magnetki poravnani v vsej domeni. Tudi pri zelo visokih temperaturah je tako, saj vezi med atomi takrat niso več pomembne. A ta dva primera za fizika pač nista zanimiva. SLIKA 4. Ravni deli se ponovno ogrbijo. SLIKA 5. In spet ... SLIKA 6. Končno je krivulja hudo nazobčana. SLIKA 3. Pri Kochovi krivulji daljica AB dobi na sredi grbo. SLIKA 7. Zaradi končne debeline črte vidimo pod mikroskopom pri največji povečavi (levo) le medlo sliko, pri manjših povečavah pa je krivulja ostrejša. _ XXX 22 PRESEK 45 (2017/2018) 3 ASTRONOMIJA Tri o Zemlji in Luni s|/ Marijan Prosen -> Presek je že večkrat pisal o Zemlji in Luni. Vendar pa nikoli ne o vsebinah, ki bi tesno povezovale obe nebesni telesi. Tokrat paberek o tem. Gre za tri vsebine, pravzaprav bolj za zanimive raziskovalne naloge, ki me spremljajo že dalj časa. Zdaj, ko imam časa najmanj, pa sem se odločil, da jih napišem. Prva je o težišču sistema Zemlja-Luna, druga o točki, iz katere bi videli Zemljo in Luno v enakem zornem kotu, tretja pa o tem, kako močno Zemlja osvetljuje Luno okoli mlaja in tako povzroča pojav pepelnate svetlobe na Luni. Težišče sistema Zemlja-Luna RazmerjemasLuneinZemljeje m/M = 1/81,razda-lja med njima pa r = 60R, če pomeni R = 6400 km radij Zemlje. Kje leži težišče mas teh dveh vesolj -skih teles, ki ju skupaj lahko obravnavamo kot tesen sistem (par) dveh teles? Težišče leži nekje na zvezniči središč obeh teles, ne na sredini, ampak po občutku bližje Zemlji, ker je masivnejša od Lune. Predstavljajmo si ravno trdno oz. togo paličo (drog, vzvod), v krajišči katere postavimo središči Lune in Zemlje. Obravnavajmo ju kot masivni krogli, ki ju vsako na svojem konču paliče vleče navzdol sila teže (težo smo si izmislili, da lažje rešimo nalogo). Vprašamo se, v kateri točki T moramo podpreti paličo, da bosta telesi v ravnovesju. V tej točki namreč leži težišče mas obeh teles. Podobno kot na gugalniči, kjer se gugata dve osebi z različno maso. Oseba z večjo maso mora biti bližje osi, okoli katere se gugata, kot oseba z manjšo maso, da je na gugal-niči ravnovesje. Os vrtenja tedaj predstavlja težišče mas obeh oseb. Kje moramo torej paličo podpreti, da bosta masi teles v ravnovesju? Ravnovesje na paliči, ki je vrtljiva okoli osi, je, kadar je navor večje mase enak navoru manjše mase. Navor je zmnožek sile teže in ročiče, ki je pravokotna na smer sile. Sila teže paje zmnožek mase telesa m in pospeška prostega pada g = 10m/s2. Navor suka oz. vrti vzvod v določeno smer (v levo ali v desno). SLIKA 1. Težišče sistema Zemlja-Luna je okoli 4700 km oddaljeno od središča Zemlje. To težišče se pri gibanju Zemlje okrog Sonca giblje po elipsi, medtem ko Zemljino središče vijuga oz. opleta okoli nje (zelo povečano). 