•S P L.OŠ NA REŠITEV OSNOSIMETRIČNEGA STABILITETNEGA PROBLEMA . KROŽNE STENE S CENTRIČNO KROŽNO ODPRTINO DOKTORSKA DISERTACIJA Mag. Marko Škerlj dipl.ing. Fakulteta za strojništvo v Ljubljani 1967 Ljubljana II 1 f) 7 O 5 S V sl (P Tiskala Univerzitetna tiskarna v Ljubljani VSEBINA 1. UVOD str. 1 2. NASTAVITEV STA BILITETNEG-A KRITERIJA ZA OSNOSI-METRIČNI PRIMER KROŽNE STENE S CENTRIČNO KROŽNO ODPRTINO 4 2.1. Energijska metoda in TREFFTZov stabilitetni kriterij 4 2.2. Potencialna energija krožne stene 5 2.3. Trefftzov stabilitetni kriterij apliciran na krožno steno z odprtino 9 2.3.1. Prehod k brezdimenzijski koordinati 12 2.3.2. Stabilitetni kriterij 15 2.4. Robni pogoji 17 i 3. SPLOŠNA REŠITEV DIFERENCIALNE ENAČBE 19 3.1. Končna oblika diferencialne enačbe 19 3.2. Analiza diferencialne enačbe 20 3.3. Reševanje diferencialne enačbe 21 4. HOMOGENO NAPETOSTNO STANJE 36 4.1. Polna krožna stena obremenjena z radialno tlačno osnosimetrično obremenitvijo 36 4.2. Krožna stena s centrično krožno odprtino, ki je obremenjena na obeh robovih z enako veliko radialno tlačno obremenitvijo 40 5. SAMO NA ENEM ROBU OBREMENJENA STENA str. 50 5.1. Zunanji rob obremenjen na tlak 50 5.1.1. Notranji rob popolnoma prost 53 5.1.2. Zunanji rob popolnoma prost 57 5.1.3. Ostali primeri robnih pogojev 61 5.2. Zunanji rob obremenjen na nateg 69 5.3. Notranji rob obremenjen na nateg 70 5.4. Notranji rob obremenjen na tlak 74 6. STENA Z ODPRTINO, KI JE OBREMENJENA NA ZUNANJEM ROBU S TLAČNO, NA NOTRANJEM PA Z ENAKO VELIKO NATEZNO OBREMENITVIJO 75 7. POSEBNI PRIMER f> = l/j? 80 8. SPLOŠNI PRIMER 82 9. PRIBLIŽNA REŠITEV STABILITETE STENE Z DIFE- RENČNO METOBO 85 9.1. Homogeno napetostno stanje 87 9.2. Splošni primer 94 10. ZAKLJUČEK ' 100 11. LITERATURA 102 1. U V O D Prve rešitve stabilitetnega problema na tlak obremenjene pravokotne stene (samo v svoji lastni ravnini obremenjene plošče) je nakazal že NAVIER leta 1823. Z vključitvijo štrižnih robnih obremenitev je ta problem rešil leta 1888 BRYAN in sicer s po-* močjo ravnotežne in energijske metode. V naslednjih desetletjih se je vrsta raziskovalcev ukvarjala s problemi pravokotnih, izotropnih .in anizotropnih, homogenih in nehomogenih sten v elastičnem kakor tudi elastoplastičhem področju tako, da dandanes na tem podro.čju ni več veliko neznanega in neobdelanega. Zanimivo je, da so se prvi rezultati raziskav stabilitete krožnih plošč pojavili precej pozno. Kritično osno-simetrično obremenitev polne krožne stene je obravnaval prvi DINNIK leta 1910, za njim pa leta 1915 NADAY, ki je analiziral poleg osnosimetrične deformacije tudi neosnosimetrično izboče-nje. Stabilitetni problem stene, ki je omejena z več kot eno samo zaključeno konturo, ni bil načet vse do leta 1933, ko je MEISSNIJR objavil rešitev krožne stene s centrično krožno odprtino, ki je bila obremenjena z"osnosimetrično tlačno obremenitvijo po zunanji konturi. Rešitev je zajemala samo prosto položen in pa vpet zunanji rob. To zakasnitev lahko pojasnimo z dejstvom, da povzroča že samo eksaktno reševanje diferencialnih enačb stabilitetnih problemov, ki za razliko od klasičnih ela-stomehanskih enačb upoštevajo dodatno še tudi vpliv deformacij na ravnotežno stanje, ponavadi velike težave. Prilagojevanje rešitev teh enačb vnaprej podanim robnim zahtevam pa pri stenah z večkrat sovisnimi območji skoraj v vseh primerih odpove že zaradi tega, ker vsebujejo rešitve premalo prostih konstant, s katerimi bi lahko zajeli vse. robne pogoje. Zato je tudi razumljivo, da so se raziskovalci lotili najprej stene, ki je omejena z dvema takima zaključenima konturama, ki se matematično najlažje definirata. Tako konturo predstavlja brez dvoma krog, ki je v polarnem koordinatnem sistemu osnosimetrični lik. Če sta še obremenitev in deformacija krožne stene osnosimetrični, potem lahko definiramo tako napetostno kot tudi deformacijsko stanje poljubne točke stene z eno samo spremenljivko. Posledica tega je, da je .vsak robni pogoj na krožni in osnosimetrično obremenjeni ali prav tako deformirani konturi opisan z eno samo enačbo. S tem lahko rešitev diferencialne enačbe četrtega reda s štirimi integracijskimi konstantami prilagodimo po dvema robnima pogojema na vsaki od dveh krožnih kontur. Dva primera radialno po zunanjem robu obremenjene krožne stene z odprtino pri spremenljivi debelini je rešil EG-GrER leta 1941, .prav tako steno, obremenjeno s strižnimi obremenitvami, pa FEDERHOFER leta 1943. Eggerjeva rešitev se je nanašala na steno s prostim notranjim robom, zunanji rob pa je bil prosto položen ali pa vpet, Federhoferjeva stena je imela obe konturi vpeti. Istega leta je izšla tudi razprava WILLERSa; ta je rešila sta-bilitetni problem prav take stene, ki je obremenjena poleg radialne tlačne obremenitve na zunanjem robu še z upogibnim momentom v ravnini stene. Zaradi matematičnih težav je bil problem rešen z diferenčno metodo. Popolnejšo rešitev stabilitete okrogle stene z odprtino, ki je obremenjena z enako veliko radialno tlačno obremenitvijo na obeh robovih, je objavil leta 1947 SCHUBERT. V njegovih rešitvah je zapopadeno šest različnih kombinacij robnih pogojev, manjkata pa primera s popolnoma prostim notranjim robom pri vpetem in prosto položenem zunanjem robu. PFLUG-ER v svoji knjigi /l/ omenja tudi delo japonskega znanstvenika YAMAKIja, ki naj bi izšlo »leta 1959. Po sliki 80 priloge omenjene knjige lahko sodimo, da obravnava to zadnje delo neosnosimetrični primer izbočenja krožne stene z odprtino, ki je na zunanjem robu prosta, znotraj pa prosto položena ter obremenjena z enako veliko radialno obremenitvijo na obeh robovih. Sama razprava nam zaenkrat še ni dostopna. Vsi navedeni avtorji, ki so se ukvarjali s temi problemi, so pri nastavljanju enačb uporabili vse tiste poenostavljajoče su-pozicije teorije plošč in teorije stabilnosti, ki so ravno še zadostne, da se dobijo uporabni rezultati. Osnova vseh računov je torej KIRCHHOFFova teorija, ki daje zadosti točne rezultate samo pri tenkih stenah. Pri vseh stabilitetnih problemih pa imamo tako opravka, samo s takimi stenami, saj pride pri debelih prej do plastifikacije kot pa do izbočenja. Da ne dobimo samo enoličnih pomikov, da torej sploh lahko dobimo