PLEMLJEV TRIKOTNIK IN NEGIBNE TO ˇ
CKE TRANSFORMACIJ 
IVAN PUCELJ 
Pedagoˇska fakulteta 
Univerza v Ljubljani 

Math. Subj. Class. (2010): 51M04, 51M15 
»Konstruiraj trikotnik z dano dolˇzino osnovnice in viˇsine nanjo ter znano razliko notranjih kotov ob tej osnovnici« – to je vaja iz uˇcbenika, po katerem je uˇcil geometrijo v srednji ˇsoli Plemljev profesor Borˇstner. K tej vaji se je profesor Plemelj zelo rad vraˇcal, posebno na boˇziˇcnih poˇcitnicah, in je sestavil kar zajetno zbirko razliˇcnih reˇsitev [1]. 
PLEMELJ’S TRIANGLE AND FIXED POINTS OF 
TRANSFORMATIONS 

»Construct a triangle if one side, its altitude and a di.erence of two angles along it are given« – this is an exercise in the geometry textbook that was used by professor Borˇstner who taught Josip Plemelj in the high school. This problem attracted professor Plemelj later in his life (especially during Christmas holidays), and so he found several di.erent solutions [1]. 
V tem zapisu predstavimo naˇcin, kako reˇsiti nalogo, ki ga je nam, ˇstuden-tom matematike, v letih 1952/53 (v svojem predavanju »Osnove geometrije, projektivna geometrija«)omenil profesor Ivan Vidav. 
Oznaˇcimo osnovnico trikotnika AB C in viˇsino nanjo (toˇcneje njuni dol­ˇzini) c = AB in v ter razliko kotov ob osnovnici . -ß = .. 
Nariˇsimo vzporednici v medsebojni razdalji v in daljico AB na spodnji vzporednici. Iz ogliˇsˇca A potegnimo pod poljubnim kotom .= 0 poltrak in iz ogliˇsˇca B poltrak pod kotom . - .. Oznaˇcimo preseˇciˇsˇci poltrakov (ali njunih nosilk) z drugo vzporednico: T in T ' .

T ' 
T 
A B 
Kakˇsna je zveza med T in T ' ? Koti v tej »igri« so usmerjeni. Postavimo izhodiˇsˇce koordinatnega sistema xy v toˇcko A, abscisno polos x > 0 skozi toˇcko B in vzemimo, da je c = v = 1! Potem je enaˇcba druge 
Plemljev trikotnik in negibne to ˇ
cke transformacij 
'
vzporednice kar y = 1, medtem ko sta (enaˇcbi premic) AT in B T dani z enaˇcbama: 
y = (tan .)x in y = -tan(. -.)· (x -1). ' ' ˇ
Naj bosta x in x zaporedoma abscisi toˇck T in T . Ce na kratko oznaˇcimo a = tan . in d = tan . ter uporabimo adicijski izrek za tangens (ki velja za poljubna kota!), izpeljemo zvezi: 
1 1 + ad 
' 
x = in x = 1- , (1) 
a a -d ˇce je le a = 0 in a = d. Torej imamo zvezo: 
(d + 1)x + (d -1) 
' 
x = , (2) 
dx -1 
1
ˇce je x = .
d 
'
Konstruirati ˇzeleni trikotnik pomeni reˇsiti enaˇcbo x = x, torej kvadra­tno enaˇcbo: 
dx2 -(d + 2)x -(d -1) = 0. Diskriminanta (d + 2)2 + 4d(d -1) = 5d2 + 4 je vedno pozitivna in korena enaˇcbe sta: 
1 
x1,2 = ((d + 2) ± 5d2 + 4), ˇce je d = 0. (3) 
2d 
' '
Ce pa je ˇd = 0, torej . = 0, dobimo iz (1) x = 1-x in enaˇcba x = x 
1
ima reˇsitev x = . Trikotnik AB C je enakokrak. 
2 
Konstrukcijo negibnih toˇck transformacije (2), torej konstrukcijo »Ple­mljevega trikotnika«, opremo na tale znani izrek elementarne geometrije (ki je sicer zelo uporaben): 
Mnoˇzica vseh takih toˇck v ravnini, iz katerih se »vidi« dana daljica pod predpisanim kotom . (0 < . < +.), sestoji iz dveh kroˇznih lokov brez krajiˇsˇc (dane daljice). 
Iz zveze (3) v prvem delu sklepamo, da je mogoˇca za konstrukcijo negibne toˇcke klasiˇcna konstrukcija s ˇsestilom (in ravnilom). Oglejmo si jo (eno izmed ˇstevilnih): 
Podatki: osnovnica AB z dolˇzino c, viˇsina v in kot z velikostjo . . (0, .), ki je razlika kotov ob osnovnici, recimo ß -. = .. 
.
Potek konstrukcije: omejimo se na primer 0 < . < ; dani premici p0,
2 
nosilki osnovnice AB , postavimo v razdalji v vzporednico p; bodi s simetrala daljice AB ; oznaˇcimo polravnini .- in .+ premice p, tako da sta A in B na .+; simetrala s seˇce premico p v toˇcki S; na premici p izberimo poljubni razliˇcni toˇcki D in D1 simetriˇcno glede na S; toˇcki D1 in A naj bosta na skupni polravnini premice s; dani kot . prenesemo na polravnino .- tako, da je D1 vrh kota in je poltrak D1S en krak, drugi krak pa zaznamujmo s h; v D1 postavimo pravokotnico na h; pravokotnica seka simetralo s v toˇcki S1; oznaˇcimo s k kroˇznico s srediˇsˇcem S1 in s polmerom S1D1; naj bo toˇcka 

h 
.- 
D1 .C1  S  DC  p  
.+  
.  
A  v S1  B  p0  
.  

 k  
s  
B1  

B1 presek premice S B s kroˇznico k na polravnini .+; skozi B postavimo vzporednici premicama B1D in B1D1; ti dve vzporednici seˇceta premico p npr. v toˇckah C in C1. DB1D1 je enak ..
Obodni kot -Trdimo: trikotnik AB C ustreza podatkom, ima osnovnico c, viˇsino v in razliko kotov ob osnovnici enako .. 
Dokaz. Zaradi podobnosti trikotnikov D1B1D in C1B C je kot ­
C1B C enak .. Ker sta trikotnika AB C in B AC1 simetriˇcna glede na premico s, je kot 
-
AB C1 enak kotu ., torej imamo ß = . + .. 
Dodatek: Na podlagi podobnosti pokaˇzemo, da je konsturirani (Ple­mljev) trikotnik neodvisen od izbire temeljnih toˇck D in D1 (eliptiˇcnega kroˇznega ˇsopa). Bralcu predlagamo pregled ˇclanka [3]. 
LITERATURA 
[1] J. Plemelj, Iz mojega ˇzivljenja in dela, Obzornik mat. .z. 39 (1992), 188–192. 
[2] D. Modic, Plemljev trikotnik in njegovi bratje, [predavanje], Strokovno sreˇcanje in 65. obˇcni zbor DMFA Slovenije, Bled, 15. in 16. november 2013, str. 52–53, 2013. 
[3] O. Sajovic, Kroˇzni ˇsopi in enakoosna hiperbola, Obzornik mat. .z. 1 (1951), 2–8.