i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
BASELSKI PROBLEM
ALEKSANDER SIMONIČ
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A99, 40-03, 40A25
V članku obravnavamo Eulerjev pristop k reševanju baselskega problema. Podrob-
neje je predstavljena njegova prva rešitev, v nadaljevanju članka pa sledi opis kasneǰsega
dopolnjevanja dokaza.
THE BASEL PROBLEM
The article discusses Euler’s method of solving the Basel problem. While the first
part of the article presents his first solution in detail, the rest of the article describes how
the proof was later completed.
Uvod
Z neskončnimi vrstami se je srečal že starogrški matematik Arhimed (287–
212 pr. n. št.) pri kvadraturi odseka parabole in tako dokazal konvergenco
geometrijske vrste
∞∑
n=1
1
4n
=
1
3
.
Prav tako je ena prvih preučevanih vrst harmonična vrsta
∞∑
n=1
1
n
,
za katero je najzgodneǰsi dokaz divergence v 14. stoletju podal Francoz Ni-
cole Oresme (1323–1382).
Za obdobje pravega razmaha raziskovanja neskončnih vrst pa štejemo
17. stoletje. V tem času so matematiki odkrili logaritme in za natančno
računanje so potrebovali natančne tabele. Logaritemsko funkcijo so razvili
v potenčno vrsto, ki ji danes pravimo Taylorjeva (Brook Taylor (1685–
1731)), čeprav sta podobne razvoje odkrila že Nicholas Mercator (1620–
1687) in James Gregory (1638–1675). Kot primer takšne vrste se pogosto
navaja
ln(1 + x) = x− x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
+ · · · , (1)
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
s konvergenčnim območjem (−1, 1].
Okoli leta 1650 se je Pietro Mengoli (1625–1686) v Novae quadraturae
arithmeticae ukvarjal z izračunom vsote vrste
∞∑
n=1
1
n2
. (2)
Problema sta se lotila tudi angleška matematika John Wallis (1616–
1703) in Henry Oldenburg (1615–1677). Wallis je v knjigi Arithmetica
infinitorum (1655) izračunal vsoto vrste (2) na tri decimalna mesta na-
tančno, Oldenburg pa je leta 1673 s problemom seznanil Gottfrieda Leib-
niza (1646–1716).
Leibniz se je v tem času ukvarjal z izračunom vsote vrste
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
,
njeni členi se pojavijo v harmoničnem trikotniku1, in jo izračunal, takole:
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
=
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1 .
A problem, ki ga je odprl Mengoli, je ostal nerešen. Leibniz je za pomoč
zaprosil Jakoba Bernoullija (1654–1705), enega največjih matematikov
tistega časa.
Jakob Bernoulli je leta 1689 napisal knjigo Tractatus de seriebus infinitis,
v kateri je podrobno obravnaval nekatere neskončne vrste, med drugim tudi
vrsto (2). Najprej je pokazal, da za vsak k ≥ 1 velja
1
k2
≤ 2
k(k + 1)
.
Potem je brez zadržkov zapisal
1 +
1
22
+ · · ·+ 1
k2
+ · · · ≤ 2
1 · 2
+
2
2 · 3
+ · · ·+ 2
k(k + 1)
+ · · · = 2
in zaključil
∞∑
n=1
1
n2
≤ 2 .
1Označimo s Hi,j število v i-ti vrstici in j-tem stolpcu harmoničnega trikotnika, pri
čemer je j ≤ i. Naj velja Hi,1 = 1/i. Preostala števila generiramo z rekurzijo Hi,j −
Hi+1,j = Hi+1,j+1.
2 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 3 — #3 i
i
i
i
i
i
Baselski problem
Za Jakoba Bernoullija je bil to dovolj dober argument pri dokazu konver-
gence vrste (2). Kljub uspehu pa nikakor ni znal izračunati njene vsote v
zaključeni obliki. Priznal je poraz in v Tractatus zapisal naslednji stavek:
Če kdo najde in nam pove, kar se nam je dotlej kljub naporom izmikalo,
večna mu bo naša hvaležnost.2
S tem je bila matematična javnost seznanjena s problemom, ki je danes znan
kot baselski3 problem.
Eulerjevi numerični rezultati
Ni znano, kdaj je Leonhard Euler (1707–1783) prvič izvedel za baselski
problem, dejstvo pa je, da je bil njegov zasebni učitelj matematike Johann
Bernoulli (1667–1748), Jakobov brat. Zato mnogi predvidevajo, da je prav
Johann seznanil Eulerja s problemom.
