iSH im • >s x*w^ ^ -^7 >w3l9aL.‘ ■te-oeE': **Wm /^■P* . I ■ ■ -S C^i'A ;1 W ?'r ■■ jSf . AJfvrfti|,#wI^Ti^jPa cMBm , -^;, >v,_* ^p- %' 1 k M f,»# _ ffA" i® v'- *W;#;'; *R^1 ^ ->B»i |W:Sr ••yv..;" g-A ■ 1 Sf S y "*, ?- k*' »• t / . Sl » •.. <* Vi ’• „ ^ hk. INSTITUTI ONU M G E OM E TRIC ARUM PARS SEGI7NB A SIVE TRIGONOMETRIA PLANA, A- CONSCRIPTA IN U S-U M TIRONUM A P. CAROLO SCHERFFER, E So c. Jesu. anno mdcclxx. VINDOBONAE, Typis (OANNIS THOMaE nob. de TRATTNERN, 5AC. CA8. R.F. G. AVLA TYFOGR. ET Ii I $ L I 0 P, -•«, - V • i t i MONITUM AD LECTOREM. *, ’$> i.V iix alia Geometriae applicatio frequentiorem ^ in vita civili ufum habet, quam quae trian-gulorum dimenlionem docet, & propter ea Trigonometrice nomen tulit. Agimus autem tantummodo deplana, ad quam triangulorum fphaericorum confideratio non pertinet. Univerfum argumentum tribus Capitibus comple 5dmurr quorum primum Theoriam exponit, & principia Geometrica, quibus tanquam fundamento cetera innituntur. Alterum agit de praxi, feu exccutione, cum dimenfiones in campo faciendis iunt, eftque priore amplius^ magisque dilfufum, tum quod 6: inftrumenta ipta, eorum ufunx,& examen confideret, tum etiam quod, quantum methodus elementaris fmit, tirones majoribus aliquando menfurationibus fufeipiendis praeparet. Neque fejungendam putavimus Libelladonem, quae methodum explorandi declivitates in leniore ex uno in alterum locum defcenfu proponit; & cum praeclara commoda praeftet, non ita levi manu pertractanda fuit, ut plerumque in elementis tironum inftitutioni feriptis habetur. Poftremum denioue Caput perbreve, neque in Articulos diftinCtum* ut cetera, unam alteramve applicationem Algebrae ad Theoriam fmuum, ufumque viciflim horum in folvendis certi generis aequationibus exhibet, quem nomine celebris Theorematis Cotefii OeometrcU non ignorant. Etfi vero in parte pra&ica perfpicuitati plurimum ftuduerimus, fieri tamen haud facile poffe exitiimamus, ut non multa tironi obfcura fmt, nih eidem & ipfa inftrumenta, qu^ adhibenda funt, fal-tem magis ufitata, exhibeantur, & exercitationis caufa tra&anda praebeantur. Procul dubio major ex ufu, quam meditatione, lux affundetur. ♦: m M » ,« * * * .5k — «: <• •* * * 4 « T . 4 4 4 4 4 4' 4. * ♦ 1 *..4. '^ :* •' i 4 .4 4 4 4 4 4 >; a:*1S**^ 4 4 4 •*; 4 v "4 4 4 .4 4 4 4' 4 4 4 4 4 4 4.. 4. 4, 4 4 4. 4. 4 W I isz”* SpffS 4. 4 .4 4 4. 4 4 4 41 <4 -»: 4 4 4 4 4 4, 4 4 \w«5**,v*v [;«#ASf=K 1 ♦ * ) . “s «;*»>: 4'4 "4 *4^4' >'>|CS3C\% 4 4 '4$S£*S£*a8t' V 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4. 4 4 4 4 4" 4. 4 4 4 4 4 4 .4 4 4 4 < 4*4*4*^4*4*4*4*4*?g2^S^^I^^4*4*4*4*4*4*4*4*4 4*4*4*4*4*4*4 4*4 4*4 4 4 4*4<4^4^* INSTITUTIONUM GEOMETRICARUM PARS SECUNDA» SIVE TRIGONO METRI A PLANA. ■ ■■ 4.mmili jMmEaMnnma»a«P 11 'iiw CAPUT 1 Theoria Trigonometria plana. ARTICULUS I. Notiones Trigonometnie plan$, & partium 'triangulorum. Wif-i-Ll .;1-' AI Trigonometria triangulorum partes calculo fubjicere nos docet, ali as-O^TTT que ex aliis datis reperire. Et ea quidem, qua de agimus in prae-%■#-# fens, non alia confiderat triangula, quam in plano defcripta, atque redilinea: nam quae refolutionern triangulorum in fuperficie fph e-rae per arcus circulares cfiormatoruin tradit, fphaericaque propterea dicitur, alteri tractationi refervatur. A 3 .£. Ti i- Fig. i Tab. 1 Fig. 2 Tab.I 2. Triangulum ^uotjilibet, przeter aream ( cujus menfura a fitu , ac magnitudine partium petitur ), fex partes offert, tria fcilicct latera, totidemque angulos, quos concurfus binorum quorumvis laterum efficit. Vidimus vero in Geometria, angulorum magnitudinem, live inclinationem laterum, haud-quaquam ab eorum longitudine pendere, verum a numero graduum in arcu quovis fimili circulari contentorum, qui ex vertice inter crura defcribi po-teft. Et quamvis etiam demonflraverimus, in quovis triangulo latera majora opponi majoribus angulis, non tamen utrorumque incrementa, vel decrementa iisdem legibus fubjacent. Sit (Fig. I Tab. I) angulus ACB, quem metitur arcus AB radio CA defcriptus, comparandus angulo ECF, cujus menfura efl; arcus EF defcriptus radio CE. Defcribatur radio CE arcus concentricus arcui AB, & dicatur angulus ECF = B, angulus BCA = P? erit ob squales radios arcus FE : arc. ED =:p:P. Et quia arcus DE, AB fimiles funt, erit quoque arc. D E : arc. AB = EC : BC , & compotitis rationibus arc. FE : arc. AB — p x EC : P X BC, multiplicatis mediis & extremis habetur arc. FE X P X BC = arc. AB X p X EC, adeoque p : P = arc. arc. FE arc. AB ^FE X BC : arc. AB X EC, vel p : P = ——: —bc~~' ^aC Ana"°‘ gia habetur fequens Theorema: anguli funt inter fe in ratione compofita e direcla arcuum, qui eos metiuntur, &J reciproca radiorum, quibus udem arcus defcripti funt. Hinc generaliter fi .dicatur angulus = P, radius = R, arcus = A, eft P = A Cum itaque hanc angulorum expreflionem non ingrediantur latera tri- anguli, etfi aliquid relationis habeant ad eadem, manifeftum tamen eft, quantitates hafce analogas non effe, neque determinatam magnitudinem laterum 3 determinata angulorum magnitudine erui pofle. 3. Ut igitur ad inveniendam partem ignotam trianguli vera proportio Geometrica haberi poffet, angulis fubftituta; lunt lineae rectae, qua» ftnus, co-finus, tangentes &c dicimus , lateribus trianguli ex vero proportionales, uti demonftrabimus. Harum porro reSarum definitiones, mutuasque relationes probe norii, oportet, qui Trigonometria uti cupit, quoniam eo tandem reducitur totum artificium, ut eae cum lateribus ita in Analogiam duponantur, ut quartus terminus partem trianguli quaefitam exhibeat, aut taLs minimum ut, ex qua reperiri pofiit. 4 Sit radio quovis CA ( Fig. 2 Tab. I) defcriptus circulus ABDE, & diameter BCE ad diametrum ACD perpendicularis: agatur per A tangens MAG indefinita, uti etiam per B altera dBX. Sumatur quivis arcus, initio circuli in A ftatuto, AF; erit FB complementum ejusdem, & FBI) fupple-mentum ( fi ve complementum ad 2 redios ) & FBDEA ejus comp e-mentum ad 4 rectos. Demittatur ex F ad radium AC perpendiculum Fi, dicetur idfinus anguli FCA, vel arcus AF; & fi FH ducatur ad AC par allela, elt FH = 1C, & diciturfimu complementi, vel cofms arcus Ah. fixius enim nil aliud eft, quam perpendiculum ex extremo arcus in radium de. Notiones TrigonometrivE Plan,$, &c, f miflum, adeoque eft FH finus arcus FB, qui complet arcum AF ad redtum. Si radius CF producatur, donec e tangente in A abfcindat partem AG, dicitur AG tangens anguli ACF (vel arcus AF), & GC ejusdem fecans. Hinc etiam Bf appellatur cotangens anguli ACF, utpote tangens complementi FB; & Cf ejusdem anguli vel arcus AF cofecans, fzve fecans complementi BF. 5- His denominationibus rite notatis, praeterea advertendum, linus arcuum, qui poliunt accipi in tota peripheria circuli, fi femel initium fiatuatur in A, omnes referri ad diametrum ACD, & qui funt fupra hanc lineam , haberi pro ppfitivis; qui vero habebunt fitum oppofitum, feu futuri funt infra eam diamejtrum, dicentur negativi, zdo. Cofinus ("five finus complementorum ad redium ) omnes referri ad diametrum BCE, & proinde illi, qui jacent verfus A, circuli initium, cenfentur pofitivi; qui vero ultra BE verfus D, negativi. 3tzo. Tangentes omnes fumunturin MAO; quse accipiuntur inAJtf fupra ACD, pofitivae funt; quas in AO infra AD, negativae. 4te. Eodem modo cotangpntps fiimuntur in dBX; & quidem pofitivae in parte Bd, verfus circuli initium refpeftu diametri BE; negativae autem in BX. Itaque evidens eft iw, in ipfo circuli initio A, ubi graduum numerus eft o\ fmum etiam efie = o; in arcubus autem finitis, velut AF finus pariter finitas magnitudinis eft, uti FI; crefcentibus arcubus AK, finus KL ouo-que crefcit, canec fumatur arcus AB = go’J, cujus finus congruit cum radio BC, qui propterea finus totus appellatur. Si ultra B progrediamur, & accipiamus arcum ABN; evidens eft, non pofte ad AC demitti perpendiculum, nili AC producatur,* & hinc finus hujus arcus alius elfe nequit, quam NQ; ii longius adhuc progrediamur, majoris arcus ABS finus fiet ST; fed omnes interB&D femper decrefcent, donec veniatur ad D, five femicirculumABD, cujus finus fit = O, aut potius = ~ Interim inde ab A usque ad D omnes finus funt fupra AD, confequenter pofitivi. Verum fi accipiatur arcus ABDY ,. perpendiculum Yg in radium AC produ&um demiffum jam eft quantitatis finitae, & infra AD, hoc eft, linus arcus majoris igo gradibus funt negativi. Patet autem, crefcente adhuc arcu ABDY usque ad E five usqu& ad tres quadrantes, vel 270'', crefcere itidem fmum negativum , donec in E congruat radio. EC, ultra quem crefcere nequit. At vero fi inde ab E verfus A progrediaris, velut fi accipias arcum ARDEzz, finus rurfus decrefcunt uti ak, licet adhuc maneant negativi; idque verum erit, usque dum redeas ad initium, fumasque integram circuli peripheriam, ubi finus eradit — — Ex his evidens eft Imo: finum arcuum = o\ = i8q'V & — „<5-^ el-pe finite parvum. IWo; finus usque ad 90* inde a ov crefcere, nnftea ’isnre ad Igo" decrefcere, & elfe pofitivos: at a igo" usque ad 270'- crefcere, «& a 2701 usque ad 36ov decrefcere, elfeque negat.vos. Ultio. Arcum 00" elfe terminum, in quo finus pofitivi perveniunt ad maximum, ultra quod augeri nequeunt; & arcum 270"' effe alterum terminum, in quo finus negativi fuum maximum attingunt 6.Con- 6. Confideremus jam eodem modo progrelTum cofinuum per integram circuli peripheriam. Et primo quidem in ipfo initio A, ubi arcus = ov, ejus complementum efl AB, live integer quadrans, cujus finus (5)’ radius, vel finus totus, AC; crefcendbus vero arcubus AF, AK, complementa FB, KB, uti etiam eorum finus FH vel IC, KP, vel LC, id efi: cofmus arcuum AF, AK, perpetuo decrefcunt, ‘usque in B, ubi AB = 901', & ejus complementum =s ov, cujus proinde finus, aut cofinus arcus AB, evanefcit. Quod fi ultra B usque in N progrediaris, arcusque ABN fiat gcf major, is jam complementum negativum habeat, oportet, cum non addi, fed demi ab eo debeat arcus NB, ut redium angulum metiatur; & reipfa finus arcus BN ex altera diametri BE parte jacet, cum prius verfus initium A fitus efiet. Quare cofinus arcus quadrante majoris NP negativus fit, inde a B verfus D, femper-que magis crefcit, crefcente arcu ABS, cujus cofinus SV, usque ad D. Ma* nifeftum efi:, ex hoc pundto demiilum in radium BC perpendiculum congruere cum DC, fi ve finu toto, fed effe negativum. Si ulterius usque in Y progrediaris, arcus ABDY cofinus YZ =gC rurfus decrefvit, at pei tutum adhuc quadrantem DYE negativus manet, in E fit = Inter E <& A, veluti fi fumas arcum ABDEa, cofinus ab = hC rurfus inde a — crefcit, & redit ad CQ primum fitum refpectu diametri BE, id efi, fit pofitivus, donec in A iterum aequetur finui toti AC. Intelliges ex his Imo, cofinus arcuum a ov usque ad qov effe pofitivos; uti etiam arcuum majorum usque^ ad 360 . Udo. Cofinus arcuum 90'“ majorum, & minorum 270'“, effe negativos. Ultio; cofinus in primo & tertio quadrante a maximo, fen magnitudine finus totius, usque ad ™ decrefcere. IVio, eosdem in fecundo, & quarto quadrante a ~ usque ad magnitudinem finus totius crefcere. 7. Quod ad tangentes pertinet, confimili ratione intelligitur, eas in arcus initio A effe infinite parvas; tum inde ab A femper creice:e, velm AG, AM, crefcentibus arcubus AF, AK. Quando ad B (quadrantem fcihcet) perventum efi, CB radius fit parallelus cum AM, iaeoque non nui in diftan-tia infinita concurrere cum AM intelligi poteft, angulo fcihcet a M trianguli AMC evadente infinite parvo. Sed quamprimum arcus A.v concipitur retfio major, radius BC non amplias cum AM, fed cum AO ( ex parte feiu-cet ea, qua anguli fimt duobus retiis minores ( 147 Geomet.) concurrere pq-teft. Quare tum tangentes fient negativa;, velut tangens arcus ABN accipienda erit AO, arcus vero ABS erit Ae. Liquet hinc, dici poffe, fi fuerit arcus AB = 90+ ejus tangentem effe 03, fed negativam, indequeaB usque ad D tangentes negativas decre icere, dum illic fiant = —, radio CD cum AO in A concurrente. Lltn. %. D CK* D crefcente arcu, uti AEDY, tangens Am denuo fit pofitiva, & ab cre- ficit usque ad 20 , quando ad E pervenitur. Denique fumpto arcu tribus quadrantibus majore, ABDErt, radius Ca definit tangentem negativam AO, quas ex infinite magna inde ab E usque ad A in infinitum decrefcit. I acile hinc colligitur Imo, tangentes poft Ungulos quadrantes mutare fignum, in primo & tertio effe pofitivas, in fecundo & quarto negativas. fWo. Easdem, dum pofitiva? funt, crefcere ab — usque ad ce, donec fignum mutent; quando autem negativae funt, ab ce usque ad -1 decrefcere , ubi denuo contrarium acquirunt fignum. 8- Tangentes complementorum, five cotangentes , qua lege mutentur, ex eadem confideratione haud difficulter intelligitur. In circuli initio A, complementum AB eft = qo”, cotangens proinde arcus A = Ov ex parteBd accepta ce, quod CA cum parallela illa non nifi in diflantia infinita con« currere cogitari poffit. Sed arcu AP ad finitam magnitudinem veniente, cotangens B/decrefcit, eoque magis, quo ad B propius acceditur, ubi cotangens arcus AB = qo“ fit —. Audio arcu, velut ABN, jam cotangens fu-menda efl BR ex oppofita refpedu diametri BE parte, proinde negativa, crefcitque h$c inde ab — in B usque in oo in D, ubi radius CD fit parallelus cum BX. Sed ultra D crefcente arcu ABDY, radius YC rurfus fecat tangentem in B ex altera parte, velut in d, ut adeo in tertio quadrante cotangentes evadant pofitiva?, & ex oo usque ad ~ decrefcant, quando tertius quadrans ABDE abfolvitur. Sed ultra E, velut in fl, radius aC produdhis fecat BX in R, & cotangentes denuo fiunt negativae, augenda? per ultimum quadrantem in cc, quando ad A reditur. Unde concluditur Imo, cotangentes itidem lingulis quadrantibus mutare figna; efle politi vas in primo^ tertio; negativas in fecundo & quarto. IMo, easdem, dum pofitiva? funt, de- crefcere ex co usque ad —; at dum negativa? funt, crefcere ab — usque ad co, prout arcus augentur, donec fignum mutent. 9- Ex hifce definitionibus fequentia Corollaria deducuntur. CoRor l I Sinus anguli eft dimidia chorda arcus dupli illius, qui angulum metitur Et de angulis quidem acutis, qualis FCA, id evidens elt ex Num. 7j G^omet Nam fi FI produceretur, occurreret arcui AE in puncto tantundem ab A remoto, quantum diftat F. Sed nec minus clarum efl de obtuli s nualis ACM cum NQ produtia abfcindat ex AED verfus D arcum arcui ABM a?oualem! IO. CoroLL. II* Anguli obtuli ACN , qm tantundem excedit rectum quantum acutus ACK ao eodem deficit, (fi obtufus non excedat 18o'u) eft •N, P. &Jierjfer, Gemet. P. II. B 'idem * idem finus pofitivus NQsaiKL; cofmus magnitudine quidem aequantur NP, KP; uti etiam tangentes AM, AO, nec non cotangentes RB, kB, attamen fignis differunt. Et quoniam in tabulis (de quibus poftea) iinus & cofmus pro angulis obtufis non habentur, ut ii repedantur, obtufus angulus ex IgO1 auferendus eft, & refidui finus accipiendus. Si enim arcum ABN ex ABD tollas, remanet ND = AK. 11. Coroll. III. Nullius anguli finus major effe potert radio, five ii-nu toto. 12. CoroLL, IV. In omni triangulo re&angulo fi hypotenufa fumatur pro finu toto, five radio, cathetus altera, valut FI, ejl; finus anguli oppofiti; altera vero, ut IC, ejusdem cofinus. 13. Coroll. V. Si angulus FCA fit = 45^ tangens AG erit aequalis radio AC. Eft enim tum triangulum ifofceles. 14. CoROLL. VI. Omnium dimidiorum angulorum ad centrum polygonorum regularium, quae Geometrice conftrui poffunt, ratio finus ad radium exprimi poteft accurate, faltem per radicalia. Patet ex Problemate VLl Cap. 4 Geomet. Sic fi FCA fit = 45eft FI = IC, eftque ad FC, ut ^7- ad 1; fi idem ar.gulus ponatur = 30*J? efi ^1 = |FC, & IC : AC = J/3 : 2 &c. Fig. 3 15. Coroll. VII. Si angulo FCA reflo minori (Fig. 3 Tab. I) ad- Tab.I datur quadrans FBN, finus anguli aucti NQ aequatur cofinui non aufli; & cofmus aufli fit negativus, & magnitudine aequalis finui non aufli anguli. Item tangens aufli fit negativa, & magnitudine aequalis cotangenti non aucti ; cotangens vero anguli aufli aequatur tangenti non aufli, nili quod negativa fit. Facilis eft hujus rei ratio. Cum enim FCN fit rectus per hypothefin f etiam anguli FCA, NCQfimul efficiunt rectum, cum hi tres fimul conftituant duos reflos. Igitur erit anguli FCA complementum ad reflum angulus NCQ; fed etianrCFI eundem angulum FCA ad reflum complet; quare ne-ceffe eft, ut fit CF1 = NCQ; & quia etiam refli ad Q & 1, nec non latera FC, NC sequantur, tota triangula aequalia & fimilia funt; ideoque NQ = IC, CQ — NP = FI. Eodem modo clarum eft, effe NCQ Hb BCN — 9°l " BCN + BCF, & ablatis ajqualibus NCQ = BCF = ACO. Et quoniam in triangulis ACO, BCf prseterea anguli ad A & B refli, & latera BC, AC aequalia funt, eft OA = E/*; fed tangens anguli ACN eft AO, adeoque aequalis B/, five cotangenti anguli FCA. Patet denique effe BR = AG. 16. Coroll. VIIL Si angulo acuto FCA addatur femicirculus FBV, finus & cofinus anguli ita aufli iidem manent magnitudine, attamen lignum mutant; tangens vero & cotangens nequidem fignum mutant. Angueus enim ABDY habet finum Yg, & cofinum gC; tangentem AG, cotangentem Bf. Quod Yg = FI? &5C =: IC patet ex fimilitudine & agtjualitate triangulorum 1FC, CYg. 17. CorolL. IX. Anguli ACF integro circulo au6H manent idem fi-nus , cofirius, tangens, cotangens. Cum enim integer circulus hafce lineas easdem habeat, quas arcus = o'u, ut manifeftum eft e Num. 5, 6, 7, 8; attendendus eft tantummodo arcus AF, proinde omnia manent fine ulla mutatione. Immo addere licet duas, tres, quatuor &c integras peripherias, quan-quam id genus additio in Trigonometria plana ufum non habeat. 18. COROLL. X. Sinus dimidii anguli _FCA (Fig. 4 Tab. I) aequatur Fig. 4 cofinui dimidii fupplementi; & cofinus dimidii FCA finui dimidii fupple-Tab.I menti; denique tangens dimidii FCA cotangenti dimidii fupplementi. Sit FCE = i FCA, & FCG = |FCD. Cum FCA + FCD = 180% erit ^FCA 4- i FCD = FCE 4- FCG = 90". Hinc HCG = IFC, cum utervis compleat angulum FCE ad retium, & proinde triangula IFC, HCG aequalia & fimilia funt ob latera etiam CF, CG aequalia, ac proinde CH = FI, & GH ~ IC. Et quia ponitur, quod ACF fit angulus pofitivus, & major nihilo, eft FCD femper minor 2 redtis,& conlequenter ejus dimidium FCG acutus. Competit ergo utrivis angulo HCG, & HGC tangens, finus, & cofinus pofitivus. Patet hinc affertum. 19. Definitio. Anguli acuti FCA (Fig. 2 Tab. I) finus verfius elt AI, Fig. 2 differentia inter finum totum AC, & cofmum IC; cofinus verfius vero eft HB,Tab-1 five finus verfus complementi FB. Anguli obtufi ACN finus verfus eft AQ, fumma e finu toto, & ejusdem cofinu PN vel CQ, fed pofitive accepto. 20. Coroll. Dato cofinu datur finus verfus, & ex oppofito; & quoniam dato finu FI datur cofinus IC = J/FC2 — IF2, ac dato cofinu datur Anus IF = [/PO —TC5, dato finu verfo datur finus & cofinus; ac dato finu datur cofinus, & finus verfus; vel dato cofinu datur finus, & finus verfus. Eodem modo data tangente AG datur fecans, cum radius femper detur, & fit AG = |/CGS — AC2; & CG = J/AG^ih AGA Porro eft GC: FC = AG : FI. Data ergo tangente datur finus. 2t. Observa. Tocibus finus, cofinus, tangens, cotangens, finus verfus, cofinus verfus, fecans, cofecans fubftituemus deinceps in Analogiis vel literas initiales, / c. t. cot.,fi. u, cof. v. fec. cofec., vel etiam dimidiatas voces fin., cof., tang., cotang., fin. u, cof. u, ftc.t cofec. Pro finu toto, vel radio adhibebimus v s R, vel 1. 1 Fig-3 Tab.I ARTICULUS is. Vari® Analogise, & formulse. ii. T Tfus formularum, quas hoc loco damus, non modo in disquifirioni-bus Algebramis, fed etiam m conftrudione tabularum fumum eft, ut fciatur, qmd, cui furrogari, quid ve quo dito reperiri poffit. Angulum, “m, 6 un'C° agitur, dicemus A; dum de duobus, alterum B vocabimus, yuadratum linus, vel cofmus exprimemus fm* vel coi?, & poftquam omnia demonilravenmus, ipfas formulas in ordinem redactas fubjiciemus. # 2 3; Ex Coroll. X (ig) fuper. Art. patet, efie fin. i A = cof 4 fupptem. ; coj. A — Jln. , fuppl. A; tung. 4A = cotang. 4 fiippl. A • cotan? —A —• tani>’ ^ fuPpl-A- Pro his nova haud opus eft demonftratione. ’ 24 (Fig- 3 Tab- U ponatur angulus FCA = A; erit primo AC : AG = CI:IF; id eft R: taug. A=cof. A-. fm. A; &li„c>.A= vel polito R = 1, fin. A = cof A X tang. A. Secundo. Triangula/BC, FHC ob parallelas B/, HF fimilia dant Bf: FH = BC : HC vel FI, id eft cot. A: coj, A = R: fin. A, proinde polito R radio aequali unitati, erit _/?». A = —. Tertzo. Quia parallela funt GA, FI, erit GC : GA ac FC : FI, live /rr. A: tang. A = R (= 1): fin. A = A. J6C» A. 25. Ex triangulorum /*BC, FHC fimilitudinc habetur BC : B/== CH (vel FI) : FH, feu R (= 1): cot. A = fin. A: cof. A = fin. A x cot. A. Triangula item GAC, FIC dant Analogiam GA: AC = FI: IC, vel tang, A : R (= 1) —fin. A: cofi A = . Tabi Ponatur in Fig. 5 Tab.I angulus FCA = A; FI ejus linus produ-catur, ut fiat AF — AG; erit FG = sFI; FH ad CG perpendicularis = Jh. 2.A. Evidens eft primo, triangulum CiG effe aequale & fimile triangulo EI^5 fecundo triangula FGH, CIG elfe fimilia, ob communem angulum aft G, & rectos ad H & I. Hinc FG : FH = CG : Cl, fi ve 2 fin. A: fui. a A — R (=£= 1): coj. A = ~-—r- Si 2A foret > 90% nihilominus Analogia 2 Jvi. A fubfiftit: nt enim fCti = A, fi = fin. A, fg = afui. A, fitque g/? = fin- 2 ^ > er t adhuc fg : gn s= fC : Cz, cum triangula JCi, figh, ad i & h retiangula, habeant angulum f communem. Ponatur in eadem figura angulus FCG = A, FH = fin. A ; fiat FCA == iFCG = 4A, erit FI =>. 4 A, FG = 2//«. 4A, HC = cof. A. Ex fi- Fig. 5 iriilifudme triangulorum FGH, CGI jam demonftrata habetur Analogia CG : = FG : GH, id eft, R ( = 1): fm. |A =: 2Jln. |A : GH = zfin?IA; quod fi GH fubtrahatur e CG = R, relinquitur HC = cof. A = R ■— 2fw* i A. 26. (Fig. 3 Tab. 1) habetur CI : IF = CA : AG, id eft, pofito FCA^J = A, cof. A: fin. A = R f == 1): tu?zg. A 5= Et quia ob parallelas B/, AC; item BC, AG triangula/BC, GAC fimi-i1», habetur quoque / B : BC = AC : AG, vel cot. A:R(=i) = R: R2 I tan*. A — ^ » quae formula fignificat fimul, tangentes efle in ratione reciproca cofangentium. Denique in eadem Figura eft FC : FI = GC ; GA, hoc eft:R( = i): fiit, A = fec. A: tang. A = Jk. A X Ttf. A. R1 87- Praecedente Num. habuimus tang. A = ; erit igitur etiam cot. A = r-------r. Item Num. 25 fuit cof. A — fin. A X cot. A ; hinc 7^-7 = Jin. A -------fiet tang. A X cot. A — RV cot. A fin. 2 A eg. Invenimus (25) cof. A = ; fi utrumque ducatur in fm. A, fit 47??;. 2A = fm. A X cof A. Praeterea eodem numero habuimus cof. A=s tfi>~A == A X cot. A; fi uterque valor de cof A fubftituatur, obtinetur j3" /zh.2 A iV?». 2A =--------7 = fm? A X cot. A. tzzizg. A 29. Sit (Fig. 6 Tab. I) FCA = A, ducatur FD, erit angulus ad peri-F$g s pheriam FDA =s ^FCA ( cum infiftant eidem arcui); adeoque HD 1= cof xab.I 1 A, fi nempe fit CH perpendicularis ad chordam FD, & FD = 2 ccf -A, FI = /in. A, CK ad FI parallela, = tang. i A. Jam ob triangula fimilia CHD, F1D habetur: GD : HD = FD : IC, feu R (= 1 ): cof |A = 2 cof |A: ID = 2 cof* i A. Eft vero ID = CD •+■ IC = R-t- cof A, confequen-ter R cof. A = 2 cop i A. Quodfi/CA = A fuerit obtuius, nihilominus triangula z/'D, C/zD fimilia funt, & CD : /zD =/D : zD, feu R: cof 4A = 2 cof 4A : zD = 2 cof? 4A; at in hoc cafu eft iD = CD — Ci = R — cof A (10> Praeterea eft in triangulis DCK, DIF, CK : FI es CD : DI, feu tang. IA: fm. A = R: R -h co/i A = JffTp fuerit AC/> 90'', erit Cfe : tang. A" cot. A. Denique ob tflzzg. A tang. /z = CD : iD, id eft: tozzg. 4A: >. A = R; R — co/T A B 3 /zz. A tzzzzg. |A* BO" Num. 30. N"im. 25 erat cof. A = R — 2/uz.5 |A; igitur 2 /?«.2 |A = R — F‘S- 6 ro/ A. Deinde ( Fig. 6 Tab. I) cum CK = i A, & DC : DA = CK: a - AG, feu I : 2 = tang. i A: AG, erit AG = 2tang. | A. Praeterea triangula AFX, IFD (ob redtum AFD in femicirculo, & IF ad AD perpendicularem ), GAD fimilia funt. Hinc FI: AI = AD : AG , feu fm. A: R — cof. A = 2R: 2 tang, ~Ay quae Analogia praebet R — cof.A= ^ y aR s= /in. A x tang. |A. 31. In eodem Schemate 6to eft DI: FI =Fl : IA, proinde DI : IA 5= DP : IF3 == CD=: CK2 = IVtang* i A. Eft vero DI = R H-fo/A,& IA = R — cof. A. Hinc R H- ro/" A : R — cof A = R* f = I) • tang.1 R—'cof A ‘ 1 i A :——• Porro (26) tang. | A = ——, confequenter tang.7 • cof. a: 4A «y: a = «.ia; iuarcetlameft ir^/A rof.5 i A. rot. -i A ’ 1 ^ R -f- cof. A = «t>lA’ & R^ionA Fig. 7 32. Sit angulus GCA < 45" (Fig. 7 N. 1 Tab.I), radius = AC,tan- gens = AG. Defcribatur centro A, radio AG, circulus DGE; erit DC =: AG -+- AC R -+- tang. A, & EC = AC — AG = R — tang. A. Praeterea eft DGE = 90"J’ & GEA = 45’'; & fi fiat CBH ad GE parallela, erit etiam DHC = 90^, & HCA = 45^, nec non HC = HD , & BC = AC = BK (13) — tang. 43’; & BI — tang. ICB. Eft autem ICB = EGC, & ob GEA = 45” & externum refpeSu ECI, EGC, eft BI = tang. (45^ — A). Eft EC : CD = HG : HD = BI : BK (vel BC, vel AC J & hinc etiam EC: CD = BI: AC, five R — tang. A: R -f- tang A = tang (45" — A ): R R -f- tang. A R 1 ~ 1 ^ a e0yU° R — tang. A ^ tang. (45" — A) tang. (45r — A>' Cotangens arcus (45^ — A) eft tangens arcus (45"' -+- A), hi enim additi efficiunt 90'”; praeterea funt tangentes in ratione reciproca cotangentium, I ...... ,0 „ R-+- tang. A ideoi i™ = ‘mz- to’L+ & confeiumter rITI^Ta tang. (45^4-A). Fig. 7 Efto dein (Fig. 7 N. £ Tab. I) angulus GAC major femiredlo. Si 2 rurfus centro A, radio AG = tang. A defcribatur circulus DGE, & agatur a " GE, eique CH parallela, nec non per B ad DG parallela KBI, evidens eft, fore CE = tang. A — R, CD = tang A 4- R, BK = tang 45* = AC, BI — tang (A — 45’')? & denuo eft CE : CD GH: HD = BI : BK vel AC, id eft tang A~R: tang. A 4- R = tang. ( A —45^: R, ut adeo fit ta«g. A 4- R 1 tang. A — R tsng. (A — fin. A 33. Cum habuerimus (26) tang. A s= —FT ’ & ( pofito A 45u ) R^rr^A = wiTts^A)= (A 45 ^ ”pro “"$■A lutni- R fin. A 45", tonnla X”R = fm-A+R per eandem fubftitutionem fit cof. A fin. A-t-cof. A ' /z‘hA— co/A tazzg. (A - 45'") \ ' fin. A • ro/A ^ , fin. A — ro/. A fin. A fin. A 34- E N. 29, fi A> 90", eftR+fo/A = hlnc R-h^/A tang. i A. Et e Num. 30 habemus R — cofi A = fin. A X tang. i A: quare etiam efl fo/ A = tang. i A. fin. A 35. Sit (Fig. 8 Tai. I) angulus DCA =A, DCB = B, datis DF = fin. A, FC = fO/T A, BI = fin. B, IC =: cofi B, oportet invenire BFI ==/?«.^A | (A H- B), & HC = fo/. (A + B). Ducatur iG ad DF, & IO ad AC parallela, erunt triangula DCF, ICG fimilia; item BiO, ICR, RCH, Dv.F. Hinc DC : IC = DF : IG = OH, hoc eft R (= 1): cof. B =fin. A : OH ss= fin. A x cof. B. Dein DC : FC = BI : EO, vel R (s= 1). cofi A = jvt. B : OB = fin. B x cof. A. Eft autem OH •+• OB = BH = fin. ( A -+- B) — fin. A X co!. B -4- fin. B X cof. A. Q. E. Unum. Praeterea eft DC : FC = IC : GC, feuR(=l): cofi A — cof B: GC — tof.Ax cof. B. Item DC : DF = 1B : 10, vel R f= 1): fin. A = fin. B : 10 =fin. A x fin. B. Jam IO 5=5 GH, & GC CH —. HC cof. (A B) = cof. A x cof. B — fin. A x fin. B. Q. E. alterum. 36. Datis (Fig. 9 Tab. I) DF = fin. DCA — fin. A, FC = cof A,BIF]> _ =5= fin. BCA — fin. B, iC = cof. B, invenire fin. BCD = BK=fin. (A — B), 'fab/l &: HC == cof. (A — B). Fiat IG ad BH, & BO ad DC parallela; erit ob triangula ICC, DEC recrangula, & habentia angulum C communem, DC : DF = IC : IG, vel R (5= 1): fin. A =5 cvj. B : IC = fin. A x cofB. Frater e a fimilia funt triangula retiangula EOI, DFC, quia BI ad DF, EO ad DC Fig. ro Tab.I DC parallela ; hinc DC : FC = BI: 10, vel R ; cnf. A = fin- B : 10 zczfin. Bx cof. Ajam OG = IG — IO s= BH = /in. (A_B ) = fln- A X cof. B — fin. B x cof. A. Q. E. Un. In iisdem triangulis eft DC : FC == IC : GC, id e(l, R f=:I ) : cof. A = cof B : GC = cof. A X cof. B. Deinde DC : DF =5 BI: BO, vel R (= i): fin. A = fin. B : BO ==fin. A X fin. B. Efl autem CG BO ( = CG -f* GH) = CH = cof. DCB = cof. (A — B) = cof A X cof B a-fin. A x fin. B. Q. E. alterum. 37' Superius (35) habuimus fin. ( A -+- B ) = /?«. A X cof B-i- fin. Bx cof. A, & praecedente /z;z. (A — B) = /z«. Ax cof B ■— fin. B X cof. A ; erit ergo fin. (A 4- B) : fin. (A — B) — fin. A x cof B -h fin. B X cof A : fin. A X cof B — fin. B X cof.\A', dividatur fecunda ratio per cof. A X cof B,du- „ „ fin. A fin. B fin. A fin. B bebitur fin. (A -t- B) :fin. (A — B ) = : —7-7- — ’ v rVL X cofi A c°j; B C(f A ,c0/ B atqui per Num. 26 efl = tung. A (idem efl de B) proinde (it fin. (A-H E) : fin. (A — B) = tang. A + tang. B : tang. A — tang. B. Unde fin. f A + B ) tang. A -+- tang. B fin. (A — B) tang. A — tang. B' 33. Ex iisdem numeris modo addu&is efl cof ( A -i~ B) s= cof. A X cof B — fin. A x fin. B, & cof (A — B) = cof A X cof. B -i-fin. Ax fin. B, ad eo que cof. (A + B) : cof (A — B ) — cof A X cof. B —fin. A x fin. B : cof. A X cof B -i- fin. A X fin. B. Dividatur fecunda ratio per fin. Ax cof. B, cof. A fin. B cof A fin. B fiet cof. (A + B) : cof (A — B) == J ( 2.6) efl firu cof. tang.& (27) cof fin. A cof B B) = cotang. A —• tang. B cotang. A — tang. B fin. A cof. B cotang,-, hinc cof (A + B) : cof. (A cof. (A h- B) ; fed fin. cotang. A Hh tang. B & cof. (A — B) & fadtis iis- cotang. A 4- tang. B Si eiusdem Analogiae ratio fecunda per cof. A X fin. B dividatur, fit coj. , ^ cof B fin. A cof B fin. A ( A 4- B): co/T (A, B) JffifB cof A ''fin. B^ cof. A dem fubftitutionibus utionibus zA_Bx" coL B 4. tang. A 39- Sit (Fig. 1D Talx n angulus DCK = A, & RCK = B, erit DR = A — B, & Rp = UP = |DR = i-A — iB, DE = fin. A, RF =>• B. Fiat CX ad chordam RH (parallelam diametro KV ) perpendicularis , erit XI = CE = cof A, XR — CF = < B, RH = 2 cof B, Ri = EF= cof B — cof A; ID = DE — RF =fin. A — fin. B. Producatur DE m G, erit KCG = A, RKG = A 4- B; IG = fin. A 4->- B- Dividatur F-RG biiariam in S, & ducantur radii CS3 CP, & ad R tangens, erit RM =« tang. tanS- (IA + 46;, RL = tang. C±A — 1B), RQ = DQ = fm. ({A — tB) ; ST ==>. (tA -H|B),CT = ro/: (4A -f- |B), QC = (|A — ). PrKterea eft HV = RK = B, & GV = VGK — KG = jgV — A, & HVG = iSo" — A -h B; eft vero A — B — DR, ergo HVG = igo-' — DR, id efl B1VG eft fupplementum arcus DR; fuperius (18) vidimus, ede cofinum dimidii anguli aequalem fmui dimidii fupplementi, ideoque erit QC =7.c’°/‘ (IA ■— = fm. |HVG; efl autem HG, chorda arcus HVG = ?HV G; igitur erit HG = 2 cof. (-kA — ^B). Triangula CSX, GHI ad I & T redtangula habent angulos SCT, GHI asquales, cum ille infiflat arcui RS = |RG, hic vero arcui RG, & praeterea , hic fit angulus ad peripheriam, ille ad centrum. Quare efl IG : HG = ST: CS, id efl, fm. A ■+• fn. B : 2 cof. ( t A—±B)=fin. (iA-t-iB ): R(;—i); multiplicatis mediis & extremis fit jin. A -f- fn. B = 2 X fin. (|A •+• f B ) X cof.(iA — iB\ 40. Triangula DIR, CST ad I & T redtangula fimilia funt, cum angulus ad peripheriam IDR infiflat arcui RG, & SCT ejus dimidio SR. Unde pl : DR = CT : CS, velfn. A —fm. B: nfm. (4A — -B) = cof. (iA-i-vB) : R (= 2 )■ Mediis & extremis inter fe multiplicatis habetur fin. A — fm. B = 2 x cof. ({A ~b {B) x fm. (iA — |B). 41. E triangulis DIR , CST per Num. 40 fimilibus habetur RI : DR = ST : CS, feu cof B — cof. A: 2fin. ({A — — fin. (fA -+- |B) : R (= I). Quae Analogia dat cof. B — cof. A — 2 X fn. (|A *+■ |B) X fin. ( |A — |B). Ex CST, GHI fimilibus (39) etiam habetur HI: HG = CT : CS, id efl cof A -f- co/ B: 2 cof. (f A — iB ) cof. {~A Hr iB) : R ( = 1) multiplicatis mediis & extremis obtinetur cof. A + cof. B = 2 Xcof. (iA + x coj. (iA — iB). 42. Triangula DHI, LCR. fimilia funt, cum /int redtangula ad I, & R, & DHI infiflat arcui duplo DPR, LCR vero fimplo PR. Unde DI: IH == LR i CR. Praeterea funt etiam fimilia triangula MCR, GHI ad R & I rect-angula, ob angulos GHI (qui infiflit arcui duplo RG) & RCM (qui ejus dimidio RS infiflit) aequales; confequenter efl IH : IG = RC : RM, cum igitur prius fuerit...................... DI : IH = LR : CR , erit rationibus compofitis DI: IG = LR : RM, vel fin. A —fin. B: fm. A =■$-- fm. r, s fn. A + fn. B tang. (4A -f- IB) (iA+tW >a=AB - cot. (fA — ’ • B = R (— 1): tang. (iA+ jB); quare = tang. ({A +yB). /?- P, Sckcrjfer, G comet. P. II. C 44. 44- Quia RP = 4DR, e fi LCR = IGR; praeterea ad I & R funt redii, adeoque triangula LCR, RGI fimilia, & IG • IR = CR : LR, id eft, fin. A -4- /to- B: fo/ B — co/ A = R (= i); tang. (IA — ?B). Hinc fin. A ■+• fin. h i =: C0toB5- (IA — 1B) ( 26). 45. Triangula D1H, LRC fimilia (42) dant Analogiam IH : ID = CR : LR, feu cof. A ■+• cof. B: fin. A — fin. B = R ( = x); tang. ( {A —|B). , fin. A —fin. B Unde —pr —- r-5 = tang. (|A — B ). cof. A -i- cof. B 6 v 1 y 46. Quoniam in triangulis DIR, CRM ad I & R redtangulis angulus IDR infiftic duplo arcui RG, & angulus RCM ad centrum fimplo RS, hi anguli aequales, & triangula fimilia funt, ac IR : ID = RM : RC, feu cof. B — cof. A : jtB. A —B = tang. (|A qB); R (= 1). Unde eft /in. A — fin. B 1 „ -7-.------jr-T- = 7----7 -7—, = cot. (4A -t- ) per Num. 26. cof. B — cof. A tang. (|A -t- i^B) ^ 2 y r jiv /X. -1 fin 47. Habuimus (43) fffff^rjoJfQ = (iA + |B), & (44) fin. A + fin. B 1 ... fin. A■+•,/»?. B fin.A-b fnuB tang. (|A — |B)’ ent 1SltuI co/A-p-cryiB ‘ co/B — co/^A 1 cof. B —eo/.'A = tang. (iA -h i-B): ^ ( 1A H3) ’ ^ anteeedentibus per con- fequentia ^ ^ = tang. (^A ■+■ |B) X tang. (4-A — IB> 48. Invenimus (35) cof. (_A -h B) = cof A X cof. B—-fin. A X /?k.B, & (36) cof. (A — B y = cof. A X cof. B-b fin. A X fin. B. Quare erit cof. (A — B) — cof. (A ~h B) — ro/i A x cof B -h fin. A x fin. B — cof A X af B fin. A xfin. B = a fin. A xfin. B, & fin. A x fin. B — {cof. (A — B) — scof. (A -h B). * 40. Iisdem numeris reperimus^H. (A -H B) —fin.Axcof. B-f- fin.Bx cof. A, & fin. (A — B ) = fin. A X cof. B — fin. Bx cof. A. Quare habetur fin. ( A + B J -h fin. ( A — B) = i fin. A X cof. B, & fin. A x cof. B — d/i-z. (A -f- B ) Hh i fin. (A — B). 50. Ex iisdem etiam eruitur /bz. (A + B) fin. (A B J s= 2 fin. B X cof. A, aut fin. B X cof. A = -kfin. (A ■+■ B) (A ~ B). 51* item reperifur ex iisdem numeris (A -h B) -4- (A — B j = 2 fOyf A X ro/ B, vel i cq/: ( A -t- B ) ■+■ | w/ (A — B) = fo/: A X cof B-Redigamus jam hafce formulas in ordinem. 52. I. fin. IA =5 co/ 4 fupplem. A 1 IL cof. |A — fin. - fupplem. A \ z „ „ ■> III. tang. | A = cotar.g. ~ fupplem. A | ■ y’ IU. cotang. |A = tang. 4 fupplem. A ) V.>.A=^Ax^.a= (=4> cot. A fec. A VI. cof. A =>. A x cot. A = ~~ = %24 = R—afin.-1 i A (25). f• A X/o-. A ( a6> R2 vm. »!.a=;^ = -^-(27). IX. cof. A X tang. A = R2 (27). /fw2 A. X. |Jtn. 2A = cof.Axfln. A = r = A X cof. A ('28) tang. A XI. R± cof. A = 2 co/.2 |A = fm. A (29). ‘ tang. i A XII. R — cof. A = 2fn.a ±A—/in. A x tang. |A (30). R — cof. A XIILr^7^: = “-^jA<3-> R + r»/: A , , XtV' W--^fA=C0‘’ iA XV. ^ —fl—— =-------7^-—— — fflflg. (A + 45v)? quando A AVl R-~to/g.A to«5-(45 -A) 6 J y ^ tang. A -+- R R <45% f, ver. A>45",erit = tpprpCsO XVI. =tang.(45v—A)fiA<451'; fiautem A>45v, eri‘Sx^|-x = 1^(A-45,)(33> XVII. Jin. A R — co/A _ ttiHg. IA ( 34). R •+■ f q/? A fm. A XVIII. /i». (A ±B) = fm. A X co/B±>.B X cofA (35 & 36). XIX. cof.(A±R) — cof. A X cofR+fin.Ax fin. R (35 & 36> vv fm. (A+B)_ tang. A -f- f^ig-B ' Jin.(A—B) “ fmzg. A — tang. B co[.(A-hB)__ cot. A—tang. B __ cot. B — A co/T(aA—B) *T cof. A 4- £ong,B cot. B -f- fa/zg. a ( 38)• XXII. fin. A-}-fm.B = 2 x7?h. (7A -{-7B)xco/. (|A —-iB) (39). XXIII. /ia. A—/72.6 = 2x7?». (j A — i B) x cof (iA-t-fB) (40). XXiV. co/ A -+- f 0/ B = 2 X cof a A -+- ~B)X cof (j A ~^B) (41;. XXV. cofB-—cofA=2Xfn.