Gradbeni vestnik letnik 71 december 2022 303 red. prof. dr. Uroš Klanšek DISKRETNA OPTIMIZACIJA PLANOV GRADBENIH PROJEKTOV POD OMEJENIMI STROŠKI Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM PROGRAMIRANJEM Povzetek Članek predstavlja diskretno optimizacijo planov gradbenih projektov pod omejenimi stroški z mešanim celoštevilskim nelinear- nim programiranjem (MINLP). Model MINLP obsega stroškovno namensko funkcijo, ki jo je treba minimizirati, in pogojne (ne)enačbe posplošenih časovnih povezav, trajanja projekta, logičnih odnosov ter omejenih stroškov. Predlagani model dovo- ljuje vnos raznovrstnih nelinearnih izrazov, kakor tudi zagotavlja eksaktne optimalne planske podatke za vodenje gradbenega projekta v obliki gantograma, histograma in S-krivulje skupnih stroškov. Uporabnik lahko s podanim modelom izvede optimal- no planiranje aktivnosti sočasno z (ne)linearno omejenimi skupnimi stroški projekta za vsako diskretno enoto delovnega časa. Hkrati se je možno spoprijeti s časovno odvisnimi omejitvami na posamičnih in kumulativnih vrednostih skupnih stroškov pro- jekta. V članku je podan primer uporabe z namenom prikaza prednosti predlaganega modela. Ključne besede: planiranje, gradbeni projekti, diskretna optimizacija, omejeni stroški, mešano celoštevilsko nelinearno programiranje Summary This article presents the discrete optimization of construction project schedules under constrained costs by mixed-integer non- linear programming (MINLP). The MINLP model comprises a cost objective function to be minimized and conditional (in)equ- alities of generalized precedence relations, project duration, logical relationships and constrained costs. The proposed model allows the input of various nonlinear expressions and provides exact optimal scheduling data for managing a construction project in the form of a Gantt chart, a histogram and a S-curve of the total costs. With the given model, the user can carry out optimal scheduling of activities while (non)linearly constraining total project costs for each discrete unit of working time. Con- currently, it is possible to cope with time-dependent constraints on both the incremental and cumulative values of the total project costs. The article provides an application example in order to show the advantages of the proposed model. Key words: scheduling, construction projects, discrete optimization, constrained costs, mixed-integer nonlinear programming red. prof. dr. Uroš Klanšek, univ. dipl. gosp. inž. uros.klansek@um.si Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo Smetanova 17, 2000 Maribor Znanstveni članek UDK 519.8:69.05(497.412) DISKRETNA OPTIMIZACIJA PLANOV GRADBENIH PROJEKTOV POD OMEJENIMI STROŠKI Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM PROGRAMIRANJEM DISCRETE OPTIMIZATION OF CONSTRUCTION PROJECT SCHEDULES UNDER CONSTRAINED COSTS BY MIXED-INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING Gradbeni vestnik letnik 71 december 2022 304 1 UVOD Optimalno planiranje aktivnosti in časovna porazdelitev skup- nih stroškov predstavljata pomembna izziva za menedžment gradbenih projektov. Prekoračitve stroškov in rokov so težave, ki nastopajo v praksi in vplivajo na uspešnost projektov. Tako se stroškovno učinkovito planiranje, ki temelji na usklajenih planih in stroškovnikih, pogosto izkaže kot pomemben pogoj za doseganje likvidnosti ter donosnosti gradbenega projekta. Znano dejstvo, ki ga treba upoštevati med operativnim plani- ranjem, da bi lahko dosegli uspešen zaključek projekta, je, da različno trajanje projekta običajno pomeni tudi različne skup- ne stroške projekta. Vendar kakor hitro se postavi zahteva, da se časovna porazdelitev skupnih stroškov projekta mora dose- či pod uvedenimi omejitvami, medtem ko obstajajo različne variante za trajanje aktivnosti, stroškovno optimalno planiranje projekta postane precej zahtevna naloga. V zgodnjih raziskavah stroškovno optimalnega planiranja pro- jektov so razmerja med časom in stroški bila predpostavljena kot linearna [Fulkerson, 1961], kar je seveda omogočalo eksakt- no reševanje optimizacijskih problemov s pomočjo metod linearnega programiranja (LP), ki so takrat bile na razpolago. Vseeno so že prve študije na tem področju pokazale, da so dejanski odnosi med časom