stabilitetni problem, moramo nastaviti ravnotežne enačbe seveda na deformiranem telesu in s tem zajeti še vpliv deformacij na napetostno stanje. To je tudi edina razlika med teorijo II. reda in pa teorijo I. reda, ki ta vpliv zanemarja. S tem, da zanemarimo deformacije same srednje ravnine stene (v lastni ravnini) in pa da računamo po teoriji II. reda, dobimo Še vedno linearne diferencialne enačbe. Ker predpostavljajo zgornje supozicije tudi teorijo majhnih pomikov, dobimo iz nje lahko samo velikost kritične obremenitve, ne moremo pa kvantitativno določiti pomikov. Zgornji kratki zgodovinski pregled dokazuje, da stabilitetni problem stene, ki je omejena z več kakor eno samo zaključeno konturo, v splošnem sploh še ni obdelan. Še več, niti problem krožne stene s krožno odprtino še ni dokončno rešen. Poleg obeh primerov, ki jih Schubertova rešitev ne vsebuje, manjkajo še primeri za drugačne robne pogoje iz Meissnerjeve rešitve, manjkajo primeri obremenjenega samo notranjega roba, in končno manjkajo vsi primeri kombinacije poljubnih zunanjih in notranjih obremenitev. Cilj te razprave naj bo razjasnitev zgornjih vprašanj. 2. NASTAVITEV S T A B I L I T E T N E G A KRITERIJ. A ZA OSNO SIMETRIČNI PRIMER KROŽNE STENE S CENTRIČNO KROŽNO ODPRT IN O Znano je, da imamo za računanje stabilitetnih problemov na razpolago dve metodi, in sicer ravnotežno in energijsko. Druga metoda je splošnejša in bolj vsestransko uporabna glede na to, da omogoča poleg eksaktnega reševanja še aplikacijo približnih metod, ki izhajajo iz nje. Brez posebnih težav lahko iz energijskih enačb izpeljemo tudi diferencialne enačbe, ki bi jih dobili s pomočjo ravnotežne metode, medtem ko obratna pot ni možna. 2.1. Energijska, metoda in Trefftzov stabilitetni kriterij •Celotni elastični potencial poljubnega elastičnega telesa lahko pišemo, kot vsoto potenciala notranjih in potenciala zunanjih sil. Drugi sumand je možen seveda samo pri takih sistemih, pri katerih je delo zunanjih sil odvisno samo od začetnega in končnega stanja. Zato se bomo pri izvajanjih omejili na konzervativne sisteme. U ='U + U n z Kot potrebni in zadostni pogoj za ravnotežje lahko uporabimo znani princip virtualnih pomikov, ki pravi, da bo sistem v ravnotežju takrat, ko je pri variaciji deformacijskega stanja vsota virtualnega dela zunanjih in notranjih sil nična. Če sta obe deli izraženi s potencialom, bo torej bo končno Deformaciji 6 in t^ pri osni simetriji seveda tudi nista odvisni ody>. Zato preide izraz za celotni elastični potencial v /US = Jj^ + + V * dr ( = i k(p h+ R) (-p ^+ R)J r { r [p (l+p) R (l-r)J ... (2,14) Odtod pa dobimo z integriranjem » = f-[-P (1+fO | + R r (l-f)] ... (2,15) 2.3.1. Prehod k brezdimenzijski koordinati Iz izrazov za napetosti sledi, da ostane napetostno stanje enako, ne glede na velikost stene, če sta le obe obremenitvi enaki pri enakem razmerju Jf- . Iz tega se takoj vidi, da se brez dvoma splača zamenjati koordinato r z neko brezdimenzijsko koordinato in si s tem olajšati primerjanje različnih dobljenih rezultatov. Ta brezdimenzijska koordinata, označimo jo z x, naj bo definirana z r = x.b r x = t Ker je po tej definiciji a = x .b : a b = x, .b d a ^ xa = b = r si. 1 mora ležati koordinata x v območju f x ^ 1 V tem primeru se spremeni izraz parametrov P in R v (2.13) in bosta oba parametra zdaj P _ f d-f) R = rt -1 ... (2.16) Prva enačba bi se sicer morala glasiti vendar se nam v obeh enačbah za napetosti (2.12) krajša b z enako veličino, ki jo dobimo pri prehodu k brezdimenzijski koordinati v imenovalcu l/r2 = l/x2b2. Uvedba nove spremenljivke x v izraz za elastični potencial nam s pomočjo posrednih odvodov 2 2 du _ 1 du # dz 1 dz d z _ d z dr ~ b dx 5 dr" b dx 5 , 2 = . 2 . 2 dr d dx spremeni enačbo (2.9) v ^ =2 wl 1 +ru) 7 z'2+ D(xb 7 z"2+ is 7 s' 2+ r 2riz.i_z»)j „ ax oziroma v 4 + r t'(xz"+^z') -f tj-xzw - z" + Z^(1+0C2P) + Jt fxz" + 2z"' - z"[J(l+«2P) + "2RxJ + ,'fL (i+c?P) - dx = 0 ... (2.22) - *2«Jj Obe meji vseh treh členov zgornje enačbe pomenita s x = ^ ... notranji rob x = 1 ... zunanji rob. 2.4. Robni pogoji V prejšnjem poglavju smo omenili, da predstavlja funkcija t(x) virtualni pomik in mora torej zadoščati geometrijskim robnim pogojem. Za vsak rob pa' imamo tri mejne možnosti, in.sicer je rob lahko popolnoma prost, prosto položen ali pa vpet. a) Prosti rob s Za funkcijo t(x) ni pogojev. Da zadostimo enačbi (2.22), morajo biti zato vsi trije oklepaji nični. b) Prosto položeni rob s Punkcija t(x) = 0. Prvi in tretji oklepaj enačbe (2.22) morata biti nična. c) Vpeti rob j Punkcija t(x) =0 in njen prvi odvod t' (x) = 0. Enačba (2.22) zahteva torej, da bo tretji oklepaj ničen. Vsem trem primerom je skupen pogoj, da mora biti tretji oklepaj pogojne enačbe ničen. Če tako dobljeno enačbo pomnožimo že z x3, dobimo diferencialno enačbo četrtega reda xV + 2xV - x2z" (1+P*2+Roc2x2) + xz^l+P7 -1 y- ■r- kjer pomeni W Wronskijevo determinanto obeh znanih rešitev yl in y2 W = yl y2 Tako pridemo končno do enostavnejšega izraza za tretjo rešitev y3 y2 m e"/adx d* - yi [ % e"/adx dx ... (3.6) J ^ J vr Rezultat (3.6)-predstavija skupaj z dvema znanima rešitvama 7i = Jn(Ax) y2 = J-n(Ax) ali y2 = VAx) splošno rešitev diferencialne enačbe (3-5). S to enačbo pa je diferencialna enačba našega problema (3.2) vezana s pomočjo relacije y = z' . Zato sta dve rešitvi enačbe (3.2) podani z z1 = jJn(Ax) dx = /,>) dx ali z2 = |Nn(Ax) dx Z2 Četrta rešitev je tako konstanta, kot je bilo ugotovljeno že v poglavju 3.1. z4 = k Tretja rešitev pa sledi iz (3.6). Ker pomeni a(x) v začetni enačbi (b) funkcijo ob y" takrat, ko je člen ybrez koeficienta, moramo tudi enačbo (3.5) deliti z V našem primeru je torej a(x) = ^ x S tem bo -/adx -1^-21nx 1 e = e J x = e = — Wronskijeva determinanta-"bo v primeru, da n ni celo Število m W -= J (Ax).j'(Ax) - J' (Ax). J (Ax) = - sln. n7r n -n n -n n A x Za n, ki je celo število pa W = J CAx).N'(Ax) - j'(Ax).N (Ax) = 2 n n • n n /TAx V obeh primerih lahko torej pišemo C n C 2 _ _o # _ o x ' 2 x 2 1 -/adx _ x_ 1__1__ w2 6 =c2x2=C2 o o S tem bo končni rezultat za tretjo rešitev Z3 = y/'Jn(Ax) /J_n^x)dx + J_n^x) J Jn(Ax)dxj dx V primeru, če je n celo število, moramo v zgornjem izrazu