MATEMATIKA
Popačenje
Peter Leciša
Polarni koordinatni sistem v ravnini
V ravnini imejmo pravokotni koordinatni sistem. Pozitivni del p abscisne osi, usmerjen od tocke O, proglasimo za polarno os, tocka O je pol ali koordinatno izhodišče.
SLIKA 1.
Tocka O je pol, poltrak p polarna os. Števili |OA| = r in kot <p sta polarni koordinati tocke A.
Kote z vrhom v O merimo v smeri, ki pomeni najkrajše vrtenje polarne osi na pozitivni del osi y (slika 1).
Vsaki tocki A v ravnini (A ± O) lahko priredimo dve števili:
■	razdaljo r tocke A od O, ki jo imenujemo polmer ali radij tocke in
■	polarni (smerni) kot ki ga zveznica O A oklepa s poltrakom p.
Števili r, sta polarni koordinati tocke A. Tocka A je s polarnima koordinatama enolicno dolocena. Ce vzamemo, da je 0 < y < 360°, pa sta tudi polarni koordinati tocke A enolično določeni. (Brez tega dogovora lahko smernemu kotu prištejemo poljuben
veckratnik polnega kota.) Sam pol O je karakteri-ziran z r = 0, polarni kot za tocko O pa ni dolocen. Ce je sta % in y pravokotni koordinati tocke A, je seveda r2 = %2 + y2.
Primer. Pomislite na uporabo radarja v morskem prometu. Radar oddaja ozek snop mikrovalov in se vrti okrog navpicne osi. Ko radar v doloceni smeri zazna odboj, sklepamo, da je tam ladja (ali kak drug vecji kovinski objekt). Torej poznamo njen smerni kot. Iz zakasnitve odbitega vala pa izracunamo njeno oddaljenost - radij.
Ce imamo pravokotni koordinatni sistem in ima tocka A polarni koordinati (r,y), sta njeni karte-zicni koordinati po definiciji funkcij sinus in kosinus enaki
■ % = r cos y = r sin
Dogovorimo se: Koordinate bodo v tem clanku pomenile kartezicne koordinate in koordinatni sistem kartezicni koordinatni sistem, razen ce ne bo receno drugace.
Kaj je popačenje?
Kaj naj bi »idealno« naredil objektiv v fotografskem aparatu? Privzeli bomo, da je naš objektiv rotacijsko simetricen. Se pravi, ce bi (v laboratoriju) objektiv zavrteli okrog osi, se slika ne bi spremenila.
V praksi to ni cisto res. Tudi med novimi objektivi naletimo na slabši primerek. Navadno je kak element v sestavu premaknjen/nagnjen in je zato kakovost slike v raznih smereh razlicna. Danes take napake opazimo zaradi velike locljivosti tipal ob stoodstotni povecavi na zaslonu mnogo hitreje kot vcasih. Nekdanji zdravnik in znanstvenik je pred desetimi leti ustanovil uspešno podjetje, ki izposoja fotografske objektive. Poroca [2], da morajo takoj po nakupu približno tri odstotke tovarniško nove (in vecinoma drage) optike vrniti ali zanjo uveljavljati stvarno napako, ker njihovi testi pokažejo prevelike okvare.
Presecišce osi objektiva in tipala kamere oznaci-mo z O. Imejmo ravnino , pravokotno na os lece (slika 2) (in torej vzporedno tipalu kamere). Tej ravnini recemo predmetna ravnina. Njeno lego lahko podamo z enim samim številom - oddaljenostjo od ravnine tipala.
12
PRESEK 44 (2016/2017) 5
MATEMATIKA
SLIKA 2.
Velja r = mR, kjer je m = b/a.