in stroški pri projektih v praksi le redko linearni. Da bi pri optimizaciji planov projektov zajeli nelinearno naravo zveze med časom in stroški, so pozneje bili predlagani modeli nelinearnega programiranja (NLP), glej npr. [Klanšek, 2010]. Kljub dokazani uporabnosti optimizacijskih metod LP in NLP je tukaj vendarle treba izpostaviti dejstvo, da so plani gradbenih projektov v praksi najpogosteje določeni v diskretnih časovnih enotah, npr. v delovnih dnevih, ki jih ome- njene metode lahko naslovijo le s postopkom zaokroževanja zveznih rešitev. Ker LP in NLP omogočata le zvezno optimizacijo, so bili razviti modeli mešanega celoštevilskega linearnega programiranja (MILP), s katerimi je možno diskretne odločitvene spremen- ljivke problemov planiranja projektov obravnavati s pomočjo eksaktnih metod na ekspliciten način [Manesi, 2013]. Razis- kovalna prizadevanja na tem področju so prispevala široko paleto raznovrstnih tehnik eksaktne optimizacije ([De, 1995], [Demeulemeester, 1998], [Hazir, 2010], [Moussourakis, 2004], [Vanhoucke, 2005]). Pri tem so bili nelinearni izrazi v optimiza- cijskih modelih, razvitih za diskretne probleme planiranja pro- jektov, pogosto aproksimirani z diskretiziranimi, linearnimi ali kosoma linearnimi funkcijami, saj algoritmi MILP lahko obrav- navajo samo takšne odnose med spremenljivkami. Da se preseže potreba po diskretiziranih, linearnih ali kosoma linearnih izrazih in zagotovi eksaktna diskretna optimizacija planov gradbenih projektov, ki se izvaja pri nelinearnih raz- merjih med časom in stroški, sta Klanšek in Pšunder [Klanšek, 2012] predlagala pristop mešanega celoštevilskega nelinear- nega programiranja (MINLP). Predstavljeni optimizacijski mo- del MINLP je eksplicitno obravnaval diskretne spremenljivke in ni zahteval zaokroževanja zvezne rešitve v celoštevilsko rešitev. Nekoliko pozneje sta pomembni prispevek na tem področju podala Al Haj in El-Sayegh [Al Haj, 2015], ki sta predstavila mo- del MINLP, ki je bil razvit za stroškovno optimizacijo planov pro- jektov ob upoštevanju vpliva izgub z naslova časovnih rezerv. Nadaljnje raziskave so pokazale, da je z modeli MINLP možno izvajati diskretno optimizacijo planov tudi ob nekonveksnem obnašanju skupnih stroškov projekta glede na njegovo trajanje [Cajzek, 2018] in da se takšni modeli prav tako lahko povežejo s komercialnimi orodji za upravljanje projektov v enovite siste- me za optimalno operativno planiranje [Dasović, 2021]. Čeprav časovna porazdelitev omejenih skupnih stroškov pro- jekta v navedenih delih ni bila obravnavana, so modeli MINLP izkazali napredne zmogljivosti in potencial za nadaljnji razvoj. Vsekakor je treba omeniti, da je porazdelitev skupnih stroškov v literaturi izpostavljena kot pomembna sestavina planira- nja projektov [Cheng, 2011]. Zato je bila motivacija za priču- joče delo zagotoviti orodje za eksaktno MINLP-optimizacijo planov gradbenih projektov, ki jo je mogoče izvesti skupaj s sprejemljivo časovno porazdelitvijo minimalnih skupnih stroš- kov. Članek tako predstavlja model za diskretno optimizacijo planov gradbenih projektov pod omejenimi stroški z MINLP. Model MINLP obsega stroškovno namensko funkcijo, ki jo je treba minimizirati, in pogojne (ne)enačbe posplošenih časov- nih povezav, trajanja projekta, logičnih odnosov ter omejenih stroškov. V članku je podan primer uporabe z namenom prika- za prednosti predlaganega modela. 2 OBSTOJEČI DEL FORMULACIJE OPTIMIZACIJSKEGA MODELA V prejšnjem članku [Cajzek, 2018] je bila podrobno podana formulacija modela MINLP za stroškovno optimalno termin- sko planiranje gradbenih projektov. Navedena formulacija je v celoti zajeta v optimizacijskem modelu MINLP, ki je predlagan v pričujočem članku, in predstavlja njegov že obstoječi sestav- ni del. Cilj optimizacije tako ostaja nespremenjen, tj. planira- nje gradbenega projekta pri minimalnih skupnih stroških. Pri tem lahko spomnimo, da je pred optimizacijo treba v obstoje- čem delu formulacije modela opredeliti naslednje parametre: (i) rok za dokončanje projekta; (ii) pogodbeno nagrado in ka- zen; (iii) indirektne stroške projekta; (iv) alternative za trajanja in direktne stroške aktivnosti; (v) časovne povezave med ak- tivnostmi; (vi) zgornje in spodnje meje za pričetke in trajanja aktivnosti, trajanje