L e h r l' u ch der für die D bcr - G y rn n n sic n. Ven I^I. Fran; Močnik, K. K ^>chusenln Fünfte vermehrte Auslage. - —M» -—-- - - Wien. Druck und Derlei, uon Curl Krrold's Sehn. 1857. Kl Vorrede zur ersten Auflage. Damit die Mathematik zu einem wahrhaft bildenden Elemente unter den Unterrichtszweigen des Obergymnasiums werde, müssen nicht nur die Lehren derselben mit wissen¬ schaftlicher Strenge behandelt, sondern auch die klar erfaßten Sätze an Beispielen durchgeübt und auf zweckmäßig gewählte Aufgaben angeweudet werden. Nur eine logische, lichtvolle Anordnung, strenge Beweisführung und unausgesetzte Ein¬ übung und Anwendung des Bewiesenen sind geeignet, die mathematischen Wahrheiten zu einem lebendigen und bleiben¬ den Eigenthume des Schülers zu machen, und den jugend¬ lichen Geist zu selbstthätiger Forschung anzuregen und zu befähigen. IV Dieß sind die Grundsätze, von denen ich bei der Bear¬ beitung des vorliegenden Lehrbuchs der Algebra geleitet wurde. Was erstens die Anordnung des Lehrstoffes anbelangt, so ist dieselbe in dem ersten Theile, welcher von den arith¬ metischen Operazionen handelt, durch die Natur des Gegen¬ standes selbst gegeben. Jnsoserne die zusammensetzenden Rech¬ nungsarten als Addizion, Multiplikazion und Potenzerhe¬ bung, und ihre Gegensätze, die auflösenden Operazionen als Subtrakzion, Division, Wurzelausziehung und Logarithmen- bestimmung auftreten, so sind hiedurch die Gruppen bezeich¬ net, in welchen alle den arithmetischen Kalkül betreffenden Lehren einzureihen sind. Die Lehre von den Brüchen, so wie jene über die Verhältnisse und Proporzionen als selbst¬ ständige Theile aufzusühren, wie dieses in vielen Lehrbüchern der Algebra geschieht, erscheint nicht nothwendig; vielmehr wird den Anforderungen einer logischen Anordnung besser entsprochen, wenn man dieselben als Folgelehren der Division darstellt, da diese in der Anwendung als Theilung oder Ver¬ gleichung austritt, und in der ersteren Beziehung zur Ent¬ stehung der Brüche, in der letzteren zur Betrachtung der Verhältnisse Anlaß gibt. Daß die Theorie der Gleichungen jener der Reihen vorangehe, ist ebenfalls eine Forderung des wissenschaftlichen Zusammenhanges. Nicht so entschieden ist die Stellung, welche man der Kombinazionslehre unter den übrigen Theilen der Algebra anzuweisen hat; sie müßte je- v denfalls der Theorie der Gleichungen vorangeschickt werden, wenn in dieser die allgemeinen Gesetze der höhern Gleichun¬ gen darzustellen wären; insofern man sich aber darin auf die linearen und quadratischen Gleichungen beschränkt, kann die Kombinazionslehre, unbeschadet der systematischen Ordnung, füglich den Schlußstein des algebraischen Unterrichtes bilden. In diesen letzten Abschnitt wurden, um einem von mehreren Professoren der Mathematik geäußerten Wunsche zu entspre¬ chen, auch die Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus¬ genommen. Bezüglich der Begründung der Lehrsätze war ich be¬ müht, die Beweise so einfach als möglich darzustellen, ohne dadurch der wissenschaftlichen Strenge zu vergeben. Auch enthält das Werk eine reichhaltige Sammlung von Beispielen und Aufgaben, deren Durchführung theils voll¬ ständig angegeben, theils dem eigenen Fleiße des Schülers überlassen wird. Zum Schluffe fühle ich mich verpflichtet, noch eine Be¬ merkung beizusetzen. Sollten dieses und meine übrigen Lehr¬ bücher zur Hebung des mathematischen Unterrichtes auf un¬ seren Gymnasien förderlich beitragen, so gebührt das Ver¬ dienst meinem hochverehrten Lehrer in der Mathematik, drm leider zu früh Hingeschiedenen Professor Or. L. C. Schulz von Straßnitzki, unter dessen liebevoller und aufmun- VI ternder Leitung ich das Glück hatte, in das mathematische Studium eingesührt zu werden, und dessen Werke es vorzüg¬ lich sind, die ich bei der Bearbeitung meiner Lehrbücher be¬ nützt habe. Olmütz, im Jänner 1850. Der Verfasser. Vorwort zur fünften Auflage. Die vorliegende mit der vierten gleichlautende Auflage unterscheidet sich von den früheren nur durch einige geringere Verbesserungen und durch die Aufnahme einer größeren An¬ zahl von Uebungsaufgaben. Bedeutendere Veränderungen sind nur in der Rechnung mit imaginären Größen und in der Lehre von den unbestimmten Gleichungen vorgenommen worden. Möge das Werk auch in dieser neuen Auflage dieselbe nachsichtsvolle Aufnahme finden, die ihm bisher in so freund¬ licher Weise zu Theil wurde. Laibach, im Dezember 1856. Der Verfasser. ' ' - . ' '. . ' ----jttl^-cL 'li> Inhalts-Berzeichniß. Seite Einleitung .. ......... . - 1 Erster Abschnitt. Die Lehre von den arithmetischen Ohcrazioncn. I. Von den algebraisch en Ausdrücken im Allgemeinen . 9 II. Vom Addiren algebraischer Größen. 14 III. Nom Subtrahiren algebraischer Größen. 15 IV. Nom Mu ltipliziren algebraischer Größen. 17 V. Vom Dividiren algebraischer Große». 23 Eigenschaften des Produktes und des Quozienten . . . 31 VI. Fvlgelehren der Division. 33 1. Von der Dheilbarkeit der Zahlen. — o) Allgemeine Sähe. 34 b) Kennzeichen der Thcilbarkeit bei besonder» Zahlen . . 36 v) Zerlegung in Faktoren. 37 8 s) Aufgaben mit Beifügung des Ansatzes — b) Aufgaben zur Selbstübung im Ansätze 172 III. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades 174 1. Auflösung in ganzen Zahlen 175 2. Auflösung in positiven Zahlen 184 3. Auflösung in ganzen und positiven Zahlen 184 IV. Quadratische Gleichungen 189 1. Gleichungen mit einer Unbekannten Beziehungen zwischen Len bekannten Großen einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln 2. Gleichungen mit mehreren Unbekannten 197 3. Aufgabe» über die quadratischen Gleichungen 198 Aufgaben mit Beifügung des Ansatzes — b) Aufgaben zur Selbstübung im Ansätze 20l V. Auflösung einiger höher» Gleichungen 202 1. Reine höhere Gleichungen — 2. Höhere Gleichungen, welche sich auf quadratische zurückfübren lassen 203 VI. Epponenzialgleichungen 203 Dritter Abschnitt. Lehre von dc» Progrcsiioncn. Allgemeine Begriffe 207 I. Arithmetische Progressionen 208 Ii. Geometrische Progressionen 211 III. Anwendung der geometrischen Progressionen auf die Zin¬ seszinsrechnungen 215 Bierter Abschnitt. Die Kombinazionslehrc. Allgemeine Begriffe . 223 I. Permutazionen 224 II. Kombinazionen 227 III. Variazion en ..230 XII Seite IV. Anwendung der Kombinazionslehre zur Entwicklung des binomischen Lehrsatzes . 233 V. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung .242 1. Die absolute und einfache Wahrscheinlichkeit. — 2. Die relative Wahrscheinlichkeit . 245 3. Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit . . 247 a) Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines von mehreren Er¬ eignissen, die sich gegenseitig ausschliesien . — b) Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen mehrerer Ereignisse 248 4. Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Kombinazioneu niedrerer Ereignisse.25 i 5. Mathematische Erwartung und rechtmäßiger Einsatz bei Wette» und Glücksspielen. 253 Einleitung. Allgemeine Begriffe. 8. 1. Äeder Gegenstand, der aus Theilen zusammengesetzt ist, oder ans solchen zusammengesetzt gedacht werden kann, beißt eineAlJ'ßb- Die Menge der in einer Große vorhandenen gleichartigen Theile bestimmen, beißt diese Größe ,mes se n. Um eine solche Be¬ stimmung auszuführen, nimmt man irgend eine Größe derselben Art als Maß, als Einh eit an, und untersucht, wie oft diese alsEin- beit angenommene Größe in der gegebenen enthalten ist; der Aus¬ druck, welcher dieses angibt, wird eine Arrch-l. genannt. Eine Zahl ist demnach nichts anderes, als das Verhältniß einer Größe zu ihrer Einheit. Dieses Verhältniß ist vollkommen genau bestimmt, wenn man findet, daß die gemessene Große entweder die ganze Einheit oder einen bestimmten Tbeil derselben ein oder mehrere Male in sich ent¬ hält; die Zahl selbst heißt im ersten Falle eine g an ze, im zweiten eine gebrochene Zahl oder ein Bruch. Jede ganze und gebrochene Zahl drückt also ein genau angeb¬ bares Verhältniß znr Einheit aus, und wird darum eine razio-, na le Zahl genannt, zum Unterschiede von einer i rr azi o n a l e n, deren Verhältniß zur Einheit sich nur näberungsweise angeben läßt. Sowohl die razivnalen als die irrazivnalen Zahlen heißen wirk¬ liche, reelle Größen, weil sich ihr Verhältniß zur Einheit wirklich angebeu läßt, und zwar entweder ganz genau, oder doch wenigstens auf eine angenäherte Weise. - e> 8- 2. Zahlen, welche eine bestimmte Menge von Einheiten vorstellen, heißen ckr^fsjud er e Zahlen. Sie müssen auch durch besondere Zei¬ chen, Ziffern, ansgedrückt werden, unter denen sich jeder dieselbe bestimmte Menge von Einheiten denkt. Z. B. Vier ist eine beson¬ dere Zahl, und wird durch das Zeichen 4 dargestellt, unter welchem Jedermann nicht mehr und nicht weniger als vier Einheiten verstehet. Da unendlich viele besondere Zahlen denkbar sind, so ist es nicht möglich, für jede derselben einen eigenen Namen und ein ei¬ genes Zeichen aufzustellen ; man ist also genotbiget, größere Zahlen nach einem festgestellten Gesetze in kleinere zu zerlegen, welche mau Ltoöuik. Algebra. 5. Ausl. 1 2 besonders benennt und bezeichnet, um durch Zusammenfassung dieser kleinern Zahlen jedes größere Ganze darzustellen. Die Art und Weise, mit einigen wenigen Namen und Zeichen durch gehörige Zu¬ sammenstellung ;ede beliebige Zahl auözudrücken, heißt ein Zah- I e n s y st e in. Bei jedem Zahlensysteme wählt man sich unter den in natür¬ licher Ordnung auf einander folgenden Zahlen eine als die größte, die man noch unmittelbar auffassen will, und gibt ihr, so wie den vorangehenden kleinern Zahlen, eigenthümliche Namen. Jene größte Zahl wird die Grundzahl des Zahlensystems genannt. Nun macht man es sich zur unbedingten Regel, sobald beim Zählen der Einheiten die Menge derselben so groß wird, als die Grundzahl, diese Menge als eine neue Einheit einer nächsthöher» Art zu den¬ ken, und durch einen besondern Namen auszudrücken. Man hat auf diese Art bei einem Zahlensysteme zuerst einfache oder ursprüng¬ liche Einheiten; sodann Einheiten der ersten Ordnung, deren jede so viele ursprüngliche Einheiten enthält, als die Grundzahl an¬ zeigt; Einheiten der z w e ite n O r dnu n g , deren jede die nämliche Menge Einheiten der ersten Ordnung in sich begreift; und so kann man zu Einheiten willkürlich hoher Ordnungen hinaufsteigen. Jede Zahl läßt sich sodann als aus mehreren Theilen bestehend denken, deren jeder eine bestimmte Anzahl Einheiten von einer gewissen Ord¬ nung enthält, welche Anzahl übrigens stets kleiner, als die Grund¬ zahl ist. Das einfachste und allgemein gebräuchliche Zahlensystem ist das dekadische, dessen Grundzahl zehn ist. Bei diesem gibt man den zehn ersten Zahlen besondere Namen: eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun. zehn. Zehn ursprüngliche Einheiten betrachtet man als eine Einheit der ersten Ordnung, und nennt sie einen Zehner. Zehn Zehner heißen ein Hundert, und bilden eine Einheit der zweiten Ordnung. Zehn Hunderte nennt man ein Tausend, welches die Einheit der drit¬ ten Ordnung ist. Die folgenden Ordnungen von Einheiten heißen Z e h n t a n s en d e, Hunderttausende, Millionen u. s. w. Jede Zahl ist nun aus Einheiten, Zehnern, Hunderten, . . . zusammengesetzt; sie wird daher vollkommen bestimmt, wenn man angibt, wie viele Einheiten, Zehner, Hunderte,... sie enthält. Die Anzahl von Einheiten irgend einer Ordnung kann nicht größer, als neun sein, da zehn Einheiten einer Ordnung schon eine Einheit der nächst höheren Ordnung geben; um also die Anzahl Einheiten einer jeden Ordnung anzugeben, sind die Namen der ersten neun Zahlen hinreichend. Verbindet man diese neun Namen mit den Benennungen der auf einander folgenden Ordnungen, so kann dadurch jede beliebig große Zahl mit Worten ausgedrückt werden. Um die Zahlen schriftlich darzustellen, genügen die Ziffern für die ersten neun Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, zu denen noch die Nulle 0 kommt, um das Nicktvorhandensein von Einheiten einer gewissen Ordnung anzuzeigen. Die Anzahl Einheiten irgend einer 3 Ordnung läßt sich, da sie nicht größer sein kann, als neun, durch die angeführten Hehn Zeichen ausdrücken. Man braucht nur noch sichtbar darzustellen, daß eine Ziffer Einheiten, oder Zehner, Hun¬ derte bedeutet. Dieses geschieht durch die Auseiuaudersolge, in welcher die Ziffern hiugeschrieben werden; man nimmt an, daß jede Ziffer, wenn man von der Rechten gegen die Linke foctschreitet, an der ersten Stelle Einheiten, an der zweiten Zehner, an der drit¬ ten Hunderte. . . . überhaupt an jeder solgenden Stelle gegen die Linke die nächsthöhere Ordnung von Einheiten, also zehnmal so viel bedeutet, als an der nächstvorhergehenden Stelle. 8- 3. Zahlen, welche keine bestimmte, sondern jede beliebige Menge von Einheiten vorstellen können, nennt man srlbg-e m e i n e Zahlen; sie werden auch nur durch allgemeine Zeichen, gewöhnlich durch die Buchstaben des kleinen lateinischen Alphabetes bezeichnet. So kann die allgemeine Zahl u jede beliebige Menge von Einheiten vorstöllcn; dabei ist jedoch zu merken, daß in einer und derselben Aufgabe derselbe Buchstabe auch nur eine und dieselbe Zahl bedeu¬ ten könne. Unter u kann man sich im Allgemeinen 1, oder 2, oder 20, oder jede andere mögliche Zahl denken; nimmt man aber für u in irgend einer Aufgabe einen bestimmten Werth, z. B. 20 an, so muß man in dieser Aufgabe dafür durchgängig die Zahl 20 bei¬ behalten. Um anznzeigen, daß gewisse Zahlen einer Aufgabe noch unbekannt sind, drückt man dieselben durch die letzten Buchstaben des Alphabetes, als u, v, av, x, 2, aus. 8. 4. Zahlen, welche dieselbe Menge von Einheiten enihalten, heißen gleich; enthalten sie nicht dieselbe Menge von Einheiten, so wer¬ den sie ungleich genannt, und zwar heißt diejenige, welche mehrere Einheiten enthält, die größere, die andere die kleinere. Das Zeichen der Gleichheit iss — ; z. B. 2----2, a— d wird gelesen: 2 ist gleich 2, n ist gleich i>. Das Zeichen der Ungleichheit ist > oder <; die größere der beiden Zahlen wird in die Orffnung, die kleinere an die Spitze ge¬ setzt. Z. B. 3 >2, 3 < 6 wird gelesen: 3 ist größer als 2, 5 ist kleiner als 6. Wenn man mit g l e ich e n Z a h l e n g l e i ch e V erä n d e- rungen vor nimmt, so müssen wieder gleiche Zahlen znm Borschein kommen. 8- 5. Man unterscheidet ste t i g e und un st c t ige Größen. Stetig nennt man eine Größe, wenn ihre Theile so zusammenhängen, daß das Ende des einen TheilcS zugleich der Anfang des nächstfolgenden t ' 4 Theiles ist; z. B. der Raum. Eine nnste ri g e oder diskrete Größe dagegen heißt eine solche Größe, die als eine bloße Samm¬ lung gleichartiger Theile, welche auch abgesondert und getrennt noch immer ein Ganzes bilden, betrachtet werden kann; z. B. eine Summe Gulden. Jede Zahl ist eine diskrete Größe, da die Einheiten und deren Theile, welche die Zahl in sich enthält, von einander ab¬ gesondert betrachtet werden können, ohne daß sie darum aufbören, jene Zahl vorzustellen. 8- 6. Die Wissenschaft von den Größen wird Mathematik ge¬ nannt. Sie zerfällt in die Arithmetik und in die Geometrie; jene handelt von den Zahlen, diese von den Naumgrößen; die Arith¬ metik beschäftiget sich also mit diskreten, die Geometrie mit stetigen Größe». In sofern in der Arithmetik nur besondere Zahlen angewendet werden, heißt sie die besondere Arithmetik; wenn darin auch allgemeine Zahlen mit einander in Verbindung gebracht werde», beißt sie die allgemeine Arithmetik, auch A l g e b r a. Den Gegenstand des vorliegenden Lehrbuches bildet die all¬ gemeine Arithmetik. Arithmetische G p e r a z i o n e >r 8. 7. Die Arithmetik hat erstlich die Aufgabe, aus gegebenen Zah¬ len mittelst bestimmter Veränderungen andere unbekannte Zahlen zu finden. Dieses Geschäft heißt das Rechnen oder der arith¬ metische Kalkül, und die Zahl, welche nach verrichteter Rechnung zum Vorschein kommt, das Resultat der Rechnung. Nach Verschiedenheit der Veränderungen, die mit den gege¬ benen Zahlen vorgenommen werden, um die gesuchte Zahl zu finden, gibt es eben so verschiedene Rechnungsarten. 8. 8. 1. Man kann zu einer Zahl eine oder mehrere beliebig große Zahlen dazu setzen, und nach der Zahl, fragen, welche dadurch ent¬ steht; diese Rechnungsart nennt man die Addizion. Addiren heißt demnach eine Zahl suchen, welche zwei oder mehre¬ ren gegebenen Zahlen zu sa mm en g eno mme n gleich ist. Die gegebenen Zahlen heißen Ad d e n d e n , und die Zahl, welche durch das Addiren gefunden wird, die S u m m e. Das Zeichen der Addizion ist -si (mehr, plus); der Ausdruck re-s-b bedeutet also, daß die Zahl b zu der Zahl n zu addiren ist. 5 8. 9. 2. Wenn man umgekehrt von einer gegebenen Zahl eine an¬ dere beliebige Zahl hinwegnehmen, und das Uebriggebliebene ange- beu soll, so geschieht dieses mittelst einer eigenen Rechnungsart, welche die Subtrakzion genannt wird. Man denkt sich dabei die eine gegebene Zahl als die Summe zweier Zahlen, von denen die eine bekannt ist, und die andere gesucht wird. Subtrahiren beißt daher, aus der Summe zweier Zahlen und aus einer derselben die andere finden. Die Zahl, von welcher eine andere weggenommen, welche also als die Summe zweier Zahlen betrachtet wird, heißt der Minuend; die Zahl, welche man hinwegnimmt, welche also der bekannte Ad- dend ist, der Subtrahend; und die Zahl, welche durch das Subtrahiren gefunden wird, und den unbekannten Addend vorstellt, der Rest, der Unterschied oder die Differenz. Das Zeichen der Subtrakzion ist — (weniger, minus); der Ausdruck a,—b bedeutet also, daß die Zahl b von dec Zahl a hin¬ wegzunehmen ist, a ist der Minuend, k der Subtrahend. Das Subtrahiren ist dem Addiren entgegengesetzt; die Zahlen, welche man durch die Addizion verbindet, werden durch die Snb- trakzion wieder getrennt. K. 10. 3. Die Operazion, welche mau anwendet, wenn eine und die¬ selbe Zahl öfters gesetzt werden soll, nennt man die Multipli- kazion. Multipliziren heißt demnach eine Zahl so oft- mal nehmen, als eine a n d e r e E i n h e i t e n in s i ch e n t bält. Die Zahl, welche man mchrmal nimmt, beißt der Multipli¬ kand; die Zahl, welche angibt, wie oft der Multiplikand genom¬ men werden soll, der Multiplikator; und die Zahl, welche durck das Multipliziren gefunden wird, das Produkt. Der Multiplikand und der Multiplikator werden auch Faktoren genannt. Das Zeichen der Multiplikation ist ein schiefes Kreuz X oder blos ein Punkt . zwischen den Faktoren. Das Produkt der Buch¬ staben wird auch dadurch angezeigt, daß man dieselben ohne Zeichen neben einander setzt; es bedeutet also aXb oder rr.b oder ab so viel als: a mnltiplizirt mit b. Da die Multiplikazwn nach der obigen Erklärung nichts an¬ deres, als eine wiederholte Addizion ist, so pflegt man das Multi¬ pliziren die nächst höhere Operazion vom Addiren zu nennen. Für das Multipliziren kann anch folgende allgemeine Erklärung aufgestellt werden; a mit d multipliziren heißt, aus a auf dieselbe Art ein Resultat bilden, wie b aus der Einheit entstanden ist. Z. B. 8 mit 3 multipliziren heißt, aus 8 auf dieselbe Art eine neue Zahl entstehen lassen, wie 3 ans der Einheit entstanden ist; 3 ist aus der Einheit entstanden, indem man die 6 Einheit 3mal als Addend setzte, nämlich 3 — 1Z-1-s-1; man wird daher auch 8 3mal als Addend setzen, also 8X 3"8fi-8-s-8 —24. 8- 11. Die Rechnungsart, welche dem Multipliziren entgegengesetzt ist, heißt die Division. Dabei wird untersucht, wie oft eine ge¬ gebene Zahl in einer andern Zahl enthalten ist; man denkt sich zu diesem Ende diese letztere als das Produkt zweier Zahlen, von denen die eine bekannt ist, und die andere gesucht wird. Dividiren heißt also aus dem Produkte zweier Faktoren und aus einem dieser Faktoren den andern suchen. Das gegebene Produkt, oder die Zahl, welche dividirt wird, heißt der Dividend; der gegebene Faktor, oder die Zahl, durch welche dividirt wird, der Divisor; und der unbekannte Faktor, welcher durch das Dividiren gefunden wird, der Quozient. Das Zeichen der Division sind zwei über einander stehende Punkte :; der Ausdruck bedeutet also, daß a durch k> dividirt werden soll, oder daß n das Produkt zweier Faktoren ist, von denen man den einen d kennt, und den andern zu suchen hat. Ein Aus¬ druck von der Form n:l) heißt ein angezeigter Quozient. Die Division wird oft auch dadurch angezeigl, daß man den Divisor unter den Dividend, und zwischen beide einen Strich setzt, als welches gelesen wird: n dividirt oder gebrochen durch b. Diese Art der Bezeichnung nennt man die Bruch form. Wie ost eine Zahl in einer andern enthalten ist, konnte man auch dadurch erfahren, daß man die erstere Zahl von der zweiten so oft subtrahirt, als es möglich ist; die Zahl, welche anzeigt, wie oft diese Snbtrakzion verrichtet werden kann, ist der Quozient. Die Division kann daher als eine wiederholte Snbtrakzion betrachtet werden, darum pflegt man sie auch die nächst höhere Operazion vom Subtrahiren zu nennen. 8- 12. Lr Das Bedürfniß der Rechnung erfordert es häufig,- daß eine und dieselbe Zahl öfters als Faktor gesetzt werde. Die Operazion, dnrch welche dieses geschieht, heißt das Potenziren oder das Er¬ heben zu einer Potenz. Es heißt also, eine Zahl zur 2'" , 3°°" ,... irr'" Potenz erheben, diese Zahl 2, 3,... rnmal als Faktor setzen. Die Zahl, welche öfters als Faktor gesetzt wird, heißt eine Wurzel des erhaltenen Produktes, und zwar die sovielte Wur¬ zel, als wie ost sie als Faktor erscheint. Die Zahl, welche anzeigt, wie oft die Wurzel als Faktor gesetzt werden muß, damit eine dritte Zahl als Produkt herauskommt, heißt der Er wouent. Das Pro¬ dukt endlich, welches man erhält, wenn eine Wurzel öfters als Fak¬ tor gesetzt wird, nennt man eine Potenz, und zwar die sovielte 7 Potenz, als wie oft die Wurzel als Faktor darin erscheint. Eine Potenz ist demnach ein Produkt oo» mehrere» gleichen Faktoren, und jeder von diesen gleichen Faktoren ist eine Wurzel des Produktes. So gibt z. B. 2, 5mal als Faktor gesetzt, 32 zum Produkte; 2 ist also die Wurzel, und zwar die 5'" Wurzel vou 32; 5 ist der Exponent; und 32 ist die Potenz, und zwar die 5'° Potenz von 2. Die Potenz einer Zahl wird dadurch angezeigt, daß man der Wurzel rechts oben den Exponenten beisetzt; statt 2X2X2X2X2 schreibt man also 2^, und liest dieses: 2 zur 5'°" Potenz, oder bloß 2 zur 5"". Eben so ist n* — n . a. . n . n »m—n.n.n.n.g,.. . mmal. Ein Ausdruck von der Form n" wird eine Potenzgröße, auch bloß Potenz, genannt; insbesondere nennt man die zweite Potenz Quadrat, die dritte K u b u s. 8 13. 6. Dem Potenziren ist erstlich das Wurz elan s z i eh e n ent¬ gegengesetzt. Es sind dabei die Potenz und der Exponent gegeben, und die Wurzel wird gesucht. Aus einer Zahl die 2'°, 3",... in" Wurzel ausziehen heißt demnach, eine Zahl suchen, welche 2, 3,... m m al als Faktor geletzt, jene gege¬ bene Zahl gibt. Z. B. aus 32 die 5" Wurzel anSziehen heißt eine Zahl suchen, welche, 5mal als Faklor gesetzt 32 gibt; diese Zahl ist 2. Die Wurzel einer Zahl wird dadurch angezeigt, daß man vor diese Zahl das Wurzelzeichen 's/ setzt, in dessen Oeffnung der Ex¬ ponent geschrieben wird. So bezeichnet man die 5" Wurzel aus 32 durch s/ 32. Ein Ausdruck von der Form s/n heißt eine Wurzelgroße. Die zweite Wurzel nennt man auch die Quadratwurzel, die dritte die Kubikwurzel. 8- 14. 7. Dem Potenziren ist überdieß auch die Exponenziazion entgegengesetzt; dabet sind die Potenz und die Wurzel bekannt, nnd der Exponent soll bestimmt werden. Z. B. zur wie vielten Potenz muß 2 erhoben werden, nm 32 zu erhalten? Diese Forderung wird so angeschrieben: 2" —32. Eine Potenzgröße von der Form n', worin nämlich der Po¬ tenzexponent unbekannt ist, heißt eine E x p o n e n z i a l g r ö ß e; den unbekannten Exponenten nennt man den Logarithmus der Potenz, und die gegebene Wurzel die Grundzahl oder Basis; in der früheren Aufgabe ist 5 der Logarithmus vou 32 für die Grundzahl 2. 8 Der Logarithmus einer Zahl wird durch die vorgesetzte Silbe IvA, der man rechts unten die Basis beisetzt, ausgedrückt; z. B. —5. Allgemein wird der Ausdruck lo^n—iu gelesen: der Logarithmus von u. für die Grundzahl b ist gleich w, d. i. d muß zur Potenz erhoben werden, damit n herauskomme. Wür¬ den die Logarithmen durchgängig auf eine bestimmte Basis bezogen, so schreibt man statt des letzteren Ausdruckes kürzer blos lo^ u^na, wobei die Basis stillschweigend als bekannt vorausgesetzt wird. Gleichungen. 8- 13. Eine andere sehr wichtige Aufgabe der allgemeinen Arithmetik besteht darin, daß aus gegebenen Beziehungen zwischen bekannten und unbekannten Zahlen diese letzter» bestimmt werden. So stellt z. B. der Ausdruck x?— 5—x — 3 eine Relazion zwischen der un¬ bekannten Zahl x und den bekannten Zahlen 5, 3 vor, aus welcher der Werth von x bestimmt werden kann. Eine solche Gleichstellung zweier Ausdrücke wird eine Gleichung genannt. p r o g r e sli o n e n. 8- 16. Die Arithmetik betrachtet ferner die Gesetze, nach denen meh¬ rere Größen von einander abhängen. So bestehet zwischen den Zahlen 1. 3, 5, 7, 9, 11,...das Gesetz, daß jede folgende Zahl um 2 größer ist, als die vorhergehende. Eine Folge von solchen Zahlen, die nach einem gemeinschaftlichen Gesetze fortschreiten, nennt man eine Reihe oder Progression. R o m l> i n a z i o n e n. 8. 17. Die allgemeine Arithmetik hat endlich die Aufgabe, gegebene Größen auf eine bestimmte Art unter einander zu versetzen oder mit einander zu verbinden. Es wird z. B. verlangt, alle möglichen Stellungen anzngeben, in welche die vier Buchstaben n, ll, o. ä ge¬ bracht werden können. Solche Versetzungen und Verbindungen von Größen werden K o m b i n a z i o n e n genannt. 8- 18. Die allgemeine Arithmetik umfaßt dem Vorhergehenden zu Folge vier Haupttheile: 1) die Lehre von den arithmetischen Operazionen, 2) die Lehre von den Gleichungen, 3) die Lehre von den Progressionen, 4) die K o m b i n a z i o n s l e h r e. -- Erster Abschnitt. Die Lehre von den arithmetischen Operazionen. I. Von den algebraischen Ausdrücken im Allgem ein en. §. 19. ^ine Größe, welche in der Rechnung als hinzuzugebend, als Addend erscheint, heißt eine additive vder p ositiv e Größe, und wird durch das Zeichen ff- ausgedrückt; eine Größe dagegen, welche in der Rechnung als hinwegznnehmend, als Subtrahend erscheint, heißt subtraktiv oder negativ, und bekommt das Zeichen — . . So bedeutet ff- g, eine positive, also eine hinzuzngebende, — a da¬ gegen eine negative, also eine hinwegzunehmende Größe. Das Zeichen ff- wird im Anfänge eines Ausdruckes und nach dem Gleichheitszeichen nicht angeschrieben; wenn daher vor einer Größe kein Zeichen steht, so ist sie als positiv anzusehen. Das Zei¬ chen — darf nie weggelassen werden. Positive und negative Größen nennt man wegen der entgegen¬ gesetzten Beziehungen, in denen sie zu einander stehen, entgegen¬ gesetzte Größen. Aus dem Begriffe der positiven und negativen Größen folgt: 1. Zwei gleiche entgegengesetzte Größen heben sich ganz auf. Menn man z. B. 10 hinzugibt und dann 10 hinwegnimmt, so ist dicß eben so viel, als wenn man nichts hinzu¬ geben und nichts hinwegnehmen würde; also ff-10 — 10 — 0. Allgemein ist ff-rr — n —0. 2. Zwei ungleiche entgegengesetzte Größen heben sich nur zum Theil auf; die kleinere wird nämlich ganz aufgehoben, von der größer» aber nur so viel, alsdie kleinere beträgt. Wenn z. B. 10 hinzugegeben und 6 hinweg- * genommen werden soll, so denke man sich die hinzuzugebenden 10 in 6 und 4 zerlegt; da nun 6 wieder hinweggenommen werden sollen, so bleiben nur noch 4 als wirklich hinzuzugebend; 10 hinzugeben und 6 hinwegnehmen ist also eben so viel, als 4 hinzugeben; folg¬ lich ff- 10 — 6 —ff-4. Soll man 6 hinzugeben und 10 wegnehmen, W so müssen zuerst die hinzugegebenen 6 hinweggenommen werden, wo¬ durch das Hiuzugegebene aufgehoben wird, und dann bleiben noch 4 als hinwegzunehmend; es ist also -ft 6—10 — — 4. 8- 20. Wenn dieselbe Größe öfters als Addend oder als Subtrahend erscheint, so schreibt man die allgemeine Größe nur einmal an und setzt ihr die Zahl vor, welche anzeigt, wie oft die allgemeine Große als Addend oder Subtrahend steht, und zwar mit dem Zeichen der Addizion oder der Subtrakzion. Statt u-ft n-ft s.-ft g, schreibt man -ft4u oder 4n. „ klx^-ft klx^-ft ux? „ ,, -ft 3 ux? oder 3nx?. „ —boä—bock „ „ —206 0. „ —x^^ — —x^^ „ „ —3x^^. Diese vor dem Buchstabenausdrucke stehende Zahl wird der Koeffizient genannt. Der Koeffizient zeigt also an, wie oft die darauf folgende allgemeine Größe als Addend oder als Subtrahend gesetzt werden soll, je nachdem derselbe das Zeichen -ft oder — vor sich hat. Wenn bei einem Buchstaben kein Koeffizient steht, so ist dar¬ unter der Koeffizient 1, welcher nie angeschrieben wird, zu verstehen; es ist demnach o so viel als tu, und —u so viel als —In. Der Koeffizient kann selbst auch eine allgemeine Zahl sein, z. B. in mx kann m als der Koeffizient von x angesehen werden. Die Begriffe Koeffizient und Exponent müssen von einander wohl unterschieden werden; es ist 4 o, —- n> -ft n, —ft kl —ft n, 8? — g, . g, . kl . k>, welche Ausdrücke wesentlich verschieden sind; setzt man z. B. a —3, so ist 4n^3-ft3-ft3-ft3^12, .3.3. 3^-81. ' 8- 21. Eine Größe, die durch ein Zeichen, einen Koeffizienten, und einen Buchstaben, oder auch mehrere ohne Zeichen verbundene Buch¬ staben dargestellt ist, heißt ein einfacher algebraischer Aus¬ druck oder ein Monom. So find die Ausdrücke n, 4 ab, 12kl^ftxb einfache algebraische"Nusdrücke. Bei einem einfachen algebraischen Ausdrucke sind drei Sachen zu berücksichtigen: die Buchstaben¬ größe, welche eigentlich die Art der Einheiten angibt; der Koef¬ fizient, welcher die Menge solcher Einheiten anzeigt; und das Zeichen, wodurch ansgedrückt wird, ob diese Einheiten als hinzu¬ zugebend oder als hinwegzunehmend anzusehen sind. Eine Größe, welche mehrere einfache, durch das Zeichen -ft 11 oder — verbundene Ausdrücke enthält, wird ein zusammengesetz¬ ter algebraischer Ausdruck genannt. Die einzelnen Bestand- theile eines zusammengesetzten Ausdruckes nennt man G l i e d e r des¬ selben. Hat ein zusammengesetzter Ausdruck zwei Glieder, so heißt er insbesondere ein Binom; eine dreigliedrige Größe wird ein Trinom, eine mehrgliedrige ein P o l y n o m genannt. Es sind n-s-b n-s-d-s-o Z 3x — 2 Binome, 3rn^ — stn^ss-Tp? > Trinome, —5/j " nx-s-tz/ — 02 s und alle diese Größen zusammengesetzte^ Ausdrücke. Zusammengesetzte Ausdrücke werden, wenn damit arithmetische Operazionen vorzunehmen sind, in Klammern eiugeschloffen. Um z. B. anzuzeigen, daß u-s-2 d Z-3 o mit 4rn-s-5n-s-6p zu mul- tipliziren ist, schreibt man (u-s-2b-st 3 <4 (4rn-s-5ir Z-6 p); würde man die Klammern weglassen, so bedeutet der Ausdruck u-s-26-s- 3LX4m-s-5n-s-6p, daß nur 3 o mit 4m zu multipliziren ist, und zu diesem Produkte die vorhergehenden und die nachfolgenden Glieder zu addiren sind. Wenu in einem zusammengesetzten algebraischen Ausdrucke meh¬ rere Potenzen derselben Wurzel Vorkommen, so pflegt man wegen der leichtern Uebersicht die einzelnen Glieder nach den Poten, zexpo- nenten zu ordnen, indem man entweder mit der höchsten Potenz anfängt und dann immer niedrigere Potenzen folgen läßt, oder iu- , dem man zuerst jenes Glied setzt, welches keine oder die niedrigste Potenz der gemeinschaftlichen Wurzel enthält, und dann zu immer hoher» Potenzen übergeht. Im ersten Falle heißt das Polynom fallend, im zweiten steigend geordnet. So erhält z. B. der Ausdruck 3x2-s-4-s-5x — fallend geordnet die Form: x^ — 6x? -s- 3 x? -s- 5 x -s- 4, und steigend geordnet: 4-s-5x-s-3x^ — 6x^-stx^. Jede dekadische Zahl kann als ein nach den Potenzen der Grundzahl 10 geordnetes Polynom angesehen werben; z. B. 7835---7000 Z-800 -s-30 -s-5 --7.10-° Z-8.10- Z-3.10-P5; 52074---50000 -s-2000 -P 70 -s-4 -- 5.10» -s-2.10? -s-7.i0-s-4. Ist allgemein Iss eine mziffrige dekadische Zahl, in welcher u, o, o....r, g, t nach der Ordnung die Ziffern von der Rechten gegen die Linke vorstellen, so hat man t.10^Z-s.10^-s-r.10"-b_f_ . . . -s-c-.IO^P-b.lO-s-n. 4 22. Größen, in denen derselbe Buchstabenausdruck vorkommt, hei¬ ßen gleichartig; die Zeichen und Koeffizienten können darin auch 12 verschieden sein. Größen, in denen verschiedene Buchstabenausdrücke Vorkommen, werden, selbst wenn ste gleiche Zeichen und Koeffizien¬ ten haben, ungleichartige Größen genannt. So sind 3 a, 3 a 3 a, "" 4 a 2u?b, 7u?k gleichartige Größen. ungleichartige Größen. Gleichartige Größen lassen sich immer in einen einfachen Aus¬ druck zusammenziehen, was man das Reduziren nennt. Aus dem Begriffe der Koeffizienten und der entgegengesetzten Größe» ergeben sich für das Reduziren folgende Sätze: 1. Zwei gleichartige Größen von gleich er B ezeich- s, la 2a, — 3 ula — 4x/-,— 4x-^ nung werden reduzirt, wenn man das gemeinschaftliche Zeichen mit der Summe dec Koeffizienten dem gemeinschaftlichen Buchstaben¬ ausdrucke voran setzt. Hat man z. B. die Größe 2uff-5u, so ist die allgemeine Größe u zuerst 2mal, dann 5mal, also zusammen 7mal als Addend zu setzen; mithin 2u-s-5u—7u. Um den Ausdruck — 7bx —3bx zu reduziren, bedenke man, daß hier die allgemeine Größe lax erstlich 7mal, daun 3mal, folg¬ lich im Ganzen lOmal als hinwegzunehmend zu setzen ist; man hat daher — 7 i) X — 3 l> x — — 10 l> x. Ebenso findet man 5x- -f-7x-^12x2, -u2l> —3u2s> 4u2b, 8ul)o-s- ulao—9ul)o, —10u)-2 —8u/2 —— 18a/2, MX-s-IIX — (m-s-n)x, U.1O2 -s- 1). 102 —fa-s-b). 102. 2. Zwei gleichartige Größen von ungleicher Be¬ zeichnung werden reduzirt, wenn man das Zeichen des grö¬ ßer» Koeffizienten mit dem Unterschiede der Koeffizienten dem ge¬ meinschaftlichen BnchstabenauSdrncke voransetzt. Ist z. B. der Ausdruck 8u—5u zu reduziren, so hat man u zuerst 8mal als hinzuznsetzend und dann 5mal als hinwegzunehmend zu betrachten, was so viel ist, als wenn a nur 3mal hinzuzusetzen wäre; daher ist 8» — 5a —3a. Auf gleiche Weise folgt 10al> — 7al) ^3al), ' 3 la — 5l) —2d, 8x2)-2—7x^-^ —x^2,__4^2-^ 3M2---—M-, p I-0 —(p —m . 102-D. 1l)2 — sm-n) . 102. 3. Zwei gleiche entgegengesetzte Größen heben sich auf. Hat man z. B. 5ad —5ad, so soll ab 5mal hinzugesetzt und 5mal hinweggenommen werden, was so viel ist, als wenn gar nichts hinzugesctzt und nichts hinweggenommen würde; also 5ad— 5ad —0. 4. Mehrere gleichartige Größen, welche theils 13 positiv, theils negativ sind, werden reduzirt, wenn man zuerst die positiven, dann die negativen, und endlich die dar¬ aus hervorgehenden Ausdrücke reduzirt. Z. B.: 7ab-f-3ab-f-ab —Hub, — 3x2 —8x-—10x2--- —21 x-, 5a — 4uZ-8u— 13u — 4 u — 9 u, m)--s- 5 m)- — -3 in)-— 8 m )- — 6 m )- —11 niv — —5m v, 3n2 — n2-h-4n2—3n2-^-7n2— 14n2 — 4»2^10n2. - 5u—3bZ- 7b—3uZ-9u —2K---11 u-Z-2b. Man reduzire noch folgende Ausdrücke: 1) 3m — 7 m — 4 m Z- m — 2 m Z- 8 m; 2) 4p<;-s-2p-4o —3a-s-5b-7o-s-a-b4b —8o; 6) 25x-s-31)- — 17x —28xZ-8)-Z-37-:Z-x—29)- — 19x; 7) 12x2)- — 9XV? — 19x2)' — 2Zx/2 -f- 10x2)' -f- 38x)-2. s). 23. Damit Anfänger stets vor Augen haben, daß die im Rechnen vorkommenden Buchstaben nichts als Zahlen bedeuten, ist ihnen als Uebung anzuempsehlen, daß ste in den algebraischen Ausdrücken für die Buchstaben bestimmte Zablenwerthe einsetzen und dann die an¬ gezeigten Operazionen wirklich verrichten. Dieses Geschäft nennt man das Substituiren. Beispiele. 1) Es soll der Zahlenwerth des Ausdruckes a->-2b — 3o be¬ rechnet werden, wenn man darin a —3, b —2, o — 1 substituirt. Man bat a-^2b—3v--3Z-2.2 —3.1---3Z-4—3---4. 2) Man setze in dem Ausdrucke ux^ —bx2Z-vx— 0 die Wertbe u — 1, b —2, o —3, <1 —4, x —2. Es wird ax2-bx2-f-ox—6---1.22 —2.22Z-3.2—4 ---1.8 —2.4-f-3.2—4 --8—8Z-6 —4--2. 3) Der Ausdruck 4x2 — 4xvZ-)-2 gibt für x —3, )- —5 den Zahlenwerth 1. 4) Aus 3ab—5uoZ-3bo erhält mau durch die Snbsti- tuziou a — 5, b —4, o-----3 deu Zahleuwerth 21. Man suche noch die Zablenwerthe folgender Ausdrücke: 5) 6x°-15x2Z-48x —10 für x —3; 6) m^ — 4m2n Z-6m2»2 — 4mn2-f-»2 für m — 3, n — 2; 14 7) (3x-s-5/— 62) (7x— 2 ^->-3 2) für x —4, ^ — 5,2—6; 8) (a^l? — 3 a^b^« 3 ab o-— 0^): (ab - c) für a — 2, b — 4, o— 6. II. Vom Addiren algebraischer Größen. K. 24. Durch daS Addiren wird eine Größe gesucht, welche mehreren gegebenen Größen zusammengenommen gleich ist. Algebraische Größen werden daher addirt, wenn man sie mit ihren Zeichen neben einander setzt. Kommen unter den Addenden gleichartige Ausdrücke vor, so werden sie in der Summe reduzirt. Am zweckmäßigsten ist es, die gleichartigen Größen der leichten Uebersicht wegen sogleich beim An¬ schreiben unter einander zu stellen. Beispiele. 6x— 3/ 2 a?-s- a?— a?— 7 a-s-4 11) 13ab — 5 oll -s- (12 ocl — 4ab) — 9 ab -s- 7 eck 12) 18x-s-(5x —8a)-s-(8a —3x)--20x 13) 5m —3nZ-p>-s-(3n — 2p —c^)—5m — p — cp Man verrichte noch folgende Addizionen: 14) 20x —27>-s-12 2-s-'(39/—12-—15x); 15) 8 mx -s- 5 n v 4- (3 mx -- 7 nv) -s- (3 nv — 6 mx): 16) 7a-s-(8 a —2)-s-(9 — 5a)—10; 17) 3o-s-7-s-s4b —2o-s-l2b-s-8)^; 18) s(2x —37) -s- (2^-x)s-l-s5x-s-(6)i—1)s. 15 Sind LI und Li zwei dekadische Zahlen, und zwar LI^ä.10-ff-o.10--j-l>.10ss-a, — r.10--f-i.10ss-x; so ist N -f- Lk ä. 10° ss- (o -f- r) -10- -s- (b -f- q). 10 ff- (u -ff p). Mil Hilfe dieser Formel wird der Anfänger ohne Mühe die Regeln anfstellen, nach denen beim Addiren dekadischer Zahlen ver¬ fahren wird. III. Bom Subtrahiren algebraischer Größen. 25. Aus dem im K. 9 aufgestellten Begriffe des Subtrahirens folgt der Satz: der Rest muß s o b eschafsen sein, daß er zu dem Subtrahend a d dirt, den Minuend gibt. Beim Subtrahiren einfacher algebraischer Ausdrücke können hinsichtlich der Zeichen vier Fälle vorkommen. Minuend -ff u -ff u — u — u Subtrahend -ff b — t> -ff b — b Rest x xxx Nach dem obigen Satze folgt nun x -ff b —u x — b —u x -ffb —— u x— b —— u dazu —b ——b -s-b —-ffd —l> —— b -ffb —-ffö so ist x—u—b x —u-ffb x — — u—b x ——a-ffb. Die vollständige Schlußfolgerung geschieht im ersten Falle auf folgende Art. Es sei der Minuend rr und der Subtrahend b; den Rest drücke man, da er noch nicht bekannt ist, vorläufig durch den Buchstaben x aus, und es handelt sich darum, den Werth von x auszumitteln. Da die Summe aus dem Reste und dem Subtrahend den Minuend geben muß, so ist x -ff b — u. Wenn man zu zwei gleichen Größen dieselbe Größe addirt, so müssen wieder gleiche Summen herauskommen; addirt man nun sowohl zu x-ffb, als zu u die Größe —b, so erhält man einerseits, da sich -ffb und —l> ausheben, bloß x, andererseits aber u —b, und es müssen diese Summen gleich sein; also x —u —b. Der gesuchte Unterschied ist also im ersten Falle n — t>. Dieselben Schlüsse lassen sich auch in den übrigen drei Fällen durchführen. Vergleicht man nun in jedem der vier Fälle den erhaltenen Rest mit dem Minuend und dem Subtrahend, so bemerkt mau, daß der jedesmalige Rest den Minuend mit seinem eigenen und den Subtrahend mir geändertem Zeichen enthält. 16 Ist von a ein zusammengesetzter Ausdruck m — n -s- p zu sub- trahiren, so hat man Minuend a Subtrahend m— n-s-p; heißt der Rest x, so muß x -s- m — n -s- x — a sein; addirt man — m -s- n — p — — m -Z- r> — p dazu, so erhält man x — a — m-s-n —x. Man sieht, daß auch hier im Reste der Minuend mit seinem eigenen, der Subtrahend mit den entgegengesetzten Zeichen vorkommt. Algebraische Größen werden daher subtrahirt, wenn man den Minuend mit seinem eigenen, den Sub¬ trahend aber mit geänderten Zeichen neben einander stellt. Man Pflegt im Subtrahend die veränderten Zeichen sogleich unter die gegebenen zu schreiben. Kommen gleichartige Ausdrücke vor, so werden sie reduzirt. Beispiele. 1) 3 nx -5b^ Z- _ 3ax-s-5b)' 3) 2 a - 3 b a — 2b -si- a — b 5) a — 2 b -s- 3 o — 2a — 3 b Z- 3 o 3 a-s- b 7) 3o?—4a-s- 5 3 a- — 5a -s- 4 - -s- - 2) 3x^ — 2.^^ 3x^ __ 3 x? — 2 — 3 x 4) 5m — 3 n 2m-s-n2 3m — 3n — n? 6) 2abx-s-36cl^ — 4 s 1 — 2abx-s-2oäy — 2skr -s- - Z- 4 a b x -s- e <1 — 2 6 tr 8) x^-s-3 x?>- -s- 3 x -s- yb x^ — 3 x^ -s- 3 x^? — — _ a-s-1 6x^/-s-2^b 9) 3a—2b-s-e — (2a-s-b-3o)----a—3b-s-4o 10) 6ax — 5 b — s2 b -s- 3 02) -s- (3o^— 5 ax) — ax — 7 b^ 11) 12x — 7v — sa — (3x — 2^)s — 15x — 9^—a. Es sollen noch folgende Operazionen verrichtet werden: 12) 9x — 7^-s-s2x-s-3^) — (5 x — 8 /). 13) 5 a -s- 2 b — 3 o — s2 a — 3 b -s- 5 o) — sa — 2 b — 4 o). 14) 7x-3^- s2x-s-47 — (3x-3^-s- 2)). 15) 5m — 2 n — s3 m — 2 m — sm — 4 n) . 16) a -si 2 b — 3 -s- s2 a — b — (5 b — 4) — (a — bis — s4a^3b — z7a-2b —sa—3)z). 17 Wenn N nnd zwei dekadische Wahlen bedeuten, und 10^o.10--s-b.10-s-u, ds--- IlO-ss-q. 10-s-x ist, so hat man U — — r).102-s-ch — q).10-s-sa-p); woraus sich die Regeln für das Subtrabiren dekadischer Zahlen leicht entwickeln lassen. IV. Pom Multipliziren algebraischer Größen. S- 26. Aus der Erklärung des Mnltiplizirens folgt: 1. Jede Zahl mit l multiplizirt gibt sich selbst zum Produkte. o. mit 1 multipliziren heißt o. einmal als Addend setzen, also -rXI-»- Der Faktor 1 pflegt daher, da er das Produkt nicht ändert, auch nicht angeschrieben zu werden. 2. J e d e Z a h l m it O m n lti p li z irt gibt 0 zum Pro¬ dukte. u mit 0 multipliziren heißt aus n ein Resultat so bilden, wie 0 aus der Einheil entstanden ist; 0 ist aus der Einheit ent¬ standen, indem man die Einheit einmal als Addend und einmal als Subtrahend setzte, nämlich 1; man wird daher auch s einmal als Addend und einmal als Subtrahend setzen, also n ><0 — n — a — 0. 3. Zwei Faktoren geben in jeder Ordnung mit ein¬ ander multiplizirt dasselbe Produkt. Es ist a . 6 — b . n. o mit 6 multipliziren heißt aus n ein Resultat so bilden, wie 6 ans der Einheit entstanden ist; 6 ist aus der Einheit bervorge- gangen, indem man die Einheit bmal als Addend setzte; man muß daber auch n bmal als Addend setzen, somit ist n.b —u-s-8-s-g.-j- ... Kmal. Eben so folgt b.u— t> ss- b-s- 1, -s- ... gmal. Da jedes I> die Einheit b mal in sich enthält, so kann man auch schreiben: I,.a — (1-s- 1 -s-1 -s- ... lnnals -s- (1 -s- 1 -s- 1 -s- ... bmal) ->(1 -s- 1 -s- 1 ss- . .. Imials .. . nmal. Nimmt man nun ans jeder l> verstellenden Reibe die erste Einheit, so erhält man dadurch, da es n, solche Reiben gibt, a Ein¬ heiten oder n; nimmt man aus jeder Reibe die zweite Einheit, so dsoLmK, Algebra. 5. Aust. 2 l8 erhält man dadurch wieder u; man wird auf diese Art a so oftmal erhalten, als in b Einheiten vorkommen, also bmal; mithin ist » a — n -4 n -4 a —4 ... 4 mal» Da dieser Werth für b.a mit dem oben für a.b entwickelten übereinstimmt, so folgt n.b — b.n. Um dieses durch ein besonderes Beispiel zu beleuchten, seien 3 und 5 die beiden Faktoren. Man hat 3X5^ 3-43^3-43-43 5X3^- 5-1-54-5 --(1-41-1-14-1-1-1) 4414-14-1-414-1) ^(14-14-14-14-1), — 3-434-3-43^3 also 3X5--5X3. 4. Der Koeffizient kann als Faktor der Buchsta¬ bengröße betrachtet werden, vor welcher er steht. Z. B. 3n —n-4 n-4 n — n X 3 —3 Xn. 8. 27. Unter dem Produkte von drei oder mehreren Größen versteht man die Größe, welche erhalten wird, wenn man das Produkt zweier Größen mit der dritten, daß neue Produkt mit der vierten, n. s. w. multiplizirt. Wenn mehrere Faktoren mit einander zu mul- tipliziren sind, so ist es für das Produkt gleichgiltig, in welcherOrdnung di e Multiplikazion v errichtet wird. Man betrachte zuerst das Produkt dreier Faktoren a, K und e. Weil b.a —o.b, so ist auch u.lr.o —a.o.t,. Weil ferner a.o — a.u, so ist a.o.b —o.kr.b. Eben so folgt o.n.b —o.b.s, o.b.n —b.o.n, b.o.a —k.a.o. Man hat daher — o.a.b — o.h.n — b.o.k — k.n.o. Dieselben Folgerungen lassen sich auch für mehr als drei Fak¬ toren durchführen. 8. 28. In Hinsicht der Ausführung der Multipli kazion al¬ gebraischer Ausdrücke sind drei Fälle zu unterscheiden: entweder sind beide Faktoren einfache Ausdrücke, oder ist ein Faktor zusam¬ mengesetzt und der andere einfach, oder es sind beide Faktoren zu¬ sammengesetzte Ausdrücke. 19 1. Wenn beide Faktoren einfache Ausdrucke sind. Da in jedem der Faktoren Buchstabenausdruck, Koeffizient und Zeichen zu berücksichtigen sind, so hat man auch im Produkte auf diese drei Stücke Rücksicht zu nehmen. s) Was erstlich die Buchstaben anbelangt, so kann man solche nicht so, wie besondere Zahlen, wirklich multipliziren; ihr Produkt wird bloß angezeigt, indem man sie, wie schon in der Ein¬ leitung gesagt wurde, ohne Zeichen, und zwar wegen der leichtern Uebersicht in alphabetischer Ordnung, neben einander stellt. So wird das Produkt aus a x und b^ durch ubx^ angezeigt. Kommen in den Faktoren gleiche Buchstaben, oder was das¬ selbe ist, Potenzen derselben Wurzel vor, so geschieht ihre Multi- plikazion nach dem Satze: Potenzgrößen derselben Wurzel werden mul- tiplizirt, wenn man die gemeinschaftliche Wurzel beibehält, und ihr zum Exponenten die Summe der Exponenten in den Faktoren gibt. Um die Richtigkeit dieses Satzes einzusehen, sei a'" mit u« zu multipliziren. enthält u mmal, uv »mal als Faktor; mithin kommt in der Faktor a zuerst mmal, dann nmal, also im Ganzen (m-s-v)mal vor; das Produkt ist also folglich s,--- .g.» So ist z. B. — b) Der Koeffizient des Produktes wird erhalten, wen» man die Koeffizienten der beiden Faktoren multiplizirt. Ist z. B. 3 u mit 5 b zu multipliziren, so hat man 3aX5b^3X»X5Xd^3><5XaXH^15ab. o) In Beziehung des Zeichens im Produkte gilt der Satz: Zwei gleichbezeichnete Faktoren geben ein positives, zwei ungleich bezeichnete Faktoren ein negatives Produkt. Ist nämlich u mit b zu multipliziren, so ist das Produkt hin¬ sichtlich seiner Größe ab; in Bezug aus die Zeichen können vier Fälle vorkommen. Es sei erstlich -ffu mit -ff b zu multipliziren. Dabei hat man aus -ffu ein Resultat so zu bilden, wie -ffb aus der Ein¬ heit entstanden ist; -ffb ist aus der Einheit entstanden, indem man die Einheit b mal als Addend setzte; man wird daher auch -ff u bmal als Addend setzen, wodurch man gewiß eine positive Größe erhält; also -ff A. -ff b -ff u -ff cl -ff u -ff ... bmal -ff g, b. Ist -ff a mit — b zu multipliziren, so muß man aus -ff u ein Resultat nach dem Muster von —b bilden; —b ist aus der Einheit entstanden, indem man die Einheit bmal als Subtrahend setzte; man muß also auch -ffrr bmal als Subtrahend setzen; -ff» als Subtrahend gesetzt gibt — u, und dieses bmal genommen, ge¬ wiß ein negatives Resultat; man hat daher -ffu. — b — — g, —u — n, — ... b mal — — ab. 2" 2« Bei dem Produkte —rr.-j-b schließt man: -s-b ist aus der Einheit entstanden, indem man die Einheit bmal als Addend ge¬ setzt hat; man mnß daher auch — a, bmal als Addend, also mit unverändertem Zeichen nehmen, wodurch sicher eine negative Größe zum Vorschein kommt; folglich — rr.-j- k —— n — a.— n — ... i> mal — — ab. Ist endlich —n mit —b zu multipliziren, so muß man aus —n, nach dem Vorbilde von —b eine neu« Zahl entstehen lassen; — b ist aus der Einheit entstanden, indem man die Einbeit bmal als Subtrahend setzte; man wird daher auch — a. bmal als Sub- trabend, also mit geändertem Zeichen setzen, wodurch man bmal-j-a, und mithin ohne Zweifel eine positive Größe erhält; also — n. — b n Z—n, Z- a —b ... bmaln^Z—ab. Es ist also -j-a.-j-b —-j-ab, Z-a. —b —— ab, — a.-j-b —— ab, — a.—b —-j-ab; wodurch der oben aufgestellte Satz erwiesen ist. Zum bessern Verständnisse sollen dieselben Schlüsse an beson¬ der« Zahlen durchgeführt werden; z. B.: -s-4.-s-3^Z-4-s-4Z-4^-b12, -s-4.—3^ — 4 —4 —4--- — 12, -4.-s-3^-4 — 4 — 4^ — 12, — 4 . — 3 — -j- 4 -j- 4 -j- 4 -h-12. Sind mehr als zwei Faktoren mit einander zu multi- pliziren, so gilt in Bezug auf das Zeichen des Produktes Folgendes: Wenn alle Faktoren positiv sind, so ist auch das Produkt positiv. Sind alle Faktoren negativ, so geben je zwei ein positives Produkt; daher wird auch das ganze Produkt positiv sein, wenn eine gerade Anzahl negativer Faktoren vorbanden ist, und negativ, wenn jene Anzahl eine ungerade ist. Hat man tbeils positive, theils negative Faktoren, so richtet sich das Zeichen des Produktes bloß nach der Anzabl der negativen Faktoren; das Produkt fällt nämlich positiv oder negativ aus, je nachdem jene Anzahl eine gerade oder ungerade ist. Beispiele. 1) 2ab.7orl—14abo. — 2 ab — ... 9) l8x)i^ss-5x^2-3x^).12x^^... 10) (5-i2I)'-s-7-r-'b^—5-r*b-3.-r°).—4-r^b*- ... K. 30. 