T(R,v)	J	
\	n	
X	^ s	X
	O' X	

O
T '(r,
y
Ce smo izostrili na predmetno ravnino, nam objektiv daljico dolžine R v predmetni ravnini n preslika na daljico dolžine r v ravnini S tipala (= senzorja) kamere. Obstaja še število m (faktor pomanjšanja - ali povečanja), idealno odvisno le od razdalje do predmetne ravnine, da je r = mR. Izpeljavo teh rezultatov za upodabljanje s tanko lečo najdemo v članku Moteča perspektiva v prvi številki Preseka 2016-17 [1]. Idealni objektiv nam naredi podobnostno transformacijo (dela) ravnine n na ravnino tipala. Tak idealen objektiv preslika daljice na daljice in ohranja kote. Pravokotnik idealni objektiv preslika v pravokotnik, kvadrat v kvadrat itd.
Predvsem pri uporabi zoom objektivov, ki segajo v širokokotno obmocje, pa opazimo, da ti ne delujejo idealno. Zlasti pri najmanjši gorišcnici opazimo neprijetno napako, imenovano popacenje. Ce nosilka preme crte ne gre skozi središce slike, je podoba crte na tipalu ukrivljena. Slika pravokotnika ni vec pravokotnik. Angleški izraz za popacenje je distortion, nemški Verzeičhnung.
Kako popacenje opišemo?
Kot zgoraj, imejmo ravnino n, vzporedno ravnini senzorja. Objektiv je zmožen preslikati le del te ravnine okrog preseka O' opticne osi s n. Ta del je navadno krog ali (zaradi zaslonk, ki blokirajo nezaželene žarke v objektivu) pravokotnik s središcem v izhodišcu O'. Navadno slika ravno pokriva tipalo aparata. V nadaljevanju clanka bomo upoštevali to omejitev. Na sliki 3 vidimo, kako lahko izberemo koordinatna sistema v ravnini n in v ravnini S senzorja, tako da se tocka T s polarnima koordinatama
SLIKA 3.
Objektiv preslika tocko T(R, v tocko T '(r,
(R, v ravnini n preslika na ravnino S senzorja v tocko T' s polarnima koordinatama (r,y).
Ce bi bil objektiv idealen, bi veljalo r = mR. V tem primeru bi, kot smo rekli, preslikava bila podobnostna transformacija, ki ohranja kote in vse razdalje pomnoži z m. Tako pa je r funkcija spremenljivke R, ki se nekoliko razlikuje od mR. Pišimo 5 = mR. Število 5 bi bila razdalja preslikane tocke od sredine tipala, ce bi bil objektiv idealen. Na intervalu I možnih vrednosti za 5 velja
^ H , d(5) \
r(5) =5 (1 + w ■
(1)
Tu je d(s) velikost popacenja v odstotnih tockah. Absolutni razteg radija s znaša sd(s)/100. Vcasih govorimo, da gre za radialno popacenje, ker prizadene le polmere. Privzeli bomo, da funkčija s ^ r(s) strogo narašča na intervalu I in d(0) = 0.
To zagotavlja, da popacenje (namišljene) idealne slike razlicni tocki preslika v razlicni, se pravi, da je popacenje injektivna preslikava. Ce se omejimo na t. i. priosne žarke, se pravi žarke, ki potekajo blizu opticne osi in oklepajo majhen kot z osjo, objektiv deluje v nekaterih pogledih skoraj idealno in torej popacenja prakticno ni. Zato pricakujemo, da je d(0) = 0.
Funkcija s ^ d(s) ni odvisna od tega, kako zaprta je zaslonka objektiva. Je pa odvisna od razdalje med predmetno ravnino in ravnino tipala.
Podjetje Zeiss je eno redkih, ki za nekatere svoje objektive daje grafe funkcije d. Primere imamo v clanku [3]. Na slikah v Zeissovem clanku imamo poleg grafa za funkcijo d še rdece narisan nagib grafa, to je matematicno odvod funkcije d. Nagib v dani

S
12	PRESEK 44 (2016/2017) 5

MATEMATIKA

točki je smerni koeficient tangente na graf v tej točki. Kot bomo videli, je pomembno, kje funkcija d narašča (pada). Funkcija strogo narašča, kjer je njen nagib pozitiven. Strogo pada, kjer je nagib negativen.