119 PRESEK 45 (2017/2018) 3 ASTRONOMIJA —^ Naj bo dolžina vzvoda r = 60R, Zemlja z maso M v levem krajišču vzvoda, Luna z maso m v desnem krajišču, obe masi vleče sila teže navzdol, naj bo razdalja središča Zemlje od osi oz. od težišča T obeh mas enaka x. Potem lahko zapišemo: prvi navor je Mgx in suka vzvod v desno, drugi navor pa mg(r - x) in suka vzvod v levo. Za ravnovesje ju moramo izenačiti: Mgx = mg(r - x). Po krajšanju z g dobimo Mx = m(60R - x) in od tod x = 60R = (60/82)R = 4700 km, kar je okoli 3/4R. m M+m Odgovor. Težišče sistema mas Zemlja-Luna leži znotraj Zemlje, približno 1/4R pod njenim površjem. Dobili smo kar presenetljiv rezultat, mar ne? Vidni v enakem zornem kotu Iz katere točke v vesolju bi Zemljo in Luno videli v enakem zornem kotu? Razdalja med Zemljo in Luno je 60R, če je R = 6400 km radij Zemlje, radij Lune pa je r = 1/4R. Točka, iz katere bi videli obe okrogli vesoljski telesi v enakem zornem kotu, leži nekje na zvezniči središč Zemlje in Lune, ne na sredini, ampak prečej bližje Luni, ker je manjša od Zemlje. Označimo razdaljo te točke od središča Lune z x. Potem je razdalja te točke od središča Zemlje (60R - x). Ker sta Zemlja in Luna majhni glede na njuno medsebojno oddaljenost, lahko za zorni kot vzamemo kar količnik med premerom Zemlje ali premerom Lune in njunima ustreznima razdaljama od izbrane točke. Za Luno je količnik 2 ■ 1/4R/x, za Zemljo pa 2R/ (60R - x). Izraza izenačimo 2 ■ 1/4R/x = 2R/(60R -x), krajšamo in dobimo x = 12R = 76 800 km in 60R - 12R = 48R = 307 200 km. Zorni kot je 2 ■ 1/4R/x = 1/2R/12R = 1/24 rad. = (1/24) ■ 57,3° = 2,4°. Odgovor. Zemljo in Luno vidimo v enakem zornem kotu 2,4° iz točke, ki je od središča Lune oddaljena 76 800 km oz. od središča Zemlje 307 200 km. Zemljino osvetljevanje Lune okoli mlaja Izračunajmo osvetljenost Luninega površja, ki jo povzroča od Sonča osvetljena Zemlja blizu mlaja. Osvetljena Zemlja deluje kot svetilo. V prostor oddaja svetlobni tok in tako osvetljuje k nam obrnjeno temno, od Sonča neosvetljeno stran Lune. SLIKA 2. Zemlja na Luninem nebu (Foto: NASA) Recimo, da poznamo gostoto svetlobnega toka, ki ga Zemlja sprejema od Sonca j0 = 1400 W/m2 (solarna konstanta), radij Zemlje R = 6400 km, razdaljo Lune od Zemlje r = 60 R in albedo (odbojnost) Zemlje ö = 0,3. Naloga se »dogaja« ob mlaju ali zelo blizu mlaja (± nekaj dni), ko je Luna med Soncem in Zemljo in jo osvetljuje od Sonca osvetljena Zemlja. S Sonca pada na Zemljo gostota svetlobnega toka j0. Zato od Sonca obsijana polovica Zemlje sveti. Vsa vpadna svetloba se ne odbije, ampak del, kar pove albedo Zemlje. Od Zemlje se odbije oz. gre stran v prostor svetlobni tok j0nR2 ö, na Luno v razdalji r pa pade tok z gostoto ■ j nR2 ö/2nr2 = j R2 ö/2(60R)2 = = 1400 W/m2 0,3/2 ■ 3600 = 0,06 W/m2. Odgovor. Dobili smo vrednost svetlobnega oz. energijskega toka na kvadratni meter, ki jo lahko vzamemo za osvetljenost Luninega površja, seveda samo v energijskem smislu. Pri računu smo upoštevali le tisto polkroglo 2nr2, ki je od osvetljene polovice Zemlje obrnjena proti od Sonca neosvetljeni po- 24 PRESEK 45 (2017/2018) 3 ASTRONOMIJA } SLIKA 3. Pepelnata svetloba Lune - osvetljenost Luninega površja okoli »polne zemlje« (Foto: Andrej Guštin) lovici Lune in jo Zemlja osvetljuje. Ce preračunamo, Zemlja v tem primeru osvetljuje Luno približno tako, kot 100 W žarnica osvetljuje predmete na