i
i
“4-2-Kramar-naslov” — 2009/3/27 — 9:26 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 4 (1976/1977)
Številka 2
Strani 113–115
Edvard Kramar:
ODLIKOVANI TRIKOTNIKI
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/4/4-2-Kramar.pdf
c© 1977 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA
OD LIKOVAN I TRIKOTNIKI
Vp r ašaj mo s e po ta ki h t r ik ot ni ki h, kater ih dolž i ne str a ni c
so naravna števi la, imen ovali jih bom o kar cel ošt evil s ki t r iko -
tniki, ki i maj o še l e po la stnos t , da je nji hov ob seg po števi l-
ski v r ednos t i en ak njih ovi p l o šč i ni (s pe t po š t evi lsk i vre dn o-
s t i )
o = P
Spoda j bom o vid eli, da obstaja l e pet t akih t rikotn ikov.
Prede n s e lotim o is kanja t e h nenavadnih trikotni kov , prob lem š e
mal o pos pl ošimo. Na jprej se vpr aš aj mo po vse h ce l oš t e vi lsk i h
t r i kotni kih , za kate r e ve l j a , da je o = 2p. Vi de li bomo , da ob-
staj a l e en tak tr ik ot ni k, ce loš tev il ski h triko t ni kov , ki bi i -
meli obs eg e na k tr i ali v e č k r a t n i pl o š či n i , pa s pl oh ni .
Post av imo ka r s plošno nalog o: iščemo celoštevilske trikotni -
ke , z a kate re velja
o = AP
kjer je A neko realno število . Ugoto vi l i bomo, da imamo za na-
ravne vr ednos t i par am etr a A re š i tve l e pr i A = 1 in A = 2 , za
ne kat ere nece l e vre dnosti par ametra do bi mo š e t a ke tri kot nik e ,
za pa ra met re A > ! 4S pa nobeneg a ve č. Ker s o ta ki tr ikot ni ki
neka j pos e bnega i n so zelo red ki , j ih bom o ime nova li odlikova -
ni t rikotni ki .
Loti mo se iskan ja t eh trikotni kov! Najprej vp el j em o o b iča jn o
ozn ako za pol o v i če n obs eg tri kot n i ka s = 0 / 2 = ( a+b+c ) / 2 . S t o
ko l iči no se po zna nem He r onovem ob razcu i zraž a pl o š č i n a t ri kot -
n i ka
p = !s {s - a ) {s -b ) {s -c )
Ta ko lah ko na š pogoj zapi šemo v obliki
2s = A! s { s - a ) {s -b ) ( s -c )
Dolž i ne s t r a ni c a , b in c so nar avna šte vi la , za t o je t ud i
11 3
srednj ic a s nar avno število ali k ve č j e m u ulomek z i menova lc em
2. Take obli ke so pot em t ud i š t evi l a s - a , s -b in s -c , za t o za-
nj e vpeljimo oz na ke
s -a : m/2 , s -b n/2, s -c : k / 2
pri čemer so m , n in k naravna š tevi l a . Ka j oč i t n o je potem :
( m+ n+k) /2 : 3s - 2s : s. Kva drirajmo na šo e n a č b o i n vpeljimQ
vanjo zgornja števila . Ce jo še okraj šamo in ur edim o, dobimo
16{ m+n+ k) : ,,2kmn
Vs a ka r eš it ev te enačbe v naravnih š t evi l i h pri ne kem iz br anem "
nam bo preko zgo rnjih zvez dala is kane dol žine st ranic a , b in
c. (Sam se prepričaj, da iz pogojev m,n , k > O sledi , da so a ,
b in c r es stranice nekega tri kotni ka) . Oogovorimo se še , da bo-
mo is kano rešitev pisal i v oblik i (a, b, c) . Ce kak š ni od t eh treh
š t e vi l zamenjamo med sebo j, bomo šteli novo t rojico za isto , saj
j e tr i kot nik tvorj en iz istih t reh daljic . Domen imo se, da bomo
vsak odlikovani trikotnik pisal i v oblik i ure jene trojice
(a, b, c), pri čemer bo a ~ b ~ c. Hitro se tedaj prepričamo, da
bo potem k ~ n ~ m. Iz zgornje enačbe dobimo oceno :
mnk : 16 {m+n+k ) /,,2 ~ 16{ m+m+m)/ ,,2 : 48m/ ,,2, odtod pa po krajša-
nju z m oceno: nk ~ 48/ ,,2 . Upoštevajmo š e k 2 : k .k ~ k . n i n do-
bimo: k 2 ~ 48/ ,,2. Ker je a s - m/2 : {n+k)/2, b : {m+ k)/2 ,
c : ( m+n)/2, so števila m, n in k očitno vs a hkrati soda ali vsa
liha.
Naše ugotovitve še enkrat st rn imo: Pri danem pa ramet ru " > O
dobimo vse odlikovane trikotnike, č e zadost imo z naravnimi šte-
vil i m, n in k naslednje zahteve :
16{m+n+k) : ,,2mnk
nk ~ 48/ ,,2, k 2 ~ 48/ ,,2
k ~ n f m i n m, n in k so i s te parnosti
Sedaj nam ne bo težko najti obljub ljene tri kotni ke. Vzemimo
najprej A : l. Ker je sedaj 16{ m+n+k) : mnk , so o čit no m, n in k
soda števila i n i z ocene k 2 ~ 48 sledi k : 2, 4 ali 6 . Ce upoš-
t evamo še nk ~ 48 , dobimo naslednje možnos ti:
114
k
k
k
2; n
4; n :
6 ; n :
2 ,4 ,6, 8,10,12, 14,16,18,20,22 ali 24
4,6,8 ,1 0 ali 12
6 al i 8