Zanima nas, kako se dejanska slika razlikuje od idealne.
Podrobno bomo tako preučili preslikavo, ki točko A s polarnima koordinatama (5, preslika v točko A' s polarnima koordinatama (r(s),y).
Ker se pri tem polarni kot ne spremeni, velja: Vsaka premiča p skozi izhodišče se pri tej preslikavi ohranja. Posamezne točke na premiči p se lahko premaknejo, vendar ostanejo na p.
Formule za popačenje
Vzemimo na idealni sliki točko A s kartezičnima koordinatama A(x,y). Njen polmer v polarnih koordinatah je s = Jx2 + y2. Na popačeni sliki točki
P(x, 0) P'(X, 0)
SLIKA 4.
Tu je |OA| = i in |OA'| = r.
Njen polmer znaša r(s) = s( 1 + . Ker sta trikotnika POA in P'OA' podobna, je X : x = r(s) : s. Tako ima točka A' absčiso enako X = xr(s)/s = x + xj00. Enako vidimo, da je ordinata točke A' enaka Y = yr(s)/s = y + yd(0. Tako sta kartezični
koordinati točke A' enaki . r(s)
X = x
x
Y = y
s
r(s) s
= x +-d Jx2 + y2
100
=y + iro d^x2+y2
(2)
Popačenje daljičo, katere nosilka gre skozi izhodišče, spet preslika na (navadno drugo) daljičo z isto nosilko. Kaj pa, če nosilka daljiče ne gre skozi izhodišče?
Vzemimo na idealni sliki premičo q, ki ne gre skozi izhodišče O. Narišimo ji vzporedničo p skozi O. Postavimo pravokotni koordinatni sistem tako, da ima q enačbo y = h > 0 kot na sliki 5.
(0,Yi) (0,h)
A odgovarja točka AA s kartezičnima koordinatama A'(X,Y) kot na sliki 4.
|y
A'(X,Y)
O
y
B'(X2,Y2)
A'(Xi,Yi)
|OA|=si /
/A(xi,h)
|OB|=S2
B(x2, h)
P.
X2 x
SLIKA 5.
Tu je |OA| = s1 in |OB| = s2. Blazinasto popačenje daljico AB preslika na rdečo krivuljo od A' do B'.
Na popačeni sliki točki T(x,h) na premiči q po enačbi (2) odgovarja točka T'(X(x), Y(x)) s koordinatama
X(x) = x + x d (Vx2 + h2)
100 h
Y(x) = h + 100 d(Vx2 + h2) .
(3)
Poglejmo, kaj se dogaja, ko x narašča od 0 naprej. Narašča funkcija x ^ s(x) = Vx2 + h2. Za nas je še posebno pomembna formula za višino Y ukrivljene slike vodoravne črte y = h, zato jo ponovimo:
Y(x) = h + ih0 d (Vx2 + h2).
(4)

e
6
PRESEK 44 (2016/2017)5
MATEMATIKA
Blazinasto popačenje
Denimo, da funkcija 5 ^ d(s) na intervalu J = [s^ s2] strogo narašča. Tocka A(x1,h) z x1 > 0 naj ima polmer s1, se pravi + h2 = s^ na sliki 5. Prav tako naj ima B(x2, h) z x2 > 0 polmer s2. Seveda je x2 > x1. Če je x1 < x < x2, je T(x, h) na daljici AB. Kakšno obliko ima popačena slika daljice AB?