Besselovo funkcijo J (Ax) zamenjati z Neumanovo funkcijo N (Ax). rn n V splošnem n brez dvoma ni celo število. Zato se splošna rešitev diferencialne enačbe (3.2) pojavi v obliki z = A J Jn(Ax)dx + 3 J J_nUx)dx + c|/-Jn(Ax)/ J ) j Jn(Ax)dxj dx + D ... (3.7) Te rešitve v splošnem ni mogoče napisati v zaključeni obliki, pač pa lahko posamezne rešitve izrazimo s pomočjo neskončnih vrst, ki slede.iz integralnih formul Besselovih funkcij /"4J. o* ZI = /Jn(*x)dx = f L Jn+2k-l. 0x) J k=l z2 " /J-n(Ax)dx = J £ J-l+2k-l (',x) (3-8) ^ k=l z3 = l,z2 + Z1,ZP dx Če konstanto pred znakom sumacije v zgornjih izrazih izpustimo, ker jo tako lahko združimo z integracijskimi konstantami, lahko obe prvi rešitvi pišemo Še nekoliko drugače m Z1 = £Jn+2k-l (Ax) + /Jn+2m (Ax) ; Z1 = Jn^x) k=l m z 2 - IZ-n^k-l + / J-n+2m ' z2 = Ta dva izraza vstavimo v izraz za z^ in dobimo Z3 = //J-n J + m m + //J-n°x) 4Jn+2k-l " Jn^x) ŽJ-n+2k-l(Ax)Jdx Prvi integral limitira k nič, ko gre m proti neskončnosti. Ta integral predstavlja pravzaprav .ostanek vrste, ko smo neskončno vrsto po k prekinili pri k = m. Če gre torej m-»<» , ostane samo še Z3 = Ž //J-Jn+2k-l(^x) - Jn^x> Jn+2k-l(^x)] dx . Ta izraz se da še spremeniti v [5] z =7 (_i)k_1 -—-- 3 • k=l k(l2-n2) (32-n2)...[(2k-l) 2-n2j ... Splošna rešitev diferencialne enačbe (3.2) v primeru, da n ni celo Število, je torej co z CO a 7 J 01 + B 7 J „ . Ux) f—„ n+2k-l f—; -n+2k-l k=l k=l + C f (-l)*"1 --^^- + D fcl k(l2-n2)(32-n2)... [(2k-l)2-n2J... ... (3.9) V primeru, ko n je celo število, lahko iz enačb (3.8) dobimo rešitve 00 !1= /Jn(Ax)dx = f£ Jn+2k+lWx> . k=0 Z2 - I N (Ax)dx = f 7" N ■ _ Mx) In A f—L n+2k+l ... (3.9a) ij = z^z2+ z^z^)dx = n(Ax) / Jn(^x)dx " - Jn(Ax) jf Nn(^x) dxj dx V posebnih primeri-h, če je n celo liho število, torej za n = 2m-l, pa se pojavijo rešitve v zaključeni obliki in sicer so izražene s končnimi vrstami. • " m-1 zx = Jo(^x) + 2 £ J2k(Ax) m-1 z2. = No(Ax) + 2 21 N2k(Ax) k=l • m-1 ' ••• Z3 = J {[Jo} dX JCončno lahko izdvojimo še prav posebni primer, ko je n = 1. Prvi dve rešitvi se poenostavita v (če opustimo pisanje konstant -1/^) ^ = /jl(Jlx) dx = Jq(Ax) = Jni(^x) dx = Uo(Ax) Z2 Tretja rešitev pa postane Z3 » /faM *>x) - Nq(/*x) J^M*)] dx = dx = dx z^ = ln (x) Splošna rešitev za primer n = 1 bo torej z = A Jq(Ax) + B Nq(Ax) + C ln (x) + B ! ... (3.1l) Vse v tem poglavju dobljene rešitve predstavljajo rešitve diferencialne enačbe (3.2), ki je dobljena s predpostavko, da je stena obremenjena na zunanjem in notranjem robu s tlačnima obre menitvama p in p (2.10), Zato mora biti tudi vrednost oc v izrazu (2.20^ vedno pozitivna. V nasprotnem primeru bi bilo glede na izraz (2.20) kar pa je v nasprotju ž začetno predpostavko. Sprememba predzna ka pri ol2 nam torej nakazuje prehod iz zunanje tlačne obremenitve v natezno. Smer obremenitve na notranjem robu p pa je odvisna od predznaka pri razmerju f . Dokler je p pozitivno, je tudi notranja obremenitev nasprotno usmerjena zunanji, če pa je p negativno, imata obe obremenitvi isto smer. Če napišemo obe enačbi (3.1) nekoliko drugače N = p h < 0 r 17 1 -f 1 -f 1-f' . . . (3.12) (3,13) torej 2 kjer pomeni vidimo, da predstavljata oba izraza (3.12) in (3.13) enačbi dveh premic z enakim smernim koeficientom m. Predznak smernega koeficienta pa je v enačbi (3.12) odvisen od predznaka pri koeficientu p , v enačbi (3.13) pa od predznaka pri p. Iz izrazov (2,16) sledi, da se bg predznak p spremenil pri f> = 1, predznak R pa pri p •= l/f ' Da si ustvarimo jasno razmejitev vseh možnih primerov, si oglej-* mo še enkrat enačbo (2.23) xV + 2xV' - x2z"(l+P*2+ r*2x2) + xz' (l+p*2- ra2) = 0 ki jo z zamenjavama »2 2 ^ a = « r p P ... (3.14) n = 1 + a P lahko pretvorimo tudi v obliko 4 'K ^ 3 2 «/ »2 2 2 \ //.2 2 2 v ^ \ x z + 2x z — x z ( A x + n ) - xz (A x - n ) = 0 ... (3.15) Podobno, kot smo dokazali v poglavju 3.2, da predstavlja enačba ' (3.2) diferencialno enačbo Besselovega tipa, ki ima za rešitve Besselove funkcije z realnim argumentom, lahko z enostavno zamenjavo v enačbi (3.4)/3 = -A2 dokažemo, da predstavlja enačba (3.15) tudi Besselovo diferencialno enačbo, ki pa ima rešitve v obliki Besselovih funkcij s čisto imaginarnim argumentom In(^x) ali Kn(Ax). Glede na to, da so vse funkcije I in K vedno samo monotono naraščajoče ali monotono pojemajoče in ?ma-jo samo eno ali' pa nobene ničle, te funkcije tudi ne morejo predstavljati rešitve stabilitetnega problema. Do podobnega zaključka pridemo lahko tudi z neposrednim opazovanjem izraza za A2 v (3.1) ali (3.14). Pri vnaprej podanem obremenitvenem primeru, to je pri podanih razmerjih f in , ima r enolično določen predznak, ofi pa mora biti pozitivno števi<-16. Če sedaj A2 spremeni predznak, pomeni to, da postane negativno in torej ne more predstavljati realne rešitve zastavljenega problema. Iz vsega povedanega sledi, da lahko pričakujemo realne rešitve vseh problemov, pri katerih je zunanja kontura obremenjena na tlak, samo v tistih primerih, ki so podani z diferencialno enačbo (3.2), in še to samo v območjih, ko je R < 0, to pa je pri f <1/^2. Zunanja in notranja natezna obremenitev nas pripelje do podobnih rezultatov. V tem primeru moramo v izrazih za napetosti (2.10) spremeniti predznak pri pz, oziroma, kar je isto, spremeniti predznak pri o<2 v enačbi (2.23). Na ta način lahko to enačbo z zamenjavama A2 = «2 R 2 2 n = 1 - a P ... (3.16) v katerih pomenita P in R vrednosti po (2.16), pripeljemo do Besselove diferencialne enačbe; ki ima rešitve z realnim argumentom, ali pa z zamenjavama = - c? R 2 2 n = 1 - oT P ... (3.17) do rešitev z imaginarnim argumentom. Z enakim sklepanjem kot zgoraj lahko torej rečemo, da dobimo realne rešitve problemov, pri katerih je zunanja kontura obremenjena na nateg, samo v primerih, ko je R > 0, to pa je pri f > t sliki Št. 2 so zajeti vsi možni primeri in prikazani grafično. Območja, ki označujejo imaginarne rešitve, so tista, v katerih do izbočenja stene sploh ne more priti. Fizikalno si to lahko razlagamo s tem, da v vseh takih obremenitvenih primerih relativno velike natezne normalne napetosti v cirkularni smeri, ki delujejo stabilizacijsko, prevladajo. Z matematičnega stališča predstavljajo enačbe (3.1) in njim