04
Σ Povzetek
V okviru običajnega pouka si učitelj težko privošči, da bi 
učencem nudil dovolj priložnosti celovite obravnave proble-
mov oziroma obravnave, pri kateri bi bil poudarek predvsem 
na povezovanju obravnavane snovi z ostalimi znanji oziroma 
izkušnjami. Prav zaradi tega so za delo z nadarjenimi učenci 
pomembne tudi drugačne oblike dela. V prispevku predstav-
ljam nekatere naloge, ki jih nadarjeni učenci rešujejo na mate-
matičnem taboru.   
Ključne besede: nadarjeni, matematika, matematični tabor, 
naloge za nadarjene. 
Matemati čni tabor za 
nadarjene 
Vesna Harej
           Osnovna šola 
Dravlje
Math camp for the gifted
Σ Abstract
During the course of normal instructions, the teacher can hard-
ly afford to provide pupils with enough opportunities for a ho-
listic discussion of problems or discussion in which the emphasis 
would lay primarily on the integration of the treated material 
with other knowledge or experiences. That is why diverse types 
of work are so important for work with gifted students. The pa-
per presents some of the exercises which gifted pupils solved in 
math camp.   
Keywords: gifted, mathematics, math camp, exercises for the 
gifted
α
Matematika v šoli ∞ XIX. [2013] ∞ 04-18

α  Delo z nadarjenimi u čenci pri
    matematiki
O tem, kako delati z nadarjenimi učenci, 
katera temeljna načela upoštevati, je veliko 
zapisanega v konceptu »Odkrivanje in delo 
z nadarjenimi učenci v devetletni šoli«, ki 
ga je izdal Nacionalni kurikularni svet leta 
1999. Tudi Strmčnik (1998) navaja določena 
izhodišča in načela, ki jih je treba upošteva-
ti pri delu z nadarjenimi učenci. Predlagane 
oblike dela in aktivnosti za nadarjene učen-
ce se lahko izvajajo pri rednem pouku ali 
pa izven njega. Verjetno se prav vsi učitelji, 
ki smo že imeli priliko delati z nadarjenimi 
učenci, zavedamo, da ni ene same metode, s 
katero bi poskrbeli zanje. Učinkovite so vse 
tiste oblike in metode, ki poudarjajo razvi-
janje zahtevnejših miselnih sposobnosti. Na-
darjenosti ne smemo enačiti s popolnost jo, 
saj popolnosti ne moremo zahtevati od ni-
kogar. Učence lahko samo spodbujamo in 
jim pomagamo, ne smemo pa jim česarkoli 
vsiljevati.
β Matemati čni tabor za   
    nadarjene
Na naši šoli že dvanajsto leto organizira-
mo matematični tabor za nadarjene učence. 
Njegov glavni namen je ustvariti primerne 
razmere in omogočiti vsem udeležencem 
razvijanje njihovih ustvarjalnih sposobnos-
tih. Učenci s svojim znanjem samostojno in 
celovito obravnavajo problemsko situacijo, 
ki jo najprej definirajo, postavijo raziskoval-
na vprašanja, oblikujejo hipoteze, načrtu-
jejo poti reševanja in na koncu ovrednotijo 
rešitve. Tako jih vodimo k samostojnemu 
odkrivanju. Naloge, s katerimi se srečujejo 
učenci na taboru, so kompleksnejše, čeprav 
običajno niso prezahtevne, njihova glavna 
značilnost pa je odprtost. Za take naloge je 
značilno, da je podano le izhodišče razmiš-
ljanja, cilj naloge je okvirno določen, prav 
tako nista določena postopek reševanja na-
loge oziroma pot do cilja.
Matematični tabor organiziramo za učen-
ce od 7. do 9. razreda, izjemoma pa na tabor 
povabimo tudi učence 6. razreda. Učenci 9. 
razreda, ki so se že v preteklih letih udeleže-
vali matematičnega tabora, so pri nekaterih 
nalogah že v vlogi mentorja mlajšim udele-
žencem. Tak način dela je pokazal pozitivne 
odzive prav pri vseh učencih in seveda tudi 
pri učiteljih, ki sodelujejo na taboru. Običaj-
no organiziramo petdnevni tabor v domovih 
ZPM ali v CŠOD v mesecu aprilu. 
Pri načrtovanju vsebine tabora za nadar-
jene sem seveda izhajala iz koncepta
»Odkrivanje in delo z nadarjenimi učen-
ci« in želje, da udeleženci tabora poglobijo 
svoje znanje z odkrivanjem in raziskovan-
jem. Razpravljati o matematičnih idejah, ne 
da bi ob tem predstavili najrazličnejše mate-
matične probleme, se mi je zdelo nesmisel-
no. Tako sem vsebino in delo tabora razdelila 
na štiri stopnje (Cofman, 2001):
1. stopnja: Spodbujanje k samostojnemu 
raziskovanju
Samostojna pot do odgovora na zastav-
ljeno vprašanje ponuja užitek prav vsem 
reševalcem, zato se na začetku lotimo lažjih 
nalog, ki jih učenci lahko rešujejo sami brez 
dodatnih nasvetov.
2. stopnja: Razne poti reševanja nalog
Po samostojnem reševanju učenci posta-
nejo kritični do svojih rešitev in se sprašu-
jejo, ali morda obstaja boljša, hitrejša, eno-
stavnejša ali lepša rešitev zastavljene naloge. 
05