(iA-i-ib)x/itJ. (fA — jB) (41). Geomet. Pars II. Gap. I. Artic. IL xzvirT ftn- A XXVI’ ftruA^JhiTB — m&' (^A fB) X cot. (iA —i-B) == tang. (jA ■+• xB) tflfig. (iA — ^B) ^42'>' /?«. A -4- fin.' B XXVn- ^AT^I=‘»^-A + iB) <43». = * C tA - iB) = (44> co/ B —cof.K — ^ *u; — tang.QA-iB) XXIX't^jl=“^fA-4B^45». XXX' = * «A + iB» = (4« XXXI. B co/T B -i- co/ A taug. ( jA •+• fB) fo/A ~ ‘•w* ^ ~ tang. (fA+ fB) __cor oTK. ~ tang' (iA + tB) X ^Bg. (iA — iB) = (47)- cot. {iA — fB) XXXII. fin. A x>. B = jcof. (A— B) — fco/ (A+B) C48)», XXXI [I. fin. A x cof. E = i fin. (A h-B) -4- f/in. (A — B) (49). XXXIV. cofi A x /h. B = f fin. (A + B) — +Jhi. (A.— B) (50). XXXV. cofi. A xcofi.E —ficofi. (A + B) + jcofi. (A — B) (51). 53- In omnibus hifce formulis notet Tiro, poni angulum A majorem, quam B. Quod II quid dubii de fignis occurrat, confulat numeros lingulis formulis annexos, atque ex ipfa demonftratione facile intelliget, quale lignum adhibendum lit. ARTICULUS 115. De conftm£Kone tabularum, & ufu Logarithmorum. 54- ITT5 Corollario Num. 20 manifeftum, fi detur ratio radii, qui pro 1 in JlAt formulis fuperioris Articuli fumptus fuit, ad linum vel cofmum ali» cujus anguli, poffe inde reliqua, qu$ ad talem angulum, vel arcum referuntur, reperiri, praecipue li adhibeantur formulae expolitae. Dato enim finu datur cofinus — i/R' —. /jn = . dato linu & colinu datur tangenss= ——,v-r—> c cofi A XK cof-A & cotnng. = (Form. VII & VIII 52). 55' ^Fe earundem formularum datis iis, qua? pertinent ad arcum aii-quem limplum, reperiri etiam poffunt omnia, quae Ipeclant ad duplum arcum. Cum enim fuerit (Form. XVIU 52) fin, (A + B) = fin. A X fin- B + fin. B X cofi De Constructione Tabui..arum, &c. cof- A,tantummodo opus eft, ut ponatur A =B,fietque/ii2. 2A = 2 [in. A X cof. A coC, A5 & eadem iada pofitione e formula XIX eruitur cof. aA = —— fin. A1 R -R ' Ubi ohfervet Tiro, calculum finuum tabularum & cofinuum fieri tantummodo pro angulis acutis ( io) ; hinc A nunquam efl > 451’, (quippe fi A = 45b cof. A— fin. A ob triangulum ifofceles & co/? 2A = cof. goy — oj fed femper A ■< 451. 56. Eodem modo datis, quae pertinent ad arcum quempiam A, earundem formularum fubfidio invenire poteris omnia, quae ad dimidium arcum fpedtant. Non enim alia re opus eft, quam utaris Formula XI, in qua fuit ['lYl jfak. fin A R ~h cof A 5= 2 cofr ^A =---------—r; hinc tang. = —-------------. Da- J ' tang. 4A’ & R-+- cof. A ta tangente per Num. 20, finum, cofinum &c invenies. Idem poterat haberi e Formula XVIII, polito A = 2B, fumpto figno —. His adjungimus adhuc fequentia duo Theoremata. 57. Theorema I. Summa ex finu KM (Fig. 11 Tab. I) arcus KApjg, n minoris 30 gradibus, & faefto ex in KI, Sinum differentiae arcus KA a Tab. I triginta gradibus, eft aequalis finui FN arcus FA, qui tantundem excedit 30 gradus, quantum arcus KA ab iis deficit. Demonstratio. Sit arcus AB = 30^, & BF = BK ; ob triangula re-(ftangula SIF, SGQ fimilia, eft angulus IFS = GQS — BCA = 30'''; unde cum KFS = 3ov, eft GK = 4-FK ( 14) = IK = FI. Eft autem FK* — GK’ = FG% feu 4IK5 — KI* = 3KP = FG% & proinde IK x J/3 =FG. Jam vero FG -+• GN = FG -+- KM = FN = KM -i-IKx [/3. Q. E. D. 58- Theorema II. Summa ex finu FT, arcus HF minoris 60 gradibus, & finu FI, differentiae arcus HF a 60% aequalis eft finui KO arcus HK, qui tantum excedit 6ov, quantum arcus HF ab iisdem deficit. DeMONSt. Nam e demonftratione prioris patet, e fle FI = GK, & ma-nifeftmt! eft, efle TF Hh GK = KO. Quare patet propofitum. Sic ex, cauf. J** 55v 5"' = fin. 6.5 !. 59. His ita conftitutis patet (56) dato finu arcus 3ov ( quem pofito radie* = 1 fclmus aequari { ), pofffe dividendo femper per 2, inveniri finus, & cofinus arcuum dimidiorum, puta 151, 7" 30', f 45b 30'9 56' 150 &c usque ad duodecimam divifionem , qua acquiritur arctis ja" 44/1/ g 3.//,^ qui citra errorem fenfibilem pro ipfo arcu haberi poteft, & cenferi, quod arcus admodum parvi fint proportionales finubus fu is; quare fi finus inventus pro arcu 52,/ 44,// 3f''" dicatur =: m, fieri poteft 52" 44'// • 1/ — m; fi. num unius minuti. Habito finu V, licebit (55) invenire finum arcus 2', tum 3', ( fadlo A = 2', B = V), 4', 5' &e usque ad 30^. Notis jam omnium arcuum 30-" minorum finubus (per Num. 57) repedentur finus arcuum, qui tantundem excedunt 3°’’? uscIue a(^ finum arcus fio1’ ( quem novimus ex Gec- 3 me- 1/3 . r metria effe = ~ ). Denique ope Num. 58 inveniri poliunt imus arcuum 6ov gradibus majorum usque ad 90'’. Coimus, tangentes, cotangentes &c ope formularum citra difficultatem reperientur. 60. Observa. In tabulis uiitatis minoribus Vlacquianis fmus totus, il-ve radius affumitur 100000,00; fed in Algebra praecipue multo commodius eft, fi ponatur R = 1. Unde fi velis fmus adhibere pro radio = 1, tantummodo opus eit, ut integrorum loco fradtiones decimales adhibeas. V. g. \A .. ............... fi pro finu 6ov ~-----quseras radicis quadratae de 3 dimidium, invenies 0,8660254; ii tabulas confulas, reperies in iis fmum 6ov = 8660254- Ex quo apparet, effe easdem notas numericas, ni ii quod in tabulis iint notae integrorum numerorum. Hinc iinui minoris anguli, quam 90", in tabulis reperto praefigatur nota o cum interjedta lineola, ut fradtio decimalis indicetur. Attendendum tamen, cum in finu toto 100000,00, vel lOOOOOOO iint 7 zeri, fi quis fmus conflet notis paucioribus, quam 7, iis tot adhuc ante virgulam praefigendi iint zeri, quot ad feptenarium conficiendum requiruntur. Exemplo fit fmus 2V 30', qui in tabulis eft 4361,94, vel 436194; quia conflat tantummodo 6 notis, ii ejusdem arcus linum defideres pro radio = 1, ponendum erit 0,0436194. Pariter pro finu ov 30' = 87265 fcribendum erit 0,0087265. Sed quia tangentes angulorum 45 ^ majorum excedunt finum totum, ut eas radio = 1 accommodes, quas in tabulis reperis, illud tenendum, inde ab interpofita virgula (nam poitrema, vel poflremas duae verfus dexteram notae in tabulis decimales funt) numerando verius finiflram, quinque notae abfcin-dendae funt interjecta lineola, quae hanc verfus finiflram fequuntur, integrae erunt. Exemplum tangens S91' in tabulis eft 5728^96,2, ut eandem habeas pro finu toto = 1, fcribe 57,289962, ubi funt 57 integrae unitates, reliquae funt note decimales. Similiter tangens tabularis arcus66" 10' eft 226373,57; pro radio = l eadem fit 2,2637357. Quod de finubus dictum eft, applicari debet etiam cofnjubus; quemadmodum ditia de tangentibus etiam intelli-gcnda funt de fecantibus. 61. Quoniam autem operationes Arithmeticae in tot notarum numeris, quot finubus, cofinubus &c tribuuntur, nimis molefiae e fient, fimili artificio, quod in Algebra expofuimus, reperti funt Logarithmi pro iisdem, hoc modo difcrimine, quod pro finu toto affumpta fuerit charatieriflica 10, & proinde Logarithmus fmus totius fit 10,0000000. 62. In operationibus, & Problematis Trigonometricis fecantes hodie non adhibentur, ideoque in plerisque tabulis non extant. Quod fi tamen "■'ab21 U'US earum occurrat, facile reperiuntur. Eft enim (Fig. 2 Tab. Ij C1: Cfi * = CA : CG, hoc eft, cof.: R = R : fic., cof/ Quod fi etiam Logarith- mus fecantis defiderctur, is habebitur (ut indicat h$c ipfa fecantis exprefiio ■ fi De Constructione Tabularum, &c. 33 ii a duplo Logarithmo fimis totius (five a 20,0000000) fubtrahas Logarith-mum ccfinus. V- g- fi petas Logarithmum fecantis arcus 6ov, quasre Loga-rithmum cofinus de 6ov, id efi, Logarithmum arcus 30^, quem in tabulis invenies 9,69897°°) fubtrabe hunc ex 20,0000000, relinquetur 10,301030° pro Logarithmo fecantis 6ov. Cofecans reperitur ex Analogia (cum triangula IFC, C/B fint fimilia) IF : FC= BC : Bf; feu Jin.: R = R : cofec.= R1 fm: 63. Quantitatem quampiam dividere per fln., velcof., vel tang., vel • • * I I COtang. alicujus anguli, idem efi, ac eandem multiplicare per vel — ^vel tang. 1 vel —; atqui pofito radio = 1, efi cofec. cot. I " fili fm: vei ^ cot. = —— (Form. IX 52); igitur licebit multiplicationem fubftituere coi» ^ vang. divifioni, & confequenter fi Logarithmis utamur, fubtrabtioni additionem, modo loco Logarith morum finus, coimus, tangentis, cotangentis adhibeantur eorum complementa Arithmetica. At illud probe notandum, cum in hisce formulis cofec. = &c unitas fit quadratum radii, cujus Logarithmus efi 10,0000000, efi Logarithmus quadrati 20,0000000. Unde Logarith morum limium, cofinuum, tangentium &c fubtratiio mutari potefi in additionem complementi Arithmetici, modo Logarithmus finus, cotinus &c fubtra-hatur ex 20,0000000. Ufus ergo complementi Arithmetici non modo in Logarithmis numerorum naturalium, fed etiam in Logarithmis linuum, cofinuum &c locum habet. 64. Tabulse ufitatze plerumque exhibent tantummodo finus, cotinus &c pro fingulis minutis; in majoribus etiam habentur pro denis quibusque fecundis. Hinc fi Logarithmis utaris, & cupias pro arcu, qui in tabulis accurate non ex tat, Logarithmum, 'ufui erunt eadem Prootemata, qua? in Aige-bra, cum de Logarithmis ageremus, expofuimus; nempe accipe Logarithmum arcus proxime minoris dato, & exfcribe differentiam ejus a proxime majore; quia differentia arcuum in tabulis efi V , vel 60", fac hanc proportionem: 601' dant inventam differentiam Logarithmonim tabularium, quid dant fecunda gradibus, & minutis primis adjuncta in arcu dato, pro quo quaeris Logarithmum ? quartum terminum ex hac Analogia repertum adde Logarithmo tabulari minori, habebis Logarithmum multo accuratiorem pro arcu dato. ,#». Enem- Exemplum, quaerendus fit Logarithmus cofinus arcus <) J 31' 7" * trahe hunc arcum ex 90’', ut habeas ejus complementum gO11 2g' 53"? ^ ^u' jus fmus Logarithmum quaere. Reperies refpondere go" 29'Logarithmum 9,9939815 8o'u 28' - - - - 9,9939603, horum differentia elt 212; igitur 60" : 212 = 53 ': r; invenies 187; has notas adde ad9,9939603? fumma 9,9939790 erit Logarithmus cofinus quaefitus. Eodem modo fi detur Logarithmus alicujus fimis, vel cofinus, qui accurate in tabulis non extat, & quaeras, quis arcus eidem refpondeat, operationis prioris ordo permutandus erit. Scilicet quaere inter Logarithmos fi-nuum dato proxime majorem & minorem, eorumque differentiam exfcrioe; tum fubtrahe etiam proxime minorem a Logarithmo dato, &pone: differentia Logarithmorum tabularium dato proxime majoris & minoris fe habet ad differentiam proxime minoris a dato, ficut fe habent 60" ad numerum fecundorum addendorum gradibus & minutis integris, quae in tabulis refpondent Logarithmo proxime minori, quam fit datus. Exemplum. Datur Logarithmus 9,3901763, quaeritur, cujus arcus fi-nus huic Logarithmo refpondeat ? in tabulis inter Logarithmos finuum invenies proxime majorem 9,3902696 minorem 9,3897106 cujus fmui competunt 14” ia'. Horum Logarithmorum differentia eft 5590; proxime minoris autem differentia a dato eft 4657» unde habebitur Analogia : 559° * 4^57 === * x‘ _ I^e' peritur x proxime 50". Quare Logarithmus datus competit finui anguli 14^ 12' 50/' proxime. 65. Verum eft adhuc alius ufus Formularum XXII & XXIII (52 ) in produdtis calcidis fubinde commodus , quem hoc loco indicare vifum eft. Dantur Loearithmi duorum numerorum naturalium, quaeritur Logarithmus fumma» earundem, quin ipfos numeros, quibus dati Logarithmi competunt, q merere neceffe fit. Adhibeatur in nunc finem Formula AXII /fu A -hjto. B = 2 xftn. (|A H- iB) X cof (4A — fB), fingaturque, majorem Logarithmum effe alicujus anguli A Logarithmum fmus, & minorem anguli minoris B. Propterea addantur charaderifticis Logarithmorum tot unitates * quot requiruntur, ut majoris charaderiftica fiat 9, & fub ea quieratur angulus, cujus finui competit ille Logarithmus. Si minoris characienftica fuerit eadem, quaeratur fub eadem itidem angulus competens. Horum angulorum quaeratur femifumma — |A -+- ^B, & complementum femidifferenti® i A — fB, finuumque horum angulorum fumm® addatur Logarithmus binarii, nova fumma erit Log. (2 x fw.(f Ari- jB) Xcof. ({A — iB)). Sed quoniam haberi debet Logarithmus numeri naturalis, ex characteriftica^ abjiciantur praeter decadem tot unitates, quot addit® fuerunt charadlerifticis Logarith-morum datorum; refiduum erit Logarithmus fumm® qu®fitus- Exem- Geom. Pars IL Gap. I. Art. IV. De Princ. &c. Exemplum. Sit Logarithmus major = 3,6047659, fcribatur 9,6047659, minor =2,9116902, - - 8,9116902, tus quaerantur inter Loganthmos Hnuum competentes arcus; reperietur majori proxime convenire finum anguli A 23M4' minori - - - - . - B 4 40 50 -A Hh B = 28 24 54CCs A-f-^B)=i4'1’12/ 27,/. , . A1—6 = 193 MCCz A—fB)= 9 31 37 = A lubtrahatur e gov9 relinquetur 80^ 28z 23'A Horum ano-ulorum ( nempe 14^ 12' 27", & 8ov 28' 23") iinuum qu^antur Logarithmi. metur pro fui. (fA -i- fB) = 9,3899351 pro cof (f A — |B) = 9,9939684 Z/Og. 2 = 0,3010300, addantur in unam fummam mve- r „ . 19^349335 quia addita? iuntfex unitates, abjiciantur e characlerifHca fummae 16, manebit Logarithmus quaeiitus 3,6849335, cui proxime convenit numerus 4841, eft-que tantum in poftremis duabus notis aliquid difcriminis. Reipfa eft Logarithmus primus datus numeri ^02^, & fecundus numeri 816, quorum futnma accurate 4841. Ex his intelligitur, quid agendum fit, fi petatur Logarithmus differenti*. Nam Formula yk A —fu. B = 2 X cof ( {A -t- jB) xfn. (jA — jR) eodem modo adhibita dabit Logarithmum qu$(itum. Sed enim fi his formulis utaris, duplex angulus A & B quaerendus eft, praeter finus & cofinus femifumma? & femidifferentia? Logarithmos; inferius poftquam principia calculi triangulorum redlangulorum expofuerimus, dabimus aliam formulam, in qua unicus tantummodo qua?rendus eft angulus, ejus complementi finus, & tangens dimidii, ut propterea quaerendi labor minuatur. ss ARTICULUS IV. De principiis refolutionis triangulorum. 66. Fjj Theorema I. In omni triangulo plano latera funt ad fefe invicem -ii. ut finus angulorum iis lateribus oppofitorum. Demonst. Omni triangulo poteft circumfcribi circulus, quo fadfo latera erunt chorda? arcuum, quorum dimidii metiuntur angulos oppofitos ut-pote ad peripheriam; funt igitur latera dupli finus angulorum iis lateribus oppolitomm: jam vero duplorum eadem eft ratio, ac f impiorum quare latera funt ut finus angulorum oppofitorum. Q. E. D. ’ " 67. CouoLL. L Quia triangula fimilia habent latera homologa pro-portionalia, & triangulum quodpiam in campo defignatum, fi habeat eosdem angulos, quos alterum mfcnptum circulo, ad cujus radium computati funt finus tabularum, fimile eft triangulo infcripto huic circulo: evidens eft, efls -R- P. Scherjfer^ Geomet. P.1L D " Fig. 12 Tab. I Fig. 13 Tab. I Fig. 14 Tab. I latera trianguli in campo defignati ad fefe invicem, ut funt finus tabulares, pertinentes ad angulos squales illis, quibus latera trianguli veri opponuntur. 63. Coroll. II. 'in triangulo redangulo ABC (Fig. 12 Tab. I) vel poteft concipi radio CB, feu hypotenufa, defcriptus arcus DB; vel radio C A arcus AE, vel radio AB arcus AF. In primo cafu patet, finum totum fore ut BC, fmum anguli C ut latus BA, & counum C (vel finum B) ut latus AC. In fecundo manifeftum eft, linum totum fore ut AC, & tangentem anguli C ut AB. In tertio denique finum totum efie ut BA, & AC ut tangentem anguli B. Quare conilat, in triangulo reciangulo quodvis latus /unii pojje pro radio. Et flquidem fumatur hypotenufa, erunt catheti Jinus angulorum oppo/itorum; fi autem fumatur cathetus pro radio (vel limi toto), altera erit tangens anguli oppofiti. 69. Coroll. IU. Hinc patet, veras elie fequentes Analogias, ut latus BC : latus AC = R : (in. B = R. : cof. C. ut latus AC : latus AB = R : tang.C. ut latus BA : latus AC = R ; tang. B. 70. Coroll. IV. Si dentur in triangulo quovis tantummodo tres an- guli, cum diverfiffima? magnitudinis triangula fimilia elTe poffint, tantummodo ratio laterum ad fefe invicem, non autem eorum magnitudo abfoluta re-periri poteft. Hinc, ut triangulum relolvatur, faltem magnitudo abfoluta unius lateris dari debet. 71. Sequentis Theorematis demonftrationem jam quidem dedimus in Geometria (438) 5 at quia ejus ulus magnus eft in refolutione triangulorum, quorum tria latera fine angulo dantur, juvat eam hoc loco rurfus in memoriam revocare. 72. Theorema II. Si in latus maximum AB (Fig. 13 Tab. I) ex angulo oppofito C demiftb perpendiculo CE, idem latus AB dividatur in duo fegmenta AE5 EB,erit latus maximum AB ad fummam reliquorum duorum AC -f- CB, ut eorundem ditierentia CB — AC ad differentiam Tegmentorum lateris maximi EB— AE. DrmonSt. Latere minore AC ex iis , quae angulum C maximo lateri oppofitum comprehendunt, defcribatur centro C circulus, & producatur BC in D, ut fit DC = CA = CG; erit DB = AC + CB, GB = CB ~ AC. Quia CE e centro in chordam AH perpendicularis, eam in E fecat bifariam, eft que AE = EH, & hinc HB = EB — AE. Jam cum duae fecantes BD, BA ex eodem puncto B ducantur, erunt eae partibus extra circulum, & pim-dum B interceptis proportionales reciproce, & proinde AB : BD = GB : HB, hoc eft, AB ; ACV CB == CB — AC : EB — AE. Q. E. D. 73- Si latera AC, CB forent aequalia, fieret AB chorda, & fegmenta ef-fent aequalia, ut manifeftum eft. 74. Theorema III. In omni trianguloj plano (Fig. 14 Tab. I) CBA eft fumma laterum angulum B comprehendentium CB -f» BA, ad eorundem differentiam, ut tangens femifummae reliquorum duorum angulorum, ad tangentem femidifferentiae eorundem. Da- De Princip. Resolut. Triangulorum'. Dfmonst. Defcribatur centro B, radio aequali minori lateri BC circu-1-is, & producatur AB in G; erit GA = CB -t- BA, PA = BA — BC; conjungantur panda G, C, P chordis GC, CP; agatur item PD chordae GC parallela. Erit angulus GCP in femicirculo redlus, & hinc etiam CPD, ejus alternus internus, redus. Praeterea eft GBC externus aequalis fummae angulorum BAC -+- BCA, & proinde angulus ad peripheriam GPC, prioris aci centrum dimidius, femifumma eorundem. , , ^Manifeftum eft, cum GPC = BAC -i- PCA, fitque GPC femifumma, BAC minor reliquorum angulorum, effe PCA femidiffererttiam angulorum BCA, BAC, Cjm additus minori eiBciat femifummam, & additus femifummae BPC, vrel BCP, det angulum majorem BCA. Cum GCP, <& CPD fint re-dangula, f 68j) licebit CP in utroque fumere pro finu toto ("vel radio), & erit CG tangens anguli GPC, femifummae angulorum A & C, & PD tangens femidifierentiae eorundem; & quia in triangulo GCA eft PD ex conftmtiio-ne ad GC parallela, erit GA : PA = GC: PD, hoc eft, CB -1- BA : BA — BC = tangens (iA -t- iC) : tang. ( ‘C — {A ). Q. E. D. 75- Schol. Haec Analogia ad alias duas fequentes reduci poteft: ut eft latus BC ad latus majus AB, ita eft radius ad tangentem alicujus anguli, a quo fubtrahantur 45’' (erit enim /emper major, cum AB fit majus quam BC ). Dein: ut eft radius ad tangentem anguli refidui, ita eft tangens (^A ■1" |C) ad tangentem ({C — |A). Nam produda BA fiat PT = BP = BC, & PM = BA, erit TM = BA -—• BC. Fiat item angulus NBM = e puudis T, M demittantur in BN perpendicula TK, MN, & jungatur PK. Patet, triangula BKP, BKT, BNM effe retiangula, ifofcelia, & fimilia, ideoque BK = KT, BP = KP = PT = BC, & BH = MN. Eft igitur.' in triangulo PKM , PK (vel BC) : PM (vel BA) = R : tang. PKM (68). Ab hoc angulo fub-tractis 45v=PKT, manet TKM —KMN ( ob KT, NM parallelas). Porro eft (6g) R : tang. KMN = MN (vel BNj : NK; eft autem BN : NK = BM : MT = CB -1- BA : BA —• CB; quare cum oftenderimus effe CB -P BA : BA — CB = tang. (* C A- (A ) : ta^g- ( fC— iA), erit quoque R ; tang. KMN = tang. (fC 4- fA) : tang. (iC — i A). 76. Ha?c pauca fatis funt, ut refolutio cujusvis rrianguh, cujus tres partes dantur, haberi polEt, fcilicet vel tria latera, vel duo latera cum uno angulo, vel duo anguli cum uno latere. Videndum modo, quomodo fingulis cafibus expofita principia applicari polfint, quod fequente Articulo proflabimus. In prasfens fupereft:, ut fidem fuperius (6,5) datam liberemus, ubi promifimus formulam, ope cujus datis Logarithmis duorum numerorum re-periri pollk Logarithmus fummae vel differentia’, quin neeeffe fit duos divcr-fos angulos quaerere. 77. Reoraffentet (Fig. 15 Tab. I) AB numerum majorem, competen-Fj„ * tem Logarithmo majori, & AC minorem, cui convenit Logarithmus minor, Tab. I ut nempe AB fit diameter, AC chorda ffemicirculi. Producatur AC in E, ut fit AE = AB, erit CE differentia. Quia angulus in femicirculo BCA re- D £ ctus, cius, fumi potefl; (6g) BA pro radio, eritque BA : AC =:R : //R ABC. Hujus fmus igitur, aut potius arcus ei competens invenietur in tabulis, ideoque habebitur etiam ejus complementum BAC, & hujus dimidium BAD. Si enim ad D ex A ducatur redta AD, evidens efl, ob angulum in femicirculo ad D redtum, in triangulo ifofceli BAE bifecari bafin BE in D. Excerpatur jam e tabulis Logarithmus fmus BAC, & Logarithmus tang. |BaC, five tung. BAD. Evidens e(t, triangula BCE, ADE, BAD fimilia elTe; poftrema quidem propter AB = AE, & BD = DE, redtosque ad D; priora vero ob re-dtos ad D & C, angulumque ad E communem. Hinc habebuntur fequentes Analogiae. AB xfm. BAC R :fm. BAC=AB : BC = ------5-----. R :>.^BAC=AB : BD = — BD : BF = * iBAC : R, hi„= BF = ~ BF : BC — AB : AB + AC, ob angulum BAC per AF bifedium; five AB X/in. i BAC AB x (in. BAC AT) ^ ABx. finBACxcof. B AC r a z ' • AB • AB —i" AC —* ' /. * /r~i ♦ co/fBAC R Rxjin. iBAC E fi; vero R XJtn. dEAC ; tang. iBAC. Hinc AB + AC AB X An. BAC cof. jBAC ■“ tang. iBAC & fi adhibeantur Logarithmi, erit Log. ( AB -F AC) = Log. Jtn. BAC -F Log. AB —• Log. tang. i BAC. 73. Pro Logarithmo differenti® CE; fiat rurfus AB : AC = R: fii. ABC, qui quaerati/r, atque fumatur hujus complementi Logarithmus finus,& Logarithmus dimidii complementi tangentis, uti prius. Manente eadem conftrudtione locum rurfus habent fequentes Analogiae R :>?, iBAC = AB: BD = AB x/n. fBAC -,&sBD=BE~ 2AB x/n. iBAC AE : DE = AB: BD = BE : CE = BE : AB — AC, hoc efi BDx /n. iBAC sABx/n.fBAC t n An__ 2 AB x/n.’fBAC AB :-------------=--------g-------: AB- AL- — . Efi autem (52 Form. XII) 2 Jin.* fBAC r= Jtn. BAC X tang. iBAC; quare hoc valore fubftituto fit AB — BC = AB X /n. BAC X tang. iBAC; .& adhibitis Logarithmis , Log. f AB — AC) = Log. AB -F Log. Jln. BAC -F Log. tang. iBAC — 2 Log. R. Exemplum. Ponantur dari iidem Logarithmi, quos fuperius (65) a. ^ buimus : nempe Log. AB = 3,6047659, &Log. AC = 2,9116902. Si fiat AB : Av = R fn. ABC, <& adhibeantur Logarithmi, erit proportio Arithmetica Log. AB. Log. AC : Log. R.' Log./n. ABC, & Log. /«. ABC == Log. AC -F Log. R — Log. AB, No- Notum eft, Log. R eiTe 10,0000000; unde dum Logarithmus radii ad-sndus eft Logarithmo alteri, fatis eft, fi hujus charadteriftica augeatur decade ; proinde Log. AC -t- Log. R — 12,9116902 & Log. AB = 3,604-7659 nire uv /f ^ ^ = 9»3°^9243) huic reperientur conve- ” renvLI S ’ fed 9U,a m Proport[one ineunda juxta Num.64, plus quam ^ rettius accipietur liy 4I/ 4^, cujus complementum, feu BaC = /o 18 II"; & i BAC = 39v 9' 5/z. Porro Log.>. BAC invenitur f 64 ) ^ 9)9908863, & Logarithmus tangentis fBAC = 9,9107142; quare Log. AB = 3,6o47. C. VII AC, BC AB AB = f/BC2 — AC2, vel Log. AB = fLog. ( BC 4 AC)-h -Log. (BC — AC). VIII B BC : AC = R : >. B. IX C BC : AC = R : ro/ C. X AB, B AC R : tang. B = AB : AC. XI BC co/: B : R = AB : BC. Mt AB, C ‘aC R: cot. C = AB : AC. XIII BC /w. C : R = AB : BC. XiV AC, B AB R : cot. B = AC : AB. XV BC Jiui. B : R === AC 1 BC. XVI 1 AC, C AB R ; tang. C = AC : AB. XVII | BC cnf. C : R = AC : BC. XVIii BC, B AB R : cof. B = BC : AS. XIX AC R : Jin. B = BC : AC. AX BC, C AB R : Jin. C = BC : AB. XXI AC R : cof. C = BC -• AC. A 82. Om- 82. Omnes has Analogi® nil aliud funt, quam applicatio Coroll. II(63) Theorem. I. In P! ‘ma ? formula BC = iZAC* -+* AB2, quando dantur duas catheti & nullus angulus, reducta eft ad duas Analogias, ut extradtio radicis evitetur. Formula AC= l/mFZrAB’ applicata efl Logarithmis. Cum enimJIt^BC AB) (BC — AB) = BC2 — AB2, & i/BCT^4B x ' AB) = [/BO - AB ,, adhiberi pofiunt Logarithmi, modo prora-uicalibus fumantur Loganthmorum dimidia, uti colligitur ex iis, quas in Al-gebra de Logarithmis diximus, [dem efl; de Formula VII. Satis erit psi-mam formulam ad Analogias reductam illuflrare exemplo. Sit latus AB = 653,5 ped. latus AC = 983 Ped. & qu$ratur hypote-■ nufa BC. Log. AC -h Log. R = 12,9925535 Log. AB = 2,8185558 Log. tang. B = 10,1739977 Log. tang. prox, minor 10,1737408, cui competit angulus $6V 10' Different. 2569 Differentia Log. tang. 56'’ xi' & 56" io' = 2732; hinc 2732 : 2569 = 60" : X; reperitur ,c = 56"; quare angulus B = 56" ioz 560 Ut habea. tur Logarithmus ejus finus, feribatur Log. 56* 11/ = 9 9195083 Log. 56u io' = 9,9194237 Different. 846; fiat 6o,/: 846 £=56" : x; reperitur x = 789? & addita haec quantitas ad Logarith. 561’ IO' = 9,9194237, dat Log. fn. B = 9,9195026. Pro Analogia altera. Log. AC + Log. R = 12,9925535 Compl. Arith. Logarith./n. AB = 10,0804974 Summa = 23,0730509 , abjedtis 20, habetur Logarithmus lateris BC = 3,0730509, cui proxime competunt 1183,2. Quare latus BC proxime eft 1183,2 ped. _ _ 83. Pro obliquangulis reliquis refolvendis fubjungimus fequentia Problemata. Problema I. Datis duobus angulis cum uno latere, invenire latera reliqua. Resol. Cum fumma angulorum in quovis triangulo fit igo^, datis duobus angulis, datur etiam tertius. Hinc fiat Ut finus anguli oppofiti lateri cognito ad latus cognitum, ita’ fmus anguli oppofiti lateri qutefito ad latus quaefitum. Habito uno latere, alterum eadem Analogia reperitur. Exeni- Fig, i3 Exemplum. Sit in triangulo ABC (Fig. I3 Tab. I) lafus AC = 684 Tab.I ped. angulus A = 37- 24', B == 29" 15'; & quaeratur latus AB. Erit A *+• B — oo1' 39', confequenter angulus C = igo-" — 66v ^ == HS" 2I<> fed quia finus obtufi idem cum linu anguli deinceps pofiti = 66" 39'i accipiendus erit finus anguli 66" 39', & Analogia erit /?». B : AC — fili. C (66,r 39') : AB. Log. AC = 2,835°561 Log.y»H. C 9,9628904 Summa = 12,7979465 Log./n. B = 9,6889723 Differ. Log. AB = 3,1089742 cu" competunt prdxime 128552 Ped- 84. Problema II. Datis duobus lateribus cum angulo uni eorum op-pofito, invenire angulum oppofitum alteri lateri dato. B-EsoL. Ut hoc Problema folvatur, conflare debet, an angulus qua}litus fit acutus, vel obtufus, quod ex circumflantiis plerumque fcitur. Analogia : ut latus datum oppofitum angulo dato ad finum anguli dati; ita latus alterum datum ad finum anguli oppofiti quasfiti. Exemplum. Detur in eodem triangulo ABC latus AC = 684 Pec^ Datus AB = 128552 ped. Angulus B = 29'' 15', quaeritur angulus C. Erit Analogia lat. AC : fm. B = 'at. AB : Jin. C. Log. fm. B = 9,6889723 Log. AB = 3,1089742 Complem. Log. AC = 7,1649439 Summa Log. yijz. C = 9,9628904 (abjedla fcilicet decade) cui competunt 66" 39' fi fuerit acutus; at fi obtufus, uti reapfe efl, 1131' 2P. 85. Problema III Datis duobus lateribus cum angulo uni eorum oppolito, invenire latus tertium. Resol. Primo quaeratur per Problema praecedens angulus oppofitus alteri lateri dato; hoc habito quaeratur fecundo latus ex fequente Analogia: ut fm. anguli dati ad unum latus datum eidem oppofitum, ita finus anguli tertii ad latus tertium. Exemplum. Si in triangulo ABC datis angulo B, lateribus AC & AB quaeratur latus tertium CB, per Problema praecedens inveniatur prius angulus C; dabitur iam etiam angulus A; hinc fiatyifi. B ; latus AC ~ fin. Ai latus CB. Log. AC = 2,835056! Log fm. A = 9,7834575 Summa = 12,6185136 Log. fm. B = 9,6889723 Log. CB = 2,9295413, cui conveniunt proxime 850’2 PeL^ . 86. Problema IV7. Datis duobus lateribus cum angulo comprehenfo, invenire relicuos duos angulos. Resol. Fiat: fumma laterum datorum efl; ad eorundem differentiam, ita tangens fennfummae angulorum cjuasfitorum ad tangentem eorum femi-differentiae. Dato uno angulo, datur reliquorum fumma & femifumma; & quia latus majus femper majori,-minus minori angulo opponitur, fcitur, uter e qua?iitis angulis fit major, uter minor. Addita autem ad femifummam fe-midifferentia habetur angulus major; & minor, fi femidifferentia a femifumma fubtrahatur. Quare reperitur uterque angulus. Exemplum. In triangulo priore ACB, fit AC = 6g4, BC= 850,2 ped. C 1 21cujus fupplementum 66v 39'. ’ BC = 850,2 . AC BC = 1534,2 | A -f- B = C6V AC = BC —• AC = 166,2 | i-A -t- ^ io' 3o/, Log. (BC — AC) = 2,220^310 Log. tang. (f A + tB) = 9,817897! Summa = 12,0385281 Log. (AC + BC) = 3,1858820 Different. Log. tav.g. (jA + {B) = 8,8526461 , cui proxime refpon- det angulus 4V 4' 2^'*. Ha^c femidifferentia addita femifumma; ig' 30" dat angulum majorem A = 371' 23' 57", & fubtrada ab eadem femifumma dat minorem angulum B = 29* 15' 3». Hi anguli ab affumptis fuperius (83) tantummodo differunt 3'*, 87« ScHoL. Qui volet reducere refolutionem hujus Problematis ad duas Analogias, quas Num. 75 expofuimus, faciet imprimis latus minus AC : la-tus majus BC = R : tang. anguli 45'“ multandi. Log. R -i- Log. BC == 12,9295413 Log. AC = 2,8350561 Differ. Log, tang. = 10,0944852, cui competit arcus 51v n/s". fubtradtis 45r> manet angulus 6V Ii' 2/z. Altera dein Analogia erit: R • tang. ( 6* 11' 2") = tang. (i A + {B) ; tang. ( i A — fB). Log. tang. (6" ii' 2") = 9,0348298 Log. tang. ( i A -F fB) — 9,817897! Summa — 10 = Log. tang. ({A — /B) = 8,8527269, cui refpondet 4* ^ 29"; proinde A = 37^ 23' 29", B = 2yv 15' 1", qui ab affumptis non nili l" difcrepant. 88- Problema V. Datis duobus lateribus cum angulo comprehenfo invenire latus tertium. 1 y Resol. Problema folvetur, fi ope praecedentis prius quaerantur reliqui duo anguli; tum enim reducetur ad Problema I, ut per fe clarum efl. 89. Pkobleha VI. Datis tribus lateribus invenire angulos. Resol. Fiat: ut latus maximum adfummam reliquorum duorum; ita eorundem differentia, ad differentiam Tegmentorum lateris maximi, quae fiunt ex angulo lateri maximo oppofito demiffa in latus maximum perpendiculari Fig. !3 Tab.I Fig. 16 Tab. II Habita differentia Tegmentorum (Fig. 13 Tab. I) HB, habentor lingula Tegmenta AE = ^AB — iHB, & EB = f AB ^HB. Hac ratione re' dudtum eR triangulum ACB ad duo rectangula ACE, in quo datur AC, & AH, & ECB, in quo habetur CB, & EB. Hinc f g 1) Form. V (fi fingas loco E Tcribi A, & B loco A) AC : AE = R • cof-A Form. ead. CB : EB = R : c°f- B. Habitis angulis A & B, notus eR etiam tertius C. 90. Observa. Superfluum fuit, demonRrationem refolutionum horum Problematum repetere, cum nihil in iis contineatur, nifi quod jam fuperiore Articulo demonRratum fuit. Ceterum advertet Tiro, eiTe diverfitatem in re-folutionibus diverfis, neque perveniri calculis Trigono metricis adiummam accurationem. Maxime autem, ii licet, vitandae funt illae, in quinus adn^' bentur plures Logarithmi per terminos proportionales quaefiti, & Logarifch-mi exiguorum angulorum, licet non femper inde oriatur difcriinen. Sic re~ folutio directa Num. g6 Problematis IV tam accurata non fuit, quam altera Num. 87. Et cum in illa adhibiti fuerint Logarithmi numeri 1.534,2 & tangentis 33” iq/ 30", quorum neuter in tabulis minoribus habetur, fed per proportionem (64) inveniri debuit, videri poliet, hinc pendere minorem accurationem. Verum nec ope majoris canonis (in quo diflarum quantitatum Logarithmi jam habentur), propius ad verum acceditur. In altera refolutio-ne, quamvis tangens exigui anguli (6 11' 2" fcilicet) adhibeatur, eR tamen Logarithmus finus totius omnino accuratus, & vera quantitas, proxime attingitur. E quo manifcRum fit, elTe difcriinen in ipfis Logarichmis tabularibus. CAPUT II. Praxis Trigonomctrics plana. A r't S C U L U $ I. De dimenfione bafium. 91. z/^^Xuoniam datis tantummodo angulis nil nifi ratio laterum erui peteR; dum abfoluta magnitudo quseritur, unum faltem trianguli latus vel dari, vel a6tu menfurari debet. Contingit autem quandoque, ut ea fit foli difpofitio, ut in quibusdam locis intermediis inter terminos latens metiendi ipfi termini confpici non poffuit, velutiii (Fig. 16 Tab. II) ABCE elfct dimetiendum, itaque humus inter B, C, vel ad E, deprimeretur, ut md. termini A & F afpedui fubducerentur. _ In De Dimensione Basium. 35 fn ejusmoch cafibus expnfuis perticis per eos locorum tracius deflgvan.ia erit prius linea r^a\ Neceife efl. ut termini faltem ex aliquibus locis intermediis velut u, D videri polunt. Itaque laboris adjutorem jube cum pertica reda, tereti & inferne cufpidata ex A verfus terminum F progredi, atque circa B ( qui locus ex humiliore folo inter 3 & C ubivis videri poffit) fubfv liere, inique perticam defigere ad perpendiculum (quod applicata plumbagine exploratur) te infra A confiituto, ut oculo verfus F diredo, pertica B tibi terminum F tegat. Altera pertica, qute itidem inter B & C videri queat, eodein modo te dirigente firmanda erit m C. _ Tum, ll necefie fit, ali* in D, h &c ita, ut binae ex-omnibus intermediis locis cerni queant, te femper infra perticam recens fixam verfus alteram, altemmque terminum fpedante, ne in alterutram partem exerret. Hujus rei quidem in minoribus di flanti is raro efl neceffitas, verum dum ingentes bafes metiendae funt, frequens ufus. 92. Menfuratio itaque ipfa facienda ell, quae variis modis infiitui po-teft. Plerumque, dum non maxima accuratio requiritur, adhibentur cateme m hunc finem parat*, compulit* e fili ferrei craffioris portionibus pedalibus, vel femipedalibus, atque annui is confertis, poli fexos quosque pedes interje-do annulo orichalcino, ut tum orgya», tum pedes ipfi expedite numerari pof-fint. Primus catenae annulus inferitur clavo longiori ferreo m A defixo, vel paxillo firmo, & in terram fortiter adado: laboris focius prehenfo altero caten* extremo verius E (Fig. 17- Tab. II) progreditur, te ad A remanente, Fig. 17 atque catenam, quantum res finit, tendit, fimi Ii paxillo vel clavo alterum ex- Tab. II tremum annulum in B innedens, te interi m femper verfus terminum F nro-fpedante, atque dirigente focium, ut tota catena in linea reda jaceat. Poftquam focius extremum caten* in B rite fixit, tu revulfo clavo, vel paxillo, verfus C progredieris, idemque illic pneflabis, quod focius in B egerat, qui verfus F diredo oculo, te, ne a reda catena BC exerret, monebit. Eodem modo focius ex B in B transferet alterum extremum caten* &c, donec ad F veniatur. Rarum erit, ut dum ad F pervenitur, catena non aliquantum verius E excurrat, vel ab F deficiat, quin hoc diferimen vel pedem integrum, vel dimidium (qui in catena numerari poliunt) contineat. Hinc alia menfura, v. g. pes in digitos, aut etiam dimidios, divilus ad manum fit, oportet, ut defedus, vel excelfus ille FE menfurari poffit. Si notetur, qUQ, ties catena? alterum extremum translatum fit, numerus hexapedarum, pedum & digitorum difiantia?, vel bafis AF innotefeet. 93- Longitudo catenarum menforiarum raro 5, vel 6 hexapedas exce-, dit, ne gravitate fu a, & pondere molefia? fint. In ufu attendi maxime debet imo, ne fi juflo minus tendatur fimis faciant notabiles, & flexus, qui fi non attendantur, acquiritur difiantia major, quam fit vera. 2do. Ne nimia tenfione vel paxilli, aut clavi ferrei, quibus alterum catena; extremum innexum ell, loco emoveantur vel inclinentur; vel flexis annulis longitudo catena; augeatur. Utrumque efficeret, ut bafis prodiret vera minor. 