Geometrijska predstava Geometric Visualisation Ludmila Kroulíková Faculty of science, Palacky University, Olomouc Matija Lokar Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko, Σ Povzetek V članku so predstavljeni prvi rezultati študije, ki se je bila izvedena na nekaterih slovenskih osnovnih in srednjih šolah. Namen študije je raziskati nivo geometrijske predstave učen- cev osnovnih in srednjih šol. V ta namen so učenci reševali test s področja geometrijske predstave v ravnini, povezan z enako- straničnim trikotnikom. Ključne besede: geometrijska predstava, testiranje, osnovna šola, srednja šola Σ Abstract The paper discusses the first results of a study conducted at pri- mary and secondary schools in Slovenia. The aim of the study was to research the level of geometric visualisation of students at primary and secondary schools in Slovenia. Students took a test of geometric visualisation in a 2D equilateral triangle. Key words: geometric visualisation, testing, primary school, secondary school α Matematika v šoli ∞ XXII. [2016] ∞ 082-089 083 α Uvod Geometrijska predstava Pojem geometrijska predstava v ravnini vključuje sposobnost ustvarjanja in mani- pulacije z geometrijskimi liki v mislih, pre- poznavanje geometrijskih lastnosti, pove- zovanje slik z geometrijskimi koncepti in izreki ter odločanje, kdaj in kako začeti, ko rešujemo geometrijski problem. Geometrij- ska predstava je vrsta spretnosti, ki omogoča predstavo, ustvarjanje in manipulacijo geo- metrijskih likov, ko rešujemo geometrijske probleme (Fujita, Jones, Y amamoto, 2004). Je pomembna spretnost v vsakdanjem življenju. Na podlagi spoznavanja opredmetenih stvari lahko otroci razvijajo svojo domišlji- jo. Ker je sposobnost predstave pomembna za vsakogar, je pomembno, da jo razvijamo. Ljudje z dobro geometrijsko predstavo ima- jo boljše možnosti zaposlitve na tehničnih in umetniških področjih. Otroci v času izobraže- vanja potrebujejo dobro geometrijsko preds- tavo, predvsem na naravoslovnih področjih kot je matematika (Zdráhal, Hodaňová, 2011). Pilotna študija V prispevku opisano testiranje, s katerim proučujemo geometrijsko predstavo učen- cev, je nadaljevanje študije, ki jo je v svoji doktorski disertaciji opisala Jana Slezáková (Slezáková 2011). Na podlagi idej te študi- je je bil pripravljen nov skupek nalog, ki so raziskovale geometrijsko predstavo učencev v povezavi z enakostraničnim trikotnikom. Naloga je bila, da geometrijski lik s po- močjo ene ravne črte razdelimo na dva dela (glej sliko 1), tako da iz dobljenih delov lahko sestavimo enakostranični tri- kotnik. [ S l i k a 1] Grafična navodila za reševanje Test je sestavljalo štirideset tovrstnih na- log. Čas za reševanje je bil 20 minut. Nalo- ge za osnovno in srednjo šolo so se deloma razlikovale, nekaj nalog pa je bila enakih. Na sliki 2 je prikazano šest primerov nalog, ki so bili skupni tako za OŠ kot SŠ. [ S l i k a 2] Primeri nalog Na sliki 3 pa vidimo primera nalog za srednjo šolo, ki nista bila uporabljena pri osnovni šoli. [ S l i k a 3] Primera nalog, uporabljena v srednji in ne v osnovni šoli Učenci so teste reševali anonimno, a če so želeli zvedeti svojo uspešnost, so se lahko podpisali z vzdevkom. β Testiranje v Sloveniji Pilotna študija s tovrstnimi nalogami je bila najprej izvedena na Češkem. Študijska iz- menjava v okviru CEEPUS projekta Active Methods in Teaching and Learning Mathema- 084 Geometrijska predstava tics and Informatic je omogočila enomesečni študijski obisk v Sloveniji. Na osnovi pilotnih študij je bil pripravljen nov test za osnovno in srednjo šolo. Naloge so bile enake kot v pi- lotni študiji, le razvrščene so bile drugače. V novem testu so bile naloge razvrščene glede na uspešnost reševanja posamezne naloge v pilotni študiji. Naloga, ki so jo češki vrstniki najuspešneje reševali, je imela torej zapored- no številko 1, najtežja pa številko 40. Med tem obiskom smo izvedli testiranje na štirinajstih osnovnih in sedmih srednjih šolah po vsej Sloveniji. Ker smo testiranje morali izvesti v sklopu samega obiska, ni bil narejen noben poseben izbor sodelujočih šol. Želeli smo le testirati kar se da veliko učencev in dijakov. Osnovne šole V testiranju jo sodelovalo 1541 učencev osnovnih šol. Šole so bile iz naslednjih kra- jev: Bled, Cankova, Dobrepolje, Gradec, Izo- la, Kočevje, Kuteževo, Laško, Litija, Ljublja- na, Ljutomer, Naklo, Stročja vas in Vače. Pravilen odgovor je prinašal eno točko, brez negativnih točk za napačne ali manjka- joče odgovore. Tako je bil minimalni možni rezultat 0 in maksimalni 40 točk. V tabeli 1 so prikazani skupni rezultati po razredih. razred 6 7 8 9 število učencev 354 349 395 442 povprečje točk 15.243 17.352 20.089 23.197 mediana 14 16 20 24 standardni odklon 8.974 9.587 9.322 10.380 maksimum (40 točk) 1 učenec 0 učencev 2 učenca 11 učencev minimum (0 točk) 5 učencev 11 učencev 1 učenec 3 učenci [Preglednica1] Rezultati: osnovna šola Kot vidimo, se rezultati pričakovano iz- boljšujejo z razredom. Najmanjši napredek je med šestim in sedmim razredom. Pogosto predpostavljamo, da imajo dečki boljšo geo- metrijsko predstavo kot dekleta. Naši rezul- tati tega ne potrjujejo (tabela 2). deklice dečki število učencev 751 704 povprečje točk 19,454 18,816 mediana 19 18 standardni odklon 9,983 10,264 [Preglednica 2] Primerjava deklice/dečki Srednje šole V testiranju je sodelovalo 772 dijakov iz sre- dnjih šol. Šole so bile iz Celja, Kopra, Krške- ga, Ljubljane, Murske Sobote in iz Želimlja. Šole so bile različnih tipov – gimnazije, teh- nične šole … Točkovanje je bilo enako kot pri osnovni šoli. Rezultati so podani v tabeli 3. letnik 1 2 3 4 število učencev 226 178 204 164 povprečje točk 25,996 28,371 29,872 30,787 mediana 28 31 33 34 standardni odklon 9,42 9,648 10,066 9,403 minimum (0 točk) 4 0 2 3 [Preglednica 3] Rezultati v srednjih šolah Če primerjamo rezultate med gimnazija- mi in ostalimi tipi srednjih šol, vidimo, da so rezultati v gimnazijah za približno 10 % bolj- ši. To je nekoliko presenetljivo, saj je večina 085 dijakov, ki niso bili gimnazijci, prihajalo iz tehničnih šol in iz šole za oblikovanje. gimnazije ostale srednje šole število učencev 311 461 povprečje točk 30,315 27,6 mediana 32 30 standardni odklon 9,091 10,075 [Preglednica 4] Primerjava gimnazije/ostale sred- nje šole γ Rezultati posameznih nalog Vrstni red nalog na testu je bil določen glede na uspešnost reševanja nalog v obeh pilot- nih študijah (za osnovno in srednjo šolo), ki sta se prej izvedli na Češkem (Slezáková, 2011). Prva naloga je bila torej tista, ki so jo učenci oz. dijaki na Češkem najbolj uspešno reševali, zadnja pa tista, ki je delala največ težav. Rezultati za osnovno šolo so podani v preglednici 5. Osnovna šola – 1542 učencev  naloga pravilno  napačno  