Matemati čni tabor za nadarjene 
06
V tem delu sem učence naučila kar nekaj 
tehnik reševanja matematičnih problemov.
3. stopnja: Znani matemati čni problemi iz 
preteklosti
Učence sem seznanila z nekaterimi prob-
lemi, s katerimi so se srečali matematiki v 
prejšnjih stoletjih. Ob tem se ne le ostri ve-
ščina reševanja, temveč učenci začnejo ceniti 
matematiko tudi kot pomemben del kulture 
človeštva.
4. stopnja: Sodobni problemi matematike
Kljub današnji zahtevnosti matematike 
obstajajo problemi v teoriji števil ali kombi-
natoriki, ki jih lahko razumemo brez obsež-
nega znanja matematike.
δ Vsebina raziskovalnega tabora
Že zelo zgodaj lahko opazovanje številskih 
vzorcev in oblik človeka vodi k presenetljivim 
odkritjem, ki so osnova mnogih zanimivih 
problemov. Tako raziskovanje nam utira pot 
k umetnosti reševanja problemov.
Kaj naj raziskujemo in kako naj to počne-
mo?
Znani načini raziskovanja:
• Ponavljanje nekega postopka in analiza 
dobljenih rezultatov.
• Iskanje vzorcev. Iskanje izjem in po-
sebnih primerov znotraj ugotovljenih 
vzorcev.
• Posploševanje danih problemov.
• Preučevanje obratnih problemov.
Različni načini reševanja nalog:
• Formulacija naloge na drugačen način.
• Dokazovanje s protislovjem.
• Uporaba analogij iz fizike.
ε Cilji, ki sem jih zasledovala pri 
   izvajanju raziskovalnega tabora
• Razvijati sposobnosti, motivacijo in 
ustvarjalnost učencev.
• Krepiti zaupanje učencev v lastne spo-
sobnosti.
• Razvijati pozitivni odnos učencev do 
pridobljenega znanja.
• Družiti nadarjene učence med seboj.
• Spodbujati in razvijati samostojno učenje.
• Seznanjanje učencev z oblikami in me-
todami dela pri raziskovanju.
• Pri učencih uveljavljati sodelovalno 
učenje.
• Razširiti interes učencev in spodbuditi 
njihovo sodelovanje pri izbiri programa.
• Skrbeti za celostni osebnostni razvoj 
nadarjenih učencev.
γ Metode in oblike dela
Delo je potekalo v majhnih skupinah z 
začetnim uvodnim frontalnim delom. Ude-
ležence sem seznanila z načini raziskovanja 
pri matematiki, jim nakazala problem in 
sodelovala pri njihovem delu. Ves čas sem 
spodbujala njihovo ustvarjalnost, izvirnost 
in kreativnost.
Skozi različne aktivnosti sem pripravlja-
la učence na samostojno razmišljanje ter jih 
seznanjala s terminologijo in abstraktnimi 
strukturami. 
η Primeri vsebin z nalogami
V nadaljevanju je predstavljenih nekaj 
vsebin, ki jih na taboru obravnavamo, in na-
loge
1
, ki jih učenci rešujejo. 
1 Nekatere naloge navajamo vključno z rešitvami. 