razdalji okoli 12 m. Še enkrat poudarimo, da gre zgolj za osvetljenost površja v energijskem, ne pa v fiziološkem pogledu. Zaradi osvetljenosti, ki jo na Luni povzroca svetla, od Sonca osvetljena Zemlja, nastane pojav Lunine pepelnate svetlobe. Z Zemlje jo opazujemo v jasnih noceh malo pred mlajem (zjutraj) in/ali malo po njem (zvecer). Polna luna osvetljuje Zemljino ozracje in površje, ki odbija svetlobo. Tako nastane mesecina. Podobno kot polna luna osvetljuje Zemljo in povzroca mese-cino, tudi »polna zemlja« osvetljuje temno Lunino površje in povzroca osvetljenost temne polovice Lune, to je njeno pepelnato svetlobo. Ce bi se lahko namestili na površju Lune v tistih krajih, od koder z Zemlje vidimo pepelnato svetlobo, bi od tam na Luninem nebu videli našo Zemljo kot veliko svetlečo okroglo ploskvico, okoli 4-krat večjo, kot mi vidimo polno luno. »Polna zemlja« bi sve-tlila tudi dosti močneje na Luninem nebu, kot nam sveti polna luna. Zdela bi se nam najmanj 16-krat svetlejša, kot je z Zemlje vidna polna luna. Po nekaterih računih pa bi Zemlja svetila na Luninem nebu še dosti svetlejše. Treba bi bilo iti tja in se o tem prepričati na lastne oči. Račun večkrat laže, ne prikaže resničnega oz. dejanskega stanja. Vsega, kar vpliva na rezultat, pa ni mogoče upoštevati. Naloge ■ Izračunajte težišče sistema Jupiter-Saturn, če sta v Osončju med seboj oddaljena 5 a.e. (astronomskih enot, to je razdalj Zemlja-Sonče), masa Jupitra je 315 mas Zemlje, masa Saturna pa 95 mas Zemlje. [Težišče je oddaljeno 1,2 a.e. od središča Jupitra.] ■ Iz katere točke v vesolju bi videli Zemljo in Sonče v enakem zornem kotu? Razdalja med Sončem in Zemljo je okoli 215 radijev Sonča, radij Sonča pa je okoli 100R, če je R radij Zemlje. [Iz točke, ki je 2,13 radija Sonča oddaljena od središča Zemlje, zorni kot pa je 0,54°.] ■ Kolikokrat močnejše sveti Zemlja na Luninem nebu kakor Luna na Zemljinem? Radij Zemlje je štirikrat večji od radija Lune. Albedo Zemlje je 0,3, albedo Lune 0,12. Vpliv Zemljinega ozračja zanemarimo. [Kar okoli 40-krat; če bi upoštevali ab-sorpčijo (vpojnost) svetlobe v ozračju, pa okoli 30-krat.] ■ S kolikšno osvetljenostjo osvetljuje polna luna Zemljino površje? [Med eno in dvema tisočinkama W/m2.] _ XXX www.dmfa.si www.presek.si 25 PRESEK 45 (2017/2018) 3 RACUNALNIŠTVO Konveksna ovojnica •is "is -i' Igor Pesek Predstavljajte si, da ste v mizarski delavnici in da na velik kos lesene deske s kladivom nabijete kup žebljičkov. Nato poiščete gumico, jo napnete z rokami okrog žebljičkov in jo spustite. Kaj se bo zgodilo? Gumica se bo napela izključno okrog zunanjih žebljičkov, notranjih se sploh ne bo dotikala. Slika 1 prikazuje gumičo, ki jo s prsti na-pnemo okrog žebljičkov in jo spustimo (moder mnogokotnik). Formalno izraženo bodo naši žebljički tocke v ravnini, gumico pa bomo imenovali konveksna ovojnica. Konveksna ovojnica (ang. convex hull) množice točk M, oznacimo s KO (M) in je najmanšji konveksni vec-kotnik P, za katerega je vsaka tocka iz M bodisi na robu P bodisi je vsebovana v njegovi