podobne ostale enačbe za A 2 in.n2 sisteme enačb s tremi neznankami, in sicer so to A2, • rfi- in Tretjo enačbo pa predstavna robnim pogojem prilagojena rešitev enačbe (3.2). Iz si, 2 lahko izluščimo karakteristične primere, ki ustrezajo posebnim vrednostim f in f. Ti primeri, ki so v nadaljevanju razprave obširneje obdelani, so : = 0 (polna stena) f =± 1 (znotraj in zunaj enaka obremenitev) f = 0 (obremenitev samo zunaj) i = 0 (obremenitev samo znotraj) st.2 4, HOMOGENO NAPETOSTNO S T A-N J E 4.1. Polna krožna stena, obremenjena z radialno tlačno osnosimetrič-no obremenitvijo Polna krožna- stena je pod vplivom radialne osnosimetrične obremenitve v homogenem napetostnem stanju. Obe napetosti (J"r in GT^ sta po vsej steni enaki in odvisni samo od zunanje obremenitve. Ker je notranji premer a = 0,. bo po (2.11) r-f-o ter obe konstanti (2.16) P = 0 ; R = -1 in s tem obe napetosti (2.10) Gp = -p ; -p Glede na to, da sta oba koeficienta po izrazih (3.1) A2 = <*2 ; n2 = 1 Je podana rešitev z enačbo (3.11) z = A JQ(<*x) + B NQ(ax) + C ln(x) + D ... (4.1) Pogojno enačbo za prečno silo (2.25) lahko s pomočjo izrazov (3.1) napišemo enostavneje xz"' + z" + z' (0t2x - i) = 0 ... (4.2) si. 3 Za na zunanjem robu vpeto ali pa prosto položeno steno lahko zaradi osne simetrije napišemo dva skupna robna pogoja za srednjo točko stene, torej pri x - 0 ( r= 0) z' = 0 + z" + Z( oČ~X - i) = 0 n/ xz Če odvode funkcije (4.1) (zaradi krajše pisave opustimo pisanje argumentov pri Besselovih funkcijah) ■ ' = oc(_A J^ BN1+ C —) z" = J1- V + V V - c ~T2 J •■••■ « x z"' = a?I A I J., (1- lAlJl(1~ J"2} + h JoJ+ BK(1" -fz> + k NoJ + ° 3 3 * * x cc x oc xJ vstavimo v drugi pogoj, dobimo oc2 / A (f- - f-) J + B (j— - j—) N -f G = 0 . i <*x *x 1 #x *x 1 iz česar sledi 0 = 0 4 Isti rezultat sledi tudi že iz same funkcije (4.1), ker doseže ln( x) pri x = 0 neskončno vrednost in mora biti konstanta ob njem nična. Iz prvega robnega pogoja z' = o([-A J (0) - B N (0)J = 0 pa sledi, da je tudi B = 0, ker je J, (0) = 0 in N (0) = Tudi tretji' robni pogoj z = 0 pri x = 1 (r = b) je skupen za vpeto in prosto položeno steno AJ (<*) + D = 0 o d - _a j (oc) o Zadnji robni pogoj pri vpetem robu z' = -A J-^*) = 0 nam da znano rešitev *= 3,8317 Nk=14,68 5- Prav tako zahteva četrti robni pogoj pri prosto položenem robu rir " I r\ m^ = xz +|wz =0 A *2 [« " Jo(°°] + luoC["A V^J = 0 *JQ(*) = (l-f) J-J") Ta enačba pa nam da pri ^u = 0,3 znano kritično obremenitev Nk = 4'2 ^ Končni izraz za pomik je z = A JQ(otx) + D = A - Glede na nedoločeno veli-kost konstante A je tudi pomik kvantitativno nedoločen. . V primeru nate z ne obremenitve moramo v označbah za G in G^ po (2.10) spremeniti predznaka pri P in R. Zato bo zSaj "p = 0 ; B = +1 Obe napetosti sta enaki in natezni • 6r = P ; Gf = P in zaradi tega tudi ne moremo pričakovati, da do nestabilnosti sploh lahko pride. 4.2. K r o ž na stena s centrično krožno odprtino, kije obremenj en a na obeh robovih z enako veliko radialno tlačno obremenitvijo V primeru, da je krožna stena s centrično krožno odprtino obremenjena na zunanjem in notranjem robu z enako, veliko enakomerno razporejeno tlačno obremenitvijo, imamo spet opravka s homogenim napetostnim stanjem. ) = p = p n *z * f « 21« 1 r pz Obe konstanti (2.16) sta tudi v tem primeru P = 0 ; R = -1 in sta obe napetosti (2.10) - B V«/-) + C o Stabilitetni pogoj sledi iz determinante zgornjega sistema homogenih enaSh V*) «JoC - J0(*) lnt ^ [°tJo(*)-(i-f )J1(*)] H0(-/V - M0(«) i i = o Če označimo še kombinacije Besselovih funkcij v posameznih členih s šestimi novimi funkcijami - v*) mr n Y* = p(V) - NQ(*) inf ... (4.4) lahko stabilitetni pogoj napišemo z njihovo pomočjo tudi krajše. Na podoben način lahko izrazimo tudi primere I, II in III prve skupine. Iz vseh determinant se dajo izluščiti iste funkcije (4.4) in z njimi napisati naslednji stabilitetni pogoji : II III 1 ets^) atW1(ot) -1 = 0 -1 Vo^/) 1 «N (*) -1 = 0 1 Cj>o(«f) 1 -1 = 0 1 1 1 = 0 1 Druga skupina, ki jo sestavljajo štirje primeri, pri katerih je en rob vedno prost, ima to skupno značilnost, da v vseh njenih primerih odpade tretji člen v rešitvi (4.1). Če vstavimo namreč odvode (4.3) rešitve v pogojno enačbo za prosti rob (4.2), dobimo enak rezultat kot v poglavju 4.1, torej G = 0 Kot primer za računanje stabilitete druge skupine vzemimo primer VII, to je steno, ki ima zunanji rob vpet, notranji pa prost. a) Zunanji rob (x = l) z = A J (ol) + B N (ot) + D = 0 o o \ = A Z4 (<*) + B Nf(oc) = o b) Notranji rob (x = p) \ xz" = ^(a[Jjr J 1(o/) - J0(^)j+ Bfjjr N^*/)- No(y)]J + («*[-A J1(«y) - B N1(^)J = 0 ' S pomočjo izrazov (4.4) lahko zdaj napišemo stabilitetni pogoj z determinanto zgornjega sistema. J0M Ji(o° *0M V*) 1 o o = o Z razvijanjem po zadnjem stolpcu lahko zgornji izraz še poenostavimo. Na podoben način izrazimo lahko tudi še primere V, VI in VIII. V Y1w V*/) = 0 VI VII VIII Primerjava pogojne enačbe VIII in VI pokaže, da sta obe enačbi enaki. To pomeni, da rešitev do zdaj še nerešenega problema VIII sovpada z že znano Schubertovo rešitvijo VI, kar tudi fizikalno gledano ne preseneča. Bolj presenetljivo je dejstvo, da oba Še*nerešena primera VII in VIII spadata v lažje rešljivo 'Irugo skupino, ki ima splošno rešitev brez logaritmičnega člena. V nadaljevanju sta izračunani in tabelarično podani obe funkciji (pAx) in po (4.4), ki ju rabimo za računanje primera VII ot upoštevanem Poišsonovem številu ac= 0,3. X x X 0 1 0 0648 4 3686 4 0 -1 5422 -0 3461 7 9 1 3823 1 7585 0 2 0 1283 2 1106 4 1 -1 5214 -0 4992 8 0 1 2182 1 8987 0 3 0 1895 1 3630 4 2 -1 4847 -0 6516 " 8 1 1 0214 2 0218 0 4 0 2470 1 0043 4 3 -1 4320 -0 8012 8 2 0 8214 2 1259 0 5 0 2996 0 8072 4 4 -1 3642 -0 9467 8 3 . 0 6122 2. 