3. Wenn beide Faktoren zusammeugesetzte Ausdrücke s i n d. 22 Es sei u -j- b -j- o mit m -j- n -j- p zu multipliziren. Hier hat man aus a-s-b-s-o ein Resultat so zu bilden, wie rn-s-n-j-p aus der Einheit entstanden ist; in-j-n-j-p ist aus der Einheit heroorgegangen, indem man zuerst m, dann n, endlich p bildete, und diese Größen addirte; man wird daher auch aus u-j-d-j-o zuerst ein Resultat nach dem Vorbilde von in, dann eines nach dem Vorbilde von n, endlich eines nach dem Vorbilde von p entstehen lassen, oder was eben so viel heißt, man wird u-j-b-j-o zuerst mit in, dann mit n, endlich mit p mnltipliziren, und diese Resul¬ tate addiren. Es ist also srr -ssb>'-f- o) (m -s- n -s- p) — (u -s- b -s- o) . in -s- (rr -h- l> -s- n) . n -s- (u -j- b -j- o).p, d. h. ein zusammengesetzter Ausdruck wird mit einem zusammengesetzten multi plizirt, wenn man den ganzen einen Faktor mit jedem Theile des andern multipli- zirt, und diese T h e il p r o d u k t e a d dirt. Beim Multipliziren geordneter Ausdrücke ist es am zweckmäßig¬ sten , die einzelnen Theilprodukte so unter einander zu stellen, daß jedes folgende um ein Glied weiter gegen die Rechte gerückt wird, weil sich in vielen Fällen die so unter einander stehenden Größen reduziren lassen, Beispiele. 1) (3u-j-4d) (4a—36)--s3u-ss46).4oss- (3u->46l.-3ck — 12ne-j-16do—-9a,ä — 12 li ck. 2) (s-j-b) (n — st) —g? — b? - -j-n ss- — ab — l>2 Dieses Beispiel führt auf folgenden merkwürdigen Satz: Die Summe zweier Größen m u l t i p l i z i r t mit ihrer Diffe¬ renz, gibt die Differenz ihrer Quadrate. 3) (2x-ss3^) (2x — 3^)—4x? — 9^2. 4) — 2x -ss 1 6x —3 6xb—12x2 gx — Zx^ gx — 3 öxb—lstx^ -ss12x —3. 5) 4x2— ^,2 4x2-j- 4xx -ss- I6x"—I6x^-j- 4x2^2 -j-16x2)-— 16x2^2^4x7» -j- 4x2^2_-4x^2 16x' — 8x^2 23 6) (a,'—it'4"a'— L-^-1) (s, ff- 1)— n.'4^"1- 7) (n'-s-Ä'-s-^-s-Ä-s-l) (a —1)----»'-1. 8) (x —2^ —32)(3x-j-2x —2) — — X?-4 X )- — 10 X 2-4 — 4^24-82' 9) (4 s'—12a.'d'4-9 d«) (2 a' —3d')--- -----8a° —36a'd'-s-54a'd°- 27 k». 10) (1 —2x4-3x'—4x') (1 —3x-s-5x' —7x')--- -----1 — 5 x 4- 14 x' — 30 x' 41 x'— 41 x' -s- 28 x«. 11) (3x°- 2x4-1) (x-1) (3x^5) ----- (3x'—5x'^-3x—1) (3x^5) ---9x' —16x'-s-12x—5. 12) (-t' — 2a--Z) (a'-2u-j-3) (a'4-2a —3)---- — L«-2a' — 7 n'-s-20 n' —21 n' —18 a 4-27. 13) (x4-1) (x^2) (x-s-3)^x'4-6x'^11x4-6. 14) (g. -s- d 4" o) (it 4- d — o) (n, — d -4 o) (— it 4-d 4- e) — — — »' -4 2 d' 4^ 2 a.' o° —d' -s- 2 d° o' — o'. Man verrichte noch folgende Multiplikazionen: 15) (16x'4-4x')-'-4)-') (4x'—;-'); 16) (d'°> —2d"o'"4-o'")(4d'° —5o»>); 17) (2a'd— 3ad'— 4d'4-v) (2rt'd— 3sd'-44d°—o); 18) (x—1) (x-f-2) (x—3) (x-j-4); 19) (a,'4-b'-4 o'-4 2 » d— 2-tv-42 d o) (n' -4 d' — v? — 2nd); 20) (3-t — d) (-t'-2ad-43d') (2-r' — 3d'); 21) 2x (L'-3a-44)-45n(x'-2x-3) (x —5); 22) t7s —5d) (-t-f-2 b --3) — (3-t —b) (2a —d-4 5); 23) (4x°-3x-s-2) (3x'-42x—1) (x°-2x-3). Sind die dekadischen Zahlen N-----ä.10°4-o.10'-4d.10 4-it, ds — r. 10? -s- i-10 -s- p mit einander zn multipliziren, so erhält man folgende Theitprodukte: 6 r. 10'-^ or. 10' -s-dr. 10' -f-»r. 10° 4- 6g. 10' 4- o tj. 10' -s-d H. 10° 4- a 9-10 -4 cl p. 10°-s-o p. 10'-s-d p. 10 4^ a p. In der Form dieser Theilprodukte sind die Regeln für das dekadische Multipliziren begründet. V. Vom Dividiren algebraischer Größen. §. 31. Aus dem im K. 11 aufgestellten Begriffe der Division ergeben sich unmittelbar folgende Sätze: 1. Der Ouozient muß mit dem Divisor multiplizirt den Dividend geben. Ist a:d —o, so muß do —a sein. 24 2. Wenn man das Produkt zweier Zahlen durch die eine dieser Zahlen dividirt, so erhält m a n d i e a n d e r e z u m Q u o z i e u t e m Ist » das Produkt zweier Zahlen d und «, also n — t>o, so muß a:b — o und u:o —l> sein. 3. Jede Zahl durch sich selbst dividirt gibt 1, und jede Zahl durch 1 dividirt gibt sich selbst zum Q u o z i e n t e n. Weil a — n X 1, so muß u : n — 1 und n : 1 — n sein. 4. Der Quvzient OiO —H kann jede beliebige Zahl vorstellen, und ist somit das S h m b o l der Unbe¬ stimmtheit. Da man nämlich sowohl 0 — 1X0, als auch 0 — 2X0, oder 0—5X0, oder allgemein 0 — a XO setzen kann, so folgt auch um¬ gekehrt 0:0 — 1, oder 0:0 — 2, oder 0:0 — 5, oder allgemein 0:0 — u, wo u jede beliebige Zahl bedeuten kann. K. 32. Beim Dividiren algebraischer Ausdrücke können vier Fälle vorkommen: entweder sind Dividend und Divisor einfache Ausdrücke, oder ist der Dividend zusammengesetzt, und der Divisor einfach, oder ist d^r Dividend einfach und der Divisor zusammengesetzt , oder es sink Dividend und Divisor zusammengesetzte Ausdrücke. 1. Wenn Dividend und Divisor einfache alge braische Ausdrücke sind. In diesem Falle wird auch der Quvzient ein einfacher Aus¬ druck sein, und man bat bei dessen Bestimmung auf die Buchstaben- große, den Koeffizienten und das Zeichen Rücksicht zu nehmen. -0 Um die B u ck sta b e n g r v ß e des Quozienten zu finden, überlege man, daß der Buchstabenausdruck des Quozienten mit jenem des Divisors multiplizirt die allgemeine Größe des Dividends geben muß; dieses ist nur möglich, wenn der Quvzient alle jene Buch¬ staben des Dividends enthält, die nicht im Divisor vorkommen. M a n fin d et also die allgemeine Größe d e S Qno zi en ten, wenn man diejenigen B u chstabendesDividendS, welche im Divisor v orko mmen, wegläßt; die übrig bleibend e n bilden den Buchstabenausdruck des Quozienten. So ist ubveUuv — lack. Oft geschieht es, daß dec Divisor Buchstaben enthält, die im Dividende nicht vorkommen, die man also in demselben auch nicht weglaffen kann; in diesen Falle kann die Division durch jene Buch¬ staben nicht wirklich verrichtet werden, man zeigt die Division durch dieselben nur an, indem man sich dabei der Bruchsorm bedient. Z. B. a b o : b ock — . 25 Wenn im Dividend nnd Divisor Potenzen derselben Wnrzel Vorkommen, so ist in Bezug ans den Quozienten die Un¬ terscheidung zu machen, ob der Exponent im Dividend größer, gleich oder kleiner ist, als der Exponent im Divisor, Man soll n'" durch -r" dividireu, und es sei erstlich m > n. Hier kommt n im Dividend iniual, im Divisor nmal als Faktor vor; läßt man nun die gleichen Faktoren beiderseits in gleicher Anzahl weg, so bleibt g, im Dividend noch (in-n)mal als Faktor übrig; der Quozient ist also n"'-". Für nr>n ist also -r" : n" — , d. h., wenn eine höhere Potenz durch eine niedrigere Potenz derselben Wurzel dividirt wird, so ist der Quo- zient gleich der gemeinschaftlichen Wurzel erhoben zu einer Potenz, deren Exponent gleich ist dem Exponen- ten des Dividends, weniger dem Exponenten des Di¬ visors. Ist ra — ii, so hat man: Wenn endlich m) Der Koeffizient im Quozienten wird gefunden, wenn man den Koeffizienten des Dividends durch den Koeffizienten des Divisors dividirt; denn der so gefundene Koeffizient im Quozienten wird gewiß mit dem Koeffizienten des Divisors multiplizirt wieder den Koeffizienten des Dividends geben. o) In Hinsicht des Zeichens können im Dividend und Di¬ visor vier Fälle Statt finden. Es sei erstlich ff- u durch ff- ki zu dividiren. Der Quozient, welcher hinsichtlich seiner Größe i, heißen mag, muß mit dem Divi- sor ff-l> multiplizirt den Dividend ff-u geben; nun kann nnr eine positive Größe mit einer positiven multiplizirt ein positives Produkt geben; der Quozient --15a«b-): — 3a-l>- 7) (2a- — 6a1?-s-30aoZ — 12g?Z) : 2a — ... 8) (4abo-— 6 a^b-s-3 ab-o) : 5a?l>-— ... 9) (5ax^ -s- 4a-x^ — 3g?x- -s- 2a^x-): 5a^x- —... 8. 33. 3. Wenn Dividend und Divisor zusammengesetzte algebraische Ausdrücke sind. Das in diesem Falle zu beobachtende Divistonsverfahren laßt sich am besten ans der Art und Weise ableiten, wie der Dividend durch die Multiplikazion aus dem Divisor und Quozienten entstehet, wie die Theile des Divisors und Quozienten in ihrem Produkte, dem Dividende, zu einander gestellt erscheinen. Ist der Divisor a-s-b-s-o, der Quozient m-s- n-s-p, so erhalt man durch die Multiplikazion, wenn die Theilprodnkte unter einander geschrieben werden, Dtvisor a -s- b — s- c Quozient m -fi n -s- l am -s- km -f- cm Dividendan -s- bn -s- on Ist- nx -s- bp -f- op. Der erste Theil am des Dividends ist das Produkt aus dem ersten Theile a des Divisors und dem ersten Theile m des Quozien- teu; man erhält daher den ersten Theil des Quozienten, wenn man den ersten Theil des Dividends durch den ersten Theil des Divisors dividirt. — Bildet man nun die Bestandtheile, welche m im Pro¬ dukte hervorgebracht hat, indem man den ganzen Divisor mit m multiplizirt, und zieht dieses Produkt vom Dividende ab; so ist der erste Theil an des Restes das Produkt aus dem ersten Theile a des Divisors und dem zweiten Theile n des Quozienten. Wird da¬ her dieser erste Theil des Restes durch den ersten Theil des Divisors dividirt, so erhält man den zweiten Theil des Quozienten. — Wenn man das Theilprodukt, welches n im Dividende hervorbrachte, näm¬ lich das Produkt aus dem ganzen Divisor und aus n, von dem srühern Reste abzieht, so ist der erste Theil des Restes ap, welches das Produkt aus dem ersten Theile a des Divisors und dem dritten Theile p des Quozienten vorstellt. Man findet daher den dritten Theil des Quozienten, wenn man den ersten Theil des letzten Restes durch den ersten Theil des Divisors dividirt u. s. w. Beim Dividiren eines zusammengesetzten Ausdru¬ ckes durch einen zusammengesetzten ist daher folgendes Ver¬ fahren zu beobachten: Man dividire den ersten Theil des Dividends durch den ersten 28 Theil des Divisors; dadurch erhält inan den ersten Theil des Quo¬ tienten; sodann wird der ganze Divisor mit dem gefundenen ersten Theile des Quozienten mnltiplizirt und das Produkt vom Dividende abgezogen. Der erste Theil des Restes wird wieder durch deu er¬ sten Theil des Divisors dividirt, wodurch der zweite Theil des Quo¬ zienten zum Vorschein kommt; mit diesem multiplizirt man deu gan¬ zen Divisor und zieht das Produkt von dem früher» Reste ab. Der erste Theil des neuen Restes durch den ersten Theil des Divisors dividirt, gibt den dritten Theil des Quozienten. Auf diese Art wird die Division fortgesetzt, bis alle Theile des Dividends in Anspruch genommen wurden; bleibt zuletzt kein Rest, so ist der erhaltene Quo- zient vollkommen genau; bleibt ein Rest übrig, so ist dieser noch durch den Divisor zu dividireu, der Quozient davon wird jedoch nur angezeigt und in Bruchform dem früher erhaltenen Quozienten angehängt. Beim Anschreiben des Restes muß immer darauf gesehen wer¬ den, daß derselbe so geordnet erscheint, wie es Dividend und Divi¬ sor sind. Beispiele. 1) (61'AUP—12ät'Am -j-5abnp — lOabelw): (np—26m) — 6bZst-5a,b 6t^»p — 126k^m '— st-_ -j-5abnp — lOabsim -s- 5abnp - - lOubckm - st- 0 2) (3-r V — »bx^— 2b'^st : fax— b^) — 3ax st- 2b^ 3u?x- — 3u,bxy — st- -s- 2abx^— 2b^'^ -^2abx7 —2b^ - st- 0 3) (»2 — bst : (ir-j- b) — » — b rr^st-ab — ab— b^ — »b-—b" 0 Dieses Beispiel gibt mit Worten ausgedrückt den Satz: Die Differenz zweier Quadrate, dividirt durch dieSumme ihrer Wurzeln, gibt die Differenz der Wurzeln. 2S Eben so erhält man 4) (a-— b-): (a— b) — a-f-b, d. h. die Differenz zweier Quadrate, dividirt durch die Differenz ihrer Wurzeln, gibt die Summe der Wurzeln. 5) (6a* — 5a- -s- 4a- -s- 11 a — 4): (2a- 3a -f- 4) — 3a- -s- 2a -1 6a* —9a--f-12a- — — -f-4a--8a--s-11a 4a- — 6a- -f- 8a — -h- — _ — 2a- -f- 3 a — 4 — 2a--f-3a-4 0 6) (2x-—x-^—3xv-—4yb): (x-—2xy—v-)—2x-f-3y-f-^H^^ 2x-—4x-^—-2x)?- — -h-_ -f- 3 x v — xv -—4v - -l-3x-v—6xv--3)'- - -l- -)-5x^-— 7) (x* — t): (x — 1) — x- -f- x- -f- x -f- 1. 8) (a-— 6°) : (a-f- b) — a-— a*b -f- a-b- — a-b- -s- ab*— b-, 9> (15x* -f- 8x-^ — 41x-^- -h- 10xv- -h- 8v*): (5x--h 6x^ — 8)l-) ---3x-— 2x)" — 10) (4 -h- 5a — 16a- — 4a- -s- 4a*-5a--f-4a«): (1-f-2a—3a-—4a-> --- 4 — 3a -f- 2a- — a-. 11) (81x° - 16) "): (3x- - 2^-) 27x" -f- 18x^-> 12x-)'»-s-8)'°. 12) (32a'°x' - 243v-0 - (2a-x — 3)-) — I6a-x* -f- 24a"x-y -f- 36a*x-v- 54a-xy- -f- 81 v* 13) (6x* — 11x- — 9x--i- 19x —5): <3x 1) --- 2x-—3x- -4x-f'5. 14) <2 — 7x -f- 16x- — 25x- -f- 24x* — 16x°) : (2 - 3x -)- 4x-) ^-1 — 2x-f-3x- —4x-. 15) (m* — 2m-n- -f- n*): sm- -f- 2mn -s- n-) — m- — 2mn -f- n-. 16) (30a° — 21a* — 2a- -h- 26a- - 89a 15) : (2-,- - a -f- 3) — 15a- — 3a- — 25a -f- 5. Man entwickle noch folgende Qnozienten: 17) (a-^k'):la-l-b); 18) (20a-—18a*6-f-4a-k-): (4a- - 2a6); 19) (m- 6m* -f- 4m- — 4m- -f- m — 1) : (m- -f- 5m 1); 20) (12a* 5a-6 — 16a-b- - 13ab- — 6b*) - (4a- — ab - 6b-); 21) (4x*-12x--s- 13x- —6x-f- 1) : (2x-- 3x-f-1); 3« 22) (243a° - 405a* -4 270a- — 90a--4 15a— 1) : (9a--6a>1) ; 23) (32—80x Z- 80x- 40x»>10x* -4x»): (8-12x-46x-4-x»); 24) (a» -j- 2a^b — 2-i°b2 - 6n°i>- -4 6a»b° -s- 2^» — 2->b' — b») : (a- 4- 3a»b 4- 3ab» 4- K-). Nimmt man die dekadische Zahl str. 10° -4 (or -4 st«) .10*-4 (dr-4o9-4op). 10? -4(asl4-bp).10Z-Lp, welche sich der leichtern Uebersicht wegen anch so schreiben läßt: str.10-4- or 1.10* -4 br .10»-4ar .10--4 nest. 10 -4 ap -j-stq! 4-09 4-dcj 4-bpI 4- 6x -4 op als Dividend, und die Zahl ä. 10» -4 0. E 4-b. 10-4 a als Divisor an, so wird sich durch das allgemeine Divisionsverfahren r. 10» 4- 9 10 -4 p als Quozient ergeben, und man wird daraus die Regeln für das Dividiren dekadischer Zahlen ableiten können. 8. 34. 4. Wenn der Dividend ein einfacher und der Di¬ visor ein zusammengesetzter Ausdruck ist. In diesem Falle kann die Division nicht wirklich verrichtet werden; sie wird bloß angezeigt, indem man den Qnozienten in Brnchsorm ausdrückt. Z. B.: Es ist oft zweckdienlich, den Quozienten in diesem Falle als eine ohne Ende fortlaufende Reihe von Gliedern, in denen sich eine gewisse Gesetzmäßigkeit kund gibt, darzustellen; man wendet zu diesem Ende das für die Division zweier zusammengesetzter Ausdrücke auf¬ gestellte Verfahren an. So findet man a : (1 — n) — a -4 a» -4 n» -4 n* -4 «- - er — a» -Z- -4 0? -4 a» - a» - si- -4 a" 4- L- — a* - - -4 a* u. s. w. Eben so ist x : (1-4x-)--x — x- 4-x- — x"-4 .. . 3l >«) Die Entwicklung des Quozienten in eine Reihe kann auch dann angewendet werden, wenn der Dividend zwar zusammengesetzt ist, aber die Division nicht ohne Rest aufgehet. Z. B. (x-1) : (x-s-l)--l---s-^-^ ... X ° x' x' 1 -2 — 2— X - fi- X X x' 2 x' Eben so findet man ... Es ist Anfängern anzurathen, daß sie die Gesetze, welche in den voranstehenden Reihen vorherrschen, mit Worten ausdrücken. Eigenschaften des Produkts und des Quozienten. 8- 35. Das Produkt enthält den einen Faktor so oft, als in dem andern Faktor Einheiten vorkommen; der eine Faktor stellt also einen Theil des Produktes vor, und der andere Faktor ist die Zahl, welche anzeigt, wie oft ein solcher Theil im Produkte als dem Ganzen vorkommt. 1. Wenn ein Theil des Produktes 2, 3, ... mmal so groß wird, als er früher war, die Anzahl dieser Theile aber unverändert bleibt, so wird auch das Ganze, das neue Produkt, 2, 3,... mmal so groß, als es vorhin war. Das Produkt wird also 2, 3, ... mmal so groß, wenn der eine Faktor 2, 3, ... mmal so groß wird und der andere Faktor ungeändert bleibt; oder: Ein Produkt wird mit einer Zahl multip lizirt, wenn man den einen Faktor damit multiplizirt und den andern Faktor un geändert läßt. Allgemein ist (a X i>) X m — n m X — u X m. Es wäre daher ganz unrichtig, wenn man, um ein Produkt mit einer Zahl zu multipliziren, jeden Faktor damit multipliziren, und (nXi))Xm —smX^vn setzen würde. 2. Wenn ein Theil des Produktes 2, 3, ... mmal kleiner 32 wird, und man eben so viele solche Theile deibehält, so wird auch das Ganze, das neue Produkt, 2, 3, ... mmal kleiner als früher ausfallen. Daraus folgt: Ein Produkt wird durch eine Zahl dividirt, wenn man einen Faktor dadurch dividirt und den andern Faktor ungeändert läßt. Allgemein (a-X 6):m — (n:m)X 6 — n X 3. Wenn man einen Theil des Produktes 2, 3, ... mmal so groß, dagegen aber von solchen großer» Theilen 2, 3, ... in mal weniger annimmt, so bleibt das Ganze nngeändert. Ein Produkt wird daher nicht geändert, wenn man den einen Faktor mit einer Zahl multiplizirt, und den andern Faktor durch dieselbe Zahl dividirt. Allgemein n X « rn X — (a:m) X 6 m. 36. Der Quozient zeigt an, wie ost der Divisor als Theil in dem Dividende als Ganzen enthalten ist. 1. Wird das Ganze 2, 3, ... mmal so groß angenommen, so wird derselbe Theil darin 2, 3 ... mmal so oft enthalten sein; wenn also der Dividend bei ungeändertem Divisor 2, 3, ... mmal so groß wird, so muß auch der Quozient 2, 3, ... mmal so groß werden, als er früher war; oder: Ein Quozient wird in i t einer Zahl multipli¬ zirt, wenn man den Dividend damit multiplizirt, den Divisor aber ungeändert läßt. Allgemein (n:l>) X m —am: b>. 2. Wenn das Ganze ungeändert bleibt, »nd man nimmt eine» feiner gleichen Tbeile 2, 3, ... mmal kleiner an, so wird ei» sol¬ cher Theil in dem Ganzen 2, 3, ... mmal so oft enthalten sein, als einer der früher« Theile. Ein Quozient wird daher mit einer Zahl m n ltb p lizirt, w e n n m a n d e n D i v i s o r d a d nrch dividirt und den Dividend nngeändert läßt. Allgemein (a:l>) X a:(l>:m). Aus diesen beiden Sätzen folgt, daß man einen angezeigten Quozienten auf zweifache Art mit einer Zahl multipliziren könne, entweder indem man den Dividend damit multiplizirt, oder indem man den Divisor dadurch dividirt. 3. Wenn man das Ganze 2, 3, ... m mal kleiner annimmt, so wird derselbe Theil darin auch nicht mebr so oft als früber ent halten sein, sondern die Zahl, welche dieses anzeigt, 2. 3, . .. mmal kleiner werden, als sie es vorder war. 33 Ein Qnozieut wird daher durch eine Zahl divibirt, wenn man den Dividend dadurch dividirt, und den Divisor n n verändert laß t. Allgemein (u, : b) : m — (a : m- : b. 4. Wenn das Ganze ungeändert bleibt, und man einen seiner gleichen Theile 2, 8, ... mmal größer annimmt, so wird die Zahl, welche anzeigt, wie ost einer dieser größern Theile in dem ungeän¬ derten Ganzen verkommt, offenbar 2, 3, .. . mmal kleiner, als srü- der ausfallcn. Daraus folgt: Ein Qnozient wird durch eine Zahl dividirt, wenn man d e n D i v i s or damit m n l t i p l i z i rl, und den Dividend un geändert läßt. Allgemein (n: b) : m — n : bin. Ein angezeigter Qnozieut kann demnach aus zweifache Art durch eine Zahl dividirt werden, entweder indem man den Dividend dadurch dividirt, oder indem man den Divisor damit multiplizirt. 5. Wenn man das Ganze 2, 3, ... mmal so groß annimmt, und wenn zugleich jeder seiner gleichen Theile 2, 3, ... mmal so groß angenommen wird, so wird ein solcher größerer Theil in dem größeren Ganzen eben so oft enthalten sein, als der ungeänderte Theil in dem nngeänderten Ganzen. Wird eben so das Ganze 2, 3, ... in mal kleiner, und auch ein Theil 2, 3, ... mmal kleiner angenommen, so wird ein solcher kleinerer Theil in dem kleineren Ganzen gerade so oft enthalten sein, als der ungeänderte Theil in dem nngeänderten Ganzen. Ein Qnozieut bleibt daher beständig, wenn man Dividend und Divisor mit derselben Zahl multi¬ plizirt, oder beide durch dieselbe Zahl dividirt. Allgemein n : b — nm : bm — (n: m): sb ' m). VI. Folgelebren der Division. l. Bon der T h e i l b a r k e i k d e r Z a h len. 37. Eine Zahl heißt durch eine andere t h e i l b a r, wenn sie durch dieselbe dividirt eine ganze Zahl zum Quozienten gibt. Der Dividend heißt in diesem Falle ein Vielfaches des Divisors, und der Divisor ein Th eil er oder ein Maß des Di- vidends. So ist z. B. 18 durch 6, ab durch n theilbar, nb ist ein Vielfaches von u, und n. ist ein Maß von n b. Durch eins und durch sich selbst ist jede Zahl theil¬ bar. Eine Zahl, welche nur durch eins und durch sich selbst theil- Algebra. ."> Aust. 3 34 bar ist, wird eine Primzahl genannt; z. B. 3, 11, 29, Jede durch einen Buchstaben dargestellte Zahl ist, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil angenommen wird, als eine Primzahl anzusehen. Eine Zahl, welche nicht blos durch eins und durch sich selbst, sondern auch noch durch andere Zahlen theilbar ist, heißt eine zusammen¬ gesetzte Zahl, z. B. 8, 15, übe. Eine Zahl, durch welche zwei oder mehrere andere Zahlen theilbar sind, wird ein gemeinschaftliches Maß von diesen letztem Zahlen genannt; z. B. 3 ist ein gemeinschaftliches Maß von 12 und 21; m ein gemeinschaftliches Maß von rrmx, bm/ und em?. Die größte Zahl, durch welche zwei oder mehrere Zah¬ len theilbar sind, beißt ihr größtes gemeinschaftliches Maß; z. B. 12, 36, 60 haben die Zahlen 2, 3, 4, 6, 12 zu ge¬ meinschaftlichen Maßen, 12 aber ist unter diesen das größte; -r d ist das größte gemeinschaftliche Maß zwischen 3n6m und 5n6n. Zahlen, welche außer der Einheit kein anderes gemeinschaft¬ liches Maß haben, heißen Primzahlen unter einander, oder relative Primzahlen; z. B. 2,9,12; eben so nl>, do, <><1, a d o ä. Eine Zahl, welche durch zwei oder mehrere andere Zahlen theilbar ist, heißt ein gemeinschaftliches Vielfaches von diesen Zahlen; z. B. 20 ist ein gemeinschaftliches Vielfaches von 2, 4, 5, 10; 8u6o6 von 2u. do, 46, 8no.6. Die kleinste Zahl, welche durch mehrere andere Zahlen theilbar ist, heißt ihr klein¬ stes gemeinschaftliches Vielfaches; so haben 3, 5 , 8 die Zahlen 120, 240, 480, . . . zu gemeinschaftlichen Vielfachen, 120 aber ist ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches; eben so ist löndm das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 5ad und 15m. 3. Allgemeine Sätze. 8. 38. 1. Haben zwei oder mehrere Zahlen ein ge¬ meinschaftliches Maß, so ist auch ihre Summe da¬ durch theilbar. Es seien a, d und o, durch m lheilbar, so läßt sich zeigen, daß auch n-s-d-s-o durch m theilbar sein müsse. Man setze n : m ---p, d:m —y, o:m — v, wo p, q, v, ganze Zahlen verstellen; so folgt n, — m p , d — m h, o — mr. Da gleiche Größen zu gleichen addirt auch gleiche Summen geben, so hat man n-s- d ^-s- o — m p -s- m o/ -s-m r ; und wenn man die beiden gleichen Aus¬ drücke durch m dividirt, (n st- d -s- o) : m — p -s- p -s- >-; die Summe rr-s-d-s-o gibt also durch m dividirt eine ganze Zahl p-s-s,-s-o zum Quozienten, oder was gleichviel ist, n-s-dss-o ist wirklich durch m theilbar. 2. Haben zwei Zahlen ein gem ei n sch a ft li ches Ma ß, so ist auch ihr Unterschied dadurch theilbar. Es sei m ein gemeinschaftliches Maß von n und 6; und zwar —p, so bat man s,—mp, l> — mq, und durch Snbtrakzion a. — b —mp—mg, oder wenn man zu beiden Sei¬ ten des Gleichheitszeichens durch m dividirt, (n — b):m —p — g, woraus folgt, daß der Unterschied n— l> durch m theilbar ist. 3. Wenn eine Zahl durch eine andere Zahl theil¬ bar ist, so ist auch jedes Vielfache derselben dadurch theilbar. Es sei n durch m theilbar , und zwar n : in — p; man hat und nr—inpr, woraus g.r:in —pr folgt; das Vielfache wr von n ist also durch m theilbar. 4. Wenn der Dividend und der Divisor ein ge¬ meinschaftliches Maß haben, so muß auch der Divi¬ sion s r e st dadurch theilbar sein. Es seien n und b durch m tbeilbar, und es gebe n durch b dividirt den Qnozienten g mit dem Reste r; so ist r— a— kg. Da n, durch m theilbar ist, serner b, somit auch das Vielfache bg durch in theilbar ist, so muß auch der Unterschied » — kg, welcher gleich r ist, durch in theilbar sein. Aus diesem Satze folgt: Jedes gemeinschaftliche Maß zwischen Dividend und Divisor ist auch ein gemeinschaftliches Maß zwi- scheu Divisor und Rest. 5. Wenn der Divisor und der Divisionsrcst ein gemeinschaftliches Maß haben, so muß auch der Divi¬ dend dadurch theilbar sein. Es gebe u durch l> dividirt den Qnozienten g mit dem Reste r, und es sei m ein gemeinschaftliches Maß von l> und r. Aus dem Begriffe der Division folgt u — bg-s-r. Wenn nun b, somit auch das Vielfache b g, und ferner r durch m theilbar stud, so muß auch die Summe bgff-r, welche gleich u ist, durch m theilbar sein. Dieser Satz läßt sich auch so ausdrücken: Jedes gemeinschaftliche Maß zwischen Divisor und Divisionsrest ist auch ein gemeinschaftliches Maß zwischen Dividend und Divisor. 6. Da nach den letzten zwei Sätzen Dividend und Divisor dieselben gemeinschaftlichen Maße unter einander haben, wie der Divisor und der Rest, so folgt: Das größte gemeinschaftliche Maß zwischen Divi¬ sor und Rest ist auch das größte gemeinschaftliche Maß zwischen Dividend und Divisor. 7. Das größte gemeinschaftliche Maß zweier Zah¬ lenwird nicht geändert, wennman eineder selben durch einen Nichtfaktor der andern multiplizirt oder di¬ vidirt. Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich unmittelbar aus dem Begriffe des größten gemeinschaftlichen Maßes zweier Zahlen. 3' 36 ,^7 K./Kennzsi chen der Lbelibarkelt bei besonderen Zablen. tz. 39. j Ist di eine besondere Zahl, in welcher n, ff, o, ä, s, ... folgsweife die Ziffern an der Stelle der Einheiten, Zehner, Hun¬ derte, Tausende. Zehntausende, ... bedeuten, so kann man U--n-ff10ff-ff lOOa-f-IOOOst-f-IOOOOs-f-.... fetzen. 1. Man hat nun, wenn idi durch 2 dividirt wird :2^2^5b^50o-f-500stst-... Ist n gleich Null oder durch 2 theilbar, so ist auch di durch 2 theilbar. Eine Zahl ist also durch 2 theilbar, wenn sie an der Stelle der Einheiten eine der Ziffern 0, 2, 4, 6 oder 8 hat. Die Zahlen, welche an der Stelle der Einheiten, 6, 2, 4, 6 oder 8 haben, werden gerade Zahlen genannt. Eine gerade Zahl wird, da sie durch 2 theilbar, also ein Vielfaches von 2 ist. allgemein durch 2m ausgedrückt, wo m jede beliebige ganze Zahl vorstellen kann. Jene Zahlen, welche an der Stelle der Einheiten 1, 3, 5, 7 oder 9 haben, heißen ungerade Zahlen. Da eine ungerade Zahl um 1 größer oder kleiner ist, als eine gerade, so ist 2m-ff 1 oder 2m — i die allgemeine Form für die ungeraden Zahlen. 2. Um das Kennzeichen für die Theilbarkeit durch 3 abzuleff len, bedenke man, daß sieb di durch Zerlegung seiner Bestandtheile auch unter folgende Form bringen läßr. N--n-ff 9K-ff b-ff 99 e.-ffo-ff 999 st-ff st-ff .... — n-ffff-ffo-ffä-ff... -ff 9 ff -ff 99a -ff 999 st -ff ... Es ist daher ^3ffff-33o.^333stff ... Eine Zahl ist also durch 3 theilbar, wenn ihre Ziffern¬ summe durch 3 theilbar ist. Eben so folgt: X:9-- ^ffl5ff^ff^_ffk-ffii<.^iiist-ff... d. h. Eine Zahl ist durch 9 theilbar, wenn ihre Ziffern¬ lumme durch 9 theilbar ist. 3. Man hat ferner: X:4^^-ff^.-ff25e-ff250st-s 2500o-f- ... Da n-ff 10 ff die niedrigsten zwei Ziffern als Zahl betrachtet verstellt, so folgt: Eine Zahl ist durch 4 theilbar, wenn die niedrigsten zwei Stellen durch 4 theilbar sind. 3? 4, Wird X durch 5 dividirt, sv bat mau X : 5 ^-4 st-2 bst-20 ost-2000-st ... o Ist -r gleich Rull oder durch 5 theilbar , so ist auch X durch 5 theitdar. Eine Zahl ist also d u r ch 5 t beilb a r, wenn sie au der Stelle der Einheiten 0 oder 5 hat. 5. Ferner erhält mau X:10^^4°.bZ- lOo-ff lOOO-^-.. . Damit X durch 10 theilbar sei, muß :i — " sein Eine Zahl ist also durch 10 th eil dar, wenn sie rechts eine Null hat. 0. Um das Kennzeichen sür die Theilbarkeit durch l 1 zu enrs wickeln, muß man wieder eine zweckmäßige Zerlegung in den Be- standtheilc» von X vornehmen; es ist X — n -st-11 b — l> 99 o »4-, o lZr 1001 st — 0 stst 9999 ost- o 4 1000011- t -st ... oder X — (rr »st» o st-- o st-< sb -st 0 -st l st- . . .) -st> 11 I) st- 09o st-10010 st- 9999e-st 1000011^ ... Daher ...) g o st- 91 ei ost- 909 o -st 9091 t-st ... Der Ausdruck -r -st ost-ost- ... stellt die Zifferusumme au der ersten, dritten, snusten, ... überhaupt au den ungeraden. Stellen, b -st Ost-1' -st ... dagegen die Ziffernsumme au der zwei ten, vierten, sechsten, . .. also an den geraden Stellen vor. Eine Zahl ist demnach durch 11 theildar, wenn der Unterschied zwischen den Z i fferu in m m e n au den un geraden und geraden Stellen Null oder eine durch 11 theilbare Zahl ist. Es gibt auch Kennzeichen sür die Theildarkeit durch andere als die bisber betrachteten Zahlen, aber sie sind verwickelter nnd in der Ausübung von keinem wesentlichen Vortbeile. e. Zerlegung in Faktoren. 8 40. Jede z n s a m m e n g e s e tz t e Zahl läßt sich in lauter P r i m s a k t o r e n zerlege». Jede zusammengesetzte Zahl muß erstlich in zwei Faktoren zer¬ legt werden können; diese lassen sich, wenn sie zusammengesetzte Zahlen sind, wieder in Faktoren zerlegen, die entweder schon Prim¬ zahlen oder selbst wieder zusammengesetzte Zahlen sind; im letzter» 38 Falle wird das Zerlegen so lange fortgesetzt, dis man zuletzt lauter Primzahlen zu Faktoren erhält. Z. B. 210--21X10 21-- 3X7 10— 2X5 daher 210-- 2X 3X5X7. Um eine zusammengesetzte Zahl in ihre Primfakla¬ ren zu zerlegen, verfährt man auf folgende Art: Man dividire die gegebene Zahl durch die kleinste Primzahl, durch die sie theilbar ist, 1 nicht mitgerecknet; den Quozienten di¬ vidire man wieder durch die kleinste Primzahl, durch die er thetl- bar ist, die frühere Primzahl nicht ausgenommen, und verfahre so mit jedem folgenden Quozienten, bis man endlich aus einen Quo- zienten kommt, der selbst eine Primzahl ist. Die nach und nach angewendeten Divisoren und der letzte Quozient sind die Primfak- toren, aus denen die vorgelegte Zahl besteht. Es soll z. B. 630 in Primfaktoren zerlegt werden. Man hat folgende Rechnung: also 630 2 X 315 -- 2 X 3 X 105 -- 2 X 3 X 3 X 35 --2X3X3X5X7. Bei einfachen algebraischen Ausdrücken stellen die einzelnen Buchstaben selbst die Primfaktoren vor; sind darin Po¬ tenzgrößen enthalten, so wird die Wurzel so oft als Faktor gesetzt, als der Exponent Einheiten enthält. Z. B. k d 6 — n . b . o; A . s) . l> . IN . m . rn. Beispiele. 3) 110at? 55ab- llnb- »5^ d- b 2 5 11 L b b H0ab---2.5.11 . » . b . b. 39 4) 21s?mx 7 n? m x o 2 »v, v a mx amx a, a- m x 3 7 mx X 21 a?m?x — Z . 7 . a . a . m . x. Schwieriger ist es , zusammengesetzte algebraische Ausdrücke in Faktoren zu zerlegen. Hier soll nur der Fall be¬ trachtet werden, wenn alle Glieder des zusammengesetzten Ausdruckes ein gemeinschaftliches Maß haben. Wenn sämmtliche Glieder eines zusammengesetz¬ ten algebraischen Ausdruckes ein gemeinschaftliches Maß haben, so kann derselbe in zwei Faktoren zerlegt werden, indem man das gemeinschaftliche Maß als den einen Faktor heraus¬ hebt; der andere Faktor wird gefunden, wenn man den gegebenen Ausdruck durch den herausgehobenen Faktor dividirt. Beispiele. 1) 3rrx—4bx—x(3u—4b). 2) 20xt — 16x--f-12x2 —4x--4x (5x° — 4x°-f-3x — 1). 3) 10x^2 -h- 15x^3 — 25x^4 —5 x)^ (2x? -f-3x^ — 5^). 4) 6o?l>2x — 3ub'x^-s- b^x^ — 3a b^xs2u^ — x -j-Zabx^). N. Auffindung des größten gemeinschaftlichen Maßes mehrerer Zahlen. s- 41. 1. Um das größte gemeinschaftliche Maß zwischen zwei oder mehreren Zahlen zu finden, zerlege man die selben in ihre Primfaktoren, und hebe unter diesen diejenigen heraus, die iu allen gegebenen Zahlen gemeinschaftlich vorkommen, und zwar jeden so oft, als er in allen Zahlen zugleich erscheint. Das Produkt dieser Faktoren ist gewiß ein gemeinschaftliches Maß der gegebenen Zahlen; es ist aber auch das größte, weil, sobald man noch einen andern Faktor hinznfügen würde, durch dieses Produkt nicht mehr alle gegebenen Zahlen theilbar wären. Beispiele. 1) Man suche das g. g. Maß zwischen 300 und 420. 300 2.2.3.5.5, 420 2.2.3.5.7, g. g. Maß^2.2.3.5^60. 2) Es soll das g. g. Maß zwischen 320, 400, 680 gesunden werden. 320 -- 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 5, 400 --- 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . L 680 — 2 . 2 . 2 . 5 . 17, / g. g. Maß 2 . 2 . 2 . 5 40. 3) Es soll das g. g. Maß zwischen 4u^6c und 6-r6r? gesunden werden. 4s?f>L — 2.2.u.u.s>.o, 6a6o^ — 2.3.U.6.V.O, g. g. Maß — 2 ubo. ' 'H 4) Das g. g. Maß zwischen lOx^v^, 20x^r? und 5x^z-^'/? ist Man suche noch das g. g. Maß 108, 450, 540; 420, 560, 620, 760; 12ueäx, 14a? oel x, 16uollx''. S. 42. 2. Das größte gemeinschaftliche Maß zwischen zwei ober meh¬ reren Zahlen kann auch unabhängig von ihrer Zerlegung in Faktoren bestimmt werden. Es seien erstlich zwei Zahlen a und 6, zwischen denen das g. g. Maß gesucht wird, und es sei a> 6. Man dividire a, durch b. Erhält man eine ganze Zahl zum Quozienten, so ist 6 ein gemein¬ schaftliches Maß von a, und 6, weil beide Zahlen durch b Heilbar find, und zwar das größte, weil kein gemeinschaftliches Maß größer sein kann als die kleinere der beiden Zahlen. Ist aber u durch 6 nicht Heilbar, so daß nach der Division noch ein Rest i-, übrig bleibt, so weiß man, daß der Dividend u und der Divisor 1> dasselbe g. g. Maß haben, wie der Divisor 6 und der Rest ; anstatt zwischen -r und 6, wird mau daher zwischen b und , das g. g. Maß suchen, was offenbar leichter ist, da 6 und n kleinere Zahlen vorstellen als u, und b. Zu diesem Ende dividirt man b durch ; geht die Division ohne Rest auf, so ist r, das g. g. Maß zwischen 6 und r,, folglich auch zwischen rr und 6. Bleibt aber ein Rest H wird mau wieder, anstatt zwischen dem Dividende 6 und dem Divisor , das g. g. Maß zwischen dem Divisor r, und dem Reste suchen, indem man i'i durch i-2 dividirt. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis endlich eine Division ohne Rest aufgeht; der letzte Divisor ist ans den eben entwickelten Gründen das gesuchte g. g. Maß zwischen u und 6. Daß aber zuletzt die Division ohne Rest anfgehen müsse, ist leicht einzusehen; der jedesmalige Rest ist eine ganze Zahl und we¬ nigstens um 1 kleiner als der Divisor, dieser Rest wird in der fol¬ genden Division zum Divisor, folglich muß der neue Nest noch klei¬ ner ausfallen, so daß im ungünstigsten Falle noch so viel Divisionen, als der Divisor Einheiten enthält, ein Rest — 0 herauskommen, 41 d. i. die Division ohne Rest ausgehen muß. Der vorhergehende Rechnnngsgang läßt sich durch folgende Darstellung versinnlichen: Dividend u, Divisor b, Rest r>, ,, 6, ,, r'i, ,, n - -- r, > r°2, „ , -- ^2, ,, H, ,, 0, vz ist das g. g. Maß von rr und h. Für die Ausfindung des g. g. Maßes zweier Zahlen dient daher folgendes Verfahren: Man dividire die größere der beiden Zahlen durch die klei¬ nere, sodann den Divisor durch deu Rest, den neuen Divisor durch den neuen Rest u. s. f., bis endlich eine Division ohne Rest auf¬ geht; der letzte Divisor ist das g. g. Maß der zwei gegebenen Zah¬ len. Ist der letzte Divisor 1, so sind die beiden Zahlen relative Primzahlen. Dieses Verfahren läßt sich vorzüglich bei besondern Zahlen und bei zusammengesetzten algebraischen Ausdrücken mit Vortheil an¬ wenden. Bei den letzter« muß oft, um die nachfolgende Division bequem zu verrichten, der Divisor mit einem Nichtfaktor des Restes multiplizirt, oder der Rest durch einen Nichtfaktor des Divisors di- vidirt werden, was, wie gesagt wurde, das g. g. Maß nicht ändert. 0 2 91 g. g. Maß — 1; 377 und 848 sind also rela¬ tive Primzahlen. 637 4277 182 455 0 4) Zwischen 7774 und 3718 findet man das g. g. Maß 338. 5) Zwischen 27671 und 21708 ist 67 das g. g. Maß. 6) Zwischen 61778 und 35234 ist 158 das g. g. Maß. Beispiele. 1) Man suche das g. g. Maß zwischen 1134 und 3654. 3654:1134 — 3 mit dem Reste 252 oder 1134 3654 3 1134: 252 — 4 . 126 126 252 4 252: 126 — 2 „ „ „ 0 — g. g. Maß —126. 2) Man suche das g. g. Maß zwischen 637 und 4277. 6 g. g. Maß — 91. 1 2 2 3) Es soll das g. g. Maß zwischen 377 und 848 gefunden werden 377 848 2 1 94 . - 0 42 7) Es soll das g. g. Maß zwischen 3a?— — und — k? gesucht werde». (3a»-2a^ — 3ai)2-^a^2b^d) : — b?) — 3a - 2 3a.» — 3ab- _ -6 — 2^2 er -s- 2b^ -s- b — 2^ U-2b"- 4- _ H_ -s- a -s- b Rest. (a^ — s>2) : (a -4 6) — a — b. Das gesuchte g. g. Maß ist also der letzte Divisor a. 4-6. 8) Man suche das g. g. Maß zwischen 10x2-j-14x —12 und 7x2-^22x-s-16. Damit die Division der beiden Ausdrücke in ganzen Zahlen verrichtet werden könne, multiplizire man den ersten mit 7, welche Zahl kein Maß des zweiten Ausdruckes ist; man hat dann: (70x2-4 98x— 84) : (7x2^22x4-16)^10 70x2 4-220x4-160 - 122x —244 Rest, durch —122 dividirt, x-s-2. (7x2-s-22x-s-16) : (x 4-2)---7x4-8 7x2-414x -4 8x -4 16 Das g. g. Maß ist also X -4 2. 4-8x4-16 0 9) Das g. g. Maß zwischen 4x--16x2-s-23x- 20 und 6x2 —7x —20 ist 2x — 5. 10) Das g. g. Maß zwischen 6?2-416^2-22^ 4-40 ""d 972—27^2-4.35^-25 ist 372-47-45. Es soll das g. g. Maß gefunden werden: 11) zwischen 50149 und 51119; 12) „ 3552 und 5143; 13) „ 8658 und 1405; 14) „ 39215 und 73997; 15) „ 55660 und 66055; '16) ,, x2 — 49x — 120 und x2-4 10x4-25; 17) „ a,2 — u2^_^3^^2 — 3t)2 »ud a? — 5a6-4462; 18) „ 6x» —4x«—11x° —3x2-3x —1 und 4x«-42x2— 18x2-43x —5; 19) „ 36 a,« —18 »2 — 27^-4 9 a.2 und 27^262-18a«62-9»2b2; 43 -fid 2 20) zwischen 15x5 -s- 10x4^ -j- 4x^2 -s- 6x^3 — und 12x^^^-s-38x^/b ißxy^ — 10)'5, Z. 43. Das hier angewendele Verfahren, um das g. g. Maß zwischen zwei Zahlen zu finden, dient auch zur Auffindung des g. g. Maßes zwischen mehreren Zahlen. Ist das g. g. Maß zwischen den Zahlen u, b, o und ä zu finden, so suche man zuerst das g. g. Maß zwischen n und b, dieses sei m; dann suche man das g. g. Maß zwischen in und o, dieses sei n; endlich suche man das g. g. Maß zwischen n und ci, welches p heißen mag; p ist dann das g. g. Maß zwischen r>, b, e, 6. Man kann dieses durch folgende Zusammenstellung anschaulich machen: rr jr o ä irr ir p Nach der Voraussetzung enthält ui alle gemeinschaftlichen Fak¬ toren von g, und b; n enthält alle gemeinschaftlichen Faktoren von m und o, also auch von n, b und o; p endlich enthält alle gemein, schaftlichen Faktoren von n und ä, folglich auch von rr, l>, e nnd 0 es ist also p wirklich das g. g. Maß zwischen n, b, o nnd 0. Beispiele. 1) Man suche das g. g. Maß zwischen 1554, 3552 und 5143. 1554 355212 Zwischen 1554 und 3552 ist also 222 das 222 444!3 g. g. Maß. 02 222 5143,23 37 ist also das g. g. Maß zwischen 222 0 703 und 5143, folglich auch zwischen 1554, 37, 3552 und 5143. 2) Es soll das g. g. Maß zwischen 3x? — 2x^ — 5/--, üx^-s-9x^-s-7)^ und 2x^ — 2)^ gesunden werden. Als das g. g. Maß zwischen 3x'^—2x).—5)^ und lLx^Ox^-s-T^ erhält man x-s-^. Zwischen x-s-;. und 2x^ — 2^ ist ferner x-s-^ das g. g. Maß, welches daher zugleich das g. g. Maß zwischen den gegebe¬ nen drei Ausdrücken ist.' 44 c. Aufftuduug des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen niedrerer Zahlen. 8- 44. 1. Um das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zwischen zwei oder mehreren Zahlen zu finden, zerlege man sie in ihre Primfaktoren, und nehme aus diese» alle verschie¬ denen Faktoren, und zwar jeden so oft, als er in irgend einer Zahl am öftesten vorkommt. Das Produkt aus diesen Faktoren ist gewiß ein gemeinschaftliches Vielfaches der gegebenen Zahlen, weil es alle Faktoren einer jeden Zahl in sich enthält; es ist aber auch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache, weil man keinen jener Fak¬ toren weglaffen darf, ohne daß dieses Produkt aufhören würde, durch alle gegebenen Zahlen thcilbar zu sein. Beispiele. 1) Man suche das k. g. Vielfache zwischen 320 und 480. 320---2.2.2.2.2.2.5, 480 — 2.2.2.2.2.3.5. / k. g. Vielfaches — 2.2.2.2.2.2.3.5 —9Z0>. 2) Es soll das k. g. Vielfache zwischen 60. 108 und 1050 ge¬ funden werden. 60---2.2.3.5, 108 — 2.2.3.3.3, 1050 — 2.3 5.5.7 k. g. Vielfaches-2.2.3.3.3'.5.5.7 — 18900. 3) Es ist das k. g. Vielfache zwischen 6rrmn, lO-em^n und 5-r'o^ zu bestimmen. 6ainn — 2.3-n.nr.i!, lOnm^n — 2.5.U.M.IU.V, 5o?ir3 — 5.u.u.n.rl.n, k. g. Vielfaches — 2.3.5.u.ir.m.rn.n.n.n — Mirili«. Es ist das k. g. Vielfache zu finden: 4) zwischen 300, 620; 5) „ 120, 168, 192; 6) „ 48a?x)-, 60-rx'^v, 72:rx^. 8- 45. 2. Auch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von zwei oder mehreren Zahlen kann ohne Zerlegung derselben in Fakto¬ ren ausgemittelt werden. Es seien erstlich zwei Zahlen n und b. Haben diese kein ge¬ meinschaftliches Maß, so ist ihr Produkt nk selbst zugleich ihr k. g. Vielfaches. Sind aber a und d nicht relative Primzahlen, so sei m il n r r 45 ihr g. g. Maß, und zwar :nr —p, ft:,n —g, wo p und q kei¬ nen gemeinschaftlichen Faktor mehr enthalten können; man hat sofort g, — rnp, ft —inq. Jedes Vielfache von n muß also die Faktoren irr und x>, jedes Vielfache von ft muß die Faktoren irr und g, und daher jedes gemeinschaftliche Vielfache von n und ft die Faktoren w, p und 4 enthalten; jenes Produkt nun, welches nnr diese drei Faktoren enthält, wird gewiß das k. g. Vielfache zwischen u und ft sein. Dieses k. g. Vielfache irrpcj läßt sich auch so darstellen: m p g — irr p . H — usft: irr) — irr g . p — ft su: m). Das k. g. Vielfache zweier Zahlen wird also gefun¬ den, wenn mau zuerst ihr g. g. Maß sucht, durch dieses dann eine von den beiden Zahlen dividirt, und mit dem Qnozienten die andere mnltiplizirt. Beispiele« 1) Man suche das k. g. Vielfache zwischen 648 und 972. 6481972! 1 ' 324 ist das g. g. M. 0,324j2 648:324 — 2; 972.2 — 1944 oder 972:324 — 3; 648.3 — 1944, k. g. Vielfaches — 1944. 2) Man suche das k. g. Vielfache zwischen 880 und 904. Das g. g. Maß ist 8, daher 880:8 — 110; 904.110 — 99440 das k. g. Vielfache. 3) bs soll das k. g. Vielfache zwischen Oa^x- —4ft?)^ ,,nd 9n^x2 — 12n"ftx/--j-4ft?/* gefunden werden. Das g. g. Maß zwischen diesen beiden Ausdrücken ist 3-r^x 2ftv" Man hat dann t9a?x" — 12n^ftxy^ -j- 4ft^^ft: s3n^x — 2ft v") — 3n"x 2ft)-- und (9.-, * x-- — 4ft'^^j (3 -,2 x — 2 ft— 27 u" x-° 12 -r^ ft2 x — 18n^ftx2y-8ft2y'' das k. g. Vielfache. Man suche das k. g. Vielfache 46 8. 46. Aus der Betrachtung des oben gefundenen Ausdruckes mpq folgt, daß das k. g. Vielfache der zwei Zahlen a und 6 deren g. g. Maß nnr einmal, und zugleich die Quozienten enlhält, welche aus der Division der beiden Zahlen durch ihr g. g. Maß hervorgehen. Auf demselben Grundsätze beruhet auch das Verfahren, nm das k. g. Vielfache zwischen mehr als zwei Zahlen zu finden. Haben zwei oder mehrere unter den gegebenen Zahlen ein gemein¬ schaftliches Maß, so kann man, ohne das k. g. Vielfache zu ändern, anstatt dieser Zahlen ihr gemeinschaftliches Maß nur einmal, und zugleich die Quozienten setzen, welche aus der Division jener Zah¬ len durch das gemeinschaftliche Maß hervorgehen. Ist ferner eine der gegebenen Zahlen ein Maß von einer andern größer», so kann die kleinere Zahl, ohne das k. g. Vielfache zn ändern, ganz nnbe- rlicksichtiget gelassen werden. Für die Auffindung des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen mehrerer Zahlen kann demnach folgendes praktische Verfahren angewendet werden: 1. Man schreibe die gegebenen Zahlen in einer Reihe neben ein¬ ander, und lasse die kleinern Zahlen, welche in den größeren ohne Rest enthalten sind, weg. 2. Man untersuche, ob nicht zwei oder mehrere der übriggeblie¬ benen Zahlen ein gemeinschaftliches Maß haben. Ist "dieses der Fall, so hebt man dieses Maß links heraus, und dividirt dadurch alle Zahlen, deren Maß es ist; die Quozienten, so wie die nicht theilbaren Zahlen setzt man in eine darunter befindliche Reihe neben einander. 3. Mit dieser neuen Reihe verfährt man eben so wie mit der ursprünglich aufgestellten, und wiederholt dieses Verfahren so lange, bis man zuletzt eine Reihe erhält, in welcher lauter relative Primzahlen vorkommen. 4. Multiplizirt man dann die in der letzten Reihe befindlichen relativen Primzahlen und die links herausgehobenen Maße mit einander, so ist das Produkt das gesuchte k. g. Vielfache der gegebenen Zahlen. Beispiele. s 1) Es 45, soll das k. g. Vielfache der Zahlen 2, 3, 4, 18, 24, 32, 80 gesucht werden. 2 2 2 2 L, 2, 4, 18, 24. S, 12, 6, 3, 32, 45, 80, 16, 45, 40, 8, 45, 20, 4, 45, 10, 2, 45, s, k. g. Vielfaches 2.45.2.2.2.2 1440. 47 2) Man suche das k. g. Bielfach!' von n, 2a^ 3ab^ 12abm. k. g. Vielfaches n.b.2m.2.3.».b---l^b^m. 3) Es soll das k. g. Vielfache zwischen den Zahlen m, 2 m?, 3n, 8- 47. Ein Brnch ist eine Zal'l, welche einen oder mehrere gleiche Theile der Einheit enthält. Ein Bruch entstebt also, wenn man die Einheit in niedrere gleiche Theile theilt, und von solchen Theile» einen oder mehrere nimmt. Zur Angabe eines Bruches sind zwei Zahlen erforderlich: die eine, welche anzeigt, in wie viele gleiche Theile die Einheit getheilt wurde, sie heißt der Nenner; und die andere, welche angibt, wie viele solcher Theile genommen werden, man nennt sie den Zähler. Beim Anschreiben setzt man den Nenner unter den Zähler, und zwischen beiden einen Strich. In dem Brnche (n l> Theile) ist n der Zähler, d der Neu¬ ner; der Brnch druckt also aus, daß die Einheit in b gleiche Theile getheilt wurde, und daß man einen solchen Theil »mal zu nehmen hat; bedeutet somit den d'°" Theil der Einheit »mal ge¬ nommen. Man unterscheidet gemeine und Dezimalbrüche. De- zimalbrüche beißen diejenigen Brüche, deren Nenner eine Potenz von 10 ist, z. B. alle übrigen sind gemeine Brüche. 48 Gemeine Brüche. tz. 48. Die gemeinen Brüche werden in echte und unechte Brüche eingetheilt. Ein echter Bruch ist derjenige, dessen Zähler kleiner ist als der Nenner; jeder andere Bruch / dessen Zähler entweder gleich dem Nenner oder größer als der Nenner ist, heißt ein nn echter Bruch. Ein echter Bruch ist kleiner als die Einheit, ein unechter dagegen ist der Einheit gleich oder größer als die Einheit, Eine Zahl, welche aus einer ganzen Zahl und einem Bruche zusammengesetzt ist, heißt eine gemischte Zahl; z. B. 3z, b-z. Ein Brnch, dessen Nenner ans einer ganzen Zahl und einem Bruche hestehet, dessen Nenner wieder so beschaffen sein kann, beißt ein Ketten brnch. Bon solchen Brüchen wird weiter unten be sonders die Rede sein. «) Allgemeine Sät; e. tz. 49. l. Jeder Brnch kann als ein an gezeigter Qnozient betrachtet werden, worin d e rZä h ler als Dividend und der Nenner als Divisor vor kommt. Der Bruch bedeutet den ich" Theil der Einheit »mal ge nommen, oder mit n, multiplizirt. Man erhält aber den lü" Theil der Einheit, wenn man die Einheit durch I> dividirt; also ist — (1 : h>). n. Ein angezeigter Qnozient 1 : l> wird nun mit u multiplizirt, wenn man den Dividend damit multiplizirt; folglich A . I - — s : o. Durch den hier erwiesenen Satz ist nun auch das Verfahren gerechtfertigek, nach welchem bei der Division, wenn zuletzt ein Rest übrig bleibt, welcher sich durch den Divisor nicht mehr dividiren läßt, dieser Rest als Zähler eines Bruches angenommen wird, deff sen Nenner der Divisor ist. Der Qnozient ist in diesem Falle eine gemischte Zahl. 2. Ein Brnch mit seinem Nenner multiplizirt gibt den Zähler. Es ist . b — (n : l>) . st — n : 1 n, 49 n X 2 m n 4 Beispiele. . — d 2a a* — 2b* " " -r- " - 8) 1 Z- , 2be NoLnil^, Algebra. 5. Ausl. x 2 2x- g- 6x — !> x —2 Man verwandle »och folgende gemischte Zahlen in Brüche: . > . 2)- 2x--P1 v X 1 2 8.2 S-j-b 2 ) 50. 3. Um aus einem unechten Bruche die Ganzen ber- auszuziehen, darf man nur den Zahler durch den Nenner divi- diren. B. B. 8 , 17 o» o km-i-b , U — 1, — 34,5 -— — 5,-— a -l-s 8 5 'm i 4. Jede ganze Zahl kann in einen Bruch, dessen Nenner gegeben ist. verwandeli werden, wenn man die ganze Zahl mit dem gegebenen Nenner mulliplizirt, und dieses Pro¬ dukt als den Zähler des Bruches annimmt. Es ist a — ail— amfm——. IN 5. Jede gemischte Zahl kann in eineu Bruch ver¬ wandelt werden, wenn man die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruches mulliplizirt, und den Zähler dazu addirt oder davon subtrahirt, je nachdem der Bruch positiv oder negativ ist; diese Zahl ist der Zähler, der Nenner wird ungeändert beibebalten. Es ist n, -s- — (a -s- : 1. Wird hier Dividend und Di¬ visor mit-n multiplizirt, so erhält man san -i- m) : n oder ; folglich ist g. -j- - --- —. Eben so solgt: IN / > a — -----»n, - k : 1 — (an — m) I u — 3) a — 1 ' a-j-1 a-^1 , , in^-s-n? -s-2mn-j-n^— m' — 4) IN N —- : - ' m n NI -j- n 5) 2x2 X?—6x?-j-5_ x^ — 4x'^-I-6x - 4— x^-^-6x^ — 5 50 n> i b'—°' 2b« 10) 11^ 2x ! 1 4x--3x--l- 5 11) 2x-j-I -x- -1-4x-1-1 ' <<1X -J 1 O "2 ! O „ , < »1 ->- 4»3 -,-6»^ -,-4^ 8- 51. 6. Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multi- plizirt, wenn man entweder den Zähler damit multi- plizirt und den Nenner ungeändert läßt, oder wenn man den Nenner dadurch dividirt und den Zähler un¬ geändert läßt. Es ist in (u: b) Ain — um : b — oder ^m — (a : b))) : m — a. : lam — b bin Die erste Art, einen Bruch durch eine ganze Zahl zu divi- diren, kann nur dann angewendet werden, wenn der Zähler des Bruches durch die ganze Zahl theilbar ist. Beispiele. 2) / Zin^ 9in 3) 4) (l Z- 1^) : (1-s-d)— : tt-t-b) - 5) sl Z- : 2m---^-:2m^-^. ' IN-j-N/ IN -j- n IN-f-ll Man verrichte noch folgende Divisionen: 52 -'-r -s- h -s- : (-» j tz>. 