notranjosti. Pri tem konveksnost pomeni, da za vsaki dve razlicni tocki a in b iz poligona P, daljica ab leži v celoti v poligonu P. Pred zacetkom reševanja, je potrebno pogledati še nekaj elementarnih primerov. Racunanje konveksne ovojnice za eno tocko je trivialno, vrnemo to tocko. Podobno velja za konveksno ovojnico dveh tock. Kaj pa konveksna ovojnica treh tock? Imamo dve možnosti. Bodisi so tocke v seznamu zapisane v smeri urinega kazalca (ang. clockwise oz. CW) bodisi v nasprotni smeri urinega kazalca (ang. counter clockwise oz. CCW). Predpostavimo, da imamo tri tocke p (a, b), q(c,d) in r(e, f) podane v tem vrstnem redu. Zanima nas torej, ali je tocka p v smeri ali nasprotni smeri urinega kazalca od tocke q glede na tocko r, kar je prikazano na sliki 2. Poenostavljeno povedano, zanima nas, kakšen obrat moramo narediti pri tocki q, ko gremo od tocke p proti tocki r. Ali naredimo obrat v levo ali desno? a) b) r(e,f) r(e,f) q(c,d) q(c,d) p(a,b) p(a,b) SLIKA 2. a) v smeri urinega kazalca b) v nasprotni smeri urinega kazalca Za trenutek predpostavimo, da je prva tocka najbolj leva v ravnini (primer b na sliki 2), torej a < c in a < e. Potem so tocke urejene v nasprotni smeri urinega kazalca natanko tedaj, ko je naklon premice skozi tocki p(a, b) in q(c, d) manjši od naklona premice skozi tocki p(a, b) in r(e, f): v nasprotni smeri urinega kazalca CCW(p,q,r) d - b f - b ^ -< J-- c-a e - a PRESEK 45 (2017/2018)4 gumica SLIKA 1. Žebljički (rdeče pike) in gumica 26 RACUNALNIŠ TVO Ker sta oba imenovalca pozitivna, lahko neenakost napišemo tudi kot: ■ v nasprotni smeri urinega kazalca CCW(p,q,r) ^ (f - b)(c - a) > (d - b)(e - a) Opazimo, ce je zadnja neenakost obrnjena, potem so tocke zapisane v smeri urinega kazalca. Preverjanje usmeritve treh tock ima v algoritmih za izracun konveksnih ovojnic popolnoma enako vlogo kot ga ima primerjanje v algoritmih urejanja. Računanje konveksne ovojnice na treh točkah je analogno urejanju dveh razlicnih števil: bodisi sta v pa-dajocem vrstnem redu bodisi narašcajocem. Jarvisov obhod Jarvisov obhod je preprost algoritem, ki za doloci-tev konveksne ovojnice uporablja tehniko znano kot ovijanje darila. Pri tem uporablja dve dejstvi: ■ skrajno leva tocka je zagotovo vozlišce v konveksni ovojnici, ■ ce je tocka p vozlišce v konveksni ovojnici in q tocka, ki ima najmanjši relativni polarni kot glede na p. Potem je tudi q vozlišce na konveksni ovojnici. Polarni kot med poljubno tocko r glede na p, je kot, ki ga oklepata desni del vodoravne osi in daljica med tockama p in r. Bralcu prepušcamo, da razmisli, zakaj zapisani dejstvi držita. Ce spet uporabimo analogijo z žeblji, si lahko Jarvisov obhod predstavljamo tako, da najprej poišce-mo skrajno levi žebelj (po ^-koordinati) in nanj navežemo vrvico in jo potegnemo pravokotno na x-os. Sedaj zacnemo vleci vrvico v nasprotni smeri urinega kazalca. Prvi žebelj, ki ga zadanemo, je naslednje vo-zlišce na konveksni ovojnici. Slika 3 prikazuje prve korake Jarvisovega obhoda. Algoritem kot vhodna podatka sprejme seznama