PRESEK LETNIK 018) ŠTEVILKA 5 -> MONTY HALLOV PARADOKS -> V ZAČETKU JE BILA TOČKA -> ŽARNICE IN SIJALKE -> POLZENJE NA POTUJOČE VALOVE -> ZORNI KOTI NEBESNIH TELES -> DELJENJE SKRIVNOSTI ISSN 0351-6652 9 77 0351 665555 matematični trenutki kolofon m Oblika ptičjih jajc NU ■i' Vp -> Kljub obsežnim raziskavam še vedno ne vemo, niti zakaj so nekatera pticja jajca bolj okrogla niti zakaj imajo nekatera vec simetrijskih osi od drugih jajc. Nedavno so znanstveniki s pomočjo geometrije, vektorjev, polarnih koordinat in parcialnih diferencialnih enačb preucevali, kakšna je oblika jajc 1400 raz-licnih vrst ptic. Zbrane podatke o jajcih vseh vrst so narisali na graf, ki je imel za eno od osi razpote-gnjenost (tj., kako elipticno je jajce), za drugo os pa nivo nesimetrije (tj., kako ošiljeno je jajce na enem od koncev). Izkazalo se je, da imajo ptice, katerih telo je oblikovano tako, da ima med letom zelo majhen upor, tudi jajca takšne oblike. Tako imajo najboljši letalci in pogosto tudi plavalci zelo elipticna in zelo nesimetrična jajca. Glavna funkcija jajca je, da zaščiti in prehrani zarodek. V sferično jajce lahko shranimo sorazmerno veliko hrane, a ga je težko izvaliti. Dolgo in ozko jajce pa lahko vsebuje enako količino hrane in veliko lažje prečka medenico. Raziskovalci so uspeli ugotoviti dve lastnosti jajcne membrane, povezani z debelino in pritiskom, ki razložita razlike v obliki jajc, vendar obstaja še veliko odprtih vprašanj. Ali obstaja mocna povezava med nacinom leta in obliko jajc za prav vse vrste ptic? Je med njima vzrocna povezava? Na koncu si lahko zastavimo še najbolj osnovno vprašanje: Kaj je bilo prej, pišcanec ali elipsa? Za vec informacij si lahko preberete clanek Avian egg shape: Form, function, and evolution, ki ga je Stoddard s sodelavci objavil v reviji Science 23. junija 2017 na straneh 1249-1254. XXX 2 PRESEK 45 (2017/2018) 5 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 45, šolsko leto 2017/2018, številka 5 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2017/2018 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1300 izvodov © 2018 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2064 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. navodila sodelavcem preseka za oddajo prispevkov Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. % 15,18-19 20-25 26-28 RAČUNALNIŠTVO Deljenje skrivnosti (Damjan Strnad) Slika na naslovnici: Na fotografiji z naslovnice lepo vidimo zlato cesto, ki jo na razburkani gladini morja naredi zahajajoče Sonce. Razmislite, od česa je odvisna oblika, širina ceste. Ali cesta kaže vedno proti nam, ali se širi od Sonca radialno, kot opazimo pri soncnih žarkih, poteka morda v navpicni smeri? Foto: Peter Legiša matematika Monty Hallov paradoks ■is NU Np Primož Moravec -> V šestdesetih letih prejšnjega stoletja je v Združenih državah Amerike na televizijski mreži NBC potekal priljubljen televizijski šov Sklenimo posel (angl. Let's make a deal), katerega voditelj je bil Monty Hall. Med drugim je med oddajo potekala igra, v kateri je imel tekmovalec pred seboj tri zaprte škatle, v eni od njih so bili kljuci avtomobila, drugi dve pa sta bili prazni. Tekmovalec je izbral eno od škatel, in ce so bili v njej kljuci, se je domov odpeljal z novim avtomobilom. V eni od teh iger je med Montyjem in tekmovalcem potekal naslednji pogovor: monty: Ena od škatel A, B, in C vsebuje ključe povsem novega športnega avtomobila, drugi dve sta prazni. Dajem vam edinstveno priložnost, da izberete eno od škatel, in če so v njej ključi, je avto vaš! tekmovalec: Uh, to je res odlično! Izbiram škatlo B. monty: Seveda je povsem mogoče, da so ključi v škatli B. Ampak premislite, možnost za to je 1 : 3, medtem ko je možnost za to, daje vaša škatla prazna, enaka 2:3. Dam vam 500 dolarjev, če mi vrnete škatlo. Za trenutek ustavimo ta pogovor. To, o čemer Monty poskuša prepričati tekmovalča, v matematiki imenujemo verjetnost dogodka. Mislimo si, da ključe avtomobila naključno razporedimo v katerokoli od treh škatel. Nato tekmovaleč izbere eno od škatel, zanj pa je ugoden dogodek, da so ključi v tej škatli. Število možnih razporejanj ključev v škatle A, B in C je 3, za tekmovalca pa je ugodno le eno od teh. Razmerju 1/3 pravimo verjetnost, da je tekmovalec izbral škatlo s kljuci. Podobno je razmerje 2/3 verjetnost, da je tekmovalec izbral prazno škatlo. Verjetnost torej meri, kakšna je možnost, da se dogodek zgodi, izra-cunamo pa jo tako, da število ugodnih možnosti za dani dogodek delimo s številom vseh možnosti, ki se lahko zgodijo v dani situaciji. Tekmovalec se je torej znašel pred mamljivo ponudbo. Verjetnost, da dobi avto, je kar pol manjša od te, da ostane praznih rok. Zato je morda po načelu bolje vrabec v roki kakor golob na strehi bolje vzeti ponujeni denar in oditi. Toda sledil je preobrat: tekmovalec: Ne, vztrajam pri svoji izbiri! Vzamem škatlo B. monty: Ker mi je všec vaša odlocnost, vam bom naredil uslugo in bom odprl eno od preostalih škatel (odpre škatlo A). Kot vidite, je škatla A prazna! To pomeni, da so kljuci bodisi v škatli B bodisi v škatli C. Ker v igri ostajata le še dve škatli, je verjetnost, da dobite avto, že 1/2. Ponujam vam 1000 dolarjev, ce odstopite od igre! Montyjeva izjava je intuitivno jasna. Odprl je škatlo A, v njej ni bilo kljucev, torej se igra v resnici zacenja znova, tokrat z le dvema škatlama. V eni od teh škatel so kljuci, druga je prazna. Verjetnost, da dobimo kljuce, je torej narasla z 1/3 na 1/2. Ali pac ne? Tekmovalec, ki je nastopal v tej oddaji, je bil matematik. Odvrnil je: tekmovalec: Škatlo B zamenjam za škatlo C! Montyja je ta zahteva presenetila. Imamo le še dve škatli, B in C. Verjetnost, da so kljuci v B, je enaka 1/2, prav tolikšna je verjetnost, da so kljuci v škatli C. Ali pac ne? 4 PRESEK 45 (2017/2018) 5 matematika Izkaže se, da zgornje sklepanje ni pravilno, Mon-tyjeva izračuna verjetnosti po tem, ko je odprl škatlo A, sta oba napačna. Poiščimo pravilno rešitev. Najprej si oglejmo primer, ko Monty odpre škatlo A, ki je prazna, tekmovalec pa se odloči, da bo obdržal škatlo B. Na začetku je bila verjetnost, da so ključi v škatli B, enaka 1/3. Ko je škatla A odprta, to ničesar ne spremeni, torej je verjetnost, da dobimo ključe, še vedno enaka 1/3 in ne 1/2, kot je trdil Monty. Kaj pa, če tekmovaleč svojo škatlo zamenja s tisto, ki je ostala? Tu verjetnost izračunamo s pomočjo preštevanja vseh možnosti. Tekmovaleč je izbral škatlo B, Monty odpre eno od praznih škatel in tekmovaleč zamenja škatlo B za škatlo, ki je ostala. Ce so ključi v škatli B, tekmovaleč izgubi v vsakem primeru. Ce so ključi v škatli A, bo Monty odprl škatlo C, tekmovaleč bo zamenjal svojo škatlo B s škatlo A in gotovo dobil ključe. Ce so ključi v škatli C, bo Monty odprl škatlo A, tekmovaleč bo zamenjal škatlo B s škatlo C in spet gotovo dobil ključe. V dani situačiji imamo torej tri možne izide, za tekmovalča pa sta ugodna dva izmed njih, torej je verjetnost, da dobi avto, enaka 2/3, kar je bistveno bolje kot na začetku. Do enakega rezultata bi prišli, če na začetku ne bi določili, katero škatlo je tekmovaleč odprl, in bi spet prešteli vse možnosti. Zgornji primer ima presenetljivo rešitev, ki je v nasprotju s sklepanjem po zdravi pameti. Pojavu v verjetnosti pravimo Monty Hallov paradoks. Problem je prvi opisal Selvin [1, 2]. V pravilnost našega sklepa se lahko prepričamo tudi s simulačijo z računalnikom. Večkrat ponovimo poskus, ko naključno izberemo škatlo, v kateri bodo ključi, naključno in neodvisno izberemo škatlo, za katero se odloči tekmovaleč, in naključno ter neodvisno izberemo še neodprto prazno škatlo, ki jo bo Monty odprl. Nato štejemo, ali je tekmovaleč dobil ključe, enkrat ob predpostavki, da je zamenjal svojo škatlo, drugič pa ne. Seveda rezultati ne bodo vsakič enaki, tipična simulačija 30-ih poskusov pa da rezultat, kot je grafično prikazan na sliki 1. Iz grafa je razvidno, da brez menjave v 30-ih poskusih ključ dobimo približno desetkrat, z menjavo škatle pa približno v dvakrat več primerih. To se sklada z našim izračunom. Zgornji problem lahko posplošimo na n škatel, natanko ena od njih vsebuje avtomobilske ključe, Monty pa po tekmovalčevi izbiri škatle odpre m pra- zamenjava brez zamenjave SLIKA 1. Število dobitkov v vec poskusih Montyjeve igre znih škatel, pri Čemer je 0 < m < n - 2. Ce tekmovalec ne zamenja škatle, je verjetnost dobitka enaka 1 /n. Ce pa se odloČi, da bo škatlo zamenjal z eno od preostalih zaprtih, je verjetnost dobitka enaka P = n1 n(n - m - 1)' Bralča vabimo, da preveri to formulo. Hitro vidimo, da če je m = 0, je ta verjetnost še vedno 1 /n. Ce pa Monty odpre vsaj eno škatlo, potem je verjetnost dobitka večja od 1 /n. V najboljšem primeru, ko Monty odpre m = n-2 praznih škatel, je verjetnost dobitka enaka P= n1 n Ko je n velik, je vrednost p blizu 1, kar z drugimi besedami pomeni, da bomo v tem primeru z menjavo škatle skoraj gotovo priigrali avtomobil. Literatura [1] S. Selvin, A problem in probability (letter to the editor). Američan Statističian 29 (1975), 1, 67. [2] S. Selvin, On the Monty Hall problem (letter to the editor), Američan Statističian 29 (1975), 3, 134. _XXX www.dmfa.si dobitek 20 5 5 20 25 30 5 PRESEK 45 (2017/2018) 5 matematika V začetku je bila točka •i' vi' Marko Razpet -> Figurativna števila, med katerimi so tudi več-kotniška, so znana že zelo, zelo dolgo. Ljudje so že v sivi davnini razporejali enake predmete, npr. zrna semen ali kamenčke, v pravilne geometrijske figure in prej ali slej jih je zanimalo skupno število teh predmetov. V prispevku bomo namesto semen in kamenčkov razporejali točke, ki so na naših slikah namenoma pretirano odebeljene. Stari Grki, še posebno pitagorejči, za katere je bilo število bistveno, so poznali večkotniška števila, med katera spadajo tudi najpreprostejša - trikotniška. Vsem pa je skupna točka. Zato