07
1. Ponavljanje nekega postopka in 
analiza dobljenih rezultatov
Naj bo dan enakostranični trikotnik, ka-
terega ploščina znaša eno ploščinsko enoto. 
Trikotnik razdelimo na štiri skladne triko-
tnike tako, da povežemo razpolovišča stra-
nic prvotnega trikotnika. Zatem odstranimo 
osrednjega od dobljenih štirih trikotnikov, 
nato odstranimo »sredine« preostalim trem 
trikotnikom in ponovimo opisani postopek 
n-krat (slika 1).
Ugotovi:
a) Skupno ploščino trikotnikov, ki jih od-
stranimo, ko postopek 2-krat, 3-krat, 
…, n-krat ponovimo.
b) Kaj se dogaja s ploščino, ko se n veča čez 
vse meje?
Ponavljanje postopka pripelje učence do 
pojma fraktal in pri tem tudi spoznajo, kako 
rastejo fraktali.
Izberemo začetni geometrijski objekt, 
na primer daljico, geometrijski lik ali geo-
metrijsko telo. Na njem izvajamo določen 
postopek – algoritem. Izhodni podatki po 
prvem koraku predstavljajo vhodne podatke 
za drugi korak, izhodni podatki po drugem 
koraku so vhodni podatki za tretji korak in 
tako naprej. Nešteto ponovitev algoritma nas 
pripelje do fraktala. 
Omenjene lastnosti si ogledamo na Ko-
chovi krivulji in trikotniku Sierpinskega.
2. Iskanje vzorcev 
Poligonska števila
Izraz mnogokotniška − poligonska števila 
so vpeljali že stari Grki, ko so določena na-
ravna števila predstavili kot obliko mnogo-
kotnika iz točk oziroma kamenčkov.
Gre za naravna števila, ki so enolično do-
ločena z mrežo pravilnega mnogokotnika 
različnih dimenzij. 
Razišči trikotniška, kvadratna, petkotni-
ška, šestkotniška in poljubna mnogokotniška 
števila.
Trikotniška števila
Trikotniško število je število, ki je predstav-
ljeno v obliki točk mreže trikotnika, kjer na 
posamezni stranici leži ena točka več kot na 
stranici manjšega trikotnika, kar je ponazor-
jeno spodaj (slika 2). Trikotniška števila ob 
višanju dimenzije lahko strnemo v zaporedje 
naravnih števil.
Vsota zaporednih naravnih števil so tri-
kotniška števila.
Primer :
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
 Koliko pik sestavlja 5. člen vzorca?
Koliko pik sestavlja 7. člen vzorca?
Ali opaziš preprosto pravilo, ki povezuje 
število pik z zaporednim številom člena?
Koliko pik sestavlja n-ti člen vzorca?
Ugotovitve sproti vnašaj v preglednico 1. 
[Slika 1] Trikotnik Sierpinskega
[Slika 2] Trikotniška števila

08
Če seštejemo kakšno trikotno in nadaljnje 
večje trikotno število, vedno dobimo kvadrat-
no število.
Primer:
1 + 3 = 4 = 2
2
3 + 6 = 9 = 3
2
6 + 10 = 16 = 4
2
Vsa trikotniška števila nastopajo v Pasca-
lovem trikotniku.
Kvadratna števila
Kvadratna števila (slika 3) prikažemo kot 
točke v kvadratni mreži, potrebne za kvad rat 
ustrezne dimenzije. Že iz opazovanja spre-
minjanja števila točk v mreži z višanjem di-
menzije uganemo splošno formulo za kvad-
ratna števila.
Vsota prvih zaporednih lihih števil je 
zmeraj kvadrat naravnega števila – kvadra-
tna števila.
Primer :
1 + 3 = 4 = 2
2
1 + 3 + 5 = 9 = 3
2
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4
2
Koliko pik sestavlja 5. člen vzorca?
Koliko pik sestavlja 7. člen vzorca?
Ali opaziš preprosto pravilo, ki povezuje 
število pik z zaporednim številom člena?
Koliko pik sestavlja n-ti člen vzorca?
Petkotniška števila
Petkotniška (pentagonalna) števila (slika 
4) prikažemo kot točke v mreži, potrebni za 
oglišča pravilnega petkotnika ustrezne di-
menzije.
Petkotniška števila pa lahko dobimo tudi 
kot vsoto trikotniških in kvadratnih pri n ≥ 2.
P
n
 = K
n
 + T
n-1
; n ≥ 2
5 = 4 + 1
12 = 9 + 3
Koliko pik sestavlja 5. člen vzorca?
Koliko pik sestavlja 7. člen vzorca?
Ali opaziš preprosto pravilo, ki povezuje 
število pik z zaporednim številom člena?
Koliko pik sestavlja n-ti člen vzorca?
ime n= 12345678… n
Trikotniško T
n
13
[Preglednica 1] Trikotniška števila
ime n= 12345678… n
Kvadratno K
n
14
[Preglednica 2] Kvadratna števila
[Slika 4] Petkotna števila
[Slika 3] Kvadratna števila
Matemati čni tabor za nadarjene 