koordinat tock množice M in kot rešitev vrne seznam tock, ki tvorijo konveksno ovojnico. V prvem koraku algoritem najprej poišce skrajno levo tocko, ki jo najdemo v casu O(n). Potem sledijo koraki, v katerem zaporedoma išcemo naslednja vozlišca v konveksni ovojnici s pregledom vseh vo-zlišc. To storimo v casu O(n), kar pomeni, da je skupna casovna zahtevnost O(n2). S pazljivim nacr-tovanjem in pravilno izbiro podatkovnih struktur, je SLIKA3. Prva dva koraka Jarvisovega obhoda. Črtkana crta pomeni vrvico, crna polna crta smer v katero vlečemo vrvico, modra polna crta delno konveksno ovojnico mogoce ta algoritem implementirati s casovno zahtevnostjo O(n-h), kjer je h število vozlišc konveksne ovojnice. jarvis (X[1,..,n],Y[1,..,n]): resitev = array() k = 1 za (i =1, i <= n, če (X[i ] < X[k]) k=i resitev[] = k p = k ponavaljaj q = P + 1 za (i = 2, i <= če CCW(p, i, q=i resitev[] = q p=q 15 dokler p = q 16 rezultat = resitev 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 i++) : potem: n, q) i++) : potem 27 PRESEK 45 (2017/2018) 3 RACUNALNIŠ TVO —^ V algoritmu najprej poišcemo skrajno levo tocko, ki jo oznacimo s k. Nato jo dodamo v seznam rešitev, dolocimo da je p = q (potrebujemo zaradi zanke v nadaljevanju) in nadaljujemo z naslednjo zanko po-navaljaj (vrstica 8). V zanki dolocimo tocko q, ki bo oznacevala trenutno najbolj desno (v smeri CCW) tocko glede na p. V notranji zanki pregledamo vse tocke in ce najdemo tocko i, ki je še bolj desno od tocke p, kot je trenutno q, potem i postane novi q. Ko se notranja zanka zakljuci, je v q dejansko shranjena najbolj desna tocka od tocke p in jo zato shranimo v rešitev, q pa postane nova tocka p. Postopek ponavljamo, dokler ne pridemo spet do zacetne tocke k. V seznamu so tako vse tocke, ki tvorijo konveksno ovojnico množice M. 3 // točke so urejene v CCW smeri // glede na p_0, 4 // i = 1 .. n - 1 5 S = prazen sklad 6 S.push(p_0) 7 S.push(P[1]) 8 S.push(P[2]) 9 za (i = 3, i <= n-1, i++) 10 dokler CCW(S.naslednjaPodVrhom(), S.vrh(), P[i]) == false) 11 S.pop() 12 S.push(P[i]) 13 rezultat = S Grahamov pregled Grahamov pregled je algoritem, ki spet uporablja lastnost CCW glede na urejenost treh tock. V prvem koraku podobno kot v Jarvisovem obdhodu poišcemo najnižjo ali najbolj levo tocko p. Nato uredimo vse ostale tocke glede glede na lastnost CCW in tocko p, kar lahko naredimo s poljubnim algoritmom za urejanje (hitro urejanje, urejanje z zlivanjem, ..). Ko v urejanju primerjamo dve tocki i in q, preverimo ali je trojica p,i,q urejena v smeri ali nasprotni smeri urinega kazalca glede na p. V algoritmu uporabljamo podatkovno strukturo sklad in dve metodi, ki sklada ne spreminjata. To sta ■ metoda vrh(), ki vrne tocko z vrha sklada, ■ metoda naslednjaPodVrhom(), ki vrne tocko, ki sledi tocki na vrhu sklada, ter metodi, ki sklad spreminjata: ■ push(), kjer damo tocko na sklad, ■ pop(), kjer vzamemo tocko iz vrha sklada. Sledi algoritem, ki kot vhodne podatke sprejme seznama X in Y koordinat, vrne pa sklad, ki vsebuje seznam tock, ki tvorijo konveksno