i
i
“3-3-Bohte-naslov” — 2009/6/10 — 14:15 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 3 (1975/1976)
Številka 3
Strani 135–137
Zvonimir Bohte:
NAJVEČJA ŠTEVILA Z ENAKIMI CIFRAMI
Ključne besede: matematika, aritmetika, teorija števil, števila, elemen-
tarne operacije.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/3/3-3-Bohte.pdf
c© 1976 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA
NAJVEčJA šTEVILA Z ENAKIMI CIFRAMI
I I
Vp ra šajmo se , ka t e r a so najvec Ja števila , ki j ih mo remo za pi -
sati s samimi enak imi ciframi i n noben imi drugim i matematičnimi
zna ki. Na prvi pogled se zdi, da je l ahko odgo voriti . Največje
število , zapis ano z dvema enoj kama, je 11. N a j v e č j e število, za-
pisano z dvema dvojkama , je 22, z dvema troj kama 33, z dvema šti -
r i cama 44 itd. Ali j e to res? Al i je, na primer, 44 res največje
število , ki se da zapisati z dve ma š t i r i cama ? Odgovor je ni kalen.
N a mreč, največje š te vi l o, zapisano z dvema š ti r i cama, je 4 4 = 256.
Ta primer vsebu je dva poučna nau ka. Prvi je, da je prehit ro
s klepa nje in posploševanje nevarno in lah ko vodi do napačn ih za-
k ljučkov . Drugi nauk je pa t a , da nas lahko pr i re ševanju po-
stavljen ih vprašanj zapeljejo predpostav ke, ki s i j i h bodisi sa-
mi, bodisi zas t avl j a l ec vprašanja tiho mi s l i . Da bo nadaljnje
r azpr avl j anj e bolj r e s no i n manj dvoumno, ponovno postavimo za-
č e t n o vpraš anje , t okrat v strogi matematični obliki.
Na j bo d ka t e r akoli od O različna cifra deset iš kega sistema .
Ka t er o je n ajvečje število, ki se da zapisati z m enakimi cifra-
mi d venem ali več nivojih, pri čemer predpostavljamo desetiški
zapis števi la, če so cifre zapisane druga pol eg dr uge, in opera-
ci j o potenciranja, če so števila zapisa na drugo nad drugim?
Mladi bralec naj se ne ustraši takih zapl e t eni h stavkov , ki
jih j e treba v ča s i h dva krat prebrati . Da imamo v mislih deseti-
šk i s is t em, se razum e samo po sebi, dobro je omeniti le , da pri
zapi s u ne dovoljujemo nobenih ar itmetičnih operacij razen poten-
ciranja.
Laže bomo odgovar j a l i na postavljeno vpraša nje v posebnih pri-
mer ih štev il m (š tevila c i f e r ) in d (konkretne cifre) , če bomo
vpe l j a l i poseb no ozna ko N(m,d ) za tisto največje število , o ka -
135
terem govori naloga. Vp rašanje sedaj lahko postavimo v oblik i :
Kolik je N(m, d) za d = 1,2 , .. . ,9 in m = 2,3, 4 , . .. ?
Odgovora v splošnem primeru ni lah ko najti. Pr i m 2 je za -
deva enostavna. Brez težav se namreč lah ko z računom p repričamo,
da vel ja
N(2 ,d )
N( 2 ,d )
dd = lO d + d
dd ,
11 cl, d ::; 3
d~ 4
Oglejmo si nekoli ko natančn eje primer m = 3! Za pr imerjavo
pridejo v poštev le štiri števila
nd d)
n 2(d)
n 3 (d)
n ~ ( d)
100 d + lOd + d = 111 d
( l Od +d) d = (11 d )d
dlO d+d = d u d
Ali je treba posebej povedati, kaj pomeni ddd ? To je namreč
število d (dd ) in ne (dd) d = dd ·d = dd 2 • Koli k je torej N(3, d)?
Pri d=1 hitro vidimo, da je N( 3 , 1 ) = 111 in pri d=9 je brez
dvoma N( 3 , 9 ) = 9 9 9 , ki je tako veliko število , da se ga prak-
tično niti ne da zapisati. Ima namreč sko raj 370 milijonov cifer.
Ce bi ga poznali in hoteli zapisati v navadne 40 listne kari rane
zvezke tako, da bi vsa ko cifro zapisal i v svoj kvadratek (5 mm),
bi popisali več kot 4000 zve zkov. Pri hitro sti pisanja en znak
na sekundo bi to število pisali nepretrgoma s koraj 12 let. Ce
bi to število izračunal računalnik, kar je v pr incipu mogoče , bi
ga samo izpisoval s tiskars kim strojem , ki pi še 1000 vrsti c s 120
znaki na minuto , ve č kot 51 ur. No , dovolj o tem številskem veli -
kanu .
Z malo premisleka in računanja lahko ugotov imo , da je
N( 3 , 2 )
N( 3 , 3 )
N( 3 , 4 )
4194304
5559060566555 523
4 256 ,; 1 ·34· 101 5 ~
Zadnje število ima že 155 cifer . Preveliko je. da bi se ga
dalo hitro izračunati . Ugotavljanje števila N(m. d) z direktnim
računanjem je torej zelo zamudno opravilo . Poskus imo rajši s
sklepanjem.
Najprej primerjajmo n dd ) in n2 (d ). Velja
136
n2 ( d ) = (ll d) d = ll ddd > 111 d
za vsak d ~ 2, saj je tedaj 11d > 111 in dd »s, Očitno pa je
n2 ( l ) = 11 < 111 = nd 1). Torej imamo prvi sklep
n 2 ( d) > n t ( d), d ~ 2
n d d ) > n2( d), d = 1
Dalje primerjajmo n2 (d ) in n 3( d). Hitro vidimo, da je
ndd ) = dll d = ( dll) d > (ll d) d = nd d)
tudi za vsak d ~ 2 , saj je tedaj očitno d ll > ll d. Izjema je
spet d = l , ko je n 2 ( l ) > n3 ( l ) . Drugi s klep je torej
n3 (d ) > n2 (d ) ,
n 2 (d ) > n 3 (d ) ,
d ~ 2
d 1
Primerjajmo še n3 (d ) in n4( d) . Domnevamo, da velja n 4 (d ) > n 3( d),
le ne vemo še, za katere d . Ker se da n3( d) zapisati v obli ki
( d ll )d, n 4 (d ) pa v obliki ( ddd-l) d,je očitno n 4( d) > n 3(d ) , če
j e dd - l > 11 . S posku šanjem se hi tro pr epr i camo , da je dd - l > 11
za vsak d ~ 4 in dd-l < 11 za d < 4. Torej imamo tretji sklep
n 4( d) >n3 (d ) , d ~ 4
n 3 ( d) >n 4(d ), d 2,3
n 3( d) n 4( d) , d
Pr i d = l sta namreč n 3 ( 1 ) in n d 1) oba enaka 1.
Dobljen e n eena čbe nam o m o g o č a j o k ončn i sklep
N( 3,d ) n i (d) ddd 111 d , d
N( 3,d ) n 3 ( d) ddd d ll d , d 2,3
N( 3,d ) n 4( d) ddd d ~ 4
Na podoben način lah ko s s klepanjem rešimo probl em za m=4.
I zkaže se, da velja
N( 4,d ) dddd , d
N( 4 ,d ) dddd, d 2 , 3
N( 4,d ) dddd , d ~ 4
Bralec naj poskusi sam prit i do tega rezultata.
Zv oni mi r Bohte
137