2103 0 6 0 3465 0 6966 4 5 -1 2805 -1 0868 8 4 0 3917 2 2735 0 7 0 3865 0 6384 4 6 -1 1824 -1 2197 8 5 0 1650 2 3150 0 8 0 4189 0 6151 4 7 -1 0703 -1 3433 8 6 -0 0654 2 3341 0 9 0 4426 0 6162 4 8 -0 9450 -1 4566 8 7 -0 2975 2 3294 1 0 0 4571 ■ 0 6351 4 9 -0 8072 -1 5581 8 8 -0 5298 2 3018 1 1 0 4619 0 6671 5 0 -0 6587 -1 6460 8 9 -0 7603 2 2509 1 2 0 4565 0 7085 5 1 -0 4999 -1 7197 9 0 -0 9844 2 1761 l 3 0 4407 0 7564 5 2 -0 3333 -1 7782 9 1 -1 2019 2 0793 1 4 0 4143 0 8084 5 3 -0 1595 -1 8194 9 2 -1 4098 1 9610 1 5 0 3773 0 8622 5 4 0 0192 -1 8441 9 3 -1 6070 1 8216 1 6 0 3297 0 9160 5 5 0 2016 -1 8506 9 4 -1 7890 1 6616 \ 7 0 2721 0 9677 5 6 0 3852 -1 8385 9 5 -1 9550 1 4842 1 8 0 2049 1 0159 5 7 0 5683 -1 8086 9 6 -2 1040 1 2899 1 9 0 1289 1 0590 5 8 0 7496 -1 7592 9 7 -2 2331 1 0805 2 0 0 0441 1 0957 5 9 0 9264 -1 6923 9 8 -2 3415 0 8576 2 1 -0 0479 1 1246 6 0 1 0973 -1 6067 9 9 -2 4268 0 6247 2 2 -0 1463 1 1447 6 1 1 2607 -1 5035 10 0 -2 4894 0 3824 2 3 -0 2503 1 1550 6 2 1 4136 -1 3838 10 1 -2 5278 0 1345 2 4 -0 3581 1 1546 6 3 1 5556 -1 2486 10 2 -2 5413 -0 1180 2 5 -0 4690 1 1431 6 4 1 6842 -1 0976 10 3 -2 5294 -0 3459 2 6 -0 5812 1 1195 6 5 1 7983 -0 9336 10 4 -2 4925 -0 6236 2 7 -0 6936 1 0840 6 6 1 8959 -0 7583 10 5 -2 4291 -0 8273 2 8 -0 8048 1 0361 6 7 1 9769 -0 5724 10 6 -2 3417 -1 1148 2 9 -0 9132 0 9758 6 8 2 0387 -0 3774 10 7 -2 2298 -1 3485 3 0 -1 0717 0 9034 6 9 2 0813 -0 1764 10 8 -2 0950 -1 5702 3 1 -1 1161 0 8189 7 0 2 1040 0 0306 10 9 -1 9381 -1 7793 3 2 -1 2075 0 7232 7 1 2 1060 0 2395 11 0 -1 7594 -1 9714 3 3 -1 2907 0 6165 7 2 2 0867 0 4495 11 1 -1 5622 -2 1469 3 4 -1 3641 0 4999 7 3 2 0460 0 6577 11 2 -1 3469 -2 3012 3 5 -1 4265 0 3744 7 4 i 9849 0 8623 11 3 -1 1167 -2 4349 3 6 -1 4773 0 2410 7 5 1 9026 1 0611 11 4 -0 8725 -2 5451 3 7 -1 5147 0 1009 7 6 1 8007 1 2522 11 5 -0 6187 -2 6303 3 8 -1 5388 -0 0448 7 7 1 6795 1 4337 11 6 -0 3550 -2 6912 3 9 -1 5480 ~0 1942 7 ,8 > 1 ►5391 1 1 »6029 ,11 7 -0 0859 -2 7247 x f1(x) x x 11,8 0,1626 -2,7317 13,1 2,8232 -0,5947 14,4 1,4041 2,6795 11,9 0,4578 -2,7103 13,2 2,8794 -0,3119 14,5 1,1334 2,8160 12,0 0,7288 -2,6624 ■13,3 2,9070 -0,0249 14,6 0,8616 2,9249 12,1 0,9944 -2,5875 13,-4 .2,9056 0,2662 14,7 ' 0,5567 3,0053 12,2 i,2520 -2,4863 13,-5 2,8759 0,5561 14,8 0,2565 3,0570 12,3 1,4988 -2,3595 13,6 2,8161 0,8422 14,9 -0,0495 3,0765 12,4 1,7335 -2,2079 13,7 2,7285 1,1228 15,0 -0,3566 3,0677 12,5 1,9521 -2,0323 13,8 2,6125 1,3938 15,1 -0,6634 3,0258 12,6 2,1528 -1,8360 '13,9 2,4705 1,6535 15,2 -0,9637 2,9548 12,7 2,3343 -1,6188 14,0 2,3020 1,8974 15,3 -1,2576 2,8541 12,8 2,4933 -1,3819 14,1 2,1095 "2,1241 15,4 -1,5401 2,7235 12,9 2,6284 -1,1338 14,2 1,8941 2,3316 15,5 -1,8096 2,5639 13,0 2,7389 -0,8695 14,3 1,6581 2,5183 Grafična predstava o"beh funkcij je na si. 5. Pri poljubnem razmerju polmerov f* lahko s pomočjo zgornje tabele in tabel [4] izračunamo koren t y / m ■ / / / / y / S / It // y / /V* / / /j (/ X' // v vtl ,i* ,_m vi. v 3,?D 44 46 47 48 Q9 4 r s/. 6 5. SAMO NA ENEM R O B U O B*R E M EN J E N A S T E N. A ' 5,1, Z u'n a n j i rob obremenjen na tlak Napetostno stanje krožne stene z odprtino, ki je obremenjena samo na zunanjem robu z enakomerno porazdeljeno tlačno obremenitvijo p . = p- ni več homogeno, z Zaradi pn = 0 bo j> = 0 in p . -£-i-/ sl. 7 R = - 1- Obe napetosti sta zdaj K2 G = -E— (£- - i) r .22 ' x 1- y x Oba koeficienta po (3,l) sta 1- 2 , n = 1 + — 1- / ... (5.1) Splošno rešitev diferencialne enačbe (3.2) lahko napišemo po (3.8) in (3.9) 2k z = A [j Ux)dx■+ b/J x)dx + C ^ (-D1"1 + ^ y n j -n fe pk ... (5.2) V-zgornji enačbi pomeni Pk = k(l-n2)(32-n2)... f(2k-l)2-n2J ... (5.3) Za vstavljanje v robne pogoje rabimo še vse tri odvode, ki so z = A J (Ax) -h B J nHx) + C ("D1""1 2k A2kpx2k 1 n "n • k-1 Pk « + C 2 (-1)*"1 *2k"2 ... (5.4) k=l k z = A A2[-^(l+n) J^) - Jn_i((AX) + Jn_2(,x)j + ^ x ♦ B n-1) J_nOx) + ž^i , Wx) + J_n_2(^x)j l a x + c Ž. (-D*-1 2k(2k-i)(2k-2)A k=l Pk 2k 2k-3 x 5.1.1. Notranji rbb popolnoma prost V primeru krožne plošče z odprtino, ki je obremenjena samo na zunanjem robu, njen notranji rob pa je popolnoma prost, morata biti na notranjem robu izpolnjeni enačbi (2.24) in (2.25) oziroma (3.3). Če v enačbo (3.3) ■ 2 »' « »M2 2 2 N -xz + xz + z ( A x - n ) = 0 pri x = f (notranji rob) vstavimo zgoraj napisane odvode, dobimo enačbo A *?LfjS (l+n) *»(V> " T Jn-l(V) + ♦ oo + c 2 T (-l)k-l 2k(2k-l)(2k-2) / ® .k=l Pk +cJ (-l)k_1 2k(2k-l) A2k ^ + « k=l Fk O* + A A2^ Jn(^) + B J_n(Y> + C ^ (-l)1""1 k2k ,A2k-3 — + >k-l k=l "k - A n2 Jn(Ap - B n2 - C n2 £ (-1)*"1 2k ^ Z*"1 = 0 Po krajšanju vrste členov ostane v zgornji enačbi še A f"2n^Jn-l^ + 2YJn-l(A/) + Jn-2(V> + Čfrn^]* + B l2n"rJ-D-i(Ar) + 2*rJ-n-i(Ar)+*r j_n_2 + ♦ 20 2 (-l)k_1 ^2k-l)2- ^ ^ /2k_1 = 0 k=l k oziroma A^U-n) + + Jn(V)Jj + + Bf 2ij>(l+n) + J2/f J_n_2(V) + J.n(^)Ji + 20 1 (-l)*"1 (2k-D2- n2+ // ^k 2k-l = Q k=l k ' * S pomočjo znane rekureiične enačbe J (*)■+■ J , (x) = J (x) p—1 P+l X p lahko prevedemo zgornjo enačbo še v obliko t 2[2Afm - 2^m + + 2C 2 V-l)*"1 (2k-l)2^(m,l)2+ A2k 2k-l = Q k=l Pk # in tako zlahka dokažemo, da sta oba oglata oklepaja pri konstantah A in B nična. Ostane še zadnji Člen, ki pa ^e ničen pri poljubnih vrednostih A in ^ samo, če je G = 0 Poleg zgornjega robnega pogoja mora biti na notranjem robu izpolnjen tudi drugi pogoj (enačba 2.24). Za x = f velja torej // / ~ y z + ^iz =0 Ko vstavimo ustrezni vrednosti za oba odvoda, dobimo AArhf BAr[xf *_n * * + fA Jn(A^> + ^B* J,n(A/0 = 0 oziroma urejeno A/(rn) Jn(Y) + + B/^+n) + ^J-n-l(A/V = = 0 ... (5.5) V primeru vpetega zunanjega roba lahko napišemo robni pogoj tako, da mora biti pri x = 1 tangenta nespremenjena, torej z ' = 0. A Jn(A) + B J_nU) =0 ... (5.6) V primeru prosto položenega zunanjega roba pa zahtevamo, da bo na tem robu radialna komponenta momenta nična. Iz tega sledi enačbi (5.5) podobna enačba A I (jtc-n) Jn(A) +^JnJ1U)/ + B^+n) J_nW) + AJ.n_1(->)j = 0 ... (5.7) V obeh zgornjih primerih lahko napišemo Še pogoj, da mora biti na zunanjem robu pomik z = 0. a /jn(A0dx + b /j (Ax)ax + d = 0 ... (5.8) Iz pogoja, da mora biti nična determinanta sistema enačb (5.5), (5.6) in (5.8), dobimo stabilitetno determinanto za primer vpetega zunanjega roba J (<*) n J U) -n II^-H., 0 0 1 = o ter iz nje stabilitetno enačbo ki jo lahko napišemo tudi tako J-n(A) ~ (ft+n) J' S pomočjo znane formule x J (x) + n J (x) = x J _(x) n n n-1 = 0 preide zgornja enačba v _ ^ Jn W + J-n^ > ... (5.9) Na podoben način dobimo tudi iz enačb (5.5), (5.7) in (5.8) ----= --- ... (5.10) Pogojna enačba (5.9) popolnoma ustreza Meissnerjevi rešitvi za primer vpetega zunanjega roba, enačba (5.10) pa njegovi rešitvi za prosto