09
Šestkotniška števila
Šestkotniška (heksagonalna) števila (Slika 
5) so naravna števila, določena s številom 
točk mreže v obliki pravilnega 6-kotnika raz-
ličnih dimenzij. 
Koliko pik sestavlja 5. člen vzorca?
Koliko pik sestavlja 7. člen vzorca?
Ali opaziš preprosto pravilo, ki povezuje 
število pik z zaporednim številom člena?
Koliko pik sestavlja n-ti člen vzorca?
Šestkotniška števila pa lahko dobimo tudi 
kot vsoto trikotniških in petkotniških. Velja 
namreč:
H
n
 = P
n
 + T
n-1 
; n ≥ 2
6 = 5 + 1
15 = 12 + 3
28 = 22 + 6 
Spoznali smo trikotniška, kvadratna, pet-
kotniška in šestkotniška števila. Seveda se 
red mnogokotnika lahko tudi poljubno viša. 
Tako poznamo tudi heptagonalna, oktago-
nalna, nonagonalna, dekagonalna . . . števila. 
Če je s število stranic mnogokotnika, je 
enačba za n-to s-mnogokotniško število:
 
Če okoli dveh kvadratnih števil, ki na 
diagonali sledita druga za drugim, narišemo 
kvadrat, ki zajema štiri števila, in seštejemo 
števila v njem, dobimo kvadratno število.
1 23456
2 4 6 8 10 12
369 12 15 18
481 2 16 20 24 
[Preglednica 5] Kvadratna števila 
Primer: glej preglednico 5
1 + 2 + 2 + 4 = 9 = 3
2
4 + 6 + 6 + 9 = 25 = 5
2
Še nekaj dodatnih zanimivih 
nalog o številih
Pravokotna števila
Vsota zaporednih prvih sodih števil je 
zmnožek dveh zaporednih naravnih števil, 
lahko pa ga ponazorimo s točkami, ki dolo-
ime n= 12345678… n
Petkotniško P
n
15
[Preglednica 3] Petkotna števila
ime n= 12345678… n
Šestkotniško H
n
16
[Preglednica 4] Šestkotniška števila
[Slika 5] Šestkotniška števila
n((s–2)n+4–s)
2

