i
i
“Vidav-stevilo13” — 2010/5/12 — 11:13 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 13 (1985/1986)
Številka 2
Strani 66–69
Ivan Vidav:
O ŠTEVILU 13
Ključne besede: matematika, teorija števil, praštevila, kongruentna
števila.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/13/13-2-Vidav.pdf
c© 1985 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
· I ~ •
/""-''',;:''' -'1/"'" 1CI" I"", .I -
o ŠTEVILU 13
Vsi dobro vemo, da je 13 nesrečno število . (Morda pa prinaša nesrečo le
številka 13?) Pa poglej mo na to število z matematičnimi očali. Poskušajmo z
matematično analizo ugotoviti, kaj je tako zloveščega in neprijaznega na njem .
Takoj vidimo, da je 13 praštevilo : deljivo je samo z 1 in samim seboj. Sodi
med tista praštevila, ki jih lahko zapišemo kot vsoto dveh kvadratov
Manjša praštevila so 2, 3, 5, 7 in 11 . Med njimi sta 2 in 5 vsoti dveh kvadra-
tov
Nikakor pa ne moremo zapisati praštevil 3,7 in 11 v tej obliki. 11 je vsota treh
kvadratov : 11 = 12 + 12 + 32 . Praštevilo 7 pa se ne da izrazit i niti s tremi
kvadrati temveč le s štirimi : 7 = 12 + 12 + 12 + 22 •
Vsako naravno število, naj bo praštevilo ali sestavljeno, se da zapisati kot
vsota štirih ali manj kvadratov. Nekatera števila so že sama kvadrati, npr.
4,9, 16. Med njimi seveda ni praštevil. Nekatera se dajo izraziti kot vsota dveh,
zopet druga kot vsota treh kvadratov. V najslabšem primeru potrebujemo
štiri kvad rate.
Katera praštevila so vsote dveh kvadratov? Praštevilo p delimo s 4.
Ker so razen števila 2 vsa praštevila Iiha , je ostanek pri delitv i lahko le 1 ali 3.
Če dobimo ostanek 1, je p vsota dveh kvadratov, če dobimo ostanek 3, p
ni vsota dveh kvadratov. Ker je 13 = 3.4 + 1, je ostanek pri delitvi s 4 enak 1
in 13 je vsota dveh kvadratov. Prav tako je praštevilo 17 = 4.4 + 1 vsota dveh
kvadratov: 17=1 2 +42 •
Katera praštevila p pa se dajo izraziti z vsoto treh kvadratov? Takole
ugotovimo : Delimo p z 8. Ostanek pri delitvi je zdaj lahko 1, 3 , 5 ali 7. Če
je ostanek 3 , se p izraža z vsoto treh kvadratov. Zgled: 19 = 2.8 + 3 in zato
je 19 vsota treh kvadratov 12 + 32 + 32 • Če pa je ostanek pri delitvi 7 , se da
p izraziti le z vsoto 4 kvadratov . Ker je 71 = 8.8 + 7, lahko zap išemo 71 kot
vsoto štirih kvadratov 12 + 32 + 52 + 62 , nikakor pa ne kot vsoto treh ali
dveh kvadratov. Kaj pa ostanka 1 in 5? Bralec naj se sam prepriča, da dobimo
pri delitvi z 8 ostanek 1 ali 5 natanko tedaj , ko dobimo pri delitvi s 4 ostanek 1.
66
Torej pri ostankih 1 in 5 je praštevilo p vsota dveh kvadratov.
Naj bo D naravno število, ki ni kvadrat. Oglejmo si enačbo
(1)
Zanimajo nas rešitve, kjer sta x in y celi števili. Pri D = 2 ima enačba
x 2 - 2y 2 = -1 rešitev x = 1, y = 1. Zaman pa bi se trudili, če bi iskali rešitev
enačbe x 2 - 3y2 = -1 v celih številih. Take rešitve ni. Izraz x 2 - 3y 2 + 1
pri celih številih x in y namreč nikoli ni enak O. O tem se prepričamo, če
delimo število x s 3. Naj bo kvocient pri tej delitvi q, Ostanek pa je lahko O
(delitev se izide), 1 ali 2. V prvem primeru je x = 3q, v drugem x = 3q + 1 in
v tretjem x = 3q + 2. V prvem primeru dobimo x 2 - 3y 2 + 1 =9q2 - 3y 2 + 1.
To števi lo da pri delitvi s 3 ostanek 1 in zato ni enako O. Podobno obravnava-
mo primera x = 3q + 1 in x = 3q + 2 . To naj opravi bralec sam in se tako pre-
priča, da tudi v teh dveh primerih izraz x 2 - 3y 2 + 1 ni enak O.
Pri D = 13 je enačba
(2)
rešljiva. Zadoščata ji števili x = 18, y = 5. Ta rešitev ni edina. Velja namreč
tole : Če ima enačba (1) rešitev x =e, y =b , je njena nadaljnja rešitev
(3)
Bralec naj se sam prepriča o tem s preskusom! Torej ima (2) tudi rešitev
x =23382, y = 6485
Če izhajamo iz te rešitve, dobimo po formuli (3) spet novo rešitev. Zato je
rešitev neskončno .
• Rešljivost enačbe (2) je posledica dejstva, da je 13 vsota dveh kvadratov.
Ce je namreč D praštevilo p, ima enačba (1) rešitev v celih številih x, y
natanko tedaj, ko je p vsota dveh kvadratov.
Naj omenim, dci je podobna enačba
(4)
vselej rešljiva v ~elih številih. Ima dve očitni (triviaini) rešitvi x = 1, Y = O in
x = -1, y = O. Ce D ni kvadrat, pa ima (4) poleg teh dveh še nešteto drugih
rešitev. Bralec naj s preskusom dokaže tole : Če je x =e, y =b rešitevenačbe
(1) , potem je
y= 2ab (5)
67
rešitev enačbe (4).
Popolno število imenujemo naravno število m, ki je enako vsoti svojih
pravih deliteljev. Pravi delitelji so vsi delitelji števila m, ki so manjši od m.
Najmanjše popolno število je 6. Njegovi pravi delitelji so 1, 2 in 3 z vsoto
1 + 2 + 3 = 6 . Seveda ni nobeno praštevilo p popolno, saj ima p en sam pravi
delitelj, namreč 1. Zato tudi 13 ni popolno število . Naslednje popolno število
je 28. Njegovi delitelji so 1,2,4,7,14 z vsoto 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Praštevilo p je Fermatovo, če razlika p - 1 ni deljiva z nobenim drugim
prafaktorjem kakor z 2. Torej je p - 1 potenca od 2, npr.p - 1 = 2 n in od tod
p = 2n + 1. Izkaže se, da je 2n + 1 praštevilo kvečjemu tedaj, ko je tudi ekspo-
nent n potenca od 2 . 13 ni Fermatovo praštevi lo, saj je razi ika 13 - 1 = 12
deljiva s prafaktorjema 2 in 3. Pač pa so 3 = 2' + 1, 5 = 2 2 + 1, 17 = 2 4 + 1
Fermatova praštevila.
Fermatova praštevila so slavna zaradi povezave s konstrukcijo pravilnih
mnogokotnikov. Gauss je namreč dokazal, da se da pravilni mnogokotnik s p
stranicami, kjer je p praštevilo, narisati z ravnilom in šestilom natanko takrat,
ko je p Fermatovo praštevilo. Zato lahko narišemo pravilni petkotnik in
sedemnajstkotnik. Pravilnega trinajstkotnika pa prav tako kakor pravilnega
sedemkotnika in enajstkotnika ne moremo narisati samo z ravnilom in šestilom.
Naravna števila a, b, c sestavljajo pitagorejsko trojico, če je med njimi
zveza a2 + b 2 = c" . Tedaj sta a in b kateti, epa hipotenuza pravokotnega
trikotn ika. Od davnega je npr. znana trojica 3, 4, 5. Ploščina pravokotnega
trikotnika s katetama a in b je enaka p = ~ ab.V vsaki pitagorejski trojici
a, b, c je vsaj ena od katet a, b sodo število. Zato je ploščina takega trikotnika
zmerom celo število, npr. p = 6 za trikotnik s stranicami 3,4,5. Lahko pa se
zgodi, da ima pravokotni trikotnik za ploščino celo število, čeprav njegove
stranice niso cela, temveč le racionaina števila . Zgled za to je trikotnik s
stranicami
a=2...
2'
b=~
3 '
41c=--
6
Njegova ploščina p = 5.
Naravno število, ki je ploščina kakšnega pravokotneqa trikotnika z racional-
nimi stranicami, se imenuje kongruentno število. Pravkar smo videli, da sta 5
in 6 kongruentni števili. Dokazali so, da je 5 najmanjše kongruentno število;
1, 2, 3 in 4 namreč niso kongruentna števila . Torej ni pravokotnega trikotnika
z racionalnimi stranicami, ki bi imel ploščino 1.
Če je n kongruentno število, ne obstaja samo en pravokotni trikotnik z
racionalnimi stranicami in ploščino n , temveč je takih trikotnikov nešteto.
Tako ima npr. tudi trikotnik
68
a=_7_
10
b = 120
7 '
1201c=---
70