položen zunanji rob. 5.1.2. Zunanji rob popolnoma prost Tudi v primeru krožne stene s centrično krožno odprtino, ki je obremenjena samo na zunanjem robu, podprta pa samo na notranjem, veljata oba prva robna pogoja iz prejšnjega poglavja s to razliko, da se nanašata zdaj na zunanji rob, to je na x = 1. Robni pogoj, ki zahteva, da mora biti na tem robu izpolnjena enačba (3.4), nam da v bistvu enako enačbo kot prej in s tem tudi C = 0 Drugi robni pogoj z enačbo (2.24) lahko v tem primeru dobimo neposredno iz enačbe (5.5) s tem, da namesto j* pišemo 1. S tem dobimo seveda prav enačbo (5.7). Vpeti notranji rob zahteva, da mora biti pri x = p tangenta horizontalna, torej z'= 0. A Jn(^/) + B J_n( 0,038 0,329 0,210 0,116 0,572 -1,151 0,117 0,230 ■0,9ll ■0,520 •4,392 6,231 1 0 1 0 = +0,9762 za A = 5 pa Det(5) = 0,031 0,329 0,150 -0,095 0,458 •1,151 0,028 0,180 -0,911 -0,650 -3,152 40,410 1 0 1 0 = -0,0281 Oba rezultata kažeta, da bo pogojni determinanti zadostila vrednost A ** 5* Z interpolacijo dobimo točnejšo vrednost A = 4,97 Iz Af = 1,12 sledi razmerje radijev f = 0,225 In končno po (5.15) še *2 = A2(l-/) = 24,7(1-0,051) = 23,4 Kritična obremenitev bo torej po (2.20) 5.2. Zunanji rob obremenjen na nate V primeru, da je stena obremenjena samo na zunanjem robu z nate zno obremenitvijo, dobimo njeno napetostno stanje s spremembo predznakov pri P in R iz prejšnjega poglavja. P = - —r ; R = -r ; f = 0 2 1 1- Obe napetosti sta zdaj 6 = (- + 1) r l-/2 x2 S . -J2- ( 4 + 1) i-r x 2 2 Glede na to, da je vedno pozitivno in manjše od 1, x pa leži med j.n if bosta obe napetosti vedno in v vsaki točki §tene pozitivni. Zato do izbočenja take stene ne more priti. 5.3. Notranji r o .b obremenjen na nateg Pri steni z odprtino, ki je obremenjena z natezno obremenitvijo samo na notranjem robu, je pz = 0 in l/f = 0. Zato postanejo do zdaj uporabljeni izrazi za P in R neuporabni. Računanje bo najenostavnejše, če nastavimo za ta primer posebej obe enačbi za napetosti (2.10) 2 2 2 d = a b P _ a p r ,22*2 ,2 2 b -a r b -a 2 2 2 Sa _ a b p _ a p t , 2 2 9 2 ,2 2 b -a r b -a si. 9 ,bita naslednjo obliko ki v brezdimenzijski koordinati do- r /P . 1 i^P /1 , \ r = 2 ' "2 " 2 = P 2 " 1-f 1-/ 1-f 5 - „ il-IL. 1« _ _ f ~ ' " 2 " 2 x z = -p (12+ x-r x oziroma z novima označbama p =-i- 1 .. (5.18) preideta v krajša izraza 5r = P (P1 h + V x = -1. Po (2.16) je Glede na vedno negativno vrednost R bo izraz za vedno pozitiven in predstavlja tak obremenitveni primer ne glede na velikost tudi vedno stabilitetni problem. Ker ostane tudi robni pogoj (3.3) nespremenjen, bo glede na poglavje 5.1.1 pri steni, ki ima en rob popolnoma prost, iz rešitve (5.2) izpadel tretji člen zaradi C = 0 Prav tako bo na prostem robu zaradi pogoja (2.24) pri x veljala pogojna enačba (5.5), pri x = 1 pa enačba (5.7). Tudi ostale pogojne enačbe (5.6), (5.8), (5.11) in (5.12) za vpeti rob lahko privzamemo iz poglavij 5.1.1 in 5.1.2. Iz vsega -cega sledi, da so tudi stabilitetne enačbe za različne robne pogoje že znane in navedene v omenjenih poglavjih. Načelno torej ni nikakršne razlike od že obravnavanih primerov, razen sa- mega računanja. Zaradi ... (6.2) n 2 1+ oc2 P = l + u ne moremo pri vnaprej izbranem n-u več tako enostavno izračunati argumenta ali ene ali druge strani pogojne enačbe v primeru, da je eden obeh robov prost. Ista argumenta rabimo seveda tudi za računanje pogojnih determinant pri ostalih robnih pogojih. Iz prve enačbe (6.2) lahko dobimo . •. (6.3) s tem izrazom pa preide druga enačba v 1+/ (6.4) iz tega pa . •. (6.5) Zadnji izraz lahko z okrajšavo. napišemo še enostavneje (6.6) t c r 0,1 1,23 12,3 -2,39 0,1375 1,24 9,0 -1,402 0,2 1,25 6,25 -1,162 0,216 1,253 5,8 -27,442 0,217 1,2536 5,777 0,22 1,254 5,7 +8,608 0,224 1,2544 5,6 +3,857 0,23 1,255 5,46 +2,717 0,25 1,26 5,05 +1,002 0,3 1,28 4,26 +0,387 0,38 1,31 3,45 +0,0017 1,32 3,3 -0,140 dz katere je razvidno, da je rešitev zgornje enačbe 0,38 c = 1,31 A = 3,45 Iz tega sledi po (6„3) = 3i452 IZO^S! 1+0,38 * = 8,9 Zgoraj navedena tabela nam tudi pokaže, da moramo biti pri računanju previdni. Prehitro sklepanje lahko pripelje do grobih napak. Če bi npr. v zgornjem računu predpostavili enkrat = 0,2, potem pa f = 0,3» bi nas oba rezultata za f , ki sta različnega predznaka, lahko zavedla do prenaglj enega sklepa, da leži rešitev med tema dvema vrednostima, in bi nas interpolacija pripeljala do napačnega rezultata. Obratnega primera obremenitve, torej primera, ko je stena na zunanjem robu obremenjena na nateg, na notranjem pa na tlak, glede na rezultate poglavja 3.3 sploh ni treba posebej obravna vati. Z gotovostjo lahko trdimo, da taka obremenitev sploh ne more pripeljati do nestabilnosti. 7. POSEBNI PRIMER f = 1 /J? Že si. 2 je dala slutiti, da "bo v primeru, ko je stena na zunanjem in notranjem ro"bu obremenjena tlačno, razmerje obeh obremenitev pa je f = l/jčf nastopil posebni primer. Oba izraza (2.16) sta zdaj P = -1 R = 0 in napetosti po (2.10) r 1 r = "pz ~ x p h v *z 2 x Obe napetosti sta si torej v vsaki točki stene enaki, vendar različnega predznaka. Enačba (2.23) preide v xV + 2xV - x2z" (X-«2) + xz' (l-«2) = 0 oziroma z n2 = 1 - oc2 ... (7.1) 4 ^ " 2 2 " 2 / , x^z + 2x z - n x z + n xz =0 ... (7.2) To je znana Eulerjeva diferencialna enačba, ki nam da z nastavkom z = xt karakteristično enačbo t(t-l)(t-2)(t-3) + 2t(t-l)(t-2) - n2t(t-l) + n2t = 0 s štirimi različnimi koreni t 2 2 t = 1+n , t. = 1-n Rešitev diferencialne enačbe (7.2") je torej A 2 -b z = A x + B x 1+n + C x 1-n + D (7.3) ... Kot vidimo, je rešitev sestavljena iz treh eksponentnih funkcij in konstante. Prav tako bodo tudi vsi odvodi, ki jih rabimo za nastavitev robnih pogojev, v obliki eksponentnih funkcij. Ker pa so te funkcije vedno samo monotono naraščajoče ali pojemajoče, pridemo tudi v tem obremenitvenem primeru do zaključka, da taka rešitev ne more predstavljati stabilitetnega problema. Do enakega zaključka pridemo tudi, če iz prve enačbe (3.1) izra zimo o12 fr-1 Ta vrednost pa raste čez vse meje, ko gre f> proti 8. S P I O S N I P R I M .E R V prejšnjih poglavjih so "bili delno samo načelno, delno pa tudi numerično obdelani posebni obremenitveni primeri. Skupna značilnost za vse pa je