i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 201 — #1 i i i i i i RIEMANNOVE NIČLE IN PRAŠTEVILA ALEKSANDER SIMONIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 11M26 V članku dokažemo manj znano formulo E. Landaua, ki povezuje seštevanje členov xρ po netrivialnih ničlah ρ Riemannove funkcije zeta in von Mangoldtovo funkcijo Λ(x). Formula enostavno ilustrira princip, da lahko iz poznavanja netrivialnih ničel dobimo praštevila. RIEMANN’S ZEROS AND PRIMES We prove not so well-known E. Landau’s formula, which connects the summation of terms xρ over nontrivial zeros ρ of the Riemann zeta function with the von Mangoldt function Λ(x). This formula simply illustrates the principle that nontrivial zeros determine prime numbers. Uvod Riemannova funkcija zeta je ena najbolj študiranih funkcij v matematiki. Georg F. B. Riemann (1826–1866) jo je leta 1859 uvedel kot funkcijo kompleksne spremenljivke s. Takšno pomembnost ima zaradi neposredne povezave s praštevili. Temeljnega pomena je enakost ζ(s) := ∞∑ n=1 1 ns = ∏ p 1 1− p−s (1) za <{s} > 1, kjer se produkt po praštevilih imenuje Eulerjev produkt. Lo- garitmiranje in odvajanje formule (1) po spremenljivki s da zvezo −ζ ′ ζ (s) = ∞∑ n=1 Λ(n) ns , (2) kjer je Λ(n) von Mangoldtova funkcija. Ta aritmetična funkcija je različna od nič le pri potencah praštevil, za potenco praštevila p pa je enaka log p. Nemški matematik Hans C. F. von Mangoldt (1854–1925) jo je leta 1895 vpeljal preko enakosti (2) z namenom bolje razumeti porazdelitev praštevil in podati dokaze Riemannovih trditev. Prav na podlagi njegovega članka sta leto pozneje francoski matematik Jacques S. Hadamard (1865–1963) Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 201 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 202 — #2 i i i i i i Aleksander Simonič in belgijski matematik Charles J. de la Vallée Poussin (1866–1962) uspela dokazati praštevilski izrek limx→∞ π(x)x −1 log x = 1, kjer smo s π(x) označili število praštevil, ki ne presegajo števila x. Že pred njim je tako funkcijo elementarno obravnaval Pafnutij L. Čebǐsev (1821–1894), ki je leta 1852 naredil prve pomembne korake k dokazu praštevilskega izreka. Več o njegovi zgodovini si lahko bralec prebere v članku [3]. Riemann je pokazal, da lahko funkcijo ζ(s) s polravnine <{s} > 1 ana- litično razširimo na C \ {1}. Pri tem je dokazal funkcijsko enačbo ζ(1− s) = 2 (2π)s cos (πs 2 ) Γ(s)ζ(s), (3) veljavno za vse s ∈ C \ {1}. Funkcija Γ(s) je Eulerjeva funkcija gama. Ta enačba odraža simetrijo funkcije zeta glede na kritično premico <{s} = 1/2. Opazimo, da zaradi enakosti (1) nimamo ničel z realnim delom večjim od 1. Zato so po (3) edine ničle na polravnini <{s} < 0 (imenovane trivialne) negativna soda števila. Vprašanje ostaja kritični pas 0 ≤ <{s} ≤ 1. Ne- kateri avtorji izpuščajo enakosti v definiciji, saj je že dolgo časa znano, da na premici <{s} = 1 (in posledično tudi