ovojnico. graham (X[1,..,n],Y[1,..,n]): 1 p_0 = točka z najmanjšo y-koordinato 2 P[i] = urejen seznam preostalih točk Slika 4 prikazuje posamezne korake algoritma do koncne dolocitve konveksne ovojnice. Najprej na sklad naložimo p0 in naslednji dve tocki iz seznama P. V zanki pregledamo vse tocke (vrstica 9 - 11), pricnemo s tocko (P[3]) in jo primerjamo s P[1] (S.naslednjoPodVrhom()) in P[2] (S.vrh()), kot je prikazano na sliki 4b). Ker smo zavili v levo (CCW je true), dodamo tocko P[3] na sklad. Nadaljujemo s tocko P[4] in najprej preverimo CCW(P[2], P[3], P[4]), ki je false (zavijemo v desno), zato tocko P[3] odstranimo iz sklada S. Ponovimo zanko (vrstica 10) z CCW(P[1], P[2], P[4]), kije spet false, saj zavijemo v desno, zato iz sklada S odstranimo tocko P[2]. Nadaljujemo s preverjanjem CCW(P[0], P[1], P[4]), ki je true, saj zavijemo levo, zato zanko (vrstica 10) za-kljucimo in dodamo tocko P[4] na sklad. Celoten korak je prikazan na sliki 4c). Postopek ponavljamo, dokler ne pregledamo vseh tock. Ko pregledamo vse tocke, na skladu ostanejo toc-ke, ki tvorijo konveksno ovojnico, ki je prikazana na sliki 4j). Casovna zahtevnost algoritma je O(n log n). Zakaj? Najprej poišcemo tocko z najmanjšo koordinato %, oznacimo jo z p0, za kar potrebujemo O(n) casa. Sledi urejanje vseh tock glede na p0 z upoštevanjem lastnosti CCW, za kar potrebujemo O(n log n) casa. Sledi dolocanje konveksne ovojnice, kjer pregledamo vsako tocko (vrstice 9 - 11) natancno enkrat, medtem ko se zanka dokler (vrstica 10 - 11), kjer jemljemo tocke iz sklada, izvede n- h, kjer je h število tock v konveksni ovojnici, zato vzame ta pregled O(n) casa. Skupaj ima algoritem Grahamov pregled casovno zahtevnost O(n log n). 28 PRESEK 45 (2017/2018) 3 racunalniš tvo SLIKA 4. Potek določanja konveksne ovojnice z Grahamovim pregledom. Črtkane zelene črte pomenijo, da v nekem koraku točka ni bila sprejeta, polna zelena črta pomeni, daje bila sprejeta. Zaključek Kje je konveksna ovojnica uporabna? Uporabimo jo lahko kot vmesni korak pri določitvi najbolj oddaljenih tock v ravnini. Dokazano je, da ti dve točki ležita na konveksni ovojnici, torej vemo med katerimi točkami moramo iskati. V programih za grafično obdelavo (Gimp, idr.) je zelo uporabna čarobna palčka (ang. Magič wand). Ko uporabnik klikne na neko točko na sliki, program poišče vse sosednje točke z enako barvo (ali tiste z določenim odstopanjem) in na njih uporabi algoritem za konveksno ovojničo. Rezultat je izbira v obliki poligona, katerega meje so točke konveksne ovojniče. Uporabljajo jo tudi vremenoslovči za določanje področja, kjer je neka vremenska sprememba (npr. dež). Najprej zberejo podatke vseh senzorjev na nekem širšem področju in nato izračunajo konveksno ovojničo okrog vseh senzorjev, ki sporočajo to spremembo. Rezultat je najmanjše konveksno področje, kjer se pojavlja ta sprememba (npr. dežuje). Literatura [1] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest in C. Stein, Introduction to Algorithms, The MIT Press, London, 2009. [2] Dostopno na wiki.fmf.uni-lj.si/wiki/ Grahamov_pregled, ogled 22. 