P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 26 (1998/1999) Številka 4 Strani 218-223
Jože Grasselli:
O HARMONIČNIH ŠTEVILIH
Ključne besede: matematika, teorija števil, harmonična števila, Ore-jeva števila.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/26/1376-Grasselli.pdf
© 1999 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
O HARMONIČNIH ŠTEVILIH
Naj bodo di = 1, £¿2, ■ ■ ■, dj = ti vsi pozitivni delitelji naravnega števila n. Njihovo harmonično sredino označujemo s H(n), torej je
Mm = j,.3 ■	(i)
d! "T + dj
Zgled. Potenca p°, kjer je p praštevilo in c naravno število, nima drugih pozitivnih deliteljev kot 1, p, p2, ..., pc; vseh je c -H 1 in po (1) je
g«»-, ;+1—(2) 1 + p"1 + • • - + p~c pc + p^"1 + ■■■ + !
Naravno število n je harmonično ali Orejevo, kadar je število H(n) celo (Oystein Orc (1899-11)68), norveški matematik).
Zgled. Edini pozitivni delitelj za 1 je 1, vsi pozitivni delitelji za 10 so 1, 2. 5, 10. Zato je
H(l)=~=l
Hll0) = ——-- 4 , --— = —
k j l-1 + 2_1 + 5~l + 10_1 9
Torej je 1 harmonično število. 10 pa ne.
Se sta med naravnimi števili n i, ■ - ■, nt vsaki dve tuji, velja enakost
H(n1...nt) = H(n1)...H(nt).	(3)
Pravimo, da je harmonična sredina H(n) multiplikativna. Vsako naravno število n > 1 ima izrazitev
n = pll ...pcs> ,	(4)
kjer so pi,..., p0 različna praštevila, cj,..., c,, naravna števila. Zaradi inultiplikativnosti je
H(pcl\..pc/) = H(p\i)...H(p':s').	(5)
Faktorje na. desni izračunaj m o po obrazcu (2).
Navedirno nekaj ugotovitev glede vrednosti za H (n).
A.	Če je p prastevilo in c naravno število, števiJo H(pc) ni celo. (Torej praštevilska potenca ni harmonično število.)
Naj bo namreč H(pc) = v pri celem številu v. Ko upoštevamo (2), dobimo
(c + l)pc = v(p° H-----I- p + 1).	(6)
Ta enakost kaže, da pc deli v{pc H-----l-p +1). Toda števili pc, pc H-----h
+ p + 1 sta tuji, zato mora pc deliti v in je v — tpc pri naravnem številu t. Vnesemo v = tpc v (6) in po krajšanju s pc najdemo
c+1 = t{pc +----h p 4-1).
Ker je p > 2 in c > 1, je dalje
c + 1 > pc + • ■ • + p + 1 . > pc > T = (1 + l)c = 1 + c + - ■ • (7)
Na koncu v (7) stoji 1 + c, Če je c = 1; in več kot c+1, če je c > 2. Neenakost (7) tako v nobenem primeru ni mogoča, trditev A torej drži.
Naravno število n je popolno, če znaša vsota njegovih (pozitivnih) deliteljev 2n. Dokazano je, da so med sodimi števili popolna natančno tista, ki se zapišejo v obliki
n = 2P-1(2P — 1) ,	(8)
kjer je p prastevilo in 2P_1 prastevilo. Ni znano, ali je sodih popolnih števil neskončno; doslej so jih našli nekaj več kot 30, najmanjša so 6, 28, 496, 7128.
B.	Vsako sodo popolno število je harmonično.
V (8) sta števili 2P , 2P — 1 tuji. Z indukcijo se prepričamo, daje
1 + 2 + 2® +----h 2" = 2n+1 - 1
za vsak naraven n. Vsota vseh pozitivnih deliteljev za. 2J)-J je tako 1 + 2 + • - < + =2P - 1
in zato
Število 2P — 1 v (8) je praštevilo, edina pozitivna delitelja sta 1, 2P — 1; zato je
H(2P -1) =
(2P - 1)2 2?
(10)
Zaradi multiplikativnosti je po množenju (9) in (10)
H(2P~1(2P — 1))
Trditev B je tako dognana.
Ali liha popolna števila obstajajo, ne vemo. Ce obstajajo, so tudi ona harmonična.
Najmanjše harmonično število, ki ni popolno, je 140 = 22 ■ 5 ■ 7. Res
velja
Do 27845je vsega 14 harmoničnih števil; navaja jih preglednica (M. Garda):
n
1
6 = 2-3 28 = 22■7 140 — 2Z ■ 5 ■ 7 270 = 2 • 32 • 5 496 = 24 ■ 31 672 = 25 ■ 3 • 7
H(n)
1
2 3
5
6 5 8
n			H(n)
1638 =	2-	32 ■ 7 -13	9
2970 =	2-	33 ■ 5 -11	11
6200 =	23	■ 52 - 31	10
8128 =	26	■ 127	7
8190 =	2-	3a • 5 • 7 ■ 13	15
18600 =	23	• 3 • 52 ■ 31	15
18620 =	2Ž	■ 5 • 7Z • 19	14
(11)
Vseh harmoničnih števil do 10' je 46. največje med njimi je 8872200 = = 28-33-52-31-53; našli pa so še več kot 200 nadaljnjih harmoničnih števil. Vsa doslej najdena harmonična števila so soda. Ore je postavil domnevo, da lihih harmoničnih števil ni. Ko bi se izkazalo, da ta domneva drži. bi bilo obenem dognano, da liha popolna števila ne obstajajo; vsako popolno število je namreč po že povedanem harmonično.
Kako poiščemo harmonična števila?