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 
254 +508 + 1016 + 2032 + 4064
Prijateljski števili
Prijateljski števili sta števili, katerih vsota 
njunih pravih deliteljev je križno enaka dru-
gemu številu. 
Prvi tak par je 220 in 284. 
Pravi delitelji števila 220 so 1, 2, 4, 5, 10, 
11, 20, 22, 44, 55, 110, njihova vsota pa je 
284. 
Pravi delitelji števila 284 so 1, 2, 4, 71, 142, 
njihova vsota pa je 220. 
Dokaži, da so naslednji trije pari: 1184 in 
1210, 2620 in 2924 in pa 5020 in 5564 prija-
teljska števila.
Vzvišeno število
Vzvišeno število je število, katerega števi-
lo pozitivnih deliteljev je popolno število in 
katerih vsota je spet popolno število. 
Primer: Število 12 je vzvišeno. Število nje-
govih pozitivnih deliteljev (6) je popolno šte-
vilo: 1, 2, 3, 4, 6 in 12; njihova vsota pa je spet 
popolno število: 1+ 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. 
Kot zanimivost: Znani sta le dve taki šte-
vili: 12 in 6 086 555 670 238 378 989 670 371 
734 243 169 622 657 830 773 351 885 970 528 
324 860 512 791 691 264. 
Srečno število
Srečna števila tvorimo s podobnim po-
stopkom kot praštevila z Eratostenovim si-
tom. 
Postopek, po katerem je Poljski matema-
tik Ulam opredelil srečna števila, je naslednji:
Najprej prečrtamo vsa soda števila. 
10
čajo pravokotnik. Temu zmnožku pravimo 
pravokotno število.
Primer: 
2 + 4 = 6 = 2 ∙ 3
2 + 4 + 6 = 12 = 3 ∙ 4
Pomembna je tudi razdelitev naravnih 
števil na praštevila ali primitivna števila in 
na sestavljena števila.
Obstojna praštevila
Če v praštevilu zamenjamo vrstni red 
števk in spet dobimo praštevilo, so to obstoj-
na praštevila. Ko v številu 13 zamenjamo vr-
stni red števk, dobimo praštevilo 31.
Med praštevili do 100 poišči vsa obstojna 
praštevila. Kaj ugotoviš?
V desetiškem zapisu obstojnega števila 
nastopajo le števke 1, 3, 7 in 9. 
Med praštevili do 100 so taka praštevila 
11, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97, ki so vsa 
razen 19 obstojna. Vseh dvomestnih prašte-
vil je 21, 9 pa je obstojnih. 
Popolna števila
Odkritje popolnih števil po navadi pove-
zujejo s šolo Pitagorejcev. Pitagorejci (učenci 
matematika Pitagore iz 6. stoletja pr. Kr.) so 
opazili, da imajo nekatera števila posebno 
lastnost, in sicer da je vsota deliteljev števi-
la enaka številu samemu (pri tem gledamo 
samo delitelje manjše od števila samega). 
Popolno ali perfektno število je število, ki je 
enako vsoti vseh svojih pravih deliteljev. Je 
tudi samo sebi prijateljsko število. Najmanjše 
tako število je 6.
Prva štiri popolna števila so:
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
Matemati čni tabor za nadarjene 

[Slika 6] Ponazoritev vsote prvih n naravnih šte-
vil s pomočjo kvadrata s stranico dolžine n
11
Dobimo zaporedje lihih števil. Drugi člen je 
število 3. Sedaj prečrtamo vsako tretje število, 
ki je ostalo na seznamu. Tretje število je sedaj 7. 
Prečrtamo torej vsako sedmo število in posto-
pek ponavljamo po zgoraj opisanem načinu. 
Če ta postopek ponovimo velikokrat, 
ostanejo vsa srečna števila do 100: 
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 
51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99.
Med srečnimi števili do 100 so kar štirje 
kvadrati naravnih števil 1 = 1
2
, 9 = 3
2
, 25 = 
5
2
, 49 = 7
2
Praštevilo je srečno ali pa tudi ne. Do 100 
je 25 praštevil, med njimi so srečna 3, 7, 13, 
31, 37, 43, 67, 73 in 97.
Srečno število je zmeraj liho število. Vča-
sih sta zaporedni lihi števili obe srečni. Do 
100 imamo pare (1, 3), (7, 9), (13, 15), (31, 
33), (49, 51), (67, 69), (73, 75). Takšnim pa-
rom pravimo srečni dvojčki.
3 Vsote in vrste
Pri obravnavanju končnih in neskončnih 
vrst se naučimo dokazovanja formul, kot na 
primer:
s popolno matematično indukcijo. Izjava 
je pravilna za vsak k = n, če je pravilna za 
k = 1 in če iz pravilnosti za k = n sledi tudi 
pravilnost k = n + 1.
Vsota prvih n naravnih števil
Zapiši vsoto prvih n naravnih števil: 1 + 2 
+ 3 + … + n = ???
n vsota
11 
2 1 + 2 
3 1 + 2 + 3 
4 1 + 2 + 3 + 4 
5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 
…
n 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n 
[Preglednica 7] Vsota prvih n naravnih števil
1234567891 01 11 2 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
…
[Preglednica 6] Kako poiščemo srečna števila
n
k=1
k
2
n(n + 1)
=