projekta, zamudo in časovni prihranek ob zaključku projekta. Z optimizacijo se potem določijo vredno- sti spremenljivk (kot so pričetki in trajanja aktivnosti, trajanje projekta, zamuda ali časovni prihranek ob zaključku projekta idr.), ki služijo planiranju gradbenega projekta pri minimalnih skupnih stroških. V izognitev nepotrebnemu ponavljanju bo omenjeni del formulacije tukaj le na kratko povzet ob citiranju številk enačb, bralec pa lahko podrobnosti matematičnih izra- zov in njihovega delovanja v optimizacijskem modelu poišče v prej navedeni referenci. Uporabljeni simboli, npr. za indekse, parametre in spremenljivke ter nadaljnje številčenje dodanih (ne)enačb, so v obeh člankih ravno tako medsebojno usklajeni, da je ob branju možno enostavno povezati vsebine. Obstoječi sestavni del formulacije modela MINLP vsebuje na- mensko funkcijo skupnih stroškov projekta, ki se minimizira glede na pogoje posplošenih časovnih povezav med aktiv- nostmi, trajanjem projekta in logičnimi odnosi med parametri ter spremenljivkami problema planiranja, glej enačbe (1–16) v referenci [Cajzek, 2018]. Namenska funkcija v enačbi (1) vse- buje direktne stroške projektnih aktivnosti, indirektne stroške projekta, stroške pogodbene kazni za zamudo (penale) in po- godbeno nagrado za predčasno dokončanje projekta (bonus). S pogoji posplošenih časovnih povezav v enačbah (2–5) se do- red. prof. dr. Uroš Klanšek DISKRETNA OPTIMIZACIJA PLANOV GRADBENIH PROJEKTOV POD OMEJENIMI STROŠKI Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM PROGRAMIRANJEM Gradbeni vestnik letnik 71 december 2022 305 ločijo zveze med obravnavanimi aktivnostmi in njihovimi ne- posredno sledečimi aktivnostmi, to so: konec-začetek (Finish- to-Start: FS), začetek-začetek (Start-to-Start: SS), konec-konec (Finish-to-Finish: FF) in začetek-konec (Start-to-Finish: SF). Pri tem so povezave med aktivnostmi sedaj urejene tako, da iste binarne spremenljivke, ki izberejo trajanja aktivnosti, sočasno izberejo tudi pripadajoče časovne zamike po enakem princi- pu, kot je to pozneje opredeljeno v logičnih enačbah (9–10). Pogojna neenačba (6) zagotavlja, da bodo vse aktivnosti za- ključene med trajanjem projekta, medtem ko pogojna enač- ba (7) definira odnos med trajanjem projekta, trajanjem za- mude pri dokončanju projekta, dolžino časovnega prihranka pri predčasnem zaključku projekta in rokom za dokončanje projekta. Enačba (8) upošteva dejstvo, da projekt ne more so- časno zamujati in prehitevati, lahko pa je izveden pravočasno. Logične omejitve v enačbah (9–10) služijo za izbor optimalnih diskretnih rešitev za trajanja aktivnosti. Obstoječi sestavni del formulacije optimizacijskega modela vsebuje še izraze (11–16), ki določajo meje in definicijska območja spremenljivk. 3 DODANI DEL FORMULACIJE OPTIMIZACIJSKEGA MODELA 3.1 Diskretno planiranje aktivnosti projekta Za usklajeno optimizacijo medsebojno povezanih planskih podatkov po diskretnih enotah delovnega časa, npr. po de- lovnih dnevih, je treba definirati posebno množico [Klanšek, 2016]. V predlaganem modelu je zato deklarirana množica T, ki določa enote delovnega časa t, t∈T. Zatem je vzpostavljen vektor binarnih odločitvenih spremenljivk yw = {ywi,t}, ki služi za izbor optimalnih enot delovnega časa za izvedbo aktivnosti i, i∈I, tj. določitev enot delovnega časa aktivnosti Wi,t. Aktivnost i, i∈I, se torej planira izvesti v razpoložljivi enoti delovnega časa awt, ko dodeljena binarna spremenljivka ywi,t zavzame vrednost 1. Na ta način so binarne spremenljivke ywi,t enake 0 pri vseh razpoložljivih enotah delovnega časa, v katerih se aktivnosti ne bodo izvajale. Enote delovnega časa aktivnosti Wi,t so tako opredeljene z naslednjim izrazom: (17) kjer so razpoložljive enote delovnega časa awt generirane v super- strukuro diskretnih alternativ s pomočjo celoštevilskih kon- stant (npr. awt = 1 za prvi delovni dan, awt = 2 za drugega itd.). Neničelne vrednosti Wi,t torej podajajo tiste enote delovnega časa, ki so izbrane za izvedbo projektne aktivnosti. Glede na to, da mora biti število izbranih enot delovnega časa za izvedbo projektne aktivnosti enako njenemu trajanju Di, predlagani optimizacijski model vsebuje tudi naslednjo zvezo: (18) Poleg tega mora biti vsaka izbrana enota delovnega časa