bila izhodiščna diferencialna enačba (3.2) ter obe enačbi za dinamične robne pogoje (2.24) in (3.3). V poglavju 3.3. je bila podana splošna rešitev osnovne diferencialne enačbe. Izkazalo se je, da je red Besselovih funkcij splošne rešitve popolnoma definiran samo v primerih homogenega napetostnega stanja. V vseh ostalih primerih pa se neznanka <*2 skriva tako v argumentu kot tudi v redu Besselovih funkcij. Ker so s tem funkcije same vnaprej neznane, tudi ni moč eksplicitno izrabiti neznanke in so zaradi tega vse pogojne stabilitetne enačbe visoko transcendentne. Kljub temu pa so relativno enostavno rešljivi tudi vsi splošni primeri sten, ki so na zunanjem obodu obremenjene tlačno in je razmerje obremenitev f < x_ 2 t in pa sten, ki so na zunanjem obodu obremenjene natezno pri 1 f > f Obremenitveni primeri, pri katerih razmerje obremenitev ne ustreza zgornjima pogojema, po izsledkih poglavja 3.3 s stališča stabilitete niso zanimivi. Za reševanje poljubnega primera imamo na razpolago v vseh primerih, ko za n ne vzamemo celega števila, splošno rešitev v obliki Oo z = A [ J (Ax)dx- + B / J (Ax)dx + C J T + "D J n J ~n fel k pri čemer je ,k-l _____(Ax)2k y = (-1)" " —--^^- k(l-n2)(32-n2)... [(2k-l)2-n2J V primeru, da je n celo liho število, lahko vzamemo rešitve v končni obliki (3.10), če pa je n celo sodo število, imamo na razpolago rešitve (3-9a). V vseh primerih je računski postopek v bistvu enak. Iz prvega izraza (3.1) 2 A2 = ot2 ... (8.1) 1-f izrazimo 2 i2 OL - A -T !-fr in ga vstavimo v drugo enačbo (3.1) ter dobimo n2 = 1 + A2/*2 ^ ' 1-f/2 Iz tega izraza pa izločimo A = £ ...(8.2) i kjer je - /n2-l) ^ c = l/(n -1) ... (8.3) Vedno moramo izbrati vnaprej red Besselove funkcije n in s tem to funkcijo tudi definirati. Pri podanem razmerju obremenitev ? si potem izberemo vrednost in po (8.3) izračunamo / . Tako dobimo še argument Besselovih funkcij. Pogojni enačbi ali pa pogojni determinanti zadostimo zdaj s spreminjanjem raz- merja p . "Na koncu. dobimo po (8.1) izbočitveni koeficient oc ter po (2,20) še kritično obremenitev. Iz zgornjega sledi, da na ta način dejansko sploh ne moremo izračunati konkretnega in Vnaprej podanega primera stene z odprtino. Pred koncem računanja namreč ne vemo, kateremu razmerju radijev naš predpostavljeni n ustreza. Zato je edina možnost,, in za prakso brez dvoma tudi najzanimivejša, da na opisani način za različna obremenitvena razmerja p izračunamo več vrednosti f in rezultate podamo tabelarično ali še boljše, v obliki diagramov tako, kot je to že storjeno za nekaj posebnih primerov v prejšnjih poglavjih. To delo bo seveda Še zelo obširno, ker je potrebno za vsak obremenitveni primer računati sedem različnih kombinacij robnih pogojev. Vseh možnih kombinacij je sicer osem, vendar rešitvi za prosto položeni notranji ali .pa zunanji rob sovpadata. Pri praktičnem reševanju je omembe vredno tudi dejstvo, da vsi robni primeri razpadejo v dve večji skupini, in sicer v skupino, pri kateri je eden obeh robov popolnoma prost, ter v drugo skupino, ki prostega roba sploh nima. Prva skupina je lažja za računanje, ker pri njej odpade tretji člen splošne rešitve, kot %smo to dokazali že v prejšnjih poglavjih. Red pogojne determinante se zato zniža in je računanje bistveno krajše. Zgled za reševanje splošnega obremenitvenega primera je izdelan že v poglavju 6., kjer je bilo predpostavljeno.razmerje obremenitev f = -1. 9. PRIBLIŽNA REŠITEV S-TABILITETE STENE -Z DIFERENČNO METODO Vsa dosedanja razprava* je temeljila na eksaktnem računskem postopku, Glede na dejstvo, da je tak postopek primeren le za računanje tabel in diagramov, pa se pri reševanju posameznega konkretnega primera še najhitreje pride do rezultata z eno od aproksimativnih metod. Iz več razlogov damo med različnimi približnimi metodami lahko prednost diferenčni metodi. Glavne prednosti diferenčne metode so : zelo enostavno nastavljanje dife-renčnih enačb v obliki matrik, ki so primerne za računanje tako z relaksacijsko metodo kot z digitalnim računalnikom, poljubna natančnost rezultatov, ki je odvisna samo od števila enačb, to je od velikosti mrežne razdalje, in pa dejstvo, da ima računski center pri IMFM že izdelan program za iskanje prve lastne vrednosti na elektronskem računalniku. V primeru osne simetrije, ki jo v tej razpravi predpostavljamo, pa je uporaba diferenčne metode še toliko prikladnejša, ker se splošni dvoosni problem zre-ducira^na enoosnega. Izhodišče za diferenčno metodo je spet osnovna diferencialna enačba (3.2) 4 ** 0 3 "' ,2 " / v2 2 2\ / / ,2 2 2> ^ x z + 2x z + x z (Ax-n) + xz(/Ax+n)=0 v kateri odvode zamenjamo z diferenčnimi količniki z. - z. _ / l+l l-l z z* - i 2h z. 2z. + z. . ^ 1+1 1 ... (9.1) h^ nt z. - 2z. _ + 2z. z. 0 1+2 l+l l-l 1-2 2h" « 4zi+l+ 6zi- 4zi-l+ Zi-2 zi ~ -74- in dobimo osnovno diferenčno enačbo za točko i z. 4s.' n + 6z.-4z. ,+z. . , z. 2z. n + 2z. ,-z. _ a 1+2 i+l i i-1 i-2 n 3: 1+2 l+l i-1 i-2 < —--4-- + 2xi -3- h4 2h ... (9.2) + x. 2 Zi+l"2Zi+Zi-l , ,2 2 2N Zi+1-Zi-1 / ,2 2 2 h2 f C. C. \ x~rx J. —jl f .c, C. C. \ _ ' (A x± -n ) + x± -—- ( A x± +n ) = 0 v kateri pomeni h ekvidistančno razdaljo med točkami. Prav tako pretvorimo tudi obe enačbi za dinamične robne pogoje (2.24) in (3.3) II i ^ xz + |kz =0 2 m » / / »2 2 2\ ~ x z +xz + z(Ax-n)=0 v diferenčni enačbi zi+i- 2V zi-i „ zi+i- zi-i n ___ - + r------=0 ... (9.3) h _ z, ~~2z. _ +2z. n-z. 0 z. _-2z.