12
Vsoto prvih n naravnih števil lahko pona-
zorimo s pomočjo kvadrata s stranico dolži-
ne n. Razišči geometrijski prikaz vsote prvih 
n naravnih števil.
Narišemo mrežo kvadratkov s ploščino 
1. S slike prepoznamo zaporedne člene 1, 2, 
3 … n, saj so to ravno ploščine posameznih 
stolpcev. Obarvane kvadratke na sliki lahko 
razdelimo na:
• rumeni del, katerega ploščina je enaka 
polovici ploščine kvadrata s stranico n,
• rdeči del, ki je sestavljen iz n enakih tri-
kotnikov s ploščino 1/2.
S pomočjo geometrijskega prikaza zapiši 
vsoto prvih n naravnih števil. 
1 + 2 + 3 + ... + n =
Vsota prvih n lihih števil
Zapiši vsoto prvih n lihih števil:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = ???
n vsota
11 
2 1 + 3 
3 1 + 3 + 5 
4 1 + 3 + 5 + 7 
5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 
…
n 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + n 
[Preglednica 8] Vsota prvih n lihih števil
Vsoto prvih n lihih števil lahko ponazori-
mo s pomočjo kvadrata s stranico dolžine n. 
Narišemo mrežo kvadratkov s ploščino 1. 
Kaj so zaporedni členi 1, 3, 5, 7, …, 2n-1 ?
Kaj pa njihove vsote?
Razišči geometrijski prikaz vsote prvih n 
lihih števil.
4 Uporaba geoploš če pri 
raziskovanju
Geopološče omogočajo izvajanje razno-
vrstnih aktivnosti s področja elementarne 
geometrije. Skozi različne aktivnosti omo-
gočajo pripravo učencev na samostojno raz-
mišljanje ter seznanjanje s terminologijo in 
abstraktnimi strukturami. 
Uporaba: raziskovanje različnih strategij 
iskanja ploščine lika, risanje različnih likov 
z istimi ploščinami, vrste trikotnikov, risanje 
štirikotnikov, večkotnikov, prikaz delov ce-
lote, preslikave, simetrije, podobnost, iskanje 
skladnosti likov, risanje mrež, primitivne pi-
tagorejske trojke ... itd.
Poišči vse možne, ploščinsko različne, 
kvadrate (pravokotnike, paralelograme, pra-
vokotne trikotnike … ), na geoplošči 5 X 5.
Matemati čni tabor za nadarjene 
[Slika 7] Ponazoritev vsote prvih n lihih števil s 
pomočjo kvadrata s stranico dolžine n

13
5 Posploševanje problemov
PICKOV IZREK na celoštevilski kvadrat-
ni mreži 
Leta 1899 je matematik George Pick do-
kazal trditev, ki opisuje zvezo med ploščino 
večkotnika na celoštevilski mreži in številom 
notranjih in robnih točk na mreži.
(Večkotnik na sliki ima 8 robnih točk, kar 
zapišemo B = 8. Prav tako ima 1 notranjo toč-
ko in zapišemo I = 1).
Razišči Pickov izrek na kvadratni mreži. 
Ali bi podobno veljalo tudi na trikotni mreži, 
šestkotni mreži?
Konstruiraj večkotnike brez notranjih 
točk (I = 0). Zapiši ploščino vsakega več-
kotnika v preglednico.
Število 
notranjih točk 
[ I ]
Število 
robnih točk 
[ B ]
Ploščina [ S ]
v enot. 
kvadratih
03
04
05
06
07
………
[Preglednica 9] Pickov izrek v večkotnikih brez not-
ranjih točk
Naslednji večkotniki naj vsebujejo po eno 
notranjo točko. Zapiši ploščino v preglednico.
Število 
notranjih točk 
[ I ]
Število 
robnih točk 
[ B ]
Ploščina [ S ] 
v enot. 
kvadratih
14
15
16
17
18
………
[Preglednica 10] Pickov izrek v večkotnikih z eno 
notranjo točko
[Slika 9] Primer Pickovega izreka
[Slika 8] Ploščinsko različni kvadrati na geoplošči 5 X 5

14
Naslednji večkotniki naj vsebujejo na-
tančno dve točki v notranjosti. Poišči plošči-
no in jo zapiši v tabelo.
Število 
notranjih točk 
[ I ]
Število 
robnih točk 
[ B ]
Ploščina [ S ]
v enot. 
kvadratih
26
27
2
8
2
9
2
10
…
……
[Preglednica 11] Pickov izrek v večkotnikih z dve-
ma notranjima točkama
Zapiši pravilo, ki si ga odkril. 
Pravilo povezuje:  
• ploščino večkotnika … S
• število notranjih točk … I
• število robnih točk … B
     