tudi tak naslov našega članka. Večkotniška števila, ki ustrezajo pravilnemu k-kotniku, sestavljajo zaporedje V(k) ,V(k) ,V(k),... Spodnji indeks označuje število točk na stranici. Za trikotniška števila je k = 3 in tedaj bomo pisali enostavneje: Tn = vn3). Na sliki 1 je k = 6, kar pomeni, da predstavljamo šestkotniška števila Vi6). Začnimo s točko A1, ko jo bomo šteli za najpreprostejši večkotnik (slika 1), prvi po vrsti. Ta ima samo eno točko, kar pomeni v|6) = 1. Za vsako naravno število k > 3 je v|k) = 1. Nadaljujemo s točkama A1 in A2, ki naj bosta ogli-šči pravilnega k-kotnika, drugega po vrsti, daljiča A1A2 pa njegova straniča, rečimo ji osnovniča. Preostalih oglišč ne bomo poimenovali, vse točke pa bomo risali odebeljeno. Vseh točk je šest, torej v26) = 6. V splošnem primeru je v2k) = k. Nato osnovničo A1A2 podaljšamo za faktor 2 prek A2 do točke A3 in daljičo A1A3 vzamemo za osnovničo tretjega pravilnega k-kotnika, ki ga narišemo na istem bregu premiče nosilke daljiče A1A2, kot je drugi pravilni k-kotnik. Na vse straniče in v oglišča tretjega pravilnega k-kotnika dodamo nove točke v € Ai A2 A3 A4 SLIKA 1. Četrto šestkotniško število medsebojni razdalji |A1A2|. Dobimo figuro, ki vsebuje nove točke. Vsako seveda štejemo le enkrat. Število vseh točk na prvem, drugem in tretjem pravilnem k-kotniku je tretje k-kotniško število v3k). V primeru k = 6 je vseh točk v36) = 15. Opišimo še en korak. Osnovničo A1A2 podaljšamo za faktor 3 prek A2 in A3 do točke A4 in daljičo A1A4 vzamemo za osnovničo četrtega pravilnega k-kotnika, ki ga narišemo na istem bregu premiče nosilke daljiče A1A2, kot sta drugi in tretji pravilni k-kotnik. Tudi tokrat na vse straniče in v oglišča novega, četrtega pravilnega k-kotnika dodamo nove točke v medsebojni razdalji |A1A2|. Spet dobimo figuro, ki vsebuje nove točke. Število vseh točk na prvem, drugem, tretjem in četrtem pravilnem k-kotni-ku je četrto k-kotniško število v4k). V primeru k = 6 je vseh točk v46) = 28. Postopek tako nadaljujemo, podaljšujemo osnovničo, nad njo konstruiramo pravilni k-kotnik, mu v oglišča in na straniče dodajamo 6 PRESEK 45 (2017/2018) 5 matematika nove točke v medsebojni razdalji |AiA2|, vse do os-novnice AiA2 ...An, ki je (n - 1)-krat daljša kot AiA2. Vseh tock je V^, torej n-to k-kotniško število. Številu Vpravimo tudi n-to veckotniško število reda k. Najlaže je najti izraz za n-to trikotniško število Tn, ki je očitno kar vsota prvih n zaporednih naravnih števil: Tn = 1+2 + 3 + ... + n = n(n + 1) 2 ' (1) Zaporedje trikotniških števil se prične takole: ■ 1, 3,6,10,15, 21, 28, 36,45, 55. Od vseh relacij, ki veljajo za trikotniška števila, zapi-šimo samo očitno rekurzijo Tn = Tn-1 + n. Trikotni-ška števila so pomembna zato, ker lahko z njimi na preprost nacin izrazimo katerokoli veckotniško število. Ravno to bomo naredili v nadaljevanju. Kot zanimivost povejmo, da število n(n + 1), ki nastopa v formuli za trikotniško število, imenujemo podolžno število. Ni pa nujno, da pri ponazoritvi veckotniških števil vztrajamo pri pravilnih večkotnikih. Na sliki 2 imamo primer, ko trikotniško število predstavimo z raznostraničnim trikotnikom. Diofant iz Aleksandrije, ki je živel v 3. stoletju našega štetja, nam je zapustil obširno razpravo O vec-kotniških številih. Njegovi zapisi se nam zdijo prečej zapleteni, ker v njegovem času še niso zapisovali in računali tako, kot mi dandanes. Večinoma so si pomagali z geometrijsko razlago. Dokazal je enakost (4), kar bomo ponovili, pri čemer bomo seveda uporabljali moderno pisavo. Ai A2 A3 A4 SLIKA 2. Četrto trikotniško število ■ ■■An SLIKA 3. Deveto šestkotniško število Kako torej lahko izrazimo večkotniška števila s trikotniškimi? Pomagamo si s sliko 3, kjer so narisani pravilni šestkotniki z vsemi potrebnimi točkami. Enako bi postopali z vsakim pravilnim k-kotni-kom in njegovimi V^ točkami. Narišemo vse diagonale iz oglišča A1. Teh je očitno k-3 in delijo pravilni k-kotnik na k - 2 trikotnikov. Paziti moramo, da točk ne bi dvakrat šteli. Zato smo trikotnike na sliki različno obarvali in jih med seboj ločili z vzporedničami diagonalam. Vsak tak trikotnik ima na straniči n - 1 točko in zato vsebuj e Tn-1 točk. Posebej smo izločili točke A1,A2,... ,An. Teh je n, na k - 2 trikotnikih pa je (k - 2)Tn-1 točk. S tem smo našli izraz Vnk) = n + (k - 2)T n-1. (2) Pretvorimo ga lahko tudi v druge oblike, npr.: - Vnk) = Tn + (k- 3)Tn-1 = n(2 + (k- 2)(n-1)). (3) Za k = 4 dobimo štirikotniška ali kvadratna števila Qn, za k = 5 petkotniška ali pentagonalna števila Pn, za k = 6 šestkotniška ali heksagonalna števila Hn. Izrazi zanje so: Qn =Vn4) = n2, Pn =Vn5) = 1 n(3n - 1), Hn =Vn6) = n(2n - 1). -> 7 PRESEK 45 (2017/2018) 5 matematika —^ Za veckotniška števila je Diofant izpeljal z geometrijsko metodo enakost ■ 8(k - 2)vnk) + (k - 4)2 = (2 + (2n - 1)(k - 2))2. (4) Sedaj jo lahko preverimo tako: ■ 8(k - 2)Vnk) + (k - 4)2 = 4n(k - 2)(2 + (k - 2)(n - 1)) + ((k - 2) - 2)2 = = 8n(k - 2) + 4n(k - 2)2(n - 1) + (k - 2)2-4(k - 2) + 4. Združimo na desni strani prvi in četrti ter drugi in tretji clen, število 4 pa postavimo na prvo mesto: ■ 8(k - 2)V(k] + (k - 4)2 = 4 + (8n - 4)(k - 2) + (4n(n - 1) + 1)(k - 2)2 = 4 + 4(2n - 1)(k - 2) + (2n - 1)2(k - 2)2 = (2 + (2n - 1)(k - 2))2. Enakost (4) nam pomaga odgovoriti na vprašanje, kdaj je dano število N veckotniško reda k. To je takrat, ko je 8(k - 2)N + (k -4)2 = Q2 za neko naravno število Q. Ker mora po (4) biti Q = 2 + (2n-1)(k-2), dobimo enacbo 2n - 1 = (Q - 2)/(k - 2), ki ima rešitev n Q + k - 4 2(k - 2) • n;: H 1—i 1— SLIKA 4. Število 36 je trikotniško, štirikotniško in trinajstkotniško. 3. naloga. Preverite naslednjo trditev. Ce sta j in k naravni števili, vecji kot 2, in je njuna vsota sodo število, potem velja enakost v(j) Vn + V(k) = 2V(n(j+k)/2). XXX Križne vsote Np A? -> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zacetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne. V poštev pridejo seveda le naravne rešitve. Za primer si poglejmo število N = 36. Da bo to število k-kotniško, mora biti število 288(k- 2) + (k -4)2 kvadratno, denimo Q2. S poskušanjem najdemo za k = 3,4,13, 36 ustrezne Q, in sicer 17, 24, 57,104, in ustrezne n, ki so 8,6, 3, 2. To pomeni, da je število 36 hkrati osmo trikotniško, šesto štirikotniško ali kvadratno, tretje trinajstkotniško (slika 4) in, trivialno, drugo šestintridesetkotniško. 1. naloga. Dokažite, da nobeno podolžno število ni kvadratno. 2. naloga. Za katere k je število N = 1225 veckotni- ško reda k in katero po vrsti? >3 10 10 6 7 6 10 10 15 XXX 8 PRESEK 45 (2017/2018) 5 fizika Žarnice in sijalke •J/ •i' Np Peter Legiša Izmenični tok in utripanje svetlobe Skozi upornik, priključen na izmenično sinusno napetost U(t) = U0sin(wt) s frekvenco v in krožno frekvenco w = 2nv, teče tok I = U/R, kjer je R upor. Moč na uporniku je ■ P = UI = U 2/R = (1/R)Uo2 sin2(wt) in zato se upornik greje. Vemo, da je 2 sin2 % = l -cos(2x). Ce pišemo % = cot = 2nvt, je sin2(^t) = 1 - 2 cos(2wt) in tako U 2 P = 2r(1 - cos(4nvt)). (1) to modro črto. Enako velja za povprečno vrednost funkcije t ^ sin2 (wt), saj njen graf dobimo tako, da graf za g raztegnemo ali skrčimo v vodoravni smeri. Torej je povprečna vrednost moči enaka -1 Uo2 = l Uo! = 1 (Uo f. 2R R 2 R VV2/ SLIKA 1. Graf funkcij f(t) = 0,5 sin t (zeleno) in g (t) = sin2t (rdece). Tako moč niha s frekvenčo 2v. Ker ima funk-čija t ^ čos(4nvt) (kot vsako kosinusno nihanje) povprečno vrednost o, vidimo, da je povprečna vrednost moči enaka (1/2R)U02. Oglejmo si to še bolj nazorno. Na sliki 1 je zeleno narisan graf funkčije f(t) = 1/2 sin t. Vidimo, ko sinus napravi en poln nihaj, napravi njegov kvadrat dva. Vidimo tudi, da je v enem polnem nihaju povprečna vrednost funk-čije g (t) = sin2 t enaka 1/2. Ce si namreč ogledamo ploščine med modro črtkano črto in rdečim grafom za g, imajo deli pod črto enako ploščino kot deli nad To pa je enaka moc, kot ce bi bil upornik priključen na enosmerno napetost Uef = U0/v2. Napetosti Uef pravimo efektivna napetost. V našem omrežju Uef znaša 230 V. Žarnica je upornik, čeprav se njen upor lahko nekoliko spreminja s temperaturo. Še zmeraj pa velja, da moč niha z dvakratnikom frekvence v priključne napetosti. Zato tudi njen svetlobni tok niha s frekvenco 2v. Ker imamo v Sloveniji napetost s frekvenco 50 Hz, torej 50 polnih nihajev na sekundo, svetlobni tok žarnice niha s frekvenco 100 Hz ali 100 s-1. En celoten nihaj moci traja torej 10 milisekund. To mi je v casu, ko sem bil še osnovnošolec, pokazal prijatelj Andrej Detela. Fotocelico je povezal s slušalko. Približal je žarnico in zaslišal sem nizkotonsko brnenje. Svetlobni tok žarnice se sicer ne spreminja dosti, po [1] le za kakih 5 do 15 %, saj se žarilna nitka v obdobju nekaj milisekund, ko je dovedena elektricna moc blizu nic, ne more kaj prida ohladiti. Halogen-ske žarnice so izboljšana varianta klasicnih žarnic. (Slednje so zaradi evropskih predpisov o varcni porabi energije prakticno izginile s tržišca.) Halogenke imajo kakih 20-40 odstotkov vecji izkoristek in dvakrat daljšo življenjsko dobo, so pa tudi dražje. Ha-logenke z navojem E27 dajejo okrog 10-15 lumnov svetlobe na watt dovedene moci. Fluorescenčna razsvetljava Po drugi svetovni vojni se je zacela uveljavljati precej ucinkovitejša razsvetljava s fluorescencnimi cevmi. Že v devetnajstem stoletju so ugotovili, da razred-cen plin ob primernih pogojih prevaja elektricni tok -> PRESEK 45 (2017/2018) G 9 fizika SLIKA 2. V preizkuševalniku napetosti imamo tlivko in mocan upornik. in pri tem sveti. Direktna priključitev na električno omrežje ni mogoča: ko plin začne prevajati, nastane plazma, ki vse laže prevaja in tok bi tako hitro nara-stel, da bi nam pregorela varovalka. V staromodnem preizkuševalniku napetosti (slika 2) in indikatorskih lučkah večkrat uporabljamo tlivko. Napolnjena je z zelo razredčenim neonom (tlak