+z. _ 2 i+2 i+l i-1 1-2 i+l i i-l x -—-—-- + x ---2— + 2h h + '^h1"1 ^V-n2) =0 ••• (9-4) 9.1. Homogeno napetostno stanje V poglavju 4.2 smo dokazali, da se v primeru krožne stene z odprtino, ki je obremenjena na obeh robovih z enako veliko tlačno obremenitvijo, poenostavita oba izraza (3.1) in sta Zato se diferenčna. enačba (9.2) tudi poenostavi. To enačbo delimo Še z in pomnožimo z 2h ter dobimo 3 2 x. x. 2 ^3(zi+2-4zi+l+6zi-4zi-l+2i-2} + 2 ^(zi+2-2zi+l+2zi-l-zi-2) + 2 2.2 2 2, 2 x. » oCx-h oc x.h + 2 hi(zi+i-2Vzi-i)(~~2~_ + (zi+i-zi-i)(—F" +1) = 0 h h ... (9.5) ... (9.6) Zaradi krajše pisave zamenjamo še x. i h~ = y: 2 2 e f 6 h t j K l m C D E P G H I J K L x. 1 olo h|c\i 11 20 12 20 ii 20 14 20 15 20 16 20 17 20 18 20 19 20 yi 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 si. 11 Za vsako točko od C do L nastavimo diferenčno enačbo (9.7) in dobimo deset enačb z 14 neznankami. Iz po dveh robnih enačb za notranji in zunanji rob sledijo še štiri enačbe in je problem torej rešljiv. DiferenČna enačba za točko C bo npr. po (9.7) 1800A + (-7621+1900X)' B + (12040-4000X) C + (-8419+2100X) D + + 2200 E = 0 Podobne enačbe dobimo za vse ostale točke. Robni pogoj (9.8) za točko 0 197 B - 400 C + 203 D = 0 robni pogoj (9.9) pa -100 a + (221-100 X) B - 40 0 + (-181+100 X) D + 100 E = 0 Oba robna pogoja za točko /.M pa sta M = 0 * * N = L Zaradi- zadnjih dveh robnih pogojev imamo končno sistem dvanajstih linearnih homogenih enačb, iz katerih moramo izračunati najmanjšo lastno vrednost X, Za računanje na elektronskem računalniku je najprimernejše,' če vse te enačbe napišemo v obliki dveh matrik, od katerih vsebuje prva koeficiente ob funkcijskih vrednostih, ki ne vsebujejo X-a, druga pa tiste ob X-u. Če imenujemo torej prvo matriko A, drugo pa B, lahko determinanto sistema naših dvanajstih enačb pišemo kot Det = Det (A + XB) Na naslednjih straneh sta napisani obe matriki, s katerima je računalnik ZUSE - Z 23 izračunal prvo lastno vrednost v obliki | = 30,1607 S to vrednostjo pa sledi po enačbi (9.6) ot2 - 400 _ . > " ~ 30,1607 " 13,262 Za ocenitev natančnosti je bil ponovljen račun še z dvakrat gostejšo mrežo, torej z h = l/40. Rezultat tega računa je ot2 = 13,284 Primerjava teh dveh rezultatov kaže, da dvojno število točk po- pravi rezultat šele v drugi decimalki. Primerjava z v poglavju 4*2 izračunano točno vrednostjo oc = 3,64592 = 13,2933 pa kaže na to, da je že prva z di-ferenčno metodo izračunana vrednost brez dvorni dovolj natančna• V naslednji tabeli je prikazana primerjava eksaktno izračunanih vrednosti z vrednostmi <*2, izračunanimi;po diferenčni metodi. • 2 • točne vrednosti ol 2 približne vrednosti oc mrežna razdalja h 0,3 10,125 9,981 1/30 10,959 . 11,365 1/20 /« °*5 13,293 13,262 1/20 0,7 30,515 30,506 1/70 A B C D E F Gr H . I J K 1 0 197 -400 203 0 -100 221 -40 -181 100 1800 -7621 12040 -8419 2200 2420 -10187 16016 -11153 2904 3168 -13273 20784 -14423 3744 4056 -16927 26416 -18277 4732 5096 . -21197 32984 -22763 5880 6300 -26131 40560 -27929 7200 7680 -31777 49216 -33823 8704 ■ 9248 -38183 59024 -40493 10404 11016 -45397 70056 -47987 12996 -53467 96824 A B C D E F a H I J K L 0 0 0 0 0 0 -100 0 100 0 0 1900 -4000 2100 0 0 2541 -5324 2783 0 0 3312 -6912 3600 0 0 4225 -8788 4563 0 0 5292 -10976 5684 0 0 6525 -13500 6975 0 0 7936 -16384 8448 0 0 9537 -19652 10115 0 0 11340 -23328 11988 0 13357 -27436 9.2. Splošni primer V primeru poljubnega razmerja f lahko spet izhajamo iz splošne diferenčne enačbe (9.2), iz katere dobimo seveda nekoliko daljše končne enačbe za posamezne točke, kot pa v primeru homogenega napetostnega stanja, ker dasta oba oklepaja v tretjem in četrtem členu splošne enačbe malo bolj komplicirane izraze. Žal se nikakor ne moremo znebiti glavne in največje slabe lastnosti diferenčne metode, ki je v tem, da moramo za vsak nov primer ves sistem enačb nastavljati znova. Vedno pa se splača vse diferenčne enačbe prirediti tako, da koeficienti niso decimalna števila temveč cela, kot smo to storili že v prejšnjem primeru. Za zgled vzemimo tudi zdaj steno, obremenjeno na zunanjem in notranjem robu s tlačno obremenitvijo, ki pa na obeh robovih ni enako velika, temveč je na notranjem za 20 # večja od zunanje. Vzemimo torej f- l,2 = f Na zunanjem robu naj bo stena spet vpeta, na notranjem pa pro-" sta, razmerje radijev pa naj bo r= = § Obe vrednosti po (3.1) sta 4 25 1-f 1 - 4 1Q5 n2 . ! + Ziirll • = 1 + OL 2 25 (1-1,2) __4 25 = l-ot 2 4 Z uvedbo nove zamenjave zaradi krajše pisave ,2 />2 = ••• (9.12) lahko napišemo oba zgornja izraza krajše A2 = 101 y?2 ... (9.13) 2 2 n^ = 1 - 4 /T s še dvema okrajšavama x. i h = yi X = /fh2 ... (9.15) preide»osnovna diferenčna enačba (9.2) v enačbi (9.7) prejšnjega primera podobno diferenčno enačbo Zi-2(2yi~2yi) + zi.1(-8yi+202y^X + 4y2 - 101y2X - 2y. + + 3200y^X .+ 1600X - l) + zi(l2y^-404y?X + 4yj- 6400y±X) + + «i.1(-8yi+ 202y?X - 4y2 + 101y2X - 2j±+ 3200yiX - 1600X + l) + * zi+2(2yi + 2yi} = (9#16) Robni pogoj na notranjem robu po (9.3) ostane enak kot v prejšnjem primeru, ker v njem ne nastopata ne A2 ne ^2. Zi-1 (20yi" 3) " Wy±z±+ zi+1 (20y±+ 3) = 0 Drugi robni pogoj na istem robu pa-bo zi-2("yi) + Zi-l(2yi~ 101yi X + 2yi" 1600 X + 1} + + zi(-4yi) + zi+1(-2y2+ 101y2 X + 2y.+ 1600 X - l) + + Zi+2(yi) = ° Če vzamemo mrežno razdaljo spet h = l/20 in označimo posamezne točke po si. 12 A "F c i e i i F 6 M / 3 H L M * i C D E P a H I J K L M N xi 8 20 -1 20 10 20 11 20 12 20 li 20 14 20 15 20 16 20 17 20 18 20 19 20 yi 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 si. 12 dobimo iZ diferenčnih enačb (9.16) za točke C do N, dve robni enačbi iz obeh robnih pogojev za točki A in B ter iz dveh robnih pogojev na zunanjem robu funkcijski vrednosti P = 0 in R = N Celotno determinanto tako dobljenega sistema homogenih enačb razstavimo spet v dve matriki, ki sta izpisani na naslednjih dveh straneh. Z elektronskim računalnikom je bila izračunana prva lastna vrednost Matrika A A B C D . E F G H I J K L M N 0 157 -320 163 0 -64 145 -32 -113 64 896 -3857 6176 -4367 1152 1296 -5527 8784 -6173 1620 • 1800 -7621 ' 12040 -8419 2200 2420 -10187 16016 -11153 2904 3168 -13273 20784 -14423 3744 • 4056 -16927 26416 -18277 •4732 ' 5096 -21197 32994 -22763 5880 6300 -26131 40560 -27929 7200 7680 : -31777 49216 -33823 8704 9248 -38183 59024 -40493 10404 0 11016 -45397 70056 -47897 0 0 12996 -53467 96824 A B C D E F Gr H 1 J K L M N 0 ■ 0 0 0 0 0 -8064 ' 0 8064 0 0 124160 -258048 133888 0 0 169477 -352116 182639 0 0 225500 -468000 242500 0 0 293441 -608124 314683 0 0 374512 -774912 400400 0 0 469925 -970788 500863 0 0 580892 -1198176 617284 0 0 708600 -1459500 750900 0 0 854336 -1757184 899848 0 0 1019237 -2093652 1074415 i 0 0 0 1204540 -247132* 1226788 F-—<- 0 0 0 1411457 -2692636 Iz enačbe (9.15) dobimo zdaj 2 _ X_ 400 r ~ h2 3246 in končno iz (9.12) 2 --- „2 105.400 * = 105/* = 3246 še koeficient izbočenja tega primera <*2 = 12,94 Primerjava tega rezultata z rezultatom, dobljenim v poglavju 4.2 za j* = 0,4 pri f = 1