na <{s} = 0) ni ničel. Kritični pas vsebuje netrivialne ničle, ki jih označujemo z ρ = β + iγ. Po funkcijski enačbi so tudi ρ̄, 1 − ρ in 1 − ρ̄ ničle, zato jih je potrebno poznati le na zgornji polravnini ={s} > 0. Realnih netrivialnih ničel ni. To najenostav- neje sledi iz enakosti ( 1− 21−s ) ζ(s) = ∑∞ n=1(−1)n+1n−s, ki jo dobimo po ustrezni preureditvi členov v (1). Slika 3 prikazuje morebitno ničlo ρ levo od kritične premice in pripadajočo ničlo 1 − ρ̄. Morebitna zato, ker vse znane netrivialne ničle ležijo na kritični premici. Riemannova hipoteza je domneva, da vse netrivialne ničle ležijo na kritični premici. Po dogovoru z {γn}∞n=1 označujemo naraščajoče zaporedje imaginarnih delov netrivialnih ničel na zgornji polravnini. Opozoriti moramo, da pri tem upoštevamo tudi morebitno večkratnost ničel. Domneva je, da so vse ničle enostavne, vendar se za zdaj ne ve niti to, ali ta lastnost sledi iz Riemannove hipoteze. Že Rie- mann je v svojih beležkah izračunal γ1 ≈ 14,14 in nakazal, da je to res prva ničla na zgornji polravnini, glej [2, str. 159]. Pozneje bomo podali preprost argument, da na območju |={s}| ≤ 2 ni netrivialnih ničel. V popularni literaturi o Riemannovi hipotezi je mogoče zaslediti trdi- tev, da lahko iz zaporedja {γn}∞n=1 dobimo praštevila. Knjiga [9] nam zelo nazorno pokaže, da moramo vzeti trigonometrijske vsote cos (γ1 log x) + cos (γ2 log x) + · · ·+ cos (γn log x) . Grafi nad končnimi intervali, ki jih dobimo z večanjem števila n, imajo na določenih mestih izrazite vrhove in najvǐsji nastanejo prav nad praštevili. 202 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 203 — #3 i i i i i i Riemannove ničle in praštevila Bralcu, ki se je že srečal s Fourierovo analizo, zato ne bo tako nenavadno, da zaporedju {γn}∞n=1 pravijo tudi Riemannov spekter. Razširimo von Man- goldtovo funkcijo na realna števila tako, da za x /∈ N definiramo Λ(x) = 0. Obstajajo dokaj splošne eksplicitne formule (npr. Weilova [8, str. 337–343]), ki povezujejo Λ(x) in ničle ρ, toda iz njih je težko izluščiti preproste argu- mente za prej opisani pojav. Morda ga še najlažje opǐse naslednja trditev: za izbran x > 1 velja ∑ 0<={ρ} 0, da za vse dovolj velike x velja |f(x)| < Cg(x). Formulo (4) je zapisal Edmund G. H. Landau (1877–1938) v [7]. Dokaz zahteva poznavanje nekaterih pomembnih lastnosti funkcije zeta ter izrek o residuih. Obravnava je zato primerna tako za začetnika v tej teoriji kot tudi za nekoga, ki bi rad spoznal manj trivialno uporabo residuov1. Sledili bomo njegovemu dokazu in pokazali naslednje. Izrek 1. Za vsak x > 1 velja Λ(x) = − lim T→∞ π T ∑ |={ρ}| 0 enostavno izračunamo xρ = xβxiγ = xβ (cos (γ log x) + i sin (γ log x)) , od koder sledi xρ + xρ̄ = 2xβ cos (γ log x). Za T > γ1 definirajmo ΛT (x) := − 2π √ x T ∑ γn 1 velja Λ(x) = limT→∞ ΛT (x). 