približno 1 milibar), elektrodi sta nekaj milimetrov narazen. Tlivka je torej primer neonke ali neonske čevi. Zaporedno je vezana na močan ohmski upornik, ki omejuje tok. V preizkuševalniku ta upor tudi iz varnostnih razlogov znaša okrog 1 MQ. Tlivka, kot vse prave neonske čevi, oddaja oranžno svetlobo. Za močnejše sijalke je taka rešitev nepraktična, saj se upor greje in je to velika izguba energije. Zato je v take sijalke potrebno vgraditi dušilko (balast). Klasična magnetna dušilka je tuljava, navita na železno jedro. Taka težka dušilka predstavlja induktivni upor za izmenični tok. Za efektivni tok skozi idealno dušilko velja hr = Uef Uef Lm 2nLv' (2) kjer je L induktivnost dušilke in Uef efektivna napetost na dušilki. Dušilka se torej za izmenični tok obnaša kot induktivni upor (induktanca, impedanca) velikosti 2nLv. Upor je torej premo sorazmeren fre-kvenči izmenične napetosti. Izgube energije v idealni dušilki so nič. V resniči pa imajo navoji tuljave tudi določen ohmski upor. V železnem jedru nastajajo vrtinčni tokovi, ki grejejo dušilko. (Na tem načelu delujejo indukčijske plošče na štedilniku.) Zato taka dušilka še zmeraj predstavlja določeno izgubo energije. Evropski predpis zdaj omejuje te izgube. Nihanje toka skozi dušilko zaostaja za nihanjem priključne napetosti. Fluoresčenčna čev je tudi sičer prečej bolj zapletena kot tlivka. Elektrodi sta dečimetre narazen, zato je teže doseči prevajanje. Klasična fluoresčenčna svetilka poleg magnetne dušilke potrebuje še starter, ki ga je potrebno večkrat zamenjati. Pogosto starter - majhen valj z dvema kontaktoma - za vsak primer menjamo hkrati s čevjo, še posebno pri težko dostopnih svetilkah. V čevi so poleg razredčenega žlahtnega plina (navadno argona), ki prevaja, še ži-vosrebrne pare. Te v ioniziranem stanju oddajajo veliko kratkovalovne ultravijolične (v nadaljevanju UV) svetlobe. Cev je na notranji strani prekrita z belkastim fluoresčenčnim premazom - fosforjem, ki vzbujen z UV sevanjem oddaja vidno svetlobo (in infrardeče sevanje), prepušča pa tudi nekaj UV svetlobe. Premaz se sičer ne odziva trenutno, a svetlobni tok klasičnih fluoresčenčnih sijalk vseeno močno utripa, s frekvenčo 100 Hz. V vsakem nihaju po [1] kar za nekaj milisekund pade na 60-75 odstotkov maksimalne vrednosti. Večina ljudi tega neposredno ne opazi. Človeško oko ima namreč nekaj spomina. Ce svetloba migota s frekvenčo nad 60 hertzov, večina tega neposredno ne opazi in vidi le povprečno vrednost. Občutljive ljudje pa moti tudi močnejše utripanje s 100 Hz. Zaznajo ga predvsem v kotičku očesa. Periferni vid je namreč občutljivejši na hitre spremembe. (Naši predniki so morali opaziti zver, ki se je od strani pognala v napad.) Nihanje običajnih in halogenskih žarnič je tako šibko, da ne predstavlja težave. Klasična fluoresčenčna razsvetljava pa zaradi močnejšega utripanja in, kot bomo videli, spreminjanja barv lahko pri določenem delu populačije povzroča nelagodje, glavobole. Raziskave so pokazale, da taka razsvetljava vpliva na možgane in da pisarniški delavči zaradi utripanja delajo več napak. Človeški organizem zazna utripanje s frekvenčami nekako do 200 Hz in to tem bolj, čim močnejše je ([1]). Utripanje je problem tudi za fotografe in snemalče. Navadno smo na varnem, če je frekvenča utripanja nad 400 Hz. Sam sem utripanje klasične fluoresčenčne razsvetljave večkrat opazil s kotičkom očesa na svetilkah s t. i. prizmatičnim pokrovom. Pri rahlem premikanju glave je verjetno prišlo do interakčije med nihanjem svetlobe in nazobčanim vzorčem na pokrovu, ki služi razpršitvi svetlobe. 10 PRESEK 45 (2017/2018) 5 fizika Kamera v telefonu vidi utripanje Za bralce imam domaco nalogo. Vzemite zvečer pametni telefon in ga vklopite v nacin foto/video, kot bi hoteli fotografirati. Potrebujete še bel karton ali bel kos papirja. Zdaj v prostoru pustite prižgano le eno svetilo. Po možnosti začnite s halogensko ali klasično žarnico kot referenčno točko. Približajte karton svetilu, kolikor se le da. Objektiv telefona usmerite na karton in malče počakajte. Ce vidite na zaslonu telefona temne in svetle proge, svetilo utripa. Fotografirajte. Intenziteta prog na fotografiji pove, kako hudo je utripanje. Ce izvori svetlobe niso majhni in intenzivni, lahko seveda telefon usmerite neposredno na svetilo. Telefon s senzorjem tipa CMOS slika tako kot kamera z zavesnim zaklopom. Lahko si mislimo, da pri posnetku potuje čez tipalo reža, in to vzporedno daljšemu robu senzorja, kot na sliki 3. Cim svetlejša je sčena, tem ožja je reža. Tako na tipalo zmeraj pade primerna količina svetlobe. Ker smo naš karton zelo približali svetilu, je reža ozka. Reža ponazarja ekspozičijo in zaporedno branje eksponiranih vrstič na tipalu. Preberite si tudi, kaj je o zavesnem zaklopu nedavno povedal dr. Aleš Mohorič v Preseku [2, str. 30-31]. Pri telefonih reža potuje sorazmerno počasi. Kot prvi primer prikazujemo na fotografiji 4 svetlobo majhne in lahke fluoresčenčne svetilke znane znamke (13 W, hladno bela barva). Vidimo, da je v času SLIKA 3. Pri zavesnem zaklopu reža potuje čez tipalo, tako daje vsak piksel enako dolgo osvetljen. SLIKA 4. Utripanje fluorescenčne sijalke, 1 3 W, 4000 K prehoda reže njena svetloba naredila nekaj več kot tri utripe. Ker vsak utrip traja 10 milisekund, potrebuje reža za prehod tipala nekaj več kot 30 milisekund. Svetel pas na fotografiji pomeni, da je tistih nekaj milisekund sijalka močno svetila. Ko se je reža premaknila navzdol, je zaradi časovnega zamika jakost osvetlitve že pojenjala in tam smo dobili temnejši pas. Cim večje so razlike med svetlimi in temnimi deli, tem močnejše je utripanje. Na sliki 4 vidimo poleg prečej močnega utripanja še eno zanimivost: ko ta fluoresčenčna čev za nekaj milisekund potemni, se njena barva spremeni, iz bele na zeleno in nato modro! Domači ljubljenčki (psi, kanarčki) so sposobni videti utripanje z višjimi frekvenčami. Zanje je taka svetilka morda nekaj takega kot razsvetljava v disko klubu. Ko gledamo na zaslon, reža kar naprej potuje čez zaslon. Vsak naslednji prehod (ki traja dobrih 30 ms) pomeni osvežitev slike. Sklepamo lahko, da se na našem telefonu slika osvežuje okrog 30 krat na sekundo. Ker osvežitve niso ravno sinhronizirane z utripanjem sijalke, na zaslonu temni in svetli trakovi plešejo. Za primerjavo je na fotografiji 5 utripanje svetlobe klasične žarniče s 60 W. Oddaja približno enako količino svetlobe kot prej omenjena »fluo« čev s 13 W, vendar žarniča utripa le minimalno. PRESEK 45 (2017/2018)5 11 fizika primerno manjša. Tako je pri elektronski napravi dušilka lahko majhna in lahka, izgube v njej pa so mnogo manjše kot pri klasičnem balastu. Po isti formuli lahko z večanjem frekvence v zmanjšujemo tok skozi cev in jo tako zatemnjujemo. Visokofrekvenčne predstikalne naprave pomenijo precej manjše izgube. Fluorescenčna cev, priključena na elektronsko predstikalno napravo, danes daje do 105 lumnov na watt. Elektronika omogoča tudi hitrejši start, brez večkratnih poskusov kot pri klasičnih starterjih. To pomeni daljšo življensko dobo cevi. Elektromagnetni smog, ki nastane zaradi visoke frekvence, je omembe vreden le nekaj decimetrov stran od svetilke in ga lahko z ustrezno elektroniko zmanjšamo. SLIKA 5. Utripanje klasične žarnice 60 W Visokofrekvenčne elektronske predstikalne naprave Zadnje case so se v svetilkah za fluorescenčne cevi uveljavile ([3, str. 106]) visokofrekvenčne elektronske predstikalne naprave (nemško: Elektronisches Vorschaltgerät, EVG), ki so postale tudi dovolj zanesljive. Dobre naprave tega tipa omrežno napetost usmerijo, zgladijo (tako da je dobljena enosmerna napetost skoraj konstantna) in nato razsmerijo na iz-menicno napetost z visoko frekvenco (20-100 kHz). Fluorescencni plašc skorajda ne more slediti tako hitrim spremembam. Tako oddajajo prakticno konstanten svetlobni tok - fluktuacije znašajo najvec pet odstotkov. Taka razsvetljava je neproblematična in nima negativnih ucinkov, ki smo jih opisali pri razsvetljavi z magnetnimi dušilkami. (Opozorilo: nekatere cenejše elektronske predstikalne naprave - kot v mali svetilki (katere svetloba je) na sliki 4 - izpustijo drugi korak, glajenje. Njihova svetloba pošteno utripa s 100 Hz.) Take naprave vsebujejo tudi balast. V formuli (1) imamo pri klasicni dušilki frekvenco v = 50 Hz, pri elektronski napravi pa v > 20000 Hz. Upoštevajmo, da morata biti za dano cev efektivna napetost in tok v obeh primerih približno enaka. Zato mora biti produkt Lv v obeh primerih približno enak. Torej mora biti induktivnost L v visokofrekvenčnem primeru ne- SLIKA 6. Obrocasta »varcna žarnica« ima fluorescenčno cev zvito v torus ali svitek. Kompaktne fluorescenčne sijalke (CFL, po domače tudi »varčne žarnice«) so nastale z miniaturi-zacijo fluorescenčnih cevi, ki so jih upognili v razne oblike. Mnoge imajo vgrajeno elektronsko predstikalno napravo, tako da jih lahko privijemo v običajne navoje. (Ob vsaki menjavi nastane zato znatno več elektronskega odpada kot pri ceveh.) Dajejo od 40 do 70 lumnov na watt. Imajo pa nekaj slabosti: ko jih 12 PRESEK 45 (2017/2018) 5 fizika prižgemo, se pogosto ne odzovejo takoj in mnoge v začetku svetijo zelo šibko. Potrebujejo kako minuto ali dve, da dosežejo polno svetilnost. Navadno slabo svetijo pri nizkih temperaturah. Pogosto štrlijo iz obstoječih svetilk. Daleč najboljša taka naprava med mojimi nakupi je precej velika sijalka v obliki obroča na sliki 5. Daje 1700 lumnov pri 24 W in takoj po vključitvi sveti s polovico moči. Utripanja svetlobe praktično ni. Kompaktne fluoresčenčne sijalke so danes tako rekoč zgodovina. V ZDA je že pred par leti njihova čena strmoglavila: proizvajalči in trgovči so se hoteli le še znebiti zalog. Nadomestile so jih boljše in učinkovitejše LED sijalke. Barvna vernost Utripanje svetilk s težkimi balasti je le eden od razlogov, zakaj mnogi niso bili navdušeni nad fluorescenčno