Ko x narašča od x1 do x2, narašča s(x)=\lx2 + h2 od s1 do s2. Na intervalu J = [s1,s2] je d naraščajoča. Zato na intervalu I = [x1,x2] narašča funkčija x ^ d(Vx2 + h2). Vsota dveh naraščajočih funk-čij je naraščajoča, zato po (3) na intervalu I strogo narašča preslikava x ^ X(x). Funkčija Y(x) = h + 100 d(Vx2 + h2) prav tako strogo narašča na intervalu I = [x1,x2]. Ko x potuje od x1 do x2, se zato T'(X(x),Y(x)) giblje desno in navzgor. Popačena slika daljiče AB je torej krivulja, ki jo imamo lahko za graf strogo naraščajoče funkčije na intervalu od X1 = X(x1) do X2 = X(x2).
Torej, ko potujemo po popačeni sliki daljiče AB od A' do B', se T' oddaljuje od premiče p kot na sliki 5.
Imejmo na idealni sliki pravokotni okvir (= rob pravokotnika) s središčem v izhodišču O, tako da polmeri vseh točk okvirja ležijo v intervalu J. Naj bo CD straniča okvirja in p premiča skozi O, vzporedna daljiči CD. Ko se po popačeni sliki straniče CD okvirja oddaljujemo od središča, se oddaljujemo tudi od premiče p. (Premičo p pa, kot smo že rekli, popačenje ohranja.)
Popačeni okvir ima tako obliko natlačene blazine -ožje v sredini, s štrlečimi vogali (slika 6), saj je popačenje relativno najbolj raztegnilo prav vogale. Temu pravimo blazinasto popačenje ali popačenje v obliki blazine - angleško pinčushion distortion, saj so take napihnjene blaziniče, v katere šivilja zabada bučike. Povzemimo:
Imejmo na idealni sliki daljico AB, vzporedno premici p skozi O (vendar ne vsebovano v p). Premica e naj poteka skozi O in naj bo pravokotna na p. Polmeri tock na AB naj leže na intervalu, na katerem funkcija d strogo narašča. Ko se po popaceni sliki daljice AB oddaljujemo od e, se oddaljujemo tudi od premice p. Zato govorimo o blazinastem popačenju.
SLIKA 6.
Blazinasto popačenje pravokotnega okvirja.
Vzeli smo J = [s1, s2]. Točke na idealni sliki s polmerom v J ležijo na kolobarju s središčem v izhodišču. Meji tega kolobarja sta krožniči s polmeroma s1 in s2. Popačitev ta kolobar preslika na kolobar s središčem v izhodišču. Meji popačenega kolobarja sta krožniči s polmeroma r(s1) = s1(1 + (1/100)d(s1)) in r(s2) = s2(1 + (1/100)d(s2)). V našem primeru
je r(s2) - r(s1) = S2 - S1 + (1/100)(d(s2) - d(s1)) >
s2 - s1, torej popačenje poveča razdaljo med krožni-čama.
Pri »standardnih« zoomih imamo navadno na tele območju rahlo blazinasto popačenje.
Sodckasto popačenje
Denimo zdaj, da funkcija d na intervalu K = [t1,t2] strogo pada. Naj ima G(z1,h) polmer ti in H(z2, h) polmer t2, kjer je 0 < z1 < z2 kot na sliki 7. Potem x — d(s(x)) na tem intervalu strogo pada. Po formuli (4) funkcija x — Y(x) strogo pada na intervalu L = [z1,z2]. Ker x — s(x) strogo narašca, to velja tudi za x — r(s(x)), saj je r strogo narašcajoca. Toda r(s(x)) = V(X(x))2 + (Y(x))2. Ker x - Y(x) strogo pada, mora x — X(x) strogo narašcati. Ko x tece od z1 do z2, se tocka T'(X(x),Y(x)) giblje desno in navzdol. Tako vidimo:

12	PRESEK 44 (2016/2017) 5

MATEMATIKA

Imejmo na idealni sliki daljico GH, vzporedno premici p skozi O (vendar ne vsebovano v p). Premica e naj poteka skozi O in naj bo pravokotna na p. Polmeri tock na GH naj leže na intervalu, na katerem funkcija d strogo pada. Ko se po popačeni sliki daljice GH oddaljujemo od e, se bližamo premici p kot na sliki 7. Zato govorimo o sodčkastem popacenju ali popačenju v obliki sodcka - angleško barrel distortion. Premici p in e se pri popacenju seveda ohranjata.
