Poštnina plačana prj pošti 1102 Ljubljana GLASILO ZVEZE DRUŠTEV GRADBENIH INŽENIRJEV IN TEHNIKOV SLOVENIJE IN MATIČNE SEKCIJE GRADBENIH INŽENIRJEV INŽENIRSKE ZBORNICE SLOVENIJE GRADBENI VESTNIK feb ruar 2 0 0 7 Izdajatelj: Zveza društev gradbenih inženirjev in tehnikov Slovenije (ZDGITS), Leskoškova 9e, 1000 Ljubljana, telefon 01 52 40 200; faks 01 52 40199 v sodelovanju z Matično sekcijo gradbenih inženirjev Inženirske zbornice Slovenije (MSG IZS), ob podpori Javne agencije za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije, Fakultete za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani in Zavoda za gradbeništvo Slovenije Izdajateljski svet: ZDGITS: mag. Andrej Kerin izr. prof. dr. Matjaž Mikoš Jakob Presečnik MSG IZS: Gorazd Humar mag. Črtomir Remec doc. dr. Branko Zadnik FGG Ljubljana: doc. dr. Marijan Žura FG Maribor: Milan Kuhta ZAG: prof. dr. Miha Tomaževič Glavni in odgovorni urednik: prof. dr. Janez Duhovnik Sodelavec pri MSG IZS: Jan Kristjan Juteršek Lektorica: Alenka Raič Blažič Lektorica angleških povzetkov: Darja Okorn Tajnica: Anka Holobar Oblikovalska zasnova: Mateja Goršič Tehnično urejanje, prelom in tisk: Kočevski tisk Naklada: 3 0 0 0 izvodov Podatki o objavah v reviji so navedeni v bibliografskih bazah COBISS in ICONDA (The Int. Construction Database) ter na httn ://www.zveza-daits.si. Letno izide 12 številk. Letna naročnina za individualne naročnike znaša 22,95 EUR; za študente in upokojence 9,18 EUR; za družbe, ustanove in samostojne podjetnike 169,79 EUR za en izvod revije; za naročnike iz tujine 80,00 EUR. V ceni je vštet DDV. Poslovni račun ZDGITS pri NLB Ljubljana: SI56 0201 7001 5398 955 Gradbeni vestnik • GLASILO ZVEZE DRUŠTEV GRADBENIH INŽENIRJEV IN TEHNIKOV SLOVENIJE in MATIČNE SEKCIJE GRADBENIH INŽENIRJEV INŽENIRSKE ZBORNICE SLOVENIJE UDK-UDC 0 5 :6 2 5 ; ISSN 0017-2774 Ljubljana, februar 2007, letnik 56 , str. 29-52 Navodila avtorjem za pripravo člankov in drugih prispevkov • Uredništvo sprejema v objavo znanstvene in strokovne članke s področja gradbeništva in druge prispevke, pomembne in zanimive za gradbeno stroko. • Znanstvene in strokovne članke pred objavo pregleda najmanj en anonimen recenzent, ki ga določi glavni in odgovorni urednik. • Besedilo prispevkov mora biti napisano v slovenščini. • Besedilo mora biti izpisano z znaki velikosti 12 pik z dvojnim presledkom med vrsticami. • Prispevki morajo imeti naslov, imena in priimke avtorjev ter besedilo prispevka. • Besedilo člankov mora obvezno imeti: naslov članka v slovenščini (velike črke); naslov članka v angleščini (velike črke); oznako ali je članek strokoven ali znanstven; nazive, imena in priimke avtorjev ter njihove naslove; naslov POVZETEK in povzetek v slovenščini; naslov SUMMARY, in povzetek v angleščini; naslov UVOD in besedilo uvoda; naslov naslednjega poglavja (velike črke) in besedilo poglavja; naslov razdelka in besedilo razdelka (neobvezno);..., naslov SKLEP in bese­ dilo sklepa; naslov ZAHVALA in besedilo zahvale (neobvezno); naslov LITERATURA in seznam lite­ rature; naslov DODATEK in besedilo dodatka (neobvezno). Če je dodatkov več, so dodatki ozna­ čeni še z A, B, C, itn. • Poglavja in razdelki so lahko oštevilčeni. • Slike, preglednice in fotografije morajo biti omenjene v besedilu prispevka, oštevilčene in oprem­ ljene s podnapisi, ki pojasnjujejo njihovo vsebino. Vse slike in fotografije v elektronski obliki (slike v običajnih vektorskih grafičnih formatih, fotografije v formatih ,tif ali .jpg visoke ločljivosti) morajo biti v posebnih datotekah, običajne fotografije pa priložene. • Enačbe morajo biti na desnem robu označene z zaporedno številko v okroglem oklepaju. • Kot decimalno ločilo je treba uporabiti vejico. • Uporabljena in citirana dela morajo biti navedena med besedilom prispevka z oznako v obliki: (priimek prvega avtorja, leto objave). V istem letu objavljena dela istega avtorja morajo biti označe­ na še z oznakami a, b, c, itn. • V poglavju LITERATURA so uporabljena in citirana dela opisana z naslednjimi podatki: priimek, ime prvega avtorja (lahko okrajšano), priimki in imena drugih avtorjev, naslov dela, način objave, leto objave. • Način objaveje opisan s podatki: kniiae: založba; revije: ime revije, založba, letnik, številka, strani od do; zborniki: naziv sestanka, organizator, kraj in datum sestanka, strani od do; raziskovalna poročila: vrsta poročila, naročnik, oznaka pogodbe: za druge vrste virov: kratek opis, npr. v zaseb­ nem pogovoru. • Prispevke je treba poslati glavnemu in odgovornemu uredniku prof. dr. Janezu Duhovniku na naslov: FGG, Jamova 2 ,1000 LJUBLJANA oz. janez,duhovnik@fgg.uni-lj.si. V spremnem dopisu mora avtor članka napisati, kakšna je po njegovem mnenju vsebina članka (pretežno znanstvena, pretežno strokovna) oziroma za katero rubriko je po njegovem mnenju prispevek primeren. Pri­ spevke je treba poslati v enem izvodu na papirju in v elektronski obliki v formatu MS WORD in v 8 . točki določenih grafičnih formatih. Uredništvo Vsebina • Contents Jubilej stran 30 doc. dr. Janez Reflak - 7 0 let Č lanki • Papers stran 31 dr. Tomaž Rojc, univ. dipl. inž. grad. O MULTIPLIKATIVNI TEORIJI HIPERELASTO-PLASTIČNIH TELES PRI VELIKIH DEFORMACIJAH IN OBJEKTIVNOSTI NUM ERIČNIH ALGORITMOV, I. DEL: TEORIJA USE OF MULTIPLICATIVE THEORY OF HYPERELASTO-PLASTIC BODIES AT LARGE STRAINS AND OBJECTIVITY OF NUMERICAL ALGORITHMS stran 45 as. Janja Kramer, univ. dipl. inž. grad., izr. prof. dr. Renata Jecl, univ. dipl. inž. grad. NUM ERIČNA REŠITEV KONVEKTIVNEGA TOKA V POROZNI KOTANJI ZARADI DVOJNE DIFUZIJE NUMERICAL SOLUTION OF DOUBLE DIFFUSION NATURAL CONVECTION IN POROUS CAVITY Poročila s prireditev 2 8 . zborovanje gradbenih konstruktorjev Slovenije Sem inarji SEMINARJI O EVROKODIH Koledar prireditev J. K. Juteršek, univ. dipl. inž. grad. Slika na naslovnici: Gradnja Puhovega mostu preko Drave na Ptuju, foto Willy Brueckner d y d y///////////////////////// . ' . M :. ij >• ' • ;; 'X i' j-V,' :• it-i "■ ■;« j:-;- JUBILEJ doc. dr. Janez Reflak - 70 let Doc. dr. Janez Reflak bo v prvih dneh letoš­ njega marca dopolnil sedemdeseto leto. Slo­ venski gradbeniki ga poznamo kot uveljavlje­ nega strokovnjaka in človeka, ki uspešno opravlja številne vodstvene naloge v naših poklicnih in društvenih organizacijah. Starej­ šim od njega je znan kot prodoren gradbeni inženir, kije že skoraj pred štiridesetimi leti za­ čel uporabljati računalnik za račun gradbenih konstrukcij in sodeloval pri projektiranju, revi­ ziji in pregledih konstrukcij mostov. Nekaj mlajši od njega smo se z njim prvič srečali pri vajah iz višje matematike, ki jih je že vodil, če­ prav je bil le študent - demonstrator. Številne generacije gradbenikov ga poznajo kot asistenta in učitelja pri predmetih Elastosta- tika in Ploskovne konstrukcije na gradbenem oddelku ljubljanske univerze, najmlajši grad­ beniki pa so se z njim srečali v inženirski zbor­ nici, kjer vodi komisijo za strokovne izpite. Poznamo ga tudi kot funkcionarja v strokovnih in športnih organizacijah. Slavljenčeva življenjska pot ni bila vseskozi ravna in gladka. Rodil se je staršema, majh­ nima posestnikoma na Ribniškem Pohorju, ki sta imela pet otrok. Ker je bila osnovna šola v Ribnici med vojno porušena, je moral štiriletno osnovno šolanje prekiniti in končati po vojni. 1948. leta seje vpisal na klasično gimnazijo v Mariboru. V gimnaziji je bil dejaven v mladin­ ski organizaciji. Po maturi 1957. leta je odšel v vojsko, ker mu doma niso mogli priskrbeti zadosti denarja za študij. Po opravljenem služenju vojske, kjer je opravil tudi oficirsko šolo, se je jeseni 1958. leta vpisal na gradbeni oddelek FAGG ljubljanske univerze in po štirih letih in pol marca 1963. leta diplomiral. Preživljal seje s podporo staršev, s štipendijo, ki mu jo je od maja 1959. leta dajala občina v Radljah ob Dravi ter s svojim delom, saj je bil med študijem tri leta demonstrator pri mate­ matičnih predmetih, med počitnicami pa je bil vsako leto na praksi v gradbenih podjetjih. V študentski organizaciji je bil že prvo leto član odbora združenja gradbenikov, nato pa njegov predsednik in član fakultetnega od­ bora. Diplomo je opravil pri mentorju prof. Marinčku na Katedri za metalne konstrukcije. Tu se je 1963. leta sprva zaposlil honorarno, koje bil konec tega leta izvoljen za asistenta, pa redno. Na FAGG oziroma kasneje na FGG je bil s krajšo prekinitvijo zaposlen do upokojitve leta 2001. Magistrski študij je opravil 1974. leta, doktorat pa 1990. leta. 1980. leta je bil izvoljen za višjega predavatelja, 1991. leta pa za docenta za področje Mehanika konstrukcij. Vsa leta na fakulteti je poleg obsežnega pe­ dagoškega dela opravljal tudi številne funkcije zlasti v upravnih odborih, od 1995. do 2001. leta pa je bil prodekan za gospodarske za­ deve. Deloval je tudi kot predstavnik fakultete na univerzi in drugih takratnih ustanovah. Najpomembnejše delo na fakulteti pa je opravil kot pobudnik ustanovitve in dolgoletni predstojnik Inštituta za konstrukcije, potresno inženirstvo in računalništvo, ki je nastal iz Računskega centra, in kije še danes največja interna enota na fakulteti. V inštitutu je ustvaril pogoje, v katerih so zrasli številni sedanji raziskovalci in učitelji na fakulteti ter drugih ustanovah. Brez njegove vztrajnosti in spo­ sobnosti zavzemanja za uresničljive zamisli bi težko prišlo do ustanovitve, še teže pa do take rasti inštituta, kije lansko leto slavil že 35. obletnico. V inštitutu je samostojno in s sode­ lavci opravil številne strokovne in raziskovalne naloge. Uspešen je bil tudi kot direktor Inštituta za metalne konstrukcije v Ljubljani, kjer je bil zaposlen v letih 1985 do 1988. Kot odličen organizator je prevzel predse­ dovanje Zveze gradbenih inženirjev in tehni­ kov v času velikih družbenih sprememb. Tudi njegova zasluga je, da je zveza preživela ta čas in da še vedno deluje. Danes je podpred­ sednik izvršnega odbora zveze, skrbi pa tudi za organizacijo pripravljalnih seminarjev za strokovne izpite. Bil je ustanovni član Inženirske zbornice Slo­ venije, kjer je opravljal številne funkcije, naj­ pomembnejša pa je predsedovanje komisiji za strokovne izpite, ki jo vodi tudi sedaj. Sodeloval je pri vzpostavitvi sistema stro­ kovnih izpitov in pripravi predpisov, ki urejajo to področje. Slavljenec je znan tudi v športnih krogih, saj je bil 15 let predsednik Namiznoteniškega kluba Olimpija, dvakrat, skupaj 10 let, predsednik Namiznoteniške zveze Slovenije in eno leto predsednik Namiznoteniške zveze Jugosla­ vije. Doc. dr. Janez Reflakje številne naloge oprav­ ljal z veliko zavzetostjo, za kar so se mu društvene in poklicne organizacije oddolžile z najvišjimi priznanji, širša družba pa z državnimi odlikovanji. Slovenski gradbeniki se mu ob sedemde­ setletnici za vse opravljeno delo zahvaljujemo in mu še naprej želimo vse najboljše! Janez Duhovnik O MULTIPLIKATIVNI TEORIJI HIPERELASTO-PLASTIČNIH TELES PRI VELIKIH DEFORMACIJAH IN OBJEKTIVNOSTI NUMERIČNIH ALGORITMOV. I. DEL: TEORIJA ON MULTIPLICATIVE THEORY OF HYPERELASTO-PLASTIC BODIES AT LARGE STRAINS AND OBJECTIVITY OF NUMERICAL ALGORITHMS. PARTI: THEORY dr. Tomaž Rojc, univ. dipl. inž. grad. Prijateljeva ulica 32 1000 LJUBLJANA tomaz.rojc@guest.arnes.si Povzetek I Namen tega dela prispevka je seznaniti se s fizikalno-m atem atičnim pom enom mehanskih veličin v konstitutivnih enačbah, zasnovanih na t. i. multiplikativ- nem pristopu in hiperelastični zvezi med napetostmi in deformacijam i, in sicer za potrebe drugega dela prispevka, v katerem se bomo ukvarjali s fenom enom plastičnega zm anj­ ševanja volumna računskih modelov, temelječih na metodi končnih elemenov. Podan je krajši pregled multiplikativne teorije. Na temelju osnovnih zakonov in multiplikativni de­ kompoziciji totalnega deformacijskega gradienta na elastični in plastični del so izpeljane konstitutivne enačbe izotropnega hiperelasto-plastičnega materialnega modela, in sicer v obliki s Fingerjevim elastičnim deform acijskim tenzorjem v nizu glavnih konstitutivnih spremenljivk. Enačbe, ki jih je v taki obliki prvi izpeljal Simo in jih objavil v letu 1988, so z razliko tu izpeljane z uporabo kartezičnih tenzorjev. Elastični Fingerjev deformacijski te n zo rje izbran na temelju principa materialne objektivnosti in posledične izotropne lastnosti konstitutivnih funkcij. Asociativno pravilo tečenja je tako kot pri Šimu izpeljano iz principa največje plastične disipacije ob pomoči Kuhn-Tuckerjevega optim izacijskega pogoja. Dobljene konstitutivne enačbe so analizirane iz različnih vidikov. Tako je za izotropne materiale vpeljan manjkajoči pogoj za plastični spin, s pomočjo katerega je dobljena tudi druga oblika pravila tečenja, poznana iz klasične aditivne teorije Greena in Naghdija. Podana je analiza pravila tečenja iz vidika vpliva oblike funkcije tečenja na hitrost plastične volumenske deformacije. Predstavljene so tudi alternativne oblike konstitutivnih enačb s von Misesovo funkcijo tečenja. Summary I The a im o f this part of the paper is to present physical and m athe­ m atical meaning of m echanical quantities involved in constitutive equations form ulated on the multiplicative approach and hyperelastic stress-strain relations. It provides a basis for the second part, where a numerical phenomenon of the plastic volume reduction of finite element models w ill be investigated. A brief review of the multiplicative theory is given. Based on fundam ental laws and multiplicative decom position of the total defor­ mation gradient into an elastic and a plastic part, constitutive equations of an isotropic Znanstveni članek UDK 624.044+ 539.3+ 519.61 hyperelasto-plastic material are developed in the form w ith the Finger elastic deformation tensor as one of the main constitutive variables. The equations, being first formulated by Simo in 1988, are here, differently from Simo, derived by the use of Cartezian tensor structures. The Finger elastic deformation tensor is introduced regarding the statement of isotropy, which fo llows from the material objectivity principle. The associative flow rule is derived from the principle of m axim um plastic dissipation considering the Kuhn-Tucker optim ality conditions as by Simo. The costitutive equations are then analysed from the several aspects. Thus, a need for the zero plastic spin is established as an additional condition for isotropic materials. Using the additonal condition, another form of the flow rule known from the classical aditive theory by Green and Naghdi is followed. In addition, an analysis of the flow rule regarding effect of the yield function form on the rate of the plastic volume change is given and, finally, other possible form s o f the constitutive equations based on the von Mises yield function are presented. 