razsvetljavo. Drugi razlog je spektralna sestava svetlobe. Medtem ko žarnica oddaja svetlobo, ki zvezno pokriva celotni spekter, je svetloba fluorescenčnih sijalk vecinoma koncentrirana okrog nekaj malega tock v spektru. V mnogih trgovinah so do nedavnega prodajali le najcenejše cevi, ki so slabo podajale barve (in obenem imele slabši izkoristek in krajšo življenjsko dobo). Indeks barvne vernosti ali Indeks barvnega videza Ra, natancneje Ra, tudi CRI, Color Rendering Index je bil 55-65, medtem ko je pri žarnicah (klasicnih in halogenskih) enak 95100. Moja mama je pri nakupovanju tekstila zmeraj prosila prodajalko, naj ji stvari pokaže na dnevni svetlobi, kjer je blago pogosto imelo precej drugacen videz kot pod fluorescencno razsvetljavo v notranjosti trgovine. Danes zaradi evropskih predpisov nekakovostnih cevi ni vec na tržišcu. Fluorescencne cevi z Ra > 80 lahko dobimo za ugodno ceno. V specializiranih trgovinah dobimo cevi z Ra > 90. Te imajo dražje obloge, ki sevajo v vec delih spektra. Ker je fluorescentni plašc debelejši, imajo nekaj manjši izkoristek. Fluo svetilke s klasicno težko elektromagnetno dušilko lahko posodobimo tako, da izrabljeno fluorescencno cev zamenjamo z LED cevjo, ki vsebuje, kot ime pove, svetlece diode. Pri tem moramo zamenjati starter s priloženim elektronskim starterjem. Za zdaj (2018) so te LED cevi dražje, oddajajo ne- kaj manj svetlobe, a imajo vsaj izdelki znanih znamk boljši izkoristek, boljšo barvno vernost, daljšo življenjsko dobo in večinoma manj utripajo. (Nekateri pa imajo slabe izkušnje s tovrstnimi LED izdelki manj znanih proizvajalčev.) Taka zamenjava za zdaj ni mogoča pri sodobnejših svetilkah z visokofrekvenčno elektronsko predstikalno napravo. Pri nakupu moramo paziti tudi na barvno temperaturo čevi. Barvna temperatura LED sijalke in fluorescencne cevi imajo razne barvne odtenke. Oznaka 2700 K pomeni, da svetilka oddaja približno tako svetlobo kot crno telo, segreto na 2700 Kelvinov. Pravimo, da ima svetloba barvno temperaturo 2 700 Kelvinov, tako kot klasična žarnica s 60 W. Po DIN normi je svetloba z barvno temperaturo pod 3300 K toplo bela (warm white). Višja barvna temperatura pomeni vecji delež modre in nižji delež rdece svetlobe. Nad 3300 K in pod 5000 K imamo hladno belo ali nevtralno belo ali naravno belo (cool white). Za delovne prostore in ucil-nice navadno uporabljamo nevtralno belo svetlobo s 4000 K. Tudi zato, ker se toplo bela slabo meša s svetlobo, ki prehaja cez dan skozi okna. Nad 5000 K imamo dnevno belo svetlobo (daylight), ki je ob halogenskih žarnicah videti modrikasta. (Ali pa so halogenke, ce so v manjšini, videti rumeno-oranžne.) Taka svetloba naj bi nas še bolj zbudila kot hladno bela. Fluorescencna cev z oznako 827 ima Ra > 80 in barvno temperaturo 2700 K (toplo bela). Za obcutek dobre osvetljenosti potrebujemo pri višji barvni temperaturi vec svetlobe. Sredi dneva, ob visoki barvni temperaturi, smo namrec navajeni na mnogo svetlobe. V vecernih urah svetujejo uporabo toplo bele svetlobe, ker izpostavljenost modri svetlobi dokazano moti prehod v spanec. Zastonjski programcek f.lux nam zvecer samodejno zniža barvno temperaturo na racunalniškem zaslonu. Za delo z vizualnimi vsebinami (fotografije, video, risbe) pa moramo na zaslonu uporabljati eno samo barvno temperaturo, in to dnevno (5200-5500 K). Program f.lux lahko v ta namen hitro izkljucimo. -> PRESEK 45 (2017/2018) G 13 fizika SLIKA 7. Kamera je ocenila, da sceno nad Kontovelom osvetljuje svetloba s temperaturo 5100 K. SLIKA 8. Sliko smo predelali, tako daje zid levo spodaj resnično siv. Barvna temperatura in fotografija Včasih smo fotografi za najlepše slike iz narave uporabljali diafilm, kalibriran za dnevno svetlobo s temperaturo 5500 K. Pri tej temperaturi je tak film dajal najboljše rezultate. Ce pa smo slikali s takim filmom prizor ob sveči, je bila slika bolj ali manj rdeča. Sveča ima barvno temperaturo okrog 1500 K. Mi svetlobo sveče ali tabornega ognja občutimo kot rumenkasto. Zasnežena pokrajina je na oblačen dan dala diapozitiv z modrikastim snegom. Barvna temperatura dnevne svetlobe pod oblačnim pokrovom je okrog 7000 K. Naši možgani preoblikujejo informacijo tako, da videz scene približajo videzu pri neposredni dopoldanski sončni svetlobi: papir v zvezku vidimo - ne glede na izvor svetlobe - kot približno bel. V Času filma smo temperaturo in sestavo svetlobe, ki je prihajala v kamero, spreminjali z uporabo barvnih filtrov. Piksel na tipalu digitalne kamere registrira intenzivnost rdeče, zelene in modre barve. Programska oprema nato te podatke predela tako, da na računalniškem zaslonu dobimo sliko, ki je videti naravno in privlačno. Procesor lahko (bolj ali manj uspešno) kompenzira vpliv barvne temperature (in drugih pomanjkljivosti) svetlobe na sčeni, tako da so na konču bele površine fotografiranega objekta na zaslonu računalnika videti bele. Vklopiti moramo le popravek ravnovesja beline ali angleško Automatič White Ba-lanče (AWB). Ce imamo s sabo nevtralno siv objekt, lahko naredimo tudi uporabniško ravnovesje beline ali Custom White Balanče, tako da najprej slikamo ta sivi predmet in kamera določi sestavo svetlobe, ki osvetljuje sčeno. To da pravi rezultat pri svetlobi z odličnim barvnim videzom. Tretja možnost je izbira ravnovesja beline iz možnosti v meniju: ■ sončna svetloba - 5200 K; ■ senča - 7000 K; ■ klasična ali halogenska žarniča (tungsten = volfram) - 3200 K; ■ hladno bela fluoresčenčna svetloba - 4000 K itd. Vendar moramo potem ob spremenjenih pogojih nastavitev spremeniti sami. Ko smo v naravi imeli po pomoti vključeno ravnovesje beline za fluoresčenčno razsvetljavo, smo dobili JPEG datoteke z resnično nemogočimi barvami! Ce slikamo v RAW načinu, se nam ni treba vznemirjati zaradi izravnave beline. To lahko naredimo naknadno s programom za obdelavo slik. Z drsniki spreminjamo barvno temperaturo in ton, dokler nismo zadovoljni. Najhitreje pa gre, če imamo na sčeni kako sivo (ali šibko osvetljeno belo) površino. S posebno kapalko kliknemo na tako barvno nevtralno površino in poprava je tu. 14 PRESEK 45 (2017/2018) 5 fizika Naša kamera je ob sončnem zahodu na slikoviti cesti nad Trstom ocenila, da je scena osvetljena z dnevno svetlobo z barvno temperaturo 5100 K in dala sliko 7. Rdeči ton je močnejši, kot se ga spomnimo s scene. Je pa tak, kot bi ga občutili, če bi na sceno stopili iz sobe, razsvetljene s 5100 K. Ker pa smo bili na cesti že dalj časa, smo se deloma prilagodili in sceno občutili drugače. V programu za obdelavo slik smo s kapalko kliknili na sivi zid levo spodaj. Program je z analizo izbranega delčka slike ocenil barvno temperaturo na 4400 K in ustrezno popravil sliko. Tako smo dobili sliko 8. Katera verzija vam je bolj všeč? Morda bi bilo najbolje nekaj vmes? Pri fluorescenčni razsvetljavi so tudi po zgoraj opisanih metodah poprave večkrat težave (zaradi nizke barvne vernosti). Tako je bilo tudi s sliko 6. Takrat poskusimo rezultat izboljšati s spreminjanjem odtenka ali intenzivnosti rdeče barve, ki je najbolj problematična. Zadovoljivo lahko navadno popravimo tudi barve JPEG datotek. Težko pa je izboljšati sceno, ki so jo osvetljevali viri z različno barvno temperaturo. Bli-skavičo, ki oddaja svetlobo z barvno temperaturo okrog 5200-5500 K, lahko opremimo s filtrom, ki temperaturo njene svetlobe približa ambientni. Naši možgani, kot smo že rekli, izravnavo (=po-pravo ravnovesja) beline naredijo avtomatično. Pri prehodu iz ene osvetlitve v drugo za to potrebujejo le nekaj sekund. žarnic in sijalk, Flickern oder Flimmern) von Gluhbir-Lampen, Energie-Umwelt.ch, dona www.energie-umwelt.ch/ Literatura [1] Utripanje (Flačkern nen und stopno beleuchtungundbatteri en/gluehbi rnen-und-lampen/1425, ogled 15. 2. 2018. [2] A. Mohorič, Zavesni zaklop, Presek 44 (2016/17) 2, 30-31. [3] G. Bizjak, M. B. Kobav in M. Prelovšek, Razsvetljava, dostopno na lrf.fe.uni-lj.si/ razsvetljava.pdf, ogled 15. 2. 2018. _XXX Polzenje na potujoče valove •is ■i' ■i' Andrej Likar Najprej se spomnimo nekaj osnov iz valovanja. Ravno potujoče valovanje opišemo z odmikom y delca sredstva, po katerem se valovanje širi, z enačbo ■ y = y0 cos(ct - kx). Odmik y je odvisen od lege delca x in časa t. V poljubno izbranem izhodišču pri x = 0 odmik harmonično niha s krožno frekvenco c tako, da je na začetku štetja časa amplitudni y0, potem pa se odmik manjša, po poloviči periode pa je najbolj negativen -y0. Argument pri kosinusni funkciji imenujemo faza. Fazni zaostanek kx od izhodišča določa valovno dolžino x = A, kjer se odmik ponovi, torej pri ■ kA = 2n . Ko opazujemo val, navadno spremljamo njegov am-plitudni odmik y0, torej valovni vrh. Tam je faza enaka nič, torej velja kx = ct . Drugače zapisano c ■ x = — t = ct. k Hitrost valovanja c je ravno hitrost valovnega vrha, torej c C = k ■ Vemo še, da je valovanje transverzalno ali longitudinalno. Pri prvem so odmiki pravokotni na širjenje, pri drugem pa v smeri širjenja. Tako je valovanje na vrvi transverzalno, zvok pa je longitudinalno valovanje. 18 PRESEK 45 (2017/2018) G 15 RAZVEDRI LO nU NU NU Nagradna križanka PAS DELNO NATAUENIH KAMNIN VZEMEU. PLAŠČU TOČKA, TELO ALI OBJEKT, KI KAJ (GRAVITACIJSKO) PRIVLAČI, PRIVLAČEVALEC AVTOR MARKO BOKALIČ PRVI VIOLINIST IN VODJA CIGANSKE GODBE 11 NAŠ POSLOVNEŽ ZORN IGRALEC, KIJE BIL POROČEN Z MADONNO "SORODNIK" ČEBULE" PRIKAZ PRED PUBLIKO NEKDANJI ŠPORTNI DIREKTOR FERRARLIA (FRITZ) OMLAČEN SNOP MESTO OB VELIKEM ISTOIMEN. JEZERU V ZDA SVILENA TKANINA ZA PODLOGE K DEL IGRE PRI TENISU IN ODBOJKI GIBLJIV PREDNJI DROG PRI VOZU SLANE TERME ZAHODNO OD PARME V ITALIJI STROJNI DEL V VALJU AM.PEVKA IZREDEN UM BEŽNA ZAZNAVA FRANC GALIČ DNEVI V RIMSKEM KOLEDARJU RAČUNSTVO OZVEZDJE JUŽNEGA NEBA Z ZVEZDO AHERNAR ANDREJ ŠIFRER VZHOD. OD KOČEVJA AVSTRLI.