3N0. ^ Ante ufum examinanda eft prima, & poflremacatenae hexapeda; utrum fcilicet computandum fit initum a media craffitudine paxilli ultimo annulo inferendi, an aliter. Primum fi non fit, in quavis translatione catenae longitudini aliquid corredtionis adhibendum erit, prout fcilicet initium vel ab extimo annulo, vel ab interiore ejus fuperficie &c fumptum fuerit. qto. D«m catena tenditur, examinandum, utrum annuli omnes rite (int difpoliti, & in debito litu, cum ftepe contingat, ut inter fe implexi longitudinem catenae minuant 94. Dum magna accuratione opus eP, ufus catenae non eft fatis tutus. Raro enim habetur folum ita aequabile, ut catena in eo extenfa non faciat flexus, & finus notabiles. Accedit, quod fieri xfix poflit, ut fortiore tenfione, etfi annuli non fledlantur, clavi ferrei, vel paxilli non aliquantum vel incli nentur, vel emoveantur e debito fitu, ipfa humo cedente; Flexus, & finuatio (quam potiffimum gravitas efficit) ne quidem in funibus oleo maceratis, & cera liquata tinctis (ne fubrepente humore contrahantur) fatis evitantur; multo minus paxillorum flexio, & inclinatio. Quare pro menfurandis bafi-bus tum quidem nec catenae, nec funes adhiberi debent. 95. Non nulli ad metiendas bafes adhibent unicam perticam velut ABCD Fig. 18 (Fig. 18 Tab. H), eamque circa angulum D rotando (ut alterum extremum Tab. II videatur defcribere femicirculum ) transferunt in ciab, & ita deinceps. Verum dum pertica hunc in modum adhibetur, evidens eft, dum quadrans ab extremo EF defcriptus eft, DC applicari folo Dc, & reliquum arcum defcri-bi rotatione circa angulum alterum C, qui jam in loco c erit. Hinc fingulis translationibus addenda eft craflitudo perticae DC, vel AB. Sed enim nimis aberrari poteft a vera diredtione verfus terminum, feu a fitu recti lineo. Deinde fperari nequit, dum pertica circa angulos D, C rotatur, humum non cedere, ut proinde nequaquam craflitudo perticae longitudini addi femper debeat, fed vel plus, vel minus, prout vel in hanc, vel illam partem folum fa- cilius cedit. 96. Multo rectius adhibentur perticas ejusmodi teretes, non tamen ni- F;,. mis flexiles, longitudinis fere 10 pedum, tres faltem, aut quatuor, quas ( Fig. Tab. II 17 Tab. II) inde ab A verfus F linea retia difponuntur, binarum quarumvis extremis fefe accurate contingentibus, modo folum fit fatis asquabile, ut, dum exiguae afperitates aut hiatus occurrunt, fuppofitis cuneis, afterum feg-mentis &c perticarum fitus judicio oculi horizontalis obtineri poflit. Poit-quanx tres, vel quatuor in AB, BC, CD &c ita difpolita? fuerunt, ut ex A terminum F fpetianti videantur omnes in retia, pertica AB verfus A aliquantum retratia (ne impatiu in priorem BC eam loco dimoveat) transfertur in DE, & ne, dum difponitur, perticse CD fitus mutetur, hujus extremum D manu tenetur. Tum fecunda BC eodem modo translata priori DE in dire-tium collocatur, & fic deinceps usque ad terminum. Si quatuor adhibeantur pertica?, anteriores dua? verfus terminum, ad quem menfor tendit, reiin-qui femper poliunt immota?, & duae pofteriores fimul transferri. Illud jam intelligitur, debere vel feparatam menfuram minorem in pedes , digitos, aut etiam lineas divifam adeffe, vel eas divifiones reperiri in unae perticis, ut defetius ab integris perticis, vel pedibus in longitudine totius baus notari poflit. 97'Mcn* De Dimensione Basium. 37 97. Menfuras hunc in modum acceptae multo accuratiores funt, quam qua? cateziis accipiuntur, modo attendatur, ut perticae accurate fefe contingant ( nam error maxime notabilis ex dcfetiu conta&us nafcitur), & ut fi-tus ad horizontalem proxime accedat, quod in folo declivi, aut afpero, ut diximus, fuppolitis cuneis, variisque fulcris obtinetur, qua de re paullo pofl adhuc aliquid monebimus. Error, qui ex defedtu dircdtionis recti linea; emer-g!t’, P^rumque ita exiguus eft, ut non nifi in magnis admodum diftantiis notabilis fiat. Si enim ponas (Fig. 24 Tab. II) a vei'a diredlione ACD decem-Fig. 24 pedam AB aberrare angulo BAC, cujus finus (fumpto radio AB) fit BC =Tab. It I dig. (hic error autem omnino in oculos incurrit, ut non nifi negligentia? aufcribi poilit, fi committatur) loco AC numeras decempedam, adeoque error erit AB — AC. Efl autem AB (per hypothefin) = 10 ped. — 129 digitis, & BC = I dig., hinc erit AC = |/AB= — BC2 — [/14400 — 1 — quae eft proxime 119,995 dig. & differentia ab AB = 120 dig. ™ roV^ = tv» digiti. Ex quo patet, ii in lingularum perticarum diredlio-ne tantundem erretur, in diflantia 200 decempedarum, feu 2000 pedum, errari defedtu diredtionis unico digito, licet omnes errores in eandem partem confpirent, hoc eft, dent diftantiam vera majorem, ut ipfa figura indicat. Quod fi non tantum in diredtione (Fig. 25 Tab. II) a linea ACD aberretur,Fig. 2? fed etiam a litu horizontali, error totalis erit quidem aliquantum major, fedTab. II tamen adhuc in fe exiguus. Finge errorem a linea AD effe EC = 1 digito, & errorem a fitu horizontali BE effe itidem = I digito, erit error diredtionis in una decempeda BC, hypotenufa trianguli redtanguli, cujus fingula? catheti BE, CE fint unius digiti, adeoque i dig. X [/z, uti manifeftum eft. Quare in hac hypothefi fiet AC = |Z 14400 — 2 = 5/14398 = 119,991 proxime, & differentia ab 120 erit T79oo digiti, id eft, fi in lingulis decempedis is error admittatur, non nifi in diflantia ili decempedarum,five mo pedum, evadet uni digito proxime a?qualis. Ex quibus manifeftum eft, ab hujusmodi erroribus haud admodum multum timendum eile. 98. Contingit fubinde, ut folum alicubi (etfi ceterum aequabile fit) per breve fpatium repente fubfidat, uti (Fig. 19 Tab. II) exhibet. In tali caftj,X9 collocetur pertica y\B in editiore foli parte (adhibito etiam, fi opus fit, fulcro Tab. II ad E) in fitu debito; vel fi una nimis brevis fit, colligentur-duae, ut pars B mera illam declivitatem promineat. Tum ex extremo B demittatur perpendiculum, live plumbago BC, & eidem applicetur in humiliore foli parte pertica CD, fuppofito, fi forte requiratur, fulcro ad F. Hac ratione longitudini perticarum AB & CD addenda erit craflitudo fili BC, fi notabilis fit^idque toties, quoties ejusmodi perpendiculi applicatio repetitur, quod in longioribus intervallis faepius contingere poteft. Verum quando ordinariae fiunt ba- fium dimenfiones, & filum fatis tenue eft, neque faepius adhibetur perpendiculum , negligi poteft, utpote cum in ejusmodi cafibus fere inevitabilis fint 33 Geomet. Pars II. Gap. n. Artic. I. alii errores ab mflmmentorum imperfedione pendentes qui tamen funt majoris momenti. ^ 99. Atque hae bafes metiendi methodi in operationibus Trigonometricis, clu$ crebrioris ufus funt, plerumque fatis funt. Verum fi fumma accuratio requiratur, uti dum bafes ingentes, quinque, aut fex millium hexapedarum, ad inveniendam longitudinem gradus meridiani terreftris, vel ad confiruen-dam chartam accuratiorem Geographicam &c adhibentur, perticis aliis opus el , tres taltem Hexapedas longis, crafiis, ne facile fiediantur, & quam recthii-mis. Parantur hae e lignis ficciffimis, non e fingulis fruftis fingulte, fcd ffi-pRe eodem in plures partes fecto, portiones dua?, tresve, clavis ligneis ach-dis, & optimo glutine in unam compaginantur, ita ut diverfarum portionum fibrae in partes oppofitas porrigantur, quo nempq obtinetur, ne pertica; ita compofitae fucceffu temporis curventur, quod raro evitatur in illis, qua? ex eodem trunco edolantur integra. Praeterea, ne humore fefe in lignum infl-nuante vitium faciant, colore oleaceo erado tinguntur. In uno e quatuor pla-Fig. 20 nis (Fig. 20 Tab. II) exigu$ lamellae orichalcinae ad intervalla fingularum Tab. II hexapedarum firmantur, velut ad B prope extremum, tum in C, & ita deinceps usque ad alterum extremum. Hexapedarum fingularum diftantiae ope majoris circini micrometro inftru&i (de quo in Geometria mentionem fecimus) ex una in alteram lamellam transferuntur, notato in fingulis exiguo puntio ope ftyli acuti. Ipfae pertica? a quibusdam menfulis humilioribus, & firmis in hunc finem ^aratis imponuntur, quae menfula? ut res exigit, attolli, deprimique poffint. V?1 fingulis perticis binae menfula?, vel extremis duarum perticarum vicinis fingulae menfula? tribuuntur. Ut fi tus horizontalis Fig. 22 accurate obtineatur, fingulis perticis applicatur vel libella, aquatica (Fig. 22 Tab.II Tab. II), id eft, tubus vitreus alteri orichalcino inclufus , ita, ut fpatio DE vitrum videri poffit. Tubus vitreus aquam cum bulla aeris majufcula contine-, & in medio tenui annulo I ambitur; tubus orichalcinus CDEF firmatur fupra regulam itidem oriehalcinam AB, additis in extremis dioptris GA,HB filis fefe decuiTantibus inftrubtis. Bulla medium tubi vitrei occupante, regula AB (itum horizontalem obtinet, adeoque etiam pertica, cui ha?c regula congruit fuo plano. Alii adhibent in eundem finem triangulum majus li-Fig. 23 gneum ABC, (Fig. 23 Tab. II) quod quam accuratifiime fit ifofceles. Prora b, II pe B fufpenditur plumbago capfa? ligneas BF (cujus anterior pars vitro munita eft) inclufa. In medio brachii transverfalis (debet itidem efle BD = BE) DE notatur punbtum, quod a filo perpendiculi obtegitur, dum pedes trianguli A, C in fitu horizontali funt. Ope hujus trianguli fitus horizontalis perticis procuratur. Pertica? fuper fu is menfulis rite difpofitae fefe non contingunt, led inter extremas duarum laminas A, B intervalli aliquid relinquitur, quod, quantum fit, exploratur, applicatis cruribus circini minoris vel micrometrici, vel alterius accurati ad puncta in iisdem lamellis deiignata, & inde in fealam transfertur. Itaque tribus, vel quatuor perticis debite difpo-fitis, inter binas quasque acceptum intervallum adferibitur, ut dein integris orgyis connumeretur. Tum relidis anterioribus, qu$ terminum propius De Dimensione Basium. 39 fpedtanl, pofteriores transferuntur antrorfum, itaque menfuratio usque ad terminum continuatur. 100. Curandum, dum perticae transferuntur, ne earum inverfio fiat,hoc eft, extremum, quod prius fpediabat terminum, ad quem acceditur, dein re-fpiciat alterum, a quo receditur; fed ut femper earundem perticarum egelem extrema verfus eosdem dirigantur terminos, verfus quos prima vice directa erant. Obtinetur id facile, fi fingula extrema perticarum fuis literis notentur. Quoniam tota menfuratio non unico die peragi poteft, & fsepius ob alias etiam caufas interrumpenda efl, ut fciatur, quousque perventum fit, demittatur ex extremo pertica; ultima; perpendiculum, & defigatur firmiter in terram vel paxillus, vel clavus ferreus major, ultra cujus Caput aliquantum excurrat lamina orichalcina, in cujus aciem lineola incifa fit, quam lineolam filum perpendiculi accurate contingat. Dum refumitur menfuratio, ex primo prima; perticae extremo de mi (Tum perpendiculum eandem rurfus lineolam attingere debet, ut per fe patet. Ceterum ufus perpendiculi, dum foli declivitas, interjecta; foffae &c pofcunt, idem fere ePc, quem fuperius (98 ) expo-fuimus. 101. Quando perticae adhuc majores, 5 vel 6 hexapedarum, qute fua gravitate, & pondere non tam facile fortuitis impulfibus obnoxias funt, adhibentur, ese in ipfo folo difponuntur. Et quia earum difpoiitio in retia ab uno verfus alterum terminum admodum molefia efl, palo fortiter in terram adatio funis, quam haberi poteft, longus tenditur juxta eam lineam, vel ope axis in peritrochio, vel alia machina facile parabili, & juxta funis dutium collocantur non fine laboris compendio pertica;. Quod ad fitum horizontalem, is fuppofitis cuneis, afferum fegmentis, aliisve fulcris procuratur, adni-bitis iterum libellis ad fmgulas perticas. Cum, ut dixi, fuo pondere id genus perticas firmius humo incumbant, quam ut levi impatiu dimoveantur, non relinquitur inter binarum extrema aliquid intervalli feorfim femper men-furandi (quae res multum temporis requirit, & computum difficiliorem reddit ), fed curatur, ut fefe accurate contingant. In hunc finem extremis perticarum inferitur ferramentum parallelepipedasum , velutftMg. 21 Pab. H } Fig-2t : ad A, B videri poteft, fatis craffum, & breve: bafes quadrangulares accurate at)- u fint ad latera perpendiculares, & optime polita;, ut tota unius alterius totam citra hiatum contingat. Hunc in modum fi bans etiam j 111 Ile hexapedis longior iterato, vel a diverfis, menfuretur, diferimen vix paucarum linearum advertitur, modo debita diligentia adhibeatur. 102. Etfi qui id genus menfurationes fufcipiunt, pluribus fubfidiis (& aliarum mathefeos partium notitia) inftrutii elTe debeant, quam quae a tironibus exigas, voluimus tamen ifta exponere, ut videant, unde adjumenta in rem fuam, cum ufus exigit, petere poffint. Nunquam accurationi nimium afiuefcitur: fi fummam attingere non liceat, licebit tamen aliquo usque imitari. Interim velim, qui fefe praxi Trigonometricce dant, experiantur iterato metiendo diftantias duorum terminorum (feu catenis id fiat, feu decempedis, aliterve), vel etiam dum foli difpofitio iniquior eft, tertio vel quarto, non non modo quid diferiminis inter unam & alteram menfurationem eodem in-Ilrumenti genere obtineant, fed etiam quid interfit inter menfurationes di-verfo inftrumentis inftitutas Primum eos docebit, quantum fidi poffit ejusmodi dimenlionibus, quidque in iis incerti relinquatur, ne, ut fepe contingi ’ fi*15 dimenfiones pro infallibilibus venditent. V. g. Ci dimenfus bafin per catenam, inveniiii remetiendo diferimen I pedis, evidens eft, incertam eam relinqui | pede. Interim eam quarta parte pedis augere (fiexceffum pr$buit fecunda dimenfio), vel minuere, fi a prima defecit, licebit in ufu, ut h prima vice invenifti 228 pedes, fecunda 2294, affumere poteris medium, nempe 228 ped. 3 dig. Alterum, ut fciatur diferimen, dum diverfa inftmmenta adhibentur, vel illud utilitatis maxima; habet, quod inde difeas felectum facere, & cum majore accuratione o^us eit, ea adhibeas, in quibus fucceffus major efle folet. ARTICULUS H. De inftrumentis, quibus anguli accipi folent. 103. A d metiendos angulos plerumque adhibetur AJtroldbium, Goniome- XJJL trkum, aut femicirculus in gradus dimidios, vei etiam in dena minuta, divilus, duplicibus dioptris filaribus infirudus, quarum aliae fixae funt, atque diametro didant, aliae regulae mobili inferta?, quae acie fua, dum accipitur angulus, gradus in limbo femicirculi inter dioptras fix.ts interceptos abfeindit. Quoniam u/itatiiEmum eft hoc infirmnentum, in ejus deferiptione nihil immoramur, fed dicemus primo, qua ratione, antequam adhibetur, examinari poffit; fecundo, quantum in menfura angulorum aberrari poffit. 104. Examen inftrumenti duplex eft: nam imprimis quseritur de accuratione divifionis, dein de centro motus regulae dioptrica? mobilis. Ut examinari poffit divino, neceffe eft, ut habeatur centrum divifionis, ad quod inveniendum varia Geometriae Elementaris Theoremata ufui e (Te poflirat, quorum illud facile obvium, ut ex diverfis arcus infi.rumenti punctis tanquam centris, & radio tequali chordae arcus 60 graduum deferibantur plures exigui arcus prope eum locum, ubi per fe fcitur, quod centrum eife deberet. Si fe omnes interfecent in eodem puncto, centrum habebitur in illa ipfa interfe-Fig. 8< dione. Dividatur item diameter inftrumenti f Fig. 26 Tab. II) BA bifariam Tab. Hin C, fi hoc pumftum divifionis congruit cum interfectionibus arcuum prioribus, erit verum centrum divifionis. At fi neque interfectiones arcuum fiant in eodem pundto, neque C cum iis congruat, jam concluditur, efte in inltra-mento aliquod vitium. Hinc Quatri poteft vel conftrudtione Geometrica, vel ope perpendiculi e tenui filo fufpenfi, & ex C ( medio puncto lineae AB per extrema arcus dudtse) de- Hinc deducitur methodus inveniendi diflanfciam CK, Ck centrorum motus & divifionis. Notato in regula mobili pundio cum initio divifionis A congruente, circumducatur eadem per totam femiperipheriam, & attendatur primo, an in progreffu ver fu s B, fxve igo'1’, pundtum idem non alicubi rurfus cum peripheria congruat. Si hoc advertatur, reducatur regula ad dimidium ejus arcus, quem illuc usque defcripfit. Quod fi pundtum notatum nufpiam iterum incidat in peripheriam, iterato illud circumducendo & tentando inveniendus eft locus maximae exerrationis faltem circiter. Secundo relidta regula in eo fi tu, in quo pundtum habet maximam exerrationem, & notato praeterea pundto F vel G, ubi occurrit radio BC; fumantur circino, ( Fig. sg N. 3 Tab. II,) ( ut exemplo utamur) diftantiae MF, MA, uti etiam AF: '& Xab^ II concipiatur defcriptus circulus per pundta F, M, A. Datis tribus lateribus in triangulo FMA quaeratur angulus MFA; cogiteturque QK e medio pundto Q chordae MA perpendicularis, quae tranfibit per centrum K. Quod fi praeterea dudtus intelligatur radius MK, patet angulum ad centrum MKQ *quari angulo ad peripheriam invento MFA. Quare fi fiat Jitu MFA : R = MQ : MK, habebitur radius hic in particulis fcalae. Notandum autem, quod error nullus poilxt enafci, etli non accipiantur chordae MF, MA in loco exerrationis maximae, fed notetur qualecunque pundtum M; nam poftea calculo hoc pundtum determinabitur, praeferimus tamen illud, quod difcrimen chordarum a chordis arcus divifionis faepe fit illic maxime fenfibile. Habito radio, evidens eft, AF effe chordam arcus AMF, & fi concipiatur e centro K demiffum in eam perpendiculum KP, eft P ejus pundtum medium. Et quia fcitur BF, datur FP, & FC, & proinde CP. Dein eft FK = MK radio invento, & KP = |/ F K^ —— ~FP^; datur ergo CP & PK, & hinc CK = J/CP2 -f- KP2; & fi porro fiat CP : CK = fa. CKP : R, reperitur angulus CKP = NCD, adeoque habetur in divifione arcus pundtum, per quod tran-fit recta per centra C & K dudta. CK deinceps vocabimus errorem centri. Ut ficus CK rite determinetur, praecedentes animadverfiones proderunt. IC^- Cognito errore centri in partibus fcalae, videndum modo, quid erroris in angulis acceptis ope inftrumenti enafcatur, & qu$ propterea corre-dtio adhibenda fit. Ponatur, (Fig. 29 Tab. 111) centrum motus in d reper- Fig 29 tum, & arcus AO, quem abfcindit redta per centra motus d, & divifionis C Tab. III dudta. Patet, quando regula mobilis in inftrumento habet ficum GCd ac. quiri verum arcum AO, ab errore immunem. At fi aliquis arcus minor quam AO, v. g. AG accipitur, error centri hunc angulum jam afficit. Ducatur Gd, quae fecet radium AC in D; manifeftum eft, angulum viforium fore GDA, & non GCA, quem arcus AG metitur. Concipiatur ex C in Gd demiffum perpendiculum CH, & ex O perpendiculum OL. Cum angulus CGd ( qui eft differentia inter angulum verum vifualem GDA, & GCA° quem indicat inftrumentum) fit admodum parvus, citra errorem fenfibilem etiam fi. nus angulorum GiO, &GCO squales cenferi poffunt, & triangula redtangu-la dCU, oOL fimiiia, Hmc eiit Cd . CH =: R ; OCG, feu fin. ( ACQ F 2 •ACG); — ACG ); hoc eft fmus totus eft ad fmum differentize angulorum conflantis ACG ( & ab errore immunis ) & anguli accepti ACG; ita eft error centri dC in partibus fcabe ad lineolam CH in iisdem partibus. Porro dum anguli admodum exigui iimt, arcus a finubus fenfxbiliter non differunt Quare haberi tuto poterit lineola CH pro arcu, cjui radio GC defcriptus metitur angulum CGD. Cum igitur conflet, (Geomet. 343 J radium ad arcum reductum efic 57'“ 17' 44',8, five 2o6-z64tl,8 (cujus Logarithmus 5,3144251 ) lu-perefl haec proportio facienda, qute ope Logarithmorum expedite fit, ut numerus partium fcalae convenientium radio inflrumenti ad 20£>264",8 , ita numerus earundem partium inventus lineolae CH ad numerum minutorum & fecundorum anguli correctionis CGd. lOg- Figuram confideranti patebit, in toto arcu AO obtineri arcus veris minores ; quare correctio usque in O erit additiva, & in O nulla. Ubi anguli accepti excedunt arcum AO, velut fi accipiatur angulus AM, evidens eft, acquiri arcus jufto majores. Ducatur enim M4 , quae fecabit diametrum AB in r ultra C refpectu A, eritque verus angulus vifualis ArM, erroneus, quem inilmmentum oftendit ACM, qui verum excedit angulo CMd. Quare li rurfus ex C, & O demittantur perpendicula CI, OXr, triangula dCI, CNO pro fimilibus haberi debent, & fieri R : /in. (ACM — ACO ) — dC : Cl, feu radius ad finum differentiae anguli accepti, & conflantis ACO, ita error centri ad CI, dein invenietur ope fecundae Analogiae fuperiore numero expo-fitse angulus dMC, qui deinceps usque ad B femper eft correctio fubtradtiva. 109. Ex his abunde liquet, fi frenuentior fit ufus ejusmodi Goniometri-ci, polle conftrui tabulam pro lingulis gradibus, vel etiam pro quinis, vel denis, prout error centri major vel minor fuerit. Illud notatu dignum, erro* rem centri angulos inde ab 0 verfus B femper magis afficere usque ad certum terminum, ultra quem efferius hic iterum decrefcit. Facile autem determinatur is terminus, in quo correriio maxima eft, nempe in di flantia quadrantis ab O, uti in K. Dubia enim KC erij^d OCd perpendicularis; & fi-cut fmus OCH fit ipfe radius, fic totus error centri Cd fit arcus, qui metitur angulum correctionis CKd. 110. Quae modo attulimus, tiro facile applicabit cuivis alteri litui cen-Fig- 30 tri motus l Sit hoc (Fig. 30 Tab. Ili) intra diametrum AB in In hoc iab- 1IIcafu fi accipiatur angulus AG, verus angulus vifualis eft GDA , minor illo, quem inftrumentum oftendit ACG, quantitate anguli DGC. Poterunt autem ob exilitatem differentia; triangula OdL (quod eft fimile triangulo aCH) OCG haberi pro aequalibus (quantum ad finum OL); hinc CO : OL = dC : CH, id eft; finuls totus ad finum differenti® anguli accepti ACG, & conflantis ACO, ita error centri ad CH reducendam ad partes radii, ut fciatur correctio DGC, qua?, ut apparet, per totum arcum AO eft fubtrariiva. Ultra O, uti fi accipiatur arcus AM, hasc correriio fit additiva. Nam duria MiZr fecat diametrum BA inter A & C, & verus angulus vifualis ArM major eft angulo inflrumenti ACM,quantitate anguli CMd, velCMr. Perpendiculum Cl invenitur ex eadem proportione ut R:Jh. ( ACM — ACO) = Cd : CL 111. Illud denique in hifce inftrumentis curandum ledulo, ut dioptra;, feu conflent filis tenuibus, feu lineis in lamina orichalcina excifis, fint ad planum inftrumenti perpendiculares; & fixa; quidem accurate congruant punctis oJ & igo11; mobiles autem cum acie regulas mobilis, quae numerum graduum abfcindit. Si regula ^nobilis adducatur ad AB (eft enim plerumque aliquantum brevior, ut id fieri pofilt) quatuor dioptrze tranfpicienti unius inftar apparere debent, & fila fefe mutuo accurate tegere, id niti fiat, vitium erit in collocatione dioptrarum commifmm omni cura emendandum. Qui nova fibi inflrumenta Goniometrica ab experto artifice fieri curant, diligenter eidem inculcent, ne partem laminae orichalcina;, in qua divifionis centrum accepit, re fece t, ied relinquat, ut examen commode inflitui poiiit, quoties lubet. Solent enim multi in medio intlrumenti collocare pyxidem pro acu magnetica, vel alios importunos ornatus adhibere; quafi vero id genus pyxides non alibi connecti pollent, fi quis foret earum ufus, vel ejusmodi loco alieno incrufe elegantiae tantam fidem fabris prae flarent, quam memo alter fufpetiam habeat, & in periculum adducere audeat. 112. Celeberrimus vir Tvb. Jvlayer ( Commeat. Acad. Rcg. Scient. Gotting. Tom. II ad An. 1752 ) de re Mathematica praaclariffime meritus proponit novum Goniometricum, quod ufitatis aflrolabiis vult efle emendatius. Qui accuratam inftrumenti defcriptionem defiderat, adeat ipfos Commentarios laudatos: nos quae ad naturam ejus pertinent, breviter iflnic indi- ^ ^ ^ cabimus. Confiat infirumentum duabus regulis EF, HG, quarum inferior ^ HG conferruminata eft cylindro cavo NO, qui folidum QR pedis infirumen- ti Caput recipit, & ope cochlea; P eidem firmiter adftringi poteft. ^ Superior regula EF intra foramen conicum per inferiorem HG tranfiens, circa axem item conicum mobilis eft; ita, ut fuperior, immota inferiore, libere circumagi poffit Firmatur in fuperiore regula ope duorum annuiorum, qui cochleis L, M adftringi poliunt, tubulus non nihil brevior regula, lente objectiva ad I, & oculari ad K, alteri ductili tubulo inferta, inftructo, ut cuiusvis oculo accommodetur. In foco communi lentium collocatur vitrum planum ( Fig. Fig. 32 32 Tab. III), in cujus centro fe interfecant ad angulum rectum line* tenuifil- rab. III m* AB, CD filice, vel adamante defcripto. Circa extrema regularum m lineis per centrum motus tranfeuntibus, & aequalious ao eodem dinantas, notantur puncta A, C, B, D, quorum a fe invicem diflanti* circino acceptae, velut CD, vel AB, & in fcalam chordarum translata* ,1 dant angulos. 113. Quare ad radium aequalem 4AC, velyBD , conftruenda erit fcala ohordarum, de qua in Geometria ( 251 ) mentionem Jam fecimus; in quem finem adfit, oportet, accurata fcala Geometrica, in cujus partibus 4AC' haberi poffit. Accipiantur tum finus dimidiorum angulorum, & duplicentur, atque inftituantur hae proportiones: ut radius tabularis ad duplum finus accepri, ita radius inftrumenti ad chordam anguli dupli illius, cujus finus acceptus eft. Ex. gr. quseris chordam anguli IO1; in tabulis, quaere Logarithmum 2 X fvi. 5V; quaere item in numeris naturalibus Logarithmum partium radii inftrumenti, hosque adde, & a fumma fubtrahe Logarithmum radii tabularis F 3 feu t 46 / Geomet. Pars II. Cap, H. Artic. II- feu 10,0000000, refiduum erit Logarithmus numeri naturalis, qui indicabit numerum partium fcafee convenientium chorda» iov. Sit v. g- radius iuftru-menti 5 digitorum, feu partium fcalae 500 Log. 2 = 0,3010300 Log. fw. 5U= 8,9402960 Log. 500 = 2,6989700 Summa = 11,9392960 abjecla decade Logarithmo 1,9392960 competunt proxime 86,95- Hac ratione inde a gradu 1 usque ad 90 chorda» haberi poiTunt, Ut exemplo, & Schemate rudiore rem magis reddamus perfpi-55 cuam, fit ejusmodi fcala chordarum f Fig. 35 Tab. 111) ABCD, quae quidem ab. ij. non ac] gradus pertingit. DC fit radius, five chorda 6ov; DA, BC divife funt in 10 partes aequales; in DC funt translatae ex D chord$ DlO, D20, D30 &c usque ad D60, feu chordae io-11, 20'v, 30'% 40'’, 501', 6011; in latus AB vero chordae A5, A15, A25, A35 &c five chordae 51’, 15’-, 2^, 35", 45v> 55v- Divifiones 5, 10; 10,15; 15, 20 &c junguntur transverfalibus. Lateri DA alternis d-vifionibus adlcripti funt numeri 1, 2, 3, 4. Ut ufum mtelligas, pars na habenda eft pro chorda 30', feu i gradus; ib pro chorda U, se pro chorda 2V &c A5 pro chorda 5'', 41? pro chorda 6% 3/pro chorda 7'v, sg pro chorda g1’, ih pro chorda g", Dio pro chorda io’v; tum eodem modo in transverfali 10, 15 ex linea DA acquires chordas n'u, 12", 131 &c usque ad 15v. Ex quo reliqua fatis intelhgi poffunt. Si quaeras, cujus arcus chorda lit linea datae longitudinis kl, crure uno circini in linea AD moto, quaere, ubi in transverfali aliqua, hic in 35, 40, alterum incidat in eandem ad DC parallelam kl: numera inde a 35 usque ad / gradus in alternis parallelis integros, in fingulis vero dimidios, habebis 24; quare inferes, kl effe chordam 37'1' go'. Verum obfervandum hoc loco, hanc fcalam non efie accuratam, ita, ut non error etiam ad minuta pertingat, praecipue in chordis angulorum a recito parum differentium, in quibus funt exiguae differentiae chordarum. Sumuntur enim tantummodo verae chordae angulorum 5% 10% 15% 2Q'V' &c graduum; omnium intermediorum arcuum chordae determinantur per transver-fales. At fi verae chordae arcuum intermediorum in parallelas inter AB, & DC medias transferrentur, earum extrema haudquaquam redtis transvenali-bus conjungi poffent, fed elTent in linea curva. Unde qui pro ufu accuratio-re ejus generis fcalam fibi parat, non utetur transverfalibus rectis ad quinos gradus dudlis, fed fingula puntia intermediarum chordarum extrema conjunget fingulis lineis redtis. Verum explicata fcala chordarum redeamus ad ufum inftrumenti Goniometrici a Mayero propofiti. Fig. 33 114. Sit accipiendus (Fig 33 Tab. III) angulus POQ. Conftituatur Pi inftrumenti centrum in O, ita, ut regula inferior GH cadat paullum extra Tab. Hi crura anguli accipiendi, & firmetur in hoc fitu ope cochleae (Fig- 31 Tab. Fig. 32 FI) P. Tum regula fuperiore FE cum tubulo ad fitum FEQ adducta coi-Tab. Ili lineetur in Q, ut objedtum appareat in linea verticali AB (Fig- 32 I'a‘3- J^) vi- De Instrumentis, Quibus Anguli £c. 47 vitri plani in foco conflituti, & accipiatur circino diftantia punftorum D, C, qua» prope extrema F & G in regulis notata funt, atque ope fcalae chordarum quaeratur angulus FOG. Immota regula inferiore, fuperior adducatur ad litum /f, ut objectum P in verticali linea vitro incifa appareat, rurfusque accipiatur diftantia punctorum, five chorda anguli /OG; differentia angulorum /OG, FOG erit angulus qusefitus FOf = POQ, ut manifeftum eft. Poterat etiam (praecipue dum anguli majores funt) regula fixa GH collocari intra crura anguli accipiendi, & tum non differentia, fed fumma duorum angulorum foret angulus qusfitus. Extra crura cadat regula fixa, dum anguli accipiendi funt sxigui, ut hi evitentur ; fed intra crura ponatur, dum anguli accipiendi funt obtufi, ut iis acuti fubftituantur. Ex hoc ufu Goniometrici hujus fane manifeftum eft, ut tuto in eo acquiefci poffit, fumme neceffarium effe liberum regulae fuperioris, dum inferior quiefcit, motum , quod unice ex artificis accurata induftria, & pedis feu fulcri firmitate pendet, cum linea fiducies deflituto non fit medium, quo quis certum fe reddat, an mota regula fu-periore verfus alterum objedtum, inferior nihil e fitu fuo dimota fit. Praeter hoc difplicet in illo inftrumento, quod paullo frequentiore ufu pundta regulis infculpta facillime vitientur. 115. Adjungo, quae vir celeberrimus de ufu non modo hujus Goniometrici, fed omnium inftrumentorumfere, quibus anguli capiuntur, addit Duplex genus errorum eft, quod minoribus inftrumentis committitur; alterum pendet a collineatione minus accurata, alterum a divifione vel infirumenti vel fcalae ( fi ceterum vitium nullum adefie fingamus in ipfa confiructione infirumenti commiffum, quod propterea examini fubjedtum, & notum interim pono) : priori fatis cautum eft per tubi fubftitutionem in locum pinnacidio-rum vel dioptrarum filarium, & quamvis etiam aliquis adhuc refideat, una cum altero, qui ex imperfedtione infirumenti ( cujus divifiones non fatis accurate difeerni poffunt, dum de uno, alterove minuto agitur) nafeitur, fequente anguli metiendi multiplicatione mirum in modum minui poffunt. Accipiatur, ut prius (114) angulus POQ (Fig. 34 Tab. III); dein Ia-Fig. 34 xata cochlea P (Fig. 31 Tab. III) adducatur regula fuperior cum tubulo fuc^b- Ut ad fitum QeQ, ut objedtum Q appareat in verticali Imea vitri AB (Fig. 32 Tab Hi Tab. III), regula autem fixa in hog. Hoc fitu firmetur denuo cochlea regu- Fig/„2 la hg, & tubulus e fitu fe reducatur ad objedtum alterum P ad fitum talem, ufc Tab. m P fit in verticali vitri, ac menfuretur angulus god, qui jam continebit sPOQ eOB. Laxetur rurfus cochlea P, ut tubulus fit in fitu OQ; regula fixa ex hOg transferatur in fcOi, in quo fitu firmetur, tuoulo cum fuperiore regula ad cd redudto; accipiatur chorda id (vel fi angulus doi fit obtufus) ejus fupplementi chorda ic; habebitur 3POQ -4- riDB; idem repetatur, quoties expedire videtur. Evidens eft, fi jam ab angulo ultimo accepto (qui eft multiplum anguli qusefiti, v. g. triplum, plus angulo confiante eOB) fubtraha-tur angulus conflans, & dividatur per numerum, qui indicat, quoties tubulus ex fitu OQ ad fitum QiP addudtus eft, dividi una errorem in ejus anguli acceptione commiffum, qui proinde eo magis minuitur, quo majus ejus multiplum accipitur. 116. 48 Geomet. Pars II. Gap. II. Artic. II. ii6. Liceat hoc loco duo quaerere: primo an hujusmodi multiplicatione anguli, in lingulis acceptionibus non poilhr facile committi novi errores, fi de-fe6tu lineae fiduciae nefciam, an regula fixa immota perftiterit, dum altera movebatur? id fi contingeret, errores effent omnes in eandem partem, fau omnes per defedum peccarent , & error primum commiffus non minueretur. Secundo. An non imminutio fecurius obtineatur, fi idem angulus POQ, de novo femper, vel directis dioptris, vel alio fempor ifimpto angulo conflante eOB, menfuretur, & ex omnibus accipiatur medium Arithmeticum, hoc eft, addantur omnes anguli acquifiti in unam fummam, & haec dividatur per numerum indicantem, quoties angulus acceptus fit? hoc fi fiat, videtur mihi aeque error minui. Nifi forte quis dicat, in multiplicatione anguli methodo a Mayero indicata inftituta, & polita fufficiente firmitate inftrumenti, ne regula fixa cedat, accipi femper alias, ali as que chordas, remotiores ab illa, quae fub» tenditur angulo primo accepto, ideoque fi diverlis vitiis eae laborent, pofTe propterea errorem minui. Quanquam hac re meum mihi dubium fatis folvi non videam, nolo tamen diutius immorari. 117. Tubuli optici etiam aftrolabiis, de quibus primo loco egimus, ap-Fig. 2§tari polTunt dioptrarum loco: ille nempe (Fig. 28 Tab. II), qui dioptris fi-Tab. lixis AB fubftituitur, figendus erit in parte averla, feu infra regulam AB, alter fupra regulam EH, ita ut axis tubuli fit omnino parallelus cum acie EO, quae gradus arcus accepti ablcindit, uti alterius fixi axis congruere debet cum Fig. 36 AB. Licebit id explorare, fi conftituatur centrum inftrumenti C (Fig. 36 Tab. Ili Tab. III) in eadem rcdta cum duobus objedis valde diffitis P, Q, & directo tubulo fixo fd verfus Q, accipiantur ope objedtorum circumlitorum, qua? de-efie vix poliunt, varii anguli inde ab e, usque ad d, ubi objedtmn P per tubulum mobilem videtur; ii fumma omnium horum angulorum fuerit iSov quam proxime, axes tubulorum erunt rite politi. At fi v. g. axis tubuli mobilis DCE aberret a fi tu debito ACB, anguli minores erunt, & objectum P jam apparebit in tubulo de, dum acies regulae mobilis habebit fitum aCb. Contrarium fieret, fi AB eflet axis tubuli mobilis, & DE acies regulae. Alia ratione in idem inquiri pote.ft, fi nempe atiu menfuretur aliqua diftantia duorum objeSorum, & calculetur, fub quo angulo ex dato loco apparere debeat; tum adhibito infirumento is ipfe angulus exploretur, utrum cum calculo congruat. Hoc fi faepius fiat, variique anguli determinentur, aberratio axium tubulorum facile corrigetur. Apparet autem, quae de hoc examine fitus axium diximus, applicanda quoque effe fitui dioptrarum, vel pinnacidiomm. 1 \8 Sed paullo accuratius in quantitatem erroris ex collineatione oriundi inquirendum eft. Laudatus D. Mayerus lineas parallelas nigras, quarum iatitucLO erat'^ unius line$, relictis intervallis albis ejusdem latitudinis, in charta fecerat, eoque removit oculum, donec apparerent confufe. _ Ex di-ftantia oculi, facili calculo determinavit, ibi tV unius lineae fubtendere angulum 2' 54". Unde concludit, qua? fub angulo 2' minore apparent, non amplius diftindte cerni. Hinc qui dioptris utuntur, in angulis accipiendis nunquam fecuros eile de 2'. Cum ope tuborum objecta augeantur (& eft tuborum borum augmentum proxime in ratione fubduplicata longitudinis ) in ratione augmenti minuunt propierea hunc errorem. Verum judico, magnum effe difcrimen inter dioptras; faepius dioptra, cui oculus applicatur f Fi°’. 17 Fis-. r7 Tab. III) CD, linea tenui AB pertufa eft, altera eidem oppofita EF&, per Tab. IU quain transfpidtur, eft filaris hoc eft,quadrangulum apertum, quod tenui fi-1°rG1:, rZ medl° (ecatu,r’ ln hoc ca^i agitur de difcernendo hcc unico filo , . fecer“id J T ^ g' apiCem alicl,-)us turr,s’ Vel arboris &c accurate iccet, xd, quod tam difficile non eft, cum oculus fatis accurate difcernat an ex axterutra fili parte, plus, minusve objedii appareat, quod fzepius experiun-cli occationem habui, cum mea? inftitutioni creditos in ejusmodi menfuratio-mbus exercerem. Si objectum fit tenuius, quam ut utrinque extra filum ao-pareat, tum vero (modo non per totam fili longitudinem protendatur quod non mfi ranffime contingere poteft ) facillime advertitur ex inaequabili craffi-tudine, quam filum habere videtur, ii collineatio non lit accurata, Illud modo curandum, ut ne fedtio AB dioptrae ocularis fit vel nimis tenuis, vel nimis ata: in pruno cafu diflradtio lucis efficit majorem umbram, quam ut a filo latis dii unguatur: m altero parallaxis effe poteft. Si haec fiffura mediocris lit, oculus alfuetus, umbras diffradtionis fatis commode a filo alterius oppofi-tas dioptrae diftinguit. 