PRESEK LETNIK
017) ŠTEVILKA 1

"/-v

'V	'
iii -

-> mote ca perspektiva
polovic a le ce - polovi c a slike? -> neko c, v davnih časih . . . je zgodovino oson čja odkrivala rosetta
-> nau čimo se programirati
ISSN 0351-6652
9 7 7 035 , 6654,8
9770351665418
9770351665418
matematični trenutki
Daenerys
M reže v Igri prestolov
Kdo je glavni junak televizijske serije Igra prestolov in knjige Pesmi ledu in ognja?
Da bi odgovorili na to vprašanje, so si matematiki pomagali s podpodročjem teorije grafov, ki se ukvarja z mrežami. Ustvarili in analizirali so shematsko prestavitev mreže junakov iz tretje knjige in povezave med njimi. Nato so preizkušali različne mere pomembnosti, ki jim v teoriji grafov pravimo središčnost. Tyrion Lannister se je pri vseh, razen pri eni meri, izkazal kot glavni junak. Vprašanje seveda še ni rešeno do konca serije, a eno je jasno: premišljevanje o Igri prestolov je veliko varnejše kot sodelovanje v njej.
Znanstveniki so začeli konstruirati mrežo tako, da so najprej upoštevali razdalje med imeni junakov, tako kot so zapisani v knjigi. S pomočjo verjetnostnega računa, kombinatorike in numerične aproksi-macije so nato junake razvrstili v skupine. Brez človeških vmešavanj je algoritem uspešno zaznal sedem logičnih in koherentnih skupnosti. Ceprav ustvarjena mreža temelji na domišljiji, ima veliko značilnosti mrež iz realnega življenja, kjer imajo nekateri posamezniki nesorazmerno veliko vlogo. Takšno raziskovanje informačij je ne le simpatično, ampak nakazuje, kako lahko teorija grafov in mrež pomaga pri veliko pomembnejših temah, na primer pri razumevanju širjenja informačij in pri modeliranju širitve bolezni.
Bolj radoveden braleč si lahko prebere članek Network of Thrones, ki sta ga Andrew Beveridge in Jie Shan aprila 2016 objavila v reviji Math Horizons. _ XXX

kolofon
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 44, šolsko leto 2016/2017, številka 1
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si
Naročnina za šolsko leto 2016/2017 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur.
Transakcijski račun: 03100-1000018787.
Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij.
Založilo DMFA-založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana
Naklada 1700 izvodov
© 2016 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1992
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana.
navodila sodelavcem preseka za oddajo prispevkov

2
PRESEK 44 (2016/2017)1
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si.
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
Slika na naslovnici: Fotografija na naslovnici kaže samca divje race mlakarice. Pozornost usmerite v perje na njegovi glavi. Kakšne barve je? Na prvi vtis zelene, le na levi strani se kaže modrikast rob. Ko raca obrne glavo, ugotovimo, da barva ni odvisna od lege perja na glavi temvec smeri, iz katere ga opazujemo. To je posledica drobne strukture perja, ki vpliva na barvo odbite svetlobe. Podoben pojav opazimo ob pogledu na zgoščenko. Tudi njej ne moremo enostavno določiti barve, saj se spreminja s smerjo iz katere jo opazujemo. (foto: Aleš Mohoric)
MATEMATIKA
Moteca perspektiva
Peter Legiša
Uvod
Obiskovalci starih mestnih jeder imamo pogosto težave s fotografiranjem stavb. Ni se mogoče dovolj odmakniti za dobro sliko. Pomagajo širokokotni objektivi - tu bomo govorili o »premočrtnih« (»rekti-linearnih«) širokokotnih objektivih, ki ravne črte bolj ali manj preslikajo v ravne crte. (Objektivi akcijskih kamer ne sodijo v to kategorijo, prav tako ne t. i. ribja očesa - vsi ti ravne črte na robu ukrivijo, da bi na sliko spravili, kar se da veliko opazovanega, in se izognili zatemnitvi slike na robu - t. i. vinje-tiranju, ki je značilno za polno odprte premočrtne širokokotne objektive.) Tudi če ravne črte ostanejo (skoraj) ravne, so potem na slikah pogosto pravokotna pročelja zmaličena v čudne trapeze ali trapezoide: straniče stavbe navadno lezejo skupaj z višino. Tudi v parkih in gozdovih želja zajeti s širokokotnim objektivom, kar se da veliko, pogosto daje slike, na katerih se drevesa »podirajo«: zgornji deli debel se nagibajo k sredini slike. Včasih so ti efekti zanimivi, pogosto pa moteči. Deloma jih lahko popravimo v nadaljnji obdelavi na računalniku, a tudi to ni zmeraj preprosto. Poglejmo si natančneje, kaj se dogaja pri fotografiranju. Zvedeli bomo, kako lahko te težave preprečimo ali vsaj omilimo.
Upodobitve
Pri srednješolski fiziki obravnavamo upodobitve s tanko zbiralno lečo. Taka leča je neobčutljiva za vrtenje okrog svoje osi. Žarke, vzporedne osi leče, zbere v gorišču F (slika 1).
Optično središče O leče leži na osi in ima lastnost, da žarki, ki gredo skozi O, ne spremenijo smeri. Go-riščna razdalja f je razdalja med goriščem in optičnim središčem. Ravnina £ skozi O, pravokotna na os leče, je ravnina leče. Na sliki 1 je B pravokotna projekčija točke A na os leče. Točko A leča
f
D
A
				h
B' F f				1
h' J	O		B	
A'		a		
b				
SLIKA 1.
Daljico BA leca preslika na daljico B'A'.
upodobi v točko A', katere pravokotna projekcija na os je B'. Naj bosta a = \OB\ in b = \OB'\ razdalji tock A, A' od ravnine lece. Označimo h = \AB\ in h' = \A'B'\. Na sliki 1 sta podobna trikotnika OBA in OB'A'. Tako je h : a = h' : b ali
i' i b ■ h = h—. a
Podobna sta tudi trikotnika F OD in FB'A'. Tako je
h _ h' _ bh ' f = b-f = a(b - f) •
Pokrajšajmo s h, odpravimo ulomke in dobimo a(b - f) = ab - af = bf, od tod bf + af = ab. Delimo zadnjo enakost z abf, pa dobimo
1 11 abf'
(1)
Lahko je videti, da velja tudi malce splošneje: Za daljico dolžine h, ki je vzporedna ravnini S lece in od nje oddaljena za a, obrnjena slika dolžine h' nastane na razdalji b od leče, velja enačba (??) in
b
h = kh, kjer je k = —.
a
(2)
4
PRESEK 44 (2016/2017)1
MATEMATIKA
Fotografski objektiv je seveda mnogo bolj zapleten od enostavne lece. V prvem približku pa lahko vzamemo, da še zmeraj deluje kot enostavna leca in da veljajo gornje enacbe. Vzeli bomo torej, da se ravnina A, vzporedna ravnini lece in od nje oddaljena za a, preslika na ravnino senzorja (tipala), tako da se vse razdalje pomnožijo s k = a■ Naša preslikava je torej podobnostna transformacija, ki ohranja kote in oblike. (V resnici je objektiv zmožen dobro preslikati le del ravnine A v bližini osi objektiva - navadno ravno toliko, da slika pokrije tipalo.)
SLIKA 2.
Fotoaparat je bil nastavljen vodoravno, z optično osjo skoraj pravokotno na fasado in je tako praktično verno upodobil zahodno steno fakultete.
Ce je ravnina pročelja stavbe vzporedna ravnini tipala, bomo dobili verno sliko, kakršno si želimo. Ker so fasade navadno navpične, je prvi pogoj, da aparat držimo vodoravno. Nekatera stojala imajo vgrajeno vodno tehtnico. Boljši digitalni aparati imajo vgrajeno elektronsko libelo: na zaslonu in vcasih tudi v iskalu vidimo nagnjenost aparata - vecinoma okrog osi objektiva. Veckrat lahko kontroliramo tudi naklon navzdol ali navzgor, kar je za naše namene še posebej pomembno. Namestiti aparat tako, da je tipalo vzporedno procelju, tudi ob vseh teh poma-galih zahteva nekaj pozornosti in poskušanja. Premikati moramo kamero toliko casa, da ima pravokotna fasada na sliki spet pravokotno obliko. Pomaga nam lahko pravokotna mreža, ki jo lahko enostavno vkljucimo v mnoge zaslone in elektronska iskala. Seveda je potem, ce slikamo s plocnika, procelje prak-ticno le v gornji polovici slike - tako kot vidimo na sliki 2. Ce nas tisto, kar je niže - na fotografiji sta to cesta in plocnik - ne zanima, bomo pac morali pri nadaljnji obdelavi odrezati. Kljub temu je to najboljša možna rešitev za fotografa, ki ne premore specialne opreme.
Širokokotni objektiv ima gorišcno razdaljo najvec nekaj centimetrov. Pri slikanju stavb razdalja a od fasade do ravnine lece meri vsaj nekaj metrov. Zato je po enacbi (??) izraz a zanemarljiv v primerjavi z j in je a prakticno enak j, torej b prakticno enak f. Vzeli bomo torej po (??) kar, velja
k = f.
a
(3)
Širokokotni objektivi imajo zaradi tega tudi veliko globinsko ostrino, še posebno, ce zaslonko nekoliko
A
C'
A'
SLIKA 3.
Daljica C'A' je središčna projekcija daljice CA na ravnino n skozi središče O.
->
C
PRESEK 44 (2016/2017)1
5
MATEMATIKA

B'(-f, 0,0) /
A(ai, a2, a.3)
O
A'(-f,y,z)
B(ai, 0,0)
SLIKA 5.
|A'B'| = |z| = -z
SLIKA 4.
Ravnina nje za f oddaljena od O in pravokotna na os x.
zapremo. O globinski ostrini sem pisal pred leti v Preseku [?]. Clanek je še zmeraj aktualen, le da v njem za dopustno toleranco U0 = c (največji dovoljeni premer razmazanega krožca - angleško circle of confusion) zdaj vzamemo U0 = 7s ■ 10-4, kjer je s daljša stranica tipala. Ce smo res pikolovski glede ostrine in vse presojamo ob 100% pogledu na zaslon, pa premer razmazanega krožca zmanjšamo na dvakratno širino piksla na tipalu. Ce ne želite racunati sami, vam referenca [?] na internetu daje kalkulator globinske ostrine. Vstaviti morate ustrezne podatke, pa izveste, od kod do kod bo slika ostra. Po-išcete lahko tudi hipergoriščno razdaljo pri doloceni zaslonki, se pravi oddaljenost, na katero moramo izostriti, da bo pas ostrine segal ravno do neskoncno-sti. Tako na pokrajinskih slikah kar najbolje izkoristimo obmocje globinske ostrine. Na kratko, velika globinska ostrina pomeni, da bo (ob nastavitvi na hi-pergorišcno razdaljo) na sliki vse od nekaj metrov oddaljenosti do neskoncnosti videti ostro (in pri tem smo glede ostrine bolj zahtevni kot nekoc).
Središčna projekcija
Ker nas zanima le oblika preslikane stvarnosti, si brez vecjih težav lahko predstavljamo, da imamo namesto objektiva fotoaparata majhno luknjico v tocki O. Ta luknjica je za f oddaljena od tipala. Skratka, fotoaparat nadomestimo s kamero obskuro (iz latinskega camera obscura = zatemnjena soba). Angleško je to pinhole camera, ker luknjico lahko naredimo z buciko. Kamera obskura je škatla v obliki kvadra.
Na eni steni imamo v sredini luknjico, na nasprotni steni, ki je navadno iz mlečnega stekla ali prosojnega papirja, pa lahko, pokriti s črnim pregrinjalom, opazujemo obrnjeno, šibko osvetljeno sliko stvarnosti. Upodabljanje skozi luknjico je primer središčne projekcije. Sliko točke A v prostoru dobimo tako, da potegnemo iz A skozi središce O premico. Njeno presečišče s tipalom oziroma z zadnjo steno kamere obskure je središčna projekčija A' točke A na ravnino n tipala. Na sliki 3 sta A', C' projekčiji točk A, C. Premiča skozi A in C se preslika na premičo, ki je presečišče ravnine in ravnine skozi točke A, C, O, se pravi na premičo skozi točki A' ,CTorej je da-ljiča C'A' projekčija daljiče CA.
Tako smo se znašli v čisti matematiki - geometriji. Lastnosti središčne projekčije so v 15. stoletju odkrili in prenesli v uporabo italijanski renesančni slikarji in arhitekti, ki so bili obenem dobri matematiki. Lepe ilustračije središčne projekčije najdemo v delu slavnega slikarja Albrečhta Dürerja, rečimo [?]. Dürer je napisal eno prvih knjig o perspektivi. Mnogo snovi o središčni projekčiji, predvsem v povezavi z zgodovino in s slikarstvom, najdemo v prosto dostopni britanski poljudni matematični reviji Plus. Clanek [?] ima lepe ilustračije, je pa praktično brez formul.
Postavimo koordinatni sistem tako, da je središče O v izhodišču koordinatnega sistema, os z navpična, os y vzporedna spodnjemu robu tipala in os % pravokotna na tipalo (slika 4). Ker je ravnina n tipala za f oddaljena od O, imajo vse točke na tej ravnini prvo koordinato enako -f. Velja tudi sklep v nasprotni smeri: vse točke (-f,y,z) ležijo na n. Pravimo, da ima ravnina n enačbo x = - f.
Vzemimo na sliki 4 točko A(a1,a2,a3), pri čemer
x
6
PRESEK 44 (2016/2017)1
MATEMATIKA
t D
18
18
x C
A
t D
30
1 C
A
E
SLIKA 6.
Na senzor CD se upodobijo le tocke daljice EA od E do F.
a1 ± 0, in naj bo B(a1,0,0) pravokotna projekcija tocke A na os
Na sliki 5 imamo pravokotno projekcijo slike 4 na ravnino xz. Označimo A' (-f, y, z). Pravokotna trikotnika OB'A' in OBA sta podobna. Razdalja od B' do A' je |z| = -z, zato je
-z
t
a3 ai
in tako z = - ^ f. Enako vidimo, da je y = - ^ f. Torej je
A' (-f, - ^ f, - ^ f). a1a1
(4)
Še laže to vidimo z vektorji: vektorja O A' in O A sta kolinearna, zato je O A' = tO A. To sta krajevna vektorja točk A' in A, torej je (-f, y, z) = t(a1,a2, a3) = (ta1,ta2,ta3). Primerjajmo prvi koordinati: ta1 = -f, zato je t = - f in je krajevni vektor točke A' enak
- T(al,a2,a3). ai
SLIKA 7.
Na senzor CD se zdaj upodobi celotna daljica EA.
Vzporedni premik objektiva
Denimo, daje tipalo vzporedno pročelju in daje spodnji rob tipala vodoraven, ne moremo pa se dovolj odmakniti, da bi zajeli celotno fasado. Na sliki 6 daljica EA predstavlja fasado, daljica CD pa senzor.
Ena možnost, da v takih razmerah dobimo verno sliko fasade, je ta, da objektiv fotoaparata (ali pa luknjico kamere obskure) premaknemo navzgor vzporedno tipalu - kot na sliki 7.
Angleška beseda za vzporedni premik je shift. To je mogoce s tako imenovanimi shift objektivi, konstruiranimi predvsem za kamere polnega formata s tipalom velikosti (približno) 36 mm x 24 mm. Firma Nikon za shift objektive uporablja oznako PC (Perspective Correction). Seveda pa mora slika, ki jo naredi premaknjeni objektiv, še zmeraj pokriti tipalo. Tako, recimo, Canonov objektiv TS-E 17 mm (TS pomeni tilt-shift) naredi okroglo sliko s premerom 67,2 mm. (Zaradi tako velike slike in zaradi dodatne precizne mehanike tak objektiv ni poceni.) Ta slika,

F
6
E
PRESEK 44 (2016/2017)1
7
matemati k a
->
r = 33,6
	
	O
K
SLIKA 8.
Krog predstavlja sliko, ki jo na ravnino tipala vrže objektiv. Pra-vokotnik predstavlja tipalo.
ce objektiv ni premaknjen, zlahka pokrije tipalo velikosti 24 mm x 36 mm, ki ima presecišce diagonal v središcu O kroga. V tem primeru senzor sega v smeri vodoravne (daljše) stranice 18 mm levo in 18 mm desno od O. Objektiv zdaj vzporedno premaknemo v smeri daljše stranice tipala za 12 mm. Tako se krog slike premakne glede na tipalo za 12 mm. Zdaj na sliki 8 senzor sega (18-12) mm = 6 mm levo in (18+12) mm = 30 mm desno od O . Slika še zmeraj pokriva celoten senzor. Res, po Pitagorovem izreku je na naši sliki |OK| = V302 + 122 « 32,3 mm, kar je manj od polmera slike, ki znaša 33,6 mm. Tako lahko verno poslikamo precej višje stavbe in obenem zmanjšamo delež nezanimivih tal pred njimi.
Fotograf Branko Cvetkovic je jeseni 2005 v Narodni galeriji v Ljubljani razstavil enkratne arhitekturne fotografije [?], narejene z veliko profesionalno kamero. (Na taki kameri ne premikamo in nagibamo samo objektiva, ampak lahko premikamo tudi kaseto s filmom). Posnel je, recimo, tri navpicne verne delne slike vhodnega procelja Narodne in univerzitetne knjižnice v Ljubljani in jih zlepil v eno samo visoko kakovostno verno sliko. Ker je pred to ogromno fasado zelo malo prostora in je težko dobiti dovolje-
SLIKA 9.
Salendrova hiša.
nje za slikanje iz vec razlicnih oken nasproti stojecih stavb, je bil ta dosežek tudi za poznavalce izjemen.
Žal vecina med nami nima take opreme in se pogosto ne moremo dovolj odmakniti, da bi verno zajeli celotno stavbo. Potem moramo pac nagniti aparat navzgor. Vecina bo to storila tudi intuitivno, saj nima interesa slikati tal pred stavbo. Na sliki 9 imamo sliko Salendrove hiše v bližini ljubljanskih Križank. Pritlicje hiše je še srednjeveško, zgornji ba-rocni del je bil dokoncan v sredini 18. stoletja. Stoji v ozki in vecino dneva temacni Križevniški ulici. Ujel sem redko uro, ko to lepo obnovljeno procelje v celoti obsije sonce. S svojim najširšim objektivom sem
8
PRESEK 44 (2016/2017)1
MATEMATIKA
(0, a1 sin &)
L1 (ai cos &, ai sin&)
L(au 0)
0,-/■
t (ai _ ai ^
LH /2'-V2y
SLIKA 10.
Tocko L zavrtimo za kot & okrog O v tocko L1.
SLIKA11.
Tocko L zavrtimo za kot -45° okrog O v tocko L1.
se pritisnil ob nasprotno hišo in nagnil kamero, pa vseeno nisem mogel povsem zajeti celote. Kot pri vsakem nagibu je prišlo do (nezaželenih) posledic, o katerih smo govorili. Kaj je vzrok in kako lahko preračunamo te spremembe?
Vrtenja
Zavrtimo točko A(a1,a2,a3) okrog osi y za kot &. Druga koordinata točke se pri vrtenju okrog osi y ne spremeni. Omejimo se torej na ravnino xz. Najprej zavrtimo točko točko L(a1, 0) v ravnini xz za kot & okrog O (na sliki i0). Koordinati zavrtene tocke sta po definičiji kotnih funkčij sinus in kosinus enaki
■	L1(a1čos&,a1sin&).
~ /2 /2 Ce je, rečimo, & = -45°, je L1(a1^2", -a1^r) (slika
11). Torej je čos(-45°) = ^2, sin(-45°) =
Zavrtimo zdaj točko M(0,a3) za kot & okrog O (slika 12).
Očitno je končni učinek enak, kot če bi zavrteli točko N(a3,0) za kot & + 90°. Torej je
■	M1(a3čos(& + 90°),a3sin(& + 90°)).
Po formulah, ki jih spoznate v srednji šoli (ali po sliki 12) je tako M1(-a3 sin&, a3 čos&).
Krajevni vektor točke R(a1,a3) je vsota krajevnih vektorjev točk L in M (slika 13). Na sliki 14 vidimo, da pri vrtenju za kot & pravokotnik OLRM preide v
M(0,a3)
N(a3,0)
SLIKA 12.
M1(-a3 sin&, a3 čos &)
pravokotnik O1L1R1M1. Zato je
■	oR1 = OL1 + oM1 =
(a1 čos & - a3 sin&, a1 sin & + a3 čos &).
Prenesimo zdaj izračunano v prostor: Ce točko A(a1,a2, a3) zavrtimo okrog osi y za kot &, dobimo torej točko
■	A1(a1čos & -a3 sin&,a2,a1sin & + a3 čos&). (5)
Privzemimo, da je fasada pravokotnik P z osnov-ničo vzporedno osi y in s stranskim robom vzporednim osi z. Zavrtimo aparat okrog osi y, ki gre skozi