7- : (2x- 8) : s2 — X -s- 3x^). — 18ab-j-6s. -j- 30b — 35 ,o L 9' - 2l^Zd - - '3-' - 5». I 2iu -f- 3m^ — 4m" , < 1 , o 10- - , — , —, — , -: lt 2m Z- m°). S- 53. 8. Ein Bruch bleibt seinem Werthe nack unver¬ ändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl mulkiplizirt, oder beide durch dieselbe Zahl di- vidirt. Es ist V Ä. 1 , SW - — a : v — a m I in — , — , d d m ' und — a:l> — su:m) : — Mit Hilfe des ersten Theiles dieses Satzes kann man jeden Bruch ohne Aenderung seines Wertbes auf einen neuen Nenner brin¬ gen, sobald dieser neue Nenner ein Vielfaches des früberu Nenners ist; man darf nur den neuen Nenner durch den alten dividiren, nud mit dem Quozienten den alten Zähler multipliziren; das Produkt ist der neue Zähler. Es foll z. B. der Bruch auf de« Neuner 40 gebracht werden; man hat 40:5-8; 4X8-32, also Um auf den Nenner km zu bringen, hat mau a 3-X^ am >> k X m krn ' Auf dieselbe'Art können auch mehrere Brüche auf einen neuen gemeinschaftlichen Nenner gebracht werden, nur muß dieser ein gemeinschaftliches Vielfaches aller gegebenen Nenner sein. Gewöbnlich bringt man die Brüche auf den kleinsten gemein¬ schaftlichen Nenner; zu diesem Zwecke sucht man zuerst das k. g. Vielfache aller gegebene« Nenner, welches der neue k. g. Renner ist; um sodann den neuen Zähler eines jeden Bruches zu finden, dividirl man den neuen Nenner durch den alten, und mulkiplizirt mit dem Quozienten den alten Zähler. 53 Beispiele. 1) Es sollen die Brüche auf den k. q Renner gebracht werden. Das k. g. Vielfache aller Nenner, somit der neue Renner, ist 4be'6. Man hat dann 4bo26:2 ---2bv'-6; 2be?6X1 — 2bo°6 4be^6:b — 4o^6; 4v^cl X — 4no^6 4bo^6:4bv — c6; erst X3w — 3o6m 4bo^6:o^6 — 4b; 4b X^n—16bo oder 4b v-6 2bo^6 2bo'--6 also 4c-?6 4n' u6 3e6in 4b 16bn 3 m 3 c 6 m 4be 4be^6' 4^ — 16bn e^cl 4bc' 11 n -s- 6. Man hat dann in -j- 1) (n -s- 2- -s- 3- sn2) sn-s-3) (n —1)sn-s-2t tn^3)----n'->- 4n'-s- n — 6 ^2 D l-- 3) in — 2) (n -s- l) (n 3) 2»"- 5n — 6 (n-f- 1)(n-s-2)(n-3)ia4-1)(a-s-2)^-e-' —7-r —6 folglich 54 s — 1 _ -j- 4u? -j- s — 6 »4—1 »^ 4-6 »^ 4-11»-^-6 ' L - 2 _ »b-f-tzs?' - 5» — g »4-2 »° 4-^6-l" 4-11» 4-6 ' »—3 »"— 7» — 6 »4-3 — s'4-6s.2-j- Man bringe noch folgende Brüche auf den k. g. Nenner: » » »2 »2 14-»' i^I' i^2H^' .. X-,-1 x24-2x 3x x2 1 X--1' X--1^' I^ssi' x-4-1- Wird Zähler und Nenner eines Bruches mit — 1 multipli- zirt, so werden dadurch die Zeichen im Zähler und Nenner in die entgegengesetzten verwandelt. Ein Bruch wird demnach nicht geän¬ dert, wenn man im Zähler und Nenner die Zeichen in die entgegengesetzten verwandelt. Z. B.: -X X / . IN — n n— III a—d b — Die Formänderung eines Bruches durch die Multiplikazion von Zähler und Nenner dient auch dazu, um einem Bruche, dessen Zähler und Nenner selbst wieder gebrochene Zahlen sind, die Form eines gewöhnlichen Bruches zu geben; man darf nur die zwei Be- standtheile des Bruches mit dem k. g. Vielfachen der beiden Nen¬ ner multipliziren. Z. B.: 1) (m-s-u) (M-U) IN- n IN — n / V / x^'^4-1) (x-1) . (x Z- 1) (x - 1) Mit Hilfe des zweiten Theils des obigen Satzes kann man einen Bruch, dessen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl theil- bar sind, abkürzen; man darf nur Zähler und Nenner durch ihr gemeinschaftliches Maß dividiren. Z. B.: 4»in — 2»m 12->2Ux2 4»d 6bu 3bn ' 15»ex^ Sex' 55 b) Rechnung Soperazione n mit gemeinen Brüchen. 8- 54. Damit Brüche addirt werden können, müssen sie einen gemein¬ schaftlichen Nenner haben. Hat man und zu addiren, so hat man den mten Theil der Einheit zuerst »mal, dann bmal, also zu¬ sammen (aZ-b)mal zu nehmen; folglich a , d a-j-d m ni in d. h. Brüche von gleichen Nennern werden addirt, wenn man die Zähler addirt, und die Summe der Zähler zum Zähler anuimmt, als Nenner aber den gemein¬ schaftlichen Nenner beibehält. Beispiele. !)_ 2a v a in' dmp , emn anp-j-binp-s-ernn . a -j- a—_ a -j- 8 n ' n n o I ri—i a — e 3ni ' 3ni 3in - m ii p mnx^miipmiip map m-i-ii , ui — n 3m-t-3ii , 2m — Sn 5m-l-n 4) -i-—--— - -- LX _ _ ^s —b s-I-d 6) n-I-i-u — 7) - -s- -f- -s- - ox 7-l-t I ? —1 > 0^7-1 -^ch-l x--1 9)zuZ- id-s- zrr-j- ^b-s- U b, Z- s) Z- o X Z'-— 2x— 1 _ 4 x'-ch2x-l-1 "" —1' lix. 3x- . 2xx . x- 10) -3" -n 9 5x- 3xx , 7x- 1 5 12 ISx- 19xv . 25)^ "12 15 36 ' Man entwickle noch folgende Summen: lt 5a- l -8d _ _ _ ' a-l-d s — b L-t-b a — b ' d^,v3x' — 5-ix , , x'-i-»x. -s- X - 2 u , X l5)Hx-f-z)--i-Ex-1-^) -s-(zx Z-^); «--2d-^-3e 3n-I-d-i-2^ . 2ü-I-2b —6 3 6^6 6 ' L — b b)-j-(»—b)(«. — b)_ 2s.'-i-2b' (s-i-b)(>i-b) -r'- d' ' 2-f-ii-I- u' "1 —ii- ' 2(x->-)' 6 —8x-, 2-s-3x-' 3s.—d , s — 4b , —3b 56 K- 55. Beim Subtrahiren der Brüche wird vorausgesetzt, daß diesel¬ ben, wenn sie nicht einen gemeinschaftlichen Nenner haben, auf einen solchen gebracht wurden. Jsi nun von zu subtrahiren, so hat man nmal den nst'" Theil der Einheit, weniger bmal den m'" Theil der Einheit, also (n — t>)mal den w?'" Theil; folglich a d s. — b mm m / d. h. Brüche von gleichen Nennern werden snbtrahirt, wenn man die Zähler subtrahirt, und unter den Rest als Zähler, den gemeinschaftlichen Nenner schreibt. Beispiele. o 2) 3) 4) 5) «) s-s- b ^s— b— s-s-b— s-j-b 2b in w b m m ' s e sä " c sä—be b ä bä b"ä bä ' s 2bx s 2bx — s — 2d 1b ^b — 2b ' s--s-2s —1 . s-g-2s — 1—s->2s-1 4s—2 s-—2s-s-1 — 2s->-1 ' s' 2»i-1' s-b-d s—b 4sb s — b s-s-b s- — b-' 2x 3x-^1 4x — 3 - 2x(x-2)(x—3)-l-(3x-^-1)(x—l)(x—3) - <4x—3)(x 1)(x-2) x--I-2x--I-9 ^x-—6x--j-11x-6' 2s 3b 4c < Z — 'b s 2b . 3c 2 - s" — s b 31c (x-1)(x-2)(x-3) x^ 3x- 4x S' — x- 2x- 2x 4 '3 ' -s- — X- lOx 6 12 20 ' 15 9 ' !9) Man verrichte noch folgende Subtrakzionen: s- 5sd — b- s— b , s- -I- 4sb g- 4b- — »Hb ' — 5x7 -I- 7- X — 37 . 8x' —8x-v-j-2x7- 4x- —7-' ,..x3s- — 2s x , „ 2s- — 3sx Ul) 2s^3x - " 2x - /» /5s- 4sd > 3b-4 /4s- 3sb . 2x g- 4 3x-—2x g- 1 x--s-1, 5 x -h 1 x — 1- 14) 1 I L-j-1 8,^-L-s-1 8—I k>—1 a— 1 a^-z-1 ' a-t-1' 57 8- 56. 1. Wie ein Bruck mit einer ganzen Zahl multi- plizirt wird, ist bereits angeführt worden. 2. ES sei irgend eine Zahl 2 mit einem Bruche — zu mul- tipliziren. 2 mit — multipliziren heißt, aus auf dieselbe Art n ein Resultat bilden, wie — aus der Einheit entstanden ist: ist aus der Einheit entstanden, indem man dieselbe in n gleiche Theile theilte, und einen solchen rnmal setzte, oder was gleichviel ist, in¬ dem man die Einheit durch ir dividirte und den Quozienten mit m multiplizirte, nämlich — (1 : n) X m; man wird daher auch 2 durch n dividiren, und den Quozienten mit in multipliziren; folglick u) Bedeutet nun eine ganze Zahl u, so hat man „ m . . > . . rd V . - uX ^---l!r:n)Xm — -^-Xm--- d. h. eine ganze Zahl wird mit einem Bruche multi- plizirt, wenn man sie mit dem Zähler multiplizirt und das Produkt durch den Nenner d i v idirt. Ir) Stellt einen Bruch vor, so ist r> Li. . . m / Li. X > X > Q IQ — X - — 1 1- - N I X ! " — r" X > k n d / kn kn ' d. h. ein Brnch wird mit einem Bruche multiplizirt, wenn man Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multiplizirt, und d a s P r o d n k t d c r Zä b l e r d urck das Produkt der Nenner dividirt. Da a X — -X- und —Xu — —, so 1 t auch n Äs n n ' ' x> IN IQ . u u. n n , e- e-l. Li. . . Qi Q lQ Qi . . Q L Nl eben so ist wegen -7- X — und — X auch ' k n kn n k kn LI. . . IQ _ rv Lt V n X' Der für ganze Zahlen bewiesene Satz, daß zwei Faktoren in jeder Ordnung multiplizirt dasselbe Produkt geben, gilt also auch in dem Falle, wenn einer oder beide Faktoren Brüche sind. 58 3o Beispiele: 1) (a - 2 d -j- 3 o) X 4) 2) (n-x)X^^^-, — 3n^x—3abx-s-o, 2nd 3 sx 6 »- dx eä em e-äin ' a-j-d . L — d s? — d- in —»v in -j- n m* — n-' o , 8 4 n— d L-s-b n — b »-— d- V/ ' 2»b — a ' ' 2»b ' > 84 / ' 284 3->'<-'-t--»be —2d- 7) -i- -' /8-1—3d „4 .2»— 984_ 20»- — 60»8 —35d- 3l^2d -ü-I-7b/ — 12»--^29»d-^ Itd-' ^>.6» 2d 14 e _4 e . ^7d'3a'^Hss-61^9^' vs a »4 3»-^ 3»> »- 3 »Z 1.2b 3V- 41?) ' 41? 8? " 4^ 16bs' .^./3» 2d, e4/2»,3b 1 2) 7^ 1 — 5- — ^»-^17nd 4sn d- , 109be 1 144 15 1 120 I p-x- 2px- 3x'1 s4p-x- 3px^ > 2x^1 _ "3 4^11,3(1-/- 2<^7^ -m 2x 4 X — IN 4 x x — in/ ' x--j-in" »-—1 n--j-5» — 6 2e- 3 7° 2 2, 2» ox . 5mii 2sb 7pq 14skpq 3eä ' 7p s I) s - k s k e' — 6« ' e-^-ä e — a' -II / > K4 / 54 se-f-b , sc— b s «-s- k v n V o/ c ' o ae — d' 6) 5s«— 24sb— 5b« , /^ 5K4 5s«—24sb —5b- sk 'V s/ sk — 5d« ' 3x»-j-19x°4-24x'—16x-^6 2x'4-Sx'-t-11x-4-x — Z 8> /3x^ _ i>x- . X)X , 3x _ 5x- _ 3xx . V4x 25 ^19/'57^1' 5 ^6'' s>, / 2a' sx 3x«4 , 72s 3x4 _ s , x ^9 12 " ^6) ' 4^/3 4 2»^ sx -9- " "4" - ax 3 x? 16^ ax 3x^ 6 16 o 3sb-— 4^ ., m IM / 8x« 27»" 4 . / 2x2 ^4x» , »x' ^27x' 8d°) ^.37 2d2/ ^9>' b-)- Man führe noch folgende Divisionen ans: ,. 21bx-^. 14-i-^-!^ 2S»'e-°- ' 9»2 4K« 45 e« x ' l . ^b) ' ü« — K-' 1Z) ^-i-6L»x-t-12ri«^-f-8-i)^ . ii'^-4!^ -1 — 3x 3»^ 5s 12»- — 3d« ' 4s"e° 3m p s")' — 27)1 s^ — 2sb 4s-d —b" 4s- —4s«b^sb« « 2s-i 61 Dezimal l' r ü ch e. 8. 58. Die Dezimalbrüche werden auf eine eigenthümliche Art ange¬ schrieben; man schreibt nämlich nur den Zähler an, und schneidet in demselben von der Rechten gegen die Linke so viele Ziffern durch einen Punkt, den D ezim a l p n n k t, ab, als der Potenzexponent von 10 im Nenner Einheiten enthält, oder was gleichviel ist, als im Nenner Nullen Vorkommen; sollten nicht genug Ziffern vorhanden sein, um sie abschneideu zu können, so werden die feblenden links durch Nullen ersetzt. Z. B. 78317 — 78317 ^.Il¬ io' — 1000 - 31«. '^83 — ..5483_ 0'^483 10' - 10000 " -M " 100000 O-MO37; Die Ziffern rechts nach dem Dezimalpnnkte werden Dezi¬ malen genannt. Heißt überhaupt die Ziffernreihe des Zählers, so bedeutet einen Dezimalbruch mit 2 Dezimalen — „ 3 , 10' " " " ' allgemein „ m Um die Bedeutung der Ziffern eines DezimalbruckeS zu er¬ mitteln, betrachten wir den Dezimalbruch welcher 4 Dezimalen enthält; die Zahl vor dem Dezimalpunkte beiße in, und die Dezi¬ malziffern in der Ordnung gegen die Rechte seien b, o, st; so ist — m. 10* -j-'n .' 10° -s- b . 10- Z- o. 10 -s- <1, daber m. t0'g-L.10-g-d.I0-g-e.10g-a 1V« — 10' — m -t- -I-— -l- — - . Nl 10 -n 10- 10- 10' Es bedeutet also die Zahl, welche links vor dem Dezimal- punkle steht, eine ganze Zabl; die erste Dezimale bedeutet Zebntel. die zweite Hundertel, die dritte Tausendtel, die vierte Zebntausend- tel u. s. w. 2 « -rr 34781 34000 g- 700 g-80 g-^ Z. B 34 781 looo 1000 — ..7,8, 1 — 34 -s- ioo '' looo' 62 Daraus ergibt sich nun auch die Art und Weise, einen Dezl- malbruch zu lesen; man spricht nämlich zuerst die Ganzen vor dem Dezimalpunkte ans, und dann jede Dezimalstelle einzeln mit Hinzu¬ fügung ihres Nenners. Man kann den Nenner der einzelnen Dezi¬ malen beim Aussprechen auch weglassen, und nur alle Dezimalziffern, 0 nicht ausgenommen, in der Ordnung nennen. Der Werth eines Dezimalbruches wird nicht geändert, wenn man ihm rechts beliebig viele Nullen anhängt. Es ist z. B. 23 — 230 - 2300 23000 100 — 1000 — 10000 — 100000 — - - - oder 023 — 0-230 — 02300 — 0-23000—. . . sl Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Dezimalbruch und umgekehrt. 8- 59. Man kann jeden gemeinen Bruch in einen Dezimal¬ bruch verwandeln. Es ist nämlich: a n . 10" a. 10" : l> — c, 1 b. 10" IM — 10" ' wenn der ^nozient u, . 10- : d — y gesetzt wird. Jeder gemeine Bruch kann daher in einen Dezimalbruch verwandelt werden, wenn man den Zähler n mit irgend einer Potenz von 10 multipli- zirt, welches geschieht, wenn man zu -r so viele Nullen hinzusetzt, als der Exponent dieser Potenz Einheiten enthält, und daun dieses Produkt durch den Nenner b dividirt; dieser Quozient y ist dann der Zähler des gesuchten Dezimalbruches in welchem so viele Dezimalstellen vorkommen, als dem Zähler n Nullen angehängt wurden. Es ist übrigens nicht nothwendig, daß man zum Zähler n gleich die ganze Anzahl von Nullen hinzusetze; man kann dieselben auch nach und nach zu den einzelnen Divisionsresten hinznfügen. Beispiele. 1) -^---3'0:4 — 0-75, 20 2) Z — 329 :125 — 2 632, 790 400 250 63 3) 12347 : 80 -- 1543375. Damit sich ein gemeiner Bruch in einen Dezimalbrnch ganz genau verwandeln lasse, muß a.10" durch b theilbar sein. Sind nun n nnd d relative Primzahlen, so ist dieses nur dann möglich, wenn 10"' durch b theilbar ist, d. h. wenn b keinen von 2 und 5 verschiedenen Faktor enthält. In allen Fällen, wo der Nenner b außer 2 und 5 noch an¬ dere Faktoren enthält, kann der gemeine Bruch durch keinen De¬ zimalbruch vollkommen genau dargestellt werden. Es läßt sich jedoch immer ein Dezimalbruch angeben, welcher von dem gegebenen gemei¬ nen um weniger verschieden ist, als jede noch so kleine gegebene- Größe. Denn, ist n.10"' durch 6 nicht theilbar, so muß der Quo- zient 4 eine gemischte Zahl sein. Setzen wir also Ä.10" , r wo r n 8; s) A M Z; 12).U- K. 60. Wenn ein Bruch, der sich nicht genau durch einen Dezimal¬ bruch darstellen läßt, näherungsweise in einen Dezimalbruch verwan¬ delt wird, so müssen bei der Entwicklung einige Dezimalziffern in derselben Ordnung immer wiederkehren. Dieses folgt unmittelbar aus der Natur des Verfahrens. Der Rest muß nämlich bei der Division immer kleiner sein, als der Divisor; man kann daher nur so viele verschiedene Reste erhalten, als es ganze Zahlen gibt, welcbe kleiner sind, als der Divisor. Es muß daher im allerungünstigsten Falle wenigstens unter so vielen Resten, als der Divisor Einheiten ent- bält, einer der vorigen Reste zum Vorschein kommen, woraus sich dann weiter die nämlichen Ziffern im Quozienten und dieselben Reste, wie vorher, ergeben müssen. Z. B. -^----7'0:15^046666. .. ^------3 0:7^-0 428571 428... 40 4 100 20 100 60 100 40 10 50 10 30 20 60 4 Solche Dezimalbrüche, in denen sich eine bestimmte Anzahl von Ziffern in derselben Ordnung wiederholt, heißen periodische; die immer wiederkehrende Ziffernreihe nennt man die Periode, 65 welche stets weniger Ziffern enthalten muß, als in dem Nenner des verwandelten Bruches Einheiten vorkommen. Mau pflegt die Periode nur einmal anzuschreiben, jedoch die erste und letzte Ziffer derselben mit darüber gesetzten Punkten zu bezeichnen; es ist also —0'46; ^^ 0'428571. tz. 61. Bei der Verwandlung von Dezimalbrüchen in ge¬ meine sind mehrere Fälle zu unterscheiden. 1. Wenn der Dezimalbruch ein endlicher ist. Da braucht man den Dezimalbrnch nur in Form eines gemei¬ nen Bruches anzuschreibeu, und diesen, wenn es angehet, abzu¬ kürzen. g gz 07^ 3 «1325 6265 ,1253 O' — 10Ü — 4 ' ^^1000 " 200 — 40 ' 2. Wenn der Dezimalbruch ein periodischer ist, worin der Periode keine andere Dezimale voran geh et. Drückt man die Periode durch 6 und die Anzahl ihrer Ziffern durch n aus, so läßt sich der periodische Dezimalbruch durch die Formel „ b b , b , b , x — io» 4" 40-» io"" 10»" ' darstellen. Multiplizirt man diesen Ausdruck mit 10", so erhält man x.10" — -j--j- ^ >. . . Subtrahirt man nun den srnhern Ausdruck von dem letzter«, so folgt x . 10" — x — b, oder (10" — 1). x — 6 und daraus d.h. ein periodischer Dezimalbruch, worin der Periode keine Dezimale vorangehet, ist gleich einem gemeinen Bruche, dessen Zähler die Periode 6, und der Nenner 10"—1 eine Zahl ist, welche mit so vielen Neunern ge¬ schrieben wird, als die Periode Zis sein enthält. 1) 0'6-H -Z; 2) 04Hzz--^; 3) 2 301 —2zZz; 4) 15'351 — 15Wz — 15zs. 5) 023 — ... 6) 3 123 — ... 7) 0 945 — ... 8)0'846153-... 3. Wenn der zu verwandelnde Dezimalbrnch ein periodischer Uoönik, Algebra. 5. Aust. 5 66 ist, worin der Periode noch andere Dezimalen vorangehen. Es seien wieder b die Periode, u die Anzahl ihrer Ziffern, ferner a die der Periode vorangehenden Dezimalen, und m ihre Anzahl; so hat man für den Dezimalbruch den Ausdruck V — A 1 1 l X Igm lOm-i-n 10m->-2n > Igm-i-Zn ^ - - -' welcher zuerst mit 10"4°, dann mit 10"->nultiplizirt, die Ausdrücke x.10"^^a.10°^dff-^ff-^ff-... X . 10"> ff- -ff MI" ff . . . gibt. Durch die Subtrakzion des zweiten Ausdruckes von dem ersten erhalt man sofort x. 10"^° — x. 10" ----- a . 10° ff- b — u oder x. 10" (10° — 1) — (a . 10° ff- b) — a, und daraus (-.. 10n b) -» (lün — 1) . 10°r ' Der Ausdruck n. 10°ff-b bedeutet nun offenbar eine Zahl, welche aus den der Periode vorangehenden Dezimalziffern und aus der Periode zusammengesetzt ist; und der Nenner (10° — 1) . 10" eine Zahl, welche mit so viele» Neunern, als die Periode Ziffern enthalt, und mit so vielen rechts folgenden Nullen, als Dezimalen der Periode vorangehen, geschrieben wird. Man hat daher den Satz: Ein periodischer Dezimalbruch, worin der Pe¬ riode noch andere Dezimalen vorangehen, wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, wenn man die der Periode vorangehenden Dezimalen sammt der Pe¬ riode als ganze Zahl zusammenstellt, davon die der Periode vorangehenden Dezimalen, ebenfalls als ganze Zahl betrachtet, abzieht, und diese Differenz zum Zähler, zum Nenner aber eine Zahl annimmt, die mit so vielen Neunern, als die Periode Ziffern ent¬ hält, mit so vielen rechts folgenden Nullen, als De¬ zimalen der Periode vorangehen, geschrieben ist. 1)0-37 - -34-17 — g» — 99 — 45' 0 ? i ff 215 — 2 213 — ogo — 990 330' 3) 3-31708 - 3MLL 3. °,Zz. 4) 0-73 5) 0 2974 — . -. 6) 2 069 7) 0-45468 . 8) 6-428535 9) 0-749324 67 b) R e ch n u n g s op e r a zion en mit Dezimalbrüchen. 8- 62. Um Dezimalbrüche zu a d dir e n oder zu subtrahiren, schreibt man ste so unter einander, daß die gleichnamigen Stellen, mithin auch die Dezimalpunkte, genau unter einander zu stehen kom¬ men, und addirt oder subtrahirt ste sodann von der Rechten gegen die Linke, wie ganze Zahlen. Die fehlenden Dezimalstellen kann man stch durch Nullen ersetzt denken. Beispiele. 1) 35312 2) 2153456 0-5678 91'45923 39-2 Rest 123-88637 0 09456 Summe 75-17436. 3) 13196-s- 335-ss0 93 ->2-144-... 4) 9248-0-793 —... 5) 3 - 914 - 9 - 2145 -s- 6 8103 ss- 12-8 - 25 -s- 37 39 —. .. 8- 63. Sind die beiden Dezimalbrüche und von denen der erste m, der zweite n Dezimalen enthält, und wo a und d die Zahlenausdrücke der beiden Dezimalbrüche nach Hinweglassung des Dezimalpunktes flnd, mit einander zu multipliziren, so hat man L b ab Igw ' io» Da ub das Produkt der beiden Dezimalbrüche, als ganze Zahlen betrachtet, vorstellt, und der Nenner 10"^° anzeigt, daß man von jenem Produkte m ss-n, d. i. so viele Dezimalen, als ihrer in beiden Faktoren vorkommen, abzuschneiden habe, so ergibt stch für das Multipliziren der Dezimalbrüche folgende Regel: Man multiplizire die gegebenen Faktoren, ohne Rücksicht aus die Dezimalpunkte, wie ganze Zahlen, und schneide dann vom Produkte rechts so viele Dezi¬ malstellen ab, als ihrer in beiden Faktoren zusammen enthalten sind. Wenn das Produkt nicht so viele Ziffern hat, als abgeschnit¬ ten werden sollen, so ersetze man die fehlenden Stellen links durch Nullen. 5* Beispiele. 1) 4-305 X 2-74 2) 1 3145 X 0 02071 274 2071 16 220 1 3145 3 Ol 35 92 015 8 61 0 2629 0 11-7^570 002722 3295. 3) 12 947 XU'18 —... 4) 3 0194 X 0-0019 5) 317-15 X 43 037 610 234567 X7158 — 7) 3-14159 X 3'14159 8) 0-52134 X 0 '18913 --... 9) 7-85 X 3'193 X 9-7 . 10) 1-234 X 2-345 X 3-456^... 11) 3 015 X 9-21 X 58 X 27-2^... ig^-10" — ,yn>. io>»-n Ot, W folgt: Ein Dezimalbruch wird mit einer Potenz von 10 m ul ti p l izirt, wenn mau den Dezimalpunkt nm so viele Stellen gegen die Rechte rückt, als der Multiplikator Nullen hat. Z. B. 3141 X 10 --31-41 3-141X100 ---314-1 3-141 X 1000 --- 3141 3 -141 X 10000 --- 31410. Will man in dem Produkte nur eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen beibehalte», so kann man die darauf fol¬ genden Ziffern schon während der Multiplikazion weglaffen. Man erreicht dieses am zweckmäßigsten durch folgendes Verfahren, dessen Richtigkeit leicht zu ersehen ist: 1. Man schreibe die Einheiten des einen Faktors unter die sovielte Dezimalstelle des andern, als man im Produkte Dezimalen haben will, und setze die übrigen Ziffern in umgekehrter Ordnung darneben, so daß dieser ganze Faktor umgekehrt erscheint. 2. Man fange die Entwicklung eines jeden abgekürzten Theil- produktes mit je zwei über einander stehenden Ziffern an, nehme aber aus der ersten weggelaffenen Zister des Multiplikands die ent¬ sprechende Korrektur vor. Die einzelnen Theilprodukle sind dann in ihrer niedersten Stelle gleichnamig mit jener Stelle des Produktes, mit welcher abgebrochen werden soll, und werden daher als Addi- zionsposten unter einander geschrieben. 3. Man addirt die abgekürzten Tbeilprodnkte, nnd schneidet in der Summe die verlangte Anzahl Dezimalen ab. Um z. B. das Produkt 35-2156 X 3'506 in 3, und jenes 69 8'071245 X 21'0815 in 4 Dezimalen zu erhalten, würde man die abgekürzten Multiplikaziouen so vornehmen: 1) 35-2156 X 3'506 2) 8 07 1245 X 21'0815 6 053 5 18 012 105 647 16 14 249 17 608 80 712 211 6 457 123466 81 40 170-1539. Man entwickle noch folgende abgekürzte Produkte: I) 3-59712 X 4 76802 in 4 Dezimalen; 4) 1-2156 X 39 8527 „3 X 5) 713 58 X 0 939 „ 3 6> 0'00935 X 0 01478 „ 5 7) 1 025 X 1 025 X 1'025 „3 tz. 64. Beim Dividiren der Dezimalbrüche darf man nur Dividend und Divisor mittelst angehängler Nullen mit gleich vielen Dezima- len darstellen, und dann mit Weglassung der Dezimalpunkte die Division wie bei ganzen Zahlen verrichten. Denn es ist L.b _ L:b _ 10"> ' 10'" 10-" : 10m — U « Beispiele: > 1) 16 25 : 1-25 --- 1625 : 125 — 13 2) 3'1452 : 1-234 — 31452 : 12340 — 2'54878 . . . 3) 0 284716 : 0 053 — 284716 : 53000 — 5-372 4) 0 37 : 5 8413 — 3700 : 58413 ----- 0 06334 . . . 5, 38-5 : 72961 / 6) 4 1935 : 0 378 X7) 317-11808 : 8 48 ----- ... 8ss— 0^474628 : 35'42 , 9) 0 023456:0-1789 —... 10) 11'9021904 : 51436 — . . . Da -^.:10°---^- ist, so folgt: Ein Dezimalbrnch wird durch eine Potenz von 10 dividirt, wenn man den Dezimalpunkt nm soviele Stellen weiter gegen die Linke rückt, als der Divisor Nullen enthält. 70 Z. B. 712 63 X 10 71 263, 712 63 X 100 -- 7 1263, 712-63 X 1000 -- 0-71263, 712 63 X 10000 0-071263. Will man im Quozienten nur eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen beibehalten, so bedient man sich der ab¬ gekürzten Division, welche darin besteht, daß man, anstatt dem Reste eine Nulle anzuhängen, die letzte Ziffer rechts im Divisor wegläßt. Z. B. 312-8156 : 85-2.1 47 3'67091 57 1715 6 0427 777 10 1 0. Kettenbrüche. tz. 65. Ein Bruch, dessen Nenner nebst der ganzen Zahl noch einen Bruch enthält, dessen Nenner, wenn er nicht der letzte ist, wieder dieselbe Beschaffenheit hat, wird ein zusammenhängender, ko n- tinuirlicher, oder ein Kette nbruch genannt. Die allgemeine Form eines solchen Bruches ist u L- b -s- v- > « ä ... wo n, b, o, Z, ... was immer für ganze Zahlen vorstellen können. Die einzelnen Brüche aus denen der Ketten¬ bruch besteht, heißen Glieder desselben. Je nachdem der Ketten¬ bruch eine bestimmte Anzahl von Gliedern hat, oder ins Unendliche fortschreitet, heißt er ein endlicher oder ein unendlicher. Besonders wichtig sind solche Kettenbrüche, deren Glieder sämmtlich 1 zum Zähler, und eine positive Zahl zum Nenner haben; ihre allgemeine Form ist Nnr von solchen Kettenbrüchen soll hier die Rede sein. u) V e r w a n dlun g e ine s g em ei n e n B r u ch es in einen Kettenbruch, und umgekehrt. K. 66. Es sei zunächst der echte Bruch in einen Ketten- 71 bruch zu verwandeln. Damit man zum Zähler 1 erhalte, dividire man Zähler und Nenner durch rr; man bekommt L LIL 1 d v I L b: L ' Da nach der Voraussetzungd>nist, so setze mand:u — wo cj, den Quvzienten, und r, den Rest der Division bedeutet, so¬ mit ir>r, ist. Man hat dann a 1 b — 7^' «u lls wenn u : i-z H? -s- gesetzt wird. Es wird dann al j d " - 42^--^ Verfährt man mit dem echten Bruche aus dieselbe Art, wie früher mit so erhält man r, r, : r, 1 1 a a Wird mit dem echten Bruche ^-wieder wie mit dem vorigen verfahren, und so auch mit jedem sich noch weiter etwa ergebenden, so erhält man, wenn die folgenden Qnozienten durch 4» ff- 4- (4. 4- -1- 1) 4- -1- 4. 4-4--1-1 , ^2 4- -1- 2, daher 2g — ^2 <^g -s- — ^2 sts ff- ^1 - Durch das Redukzionsverfahren würde man eben so finden: 2. 42 43 4« -1- 42 -1- 4. 4.4- 4- 4« -1- 4< 42 -I- 4.4« -1- 4- 4. -1- 1 „ ._ (42 4- -1- 1)4. -I- 42 ___ 2- 4. fi- (4.4-4- fi- 4» -1- 4-)4. -1- (4.4- -1- 1) ^-4. ' daher 2^ — /g -s- /2, — dlg -s- ^2 - Anstatt die Näherungsbrüche durch wirkliche Redukzionen, die sich immer verwickelter gestalten werden, zu suchen, können wir ihre Bestimmung auf einem andern einfachen! Wege vornehmen, welcher uns zugleich die Ueberzeugung verschaffen wird, daß sich die in den bisher entwickelten Näherungsbrüchen vorwaltende Gesetzmäßigkeit nach der Natur der Entwicklung auch in den später folgenden nicht verlieren könne. Betrachtet man, um z. B. zu bestimmen, die Theile des Kettenbruches, welche zu und gehören, so siebt man, daß sich der zu gehörige Theil von dem zu gehörigen nur dadurch un¬ terscheidet, daß dort steht, wo hier nur vorkommt; man wird daher, um den Werth von zu erhalten, nur in dem Werthe von statt qg überall -s- - zu setzen brauchen; man erhält dadurch 2. - 2-^- 2, Il-I-?, 4. ^-(4-4. 1)-^. 4. -- Wie oben. (^2 - 1 13, Nb -- 7 . 4 -s- 2 30, und ü. - 13 . S-,- Z- 6S, N4 -- 30 . 5 7 -- 157, und 2, --- 68 . 6 -s- 13 421, Nb 157 . 6 -s- 30 -- 972, und K--g72, welcher letztere Näherungsbruch zugleich den Erzeugungsbruch vor¬ stellt, welcher dem gegebenen Kettenbruche entspricht. 2) Der Kettenbruch hat folgende Nenner . . . Näherungsbrüche. . 3, 1, 2, 5, 2; 4 5 14 75 184 ' 3' 4' 11' 59'12'3' 1 1 1 von , daher 1 1, 3, 1, 11; 35 129 164 1933 16' 59' 75' 884' —8. 70. 2. Die Näherungsbrüche sind gegen den gegebenen Bruch abwechselnd zu groß oder zu klein, je nach¬ dem sie eine ungerade oder eine gerade Anzahl von Glieder» enthalten. Drückt man die nach dein ersten, zweiten, dritten, . . . Gliede weggelassenen Glieder durch x^, x?, x,, . . . aus, so ist _ t t, i — — -i- i 9, 9- >6) — - 135' qz NN 16415' selbst, daß sowohl die Zähler als die Nenner in den aus einander folgenden Näherungs¬ brüchen immer größer werden müsse». Nenner . . . . 5, 2, Näherungsbrüche. . Man verwandle noch folgende Brüche in Kettenbrüche, und bestimme die einzelnen Näherungswerthe: .. 111. W9. 53' o- 4zg, 7) I; 8) 2 357; Aus der Natur der Rechnung folgt 1 Nun ist > 9, < Ferner ist - > —, daher 9- 9, -n x. 1 , 9, 9- 9- x, l 1 1 Eben so ist — > —;—daher - , ' 9- 9- -l- x., 9- -h 1 ^1.1 9. — ^9, — ^9- 9- 19, K' 9- ' 1 , oder -b x- Auf dieselbe Art überzeugt man sich, daß n. s. w. 19' k' 19, d r«, 6' -19, s.' '1- 1 9--!-^H' IVMIt ^8 ^8 2« a 78 - ist. Es ist daher wirklich der erste, dritte, fünfte, . Naherungs- bxuch größer, der zweite, vierte, sechste, . dzgeKn kleiner als der gegebene Bruch. Der wahre Bruch liegt demnach immer zwi¬ schen zwei unmittelbar auf einander folgenden Näherungsbrüchen. 8. 71. 3. Wenn man von dem Produkte aus dem Zähler ei¬ nes Näherungsbruches und dem Nenner des fol¬ genden das Produkt aus dem Zähler dieses letz- tern und dem Nenner des erster« abzieht, so ist der Unterschied st-1, oder —1, je nachdem der er¬ stere Näherungsbruch eine ungerade oder eine ge¬ rade Anzahl von Gliedern enthält. Es ist ^1 ^2 2z — 1 . g2 -j- 1) <12 - gl — st- 1, ^2 - 2g ^2 " ^2 (^2 gg st" ^l) (^2 gg st- ^l) ^2 — 2g - 2z Uz — 1, 2g 2^ ^g — 2g (I>g gl st- — (2g gl st- 2,) ^g — 2g — 2g ^g — st- 1. Eben so findet man 2lNg-2,N^-1, u. s. w. 4. Der Unterschied zwischen zwei unmittelbar aus einander folgenden Näherungsbrüchen ist immer gleich 1 dividirt durch das Produkt der Nenner. Man hat 2, 2, 2,n,-2,n, -(-1 n, n, ' 2- 2g 2^g-2,i>I, 2,^2.^ 2g 84-2.^ U. s. s. 5. Der Unterschied zwischen dem Näherungsbruche und dem wahren ist stets kleiner als 1 dividirt durch das Quadrat des Nenners des Näherungs¬ bruches. Da der wahre Bruch immer zwischen zwei unmittelbar aus einander folgenden Näherungsbrüchen liegt, so wird der Unterschied ^r. — gewiß kleiner sein als der Unterschied somit 2, L . 1 n, d ' 79 Aber wegen ^2 > ist und daher um so mehr 2, a 1 " b Eben so findet man a 2, 1 L L 1 a 2, 1 - — — < —. — — - < - — — —- U 1 W. d b ^4^^-' Da ds2 ^2 ^12 ^12 daher rr- rs- ' ist, so folgt, daß jeder folgende Näherungsbruch von dem wahren um weniger verschieden ist, als der vorhergehende, daß sich also die auf einander folgenden Näherungsbrüche dem gegebenen Bruche im¬ mer mehr nähern, bis der letzte, wenn es einen gibt, mit dem wah¬ ren Bruche selbst zusammenfällt. Es läßt sich leicht bestimmen, wie weit die Näherungsbrüche entwickelt werden müssen, bis der letzte den gegebenen Bruch bis zu einem bestimmten Grade der Genauigkeit darstellt. Da nämlich L 2x^1 dM ist, so wird durch den Näherungsbruch gewiß bis auf genau bestimmt, oder, was gleichviel ist, a 2. 1 b Nr 10'" sein, sobald < M:- d. i. 10" oder ^s/10" wird. Man hat also nur bis zu demjenigen Näherungsbruche zu rechnen, dessen Nenner gleich oder größer ist als die Quadrat¬ wurzel aus der umgekehrten Näherungsgrenze. Wird z. B. auf stemm verlangt, so muß dl, ^s/^lOOOO — 100 sein; man wird daher nur bis zu dem Näherungsbruche fortrechnen, dessen Nenner gleich oder größer als 100 ist. t 8- 72. Wir wollen nun die vier letzten Sätze durch ein Beispiel beleuchten. Verwandelt man in einen Kettenbruch, so erhält man 3178 - > t 1 OSS' - 5 "N l- > , D0 Nenner Näherungsbrüche 11, 1, 3, 1, 4, 2; 56 61 239 300 1439 3178 11' 12' 47 ' 59 ' 283 ' 625 ' Werden die Näherungsbrüche in Dczimalbrüche verwandelt, so hat man K -- Z -- 5-090 909; A 8 5'1)83 333; - 5 085 106; E 5-084 746; 5-1)84 805. Da nun der gegebene Bruch — 5'084800 0 2 b Ng 625 ist, so sieht man sogleich, daß -r) der erste, dritte, fünfte Bruch größer, der zweite und vierte dagegen kleiner sind, als der gegebene Bruch. d) Man überzeugt sich leicht, daß 56 . 12 — 61 . 11 -s- 1; 61 . 47 — 239 . 12 ^ — 1; 239 . 59 — 300 . 47 --- -s- 1; 300 . 283 — 1439 . 59 — 1; 1439 . 625 — 3178 . 283 --- -s- 1 ist, und daher . 56 61 — -i- 1 . 61 239 — —1 . o) 11 12—11.12' 12 47—12.47' 239 300 4-1 . 300 1439 — —1 47 — 59 — 47 . 59' 59 283 — 59 . 283 ' 1439 3178 — -s- 1 283 625 283 . 625' 6) Für die Unterschiede zwischen den einzelnen Näherungsbrüchen und dem gegebenen Bruche findet man endlich - — 5 090909-5 0848-^0 006109 — 0 008... 11 625 II M A 5-0848—5-083333^0-001467 < 0 007... 625 12 5 085106-5 0848^0'000306 < 0 0004... 5 0848—5 084746--0 000054 < — 0 0002... 5-084805- 5 0848^0 000005 < ^-^0 00001... 285 620 2vs 8. 73. 6. Zwischen zwei unmittelbar auf einander folg en¬ den Näher nngsbrüchen läßt sich kein gemeiner Bruch einschalten, dessen Nenner nicht größer ist, als die Nenner der beiden Näherungsbrüche. 8l Gesetzt, es würde der gemeine Bruch zwischen den Nahe- rungsbrüchen und liegen, so wäre, wenn r eine ungerade Z.»I n K> °> d.h-. _ p t r — Nr p l Nr 4^- Nr Nr^l Nr q ^Nr N, >t' Der Unterschied E muß nach der Voraus¬ setzung positiv sein; da ferner 2,, dir, p, q ganze Zahlen sind, so muß 2r<; — nicht nur positiv, sondern auch eine ganze Zahl sein, also >1; der kleinste Werth, den annehmen kann, ist -r^-; wenn daher allgemein — sein soll, so muß ganz gewiß auch oder dlrri > Xr^l, und daher g > sein. Damit also der Bruch zwischen den an¬ geführten zwei Näherungsbrüchen liegen könne, muß der Nenner ez größer sein, als die Nenner der Näherungsbrüche. Auf ähnliche Art wird der Beweis geführt, wenn r eine ge¬ rade Zahl ist. sAus dem hier erwiesenen Satze solgt, daß jeder Näherungs¬ bruch so beschaffen ist, daß er unter allen gemeinen Brüchen, deren Nenner nicht größer sind, als der sei- nige, dem Werthe des Kettenbruches am nächsten komm t. Diese Eigenschaft der Näherungsbrüche ist von großer praktischer Wichtigkeit. Will man nämlich das Verhäliniß zweier großer Zah¬ len durch kleinere möglichst angenähert darstellen, so verwandelt man den Quozienten jener Zahlen in einen Kettenbrnch, und sucht die Näherungsbrüche; ;eder derselben drückt das gesuchte Verhältniß genauer aus, als alle möglichen gemeinen Brüche, deren Nenner nicht größer sind, als der seinige; man ist überdieß auch im Stande, bei jehem Näherungsbruche den Grad der Näherung zu beurtheilen. V 8- 74. 1) Mn Wiener Fuß ist — 0-316111 Meter; man soll die Nähe- rungswerthe bestimmen. Es ist 0316111 316111 — 1 1000060 — 3 > -ul , KIvLnik. Algebra. 5. Aufl. 6 82 Näherungsbrüche: 3, 6, 8, 2, 5, 2, 1, 1 . . . 1 ^9 104 569 1242 1811 3053 3' 19' 155' 329' 1800' 3929' 5729' 9658' ' ' ' Man hat also folgende Näherungsverhältnisse: 3 Wien. Fuß — 1 Meter 19 ,, — 6 ,, 155 „ „ -- 49 „ 329 „ „ - 104 „ 1800 „ „ 569 „ 3929 „ „ — 1242 „ 5729 ,. -- 1811 9658 „ „ — 3053 „ u. s. w. 3) Ein Wiener Pfund hat 0 56001199 Kilogramm. Welches sind die fünf ersten Näherungswerthe dieses Verhältnisses, und wie genau ist der fünfte Näherungswerth? 4) Der Wiener Eimer hat 1'792 Kubikfuß. Welches ist das Ver- hältniß dieser Körpermasse auf 0'001 genau? 5) Nach dem österreichischen Münzsysteme verhält sich der Werth des Silbers zu jenem des Goldes wie 1:15'2873. Welche Näherungswerthe hat dieses Verhältniß? 83 3. Bon den Verhältnissen. 75. In dem Vorhergehenden sind die angezeigten Quozienten als Brüche betrachtet worden. Man kann aber einen angezeigten Quo- zienten auch noch von einer andern Seite auffassen, nämlich als die Vergleichung zweier gleichartiger Zahlen, um zu ersehen, wie oft die eine in der andern enthalten ist. Eine solche Vergleichung zweier Zahlen wird ein Verhältniß genannt; der Dividend heißt das Vorderglied, der Divisor das Hinterglied, der wirkliche Quo- zient zwischen beiden der Exponent des Verhältnisses. Der an¬ gezeigte Quozient 8:2 als Verhältniß betrachtet, wird gelesen: 8 verhält sich zu 2, oder kürzer: 8 zu 2; 8 ist das Vorderglied, 2 das Hinterglied, der Exponent ist 4, weil 8:2 — 4 ist. Die Größe eines Verhältnisses hängt von dem Exponenten ab; so lange dieser unverändert bleibt, ändert sich auch das Ver¬ hältniß nicht. Zwei Verhältnisse, welche denselben Exponenten ha¬ ben, sind daher einander gleich. So sind 8:4 und 10:5 gleiche Verhältnisse, weil sie denselben Exponenten 2 haben; eben so die Verhältnisse um:a und dm:d, welchen beiden der Exponent m zukommt. E Weil jedes Verhältniß als eine angezeigte Division anzusehen ist, so gelten alle Sätze, welche in Bezug auf den Dividend, Divi¬ sor und Quozienten bewiesen wurden, auch in Beziehung auf das Vorderglied, Hinterglied und den Exponenten des Verhältnisses. Daraus ergeben sich für die Verhältnisse insbesondere folgende Sätze) 1. In jedem Verhältnisse ist das Vorderglied gleich dem Hintergliede multtplizirt mit dem Expo¬ nenten. Wenn a : b — y, so ist a — b g. 2. Ein Verhältniß bleibt beständig, wenn man Vor¬ der- und Hinterglied mit derselben Zahl multi- plizirt, oder beide durch dieselbe Zahl dividirt. Wenn a : b — q ist, so muß auch sowohl am:bm —y, als auch —ll sein; die Verhältnisse am: bm und find also dem Verhältnisse a : b gleich. Mit Hilfe des ersten Theiles dieses Satzes kann man ein Verhältniß, dessen Glieder Brüche enthalten, durch ganze Zahlen darstellen; man braucht nur Vorder- und Hinterglied mit dem gemeinschaftlichen Vielfachen der Nenner zu multipliziren. > Z. B. 6* 84 ^-'4 - X 12 : X 12 -- 8 : 9, : b — . m : bm - n : bm, M m - b6 : -2- . bä -- nä : bo, IN . ll w , n , , -lV-H Ib - ' n - -- ow : bo. Der zweite Theil des letzten Satzes gibt ein Mittel an die Hand, ein Verhältniß, dessen beide Glieder ein gemeinschaft¬ liches Maß haben, abzukürzen; man darf nur Vorder- und Hin¬ terglied durch jenes Maß dividiren. Z. B. 12 : 8 3 : 2, nbm : aom — b : o. 8- 77. Wenn man in zwei oder mehreren Verhältnissen alle Vorder- glieder, und eben so alle Hinterglieder mit einander mnltiplizirt, so bilden die Produkte ein neues Verhältniß, welches in Hinsicht der gegebenen einfachen Verhältnisse ein zusammengesetztes Ver¬ hältniß genannt wird. Sind B. n : b o: ä s : k ein fache Vei hältn sse, so ist aoo : bäk ein zusammengesetztes Verhältniß. Wenn man irgend ein Vorderglied und irgend ein Hinterglied in den einfachen Verhältnissen durch dieselbe Zahl multiplizirt oder dividirt, so wird dadurch auch sowohl das Vorder- als das Hinter¬ glied des zusammengesetzten Verhältnisses durch die nämliche Zahl multiplizirt oder dividirt, folglich bleibt dieses letztere ungeändert. 4. Von den Proporzionen. Ki 78. Die Gleichstellung von zwei gleichen Verhältnissen wird eine Proporzion genannt. Ist nämlich n.;b —o, und o : ä--rz, so ist auch a:b —o: heißt das erste, b das zweite, e das dritte, ä das vierte Glied; auch heißen n und ä die äußern, b und o die Innern Glieder der Proporzion. Wenn in einer Proporzion die innern Glieder gleich sind, so heißt dieselbe eine stetige Proporzion, z. B. » : b — b: o. Das innere Glied b wird die mittlere stetige Pro Porz io¬ na le, und o die dritte stetige Proporzion» le genannt. Wenn zwei Arten von Zahlen so Zusammenhängen, daß zu 85 einer 2, 3, 4, . . . mmal so großen Zahl der einen Art anch eine 2, 3, 4, . . . mmal so große Zahl der andern Art gehört, so hei¬ ßen die beiden Arten von Zahlen gerade proporzionirt, oder sie stehen in einem geraden Verhältnisse. So sind Waare and Preis gerade proporzionirt; denn wenn eine Elle von einer bestimmten Waare a Gulden kostet, so werden 2, 3, 4, ... mEllen oon derselben Waare 2a, 3a, 4», . . . ma Gnlden kosten. Wenn dagegen zwei Arten von Zahlen so von einander ab- hangen, daß zu einer 2, 3, 4, . . . mmal so großen Zahl der einen Art nur der 2le, 3te, 4le, . . . mte Theil von der Zahl der andern Art gehört, so sind die beiden Arten von Zahlen verkehrt pro- porzionirt, oder sie stehen in einem verkehrten Verhält¬ nisse. Dieses ist z. B. bei der Zahl der Arbeiter und der Zahl der Arbeitstage der Fall; denn wenn ein Arbeiter zu einer bestimm¬ ten Arbeit a Tage braucht, so werden unter übrigens gleichen Um¬ ständen 2 Arbeiter für dieselbe Arbeit nur Tage, 3 Arbeiter nur Tage, . . . m Arbeiter nnr Tage brauchen. 8- 79 Von den Proporziouen sind nachstehende Sähe besonders wichtig: 1. In jeder Proporzion ist das Produkt der äußern Glieder gleich dem Produkte der inner» Glieder. Es sei a : b — o : st, und a : U — ,, so muß auch o: st — ei 'ein. Daraus folgt a —bg, o —stg. Multiplizirt man die ersten zwei gleichen Größen mit 6, und die zweiten mit d, so erhält man all —irrig, l>o —bstg, woraus sich ast —bo ergibt. Dieser Satz gibt ein leichtes Mittel an die Hand, sich von der Richtigkeit einer Proporzion zu überzeugen; man darf nur sehen, ob das Produkt der äußern Glieder dem Produkte der innern Glie¬ der gleich ist. Ans diesem Satze folgt: In einer stetigen Proporzion ist das Quadrat der Mittlern Proporzionale gleich dem Produkte der bei¬ den andern Glieder. Ist z. B. n : i> — d : o, so hat man i? — ac. 2. Jedes äußere Glied einer Proporzion ist gleich d ein Produkte der beiden innern Glieder, d i- vidirt durch das andere äußere Glied; und jedes i n n e r e G li e d ist gleich d e m P r o d n k lc der beiden äuß e r n G l i e d e r, d i v i d i rt durch das andere innere Glied. Es sei die Proporzion a : — e : st, daher ast — ir o. Divi- 86 dirk man diese gleichen Ausdrücke einmal durch st, und das andere Mal durch n, so hat man a — und st — —. ä s Wenn ast —bo, so ist auch bo —ast. Dividirt man diese zwei gleichen Ausdrücke zuerst durch o und dann durch b, so be¬ kommt man isä < aä b — — und o — c d Mit Hilfe dieses Satzes kann man aus drei gegebenen Glie¬ dern einer Proporzion das noch unbekannte Glied finden. Man nennt dieses das Auflösen der Proporzion. Beispiele. 1) Aus x : 2 — 8 :4 folgt x — — 4, daher 4 : 2 —8 : 4 die vollständige Proporzion. 2) 5 : x — z : z gibt x — — zz — 2zz, 3) n : m — x : n gibt x — , 4) 3z : 5K -- 7ß : x gibt x --- -- 12ZK- Man löse noch folgende Proporzionen aus: 5) 3z : X — 15z : 5; 6) 4z : 4z — x : 8/^; M ' x «z ' ' 8) x : (m — 2 a) — (9 m -s- 8 n) : (3 m — 4 n); 9) (6a. — 5d) : X — (12a^ — 4ab — 5b^j : (8a^ — 2ab — 3b^); — d'.L-db_ — Lad . 'Hb 80. 3. Aus zwei gleichen Produkten läßt sich eine Pro¬ porzion bilden, wenn man j e d e s d e r b e i d e n Produkte in zwei Faktoren zerlegt, und die Faktoren des einen Produktes zu den äußern, die Faktoren des andern Produktes zu den inner» Gliedern annimmt. Es sei ast —bo. Dividirt man jeden dieser gleichen Aus¬ drücke durch bst, so erhält man ast:bä —bo:bst, oder wenn man das erste Verhältniß durch st, das zweite durch b abkürzt, a : b — o: st. 87 4. Wenn man in einer Proporzion die innern Glie¬ der unter einander, oder die äußern Glieder unter einander, oder die innern Glieder mit den äußern verwechselt, so erhält man durch jede s o l ch e V e r s e tz u n g wieder eine richtige Proporzion. Es sei die Proporzion u : b — o: d, somit ud — bo. Verwechselt man in dieser Proporzion die innern Glieder, so folgt u : o — l) : d. Durch Verwechslung der äußern Glieder in diesen beiden Pro- porzionen erhält man d : b — o: u, d : o — k : Verwechselt man endlich in allen vier Proporzionen die innern Glieder mit den äußern, so hat man b : u — d : o, o : u — d : t>, b : d — u . o, o : d — u : t>. Daß die letzten sieben Ansätze richtige Proporzionen sind, folgt daraus, daß in denselben das Produkt der äußern Glieder ud und jenes der innern bo, oder umgekehrt ist, und daß die Pro¬ dukte ud und bo einander gleich vorausgesetzt wurden. Es kann daher jede Proporzion durch bloße Versetzung ihrer Glieder auf achtfache Art bargestellt werden. 8- 81. 5. Wenn man ein äußeres und ein inneres Glied einer Proporzion mit derselben Zahl m n l t i- plizirt oder durch dieselbe Zahl dividirt, so erhält man wieder eine richtige Proportion. Es sei u : b — o : d, daher ud — bo. Wenn man diese gleichen Größen mit m multiplizirt oder durch m dividirt, so erhält man wieder Gleiches; folglich ist auch i i < aä be aära — vom und — — —. Zerlegt man jedes dieser Produkte auf alle mögliche Arten in zwei Faktoren, und bildet daraus Proporzionen, so erhält man um. d — bm.o, um . d —b . om, u . d m — b m . o, a . dm — b . om, daher um:bm — o : d, „ um: b — om : d, „ u :bm —o : dm, „ u :b — om : dm; 88 a . — — — . o, m w wodurch der obige Satz erwieseu Mil Hilfe des ersten Theiles dieses Satzes knnn jede Pro- porzion, in welcher Brüche Vorkommen, in ganzen Zahlen dargestellt werden. Um ein äußeres Glied von seinem Nenner zu befreien, wird dasselbe und zugleich ein inneres Glied mit je¬ nem Nenner mnltiplizirt; dadurch fällt dieser Nenner in dem äußern Gliede weg, und in dem innern erscheint er als Faktor. Hat man ein inneres Glied von dem Nenner zu befreien, so wird dasselbe und zugleich ein äußeres Glied mit jenem Nenner mnltiplizirt; in dem innern Gliede fallt dadurch der Nenner weg, während er in dem äußern als Faktor vorkommt. Um daher aus einer Proporzion die Brüche wegziUchaffen, braucht man nur die Nenner der äußern Glieder als Faktoren in die innern, und die Nenner der inner» Glieder als Faktoren in die äußern Glieder zu übertragen. Z. B. - : b -- : -l, IN IN ' . d ä rr. . — — o , IN m > e ä 3, ; b ; m m erscheint. — s : l gibt »6 :l)o —e:k, in : : x „ mpr : n : x, ' x:2^-3X6:5X3X4, oder x : 2 - 18 : 60. Der zweite The l des obigen Satzes wird angewendet, um eine Proporzion, in welcher ein äußeres und ein inneres Glied urch dieselbe Zahl theilbar sind, abzukürzen; man darf nur jene zwei Glieder durch ihr gemeinschaftliches Maß dividiren. Z. B. ncj : d — : ei gibt w : 6 — o : ei, x : 8 — 3 : 20 „ x : 2 — 3 : 5, x : 5 X 6 — 5: 6X10 „ x : l — 5 : 2 8. 82. 6. Wenn man in zwei oder mehreren Proparzionen die gleichviclten Glieder mit einander multipli- zirt, so bilden die Produkte wieder eine Propor- zion. Es sei :r : 6 — a: , „ Irn—Im. Durch die Multiplikazion erhält mau »delilen — delnim. 89 Gibt man dem letzten Ausdrucke die Form rroIr. ätrn — bll . vAm, so folgt daraus die Proporziou nolr : s) k I — o A m : cklrir, deren Richtigkeit eben zu beweisen war. 7. Wenn man die gleichvielten Glieder zweier Pro- porzionen durch einander dividirt, so bilden die Q n o z i e n t e n wieder eine P r o p o r z ion. Es sei n : d - e : 6, daher rr 6 — bo, und o : k — Z : lr, „ e Ir — k g. Durch die Division erhält man Zerlegt man diese gleichen Größen in Faktoren, so hat man woraus die Proporziou k , t> c , a v ' t 8 ' Ii folgt. ?. 83. 8. In jeder Proporziou verhält sich die Summe der Vorderglieder zur Summe der Hinterglieder, so wie sich jedes Vordcrglied zu seinem Hinter- gl iede verhält. Es sei die Proporziou g. : b — o : ck. Ist nun u:l-y, so muß auch c:ck —sein; daraus folgt -r—dy, e —elq. und durch die Addizion a-j-o —d-i-j-cky, oder wenn mau als Faktor heraushebt, n-j- o — (lz -s-6) . q. Dividirt man jede dieser zwei aleichen Größen durch d -j- ä, so hat man (u -j- o) - (d -j- 6) — c>. Da nun sowohl das Verhältniß (a -j- v) : sb -s- ä), als auch die Verhältnisse n : b und o : ck denselben Exoouenten (j haben, so sind alle diese Verhältnisse gleich; folglich -j- o) : (K -j- ck) — a : l> — o : ck. Auf dieselbe Art kann mau auch beweisen: Wenn mehr als zwei Verhältnisse einander gleich sind, z. B. n:b — o:<ä — o:k — — . . . so muß auch (-r -j- o -j- 6 -s- A -f-. .) - (d -j- 6 --j- l -j- 1r -j- . .) — u : l> — o : (1 — e : k I' sein. sv 9. In jeder Proporzion verhält sich der Unterschied der Vorderglieder zum Unterschiede der Hinter- glieder, so wie sich jedes Vorderglied zu seinem Hintergliede verhält. Es sei die Proporzion a : b — o : 6, und u : b — so muß auch v: 6 — y sein. Daraus folgt u — by, o — 6 y, Durch Subtrakzion n —o — b — 6 y, oder u—o —(b— cl) . daher auch (u—o) : (b — 6) —y, und somit (u—o) : sb — 6) — u : b — 6:6. 8- 84. 10. In jeder Proporzion verhält sich die Summe der Glieder des erste» Verhältnisses zur Summe der Glieder des zweiten Verhältnisses, wie sich die Vorderglieder zu einander, oder wie sich die Hinterglieder zu einander verhalten. Es sei n : d — o : 6. Verwechselt man die inner» Glieder unter einander, so hat man u : o — b :6, und dann ist nach dem vorletzten Satze (n -f- b) : (o -s- 6) — » : o, : 6. 11. In jeder Proporzion verhält sich der Unter¬ schied der Glieder des ersten Verhältnisses zum Unterschiede der Glieder des zweiten Verhält¬ nisses, wie sich die V or der g li ed e r zu einander, oder wie sich die Hinterglieder zu einander verhalten. Es sei u: b — o : 6. Durch Verwechslung der innern Glie¬ der erhält man u : o —l>: cl, und daraus nach dem vorletzten Satze so, — l>) : so — 6) — » : o ---- 1> : 6. 12. In jeder Proporzion verhält sich die Summe der Glieder des ersten Verhältnisses zu ihrem Unterschiede, so wie sich die Summe der Glieder des zweiten Verhältnisses zu ihrem Unterschiede v er hält. Es sei die Proporzion u:b —o:6. Nach den beiden letztem Sätzen ist sa -s- b) : so -s- 6) — o : o su — b) : so — 6) — u : o, 91 Die Verhältnisse (u -s- b) : (o -j- ä) und (a, — d) : (o — 6) sind beide demselben dritten Verhältnisse a : e gleich, folglich sind sie anch unter einander gleich, also H (a -s- b) : (e -s- ä) — sg, — d) : (o — ä), und nach Verwechslung der innern Glieder (u -s- b) : (a — b) — (o -s- ä) : so — 6). 5. Die einfache Regeldetri. 8. 85.. Wenn zwei Arten von Zahlen in geradem oder verkehrtem Verhältnisse stehen, und wenn zwei Zahlen der einen Art gegeben sind, von den beiden zugehörigen Zahlen der andern Art aber nur die eine bekannt ist, so kann die andere unbekannte Zahl dieser zweiten Art durch Ausstellung und Auflösung einer Proporzion ge¬ funden werden. Das Rechnnngsverfahren, welches dabei angewen¬ det wird, heißt die einfache Regeldetri. Die einfache Regeldetri beruhet auf folgenden zwei Sätzen: 1) Wenn zwei Arten von Zahlen gerade proporzio- nirt sind, so ist das Verhältniß zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art, in derselben Ordnung genommen. Es seien und a zwei Zahlen einer Art, 8 und d die zuge¬ hörigen Zahlen einer zweiten Art, und zwar seien diese beiden Arten von Zahlen gerade proporzionirt. Ist nun—ms, so muß nach dem Begriffe der geraden Proporzionalität auch 8—nrb sein. Man hat daher : a —m, und 8 : b —m, und somit : n — 8 : b>. 