Napravimo obsežnejši seznam vrednosti H (jf) za p raste vila. p = = 2, 3. 5, 7,.., in eksponente c — 1, 2, 3, 4,. .. ter opazujmo, kdaj je
Matematika	221
produkt (5) celo število. Tako npr. iz

izhaja
iS o3 - ~ 2B 33 5 7
H(30240) = H(25 - 3'J • 5 ■ 7) = — ■ — - - ■ - = 24.
Torej je 30240 harmonično število.
Kadar gre za harmonična števila, ki ležijo pod dano vrednostjo k, je treba seznani vrednosti H(pc) dovolj dolgo nadaljevati in računati produkte teh vreduosti. Pomagamo si lahko tudi tako, da gledamo, katere potence števila 2 (ali kakšnega drugega praštevila) morejo biti faktor v harmoničnem številu, ki ne presega k. Vzemimo, tla je k = 3 10'. Ali obstaja harmonično Število n < 3 - 107, ki je deljivo z 212, ne pa z 213? Tedaj je seveda
n = 212pi' . ..pcs'
pri različnih lihih prastevilih pi,..., ps in naravnih Številih ci,..., cs. Po (2) izračunamo
Imenovalec 8191 je praštevilo. Da bo
2*2-13 pV(c 1 + 1) P£-(C. + i)
m 8i9i	.....
celo število, mora 8191 deliti vsaj enega od števcev na desni, npr. 8191 | p5'(ci +1). To pomeni, da je p\ =8191 ali pa nastopa pi v stopnji 8190 (in je potem c,\ + 1 = 8191). Prvič dobimo za n oceno
n = 212p? ...pcs' > 212 ■ 8191 = 33550336 > 3 ■ 107 .
Drugič je pj >3 in smo pri oceni
n > 212 ■ 38190 > 3 ■ 107 ,
Torej ni harmoničnega števila, ki bi bilo manjše od 3 ■ 107 in deljivo z 212, ne pa z višjo potenco števila 2.
Med števili, ki so večja od 3 ■ IG7, pa se najdejo harmonična števila, deljiva natančno z 2V2. Saj je že
/1(33550336) = H(212 ■ 8191) =	■	= 13 .
Dodatno olajšujejo iskanje harmoničnih števil še nekatere njihove lastnosti, ki pa jih na tem mestu ne bomo opisovali. Brez dokaza omenimo še
C. Naj bo r racionalno število. Obstaja kvečjemu končno mnogo naravnih števil n. daje Ii(n) = r.
Ce je r naravno število, je zato kvečjemu končno mnogo naravnih števil n, da velja H(n) = r. iz preglednice (11) vidimo, da že pri začetnih harmoničnih številih n zavzame H(n) vsa naravna števila od 1 do 11. razen 4. Da se pokaza ti, da je H (n) ^ 4 pri vsakem naravnem številu n. Ali so poleg 4 še katera druga naravna števila, ki jih H(n) izpusti? Naloge.
1.	Ali obstaja harmonično število, manjše od 1012 in deljivo z 26 ter 36, ne pa z višjima potencama od 2 in 3? (Izračunaj //(2°), H(36) in upoštevaj, da sta 127, 1093 praštevili.)
2.	Pokaži, da število 2pc, kjer je p liho praštevilo in c naravno število večje od 1, ni harmonično.
3.	Pokaži, da mora liho popolno število imeti obliko
c 1
n = p v .
Tu je p praštevilo oblike 4i + 1, naravno število c tudi te oblike, v naravno število, Ugotovi od tod, da je H(n) celo število. (Kaj bo namreč
n=pc1l ...pcs' ,
kjer so p t,,.., ps različna liha prastevila, in ci,.c$ naravna števila. Ker je n popolno število, velja enakost
(1 + P1 + ■ • • + p?)... (1 +%+-■• =Hpf .. .pc/ , (12)
saj je leva stran vsota vseh pozitivnih deliteljev od n. Zaradi (12) je na levi natanko eden od faktorjev deljiv z 2, ne pa z 22. Lahko vzamemo, da je to kar prvi faktor, tj. 1 + p\ + ■ ■ ■ + p^1; ker je v tej vsoti C\ + 1 lihih sumandov. mora biti c\ lih; vsi drugi faktorji so lihi, zato c-2,..., cs sodi. Ce p1; ci ne bi bila oblike 4f + 1, bi imela obliko 4f — 1 in prvi faktor bi bil deljiv s 4; to hitro vidimo.)
4. Naj bo p praštevilo, c naravno število. Za c — 1 je
H<?) = jfj	(13)
in za c > 1
R{pC) = pc(c+l)(p-l) > (c+l)(p-l) > 3(p-l) > 2p
pc+1 — 1 p p 1 + p
(14)
Zaradi p2 > 3 je namreč 3(p¥ - 1) > 2p2. Nadalje je
2P „ 2 „ 2 4 ^ =2--> 2 - - = - za p > 2 m
1+p I+p 3 3	v
2 * 2 4	(15) ——- = - za p = 2. 1 + 2 3
Iz (13), (14), (15) pri naravnih številih ci,..., cs	in različnih prašte-vilih pi,.ps dobimo zaradi multiplikativnosti
H(pV)>~ in #(Pi -P?) > (|)J	za„s>2. (16)
5. Pokaži, daje
4
(-)3 > s za s > 7
m
H (pJ1 ...p®») > s za s = 1,2,3,4,5,6. Po (16) potem velja
S=l,2,3,...	(17)
6, Če naj bo H(ti) — 4, sme biti n zaradi (17) deljiv z največ tremi različnimi praštevili (ali njihovimi potencami). Od tod moreš ugotoviti, da je H (n) ^ 4 za vsak naraven ti.
Jože Grasselli