Wi,t umeščena med začetnim in končnim časom projektne aktiv- nosti. V ta namen je v modelu definirana naslednja omejitev: (19) kjer Si označuje čas pričetka aktivnosti, indeks iα pa predstavlja začetno aktivnost pri projektu. Začetek projektne aktivnosti mora sovpadati s prvo enoto de- lovnega časa, ki ji je dodeljena. To razmerje je opredeljeno z naslednjo enačbo: (20) Za boljši prikaz skupne interakcije pogojnih (ne)enačb dode- ljevanja enot delovnega časa, formuliranih z izrazi (17–20), je na sliki 1 predstavljen primer, ki opisuje razmerja med razpoložlji- vimi enotami delovnega časa awt, dodeljenimi enotami delov- nega časa Wi,t, časi pričetkov aktivnosti Si, trajanji aktivnosti Di in binarnimi odločitvenimi spremenljivkami ywi,t. Enote delovnega časa projekta se ugotovijo s podporo binar- nih odločitvenih spremenljivk yp = {ypt}. Razpoložljiva enota delovnega časa awt se lahko izbere kot enota delovnega časa projekta samo takrat, ko njej dodeljena binarna spremenljivka ypt zavzame vrednost 1, pri čemer omenjena enota mora hkrati nastopati v okviru ugotovljenega trajanja projekta DP. To zago- tavlja sledeči pogoj, ki je vključen v model: (21) Možnosti dokončanja projekta so določene s podmnožico f, f∈F(t). Na osnovi tega je bilo razmerje med ciljnim trajanjem projekta DT in ugotovljenim trajanjem projekta DP formulirano kot: (22) kjer so binarne spremenljivke ycf uporabljene za odločitev o tem, ali je optimalno dokončati projekt zgodaj, pozno ali v predvidenem času, parametri δf pa so določeni za opredelitev diskretnih alternativ za obdobja zgodnjega in poznega dokon- čanja ter predvidenega časa projekta. Alternativna obdobja zgodnjega zaključka projekta so določe- na s pozitivnimi celimi števili, medtem ko so variante poznega zaključka projekta določene z negativnimi celimi števili. Mož- nost izbire pravočasnega zaključka projekta je omogočena z δf = 0. Ker se v katerikoli rešitvi lahko izbere le ena od generira- nih alternativ zaključka projekta, so binarne spremenljivke ycf dodatno omejene z naslednjim izrazom: (23) Slika 1. Razmerja med razpoložljivimi enotami delovnega časa, dodeljenimi enotami delovnega časa, časi pričetkov in trajanji aktivnosti ter binarnimi odločitvenimi spremenljivkami. red. prof. dr. Uroš Klanšek DISKRETNA OPTIMIZACIJA PLANOV GRADBENIH PROJEKTOV POD OMEJENIMI STROŠKI Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM PROGRAMIRANJEM Gradbeni vestnik letnik 71 december 2022 306 3.2 Diskretno planiranje stroškov projekta Gradbene projekte je pogosto treba izvesti pod različnimi stroškovnimi omejitvami, ki jih narekujejo razpoložljiva finanč- na sredstva. Za operativno planiranje pod takšnimi pogoji je pomembno vzeti v obzir porazdelitev posamičnih in kumu- lativnih vrednosti skupnih stroškov po enotah delovnega časa projekta, glej sliko 2. Ob predpostavki enakomerne porazdelitve stroškov na nivoju aktivnosti in tudi na ravni projekta kot celote se ugotovljeni skupni stroški projekta razporedijo in dodelijo vsaki enoti de- lovnega časa z izrazom: (24) kjer so TCt posamična vrednost skupnega stroška projekta v delovnem času t, t∈T; Ci direktni strošek projektne aktivnosti i, i∈I; cdt vrednost indirektnega stroška v delovnem času t, t∈T; pdf in bdf pogodbena kazen in bonus na enoto delovnega časa pri varianti zaključka projekta f, f∈F(t). Zgornji izraz je bil razvit ob predpostavki, ki se običajno upo- rablja pri praktičnem planiranju gradbenih projektov, tj., da se projektne aktivnosti izvajajo s stalno intenzivnostjo dela. V tem smislu prvi del enačbe (24), tj. ∑i∈I ywi,t Ci Di-1, zajame prispevek direktnih stroškov vseh projektnih aktivnosti i∈I pri enoti delov- nega časa t, t∈T, kjer binarne spremenljivke ywi,t zagotovijo, da je prispevek posamezne aktivnosti dodeljen samo pri enotah delovnega časa aktivnosti (tj. pri ywi,t = 1) in da je le-ta enak 0 pri enotah delovnega časa, v katerih se aktivnost ne izvaja (tj. pri ywi,t = 0), glej tudi enačbo (17). Drugi del enačbe (24), tj. ypt [cdt+∑f∈F(t)(pdf-bdf) ycf], zatem zaobja- me še planirani prispevek indirektnih stroškov projekta in po- godbene kazni oz. bonusa pri enoti delovnega časa t, t∈T. Tukaj so binarne spremenljivke ypt izkoriščene za dodelitev prispev- kov planiranih indirektnih stroškov in