 
6 Znani matemati čni problemi 
   iz preteklosti
Grafi
Graf je diagram, ki ga sestavljajo točke, 
imenovane tudi vozlišča. Točke so povezane 
s črtami, ki jih poimenujemo povezave grafa.
Kot prvi primer vzamemo nalogo napeljav. 
Povezati želimo tri hiše s tremi napeljava-
mi: plinovodom, vodovodom in električno 
napeljavo. Zaradi varnosti zahtevamo, da se 
napeljave ne smejo križati. Ali lahko naredi-
mo vse povezave?
Kaj pa če bi nalogo predstavili z grafom? 
Poznamo točke grafa in vemo, kateri pari 
točk so povezani s povezavami. Narišimo 
povezave.
Raziskoval čev problem
Raziskovalec bi rad pregledal vse ceste 
med številnimi mesti. 
Ali lahko najde tak obhod, da bo vsako 
cesto prehodil natanko enkrat? (Eulerjev ob-
hod)
Popotnikov problem
Popotnik bi rad obiskal določena mesta. 
Ali lahko najde tak obhod, da bo obiskal vsa-
ko mesto natanko enkrat? (Hamiltonov cikel)
Zapiši oba obhoda.
Barvanje grafov
Točkam grafa dodelimo barve, tako da 
sosednje točke dobijo različne barve. Dolo-
[Slika 10] Tri hiše s tremi napeljavami
[Slika 11] Popotnikov problem
A
B C
D
F
O
E
Matemati čni tabor za nadarjene 

15
čimo lahko najmanjše število barv, s katerimi 
lahko to storimo (kromatično število).
Z najmanj koliko barvami lahko obarva-
mo grafe po točkah? 
          
a)
b)
c)
Problem štirih barv
Pred približno sto leti je neki ravnatelj dal 
svojim učencem naslednjo nalogo. 
Dokaži, da lahko vsak zemljevid pobar-
vamo s štirimi barvami tako, da so sosednje 
države pobarvane različno. 
Z najmanj koliko barvami lahko pobarva-
mo zemljevide?
 (a) (b) (c) (d) (e)
Nariši risbo, za barvanje katere potrebu-
jemo:
a) samo dve barvi,
b) vsaj tri barve,
c) vsaj štiri barve.
Problem osmih dam
To je problem šahovskega tipa.
Postavimo osem dam na šahovnici 8X8 
tako, da druga druge ne napadajo. Pri tem 
seveda veljajo običajna pravila gibanja dame. 
Barva je pri tej igri nepomembna. Problem 
osmih dam lahko torej posplošimo: dve 
dami ne moreta biti hkrati v isti vrstici, istem 
stolpcu ali diagonali.
Poišči čim več rešitev:
[Slika 13] Barvanje zemljevidov
[Slika 14] Šahovnica, problem osmih dam
[Slika 12] Barvanje grafov

16
S tem problemom so se ukvarjali številni 
matematiki, med drugimi tudi Gauss, Polya 
in Lucas. Problem je prvi predstavil nemški 
šahist Max Bezzel leta 1848 v časopisu Ber-
liner Schachzeitung. Vseh 92 rešitev je prvi 
našel Franz Nauck. 
7  Eulerjeva poliedrska formula
Povezava med številom oglišč, robov in 
ploskev poliedrov je zagotovo ena izmed 
pomembnejših lastnosti teles. Matematiki 
so jo odkrili šele v 17. oz. 18. stoletju. Pre-
senetljivo, če vemo, da je bila že v starogrški 
matematiki študiju poliedrov namenjena ena 
izmed osrednjih vlog in da je bilo že takrat s 
tega področja na voljo precej znanja. 
Za poljuben enostaven polieder razišči last-
nost, ki povezuje: 
p – število oglišč, 
r – število ploskev in 
q – število robov poliedra. 
ime in slika
mnogokotnik 
ploskve
število 
ploskev število robov število oglišč
št. ploskev 
v vsakem 
oglišču
tetraeder
trikotnik
kocka 
kvadrat
oktaeder
trikotnik
dodekaeder
petkotnik
ikozaeder
trikotnik
Enostaven polieder je vsak tisti, ki bi ga 
bilo mogoče, če bi bil primerno prožen, z 
raztegovanjem preoblikovati oz. napihniti v 
kroglo, ne da bi se pri tem na kateremkoli 
mestu pretrgal. Torej zagotovo niso enostav-
ni poliedri tisti, ki imajo, denimo kakšno 
»luknjo«, ali pa so sestavljeni iz dveh ali več 
manjših poliedrov, ki se stikajo zgolj vzdolž 
enega samega robu.
Preveri Eulerjevo formulo za dana telesa.
Matemati čni tabor za nadarjene 
[Preglednica 12] Raziščimo Eulerjevo poliedrsko formulo
[Slika 15] Različna geometrijska telesa

17
Število 
ploskev
r
Število 
robov
q
Število 
oglišč
p
 
[Preglednica 13] Preverimo Eulerjevo poliedrsko 
formulo za dana telesa 
γ Mnenja udeležencev
»Raziskovanje mi je bilo všeč, ker je pote-
kalo v sproščenem vzdušju. Zahtevnost na-
log je bila kar velika, veliko mi je pomenilo, 
da sem rešitev naloge lahko predstavil osta-
lim. Učiteljica nam je pri majhnih »hakeljč-
kih« namignila. Tak način dela bi bil dober 
tudi v šoli, saj smo se veliko več naučili kot 
bi se sicer. Zelo mi je bil všeč Pickov izrek 
in njegova uporabnost. Res sem se lepo po-
čutil.«
»Na taboru sem se prvič dobro počutil 
med vrstniki, čeprav nismo bili vsi enako 
stari. Bila je dobra kombinacija matematike 
in športa. Prav škoda, da je tabor potekal 
samo en teden. Naj novi minister v naše šole 
uvede tak način dela. En mesec matematike, 
en mesec slovenščine, en mesec zgodovine in 
zemljepisa ... en mesec izbirnih vsebin in še 
kak mesec počitnic.«
»Čez teden sem se pri raziskovalcih veliko 
naučila. Najbolj mi je bil všeč Pickov izrek in 
poliedrska števila, pa tudi druga zanimiva 
števila. Način dela mi je bil všeč. Učiteljica 
je bila prijazna in nas je znala spodbuditi 
k delu. Sploh ne vem, kako je lahko pet ali 
šest ur matematike na dan tako hitro minilo. 
Všeč mi je bilo poročanje, čeprav sem imela 
prvič malo treme. Če bo naslednje leto spet 
tak tabor, bi se ga rada udeležila, čeprav bom 
že v 1. letniku srednje šole.«
»Če primerjam to z rednim poukom, 
ni primerjave. Imeli smo se krasno, veliko 
novega smo spoznali. Naloge so bile 
nekatere prav res težke, pa smo jih vseeno 
rešili. Pomagali smo drug drugemu. Najbolj 
mi je bil všeč Pickov izrek in dokazovanje 
Eulerjeve formule. Še bi šel na tak tabor.«

18
δ  Viri in literatura:
1. Kmetič, S., L. Frobisher (1996), Izzivi za mlade mate-
matike, Založba Obzorja.
2. Kmetič, S… (1996), Prispevki k poučevanju matema-
tike, Založba Rotis.
3. Strnad, M., … (2004), Presečišče 7, 8, 9, Ljubljana, Dr-
žavna založba Slovenije  
4. Strnad, M., … (2004), Vodnik po Presečišču 7 in 8, 
Ljubljana, Državna založba Slovenije.
5. Cofman, J. (2001), Kaj naj rešujemo 1. del, DMFA.
6. Cofman, J. (2001), Kaj naj rešujemo 2. del, DMFA.
7. Pečovnik, M. A. Slikovne in geometrijske ponazori-
tve matematičnih trditev, v: Matematika v šoli, letnik 
11, str. 100-106.
8. Štembergar, M. Diplomska naloga, Pedagoška fakul-
teta Ljubljana, 2004.
9. Hodnik, T., Felda, D., Vasle, H., Jeromen, V. (2006), 
Matematični izzivi za prvo triletje, Ljubljana: Državna 
založba Slovenije.
10. Felda, D., Arnuš, O., Jakob, M., Domajnko, V . (2005), 
Matematična delavnica 7, Ljubljana: Državna založba 
Slovenije.
Matemati čni tabor za nadarjene