Med letoma 1727 in 1733 sta Daniel Bernoulli (1700–1782), Johan-
nov sin, in Euler delovala v Sankt Peterburgu. Verjetno sta razpravljala
tudi o tem problemu, saj je Euler v članku De summatione innumerabi-
lium progressionum4 leta 1731 opisal postopek za hitreǰsi numerični izračun
vsote vrste (2). Euler je želel izračunati vsoto na nekaj decimalnih mest na-
tančno, vendar bi moral sešteti vsaj tisoč členov, da bi bil rezultat natančen
na komaj tri decimalna mesta.
Eulerjeva metoda je bila izraziti določeni integral
I =
∫ 1
2
0
(
− ln(1− x)
x
)
dx
na dva različna načina. Pri prvem je funkcijo ln(1− x) zamenjal z vrsto (1)
in integriral
I =
∫ 1
2
0
( ∞∑
n=1
xn−1
n
)
dx =
∞∑
n=1
1
2nn2
.
Pri drugem načinu je naredil substitucijo 1− x = y in dobil
I = −
∫ 1
2
0
ln(1− x)
x
dx =
∫ 1
2
1
ln y
1− y
dy .
2[5], str. 42
3Basel, mesto v Švici in kraj, kjer je bil Tractatus napisan.
4Objavljen leta 1738 v Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 , str. 91–
105.
1–11 3
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 4 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
Potem je integrand razvil v vrsto, vsak člen integriral z metodo per partes
in dobil
I =
∞∑
n=1
1
n2
− (ln 2)2 −
∞∑
n=1
1
2nn2
.
Po primerjavi rezultatov obeh načinov je zapisal
∞∑
n=1
1
n2
=
∞∑
n=1
1
2n−1n2
+ (ln 2)2.
Število ln 2 je preprosto izrazil z vrsto (1) in seštel prvih dvajset členov,
torej
ln 2 = − ln
(
1− 1
2
)
=
∞∑
n=1
1
n2n
≈
20∑
n=1
1
n2n
≈ 0,6931471 ,
in nato še
∞∑
n=1
1
2n−1n2
≈
14∑
n=1
1
2n−1n2
≈ 1,1644806 .
Tako je dobil vsoto vrste na šest decimalnih mest natančno:
∞∑
n=1
1
n2
≈ 1,644934 .
Pri tej izpeljavi je lepo vidno Eulerjevo manipuliranje z izrazi, kot so vrste
in integrali. Tak način dela je postal njegova stalnica in še danes vpliva na
celotno matematiko.
Naslednjo numerično metodo je Euler opisal v članku Methodus generalis
summandi progressiones5 leta 1732. Uporabil je t. i. Eulerjevo sumacijsko
formulo
b∑
n=a
f(n) =
∫ b
a
f(x)dx+
1
2
(f(a) + f(b))
+
r∑
k=1
B2k
(2k)!
(
f (2k−1)(b)− f (2k−1)(a)
)
+
1
(2r + 1)!
∫ b
a
B2r+1(x− bxc)f (2r+1)(x)dx, (3)
5Objavljen leta 1738 v Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 6 , str. 68–
97.
4 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 5 — #5 i
i
i
i
i
i
Baselski problem
kjer je funkcija f vsaj (2r + 1)-krat zvezno odvedljiva na intervalu [a, b],
pri čemer sta a in b celi števili, r pa je poljubno naravno število. Zadnji
integral pomeni ostanek in je bil dodan kasneje. Števila Bn se imenujejo
Bernoullijeva števila, funkcije Bn(x) pa Bernoullijevi polinomi . Dokaz for-
mule je Euler objavil leta 1735, bralec pa si lahko podrobneǰsi dokaz pogleda
v [3, str. 522]. Euler je formulo takoj začel uporabljati na najrazličneǰsih
primerih, tudi na vrsti (2). Ročno je izračunal
10∑
n=1
1
n2
=
1968329
1270080
≈ 1,549767731166540690350 .
Preostanek vrste je izračunal po (3) za a = 11, b→∞, r = 13 in dobil
∞∑
n=11
1
n2
≈
∫ ∞
11
1
x2
dx+
1
2 · 112
+
13∑
k=1
B2k
112k+1
≈ 0,095166335681685746122 ,
kar je skupaj prineslo
∞∑
n=1
1
n2
≈ 1,64493406684822643647 .
Prvi neenačaj je tam zato, ker smo izpustili ostanek sumacijske formule.
Število r je sicer poljubno, vendar vpliva na natančnost rezultata in se določi
na podlagi ocenitve ostanka (zgoraj vzeti r smo določili na tak način).
S tem je bila vsota vrste izračunana na dvajset decimalnih mest na-
tančno. Čeprav Euler še vedno ni bil zadovoljen (baselski problem je spra-
ševal po natančni vsoti), je njegova sumacijska metoda postala nepogrešljivo
orodje pri raziskovanju asimptotičnega vedenja vrst in velikih števil ter tako
posredno prispevala tudi k dokazu praštevilskega izreka6.
Rešitev
Leta 1735 je Euler našel rešitev in jo opisal v članku De summis serierum
reciprocarum7.
Eulerjeva rešitev temelji na posplošitvi Newton-Girardove formule (Isaac
Newton (1642–1727), Albert Girard (1595–1632). Naj bodo a1, a2, . . . , an
6Naj π(x) označuje število praštevil, ki ne presegajo x. Izjavo, da je
limx→∞(π(x) log x)/x = 1, imenujemo praštevilski izrek.
7Objavljen leta 1740 v Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7 , str. 123–
134.
1–11 5
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 6 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
poljubna realna števila. Izraz oblike
σk =
∑
1≤i1,i2,...,ik≤n
ai1ai2 · · · aik
imenujemo k-ti elementarni simetrični polinom števil a1, a2, . . . , an. Posebej
definiramo: σ0 = 1. Naj bo Sk =
∑n
i=1 a
k
i , kar je tudi simetrični polinom,
toda ne vedno elementaren. Newton-Girardova formula povezuje simetrične
polinome Sk in elementarne simetrične polinome σk:
mσm +
m∑
k=1
(−1)kSkσm−k = 0; 1 ≤ m ≤ n .
Od tu kaj hitro sledi zapis vsote Sk samo s simetričnimi polinomi
S1 = σ1,
S2 = σ21 − 2σ2,
S3 = σ31 − 3σ1σ2 + 3σ3. (4)
Formula velja za poljubno veliko naravno število n. Euler je šel v skrajnost
in privzel, da formula velja tudi za neskončno zaporedje. Obravnaval je
neskončne produkte in pripadajoče potenčne vrste oblike(
1− x
A
)(
1− x
B
)(
1− x
C
)
· · · = 1− αx+ βx2 − γx3 ± . . . (5)
Po primerjavi obeh strani je zapisal
α =
1
A
+
1
B
+
1
C
+ · · · , β = 1
AB
+
1
AC
+
1
BC
+ · · · , γ = 1
ABC
+ . . .
in po uporabi posplošenih formul (4)
1
A
+
1
B
+
1
C
+ · · · = α,
1
A2
+
1
B2
+
1
C2
+ · · · = α2 − 2β,
1
A3
+
1
B3
+
1
C3
+ · · · = α3 − 3αβ + 3γ . (6)
Euler je obliko v (5) izbral še z drugim namenom. Množica A,B,C, . . .
predstavlja ničle neskončnega produkta. Izraz (5) pa zagotavlja, da so to
tudi vse ničle neskončne potenčne vrste. Očitno je, da to drži pri končnem
produktu in vrsti. Ponovno je Euler posplošil primer na neskončnost.
6 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 7 — #7 i
i
i
i
i
i
Baselski problem
Euler je svoje rezultate uporabil na funkciji
f(x) = 1− sinx
sin a
, (7)
kjer je a fiksirano število, ki ni večkratnik števila π. Ničle funkcije f so
x =

a,
2nπ + a,
(2n− 1)π − a,
−(2nπ − a),
−((2n− 1)π + a),
kjer je n ∈ N. Sledimo Eulerju in funkcijo zapǐsimo kot potenčno vrsto:
f(x) = 1− x
sin a
+
x3
3! sin a
∓ . . .
Upoštevamo (5) in dobimo
f(x) =
(
1− x
a
) ∞∏
n=1
(
1− x
(2n− 1)π − a
)
·
(
1 +
x
(2n− 1)π + a
)
·
(
1− x
2nπ + a
)
·
(
1 +
x
2nπ − a
)
. (8)
Od tu z uporabo formul (6) sledi
1
a
+
∞∑
n=1
(−1)n+1
(
1
nπ − a
− 1
nπ + a
)
=
1
sin a
, (9)
1
a2
+
∞∑
n=1
(
1
(nπ − a)2
+
1
(nπ + a)2
)
=
1
sin2 a
, (10)
1
a3
+
∞∑
n=1
(−1)n+1
(
1
(nπ − a)3
− 1
(nπ + a)3
)
=
1
sin3 a
− 1
2 sin a
. (11)
Naj bo a = π2 . Potem je po (10)
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
=
π2
8
.