1. 2018. _ XXX 29 PRESEK 45 (2017/2018) 3 razvedri lo SLIKA 1. Vir in avtorska pravica: Gorazd Planinšic vU vU vU RES ITEV NAGRADNE KRlS ANKE PRESEK 45/3 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz tretje številke Preseka je Le-ksikografska ureditev. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Alen Dudaric iz Celja, Jani Cede iz Petrove in Ana Knap iz Preserj, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX 30 PRESEK 45 (2017/2018)4 razvedrilo Krožne veje vU ^ Aleš Mohorič -> Slika na naslovnici kaže zanimiv svetlobni pojav. Ulična svetilka se skriva med drevesnimi vejami, ki so na videz razporejene okoli svetilke v krogih. Fotografija je bila narejena v deževni noči, ko mokre veje v temi osvetljuje le svetilka. Dan razkrije, da veje ne rastejo v krogih, temveč neurejeno, kot bi pričakovali (slika 1, desno). Zakaj pa ponoči vidimo veje, razporejene v kroge? Pojav pojasnimo z odbojem. Odbojni zakon opi-šimo nekoliko bolj natančno, kot je opisan običajno: odbojni kot je enak vpadnemu. V tej izjavi zamolčimo, da ležijo vpadni žarek, ki ga ponazori valovni vektor kv, odbiti žarek ko in enotski vektor h, pravokoten na odbojno ploskev, vsi v isti ravnini, kakor kaže slika 2. Odbojni zakon pove, da se komponenta vpadnega valovnega vektorja, ki je vzporedna z odbojno ploskvijo, po odboju ne spremeni, komponenta pravokotna nanjo pa spremeni predznak. Med žarkoma torej velja zveza ko = kv - 2(kv ■ h)h. Svetloba, ki izhaja iz svetilke S, se do kamere K lahko odbije le od tistih točk na vejah P, v katerih h kaže proti središču namišljene krožniče C. C leži na zve-zniči kamere in svetilke, krožniča pa ima polmer CP. Torej je veja v točki P tangentna na to krožničo, ki obdaja pogled na svetilko. Drevesne veje seveda niso čisto gladke kot zrčalo ali zglajena kovina, ampak hrapave in odboj je razpršen. Pri suhih vejah odboja ne opazimo, opazimo ga pa takrat, ko so veje mokre. K interpretačiji slike doprinese tudi to, da oči razločijo le osvetljene dele vej, ostali pa se zlijejo z ozadjem. Lastnost možganov, da interpretira sliko s poenostavitvami, demonstrira računalniško generirana slika 3. Na sivi ploskvi so enakomerno razporejene naklju čno usmerjene daljiče v nekoliko temnejšem odtenku sive. Na prvi pogled izstopajo vodoravne daljiče, ki pa so narisane črno. ravnina odboja SLIKA 2. SLIKA 3. XXX PRESEK 45 (2017/2018) S 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo več kot 6 milijonov tekmovalcev iz več kot 60 držav sveta. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU jn| 2012-2016 10,99 EUR 18,74 EUR 14,50 EUR 23,00 EUR Pri DMFA-založništvo je v Presekovi knjižniči izšlo že pet knjig Matematičnega kenguruja. Na zalogi so še: • Evropski matematični kenguru 2002-2004, • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011, • Mednarodni matematični kenguru 2012-2016 (novost). Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu starejših zbirk nalog pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga!