i
i
“1452-Vencelj-DelitevProstora” — 2010/8/23 — 10:08 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 28 (2000/2001)
Številka 5
Strani 280–285
Marija Vencelj:
DELITEV PROSTORA Z n RAVNINAMI IN nOBLAMI
Ključne besede: matematika, geometrija, prostorska predstavljivost.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/28/1452-Vencelj.pdf
c© 2001 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Mat ematika I
DELITEV PROSTORA Z ti RAVNINAMI IN Z
n OBLAMI - Odgovor na vprašanji s str. 194 in 195
V prejšnji številki Preseka smo vam zast avili dve soro dni nalogi. V prvi
smo spraševali, na koliko delov razdeli prostor n ravnin v splošni legi,
druga je zahtevala odgovor na podobno vprašanje, le da ravnine v njem
zamenjamo z ob lami. Ker bo mo t ud i rešitvi nalog iskali po sličnih po teh ,
si ju ogl~jmo kar v skupnem prispevku.
D elitev prostora z n ravninami v sp lošn i legi
V nalogi smo post avili zaht evo, da imaj o polj ubne tri ravn ine, s kat er imi
razde lim o prostor, neprazen presek, poljubne štir i pa so br ez skupne točke.
To pravzaprav pomen i, da imajo poljubne t ri ravnine skupno natanko eno
točko . P rimer medsebojne lege treh rav nin , kakršnega kaže slika 1, namreč
ne more nast opi t i. P resek po ljubne četrte ravnine in dveh od narisan ih
treh ravnin bi vseboval točko presečne premi ce p . Ta točka pa bi bila , v
nasp ro tju z našo zahte vo, skupna točka št ir ih ravn in .
lJ
Slika 1.
Je pa naved eni pogoj bistven za enoli čno reš it ev naloge. To lahko
uvidimo že na primeru t reh ravnin . V prime ru s slike 1 je razpadel pr ostor
na šest delov, t r i vzpo redne rav nine ga razdele na št ir i dele. Koordinatne
ravni ne pravokotnega koordinatnega sistema, na primer , ki imaj o skupno
n ata nko en o točko (ko ordinatno izhodišče ) , p a r a zdel ij o p rostor n a osem
delov (oktantov) .
Da bi se splošne naloge lotili z d irektnim prešt evanj em dob ljenih de lov
prostora, ne pride v poštev, saj bi z večanjem št evila ravnin kaj km alu zašli
v brezup no nepregledni položaj . Za nekaj začetnih n pa to le naprav imo!
• Ena ravni na razdeli pr ostor na dva dela .
• Dve sekajoči se ravnini razde lit a prostor na št iri dele.
Mat ematika
• Tri ravnine, z natanko eno skupno točko, razbij ejo prostor na ose m
delov , kot v primeru koordinatnih ravnin . Na število delov očitno ne
vpliva jo velikost i kotov , ki jih ravnine oklepajo, da le niso med seboj
vzporedne.
• Za n = 4 si bom o pom agali s slikama 2a in 2b . Slika 2a prikaz uje
tipičen primer št irih ravnin v splošni legi .
.- ~ ... . .. ., .
:::: :;:.:::::::::::::.: .
::: :":::::::::::::::: :: :: :.
"".... . : '1:::::::::::::::::::::::
.... . f· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
" i :: ::: :: :::::: :::::: :::::::. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . .. - .
l '
' ::"; :': :";' :-7 :-:-
, , ,
' . 1[
IJ
Slika 2a . Slika 2b .
Naj bodo prve tri ravnine v našem razmišljanju tiste, ki se na sliki
paroma pr avokotno sekajo (čeprav t aka izbira ni bist vena ). Te rav-
nine sekajo četrto ravnino vzdo lž t reh paroma se sekajočih premic p,
q, r , ki so brez skupne točke (zarad i splošne lege ravnin). Premice p,
q in r razde lijo četrto ravnino na sede m kosov (slika 2b) . Vsak od teh
kosov leži ves v natanko enem od de lov , na katere delijo prostor prve
tri ravnine , in deli ta del na dva nova dela. Ker ust varjaj o pr ve t r i
ravnine v prostoru osem delov , od katerih jih četrta ravnina sede m
deli na dva nova dela , je skupno števi lo delov prostora pri razbitju s
št irimi ravninami enako N(4) = 8 + 7 = 15.
Način prem išljanja, s kater im smo ugn ali nalogo za n = 4, pravzaprav
ni več navadno prešt evanj e. Id ejo; ki jo vsebuje, bomo usp ešn o up or abili
tudi v splošnem primeru.
Splošno rešit ev bomo poiskali v t reh zaporednih kor akih .
1. korak
Označimo z N I (n) število delov, na kat ere razbij e prem ico n različnih
točk t e premice. Očitno je N I (n) = n + 1.
2. korak
Naj bo N 2 (n) število par cel , na katere razbije ravnino n nj enih pre-
mic, ki so me d seboj v splošni legi (t .j. premice se paroma sekajo, poljubne
tri pa so brez skupne točke) . Kolik šen je N2 (n)?
Matematika I
a) Ena prem ica razdeli rav nino na dva dela , to rej je N2 (1) = 2.
b) Denimo, da že poznamo št evilo N 2 (n), in opazuj mo mn ožico ti + 1
premic ist e ravnine v splošni legi. P rv ih ti prem ic deli ravnino na N 2 (n)
parcel; (n + l )-t a prem ica , imenujmo jo p , seka prvih n premic v n
različnih točkah . P o rezu lt atu prvega koraka razdelijo te točke pr emico
p na N 1(n) = n + 1 delov, kat er ih vsak deli po eno od prej do bljenih
ravninskih par cel na dvoje (slika 3) .
V
Slika 3 .
S t em , da smo n premicam dodali še eno , smo torej šte vilo N 2 (n)
povečali za N 1 (n) delov . Torej velja
Nadomestimo ti zapored z n - 1, n - 2, .. ., 2 in 1:
N2(n) = N2(n - 1) + n
N 2 (n - 1) = N 2 (n - 2) + (n - 1)
N2(3) = N 2(2) + 3
N2(2) = N2( 1) + 2
Če zgorn je enačbe seštejemo in up ošt evamo , da je N2 (1) = 2, dobimo
N2 (n ) = N 2 (1)+ [2+ 3+ .. .+ (n - l )+ n ] = 1+ [1+ 2 + 3 + . . .+(n - 1)+ n]
in končno
N ( ) n (n + 1)
2 n = 1 + 2
n 2 + n + 2 1
2
1 Vsota prvih n na rav n ih š tev il je enaka n("2+1) .
Matematika
3. korak
Označimo z N3 (n) število delov, na kat ere razdeli prostor n ravnin v
splošni legi, in opazujmo množico (n + 1) ravnin v splošni legi. Dod ana
ravnina'R seka prvih n ravnin vzdo lž n premic ravnine 'R , ki so med seboj
v splošni legi , ker so dane ravnine v meds ebojno splošni legi . Teh n premic
deli ravnino 'R (glej 2. kor ak ) na N2(n ) = n
2+
2n+2 ploskev, kat erih vsaka
deli po enega od prej doblj enih delov prostora na dvoj e. Zat o velja
Spet nadomestimo zapored n z n - 1, n - 2, . . " 2 in 1. Dobimo
N( )
- N ( 1) (n -1)2 + (n - 1) +2
3 n - 3 n - + 2
N
3(n
_ 1) = N
3(n
_ 2) + (n - 2)2 + (n - 2) + 2
2
22 + 2 + 2
N3(3) = N3(2) + 2
12 + 1 + 2
N3(2) = N3(1) + 2
Enačbe seš te jemo, preuredimo člene in dobimo
N 3(n) = N 3(1) + ~ [12 + 22 + ...+ (n - 2)2 + (n _ 1)2] +
1 1+ - [1 + 2 +, .,+ (n - 2) + (n - 1)] + - [2 + 2 + .. .+ 2]2 2, ,
v
n - l
Upoštevamo, da je N 3 (1) = 2, in up orabimo formuli za vsoto prvih
n nar avnih števil in vsoto kvadratov prv ih nnaravnih števil.2 Dobimo
( )
n (n - 1)(2n - 1) n(n - 1) ( )
N 3 n = 2 + + + ti - 1 =12 4
(n+1)(n2-n+ 6)
6
2 V k d il ih števil ' k n (n + l )(2n +l )sota va ratov prvt 1 n nar avni št evi Je ena a 6 .
Mat ematika I
Če v for mulo vstavimo zap ored n = 1, 2, 3 in 4, do bimo N 3 (1) = 2,
N3(2) = 4, N3(3) = 8 in N3(4) = 15, kot smo že na začetku izračunali .
P et ravnin v splošn i legi razdeli prost or že na 26 delov, deset pa kar na 176
delov. Di rektno preštevanj e delov pri večj ih n bi se torej res ne obneslo .
Delitev prostora z noblami
V zastavljeni nalogi smo bralcu pr epustili , da v primerjavi s prej snjo
nalo go sam ugotovi , da pogoj , da se oble paroma sekajo, ni dovolj za
enolično rešit ev naloge. Lahko najdemo primere, ko z enakim številom
obe l dobimo po številu delov različna razbit ja prostora (poiščite kak šen
t ak primer ).
Zato dod atno zahtevamo, da im aj o poljubne tri oble sk upni vsaj
dve točki , poljubne št iri oble pa so brez skupne točke . Ted aj je naloga
enolično reš lj iva . V t akem primeru dobimo t ud i največj e možno štev ilo
delov pros t ora pri deli tvi z noblami.
Sp et bomo rešitev naloge poiskali v treh zap orednih kor akih .
l . kor ak
Označimo z NI (n) število lokov, na kat ere razde li krožnico n parov
točk , to je 2n točk t e krožnice?
Ni težko uvideti , da je NI (n) = 2n.
2. korak
V ravnin i naj bo dana množica krožnic, ki se paroma sekajo , poljubne
tri pa so br ez skupne točke . Tako množico bomo im enovali množica
krožnic v splošni legi . Izračunajmo število parcel , na kater e ta množica
krožni c razdeli ravnino.
Označimo z N 2 (n) število parcel , na kater e razdeli ravnino n krožnic
v splošni legi , in opazujmo (n + l )-to krožnico t e ravnine , ki je s prvimi
n krožni cami v splošni legi. Prvih n krožni c seka (n + l l-to krožnico,
imenujmo jo K , v n parih različnih točk. Te točke razdele K (glej l.
korak ) na NI (n ) = 2n lokov. Vsak od teh lokov deli po eno od prej
doblj enih parcel na dvoje (slika 4).
Zato je
Upošt evamo, da je N 2 (1) = 2, poračunamo kot v nalogi z ravninami in
dobimo
I Matematika
n=3
Slika 4 .
Posledica
Tudi oblo, na kateri je razporejenih n krožnic v splošni legi, delijo te
krožnice na N 2 (n ) = n 2 - n + 2 parcel.
3. korak
Naj bo danih n + 1 obel, katerih poljubne tri imajo vsaj po dve
skupni točki, poljubne štiri pa so brez skupne točke. Od tod sledi, da
imajo poljubne tri oble natanko dve skupni točki. Premislite, zakaj!
Označimo z N3 (n) število delov, na katere razdeli prostor prvih n
obel, in opazujmo (n + l) -to oblo . Prvih n obel seka (n + l) -to oblo v n
krožnicah, ki so na (n + l) -ti obli razporejene v splošni legi. Te krožnice
dele (n + l)-to oblo na N 2 (n ) = n 2 - n + 2 parcel, katerih vsaka deli po
enega od prej dobljenih prostorskih delov na dva dela. Zato velja
Ker je N3 (1) = 2, dobimo, če malo poračunamo, da je
Vrednosti za prve tri n so enake kot pri razbitju z ravninami v splošni
legi: N3 (1) = 2, N3 (2) = 4, N3 (3) = 8. Potem pa začne N3 (n) hitreje
naraščati kot N3 (n). Tako je N3 (4) = 16, N3 (10) pa že 260.
Marija Vencelj