z

PRESEK 44 (2016/2017)1
9
MATEMATIKA
SLIKA 14.
Pravokotnik OLRM zavrtimo v pravokotnik O1L1R1M1
optično središče O objektiva, navzgor za kot Za matematike enakovredno lahko na sliki 15 pravokotnik P zavrtimo okrog O za kot (Na sliki 15 y znaša 15 stopinj.) S tem dobimo na senzor CD celotno pročelje E1A1.
Spodnji rob E1 fasade se z vrtenjem približa ravnini xz leče, zgornji rob A1 pa oddalji. Po enačbi (??) se dolžine daljič, vzporednih tipalu, pomnožijo z d, kjer je d razdalja od ravnine xy. To pomeni, da se bo na sliki zaradi vrtenja spodnji rob podaljšal, zgornji skrajšal. Tako na sliki fasada dobi obliko trapeza. Točka G na sliki 15 leži tudi na daljiči E1A1 in je enako oddaljena od ravnine leče kot čelotna da-ljiča EA. Vidimo, da se na fotografiji pročelje pod točko G začne razširjati, nad G pa se začne krčiti - v
primerjavi s sliko, narejeno s kamero brez nagiba. Mi znamo izračunati koordinate zavrtenih oglišč pravo-kotnika. Od tod lahko po formuli (??) izračunamo obliko slike.
Na fotografiji 16 imamo ekstremen primer. Fotoaparat, postavljen na isto mesto kot v fotografiji 2, opremljen z ultraširokokotnim objektivom, sem močno nagnil navzgor (skoraj za 40° - podobno kot v nalogi na konču članka). Naknadno sem odrezal večino neba nad stavbo.
Poprava perspektive
Ce imamo na sliki okrog »zmaličenega« pročelja še nekaj prostora, lahko na računalniku (s programi za obdelavo slik) zmanjšamo oženje stranič fasade z višino. Sam imam v svojem standardnem programu (Lightroom 6) še najboljše izkušnje z ukazom Auto v Lens corrections/Basic. Deluje v sorazmerno velikem deležu primerov. (Na fotografiji 16 pa je to udobno
10
PRESEK 44 (2016/2017)1
MATEMATIKA
SLIKA 16.
Ekstremen nagib da nenaravno sliko fasade.
orodje odpovedalo, ker avtomobili zakrivajo podstavek stavbe.) Omenjeno orodje avtomatično prepozna obrise fasade in napravi spodnji in zgornji rob fasade (približno) vodoraven in precej zmanjša nagib navpičnih Crt. Primer: Pravokotno slikarsko platno z višino 58,5 cm in širino 49 cm (razmerje višina : osnovnica je približno 1,19) sem slikal z ultraširo-kokotnim objektivom od spodaj s precej nagnjeno kamero in dobil fotografijo 17.
Slika platna na fotografiji 17 je (približno) enako-krak trapez z razmerjem v : a « 0,99 in v : c « 1,29. Tu sta a, c osnovnici trapeza. Z ukazom Auto sem dobil enakokrak trapez na sliki 18, ki ima razmerje v' : a! « 1,18 in v' : c' « 1,27.
Lepo vidimo, kako je orodje skrcilo spodnji del slike. Dobljeno sliko je zato potrebno obrezati. To sem naredil rocno, ker samodejno obrezovanje ni ustrezalo. Tako sem dobil fotografijo 19, ki je videti precej bolj naravna kot original.
Da bi slika dobila pravokotno obliko, sem se zace-tne slike 17 lotil z rocnim popravljanjem navpicne perspektive (Lens corrections/Manual/Vertical) in v Lightroomu pridelal sliko platna kot pravokotnik z
SLIKA 17.
Platno fotografirano od spodaj je videti precej deformirano.
razmerjem višina : osnovnica 1,33 (slika 20). Rezultat je prevec raztegnjen v navpicni smeri.
Ce sem pa zacel z avtomaticno izboljšano sliko 19, je po rocni poravnavi v pravokotnik to razmerje znašalo približno 1,22 (slika 21), torej blizu pravemu rezultatu.
Ker poznam razmerje stranic originala, sem v Lightroomu (Lens corrections/Manual) uporabil drsnik Aspect in vidno zgrešeno sliko 20 raztegnil v vodoravni smeri v fotografijo 22, ki ima približno prave proporce platna. V Photoshopu bi isto naredil z orodjem Edit/Transform/Scale.
Z nekaj vec truda bi do tega rezultata prišel tudi z orodjem za popravljanje perspektive v prostoko-dnem programu Gimp, ki je poslovenjen. Po mojih izkušnjah vsi ti postopki delujejo tem bolje, cim manj je slika deformirana. Kadar srecate fotografijo neverjetno vitke manekenke, pa se spomnite, da z zgoraj omenjenimi orodji lahko zožimo tudi osebe.
Slika 22, ki sem jo pridelal, vseeno ne deluje najbolje, saj je zgornji beli del okvirja preširok, spodnji
->
PRESEK 44 (2016/2017)1
11
mate m ati k a
->
SLIKA 18.
Avtomatična izboljšava perspektive skrči spodnji del, razširi zgornji del slike 1 7.
SLIKA 19.
Z obrezovanjem fotografije 1 8 smo dobili kar soliden rezultat.
preozek. Razlog: okvir ni ravninski objekt in precej štrli ven iz ravnine platna. Pri slikanju od spodaj je bil del beline v okvirju zakrit. Izgubljene informacije ne moremo enostavno priklicati nazaj! Ta problem bi se lahko pojavil tudi, Ce bi senzor bil vzporeden sliki. Idealno bi bilo, daje senzor vzporeden sliki, da optiCna os seka sliko v sredini in da slikamo z veCje razdalje. Ce slike ne moremo sneti in je visoko pod stropom, se je najbolje odmakniti in uporabiti teleobjektiv. Teoretično morda lahko dobimo boljši rezultat s slikanjem z več različnih točk (in/ali po kosih) in z združevanjem rezultatov, ampak to je posebna zgodba.
Na internetu najdemo precej literature o tem, kako iz središcne projekcije ravninskega objekta rekonstruiramo verno sliko originala. Kratko temu recejo rektifikacija (poravnava).
Predvsem na podrocju računalniškega vida nastajajo zmeraj nove metode in algoritmi za poravnavo
poševno posnete slike, saj ima to veliko prakticno vrednost. V zapisu [?] imamo metodo, ki poravna sliko dela ravnine, ce na sliki lahko oznacimo dva para (v naravi) paralelnih daljic, tako da se para sekata, in dva prava kota, ki nimata vzporednih krakov. Taka oznacitev ne bo problem, ce imamo na na sliki upodobljen kvadrat (dodatni pravi kot je v presecišcu diagonal kvadrata). Namesto dveh parov paralelnih daljic in enega pravega kota lahko seveda kot podatek (glej recimo [?]) oznacimo štiri oglišca na podobi nekega pravokotnika. Dodaten pravi kot pa lahko nadomestimo s podatkom o razmerju stranic danega pravokotnika.
V našem primeru smo pri poravnavanju slikarskega platna najprej uporabljali le podatek o dveh parih vzporednih daljic - robovih platna in enem pravem kotu (med robovoma). To je bilo premalo, zato imata sliki 20 in 21 sicer pravokotno obliko, a napacne proporce.
12
PRESEK 44 (2016/2017)1
MATE MATI KA
SLIKA 20.
Poravnava fotografije 17 je preveč raztegnila sliko v navpični smeri.
SLIKA 21.
Poravnava slike 1 9 je zelo blizu originalnim proporcem.
Naloga
Literatura
V prostoru imamo pravokotnik z oglišd
■	R(4,-2,-2),S(4, 2,-2), T(4, 2,4),U(4,-2,4).
Ker imajo vse štiri tocke enako prvo koordinato, je pravokotnik vzporeden ravnini yz (in leži v ravnini x = 4).
■	Središcna projekcija (skozi izhodišce O koordinatnega sistema) na ravnino x = -1 je štirikotnik R'S'T'U'. Doloci koordinate njegovih oglišc in dolžine stranic. Nariši sliko tega štirikotnika v ravnini x = -1.
Pravokotnik RSTU zavrtimo okrog osi y za kot -450. Dobimo pravokotnik R1S1T1U1.
■	Doloci koordinate oglišc zavrtenega pravokotnika. Središcna projekcija pravokotnika R1S1T1U1 (skozi O) na ravnino x = -1 je štirikotnik R"S''T"U".
■	Doloci koordinate oglišc tega zadnjega štirikotnika. Pokaži, daje trapez. Doloci osnovnici in višino trapeza.
[1]	S. F. Ray, Applied photographic optics, Second ed., Focal Press, Oxford 1995.
[2]	P. Legiša, FOTOGRAFIJA IN MATEMATIKA, 3. del - globinska ostrina, Presek 25 (4), 1998, str. 194-201. http://www.presek.si/ 25/1340-Legi sa.pdf
[3]	Kalkulator globinske ostrine: http: //www.gi ang randi.ch/opti cs/dofcal c/ dofcalc.shtml
[4]	Ilustracija središcne projekcije iz leta 1525: https://de.wi ki pedia.org/wi ki/ Perspekti ve#/medi a/File:358durer.jpg
[5]	Branko Cvetkovic, En face, fotografska razstava, Narodna galerija 11. do 25. november 2005 http://www.ng-slo.si/si/razstave/ razstava/en-face?i d=1374
->
PRESEK 44 (2016/2017)1
13
MATE MATI KA

SLIKA 22.
Sliko 20 smo raztegnili do pravega razmerja stranic slikarskega platna.
[6]	A. Criminisi, R. Thomas, Getting into the picture, Plus magazine, 2003: https://p1us. maths.org/content/getti ng-pi cture
[7]	R. Zhang, Image Rectification: Remove Projective and Affine Distortions, Homework 2, Purdue university, 2008: https://engineering. purdue.edu/kak/computervi sion/ECE661. 08/soluti on/hw2_s2.pdf
[8]	S. K. Badam, ECE661 Computer Vision Homework - 3, Purdue university, 2012: https://engi neeri ng.pu rdue.edu/ kak/computervi si on/ECE661_Fa112012/ soluti on/hw3_s2.pdf
_ XXX
Hitro množenje velikih števil
vU vU vU
Bo štjan Gabrov šek in Aljo ša Peperko
-> Običajni uveljavljeni način množenja dveh števil temelji na množenju enic, desetič, stotic enega izmed števil z drugim številom in seštevanju teh vmesnih zmnožkov. Alternativni način množenja števil, ki ga bomo opisali v tem prispevku, naj bi bil [2] predstavljen že v približno tri tisoč let stari indijski knjigi. Temelji na naravni ideji, da najprej izračunamo število enic, desetič, stotic v zmnožku in jih nato seštejemo. Ta metoda je precej zanimiva tudi zato, ker si jo ni težko shematično zapomniti.
Za začetek si poglejmo primer, kako zmnožimo števili 53 in 41. Števili podpišemo. Najprej zmnožimo enice 1 ■ 3 = 3. Nato izračunamo 5 ■ 1 + 3 ■ 4 = 17, kar nam pove, da imamo v zmnožku 17 desetič. Izračunamo še 5 ■ 4 = 20 (20 stotic), z zamikom v levo podpišemo in seštejemo dobljene vmesne zmnožke ter dobimo rezultat 2173. Shematično lahko to množenje predstavimo »preko diagonal«:
5
3
5
4
1 41 4
3
5
41
3
17
17 20
17 20
2173
www.dmfa-zaloznistvo.si
www.presek.si
SLIKA 1.
Primer množenja dvomestnih števil 53 ■ 41
Tromestni števili 351 in 817 zmnožimo na naslednji način:
4
1
1
3
3
3
3
14
PRESEK 44 (2016/2017)1
MATEMATIKA
3	5	1
8	1	7
3	5		
8	1		
5 1 3 5 1 3 5 17 8-7 S 1
3	5	1
8	1	7
36
36 34
7
36 34 43
7
36 34 43 24
286767
SLIKA 2.
Primer množenja tromestnih števil 351 • 817
Pri tem smo upoštevali, dajel • 7 = 7,5 • 7 + 1 • 1 = 36, 3 • 7 + 5 • 1 +1 • 8 = 34, 3 • 1 + 5 • 8 = 43 in 3 • 8 = 24.
Lahko množimo tudi števila z razlicnim številom decimalnih mest, tako da krajšemu številu dodamo vodilne nicle. Na sliki 3 je izracunan zgled za množenje štirimestnega števila 7593 s trimestnim številom 152. Iz spodnje vrstice lahko razberemo rezultat 1154136.
7	5	9	3
0	1	5	2
7	5	9	3
0	1	5	2
7	5	9	3
0	1	5	2
7	5	9	3
0	1	5	2
7	5	9	3
0	1	5	2
7	5	9	3
0	1	5	2
7	5	9	3
0	1	5	2
7	5	9	3
0	1	5	2
6
33 58 48 40 7
0
1154136
SLIKA 3.
Primer množenja 7593 • 152
Izraza lahko zmnožimo in preuredimo clene:
■a • b = 1000 000 (a4 b4) +100 000 (a4b3 + a3b4) + 10000 (a4b2 + a3b3 + a2b4) + 1 000 (a4b1 + a3b2 + a2b3 + a1b4) + 100(a3b1 + a2b2 + a1b3) + 10 (a2b1 + a1b2) + 1 (a1b1),
kar potrjuje pravilnost zgoraj opisanega postopka.
Analogna ideja deluje tudi v splošnem dokazu množenja do n-mestnih števil. Formalno to zapišemo na naslednji nacin.
Naj bo a = anan-1 • • • a2a1 = X110l-1af in b =
bnb
nbn-1
b2b1 = £n= 110l-1bf. Potem je
a
b = I X 10i-1af ) • I £ 10i-1bi
\i=1 2n 2
Vi=1
Zgoraj opisani postopek deluje za poljubno velika števila. Zaradi nazornosti dokažimo pravilnost tega postopka le za množenje štirimestnih števil.
Naj bo a4a3a2a1 decimalni zapis števila a in naj bo b4b3b2b1 decimalni zapis števila b. Števili a in b lahko tedaj zapišemo kot
■a = 1000a4 + 100a3 + 10a2 + 1a1, b = 1000b4 + 100b3 + 10b2 + 1b1.
Produkt a • b je tedaj enak
■ a • b = (1000 a4 + 100 a3 + 10 a2 + 1 a1)-
• (1000 b4 + 100 b3 + 10 b2 + 1 b1).
= X 10i X aiabib.
i=0 ia + ib = i+2
Kako pa je z daljšimi številkami, je postopek bolj učinkovit od klasičnega? Hitro ugotovimo, da moramo za zmnožek dveh n-mestnih števil v vsakem primeru opraviti n2 krajših množenj, pri tem moramo pri klasičnem množenju opraviti do n(n - 1) prenosov cifer pri seštevanju in na koncu opraviti n seštevanj do n + 1 mestnih števil. V našem primeru moramo v vmesnih korakih sešteti do n dvomestnih števil, na konču pa opraviti še 2n - 1 seštevanj v povprečju krajših števil. Na podlagi tega lahko argumentiramo, daje tudi v primeru zelo dolgih množenj postopek učinkovit, v vsakem primeru pa je nekaj dela.
Literatura
[1]	Fast Math Tricks - How to multiply 3 digit numbers - the fast way!, https://www.youtube. com/watch?v=pG3e8kQD0Kw, ogled: 27. 1. 2016.
[2]	Fast Multiplication Trick 5 - Trick to Directly Multiply the Big Numbers.wmv, https://www. youtube.com/watch?v=A7EOSApApw4, ogled: 27. 1. 2016.
_XXX
PRESEK 44 (2016/2017)1
15
3
8
7
7
7
7
RAZVEDRILO
■is ■i' ■i'
Nagradna križanka
16
PRESEK 44 (2016/2017)1
RAZVEDRILO
-> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 15. oktobra 2016, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado.
XXX
PRESEK 44 (2016/2017)1
17
FIZIKA
Polovica lece - polovica slike?
vU vU nU
Nada Razpet
-> Naredimo nekaj poskusov. Z leco preslikajmo oddaljen predmet in poišcimo ostro sliko. Mi smo na steno sobe preslikali okolico, ki smo jo videli skozi okno (slika 1). Nato smo postopoma prekrivali Čedalje vecji del lece in opazovali, kaj se dogaja na zaslonu. Da se razdalja med leco in zidom med poskusom ni spreminjala, smo leco pritrdili na podlago. Za prekrivanje smo uporabili kos Črnega kartona.
Ne glede na to, kateri del leče prekrijemo, se velikost in oblika slike ne spremenita, je pa slika slabše osvetljena, saj na lečo pade manj svetlobe.
Kaj smo ugotovili? Del od predmeta odbite svetlobe prehaja skozi lečo. Svetlobni žarki iz vseh delov predmeta gredo skozi vsako točko leče. Konstru-irajmo še ustrezno sliko (slika 2).
Najprej skozi gorišče F2 narišemo pravokotničo na optično os. Ta pravokotniča leži v goriščni ravnini leče. Na leči si izberemo točko C. Narišemo žarek, ki gre od predmeta skozi točko C na leči (na sliki 2 označen z oranžno barvo). K temu žarku narišemo vzporedni žarek, ki gre skozi teme T. Ta žarek se pri prehodu skozi lečo ne lomi. Na sliki 2 je označen oranžno črtkano. Vzporedni žarek skozi teme seka pravokotničo skozi gorišče F2 v točki B1. Potegnemo poltrak od točke C skozi točko B1. Žarek zadene zaslon v točki B'. Postopek ponovimo še za ostale žarke.
Obarvajmo lečo
Ker gredo žarki od izbrane točke na predmetu skozi vse točke leče, lahko sliko obarvamo tako, da pobarvamo del leče. Uporabili smo flomastre za pisanje po beli šolski tabli. Da smo lažje opazovali razlike, smo okoličo preslikali z dvema lečama. Leve leče nismo pobarvali, desno pa smo pobarvali oziroma prekrivali z barvnimi folijami.
SLIKA 1.
Čedalje vecji del lece je zakrit.
Najprej smo polovičo ene leče pobarvali z rdečim flomastrom. Da je bila razlika med slikama obeh leč vidnejša, smo nepobarvan del leče prekrili s paus papirjem, tako daje bil tudi ta del leče slabše osvetljen. Cela slika na zidu je rdečkasta (slika 3).
Nato pa smo pol ene leče pobarvali z rdečim, drugo polovičo pa z modrim flomastrom (slika 4).
18
PRESEK 44 (2016/2017)1
FIZIKA
Rdeče pobarvan del leče prepušča samo rdečo svetlobo, modri del pa le modro svetlobo. Ker k sliki prispevajo vsi deli leče, na isti del slike padeta tako modra kot rdeča svetloba. Imamo torej mešanje svetlobnih snopov ali z drugo besedo, aditivni način mešanja barv. Bralci lahko poskusijo še z drugačnimi kombinacijami barvanja leč in namesto barvanja uporabijo barvni celofan ali barvne folije.
Opomba: Slika naj bi se obarvala rumeno, če pol leče pobarvamo z rdečim, pol pa z zelenim floma-strom, vendar se nam poskus s flomastri za belo tablo ni najbolj posrečil, zato smo za kombinacijo teh dveh barv uporabili ustrezni barvni foliji.
SLIKA 2.
Žarki iz različnih točk predmeta gredo skozi isto točko na leči.
Premikamo zaslon
Pol leče prekrijemo z zeleno, pol pa z rdečo folijo. Lečo postavimo na primerno razdaljo pod svetilko, ki oddaja močno belo svetlobo. Razdalja med lečo in svetilko naj bo konstantna. Poiščemo lego ostre slike na zaslonu. Ta je na sliki 5 označena s S2. Slika luči je obarvana rumeno (slika 6 na sredini).

h
SLIKA 4.
Polovico desne leče smo pobarvali z rdečim (zelenim), drugo polovico pa z modrim flomastrom. Slika je škrlatna (sinje modra).
SLIKA 3.
Polovico desne leče smo pobarvali z rdečim flomastrom. Cela desna slika na zidu je obarvana rdeče.
SLIKA 5.
Polovičo leče smo prekrili z rdečo, drugo polovičo pa z zeleno folijo. Označene so tri lege zaslona Z i, Z 2 in Z 3 ■ Na zaslonu, ki je v legi Z2, je ostra (rumena) slika predmeta.

PRESEK 44 (2016/2017)1
19
FIZIKA
->
SLIKA 6.
Polovico lece smo prekrili z rdeco, polovico pa z zeleno folijo. Zaslon premikamo od lece navzdol. Opazujemo sliko luci na zaslonu (obarvani krogi). Del svetlobe ne gre skozi leco, gre pa skozi folijo in pade na zaslon. Svetloba, ki gre le skozi rdeco folijo, obarva zaslon rdeče, svetloba, ki gre le skozi zeleno folijo, pa obarva zaslon zeleno.
SLIKA 7.
Leco pobarvamo s flomastri na razlicne nacine. Na prvi sliki z leve smo del lece pobarvali s crnim flomastrom.
Premaknimo zaslon v smeri proti leci (na sliki 5 oznaceno s Si). Del slike luci je obarvan rdece (slika 6 zgoraj), del pa zeleno, vmes je lahko še vedno del obarvan rumeno. Ce je zgornja polovica lece prekrita z rdeco folijo, je tudi zgornja polovica slike luci obarvana rdece. Slika luci ni ostra.
Zdaj zaslon pomaknimo dalj od lece (na sliki 5 oznaceno s S3). Zdaj je zgornji del slike luci obarvan zeleno (slika 6 spodaj), spodnji del pa rdece, vmes pa je en del še rumen. Slika luci ni ostra.
Bralci lahko leco pobarvajo še na druge nacine (slika 7), na primer: z modro pobarvajo manj kot polovico leco, preostali del pa z drugo barvo; del krožnega izseka pobarvajo s crnim flomastrom, pobarvajo osrednji del z modrim flomastrom, preostali del pa z drugo barvo. Barvajo krožne izseke v dveh ali treh barvah, barvajo leco v pasovih z dvema ali tremi barvami itd.
Pobarvajte leco na razlicne nacine še s šolskimi flomastri. Poskuse naredite pod lucmi z razlicnimi sijalkami (varcno, LED sijalkami itd.).
Vodna leča
Da bi ugotovitve preverili še na drug nacin, smo uporabili prozoren plasticni obesek. Obesek je sestavljen iz dveh delov. Precni presek obeska je sicer elipsa, a lahko za stene obeska razen blizu sticišca ob robu recemo, da imajo obliko krogelnih kapic. Sticni rob dobro tesni, zato lahko obesek uporabimo kot dober približek za leco, ce jo napolnimo z vodo, tako kot kažejo slike.
Oba dela obeska smo potopili v vodo in jih pod vodo zaprli. Tako smo dobili vodno leco. Na zacetku je bila v obesku voda do vrha, potem pa smo postopoma v leco zajemali vse mani vode in opazovali, kaj
20
PRESEK 44 (2016/2017)1
FIZIKA
Barvni sudoku
vU sU nU
V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh osem števil.
SLIKA 8.
Preslikava z vodno lečo. Zmanjševali smo količino vode v obesku. Slika je vedno bolj nejasna.
se dogaja s sliko na zaslonu. Pri tem smo pazili, da se legi leče in zaslona nista spreminjali.
Literatura
[1]	E. C. Valadares, L. A. Ciry, An Image Is Worth a Thousand Rays, The Physics Teacher, 34, 1996, 432-433.
[2]	A. M. Kwan, D. A. Wardle, Covering Lenses and Covering Images, The Physics Teacher, 36, 1998, 314-315.
_ XXX
3		2	S	9	L	P	L	8	E
V									
O		17	L	8	E	9	S	Z	L
a									
D m		L	9	Z	S	L	E	17	8
Z		8	L	E	17	Z	9	L	S
>									
£L <		E	Z	S	8	L	L	9	V
ca									
>		L	17	L	9	S	8	E	z
m									
H		S	8	17	L	E	Z	L	9
									
m		9	E	L	Z	8	17	S	L
									
S									
XXX
PRESEK 44 (2016/2017)1
21
FIZIKA
Sedem kratkih lekcij iz fizike
Peter Legiša
-> Knjižica Sedem kratkih lekcij iz fizike je doživela skoraj neverjeten uspeh za poljudnoznanstveno delo. Več mesecev je bila v Italiji na seznamu najbolj prodajanih knjig. Od izida pozno jeseni 2014 do letošnjega maja (2016) so prodali več kot 150 tisoč izvodov. Prevedena je v skoraj 30 jezikov.
Italijanski original je napisan izredno lepo, v brezhibnem in skoraj pesniškem slogu. Avtor Carlo Ro-velli bi lahko po mojem mnenju mirno predaval književnost na kaki univerzi. Ne preseneča, da je bil dalj časa pridruženi profesor za zgodovino in filozofijo znanosti na ugledni Univerzi v Pittsburghu (ZDA). Njegovo glavno delo pa je teoretična fizika. Kot raziskovalec je delal na več italijanskih in severnoameriških univerzah, zdaj pa je redni profesor na Univerzi Aix-Marseille v Franciji in tam tudi vodja Oddelka za kvantno gravitacijo.
Knjižica na zelo poljuden način obravnava nekatere najpomembnejše in presenetljive dosežke v fiziki v zadnjih sto letih. Začne z Einsteinovo splošno teorijo relativnosti iz leta 1915. To poglavje ima naslov Najlepša vseh teorij. Nato knjiga obravnava kvantno liziko, arhitekturo vesolja in osnovne delce. Einstein je prinesel nov vpogled v globine vesolja, v makrokozmos. Slavni fiziki Planck, Bohr, Heisenberg, Dirac, Schrodinger in drugi pa so prinesli uvid v svet atomov in osnovnih delcev, v mikrokozmos.
Sedem kratkih lekcij iz fizike
Carlo Rovelli
Izvirnik:
Sette brevi lezioni di hsica
Urejanje: Sandi Klavžar
Prevod: Alojz Kodre
Založba: DMFA-založništvo, 2016
Zbirka: Presekova knjižniča, ISSN 1318-3761; 48
mehka vezava, 74 str.
Mere: 17 x 12 čm, 80 g
ISBN: 978-961-212-270-6
■ m
Sfc^gpPL m
Carlo Rovelli
SEDEM KRATKIH LEKCIJ IZ FIZIKE
SLIKA1.
Teoretični fiziki se že desetletja trudijo združiti obe teoriji. Ena od poti je zankovna kvantna teorija, ki jo je s še dvema sodelavčema vpeljal prav Carlo Rovelli.
Šesta lekčija obravnava pojem časa, vlogo verjetnosti v fiziki in toploto črnih lukenj. Zadnji, izredno lepo napisan razdelek knjižiče pa govori o nas samih in o našem trudu razumeti svet okrog nas in nas same.
Kot založba smo imeli srečo, da je prevajanje prevzel prof. dr. Alojz Kodre, fizik, ki je znan po izvrstnih prevodih poljudno znanstvenih del (Galilejeva življenja, Življenja Marie Curie) in znanstvene fantastike. Marsikdo bo z užitkom prebral dobrih sedemdeset strani te drobne knjige, in to ne samo enkrat. _ XXX
22
PRESEK 44 (2016/2017)1
ASTRONOMIJA
Nekoc, v davnih casih ... je zgodovino Osončja odkrivala Rosetta
nU NU NU
Dunja Fabjan
-> Dolga dvanajstletna pot vesoljske sonde Rosetta po Osončju se bliža koncu: avgusta letos naj bi postopoma spremenila in skrčila svojo orbito, iz oddaljenosti okrog 20 kilometrov pa se bo začela spuščati na površje periodičnega kometa 67P/Curju-mov-Gerasimenko, ki ga je od blizu raziskovala nekaj več kot dve leti. Med pristankom bo, če bo šlo vse v redu, pošiljala še zadnje posnetke kometo-vega površja z višine le nekaj sto metrov. Ceprav bo misije 30. septembra 2016 formalno koneč, se bodo s podatki, ki sta jih v tem času nabrala Ro-setta v orbiti okrog kometa in pristajalni modul File (angl. Philae) na njegovem površju, znanstveniki ukvarjali še veliko let.
in prva nasploh, ki je poslikala njegovo jedro - jedro kometa Halley, leta 1986. Znanstvena skupnost je takrat že razmišljala o nadaljnjih korakih in tako se je porodila zamisel o projektu Rosetta: vesoljski misiji, ki bi raziskovala komet od blizu in razkrila skrivnosti Osončja. Kamen iz Rosette, na katerem
Kako se je vse skupaj začelo in kako je vesoljska sonda Rosetta postala nadvse priljubljen lik, nam je razkrila astrofizičarka in popularizatorka znanosti Claudia Mignone. Simpatična in navdušena Claudia dela v središču ESTEC Evropske vesoljske agencije (ESA) v Noordwijku na Nizozemskem in je pri misiji Rosetta sodelovala v uspešni komunikačijski kampanji. Sičer dela za Evropsko vesoljsko agenčijo s pogodbo pri podjetju Vitročiset Belgium.
Claudia Mignone pove, da je znanost začela o Ro-setti razmišljati v osemdesetih letih prejšnjega stoletja. V tistem obdobju je ESA izstrelila sondo Giotto, eno izmed prvih sond, ki se je približala kometu,
SLIKA 1.
Claudia Mignone, astrofizičarka, je kot Rosetta opravila dolgo pot: od študija astronomije in doktorata iz kozmologije je naposled pristala v komunikaciji znanosti. Od leta 2010 dela kot avtorica znanstvenih prispevkov v skupini za komunikacijo Urada za znanost pri Esi. Piše predvsem članke - tako za širšo publiko kot za znanstvene in tehnološke navdušence -ter sodeluje pri pripravi multimedijskega materiala za širjenje rezultatov Esinih znanstvenih misij, predvsem astronomskih. Na sliki drži v rokah maketo »racki podobnega« jedra kometa Curjumov-Gerasimenko 67P. Avtorstvo slike: Claudia Mignone