1 r 119. Ut ita (entiam, eo adducor, quod longe difficilius fit, partes minutas alicujus totius ( quales conftituunt apud Mayerum lineae nigrae albas intercipientes ) difcernantur, quam ut tenuis aliqua linea in fundo aequabili (qualem prasftat dioptra? filaris EF lata apertura) diftinguatur, quae ad fpa-tium multo longius, & fub angulo etiam pauciffimorumfecundorum (utapud Ivaftnerum yotifMnbtge Dpfie, Jurins ^^anDllUld DOffi bCUtltCb/ UlD Ult» tCUtltcl) @ef)cn, obfervat §. VI) videri poteft. Haud negem fime, errores collmeatioms facilius per tubulos evitari; verum tanti erroris periculum fub-effe etiam eo cafu, quo fpatium vacuum dioptras EF fatis illuminatum eft, perfuadere mihi non polium. Aliud foret, fi objectum obfcurum, fi radii vifuales terminentur in loco itidem obfcuro, uti in prato, vel monte diffito; tum enim lubensdo, in collineatione per dioptras etiam majores errores committi poiVe. Sed enim tum repetenda menfuratio fzepius, fi quid certi erui debet, quas tum ne quidem per tubulos tam exadta erit. 120. Filum, cujus craffifudo eft 0,0658 digiti, in diftantia 10 digito-rum fub angulo 2' apparet ( ut patet fi fiat 206264",8 : 120" = iq dipb- v qu® proportio ope Logarithmorum expedite fit). Fieri poteft (imnto‘rc’ apfe frequenter contingit) ut aliquod objectum in magna diftantia v g 1000 pedum, aut etiam minore videatur fub angulo minore, proinde tegatur non folum a filo, fed etiam non poffit apparere moto aliquantulum in utramque partem luo. In tali cafu difcerni nequit, utrum dioptra fit accurate difpofi-ta, an vero paullum augeri an minui debeat angulus. Si radii vifuales non terminentur ad oppofitum aliquem montem, fed ad coelum liberum, objectum, cujus diameter 3,49 digitorum ultra honzontem eminens adhuc facillime fub 1000 pedum’ feb12000 M- mota dioptra etiam per integrum minutum, manebit obje&um adhuc a filo tectum, ideocjue in collineatione error I' vix vitabitur. Ex hoc autem deducitur, quantum fieri poteft, fila e fle tenuia pro dioptris adhibenda. 121. Si fila dioptrarum fint fatis tenuia, in minoribus inftrumentis errores majores nafcuntur ex divifione in graduum partes non ita parvas. Nam adhibito etiam vitro auctorio, fi acies regulae non accurate, per aliquam di-vifionem tranfeat, difcerni vix potefl, quotam partem ex fequente divifione abicindat; ut fi di vi fio perveniat ad dena minuta, fat quidem commode medietas ejusmodi divifionis difcernitur, at partes minores vix fatis diftingui poliunt. Unde aeflimatio ocularis facienda tantummodo eft, quae facile in duorum (quin etiam 3 ) minutorum errorem nos inducit. Ceterum in hoc genere illud veriffimum efi, oculum longiore ufu in hifce obfervationibus exercitatum, fsepe fat magna accuratione diftinguere, quae alius haud amplius difcernit. Supereflent fane multa adhuc in Goniometricis inftrumentis artificum induftria, & ingenio perficienda, modo non deeffent, qui utililfime collocatae operae dignum femper exhibeant pretium; aut illorum emptorum minor fi foret numerus, qui externo illo nitore inftramentorum contenti eorundem fepe artificum negligentiam alunt, qui, cum vident, facili labore fe fibi, unde vitam fat honelle tolerent, parare pofle, parum de accuratione, minus de ulteriore perfectione folliciti funt. 122. Supereft ut aliquid etiam de menfula, quam Praetorianam vocant, & frequentiflimum ufum habet, dicamus, quanquam operationes , quae ejus ope inllituuntur, non tam Trigonometricae, quam pradticas quaedam Geometrice applicationes dicendae fint. Et quidem menfula ipfa ope limbi exemptilis charta munda obtegitur, atque tribus pedibus circa axes verfatilibus fulcitur, ut r.v fitum omnem, pedibus magis, minusve explicatis, conftitui polTit. Prarcipuum organum, quod adhibetur, eft regula dioptrica. Eft mi- Fig. 38hi ejusmodi ad manus (Fig. 38 Tab. III), cujus longitudo AB 2 ped. 4,6 Tab. III digit. diftantia dioptrarum CD 26,2 dig. altitudo dioptrarum CG 8,5 dig. Utraque dioptra duplex eft: CG fuperiore parte habet aperturam 3,2 dig. longam, & 0,02 digit. latam vp, cui opponitur in altera DH dioptra filaris rr ejusdem longitudinis, fed 0,5 digit. lata, per cujus medium dwfta eft chorda fidium fat tenuis. Inferne in CG fimilis aperturae eft dioptra filaris om, cui in DH refpondefc fiflura tu ejusdem longitudinis, fed latitudinis 0,02 digiti, ut fcilicet tam c d B, quam ad A conftitui commode oculus pofiit, illic quidem tranfpeSurus per tli & mo; hic per up, & rs. Fila dioptrarum, & fiiTu-rae accurate funt in acie regulae EF produ&a, ipfaeque dioptrae ad planum regulae AEFB normales. Sunt item circa axes prope C & D verfatiles, ut utraque in planum regulae demitti queat, dum extra ufum in capfam regula reponitur. Ipfi dioptrae DH duae aliae minores LKIH, QPOB connex$ funt, quarum fila filaris eft, & ]atae aperturae; haec pinnacidium, feu fiflura zy tenui prodita, quae extra ufum, quem inferius indicabimus, cum eodem modo circa axiculos per HL, BQ transmiiTos verfatiles fint, plano dioptrae majoris HD applicatae relinquuntur. 123. Alii De Instrumentis, Quibus Anguli &c, 51 ' 123. Alii in hujus generis regulis (quae variae magnitudinis eflfe pof-funt) utrinque in dioptris GC, uH tantummodo adhibent fila. Verum, ut Judicent, an debita regula verfus objectum difpofita fit, dum v. g. oculus ex B per A tranfpicit, a dioptra DH aliquantum recedere debent (cum filum in nimis magna vicinia cerni non poffit diitmde) & videre, an utrumque dioptrarum filum cum obje&o fit jn eadem recla, five an filum dioptra? vici-mo;,s accurate obtegat filum remotioris, quod per obje&um tranfire apparet. rq‘lic u^um >n regula fuperius defcripta praedat etiam dioptra filaris brevior BKlH prope extremum LH dioptra; DH majori connexa, & itidem circa axi-cu.mn per HL tranleuhtem verfatilis. Dioptra enim DH plano regula? DFEC applicat:!, erigitur altera LK1H ad litum verticalem, in qua longitudo fili qx efi o,8 digiti, quod per tno transfijicienti obtegi debet, & fimul objectum ^fecare. Denique fuperficiei regula? EF —- DC varia? fcala? infculpun-tjr, uti in nollra reperiuntur pes V'iennenlis, cujus digitus in 60 partes divi-fus efi, & pes militaris. 124. Dum dioptrae debite verfus objectum diredts? funt, juxta aciem EF ex vertice anguli metiendi, in quo acicula defigitur, quam regula? acies fem-per accurate tangar, ducitur cerulTa linea: tum verfata eadem acie regulae circa aciculam, colliaeatio fit verfus alterum objftium, novaque ducta linea habetur angulus. Communiter fumitur, ab oculo exercitato raro committi errorem 2' majorem in collineatione; verum cum fila craffiufcula fint, etiam hinc (119) errores augeri poliunt, praeterquam quod, ni fi maxima adhibeatur cura, in ducendis lineis vel craflioribus, vel regulam aliquantulum trudendo, multo magis aberrari pofiit. Cavendi funt in menfurationibus anguli acuti nimium. Nam cum omnis linea aliquam latitudinem habeat, in-terfedtio binarum, qua? verticem anguli confiituit, fatis difcerni nequit, uti patet (Fig. 36 Tab. III) in angulo ACD; ex quo deinde fit, ut non debitap;^ ^ linearum longitudo in fcalam transferatur, atque fi particula? fcalse, quae pe-Tab, m dibus fubfiituuntur (uti videbimus) fint exigua?, laepe pedibus etiam aberretur a vera laterum metiendorum longitudine. 125. Ut regula menforia exploretur, feligatur locus quispiam medius inter duos muros parallelos (faltem proxime) alicujus ambulacri, aut inter duo aedificia, aut faltem talis, ut utrinque conftitui pofiit tabula alba circiter 6 vel 7 pedes longa; exempli caufa pono haberi ambulacrum 70, aut 75 pe. des longum, utrinque muro terminatum. In utroque muro adhibita plumbagine in redta verticali fiant bini circelli nigri tres faltem lineas habentes in diametro (tum enim in difiantia 36 pedum apparebant adhuc fub angulo 2'), quorum centra diftent 5 vel 6 pedes. Aut fiquidem commodius videatur, retinaculo utrinque fixo fufpendantur pondera e funiculis diametri 3 vel quatuor Irnearum, longitudinis minimum 5 aut fex pedum, qui debite tenfi, & ab ofcillationibus liberi verticalem fitum exa&e fervent, Menfula in medio confiituta tribuatur ei talis fitus, ut in murum collineanti aut circulorum nigrorum centra accurate per filum dioptrae fecari, aut id cum funiculo pondus fuftinente congruere videatur. Regula in eodem fitu relicta idem videri G 2 de- debet collineanti in murum oppofitum. Quod fi. non contingat, dioptrae non funt in eodem plano, ideoque corrigendae erunt. At fi id repetita eolli-neatione obtineatur, ducatur juxta aciem regula» recta tenuis in plano menfu-la?, & converfa regula eidem lineas applicetur, ut acies congruat: tum per dioptras alias in utrumque murum collineetur. Si vel circuli accurate fecen-tur, vel funiculi cum filis congruant, dioptras rite funt difpofit$. At fi fila videantur funiculos interfecare, aut rectam circulorum centra conjungentem, id indicio erit, dioptrarum planum non elTe verticale ad planum regulae, ideo-que dioptris correctio foret adhibenda. Denique fieri poteft, ut lit quidem dioptrarum planum perpendiculare ad planum regulas, fed non tranfeat per ejusdem aciem, quod quidem vitium tolerabile eft, cum non mutet magnitudinem angulorum ope regulze acceptorum, fed tantummodo vertices extra planum dioptrarum confhtuat. Ut autem exploretur id ipfum, fi planum dioptrarum non tranfeat per aciem regula?, evidens eft, converfa reoula, utrumque circulum fore in linea parallela ad filum dioptrarum. Unde adeffe de» bet examinis adjutor, qui prope utrumque circulum defignet in muro duos alios circellos, vel notas quaslibet in eadem diftantia verticali, qui accurate obtegantur a filo dioptras. Si horum novorum circulorum, fuperioris & interioris, a correfpondentibus fuerit eadem centrorum diftantia, & quidem in utroque muro, concludi poterit, planum dioptrarum effe parallelum aciei regula?; at fi in uno muro fuerit quidem diftantia par, non tamen eadem, ac in altero, planum dioptrarum nequit effe parallelum aciei regulae, & nifi hoc vitium tolleretur, anguli ope regulae accepti evaderent erronei. Quantitas erroris calculo fubjacet, fi nempe fiat: uf diftantia menfuhe ad differentiam diflantiarum circulorum per fila dioptrarum teSorum a circulis ab initio fa-tils> & gui tegebantur in prima regulas collocatione; ita eft radius ad minuta fecunda redu&us ad terminum quartum, qui erit error anguli, quando per eadem extrema regula? fit collineatio: fi per oppolita collineetur, error eft contrarius. De majoribus inftrumentis, uti funt quadrantes, qilorum radii faltem 2 pedum, & qui tubis atque micrometris inftruuntur, hoc loco non agimus. Quibus maxime methodis eorum accuratio examinetur, qui cupit, videre poterit apud Aftronomos praftxcos, & in illorum prasclarifiimis operibus, qui gradus diverfos in divertis meridianis terreftribus dimenfi funt. Prae ceteris commendandum eft opus R. P. Jof. Liesganig S. J , qui maximo judicio, & longo ufu firmato hac in re optimum inter methodos feledfum fecit. ARTICULUS im. Refolutio pratiica triangulorum. Propofuimus poftremo' fuperioris Capitis Articulo Problemata Tri-J. gonometrica, & offendimus, qua ratione ex datis trianguli partibus bus reliqua; inveniri calculo poffint. Videndum modo, quomodo ea ipfa rc-lolutio executioni danda fit, poftquam fufiicientem infirumentorum, quas adhibenda funt» notitiam tiro acquilivit. Unde totum hoc argumentum refo-lutione praedica Problematum, qua; fubjungimus, comprehendemus. 127. PROBLEMA I. Metiri cliflantiam duorum locorum A, B, quorum unus (B ) tantummodo accedi potefl. (Fig. 39 Tab. IV). ^ Resol. I. Ope menfulae. Conflituta commoda aliqua flatione C, ex qua uterque locus A, B confpici poffit, defigatur in C perdea (nifi forte jam adfit aliquod, alterum objectum ex B afpectabile) ope perpendiculi ad fitum verticalem, & fiquidem difiantia fuerit aliquanto major, appendatur eidem tabula nigra cruce alba, vel tabula alba cruce nigra diftindia, ad altitudinem fere menfula;: hujusmodi tabula; mobiles plures ad manus fint, cum frequen-tior earum in menfurationibus fit ufus. ConfBtuatur menfula in B, & defixa non procul a limbo acicula, applicetur ei regula dioptrica, qua collineetur in A, ducaturque juxta regulae aciem in charta linea tenuis Ba indefinita. Eodem modo immota menfula regula dirigatur verius C, ut aciculam B tangat, & collineetur in C, rurfusque ducatur altera linea indefinita Bc. E pundto B, in quo acicula defixa efl:, demittatur in humum perpendiculum, quod commode fit ope forcipis CABD (Fig. 40 Tab. IV) cujus fuperius crus in acu-Fig. 40 men C definit, inferius ad D, infra C, foramello pertufum appenfam habet Tab. IV plumbaginem DE: difiantia utriusque cruris CD eft fere crafiitudini menfu- lae aequalis: applicato itaque cufpide C brachii CA fupra menfam ad pun-clum B, perpendiculum DE eidem infra menfam applicabitur. In eo Iseo foli, in quem cadit perpendiculum, defigatur remota menfula alia pertica cum fua tabula, uti prius de ea, qua; in C collocata fuit, diximus, tabula; plano Rationem C fpedtante. Tum vel ope decempedarum, vel catena; menfuretur difiantia BC (Art I hujus Capitis). Ubi ad C perventum efi, numero pedum, vel orgyarum inventarum aequalis numerus partium a fcala Geometrica transferatur in menfula ope circini ex B verfus c, & pundto huic applicato brachio AC forcipis confiituatur ita menfula, ut perpendiculum E cadat in C, ubi antea pertica defixa fuit. Fixa acicula in C, applicetur regula dioptrica linea; Cb in menfula deferiptae, & moveatur ita menfula (quin tamen punctum C loco cedat), donec per dioptram videatur objectum B, vel pertica illic defixa. H$c linea fiducia dicetur, quod tum demum fidere pofiimus five angulo ABC, five alteri ACB, fi intelligamus, nos a. linea BC non exer-rafie. Denique linea-fiduciae rite conftituta, regulaque circa aciculam C con-verfa, quin menfula ullum inde motum recipiat, collineetur ex C verfus A, atque ducatur linea Ca, donec prius jam in ftatione B deferiptam ba interfe-cet. Capiatur intervallum ba circino, & applicetur eidem fcalae Geometrica;, ex qua accepte funt partes linea; bC, numerus partium fcal$ convenientium linea; ab erit numerus pedum, vel orgyarum difiantia; BA. Ratio manifefta eft. Cum enim angulus ABC fit idem cum angulo abC, ob communem angulum ad C funt triangula ABC, abC fimilia; hinc bC : ba = BC: BA. 128. Ob- 128- Observa. Sa?pe contingit, ut fi pedibus lateris BC fubftituantur integrae lineae fcala?, linea bC in menfula nimis magna fiat, ut triangulum excurreret extra limbos; fi autem fubftitaantur decimae lineae, triangulam abC fieret nimis parvum. In tali cafu, ubi apta divifio in icala non adeft , quae commode adhibeatur; fumi poterit quiscunque numerus partium fcalce pro IC. Exemplum: fit inventa BC 224 pedum; fumantur 50 linea? pro bC; & perada menfuratione inveniatur ab — 82.3 lineis. Fiat if1 proportio 50 : 224 : 369; erit longitudo BA proxime 369 pedum. Facilius erit, adhibere dimidium numeri inventi, fi partes fcala? videantur jufto majores , vel aliam notam aliquotam, ut deinde numerum aequalium partium lateri ab refpondentium tantummodo opus fit duplicare, triplicare &c. 129- ScHOL. Quas de denxione perticarum, appendendis tabulis, demif-fione perpendiculi in hac refolutione monuimus, in fequentibus fieri ponemus, neque repetemus ea amplius fine peculiari necemt&te. 130. ResOL. II. Ope Goniometrici. E leda commoda ftatione in C atque figno illic collocato, conftituatur centrum Goniometrici ( quod itidem fit demiffo inde perpendiculo) in B, atque dioptrae fixa; in C dirigantur, ut fignum C in filo verticali videatur. Regula mobilis dirigatur verfus A, donec in ejus dioptris A debite videatur, & numerentur gradus arcus inter utramque regulam intercepti, habebitur angulus ABC. Remoto Goniometrico, atque figno in B collocato menfuretur di flantia BC, atque numerus pedum, orgyarum &c adfcribatur accurate. Tum centro Goniometrici in C pofito per regulam fixam collineetur ex C in B, per mobilem vero ex C in A, ut acquiratur angulus ACB; dabitur hoc ipfo tertius CAB. Unde fiat [in. A : [in. C = BC : AB. Fig. 41 131. Problema II. Metiri diflantiam duorum locorum A,B (Fig. 41 Tab. IV" Tab. IV) quorum neuter accedi poteft. Resol. I. Ope menfula?. Eligantur duas flationes commoda; D, E; & collocata menfula in D, collineetur verfus E, A, .& B, dudtis indefinitis De, Da, Db. Menfuretur ba!is DE; & numerus pedum transferatur in partibus fcalze ex DE, ut dE fit tot. partium fcala?, quot DE continet pedes. Tum menfula in E collocata (juxta 127) collineetur in D, duitae Rb, Ea abfcin-dent punita b, a; horum dillantia in fcalam translata indicabit numerum pedum AB. _ Sunt enim triangula BED, bEd ob angulos ad E, & d vel D eosdem ft-milia. Eodem modo fimilia funt ADE, sdE; hinc fimilia quoque eiTe de-bent triangula AEB, aEb, & totum trapezium aEdb trapezio AEDB, & ma-nifeilum efl. Resol. II Ope Goniometrici. Ex fiationibus D, E accipiantur udem anguli ADrL, AD8; & AEB, BED. Quia in triangulo EBD dantur tres anguli (duo enim BDE, BED accepti funt) cum latere ED, quod menfura-tum efl, reperitur EB. Fodem mc-do ob datos angulos, & latus ED, in triangulo AED invenitur AE. Unde in triangulo AEB habentur duo latera EA, EB cum angulo intercepto, proinde (gg) latus tertium AB inveniri poteft. 132. Ob- Resolutio Practica Tiuangulorum. 55 132. Observa. Quando objedia non funt in eodem plano (faltera ad fenfum ) horizontali, multum intereft inter earum diilantias veras, & diflan-tias horizontales. V. g. objectorum A, B (Fig. 42 Tab. IV" J diflantia verap,> apparet fub angulo ACB, horizontalis fub angulo jJCE. Si inftrumenti fi- Tab. IV tus fit horizontali parallelus,&objedta per dioptras appareant in filis verticalibus, acquires angulum DCE, non vero ACB. Si pofteriorem defideres, oportet, ut utrumque objectum appareat in plano inftrumenti, live trianguli EGA; quare tum inclinandum erit hoc planum inftrumenti, atque ita dirigendum, ut objedta appareant in pundtis filorum v. g. mediis, vel aliis aequaliter ab extremis diftantibus. Contuitum eft, in tali cafu adhibere fila fefe decutTantia ad aequalem in utraque dioptra diflantiam, Si loco filTurae longioris, vel pinnacidii, exiguum foramen circulare, cui oculus applicetur. Verum ojfus longiorum Si altiorum dioptrarum eft frequentior, dum regio aliqua exhibenda eft in charta, cum ad id genus delinationes topographicas non anguli BCA, fed horizontales ECD requirantur. Unde fi foret tanta altitudo objedtorum A, B fupra horizontale planum, per dioptras tu, mo (Fig, 38 Tab. Fig-lif), regula AB in fitu horizontali polita videri nequirent, tum vero ufus Tat3, lIi foret minorum illarum dioptrarum QPOB, LKIH, quas longiori DH inne-xae funt. Nam (Fig. 43 Tab. IV) dioptra DH fub tali angulo HDC ad pia-Fig- 45 num regulae EFAD inclinatur, ut per rimam zy dioptrse QPO tranfpicienti objedtum appareat in filo qr dioptrae oppofitae LKIH, Jam cum zy, qr (ex regulae conftm&ione) maneant in eodem plano verticali, in quo eft acies regulae EF, evidens eft, acquiri angulum in horizontali plano DCE (Fig 42 Fig. 42 Tab. IV) , fi in hunc modum adhibeatur regula dioptrica verius objedta A, Tab’ tV B diredta. Sed enim fi ejusmodi regula compofita ad manum non fit, vel fi Goniometrico utaris, ut obtineas angulum (Fig. 42 Tab. IV) BCA, is calcu-Fig- 42 Io reduci debet ad horizontalem ECD. Nam ("ut e fubjedtis Problematis pa- ab" ^ tebit clarius) metienda eft utraque altitudo AD, BE non folum accepto angulo BCA, fed etiam angulis BCE, ACD. Reloluto triangulo BCA dabitur latus AB, & datis altitudinibus AD, BE, habetur earum differentia AF; tum fi cogitetur recta BF ad ED horizontalem parallela, in triangulo redtangulo ABF, datis BA, AF invenietur BF = ED. Et quoniam ex refolutione triangulorum redtangulorum ADC, BEC obtinentur etiam latera DC, EC, in triangulo horizontali EDC dantur tria latera, & proinde (89) anguli inveniri poffunt. 133- Hsec redudtio angulorum BCA obfervatorum ad planum horizontale, quando latera funt majora, & notabilis diverfitas altitudinum locorum B, A, C, alias fit ope Trigonometria» fphasricae; fed in minoribus triangulis methodus expofita fufficit. Quod fi contingeret, nullam, quae fentiri poffit, differentiam altitudinum AD, BE reperiri, ipfa diflantia AB aequalis foret lateri ED, ut per ie manifeftum eft. De redudlione angulorum ad horizontem nobis inferius fermo redibit, 134. Problema HI. Altitudinem acceffam Kl (Fig. 44 Tab.IV")me-Fig. tlri- Tab. IV" Re- ResoL. Conflituatur inftrumentum Goniometricum in fitu verticali in diftantia tanta, ut nullus angulus fiat nimis parvas, ita, ut regula fixa AB fit in fitu horizontali, quod obtinetur vel e centro C demilfo perpendiculo CG e tenui.filo fufpenfo, quod gradum gomum in limbo abfcindae, vel applicata Fig. 22 ad BA libella aquatica (l ig. 22 Rab. IIdonec bulla aerea in ejus medio Tab. 11 quiefcat. Sed retiius videtur adhiberi perpendiculum, cujus filum limbum inftru-111 enti proxime attingere debet, non tamen prorfus," ut ejus motus adhuc in utramque partem liber fit, qua obfervatione praecavetur inclinationi plani inftrumenti in latera. Inftrumento rite conflituto accipiatur angulus ACD — KCH. Ex C demiflb perpendiciilo in L menfuretur diilantia Ll — CH. Habebitur in triangulo redtangulo ad H, KCH, & latus HC, e quibus invenitur KH, atque addita altitudine inftrumenti CL = HI, tota altitudo. 135- Observa. Pro altitudinibus met endis ufus menfulae eft incommodus, cum in ejus plano, fi verticalker erigatur, difficulter regula dioptri-ca? applicentur, & linea? ducantur. Forte commodius adhiberetur regula eo „FiS' 43 fitu, quem habet (_Fig. 43 Tab. 1Y), ut nempe fatia collineatione per diop-a ' tras minores, demittatur in planum regulae EF ex H perpendiculum , & notetur puntii, in quod cadit, diftantia a D; lineis his DH, diftantia perpendiculi a D, & ipfa altitudine perpendiculi ex H usque in planum regula1, in fcalam translatis, per iimplicem proportionem inveniri pofiet utcunque alti-Fig. 44 tudo quaeftta, fi 'praeterea menfuretur bafis LI (Fig. 44 Tab. IV) fimilem J"“°- proportionem inftituimus fuperius (128)- Fig. 44 136. Problema IV. Metiri altitudinem inacceffam KI. fFig. 44 Tab. IV Tab. IV.) ResOL. Pateat ad KI liber accefTus in eadem re&a /LI usque ad L. Menfuretur in ftatione l angulus acd = KfH, inftrumento Goniometrico in fitum verticalem erecfto. Inde menfuretur bafi's IL = cC. Et denuo verti-caliter conftituto Goniometrico accipiatur angulus ACO. In triangulo KCf habebuntur tres anguli (ob acceptos KCr, KCH, qui eft fupplementum anguli KCr ) & latus Cc; hinc invenietur KC. Tum datur in triangulo redtan-gulo KHC angulus ad C & latus CK, reperieturque KH, feu addita CL, KI. 137, Observa. Si ftationes fumantur in eadem redta IL/, facile contin-g‘h ut anguli ad c obveniant nimis parvi. Quare aliter folvetur Problema fecurius in hunc modum. Fi?.4i _ _ Ehgantur duae ftationes C, D (Fig. 45 Tab. IV), & plano Goniome-2ab.lv tri ita conftimto, ut fit in plano trianguli CKD obliquo, accipiantur anguli ECD, KDC; dabitur etiam tertius CKD, & menfurata bafi NM = CD, re-perietur latus DK. Poftquam in ftatione D captus eft angiftus KDC, tribuatur Goniometrico fitus verticalis (134), «§£ menfuretur angulus KDH, habebitur in triangulo verticali KDH, pr8eter re(qum aq ^ angulus KDH, & H£uS ED; quare invenietur KH, & Kl. Resolutio Fractica Triangulorum. 5^ 138. Facile intelligitur, quas de metiendis altitudinibus dicta funt, applicanda efle etiam profunditatibus; uti fi quaereretur profunditas alicujus ioffae, cujus latitudo vel jam nota eft, vel ex duplice Ratione inveniri poteft. Quamvis dimenlto valde magnarum diRantiarum accuiata fieri non debeat, minoribus adhibitis mflrumentis; ut tamen tirones aliquam ideam acquirant operationum majorum, libet fequens Problema addere. J391 Problema v. Difiantiam duorum locorum A, B (Fig. 41; N. 1 4? Fab. IV ) valde magnam metiri, fi locus A ex B confpici pofiit. L . Resol. Adhibeantur plura triangula ACD, DCE, ECF, FED, qu$ fa-t!S accurate ope minoris Goniometri refolvi poffint. Si AB fuerit major, numerus triangulorum major e Re debebit, qui minor efle poterit, fi AB non’fuerit tam magna. Stationes D, C, E, F ita, fi fieri pofiit, eligantur, ut fere tri-Angulorum latera per Ah fecentur. Pra?terea caveatur, ne anguli nimis parvi prodeant. Tota figura conjiciatur ruditer in chartam, ne inter adfcriben-dum error admittatur. In fingulis triangulis, fi fieri po'efl, capiantur omnes tres anguli, ut pateat, quantum eorum fumma vel deficiat, vel excedat igO'1’, atque fciatur, quantum dimeniloni tribui pofiit. Quod fi fieri nequeat, falteni duo anguli fumendi funt. Praterea menfuretur v. g. in [triangulo ACD latus AD. Ob datos angulos repedentur latera AC, Cii In triangulo CDE habito latere Cb, & angulis, invenientur DE, CD; tum ex angulis & CE, quaerantur latera CF, PE trianguli CEF, & tandem noto jam FE, & angulis, latera FB, I E poflremi trianguli. Quoniam ponitur, terminum A ex B videri pofie, menfurentur, qua fieri potefi accuratione, anguli CAB, DAB; FBA, EBA. Concipiantur in retiam AB ex E, D (vel ex F, C, aut ex omnibus fimul) demiffa perpendicula EH, DK, vel etiam FG, CI. In triangulo ad H re-tiangulo BHE datur angulus HBE,& latus EB. Quare reperiri poliunt BH, & HE. Eodem modo rn triangulo retiangulo AKD ob datum angulum KAD, & latus AD, invenitur AK, & KD. Habitis perpendiculis KD, HE, datur eorum differentia ?«D, & fi concipiatur wE ad AB parallela, in triangulo retiangulo ad ?z, ?zDE dabitur latus DE, & latus »D, reperiturque mE =5 KH. Partes AK, KH, HB conRituunt longitudinem quaefitam AB. Idem inveniri poterat per triangula BFG, ACI, CFo. Si forte plura fint peroen-dicu a, poteR eorum differentia etiam fic reperiri: in triangulo ADK datur angulus ADK, complementum anguli KAD; hoc fubtratio e fumma angulorum ACD, CDE notorum, relinquitur angulus KBE, vel »DE, & ex hoc & la:=r= DE reperitur „E == KH.1 . & ex hoc, 140. Si retiificare (ut ajunt) velis tuas operationes, metire praeter latus AD, etiam in poRremo triangulo aliquod latus, velut FB, & inde incipe calculum, ut devenias ad latnsAD, quod fi ejusdem magnitudinis praebuit calculus cum atiuah dimenfione; & viciflim initio fumpto ex ACD reperias FB longitudinis ejusdem cum vera, fecurus efle poteris de bonitate operationis; aut certe e magnitudine diferiminis facile conRituere poteris , quantum in ea confidi pofiit. -R. P. S- herjfery Geo^ist, P. II. h (je. 53 Geomet. Pars U. Gap. II. Artic. III. Ceterum in tali operatione, cum raro triangula fint in plano horizontali, feci plerumque vertices in locis magis editis, antequam perpendicula DK &c in AB demittantur, omnia triangula ad idem planum horizontale reducenda funt, de qua rcc .tciione (ut jam monui) poftea agemus, quantum per Trigonometriam planam fieri poteft. In operationibus majoribus, dum latera lingula triangulorum adhibitorum aliquot millium hexapedarum funt, multo plura attendi debent, quae, cum extra noltrum inftitutum fint, hoc loco non attingimus. Ceterum li hypothefis Problematis mutetur, & ponatur, terminum alterum ex altero confpici non poffe, haberi poterit refolutio fequens licet minus tuta., attamen Aftronomiae fubfidiis deftituto fortaffis quandoque utilis futura. Nempeideterminanda prius erit politio laterum duorum, quorum alterum ad poitremum triangulum unius, alterum ad poftremum alterius termini pertinet. Fig. 46 Sint (Fig. 46 N. 2Tab.IV) triangula ACD, DCE, ECF, FEG, ECH, N. 2 HGB, termini A, B. Concipiantur dudti per terminos circuli maximi aAa, Tab. IV qu{ repr$fentent meridianos, & li AB fuerit tantummodo aliquot millium hexapedarum, citra, fenfibilem errorem pro redtis parallelis haberi pof-funt. Si vel opi t yxidis magneticae , vel melioris horologii fciaterici inveniatur angulus aAC, vel tiAD, (alteruter fufficit, cum ob notum CAB, & fummam aCA -t- CAD + DAa = ISO1', dato alterutro extremorum, etiam alter detur), & concipiatur v. g. latus AD produdtum donec occurrat in b meridiano alterius termini fiBb , atque eadem obfervatio anguli HBZi inlti-tuatur in termino B, produdo latere BH in a, ubi meridiano aAa occurrit, habebuntur triangula Aca, Bcb fimilia, & cAa — cbB , caA = cBb, qui cum -jam noti fint, tertius ad f etiam fcitur, dehinc etiam ejus fupplementum DrH. Pr$terea ponatur dudra redia DPI. In triangulis DChC, CEh , FEG, GEH noti jam funt omnes anguli ad E; & quoniam hi cum DEH conftituunt qua-tuor redtos, habetur in triangulo DEH angulus comprehenfus lateribus ED, EH itidem notis; proinde invenitur & latus DH , & anguli EDH, EHD. Jam ob notos ADC 4- CDE + EDH, fcitur quoque horum fupplementum HDf: Uti etiam DHc, fupplementum trium notorum DHE, EHG, GHB. Q„»e in triangulo DCH datur latus DH, & tres nitur De, & fH. Igitur habetur fumma AD -f- Dc, & BH -F Hf, & m tn-angulo AcB dabuntur latera cA} fB cum angulo comprehenfo, potentque AB inveniri. Verum imprimis ha?c refolutio fatis accurata efle nequit, cum fitus laterum AC, AD; BG,BH refpedlu meridiani neque ope pyxidis magneticae, neque ope horologiorum fat tuto determinari poffit. Secundo omnino fe efi, ut prius triangula reducantur ad eundem horizontem , cum alias > 13f6 non fint in eodem plano. Atque haec incertitudo, (cujus caui® con,t\^ res adferri polfent) angulorum, qui per acum magneticam accipum ur, a nobis erat, ut nihil in tota hac tradcatione de ejus generis menfurahombus diceremus, quae refolutionem ex fonte tam dubio petunt, & quas non nifi in omnium aliarum defectu adhibendas cenfemus. 141. Problema VI. Datis in triangulo ABC (Fig. ggTab. IV) tri-Fig. bus angulis, & differentia laterum AB, BC, invenire latera. Tab. IV Rssol. Cum detur angulus B, eft (74) AB 4- BC : AB — BC = tang. (iA -f- lC) : tang. (|C — iA). Sit fumma laterum = x,differentia = a; habebitur tang. ({C — iA) ; tang. ({C -+• ~A) z= a : x. Reperitur ergo fumma AB 4- BC ex fimplice hac Analogia; & quoniam ex angulis fci-tur, utrum latus majus, vel minus fit, habebitur majus = 4- ga, & minus = !•*• — 1-l 142. Problema VII. Datis partibus AD, DB (Fig. 47 Tab. V) re-Fig. 47 tiae AB, & anguhs ACD, DCB, invenire difiantias CA, CB. '*'ao- '' Resol. Concipiatur triangulo CAB circumfcriptus circulus, CD prc-duda in F, atque chordae AF, FB. Quia dantur AD, DB, datur etiam earum femifumma ED, & fi. concipiatur radius BO cum OE e centro ad dimidiam chordam normalis, erit EOB = ACD 4-DCB, cum ille fit ad centrum, hi ad peripheriam. Itaque OB ; BE = R : fit?, ACB, igitur habebitur radius circuli, quo dato invenientur chorda? FB (=2yi?z. DCB) & AF (=2 Jin. ACD). In triangulo ADF habebuntur jam duo latera AD, AF, & angulus comprehenfus FAD =3 FCB feu DCB. Igitur reperitur angulus ADF, Hoc habito in triangulo ACD dantur anguli ACD, ADC cum latere AD : potefl: ergo refolvi, & inveniri AC. In BC reperiendo jam non eft difficultas, ob datum ABC = ADC — DCB; item ACB, latera AB, AC. 143. Lemma. Si in triangulo quovis ACB (Fig. 43 Tab. V) ex medio Fig 48 pundto D lateris AB ducatur retia DC ad angulum oppofitum C, erunt finus Tab. V angulorum, in quos dividitur angulus C, in ratione reciproca laterum CA, CB iis adjacentium , five fin. ACD :Jin. DCB = BC : AC. Demonst. In triangulo ADC eft AD : DC = Jin. ACD : Jin. A; & in triangulo DCB eft DB vel AI* DC = fin. DCB : /kB; lime/m. ACD : fin. DCB = Jin. A : fm B. Sed Jm. A :fm. B = BC ; AC (66) igitur etiam fin. ACD : Jin DCB = BC : AC. Q. E. D. 144. Problema VIII. Datis in triangulo ABC (Fig. 48 Tab. V ) la- Fig. 4$ tere AB, ratione laterum AC : CB = m : K, & angulo lateri dato oppofito Tab- V C, invenire latera AC, CB. Resol. Alfumatur radius quivis arbitraria? magnitudinis CG, & intel-ligatur deferiptus arcus GLH centro C. Ob datum angulum GCH reperie-tur pro radio aiTumpto chorda GH = 2 Jin fC. Fiat rn 4- n : n = GH : GI. Patet ( 476 & 47^ Geomet.) cum fit HI: IG = m : n, fore etiam finus angulorum LCH, LCG in eadem ratione m ; n = AC : CB. Quare (per Lemma) fi ducatur per I retia CID, tranfibit h$c per medium puntium D lateris dati AB. Igitur cum inventi fint anguli ACD, DCB, una cum partibus AD, DB, Problema redutium eft ad procedens, & circum-fcripto triangulo circulo AFBC erit eadem folutio, quam proinde non repetimus» 145. C0R0LL. Cum DF etiam fecet angulum AFB (complementum ad duos rectos anguli dati C); erit /». AFC : Jin. CFB = FB : AF. Sed efl AFC = ABC, & CFB = CAB; ergo etiam fm. AFC: fin. CFB = Jin. ABC: fm. CAB = FB : AF = AC : CB. Cum igitur ex data ratione laterum m: n finus angulorum CAB, CBA inveniri poffint, reperietur BCillico, fi fiat fin. ACB : AB sssfm. CAB : BC &c. Fig. 49 146. Problema IX. Datur triangulum ABC (Fig. 49 Tab. V) cum 1 ab. V angUiis ADB, BDC; oportet invenire diftantias fmgulorum angulorum A, B, C a pun6to D. Resol. Concipiatur per A, C, D defcriptus circulus, cujus radius AO ex data AC, & angulo ADC, uti fuperius (142), invenitur, nec non chordas AG, G8, qua? fubtendunt angulos datos ADB, BDC. Eft vero GCA =: ADB; & ACB datur, igitur habetur etiam differentia GCB angulorum ACB, ACG, & in triangulo GCB habentur duo latera GC, BC cum angulo com-prehenlo: quare reperietur angulus GBC, & in trnngulo BDC dantur jam duo anguli DBG, BDC, & latus BC, e quibus facile reliqua latera BD, CD inveniuntur. De diftantia AD nihil difficultatis eft, cum in triangulo ACD nota fint latera AC, CD , & angulus ACD, Q. E. I. ^g. 5° Observa. Si vertex unius anguli, velut B (Fig. 50 N. 1 Tab. V) tri-Tab1 V anSu^ cadat intra circulum, id tantum difcriminis erit in refolutione, J' quod angulus GCB non fit differentia, fed fumma angulorum GCA (feu BDA) & ACB. Hujus Problematis ufus efte poteft in conftrudione choro-graphica. Si femel tria loca A, C,B rite determinata funt, quartus quivis facile, quantum a tribus illis diftet, reperitur, fi ex eo ( nempe D ) obferventur anguli ADB, BDC. Si vero haec tria loca polita eiTent in eadem reda, ufui foret Problema VII (142). 147. Problema X. Dato in triangulo ABC latere AC cum angulo _ oppofuo B, & pundo D,in quod cadit perpendiculum ex B in ACdemiffum, n/I &j invenire reliquas partes trianguli (Fig. 50 N. 2 & 3 Tab. V ). Tab. V Resol. Concipiatur triangulum infcriptum circulo, & arcus, quem fiib-tendit latus datum AC, in M bifedus: bifecabit MB angulum datum B. Sit CBN complementum dimidii anguli B, five MBN =s 901': recta MN erit diameter, & bifecabit chordam AC in R; & quia uterque angulus ABM, ACM infidit eidem arcui AM, aequales funt, & in triangulo redangulo MRC, ob datum RC = 4AC, reperitur RM; hinc etiam RN, cum fit = NR; unde dabitur radius circuli OM, vel OQ. Dein ob datum pundum D , habetur AD, & AR, ideoque & DR. Hinc in triangulo redangulo QOP invenitur angulus ejusdem nominis. Patet autem e (Te AOM s= ABC, & AO(^ = 2ABD; fcitur igitur etiam dimidium ABD, & ejus complementum BAC cum angulo tertio C innotefcit. Habitis angulis cum latere AC reliqua facile inveniuntur. Resolutio Practica Triangulorum. 