1Zanimivo je, da kljub enostavnosti formule (4) in vizualni nazornosti njene izpeljanke (5) njunih obravnav ni moč zaslediti v standardnih monografijah o Riemannovi funkciji zeta, npr. [10, 2, 6]. Je pa zapisana v prvi izdaji Titchmarshove knjige (1930). 201–215 203 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 204 — #4 i i i i i i Aleksander Simonič 2 3 7 13 19 29 37 43 53 61 71 79 89 101 5 11 17 23 31 41 47 59 67 73 83 97 Slika 1. Graf funkcije Λ104(x) in neničelne vrednosti funkcije Λ(x) na intervalu [2, 102]. Pod grafom so izpisana praštevila. Limita v izreku in posledici ni enakomerna na vsem intervalu (1,∞), saj je Λ(x) nezvezna funkcija, medtem ko je ΛT (x) zvezna. Grafa, narejena s programom Mathematica, na slikah 1 in 2 prikazujeta graf funkcije ΛT (x) za T = 104 (upoštevamo 10142 ničel) na intervalih [2, 102] in [1950, 2050]. Za primerjavo so s črnimi pikami prikazane tudi neničelne vrednosti von Mangoldtove funkcije. Pri prvem grafu opazimo dobro ujemanje in ostre konice, medtem ko na drugem grafu vidimo odstopanja in »divje obnašanje« med zaporednimi praštevili, ki pa jih lahko še vedno brez težav prepoznamo. Pri številu 211 = 2048 je mogoče opaziti zelo majhno spremembo v strukturi grafa. Organizacija članka je naslednja. Najprej podamo idejo dokaza, kjer z uporabo teorije residuov prevedemo problem na oceno določenih integralov. Potem pripravimo orodja iz teorije Riemannove funkcije zeta, s katerimi v četrtem razdelku primerno ocenimo integrale in s tem dokažemo izrek. Za zaključek članka omenimo še nekatere posplošitve. 204 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 205 — #5 i i i i i i Riemannove ničle in praštevila 1973 1987 1997 2003 2017 2029 1951 1979 1993 1999 2011 2027 2039 Slika 2. Graf funkcije Λ104(x) in neničelne vrednosti funkcije Λ(x) na intervalu [1950, 2050]. Pod grafom so izpisana praštevila. Ideja dokaza izreka 1 Dokaz temelji na funkcijski enačbi (3) in Hadamardovem produktu po netri- vialnih ničlah 2π−s/2(s− 1)Γ (s 2 + 1 ) ζ(s) = e−Bs ∏ ρ ( 1− s ρ ) es/ρ, (6) kjer je B := 1 + C/2 − log (2 √ π) in C Euler-Mascheronijeva konstanta. Dokaza obeh enačb lahko najdemo v katerikoli od prej naštetih monografij o Riemannovi funkciji zeta, npr. [6, izrek 1.6 in razdelek 1.3]. V podrobnosti izraza (6) se ne bomo podali. Namignimo samo, da je leva stran formule (6) cela funkcija, katere ničle so samo netrivialne ničle funkcije zeta. Teorijo produktov, kakršen je zgoraj, pa lahko bralec poǐsče v [1, 5. poglavje]. Zaradi enostavnosti bomo za realna števila a ≤ b in c ≤ d definirali (za- prte) pravokotnike [a, b] × [c, d] := {z ∈ C : a ≤ <{z} ≤ b, c ≤ ={z} ≤ d}. Podobno definiramo tudi polodprte in odprte pravokotnike. Daljico s kraji- ščema z in w na kompleksni ravnini bomo označili z [z, w]. Ničle holomorfne funkcije f na neki odprti množici Ω ⊆ C lahko po- vežemo z integriranjem po sklenjenih krivuljah. Osnovni rezultat je znan pod imenom izrek o residuih, glej npr. [1, str. 148–154]. Mi potrebujemo 201–215 205 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 206 — #6 i i i i i i Aleksander Simonič naslednjo verzijo. Naj bosta f in g holomorfni funkciji na odprti množici Ω ⊆ C. Recimo, da notranjost pravokotnika P ⊂ Ω vsebuje ničle a1, . . . , aN (štete z večkratnostmi) funkcije f , na robu ∂P pravokotnika P pa ni ničel. Potem velja 1 2πi ∫ ∂P f ′ f (z)g(z)dz = N∑ n=1 g (an) , (7) kjer integriramo po pozitivno orientiranem robu ∂P . Vrnimo se k naši nalogi. Naj bo T > 2. Glede na enakost (7) ni težko uganiti, da je temeljna ideja dokaza integriranje funkcije xsζ ′(s)/ζ(s) po robu pravokotnika [−T, 2]× [2, T ], kar lahko vidimo na sliki 3. Po (7) imamo i T (∫ 2+2i −T+2i ζ ′ ζ (s)xsds + ∫ −T+iT 2+iT ζ ′ ζ (s)xsds+ ∫ −T+2i −T+iT ζ ′ ζ (s)xsds ) = − i T ∫ 2+iT 2+2i ζ ′ ζ (s)xsds− 2π T ∑ 0<={ρ} 0. Za <{z} > 0 imamo Γ′ Γ (z)− log z = − 1 2z − ∫ ∞ 0 2xdx (x2 + z2) (e2πx − 1) , (12) 201–215 207 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 208 — #8 i i i i i i Aleksander Simonič glej [1, str. 202]. Razdelimo polravnino <{z} ≥ z0 na |={z}| ≤ (√ 2− 1 ) z0 in |={z}| > (√ 2− 1 ) z0, ter x naj bo realno število. Za z iz prvega območja dobimo ∣∣x2 + z2∣∣ ≥ <{x2 + z2} ≥ <{z}2−={z}2 ≥ 2 (√2− 1) z20 , za drugo območje pa ∣∣x2 + z2∣∣ ≥ ={x2 + z2} = 2<{z}={z} > 2 (√2− 1) z20 . Torej je ∣∣x2 + z2∣∣ ≥ 2 (√2− 1) z20 , zato po (12) za <{z} ≥ z0 sledi∣∣∣∣Γ′Γ (z) ∣∣∣∣ ≤ log |z|+ π2 + 12z0 + 124 (√2− 1) z20 , (13) pri čemer naj si bralec pomaga z integralom na str. 214 v [1]. Enačba (12) dokazuje tudi simetrijsko lastnost Γ′(z)/Γ(z) = Γ′ (z̄) /Γ (z̄). S tem imajo tako lastnost vsi členi na desni strani enakosti (11), od koder sledi ζ ′ ζ (s) = ζ ′ ζ (s̄) za s ∈ (−∞,−1] × [2,∞). Ker je <{1 − s} ≥ 2, lahko uporabimo oceno (13) za z0 = 2 in dobimo |Γ′(1− s)/Γ(1− s)| < log |1− s| + 2. Ker je 2 < |1 − s| < |s|2, sledi |Γ′(1− s)/Γ(1− s)| < 2 log |s| + 2. Če vse skupaj združimo, dobimo |ζ ′(s)/ζ(s)| < 2 log |s| + A za neki A > 0. Toda A < (2A/ log 2) log |s|. Zato obstaja konstanta C1 > 0, da velja∣∣∣∣ζ ′ζ (s) ∣∣∣∣ < C1 log |s| (14) za vse s ∈ (−∞,−1]× [2,∞). Zaradi simetrije ta neenakost velja tudi za s̄, torej na območju (−∞,−1]× (−∞,−2]. Težja je obravnava območja [−1, 2] × [2,∞), saj imamo opravka z ne- trivialnimi ničlami. Pri tem nam bo v veliko pomoč Hadamardov produkt. Logaritmiranje in odvajanje izraza (6) nam da ζ ′ ζ (s) = log (2π)− 1− C 2 − 1 s− 1 − 1 2 Γ′ Γ (s 2 + 1 ) + ∑ ρ s ρ (s− ρ) . Ključen element v dokazu enakosti (6) je netrivialno dejstvo, da za vsak ε > 0 vrsta ∑ ρ |ρ|−1−ε konvergira, za ε = 0 pa divergira. Slednje lahko uporabimo tudi za dokaz, da je netrivialnih ničel neskončno mnogo. Torej je vrsta v zgornjem izrazu absolutno konvergentna. Za s = 1 jo lahko z nekaj truda celo izrazimo z znanimi konstantami. V nadaljevanju bomo to storili za vrsto po ={ρ} > 0, kar je zaradi simetrije med ničlami ravno polovica celotne vsote. Zgornji izraz za s = 1 ni dobro definiran, vendar velja lims→1 ( ζ ′(s)/ζ(s) + (s− 1)−1 ) = C, glej [10, str. 20]. Privzemimo, 208 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 209 — #9 i i i i i i Riemannove ničle in praštevila da poznamo še vrednost Γ′(3/2)/Γ(3/2) = 2−C− log 4, glej npr. [5, 8.365 1 in 8.366 2]. Dobimo ∑ ={ρ}>0 1 ρ (1− ρ) = ∑ ρ=β+iγ γ>0 β |ρ|2 + 1− β |1− ρ|2 + iγ ( 1 |1− ρ|2 − 1 |ρ|2 ) = ∑ ρ=β+iγ β>1/2,γ>0 2 ( β |ρ|2 + 1− β |1− ρ|2 ) + ∑ ρ=β+iγ β=1/2,γ>0 4 1 + 4γ2 = B ≈ 0,0231, kjer je B konstanta iz Hadamardovega produkta. S to enakostjo lahko pokažemo, da na območju [0, 1] × (0, 2] ni ničel. V nasprotnem primeru bi za ničlo ρ s tega območja veljalo |ρ| ≤ √ 5, |1 − ρ| ≤ √ 5 in γ ≤ 2. Če ničla ne leži na kritični premici, upoštevamo samo prvi člen v drugi vrstici zgornje enakosti in dobimo B > 2/5, kar je protislovje. Če pa ničla leži na kritični premici, nam drugi člen da B > 4/17, kar je ponovno protislovje. Če združimo še ugotovitve iz uvoda, lahko zaključimo, da območje [0, 1]×[−2, 2] ne vsebuje ničel. S podobnim argumentom kakor pri dokazu neenakosti (14) ugotovimo, da obstaja konstanta C ′ > 0, tako da velja∣∣∣∣∣ζ ′ζ (s)−∑ ρ s ρ (s− ρ) ∣∣∣∣∣ < C ′ log |s| (15) za vse s ∈ [−1, 2] × [2,∞). Ta neenakost je že dovolj, da lahko nekaj povemo o zgornji meji za število netrivialnih ničel v kvadratih z enotskimi stranicami. Lema 3. Obstaja konstanta C̃ > 0, da je število ničel Riemannove funkcije zeta v kvadratu [0, 1]× [t, t+ 1] manǰse kot C̃ log |t| za vse |t| ≥ 2. Dokaz. Zaradi simetrije lahko predpostavimo t ≥ 2. Izberimo t ≥ 2 in definirajmo s0 := 2 + it. Po trikotnǐski neenakosti iz (15) sledi∣∣∣∣∣∑ ρ s0 ρ (s0 − ρ) ∣∣∣∣∣ < C ′ log |s0| − ζ ′ζ (2) < C̃5 log t za neko konstanto C̃ > 0. Po drugi strani pa se lahko brez težav prepričamo, 201–215 209 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 210 — #10 i i i i i i Aleksander Simonič da velja∣∣∣∣∣∑ ρ s0 ρ (s0 − ρ) ∣∣∣∣∣ ≥∑ ρ < { s0 ρ (s0 − ρ) } > ∑ ρ < { 1 s0 − ρ } = ∑ ρ=β+iγ 2− β (2− β)2 + (t− γ)2 ≥ ∑ γ 1 4 + (t− γ)2 ≥ N 5 , kjer smo z N označili število ničel iz leme. Ker je s0ρ −1 (s0 − ρ)−1 = ρ−1 + (s0 − ρ)−1, sledi druga neenakost. Zadnjo neenakost pa dobimo tako, da upoštevamo samo ničle iz kvadrata, torej (t− γ)2 ≤ 1. Dokaz leme je s tem končan. Izrek 4. Obstaja konstanta C3 > 0, da velja∣∣∣∣∣∣ζ ′ ζ (s)− ∑ |t−={ρ}|<1 1 s− ρ ∣∣∣∣∣∣ < C3 log |t| (16) za s = σ + it, pri čemer je σ ∈ [−1, 2] in |t| ≥ 2. Dokaz. Zaradi simetrije lahko privzamemo t ≥ 2. Izberimo t ≥ 2 in defini- rajmo s0 := 2 + it. Uporabimo neenakost (15) in dobimo∣∣∣∣∣ζ ′ζ (s)−∑ ρ s0 − s (s− ρ) (s0 − ρ) ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ζ ′ζ (s)−∑ ρ s ρ (s− ρ) + ∑ ρ s0 ρ (s0 − ρ) ∣∣∣∣∣ < C ′ log |s|+ C ′ log |s0| − ζ ′ ζ (2) ≤ 2C ′ log |s0| − ζ ′ ζ (2) < C3 log t za neko konstanto C3 > 0. Ker je vrsta po ničlah absolutno konvergentna, jo lahko razdelimo na dele∑ |t−={ρ}|<1 + ∑ t+1≤={ρ} + ∑ 0<={ρ}≤t−1 s0 − s (s− ρ) (s0 − ρ) + s0 − s (s− ρ̄) (s0 − ρ̄) . Naj bodo S1, S2 in S3 zaporedoma zgornje vsote. Obravnavajmo S2. Naj bo n naravno število in ρ ničla z imaginarnim delom na intervalu [t+n, t+n+1]. 210 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 211 — #11 i i i i i i Riemannove ničle in praštevila Potem je |s− ρ| ≥ |= {s− ρ}| ≥ n, |s0 − ρ| ≥ n in |s0 − s| ≤ 3, prav tako za ρ̄. S temi neenakostmi ocenimo∣∣∣∣∣∣ ∑ t+n≤={ρ} 0, da je |S2| < C1 log t. Na podoben način dobimo tudi |S3| < C2 log t za neko konstanto C2 > 0. Imamo∣∣∣∣ζ ′ζ (s)− S1 ∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ζ ′ζ (s)− S1 − (S2 + S3) ∣∣∣∣+ |S2 + S3| < ( C1 + C2 + C3 ) log t. (17) Naj bo ρ ničla z imaginarnim delom na intervalu [t − 1, t + 1]. Potem je |s0 − ρ| ≥ <{s0 − ρ} ≥ 1, |s0 − ρ̄| ≥ 1 in |s− ρ̄| ≥ ={s− ρ̄} ≥ 1. Zato po neenakosti (17) sledi∣∣∣∣∣∣ζ ′ ζ (s)− ∑ |t−={ρ}|<1 1 s− ρ ∣∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ζ ′ζ (s)− S1 ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣S1 − ∑ |t−={ρ}|<1 1 s− ρ ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ζ ′ζ (s)− S1 ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣ ∑ |t−={ρ}|<1 1 s0 − ρ − s0 − s (s− ρ̄) (s0 − ρ̄) ∣∣∣∣∣∣ < ( C1 + C2 + C3 ) log t+ 4N2, kjer je N2 število ničel v kvadratu [0, 1] × [t − 1, t + 1]. Po lemi 3 je N2 < C̃ (log (t− 1) + log t) < 2C̃ log t. Zato s C3 := C1 + C2 + C3 + 8C̃ dobimo (16). Izrek 4 je eden izmed pomembneǰsih izrekov teorije Riemannove funk- cije zeta, katerega dokaz pa je relativno preprost. Uporablja se v dokazu Riemann–von Mangoldtove formule N(T ) = T 2π log T 2πe +O (log T ) , (18) 201–215 211 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 212 — #12 i i i i i i Aleksander Simonič kjer je N(T ) običajna oznaka za število ničel ρ s pogojem 0 < ={ρ} ≤ T . Ta formula je natančneǰsa oblika ocene N(T ) = O (T log T ), ki jo dobimo po lemi 3. Dokaz Sedaj smo pripravljeni na dokaz relacije (5) v izreku 1. V dokazu neenakosti (10) ne potrebujemo ocen iz razdelka Priprava, zato ga bomo najprej na- redili. Preostanek razdelka je namenjen še tehnično zahtevneǰsemu dokazu neenakosti (9). Po relaciji (2) med odvodom logaritma funkcije ζ in von Mangoldtovo funkcijo Λ imamo − i T ∫ 2+iT 2+2i ζ ′ ζ (s)xsds = i T ∞∑ n=1 Λ(n) ∫ 2+iT 2+2i (x n )s ds. Sumacijo in integracijo lahko zamenjamo, saj je vrsta absolutno konvergen- tna. Integral na desni strani izračunamo tako, da ločimo primera x = n in x 6= n. Dobimo − i T ∫ 2+iT 2+2i ζ ′ ζ (s)xsds+ Λ(x) = 2Λ(x) T + ix2 T ∑ n6=x Λ(n) n2 log (x/n) ((x n )iT − (x n )2i) . Podobno naredimo še za integral po stranici [2 − iT, 2 − 2i]. Pri tem se v zgornji formuli spremenita le člena v oklepaju, in sicer T se spremeni v −2 in 2 v −T . Kakorkoli, absolutna vrednost desne strani je v obeh primerih neka funkcija oblike C(x)T−1. S tem smo dokazali neenakost (10). Obravnava integrala po daljici [−T + iT,−T + 2i] je zelo enostavna. Parametrizirajmo daljico s s = −T + it, kjer gre t od T do 2. Ker je |s| < T + t, nam ocena (14) zagotavlja∣∣∣∣∫ −T+2i −T+iT ζ ′ ζ (s)xsds ∣∣∣∣ ≤ C1xT ∫ T 2 log (T + t)dt = C1 xT (2− T + 2T log (2T )− (T + 2) log (T + 2)) < 4C1T xT log T ≤ 4C1 x1/ log x log x log T, 212 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 6 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 213 — #13 i i i i i i Riemannove ničle in praštevila kjer smo upoštevali x > 1, T > 2 in log (2T ) < 2 log T . Zadnjo neenakost dobimo tako, da izračunamo maksimum funkcije Tx−T v spremenljivki T . Podoben postopek z enako oceno naredimo še za stranico [−T−2i,−T−iT ]. Izberimo t, 2 ≤ |t| ≤ T . Integral po daljici [−T + it, 2 + it] razdelimo na dela po [−T + it,−1 + it] in [−1 + it, 2 + it]. Podobno kakor prej nam ocena (14) da∣∣∣∣∫ −1+it −T+it ζ ′ ζ (s)xsds ∣∣∣∣ ≤ C1∫ T 1 log (|t|+ σ)x−σdσ ≤ C1 log (|t|+ T ) ∫ T 1 x−σdσ = C1 log (|t|+ T ) ( 1 x log x − 1 xT log x ) < 2C1 log T x log x . Pomnožimo izraz (16) v izreku 4 z |xs| = xσ, kjer je x > 1 in σ ∈ [−1, 2]. Dobimo ∣∣∣∣∣∣ζ ′ ζ (s)xs − ∑ |t−={ρ}|<1 xs s− ρ ∣∣∣∣∣∣ < C3xσ log |t| ≤ C3x2 log |t|. Od tod sledi∣∣∣∣∣∣ ∫ 2+it −1+it ζ ′ ζ (s)xsds− ∑ |t−={ρ}|<1 ∫ 2+it −1+it xsds s− ρ ∣∣∣∣∣∣ ≤ 3C3x2 log T. Naj bo ρ ničla iz pravokotnika [0, 1] × [t, t + 1]. Po izreku o residuih za pravokotnik [−1, 2]× [t, t+ 2], glej (7) za f(s) = s− ρ in g(s) = xs, velja∫ 2+it −1+it xsds s− ρ = xρ − ∫ 2+i(t+2) 2+it xsds s− ρ − ∫ −1+i(t+2) 2+i(t+2) xsds s− ρ − ∫ −1+it −1+i(t+2) xsds s− ρ . Ker je |s−ρ| ≥ 1 za s po daljicah integracije na desni strani izraza, je abso- lutna vrednost levega integrala omejena z neko funkcijo C2(x). Upoštevamo še lemo 3 in dobimo∑ |t−={ρ}|<1 ∣∣∣∣∫ 2+it −1+it xsds s− ρ ∣∣∣∣ < 2C̃C2(x) log |t| ≤ 2C̃C2(x) log T. To nam končno da∣∣∣∣∫ 2+it −1+it ζ ′ ζ (s)xsds ∣∣∣∣ ≤ (2C̃C2(x) + 3C3x2) log T. 201–215 213 i i “Simonic” — 2018/1/29 — 9:08 — page 214 — #14 i i i i i i Aleksander Simonič Absolutna vrednost integrala po daljici [−T+it, 2+it] za t ∈ [2, T ]∪[−T,−2] je tako manǰsa kot ( 2C1/(x log x) + 2C̃C2(x) + 3C3x 2 ) log T . Seveda je s tako oceno omejena tudi absolutna vrednost integrala po daljici [2+it,−T+ it]. S tem smo pokazali, da neenakost (9) velja za D(x) := 4C1 x1/ log x log x + 4C1 x log x + 4C̃C2(x) + 6C3x 2. Posplošitve Naravno vprašanje je, ali lahko trditev posledice 2 podamo tudi za x ∈ (0, 1). Primer x = 1 lahko izločimo, saj gre po Riemann–von Mangoldtovi formuli (18) vrednost ΛT (1) pri T →∞ proti neskončnosti. Slika 4. Graf funkcije Λ104(x) in neničelne vrednosti funkcije xΛ(1/x) na intervalu [1/102, 1/2]. Slika 4 nas prepričuje, da se tudi na tem intervalu dogaja nekaj zanimi- vega. Opazimo lahko, da nam sedaj funkcija ΛT (x) prepoznava recipročne vrednosti potenc praštevil. Zakaj? Zaradi simetrije med netrivialnimi ni- člami velja ∑ |={ρ}| 1, lahko uporabimo izrek 1 za x−1. Dobimo xΛ ( x−1 ) = − lim T→∞ π T ∑ |={ρ}|