1 • UVOD Znano je, da imajo hidrostatične tlačne napetosti pri kovinskih materia­ lih majhen vpliv na mejo tečenja. Drugo, prav tako znano fenomeno­ loško dejstvo je, da ostaneje volumenske spremembe metalov majh­ nega velikostnega reda ne glede na velikost plastičnih deformacij. Omenjenim fenomenološkim dejstvom sledijo elastoplastične teorije in zato lahko pričakujemo, da bodo izpolnjena tudi v primeru numerič­ nega reševanja problemskih enačb, ki jih nudijo te teorije. Vendar v računski praksi to ne drži vedno. V raziskovalni javnosti je bila sporo­ čena vest, da mnogi numerični algoritmi, ki so uporabljeni za reševanje elastoplastičnih problemov v področju velikih deformacij, ne izpolnju­ jejo omenjenih pričakovanj. Volumen končnih elementov se namreč v plastičnem območju stalno plastično zmanjšuje. Ta numerični feno­ men bo obravnavan v drugem delu prispevka, v tem pa si bomo po­ drobneje ogledali teoretična izhodišča elastoplastičnega modela kovin­ skih materialov prav iz vidika volumenskih sprememb. Pri tem se bomo omejili samo na multiplikativno teorijo, saj je le-ta v zadnjih dvajsetih letih zavzela vodilno mesto pri opisovanju elasto-neelastičnega obna­ šanja materialov v območju velikih deformacij. Kot zanimivost naj nave­ demo, da so elastoplastični materialni modeli, ki so v rabi v komercial­ nem programu ABAQUS/Standard (ABAQUS, 2004), zasnovani prav na principu multiplikativnega pristopa. Glede na dejstvo, da je multiplikativno teorija v našem slovenskem prostoru premalo poznana, je večji del tega prispevka namenjen kraj­ šemu pregledu teorije in izpeljavi konstitutivnih enačb. Izhodišče teorije je multiplikativno razdelitev totalnega deformacijskega gradienta na elastični in plastični del, F = Fe Fp. Pri predstavitvi teorije smo se oprli na originalna dela Leeja, (Lee, 1969), Greena in Naghdija ter drugih, ki so navedeni v seznamu uporabljene literature. Pri izpeljavi konstitu­ tivnih enačb smo uporabili dela Sima ((Simo, 1988), (Simo, 1992)), enega izmed najpropulzivnejših raziskovalcev na področju reševanja nelinearnih mehanskih problemov v začetku devetdesetih let prejš­ njega stoletja. Snov v tem delu prispevka ni podana v strogo matema­ tičnem jeziku, saj smo jo želeli predstaviti bolj s fizikalno mehanskega vidika. Temu ustrezno je prirejen simbolni zapis tenzorskih struktur in kontrakcija kartezičnih tenzorjev preko enega ali dveh indeksov, npr. A • B = Ak ßkj ei®ej in A : B = Ay Sij, ali i : B = Lp Bw e ^e j, kjer je s poševno krepko črko L označen tenzor četrtega reda, s pokončno krepko črko B tenzor drugega reda, (e j je sistem baznih vektorjev in ® označuje tenzorski produkt. Vektorji, tj. tenzorji prvega reda, bodo označeni na enak način kot tenzorji drugega reda, toda z drugimi črkami. Razlika med njimi bo opisana v tekstu. Torej skalami produkt med vektorjema X in Y bo zapisan takole X ■ Y = A V), skalami produkt tenzorja drugega reda z vektorjem pa A - X = Aj Aj e, (glej npr. (Kuščer, 1994) str. 328). Skalarji bodo označevani vedno s poševnimi neodebeljenimi črkami. Komponente tenzorjev v zgornjih izrazih so obravnavane kot skalarji, označeni z ustreznimi indeksi. Prispevek smo razdelili na tri dodatne razdelke. V drugem je podan ko­ mentar k linearni zvezi med napetostmi in deformacijami, znani iz infi­ nitezimalne, geometrijsko linearne teorije. V tretjem sledi obširnejša izpeljava in analiza konstitutivnih enačb elastoplastičnega izotropnega modela, pri čemer so posamezne faze izpeljave, analiza dobljenih enačb in nekateri posebni primeri teh enačb predstavljeni v samostoj­ nih podrazdelkih. Zveza z drugim delom tega prispevka pa je podana v sklepnem 4. razdelku. 2 «TEORIJA MAJHNIH DEFORMACIJ: LINEARNI ELASTIČNI ODZIV IN PLASTIČNE DEFORMACIJE V običajni inženirski in tudi raziskovalni praksi je za opis izotropnega elastičnega materiala, kot posledica predpostavke o majhnih deforma­ cijah, uporabljen klasični linearni elastični model, ki povezuje tenzor na­ petosti a s tenzorjem infinitezimalne specifične deformacije e: a = C : £ = X tr[£] 1 + 2 /j. e, ali Oy = Cyu £u = A 0% + 2 // ey. (1) _ L Zgoraj sta A in /r Lamejevi konstanti Q i\e strižni modul), C je tenzor elastičnih modulov, tr(e) = e : 1 =eao je sled tenzorja malih specifičnih deformacij e, tj.: £= >/2(Vu +VuT), ali eij=i4(Mi,j+ wj,i) (2 ) in 1 jetenzorska enota drugega reda, katere kartezične komponente so znani Kronekerjevi simboli <5y. V komponentnem zapisu smo uporabili sumacijski dogovor za ponovljene indekse, npr. eaa= £ u +e22+£33, v in- variantnem zapisu (2a) pa gradientni operator V. Dvignjena oznakaT v zadnji enačbi označuje operacijo transponiranja gradienta pomika Vu. V nadaljevanju bomo uporabljali samo še invariantni zapis, kompo- nentnega pa po potrebi. Definicija (1) temelji na omejitvi |i4j | « l , i, j = 1,2,3, kjer pomeni ui(J par­ cialni odvod komponente vektorja pomika u = n e po koordinati x 1 kartezičnega koordinatnega sistema. V okviru omenjene omejitve ima skalar tr(e) = e : 1 =eoa, ki ga lahko označimo tudi z 3e0, kjer je e0 sferič- ni del tenzorja e, zanimiv geometrijski pomen. Predstavlja namreč linearno aproksimacijo volumenske deformacije ev materialnega delca: ev = (dv - dV)/ dV = dv/dV -1 = 3 e0, (3a) 3 e0 = tr[E]= e:1 = eij <5ij = «1,1 + «2,2+ «3,3, (3b) kjer sta dv in d l/ prostornini elementarnega dela telesa v deformirani in nedeformirani legi. Zanimiv pomen ima tudi deviatorski del tenzorja specifičnih malih deformacij, kije definiran kot razlika med e in sferič- nim oz. izotropnim tenzorjem e „l = '/3tr(e) 1: dev[£j = e - y3 tr [£ ] l = e - e0l . (4) Ker je sled tega tenzorja enaka nič, torej tr[dev[£]j = dev[£ ]:l= 0, (5) pomeni, da predstavlja deviatorska komponenta dev(e) izohorični ali nestisljivi del specifične deformacije, poznan tudi kot preoblikovalni del. Če upoštevamo delitev e na sferični in deviatorski del, lahko elastični zakon ( 1) zapišemo v naslednji obliki: a = k tr[£] l + 2/.1 dev[£] = k 3e0 1 + 2 p dev[£], (6) kjer smo vpeljali t. i. kompresijski modul k = X + %p. Sferična kompo­ nenta napetostnega tenzorja o 0 = y3tr(a ) predstavlja hidrostatično napetost oz. izotropni del napetostnega tenzorja, ki ga v literaturi označujejo s p (negativni pritisk). Zanjo dobimo iz (6), ob upoštevanju definicije (5) in ocene (3a) izraz, iz katerega je razviden tudi pomen kompresijskega modula. Torej: p = p ~ rc £ v, (7a,b) ali K ~ p lE y, (7c) in če v (6) odštejemo zgornji hidrostatični del, dobimo zvezo med devi- atorskima komponentama dev(a) in dev(e) ter strižnim modulom p: s = dev[a] = a - p l = g - k 3e0l = 2 p dev[£]. (8) V linearni teoriji imata torej sferični in deviatorski del tenzorja speci­ fičnih deformacij in napetosti preprosto fizikalni razlago, ki jo lahko ko­ ristno izrabimo tudi pri opisovanju elastoplastičnih lastnosti materialov. Na primer, fizikalna narava plastičnih deformacij je pri kovinskih mate­ rialih izohorična (nestisljiva), saj so le-te posledica relativnega drsenja v atomskih ravninah kristalov. Torej imajo v linearni teoriji plastične de­ formacije lastnost deviatorskega tenzorja. Evolucijske enačbe za izo­ tropni elastoplastični material zato lahko zapišemo takole: £=£e+£p, e=dev[£]=E-)^tr[£]l, e = ee + e p, (9a,b,c) a = p l + s, p = y 3 l i [a ] , p —k tr[£j, š = 2 p ( e - e p), (9d - g) f = J y 2 s : s - Y ( e p ) , f < 0 , ep > 0 , ep f = 0 , (9 i- l) kjer je f{s, Y), (9i), von Misesova funkcija tečenja, ki je neodvisna od hidrostatičnega dela napetostnega tenzorja. Prav ta, samo od devia- torske komponente s, (8 ), odvisna funkcija tečenja pa zagotavlja v asociativnem pravilu tečenja (9h) nestisljivost plastične deformacije Žp, tj. tr(ep) = tr.(ep) = 0 . 3 • LOKALNA MULTIPLIKATIVNA ELASTO-PLASTIČNA TEORIJA 3.1 Definicija kinematičnih veličin v primeru velikih deformacij Ko opazujemo neki fizikalni pojav, kije posledica deformacije telesa, ga lahko opišemo z mehanskimi veličinami, kijih definiramo kot polja nad 'sliko' območja deformiranega ali pa nedeformiranega - začetnega geometrijskega stanja telesa. V nadaljevanju bomo uporabljali izraza deformirana in nedeformirana konfiguracija. V primeru majhnih defor­ macij je razlika med omenjenima konfiguracijama zanemarljiva in zato ni potrebno razlikovati med različnimi opisi mehanskih veličin. Ta aproksimacija pa ne velja, če telo utrpi opazne geometrijske spre­ membe glede na njegovo prvotno-začetno obliko. V tem primeru moramo upoštevati razlike med njegovimi konfiguracijami tudi pri opisovanju mehanskih veličin. Pri tem igra pomembno vlogo defor­ macijski gradient, ki ga bomo označevali s F. Z njim bomo opisovali lokalno deformacijsko stanje telesa v trenutni konfiguraciji relativno glede na njegovo začetno (referenčno) konfiguracijo X = t0), kjer t označuje čas. Če je deformacija telesa definirana kot enolična točkovna preslikava x> začetnih leg delcev telesa X v trenutne lege x, torej x = %,(X) = x(X, t), lahko vlogo F predstavimo z dx = F-dX, (10a) kjer je F = d jj/dS . = V0 &(X) = 1 + V0u, u(X, t)= x -X ( lOb, c) in J = detjFj > 0. (lOd) Pri tem predstavljata dx in dX elementarna vektorja deformiranega in nedeformiranega materialnega linijskega elementa v konfiguracijah SZt in 3 f0, uje vektor pomika in V0 gradientni operator nad poljem, defi­ niranim v začetni konfiguraciji X 0. Glede na definicijo (10a) bo de­ formacijski gradient obravnavan kof dvotočkovni tenzor (glej npr. (Marsden, 1983) ali na spletu dostopno razpravo (Rojc, 2005) in tam navedeno literaturo). Deformacijski gradient vsebuje popolno lokalno informacijo o deforma­ cijskem stanju telesa, tj. raztezek in rotacijo poljubnega lokalnega linij­ skega elementa, njegova determinanta J pa določa razmerje med deformiranim in začetnim volumenskim elementom, J = dv /d l/ V li­ nearni teoriji smo to razmerje ocenili z aproksimacijo (3), ki jo lahko glede na definicijo F, (10b) izrazimo še takole: d v /d l/« 1 + tr(V„u) = tr(F)-2. Deformacijski gradient predstavlja tudi osnovo vsem ostalim deformacijskim veličinam, ki opisujejo izključno lokalno deformacijo v materialnih točkah telesa kot npr. desnemu Cauchy-Greenovemu in Euler-Cauchyjevemu deformacijskemu tenzorju, C in c, ali Green-St. Venantovemu in Euler-Almansijevemu tenzorju specifične deformacije, Eine. (Tako kot v (Rojc, 2005) bodo z malimi črkami označeni tenzorji, katerih definicijsko območje je trenutna prostorska konfiguracija 3%, z velikimi pa tiste, ki so definirane v t. i. kovariantnem prostoru, po naše predstavljenem z začetno konfiguracijo 3Q . Ti tenzorji so definirani kot materialna polja nad začetno konfiguracijo 3?a. npr. C in E, ali kot pro­ storska polja nad trenutno konfiguracijo S?* npr. c in e. V (Simo, 1988) so imenovani Lagrangeevi in Eulerjevi deformacijski tenzorji. Njihova definicija je naslednja (glej (Rojc, 2005)): E (X , t) = lA [C (X , t) - l (X ) j , (11 a) kjer je C(X, t ) = C (F) = F T-F , X e * (11 b) e(x, t) = !