MATEMATIKA Popačenje Peter Leciša Polarni koordinatni sistem v ravnini V ravnini imejmo pravokotni koordinatni sistem. Pozitivni del p abscisne osi, usmerjen od tocke O, proglasimo za polarno os, tocka O je pol ali koordinatno izhodišče. SLIKA 1. Tocka O je pol, poltrak p polarna os. Števili |OA| = r in kot
0 kot na sliki 5. (0,Yi) (0,h) A odgovarja točka AA s kartezičnima koordinatama A'(X,Y) kot na sliki 4. |y A'(X,Y) O y B'(X2,Y2) A'(Xi,Yi) |OA|=si / /A(xi,h) |OB|=S2 B(x2, h) P. X2 x SLIKA 5. Tu je |OA| = s1 in |OB| = s2. Blazinasto popačenje daljico AB preslika na rdečo krivuljo od A' do B'. Na popačeni sliki točki T(x,h) na premiči q po enačbi (2) odgovarja točka T'(X(x), Y(x)) s koordinatama X(x) = x + x d (Vx2 + h2) 100 h Y(x) = h + 100 d(Vx2 + h2) . (3) Poglejmo, kaj se dogaja, ko x narašča od 0 naprej. Narašča funkcija x ^ s(x) = Vx2 + h2. Za nas je še posebno pomembna formula za višino Y ukrivljene slike vodoravne črte y = h, zato jo ponovimo: Y(x) = h + ih0 d (Vx2 + h2). (4) e 6 PRESEK 44 (2016/2017)5 MATEMATIKA Blazinasto popačenje Denimo, da funkcija 5 ^ d(s) na intervalu J = [s^ s2] strogo narašča. Tocka A(x1,h) z x1 > 0 naj ima polmer s1, se pravi + h2 = s^ na sliki 5. Prav tako naj ima B(x2, h) z x2 > 0 polmer s2. Seveda je x2 > x1. Če je x1 < x < x2, je T(x, h) na daljici AB. Kakšno obliko ima popačena slika daljice AB? Ko x narašča od x1 do x2, narašča s(x)=\lx2 + h2 od s1 do s2. Na intervalu J = [s1,s2] je d naraščajoča. Zato na intervalu I = [x1,x2] narašča funkčija x ^ d(Vx2 + h2). Vsota dveh naraščajočih funk-čij je naraščajoča, zato po (3) na intervalu I strogo narašča preslikava x ^ X(x). Funkčija Y(x) = h + 100 d(Vx2 + h2) prav tako strogo narašča na intervalu I = [x1,x2]. Ko x potuje od x1 do x2, se zato T'(X(x),Y(x)) giblje desno in navzgor. Popačena slika daljiče AB je torej krivulja, ki jo imamo lahko za graf strogo naraščajoče funkčije na intervalu od X1 = X(x1) do X2 = X(x2). Torej, ko potujemo po popačeni sliki daljiče AB od A' do B', se T' oddaljuje od premiče p kot na sliki 5. Imejmo na idealni sliki pravokotni okvir (= rob pravokotnika) s središčem v izhodišču O, tako da polmeri vseh točk okvirja ležijo v intervalu J. Naj bo CD straniča okvirja in p premiča skozi O, vzporedna daljiči CD. Ko se po popačeni sliki straniče CD okvirja oddaljujemo od središča, se oddaljujemo tudi od premiče p. (Premičo p pa, kot smo že rekli, popačenje ohranja.) Popačeni okvir ima tako obliko natlačene blazine -ožje v sredini, s štrlečimi vogali (slika 6), saj je popačenje relativno najbolj raztegnilo prav vogale. Temu pravimo blazinasto popačenje ali popačenje v obliki blazine - angleško pinčushion distortion, saj so take napihnjene blaziniče, v katere šivilja zabada bučike. Povzemimo: Imejmo na idealni sliki daljico AB, vzporedno premici p skozi O (vendar ne vsebovano v p). Premica e naj poteka skozi O in naj bo pravokotna na p. Polmeri tock na AB naj leže na intervalu, na katerem funkcija d strogo narašča. Ko se po popaceni sliki daljice AB oddaljujemo od e, se oddaljujemo tudi od premice p. Zato govorimo o blazinastem popačenju. SLIKA 6. Blazinasto popačenje pravokotnega okvirja. Vzeli smo J = [s1, s2]. Točke na idealni sliki s polmerom v J ležijo na kolobarju s središčem v izhodišču. Meji tega kolobarja sta krožniči s polmeroma s1 in s2. Popačitev ta kolobar preslika na kolobar s središčem v izhodišču. Meji popačenega kolobarja sta krožniči s polmeroma r(s1) = s1(1 + (1/100)d(s1)) in r(s2) = s2(1 + (1/100)d(s2)). V našem primeru je r(s2) - r(s1) = S2 - S1 + (1/100)(d(s2) - d(s1)) > s2 - s1, torej popačenje poveča razdaljo med krožni-čama. Pri »standardnih« zoomih imamo navadno na tele območju rahlo blazinasto popačenje. Sodckasto popačenje Denimo zdaj, da funkcija d na intervalu K = [t1,t2] strogo pada. Naj ima G(z1,h) polmer ti in H(z2, h) polmer t2, kjer je 0 < z1 < z2 kot na sliki 7. Potem x — d(s(x)) na tem intervalu strogo pada. Po formuli (4) funkcija x — Y(x) strogo pada na intervalu L = [z1,z2]. Ker x — s(x) strogo narašca, to velja tudi za x — r(s(x)), saj je r strogo narašcajoca. Toda r(s(x)) = V(X(x))2 + (Y(x))2. Ker x - Y(x) strogo pada, mora x — X(x) strogo narašcati. Ko x tece od z1 do z2, se tocka T'(X(x),Y(x)) giblje desno in navzdol. Tako vidimo: 12 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA Imejmo na idealni sliki daljico GH, vzporedno premici p skozi O (vendar ne vsebovano v p). Premica e naj poteka skozi O in naj bo pravokotna na p. Polmeri tock na GH naj leže na intervalu, na katerem funkcija d strogo pada. Ko se po popačeni sliki daljice GH oddaljujemo od e, se bližamo premici p kot na sliki 7. Zato govorimo o sodčkastem popacenju ali popačenju v obliki sodcka - angleško barrel distortion. Premici p in e se pri popacenju seveda ohranjata. Vzemimo na idealni sliki pravokotni okvir s sredi-šcem v izhodišcu, tako da polmeri vseh tock okvirja ležijo v intervalu K. Najbolj se skrcijo polmeri od središca slike najbolj oddaljenih tock. Popacenje »zategne« vogale pravokotnika. Popaceni pravoko-tnik dobi obliko soda kot na sliki 8. Pri posnetkih arhitekture, reprodukcijah je popa-cenje zelo motece. Pri objektivih akcijskih kamer in »ribjih oces« pa je ekstremno sodckasto popacenje celo zaželeno -ker na ta nacin spravimo na sliko kar se da veliko stvarnosti. Lahko se zgodi, da radiji tock na daljici BA, ki ne gre skozi izhodišce, ležijo v intervalu J, kjer funkcija d strogo narašca, in v intervalu K, kjer funkcija d strogo pada. Naj bo p premica skozi izhodišce (0,h) G(z1,h) H(Z2, h) / —GG' -- / e / i ! ^ f r / ^ / ^^ / ^ / y p _ O x SLIKA 8. Sodckasto popacenje pravokotnega okvirja. vzporedna in disjunktna z daljico AH. Premica e naj poteka skozi O in naj bo pravokotna na p. Ko se po popačeni sliki daljice AH oddaljujemo od e, se na enem delu oddaljujemo od p, na drugem delu pa približujemo premici p. Temu pravimo popacenje v obliki brkov - mustac ali valovito popacenje. Primer. Denimo, da je d(s) = -0,13s2 + 0,026s4. Oglejmo si vedenje funkcije d za nenegativne s. Ko spremenljivko s povecujemo od 0 naprej, najprej prevlada prvi clen v vsoti za d(s) in funkcija d pada. Kasneje prevlada višja potenca v drugem clenu in funkcija d narašca. Graf za d imamo na sliki 9. V tocki C, kjer d preide iz padanja v narašcanje, zavzame funkcija d naj- C = (1,5811, -0,1625) SLIKA 7. Tu je |OG| = t1 in |OH| = t2. SLIKA 9. Graf funkcije d(x) = -0,13x2 + 0,026x4 ima minima v tockah z absciso x = ±725. 12 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA B H H' 1 0,5- N, 1,5 -1 0,5 G A = (1,5,1) objektivih zelo dober približek dobimo v obliki GV 0 0,5 1,5 d(s) 100 = as2 + bs4. (5) SLIKA 10. Rdeca krivulja predstavlja valovito popačenje daljice AB. manjšo vrednost - minimum. Z matematičnim orodjem, imenovanim odvod (snov četrtega leta gimnazije), ugotovimo, da je ta minimum pri 5 = -J2,5. Minime (in maksime) pa nam poišče tudi ukaz Ekstrem v prosto dostopni GeoGebri. Torej funkcija d pada na intervalu [0, V2,5] in narašča na intervalu [V2,5, oo]. To lahko preverimo tudi s kakim drugim programom ali računalom, ki zna narisati graf polinoma d. Naj bo A(1,5,1) in B(-1,5,1). Popačeno podobo daljice AB imamo rdeče obarvano na sliki 10. V nadaljevanju tega članka bomo na preprostejših primerih razložili, kako smo to narisali. Točki G(V15,1) in H(-V15,1) na daljiči AB imata polmer V2,5. Na sliki 10 vidimo v rdeči krivulji od G' do H' sodčkasto popačenje daljiče GH in v rdečem preostanku blazinasto popačenje daljič AG in BH. Popačitev daljiče AB ima obliko umetniških brkov, kakršni so bili v modi okrog leta 1900. Na [4] imam na GeoGebra Tube interaktivno sliko z naslovom Zapleteno popačenje daljice, kjer je d(s) = -0,13s2 + bs4. Z drsnikom lahko spreminjamo parameter b. Modeliranje popačenja Mnoge funkcije lahko dobro aproksimiramo s polinomi. Ker je d(0) = 0, poskusimo z joO = ais + a2s2 + a3s3 + a4s4 + ... Literatura [3, str. 27], [5, str. 87-90] pravi, da po t. i. Seidelovi teoriji aberacij pri objektivih, sestavljenih iz dobro centriranih lec s sfericnimi površinami, v gornjem izrazu lahko izpustimo lihe potence. Ludwig Seidel je to teorijo objavil v vec člankih v reviji Astronomische Nachrichten leta 1856. Praksa kaže, da pri takih En tak primer smo že podrobno obravnavali. Enostavno popačenje V mnogih primerih lahko v enačbi (5) zanemarimo drugi člen, tako da vzamemo d(s) 2 -= as2 100 in tako ■ r(s) = s(1 + as2). (6) (7) Ce velja enačba (7), bomo to imenovali enostavno popačenje. Razteg radija s znaša r - s = sd(s)/100 = as3. Bistven vpliv na sliko ima predznak koefičienta a. Ce je a > 0, funkčija s ^ d(s) = as2 strogo narašča na intervalu [0, oo]. Povzemimo: ■ Za a> 0 dobimo enostavno blazinasto popačenje. ■ Za a < 0 dobimo enostavno sodčkasto popačenje. Ce to vstavimo v enačbo (2), vidimo, da točki A(x,y) na idealni sliki na popačeni sliki odgovarja točka A' (X, Y) s kartezičnima koordinatama X = x + ax(x2 + y2); Y = y + ay(x2 + y2). (8) Vodoravna premiča z enačbo y = h je sestavljena iz točk (x, h). Zato se popači v krivuljo, sestavljeno iz točk (X, Y), tako daje X = x + ax(x2 + h2); Y = h + ah(x2 + h2). (9) To je parametrična enačba te krivulje; spremenljivka x je parameter. Programi za računalniško geometrijo kot, rečimo, prosto dostopna GeoGebra, znajo narisati take parametrično podane krivulje. Ukaz je Krivulja[ x + a x(xA2 + hA2), h + a h(xA2 + hA2), x, -1.5, 1.5 ], če spremenljivka x teče od -1,5 do 1,5. 1 2 PRESEK 44 (2016/2017) 5 9 MATEMATIKA —^ Na slikah 6 in 8 imamo enostavni popačenji pravokotnega okvirja velikosti 3 x 2, s središčem v izhodišču. Na sliki 6 je a = 0,08, na sliki 8 pa je a = -0,05. Na naslovu [4] sem v GeoGebri naredil interaktivno sliko z naslovom Enostavno popacenje pravokotnega okvirja. Z drsnikom spreminjamo parameter a. Pri a = 0 ni popačenja. TV popacenje Ce imamo le blazinasto ali le sodčkasto popacenje, je zaželena preprosta številska ocena za velikost po-pačenja. Bolj zapletena popačenja in vinjetiranje Kaj pa, če velja formula (5) ali kaj še bolj zapletenega? En tak primer smo že obravnavali in izdelali sliko 9. Objektivi pametnih telefonov in tudi mnogi drugi novejši širokokotni objektivi vsebujejo močno asferične elemente. Zato imajo lahko zelo zapletena popačenja. Na [3, str. 27] imamo grafa funkčije d za tak objektiv pri dveh razdaljah slikanja. Popače-nje sičer ni veliko, a je tako zapleteno, da funkčije d ne moremo dobro aproksimirati s preprostim polinomom. Poglejmo končno primer iz fotografske prakse. SLIKA 11. Tu so A', B', C', D' vogali tipala. SLIKA 12. Zapleteno popacenje pravokotne mreže in temni vogali pri odprti zaslonki. Na sliki 11 so ukrivljene črte popačena slika pravokotnega okvirja s središčem v izhodišču O, pravo-kotnik A'B' C 'D' pa predstavlja tipalo. Kvočient 100 |eG' | |a' d'| je TV popacenje v odstotnih točkah. Nekateri raje uporabljajo SMIA TV popacenje, ki je dvakratnik vrednosti TV popačenja. Vsi ti pojmi in prečejšnja zmeda v terminologiji izvirajo še iz časov katodnih čevi na televizorjih. Uporabljajo pa jih tudi nekatere internetne strani, ki testirajo objektive. Pri primerjalnih testih objektivov velikost popače-nja še zmeraj igra veliko vlogo. Objektivi s fiksno gorišcno razdaljo imajo navadno bistveno manjše popacenje kot zoom objektivi pri enaki gorišcnici. Fotografijo 12 sem posnel s četrt stoletja starim (čenenim) zoomom z goriščno razdaljo 28-80 mm (Canon EF 28-80 mm, 1 : 3,5-5,6 II) na tipalu »polnega formata« (Full Frame, kratko FF), to je velikosti približno 36 mm x 24 mm. Z zrčalom na mizi sem poskusil doseči, da je os slikanja pravokotna na tarčo. Goriščna razdalja je znašala 28 mm in izbral sem najmanjšo možno razdaljo slikanja. Vidno je popačenje, v glavnem sodčkasto. Edinole v vogalih se slika najvišje (najnižje) črte neha približevati vodoravni simetrali slike in se morda čisto v kotu čelo začne oddaljevati. Po formuli (4) torej v vogalih funkčija d neha padati in je skoraj konstantna, morda čisto v kotu čelo začne naraščati. Torej to ni enostavno popačenje. Cisto v kotu imamo morda čelo malče blazinastega popačenja. 10 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA Slika je bila posneta (1 : 3.5). Vogalčki so t t- -rr or - e-8-Va- a- Es- ■OL •8 ■L ■9 ■s ■17 ■e ■z -rt -H 111 i -f —_ —_ i | 1 - — i äl iL 91 91 H EL Zi U OL 6 8 L 9 S t> E [Z 1 L Zl E fr S 9 L 8 6 0LILZI EL M SL 9L ¿L sr vr ar ar m er sr rr or e 8 v a a £ e L s r s J e & a a v 8 e or rr sr Er or ar ar vr sE- a-aV-8e-or-rr- ■i ■z ■e •t ■s ■9 ■L ■8 •6 ■OL ■LL —H I tez _ ■ X0L ZL»6 | 81« 1 - - M* 81 I Uo.1 i - tr j 1 | - T — ■ —________ !! Illfflii ¡i ti 9i a w a a it m 68{9SfrEp ir vr ar ar m sr sr rr or e 8 t a s fr e L mmiii iTO- "illr. z: i.Ty__ ------------___ SI« L----- I-škJ—__ZZZ Z «i______ pri povsem odprti zasloni rnni, temu pravimo vinjet no. Vinjeta pomeni prvotn ali besedila. V fotografiji p imnitev vogalov. Vinjetiranj zaželeno, ker osredotoči pc grafije. Včasih ga pričaram ivnavani reprodukciji pa na — or- ------------1 1 _ e:;6--------IQZT _ - ------------------- — T--L-----------1___ _ a-.9------------|________ = i:::i=S5±::EEE=E — E--e---------------- — s--s---------------- — r--i —I—I————————————-- t l Z1 E fr S 9 L 8 6 OL LL ZL 61 M SL 91 r f •■ r s J s f a a v 8 e or rr sr er or ar ar — s--z ---------------- — e--e---------------- — - > —FfcH-;------:: — a--s-------------- — a--9 ---------------- — v--/ ---------------- — 8--8 ----------------- - e;"6--------J- ZZZZ — or- -----------—— PRESEK 44 (2016/2017) 5 11 MATEMATIKA —^ roba do roba. Vredno je kupiti novejše konstrukcije, saj je kontrola kakovosti boljša in pri zrcalno refleksnih aparatih je t. i. fazno avtomatično ostrenje z novimi tipi motorčkov precej bolj zanesljivo. Literatura [1] P. Legiša, Moteča perspektiva, Presek 44 (2016), 1,4-14. [2] R. Cicala, Lensrentals Repair Data: 2012-2013, https://www.lensrentals.com/blog/2013/ 08/lens rentals-repair-data-2012-2013/, ogled: 1. 3. 2017. [3] Strokovnjaka firme Zeiss razlagata popacenje: B. Honlinger, H. H. Nasse, Verzeičhnung, Carl Zeiss Camera Lens News, Photo-Objektive, Oktober 2009, http://www.zeiss.com/ content/dam/Photography/new/pdf/ de/cln_archiv/cln33_de_web_speci al_ distortion.pdf, angleška verzija: Distortion, http://lenspi re.zei ss.com/en/ wp-content/uploads/sites/2/2016/01/ cln33_en_web_special_distortion.pdf, ogled: 1. 3. 2017. [4] Interaktivne ilustracije clanka so na avtorjevi strani na GeoGebra Tube: https://www.geogebra.org/peter. legi sa, ogled: 1. 3. 2017. [5] S. F. Ray, Applied photographič optičs, Second ed., Focal Press, Oxford 1995. [6] R. Cicala, Fun with field of fočus II, https://www.lensrentals.com/blog/2016/ 11/fun-with-field-of-focus-i i-copy-to-copy-variation-and-lens-testi ng/, ogled: 1. 3. 2017. [7] R. Cicala, Is your čamera really the best optičal test, https: //www .lens rental s. com/bl og/ 2016/09/is-your-camera-really-the-best-optical-test/, ogled: 1. 3. 2017. [8] Cambridge in Colour, Lens Diffračtion and Photography, http://www.cambri dgei ncolou r. com/tutori als/di ffracti on-photog raphy. htm, ogled: 1. 3. 2017. _ XXX Vsota kvadratov prvih n zaporednih naravnih števil nU NU NU Jens Carstensen in Alija Muminacic -> Ko boste prebrali naslov, si boste verjetno mislili, saj to pa dobro poznamo. Kaj novega pa lahko še izvemo? Avtorja misliva drugače in zato sva napisala ta članek. Najprej opišimo zgled, kje na omenjeno vsoto lahko naletimo v življenju. Zamislite si jabolka, zložena v kvadratno piramido. Eno na vrhu, pod njim so štiri, zložena v kvadrat s stranico po dve jabolki, v tretji plasti nato sledi devet jabolk in tako dalje. Koliko je vseh jabolk v piramidi, Ce vemo, iz koliko plasti je sestavljena? Ravno toliko, kot vsota, ki jo obravnavamo. Poznamo mnogo (tudi zelo duhovitih) doka- 12 PRESEK 44 (2016/2017) 5