2. Wenn zwei Arten von Zahlen verkehrt proporzio¬ nirt sind, so ist das Verhältniß zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art, in umgekehrter Ordnung genommen. Es seien -V und n zwei Zahlen der einen Art, 8 und b die beiden zugehörigen Zahlen der andern Art, und diese zwei Arten von Zahlen verkehrt proporzionirt. Ist nun H. —mn, so muß 8 oder b — in 8 sein. Man hat daher : n — w, und b : 8 — m; folglich : n, — b : 8. Bei der einfachen Regeldetri ist daher Folgendes zu beobachten: 92 Man beurtheile, ob die beiden Arten von Zahle» gerade oder verkehrt proporzionirt sind, und setze das Verhältniß von zwei Zah len der einen Arc gleich dem Verhältnisse der beiden Zahlen der andern Art, in der nämlichen Ordnung genommen, wenn beide Arten gerade, und in umgekehrter, wenn sic verkehrt proporzionirt sind. Diese Proporziou wird ausgelöset. Es ist an sich gleichgiltig, in welches Glied der Proporzion die unbekannte Zahl x zu stehen kommt; am zweckmäßigsten erscheint cs, dieselbe in das erste Glied zu setzen. Beispiele. 1) 7 Ellen Tuch kosten 40 fl., was kosten 42 Ellen von dem¬ selben Tnche? Da 2, 3, 4mal so viel Ellen auch 2, 3, 4mal so viel Gulden kosten, so sind hier die beiden Arten von Zahlen gerade proporzio- nirt; daher hat man folgende Rechnung: 7 Ellenfl. x : ZV 42 : 7 42 „ x „ also x —Ml fl. 2) 100 fl. Kapital geben jährlich 6 fl. Interesse; wie viel Interesse geben 3050 fl. Kapital? 100 fl Kap. 6 fl. Int. x : 6 3050 : 100 3050 „ „ x „ „ x — 183 fl. Int. 3) 16 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Tagen; wie viele Ar¬ beiter wird man aufnehmen müssen, damit sie dieselbe Arbeit in 4 Tagen zu Stande bringen? 2, 3, 4inal so viel Arbeiter brauchen für dieselbe Arbeit nur den Ben, 3ten, 4ten Theil der Zeit; die beiden Arten von Zahlen sind also hier verkehrt proporzionirt, und man hat 16 Arb. 6 Tage x : 16 — 6:4 x „ 4 x^ 24 Arbeiter. 4) Wenn der Metzen Roggen n Groschen kostet, wiegt ein Gro¬ schenlaib b Loth, wie'viel muß unter übrigens gleichen Um¬ ständen ein Groschenlaib wiegen, wenn der Metzen Roggen den Preis von 6 Groschen hat? u Grosch d Loth x : 6 — u : e o „ x „ x — Loth. 5) Ein Manuskript gibt 162 Seiten zu 35 Zeilen; wie viele Seiten wird es geben, wenn auf jede Seite 45 Zeilen kommen? 6) Wie viel Mark 12-iöthiges Silber geben 20 Mark 15-löthi- ges Silber? 7) Ein bewegter Körper legt in u Sekunden b Fuß zurück; wie viel in o Sekunden? S3 §. 86. Ein Betrag, der sich aus die Zahl 100 bezieht, wird das Prozent genannt. Es sei nun p der Ertrag von 100, und s der Ertrag von der Summe s, so hat man den Regeldetri-Ansatz p : e — 100 : s. und daraus PS 100s lOÜö 6 8 — -, P —-- 100 k> s Diese Formeln mit Worten ausgedrückt, geben die bekannten Regeln für die Prozentrechnung, und es wird nicht schwer sein, folgende Beispiele darnach durchzuführen. 1) Eine Stadt hat eine Bevölkerung von 13750 Seelen; wie viel sind 11°/o davon? 2) Beim Verkauf einer Waare betrug der 8"/o Gewinn 83 fl.; wie viel hat die Waare beim Einkäufe gekostet? 3) Nach der Duvillard'schen Sterbtichkeitötafel erreichen von 502216 20jährigen Personen 297070 das 50ste Jabr; nie viel "/g sind in der Zwischenzeit gestorben? 4) Im Kronlande Krain sind im Jahre 1850 15595 Menschen geboren worden; davon kommen ans die Hauptstadt Laibach 685; wie viel ist das? 5) Das salzhaltigste Meer ist der Ozean zwischen Europa und Amerika; er enthält 36 7 Salz; wie viel Salz ist in einem Knbikfnß Meerwasser enthalten, wenn dieses 68^ Psd. wiegi? 6. Die zusammengesetzte Regeldetri. tz. 87. Wenn eine Art von Zahlen mit zwei oder mehreren andern Arten einzeln im geraden oder verkehrten Verhältnisse steht, und es ist eine Reihe zusammengehöriger Zahlen aller dieser Arten bekannt, von einer andern Reihe zusammengehöriger Zahlen aber eine der¬ selben unbekannt unr zu suche», so heißt das Rechnnngsversahren, durch welches mau diese unbekannte Zahl findet, die zusammen¬ gesetzte Regeldetri. Die zusammengesetzte Regeldetri beruht auf folgendem Satze: Wenn eine Art von Zahlen von mehreren andern Arten so ab hängt, daß sie mit denselben einzeln ge nommen theils gerade, theils verkehrt proporzionirt ist; so ist das Verhält» iß zwischen je zwei Zablen der 94 ersten Art gleich dem zusammengesetzten Verhältnisse zwischen den zugehörigen Zahlen jeder andern Art, in der nämlichen oder in umgekehrter Ordnung genom¬ men, je'nachdem die Zahlen dieser Art mit den Zahlen der ersten Art gerade oder verkehrt proporzionirt sind. Es sei die Zahl von den Zahlen 6, 6 so abhängig, wie die Zahl „ b>, o, wo die mit gleichlautenden Buchstaben bezeichneten Zahlen zu der¬ selben Art gehören, und es seien die Zahlen der ersten Art mit den Zahlen der zweiten Art gerade, mit den Zahlen der dritten Art aber verkehrt proporzionirt. Heißt nun « eine Zahl der ersten Art, welche zu den Zahlen b, 6 gehört, so hat man folgende Reihen zusammengehöriger Zahlen: L, 6; «, l>, 6; n, l>, o. Betrachtet man die zwei ersten Reihen, so siebt man, daß die Zahl « aus entstanden ist, indem man L in d geändert hat; da nun die Zahlen der ersten und zweiten Art gerade proporzionirt find, so hat man — 8 : d. Betrachtet man eben so die zweite und dritte Reihe, so be¬ merkt man, daß n aus « hervorgehet, wenn sich 6 in e ändert; da nun die Zahlen der ersten Art mit denen der dritten Art in ver¬ kehrtem Verhältnisse stehen, so hat man « : a, — o : 0. Durch Multiplikazion dieser beiden Proporzionen ergibt sich L.« : u « — L o : l> 0, oder : a — L o : d 0, in welcher Proporzion der oben ausgestellte Satz enthalten ist. Man pflegt diese letztere Proporzion wegen der leichtern Ueber- sicht auch so zu schreiben: : a — L : o : 0, wo man sich denken muß, daß die unter einander stehenden Zahlen zu multipliziren sind. 8- 88. Bei der zusammengesetzten Regeldetri verfährt man daher aus folgende Art: Man setze die unbekannte und die damit gleichnamige Zahl in das erste Verhältnis Das zweite Verbältniß der Proporzion ist SS ein zusammengesetztes, dessen einfache Verhältnisse gefunden werden, wenn man die Art, zu welcher x gehört, mit jeder andern Art ver¬ gleicht, um zu sehen, ob die beiden Arten gerade oder verkehrt pro- porzionirt sind, und dann die beiden zu x und der damit gleichna¬ migen Zahl dazu gehörigen Zahlen einer jeden Art in derselben oder in umgekehrter Ordnung zu einem Verhältnisse ausstellt, je nachdem diese Art mit der Art von x gerade oder verkehrt propor- zionirt ist. Die Proporzion wird sodann aufgelöset. Beispiele. 1) Wenn 20 Arbeiter, welche täglich 12 Stunden arbeiten, in 5 Wochen einen Damm von 375 Fuß Länge zu Stande bringen; in wie viel Wochen werden 12 Arbeiter, welche täglich 10 Stunden arbeiten, einen eben solchen Damm von 600 Fuß Länge vollenden? 20 Arb. 12 Std. tägl. 5 Woch. 375 Fuß Länge 12 „ 10 „ „ x „ 600 ,. x:5^ 20: 12 12 : 10 600 : 375 x : 1 16 : 1 X — 16 Wochen. 2) 100 fl. Kapital geben in 1 Jahre 54 fl. Interessen; wie lange muß ein Kapital von 3860 fl. anliegen, damit es 743^ fl. Interessen abwirst? 100 fl. Kap. 1 Jahr 54 fl. Int. 3860 „ ,, x „ 743^ „ „ x: 1 ----- 100 : 3860 _?43^ : 54 x: 1 -- 7:2 X 34 Jahr. 3) Wie viel Stunden des Tags müssen 14 Arbeiter arbeiten, wenn sie in 8 Wochen, zu 5 Tagen wöchentlich, dieselbe Arbeit lie¬ fern wollen, wie sie von 16 Arbeitern in 7 Wochen, die Woche zu 6 Tagen und den Tag zu 11 Stunden, geliefert wird? x Stund, tägl. 14 Arb. 8 Woch. 5 Tage wöch. 11 „ „ 16 „ 7 „ 6 , „ x : 11 ----- 16 : 14 7 : 8 6 : 5 x : 11 --- 6 : 5 x — 134 Stunden täglich. 96 4z Von zwei Rädern, welche in einander greifen, hat das eine », das andere b Zähne; wenn nun das erste Rad in s Mi¬ nuten m Umläufe macht, wie vielmal dreht sich das zweite Rad in t Minuten um? 5) 12 Zentner werden 10 Meilen weit um 6z fl. geführt; g) wie weit werden 24S Zentner um 30z fl. geführt; d) wie viel Zentner wird der Fuhrmann um 13z fl. 18z Meilen weit führen; o) wie viel Frachrlohn wird man zahlen müssen, damit 37 Ztr. 25z Meilen weit geführt werden? 8. 89. Heißt X das Kapital, welches zu ? Prozent in 2 Jahren -I Interessen bringt, so hat man zur Bestimmung einer dieser Grö¬ ßen, z. B . 3, aus den übrigen folgende zusammengesetzte Regeldetri: 100 fl. Kap. in 1 Jahre k fl. Int. 1^ „ -1 ,, ,, 3 : ? X : tOO 2 : 1 also 3 : ? X/, : 100 und 1003 — XIV,. Werden diese letzten zwei gleichen Ausdrücke zuerst durch 100, dann durch IV, ferner durch X2, endlich durch X? dividirt, so erhält man beziehungsweise lvo^ iM IM welche Formeln, in die gewöhnliche Wortsprache übertragen, die Sätze für die Lösung der Aufgaben über die einfache Zinsrechnung enthalten. Beispiele. 1) Wie viel Interessen geben 3791 fl. zu 4°/° in 3 Jahren? 2) Wie viel Zins geben -a) 1287 fl., K) 3745z fl-, o) 8391 fl. 34 kr. zu 5z °/„ in «) 2 Jahren, /?) 3z Jahren, 2 Jahren 4 Monaten 18 Tagen? 3) Wie viel Zins tragen X fl. Kapital in T Tagen zu 6"/°? 4) In welcher Zeit geben 5844 fl. Kapital, zu 4z angelegt, 886z fl. Interesse? 5) Wie groß muß das Kapital sein, welches zu 5z °/g in 2^ Jahren 950S fl. Zins trägt? 6) Zu wie viel müssen 1424 fl. angelegt werden, damit sie in 3z Jahren 237z fl. Interessen geben? 97 7. Die Theilregel. K. 90. Wenn eine gegebene Zahl in mehrere Theile so getbeilt wer¬ den soll, daß diese Theile ein bestimmtes Verhältniß 'zu einander haben, so geschieht dieses durch die Theilregel oder Gefeil¬ scht, s t s r e ch n u n g. Die Zahlen, durch welche jenes Verhältniß ausgedrückt wird, heißen Verhältnißzahlen. Ist nur eine Reihe von Verhältnißzahlen gegeben, so wird die einfache, sind mehrere Reihen von Verhältnißzahlen gegeben, so wird die zusammengesetzte Theilregel angewendet. Es seien bei der einfachen Theilregel s die zu verthei¬ lende Zahl, a, b, o und :e:ck. Verwechselt man in den vorangehenden Proporzionen die inner» Glieder, so hat man u:a — x:b, x:b — ^:o, — 2:6, also u:u — x : b — : 0 — 2 : <1, woraus (u -s- x -j- x -j- 2) : (a -j- b -s- 0 -j- ck) — u : u ^x : b ^7:0 — 2:6 Da nun u-j- x-f-v2 — s sein muß, so erhält man aus dem letzten Ausdrucke 8 s r.. " — L -s- b -i- e -l- ä 8 a -t- d-s- e-s-ä ' O » at> -s-e-h. U ' Daraus ergibt sich für die einfache Theilregel folgen¬ des Verfahren: Man dividire die zu vertheilende Zahl durch die Summe aller Verhältnißzahlen und multiplizire den Quozienten mit jeder Ver- hältnißzahl; die Produkte sind die gesuchten Theile. Wenn die Verhältnißzahlen Brüche enthalten, so werden sie zuerst in ganzen Zahlen dargestellt, indem man sie mit dem klein¬ sten gemeinschaftlichen Vielfachen aller Nenner multiplizirt. Haben alle Verhältnißzahlen ein gemeinschaftliches Maß, so werden sie da¬ durch abgekürzt. NoöniL, Algebra. 5. Aufl. 7 98 Beispiele. A Es sollen 2155 fl. unter drei Personen nach dem Verhält¬ nisse der Zahlen 5, 3, 2 vertbeilt werden. 5 2154 X 5 --- 10774 3 215z X 3 — 646z 2 215z X 2— 431 2155 : '10 ----- 215z 2155. 2) Packfong besteht aus 53z Theilen Kupfer, 29 Theilen Zink, nnd 171 Tbeilen Nickel. Wie viel von jedem dieser drei Bestand- tbeile braucht man, nm 28 Pfund Packfong zu erhalten. 53z 107 0-14 X 107 ---- 14-98 Kupfer, 29' 58 0-14 X 58 8-12 „ Zink. 17z 35 0-14 X 35 --- 4-9 „ Nickel. 28 : 200 0-14 '28 3) Vier Gemeinden, von denen 738 fl. 25 kr., L 815 fl., 6 513 fl. 39 kr., I) 618 fl. 50 kr. Steuern zahlt, sollen nach Ver- bältniß der Steuer zu einer Schulbaulichkeit, deren Kosten sich auf 924 fl. 18 kr. belaufen, beitragen; welcher Beitrag entfällt auf jede Gemeinde? X 738 fl. 25 kr. ----- 738'417 fl. L 815 „ — „ ----- 815 0 513 „ 39 „ --- 513-65 „ v 618 „ 50 „ ----- 618-833 „ 924-3 - 2685-9 ---- 0'344127. zahlt 0-344127 X 738'417 ----- 254'109 ----- 254 fl. 7 kr D „ 0-344127 X 815 ------ 280'464 ----- 280 „ 28 „ 0 „ 0-344127 X 513-65 ----- 176'761 --- 176 „ 46 , v „ 0-344127 X 618-833 ---- 212-956 --- 212 „ 57 „ 924 fl. 18 kr.' 4) Zu einem Unternehmen gibt X 3100 fl-, U 3500 fl., 6 4200 fl. her. Wenn nun dabei 324 fl. gewonnen werden, wie viel kommt auf jeden? H Es soll die Zahl 3710 in 4 Theile getheilt werden, welche sich zu einander verhalten, wie die Bruche z, H, H , z. K. 91. Die zusammengesetzte Theilregel läßt sich auf die einfache zurücksühren. Es sei eine Zahl s mit Bezugnahme auf mehrere Umstände in drei Theile zu theilen, die sich in einer Beziehung wie n:b:o, in einer zweiten Beziehung wie 6:6:1, und in einer dritten Be¬ ziehung wie^:ll: Ic verhalten. Heißen x, r die noch unbekann- 99 ten Theile, so muß sich x:^ nicht nur wie u: 6, sondern auch wie ci: 6 und wie A: 6 verhalten; eö muß also das Verhältniß X: gleich sein dem zusammengesetzten Verhältnisse aus u :6, 6 : v, fl, also dem Verhältnisse krrlZrbtzh. Eben so muß y: x —kesi: eklr sein. Es besteht also die Forderung, die Theile x, L so zu be¬ stimmen, daß der Bedingung x:y:x — 8,äA:i)6ii:otIr Genüge geleistet werde, was eine Aufgabe der einfachen Theilregel ist. Daraus folgt, daß bei der zusammengesetzten Theil¬ regel folgendes zu beobachten ist: Man Multiplizire die auf denselben Theil Bezug habenden Verhaltnißzahlen mit einander, und betrachte die Produkte als Ver- hältuißzahlen einer einfachen Theilregel, nach welcher dann die wei¬ tere Auflösung erfolgt. B e i fp siess e./ 1) Zu einer Unternehmung vereinigen sich drei Personen; gibt 8000 fl. auf 5 Monate, L 4000 fl? auf 6 Monate, <7 2000 fl. auf 8 Monate her. Die Unternehmung wirft einen reinen Gewinn von 4600 fl. ab; wie viel davon wird jede der drei Personen be¬ kommen? L 0 8000 fl. durch 5 4000 „ „ 6 2000 „ „ 8 M. 40««« 24SS« 16««« 5 460 3 460 2 460 4600 : 10^460 X 5 --- 2300 fl. X 3 --- 1380 „ X 2 -- 920 „ 4600 fl. 2) Drei Gemeinden erhalten für geleistete Erdarbeiten 250 fl. Aus der Gemeinde arbeiteten 11 Mann durch 10 Tage zu 9 Stunden, aus der Gemeinde L 9 Mann durch 9 Tage zu 10 Stun¬ den, aus der Gemeinde 0 15 Mann durch 5 Tage zu 6 Stunden täglich. Welchen Antheil an jenem Lohne wird jede der drei Ge¬ meinde haben? IW 3) beginnt am Anfänge des Jahres ein Unternehmen mit einem Fonde von 8000 fl.; nach zwei Monaten tritt L mit 5000 fl. bei, und noch zwei Monate später gesellt sich auch 6 mit 3000 fl. dazu. Beim Jahresschlüsse zeigt Meminn von 2118 fl.; wie viel bekommt jeder davoi V. Von den Erweiterter Begriff des Potenz i/r en s. §. 92. Der in der Einleitung ausgestellte und bisher zu Grunde gelegte Begriff einer Potenz, als eines Produktes von mehreren gleichen Faktoren, hat nnr dann eine Bedeutung, wenn der Expo¬ nent, welcher die Anzahl der gleichen Faktoren angibt, eine ganze positive Zahl ist; ans gebrochene oder negative Exponenten ist er nicht anwendbar. Wäre die Zahl u z. B. zur Potenz oder — 1 zu erheben, so müßte man nach dem obigen Begriffe einer Potenz u ^mal oder — Imal als Faktor setzen, was offenbar keinen Sinn bat. Man sah sich daher gcnöthiget, den ursprünglichen zu cinge schränkten Begriff zu erweitern, und stellte folgende für jede Art von Exponenten gütige Erklärung auf: Eine Zahl u zur irrten Potenz erheben heißt aus a durch die nächst höhere Operazion ein Resultat so bilden, wie m aus der Einheit entstanden ist. Es wurde schon bemerkt, daß das Multipliziren die nächst böhere Operazion vom Addiren, und die Division die nächst höhere Operazion vom Subtrahiren ist. Aus dieser Erklärung wollen wir nun die Bedeutung einer Potenz für die verschiedenen Formen, unter denen der Potcnzexpo- nent erscheinen kann, ableiten. 1) Der Exponent sei eine ganze positive Zahl. Man betrachte z. B. a?.uzur 4ten Potenz erheben heißt ans u durch die nächsthöhere Operazion ein Resultat so bilden, wie 4 ans der Einheit entstanden ist; 4 ist aus der Einheit entstanden, indem man diese 4mal als Addend setzte; es ist nämlich 4 — 1 z 1; man wird daher mit u dasselbe mittelst der nächst böhern Operazion vornehmen, nämlich u 4mal als Faktor setzen, somit n? — u . u. u . u. Wenn also der Exponent eine ganze positive Zahl ist, so ist die Potenz nichts anderes, als ein Produkt von mehreren gleichen Faktoren; was eben der ursprüngliche Begriff der Potenz war. 101 2) Der Exponent sei gleich Rull. u zur Potenz 0 erheben heißt aus u durch die nächst höhere Operazion eine Zahl so bilden, wie der Exponent 0 aus der Ein¬ heit entstanden ist; 0 ist aus der Einheit entstanden, indem man dieselbe einmal als Addend und einmal als Subtrahend setzte, nämlich 0 — 1 — 1; man muß daher u einmal als Faktor und einmal als Divisor setzen; also u° —a:a —1. Jede Zahl zur 0'" Potenz erhoben ist somit gleich 1. 3) Der Exponent sei eine ganze negative Zahl. Untersucht man z. B. die Bedeutung von so soll aus u durch die nächst höhere Operazion ein Resultat so gebildet werde», wie — 2 aus der Einheit hervorging; — 2 ist aus der Einbeit entstanden, indem man dieselbe 2mal als Subtrahend, oder einmal als Addend und 3mal als S n b t r a h e n d setzte, nämlich — 2 — 1 — 1 — 1 — 1; man mnß daher d einmal als Faktor und 3mal als Divisor setzen, also — s(a:u) : : u --- sl : : a -- 1 : Allgemein sei u.-" . u zur Potenz —m erheben, heißt aus u durch die nächst höhere Operazion ein Resultat so entstehen lassen, wie —m aus der Einheit entstanden ist; um -- m ans der Ein¬ heit zu erhalten, muß man dieselbe inmal als Subtrahend, oder was gleichviel ist, einmal als Addend und (in-s-1)mal als Sub¬ trahend setzen; man wird daher, um zu erhalten, u einmal als Faktor und (m-s-1)mal als Divisor setzen, wodurch man bekommt -> a--- : a) : u) : uj : : . . . E i n e P o t e n z g r ö ß e mit e i n e m n e g a t i v e n E x-' ponenten ist gleich einem Bruche, dessen Zähler die Einheit und dessen Nenner eine Potenzgröße mit derselben Wurzel und demselben, jedoch po¬ sitiven Exponenten ist. 4) Wenn der Exponent ein Bruch ist. g, zur Potenz erheben heißt, aus n durch die nächst hö¬ here Operazion ein Resultat so bilden, wie aus der Einheit ent¬ standen ist; ist aus der Einheit entstanden, indem man die Ein¬ heit in n gleiche Addenden zerlegte, und einen derselben minal als Addend setzte; man wird daher, um rr" zu erhalten, u in n gleiche Faktoren zerlegen, und einen derselben minal als Fak¬ tor setzen; wenn man -r in n gleiche Faktoren zerlegt, so mnß einer derselben innal als Faktor gesetzt wieder n geben; ein solcher Fak¬ tor ist also daher ist I«2 a-- . j/a . . s/g, .... irimal 'H II oder a" — Eine Potenzgröße mit gebrochenem Exponenten bedeutet also, daß mnn aus der Wurzel zuerst die sovielte Wurzel ausziehen soll, als der Nenner des Potenzexponenten anzeigt, und dann dieses Re¬ sultat zur sovielten Potenz zu erheben hat, als der Zähler des ge¬ brochenen Exponenten Einheiten enthält. Setzt man m — 1, so ist s? --- 1/u, 1 d. h. eine Zahl zur Potenz erheben, heißt so viel, als aus ihr die nte Wurzel ausziehen. g.) Allgemeine Sätze über die Potenzgrößen. 8- 93. Da Potenzgrößen mit gebrochenen Exponenten als Wurzel¬ größen zu betrachten sind, und von diesen später besonders gehan¬ delt werden wird, so sollen hier nur Potenzgrößen mit ganzen positiven oder negativen Exponenten in Betrachtung gezogen werden. Aus dem Begriffe des Potenzirens ergeben sich folgende Sätze : 1. Die erste Potenz einer Zahl ist immer der Zahl selbst gleich; nämlich rr' — n. Der Exponent 1 wird daher nicht angeschrieben, sondern im¬ mer von selbst verstanden, wenn kein anderer Exponent da ist. 2. Jede Potenz von 1 ist wieder 1. 3. Wegen ist 8.°"". — 1, also auch Daraus folgt: Man kann jede Potenzgröße, die imZähler als Faktor vorkommt, als Faktor in den Nenner, und umgekehrt übertragen, wenn man nur das Zei¬ chen des Exponenten in das entgegengesetzte verwandelt. So ist ll-2cl " a ' " ' e-2— a ' b'a' — 5 x . — —5x, > 7 'v 103 b) Zeichen der Potenzen. 94. In Hinsicht auf die Zeichen der Potenzen sind folgende zwei Sätze zu merken: 1. Eine positive Wurzel zu was immer für einer Potenz erhoben gibt ein positives Resultat. s-s- n)" — -s- u . -I- n . -s- n, . -s- n . . . . »mal ist ein Produkt von lauter positiven Faktoren , und daher selbst po¬ sitiv, also (Z- n". Der Satz gilt auch, wenn der Exponent negativ ist; denn (-s- n)- -- . 2. Eine negative Wurzel zu einer geraden Potenz erhoben, gibt ein positives, zu einer ungeraden Po¬ tenz erhoben aber ein negatives Resultat. (— ---- — — n. — u. — n . . . . 2minal ist ein Produkt von 2 m negativen Faktoren, also von negativen Faktoren in gerader Anzahl, daher positiv; (— — — u. — n. — n. . . . (2m -s- Ismal ist auch ein Produkt von lauter negativen Faktoren, diese kommen jedoch in ungerader Anzahl vor, daher ist das Produkt selbst nega¬ tiv; man hat also (—»)-"> — -s-n?", (— . Dasselbe gilt auch für negative Exponenten; denn s 1 1 ! x,-2m (—L)-"- " -P^°- ' (— 1 -— s- — — »— e) N e ch N u N g s o p e r a z i v N e >l mit P o t e n z gr ö ß e n. 1. Addiren und Subtrahiren der Potenzgrößen. tz. 9S. Potenzgrößen werden auf dieselbe Art, wie algebraische Größen überhaupt, addirt und subtrahirt. Nur bei gleichartigen Potenz¬ größen kann eine Zusammenziehung vorgenommen werden; es sind aber Potenzgrößen gleichartig, wenn sie sowohl dieselbe Wurzel, als denselben Exponenten haben. 1V4 Beispiele. 2. Multipliziren der Potenzgrößen. tz. 96. Beim Multipliziren von Potenzgrößen gilt im Allgemeinen dasselbe, wie für das Multipliziren algebraischer Größen überhaupt; sie werden nämlich ohne Zeichen neben einander gesetzt, z. B. 3-r^x". 2b^----6n^x^, Eine Abkürzung im Verfahren kann nur dann Statt haben, wenn entweder gleiche Wurzeln oder gleiche Exponenten vorkommen. L.) Wenn die Wurzeln gleich sind, so verfährt man nach dem bereits bei der Multiplikazion erwiesenen Satze: Potenzgrößen derselben Wurzel werden mul- tiplizirt, wenn man die g e m ein sch a ftli ch e W u r z e l beibehält, und ihr die Summe der Exponenten in den Faktoren zum Exponenten gibt. Beispiele über diesen Satz findet man bei der Lehre vom Mul¬ tipliziren algebraischer Größen. L) Wenn die Exponenten gleich sind. Es sei n" mit 6" zu multipliziren. Weil n,"' — a . n . n . n .... rumal l>"' — b .6 .6 . b .... mmal so ist n". k'" — ab. ni> . ab. nb> . - - - mmal oder n". 6°» — (nb)", d. h. Potenzgrößen desselb e-n- Exponenten werden multiplizirt, wenn man das Produkt der Wur¬ zeln zu der gemeinschaftlichen Potenz erhebt. Kehrt man den letzten Ausdruck um, so hat man (nd)"> — n'". d. h. Ein Produkt wird zu einer Potenz erhoben, wenn man jeden Faktor zu dieser Potenz erhebt, und diese Potenzen mit einander multiplizirt. 105 Beispiele. 1) 2) 10°. 5°---50°, 3) g?. i>°. o° — (»be)ö, 4) (u-s-b)°(u —d)°^(»°-b°)-', 5i (x^----x^», g) (__ 3g)r---81g^ 7) (uboZ)"-^kl"b°o"ä", 8) (2ux)° — 32 u°x°, 9) (—4ud)°. (3u)°---16u°b°. 27u°432»^-, 10) (öinx)*. (—3in;-)°—... 11) (7u)°. (2a?. (3»)°-- . .. --'M)"- 3. Dividiren ver Potenzgrößeu. K. 97. Auch beim Dividiren der Potenzgrößeu wird im Allgemeinen dasselbe Verfahren angewendet, welches für das Dividiren alge¬ braischer Größen überhaupt aufgestellt wurde. Z. B. 24u°b°x I — 3u°x — — 8i>°, 35a°l> : 7u°o . 6 Eine Abkürzung im Verfahren kann nur dann vorgenvmmen werden, wenn entweder die Wurzeln oder die Exponenten gleich stnd. u) Wenn die Wurzeln gleich sind. Es ist bereits bei der Division algebraischer Größen bewiesen worden, daß für in > n, n/" : u" — für in < n, u" : u" ist. Da nun 1 1 . ___ —7 »M— N so wird, mag IN^N sein, stets v gl" : g," — d. h. Potenzgrößeu derselben Wurzel werden d i- vidirt, wenn man die gemeinschaftliche Wurzel z u e i n e r P o t c n z erhebt, deren Exponent gleich ist dem Exponenten des Divideuds wenigerdem Exponenten des Divisors. Diese Regel gilt auch, wenn in — n ist; denn für diesen Fall hat man —1, aber es ist auch — »o-^ §lso ist auch unter dieser Voraussetzung u" 106 Beispiele über diesen Satz sind bei der Lehre vom Dividiren algebraischer Größen angeführt worden. b) Wenn die Exponenten gleich sind. Man dividire durch b". Es ist u?" — a . a . a. u . . . . rmnal d"—b.b.b.d. . . . mmal Ä LI, L Ä , daher - . . . . mmal, oder b"> ' d. h. P v t e n z g r ö ß e n desselben Exponenten werden di¬ vi d i r t, wenn man den Qu o z i e n t e n derWurzeln zur ge¬ meinschaftlichen Potenz erhebt. Durch Umkehrung des letzten Ausdruckes erhält man d. h. Ein Bruch (Quozient) wird zu einer Potenz er¬ hoben, wenn man Zähler und Nenner zu dersel¬ ben Potenz erhebt, und die Potenz des Zählers durch die Potenz des Nenners dividirt. Beispiele. 1) (ab o)2 : (ab)? — c?, 2) (36n-b2)--:(4ab)»---(9rrb b?, 3) (u2-d2)«:(a--b)« — (a-s-b)*, s 27 » ° ' 64b^' Aus dem letzten Satze folgt auch: Wenn alle Glieder einer Proporzion zu dersel¬ ben Potehiz erhoben werden, so erhält man wieder eine Proporzion. 2x1 " 16x" 64(a>b)- 125 (o-ä? 107 Ist re : b — o : tl , so muß auch sre : K)" so: 6)", oder re" - s>m — (.m : d-° stil,. K. 98. Die für das Multipliziren und Dividiren von Potenzgröße» mit positiven Exponenten abgeleiteten Sätze gelten auch für nega¬ tive Exponenten. Es ist /V) re" . re"" — re" . — — — re""", 1 1 1 — m O _ _ x,—m- rr am ' 8.U am-j-n L) -e-".b'"^^.^--^^sretz)"". s) re" : re"" — L" : — re" . re" — re"^", re-" : re"" — re " : - --- re " . re" — re""^", r 1. Potenziren der P o t e n z g r ö ß e n. 8- 99. Es ist sre"')" — re" . re" . re" . re'st. . . rimal oder sre")° --- u"", d. h. eine Poteuzgeöße wird zu einer Potenz erhoben, wenn man die Wurzel zum Produkte der Exponenten erhebt. Der Satz gilt auch für negative Exponenten; denn / 1 VN 1 NI)N I k - - 5,— lN.It 1 1 /.,a>^-u — _ — 5,—ran " (am)n ' 108 Beispiele. 1) (a-)2 a°. 2) -- X-« 3) 81^b«o--. 4) l-2x^^)b -- — 32x"^r?. 5) s(—(u»)» -- Ä-". 6) rd-°°p - 7) e-a-.v 11) (—2x-^2r. s/ nd'x°X3 -> i-E 10) (3u2i)x2 4)^ — . ., Z2-i?x-4S / U ski-(b — os^P — g.^sb— o)'2. a°k° lock') " e'ä"' r 16a'°x' "" 81b°x° ' Da (a°0° n 8,""' und (n°)"' — w°», so folgt (u"h" — ^°p>^ Mau kann daher die Ordnung im Potenziren beliebig wählen. ck) Potenziren zusammengesetzter Ausdrücke. 1. Erheben eines zusammengesetzten Ausdruckes aus die zweite Potenz. 8. 100. Wenn man eine Größe mit sich selbst multiplizirt, so erhält man ihr Quadrat. Nm also das Quadrat des Binoms u -s- b zu erhalten, darf man dieses nur mit a-s-b multipliziren; mau findet dadurch (n-s-d)-- --- -j- 2nd -P k-, d. h. das Quadrat eines Binoms besteht aus dem Qua¬ drate des ersten Theiles, dem doppelten Produkte bei¬ der Theile und dem Quadrate des zweiten Theiles. Beispiele. 1) Px -s- 2>-)2 -- 9x? 4^,2 2) (m - Il)2 IN^ - 2mn -s- 1^2. 3) (»2 — 2b)2 --r — 4k>2 0 -s- 4i)2. 109 s- - - 2 -I- s.x 12x 3/)2 4^cs xx . 9x° 1.3« 4d/ ^SL- ad"^ 1«»"' 8) /^4.^?^. . . 9) j(8 a — 3d) st- (4 n — d) xj2 . . . ^10) j(2i?->-5bs)^ — (5^2-3d2)/2j2 — ,,, Um ein Trinom a st- b st- o zum Quadrate zu erheben, be¬ trachte man dasselbe als ein Binom, indem man a st- d als den ersten, und o als den zweiten Theil ansieht; es ist also ln st- d st- o)2 — s(a st- d) st- vs2 — (a -4 d)2 st- 2 (a st- d) . o st- <,2 — -4 2ad st- K2 -s- 2 (a st- d), o st- o^. Eben so findet man (n st- d st- o st- <1)2 — -4ast-dst-o)-46s2^(nst-dst-o)2-d2(3^dst-o) .6-462 -- «2 2ad -s-14 st- 2 (a d) . ost- 4 -4 2 (a -4 d o). 6 st- <4, sa st- d st- o st- 6 st- 6)2, — — »2 -4 2 ad st- d2 st- 2 (a st- b) L st- st- 2 (a st- d st- o) 6 st- 62 -s- 2 sa st- d st- o st- 6) 6 st- n. s. w. Ans den hier abgeleiteten Ausdrücken ergibt sich für das Quadriren eines Polynoms folgendes Bildungsgeseh: Der erste Theil der Wurzel gibt sein eigenes Quadrat; jeder folgende Wnrzeltheil gibt im Qua¬ drate zwei Bestandtheile, nämlich das Produkt aus der doppelten Summe aller vorhergehende» Wur- zeltheile und aus sich selbst, und sein eigenes Qua¬ drat. 1) (a st- 2 d — 3 o4 --- 4 st- 4ad st- 414 — (2a 4- 4d). 3o st- 9o2 — 3,2-4 4ad st- 41)2 — — 12 do st- 9<4, 2) (4 st- 2 x — ;4)2 16 st- 16)- — 4/2 - 4/2 st-/4 3) (3x — 5/ -48^)2 — 9x2— 30x/-j-25/2-448x2—80/2 st- 6422. 4) (3— 4x 4-5x2 — 6x°)2 ^9- 24x st- 46x2 — 76x- st- 73x»-60x° st- 36 x". 5) ^2-^st-^)^4-2ast-U-^st-^. /2a , 3e 4 ei 2 61 ^3d^4Ü"sst) _4a2 , a e 9e? 16ae 6(7e . 16 " 9b- bä 16H 15 bi " 5 äi 25 110 7) (5x2 — 8) (4 — 8 m -s- 5m? 4- 2w^)2 — ... 9, — 2-i.s 4- Z»2 4^ ^ . . 10) (27x° — 54x^4-36x2 — 8)2^ . .. tz. 101. Da sich jede dekadische Zahl als ein nach den Potenzen von 10 geordnetes Polynom darstellen läßt, so kann man das fürs Qua- driren zusammengesetzter algebraischer Ausdrücke abgeleitete Verfab- ren auch auf dekadische Zahlen anwenden. Um z. B. 3417 zum Quadrate zu erheben, hat man 3417- --- (3000 4- 400 4- 10 4- 7)- 30002 -s- 2.3000.400 4- 4002 -j- 2.3400.10 4- 10- -s-2.3410.7-1-72; oder wenn man die Bestandtheile unter einander setzt und entwickelt: 34172 --- 30002 . . . 9000000 4-2.3000. 400 ... 2400000 4- 4002 . . . 160000 4- 2.3400. 10 ... 68000 4- 102 . . . 100 4- 2.3410. 7 . . . 47740 -h- 72 . . . 49 11675889; oder mit Hinweglassung der Nullen: Man verfährt daher, um eine dekadische Zahl zum Quadrat zu erheben, auf folgende Art: 1. Man erhebt die erste oder höchste Ziffer zum Quadrat. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bildet man zwei Bestandtheile: das Produkt aus der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Zif¬ fer, und ihr eigenes Quadrat. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander gesetzt, daß jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addirt; die Summe ist das gesuchte Quadrat. 111 Beispiele. 41.72 314172 Da die erste Wurzelziffer im Quadrate eine oder zwei Stellen gibt, wegen jeder folgenden Ziffer aber im Quadrate immer zwei Stellen zuwachsen, so enthalt das Quadrat einer Zahl entweder doppelt so viele Ziffern, als deren die Wurzel bat, oder um eine weniger. Theilt man daher das Quadrat von der Rechten gegen die Linke in Klassen zu zwei Ziffern, wo dann die erste Klasse links auch nur eine Ziffer enthalten kann, so bat mau so viele Klaffen, als die Quadratwurzel Ziffern enthält. 2. Erbeben eines zusammengesetzten Ausdruckes auf die dritte Potenz. 8. 102. Multiplizirt man das Quadrat einer Größe mit dieser Größe selbst, so erhält man ihren Kubus. Es ist also (u-s-— (n?-j-2ull-s-(g,-s-ll) — a? -l- -s- 1,3, d. h. der Kubus eines Binoms ist gleich dem Kubns des ersten Theiles, mehr dem dreifachen Quadrate des ersten Theiles multiplizirt mit dem zweiten Th eile, mehr dem dreifachen ersten Theile multiplizirt mit dem Quadrate des zweiten Theiles, mehr dem Kubus des zweiten Theiles. Beispiele. 1) (u —3-rb2—I)3. 2) <2x -ff 3,y)° ---8x°-s- 36x2/ -j-54x^2 27/--, 3) smb — 2 «2)3 — ,u»— 6m^2 -1- — 8n". 112 1 a d 1 »'k 5) (5g?-j-4bxb)S — ... 4a 9^1 3x7- > Lb' b^ ' K. 103. Um nach dem eben entwickelten Satze den Knbus eines Tri¬ noms u-fi-b-s-o zu erhalten, betrachtet man u->-b als den einen Theil und findet — ^(g, fi-b) o^— (a -j-l>)3 -h- 3 (u b)2 . o -s- 3 (a -fi-b) o? -j- -i- 3 b fi- 3 u -j- -fi- 3 (u -j- b)^ e ->- 3 (a b) fi- o- Eben so folgt (u -s- 1> -s- o -s- 6)3 — s(a -s- o -j- d)-j-6^3 — (u -s- d -s- v)- -s- 3 (a 4- b -s- o)- 6 -s- 3 (u -s- b 4- o) 63 4- 6» — u3-s-3u3b-s-3ub3-s-1)3-s-3(u's-h)3o-s-3(u-s-d)o3^-e- -s- 3 (a -I- b -s- c)^ 6 -s- 3 (a -s- b -s- o) 6^ -s- 63, u. s. f. Wenn man diese dritten Potenzen aufmerksam betrachtet, so sieht man: Der erste Wurzeltheil gibt seinen eigenen Kubus; jeder folgende Wurzeltheil gibt drei Bestandtheile, das dreifache Quadrat der Summe aller vorhergehen- dcnWurzelth eile multiplizirt mit jenem Wurzeltheile, die dreifache Summe aller vorhergehenden Theile multiplizirt mit seinem Quadrate, und seinen eige¬ nen Kubus. Beispiele: 1) 2) 3) 4) 5) 4 -i-2^ - 3?--y«-s-6 -s. 128?3 - 9 s?- 2 ?)3 -I- 27 2 7) - 27 - 7« -s- 67° 127»^- 873 - 97» - 367- -3673 ^ 2773-s-547-27^7°fi-67-^37^ - 287- - 973-s-547—27. (x3—3 X7 -s- 273)3^-x°—-9x^7 -s- 33x^3 — 63x37-'s- 66x37^ -- 86x7- -s- 87°. (1 - 2x —3x3-s-4x-)---r 1 6x-s-3x3— 10x3 4-39x^'s-30x 3 — 132x« -s- 204x- - 144x3 -s- 64x-. (2x3 ^2^, — 3 X73 — 473)3 — ^8x°-s-12x37 90x^73-83x°73-3x-7^ 4-l59x^v-4- 141 x3 v" -- OOx-^ — 144x7- —6470. /X- X , ,4» x° X- . 7x- ' 9x- 7x- 3x . , -s- 1) -27- 2-^ 12--^ 113 6) (x°ff-10x°-15x-5)°^ ... 7) (n-2-r°ff-4^ —8u°)°--- ... 8) 4^... g) ^4-rx-^-ff^)^ ... 8. 104. Sucht man nach dem hier entwickelten Bildungsgeseße für den Kubus eines algebraischen Polynoms den Kubus einer dekadischen Zahl. z. B. 4213; so erhält man. wenn die Bestandtheile unter einander gestellt werden: Zur Entwicklung des Knbns einer dekadischen Zahl ergibt sich demnach folgendes Verfahren: 1. Man erhebe die erste oder höchste Wurzelziffer zum Kubus. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bilde man drei Bestandtheile: das Produkt ans dem dreifachen Quadrate der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Ziffer, das Produkt aus der dreifachen voran¬ gehenden Zahl und dem Quadrate dieser Ziffer, und ihren Kubus. Noömk, Algebra. 5. Aufl. 8 H4 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander geschrieben, daß jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addirt. Beispiele. Da die erste Wnrzelziffer im Kubus eine, zwei oder drei Stellen gibt, und wegen jeder folgenden Wurzelziffer im Kubus immer drei Stellen znwachsen, so enthält der Kubus einer Zahl immer entweder dreimal so viel Ziffern, als deren die Kubikwurzel hat, oder um eine oder zwei weniger. Theilt man daher den Ku¬ bus von der Rechten angcfangen in Klassen zu drei Ziffern, wo die erste Klasse zur Linken auch nur eine oder zwei Ziffern enthalten kann, so hat man so viele Klassen, als die Kubikwurzel Ziffern enthält. VIII. Von den Wurzelgrößen. .1.) Allgemeine Sätze. 8. 105: 1. Die erste Wurzel aus einer Größe ist die Größe selbst; daher wird für die erste Wurzel weder der Exponent, noch das Wurzelzeichen angeschrieben; statt s/.-r schreibt man also nur a. Bei der zweiten Wurzel wird wohl das Wurzelzeichen, aber nicht der Exponent 2 angeschrieben; wenn daher das Wurzelzeichen ohne Exponenten dastcht,' so versteht man immer die zweite Wurzel; V-r bedeutet also I/u. 2. Die Wurzel muß so beschaffen sein, daß sie auf die Potenz des Wurzelexponenten erhoben, die Größe unter dem Wurzelzeichen gibt. Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich unmittelbar aus dem Begriffe einer Wurzelgröße; ist "j/o — d. so muß — u. sein. L15 3. Jede Wurzel aus 1 ist wieder 1. Weil 1-"— 1, so ist auch s/1 — 1. 4. Wenn man eine Größe zu einer bestimmten Potenz erhebt, und dann aus dem Resultate wieder die eben sovielte Wurzel ausziebt; oder wenn man umgekehrt aus einer Größe eine bestimmte Wurzel auszieht, und diese dann zur eben sovielte n Potenz erhebt: lo er¬ hält man wieder die ursprüngliche Größe. Es ist also j/gm — u und (1/a)" — a. Diesem zu Folge kann jede Größe in Form einer Wurzelgröße dar¬ gestellt werden, man darf ihr nur als Wurzel- und Potenzexvonen- ten dieselbe Zahl geben. Z. B. b — 8. 106. 5. Wenn eine Größe zu einer Potenz zu erheben, und daraus eiue Wurzel auszuziehen ist, so ist es gleich- giltig, in welcher Ordnung diese beiden Operazionen vorgenommen werden. Es sei die Größe u zur mten Potenz zu erheben, und daraus die nte Wurzel auszuziehen. Setzt man j/u — b, so muß b" — u sein, daher (6")"" — es ist aber (6")°' — (6")", folglich sb"")" — -r'", und wenn man beiderseits die ute Wurzel auszieht, oder 6'» —j/o", also, weil 6 — ist, auch 6. Jede Wurzelgröße kann in eine Potenzgröße mit gebrochenem Exponenten verwandelt werden, wenn man den Potenzexponenten zum Zähler, und den Wurzelexponenten zum Nenner des Bruches a n n i m m t. Nach dem allgemeinen Begriffe des Potenzirens ist u,n — (j/o,)'". Rach dem vorhergehenden Satze ist aber auch j/o'n —(j/o)'", mithin j/g."—a". Man kann dieses auch so ausdrücken: Aus einer Potenzgröße wird eine Wurzel aus- 116 gezogen, wenn man den Potenzexponenten durch den Wurzelexponenten dividirt. 8. 107. 7. Der Werth einer Wurzelgröße wird nicht geän¬ dert, wenn man den Wurzel- und Potenzexponenten mit derselben Zahl mnlti pl izirt oder dividirt. Es ist n lil »p f/ H.M — H» — p, n m MN und 1/ HM—HN —- Der erste Theil dieses Satzes gibt ein Mittel an die Hand, mehrere Wurzelgrößen auf einen gemeinschaftlichen Wurzelexponenten zu bringen. Man suche nämlich zwischen den gegebenen Wurzelexponenten ein gemeinschaftliches Vielfaches, am besten das kleinste; dieses ist der neue Wurzelexponent. Nun dividire man den neuen Wurzelexponenten durch jeden alten, und multiplizire mit dem Quozienten sowohl den Wurzel- als den Po¬ tenzexponenten. Es seien z. B. die Wnrzelgrößen f/n, 1/d?, s/ s/a -s- 6a s/b — . .. 2. M n l t i p l i z i r c n der W u r z e l g r ö ß e n. §. 110. Wurzelgrößen können nur wirklich multiplizirt werden, wenn sie gleiche Wurzelexponenten haben; ist dieses nicht der Fall, so müssen sie zuerst auf einen gemeinschaftlichen Wurzelexponenten gebracht werden. Es sei nun 1/a, mit 1/b zu multipliziren. Setzt man fs/a —x und j/b —so muß x"> — a, — b sein, daher x"^>» — ad, oder (x^ — ab, und wenn man bei¬ derseits die mte Wurzel auszieht, x^—1/ab, oder wenn statt x und ihre Werthe gesetzt werden, 1/a . 1/ 6 — 6, d. h. Wurzelgrößen desselben Exponenten werden mul¬ tiplizirt, wenn man die g emeinschaftliche Wurzel aus dem Produkte der Größen unter den Wurzelzeichen a u s z i e h t. Beispiele. 1) fX- . 1/n.^lXo,-«. 2) P/^-u --- 3) sX5.1/"200 iXlOOO --- 10. 4) 1/Ir. j/'» — . iXa'- — l'Xi.->. 5) f/x . 1/x. sX^.1/^ 119 6) 3^2 . 5p-d-> . j/'b 15,/b2 7) (j/n— 21/b-P 3j/^o) . ^/x —1/n,x— 2j/bx-j-3j/ox. 8) (kr-s-bl/o) (a — b j/o) — »2— b2o. 9) (8-3j/5) (7 -s- 2j/ 5) — 26.- ,5.1/5, 10) (3l/7/-41/"3) (21/7 —31/3)^42—121/3 —1/"147. 11) (1/rt-t-b — l/r»-/1/b) (l/g/j^b-/1/-r — l/b) — 21/it b. 12) (1/ab-j- 31/x^) (21/a b — l/x^) (51/rrb -j- 4 j/x ^) — — 10»b — I2x^ — 171/»bx^ -P 301/»2b2x^ — — 41/g.bx2^2 — 51/a^böx^ -s- 24l/»bx^^^. 1>/- - 14) (31^5» -P 41/2») . 1/4a^ .. . 15) (4 > 31-^2) (3 — 21/2) ... 16) (21/3 g. —31/2») (31/3 » -/ 21/2») -- . . . 17) l/a-l-x -P 1/a — X . 1/-6 x — 1/a — x — - 18) (»l/"'» -j- l/b — l/o) (2 1/a bo — b 1/o -s- o 1/b) — .. . 19) (31/5 /- 21/6) (21/5 — 31/6) (21/3 - 41^10)^ ... 20) x -4- 1/x--i x — 1/x-- 1 X - 1/x-— 1 X-/1/x2— 1 Mit Hilfe des vorhergehenden Satzes kann man jeden Faktor einer Wurzelgröße unter das Wurzelzeichen bringen, man braucht ihn nur zu jener Potenz zu erheben, welche der Wurzelexponent anzeigt. So ist 1) iel/bo 1/> . 1/b» — 1/a-" b>V 2) 2P"5 1-2- . 1/5 -- 1>40. /H i/ _ ß //ü. Ibß/s. Durch Umkehrung des oben gefundenen allgemeinen Ausdruckes erhält man 1/ub--l/s.l/b, d.h. aus einem Produkte wird eine Wurzel ausgezogen, wenn man sie aus jedem Faktor auszieht, und diese Wurzeln mit einander multipliztrt. Dieser Satz ist dann anzuwenden, wenn die Größe unter dem Wurzelzeichen Faktoren enthält, aus denen sich die verlangte Wurzel ausziehen läßt. Da wird die Wurzel wirklich ausgezogen, und es 120 werden nur noch die übrigen Faktoren, aus denen die Wurzel nicht ausgezogen werden kann, unter dem Wurzelzeichen Zurückbleiben. Dieses Berfahren kann oft sehr vorteilhafte Zusammenziehungen herbei führen. Beispiele. 1) b-- - iXa". s/i? — a? 2) j/20 — s/4 - s/4. s/ 5 — 2^5. 3) 1^81 — 1>27^3 —1^27 . s/3 -- 3 1^3. 5) l/HH^si/^.l/HTD^gs/^. 6) s^2 Z- V8 > 3s-50 -1/2 si- 2s/2 > 151/2 - 18^2. 7) 4^3 — 2^24 Z- s>192 — 41>3 — 41^3 -/ 41>3 - 41/3. 8) 31 50-i-21/72 — s/l28^... 9) 61/125 —31/80 Z-21/20- ... 10) 5 — 2xs/27^x -/ NX^48x — . . . 3. Dividiren der Wurzelgrößen. K. 111. Beim Dividiren der Wurzelgrößen müssen diese, wenn sie nicht schon gleiche Wurzelexponenten haben, auf solche ge¬ bracht werden. Es sei nun 1/si durch s/b zu dividiren. Setzt man s/n —x, s/l> — v, so istx'" — u, —s>, daher oder — 4!-. Daraus folgt oder wenn man statt x und / ihre Werthe substitnirt, I/a_"I / i» z/b d. h. Wurzelgrößen desselben Exponenten werden dividirt, wenn man die gemeinschaftliche Wurzel aus demQuozienten der Größen unter den Wurzel zeichen aus zieht. -Da umgekehrt ist, so hat mau auch den folgenden Satz: Ans einem Bruche (Quozienten) wird eine Wurzel a n s g e z o g en, wenn man sie ans Zähler und Nenner 121 auszieht, und die Wurzel des Zählers durch die Wur¬ zel des Neuners dividirt. Läßt sich aus dem Zähler, oder aus dem Nenner, oder aus einigen Faktoren derselben die verlangte Wurzel ausziehen, so kann der Ausdruck dadurch auf eine einfachere Form gebracht werden. Beispiele. 1) s/ax : 1/u — 1/x. 2) 1/u^ : — 1/a. 3) s/u? : -- 1>u° : f/u?. «> 14 - - p? - /x - 5) s/ il-j-x : s/»'— x' — s' : 1/(a-l-x)(L — x) 4»">" b">i-6u-) : (s/u - 1) -- s/u 1/u- -4 s/u». 11) <8u j u 12f/^l4 6n/6 4 9b1/u4-4s?u»l)» —691/b) : (2 I'u— 3s/b) -- 41>-r°-- 3^6/2^-. 12) ius/u: j/u — . . . 13) iIl-4 : ls/i; -s/9) . . 14) (8x- 6s/x —4x1/x) : — 2/x — . . . 15) (1/u - — 1/4-- / 1^u4 : s/u° --- . . . 16) (1/-rx — s/4x 4- l/g.2 — 1/vL): sf/u — 1/'o) s )4-n ^s ' /ns ^ - - - 18l —' I /25»'. -10«.d -t- K' ' ff/ 4)/ — 12^d-j-9v- _ . 4^'4 12s1> -j- 9b' /^/ 90' ' 25»'-l-19»b4b' ' 25»' - b' ' Aus dem letzten Satze folgt auch: Wenn man aus allen Gliedern einer Prvporziou 122 dieselbe Wurzel auszieht, so erhält man wieder eine Proporzivn. Ist u:b —o:6, so muß auch j/(u: b) — j/(o: ä), oder 1/a: 1/b — 1/o: 1/6 sein. 4. Potenziren der Wurzelgrößen. 8. 112. Es ist schon bei den allgemeinen Sätzen bewiesen worden, daß n n (1/rr)^ j/gm ist, d. h. Eine Wnrzelgröße wird zu einer Potenz erhoben, wenn man die Größe unter dem Wurzelzeichen zu jener Potenz erhebt, und daraus die entsprechende Wurzel a u s z i e h t. Beispiele. 1) (1/a/)^ — 1/»^ n'-s/o?. 2) — bo^l/n^b^o. 3) 4) (2a-j-31/b)^ — 4n,2 -j- 12n1/b -s- 9b. 5) (3j/2-2j/3? — 30 - 12j/6 . 6) j j/ - 2 -- - -2-j 7) (4n?1/ax^ — . . . 8) (2-31/5)-- - . . . 9) (3x--1/?-2^1/x)2^ . . . 10) (s/2xÄ — s/2x — — . . . 11) ss/t/a-i-Ii "b 4^-r— n " s/s/n^-!' —' t/» — — - - 12) (4ul)'b — 3bj/u)» -- . . . 13) (a - 31/u -s- 4^u')^ ^ . . . 14) sl/ »» — 1/^b — z/»»—- 5. Wnrzelansziehen aus Wnrzelgröße». 8. 113. Es soll aus 1/n die mte Wurzel ausgezogen werden. Man setze j/a — x und 1/j/u —1/x— so ist x" — u, 123 —X, daher ^"">---x" und zr — 1-x", oder wenn man statt und x" ihre Werthe setzt, 1/f/u — 1/a, d. h. aus einer Wurzelgröße wird eine Wurzel ausge¬ zogen, wenn man die Wurzelexponenten multiplizirt, und das Produkt zum neuen Wurzelexponenten an¬ nimmt. Beispiele. 1) -- 1-a. 2) -s/j/1/5 -- 1/1/5 - 1/5. 3) 1-1-1-x s/'x. MN m n Aus 1/a — s/l/ir folgt umgekehrt, daß man, wenn der Wur¬ zelexponent eine zusammengesetzte Zahl ist, die verlangte Wurzel er¬ hält, wenn man jenen Wurzelexponenten in seine Faktoren zerlegt, und dann nach und nach die Wurzeln auszieht, deren Exponenten die einzelnen Faktoren sind. Beispiele. 1) 1-64 - 1/1/64 -- 1-8 - 2. 2) s/1004 — 1-1/1004 — 1/32 - 2. 3) 1/> -- 1/1/1-1-rr". 4) 31/»' i/g. -j- 1/u^u^ — . . . 5) 4u1/a1/»^/s — 2j/»-z/»° — . . . 6 Jrrazionale Wurzelgrößen und Razionalmachen des Nenners. 8. 114. Die Wurzel aus einer ganzen Zahl kann nie ein Bruch sein, weil kein Bruch zu einer Potenz erhoben eine ganze Zahl geben kann. Ist daher 1/^., wo -4. eine ganze Zahl vorstellt, zwischen zwei auf einander folgenden ganzen Zahle» enthalten; so läßt sich diese Wurzel weder durch eine ganze noch durch eine gebrochene Zahl vollkommen genau darstellcn. Gleichwohl läßt sich stets ein Bruch, und zwar ein Dezimalbruch finden, der von dem wahren Werthe der Wurzel um weniger verschieden ist, als jede noch so kleine angebbare Größe. Es ist 124 n» 10" . 10"'" I/ — 10 " " 1»! ' Da durch keine ganze oder gebrochene Zahl darstellbar ist, so gilt dasselbe auch von 10" oder ft^.10"'". Es sei nun a, die größte ganze Zahl, welche in j/H.. 10'"" enthalten ist, und man setze . 10'"" — n -s- >v, wo rv < 1 sein muß; so ist 1/ä — 10" 10» 10"' daher 1/J. - — 10° 10"' und, weil w < 1 ist, °' -- i i/a_ 10"^ tO"' Nimmt man daher für den Werth so begeht mau eiuen Fehler, welcher kleiner als ist; aber n kanu beliebig groß geuommeu, daher beliebig klein gemacht werden; der Fehler, den man begehet, kann also kleiner gemacht werden, als jede noch so kleine angebbare Zahl. 1/^. ist demnach eine Zahl, deren Berhältuiß znr Einheit sich weder durch eine ganze noch durch eine gebrochene Zahl vollkommen genau, wohl aber näherungsweise mit jeder verlangten Schärfe be¬ stimmen läßt, oder ist eine irrazionale Zahl. So sind j/5, 10 irrazional. Eine algebraische Wurzelgröße j/n" — u" heißt irrazional, wenn der Pvteuzexponent n durch den Wurzelexponenten m nicht theilbar ist; sonst ist sie r a z i o n a l. Z. B. Die Wurzelgrößen —n?, j/x"'o —x"' stnd razional, die Wurzelgrößen s/n, s/-r', r, ^n,' dagegen irrazional. Jeder Bruch, dessen Nenner irrazional ist, kann ohne Aende- rung seines Wcrthes mit einem razionalen Nenner dargestellt wer¬ den. Wie dieses Geschäft, welches das Razioualmachen des Nenners heißt, in de» einfachern und häufiger verkommenden Fällen ansgesührt werden kann, wird aus dem Folgenden er¬ sichtlich. 125 1. Um einen Bruch von der Form p- razional zu machen, mul- /K" tiplizire man Zähler und Nenner mit es ist L _ a/b°-»- _ a/b"-" _ a /b"-"' 1/b" i/b" ./b"-"> 1/b" in welcher letzter« Form der Bruch mit einem razionalen Nenner erscheint. Beispiele. .. a _ s/b' _ a/b' / 's! 3. „ ' /K /d . /K' 7-, 3 /a — 3/».^-/ a/a' ' /a' Man 4) y— ,-^-Äb/5 3x/5a 2/2... ' 9) PH. /s^n mache noch folgende Brüche razional: 3 a' 5^2a a/3 5) —- 3/3x ox V 2x -t- /s^-Z^ 2. Hat der Bruch die Form oder so wird er razional gemacht, wenn man Zähler und Nenner im ersten Falle mit K^j/o, im zweiten mit ^/b^j/o multiplizirt; denn es ist a — a(b-ss/c) a((/b^/c) b^/c" (d^l/eKb^l/e)"^ b' —e ' a a(/b^/c) a(/b^Vc) /5^/« " (/k t^c) (t^b ^z/c) b - <- Beispiele. 1) 2) 3) 4) 3 3(5-1-t/S) 15-t-3(/2 15-(-3t/2 5 — 1/2(5-^/2)(5st-1/2) 25-2 23 2^-1/3 (2-^3)(2-1/3) 4-41/3-1-3 — 7 _ 41/Z 2-1-1/3— (2-«-1/3)(2-1/3) 4-3 ' 15 15(1/5-1/2) _15(1/5-V2)- )/5-1-1/2^ (l/5-(-^2)(1/5-1/2) 5-2 ^5 (1^5-1/2), 21/5-1-1/3 (21/5-l-V 3) (3/5-1-21/3) 31/5-2/3 (3/5-21/3) (31/5^-2 /3) " «zz/S--1-4/15-1-3/15-1-21/3'— 36-1-7/15^, 36-s-7/15 (3/5)' — (2/3)' — 45 —12 — 33 126 Es sollen noch folgende Brüche mit einem razionalen Nenner dargestellt werden: 7. Die imaginären Größen. tz. 115. In K. 108 wurde nachgewiesen, daß eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl nicht reell sein könne, und auf eine neue Art von Zahlen führe, welche imaginär genannt werden. Da man bei allgemeinen Untersuchungen, in denen Wurzel¬ größen auftreten, selten im Boraus entscheiden kann, ob sich das Resultat als eine reelle oder als eine imaginäre Zahl darstellen wird, so ist man, um solche Untersuchungen allgemein halten zu könne», genöthiget, die imaginären Größen nach denselben Ge¬ setzen in Rechnung zu ziehen, denen die reellen Wurzelgrößen unter¬ worfen stud. Um nun hiedei nach sicheren Grundsätzen vorzugeben, wird die imaginäre Größe j/ „i/ in der Rechnung jedesmal in ein Produkt umgewaudelt, worin der eine Faktor reell und der andere f/^D ist. Es ist nämlich s/—ä? — j/i/-i — s/b?. s/Hi — Eben so findet man s/Hm — j/ m . - I — f/m.f/^1. Eine Zahl von der Form heißt eine reine imagi¬ näre Zahl. Wird zu einer reellen Zahl a eine imaginäre bj/—i addirt, so ist die Summe weder rein reell noch rein imaginär, sondern aus einem reellen und einem imaginärenTheilezusammengesetzt. Eine Zahl von dieser Form wird eine komplexe Zahl genannt. Da sich, wie dieses in der höher« Analysis nachgewiesen wird, jede imaginäre Größe auf den Ausdruck n-s-bf/ —i, wo n auch Null sein kann, zurückführeu läßt, so wird es hier genügen, zu zeigen, wie die Rechnungen mit solchen imaginären Größen, in denen I/—i als Faktor vorkommt, vorgenommcn werden. Wir werden zu diesem Ende zunächst die verschiedenen Pote» zen von 1/^1 betrachten. Wenn man eine Wurzelgröße auf die Potenz des Wurzel- 127 exponenten erhebt, sv kommt die Größe unter dem Wurzelzeichen znm Vorschein; es ist daher - - 1; ferner ll^? - (j/- (1/771)",. 1/H)" - 1 . - 1 - 1. Allgemein ist, wenn n irgend eine positive ganze Zahl be¬ deutet, (1/77iffn ff- 1; (1/771)«N-I-L — ff- 1/771; (1/771)4°^ — 1; -- — l/TTs. n) Die Summe und die Differenz zweier imaginären Zahlen ml/771 und »1/7771 sind wieder smaginär; es ist nämlich m l/^1 -ff »1/771 — (m-ff n)1/ — 1; 77s — »1/^1 — (m —n) 1/777i. Nur für m — » wird die Differenz gleich Null. Eben so geben zwei komplexe Zahlen n-ff d 1/7771 und o -ff ä s/ 771 im Allgemeinen sowohl zur Summe als zur Differenz eine komplexe Zahl; denn es ist (a st 1'771) -> (o -ffä j/771) -- (n -ff o) -ff (d ff- d) 1/771 ; (nff-b1/-i) — (o ff-lll/-1) — (n — o) ff- (b —el)1/ — i. Für <-» — n wäre die Differenz rein imaginär, für b — ä rein reell. b) Zwei imaginäre Zahlen geben ein reelles Produkt und einen reellen Qnozienten. Es ist s/ — m -1/ — n — l/i»1/—1 . 