PRESEK 44 (2016/2017)1
ASTRONOMIJA
—^ je bilo vklesano besedilo v starem egipcanskem jeziku, gršcini in v hieroglifih, je bil kljuc, s katerim je arheologom uspelo razvozlati pomen hieroglifov. Kamen, ki ga sedaj hrani British Museum v Londonu, so našli v mestu Rashid (latinizirano v Rosetta) v Ni-lovi delti. Misija Rosetta naj bi podobno kot kamen iz istoimenskega mesta astronomom pomagala razvozlati zapleteno zgodbo nastanka Osoncja. Rosetta naj bi zasledovala komet in spremljala njegov razvoj ter spotoma na jedro spustila še robotski pristajalni modul File. Rosetta in File, izstreljena leta 2004, sta opravila zelo dolgo potovanje po Osoncju, vec manevrov gravitacijske frace v bližini Zemlje in Marsa, da bi se tako lahko podala še dlje, dokler nista dosegla kometa 67P/Churyumov-Gerasimenko leta 2014.
Rosetta je odkrila, da je jedro kometa nemagneti-zirano, porozno po sestavi iz prahu in ledu, po obliki pa nenavadno podobno racki. Ni jasno, ali je nastalo iz zlitja dveh manjših teles ali erozije enega samega. Volumen jedra meri 21,4 kubicnih kilometrov, tehtalo naj bi 10 milijard ton. Površje kometa je zelo raznoliko, prekriva ga plast prahu, prisotni so tudi manjši predeli, kjer se nahaja led. Rosetta je opazovala narašcanje aktivnosti na površju kometa, ko
SLIKA 2.
Dvanajstletno dolgo potovanje vesoljske sonde Rosetta (glej zgornjo shemo) se bo predvidoma zakljucilo 30. septembra 2016, ko bo sonda pristala na jedru kometa. Podatki, ki sta jih skupno s pristajalnim modulom File zbirala v bližini in na kometu 67P/Curjumov-Gerasimenko, bodo zaposlovali znanstvenike še veliko casa. Avtorstvo: ESA
se je na svoji orbiti bližal periheliju, merila kompozicijo kome (»atmosfere« okrog jedra), s Filejem sta zaznala tudi prisotnost kompleksnih organskih molekul.
Misija je na samem zacetku že naletela na težavo: namenjena je bila k kometu 46P/Wirtanen, mesec pred izstrelitvijo pa je prišlo do okvare na raketi Ariane 5, ki je bila podobna tisti, ki naj bi misijo utirila v orbito. Pri Esi so se zato odlocili, da izstrelitev odložijo, ob tem pa so morali v izredno kratkem casu poiskati drug primeren komet.
Rosettino potovanje je bilo zapleteno, pove Claudia Mignone, saj ni šlo za »tipicno« misijo, kjer po promociji izstrelitve sledi, po navadi v krajšem casu, tudi posredovanje posnetkov, podatkov in znanstvenih rezultatov. Ravno obratno: razen mimoletov Zemlje, Marsa in dveh asteroidov je bila Rosetta v prvih desetih letih misije dokaj tiho in leta 2011 so jo preklopili v stanje »hibernacije«. Da bi ohranila energijo, ker je bila že dalec od Sonca, so bile elektronske naprave na njenem krovu skoraj tri leta ugasnjene. Takrat je bila namrec že na razdalji okrog 800 milijonov kilometrov od Sonca. Leta 2013 se je sonda morala avtonomno »prebuditi« - izbrani datum je bil 20. januar 2014 - in opraviti serijo operacij brez primere, da bi nazadnje dosegla komet. Pri Esi so vedeli, da imajo v rokah izjemno misijo, ki bi si zaslužila posebno komunikacijsko kampanjo. Signal, ki so ga nestrpno pricakovali, je dospel z nekoliko zamude zaradi (nepredvidenega) ponovnega zagona racunalnika na krovu, ko so znanstveniki in inženirji v Darmstadtu skoraj obupali.
Sondo Rosetta ste bralci verjetno spremljali tudi kasneje, ko je konec istega leta na kometovo površje poslala pristajalni modul File, se približala kometu februarja lani in ga spremljala ob prehodu perihe-lija. Vse te operacije so zahtevale veliko truda pri nacrtovanju misije, marsikatera vmesna operacija pa je predstavljala veliko nevarnost za nadaljnji uspeh misije. Claudia Mignone: »Eden od osnovnih vidikov komunikacijske strategije je bila zagotovo izbira, da smo bili, kolikor je bilo mogoce, odprti in transpa-rentni, da smo v živo porocali o kljucnih trenutkih misije in dali veliko prostora protagonistom samim - inženirjem in znanstvenikom - ki so odgovorni za ta izjemen podvig. Iskreno smo ves cas porocali tudi o tehnicnih tveganjih, ki jih prinaša taka inovativna misija.«
24
PRESEK 44 (2016/2017)1
ASTRONOMIJA
SLIKA 3.
Risanka Nekoč, v davnih časih ... (v originalu Onče upon a time ...) v več epizodah pripoveduje o nastanku misije, zgodovini odkrivanja Osončja, prihodu k kometu 67P Curjumov-Gerasimenko, pripravi in pristanku na jedru kometa ter o odkritjih, ki jih je naredila Rosetta. Avtorstvo: ESA
Priprave na pristanek modula File so bile posebno zahtevne: nenavadna oblika jedra, številčni kraterji, pečine in skale na površju kometa so otežkočale iskanje primernega pristajalnega mesta. i2. novembra 2014 se je File oddaljil od Rosette in po sedmih urah (prvič) pristal na površju. Vendar se mu ni uspelo zasidrati. Po nekaj odbojih je pristal ob pečini in uspelo mu je opraviti le manjši del začetnih meritev. Nesrečnemu pristanku in kratkotrajnim meritvam navkljub pa je sijajno opravil svoje delo.
Claudia Mignone nadaljuje: »Pomemben del komunikacijske kampanje je bil tudi kratki znanstvenofantastični film Ambition (Ambicija), plod sodelovanja Evropske vesoljske agencije s poljsko produkcijsko hišo Platige Image, ki je specializirana v računalniški grafiki, 3D animaciji in posebnih efektih. Snemali so ga skrivoma - samo peščica ljudi v Esi je bila o tem obveščena. Da bi vzbudili radovednost in razprave v skupnosti ljubiteljev znanstvene fantastike, so film oglaševali z napovednikom, v katerem Esa ni bila eksplicitno navedena. Med prvo projekcijo na filmskem festivalu v Londonu, le nekaj tednov pred pristankom modula File na komet, pa so razkrili sodelovanje Ese. Kratki film Ambition je postavljen v futuristični svet, kjer mojster in njegova vajenka ustvarjata osončja, jih zapolnjujeta z življenjskimi
SLIKA 4.
V ponedeljek, 20. januarja 2014 ob 10:00 UTC, se je vesoljska sonda Rosetta prebudila in svoj pozdrav nekaj ur kasneje poslala preko svojega računa na Twitterju tudi v slovenščini. Uporaba prve osebe pri poročanju vesoljskih misij preko družbenih omrežij je bila novost pri Evropski vesoljski agenčiji. Od leta 2014 dobivajo dnevno vsaj nekaj vprašanj glede statusa Rosette in Fileja.
oblikami ter se pogovarjata o tem, kako se je vse začelo z Rosetto. Film se sklicuje se na raziskave o izvoru vode in življenja na Zemlji, ki so med glavnimi znanstvenimi temami misije. Poudarja tudi pogum pri načrtovanju tako drzne misije ter posebno vrsto ambicije, s katero širimo meje znanja.«
Pomembni vidik je bila tudi »personifikacija« misije: Rosetto je Esa želela približati javnosti vsem, ki bi si želeli spremljati njene dogodivščine, pa ne samo s tehničnega in znanstvenega vidika. Evropska vesoljska agencija je predstavitev misije gradila večplastno: od osebne predstavitve strokovnjakov, ki so bili vključeni v misijo, do uporabe družbenih omrežij in nagradnih iger, v katerih so stopili v direkten stik s publiko (naj omenimo, da so pri tem sodelovale tudi slovenske šole), od povezave nekaterih nenavadnih tehničnih operacij s tipičnimi dogodki iz vsakdanjega življenja (jutranje zbujanje, prihod na cilj po dolgem potovanju) do odločitve, da predstavijo obe vesoljski sondi, Rosetto in File, s človeškimi lastnostmi.
Claudia Mignone poudari: »Mislim, da je zelo zanimiva tudi serija risank Nekoč, v davnih časih ..., ki smo jo ustvarili v sodelovanju z nemško agencijo Design & Data. Sprva je bila namenjena otrokom in družinam, pokazalo pa se je, da jo cenijo tako mladi kot starejši, tako vesoljski navdušenci kot ostali. In, presenetljivo, tudi mnogi znanstveniki uporabljajo epizode te serije tako pri svojem poučevanju in širjenju

PRESEK 44 (2016/2017)1
25
ASTRONOMIJA
—^ informacij kot tudi na svojih profilih na družbenih omrežjih. Večkrat se je zgodilo, da sem se srečala z znanstveniki in inženirji, ki niso nujno sodelovali v misiji, pa so nosili majice z antropomorfnima Ro-setto in Filejem na konferencah in drugih znanstvenih srečanjih - tega ne bi nikoli pričakovala, vendar sem bila nad tem jasno navdušena!«
Sicer pa je uporaba prve osebe pri poročanju vesoljskih sond zelo razširjena: na družbenih omrežjih najdemo sonde ameriške agencije NASA, ki raziskujejo Marsovo površje. Za Evropsko vesoljsko agencijo pa je bilo pripovedovanje dogodkov v prvi osebi z namišljenega vidika robotske sonde popolna novost. Pri tem je bilo potrebno tudi nekaj koordinacije, saj je račun spletnega družbenega omrežja Twitter @ESA_Rosetta upravljala Evropska vesoljska agencija, @Philae2014 pa nemški vesoljski center DLR. Poleg uradnih pa so se rodili še neuradni računi. Claudia pripoveduje: »V poletnih mesecih leta 2015 se je na Twitterju pojavil @IamComet67P, povsem neuradni racun, ki ga z obilico humorja in simpatije upravlja navdušenec nad misijo, ki piše - tudi v tem primeru - v prvi osebi, z vidika kometa. To je bilo zelo prijetno presenečenje in potrditev, da je osebna komunikacija misije znova delovala.« Več je tudi primerov iz preteklosti, kjer so bila vesoljska plovila zastopana antropomorfno; eden izmed teh je ilustrirani dnevnik, ki pripoveduje zgodbo o sondi Haya-busa japonske agencije JAXA, ki je obiskala asteroid in prinesla nekaj vzorcev na Zemljo.
Claudia Mignone nadaljuje: »V svojem delu sem se naucila ogromno ne samo o komunikaciji marveč tudi o znanosti! Moja izobrazba v astronomiji in kozmologiji je bila osredotočena na analizo vesolja na velikih skalah - od jat galaksij do kozmičnega širjenja - in nikoli se v svojem študiju nisem poglobila v komete. Z Rosetto pa sem imela možnost, da sem prevrednotila pomembno vlogo, ki so jo ti imeli v zgodovini znanosti, od antične astronomije do odkritij v zadnjih desetletjih, ki so sad predvsem vesoljskega raziskovanja. Iz tega poglobljenega študija se je med drugim rodila epizoda serije Nekoč, v davnih casih . . . , ki je posvecena zgodovini kometov v tisocletjih.«
Kateri izmed dveh, Rosetta ali File, je Claudiji bolj pri srcu? »Zelo sem navezana na oba, če naj izbiram med njima pa bi rekla, da je Rosetta tista, ki jo nosim v srcu. File je bil pomemben del znanstvene misije
- in zato tudi del zgodbe, ki smo jo ustvarili okrog tega. V kratkem casu nas je prevzel na intenziven nacin, polnem drame in preobratov. Rosetta pa je bila v zadnjih dveh letih tista, ki nam je podarila čudovite slike kometa in vedno bolj razburljive znanstvene rezultate. Nenazadnje v zgodbi je Rosetta ženski lik kot tak, poklon številnim ženskam vključenim v znanstvene in tehnološke raziskave. Kako naj potem takem ne bi navijala za njo?«
Nekaj nasvetov za branje:
■	www.portalvvesolje.si
■	Rosettin blog za tehnološke navdušence http: // blogs.esa.int/rosetta
■	Risanka »Nekoč, v davnih časih ...« http: //www. esa.i nt/Educati on/Teach_wi th_Rosetta/On-ce_upon_a_ti me
■	Za navdušence nad znanstveno fantastiko kratki film »Ambition«, kjer boste gotovo prepoznali glavnega igralca http://www.esa. i nt/spacein-vi deos/Vi deos/2014/10/Ambi ti on_the_film
_ XXX
Križne vsote
-> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v obarvanem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne.
	4	6			
4			10		
8				*	
		10			3
			10		
			4		
XXX
26
PRESEK 44 (2016/2017)1
RAC UNALNIŠ TVO
Naučimo se programirati s pomočjo vizualnega programiranja
sU nU NU
Igor Pesek Uvod
Še ne znate programirati? Potem je skrajni čas, da se naučite. V tujini in tudi pri nas v Sloveniji se vse bolj zavedamo, kako pomembno je programiranje. Ko se učimo programiranja, se učimo tudi kreativnega reševanja problemov in sistematičnega algoritmičnega razmišljanja, kar postajata vedno pomembnejši veščini v današnji visoko tehnološki družbi. Ameriški predsednik Obama, Mark Zučkerberg in mnogi drugi so dejali, da se tisti, ki se uči programiranja, pripravlja na prihodnost. Kaj so mislili s tem? Že sedaj je vedno več naprav brezžično povezanih (računalniki, mobilne naprave, bela tehnika), že v bližnji prihodnosti pa bomo obkroženi z napravami, ki bodo vse povezane v medmrežje stvari (angl. IOT Internet of Things). Naša odločitev je, ali bomo samo upo-
rabniki teh naprav ali pa bomo tudi ustvarjalči novih možnosti uporabe teh naprav.
Na programiranje lahko gledate kot na učenje še enega tujega jezika, s katerim boste lahko izrazili svoje ideje in reševali probleme. Pri programiranju moramo biti natančni, izražati se moramo jasno in nedvoumno, saj bo le tako določena naprava lahko v čeloti izpolnila naše ukaze.
Letošnjo revijo Presek bomo zato v računalniškem delu namenili programom in spletnim portalom, kjer boste lahko naredili prve korake v programiranje. Tisti, ki že znate programirati, pa jih lahko uporabite za razvedrilo in osvežitev posameznih programerskih končeptov. Ce vam je programiranje všeč, pa svoje znanje seveda lahko sistematično nadgradite pri predmetu računalništvo v osnovnih ali poletnih šolah; le-te ponujajo mnoge izobraževalne ustanove in društva v Sloveniji (posamezne fakultete, ZOTKS).
SLIKA 1.
Vstopna stran Blockly Games
->
PRESEK 44 (2016/2017)1
27
RAČUNALNIŠTVO
—^ Vizualno programiranje
Vizualno programiranje omogoča uporabniku razvijanje programov z uporabo vizualnih grafičnih elementov, pri čemer je odstranjena programska tekstovna koda, s katero imajo začetniki v programiranju največ težav in tudi precej strahu. Uporabnik oziroma programer sistematično uporablja in ureja te vizualne elemente v zaporedje, ki reši zadano nalogo. Grafični elementi v vizualnem programu služijo kot vhodni podatki, dejavnosti, povezave ali kot izhodni podatki programa.
Vizualno programiranje tako tudi začetnikom omogoča eksperimentiranje in ustvarjanje novih programov. Na tak način lahko ustvarite interaktivne animačije ali igriče brez pisanja programske kode.
Veliko vas je že slišalo o programu Sčratčh [1], ki ga pri nas poučujejo v osnovnih šolah v drugi tri-adi pri neobveznem izbirnem predmetu računalništvo. Sčratčh je najbolj znan predstavnik vizualnega programiranja. O tem programu in njegovih bolj naprednih funkčijah bomo govorili v eni od prihodnjih številk Preseka, danes pa bomo predstavili vizualno programsko okolje Bločkly [2] in njegovo izpeljanko Bločkly Games [3].
Okolje Bločkly so razvili v podjetju Google, saj je prav to podjetje eden glavnih pobudnikov gibanja, ki zagovarjajo stališče, da bi se vsi morali naučiti programirati. Bločkly je zelo podoben okolju Sčratčh, z razliko, da v osnovni različiči Bločklyja nimamo odra, v katerem premikamo like, temveč je po-
udarek na samem učenju programerskih konceptov. Ena od glavnih dodanih vrednosti tega okolja pa je možnost, da program, ustvarjen v vizualnem okolju Blockly, pretvorimo v kodo programskih jezikov Javascript, Python, PHP ali Dart. Zakaj je to koristno in smiselno? Ko primerjamo vizualno kodo našega programa z enakovredno kodo izbranega programskega jezika, je kasnejši prehod in učenje takšnega programskega jezika hitrejše in enostavnejše.
Prvi koraki v programiranje z Blockly games
Blockly Games je spletna zbirka nalog, izdelana s pomočjo vizualnega okolja Blockly, kjer uporabnik spozna osnovne koncepte programiranja, kot so ponavljanje, pogojni stavki oziroma vejitve in spremenljivke. V casu pisanja tega prispevka je bil Blockly Games dostopen le v anglešcini, vendar se že intenzivno prevaja in v kratkem boste lahko uporabljali slovensko razlicico.
Za igranje Blockly Games, ki jo najdete na naslovu https://blockly-games.appspot.com, se ni potrebno prijaviti, ampak lahko takoj zacnemo programirati. Sama igra je razdeljena na sedem poglavij in deset nalog v vsakem poglavju, kot je vidno na sliki 1.
Vsako od sedmih poglavij razvija enega ali vec programerskih konceptov, ki se v poglavjih nadgrajujejo, zato je pomembno, da jih igramo oziroma rešujemo zaporedoma.
SLIKA 2.
4. naloga iz poglavja Ptica
28
PRESEK 44 (2016/2017)1
RAČUNALNIŠTVO
Prvo poglavje se imenuje Puzzle. V njem se uporabnik privadi vizualnega okolja, mehanizmov delovanja blokov in tega, kako se lepijo skupaj. Naslednje poglavje se imenuje Labirint (angl. Maze), kjer z ukazi vodimo možica, da pride do cilja. Poglavje uvaja osnovne koncepte ponavljanja oziroma zank in pogojev. Pricne se z enostavnimi nalogami, ki se po težavnosti stopnjujejo. Sledi poglavje Ptica (angl. Bird), kjer vodimo ptico do gnezda, pri cemer moramo zelo spretno uporabljati pogojne stavke. Primer četrte naloge v tem poglavju je prikazan na sliki 2. Tukaj moramo voditi ptico okrog ovire, kjer s pomocjo pogojnega stavka izvedemo, kdaj se mora ptica obrniti. Poglavje Želva (angl. Turtle) je namenjeno spoznavanju ponovitev oziroma zank, ki so eden pomembnejših konceptov v programiranju. Na sliki 3 je prikazana rešitev druge naloge. Opazimo, da nam zbirka Blockly Games ob pravilno rešeni nalogi prikaže kodo v programskem jeziku Javascript. Ker že poznamo rešitev naloge, lahko sedaj razumemo tudi prikazano kodo. Sledi peto poglavje Film (angl. Movie), kjer spoznavamo matematicne izraze in z njihovo pomocjo premikamo like ter pri tem ustvarjamo kratke filmcke. Šesto poglavje se imenuje Mentor na ribniku (angl. Pond Tutor), kjer s po-mocjo topa izstreljujemo krogle na nasprotnika. Zanimivost tega poglavja je, da moramo nekatere naloge najprej rešiti v vizualnem nacinu in nato še enkrat s pomocjo tekstovnih ukazov. Primer naloge s tega poglavja je prikazan na sliki 4. Zadnje poglavje Ribnik (angl. Pond) vsebuje samo eno nalogo, ki pa zahteva najvec znanja in tudi iznajdljivosti. Spro-gramirati moramo racko tako, da bo uspela sestreliti ostale tri racke, ki se premikajo in branijo. Tu je možnih vec rešitev, saj so strategije, kako zmagati, lahko razlicne.
Zaključek
Literatura
[1]	»Scratch«, https ://scratch .mit. edu/, ogled: 9. 8. 2016.
[2]	»Blockly«, https://blockly-demo.appspot. com/static/demos/code/, ogled: 9. 8. 2016.
[3]	»Blockly Games«, https://blockly-games. appspot.com/, ogled: 9. 8. 2016.
Blockly Games : Turtle 2
A
SLIKA 3.
2. naloga v poglavju želva.

Ce ste uspešno rešili vse naloge, ste zelo verjetno dojeli vse osnovne koncepte v programiranju. Ce so vam bile naloge všec, lahko nekaj podobnih najdete tudi na naslovu https://studio.code.org/ flappy/1.
V naslednjih številkah bomo predstavili še kakšen zanimiv program za vizualno programiranje, ki vam bo olajšal prve korake v programiranje. Veselo programiranje vam želimo!
SLIKA 4.
Primer naloge šestega poglavja
XXX
PRESEK 44 (2016/2017)1
29
RAZVEDRILO
SLIKA 3 K PRISPEVKU OMOČEN PAPIR.
a) Mikroskopski posnetek strukture papirja. Vlakna so debela okoli 10 mikrometrov. b) Difuzni odboj svetlobe na vlaknih -svetloba vpada od zgoraj in večina se je odbije nazaj. c) Prehod svetlobe skozi omocena vlakna - zaradi izenačenosti lomnih kvocientov se vec svetlobe odbije in lomi v smeri navzdol. d) omocene površine (tlakovci na desnem delu slike) so na videz temnejše
sU nU NU
REŽITEV NAGRADNE KRIŽ ANKE
presek 43/6
-> Pravilna rešitev nagradne križanke iz šeste številke 43. letnika Preseka je Kvadratura parabole. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Urška Poje iz Ljubljane, Neža Korenjak iz Men-geša in Timotej Vesel iz Velenja, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti.
_ XXX
30
PRESEK 44 (2016/2017)1
RAZVEDRILO
Omočen papir
nU sU NU
Aleš Mohoriš
Zakaj postane omocen papir prozoren? Del odgovora se skriva v zgodbi, ki smo jo v prejšnji številki povedali o barvi oblakov.
Fotografija na sliki 1 kaže delno omoceno belo papirnato brisačo. Na omocenem delu se bolje vidi, kaj se skriva za papirjem. Papir je delno prozoren.
Barva telesa je določena s sestavo njegove površine in lastnosti svetlobe, ki sveti nanj. Obravna-vajmo primer, ko na telo sveti bela svetloba, npr. sončna svetloba ali svetloba žarnice. Na odboj svetlobe od telesa vpliva kemijska sestava in oblika površine telesa. Nekatere snovi so prozorne, druge odbijejo svetlobo in absorbirajo svetlobo določenih valovnih dolžin. Take snovi imenujemo pigmenti ali barvila. V spektru odbite svetlobe tako ni absorbirane. Na telo vpada bela svetloba, odbije pa se obarvana. Tudi prozorna telesa lahko odbijajo svetlobo. Odboj je odvisen od oblike njihove površine. Če površina ni gladka, se od nje svetloba odbija pod različnimi koti. Na velikem številu majhnih nepravilnosti, se svetloba razprši in odboj je difuzen. Kaj bolj vpliva na razpršitev, odboj, lom ali uklon, je odvisno od velikosti struktur in lomnega kvočienta snovi. Če so nepravilnosti velikostnega reda 10 mikrometrov ali manjše, se svetloba razprši zaradi uklona. Če
SLIKA 1.
Omocen papir postane prozoren.
SLIKA 2.
Oblak iz obarvane vode je tako bel kot oblak iz prozorne vode.
so strukture dovolj majhne in enakomerno razporejene, postane barva odvisna od smeri opazovanja.
V prejšnji številki Preseka smo zastavili vprašanje, kakšne barve bi bil oblak, sestavljen iz modrih ka-pljič. Pripravili smo vodo z modrim barvilom in vanjo potopili ultrazvočni oddajnik, kot ga najdemo v vlažilnikih prostora. Oddajnik z ultrazvokom vzbur-ka tekočino in nad njo nastanejo tako drobne ka-pljiče kot so kapljiče v megli ali oblakih. Na sliki 2 jasno vidimo, da je barva oblaka bela in torej ni odvisna od barve kapljič.
Belina oblaka je poslediča mešanja svetlobe, ki se odbije od velikega števila kapljič. Sestava papirja je nekoliko drugačna. Sestavlja ga veliko število čelu-loznih vlaken. Ta vlakna lahko obarvamo z barvilom; sama po sebi so rjavkasta. Vlaknasta struktura tudi prispeva k belini papirja z množičo odbojev na vlaknih. Ko papir omočimo, vlakna niso več obdana z zrakom temveč s tekočino. Tekočina ima lomni kvočient bolj podoben kvočientu vlaken. Svetloba se ne odbija več tako izrazito in papir postane prozoren. Del svetlobe, ki se odbije nazaj, se na meji med zrakom in vodo tudi popolnoma odbije in absorpčija svetlobe se poveča. Zato je večina omočenih površin videti temnejših. Glej sliko 3 na prejšnji strani.
_ XXX
■

PRESEK 44 (2016/2017)1
31
Matematični kenguru
Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv na-cin zastavljanja matematicnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vkljucevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematicni kenguru z vec kot 6 milijoni tekmovalcev iz 47 držav sveta v letu 2011. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za ucence od prvega razreda osnovne šole do cetrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente.
Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logicno mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematicni izziv.
EVROPSKI
MATEMATIČNI
KENGURU

2002-2004
10,99 EUR
18,74 EUR
14,50 EUR
Pri DMFA-založništvo so v Presekovi knjižnici izšle že 4 knjige Matematicnega kenguruja.
•	Evropski matematični kenguru 1996-2001 (pošlo),
•	Evropski matematični kenguru 2002-2004,
•	Mednarodni matematični kenguru 2005-2008,
•	Mednarodni matematični kenguru 2009-2011.
Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite:
http://www.dmfa-zalozni stvo.si/
Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.