/2[1 (x) - c(x, T)], (Ilc) kjer je c(x, t) = c(F) = F~T- F '1, x e ^ (11 d) in E = FT e F , ( l ie ) kjer sta 1 (X) in l ( x ) tenzorski enoti drugega reda. Omenjena temeljna lastnost deformacijkega gradienta je v preteklosti porodila idejo o ela- stoplastični teoriji, ki temelji na razdelitvi deformacijskega gradienta F na elastični in plastični del, Fe in Fp, (glej (Lee, 1969)), in ne na razdelitvi deformacijskih tenzorjev C ali E, ki so generirani iz F (glej npr. aditivno teorijo v (Green,1965)). Pri tem je bila predlagana multiplikativna razdelitev v obliki: F = Fe*Fp, J = JeJp, (12a,b) kjer so J = det[F] > 0 , Je = det[Fej > 0 , Jv = det[Fp] > 0 , (12c,d,e) ki ima izvor v verižnem pravilu, (Lee, 1969), npr F = Fn-...Fi-...F2-F1. Pri tem so F,, i =1,..., n, deformacijski gradienti, ki opisujejo deformacijska stanja telesa v konfiguracijah ^ re la tivn o glede na njihovo predhodno stanje v konfiguracijah M \- V tem primeru predstavljajo ^z v e z n e kon­ figuracije telesa v zaporednih trenutkih i tj. t„= t >... > t > ... f, > f0, gradienti Fi pa pripadajo ustreznim časovnim inkrementom in jih zato lahko označimo z Fi= F (t t,.,). V (12) Fe in Fp ne pripadata različnim časovnim inkrementom, temveč celotnemu časovnemu intervalu (f0, t), torej Fe = Fe(/, tj) in Fp= Fp(f, f„). Faktorja Fe in Fp tudi ne predstavljata gradienta zveznih točkovnih preslikav, kot to velja za definicijo (10b) totalnega deformacijskega gradienta F. Bistvo multiplikativne razdelitve (12) je, da Fe predstavlja tisti del totalnega deformacijskega gradienta F, kije neposredno povezan z elastičnim odzivom telesa in temu odzivu pripadajočimi napetostmi. Zatorej operacija Fe'1 nad okolico vsakega delca, ki v trenutku t skupaj z ostalimi sestavlja zvezno trenutno kon­ figuracijo 3%, vodi v t. i. breznapetostno stanje (glej (Lee, 1969), (Green, 1971)). Delci telesa v omenjenem namišljenem stanju določajo t. i. breznapetostno vmesno konfiguracijo M ki ne predstavlja zvezne celote, temveč množico medseboj nepovezanih njihovih lokalnih breznapetostnih konfiguracij (glej sliko 1). Zato lahko definicijo (12) obravnavamo tudi kot teoretični opis fizikalnega smisla popolne mehanske razbremenitve vsakega delca telesa posebej, njihove konfi­ guracije v M po kot deformirane konfiguracije, ki so posledica samo plastičnega dela Fp totalne deformacije oziroma totalnega deformacij­ skega gradienta F. Slika 1 'Multiplikativna dekompozicija totalnega deformacijskega gradienta F = Fe- Fp; shematični prikaz lokalne vmesne oz. breznapetostne konfiguracije V 70 in 80 letih prejšnjega stoletja je multiplikativna teorija sprožila kar nekaj pomislekov o njeni upravičenosti in splošnosti v primerjavi z aditivno teorijo, predlagano v (Green, 1965) (glej npr. (Green, 1971), (Casey, 1980), (Casey, 1981), (Nemat-Nasser, 1982), (Casey, 1987)). Eden izmed očitkov avtorjem, ki so razvoj konstitutivnih enačb temeljili na multiplikativnem izhodišču (12), je bila nedoslednost pri upošteva­ nju pogojev materialne objektivnosti. Fizikalni pojav moramo namreč opisati v obliki, ki ni odvisna od rotacije kartezičnih koordinatnih siste­ mov, ali drugače povedano, opis fizikalnega pojava mora biti neodvis­ en od vsiljenega togega gibanja (glej (Gurtin, 1981 j, ali definicije 1 v (Rojc, 2004)). Ta zahteva mora seveda veljati za vse fizikalne količine, torej tudi za vmesno konfguracijoM , ki pa so jo v preteklosti na osnovi ad hoc fenomenološkega pristopa izvzeli iz preizkusa materialne ob­ jektivnosti (Lubarda, 1981), (Lee, 1981) in privzeli simetričnost elastičnega faktorja Fe, torej F / = Fe. Tak pristop je upravičeno vzbujal dvome v splošno veljavnost multiplikativne teorije, saj je z omenjeno predpostavko že na samem začetku izključeval možnost, da bi lahko s to teorijo opisovali tudi anizotropno obnašanje materialov. Simo je v (Simo, 1988) podal izpeljavo izotropnega elastoplastičnega materiala na način, ki ne izključuje omenjene možnosti. Njegova izpeljava nam­ reč ne temelji na aproksimaciji faktorja Fe s simetričnim tenzorjem, kot je bilo predlagano v (Lubarda, 1981) in (Lee, 1981). S tem je bil v primerjavi z delom Dashnerja (Dashner, 1986) ovržen pomislek glede splošne veljavnosti multiplikativne razdelitve deformacijkega gradienta še z drugačnega vidika. Prve raziskave na področju mutiplikativnega pristopa so bile usmerjene predvsem v iskanje ustreznih deformacijskih tenzorjev za popis elastičnega in plastičnega odziva in v tej zvezi tudi v oblikovanje konsti­ tutivnih enačb za razvoj plastičnih deformacij (glej npr. (Nemat-Nasser, 1982), (Kleiber, 1982), (Lubliner, 1984)). V tem razdelku se bomo omejili samo na izbiro ustreznih deformacijskih veličin. Če zanemarimo vpliv elastičnega dela lokalne rotacije ali spina delcev, lahko elastični odziv opišemo s funkcijo elastičnega dela deformacijskega tenzorja ali tenzorja specifičnih deformacij in nizom notranjih spremenljik, ki za­ jamejo vpliv elastične anizotropije, razvoja plastičnega dela deformacij, plastične anizotropije, kije posledica plastičnega spina, in drugih disi- pacijskih vplivov. Samo v tem primeru je namreč napetostni tenzor simetričen. Za področje velikih deformacij je po Hillu (Hill, 1968) na voljo množica tenzorjev specifičnih deformacij, ki so v znani funkcijski zvezi s F. Zato, če poznamo vsaj enega izmed njih, lahko z njegovo pomočjo izračunamo tudi ostale. Katerega od njih bomo v konstitucij- skih enačbah izbrali za opis deformacijskega stanja, pa je odvisno predvsem od definicije materialnega modela. Iz množice tenzorjev specifične deformacije obstajata dva, ki sta v najpreprostejši (direktni) funkcijski zvezi s totalnim deformacijskim gradientom F. Prvi je Green- St. Venantov tenzor E, (11 a), kije v osnovi definiran kot materialno polje, drugi, ki predstavlja prostorsko polje, pa bo predstavljen na koncu razdelka. Če v (11 b) vstavimo namesto totalnega deformacijskega gradienta F samo del Fe ali Fp, dobimo deformacijska tenzorja, ki opisujeta elastični ali plastični del deformacije. Na primer: Ce(X, t) = FeT-Fe => Ee(X, t) = Vi[Ce- 1], X e J , (13a,b) Cp(X, t) = FpT-Fp => EP(X, t) = ‘/2[CP - 1], X e (14a,b) kjer smo definicijsko območje tenzorjev poudarili z različnimi argu­ menti, tj. legami istega delca X in X, ki pripadata konfiguracijam telesa J / in in dodatno podkrepili s podčrtanim simbolom, če so tenzorji definirani nad območjem Jg. (Tu moramo opozoriti, da legX in konfigu­ racije Jgne moremo definirati z zvezno preslikavo, kot to npr. velja za x in 3%. X in Jgsta tu namišljeni entiteti.) Ker sta tenzorja | e in Ep defini­ rana v različnih konfiguracijah, J?)in 3?a, ne bomo pisali E = | e+ Ep, in tudi ne Ee = E - Ep. V zapisih, kot je npr. Ee = E - Ep, in ki so uporabljeni v (Kleiber, 1982) ali (Nemat-Nasser, 1982), je tenzor Ee določen z Ee = FPT- Ee- Fp (glej en. (15) spodaj). Zvezo med Ee in Ep lahko izpeljemo v nekaj korakih, če v (11 a,b) vsta­ vimo dekompozicijo (12) in pri tem upoštevamo (13) in (14). Torej: E (X ) = >/2[FpT-FeT- Fe-Fp - 1] = i/2FpT-[FeT-Fe - Fp^-Fp^-Fp = !/2FpT-[Ce - 1 - F p_t-Fp_1 + U-Fp = *4[2 FpT-Ee-Fp - 1 + Cp) = FpT-Ee-Fp + Ep = FpT-[Ee + Fp-^Ep-Fp-'j-Fp , (15) od koder je razvidna vloga Fp in njegovega obrata Fp1 kot operatorja vzvrata in vrnitve tenzorjev Ce, Ee in 1 v konfiguracijo ^ in tenzorjev Cp, Ep in 1 v J g (glej npr. (Rojc, 2005)). Podobne zveze lahko poiščemo tudi za Eulerjeva tenzorja ee in ep. Namesto tega preidimo raje na obravnavo deformacijskega tenzorja Cp, (14a), in njemu komplemen­ tarne prostorske različice ce = c(Fe) = FeT- Fe'1 (primerjaj z (11 d)). Če v (14a) vstavimo Fp = Fe'1 • F, ki sledi iz (12), dobimo: Cp(X) = FT-Fe-T-Fe“ '-F = FT-ce(x)-F = FT-be“ '(x)-F , (16) ali Cp(X ) = FT-be_1(x)-F in be = F -C PM(X )-F t , (17a,b) kjer je be Fingerjev tenzor elastičnega dela deformacije, katerega definicijsko območje je trenutna konfiguracija be = Ce"1 = Fe-FeT . (18) Zvezi v (17) lahko tolmačimo kot vzvrat prostorskega polja be'(x ) v materialno polje CP(X) in vrnitev Cp-' v be. V nadaljevanju bomo iz­ puščali argumente, ki dodatno poudarjajo definicijsko območje tenzor­ jev. Oglejmo si pomen Fingerjevega deformacijskega tenzorja v primeru totalne deformacije telesa iz začetne v trenutno konfiguracijo, torej b = F FT. Začnimo z znano geometrijsko definicijo Green-St. Venanto- vega tenzorja specifičnih deformacij E, ki jo lahko s pomočjo definicije (10a) izpeljemo iz identitete ds2 - dS2 = dx • dx - dX • dX (Rojc, 2005): d r ( f ) - dS2(t0) = dX-[FT- F - l]-d X = dX-[C(r) - l]-d X = dX • 2E(r) • dX. (19) V (19) sta ds in dS dolžini deformiranega in nedeformiranega mate­ rialnega linijskega elementa, predstavljenega z elementarnima vektor­ jema dx in dX v konfiguracijah 3% in 3T0. Če upoštevamo polarno dekompozicijo deformacijskega gradienta F = R U = V R, (glej npr. (Eringen, 1967), (Gurtin, 1981), (Simo, 1998)), lahko enačbo (10a) zapišemo takole: dx = V R d X = V-dy, dy = R d X , (20a,b) kjer je V levi 'razteznostni' tenzor, R je rotacijski tenzor lastnih smeri tenzorjev U ali V z lastnostmi R RT= 1, det(R) = 1 in z dy smo označili zarotirani in v konfiguracijo togo premaknjeni elementarni vektor dX. Rotacijski tenzor ima namreč skupaj z obratno preslikavo vlogo toge rotacije začetnega vektorja d X e ^ v vektor dy g J tj (ima torej vlogo dvotočkovnega tenzorja), tenzor V pa vlogo čiste deformacije (spremembo dolžine in strižni zasuk vektorja dy v vektor dx). Zato lahko zapišemo: dX-dX = dydy = dS2 (21 a) in dx-dx = ds2 = (V-dy)-(V-dy) = d y V 2-dy = dyb-dy, (21 b) pri čemer smo glede na definicijo Fingerjevega deformacijskega ten­ zorja, kije v literaturi imenovan tudi levi Cauchy-Greenov deformacijski tenzor, upoštevali b = F-Ft = V-R-Rt -V = V 2. (22) Identiteto ds2 - dS2 = dx • dx - dX • dX lahko ob upoštevanju (21) in definicij vektorskih enot n = dy/dS ter N = dX/dS zapišemo še takole: (ds2 - dS2)/dS2 = n-[b(x, t) -1 ]- n = N-[C (X, t) - 1]-N, (23) ali (ds2 - dS2)/dS2 = n • 2a(x, t) • i = N • 2E(X, r) • N, (24a) kjer je 2a = b - l . (24b) Iz zgornjih zvez lahko razberemo, da je levi Cauchy-Greenov deforma­ cijski tenzor b prostorski ekvivalent k materialnemu polju desnega Cauchy-Greenovega tenzorja C, tenzor a pa prostorski ekvivalent k Green-St. Venantovem tenzorju specifičnih deformacij E. Glede na (20b) sta b in C povezana z b = R C RT. Podobna zveza sledi tudi med tenzorjema a in E. Ob upoštevanju deformacijskega gradienta kot funk­ cije gradienta pomika (1 Ob) dobita a in E obliko: a(x) = lA ( h + h T + h • h T) (25a) in E (X ) = >/2(H + H T + HT • H), (25b) kjer sta h(x) = V0u(X/') in H(X) = v0u(X), ter h(x) = H(X). Torej a * E in b * C, toda v en. (23) in (24) imata oba para, {a, E} in {b, C}, enak geo­ metrijski pomen. 3.2 Izpeljava konstitutivnih enačb Razvoj konstitutivnih enačb elastoplastičnih materialnih modelov ob upoštevanju multiplikativnega pristopa je še dandanes predmet mnogih raziskav. Kljub novim spoznanjem pa sta izpeljava in mate­ rialni model, ki sta podana v (Simo, 1988) ali (Simo,1992), še vedno zanimiva, čeprav se tam avtor omejuje samo na asociativne in izo- tropne modele (glej (Geers, 2004)). V tem razdelku bomo izpeljavo konstitutivnih enačb iz (Simo, 1988) podali nekoliko drugače. Izognili se bomo strukturiranju tenzorjev v krivočrtnih koordinatah in sledili delu (Simo, 1992). Pri tem bomo upoštevali preizkus objektivnosti tenzorjev glede na poljubna vsiljena toga gibanja obeh konfiguracij, tj. končne in vmesne lokalne M kot sta to predlagala Green in Naghdi (Green, 1971), ali Casey in Naghdi (Casey, 1980). Za izhodišče izpeljave vzemimo kot v (Simo, 1988) ali (Simo, 1992), pogoj plastičnega tečenja / ( o , k ) = 0, kjer je / funkcija tečenja, o Cauchyjev napetostni tenzor in k je niz notranjih spremenljivk, t. i. karakteristik plastičnega utrjevanja, ki so povezane s pojavom pla­ stične deformacije in točko breznapetostnega stanja opazovanega delca telesa. V napetostnem prostoru opisuje ta pogoj t. i. ploskev tečenja, ki je sklenjena in omejuje območje E, praviloma konveksno (Shames, 1997), v katerem vsaka točka določa neko napetostno sta­ nje delca. Vsaka sprememba napetostnega stanja se lahko dogodi samo v območju E, ki ga definiramo z neenačbo/(a, k ) < 0, Imenuj­ mo ga dopustno območje napetostnega odziva ali krajše elastično ob­ močje (Simo, 1992). Ploskev tečenja se med plastičnim procesom lahko spreminja, kar se odraža v spremembi parametrov v nizu k . Torej spremenljivke v k , ki jih merimo z enako mersko enoto kot komponente napetostnega tenzorja a, so lahko funkcija plastičnih deformacij. V nadaljevanju se bomo omejili samo na eno skalarno karakteristiko plastičnega utrjevanja, ki jo bomo označevali s q. Omenjena neenačba predstavlja eno izmed konstitutivnih enačb, ki karakterizirajo elastoplastično obnašanje materialov. Ostale bomo izpeljali s pomočjo drugega zakona termodinamike, ki ima v primeru izotermičnih oziroma čistih mehanskih procesov obliko: a :d - 0, znano pod imenom disipacijska neenačba. V njej pred­ stavlja a :d = OijGfy napetostno moč in y/ prosto energijo, pri čemer sta obe veličini definirani na enoto trenutnega volumna. Če definiramo napetostno moč in prosto energijo na enoto začetnega volumna, lahko zapišemo B = T . d - W > 0 , (26a) d = X ( l+ lT), 1 = F F -1, (26b,c) kjer je x = J a Kirchhoffov napetostni tenzor, d je, tako kot v prejšnji obliki, Eulerjeva hitrost deformacije, I je prostorski gradient hitrosti (glej (Rojc, 2005)) in s smo označili novo definicijo proste energije, 0 . (32) Pri