Vzemimo na idealni sliki pravokotni okvir s sredi-šcem v izhodišcu, tako da polmeri vseh tock okvirja ležijo v intervalu K. Najbolj se skrcijo polmeri od središca slike najbolj oddaljenih tock. Popacenje »zategne« vogale pravokotnika. Popaceni pravoko-tnik dobi obliko soda kot na sliki 8.
Pri posnetkih arhitekture, reprodukcijah je popa-cenje zelo motece.
Pri objektivih akcijskih kamer in »ribjih oces« pa je ekstremno sodckasto popacenje celo zaželeno -ker na ta nacin spravimo na sliko kar se da veliko stvarnosti.
Lahko se zgodi, da radiji tock na daljici BA, ki ne gre skozi izhodišce, ležijo v intervalu J, kjer funkcija d strogo narašca, in v intervalu K, kjer funkcija d strogo pada. Naj bo p premica skozi izhodišce
			
(0,h)	G(z1,h)	H(Z2, h)	
	/		
	—GG' -- /		
e	/ i ! ^ f		
r	/ ^ / ^^ / ^ / y		p _
O	x		
SLIKA 8.
Sodckasto popacenje pravokotnega okvirja.
vzporedna in disjunktna z daljico AH. Premica e naj poteka skozi O in naj bo pravokotna na p. Ko se po popačeni sliki daljice AH oddaljujemo od e, se na enem delu oddaljujemo od p, na drugem delu pa približujemo premici p. Temu pravimo popacenje v obliki brkov - mustac ali valovito popacenje.
Primer. Denimo, da je d(s) = -0,13s2 + 0,026s4. Oglejmo si vedenje funkcije d za nenegativne s. Ko spremenljivko s povecujemo od 0 naprej, najprej prevlada prvi clen v vsoti za d(s) in funkcija d pada. Kasneje prevlada višja potenca v drugem clenu in funkcija d narašca.
Graf za d imamo na sliki 9. V tocki C, kjer d preide iz padanja v narašcanje, zavzame funkcija d naj-
C = (1,5811, -0,1625)
SLIKA 7.
Tu je |OG| = t1 in |OH| = t2.
SLIKA 9.
Graf funkcije d(x) = -0,13x2 + 0,026x4 ima minima v tockah z absciso x = ±725.
12
PRESEK 44 (2016/2017) 5
MATEMATIKA
B H
H'
1
0,5-
N,
1,5 -1
0,5
G A = (1,5,1) objektivih zelo dober približek dobimo v obliki
GV
0 0,5
1,5
d(s) 100
= as2 + bs4.
(5)
SLIKA 10.
Rdeca krivulja predstavlja valovito popačenje daljice AB.
manjšo vrednost - minimum. Z matematičnim orodjem, imenovanim odvod (snov četrtega leta gimnazije), ugotovimo, da je ta minimum pri 5 = -J2,5. Minime (in maksime) pa nam poišče tudi ukaz Ekstrem v prosto dostopni GeoGebri. Torej funkcija d pada na intervalu [0, V2,5] in narašča na intervalu [V2,5, oo]. To lahko preverimo tudi s kakim drugim programom ali računalom, ki zna narisati graf polinoma d.
Naj bo A(1,5,1) in B(-1,5,1). Popačeno podobo daljice AB imamo rdeče obarvano na sliki 10. V nadaljevanju tega članka bomo na preprostejših primerih razložili, kako smo to narisali. Točki G(V15,1) in H(-V15,1) na daljiči AB imata polmer V2,5. Na sliki 10 vidimo v rdeči krivulji od G' do H' sodčkasto popačenje daljiče GH in v rdečem preostanku blazinasto popačenje daljič AG in BH. Popačitev daljiče AB ima obliko umetniških brkov, kakršni so bili v modi okrog leta 1900.