-I MATEMATIK JUD. RODU ATENSKI BOGATAŠ, KIJE TOŽIL SOKRATA PROTI KATERI SE GIBLJE SONCE SREDIŠČE GREBENA VRHE NA KRASU IRSKI MATEMATIK IN FIZIK (WILLIAM, ROWAN) GLADKA ZAŠČITNA PREVLEKA NA KOVIN. IZDELKIH KURJE SE NAREDI NA STOPALU ZODIA-KALNO OZVEZDJE MIREN, RAVNODUŠEN ČLOVEK 15 V PRVI IGRAJO NAJBOLJŠA SIBIRSKO VELEMESTO PIVO STARIH SLOVANOV mm SNEŽNI PLUG(KOS- nc/ NIH PAROV ELEMENTOV IZZIVAČj HUJSKAČ OSREDNJI TRG V KAIRU SPODNJA POVRŠINA PROSTORA MIŠIČNA BULA VLAČUGA, CANDRA SREDIŠČE SZ. DELA ZDA OB TIHEM OCEANU 17 VANJ SE STEKA DEŽEVNICA S STREHE ¡¡mfa ODPRTINA V STENI ZVOČNI ZNAK ZA NEVARNOST m SOSEDNJI ČRKI 14 SREDNJI ZLOG KENGURUJA NAPRAVE V KAZINU, FLIPERJI TEMNA ZRNATA KAMNINA MAJHNA DRŽAVA V SREDNJI AFRIKI 16 PRESEK 45 (2017/2018) S RAZVEDRI LO Crke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 5. maja 2018, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX PRESEK 45 (2017/2018) 5 17 fizika —^ Ker pri valovanju delči snovi le nihajo okrog svojih ravnovesnih leg, pri valovanju potujeta na večje 15 razdalje le energija in gibalna količina, ne pa snov. A ^ potujoče valove lahko izkoristimo tudi za premika-| nje. Spomnimo se deskarjev, ki prav hitro drsijo na visokih valovih pri obalah. Ce se torej nekako »opri--S += memo« valov, nas lahko ponesejo s seboj. ■= m Oglejmo si preprost primer. Zamislimo si napet lok in potujoče transverzalne valove na tetivi, za katere velja prva enačba. Pustimo ob strani vprašanje, kako bi tako valovanje vzbujali. Zamislimo si še letvičo z valovito zgornjo stranjo, kjer bi za višino vzdolž letviče veljalo ■ y = y0 čos(kx). Na letvičo bi torej vrezali zamrznjen potujoči val. Mika nas, da bi mu rekli kar stoječi val, a pod tem izrazom razumemo nekaj drugega. Ce lok z valovi premikamo vzdolž tetive v nasprotni smeri potujočih valov, tudi vsaj za nekaj časa vidimo zamrznjen val. Iz enačbe za valovanje ■ y = y0čos(wt - kx), ki velja za odmike na mirujoči tetivi, preidemo na odmike pri gibajoči se tetivi tako, da zapišemo lego x, kot jo vidimo iz mirujočega zornega kota " xmir = x - vt, kjer je v hitrost gibanja tetive. Z izbrano hitrostjo v = c pridemo do zamrznjega potujočega vala ■ y = yočos(kxmir) . Ce se torej zamrznjena vala tetive in letviče ujemata, lahko položimo gibajoči se lok na letvičo tako, da se tetiva povsod tesno prilega letviči. Lok torej potuje po mirujoči letviči in se lahko od nje tudi odriva, če ga kaj ovira pri gibanju. Primer pojasni način gibanja pri polžih. Njihova mišična noga omogoča tvorbo potujočega transverzalnega valovanja vzdolž polža. Da se polž lahko giblje kot lok po letvi, potrebuje valovito podlago, ki se povsem ujema z njegovim potujočim valom. Takih podlag v naravi seveda ni, a plož s svojo lepljivo in zelo viskozno slino premaga to težavo. Slina se dobro prilepi na podlago, val v nogi pa jo oblikuje sebi podobno. Tako polž s slino peoblikuje podlago. SLIKA 1. Vodni polži se gibljejo na način transverzalno potujočega valovanja. Na sliki 1 je shematično prikazano gibanje polža na transverzalno valovanje. Transverzalno valovanje v nogi potuje v nasprotni smeri, kot se giblje polž. S transverzalnim pogonom se gibljejo večinoma vodni polži. Vrtni polži se pri gibanju zanašajo na longitudinalno potujoče valovanje. Da se lahko premikajo naprej, se mora noga dotikati podlage le na mestih, kjer je njeno vzdolžno gibanje v smeri od glave proti zadku. Dele nog, ki se gibljejo v obratni smeri, mora polž odmakniti od podlage. Torej se mora po nogi širiti poleg longitudinalnega vala tudi transverzalni, ki poskrbi za odmikanje delov noge od podlage z napačno smerjo vzdolžega gibanja. Veljati mora torej ■ xod = x - x0 čos (wt - kx), ■ y = y0 sin (wt - kx). Tu smo z xod zapisali lego delča noge na oddaljenosti x od izhodišča, denimo, od oznake na polževi hišiči, z y odmik noge od podlage, x0 in y0 pa sta amplitudi longitudinalnega in transverzalnega vala, ki se širita v smeri gibanja polža. Deli nog se pod vplivom teh dveh valovanj gibljejo po eliptičnih tirih, kar spominja na gibanje naših nog pri hoji ali teku. Mislimo si lahko, da je polževa noga množiča drobnih nožič, ki se usklajeno gibljejo kot pri stonogi. Na sliki 2 je prikazana polževa noga v nekem trenutku. Deli noge s pravilnim gibanjem so v stiku s podlago, deli z napačnim pa so od podlage odmaknjeni. 18 PRESEK 45 (2017/2018) G 18 fizika SLIKA 2. Vrtni polži se gibljejo na način pretežno longitudinalno potujočega valovanja. Odmike noge smo v štirih zaporednih trenutkih prikazali na sliki 3. Polž se giblje od leve proti desni, kar nakazujeta rumeni Črti. Valovanje se širi v isti smeri, le da je precej hitrejše od polža, kar vidimo po rdeči Črti, ki povezuje vrhove z enako fazo. Da se približamo pravim razmeram, smo transverzalni odmik y navzdol omejili. Tako se noga tesneje oprime podlage. Za razliko od vodnih polžev je hitrost vrtnega polža odvisna od amplitude longitudinalnega vala ■ v = uox0 , SLIKA 3. Lege polževe noge v enakomernih časovnih intervalih. Vidimo, da se vala širita v smeri polževega gibanja od leve proti deni (rdeča črta), in sicer precej hitreje, kot se giblje sam polž (rumeni črti). Cas teče od zgoraj navzdol. in zato manjša od hitrosti valov. Valove lepo vidimo, če na drugi strani opazujemo polževo polzenje po šipi. Pri vrtnem polžu je slina prav tako pomembna, saj mu omogoča povsem neslišno polzenje tudi po zelo strmih, celo previsnih podlagah. Prav te odlike polževega gibanja zelo zanimajo inženirje, ki bi radi naredili polže-robote. Potrebujejo tudi umetno slino, ki bi omogocila gibanje robotov po strmih podlagah. Zato v literaturi še vedno najdemo strokovne in znanstvene članke na to temo. _XXX Nalogi •is ■i' ■i' Marko Razpet 1. Poišči funkcijo f, ki za vsak realen x zadošča funkcijski enacbi ■ x(x + 1)f(x) + f(1 - x) = x(x3 - 1). (1) 2. Na sliki je enakostranični trikotnik s stranico x, ki je razdeljen na dva skladna raznostranična trikotnika, enakokrak trapez in enakokrak trikotnik z znanimi podatki. Izračunaj stranico x. XXX PRESEK 45 (2017/2018) G 19 astronomija Zorni koti nebesnih teles sU sp sU Marijan Prosen Zorni kot je temeljni pojem astronomske geometrije. Najprej bomo obravnavali zorni kot Sonca, nato pa še zorni kot Lune, planetov in zvezd. Zorni kot Sonca Zvezd je nešteto. Ena od njih in nam najbližja je Sonce. To je velikanska krogla razbeljenih plinov (poenostavljeni model). Sonce vidimo ali ga opazujemo kot svetlo rumeno dobro vidno okroglo ploskvico (disk, krožec) na dnevnem nebu. Pri opazovanju moramo biti zelo previdni. Opazujemo ga s posebnimi zaščitnimi ocali s filtri, ki ne prepuščajo za naše oci njegove nevarne svetlobne žarke. Zorni kot Sonca je kot, v katerem iz opazovališca na Zemlji, vidimo zelo oddaljeno Sonce. Izracunajmo, koliko meri zorni kot a Sonca, ki je oddaljeno od Zemlje r = 150 milijonov km, njegov premer pa meri okoli 2R = 1400 tisoc km. SLIKA 1. (Trenutni) zorni kot a Sonca, O - opazovalec na Zemlji; namesto Sonca si lahko predstavljamo Luno, planet, zvezdo ali drugo vesoljsko telo. Ker je Sonce vidno v majhnem zornem kotu, lahko upraviceno uporabimo enacbo (sorazmerje) za sre-dišcni kot v krožnici in njemu pripadajoci lok, ki je v tem primeru kar enak dolžini tetive. Velja a/360° = 2R/2nr, od koder sledi za zorni kot Sonca a = 2R ■ 360°/2nr = 1400000 km ■ 360°/2n ■ 150000000 km = 0,5° ( = 30'), kar je približna vrednost. Zorni kot Sonca pri opazovanju z Zemlje meri polovico kotne stopinje ali 30 kotnih minut. To okroglo vrednost si zlahka zapomnimo. Zorni kot Sonca pri opazovanju z Zemlje ni stalen. Spreminja se, ker se Zemlja giblje okrog Sonca po elipsi in se oddaljenost Zemlje od Sonca spreminja. Enkrat je Zemlja najbližje Soncu, drugic najdlje. Ko je najbližje v prisoncju ali perihelu, ima najvecji zorni kot 32,5'; ko je najdlje v odsoncju ali afelu, pa najmanjšega 31,5'. Povprecno meri 32', kar je okoli 0,5°, kot smo izracunali. Pripomba. Ker se zorni kot Sonca s casom spreminja, bi vedno morali reci trenutni zorni kot. Enako velja za zorni kot Lune in planetov. Vendar bomo besedo trenutni v nadaljevanju izpušcali. Zorni kot Lune Luna je povprecno oddaljena od Zemlje r = 60R, njen radij pa je okoli 1 /4R, ce R pomeni radij Zemlje. Izracunajmo zorni kot Lune pri pogledu z Zemlje. Ker je Luna zelo oddaljena od Zemlje in vidna v majhnem kotu, lahko spet uporabimo že prej navedeno enacbo a/360° = 2R/2nr, od koder za zorni kot Lune dobimo a = 2 ■ 1/4R ■ 360°/2n ■ 60R = 90°/n ■ 60 = 0,5°, kar je približna vrednost. Zorni kot Lune pri pogledu z Zemlje meri polovico kotne stopinje ali 30 kotnih minut. To je vrednost, 20 PRESEK 45 (2017/2018) 6 astronomija ki si jo zlahka zapomnimo. V prvem približku sta zorni kot Sonca in zorni kot Lune enaka 0,5°. Luna se giblje po elipsi okrog Zemlje, ki leži v enem od gorišc elipse. Zato se oddaljenost Lune od Zemlje spreminja, s tem pa se spreminja tudi njen zorni kot pri pogledu z Zemlje. Spreminja se od 29,4' do 33,7'. Srednja vrednost zornega kota Lune je 31', prvi približek in vrednost, ki jo uporabljamo v šoli, pa je 0,5°. Pri računanju Luninega zornega kota bi morali torej dobiti vedno vrednost a, ki leži med omenjenima skrajnima vrednostma, zapisano matematicno, kot interval 29,4' < a < 33,7' ali [29,4', 33,7']. Ali je možno iz splošnih astronomskih podatkov, ki jih imamo vedno na razpolago in jih znamo na pamet, s preprostim računom, ki povezuje nekaj fizikalnih zakonov, izracunati oziroma primerno oceniti zorni kot Lune ob opoziciji s Soncem, tj. ob polni luni? Gre za oceno Luninega zornega kota, ki naj bi se ne razlikovala za vec kakor ±15' od srednje vrednosti 31', najbolje pa bi bilo, da bi izracunana vrednost padla znotraj intervala [29,4', 33,7']. Nalogo rešimo za splošni (ne posebni) primer, saj je polna luna razlicno oddaljena od Zemlje in od Sonca. Zato bo rezultat naloge bolj ocena, približna vrednost za Lunin zorni kot, ki je seveda ob vsaki polni luni nekoliko drugacen, vendar naj bi njena vrednost padla znotraj