61 148. Problema XI. Dantur in trapezio ABCD (Fig. 51 Tab. V)Fig. 5:1 quatuor anguli, & latera duo inter fe oppofita AB, CD; quaeruntur reliqua a“’ v duo latera, quorum ratio item datur ad fefe. Resol. Casus I. Si latera quaefita non funt parallela. An bina quaevis latera parallela fint, facile fcitur ex angulis. Ponamus imo, latera quaefita EC, AD non^fle parallela. Seu data AB, CD (vel Cd) parallela fint, feu non parallela, producantur in E latera quaefita, donec concurrant. Dabuntur duo triangula ABE, CDE (vel CdE), in quibus dantur omnes anguli, A, B, E; & DCE , CDE (fupplementa datorum BCD, ADC) & E. cum lateribus AB, CD (vel Cd). Quare reperientur latera BE , AE ; CE, DE, quorum differentiae funt latera trapezii qusefita BC, AD (vel Ad). Casus II. Si latera quaefita AB, Cd fint parallela, & dentur BC, Adf nec non ratio BA : Ca. In hac hypothefi triangula ABE, dCE fimilia funt, & datur ratio laterum AB : dC = AE : dE. Sit haec ratio m: n; fiat m — ft; a ^ -AE — dE : dE; feu m — n : n = Ad: dE. Quoniam Ad datur, habetur etiam dE, & inde e triangulo dCK ipfa magnitudo dC , confequenter 149. Problema XIL Polygoni ABCDE aream metiri, & delineare. (Fig. ,52 Tab. V). _ Casus I. Dum area pervia efi. Eligantur intra aream binse (lationes commodae G, & F, quarum diflantia non fit multo minor lateribus, & quarum diredtio non tranfeat per angulum polygoni. Accipiantur in G omnet anguli DGF, CGF, RGF,"AGF, EGF; eodem modo in F (defixo in G ft-gno, & menfurata GF) fumantur anguli DFG, CFG, BFG, AFG, EFG. in menfula ha; ipf$ line$ his interfectionibus determinant pundta D, C, B, A, E, quibus jundtis habebitur perimeter. At fi anguli accipiantur ope Goniometri; e triangulo FGD, in quo datur FG, & omnes anguli, reperiuntur latera FD, GD. Eodem modo in triangulo FEG, ex angulis & FG, habentur FE, GE. Cum jam noti fint anguli EGF, DGF, etiam nota eft eorum differentia EGD: itaque in triangulo EGD dantur latera GE, GD cum angulo comprehenfo: quare invenientur reliqui, & latus ED. Eodem modo notus eft angulus AFG & EFG,, adeoque etiam AFE, qui priores complet ad quatuor rectos; & ex triangulo FAG, ob angulos omnes datos cum latere FG, invenitur FA. Hinc in triangulo AFE rurfus dantur latera FA, FE angulum datum comprehendentia, & reperientur anguli reliqui cum latere tertio AF. Hunc in modum habe-bitur angulus polygoni DEA e duobus FED, FEA coalefcens, & duo latera. Manifeflum autem eft, fimili methodo reliqua latera cum angulis inveniri, neque neceffe eft, ut in re perfpicua diutius moremur. Angulis. & lateribus rite calculatis, ope fcalae & transportatorii inftrumenti, figura fimilis in charta conflruetur. Casus II. Dum area impervia efl, attamen accedi potefl (Fig. 53 Tab. Fig. V). Accipiantur anguli ABC, BCD,"tyDE &c usque ad duos, ordine, uti ^ab. V etiam BCA, ACE, CBD, ECD, & menfuretur unum latus, v. g. BC. In triti 3 an- 6i ^GeoMet. Pars II. Gap. U. Artic. III. angulo BCA datur praeter angulos etiam latus BC; & inveniuntur AB , AC. Dein in triangulo BCD eodem modo ex notis angulis & latere BC repentur CD. Tum in triangulo CDE ob notos angulos ECD , CDE, latusque CD, dabitur CE, ED. Tandem in triangulo ACE notis jam AC, CE cum angulo comprehenfo inveniendum eft AE, habebunturque omnes anguli, & latera polygoni. Observa. Si ambitus polygoni fit admodum irregularis, uti littus fta-gni abcdefghik; feligendae funt ita ftationes A, B, C, D, E, ut latera rectili-nea ita fecent irregularem ambitum, ut fere tantundem fpatii abfcindant ad k, h, f, &c quant: m accedit prope angulos ad i, g, e &c. Casus III. Dum non modo polygonum impervium efi, fcd neque ac-Fig. 51 cedi poteft. Uti ( Fig. 54 Tab. V) fi effet munitio militaris folia abcde cm~ la . Eligatur flatio in H in directum jacens cum latere CD; & altera in I, in eadem redta ctm AE. Menfuretur IH, & fumantur anguli 1HD, IHE, EID, DHL Eodem modo ftatiooes G, F fint in lateribus produdtis ED, BC; & accipiatur angulus DHG, HGD &c. Patet in triangulo DIH inveniri latera ID, DH; item in EHI reperiri EI; tum ex EHD habitis lateribus HE, HD cum angulo comprehenfo dabitur ED. Et cumbam habeatur DH, folvetur eodem modo triangulum DHG, DFG, CGF &c, uti confideran-ti manifefium efi. Unde fimiles ftationes circa alia polygoni latera ponendo, innotefeent omnia latera, & anguli, qualis EDC = GDH. Fig* ^5 150. Problema XIII. Metiri diametrum circuli (Fig. 55 Tab. VI}. Tab. VI Casus I. Si circulus fit pervius. Collocetur in quocunque puntfto ejus peripheriae F inftrumentum Goniometricum, & regula mobilis dirigatur ad gov, ut ad F fit angulus rectus: notentur puncta G, H , in quibus radii vi-1'uales occurrunt peripheris; redia GH tranfibit per centrum, cum angulus GFH infiftat femicirculo. Unde fi accipiatur etiam angulus unus acutorum, & menfuretur latus interjacens, invenitur facile diameter GH, nifiipfammen- furare velis. _ .... CasUs II. Si circulus fit undique claufus, uti fi roret turris circulans, ad quam tamen accedi externe pofiit. „ „ „ „ ... .> . Seligatur ftatio in A, & ita collineetur verfus B & C, ut radii vifuales peripheriam tangant. Accipiatur tum anguli BAC dimidium , & rmus co -lineetur fub dimidio hoc angulo ita, ut ad B radius vifuahs fiat tangens. Evidens eft, AD produ&m tranfire per centrum. Notetur puntium D, menfurataque diftantia AD fiat R : tang. BAD = AD : DL. Ex natura circuli liquet, cum DL, LB tangant circulum, efie DL = LB„ Igitur erit LOD = iBOA. Eft autem BOA complementum anguli DAB, confequen-ter LOD 4 complemento anguli BAD. Unde fiat: ut fmus dimidii complementi anguli BAD, ad fuum cofinum, ita DL ad DO , habebitur radius circuli quaefitus. a ' U Casus BL Si circulus nec accedi pofiit. Collineetur iterum ex A in b & C, ut AB, AC circulum tangant, & accipiatur dimidii anguh j. COj flementum DAE, ut habeatur angulus C.AE ~ goN Collineetur tuin pe Resolutio Peactica Triangulorum- 63 dioptras fixas in C, ut AC fit tannens, per mobiles verfus E, & defignetur -fixis perticis recia AE (91). In hac eo usque ab A (ubi interim fignum ponitur) recede, donec ex E Videas A fub angulo AED = ~BAC, fcu — complemento anguli DAE, ita ut radii vi fu ales tangere videantur peripheriam inD, Metire AE, invenies-que e triangulo redtangulo EAD redtam AD, qua habita reliqua fiant, ut in cafu praecedente. - _ 151. PeobleMa XIV. Invenire diflantiam duorum locorum A, B 57 Tab. VI) qui nequeant ex duabus {lationibus C, D, uterque fimul^S- ‘>7 videri. Tab- Resol. Metire vel per Problema I, vel per II, diflantiam AC, & accipe angulutn ACD, cum ponatur, quod B ex C videri nequeat. Eodem modo metire BD, & rurfus accipe angulum CDB. Denique menfuretur diftan-tia flationum C, D. Habebitur in utroque triangulo ACD, BCD angulus C, & Deum lateribus eos comprehendentibus, reperieturque AD, CDA; item CB & BCD. In triangulo CED dabuntur igitur tres anguli cum latere CD, & invenientur CE, DE, quse fubtradla ex BC, AD jam notis relinquunt EB, EA cum angulo-comprehenfo. Unde folvetur triangulum AEB, ut obtineatur AB. 152. Problema XV. Polygonum defignare in campo. ResoL. Polygoni defignandi omnes dimenfiones notae fint, oportet, ieu e fcala Geometrica, feu e calculo. Potefl autem defignatio fieri c centro C (F’g. 56 Tab. VI) acceptis per Goniometricum angulis DCB, DCE, ECFEjg- 5^ &c, redis feu polygoni radiis, ope perticarum interim fignatis; tum actuali ^ 1 menfura determinatis diflantiis CB, CD, CR &c. Si medium areae, quae in» eluditur polygono, non fit permeabile, poffirnt accipi anguli ipfi polygoni, i & latera menfurari, vel ope diagonalium determinari, prout e loci conditionibus opportunius vifum fuerit. Anguli poffunt etiam confinii in ipfa humo vel ope circini longi perti-pig. calis, vel in hujus defedtu, baculo AB in terram defixo, cui inferitor fu-Tale. VI nis CH, qui inde ex H in duas partes HF, HG finditur, atque alteri baculo DE illigatur, cujus extremum E in cufpidem definit. Si intra G & h manu prehenfus baculus DE circumducatur, partibus funis HF, HG flexionem, aut inclinationem impedientibus, deferibi poterit quivis arcus EI. Si ad manum fuerit pertica debitae longitudims MI in femidigitos (vel adhuc minores partes) divifa, & fciatur, quot partium hujus perticae fit radius EB, ope tabularum finuum chorda arcus IE definietur, ut angulus 1BE debitum graduum numerum habeat. Sed Geometriam callenti hujusmodi fuhfidia, quae operis defignandi ratio, Sr loci opportunitas exigit, facile occurrent. Hinc nihil addimus de peculiaribus etiam inflrumentis a multis ingeniofe excogitatis, quae generalem quidem ufum non habent, attamen in quibusdam circumfian-tiis laboris compendio non mediocri adhibentur. Nihil attingimus de men-furationibus vel altitudinum per umbras, vel difiantiarum per folas perticas in terra defixas, quEe, cum alia infirumenta defunt, triangulis flmilibus defi- gtian- gnandis opportunas funt. Haec enim pradticorum artificia recenfere infinitum foret, & a Theoriae non ignaris, cum vel femel videntur, facile intelliguntur: quin ipfe fibi quisque in Geometria verfatus faepe meliora excogitabit. articulus IV. De reduftioae angulorum ad centrum, & triangulorum ad planum horizontale. 353- Caspius contingit, maxime dum triangula majora acquiruntur, ut pro kj) ligno collineationis accipiatur aliquod objectum, intra quod inilru-vt mentum accipiendis angulis dellinatum collocari nequit, ut li quis (Fig. 60 ab. i Tab. VI) angulos A & B accipere debeat, litque B quaepiam turricula, ad A arbor. Quando accepto angulo BAC capiendus eft ABC, inftrumentum non in B, fed prope v. g. ad b flatuendum erit, ut adeo angulus AbC loco ABC fumendus fit. Non eft rarum, ut hunc in modum inftrumentum coliocan* dum fit extra omnes angulos trianguli. Ponitur autem five ex refolutione alterius trianguli, five aliunde innotuifle unum e lateribus AB, vel AC, & quaeruntur reliqua latera. Manifeftum eft, nifi ex angulo accepto AbC inveniatur angulus ABC, qui accipi debuerat, haud pofle reperiri vera latera. Refolutio autem hujus Problematis: ex angulo accepto (cujus vertex parum admodum refpedtu magnitudinis laterum abeile ponitur a vertice anguli, qui accipiendus erat) invenire angulum verum, dicitur reduW.o anguli ad centrum, quod nempe non in vertice accepti, fed in vertice quaefiti centrum inftrumenti ponendum fuerat. Ut itaque refolutio hujus Problematis rite mtelligatur, praemittimus fequens. W 154. Lemma. Si angulus ACB (Fig. 59 Tab. VI) fit admodum par-i20, VI vus, Imo, loco arcus hunc angulum metientis fine errore fenfibih accipi poteft pernendiculum BA ex A in BC; vel ex B m AC demiffum. IMo Si AD, vel BE refpeftu AC vel BC fit admodum parva, perpendiculum AB a perpendiculo DE fenfibiliter non differt, . r c. . DemoNst. Prima pars facile patet ex ipfis tabulis finuum. Si enim fiat, ut radius ad minuta & fecunda redu&us (cujus Loganthmus 5,31442.51) ad arcum 30' feu i8oo,,) ita fmus totus ad finum anguli 30', Loganthmus, qui pro quarto termino proportionis obtinetur, nempe 7,9408474 , a Log-arithmo tabulari fmus anguli 30', feu a 7,9408419 n.on nifl poftrem.s duabus notis differt. QUod fi autem tam exigua differentia fit inter arcum & num arcus 30' feu 4 gradus; multo minor erit in angulis .minoribus. Pars altera e Geometria clara eft. Concipiatur enim DF ad CB P^1' iela, AF : FD feu BE = DE: EC, five AF : DE vel FB = EB: EC. Jam ponitur, efte BE refpedtu EC partem admodum parvam; igltur , nn fpectu FB erit pars admodum parva, ergo multo magis refpeau EC ve^^ , r AB AF T cum fit = £B- V- g- fi fuerit AB = 6 dig. EB — i ped. CB 1=500 ped. invenitur AF <£0,15 lineae. 155- Problema I. Angulos triangali ABC, qui accepti fuerunt in fl, i, c, reducere ad fua centra (Fig, 60 Tab. VI). Fig. 60 Re sol. Calculetur primo triangulum ABC ex angulis acceptis, & latere noto v. g. AC. Habitis lateribus AB, BC in hac hypothefi tiat: latus AB ad perpendiculum ad, quod ex ftatione a, in qua angulus BaC acceptus fuit, de-miffum e fi. in verum latus AB, & menfuratum in digitis, vel etiam pedibus ; ita radius ad gradus reducius ad arcum, qui metitur angulum $7 aut 4' 28'S qu$ fubtradta ex obfervato ad b, relinquunt red udum ad centrum B = 63^ 45z 322 ^ 38" ex 73'"’ 52' ablata? habetur angulus ad C redudus = 7^ 48' 22,/‘ De Reductione Angulorum &c. 67 i i58- Notet hoc loco Lector, in exemplis non querendam effe veritatem, fed methodi applicationem. Nos fuperius ailumplimus tres angulos A, B, C ob-fervatos tales, ut eorum fumrna accurate effet J Qov.. Perpendicula ad, ae, bh, hi, Ic, cn nullo felectu affumpta fuerunt, ut correctiones omnes fuerint fubtra-diva?. Hinc contigit, ut fumma angulorum redudorum deficiat a I gcr pro-xime 9' 28z/. Id in exemplo aliquo vero haudquaquam contingere potuif-fet ^ liiterxm fciendum, fi omnes tres anguli obferventur, non nifi fortuito fieri, ut eorum fumma accurate aequetur igo", etfi optima adhibeantur in-firumenta. Quis enim in angulo, etfi inftrumentum tubo micrometro in-firudto praditum fit, & radii tripedalis, de errore 3, vel 4 fecundorum, immo ,5" cavebit? cum ejusmodi errores vel ex craffitudine fili micrometrici oriri poffint. Dum igitur exceffus 12", 15^ vel 20" vel defedus a jgo1' in fumma angulorum deprehenditur, is folet aequaliter diftribui in angulis (nifi forte unus ex iis debita accuratione accipi non potuiiTet, tum enim huic maxima erroris pars tribuenda eft ) omnibus, ut fumma ad igo1’ redigatur, quo facto calculus initur. Quod in fumma angulorum obfervatorum fere fem-per evenit, id etiam contingere neceffe efl in reduCtione ad centrum. Ponamus fadta reduCtione (ut in noftro exemplo ficto maneamus ) deficere fum-mam angulorum a igo'” quantitate indicata , nempe 9' 28“ ; tribuatur h$c aberratio in tres partes, & addantur fingulis angulis reduCtis 3' 9", ac illi, ubi perpendicula erant maxima (cum tunc facilius erretur) praeterea 1", quod alias deeflet fu minae debitae, fiet angulus ad A = 42^ ioz 47", B = 48' 41", C = 73'” 5V 32//. 159. Si anguli accepti fint inftrumento vitio obfervatori noto laborante, corrigendi funt ea methodo, quam indicavimus Num. 107 & feqq., antequam quaerantur latera pro redutiione ad centrum facienda; ut autem corrigantur ab errore fumma» debitae, haud neceffe eft; fed haec corre&io facienda tantummodo eft in angulis reductis ad centrum, & tum denuo ex angulis ita corredtis repetendus eft calculus pro lateribus neceffarius. Verum quidem eft, in menfurationibus, quae inftrumentis minoribus fiunt, ejusmodi accurationem non modo fuperfiuam, fed pene ridiculam effe; fed illud nemo fane fuperfluum dixerit, quod fi haec Tirones, dum praxi fefe accingunt, etiam minoribus inftrumentis applicent methodos eas, quae in delicatjoribus operationibus neceffariae funt, fibi familiares reddant, ut, cum res pofcit, iis rite uti poffint, & non primo ex libris operofe ea evolvere teneantur auas exercitationis gratia fine magno negotio nunc difcere poffunt. Denique fi minora inftrumenta errori etiam craffiufculo obnoxia funt, an propterea eos negligemus , quos corrigere in noftra poteftate eft, maxime fi de re agatur alicujus majoris momenti, & majora inftrumenta haberi non poffint? 160. Ut porro Tirones intelligant, quousque illorum accuratio in ejus-mod! circumftantus fefe extendere debeat, ac qua cura, & diligentia perpendicula pro reductione neceffana menfuranda fint; ex calculatis lateribus, prout Num.156 fecimus, quaerant, quantum citra magnum detrimentum in hi-fce accipiendis err&re liceat* V. g. invenimus Logarithmum lateris AB 1 s ^7951774» 68 Geomet. Pars H. Gap, II, artic. IV. Cllj competunt ( negle^a fra^ione) 624 pedes: non liceat errare in angulo tiBA ultra | minutum; quaeritur, quantum errare liceat in perpendiculo ai . fiat: ut radius reductus ad gradus ad 30" ita AB ad terminum quartum; Log. 50" = 1,4771213 Log. AB = 2.7951774 Summa = 4,2722987 Log rad. = 5,3144251 Differ. = — 2,9578736. cui refpondent 0,09076, ex quo intel-Iigitur, (1 error in perpendiculo fit 0,09 pedis, hoc eft, 12,96 lin. feu 13 li- ■nff Vineari?m). error anSuli jam flt 3Q/<- Itaque fi (Fig. 61 Tab. VI) loco perpendiculi ad ( quod ponimus etfe 16 digitorum), accipias ae = l? d. I lin. augetur angulus a. minuto. Verum ut loco ad acquiras ae, neceffe eft, ut angulus aed fit 69'q 30' fere, adeoque ut a re<9:o ad d aberres plus quam 20', quod fane vel oculi judicio facillime evitatur. Fig. 161. Problema II. Triangula DAE, EAC, CAB &c (Fig. 62 Tab. viyjj reducere ad horizontem, in quo accepta eft bafis AB, in hypothefi, quod eorum latera non flnt adeo magna. Resol. Dum accipiuntur in ftationibus anguli collineando ad figna expolita, eredto inftrumento ad litum verticalem ope perpendiculi, vel libells accurata» Hydroftaticae, accipiantur etiam ubivis anguli altitudinis ftationis, ad quam collineatur, velut in A fumatur angulus CAF (AF ponitur horizontalis), EAG, DAH; in B vero CBF; in E, CEM, fi ftatio C fit altior ftatione E; item DEM. Aut vero, fi qua fiatio fit altior, menfurentur anguli depreEonis, live fi ex D in E collineanti, fit DK"horizontalis, angulus depreEonis erit KDE, in non adeo magnis diftantiis aequalis angulo altitudinis DEM; eodem modo angulus depreEonis IDA aequatur angulo altitudinis DAH &c ut per fe clarum eft. Angulis omnibus tum in planis obliquis, tum altitudinum, vel depreEo-num rite acceptis, atque prioribus per praecedens Problema ad centra redu-tiis, corredtione etiam, fi quam inftrumentum exigft, adhibita, quaerantur latera AC, CB (AB ponitur bafis in plano horizontali, ad quod reliqua latera reducenda funt) A E, AD, DE &c. Tum pro redudlione trianguli ACB fit R : cof. GBF = CB : BF; item R : co/, CAF = AC : AF. Habebuntur jam latera BF, AF in horizonte bafeos, quae cum etiam nota fit, invenientur, fi neceffe fit, anguli ex Num. 89- f62. Ulterius quaerendum eft EN = -GF, ex Analogia R : cof CEN = EC : EN; item reperietur GA, fi fiat R : cof. EAG = AE : AG. Rur-fus in triangulo AGF habebuntur tria latera, ex quibus anguli quoque in-notefcent. Eadem ratione ex Analogiis R : cof DAH=DA : AH; R : rfDEM = DE : EM feu GH, habentur latera HG, HA in plano bafeos horizontali, & ex tribus lateribus trianguli HGa anguli invenientur. , ^ 163. Ex-. De Reductione Angulorum &c. 69 1^3- Exemplum. Sit AB = eno ped. anguli redudi ad centrum CAB = 64" 15'; ABC = BS11 25',aCbL 27» 2ot Analog./H. C : /ffi. A — AB : BC, Log.ym. A = 9>9545184 Log. AB = 2,7730547 Summa = 12,7275731 Log. /fz. C = 9,6619701 ---------------------------- Log. BC = 3,0656030 _______ Anal.yifl. C:Jin, B = AB : AC. L,og.Jin. B = 9,9998342 Log. AB = 2,7730547 Summa = 12,7728889 Log. Jin. C = 9,6619701 Log. AC = 3,1109188 Sit pra?terea angulus altitudinis CBF=3V n', CAF 2V saL Analog. R : Cof. CBF = BC : BF: Log. cqf. CBF = 9,9993293 Log. BC = 3,0656030 _________Log. BF = 3,0649323, cui competunt 1161,2. Analog. R : cof. CAF = AC : AF.' " Log. cof. CAF = 9 9994562 Log.- AC = 3,1109188 Log. AF == 3,1103750, cui refpondent 1289,3. Pro inveniendis angulis Anal. AF : AB Hh BF = BF —— AB: different, fegment. Log. AB -f- BF = 3,2440786 Log. BF — BA = 2,7545012 Summa = 5,9985798 Log. AF =s 3,1103750 Log. differ, fegm. = 2,8882048, cui competunt fere 773,1. Reperitur hinc fegmentum majus DF s= 1031,2; fegmentum minus AO = 258,1. Analog. AB : AO =s R : fin. ABO. Log. R Log. AO = 12,4117880 Log. AB == 2,7730547 _Log. fin. ABO = 9,6387333» cui competunt 25’ 48' 3"* Analog. BF : OF = R ; fin. OBR " " Log. R 4- Log. OF = 13,0133029 Log. BF = 3,0649323 Log. Jin. QBF = 959483706, cui refpondent proxime 62'’ 36' 44». 1 3 Hinc Hinc tandem habetur angulus ABF = oq^ oa' An»: FAB = 6J.” 11' 57", AFB = 27J 23- 16". 4 4/ ’ 164. Quod in triangulo ACB fecimus, idem faciendum in reliquis ; cum methodus ex hoc uno fatis appareat, calculum ulterius non profequimur. Illud inteiim obfervet Tiro, ope Trigonometnae fphaericae reperiri via multo breviore angulos, quos tam operofe modo quaefivimus. Voluimus tamen hoc loco oftendere, ad eundem fcopum per Trigonometriam planam perveniri. Verum, ut ipfa Problematis enunciatio indicabat, ha»c fufficiunt tantummodo, dum triangula conflant lateribus non adeo magnis. Porro ex dicendis conflabit, utrum latus quodpiam tantum cenfendum fit, ut aliis cor-redtionibus opus habeat. 165. Theorema I. Quando inflationibus admodum inter fe diflitis capiuntur anguli altitudinum, & depreffionum, corrigendi funt dimidio an-gulo, quem faciunt lineae verticales ad centrum telluris. n PijMONsT' C fit centrum telluris, ftationes B, A, verticales lineae per 1 A & B dutiae ( qu$ ad horizontem funt perpendiculares & prope centrum C concurrunt) AC, HBC. Si LB fit ad verticalem perpendicularis, & LBC = 90 , angulus ABL ex B in L collineanti dat apparentem differentiam altitudinum BF, AE. Si jam cogitetur radio CB defcribi arcus BD, evidens efl, fore DE = BF, & differentiam veram altitudinum haberi per angulum ABD. Cum autem LBC = 901', LB tangit arcum in B, & angulus com-prehenfus a tangente BL & chorda BD ex Geometria aequatur ~DCB —-^ECF; igitur angulus ABL apparentis altitudinis augendas efl angulo LCB. vel |ECB. Q. E. unum. Si HAC = 90", angulus depreffioms /lationis B infra A apparentis efl HAB; fed fi defcrihatur radio AC arcus AG, vera depreffio Gb‘ apparet fub angulo GAB; quare auferendus efl HAG, qui eum AH fit tangens, aequatur -ACG = {ECF. Ut igitur corrigatur depreffio apparens, minuenda efl -jECF. Q. E. Alt. 166. CoROLL. I. Anguli apparentes altitudinum funt veris minores, depreffionum autem veris majores. 167. CoROLL. II. Si altitudo EA effiet minor quam EL, & major, quam ED, locus A ex B afpicienti videretur infra horizontalem BL depreffus. Unde fieri potefl, ut major altitudo habeat angulum depreffionis. In tali ca-ffi, angulus depreffionis apparentis auferendus efl ex |ECF; differentia erit angulus verus altitudinis. Ffe» 6? I^8- Coroll. III. Altitudines aequales habent depreffiones apparentes Tiklix. VI «quales. Nam (Fig. 63 Tab. VI) fi flationes effent A, G, utriusque de-preffio foret HAG = i ECF, & hoc ipfo adhibita corredtione e Theoremate eruta.innotefceret aequalitas, cum differentia fieret = o. l69‘ Coroll. IV. Altitudo major (Fig. 65 Tab. VI) EA debet ha-Vk here ffepreffionem minorem, quam altitudo minor FB. Cum enim anguli HAG, LBD aequentur, & ponatur EA > FB; erit A intra L & D, & LBA < LBD, & proinde minor quam HAG. At ob AE > FB, eft FG > FB, & De Reductione Angulorum 71 & G inti-a H & B, confequenter HAG < HAB, igitur multo magis erit LBA < HAB. Atque hinc cognofcitur, utra flatio fit altior, ut differentia altitudinum debite definiatur. 170. Schol. Quaeret hic merito Tiro, quanta debeat effe diftantia fta-tionum, ut corredtio expofita adhibenda fit? & qua ratione cognofci poffit dimidius ille angulus ECF, qui per Theorema correctionem conflituit? utrumque dubium refolutione fecundi tolletur. Etfi angulus hic ad centrum, in diverfis locis, etiam eodem flationum intervallo pofito, diverfus fit ob figuram Telluris a fphserica non nihil differentem, hoc tamen difcrimen tam" exiguum efi, ut citra erroris periculum infuper haberi poffit. Affumimus itaque rationem diametri aequatoris ad axem Telluris Newtonianam 231 : 230, e qua (quod, qui fiat, exponere non eft hujus loci) radius aequatoris eruitur 3280108, femiaxis 3265909 hexapedarum Parifinarum; fi inter hos quaeratur medius proportionalis, & reducatur ad pedes Viennenfes, ( cum fit Parifinus ad Viennenfem 102764 : IOOOOO, quorum numerorum Logarith-mi funt 5,0118410, & 5,0000000 ) habebitur radius Telluris fph$ricae in pedibus Viennenfibus, cujus Logarithmus 7,3049382. Facile proportione habito hoc Logarithmo inveniuntur & Logariehmi, & pedum ipforum numerus, quos, quia ffepius ufum habere poliunt, fubjicio. Logarithmi rationis pedis Viennenfis ad Parifinum 5,0000000.5,01184tO. Logarithmus numeri hexapedarum Vienn. radii Telluris fphaericse 6,5267870, cui refpondent 3363556 hexap. Logarithmus numeri pedum Viennenfium radii Telluris fphaericae 7,3^4938*» cui refpondent 20181336 ped. Logarithmus numeri pedum Viennenfium lv Telluris fphaericae 5,546815^» cui refpondent 352221 ped. Logarithmus numeri pedum Viennenfium V Telluris fphaericae 3,76866.44» cui refpondent 5870,35 ped. Logarithmus numeri pedum Viennenfium I" Telluris fphasricae 1,9905132, cui refpondent 97,84 ped. 171. Ex his jam intelligefc Tiro, quanta circiter ftationum diftantia elTe debeat, ut corregione opus fit. Si ageretur de decimis unius fecundi, iem-per adhibenda foret; fi de minutis, intervallum 11740 pedum requireretur. In menfurationibus majoribus, dum inftrumenta accurata adfunt, lecunna ne-gligi non debent, & fi intervallum vel 195,68 pedum fuerit, jam 1,; mutabitur feu depreffio, feu elevatio ftationum; quamvis tum plerumque aliae fifi> fint caufae, ob quas in exiguis diftantiis hujus correctionis ratio non habeatur, uti quod raro ipfa altitudinum, vel depreEonuin differentia tam accurate inftrumentis etiam optimis accipi poffit, ut non quintuplo, vel fextuplo arcus diftantiae aberretur. Ceterum fi ftationum depreffio & elevatio accurate fumpta eft, poteft angulus ad C in minutis, & fecundis reperiri, fi fimul cal-culatum fit latus AB. Cum enim HAC fit reSus, dato HAB datur BAC, qui a BLC differt angulo ABL, quare fi angulum elevationis addas, habebis Fi 6? CLBj cujus complementum eft angulus ad C ( Fig, 63 Tab. VI)- Si in utra- Tao. VI que 72 Geomet. Pars IL Gap. H. Arxic. IV. Fig. 65 que ftatione fit depreffio (Fig. 65 Tib. Vi) fubtrado HAB e 90" habetur Tab. VI BAC, a quo fi auferas depreffionem alteram ABL, obtines CLB, cujus com-plemcntum eft ECF. Si jam detur AB in triangulo ABC, dantur tres angu- ^&/^COn%uenter reperiri etiam poteft BC, AC, & dato radio CE, ipla Ali, JBb. ]72- Theorema II. Arcus menfurati in fuperficie Telluris, ut eorum magnitudo refpediva haberi poffit, reducendi funt ad libellam maris. _ UEMoNst. Quoniam ob inaequalitatem Telluris dimenfiones in diverfis locis captae habent diverfam a centro Telluris diftantiam , etfi arcus fint totidem graduum, minutorum, fecundorum, fiye ( qUod idem ) etfi fimiles fint, magnitudine tamen difcrepare poiTunt. Sic fi quis dimenfionem arcus Tel-. n* notaMis fecifiet in altitudine (Fig. 63 Tab. VI)BF fupra libellam ma-^ 0™n^us triangulis ad planum bafeos in altitudine BF acceptae reductis in veniffet numerum hexapedarum arcus BD, alter vero fua triangula reduxifiet ad ipfam fuperficiem maris EF, evidens eft, quod arcus BD cum comparari nequeat, nifi etiam prior ad hunc horizontem reducatur. Quare ha*c reduitio adhibenda eft, quando differentia BF rationem notabi'. lem ad radium Telluris habet. Q. E. D. 173. C0R0LL. I. Ante omnia igitur conftare debet de altitudine BF. 174. Schol. Haec altitudinum differentia commode defumitur ex ob-lervationibus Barometri in vicinia loci B per plures annos fabtis. Ex his enim definitur altitudo Mercurii in Barometro media fupra Mercurium in vafe ftagnantem, fi ve altitudo notae, cui in fcala Barometri varium adfcribi folet. Et cum eadem definita fit a variis pro horizonte maris, conftetque proxime, quanta fit variatio altitudinum Mercurii, fi inde a fuperficie maris certo hexapedarum numero afcendatur, facile ex comparatione altitudinum mediarum de altitudine loci B fupra libellam maris conftitui poteft, quantum ad hanc redudlionem requiritur; neque enim paucarum hexapedarum difcri-men redutiionem fenfibilker mutare poteft. Immo funtj qui differentiam altitudinum ftationum A, & B notatis altitudinibus Mercurii in Barometro ad eas delato metiuntur, quanquam id non tam fecure fieri exiftimem, quod f$-pe Interea, dum ab una ad alteram ftationem pervenitur, variae aeris mutationes accidere poilint, quse cum ipfae in Mercurii altitudinem, praecipue in noftro climate, non parum influant, comparationem admodum dubiam reddere debent. 175- Coroll. II. Quia arcus EF, BD funt fimiles, erit CF : FE = CB : BD, 5z CF : BF = EF : DB — EF, In hac proportione, ob datum angulum FCE, noti funt primi tres termini (170), confequenter quartus dat quantitatem fubtrahendam ex arcu menfurato, ut idem habeatur reductus ad libellam maris. Exemplum. Sit DCB =: iO1; erit EF s= 117407 pedum Viennenfium cujus numeri Logarithmus 5,0696944; efto prsterea EB = 600 pedum Lo-garlthmus 2,7781512, reperietur Logarithmus DB — EF hac ratione Log. Log. BF = 2,7781512 Log. EF = 5,0(596944 Summa = 7,8478456 Log. rad. Teli. = 7,3049382 Log. DB - EF = 0,5429074, cui refpondenf proxime 3,49 pedes, feu 34 pedes: qui ex numero arcus DB menfurati fubtrahi debeant, ut habeatur arcus reductus. 176- Apparet, nifi arcus magni fint, & notabilis altitudo BF, hanc re-•uaionem omitti polle, cum alia? fint caufa?, qua? longitudinem arcus men* furati multo majore quantitate reddunt incertam, uti illa inter alias, quod de ipfo angulo ad centrum C non adeo certi fimus. Patet autem (170} fi vel unico fecundo in hoc erretur, longitudo arcus prope 100 pedibus fit erronea» . Multo minoris momenti eft correctio, quam mox exponemus, quas adniben debet ratione refractionis, nili latera triangulorum fint admodum magna» }77' Theorema III. Anguli altitudinum, & depreflionunf»apparentes vitiantur per refradionem radiorum lucis in atmofph$ra Telluris. „ DeMOnst. Conflat certis obfervationibus, radium, qui dum ad A f Fig.Fig. 64 64 Tab. VI) cum diredtione fAB advenit, in aere non progredi recta AB,Fatx VI arcum quempiam ^ cujus naturam exponere hujus loci non efl) qui totus litus eft infra AB, & quem AB in pundto A tangit; quare per radios hac diredtione ex A egredientes fpediator in B politus objedtum A videre nequit, cum omnes infledtantur infra B. Ut igitur videat objedtum A, necelTe eft, ut ex A emittantur alii radii, alia diredtione TAG, qui eadem refractione curventur m arcum AOB, qui habeat in A tangentem TAG. Jam vero cum objedta illuc referamus, quo tendit directio radiorum, quam habent, dum oculum fubeunt, fpediator in B pofitus videbit objectum A in diredtione radiorum, quam habet eorum Curvatura in B * eft autem haec di-redtio (gu Geomet.) litus ipflus tangentis rB arcus AOB; quare fpediator in B referet objedtum juxta Br, & propterea apparebit illi objedtum altius angulo rBA. Eodem modo radii e B egreffi diredtione BA non perveniunt ad A, fed alii, qui feruntur diredtione Br, atque in arcum BOA inflectuntur, ut propterea fpediator in A objedtum B videre fibi videatur in diredtione tangentis AG, atque depre/Eo apparens HAB minuatur angulo GAB, Unde evidens eft, angulos altitudinum & depreffionum apparentium per refractionem mutari. Q. £, D. 178- Schol, Curvatura hujus arcus AOB exiguafane eft, & fumi pot- eft utroque in extremo aequalis. D. Bouguer (ut etiam refert D. de la Lan-de Aftron. a §■ 1755) angulum GAB ftafuit proxime = i-ACB. " Unde nifi arcus EF ( 170) fuerit 880 pedum, ad l/y non pertingit. Haec corredtio ex aliis capitibus faepe valde incerta redditur, quod refractiones in diverfis locis, & anni tempeftadbus non fequantur certam aliquam legem, qua? vel ex combinata altitudine Barometri, & Thermometri deduci poflit» Unde fit, ut •R» P. tS.herffir, Geomet. I\IL K etiam etiam ab expertis obfervatoribus in diftantiis multo majoribus negligatur, cum fibi ob locorum diverfam conftitutionem, vapores magis, minusve copio-fos, nihil certi promittere audeant, ut merito praeii are arbitrentur, obfcrvata fua incorreSa aliis communicare, quam minus provida correftione corrumpere. ARTICULUS V. De fele&u illationum, & arilimatione errorum laterum, qui ex erroribus angulorum oriuntur. 179- *TTj)lurimarum reflexionum utilium ferax eft hoc argumentum , quod JIT in praefens tractandum fufcipimus, & quia omnia, qute quidem occurrunt, periaqui non licet, fequentia potiiiimum difcutiemus. Imprimis adferemus methodum ex errore dato, qui committitur in menfura anguli, de finiendi errorem in latere oppofito. Dein inquiremus, quaenam (latio eligenda fit, ut ponto errore feu in uno, feu in duobus angulis, ut latus, de cujus dimenfione agitur, quantum fieri poteft, accuratum, aut faltem cum minimo errore acquiratur. Et quoniam fa?pillime Trigonometria utimur, ut (itum alicujus loci refpedtu aliorum duorum rite determinemus, quod quidem, fi in angulis metiendis erretur, fieri citra errorem haud poteft; indagabimus ulterius, quibusnam conditionibus obtineri poflit, ut vertices trianguli erronei, & veri, quod menfurandum fufcipimus, quam minime inter fe dident. Plus enim haud videtur in pratiente angulorum erroneorum hypothefi exigi polle. His difcufiis addemus non nullas reflexiones de influxu errorum in primo triangulo commilforum in reliqua, quae lateribus communibus in plurium ferie connexa funt; uti etiam de (lationum deleilu, quando duorum locorum diftantia metienda eft, quorum neuter accedi poteft. Igo. Ut autem, quce dicturi fumus, Tiro rite affequatur , praeter Lemma, quod Num. 154 praemifimus redudlioni angulorum ad centrum , etiam fumimus, finus angulorum inter fe parum admodum differentium, ita parum inter fe di (lare, ut, quando agitur de ratione alterutrius ad aliquem finum tertium, alter pro altero fine fenfibili rationis mutatione fubditui poflit. Exemplum. Si quantitas exigua A fit ad quantitatem exiguam B in ratione finus v. g. 27' ad (inum totum; licebit pro finu anguli J51' 27' etiam accipere finum anguli ab hoc parum differentis, uti IV 30'. Nam fi ha’C ratio in numeris ineatur (ope Logarithmorum ), deprehendetur ratio T!!