izračunu materialnega odvoda be si pomagajmo z definicijo (17b), za Cp' pa upoštevajmo inverzijo definicije tenzorja Cp, (14a). V tem primeru lahko materialni odvod materialnega polja Cp0 zamenjamo s parcialnim odvajanjem po času, torej 9,(CP~') (več o tem glej (Rojc, 2005) ali (Marsden, 1983)). Po izvršenem odvajanju po času f vrnemo posamezne tenzorje v trenutno konfiguracijo, pri čemer si pomagamo z zvezo Fp'1 = F1- Fe, ki sledi iz definicije (12). Tako v nekaj korakih izpeljemo be = D ,(F • Cp1 • F t )= F ■ Cp1 • F t + F ■ Cp1 • F T + F • 3 fCp‘ • F T = F ■ (Fp 1 ■ Fp T) • F T + F • (Fp-1 • Fp T) ■ FT + F ■ a (Cp' • F T = F -F _1-Fe •FeT -F "T -F T + F -F “ ‘ -Fe •FeT -F “T -F T + ̂ vbe =1 be+be 1T+J^be , (33) kjer smo upoštevali I = F F', FT FT = 1, definicijo (1 8 ) in z Jžžbesmo označili t. i. Liejev odvod tenzorja be, (Marsden, 1983), (Rojc, 2005), torej: ^ b e = F -5 ,(C p- 1)-F T (34) Materialni odvod proste energije iz neenačbe (32) lahko sedaj za­ pišemo v razvitejši obliki: d !F /d f=3beF : [ l -b e + b e - IT+ L vb e] + S - (23beZ ■ be): d + X Ube ■ bP1 ] + E , (35) pri čemer smo zaradi simetrije 3b,F , ^ b e in be posamezne sumande preoblikovali takole: 3beZ : O • be) = (bb • 1T) : 0 be¥ ? = 0 b e¥■ b e) : 1, (36a) dbe Z : (be- 1T) = (č>be !F • be) : I , (36b) I Tomaž Rojc • O MULTIPLIKATIVNI TEORIJI HIPERELASTO-PLASTIČNIH TELES PRI VELIKIH DEFORMACIJAH IN OBJEKTIVNOSTI NUMERIČNIH ALGORITMOV. I. DEL: TEORIJA 3bê : X b e = [9be^-(be-bel ) ] : ^ b e = ( 3 b ê - b e ) : ( ^ b c-bel). kjer smo zaradi skladnosti merskih enot z disipacijsko funkcijo 3) j (36c) V (35) razdelimo gradient hitrosti I na simetrični in antisimetrični del, I = d + w, d = dT, w = -wT, ter upoštevajmo, da zaradi izotropije funkcije W_ velja be- = \!L - be Torej, 2 0 b .? : ■ be): (d + w ) = 2 0 b .? : be) : d . (37) Vstavimo ta rezultat v (35), dobljeni izraz d*F/dt pa v disipacijsko ne- enačbo (32) in po ureditvi končno dobimo: ^ = ( T - 2 3 b. ? : - b e ) : d - 2 0 b e ? : - b e ) : ( K - ^ b e be1) - E > 0 . (38) Ob predpostavki, da mora zgornja neenačba veljati za poljubne fizikalno sprejemljive deformacije, določene s pogojem (lOd), lahko s preudarnim utemeljevanjem (glej npr. (Coleman,!967)) iz nje dobimo konstitutivno enačbo za elastični odziv in reducirano disipacijsko ne- enačbo: T=23beZ-be, (39) 3 ( t , be, q ;3 vbe, E ) = - x : (j^be -bč1) - E > 0 . (40) V zadnji neenačbi sta vsebovani hitrost tenzorja plastične deformacije oSvbe = F • 3,(Cp-’) • FT (glej (34)) in hitrost karakteristike plastičnega utrjevanja q v členu E, ki pripadata nizu t.i. notranjih ali 'skritih' spre­ menljivk stanja be in q oz. Cp in q. Glede na princip največje plastične disipacije (glej (Lubliner, 1984)) mora funkcija 9 ) za trenutno stanje veličin x, be in q, plastično deformiranega telesa s predpisano njegovo vmesno konfiguracijo M in predpisanimi hitrostmi J ^ b e in E imeti največjo vrednost. Torej, za vsa druga napetostna stanja t * iz dopust­ nega območja E, definiranega z (27a), tj. f(x , q) < O, mora biti izpol­ njena neenačba: 3 ( t , be, q ; -S?be) > 3 ( t *, be, q ; Jž?be), x, x*e E . (41) S tem smo formulirali problem vezanega ekstrema, ki ga lahko s pomočjo razširjene Lagrangeeve funkcije prevedemo v niz t. i. Kuhn- Tuckerjevih pogojev. Slednji so v literaturi (glej npr. (Gill, 1981)) izpeljani za probleme minimizacije funkcije spremenljivk, vezanih z dodatnimi neenačbami. Zato da prevedemo naš problem maksimalne vrednosti na problem iskanja minimuma, funkciji ^sp rem e n im o predznak in tvorimo razširjeno funkcijo, v katero vključimo 7(x, q) iz pogojne ne- enačbe (27a), pomnoženo z Lagrangeevim multiplikatorjem y. Torej: . 3 (1 , y ) = x: \ jh i^be-be"1] + E + y / ( t , q), (42) _ L vpeljali multiplikator y na enoto časa. Po znanem postopku sledijo omenjeni Kuhn-Tuckerjevi pogoji: 8^3 (1 , ji) = O => I:[V.2 Ŝ be-be-1] + y oT/ ( t, q) = O => -J ^ b e = 2 yö T/ ( x , g ) - b e, (43a) y > O, / ( x , ? ) < 0 , y f (t, q) = O, (43b-d) kjer je / tenzorska enota 4. reda. S tem je izpeljava konstitutivnih enačb elastoplastičnega materiala končana. Te sestavljajo en. (39), ki defi­ nira elastični odziv in zgornji pogoji, ki definirajo evolucijo plastičnih de­ formacij v točkah opazovanega telesa. Zberimo jih skupaj z vpeljanimi deformacijskimi veličinami (12), (18) oz. (22) F = Fe-Fp, be(x) = Fe-FeT = F-Cp^j-F1- = Ve2, (44o,b) T=23be?(-be, (44c) pravilo tečenja: - ^ b e = y 2 dT/(x , q) • be, (44d) 7>0, f ( i , q ) < O, j f (x, q) = 0. (44e,f,g) Zgoraj sta ¥((be) in 7(x, q) ustrezni funkciji invariant podanih argumen­ tov, in y predstavljata dodatni spremenljivki problema, ki sta bili uvedeni z novima enačbama (44d) in (44g), Ve v (44b) pa je levi elastični 'razteznostni' tenzor. Iz definicije (44c) je razvidno, da je Kirchhoffov napetostni tenzor x funkcija samo levega elastičnega deformacijskega tenzorja be. Izpeljava enačb je v delu (Simo, 1988) izvršena po principu prostorske kovariance (glej (Marsden, 1983)) in strukturiranju tenzorjev glede na poljubne konvektne koordinatne sisteme. Preizkus objektivnosti tenzor­ jev glede na poljubno vsiljeno togo gibanje je Simo zamenjal s preizku­ som glede na poljubno diferenciabilno prostorsko preslikavo (difeomor- fizem), ki vodi v vzporedno (kovariantno) formulacijo vseh tenzorjev in enačb v dveh opisih (ali kovariantnih prostorih), tj. materialnem (kon- vektnem) in prostorskem opisu. V naši izpeljavi so enačbe podane samo v prostorskem opisu s tenzorskimi polji (prostorskimi polji) nad območjem trenutne konfiguracije telesa M 1 uporabo deformacij­ skega gradienta F in obrata preslikave lahko vsa prostorska polja transformiramo v materialna polja nad območjem začetne konfigura­ cije X . Torej, če prostorski opis mehanskih veličin s pomočjo operacije vzvrata izrazimo s t. i. materialnimi ekvivalenti (glej npr. (Rojc, 2005)), dobimo materialni opis, ki ga lahko tolmačimo tudi kot zapis tenzorjev (in enačb) glede na posebni krivočrtni (materialni) koordinatni sistem, kije bil vtisnjen v telo, koje le-to bilo v začetni konfiguraciji 3%>, in ki se je pri gibanju telesa v trenutno konfiguracijo ^ deformiral v kartezični koordinatni sistem (v (Rojc, 2005) smo npr. obravnavali take konvektne sisteme, ki so bili v ^ kartezični v pa krivočrtni). Na primer, v (44b) je podana zveza med prostorskim poljem b„(x) in njegovim material­ nim ekvivalentom CP''(X), pred en. (30) pa smo vpeljali definicijo vek­ torske enote ali kartezičnega metričnega tenzorja z 1= F • F'1. Če upora­ bimo ti dve zvezi v izrazu prve invariante tenzorja be, tj. /,(be) = tr(be) = be: 1, lahko izpeljemo kovarianten izraz (materialni opis), v katerem je definicijsko območje tenzorjev začetna konfiguracija J%, torej: /,(be) = tr[be] = be:l= (F-Cp-'-FT):l = (1-F-Cp-‘):F = (FT-F):Cp-‘ = C :CP_1 (45a) => /i(bc) = /,(Cp- 1), kjer je h { C f l) = tr[Cp-'] = CP_1:C. (45b) V zadnjem izrazu (45b) ima desni deformacijski tenzor C = FT F vlogo metričnega tenzorja konvektnega sistema v 3 fa. Na podoben način bi lahko izpeljali kovariantne izraze drugih mehanskih veličin, s pomočjo temeljne definicije (12) pa tudi kovariantne izraze v breznapetostni kon­ figuraciji Jg 3.3 Analiza konstitutivnih enačb Sestava konstitutivnih enačb (44) je klasična. Zveza med napetostmi in elastičnimi deformacijami je podobno kot v aditivni teoriji Greena in Naghdija (Green, 1965), podana s potencialno funkcijo elastičnega dela deformacij, evolucijske enačbe za plastične deformacije pa so za­ pisane v hitrostni obliki. To tudi ne more biti drugače, saj je razvoj pla­ stičnih deformacij in posledično tudi elastičnih odvisen od zgodovine obremenjevanja. Če je v danem trenutku znana hitrost plastične defor­ macije dp, hitrost totalne deformacije pa je v vsakem primeru definirana z Eulerjevo hitrostjo d, potem je razlika med njima lahko samo hitrost elastične deformacije. Pri tem mora biti plastična komponenta dp defi­ nirana prav tako v trenutni konfiguraciji kot hitrost d. Torej velja aditivna razdelitev Eulerjeve hitrosti deformacije na elastični in plastični del (glej en. (46)) tudi v primeru multiplikativne teorije. Seveda ta razdelitev ni enaka tisti, kije uporabljena v aditivni teoriji. Razlika med obema teori­ jama je namreč v tem, da je v multiplikativni teoriji vpeljana definicija breznapetostne konfiguracije M in s tem tudi izhodiščna baza za definicijo hitrosti elastičnih in posredno tudi plastičnih deformacij, medtem ko je v aditivni teoriji za hitrost totalne deformacije in obe njeni komponenti, de in dp, baza skupna inje po Hillu vedno predstavljena z geometrijo telesa v trenutni konfiguraciji X , (glej npr. (Nemat-Nasser, 1979)). Ker je totalna hitrost deformacije d, kije aditivno razdeljena na de in dp, definirana kot simetrični del gradienta hitrosti I, torej: d = de + dp, d = % (1 + 1T ) => l = le + lp, (46a,b,c) definicija slednjega pa je podana z (26c), lahko aditivno razdelitev ten­ zorjev d in I na elastični in plastični del izrazimo v multiplikativni teoriji ob upoštevanju definicije (12) ali (44a) takole: 1 = Fe • (Fe_1 • Fe + Fp • Fp1) • F”1 = le + Fe ■ lp • Fe“1 = le + lp , (470,b,C) kjer so le = F e-F T \ l p = F e - lp -Fe- 1 in l p = Fp • Fp 1. (48a,b,c) V multiplikativni teoriji sta torej komponenti hitrosti deformacije de in dp v (46a) merjeni na različni bazi, kar je razvidno iz (48a) in (48c). Komponenta lp, ki je definirana v (48b), predstavlja v smislu konvektnih sistemov prostorski ekvivalent tenzorja ip, vpeljanega v breznapetostni konfiguraciji J g Zanimivo je, daje Lee v (Lee, 1969) na osnovi izraza (47b) postavil trdi­ tev, da je aditivna teorija napačna, ker je sodil, da člen Fe !p- Fe' ne more predstavljati plastične komponente totalnega gradienta hitrosti. Po njegovem sta komponenti gradienta hitrosti lahko samo veličini le in !P, ki sta tako kot 1 definirani po enakem pravilu (primerjaj (48a), (48c) in (26c)). Nadalje je trdil, da predstavlja aditivna razdelitev gradienta hitrosti (46c) in posledično hitrosti deformacije, d = de+ dp, aproksima­ cijo, po njegovem, točnega izraza: d = sim(l) = sim(le + Fe - lp • Fe1) (glej (47b)), ki je dopustna samo v primeru infinitezimalno majhnih ela­ stičnih deformacij (sim(») označuje simetrični del izraza v oklepaju). V tem primeru namreč velja ocena Fe ~ 1 in od tod I = le + !P ter dp = ’/ 2 (!P + lpT). Seveda je prva trditev sporna in je v 1970 in 1980 letih sprožila mnogo kritik in nasprotovanj, zlasti s strani zagovornikov aditivnega pristopa (glej npr. (Nemat-Nasser, 1979 in 1982)). Obravnavani člen (48b) namreč dokazuje samo različnost merskih baz v definiciji hitrosti elastične in plastične komponente deformacije. Posledica tega so lahko razlike le v hitrostih deformacij po eni ali drugi teoriji predvsem v področju deformacij, kjer sta hitrosti elastičnega in plastičnega dela enakega velikostnega reda. Te razlike seveda izginejo, ko postanejo hitrosti elastične deformacije majhne v primerjavi s plastičnimi. Dandanes je aditivna teorija izgubila svojo prepričljivost predvsem zaradi nepopolne definicije elastičnega odziva. Obe teoriji sta v osnov­ nih izhodiščih sicer enakovredni. Po obeh teorijah je namreč napetost definirana kot potencialna funkcija elastičnega dela deformacij (hiper- elastična zveza), razvoj plastičnega dela pa je voden s pravilom teče­ nja v hitrostni obliki in Kuhn-Tuckerjevimi pogoji obremenjevanja in razbremenjevanja delcev telesa (Naghdi,1990). V multiplikativni teoriji je elastični del deformacije s pomočjo multiplikativne razdelitve defor­ macijskega gradienta definiran relativno glede na breznapetostno in nezvezno konfiguracijo telesa, medtem ko je v aditivni teoriji (Green, 1965) elastični del deformacije definiran posredno preko deformacij­ skih tenzorjev specifične deformacije E in Ep in parametrov utrjevanja k (Naghdi, 1990). Taka posredna definicija elastičnega odziva pa je v preteklosti povzročala velike težave pri numeričnem reševanju konstitu­ tivnih enačb. Zato numeričnih algoritmov, ki temeljijo na aditivni teoriji in hiperelastični definiciji napetosti, ne bomo našli v starejši literaturi. Enega smo zasledili v (Papadopoulos, 1998). Pred več kot petnajstimi leti so v računski praksi namesto hiperelastične definicije napetosti uporabljali hipoelastično zvezo med ustrezno materialno objektivno hitrostjo napetostnega tenzorja in hitrostjo elastičnega dela deformacij de ali Ee. Taka definicija je z vidika elastičnosti sporna, saj ne zagotavlja pravilne obravnave elastične lastnosti materiala, tj. popolne povrač- Ijivosti v izhodiščno stanje (glej npr. (Bernstein, I960)). Poleg tega se pri tem soočamo tudi s problemom izbire t. i. materialno objektivne hitrosti napetostnega tenzorja (glej npr. (Rojc, 2004 in 2005)). Te pomanjkljivosti odpravlja multiplikativna teorija. S teoretičnega stališča predstavljajo konstitutivne enačbe (44) izhodi­ šče za izpeljavo neposredne zveze med napetostjo in totalno deforma- cijo v elastoplastičnem območju. Zaradi odvisnosti napetostnega od­ ziva od zgodovine obremenjevanja pa je ta zveza običajno lahko izražena samo v hitrostni obliki. Pri tem je postopek njene izpeljave standarden. Iz enačb (44) je potrebno najprej določiti parameter y, nato diferencirati po času hiperelastično konstitutivno enačbo (44c), pri čemer v izrazu za hitrost be, (33) zamenjamo Liejev odvod J ^ b e z izrazom, ki ga dobimo iz pravila tečenja (44d). Za določitev parametra y uporabimo dodatno enačbo, ki jo dobimo iz enačbe (44g). Slednja je namreč v primeru plastičnega stanja izpolnjena samo, če je tudi f(x ,q ) = O, kar predstavlja omenjeno dodatno enačbo oziroma t. i. kon­ sistentni pogoj. V našem primeru je funkcija tečenja f definirana v napetostnem prostoru in je zato potrebno že v tej fazi uporabiti konsti­ tutivno zvezo (44c) in pravilo tečenja (44d). Torej: f ( r , q ) = d t f : 23bc(3bc W. ■ b e) : (1 ■ b e + b e ■ 1T + % b e) + d gf q = 0, => y [ d Tf : m : d xf - d gf h] = d Tf : m : d, (49a) kjer je m = 4 d hc( d b c¥ b e ) b e (49b) in h = q ! y (50) je zakon utrjevanja, ki mora biti predpisan za konkretni material. V primeru von Misesove funkcije tečenja je h običajno podan z odvodom krivulje tečenja q (f) enoosnega preizkusa po parametru y Skalarja q in y imata pri tem vlogo napetosti tečenja in ekvivalentne plastične deformacije. Namen zgornje izpeljave je bil predvsem opozoriti na pomen parametrov g in y in njuno medsebojno zvezo, ki se odraža v zakonu utrjevanja (50). Podrobneje analizirajmo zdaj pravilo tečenja (44d). V navedeni enačbi je to pravilo zapisano v malce neobičajni obliki, toda taki, kije v (Simo, 1992 ali 1998) predstavljala osnovo za formiranje ustreznega postop­ ka numerične integracije hitrosti plastične deformacije po časovnem inkrementu At. Neobičajnost je seveda v veličini J?(be, ki je glede na definicijo (34) povezana s hitrostjo plastične deformacije Cp. V nada­ ljevanju bomo pravilo tečenja izpeljali za plastično komponento dp Eulerjeve hitrosti deformacije d, (46a,b), kije iz vidika klasične aditivne teorije razpoznavnejša fizikalna količina. V ta namen pomnožimo pra­ vilo tečenja z be1, nato pa ga ob uporabi definicij (34), (44b), (44a), (14) ter ustreznega rezultata materialnega odvoda identitete Fp- Fp' = 1 preoblikujmo v: Fe -d p -Fe- ‘ = y a T/ , kjer je d p = X ü P+ !p ) (51a,b) hitrost plastične deformacije v JD(tj. simetrični del lp, (48c)). Zaradi simetrije tenzorja ki je posledica simetričnosti napetostnega ten­ zorja x, moremo levo stran nove enačbe (51 a) zamenjati tudi z njeno transponirano obliko. Če upoštevamo to dejstvo in zvezo dp = Ip - wp = 15 + wp = dp, kjer je wp antisimetrični del tenzorja !P, ki je v literaturi znan kot materialni plastični spin, lahko pravilo tečenja zapišemo še takole: Prvi del leve strani zgornje enačbe predstavlja plastično komponento dp Eulerjeve hitrosti deformacije d. O tem se lahko prepričamo, če v izrazu za dp, tj. dp = y2(lp + IJ), upoštevamo (48b). Zato prepišimo (52) v: d P - K (Fe • w p • Fe“ 1 - Fe- T • w p • E'I) = ydr f - (53) Dobljena enačba se seveda razlikuje od klasične oblike pravila tečenja, znane iz aditivne teorije, in sicer v členih, ki vsebujejo plastični spin. Enakost med obema oblikama dosežemo, če za plastični spin wp izbe­ remo nično vrednost, tj.: w p = 0 => dp = y d r f , d p = ! p = l p . (54a,b,c) Z vprašanjem, ali predstavlja zgornji pogoj (54a) dodatno konstitutivno enačbo izotropnega elastoplastičnega materialnega modela ali le neko nedokazano omejitev multiplikativne teorije, se tu ne bomo ukvarjali. O tem tudi ne bomo dobili nobenega zadovoljivega odgovora v literaturi. Zgornjega pogoja avtorji ne prištevajo med konstitutivne enačbe, tem­ več ga nekateri uporabljajo kot dodatno predpostavko, potrebno pri formuliranju algoritmov za numerično reševanje konstitutivnih enačb. Tudi v najnoveši literaturi, ki se ukvarja z neelastičnim odzivom materia­ lov predvsem iz matematičnega vidika, je omenjeni pogoj obravnavan samo kot koristen, toda nedokazan pogoj pri obravnavi izotropnih ma­ terialov (giej npr. opombo pod črto 7 v (Gurtin, 2005): "A result o f this nature seems part o f the folklore o f plasticity theory for isotropic mate­ rials, but we are not aware o f an actual proof."). V nadaljevanju bomo predstavili še druge oblike pravila tečenja, ki jih lahko izpeljemo iz njegove prvotne, (44d) ali (51 a), in klasične oblike (54b). V ta namen izrazimo oba faktorja totalnega deformacijskega gradienta s pomočjo leve oziroma desne polarne dekompozicije takole: Fe = V e -Re, FP= R P-U P, (55o,b) in nato to upoštevajmo pri opisu vseh tenzorjev iz (46) do (48), ki so uporabljeni v (51 a). Tako dobimo: V e -R e p -D p -R jF p -V e ^ a , / , (56) kjer sta R ep = R e ' Rp, D p = sim(Up • U p ) = j^ (U p ■ U p + U p • U p) (57a,b) sestavljena notranja rotacija in korotacijska hitrost plastične deforma­ cije, ki je predstavljena kot materialno polje. Ker je funkcija f(x, q) izo- tropna funkcija napetosti x, slednja pa je odvod izotropne funkcije Z(be) = Z (V e) - glej (44a in c), je produkt odvoda 0/kom utativen s spremenljivko Ve ali Ve'. Zato po ustreznem množenju en. (56) z ome­ njeno spremenljivko dobimo (namreč V - a / - Ve = d j) : R e -d p - R j = y d j f , (58) kjer smo glede na izhodiščno enačbo (51 a) za dp vpeljali naslednji izraz: d p = R P D p R J . (59) Oblika pravila tečenja (58) skupaj z obliko (54b) in definicijama (57b) in (58) definira naslednji identiteti: dp = Re- dp ReT , dp = (Re- Rp)-Dp-(Re-Rp)T, (60a,b) S pomočjo znane zveze df J = J FT (glej npr. (Eringen, 1967), (Gurtin, 1981), (Marsden, 1983), ali pa jo izpeljemo sami) moremo izraziti J tudi kot funkcijo hitrosti deformacijskega gradienta F ali Eulerjeve hitro­ sti deformacije d. To lahko naredimo tudi z determinantama X in X- Torej: j = (det[Fj)' = J F~t : F = 7 tr[d), (66a) j e= (det[Fe))' = J? tr[de|, 7 P = (det[Fp))' = 7P tr[dp), (66b,c) ki potrjujeta, da sta hitrosti dp in dp odvisni samo od hitrosti čiste pla­ stične deformacije Up (glej en. (57)), zarotirane za rotacijo Rp oziroma skupno rotacijo Rep, (57a). Iz zvez (54b), (44b) in (44c) sledi, da imajo tenzorji dp, XI x, be in Ve iste lastne smeri, smeri tenzorjev dp in Dp pa so glede na te zarotirane z rotacijskim tenzorjem Re oziroma Rep. V primeru majhnih specifičnih elastičnih deformacij ae, (24b), ae = Vi (be - 1 ) , II ae H « 1 => I dev[be] || « 1 (61a,b,c) lahko produkt dzf- be na desni strani pravila tečenja (44d) zaradi (61 c) aproksimiramo takole: in z upoštevanjem (65b) končno zapišimo: (ln / ) ' = tr[d j, (ln Jt) ' = tr[d e), (ln JPY = tr[dp), (67a,b,c) (ln / ) ' = tr[dej + trjdpj. (67d) Mimogrede, v aditivni teoriji lahko definiramo samo zadnjo identiteto, (67d). Če v tretji enačbi (67c) namesto dp upoštevamo izraz iz pravila tečenja (54b), dobimo: (ln Jp)' = tr [ 7 (% f] => (ln 7P) ' = y tr[0T./], (68) drf- be = drf-i K tr[be]l + de V [be]) s K tr[be) drf-1 = X tr [b e ]d T/ , (61 d) pravilo tečenja (44d) pa dobi naslednjo aproksimativno obliko: - % b e = 7 % tr[bej dTf. (62) Za konec tega razdelka si oglejmo, kako se s časom spreminja prostornina in oblika infinitezimalne okolice poljubnega delca telesa. Najprej se lotimo spremembe prostornine. Že v podrazdelku 3.1 (dru­ gi odstavek) smo opozorili na geometrijski pomen determinante J = det(F), tj., da predstavlja razmerje med prostornino deformiranega in nedeformiranega-začetnega infinitezimalno majhnega poljubnega dela telesa, dv in d V. Torej (glej tudi en. (3a)): J dv d V ’ £v d v - d V dV tv = j , (63a,b,c) kjer je £„ volumenska deformacija. Časovno spremembo volumenske deformacije delca, d£v/d/, lahko torej definiramo z materialnim od­ vodom determinante J: ki ima zanimivo sporočilo, in sicer, da je hitrost volumenske spre­ membe plastičnega dela deformacije enaka nič: če je gradient funkcije tečenja, tj. dzf, deviatorski tenzor. Sled deviatorjaje namreč enaka nič. O tem smo razpravljali že na koncu razdelka 2 v zvezi z reševanjem elastoplastičnih nalog v področju majhnih deformacij in ob upošteva­ nju von Misesove funkcije tečenja. Zdaj si oglejmo še veličino, ki izraža samo spremembo oblike delca, ne pa tudi njegove prostornine. Totalno deformacijo delca (tj. spremembo prostornine in oblike) lahko opišemo z desnim Cauchy-Greenovim de­ formacijskim tenzorjem C = FT F, (11 b). Determinanta te veličine je det(C) = det(FT) det(F) = J2, kar pomeni, da je sorazmerna spremembi prostornine delca (glej (63)). Zato lahko veličino za opis samo spre­ membe oblike delca definiramo z volumensko nevtralizacijo obravna­ vanega tenzorja C. Torej: C = Ft ■F=7“2/3 C, (69a) kjer je F = 7~1/3F => det[Č ] = / , d e t[F ]= 7 , (69b,c,d) od koder je razvidno, da se determinanta novega tenzorja Č s časom ne spreminja. Če ga materialno odvajamo, dobimo (glej tudi en. (53) v (Rojc, 2005)) C=/~2/3Ć -f/ -2/3Cdivv j — (7e/p ) — 7e7p + Je j p , (04) kjer smo uporabili zvezo (12b), tj. J = Je X- Delimo zgornji izraz z J in pri tem upoštevajmo omenjeno zvezo in dobimo: J / j = j e/ j e + j p/ j p , (65a) ali (ln J ) ' = (ln ./e) ' + (ln Jp) \ (65b) = 2J~2/3 (F t • d • F - i F T • F tr [d ]) = 2 / _2/3 F T • (d - ^ t r [ d ] l ) • F , (70a) ali F~t • tü • F -1 = 2 d e v [d j, (70b) kjer je v vektor trenutne hitrosti delca. Z en. (67a) smo ugotovili, da je tr(d) povezan s hitrostjo volumenske deformacije (primerjaj (67a) z (63c)), kar pomeni, da predstavlja dev(d) = d - jtr(d )l tisti del Euler- jeve hitrosti deformacije d, ki opisuje samo spremembo oblike delca in ne njegove prostornine, namreč tr(dev(d)) = 0. Iz tega vidika je z en. (70b) pojasnjen tudi pomen materialnega odvoda Č. Matematični ope­ raciji tr(«) in dev(») Eulerjeve hitrosti deformacije d imata zanimiv fizikalni pomen, podobno kot v linearni teoriji (glej razdelek 2). V ma­ terialnem opisu jima ustrezata materialni odvod skalarne funkcije J = (det(C))l/! in materialni odvod volumensko nevtraliziranega tenzor­ ja Č, pri čemer moramo za operator vzvrata in vrnitve upoštevati volu­ mensko nevtralizirani deformacijski gradient F in njegov obrat F'. 3.4 Alternativne oblike konstitutivnih enačb s von Misesovo funkcijo tečenja V primeru von Misesove funkcije tečenja dobijo splošne konstitutivne enačbe (44) konkretnejšo obliko. Za funkcijo tečenja upoštevajmo izraz, poznan iz geometrijsko linearne teorije (glej npr. (9i) v razdelku 2): / ( T , F )= V X ||d ev [t]|-y (e p), (71 a) ||dev[x]| = (dev[r]:dev[T ])1/2, dev jr] = t - j/3 tr[x]l (71b,C) Zgoraj je Y napetost tečenja in ep ekvivalentna plastična deformacija enoosnega napetostnega preizkusa. Oba parametra, Y in ep, enako­ vredno nadomeščata skalarja g in y iz prejšnjih podrazdelkov. Po­ sebnost funkcije (71 a) je v tem, da je njen odvod po x deviatorski tenzor, ki zagotavlja nestisljivost plastičnega dela deformacij (dokaz je na koncu prejšnjega podrazdelka). Torej: öT/= - \ /X n , n = dev[T]/||dev[T]|| (72a,b) => 7P = O, ali / p = 1, J = JS, (72c,d,e) Čeprav je enačba (72c) (ali (72d ali e)) z obliko funkcije tečenja avto­ matično izpolnjena in jo zato lahko izločimo iz niza konstitutivnih enačb elastoplastičnega materiala, ima pomembno vlogo pri formiranju računskih algoritmov. O tem se bomo prepričali v drugem delu pri­ spevka, (Rojc, 2007). Zaradi (72a) lahko pravilo tečenja (44d), tj. - 2-,% = ep2 dxf- be, zapi­ šemo takole -i^be = ep v6 n • be, -F- 9r(Cp_1) -F1 = ep V6 n • be. (73) Če upoštevamo namesto (44d) drugo obliko, (54b), dobimo: dP = « p V X n ’ (74) iz katere zaradi n : n = 1 sledi klasična zveza med hitrostjo ekvivalentne plastične deformacije ep in dp, ki je poznana že iz aditivne teorije: eP = (dp:dp)1/2- (75) Za kovinske materiale lahko uvedemo določnejšo obliko tudi za ener­ gijsko funkcijo F . Zaradi majhnih elastičnih deformacij in plastične ne- stisljivosti moremo zanjo privzeti strogo delitev na volumenski in devia­ torski del odziva. Zato predpostavimo tako kot v (Simo,1988), da je energijska funkcija F razdvojena na volumenski in deviatorski - pre­ oblikovalni del. V ta namen vpeljimo namesto be novo, tj. volumensko nevtralizirano spremenljivko be (glej npr. en. (69a)), katere determi­ nanta se s časom t ne spreminja, torej: be= j : y' be , det[ be ] = /e '2 det[be] = /e '2 7e2 = 1. (76) in definirajmo energijsko funkcijo ali tudi t. i. razdvojeno elastično defor­ macijsko energijo M/takole: F = M be) = U(Je) + Vi g (tr[be) - 3), (77a) Jt = det[Fe) = det[(be)'/2]. (77b) Pri tem je g tako kot v linearni teoriji strižni modul, kompresijski modul k-pa je skrit v volumenskem delu U. Zaradi privzete funkcije tečenja je plastični del determinante konstanten, J p = 1, in zato J = Je (glej en. (72d,e)). Torej lahko U izrazimo tudi kot funkcijo determinante J total­ ne deformacije. Če upoštevamo W/(be) v (44c), dobimo za Kirchhoffov napetostni tenzor t in njegovo sferično in deviatorsko komponetox0 ozi­ roma dev(x) naslednje izraze (Simo, 1988), (Simo, 1998): t = 2 9be W -be = 7e U'(Je) 1 + g dev[ be ], (78a) r0 = J p = / 3 tr[x] = Je U'(Je), dev[r] = p dev[ be ] = F dev[be). (78b,c) S pomočjo zadnje zveze in pogoja tečenja f= 0 lahko ob upoštevanju funkcije (71 a) izrazimo normo ||dev(be)|| takole: |dev(be)||=deI/jV%K/u. Ker je za kovine slednji izraz reda velikosti 10'3, moremo v skladu z aproksimacijo (61 d) v tem primeru aproksimirati tudi pravilo tečenja (73): - ^ b e = ep tr[be] n, -F -5 ,(C P_1)-F T = ep tr[be] n. (79) Namesto razdvojene oblike elastične energije (77) je v literaturi upo­ rabljena lahko tudi nerazdvojena energijska funkcija, npr. (Simo, 1985): W(be) = U(JS) + ‘/2 F (tr[be) - 3 - 2 la /e). (80 ) Sferična in deviatorska komponenta napetostnega tenzorja sta v tem primeru podani z: To = J p = y 3 tr[T] = 7e U \ j e) + f ( / 3 tr[be] -1 ), (81 a) dev[x] = F dev[be). (81 b) Opazna razlika je v izrazu sferične komponente napetostnega tenzorja (primerjaj z (78b)). V (81 a) je sferična komponenta sestavljena iz dveh delov: odvoda funkcije determinante Je = J in sledi elastičnega dela deformacijskega tenzorja, tj. tr(be). V tej komponenti sta prisotni dve materialni konstanti: ena je že omenjeni strižni modul p, druga je v funk­ ciji U(Je) in jo označimo z A, saj ne more predstavljati kompresijskega modula k kot v prejšnjem primeru W(be). Zanimivo je tudi, da obeh konstant, A in p, ne moremo združiti v eno kot npr. v geometrijsko li­ nearni teoriji (glej en. (1) in (6)). Združitev je možna v primeru majh­ nih elastičnih deformacij, ko lahko determinanto Je aproksimiramo z linearnim izrazom Je ~ ’/2(tr(bB) - 1). Kljub tej možnosti, ki bi jo lahko uporabili za kovinske materiale in tudi mnoge druge, pa se bomo v drugem delu prispevka (glej (Rojc, 2007)), pri formuliranju numeričnih algoritmov tej aproksimaciji izognili. 