1/»1/ — 1 — 1/ MN (1/ — l)^—->»1/ mr>; s/— m : 1/7ffs — 1/^ml/771 - l/»1/I771 — j/ m . n. Dagegen ist für eine reelle und eine imaginäre Zahl sowohl das Produkt als der Quozient imaginär. 1/n . 1/77ffs— j/-r . 1/m . 1/T.ff .1/177; 1/n : 1/^-- 1/n : 1/m. 1/-s^1/-r . l : 1/m . (1/771)- — l/n.s/—i: — 1/m — — f/a: m . 1/— I. Das Produkt aus zwei komplexen Zahlen ist im Allgemeinen wieder eine komplexe Zahl. (n j/ITi) (n, ff- k1/I7i) -ff (-1- l>) 1/771 2-r; (-> d 1/^1) (n - d 1/771) — l>2 (1/171)2 kr- (,2. 128 Auch der Quozient von zwei komplexen Zahlen bietet wieder eine komplexe Zabl dar. Es ist 2b z/—I (s, -j- d z/ — > ) (c — ä z/ — i) (L 1/IIi-. 2) —4f/^- 3) x° — bl/-)-«-/o^/ —— (o.x — 4) 1/^.j/^^1/3.j/Hi.1/5.1/^t^^15.1/IIf. 5) (m -/ j/--n) (vi — — ») — — (f/ — n)2 — -s- n. 6) (2a1/I7i — 3bj/^) (3af/llli -s- bf/H) — — — ba^ -j- ab -s- 3b^. 7) Es sei das Produkt (a Z- b 1/"s) (a — b 1/-1) (<-. Z- ck j/^I) (o - 6)2 als das gesuchte Produkt. Man hat somit die merkwürdige Gleichung (-i- Z-' d«) (c/ Z- d-) --- (n.6 — bä)- -j- (a ./: VH 18) (1/o-dl/H)^ ... 19) (31/^-V2j/^3)-^... 20) (l-j/^3)^... Man mache den Nenner reell in: 21) 22) /3-1/-2 g,-1/-d' ^3-Vl/-2' — 1/— d 61/—6-(-5l/-5 1/—^1/^k' 81/17-5-, 51/^6' ä) Wurzelausziehen aus zusammengesetzten Ausdrücken. 1. Ausziehen der zweiten Wurzel aus einem zusammen¬ gesetzten Ausdrucke. 8. 116. Das Verfahren, nach welchem aus einem geordneten zusam¬ mengesetzten algebraischen Ausdrucke die Quadratwurzel ausgezogen wird, laßt sich aus dem Gesetze ableiten, nach welchem die Theile einer zusammengesetzten Wurzel im Quadrate zusammengestellt er¬ scheinen. 1. Der erste Theil im Quadrate ist die zweite Potenz des ersten Wurzeltheiles. Man findet daher den ersten Wurzeltheil. wenn man aus dem ersten Tbeile des Quadrates die Quadratwurzel auszieht. 2. Wird das Quadrat des ersten Wurzeltheiles abgezogen, so find die nächsten zwei Glieder die Bestandtheile, welche aus dem zweiten Wurzeltheile hervorgegangen sind, und zwar ist das erste übriggebliebene Glied das Produkt aus dem doppelten ersten Wur¬ zeltheile und aus dem zweiten Theile der Wurzel. Dividirt man daher dieses erste Glied des Restes durch den doppelten bereits be¬ kannten ersten Wurzeltheil, so erhält man den zweiten Theil der Wurzel. — Nun bildet man die Bestandtheile, welche dieser zweite Wurzeltheil gibt, nämlich das Produkt aus dem doppelten ersten lAokvik, Algebra. 5 Ausl. 9 I3N und aus dem zweiten Wnrzeltheile, und das Quadrat des zweiten Wurzeltheiles, welches geschieht, wenn man zu dem doppelten ersten Wnrzeltheile den zweiten addirt, und die Summe mit diesem zwei¬ ten Wnrzeltheile multiplizirt; es ist nämlich 2uk-s-b? —(2u-s-d)b. 3. Wird das so gebildete Produkt von dem gegebenen Ausdrucke abgezogen, so kommen im Reste die Bestandtheile vor, die der dritte Wurzeltheil gibt, und zwar zuerst das Produkt aus der doppelten Summe der ersten zwei Wnrzeltheile und aus dem dritten Theile der Wurzel. Wird daher der Rest durch die doppelte Summe der bereits gefundenen Wurzeltheile dividirt, so erhält mau den dritten Wurzeltheil. Die Bestandtheile, welche dieser dritte Wurzeltheil im Quadrate hervorbringt, nämlich das Produkt aus der doppelten Summe der vorhergehenden und aus diesem neuen Wnrzeltheile, und dessen Quadrat, findet man, wenn man zu der doppelten Summe der frühem Theile den dritten Wurzeltheil addirt, und die Summe mit diesem neuen Wurzeltheile multiplizirt; denn es ist 2 (a -s- k) o -s- o? — s2 (n -s- k) -s- . o. 4. Wenn man, nachdem dieses Produkt snbtrahirt wurde, wieder den neuen Rest dnrch die doppelte Summe der bereits gefundenen Wurzeltheile dividirt, so erhält man den vierten Wurzeltheil. Bei Fortsetzung dieses Verfahrens wird zuletzt entweder kein Rest übrig bleiben, in welchem Falle die Quadratwurzel vollkommen genau ist; oder cs bleibt, wenn der vorgelegte Ausdruck kein voll¬ ständiges Quadrat ist, ein Rest, und die Wurzel ist irrazional. Beispiele. l) 1 4,? — . I2n1> -2-1 31 > 4-r* - 12-rl)-s-9k>2 . (4-, - 3^ - 12-rk^9d- _ - 0. 2) — —4n V-1- p' — 3m2 —2n?-s-p2 9m» -12mV-st4n» :(6m2—2n2)X-2n- — 12m V-h 4n» — -s-6m2p2 - 4^S^.^2)>^2 -s- 6m 4n -s- - 131 H A) 1/x» -j- 6x° — x' — 30x 25 — x2 3x — 5 —x^ -j- 6x2 — x2 /- 6xb->-9x^ : (2x- —10x^—30x -j- 25 : (2x2 6x—5) X — 5 -10x2-30x^-25 -/ /- - ' 0. 4 4 15) x' x2 10) 1/4»' Ii,»>/—d—16K— 11) 12) 13) 14) II>m'4-4m^ — I6m' — 8in'->-4 — ... 1/(16» ° — 24-1° /- 25-r» — 20» 2 10»2 — 4» /- 1^ .. . 1/(16 — 32y>32v" — 32v'-('20.y»- 8v'-)-4^ ---... 1/(4x' 12x--/'25x°-44xb-(-70x» — 76x2^73x2 — 60x -)- 36(1 — I X)2S«° 10»° 31^0 , 38»' 38»( 8» > . > 1/ (-81 27' 81 27 81 ' 9 0 4) —1 -x2 : i2—4 8 «4 II. s. w. 5) j/(25- 70-I-/139a2- 236-,2-)-235^-1980»-)-121a«) -.5- 7»-/9->2—11»». 6) I 09v" — 12v°10/^ — 28/ ' 17/2 (g) ---3/2 — 2v2-//-4. 7) 17017^x^1 — 2x 2x2 — ... / 9x" x° 26x' . .43X' 2x^_ S0x > 3x" x' 2x . - — 4)? — 3^ — / 9 132 8- 117. So wie wir hier die Methode für das Ausziehen der Qua¬ dratwurzel aus algebraischen Polynomen begründet haben, eben so läßt sich aus dem Gesetze, nach welchem die einzelnen Wurzelziffern im Quadrate zusammengestellt erscheinen, auch für das Ausziehen der Quadratwurzel aus besonderen Zahlen folgendes Verfahren ableiten: 1. Man theile die Zahl, von den Einheiten angefangen, in Klas¬ sen zn zwei Ziffern, wobei die erste Klaffe links auch nur eine Zif¬ fer enthalten kann. Bei einem Dezimalbruche geschieht die Einthei- lung der Gauzen vom Dezimalpnnkte gegen die Linke, und die Ein- theilung der Dezimalen vom Dezimalpunkte gegen die Rechte; wenn in den Dezimalen die letzte Klasse rechts nur eine Ziffer enthalten sollte, so wird, damit die Anzahl der Dezimalen eine gerade werde, eine Nulle angehängt. 2. Man suche die größte Ziffer, deren Quadrat in der höchsten Klasse vorkowmt, setze sie als erste Ziffer in die Quadratwurzel, und ziehe deren Quadrat vou jener Klaffe ab. 3. Zu diesem und jedem folgenden Reste setze man die nächst niedrigere Klasse herab, und betrachte die dadurch entstehende Zahl, nach Hinweglassung der letzten Ziffer, als einen neuen Theildividend, welcher durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel dividirt, die nächstfolgende Wurzelziffer gibt, die zugleich als Ergänzung zu dem Divisor geschrieben wird. Der auf diese Art ergänzte Divisor wird mit der neuen Wurzelziffer multiplizirt, und das Produkt von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen Ziffer so¬ gleich während des Mnltiplizirens abgezogen. 4. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man alle Klassen der gegebenen Zahl in Rechnung gezogen hat. Enthält das Quadrat Dezimalklassen, so setzt man in der Wurzel den Dezimalpunkt, be¬ vor die erste Klasse von Dezimalen in Rechnung gezogen wird. 5. Bleibt zuletzt kein Rest, so ist die Quadratwurzel vollkommen genau, im entgegengesetzten Falle ist sie nur angenähert, kann aber auch da mit jeder beliebigen Genauigkeit in Dezimalen bestimmt werden, wenn man jedem Reste eine Klasse von zwei Nullen an- bängt, und übrigens so wie früher verfährt. Beispiele. 1) 1/1315 4,2 4- 368 4 54 : 66.6 5 8 2,4 : 728.8 2) j/5!94M4 —243 1 94 : 44.4 18 38 : 483.3 3 8944 : 4868.8 133 3) s/l,52 27l56-, 12 34 52 : 22.2 8 27 : 243.3 98 56 : 2464.4 5) 1/28-.. .. 7) 1/1920056 . 9) j/531'2468-, . . . 4) j/3-5„ -- 1 87082 . . . 2 50 : 28.8 2600 : 367.7 310000 : 37408.8 1073600:374162.2 325276 6) j/0-015-- . . . 8, j/319-0768 -- . . . 10) j/33557799 - . . . Wenn die Quadratwurzel sehr viele Dezimalstellen enthalten soll, sv kann mau die Rechnung dedeutend abkürzen, wenn man, nachdem bereits die Hälfte der Dezimalen dnrch das gewöhnliche Verfahren bestimmt wurden, anstatt zu dem Reste eine neue Klaffe anzuhängen, in dem neuen Divisvr die letzte Ziffer wegläßt, und die folgenden Wnrzelziffern nach der abgekürzten Division entwickelt. Z. B. Um die Quadratwurzel ans 7 in 8 Dezimalen zu ent¬ wickeln, hat man s/7 -- 2 64575131 300: 46.6 2400 : 524.4 30400 :5285.6 397500: 52907.7 27151: 5,2.9.14 694 165 6. 2. Ausziehen der d ritten Wurzel aus einem zusammen¬ gesetzten A n s d rnck e. 8- 118. Das Verfahren für das Ausziehen der Kubikwurzel aus einer geordneten zusammengesetzten Größe beruhet auf dem Verfahren, nach welchem ein zusammengesetzter Ausdruck ans die dritte Potenz erhoben wird. 1. Der erste Theil im Kubus ist die dritte Potenz des ersten Wurzeltheiles. Zieht man daher aus dem ersten Theile des Kubus die Kubikwurzel aus, sv erhält man den ersten Wurzeltheil. 2. Wird von dem gegebenen Ausdrucke der Kubus deS ersten Wurzeltheiles abgezogen, so enthalten die ersten drei Glieder des Restes die Bestandtheile, welche aus dem zweiten Wnrzeltheile her- vorgiugen, und zwar ist das erste Glied das Produkt ans dem drei¬ fachen Quadrate des ersten Wurzeltheiles und ans dem zweiten 134 Theile der Wurzel. Man findet daher diesen zweiten Theil der Wurzel, wenn man das erste Glied des Restes durch das dreifache Quadrat des bereits bekannten ersten WurzeitheileS dividirt. 3. Entwickelt man die Bestandtheile, welche dieser neue Theil der Wurzel im Kubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat des ersten Theiles multiplizirt mit dem zweiten, den dreifachen ersten Wurzeltheil multiplizirt mit dem Quadrate des zweite« Theiles, und den Kubus des zweiten Wurzeltheiles, und subtrahirt diese drei Be> standtheile von dem frühem Reste, so muß der neue Rest die Glie¬ der enthalten, welche der dritte Wurzeltheil im Kubus hervorbringt, und zwar zuerst das dreifache Quadrat der ersten zwei Wurzeltheile multiplizirt mit dem dritten Theile. Wird daher der Rest durch das dreifache Quadrat der ersten zwei Wurzeltheile dividirt, so er¬ hält man den dritten Theil der Kubikwurzel. 4. Bildet man sofort die drei Bestandtheile, welche aus diesem neuen Wurzeltheile hervorgehen, subtrahirt dieselben von dem letzten Reste, und dividirt wieder den neuen Rest durch das dreifache Qua¬ drat der bereits gefundenen Wurzeltheile, so erhält man den vier¬ ten Theil der Kubikwurzel. 5. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist die Kubikwurzel razional; bleibt ein Rest, so ist sie irrazional. Beispiele. 3 1) -j- Zab^x^ — — b -r-x« - 3o?hx4)-2-s-3nh2x2)^- — 3k?hx^2-s-3irs>2x^4— - -i- _ 0 1/4 ü'e . 8»c' 64 e'1 _ « 1.8b' —' SbH — 27^4 — ' 2b — 3ä lt' 8b' Ä?c: . 8sc' 64 0' 3»' b^ä 3bH — 27it' ' 4b' 64e' " kH 3bä- 27ä° __ 0 X' ° V- v »- -X 3 X a - 3^- - 27^' ' ZH U. s. w. 4z — 6/^->- 21^t — 44)'^-s-63)'^—54v-s-27^—2)--s-3 ^0 — 6)°-i-21)'' 44v' : 3)'^ - 6v' 12v» - 87- -s- — -j- -s-9)^-36/^63)''-54v-927:3v^- 12v-)12v' -s-9^-36^63^-55)--l-27 - - -s- - o 5) I-s27-27x-s-90x2—55x'-s-90x^-27x--s-27x0^3-x-93x'-- - ,»/f125-225«-i-285«'-507«'-t-47i«'-38t«') , L.- 6- I/, -^3sr«° -192«--)- 96«'- 6^°^"-3«-i-2«--t« »1^/927«^. 27«' 9« » I, I.64b'^ 166' 8d 3«- 27«'I _ 3« , , 2b 4b 2l' 8) 9) ^82 —60^^b 125 0Z-150 ^ «V-^ -- . . . 10) ^s8x° — 36x°-s-78x'-99x--s-78x'---36x-s-8^ . . . 11) ^!>"—6.TV -)- 9n°5» -s- 12«°9» - 36a^-s-19 rV-s-36a'--^ -54nt>»-s-27l)°^ — . . . ,» I /Z, > 6x , I5x' l0x' i,x' , 27x^ 27x^ ") s/ )' -1' — . . . S. 119. Durch ähnliche Schlüsse, durch welche das Bersahreu deiiu Ausziehen der Kubikwurzel aus zusammengesetzten algebraischen Aus¬ drücken begründet wurde, läßt sich aus dem Bildungsgesetze des Kubus einer dekadischen Zahl für das Ausziehen der Kubik¬ wurzel aus be sondern Zahlen folgende Methode ableiten: 1. Man theile die Zahl von den Einheiten angefangen gegen 136 die Linke in Klassen zu drei Ziffern ab, wobei die höchste Klasse auch nur eine oder zwei Ziffern haben kann. Kommen in der ge¬ gebenen Zahl auch Dezimalen vor, so werden diese vom Dezimal¬ punkte angefangen gegen die Rechte ebenfalls in Klassen zu drei Ziffern eingetheilt, rind der letzten Klasse rechts, wenn sie weniger als drei Ziffern enthalten sollte, statt der fehlenden Stellen Nullen angehängt. 2. Man suche die größte Ziffer, deren Kubus in der höchsten Klasse vorkommt, schreibe sie als erste Ziffer in die Kubikwurzel, und ziehe ihren Kubus von der höchsten Klasse ab. 3. Zu diesem, so wie zu jedem folgenden Reste setze man die nächst niedrigere Klasse hinzu, und betrachte die dadurch entstehende Zahl, nach Hinweglassung der letzten zwei Ziffern, als Theildivi- dend, der durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wur- zeltheile dividirt, die nächste Ziffer der Kubikwurzel gibt. Nun bil¬ det man die Bestandtheile, welche diese neue Wurzelziffer im Kubus hervorbriugt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl multiplizirt mit der neuen Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl multiplizirt mit dem Quadrate dieser neuen Ziffer, und ihren Kubus; schreibt den ersten Bestandtheil unter den Dividend, jeden folgenden aber um eine Stelle weiter gegen die Rechte, und subtra- hirt die Summe der so angesetzten Bestandtheile von dem Divi¬ dende mit Zuziehung der früher weggelaffenen zwei Ziffern. 4. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis man alle Klassen heruntergesetzt hat. Kommen in der vorgelegten Zahl De¬ zimalklassen vor, so setzt man in die Wurzel deu Dezimalpunkt, be¬ vor die erste Dezimalklasse in Rechnung gezogen wird. 5. Bleibt am Ende der Rechnung kein Rest, so hat man die Kubikwurzel vollständig gefunden; sonst ist dieselbe nicht vollkommen genau, kann aber in Dezimalen mit jeder beliebigen Genauigkeit bestimmt werden, wenn man jedem Reste eine Klasse von drei Nul¬ len anhängt, und übrigens wie vorhin verfährt. Beispiele. 1) j^78953!589 --429 64 14 9 53 : 48 ... 3. 42 3 . 4-. 2 ... 96 . 3.4.2-... 48 . 2-. . . 8 4865 589 : 5292 ... 3.42- 3.42-. 9 . . . 47628'. 3.42 . 9-. . . 10206. 9'. . 729 137 2) 1/60 006'085 875 ---- 39'15 27 33 006 : 27 24 3 7 29 729 687 085 : 4563 456 3 1 17 1 229 614875: 458643 229 3215 29325 . >25 4) ^9104 - 6) ^0'068427 8) ^34-17739 — ... 3) j/"5 1'7099. . 1^ 4000 : 3 21 147 343 8700 0000 : 86700 7803 00 41 310 729 855 6171000:8762043 788 58387 415287 729 66 6178701 5) ^12'9054 7) j/'54637281 -- ... 9) ^8104-978 . M' XI. Von den L v g ar i t h ur e n. a) Allgemeine Sätze. §. 120. Wie schon in der Einleitung tz. 14 gesagt wurde, heißt der Exponent, welcher anzeigt, zu welcher Potenz eine bestimmte Zahl, die Grundzahl oder Basis, erhoben werde» muß, um eine gegebene Zahl zu erhalten, der Logarithmus dieser letzteren Zahl in Bezug ans jene Basis. Wenn 6--- — LI, l>» -- N, ho x, k-- ... ist, so sind die Exponenten in, i>, p, ... die Logarithmen von LI, Li, I>, H, . . . für die Basis b, was man so anschreibl: rn — log LI, n — log L7, p — log I', cj — log (^, ... Für 6 2 ist 2°^1, 2^2, 2'^-4, 2"--8, 2^16, ... daher log 1 — 0, log 2 — 1, log 4—2, log 8—3, log 16 — 4, , . . 138 Aus dem Begriffe eines Logarithmus lassen sich folgende allge¬ meine Sätze adleiten: 1. Der Logarithmus der Basis in Bezug aus diese Basis selbst ist immer gleich 1. Ist b die Basis, so ist IoZ b — 1, weil — b ist. 2. Der Logarithmus von 1 ist für jede Basis gleich 0. Es ist b" — 1, daher IoZ l — 0. 3. Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe aus den Logarithmen der Faktoren. Es sei für die Basis k> IvA LI — IN, lob Ls — n, lob 1^ — 1>, so ist LI — X — st», I' lw. Multiplizirt man nun diese drei gleichen Ausdrücke, so hat man LIdIk — Die Basis d muß also zur Potenz m -j- n -j- i> erhoben werden, um die Zahl LILi? zu geben, also ist in Z- n -s- >> der Logarithmus von LILik, folglich lob LILi? — in -- u -j- j>, oder wenn man für m, n, ihre Werthe setzt, loA Lldsk — IoA LI -s- loZ Li -s- IvA 1^. Beispiele. 1) IoA 6 — lo^ 2 -s- IoA 3 2) lvA 15 — IoA 3 -j- IvA 5 3) IoA 30 — IoZ 2 -s- IoA 3 -s- kotz 5. Man fleht: wenn für eine Basis die Logarithmen aller Prim¬ zahlen bekannt sind, so lassen sich daraus durch bloße Addizion auch die Logarithmen aller zusammengesetzten Zahlen ableiten. 4) IoZ Zaide — IvA 3 -j- loK a -s- IoK k) -s- loA e 5) loA (rn^- n^) — loZ sin-s-n) sm — n) —IoAsin-s-n)-s-!oA sni — n). 6) IoA 6x^2 — .. . 7) loZ b seZ-ä) — ... 8) IvA (x? — 1) — .. . 9) IoZ ad (x? — — ... 4. Der Logarithmus eines Bruches (Quozienten) ist gleich dem Logarithmus desZählers weniger dem Logarithmus des Nenners. Es sei für die Basis d IoA LI — in, lo^ Ls — n; so ist Ll^ich", L! — d", daher durch die Division 139 folglich folgt. log — m - n — log LI — log X. 3) 4) 1°8 ^^Io82nb-Iog3x 5) Beispiele. 1) IvA I»8 29 — log 31 2) log 35'29 — log — log 3529 — log 100 log — log (n -s- b) — log- (n — b) — Iog2-4Iog N-s-Iog lz—Iog3—logx log - L^) — log 2x)- --- log sx -j- 7) -f- log (x — ^) — Io«- 2 — Io»' x — log 6) log ^ - - - 7) log -^- -- . . . ,-)x , «)mx , 3 (a^ — d')x 8) I°8 ^ - " 9) log . 5. Der Logarithmus einer P o t e n z größe i st gleich dem P o t e n z e x p o n e n t e n m n l t i p l i z irl mit dem Logarithmus der Wurzel. Es sei l> die Basis und log LI —iu, so ist LI —lö"; erhcdt man jede dieser gleichen Größen aus die pte Potenz, so erhält man LI>' — woraus log LI>' — iup — P log Ll Beispiele. 1) log 8' — 3 log 8 2) log (2s)^ — 3 log 2 n — 3 (log 2 -s- log rr) 3) log 2n^ — log 2 -h IoK a." — IoZ 2 -s- 3 Io» -r -- 2 IOA x -s- lo^ ). — 4 (IOK m -j- lo^ n) 5) IoK ^r- Io» g. -s- m loss X -s- n log — log d — p log 2. 6) los 2 (log u - log k) 4- 3 slog m — log ll). 7) log 5n^x^ -^ . . . 8) log -^7- -- - - - 9) -»S " ^0) log - ... ... , Zr^lx--1) -tx" ll) ^og — . . . 12) log2(k- — X-) 6. Der Logarithmus einer Wurzel große ist gleich dem Logarithmus der Größe unter dem Wurzel¬ zeichen dividirt durch den Wurzelexponenten. 140 Es sei t> die Basis und Io» LI — m, so ist LI — b">; zieht man aus jeder dieser gleichen Größen die pte Wurzel ans, so hat i> >> — man j/LI ----- ----- be; folglich ist Io» I/LI E' I- p Beispiele. lotz- 75 locr IO) l"s los l2) II) 1) Io» 1/75 - - W 1»8 . . WioZ b ' ö 3 3) los --- lo» n Z- z los X — los X _ o.^. ... - , o— .. i - 8) los "l lo» b (a,— 1) ^/b » I oA (ü.'—x p _ luß m -l- x) -f- lox (a — x) II u 7) los - - - - 3 /b 9) los 1/x'l^-- -^ ... 1 b^f/k^c: ... 3 loo — d to>; Ä — In^ b 5) Io» . - - - ---Io»I - rr- — 6) IvA 1/x^— ... §. 121. 7. Gleiche Zahlen haben in Beziehung ans verschie¬ dene Grundzahlen auch verschiedene Logarithmen. Heißt p der Logarithmus von LI in Bezug auf die Basis 8, und g der Logarithmus von LI in Bezug auf die Basis d, wo 8 und b als verschiedene Zahlen vorausgesetzt werden; so ist LI —8" und LI — b", daher 8"— b'. L8äre nun x> —g, so müßte auch 8 —b sein, was der Voraussetzung widerspricht; die Logarithmen p und (j müssen daher von einander verschieden sein. 8. Das Verhältniß der Logarithmen einer Zahl für zwei verschiedene Grundzahlen ist gleich dem Ver¬ hältnisse der Logarithmen jeder andern Zahl in Bezug auf dieselben zwei Grundzahlen, 141 Bezeichnet man die Logarithmen für die Grundzahl L mit DoZ, und jene für die Basis b mit lo^, so ist, wenn man DvA N — p, IoA LI — 0 setzt LI — ll», LI ----- Daraus folgt B"------1>", oder wenn man beiderseits den Loga¬ rithmus in Bezug auf b nimmt, p> lo^ L --- l«A d. Aber loZ b — 1, daher p loA U — o, woraus -p-^—!— oder Io§ L loZ' Io§ 1Z folgt. Auf dieselbe Art erhält man auch, wenn N irgend eine von N verschiedene Zahl bezeichnet, tmber I,0A Ll 1,0g Is --2,- /»-- r .,, -- /"e- K) Bestimmung der Logarithmen. 122. Wenn man eine und dieselbe Wurzel als Basis annimmt, und sich durch deren Potenzirung alle Zahlen in ihrer natürlichen Folge entstanden denkt, so bilden die Potenzexponente» als die Logarith¬ men jener Zahlen ein logarithmisches System. Eine negative Zahl kann nicht die Grundzahl eines Logaritb- mensystems sein, weil sich durch ihre auf einander folgenden Poten¬ zen nicht alle möglichen Zahlen darstellen lassen. Wollte man z. B. — 10 als Basis annehmen, so hätte man (— 10)° ----- 1, (- 10? --- 1/^10, 10)" -- ^10°, 1— los ----- — 1^10', (— 10)' ---- — 10, (— 10)2 100, (— 10)° ----- — 1000, l— 10)^ ----- 10000, n. s. w. Man sicht, daß, während man die Exponenten allmälig wach¬ sen läßt, die entsprechenden Potenzen keinem bestimmten Bildungs- gesctze unterliegen, sondern bald positiv, bald negativ, bald reell, bald imaginär 'ausfallen; auch ist ersichtlich, daß sich z. B. dieZab- len 10, 1000 - . . durch keine Potenz von — 10 darstellen lassen. Auch die Einheit eignet sich nicht als Grundzabl eines Sy¬ stems, weil jede Potenz von 1 wieder 1 ist. Nur eine positive, von der Einheit verschiedene Zahl kann also als Basis eines Logarithmensystems angenommen werden. 142 Da jede ganze oder gebrochene, positive oder negative Potenz einer positiven Grundzahl stets ein positives Resultat gibt, so folgt, daß die Logarithmen negativer Zahlen nicht reell ansfallen können, somit imaginär seien. Wenn bei Rechnungen, die man mit Hilfe der Logarithmen ausführt, negative Zahlen vorkommen, so steht man während der Rechnung von den Vorzeichen ganz ab, und be¬ rücksichtiget diese erst bei der Bestimmung des Vorzeichens in dem Resultate. Das in der Anwendung gewöhnlich vorkommende Logarithmen¬ system ist das Brig gische, dessen Basis 10 ist. Im Briggischen Systeme bedeutet daher der Logarithmus einer Zahl den Potenz¬ exponenten, zu welchem 10 erhoben werden muß, um jene Zahl zu geben. Außer den Briggischen Logarithmen werden in gewissen Rech nnngen manchmal auch die natürlichen Logarithmen, deren Basis 2-718281829 ist, angewendet. Wenn die Logarithmen eines Systems bekannt sind, so kann man "daraus auch die Logarithmen eines jeden andern Systems berechnen. Werden nämlich die Lo garithmen in Bezug auf die Basis L durch I^vA, und jene für die Basis b durch Io» bezeichnet, so ist, wie schon früher bewiesen wurde, woraus I^oZ N — Io» LI. i—folgt. Sind also loZM IvT s' " IoZ s " die Logarithmen aller Zahlen für die Basis b bekannt, so nimmt man aus diesem Systeme den Logarithmus der andern Basis L, und dividirt die Einheit durch denselben; wenn man dann mit diesem beständigen Faktor den Logarithmus irgend einer Zahl in dem bekannten Systeme multiplizirt, so erhält man den Loga¬ rithmus derselben Zahl in dem neuen Systeme, dessen Basis L ist. Es wird daher hinreichen, die Logarithmen eines bestimmten Systems zu entwickeln, und zwar soll hier das Briggische System als das allgemein gebräuchliche, in'S Auge gefaßt werden. 8. 123. Daraus folgt, daß im Briggischen Systeme nur wenige Zah¬ len ganze Zahlen zu Logarithmen haben; die Logarithmen aller 143 Zohlen, welche zwischen 1 und 10, zwischen 10 nnd 100, 100 und 1000, . . ., zwischen 1 und nnd 7-^77, 7-^77 und 777*7777 , ... liegen, sind Brüche. Man hat in den Logarithmen statt der gemei nen durchgängig die Dezimalbrüche eingeführt, so daß ein Logarith mus im Allgemeinen aus einer ganzen Zahl und einem angebäng- ten Dezimalbrnche besteht. Die'ganze Zahl in dem Logarithmus wird dessen Kennziffer oder Karakteristik, und der Dezimal- bruch dessen Mantisse genannt. Die Logarithmen, die nicht ganze Zahlen sind, sind sämmtlick' irrazionale Zahlen, deren Werthe aber nm so genauer sind, je mehr Dezimalstellen sie enthalten. Gewöhnlich gibt man den Mantissen 5, 6 oder 7 Dezimalstellen. Solche Logarithmen weisen stets aus zwei Rechnungen bin, auf eine Potenzirung nnd auf eine Wurzel ausziehung. Z. B. der Logarithmus von 7 ist 0'845098, d. h. 84 5098. "°°»°° ? ---- jOO'845098 ^^/10845098 Wenn man nämlich 10 zur 845098steu Potenz erhebt, und aus dieser Potenz die lOOOOOOste Wurzel auszieht, so erhält mau eine von 7 so wenig abweichende Zahl, daß man dieselbe für 7 setzen kann. Aus dem Obigen sieht man ferner, daß zu Zahlen, welche größer als 1 sind, positive, zu Zahlen aber, welche kleiner als 1, somit echte Brüche sind, negative Logarithmen gehören. Negative Mantissen pflegt man übrigens in der Rechnung zn beseitigen; man führt statt derselben positive Mantissen mit einer negativen Karakteristik ein, indem man den negativen Logarithmus von einer Zahl abziebt, die um 1 größer ist als die Karakteristik, wodurch eine positive Mantisse znm Vorschein kommt, und indem man dann diese nm 1 größere Zahl als negative Karakteristik hinter die Man¬ tisse hinsetzt. Z. B. — 2-345679 — 3 — 2'345679 — 3. — 0654321 — 3. Um das Verfahren abzuleiten, nach welchem man zu einer ge¬ gebenen Zahl den Briggischen Logarithmus berechnen kann, bedenke man, daß wenn man n—j/mn annimmt, IoZ n — A '"s ." wird; d.h.wenn eine Zahl gleich ist der Quadratwurzel ans dem Prod nkte zweier andern Zahlen, so ist derLo- garithmns der erstern Zahl gleich der halben Summe aus den Logarithmen der beiden andern Zahlen. Mit Hilfe dieses Satzes läßt sich zn jeder gegebenen Zahl der ent¬ sprechende Logarithmus auf folgende Art berechnen. Man nimmt die zwei auf einander folgenden Potenzen von 10, zwischen denen die gegebene Zahl liegt, deren Logarithmen ganze Zahlen und be- 144 kannt sind; multiplizirt jene Potenzen und zieht aus dem Produkte die Quadratwurzel; der Logarithmus von der so gefundenen Qua¬ dratwurzel ist gleich der halben Summe aus den Logarithmen der mit einander multiplizirten Potenzen von 10. Nun liegt die gege¬ bene Zahl zwischen der gefundenen Quadratwurzel und einer der beiden Potenzen von 10, und ist durch diese beiden Zahlen in engere Grenzen eingeschlossen, als durch die beiden Potenzen von 10. Man sucht wieder eine Zahl, welche zur noch nähern Begrenzung der gegebenen Zahl dienen wird, indem man aus dem Produkte der beiden frühem Grenzzahlen die Quadratwurzel auszieht; den Logarithmus der gefundenen Quadratwurzel setzt man der halben Summe aus den bekannten Logarithmen der zwei mit einander mul¬ tiplizirten Zahlen gleich. Auf diese Weise verfährt man weiter, bis man zwei Grenzzahlen bekommt, deren Logarithmen in so viel Dezimalen übereinstimmen, als man ihrer haben will, wo sodann der in beiden Logarithmen übereinstimmende Theil der Logarithmus der gegebenen Zahl ist. Aus einem Beispiele wird dieses Verfahren deutlicher. Man suche den Logarithmus von 13 in 5 Dezimalen. 13 liegt zwischen den Potenzen 10 und 100, deren Logarithmen 1 und 2 sind. Man bestimmt also a j/10 . 100 — 1^1000 — 31 6227766, und es ist lax n -- loZ 3 l - 6227766 — . 5. Nun kennt man die Logarithmen von 10 und n — 31 6227766, von welchen Zahlen 13 näher eingeschloffen ist, als von lO und 100. Man sucht weiter eine Zahl d, welche an 13 noch näher liegt, als 31'6227766, indem man setzt d j/10 X n -- j/316-227766 — 17'7827942, wo sodann d - los 17-7827942 ----- i- 25 ist. Die Zahl 13liegt nun zwischen den nähern Grenzen lOundk —17 7827942; man sucht daher wieder 0 ----- s/10.6 — s/177 827942 ---- 13 3352144, und setzt IvA 0 — lox 133352144 — 4.125. Nun hat man für die Zahl 13 die noch engern Grenzen 10 und 0 -- 13-3352144. 145 Durch fortgesetztes Verfahren findet man d--- 4/lOe-----4/133-352144 ---115478201; Io» ä --- 1-0625 s ---4/oä ---^153-9926562^12-4093780; Io»6 ----1 09375 1- ---4/165-4817162---- 12 8639696; Io»k ----1-109375 ---f/171-5437920---130974727; loZA---1-117188 fi ---4/k» ---4/168-4854899---12-9801960; Io»Ir ----1-113281 i ---4/»fi-^4/170 0077625---13-0387024; Io» i ---1-115234 Ir---4/lri ---4/169 2449128--^ 13-0094163; Io»Ic ---1-114258 1 ---^/Iifi ---s/168-8647734---- 12-9947978: Io»-1 --1-113769 M---4/I/ ----s/169 0547342--- 13 0024049; Io» iw---1-113014 »----4/lin ---1/168-9897241 ---12-9981507; loA» ---1-114892 o ---1/inn ---4/169 0072194— 13-0002776; lo^o --- 1-113953 ---4/»o ----1/168-9834675----12 9993640; Io»p ---1-113922 ^----I/Iix -----4/168 9953406---12-9998207; Io» 4 ---1-113937 1- -----1/oci ---1/169-0012778^-13-0000491; Io»r ----1-113945 8 ---I/41- --4/168 9983073---12-9999348; loZs ---1-113941. Da nun die Logarithmen von i- 13-0000491 und s ----- 12-9999348 in den fünf ersten Dezimalen übereinstimmen, und die Zahl 13 zwischen r und s liegt, so muß auch der Logarithmus von 13 bis auf die sechste Dezimalstelle mit jenen beiden Logarithmen überein¬ stimmen; daher Io» 13 --- 1-11394. Auf diesem mühsamen Wege sind von Brigg und Vlacg die Logarithmen der Primzahlen, und daraus jene der übrige» Zah¬ len ausgerechnet, und in besoudern Tafeln, welche mau Logarith¬ mentafeln nennt, zusammengestellt worden. Die Anwendung sol¬ cher Tafeln soll anS den hier folgenden Lehren ersichtlich werden. §. 124- Eine einfache Betrachtung lehrt, daß die Kennziffer des Logarithmus einer ganzen Zahl immer um 1 kleiner sein muß, als die Anzahl ihrer Ziffern. Jede einziffrige Zahl liegt zwischen 1 und 10; der Logarith¬ mus von 1 ist 0, der Logarithmus von 10 ist 1; der Logarithmus einer einziffrigen Zahl liegt also zwischen 0 und 1, ist also 0 Ganze mit darauffolgenden Dezimalen; somit ist die Karakteristik 0. Jede zweiziffcige Zahl liegt zwischen 10 und 100; Io§10 —1, IvA lOO —2; folglich liegt der Logarithmus einer zweiziffcige» Zahl zwischen 1 und 2, und hat also 1 zur Karakteristik. Eben so überzeugt man sich, daß der Logarithmus einer drei-- ziffrigen Zahl zwischen 2 und 3 liegt, somit 2 zu seiner Kennziffer habe', u. s. s. 125. Die Logarithmen aller Zahlen, welche ans einer Zahl durch Multiplikazion oder Division mit einer ganzen Potenz von 10 enl- LloöiiL, Algebra. 5. Ausl. 10 146 standen sind, haben einerlei Mantisse, und sind nur in ihrer Karak¬ teristik verschieden. Man nehme irgend eine Zahl, z. B. 7124, so ist, da sie vierziffrig, 3 die Kennziffer ihres Logarithmus; als Mantisse davon findet man in den Tafeln 852724; also ist Io§7124 3 852724. Aendert man nun den Werth dieser Zahl, ohne die Ziffern¬ reihe zu ändern, indem man dieselbe mit 10, 100, 1000, . . . mnl- tiplizirt oder dividirt, so erhält man: Io» 71240 --- Io§ 7124 ff- Io§ 10 — 3 852724 ff- 1 --- 4-852724, loZ 712400 -- IvZ 7124 ff- 1o§ 100 — 3 852724 ff- 2 — 5-852724, Io§ 7124000 — Io§7124 ff- Io§ 1000 --- 3 852724 ff- 3 --- 6-852724, und eben so u. >. w. Man sieht, daß hier die Mantisse stets dieselbe bleibt, und nur die Kennziffer geändert wird, und zwar ist diese jedesmal gleich dem Exponenten derjenigen Potenz von 10, welche den Werth der höch¬ sten Stelle ausdrückt. Da man dieselben Zerlegungen und Schlüsse auch bei jeder andern Ziffernreihe durchführen kann, so gilt im Allgemeinen Fol¬ gendes: Die Mantisse des Logarithmus hängt lediglich von der Ziffernreihe ohne Rücksicht auf deren Rang ab; die Kennzif¬ fer des Logarithmus dagegen wird bloß durch den Rang der Ziffern bestimmt; sie ist nämlich gleich dem Exponenten derjeni¬ gen Potenz von 10, welche den Rang der höchsten Ziffer ausdrückt. Wenn daher zu einer gegebenen Zahl der Logarith¬ mus gefunden werden soll, so suche man zuerst ans den Tafeln zu der Ziffernreihe die Mantisse; als Karak¬ teristik setze man den Exponenten jener Potenz von 10, welche den Werth der höchsten Stelle angibt. 147 Ist die höchste bedeutende Ziffer eine Dezimale, so ist die Karakteristik negativ; in diesem Falle setzt man der Mantisse die Nulle mit dem Dezimalpunkt voraus, dieser positiven Mantisse wird dann die negative Karakteristik nachgesetzt; z. B. Io§ 0007124 — 0852724 — 3. §. 126. In den kleineren Logarithmentafeln *) sind nur die Mantissen von vierziffngen Zahlen enthalten. Hat nun die gegebene Zahl weniger Ziffern, so denkt man sich so viele Nullen hinzugesetzl, daß man eine vierziffrige Zahl erhält. Wenn z. B. der Logarithmus von 382 zu suchen wäre, so nimmt man die Mantisse von 3820. Besteht aber die Zahl, deren Logarithmus gesucht wird, aus mehr als vier Ziffern, so schlägt man in den Tafeln zuerst die Man¬ tisse für die vier höchsten Ziffern nach, sucht die Korrektur für die folgenden Ziffern, und addirt diese zu der früher gefundenen Man¬ tisse. Es wird aber diese Korrektur aus der Differenz zwischen der Mantisse, welche den höchsten Ziffern entspricht, und zwischen der nächstfolgenden Mantisse gefunden; man betrachtet nämlich jene später« Ziffern als Dezimalen, indem man ihnen eine Nulle mit dem Dezimalpnnkte voraussetzt, und multiplizirt diesen Dezimalbruch mit der Mantissendifferenz; die im Produkte enthaltenen Ganzen sind die Korrektur, welche zur Mantisse der höchsten Ziffern addirt wer¬ den muß. Die Manliffendifferenz ist meistens in den Tafeln selbst schon angegeben, sonst muß sie erst bestimmt werden. Es sei z. B. der Logarithmus von 23456 78 zu suchen; man findet zu der Zahl 2345 die Mantisse 0.370143, und die Differenz 184; nun ist 0 678X 184^ 124-752; also hat man Mantisse zu 2345 0-370143 Korrektur wegen der Ziffern 678 . . . 125 somit Mantisse zu 23456-78 . . . . 0-370268. Die Karakteristik ist 4, weil die höchste Stelle Zehntausende bedeu¬ tet, und diese die vierte Potenz von 10 sind, also ist loZ 23456 78 --- 4-370268. Man bestimme den Logarithmus von folgenden Zahlen: 1) 388467, 2) 315 8034, 3) 0 978157, 4) 90-413, 5) 0-0613092, 6) 12 31085, 7) 777-888, 8) 00057126, 9) 3-807056, 10) 1 23456, 11) 35798642, 12) 4015 099. *) Eine ausführlichere Belehrung über die Einrichtung und den Gebrauch solcher Tafeln findet inan in der Einleitung zu den von mir berausgegebenen: Logarithmentafeln zum S ch u l g e l> r a u ch e. Wien, bei Gerold. 1 : 5 (3'415091 — 10) : 5 --- 0 683018 — 2. N. Anwendung der Briggischen Logarithmen. 8. 129. Durch die allgemeinen Sätze, die oben hinsichtlich des Loga¬ rithmus eines Produktes, Qnozienten, einer Potenz - und Wurzel- große entwickelt wurden, ist man im Stande, die Mnltiplikazion in eine Addizion, die Division in eine Snbtrakzion, das Potenziren in eine Mnltiplikazion, und das Wnrzelansziehen in eine Division zn verwandeln. 1. Hat man zwei oder mehrere Zahlen zn mnltipli- ziren, so nimmt man ihre Logarithmen und addirt sie, die Summe ist der Logarithmus des Produktes; sucht man daher zn jener Summe als Logarithmus die entsprechende Zahl, so ist diese das verlangte Produkt. Dieses Verfahren erweiset sich nur dann vortheilbaft, wenn kleinere Zahlen mit angehängken Dezimalen zn mnltipliziren sind, wo im Produkte sechs oder sieben Stellen genügen. 150 Beispiele. 1) Man bestimme das Produkt aus 1'0954, 0 91567, 3'1571 und 1'00782. Es ist 1o§ 1'0954 ---0 039 573 loZ 0'91567 --- 0 961 739 — 1 loZ 3'1571 --- 0'499 288 lox 100782 --- 0 003 383 1oZ des Produktes — 0'503 983 — IoZ 3 191411, also 1-0954 X 0 91567 X 3 1571 X 1 00782 --- 3 191411. 2) 1-2345 X 1 3456 X — 2 5678 --- — 4 265484. 3) 1025 X 1'0792 X 1'05625 X 1'0751 4) 0-35679 X 1'076542 X 1'91234 X 0 83258 5) 2 00415 X 0'56 X 0 0741 X 0 09072 X 1'25463 8- 130. 2. Sollen zwei Zahlen mit Hilfe der Logarithmen divi- dirt werden, so zieht man den Logarithmus des Divisors von dem Logarithmus des Dividendes ab, der Rest ist der Logarithmus des Quozienten; sucht man zn diesem Logarithmus die zugehörige Zahl, so hat mau den verlangten Quozienten. Beispiele. 1) Es soll der Quozieut 528 : 737 oder bestimmt werden 3' — 1 Io§528 ----- 2-722 634 lox 737 --- 2-867 467 IoZ^-2L 0'855 167 — 1 log 0'716 418, folglich M ----- 0-716 418. 4 LI. 2) Man bestimme den Werth des Bruches — n^X5^876sä ' Es ist Io§x --- 3-4156 Z- io-? 4023 — (1oZ 1'2378 Z-Io§ 5 87091) IoZ 3'4156 0-533 467 IoZ 4'023 ---- 0'604 550 ^138X0 7 loZ 1-2378 --- 0-092 651 ioZ 5'87091---- 0'768 705 ioZx ----- 0-276 661 --- IoZ 1'890 869, also x ----- 1-890 869. ox 2'34>6 X 5 2913 769X0'12345 — 0 181- leit. 1 2483X 1926 3'14159 — ' ' - 521347 — - - - 151 413X5124X21358 425 X 4W8X76143 — ' ' ' „ 2'1457X 9 1248 X 1385 X 31'273 O 277 X >"'7285X2'2812 X 125 1'92 " ' ' ' 8. 131. 3. Wenn eine Zahl zn einer Potenz erhoben werden soll, so suche man den Logarithmus dieser Zahl, und multiplizirc ihn mit dem Potenzexponenten, das Produkt stellt den Logarithmus der gesuchten Potenz vor; um diese selbst zu erhalten, suche man zu jenem Logarithmus die entsprechende Zahl. Dieses Verfahren ist nur dann von Nutzen, wenn in der ge¬ suchten Potenz sechs oder sieben Zistern hinreichend sind. Beispiele. 1) Es soll die 20ste Potenz von 1 025 gesucht werden. Man hat lost 1 025 -- 0 010724 Io§ (1'025)-° — 0-214480 ----- log 1'63862, also (1-025?° 1-63862, 2) Man bestimme lost 329 ----- 2 517196 lost 67 ----- 1-8260 7 5 0 691 1 2 1 X l 065 5PP-1 691 1 2 1 41 467 3456 lost «-uv! — 0 736 0 4 4 — lost 5'445575, somit — 5'445575. 3) (1-05)^ ---- 1-795856. 4) 1'706828. 5) - 0-4610646. »<»««'---- »IM'- - - - 3-14109" X 2 0489" X 1'07038^ O-^ 4 0932- X 0-859- X 2 10895" — - - - 8. 132. 4. Um aus einer Zahl eine bestimmte Wurzel aus¬ zuziehen, suche man den Logarithmus dieser Zahl, und dividire ihn durch den Wurzelexponenten, der Quozienl ist der Logarithmus der verlangten Wurzel; nimmt man die diesem Logarithmus ent¬ sprechende Zahl, so hat man die Wurzel selbst. 152 Beispiele. 1) Man verlangt die 5te Wnrzel ans 10. loZIO 1-000000 . , Io§^10 — 0200000 — Ing 1-58489, also ^10 — 1-58489. 9 2) Es soll der Werth von 0-'^ - - bestimmt werden. 21/18 Setzt man diesen Werth — x, so ist lo^x — ^s2IoZ 1-052 -s- 41oZ23 — (IoZ 2 -tz- 4 IvA 18)1 IoZ 1-052 — 0 022016 2IvAl-052 ---- 0044032 Io<;23 — 1-361728 4 loZ 23 — E68086^ 0-724896 Io§ 2 — 0 301030 lo^18 — 1-255273 zlvAlS — 0-418424 0-005112 : 9 loKx — 0000605 — Ic>§ 1 001394, also x — 1-001394. 3) s>314-2789 — 2'273837. 4) I/A --- 1-018437. 5) — 1 033333. 8^4/6 0) ^5 - 11 s/5 j/124 7) 1/340 . Z >4-105 X 58 93 7 1-47938' ' ' ' « - - - »K. pÄ»»- ... 10^ ^/58^10-819 ^7-13945- ' ' ' 2 4»?7- - ' ' - 5 __ 4-3,947/ g^3 19388 . 1^17-39 15/ 1^91-34 — 9' 1/3-4071 Iwe'ttcr Abschnitt. Lehre von den Gleichungen. Allgemeine Begriffe. 8. 133. Die Gleichstellung von zwei Ausdrücken, welche einerlei Werth Huben, wird eine Gleichung genannt. Z. B. (x-j-2)^ — x?-j-4x4, — 8 —2x. Die Größen, welche einander gleichgestellt werden, beißen Th ei le der Gleichung, und können einzeln wieder aus mehreren Gliedern bestehen. In der Gleichung x-— 8 —2x ist x? — 8 der erste, 2x der zweite Thcil; der erste Theil besteht aus zwei Gliedern x? und — 8. Es gibt Gleichungen, welche für jeden Werth der darin verkommenden noch unbestimmten Größen richtig bleiben; sie heißen identische Gleichungen. So hat die Gleichung (x -j- 2)? — x?-j-4x-j-4 ihre Nichtigkeit, man mag für x was immer für einen Werth setzen. Jede Formel sür eine arithmetische Operazion bildet eine identische Gleichung. Andere Gleichungen behalten nicht für alle, sondern nur für bestimmte Werthe der darin vorkommenden Unbekannten ihre Richtigkeit. So leisten der Gleichung x^—8 —2x nur die zwei Werthe 4 nnd — 2 Genüge. Dieß sind B e st i m m n n g s g l ei¬ ch n n g e n. Eine B estim m nn gsg leichnng ist also eine Gleichstellung zwischen bekannten und unbekannten Größen, welcher nur durch bestimmte Werthe dieser letzter» Genüge geleistet wird. Die Werthe für die Unbekannten, welche einer Gleichung ent¬ sprechen, nennt man Wurzeln dieser Gleichung. Die Gleichung x2 —8 —2x hat zwei Wurzeln, 4 und —2. Die Wurzeln einer Gleichung bestimmen, heißt die Gleichung a u f löse n. 154 §. 134. Nach der Anzahl der in einer Gleichung vorkommenden Unbekannten unterscheidet man Gleichungen mit einer,'zwei oder mehrern Unbekannten. So ist x^ — x —12 eine Gleichung mir einer Unbekannten, 3x-s-2^ — 13 ,, ,, „ zwei „ Z- st- drei „ u. s. w. Gleichungen, aus denen sich die Unbekannten unzweideutig bestimmen lassen, heißen bestimmt; Gleichungen, wo dieses der Fall nicht ist, unbestimmt. Jede Gleichung mit einer einzigen Unbekannten ist eine bestimmte. Die Gleichungen werden ferner in Gleichungen des ersten, zweiten, dritten, .. . Grades eingetheilt. Der Grad einer Gleichung richtet sich nach dem höchsten Potenzexponenteu der unbe¬ kannten Zahl, und, wenn mehrere Unbekannte Vorkommen, nach der höchsten Summe der Polcnzexponenten der Unbekannten, welche in einem Gliede vorkommen. So sind 5x st- 4 — 0 x-j-2^— 3^ — 8 Gleichungen des ersten Grades. "xyHx^— Gleichungen des zweiten Grades. 1 Gleichungen des dritten Grades. 2x^—4x^^——3x v Die Gleichungen des zweiten Grades werden auch quadra¬ tische, jene des dritten Grades kubische genannt. In dieser Anleitung soll nur von den Gleichungen des ersten und zweiten Grades die Rede sein. Damit man den Grad einer Gleichung bestimmen könne, muß dieselbe auf die einfachste Form gebracht, d. i. geordnet werden. I. Ordnen der Gleichungen. 8. 135. Eine Gleichung ist als geordnet zn betrachten, wenn darin alle unbekannten Zahlen, nnd'zwar nach den fallenden Potenzen geordnet vor dem Gleichheitszeichen stehen, die bekannte Zahl aber hinter demselben vorkommt; wenn ferner die höchste Potenz der 155 Unbekannten positiv ist und den Koeffizienten 1 hat. Das Ordnen der Gleichungen beruhet auf dem Grundsätze: Wenn man mit gleichen Ausdrücken gleiche Ver¬ änderungen vornimmt, so müssen wieder gleiche Aus¬ drücke zum Vorschein kommen. Dieser Grundsatz läßt sich durch folgende Sätze näher aus¬ drücken. 1. Gleiches zu Gleichem addirt, gibt gleiche Summen. Ist g, b und c — ä, so muß auch a ff- o — b ff- ä sein. 2. Gleiches von Gleichem subtrahirt, gibt gleiche Reste. Ist a — b und o — <1, so hat man auch a — o — b — ä. Zn Folge dieser Sätze kann jedes Glied auf einer Seite der Gleichung weggelassen, und auf die andere Seite mit dem entgegen¬ gesetzten Zeichen übertragen werden. Hat man z. B. x ff- a — b, so ist x —b— a; durch diese Versetzung ist nichts anderes gesche¬ hen, als daß von beiden Theilen der Gleichung ff- a subtrahirt wurde. Aus x? — q — xx folgt x? ff- px — hier wurde auf beiden Seiten xx dazu addirt, oder, was gleichviel ist, — px sub¬ trahirt. 3. Gleiches mit Gleichem multiplizirt, gibt gleiche Produkte. Ist A — b und o — ä, so muß auch uo—bä sein. Mit Hilfe dieses Satzes lassen sich die Brüche in einer Glei¬ chung wegschaffen; man darf nur beide Theile der Gleichung mit einem gemeinschaftlichen Vielfachen der Nenner multipliziren. Z. B. Aus - d — y folgt, wenn man mit a multiplizirt, x—ab —uo. Eben so gibt -b —wenn beide Theile mit ux multiplizirt werden, die Gleichung x? — abx—ue. Auch folgt aus diesem Satze, daß man in einer Gleichung alle Mchen in die entgegengesetzten verwandeln darf; denn dadurch geschieht nichts anderes, als daß beide Theile der Gleichung mit — 1 multiplizirt werben. Es sei z. B. — x? ff- 3x — — 5, so ist auch x^ — 3x — 5. 4. Gleiches durch Gleiches dividirt, gibt gleiche Quozienten. Ist g, b und o — ä, so ist auch — Wcun daher die beiden Theile einer Gleichung ein gemein¬ schaftliches Maß haben, so kann mau die Gleichung auf eine ein¬ fachere Gestalt bringen, wenn man beide Theile durch jenes gemein- 15»6 schriftliche Maß dividirt. So gibt 2x? — 8x — 4 die einfachere Gleichung x" — 4x —2. 5. Gleiche Großen a n f d i e s c lbe Potenz erhoben, ge¬ ben gleiche Resultate. Wenn n — 6, so ist auch rr" — d". Durch das Erheben beider Tbcile einer Gleichung auf dieselbe Potenz kann die Gleichung von Wurzelgrößen befreit werden. Es sei z. B. j/x — K- — n; erhebt man beide Theile zur zweiten Po¬ tenz, so fällt auf der ersten Seite das Wurzelzeichen weg, und man hat x — K? — xr". Dej dieser Umwandlung, welche das Raz to¬ ri alm ach en der Gleichung genannt wird, muß die Wurzelgröße, welche man wegschaffcn will, allein auf einer Seite des Gleichheits¬ zeichens stehen. 6. Wenn man ans gleichen Größen dieselbe Wurzel auszieht, so erhält man gleiche Resultate. Ist u —6, so muß auch j/g, — "s/6 sein. Dieser Satz dient dazu, um die Gleichung auf niedrigere Po¬ tenzen der Unbekannten zurückznführen. Z. B. Ans x^ — 10 folgt x — j/10. " b. 7. Wenn man von gleichen Großen die Logarithmen für dieselbe Basis nimmt, so erhält man gleiche Resultate. Ist a — d, so muß auch loZ u — Io§ b sein. Mit Hilfe dieses Satzes kann mau die Gleichung von Expo- neuzialgrößsn befreien. Ist z. B. 5^ — 625, so folgt, wenn man von beiden Theileu die Logarithmen nimmts^x !o» 5 — lozx 625, wodurch die Unbekannte vom Exponenten als Faktor herab kommt. 136. Um durch Anwendung der vorhergehenden Sätze eine gege¬ bene Gleichung zu ordnen, verfährt man ans folgende Art: 1. Wenn die Gleichung Brüche enthält, so werden diese wegge¬ schafft, indem man beide Theile der Gleichung mit dem kleinsten gemeinschaftlichen Nenner multiplizirt. 2. Kommt die Unbekannte unter dem Wurzelzeichen vor, so wird die Gleichung durch entsprechende Potenzirung beider Theile von jener Wurzelgröße befreit. 3. Es werden alle unbekannten Glieder auf die erste Seite ge¬ bracht, znsammengezogeu, und nach fallenden Potenzen geordnet; die 157 bekannten Glixder dagegen werden auf die zweite Seite übertragen und ebenfalls zusainmcngczogen. 4. Man dividAt beide Theile der Gleichung durch den Koeffizien¬ ten der höchsten Potenz oon der Unbekannten. Beispiele. 1) 6 (x — 2) — 2 (3 x ff- 1) ---14 - 4 (2 x ff- 3i 6x — 12 — 6x — 2 --- 14 — 8x — 12 6x — 6x ff- 8x — 14 — 12 ff- 12 ff- 2 8x — 16 x — 2. 2)^- 30x ff-20x ff- 20 ff- 15x — 15 24x ff- 360 30x -ff20x ff- 15x — 24x 360 — 20 ff- 15 41 x -- 355 x -- 8^. ' - 3) -r — 6 — 0 (s, -— 6) x — s, b> — 0 (n — 6) x — ab x-ffil X - L X -j- !l X (x — kl) — X (x ff- n) — 6 (x — kr) x^ — nx — x? — nx —6x — ab — 2sx — 6x — — n 6 — (2s, ff- 6)x — — nb s d X — -X - 23 -ff U 12 — 3x x^—12ff-3x--8x x-ff-3x-8x^ 12. x'^ — 5x — 12. 6) 4-x 3x^ , 1 -^2 I 4x — 3x? (x ff- 1) ff- (x — 1) — 0 4x — 3x^ — 3x2 ff- x — i —g — 3x2 — 3x? ff- 5x — 1 158 7) -- 4 9 (x — 1) 16 9x — 9--16 9x ^25 8) 2x — 1 — 1/2x — 1 — 2x 2x--- 1 — 4x 4 4x^ 2x -4 4x — 4x^ — 1 — 4x--4 6x — 1 Man ordne noch folgende Gleichungen: <6)^-!-; 44^-^-9-^Z. 17) 3x — — - - -- -0-426. 18) (2-x) (32-x) (4-4x) (3 4-x). 19) a—x n-j-x a' — x^ »s» r 2a-l- x _ 4 2a —x 3» 4 2x 2 3-t-j-x' 21) ^.27^x4422 22) 1/4x'4 8x 4 13 4x 4 1. 23) 4 33 4 X — 4^ — 13. 24) 1/(x-j-e)^4/^ 4 1/(x—e?47* — 2a. 159 II. Bestimmte Gleichungen des ersten Grades. 1. Gleichungen mit einer Unbekannten. 8. 137. Eine geordnete Gleichung des ersten Grades mit einer Unbe¬ kannten ist auch schon aufgelöset; das Auflösen einer Gleichung des ersten Grades mit einer Unbekannten besteht demnach im Ordnen derselben. Beispiele. 1) — 4 gibt geordnet und aufgelöset x — 22. m , 22^ 2 22-2 24 20 <, . . Probe: —-8 - 4 4. 2) —3 geordnet und aufgelöset x — 7. m 343 - 98-s-3 248 . Probe: 49-t-14-4 7 - 3 --- 4. 3) — geordnet und aufgelöset x — a d p —dem dp— en sdp — aen — adp-^-dem dm— an Probe. 0 dex— e^n d p — en* anp — emn dp — en dmp — em n— a n p-s- em n dm — an p — enp bp — cn' 4) -s- 0 — -« geordnet und aufgelöst n t> 6) . ^^7- 7) 9) 4 —1/x —1/4 x; 10 > d—a d a x 16« 11) 1/^-?-^ —1/2 Ä-t-x; 12) 3. Vs-t-x — Us-X 2. G l e ich n n g e IM III it mehr e r c II u II b c k a nute n. §- 138. Eine Gleichung mit zwei Unbekannten ist unbestimmt; cs gibt nämlich unendlich viele Werthe. welche für die beiden Unbe¬ kannten substitnirt, der Gleichung Genüge leisten. Hak man z. B. die Gleichung 2x-j-5v — 19, so folgt daraus, wenn einstweilen x als die Unbekannte, aber als bekannt angesehen wird, x — Jedem Werthe, der in der Auflösung für gesetzt wird, entspricht auch ein anderer Werth sür x; da nun sür unendlich viele ver¬ schiedene Werthe angenommen werden können, so ist auch x unend¬ lich vieler Werthe fähig; die Auflösung ist demnach völlig unbe¬ stimmt. Sollen nun x und v vollkommen bestimmt sein, so muß noch eine zweite, von der ersten wesentlich verschiedene Gleichung zwischen x und v gegeben werden, welche die Unbestimmtheit der aus der ersten Gleichung sich ergebenden Werthe behebt. Die Auflösung zweier Gleichungen mit zwei Un¬ bekannten kann auf eine der folgenden Arten geschehen. n) Man sucht die Werthe für eine Unbekannte, z. B. für x aus beiden Gleichungen, und setzt diese unbestimmten Werthe, da sie die¬ selbe Größe vorstellen, einander gleich; dadurch erhält man eine neue Gleichung, in der nur eine Unbekannte vorkommt, welche daraus wie aus einer Gleichung mit einer Unbekannten bestimmt wird. Substitnirt man den gefundenen Werth von in einem der sür x erhaltenen Ausdrücke, so bekommt man auch den Werth für diese Unbekannte. Diese Art der Auflösung heißt die Kompara- z i o n s m e t h o d e. U) Man sucht den Werth einer Unbekannten z. B. von x aus der eineu Gleichung, und substitnirt denselben in die andere Gleichung. Dadurch erhält man eine neue Gleichung, worin bloß / verkommt, dessen Werth daraus gefunden werden kann. Durch Substituzion dieses Werlhes in dem früher sür x erhaltenen Ausdrucke ergibt sich auch der Werth sür diese Unbekannte. Dieses Verfahren nennt man die Sn bsti t nzi o n s m e th o d e. o) Eine dritte Art der Auflösung besteht darin, daß man durch gehörige Verbindung beider Gleichungen eine Unbekannte ans den¬ selben hinwegschafft, elirninirt. Die hinwegzuschaffende Unbekannte muß in beiden Gleichungen denselben Koeffizienten haben; ist die¬ ses nicht schon der Fall, so mnltiplizire man die beiden Theile einer jeden Gleichung mit solchen Zahlen, daß jene Eigenschaft herbeige- 161 fühlt werde. Sodann werden die zwei Gleichungen addirt, wenn die gleichen Koeffizienten der zu eliminirenden Unbekannten verschie¬ denes Zeichen haben, und snbtrahirt, wenn sie dasselbe Zeichen ha¬ ben. Dadurch erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbe¬ kannten , deren Auflösung den Werth für diese Unbekannte gibt. Den Werth der andern Unbekannten findet man durch die Substi- tuzion des bereits erhaltenen Wcrthes in einer der gegebenen Glei¬ chungen. Dieses Verfahren wird die Eliminazionsmethode genannt. Welche von den drei Methoden in jedem einzelnen Falle die vortheilhafteste Auflösung gewährt, hängt von der Beschaffenheit der gegebenen Gleichungen ab. Beispiele. 