- (15 *7') ad finum totum proxime ut I ad 3,753: & ratio fmus (151 3Ql J a4 “nu™ totum, ut 1 ad 3,748; differentia e(t 0,011 , confequenter fi erretur in B (per hypothefin quantitate exigua) undecim millefinfis» ieu fere 1 centefima, error fentin vix potent, igi. Ac- Accepimus autem ex propofito fxnus in hoc exemplo arcuum parvorum intra 15 & 16 gradus, quandoquidem fi fit eadem differentia arcuum, mus arcuum parvorum multo magis inter fe differunt, quam fimus arcuum majorum, ut propterea, fi anguli fuerint majores, multo magis liceat finus mo ice eren.imu fjbftituere. Id autem, quod multo major, fit inter finus d“lerenfc,a’ 'Tfn inter finus majorum, fi difcrimen arcuum umnque idem fit, hunc in modum demonftratur. Sint differentis Mffl, M» arcuum (Fig. 66 Tab. VI) AM, Am; AN, An exiguae, & inter fe $qualcs.Fig. 66 Concipiantur tingentes MT, Nf, & mR, rir ad CA parallela, erit ob exilita-TaDl VI tem arcuum Mw, ,Nh inter hos ipfos, & particulas tangentium nullum fenii-biie difcrimen, & triangula MRm, MPT; item Nr?z, NQt fimilia habenda funt; adeoque MR : MrM = MP : MT & Nm : Nr = Nt : NQ, & compofitis rationibus, ob Nn ~ Mm ’ j^aoebitur MR : Nr = MP x Nt: NQ x MT. Efi vero Ne = NiQx_AC MP x AC QC ’ ^ VIT= p7> (52 Formul. VII), quibus fubftitutis fit ito . xt„ _ MP X NQ x AC NQx MP x AC MR . Nr =------------~---------: —----------, feu omiflis in fecunda ratione «qualibus, MR : Nr = ~ ~ = PC : QC. Evidens efl, e (Te MR, Nr differentiam finuum , qui pertinent ad arcus parum inter fe diverfos; PC, QC vero e (Te cofinus arcuum AM, & AN. x^are habemus hoc Theorema: differentia fimum pertinendum ad arcus aqui-dijjO entes, Jt difcrimen fit exiguum, funt inter fe in ratione, cofinuum. Atqui eofi-nus arcus majoris minor eft cofinu arcus minoris; igitur differentiae finuum arcuum majorum minores funt, quam differentiae finuum arcuum minorum, fi arcus «qualiter differant. Q. E. D. 182. His pofitis, erretur in accipiendo angulo CAB ( Fig. 67 Tab. VI) p;» 6 quantitate exigua, ita, ut loco CAB fumatur D AB, erit error anguli accepti Tab. VI CAD, quem metitur arcus exiguus Dd centro A, radio AD defcriptus, & qui oh exilitatem a re&a ad AC perpendiculari non differt (I54)’ Quantitas v arcus Dd refpedtiva eft,& fit major, vel minor, audio vel imminuto radio AD, quamvis angulus CAD non mutetur.. Porro fi in angulo CBA metiem do nullus commktatur error, & latus AB fit accuratum, patet per refolutio. nem trianguli ADB, quod ob errorem anguli A acquiritur, obtineri loco latens veri BC latus BD, ut proinde in latus inducatur error DC. Ut jam error in angulo commiffus comparari poffit cum errore indudio in latus BC, arcus Dd reducendus eft ad digitos, lineas &c, cum latus BC in hujusmodi menfura habeatur. Hanc autem converfionem jam fopius fecimus: fit enim ut finus totus in gradus converfus ad numerum minutorum fecundorum &e metientium angulum CAD, ita latus AD, quod ex refolutione trianguli erronei acquiritur, ad numerum digitorum, linearum &c competentium arcui Dd (154). Hanc redutiionem femper jam factam effe ponemus deinceps, ^ 2 cum cum eadem in praecedentibus faepius jam fimus ufi. Quia Di efl ad AC perpendicularis, fumpto DC pro finu toto, erit in triangulo DCi rediangulo Di finus anguli dCD =ADB, cumADB ab ACBnon differat, nifi angulo DAC; fumi item poterit Cd pro cofinu anguli C relate ad radium CD. Patet ergo effe Di : CD = fin. C : R, feu errorem anguli (redudtum ad digitos) effe ad errorem lateris BC, ut eit finus anguli tertii C ad finum totum; & Di : iC ~Jin- C : cof.' C. Seu errorem lateris AC ad errorem anguli, ut ert cofinu* C ad finum ejusdem anguli tertii C. 183- Eadem ratiocinatione oftenditur, fi erretur in angulo CBA quantitate CBf, & intelligatur exiguus arcus cE radio Bc defcriptus, fore errorem anguli B ad errorem in latere AD, ut eft finus anguli D ( qui cum finu anguli C squalis cenfetur) ad finum totum; & errorem in latere DB (nempe DE) ad errorem anguli B, ut eft cofinus C ad finum C. Si itaque ponatur errari in utroque angulo, & quidem in eandem partem, hoc eft, utrobique vel per exceffum, vel per defedtum, defcripto arcu ce, erit error lateris AC quantitas ed -l- dC; & error lateris CB, CD DE. Jam ed = rD facile reperitur, fi fiat cE : rD = fin. C : R. Fig. 68 _ Si erretur in partes contrarias (Fig. 68 Tab. VI), ita, ut angulus A «b, X laccipiatur jufto minor quantitate CAr, & angulus B jufto major quantitate CBr, patet, loco ACB acquiri triangulum AcB, in quo defcriptis arcubus Dd, DE, ce, evidens eft, errorem lateris AC fore Bc — dC, & errorem lateris CB fore CD — Dc : eft vero DE : Dc = fin. C : R; & Dd: dC sssfin. C: cof. C. Item Dd : CD = fin. C : R ; ac DE : cE vel cD = fin. C : crf. C. Unde intelligitur, qua ratione finguli errores acquirantur, datis erroribus angulorum. T b'^\nr Qu°d fi angulus ACB (Fig. 6p Tab. VII) foret obtufus, & errores con-Fig. ^fpirarent in eandem partem, uti in (Fig. 67 Tab. Vi) manifeftum eft, de-Tab) vifcriptis iisdem arcubus, errorem lateris AC fore Ce = cD — Cd, & lateris CB errorem CE = CD — ED, eorundem fcilicet finuum differentiam, quo-Fig. 70 rum in hypothefi anguli ad C acuti fummam acquifivimus. Ceterum per fe Fab. Flldarmn eft, quod fi etiam erretur in latere AB quantitate Z>B, ita, ut in angu-. lis nullus committeretur error, triangulumque foret loco ACB alterum AGC, fore errorem in latere AC ex errore lateris AB, nempe GC, ad Z?B ut AG ad Afr? vel AC ad AB, & ad errorem CH in latere BC ut AG : Gb, vel AC:CR. Si timui enetur in angulis, error totalis in AC erit KC; in BC vero CL, ut patet, fi deferibantur arcus cK, d, & ducatur IL ad AB parallela. Methodo asftimandi errores expolita, videndum modo, quis feleclus in .(lationibus faciendus videatur, ut, fi non evitari queant, faltem minuantur. ‘S '1 Prob™a I. Si agatur de unico latere AD (Fig. 71 N. I Fab. Tab. VII accurate determinando, & angulus DAB, cum latere AB iit erroris ex-pers, in metiendo autem angulo DBA erretur paucis minutis, invenire in latere AB pofitione dato ftationem B, ut error in latere qutefito AD fit minimus. Re- De Selectu Stationum, et uEstimat, &c, 77 REsol. Quoniam ponitur angulus A datus, & AB politione item dari, fumatur AB tanta- longitudinis, ut angulus B fiat proxime — 90' — |A. Dico, fore errorem DC, vel Df minimum. Concipiatur circulus CcB, quem in B tangat AB, AC autem fecet in DC, vel Dr, ita, ut angulus DBG, vel DBr metiatur errorem anguli B. Sumatur enim quodcunque aliud pundtum b, vel (3, & ducantur ad illud Drb, Cqb, vel Drb, cpb; patet angulum DBG, cujus menfura efl |DC, efle majorem angulo VbC, cujus menfura eft ‘DC — ■krq; li itaque in ftatione b erraretur aequali angulo, arcus DC, confequenter etiam ejus chorda, quae eft error lateris quaefiti, major e (Te deberet, quam fi m ftatione B hoc angulo erretur. Jam vero eft ex Geometria DA : AB =» AB : AC, & l/AD X AC = AB, & cum DC fit quantitas exigua, debebit AD, vel AC efte proxime aequalis cum AB, ac triangulum DAB ifofceles , confequenter angulus ABD = ADB; eft autem ABD = igo-"' — ADB — DAB, feu 2ABD = lgov — A, & ABD = qo'" — |A. Quare fi ita ("eligatur ftatio B, error in latere quaefito erit minimus. Q. E. I. 185- Schol. I. In praxi raro contingit dari angulum A fine errore, ni-fl dum metienda eft altitudo aliqua perpendicularis ( Fig. 44 Tab. IV) 44 accefla; tum enim angulus redtus H vel I datur, & ex refolutione patet, de- 1X/" bere fumi 1L = IK, quod obtinetur, fi fuerit angulus KCH proxime 45w. Extra hunc cafum illud etiam fa-pe permoleftum accideret, quod bafis (Fig. 71 -C I Tab. VII) AB tantEe longitudinis fumendaeflet, quantae eft ipfum latus Fig. 71 metiendum. At quando accurate foret AB — AD, five B = gov —- ~A 1 • calculo opus non foret, fed conftaret ex dimenfione AB ipfa longitudo late-ris quaefiti. 186. Schol. II. Quando angulus A, confequenter fitus bafeos AB non datur, evidens eft, eo minorem futurum errorem DC, quo minus fuerit latus BD. Nam cum fit error anguli DBC ad errorem lateris DC, ut finus C vel D ad finum totum (182), decrefcente in infinitum latere BD error anguli femper decrefceret. Verum eft contra hypothefin, latus AB incidere in AD. Et alias etiam extra cafum Scholii prioris vix contingit, ut detur angulus A fine erroris periculo. Quare quaerendum potius videtur, quae ftatio eligenda in linea pofitione data, dum in utroque angulo erratur, & quidem fi po-ni poffit, quod errores in eandem partem confpirent, dein fi erretur in partes oppofitas. Unde rurfus duplex enafeitur quseftio. 187- Problema E. Dato latere AB pofitione, & pofito in utroque angulo A & B errore CAc, CBc in eandem partem, quaeritur ftatio E, ut error lateris AC fit minimus (Fig. 71 N. 2 Tab. VII). Fjfp 7- ResOL. Oftendimus ( 183 ) errorem lateris AC (fi deferibatur arcus ce) Tab-Vn efie ?C, qui fi error anguli A dicatur = EA» & error anguli B = E B ex- 1 E.B X R + E. A X cof.C pnmetur per-----------Jm~C-----------‘ Kv,dens eft? -C eo fore minorem, quo pundium c fuerit propius ad D. Demittatur ex C ad AB perpendiculum CF, quod fecet i>C in Iv. Manifeftum eft, eo fore c propius ad D, quo K 3 K 78 Geomet. Pars II. Cap. II. Artic. V. K fuerit propius ad C, hoc eft, quo CK minor fuerit; erit autem CK eo minor, quo, fi ex ftacione B metiendum effet FC, error in FC foret minor; & ex praecedente condat, CK fore minimum, (i fuerit FB = FC; quare ftatio ita in E eligenda eft, ut fit proxime FE = FC, quod obtinetur, fi AE fumatur tante longitudinis, ut angulus ad E fit proxime 451'. Q. E. I, 188- , ScHoL. Procul dubio dimenfio tante bafeos AE (quae femper erit multo major, quam AC, fi angulus ad A non fit prorfus exiguus, cum fit AF •+■ FC > AC) plus molefiise faepe habet, quam fortaiiis utilitatis fit in errore minimo lateris AC. Interim libuit refolutionem proponere, cum cafus, quo plus edet pofitum in dimenfione lateris AC accuratiore, quam in quovis labore exhauriendo, reapfe emergere poffif. Ceterum illud univerfe Tirones hoc loco obfervare poffunt, vix poni poile, quando eo lem inftrumento accipiuntur anguli, angulorum errores e(fe diverfos,cum ifthic non agamus de erroribus, qui ex vitio inflrumenti pendeant, fed qui ex minus accurata colli-neatione oriuntur. Unde hanc hypotheim deinceps ftatuamus , nifi contrarium ex peculiaribus circumdandis monendum fit. 189- Problema IIL Si dato latere AB politione, erretui* in utroque angulo A & B in partes contrarias, quaeritur fiatio B, ut error in latere AC 72 fit quam minimus (Fig 72 Tab. VII). ResoL. Sumatur angulus ad B redto proximus, & fi AC fit latus quce-fitum, ab Ac vix fenfibiliter difleret. Concipiatur enim fuper AC defcriptus femicirculus, erit A de AC; habet autem Cc ad AC multo minorem rationem, cum, /i radio AC defcribatur arcus metiens errorem anguli A , is a Cc fenfi-biliter differre haud poffit, isque arcus paucorum minutorum ponatur, quare difcrimen inter AC & Ac fentiri vix poted. 190. Observa. Flypothefis, quod errores fint oppofiti, quando in utroque metiendo angulo peccatur, tantum unico gradu probabilior ed altera, quod errores confpirent in eandem partem; unde licet poni non debeat, quod erretur in eandem partem, incertitudo tamen relinquitur erroris in latere quse-ffto tanta, quantus is fieret erroribus confpirantibus., 191. Problema IV. Si errores in angulorum menfura commiffi confpirent in eandem partem, & latus AB politione non datur, feu fit libera bafeos eledlio; quaeritur, an non haberi poffit aliqua Ratio B, ut error in latere AC fiat infenfibilis V ^ Resol, Sit {Fig. 73 Tab. VII) latus quaefitum AC, fuper quo con-a . VII ffruatur triangulum ifofceles ad O redtangulum, & fuper AO producta^de-fcribatur femicirculus; utrinque ad C capiantur arcus aequales exigui ub , CE, quorom dimidii metiantur errores in angulis admiffos,& dudta AE,quoe fecet CO in K, defcribatur centro A arcus Cc menfura erroris; agatur per & c re$a occurrens peripheriae in B, erit B Ratio quaffita. Fatet en,m ’ 11 1 uter- uterque angulus fit minor quantitate CAE , FEC, loco lateris AC, acquiri Ac illi aequale. Sed quaeritur jam, quomodo datio B in campo inveniri poEt. Cum AC fit quadrans, erit CBA proxime 45%' & cum CE arcus parvus non differat a chorda cognomine, erit etiam CEK femirecius, comequenter etiam CKE, ob redtum KCE; igitur quia Cf ad KE perpendicularis, erit quoque Kf = cK. Ducatur FK, quae erit ob CF = CE, etiam squalis cum KE, adeoque FKC = CKE = 4jv> & FKE = confequenter FK ad Kc perpendicularis, & produdta tranfibit per D. Hinc FK : Kc = 2 :1 =R : ta;/g. DFB, Invenitur e tabulis BFD proxime 26 34', & arcus DB 8S BC vel BE proinde 52', ac denique angulus CAB= l8v Habitis angulis CBA = 45v, & CAB = l8v 56' determinata efl: ftatio B. Q. E. F. 192. Coholl. Si affumatur AC = i, reperitur Logarithmus de AB 0,1039284, cui proxime refpondent 1,27. 193. Videamus modo, quomodo congruat calculus. Ponamus errari in fmgulis angulis 5', adeoque fumi CAB = 181' 51', & CBA = 44v 55'* erit fupplementum de ACB = 63"" 46', 6^ 46' : fin. 44" 55' = AB : AC. L°g- 441155' = 9’848S5ii4 Log. AB = 0,1039284 Summa = 9,9527808 Sin. 63'j 46' = 9,9527931 Different. = 0,0000123 negativa feu Log. AC — 1,9999977 temipoftivus, cui utrivis competitplus, quam 0,99999 ; adeoque deficit ab 1 (quae reperta fuiffet, f nullus in angulis fuiffet error) minus quam 0,00001, hoc eft, fi latus AC fuerit 8333 Pe' dum, error nondum penitus aequat unum digitum. 194. Observa. Non negandum eft, dationis hujus electionem opero-fam admodum reddi per longitudinem bafis AB metiendam. Praeterea , cum probabilius ft, errores angulorum non confpirare, quam in utroque peccari in eandem partem, latus manet adhuc incertum in hac ipfa datione eri ore l io sequali cum errore anguli A, nempe Cc. Ceterum nullum eft duerunen, ii ponantur anguli veros eadem quantitate excedere, quia tunc tantum redtae ex A per F, & ex B per E ducendas funt, ac perpendiculum OC usque ad earum concurfum in K prolongandum, quod nihil in demondratione mutat. Si fingas errari in angulo A tantummodo, & latus quasfitum AC opponi angulo experti erroris B, tum fane patet, non aliam dationem, quam D, defigi oportere, cum Cf illuc tendat, fiatque Ac = AC. V erum quando non tam intered, ut latus aliquod accurate habeatur, quam ut fitus verticis trianguli, quod fuppofitis erroribus obtinetur, quam minimum aberret a fitu vertici» veri trianguli, quod fine erroribus angulorum obveniffet, quaedioai fequenti locus ed. 195. Pro* 195. Problema V. Pofitis erroribus in metiendis angulis squalibus, invenire ftationem B ( vel Z;) ejus conditionis, ut dillantia Lc verticis trian-Pig' 74 guli ven ACB vel ACb, & erronei ArB vel Acb, fit minima (Fig- 74 Tab. Tab. VII VII). v . Resol- Quoniam ponitur, errari angulo CAf in menfura anguli A , ubicunque eligatur flatio B, b, & error in angulo B (vel b fit squalis), di-ftantia verticum nequit fieri minor, quam Cc, errdr anguli A. Cum enim fit Cf perpendicularis ad AC, Ac proxime, & dum errores confpirant, ducatur ad Ac ex B linea alibi interfecans eam, quam in c, diftantia verticum jam fieret hypotenufa trianguli ad c reflanguli, adeoque major catheto Cc. Idem eft, li angulorum errores fint contrarii. Quare evidens eft, ita debere in ca-fu errorum confpirantium eligi (lationem B, ut fit, fi ponamus luper diametro Cc defcriptum circulum CDcd, Cc : cD = AC : CB, vel cB; tunc enim errores angulorum aequales funt. Idem debet fieri in cafu errorum contrariorum, nempe debet e fle Cc : cd = CA : cb. Dantur itaque infinita puncta B, &b, fed pro B anguli AcB femper erunt obtufi, pro b vero acuti. 196. Coroll. I. Unicus angulus ad C excluditur. Nam fi in Ccpro-dudta accipias pundlum quodlibet G, & ducatur inde redia aberrans a vero pundto C, fecabit redam Ac vel inter c & F, vel inter c & A, & diftantia Verticum fit hypotenufa trianguli redanguli, major, quam Cc. 197. Coroll. II. Angulus ACb in cafu errorum oppofitorum tantum deficit a redo, quantum eundem excedit in cafu errorum cbnfpirantium, fi latera cb, cB fumantur aequalia. Quippe fit tum cd — cD, adeoque dCc = DCf» 198- C0R0LL. III. In cafu, quo obtinetur diftantia verticum minima Cc, fimul obtinetur latus AC erroris expers, ob Ac = AC. Quare liquet imo in cafu errorum oppofitorum fieri angulum AbC proxime redum, angulum ACB vero, quando errores confpirant in eandem partem, tanto magis obtufum, & tanto longiorem bafin AB, quo latus cB, vel CB fumitur majus. 2 do. Conflat, Problema IV habere plures folutiones, & e fle indeterminatum. ScHOL. Problemate IV determinavimus angulum CAB = igJ 56',pro ■iYoriVn Ca^U Particulari- Si ( Fig- 75 Tab. VII) producatur AC, & radio CL = -AC defcribatur femicirculus, & ex A ducatur tangens AB, clarum eft, fore CaB angulum maximum, qui haberi poteft. Pundum enim B ob angulos fAC, cBC aequales per hypothefin, femper incidet in peripheriam circuli centro L defcripti, & reda ex quovis alio pundo , quam contadus B, ad A du-da, femper cadet intra angulum CAB. Eft autem AL : LB s= g : 1 = B-; jtn. CAB, ex quo reperitur CAB paullo major, quam 19'1’ agf Ceterum facile apparet, fi in Fig. 73, & 72 ducantur centro B arcus Cd & cdt eos retpondere chordis fD, cd Figura? 74* T F-gv?TT -3 • f<)aando ,ex duabus Rationibus A. B ( Fig. 76 Tab. VII) metienda Vi eft dillantia CD, nimis multa? hypothefes errorum in angulis fieri poliunt, quam ut eas perfequi operae fit pretium. Hinc fequentia tantummodo ob-fervamus. primo. Si errores in angulis DBA, CAB admiffi confpirent m e ean- eandem partem, fintque v. g. (?BD, CAf; qui vero in angulis CBD, CAD admittuntur, confpirent quidem inter fe, fed iint prioribus oppofiti, error in CD maximus enaicitur , cum loco CD acquiratur cd. Si in omnibus peccaretur exceiiu^ acquireretur Kk; fi defeclu, yJ; utra que autem major eft, (& propius ad CD accedit) quam cd. Secundo. Si errores angulorum DBA, CAD confpirent inter fe, & fmt oppofiti erroribus pariter inter fe confpirar-tious angulorum iJBC, CAB, error lateris CD erit differentia inter CD & xK, vet inter CD & kS, adeo, ut frequentius hi errores errorem diftantiae CD minuant, aut etiam penitus tollant. Tertio. In cafu erroris, quem primo loco attulimus , dum acquiritur cd loco CD, error lateris CD erit tanto minor, quanto bafis AB propius accedit & ad parallelismum cum CD, & ad ejusdem longitudinem. Quippe efl CD : cd = DG:dG, polita bafi parallela. Quarto. Si anguli DBC, CAD accedant ad rectos, & errores angulorum DBA, DBC; item CAB, CAD contrarii, & a?quales fmt, error in diftantia CD parvus, aut nullus erit, modo fumma angulorum DBA -+- DAB fit prope te-qualis fumm$ CAB Hf- CBA. Tunc enim latus, quod loco CD acquiritur, velut xK, vel kj, eft chorda diametro circuli, in quo funt anguli A & B, valde propinqua, aut ipfa diameter CD, & angiili C & D funt ad peri-phe-riam ejusdem circuli. Obtinebitur autem, ut clidias angulorum fumma? proxime aequentur, li curetur, ut bafis AB fit fere parallela ad CD, <& prope medium. _ 200. Hujus Articuli argumentum paullo diligentius perfecutus fum in brevi DilTertatione idiomate Germanico edita Viennae 1766; ubi plures adhuc reflexiones occurrunt. Nobis ba?c fatis fint, poftquam pauca addidero de influxu errorum in feriem triangulorum communibus lateribus infer fe nexorum. Intercfl plurimum non modo, cujus fpeciei fint triangula, verum etiam, qurenam eorum latera fecundum feriei longitudinem potiflimum fita fmt, quae fi minoribus erroribus fuerint obnoxia, terminorum extremorum di-fiantia ex ea triangulorum ferie multo accuratius reperietur. Exemplum facile nobis praebeat duplex triangulorum feries (Fig. 77 Tab. VII), altera Fig. 77 confiet meris triangulis aequilateris ACB, CBL, BLM, LMNT, MNO, NOP, Tab. VII altera contineat mera triang-ula ifofcelia redangula ADB, DBF, BFM,FMQ, MQO, QOZ, quorum hypotenufe fint fecundum longitudinem re<9:$ extremos terminos nefientis AVV difpofita? , fitque primi trianguli rediartpuli DAB hypotenufa aequalis lateri primi trianguli aequilateri AB. Fingamus, errari m angulis A & B aequaliter, <& quidem erroribus confpirahtibus, ita, ut loco lateris AC, vel BC acquiratur latus Ad. Quia errores «quales funt, erunt arcus eos metientes, ut ipfa latera, five cd : ef = AC : AD; fi afluma-tur latus AB = AC — L; cum angulus dCc fit = 30% erit rd’: dC = i : IZ3; ponamus praterea eife cd partem nelimiUn lateris AC, vel Ad, erit error dC = . Et fi fingamus, deinceps nullum errorem admitti, loco prio- rlsz/eje;f habebkur Praiter AcB> , BGH, GHr,HlV, 1YK. & pofterio- P. S, hrjfer, Ceomet. P. II. L rura rum quinque latera erunt lingula L Geomet. Pars II. Gap. II. Artic. V"- i-Hi n L Quia in triangulo reclangu- n\/2 ^ lo & AB : AD = : 1, erit AD ss —^; & quia errores sequales, feu arcus limites funt ut latera, erit cd : ef" = L : —? & cum' pofuerimus effe eum partem iieflinam radii, ejus valor erit ; hinc, ob triangulum cfD redtan- gulum & ifofceles, erit cd = fD = , confequeiiter Ae = —" & in eadem hypothefi nullius erroris confequentis ad hunc, triangulorum aeinceps eBR, RST1, STV &c catheti omnes erunt aequales cum --------—— ——, — — e -j J e W 2 Videndum modo, quis error m hypotenufa oriatur; cujus quadratum erit 2Qfi — > & Proinde ipfahypotenufa =|A X (-^ — L L ^ = L—— —. Ex quo evidens ell, errorem eundem in angulis minus obelTe hypotenufae triangulorum redtangulorum feriei, quam lateribus feriei triangulorum aequilaterorum, cum L — —> L — Hinc feries redtan- gula, in qua ultimum triangulum eftTVX, propius accedet ad terminum W, quam feries aequilatera, in qua ultimum triangulum eft IYK. 201. Multo magis erraretur in menfura diflanti$ AW, fi fimiles errores admitterentur in reliquis etiam poli primum triangulis, Equidem omnes confpirarent. Sed enim hoc poni non debet, cum tanto minus fit probabile, errores confpirare, quanto major eft triangulorum numerus, & idem gradus probabilitatis fit in fmgulis pro erroribus oppofitis. Porro feriem triangulorum aequalium in praxi vix unquam habere pof-fumus, neque aliud videtur attendi debere, quam ut nullus angulus fit admodum parvus ,• nam in latere oppofito error fieret magis fenfibilis, cum illud latus ceteris minus efiet, & in feriem laterum error faepiffime aequaliter influit. Hinc fi liberum fit, ftationes ita erunt feligenda», ut evitentur anguli, qui infra as11 gradus funt. Praeterea triangula non debent effe nimis pdVva, cum non modo numerus eorum admodum excrefceret cum ingenti calculi moleftia, fed etiam redudtio angulorum ad centrum fieret minus fe-cura. .Sed qui id genus majores menfurationes aggrediuntur, ut jam diximus, longe aliis fubfidiis inltrudti effe debent, quam qu$ a nobis petant. Non abs re fuerit, hoc loco monere Tironem de ufu non nullarum machinarum opticarum, quarum fiubfidio diftantia quaepiam alicujus loci ex una, ut ajunt, ilatione acquiritur. Variae autem a diverfis jam olim excogitatae funt, atque cum mox infuflicientiam fuam proderent, rejcdt$; alii de* De Selectu Stationum, et .Sstimat. &c. 83 inceps rem fubtilius aggredi micrometris ufi funt. Poterat hunc in modum inftrumentum confici. Sit fuper tabula EFGH (Fig. 108 Tab. X) tubus fi-Fig. 10S xus AB, ut ejus axis bafi BD tabulae fit accurate normalis; fit CD tubus ia alter itidem, fi lubet, fixus, vel etiam mobilis circa centrum D, ut alterum extremum percurrat quadrantem FKI. Uterque fit micrometro inftructus. Si per tubum AB collineetur in objedtum, ut id in filorum interfediione appareat, & in altero tubo accipiatur per micrometrum ejusdem didant ia a filo medio verticali, acquiritur reapfe angulus, fub quo ex objedio apparere debet diftantia tuborum parallelorum BD, ideoque in triangulo reftangulo habetur bafis DB, angulus rectus ad B, & angulus ad objedtum, innotefcit proinde ex ordinaria refolutione didantia objetii. Quod fi didantia non fit admodum magna, ut angulus ad objedtum ad aliquot gradus, aut generatim ad majorem afcendat, quam qui micrometro capi queat, poffet moto tubo CD in arcu FKI accipi numerus graduum iutegrorum, & minuta ac fecunda obtineri per micrometrum. Ut adeo reipfa talis dimenfio non ex una, fed duabus dationibus, B & D fiat. Quidquid autem hujusmodi machinarum excogitatur, femper ad haec fere reduci poterit totum artificium. Edo itaque AB f Fig. 109 Tab. X) bafis trianguli CAB redtanguli ad Fig. 109 A, in quo AB refpondet didantia® tuborum parallelorum prioris figurae BD, Tab. X & C ed angulus ad objectum, exiguus proinde, fi didantia AC vel BC (quae fenfibiliter differre nequeunt) fit magna. Videamus jam, quantum tali menfurationi tribui poffit. Certum ed, etiam intubis feptem, o&ove pedum, angulos vix certos ede ad 3" vel 4"; multum ergo tribuemus, fi demus machinae menforiae angulos certos ad 5/'. Sit AB 3 ped. 5 dig. g lin. feu 500 linearum. Ponamus errari angulo EBD = 5 erit error in didantia = EC (fi centro B in-telligatur deferiptus arcus ED ). Qua?ritur primo, quanta poffit ede didantia AC, ut EC fit ejus pars v. g. ---? facile ea invenietur, fi attendatur, quod triangula CAB, CED fint fimilia quam proxime, cum angulus ad B non nifi 5" a redo differre ponatur. Hinc erit ED : AB = CE : CA. Debet autem per hypothefin effe CE: CA = I : 1000; igitur neceflfe ed, ut „ ED 1 etiam fit ED pars millefima de AB, hoced, ut fit " 2in = j lin, fupered itaque, ut quaeratur didantia, ad quam I linea apparet fub anp-ulo 5", qua® innotefeet, fi fiat: ut 5" ad 206264^,8, ita i linea ad diftantiam quaefitam. Reperitur AC non major, quam 143 ped. 2 d. 10,5 lin., ipfe vero error CE erit 1 dig. 8,6 lin. Intelligitur hinc, pro magnis didantiis id genus machinas prorfus ineptas effe, fi quid accurationis requiratur ad operationem, & pro minoribus ad eandem accurationem fu,'licere indrumenta ordinaria, cum dimenfio bafeos non magnae tam molefta non fit, ut fumptus in ejusmodi pretiofas machinas zequare videatur. Secundo. Quasri potefl, fi diftantia AC fit v. g. 2000 pedum (qu■ DC vel BC. Denique patet, lineamlibeliae nij aliud ene, quam tangentem arcus, live veri horizontis, & ut objectum aliquod (fi mentem a refratiione interim abftrahamus ) fpectatori in B polito vifibile fit, oportet, ut fit in fecante hujus arcus CA, ex qua ultimum pimdium, quod viocri petefl, eft ipfum L; qua? infra hunc terminum funt, apparere haud-quaquam poliunt, fi fdlicet fpedtatoris oculus B ponatur in iplb horizonte vero ; at li lupra hunc elevatus efiet, videre poliet omnia qua? infer B, & punctum contactus radii ex oculo ad horizontem verum cludi i pofita funt. 203. Maximi ufus eft ars libellandi, five inveniendi, quantum locus quispiam altero magis fit editus, vel a centro Telluris diftet, quando non ar-X duus 3uu» & praeceps eft afcenfus, u£ Ln multis montibus, fed lenis acclivitas, quas commode ope Trigonometrias menfurari haud poteft. &a:pifTime aqi.-ae derivandae iunt (_ut alias caufas taceam, quae vanae occurrere poliunt) f$pe rivorum , torrentium alvei mutandi j quibus cafibus fumma diligentia prius explorandum, num fuEciens inter eum locum, ex quo derivanda aqua elt, & eum, ad quem canalis Umendus eft, fit declivitas, ne improvidi moliminis fumptus projiciantur, aut etiam non nunquam vicinia tota ingenti damno afficiatur. Putavimus autem libellationetn a Trigonometria haud fejungendam* non modo quod flationum intervalla hujuf ope definiantur, fed quod etiam ipfa fit quaedam fpecies metiendi altitudinem acceffam, non quidem ad pedem, fed ad fupremum punftum. Et quoniam argumentum hoc non utilitate tantummodo fua fefe commendat, verum etiam fat amplum eft; partiamur pradentem Articulum in duas Sectiones, in quarum priore de libellatione minore, quando diftantise {lationum exiguae funt, tractabimus; de majore, dum intervalla {lationum ingentia funt, in pofteriore agemus; atque ne memoria Tironis fatigetur, fingulas rurfus in fuos paragraphos dividemus. SECTIO I. De libellatione minore. §. I. De inftrumentis, feu variis libellis. 204 IT ibellationem minorem voco, in qua {lationum intervalla tam exi-II J gua funt, ut tangens arcus ab ipfo arcu (feu linea libelia?(aoa) aut horizon apparens ab ipfa diftantia in horizonte vero) fenfibiliter non differat, quod femper contingit, quando diilantia eft infra 300 pedes. Inferius videbimus, fi {lationes 306 pedibus remotae iunt, non nifi Oi34 lineae correctione opus effe. Et fane inftrumentis minoribus, maxime fi tubis in-{trudta non fint, vix accurate ad tantam diftantiam, figna, qua; in perticis figuntur, difirerni poffunt, ut non errori aliquot linearum locus fit. Befcri-bemus hoc quidem loco non nifi tres libellarum minorum fpecies & ufitatio-res, & facile parabiles; per quod tamen non {impliciter reliquas omnes pro-fcriptas volumus: illud vero optamus potius, pro,minoribus libeilationi- bus adhibeantur inflrumenta majoribus apta, fed ad modulum minorem con-ftrutia. 205;. (Fig. 78 Tab. VIII) efl AB tubus verfus extrema recurvus ex la-Fig. 7$ mina ori chalcea, aut alia quavis materia aquam continente, annulo K infer- Tjb, Vili tus, qui connedlitur collo lph$r$ folidae I, qua; intra cavam S in omnem par- L 3 terii tem mobilis eft, atque dum fitus debitus obtentus eft, cochlea T firmatur; tota machina pede W fuftentatur. Longitudo tubi AB arbitraria eft, atque fere intra 3 pedes confiftit. Extremis A. B inferi folent cylindri cavi vitrei FE, pice liquata, aliove apto glutine viam omnem aquae intra cylindrorum latera & laminam tubi AB effluxurae praecludente. Tum aqua in cylindros per tubum AB communicantes infunditur, quae utrinque ad aequalem altitudinem m, n ex liquorum proprietate ad aequilibrium tendentium afcendit Libella hunc in modum vulgo parata, trans fuperficiem aqua; mn collineatur oculo ad m confli tuto. Verum quam facile a vera aqua; fuperfi-cie aberrari notabiliter poflit, quisque facile intelligetj qui attenderit, luper-ficiem eam (etfi aqua colore quopiam infecta fitj haud ita facile per vitri latera difcerni polle, quod undique prope vitrum aqua attollatur concava fuperficie. Unde faltem dioptrae addendae forent utrinque ad cylindrorum vitreorum latera, vqlut Q exiguo foramello inftracta, cui opponatur altera R. foramine circulari ampliore praedita, in cujus centro fila decuffatim duria fe in-terfecent; uti & P itidem foramellum parvum oculo objiciens, cui altera O in cylindro oppoiito refpondeat, quae fit filis, uti dioptra R, inftructa. Pof-fent etiam in eadem dioptra v. g. O tam foramen amplum cum cruce filari, quam exigum illud foramellum fieri, quod dioptrae filari opponitur, fi itidem dioptra P fimili ratione duplicaretur. Fig. 79 206. Altera libella e(l quodlibet Goniometricum (Fig. 79 'Tab. VIII) Tab. VIII AOBfl, modo dioptris AC, BD inflxurium fit, quorum altera AC foramellum circulare, altera DB fila fefe deculTantia habeat, atque ad fitum verticalem erigi pollit, ut e centro O perpendiculum OP fufpenfum filo gradum nona-gefimum ad a notet: tum enim regula AB fitum horizontalem obtinebit, fi inftrumentum nullo vitio laboret. Ex hoc autem patet, innumera infiru-menta pro libellatione adhiberi pofle; neque opus eiie femicirculo AflB, fed fufficere, fi per Oa tranfeat regula ad AB normalis, quae in a notam habeat, quam filum perpendiculi tangere debet, ut ad O angulos rerios ut inque efficiat. H$c infirumenta eo aptiora erunt libellationi, quo majora, praecipue quo longiora fuerint perpendicula, qua; ne aeris agitatione facile moveantur, capfis includi poliunt, & ne ofcillationes diutius morentur prope-rantem, vafculo aquam continenti immitti, cujus majore refifisntia ofcillato-rius motus citius extinguitur. Sed illud, quandocunque perpendiculorum ufu linea libellae determinatur, vel maxima folicitudine curandum, ne filum vel regulam AB prope O, ubi fufpenditur, tangat, vel prope a, neque etiam nimis multum ab O el a diftet, fed proxime quodammodo radat, ut libere, & fine attritu in utra ili -3 partem adhuc ofci liare pollit. Hinc in majoribus inflrumeritis filum petPxmuicufi, cujus extremum laxiorem efficit annulum, ex acicul$ cufpide centro inftrumenti imminente, fufpenditur, ne vel arriior nexus cum acicula, vel contarius cum centro attritum efficiat, qui libertati ©leillationum obfiet. #07. Utri- 207. Utrique libellae prsflare videtur hydroflatiea, de qua generatim jam mentionem fecimus ( 99 ) fi accurata fit. Quid autem ad ejm perfedlio-nem, ut apta fit libellationi, requiramus praeterea, paucis exponemus. Debet efle debitae longitudinis, {'altem unius pedis (Fig. go Tab. VIII). 2io. Fig. Ko Tubi vitrei latera interna debent efle perpolita. In hunc finem cylindrum Dab. V ni vitreum alium D. Chefis (vid. de la Lande Aftron. §. 1911) extern» polit ope cylindri cavi cuprei, ut cavitati tubi pro libella deftinati congruat; tum pulvere fmiridis confperfa fuperficie convexa eum intra cavum tarndiu verfus utrumque extremum movet, donec abrafis omnibus inaequalitatibus, fuperfi-cies interna cavi fit politurae apta, quam peragit, alterius convexa fuperficie charta obdutia, & terra Tripolitana confperfa. An rite haec praeftita fmt, facile dignofcitur, fi tubo aqua repleta bullae aereae, quae relinquitur, motus, dum regulae, cui incumbit tubus, exigua inclinatio fit, aequabilis advertitur, & non faltim fieri. $t!0. Si tubi vitrei longitudo fit I pedis, longitudo bullae 1K faitein g vel 9 digitorum fit, oportet. Nam fi parvae relinquantur bullae, tempeflate calidiore lentius moventur, affridtu adverfus tubi latera, dum liquoris expanfione aer violente conftringitur, nimis fenfibili, quod fieri nequit in bullis magnis & confequenter aquae expanfione non tam magna refpedtu voluminis bullarum. 4t0. Tubus orichalcinus, qui vitreum cOnti-net, & munit, LEGHFM, altero extremo fupra regulam orichalcinam figi debet, altero ope cochleae polle deprimi, <& per fuppofitam laminam elafti-cam, dum in contrariam partem cochlea circumagitur, attolli, ut libella examinari poflit, de quo examine mox dicemus, ^to. Regula ipla pedi apto . (qualem fuperius ( 205) indicavimus (Fig. 78 Tab. VIII)) conjungi debet, 7$^^ & dioptris inftrui duplicibus, velut ad A foramine amplo circulari, in cujus centro fila tenuia fe in crucis formam interfecant, cui opponitur in altera ad C foramellum exiguum itidem circulare. Viciffim dioptras filari D opponitur foramellum circulare B in priore. Licet in alios ufus, laudatus fuperius D. Chefis tam accuratas libellas unicum pedem longas conftruxit, ut inclinatio etiam unius fecundi motu bullae per fpatium unius lineas indicaretur, quae accuratio vix per perpendicula mediocris longitudinis naberi poteA, Unde colligitur, commode id genus.libellas debite conftrudtas , atque explorate bonitatis fubfiitui poffe non modo in Goniometricis parvis perpendiculo, verum etiam in quadrantibus aliquantum majoribus, dum altitudines metiendae funt, quod perpendiculorum ofcillatio obfervatorem fere diutius morari foleat. § 11. De Examine libellce. 