ali vsaj blizu navedenega intervala (kar je ostra zahteva). Za reševanje naloge smo izbrali naslednje osnovne podatke: sprejeta gostota svetlobnega toka s Sonca na Zemlji (solarna konstanta) j0 = 1400 W/m2, ki je prakticno taka kot na Luni (razlika je le za 4 W/m2 (manj), kar zanemarimo glede na vrednost 1400 W/m2), radij Lune R, sij polne lune (opozicija s Soncem) m = 12,75 magnitude (srednja vrednost) in albedo (svetlobna odbojnost) Lune 5 = 0,12 (približna vrednost). Podatki so približni, zato lahko pricaku-jemo, da bo približen tudi rezultat. Lunin zorni kot a pri opazovanju z Zemlje izra-cunamo iz a/360° = 2R/2nr, kjer pomeni R radij Lune in r oddaljenost Lune od Zemlje. Zorni kot v kotnih enotah je ■ a = 57,3° ■ (2R/r). Gostota svetlobnega toka j0, ki pade s Sonca na Luno ob polni luni, je glede na gostoto svetlobnega toka, ki pade na Zemljo, kar j0 = 1400 W/m2. Gostoto svetlobnega toka j, ki pade s polne lune na Zemljo, izracunamo iz osnovne astrofotometricne Pogsonove enacbe j/j' = 10-0'4(m-m/), kjer je j' = 10-8 W/m2 pri m' = 1 magnituda. Sledi, da je j = 10-8 ■ 10-°'4(-13'75) W/m2 = 32 ■ 10-4 W/m2. Od Lune se odbije svetlobni tok j0 ■ nR2 ■ 5. V razdalji r pade na Zemljo tok z gostoto j0 ■ nR2 ■ 5/2nr2 (upoštevamo le od Sonca osvetljeno Lunino polkro-glo ob polni luni, obrnjeno proti Zemlji). Ta kvocient je enak gostoti svetlobnega toka j. Iz enakosti j0 ■ nR2 ■ 5/2nr2 = j dobimo 2R/r = ^Wjj'ö) = yl(8 ■ 32 ■ 10-4/1400 ■ 0,12) = 1,23 ■ 10-2 radiana in a = 0,71° « 42'. Dobili smo rezultat, ki je nekako na meji. Ne pade ravno v postavljeni interval, precej se razlikuje tudi od srednje vrednosti 31' (35% relativna napaka). Vendar je za nas sprejemljiv. Solarna konstanta j0 je podana približno, napaka je pri j, kjer ni upoštevana vpojnost Zemljinega ozracja (ce jo upoštevamo, dobimo že boljšo vrednost za zorni kot 37'), vprašljiva je tudi 5, ki je zelo približna. Vsak netocen podatek vpliva na koncni rezultat, tako da ne moremo dobiti natancne vrednosti racunane kolicine. V takem primeru je najbolje, da zorni kot izracu-namo iz neposredne zveze med premerom Lune in njeno trenutno oddaljenostjo od Zemlje, kar lahko natancno izmerimo z radarjem ali laserjem ali pa preberemo iz Astronomskih efemerid, radij Lune je konstanten. Ce je bila Luna v casu polne lune od Zemlje npr. oddaljena r = 59R0, potem je bil njen zorni kot 2R/r = 2 ■ 1/4R0/59R0 = 1/118 radiana ali a = 29', kar je odlicen rezultat. Na tak neposredni nacin vedno pravilno izracu-namo zorni kot Lune, ce imamo natancno podano oddaljenost Lune. Napaka se pojavi lahko samo zaradi nepravilno znanega premera Lune in njene oddaljenosti od Zemlje. Lunin premer ima stalno in znano vrednost, oddaljenost nam najbližjega vesoljskega telesa pa je tudi vsak trenutek zelo znana. Tako je tudi z izracunanim trenutnim zornim kotom Lune, ki se ne more dosti razlikovati od srednje vrednosti. -> 21 PRESEK 45 (2017/2018) 6 astronomija —^ Zorni kot planeta Zorni kot zvezde Zorni kot a planeta je kot, v katerem iz površja Zemlje vidimo oziroma opazujemo planet kot majc-keno navidezno okroglo ploskvico (disk) na nebu. Ker je kot a zelo majhen, tudi za planete velja sorazmerje a/2R = 360°/2nr, kjer je r oddaljenost planeta, 2R premer planeta in R radij planeta. Planeti se gibljejo okrog Sonca, seveda tudi Zemlja. Oddaljenost planetov od Zemlje se neprestano spreminja. Zato se spreminja tudi njihov zorni kot, in to pri vsakem planetu od neke najmanjše do neke največje vrednosti; pri Veneri od 10'' do 65'', pri Jupitru od 30'' do 50'', Saturnu od 15'' do 21'', Marsu od 3,5'' do 25'', Merkurju od 5'' do 13'', Uranu od 3'' do 4'', Neptunu od 2,2'' do 2,4''. Iz teh podatkov ugotovimo, da ima Venera najvecji zorni kot, najbolj pa se spreminja pri Marsu. Vse to pojasnimo s spreminjanjem oddaljenosti planetov od Zemlje. Locljivost cloveškega ocesa je nekaj kotnih minut, tako da nobenega planeta z ocmi ne locimo oziroma ne vidimo v zornem kotu. Vse vidimo le kot svetle pike (tocke) na nocnem nebu. Z daljnogledom premera objektiva 5 cm, ki ima locljivost okoli 3'', pa že vidimo planete kot majckene svetle okrogle ploskvice, vse tja do Saturna. Ce želimo vec in bolje opazovati planete, vzamemo zmogljivejši daljnogled. Zgled Mars zelo spreminja oddaljenost od Zemlje. Ima precej splošcen tir, vendar bomo privzeli, da se giblje po krožnici. Izracunajmo zorni kot Marsa pri pogledu z Zemlje, ko je v neki povprecni opoziciji s Soncem in je od Zemlje oddaljen okoli 1/2 astronomske enote (ae.), ce meri 1 ae = 1,5 ■ 108 km in je radij Marsa 1/2 radija Zemlje R0 = 6400 km. Zorni kot a Marsa v povprecni opoziciji izracu-namo iz a/2R = 360°/2nr, od koder sledi a = 2 ■ 1/2R0 ■ 360°/2nr = 6400 km ■ 360 ■ 60 ■ 60''/2n ■ 0,5 ■ 1,5 ■ 108 km « 18''. Ceprav smo racunali s približnimi podatki, smo dobili kar dober rezultat, ki leži v ustreznem intervalu [3,5'', 25''] za vrednost zornega kota Marsa pri pogledu z Zemlje. S pet-centimetrskim daljnogledom ga že razlocimo oziroma vidimo v zornem kotu. Sonce, Luno, planete vidimo v določenem zornem kotu. Kaj pa številne zvezde, ki jih na nočnem nebu vidimo le kot bolj ali manj svetle pike, kot točke brez razsežnosti? Z očmi jih res vidimo kot pike, toda z uporabo posebnih inštrumentov in posebnih načinov opazovanja pa tudi pri zvezdah zaznamo njihovo kotno razsežnost. Saj so to vendar velikanska vesoljska telesa, ogromne žareče krogle razbeljenih plinov (poenostavljeno) večinoma veliko večje od planetov, samo zelo, zelo so daleč. Zato so videti kot pike. Vse je tudi odvisno od zmogljivosti, natančneje, od ločljivosti inštrumenta, s katerim opazujemo. Na vprašanje, ali zvezde vidimo v zornem kotu, lahko odgovorimo z da. Neverjetno, a resnično. Najbrž ste presenečeni, ko ste zvedeli, da so tudi zvezde vidne v določenem zornem kotu, čeprav jih s prostim očesom zaznavamo kot pike na jasnem nočnem nebu. Imajo, ampak skrajno, rečemo ekstremno majhne zorne kote. Pri pogledu z Zemlje je Sonče vidno v zornem kotu okoli 0,5° ali 30'; Venera, ko nam je najbližje, je vidna v kotu okoli 1', Jupiter v opozičiji s Sončem v kotu okoli 50'', Mars v opozičiji okoli 25'', Saturn 20'', Uran 4'', Neptun 2,4'', planetoidi pod 1'', vse zvezde pa pod 0,06''. Torej: kot 0,06'' je največji zorni kot zvezde (meja), v katerem je sploh kakšna zvezda zaznavna z Zemlje, vse druge zvezde zaznavamo v manjšem zornem kotu. Cloveško oko ima ločljivost okoli 5', daljnogled z odprtino (vhodno zeničo ali premerom objektiva) 5 čm okoli 3'', 10-čentimetrski okoli 1,4'', 1,2-metr-ski okoli 0,1'', šest-metrski optični zvezdni interferometer, ki je deloval v letih 1920-1930 na astronomskem observatoriju na gori Wilson (Kalifornija, ZDA), okoli 0,02'', 180-metrski intenzitetni zvezdni interferometer v Narrabriju (Avstralija), ki deluje od leta 1965 dalje, pa že okoli 0,0008'', kar je zelo velika ločljivost. Poglejmo, kaj razločimo s prostim očesom, v kakšnem zornem kotu katero od nebesnih teles še vidimo. Lahko smo zelo razočarani, kajti na nebu razločimo samo Sonče in Luno in nič več. Tudi zornega kota Venere ne moremo zaznati s svojimi očmi, čeprav pogosto pripovedujejo, kako zelo velika je včasih Venera na nebu. A takrat je velika bolj zaradi 22 PRESEK 45 (2017/2018) 6 astronomija svojega zelo močnega sija okoli -4. magnitude, kar daje vidni vtis velike navidezne velikosti planeta. Kaj šele, da bi s svojimi očmi zaznali zorni kot Marsa, Jupitra, ..., sploh pa zvezd. Oko odpove že takoj v začetku, na drugi oviri. Razširimo vhodno zenico, ostreje vidimo, manjši kot razločimo. S pet-centimetrskim dvogledom že razločimo planete kot majčkene svetle okrogle ploskviče na nebu. Vse tja do Saturna jih vidimo v določenem zornem kotu, z Uranom in planetoidi pa so že težave. Vzamemo spet zmogljivejši daljnogled z večjo vhodno zeničo. Nekaj časa to gre, pri zvezdah se ustavi. Tudi z zelo ali najbolj zmogljivimi daljnogledi jih vidimo kot točke. Toda kakšen daljnogled neki bi morali vzeti, da bi razločili zvezdo oziroma da bi jo videli v zornem kotu? Hm, seveda, dovolj zmogljiv, z zelo veliko ločljivostjo, morali pa bi si izmisliti še kakšen posebni način opazovanja. To je bila silna želja številnih astronomov preteklosti, vse od Galileja (1610) dalje, a se jim stvar ni posrečila. Uresničili pa so jo na astronomskem observatoriju Mt. Wilson, v prvi četrtini prejšnjega stoletja. Najprej so izdelali in namenili opazovanjem 2,5-metrski reflektor (1917-1949 največji daljnogled na svetu) s teoretično ločljivostjo 0,06" in z nekoliko slabšo praktično ločljivostjo. Tako z njim ni bilo mogoče neposredno izmeriti zornega kota zvezde 0,06''. Potem pa so si genialči izmislili posebni šest-metrski nastavek, ki so ga pričvrstili na vrh obstoječega reflektorja. Z novo nastalim inštrumentom, imenovanim šest-metrski optični zvezdni interferometer, so povečali ločljivost na 0,02''. Z inštrumentom takšne ločljivosti pa so že mogli razločiti kot 0,06'', tj. izmeriti zorni kot zvezde. S tem inštrumentom so z interferenčo svetlobe, ki je prihajala od merjene zvezde preko odbojev na štirih ravnih zrčalih v gorišče reflektorja, 13. dečembra leta 1920 prvič izmerili zorni kot zvezde. Ta, za vse astronomske dni najbolj slavna zvezda, je bila Betel-geza v ozvezdju Orion, njen izmerjeni zorni kot pa je bil 0,047''. Prva, zgodovinska meritev zornega kota zvezde je tudi potrdila teoretične izračune 0,04'' za zorni kot te zvezde. Pri tedanji znani oddaljenosti zvezde so nato še določili radij zvezde in ga očenili na okoli 450 radijev Sonča. S tem so potrdili teoretične izračune in razmišljanja, da v vesolju obstajajo zvezde, ki so po dolžinskih razsežnostih, tj. po radijih, veliko večje od Sonca, da torej obstajajo orjakinje in nadorjakinje. S tem šest-metrskim in pozneje še s 15-metrskim optičnim zvezdnim interferometrom so od leta 1920 do leta 1939 izmerili zorne kote petnajstim