1) Es seien allgemein die Gleichungen nx -ff ff)- — o und n'x -ff — 0' aufzulösen. n) Nach der Komparazionsmethode hat man X — -- und X — --— daher a a" ' ans welcher Gleichung I, folgt. Substituirt man diesen Werth in dem ersten der früher für x erhaltenen Ausdrücke, so hat man ade" — a" d 6 ad" — a"d de" — d"e X — - " n -777- a ad — ad d) Nach der Substituzionsmethode bekommt man zuerst 6 — dv X --. a Wird dieser Werth für x in die zweite Gleichung n'x -ff — o' substituirt, so bat man -ff b') ---- woraus a e" a" e ab' — a'd folgt. Durch die Substituzion dieses Werthes in dem oben für x erhaltenen Ausdrucke findet man, wie bei der ersten Metbode, de^ —- d" e X ad" — a"d* 0) Nach der Eliminazionsmethode muß man, um z..B. x zu eliminiren, die erste Gleichung mit die zweite mit a multipli- ziren, wodurch man erhält uu'x -ff — u'o, ua^x -ff — -ro^. UoLoiff Algebra. 5. Aufl. ll M Subtrahirt man diese beiden Gleichungen, so ist — no', woraus V — -j- - 7^ folgt. Den Werth von x kann man erhalten, wenn man entweder aus den beiden gegebenen Gleichungen eliminirt, und die daraus sich ergebende Gleichung auflöset, oder wenn man den bereits be¬ kannten Werth von 7 in einer der gegebenen Gleichungen substitnirt. Auf beide Arten erhält man, wie früher, d e X " —7--n. a d^ — ad 5x — 3^ — 'll! ^br Komparazionsmethode aufzulösen. »4 — Die erste Gleichung gibt x ——— -, tt 4-3)- zweite „ „ x — — , daher —woraus x —3 folgt. Substitnirt man diesen Werth von in dem Ausdrucke 24 — 4v . . 24 — 4.3 /! x — ——-, so erhalt man x — — -— 4. Daß die Werthe x —4 und ^ — 3 den gegebenen Gleichun¬ gen Genüge leisten, ergibt sich sogleich, wenn man diese Werthe in den Gleichungen substitnirt; man hat 3 . 4 -f- 4.3 -- 24, 5.4 — 3.3^11. 0 x — 13^ 48^ Substituzionsmethode aufzulösen. Aus der ersten Gleichung folgt x — wird dieser Werth in der zweiten Gleichung substitnirt, so hat man 2 . —-j- 3^ — 16, woraus — 0 folgt. Substitnirt man diesen Werth von in dem Ausdrucke 48 -f- 13)' . 2 . 48 4- '3 . o X — ——-, so findet man X —-ö- — 8. Probe: 6.8 — 13 . 0 --- 48, 2.8 -s- 3 . 0 — 16. gx — ^5/ — 17/derEliminazionsmethode aufzulösen. M Um bei x gleiche Koeffizienten herbeizuführen, multiplizirt man die erste Gleichung mit 3, die zweite mit 2; man bekommt 12x -s- 57^ — 33l 12x — 10^ --- - 34> subtrahnt, — __ Z- 67^ — 67, also / —1. Wird der Werth von in der ersten Gleichung substituirt, so erhält man 4x -s- 19 . 1 — 11, woraus x — — 2 folgt. Probe. 4 . — 2-s-19 . 1--- 11, 6.-2- 5.1--- —17. 5) x-s-^—8,x — 6. Durch Addizion und Subtrakzion dieser Gleichungen erhält man 2x —s-s-el, 2)-— 8— cl, daher s-l-(t s — <1 6) 3x -j- 4^ — 4l 12x — 6^ — 5> V . 2 geben 1' 7) 16x — 257 ----- 5i . 5)- - 24x -- 12> ge^it 8) 5(3x — 2;-) —10 — 3x ^7^I^8x-1 3 3 x ------ K, V — — L / — s» V —— 5— ausgelöset: 8. 139. Zur Bestimmung von drei oder mehreren Unbekannten müssen eben so viele von einander wesentlich verschiedene Gleichun¬ gen gegeben sein. Ihre Auflösung geschieht nach denselben Me¬ thoden wie die Auflösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbe¬ kannten, wie dieß aus den folgenden Beispielen erhellet. Beispiele 1) 8x 5,- 2- --- 24> 6x — 3)--s- 2— 3> 4x -s- 9^ — 62 — 4s nach der Komparazionsmelhode auf¬ zulösen. 24 — 5v — 2r x — 8 3 -t- 3v- - 2 — 6 4 — 9v -j- Ur folglich 24 - 5,- - 2r — 3 -s- 3,- - r -8 " 6 s 3-^-3v — n 4 — Av-s-62- 6 11 1S4 Aus den letzten zwei Gleichungen folgt, wenn man sie nach x auflöset, 60 — 2r 6 4 20 2 ^33^ aus welcher letztern Gleichung x —3 folgt. Substitnirt man den Werth von 2 in einem der für )' ge¬ fundenen Ausdrücke, z. B. in x " , so bat man . . 60 —2^ 6420^ . daher Werden endlich die gefundenen Wertbe von y und 2 in einem / ' Z _I Z V_ der für x aufgestellten Ausdrücke, z. B. in x — -- substitnirt, so bekommt man 3 -j- 3 x 2 - 3 , X rr-- -- .. -— -- l. Probe. 8.1 4- 5 . 2 4- 2 . 3 24, 6.1—3.24- 3^-3, 4.14-9.2-6.3^ 4. 2) 3x ch- v st- 2 18 2x 3 4- 2/. — 28 5x -s-2^-s-3x — 38 Ans der ersten Gleichung folgt 2 — —— —- - Substitnirt man diesen Werth in der zweiten und dritten Gleichung, so erhalt man 2 . -s- 3,v -4 2- — 28, oder 7v -s- 42 - 48, 5 . 18 -s- 2,y -4 3-! — 38. oder v -4 4r -- 24. nach der Substitnzionsmetbode anf- znlösen. Aus der letzte» Gleichung folgt ^ — 24 — 42. Wird dieser Werth in der vorletzten Gleichung substitnirt, so bat man 7(24-4-!) 4 4? 48, woraus 2 — 5 folgt. Substitnirt man den Werth von 2 in 24 — 42, so ist — 24 — 4.5 — 4. Werden endlich die Werthe von und 2 in dem Ausdrucke x — 18 " eingestellt, so erhält man 18 — 4 — 5 o 165 3) 3x — 2> -s- 52 — 81 2x 5/ — 22 — 18 - »ach derEliminazivnSmethodc aufzulösen. 4x — / -s- 22 — 14f Um aus den ersten zwei Gleichungen x zu eliminiren , multi- plizire man die erste mit 2, die zweite mit 3; es ist V Ä subtrahirt bx -s- 15^ — V2 — 54! - - -l- - - Ist)' -ch. 162 — 38. Um aus der zweiten und dritten Gleichung x zu eliminiren, braucht man nur die zweite mit 2 zu multipliziren, und die Sub- trakziou zu verrichten; man bekommt: 4x -s- IO)' — 4x — 36 4x — )s -j- 22 — 14 " ch- _ — 11). — 62 — 22. Nnn hat mau zwei Gleichungen, worin noch die Unbekannten X und 2 vorkommen. Um aus denselben zn eliminiren, wird man die erste Gleichung mit 11, die zweite mit 19 multipliziren, und die neuen Gleichungen addiren; mau erhält — 209^ -s- 1762 — — 418 209— 1142 418 622 — 0 ; also 2 —0. Wird der Werth von 2 in der Gleichung 11^ — 62 — 22 substitnirt, so hat man 11^ — 22, daher ^ — 2. Substituirt man endlich die Werthe von )- und 2 in einer der gegebenen Gleichungen, z. B. in 3 x — 2v -s- 5 2 — 8, so er¬ hält man 3 x — 2.2 — 8, folglich x — 4. 4) 6x-s-5x — 8i x — 20^ — 52 — 11- aufgelöset: x — E, 3). — 3x 1j 2-^-z. 5) 6x — 4)^-s- 32 — 28 x —6, 4x — — 3 2 — 7. aufgelöset: — 5, 2x —3)'-s-62 —21 2 — 4. X--10, '0^ aufgelöset: ^--12, _I_ S/ _r, 23 ! 2-15 10 6 5 2 — 19, 7) 3u - 2x ^ ). — 52-- 17 u- 1, 4u-s- x —3/-s-22 —— 7 x — — I, 6u-5x-s-2)'- 2- 132 aufgelöset: 2, u — X -s- ). — 2 — 6^ 2 — — 2. 166 8) Man löse noch folgende Gleichungen auf: »i x Z- 6^ -s- e, 2 — 6,, i>2 X 4- l>2 X -s- <-2 2 ----- <^2 , UgX -s- bg)- -s- 6g2 — 6g, und gebe die Gesetzmäßigkeit an, welche in den für x, und 2 erhaltenen Ausdrücken vorherrscht. 3. Aufgaben über die bestimmten Gleichungen des ersten Grades. s) Aufgabe» niit Beifügung des Ansatzes. K. 140. 1) Das 3fache und 4fache einer Zahl beträgt 196; wie groß ist diese Zahl? Es sei x die gesuchte Zahl; das 3fache derselbe» wird 3x, und das 4fache 4x sein. Nach der Bedingung der Aufgabe muß also 3x -s- 4x --- 196' sein, aus welcher Gleichung sich x—28 ergibt. Probe. 3 . 28 -f- 4.28 ---- 84 -s- 112 -- 196. 2) Mau suche eine Zahl, deren Hälfte und dritter Theil 25 be¬ tragen. Heißt diese Zahl x, so ist ihre Hälfte und der dritte Theil daher nach der Bedingung der Aufgabe 25, woraus x —30 folgt. Probe. 15 -s- 10 ---- 25. 3) Ein Kaufmann kaufte ein Stück Tuch, die Elle zu 3^ fl.; hierauf verkaufte er dasselbe zu 4^ fl. die Elle. Wenn er unn dabei 21 fl. gewonnen hat, wie viel Ellen enthielt das Stück? Bei dieser Aufgabe wird als bekannt vorausgesetzt, daß der Gewinn gleich ist der ganzen Verkausssumme weniger der ganzen Einkaufs summe. Es sei nun x die Anzahl der Ellen, so ist 13 x die Verkanfssumme für x Ellen — 4^. x — die Einkaufssumme für x Ellen — 3^ . x — . , 13x 15x daher -— 41, woraus x — 36 folgt, 167 Probe. 36 Ellen zu 4^ fl. — 156 fl. beim Berkaufe, 36 Ellen zu 3^ fl. — 135 fl. beim Einkäufe, 21 fl. Gewinn. 4) Jemand wurde um sein Alter gefragt, und sagte: Mein Alter nach 10 Jahren wird doppelt so groß sein, als mein Alter vor 4 Jahren war. Wie alt war er? Setzt man die Anzahl seiner Jabre — x, so ist sein Alter nach 10 Jahren — x ff- 10, . sein Alter vor 4 Jahren — x— 4. » Da nun nach der Bedingung der Aufgabe die erWe Zahl dop¬ pelt so groß sein muß, als die zweite, so wird, damit man eine Gleichung bekomme, die zweite Zahl mit 2 multiplizirt; daher ist x ff- 10 2 (x — 4>, woraus x —18 folgt. Probe. Alter nach 10 Jahren — 28 Jahre, Atter vor 4 Jahren — 14 Jahre, und wirklich 28 — 2 . 14. 5) Ein Vater ist 48, sein Sohn 21 Jahre alt; vor wie viel Jahren war der Vater lOmal so alt als sein Sohn? Man nehme an: vor x Jahren. Vor x Jahren war der Vater 48 — x, der Sohn 21 — x Jahre alt, und da nach der Bediugung der Aufgabe die erste Zahl lOmal so groß als die zweite ist, so muß mau, damit die Gleichheit bergestellt werde, die zweite Zahl mit 10 mnltipliziren; man hat also die Gleichung 48 — x 10s2l — x), welcher der Wertb x — 18 Genüge leistet. Probe. Vor 18 Jahren war der Vater 30 und der Sohn 3 Jahre alt, daher der Vater wirklich lOmal so alt, als der Sohn. 6) Die Orte und k find 130 Meilen von einander entfernt. Wenn nun ein Kourier von nach k abgebt und täglich 14 Mei¬ len zurücklegt, zu gleicher Zeit aber auch von 6 nach ein Kou¬ rier abgeschickt wird, der täglich 12 Meilen macht; nach wie viel Tagen werden stch die beiden Kouriere begegnen? Nach x Tagen. In x Tagen legt der erste Kourier 14x, der zweite 12x Meilen zurück; da nun die von beiden Kourieren zurück- gelegten Raume, wenn ste stch begegnen, zusammen die ganze Ent¬ fernung zwischen .4. und B betragen müssen, so ist 14x -s- I2x — 130, daher x — 5. Probe. Der erste Kourier legt in 5 Tagen 70 Meilen zurück, und ist somit noch 60 Meilen von li entfernt; der von 11 kom¬ mende Kourier legt in 5 Tagen eben 60 Meilen zurück, und trifft also wirklich in 5 Tagen mit dem ersten Könner zusammen. L68 7) Ein Menschenfreund wollte eine Summe, die er eben bei sich hatte, unter 10 Arme vertheilen. Gibt er jedem 20 Kr., so hat er eben so viel zu wenig, als er zu viel hat, wenn er jedem 18 Kr. geben will. Wie viel Kreuzer hatte er bei sich? Es sei x die Anzahl der Kreuzer. Will er jedem Armen 20 Kr. geben, so hat er 200 — x Kreuzer zu wenig; will er jedem 18 Kr. geben, so hat er x —180 Kreuzer zu viel. Da nun diese beiden Zahlen gleich sein müssen, so ist 200 — x — x — 180, woraus x —190 folgt. 8) Wenn sich die Zeiger einer Uhr zwischen 4 und 5 Uhr decken, wie viel Uhr ist es ganz genau? Um 4 Uhr steht der Stundenzeiger auf 4, der Minutenzeiger auf 12; der Stundenzeiger ist also um 20 Minuten voraus, und es entsteht die Frage: in wie viel Minuten wird ihn der Minuten¬ zeiger einholen? Es sei x die Zahl der Minuten, die der Minutenzeiger sort- rücken muß, bis er den Stundenzeiger einhvlt, so wird der Stun¬ denzeiger wahrend dieser Zeit Minuten durchlaufen, und es muß der Unterschied dieser beiden Räume 20 Minuten betragen, also x 20 sein, woraus x —21^ folgt. Die Deckung der beiden Zeiger geschieht also um 4 Uhr 21^ Minuten. Hd 8-141. 9) Man theile die Zahl 58 in zwei Theile, so daß der eine Theil um 16 kleiner ist als der andere. Es sei der größere Theil x, und der kleinere /, so muß nach den Bedingungen der Aufgabe x st- ä' — 58, und x — -j- 16 sein, aus welchen Gleichungen x —37, x — 2l folgt. Probe. Die Zahlen 37 und 21 betragen zusammen wirklich 58, und zwar ist die zweite um 16 kleiner als die erste. Diese Ausgabe kann auch mittelst einer Unbekannten ansge- löset werden. Heißt nämlich x der größere Theil, so ist 58 — x der kleinere, und es muß X — 58 — X ss- 16 sein, woraus x —37 hervorgebet, also 58 — x— 2l. 169 10) Ein Baker ist gegenwärtig 3mal so alt als sein Sohn; vor 12 Jahren war er 9mal so alt als der Sohn. Wie alt ist der Vater, wie alt der Sohn? Der Vater sei x, der Sohn Jahre alt; vor 12 Jahren hatte der Vater x —12, der Sohn )- —12 Jahre. Es ist also nach den Bedingungen der Aufgabe x —3^, und x — 12 — 9 (x —12), woraus x —48, )- —16 folgt. Mit einer Unbekannten würde die Auflösung so lauten: Ist der Vater x Jahre alt, so ist das Alter des Sohnes Jahre; vor 12 Jahren war der Vater x — 12, der Svhn-^—12 Jahre alt. Man hat daher die Gleichung x - 12 --- 9 -12), woraus man x — 48, und — 16 erhält. 11) Ein Vater verspricht seinem Sohne für jede fehlerfreie Auf¬ gabe ein Geschenk von 10 Groschen; für jede fehlerhafte Ausgabe dagegen muß der Sohn dem Vater 5 Groschen zurückzahlen. Bei 20 Aufgaben ergab sich nun, daß dem Sohne von den erhaltenen Geschenken 80 Groschen übrig blieben. Wie viele Aufgaben hat er ohne Fehler, und wie viele fehlerhaft ausgearbeitet? Die Zahl der fehlerfreien Aufgaben sei x, jene der fehlerhaf¬ ten )-; der Sohn bekam also für die x fehlerfreien Aufgaben 10x Groschen, und zahlte für die fehlerhaften 5)- Groschen zurück. Man hat demnach X -j- )- — 20, und 10x — 5)- — 80, woraus x — 12, — 8 hervorgehet. Probe. Der Sohn bekam 10 X 12 — 120 Groschen, und zahlte 5X8 ----- 40 G roschen zurück, also blieben ihm 80 Groschen. Wie wird diese Ausgabe mit einer Unbekannten aufgelöset? 12) Man suche eine zweizifferige Zahl, welche rückwärts geschrie¬ ben um 27 kleiner wird; ihre Ziffernsumme ist 13. Heißt x die Ziffer der Zehner, und / die Ziffer der Einhei¬ ten, so ist lOx-j-die zu suchende Zahl; rückwärts geschrieben ist dieselbe 10)--j-x. Man hat daher x >-j- )- — 13, und 10x -j- )----- 107 -s- x -j- 27, welche Gleichungen x — 8, )-—5 geben. Die verlangte Zahl ist also 85. Man lose die Aufgabe auch mit einer einzigen Unbekann¬ ten auf. 13) In einer Reichsversammlnng, worin 360 Abgeordnete stimm¬ ten, wurde ein Antrag mit einer Stimmenmehrheit von 104 ange¬ nommen. Wie viele haben dafür, wie viele dagegen gestimmt? 17« Es sei die Zahl der für den Antrag Stimmenden x, und die Zahl der dagegen Stimmenden ).; so hat man x -s- ). — 360, und x — — 104; daher x — 232, — 128- 14) Ein Wirth hat zweierlei Weine; non dem ersten kostet der Eimer 30 fl., von dem zweiten 16 fl. Er will durch Mischung 7 Eimer zu 20 fl. bekommen, wie viel Eimer wird er von jeder Gat¬ tung zu der Mischung nehmen müssen? Hier wird vorausgesetzt, daß der Wertb des durch die Mi¬ schung erzeugten Weines dem Werthe der zur Mischung verwendeten Weine gleich ist. Es sei x die Anzahl Eimer des bessern, und die Anzahl Eimer des schlechter» Weines, so ist der Werth des ersteren Be- standtheiles 30x, jener des zweiten 16). fl. Der Werth des durch die Mischung erhaltenen Weines ist 20 X 7 — 140 fl. Man hat daher x -s- 7 -- 7, und 30x -j- 16). ---- 140, woraus x —2, / — 5 folgt. Probe. 2 Eimer zu 30 fl. — 60 fl. 5 Eimer zu 16 fl. — 80 fl. 7 Eimer zu 20 fl. Hfl. 15) Jemand will alöthiges und blöthiges Silber legiren, und dadurch mMark olöthiges Silber erhalten; wie viel Mark von jedem Silber wird er zu der Legirung verwenden? Es wird vorausgesetzt, daß die Legirnug ebeu so viel feines Silber enthalte, als die zur Legirung verwendeten Silbermassen. Es sei die Anzahl Mark alöthiges Silber — x, „ „ „ dlöthiges Silber — x Mark ulöthiges Silber enthalten ax Loth fein Silber ). „ dlöthiges „ „ d). „ „ „ Da nun die Legirung mMark olöthiges Silber, also omLoth , feines Silber enthalten soll, so hat man die Gleichungen x ss- ). — m, und nx -f- b). — em, woraus x — -—- .m und v — -—folgt. Auf der Lösung dieser allgemeinen Aufgabe beruhet die Al¬ le g a z i o n s r e ch n u n g. 16) Der König Hiero zu Syrakus ließ sich von einem Goldschmied eiste' Krone machen, und übergab ihm zu diesem Ende 20 Pfund Gold; die von dem Goldschmiede abgeliefcrte Krone wog auch wirklich 20 Pfund. Archimedes wollte sich nun überzeugen, ob der Goldarbeiter nicht vielleicht einen Theil Gold entwendet, und dafür eben so viel Silber dem Golde beigesetzt habe. Bekanntlich ver¬ liert Gold im Wasser den 19ten, Silber dagegen den lOten Theil seines Gewichtes. Archimedes wog also die Krone im Wasser ab, und fand den Gewichtsverlust Pfund, während derselbe, wenn in 171 der Krone reines Gold wäre — 1,'^ Pfund betragen müßte, woraus Archimedes den Schluß zog, daß die Krone nicht bloß Gold enthalte. Wie viel Gold und wie viel Silber war nun in der Krone enthalten? Die Krone enthalte x Pfund Gold und Pfund Silber; so ist der Gewichtsverlust des Goldes und jener des Silbers Pfd. Da nun der ganze Gewichtsverlust der Krone iz — Pfund be¬ trägt, so hat man die Gleichungen x -j-.^ --- 20, und welche x —18'765, —1'235 geben. Die Krone enthielt also 18 Pfund 244 Loth Gold, und 1 Pfd. 7z Loth Silber. 17) Unter die drei besten Schüler einer Klasse war eine bestimmte Summe so zu vertbeilen, daß der zweite um 20 fl. weniger als der erste, und der dritte wieder um 20 fl. weniger als der zweite be¬ kommt; die ganze Summe war um 25 fl. großer als das 4fache dessen, was der dritte bekam. Wie viel erhielt ein jeder der drei Schüler? Es sei x fl. der Antheil des ersten, fl. des zweiten, - fl. des dritten Schülers; so bat man nach den Bedingungen der Aufgabe X —-j- 20, z-— 2 -s- 20, x -j- -j- 2 — 4r -j- 25, aus welchen Gleichungen x — 75, — 55, x — 35 folgt. Um diese Aufgabe mit Hilfe einer einzigen Unbekannten anf- zulösen, sei wieder der Theil des ersten Schülers — x fl., so ist „ „ „ zweiten „ — x — 20 fl., „ „ „ dritten „ — x — 40 fl., Summe 3x — 60 fl. Daher nach der Bedingung der Aufgabe 3x —60^4 (x —40)-j-25, woraus x — 75, x — 20 — 55, x — 40 — 35 folgt. 18) Jemand bat drei Mctallstangcn, die erste enthält 4 Loth Gold, 8 Loth Silber, 12 Loth Kupfer, die zweite „ 8 ,. ,, 10 „ ,, 2 „ „ die dritte „ 10 ,, „ 6 „ „ 14 ,, „ Er will nun durch Legirung eine Metallstange erhalten, welche 10 Loth Gold, 13 Loth Silber und 11 Loth Kupfer enthält; wie viel Loth muß er von jeder der drei Metallstangeu dazu nehmen? Er nehme von der ersten Stange x, von der zweiten v, von der dritten 2 Lotb. Es entbält nun 172 l Loth der erste« Stange z Loth Gold, z Loch Silber, ä Loth Kupfer, 1 Loth der zweiten Stange § „ „ 1 Loth der dritten Stange „ r „ „ ff.,, „ daher x Loch der ersten Stange LvthGold, ^Lvth Silber, Loth Kupfer /Loth der zweiten Stanges „ „ „ 2 Loth der dritten Stange„ .. „ „ A- „ „ und die ganze Metallstange 10 Lth. Gold, 13Lth. Silber, 11 Loth Kupfer, folglich müssen die Gleichungen 2 10 15 Statt finden, denen die Werthe x — 6, / — 10, 2 — 15 entsprechen. Man wird demnach von der ersten Stange 6, von der zweiten 10, von der dritten 15 Loth zu nehmen haben. d) Aufgaben zur Sel bstübung im Ansätze. Ä . - 1) Welche Zahl gibt, wenn man ffe mit H multiplizirt, nnd von dem Produkte 5 subtrahirt, 13 zum Resultate? — Die Zahl 24. 2) Ein Vater ist 36, sein Sohn 10 Jahre alt; wie viel Jahre muß der Vater noch leben, damit er gerade doppelt so alt werde als sein Sohn? — 16 Jahre. 3) Ein Regiment bricht von nach L auf, und macht täglich 4 Meilen; 5 Tage später rückt ihm ein anderes Regiment nach, welches täglich 6 Meilen zurücklegt. Nach wie viel Tagen wird das erste Regiment von dem zweiten eingeholt werden? — Nach 10 Tagen. 4) Ein Wasserbehälter, welcher 20 Eimer hält, kann durch drei Röhren gespeiset werden; die erste Rohre allein füllt das Gefäß in 4 Stunden, wird die zweite Röhre allein geöffnet, so wird dasselbe in 6 Stunden voll, durch die dritte Röhre allein in 12 Stunden. In Ovie viel Stunden wird der Wasserbehälter gefüllt, wenn alle drei Röhren zugleich geöffnet werden? — In 2 Stunden. 5) In einer Familie waren mehrere Kinder. Auf die Frage, wie groß die Zahl sei, antwortete ein Sohn: ich habe so viel Schwe¬ stern als Brüder; eine Tochter aber sagte, ich habe zweimal so viel 173 Brüder als Schwestern. Wie viel Söhne und Töchter waren da? — 4 Söhne und 3 Töchter. 6) Jemand dingt einen Gärtner ans einen Monat (30 Tage); er verspricht ihm während dieser Zeit die Kost, und für jeden Tag, an dem er arbeitet, K st.; für jeden Tag, an dem der Gärtner nicht arbeitet, muß er dem Herrn fl. für die Kost bezahlen. Nach einem Monate erhielt der Gärtner 11 fl. Wie viele Tage hat er gear¬ beitet, und wie viele nicht? — Der Gärtner hat 21 Tage gear¬ beitet, und 9 Tage nicht gearbeitet. 7) Jemand wettet bei jedem Spiele 4 fl. gegen 3 fl. Nach 28 Spielen hat er weder gewonnen noch verloren. Wie viele Spiele hat er gewonnen, wie viele verloren? — Der Spieler hat 16 Spiele gewonnen, 12 verloren. 8) Feines und lOlöthiges Silber sollen zu 12löthigem Silber ein geschmolzen werden; wie viel von jedem Bestandtheile kommt ans 24 Mark? - 8 Mark feines, nnd 16 Mark lOlöthiges Silber. 9) Zwei Fässer enthalten 351 Maß. Läßt man aus dem ersten den sechsten, und aus dem zweiten den dritten Theil heraus, so bleibt in beiden gleichviel übrig. Wie viel Maß enthält jedes Faß? — Das erste 156, das zweite 195 Maß. 10) In einer Gesellschaft waren doppelt so viel Männer als Frauen; und nachdem 8 Männer mit ihren Frauen weggingen, blieben noch 4mal so viel Männer als Frauen. Wie viel Männer nnd Frauen waren in der Gesellschaft? — 24 Männer und 12 Frauen. 11) Ein Knabe sagt: meine Mutter ist 25 Jahre älter als ich, mein Vater ist 5 Jahre älter als die Mutter, und wir alle zusam men haben 91 Altersjahre. Wie alt ist der Knabe, die Mutter, der Vater? — Der Knab hat 12, die Mutter 37, der Vater 42 Jahre. 12) Ein Vater und seine zwei Söhne zählen jetzt zusammen 96 Jahre. Vor 4 Jahren war der ältere Sohn halb so alt als sein Vater, und doppelt so alt als sein Bruder. Wie alt ist jede dieser drei Personen? — Der Vater hat 52, der ältere Sohn 28, der jüngere 16 Jahre. 13) In einer Fabrik arbeiten 26 Arbeiter, theils Meister, theils Gesellen; jeder Meister erhält täglich 40 Groschen, jeder Geselle nur die Hälste davon. Würde man jedem Meister von seinem Lohne 4 Groschen abziehen, und dafür jedem Gesellen so viel zulegen, so möchte der tägliche Lohn um 56 Groschen mehr betragen. Wie viele Meister, nnd wie viele Gesellen arbeiten in der Fabrik? — 6 Mei¬ ster nnd 20 Gesellen. 14) Drei spielten mit einander. Im ersten Spiele verliert der erste an jeden der andern so viel als jeder von diesen bei sich hatte; im zweiten Spiele verliert der zweite an den ersten und dritten so viel als jeder derselben hat; im dritten Spiele verliert der dritte 174 an die ersten zwei so viel als jeder Halle; nach geendigtem Spiele Halle jeder 24 fl. Wie viel hatte ein jeder im Anfänge des Spie¬ les? — Der erste hatte 39 fl., der zweite 12 fl., der dritte 21 fl. 15) Von drei Metallstücken enthält bas erste 26 As. Kupfer, 11 Al. Zinn und 9 A. Blei, das zweite 18 „ „ 4 „ „ „ 5 „ „ das dritte 36 ,, „ 2 „ „ „ 10 „ Aus diesen Stücken will man ein viertes zusammensetzen, das 22 As. Kupfer, 7 As. Zinn und 7 As. Blei enthält. Wie viel Pfund von jedem der drei ersten Metallstücke wird man dazu nehmen? — Bon dem ersten 23 As., von dem zweiten 9 As., nnd von dem drit¬ ten 4 As. 16) Ein Vater läßt bei seinem Tode die Frau mit 3 Söhnen zurück, und vermacht sein Vermögen auf folgende Art: die Frau soll den dritten Theil des ganzen Vermögens, der erste Sohn den drit¬ ten Theil des Restes mebr 600 fl., der zweite Sohn wieder den dritten Tbeil des neuen Restes mehr 2200 fl., und der dritte Sohn den Rest von 5400 fl. erhalten. Wie groß war das ganze Vermö¬ gen, und wie viel kommt auf die Frau und jeden der ersten zwei Sohne? — Das ganze Vermögen beträgt 27000 fl., auf die Frau kommen 9000 fl., auf den ersten Sohn 6600 fl-, auf den zweiten 6000 fl. 17) In einem Haufen Erz enthält der Zentner 3 Loth, in einem andern 17 Loth Silber. Man will aus beiden Haufen 80 Zentner mengen, jeden Zentner mit 11 Loth Silbergehalt. Wie viel Zentner sind von jedem Haufen zu nehmen? 18) Vom Orte 74 aus geht des Morgens 5 Uhr eine Lokomotive ab, welche in 4^ Stunden 17 Meilen zurücklegt. Um 5^ Uhr wird von 6 aus, welcher Ort 7 Meilen hinter 74 liegt, der ersten Loko¬ motive eine zweite nachgesendet, die 13 Meilen in 3 Stunden fährt. Wann wird die zweite Lokomotive die erste einholen? 19) Zu einer Arbeit erbieten sich drei Personen, ^4, 8 und 6. 74 und 8 würden zusammen die verlangte Arbeit in 18 Tagen lie¬ fern können, und 0 zusammen könnten dieß in 12 Tagen, und 8 und O zusammen in 9 Tagen. In welcher Zeit kann jede Per¬ son für sich allein die Lieferung bewerkstelligen, und in welcher Zeit kann dieselbe durch alle drei Personen zusammen geleistet werden? III. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades. K. stW Wenn man zur Bestimmung von mehreren unbekannten Grö¬ ßen weniger Gleichungen hat, als Unbekannte zu bestimmen sind, 175 so kann man doch durch allmäliges Eliminiren der Unbekannten im¬ mer zuletzt eine einzige Gleichung mit zwei oder mehreren Unbe¬ kannten erhalten. Wird aus dieser Gleichung die eine Unbekannte durch die übrigen ausgedrückt, so kann man für diese alle beliebigen ganzen und gebrochenen, positiven und negativen Zahlen setzen, und erhält daun auch für die erste Unbekannte eben so unzählig viele Werthe. Eine solche Gleichung mit zwei oder mehreren Unbekannten wird daher eine unbestimmte Gleichung genannt. So ist z. B. 3x-s- 4)-—10 eine unbestimmte Gleichung; es folgt aus ihr / ---- , und es ergeben sich für x ^-2,-4, 0, 2, 10, z, . . . die Werthe — 4, ^,4'1' — 5,2,... Es gibt also unendlich viele Werthe von x und welche alle der Gleichung 3x-s-4^-10 Genüge leisten. Zu ihrer Ausmitt¬ lung bedarf es keiner besonder» Anleitung. Meistens wird jedoch bei solchen Gleichungen verlangt, daß die Unbekannten, welche man bestimmen will, gewissen besonder» Bedingungen unterworfen seien. So verlangt man bei den unbe¬ stimmten Gleichungen des ersten Grades, daß die Unbekannten ganze, oder positive, oder ganze und Positive Zahlen zugleich sein sollen. Wie man für die Unbekannten solche Werthe ansmitteln kann, welche diesen Bedingungen entsprechen, soll in dem Nachfol¬ genden gezeigt werden. 1. Auslösung in ganzen Zahlen. S. 144. Es sei die unbestimmte Gleichung nx -j- -s- er -s- .. - — p, worin n, d, o, ... P ganze positive oder negative Zahlen bedeuten. Wenn diese Zahlen unter einander ein gemeinschaftliches Maß haben, so kann man beide Theile der Gleichung durch dasselbe dividiren, und dadurch bewirken, daß die bekannten Zahlen der Gleichung relative Primzahlen werden. Wir wollen nun zunächst untersuchen, ob die vorgelegte Gleichung immer eine Auflösung in ganzen Zahlen zulasse. Nehmen wir an, daß die Koeffizienten », b, e, ... ein gemeinschaftliches Maß m haben, durch welches p nicht theikbar ist; man hat dann auch u I >0 I _ )) - . X -f- - . V -ss- - . 2 -s- ... — -, m ' m ' m ' IN > nun sind ganze Zahlen, und es können unmöglich x, 2, ... zugleich ganze Zahlen sein, weil sonst auck a , k i e , — - x - . V "1-- ? -f- . . w ' IN ' IN ' * 17« und folglich auch eine ganze Zahl wäre; was gegen die Vor¬ aussetzung ist. Wenn also die Koeffizienten g, b, o, ... ein ge- meinschaftlicbts Maß haben, durch welches p nicht theilbar ist, so läßt fich die Gleichung in ganzen Zahlen nicht auflösen. Wir werden daher in dem Folgenden stets voranssetzen, daß die Koeffizienten der Unbekannten relative Primzahlen sind. 8- 145. a) Auflösung einer unbestimmten Gleichung mit zwei Unbe¬ kannten. I. Methode. Es sei die Gleichung gx ff- wog. und b relative Primzahlen sind, in ganzen Zahlen aufzulösen. Man kann immer annehmen, daß der Koeffizient der einen Unbekannten, z. B. von x, positiv ist. da dieses, wenn es noch nicht der Fall ist, durch Aenderung der Zeichen in sämmtlichen Gliedern der Gleichung leicht bewirkt werden kann. Es sei also a positiv, und man'löse die Gleichung nach x ans, wodurch man 6 — dv x —- a erhält; so wird es, wenn man für / nach und nach die g Werthe 0, 1, 2, 3, . . . g. — 1 substituirt, unter den zugehörigen Werthe» von x gewiß einen geben, welcher eine ganze Zahl ist, aber auch nur einen einzigen. Denn dividirt man die a. Werthe von o — b^, welche man durch jene Substituzionen erbält, durch n, so ist leicht zu zeigen, daß die dabei erscheinenden Divisionsreste sämmtlich verschieden ansfallen muffen. Es seien z. B. m und n zwei von den Zahlen 0, 1, 2, . . . g. — und nehmen wir an, daß v — Um und o, — dir durch g dividirt denselben Rest r geben, während die in den beiden Quozieuten erhaltenen ganzen Zahlen und <;' beißen sollen; so hätte man o — bm — g<;ff-r und o — Un — g lm — II) , — - q. a Es müßte also b (m - n) durch g theilbar sein, was nicht möglich ist, da b lind g relative Primzahlen sind, m — n aber klei ner als g ist, und also nicht durch g theilbar sein kann. Die g Reste, welche übrig bleiben, wenn man jene g Werthe von o — b;- durch g dividirt, müssen daher alle verschieden sein, und da sie zugleich !77 sämmtlich kleiner als a sind, so muß einer unter ihnen gleich Null sein. Es sei nun /3 der Werth von 7, welcher dem Reste 0 ent¬ spricht, so wird e— K6 x — - — L wo « eine ganze Zahl vorstellt. Der vorgelegten Gleichung genü¬ gen also die Werlhe x —«, 7-/3. Hat man übrigens für die Gleichung ux -s- 67 — e eine Auflösung in ganzen Zahlen, nämlich x—« nnd 7-/3, gefunden, so lassen sich daraus unendlich viele andere Auslösungen, gleichfalls in ganzen Zahlen, ableiten. Durch die Substituzion jener Werthe in der gegebenen Gleichung erhält mau nämlich die identische Gleichung u « -s- b /3 — o. Setzt man darin im ersten Theile adu, wo u irgend eine ganze Zahl bedeutet, als Addend und Subtrahend Lazu, so hat man die ebenfalls identische Gleichung u« -s- ubrr-j- b/3— aber — o oder n ss- 6 (/3 — uu) — o, woraus erfichtlich ist, daß der vorgelegten Gleichung ux-j-67 — o, allgemein die Werthe X — ^-s-1)u,7 — /3 — uu, wo mau für rr jede beliebige positive oder negative ganze Zahl setzen kann, Genüge leisten. Beispiele. 1) Es sei die Gleichung 4x — 77 — 75. Man erhält daraus - 75-s-7x — 4 ' und ist versichert, daß, wenn man darin für 7 einen der 4 Werthe 0, 1, 2, 3 setzt, einer der zugehörigen Werlhe von x eine ganze Zahl sein wird, so daß mau also höchstens 4 Versuche zu machen braucht. Mau findet für 7 — 3 x 15^21 - 95 - 4 4 — Die vorgelegte Gleichung läßt also die Auflösung x — 24, 7 — 3 zu, und alle übrigen Auflösungen in ganzen Zahlen sind gegeben durch die Formeln x— 24 — 7u, 7—3 — 4u, wo u eine unbestimmte ganze Zahl bedeutet. Mau findet daher auch folgende Auslösungen: für u — —2,-1, 1, 2, 3,... X-- 36, 31, 17, 10, 3, ... 7-- 11, 7, — 5,—.y, NoLllil!, Algebra. 5. Ausl. 12 178 2) Für die Gleichung 7x — 13 v— 152 erbült mau 1L2 13v X — --- , und, wenn, man darin für v nach und nach die 7 Werthe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 substitnirt, für v— 5 X Man bat daher folgende allgemeine Auflösung x — 31—-13 u, v — 5 — 7u, wo für u jede willkürliche ganze Zahl gesetzt werden kann. Man löse noch folgende Gleichungen in ganzen Zahlen auf- 3) 6x -j- 5>- --- 128; 4) 8x — 11)- —200; 5) 12x -j- 13> — 319. Das hier entwickelte Verfahren, eine unbestimmte Gleichung in ganzen Zahlen aufzulösen, wird sich offenbar sehr weitläufig ge¬ stalten, wenn die Koeffizienten derselben große Zahlen sind. In diesem Falle wird man zu einer der nachstehenden Methoden Zu¬ flucht nehmen. §. 146. Methode. Man hat unmittelbar eine Auflösung der Gleichung ax-j-bv —c in ganzen Zahlen, wenn einer der beiden Koeffizienten z. B. s gleich 1 ist; denn es ist unter dieser Voraussetzung x — o — bv, woraus man sür jeden beliebigen ganzen Werth von v auch für x eine ganze Zahl enthält. Wir wollen nun zeigen, daß sich die Auflösung einer jeden unbestimmten Gleichung mit zwei Unbekannten auf diesen einfachen Fall zurückführen läßt. Es sei wieder nx-j-bg- —o die vorgelegte Gleichung, und n b>, so erhalten wir zunächst x — - Mittelst der Division durch n bekommen wir eine ganze Zahl von der Form m — n v, wo irr auch Null sein kann, und einen Rest von der Form c^—)-, wo o, ebenfalls Null sein kann; es ist somit . e, — k. v X ---- m — nV -f- 0. Da nun x und )- ganze Zahlen sein sollen, so muß auch der Bruch ^7— eine ganze Zahl sein; nennen wir ihn u,, so daß eine ganze Zahl, und x — in — n)- Z- n, ist. Bringt man die Gleichung —— rl» auf die Form uvfi Z- l^v —e^, U nndet man darin als Koeffizienten den kleineren 179 Koeffizienten a der vorgelegten Gleichung, und den Nest b, der Division des größeren Koeffizienten d durch den kleineren n. Wird nnn nach demselben Vorgänge, wie ans der vorgclegten die Hilfsgleichung au, -s-bi —o, entwickelt wurde, auch anS die¬ ser letzteren eine neue Hilfsgleichnng abgeleitet, und dasselbe Ver¬ fahren weiter fortgesetzt, so wird sich die dabei geführte Rechnung im Ganzen so stellen: nx-l-s))- —o gibt c — dv , c, — n, V 1 . X --- m — N-s- ' ' --- M — U -s- . . 1) ———oder au^ -!- gibt c, — SU, , c. — t>2 II, , )' — -l -f- --- u, -s- Uz . . 2) ——— Uz oder "s fi- gibt c,—b, u, , c.—bz u. , Uj — — M2 — U2 Uz Z- -- — Mz — N? Uz -fi Uz . . 6) U. s. W. Sins dem Gange dieser Rechnung folgt, daß dl der Rest der Division b : a, b>2 „ ,, ,, ,, n . d,, dz ,, ,, ,, ,, dl . dz, u. s. w. ist; die Koeffizienten der auf einander folgenden Hilfsgleichnngcn sind also gleich den Divisionsreften, welche man bet der Aufsuchung des größten gemeinschaftlichen Maßes zwischen d und n erhält. Da nun n und d relative Primzahlen sind, so muß unter jenen Resten einer z. B. d,. gleich 1 werden; folglich wird man bei dem oben bezeichneten Vorgänge gewiß einmal auf eine Hilfsgleichnng von der Form d>—1 ür Z- u—i --- 0,. kommen, welche in Bezug auf u,--i und u,. unmittelbar die Auflösung in ganzen Zahlen liefert, woraus dann auch die gesuchte Auflösung der vorgelegten Gleichung abgeleitet werden kann. Um dieses au einem bestimmten Falle klarer nachzuweisen, nehmen wir au, daß dz — 1 ist, wo dann b>2 Uz -j- U2 — vg die letzte Hilfsgleichung sein wird. Aus dieser folgt Uz — eg—u§. Man mag nun hier für u^ was immer für eine ganze Zahl setzen, so erhält man für Uz eine ganze Zahl, folglich vermöge 3) auch für u,, vermöge 2) auch für v/ und somit vermöge 1) auch für x. Man kann den Werth v? — og — sogleich in 3) substitui- ren, dann die Werthe von u, und Uz in 2) und endlich die gefun¬ denen Werthe von vund r^ in l); dadurch erhält man für x und)- zwei Ausdrücke, welche von u^ abhängen, in welchen man nur für Uz was immer für eine ganze positive oder negative Zabl zu sub- stituircn braucht, um für x und )' alle möglichen ganzen Zahlen zu erhalten. 18« Wir sind bei dieser Entwicklung von der Annahme ausgegan- geu, daß ist. Wäre umgekehrt so brauchte man nur aus der gegebenen Gleichung o.xff-6^ —o zuerst zu bestimmen, und weiter, wie vorhin, zu verfahren/ Beispiele. 1) Es sei die Gleichung 13x ff- 19^ — 73 in ganzen Zahlen aufzulöseu. Diese Gleichung gibt 13 .13 13 ""O jz ' Da x und ganze Zahlen sein muffen, so muß auch der Bruch ganze Zahl vorstellen; nennen wir diese r^, so haben wir x --- 5 — x ff- und — »i- Aus der letzten Gleichung folgt 7 — 1 — 2 u, ff- -g-^. Da nun und u^ ganze Zahlen sein sollen, so muß auch der Bruch eine ganze Zahl sei»; setzen wir daher — »2, wo Uz eine ganze Zahl ist, so daß dann /—1 —2r^ ff-Uz wird. Ans der Gleichung " — »2 folgt seiner ri^—2 — 6 »2» Durch Snbstituzion in den früher für und x gefundenen Werthen erhält man nun: X — 1 — 4 ff- 12 Uz ff- Uz — — 3 ff- 13 »2 x — 5 ff- 3 — 13 Uz ff- 2 — 6ri2 — 10 — 19 uz. Setzt man daher u, —— 2. — 1, 0, 1, 2,... so wird x -- 48, 29, 10, — 9, — 28, ... ^ - — 29,-16,- 3, 10, 23,... Jedes zusammengehörige Paar aus diesen Werthen für x und gleistet, wie man sich leicht überzeugen kann, der gegebenen Glei¬ chung Genüge. Daß die Werthe x —10 — 19v2, — 3 ff-13 »2 eine allgemeine Auflösung der Gleichung 13xff-19/ —73 bilden, kann man auch daraus ersehen, daß sie in diese Gleichung substi- tuirt, derselben vollkommen genügen; denn es ist 13 (10—19uz) ff- 19(-3 ff- 13vz)^-130- 247uz-57^247vz 2) Es sei die Gleichung 7x ff-11)- —18 in ganzen Zahlen aus¬ zulösen. 181 7x -s- 11 / --- 18 gibt x — v -s- — 2 — x u, 4—4v 4—7u, . 3», ^^1-u,--^ — 1 u^ Uz, 3u, 4u, , »2 --»2 '- u,-- — Uz -^- Ug, — Uz ,, ^>2 — 3ug. Durch allmälige Substituzion findet man nun ui — 3rig fi- »g — 4rig, / — 1—4vz — 3ug —1 — 7 x 2 — 1 -s- 7 u^ -f- 4 Uz 1 fi- 1 l. u^. Für u,— 2, — 1, 0, 1, 2,... wird daher x — — 2l,— 10,1, 12, 23,... / — 15, 8, 1, — 6, — 13, . .. 3) Um die Gleichung 105x — 43/—17 in ganzen Zahlen auf¬ zulösen, wird man daraus / bestimmen, weil diese Unbekannte den kleinern Koeffizienten hat. lOZx—17 » > 19x —17 105x —43/-- 17 gibt / - - 2x -f-— — 2x -f- u^, 2u, -s- U2, INiiz — 17 o.. 2 ^»2 „ u^ -z-— 3U2—3Z--—z- — 3 »2 - 3 -s- Uz, 5 u» 2 _ < iiz 2_ , ^Ug „ r>2- —— Ug-f-—Uz-j-Uz — u^ „ r>2 —4u^ — 2; Uz 4u^ — 2 Z- U4 — 5u^ — 2, r^ — Ifiu^— 6 — 3 -s-4e>4 — 2 — 19u^—11, x — 38r>4 — 22-s- 5l>i— 2— 43u^ — 24, / — 86u^— 48-f-l9u4—11—105ui—59. Ffirut-— 10,— 1, 0, 1, 10,... erhält man x —— 454, — 67, —24, 19, 406,... / —1109, - 164, -59, 46, 991,... Man löse noch folgende Gleichungen in ganzen Zahlen auf: 4) 15x -s- 14/ n 225; « 5) 37x - 22/ - 307; 6) 115x --- 424/ — 539. 19x- 17 43 5u, -t-^7 19 4u, - 2 5 »3 -fi 2 4 daher 182 8. 147. III. Methode. Für die Auflösung der unbestimmten Gleichungen mit zwei Unbekannten in ganzen Zahlen gibt es noch eine dritte ganz ein¬ fache Methode, welche auf den Eigenschaften der Nahernngsbrüche beruhet. Es sei die Gleichung NX -ft b^ — 6 in ganzen Zahlen anfzulösen. Verwandelt man in einen Kettenbruch, und sucht dessen Näherungsbrüche, so wird der letzte sein; der vorletzte heißes. Es muß nun nach den Eigenschaften der Nahernngsbrüche — — oder am — bir —sein. Ist nm — bu — -ft 1, so wird auch amo — buo — o sein; somit bilden die Werthe x — mo, — uo eine Auflösung in ganzen Zahlen für die gegebene Gleichung ax-ftb^ —o. Allein dieses ist nicht die einzige Auflösung in ganzen Zahlen; man kann in der Gleichung amo —buo —o im ersten Theile abu als Ad- dend und Subtrahend hinzusetzen, wodurch mau bekommt: amo -ft abu — buo — abu — o, oder asmo-ft bu) — bsno -ft au) — o. Es leisten daher allgemein die Werthe x — mo -ft bu, - uo — au, wo man für u jede beliebige ganze Zahl setzen kann, der vorge- lcgten Gleichung Genüge. Wäre dagegen am — bu — — 1, so müßte — am-ftbu — -ft 1, also — amo-ftbuo —o sein, und man hätte als eine Auf¬ lösung in ganzen Zahlen die Werthe x—— mo, —uo. Es ist aber auch-am o — abu-ft buo-ft abu — o, oder — a (m o -ft b u) -ft b (n o -ft au) — o; daher allgemein x— — mo — bu, — uo-ftau, wo u jede ganze Zahl bedenten kann. Beispiele. 1) Es sei die Gleichung 25x — 11^ — 20 in ganzen Zahlen auszulvseu. Verwandelt man ^4 in einen Kettenbrnch, so erhält man H und 44 als die zwei letzten Näherungsbrüche. Es ist nun 4 . 25 — 11 . 9 --- -ft 1- Setzt man daher x — 4.20 — 80, ^ — 9.20 — 180, und substi- tuirt diese Werthe in die gegebene Gleichung, so wird ihr dadurch 183 Genüge geleistet. Allein es geschieht der Gleichung auch Genüge, wenn man x —80-s-11u, / — !80-s-25a setzt, wo u jede ganze Zahl oorstellen kann; man findet süru —— 2, — 1, 1, 2,... x^ 58, 69, 91,102,... 130, 155, 205, 230,... 2) Es soll 29x -s- 9/ —15 in ganzen Zahlen aufgelöset werden. Man verwandle einen Kettendruch, so sind die letzten zwei Nüherungsdrüche davon und und zwar ist 4.29 —9. 13--^ —1; daher bilden x — — 4.15 — — 60, / — 13 . 15 — 195 eine Auf¬ lösung in ganzen Zahlen. Allein man bekommt noch unzählig viele Auflösungen in ganzen Zahlen, wenn man x — — 60 —9 u, /—195-j-29u fttzt. Für u— 10, — 3, 1, 10,... erhält mau x — 30, — 33, — 69, — 150,.. . —95, 108, 224, 485,... Es sollen noch folgende Gleichungen mittelst der Nähernngs- brüche aufgelöset werden: f"r3) 36x — 115/ — 643; 4> 181 x -j- 29;- --- 570; U5) 420x E. 919/ ^.1000. 8. 148. b. Auslösung einer unbestimmten Gleichung mit mehr als zwei Unbekannten. Um eine unbestimmte Gleichung mit drei oder mehreren Un¬ bekannten in ganzen Zahlen aufzulösen, wendet man dasselbe Ver¬ fahren an, welches in §. 146 für zwei Unbekannte abgeleitet wnrde; man kommt auch hier zuletzt immer auf eine Gleichung, in welcher die eine Unbekannte 1 zum Koeffizienten hat, und bekommt dann durch gehörige Substituzion die allgemeinen Ausdrücke für die Un¬ bekannten der gegebenen Gleichung, in denen jedoch nicht, wie vor¬ hin, eine einzige willkürliche Größe erscheint; die Anzahl solcher willkürlichen Größen ist vielmehr immer um 1 kleiner als die Zahl der Unbekannten. Beispiele. 1) Es sei die Gleichung 4x -j- 6/ -s- 11? — 106 in ganzen Zahlen aufznlöscu. Mau erhält E-a,-ii-^26-7-2--^ 2-^-^ 4 ^ 4 — 26 — / — 2 - 4- u, . 184 Die Gleichung - —— u, gibt 2 —3n — 4u, , c> r . - 5 — -2- —1—-2 — 2u,-- 1 — 2 — 2 — u.2; — »2 gibt 2 — 2 »2. Man hat daher 2 — 2r>2 1 — 2u, — 3 »2 x ----- 25 —tz- 3 r^ — ri2- Setzt man nun für r^ und u? beliebige ganze Zahlen, so er¬ hält man für x, v, 2 ganze Zahlen. Für u, — 1, 2, 3,... und U2 - — 1, 0, 1, . . . wird x 29, 31, 33, .. . 2, - 3, - 8, .. . r ----- 2, 0, 2, ... 2) Man suche eben so die Auflösung in ganzen Zahlen für die Gleichung 4x — 18v-ss 27? — 100. 2. Auflösung in positiven Zahlen. §. 149. Es ist von selbst klar, daß eine Gleichung ax -f- b;- -s- o? -f- . . . — p, in welcher die Unbekannten lauter positive Koeffizienten a, b, c,... haben, während p negativ ist, eine Auflösung in positiven Zahlen nicht zulasse. Um nun eine anders gebaute unbestimmte Gleichung in posi¬ tiven Zahlen aufzulösen, suche man den Werth von einer Unbekannten ans der Gleichung. Soll dieser Werth positiv sein, so müssen die positiven Glieder, aus welchen er besteht, zusammen größer sein als die negativen; man darf daher für die übrigen Unbekannten nur solche positive Zahlen annehmen, für welche jener Bedingung Genüge geleistet wird. .a Beispiele. 1) Es sei die Gleichung 3x -j- 5)-- — 18 in positiven Zahlen auf¬ zulösen. Man hat x— Damit x positiv sei, muß 18>5v, also sein; man darf also für alle positive Zahlen setzen, welche kleiner als sind, um auch für x einen positiven Wertb zu erhalten. Für z , 1, 2, 4, 5,... erhält man x 4- " Ä- - - - 185 Mau fleht also, daß x positiv wird, so lange )-<^ bleibt, und negativ, sobald )- die Größe " übersteigt. 2) Man löse die Gleichung 7x —5)- — 11 in positiven Zah¬ len auf. Die Gleichung gibt x----^^^, worin 5/>11 oder Hu¬ sein muß, damit x positiv sein könne. Setzt man daher für )- Werthe, welche übersteigen, so erhält man lauter positive Aus¬ lösungen. 3) Man löse die Gleichung 5x -s- 7)- Z- 112 — 37 in positiven Zahlen auf. Aus der Gleichung folgt x — xz muß daher 37)>7;--s-11? sein, und daher auch 7)- 35 -s- 11 woraus 2 < folgt. Für v — 5 darf mau also in diesem Falle für 2 nur Werthe zwischen 0 und annehmen. Z. Auflösung in ganzen und positiven Zahlen. Z. 150. Man löse die Gleichung zuerst in ganzen Zahlen auf, und be¬ schränke dann die dadurch erhaltenen noch unbestimmten Werthe für die Unbekannten so, daß sie den Bedingungen entsprechen, an welche die Auflösung in positiven Zahlen gebunden ist. Beispiele. 1) Es soll die Gleichung 13x-si 19)-— 356 in ganzen positiven Zahlen aufgelöset werden. t3x 19)- -- 356 gibt x -- bS6- i9, 27 - )- 4- — 27 — )- -s- U,, — 2 r>l -s- uz, - — u» „ Ul — 5 — 6u„. Die Gleichung, in ganzen Zahlen aufgelöst, gibt also )-— — 10-s-13u2, x —42— 19 »2. j 86 Damit nun x Positiv sei, muß, wenn »2 positiv angeuommHv wird, 13u2 > 10, also »2 lein ; damit x positiv sei, mich 42>19»2, mithin sein; diesen beiden Bedingungen aber entsprechen nur die zwei Werthe »2 — 1 und »z — 2. Für jeden negativen Werth von »2 wird auch 1 negativ. Die Gleichung läßt also nur zwei Auflösungen in ganzen und positiven Zahlen zu; für »2 — 1 wird x — 23, 1— 3, „ »2 —2 „ x — 4, 1 —16. 2) Man löse die Gleichung 13x st- 17^ — 77 in ganzen und positiven Zahlen auf. Man hat aus 13x st- 17^ ----- 77 den Werth x — 5 — 1 st-^^— --- 5 — 1 st- »^ , 12 — 4/ Z2 — 13u, 2 ", " — ^2 ,, „ 1- o 3»i - o ou^ »2 , --U2 „ „ »^ — 4»2; daher i---3 —13»z, x —2st-17»2, welche Ausdrücke alle Auflösungen in ganzen Zahlen enthalten. Da x für jeden positiven Werth von »2 positiv ausfällt, so braucht man »2 nur mit Rücksicht aus 1 zu beschränken; damit aber 1 positiv sei, muß 3>13»2, also »2 17»2 oder »2 7»z oder »g <2, für negative Werthe von »z aber 25>11 »3 oder Ug < /7 sein; die Werthe von »3 müssen also zwischen — jst und st liegen, und können nur sein —2, — 1, 0. Man hat daher für »3 — — 2 ... x — 19, 1 — 3; „ »g ----- 1 ... x ----- 12, 1 — 14; „ »3 --- 0 ... x — 5, 1 25 ; und die gesuchten Brüche sind " und st^, oder nnd " , oder st und stst. 187 *L4) Mau suche eine Zahl, welche durch 7 theilbar ist, aber durch 29 dividirt 13 zum Reste gibt. Es sei a die verlangte Zahl. Wegen der Bedingungen der Aufgabe ist x und 22 Z- wo x und zwei ganze positive Zahlen bedeuten; daraus folgt n —7x, n —29^-f-13, und daher 7x—29^-s-13, welche Gleichung in ganzen positiven Zahlen aufznlösen ist. Die Auflösung in ganzen Zahlen liefert X — 29u^ — 23, — 7 Ul — 6. Man sieht sogleich, daß x und nur für positive Werthe von vi positiv sein können, und zwar für alle Werthe, welche großer als und größer als H- sind, somit für alle positiven ganzen Zah¬ len 1, 2, 3, 4, ...; die Aufgabe laßt also unendlich viele Aus¬ lösungen zu. So erhält man für n, — 1 ... x — 6, — 1, n — 42; „ Ul — 2 ... x — 35. 8, n — 245; „ Ul — 3 ... x — 64, — 15, n — 448; u. s. w. ^5) Man soll 50 in zwei ganze positive Zahlen so zerlegen, daß die eine durch 7, die andere durch 13 theilbar ist. Nach der Bedingung der Aufgabe muß der eine Theil die Form 7x, der andere die Form 13^ haben, und die Gleichung 7x-s-13^ — 50 Statt finden, wo x und ganze positive Zahlen bedeuten. Die Auflösung in ganzen Zahlen gibt x — 9 — 13v2, — — 1 fl- 7u2- Für positive u, muß U2 < und r>2 > sein, welcher Bc-ir dingung keine ganze Zahl entspricht; für negative U2 müßte ne- gativ sein. Die vorgelegte Aufgabe läßt also gar keine Auflösung zu. 6) Man soll die Gleichung 7x-s-22^-s-3Ü2 — 103 in ganzen und positiven Zahlen auflösen. Die Auflösung in ganzen Zahlen ist: x— — 1 -s- 22 -f- 22 Ul, — 5 — 2 2 — 7 Ul. Für positive Werthe von u, muß, damit x positiv sei, 2^ -s- 22^ > 1, und damit positiv sei, 5 > 2x -s- 7^ sein, woraus 2 > und 2 folgt. Da 2 positiv sein soll, so muß 5> 7^ oder Ul < s. Man darf also für Ul keinen positiven Werth setzen, der überschreitet. Für negative Werthe von r>l muß, damit x und^ positiv seien, 2x > 1 -s- 22u, und 5 -s- > 2-, oder 2 >. ' und 2 Uns diesen beiden Relazwnen folgt offenbar, 188 . L 3 st- 7u. tt ff- 22u, . .. 4 daß -^-—!- > ——-, Mithin r^ < sem muffe. Man darf also für u^ keinen negativen Werth setzen, der numerisch größer als wäre. Die Größe r^ muß demnach zwischen —und liegen; und da sie eine ganze Zahl sein muß, so kann man nur — 0 wählen. Für diese Annahme gehen die obigen Bedingungen über in 2>ff und 2; und, wenn man aus beiden Theilen die Quadratwurzel auszieht, x st- - — I/- st- d, folglick x st- d. 191 In einer geordneten unreinen quadratischen Glei¬ chung ist demnach die Unbekannte gleich dem halben Ko¬ effizienten der ersten Potenz mit entgegengesetztem Zeichen, mehr oder weniger der Quadratwurzel aus dem Quadrate dieses halben Koeffizienten und aus der bekannten Größe. Man steht, daß auch jeder unreinen quadratischen Gleichung durch zwei Werthe der Unbekannten Genüge geleistet wird. Ist b positiv, so sind, da stets positiv sein muß, die beiden Wurzeln reell. Ist b negativ, so sind die zwei Wurzeln auch reell, so lange > d ist; für — b ist die Größe unter dem Wurzelzeichen gleich Null, und die beiden Wurzeln sind einander gleich; für ^<6 endlich fallen beide Wurzeln imaginär aus. Beispiele. 1) x^-6x —16. x - 3 /üqsTig -3^/25-3^5; daher x — 3 / 5 — 8, oder x — 3 — 5— — 2. Probe. 8- — 6.8 — 16, (—2)2 —6 .