4 • SKLEP V prispevku je podana izpeljava in analiza konstitutivnih enačb hiper- elasto-plastičnega modela kovinskih materialov. Analiza je bila opravljena z vidika vpliva oblike funkcije tečenja na hitrost plastične volumenske deformacije. Posebna pozornost je bila posvečena fizikalno-mehanskemu pomenu posameznih spremenljivk, ki nasto­ pajo v omenjenih konstitutivnih enačbah, in seveda tudi pomenu dveh matematičnih operacij tr(») in dev(»), s katerima razdelimo tenzorske spremenljivke na sferični in deviatorski del oziroma izotropni in brezsledni del (glej (Kuščer, 1994)). Fizikalni pomen omenjenih delov posameznih mehanskih veličin pa ima pomembno vlogo pri oblikova­ nju numeričnih postopkov za reševanje konstitutivnih enačb, ki bo predmet drugega dela prispevka. 5 -LITERATURA ABAQUS, Inc., ABAQUS/Standard, Version 6.5, ABAQUS, Inc. J„ USA, 2004. Bernstein, B„ Hypo-Elasticity and Elasticity, Arch. Rational Mech. Anal, 6 ,89-104,1960. Casey, J., Naghdi, R, M., A Remark on the Use of the Decomposition F = FeFp in Plasticity. J. Appl. Mech. ASME, 47,672-675,1980. Casey, J., Naghdi, R, M., Discusion on: A Correct Definition of Elastic and Plastic Deformation and Its Computational Significance. J. Appl. Mech. ASME, 48,983-985,1981. Casey, J., Discusion on: Invariance Considerations in Large Strain Elasto-Plasticity, J. Appl. Mech. ASME, 54,247-248,1987. Coleman, B., D., Gurtin, M., E., Thermodynamics with internal state variables, J. Chem. Phys., A l, 597-613,1967. Dashner, P, A., Invariance considerations in large strain elasto-plasticity, J. Appl Mech., 53 ,55-60 ,1986 . Eringen, A„ C., Mechanics of continua, Jo/m Wiley and Sons, New York, 1967. Geers, M„ G„ D„ Finite strain logarithmic hyperelasto-plasticity with softening: a strongly non-local implicit gradient framework, Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg., 193,3377-3401,2004. Gill, R, E., Murray, W. and Wright, M„ FI., Practical optimisation, Academic Press, INC., London, 1981. Green, A., E., Naghdy, R, M., A general theory of an elastic-plastic continuum. Arch. Rat. Mech. Anal, 18, pp. 251 -281,1965. Green, A., E., Naghdy, R, M., Some remarks on elastic-plastic deformation at finite strain. Int. J. Engng. Set, 9, pp. 1219-1229,1971. Gurtin, M., E„ An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, New York, 1981. Gurtin, M., E., Anand, L, The decomposition F = FBFP, material symmetry, and plastic irrotationality for solids that are isotropic-viscoplastic or amorphous, International Journal o f Plasticity, 21,1686-1719,2005. Füll, R., On constitutive inequalities for simple materials. I and II, J. Mech. Phys. Solids, 16,229-242,1968. Kleiber, M., König, J., A., Sawczuk, A., Studies on plastic structures: stability, anisotropic hardening, cyclic loads, Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 33 ,487-556,1982. Kuščer, I., Kodre, A., Matematika v fiziki in tehniki, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana, 1994. Lee, E., H., Elastic-plastic deformation at finite strains. J. Appl. Mech., 36, pp. 1 -6 ,1969 . Lee, E., FL, Some comments on elastic-plastic analysis, lnt.J. Solids and Structures, 17,859-872,1981. Levitas, V., I., Principle of minimum dissipation rate at time t+ A t for the plastic spin, Mechanics Research Commun., 24,639-648,1997. Lubarda, V., A., Lee, E., H., A correct definition of elastic and plastic deformation and its computational significance, J. Appl. Mech., 48, 35-40, 1981. Lubiiner, J., A Maximum-Dissipation Principle in Generalized Plasticity. Acta Mech., 52,225-237,1984. Marsden, J., E. and Flughes, T.J.R.,Mathematical Foundations of Elasticity. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Ney York, 1983. McMeeking, R., M., Rice, J., R., Finite-element formulations for problems of large elastic-plastic deformation, Int. J. Solids and Structures, 11, 601-616,1975. Naghdi, P, M„ A critical review of the state of finite plasticity, J. Appl. Math, and Physics, 41,315-394,1990. Nemat-Nasser, S„ Decomposition of strain measures and their rates in finite deformation elastoplasticity. Int. J. Solids and Structures, 15,155-166, 1979. Nemat-Nasser, S., On finite deformation elasto-plasticity. Int.J. Solids and Structures, 18,857-872,1982. Papadopoulos, P„ Lu, J., A general framework forthe numerical solution of problems in finite elasto-plasticity, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg., 159, 1-18,1998. Rojc, T„ Integracija klasične hypoelasticne konstitutivne zveze; 1. del: zvezna formulacija, Zbornik srečanja Kuhljevi dnevi 04, SDM, Otočec, sept. 2004 ,245-252 ,2004 . Rojc, I , Štok, B„ Dva pristopa k uporabi konvektnega koordinatnega sistema v analizi deformabilnih teles pri velikih deformacijah. Kuhljevi dnevi 05, SDM, Podčetrtek, sept. 2005, (razširjeni članek: http://www.km.faa.uni-li.si/sdm/zborniki.htm1. 2005. Rojc, T„ 0 multiplikativni teoriji hiperelasto-plastičnih teles pri velikih deformacijah in objektivnosti numeričnih algoritmov. II. Del: Integracijski algo­ ritmi, Gradbeni vestnik, letnik 56, marec, 2007. Shames, l„ H., Cozzarelli, F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Taylor & Francis, London, 1997. Simo, J., C., Ortiz, M., An unified approach to finite deformation elastoplastic analysis based on the use of hyperelastic constitutive equations, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg., 49,221 -245,1985. Simo, J., C„ A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and the multiplicative decomposition. Part I. Continuum formulation. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg., 66, pp. 199-219,1988 Simo, J., C., Algorithms for static and dynamic multiplicative plasticity that preserve the classical return mapping schemes of the infinitesimal theory, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg., 69,61 -112,1992. Simo, J., C„ Flughes, T.J.R., Computational Inelasticity, Springer-Verlag, New York, 1998. NUMERIČNA REŠITEV KONVEKTIVNEGA TOKA V POROZNI KOTANJI ZARADI DVOJNE DIFUZIJE NUMERICAL SOLUTION OF DOUBLE DIFFUSION NATURAL CONVECTION IN POROUS CAVITY as. Janja Kramer, univ. dipl. inž. grad., iania.kramer@uni-mb.si izr. prof. dr. Renata Jecl, univ. dipl. inž. grad., renata.iecl@uni-mb.si Fakulteta za gradbeništvo, Univerza v Mariboru, Smetanova 17,2000 MARIBOR Znanstveni članek UDK 532.7:519.61 Povzetek | V prispevku je predstavljen problem, pri katerem tekočino v zaprti, porozni kotanji izpostavim o vertikalnim tem peraturnim in snovskim gradientom. Zaradi kombinacije term ičnih in snovskih vzgonskih sil, ki so posledica sprem em be gostote tekočine, se sproži proces naravne konvekcije, v tem primeru imenovan naravna konvek- cija zaradi dvojne difuzije. Primer je rešen z uporabo robno obm očne integralske metode (ROIM), ki predstavlja dopolnitev metode robnih elementov (MRE). Za modeliranje podanega prenosnega pojava so uporabljene modificirane Navier-Stokesove enačbe v obliki ohranitvenih zakonov mase, gibalne veličine, energije in snovi. Vodilne parcialne diferencialne enačbe so izpeljane z uporabo hitrostno vrtinčne form ulacije (HVF), z ustreznimi osnovnim i rešitvami (Greenovimi funkcijam i) prevedene v integralsko obliko, zapisane v diskretni obliki in rešene z uporabo numeričnega modela. Predstavljeni so nekateri rezultati numeričnega izračuna za različne parametre, ki vplivajo na režim konvektivnega toka, podana pa je tudi primerjava z izsledki že objavljenih študij. Summary | The problem where flu id in a closed porous cavity is exposed to vertical heat and m ass gradients is presented. Due to the combined effects of tem perature and concentration driving bouyancy forces as a result of the density gradients, the natural convection process occurs, usually named double diffusion natural convection. The problem is solved using the boundary dom ain integral method (BDIM) as an extension of the boundary elem ent method (BEM), The stated transport phenomenon is modeled by the modified Navier-Stokes equations, represented in the form of conservation laws for mass, m om entum, energy, and species. The governing set of partial differential equations is written according to the velocity vorticity form ulation (W F ), w ith the use of appropriate fundam ental so lutions (Green functions) further transform ed into integral equations, discretized and finally solved with a numerical model. Some numerical results fo r different governing parameters of convective flow are presented and compared w ith the published studies. 1 • UVOD Konvektivni tok v porozni snovi, zasičeni s fluidom, je v praksi zaradi mnogih inženirskih in tehnoloških aplikacij pomemben pojav in je v zadnjih letih predmet številnih raziskav. V literaturi lahko zasledimo mnogo študij, ki obravnavajo problem naravne konvekcije, povzro­ čene zaradi termičnih vzgonskih sil, manj pozornosti poje posvečene problemom s sodelujočimi termičnimi in snovskimi vzgonskimi si­ lami, tako imenovani naravni konvekciji zaradi dvojne difuzije, ki je predmet našega dela. Praktičen primer je recimo transport vlage v slojih toplotne izolacije ali pa disperzija kontaminantov v zasičenih zemljinah. V objavljenih študijah lahko zasledimo rezultate za poroz­ no kotanjo, kjer so vertikalne stene izpostavljene temperaturnemu in koncentracijskemu gradientu, horizontalni porozni sloj ter druge geometrije. Rešitve za prenos toplote in snovi v vertikalni porozni kotanji, dobljene z uporabo Darcyjevega modela, so podane v delih (Trevisan, 1985,1986) in (Alavyoon, 1993). Numerična rešitev dvoj­ ne difuzije za primer nasprotnih vzgonskih sil (višja temperatura na eni vertikalni steni in višja koncentracija snovi na drugi) je podana v delih (Alavyoon, 1994) in (Angirasa, 1996). Darcy-Brinkmanova for­ mulacija, ki daje fizikalno realnejše rezultate predvsem pri manj po­ roznih snoveh, je uporabljena v delih (Goyeau, 1996) in (Nithiarasu, 1996) s poudarkom na analizi vpliva členov dodanih Darcyjevi enačbi na skupen prenos toplote in snovi skozi kotanjo. Za reševanje osnovnih enačb so v omenjenih študijah uporabljene metoda končnih volumnov in metoda končnih razlik. V našem prispevku je za izračun prenosa toplote in snovi po porozni kotanji uporabljena Darcy-Brinkmanova formulacija, kjer je gibalna enačba ekvivalent Navier-Stokesovi gibalni enačbi za čisto tekočino. Enačbe so zapisane na makroskopskem nivoju s povprečenjem mikroskopskih enačb za čisto tekočino preko reprezentativnega ele­ mentarnega poroznega volumna. Osnovne enačbe so rešene z uporabo ROIM, ki je izpeljanka klasične MRE. Metoda je bila v nekoliko spremenjeni obliki že uspešno uporabljena za reševanje konvektivnega toka v porozni snovi kot posledice temperaturnih gradientov (Jecl, 2000,2001,2003,2005). Vtem članku pa bomo podali rešitve dvojne difuzije oziroma konvektivnega toka zaradi temperaturnih in snovskih gradientov. 2 • OSNOVNE ENAČBE Makroskopske enačbe ohranitve mase, gibalne veličine, energije in snovi so zapisane z upoštevanjem dejstva, da je samo del volumna, ki je izražen s poroznostjo, na voljo za tok tekočine, hkrat pa veljajo še naslednje predpostavke: - trdna faza porozne snovi je homogena, izotropna in nedeformabilna, - tekoča faza oziroma tekočina je nestisljiva, viskozna in newtonska, - porozna snov je zasičena, kar pomeni, da so vse pore zapolnjene s tekočino, - povprečni temperaturi trdne in tekoče faze sta enaki - porozna snov je v termodinamičnem ravnovesju in tako energijske spremembe ali tudi toplotno obnašanje porozne snovi zapišemo z eno samo enačbo za povprečno temperaturo. Sistem sestavljajo kontinuitetna in gibalna enačba ter enačbi ohranitve energije in snovi v obliki: dv,- dx. = 0 , ( 1) 1 3v, 1 3v-v- 1 dp _ V v d 2v,-------L.)----------i—!_ = ---------- i - + f p ------v . -j------------ !_ (p dt (p1 dxj p 0 dxt K ' (p dxj dxi (2) ~[