zvezdam, ki so bile večinoma nadorjakinje poznega spektralnega tipa kot Betelgeza. Izmerjeni zorni koti pa so bili od 0,02'' do 0,05''. Z meritvami so prenehali po letu 1939 predvsem zaradi izredno velikih težav pri povečanju ločljivosti tega tipa zvezdnega interfe-rometra in smrti F. G. Peasa, ki je pravzaprav edini znal ravnati s tem inštrumentom. Kmalu nato so v astronomsko prakso začeli uvajati nove načine merjenja zornih kotov zvezd, in si-čer večinoma iz Luninih zakritij ali okultačij zvezd (med drugo svetovno vojno in pozneje) in z intenzi-tetnimi zvezdnimi interferometri (od 1958 dalje). Ločljivosti intenzitetnih interferometrov, skupaj s teorijo in načini opazovanja, so tako velike, da lahko izmerijo zorne kote zvezd prečej pod 0,001''. To je SLIKA 2. Na vrh, to je pred vhodno zenico novo izdelanega 2,5-metrskega reflektorja na zvezdarni Mt. Wilson, so pricvrstili kovinski tram s štirimi glede na optično os reflektorja simetričnimi ravnimi zrcali, in s tem sestavili šest-metrski optični zvezdni interferometer. Z njim so z interferenco svetlobe zvezde v gorišču reflektorja izmerili prvi zorni kot zvezde. Obsežno in zahtevno teorijo interferometričnih meritev zornih kotov zvezd tu pustimo ob strani, saj nas zanimajo samo rezultati meritev. (Foto: Wikipedia) -> 23 PRESEK 45 (2017/2018) 6 astronomija SLIKA 3. Lega najbolj slavne zvezde v zgodovini astronomije v ozvezdju Orion. (Foto: Andrej Guštin) Betelgeze tako majhen kot, za kakršnega so včasih mislili, da ga sploh ni mogoče izmeriti. Pisati o teh meritvah pa je že nova astronomska zgodba. Želeli smo povedati, da imajo zvezde zorni kot, da je ta zelo, zelo majhen in da je tudi tako ekstre-mno majhne kote mogoče izmeriti. Odlična teorija, izbrani način opazovanja ter super tehnika in tehnologija naredijo svoje: nemogoče postane mogoče. Do zdaj so izmerili zorne kote nekaj sto zvezdam. Največji zorni kot 0,057" ima zvezda R Zlate ribe, sledijo Betelgeza in Mira z 0,050'', Antares z 0,041'', Ras Algeti z 0,03°, Aldebaran in Arktur z 0,02'' ter druge zvezde, med njimi Sirij s skrajno majhnim zornim kotom 0,0059''. Ob konču si za orientačijo oglejmo, kaj pomeni, da ima inštrument ločljivost 0,06'', da ima zvezda tak zorni kot ali da opazujemo v zornem kotu kotu 0,06''. Isto stvar lahko povemo na različne načine. SLIKA 4. Fizik Albert A. Michelson (1 852-1 931) - nobelovec 1 907. (Foto: University of Chicago) SLIKA 5. Nobelovec (1907) in astronom Francis G. Pease (1881-1938), (foto: UNC Charlotte ITS) - S fizikom A. A. Michelson sta bili duši in srci enkratnih ter edinstvenih interferometricnih meritev zornih kotov zvezd na astronomskem observatoriju Mt. Wilson. To je bil tako velik astronomski dosežek kot prve meritve oddaljenosti zvezd v sredini 1 9. stoletja (ali pa še večji). 24 PRESEK 45 (2017/2018) 6 astronomija Naj bo x višina 10 km oddaljenega predmeta, ki ga opazujemo v kotu a = 0,06". Ker je kot skrajno majhen, lahko zapišemo x/a = 2nr/360°, kjer je r oddaljenost. Sledi x = nra/180° = n ■ 0,06'' ■ 10 000 m/180 ■ 60 ■ 60'' = 3 mm. Ce gledamo v zornem kotu 0,06'', v oddaljenosti 10 km, razločimo pokončno daljičo z dolžino tri milimetre ali razločimo točki, ki sta med seboj razmaknjeni za 3 mm. Taka ločljivost, da človeku vzame sapo. So pa še boljše. Ko poznamo zorni kot zvezde, lahko pri znani oddaljenosti izračunamo radij zvezde. Zgled Izračunajmo radij R zvezde Antares v radijih R0 Son-ča, če je zorni kot Antaresa a = 0,041'' in oddaljenost r = 620 svetlobnih let (1 svetlobno leto je 9,5 ■ 1012 km), radij Sonča pa je R0 = 7 ■ 105 km. Radij Antaresa v radijih Sonča dobimo iz 2R/2nr = a/360°, od koder sledi R/R0 = nra/ 360°R0 = n ■ 620 ■ 9,5 ■ 1012 km ■ 0,041''/360 ■ 60 ■ 60'' ■ 7 ■ 105 km « 840. Antares je nadorjakinja z radijem, ki je približno 840-krat večji od radija Sonča. Ker zvezda pulzira (radij se ji spreminja za ±20%), njena površinska temperatura tudi niha za ±150 K. Mimogrede: An-tares ni navadna stačionarna ali stabilna zvezda, je spremenljivka. Naloge Sonče vidimo v prisončju v zornem kotu 32,5', v odsončju pa v zornem kotu 31,5'. Izračunajte, koliko merita najkrajša in najdaljša oddaljenost Zemlje od Sonča, če je radij Sonča 696 000 km. [147 milijonov km, 152 milijonov km] Tudi Luno, planete in zvezde vidimo v določenem zornem kotu. Pri Luni in planetih se spreminja, pri zvezdah pa ne. Zakaj? Pojasnite! ■ Na sliki 6 je zgoraj v legi 1 in v legi 2 enako velika krogla (tj. krogla z enakim radijem). Kako je z zornim kotom, v katerem vidimo kroglo pri opazovanju iz točke O v obeh primerih? Opišite situačijo. Pri približevanju se nam zdi tudi gora večja. 1 a > P 2 1 SLIKA 6. Luna je povprečno oddaljena od Zemlje 380 000 km, njen premer pa je okoli 3500 km. Izračunajte zorni kot Lune pri pogledu z Zemlje. [0,5°] ■ Trenutni zorni kot Lune je 30,5'. Koliko je Luna oddaljena od Zemlje, če je radij Lune 1740 km? [392 000 km] Katere planete (če jih najdete na zvezdnem nebu) vidite v zornem kotu z opernim kukalom odprtine 2,5 čm (ločljivosti okoli 6'')? Opazujte planete z daljnogledi različnih povečav in ločljivosti. Opazovanja skrbno skičirajte in komentirajte. ■ Izračunajte povprečni zorni kot Jupitra in povprečni zorni kot Saturna v povprečni opozičiji s Sončem pri opazovanju z Zemlje, če Jupiter kroži okrog Sonča v oddaljenosti 5 ae, Saturn v oddaljenosti 10 a e in je radij Jupitra enak 11 radijev Zemlje, radij Saturna pa enak 9,5 radija Zemlje; 1 ae = 1,5 ■ 108 km, radij Zemlje R0 = 6400 km. [Povprečni zorni kot Jupitra je okoli 48'', Saturna okoli 19''.] Venera je v trenutku opazovanja od Zemlje oddaljena 105 milijonov km, njen radij pa je skoraj enak radiju Zemlje. Izračunajte njen trenutni zorni kot. [25''] ■ Izračunajte radij zvezde v radijih Sonča R0 = 7 ■ 105 km za: a) Betelgezo a = 0,05'', r = 643 sv.l.; b) Sirij a = 0,0059'' in r = 8,6 sv.l. (vzamemo ga kot enojno zvezdo, čeprav vemo, da je dvojna) in č) Proksimo Kentavra a = 0,001'' in r = 4,25 sv.l. Rezultate komentirajte. [a) « 1050, b) « 1,7 in č) « 0,14] _XXX 25 PRESEK 45 (2017/2018) 6 racunalniš tvo Deljenje skrivnosti -i' •i' Damjan Strnad V življenju se pogosto zgodi, da je potrebno zaupno informacijo, imenujmo jo skrivnost, deliti med vec oseb na tak nacin, da vsak posameznik poseduje le del skrivnosti. Pri tem zahtevamo, da posamezni del skrivnosti ne zadošca za dolocitev celotne skrivnosti, pac pa je potrebno za njeno rekonstrukcijo zbrati vsaj doloceno število delov, ne pa nujno vseh. Na slednji način lahko tudi zagotovimo, da skrivnost ne bo nedosegljiva ali čelo izgubljena, če bo pogrešan katerikoli posamezni del. Praktičen primer potrebe po deljenju skrivnosti je npr. delitev varnostne kode za uporabo jedrskega orožja med skupino pooblaščenih oseb, od katerih jih mora svoj del kode prispevati vsaj poloviča, da se varnostna koda lahko sestavi in orožje uporabi. Podobna primera uporabe sta delitev kombinacije trezorja ali gesla za dešifriranje zaupnih dokumentov. V določenih praktičnih primerih skrivnosti ne pozna nihče (npr. šifrirni ključ se naključno tvori med samim postopkom delitve), v drugih pa je lahko vsebina skrivnosti znana vsem pooblaščenim osebam in gre pri njenem deljenju samo za zaščito pred nepooblaščeno osebo, ki mora pridobiti vsaj k delov skrivnosti za njeno rekonstrukčijo. Tretja možnost je uporaba zaupne osebe, imenovane delivec, ki izvede deljenje skrivnosti in posreduje dele pooblaščenim osebam. V tem prispevku bomo opisali Shamirjev algoritem, ki je relativno preprosta, a učinkovita in dokaj varna metoda deljenja skrivnosti. Predpostavili bomo, da je skrivnost S predstavljena kot pozitivno čelo število. V primeru, da je izvorna skrivnost besedilo, ga je potrebno najprej pretvoriti v številsko obliko. Daljša besedila je pri tem potrebno razde- liti na krajše odseke, ki jih zatem obravnavamo kot ločene skrivnosti. Naj bo n število delov, na katere želimo skrivnost S razdeliti, k pa minimalno število delov, ki jih potrebujemo za rekonstrukcijo S. Takšni obliki delitve skrivnosti bomo rekli shema (k,n). Vrednosti k in n sta javno znani in odvisni od praktičnih potreb. Ce želimo, da so vsi udeleženci enako pomembni, potem bomo vsaki od pooblaščenih oseb dodelili natanko en del. Lahko pa določenim pooblaščenčem priredimo višjo prioriteto s tem, da jim dodelimo večje število delov skrivnosti od ostalih. Kombinacijo bančnega trezorja bi lahko, rečimo, delili po shemi (3,4), nato pa predsedniku banke dodelili dva dela skrivnosti, vsakemu od njegovih dveh pomočnikov pa po enega. Za odprtje trezorja bi potem zadostovala prisotnost predsednika in kateregakoli od pomočnikov, medtem ko niti predsednik sam niti oba pomočnika skupaj ne bi imeli dostopa do trezorja. V nadaljevanju bomo opisali poenostavljeno razli-čičo originalne Shamirjeve metode, ki ima določene pomanjkljivosti, a uporablja samo običajno aritmetiko in je zato enostavnejša za razumevanje. Metoda za razdelitev skrivnosti uporabi polinom stopnje k -1, ki ga lahko zapišemo kot p(x) = ak-1xk-1 + ... + a2x2 + a1 x + a0. Koeficienti a1,...,ak-1 so skrita naravna števila, ki jih naključno izbere algoritem deljenja skrivnosti, medtem ko vrednost konstantnega člena a0 postavimo na S. Shamirjeva metoda temelji na matematičnem dejstvu, da za enolično določitev polinoma stopnje k - 1 potrebujemo vsaj k njegovih točk - za določitev premiče potrebujemo dve točki, za določitev parabole tri točke in tako naprej. Ce kot dele skrivnosti izberemo točke di = (xt,p(xt)), kjer je xt = i za i G {1, 2,...,n}, potem bo potrebnih vsaj k ali več delov za enolično določitev neznanih koefičientov polinoma in s tem izračun skrivnosti. Opisani postopek deljenja skrivnosti lahko strnemo v naslednjem algoritmu: 26 PRESEK 45 (2017/2018) 3 racunalniš tvo function Deli_Skrivnost(n, k, S) ao = S for i = 1,2,...,k - 1 do at = randint () end for D = {} for i = 1, 2, . . . , n do pt = 