Na [4] imam na GeoGebra Tube interaktivno sliko z naslovom Zapleteno popačenje daljice, kjer je d(s) = -0,13s2 + bs4. Z drsnikom lahko spreminjamo parameter b.
Modeliranje popačenja
Mnoge funkcije lahko dobro aproksimiramo s polinomi. Ker je d(0) = 0, poskusimo z joO = ais + a2s2 + a3s3 + a4s4 + ... Literatura [3, str. 27], [5, str. 87-90] pravi, da po t. i. Seidelovi teoriji aberacij pri objektivih, sestavljenih iz dobro centriranih lec s sfericnimi površinami, v gornjem izrazu lahko izpustimo lihe potence. Ludwig Seidel je to teorijo objavil v vec člankih v reviji Astronomische Nachrichten leta 1856. Praksa kaže, da pri takih
En tak primer smo že podrobno obravnavali. Enostavno popačenje
V mnogih primerih lahko v enačbi (5) zanemarimo drugi člen, tako da vzamemo
d(s) 2
-= as2
100
in tako
■ r(s) = s(1 + as2).
(6)
(7)
Ce velja enačba (7), bomo to imenovali enostavno popačenje.
Razteg radija s znaša r - s = sd(s)/100 = as3. Bistven vpliv na sliko ima predznak koefičienta a. Ce je a > 0, funkčija s ^ d(s) = as2 strogo narašča na intervalu [0, oo]. Povzemimo:
■	Za a> 0 dobimo enostavno blazinasto popačenje.
■	Za a < 0 dobimo enostavno sodčkasto popačenje.
Ce to vstavimo v enačbo (2), vidimo, da točki A(x,y) na idealni sliki na popačeni sliki odgovarja točka A' (X, Y) s kartezičnima koordinatama
X = x + ax(x2 + y2); Y = y + ay(x2 + y2).
(8)
Vodoravna premiča z enačbo y = h je sestavljena iz točk (x, h). Zato se popači v krivuljo, sestavljeno iz točk (X, Y), tako daje
X = x + ax(x2 + h2); Y = h + ah(x2 + h2).
(9)
To je parametrična enačba te krivulje; spremenljivka x je parameter. Programi za računalniško geometrijo kot, rečimo, prosto dostopna GeoGebra, znajo narisati take parametrično podane krivulje. Ukaz je
Krivulja[
x + a x(xA2 + hA2), h + a h(xA2 + hA2), x, -1.5, 1.5
],
če spremenljivka x teče od -1,5 do 1,5.

1
2
PRESEK 44 (2016/2017) 5
9
MATEMATIKA
—^ Na slikah 6 in 8 imamo enostavni popačenji pravokotnega okvirja velikosti 3 x 2, s središčem v izhodišču. Na sliki 6 je a = 0,08, na sliki 8 pa je a = -0,05.
Na naslovu [4] sem v GeoGebri naredil interaktivno sliko z naslovom Enostavno popacenje pravokotnega okvirja. Z drsnikom spreminjamo parameter a. Pri a = 0 ni popačenja.
TV popacenje
Ce imamo le blazinasto ali le sodčkasto popacenje, je zaželena preprosta številska ocena za velikost po-pačenja.
Bolj zapletena popačenja in vinjetiranje
Kaj pa, če velja formula (5) ali kaj še bolj zapletenega? En tak primer smo že obravnavali in izdelali sliko 9. Objektivi pametnih telefonov in tudi mnogi drugi novejši širokokotni objektivi vsebujejo močno asferične elemente. Zato imajo lahko zelo zapletena popačenja. Na [3, str. 27] imamo grafa funkčije d za tak objektiv pri dveh razdaljah slikanja. Popače-nje sičer ni veliko, a je tako zapleteno, da funkčije d ne moremo dobro aproksimirati s preprostim polinomom.