-2 —16. 2) x?-j-7x-s-12 — 0; geordnet x^->-7x —12. 7,1 /49 ' 7 , H /49 - 48 ^"2^ j/ ?/^- 2" 4 2 "2' x- — — 4 — — 4 — — 4. Probe. (—3)-Z-7 . — 3-s-12 — 0, (—4)2-j-7 . — 4-s- 12 — 0. 3) 6x?-j-x —2; geordnet x'-j-^ — 12 " 144 ^3 12 " ß/ 144 12 144 12 12' L. — 4 X — 12 ' 12 " 12 " 2' 1 12 12" 12" 3' 192 Probe. /7-1/77^2 » 7-^77^.» 12/ ' 2 5) X' — 2xZ-2 —0; geordnet x^— 2x — — 2 X — 1 ^1 — 2 — 1 xlx; x^1-s-'s/^s, X--1 — !/^7. 6) (a — b)x^ — bx---n; geordnet x^— ,._ b 8 b^° . a 2 0— b) 4 0— b)' a— b b 1/b^q-4a(a— b) " 2(a-i-d)^ ß/ 4(a —b? _ b /4—4ab-4-b^_ b -j- 2s. — b, ^2(s —b)^ 4(s.— b) 2(s. —b) 2 0 —d)' _dq-2a— b a _b— 2a-j-b —2 (a— b) . " 2 0 — d) ^b' 2 0—d) " 2 0—b> — 1- — 7) —4xZ-4 —0 gibt X —2, X —2. -8) x--^2x-j-4^0 „ x^-1^-1/^3, x--- —1— -9)x ' !0) — 4x—15 ,, x —5, x—1. 2x — 3 _—3-^-^156 _—3—^/l56 x-i-2 3x —4^0 ,' .x— ? , x— . 12) 2x — 3 ,/x—i — 4 „ x —5, x —E> Es sollen noch folgende Gleichungen aufgelöset werden: 13) 15x2 — 16x^15, bx _ 30 X 3x—22 x-i-1 x-i-11' n Nl^W-rb-o, 1 2x — x-s-6a . -, 4x-j-5s 2x ' < 2b 5x , x 6a 18) -^-^1- — -77^- ab ' a b ' a b — 19) x — 2s/x^ — 3x-j-5 — 10, 20) 1/ 2x -i- 7 — — s/ 7x-i- 1. Z. 154. Es seien in der allgemeinen quadratischen Gleichung x? -l- ax —1> die bekannten Zahlen n und b irrational, z. B. n —und d —^/n, so daß die Gleichung die Form x? -s- j/nr . x — 1/n 193 annimmt, so bekommt man z/m , 1 /m > , x —- z" 4 l'N- Z. B. die Gleichung X-— 4xs/231/3 gibt X — 21/2 1/8 ch- 3 /3. Bei allen derlei Gleichungen kommt man also auf einen Aus¬ druck non der Form s/pHTss, so daß es nothwendig erscheint, denselben hier einer nähern Betrachtung zu unterziehen. Um 1/fiH/ss zu bestimmen, d. i. um aus dem irrazionalen Binom p U^l/^ die Quadratwurzel ausznziehen, nehmen wir an. daß 1/xU^1/^ die gesuchte Quadratwurzel sei; die Aufgabe wird gelöst sein, sobald wir für x und / solche Werthe aufzufinden im Stande sind, welche der Gleichung 1^ ? U: Uu j/x 1/^ Genüge leisten. Zur Ausmittlung dieser Wertbe von x und er¬ heben wir diese letzte Gleichung anf's Quadrat; wir bekommen pU^s/ci — x-fi-^Ux21/xx- Soll diese Gleichung bestehen können, so müssen darin notb- wendig die razionalen Glieder für sich gleich sein, und eben so die irrazionalen; es muß also x -s- y — p. 21/x^ j/q sein. Erhebt man diese beiden Gleichungen zum Quadrat, so erhält man: X? Z- 2x^ Z- ^2 ^2 2uv sein, d. h. die Summe der Quadrate zweier Zahlen ist immer grö¬ ßer als ihr doppeltes Produkt. Nun ist nach der obigen Entwick¬ lung p — x-s-(f/x)2 -s- f/cz — 2 f/x ; es muß so¬ mit p als die Summe der Quadrate zweier Zahlen gewiß positiv und zugleich größer als deren doppeltes Produkt f/g sein. Beispiele. 1) ^3 -i- /8 1/4 — 3 2) j/ 2 — 1/3 36 — N 3) f/6 - 1/11 ---- - j/z- 4) l/S-l-2/8 — f/ö-1-1/24 ----- f/3 -s- f/2. Wenn in dem Binom beide Glieder einen gemein¬ schaftlichen irrazivnaleu Faktor haben, so wird derselbe vor dem Ge¬ brauche der Formel heransgehobeu. 5) f/31/2- /10 — f/2 . f/3- /5 ----- s/ 2 . ssf/Z — 1/2 Ist p < f/ci, so fällt f/p- /4 imaginär aus; allein die Formel 1/-H- — ß /l> -b > Z / gibt unter dieser Voraussetzung auch für I/p-h/4 ein imaginä- 195 res Resultat, das doch reell sein muß; durch eine einfache Trans- fonuazion kann übrigens die Formel auch in diesem Falle anwend¬ bar gemacht werden, man darf nur 1/y als Faktor heraushcben; es ist nämlich l^n st- /u — 1/ <1 1 -j- wo ^-<1, also 1>^^- ist, somit die allgemeine Auflö- snngsformel in Anwendung gebracht werden kann. 6) -- 1^192 . -- 1/192 . 1/r^r 1/48 . 1/2 q- 1/3 -- 2>/3 . M, Auf dieselbe Art behandelt man anch den Ausdruck p st-'j/q, wenn p negativ und kleiner als 1/g ist, wo also 1/x q-g/5 . 1/3^V5 -- 1^5 . (I/4-1/z). Die für l/fUst/is aufgestellte Formel ist also nur dann brauchbar, wenn das Binom p^f/ci anf eine solche Form gebracht wurde, daß positiv und großer als 1/g ist, und selbst in diesem Falle ist sie nur dann mit Vortheil anwendbar, wenn p? —si ein vollständiges Quadrat ist. 8) 1/ 37 st- 2V 1/3 — . . . 9) 1/uu — 54 /2 — . . . 10) 1/l8 -1- 8 /2 — . . . 11) s/ 11 — 2 1/30 — . - - 12) 1/10»^ > -j- 6-^ — . . . Beziehungen zwischen den bekannten Größen einer quadratischen Gleichung uud ihren Wurzeln. tz. 155. Jede quadratische Gleichung kann unter die Form x^ -j- ^x st- L 0 gebracht werden; wir wollen eine auf diese Ark dargestellte Glei¬ chung eine auf Null reduzirte quadratische Gleichung, und den ersten Theil x-st-^xst-L das G leich ungstriuom der qua¬ dratischen Gleichung neunen. Ist m eine Wurzel der Gleichung x? st- ^x st- L — 0, so heißt x — m ein Wurzelfaktor derselben. Das Gleichungskriuvm einer jeden quadratischen Gleichung ist durch ihren Wurzelfaktor theil bar, 13* 196 Es ist nämlich so folgt X? -s- ^4x -s- 8 — (x — rri) (x — ir). Daraus ergibt sich, daß der Ausdruck x?-s-^x-s-8 nicht nur für x — ra, sondern auch für x —n in die Null übergehet; es ist daher nicht nur m, sondern auch n eine Wurzel der Gleichung (i4. w) x -s- 8 -s- in) x — ^4. in — iw? Rest — in? -s- ^4. nr -s- 8. Da aber in eine Wurzel der vorgelegten Gleichung ist, also anstatt x in das Polynom x?-s-^x-j-8 substituirt, dieses auf Null reduzirt, so ist in? -s- ^in Z-8 — 0, und daher sx?-s-^x-s-8) : (x —in) ^-x-f-st-m), was zu beweisen war. Setzt man ^.-s-in —— n, folglich (x? -s- x -s- 8) : (x — in) — x — n, x? — INX x? -j- x - 12 - 0 die verlangte Gleichung. Jede quadratische Gleichung hat also zwei Wurzeln, aber auch nur zwei Wurzeln; denn hätte x?-s-^4x-s-8 — 0 noch eine dritte von in und n verschiedene Wurzel x, so müßte (p— in)(p —n) —0 sein, was nicht möglich ist, da in diesem Produkte kein Faktor Null ist, ein Produkt aber, dessen Faktoren von Null verschieden sind nicht verschwinden kann. Aus der Gleichung X? -s- X -j- 8 — (x —in) (x — n) — x? — (in -s- n) x -s- in n folgt: 1. Das Gleichungstrinom einer jeden quadratischen Gleichung ist gleich dem Produkte ihrer Wurzel¬ faktoren. 2. Der Koeffizient des zweiten Gliedes ist immer die Summe und das dritte oder bekannte Glied das Produkt aus den Wurzeln mit entgegenge¬ setzten Zeichen. Soll nun eine quadratische Gleichung gebildet werden, welche zwei gegebene Wurzeln, z. B. 3 und —4 hat, so nehme man diese entgegengesetzt, nämlich —3 und 4, bilde ihre Summe — — 3 -s- 4 — 1, und ihr Produkt — — 3 . -s- 4 — — 12; so ist 197 Mittelst der hier entwickelten Relazionen laßt sich nun leicht aus den Zeichen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung auf die Zeichen ihrer Glieder, und umgekehrt aus den Zeichen der letztem auf jene der erstem schließen. a. Sind beide Wurzeln positiv, so hat man x? -s- x -s- I) — (x — in) (x — n) — x? — (m -j- n) x -j- in n, sind beide Wurzeln negativ, so ist x? -s- ^.x -si L — (x -j- in) (x si-n) — x^ -j- sm si- n) x -j- INN. Wenn also beide Wurzeln gleichbezeichnet sind, so ist das dritte Glied immer positiv, das zweite Glied aber negativ oder positiv, je nachdem die Wurzeln beide positiv oder beide negativ sind. Haben die Wurzeln entgegengesetzte Zeichen, so ist x? -si ^x si- D — (x—m) (x -j-n) — x? — (in -- n) x — INN. In diesem Falle ist also das dritte Glied immer negativ, das zweite dagegen negativ, wenn die positive Wurzel größer ist als die negative, im entgegengesetzten Falle positiv. l>. Wenn das dritte Glied positiv ist, so hat die Gleichung zwei gleichbezeicknete Wurzeln; das Zeichen des zweiten Gliedes gibt zu erkennen, ob sie positiv oder negativ sind, die Wurzeln haben näm¬ lich mit dem zweiten Gliede das entgegengesetzte Zeichen. Ist dlas dritte Glied negativ, so haben die Wurzeln verschiedene Zeichen, und zwar ist die positive die größere ober die kleinere, je nachdem das zweite Glied negativ oder positiv ist. > - -0 ' — 2. Gleichungen mit mehreren Unbekannten. §. 156. Zur Auflösung der Gleichungen des zweiten Grades mit meh¬ reren Unbekannten wendet man dieselben Methoden an, welche beim Auflösen der Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten aufgestellt wurden. Dabei geschieht es häufig, daß die Endgleichung, in welcher nur noch eine Unbekannte vorkommt, von einem höhern als dem zweiten Grade ist; die Auflösung liegt in diesem Falle außer dem Bereiche der vorliegenden Anleitung. Es sollen daher nur einige der einfacheren Beispiele hier durchgeführt werden. Beispiele. 50 x — — X — 15 — x -si — iz s nach Komparazionsmethode. Aus diesen zwei Gleichungen folgt: ., daher — 15 — 7, 198 welche letztere Gleichung geordnet und aufgelöset — 10, oder v — 5 gibt, daher X — 15 — 10 — 5, oder x — 15 — 5 — 10 ist. ""H der Substituzionsmethode. Wird der Ausdruck x —v-s-7, welcher ans der ersten Glei¬ chung folgt, in der zweiten substituirt, so hat man 7)2 2^ — 118, oder geordnet 1^1 — 23, welcher Gleichung die Wurzeln —3 und —" entsprechen. Werden diese Werthe von in dem Ausdrucke x —/-s-7 substituirt, so erhält man x —10 oder x —— A. 3l x^ -I- — 89) ^21, ^2 —. Zg s nach der EliminazionSmethode. Durch Addizion und Subtrakzion dieser Gleichungen erhält man 2x2---1281 x2---641 x —^8, 2^ zot' daher ^2^25! ^-----^-5. 4) X -s- — 4 x — 1, x — 8; ? — 4 ' aufgelöset 3^ — 4. Man löse noch folgende Gleichungen ans: 5) 3x -s- 4^ — 4, 4x2 — 3^2 ^2; 6) x -s- — 2n, x2 -s- 2^2 2b2; - 7) x2 -s- . ^3 — 6; 8) x2 — 48, x^ — 143. 3. Aufgaben über die quadratischen Gleichungen. a) Aufgaben mit Beifügung des Ansatzes. 8- 157. 1) Das Produkt aus dem dritten und vierten Theil einer Zahl beträgt 108; welches ist diese Zahl? Es sei x die verlangte Zahl, so ist ihr dritter Theil und der vierte Theil man hat daher Z.z^103, oder ^--108, woraus x — 36 folgt. 199 Probe. 12 . 9 - 108, —4- - - 12 . — 9 -- 108. 2) Jemand kauft eine Waare um 130 fl., und zwar kostet ihn jeder Zentner um 3 fl. mehr als Zentner waren. Wie viel Zentner hat er gekauft? Es sei die Anzahl der Zentner — x, so ist der Preis eines Zentners x-j-3 Gulden, daher der ganze Waarenbetrag x(x-s-3) Gulden, und es ist x (x-s-3) — 130, welche quadratische Gleichung x — 10 und x — — 13 gibt. Daß hier nur der erste Werth angenommen werden darf, er¬ gibt sich aus der Natur der Aufgabe, indem die Zahl der gekauften Zentner positiv sein muß. Probe. 10 Ztr. zu 13 fl. 130 fl. 3) Im Jahre 1845 feierte Jemand seinen Geburtstag, und als er von seinen Freunden gefragt wurde, wie viele Jahre er an jenem Tage zurückgelegt habe, gab er zur Antwort: wenn man mein Alter vor 15 Jahren mit meinem Alter nach 15 Jahren multiplizirt, so erhält man mein Geburtsjahr. Wie alt mar jener Herr? Man setze das Alter — x Jahren; vor 15 Jahren war jener Herr x — 15 Jahre alt, nach 15 Jahren wird er x Z-15 Jahre alt sein; sein Geburtsjahr ist 1845 — x. Man hat also (x - 15) (x -s- 15) — 1845 — x, woraus x —45 und x ——-46 folgt. Da hier nur der positive Werth von x angenommen werden kann, so ist das gesuchte Alter 45 Jahre, und 1800 das Geburts¬ jahr. Probe. (45 — 15) (45 -ss 15) 30 . 60 1800. 4) Ein Vater hinterließ seinen Kindern ein Vermögen von 14400 fl. Bald nach seinem Tode starben zwei Kinder, und es erhielt in Folge dessen jedes der übrigen Kinder um 1200 fl. mehr, als es sonst bekommen hätte. Wie viele Kinder hinterließ jener Vater? Es sei x die Anzahl der Kinder bei dem Absterben des Va¬ ters, da kämen ans jedes Kind fl-; nach dem Tode zweier Kinder blieben ihrer noch x — 2, nnd cs war der Antheil eines jeden —fl - man hat demnach die Gleichung X-X ' aus welcher sich x —6 und x —— 4 ergibt, von welchen Werthen hier nnr der erstere der Natur der Aufgabe entspricht. 20V 5) Jemand kauft um 400 fl. Tuch; hätte er die Elle um 1 fl. billiger bekommen, so würde er für jenes Geld 20 Ellen mehr er¬ halten haben. Wie viel Ellen hat er gekauft? Die Anzahl der Ellen sei x, folglich ist der Werth einer Elle -^0-fl.; im zweiten Falle wären x -j- 20 Ellen, somit der Werth einer fl., aber dieser Werth wäre anch gleich — 1^ fl. ; daher ist 40V 400 4 x-j-20 x woraus x-^80 und x —-j-100 folgt, von welchen Werthen der Natur der Aufgabe gemäß nur der positive angenommen werden kann. 8. 158. 6) Man suche zwei Zahlen, deren Quadrate 45 zur Summe und 27 zur Differenz geben. Heißt x die erste, z- die zweite Zahl, so hat man x2-s-^2^45 x°— v^27, ans welchen Gleichungen x —^-6, v —^3 folgt. 7) Ein Mittagessen, bei dem doppelt so viel Herren als Damen speisten, kostete 396 Groschen. Jeder Herr zahlte doppelt so viel Groschen, als Herren waren, und jede Dame dreimal so viel als Damen waren. Wie viel waren Herren, und wie viel Damen? Es seien x Herren und z- Damen; jeder Herr zahlte 2x, da¬ her x Herren 2x? Groschen; jede Dame zahlte 3/, daher v Da¬ men 3z-2 Groschen. Man hat also nach den Bedingungen der Aufgabe. x — 2/ und 2x? -s- 3z-? — 396, woraus x — 12 und z- — 6 folgt. Es waren also 12 Herren und 6 Damen beim Mittagsmahle. 8) Man läßt einen Stein in einen Brunnen fallen, und zählt 3 Sekunden, bis man das Aufschlagen des Steines auf dem Grunde hört. Wie tief ist der Brunnen, wenn man annimmt, daß der Fall¬ raum 15mal so viel Fuß beträgt, als das Quadrat der Zeitsekun¬ den, durch welche das Fallen'andauert, es anzeigt, und daß der Schall in jeder Sekunde 1050 Fuß zurücklegt? Nimmt man an, daß der Stein in x Sekunden auf dem Grunde des Brunnens anlange, und daß der Schallz- Sekunden brauche, um von dem Grunde zu unserem Ohre zu gelangen, so ist der von dem Steine zurückgelegte Raum 15 x? Fuß, und der von dem Schalle zurückgel'egte Raum 1050z- Fuß. Da nun die Zeit des Falles und die Zeit der Schallbewegung zusammen 3 Sekunden betragen, da ferner der Stein denselben Raum zurücklegt, wie der Schall, so hat man die Gleichungen: 201 X -s- — 3 und 15x? — 1050)', aus denen x^ 2'8823 und ^-^0-1177, oder x — 72-8823 und ). 75-8823 folgt, von welchen Werthen nur die ersteren der Natur der Aufgabe entsprechen. Der Schall braucht also, um von dem Grunde des Brunnens zu unserem Ohre zu gelangen, 0-1177 Sekunden, der Brunnen ist somit 1050 X 0 1177 — 123 58 Fuß tief. b) Aufgaben zur Selbstttbung im Ansätze. 8. 159. 1) Welche Zahl gibt mit ihrer Hälfte mnltiplizirt 162? — Die Zahl 18, oder — 18. 2) Wenn mau zu einer Zahl 40 addirt, und die Summe durch die ungeändcrte Zahl dividirt, so ist der Quozient um 2 kleiner als die ursprüngliche Zahl; wie heißt diese Zahl? — Die Zahl ist 8, oder — 5. 3) Man suche zwei Zahlen, deren Summe 30, und deren Pro¬ dukt 189 ist. — Die Zahlen sind 21 und 9. '^4) Ein Baumgarten bildet ein Rechteck, in welchem 560 Bäume in gleichen Entfernungen von einander stehen. Eine Reihe nach der Läuge enthält 8 Bäume mehr als eine Reihe nach der Breite. Wie viel Bäume stehen in jeder Reihe? — Eine Reihe nach der Länge hat 28, eine Reihe nach der Breite 20 Bäume. 5) Eine Summe von 240 fl. soll unter eine bestimmte Anzahl Personen vertheilt werden. Nun wurden 4 Personen ihres Antbeils verlustig, und da kamen dann auf jede der übrigen Personen 3 fl. mehr. Für wie viel Personen war die Theilung ursprünglich be¬ stimmt? — Für 20 Personen. 6) 74 und 13 verkauften zusammen 100 Ellen, und zwar der eine mehr als der andere, aber beide nahmen dennoch dieselbe Geld¬ summe ein. Hätte 74 so viele Ellen gehabt als 13, so würde er 63 fl. dafür eingenommen haben; hätte 13 so viele Ellen als 74 ge¬ habt, so würde er nur 28 fl. dafür erhalten haben. Wie viel Ellen hat jeder verkauft? — 74 40 Ellen, 13 60 Ellen. 7) Die Zahl 18 soll in zwei Faktoren zerlegt werden, deren Qua¬ drate 27 zur Differenz geben. 8) Man suche zwei Zahlen, bei denen die Summe der Quadrate nm 8k größer ist als ihr Produkt, und die Differenz der Quadrate um 44 kleiner als ihr Produkt. 202 9) Die Kosten einer Reise, welche mehrere Personen unternom¬ men, betragen 432 Gulden. Weil aber zwei Personen srei gehal¬ ten wurden, mußte jede der übrigen Personen um 3 Gulden mehr bezahlen. Wie viel Personen waren? 10) Man suche zwei Zahlen, deren Summe, Produkt und die Differenz der Quadrate gleich sind. V. Auflösung einiger höher» Gleichungen. 1. N e i n e höhere Gleichungen. §. 160. Eine reine höhere Gleichung ist diejenige, in welcher die Unbekannte nur in einer einzigen Potenz, die aber höher als die zweite ist, vorkommt. Die allgemeine Form einer geordneten reinen höhern Gleichung ist x^ — a. Um eine solche Gleichung, welche auch eine zweigliedrige genannt wird, ansznlösen, dars man nur ans beiden Theilen der¬ selben die mte Wurzel ansziehen; es ist nämlich x — s/u. Ist m eine gerade Zahl, so hat die Gleichung, wenn a posi¬ tiv ist, zwei gleiche entgegengesetzte reelle Wurzeln; ist aber a ne¬ gativ, so erhält man keine reelle Würzest Wenn dagegen der Exponent eine ungerade Zahl ist, so wird die Gleichung immer eine reelle Wurzel haben, welche mit a das¬ selbe Vorzeichen besitzt. 1) x^— 27 gibt 2) x- — - 27 „ 3) x*— 16 ,, 4) x* — — 16 „ Beispiele. X-----s?27 — 3. x-s^- 27--3. x —U-s/ 16 —U-2. x-U-s/-16. 203 2. Höhere Gleichungen, welche sich ans quadratische zurückführen lassen. 8. 161. Höhere Gleichungen, welche nur zwei Potenzen der Unbekann¬ ten enthalten, und zwar so, daß der eine Potenzexponent das Dop¬ pelte des andern ist, lassen stch immer aus quadratische zurücksühren; man darf nur für die niedrigere Potenz eine neue Unbekannte ein¬ führen. Die allgemeine Form solcher Gleichungen ist x2m -s- NX"' — l). Setzt man hier x" — folglich x^—so hat man -s- uv--b, und daher - -s" - 1 -1- b. Wird nun statt wieder der Werth x>" restituirt, so ist m __ a , 1 , > x — s — D- 1 v' somit x -- > d Ist m ungerade, so gibt jeder reelle Werth von oder x" auch einen reellen Werth von x. Ist dagegen m gerade, so geben nur die positiven Werthe von reelle Werthe von x, und zwar jeder derselben zwei gleiche und entgegengesetzte; die negativen Werthe von geben imaginäre Wurzeln. Beispiele. 1) x^ — 13x? Zg — o. Setzt man x? — so hat man — 13^ -s- 36 — 0, welche Gleichung also ^ — 9 oder ^ — 4 gibt. Man hat daher aus x^ — 9 die Werthe x — ^9 — U: 3, „ x2 —4 „ „ X — -U^4 —Un2. Die Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind also 3, — 3, 2, — 2. 2) 3x° - 7x»^6. Für x^ —erhält man 3^ — 7^ — 6, und daraus X^ — 3 UNd — x^ daher x — j/3 und x — — 3) Man löse die nachstehende Gleichung auf: ' ,^x° -s- 3 1 17 — X' — X- q- 3' ikoil ^A>>4s/vL^i, ci^ /> l c/,/" X 204 §. 162. Ans dieselbe Art verfährt man auch mit Gleichungen von der Form m 2 IN f/x -s- af/ X — b. 2m in - Setzt man nämlich 'j/x —daher ^/x — so hat mark -i- — 6, und daraus i7 a . A /a- daher, wenn man beide Theile zur 2mteu Potenz erhebt, Beispiele. 1) ^x —j>x^2. 6 Setzt man f/x —so hat man — ^ — 2, daher )- x — 2 und — ^/x — — 1, und somit »- x — 64 und x — 1. 2) 4 x - 8 ^x 9. 4 , Setzt mau l/x —so ist —8^ — 9, welche Gleichung — 9 und — 1 gibt; daher ist x ——6561 und x — — 1. xst Man suche die Wcrthe von X aus folgenden Gleichungen: 3) ^x«-31/x^54; 4) (x? — 6x) -s- f/x" — vx — 12. Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte als Paten;- oder 205 VI. E x p o n e n z i a l g l e i ch u u g e n Wurzelexponent vorkommt, wird eine Exponenzialgleichung genannt. Sie laßt sich nur mit Hilfe der Logarithmen auflösen. 1. Gleichungen von der Form a* —d. Da gleichen Großen auch gleiche Logarithmen entsprechen, so folgt aus u* — b auch IoA (a*) — IoZ U, oder x Io§ u — IoZ b, daher ist I«s d los a' Um z. B. die Gleichung 5* — 37 anszulösen, hat man x IvA 5 —IoZ37, und somit _ los 37 _ 1 568201 _ 0-)709era — IoZ5 — 0'698970 " 2. Gleichungen von der Form j/rr — b. Nimmt man hier beiderseits die Logarithmen, so erhält man -1- loZ n — loZ b, IvA n — x IoZ b, daher los a " I^Sb' So gibt die Gleichung s/2 —10 den Werth x — --0-30103. 3. Gleichungen von der Form prr" — ^64 — f, 5^- — 6^ — 8, daher — 2 oder und log 6t 6 loZ 2 2 IvZ 2 2 lož 2 Der zweite Werth von x ist imaginär. Es sollen noch folgende Exponenzial-Gleichungen aufgelöset werden: 1) 47-—255; 2)1/10 — 2; 3) 6.7-- -f- 7- - 301; ^4) 1^b->—— o; 5) 3.4-"-^ —5'4-'--^—28; 6) sx-n> — i. 7) x'°«-— 578; 8) a- -f- — m und u- — — v. Dritter Abschnitt. Lehre von den Progressionen. Allgemeine Begriffe. §. 164. ^'ine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Ge¬ setze sortschreiten, heißt eine Reihe, auch Progression. Jede dieser Zahlen wird ein Glied der Reihe genannt. Die Zahl, welche anzeigt, die wievielte Stelle in der Reihe ein Glied einnimmt, heißt der Zeiger dieses Gliedes. Am wichtigsten sind die arithmetischen und die geome¬ trischen Progressionen. Eine arithmetische Progression ist eine Reihe, in wel¬ cher jedes Glied von dem nächstfolgenden abgezogen, denselben Un¬ terschied gibt; dieser heißt dix Differenz der Progression. So sind 1, 4, 7,10,13,16,19,22,... und 50, 47, 44, 41, 38, 35, 32, 29, ... arithmetische Progressionen; in der ersteren ist 3, in der zweiten — 3 die Differenz. Eine geometrische Progression ist eine Reihe, in wel¬ cher jedes Glied durch das nächstvorhergchende dividirt denselben Quozienten gibt, welcher darum der Quozient der Progression genannt wird. Die Reihen 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ... . ' 111111 1 L -21^, ' sind geometrische Progressionen; die erste hat 3, die zweite zum Quozienten. Eine Progression heißt steigend oder fallend, je nachdem die nachfolgenden Glieder immer größer oder kleiner werden. 208 I. Arithmetische Pro g r e s s i o n e n. 165. 1. Wenn in einer arilhuietischen Progression das erste Glied n und die Differenz 6 gegeben sind, so lassen sich daraus beliebig viele Glieder der Progression bestimmen; man braucht nur zu jedem vorhergehenden Gliede die Differenz 6 zu addiren. Es ist nämlich das 1. Glied — a, ,, 2. ,, — uff- cl, „3. „ — uff- 26, ,, ff. ,, n, ff— 36. ,, 5. ,, — rr ff-, 46, u. s. w. Man sieht, daß jedes Glied gleich ist dem ersten Gliede n mehr der Differenz 6 multiplizirt mit dem um 1 verkleinerte» Zeiger des Gliedes. Heißt daher 2 das nie Glied der Progression, so ist 2 — n ff- (n — 1) 6. DieseFormel heißt das allgemeine Glied der Progression, weil daraus, wenn man sür n nach und nach 1, 2, 3, 4, ... setzt, alle Glieder der Progression abgeleitet werden können. 2. Man kann, wenn in einer arithmetischen Progression das erste Glied n, und die Differenz 6 bekannt sind, auch die Summe jeder beliebigen Anzahl von Anfangsgliedern bestimmen, ohne laß man dieselben wirklich zu addiren brauchte. Ist 2 das nte Glied der Reihe, so ist 2 — 6 das nächstvor¬ hergehende, 2 — 26 das diesem vorangehende Glied u. s. f. Drückt man nun die Summe der ersten n Glieder durch s ans, so ist s — a ff- (n, ff- 6) ff- (n ff- 26) ff- ... ff- (2 — 26) ff- (2 — 6) ff- 2. Schreibt man die Glieder in umgekehrter Ordnung, so ist auch s — 2 ff- (2 — 6) ff- (2 — 26) ff- . .. ff- (n ff- 26) ff- (rr ff- 6) ff- n. Durch Addizion dieser beiden Ausdrücke erhält man, da je zwei unter einander stehende Glieder n ff-2 zur Summe geben: 2s — (n ff- 2) ff-snff-2) ff- snff-2) ff-... ff- (uff-?) ff-(aff-?) ff-(nff-r). Hier kommt a ff- 2 so oftmal vor, als Glieder angenommen wurden, also nmal; daher 2 s — n (n, ff- 2) und s — (nff- 2). 209 Diese Formel beißt das summatorische Glied der arithmeti¬ schen Progression, und gibt mit Worten ausgedrückt den Saß: In einer arithmetischen Progression ist die Summe irgend einer Anzahl von Anfangsgliederu gleich der halben Anzahl dieser Glieder multiplizirt mit der Summe aus dem ersten und letzten Gliede. Beispiele. 1) Man suche das allgemeine und summatorische Glied der Reibe der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . Hier ist n— 1, ä—1, daher r — 1 -st- (n — l) . 1 —n, UNd S — ^(1 -stu) --- —2—. Setzt man z. B. u —20, so ist r — 20 und s — ——----210. 2) Es sei die Reihe der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . Wegen a— 1, ä —2 hat man r- --- 1 st- (n — 1) . 2 -----2» — 1, 8 — (1 st- 2n — 1) — So ist z. B. das 15te Glied — 2 . 15 — 1—29, und die Summe von den ersten 15 Gliedern — 15? — 22). 3) Die Reibe der geraden Zahlen ist 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . dabei ist u —2, ä —2; daher r --- 2 st- (n — 1) . 2------ 2n, s Z (2 st- 2n) — -s- n. 4) Für die Reihe 100, 97, 94, 91, 88, 85, . . . ist u —100, ä —— 3, somit 2 ----- 100 st- (n — 1) . — 3 ----- 103 — 3 u, s ---^(lOO st- 103 — 5) Mit welcher Zabl fängt eine Progression an, deren Differenz 5, und das 27ste Glied 139 ist? Hier ist ä — 5, n — 27, r —139; man bat daber 139 — nst- 26 . 5. also u ----- 9. MoLmk, Algebra. 5. Aust. 14 21« 6) Wie groß ist die Differenz einer Progression, deren erstes Glied 109, und das 34ste Glied 10 ist? Da u —109, ll — 34, 2 —10 ist, so hat man 10 — 109 ff- 33 . st, woraus st — — 3 folgt. 7) Eine Progression fängt mit 1 an, und steigt nach der Diffe¬ renz 6; das wievielte Glied ist 115? Man hat hier n— 1, st —6, 2 — 115, daher 115 — 1 ff- (n — 1) . 6, nnd 11 — 20. 8) Wie viele Glieder einer Progression muß man addiren, um 2808 zur Summe zu erhalten, wenn das erste Glied 2, und die Differenz 10 ist? Es ist n —2, st — 10, 8 — 2808; somit 2 — 2 ff- (n — 1). 10 — 10n — 8, und daher 2808 — (2 ff- 10 n — 8), woraus 11 — 24 folgt. 9) Eine Summe Geldes wird unter mehrere Personen so ver- theilt, daß der erste 80 fl., und jeder folgende um 4 fl. weniger be¬ kommt; der letzte erhält 28 fl. Wie viel Personen sind betheilt worden, und wie groß ist die ganze Geldsumme? Gegeben ist n—80, st — — 4, 2 — 28; zu suchen ist die Anzahl der Personen 11, und die Geldsumme s. Man hat 28 --- 80 ff- (n — 1) . — 4, daher n ---14; 8 !ff. (80 ff- 28) --- 756. 10) Ein frei fallender Körper durchläuft in der ersten Sekunde 15 Fuß, und in jeder folgenden Sekunde um 30 Fuß mehr; wie tief fällt der Körper in 25 Sekunden, nnd wie groß ist der Fall- ranm der letzten Sekunde? Hier ist g,— 15, st — 30. n —25; daher 2 —15 ff- 24. 30 — 735' Fallraum der letzten Sekunde, 8 (15 ff- 735) — 9375' ganzer Fallraum. 11) Wenn ein nach dem eben angeführten Gesetze von der Spitze eines Thurmes auf dessen Basis herabfallender Körper in der letz¬ ten Sekunde 165 Fuß zurückgelegt hat; wie hoch ist der Thurm? 12) Eine unverzinsliche Schuld wird in 6 Jahreszahlungen ge¬ tilgt. Im ersten Jahre bezahlt man 600 fl., in jedem folgenden Jahre aber um eine bestimmte Summe mehr; für das sechste Jahr beträgt die Zahlung 850 fl. Wie groß ist die ganze Schuld ? Man bestimme im Allgemeinen 13) u. und st, wenn n, 2, 3; 14) a und n, wenn st, 2, 8; 15) n und 2, wenn st, n, s; 16) n und 8, wenn st, n, 2 ; 17) st und o, wenn n, 2, 8 ; 18) st und 2, wenn n, n, 8 ; 19) st und 8, wenn n, n, 2 ; 2H 20) n und wenn n, 6, s; ; ^21) n und s, wenn n, 6, 2; 22) und s, wenn H, 6, n gegeben sind. II. Geometrische Progressionen. 8. 166. 1. Wenn das erste Glied a nud der Qmozient y einer geo¬ metrischen Progression gegeben sind, so braucht man nur das erste und jedes folgende Glied mit y zu multipliziren, um nach und nach beliebig viele Glieder der Progression zn erhalten. Es ist nämlich das 1. Glied — a, ,, 2. „ — ay, 3. „ Hy-, „ 4. „ -- aci«, „ 5. „ — Hy*, u. s. w. Es fällt sogleich in die Augen, daß jedes Glied der geo- metrischen Progression gleich ist dem ersten Gliede a multi- plizirt mit demQuozienteny erhoben zu einer Potenz, deren Exponent nm 1 kleiner ist als der Zeiger des Gliedes. Nennt man daher das nte Glied 2, so ist Aus diesem allgemeinen Gliede läßt sich jedes beliebige Glied der geometrischen Progression ganz unabhängig von den vor¬ hergehenden Gliedern entwickeln. 2. Aus dem ersten Gliede g, und dem Quozienten y kann man auch die Summe jeder beliebigen Anzahl von Anfangsgliedern der geometrischen Progression bestimmen, ohne daß man dieselben wirk¬ lich addiren müßte. Heißt s die Summe der n ersten Glieder, so hat man s — a ss- Hy -f- Hy" -j- . . . -s- -j- H y"-'. Multiplizirt man beide Theile dieser Gleichung mit y, so er¬ hält man Y8 — Hy -s- Hy" -s- aci» -j- . . . -s- Hy"-1 -s- Hy". Wird nun von dieser Gleichung die frühere abgezogen, so folgt ys — 8 — Hy" — H, daher aq" — a 8 - - ; 4 — 1 als Summenformel für die geometrische Progression. 14' 212 Da ' — 2, also ist, so kann die frühere For¬ mel auch so dargestellt werden: 8 --- 2- 1—1 In einer fallenden geometrischen Progression werden die Glieder immer kleiner, und nähern sich immer mehr der Null, ohne jedoch je zu verschwinden; je größer übrigens der Zeiger des Glie¬ des wird, desto kleiner ist der Fehler, den man begeht, wenn jenes Glied — 0 gesetzt wird. Die Summe der Glieder einer solchen Progression nähert sich ebenfalls um so mehr einer bestimmten Größe, ,je mehrere Glieder man nimmt; diese Größe wird die Summe von unendlich vielen Gliedern der Reihe, oder die Summe der Progression selbst genannt. Nimmt man n unendlich groß an, so kann 2 — 0 gesetzt werden, und es folgt zur Bestimmung der Summe von unendlich vielen Gliedern aus dem letzten für s entwickelten Ausdrucke die Formel — » . s, 8 — -r, oder 8 — ;- . q — 1 ' 2. 1 — c, Beispiele. 1) Man bestimme das allgemeine und das summatorische Glied der Progression 1, 3, 9. 27, 81, 243, . . . Hier ist n — 1 und q-^-3, daher 2 — 1 . 3"-i — 3"^, 1.3" — 1 3» — 1 s— 3 — 1 — S ' So ist z. B. das zehnte Glied — 3' — 19683, und die Summe von den ersten zehn Gliedern — '—— — 29524. 2) Für die Reihe 1- 2^ 4, U, - - - ist a — 1, q —somit So ist z. B. das zwanzigste Glied dieser Reihe und die Summe von den ersten zwanzig Gliedern -2- ^--1'999 998... 21S Zur Bestimmung der Summe von unendlich vielen Gliedern hat man Die Summe von unendlich vielen Gliedern der vorgeleglen Reihe ist also 2, d. h. je mehrere Glieder man addirt, desto mehr nähert sich die Summe der Zahl 2, ohne jedoch je dieselbe zu erreichen. 3) Man verwandle den periodischen Dezimalbruch 03 in einen gemeinen Bruch. Es ist 0'3 — st- st- Z- st- ... . Wegen a, — und h —ist also die Summe von unend¬ lich vielen Gliedern also 0'3 — st. 4) Es soll der periodische Dezimalbruch 0'57102 in einen ge¬ meinen Bruch verwandelt werden. Man hat 0-57102 -^st-^st-1^E i«2 n-io» 4^ igs 4^ iv>< n- - - - - daher u und somit tos 10' 102 10S lO'-IN- 99900' 10° und 0 57102 — st- 5) Wie groß ist der Quozient einer Progression, deren erstes Glied 2, und das l2te Glied 4096 ist. Seht man in der Formel 2 — für 2, a, u die Werthe 4096, 2, 12, so hat man 4096 --- 2.q", woraus q" — 2048 und — ^/2048 folgt. Wendet man für die Ausziehung der Ilten Wurzel die Loga¬ rithmen an, so folgt log (j — — 0-30103 -- log 2, daher q — 2. 6) Wie viele Glieder der geometrischen Progression 1, 3, 9, 27, 81, . . . muß man addiren, um 3280 zur Summe zu erhalten? Hier ist n --- 1, — — P(14-P)" ' IL) Jemand setzt 6mal in die Lotterie; das erste Mal 4 Kreuzer, und jedes folgende Mal doppelt so viel, als für die frühere Zie¬ hung. Das 6te Mal gewinnt er, und es wird ihm der letzte Ein¬ satz 4800mal zucückgezahlt. Wie viel beträgt dieser Gewinn, und wie viel hat er zusammen eingesetzt? Da u —4, n —2 und n —6 ist, so folgt 2^4 . 2----128. Der letzte Einsatz ist daher 128 kr., und somit der Gewinn 128 X 4800 — 61440 kr. --- 10240 st. Für die Summe aller Einsätze hat man ferner s 4 252 kr. ----- 4 st. 12 kr. 9) Es legt Jemand, im Monate Jänner einen Kreuzer zurück, in jedem folgenden Monate 3mal so viel als im vorhergehenden; wie viel hat er im ganzen Jahre zurückgelegt? 10) Eine Schuld von 13000 fl. soll in 4 Raten, deren jede 3mal so groß ist als die vorhergehende, zurückgezahlt werden; wie groß ist jede Terminzahlung? 11) In einem Fasse sind 100 Maß Wein. Man nimmt daraus 1 Maß, uud gießt dafür 1 Maß Wasser hinein; ans diesem Ge¬ mische nimmt man wieder 1 Maß, nnd gießt eben so viel Wasser hinein. Wie oft kann man so verfahren, bis in dem Gemische nur noch 50 Maß Wein sind? Man bestimme im Allgemeinen 12) u und q, wenn ir, 2, s; 13) u und n, wenn c^, 2, s; 14) u und 2, wenn g, ir, 3; 15) n und s, wenn n, 2; 16) und ir, wenn n, 2, s; 17) ci und 2, wenn n, n, s; 18) <1 und s, wenn n, 11, 2; 215 19) n und 2, wenn n, cz, s ; 20> v und s, wenn n, p)°, woraus umgekehrt auch folgt. Würde die Kapitalifirung halbjährig geschehen, so müßte man in dieser Formel Halbjahre statt der Jahre/ und statt der Prozente die halben Prozente nehmen, also 2n statt n, und statt x setzen. Man hätte dann °--äh Nimmt man in der Gleichung 8 — (1 -j- p)" beiderseits die Logarithmen, so erhält man Io» 8 — log -j- n log (1 -j- p), woraus sofort log — log 8 — n log (1 -s- p), I°s o -I- I»8 (1 -l- k) 0 Mit Hilfe dieser Formeln ist man im Stande, wenn von den Größen 8, n, 8 drei gegeben sind, daraus die vierte zu be¬ stimmen. Beispiele. 1) Wie hoch wird ein Kapital von 2518 fl. in 12 Jahren zu 5 Proz. Zinseszins bei ganzjähriger Kapitalistrung anwachsen? Hier ist Zr — 2518, p — — 0 05, u ---- 12; daher log 8 ---- log 2518 -j- 12 log 105 log 1-05---0 021189 12 log 1 05-----0-2542681 log 2518--3-4010561 log 8 ----- 3-655324 ---- log 4521 96, also 8 — 4521 fl. 58 kr. 2) Wie viel werden 7324 fl. 12 kr. zu 41 Proz. Zinseszins bei ganzjähriger Kapitalisazion nach 20 Jahren werth sein? ES ist — 7324 2, p — 0 045, n ----- 20, somit log 8 --- log 7324-2 -j- 20 log 1045 log 1 045---0 019116 20 log 1-045---0-3823201 log 7324-2 --- 3 8647601 log 8 --- 4-247080 --- log 17663 6 8 ---- 17663 fl. 36 kr. LI7 3) Jemand legt am 1. Jänner 2000 fl. in die Wiener Sparkaffe, welche zu 4 Prozent, und zwar halbjährig verzinset, ein. Nach 15 Jahren behebt er das Kapital sammt Zins und Zinseszins; wie groß ist diese Summe? Da ^.---2000, -^----002, 2n — 30ist, so hat man lox 8 — IoZ 2000 -I- 30 Io§ 1 02 Io§ 1 02 --- 0 008600 30 lo^ 102 -- 0 258000, Io§ 2000--3'3010301 loZ 8 --- 3 559030 -- lo^ 3622 68 8--3622 fl. 41 kr. 4) Für ein durch 9 Jghre zu 4^ Proz. Zins von Zins angeleg¬ tes Kapital erhielt man 5234 fl. ; wie groß war das ursprüngliche Kapital, wenn die Interessen ganzjährig zum Kapitale geschlagen wurden? Hier ist 8--5234, 0'045, o — 9; daher !oA --- Ivb 5234 — 9 IoA 1 045 IoZ 5234 -- 3 718834 lo§ 1 045 -- 0 0191 16 9 loßl-045---0 172044 IvA -- 3 546790 -- IoZ 3522 ^---3522 fl. 5) Ein Herr will bei einer Versorgungsanstalt seinem Diener nach 11 Jahren einen Bezug von 1000 fl. versichern. Welche Ein¬ lage muß er machen, wenn die Anstalt zu 4 Prozent ganzjährig verzinset? Man hat 8 — 1000, p — 0 04, n -- 11; daher") IvA 1000 11 IvA 1-04 Ic>A 1000 -- 3 000000 lox 104--0 017033 11 IoZ 1 04^-0187363 IvK -- 2-812637 -- lo^ 649-58 .4 -- 649 fl. 35 kr. 6) Ein Kapital von 7537 fl. 38 kr. wächst in 20 Jahren mittelst Zinseszinsen auf 20000 fl. an; zu wie viel Prozent Zins von Zins war dasselbe angelegt? Da hier ^-7537-8, n —20, 13 — 20000 ist, so hat man , . I°8 20t>00 — lox 7S37-8 4'301030-3-877245 108 (1 -ss P) -- z« - - - z» - -- -- 0 021K9 -- IvA 1 05; also 1 -j- P--105. Es ist daher p — 005, und 8 -- 100p — 5 Prozent. 218 7) In wie viel Jahren wird ein Kapital von fl. bei ganzjäh¬ riger Kapitalisazion zu ? Proz. Zinseszins wmal so groß, als es ursprünglich war? Hier mnß man L—setzen, daher ist _ los w — IoA los IH 8- In welcher Zeit verdoppelt sich ein Kapital zn 5 Proz. Zin¬ seszins bei ganzjähriger Kapitalisazion? Da m — 2 und 1-j-p —1'05 ist, so hat man „ log 2 — V-30W30 — ... loslos 0 021188^^ Das Kapital verdoppelt sich also in 14'21 Jahren. 9) In wie viel Zeit wird ein Kapital zu 4 Zinseszins n) bei ganzjähriger, b) bei halbjähriger Kapitalisirung, aus das Doppelte, in welcher Zeit ans das Dreifache anwachsen? . 10) Es sind vor 80 Jahren 3200 fl. angelegt worden, und wäh¬ rend dieser Zeit sammt Zinsen aus 34050 fl. 50 kr. gestiegen. Zn wie viel °X, waren sie angelegt? 11) In wie viel Jahren wird die Bevölkerung einer Stadt dop¬ pelt so groß als sie gegenwärtig ist, wenn die Zunahme im Durch- -schnitte jährlich 2 Köpfe auf 100 beträgt? 12) Ein Sterbender setzt zum Neubau der Kirche seines Ortes ei» Legat von 18000 fl. aus. Nach der Veranschlagung des Baues kostet derselbe 24738 fl.; man will daher, da das Kapital bei einer Bank Zins auf Zins zu 4°/j, untergebracht werden kann, den Bau so lange verschieben, bis jenes auf die erforderliche Höhe gestiegen )st. Nach wie viel Jahren wird dieses der Fall sein? 13) An einer Schuld von 10000 fl. werden nach 3 Jahren 2500 fl., nach 6 Jahren 1000 fl. abbezahlt; wie groß ist noch die Schuld nach 10 Jahren, wenn 5 Zinseszinsen gerechnet werden? 8. 168. 2. Jemand legt durch n Jahre am Anfänge eines jeden Jahres n, fl. zn Proz. Zinseszins an; wie hoch wird die Summe nach n Jahren anwach seu? u fl. am Ans. des 1. Jahres — u (1 -j-p)" fl. am Ende des nteu Jahres u, ,, ,, ,, 2. ,, u (1 — s- p)" i ,, ,, ,, ,, ,, ,, u,, ,, ,, ,, 3. ,, ----- n fl Z- ji) 2,, ,, ,, ,, ,, ,, u„ „ „ „ (n—1)ten—u(1-s-x>)2 „ „ „ „ „ „ n,,, ,, ,, ,, uten , , — n(l-s-p) ,, ,, ,, ,, ,, ,, daher Endsumme b — n (1 -s-p) -j- u (1 -l- p)? -s- .. . -j- n (1-s- p)"-2 Z- g, (1Z-1))N-1 Z- n (1 -s-p)", oder b-ujslZ-?) Z- (Ist-x)'Z-. - - (i>?)»^-i-(lZ-x)"^-s- i,)°j. 219 Der in den Klammern befindliche Ausdruck ist die Summe von n Gliedern einer geometrischen Progression, deren erstes Glied 1-j-p, und der Quozient ebenfalls 1-f-p ist; man hat daher b-rr . 1^. Aus dieser Gleichung folgt auch umgekehrt r>—b _ h _ welche Formel dazu dient, um aus der gegebenen Endsumme die Größe des am Anfänge eines jeden Jahres anzulegenden Kapitals zu bestimmen. Beispiele. 1) Jemand legt durch 10 Jahre zu Anfänge eines jeden dersel¬ ben 230 fl. zu 5 Proz. Zinseszins an, wie hoch wird bas Kapital in jener Zeil anwachsen? Hier ist rr— 230, n — 10, p —0 05; es ist dabcr (1Z-p)" -(105)'°, und lox (l-ssi>)" — lO Iox 1'05 — 10 X0 02118!) — 0 211890 -lox 1'62888, also (1 -ss s>)" — 1'62888, somit 6 — 230 . o"o5 - 0'62888 — 3037 49. Das Endkapital ist demnach 3037 fl. 29 kr. 2) Ein Vater will seinem Sohne, wenn dieser das 24ste Jahr erreicht hat, eine Summe versichern. Er zahlt zu diesem Zwecke, von der Geburt des Sohnes angefangen bis zu jener Zeit, an eine Versorgungsanstalt am Anfänge jedes Jahres 100 fl. Welchen Be¬ trag wird die Anstalt an den Sohn auszuzahlen haben, wenn eine ganzjährige Kapitalisazion z» 4 Proz. Zinseszins angenommen wird? Da rr —100, 11 — 24, p — 0 04 ist, so findet man mittelst der Logarithmen (1 -j- p)" — (1'04)^ — 2'56325, daher b— 100 . 1 56325 — 4064'44. Der Sohn wird also 4064 fl 26 kr. erhalten. 3) Jemand, der durch 12 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres dieselbe Geldsumme zu 4^ Proz. Zinseszins angelegt hat, bezieht nach dieser Zeit 1939 fl. 11 kr. Wie groß war die jährlich ange legte Geldsumme? Mau hat b — 1939'183. n — 12, p — 0.045, daher (1 Z-p)" ---(1-045) '°- 1-69587, und 1015 . w 69.187 ' 22« Mit Hilfe der Logarithmen findet man u — 120 fl. 4» Jemand will einer Person nach 15 Jahren bei einer Versor¬ gungsanstalt eine Summe von 3000 fl. versichern. Welche jährliche Einlage muß er bis zu jener Zeit an die Anstalt machen, die Ka- pitalisirung ganzjährig zu 4 Proz. gerechnet? Hier ist b — 3000, n — 15, p — 0 04, folglich (1-s-p)" ^(1.04)'-----1-80092,' // und » - M» X / Die jährliche Einlage beträgt also 144 fl. 4 kr. 5) Es werden durch 20 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres 200 fl. angelegt; wie groß wird die Summe nach 20 Jahren bei 4°/„ Zinseszins? 6) Ein zu 4^o/o ausstehendes Kapital von 5000 fl. wird jährlich um 500 fl. vermehrt; wie hoch wird es in 8 Jahren anwachsen? 7) Es muß Jemand, sechs Jahre nach einander, jedes Jahr 285 fl. bezahlen; er bleibt sie aber bis zu Anfang des sechsten Jahres schuldig; wie viel beträgt nun zu dieser Zeit seine Schuld, wenn 4°/o Zinseszinsen gerechnet werden? K. 169. 3. Durch n Jahre ist am Ende eines jeden Jahres ein Betrag von r fl. zu bezahlen oder zu empfangen; wiegroß ist der Werth aller dieser Beträge beim Beginne jener Zeit, wenn man ? Prozent Zinseszin¬ sen anrechnet, und eine ganzjährige Kap i t a l is a zio n annimm t? Wird — p- lml> der anfängliche Werth aller Beträge — s gesetzt, so hat man r fl. am Ende des 1. Jahres --- —fl. am Anfänge des 1. Jahres i -i-p ,, „ ,, 2. ,, — " " " " " " o _ r r„ „ „ „ " " " " " r ,, ,, ,, ,, in 1)ten " " ' ' " " r,, ,, ,, „ Ilten " " ' " " " somit anfänglicher Werth 8 — -j- st- st- - - - st- ft-z-p)"-» (i-l-p? ' 2L1 oder g^I-s 1 > 1 > l . ! , 1 ,_1___I t.l-^p^(14-i>?^(l-l-P?" '"^(t-!-k>)"-- ^(l-^-p)"^ Die in den Klammern befindlichen Größen sind Glieder einer (1 U- p> _1 geometrischen Progression, und geben zur Summe; da¬ her iss woraus auch umgekehrt folgt, welche letztere Formel dazu dient, um aus dem anfänglichen Werthe aller Iahresbeträge die Größe einer Jahreszablung zu be¬ stimmen. Beispiele. 1) Jemand bat dnrch 8 Jahre am Schlüsse jedes Jahres 380 st. zu bezahlen, wie viel muß er, um sich dieser ganzen Verpflichtung zu entledigen, sogleich zahlen, wenn die Zinseszinsen bei ganzjähri¬ ger Kapitälisazion zu 4^ Proz. gerechnet werden? Es ist r — 380, n — 8, p — 0'045; daher (1-j-p)°^(1-045)°--142209, und somit ist ««E-» --2S0SM. Die Gesammtzahlung beträgt demnach 2506 st. 23 kr. 2) Jemand will durch 22 Jahre eine Jahresrente von 500 st. be¬ ziehen; welches Antrittsgeld muß er an eine Bersorgungsanstalt be¬ zahlen, wenn man eine ganzjährige Kapitalisazion^ zu 5 Proz. an¬ nimmt? Hier ist r —500, n —22, p---0'05; daher (1 -s- p)" --- (1-05)22 2'92522, und 1 92522 8 — 500 . o.og x 2 92522 ^581 Das Antrittsgeld ist also 6581 st. 24 kr. 3) Jemand will eine Schuld von 10000 fl., die zu 5 Proz. zu verzinsen ist, in 10 gleichen Jahresraten abtragen, wie groß wird eine Ratenzahlung sein? Hier ist 8— 10000, n —10, p —0 05, somit (1-j-x)----(1-05) "---1-62888, und 0 95 X 1'62888 I- —100 00 . — 0'62888 — " 1295'05. Eine Jahreszahlung beträgt also 1295 fl. 3 kr. 4) Eine Person will sich durch eine Einlage von 8000 fl. in einer Bersorgungsanstalt durch 13 Jahre eine jährliche Rente ver- 222 sichern; wie groß wird diese bei 4 Proz. ganzjähriger Kapitalisazion ansfallen? Man hat s—8000, n — 13, p —0 04; daher (1-^x)"^ (1-04)" ^1-66506, und r - 8000 X °'04Xg6ggg^ - 801'12 Die Jahresrente ist somit 801 fl. 7 kr. ; 5) Eine Schuld von 2 Millionen fl. soll bei 4^ Zinseszins in ! 20 Jahren abgetragen werden. Wie groß ist die jährliche Tilgungs- summe? 6) Eine Stadt will in einer Bank ein Darlehen aufnehmen, mit der Verpflichtung, dasselbe durch eine am Ende jedes Jahres zahl¬ bare Summe von 800 fl. binnen 25 Jahren zu decken. Welche Summe kann die Bank der Stadt bei 4 Zinseszins vorstrecken? 7) Dem Vormunde eines Kindes von 5 Jahren wird eine Summe von 4000 fl. überwiesen, mit der Verpflichtung, das Kind bis zum 24sten Jahre zu erziehen. Welches ist der Betrag des nachschu߬ weise zahlbar angenommenen jährlichen Erziehungsgeldes, wenn 5 Zinsen berechnet werden? 8) Jemand erlegt 12000fl. zu 4°/„, und will dafür durch 24Jahre eine jährliche Rente beziehen; wie groß wird dieselbe sein? 9) Es verkauft Jemand eine Jahresrente von 620 fl., die er noch durch 10 Jahre zu genießen hat; wie viel wird er dafür erhalten, wenn 4°/o gerechnet werden? 10) Jemand hat eine Jahresrente von 800 fl. auf 30 Jahre zu beziehen; er möchte aber statt deren eine größere auf 20 Jahre haben; wie groß wird diese bei 4^°/j, sein? - Vierter Abschnitt. Die Kombinazionstehre Allgemeine Begriffe. K. 170. Gegebene Größen nach einem bestimmten Gesetze in Grup¬ pen zusammenstellen, heißt dieselben kombiniren. Die einzelnen Größen werden Elemente, und die ans ihnen gebildeten Grup¬ pen Komplexionen genannt. Zur schriftlichen Darstellung der Kombinazionen ist es am zweckmäßigsten, die Elemente durch die in natürlicher Ordnung auf einander folgenden Zablen, welche Zeiger oder Indices heißen, zu bezeichnen. Diese Zeiger bestimmen die Rangordnung der Ele¬ mente, so daß jenes Element das höhere ist, welches einen grö¬ ßeren Zeiger hat. Von zwei Komplexionen heißt jene die höhere, worin von der Linken aus zuerst ein höheres Element vorkommt; z. B. die Komplexion 1342 ist höher als jene 1324. Die nie¬ drigste Komplexion ist offenbar diejenige, worin kein höheres Ele¬ ment vor einem niedrigeren steht; und jene die höchste, worin das Gegentheil Statt findet. Um überhaupt von einer bestimm¬ ten Komplexion zn der nächst höhern überzugehen, muß mau in ihr, von der Rechten gegen die Linke fortschreitend, das erste Element aufsuchen, anstatt dessen aus den folgenden Ele¬ menten ein höheres gesetzt werden kann; schreibt dann die voran gehenden Elemente in ungeänderter Ordnung hin, anstatt des be¬ zeichneten Elementes das nächsthöhere aus den nachfolgenden, und läßt die übrigen Elemente nach ihrer Rangordnung folgen. Werden die Elemente anstatt durch Zeiger, durch Buchstaben bezeichnet, so ist dasjenige Element als ein höheres zu betrachten, welches im Alphabete später vorkommt. Die Kombinazionen scheiden sich ihrer Natur nach in zwei Arten: Versetzungen und Verbindungen. Bei den Versetzungen kommen in jeder Komplexion alle gegebenen Elemente vor, aber immer in einer andern Ordnung. 224 Man nennt sie auch Permutazionen, und unterscheidet wieder Permutazionen ohne und mit Wiederholungen, je nachdem die gegebenen Elemente unter einander alle verschieden sind, oder darunter auch gleiche Vorkommen. Bei den Verbindungen faßt man die Verschiedenheit der Elemente ins Auge, welche in eine Komplexion ausgenommen wer¬ den; es wird nämlich verlangt, daß man aus gegebenen Elementen alle Verbindungen zu zwei, zu drei, zu vier, ... Elementen bilde, wobei übrigens auf die Stellung der Elemente keine Rücksicht ge¬ nommen wird. Solche Verbindungen nennt man K o m b i n a z io- nen im engern Sinne des Wortes, und zwar die Verbin¬ dungen zu zwei Elementen Kombinazionen der zweiten Klasse oder Amben, die Verbindungen zu drei Elementen Kom¬ binazionen der dritten Klasse oder Tern en, jene zu vier Elementen Kombinazionen der vierten Klasse oder Quä¬ lern en u. s. w. Auch die Kombinazionen scheidet man in die ohne und die mit Wiederholungen, je nachdem in einer Kom¬ plexion ein Element nur einmal, oder auch öfters vorkommen darf. Nimmt man bei den Verbindungen zu zwei, drei, vier, ... Elementen auch auf die Stellung derselben Rücksicht, so daß z. B. ab und da als zwei verschiedene Verbindungen zu zwei anzusehen sind, d. h. verbindet man das Kombiniren mit dem Permutiren, so, heißt dieses Geschäft das V a r i i ren. Wie die Kombinazionen, werden auch die Variazionen in Variazionen der z weite n- dritten, ... Klasse, ferner in solche ohne und mit Wieder¬ holungen eingetheilt. Bei jeder der drei angeführten Kombinazionsarten kommt einerseits die wirkliche Bildung der Komplexionen, andererseits die Zahl derselben in Betracht. I. Permutazionen. 8. 171. Um von mehreren gegebenen Elementen alle möglichen Per mutazionen zu bilden, schreibe man zuerst die niedrigste Komplexion hin, gehe von dieser zu der nächst höhern über, von dieser wieder zur nächst höhern u. s. f-, bis man zur höchsten kommt. Z. B.: 225 hhouh hhohu K. 172. 2. Zahl aller möglichen Permutazionen ohne Wie¬ derholungen. Ein Element u läßt auch nur eine einzige Stellung zu. Bei zwei Elementen u und h sind schon zwei verschiedene Stellungen ab und hu möglich. Von drei Elementen u, h, o kann jedes 2mal am ersten Platze stehen, während die beiden andern permutirt nachfolgen; 3 Elemente lassen daher 2X3----6 verschiedene Stellungen zu. Heißt allgemein ?„die Anzahl aller möglichen Permutazionen von n verschiedenen Elementen, und es kommt noch ein Element dazu, so kann dasselbe in jeder der frühern Permutazionen den er¬ sten, oder zweiten, bis zum (w-s-l)ten Platz einnehmen; man er¬ hält also aus jeder frühern Permntazion n-s-1 neue Permutazionen. Die Anzahl aller möglichen Versetzungen von ii-s-1 Elementen ist demnach (ri ss- Ismat so groß als ; also X(n--t-l)- Nun ist nach dem Vorhergehenden I'i ----- 1, -- 1 - 2, — 1 . 2 . 3, daher x, . 4 ---- 1 . 2 . 3 . 4 x, .5-----1.2.3.4.5 u. s. w., allgemein — 1 . 2 . 3 (n — 1) - n, d. h. die Permutazionszahl von mehreren verschiede¬ nen Elementen ist gleich dem Produkte aus der Reihe der natürlichen Zahlen von 1 bis zu der Zahl, welche die Anzahl der Elemente ausdrückt. Das Produkt 1 . 2 . 3 . 4 ... (n—l). n pflegt man durch das Symbol n! auszudrücken; daher r>2 --- 2!, I>^ 3!, n! . 173. 3. Zahl aller möglichen Permu tazionen mit Wieder¬ hol un gen. LloLllik. Algebra. 