208. Tum pm ipfa libellatione, tum pro libellarum examine, ad manum efle debent tabulae certa nota infignitae, ad quam collineandum eft, cu- p;g Sl jusmodi efle poffunfc (Fig. §1 Tab. VIII) vel tabula nigra cum annulo albo Tab. VlH ni- nigrum circellum, cujus diameter v. g. 1 digiti, ambiente, vel tabula nigra cruce alba diilindta, aut ex oppofito alba tabula cum nigro annulo vel cruce, u£ ad A Sz B exhibetur. Tum crucis, tum circelli medii ea debet eiTe amplitudo, ut per dioptram collineanti, quando a filo feqatur, tantillum utrinque ultra filum eminere videatur, ob rationem, quam fuperius (119) attulimus. Has tabulas deinceps notas appellabimus. Porro ut attolli, aut deprimi pof-Fig. §2 fint, ut res pofcit, varia artificia ufui effe potTunt. Exempli caufa ( Fig. 82 £ ab, VIII F ab. VIII j 11 perticae firmae & parallslepipedi forma AB (nili quod inferne cufpidata lit, ut humi ad perpendiculum defigi queat) nexa fint ad C & E duo ligamenta ferrea, vel orichalcina, per quae altera pertica FD transmitti, & ad libitum ope cochleae per inferius ligamentum E tranfeuntis, firmari poffit, pertica FD ad F nota lua praedita, pofiquam AB firmata e/l, femper altius notam attollet, vel demittet; Sz poterit vel ipla pars GE perticee AB in digitos, vel etiam lineas, dividi, ut mox videri poifit earum numerus inde a folo usque ad extremum D perticae mobilis , qui longitudini 1 exploratae iplius perticae DF additus indicat altitudinem note ad F affixae fupra folum, vel vero ad manus fit oportet alia menfura, ad quam GD exigatur. His praeparatis. e;g. 209. Sit IfWO examinanda 1‘bella tuborum communicantium (Fig. 78 ab.VIIIqia^i VI1L). Si haec dioptris infirmita non fit, nec examini fubjici poteft, cum aqua femper fefe ad lineam libellae accurate componat, ita, ut ejus fu-perficies ad «i & n fit in eadem a centro Telluris diftantia ; ufus proinde magis, minusve accuratus uni libellatoris dexteritati rcfpondet. Verum fi di-outris infimatur, hae ipfae examinandae, utpote errori obnoxi-c, & quidem irt eo pofito, quod foramellum Q, cui oculus applicatur, poffit effe altius, vel humilius, quam filorum interfectio in dioptra oppofita R; idem, vel contrarium evenire poteft in dioptris P & O, ut propterea ambae examini fubjicien-dre fint, quod fatis fuerit pro binis expofuiffe, cum idem alia duae fubire debeant feorfiro. , Fig. Eli "a tu r diftantia AB (Fig. 83 Tafi- vIH) nec major, nec minor faci- '-ab vRllei| quam°ut oculo in O conftituto, Nota in pertica BM accurate cerni poffit, V.’g. 200 aut 150 pedum,. Conftifuatur libella ita, ut aquae fuperficies accurate ad dioptias pertingat in utroque cylindro ; tum per Q & R collineanti ex pundto 6 appareat Nota M in altitudine BM fupra folum: menfuretur diligenter tum altitudo oculi? five dioptrae Q, tum etiam altitudo notae BM. Transferatur libella ex A in B, & figatur pertica cum nota in A, Sit altitudo oculi, five ejusdem dioptra? Q, Bo, & ex 0 per Q, R collineanti appareat interfectio filorum in nota N. Menfuretur rurfus Bo, & AN. Si nullus fuerit dioptrarum error, erit fumma altitudinum oculi AO 4- Bo aequalis fum-nrn altitudinum notarum BM -H AN. Cum enim diftantia AB per hypo-thefiin fit. exigua, verticales GA, M3 ad centrum Telluris producte angulum infenfibilem efficiunt, & citra omnem errorem pro parallelis habentur. Ducatur BC parallela ad OM, qua? produdte QA occurrat in C; erunt OC, M3 iequales. Hiac fumma altitudinum notarum MB -F NA ent = OG -f- NA se= OA •+- AC + NA; fumma altitudinum oculi erit OA ■+• Bo: fi jam fit OA + AC Hh NA = OA ■+■ Bo, ablata utrinque OA, manet AC -+* NA==s CN = Bo; atqui fi CN = Bo, redt$ No, OM debent efie parallelae, quod fieri non poffet, fi quod vitium foret in dioptris. Etenim fi ponas foravnei-ium Q (big. 78 i. ab. VIII) elTe infra interfectionem filorum R, refla per Fig. 78 haec puncta tranfiens faceret angulum obtufum AOM, uti etiam obtufus fie- Tab. VIII ret angulus BoN, confequenter foret ob OA, BM parallelas, angulus ONo itidem obtufus, ergo duo interni ad O & N inter OM, No uterque foret obtufus, & linese parallelae effe non poffent. Si vero foramellum QeflTet altius interfectione filorum R, eodem modo oflenditur, angulos NOM, ONo fieri utrumque acutum. Patet igitur, dioptras effe rite collocatas, fi fumma altitudinum oculi aequalis fit fu minae altitudinum notarum. aio. Hinc facile deducitur, fi quis error in dioptris fit, quomodo corri-gi poffit. Ponamus primo, libella in A collocata notam non in M fed in m ponendam effe, ut appareat in filorum interfectione. Inftrumento ad B translato pariter figenda erit nota in n; quo cafu nempe foramellum Q deprimitur infra interfeflionem R. Evidens eft primo, hunc errorem detegi, cum fumma altitudinum notarum roB, «A excedat priorem fummam MB, NA, live ( 209) OA -+- oB reflis Mm -+- Nn, qua; inter fe aequales effe debent, cum fit eadem diftantia ex O in M, ac ex 0 in N, & manente eodem errore dioptrarum, reflae Om, on aequaliter divergant a reflis OM, oN. Quare fi men» luratis altitudinibus oculi & notarum talis exceflus deprehendatur, manente libella in ftatione B in eadem altitudine Bo, nota n deprimatur dimidio ex-ceffu mM. Hh nN, hoc eft exceffu nN ; quo fieri neceffe eft, ut conftituatur in vera horizontali oculi in 0. Dein interfeflio filorum dioptrae R pariter deprimenda eft, donec tranfire videatur per notam N, eritque correflio fafla. Quod fi error effet oppoiitus, vel ex figurae infpeflione intelligkur, notas collocandas fore in [x & v, indeque fumma altitudinum notarum deficeret a fumma altitudinum oculi quantitate M/x + Np, & pro correflione, ejus dimidio nota ex v in N attollenda effet. 211. Observa. Si filorum interfeflio non poffet commode emendari, accurate menfuranda effet dimidia quantitas Mm -h Nh, vel M/t 4- Nv, & dum libellatio fit, correflio adhibenda effet. Nam patet divergentiam reflatum OM, Om (vel OM, Oju) efle proportionalem diftantiae ftationum. Fingamus effe AB = 150 ped. Mm -h N» = 4 digit.; quando libellatio fit, <& intervallum ftationum fit v. g. 200 pedum; fiat 150 : 200 z=s, 2 dig, af dig. eritque hac quantitate altitudo notas minuenda (vel augenda pro errore op-pofito ) ut vera obtineatur. Ceterum tum in ipfa libellatione, tum maxime in inftrumentorum examine feligendum eft folum firmum, ac durum, quod non facile cedat, ne inter ipfam obfervationem inftrumenta nutent & fitum mutent, quod univerfe femel monuiffe fatis fit. 212. Altera examinandi methodus fequens effe poteft. (Fig. 84 Tah. Fig, g4 VIII) menfuretur diftantia AB, ut antea, tantae longitudinis, ut ex A in BTab.VIII nota expofita diftinfle cerni poffit, dum a cruce dioptrae filaris in medio &. P. Scherjfer3 Giomet. P. II M ca- catur. ConflUuatur inftrumentum examinandum in medio C, ut fi fuerit AB r= 200 ped. iit AC = CB = 100; fi AB = 150 ped,, AC = 75- Clolli' neetur oculo in O polito verfus ftationem A, ut nota appareat in M (vel N) ; converfo inftrumento, & manente eadem altitudine, eodem/]ue oculi l°cc> G, collineetur fimiliter in ftationem B, ut nota videatur in m ( vel n). His per-a&is transferatur inftrumentum in alterutram ftationem, v. g, in A, menfu-rata prius accurate note altitudine M (vel N j, & ita conftituatur, ut (locus oculi fit in P: accipiatur differentia altitudinum AM (vel AN) & AP, & in pertica Bm transferatur ex m (vel n) in p, ut fit MP = mPi ^ np, feu dein P & p fit fupra M & m, feu infra; determinato hunc in modum pundto p, adducatur ad illud nota ex m vel ?2, & corre&a interfedlione filo-rum, ut oculo in P pofito videatur fecare notam p, habebitur Pp vera linea libellae. Ratio hujus examinis facile perfpicitur. Cum enim quiscunque fit error dioptrarum, converfo inftrumento verfus A & B, manente eodem pun-tio oculi, eademque altitudine fint anguli COM , COm; vel CON , COn aequales, & ]ine$ OM, Om; item ON, On aequaliter divergant in aequalibus a puncto O diftantiis a vera linea libell», evidens eft, fi conjungantur puncta M, m; vel N", fz, fore Mm, Nn parallelas ad veram lineam libellae per O tranfeuntem: quare cum etiam MP = mp, aut NP = np, & parallelae inter fe, necefie eft, ut fit Pp parallela ad Mm vel Nzz, adeoque fit vera linea libella* oculi in P conftituti. Unde fi ita collocatae fint dioptrae, ut nota p accurate fecetur a filis, utraque rite difpofita eft. 213. Secundo. Examen Goniometrici , aut quadrantis. Confiftit hoc Fis:. 79 examen in inverfione inftrumenti. Nam (Fig. 79 Tab. VIII) conftituto fe-Tab.VIIJme] Goniometrico fitu verticali, ut (206) ditium eft, fiat collineatio per dioptras C, D, ut filorum interfetiio cum nota debito intervallo (quod men-furandum eft) congruat, adfcribatur altitudo notae. Tum convertatur Go-mometricum ita circa regulam AB, ut arcus AzzB obtineat litum AZzB, & perpendiculum OP, e centro O exemptum, firmetur ad puntium b, quod idem fit cum puntio a, per quod in priore fitu tranfibat filum perpendiculi, & circa centrum O moto tantillum inftrumento videatur, ut filum bp per centrum O tranfeat Hoc novo fitu conftituto inftrumento denuo collineetur per easdem diootras c, d (qme jam ex averfa parte plani, in quo eft arcus inftrumenti, politae funt); & fiquidem centro mftrument! O m eadem altitudine manente, nota rurfus per fila fecari videatur, nullus error m dioptris eft; at fi altior videatur, feu fupra interfetiionem filorum, deprimatur aliquantum, ut cum ea congruat; oppofitum fiat, fi appareat infra filorum interfetiionem. Intervallum, quo notam a priori loco moveri necefte fuit, dividatur bifariam, & in medio ejus puntio denuo firmetur; tum feu hoc, feu priore inftrumenti fitu ad eam collineetur, itaque corrigatur altitudo interfe-tiionis filorum, ut cum nota accurate congruat, habebitur inftrumentum a-b errore dioptrarum eorretium; de hoc enim tantummodo nobis fermo in praa-fens eft. $14. Ut 214. Ut methodi prsefcripta» ratio intelligatur, efto ( Fig. 85 Tab. VIII) ^ig. 8? fi tus primus inftru menti EaF, & videatur per dioptras E, F nota in P; ii a ' converfo inftrumento puncium a transferatur in b, & tranfeat filum perpendiculi bO per centrum O, fitque Ea = Eb = gov, evidens eft, fore EFP veram horizontalem, utpote perpendicularem ad verticalem bOa; at fi diop- tras A, B non fuerint in vera linea libellas, fed v. caufa B non nihil altior, quam A, erit Ad minor quadrante, five AOd erit angulus acutus, & nota videbitur in M. Siquidem converfio femicirculi fieret circa diametrum AB, ita, ut dioptras manerent in priore retia ABM, patet, puntium a translatum iri in m, ut fit An = Aa; fed tum perpendiculum ex m fufpenfum non pollet per O tranfire; quod ut fiat, attollenda eft dioptra A, ut veniat in C, & puntium n in b, ita, ut fit An = Cb =x Aa, confequenter dioptra B tantundem defcendet in D: hoc autem fatio per C & D collineantis linea vifus tantum diverget a linea vera libellas EFP infra horizontem oculi C verfus N, quantum prius fupra eandem verfus M, ut adeo nota ex M in N transferri debeat, ut in filorum interfetiione videatur. Quoniam igitur anguli MOP, NOP asquales, manifeftum eft,notam in P, hoc eft,in medio puntiodiftantiae MM collocari oportere, ut corretio fi tu dioptrarum, habeatur vera linea horizontalis EFP. 215. Qu$ fuperius de diftantia OP, de modo fufpendendi perpendiculum, de metienda notarum altitudine, de firmo flatu inftrumenti & hujusmodi diximus, cum omnibus communia fint, repetenda non putamus. Ceterum haec methodus examinandi in majoribus inftrumentis apprime commendatur, & fecuriftima videtur, uti dum explorandum eft, an quadrans iit accurate 90 graduum, ac tubus debite collocatus, ut ejus axis per centrum, & initium arcus, ubi divido incipit, tranfeat &c. Illud autem etiam commune eft errori hoc examine detetio pro libellatione, quod ft corrigi non queat facile, ejus magnitudo fit proportionalis diPtantiae. Porro facile apparet, alteram examinis methodum (212 ) etiam Gonio-metrico, vel quadranti applicari poffe. Nam eodem modo per dioptras vi- p tiofas AB deteminantur f Fig. 84 Tab. VIII) duo puntia M, m in ftationi- -pab yjjj bus A, B, quae fint in linea horizontali verae parallela. Quare fi poiito Go-niometrico in A, & dioptra oculari in P, intervallum MP transferatur in *np, habebitur puntium p, in quo nota ftationis B collocanda eft, ut vitium dioptrarum corrigatur, fed enim exiftimo inverfionem inftrumenti fecurio-rem efle. 216. Tertio. Examen libellae Hydroftaticae. Duplex examen fubeun* dum eft libella? Hydroftaticae; alterum pertinet ad detegendum, & corrigendum errorem dioptrarum, quod ab eo nihil diverfi habet, quod fimerius^ex-pofuimus pro tubis communicantibus, ideoque non repetimus• alterum pertinet ad ipfam libellam, quae, ut corrigi, & femper examini ’ fubjici poffit, cum forte dubium de ejus exatiitudine fuboritur, alterum extremum f immo vero utrum que potius) mobile habere debet, id, quod hunc in modum obtineri poterit. Exhibeat (Pig. 86 Tab. VIII) A extremum tubi ofichalcini. ^ Ma cui a,J,VlH 9 a Geo met. Pars II. Gap. It. Artic. VI. cui infertus eft vitreus. Ejus extremum definat in brachiolum mn, quod pef iifl'uram capfe MN, regulas, cui tubus incumbit, BF aiierruminatas, qua cap fa tubum refpicit, transmitti queat intra capfam. Per fuperiorem laminam capfae MN, cochlea cava prope medium or inftrudiam, cochlea folida Cd transmittitur, quae extremo (ao d brachiolum tubi mn premit deorfum converfa cochlea; in fundo capfae ad q firmatur lamella elaftica fortis, qp, quae idem brachiolum femper furfum impellat adver-fus cochleam, ut id firmum confiftat. Alterum tubi extremum (quod reprae-fentari opus non eft) fimili brachiolo intra fimilem capfam porrecto inftru-tium eft, idque tantum difcriminis eft, quod per cochleam non apprimatur elateri, fed fubftaculo modice excavato (ne motus in latus fieri poilit) quod, preilioni cochleae cedere impotens tubi extremum firmum retineat, & immobile. Ex hac conftrutiuone ( vel quavis alia fimili) apparet, laxata parum cochlea alterius extremi, polle extremum tubi A attolli, vel deprimi, quantum ufus pofcit: crailiores enim errores, qui ut corrigantur, motus majores exigunt, in ipfa conftrudtione evitari ponuntur. 2J7. Vitium, quod efiepotefl: in libella Hydroftatica, id unura eft, quod Fig. §7 latus fuperius internum tubi vitrei, quod (Fig. 87 Tab. VIII) repraefentatur a • VIIIper re#am EF, horizontale non fit; inferius enim latus obliquum eife poterit citra defetium libellae; nam cum liquor aere gravior in tubo contentus, femper deorfum nitatur, leviorem aerem verfus fupremam partem extendit. Ex quo quidem confequitur, bullam GH, utcunque parum latus EF declinet a redta horizontali, debere afcendere usque ad fupremum pundum E, Equidem nullus omnino edet affridus; at quia is femper aliquid e libertate motus tollit, nili tanta fit inclinatio lateris EF, ut nifu aquas omnino fuperetur attritus, non penitus ad extremam tubi partem pertingit bulla. Quod fi vero latus EF fit horizontale, & libella vitio careat, e medio tubi loco non emovebitur, cum nifus aquae defccndendi utrinque aequalis fit, & vires impellendi bullam zequilibrentur. Ex hac affedione liquoris & aeris haec duo ma-nifefte deducuntur, quibus tanquam fundamento libellae examen innititur; primo fi libella vitiofa CDFE incumbat plano horizontali vero AB, & notatis in hoc pundis C, D, vertatur, ut acquirant libellae extrema fitum oppofi-tum, F in/, E in e translato, bulla, quae in priore pofitu afcendit verfus extremum altius E ad diftantiam EG, in fecunda politione afcendet verfus e, ut d Hiantia eg fit $qualis cum EG. Nam ponitur latus tubi interni aequabiliter politum, & eft eadem altitudo pundorum E & e fupra horizontalem ve-T b* VIII ram Secunda. Si libella accurata (Fig. 88 Tab. VIII) incumbat plano A inclinato IB ad lineam veram horizontalem AB fub angulo exiguo IBA, bul- la GH verfus E afcendet, & fi convertatur, ut extremum F veniat in f,E in e, bulla rurfus in eodem loco gh haerebit, Difcrimen enim altitudinum FD, CE in hac hypotheli provenit unice ab inclinatione plani IB, unde idem ef-fedus in liquore, & aere fequi debet. Fig, 87 218- Facile foret, fi femel conflaret de accurato fitu plani AB (Fig. 87 Tab. Vili Tab. VIII) ad horizontem nullo modo inclinato, libellam vitiofam corrige- re : nam ea plano tali impofita, non alia re opus eflef, quam laxata aliquantum cochlea alterius extremi, cochleam C extremi A (Fig. g6 Tab. VIII) Fig 8^ vel deprimere, vel attollere, donec bulla a?qualiter utrinque ab extremis tubiTab- VI diftaret, & tum firmata cochlea altera, notas flabiles ad 1 & K (Fig. goTab. Fig. §o VIII) vitro incidere. Tab. VIIS Sed enim fupponi non potefl, planum AB effe vere horizontale. Fingatur itaque, libellam vitiofam EF imponi plano inclinato IB, fitque latus EF vel in eandem partem inclinatum cum plano IB, vel in oppofitam. & quidem eadem quantitate aut pias, aut minus. Ponamus prima latus EF habere eandem inclinationem; afcendet bulla Verius extremum E altius, v. g. in GH, quam, dum converfa libella extremum F venit in f, utpote cum inclinatio duplex confpiret in primo fitu, & oppofita fit in fecundo, manet fola inclinationum differentia : & fiquidem major fit inclinatio lateris tubi, quam plani IB, bulla movebitur verfus e; fi minor, verfus/, v. g. ad diftantiam /L; fi aequalis, manebit in medio; ut i palam eft, cum motus bullae fequatur differentiam inclinationum, quae in primo cafu facit, ut e fit altius, quam/; in fecundo ut f fit altius quam f, fed non tam altum, quam E in primo libella» politu fuerat; in tertio denique cafu nulla eft. Ut jam libellae vitium tollatur, evidens eft, debere in motu bullae tantummodo relinqui effetium debitum inclinationi plani. Hoc autem praedatur, fi notatis accurate diftantiis bullae ab extremis EG, /L, elevato extremo f in fecunda politione libellae (vel depretio e, quod idem eft) adducatur bulla ex LM, vel e medio, vel ab extremo <*, ad diftantiam ab extremo /aequalem mediae inter diftantiam EG, quam habuerat in prima politione libellae & diftantiam fecundam/'L, quam habuit in altera libellae politione. Hoc etenim fi fiat, extremum humilius F lateris EF tantum attollitur, quantum prius ultra debitum fuit elevatum extremum E; hinc principium fecundum, quod priore numero adduximus, locum habet, & libella, corredia eft, debebiturque diftantia bullae a loco medio uni inclinationi plani IB. Si fecundo ponas, inclinationem lateris EF in primo fitu libellae effe contrariam inclinationi plani IB, fequetur bulla exceffum majoris fupra minorem; at converfa libella, fequetur fummam inclinationum: quare bulla rur-lus adducenda erit ad diftantiam inediam inter obfervafas , ut in priore hy-pothefi. Verum hoc nondum fatis eft. Si quis in ipfa corredtione error ad-miffus fit, is detegetur, fi nova converfione libellae, bulla in utraque politione eandem ab extremis non fervet diftantiam. Quare corredtio vel augenda, vel minuenda eft tamdiu, donec utcunque converfa libella, bullae diftantia ab extremis eadem maneat accurate, uti juxta fecundum noftrum principium debet, fi latus EF fuerit parallelum plano IB, cui libella incumbit, ut ejus inclinationi tantummodo, non autem inclinationi lateris EF afcenfus bulla» ad-fcribi polfit. 219. Obfervet Tiro, nos pofuiffe adhuc tubum libella? incumbere regu-p-Ise planae, uti eam ( Fig. 80 Tab. VIII) exhibuimus. Sed id neceffe non eft; Xal yIri M 3 po- poterunt regulae extrema deorfum incurvari, ut pedum vice fungantur, quod non nullis in cafibus ufum libellze commodiorem reddit, praecipue fi extrema illa flexa non nihil excaventur, ut convexae fuperficiei tuborum, quorum axes examinandi funt, congruant. Praeterea fi adfit regula menforia , qua-Fig. 38lem (Fig. 38 Tab. III) exhibuimus, poterit conjungi cum libella Hydroita-Tab. III tiCa ejus plano FCE impofita; verum dioptra filaris adhuc filo transverto inftruenda erit, & fiflura oblonga, per quam oculus tranfpicit!, obtegenda usque ad foramellum exiguum in eadem fupra regulam altitudine relictam, quanta efl: altitudo fili transverti in altera dioptra, quod igfum examine fu-perius expolito explorandum erit. §. m. De modo libellandi. 220, In libellatione minore ante omnia diligentiflime curandum, ut perticae, quibus notae, ad quas collineandum eft, appenduntur, ad perpendiculum defigantur, applicata femper plumbagine. Hoc ti fiat, & libellae exa-ftae adhibeantur, facile e fequentibus Problematis, tota operandi methodus comprehendetur. Fig. §9 221. Problema L Libellare terminorum C & E altitudinem (Fig. nab. VIII gn Tab. VIII). Resol. Terminorum altitudinem libellare nil aliud eft, quam altitudinem termini alterius fupra alterum invenire, ad quod (fi nil aliud quaeratur) opus non eft, ut fciatur eorum diftantia. Et hoc Problemate libettatio Jimpkx continetur. Eligatur prope medium inter C & E flatio D, in qua libella R rite con-ftituatur, perticis in terminis C & E, quae figna, five notas exhibeant, defixis, & collineetur verfus utramque, laboris adjutoribus notas ad nutum attollentibus vel deprimentibus, donec utraque P & Q in filorum interfeftione appareat. Menfuretur accurate utriusque notae altitudo CP, & EQ; harum differentia dat altitudinem termini C fupra terminum E, quae quaerebatur. Etenim fi concipiatur ex E parallela EG ad rectam puncta P & Q conne-«ffentem, & alia eidem parallela CV, evidens eft, fore Eu — VE, tx PG —-EQ, confequenter etiam CP = VQ; eft autem V E — ^ Q ~ CP s= CG, quoniam ob exiguam ftationum diftantiam Cl , EQ pro parallelis haberi debent, ut linea libellae oculi ab horizonte vero differre nequeat. E Num. 219 facile inte!figitur, fi nullus fuerit error inftrumenti R, nequidem opus efie, ut termini C, E cum ftatione D fint in eadem redta, vel ut de diftantiis CD, DE conftet. At fi error adfit in inftrumento, vel de diftantia ftationis D a terminis conftare debet, ut corretiio in utiaque a titudine fiat, vel vero debeut ea? diftantiie efie omnino aequales,^ cum errores altitudinum fint proportionales diftantiis, quibus aequalibus politis, etiani^ i! errores aequantur, & in differentiam nullum dffcnraen invehere poffunt. Ceterum fi fepofito inftrumenti errore oriatur dubium de accuratione colli-neationis, cpod v. g. notae non fatis diffinde cerni potuerint, adhiberi poterit libellatio reciproca. Nempe ( Fig. 83 Tab. V1IL ) fi libeJlandi ffntter mini A, B, collocetur primo libella in A, & oculi locus fit in O, & in termino B fignum notae appareat in M; accipiatur differentia altitudinum oculi AO, & notae BM, quae erit DB = AC. Dein translata libella in B ex 0 collineetur in N; iterumque accepta differentia Bo —- AN, conferatur cum priore: fi nullus error admiffus eff, eadem inveniri debet, nempe DB. At n prima, & fecunda differentia difcrepent, v. g- prior fit 3 ped. 7 dig. 3 lin. pofferior 3 ped. 6 dig. IO lin., addantur in unam fummam 7 ped. 2 dig. 3 iin. quae per 2 divifa dabit proximam vera altitudinem AC = 3 ped. 6 dig. 1,5 lin. 223. Generatim adhuc fequentia monita pro libellandi ufu ab expertis dari opportune folent. Primo, ut quantum fieri poteff, libella ita conffitua-tur, ut in dioptra filari alterum filum fit proxime ad horizontem parallelum, alterum verticale, velut (Fig. 91 Tab.IX) HR, VE. Secundo, ut convenia-Fig. 91 tur prius inter obfervatorem, & adjutores, qui notas in perticis attollere, ac Tab. IX, deprimere debent, ( maxime quando diftantia? funt paullo majores, ut vcx difficulter, vel prorfus non audiatur, nifi ex totis pulmonibus clametur, quod moleftiffimum accidere deberet) de certis fignis arbitrariis manu, vel pileo &c dandis, ut ex iis mox intelligant, quid praedari debeat. Tertio, ut adjutor laboris, dum peradta obfervatione jubetur perticam cum nota amxa ano transferre, antequam eam effatione tollat, notabiliter in utramque partem moveat, verfus dextram, & finiftram obfervatoris, hoc interim adhuc per 1-ootras afniciente. Quod fi enim accidiffet, {ocio minus attendente, ut perti-caloco fitus perpendicularis (Fig. 91 Tab. IX) ID acquifiviffet obliquumF,g 91 1C, fi perflante extremo C in eodem loco, perticae alterum extremum eo mo- Tab. IX tu in utramque partem deferibat arcum circularem ah, necche e , u no a alicubi videatur ( quae inter obfervandum apparebat in e^.10n® ^ Tn li fupra filum horizontale HR, velut in ». At fi 6™ v^pert^m accuratus fit, extremum I deferibet arcum, qui filum - o > que Zmp«o^u?n: Libellare termino, A & E (Fig. 89 Tab Vin),Fig 8, quorum diLntia m^jor, quam ut libellatione fimpbce alt.tudmum difieren-Tab. V.11 Ua “RBSomConffituth in A & C fignis collocetur circa medium B libella O ut in libellatione fimplice, & menfurentur accurate altitudines notarum AM CN, adferipta altitudine AM ex uno, CN vero ex altero laterculo chartae vel tabulae. Tum relido Tigno in C alterum ex A transferatur m E, & libella verfus medium D, atque ex R collineetur in P (deprefib, fi opus nt, figno infra Nh & Q- Iterum altitudines CP, EQ referantur in tabulam, ut omnes ^use fpeciant terminum A, in eodem laterculo, altera infra alteram, feribantur; qua? autem obfervatae funt verfus alterum terminum E, fint debito ordine in laterculo altero, in quo notata fuit CN. Haec operatio continuatur, usque ad terminum E. Colligantur omnes altitudines, qu$ fpe&abant terminum A inter obfervandum, in unam fummam, uti etiam ea?, qu$ referebantur ad terminum E, & propterea feparatim fcripta? funt; fum-ma minore e majore fubtracta habebitur altitudinum differentia, qua? quaare-batur. Ratio facile intelligitur. Qua=ritur enim ( fi dudtae intelligantur ho-j1.^nta^es FE, AT, CV, quze cum lineis libellae oculi in parvis diftantiis non differunt) TE = AF. Atqui, fi accipiatur NC — MA, habetur SC = TV, & fi fumatur EQ CP, obtinetur VE, confequenter AM ex CN, & CP ex QE fubtradtis obtinetur TV ■ > VE = AF. Manifeflum autem eft, eandem differentiam prodire, feu feparatim AM ex CN, & CP ex EQ auferas, feu fummam AM -+* CP ex fumma CN -f— QE5 igitur &c, 225. Observa. Fieri poteft, ut una, vel plures altitudines, velut AN, quae fpectant terminum A inter obfervandum, majores fint, quam correfpon-dentes, uti CP, quae funt obfervatori verfus terminum E. At per hoc nihil mutationis requiritur in ordine adfcribendi altitudines. Nam non indagatur altiflimae fiationis C altitudo Ca = KY, fed quaeritur AZ = MY, quae re-ipfa obtinetur, non fubtradta CP ex AN, fed AN ex CP, habita differentia KM ne^atQa’ Pro^nc^e ex fumma ablata corrigit quantitatem KY parte 226. Saepius ope libellationis indagatur declivitas alvei alicujus fluminis, cujus littus terminetur linea mpqrn, fed ripa in utroque termino inaequalis altitudinis Am, Y« effe poterit. Peradta libellatione fupererit adhuc in tali cafu metienda altitudo ripae Am & Yn, & differentia inter utramque fub-tratia ab MI vel addita, fi Am < Y??, in prsefente Schemate foret declivitas quaefita, cum airumpferiiTius pro priore Problemate ZY horizontalem. Nec opus eff monere Tironem, perinde effe, feu libellatio ex A verfus Y infti-tuatur, feu ex It verfus A afcendendo. Si plus momenti in ea pofitum fit, fieri poterit reciproca, ut difcrimine utrinque ex asquo divifo media quantitas pro ufu retineatur. SECTIO II. De libellatione majore, libellationem appello feu fimplicem, qu$ ex unica ftatio-7" , ne haberi potefi, feu compofitam, qu«e e pluribus ftationibus peragitur, quando intervalla tam magna funt, ut libella? lineae (quemadmodum lupenus mim. 202 expofuimus) jam fenfibiliter difcrepent ab arcubus, quorum tangentes funt, <% pun(qum, ad quod collineatur, extra verum hori-ontem oculi po itum eff. ln hunc bnem nota2 ejfe bebent elevationes fupra * onzontem fiationum, m quas collineatio iit, fiquidem difiantia? fciantur^ id Da LibellatioNE» eft, dato arcu fciri debet pars fecantis inter arcum, & tangentem 'intercepta. Piciirdiis, cum Regis Galliarum juflu magnos terrarum tradtus libellandos fufcepiiTet, inde ab arcu 50 hexapedarum Pariiinarum usque ad arcum 400° hafce elevationes computavit, & in Tratiatu de Libellatione a de la Hiriti An. 1728 Galbee edito communicavit. Methodus fupputandi, qua ufus eft, haud quidem Geometrico rigori, attamen ufui abunde fufficit. En vero principium , quo ejus calculus nititur. Sit ( Fig. 92 Tab. IX) AC radius 9% Telluris, AB arcus exiguus (nam fi AB = 4H8 hexap. Viennenfibus, non- a ’ dum continet prorfus 4,,09), AD tangens, quae citra errorem pro AB haberi poteft (quippe in eadem hypothefi, quod AB = 4118 hexapedis, repe-ritur BD = 15 pedibus) ; concipiatur altera tangens ad B, quae priori occurrat in E ; erit, ut e Geometria notum eft AE — EB, & triangula ACD, BED fi milia, & AC : AD = EB ; BD, Jam vero cum angulus DEB = ACD, & hic paucorum minutorum, etiam dum pro maxima diftantia fuppu-tatio fit, manifeftum eft, cofinum EB a finu toto ED in triangulo DEB re6t* angulo vix differre, & fine erroris fenfibilis periculo cenferi poteft EB = ED, & quia EB = AE, haberi poteft AD = 2EB. Hoc pofito duplicentur termini antecedentes prioris Analogia? AC : AD = EB • BD, fiet StAC t AD2 AB* AD = AD : BD, adeoque BD = — 228. COROLL. I. Diftantia; lineae libellae ab horizonte vero funt Inter fe ut quadrata diftantiarum ab oculo fpedatoris, proxime. Nam in eadem figura eft Hi = , & Lm ss= ——, in qua expreftione sAC ^ feu Tellu- ris diameter eft: quantitas conflans, & rationem non mutat* 220. CoRoll. II. Si inftrumentum aliquo vitio laborat, ut anguli CAD, CAG non fint recti, fi diftantize AB, AF a?quales fuerint, erunt nihilominus puncta D, G xn libella? linea eadem, feu erit BD = FG, non tamen in linea libellae per oculum tranfeunte, & poterit per tale inftrumentum vexa 1 ferentia ftationum F, B inveniri, 250. COROLL- III* Si libella vxtxofa faciat angulum CAG acutum, ve* lut CAo, in diftantiis minoribus, vehit Ai, objedta infra homontem verum oculi A deprimit in K, utpote cum Ao fit fecans arcus AF; fed xn diftantiis majoribus objedta vifa funt fupra verum horizontem oculi ,• velut iplum punitum 0. Si notus fit error, ex tabula elevationum, quam lubjiciemus, inveniri poteft punitum m, live diftantia Am, in qua inftrumentum exhibet obje-etum vifum in vero horizonte oculL Dicatur Ani = x, fitquef error initru-menti tantus, ut in diftantia IGO orgyarum deprimatur objectum quantitate' <3, ac ponatur diftantia haec = D. Quaeratur elevatio libellae lupra horizon-' tem verum pro diftantia D, quae fit =■ h Quoniam error mftrumentr eft proportionalis diftantiae, habebitur fequens Analogia a^-D = x ? & quia elevationes libellae (Ccroli. IJ funt u£ quadrata diftantiarum y evit 1 i em R. RSderjjer, Geomet. P. IL N i)3 - gg Geomet. Pars II. Cap. H. Artic. VT. D*: b = X*: fjtn> compodtis rationibus rt x D : b = x ; I five axD =bx; hinc b : D = ^ x, id eft: elevatio debita libellae pro diftantia D, eft ad hanc diftantiam, ut eft error inftruinenti in diftantia eadem D ad diftantiam guae-fitam- Exempli caufa notum fit» inftrumentum deprimere objectum in diftantia 309 orgyarmn tribus digitis: huic diftantiae in tabula competit elevatio i dig. 0,36 linearum : erit D = 309, a = 3, & 12,36 lin.; proinde 12,36 lin.: 309 hex. = 36 lin.: X = Io6x,8, cui diftantiae in tabula competit pUis, quam II dig. 6,8 lin. cum tamen vi erroris deberent tantummodo convenire 10 dig. 3,7 lin. indicio fcilicet, totam hanc computationem non ef-fe nifi quandam approximationem, quod quidem nihil ad rem pertinet, quod pradens Problema in libellationis accurationem prorfus non influat. 231. Subjeciftemus hoc loco tabulam Picar/ii elevationum libelhe fupra horizontem verum oculi; at quia Picardus affumpfit radium Telluris fphsericae 31269 •2.97 hexapedarum Parifinarum; nos tuperius ( 170) eundem po-fuimus 3273000 ejusmodi hexapedarum, neceffario jam aliqua mutatio nobis facienda fuit: nam fi radius Picardi fit CP, a nobis alfumptus CQ; arcus apud illum PR v. g. = 300 hexapedis, apud nos fubftitui debet QS, qui fit ad PR ut CQ ad PC. Confequitur hinc etiam elevationes Picardi RT effe ad noftras in sequalibus diftantiis SV in eadem ratione radiorum CP ad CQ. Deinde reducendae fuiflent menfurae Parifinae ad Viennenfes. Denique tabula Picardi ad 4000 hexapedas produdla ingentia relinquit intervalla media, pro quibus non tam fimplici calculo elevationes competentes eruuntur. Quare putavimus ufui fore aptiorem, quam fubjungimus, usque ad 2000 hexapedas ; fed elevationibus alfumptis (quae dimidiis ab initio lineis crefcunt) aptavimus diftantias, ut quisque iilico videat, quid erroris fubeffe poflit, fi correctionem negligat. Deinde a 300 hexap. alTumpfimus incrementa elevationum I femper lineae usque ad 500 hexapedas; tum duarum linearum usque ad 600, inde ternarum usque ad 750; inde dimidii digiti usque ad 1060 hexapedas : poftea incrementa fumpfimus digitos fingulos usque ad diftantiam 1500 hexapedarum; denique dimidii pedis usque ad 2120 hexapedas. Addidimus etiam angulos ad centrum refpondentes diftantiis ; tum refradionem, & competentem huic correctionem, quam qutefivimus femper ®x hac Analogia: ut radius ad fecunda redudtus eft ad angulum reiradionis, ita eft diftant a ad magnitudinem fpatii in lineis, ac decimis earuncieni, quo objectum altius debito°attollitur. Haec tabula multo amplior eft Picardia-na, etfi non ad tam magnas diftantias fefe extendat, quod vix contingere arbitrati fimus, ut ultra 3 000 hexapedas fumantur. Unde pro majoribus etiam majora reliquimus intervalla, utpofe ufus rarioris. Dift. in hexap. Vien. Elevat. Angulus ad cen* trum. Refragio CorredioRefrad- 62,39 hexap- i lin. 1/,=9I3 0,,,3I26 0,055561111. 88524 1 2,704 0,3007 0,1 in 0,1667 108,1 ii 3,3i4 0,3682 124,8 2 3,826 0,4252 0,2222 i39’5 2i 4,278 c=4753 0,2778 252,8 3 4,686 0,5207 o,3333 165,1 3* 5,061 0,5624 0,3889 176,5 4 5,4H oy6oia o,4445 187,1 4i 5,739 0,6377 0,5000 197,3 5 6,050 0,6722 o,5556 207,0 5f 6,345 0,7050 0,6111 216,1 6 6627 0,7364 0,6667 225,0 6f 6,898 0,7664 0,7222 230=8 7 7=°77 0,7863 0,7601 241,7 7i 7,410 0,8233 o,8333 249,6 8 7=653 0,8503 c,8889 257'3 8i 7,888 0,8764 0,9444 264,7 9 8,117 0,9019 1,0000 272,0 9» 8,339 0,9266 1,056 279,0 10 8,556 0,9506 1,111 285,9 lOi 8,767 0,9741 1,167 292,6 11 9,000 1,000 1,226 299,2 llf 9=i75 1,019 1,278 305,7 1(/. 0/. 9=37» 1,041 1=333 318,1 i 4 7 i5",°6 i,,,674 499,2 2 8 I5,3i i,700 509,9 2 9 15,54 1,727 514,5 £ IO v 15,78 i,753 r 22,0 2 11 16,00 !,778 589,5 3 0 16,23 1,804 543,9 3 2 16,68 1,853 558,° 3 4 I7,n 1,901 57*,8 3 6 17,53 1,948 585,3 3 8 17,94 1,994 598,5 3 10 18,35 2,039 611,3 4 0 $8,74 2,083 630,1 4 3 i9,33 a,i47 648,4 4 6 19,88 2,209 666,1 4 9 *o,43 2,269 683,5 5 0 8o,57 2,328 700,4 5 3 21,47 2,386 716,9 5 6 21,98 2,443 732,9 5 9 22,47 2,497 748,7 6 0 22,96 2,551 779,3 6 6 23,89 a,655 808,7 7 0 24,80 s,755 837,1 7 6 25,67 2,852 2,946 864,5 8 0 26,51 891,2 8 6 27,32 3,036 917,0 9 0 28,11 3,124 942,2 9 6 28,89 3,209 966,6 10 0 29,64 3,293 99°,5 10 6 3°,37 3,374 1014,0 11 Q 31,09 3,454 1036,0 11 6 3i,78 3,53i 1059,0 1 pes 0 0 32,47 3,607 1102,0 1 1 0 33,79 3,754 J 144,0 1 2 0 35,o7 3,896 1184,o 1 3 0 36,39 4,033 j 223,0 1 4 a 37,49 4,165 1260,0 1 5 0 38,64 4,294 1297,0 I 6 0 39,76 4,418 1332,0 I 7 0 40,85 4,539 1367,0 1 8 0 41,91 4,657 1401,0 1 9 0 42,95 4,772 1434,0 1 10 9 43,96 4,885 Correctio Refrai lin. 3,667 3,778 3,889 4,000 4,322 4,445 4.667 4,889 5A11 5,334 5.667 6.000 6.333 6.667 7.000 7.334 7.667 7,998 8.667 9,333 10,000 10,670 ii. 0,00 lin. 1 0,65 1 i,34 1 2,00 1 2,64 1 3,34 I 4,00 1 534 1 6,67 1 8,00 1 9’33 1 10,66 2 0,00 2 i,33 2 2,66 2 4,°9 s 5,33 Difl Dift. in hexap. Vien. Elevat. d. L Angulus ad centrum. Refra&io Correctio lin. 1466,0 ipesii q 44",95 4",994 2 d. 6,66 i497>o 2 0 0 45,9! 5,102 2 8,00 1672,0 2 60 51,28 5’697 3 7,7o 1834,0 3 00 56,24 6,248 4 0,00 1981,0 3 60 I' o,74 6,749 4 8,00 2118,0 4 00 1 4,93 7*215 5 4,°® 232. Quod ad ufum hujus tabulae, notet Tiro, fi qu$rafur elevatio pr» diftantia quapiam, quae in tabula non extat, non debere fieri proportionem ititer numeros fimplices orgyarum, fed inter eorum quadrata, cum elevationes fint proxime ut quadrata diftantiarum. Quaeras v. g. quae elevatio competat diftantiae 325 orgyarum ? cum fit 318,11 • 330?2’ ^ 1 ^S".1 * 1 s lin. fiat 330,2a — 3i8»l2 : 325" = 1 lin': reperietur proxime I d. 1,4 lin., quae quantitas dat elevationem pro diftantia 325 hexapedarum aequalem I d. 1,4 lin. Quod pertinet ad refractionem, diximus eam efle proxime | anguli ad centrum, qui ex diftantia facile reperitur. CorreCtio fraCtioni competens invenitur ex Analogia ‘ ut radius in fecunda converfus ad refraCtio* nem; ita eft diftantia ad corveSionem faciendam. His generatim expofitis, quae in libellatione majore attendenda funt, videamus jam, quaenam apta in-ilrumenta adhiberi poflint §. 1. De Libellis, 233. Partes neceftariae libellae majoribus diftantiis fervitur$ funt tubus, ut fignorum notae diftingui accurate poffmt, & vel perpendicula, vel libella* accuratae Hydroftaticae, quibus tubis debita pofitio conciliatur. Reliquas partes accidentariae funt, & ufum magis, minusve commodum reddunt. Pro-pterea binas tantummodo libellas deferibemus, alteram Picat di perpendiculo inftru&am ; noftri R. P. Liesganig alteram libella Hydroftatica praeditam, omilfis omnibus iis, quae loco perpendiculi vel libellae Hjctroftaticae liquores quibuscunque in valis fe ad horizontem componentes requirunt, ut debitum litum obtineant, quod nempe earum ufus magis impeditus fit, fi generatim loquamur, quam ut commendari mereantur. 