Ker pa je
∞∑
n=1
1
n2
=
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
+
1
4
∞∑
n=1
1
n2
,
1–11 7
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 8 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
lahko zaključimo
∞∑
n=1
1
n2
=
π2
6
.
S tem je bil baselski problem po 46 letih rešen. Euler je rešitev zaupal Da-
nielu Bernoulliju, vendar je kmalu vsak evropski matematik vedel, kdo je
mladi genij. Ko je Johann Bernoulli izvedel za Eulerjev uspeh, je zapisal:
In tako je zadoščeno goreči bratovi želji, ki je spoznal, da je iskanje vsote
težje, kot si kdor koli lahko predstavlja, in je javno priznal, da je ves njegov
trud zaman. Ko bi le moj brat še živel.8
Nadaljnji rezultati in kritike
Euler se kljub uspehu, ki mu je zagotovil matematično kariero, ni ustavil.
V prej omenjenem članku De summis . . . je po (11) pri a = π2 izračunal
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)3
=
π3
32
.
Podobno kot funkcijo (7) je obravnaval sinxx in dobil
sinx
x
=
∞∏
n=1
(
1− x
2
(nπ)2
)
, (12)
od koder je z uporabo (6) izračunal še vrednosti
∞∑
n=1
1
n4
=
π4
90
,
∞∑
n=1
1
n6
=
π6
945
,
∞∑
n=1
1
n8
=
π8
9450
,
∞∑
n=1
1
n10
=
π10
93555
,
∞∑
n=1
1
n12
=
691π12
6825 · 93555
.
Kmalu po objavi dokaza pa so prǐsle kritike. Daniel Bernoulli je Eu-
lerju očital, da je v dokazu privzel, da Newton-Girardove formule veljajo za
neskončno zaporedje in da je delal z neskončnimi vrstami kot s polinomi.
Pojavili so se še drugi dvomi. Ali so vse rešitve enačbe sinx = sin a realne?
8[2], str. 445
8 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 9 — #9 i
i
i
i
i
i
Baselski problem
Zakaj ničle funkcije f(x) določajo neskončni produkt tak, kot je? Tudi funk-
cija exf(x) ima enake ničle, pa zagotovo ne more imeti istega neskončnega
produkta. Teh težav se je zavedal tudi Euler, vendar je bil o veljavnosti
svojih formul dokaj prepričan. Izračunani rezultati so se ujemali z numerič-
nimi, pri posebnih primerih pa je dobil že znane vrste. Npr. pri a = π2 vrsta
(9) postane znana
1− 1
3
+
1
5
− · · · = π
4
.
Prav tako pri a = π4 dobimo
1 +
1
3
− 1
5
− 1
7
+
1
9
+
1
11
− · · · = π
2
√
2
,
ki je bila znana že Newtonu. Produkt (12) pri x = π2 postane znani Wallisov
produkt
π
2
=
2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · . . .
1 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · . . .
.
Ti posebni primeri so Eulerja opogumili, da je objavil rešitev. Kljub temu
ga je radovednost gnala naprej in je v naslednjih sedmih letih svoje rezultate
postavil na trdneǰse temelje.
Začel je z dokazovanjem produkta (12), iz katerega je zlahka izpeljal
podobne faktorizacije za druge kotne funkcije in s tem utemeljil produkt
(8). Glavno orodje pri tem sta Eulerjevi formuli
sin z =
eiz − e−iz
2i
, cos z =
eiz + e−iz
2
,
s katerima je mimogrede dokazal, da imajo kotne funkcije samo realne ničle.
Ko je bila pravilnost zapisa produkta (12) dokazana, se je lotil vrste (9).
Dobil jo je kot rezultat logaritmiranja in odvajanja produkta (8). Postopek
je opisal v članku De summis serierum reciprocarum ex potestatibus nume-
rorum naturalium ortarum dissertatio altera, in qua eaedem summationes
ex fonte maxime diverso derivantur9 leta 1742, čeprav lahko upravičeno
trdimo, da je do rezultatov prǐsel že prej.10 Eulerjeva izpeljava postane
ob upoštevanju enakomerne konvergence brezhibna. Preko vrste (9) je v
splošnem dokazal
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)2k+1
=
E2k
22k+2(2k)!
π2k+1 ,
9Objavljen leta 1743 v Miscellanea Berolinensia 7 , str. 172–192.
10Eulerjeve formule se pojavijo v pismih Christianu Goldbachu (1690–1764) leta
1741 in 1742.
1–11 9
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 10 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
kjer se števila E2k imenujejo Eulerjeva števila. Podobno je logaritmiral in
odvajal še produkt (12) ter izpeljal
∞∑
n=1
1
n2k
=
(−1)k−122k−1B2k
(2k)!
π2k .
Na tem mestu omenimo še, da je Euler, željan prepričati vse tiste, ki
so dvomili o produktu (12), leta 1743 objavil članek Démonstration de la
somme de cette suite 1+ 14 +
1
9+etc.
11, kjer je ponovno izračunal vsoto vrste
(2). Temelj dokaza je izraz
(arcsinx)2
2
=
∫ x
0
arcsin t√
1− t2
dt ,
od koder je z razvojem arcsinx v potenčno vrsto dobil želeni rezultat. Po-
drobnosti izpeljave lahko bralec najde v [1, str. 1079].
Euler je našel vsote vrst in neskončnih produktov za nekatere posebne
primere, nikakor pa ni našel natančne vsote vrste
∞∑
n=1
1
n2k+1
. (13)
V članku De seriebus quibusdam considerationes12, napisanem leta 1739, je
numerično izračunal vsoto vrste za k = 1, 2, 3, 4, 5. Pod vplivom rezultata
pri sodih potencah je predpostavjal, da je vsota enaka Nπ2k+1, in poskušal
najti racionalen N . Vendar mu to ni uspelo.
Baselski problem po Eulerju
Članek bomo sklenili s tremi primeri, ki izhajajo iz baselskega problema in
so matematike zaposlovali še dolgo časa po Eulerju.
Euler se je že leta 1737 zavedal pomembnosti vrste (2) v zvezi s praštevili.
V članku Variae observationes circa series infinitas13 je dokazal enakost
∞∑
n=1
1
ns
=
∏
p
1
1− p−s
,
11Objavljen v Journ. lit. d’Allemange, de Suisse et du Nord , 2:1, str. 115–127.
12Objavljen leta 1750 v Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 12 , str. 53–
96.
13Objavljen leta 1744 v Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 , str. 160–
188.
10 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 11 — #11 i
i
i
i
i
i
Baselski problem
kjer produkt teče po vseh praštevilih. Ta pomembni rezultat je temelj po-
zneǰse analitične teorije števil. Bernhard Riemann (1826–1866) je spoznal
pomembnost vrste in jo obravnaval kot kompleksno funkcijsko vrsto, znano
pod imenom Riemannova funkcija zeta. V prelomnem članku Ueber die An-
zahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse14 je dokazal znamenito
funkcijsko enačbo
ζ(1− s) = 2(2π)−sΓ(s) cos
(πs
2
)
ζ(s) .
Manj znano pa je, da je Euler med intenzivnim iskanjem vsote vrste (13) v
članku Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant
directes que réciproques15 leta 1749 objavil prav tako funkcijsko enačbo.
Omenili smo že težave pri predstavljanju funkcije z neskončnim produk-
tom prek njenih ničel. Na to vprašanje je prvi odgovoril Karl Weierstrass
(1815–1897) med preučevanjem analitičnih funkcij. Prav tako je Weierstrass
zaslužen za uvedbo pojma enakomerne konvergence, s katerim je pojasnil
upravičenost odvajanja in integriranja funkcijskih vrst.
Kaj pa danes vemo o skrivnostni vrsti (13)? Še vedno ne vemo, kakšna je
njena vsota v zaključeni obliki. Znano pa je, da je vsota za k = 1 iracionalno
število, kar je leta 1979 dokazal Roger Apéry (1916–1994). Najnoveǰsi
rezultati so iz let 2000 in 2001, ko je bilo dokazano, da za neskončno števil
k vsota vrste predstavlja iracionalno število in da ima za k = 2, 3, 4, 5 vsaj
ena od vrst iracionalno vsoto.
LITERATURA
[1] R. Ayoub, Euler and the zeta function, The American Mathematical Monthly, Vol. 81,
No. 10, 1067–1086 (1974).
[2] C. B. Boyer, A history of mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1991.
[3] K. Knopp, Theory and Application of Infinite Series, New York, Dover publications,
1990.
[4] V. S. Varadarajan, Euler through time: a new look at old themes, Washington, The
Mathematical Association of America, 2006.
[5] W. Dunham, Euler: the master of us all, Washington, The Mathematical Association
of America, 1999.
[6] E. W. Weisstein, Newton-Girard Formulas, MathWorld – A Wolfram Web Resource,
http://mathworld.wolfram.com/Newton-GirardFormulas.html.
[7] The Euler Archive, http://www.math.dartmouth.edu/∼euler/.
14Objavljen leta 1859 v Monatsberichte der Berliner Akademie.
15Objavljen leta 1768 v Memoires de l’académie des sciences de Berlin 17 , str. 83–106.
1–11 11