Poglejmo končno primer iz fotografske prakse.
SLIKA 11.
Tu so A', B', C', D' vogali tipala.
SLIKA 12.
Zapleteno popacenje pravokotne mreže in temni vogali pri odprti zaslonki.
Na sliki 11 so ukrivljene črte popačena slika pravokotnega okvirja s središčem v izhodišču O, pravo-kotnik A'B' C 'D' pa predstavlja tipalo. Kvočient
100
|eG' | |a' d'|
je TV popacenje v odstotnih točkah. Nekateri raje uporabljajo SMIA TV popacenje, ki je dvakratnik vrednosti TV popačenja. Vsi ti pojmi in prečejšnja zmeda v terminologiji izvirajo še iz časov katodnih čevi na televizorjih. Uporabljajo pa jih tudi nekatere internetne strani, ki testirajo objektive.
Pri primerjalnih testih objektivov velikost popače-nja še zmeraj igra veliko vlogo. Objektivi s fiksno gorišcno razdaljo imajo navadno bistveno manjše popacenje kot zoom objektivi pri enaki gorišcnici.
Fotografijo 12 sem posnel s četrt stoletja starim (čenenim) zoomom z goriščno razdaljo 28-80 mm (Canon EF 28-80 mm, 1 : 3,5-5,6 II) na tipalu »polnega formata« (Full Frame, kratko FF), to je velikosti približno 36 mm x 24 mm. Z zrčalom na mizi sem poskusil doseči, da je os slikanja pravokotna na tarčo. Goriščna razdalja je znašala 28 mm in izbral sem najmanjšo možno razdaljo slikanja. Vidno je popačenje, v glavnem sodčkasto. Edinole v vogalih se slika najvišje (najnižje) črte neha približevati vodoravni simetrali slike in se morda čisto v kotu čelo začne oddaljevati. Po formuli (4) torej v vogalih funkčija d neha padati in je skoraj konstantna, morda čisto v kotu čelo začne naraščati. Torej to ni enostavno popačenje. Cisto v kotu imamo morda čelo malče blazinastega popačenja.
10
PRESEK 44 (2016/2017) 5
MATEMATIKA
Slika je bila posneta (1 : 3.5). Vogalčki so t
t-					-rr												or - e-8-Va- a- Es-	■OL •8 ■L ■9 ■s ■17 ■e ■z										-rt					-H	
					111																							i					-f	
																																	—_	
																																	—_	
																																		
																																		
										i															|									
										1			-									—			i									
																																		
																																		
äl iL 91 91 H EL Zi U OL 6 8 L 9 S t> E [Z 1																			L Zl E fr S 9 L 8 6 0LILZI											EL M SL 9L ¿L				
sr vr ar ar m er sr rr or e 8 v a a £ e L s																			r s J e & a a v 8 e or rr sr Er or ar ar vr															
																	sE- a-aV-8e-or-rr-	■i ■z ■e •t ■s ■9 ■L ■8 •6 ■OL ■LL																
												—H																						
										I		tez										_			■									
											X0L	ZL»6													|									
																																		
									81«																									
					1																													-
			-			M*	81																											
		I			Uo.1																							i						
		-		tr	j 1																													
		|							-													T												—
■ —________
!! Illfflii
¡i ti 9i a w a a it m 68{9SfrEp ir vr ar ar m sr sr rr or e 8 t a s fr e L
mmiii iTO-
"illr. z: i.Ty__ ------------___
SI« L-----
I-škJ—__ZZZ
Z «i______
pri povsem odprti zasloni rnni, temu pravimo vinjet no. Vinjeta pomeni prvotn ali besedila. V fotografiji p imnitev vogalov. Vinjetiranj zaželeno, ker osredotoči pc grafije. Včasih ga pričaram ivnavani reprodukciji pa na
—	or- ------------1 1
_ e:;6--------IQZT
_ - -------------------
—	T--L-----------1___
_ a-.9------------|________
= i:::i=S5±::EEE=E
—	E--e----------------
—	s--s----------------
—	r--i —I—I————————————--
t l Z1 E fr S 9 L 8 6 OL LL ZL 61 M SL 91
r f •■ r s J s f a a v 8 e or rr sr er or ar ar
—	s--z ----------------
—	e--e----------------
—	- > —FfcH-;------::
—	a--s--------------
—	a--9 ----------------
—	v--/ ----------------
—	8--8 -----------------
-	e;"6--------J- ZZZZ
—	or- -----------——


PRESEK 44 (2016/2017) 5
11
MATEMATIKA
—^ roba do roba. Vredno je kupiti novejše konstrukcije, saj je kontrola kakovosti boljša in pri zrcalno refleksnih aparatih je t. i. fazno avtomatično ostrenje z novimi tipi motorčkov precej bolj zanesljivo.