234- Picardi libella (Fig. 93 Tab. IX) exhibetur: tubus AE e folida lamina ad angulum reCtum alteri longiori LM conferruminatur, qui pofle-qJS" 9S rior inferne paullum ampliatur. Ad L fufpenditur perpendiculum L/,quod laxiore annulo (Fig. 94 Tab. IX) inferitur aciculae, cujus cufpis p^1- laminam L alteri D, in qua centrum notatum eft, apprimitur. Tubus AE in Fig. 94 diftantia foci lentis objeCtivse infertum fibi habet duplex quadrum EFGH, Lb. IX N 3 quod Fig. 95 quod diftSncftius (Fig. 95 Tab. IX) repraefentat Quadrum ABCD fuper-Tab. IX ne transmittit cochleolam E, in oppofito latere DC affixam habet laminam elafticam K; latera AD, BC intra crenas recipiunt aliud quadrum FGlH, in quo fila fe ad angulum reCtum interfecant. Haec fila fUnt fericum fim-plex, ut e folliculo bombycis evolvitur. Hoc interius quadrum per cochleam E deorfum premi;, & per expanlionem elateris K furtum impelli debet, donec Fig. 93 cum centro lentis objedtivae, quae firoili quadro (Fig. 93 Tab. IX) ABCD Tab. IXinclufa eft, & axe tubi filorum interfectio fit in eadem reda. Eidem tubi extremo, quod fila continet, inferitur tubulus minor HEIK cum lente oculari mobilis, ut cujusvis oculo accommodetur. Inferior pars tubi verticalis LM, per cujus axem filum tenue perpendiculum s portans tranflt, continet laminam orichalcinam nopq, intra cujus crenas altera argentea, cui pundtum ad r impreffum eft, a filo, cum inftrumentum debitum fitum habet, fecandum, in utramque partem paullum moveri, & ubi libuerit, firmari poteft. Tubo AE ex una, & ex altera parte tubi LM connexi funt bini arcus X , Y e metallo folido, quibus tota libella incumbit. Fulcrum a pictorum pluteo haud differt; foraminibus N, P inferuntur paxilli, arcus X, Y fuflentantes. Pedes anteriores plutei tamen ferramentis muniuntur, quae protrudi poflint, ut tota machina etiam in folo inaequabili & afpero firma confiftat. Quando fe-mel in debito litu collocata eft libella, firmatur pertica VT e parte poftica in terram demiffa. Magnitudo arbitraria eft. Picardus tubo AK tribuit tres, perpendiculari LM quatuor pedes. 235. Tradtabilior eft multo libella, quam fuperius laudatus Liesgani-Fig. 96 gius fabrefieri fecit, & quam (Fig. 96 Tab. IX) adumbrare conati fumus. Tatx IX AB eft tubus e lamina firma 5 pedes longus: prope utrumque extremum eft capia orichalcina, quae bina continet quadra KLON, <& MLOP; eodem modo prope extremum A prorfus fimilia continentur fua capfa DEHG, EHIF, Fig. 97quae feparatim exhibent (Fig. 97 & 98 Tab. IX); exterius verfus tubi extre-& 98 ma quadrum (Fig. 98) ABCD per latera AB, AD cochleas I, K admittit; Tab. IX^jg oppofita BC, CD laminas elafticas L, M annexas habent, quae interius quadrum EFGH adverfus cochleas oppofitas) impellunt, ut & in latera, & verticaliter moveri poffit. Infertum eft huic interiori quadro vitrum objecti-vum N. Huic prorfus aquale quadrum continet capfa prope extremum B. Fig. 9? Alterum quadrum reprefentat (Fig.. 97 Tab, IX), priori ceterum limile,ni-1 ab. IX fi quod loco vitri tenfa lint fila fe ad angulum rectum in centro fecantia; id Fi0-. 96 cont^guum tubi medium ex utraque parte fpeSat, & literis LOPM, Tab LXEHGD in (Fig. 96 Tab. IX) utrinque defignatur, quemadmodum alterum Fig. 9sf^.'§' 98 Tab. IX) quod vitrum continet, literis KLON, FEHI in eodem Tab. IX Schemate notatur. Eft itaque tubus duobus vitris objedtivis inftrudius, duo-busque reticulis in vitrorum utrinque focis politis. Tubulus brevis AC vitrum oculare continet, & utrique extremo tubi A & B congruit, ut utraque ex parte citra motum ullum tubi inferi poffit; & ne afperior fu perficies, dum ex altero extremo eximitur, inferiturve alteri, quidpiam officiat, panno feri-eo villsfo externe obdudius eit, quo limul vacillatio impeditur. Capfa? Capf$ KP, DI accurate aequales funt, & quadrata?, ut iis incumbent fuper tabula levigata adverti poflit (quanquam id poilea adhuc aliter examinetur ) num axis femper tabulae parallelus (it, fi fucceflive omnibus quatuor capfae cujusvis lateribus in iisdem tabulae pundtis impofitus, femper objectum in filorum interfectione exhibeat. Superiori tubi parti prope medium libella Hydroftatica S, qualem fu-perius (207) defcripfimus, nifi quod dioptris careat, infidit, pedunculis fuis Q, R per cochleas firmata. Ex adverfa libellae parte tubus conterrumina-tam laminam firmam TV habet, quae cum correfpondente, & e collo fulcri prominente ope cochlearum a, b conferitur. Huic connexus eft femicircu* lus cd dentatus, ut ope cochleae Fe, cujus helices dentes illius admittunt, tubus in plano verticali attolli, aut deprimi pofiit. Infra hunc femicirculam eft circulus horizontalis gft itidem dentatus, cui collum inftmmenti incumbit, & qui per cochleam alteram ki una cum tubo circumagi poteft motu horizontali. Nititur tota machina tribus firmis pedibus ro, 12,0, cui poftremo annexae funt cochleae cavae ferreae r, f, per quas folida ex eodem metallo pq fuo manubrio inftrudta transmittitur, ut facilius ad planum horizontale pedes adducantur. 336. Apparet ex hoc apparatu commoditas pro libellationibus majoribus. Ut in minoribus ufus expeditioris fit, tubus brevior fieri poteft; loco laminae TV" inftrui poterit capfa cava cylindrica, ut pedi, cui ufitatum alias Goniometricum committitur, aptetur: immo fi lubet, ipfi menfulae plano, quae dimenfionibus alias fervit, incumbere poteft. Verum haec cuivis cogitanti facile occurrunt. Nec quiequam incommodi enafcitur vel e duplice lente objedtiva, vel e duplice cruce filari: illa enim fenfibiliter claritatem non minuit, fed efficit tantummodo, ut focus lentis ocularis tantillo fiat brevior, fi ipfe objetiivi focus non fit longus; haec autem pofeit folum, ut fit accurate pofita, quod examen detegit. Remotiora fila videri nequeunt, & non plus lucis intercipiunt, quam tenues maculae, quae vitris paffim adhaerent. §. u. De Examine. 237. Examen duplex, quod Num. 2C9 & 212 pro dioptris minorum libellarum expofuimus, etiam tubis convenit, nifi quod in primo lumma altitudinum oculi (Fig. 99 Tab. X) AO -f- Bo excedi debeat a fumma altitudi-Fig. 99 num not ;rmn Bm, AM duplice elevatione debita diftantia» (lationum AB.Tab X Haec difiantia tanta effie debet, ut vix minor fit 309 hexapedis, & vel ex tabula fuperius allata, vel ex calculo nota effie debet elevatio libellae ei competens. Sit ex. cauf. AB = 309 hexapedis, AO =4 ped. 6 dig. Bo ^ 4 Ped-5 dig. Bm = 4 ped. 6 dig. 0,3 lin. AM *= 4 ped 7 dig. 0,3 lin. Erit AO ■+■ Bo 8 ped. 11 dig.; & AM + Bm =; 9 ped. 1 dig. 0,6 lin. differentia =s 2 dig. 0,6 lin. In tabula refpondet elevatio i dig. fere diftantia? 309 hexap. 104 Geomet. Pars II. Gap. II. Artic. VI. <^uare concluditur, fila in libella eflfe rite difpofita. At fi fumma altitudinum notarum prodiviffet 9 ped. 3 dig. 0,6 lin. error fuiffet in diflantia 309 hexap. unius digiti. Quare nota ex m uno digito deprimi debuilTet, & cruX filaris itidem ope cochleas, ut cum nota congrueret. Contrarium faciendum fuiffet, fi fumma altitudinum fuiffet debita minor. Caufa facile perfpicitur: nam cum diftantia AB jam fit major, verticales MA, mB haud amplius pro parallelis haberi poffunt, uti nec OM, om. Ofteudimus autem, quod, dum hae linea» parallelas funt, fummse altitudinum oculi, & notarum aequentur: eum igitur notae fint in linearum OM, om extremis, elevationis ratio habenda eft. 238- Si in altero examine ( 312 ) e medio loco D collineetur m IST & r; hae notae habent elevationem on, ON 1'upra oculi horizontem verum. Si modo transferatur libella in ftationem A, differentia altitudinis notae N & oculi O, nempe ON, transferenda quidem eft ex n in »; fed ex 0 in eandem perticam ulterius transferri debet om = elevationi debitae diftantiae AB , & tum in m collineandum, interfectione filorum vel deprefla , vel aliquantum fubla-ta, ut res pofcit. 239. Sed haec examina non fatis funt pro libella Picardi (& quacvn-que alia, qua? perpendiculo inftruitur), fed quemadmodum de Goniometri-co ( 213 ) diximus, tota machina invertenda eft, Sz perpendiculum in extre- Flg 93 mo capfae M ( Fig. 93 Tab. IX ) fufpendendum, ut filum fecet & punctum in Tab. IXlamina argentea prope r, & alterum ad L, cui eufpis aci cula? perpendiculum alias fuftentantis imminet. Si in utroque fitu filorum interfectio cum nota congruat,nullum in inftmmento erit vitium; fi vero diverfa requiratur notae altitudo pro diverfo fitu, ea in medio ponenda erit, Sz collineatione in eandem fadia, fila vel attollenda, vel deprimenda erunt ope cochlea?, donec eorum interfedtro note refpondeat. 240. Ut libella Liesganigiana commode examinetur, curetur imprimis, ut lamella? binse verticales (Fig- 96 Tab. IX) capfarum KN, FI, ceteris " av‘ ^^paullo majores, fint accurate aequales, & quadrate, imponatur tum tubus ita tabulae bene laevigate, ut v. g. latera capfarum NP, GI tabulam contingant, notatis in tabula cerulfa lineis contadtus, afpiciaturque verfus^ notam quampiam correfpondentem interfeddoni filorum. Convertatur dein tubus, ut fu-periora capfarum latera KM, DF easdem lineas tabula? contingant, dirigan-F r9hIX tUrgue tam vitrum N ( F‘g- 9$ Tab- IX)? quam fila (Fig. 97 Tab. IX ), ut 97 «.et- eadem nota in eorum interfectione appareat. Erunt centrum lentis, & filorum interfedtio m eadem refla, 241. Verum ut res adhuc feeurius inflituatur, paretur tubus non nihil Brevior, quam BA (Fig. 96 Tab. IX) , qui in pede firmari poffity & refciffa u0, A parte fuperiore, ut relinquatur femicylinder cavus, probe atteratur ejus cava fiiperfieies cum fuperfieie convexa tubi circa medium , ut haec intra illam ac-euratifiime recipiatur. Ubi tubus AB fem i cylindro commiffu» efi-7 iiTipofita libella Hydro!tatica QSR tribuatur ei fitus horizontalis, bulla medium o eumS occupante^ & collineetur in notam. Vertatur tum tubus,, ut latera capia- capfarum NP, GT, quae modo deorfum fpetSabant, fiant fuprema, & eodem modo in eandem notam collineetur, & fila adducantur ad eum locum , ut in utraque politione nota debite appareat. Hoc ubi peradtum elt; inferatur tubulus ocularis alteri extremo ad B, & eaedem collineationes converfo circa axem fuum tubo repetantur. Apparet hoc examen in re non differre a con-verlione illa , quam pro libella PicardiancL requifivimus, nili quod duplex fit, uti fila duplicia funt. Si hoc examen fubierit libella, tuto in ejus accuratione acqulefci poterit. §. I1L I>e Libellatione. 542. De ipfa libellatione pauca funi, quas moneamus. Si Ebellatio fimplex fit, velut (Fig. 89 Tab. VLlQ inter diltantias A, C, & ftatio inftru-Fig. 89 menti fit in medio B (ad quod fatis elt, 11 differentia duas, tresve hexapedas non multum excedat J nulla opus eft correCtione, feu ratione elevationis libellae apparentis fupra verum horizontem, feu ratione refractionis, cum utraque notarum altitudinem «qualiter afficiat, ut per fs manifeffum elt; verum fi alterutra diftantia BC, vel AB major fit notabiliter, ut difcrimen elevationis utrivis debite fit fenfibile, altitudines minuenda» funt duplice correctione, quam tabula offendit, & correctarum differentia dabit differentiam altitudinum qusefitam.- Exempli eaufa fi AB fit 206 hexap. BC 103 ; altitudo AM 7 ped. 2 dig. CN = 13 ped. 5 dig, 6 lin. Erunt fubtrahenda* ex AM 5,5 lin. ; ex CN vero 1,5 lin, ratione elevationis. Sed quia in diftantia 206 ( aut 207) hexap. refraCtio jam attollit objeCta angulo 0",7 (cui competunt 0,6 lineas) evidens eft, non debere ex altitudine apparente fubtrahi totam elevationem in tabula repertam, fed imminutam- corredticne refraCfionis; fci-licet ex AM auferri debere 5,5 0,6 lin. five 4,9 lin. y ex CN vero 1,5-— 0,1 lin., vel 1,4 lin. Unde fiet AM = 7 ped. 1 dig. 7,1 lin. CN = 12 p. 5 dig. 4,6 lin. horum differentia 5 ped. 3 dig. 9,5 lin- ed altitudo termini A fupra C, » . 245. Neque aliter res habef, in libellatione compofiti i fed correcta tan* «ummodo altitudines tum per elevationem libellas fupra verum horizontem ©culi, tum per refraciionem ( aut brevius correcte per differentiam elevationis & refractionis) adhibendae funt; cetera peraguntur ut in libellatione minore. Unicum dubium, quod fortaffis cuipiam fuboriri poffet, difeutiendum fupereft.. Tabula elevationum Num. 231 fupputata eft pro determinatis diftantiis ffationum, & pro radio Telluris conflante. Videtur autem impof-fibile effe, ut maneat eadem quantitas elevationis, fi ffationum altitudo mutetur; Sic (Fig. loo>Tab. X) fi e fiatione altiore A- collineetur in ftatio-Fig. iqc nem inferiorem B, elevatio eft CD; at fi e ftatione B collinearetur in altio- Tai), > rem A, ut obtineretur differentia libellarum verarum AC, BF, five AF, deberet ad AE adhuc addi EF, quae elevatio lineae libellae BF fpevlata tabula fL. P. Scheiffer, Gcomet. P. IL O- aequa- To6 Geomet. Paes II. Gap. H. Artic. VI. aqualia e Te deberet elevationi CD, quod tamen fieri nequit, cum fit CD ad EF, ut diflantia (lationis A a centro Telluris ad diflantiam (lationis B ab eodem. Idem ell de omnibus elevationibus KL, GH &c in (lationibus humilioribus, 244. At enim ad duo hoc loco advertendum e(l; imprimis duarum (lationum diflantia, quando libellatio adhibetur, tanta effe poteft folmnmo-do, ut altitudinum differentia, qute inter (lationes intercedit, non hexapedis, ied pedibus numeretur, iisque, cum maxima eft, paucis: (i enim major effet, non libellatione, fed altitudinum dimenuone Trigonometrica inveniri deberet. Tantilla autem diverfitas in diilantia a centro Telluris omnino in-fenfibilis ell inter binas quasque (lationes. Deinde verum quidem e(l, efTe elevationes CD, EF ut radios, quibus arcus fimiles AC, BF defcribuntur, fed quemadmodum altitudo AF refpedtu radii Telluris evanefcit, ita evane-fcit etiam difcrimen elevationum CD, EF. Sed fi non agatur de duabus (lationibus, quae fefe immediate excipiunt, & quarum altera notabiliter altior (it; verum de (lationibus, inter quas ingens terrarum tratius interjicitur, & altitudo v. g. AN habeat rationem fenfibilem refpedlu radii Telluris, tum vero, fi v. g. diflantia AC (it 1000 hexapedarum, & tequalis diflantia? alteri MO, arcus AC, MO non amplius erunt fimiles, fed angulus, quem metitur MO, erit notabiliter major angulo , quem metitur AC. Audio jam angulo etiam elevatio GH cre(cit, & ex oppofito imminuto angulo, eadem decre- 245. Ex his facile apparet, rem fefe habere ficut in redudtione triangulorum ad horizontem, in quo fumpta efl bafis , vel ad libellam maris , quar non adhibetur, nifi quando omnino notabilis eil differentia planorum horizontalium, ad qua? triangula ab initio reducuntur. Si talis cafus in libellatione emergeret, haud negem, alias fore elevationes in locis admodum editis, alias in fenfibiliter humilioribus, quando funt easdem (lationum diftan-tiae. Sit enim radius Telluris, pro cujus magnitudine conflrudta efl: tabula, = Ii, idem pro admodum differentibus a titudinibus fit = R + d; diftan-tia (lationum ubivis eadem — D , elevatio pro radio R fit = e. Juxta fun- D2 D* damentum, cui tabulae conflrudiio innititur, debet effe e; & = e_____ x ( crefcente enim divifore quotus decrefcere debet) habebitur hinc D’ = 2Rr = 2 (R -+- <() (^ — x)i vel Re = (R d) (? r) = R; — Rx -t- de ____ dx; ablato aequali Rr, & fada transpofitione fiet de = (R •+■ d) x, ex quo datur fequens Analogia: R -i- d : d = e : x ; radias Talaris in conjtruciione tabula adhibitus, auftus quantitate fenfibili d, eft ad ho: ipfion augmentum, ficut ejt elevatio e debita radio R pro dijlantia D, a' quantitatem x fubtrahhidam ex elevatione tabulari, ut habeatur elevatio eidem difiantice D competens in altitudine d. ARTICULUS VH. De Geodcefia, e°dasfiae nomine nil aliud hoc loco intelligimus, quam ufum Geo metiia?, &Trigonometria> in dimetiendis, & partiendis agris, pratis, aliisve terrae fpatiis, propter quae inter pofleflTores tam frequentes lites, & quaeiliones exoriuntur. Theoria fuiBciente imbutis non niii monita quaedam danda videntur in praxi obfervanda. Duplex Problema rem omnem ab-folvret. 247. Problema I. Spatium irregulare (Fig. 101 Tab. X), cujus li-F3g, 101 inites ABCDEFGH1KLMNOP, metiri. Tab. X Resol. Ante omnia reducantur limites ad redtilineos, velut pars ABC reducatur ad aBfr, ut fpatium dAB, quod abfcinditur, proxime compenfetur per fpatium BCA, quod adjicitur, id quod circitet dimeniis rebtis AB, BI?,/?C, ac fmu flexus AB, ubi maximus videtur, atque judicio oculi praeflatur. Eodem modo curvae PONM fubftitui poterit pONm. Tum fixis in a, b, m, p perticis cum fuis fignis, li opus fit, per Probi. XI Num. 149 metiendum erit fpatium quadrilaterum abmp , ejusque area inveftiganda. Eodem prorfus modo fpatio CDEIKLM fubflituetur retiilineum df i n, & fic deinceps &c area; omnium horum ad iantur, habebitur fpatium quaefitum. 248. Observa. Si in fpatio dimetiendo adfmt colles, aut valles, & magnitudo aeflimanda fit ratione frugum, qua; illic enafci poflunt, fumi debet fpatium in plano horizontali. Nam in plano inclinato ( Fig. 102 Tab. X ) Fig. 102 ABCD non plus arborum, vel tr tici effe potefl, quam in correfpondente ho- Tab. X rizontali AEh^D, cum fingul$ arbores, fingulae fpicae certam diflantiam horizontalem a fefe invicem habere debeant, quae in plano inclinato non eft major. Verum abftrahimus hic ab aliis circumftantiis, aut impedimentis fertilitatis, ponimusque humum in toto fpatio aequabilem. Id enim non pertinet ad Geodaefiam, fed ad rei rufticse peritos, decidere. 249. Problema II. Spatium ABCD (Fig. 103 & 104 Tab. X) par-Fig. 103 tiri. & 104 Casus L Quando fpatium ABCD (Fig. 103 Tab. X) proxime acce-Tab'X dit ad figuram trapezii. Contingit hoc frequenter in agris. Resol. Menfuretur imo area trapezii notis Trigonometri® artificiis, sdo. Accipiantur anguli BCD, ADC: quia merifura lateris CD nota eft, inveniri poteft area trianguli CED. $tw. Inveniatur etiam altitudo trianguli BEA fumpto latere AB pro bafi. f 410. Dividatur area trapezii ABCD in tot partes aequales, in quot dividenda eft. $to. Fiat ut area trianguli ABE , ad ejusdem aream una parte trapezii v. g. f (fi trapezium trifecandum fit) imminutam ; ita quadratum altitudinis trianguli ABE ad terminum quartum, cujus radix quadrata fubtrahatur ex altitudine trianguli ABE. 6to. In di- flantia refi^ui, quod modo {inventum eft, agatur ad AB parallela HG; erit fpatium BGHA una pars, in praefente exemplo tertia, trapezii. Eodem artificio reliqua divifio peragi poteft, modo ne pars una minor ede debeat, quam triangulum PCD, quod fit dudia CF ad AB parallela. Demon Aratio clara eft ex praecedentibus, cum triangula fimilia BEA, GEH fint ut quadrata altitudinum. Si pars divifionis minor foret dicto triangulo. Problema folveretur ut in cafu fequente. Casus II. Quando area dividenda non eft trapezium , vel ob caufam modo expofitam divifio trapezii praecedente methodo fieri nequit. Sit divi-Fig. ioi denda area ( Fig. 104 Tab. X) ABCD in tres partes aequales. Pofitis per-Tab. X eicis in E, F, G, H dividatur primo asftimatione oculi, & menfurentur fingu-la fpatia AEFB, FEGH, HGCD; vix continget, ut repedantur aequales: hinc fecundo videatur, quantum una ex extremis partibus, GHDC excedat (vel deficiat) unam tertiam totius. Menfuretur GH, & excetTus (vel defe- 2m ' 2,m iC 3.C 5C 2Si’ 2m’ 2?H , C—* , con-5, venietur ad 5C- - hlbet autem £ cofinum = - I- Eodem modo fi m ejusque cofinus = Apparet autem hunc hac hypothefi m -- 7» ultimus fit ax 5 2 7C terminus — fit zm terminum non e ile ultimum, cum in ^ + = yC 7 14 258. Lemma IIL Si A = C, ultimus arcus efi peripheria C, & ejus cofinus == -4- 1, quidquid fit m, ut hoc ofiendatur, tantum opus efi G pro A R. P. Ctorafi. P. IX P in in ultimo termino = C. Geomet. Pars II. Caput IIL 11—fubftituere; nam abit in C -4- mC — c A A -4- C A •+■ 2C 259. Lemma IV. Arcus —- r A ■4- C ® 1) C m' m * m " m Fig. 107obtinentur, ft arcus datus AL = A (Fig-_ 107 Tab. X) dividatur per m , in Tab. XpUn6tis B, E, F, G &c 5z initio fumpto in primo pimdto divifionis B dividatur 6ota peripheria per m in pundtis H, I, K, M &c. Ostenditur. Sit v. g. w ^ 5’ er^ AB = —, & quia B^I — tC, ent BI = |C, BK = i-C, BM = fC igitur AB = >A , ABH = —-—; ABHI: neratim AB = T/i. AHIK = ABH = A-i-jC 5 \ -4- C , AHIM = A . ABI = — A -{- 4C __ . +■ 21’ 5 Ergo ga- m ' m 260. Theorema. Si e quovis punfto diametri V ad prasdi&a divifio-num puncta B, H, I, K, M, ducantur reto, VB, VH, VI &c, & fmt cofrnus arcuum AB, AH, AI &c a, b, c, d &c, diftantia vero pundti V a centro C — x, radius circuli s= I, erit VB2 X VH’ XVP X V IO x VM2 &c^(l- 28X + XX) (1 + 2bx H- XX ) (1 + 2CX + XX) ( i + zdx + xx) vI — 2fx + XX), ita ut fecundus terminus in hifce $quat,ombi,s habeat fignum , quando cofmusfunt pofuivi; & fignum -F, dum hi funu negativi, juxta Num. 6. Demonst. Eft enim BV2 = BP1 + PV’ = (cum PC = a, VC = x) RC2 — PC1 -F f PC — VC/ = 1 + (« — -v)a = 1 s1 h- fl* - u* + X == I " 2« + xx. Pariter VH2 = HQ’ + VQ2 = CH’ - rn- -i- f vr -4- COY = 1 —- Z72 -4- + x)2 =£ 1 -h 2frx -5- x\ Eodem CQ -4- (\ L + LVCx + Xx, VK2 + 2dx + xx, VM2 = I modo patet, effe VB= x vH= x yp X Wi2 X VM2 &c = (1 — 2,tx +xf) (t + *’+«) (1 +1« + »0 c1 -hfJi(1 - &C. Q. E. D. z \ T TT a6l CCROLL. I. Sim^arim-aus a^cofmu, (z5*)c se2 — 1, &c fiat c — rT = O, 2C i r 1 -4- XX • (ut iequationes fiant generales) . obtineantur fequentes tequationes 1 — 2r X -4- XX 2X t — 2C11 Xa + X4 = o 2CXV X4 -4- X8 ^ 2fV Xs + X‘ 2XX X5 + X6 2CVI X6 + XI! 5= O &C. Ge-" GeneraH/Bme exprimetur quaelibet aequatio cofmus arcus multipli, fi f1, c1', cT11 &c ponatur = t, quando eft pofitivus & — t, quando eft negativus; ac X i ^ ^ i -i pro exponentibus I, 2, 3 &c fubllituatur m; unde fiet-------------=: O. 362. Coroll. IL Quoniam (254) aequatio ad cofinum arcus multipli habere debet pro radicibus cofinus arcuum —, —&c id r m m m eft, cofinus ( 260) arcuum AB, AH, AI &c five a, — b, — c &c; radices ae- . I — 2CJ X -b XX 1 — 2fn Xs -b X4 quationum-------------------= o-----------^7--------= O &c efle debent — b, — c, adeoque earum divifores erunt (^quia pofuimus loco cofinus arcus „ J . I H-XXX I-hXX I “5- XX 1-bXX limpli determinati c generaliter----— )-------------a,-------------------- 2 X 2X 2X 2X , p r 1---------2(1X4-XX I 4- 2bx-hXX I 4- 2CX 4-XX n ^ 4- c oie, teu --------------.-------------,-----------------&c. Reoraeien- 2X 2X 7 2X 1 I — 2tXm ~i~m tat autem quamlibet aequationem ad cofinum arcus multipli------------------- =_o; ergo evidens eft, hujus divifores fore eosdem, & propterea femper erit I •+• 2txm 4- X5” ( I — 2ax 4- XX) (14- 2bx 4- XX) (I 4- 2CX4-XX) 2Xm 2X 2X 2X ( I 4- sdx 4- xx) ( I — 2,fx 4- x* ) „ , . 2x-----------------T7------&c, donec nat productum Qivnorum x aequale x • tum vero utroque membro dndto in 2Xm, manet 1 4- 2tx’" 4- x7l> ( 1 -h XX) ^ 1 4- %bx -b xx) ( 1 -f- 2CX -b XX) &c. 263. Coroll. III. In Theoremate aiTumpfimus 1 — AC, x = VC, adeoque cum habuerimus VB2 X VIT X VP.&e = (1 — zax 4- xx) x ( I 4- 2DX 4- xx) ( 1 4- 2CX-bxx) &c, erit quoque AC5"1 ^ 2t X VC 4- VC2"1 = VB= x VH2 x VP x VIV &c. 264. Coroll. IV. Quando arcus datus A sequatur integra? periphe-rioe, fit t =s= 4- I; & aequatio l V 2Um 4- xs” abit in t — 2Xm 4- x21”, cujus ra-dix- quadrata xm — 5 — I/7! — 2ax4-xx |/l 4- zbx-hxx |/i 4- 2'CX4- x.r &c; at fi A aequalis 't femiperipheriae, t sequatur — I, & aequatio mutatur in x”! -b 1 =; |/j -f- zax 4- xx |/A 4- 2^x 4- xx |Zi 4- 2CX 4- xx &fubftituantur in x/ (1— aax s- xx) t/fj -t-ahx-h xx ) &c fiet(i— i^SiSS1^***" •Yx) (l "d” 075i7°3bo r-h.vx ) f i -t- 1.9318516 X -1- XX) ( I — 0,5176380 X -i- xx) = X8 -- X -f. I. farn quzelibet aquatio quadratica dat duas radices de x; prima dat x = 0,9659258 ± |/—-”0^0672375988943^ 5 tertIa x == ~ 0,9659258 ± $/^06723759889436;fecunda x =-0,258819° ± 2725239cO> quarta x = 0,2588190 ex quo apparet, om- r-s octo radices effe imaginarias. Sed quoniam omnes diviflmus per «/6, u; habeantur" radices pro aequatione data x8 - 6x4 + 36 , fmgulae rurfus per 1/6 multiplicandae funt. Verum advertendum, quod quemadmodum f,-L & cofmusLtum p«r approximstmucm habentor, ita eliam hm rad.ce, non accuratae, fed veris propinquae fmt. . . . 267 CoaoLL I Quia termmus ± 2tx” eft medius totius squationis, ut is habeatur pro radio redudto ad unitatem, fatis eft, fi dividatur per radicem fecundam termini ultimi, in noftro exemplo per 6. 268- CoROLL. II. Si fuiffet tequatio data x -i- 6x4 -f- 36 -- o? t3-ta eadem reductione ad x8 -;•» x: l = G fuiffet t = & debuiiiet p«o - fumi arcus 120% cujus cofinus = — x- 269. Problema IV. Invenire radices mquaftonis x4 + h4 = O. ^ ResoL. Quia x4 4- b' eft radix fecunda aequationis X8 -i- sPx4-h & fecundus terminus habet fignum -i”, fi h I, fit x -t- 2X I . 4 evi- evidens ef}, arcum A debere ef^3 femiperiphariam, ob at = 2, adeo que t ~ —- I. Dividatur itaque femiperipheria (quia « = 4/ in 4 partes aequales, erit primus arcus =ss 45^' =5 -——— = 4^v -h gov = ijj”, cujus cofi- nus eft iterum funis arcus 451'; A —f- fmus eft itidem fmus arcus 45% uti etiam quarti = 45t + iSov = 2251', cujus co-A ■4- gfl 45v 4- 270* quare omnes hi cofinus poffunt per radicalia exprimi, nempe 4- fi fubftituantur in |/ 1 — zax 4- rx’ =” 315 I_____1^ V2 ’ V2’ $Zi4- 2bx-t- xx |/l 4- 2cx-f- xx |//i 4- «Zx 4- XX det x"4-b*— |'-/fa 4- bx \/2 4- Xx X |,/Z)2 -t- bx y/2 4* xx X |/6’ qu$ 2&X ^2 X /;x \/2 4- xx, &fi fiat afiualis multiplicatio habebitur b ' bsx \J2 4- Ifx" ~ 4- bx3 y72 4- X4 — h* 4" X4. 4- Z<3^ V3 -+• 6’x2 — 6x3 ^/s Prima aequatio ( fiunt enim (Z>= —• bx ^2 4- xx ) ( 6= 4- bx \^s 4* j|_) dat b ± b\/ — i — b + — i . x = —:—----------:—: fecunda x =------------7—-------• \/ 2 \A 270. Ex hoc exemplo apparet, quod radices accuratae repenantur, quan- do cofinus poffunt Algebraiee exprimi. Jam vero quotiescunque polygonum aliquod regulare circulo Geometrice infcribi poteft, offendimus in Geometria C439J latera eorum pofie Algebraice, afiumpto radio = 1, exprimi, & habita ejusmodi expreifione lateris, etiam cofinus ita poffunt exhiberi. Ope hujus obfervationis inveniri poffunt radices unitatis ad tertiam, quartam, quintam, fextam &c potentiam elevatae, pofitd I = X!, I — x1, 1 = x' &c & inde formatis aequationibus x3 — 1 =: o, x4 —- I = Os x$ ~7 1. 0 <*c' Ufus porro harum unitatis radicum eft in Algebra, ut reperta femel una radice aequationis methodo Cardanica, etiam reliqua? obtineantur. In hunc finem fubjungam fequens. 271. Problema IV. Invenire radicem — unitatis, ponto m, 3, 4, 5, 6, 15 &c feu tali, ut polygonum tot laterum, quot w habet unitates, circulo Geometrice infcribi poffit. Re sol. Ut rem exemplo particulari offendamus, petantur tres radices cubicae, five fit m = 3. Sumatur aequatio x2 •—• I == o, qus eft radix de x6 —- 2x3 4- 1= 0. Quia 2t = 2, erit t = I* Unde arcus datus eft integra peripheria, quae proinde in 3 partes aequales dividenda eft, bvc infcri-bendum erit triangulum aeqvilaterum. cujus angulus ad centrum = 120v, & cofinum habet — i; alter arcus, additis rurfus 120% fit 240T', & habet eundem cofmum — -b ; tertius eft tota peripheria, cujus cofinus = 4- l ; quare P 3 aequa- aequatio fit x3 — i = (i + x + — zx Hh xx; pars I + x -i- XX, •—, j 4-, i/-- 3 ^___________ dat radices x =----=^--------; altera pars |/i — 2* -+- x* dat x = i; unde tres radices funt, unica realis, reliquae duae imaginaris. 272. Eodem modo fi petantur radices quartae, infcriptum intelligatur circulo quadratum, & fumatur aequatio X4— 1=0, erunt primi arcus colinus = O, fecundi s= — 1, tertii = o, quarti = *+■ I, & fient |/j -t-xx J/7! -H ix -+- xX |/1 -h xx |/i — 2X -+- xx, prima & tertia dat X = 7" — 1 > fecunda X = — I, quarta X = -r I- Pro radicibus quintis, aequatio X5 — I=Q. A . „ .... 1/5 4 ’ accipiatur, erit — — 72'“, cujus colinus per N. 444 &445 Geom A -t- C . I/3 ■+■ arcus---------= 144'’, cujus coimus----------7- m zy 2 A + sC , idemque eft arcus tertii ; quarti colinus idem cum cofinu primi; ultimi denique colinus; Eodem prorfus modo reperientur radices, adhibitis aliis polygonis, ut vel ex his fatis liquet. 273. Coroll. Hinc etiam peti potefl methodus ("quamvis etiam alias sr mere Algebraica? j) inveniendi faCtores rationales asquationum hujus formx x”” + ztxm -4-1=0, vel x“ ± I = 0, ubi I repraefentare potefl: quantitatem quamlibet ad potentiam 2111, vel m elevatam, Ut exemplum demus pofterioris, fumamus x:! — I = o, habuimus x4 1 = j/i xx X |/i -i- 2X "-t- Tx X XX X |/i — 2X -4- XX; eft autem |/i + xx X — (1 + xx); &|/i-t-2x-4-xxx[/i — 2x4- xx = |/i — 2x?-hx4 — X2 — V;'quare fecundum membrum fit ( 1 -4- xx; (x2 — 1), qui funt latiores alterius membri x4 — 1. Eodem modo in Problemate III fecundum aquationis membrum exhibet fati ores Trinomios primi, qui quidem in eo cafu rationales non funt, quales fgpius obtineri poliunt, uti li foret aquatio x6 • 2.vj -r- I = o, alterum membrum per colinus obtentum fuilfet ( I —■ 2X H-xx) ( I -f-x-i-xx) (l -i- x -t- xx), quemadmodum apparet e Problemate praecedente. 274- Ceterum ufum limium & colinuum &c in Algebra ampliffimum ef-fe quisque facile perfpiciet, cum anguli per eos dari poilinf, & propterea fpe-tientur velut ali® quantdates data;, ex quibus incognitae reperiuntur. Monitos inteiim velim Tmones, ne exifliment, omnes a nobis formulas, quae in Algebra ufum habent, allatas e ile. Pollent fine plurima? aliae ex iis, quas expofuimus, erui. Exemplo fit formula pro tangente fummae vel d*1-2' rentiae angulorum A & B. Habuimus Num. 52 Formul. VII tang- A = /n. fitl. A . . . „ , /in.(A'±B')n , ,,TTrrT z> ; ideoque etiam taiig. ( A + B ) = autem ( ^ “*• ® N fm. (A + B) fm. Axcof.B*- fm. B x cof. A XIX ) —7^Vr-ri-frT = '—7—»--■—————-fi r----->. [am vero manet y fOjC (A + B) fo/. A x cof. B + fin. A X fm.B idem valor fractionis, fi fingulas tam numeratoris, quam denominatoris partes per eandem quantitatem dividas; unde licebit etiam ponere tang. (A ^ B) = fw. Axcof.B fin. B X cof A Atqui primus numeratoris terminus re- Deno- cof A X cof. B ~ cof A X cof.B cof A x cof B _ fin. A X fin. B* cof A x cof. B cof. A X cof B fin. A fin. B n ducitur ad fiffi == tanS- A; fecundus ad + — Z tan&' minatoris primus terminus reducitur ad unitatem ; alter vero ad h- tong. tang. A * tang. B A X tang. B. Quare habetur tog. ( A ± B ) = = tang. A Z tang. B R2 + tang. A x tang. B" 275. Ope Formularum XXXII & XXXIII licet reperire formulas potentiarum finus & cofinus alicujus anguli. Etenim fi ponamus A B, nt fin. A x fin. B =fin* A = -i cof. (A — A) — | cof 2A = i — iro/. 2A (6). Ducatur jam fin.2 A in fin. A, habebitur^.3 A — gfin. A A X cof 2 A. In fecundo termino fecundi aequationis membri adhibeatur jam valor e Formula XXXIII, fiet — i (i fin. (A-t-2A) + k fin- (A —fAZ • — t/»z- 3A — — A. Porro fi arcus A accipiatur negative, & ut mi- nor femicirculo, facile intelligitur ejus finum efle negativum, manente co 1-pofitivo, fi fuit arcus quadrante minor; negativo vero, fi fuerit qua rante major. Hac animadverfione adhibita; fecundus hic terminus fit-— % fin.fi + 4/?il A; unde fi conjungatur terminus primus, habebitur fin. X.'7,Z' A — jfin. 3 A. Simili modo e Formula XXXV fi ponatur A » ootme- 3A + l cof ~ A. Et fi ponatur A < 90", ejus cofinus eft pofitivus, con-fequenter idem cum cofinu ■+• A, ut proinde habeatur coj. A — 4 C0J. A + qqJ* ^ Aquatio >.$ A = i-Vi». A — 47?«. 3A fi ducatur in fin. A, dat /?«.4 A — tT221'5 a — 4 /?«. A X fin. 3A. Si modo valor fin.2 A fuperius repertus adhibeatur, & e Formula XXXII pro fin. A X fin. 3 A adhibeantur cofinus, polito B = 3A, obtinetur fin.* A — i —■ \ cof. nA — 4 cof — 2 A-i-i fy/'4A» aut pofito 2A ■< 90'', -f- — 4 cof.2A^-jcof 4A. Eodem prorfus modo du-da aquatione co/3 A \ cof. A -4-\ cof 3A, in co/A, eruitur cof* A = 4. -4-4 cof aA Hh 4 cof 4A. Et fic porro reliquae potentia inveniri poterunt. 276. Ufus 276. Ufus harum Formularum egregius evt, fi quando radicale quod" Toiam, uti \/l — xx, in quo I denotat finmn totum, x vero finutn vel coii- ^ X2 Jt* o num alicuius anguli, deducendum efl: in feriem I —■ ™ ^ &c 5 In qua loco x% x4 &C potentiae finus, aut cofinus expolita methodo repertae lu^* fiituuntur. In praefente cafu fi x clenotet.finum alicujus anguli v, fiet |Zi ’ = i •— i + i ro/ su — + tt cof. 2V — T'T to;C 4U — ttv + rA c°J- &V — T-f-y cof. 4"J H" TTT cof- &C S= Itt + yrj- cof- sy . TT■ I De inftrumentis, feu variis libellis. ... fi’ia'. S- II- De examine libellse. - - * “ 87 III. De modo libellandi. 94 SECTIO II De libellatione maiore. - ~ -96 I. De libellis. . . - - _ lOI §■ II. De Examine. - - - - - 103 $. III. De libellatione. - - - - - 105 Articulus VII. De Geodajfia. ... - 107 CAPUT IIT. Be non nullis applicationibus Algebrae, & ufu finuum ac cofinuum in eadem. . „ - - 109 I Corrigenda in Analyfeos Parte l t» t- i, m .m — i Pag. 72 Jin- psnult. adde —^^ • ti” cd, Pag. eadem in columna 2 lin, 5 loco a’*-3 e3 lege a"1-3 csr In ipfis Erratis. Pag. 205 lin. 21 lege lin. 22. Pag. 248 Hn. ult. r = 2 4- 26 lege lin. penult. r == 2 -b zb . > ,. 24-36 In Geometrice Parte I. In ipjis Erratis. Pag. 43 lin. 4 - - FBI! tege FBH bifeftus Pag. 8o lin. 6 lege Hn. 7. FBI b i fetius. /f/j" addenda, Errata Corrige. Piig. Li«. 108 - 10 - radium - diametrum 110 - 39 - quadrata RJ/^P . tertia |/|PR: 114 antepen. triangulum 2 I 3 + 2I/5 retiangulum 2 1 I25 * 16 * 5_ 2v'5 4 20— 8^5 5~V5~4 I/3 + 2V5 1/3 + V'5 A/ 2/5 — 2V5 21/5 — V'5 10 5l/3“+V5 5l/3 + V5 41/5 - 2 v'5 4l/5 — V5 _3 + j/5 20 — 4 V5 7 < • 5 v 1/3 + 2v/5 ^ - f x|Z VS 2V5 5 v j/3_-P V'5 »8 K5 — V5 Vg 4- 2y/5 2l/l 0—4^75 ___3 -p 2V5 J4h 2^/10 126 - 24 —2v/5XV2 1/5 —2V/5 3 + 2k5 V5_ -4V5 3 +J/5 24XK5 — V5 x v/2 1/5—2V5 3 + 1/5 (5 — V5) V2 kZ—sVsl/iO Pag. Lin. Errata Corrige 5 __3_+Jk5__ 2 A (5 —V5)\/2 4al?cc 133 - 22------x 4 5 x_____3 ^|/5_____ 2 \/(7~-3 V5) Vio 4ai> 4- cc 135 ' 5 ' t>afm - - bafi In Geometrice Parte II. Errata Corrige Pag. Lm, 13 - 24 * IC ID 20 - ult. fm. A X Jin. B Jin. Axcof.B cof. A5 Jin A2 cof.2 A Jin.2 A 21 ' 2 R ~ R R R g - quam ufaris quam ut utaris 2,3 - 6 - Bf - C/ 24 - 28 - earundem - - eorundem 28 - 28 - AB — BC ' AB —i AC 29 ' 7 • 4Sf 49// 37 - 14 - = 120 dig. (= 120 dig.) 41 - 20 in margine Fig. 184X3b. XIII Fig. 27 Tab. II 42 - 4 - vel d - - - vel ut d - - 6 - AgF AGF 44 - 36 ' OCG OCL 48 - 19 - fixis AB fixis A, B 49 - 20 - fit, partes fit, ut partes 51 - 3 - debita debite - - 13 - EF —DC EFDC 54 - 37 - & ut 55 - 14 - delinationes delineationes 57 * 7 - Fig- 45 N' 1 Fig. 46 JN. 1 - - 9 - FED FEB - - 21 - CD CE 36 - ACD - • ADC 58 - 15 - ECH - , - EGH 21 - «CA - «AC - - 33 " DCH DfH 59 -15-ED - EB - - 16 - normalis normali 60 - 12 - GB GC Pag. Errata Lin. Corrige 65 - 1 - EB —« 1 ped. EB = I ped. 14 - BAC — sCA BAC +flCA 7° ‘ j 8 - in L in A 23 - LCB - LBD 72 - penult. EB EF 73 - 6 - numero arcus numero pedum arcus 29» 3°» 31» 32 • r I 74 - 16 - ut latus latus 76 - 32 - AGC AGfr 77 - 39 - EA E . A 78 - 3 - FB - FE 1 . — 5 120 120 79 ' 11 - 8y 12-37^52' * . - 53"» 8' - 36% 52' 12 & 13 - i8v» 5^ - iS", 26' 80 - 6 - (vel b fit aequalis) (vel b) fit aequalis’1 31:18 ’, 56' 18", a6' 81 - 8 & 17 - xK . ... kS - » fclC - kJ1 83 -85 -87 " 9i -101 -103 ' ne -112 =■ T4 - iufegrorum 13 - partiamur 12 - repleta 31 - AB 17 - fra&ioni 36 - AB 13 - 4CC3 1 - integrorum partiemur repleto A, B refra&ioni A, B 4C3 c"t3 In liguris ad Partem II Geometria. In Fig. 28 N. 3 Tab. II ubi retia KN occurrit arcui interiori GdA, fcri-bendum efl M. In Fig. 29 Tab. III in arcu BMA loco H ponatur A. In Fig. 34 Tab. III in interfetiione retiarum^B, rd ponatur O. In Fig. 64 Tab. VI in retia AB produtia fupra T fcribatur t. In Fig- 65 Tab. VI conjungantur A & B retia. ' . V ; i V i! v :! V- I ' ■ * i. , ■ • • . \ >•:. ,..r ■:, t ■ • ,■ ■ ' • - , •• ' f7 ^ T* : .i '■ - ■ ■ • ■ * •< : 1 :■ ■:¥ -v"- ». .. . .V 9 i:U • 'V ’ ■ „ ., ■. ?: ■ : . . ■ .fw ■ -• a,'" r :, i v>',: / . '™ " ', ^ V •<■ -,> t' V ' > -i, 1 •» :• j 6-f»::: 't'r' Mk h : '■ 1 i - 4. SCHERFFER K. Inst. i t-uit- i onutm 42227 019744464 ' W* 3 H CJBIS5 3 ■.■ >■ *;'. V/ .''• i % m M9 ' . '' 6'. 0 w *■. v W 7’1 ■ ,V 14^ it5f r-t-