)A* kjer sta Xf in As toplotni prevodnosti za tekočino in trdnino. V zadnji enačbi C predstavlja koncentracijo, D pa snovsko di- fuzivnost. Gibalna enačba (2), imenovana tudi Darcy-Brinkmanova enačba, ima v našem primeru dva viskozna člena. Prvi viskozni je običajen Darcyjev člen (tretji na desni), drugi pa je Brinkmanov člen (četrti na desni), ki je analogen Laplaceovemu členu v Navier-Stokeso­ vi enačbi za čisto tekočino. Z Brinkmanovo enačbo lahko zadovoljimo brezzdrsnemu robnemu pogoju (no-slip boundary condition) oziroma pogoju, da je hitrost na neprepustnih robovih, ki omejujejo porozno snov, enaka nič. Pomembno je poudariti, daje ta gibalna enačba neke vrste interpolacija med Navier-Stokesovo enačbo za čisto tekočino in Darcyjevim zakonom. V limiti, ko se poroznost približuje enoti (-> l ) in gre posledično prepustnost proti neskončnosti (K °°), se namreč Brinkmanova enačba prevede v Navier-Stokesovo enačbo za čisto tekočino, ko pa se vrednost prepustnosti zmanjšuje in približuje nič (K -» 0), postane Brinkmanov člen zanemarljivo majhen in gibalna enačba (2) se prevede v Darcyjev zakon (Bear, 1991). 3 • ROBNO OBMOČNA INTEGRALSKA METODA Robno območna integralska metoda predstavlja alternativo do sedaj najpogosteje uporabljanim numeričnim metodam za reševanje siste­ mov nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb, kot so metoda končnih elementov, metoda končnih razlik, metoda končnih volumnov. Klasična metoda robnih elementov se uporablja predvsem za reševanje poten­ cialnih problemov, pri čemer rešujemo samo robne integrale oziroma neznanke samo na robu. Z robno območno integralsko metodo pa lahko rešujemo tudi zapletene difuzivno-konvektivne probleme, pri kate­ rih se kot neznanke v sistemu diskretnih enačb pojavljajo tako robne kot območne vrednosti spremenljivk - rešujemo torej tako robne kot ob­ močne integrale, kar je dalo metodi tudi novo ime. Preden uporabimo ROIM na osnovnih enačbah, jih moramo ustrezno modificirati. Viskoznost v gibalni enačbi razdelimo na konstanten in spremenljiv del v = v + v, tako da se Brinkmanov člen zapiše v dveh delih in enačba (2) preoblikuje v: dv', dv' . v' 1 d p vd> _ d 2v. dt d x , p 0 dxl K d x d x - + d ^ <2VŠ‘j> ’ (5) kjer je v', modificirana hitrost v' = v',/0, ef pa je deformacijski tenzor £ij = ]/2 (d v 'i/dx j + dv'j/dx,). Podobno kot kinematično viskoznost raz­ delimo tudi termično difuzivnost aP, ki je definirana kot aP = Xe/ ( p c ) f, in snovsko difuzivnost D na konstanten in spremenljiv del: aP = aP + dP, D = D + D .Če vključimo še izraz za razmerje toplotnih kapacitet cr = 0 + (1 - 0 )(pc)s/(pc>, lahko energijsko in snovsko enačbo za­ pišemo kot: a d T , d T a P d 2T d--------- E V ----- = — -----------+ ------p dt 1 dXj p dx j dx j dXj d C | dV jC _ D d 2C | d f D d C ' dt dXj

u\i snovski enačbi. V naslednjem koraku pripadajoče robno območne integralske enačbe zapišemo v diskretizirani obliki tako, da robne in območne integrale aproksimiramo z vsoto integralov po posameznih robnih elementih in notranjih celicah. Sledi matrična oblika za vrtinčno, temperaturno in koncentracijsko kinetiko: Sistem disketiziranih enačb (12), (18), (19) in (20) se reši kot vezani sistem kinetike in kinematike z upoštevanjem ustreznih robnih pogojev. Dobljen implicitni sistem enačb je hkrati zapisan za vsa robna in ob­ močna vozlišča, kar rezultira v polni sistemski matriki, ki vsebuje tako vplive difuzije kot konvekcije. Numerična shema je stabilna in natanč­ na, vendar za reševanje potrebuje veliko računalniškega spomina in časa. Zaradi tega se uporabi tehnika podobmočij, kjer se celotno ob­ močje izračuna razdeli na podobmočja, kar bistveno skrajša računski čas. Končni sistem enačb se dobi z združevanjem sistemov enačb za posamezno podobmočje ob upoštevanju ustreznih kontinuitetnih pogo­ jev na vmesnih robovih. Sistemska matrika je tako bolj prazna in primernejša za iterativni izračun. V podanem primeru je vsako podob­ močje sestavljeno iz štirih nezveznih 3-točkovnih kvadratnih robnih ele­ mentov in ene zvezne 9-točkovne kvadratne območne celice (Jecl, 2003). 4 • NUMERIČNI PRIMER Učinkovitost in pravilnost opisane numerične metode seje testirala na primeru naravne konvekcije v kvadratni kotanji zapolnjeni s porozno snovjo, kije ob straneh izpostavljena različnim vrednostim temperature T in koncentracije C (7) in CL na levi steni ter TR in CR na desni strani), horizontalne stene pa so toplotno in snovsko neprevodne. Predpostavi­ mo, da je porozna snov homogena in nedeformabilna ter v celoti zasičena s tekočino. Nadaljnje predpostavke so še, da sta poroznost In prepustnost porozne snovi konstantni, tekočina, ki zapolnjuje pore pa je newtonska in v termičnem ravnovesju s trdo fazo. Geometrija in robni pogoji zastavljenega problema so razvidni iz slike 1. Izračun je opravljen za kvadratno kotanjo z razmerjem stranic A = H/D = 1 pri različnih vrednostih Darcyjevega števila D a = A (K /H 2), kjer je A = 1 /0 in modificiranega termičnega Rayleighevega števila Raj = RaTDaX, Rar = g ß ^A T /va t, kjer je af termična difuzivnost teko­ činske faze, A pa razmerje toplotne prevodnosti tekočinske faze in efektivne toplotne prevodnosti definirane v poglavju 2, A = A,/Ae. Ostali parametri problema so še Lewisovo število Le = Sc/Pr, kjer je Sc Schmidtovo število, Sc = v/D, ki predstavlja razmerje med kinematično viskoznostjo in snovsko difuzivnostjo, Prandtlovo število Pr, Pr = v /a , ki je razmerje med kinematično viskoznostjo in termično difuzivnostjo ter 48 Gradbeni vestnik • letnik 56 • februar 2007 9y 9y Slika 1 • Geometrija kotanje ter robni pogoji vzgonski koeficient /V, ki pove razmerje med vplivom termičnih in snovskih vzgonskih sil definiran kot N = ß cAC/ßTAT. Zaradi poenostavitve izračuna smo upoštevali vrednosti razmerja toplotnih prevodnosti in toplotnih kapacitet X = a = 7, za vrednost po­ roznosti pa (p = 0.5. Uporabljena je neekvidistantna računska mreža velikosti 2 0 x 2 0 podobmočij z zgostitvami na robovih, pri čemer je raz­ merje med najkrajšo in najdaljšo stranico r = 6. Skupen prenos toplote in snovi skozi kotanjo podajata Nusseltovo in Shervvoodovo število, ki sta definirani kot: Da 1 0 ’ 1 0 2 1 0 3 10^ 1 0 s sedanji rezultati 1.08 1.70 2.43 2.83 2.99 Ra'=100 ref. (Jecl, 2003) 1.086 1.695 2.414 2.847 2.995 ref. (Lauriat 1989) - 1.70 2.41 2.84 3.02 sedanji rezultati 1.704 3.20 5.35 7.32 8.38 Ra'=500 ref. (Jecl, 2003) 1.681 3.145 5.235 7.185 8.428 ref. (Lauriat, 1989) - 3.30 5.42 7.35 8.41 Preglednica 1 • Povprečno Nusseltovo število za N = O, Le = 1 Prvi izračunan primerje naravna konvekcija zaradi delovanja termičnih vzgonskih sil /V = O, za Le = 7, ter vrednosti Ra' = 100 in Ra' = 500 pri različnih Darcyjevih številih, in sicer za Da = 70 ' - 70 * Skupen prenos toplote je v tem primeru enak skupnemu prenosu snovi torej sta vrednosti Nusseltovega in Sherwoodovega števila identični. Re­ zultati so podani v preglednici 1 in primerjani z deli (Jecl, 2003) in (Lauriat, 1989), kjer je obravnavan problem konvektivnega toka v po­ rozni kotanji samo zaradi termičnega gradienta. Ra' 100 200 sedanji rezultati 3.13 5.06 Nu ref. (Trevisan, 1985) 3.27 5.61 ref. (Goyeau, 1996) 3.11 4.96 sedanji rezultati 14.26 22.25 Sh ref. (Trevisan, 1985) 15.61 23.23 ref. (Goyeau, 1996) 13.25 19.86 Preglednica 2 • Povprečno Nusseltovo in Shervvoodovo število za Da = 1 0 7, Le = 10,N = 0 V preglednici 2 so zbrani rezultati za primer skupnega prenosa toplote in snovi za Darcyjev model (Do = 107), pri vrednostih Le = 10, N = O, ter R a '= 100 in Ra' = 200. Še vedno gre za konvekcijo izključno zaradi termičnih vzgonskih sil, ki povzroči tudi prenos snovi po kotanji. Zaradi večje vrednosti Lewisovega števila je pri določenem Rayleighovem številu prenos snovi večji od prenosa toplote. Shervvoodovo število tako narašča z vrednostmi Le in Ra, medtem ko Nusseltovo število v primeru N = O ni odvisno od Lewisovega števila pri določenem Ra. Iz primerjalnih preglednic je razvidno, da so rezultati, dobljeni po opi­ sani metodi, primerljivi z objavljenimi, dobljenimi z uporabo drugačnih modelov in postopkov reševanja, kar potrjuje pravilnost zastavljene numerične sheme. Naslednji izračunani primer, katerega rezultati so podani v preglednici 3 je konvekcija zaradi sodelovanja termičnih in snovskih vzgonskih sil za vrednost koeficienta N = 7, pri Ra’ - 100 in Da = 70 ', Da = 103 in Da = 107. Vzgonski sili tokrat delujeta z enakim vplivom. Da 1 0 ' 1 0 3 1 0 ’ Nu 1.04 2.58 3.75 Sh 2.37 10.08 21.40 Preglednica 3 • Povprečno Nusseltovo in Shervvoodovo število za Ra' = 100, Le = 10, N = 1 Struktura toka, potek temperaturnega in koncentracijskega polja za primer dvojne difuzije za vrednosti Da = IO'7 (Darcyjev model) in Da = IO 3 (tipičen Darcy-Brinkmanov model) so prikazani na sliki 2. Opazimo lahko, da so tokovnice za Da = 70'7 najbolj gosto razporejene blizu vertikalnih robov, kar nakazuje, da se tam pojavljajo najvišje hitrosti. Tak rezultat je pričakovan zaradi osnovne lastnosti uporabljene Brinkmanove enačbe, ki za majhne vrednosti prepustnosti (in s tem povezanega Darcyjevega števila) daje vrednosti, kot bi jih dobili z upo­ rabo klasične Darcyjeve gibalne enačbe, po kateri velja, da je hitrost največja prav na robu (enačba namreč ne more zadostiti brezzdrsne- mu robnemu pogoju). Za primer Da = 103 pa vidimo, da postaja vpliv robnih pogojev na hitrostno polje zaznaven, viskozni Brinkmanov člen postane namreč pomemben in vpliva na upočasnitev toka v bližini vertikalnih robov, prav tako pa se tudi mesto nastopa največje hitrosti pomakne proti centru kotanje. Razporeditev izoterm kaže, daje pri majhnem Darcyjevem številu kon- vektivno gibanje znotraj kotanje močno, ob robovih levo spodaj in desno zgoraj nastopajo veliki temperaturni gradienti. Ko pa Darcyjevo število naraste, postanejo viskozni vplivi pomembni, kar povzroči, da postane razporeditev izoterm bolj enakomerna, kar je rezultat skup­ nega učinka procesov kondukcije in konvekcije. Polje koncentracije kaže klasično plastovito strukturo, pri kateri se prav tako opazi vpliv dodatnega viskoznega člena. Pri večjem Darcyjevem številu so koncentracijski gradienti ob steni manjši, kar je vpliv pove­ čevanja viskoznih sil, ki so zajete z Brinkmanovim členom. Prenos mase po porozni kotanji se veča z manjšanjem Darcyjevega števila (Da 0), ko se vpliv viskoznega Brinkmanovega člena v gibalni enač­ bi zmanjšuje. 5 »SKLEP V prispevku je predstavljen izračun problema naravne konvekcije zara­ di dvojne difuzije v kvadratni porozni kotanji z robno območno integral­ sko metodo. Prikazana je teoretična osnova za numerično modeliranje prenosnega pojava, izpeljan numerični algoritem pa testiran na konk­ retnem primeru. Rezultati so ovrednoteni posebej za vpliv termične vzgonske sile ter za vzajemni vpliv termične in snovske vzgonske sile na skupen prenos toplote in snovi. Z uporabo Brinkmanove gibalne enačbe se lahko določa tudi vpliv Darcyjevega števila na konvektivni tok v kotanji. Povečevanje Brinkmanovega viskoznega člena vidno vpliva na strukturo toka, prenos toplote in snovi. Dobljeni rezultati se ujemajo z objavljenimi študijami, kjer so uporabljene drugačne metode reševan­ ja, kar potrjuje pravilnost opisanega numeričnega postopka. 6 «ZAHVALA Avtorici se iskreno zahvaljujeta profesorju dr. Leopoldu Škergetu iz novnega numeričnega modela, predvsem pa za mnoge pogovore in Fakultete za strojništvo Univerze v Mariboru za možnost uporabe os- razprave ter za nesebično posredovanje znanja, izkušenj in idej. 7 • LITERATURA Alavyoon, F., On natural convection in vertical porous enclosure due to perscribed fluxes of heat and mass at the vertical boundaries, Inf. J. Heat Mass Transfer, Elsevier, 36,2479-2498,1993. Alavyoon, F., On natural convection in vertical porous enclosure due to opposing fluxes of heat and mass prescribed at the vertical walls, Int. J. Heat Mass Transfer, Elsevier, 37,195-206,1994. Angirasa, D., Peterson, G„ R, Pop, I., Combined heat and mass transfer by natural convection with opposing buoyancy effects in a fluid saturated porous medium, Int. J. Heat Mass Transfer, Elsevier, 40,2755-2773,1996. Bear, J., Bachmat, Y.