Literatura
[1]	P. Legiša, Moteča perspektiva, Presek 44 (2016), 1,4-14.
[2]	R. Cicala, Lensrentals Repair Data: 2012-2013, https://www.lensrentals.com/blog/2013/ 08/lens rentals-repair-data-2012-2013/, ogled: 1. 3. 2017.
[3]	Strokovnjaka firme Zeiss razlagata popacenje: B. Honlinger, H. H. Nasse, Verzeičhnung, Carl Zeiss Camera Lens News, Photo-Objektive, Oktober 2009,	http://www.zeiss.com/ content/dam/Photography/new/pdf/ de/cln_archiv/cln33_de_web_speci al_ distortion.pdf, angleška verzija: Distortion, http://lenspi re.zei ss.com/en/ wp-content/uploads/sites/2/2016/01/ cln33_en_web_special_distortion.pdf, ogled: 1. 3. 2017.
[4]	Interaktivne ilustracije clanka so na avtorjevi strani na GeoGebra Tube:
https://www.geogebra.org/peter. legi sa, ogled: 1. 3. 2017.
[5]	S. F. Ray, Applied photographič optičs, Second ed., Focal Press, Oxford 1995.
[6]	R. Cicala, Fun with field of fočus II, https://www.lensrentals.com/blog/2016/ 11/fun-with-field-of-focus-i i-copy-to-copy-variation-and-lens-testi ng/, ogled: 1. 3. 2017.
[7]	R. Cicala, Is your čamera really the best optičal test, https: //www .lens rental s. com/bl og/ 2016/09/is-your-camera-really-the-best-optical-test/, ogled: 1. 3. 2017.
[8]	Cambridge in Colour, Lens Diffračtion and Photography, http://www.cambri dgei ncolou r. com/tutori als/di ffracti on-photog raphy. htm, ogled: 1. 3. 2017.
_ XXX
Vsota kvadratov prvih n zaporednih naravnih števil
nU NU NU
Jens Carstensen in Alija Muminacic
-> Ko boste prebrali naslov, si boste verjetno mislili, saj to pa dobro poznamo. Kaj novega pa lahko še izvemo? Avtorja misliva drugače in zato sva napisala ta članek.
Najprej opišimo zgled, kje na omenjeno vsoto lahko naletimo v življenju. Zamislite si jabolka, zložena v kvadratno piramido. Eno na vrhu, pod njim so štiri, zložena v kvadrat s stranico po dve jabolki, v tretji plasti nato sledi devet jabolk in tako dalje. Koliko je vseh jabolk v piramidi, Ce vemo, iz koliko plasti je sestavljena? Ravno toliko, kot vsota, ki jo obravnavamo. Poznamo mnogo (tudi zelo duhovitih) doka-
12
PRESEK 44 (2016/2017) 5