5. Aufl. 15 226 Wen» unter den gegebenen i, Elementen p gleiche Vorkom¬ men, so behandle man diese einstweilen als verschiedene Elemente, wo dann die Anzahl der Permntazionen n! ist. Denkt man sich nun diese Permntazionen so in Parthien gebracht, daß sich die Pcrmutazionen einer Partbie bloß durch die gegenseitige Stellung der einstweilen als verschieden betrachteten p Elemente von einander unterscheiden, während die übrigen Elemente genau dieselbe Stelle in derselben Ordnung einnehmen; so enthält jede dieser Parthien offenbar so viele Permntazionen, als man ihrer aus p Elementen bilden kann, also p! Permntazionen. Wenn man nun die einstweilen als verschieden betrackteten Elemente wieder als einander gleich annimmt, so gelten alle p! Komplexionen einer Parthie nur für eine Permutazion; je p! von den n! Permntazionen gehen in eine einzige über, und man Hal somit nur ^'verschiedene Permntazionen. Wenn sich unter den gegebenen n Elementen außer den p gleichen Elementen noch q andere gleiche Elemente befinden, so be¬ trachte man diese gleichen Elemente einstweilen als verschieden, wo sodann die Anzahl aller Permutazionen aus n Elementen, wor¬ unter p gleiche vorkommen, ist. Diese Permutazionen denke man sich nun in Parthien abgetbeilt, wovon jede nur solche Komplexio¬ nen enthält, worin die einstweilen als verschieden betrachteten g Elemente eine andere gegenseitige Stellung entnehmen; so kommen in jeder dieser Parthien q ! Permutazionen vor. Betrachtet man nun die <1 Elemente wieder als gleich, so erhält mau statt jeder Parthie nur eine Komplexion, von den Komplexionen reduziren sich also je g! aus eine einzige; mithin ist ^7^7- die Anzabl der verschie¬ denen Permutazionen aus ir Elementen, worunter p gleiche und andere gleiche Elemente Vorkommen. Schließt man so fort, so ergibt sich leicht, daß die Anzahl der Permutazionen aus n Elementen, worunter p gleiche , q andere gleiche, r wieder andere gleiche .... Element, Vorkommen, durch —— ausgedrückt wird. Beispiele. 1) Wie oft können 5 Tnchgenoffea ihre Plätze am Tische wech¬ seln, bis sie in allen möglichen Ordnungen gesessen sind? 5!— 1.2. 3.4.5-^ 120mal. 2) Wie viel verschiedene Stellungen geben 3 weiße, eine blaue und 2 rothe Kugeln? 6!' — 1.2.3.t.5.6 — 3 ! 2 ! t. 2 3 t . 2 "U- 227 3) Wie viele verschiedene neunziffrige Zahlen lassen sich ans den neun arabischen Ziffern bilden? 4) Wie viele verschiedene sünfziffrige Zahlen lassen sich aus den Ziffern der Zahl 59165 bilden? II. K o m bi n a z i o n e n. 174. 1. Um alle Amben ohne Wiederholungen, welche aus mehreren gegebenen Elementen gebildet werden können, zu erhalten, verbindet man jedes Element mit allen nachfolgenden Elementen. Sind ein¬ mal die Kombinazionen einer bestimmten Klasse gebildet so erhält man daraus die Kombinazionen der nächst Hähern Klasse, wenn man jede frühere Kvmplexion mit allen Elementen verbindet, welche höher sind als die darin vorkommenden. So erhält man aus den fünf Elementen a, 6, e, 6, s nach¬ folgende Amben obue Wiederh. Terueu vbue Wiederh. all, av, ast, uv; allo, abst, allo; aest, aas; astej 110, llst, llo; llost, lloo; llsts; ost, es; osts. sto. Um aus niedreren gegebenen Elementen alle Amben mit Wie¬ derholungen zu bilden, verbinde man jedes Element mit sich selbst, und mit allen nachfolgenden Elementen. Hat man einmal die Kom¬ binazionen irgend einer Klaffe mit Wiederholungen gebildet, so er¬ hält man daraus alle Kombinazionen der nächst Hähern Klasse, wenn man jede frühere Kombinazion zuerst mit dem höchsten darin vor¬ kommenden Elemente, und dann noch mit allen übrigen Hähern Elementen verbindet. So geben die vier Elemente 1, 2, 3, 4 folgende 11, 12, 13, 14; 22, 23, 24; 33, 34; 44; 111, 112, 113, 114; 122, 123, 124; 133, 134; 144; 222, 223, 224; 233, 234; 244; 333, 334; 344; 444. Amben mit Wiederh. Lernen mit Wiederh. 15 228 8. 175. 2. Zahl der Kombinazionen ohne Wiederholungen. Hat man ir Elemente, so wird man sicher alle Amben ohne Wiederholungen erhalten, wenn man jedes Element mit allen übri¬ gen verbindet, nur mit sich selbst nicht; dadurch entstehen aus jedem der n Elemente n — 1 Amben, also im Ganzen ir (n — 1) Amben. Allein unter diesen kommt jede Ambe 2 mal vor; daher geben n Elemente nur " > verschiedene Amben. Denkt man sich überhaupt alle Kombinazionen der rten Klaffe ohne Wiederholungen von n Elementen wirklich gebildet, und nennt 0' ihre Anzahl; so wird man gewiß alle Kombinazionen der (r-j-l)ten Klasse erhalten, wenn man jede frühere Kombinazion mit allen Ele¬ menten verbindet, nur mit denjenigen r nicht, welche darin schon vorkommen; jede der srühern 0'Kombinazionen wird auf diese Art mit n—r Elementen verbunden, und gibt somit n — r Kombina¬ zionen der (r -j- 1)ten Klasse, so daß man ihrer im Ganzen 0^. (v—r) bekommt. Allein jede neue Kombinazion wird (r-f-l)mal Vorkommen, weil man immer je r andere Elemente davon mit dem (r-j-l)ten verbinden kann; es wird somit nur 0 - verschiedene Kombi- " r t nazionen der (r -s- 1)ten Klasse geben, oder man hat Nun haben wir bewiesen, daß II in — 1) n —n ist; daher 0^ — L? n — 2 Ii^ri —1) (n — 2^) -> » ' 3 1.2.3' u - 3 — n (n —1> (n —2) (n-3) -- » ' 4 1 . 2 . 3 . 4 ' u. s. w. allgemein i n (11-I) (n-2) (o-r-i-2) G-r-l-1) " 1.2.3 ... (r-t).r Den letzten Bruch, dessen arithmetischer Bau leicht zu Über¬ blicken ist, pflegen die Mathematiker durch das Symbol wel¬ ches gelesen wird: n über r, auszudrücken. Es ist daher 22S 8- 176. 3. Zahl der Kombinazionen mit Wiederholungen. Sind n Elemente gegeben, so wird man gewiß alle Amben mit Wiederholungen erhalten, wenn man jedes Element mit sich selbst, und noch mit allen n Elementen, auch sich selbst nicht aus¬ genommen, verbindet; jedes der n Elemente gibt auf diese Weise verbunden n -j- 1 Amben, alle n Elemente also n (n-j- 1) Amben. Weil nun darunter jede Ambe 2mal vorkommt, so ist die Anzahl aller verschiedenen Amben mit Wiederholungen. Drückt man allgemein die Zahl aller Kombinazionen der rten Klasse mit Wiederholungen von ir Elementen durch 0^ aus, und denkt sich diese Kombinazionen wirklich gebildet, so wird man dar¬ aus ganz sicher alle Kombinazionen der (r Z-t)ten Klasse erhalten, wenn man jede frühere Kombinazion zuerst mit den r Elementen, welche darin Vorkommen, und dann noch mit allen n Elementen verbindet; jede der dss'' frühem Kombinazionen gibt dadurch n-j-r neue Kombinazionen, und man wird somit zusammen 0"''. (n-j-r) Kombinazionen der (r-j-l)ten Klaffe erhalten. Aber jede solche Kombinazion kommt (r-j-l)mal vor, weil man immer je r andere Elemente davon mit dem (r-j-1)ten verbinden kann; um daher die Anzahl aller verschiedenen Kombinazionen der (r-s-l)ten Klasse zu finden, muß man die frühere Zahl 0^. (n -j- r) noch durch r -s- 1 dividiren; es ist daher » iv.r^l ll -t- r ° ' r 4- 1' Nun ist, wie wir früher gezeigt haben, -_ n (° -l-1) 1.2' daher II ss- 2 n 4 -j- t) (n 4 2) ' 3 1.2.3 n4-3__ II 4 4-1)4 4-2, 4 4 3) -> -> ' 4 " 1 . 2 . 3 .4 u. s. w., allgemein „ n 4 1) tu 4- 2t ... 4 4 r — 2, tu 4- I — 1) ° 1.2.3 . . . (r — 1) . r 230 Wenn man in diesem Bruche die Faktoren des Zählers in umgekehrter Orduuug schreibt, wodurch der Bruch die Form tu -j- i- - D sn 4- r —2) - - s" 4- 2) l-- -i-1) > ° 1 . 2 . . . (r — 2) (r — 1) . r annimmt, so kann man denselben nach der oben angeführten Be¬ zeichnungsweise durch ausdrücken. Es ist daher Beispiele. 1) Wie viel Amben, Ternen, Quaternen, Quinternen geben die 90 Nummern unserer Zahlenlotterie? Anzahl der Amben — 89 ^005, /901 90.89.88 , „ „ Ternen 1 n 1 17480, i-, , /90^ 90.89.88.87 ,, ,, ^.naternen — r.4/ r 2 3 — 2555190, . /90^ 90.89.88.87.86 „ „ Qumternen — I l -—-—— 43949268. 2) Wie viel verschiedene Würfe sind mit zwei Würfeln möglich? 111. Variazionen. Z. 177. 1. Um die Variazionen der zweiten Klaffe ohne Wiederholun¬ gen zu erhalten, verbindet man jedes Element mit allen übrigen Elementen, und zwar so, daß jenes Element in jeder Verbindung den ersten Platz einnimmt. Sind überhaupt die Variazionen irgend einer Klasse ohne Wiederholungen gebildet, so erhält man die Variazionen der nächst höhern Klasse, wenn man jede frühere Variazion mit allen Elemen¬ ten verbindet, welche darin nicht Vorkommen, und dabei diese Va- riazion dem neu hinzukommenden Elemente immer voraussetzt. So geben die Elemente 1, 2, 3, 4 folgende Variazionen der 2. Klasse ohne Wiederh. 12, 13, 14; 21, 23, 24; 31, 32, 34; 41, 42, 43; 231 Variazionen der 3. Klasse ohne Wiederh. 123, 124; 132, 134; 142, 143; 213, 214; 231, 234; 241, 243; 312, 314; 321, 324; 341, 342; '> 412, 413; 421, 423; 431, 432. Um die Variazionen der zweiten Klasse mit Wiederholungen zu erhalten, verbindet man jedes Element mit allen Elementen, auch sich selbst nicht ausgenommen, und schreibt dabei jenes Ele¬ ment stets voran. Hat mau bereits die Variazionen irgend einer Klasse mit Wiederholungen dargestellt, so bildet man daraus die Variazionen der nächst höher» Klasse, wenn man jede frühere Variaziou mit allen Elementen verbindet, und das neue Element stets an den letzten Platz setzt. Ans den drei Elementen n, b, o, erhält man daher folgende Variazionen der 2. Klasse mit Wiederh. n,n, all, no^ Ian, Hb, be; on, ob, oo; Variazionen der 3. Klasse mit Wiederh. Nau, nab, nno; nbn, nbb, nbo; non, nob, aoo; bau, bub, bno; bbn, bbb, bbe; bon, bob, boo; onn, onb, ono; obn, obb, obo; oon, oob, ooo. 178. 2. Zahl der Variazionen ohne Wiederholungen. Die Anzahl der Amben ohne Wiederholungen von n Elemen¬ ten istans jeder solchen Ambe entstehen durch Versetzung der beiden Elemente zwei Variazionen der zweiten Klasse, mithin ist die Anzahl aller Variazionen der zweiten Klaffe ohne Wieder¬ holungen Allgemein geben n Elemente Kombinazionen der rten Klasse obne Wiederholungen; aus jeder solchen Kombinazion lassen sich durch Permutazion der r Elemente r! Variazionen der rten Klasse ohne Wiederholungen bilden. Bezeichnet daher V« die Zahl aller dieser Variazionen, so ist V' -- (H. r! ---n(ll-l) (n-2)...(n-r^2) (n-r-j-1). 232 8- 179. 3. Zahl der Variazionen mit Wiederholungen. Sind wieder n Elemente gegeben, so gibt jedes derselben n Variazionen der zweiten Klasse mit Wiederholungen, somit ist n? die Anzahl aller solchen Variazionen. Heißt überhaupt die Anzahl aller Variazionen der rten Klasse mit Wiederholungen von n Elementen, so ist, da jede solche Variazion durch Verbindung mit allen n Elementen n Variazionen der (r-s- 1)ten Klasse giebt, Da nun, wie früher gezeigt wurde, ist, so hat man VT-"' s 2 - . n — — V" .11 — 11, u. s. w. allgemein -i'- Beispiele. 1) Es sind 4 Facher mit 7 verschiedenfarbigen Kugeln zu besetzen, so daß in jedes Fach eine Kugel zu stehen kommt; aus wie viel¬ fache Art kann dieses geschehen? Betrachtet man die 4 Fächer nach der Ordnung als die vier Plätze, an denen die 7 Kugeln als Elemente zu variren sind, so hat man hier die Anzahl der Variazionen der 4. Klasse ohne Wieder¬ holungen von 7 Elementen zu bestimmen. Es ist demnach Vj -- 7.6 . 5.4 --- 840 die Anzahl der verschiedenen Besetzungen. 2) Wie viele Würfe sind mit drei Würfeln möglich, von denen der eine weiß, der zweite gelb, der dritte roth ist, wenn man an¬ nimmt, daß Würfe von gleich viel Augen aber in verschiedenen Farben als verschieden zu betrachten sind? —6^—216 verschiedene Würfe. 3) Wie viele verschiedene vierziffrige Zahlen lassen sich aus den neun arabischen Ziffern bilden? 233 IV. Anwendung der Kombinazi onslehr e zur Ent¬ wicklung des binomischen Lehrsatzes. tz. 180. Erhebt man das Binom x -ft a nach und nach zur zweiten dritten, vierten, . . . Potenz, so bekommt man (x -ft a)2 — x? -ft 2 a X -ft a?, (x -P- a)3 — x^ -ft 3 a x^ -ft 3 a^x -s- a?, (X -ft a)^ — x^ -ft 4 a x^ -ft 6 g?x? -p. 4 A^x hi, u. s. w. Daß in diesen und den höhern Potenzen von x -ft a eine ge¬ wisse Gesetzmäßigkeit vorherrscht, ersieht man auf den ersten Blick. Um aber in dieselbe genauere Einsicht zu erhalten, wird es am zweckmäßigsten sein, daö Produkt mehrerer Binome zu entwickeln, welche ein Glied x gemeinschaftlich haben, und sich nur in dem zweiten Glieds von einander unterscheiden; der gesetzmäßige Bau eines solchen Produktes wird von selbst in die Augen springen, und man darf dünn nur in jenen Binomen auch die zweiten verschiede¬ nen Theile gleich setzen, um aus der Gesetzmäßigkeit des Produk¬ tes auf das Gesetz zu schließen, welches sich in irgend einer Potenz eines Binoms kund gibt. Wir wollen also das Produkt (x -ft a) (x -ft b) (x -ft o) (x -ft st) ... untersuchen, indem wir zuerst die zwei ersten Faktoren mit einander mul- tipliziren, ihr Produkt mit dem dritten Faktor u. s. f. Wir erhalten (x-ftu) (x-ftb) —x^-ft^ x-ftab, x -ft abo, X -ft übest, x e b s ost 06 ste abo übst aost boä a b 6 st a b (x-ftb) ab ao ast U6 abost abo 6 übst s , xabosto, aosto boste a ab (x -ft a) (x -ft b) (x -ft o) — x? -ft b s x^ -ft a o o j b o (x-ftu) (x-ftb) (x-fto) (x-ftst)-^ ab ao ast bv bst o (a-l) Mittelst dieser Formel, welche unter dem Namen des bino¬ mischen Lehrsatzes oder der B i n o mi a l so rmel bekannt ist, kann man jedes Binom unmittelbar zu jeder beliebigen Potenz er¬ heben. Das darin herrschende Gesetz bestehet in Folgendem: 1. Die Potenzen des ersten Theiles x erscheinen fallend, jene des zweites Theiles n. steigend geordnet. Der Exponent von x im ersten Gliede ist gleich dem Potenzexponenten des Binoms, in je¬ dem folgenden Gliede ist er um 1 kleiner, bis er im letzten Gliede 0 wird, da man sich nämlich zu u" deu Faktor x°—1 hinzudenken kann. Die Exponenten von u nehmen umgekehrt von 0 bis n zu. Die Summe der Exponenten von x und n ist in jedem Gliede gleich n. Zugleich folgt aus dem Gesagten, daß die ganze Entwicklung ein Glied mehr habe, als der Potenzexponent n Einheiten enthält. 2. Der Koeffizient des ersten Gliedes ist 1; der Koeffizient des zweiten Gliedes ist gleich dem gegebenen Potenzexponenten n, jener des dritten ist die Anzahl aller Amben von n Elementen, des vierten die Anzahl der Ternen, . . . überhaupt der Koeffizient des rten Gliedes die Anzahl aller Kombinazionen der (r — 1) ten Klaffe von n Elementen. 3. Je zwei Glieder, deren eines vom Anfänge so weit entfernt ist, als das andere vom Ende, haben gleiche Koeffizienten. Heißt nämlich der Koeffizient des rten Gliedes vom An¬ fänge, so hat man „ / o a n (n — 1) ln — 2> ... (n — r-I- 3) In — r-t- 2) —1.2.3 ... (r-2)(r—1» Nun ist das 1. Glied vom Ende das (n ff-l)te vom Anfänge, ,, 2. ,, ,, ,, ,, nte ,, ,, ,, 3. ,, „ „ ,, (n 1)te „ „ also „ rte „ „ „ „ (n—rff-2) „ „ 236 Heißt daher Ir, das rte Glied vom Ende, so hat man i _ n (ri — 1) (ii — 2) .. . 15n«b2^.20a2 15n2d»^-6nb°^-b«. 2) . n-" - (j) L» b a« t)2 - (b) A- b« ff- (°) N d» — 8« ^a°-5n»b -j- 10s,-b2__ 10a2t)2 -s- 5-rb» — b°. 3) (3x-27)'- - (3x)» - (j). (3x)--. 2)- -s- tt). (3x)2. (2)-)2 - (^). 3x. (2)-)2 -si.(2),)« ---81x»—4.27x«.2)--j-6.9x2.4)-2 —4.3x.8y'-^ 16)-» — 81 x»--216x«)- -s- 216x2)-2 __96^» -j- 16/". 4) (x2-j-2/)^x«-s-8x^-j-24x»72^Z2x2zi--s- 16)-». 5) (3m2 — 2n-)° 243m>° — 810mbn2 -s- 1080m«n° - 720m» n« -s- 240m2 u -2 — 32w 2Z7 - / L d' _ a' g,'k' , «?b' _ 2 -i,k' . b° Ik " ' k 27 8l -. /2s. . 3o1° _ 8s? , s.-e , 9ae' . 27 27V b-Ä > 8dä- 64ä° o. 1^ ax' 4b'?1' _ s'x'° 5»-x' , 20 dx' 12 k?- 32b'?'° 4b'?' a?' — 160bx' . 640b'?- — 10246'°? ' »1? ' s'x' s'°x' ' Man entwickle noch : 9) (x —^'Oi- ll) (3a.-s-4b)"; 'D h' -bl)'; lV- ^7 10) (5-r-s-6d)*; 12) (2x2-3^)°; ,/4m , 9nV k 4^); 16) -?^V ^^14o°?' 3k'bj 8. 181. Die Binomialformel ist bisher nur für ganze positive Expo¬ nenten erwiesen worden; es wurde nämlich vorausgesetzt, daß n die Anzahl der gleichen Faktoren bedeutet, unter welcher Annahme n nothwendiq eine ganze positive Zahl sein muß. Es läßt sich nun zeigen, daß der binomische Lehrsatz auch für negative und gebrochene Exponenten giltig ist. Wenn n eine ganze positive Zahl bedeutet, so ist Untersuchen wir nun die Bedeutung dieser Reihe, die wir der Kürze halber durch (Reihe n) ausdrücken wollen, auch für den Fall, wenn n keine ganze positive Zahl ist. Wir setzen also, was auch immer u bedeuten möge, L-.I^si)^tzst-^tz)^.... Denken wir uns eben so eine zweite Reihe, welche auf die¬ selbe Art von p abhängt, wie die frühere von n, wo p was immer für eine Zahl bedeutet; diese Reihe wird der frühern Bezeichnung zu Folge heißen, und man hat L,---bsi)-°^tz)-°-^)-'-^... Multipliziren wir die beiden Reihen und mit einan¬ der, so wird auch das Produkt als ein nach x steigend geordnetes Polynom erscheinen. Dieses Produkt wird nach den Gesetzen der Multiplikazion auf einerlei Art gebildet, was immer für Wcrthe n und p haben mögen; man braucht also nur die Beschaffenheit des Produktes für den Fall zu kennen, wenn n und p ganze positive Zahlen bedeuten, weil dasselbe Bildungsgesetz auch in den übrigen Fällen Statt finden muß. Sind n und p ganze positive Zahlen, 238 so kann man das Produkt der beiden Reiben auch ohne wirkliche Mnlti- plikazion derselben finden; es ist nämlich unter dieser Voraussetzung k» — (1 ff- x)° — (l x)^ daher k». — (I -s- x)"^?. Weil aber u-s-p eine ganze Zahl vorstellt, so ist (1 -ss x)°>-> — - - s" f s" t s" 3 ° somit Id» ' Idp - Id-t-^p. Dieser Ausdruck ist für ganze positive Werthe von w und p abgeleitet worden; nach dem oben Gesagten muß er aber auch gel¬ ten, wenn n und p was immer für andere Werthe haben, folglich muß er allgemein giltig sein. Es seien nun Id^, Id,, Id., ... ähnliche Reihe» wie Id» und lip, so bat man l' Idp - ltj - lt - lf ll, . Up . Idq . lt , — - lt» - - ,, . Id,. ------ ll» I .j I >. . . . , allgemein H„ . Up . Hy. Id,.. I>g .. . ----- 1^» a-s -s ... Setzen wir nun n — p — h ------ r—s . .. , so ist Id» . I^n . Id» - Id» . Id» ... l l- . ,1 ! 11 - N - n ! . . . , oder, wenn die Anzahl solcher Faktoren l< ist, wo K dann offenbar eine ganze pofitive Zahl vorstellt, (Id»)" ----- L». Da n was immer für eine Zahl bedeuten kann, so setzen wir n wo ll irgend eine ganze positive Zahl vorstellt; wir er¬ halten. Nun wissen wir, daß für den Fall, wo Ii eine ganze positive Zahl bedeutet, R^(I^x)" ist, daher ist auch <1 x?' oder, wenn mau beide Tbeile zur Potenz -- erhebt, R ^(l ss- x)". 239 Nun ist vermöge der eingeführten Bezeichnung /UX /1>X - R, 1 Z- X -si x^ -j- x» -j- . . ., also auch (1 -s- x)>° — 1 Z- X -s- x^ -h- xb -s- . . . , wo jeden positiven Bruch bedeuten kann. Daraus folgt, daß die durch U„ ausgedrückte Reihe auch dann, wenn n einen positiven Bruch bedeutet, die Potenz (1-j-x)" vorstellt. Um die Giltigkeit der binomischen Reihe für negative Expo¬ nenten zu zeigen, setzen wir in dem Ausdrucke p —— n, so ist Aber -si(?)x^(§)^ ... -^1, daher U„ . 1 und Bedeutet nun n eine positive ganze oder gebrockene Zahl, so ist bereits erwiesen worben, daß - 1 Z- sA x -si x- -si ^x- (1 ^x)" ist, daher hat man " (i -t- — <1 x) . Aber nach der obigen Bezeichnung ist 8- - l s^j si/) -- s-e - - daher (1 ^x)-n 1 ^x Z- ^2^2 Z- . . ., wo —II jede beliebige negative ganze oder gebrochene Zahl bedeu¬ ten kann. Es ist also für jeden Werth von n (1 -j- x)° — 1 -s- X Z- X? si- x° -s- . . . Da hier x jeden beliebigen Werth annehmen kann, so wollen wir x — setzen, wodurch wir erhalten oder, weil (l st- auch 240 und, wenn man beiderseits mit n" multiplizirt, (n ff- b>)° — -- -r" -s- a"-' b -s- ^°-2 h- ff- -I- . . . , welche Gleichung für jeden Werth von n giltig ist. Die Binomialformel gilt also nicht nur für ganze positive, sondern anch für gebrochene und negative Exponenten. Ist der Exponent n eine ganze positive Zahl, so muß die Ent¬ wicklungsreihe mit dem (nff-l)ten Gliede abbrechen, welches ist, da der Koeffizient des nächstfolgenden Gliedes und die aller folgenden Glieder gleich Nnll werden. Ist dagegen n eine gebrochene oder negative Zahl, so wird kein Glied kommen, dessen Koeffizient gleich Null wäre; die Bino¬ mialreihe besteht daher aus unendlich vielen Gliedern. Beispiele. 1) (u -s- b)-b -- u-b ff- ^-4 b 1)2 —-r-» —3n-»bff-6u"bi)2__io-r-«b^ff-15-r^b^— - - . — ffffbst _I- — — a" s,' L' 3) (u ff- b)-" -- u-" ff- u-w-i d st- a—ff- ( b- ff- . . . m __ - . k ff. ^-m-2 1)2 m (m -t- 1) (m st- 2) m-z z > 12 . 3 V^-... 1 mb , m(mst-I) dst _ m(mff-1)liit-l-2) _ L'" 1 ' ! ff" 1.2 ' '-- 1.2 . 3 ! I . m b m(mffl) m (m-I-1)tm-t-2) Ist' . — — 2 1.2^3 241 5) " E) (-r)' 6) (v)'- _ ms- > 1 d m—1 /b^2 sin —t)s2w—1) /dX» 1. m's 2.w2'^a/^ 2.3.w3 'la/ 9) 1/50 —1/49-i-l----1/49-1/1 ->-^ — 7.(1— 10) 1/79 — 1/81 - L — 9. (1 — /i)^ — . .. 11) (x-)-kr) "— ... 12) (x-g) Ao-nik, Algebra. 5. Aufl. 16 242 V. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1. Die absolute und einfache Wahrscheinlichkeit. K. 182. Im gewöhnlichen Leben heißt ein Ereigniß wahrscheinlich, wenn für das Stattfinden desselben mehr Gründe vorhanden sind, als für das Nichtstattfinden. So unbestimmt auch nach dieser Er¬ klärung der Begriff des Wahrscheinlichen ist, so ist er doch nichts¬ destoweniger einer streng wissenschaftlichen Auffassung fähig. Bei jeder Erscheinung müssen wir bestimmte Ursachen voraus¬ setzen, welche sie hervorbringcn, wenn wir auch diese Ursachen und ihren Zusammenhang nicht immer kennen. Häufig sind die Ursachen und unsere Kenntnisse von ihrer Wirkungsweise von der Art, daß wir nicht nur alle möglichen Fälle, unter denen die hervorgebrachte Erscheinung auftreten kann, anzugeben im Stande sind, sondern auch die Ueberzeugung gewinnen, daß alle diese Fälle gleich mög¬ lich sind, d. i., daß für das Eintreten des einen Falles nicht mehr Grund vorhanden ist, als für das Eintreten jedes anderen Falles. Von diesen gleich möglichen Fällen können einige das Eintreffen eines gewissen Ereignisses begünstigen, andere demselben ungün¬ stig sein. Wenn nun alle gleich möglichen Fälle bekannt sind, welche dem Stattfinden eines Ereignisses günstig, und eben so auch jene, welche demselben ungünstig sind, so kann der Grad der Wahrschein¬ lichkeit für das Eintreffen jenes Ereignisses der Rechnung unterzo¬ gen werden. Man nennt nämlich das Verhältniß der Anzahl jener Fälle, welche dem Eintreffen des Ereignisses günstig sind, zu der Anzahl aller gleich möglichen Fälle, welche auf das Ereigniß ein¬ wirken können, die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen dieses Ereignisses. Heißt n, die Zahl der einem Ereignisse günstigen, und k die Zahl der ihm ungünstigen Fälle, so ist, wenn die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen jenes Ereignisses durch ve aus¬ gedrückt wird, a — —s— 8, -j— Je mehr Fälle dem Eintreffen des Ereignisses günstig sind, oder je größer a ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit für das Stattstnden des Ereignisses; sind alle Fälle günstig, so ist das Stattfinden gewiß, und man hat, da b —Oist, als das mathema¬ tische Symbol der Gewißheit - 1. L — 243 Je weniger günstige Fälle vorkommen, desto kleiner wird auch die^ Wahrscheinlichkeit; ist gar kein Fall günstig, so ist das Ein¬ treffen des Ereignisses unmöglich, und man hat, da n—Oist, für das mathematische Symbol der Unmöglichkeit o rv — -i- — 0. b Der Begriff des Wahrscheinlichen im gewöhnlichen Leben ist, wie aus dieser Darstellung hervorgehet, ein beschränkter, und be¬ zieht sich nur auf den Fall, wo die Wahrscheinlichkeit größer als ist; wogegen man ein Ereigniß, dessen Wahrscheinlichkeit kleiner als ist, unwahrscheinlich zu nennen pflegt. Will man die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, d. i. die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintref¬ fen desselben, mathematisch ausdrücken, so darf man nur bedenken, daß jene Fälle, welche für das Eintreffen des Ereignisses ungünstig waren, für das Nichteintreffen desselben günstig sind; es wird dem¬ nach die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit durch einen Bruch dar¬ gestellt, dessen Zähler die Anzahl aller ungünstigen, und der Nen¬ ner die Anzahl aller gleich möglichen Fälle ist. Heißt diese Wahr¬ scheinlichkeit nch so ist , b rv — — s, a -j- und man hat d. h. die Summe der Wahrscheinlichkeit für das Ein¬ treffen eines Ereignisses und jener für das Nicht¬ eintreffen gibt die Einheit, somit die Gewißheit; was auch ganz natürlich erscheint, da es gewiß ist, daß jenes Ereigniß ent¬ weder eintreffen oder nicht eintreffen muß. Aus rv ff- rv' — 1 folgt rv' — 1 — rv. Hat man daher die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Ereignisses gefunden, so wird die Wahrscheinlichkeit für das Gegentheil erhalten, wenn man die erstere Wahrscheinlichkeit von der Einheit abzieht. Beispiele. 1) Wirft man zwei Spielwürfel und L, deren sechs Seiten nach der Reihe mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 Punkten oder Augen bezeich¬ net sind, aufs Gerathewohl auf den Tisch, so sind in Bezug auf die.Zahlen, welche auf der obersten Seite der beiden Würfel stehen, folgende Fälle gleich möglich: 16' 244 Es sind also 36 Fälle gleich möglich, und es lassen sich leicht folgende Aufgaben lösen: n. Um die Summe 5 zu werfen, sind 4 Fälle günstig, nämlich 14, 23, 32, 41. Die Wahrscheinlichkeit, mit beiden Würfeln 5 Augen zu werfen, ist also Dieser Ausdruck, welcher an¬ zeigt, daß in 9 Würfen die Summe 5 einmal geworfen werde, ist jedoch nicht so zu verstehen, als wenn man in den ersten neun Würfen die Summe 5 gerade einmal werfen müßte; man kann diese Summe vielleicht gar nicht, oder gerade einmal, oder auch mehr als einmal werfen; aber wenn man sehr viele Würfe macht, so wird sich das Verhältniß der Anzahl Würfe, wo man 5 wirft, zu der gesummten Anzahl der Würfe um so mehr dem Verhältnisse 1 :9 nähern, je länger das Spiel fortgesetzt wird. Der wirkliche Erfolg wird der durch Zahlen ausgedrückten Wahrscheinlichkeit um so näher kommen, je größer die Anzahl der Versuche ist; und in diesem Sinne ist die mathematische Wahrscheinlichkeit stets auf- zusassen. Die Wahrscheinlichkeit, die Summe 5 nicht zu werfen, ist 1 _4 — b. Die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen 3 und 5 zu werfen, ist, da nur zwei Fälle 35 und 53 günstig sind, o. Die Wahrscheinlichkeit, einen Pasch, d. i. zwei gleiche Zahlen zu werfen, ist z. 2) In einer Urne befinden sich 10 weiße und 6 rothe Kugeln; welches ist die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen? - I o - !> Eben so ist die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit, nämlich die, eine rothe Kugel zu ziehen, 1 — H — 3) In einer Urne sind 5 Kugeln, wie groß ist die Wahrschein¬ lichkeit, eine ungerade Zahl von Kugeln herauszuziehen, und wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Anzahl? Es sind im Ganzen 16 ungerade Zusammenstellungen möglich, nämlich 5 Kugeln, jede einzeln gezogen, 10 Lernen und 1 Quin- terne; und 15 gerade Zusammenstellungen, nämlich 10 Amben und 5 Quaternen; also zusammen 31 Zusammenstellungen. Die Wahr¬ scheinlichkeit für eine ungerade Anzahl ist also und die Wahr¬ scheinlichkeit für eine gerade Anzahl 4) Betrachtet man die 32 Blätter der sogenannten deutschen Karte, so ist die Wahrscheinlichkeit, 245 eine rothe Farbe zu ziehen.44 — 4 eine Oosur zu ziehen./2 — 4 einen König zu ziehen.4^-4 eine Figur zu ziehen.44 —§ ein bestimmtes Blatt, z. B. Ooeur-Aß zu ziehen 5) Die 90 Nummern unserer Zahlenlotterie geben, wie bei der Kombinazionslehre nachgewiesen wurde, 90 Unionen, 4005 Amben, 117480 Lernen, während die 5 gezogenen Nummern nur 5 Unio¬ nen, 10 Amben und 10 Lernen zulassen. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmt genannte Nummer (No- minate) zu treffen, ist, da jede der 90 Nummern gerade die so vielte gerufen werden kann, als vorher bestimmt wurde, Die Wahrscheinlichkeit, daß überhaupt eine bestimmte Nummer unter den gezogenen vorkomme (Extrate), ist 4^ —six. Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei genannten Nummern einen Ambo zu machen, ist MZ —M7Z> und jene mit drei genannten Nummern einen Terno zu machen, - ^0^. — Die bisher betrachtete Wahrscheinlichkeit, wobei nur ein Er- eigniß an und für sich betrachtet wird, heißt die absolute und einfache Wahrscheinlichkeit. 2. Die relative Wahrscheinlichkeit. §. 183. Von der absoluten Wahrscheinlichkeit ist die relative, welche sich auf die Vergleichung zweier bestimmter Ereignisse bezieht, wohl zu unterscheiden. Gesetzt, es spielen zwei Spieler mit zwei Wür¬ feln so, daß gewinnt, wenn er 10 Angen wirst, und L, so ost er 7 Augen wirft, während alle andern Würfe weder Gewinn noch Verlust bringen. Man will nun die Wahrscheinlichkeit wissen, welche vorhanden ist, mit zwei Würfeln auf einen Wurf eher die Summe 10 als 7, oder umgekehrt, eher 7 als 10 zu werfen. Offenbar braucht man hier nicht so, wie bei der Bestimmung der absoluten Wahrscheinlichkeit, alle möglichen Fälle in Betrachtung zu ziehen, sondern nur diejenigen, welche den beiden Ereignissen günstig sind. Der Summe 10 sind 3, der Summe 7 dagegen 6 Falle günstig; zählt man daher diejenigen Fälle gar nicht, wo weder 10 noch 7 fällt, so sind nur 9 Fälle möglich; und es ist die relative Wahr¬ scheinlichkeit, eher die Summe 10 als jene 7 zu werfen, und die relative Wahrscheinlichkeit, eher 7 als 10 zu werfen, H. Die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten gibt die Einheit, wie es auch sein muß, da es gewiß ist, daß man entweder eher 10 als 7, oder eher 7 als 10 werfen muß. 246 Sind überhaupt s gleich mögliche Fälle, welche verschiedene Ereignisse herbeisühren können, und vergleicht man nur die Ereig¬ nisse und 8, deren einem m, und dem andern n Falle günstig sind, so ist die relative Wahrscheinlichkeit äV für das Ereigniß und die relative Wahrscheinlichkeit für das Ereigniß 8 n w -j- ü* Man kann die relativen Wahrscheinlichkeiten auch aus den absoluten herleiten. Es ist nämlich, wenn man die absoluten Wahr¬ scheinlichkeiten für die Ereignisse und 8 beziehungsweise durch und bezeichnet, IN IN -j- n IN , n -j- ' 8 "8 n --- " . IN n IN , n 8^8 Die relative Wahrscheinlichkeit eines Ereignis¬ ses wird demnach erhalten, wenn man die absolute Wahrscheinlichkeit jenes Ereignisses durch die Summe der absoluten Wahrscheinlichkeiten der beiden Er¬ eignisse dividirt. Beispiele. 1) Die absolute Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln die Summe 5 zu werfen, ist und die absolute Wahrscheinlichkeit, 7 zu wer¬ fen, Es ist daher die relative Wahrscheinlichkeit, eher 5 als 7 zu werfen, 4 rv — — 4._2 und die relative Wahrscheinlichkeit, eher 7 als 5 zu werfen, 6 6 L 4-j-6 'S 2- 2) In einer Urne sind 4 weiße, 6 blaue und 8 rothe Kugeln. Die absolute Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, ist ,, rothe ,, ,, ,, ,, daher die relative Wahrscheinlichkeit, 4 eher eine weiße als eine rothe Kugel zu ziehen id' "r- 48 eher eine rothe als eine weiße Kugel zu ziehen — Z. IN -j- IN 247 3) Die absolute Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiel von 32 Karten eine rothe Figur zu ziehen, ist und jene, eine schwarze Figur zu ziehen, ebenfalls es ergibt sich daraus die relative Wahrscheinlichkeit, eher eine rothe als eine schwarze Figur zu zie- 6 hen — — — und denselben Ausdruck erhält man auch für die relative Wahrscheinlichkeit, eher eine schwarze als eine rothe Figur zu ziehen, was auch so sein muß, weil beide Ereignisse gleich wahrscheinlich sind. 3. Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. 8- 184. Wenn die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf der Berechnung mehrerer einfacher Wahrscheinlichkeiten beruhet, so heißt eine solche Wahrscheinlichkeit eine zusammengesetzte. Sie ist zweifacher Art; entweder schließt sich das Eintreffen der einzelnen Ereignisse gegenseitig aus, und es kann unter mehreren fraglichen Ereignissen nur eines Statt finden; oder es sollen zwei oder mehrere Ereignisse in Verbindung mit einander, gleichzeitig oder nach einander eintreffen. Wir wollen jede dieser zwei Arten durch Beispiele beleuchten, und die Regeln für ihre Berechnung entwickeln. a) Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen ei nes v o n m e h r e r e n Ereignissen, die sich gegenseitig ausschließen. K. 185. Wenn in einer Urne 3 weiße, 4 rothe, 5 gelbe und 6 blaue Kugeln sich befinden, so ist die absolute Wahrscheinlichkeit, daraus eine weiße Kugel zu ziehen, ,, ,, ,, ,, f» rothe ,, ,, ,, is§ i „ „ „ „ „ gelbe „ „ „ Will man nun die Wahrscheinlichkeit wissen, daß entweder eine weiße oder eine rothe oder eine gelbe Kugel gezogen werde, so sind dem Eintreffen dieses Ereignisses 3 ff- 4 ff- 5 — 12 Fälle günstig; die Wahrscheinlichkeit, eine weiße, rothe oder gelbe Kugel zu zie¬ hen, ist daher j-I — ff- ff- Ist allgemein s die Anzahl aller gleich möglichen Fälle , von denen m dem Ereignisse n dem Ereignisse L, p dem Ereignisse 6, ... also in ff- n ff- p ff- ... für das Eintreffen irgend eines unter den Ereignissen 6, 6, ... günstig sind, so ist, wenn man die absoluten Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse durch iv', ^v", rv"', ..., und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines dieser Ereignisse durch 4V bezeichnet, 248 , m ,, n ,,, p v' —-, v" — -, rv'" — —, . . . s s ' s ' und -si " 4- p -ff ... m , II . p » s s s oder — rv' -s- rv" -s- M"' -j- . . . d. i. die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines von mehreren sich gegensei¬ tig ausschließenden Ereignissen ist gleich der Summe der absoluten Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Beispiele. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln mehr als 8 Augen zu werfen? Die absolute Wahrscheinlichkeit, 9 7, 77 7, lO 77 77 77 „ 7' ,7 12 daher die Wahrscheinlichkeit, entweder Augen zu werfen, Augen zu werfen, ist 3 ff ff ff "3^, 2- ff ff ff ff ^tzf 1 * ff ff ff ff "36 ) 9 oder 10 oder 11 oder 12 _4_I_3 I_2 I_1 - 10 - 5 361 3^1 3 6 i 36 - 3^- 2) Die absolute Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 32 Karten eine Ooour Figur zu ziehen, ist ... . eine Ooour, die keine Figur ist, zu ziehen, eine Ourenu Figur zu ziehen, .... ^ eine Oaroau, die keine Figur ist, zu ziehen, Daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine Ooeur überhaupt zu ziehen, —— eine rothe Figur zu ziehen, . . eine blaßrothe Karte zu ziehen, . /2 -s- ein rothes Blatt zu ziehen . . /2-si/2 Z-/2-si -- 2- b) Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen mehrerer Ereignisse. §. 186. In einer Urne L. befinden sich 4 weiße und 6 rothe Kugeln, in einer zweiten L 6 weiße und 8 rothe Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man, wenn man aus beiden Urnen zu¬ gleich zieht, aus jeder eine weiße Kugel herausziehe? Beim Ziehen aus der Urne sind 10 Fälle, aus der Urne L 14 Fälle möglich; also gibt es, da man bei jedem der 10 mög- 249 lichen Züge aus jeden der 14 möglichen Züge aus 8 machen kann, beim gleichzeitigen Ziehen aus beiden Urnen 10 . 14— 140 gleich mögliche Fälle. Für das Ziehen einer weißen Kugel aus X sind 4, aus 8 6 Fälle günstig; man hat daher, da jeder der 4 er¬ stem Fälle mit jedem der 6 letztem zusammentreffen kann, für das gleichzeitige Ziehen einer weißen Kugel aus beiden Urnen 4.6 —24 günstige Fälle. Es ist somit die Wahrscheinlichkeit aus beiden Ur¬ nen zugleich eine weiße Kugel zu ziehen 2 4 - ' 6 _ 4 g rru — io . 14 —^6 ' n Es sei nun allgemein die Wahrscheinlichkeit für das Zu¬ sammentreffen zweier Ereignisse und 8, deren ersterem in' Fälle günstig und n' Fälle ungünstig, dem letztem m" Fälle günstig und n" Fälle ungünstig sind. Die absoluten Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse sind / in" w'— —, , rv"— —. m -l- a' ' IN n ' Da nun jeder der m' dem Ereignisse iV günstigen Fälle mit jedem der in" dem Ereignisse 8 günstigen Fälle zusammen eintreffen kann, so gibt es für das Zusammentreffen beider Ereignisse in' in" günstige Fälle. Die Anzahl aller möglichen Fälle ist (in'-j-n') (in"-j-n"), weil jeder der in' -j- n' bei möglichen Fälle mit jedem der in"-j-n" bei 8 möglichen Fälle Zusammentreffen kann. Es ist da¬ her die Wahrscheinlichkeit, daß die beiden Ereignisse und 8 zu¬ sammen eintreffen, vV — ——j j—-- — ———- . ——— (ra'-j-n ) (m"-j- 8") Heißen eben so vv', w", >v"', ... die absoluten Wahrschein¬ lichkeiten für das Eintreffen der einzelnen Ereignisse 8, 6,...; so erhält man die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen aller dieser Ereignisse — iv' rv" iv'" ... d. h. die Wahrsch einlichkeit für das Zusammentreffen niedrerer Ereignisse ist gleich dem Produkte aus den absoluten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen der einzelnen Ereignisse. Beispiele. 1) Es seien die 32 Karten nach den Farben in 4 Pakete ein- getheilt; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Ooeur König zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit, die Hand auf das Paket der 6osurs zu legen, ist die Wahrscheinlichkeit, aus diesem Paket den König 250 zu ziehen daher die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen dieser beiden Ereignisse —g'?- 2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von zwei Spielern, deren jeder ein Blatt von 32 Karten in Händen hat, und die beide zugleich jeder eine Karte ziehen, ein blaßrothes Blatt und L eine schwarze Figur ziehe? Die Wahrscheinlichkeit, daß ein blaßrothes Blatt ziehe, ist — die Wahrscheinlichkeit, daß 13 eine schwarze Figur ziehe, ist Z? — daher die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen der beiden Ereignisse 3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 32 Karten in den ersten zwei Zügen König und Dame derselben Farbe, jedoch in beliebiger Ordnung zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit, auf den ersten Zug einen König oder eine Dame zu ziehen, ist —die Wahrscheinlichkeit, dann aus den noch übrigen 31 Karten die zweite dieser Figuren von dersel¬ ben Farbe zu ziehe«, ist daher die gesuchte Wahrscheinlichkeit — i i — i — T - — n-2?- 4) Die Urne hat 5 weiße und 7 rothe Kugeln, die Urne L 6 weiße und 3 rothe; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aufs Ge- rathewohl aus einer dieser Urnen eine rothe Kugel zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit, in die Urne zu greifen, ist jene, daraus eine rothe Kugel zu ziehen, folglich die Wahrscheinlich¬ keit, aus eine rothe Kugel zu ziehen, Eben so ist die Wahrscheinlichkeit, aus der Urne 6 eine rothe Kugel zu ziehen, Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit, aus der ersten oder zweite Urne eine rothe Kugel zu ziehen, ist daher — -s- I 4 7 U- 2 - 0 7 5) In der Urne befinden sich 4 Treffer und 20 Nieten, in der Urne 13 6 Treffer und 24 Nieten, in der Urne 0 8 Treffer und 28 Nieten; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einen zu¬ fälligen Griff in eine dieser Urnen einen Treffer zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit, in die Urne ^4 zu greifen und daraus einen Treffer zu ziehen, ist jene, aus 13 einen Trester zu ziehen, . 4; und jene, aus 0 einen Treffer zu ziehen, . ß; daher die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1 I > 1 I > I 2 _ I I I I 2 - 5» -g - ? n-F s — — 24M- §. 187. Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln im ersten Wurfe einen Pasch zu werfen, ist jene, im zweiten Wurfe wieder einen Pasch zu werfen, auch die Wahrscheinlichkeit für das Zusam¬ mentreffen dieser beiden Ereignisse, d. i. die Wahrscheinlichkeit, daß man zweimal nach einander Pasch werfe, ist daher — (^)?. 251 Eben so wird die Wahrscheinlichkeit, dreimal nach einander einen Pasch zu werfen, sein. Ist überhaupt rv die absolute Wahrscheinlichkeit, daß irgend ein Ereigniß eintreffe, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß jenes Er- eigniß 2, 3, 4,... rmal nach einander eintreffe, rv2 — rv . rv — rv?, rVz — rv. rv. ev — ev^, rn — rv . ev. rv . ev — rv^, rv, — . ev. rv.... rmal — vv'. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ereigniß mehrer Male nach einander Statt finde, ist also gleich de^ Wahrscheinlichkeit für das einmalige Eintreffen, er>r hoben zur so vielten Potenz, als Wiederholungen Statt finden sollen. Beispiele. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln 3mal nach einander die Summe 7 zu werfen? Die Wahrscheinlichkeit, die Summe 7 einmal zu werfen, ist also die Wahrscheinlichkeit, diese Summe 3mal nach einander zu werfen, 2) Wie groß ist die Wahricheinlichkeit, aus 32 Karten 4mal nach einander eine 6osur zn ziehen? Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen einer Ooour ist daher jene für das 4mal nach einander folgende Ziehen der Oosur (^)r — 4. Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Kombinaz ionen mehrerer E reignisse. 8. 188. Nach den bisher vorgetragencn Säßen sind wir nun im Stande, für jede Kombinazion, welche zwischen dem wechselseitigen Statt¬ finden oder Nichtstattfinden zweier oder mehrerer Ereignisse möglich ist, den Grad der Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Es seien s gleich mögliche Fälle, von denen ir? dem Ereig¬ nisse und m" dem Ereignisse L günstig sind; so ist, wenn die absolute Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden von durch rv', und jene für das Stattfinden von L durch w" bezeichnet wird, , IN* ,, in" ^V — — , —. 8 8 Es ist nun die absolute Wahrscheinlichkeit, 252 daß eintrifft, .... „ nicht eintriffl, . . „ L eintrifft, .... „ L nicht eintrifft, . . „ eintrifft, L nicht „ nicht eintrifft, aber L „ und L eintreffen rv' 1 — rv* rv" 1 — rv" rv' (1 — vv") (1—rv') rv" rv' >v" 1 — XV' rv^' (1—rv') (1 — rv") 1 — (1—rvO (1—rv"'). und L nicht beide eintreffei „ weder noch L eintrifft, . „ entweder oder L eintrifft . Aus gleiche Weise läßt sich, wenn die absoluten Wahrschein¬ lichkeiten rv', rv," rv"' für das Stattfinden dreier Ereignisse L, 6 bekannt sind, daraus die Wahrscheinlichkeit für jede Kombinazion finden, die in Bezug auf das wechselseitige Eintreffen und Nicht¬ eintreffen jener drei Ereignisse möglich ist. So erhält man z. B. für die Wahrscheinlichkeit, daß unter diesen drei Ereignissen wenig¬ stens eines eintreffe, den Ausdruck 1 _(1—(1 -rv") (1—rv"). Beispiele. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln, wenn nicht auf den ersten, so doch im zweiten Wurf 9 Augen zu werfen? Hier ist rv' —und w"—H, daher die gesuchte Wahrschein¬ lichkeit l-(l-rv') 2) Ein Mann ist 28 Jahre alt und seine Frau 21 Jahre. Man soll den Grad der Wahrscheinlichkeit bestimmen, daß nach 20 Jah¬ ren noch der Mann, oder daß die Frau, oder baß beide noch am Leben seien; oder daß der Mann schon todt sei, oder daß die Frau, oder daß schon beide todt seien; oder daß die Frau den Mann überlebe, oder der Mann die Frau; oder daß wenigstens eines von beiden lebe, oder daß wenigstens eines von ihnen schon todt sei. Nach der Süßmilch-Baumann'schen Sterblichkeitstabelle leben von 1000 zugleich gebornen Menschen nach 21 Jahren noch 486, ,, ,, ,, 451, „ 41 „ „ 367, „ 48 „ „ 316. Da also von 451 Personen, welche 28 Jahre alt sind, nur 316 das 48ste Lebensjahr erreichen, somit für das Erreichen des 48sten Jahres bei 28jährigen Menschen unter 451 Fällen nur 316 günstig sind, so ist die Wahrscheinlichkeit des Mannes, noch 20 Jahre zu leben, 0-7007. 253 Eben so ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Frau noch 20 Jahre lebe, ^-«-0 7SS1; daher die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren beide noch leben, , ,, 316 367 rv' w" — — . —0 5291. 4a l 486 und Die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren der Mann schon todt sei, ist 0 2993, 4o1 4oL jene, daß die Frau schon todt sei, . ,, < 367 119 "486 ^ 486 ^ 02449, daß schon beide todt seien (1-^) Z- 0 0733. Die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren der Mann schon todt sei, und die Frau noch lebe, ist 135 367 (1 - N-) rv" -- ' 0 2260, und jene, daß der Mann die Frau überlebe, 0-1716. Die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren wenigstens eines von beiden schon todt sei, ist , ,, , 316 367 rr l-" ^1-451 . 04709, und jene, daß wenigstens eines von ihnen noch lebe, 1 - (1 - (1 - -- 1 - I 0-9267. 5. Mathematische Erwartung und rechtmäßiger Einsatz bei Wetten und Glücksspielen. 189. Wenn mit dem Eintreffen eines Ereignisses der Besitz eines physischen Gutes oder ein Gewinn erworben werden kann, so hat derselbe vor dem Eintressen jenes Ereignisses einen Werth, welcher von dem Grade der Wahrscheinlichkeit abhängt, die für das Statt¬ finden des Ereignisses vorhanden ist; man nennt diesen Werth die mathematische Erwartung. Trifft das Ereigniß gewiß ein, 254 so wird auch der Gewinn mit Gewißheit erworben, und der zu er¬ wartende Gewinn hat auch vor dem Eintreffen des Ereignisses sei¬ nen vollen Werth. Sind aber unter den Ursachen, wovon das Stattfinden des Ereignisses abhängt, a günstige und b ungünstige, so wird das Ereigniß nicht mit Gewißheit, sondern unter a-f-b Fällen nur in n Fällen eintreffen; und es wird daher auch der zu erwartende Gewinn nicht mit dem vollen Werthe in Aussicht gestellt werden können, sondern nur mit dem so vielten Theile, als die Wahrscheinlichkeit rv, ihn zu erhalten, anzeigt. Heißt daher e die mathematische Erwartung, und g der zu erwartende Gewinn, so ist a a -j- b Die mathematische Erwartung eines Gewinnes ist also gleich dem Gewinne multiplizirt mit derWahr- sch ein lich kei t, ihn zu erhalten. Beispiele. 1) Jemand kann, wenn er mit zwei Würfeln die Summe 5 wirft, 2 fl. gewinnen; wie groß ist seine mathematische Erwartung? Die Wahrscheinlichkeit, 5 Augen zu werfen, ist H; daher .2--- fl. 2) Jemand setzt auf zwei Nummern 1 fl., und hat, wenn seine beiden Nummern gezogen werden, 240 fl. zu gewinnen; welches ist seine mathematische Erwartung? Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Nummern einen Ambo zu machen, ist daher 6 240 — fl v tzoi ' " 801 207 1 3) Jemand besitzt ein Loos einer aus 10000 Losen bestehenden Lotterie, worin ein Treffer von 20000 fl., einer von 10000 fl., 10 Treffer von 1000 fl., 50 von 100 fl., und 1000 von 5 fl. enthal¬ ten find; wie groß ist seine mathematische Erwartung? Die mathematische Erwartung des Treffers von 20000 fl. 'st MW-20000 -- 2 fl., des Treffers von 10000 fl. ist MW. 10000 — 1 fl., eines Treffers von 1000 fl. ist MW. 1000 — 1 ff, eines Treffers von 100 fl. ist^^. 100 — H ff, eines Treffers von 5 fl. rst fu 255 daher seine ganze mathematische Erwartung 6 — — 5 fl. 8- 190. Bei Wetten, Lotterien und anderen Glücksspielen wird eine bestimmte Summe eingesetzt, und dafür im glücklichen Falle eine bestimmte Summe gewonnen. Soll nun der Einsatz dem zu erwar¬ tenden Gewinne gegenüber auf richtiger Grundlage beruhen, so muß die mathematische Erwartung des Einsetzers denselben Werth haben, wie sein Einsatz. Der Grundsatz, aus welchem jede rechtmäßige Wette und jedes rechtmäßige Spiel beruhet, ist also: Der Einsatz muß der mathematischen Erwartung gleich sein. Man hat daher für den Einsatz s dieselbe Formel, wie für die mathematische Erwartung, nämlich 6 — WA. Aus dieser Formel folgt 6 dH. der Gewinn ist gleich dem Einsätze, dividirt durch die Wahrscheinlichkeit des Gewinnens. Heißen und die Einsätze zweier Spieler, welche bezie¬ hungsweise die Wahrscheinlichkeit und rv" haben, einen Gewinn § zu erhalten; so ist 6^—und e" —rv"", daher : e" — : rv", d. h. die Einsätze müssen den Wahrscheinlichkeiten, zu gewinnen, proporzio nirt sein. Beispiele. 1) -4. wettet gegen L, daß er mit zwei Würfeln einen Pasch wirft. Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen, ist für LH, für LH; es müssen sich also auch die Einsätze der beiden Spieler, wenn die Wette rechtmäßig sein soll, wie H:H oder wie 1:5 verhalten, d. h. L muß 5mal so viel einsetzen als L. 2) In unserer Zahlenlotterie ist die Wahrscheinlichkeit, eine Extrate zu treffen eine Nominale zu machen.d mit zwei Nummern einen Ambo zu machen . . mit drei Nummern einen Terno zu machen . . 256 Nimmt man nun z. B. 1 fl. als Einsatz an, so müßte, wenn die Gewinne mit dem Einsätze in einem richtigen Verhältniß stehen würden, als Gewinn gezahlt werden für die Extrate 1 : — 18 fl., für die Nominate 1 : — 90 fl., für den Ambo . 1 : -^s^400-5fl., für den Terno . 1 : —11748 fl. Da nun nach den Lotto-Gesetzen für die Extrate nur der 14fache, für die Nominate der 67fache, für den Ambo der 240fache, für den Terno der 4800fache Einsatz bezahlt wird, so ist leicht zu ersehen, daß sich das Lotto dem spielenden Publikum gegenüber im Bortheile befindet. i,ki« i« 2S1S819S4