( Introduction to Modelling of Transport Phenomena in Porous Media, Klüver Academic Publishers, 1991. Goyeau, B„ Songbe, J., R, Gobin D., Numerical study of double-diffusive natural convection in a porous cavity using the Darcy Brinkman formulation, Int. J. Heat Mass Transfer, Elsevier, 39,1363-1378,1996. Jecl, R.: Modeliranje prenosnih pojavov v porozni snovi z robno-območno integralsko metodo. Gradbeni vestnik, 49, str. 26-35,2000. Jecl, R., Škerget, L, Petrešin E.,: Boundary domain integral method tor transport phenomena in porous media, Int. J. Numer. Meth. Fluids, Wiley, 35, 39-54,2001. Jecl, R., Škerget, L, Boundary element method for natural convection in non-Newtonian fluid saturated square porous cavity, Engng. Anal. Bound. Bern., Elsevier, 23,963-975,2003. Jecl, R., Škerget, L, Kramer, J., Primerjava med Forcheimerjevim in Brinkmanovim modelom konvektivnega toka v porozni kotanji z robno območno integralsko metodo. Acta hydrotectinica, FGG Ljubljana, 23 /38 ,1 -17 ,2005 . Lauriat, G., Prasad, V., Natural convection in a vertical porous cavity: a numerical study for Brinkman-Extended Darcy formulation, J. Heat Transfer, ASME, 32, 2135-2148,1989, Nield, D.,A„ Bejan, A., Convection in porous media, Springer, Berlin, 2006. ' Nithiarasu, R, Seetharamu, K., N., Sundararajan, I , Double-diffusive natural convection in an enclosure filled with fluid-saturated porous medium: a generalized non-Darcy approach, Numerical Heat Transfer, Taylor & Francis, 30,413-426,1996. Škerget, L, Hriberšek, M., Kuhn, G„ Computational fluid dynamics by boundary-domain integral method, Int. J. Numer. Meth. Engng., Elsevier, 46, 1291-1311,1999. Škerget, L, Samec, N., BEM for the two-dimensional plane compressible fluid dynamics, Engng. Anal. Bound. Elem., Elsevier, 29,41 -57,2005. Trevisan, 0., V„ Bejan, A., Natural convection with combined heat and mass transfer buoyancy effects in a porous medium, Int. J. Heat Mass Transfer, Elsevier, 28,1597-1611,1985. Trevisan, 0 „ V., Bejan, A., Mass and heat transfer by natural convection in a vertical slot filled with porous medium, Int. J. Heat Mass Transfer, Elsevier, 29,403-415,1986. 28. ZBOROVANJE GRADBENIH KONSTRUKTORJEV SLOVENIJE Slovensko društvo gradbenih konstruktorjevje 19. in 20. oktobra 2006 na Bledu organiziralo že 28. zborovanje gradbenih konstruktorjev Slovenije. Srečanja, ki je drugič zapored potekalo v veliki konferenčni dvorani hotela Golf, se je udeležilo 143 domačih in tujih strokovnjakov s področja gradbeništva, ki so skupaj predstavili 27 prispevkov. Vsi prispevki so bili v celoti objavljeni v tiskani publikaciji zborovanja. Udeležence zborovanja so nago­ vorili župan občine Bled, g. Jože Antonič, dekan Fakultete za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani, izr. prof. dr. Bojan Majes in dr. Miroslav Pregl z Direktorata za prostor pri Ministrstvu za okolje in prostor. Na otvoritev smo povabili tudi ministra za okolje in prostor, g. Janeza Podobnika, ki se zaradi neodlož­ ljivih obveznosti zborovanja žal ni mogel udeležiti, v svojem pismu pa je poudaril, da se zaveda velikega pomena tovrstnih srečanj za razvoj stroke in izmenjavo izkušenj ter nam zaželel uspešno delo. predstavil zasnovo in posamezne tehnične rešitve iz idejnega projekta sovprežnega mostu s poševnimi kabli preko Save v Beo­ gradu, ki so ga izdelali na podlagi pogodbe, sklenjene po zmagi na mednarodnem na­ tečaju. Most, izveden po tem projektu, z 200 m visokim unikatnim pilonom stožčaste oblike, bo s svojimi razponi pomenil svetovni rekord v kategoriji sovprežnih mostov z enim pilonom. Tako kot že nekaj zadnjih let je vsebina drugih objavljenih in predstavljenih prispevkov pokrivala široko področje dela gradbenih kon­ struktorjev. Tematsko smo jih razdelili v naslednje sklope: • Potresna odpornost konstrukcij, • Mostovi, • Konstrukcije, • Geotehnika in • Gradbeni materiali, preiskave materialov in konstrukcij. Hozo Harun, univ. dipl. inž. grad.; Bogomir Ipavec, univ. dipl. inž. grad.; mag. Branko Kidrič, univ. dipl. inž. grad.; Jože Kocjan, univ. dipl. inž. grad.; dr. Jože Lopatič, univ. dipl. inž. grad.; Viktor Markelj, univ. dipl. inž. grad.; dr. Franc Saje, univ. dipl. inž. grad.; Franc Zajamšek, univ. dipl. inž. grad. • Nadzorni odbor: Janko Mele, univ. dipl. inž. grad.; dr. Miroslav Pregl, univ. dipl. inž. grad.; mag. Jelena Srpčič, univ. dipl. inž. grad. • Častno razsodišče: dr. Branko S. Bedenik, univ. dipl. inž. grad.; dr. Darko Beg, univ. dipl. inž. grad.; Ladislava Halas, univ. dipl. inž. grad. Po prvem delovnem dnevu zborovanja smo se v večernih urah sprostili na družabnem srečanju v restavraciji hotela Golf. Tam smo se podprli z dobro hrano, spili kozarček ali Letošnji vabljeni predavanji sta pripravila gost iz sosednje Republike Hrvaške prof. dr. Jure Radič in slovenski projektant Viktor Markelj. Prof. Jure Radič z gradbene fakultete v Zagre­ bu je predaval o učinkovitem upravljanju z velikimi mostovi kot ključnimi objekti na cestni infrastrukturi. Taki objekti zahtevajo glede upravljanja in vzdrževanja posebno pazljivost predvsem v smislu preventivnega vzdrže­ vanja, saj sistemi za upravljanje z običajnimi objekti zanje niso primerni. Viktor Markelj iz Inženirskega biroja Ponting v Mariboru je V okviru tokratnega zborovanja je potekala tudi redna skupščina društva, na kateri so bili za naslednje štiriletno obdobje izvoljeni pred­ sednik in podpredsednik društva, člani iz­ vršnega in nadzornega odbora ter častnega razsodišča: • Predsednik: Viktor Markelj, univ. dipl. inž. grad.; • Podpredsednik: dr. Jože Lopatič, univ. dipl. inž. grad.; • Izvršni odbor društva: Vukašin Ačanski, univ. dipl. inž. grad.; dva, malo zaplesali in kar dolgo v noč pri­ jateljsko kramljali. Z veseljem lahko zapišemo, da priprave na naslednje zborovanje že tečejo. Splošno mnenje udeležencev je bilo, da so pogoji za organizacijo zborovanja v hotelu Golf na Bledu odlični. Zato smo se odločili, da bomo tam pripravili tudi naslednje, 29. zborovanje gradbenih konstruktorjev Slovenije, ki bo 18. in 19. oktobra 2007. doc. dr. Jože Lopatič, podpredsednik SDGK 1 9 9 1 9 1 I # - SEMINARJI O EVROKODIH - PRVO OBVESTILO S Pravilnikom o mehanski odpornosti in stabilnosti objektov (U. I. RS, št. 101, 11. november 2005) je določen rok, do katerega moramo vsi, ki se ukvarjamo s projektiranjem gradbenih konstrukcij, v celoti začeti upoštevati evrokode, vključno z nacionalnimi dodatki. Ker so predpisi izjemno obsežni in uvajajo na večini področij povsem nove pristope in principe izračunov in konstruiranja posameznih konstrukcijskih ele­ mentov, se je Matična sekcija gradbenih inženirjev Inženirske zbornice Slovenije (MSGIZS) odločila pomagati pri izobraževanju članov. Glede na to, da se vedno večje število članov MSG IZS obrača na zbor­ nico po pomoč in tolmačenje posameznih problemov v zvezi z uporabo evrokodov v praksi, je MSG IZS ustanovila delovno skupino, ki se ukvarja z aktivnostmi v zvezi z uvedbo novih standardov, med katerimi je na prvem mestu izobraževanje članov. Na podlagi pridobljenih informacij in vedenja o stanju na področju uvajanja evrokodov smo se na področju izobraževanja članov matične sekcije gradbenikov skupaj s Fakulteto za gradbeništvo in geodezijo odločili za izvedbo dveh stopenj izobra­ ževanja: Na prvi stopnji izobraževanja bodo podani splošni pregledi posameznih EC, na drugi stopnji pa detajlnejše predstavitve posameznega stan­ darda. Izobraževanja bodo izvajali sodelavci Fakultete za gradbeništvo in geo­ dezijo Ljubljana ter Zavoda za gradbeništvo Slovenije, ki so sodelovali že pri pripravi in prevajanju evrokodov. Vsak od slušateljev bo dobil delovno gradivo, na podlagii katerega bo lahko sledil predavanjem. Po koncu izobraževanja pa bo izdan zbornik, ki bo na pregleden način povzel vse najvažnejše novosti in predvsem razlike na področju projektiranja. Kotizacija za udeležbo na izobraževanju bo javljena pri drugem obve­ stilu, ki bo sledilo v kratkem. Prva stopnja bo obsegala osnovno znanje z vseh področij, ki jih zaje­ majo evrokodi. Tečaji prve stopnje bodo potekali v Ljubljani v prostorih IZS in v Mariboru (lokacija bo objavljena naknadno) v aprilu. Urnik še ni dokončen, de­ tajlna obvestila in prijavnice bodo posredovane po pošti članom matične sekcije in objavljena na spletni strani IZS. LJUBLJANA (prostori IZS!: 02.04.2007 16:00-19:30 SISTEN 1990 - Osnove projektiranja kon­ strukcij, SIST EN 1991 - Vplivi na konstrukcije SISTEN 1992 - Projektiranje betonskih konstrukcij 04.04.2007 16:00-19:30 SIST EN 1993 - Projektiranje jeklenih kon­ strukcij SISTEN 1994 - Projektiranje sovprežnih konstrukcij iz jekla in be­ tona 11.04.2007 16:00-19:30 SISTEN 1995 - Projektiranje lesenih kon­ strukcij SISTEN 1996 - Projektiranje zidanih kon­ strukcij 12.04.2007 16:00-19:30 SIST EN 1997 - Geotehnično projektiranje SISTEN 1998 - Projektiranje potresnood- pornih konstrukcij MARIBOR ('lokacija bo iavliena naknadno-) 16.04.2007 16:00-19:30 SIST EN 1990 - Osnove projektiranja kon­ strukcij, SISTEN 1991 - Vplivi na konstrukcije SISTEN 1992 - Projektiranje betonskih konstrukcij 18.04.2007 16:00-19:30 SISTEN 1993 - Projektiranje jeklenih kon­ strukcij SISTEN 1994 - Projektiranje sovprežnih konstrukcij iz jekla in be­ tona 23.04.2007 16:00-19:30 SISTEN 1995 - Projektiranje lesenih kon­ strukcij SISTEN 1996 - Projektiranje zidanih kon­ strukcij 25.04.2007 16:00-19:30 SISTEN 1997 - Geotehnično projektiranje SISTEN 1998 - Projektiranje potresnood- pornih konstrukcij Druga stopnja bo obsegala poglobljena znanja s področja posameznih Evrokodov, kjer bo za vsak posamezen standard organi­ zirano posebno izobraževanje. Na tej stopnji bodo poleg kratke pono­ vitve teoretičnih znanj organizirane tudi delavnice z aplikativnim poda­ janjem znanj oz. primerjavo dela po starih in novih predpisih, kjer bodo na konkretnih primerih in ob odprti diskusiji prikazane razlike in novosti pri izračunu posameznih vrst konstrukcij. Število udeležencev posameznega tečaja bo omejeno na 35. Če bo prijav več, bo izobraževanje ponovljeno. Izobraževanje druge stopnje bo potekalo v Ljubljani v prostorih FGG v maju, juniju, septembru, oktobru in novembru 2007. Predviden obseg izobraževanj na tej stopnji je naslednji: SISTEN 1990, SIST EN 1991 - 8 šolskih ur SISTEN 1992 - 24 šolskih ur (skupaj z vplivom potresa na armirano-betonske zgradbe) SISTEN 1993 SISTEN 1994 SISTEN 1995 SISTEN 1996 SISTEN 1997 SISTEN 1998 - 16 šolskih ur -1 2 šolskih ur - 12 šolskih ur - 8 šolskih ur - 12 šolskih ur -1 2 šolskih ur Obvestilo o točnih datumih bo poslano po pošti in objavljeno na inter­ netni strani IZS. V letu 2008 bodo organizirana še nekatera specialna izobraževanja s področja dimenzioniranja jeklenih konstrukcij na potresno obtežbo, jeklenih in betonskih mostov ter objektov v cestogradnji. Po končanem izobraževanju bo IZS izdala potrdila v skladu s Pravilnikom o obveznem izobraževanju pooblaščenih inženirjev. Vabimo vse inženirje, ki bodo v letu 2008 zavezani k uporabi evrokodov, da se v čim večjem številu udeležijo organiziranih izobraževanj. Andrej Pogačnik, univ. dipl. inž. grad., vodja delovne skupine za uvajanje Evrokodov v inženirsko prakso KOLEDAR PRIREDITEV 1.-7,3.2007 5th International Conference on Construction Project Management (ICCPM 2007) Singapur, Singapur www.ntu.edu.sg/cee/iccpmjccem COE International Advanced School on Wind Effect on Buildings and Urban Environment Tokio, Japonska www.wind.arch.t-kougei.ac.jp 18,20.6.2007 H B IH H l ■ 6th ITS in Europe Congress and ExhibitionAalborg, Danska www.ertico.com 26,29.6 .2007 24th W78 Conference & 5th ITCEDU Workshop & 14th EG-ICE Workshop Maribor, Slovenija www.w78.uni-mb.si 6.3.2007 Fachtagung Arbeitsschutz am Bau Berlin, Nemčija www.betonverein.de/lt_downloads/Downloads/ fiyer_ft_arbeitsschutz.pdf Ex (eksplozivna) zaščita - pregled stanja predpisov (MSE) IZS, Ljubljana, Slovenija www.izs.si 6.-8.3.2007 4th SAS ITS International Conference & Exhibition Pretoria, Južna Afrika www.itsinternational.com/events marec / april 2007 Simpozij na temo geodetskih načrtov (MSGeo) IZS, Ljubljana, Slovenija www.izs.si april 2007 Okrogla miza o strelovodni zaščiti (MSE) IZS, Ljubljana, Slovenija www.izs.si 19.-20.4.2007 Deutscher Bautechnik - TAG 2007 Mainz, Nemčija www.bautechniktag.de 23.-29.4.2007 BAUMA 2007 28. Internationale Fachmesse für Baumaschinen, Baustoffmaschinen, Bergbaumaschinen, Baufahrzeuge und Baugeräte München, Nemčija www.bauma.de 11.-13.6.2007 International Conference: Sustainable Construction Materials and Technologies Coventry, Anglija www.uwm.edu/dept/cbu/coventry.html 4.-6.9.2007 7th International Congress Concrete: Construction's Sustainable Option Dundee, Škotska www.ctucongress.co.uk 18.-21.9.2007 The Eleventh International Conference on Civil, Structural and Environmental Engineering Computing St Julians, Malta www.civil-comp.com/conf or contact ■ B l .9.2007 IABSE Symposium International Association for Bridge and Structural Engineering Weimar, Nemčija www.iabse2007.de 24.-27.9.2007 14th European Conference on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering: Geotechnical Engineering in Urban Environments Madrid, Španija www.ecsmge2007.org 6.-10.10.2007 75th IBTTA Annual Meeting and Exposition Dunaj, Avstrija www.ibtta.org 30.6.-4.7.2008 10th International Symposium on Landslides and Engineered Slopes Xi'an, Kitajska www.landslide.iwhr.com 5.-9.10.2009 17th International Conference for Soil Mechanics and Geotechnical Engineering Alexandria, Egipt www.2009icsmge-egypt.org Rubriko ureja »Jan Kristjan Juteršek, ki sprejema predloge za objavo na e-naslov: msg@izs.si