0 for j = 0,1,...,k - 1 do pt = pt + aj • ij end for D = DU {(i, Pt)} end for return D end function Klic funkcije randi nt v zgornji kodi vrača naključno celo število. V praksi največjo vrednost koeficienta polinoma omejimo, da ne pride do prekoračitve obsega predstavitve celih števil. Vhodni podatki algoritma so javno znani vrednosti n in k ter vrednost skrivnosti S, rezultat algoritma pa je množica D delov skrivnosti, od katerih je vsak zapisan kot par (x, p(x)). Ostane še vprašanje rekonstrukcije skrivnosti, ce je znanih katerihkoli njenih k delov (xj,p(xj)) za j G {1, 2,..., k}. Vrednost prostega člena polinoma, ki predstavlja iskano skrivnost, lahko izracunamo neposredno po naslednji enačbi: S = p(0) = X p( j=1 x k ) u=1 U*j xu xu x j {1, 2, 3,4, 5}, dobimo naslednje dele skrivnosti: ■ d1 = (1,96332) d2 = (2, 290850) d3 = (3, 593226) d4 = (4,1003460) d5 = (5,1521552) Poskusimo sedaj rekonstruirati skrivnost iz delov d1, d3 in d4: 24 S = 96332 ■ - ■ -+ S 96332 2 - 1 4 - 1 + 14 + 290850 ■ --- ■ --- + 1003460 1 - 2 4 - 2 12 1-4 2-4 770656 1163400 2006920 +--- = 9672 3 2 6 Na podoben način z rekonstrukcijo iz delov d2, d3 in d5 dobimo: S = 290850 3 5 593226 3 - 2 5 - 2 25 2-3 5-3 1521552 2-5 3-5 Pri naivni implementaciji zgornje enačbe lahko pri računanju ulomkov prihaja do zaokrožitvenih napak, kar lahko omilimo tako, da produkta števcev in imenovalcev izračunavamo ločeno ter deljenje izvedemo šele na koncu. Oglejmo si sedaj zgled deljenja in rekonstrukcije skrivnosti S = 9672 po shemi (3, 5). Ker je k = 3, tvorimo naključen polinom druge stopnje. Denimo, da sta naključno izbrana koeficienta a1 = 32731 in a2 = 53929. Skupaj z a0 = 9672 nam to da naslednjo enačbo polinoma: ■ p(x) = 53929x2 + 32731x + 9672. Ce enačbo polinoma ovrednotimo pri x G 4362750 5932260 9129312 H---- = 9672 3 2 6 Bralec se lahko prepriča, da tudi vsaka druga trojica delov omogoča rekonstrukcijo začetne skrivnosti. Kot smo na začetku omenili, je opisan postopek v resnici poenostavitev originalne Shamirjeve metode, ki za izračun delov skrivnosti uporablja modularno aritmetiko. Pomanjkljivost opisane metode je v tem, da lahko z vsakim pridobljenim delom skrivnosti dodatno omejimo nabor možnih vrednosti koeficientov polinoma. Z zadostnim številom pridobljenih delov lahko zato nepridipravu uspe zalogo vrednosti koeficientov skrčiti do te meje, da lahko skrivnost izračuna z grobo metodo, tj. s preizkušanjem vseh -> 2 3 27 PRESEK 45 (2017/2018) 3 računalništvo možnih kombinacij. Dobra novica je, da lahko varnost metode povečamo s preprosto razširitvijo, pri kateri izberemo veliko praštevilo m, za katerega velja m > S in m > n. Vrednost m mora biti javno znana. Naključne vrednosti koeficientov polinoma potem omejimo na ai < m in dele skrivnosti določimo kot di = (xi,p(xi) mod m), kjer mod predstavlja ostanek pri celoštevilskem deljenju. Zaradi tega se nekoliko zaplete tudi postopek rekonstrukcije skrivnosti, vendar sedaj nepooblašcena oseba s prilastitvijo dodatnih delov skrivnosti, vse dokler jih skupaj nima vsaj k, ne pridobi dodatne informacije za rekonstrukcijo celotne skrivnosti. Literatura [1] A. Shamir, How to Share a Secret, Communications of the ACM, 1979. _ XXX Križne vsote Rešitev s strani 8 •i' Vp Barvni sudoku Vp As V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati zacetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. 4 6 1 8 1 7 4 6 3 2 5 5 6 7 2 8 1 3 4 » >3 1 2 10 11 10 3 7 6 7 6 2 4 10 8 2 9 8 7 10 4 5 1 ■ 8 7 o v O □ O m Ž > a < a > m H >im -> m a 2 9 3 1 7 5 4 8 7 8 5 4 2 1 3 9 1 2 7 6 5 3 8 4 8 5 4 3 1 9 2 7 3 1 8 2 6 4 7 5 4 7 9 5 8 2 1 3 1 5 4 2 8 3 7 9 6 3 1 7 4 8 5 2 XXX XXX 28 PRESEK 45 (2017/2018) 5 razvedri lo MaRtematicne prigode Marta Zabret MArTEMATICNE PRIGODE Marta Zabret MArTEMATICNE PRIGODE 146 strani format 14 x 20 cm 12,50 EUR Izšla je nova knjiga MaRtematične prigode. Avtoriča Marta Zabret je profesoriča matematike in spečialistka matematičnega izobraževanja. Knjiga je množiča kratkih zgodb, v katerih so strnjene mnoge izkušnje s področja poučevanja in spremljajočih aktivnosti na srednjih šolah. Jedro knjige so zanimivi zapisi o njenih dijakinjah in dijakih. Besedila so napisana lepo in strnjeno, v njih je tudi pre-čej humorja. Zgodbe lahko beremo samostojno; nekatere so prav kratke. Knjiga ima tudi nekaj čisto matematične vsebine, denimo v obliki originalno predstavljenih problemov na srednješolskem nivoju. Za lepo zunanjo in notranjo obliko knjige so poskrbele tri nekdanje Martine dijakinje: Neža Vavpetič, Ariana Godičelj in Ana Hafner. Poleg omenjene lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih knjig. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko starejše knjige tudi naroČite s popustom: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ceni k/ Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633. vU nU NU RES ITEV NAGRADNE KRlS ANKE presek 45/4 Pravilna rešitev nagradne križanke iz četrte številke Preseka je Luna in Zemlja. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Karel Rankel iz Kranja, Tadej Pe-trič iz Vrhnike in Ož-bej Verhnjak iz Dravograda, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX PRESEK 45 (2017/2018)5 29 razvedrilo Zaledeneli zrak nU NU NU Aleš Mohoriš -» Kdo se je tako razjezil in nametal koščke ledu po močvirski travi, kot bi se na njej raztreščila steklena šipa? SLIKA 1. Nedavno poplavljen, zaledenel travnik ob mlaki (Foto: Maja Klavžar) lečih nad vodno gladino, so ostali na svojem mestu. Tako lahko lepo vidimo, do kod je segla voda, ko je bilo območje poplavljeno. To vidimo na podrobnosti fotografije na sliki 3. Tokratna naravoslovna fotografija kaže zdrobljen led, ki je videti, kot da bi nastal nekaj dečimetrov nad travnikom in vodno gladino, potem pa bi razpadel ne kose in padel na tla. Fotografija je narejena v mrzli zimi na močvirnem, poplavnem območju, kakor ga kaže slika 2a. Najprej je obiliča padavin, v obliki dežja, morda skupaj z odjugo, povzročila, da je voda narasla in poplavila svojo okoličo (slika 2b). Potem pa je, verjetno čez noč, površina tako nastale mlake zamrznila (slika 2č), kar pomeni, da voda ni drla. Voda je nato izpod ledene plošče odtekla in plošča se je zaradi teže razdrobila in sesedla (slika 2d). Nekateri manjši kosi, ki so nastali okoli vej štr- 4-_, SLIKA 2. Nastanek zdrobljene ledene plošče na tleh, s katerih se umakne poplavna voda potem, ko zamrzne njena površina: a) začetno stanje, b) voda poplavi, c) gladina vode zamrzne, d) voda se umakne in ledena plošča razpade. 30 PRESEK 45 (2017/2018) S 30 razvedrilo SLIKA 3. Ostanki ledene plošce, ki je zamrznila okoli vej na gladini poplavne vode, kije kasneje odtekla. (Foto: Maja Klavžar) SLIKA 4. Gostota vode in ledu v odvisnosti od temperature. Največjo gostoto ima voda pri 4,5 °C. Gostota ledu je 8 % nižja od gostote vode. Zakaj pa voda zamrzne na vrhu, ne pa na primer na dnu? Kar pomislimo, kaj se zgodi s kockami ledu, ki jih damo v kozarec vode. Plavajo na gladini. To je dokaj nenavadna lastnost vode v primerjavi z drugimi snovmi. Običajne snovi so v trdnem stanju gostejše kot v tekočem stanju. Pri vodi pa je obratno. Voda ima največjo gostoto, ko je tekoča in je njena temperatura 4,5 °C. Graf gostote vode v odvisnosti od temperature kaže slika 4. Voda se v mrzli noči, ko temperatura pade pod ledišče, začne ohlajati na gladini. Ohlajena najprej potone na dno. Potem se začne ohlajati nova plast pri vrhu, dokler ni najgo-stejša voda zbrana pri dnu. Na vrhu začne voda nato zmrzovati, na dnu pa ostane tekoča. Led plava na površini vode. Seveda je debelina ledene plošče tem večja, tem dlje traja ohlajanje, torej tem dlje je temperatura okoliče pod lediščem. Seveda lahko v dovolj dolgem času zamrzne prav vsa voda v luži, mlaki ali jezeru. Ce voda z dna odteče, ledena plošča na vrhu ostane vpeta na robu, pod njo pa nastaja vedno večji zračni mehur. Ko je mehur prevelik, robovi plošče ne zmorejo več nositi njene teže in plošča se sesede. Ce je dovolj tanka, se pri tem razleti na drobne kose. Voda je ujeta med tla in ozračje. Poleti je ozračje toplejše od tal in voda je po plasteh vedno hladnejša, globje ko smo. Pozimi je obratno. Zrak je hladnejši od tal in plast vode na dnu je toplejša, kot na vrhu, kot kaže slika 5. f ^ 0@C J_i 6 2 A 5 4 3 SLIKA 5. Poleti so globje plasti vode hladnejše, pozimi pa ravno obratno. Lastnost ledu, da je redkejši od vode, povzroča pozimi tudi rast razpok na čestišču. Cez dan se led segreje, stali in voda steče v drobne razpoke. Cez noč zamrzne, se razširi in poveča razpoke. Tako imajo spomladi čestarji vedno veliko dela. Težavi se izognemo tako, da na površini ni razpok in poskrbimo za primerno odvodnjavanje. _ XXX www.dmfa-zaloznistvo.si www.presek.si PRESEK 45 (2017/2018) S 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv na-cin zastavljanja matematicnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vkljucevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematicni kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo vec kot 6 milijonov tekmovalcev iz vec kot 60 držav sveta. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za ucence od prvega razreda osnovne šole do cetrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logicno mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, kije sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematicni izziv. 10,99 EUR 18,74 EUR 14,50 EUR MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU 2012-2016 23,00 EUR Pri DMFA-založništvo je v Presekovi knjižnici izšlo že pet knjig Matematicnega kenguruja. Na zalogi so še: • Evropski matematični kenguru 2002-2004, • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011, • Mednarodni matematični kenguru 2012-2016 (novost). Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu starejših zbirk nalog pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga!