ISSN 0351-6652 Letnik 31 (2003/2004) Številka 1 Strani 47-52
Marko Razpet:
ŽUŽKI - NOŽIŠCNE KRIVULJE ASTEROIDE
Ključne besede: matematika, krivulje, asteroida. Elektronska verzija: http://www.presek.si/31/1538-Razpet.pdf
© 2003 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
47
ZUZKI - NOZISCNE KRIVULJE ASTEROIDE
Dano ravninsko krivuljo K. lahko liii različne načine preoblikujemo v nove krivulje.
Nožiščno krivuljo K, p dane ravninske krivulje K dobimo tako, da v ravnini te krivulje izberemo točko P, nato pa jo pravokotno projiciramo na vse tangent.e krivulje tO. Množica vseh nožišč N, to je presečišč pravokotnic skozi P z vsemi tangenta.mi krivulje K., je nožiščna krivulja K p krivulje K. glede na pol P.
Nekatere krivulje, recimo premica in krožnica, imajo razmeroma enostavne nožiščne krivulje, nekatere pa bolj zapletene. Oglejmo si, kakšne nožiščne krivulje ima asteroida ali zvezdnica. Asteroida je krivulja, ki ima v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy enačbo

(1)
kjer je a pozitivna konstanta. Iz same enačbe razberemo, da je neobčutljiva za. zamenjave x H» — x, y —y} x H» y in x —y. To pomeni, da so premice x — 0, y = 0, y = x in y = — x simetrale asteroide (1),
y — —k
SJika 1. Simetrale asteroide.
Asteroido opiše izbrana točka na krožnici polmera a/4, če se ta krožnica brez drsenja kotali po notranji strani krožnice polmera a. Zato pravimo, da je asteroida, poseben primer liipocikloide. Asteroida je lep primer ravninske krivulje, za katero večina računov poteka brez hujših zapletov.
Asteroidu laže obravnavamo, čc jo zapišemo v parametrični obliki. Če namreč enačbo (1) preoblikujemo v
U1/3J + Ul/3J
in se spomnimo, da je cos2 t + sitr t = 1 za vsako realno število t. potem se samo po sebi vsiljuje, da postavimo
xl/3	1/3
od koder sledi
x = a cos31, y = a sin31.	(2)
To sta parametrični enačbi asteroide.
Punkciji sinus in cosinus smo smeli uporabiti zato, ker lahko že iz (1) sklepamo, da je asteroida omejena krivulja. Če en člen na levi strani v (1) povečamo, se mora drugi zmanjšati in obratno. Za x = 0 dobimo y = ±a, za y = 0 pa x = ±a. Točke {a, 0) in (0, ra), (—a, 0} in (0, —o) so na asteroidi najbolj oddaljene od njenega središča. To so osti asteroide. Po vrsti jih dobimo iz (2) za t = 0, t = jr/2, t = tt in i = Stt/2. Očitno je za en obhod asteroide dovolj, da parameter i preteče interval [0,2tt). Za i = 2n dobimo zopet isto točko kot za i = 0. Vsaki točki na asteroidi ustreza natanko en t na intervalu [0,2tt). Za 0 < t < ít/2 poteka asteroida po prvem kvadrantu, za tt/2 < t < tt po drugem, za 7r < t < Htt/2 po tretjem in za 37r/2 < i < 2tt po četrtem.
Kakšen geometrijski pomen ima parameter i? Trdimo, da je t su-plementaren naklonskemu kotu tangente na asteroido v točki, ki ustreza parametru t. Do tangente pridemo po običajnem postopku: skozi dve različni točki To(.t(), yo) in Tj(ari,yx) asteroide najprej postavimo sekanto, potem pa omenjeni točki zbližamo v eno, recimo v Tq. Ce pri tem sekanta preide v mejni položaj, smo našli tangento. Smerni koeficient, ks sekante preide pri tem v smerni koeficient. kt tangente.
Denimo, da gre asteroida skozi To, ko je t = íq, skozi Ti pa tedaj, ko je t — ti. Pri tem je seveda íq ^ fi. Torej je Xq = a eos3 ío, yo = a sin'5 — acos3ii in j/i = «sin3 ti.
Matematika	49
Zapísimo smerni koeficient ks seka.nte skozi Tg in Ti: , _yi-yo _ a sin3 ti - asin3t0
hi a
X\ — i (j a eos3 t \ — a cos3 fn Po krajšanju in razstavljanju dobimo
(sinix — sin íq) (sin2 Í! + sin íi sin ío + sin2 £q)

(cos/i — eos ¿o) (eos2 f i + eos 11 cosió + cos2 in) Razliko dveh sinusov in dveh kosinusov lahko prevedemo na produkt
ks —
2 cos ^^ sin (sin2 ti + sin ti sin t0 + sin2 t0) -2 sin fflsin (cos2 ii + eos ti eos iQ + cos2 iu)
Po ponovnem krajšanju imamo
^ eos ^^^-(sin2 íi + siníi siní0 + sin2 i()) Sin (cos2 ti + cos i i cosio + cos2 f0)
Ko gre Ti proti Tq, gre t\ proti to, koeficient ka pa proti
cosi0(3sin2 to) sin ío
»i — —:—77---—--— — — tan í0 -
sniío(3cos^ ío) cosíq
Smerni koeficient kt tangente na asteroide v točki To(¡Eo>Sb) je torej dan s formulo k't = — tanío = tan(7r — íq). Za zgornjo in spodnjo ost k¡ ni definiran. Enačba tangente na aster oí d o v Tu pa je zato
y — a sin'1 Íq = — tan tn(x — n eos3 ío) •
Po preuredtitvi dobimo enostavnejšo obliko:
x sin íq + y cos íq = a sin í^ cos ío ■
Ta oblika da pravilni rezultat tudi za vse osti asteroide. Nak krnski kot a tangente je tv — tg, torej je ío res s upi eme nt, aren naklonskemu kotil tangente na asteroido v točki, ki pripada parametru ío- Če izvzamemo osti asteroide, potem njena tangenta preseka os x v točki .4(0. eos ío, 0), os y pa v točki ¿5(0, a sin £q). Razdalja med A in B pa je očitno enaka a, neodvisno od izbire točke To na asteroidi. Značilno za asteroido je, da je medosna razdalja za vse tangente asteroide stalna. Izjeme so 1c tangente v njenih osteh.
Množica vseh tangent na asteroido je dana z enačbo
x sin t + y cos t — a sin t cos t.	(3)
Asteroide (1) se v vsaki točki dotika natanko ena premica oblike (3), v dveh različnih točkah pa dve različni taki premici. Pravimo, da je asteroida (1) ogrinjača množice premic (3). Slika 2 prikazuje nekaj tangent z dot.ikališči v prvem kvadrantu.
Slika 2. Tangente na asteroido.
Sedaj pa že lahko izpeljemo izraza za koordinati	nožišča N
izbrane točke P(p, q) - pola - na katerokoli tangento asteroide. Pravoko-tnica na tangento (3) skozi P ima očitno enačbo
(x — p) cos t — (y — q) sin t. = 0 . Rešitev x in y sistema enačb
x cos t — y sin t = p cos t — q sin f x sin t + y cos i = a sin i cos t sta koordinati točke N, Preprost račun nam da
i = (pcos i — q sin t + «sin2 i) cos t, V — (—p cos i 4- ? sin i + o cos2 t) sini .
To sta parametrični enačbi nožiščne krivulje asteroide (2) glede na dani pol P(p,q).
Oblika nove krivulje je precej odvisna od izbire točke P. V najenostavnejšem primeru p = g = 0 ima nožiščna krivulja asteroide glede na njeno središče parametrični enačbi x = o sin21 cos t, y = a cos2 (sin t. Ker je v tem primeru x2 + y2 — a2 sin2 t. cos21 — (a/2)2 sin2 2i. se polarni radij iskane krivulje izraža zp = (a/2) sin 21. Krivulja je štiriperesiia deteljica (slika 3).
Če izberemo točko P kar na slepo, ne predaleč od asteroide, dobimo krivuljo, ki bolj ali manj spominja na nekakšnega žužka. Na sliki 4 je
Slika 4. Nesimetrični žužek.
Simetrične žužke dobimo, če izberemo /' na eni od siuietral asteroide. Slik» "»prikazuje primer žužka, ki je dobljen kot aožiščna krivulja asterode za primer ]> = <) = (2/7)«.
S parametričnima enačbama uožiščuih krivulj asteroide lahko različne oblike žužkov preučujemo z računalniškim programom Derive. Kdor ima raje geometrijske konstrukcije, pa bo morda segel po Cabri-geometre in poskusil odkriti kako zanimivost tudi manj znanih krivulj. Seveda lahko uporabite tudi druge programe, ki sto vam na voljo.
Marko Razpr t