brez rešitve 1 1355 87,87 % 131 8,50 % 56 3,63 % 2 1168 75,75 % 327 21,21 % 47 3,05 % 3 500 32,43 % 678 43,97 % 364 23,61 % 4 1228 79,64 % 254 16,47 % 60 3,89 % 5 545 35,34 % 632 40,99 % 365 23,67 % 6 877 56,87 % 348 22,57 % 289 18,74 % 7 1294 83,92 % 200 12,97 % 48 3,11 % 8 1303 84,50 % 202 13,10 % 28 1,17 % 9 413 26,78 % 598 38,78 % 528 34,24 % 10 464 30,09 % 719 46,63 % 359 23,28 % 11 554 35,93 % 791 51,30 % 197 12,78 % 12 283 18,35 % 734 47,60 % 525 34,05 % 13 326 21,14 % 706 45,78 % 510 33,07 % 14 1194 77,43 % 312 20,23 % 36 2,33 % 15 1401 90,86 % 107 6,94 % 34 2,20 % 16 560 36,32 % 743 48,18 % 239 15,50 % 17 549 35,60 % 684 44,36 % 319 20,69 % 18 811 52,59 % 452 29,31 % 269 17,44 % 19 642 41,63 % 707 45,85 % 197 12,78 % 20 1222 79,25 % 249 16,15 % 60 3,89 % 21 692 44,88 % 603 39,11 % 247 16,02 % 086 Osnovna šola – 1542 učencev  naloga pravilno  napačno  brez rešitve 22 716 46,43 % 582 37,74 % 253 16,41 % 23 925 59,99 % 409 26,52 % 211 13,68 % 24 285 18,48 % 832 53,96 % 425 27,56 % 25 944 61,22 % 406 26,33 % 177 11,48 % 26 310 20,10 % 629 40,79 % 603 39,11 % 27 1160 75,23 % 291 18,87 % 91 5,90 % 28 451 29,25 % 514 33,33 % 575 37,29 % 29 735 47,67 % 493 31,97 % 314 20,36 % 30 793 51,43 % 598 38,78 % 151 9,79 % 31 766 49,68 % 563 36,51 % 213 13,81 % 32 666 43,19 % 547 35,47 % 342 22,18 % 33 402 26,07 % 595 38,59 % 543 35,21 % 34 260 16,86 % 798 51,75 % 484 31,39 % 35 980 63,55 % 374 24,25 % 201 13,04 % 36 150 9,73 % 827 53,63 % 565 36,64 % 37 850 55,12 % 522 33,85 % 180 11,67 % 38 760 49,29 % 482 31,26 % 310 20,10 % 39 692 44,88 % 574 37,22 % 276 17,90 % 40 484 31,39 % 618 40,08 % 439 28,47 % [Preglednica 5] Rezultati po posameznih nalogah: osnovna šola Vidimo, da so določene razlike v tem, ka- tere naloge so bile lažje slovenskim in katere češkim učencem. Najlažje naloge za sloven- ske učence so bile naloge 15, 1, 8, 7, 4, 20 in 14, ki jih vidimo (v navedenem vrstnem redu) na sliki 4. [ S l i k a 4] Osnovnošolcem najlažje naloge Najtežje naloge so bile 36, 34, 24, 12, 26, 13, 9, 33 (glej sliko 5). Največje presenečenje je bilo slabše reševanje nalog 9 in 12, ki so jih češki vrstniki precej uspešno reševali. [ S l i k a 5] Najtrši orehi za osnovnošolce Geometrijska predstava 087 Na sliki 6 je prikazano nekaj tipičnih na- pak. [ S l i k a 6] Tipične napake Domnevamo lahko, da so bile določene napake posledica nerazumevanja navodil. Učenci so si včasih predstavljali sestavljeni trikotnik, ki ni bil enakostranični, ali pa mis- lili, da morajo v liku poiskati »skriti« trikot- nik. Oglejmo si rezultate še za srednje šole (preglednica 6). Srednja šola – 772 dijakov  naloga prav napačno brez rešitve 1 700 90,67 % 59 7,64 % 13 1,68 % 2 715 92,62 % 41 5,31 % 16 2,07 % 3 673 87,18 % 15 1,94 % 84 10,88 % 4 704 91,92 % 59 7,64 % 9 1,17 % 5 635 82,25 % 80 10,36 % 57 7,38 % 6 719 93,13 % 44 5,70 % 9 1,17 % 7 697 90,29 % 68 8,81 % 7 0,91 % 8 619 80,18 % 111 14,38 % 42 5,44 % 9 665 86,14 % 74 9,59 % 33 4,27 % 10 663 85,88 % 89 11,53 % 20 2,59 % 11 611 79,15 % 122 15,80 % 39 5,05 % 12 640 82,90 % 88 11,40 % 44 5,70 % 13 674 87,30 % 65 8,42 % 33 4,27 % 14 677 87,69 % 80 10,36 % 15 1,94 % 15 595 77,07 % 146 18,91 % 31 4,02 % 16 657 85,10 % 84 10,88 % 31 4,02 % 17 624 80,83 % 120 15,54 % 28 3,63 % 18 604 78,24 % 111 14,38 % 51 6,60 % 19 619 80,18 % 130 16,84 % 23 2,98 % 20 562 72,80 % 127 16,45 % 83 10,75 % 21 526 68,13 % 223 28,89 % 23 2,98 % 088 Srednja šola – 772 dijakov  naloga prav napačno brez rešitve 22 598 77,46 % 119 15,41 % 55 7, 12 % 23 594 76,94 % 102 13,21 % 76 9,84 % 24 528 68,39 % 174 22,54 % 70 9,07 % 25 518 67,10 % 130 16,84 % 124 16,06 % 26 480 62,18 % 178 23,06 % 114 14,77 % 27 519 67,23 % 205 26,55 % 48 6,22 % 28 497 64,38 % 140 18,13 % 135 17,49 % 29 460 59,59 % 209 27,07 % 103 13,34 % 30 404 52,33 % 203 26,30 % 165 21,37 % 31 397 51,42 % 242 31,35 % 133 17,23 % 32 508 65,80 % 110 14,25 % 154 19,95 % 33 414 53,63 % 169 21,89 % 189 24,48 % 34 333 43,13 % 321 41,58 % 118 15,28 % 35 398 51,55 % 253 32,77 % 121 15,67 % 36 559 72,41 % 121 15,67 % 92 11,92 % 37 309 40,03 % 264 34,20 % 199 25,78 % 38 369 47,80 % 261 33,81 % 142 18,39 % 39 349 45,20 % 142 18,39 % 227 29,40 % 40 357 46,24 % 216 27,98 % 199 25,78 % [Preglednica 6] Rezultati po posameznih naloga: srednja šola Srednješolcem najlažje naloge so bile na- loge 6, 2, 4, 1 in 7 (glej sliko 7). [ S l i k a 7] Srednješolcem najlažje naloge Najtežje naloge so bile 38, 40, 39, 34, in 37 (glej sliko 8). Kot vidimo, so slovenskim srednješolcem povzročale težave (oz. jim bile lahke) iste naloge kot njihovim češkim vrstnikom (Slezáková, 2011). [ S l i k a 8] Srednješolcem najtežje naloge Na sliki 9 si lahko ogledamo nekaj tipič- nih napak, ki so jih delali srednješolci. Geometrijska predstava 089 [ S l i k a 9] Tipične napake med srednješolci δ Zaključek Geometrijska predstava je pomembna vešči- na, ki omogoča, da v mislih ustvarjamo in spreminjamo grafične like, da prepoznamo geometrijske lastnosti in podobno. Ta štu- dija je namenjena preučevanju geometrijske predstave v ravnini, ki jo imajo učenci in di- jaki. Potrjen je bil pričakovan rezultat, da se geometrijska predstava razvija s starostjo. Opazili pa smo, da ni bilo razlik v rezulta- tih med dečki in deklicami. Nekoliko nas je presenetilo, da so bili rezultati v gimnazijah za približno 10 % boljši. Pričakovali smo, da razlik ne bo oziroma da bodo rezultati v drugih šolah kvečjemu boljši, saj je večina dijakov, ki niso bili gimnazijci, prihajalo iz tehničnih šol in iz šole za oblikovanje. V nadaljevanju projekta bo treba opraviti predvsem natančnejšo analizo tipičnih na- pak, ki so jih delali učenci in dijaki. Raziskati bo treba, ali so te napake posledica neustrez- nih navodil ali res napačnih predstav, ki jih imajo učenci oziroma dijaki. Tovrstne rezul- tate bi lahko uporabili avtorji geometrijskih učbenikov in drugih gradiv s področja geo- metrije, da bi omogočili boljši razvoj geomet- rijske predstave. Zahvala Ta študija je bila deloma podprta s projek- tom CMEPIUS project HU-0028 Active Me- thods in Teaching and Learning mathematics and Informatics. Avtorja se želita zahvaliti vsem sodelu- jočim šolam, še posebej pa učiteljem, ki so omogočili izvedbo testiranja. ε Literatura 1. Molnár, J. (2004): Rozvíjení prostorové představivosti (nejen) ve stereometrii. Olomouc: VUP . 2. Slezáková, J. (2011): Geometrická představivost v ro- vině (disertační práce). Olomouc: PřF UP . 3. Fujita, T., Jones, K. and Yamamoto, S. (2004), Geo- metrical Intuition and the Learning and Teaching of Geometry. 10th International Congress on Mathema- tical Education, (ICME-10), Copenhagen, Denmark. Dostopno na http://eprints.soton.ac.uk/14687/. 4. Zdráhal T ., Hodaňová J. (2011): Matematická abstrak- ce – Makos 2011. Olomouc: PřF UP , JČMF.