pogodbene kazni oz. bo- nusa samo enotam delovnega časa projekta, odločitvene spre- menljivke ycf pa so uporabljene, da se pri tem vzame v obzir izbrani način dokončanja projekta, glej tudi pogoje (21) in (23). Potem ko so skupni stroški projekta porazdeljeni po enotah delovnega časa, se tudi kumulativne vrednosti skupnih stroš- kov CTCt dodelijo enotam delovnega časa t, t∈T, z naslednjo enačbo: (25) Ob upoštevanju, da enačbe (24–25) omogočajo planiranje stroškov pri vsaki enoti delovnega časa projekta, planer lahko v optimizacijski model vključi tudi različne časovno odvisne omejitve stroškov. Primer stroškovnih omejitev, ki lahko nastopijo pri planiranju gradbenega projekta, so časovno odvisne zgornje meje posa- mičnih vrednosti skupnih stroškov projekta TCt. V situacijah, ko posamične vrednosti skupnih stroškov pri enotah delovnega časa ne smejo preseči predvidenih najvišjih dovoljenih časov- no odvisnih vrednosti TCt max, je možno znotraj optimizacijskega modela aktivirati naslednjo stroškovno omejitev: (26) Najvišje dovoljene časovno odvisne posamične vrednosti sku- pnih stroškov TCt max se pri praktičnem planiranju gradbenih projektov pogosto fiksirajo s konstantnimi parametri. Vendar se zgornja meja ravno tako lahko določi tudi z uporabo različ- nih (ne)linearnih izrazov v obliki TCt max = f(awt). Predlagani optimizacijski model nadalje omogoča planerju, da pri vsaki enoti delovnega časa vzame v obzir tudi omejitve kumulativnih vrednosti skupnih stroškov projekta CTCt. To lah- ko stori z naslednjo pogojno neenačbo: (27) kjer CTCt max predstavlja najvišjo dovoljeno kumulativno vred- nost skupnih stroškov projekta pri enoti delovnega časa t, t∈T. V splošnem se lahko izraz CTCt max definira v linearni ali nelinear- ni obliki. V primerih, ko so zgornje meje kumulativnih stroškov odvisne od časa, jih je možno vključiti v optimizacijski mo- del kot CTCt max = f(awt). Takrat CTCt max v bistvu predstavlja nabor vhodnih podatkov, ki med procesom optimizacije ostanejo nespremenjeni. Po drugi strani, ko so omejitve kumulativnih vrednosti skupnih stroškov projekta odvisne od časov dokon- čanja nekaterih določenih ključnih aktivnosti, jih je možno opredeliti z ywi,t CTCt ≤ CTCt max. Na ta način lahko zgornjo mejo CTCt max usmerjajo vrednosti tistih binarnih spremenljivk ywi,t, ki so bile uporabljene za izbiro enot delovnega časa za ključne aktivnosti. Skladno s tem je omejitev, definirana z enačbo (27), aktivirana za ključno aktivnost i, i∈I, v enoti delovnega časa t, t∈T, če je dodeljena binarna spremenljivka ywi,t enaka 1, med- tem ko je le-ta deaktivirana, kadar so binarne spremenljivke ywi,t enake na 0 pri enotah delovnega časa, v katerih se aktiv- nost ne izvaja. 4 PRIMER V tem poglavju se v bistvu nadaljuje primer iz članka [Caj- zek, 2018] z namenom prikazati karakteristike predlagane- ga modela MINLP, ki so bile pridobljene z dodanim delom Slika 2. Porazdelitev posamičnih in kumulativnih vrednostih skupnih stroškov projekta. red. prof. dr. Uroš Klanšek DISKRETNA OPTIMIZACIJA PLANOV GRADBENIH PROJEKTOV POD OMEJENIMI STROŠKI Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM PROGRAMIRANJEM Gradbeni vestnik letnik 71 december 2022 307 formulacije iz poglavja 3. Spomnimo, primer obravnava pro- jekt nadgradnje obstoječe dvopasovne hitre ceste v štiripa- sovno avtocesto z nadzorovanimi prometnimi priključki iz reference [Sakellaropoulos, 2004]. Diskretna optimizacija planov za navedeni projekt je bila izvedena z osebnim raču- nalnikom na 64-bitnem operacijskem sistemu s procesor- jem Intel(R) Xeon(R) W-2255, 3,70 GHz, s 64 GB delovnega pomnilnika in trdim diskom SSD velikosti 512 GB, rezultati pa so bili pridobljeni približno v 20 sekundah. Modeliranje optimizacijskega problema je bilo opravljeno brez dodat- nih rutin s pomočjo naprednega algebrajskega jezika Ge- neral Algebraic Modelling System [GAMS, 2022], za izvedbo MINLP-optimizacije pa je bila uporabljena metoda vejanja in reduciranja [Ryoo, 1996] preko računalniškega algoritma BARON [Khajavirad, 2018]. 4.1 Vhodni podatki in izhodiščna rešitev za optimizacijo Vhodni podatki in izhodiščna rešitev terminskega plana za obravnavani projekt so podrobno predstavljeni v članku [Caj- zek, 2018]. Iz navedene reference je tako možno razbrati nas- lednje vhodne podatke: aktivnosti projekta; časovne poveza- ve in zamike; rok za dokončanje projekta; indirektne stroške; pogodbeno kazen in nagrado; možnosti izvedbe aktivnosti s pripadajočimi trajanji in direktnimi stroški. Izhodiščno rešitev za optimizacijo določajo gantogram začetnega terminskega plana iz reference [Cajzek, 2018] in pripadajoči histogram ter S-krivulja skupnih stroškov projekta, glej sliko 3. Izhodiščna rešitev za optimizacijo je opredeljena tako, da so projektne aktivnosti nastavljene v normalna trajanja ob minimalnih direktnih stroških in popolni izrabi časovnih re- zerv. Ob aktiviranju stroškovnih omejitev se pri optimizaciji plana pričakujejo tako premiki aktivnosti v območju, ki ga določajo meje na spremenljivkah Si (optimizacija trajanja projekta preko pospeševanja kritičnih aktivnosti) kakor tudi premiki nekritičnih aktivnosti v okviru časovnih rezerv (opti- mizacija plana pri enako dolgem trajanju projekta s premi- ki nekritičnih aktivnosti), in je zato primerno v model vklju- čiti celotno dopustno območje spremenljivk Si. Nekritične aktivnosti zaradi popolne izrabe časovnih rezerv zavzamejo v gantogramu najbolj desne položaje, ki so možni. Po izho- diščnem terminskem planu bi projekt trajal 93 dni, skup- ni stroški izvedbe aktivnosti pa bi znašali 46.840 denarnih enot, glej gantogram in S-krivuljo na sliki 3. Indirektni stroški projekta bi obsegali 13.950 denarnih enot, dodatno pa bi bila zajeta tudi najvišja možna pogodbena kazen 1000 de- narnih enot zaradi 18 dnevne prekoračitve roka. Najvišja po- samična vrednost skupnih stroškov projekta bi nastopila 38 delovni dan, znašala pa bi 998,75 denarne enote, glej histo- gram na sliki 3. 4.2 Optimizacija planskih podatkov Za boljšo predstavitev delovanja predlaganega modela MIN- LP bo najprej obravnavana optimizacija planskih podatkov brez omejitev skupnih stroškov projekta z upoštevanjem naj- zgodnejših časov pričetkov aktivnosti. Optimizacija planskih Slika 3. Gantogram začetnega terminskega plana in pri- padajoči histogram ter S-krivulja skupnih stroškov pro- jekta. red. prof. dr. Uroš Klanšek DISKRETNA OPTIMIZACIJA PLANOV GRADBENIH PROJEKTOV POD OMEJENIMI STROŠKI Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM PROGRAMIRANJEM Gradbeni vestnik letnik 71 december 2022 308 podatkov ob takšnih pogojih je skladno s pričakovanji podala povsem enako rešitev za optimalni terminski plan, kot je bila predstavljena v članku [Cajzek, 2018], s to razliko, da nadgra- jeni MINLP-model tukaj dodatno sporoča še optimalne posa- mične in kumulativne vrednosti minimalnih skupnih stroškov projekta, glej sliko 4. Pridobljena optimalna rešitev za terminski plan izkazuje mini- malno vrednost skupnih stroškov v višini 45.970 denarnih enot s trajanjem izvedbe projekta, ki znaša 71 dni. Indirektni stroški pri takšnem terminskem planu znašajo 10.650 denarnih enot, dodatno pa je predviden bonus v višini 600 denarnih enot za dokončanje projekta 4 dni pred postavljenim rokom. Bonus je vključen v vrednost 45.970 denarnih enot. Z optimizacijo so bile pospešene naslednje kritične aktivnosti: aktivnost 1 (−1 dan), aktivnost 2 (−2 dni), aktivnost 3 (−2 dni), aktivnost 8 (−2 dni), aktivnost 9 (−1 dan), aktivnost 14 (−1 dan), aktivnost 22 (−5 dni), aktivnost 23 (−3 dni), aktivnost 26 (−1 dan), aktiv- nost 27 (−2 dni) in aktivnost 28 (−2 dni), glej sivo obarvane aktivnosti v gantogramu na sliki 4. Za ostale aktivnosti pro- jekta je bila planirana optimalna izvedba pri normalnem trajanju. V nadaljevanju je obravnavana optimizacija planskih po- datkov z omejitvami na posamičnih in kumulativnih vrednostih skupnih stroškov projekta. Namen prime- ra je vzeti v obzir razmere, ko pogodbeno dogovorje- na dinamika plačil narekuje omejitve stroškov med izvedbo projekta tako s stališča prirastkov kakor tudi z vidika skup- nega obsega. Za potrebe primera so postavljene nasled- nje omejitve, ki morajo biti izpolnjene: (i) posamične vred- nosti skupnih stroškov projekta ne smejo preseči 1100 de- narnih enot; (ii) kumulativna vrednost skupnih stroškov projekta na 31 delovni dan ne sme preseči 20.100 denarnih enot in (iii) kumulativna vrednost skupnih stroškov projekta na 61 delovni dan ne sme preseči 41.400 denarnih enot. Iz histograma na sliki 4 je razvidno, da so posamične vrednos- ti skupnih stroškov projekta trenutno presežene na 40. in 41. delovni dan ter znašajo 1.166,43 in 1.218,65 denarne eno- te. S-krivulja na sliki 4 ravno tako kaže, da sta kumulativni vrednosti skupnih stroškov projekta na 31. in 61. delovni dan trenutno preseženi ter znašata 20.168,31 in 42.121,17 denarne enote. Po aktivaciji omejitev na posamičnih in kumulativnih vred- nostih skupnih stroškov projekta ter ponovni izvedbi optimi- zacije je bila pridobljena optimalna rešitev, ki je prikazana na sliki 5. Slika 5 kaže, da je optimalna rešitev zopet bila najdena pri minimalni vrednosti skupnih stroškov v višini 45.970 denar- nih enot ob izvedbi projekta, ki traja 71 dni. Vendar omenjena slika ravno tako kaže, da je optimalna rešitev bila pridobljena ob izpolnitvi postavljenih omejitev na posamičnih in kumula- tivnih vrednostih skupnih stroškov projekta. Iz histograma je namreč razvidno, da najvišji posamični skupni stroški projekta dosežejo 1.089,76 denarne enote in nastopijo 40. ter 41. delovni dan. Pri tem S-krivulja kaže, da kumulativna vrednost skupnih stroškov projekta na 31. delovni dan znaša 20.080,53 denarne enote, medtem ko le-ta na 61. delovni dan obsega 41.254,51 de- narne enote. Slika 4. Gantogram optimalnega terminskega plana in pri- padajoči histogram ter S-krivulja minimalnih skupnih stro- škov projekta brez omejitev. red. prof. dr. Uroš Klanšek DISKRETNA OPTIMIZACIJA PLANOV GRADBENIH PROJEKTOV POD OMEJENIMI STROŠKI Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM PROGRAMIRANJEM Gradbeni vestnik letnik 71 december 2022 309 Iz optimalnega terminskega plana je možno razbrati, da so postavljene omejitve bile izpolnjene z zamikom nekritičnih aktivnosti, glej potek belo obarvanih aktivnosti v gantogra- mu na sliki 5. Pričetek nekritične aktivnosti 16 je tako sedaj namesto na 31. delovni dan planiran na 62. delovni dan. Pri nekritični aktivnosti 18 njen pričetek ni več določen na 41. delovni dan, ampak na 42. delovni dan. Izvedba nekritične aktivnosti 19 je prav tako predvidena v poznejšem terminu, tj., njen začetek se je zamaknil s 37. na 57. delovni dan pro- jekta. Nespremenjena vrednost minimalnih skupnih stroškov in enako trajanje projekta kažeta, da je optimalna rešitev bila določena le s premikom nekritičnih aktivnosti na poznejše termine v okviru razpoložljivih časovnih rezerv. Premik začet- kov nekritičnih aktivnosti na desno nakazuje na dejstvo, da je potrebno v območje možnih rešitev vključiti pozne lege aktiv- nosti sicer se ob aktiviranju omejitev na posamičnih in ku- mulativnih vrednostih skupnih stroškov projekta lahko opti- malna rešitev znajde izven dopustnega območja. Zato je pri- poročljivo tudi optimizacijo pričeti z izhodiščnim planom, kjer so aktivnosti pri normalnem trajanju postavljene v po- znih legah. 5 SKLEP Članek je predstavil diskretno optimizacijo planov gradbe- nih projektov pod omejenimi stroški z MINLP. Model MINLP je obsegal stroškovno namensko funkcijo, ki jo je bilo treba minimizirati, in pogojne (ne)enačbe posplošenih časovnih povezav, trajanje projekta, logične odnose ter omejene stro- ške. Metodološki del članka je bil osredotočen na modelno formulacijo MINLP z vidika optimalnega sočasnega planiranja aktivnosti in skupnih stroškov projekta na nivoju diskretno do- ločenih enot delovnega časa. Za optimalno diskretno plani- ranje aktivnosti projekta so bila predstavljena razmerja med razpoložljivimi enotami delovnega časa, dodeljenimi enotami delovnega časa, časi pričetkov in trajanji aktivnosti ter binarni- mi odločitvenimi spremenljivkami. Pri obravnavi optimalnega diskretnega planiranja skupnih stroškov projekta je bil fokus postavljen na njihovo razporeditev in dodelitev vsaki enoti de- lovnega časa ter formulacijo omejitev. V članku je bil podan primer uporabe z namenom prikaza prednosti predlaganega modela. MINLP omogoča obravnavanje nelinearnosti v optimizacij- skem modelu kakor tudi zveznih in celoštevilskih spremen- ljivk, kar predstavlja splošno prednost tega pristopa. Predlaga- ni model MINLP tako dovoljuje vnos raznovrstnih nelinearnih izrazov, kakor tudi zagotavlja eksaktne optimalne planske po- datke za vodenje gradbenega projekta v obliki gantograma, histograma in S-krivulje skupnih stroškov. Uporabnik lahko s podanim modelom izvede optimalno planiranje aktivnosti sočasno z (ne)linearno omejenimi skupnimi stroški projekta za vsako diskretno enoto delovnega časa. Hkrati se je možno spoprijeti s časovno odvisnimi omejitvami na posamičnih in kumulativnih vrednostih skupnih stroškov projekta. Na koncu je pomembno poudariti, da eksaktnost predlaganega modela kakor tudi njegovih vhodnih in izhodnih podatkov omogoča nadaljnjo obravnavo rezultatov optimizacije s konvencionalno programsko opremo za operativno planiranje. Slika 5. Gantogram optimalnega terminskega plana in pri- padajoči histogram ter S-krivulja minimalnih skupnih stro- škov projekta z omejitvami. red. prof. dr. Uroš Klanšek DISKRETNA OPTIMIZACIJA PLANOV GRADBENIH PROJEKTOV POD OMEJENIMI STROŠKI Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM PROGRAMIRANJEM Gradbeni vestnik letnik 71 december 2022 310 6 ZAHVALA Raziskovalni program št. P2-0129 je sofinancirala Javna agenci- ja za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz državnega proračuna. 7 LITERATURA Al Haj, R. and El-Sayegh, S., Time-cost optimization model considering float-consumption impact, Journal of Constructi- on Engineering and Management, 141(5), 2015. Cajzek, R., Klanšek, U. Stroškovno optimalno terminsko pla- niranje gradbenih projektov z mešanim celoštevilskim neli- nearnim programiranjem, Gradbeni Vestnik, 67(9), 185–193, 2018. Cheng, Y. M., Yu, C. H., Wang, H. T., Short-interval dynamic fo- recasting for actual S-curve in the construction phase, Journal of Construction Engineering and Management, 137(11), 933–941, 2011. Dasović, B., Klanšek, U., Integration of mixed-integer nonlinear program and project management tool to support sustaina- ble cost-optimal construction scheduling, Sustainability, 13(21), 1–20, 2021. De, P., Dunne, E. J., Ghosh, J. B., Wells, C. E., The discrete time- -cost tradeoff problem revisited, European Journal of Operati- onal Research, 81(2), 225–238,1995. Demeulemeester, E., De Reyck, B., Foubert, B., Herroelen, W., Vanhoucke, M., New computational results on the discrete time/cost trade-off problem in project networks, Journal of the Operational Research Society, 49(11), 1153–1163, 1998. Fulkerson, D., A network flow computation for project cost curves, Management Science, 7(2), 167–178, 1961. GAMS, General Algebraic Modelling System, GAMS Develo- pment Corporation, dostopno na spletu: https://www.gams. com, 2022. Hazir, Ö., Haouari, M., Erel, E.,Robust scheduling and robu- stness measures for the discrete time/cost trade-off problem, European Journal of Operational Research, 207(2), 633–643, 2010. Khajavirad, A., Sahinidis, N. V., A hybrid LP/NLP paradigm for global optimization relaxations, Mathematical Programming Computation, 10(3), 383-421, 2018. Klanšek, U., Pšunder, M., Cost optimization of time schedules for project management, Ekonomska Istraživanja, 23(4), 22–36, 2010. Klanšek, U., Pšunder, M., MINLP optimization model for the nonlinear discrete time-cost trade-off problem, Advances in Engineering Software, 48, 6–16, 2012. Klanšek, U., Mixed-integer nonlinear programming model for nonlinear discrete optimization of project schedules under re- stricted costs, Journal of Construction Engineering and Mana- gement, 142(3), 2016. Manesi, W., Golzarpoor, B., Hegazy, T., Fast and near-optimum schedule optimization for large-scale projects, Journal of Con- struction Engineering and Management, 139(9), 1117–1124, 2013. Moussourakis, J., Haksever, C., Flexible model for time/cost tra- deoff problem, Journal of Construction Engineering and Ma- nagement, 130(3), 307–314, 2004. Ryoo, H. S., Sahinidis, N. V., Branch-and-reduce approach to global optimization, Journal of Global Optimization, 8(2), 107– 138, 1996. Sakellaropoulos, S., Chassiakos, A. P., Project time-cost analysis under generalised precedence relations, Advances in Engine- ering Software, 35(10–11), 715–724, 2004. Vanhoucke, M., New computational results for the discrete time/cost trade-off problem with time-switch constraints, European Journal of Operational Research, 165(2), 359–374, 2005. red. prof. dr. Uroš Klanšek DISKRETNA OPTIMIZACIJA PLANOV GRADBENIH PROJEKTOV POD OMEJENIMI STROŠKI Z MEŠANIM CELOŠTEVILSKIM NELINEARNIM PROGRAMIRANJEM